ﻓﺼﻞ اول
ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ
١
-١-١ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺗﺎﺑﻌﻲ اﺳﺖ آﻪ ﺣﺎوي اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ درﺑﺎرﻩ رﻓﺘﺎر ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺳﺖ. ) x(tﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
] x[nﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ
t ,nﻣﺘﻐﻴﺮهﺎي ﻣﺴﺘﻘﻞ و xﻣﺘﻐﻴﺮ واﺑﺴﺘﻪ ﻳﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺳﻴﺴﺘﻢ :ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاي از اﺟﺰاي ﮔﺮد ﺁﻣﺪﻩ در آﻨﺎر هﻢ.
-٢-١ﻃﺒﻘﻪﺑﻨﺪي ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎ -١-٢-١ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ
-٢-٢-١ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ) x (t
] x [n
n ∈z
t ∈ IR
ﺑﺪﻳﻬﻲ اﺳﺖ آﻪ ﺑﺎ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري از ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ را ﺑﺪﺳﺖ ﺁورد.
-٣-١ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي زوج و ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي ﻓﺮد ) , Even x (t ) = x (−tﻳﺎ زوج
) x (t ) = −x (−t
, Oddﻳﺎ ﻓﺮد
] x [n ] = x [−n ] x [n ] = −x [−n
ﺗﺬآﺮ :١ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻓﺮد ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﺎﻻﺟﺒﺎر در ﻣﺒﺪا ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﻘﺪار ﺻﻔﺮ دارد. ﺗﺬآﺮ :٢هﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل دﻟﺨﻮاﻩ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮع دو ﺳﻴﮕﻨﺎل زوج و ﻓﺮد ﻧﻮﺷﺖ:
)) x (t ) = Even (x (t )) + Odd (x (t 1 )) (x (t ) + x (−t 2
= )) Even (x (t
1 )) (x (t ) − x (−t 2
= )) Odd (x (t
٢
ﻣﺜﺎل (١
) x (t ) = x (−t
t
) x (t ) = −x (−t
T 2
−1
t
−T 2
−2
2
1
-۴-١ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد آﻪ در ﺑﺎزﻩهﺎي زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺸﺨﺺ ﻋﻴﻨﺎ ﺗﻜﺮار ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ. 2π
T
k ∈Z
2π
N
k ∈Z
= ω 0 = 2πf = Ω 0 = 2πf
) x (t ) = x (t + T ) = x (t + kT ] x [n ] = x [n + N ] = x [n + kN
ﺗﺬآﺮ :١ﺑﺪﻳﻬﻲ اﺳﺖ آﻪ اﮔﺮ N , Tدورﻩ ﺗﻨﺎوب ﺑﺎﺷﻨﺪ ٢ﺑﺮاﺑﺮ و ٣ﺑﺮاﺑﺮ و ...ﺁن هﻢ دورﻩ ﺗﻨﺎوب اﺳﺖ. ﺗﺬآﺮ :٢آﻮﭼﻜﺘﺮﻳﻦ دورﻩ ﺗﻨﺎوب دورﻩ ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ اﺳﺖ ) Tدر ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ N ،در ﮔﺴﺴﺘﻪ( و ﻓﺮآﺎﻧﺲ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﺪﻩ ﺑﺎ آﻮﭼﻜﺘﺮﻳﻦ دورﻩ ﺗﻨﺎوب ،ﻓﺮآﺎﻧﺲ اﺻﻠﻲ اﺳﺖ ω 0 ) .در ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ Ω 0 ،در ﮔﺴﺴﺘﻪ( ﺗﺬآﺮ :٣دورﻩ ﺗﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ) (Tﺑﺎﻳﺪ ﻋﺪد ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﺪ ،درﺣﺎﻟﻴﻜﻪ دورﻩ ﺗﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ) (Nﻋﻼوﻩ ﺑﺮ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﻮدن ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﺻﺤﻴﺢ ﻧﻴﺰ ﺑﺎﺷﺪ. ﻣﺜﺎل (٢
) x (t
] x [n
11 n
4
3
−4
t
T
−T
دورﻩ ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ
دورﻩ ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ N = 8
2T
-۵-١ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي اﻧﺮژي و ﺗﻮان ∞+
] E = ∑ x 2 [n ∞−
(t ) dt
2
∞+
∫x
∞−
T 2
2 = ∫ x (t ) dt
−T 2
٣
E = lim
∞→ T
اﻧﺮژي
T
(t ) dt
2
2
∫x
−T 2
1
T
T
= (t ) dt
2
2
∫x
1
−T 2
T
P av = lim
] [n
∞→ T
2
N −1
∑x n =0
1
N
= P av
ﺗﻮان ﻣﺘﻮﺳﻂ
ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻧﺮژي ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﻣﺤﺪود ﺑﺎﺷﺪ.
-۶-١ﻋﻤﻠﻴﺎت روي ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺑﺴﺘﻪ )(1
) y (t ) = Ax (t
] y [n ] = Ax [n
)(2
) y (t ) = x 1 (t ) + x 2 (t
] y [n ] = x 1 [n ] + x 2 [n
)(3
) y (t ) = x 1 (t ) ⋅ x 2 (t
] y [n ] = x 1 [n ] ⋅ x 2 [n
) dx (t dt
)(4
= ) y (t ∞+
∫ x (λ) dλ
]y [n ] = x [n ] − x [n − 1 n
] ∑ x [m
= ) y (t
∞m = −
∞−
)(5
= ] y [n
-٧-١ﻋﻤﻠﻴﺎت روي ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ -١-٧-١ﺷﻴﻔﺖ زﻣﺎﻧﻲ ) y (t ) = x (t − t 0
] y [n ] = x [n − n 0
ﺷﻴﻔﺖ ﺑﻪ راﺳﺖ :اﮔﺮ t 0 > 0ﺑﺎﺷﺪ ) x(tرا ﺑﻪ اﻧﺪازﻩ t 0ﺑﻪ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲدهﻴﻢ ﺗﺎ ) y(tﺑﺪﺳﺖ ﺁﻳﺪ. ﺷﻴﻔﺖ ﺑﻪ ﭼﭗ :اﮔﺮ t 0 < 0ﺑﺎﺷﺪ ) x(tرا ﺑﻪ اﻧﺪازﻩ t 0ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲدهﻴﻢ ﺗﺎ ) y(tﺑﺪﺳﺖ ﺁﻳﺪ. ﺗﺬآﺮ :١ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ t 0 > 0ﺑﺎﺷﺪ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x (t − t 0از ) x(tﻋﻘﺐﺗﺮ اﺳﺖ )ﺑﻪ ﻟﺤﺎظ زﻣﺎﻧﻲ( و ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ t 0 < 0ﺑﺎﺷﺪ ،ﺳﻴﮕﻨﺎل
) x (t − t 0
از ) x(tﺟﻠﻮﺗﺮ اﺳﺖ.
