٦٥
ﻓﺼﻞ دوم (2,1ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
]h [ n ] = 2δ [ n + 1] + 2δ [ n − 1] , x [ n ] = δ [ n ] + 2δ [ n − 1] − δ [ n − 3 ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻨﻬﺎي زﻳﺮ را ﭘﻴﺪا ﻛﺮده و آﻧﻬﺎ را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
اﻟﻒ( ]y1 [n] = x[n]∗ h[n ب( ]y 2 [n] = x[n + 2]∗ h[n ج( ]y3 [n] = x[n ]∗ h[n + 2 ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ: ∞
] ∑ h[k ]x[n − k
= ]y1 [n ] = h[n]∗ h[n
∞k = −
]h[n
٢
٢
٠ ١
-١
]h[n
٢
-٣ ٢
٤
٢
-١ ﺷﻜﻞ )ح(2,1-1 ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ] x[nو ] h[nدر ﺷﻜﻞ ح 2,1ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ.
٠ ١
٦٦
2 ]X[n
1
n
3
2
0
1
2 ]h[n
2
-1
n
2
1
0
-1
ﺷﻜﻞ ح2-1 از اﻳﻦ ﺷﻜﻞ ﻫﺎ ﺑﻪ راﺣﺘﻲ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻛﺎﺗﻮﻟﻮﺷﻦ ﻓﻮق را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻼﺻﻪ ﻛﻨﻴﻢ: ]y1 [n] = h[− 1]x[n + 1] + h[n]x[n − 1 ]= 2 x[n + 1] + 2 x[n − 1
ﻛﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ دﻫﺪ. ]y1 [n] = 2δ [n + 1] + 4δ [n ] + 2δ [n − 1] − +2δ [n − 2] − 2δ [2 − 4 )ب( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ: ∞+
] ∑ h[k ]x[n + 2 − k
= ] y 2 [n] = x[n + 2]∗ h[n
K =− N
ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )ح (.2,1,1دارﻳﻢ: ]y 2 [n] = y1 [n + 2 ج( ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )ح (2,1,1ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ: ∞+
] ∑ x[n]h[n − k ∞k = −
= ]y1 [n ] = x[n]∗ h[n
٦٧
ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﻲ ﺗﻮان داﺷﺖ: ∞+
] ∑ x[k ]h [n + 2 − k
= ]y3 [n ] = x[n ]∗ h[n + 2
∞k = −
ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ راﺑﻄﻪ)ح (2,1,1ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: ]y3 [n] = y1 [n + 2 (2,2ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. 1 }]h[n ] = n − {u [n + 3] − u[n − 10 2 Aو Bرا ﺑﺮﺣﺴﺐ nﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ.
1 n−k −1 , A≤k ≤ B h[n − k ] = 2 در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , ﺣﻞ: ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳﻒ داده ﺷﺪه ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎل ] h[nﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
}]{u[k + 3] − u[k − 10
)( 2
k −1
h[k ] = 1
ﺳﮕﻴﻨﺎل ] h[kﺗﻨﻬﺎ درﺑﺎزه ي − 3 ≤ k ≤ 9ﺻﻔﺮ ﻧﻴﺴﺖ .از اﻳﻦ ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] h[− kﺗﻨﻬﺎ در ﺑﺎزه ي − 9 ≤ k ≤ 3ﺻﻔﺮ ﻧﻴﺴﺖ .ﺣﺎل اﮔﺮ ] h[− kراﺑـﻪ اﻧـﺪازه nﺑـﻪ ﺳـﻤﺖ راﺳـﺖ ﺷـﻴﻔﺖ دﻫـﻴﻢ ،در اﻳﻨﺼﻮرت ﺳﻴﮕﻨﺎل ] h[n − kﺣﺎﺻﻞ ﻣﻲ وﺷﺪ ﻛﻪ در ﺑﺎزه n − 9 ≤ k ≤ n + 3ﺻﻔﺮ ﻧﻴﺴﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: A = n−9 B = n+3 (2,3ورودي ] x[nو ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h[nزﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ n −2
1 ]x[n] = u[n − 2 2 ]h[n] = u[n + 2 ﺧﺮوﺟﻲ ] y[n] = x[n]∗ h[nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ . ﺣﻞ:
٦٨
ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺎي x1و ] h[nﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﻮﻧﺪ.
]( 2 ) u[n n
x1[n ] = 1 ,
]h[n] = u[n ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﻛﻪ ] x[n] = x1 [n − 2و ]h[n] = h1 [n + 2
ﺣﺎل:
]y[n] = x[n] ∗ h[n ]= x1 [n − z ] ∗ h[n + 2 ∞
]∑ x [k − z ]h [n − k + 2 1
1
=
∞k = −
ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري m + 2ﺑﺠﺎي kدر ﺳﻴﮕﻤﺎي ﻓﻮق ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ. ∞+
]∑ x [m]h [n − m] = x [n]∗ x [n]∗ h [n 1
1
1
1
1
= ] y[n
∞m = −
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﺜﺎل 2,1در ﻣﺘﻦ ﻛﺘﺎب درﺳﻲ ،ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
) (
n +1 ]u[n y[n] = 21 − 1 2 y[n] = x[n]∗ h[n] (2,4را ﺑﻪ ازاي ] x[nو ] h[nزﻳﺮ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ و آن را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
1 , 3 ≤ n ≤ 8 x[n] = در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , 1 , 4 ≤ n ≤ 15 h[n] = در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , ﺣﻞ: ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ: ∞+
] ∑ [k ]h[n − k
= ] y[n ] = x[n ]∗ h[n
∞k = −
ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nو ] y[nدر ﺷﻜﻞ ح 2,4ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ. ازاﻳﻦ ﺷﻜﻞ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮع ﻓﻮق ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺧﻼﺻﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد:
٦٩
]y[n ] = x[3]h[n − 3] + x[4]h[n − 4] + x[5]h[n − 5
]+ x[6]h[n − 6] + x[7 ]h[n − 7] + x[8]h[n − 8
ﻛﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ دﻫﺪ:
7 ≤ n ≤ 11 n − 6 6 12 ≤ n ≤ 18 y[n] = 24 − n 19 ≤ n ≤ 23 ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط 0 ﻧﻤﻮدار ﺷﻜﻞ
]x[n
]h[n ..... • n .١٥ (2,5ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
٤
•
n
•
٨
1 , ≤ n ≤ N h[n] = و در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت ,
٧
٦
٤ ٥
• ٣
•
1 , ≤ n ≤ 9 h[n] = در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت ,
ﻛﻪ در آن N ≤ 9ﻳﻚ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ N .را ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺮاي ]y[n] = x[n]∗ h[n داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ.
= ]x[14
,
x[4] = 5
ﺣﻞ: ﺳﻴﮕﻨﺎل ] y[nﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: 9
9
= k
= k
] y[n ] = ∑ x[k ]h[n − k ] = ∑ h[n − k
از اﻳﻦ راﺑﻄﻪ ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ ﻛﻪ ] y[nﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﺷﻴﻔﺖ ﻳﺎﻓﺘﻪ ] h[nﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺟﻤﻠـﻪ ي آﺧﺮ در n = 9اﺗﻔﺎق ﻣﻲ اﻓﺘﺪ و ] h[nﺑـﺮاي n > Nﺑﺮاﺑـﺮ ﺻـﻔﺮ اﺳـﺖ ] y[nﺑـﺮاي n > N + 9
ﺻﻔﺮ اﺳﺖ .ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ = ] ، y[14ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ Nﺣﺪاﻛﺜﺮ ﻣـﻲ ﺗﻮاﻧـﺪ 4 ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻌﻼوه از y[4] = 5ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ ] h[nﺣﺪاﻗﻞ 5ﻧﻘﻄﻪ ﻓﺎﻗﺪ ﺻﻔﺮ دارد .ﺗﻨﻬـﺎ ﻣﻘـﺪار Nﻛﻪ ﻫﺮ دو ﺷﺮط را ﺑﺮآورده ﻣﻲ ﻛﻨﺪ 4اﺳﺖ.
٧٠
(2,6ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ] y[n] = x[n]∗ h[nرا ﺑﻪ ازاي ] x[nو ] h[nزﻳﺮ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ و آن را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. −n
]h[n ] = u[n − 1
1 ]x[n ] = u[− n − 1 3
,
ﺣﻞ: از اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه دارﻳﻢ: ∞+
= ] y[n ] = x[n ]∗ h[n
] ∑ x[k ]h[n − k ∞k = −
]x[− k − 1]u[n − k − 1
)( 3
−k
∞+
=∑ 1 ∞−
]∑ (13 ) u[n − k − 1 −1
−k
=
∞k = −
]( 3 ) u[n + k − 1 k
∞
=∑ 1 k −1
ﺟﺎﻳﮕﺬاري kﺗﻮﺳﻂ p-1دارﻳﻢ:
)( 3
p +1
] u[n + p
∞
y[n] = ∑ 1 = p
ﺑﺮاي ≥ nﻣﻌﺎدﻟﻪ ي ﺑﺎﻻﻳﻲ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ در ﻣﻲ آﻳﺪ: p +1
)( 3
1 =1 3 1− 1 2 3 ﺑﺮاي > nﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (S2,6,1ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺧﻼﺻﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد: =1
)( 3
) ∑ ( 13
∞− n +1 +
p
= p
n
1 =3 2 2
) (
−n
= 1
∞
y[n] = ∑ 1 = p
) ∑ ( 13 ∞+
p +1
1 = 1 3 1 1− 3
∞p = −
)( 3
− n +1
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ >n ≥n
= ]y[n
3n y[n ] = 2 1 2
= 1
٧١
(2-7ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ Sراﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﺑﻴﻦ ورودي ] x[nو ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nوﺟﻮد دارد ∞
] ∑ x[k ]g [n − 2k
= ]y[n
∞k = −
و در آن ]. g [n] = u[n] − u[n − 4 اﻟﻒ( ] y[nرا ﺑﻪ ازاي ] x[n] = δ [n − 1ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ب( ] y[nرا ﺑﻪ ازاي ] x[n] = δ [n − 2ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ج( آﻳﺎ Sو LTIاﺳﺖ؟ د( ] y[nرا ﺑﻪ ازاي ] x[n] = u[nﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ:
)اﻟﻒ( داده ﺷﺪه اﺳﺖx[n] = δ [n − 2] : ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ: ∞+
]y[n] = ∑ x[k ]g [n − 2k ] = g [n − 4 ∞−
]= u[n − 4] − u[n − 8 )ب( ورودي ﺳﻴﺴﺘﻢ در ﻗﺴﻤﺖ )ب( ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﺑﻪ اﻧـﺪازه ي ) (1واﺣـﺪ ﺑـﻪ ﺳـﻤﺖ راﺳـﺖ
ﺷﻴﻔﺖ ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ .اﮔﺮ Sﺗﻐﻴﻴﺮﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن ﺑﺎﺷﺪ ،در اﻳـﻦ ﺻـﻮرت ﺧﺮوﺟـﻲ ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﺑﺪﺳـﺖ آﻣـﺪه در ﻗﺴﻤﺖ )ب( ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه ﺳﻴﺴﺘﻢ در ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﺑﺎ ﻳﻚ ﺷﻴﻔﺖ ﺑﻪ اﻧﺪازه ) (1واﺣﺪ ﺑﻪ راﺳﺖ ،ﺑﺎﺷﺪ .واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ ،آن ﻣﻮرد ذﻛﺮ ﺷﺪه ﻧﻴﺴﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻧﻴﺴﺖ. )ج( اﮔﺮ ] x[n] = u[nدر اﻳﻦ ﺻﻮرت ∞+
∑ x[k ]g
= ]y[n
∞k = − ∞
] = ∑ g [n − 2k = k
ﺳﻴﮕﻨﺎل ] g [n − 2kﺑﺮاي k = , 1 , 2در ﺷﻜﻞ S.2,7رﺳﻢ ﺷﺪه اﻧﺪ .ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻜﻞ واﺿـﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ:
٧٢
n = ,1 ]n >= 2u[n] − δ [n] − δ [n − 1
]g [n − 4
١
1 y[n] = 2
١
١
٤ ٥
]g [n − 1
١ ٢ ٣
]g [n
١
١ ﺷﻜﻞ ح2,7 ٢ ٣
٠ ١
(2,8ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ و ﻧﺘﻴﺠﻪ را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
≤ t ≤1 t + 1, x(t ) = 2 − 1, 1 ≤ t ≤ 2 در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت , )h(t ) = δ (t + 2) + 2δ (t + 1 ﺣﻞ: ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻧﺘﮕﺮال ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ دارﻳﻢ: ∞+
∞+
∞−
∞−
x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(τ )x(t − τ )dτ ) h(t ) = δ (t + 2) + 2δ (t + 1داده ﺷﺪه اﺳﺖ .ﻛﻪ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻲ ﺷﻮد اﻧﺘﮕﺮال ﻓﻮق ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺧﻼﺻـﻪ
ﺷﻮدx(t ) ∗ y (t ) = x(t + 2) + 2 x(t + 1) : ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x(t + 2و ) 2 x(t + 1در ﺷﻜﻞ ح 2,8ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ٢ ﺷﻜﻞ ح2-8
)x(t + 1 ١
٢ ١
٠
-
)x(t + 2 ٠
١
-
-
٧٣
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﻜﻞ ﻫﺎي ﻓﻮق ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ راﺣﺘﻲ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ: t + 3 − 2 < t ≤ −1 t + 4 ≤ − 1t y (t ) = < t ≤1 2 − 2t b (2,9ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
)h(t ) = e 2t u (− t + 4) + e −2t u (t − 5 Aو Bرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ e −2(t −τ ) , h(t − τ ) = , ) 2(t −τ , e
τ<A A <τ < B B <τ ﺣﻞ:
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳﻒ داده ﺷﺪه ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎل ) ، h(tﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
e −2τ τ > 5 h(τ ) = e 2τ u (− τ + 4) + e −2τ u (τ − 5) = e 2τ τ > 4 4 < τ < 5 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
e 2τ τ > −5 h(− τ ) = e −2τ τ > −4 − 5 < τ − 4 ﭘﺲ: A = t −5 , B =t−4
(2,10ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ
≤τ ≤1 در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت
1 , x(τ ) = ,
٧٤
و ) h(t ) = x(t / aﻛﻪ در آن < a ≤ 1
اﻟﻒ( ) y(t ) = x(t ) ∗ h(tرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ و آن را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. ب( اﮔﺮ dy (t ) dtﺗﻨﻬﺎ ﺳﻪ ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﻘﺪار aﭼﻘﺪرﺳﺖ؟ ﺣﻞ: ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ) x(tو ) h(tرا ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ،ﺷﻜﻞ ﻫـﺎي S2,10را رﺳـﻢ ﻛﻨﻴﺪ (a) .ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻃﺮﺣﻬﺎي ﺷﻜﻞ ح .2,10ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧـﺸﺎن داده ) y (t ) = x(t ) ∗ h(tﻫﻤﻨﻄـﻮر ﻛـﻪ در اﺷﻜﺎل ح 2,10ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ.
) h(t
١ ١
١
٠
α
α
α +1
α
1
0
t-Axis
ﺷﻜﻞ ح2,10 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
≤t ≤α α ≤ t ≤1 1 ≤ t ≤ 1+ α ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط
t α y (t ) = 1 + α − t
٠
) x(t
٧٥
) dy (t )ب( از ﺷﻜﻞ ﺑﺎﻻ ﺑﺮاي ) ، y (tواﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ dt ) dy (t ﺗﻨﻬﺎ 3ﻧﻘﻄﻪ ي ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ؛ در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ∝= 1اﻧﺘﺨﺎب ﮔﺮدد. dt (2,11ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
در 1 + α ,1, α ,ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ .اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ
)x(t ) = u (t − 3) − u (t − 5 اﻟﻒ( ) y(t ) = x(t ) ∗ h(t
h(t ) = e −3t u (t ) ,
ب( ) g (t ) = (dx(t )) dt ∗ h(t ج( ) g (tﭼﻪ راﺑﻄﻪ اي ﺑﺎ ) y (tدارد. )اﻟﻒ( از اﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ) h(tﺗﻨﻬﺎ در ﺑﺎزه ∞ ≤ ≤ tﺻﻔﺮ ﻧﻴﺴﺖ ،ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ: ∞+
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ h(τ )x(t − τ )dτ ∞−
∞
= ∑ e − 3τ (u (t − τ − 3)) − u (t − τ − 5)dτ
ﺑﺮاﺣﺘﻲ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ) u (t − τ − 3) − u (t − τ − 5ﺗﻨﻬـﺎ در ﺑـﺎزه t − 5 < τ < t − 3ﺻـﻔﺮ ﻧﻴﺴﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ازاي t ≤ 3اﻧﺘﮕﺮال ﻓﻮق ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ .ﺑﺮاي 3 < t ≤ 5اﻧﺘﮕﺮال ﻓﻮق ﺑـﻪ ﺻـﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ:
)1 − e −3(t −3 3 ﺑﺮاي t > 5اﻧﺘﮕﺮال ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: ) −3(t −5
t −3
= y (t ) = ∫ e −3τ dτ
(1 − e )e = dτ −5
3 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ؛ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﺑﻴﺎن اﺳﺖ:
−3τ
t −3
y (t ) = ∫ e t −5
−∞ <t ≤3 ) −3 (t − 3 1 − e y(t ) = 3>t ≤5 3 ∞≤ 5<t ) 1 − e −5 e −3(t −5 3
)
(
٧٦
)ب( ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﮕﻴﺮي از ) x(tدر ﺣﻮزه زﻣﺎن دارﻳﻢ: dx(t )dt )= δ (t − 3) − δ (t − 5 dt
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ) dx(t ) ∗ h(t dt )= e −3(t −3)u (t − 3) − −(t −5 ) u (t − 5 ج( از ﻧﺘﻴﺠﻪ )اﻟﻒ( ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺸﺘﻖ ) y (tرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ: = ) g (t
−∞ <t ≤3 )dy (t ) −3(t −3 = e 3<t ≤5 dt −6 ) −3(t −5 ∞≤ 5<t e −1 e ) dy (t = ) . g (t ﻛﻪ اﻳﻦ دﻗﻴﻘﺎً ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ) g (tاﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ dt (2,12ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
)
∞
) ∑ δ (t − 3k
(
∗ ) y(t ) = e −t u (t
∞k = −
ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ در y (t ) = Ae − t ، ≤ t < 3و Aرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: ﺳﻴﮕﻨﺎل ) y (tرا ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت
)y (t ) = ... + e − (t −6 )u (t + 6) + e −(t +3)u (t + 3) + e −t u (t ) + e − (t −3 )u (t − 3 + e −(t −6 )u (t − 6) + ... در ﺑﺎزه ي ≤ t < 3ﻧﻮﺷﺖ؛ ﻣﻲ ﺗﻮان ) y (tرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ: ) y (t ) = ... + e − (t + )u (t + 6) + e −(t +3 )u (t + 3) + e −t u (t = e −t + e −(t +3 ) + e −(t +6 ) + ... 1 1 − e −3
)
(
= e −t 1 + e −3 + e − 6 + ... = e −t
1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: 1 − e −3 (2,13ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن S1ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ
= Aﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
٧٧
n
1 ] h[n ] = u[n 5 اﻟﻒ( Aرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ]. h[n] − A h[n − 1] = δ [n
ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] g [nﺳﻴﺴﺘﻢ S 2 LTIرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴـﺪ ﻛـﻪ S 2 وارون S1ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻧﻴﺎز دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺪاﻧﻴﻢ:
]u[n − 1] = δ [n
) (15 ) u[n] − A(15
n −1
n
ﺑﺎ ﻗﺮاردادن n=1و ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ AدارﻳﻢA = 1 : 3 )ب( از ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ: 1 ]h[n] − h[n − 1] = δ [n 5 1 ]h[n]∗ δ [n] − δ [n − 1] = δ [n 5 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻌﻜﻮس ﺳﻴﺴﺘﻢ دارﻳﻢ: 1 ]g [n ] = δ [n] − δ [n ] − δ [n − 1 2 (2,14ﻛﺪام ﻳﻚ از ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻫﺎي زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﭘﺎﻳﺪارﺳﺖ؟
اﻟﻒ( ) h1 (t ) = e − (1− 2 j )t u (t ب( ) h2 (t ) = e − t cos(2t )u (t ﺣﻞ: )اﻟﻒ( اﺑﺘﺪا ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ) h1 (tاﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﻴﻨﻲ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ: ∞
h1 (τ )dτ = ∫ e −τ dτ = 1
∞+
∫
∞−
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) h1 (tﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. )ب( اﮔﺮ ) h2 (tاﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﻴﻨﻲ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ: ∞
h2 (τ ) dτ = ∫ e −t cos 2t dτ
∞+
∫
∞−
٧٨
اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﺑﻪ ﻃﻮر واﺿﺢ ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺪودي دارد زﻳـﺮا e −t cos Ltﻳـﻚ ﺗـﺎﺑﻊ ﺗﺮوﻣـﻲ ﻧﻤـﺎﻳﻲ در ﺑـﺎزه ∞ ≤ ≤ tاﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) h2 (tﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ي ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. (2,15ﻛﺪام ﻳﻚ از ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻫﺎي زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﭘﺎﻳﺪارﺳﺖ؟ π اﻟﻒ( ]h1 [n] = n cos n u[n 4 ب( ]h2 [n] = 3n u[− n + 10
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( اﮔﺮ ] h1 [nﻣﺠﻤﻮع )ﺳﻴﮕﻤﺎي( ﻣﻌﻴﻨﻲ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ :ﻧﻴﻢ: ∞ π h k = k cos k ∑ ∑ 1 4 ∞k = − = k ∞
π اﻳﻦ ﺳﺮي ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺪودي ﻧﺪارد زﻳﺮا ﺑـﺎ ﺗـﺎﺑﻊ k cos k ﺑـﺎ اﻓـﺰاﻳﺶ ﻣﻘـﺪار ،kﺻـﻌﻮدي اﺳـﺖ. 4 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] h1 [nﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﺘﻢ LTIﭘﺎﻳﺪار ﺑﺎﺷﺪ. )ب( اﮔﺮ ] h2 [nﺳﺮي ﻣﻌﻴﻨﻲ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ: 2
≅ 311
10
k
∑3 ∞k = −
∞+
= ∑ h2 k
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] h2 [nﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺎﻳﺪار LTIﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
∞k = −
(2,16درﺳﺘﻲ ﻳﺎ ﻧﺎدرﺳﺘﻲ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﮔﺰاره ﻫﺎي زﻳﺮ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ: اﻟﻒ( اﮔﺮ در x[n] = ، n < N1و در h[n] = ، n < N 2؛ آﻧﮕﺎه در ، n < N1 + N 2 = ]. y[n] = x[n]∗ h[n ب( اﮔﺮ] ، y[n] = x[n]∗ h[nآﻧﮕﺎه ]. y[n − 1] = x[n − 1]∗ h[n − 1 ج( اﮔﺮ ) ، y(t ) = x(t ) ∗ h(tآﻧﮕﺎه ) . y(− t ) = x(− t ) ∗ h(− t د( اﮔﺮ در ، x(t ) = ، t > T1و در ، h(t ) = ، t > T2آﻧﮕﺎه در . x(t ) ∗ h(t ) = ، t > T1 + T2 ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺻﺤﻴﺢ :اﻳﻦ ﺑﻪ راﺣﺘﻲ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮش ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻌﻨﻮان ﻓﺮآﻳﻨـﺪي اﺻـﻞ ﺑـﺮ ﻫـﻢ ﻧﻬـﻲ ] h[nرا اﻧﺠﺎم دﻫﺪ ،ﺑﺤﺚ ﺷﻮد .اﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻌﻨﻮان اﻧﻌﻜﺎﺳﻲ در ﻣﺤﻞ اوﻟﻴﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺻﻔﺮ ] x[nاﺗﻔـﺎق ﺑﻴﺎﻓﺘﺪ .در اﻳﻦ ﻣﻮرد اوﻟﻴﻦ اﻧﻌﻜﺎس در N1اﺗﻔﺎق ﻣﻲ اﻓﺘﺪ .اﻧﻌﻜﺎﺳـﻲ ] h[nﻛـﻪ در n = N1اﺗﻔـﺎق ﻣـﻲ
٧٩
اﻓﺘﺪ ،اوﻟﻴﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ ي ﺻﻔﺮ ﺧﻮد را در ﻣﺤﻞ زﻣـﺎﻧﻲ N1 + N 2ﺧﻮاﻫـﺪ داﺷـﺖ ،ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑـﺮاي ﺗﻤـﺎﻣﻲ ﻣﻘﺎدﻳﺮ nﻛﻪ N1 + N 2ﺑﺨﻮد اﺧﺘﺼﺎص ﻣﻲ دﻫﺪ ،ﺧﺮوﺟﻲ ] h[nﺻﻔﺮ اﺳﺖ. )ب( ﻧﺎدرﺳﺖ. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ:
] y[n ] = x[n] ∗ h[n ∞
] ∑ x[k ]h[n − k
=
∞k =−
از اﻳﻦ: ∞+
] ∑ x[k ]h[n − 1 − k
= ]y[n − 1
∞k = −
]= x[n]∗ h[n − 1 اﻳﻦ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺣﺎﻟﺖ داده ﺷﺪه ﻧﺎدرﺳﺖ اﺳﺖ.
)ج( ﺻﺤﻴﺢ :ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ: ∞+
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ ∞−
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ∞+
y (− t ) = ∫ x(τ )h(− τ − t )dτ ∞−
∞+
= ∫ x(− τ )h(− t + τ )dτ ∞−
) = x(− t ) ∗ h(− t ﻛﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ وﺿﻌﻴﺖ داده ﺷﺪه ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ. )د( ﺻﺤﻴﺢ :اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺎ ﻓﺮض زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺤﺚ ﺷﻮد: ∞+
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ ∞−
در ﺷﻜﻞ ح x(τ ) ،2,16و ) h(t − τرا رﺳﻢ ﻛﺮده اﻳﻢ )ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻨﻜﻪ ) (1ﺑﺮاي x(t ) = t > T1و ) (2ﺑﺮاي : (h(t )) = ، t > T2واﺿﺢ اﺳـﺖ ،ﺣﺎﺻﻠـﻀﺮب ) x(τ )h(t − τاﮔـﺮ t − T2 > T1ﺑﺮاﺑـﺮ ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ،ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮاي . y (t ) = ، t > T1 + T2
٨٠
) h(t − τ
τ
t −T 2
) x(τ
τ
1
T
ﺷﻜﻞ ﺣﻞ 2-16
(2,17ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ورودي ) x(tو ﺧﺮوﺟـﻲ ) y (tو راﺑﻄـﻪ ﺧﺮوﺟـﻲ ـ ورودي زﻳـﺮ در ﻧﻈـﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ )م (1-17-2
d ) y + 4 y (t ) = x(t dt
ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺑﺘﺪاﺋﺎً ﺳﺎﻛﻦ اﺳﺖ. اﻟﻒ( ) y (tﺑﻪ ازاي x(t ) = e (−1+3 j )tﭼﻴﺴﺖ؟
ب( ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ }) Re{x(tو }) Re{y (tﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-17-2را ارﺿـﺎ ﻣـﻲ ﻛﻨﻨـﺪ .ﺧﺮوﺟـﻲ ) y (t ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIرا ﺑﻪ ازاي ورودي زﻳﺮ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ:
) x(t ) = e −t cos(3t )u (t ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ) y (tﻣﺠﻤﻮع ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ و ﺧﺼﻮﺻﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ داده ﺷﺪه اﺳﺖ. اﺑﺘﺪاً ﭘﺎﺳﺦ ﺧﺼﻮﺻﻲ ) y p (tرا ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺟﺎﻳﮕﺬاري )روﺷﻲ ﻛﻪ در ﻣﺜـﺎل 2,14آﻣـﺪه اﺳـﺖ(. ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ .از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ورودي ) x(t ) = e (−1+3 j )t u (tﺑﺮاي > ، tاﻋﻤﺎل ﻣﻲ ﻛﻨـﻴﻢ؛ ﺑﺪﺳـﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ.
