٣٨٦
ﻓﺼﻞ ﭘﻨﺠﻢ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮر ﻳﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ در زﻣﺎن (5,1ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺗﺠﺰﻳﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ) (9-5ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ: n −1
)اﻟﻒ( ]u[n − 1
1 2
n −1
1 )ب( 2 اﻧﺪازه ﻫﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را در ﻳﻚ دوره ﺗﻨﺎوب رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ.
ﺣﻞ:
)اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ]u[n − 1
)( 2
n −1
) (
x[n] = 1ﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟـﻪ آﻧـﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ )،(5,9
ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ x e jωاﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ: − jωn
∞
( ) ∑ x[n]e
= x e jω
∞n = − )− jω ( n +1
( 2) e n
∞
e − jωn = ∑ 1
)ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ
n −1
n =c
)
)( 2
∞
=∑ 1
1 1 − 1 e − jω 2
(
n =1
= e − jω
)( 2
n −1
) (
x[n] = 1ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻟﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ ) ،95,9ﺗﺒـﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳـﻪ
x e jωاﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از: − jωn
∞
( ) ∑ x[n]e
= x e jω
∞n = −
e − jωn
)( 2
n −1
∞
e − j ωn + ∑ 1
( ) ∑ (1 2
)− n −1
n =1
=
∞n = −
ﻣﺠﻤﻮع دوم در ﻃﺮف راﺳﺖ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق دﻗﻴﻘﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺣﺎل: jω
( 2 )1 − 11 e
e j ωn = 1
2
)( 2
n +1
∞
e − jωn = ∑ 1 = n
( ) ∑ (1 2
)− n −1
∞−