ﺗﺬآﺮ :٢در ﻣﻮرد ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻴﺰ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ n 0 اﻧﺪازﻩ n 0
واﺣﺪ ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲدهﻴﻢ ﺗﺎ ] y[nﺑﺪﺳﺖ ﺁﻳﺪ.
۴
ﻣﺜﺒﺖ و ﻳﺎ ﻣﻨﻔﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ] x[nرا ﺑﻪ راﺳﺖ و ﻳﺎ ﭼﭗ ﺑﻪ
ﻣﺜﺎل (۴
ﻣﺜﺎل (٣
) x (t
] x [n 1
n
1 2
− 2 −1 t
−1
1 2
] y 1 [n n
−1
−5
1 2
) y 1 (t
]y 1 [n ] = x [n + 3 t
−1
0
] y 2 [n n
1
3
−
) y 2 (t
−1 −1
]y 2 [n ] = x [n − 1 t 5 2
3 2
در ﺑﺴﻴﺎري از ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺷﻴﻔﺖ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زوج ﻳﺎ ﻓﺮد درﺁورد.
-٢-٧-١وارونﺳﺎزي زﻣﺎﻧﻲ )(2
) y 1 (t ) = x (t + 12
) y (t ) = x (−t
] y [n ] = x [−n
) x(-tﻳﺎ ] x[-nاﻧﻌﻜﺎس ) x(tو ﻳﺎ ] x[nﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺤﻮر ﻗﺎﺋﻢ هﺴﺘﻨﺪ.
۵
)y 2 (t ) = x (t − 2
ﻣﺜﺎل (۶
ﻣﺜﺎل (۵
) x (t
] x [n t
1
n
−2
2
− T1
T2
) y (t
−1
] y [n
) y (t ) = x (−t
t
T1
1
2
n
−2
−1
−T2
] y [n ] = x [−n
ﻣﺜﺎل (٧ 2
n
] y [n
2
1 −2
2
] y [n ] = x [−n
n
] x [n 1 −2
2
ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻲ آﻪ ﻧﻪ زوج و ﻧﻪ ﻓﺮد اﺳﺖ وارون زﻣﺎﻧﻲ ﺁن ﻧﻪ ﻓﺮد و ﻧﻪ زوج اﺳﺖ .اﻣﺎ ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎل زوج وارون زﻣﺎﻧﻲ زوج اﺳﺖ وﻟﻲ ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻓﺮد ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺧﺎﺻﻴﺖ ] x[n]= -x[-nوارون زﻣﺎﻧﻲ ﺁن ] -x[nاﺳﺖ.
-٣-٧-١ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس زﻣﺎﻧﻲ
)(3
; a ∈ IR
] y [n ] = x [knﻳﺎ
) y (t ) = x (at
;k ∈ Z
1
] y [n ] = x [ n k
اﻟﻒ( اﮔﺮ >1׀a׀ ﺑﺎﺷﺪ ) y(tﻓﺸﺮدﻩ ﺷﺪﻩ ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x(tﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد. ب( اﮔﺮ <1׀a׀ ﺑﺎﺷﺪ ) y(tﺑﺎز ﺷﺪﻩ ﺳﻴﮕﻨﺎل ) x(tﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد. ج( اﮔﺮ a < 0ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻌﺪ از ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس ،وارون زﻣﺎﻧﻲ اﻧﺠﺎم داد. ﺗﺬآﺮ :در زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻣﺎهﻴﺖ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻋﻮض ﻧﻤﻲﺷﻮد ،اﻣﺎ در زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﺎهﻴﺖ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲآﻨﺪ و ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺟﺪﻳﺪي ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲﺁﻳﺪ. ﻣﺜﺎل (٨ ۶
) y 1 (t t 2
1
t 2
1
2
) y 2 (t
1
) x (t
) y 1 (t ) = x (2t
−1
t
1
1
−1
1
2
) y 2 (t ) = x (−2t
−1
ﻣﺜﺎل (٩
) x (t 1 2
) y (t ) = x (− t
t
t
T2
1 2
) y (t ) = v (−t
) v (t ) = x ( t وارون زﻣﺎﻧﻲ
2T 2
− T1
− 2T 1
t
2T 1
− 2T 2
y 1 [n ] = x [2n ] , N = 2
ﻣﺜﺎل (١٠
] x [n 2 1
n
3
−3
ﺑﺮاي ﺣﻞ اﻳﻨﮕﻮﻧﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﻪ روش زﻳﺮ ﻋﻤﻞ ﻣﻲآﻨﻴﻢ: ﺑﺎ ﺟﺎﻳﮕﺬاري nدر ﻓﺮﻣﻮل ] y[nﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩ ﺑﺮﺣﺴﺐ ] x[nﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. M
] y 1 [n
y [−1] = x [−2] = 2 y [1] = x [2] = 2
2
n
y [0] = x [0] = 2 −1 1
دورﻩ ﺗﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺟﺪﻳﺪ ] x [2nﺑﺮاﺑﺮ N = 1اﺳﺖ.