٨١
> tﺑﺮاي y p (t ) = ke (−1+3 j )t ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري ) x(tو ) y (tدر ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ داده ﺷﺪه دارﻳﻢ:
(− 1 + 3 j )ke (−1+3 j )t + 4ke (−1+3 j )t = e (−1+3 j )t ﻛﻪ ﻣﻲ دﻫﺪ:
(− 1 + 3 j )k + 4k = 1 1 ) 3(1 + j
= ⇒k
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
1 > e (−1+3 j )t t ) 3(1 + j ﺑﺮاي ﺑﺪﺳﺖ آوردن ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ :ﻗﺮار ﻣﻲ دﻫﻴﻢ:
= yp
y y (t ) = Ae st از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺣﻞ ﻫﻤﮕﻦ ،ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ زﻳﺮ را ارﺿﺎء ﻛﻨﺪ: ) dy h (t = ) + 4 yh(t dt
ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
= )ASe st + 4 Ae st = Ae st (S + 4 ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﻘﺪار S=-4 ،Aﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺟﻮاب ﻛﻠﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ؛ 1 > e (−1+3 j )t t ) 3(1 + j ﺣﺎل ﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺛﺎﺑﺖ kازاﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ را ارﺿﺎء ﻣﻲ ﻛﻨـﺪ .داده y (t ) = Ae −4t +
ﺷﺪه اﺳﺖ = ) ( yﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ: 1 = ) 3(1 + j −1 =⇒ A ) 3(1 + j A+
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ > tدارﻳﻢ:
٨٢
[
]
1 > − e −4t + e(− 1 + 3 j )t ; t ) 3(1 + j از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ را ارﺿﺎء ﻛﻨﺪ ،ﺑﺮاي > y (t ) = ، tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: = ) y (t
1− j ) − e −4t + e (−1+3 j )t u (t 6 )ب( ﺧﺮوﺟﻲ ،ﻗﺴﻤﺖ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﭘﺎﺳﺦ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه در ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
(
)
= ) y (t
) y (t ) = 1 (e − t cos 3t + e −t sin 3t − e −4t )u (t 6 (2,18ورودي ] x[nو ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻋﻠّﻲ LTIﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺑـﻮط ﻣـﻲ ﺷﻮﻧﺪ 1 ]y[n − 1] + x[n 4 ] y[nرا ﺑﻪ ازاي ] x[n] = δ [n − 1ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
= ] y[n
ﺣﻞ: از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎزال اﺳﺖ :ﺑﺮاي y[n] = ، n < 1ﺣﺎل:
y[1] = 1 y[ ] + x[1] = + 1 = 1 4 y[2] = 1 y[1] + x[2] = 1 + = 1 4 4 4 y[3] = 1 y[2] + x[3] = 1 + = 1 4 16 16
)( 4
m −1
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
]u[n − 1
y[m] = 1
)( 4
n −1
y[n] = (n ) = 1
(2,19اﺗﺼﺎل ﺳﺮي دو ﺳﻴﺴﺘﻢ S1و S 2ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺷﻜﻞ م 19-2را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ: ] w[n x[n] → S1 → S 2 ]→ y[n
ﺷﻜﻞ م 19-2
٨٣
1 LTI : S1ﻋﻠّﻲ ]w[n − 1] + x[n 2 LTI : S 2ﻋﻠﻲ ]y[n] = ay[n − 1] + β w[n = ] w[n
ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺑﻴﻦ ] x[nو ] y[nﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از 1 3 ]y[n ] = − y[n − 2] + y[n − 1] + x[n 8 4
اﻟﻒ( aو βرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ب( ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي S1و S 2را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي دﻳﻔﺮاﻧﺴﻲ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﺎ ] y[nو ] ω [nرا ﺑﺮاي S2در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ:
] y [ n ] = α y [ n − 1] + βω [ n از اﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
α ]y [ n − 1 β
y [n ] −
1
β
= ] ω [n
و
α ]y [ n − 2 β
y [ n − 1] −
1
β
= ]ω [ n − 1
ﺑﺎ ﺿﺮب ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي ﺑﻪ 1و ﺟﺎﻳﮕﺬاري در ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻗﺒﻠﻲ دارﻳﻢ: 2 1 α 1 α ω [ n ] − 1 2 ω [ n − 1] = y [ n ] − y [ n − 1] − y [ n − 1] + ]y [ n − 2 β β 2β 2β ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري اﻳﻦ در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ] ω [nو ] x[nﺑﺮاي S1دارﻳﻢ:
α 1 α y [ n − 1] − y [ n − 1] + ] y [ n − 2] = x [ n β 2β 2β
y [n ] −
ﻳﻌﻨﻲ:
] )2 y [n −1] − α2 y [n − 2] + β x [n
ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي داده ﺷﺪه ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ] y[nو ] x[nدارﻳﻢ:
(
y [n ] = α + 1
1
β
٨٤
1 β =1و 4 )ب( ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎي S1و S2ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از:
=α
]ω [n] = 1 2 ω [n − 1] + x[n ,
]y[n] = 1 y[n − 1] + ω [n 4 از ﻣﺜﺎل 2,15ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي S1و S2ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از:
]( 2 ) u[n
h1 [n] = 1
n
,
]( 4 ) u[n
h2 [n] = 1
n
ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻛﻠﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ از اﺗﺼﺎل ﻛﺎﺳﻞ ﻛﺪ )آﺷﺒﺎري( ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي S1و SLﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ: ∞
] ∑ h [k ]h [n − k 2
= ]h[n] = h1 [n]∗ h2 [n
1
∞k = −
] u[n − k
) () (
n−k
∞+
=∑ 1 ∗ 1 2 4 =k
( ) ( 2 ) (1 4 ) = ∑ (1 2 ] = 2(1 ) − (1 ) u[n 2 4
) 2 n−k
n
n−k
k
n
n
= k
n
=∑ 1 = k
(2,20اﻧﺘﮕﺮاﻟﻬﺎي زﻳﺮ را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ:
اﻟﻒ( u (t ) cos(t )dt
∞
∫
∞−
ب(
∫ sin (2πt )δ (t + 3)dt
ج(
∫ u (1 − t )cos(2πτ )dτ
5
5
1
−5
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ∞+
∞+
∞−
∞−
u (t )cos(t )dt = ∫ δ (t )dt = 1
∫
٨٥
()ب
∫ sin(2πt )δ (t + 3)dt = sin 6π = 5
)ج( ﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ اﻧﺘﮕﺮال
∫ u (1 − τ )cos(2πτ )dτ 5
−5
1
ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل
x(t ) = cos(2πt )[u (t + 5) − u (t − 5)] :ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ +∞ dx(t ) = u1 (t ) ∗ x(t ) = ∫ u1 (t − τ )x(τ )dτ −∞ dt 5
∫ u (t − τ )cos(2πτ )dτ −5
1
:ﺣﺎل 5 dx (t ) t =1 = ∫−5 u1 (1 − t )cos(2πτ )dτ dt : ﻣﻘﺪار اﻧﺘﮕﺎل را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ:ﻛﻪ اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻄﻮﻟﺒﺴﺖ
dx(t ) t =1 = sin (2πt )t = 1 = dt را ﺑﻪ ازاي زوج ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪy[n] = x[n]∗ h[n]( ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ2,21 x[n ] = a n u [n ] a ≠ β (اﻟﻒ h[n ] = β n u[n] x[n] = h[n] = a n u[n] (ب
x[n] = h[n] = a n u[n] (ج h[n] = 4 n u[2 − n]
١
n
1 x[n ] = − u[n − 4] (ج 2 .21-2 ﺷﻜﻞ مh[n] وx[n] (د
h[n]
٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١ ١ ١ ١ ١ ١ ١
٨٦
x[n]
١
n
-١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥
:ﺣﻞ
:)اﻟﻒ( ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ داده ﺷﺪه ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ y[n] = x[n]∗ h[n ] = +∞
∑ x[k ]h[n − k ] k = −∞ k
( β)
= βn∑ α k =
+∞
n ≥ ﺑﺮاي
β n +1 − α n +1 = u [n ] β −α
α ≠ β ﺑﺮاي ()ب( از )اﻟﻒ
n y[n] = a n a n ∑1u[n] = (n + 1)a n u[n] k =
[ ]
n ≤ 6 )ج( ﺑﺮاي k 3 ∞ 1 y[n ] = 4 ∑ − −∑ − 1 8 8 k = k = n
( )
( )
k−
n > 6 ﺑﺮاي
( )
( )
n −1 k k ∞ y[n] = 4 n ∑ − 1 − ∑ − 1 8 8 k =6 k =
:ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
( )( ) ( )( )
8 − 1 4 4n n≤6 9 8 y[n] = n n>6 8 −1 2 9
٨٧
)د( ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻣﻄﻠﻮب ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از: ∞
] ∑ x[k ]h[n − k
= ] y[n
∞k = −
]= x[ ]h[n] + x[1]h[n − 1] + x[2]h[n − 2 ]+ x[3]h[n − 3] + x[4]h[n − 4
]= h[n] + h[n − 1] + h[n − 2] + h[n − 3] + h[n − 4 ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ح 1,21ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
٢
٠
١
(2,22ﺑﻪ ازاي زوج ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي داده ﺷﺪه ،ﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از اﻧﺘﮕـﺮال ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷـﻦ ﭘﺎﺳـﺦ ) y (tﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIداراي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) h(tﺑﻪ ورودي ) x(tرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ .ﻧﺘﺎﻳﺞ را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. ) x(t ) = e − at u (t اﻟﻒ( ) ﻫﻢ ﺑﻪ ازاي a ≠ βو ﻫﻢ ﺑﻪ ازاي ( a = β ) h(t ) = e −βt u (t )x(t ) = u (t ) − 2u (t − 2) + u (t − 5 ب( ) h(t ) = e 2t u (1 − t
٢
٣
٢
ﻳﻚ ﺗﻨﺎوب sin πt
١
٢
) x(t
4 3
1 3
)اﻟﻒ(
١
) h(t
١
١
= Aﺷﻴﺐ
b
t
−
) h(t 4 3
١
)ب(
٨٨
)ج(
t
٣
-١
١
٢
-٢
-٣
-١
ﺷﻜﻞ م 22-2 ج( ) x(tو ) h(tﺷﻜﻞ م ) 22-2اﻟﻒ( د( ) x(tو ) h(tﺷﻜﻞ م ) 22-2ج( ﻫـ( ) x(tو ) h(tﺷﻜﻞ م ) 22-2ج( ﺣﻞ: ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻣﻄﻠﻮب ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از: ∞+
y (t ) = ∫ x (τ )h (t − τ ) d τ ∞−
≥ t
) − β (t −τ
dτ
t
= ∫ e −α t e
در اﻳﻦ ﺻﻮرت:
(
)
e −5t e −(α − β )t − 1 u (t ) α ≠ β y (t ) = β −α α =β − βt te u t )( )ب( ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻣﻄﻠﻮب ﻋﺒﺎرت از: 5
2
∞+
2
∞−
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(t − τ )dτ − ∫ h(t − τ )dτ ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮان آن را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻴﺰ ﻧﻮﺷﺖ:
٨٩
2 e 2(t −τ )dτ − 5 e 2(t −τ )dτ ∫2 ∫ 5 2 2(t −τ ) dτ − ∫ e 2(t −τ )dτ ∫t −1 e 2 y (t ) = − 5 e 2(t −τ )dτ 3 ≤ t ≤ 6 ∫t −1
t ≤1 1≤ t ≤ 3 3≤t ≤6 6<t
:ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
( )[ ( )[ ( )[
] ]
1 e 2t − 2e 2(t −2 ) + e 2(t −5 ) t ≤1 2 1 e 2 + e 2(t −5 ) − 2e 2(t −2 ) 1 ≤ t ≤ 3 1 ≤ t ≤ 3 y (t ) = 2 3≤t ≤ 6 1 e 2 (t −5 ) − e 2 2 6<3 :)ج( ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻄﻠﻮب ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از
]
+∞
y(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ −∞
= ∫ sin (πt )h(t − τ )dτ 2
:ﻛﻪ ﻣﻲ دﻫﺪ t < 1 2 π [1 − cos[π (t − 1)]] y (t ) = 2 π [cos[π (t − 3)] − 1]
( ) ( )
t <1 1< t < 3 3<t <5 5<t
:ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
h(t ) = h1 (t ) − 1 δ (t − 2) 3 :ﻛﻪ
4 h1 (t ) = 3 ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط
≤ t ≤1 :ﺣﺎل
٩٠
)y (t ) = h(t ) ∗ x(t ) = [h1 (t ) ∗ x(t )] − 1 x(t − 2 3 دارﻳﻢ:
)
)+ bt − b (t − 1
2
)ατ + b ) d τ ( 1 2 at 2 − 1 2 a (t − 1 (3
t
h1 (t ) ∗ x (t ) = ∫ 4 t −3
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
( 1 2 at
2 ) − 1 α (t − 1) + bt − b (t − 1) − 1 ( a (t − 2 ) + b ) = at + b = x (t 2 3 )د( ) x(tﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ y (t ) ،ﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ را اراﺋﻪ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ :ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ. 2
3
دارﻳﻢ:
− 12 (t − τ − 1)dτ + t (1 − t + τ )dτ = 1 + t − t 2 − 1 < t < 1 ∫− 12 4 4 2 ∫t −1 y (t ) = 1 t 1 <t < 3 2(1 − t + τ )dτ + (t − 1 − τ )dτ = t 2 − 3t + 7 ∫ ∫ 1 4 2 2 t −1 2 ﭘﺮﻳﻮد ) y (tﺑﺮاﺑﺮ 2ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. h(t ) (2,23را ﭘﺎﻟﺲ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﺷﻜﻞ م ) 23-2اﻟﻒ( و ) x(tرا ﻗﻄﺎر ﺿـﺮﺑﻪ ﺷـﻜﻞ م ) 23-2ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ؛ ﻳﻌﻨﻲ ∞
) ∑ δ (t − k
= ) x(t
∞k = −
) y(t ) = x(t ) ∗ h(tرا ﺑﻪ ازاي Tﻫﺎي زﻳﺮ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ آن را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. اﻟﻒ( T = 4 ب( T = 2 3 ج( 2 د( T = 1
=T
) h(t
-2
)اﻟﻒ(
-1
y (t ) = 4
٩١
ﺣﻞ: ) x(t
3T
-2T -T
T
2T
)ب( ﺷﻜﻞ م 2-2
) y (tﺑﺮاي ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠﻒ Tدر ﺷﻜﻞ S.2,23رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ. Y-Axis Y-Axis
ﺷﻜﻞ ح.2,23
Y-Axis
) y(t
) y (t
Y-Axis
) y(t
) y (t
٩٢
(2,24ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺳﺮي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻋﻲ LTIﺑﻪ ﺻﻮرت ﻧﺸﺎن داده ﺷـﺪه در ﺷـﻜﻞ م ) 24-2اﻟـﻒ( را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h2 [nﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از
]h2 [n] = u[n] − u[n − 2 و ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻞ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﻜﻞ م ) 24-2ب( اﺳﺖ. اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h2 [nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ب( ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻞ ﺑﻪ ورودي زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
]x[n] = δ [n] − δ [n − 1
x[n] → h1 [n] → h2 [n] → h2 [n] ]→ y[n )اﻟﻒ(
٨
١ ١ ١ ٠
٤
٥ ١
١
n )ب ( ﺷﻜﻞ 2-24 ﺣﻞ: )اﻟﻒ( داده ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ] ، h2 [n] = δ [n] + δ [n − 2ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
]h2 [n]∗ h2 [n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + δ [n − 2
٩٣
از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ]]h[n] = h1 [n]∗ [h2 [n]∗ h2 [n دارﻳﻢ:
]h[n] = h1 [n] + 2h1 [n − 1] + h1 [n − 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
h[ ] = h1 [ ] ⇒ h1 [ ] = 1
h[1] = h1 [1] + 2h1 [ ] ⇒ h1 [1] = 3
h[2] = h1 [2] + 2h1 [1] + h1 [ ] ⇒ h1 [2] = 3 h[3] = h1 [3] + 2h1 [2] + h1 [1] ⇒ h1 [3] = 2 h[4] = h[4] + 2h1 [3] + h1 [2] ⇒ h1 [4] = 1
= ]h[5] = h1 [5] + 2h1 [4] + h1 [3] ⇒ h1 [5 n>5 )ب( در اﻳﻦ ﻣﻮرد
<n
,
for
= ]h1 [n
]y[n] = x[n]∗ h[n] = h[n] − h[n − 1 ) (2,25ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ
]y[n] = x[n]∗ h[n را ﺑﻪ ازاي n
1 ] x[n ] = 3 u[− n − 1] + u[n 3 n
و n
1 ]h[n ] = u[n + 3 4
در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. )اﻟﻒ( ] y[nرا ﺑﺪون اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﭘﺨﺸﻲ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. )ب( ] y[nرا ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﭘﺨﺸﻲ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ] x[nرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﻧﻮﻳﺴﻴﻢ: n
)( 3
x[n] = 1
٩٤
ﺣﺎل ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻣﻄﻠﻮب ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از:
] y[n ] = h[n]∗ x[x
]u[n − k + 3
) (1 4
n−k
]u[n − k + 3 ) u (n + k + 4
) ∑ ( 13 −1
−k
=
∞k = −
) ( 3 ) (1 4
n−k
k
∞
+∑ 1 = k
) = (1 )∑ (1 ) (1 12 3 4 k
n+ k
∞
= k
]u[n − k + 3
) ( 3 ) (1 4
n−k
k
∞+
+∑ 1 = k
ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻫﺮ ﻛﺪا م از ﺳﺮي ﻫﺎي در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ،ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ:
( ) ) ( ) () (
(12) 4 3n 11 n < −4 1 4 y[n] = 4 n = −4 11 n n n n ≥ −3 1 + (− 3) 1 + 3(256) 1 1 11 4 3 4 )ب( ﺣﺎل ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ:
) (
) (
) (
) (
n n y1 [n] = 1 u[n] ∗ 1 u[n + 3] 3 4 ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ:
n < −3 n ≥ −3
)( 3
+ 3(256 ) 1
n
y1 [n] = − 3 1 4
) (
n
ﻧﻴﺰ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ:
) (
n n y 2 [n] = (3) u[− n − 1] ∗ 1 u[n + 3] 4 ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ:
n < −4 n ≥ −3
)
(
(12 ) 411 3 n y 2 [n ] = n 1 4 111
) (
٩٥
ﺑﻄﻮر واﺿﺢ؛ ] y1 [n] + y 2 [n] = y[nاز ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻠﻲ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ. ) (2,2,6ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ زﻳﺮ
]y[n] = x1 [n]∗ x 2 [n]∗ x3 [n
را ﺑـــﻪ ازاي ] ، x2 [n] = u[n + 3] ، x1 [n] = 0 / 5 n [nو ] x2 [n] = δ [n] − δ [n − 1در ﻧﻈـــﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. اﻟﻒ( ] x1 [n]∗ x2 [nرا ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ. ب( ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ﺑﺎ ] x3 [nرا ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ] y[nﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ. ج( ] x2 [n]∗ x3 [nرا ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ. د( ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ﺑﺎ ] x1 [nرا ﺑﺮاي ] y[nﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( دارﻳﻢ:
]y1 [n] = x1 [n]∗ x2 [n ∞+
] = ∑ x1 [x ]x2 [n − k ∞− ∞+
] = ∑ ( .5) u[n + 3 − k x
= k
ﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ n ≥ −3
) (
n+4
21 − 1 2 y1 [n] = x1 [n]∗ x2 [n ] = ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط
)ب( ﺣﺎل:
]y[n] = x3 [n]∗ y1 [n] = y1 [n] − y1 [n − 1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
٩٦
) (
n +3
n ≥ −2
= 1 2
) (
n+ 4
n = −3
) (
21 − 1 n+3 + 21 − 1 2 2 y[n ] = 1 ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
]u[n + 3
)( 2
n +3
y[n] = 1
)ج( دارﻳﻢ:
]y 2 [n] = x2 [n]∗ x3 [n
]= u[n + 3] − u[n + 2] = δ [n + 3 )د( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻗﺴﻤﺖ )ج( دارﻳﻢ: ]u[n + 3
)( 2
n +3
y[n] = y 2 [n]∗ k1 [n] = x1 [n + 3] = 1
(2,27ﻣﺴﺎﺣﺖ زﻳﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ) v(tرا ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ:
∞ Av = v (t )dt ∞ − ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ) ، y(t ) = x(t ) = x(t ) ∗ h(tآﻧﮕﺎه Ay = Ax Ah
ﺣﻞ: اﺛﺒﺎت در زﻳﺮ آورده اﺳﺖ: ∞+
Ay = ∫ y (t )dt ∞−
∞+
= ∫ x(τ )h(tτ )dτdt ∞−
∞+
∞+
∞−
∞−
= ∫ x(τ )∫ h(t − τ )dtdτ ∞+
= ∫ x(τ ) Ay dτ ∞−
= AxAy
٩٧
(2,28ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻫﺎي ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ .آﻳﺎ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎ ﭘﺎﻳﺪار و /ﻳﺎ ﻋﻠّﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ؟ دﻟﻴﻞ ﺑﻴﺎورﻳﺪ. n
1 اﻟﻒ( ] h[n ] = u[n 5 n
1 n ﻫـ( ]h[n ] = − u[n ] + (1 / ) [n − 1 2 n ب( ]h[n ] = ( / 8) u[n + 2 n
1 n و( ]h[n ] = − u[n ] + (1 / 1) u[1 − n 2 n
1 ج( ]h[n] = u[− n 2 n
1 ز( ]h[n] = n [n − 1 3 n د( ]h[n ] = (5) u[3 − n
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻛﺎزال اﺳﺖ زﻳﺮا ] h[nﺑﺮاي > nﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ.
)
n
ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ زﻳﺮا ∞ < = 5 4
5
1
(∑ ∞
= n
)ب( ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < h[n] ≠ ، nﭘﺎﻳﺪار زﻳﺮا ∞ < . ∑ ( .8) = 5 n
)پ( ﻛﺎﻧﺘﻲ – ﻛﺎزال زﻳﺮا ﺑﺮاي > ، h[n] = ، nﭘﺎﻳﺪار ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ∞ =
) ∑ (1 2
n
∞n = −
3
625 )ت( ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ≠ ] h[nﺑﺮاي < ، nﭘﺎﻳﺪار زﻳﺮا ∞ < 4 ∞n = − )ت( ﻛﺎزال زﻳﺮا ﺑﺮاي < ، h[n] = ، nﭘﺎﻳﺪار ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﺟﻤﻠﻪ دوم زﻣﺎﻧﻴﻜﻪ ∞ → nﻧﺎﻣﺤﺪود =
n
∑5
اﺳﺖ. 305 )ح( ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < . h[n] ≠ ، nﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ زﻳﺮا ∞ < 3
∞
= ]∑ h[n ∞n = −
٩٨
∞+
)خ( ﻛﺎزال اﺳﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < . h[n] = ، nﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ زﻳﺮا ∞ < ∑ h[n] = 1 ∞n = −
(2,29ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻫﺎي ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ .آﻳﺎ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎ ﭘﺎﻳﺪار و /ﻳﺎ ﻋﻠّﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ؟ دﻟﻴﻞ ﺑﻴﺎورﻳﺪ.
اﻟﻒ( )h(t ) = e −4t u (t − 2 ب( ) h(t ) = e −6t u (3 − t ج( ) h(t ) = e 2t u (− 1 − t د( ) h(t ) = e 2t u (− 1 − t ﻫـ(
−6 t
h(t ) = e
و( ) h(t ) = te −t u (t
)
(
ز( ) h(t ) = 2e −t − e −(t −100 ) 100 u (t ﺣﻞ(
)اﻟﻒ( ﻛﺎزال زﻳﺮا ﺑﺮاي < ، h(t ) = tﭘﺎﻳﺪار زﻳﺮا ∞ <
4
−8
h(t ) dt = e
∞+
∫
∞−
∞+
)ب( ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < . h(t ) ≠ ، tﭘﺎﻳﺪار ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ∞ = ) ∫ h(t ∞−
∞+
)پ( ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < . h(t ) ≠ ، tﭘﺎﻳﺪار ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ∞ < ∫ h(t )dt = e ت( ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < . h(t ) ≠ ، tﭘﺎﻳﺪار ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ∞ < ∫ h(t )dt = e )ث( ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < . h(t ) ≠ ، tﭘﺎﻳﺪار ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ∞ < ∫ h(t )dt = 13 )ح( ﻛﺎزال اﺳﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < . h(t ) = ، tﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ زﻳﺮا ∞ < ∫ h(t )dt = 1 )خ( ﻛﺎزال اﺳﺖ زﻳﺮا ﺑﺮاي < . h(t ) = ، tﭘﺎﻳﺪار ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ∞ = ∫ h(t )dt 50
2
∞− ∞+
−2
∞− ∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
(2,30ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ
]y[n] + 2 y[n − 1] = x[n ﺑﺎ ﻓﺮض ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﺋﻲ )ﻳﻌﻨﻲ اﮔﺮ در x[n] = ، n < n؛ آﻧﮕﺎه در ( y[n] = ، n < nﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ را ﻛﻪ راﺑﻄﻪ ورودي ـ ﺧﺮوﺟﻲ آن ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه اﺳﺖ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ .ﺷﺎﻳﺪ ﺑﻬﺘﺮ
٩٩
ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ را ﺑﻪ ﺻﻮرﺗﻲ ﺑﺎزﻧﻮﻳﺴﻲ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] y[nرا ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ] x[n − 1و ] x[nﺑﻴﺎن ﻛﻨﺪ ،و ﻣﻘﺎدﻳﺮ ] [ y[2] , y[1] , yو ...را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل را وﻗﺘﻲ ورودي ﺑﺮاﺑﺮ ] x[n] = δ [n] = δ [nﺑﻴﺎﺑﻴﻢ .از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ از ﻣﺎ
ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﺗﺎ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﺟﻮاب ﻧﻬﺎﻳﻲ را ﻣﺨﺘﺼﺮ ﻛﻨﻴﻢ .ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺮاي < n = ] . y[nﺣﺎل:
]y[n] = x[n] − 2 y[n − 1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
y[ ] = x[ ] − 2 y[− 1] = 1
,
y[1] = x[1] − 2 y[ ] = −2
,
y[2] = x[2] + 2 y[2] = −4 ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ :ﺟﻮاب ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ: ] y[n ] = (− 2] u[n n
اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺳﺖ. (2,31ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIاﺑﺘﺪاﺋﺎض ﺳﺎﻛﻦ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ.
]y[n] + 2 y[n − 1] = x[n] + 2 x[n − 2 ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ورودي ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ م 31-2را ﺑﺎ ﺣﻞ ﺑﺎزﮔﺸﺘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: ﺟﻮاب ﻧﻬﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﺼﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ دارد ﻛﻪ ﺑﺮاي y[n] = ، n < −2ﺣﺎل:
]y[n] = x[n] + 2 x[n − 2] − 2 y[n − 1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
y[− 2] = 1 , y[− 1] = , y[ ] = 5 , ... ﺑﺮاي n ≥ 5
)y[5] = − − 110 , ... y[n ] = −110(− 2
n −5
(2,32ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. )م (1-32-2
1 ] y[n − 1] = x[n 2
y[n ] −
١٠٠
ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ n
1 ] x[n ] = u[n 3
)م (2-32-2
]x[n ٢
١
n
٣
٣ ٤
٢
١
-٢ -١ ٠ ١ ٢ ﺷﻜﻞ م 31-2
ﺟﻮاب ] y[nرا ﻣﺠﻤﻮع ﻳﻚ ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻﻲ ] y p [nﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-32-2و ﻳﻚ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ] yh[nﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ. 1 = ]yh[n − 1 2 اﻟﻒ( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از
yh[n ] −
yh[n] = A(1)2 n ب( ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻﻲ ] y p [nرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻣﻲ ﻳﺎﺑﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ ارﺿﺎ ﺷﻮد n
1 1 ] y p [n − 1] = u[n 2 3
y p [n] −
n
1 ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] y p [nدر ≥ nﺑﻪ ﺷﻜﻞ B اﺳﺖ و ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻨﻲ آن در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺑﺎﻻ 3 ﻣﻘﺪار Bرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
ج( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ورودي ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-32-2و اﺑﺘﺪاﺋﺎً ﺳﺎﻛﻦ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2-32-2اﺳﺖ .ﭼﻮن در < x[n] = ، n؛ ﭘﺲ در < . y[n] = ، nﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺑﻨﺪﻫﺎي )اﻟﻒ( و )ب( ] y[nدر ≥ nﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮﺳﺖ n
n
1 1 y[n ] = A + B 2 3
١٠١
ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺠﻬﻮل Bﺑﺎﻳﺪ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ] y[nدر ≥ nرا ﺑﺪاﻧﻴﻢ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﺮط ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﻳﻲ و ﻣﻌﺎدﻻت )م (1-32-2و )م y[ ] (1-32-2را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ .ﺛﺎﺑﺖ Aرا ﺑﻪ ﻛﻤﻚ اﻳﻦ ﻣﻘﺪار ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﻧﺘﻴﺠﻪ اﻳﻦ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ )م (1-32-2ﺑﻪ ازاي ورودي ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (3-32-2و ﺷﺮط ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﻳﻲ اﺳﺖ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( اﮔﺮ
)( 2
n
y h [n] = A 1دراﻳﻦ ﺻﻮرت ﻻزم اﺳﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﻢ
=
) ( 2 ) − 1 2 A(1 2
n −1
n
A1
واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. )ب( ﺣﺎل ﺑﺮاي ≥ nﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ:
) ( 3 ) − 1 2 B (1 3 ) = (1 3
n
n −1
3
B1
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ B = −2
)پ( از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,32,1ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ y[ ] = x[ ] + 1 y[− 1]y[− 1] = x[ ] = 1 2 y[ ] = A + B ⇒ A = 1 − B = 3 (2,33ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ورودي ) x(tو ﺧﺮوﺟﻲ ) y (tآن ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول زﻳﺮ را ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ. ) dy (t ) + 2 y (t ) = x(t )م (1-33-2 dt اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺷﺮط ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﻳﻲ را ﻧﻴﺰ ﺑﺮآورده ﻣﻲ ﻛﻨﺪ.
اﻟﻒ( ) (iﺧﺮوﺟﻲ ) y1 (tﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ورودي ) x1 (t ) = e 3t u (tرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiﺧﺮوﺟﻲ ) y 2 (tﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ورودي ) x2 (t ) = e 2t u (tرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiiﺧﺮوﺟﻲ ) y3 (tﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ورودي ) x3 (t ) = ae 3t u (t ) + β e 2t u (tرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. aو βدو ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻧﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ) . y3 (t ) = ay1 + β y 2 (t ) (ivﺣﺎل ) x1 (tو ) x2 (tرا دو ﺳﻴﮕﻨﺎل دﻟﺨﻮاه ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ،ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ در
x1 (t ) = , t < t1
در
x2 (t ) = , t < t 2
١٠٢
) y1 (tرا ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ورودي ) x1 (tو ) y 2 (tرا ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ورودي ) ، x2 (tو ) y3 (tرا ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ورودي ) x3 (tرا ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ورودي ) x3 (t ) = ax1 (t ) + β x2 (tﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ،ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
) y3 (t ) = ay1 (t ) + β y 2 (t ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﺤﺖ ﺑﺮرﺳﻲ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ. ب( ) (iﺧﺮوﺟﻲ ) y1 (tرا ﺑﻪ ازاي ورودي ) x2 (t ) = Ke 2t u (tﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiﺧﺮوﺟﻲ ) y 2 (tرا ﺑﻪ ازاي ورودي ) x1 (t )\ = Ke 2(t −T )u (t − Tﺑﻴﺎﺑﻴﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ) . y 2 (t ) = y1 (t − T ) (iiiﺣﺎل ) x1 (tرا ﺳﻴﮕﻨﺎل دﻟﺨﻮاﻫﻲ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ در y1 (t ) . x1 (t ) ، t < tرا ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ورودي ) x1 (tو ) y 2 (tرا ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي ) x2 (t ) = x1 (t − Tﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
) y 2 (t ) = y1 (t − T ﭘﺲ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﺤﺖ ﺑﺮرﺳﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ .ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ﺳﻴﺴﺘﻢ داده ﺷﺪه LTIاﺳﺖ .ﭼﻮن اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺷﺮط ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﻳﻲ را ﻧﻴﺰ دارد ،ﻋﻠّﻲ ﻫﻢ ﻫﺴﺖ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( (iاز ﻣﺜﺎل (2,14ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ: 1 1 ) y1 (t ) = e 3t − e −2t u (t 5 5 ) (iiاﻳﻦ را ﺑﺮ اﺳﺎس ﻣﺜﺎل 2,14ﺣﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ .اﺑﺘﺪا ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ) y p (tﺷﺎﻣﻞ
ke 2tاﺳﺖ.
دراﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م ،(2,33,1ﺑﺮاي > tدارﻳﻢ:
)
4
(
2ke 2t + 2ke 2t = e 2t ⇒ k = 1
ﺣﺎل ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ y p (t ) = 1 e 2tﺑﺮاي > . tﺣﺎل ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ 4 −2 t y h (t ) = Ae ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
y 2 (t ) = Ae −2t + 1 e 2t > for t 4 ﺑﺎ ﻓﺮض ﺟﻮاب ﻧﻬﺎﻳﻲ ،ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺮاي ≤ ، y 2 (t ) = tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ.
١٠٣
y 2 ( ] = = A + 1 ⇒ A = − 1 4 4 دراﻳﻨﺼﻮرت 1 ) y 2 (t ) = − e 2t + 1 e − 2 u (t 4 4 (iiiﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ورودي ﺑﻪ ﺻﻮرت ) x3 (t ) =∝ e 3t u (t ) + βe 2t u (tﺑﺎﺷﺪ .ﻓـﺮض ﻛﻨـﻴﻢ ﻛـﻪ ) y p (t
ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻﻲ ﺑﺼﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ:
y p (t ) = x 1α1e 3t + k 2 β e 2t ﺑﺮاي > ، tﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,33دارﻳﻢ: 3k 1αe 3t + 2k 2 β e 2t + 2k 1α e 3t + 2k 2 β e 2t = α e 3t + β e 2t
ﺑﺎ ﻣﺘﺤﺪ ﻗﺮار دادن ﺿﺮاﻳﺐ e 3tو e 2tدر دو ﻃﺮف ﻣﻌﺎدﻟﻪ دارﻳﻢ:
4 ﺣﺎل ،ﺑﺎ ﻗﺮار دادن y h (t ) = Ae−2tدارﻳﻢ:
, k2 = 1
5
k1 = 1
y 3 (t ) = 1 αe 3t + 1 β e 2t + Ae −2t 5 4 ﺑﺮاي > = tﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻓﻴﺾ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ: y 3 = ( ) = = A + α + β 5 4 ∝ ⇒ A = − + β 4 5 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
1 ∝ β ) y3 (t ) = 1 ∝ e 3t + β e 2t − + e −2t u (t 4 5 4 5 (ivﺑﺮاي ورودي ـ ﺧﺮوﺟﻲ ﺟﻔﺖ ) x1 (tو ) ، y1 (tﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ از ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (2,33,1اﺳـﺘﻔﺎده ﻛﻨـﻴﻢ و ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ﺑﺮاي ﻧﻮﺷﺘﻦ: )ح(2,33,1 ) dy1 (t ) + 2 y1 (t ) = x1 (t dt = ) y1 (t → t < t1
١٠٤
ﺑﺮاي ورودي ـ ﺧﺮوﺟﻲ ﺟﻔﺖ ) x2 (tو ) ، y 2 (tﻣﻲ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ از ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ي )م (2,33,1اﺳـﺘﻔﺎده ﻛﻨـﻴﻢ و ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ﺑﺮاي ﻧﻮﺷﺘﻦ: )ح(2,33,2 ) dy 2 (t ) + 2 y 2 (t ) = x2 (t dt = ) y 2 (t ﺑﺎاﺳﻜﻴﻞ ﻛﺮدن ﻣﻌﺎدﻟﻪ )ح (2,33,1ﺑﻪ اﻧﺪازه αوﻣﻌﺎدﻟﻪ )ح (2,33,2ﺑﻪ اﻧﺪازه βو ﺧﻼﺻﻪ ﺳﺎزي دارﻳﻢ: d ) {α y 1 (t ) + β y 2 (t )} + 2{α y 1t + β y 2 (t )} = α x 1 (t ) + β x 2 (t dt = ) y 1 ( t ) + y 2 (t ) for t < mm (t 1 , t 2
ﺑـــﺎ ﺟﺎﻳﮕـــﺬاري ،واﺿـــﺢ اﺳـــﺖ ﻛـــﻪ ﺧﺮوﺟـــﻲ ) y 3 (t ) = α y 1 (t ) + β y 2 (tزﻣﺎﻧﻴﻜـــﻪ ) . x 3 (t ) = α x 1 (t ) + β x 2 (tﺑﻌﻼوه = ) y3 (tﺑﺮاي . t < t 3ﻛﻪ t 3ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه زﻣﺎن اﺳﺖ ﺗﺎ زﻣﺎﻧﻴﻜﻪ = ) . x3 (t )ب( ) (iﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ) (a-iiﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
[
]
k 2t ) e − e − 2t u (t 4 ) (iiاﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ را در راﺳﺘﺎي ﻣﺜﺎل 2,14ﺣـﻞ ﻣـﻲ ﻛﻨـﻴﻢ .اﺑﺘـﺪا ﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ﻛـﻪ ) y p (tﺑـﻪ ﺻـﻮرت = ) y1 (t
) KYe 2(t −Tﺑﺮاي t > 2اﺳﺖ .ﺳﭙﺲ ﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (2,33,1ﺑـﺮاي t > Tاﺳـﺖ .ﺳـﭙﺲ ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,33,1ﺑﺮاي t > Tدارﻳﻢ: 2ke 2(t −T ) + 22ke 2(t −T ) = e 2t 1 = ⇒k 4
) k 2(t −T e ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ 4
= ) y p (tﺑﺮاي . t > Tﺣﺎل ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ: y h (t ) = Ae −2t
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ t >T
for
k ) y 2 (t ) = Ae − 2t + e 2(t −T 4
١٠٥
ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ،ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاي . y 2 (t ) = t ≤ Tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: k ; y 2 (T ) = = Ae − 2T + k ⇒ A = − e 2T 4 4
در اﻳﻦ ﺻﻮرت: k k ) y 2 (t ) = − e − 2(t −T ) + e 2(t −T ) u (t − T 4 4 آﺷﻜﺎر اﺳﺖ ﻛﻪ ) x1 (t ) = y1 (t − Tﻛﻪ ﺑﺮاي x1 (t ) = ، t < tﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ:
) dy1 (t ) + 2 y1 (t ) = x1 (t = ) y1 (t for t < t dt از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻣﺸﺘﻖ ﻳﻚ ﻋﻤﻠﮕﺮ ﺗﻐﻴﻴﺮﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ ،ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
) dy1 (t − T ) + 2 y1 (t − T ) = x1 (t − T y1 (t ) = for t < t dt اﻳﻦ ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ورودي ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻲ از ) x2 (t ) = x1 (t − Tﺑﺎﺷـﺪ ،در اﻳﻨـﺼﻮرت
ﺧﺮوﺟﻲ ﻧﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﺑﻪ ﺻﻮرت ) y 2 (t ) = y1 (t − Tﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ،ﺗﻮﺟـﻪ ﻛﻨﻴـﺪ ﻛـﻪ ورودي ﺟﺪﻳﺪ ) y 2 (tﺑﺮاي t < t + Tﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .اﻳﻦ ﺗﻐﻴﻴﺮﭘﺬﻳﺮي ﺑﺎ زﻣﺎن را ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ از آﻧﺠـﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ) x2 (tﺑﺮاي t < t + Tﺻﻔﺮ اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﭘـﺬﻳﺮ ﺑـﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ. (2,34ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﻳﻲ ﻣﻌﺎدل ﻳﻚ ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ ﺻﻔﺮﺳﺖ ﻛﻪ در زﻣﺎﻧﻲ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺑﺎ ﺳـﻴﮕﻨﺎل ورودي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﺷﻮد .در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻴﻢ ﻛﻪ اﮔﺮ ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ ﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷـﺪ ﻳـﺎ در زﻣـﺎن ﻣﺸﺨﺼﻲ )ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ورودي( اﻋﻤﺎل ﺷﻮد ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻧﻤﻲ ﺗﻮاﻧـﺪ LTIﺑﺎﺷـﺪ .ﺳﻴـﺴﺘﻤﻲ ﺑـﺎ ورودي ) x(tو ﺧﺮوﺟﻲ ) y (tﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول )م (1-33-2را ارﺿﺎﻛﻨﺪ. )اﻟﻒ( ﺑﺎ ﻓﺮض ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ ، y (1) = 1ﺑﺎ ﻣﺜﺎﻟﻲ ﻧﻘﺾ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ ﻧﻴﺴﺖ. )ب( ﺑﺎ ﻓﺮض ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ ، y (1) = 1ﺑﺎ ﻣﺜﺎﻟﻲ ﻧﻘﺾ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﻳﺎ زﻣﺎن ﻧﻴﺴﺖ. ج( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎ ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ y (1) = 1ﻧﻤﻮاً ﺧﻄﻲ اﺳﺖ. د( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ y (1) = 1ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ وﻟﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن ﻧﻴﺴﺖ. ﻫـ( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ = ) y ( ) + y (4ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄـﻲ اﺳـﺖ وﻟـﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘـﺬﻳﺮ ﺑـﺎ زﻣﺎن ﻧﻴﺴﺖ. ﺣﻞ:
١٠٦
S S . x2 (t ) ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛـﻪ y1 (1) = y 2 (1) = 1 → y 2 (t ), x1 (t ) → )اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ) y1 (t
ﺣﺎل ورودي ﺳﻮﻣﻲ را ﺑﻪ ﺻـﻮرت ) x3 (t ) = x1 (t ) + x2 (tدر ﻧﻈـﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳـﺪ .ﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ﺧﺮوﺟـﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻧﻴﺰ ) ، y3 (tﺑﺎﺷﺪ. ﺣﺎل ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ) . y3 (1) = 1 ≠ y1 (1) + y 2 (1ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ ﻧﻴﺴﺖ .ﻳﻚ ﻣﺜـﺎل ﺧـﺎﻟﺺ در زﻳﺮ آورده ﺷﺪه اﺳﺖ: ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺮاي < tﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
y1 (t ) = 1 e 2t + Ae −2t 4 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ y1 (1) = 1ﺑﺮاي > tدارﻳﻢ:
)
(
)y1 (t ) = 1 e 2t + 1 − e e −2(t −1 4 4 ﺣﺎل ﺳﻴﮕﻨﺎل = ) x2 (tرا ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ دراﻳﻦ ﺻﻮرت ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: y 2 (t ) = Be −2t ﺑﺮاي > tﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ y 2 (1) = 1ﺑﺮاي > tدارﻳﻢ: )y 2 (t ) = e −2(t −1 ﺣﺎل ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻮم ) x3 = x1 (t ) + x 2 (t ) = x1 (tرا در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴـﺪ ﻛـﻪ ﺧﺮوﺟـﻲ ﻫﻨـﻮز ﺑﺮاﺑﺮاﺳﺖ ﺑﺎ ) y3 (t ) = y1 (tﺑـﺮاي > . tﺑـﺪﻳﻬﻲ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ) y3 (t ) ≠ y1 (t ) + y 2 (tﺑـﺮاي > . t ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ ﻧﻴﺴﺖ. )ب( دوﺑﺎره ﺳﻴﮕﻨﺎل ورودي ) x1 (t ) = e 2t u (tرا ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .از ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺳـﻴﮕﻨﺎل ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺮاي > tﺑﺎ y (1) = 1ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
)
(
)y1 (t ) = 1 e 2t + 1 − e e −2(t −1 4 4 ) 2 (t −T ، eدر اﻳﻨــﺼﻮرت ﺑــﺮاي ﺣــﺎل ﻓــﺮض ﻛﻨﻴــﺪ ﺳــﻴﮕﻨﺎل ورودي ) u (t − T ) = x 2 (t ) = x1 (t − T t >T
y 2 (t ) = 1 e + Ae 4 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده ازاﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ y 2 (1) = 1و ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ T < 1ﺑﺮاي t > Tدارﻳﻢ: −2 t
)
) 2 ( t −T
(
)y 2 (t ) = 1 e 2(t −T ) + 1 − 1 e 2(1−T ) e −2(t −1 4 4 ﺣﺎل ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاي . y 2 (t ) ≠ y1 (t − T ) ، t > Tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن ﻧﻴﺴﺖ.
١٠٧
)ج( ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر اﻳﻨﻜﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ ﺻﻌﻮدي ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﻌﻴﻦ ﻣـﺜﻼً y (1) = 1ﻣـﻲ ﺑﺎﺷـﺪ اﺑﺘـﺪا ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﻌﻴﻦ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ ﺑﻄﻮ ﺧﺎص = ). y (1 ﺑﺮاي ورودي ـ ﺧﺮوﺟﻲ ﺟﻔﺖ ) x1 (tو ) ، y1 (tﻣﻲ ﺗﻮان از )م (2,33,1اﺳـﺘﻔﺎده ﻛﻨـﻴﻢ .و ﺑﺎاﺳـﺘﻔﺎده از ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ: )ح(2,34-1 ) dy1 (t = )+ 2 y1 (t ) = x1 (t ) ; y 2 (1 dt ﺑﺮاي ورودي ـ ﺧﺮوﺟﻲ ﺟﻔﺖ x2 (t ) ،و ) y 2 (2ﻧﻴﺰ: ) dy 2 (t ) + 2 y 2 (t ) = x2 (t )ح(2,34,2 ; = )y 2 (1 dt ﺑﺎ اﺳﻜﻴﻞ ﻛﺮدن )ح (2,34,1ﺑﻪ اﻧﺪازه αو )ح (2,34,2ﺑﻪ اﻧﺪازه ي βو ﺧﻼﺻﻪ ﺳﺎزي دارﻳﻢ: d }) {ay1 (t ) + βy2 (t )}+ 2{ay1 (t ) + βy 2 (t dt ) = α x 1 ( t ) + β x 2 (t
, = )y 3 (1) = y (1) + y 2 (1 ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲ ﺷـﻮد ﻛـﻪ ﺧﺮوﺟـﻲ ﺑـﻪ ﺻـﻮرت ) y 3 (t ) = α y 1 (t ) + β y 2 (tزﻣﺎﻧﻴﻜـﻪ ورودي ﺑـﻪ ﺻﻮرت ) x 3 (t ) = α x 1 (t ) + β x 2 (tﺑﻮد ،درآﻣﺪ .ﺑﻌـﻼوه ) y(1) = = y1 (1) + y 2 (1ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﮔﺮ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻠﻲ ﺑﻪ ﺻﻮرت )ﻛﺎﺳﻜﻴﺪ )آﺑﺸﺎري( ﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻊ ﻛﻨﻨﺪه ﺑﻬﻢ وﺻـﻞ ﺷـﻮد ﭘﺎﺳﺦ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﻌﻴﻦ اوﻟﻴﻪ را ﺟﻤﻊ ﻣﻲ زﻧﺪ. )د( در ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻠﻲ ﻧﺸﺎن دادﻳﻢ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ زﻣﺎﻧﻲ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ = ) y (1ﺑـﺮاي اﻳﻨﻜـﻪ ﻧـﺸﺎن دﻫـﻴﻢ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ ،ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻳﻚ ورودي از ) x1 (t ) = e 2t u (tاز ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( .ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﺑﺎ:
y1 (t ) = 1 e 2t + Ae −2t 4 ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ = ) y1 (1ﺑﺮاي > tدارﻳﻢ: ) y1 (t ) = 1 e 2t − 1 e −2(t − 2 4 4
١٠٨
)
(
x2 (t ) = x1 t − 1ﺑﺎﺷــﺪ .ﺗﻮﺟـﻪ ﻛﻨﻴــﺪ ﻛـﻪ = ) y 2 (1واﺿــﺢ اﺳــﺖ
ﻓـﺮض ﻛﻨــﻴﻢ ﻳـﻚ ورودي 2 . y 2 (1) ≠ y1 1 − 1 = 1 e − e 3ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ y (t ) ≠ y1 t − 1ﺑﺮاي ﺗﻤﺎﻣﻲ nﻫﺎ .اﻳﻦ ﺑـﻪ اﻳـﻦ 2 2 4 ﻣﻌﻨﺎ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ.
))
(
(
(
)
)ﻫـ( ﺑﺮﻫﺎﻧﻲ ﻛﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﺷﺒﻴﻪ ﺑﻪ اﺛﺒﺎت ﺧﻄﻲ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه در ﻗﺴﻤﺖ )پ( اﻳﻨﺠـﺎ ﻧﻴـﺰ ﻣـﻲ ﺗﻮاﻧـﺪ اﺳـﺘﻔﺎده ﮔﺮدد .ﺑﺎ روش ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﻗﺴﻤﺖ )ت( ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺸﺎن دﻫـﻴﻢ ﻛـﻪ ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﭘـﺬﻳﺮ ﺑـﺎ زﻣـﺎن ﺳﺎت. (2,35در ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻗﺒﻞ دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ ﺛﺎﺑﺖ در زﻣـﺎن )ﻣـﺴﺘﻘﻞ از ﺳـﻴﮕﻨﺎل ورودي( ﺑـﻪ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن ﻣﻲ اﻧﺠﺎﻣﺪ .در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺛﺮ ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ ﺛﺎﺑﺖ در زﻣـﺎن ﺑـﺮ ﻋﻠّـﻲ ﺑـﻮدن را ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ .ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ورودي ) x(tو ﺧﺮوﺟـﻲ ) y (tآن ﻣﻌﺎدﻟـﻪ دﻳﻔﺮاﻧـﺴﻴﻞ )م (1-33-2را ارﺿﺎ ﻛﻨﺪ .ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺷﺮط ﻛﻤﻜـﻲ اﻳـﻦ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ دﻳﻔﺮاﻧـﺴﻴﻞ = ) ( yاﺳـﺖ .ﺧﺮوﺟـﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي دو ورودي زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ: = ) ) x1 (tاﻟﻒ
1 , τ < −1 ) x2 (t ) = ب , τ > −1 ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ) y1 (tﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ازاي ) x1 (tو ) y 2 (tﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ازاي ) x2 (tاﺳﺖ ،و ﮔﺮﭼـﻪ ) x1 (t و ) x2 (tدر t < −1ﻳﻜﺴﺎن اﻧﺪ ،وﻟﻲ ) y 2 (tدر t < −1ﻳﻜﺴﺎن ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ .ﺑﺮ اﺳﺎس اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﺗﻮان اﺳﺘﺪﻻﻟﻲ ﺑﺮاي ﻋﻠّﻲ ﻧﺒﻮدن ﺳﻴﺴﺘﻢ اراﺋﻪ ﻛﺮد. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ y1 (t ) = ،ﺑﺮاي ﻫﻤﻪ ي .t )ب( ﺣﺎل ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺧﺮوﺟﻲ زﻣﺎﻧﻴﻜﻪ ورودي ) x2 (tاﺳﺖ y 2 (t ) ،ﺑﺎﺷﺪ. ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻﻲ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ: t > −1
y p (t ) = Y
ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري در )م (2,33-1دارﻳﻢ: 2 Y =1
ﺣﺎل ،ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ را ﺑﻪ ﺻﻮرت y h (t ) = Ae −2tدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ .ﺟـﻮاب ﻛﻠـﻲ را ﺑـﻪ ﺻـﻮرت زﻳـﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
١٠٩
t > −1 از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ = ) ( yدارﻳﻢ:
2
y 2 (t ) = Ae −2t + 1
)ح(2,35-1
y 2 (t ) = − 1 e −2t + 1 2 2 ﺑﺮاي ، t < −1ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻴﻢ ﻛﻪ = ) . x2 (tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻﻲ در اﻳﻦ ﺑﺎزه ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷـﺪ و
) ح(2,35-2 y 2 (t ) = Be −2t t < −1 از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ دو ﻗﺴﻤﺖ ﺟﻮاب ) y 2 (tﻣﻌﺎدﻻت )ح (2,35-1و )ح (2-35-2ﺑﺎﻳﺪ در t = −1ﺑﺪﺳﺖ آﻳﻨﺪ ،ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ Bرا از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﻢ: در ﻧﺘﻴﺠﻪ:
1 − 1 e 2 = Be 2 2 2 y 2 (t ) = 1 − 1 e 2 e − 2t +1 t < −1 2 2 ﺣﺎل ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﭼﻮن ) x1 (t ) = x2 (tﺑﺮاي t < −1ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ درﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛـﺎزال در
)
(
y1 (t ) = y 2 (t ) ، t < −1ﺑﻬﺮﺣﺎل ﻧﻨﺘﻴﺠﻪ ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( و )ب( ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﻴـﺴﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ. ) (2,36ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎﻧﻲ را ﻛﻪ ورودي ] x[nو ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nآن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳـﺮ ﻣـﺮﺗﺒﻂ اﻧـﺪ، در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ 1 ]y[n − 1] + x[n 2 اﻟــﻒ( ﻧــﺸﺎن دﻫﻴــﺪ ﻛــﻪ در ﺻــﻮرت اﺑﺘــﺪاﺋﺎً ﺳــﺎﻛﻦ ﺑــﻮدن )ﻳﻌﻨــﻲ اﮔــﺮ در x[n] = ، n < n؛ آﻧﮕــﺎه
= ] y[n
در ( y[n] = ، n < nﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ و ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ. ب( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺑﺘﺪاﺋﺎً ﺳﺎﻛﻦ ﻧﺒﺎﺷﺪ ،و ﺑﻪ ﺟﺎي آن ﺷﺮط ﻛﻤﻜﻲ = ] [ yرا ارﺿـﺎ ﻛﻨـﺪ، ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻋﻠّﻲ ﻧﻴﺴﺖ] .راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :رﻫﻴﺎﻓﺘﻲ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ 35-2ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮﻳﺪ[. ﺣﻞ:
١١٠
ﻳﻚ ورودي ] x1 [nراه ﻣﺎﻧﻨﺪ = ] x1 [nﺑﺮاي n < n1ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ،ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑـﻮد ﺑﺎ:
) y1 [n] = 1 y1 [n − 1] + x1 [n 2 )ح(2,36,1 = ] y1 [n و ﻧﻴﺰ ورودي دﻳﮕﺮي ﺑﻨﺎم ] x2 [nرا ﻣﺎﻧﻨﺪ = ] x2 [nﺑﺮاي n < n2در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺘﻨـﺎﻇﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﺑﺎ:
n < n2
for
]y 2 [n] = 1 y 2 [n − 1] + x 2 [n 2
= ]y 2 [n
)ح(2,36,2 ـ ﺑﺎ اﺳﻜﻴﻞ ﻛﺮدن ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (S.2,36,1ﺑﻪ اﻧﺪازه ∝ و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (S.2,36,2ﺑﻪ اﻧـﺪازه βو ﺳـﺎده ﺳـﺎزي دارﻳﻢ: y 1 [ n − 1] + β
β
= ] α y 1 [n ] + β y 2 [n
] y n − 1] + α x 1 [ n ] + β x 2 [ n [2 2 2 ﺑـــﺎ ﺟﺎﻳﮕـــﺬاري ،ﺑـــﺪﻳﻬﻲ اﺳـــﺖ ﻛـــﻪ ﺧﺮوﺟـــﻲ ] y 3 (t ) = α y 1 [ n ] + β y 2 [ nزﻣﺎﻧﻴﻜـــﻪ
] x 3 [ n ] = α x 1 [ n ] + β x 20[nﺑﻌــﻼوه = ) . y1 (1) + y 2 (1) = y3 (1ﺑﻨــﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺳﻴــﺴﺘﻢ ﺧﻄــﻲ اﺳﺖ. )ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ دو ورودي = ] x1 [nﺑﺮاي ﺗﻤﺎم nﻫﺎ و
n < −1 x2 [n] = n ≥ −1 1 ﻣﻮﺟﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ .از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ ،ﭘﺎﺳﺦ ] x1 [nﻛﻪ ﻫﻤﺎن ] y1 [nاﺳـﺖ ﺑـﺮاي ﺗﻤـﺎم n ﻫﺎﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ ،ﻳﻌﻨﻲ = ]y1 [n ﺣﺎل ﺧﺮوﺟﻲ ] y 2 [nرا زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻪ ورودي ] x2 [nﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ:
ﭼﻮن = ] [ y 2
) ( ) (
= y 2 [1] = 1 + 2 = y 2 [2] = 1 2 +
١١١
= ] y [n ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ 2ﺣﺎل ﺑﺮاي > nﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ: ≥ for n ] [y 2 [ ] = 1 y 2 [− 1] + x 2 ﺑﻨـــﺎﺑﺮاﻳﻦ . y 2 [− 1] = −2 :ﺑـــﺎ ﻓﺮآﻳﻨـــﺪي ﻣـــﺸﺎﺑﻪ دارﻳـــﻢ y 2 [− 2] = −4و y 2 [− 2] = −4و
y [− 3] = −8و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ]( 2 ) u[− n − 1 n
. y2 = − 1
2
ﺣﺎل ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﭼﻮن ﻧﺒﺮاي < . x1 [n] = y 2 [n] nﺑﻬﺮ ﻃﺮﻳﻒ ،ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه از ﺑـﺎﻻ ﻧـﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ درﺳﺖ ﻧﻴﺴﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ. (2,37ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﺑﺎ راﺑﻄﻪ ورودي ـ ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ )م (1-33-2در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳـﺪ ،ﻓـﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً ﺳﺎﻛﻦ اﺳﺖ ]ﻳﻌﻨـﻲ اﮔـﺮ در x(t ) = ، t > t؛ آﻧﮕـﺎه در .[ y (t ) = ، t > tﻧـﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛـﻪ اﻳـﻦ ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﻋﻠّـﻲ ﻧﻴـﺴﺖ] .راﻫﻨﻤـﺎﻳﻲ :دو ﺳـﻴﮕﻨﺎل ورودي در ﻧﻈـﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳـﺪ x1 (t ) = ،ﺑـﺎ ﺧﺮوﺟــﻲ ) y1 (tو ]) x2 (t ) = e t [u (t ) − u (t − 1ﺑــﺎ ﺧﺮوﺟــﻲ ) . y 2 (tﻧــﺸﺎن دﻫﻴــﺪ ﻛــﻪ در < ، t ) [. y1 (t ) ≠ y 2 (t ﺣﻞ: ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ دو ورودي
= ) x1 (t و
))x2 (t ) = e t (u (t ) − u (t − 1 ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﻨﺪ.
ﭼﻮن ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ ،ﭘﺎﺳﺦ = ) y1 (t
∞ < − ∞ < nﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
ﺣﺎل ) y 2 (tرا زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻪ ) x1 (tورودي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎﺷﺪ را ،ﺑﺪﺳـﺖ ﻣـﻲ آورﻳـﻢ .ﺟـﻮاب ﺧـﺼﻮﺻﻲ ﺑـﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ:
< t <1
t
y p (t ) = Ye
ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري در ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,83,1دارﻳﻢ: 3Y = 1
١١٢
ﺣﺎل ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﻧﻴﺰ دارﻳﻢ ، y h (t ) = Ae −2tﺟﻮاب ﻛﻠﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
y 2 (t ) = e −2t + 1 e t 3
< t <1
ﺑﺎ ﻓﺮض ﺷﺮاﻳﻂ ﻧﻬﺎﻳﻲ دارﻳﻢ ، y (1) = :ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ: 3 y 2 (t ) = − 1 e −2t +3 + 1 e t < t <1 )ح(2,37,1 30 3 ﺑﺮاي < tﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ = ) . x2 (tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺟـﻮاب ﺧـﺼﻮﺻﻲ در اﻳـﻦ ﺑـﺎزه ﺑﺮاﺑـﺮ ﺻـﻔﺮ 3
. A = − eﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
> t
)ح(2,37,2
y 2 (t ) = Be −2t
ﭼﻮن دو ﻗﺴﻤﺖ از ﺟﻮاب ﺑﺮاي ) y 2 (tدر ﻣﻌـﺎدﻻت )ح (2,37-1و )ح (2-37-2در = tﺑﺮﻗﺮارﻧـﺪ. ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ Bﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ .ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ Bرا از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﻢ.
3 − 1 e3 = B 3 ﻛﻪ در ﻧﺘﻴﺠﻪ
< t ﺣﺎل ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﭼﻮن ﺑﺮاي < t
)
1
(
y 2 (t ) = 1 − 1 e 3 e −2t 3 3 ) ، x1 (t ) = x 2 (tﺑﺎﻳﺪ اﻳﻦ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻳـﻚ ﺳـﻴﺘﻢ
ﻛﺎزال ) ، ( for t < ) y1 (t ) = y 2 (tاﻣﺎ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه از ﻣﻌـﺎدﻻت ﻓـﻮق ﺻـﺤﺖ اﻳـﻦ ﻣﻮﺿـﻮع راﺗﻌﻴﻴﻦ ﻧﻤﻲ ﻛﻨﺪ ﻳﻌﻨﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎزال ﻧﻴﺴﺖ. (2,38ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﻋﻠّﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ: 1 1 اﻟﻒ( ] y[n − 1] + x[n 3 2 1 ب( ]y[n ] = y[n − 1] + x[n − 1 3 ﺣﻞ:
= ] y[n
ﺑﻠﻮك دﻳﺎﮔﺮام در ﺷﻜﻞ ح 2,38ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
١١٣
ﺷﻜﻞ ح2,38 (2,39ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻬﺎي LTIﻋﻠّﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ زﻳﺮ را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ: 1 اﻟﻒ( ) y(t ) = − dy (t ) / dt + 4 x(t 2 ب( ) dy (dt ) + 3 y (t ) = x(t
ﺣﻞ: ﺑﻠﻮك دﻳﺎﮔﺮام در ﺷﻜﻞ ح 2,39ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
ﺷﻜﻞ ح2,39 (2,40ورودي و ﺧﺮوﺟﻲ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺷﺪه اﻧﺪ
y(t ) = ∫ e −(t −τ ) x(τ − 2)dτ t
∞−
ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) h(tاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭼﻴﺴﺖ؟
)ب( ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ورودي ) x(tﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ م 40-2را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
) x(t
١
t
٢
-١ ﺷﻜﻞ م 2,40
١١٤
:ﺣﻞ :)اﻟﻒ( ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ t
t −τ
−∞
−∞
y (t ) = ∫ e −(t −τ ) x(τ − 2)dτ = ∫ e −(t − z −τ ′ ) x(τ ′)dτ ′ :ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
h(t ) = e − (t − 2 )u (t − 2) 2,38ﺷﻜﻞ ح
1 x[n]
2
y[n]
⊕
D
1
3 y[n]
⊕
D
x[n]
D
+1
x(t )
y (t )
⊕
S
2
S −3
x(t )
S
8
30, 2ﺷﻜﻞ ح
y (t )
⊕
S −2
١١٥
ﺷﻜﻞ ح2,30 )ب( دارﻳﻢ: ∞+
y(t ) = ∫ h(τ )x(t − τ )dτ ∞−
∞+
= ∫ e −(τ − 2 ) [u (t − τ + 1) − u (t − τ − 2)]dτ ∞−
) h(τو ) x(t − τدر ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﻜﻞ ﻣﻲ ﺗﻮن ﻧﻮﺷﺖ: t >1 1< t < 4 t>4
]
) t +1 −(τ − 2 )dτ = 1 − e −(t −1 ∫2 e y (t ) = t +1 e −(τ − 2 )dτ = e −(t −4 ) 1 − e −3 ∫ t −2
[
2,41ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ
]x[n] = a n u[n اﻟﻒ( ﺳﻴﮕﻨﺎل ] g [n] = x[n] − a x[n − 1را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. ب( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( و ﺧﻮاص ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ] h[nرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ n
1 ]x[n ]∗ h[n] = {u[n + 2]} − u[n − 2 2
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ: ]g [ n ] = x [ mn ] − α x [ n − 1 ] = a nu [ n ] − a nu [ n = 1] = δ [ n
) h(τ
τ
t+١
t+٢
٢
٠
١١٦
ﺷﻜﻞ ح2,40 )ب( ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ }] . g [ n ] = x [ n ] ∗ {x [ n ] − αδ [ n − 1ﺑﻨﺎﺑﺮاي از ﻗﺴﻤﺖ ) (αﻣﻲ داﻧـﻴﻢ ﻛﻪ ] x [ n ] ∗ {δ [ n ] − αδ [ n − 1]} = δ [ nﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ان ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
]x [ n ] ∗ {δ [ n − 1] − αδ [ n − 2]} = δ [ n − 1 ]x [ n ] ∗ {δ [ n + 1] − αδ [ n ]} = δ [ n + 1 ]x [ n ] ∗ {δ [ n + 2] − αδ [ n + 1]} = δ [ n + 2 ﺣﺎل ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ:
]x[n]∗ h[n] = 4δ [n + 2] + 2δ [n + 1] + δ [n] + 1 δ [n − 1 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
}]x [ n ] ∗ h [ n ] = 4x [ n ] ∗ {δ [ n + 2] − αδ [ n + 1 }] +2x [ n ] ∗ {δ [ n + 1] − αδ [ n }]+ x [ n ] ∗ {δ [ n ] − αδ [ n − 1
]( 2 ) x [n ] ∗ δ {n − 1} − αδ [n − 2
+ 1
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ] h [ n ] = 4δ [ n + 2] + ( 2 + 4α ) δ [ n + 1] + (1 + 2α ) δ [ n
]δ [ n − 2
)
(2,42دو ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ
)x(t ) = u (t + 0 / 5) − u (t − 0 / 5 h(t ) = e jω t اﻟﻒ( ωرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ
(
+ 1 − α δ [ n − 1] − 1 2 2
= ) y(t
) y(t ) = x(t ) ∗ h(t
١١٧
ب( آﻳﺎ ﺟﻮاب ﻳﻜﺘﺎﺳﺖ؟ ﺣﻞ: دارﻳﻢ:
e jω (t − τ )dτ
)sin (ω / 2
+0.5
∫ = ) y (t ) = x(t ) ∗ h(t
0.5
2
0.5
ω
− 0.5
= y ( ) = ∫ e − jω τ dz
)اﻟﻒ( اﮔﺮ ω = 2πدر اﻳﻨﺼﻮرت = ) (. y )ب( واﺿﺢ اﺳﺖ ،ﺟﻮاب ﻣﺎ ﺑﻪ ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑـﻪ ﻓـﺮد ﻧﻴـﺴﺖ .ﻫـﺮ K ∈ T ω = 2kπو ≠ Kﻛﺎﻓﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. (2,43ﻳﻜﻲ از ﺧﻮاص ﻣﻬﻢ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ در ﻫﺮ دو ﺣﺎﻟﺖ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و ﮔﺴـﺴﺘﻪ در زﻣـﺎن ،ﺧﺎﺻـﻴﺖ ﺷـﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي اﺳﺖ .در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ را ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻲ ﻗﺮار ﻣﻲ دﻫﻴﻢ. اﻟﻒ( ﺗﺴﺎوي زﻳﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ.
]) [x(t )]∗ h(t ) ∗ g (t ) = x(t ) ∗ [h(t ) ∗ g (t
)م (1-43-2
ﺑﻪ ﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ه ﻫﺮ دو ﻃﺮف ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-43-2ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ در ﻣﻲ آﻳﻨﺪ.
x (τ ) h (σ ) g (t − τ − σ )d τ d σ
∞
∞
∫ ∫
∞−∞ −
ب( در ﺷﻜﻞ م ) 43-2اﻟﻒ( دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻫﺎي h1و h2ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ .اﻳـﻦ دو ﺳﻴﺴﻴﺘﻢ را ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷﻜﻞ م ) 43-2ب( ﺳﺮي ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ .ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ]. x[n] = u[n ) (iاﺑﺘﺪا ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ] w[n] = x[n]∗ h1 [nو ﺳـﭙﺲ ﻣﺤﺎﺳـﺒﻪ ] y[n] ، y[n] = w[n]∗ h2 [nرا ﻳﻌﻨـﻲ ﺣﺎﺻﻞ ] y[n] = {x[n]∗ h1 [n]}∗ h2 [nرا ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﺪ. ) (iiاﺑﺘﺪا ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ] g [n] = h2 [n]∗ h1 [nرا ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ. 1 4
... ٣
٠
٤ 1 2
−
١١٨
1 ]u[n − 1 2
h2 [n ] = u[n] + 3 2
١
)اﻟﻒ( ٤
١ ٢ ٣
٠
] [n x[n] → h1 [n] w → h2 [n] ]→ y[n ﺷﻜﻞ م 34-2 ﺟﻮاﺑﻬﺎي دو ﺑﻨﺪ ) (iو ) (iiﺑﺎﻳﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﻛﻪ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ را در ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺴـﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ج( ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻣﺘﻮاﻟﻲ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺷﻜﻞ م ) 43-2ب( را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ،ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ
h1 [n] = sin 8n
, , a <1
]h2 [n] = a n u[n
ورودي ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ
]x[n] = δ [n] − aδ [n − 1 ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nرا ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ) .راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ و ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣـﺴﺌﻠﻪ را ﺑـﺴﻴﺎر ﺳﺎده ﻣﻲ ﻛﻨﺪ(. ﺣﻞ: اﻟﻒ( اﺑﺘﺪا دارﻳﻢ: dσ ′
[x(t ) ∗ h(t )]∗ g (t ) = ∫−∞ ∫−∞ x(τ )h(σ 2 − τ )g (t − σ ′)dτ ∞+∞ +
∞+∞ +
∫ x(τ )h(σ )g (t − σ − τ )dτdσ
∫=
∞−∞ −
و ﻧﻴﺰ:
١١٩
∫ x(t − σ )h(τ )g (σ ′ − τ )dσ ′dτ = ∫ ∫ x(σ )h(τ )g (t − τ − σ )dτdσ = ∫ ∫ x (τ )h(σ )g (t − σ − τ )dτdσ
x(t ) ∗ [h(t ) ∗ g (t )] = ∫
+∞ +∞
2
−∞ −∞
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞
−∞ −∞
−
.اﻳﻦ ﺗﺴﺎوي اﺛﺒﺎت ﺷﺪ :( اﺑﺘﺪا دارﻳﻢi) ()ب n
( )
( )
ω [n] = u[n]∗ h1 [n] = ∑ − 1 2 = 2 3 1 − − 1 2 n = k
n +1
u[n ]
ﺣﺎل
y[n] = ω [n]∗ h2 [n] = (n + 1)u[n] :( اﺑﺘﺪا دارﻳﻢii
g [n ] = h1 [n ]∗ h2 [n ] n
(
=∑ −1 k =
) + 1 2 ∑ (− 1 2 ) 2 k
n −1
k
= u [n ]
k =
:ﺣﺎل
y[n] = u[n]∗ g [n] = u[n]∗ u[n] = (n + 1)u[n] .( ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪهii) ( وi) ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ ﺑﺮاي ﻫﺮ دو ﻗﺴﻤﺖ :)ج( ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ
x[n]∗ {h2 [n]∗ h1 [n]} = {x[n]∗ h2 [n]}∗ h1 [n] :ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ
x[n]∗ h2 [n] = a n u[n] − a n u[n − 1] = δ [n] :ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
x[n]∗ h1 [n]∗ h2 [n] = δ [n]∗ sin 8n = sin 8n ( اﻟﻒ( اﮔﺮ2,44 x(t ) = , t > T1 , h(t ) = , t > T2
١٢٠
آﻧﮕﺎه ﻣﻲ ﺗﻮان ﻋﺪد ﻣﺜﺒﺖ T3را ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي آن
t > T3
x(t ) ∗ h(t ) = ,
T3را ﺑﺮﺣﺴﺐ T1و T2ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ.
ب( ورودي ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣـﺎن ، x[n] LTIﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ آن ] ، h[nو ﺧﺮوﺟـﻲ آن ]y[n اﺳﺖ .اﮔﺮ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ] h[nدر ﺧﺎرج ﻓﺎﺻﻠﻪ x[n] , N ≤ n ≤ N1در ﺧﺎرج ﻓﺎﺻـﻠﻪ N 2 ≤ n ≤ N 3 ﺻﻔﺮﻧﺪ ،ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nدر ﺧﺎرج ﻓﺎﺻﻠﻪ N 4 ≤ n ≤ N 5ﺻﻔﺮﻧﺪ. ) (iiاﮔﺮ ﻃﻮل ﻓﻮاﺻﻞ ، N 2 ≤ n ≤ N 3 ، N ≤ n ≤ N 1و N 4 ≤ n ≤ N 5را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ، M x ، M h و M yﺑﻨﺎﻣﻴﻢ M y ،و M xﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ج( ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﺸﺨﺼﻪ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ :اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي ، x[n] = ، n ≥ 10 آﻧﮕﺎه ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ازاي n ≥ 15ﺻﻔﺮﺳﺖ .ﺑﺮاي درﺳﺘﻲ اﻳﻦ ﮔﺰاره ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﭼـﻪ ﺷـﺮﻃﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ؟ د( ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺷﻜﻞ م 44-2در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﺑﺮاي ﺗﻌﻴـﻴﻦ ) ( yداﻧـﺴﺘﻦ ] y[nدر ﻓﺎﺻﻠﻪ اي ﻻزم اﺳﺖ؟ ﺣﻞ: دارﻳﻢ: ∞+
x(t )T2 ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ ∞−
= ∫ x(τ )h(t − τ )dτ T2
T1
ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاي = ) ، h(− τﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮاي τ > t + T2و h(t − τ ) = τ < −T2 + t ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ :اﻧﺘﮕﺮال ﻓﻮق ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﮔﺮ T1 < −T2 + τﻳﺎ T2 + t < −T1ﻛـﻪ ﺑﻴـﺎن ﻣﻲ دارد اﮔﺮ t > T1 + T2اﻧﺘﮕﺮال ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ. N1
)ب( ) (iدارﻳﻢ∑ h[k ]x[n − k ] :
= ] y[n ] = h[n ]∗ x[n
K = N
ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاي N 3 ≤ x ≤ − N 2
≠ ] . x[− kﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮاي − N 3 + n ≤ k ≤ − N 2 + n
≠ ] . x[− k + nواﺿﺢ اﺳﺖ .ﺳﺮي ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ اﮔـﺮ − N 3 + n ≤ N1و − N 2 + n ≥ Nﺻـﻔﺮ
١٢١
ﻧﻴﺴﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] y[nﺑﺮاي n ≤ N1 + N 3ﺻـﻔﺮ ﻧﻴـﺴﺖ .ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ ] y[nﺑـﺮاي n ≤ N1 + N 3و n ≥ N + N 2ﺻﻔﺮ ﻧﻴﺴﺖ.
(iiﺑﻪ راﺣﺘﻲ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ My = M h + M x − 1 )ج( ﺑﺮاي h[n] = ، n > 5 )د( از ﺷﻜﻞ ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ ﻛﻪ: −1
)y(t ) = h(t ) ∗ x(t ) = ∫ x(t − τ )dτ + x(t − 6 −2
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: −1
)y( ) = ∫ x(τ )dτ + x(− 6 −2
ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ) x(tﺑﺎﻳﺪ در ﺑﺎزه 1 ≤ t ≤ 2و ﺑﺮاي t = −6ﻣﻌﻴﻦ ﺑﺎﺷﺪ. (2,45ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ) y (tﭘﺎﺳﺦ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﻪ ورودي ) x(tﺑﺎﺷﺪ ،آﻧﮕﺎه ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ
) h(t
١
t
١
-١
٦
-٢
ﺷﻜﻞ 2,44 ورودي ) dx(t dt ﺑﺮاﺑﺮ ) y ′(tاﺳﺖ .درﺳﺘﻲ اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ را ﺑﻪ ﺳﻪ ﺷﻜﻞ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ: = ) x′(t
) (iﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ از ﺧﻮاص ﺧﻄﻲ ﺑﻮدن ،ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮي ﺑﺎ زﻣﺎن و اﻳﻦ ﻛﻪ ) x(t ) − x(t − h h → n
ﺣﺪ = ) x′(t
١٢٢
x(t ) → u1 (t ) ) → y (t ﺷﻜﻞ م 2,45 ) (iiﺑﺎ ﻣﺸﺘﻖ ﮔﻴﺮي از اﻧﺘﮕﺮال ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ. ) (iiiﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺷﻜﻞ م .45-2 )ب( ﺻﺤﺖ رواﺑﻂ زﻳﺮ را ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ.
) i) ( y ′(t ) = x(t ) ∗ h′(t t t t ii ) ( y ′(t ) = ∫ x(τ ) ∗ h′(t ) = ∫ [x′(τ ) ∗ h(τ )dτ ] = x ′(t ) ∗ ∫ h(τ )dτ ∞− ∞ − ∞ − ]راﻫﻨﻤـــﺎﻳﻲ :ﺑـــﻪ ﻛﻤـــﻚ ﻧﻤـــﻮدار ﺟﻌﺒـــﻪ اي ﺑﻨـــﺪ ) (iiiﺑﺨـــﺶ )اﻟـــﻒ( و ﺗﻮﺟـــﻪ ﺑـــﻪ اﻳـــﻦ ﻛـــﻪ
) ، u1 (t ) ∗ u −1 (t ) = δ (tﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ آﺳﺎﻧﻲ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﺮد[. د( ) s (tﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻪ واﺣﺪ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن اﺳﺖ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﻨﺪ )ب( ﻧـﺸﺎﻧﺪﻫﻴﺪ ﻛـﻪ ﭘﺎﺳﺦ ) y (tﺑﻪ ورودي ) x(tﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ∞+
y(t ) = ∫ x′(τ )u (t − τ )dτ
)م (1-45-2
∞−
ﻫـ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2-45-2ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIداراي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ زﻳﺮ
)
(
) s (t ) = e −3t − 2e −2t + 1 u (t ﺑﻪ ورودي ) x(t ) = e t u (tرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. و( ] s[nﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن LTIاﺳﺖ .ﻫﻤﺘﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎي )م -2 (2-45را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: دارﻳﻢ: ) x(t ) − x(t − h ) TI y (t ) − y (t − h → h h ﺑﺎ ﺳﻮق دادن → hدر ﻫﺮ ﻃﺮف ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق دارﻳﻢ: TI →x′(t ) ) y ′(t (iiﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ از اﻧﺘﮕﺮال ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ دارﻳﻢ:
١٢٣
∞ d = +∞ d [x(t − τ )]h(τ )dτ x ( t − ) h ( ) d τ τ τ ∫−∞ dt ∞dt ∫−
= ) y ′(t
∞+
) = ∫ x ′(t − τ )h(τ )dτ = x1 (t ) ∗ h(t ∞−
) x (t ) p (t )= y′ (t →→ h(t ) u1 (t ) → ) y (t
ﺷﻜﻞ ح2,45 (iiiﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻧﺎم ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) ω (t ) ، u1 (tﺑﺎﺷﺪ .در اﻳﻦ ﺻﻮرت
) z (t ) = x′(t ) ∗ h(t ), ω (t ) = x(t ) ∗ u1 (t ) = x′(t ﭼﻮن ﻫﺮ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ در زﻧﺠﻴﺮ ) TI (cascadeﻫﺴﺘﻨﺪ .ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺟﺎي آﻧﻬﺎ را ﻣﺎﻧﻨﺪ آﻧﭽـﻪ در ﺷـﻜﻞ S2,45ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ ﻋﻮض ﻛﺮد. در اﻳﻦ ﺻﻮرت ) p(t ) = y ′(t ) , y (t ) = x(t ) ∗ h(tﭼـﻮن ) z (tو ) p(tﺑـﺎ ﻳـﺪ ﺑﺮاﺑـﺮ ﺑﺎﺷـﻨﺪ ﻣـﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ
) x′(t ) ∗ h(t ) = y ′(t (iiﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ:
) y(t ) = [x(t ) ∗ u (t )]∗ h′(t ) = x(t )[u (t ) ∗ u1 (t )]∗ h(t
) = x(t ) ∗ h(t اﻳﻦ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ ) [x(t ) ∗ u (t )]h′(tﻛﻪ ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ ﺑﺎ ) . x(t ) ∗ h(tﺣﺎل ﻣﻄﻠﺐ ﻣـﺸﺎﺑﻬﻲ را ﺑـﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
) y(t ) = [x(t ) ∗ u (t )]∗ h′(t
) = [[x(t ) ∗ u1 (t )]∗ h(t )]∗ u (t = ∫ x1 (τ )h(t − τ )dτ t
∞−
]) = x1 (t ) ∗ [h(t ) ∗ u (t = x1 (t ) ∗ ∫ h(τ )dτ t
∞
١٢٤
ﺑﺮاﺑـﺮ ﺧﻮاﻫـﺪx1 (t ) TI ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴـﺴﺘﻢ، ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ. δ (t ) − 5e −5t u (t ) = x1 (t ) )ج( ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ : ﻣﻌﺎدل ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺠﺒﻮرﻳﻢy ′(t ) = ω t ﭼﻮن اﻳﻦ ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺑﺎh(t ) − 5 sin (ω t ) ﺑﻮد ﺑﺎ
h(t ) = ω cos(ω t ) + 5 sin ω t :)د( دارﻳﻢ y(t ) = x(t ) ∗ [u1 (t ) ∗ u (t )]∗ h(t )
= [x(t ) ∗ u1 (t )]∗ [u (t ) ∗ h(t )] = x1 (t ) ∗ S (t ) +∞
= ∫ x′(τ )s (t − τ )dτ −∞
(ii x(t ) = x(t ) ∗ S (t )
[
]
= x[t ]∗ u 1 (t ) ∗ u (t ) +∞
= ∫ x1 (τ )u (t − τ )dτ −∞
:ﻫـ( در اﻳﻦ ﻣﻮرد
x1 (t ) = e t u (t ) + δ (t ) :ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
y(t ) = S (t ) + e t u (t ) ∗ S (t )
[
]
ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺻﻮرت
y(t ) = e −3t − 2e −2t + 1 u (t ) + 1 e t − e −3t 4 2 − e t − e −2t − e t − 1u (t ) 3 : دارﻳﻢδ [n] = u[n]∗ [δ [n] − δ [n − 1]] )ح( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ
[
(
]
)
y[n] = [x[n] − x[n − 1]]∗ s[n] = ∑ [x[k ] − x[k − 1]]s[n − k ] و
١٢٥
∞
]] ∑ [x[k ] − x[k − 1]u[k − k
= ]x [n ] = [x[n] − x[n − 1]]∗ u[n
∞k = −
S (2,46ﻳﻚ ﺳﻴﺘﻢ LTIاﺳﺖ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x(t ) = e −3t u (t − 1را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .اﮔﺮ ) x(t ) → y (t ,
) dx(t ) → −3 y (t ) + e −2t u (t dt ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) h(tﺳﻴﺴﺘﻢ Sرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
ﺣﻞ: ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ) dx(t )= −6e −3t u (t − 1) + 2δ (t − 1) = −3 x(t ) + 2δ (t − 1 dt
ﻛﻪ ﻣﻲ دﻫﺪ:
) x(t ) = 2e −3t u (t − 1) → y (t ) dx(t ﺑﺎﻳـﺪ در ﺧﺮوﺟـﻲ ) − 3 y (t ) + 2h(t − 1را ﺑﺪﻫـﺪ. ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ= −3 x(t ) + 2δ (t − 1) : dt ازاﻃﻼﻋﺎت داده ﺷﺪه ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ) . 2h(t − 1) = e −2t u (t ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
)h(t ) = 1 e −2(t +1)u (t + 1 2 (2,47ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن ،ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) h (tداده ﺷﺪه اﺳﺖ .ﻣـﻲ داﻧـﻴﻢ ﻛـﻪ اﮔـﺮ ورودي ) x (tﺑﺎﺷــﺪ ،ﺧﺮوﺟــﻲ ﺑــﻪ ﺻــﻮرت ) y (tﺷــﻜﻞ م 47-2اﺳــﺖ .ﺳــﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳــﺮ ورودي ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي ﺧﻄﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن داراي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ داده ﺷﺪه ﻫﺴﺘﻨﺪ:
اﻟﻒ( ورودي ) x(t
ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) h(t
ب( )x(t ) = x (t ) − x (t − 2
) h(t ) = h (t
ج( )x(t ) = x (t − 2
)h(t ) = h (t + 1
د( ) x(t ) = x (− t
) h(t ) = h (t
١٢٦
ﻫـ( ) x(t ) = x ′ (t
) h(t ) = h (− t
و( ) x(t ) = x ′ (t
) h(t ) = h ′ (t
]در اﻳﻨﺠﺎ ) x ′ (tو ) h ′ (tﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﺸﺘﻘﻬﺎي xو ) h (tﻫﺴﺘﻨﺪ[.
) y 0 (t
١
t
ﺷﻜﻞ٢م 2,47
٠
در ﻫﺮ ﻣﻮرد ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ آﻳﺎ ﺑـﺮاي ﻳـﺎﻓﺘﻦ ﺧﺮوﺟـﻲ ﺳﻴـﺴﺘﻢ داراي ﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ ) h(tﺑـﻪ ورودي ) x(t اﻃﻼﻋﺎت ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻧﻪ .در ﺻﻮرت وﺟﻮد اﻃﻼﻋﺎت ﻛﺎﻓﻲ y (t ) ،را رﺳﻢ و آن را دﻗﻴﻘـﺎً ﻋﺪدﮔـﺬاري ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ:
)اﻟﻒ( ) y(t ) = 2 y (t )ب( )y(t ) = y (t ) − y (t − 2 )ج( )y (t ) = y (t − 1 )د( اﻃﻼﻋﺎت ﻛﺎﻓﻲ ﻧﻴﺴﺖ.
)ﻫـ( ) y(t ) = y (− t )و( ) y(t ) = y ′′(t ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ ﺑﺮاي ﻗﺴﻤﺖ ﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻣﺴﺌﻠﻪ در ﺷﻜﻞ ح 2,17ﺗﺮﺳﻴﻢ ﺷﺪه اﻧﺪ.
â&#x20AC;«â&#x20AC;ªÙ¡Ù¢Ù§â&#x20AC;¬â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«)اï»&#x;ï»&#x2019;(â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«)ب(â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«)ج(â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«) â&#x20AC;ªy (tâ&#x20AC;¬â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«) â&#x20AC;ªy (tâ&#x20AC;¬â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«â&#x20AC;ª2â&#x20AC;¬â&#x20AC;¬ â&#x20AC;«â&#x20AC;ª-Ù¢â&#x20AC;¬â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«â&#x20AC;ª1â&#x20AC;¬â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«â&#x20AC;ª-Ù¢â&#x20AC;¬â&#x20AC;¬ â&#x20AC;«â&#x20AC;ª2â&#x20AC;¬â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«â&#x20AC;ªâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x20AC;¬â&#x20AC;¬ â&#x20AC;«) (â&#x20AC;¬
â&#x20AC;«)د(â&#x20AC;¬
١٢٨
(2,48ﮔﺰاره ﻫﺎي زﻳﺮ در ﻣﻮرد ﺳﻴﺴﺘﻬﺎي LTIدرﺳﺖ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻧﺎدرﺳﺖ؟ دﻟﻴﻞ ﺑﻴﺎورﻳﺪ. اﻟﻒ( ﺳﻴﺴﺘﻢ وارون ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ،LTIﻣﺘﻨﺎوب و ﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. ب( ﺳﻴﺴﺘﻢ وارون ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﻋﻠّﻲ اﺳﺖ. )ج( ار ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﻣﻘﺪار nداﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ، h[n] ≤ kﻛﻪ Kﻳﻚ ﻋﺪد ﻣﻌﻴﻦ اﺳـﺖ ،ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIداراي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h[nﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. د( اﮔﺮ ﻃﻮل ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻣﺤﺪود ﺑﺎﺷﺪ ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺎﻳﺪارﺳﺖ. ﻫـ( اﮔﺮ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،آﻧﮕﺎه ﭘﺎﻳﺪارﺳﺖ. و( ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻏﻴﺮ ﻋﻠّﻲ و ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻋﻠّﻲ ﻟﺰوﻣﺎً ﻏﻴﺮ ﻋﻠّﻲ اﺳﺖ. ز( ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ﭘﺎﻳﺪارﺳﺖ ،اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠـﻪ آن ) s (tﻣﻄﻠﻘـﺎً اﻧﺘﮕﺮاﻟﭙـﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻳﻌﻨﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ∞+
∞ < ∫ s(t ) dt ∞−
ح( ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻋﻠّﻲ اﺳﺖ ،اﮔﺮ و ﺗﻨﻬـﺎ اﮔـﺮ ﭘﺎﺳـﺦ ﭘﻠـﻪ آن ] s[nﺑـﻪ ازاي < n ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( درﺳﺖ :اﮔﺮ ) h(tﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ وﻏﻴﺮﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،در اﻳﻦ ﺻﻮرت: ∞+
∞ = ∫ h(t ) dt ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) h(tﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ.
∞−
)ب( ﻧﺎدرﺳﺖ ،ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل ﻣﻌﻜﻮس ] h[n] = δ [n − kﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ] g [n] = δ [n + kﻛﻪ ﻏﻴﺮ ﻛﺎزال اﺳﺖ. )ج( ﻧﺎدرﺳﺖ؛ ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل ] h[n] = u[nﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ دارد:
١٢٩
∞+
∞ = ]∑ h[n ∞n = −
ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. )د( درﺳﺖ؛ ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻨﻜﻪ ] h[nدر ﺑﺎزه n1 ≤ n ≤ n2ﻣﺤﺪود و ﻏﻴﺮ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ .در اﻳﻦ ﺻﻮرت
∞ <
]] [h [k
2
n
∑ k − n1
ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. )ﻫـ( ﻧﺎدرﺳﺖ .ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل ) h(t ) = e t u (tﭘﺎﻳﺪار ﻧﻴﺴﺖ اﻣﺎ ﻛﺎزال اﺳﺖ. )و( ﻧﺎدرﺳﺖ ،ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل اﺗﺼﺎل زﻧﺠﻴـﺮي ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﻫـﺎي ﻛـﺎزال ﺑـﺎ ﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ ] h1 [n] = δ [n − 1و ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻏﻴﺮ ﻛﺎزال ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h2 [n] = δ [n + 1ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﻠﻲ ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ
h[n] = h1 [n]∗ h2 [n] = δ [n] .