]y [2] = x [4 M
٧
ﺗﺬﮐﺮ y[n]= x[kn] :ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ] x[nﻓﺸﺮدﻩ ﺷﺪﻩ ،آﻪ ﺑﺮﺧﻲ از ﻣﻘﺎدﻳﺮ را از دﺳﺖ ﻣﻲدهﺪ.
] y 2 [n ] = x [ 12 n
ﻣﺜﺎل (١١ M
y [−1] = 0
] y 2 [n
y [0] = x [0] = 2 1 2
n
y [1] = x [ ] = 0
−4
4
y [2] = x [1] = 1 M
دورﻩ ﺗﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺮاﺑﺮ N = 4اﺳﺖ.
]n
ﺗﺬﮐﺮ:
1
k
[ y [n ] = x
ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ] x[nﺑﺎز ﺷﺪﻩ آﻪ در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺗﻌﺪادي ﺻﻔﺮ ﺑﻪ ] y[nاﺿﺎﻓﻪ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ .ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ
ﻣﺎهﻴﺖ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﮔﺴﺴﺘﻪ در اﺛﺮ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس زﻣﺎﻧﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲآﻨﺪ. ﺗﺬآﺮ :اﮔﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و ﻳﺎ زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﺎﺷﻨﺪ ،در اﺛﺮ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس زﻣﺎﻧﻲ در اﺛﺮ ﻓﺸﺮدﻩ ﺷﺪن ،دورﻩ ﺗﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺟﺪﻳﺪ آﻢ ﺷﺪﻩ و در اﺛﺮ ﺑﺎز ﺷﺪن ،دورﻩ ﺗﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺟﺪﻳﺪ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ.
-۴-٧-١رﺳﻢ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ روش ﻣﻨﻈﻢ
)4
)4
1
1 )] (x [ n − n 0
k
)] y [n ] = x [kn − n 0 ] (x [ n − n 0 k ] x [n ] → v [n ] = x [n − n 0
) x (t ) → v (t ) = x (t − b
) v ( t ) → y ( t ) = v (at ) = x (at − b
] v [n ] → y [n ] = v [kn ] = x [kn − n 0
ﻣﺜﺎل (١٢
) x (t
? = )y (t ) = x (−2t + 3
t
) y (t ) = x (at − b
−1
1
٨
x (t + 3)
−4
−2
v (t ) = x (2t + 3)
t
y (t ) = v (−t )
t
− 2 −1
1
t
2
(١٣ ﻣﺜﺎل
x [n ] 1 −2
2
n
y [n ] = x [3n − 2] = ?
y [n ] = v [3n ]
v [n ] = x [n − 2] 1
n
4
n
(١۴ ﻣﺜﺎل 0 1
x (t [ =
t <3 t ≥3
x (t ) 1
t
3
y 1 (t ) = x (1 − t ) (اﻟﻒ
x (t + 1)
y 1 (t ) t
2 y 3 (t ) = x (1 − t ) + x (t − 2) (ج
−2
t
y 2 (t ) = x (3t ) (ب
٩
y 3 (t )
y 2 (t ) 1
−2
1 x [n ] = 0
1
t
5
t
1
( ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﻗﺴﻤﺖ زوج و ﻓﺮد ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ؟١۵ ﻣﺜﺎل
n = 0,1, 2, 3 o .w
ﻣﻴﺪاﻧﻴﻢ
x e = 12 (x [n ] + x [−n ]) 1 x o = 2 (x [n ] − x [−n ])
x [n ]
1 0
x e [n ]
x o [n ]
1 1 2
−3
0
n
3
1 2
n
3
−1 2
١٠
0
4
n
-٨-١ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي ﻣﻬﻢ دراﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﭼﻨﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺎﺳﻲ زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ را ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻣﻲآﻨﻴﻢ .اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎ ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ دﻓﻌﺎت ﭘﻴﺶ ﻣﻲﺁﻳﻨﺪ ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺁﻧﻬﺎ ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي ﭘﻴﭽﻴﺪﻩاي را ﻓﺮﻣﻮﻟﻪ و ﺗﻮﻟﻴﺪ آﺮد .ﻣﻬﻢﺗﺮﻳﻦ آﺎرﺑﺮد ﺁﻧﻬﺎ در ﺁزﻣﺎﻳﺸﮕﺎﻩ ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲﺷﻮد.
-١-٨-١ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
x (t ) = Be at
ب( ﻧﻤﺎﻳﻲ اﻓﺰاﻳﺸﻲ
اﻟﻒ( ﻧﻤﺎﻳﻲ آﺎهﺸﻲ
ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻨﻜﻪ a , B ∈ IRﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺜﺒﺖ و ﻳﺎ ﻣﻨﻔﻲ ﺑﻮدن aﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﻪ ﻳﻜﻲ از دو ﻓﺮم اﻓﺰاﻳﺸﻲ و ﻳﺎ آﺎهﺸﻲ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد. ﺗﺬآﺮ :ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ داﻣﻨﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﺑﺎ اﻓﺰاﻳﺶ زﻣﺎن ﺑﻪ ﻃﻮر ﻧﺎﻣﺤﺪود زﻳﺎد ﺷﻮد ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺗﺤﺖ ﺑﺮرﺳﻲ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد.
١١
ﺳﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ
) x [n ] = B (r n
ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠﻒ rﭼﻬﺎر ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ.