)
(
)ذ( ﻧﺎدرﺳــﺖ ،ﺑــﺮاي ﻣﺜــﺎل اﮔــﺮ ) h(t ) = e − t u (tﺑﺎﺷــﺪ در اﻳــﻦ ﺻــﻮرت ) . S (t ) = 1 − e −t u (t
∞=
∞
∞
. ∫ 1 − e −t dt = t t e −tاﮔﺮ ﭼﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ اﻣﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻪ اﻧﺘﮕﺮال ﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ
)خ( درﺳﺖ .ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
∞
∞
= k
= k
] . u[n] = ∑ δ [n − kﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] . S [n ] = ∑ h[n − k
اﮔﺮ در ﺑﺎزه < s[n] = ، nدر اﻳﻨﺼﻮرت در < h[n] = ، nو ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻛﺎزال اﺳﺖ. (2,49در درس ﻧﺸﺎن دادﻳﻢ ﻛﻪ اﮔﺮ ] h[nﻣﻄﻠﻘﺎً ﺟﻤﻊ ﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻳﻌﻨﻲ ∞
∞ < ]∑ h[n ∞k = −
آﻧﮕﺎه ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIداراي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h[nﭘﺎﻳﺪارﺳﺖ .ﭘﺲ ﻣﻄﻠﻘﺎً ﺟﻤﻊ ﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن ﺷﺮط ﻛﺎﻓﻲ ﭘﺎﻳﺪاري اﺳﺖ .در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻴﻢ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺷﺮط ﻻزم ﻧﻴﺰ ﻫﺴﺖ .ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳـﺪ ﻛـﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ آن ﻣﻄﻠﻘﺎً ﺟﻤﻊ ﭘﺬﻳﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ ،ﻳﻌﻨﻲ ∞
∞ = ]∑ h[n ∞k = −
اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ورودي اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮﺳﺖ
, ﺑﻪ ازاي = ]h[− n ]x[n] = h[− n ﺑﻪ ازاي ≠ ] h[− n] , h[− n
١٣٠
آﻳﺎ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ورودي ﻛﺮاﻧﺪارﺳﺖ؟ اﮔﺮ آري ،ﻛﻮﭼﻜﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪار Bرا ﻛﻪ ﺷﺮاﻳﻂ زﻳﺮ را ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨـﺪ، ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ
ﺑﻪ ازاي ﺗﻤﺎم ﻣﻘﺎدﻳﺮ x[n] ≤ B ، n ب( ﺑﻪ ازاي اﻳﻦ ورودي ،ﺧﺮوﺟﻲ را در = nﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ .آﻳﺎ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠـﻪ ،ﻻزم ﺑـﻮدن ﺷـﺮط ﻣﻄﻠﻘـﺎً ﺟﻤﻊ ﭘﺬﻳﺮي ﺑﺮاي ﭘﺎﻳﺪاري ﺳﻴﺴﺘﻢ را اﺛﺒﺎت ﻣﻲ ﻛﻨﺪ؟ ج( ﺑﻪ روﺷﻲ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺷﺮط ﻻزم و ﻛﺎﻓﻲ ﺑﺮاي ﭘﺎﻳﺪاري ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﭘﻴﻮﺳـﺘﻪ در زﻣـﺎن ً اﻧﺘﮕﺮاﻟﭙﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ.
در زﻣﺎن اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ آﻧﻬﺎ ﻣﻄﻠﻘﺎ ﺣﻞ:
)اﻟﻒ( ورودي ﻣﺤﺪود اﺳﺖ x[n] ≤ 1 = Bxدر ∞ < . − ∞ < n )ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ: ∞+
] ∑ x[− k ]h[k
= ] [y
∞k = −
∞h 2 [k ] + ∑= ∞ → ] = ∑ h[k ] − ∞ h[k ∞− ∞+
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺤﺪود ﻧﻴﺴﺖ و ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. )پ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ = ) h(− t
اﮔﺮ ≠ ) h(− t
) x(t ) = h(− t ) h(− t
ﺣﺎل ﺑﺮاي ﺗﺮم . x(t ) ≤ 1 tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) x(tورودي ﻣﺤﺪود اﺳﺖ ﺑﻪ ﺟﺎي ∞+
) y ( ) = ∫ x( x(− τ )h(τ )dτ ∞−
∞ ) h 2 (τ ∞ = dτ = ∫ h(t )dt ) − ∞ h (τ ∞− ∞+
∫=
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﮔﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻴﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﭘﺬﻳﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.
١٣١
(2,50ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺳﺮي ﺷﻜﻞ م 50-2را در ﻧﻈـﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳـﺪ .ﺳﻴـﺴﺘﻢ Aﻳـﻚ ﺳﻴـﺴﺘﻢ ،LTIو ﺳﻴـﺴﺘﻢ B
وارون ﺳﻴﺴﺘﻢ Aاﺳﺖ y1 (t ) .ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ Aﺑـﻪ ) x1 (tو ) y 2 (tﭘﺎﺳـﺦ ﺳﻴـﺴﺘﻢ Aﺑـﻪ ) x2 (t اﺳﺖ: اﻟﻒ( ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ Bﺑﻪ ورودي ) ay1 (t ) + by 2 (tﭼﻴﺴﺖ؟ aو bاﻋﺪاد ﺛﺎﺑﺖ اﻧﺪ. ب( ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ Bﺑﻪ ورودي ) y1 (t − τﭼﻴﺴﺖ؟ ) → x(t
ﺳﻴﺴﺘﻢ
B
) y (t →
LTI ﺳﻴﺴﺘﻢ A
x(t ) →
ﺷﻜﻞ م 50-2 ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؛ ) . ax1 (t ) + bx2 (t )ب( ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ. x1 (t − τ ) : ) (2,51در دس دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ راﺑﻄﻪ ورودي ـ ﺧﺮوﺟﻲ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺳﺮي ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ اﺗﺼﺎل آﻧﻬﺎ ﺑﺴﺘﮕﻲ ﻧﺪارد .اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ ،ﻛﻪ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﻧﺎم دارد ،ﺑﻪ ﺧﻄﻲ ﺑﻮدن و ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮي ﺑﺎ زﻣﺎن ﻫﺮ دو ﺳﻴـﺴﺘﻢ واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ .در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻴﻢ. اﻟﻒ( دو ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن Aو Bدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIBﺧﻄﻲ اﺳﺖ ،وﻟﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘـﺬﻳﺮ n
1 ﺑﺎ زﻣﺎن ﻧﻴﺴﺖ ،وﻟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ Aﺳﻴﺴﺘﻤﻲ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h[n ] = u [nاﺳﺖ .در واﻗﻊ ﭘﺎﺳـﺦ 2 ﺳﻴﺴﺘﻢ Bﺑﻪ ورودي ] w[nﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮﺳﺖ
]z[n] = nw[n ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺮ ﻳﻚ از اﺗﺼﺎﻟﻬﺎي ﺳﺮي ﺷﻜﻠﻬﺎي م ) 51 -2اﻟﻒ( و )ب( ﺑـﻪ ورودي ]x[n] = δ [n ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﻧﺪارﻧﺪ. ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺑﻪ ﺟﺎي ﺳﻴﺴﺘﻢ bدو اﺗﺼﺎل ﺷﻜﻞ م ، 51-2ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻛﻪ راﺑﻄﻪ ﺑﻴﻦ ورودي ] w[nو ﺧﺮوﺟﻲ ] z[nآن ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮﺳﺖ.
z[n] = w[n] + 2
١٣٢
ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( را ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺗﻜﺮار ﻛﻨﻴﺪ
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺷﻜﻞ )اﻟﻒ( ح ،2,51ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
]( 2 ) u[n n
y1 [n] = n 1
ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺷﻜﻞ )ب( ح 2,51ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از:
واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ]y1 [n] ≠ y 2 [n
= ]y = [n
)ب( ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺷﻜﻞ )اﻟﻒ( ح 2,51ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از:
( 2 ) u[n] + 2 n
y[n] = 1
ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺷﻜﻞ )ب( ح 2,51ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از:
( 2 ) u[n] + 4 n
y[n] = 1
واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ
]y1 [n] ≠ y 2 [n (2,52ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ زﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ، ]h[n] = (n + 1)a n u[n
١٣٣
ﻛﻪ در آن . a < 1ﻧﺸﺎﻧﺪﻫﻴﺪ ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮﺳﺖ.
1 a a n n ( ) s[n] = − a + n + 1 a ]u[n 2 2 )(a − 1 ) (a − 1) (a − 1 راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ d N +1 k ∑a = da K
N
=
k
∑ (K + 1)a = K
ﺣﻞ: دارﻳﻢ:
]s[n] = h[n]∗ u[n
n k ≥ ∑ (1 + k )a n = = k ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﻛﻪ:
d 1 − α n + 2 d α 1 − α
n +1
=
k
∑a = k
d dα
=
k
∑ ( k + 1)a
دارﻳﻢ: 1 − ( n + 2 ) α n +1 1 − α n +2 ] u [n α+ s [n ] = 1−α (1 − α 2 ) 1 α α n n = − + n + 1 ] u [n α α ( ) 2 2 1−α ) (1 − α ) (1 − α (2,53اﻟﻒ( ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻫﻤﮕﻦ زﻳﺮ رادر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ
)م (1-53-2
) d k y (t = d tk
N
∑ ak = K
ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ اﮔﺮ sرﻳﺸﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ N
)م (1-53-2
= p (s ) = ∑ a k s k = k
١٣٤
آﻧﮕﺎه A e s tﻳﻚ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (1-53-2اﺳﺖ ،ﻛﻪ در آن Aﻳﻚ ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه ﻣﺨﺘﻠﻂ اﺳﺖ. ب( ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي ) p(sﻣﻌﺎدﻟﻪ ) (2-53-2را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺮﺣﺴﺐ رﻳﺸﻪ اﺳﺖ .ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ
σ 1 + σ 2 + ... + σ r = N در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺑﻪ ازاي ، σ i > 1ﻋﻼوه ﺑﺮ Aij t j e sit ، Ae sitﻫﻢ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-53-2اﺳﺖ ،ﻛﻪ j ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺰرﮔﺘﺮ از ﺻﻔﺮ و ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ ﻳﺎ ﻣﺴﺎوي σ i − 1را ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ .ﺑـﺮاي اﺛﺒـﺎت اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ اﮔﺮ A t e st t ، σ i = 2ﻫﻢ ﻳﻚ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (1-53-2اﺳـﺖ] .راﻫﻨﻤـﺎﻳﻲ: ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ اﮔﺮ sﻳﻚ ﻋﺪد ﻣﺨﺘﻠﻂ دﻟﺨﻮاه ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه
(
)
d k A t e st d p(s ) st = A p(s )t e st + A e k ds dt ﭘﺲ ﻛﻠﻲ ﺗﺮﻳﻦ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-53-2ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮﺳﺖ e si t
j
σ i −1
N
∑ ak = k
r
∑ ∑A t ij
= j
i =1
ﻛﻪ در آن Aijﻳﻚ ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه ﻣﺨﺘﻠﻂ اﺳﺖ. ج( ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻫﻤﮕﻦ زﻳﺮ را ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ ﻛﻤﻜﻲ داده ﺷﺪه ﺣﻞ ﻛﻨﻴﺪ:
; y ( ) = , y ′( ) = 2
) d 2 y (t ) d y (t +3 = ) + 2 y (t 2 dt dt
)(i
; y ( ) = 1 , y ′( ) = −1
) d 2 y (t ) d y (t +3 = ) + 2 y (t 2 dt dt
)(ii
= ) (; y ( ) = , y ′
) d 2 y (t ) d y (t +3 = ) + 2 y (t 2 dt dt
)(iii
; y ( ) = 1 , y ′( ) = 1
) d 2 y (t ) d y (t +2 = ) + y (t 2 dt dt
)(iv
; y ( ) = 1 , y ′( ) = 1 , y ′′( ) = −2
) d 3 y (t ) d 2 y (t ) dy (t + − = ) − y (t dy d t3 dt 2
)(v
; y ( ) = 1 , y ′( ) = 1
) d 2 y (t ) d y (t +2 = ) + 5 y (t 2 dt dt
)(vi
ﺣﻞ: ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ
١٣٥
N
∑a s
k k
=
K =
: در اﻳﻨﺼﻮرت dk α k k ( Ae s t ) ∑ dt k = N
N
= ∑ A α k e s t s k = k =
(2,53,1 ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ )حAe s.t ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ :)ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ N
∑ ak k =
N N dk st k st Ate Aa t s e A α k e st s k −1 = + ) ∑ ∑ k k ( dt k = k = N N d = Ate st ∑ ak s k + Ae st ∑ ( s k ) k = k = ds N d N = Ate st ∑ ak s k + Ae st ak s k ∑ ds k = k = : ﺑﺎﻳﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ، ﻳﻚ ﺟﻮاب ﺑﺎﺷﺪ،s اﮔﺮ
N
∑a s
1 k k
=
k =
. ﻳﻚ ﺟﻮاب اﺳﺖte s t اﻳﻦ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ دارد ﻛﻪ ( در اﻳﻨﺠﺎi) ()ج
s 2 + 3s + 2 + ⇒ s = −2 , s = −1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ از ﺣﻞ دﺳﺘﮕﺎه2 A + B = 2 وA + B = ، y ′y ( ) = 2 وy y ( ) = ﭼﻮن
B = 2 وA = −2
A + B = 2 A + B = 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
y (t ) = 2e −t − 2e −2t ( در اﻳﻨﺠﺎii)
s 2 33 + 2 = ⇒ y (t ) = Ae −2t + Be −t
١٣٦
ﭼﻮن y ( ) = 1و y ′( ) = −1دارﻳﻢ y (t ) = e −t ) (iiiﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ = ) y (t ) (ivدر اﻳﻨﺠﺎ ﻧﻴﺰ L
)s L + 2s + 1 = = (s + 1 ⇒ σ = 2 , s = −1
y (t ) = Ae −t + Bte −t از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ y ( ) = 1و y ′( ) = 1و A = 1و B = 2 دارﻳﻢ:
y (t ) = e −t + 2te −t ) (vاﻳﻨﺠﺎ ﻧﻴﺰ )s 3 + s 2 − s − 1 = = (s − 1)(s + 1
2
⇒ y (t ) = Ae t + Be + cte −t ﭼﻮن y ( ) = 1و y ′( ) = 1و y n = −2دارﻳﻢ c = 3و B = 3و ، A = 1ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ 2 4 2 − t 2 jt y (t ) = Ae e + Be −t e −2 jt ﭼﻮن y ( ) = 1و y ′( ) = 1آﻧﮕﺎه −t
∗ A = 1 (1 − j ) = B 2 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
] y (t ) = e −t [ cos 2t sin 2t ) (2,54اﻟﻒ( ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﻫﻤﮕﻦ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. N
= ] ∑ a y[n − k
)م (1-54-2
k
= k
ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ اﮔﺮ zرﻳﺸﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ. = z −k
N
k
∑a = k
A z zﻳﻚ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-54-2اﺳﺖ ،ﻛﻪ در آن Aﻳﻚ ﺛﺎﺑﺖ دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ.
١٣٧
ب( ﻛﺎر ﺑﺎ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اﻳﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻮاﻧﻬﺎي ﻏﻴﺮﻣﻨﻔﻲ zدارﻧـﺪ ﺳـﺎده ﺗﺮﺳـﺖ ،ﭘـﺲ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﺣﺎﺻـﻞ از ﺿﺮب دو ﻃﺮف ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2-54-2در z Nرا در ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ. N
= p( z ) = ∑ a k z N − k
)م (3-54-2
= k
ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ اي ) p( zرا ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﺠﺰﻳﻪ ﻛﺮد
p (z ) = a ( z − z1 ) 1 ( z − z 2 ) 2 ﻛﻪ در آن si , ... , z1رﻳﺸﻪ ﻫﺎي ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ) p( zﻫﺴﺘﻨﺪ. σ
σ
ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﺑﻪ ازاي y[n] = n z n −1دارﻳﻢ + (n − N ) p ( z )z n− N −1
n− N
) dp( z ∑ a y[n − k ] = dz z N
k
= k
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي ، σ i = 2ﻫﻢ A z inو ﻫﻢ B n z in −1ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (1-54-2ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ A ،و Bﺛﺎﺑﺘﻬﺎي ﻣﺨﺘﻠﻂ دﻟﺨﻮاﻫﻲ اﻧﺪ .در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﻣﻲ ﺗـﻮان ﺑـﻪ ﻫﻤـﻴﻦ
ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي σ i > 1 !n !) r!(n − r r = , 1 , ... , σ j −1ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-54-2ﻫﺴﺘﻨﺪ. A
ج( ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ ﻛﻤﻜﻲ داده ﺷﺪه ﺣﻞ ﻛﻨﻴﺪ: 3 1 = ]y[n − 1] + y[n − 2 4 8
; y[ ] = 1, y[− 1] = −6
(i) y[n ] +
= ]; y[ ] = 1, y[− 1
= ](ii) y[n] + 2 y[n − 1] + y[n − 2
; y[ ] = 1, y[10] = 21
= ](iii) y[n] + 2 y[n − 1] + y[n − 2 2 1 = ]y[n − 1] + y[n − 2 2 4
; y[ ] = , y[− 1] = 1 ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ:
N
= z
k k
∑a = K
(iv) y[n ] −
١٣٨
در اﻳﻨﺼﻮرت اﮔﺮ
y[n] = Az n
)
N
(
N
N
= K
= k
= ∑ ak k [n − k ] = ∑ ak Az n−1 = Ax k ∑ ak z −k = K
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ، Az nﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,54-1ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. )ب( اﮔﺮ y[n] = n z n−1در اﻳﻨﺼﻮرت: )ح(2,54,1 N
N
= K
= K
∑ ak y[n − k ] = ∑ ak (n − k )z n−k −1 ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻃﺮف راﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻴﻨﻢ ﻛﻪ N
N
= K
= k
P.H .S = z n− N ∑ ak ( N − K )z n−k −1 + (n − N )∑ ak
)ح(2,54-2 N
= ∑ a k (n − k )z n−k −1 = K
ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ )ح (2,54-1و )ح (2,54-2ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎي ﻓﻮق ﻣﻌﺎدﻟﻨﺪ و اﺛﺒـﺎت ﻛﺎﻣـﻞ ﻣـﻲ ﺷﻮد. )پ( ) (iاﻳﻨﺠﺎ ﻧﻴﺰ دارﻳﻢ:
3 −1 1 −2 z + = z 8 4 ⇒z=−1 , z=−1 2 4
1+
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
) ( 2 ) + B(− 1 4
n
n
y[n] = A − 1
ﭼﻮن y ( ) = 1و y[− 1] = −6دارﻳﻢ A = −1و B = −2و ) (iiاﻳﻨﺠﺎ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
= z 2 − 2z +1
) ( 4 ) − (− 1 2
n
n
y[n] = 2 − 1
١٣٩
y[n ] = A(1) + Bn(1) = A + Bn ﭼﻮن y ( ) = 1و = ] y[1دارﻳﻢ A = 1و B = −1و y[n] = 1 − n n
n
) (iiiﺗﻨﻬﺎ ﺗﻔﺎوت ﺑﺎ ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻠﻲ ﺷﺮاﻳﻂ اﺻﻠﻲ اﺳﺖ؛ y ( ) = 1و ، y[10] = 21دارﻳﻢ: B = 2و A =1
y[n] = 1 + 2n )(iv
اﻳﻨﺠﺎ
) (1 ± j
1 2 2
=z
)(v
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ n
n
1 (1 + j ) + B 1 (1 − j ) y[n] = A 2 2 2 2 ﭼﻮن = ) ( yو y[− 1] = 1دارﻳﻢ −j j Aو 2 2 2 2
=B
و
) (
n
1 1 y[n ] = − sin n π 4 2 2 (2,55در درس روﺷﻲ ﺑﺮاي ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺧﻄﻲ ﺑﺎ ﺿﺮاﺋﺐ ﺛﺎﺑﺖ اراﺋﻪ ﻛـﺮدﻳﻢ و در ﻣـﺴﺌﻠﻪ -2
30روش دﻳﮕﺮي ﺑﺮاﻳﺎﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﻴﺎن ﺷﺪ .ﺑﺎ ﻓﺮض ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﺋﻲ ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه ﺑـﺎ ﻣﻌـﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿـﻠﻲ LTIو ﻋﻠّﻲ اﺳﺖ و ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﻳﻜﻲ از اﻳﻦ دو روش ﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ ] h[nرا ﻳﺎﻓـﺖ .در ﻓـﺼﻞ 5روش ﺟﺎﻟﺒﺘﺮي ﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ ] h[nاراﺋﻪ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻛﺮد .دراﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻧﻴﺰ رﻫﻴﺎﻓﺖ دﻳﮕﺮي ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ،ﻣﻲ ﺗﻮان ] h[nرا ﺑﺎ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﻤﮕﻦ ،ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ﻣﻨﺎﺳﺐ ،ﺑﻪ دﺳﺖ آورد. اﻟﻒ( ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺑﺘﺪاﺋﺎً ﺳﺎﻛﻦ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ 1 )م (1-55-2 ] y[n − 1] = x[n 2 ﺑﺎ ﻓﺮض ] y[ ] ، x[n] = δ [nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ؟ ] h[nدر n ≥ 1ﭼـﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ اي و ﭼـﻪ ﺷـﺮاﻳﻂ اوﻟﻴـﻪ اي را
y[n ] −
ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ؟ ﺑﺎ ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺟﻮاب ﺑﺴﺘﻪ اي ﺑﺮاي ] h[nﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ.
١٤٠
ب( ﺣﺎل ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIاﺑﺘﺪاﺋﺎً ﺳﺎﻛﻦ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮد. 1 ]y[n − 1] = x[n] + 2 x[n − 1 )م (2-55-2 2 اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ در ﺷﻜﻞ م ) 55-2اﻟﻒ( ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺳﺮي و ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺑﺘـﺪاﺋﺎً ﺳـﺎﻛﻦ ﻧـﺸﺎن داده ﺷـﺪه
y[n ] −
اﺳﺖ .ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺧﻮاص ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﻣﻲ ﺗﻮان دو ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺟﺎﺑﺠﺎ ﻛﺮد و ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﺘﻔﺎوت ﺷﻜﻞ م ) 55-2ب( را ﻳﺎﻓﺖ .ﺣﺎل ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( را ،ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] ، h[nدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﺑﺎ ﻧـﺸﺎن دادن اﻳﻦ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (3-53-2ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ )م (1-55-2را ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ،ﺛﺎﺑـﺖ ﻛﻨﻴـﺪ ﻛـﻪ ﭘﺎﺳـﺦ ] y[nﺑﻪ ورودي دﻟﺨﻮاه ] x[nدر واﻗﻊ از ﺟﻤﻊ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ زﻳﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ. ∞
)م (3-55-2
]∑ h[n − m]x[m
= ] y[n
∞m = −
ﺑﺎ ﻓﺮض ≠ aو ] y[ ] ، x[n] = δ [nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳـﻦ ﻧﺘﻴﺠـﻪ ،ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﺗﻔﺎﺿـﻠﻲ ﻫﻤﮕـﻦ و ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ اي را ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺗﻮﺳﻂ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ارﺿﺎ ﺷﻮد ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﺎل ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮا را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. )م (5-55-2
M
n
= k
= K
] ∑ ak y[n − k ] = ∑ bk x[n − k
ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﭘﺎﺳﺦ ﺿـﺮﺑﻪ ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIﺗﻮﺻـﻴﻒ ﺷـﺪه ﺑـﺎ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (4-5-2 ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
1 y[n − 1] = z [n] ]→ y[n 2
] z [n x[n] →→ z[n] = x[n] + 2 x[n − 1] y[n] −
1 ] [n x[n] → w[n] − w[n − 1] = x[n] w → y[n] = w[n] + 2w[n − 1] ]→ y[n 2 ﻫـ( روش دﻳﮕﺮي ﻧﻴﺰ ﺑﺎري ﺗﻌﻴﻴﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (5-55-2وﺟﻮد دارد. ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (5-55-2را ﺑﺎ ﻓﺮض ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﺋﻲ ،ﻳﻌﻨﻲ = ] ، y[− N ] = y[− N + 1] = ... = y[− 1و ﺑــﻪ ازاي ورودي ] x[n] = δ [nﺑــﻪ ﺻــﻮرت ﺑﺎزﮔــﺸﺘﻲ ﺣــﻞ ﻛﻨﻴــﺪ و ] [ y[M ] , ... , yرا ﺑﻴﺎﺑﻴــﺪ .در h[n] ، n ≥ Mﭼﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ اي را ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ؟ ﺷﺮاﻳﻂ ﻛﻤﻜﻲ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﻴﺴﺖ؟
١٤١
و( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻳﻜﻲ از روﺷﻬﺎي ﺑﻨﺪﻫﺎي )د( ﻳﺎ )ﻫـ( ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﻋﻠّﻲ ﺗﻮﺻـﻴﻒ ﺷـﺪه ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
](i) y[n] − y[n − 2] = x[n ](ii) y[n] − y[n − 2] = x[n] + 2 x[n − 1 ](iii) y[n] − y[n − 2] = 2 x[n] − 3x[n − 4 3 1 ] y[n − 1] + y[n − 2] = x[n 2 4
) (
(iv) y[n ] −
n
1 1 y[n ] = − = sin n π 4 2 2
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( h[n] ، y[ ] = x[ ] = 1ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﺮآورده ﻣﻲ ﺳﺎزد.
]h[n] = 1 h[n − 1 n ≥1 2 ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﻌﻴﻦ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از h[ ] = 1ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده روش ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷـﺪه در ﻣـﺴﺌﻠﻪ ﻗﺒﻠـﻲ ،دارﻳـﻢ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
)( 2
n
h[n] = A 1ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﻌﻴﻦ
]( 2 ) u[n n
h[n] = 1
)ب( از ﺷﻜﻞ )ب( م ،2,55ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ اﮔﺮ ] x[n] = δ [nآﻧﮕﺎه
) (
n ]ω[n] = h [n] = 1 2 u[n
ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ:
]u[n − 1
) ( 2 ) u[n]+ 2(12
n −1
n
y[n] = h[n] = 1
)ج( ﺟﺎﻳﮕﺬاري ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,55,3در ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,55,1دارﻳﻢ.
]∑ h[n − m]x[m] − 1 2 ∑ h[n − m − 1]x[m m
]x[m
) ∑ (1 2
n−m
n −1
∞m = −
m
x[m ] −
) ∑ (1 2 n
n− m
]x[n ] = x[n] = x[n
=
∞m = −
)( 2
n −m
= 1
2
،z= 1
١٤٢
ﻛﻪ ﻧﺸﺎﻧﮕﺮ اﻳﻨﺴﺖ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م ،(2,55,3ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,55,1را ﺑﺮآورده ﻣﻲ ﺳﺎزد. )د( ) (iداده ﺷﺪه ﻛﻪ ≠ aو ﺳﻴﺴﺘﻢ از ﺷﺮاﻳﻂ ﺗﺒﻌﻴﺖ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ .دارﻳﻢ: 1 a
= ] [a y[ ] = 1 ⇒ y
ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي ﻫﻤﮕﻦ ﺑﺼﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ N
= ] ∑ a h[n − k k
= K
ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ: 1 = ], h[− 1] = ... = h[− N + 1 a
= ] [h
(iiدارﻳﻢ: N
= ] h[N ] = ∑ bk h1 [n − k = K
ﻛﻪ ] h1 [nﺑﻪ ﺻﻮرت ﻓﻮق اﺳﺖ. )ﻫـ( ﺑﺮاي n > M
N
= ] ∑ a h[n − k k
= K
ﺑﺎ
] h[ ] = y[ ],..., h[M ] = y[M )و( ) (iدارﻳﻢ: ≥ , nزوج < nﻓﺮد
1 h[n ] =
) (iiدارﻳﻢ:
nزوج n ≥ , nﻓﺮد n > , <n )(iii
1 h[n] = 2
١٤٣
2 h[n ] = − 1
n = ,2 nزوج n ≥ 4, ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط
) (ivدارﻳﻢ nπ nπ h[n ] = 1 cos + 3 sin 2 6 6 (2,56دراﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﻤﺘﺎي ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ﺗﻜﻨﻴﻚ ﭘﻲ رﻳﺰي ﺷﺪه در ﻣﺴﺌﻠﻪ 55-2در ﻧﻈﺮ ﻣـﻲ ﮔﻴـﺮﻳﻢ.
ﺑﺎز ﻫﻢ ﻣﻲ ﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻳﺎﻓﺘﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) h(tﻳﻚ ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIاﺑﺘـﺪاﺋﺎً ﺳـﺎﻛﻦ ﺗﻮﺻـﻴﻒ ﺷـﺪه ﺑـﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ) dy (t )م (1-56-2 ) + 2 y (t ) = x(t dt ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ) . x(t ) = δ (tﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻘﺪار ) y (tدرﺳﺖ ﺑﻌﺪ از اﻋﻤﺎل ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ ،از ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م -2
(1-56از t = −ﺗﺎ ) t = +ﻳﻌﻨﻲ »درﺳﺖ ﻗﺒﻞ از اﻋﻤﺎل ﺿﺮﺑﻪ« ﺗﺎ »درﺳﺖ ﺑﻌـﺪ از« آن( اﻧﺘﮕـﺮال ﻣـﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ .ﺑﺎ اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ. +
)م (2-56-2
+
) ( ) (
y + − y − + 2∫ − y (τ )dτ = ∫ − δ (τ )dτ = 1
) (
ﭼﻮن ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺑﺘﺪاﺋﺎً ﺳﺎﻛﻦ ،و در < x(t ) = ، tﭘﺲ = . y −ﺑﺮاي ارﺿﺎي ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (2-56-2
) (
ﺑﺎﻳﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ . y + = 1ﭼﻮن در > tدارﻳﻢ = ) x(tﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﭘﺎﺳـﺦ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻫﻤﮕﻦ زﻳﺮ ) dy (t = ) + 2 y (t dt
و ﺷﺮط اوﻟﻴﻪ زﻳﺮﺳﺖ
) (
y + = 1 ﺑﺎ ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ) ، h(tﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ .ﺑـﺮاي اﻣﺘﺤـﺎن ﺟـﻮاب ﺧـﻮد ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ∞+
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ ∞−
ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ورودي ) x(tدﻟﺨﻮاﻫﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-56-2را ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ.
١٤٤
ب( ﺑﺮاي ﺗﻌﻤﻴﻢ اﻳﻦ ﺑﺤﺚ ،ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIاﺑﺘﺪاﺋﺎً ﺳﺎﻛﻦ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ زﻳﺮ را در ﻧﻈـﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ
) d k y (t )م (3-56-2 ) = x(t d tk = k و ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ) . x(t ) = δ (tﭼﻮن در < ، x(t ) = ، tﺷﺮط ﺳﻜﻮن اﺑﺘﺪاﻳﻲ اﻗﺘﻀﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛـﻪ داﺷـﺘﻪ N
∑ ak
ﺑﺎﺷﻴﻢ )م (4-56-2
dy − d N −1 y = = ... = N −1 − dt dt
) (
) (
) (
= y −
از دو ﻃﺮف ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (3-256ﻳﻚ ﺑﺎر ،از t = −ﺗﺎ t = +اﻧﺘﮕﺮال ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ،ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (5-56-2و اﺳﺘﺪﻻﻟﻲ ﺷﺒﻴﻪ اﺳﺘﺪﻻل ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ 9ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ زﻳﺮ ارﺿﺎ ﻣﻲ وﺷﺪ )م 5-56-2اﻟﻒ(
dy + d N −2 y + = y = = ... = N −2 dt dt
) (
) (
) (
+
و
d N −1 y + 1 = )م 5-56-2ب( N −1 dt aN در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ در < tرا ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻫﻤﮕﻦ زﻳﺮ ،و ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴـﻪ
) (
ﺑﻴﺎن ﺷﺪه در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎي )م (5-56-2ﺑﻪ دﺳﺖ آورد.