اﻟﻒ( ﻧﻤﺎﻳﻲ اﻓﺰاﻳﺸﻲ
ب( ﻧﻤﺎﻳﻲ آﺎهﺸﻲ
ج( ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ اﻓﺰاﻳﺸﻲ
د( ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ آﺎهﺸﻲ
-٢-٨-١ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ) x (t ) = A cos(ωt + φو
2π
T
= ω = 2πf
ﺗﺬآﺮ :ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ هﻤﻮارﻩ ﻣﺘﻨﺎوب و ﺑﺎ دورﻩ ﺗﻨﺎوب Tاﺳﺖ. ﻣﺜﺎل (١ اﻟﻒ(
1 6
) x (t ) = cos( t
= 12π
2π 1 6
= →T
١٢
8π )t 31 ب( 31 4
=
2π 8π 31
(x (t ) = cos = →T 2π
ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ) x [n ] = A cos( Ωn + φو
N
= Ω = 2πf
ﺗﺬآﺮ :ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ آﻪ ﺑﺘﻮان
+
N ∈ Zرا ﺑﺪﺳﺖ ﺁورد ﺑﻪ ﻧﺤﻮي
آﻪ ] x [n ] = x [n + Nﮔﺮدد) .اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺮﺧﻼف ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﻌﻀﺎ ﻣﺘﻨﺎوب ﻧﻴﺴﺖ(. +
2k π ,N ∈ Z Ω
= k ∈Z ⇒N
,
→ Ω N = 2kπ
) A cos( Ωn + φ ) = A cos( Ωn + ΩN + φ
ﻣﺜﺎل (٢ اﻟﻒ(
), (k=1
2π 2kπ n ] ⇒ N = 2π = 12k = 12 12 12
[x [n ] = cos
ب(
),( k=4
8π 2kπ 31 = n ] ⇒ N = 8π k = 31 31 4 31
[x [n ] = cos
ج(
= 12kπ ﻣﺘﻨﺎوب ﻧﻴﺴﺖ
2kπ 1 6
1 6
= x [n ] = cos[ n ] ⇒ N
-٣-٨-١ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
x (t ) = B e − jωtﻳﺎ x (t ) = Be jωt 2π
jωt ) = B cos(ωt ) + jB sin(ωt , x (t ) = B e
ω
= T
زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ x [n ] = B e − j Ωnﻳﺎ x [n ] = Be + j Ωn N ∈ Z + ,K ∈ Z
2kπ Ω ,
= N
) x [n ] = B e j Ωn = B cos( Ωn ) + jB sin( Ωn
+ j Ωn x [n ] = Beﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ در زﻣﺎن ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﺎ دورﻩ ﺗﻨﺎوب Nﺑﺎﺷﺪ. ﺗﺬآﺮ :١ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ
١٣
+ j Ωn x [n ] = Beﻋﻼوﻩ ﺑﺮ اﻳﻨﻜﻪ در زﻣﺎن ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ nﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﺎﺷﺪ، ﺗﺬآﺮ :٢ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ
در ﻓﺮآﺎﻧﺲ ﻧﻴﺰ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ Ωهﻤﻮارﻩ ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ.
e j Ωn = e j (Ω +2π )n = e j (Ω + 4π )n = e j (Ω +2mπ )n ,
m ∈z
ﺗﺬآﺮ :٣اﮔﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﻮد در ﺻﻮرت اﻣﻜﺎن ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺷﻮد و دورﻩ ﺗﻨﺎوب هﺮ آﺪام را ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ ﺁورد .ﺳﭙﺲ دورﻩ ﺗﻨﺎوب ﻣﺸﺘﺮك را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲﺁورﻳﻢ. ﻣﺜﺎل (٣ اﻟﻒ(
x (t ) = e j 2t + e j 3t
2π 2π 6π 8π = = π ,2π ,3π ,4π ,... T 2 = = = ... ⇒ T = 2π 2 3 3 3 ,
ب(
n
3π 4
j
+e
n
2π 3
j
= T1
x [n ] = e
8k = 8 = 16 = 24 = ... 3 N = 24
=
2kπ 3π 4
= 3k = 3 = 6 = 9 = ... = 24
= N2 ,
2kπ 2π 3
= N1
-٤-٨-١ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﻣﻴﺮاﺷﻮﻧﺪﻩ زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
) x (t ) = Be at cos(ωt + φ
ﺗﺬآﺮ :ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺘﻨﺎوب ﻧﺒﻮدﻩ و ﭘﺲ از ﺿﺮب ﺁن در هﺮ ﻋﺒﺎرﺗﻲ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻲﺷﻮد آﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻬﺎﻳﻲ ﻣﺘﻨﺎوب ﻧﺒﺎﺷﺪ.
اﻟﻒ( ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﻣﻴﺮاﺷﻮﻧﺪﻩ اﻓﺰاﻳﺸﻲ
١٤
ب( ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﻣﻴﺮاﺷﻮﻧﺪﻩ آﺎهﺸﻲ
زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ
] x [n ] = B (r n ) cos[Ωn + φ
اﻟﻒ( ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﻣﻴﺮاﺷﻮﻧﺪﻩ آﺎهﺸﻲ
ب( ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﻣﻴﺮاﺷﻮﻧﺪﻩ اﻓﺰاﻳﺸﻲ
١٥
-٩-١ﺗﻮاﺑﻊ وﻳﮋﻩ -١-٩-١ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻠﻪ واﺣﺪ n ≥0 n <0
1 0
u [n ] =
زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ
t ≥0 t <0
1 0
u (t ) =
زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
] u [n
) u (t
1
1
n
t
ﺗﺬآﺮ :ﺗﻮاﺑﻌﻲ آﻪ ﻓﺮم هﻨﺪﺳﻲ دارﻧﺪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻠﻪ ﺑﻴﺎن آﺮد: ﻣﺜﺎل (٤
) x 1 (t
) x 1 (t ) = u (t + τ2 ) − u (t − τ2
t 2
اﻟﻒ(
1
τ
2
) x 2 (t 1
)x 2 (t ) = u (t ) − u (t − 2
t
2
ب(
] x [n
n
]x [n ] = u [n ] − u [n − 3 ج(
]u [−n + 4
د(
]u [−n + 4 n
ن(
2
]u [n + 4
n
4
]u [−n − 4 ١٦
−4
−τ
]u [−n − 4
]u [n − 4
n
n
−4
4
-٢-٩-١ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
) δ (t 1
t =0 t ≠0
t =0
−1
∫ δ (t )dt
∞−
,
ﻣﻘﺪاروﻳﮋﻩ 0
δ (t ) =
0+
∞+
−
∞−
∫ δ (t )dt = ∫ δ (t )dt = 1 0
راﺑﻄﻪ ﺑﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻠﻪ واﺣﺪ و ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ
) du (t dt t <0 t ≥0
)dτ
= ) δ (t 0
∫ δ (λ)dλ =1
∞−
t
0
t
= ) u (t
∫ δ (τ − t
∞−
t −t 0
= ∫ δ (λ)dλ
⇒
= ) u (t − t 0
∞−
λ +t0 = τ ﺧﻮاص: (١ﺑﻴﺎن ﺗﻮاﺑﻊ ﭼﻨﺪ ﺿﺎﺑﻄﻪاي ﺑﺎ ﻳﻚ ﺿﺎﺑﻄﻪ:
t ≥0 ) o .w ⇒ y (t ) = x (t )u (t
) x (t 0
y (t ) =
ﻣﺜﺎل (٥
t ≥2 o .w )⇒ y (t ) = x (t )u (t − 2
) x (t 0
y (t ) =
(٢ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻏﺮﺑﺎﻟﻲ ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ ١٧
) x (t ) ≠δ (t ) = x (0) δ (t ) x (t )δ (t − t 0 ) = x (t 0 )δ (t − t 0 (٣اﻧﺘﮕﺮال آﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ∞+
) x ( λ )δ (t − λ )dλ = x (t ) ∫ δ (t − λ)dλ = x (t ∞−
∞+
∫
∞λ = −
(٤زوج ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ
) δ (t ) = δ (−t (*٥
) δ (t
1
a
= ) δ (at
زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ
] δ [n
n =0 n ≠0
n
1 0
δ [n ] =
راﺑﻄﻪ ﺑﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻠﻪ واﺣﺪ و ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ
u [n ] = δ [n ] + δ [n − 1] + ... n
∞
∞−
] ∑ δ [n − k ] =m∑n δ [m ] = m∑ δ [m k ∞= −
]−k
=
∞
0
=0
n −n 0
∑ δ [k ] = k∑ δ [n − n k =0
=
∞= −
= ] u [n − n 0
]δ [n ] = u [n ] − u [n − 1
]δ [n ] = u [−n ] − u [−n − 1
ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ ﭼﻮن ﺗﺎﺑﻌﻲ زوج اﺳﺖ ﭘﺲ هﺮ دو راﺑﻄﻪ ﺑﺎﻻ ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل اﺳﺖ. ﺧﻮاص: (١ﺑﻴﺎن ﺗﻮاﺑﻊ ﭼﻨﺪ ﺿﺎﺑﻄﻪاي ﺑﺎ ﻳﻚ ﺿﺎﺑﻄﻪ
n ≤ −2 ]= x [n ]u [−n − 2 o .w
] x [n 0
y [n ] =
(٢ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻏﺮﺑﺎﻟﻲ ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ
* اﻳﻦ راﺑﻄﻪ را اﺛﺒﺎت آﻨﻴﺪ.
١٨
] y [n ] = x [n ] ≠δ [n ] = x [0]δ [n ﻣﺜﺎل :6
]y [n ] = x [n + 2]δ [n − 4] = x [6]δ [n − 4 (٣اﻧﺘﮕﺮال آﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ∞
] x [k ]δ [n − k ] = x [n ] ∑ δ [n − k ] = x [n ∞k = −
∞
∑
∞k = −
(4زوج ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ
] δ [n ] = δ [−n
-٣-٩-١ﺗﺎﺑﻊ ﺷﻴﺐ زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
) r (t t
t >0 t <0
1
t r (t ) =
0
راﺑﻄﻪ ﺑﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﻴﺐ و ﭘﻠﻪ واﺣﺪ
) dr (t dt
t
= ) u (t
r (t ) = t u (t ) = ∫ u ( λ ) dλ ∞−
زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ
] r [n
n ≥0 n <0
n
n r [n ] =
0
راﺑﻄﻪ ﺑﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﻴﺐ و ﭘﻠﻪ واﺣﺪ
? = ] u [n
] r [n ] = n u [n
-٤-٩-١ﺗﺎﺑﻊ دوﺑﻠﺖ واﺣﺪ زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ
) dδ (t dt
= ) δ ′(t ١٩
) δ ′(t t ﺧﻮاص:
) x (t )δ ′(t ) = x (0) δ ′(t ) − x ′(0)δ (t
ﺧﺎﺻﻴﺖ (١ اﺛﺒﺎت:
) (x (t ) ≠f (t ))′ = x ′(t )f (t ) + x (t )f ′(t
) if f (t ) = δ (t ) = x ′(t )δ (t ) + x (t )δ ′(t ) + x ′(0)δ (t ) + x (t )δ ′(t
↓ (x (t )δ (t ))′ =
(x (0) δ (t ))′ =
) x (0)δ ′(t ) = x ′(0)δ (t ) + x (t )δ ′(t ) ⇒ x (t )δ ′(t ) = x (0) δ ′(t ) − x ′(0)δ (t
) − λ )dλ = x ′(t
ﺧﺎﺻﻴﺖ (٢
∞+
∫ x (λ)δ ′(t
∞−
ﻣﺜﺎل (٧ﻣﻄﻠﻮب اﺳﺖ ﺑﻴﺎن ) f(tﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﻮاﺑﻊ وﻳﮋﻩ ؟
) f (t 2
t
1 1 2 3 4 5
از ﻣﻨﺘﻬﻲ اﻟﻴﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺷﺮوع ﺑﻪ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻲآﻨﻴﻢ .هﺮ ﺟﺎ آﻪ ﺷﻜﻞ ﺗﻐﻴﻴﺮ آﻨﺪ ﻳﻌﻨﻲ ﺗﺎﺑﻊ ﻋﻮض ﺷﺪﻩ .اوﻟﻴﻦ آﺎري آﻪ اﻧﺠﺎم ﻣﻲدهﻴﻢ ﺿﺮﻳﺐ زاوﻳﻪ آﻠﻴﻪ ﺧﻂهﺎ را ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲﺁورﻳﻢ : در ﻓﺎﺻﻠﻪ 1 ≤ t ≤ 2ﺷﻜﻞ ﺗﻐﻴﻴﺮ آﺮدﻩ و داراي ﺷﻴﺐ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﭘﺎﻳﻴﻦ اﺳﺖ .در ﻓﺎﺻﻠﻪ 2 ≤ t ≤ 3ﻧﻴﺰ ﺷﻜﻞ دوﺑﺎرﻩ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲآﻨﺪ.