) d k y (t ak = ∑ d tk = k N
ﺷﻜﻞ م 56-2 M ) d k w(t ) d k w(t ) w (t = x ( t ) → y ( t ) = b ) = y (t ∑ k dt k dt k = k
) d k w (t
ak
∑
x(t ) →
dt k
ج( ﺣﺎل ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ.
d k y (t ) M M ) d k x(t = = b )م (6-56-2 ∑ ∑ k d tk d tk = k = k = k ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻨﺪ )ب( ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ )راﻫﻨﻤـﺎﻳﻲ :ﺷـﻜﻞ م 56-2 N
∑ ak
را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(.
١٤٥
د( ﺑﺎ روش ﺑﻴﺎن ﺷﺪه در ﺑﻨﺪﻫﺎي )ب( و )ج( ،ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIاﺑﺘـﺪاﺋﺎً ﺳـﺎﻛﻦ ﺗﻮﺻـﻴﻒ ﺷـﺪه ﺑـﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
) d 2 y (t ) dy (t +3 ) + 2 y (t ) = x(t 2 dt dt
)(i
) d 2 y (t ) dy (t +2 ) + 2 y = x(t 2 dt dt ﻫـ( ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻧﺘـﺎﻳﺞ ﺑﻨـﺪﻫﺎي )ب( و )ج( ﻧـﺸﺎن دﻫﻴـﺪ ﻛـﻪ اﮔـﺮ در ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م (6-56-2داﺷـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﻴﻢ
)(ii
، M ≥ Nﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) h(tدر = tﺟﻤﻼت ﺗﻜﻴﻦ دارد؛ ﻳﻌﻨﻲ ) h(tﺟﻤﻼﺗﻲ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ دارد M −N
) ∑ a u (t r
r
= r
ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ arﻫﺎ ﺛﺎﺑﺖ و ) u r (tﻫﺎ ﺗﻮاﺑﻊ ﺗﻜﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﺪه در ﺑﺨﺶ 5-2ﻫﺴﺘﻨﺪ. و( ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي ﻋﻠّﻲ LTIﺗﻮﺻﻴﻒ ﺷﺪه ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ زﻳﺮ را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ ) d y (t ) dx(t + 2 y (t ) = 3 ) + x(t dt dt
)(i
) d 2 y (t ) dy (t ) d 3 x(t ) d 2 x(t ) d x(t + 5 + 6 y ( t ) = + 2 +4 ) + x(t 2 3 2 dt dt dt dt dt
)(ii
ﺣﻞ: )اﻟﻒ( در اﻳﻦ ﻣﻮرد = 2 + 2ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ دارد ﻛﻪ:
) (
ﭼﻮن y + = 1و A = 1و
y (t ) = h(t ) = Ae −2t ) . h(t ) = e −2t u (t
ﺣﺎل ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2,56-1را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ: ∞+ ∞d + h(t − τ )x(τ )dτ + 2 ∫ h(t − τ )x(τ )dτ ∫ ∞− ∞dt − ∞+
= ∫ e −2(t −τ )δ (t − τ )x(τ )dτ ∞−
ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ دارد ﻛﻪ ) y (tﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺣﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ. )ب( دارﻳﻢ:
= x(t ) = R.H .S
= .H .S
١٤٦
) y (t ) = ∑ ai ui (t i
در اﻳﻨﺼﻮرت: N
) ∑ a ∑ a u (t ) = δ (t k +1
k
i
= K
i
1 اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي ﺑﻴﻦ = tو t = tو ﺿﺮاﻳﺐ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ،دارﻳﻢ = atﺑﺠﺰ aN دارد ﻛﻪ ﺑﺮاي ′ ≤ t ≤ t
1 ) u − N (t aN
) (
= . a − Nاﻳﻦ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ
= ) y (t
) (
) (
,
= y t = y ′ t = ... = y ( N −2 ) t 1 aN
=
) y (t
N −1
N −1
t
d
dt
)ج( ) (iﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ
) y (t ) = ∑ au r (t r
دارﻳﻢ:
) ∑ (a u (t ) + 3a u (t ) + 2a u (t )) = δ (t r
r +1
r
r +2
r
) (
r
) (
r
ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ rMax =2و . a−2 = 1ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ h tو h′ t = 1ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲ دﻫﻨﺪ. ﺣﺎل:
δ 3 + 35 + 2 = ⇒ s = − z , s = −1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
h(t ) = Ae −2t + Be −t ≥ t ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ﺷﺮاﻳﻂ اول A = b − 1و B = 1را ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻳﻢ ،ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
)
(
) h(t ) = e −t − e −2t u −1 (t ) (iiﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ = h +و h′ + = 1ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) (
) (
) h(t ) = e t sin t u −1 (t
١٤٧
) d k h (t )د( از )ج( ،اﮔـﺮ M ≥ Nدر اﻳﻨــﺼﻮرت dt k ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ،در اﻳﻨﺼﻮرت
M
∑ bk
ﻛــﻪ ﺷــﺎﻣﻞ ﻳــﻚ ﺟﻤﻠــﻪ ﺗﻜﻴﻨــﻲ در = t
= K
)h(t ) = ∑ ar u r (t + ... r
)ﻫـ( ) (iﺣﺎل
) = 3u1 (t ) + u (t
r
∑ a u (t ) + 2 + L∑ a u r +1
r
r
r
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ = rMaxﻫﻤﭽﻨﻴﻦ
) α u1 (t ) + a−1u (t ) + 2a u (t ) = 3u1 (t ) + u (t ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺗﺎ a = 3و ∝ −1 = −5ﺑﺎﺷﺪ.
) (
ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ h + ) h(t ) = 3u (t ) − 5e −2t u − 1(t ) = 3δ (t ) − 5e −3t u (t ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺗﺎ a = 3و ∝ −1 = −5ﺑﺎﺷﺪ.
) (
ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ H + = −5 ) h(t ) = 3u (t ) − 5e −2t u − 1(t ) = 3δ (t ) − 5e −2t u (t ) (iiاﻳﻨﺠﺎ α 1 = 1و α = −3و α −1 = 13و α −2 = −44ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
) (
) (
h + = 13و h1 + = −44 و
) h(t ) = u1 (t ) − 3u (t ) − 3u (t )18e −3t u −1 (t ) − 5e −2t u − 1(t (2,57ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ،Sﺑﺎ راﺑﻄﻪ ورودي ] x[nو ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nزﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. )اﻟﻒ( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ Sرا ﻣـﻲ ـﻮان اﺗـﺼﺎل ﺳـﺮي و ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّـﻲ S1و S 2ﺑـﺎ رواﺑـﻂ ورودي ﺧﺮوﺟﻲ زﻳﺮ داﻧﺴﺖ.
]y1 [n] = b x[n] + b1 x1 [n − 1
]y 2 [n] = − ay 2 [n − 1] + x2 [n )ب( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي S1را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )ج( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
S1 : S2 :
١٤٨
)د( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S 2ﺑﻪ دﻧﺒـﺎل ﻧﻤـﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒـﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S1ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S1رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )ﻫـ( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ 1ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S 2رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )و( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ دو ﻋﻨﺼﺮ ﺗﺄﺧﻴﺮ دﻫﻨﺪه ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺑﻨﺪ )ﻫــ( را ﻣـﻲ ـﻮان در ﻫـﻢ ادﻏـﺎم ﻛـﺮد. ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺣﺎﺻﻞ را ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻮع IIﺳﻴﺴﺘﻢ Sﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨـﺪ ،ﺣـﺎل آن ﻛـﻪ ﻧﻤـﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒـﻪ اي ﺑﻨﺪﻫﺎي )د( و )ﻫـ( را ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻮع Iﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻣﺘﻮﺟﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ] x2 [n] = y1 [nﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ آن را از دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﻢ .در ﻧﺘﻴﺠﻪ دارﻳﻢ:
]y 2 [n] = − ay 2 [n − 1] + b x1 [n] + b1 x1 [n − 1 ﻛﻪ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻛﻠﻲ اﺳﺖ.
١٤٩
]y [ n
]x [ n
2
2
]y [ n
0
1
b
]x [n 1
b
1
0
b
0
b
b
b
1
1
0
b
b
1
ﺷﻜﻞ )ح(2,57 )ب( ﺷﻜﻠﻬﺎي ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻗﺴﻤﺘﻬﺎي ﺑﺎﻗﻲ ﻣﺎﻧﺪه اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ در ﺷﻜﻞ ح 2,57ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ. (2,58ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ ،Sﺑﺎ رواﺑﻂ ورودي ] x[nو ﺧﺮوﺟﻲ ] y[nزﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ:
]2 y[n] − y[n − 1] + y[n − 3] = x[n] − 5 x[n − 4 )اﻟﻒ( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ،Sرا ﻣﻲ ﺗﻮان اﺗﺼﺎل ﺳﺮي دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ S1و S 2ﺑـﺎ رواﺑـﻂ ورودي ـ ﺧﺮوﺟﻲ زﻳﺮ داﻧﺴﺖ. ]S : 2 y1 [n ] = x1 [n ] − 5 x1 [n − 4 1 1 ] y 2 [n − 1] − y 2 [n − 3] + x2 [n 2 2 ب( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي S1را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
)ج( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي S 2را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
= S : y2
١٥٠
)د( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S 2ﺑﻪ دﻧﺒـﺎل ﻧﻤـﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒـﻪ اي S1رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )ﻫـ( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S1ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻧﻤﺎي ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S 2رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )و( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﭼﻬﺎر ﻋﻨﺼﺮ ﺗﺄﺧﻴﺮدﻫﻨﺪه ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺑﻨﺪ )ﻫـ( را ﻣﻲ ـﻮان در ﺳﻪ ﻋﻨـﺼﺮ ادﻏـﺎم ﻛﺮد ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺣﺎﺻﻞ را ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻮع IIﺳﻴﺴﺘﻢ Sﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ ،ﺣﺎل آن ﻛﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒـﻪ اي ﺑﻨﺪﻫﺎي )د( و )ﻫـ( ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻮع Iﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ ] . y1 [n] = x2− [nﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ آﻧﺮا از دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي ﺗﻔﺎﺿـﻠﻲ ﺑﺪﺳـﺖ آورﻳـﻢ .در ﻧﺘﻴﺠﻪ:
]2 y 2 [n] − y 2 [n − 1] + y 2 [n − 3] = x1 [n] − 5 x1 [n − 4 اﻳﻦ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻞ ﻛﻠﻲ اﺳﺖ. )ب( ﺷﻜﻞ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻗﺴﻤﺘﻬﺎي ﺑﺎﻗﻲ ﻣﺎﻧﺪه ي اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ در ﺷﻜﻞ )ح (2-58آﻣﺪه اﺳﺖ. (2,59ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ Sﺑﺎ راﺑﻄﻪ ورودي ) x(tو ﺧﺮوﺟﻲ ) y (tزﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ) d y(t ) d x(t + a y (t ) = b x(t ) + b1 dt dt
a1
)اﻟﻒ( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
y(t ) = A∫ y(τ )dτ + Bx(t ) + C ∫ x(τ )d τ t
t
∞−
∞−
و ﺛﺎﺑﺘﻬﺎي ،B ،Aو Cرا ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺛﺎﺑﺘﻬﺎي b ، a1 ، aو b1ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ. )ب( ﻧﺸﺎﻧﺪﻫﻴﺪ ﻛﻪ Sرا ﻣﻲ ـﻮان اﺗﺼﺎل ﺳﺮي دو ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIزﻳﺮ داﻧﺴﺖ ) S1 : y1 (t ) = Bx1 (t ) + C ∫ x(τ t
∞−
) S 2 : y 2 (t ) = A∫ y 2 (τ )dτ + x 2 (t t
∞−
)ج( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي S1را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )د( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي S 2را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ).ﻫـ( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒـﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S 2ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ آي ﺳﻴﺴﺘﻢ S1رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
١٥١
)و( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S1ﺑﻪ دﻧﺒـﺎل ﻧﻤـﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒـﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S 2رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )ز( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ دو اﻧﺘﮕﺮاﻟﮕﻴﺮي ﺑﻨﺪ )و( را ﻣﻲ ـﻮان در ﻫﻢ ادﻏﺎم ﻛﺮد .ﻧﻤـﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒـﻪ اي ﺣﺎﺻـﻞ را ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻮع IIﺳﻴﺴﺘﻢ Sﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ ،ﺣﺎل آن ﻛـﻪ ﻧﻤـﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒـﻪ اي ﺑﻨـﺪﻫﺎي )ﻫــ( و )و( ﺗﺤﻘـﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻮع Iﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺑﺎ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ داده ﺷﺪه اول و ﺧﻼﺻﻪ ﺳﺎزي ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ: a t b t b ) y (τ )dτ + ∫ x(τ )dτ + 1 x(t ∫ − ∞ − ∞ a1 a1 a1 b b a ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ A = − :و B = 1و = c a1 a1 a1 )ب( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ) z 2 (t ) = y1 (tﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ اﻳﻦ دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي اﻧﺘﮕﺮال را ﺣﺬف ﻛﻨﻴﻢ .دارﻳﻢ: y (t ) = −
) y 2 (t ) = A∫ y 2 (τ )dτ + B ∫ x1 (τ )dτ + cx1 (t
]y [ n 2
t
t
∞−
∞−
] y [ n] x [ n 2
1
]x [ n 1
١٥٢
١٥٣
+
+
D
]X[n
1/2
D D
-1/2
D -5/2 ﺷﻜﻞ )ح(2,58 )ج( ﺷﻜﻞ ﻫﺎي ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺮاي ﻗﺴﻤﺖ ﻫﺎي ﺑﺎﻗﻲ ﻣﺎﻧﺪه اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ در ﺷﻜﻞ ح .2,59ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ.
١٥٤
)y (t
) x (t 2
2
) y (t
) x (t
1
1
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
د ﺷﻜﻞ ح.2,59 (2,60ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﻋﻠّﻲ Sﺑﺎ راﺑﻄﻪ ورودي ) x(tو ﺧﺮوﺟﻲ ) y (tزﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ.
) d y 2 (t ) d y (t ) d x(t ) d x 2 (t b + a + a y ( t ) = b x ( t ) + b + 1 2 dt dt d t2 d t2 )اﻟﻒ( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ τ τ ) ∫ ∫ ( y(σ )dσ )dτ + Cx(t
t
a2
∫ y(t ) = A∫ y (τ )dτ + B t
∞−
∞− ∞ −∞ −
τ + D ∫ x(τ )dτ + E ∫ ∫ x(σ )dσ dτ ∞− ∞ −∞ − و ﺛﺎﺑﺘﻬﺎي ،D ،C ،B ،Aو Eرا ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺛﺎﺑﺘﻬﺎي ، b1 ، b ، a 2 ، a1 ، aو b2ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻴﺪ. t
t
τ t t S1 : y (t ) = Cx1 (t ) = Cx1 (t ) + D ∫ x1 (τ )dτ + E ∫ ∫ x(σ )dσ dτ ∞− ∞− ∞ − t t τ ) S 2 : y 2 (t ) = A∫ y 2 (τ )dτ + B ∫ ∫ y 2 (σ )dσ dτ + x 2 (t ∞− ∞ −∞ − )ب( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي S1را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
)ج( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي S 2را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )د( ﻧﻤﺎش ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S 2ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S1رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
١٥٥
)ه( ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي Sرا ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﺼﺎل ﺳﺮي ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S1ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺳﻴﺴﺘﻢ S 2رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )و( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﭼﻬﺎر اﻧﺘﮕﺮاﻟﮕﻴﺮ ﺟﻮاب ﺑﻨﺪ )و( را ﻣﻲ ﺗـﻮان در دو اﻧﺘﮕﺮاﻟﮕﻴـﺮ ادﻏـﺎم ﻛـﺮد .ﻧﻤـﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺣﺎﺻﻞ را ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻮع IIﺳﻴﺴﺘﻢ Sﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ ،ﺣﺎل آن ﻛﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺟﻌﺒﻪ اي ﺑﻨﺪﻫﺎي )ﻫـ( و )و( ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻮع Iﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺑﺎ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي از ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ داده ﺷﺪه و ﺧﻼﺻﻪ ﺳﺎزي دارﻳﻢ: τ
∫ ∫ y(σ )dσdτ t
∞−∞ −
− a1 t a y (τ )dτ − ∫ ∞a 2 − a2
b ) ∫ x(τ )dτ + a x(t 2
1
t
∞−
b1 a2
x(σ )dσdτ +
y (H ) = − t
t
∫ ∫
∞−∞ −
b a2
+
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ − a1 b b b ∞− = ،B = ،C = 2 ، D = 1 ، E a2 a2 a1 a2 a2 )ب( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ) x2 (t ) = y1 (tو ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ اﻳﻦ را از دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي اﻧﺘﮕﺮاﻟﻲ ﺣﺬف ﻛﻨﻴﻢ. =A
)پ( ﺷﻜﻠﻬﺎي ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺮاي ﻗﺴﻤﺘﻬﺎي ﺑﺎﻗﻲ ﻣﺎﻧﺪه اﻳﻦ ﻣﺴﺄﻟﻪ در ﺷﻜﻞ ح ،2,60ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
١٥٦
) y (t 2
+ A
∫
)Y(t + +
∫ D
1
+
)ج(
E
∫
)ب(
A
+
∫
B
)Y(t
+
+
+
+
)X(t
C
∫
∫
+
∫
E
)ﻫـ(
∫
D
+
)Y(t
+
∫
+
B
)X(t
A
C
1
∫
∫
C
) (t
2
x
) y (t
) x (t
D
B
∫
E
)د(
)X(t
C
+
∫ +
A
D
+
∫ E
)و(
B
ﺷﻜﻞ ح2,60 ) (2,61اﻟﻒ( در ﻣـﺪار ﺷـﻜﻞ م ) 61-2اﻟـﻒ( ) x(tوﻟﺘـﺎژ ورودي اﺳـﺖ .وﻟﺘـﺎژ ) y (tروي ﺧـﺎزن را ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ) (iﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻠﻲ را ﻛﻪ ) x(tو ) y (tرا ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﺑﻨﺪ ) (iﺑﻪ ﺻﻮرت
jω 2 t
+ K2e
jω1t
K 1 eاﺳﺖ.
ﻣﻘﺎدﻳﺮ ω1و ω 2را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiiﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﭼﻮن وﻟﺘﺎژ و ﺟﺮﻳﺎن ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ اﺳﺖ. )ب( در ﻣﺪار ﺷﻜﻞ م ) 61-2ب( ) x(tوﻟﺘﺎژ ورود اﺳﺖ .وﻟﺘﺎژ ) y (tروي ﺧﺎزن را ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴـﺴﺘﻢ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ.
١٥٧
) y (t
±
) x(t
)اﻟﻒ( ﺷﻜﻞ م 61-2اﻟﻒ R = 1Ω ) x (t
C = 1F R = 1Ω
±
) x (t
)ب(
R = 2Ω ) y (t F
1 5
±
=C
) x (t
)ج( ﺷﻜﻞ م 61-2ب و ج ) (iﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻠﻲ را ﻛﻪ ) x(tو ) y (tرا ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺻﻮرت Ke atاﺳﺖ و ﻣﻘﺪار aرا ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ. )ج( در ﻣﺪار ﺷﻜﻞ م ) 61-2ج( ) x(tوﻟﺘﺎژ ورودي اﺳﺖ .وﻟﺘﺎژ ) y (tروي ﺧﺎزن را ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ. ) (iﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻠﻲ را ﻛﻪ ) x(tو ) y (tرا ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ) (iiﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﭼﻮن وﻟﺘﺎژ و ﺟﺮﻳﺎن ﺑﺎﻳﺪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻳﻚ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﻣﻴﺮ اﺳﺖ. ﺣﻞ:
١٥٨
)اﻟﻒ( ) (iاز ﻗﺎﻧﻮن وﻟﺘﺎژ ﻛﺮﻳﺸﻬﻒ ،ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ وﻟﺘﺎژ ورودي ،ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﻣﺠﻤـﻮع وﻟﺘﺎژﻫـﺎي ﺷـﺎﺧﻪ ﻫـﺎي ﺧﺎزﻧﻲ و ﺳﻠﻔﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻓﻠﺬا
) d 2 y (t ) + y (t dt
x(t ) = c
ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎدﻳﺮ c ,دارﻳﻢ:
) d 2 y (t ) + y (t ) = x(t dt 2 (iiﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ،2,53ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ) d 2 y (t ) dy (t + a1 ) + a2 y (t ) = bx(t dt dt ﺑﺮﺣﺴﺐ k1e s t + k 2 e s1tﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ sو s1رﻳﺸﻪ ﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﻣﺸﺨـﺼﻪ = s 2 + a1 s + a2 ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. )در اﻳﻨﺠﺎ ﻓﺮض ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ( s ≠ s1در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ = a1و a2 = 1ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ رﻳﺸﻪ ﻫـﺎي ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ s = jو . s1 = − jﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از: hh (t ) = k1e it + k 2 e − jt
و
ω 2 = w1 = 1 ) (iiiاﮔﺮ وﻟﺘﺎژ و ﺟﺮﻳﺎن ﺑﻪ اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺷﻮﻧﺪ k1 = k 2 = k .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
)
(
y h (t ) = 2k cos t = 2k sin t + π
2 )ب( ) (iاز ﻗﺎﻧﻮن وﻟﺘﺎپ ﻛﺮﻳﺸﻬﻒ ،ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ وﻟﺘﺎپ ورودي ﺑﺎﻳﺪ ﻳﺎ ﻣﺠﻤﻮع وﻟﺘﺎپ ﺷﺎﺧﻪ ﻣﻘﺎوﻣﺘﻬـﺎ و ﺧﺎزﻧﻬﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: ) dy (t ) + y (t dt ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎدﻳﺮ Rو Lو Cدارﻳﻢ.
x(t ) = Rc
) dy (t ) + y (t ) = x(t dt ) (iiﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ،ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻓﻮق ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠـﻪ ﻣـﺴﺎﻟﻪ
) ، (2,53ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ
١٥٩
) dy (t ) + a1 y (t ) = bx(t dt ﺑﺮﺣﺴﺐ Ae s tرﻳﺸﻪ ي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ اﺳﺖ
= s + a1 ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ، s = −1ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ رﻳﺸﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ a1 = 1در اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﺎ y h (t ) = ke −t
و a =1 )ج( از ﻗﺎﻧﻮن وﻟﺘﺎپ ﻛﺮﻳﺸﻬﻒ ،ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ وﻟﺘﺎژ ورودي ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮع وﻟﺘﺎژﻫﺎي ﺷﺎﺧﻪ ﻫﺎي ﻣﻘـﺎوﻣﺘﻲ
و ﺳﻠﻔﻲ و ﺧﺎزﻧﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) d 2 y (t ) dy (t + Rc ) + y (t dt dt ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎدﻳﺮ Rو Cو ،Lدارﻳﻢ:
x(t ) = fc
) d 2 y (t ) dy (t +2 ) + sy (t ) = 5 x(t 2 dt dt ) (iiﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ،2,53ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ) d 2 y (t ) dy (t + a1 ) + 5 y (t ) = bx(t dt dt ﺟﻤﻼﺗﻲ ﺑﺮﺣﺴﺐ k1e s1t + k 2 e sLtﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ در آن s , s1رﻳﺸﻪ ﻫﻲ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ي ﻣﺸﺨـﺼﻪ ﻣـﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
= s 2 + a1 s + a2 )ﻓﺮض ﺷـﺪه اﺳـﺖ ﻛـﻪ ( s ≠ s1در اﻳـﻦ ﻣـﺴﺌﻠﻪ a1 = 2و a2 = 5ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ رﻳـﺸﻪ ﻫـﺎي ﻣﻌﺎدﻟـﻪ s = −1 + 2 jو . s1 = −1 − 2 jﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ: y h (t ) = k1e −t e 2 jt + k 2 e −t e −2 jt
و a = −1 ) (iiiاﮔﺮ وﻟﺘﺎژ و ﺟﺮﻳﺎن ﺣﻘﻴﻘﻲ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ ،در اﻳﻨﺼﻮرت . k1 = k 2 = k
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
١٦٠
)
(
− y h (t ) = 2ke − t cos(2t ) = 2ke −t sin t + π
2 ) (2,62اﻟﻒ( در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻜﺎﻧﻴﻜﻲ ﺷﻜﻞ م ) 62-2اﻟﻒ( ﻧﻴﺮوي ) x(tاﻋﻤـﺎل ﺷـﺪه ﺑـﻪ ﺟـﺮم ورودي ،و ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ) y (tﺟﺮم ﺧﺮوﺟﻲ اﺳﺖ .ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧـﺴﻴﻞ ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﻛﻨﻨـﺪه ) x(tو ) y (tرا ﺑﻴﺎﺑﻴـﺪ .ﻧـﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ. )ب( ﺷﻜﻞ م ) 62-2ب( را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛـﻪ در آن ﻧﻴـﺮوي ) x(tورودي و ﺳـﺮﻋﺖ ) v(tﺧﺮوﺟـﻲ اﺳﺖ .ﺟﺮم ﺧﻮدرو و mو ﺿﺮﻳﺐ اﺻﻄﻜﺎك ﺟﻨﺒﺸﻲ ρو ﺿﺮﻳﺐ اﺻﻄﻜﺎك ﺟﻨﺒـﺸﻲ ρاﺳـﺖ .ﻧـﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﻃﺒﻴﻌﻲ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻴﺮ اﺳﺖ.