) r (t
) − r (t
⇒ m = −1
)(1,1 )(2,0
⇒m =1
t
)(2,0 )(3,1
)f (t ) = u (t ) − r (t − 1) + 2r (t − 2) − r (t − 3) + u (t − 4) − 2u (t − 5 ٢٠
t
f ′(t ) = δ (t ) − u (t − 1) + 2u (t − 2) − u (t − 3) + δ (t − 4) _ 2δ (t − 4) −t . هﺮ ﻳﻚ از ﺗﻮاﺑﻊ زﻳﺮ را هﻤﺮاﻩ ﺑﺎ ﻣﺸﺘﻖ و اﻧﺘﮕﺮاﻟﺸﺎن رﺳﻢ آﻨﻴﺪf (t ) = a e ( اﮔﺮ٨ ﻣﺜﺎل
f 1 (t ) = f (t ) u (t ) (اﻟﻒ ﺣﻞ
f 1′(t ) = f ′(t ) u (t ) + f (t ) u ′(t ) = f ′(t ) u (t ) + f (0) δ (t ) + −a e −t u (t ) + a δ (t ) +∞
+∞
−t −t ∫ f (t ) dt = ∫ a e dt = −a e 0
0
+∞ 0
=a
f 2 (t ) = f (t − 1) u (t − 2) (ب f 3 (t ) = f (t − 1) u (t − 1) (ج f 4 (t ) = f (t − 1) u (t ) (د
٢١
ﺳﻴﺴﺘﻢ و ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺁن : ﭘﺮوﺳﻪاي آﻪ ﺑﺎﻋﺚ ﺗﻐﻴﻴﺮ و ﺗﺤﻮل در ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻲﺷﻮد . ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاي ﻣﻨﻈﻢ آﻪ ﺑﻪ آﻤﻚ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ هﺪف ﻣﺸﺨﺼﻲ را ﺑﺮﺁوردﻩ ﻣﻲﺳﺎزد. ﺑﻴﺎن رواﺑﻆ ﺑﻴﻦ ﺧﺮوﺟﻲ و ورودي در ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ : زﻣﺎن ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ (١ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ
(٢ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺒﺪﻳﻞ
زﻣﺎن ﮔﺴﺴﺘﻪ (٢ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺒﺪﻳﻞ
(١ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻲ
-١٠-١ﺗﻘﺴﻴﻢﺑﻨﺪي ﺳﻴﺴﺘﻢهﺎ -١-١٠-١اﺗﺼﺎل ﺳﺮي:
ورودي
ﺧﺮوﺟﻲ -٢-١٠-١اﺗﺼﺎل ﻣﻮازي:
ﺧﺮوﺟﻲ
ورودي
+
-٣-١٠-١اﺗﺼﺎل ﻓﻴﺪﺑﻚ: ﺧﺮوﺟﻲ
+
ورودي
-١١-١ﺧﻮاص ﺳﻴﺴﺘﻢهﺎ
٢٢
-١-١١-١ﺣﺎﻓﻈﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺪون ﺣﺎﻓﻈﻪ اﺳﺖ اﮔﺮ ﺧﺮوﺟﻲ در هﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻪ ورودي در هﻤﺎن ﻟﺤﻈﻪ ﺑﺴﺘﮕﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺎ ﺣﺎﻓﻈﻪ اﺳﺖ اﮔﺮ ﺧﺮوﺟﻲ ﺑﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﮔﺬﺷﺘﻪ ورودي واﺑﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﻣﺜﺎل (١
2 اﻟﻒ( ] y [n ] = 2x [n ] + x [nﺑﺪون ﺣﺎﻓﻈﻪ
n
ب(
] ∑ x [k k
د(
) v (t
1
R
= ) i (t t
= ] y [n
ن(
ﺑﺎ ﺣﺎﻓﻈﻪ
∞= −
1 )](x [n ] + x [n − 1] + x [n − 2 3 ج(
∫ v L (λ) dλ
) di l (t و( dt
= ] y [n
∞−
1
L
ﺑﺪون ﺣﺎﻓﻈﻪ
= ) i L (t
v L (t ) = L
ﺑﺎﺣﺎﻓﻈﻪ ﺑﺎ ﺣﺎﻓﻈﻪ
ﺑﺎ ﺣﺎﻓﻈﻪ
-٢-١١-١ﭘﺎﻳﺪاري )(BIBO1 ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ آﻪ ﺑﻪ ازاي ورودي ﻣﺤﺪود ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺤﺪود ﺑﺪهﺪ.
x (t ) ≤ M x < ∞ , ∀t ⇒ y (t ) ≤ M y < ∞ , ∀t ﺗﺬآﺮ :١اﮔﺮ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﺑﺎ ورودي ﻣﺤﺪود و ﺧﺮوﺟﻲ ﻧﺎﻣﺤﺪود داﺷﺘﻴﻢ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. ﺗﺬآﺮ :٢اﮔﺮ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﺑﺎ ورودي ﻧﺎﻣﺤﺪود و ﺧﺮوﺟﻲ ﻧﺎﻣﺤﺪود داﺷﺘﻴﻢ هﻴﭻ ﺻﺤﺒﺘﻲ ﻧﻤﻲﺗﻮان راﺟﻊ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ آﺮد.
Bounded Input Bounded Output
٢٣
1
ﻣﺜﺎل y (t ) = t x (t ) (٢ ) x (t ) = u (tرا در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﻴﺮﻳﻢ: ) y (t ) = t u (t ) = r (tو ) r (tﺗﺎﺑﻌﻲ ﻧﺎﻣﺤﺪود اﺳﺖ ﭘﺲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ.