= 2N / m
ﺛﺎﺑﺖ ﻓﻨﺮ = k = 1 kgﺟﺰم = m
K = 2N / m
k
b = Damping = 2 N − s / m
1 kg
) ↓ x(t
m = 1, 000 kg = m
ρ = 0.1 N − s / m
2
→ ) ρ y (t
) ← x(t ) x (t
m
)اﻟﻒ(
٥ )ج (
)ب (
ﺷﻜﻞ م 62-2اﻟﻒ و ب و ج
K = ﺛﺎﺑﺖ ﻓﻨﺮ 2 N/M
= mﺟﺮم = 1 kg
= bﺛﺎﺑﺖ ﻣﻴﺮاﻳﻲ = 2 N-s/m
١٦١
)ج( در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻜﺎﻧﻴﻜﻲ ﺷﻜﻞ م ) 62-2ج( ﻧﻴﺮوي ) x(tاﻋﻤﺎل ﺷﺪه ﺑﻪ ﺟﺮم ورودي و ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ) y (t ﺟﺮم ﺧﺮوﺟﻲ اﺳﺖ. ) (iﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ را ﻛﻪ ) x(tو ) y (tرا ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
}
{
) (iiﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﺑﻨﺪ ) (iﺑﻪ ﺻﻮرت e at K1e j −t + K 2 e i −tاﺳـﺖ و aرا ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻧﻴﺮوي ) x(tﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻴﺮوﻫﺎي ﻻزم ﺑﺮاي ﺧﻨﺜﻲ وزن و ﻧﻴﺮوي ﻻزم ﺑﺮاي ﻛﺶ ﻣﺘـﺮ ﺑﺮاﺑـﺮ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) d 2 y (t x(t ) = m ) + ky (t ) = x(t dt ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري ﻣﻘﺎدﻳﺮ mو ،kدارﻳﻢ: ) d 2 y (t ) + 4 y (t ) = 2 x(t dt 2 ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ،2,53ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ي دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ) d 2 y (t ) dy (t + a1 ) + a2 y 2 (t ) = bx(t 2 dt dt ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺟﻤﻼﺗﻲ از k1e s t + k 2 e s / tﻛﻪ sو s1رﻳﺸﻪ ﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨـﺼﻪ = s 2 + a1 s + a2 ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. )ﻓﺮض ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ( s ≠ s1در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ = a2و . a2 = 4ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،رﻳﺸﻪ ﻫـﺎي ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﺑﺮاﺑـﺮ s = ±2 jو s1 = 2 jﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ .ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از: yh (t ) = k1e 2 jt + k 2 e 2 jt
ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻨﻜﻪ ) y (tﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ ،دارﻳﻢ ، k1 = k 2 = kﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ) y h (tﭘﺮﻳﻮدﻳﻚ اﺳﺖ.
y h (t ) = 2k cos t
)ب( ﻧﻴﺮوي ) x(tﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﻧﻴﺮوي ﻣﻮردﻧﻴﺎز ﺑﺮاي ﺧﻨﺜﻲ ﻛﺮدن وزن و ﻧﻴﺮوي ﻻزم ﺑﺮاي ﻛـﺸﺶ ) dy (t ﻣﺘﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) + by (t dt
x(t ) = mﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري ﻣﻘﺎدﻳﺮ mو bدارﻳﻢ:
١٦٢
) dy (t ) y (t ) x(t + = dt 10000 1000 و اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﺴﺌﻠﻪ 2,53ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ) dy (t ) + a1 y (t ) = bx(t dt ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺟﻤﻼﺗﻲ از Ae s tﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .ﻛﻪ sرﻳﺸﻪ ي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ
= s + a1 1 در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ 10000
= a1ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،رﻳﺸﻪ ي ﻣﻌﺎدﻟﻪ s = −10 −4ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از y h (t ) = ke −10 t −4
واﺿﺢ اﺳﺖ ) y h (tﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻛﺎﻫﺶ ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ. )ج( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﻴﺮوي ﻻزم ﺑﺮاي ﺧﻨﺜﻲ ﻛﺮدن ﻧﻴﺮوي ﻣﺘﺮ ﻧﺎﺷﻲ از ) . y (t
ﻧﻴﺮوي ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﺑﺮاي ﺧﻨﺜﻲ ﻛﺮدن وزن +ﻧﻴﺮوي ﻻزم ﺑﺮاي ﺧﻨﻲ ﻛﺮدن ﺑﺮ ﺧﻮد ﺗﻮﺳﻂ ) x(t ) = y (t ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) d 2 y (t ) dy (t +b ) + ky (t dt dt ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎدﻳﺮ mو bو kدارﻳﻢ:
x(t ) = m
) d 2 y (t ) dy (t +2 ) + 2 y (t ) = x(t 2 dt dt ) (iiﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﺴﺌﻠﻪ 2,53ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ) d 2 y (t ) dy (t + α1 ) + a 2 y (t ) = b1 x(t dt dt ﺟﻤﻼﺗــﻲ ﺑﺮﺣــﺴﺐ k1e s t + k 2 e s1tﺧﻮاﻫــﺪ ﺑــﻮد ﻛــﻪ s1 , sرﻳــﺸﻪ ﻫــﺎي ﻣﻌﺎدﻟــﻪ ﻣﺸﺨــﺼﻪ = s 2 + a1 s + a2ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. )ﻓﺮض ﺷﺪه ﻛﻪ ( s ≠ s1در اﻳﻦ رﻳﺸﻪ a1 = 2و a2 = 2ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ رﻳـﺸﻪ ﻫـﺎي ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﺑﺮاﺑﺮﻧـﺪ ﺑـﺎ s = −1 + jو . s1 = −1 − jﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ y h (t ) = k1e − t e jt + k 2 e − t e − jt
و
١٦٣
a =1 ) (iiiاﮔﺮ ﻧﻴﺮو ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺷﺪه ،ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺎﺷﺪ.در اﻳﻦ ﺻﻮرت k1 = k 2 = kﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
)
2
(
y h (t ) = 2ke − t cos(t ) = 2ke − t sin t + π
و
y[ ] = 100000 (2,63ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻳﻚ وام 100000دﻻري را ﺑﺎ اﻗﺴﺎط ﻣﺴﺎوي ﻣﺎﻫﻴﺎﻧﻪ Dدﻻر ﺑﺎز ﭘﺮداﺧﺖ ﻛﻨﻴﻢ .رﺑـﺢ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺮﻛﺐ و ﻣﺎﻫﻴﺎﻧﻪ ،ﺑﺎ ﻧﺮخ ﺳﺎﻟﻴﺎﻧﻪ %12روي ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه ﺑﺪﻫﻲ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد. 0 / 12 $100000 = $101000 12 ﺑﺎﻳﺪ Dرا ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﭘﺲ از ﻳﻚ ﻣﺪت ﻣﻌﻴﻦ ﻛﻞ وام ﭘﺮداﺧﺖ و ﺑﺪﻫﻲ ﺻﻔﺮ ﺷﻮد. $100000 +
)اﻟﻒ( ﺑﺮاي ﺗﻮﺻﻴﻒ رﻳﺎﺿﻲ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] y[nﺑﺪﻫﻲ ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه ﭘﺲ از nﻣـﺎه اول اﺳـﺖ .وام در ﻣﺎه ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ و ﭘﺮداﺧﺖ از ﻣﺎه 1آﻏﺎز ﻣﻲ ﺷﻮد .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ] y[nﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ زﻳﺮ )م (1-63-2
y[n] = γy[n − 1] = − D
را ﺑﺎ ﺷﺮط اوﻟﻴﻪ
y[ ] = $100000 ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ در آن γﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ γ .را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. )ب( ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( را ﺣﻞ ﻛﺮده ] y[nرا در ≥ nﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ. راﻫﻨﻤﺎﺋﻲ :ﺟﻮاب ﻣﺨﺼﻮص ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-63-2ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ Yاﺳـﺖ .ﻣﻘـﺪار Yرا ﻳﺎﻓﺘـﻪ y[n] ،را در ≥ nﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻﻲ و ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻧﺎﻣﻌﻠﻮم ﺟـﻮاب ﻫﻤﮕـﻦ را ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ] y[1از ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-63-2و ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ آن ﺑﺎ ﺟﻮاب ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪ ،ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ(. )ج( اﮔﺮ وام 30ﺳﺎﻟﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻳﻌﻨﻲ ﭘﺮداﺧﺖ در 360ﻗﻄﺴﻂ ﻣﺎﻫﻴﺎﻧﻪ ﺻﻮرت ﮔﻴﺮد ،ﻣﻘﺪار Dﺑﺎﻳـﺪ ﭼﻘـﺪر ﺑﺎﺷﺪ؟ )د( ﻛﻞ ﺑﺎزﭘﺮداﺧﺖ 30ﺳﺎﻟﻪ ﭼﻘﺪرﺳﺖ؟ )ﻫـ( ﭼﺮا ﺑﺎﻧﻜﻬﺎ وام ﻣﻲ دﻫﻨﺪ؟ ﺣﻞ:
ﺗﺮﻛﻴﺐ Amtاز ﺑﺮج ﻗﺒﻠﻲ +ﭘﺮداﺧﺖ ﺷﺪه − Amtﻗﺮﺿﻲ y (t ) = Amt
١٦٤
]= 100000δ [n] + 1.01 y[n − 1] − Du[n − 1 ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
> y[n] = 1.01y[n − 1] − D1 n y[ ] = 100000و ℘ = 1.01و )ب( دارﻳﻢ: yb [n ] = 1.01 y p [n − 1]D
ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ . y p [n] = 1000ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺟﻮاب ﻫﻤﮕﻦ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ:
)y h [n] = A(1.01
n
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
y[n] = y y [n] + y p [n] = A(1.01) + 100 D n
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ، y[ ] = 100000دارﻳﻢ:
A = 100000 − 100 D
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ: y[n ] = (100000 − 100 D )(1.01) + 100 D n
)ج( دارﻳﻢ: + 100 D
)y[360] = ( p − 100 D )(1.01
360
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ D = $1028.60 )د( ﻣﺠﻤﻮع ﭘﺮداﺧﺘﻲ = $370.269
)ﻫـ( ﺳﺌﻮال دﺷﻮار در اﻳﻦ ﻛﺘﺎب !!! (2,64ﻳﻜﻲ از ﻓﻮاﻳﺪ ﻣﻬﻢ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي وارون در وﺿﻌﻴﺘﻬﺎﻳﻲ اﺳﺖ ﻛـﻪ ﻣـﻲ ﺧـﻮاﻫﻴﻢ ﻧـﻮﻋﻲ اﻋﻮاﺟـﺎج را ﺣﺬف ﻛﻨﻴﻢ .ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﺬف ﭘﮋواك ﻣﺤﺴﻮﺳﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻳﻚ ﺿﺮﺑﻪ ﺻـﻮﺗﻲ اوﻟﻴـﻪ ،در ﻓﻮاﺻـﻞ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺴﺎوي ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي ﺗﻀﻌﻴﻒ ﺷﺪه اﻳﻦ ﺻﺪا ﺑﻪ ﮔﻮش ﻣﻲ رﺳﺪ .ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ ،ﻣﺪﻟﻲ ﻛـﻪ ﻏﺎﻟﺒـﺎً ﺑـﺮاي اﻳﻦ ﭘﺪﻳﺪه ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲ رود ،ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اي ﻣﺸﺘﻤﻞ ﺑﺮ ﻳﻚ ﻗﻄﺎر ﺿﺮﺑﻪ اﺳﺖ.. ∞
) h(t ) = ∑ hk δ (t − kT = k
١٦٥
ﭘﮋواك ﻫﺎ ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ Tﺛﺎﻧﻴﻪ ﺗﻜﺮار ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ ،و hkﺿﺮﻳﺐ ﺑﻬﺮه kﺿﺮﻳﺐ ﺑﻬﺮه ﭘﮋواك ﺣﺎﺻـﻞ از ﺿـﺮﺑﻪ ﺻﻮﺗﻲ اوﻟﻴﻪ اﺳﺖ. )اﻟﻒ( ) x(tرا ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺻﻮﺗﻲ اوﻟﻴﻪ )ﻣﺜﻼً ﻣﻮﺳـﻴﻘﻲ ارﻛـﺴﺘﺮ( ،و ) y (t ) = x(t ) ∗ h(tرا ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﻛـﻪ ﺑﺪون ﻫﻴﭻ ﭘﺮدازﺷﻲ ﺑﻪ ﮔﻮش ﻣﻲ رﺳﺪ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .ﺑﺮاي ﺣﺬف اﻋﻮﺟﺎج ﺣﺎﺻﻞ از ﭘﮋواﻛﻬﺎ ﻣﻴﻜﺮوﻓـﻮﻧﻲ
ﻧﺼﺐ ﺷﺪه ﻛﻪ ) y (tرا ﻣﻲ ﮔﻴﺮد و آن را ﺑﻪ ﻳﻜﺴﻴﮕﻨﺎل اﻟﻜﺘﺮﻳﻜﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ .اﻳﻦ ﺳﻴﮕﺎل را ﻫﻢ ) x(t ﻣﻲ »اﻣﻴﻢ زﻳﺮا ﻣﻌﺎدل اﻟﻜﺘﺮﻳﻜﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺻﻮﺗﻲ اﺳﺖ ،و ﻣﻲ ﺗﻮان اﻳﻦ دو را ﺑﺎ ﺳﻴـﺴﺘﻤﻬﺎي ﻣﺒـﺪل ﺻـﻮﺗﻲ اﻟﻜﺘﺮﻳﻜﻲ ﺑﻪ ﻫﻢ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮد. ﻧﻜﺘﻪ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ داراي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-64-2واروﻧﭙﺬﻳﺮﺳـﺖ .ﭘـﺲ ﻣـﻲ ﺗﻮان ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) g (tﻳﺎﻓﺖ ،ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ
) y (t ) ∗ g (t ) = x(t ﻣﻌﺎﻻت ﺟﺒﺮي را ﻛﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺘﻮاﻟﻲ ) g (tدر آن ﺻﺪق ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﻴﺎﺑﻴـﺪ و ﺑـﺎ ﺣـﻞ آﻧﻬـﺎ g 2 ، g1 ، gرا ﺑﺮﺣﺴﺐ gkﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. 1 )ب( ) g (tرا ﺑﺎ ﻓﺮض ، h 2 )ج( ﺷﻜﻞ م 64-2ﻣﺪل ﺧﻮﺑﻲ ﺑﺮاي ﺗﻮﻟﻴﺪ ﭘﮋواك اﺳﺖ .ﭘﮋواﻛﻬﺎي ﻣﺘﻮال ،ﺻﻮرﺗﻬﺎي ﻓﻴﺪﺑﻚ ﺷـﺪه ) y (t
= gو ﺑﺮاي ﺗﻤﺎم ﻣﻘﺎدﻳﺮ hi = ، hi ≥ 2ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ.
ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﻛﻪ ﺑﻪ اﻧﺪازه Tﺛﺎﻧﻴﻪ ﺗﺄﺧﻴﺮ ﻳﺎﻓﺘﻪ و در aﺿﺮب ﺷﺪه اﻧـﺪ .ﻣﻌﻤـﻮﻻً ، < a < 1زﻳـﺮا ﭘﮋواﻛﻬـﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺗﻀﻌﻴﻒ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. ) (iﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ) .ﻓﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ﺳﻴـﺴﺘﻢ اﺑﺘـﺪاﺋﺎً ﺳـﺎﻛﻦ اﺳـﺖ ،ﻳﻌﻨـﻲ اﮔـﺮ در < ، 1 = ) x(t؛ آﻧﮕﺎه در < . y (t ) = ، t ) (iiﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ازاي < a < 1ﭘﺎﻳﺪاري و ﺑﻪ ازاي a > 1ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. ) g (t ) (iiiرا ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ .اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ وارون را ﺑﺎ ﺟﻤﻊ ﻛﻨﻨﺪه ،ﺿﺮب ﻛﻨﻨﺪه و ﻋﺪد و ﺗـﺄﺧﻴﺮ دﻫﻨﺪه Tﺛﺎﻧﻴﻪ ﺑﺴﺎزﻳﺪ. )د( ﻫﺮ ﭼﻨﺪ ﺑﺤﺚ ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﻛﺎرﺑﺮد ﺧﺎص در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘـﻪ ﺷـﺪﻫﻒ در ﻣـﻮرد ﺳﻴـﺴﺘﻤﻬﺎي ﭘﻴﻮﺳـﺘﻪ در
زﻣﺎن ﺑﻴﺎن ﺷﺪ وﻟﻲ در ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺗﻮان اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ را ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮد .ﻳﻌﻨﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTI ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ∞
] h[n ] = ∑ δ [n − k = k
١٦٦
واروﻧﭙﺬﻳﺮﺳﺖ و ﺳﻴﺴﺘﻢ وارون آن ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ زﻳﺮﺳﺖ ∞
] g [n] = ∑ gkδ [n − kN = k
ﺑﻪ راﺣﺘﻲ ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد giﻫﺎ ﻫﻤﺎن ﻣﻌﺎدﻻت ﺟﺒﺮي ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( را ارﺿـﺎ ﻣـﻲ ﻛﻨﻨـﺪ .ﻳـﻚ ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ زﻳﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮد. ∞
] ∑ δ [n − kN ∞k = −
) y (t
) x(t
⊕
ﺗﺄﺧﻴﺮ
a
T ﺷﻜﻞ م 64-2 اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ واروﻧﭙﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ .دو ورودي ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ اﻳﺠﺎد ﻛﻨﻨﺪ. ﺣﻞ:
)اﻟﻒ( دارﻳﻢ y (t ) ∗ h(t ) :و ) . x(t ) = y (t ) ∗ g (tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) g (t ) ∗ h(t ) = δ (t ﺣﺎل n
) h(t ) ∗ g (t ) t = nT = ∑ hk q n− k δ (t − nk = k
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ:
=n n = 1,2,3,...
1 =
n
n−k
∑h g k
= k
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ −h 1 , g1 = 2 1 h h
= g
− 1 − h12 h2 + ,... h h 2 h
= g2
= ] h[n
١٦٧
)ب( در اﻳﻦ ﻣﻮرد g = 1و g 2 = − 1و 2 ﻛﻪ:
)( 2
3
g 3 = − 1و ...ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻛﻪ ﻧـﺸﺎن ﻣـﻲ دﻫـﺪ
) ( 2 ) δ (t − KT k
∞
g (t ) = δ (t ) + ∑ − 1 k =1
)ج( ) (iدر اﻳﻨﺠﺎ: ∞
) h(t ) = ∑ a k δ (t − T = k
) (iiاﮔﺮ <∝< 1در اﻳﻦ ﺻﻮرت ، ∝ k < 1ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ) h(tﻣﺤﺪود ﺷﺪه و ﺑﻄﻮر ﻣﻌﻴﻦ اﻧﺘﮕـﺮال ﭘـﺬﻳﺮ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ .اﮔﺮ ، ∝> 1در اﻳﻦ ﺻﻮرت ) h(tﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻴﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﭘـﺬﻳﺮ ﻧﻴـﺴﺖ و ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﻧﺎﭘﻴﺪار ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ) (iiiدر اﻳﻨﺠﺎ ﻧﻴﺰ؛ ) . g (t ) = 1 − δ (t − Tﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻌﻜﻮس در ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ:
) y (t
⊕
ﺗﺄﺧﻴﺮ
) x(t
a
T )د( اﮔﺮ ] x1 [n] = δ [nو ] y[n] = h[n؛ اﮔﺮ ] x2 [n] = 1 δ [n] + 1 δ [n − Nو 2 2 ]. y[n] = h[n (2,65در ﻣﺴﺌﻠﻪ 45-1ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ را ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ﻣﻌﺮﻓﻲ و ﺑﻌﻀﻲ ﺧﺼﻮﺻﻴﺎت اﺳﺎﺳﻲ آن را ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﺮدﻳﻢ .ﻫﻤﺘﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﻧﻴﺰ ﻫﻤﺎن ﺧﻮاص را دارد و ﻫـﺮ دو ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎي ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻬﻢ و ﻣﺘﻌﺪدي دارﻧﺪ )و در ﻣﺴﺎﺋﻞ 66-2و 67-2ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺎن ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻛﺮد( .در اﻳـﻦ ﻣﺴﺌﻠﻬﺘﺎﺑﻊ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن راﻣﻌﺮﻓﻲ و ﭼﻨﺪ ﺧﺎﺻﻴﺖ دﻳﮕﺮ آن را ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ. ] x[nو ] y[nرا دو ﺳﻴﮕﻨﺎل ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﮕﺮﻳﺪ .ﺗﻮاﺑﻊ ﺧﻮد ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ] x[nو ] ، y[nﺑـﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ] φ xx [nو ] φ yy [nﻫﺴﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ.
١٦٨
∞
= ]φ xx [n
]∑ x[m + n]x[m ∞m = −
, ∞
= ]φ yy [n
]∑ y[m + n]y[m ∞m = −
ﺗﻮاﺑﻊ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﻣﺘﻘﺎل ] φ xy [nو ] φ yx [nﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ ∞
= ]φ xy [n
]∑ x[m + n]y[m ∞m = −
, ∞
= ]φ yy [n
]∑ y[m + n]x[m ∞m = −
اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ﺗﻔﺎوﺗﻬﺎي ﺧﺎﺻﻲ دارﻧﺪ φ xx [n] .و ] φ yy [nﺗﻮاﺑﻌﻲ زوج ﻫـﺴﺘﻨﺪ، و ﺣﺎل آن ﻛﻪ ]. φ xy [n] = φ yx [− n )اﻟﻒ( دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻫﻲ ﺧﻮد ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ] ، x3 [n] ، x2 [n] ، x1 [nو ] x4 [nﺷﻜﻞ م 65-2را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. )ب( دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻫﺎي ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. i, j = 1 , 2 , 3 , 4
i≠ j
] xi [nﻫﺎ ﻫﻤﺎن ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﺷﻜﻞ م 65-2ﻫﺴﺘﻨﺪ.
]x 2 [n n
١
١
٢
n
-١ ١ -١ -١
]x3 [n n
ﺷﻜﻞ م 65-2
n
l i
]x1 [n
٠
]x4 [n
]φ x y [n
١
٢
١
-١ ٠ ١ ١
١ ٥
٠
١ ٠ ١ ٢ ٣
١٦٩
)ج( ] x[nرا ورودي ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ،LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﻧﻤﻮﻧﻪ واﺣﺪ ] ، h[nو ] y[nرا ﺧﺮوﺟـﻲ ﻣﺘﻨـﺎﻇﺮ ﺑـﺎآن ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ φ xy [n] .و ] φ yy [nرا ﺑﺮﺣﺴﺐ ] φ xx [nو ] h[nﺑﻴﺎﺑﻴﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴـﺪ ﻛـﻪ ﻣـﻲ ﺗـﻮان ] φ xy [nو ] φ yy [nرا ﺧﺮوﺟﻲ دو ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIﺑـﻪ ورودي ] φ xx [nو ] φ yy [nداﻧـﺴﺖ؟ )ﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ اﻳـﻦ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ(. )د( ] h[nرا ] x1 [nﺷﻜﻞ م 65-2ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ] y[nﺧﺮوﺟﻲ ﻳـﻚ ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIﺑـﺎ ﭘﺎﺳـﺦ ﺿﺮﺑﻪ ] h[nﺑﻪ ورودي ] x1 [nاﺳﺖ .ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻨﺪ )ج( ] φ xy [nو ] φ yy [nرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺣﻞ: اﻟﻒ( دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺧﻮد ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ در ﺷﻜﻞ ح 2,65ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. )ب( دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻫﺎ ﺧﻮد ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ در ﺷﻜﻞ ح 2,65ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. )ج( دارﻳﻢ: ∞+
] ∑ h[− k ]φ [n − k xx
= ]φ xy [n
∞k = −
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] φ xy [nﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﻧﻤﺎﻳﺶ اﺳﺖ.
]φ xx [n] → h[− n] → φ xy [n
٤
٤ ] ١ φ [n x2 x3
١
-٢ ٠ ٢
)اﻟﻒ(
]φ x x [n 1 4
١
]φ x x [n
]-١φ x2 x2 [n n
1 1
٢
٣ ٢ ١٢ ٢ ١
٢
-٢ ٠ -١ -٣ -١
٠١
١
٢
١
٥
٠
-٥
] ١ φ x1x3 [n
٣
٤٣ ١
١ ١
]φ x x [n 1 2
٠ ١٢ ٣
٠١٢٣٤
n
٢ ٤
٠ -١ ١
١٧٠
]φ x x [n
]φ x x [n
2 4
١
2 4
-١ ٠ ١
]φ x x [n
١
2 2
٠
n
-٦-٥ -٤
١ )ب(
١٩ ١٦ ١٠ ١ ٤
-٤-٣-٢-١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤
٧ ٣٦ ٦ ٣ ١ ١
-٥ -٤-٣-٢ -١ ٠ ١ ٢ ٣ ﺷﻜﻞ ح2,65 )د(
ﻧﻴﺰφ yy [n] = ∑φ xx [n − k ]φhh [k ] : k
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ] φ yy [nﺑﻪ ﺻﻮرت ﻃﻴﺮ ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﻣﻲ ﺷﻮد.
φ ]→ h[n]∗ h[− n] → φ yy [n ] xx [n
)د( ] φ xy [nو φ yyدر ﺷﻜﻞ ح 2,65ﻧﺸﺎن داه ﺷﺪه اﺳﺖ.
h2 (t ) ، h1 (t ) (2,66و ) h3 (tﺷﻜﻞ م 66-2را ﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ ﺳـﻪ ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﺪ .اﻳﻨﻬـﺎ راﺗﻮاﺑﻊ واﻟﺶ ﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ و ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺳﺎدﮔﻲ ﺳﺎﺧﺘﺸﺎن ﺑﺎ ﻣﺪارﻫﺎي ﻣﻨﻄﻘﻲ و ﻧﻴﺰ ﭼﻮن ﻋﻤﻞ ﺿـﺮب در ﻫـﺮ ﻳﻚ از آﻧﻬﺎ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻋﻼﻣﺖ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺳﺖ و ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﻛﻠﻴﺪﻫﺎي ﺗﻐﻴﻴﺮ وﺿﻌﻴﺖ آن را اﻧﺠـﺎم داد، اﻫﻤﻴﺖ زﻳﺎدي دارﻧﺪ. )اﻟﻒ( ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ) x1 (tﺑﺎ ﻣﺸﺨﺼﺎت زﻳﺮ اﻧﺘﺨﺎب و رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ ) x1 (t ) (iﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
١٧١
) (iiﺑﻪ ازاي ﺗﻤﺎم ﻣﻘﺎدﻳﺮ ≥ . x1 (t ) = ،t
) (iiiﺑﻪ ازاي ﺗﻤﺎم ﻣﻘﺎدﻳﺮ ≥ x1 (t ) |≤ 1 ، t
t
٤
) h3 (t
) h2 (t
١
١
t
١ ٢ ٣
١ ٢ ٣ ٤
١ -
١ -
) h1 (t ١
t
٢
٣ ٤
١ ١ -
ﺷﻜﻞ م 66-2
) y1 (t ) = x1 (t ) ∗ h1 (t )(ivدر t = 4ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﻣﻘﺪار ﻣﻤﻜﻦ راداﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. )ب( ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( را ﺑﺮاي ) x 2 (tو ) x3 (tﺗﻜﺮار ﻛﻨﻴﺪ ،ﺑﻪ ﻧﺤـﻮي ﻛـﻪ ) y 2 (t ) = x 2 (t ) ∗ h2 (tدر t = 4و ) y3 (t ) = x3 (t ) ∗ h3 (tدر t = 4ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺷﻮﻧﺪ. )ج( ﻣﻘﺪار i≠ j
) yij (t ) = xi (t ) ∗ h j (t
در t = 4را ﺑﻪ ازاي i , j = 1, 2 , 3ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﺳﻴﺴﺘﻢ داراي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) hi (tرا ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺳﻴﮕﻨﺎل ) xi (tﻣﻲ ﻧﺎﻣﻨﺪ ،زﻳﺮا ﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ آن ﺑـﺮاي ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺷﺪن ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ازاي ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﻃﺮﺣﻮاره ) x1 (tدر ﺷﻜﻞ ح 2,66ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. )ب( ﻃﺮﺣﻮاره ) x2 (tو ) x2 (tدر ﺷﻜﻞ ح 2,66ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
) x1 (t
) x1 (t
١
t
٤
٣
٢
١
٠ ١
t
١ ٢ ٣ ٤
١ ٠
١
١٧٢
) x1 (t ١ ٤ t
٢ ٣ ١
-
ﺷﻜﻞ ح2,66
)ج ﺑﺮاي
) x1 (t ) ∗ h2 (t ) = x2 (t ) ∗ h3 (t = ) = x1 (t ) ∗ h3 (t
t=4
(2,67ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺣﻘﻘﻲ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ) x(tو ) y (tﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ∞+
φ xy (t ) = ∫ x(t + τ )y (τ )dτ
)م (67-2
∞−
ﺑﺎ ﮔﺬاﺷﺘﻦ ) x(tﺑﻪ ﺟﺎي ) y (tﻣﻌﺎدﻟﻪ )م ،(1-67-2ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x(tﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ.
) x 2 (t
) x1 (t ١
١
t
٧
٦
٤ ٥
٢ ٣
t
١ ١ )اﻟﻒ(
٢
١٧٣
) x1 (t
) x0 (t
١
t
٤
١
٢ ٣
t ١
١ ٢ ٣
٤
١ ١
)ب( ﺷﻜﻞ 67-2 ∞+
φ xx (t ) = ∫ x(t + τ )x(τ )dτ
)م (67-2
∞−
)اﻟﻒ( ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻳﻚ از دو ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x1 (tو ) x 2 (tﺷﻜﻞ م 1-67-2ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻮد ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. )ب( ) x1 (tرا ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻌـﻴﻦ داراي ﻋﻤـﺮ ﻣﺤـﺪود ﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﺪ ،ﻳﻌﻨـﻲ ﺑـﺮاي < tو ، t > T = ) . x(t ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ) φ xx (t − Tﭘﺎﺳﺦ ﻳﻚ ﻳﺴﺴﺘﻢ LTIﺑﻪ ورودي ) x(tاﺳﺖ .ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳـﺮ ﻣـﻲ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه در ﻣﺴﺌﻠﻪ 66-2ﻳﻜﺴﺎن اﺳﺖ. ) y (tرا ﭘﺎﺳﺦ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ، LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ) ، h(tﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x(tﺑﻨﺪ )ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ در < tو . x(t ) = ، t > Tﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ) h(tﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﻛﻨﻨﺪه ) ، y (tﺑﺎ ﻗﻴﺪ زﻳﺮ
ﻳﻚ ﻋﺪد ﻣﺜﺒﺖ ﺛﺎﺑﺖ h 2 (t )dt = M
)م (2-67-2
ﻣﻀﺮب اﺳﻜﺎﻟﺮي از ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه در ﺑﻨﺪ )ب( اﺳﺖ. ]راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﺷﻮارﺗﺰ ﺑﺮاي دو ﺳﻴﮕﻨﺎل ) υ (tو ) u (tﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از 2
1
1
a a 2 u (t )υ (t )dt ≤ ∫ u 2 (t )dt ∫ υ 2 (t )dt b b ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﻛﺮان ) y (Tرا ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ[.