ﻣﺜﺎل y (t ) = e x (t ) (٣ ∞ < y (t ) = e x (t ) = e x (t ) ≤ M y ) x (t eﻋﺪد ﻣﻲﺷﻮد ﭘﺲ ﺑﺎز هﻢ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ رﻳﺎﺿﻲ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. ﭼﻮن
ﻣﺜﺎل (٤
1 )](x [n ] + x [n − 1] + x [n − 2 3
= ] y [n
اﮔﺮ ] x [nدر هﻤﻪ ﻟﺤﻈﺎت ﻣﺤﺪود ﺑﺎﺷﺪ ﺷﻴﻔﺖ ﻳﺎﻓﺘﻪهﺎي ﺁن هﻢ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ ﭘﺲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ ﻣﺜﺎل (٥ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار ⇒ ∞ → ] ∞ : x [n ] = u [n ] → y [n → n n ∞→
∞→
ﭘﺎﻳﺪار ⇒ 0 → n ∞→
r > 1 ⇒ r n x [n ] n r < 1 ⇒ r
n
y [n ] = r
ﻣﺜﺎل (۶ n
] ∑ u [k ] = r [n
∞k = −
n
= ] ∑ x [k ] → x [n ] = u [n ] → y [n
= ] y [n
∞k = −
ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار
-٣-١١-١ﻋﻠﻴﺖ )(causality ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﻋﻠﻲ اﺳﺖ آﻪ ﺧﺮوﺟﻲ در هﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻪ ورودي در هﻤﺎن ﻟﺤﻈﻪ ﻳﺎ ﻟﺤﻈﺎت ﻗﺒﻞ ﺑﺴﺘﮕﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻲ ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ْﺁﻳﻨﺪﻩ ورودي ﺑﺴﺘﮕﻲ ﻧﺪارد. ﺗﺬآﺮ :١ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺪون ﺣﺎﻓﻈﻪ ﻣﻄﻤﺌﻨﺎ ﻋﻠﻲ اﺳﺖ. ﺗﺬآﺮ :٢ﺑﺮاي ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻋﻠﻲ ﺷﺮط ﺳﻜﻮن ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ. :ﺷﺮط ﺳﻜﻮن
t ≤ t 0 ⇒ y (t ) = 0; t ≤ t 0
;x (t ) = 0 ٢٤
t ≤ t0
;) x 1 (t ) = x 2 (t
;) t ≤ t 0 ⇒ y 1 (t ) = y 2 (t
ﻣﺜﺎل (٧ t
∫ i c (τ ) dτ
ﻋﻠﻲ
∞−
1
c
= ) v c (t
ب(
)y (t ) = x (t + 1
ﻏﻴﺮﻋﻠﻲ
) v c (t ) − v c (t − ∆t lim dv c ∆t →0 ∆t = dt ) lim v c (t + ∆t ) − v c (t ∆t →0 ∆t
;
) dv c (t dt
اﻟﻒ(
= ) i c (t ج(
ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ آﻪ ﺑﺮاي ﻣﺸﺘﻖ دو ﺗﻌﺮﻳﻒ وﺟﻮد دارد ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ از دوﻣﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺟﺮﻳﺎن ﺧﺎزن اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻧﻤﺎﺋﻴﻢ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺬآﻮر ﻏﻴﺮﻋﻠﻲ ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد.
)y (t ) = x (t ) cos(t + 1
د(
ﺧﺮوﺟﻲ ﻓﻘﻂ ﺑﻪ زﻣﺎن ﺣﺎل ورودي ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد و ازﻃﺮﻓﻲ ﭼﻮن ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺪون ﺣﺎﻓﻈﻪ اﺳﺖ ﭘﺲ ﺣﺘﻤﺎ ﻋﻠﻲ اﺳﺖ. n
∑ x [k ] = x [n ] + x [n − 1] + ...
ﻋﻠﯽ
∞k = −
]n = −1 ⇒ y [−1] = x [1
ﻏﻴﺮ ﻋﻠﯽ
] y [n ] = x [−n
ﻋﻠﯽ
1 )]( x [n ] + x [n − 1] + x [n − 2 3
= ] y [n
ﻏﻴﺮ ﻋﻠﯽ
1 )](x [n + 1] + x [n ] + x [n − 1 3
= ] y [n
-٤-١١-١ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮي ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ آﻪ ﺑﻪ ازاي وروديهﺎي ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ هﻤﻮارﻩ ﺧﺮوﺟﻲهﺎي ﻣﺘﻤﺎﻳﺮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. اﮔﺮ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داد:
) x (t
sys
sys −1
) x (t
ﻣﺜﺎل:٤ اﻟﻒ(
) x (t
) y (t ) = 2x (t
1 2
×
= ] y [n
ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ
×2
) x (t
٢٥
ﻩ( ن( و( ی(
x (t ) = 1 ⇒ y (t ) = 1 x (t ) = −1
ب(
t
1
∫ x ( λ) dλ
ج(
L
∞−
) y (t ) = x (t 2
ﻣﻌﻜﻮس ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ
= ) y (t ﺑﺎﻳﺪ ورودي ﺑﺪهﻴﻢ آﻪ ﺧﺮوﺟﻲ را از ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﻳﺪار ﺧﺎرج ﻧﻜﻨﺪ. t
d dt
) x (t
) dx (t dt
ن(
∫ x ( λ)dλ
L
1
L
∫
∞−
) x (t
= ) y (t
ﭼﻮن ﺑﻪ ازاي هﻤﻪ ورديهﺎي ﺛﺎﺑﺖ ﺧﺮوﺟﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺷﻮد ﭘﺲ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ. n
] ∑ x [k k
و(
= ] y [n
∞= −
n −1
] ⇒ y [n ] − y [n − 1] = x [n
] x [n
−
] y [n
∑
] ∑ x [k
= ]y [n − 1
∞k = −
sys
] x [n
]Delay y [n − 1
-٥-١١-١ﻧﺎﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن )Time invariant (TI اﮔﺮ رﻓﺘﺎر و ﻣﺸﺨﺼﻪهﺎي ﺳﻴﺴﺘﻢ در ﻃﻲ زﻣﺎن ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﺷﺪ .ﺑﻪ ﺁن ﺳﻴﺴﺘﻢ ،ﻧﺎﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد.