a
∫
b
T
∫
١٧٤
)د( ﻗﻴﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2-67-2ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮاي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻳﻚ ﺿﺮﻳﺐ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲ ﻛﻨـﺪ ،زﻳـﺮا اﻓـﺰاﻳﺶ Mﺗﻨﻬـﺎ
ﺿﺮﻳﺐ اﺳﻜﺎﻟﺮ ﺑﻨﺪ )ج( را ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ دﻫﺪ .ﭘﺲ اﻧﺘﺨﺎب ) h(tﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﻨـﺪﻫﺎي )ب( و )ج( ﺑـﺎ ) x(t ﻣﻨﻄﺒﻖ اﺳﺖ ،ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ آن ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺷﻮد .ﭼﻨﺎن ﻛﻪ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﮔﻔﺖ در ﺑﻌﻀﻲ ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻬﻢ اﺳﺖ. در ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎي ﻣﺨﺎﺑﺮاﺗﻲ ﮔﺎﻫﻲ ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻳﻜﻲ از ﭼﻨﺪ ﺧﺒﺮ )ﻧﺸﺎن( ﻣﻤﻜﻦ را ارﺳﺎل ﻛﻨـﻴﻢ .ﻣـﺜﻼً وﻗﺘـﻲ ﻳﻚ ﭘﻴﺎم ﭘﻴﭽﻴﺪه را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ دودوﻳﻲ ﻛﺪ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ،ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ دارﻳﻢ ﻛﻪ اﻃﻼﻋﺎت را ﺑﻴـﺖ ﺑـﻪ ﺑﻴﺖ ارﺳﺎل ﻣﻲ ﻛﻨﺪ .ﻫﺮ ﺑﻴﺖ را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺨﺎﺑﺮه ﻛﺮد ،ﻣـﺜﻼً ﺑـﻪ ازاي ﺑﻴـﺖ ﺻـﻔﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x (tو ﺑﻪ ازاي ﺑﻴﺖ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x1 (tرا .در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮔﻴﺮﻧﺪه اﻳـﻦ ﺳـﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ ﺑﺎﻳـﺪ ﺗﺸﺨﻴﺺ دﻫﺪ ﻛﻪ ) x (tرﺳﻴﺪه اﺳﺖ ﻳﺎ ) . x1 (tﻋﺎﻗﻼﻧﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﮔﻴﺮﻧﺪه دو ﺳﻴﺴﺘﻢ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﻛـﻪ ﻳﻜﻲ ﺑﺮاي ) x (tو دﻳﮕﺮي ﺑﺮاي ) » x1 (tﺗﻨﻈﻴﻢ« ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ .ﻣﻨﻈﻮر از »ﺗﻨﻈـﻴﻢ« اﻳـﻦ اﺳـﺘﻜﻪ ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﺑـﺎ رﺳﻴﺪن ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﺑﺮاي آن ﺗﻨﻈﻴﻢ ﺷﺪه ،ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﺰرگ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﺪ .ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺧﺮوﺟﻲ ﺑـﺰرگ ﺑـﻪ ﻫﻨﮕﺎم رﺳﻴﺪن ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﺎص دﻗﻴﻘﺎً ﻫﻤﺎن ﺧﺼﻮﺻﻴﺘﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻨﻄﺒﻖ دارد. در ﻋﻤﻞ ارﺳﺎل و درﻳﺎﻓﺖ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﺎ اﻋﻮﻋﺎج و ﺗﺪاﺧﻞ ﻫﻤﺮاه اﺳﺖ .در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ اﺧـﺘﻼف ﺑـﻴﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﻪ ورودﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺎ آن ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﭘﺎﺳﺦ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺑﻪ ﻳﻜﻲ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي دﻳﮕـﺮي ﻛـﻪ ﻣـﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ارﺳﺎل ﺷﻮد ،ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﺮاي روﺷﻦ ﻛﺮدن اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x (tو ) x1 (tﺷﻜﻞ م -2 ) 67ب( را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ) (iﭘﺎﺳﺦ Lﺑﻪ ) x (tو ) x1 (tرا رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ .ﺑﺮاي L1ﻧﻴﺰ اﻳﻦ ﻛﺎر اﻧﺠﺎم دﻫﻴﺪ. ) (iiﻣﻘﺪار اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺨﻬﺎ را در t = 4ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻛﻨﻴﺪ .ﭼﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮي در ) x (tﺻﻮرت دﻫﻴﻢ ﺗﺎ ﻛﺎر ﮔﻴﺮﻧـﺪه در ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺑﻴﻦ ) x (tو ) x1 (tﺳﺎده ﺗﺮ ﺑﺎﺷﺪ؟ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﺎﻳﺪ ، t = 4ﭘﺎﺳﺦ Lﺑﻪ ) x1 (tو ﭘﺎﺳـﺦ L1ﺑﻪ ) x (tﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( ﺗﻮاﺑﻊ ﺧﻮد ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از: 1 1 2 − t+ ≤t≤2 = 24 2 3 ) , φ x1x1 (t )φ x1x1 (− t t>2
φx x
1 1
١٧٥
6(1 − t ) 1 − t t − 3 3 − t φ x2 x2 (t ) = t − 5 5 − t t − 7 y (t ) = φ xx (t − T )
a ≤ t ≤1 1≤ t ≤ 2 2≤t ≤3 3≤t ≤ 4 , φ x2 x2 (t ) = φ x2 x2 (− t ) 4≤t ≤5 5≤t ≤6 6≤t ≤7 t >7 در اﻳﻨﺼﻮرت، ﺑﺎﺷﺪh(t ) = x(T − t ) )ب( اﮔﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ :)ج( دا رﻳﻢ
y (T ) = ∫ x(τ )h(T − τ )dτ T
T ≤ m ∫ x 2 (t )dt 1
2
1
2
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ 1
y (t ) ﺑﺎM
2
T x 2 (t )dt ∫
1
2
: ﺣﺎل اﮔﺮداﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ
h(t ) =
m T
∫
x 2 (t )dt
x(T − t ) در اﻳﻦ ﺻﻮرت 1
T x 2 (t )dt 2 ∫ . ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ اﺳﺖh(T ) در اﻧﺘﺨﺎب ﺑﺎﻻ ﺑﺮايy (T ) واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ
y (T ) = M
1
2
Y-Axis
Y-Axis
١٧٦
د
x1 L
x1 L1 ٤
-٣
١
t
٢
٣
-١
-٢
٤
٦ ٧ ٨ ٥
()د ١ ٣ ١
٢
٤
t
-١ 2,67ﺷﻜﻞ ح : ؛ در اﻳﻨﺼﻮرتhL1 (t ) وLt ، L1 وL ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪii)
x (t ) ∗ hL (t ) t = 4 = 4 x (t ) ∗ hL1 (t ) t = 4 = 2 x1 (t ) ∗ hL (t ) t =4 = 4
١٧٧
x1 (t ) ∗ hL1 (t ) t = 4 = 4 ﺑﺮاي اﻧﻴﻜﻪ ﻛﺎر ﮔﻴﺮﻧﺪه ﺳﺎده ﺗﺮ ﮔﺮدد x (t ) ،ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ زﻳـﺮ ﻧـﺸﺎن داده ﺷـﺪه اﺳـﺖ ﺗﻐﻴﻴـﺮ دﻫﻴﺪ. (2,68ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي رادار ﻛﺎرﺑﺮد دﻳﮕﺮي اﺳﺖ ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎي ﻣﻨﻄﺒﻖ و ﺗﻮاﺑﻊ ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻲ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤـﻲ دارﻧﺪ .اﺳﺎس رادار ارﺳﺎل ﻳﻚ ﭘﺎﻟﺲ اﻟﻜﺘﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺴﻲ ﺑﻪ ﺳﻮي ﻫﺪف ،ﺑﺎزﺗـﺎب آن از ﻫـﺪف و در ﻧﺘﻴﺠـﻪ ﺑﺎزﮔﺸﺖ آن ﺑﻪ ﻓﺮﺳﺘﻨﺪه ﺑﺎ ﺗﺄﺧﻴﺮي ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻫﺪف ﺗـﺎ رادارﺳـﺖ .در ﺣﺎﻟـﺖ اﻳـﺪه آل ﺳـﻴﮕﻨﺎل درﻳﺎﻓﺘﻲ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺗﺄﺧﻴﺮ ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﺗﻀﻌﻴﻒ ﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل ارﺳﺎﻟﻲ اﺳﺖ. ﭘﺎﻟﺲ اﺻﻠﻲ ارﺳﺎﻟﻲ را ) p(tﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
) φ pp = ( ) = max φ pp (t t
ﻳﻌﻨﻲ ) ( φ ppﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﻣﻘﺪار ) φ pp (tاﺳﺖ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻫﺎز اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ اﮔـﺮ ﺷـﻜﻞ ﻣـﻮج درﻳﺎﻓﺖ ﺷﺪه درﮔﻴﺮﻧﺪه ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ
) x(t ) = a p(t − t ﻛﻪ در آن aﻣﻘﺪاري ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ ،آﻧﮕﺎه
) φ xp (t ) = max φ xp (t t
)راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﺷﻮارﺗﺰ را ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮﻳﺪ(. ﭘﺲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺳﺎده ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻳﺎﺑﻲ راداري ﺑﺮ اﺳﺎس اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺎ ﺷﻜﻞ ﻣﻮﺟﻲ ارﺳـﺎﻟﻲ ) ، p(tو ﻳﺎﻓﺘﻦ زﻣﺎن ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ ﺷﺪن ﺧﺮوﺟﻲ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺳﺘﻮارﺳﺖ. ﺣﻞ:
φ pp (τ ) = ∫ p(τ ) p(t + τ )dt ] ≤ [∫ p (τ )dτ ] [∫ p (t + τ )dτ
1 2
2
2
1
2
≤ ∫ p 2 (τ )dτ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
) φ pp (τ ) ≤ φ pp ( ) ⇒ φ pp ( ) = max φ pp (t ﻧﻴﺰ
) φ xp = φ pp (t − t ) ⇒ φ xp (t ) = φ pp ( ) = max φ xp (t
١٧٨
) (2,69اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
) g (t ) = x(t − τ در اﻳﻨﺼﻮرت: ∞+
) (∫ r (t )u (t )dt = −r ′( ) = − g ′( ) − f ( ) − g ( ) f ′ 1
∞−
ﻧﻴﺰ ∞+
g (t ) f ( )u1 (t )dt − ∫ g (t ) f ′( )u (t )dt ∞−
∞+
∫
∞−
) (= − g ′( ) f ( ) − g ( ) f ′ ﻛﻪ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎﻻﻳﻲ اﺳﺖ. )ج( ∞+
g n ( ) = ∫ g (τ )u 2 (τ )dτ ∞−
)د( ﻣﻲ ﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:
= ∫ g (τ ) f (τ )u (τ ) d τ 2
d2 = = 2 g ( −t ) f ( −t ) t dt −d = = g ′ ( −t ) f ( −t ) + g ( −t ) f ′ (t ) t dt ) ( = g n ( ) f ( ) − 2 g ′ ( ) f ′ ( ) + g ( ) f ′′ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ
) f (t )u 2 (t ) = f ( )u 2 (t ) − 2 f ′( )u1 (t ) + f ′′( )u (t (2,70ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻪ ﻗﻴﺎس ﺗﻮاﺑﻊ وﻳﮋه ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن ،ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋـﻪ ﺳـﻴﮕﻨﺎل وﻳـﮋه ﮔﺴـﺴﺘﻪ در زﻣـﺎن ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻨﻴﻢ. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
]u −1 [n] = u[n ]u = δ [n
و
١٧٩
]u1 [n] = δ [n] − δ [n − 1 ﺗﻮاﺑﻊ زﻳﺮ را ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻨﻴﺪ ]u k [n ] = u1 [n ][n]∗ ... ∗ u1 [n
> ,k
kﺑﺎر
و ]u k [n ] = u −1 [n ]∗ ... ∗ u −1 [n
< ,k
kﺑﺎر
ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] x[n ]∗ δ [n ] = x[n ∞
]∑ x[m
= ]x[n ]∗ u[n
∞m = −
و
]x[n]∗ u −1 [n] = x[n] − x[n − 1 )اﻟﻒ( ﻣﻘﺪار زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ∞
]∑ x[m]u [m 1
∞m = −
)ب( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
]x[n]u1 [n] = x[ ]u1 [n] − ( x[1] − x[ ])δ [n − 1
]= x[1]u1 [n] − ( x[1] − x[ ])δ [n )ج( ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ] u 2 [nو ] u3 [nرا رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )د( ] u −2 [nو ] u −3 [nرا رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ. )ﻫـ( ﻧﺸﺎن دﻫﻲ
د ﻛﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺑﺮاي > kدارﻳﻢ
n ( !− 1) k = ]u k [n ](u[n]) − u[n − k − 1 )(1-70-2 !) n!(k − n )راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :از اﺳﺘﻘﺮاء اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ .از ﺑﻨﺪ )ج( ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ] ، u k [nﺑﻬﺎزاي k = 2 , 3ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م -2 (1-70را ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ .ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻦ ﻛﻪ ] uk [nﻧﻴﺰ ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺖ ،ﺑﺎ ﻧﻮﺷﺘﻦ ] u k +1 [nﺑﺮﺣﺴﺐ ] u k [nﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ] u k +1 [nﻧﻴﺰ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ارﺿﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ(.
)و( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺑﺮاي > kدارﻳﻢ.
١٨٠
](n + k − 1)! u[n !)n!(k − 1
)م (2-70-2
= ]u − k [n
)راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :از اﺳﺘﻘﺮاء اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ .ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ] u −(k +1) [n] − u −(k +1) [n − 1] = u −k [u
)(3-70-2
ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﻓﺮض ﺻﺤﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2-70-2ﺑﺮاي ] ، u −k [nﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑـﺮاي ] u −(k +1) [n
ﻫﻢ ﻣﻌﺘﺒﺮﺳﺖ(. ﺣﻞ: دارﻳﻢ: ∞+
]}]∑ x[m]u [m] = ∑ x[m{δ [m] − δ [m − 1 1
∞m = −
m
]= x[ ] − x[1
)ب( دارﻳﻢ:
]]x[n]u1 [n] = x[ ]δ [n] − x[1]δ [n − 1] + [x[ δ [n − 1]] − x[ ]δ [n − 1 ]= x[ ]u1 [n] − {x[1] − x[ ]}δ [n − 1
]= x[ ]δ [n] − x[1]δ [n − 1] + x[1]δ [n] − x[1]δ [n ]= x[1]u1 [n] − {x[1] − x[ ]}δ [n )ج( دارﻳﻢ:
]u 2 [n] = u1 [n]∗ u1 [n] = δ [n] − 2δ [n − 1] + δ [n − 2 , ]u3 [n] = δ [n] = −3δ [n − 1] + 3δ [n − 2] − δ [n − 3 ﻃﺮﺣﻬﺎي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ در ﺷﻜﻞ ح 2,70ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﻧﺪ .ﺷﻜﻞ ح2,70 ٣
]u 2 [n
١
n
٣
١ ٢
-١
n
٠
-٣
)ج(
١
١
٠
٢
-٢
١٨١
١٠
٦
٦
٣ ١
n
٠ ١ ٢ ٣
]u −2 [n
٣ ١
...
n ﺷﻜﻞ )ح(2,70,1
)د( دارﻳﻢ: u − 2 [n ] = n + 1
≥n
, ≥n
)(n + 1)(n + 2 2
= ] u − 3[n
ﺷﻜﻞ ﻫﺎ در ﺷﻜﻞ ح 2,70ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ. )ﻫـ( وﺿﻌﻴﺖ ﺑﺮاي K = 1,2,3ﺻﺤﻴﺢ ﻫﺴﺘﻨﺪ .ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﺑﺮاي kدرﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ ،در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﺮاي
> u k +1 [n] = u1 [n]∗ u k [n] = −u k [n] − u k [n − 1] ، k ﺑﺎ اﺳﺘﺪﻻل ،ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ دﻟﻴﻞ ﺑﻴﺎورﻳﻢ ﻛﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﺮاي ﺗﻤﺎم > kﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ. )و( ﺑﺮاي u −1 [n] = u[n] ، k = 1ﻛﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ وﺿﻌﻴﺖ ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ .ﺑﺮاي k = 2
](n + 1) = u[n] = (n + 1)u[n
= ] u − 2 [n
!n ﻛﻪ دوﺑﺎره ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ ك وﺿﻌﻴﺖ درﺳﺖ اﺳﺖ .ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاي > k −1ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ،
در اﻳﻦ ﺻﻮرت: ]u −(k −1) [n ] = u −1 [n ] − u −k [n − 1
ﻧﻴﺰ:
!)(n + k − 2 !) n! (k − 2 ](n + k − 1)! u[n] − (n + k − 2)! u[n − 2 = !)(n − 1)! (k − 2 !)n! (k − 1
= ]u − (k −1) [n
١٨٢
ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻻ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )ح (2,70,1دارﻳﻢ:
](n + k − 1)! u[n !)n!(k − 1
= ] u − k [n
ﺑﺎ اﺳﺘﺪﻻل ،ﻣﻲ ﺗﻮان دﻟﻴﻞ آورد ﻛﻪ وﺿﻌﻴﺖ ﺑﺮاي ﺗﻤﺎﻣﻲ > kﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ. (2,71دراﻳﻦ ﻓﺼﻞ از ﭼﻨﺪ وﻳﮋﮔﻲ و ﻣﻔﻬﻮم ﺳﺎده ﻛﻨﻨﺪه ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي LTIاﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮدﻳﻢ .در اﻳـﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ دو ﺗﺎ از اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻴﻬﺎ را دﻗﻴﻘﺘﺮ ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﻨﻴﻢ .ﺧﻮاﻫﻴﻢ دﻳﺪ ﻛﻪ در ﺑﻌﻀﻲ ﺣﺎﻻت ﺑـﺴﻴﺎر ﺧﺎص ﺑﺎﻳﺪ اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻴﻬﺎ را ﺑﺎ دﻗﺖ و اﺣﺘﻴﺎط ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد ،ﺣﺎل آﻧﻜﻪ در ﺣﺎﻟﺘﻬﺎي دﻳﮕـﺮ ﺑـﺪون وﺳـﻮاس از آﻧﻬﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ. )اﻟﻒ( ﻳﻜﻲ از وﻳﮋﮔﻴﻬﺎي اﺳﺎﺳﻲ و ﻣﻬﻢ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ )در ﻫﺮ دو ﺣﺎﻟﺖ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن( وﻳﮋﮔـﻲ ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي اﺳﺖ .ﻳﻌﻨﻲ اﮔﺮ ) ، x(t ) ، h(tو ) g (tﺳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎﺷﻨﺪ دارﻳﻢ
)م x(t ) ∗ [g (t ) ∗ h(t )] = [x(t ) ∗ g (t )] ∗ h(t ) = [x(t ) ∗ h(t )] ∗ g (t ) (1-71-2 راﺑﻄﻪ ﻓﻮق ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ درﺳﺖ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻋﺒﺎرت ﺧﻮش ﺗﻌﺮﻳـﻒ و ﻏﻴـﺮ ﺑـﻲ ﻧﻬﺎﻳـﺖ ﺑﺎﺷـﻨﺪ .ﭼـﻮن ﻣﻌﻤﻮﻻً اﻳﻦ ﺷﺮط ﺑﺮﻗﺮارﺳﺖ ،در ﻋﻤﻞ ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺑﺪون ﻫﻴﭻ ﻓﺮض و ﺗﻔﺴﻴﺮي راﺑﻄـﻪ ﻓـﻮق را ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﻣـﻲ ﺑﺮﻳﻢ .وﻟﻲ در ﺑﻌﻀﻲ ﺣﺎﻻت ﭼﻨﻴﻦ ﻧﻴﺴﺖ .ﺑـﺮاي ﻣﺜـﺎل ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﺷـﻜﻞ م 71-2را ﺑـﺎ ) h(t ) = u1 (tو ) g (t ) = u (tدر ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻪ ورودي زﻳﺮ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ. ﺑﺮاي ﺗﻤﺎم ﻣﻘﺎدﻳﺮ
x(t ) = 1
اﻳﻦ ﻛﺎر را ﺑﻪ ﺳﻪ ﻃﺮﻳﻖ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه در ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-71-2اﻧﺠﺎم دﻫﻴﺪ:
x(t ) → h(t ) → g (t ) ) → y (t x(t ) → g (t ) → h(t ) ) → y (t ﺷﻜﻞ م 71-2 ) (iاﺑﺘﺪا ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ دو ﭘﺎﺳﺦ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺣﺎﺻﻞ را ﺑﺎ ) x(tﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻛﻨﻴﺪ. ) (iiاول ) x(tرا ﺑﺎ ) ، u1 (tو ﺳﭙﺲ ﻧﺘﻴﺠﻪ را ﺑﺎ ) u (tﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻛﻨﻴﺪ. ) (iiiاول ) x(tرا ﺑﺎ ) u (tو ﺳﭙﺲ ﻧﺘﻴﺠﻪ را ﺑﺎ ) u1 (tﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﻛﻨﻴﺪ. )ب( ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( را ﺑﻪ ازاي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ ﺗﻜﺮار ﻛﻨﻴﺪ.
١٨٣
x(t ) = e − t ) h(t ) = e −t u (t ) g (t ) = u1 (t ) + δ (t )ج( ﻫﻤﻴﻦ ﻛﺎر را ﺑﺎ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ اﻧﺠﺎم دﻫﻴﺪ n
1 x[n] = 2
n
1 ]h[n] = u[n 2 1 ]g [n] = δ [n ] − δ [n − 1 2 ﭘﺲ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺗﻨﻬﺎ و ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ ﺑﺮﻗﺮارﺳﺖ ﻛـﻪ ﺳـﻪ ﻋﺒـﺎرت
ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-71-2ﻣﻌﻨﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ )ﻳﻌﻨﻲ ﺗﻌﺒﻴﺮ آﻧﻬﺎ ﺑﺮ ﺣـﺴﺐ ﺳﻴـﺴﺘﻤﻬﺎي LTIﻣﻌﻨـﻲ دار ﺑﺎﺷـﺪ(. ﻣﺜﻼً در ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( ﻣﺸﺘﻖ ﮔﻴﺮي از ﻳﻚ ﺛﺎﺑﺖ و ﺳﭙﺲ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي از آن ﻣﻌﻨﻲ دارد وﻟﻲ ﻓﺮآﻳﻨﺪ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي ﻳﻚ ﺛﺎﺑﺖ از ∞ t = −و ﺳﭙﺲ ﻣﺸﺘﻘﮕﻴﺮي از آن ﻣﻌﻨﻲ ﻧﺪارد ،و ﺗﻨﻬﺎ در ﭼﻨﻴﻦ ﻣﻮاردي اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي را ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮد.
ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي وارون ﻫﻢ ﺑﻪ ﻣﺒﺤﺚ ﻓﻮق ﺑﺴﻴﺎر ﻣﺮﺗﺒﻂ اﺳﺖ .ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ ) h(t ) = u (t در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﭼﻨﺎن ﻛﻪ در ﺑﻨﺪ )اﻟﻒ( دﻳﺪﻳﻢ ورودﻳﻬﺎﻳﻲ وﺟﻮد دارد ،ﻣﺜﻼً ) = x(tﺛﺎﺑﺖ ﻏﻴﺮ ﺻـﻔﺮ ،ﻛـﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ آﻧﻬﺎ ﺑﻲ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻣﻲ ﺷﻮد ،ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﺴﺌﻠﻪ وارون ﻛﺮدن اﻳﻦ ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﺑـﺮاي ﺑﺎزﻳـﺎﺑﻲ ورودي ﺑﻲ ﻣﻌﻨﻲ اﺳﺖ .اﻟﺒﺘﻪ اﮔﺮ ﺗﻨﻬﺎ ورودﻳﻬﺎﻳﻲ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺤـﺪودي دارﻧـﺪ ،ﻳﻌﻨـﻲ ورودﻳﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ در راﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﺻﺪق ﻛﻨﻨﺪ. )(2-71-2
∞ < x(τ )dτ
t
∫
∞−
ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻓﻮق وارون ﭘﺬﻳﺮﺳﺖ و وارون آن ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIداراي ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) u1 (tوارون آن اﺳﺖ. )د( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﺳﻴﺴﺘﻢ LTIﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ) u1 (tواروﻧﭙﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ) .راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :دو ورودي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ آﻧﻬﺎ ،در ﺗﻤﺎم زﻣﺎﻧﻬﺎ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ (.ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ اﮔﺮ ورودﻳﻬـﺎ در ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م -2 (2-72ﺻﺪق ﻛﻨﻨﺪ ،اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ واروﻧﭙﺬﻳﺮﺳﺖ] .راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :در ﻣـﺴﺌﻠﻪ 44-1ﻧـﺸﺎن دادﻳـﻢ اﮔـﺮ ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ازاي ورودي = ) x(tدر ﺗﻤﺎم زﻣﺎﻧﻬﺎ ﺻﻔﺮ ﺷﻮد ،ﺳﻴﺴﺘﻢ واروﻧﭙﺬﻳﺮﺳﺖ؛ آﻳﺎ ﻣﻲ ﺗﻮان دو
١٨٤
ورودي ) x(tﭘﻴﺪا ﻛﺮد ﻛﻪ در ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2-71-2ﺻﺪق ﻛﻨﻨﺪ و در ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ﺑﺎ ) u1 (tﻣﺘﺤﺪ ﺑـﺎ ﺻـﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ؟[ در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻄﺎﻟﺐ زﻳﺮ را ﻧﺸﺎن دادﻳﻢ: .1اﮔــﺮ ) ، x(t ) ، h(tو ) g (tﺳــﻪ ﺳــﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎﺷــﻨﺪ ﻛــﻪ ﺑــﺮاي آﻧﻬــﺎ ) ، h(t ) ∗ g (t ) ، x(t ) ∗ g (tو ) x(t ) ∗ h(tﻫﻤﮕﻲ ﺧﻮش ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﻣﺤﺪود ﺑﺎﺷـﻨﺪ ،ﺧﺎﺻـﻴﺖ ﺷـﺮﻛﺖ ﭘـﺬﻳﺮي )م (1-71-2ﺑﺮﻗـﺮار اﺳﺖ.
.2ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ) h(tﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻳـﻚ ﺳﻴـﺴﺘﻢ LTIاﺳـﺖ و ﭘﺎﺳـﺦ ﺿـﺮﺑﻪ ﻳـﻚ ﺳﻴـﺴﺘﻢ دﻳﮕـﺮ ) g (t ﺧﺎﺻﻴﺖ زﻳﺮ را دارد. )م (3-71-2
) h(t ) ∗ g (t ) = δ (t
ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ) (1ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺮاي ﺗﻤـﺎم ورودﻳﻬـﺎي ) x(tﻛـﻪ ﺑـﻪ ازاي آﻧﻬـﺎ ) ، x(t ) ∗ h(tو ) x(t ) ∗ g (t ﺧﻮش ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﻣﺤﺪودﻧﺪ ،دو ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺳﺮي ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ م 71-2ﻫـﺮ دو ﺳﻴـﺴﺘﻢ ﻫﻤـﺎﻧﻲ اﻧــﺪ ،ﭘــﺲ در ﺳﻴــﺴﺘﻢ LTIرا ﻣــﻲ ﺗــﻮان وارون ﻳﻜــﺪﻳﮕﺮ داﻧــﺴﺖ .ﻣــﺜﻼً اﮔــﺮ ) g (t ) = u1 (tو ) ، h(t ) = u (tﺗﺎ وﻗﺘﻲ ﺧﻮد را ﺑﻪ ورودﻳﻬﺎي ﺻﺪق ﻛﻨﻨﺪه در ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (2-71-2ﻣﺤﺪود ﻛﻨﻴﻢ ،اﻳﻦ دو ﺳﻴﺴﺘﻢ وارون ﻳﻜﺪﻳﮕﺮﻧﺪ. ﭘﺲ ﻣﻲ ﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮي ﻣﻌﺎدﻟﻪ )م (1-71-2و ﺗﻌﺮﻳـﻒ ﺳﻴـﺴﺘﻢ وارون ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )م -2 (3-71ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ ﻣﻌﺘﺒﺮﻧﺪ ﻛﻪ ﺗﻤﺎم ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻨﻬﺎي ﻣﻮﺟﻮد در آﻧﻬﺎ ﻣﺤـﺪود ﺑﺎﺷـﻨﺪ .ﭼـﻮن در ﺗﻤـﺎم ﻣـﺴﺎﺋﻞ واﻗﻌﻲ اﻳﻦ ﺷﺮط ﺑﺮﻗﺮارﺳﺖ ،اﻳﻦ ﺧﻮاص و ﺗﻌﺮاﻳﻒ را ﺑﺪون ﻫﻴﭻ ﻓﺮض و ﺗﻔﺴﻴﺮي ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﻣـﻲ ﺑـﺮﻳﻢ. ﺗﻮﺟﻪ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن ﻫﻢ ﺻﺎدق اﻧﺪ ]ﺑﻨﺪ )ج( ﻣﺴﺌﻠﻪ اﻳﻦ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ[. ﺣﻞ: )اﻟﻒ( دارﻳﻢ:
x(t ) ∗ [u1 (t ) ∗ u (t )] = x = 1; for all t. for all t
; = ) [x(t ) ∗ u1 (t )]∗ u (t ) = u(t
و )ب( دارﻳﻢ:
ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﺸﺪه = ) [x(t ) ∗ u (t )]∗ u1 (t ) = ∞ ∗ u1 (t ) h(t ) = e − t u (tو x(t ) = e − tو ) g (t ) = u1 (t ) + δ (tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:
١٨٥
x(t ) ∗ [h(t ) ∗ g (t )] = x(t ) = e − t = ) [x(t ) ∗ g (t )]∗ h(t ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﺸﺪه = )ج( دارﻳﻢ:
∞
g (t ) ∗ [x(t ) ∗ h(t )] = g (t ) ∗ e −t ∫ 1dτ
) ( 2 ) ∗ δ [n] = (1 2 n
n
x[n]∗ [[n]∗ g [n]] = 1
= ](x[n]∗ g [n]) ∗ h[n] = ∗ h[n ,
∞ = ](x[n]∗ h[n]) ∗ g [n] = (1 2 ) ∑1 ∗ g [n ∞ n
k = )د( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ) ، h(t ) = u1 (tدراﻳﻨﺼﻮرت اﮔﺮ ورودي ﺑﺮاﺑﺮ = ) x1 (tﺑﺎﺷﺪ ،ﺧﺮوﺟـﻲ ﺑﺮاﺑـﺮ اﺳـﺖ
ﺑﺎ = ) . y1 (tﺣﺎل ،اﮔﺮ ﺛﺎﺑﺖ ) x2 (tدر اﻳﻨﺼﻮرت = ) . y 2 (tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ.
اﮔﺮ = ) ∀t x2 (t x2 (τ )dτ = ∞− اﮔﺮ ≠ ) ∞ x2 (t t
ﺣﺎل ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ: t
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﮔﺮ ∞ ≠ ∫ cdt ∞−
∫
دراﻳﻦ ﺻﻮرت ﻓﻘﻂ = ) x2 (tﻧﺘﻴﺠﻪ ﺧﻮاﻫﺪ داد:
= ) y 2 (tﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮﻧﺎﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺳﺖ. 1 δ ∆ (t ) (2,72را ﻳﻚ ﭘﺎﻟﺲ ﺑﻪ ارﺗﻔﺎع ∆
در ∆ ≤ < tﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ .ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ
d 1 ]) ∆ δ (t ) = [δ (t ) − δ ∆ (t − dt ∆
ﺣﻞ: دارﻳﻢ: 1 ]) u (t ) ∗ [δ (t ) − δ (t − T ∆
ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻘﮕﻴﺮي از ﻃﺮﻓﻴﻦ دارﻳﻢ:
= ) δ ∆ (t
١٨٦
d 1 ]) δ ∆ (t ) = u ′(t ) ∗ [δ (t ) − δ (t − T dt ∆ 1 ]) = δ (t ) ∗ [δ (t ) − δ (t − T ∆ 1 ]) [δ (t ) − δ (t − T ∆ (2,73ﺑﺎاﺳﺘﻘﺮاء ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ t k −1 ) u (t !)(k − 1 ﺣﻞ :ﺑﺮاي . u −1 (t ) = u (t ) ، k = 1ﺑﻨﺎراﻳﻦ وﺿﻌﻴﺖ داده ﺷﺪه ﺑﺮاي k = 1ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ. = u −k
ﺣﺎل ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻄﻠﺐ ﻓﻮق ﺑﺮاي k > 1ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ. در اﻳﻨﺼﻮرت: ) u −1 (k + 1)(t ) = u (t ) ∗ u −k (t ) = ∫ u −k (t ) = ∫ u −k (τ ≥ t tk ) u (t !k
=
t
t
∞−
τ k −1
!)(k − 1 τk
t
∫=
> k (k − 1)! τ = t
=