sys
) y (t sys
) y (t − t 0
) x (t
) x (t − t 0
ﻣﺜﺎل (٥ t
اﻟﻒ(
∫ x (τ ) d τ
∞−
t
∫ x (τ )dτ
∞−
1
L
1
L
= ) y (t
= ) y (t
sys 1
) x (t ٢٦
ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﮔﺮ ﺷﻴﻔﺖ ﻳﺎﻓﺘﻪ ورودي را ﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﻋﻤﺎل آﻨﻴﻢ ﺧﺮوﺟﻲ هﻢ ﺑﻪ هﻤﺎن اﻧﺪازﻩ ﺷﻴﻔﺖ ﭘﻴﺪا آﻨﺪ ،ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻧﺎﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد. t
1
∫ z (τ )dτ
L
∞−
= ﺧﺮوﺟﻲ t −t 0
∫ x (τ ) dτ
∞−
1
L
sys 1
=
t −t 0 = λ
) z (t t
∫ x (t
− t 0 ) dτ
∞−
1
L
t
=
∫ z (τ ) dτ
∞−
1
L
= ﺧﺮوﺟﻲ
)−t0 ﻧﺎﻣﺘﻐﻴﺮﺑﺎزﻣﺎن
ب(
1 ) x (t ) R (t
= ) y (t
1 ) x (t ) R (t 1 ) z (t ) R (t
= ﺧﺮوﺟﻲ
) x (t
sys 2
) z (t
sys 2
? 1 ) x (t − t 0 ) = y (t − t 0 ) R (t
= ﺧﺮوﺟﻲ ⇒ ) z (t ) = x (t − t 0
1 ) x (t − t 0 ) R (t − t 0
ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن
?
=
) y (t ) = t x (t
) y (t ) = t x (t
sys 3
) = t z (tﺧﺮوﺟﻲ
) x (t ) z (t
sys 3
?
) = t x (t − t 0 ) = y (t − t 0ﺧﺮوﺟﻲ ⇒ ) z (t ) = x (t − t 0 ?
) =(t − t 0 )x (t − t 0 د(
t −t 0
∫ x (λ) dλ = y (t
∞−
= ) y (t
ج(
?
⇒ ) z (t ) = x (t − t 0
ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن
) y (t ) = x (at
) y (t ) = x (at
) = z (atﺧﺮوﺟﻲ
sys 4 sys 4
) x (t ) z (t ٢٧
1
L
= ﺧﺮوﺟﻲ
?
) = x (at − t 0 ) = y (t − t 0ﺧﺮوﺟﻲ ⇒ ) z (t ) = x (t − t 0 ?
)) = x (a (t − t 0
ن(
ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن
] y [n ] = r n x [n
] y [n ] = r n x [n
] x [n
sys 5
] = r n z [nﺧﺮوﺟﻲ
] z [n
sys 5
?
] = r n x [n − n 0 ] = y [n − n 0ﺧﺮوﺟﻲ ⇒ ] z [n ] = x [n − n 0 ?
] = r n −n 0 x [n − n 0
ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن
] y [n ] = nx [n
ﻩ(
] y [n ] = n x [n
] x [n
sys 6
] = n z [nﺧﺮوﺟﻲ
] z [n
sys 6
?
] = n x [n − n 0 ] = y [n − n 0ﺧﺮوﺟﻲ ⇒ ] z [n ] = x [n − n 0 ?
] =(n − n 0 )x [n − n 0
ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ زﻣﺎن
-٦-١١-١ﺧﻄﻲ ﺑﻮدن ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺧﻄﻲ ﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد آﻪ اﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺁﺛﺎر ﺑﺮاي ﺁن ﺻﺪق آﻨﺪ. ﺷﺮط ﺧﻄﻲ ﺑﻮدن:
) y (t ﺟﻤﻊ ﺁﺛﺎر ;
sys
) y 1 (t ) + y 2 (t هﻤﮕﻨﻲ;
) ay (t
) 1) x 1 (t ) + x 2 (t ⇒ ) 2) ax (t sys
) y 1 (t
) y 2 (t ﺗﺬآﺮ :در ﺑﺮﻗﺮاري هﻤﮕﻨﻲ ﺿﺮﻳﺐ ﺛﺎﺑﺖ aهﺮ ﻋﺪدي ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺣﺘﻲ ﻋﺪد ﻣﺨﺘﻠﻂ. ﻣﺜﺎل (٦ ٢٨
sys
sys
sys
) x (t ) x (t 1 ) x (t 2
y (t ) = x 2 (t )
ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ
(x 1 + x 2 )
sys
ax (t )
sys
(x 1 + x 2 ) 2 ≠ x 12 + x 22 y (t ) = x (t )x (t − 1)
ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ
(اﻟﻒ
(ب
(ax (t ))(ax (t − 1)) = a 2 x (t )x (t − 1) ≠ ax (t )x (t − 1)
٣) y (t ) = sin( x (t ))
. ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ هﺴﺘﻨﺪsin, cos ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ اﺳﺖ ﭼﻮن ﺗﻮاﺑﻊ
1 0
y (t ) =
x τ0 x <0
(ج
x (t ) = 1 → y (t ) = 1 . ﺧﺎﺻﻴﺖ هﻤﮕﻨﻲ ﻧﻘﺾ ﺷﺪﻩ ﭘﺲ ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ اﺳﺖa x (t ) = a → y (t ) = 1
y [n ] = nx [n ] x 1 [n ] + x 2 [n ] → n (x 1 [n ] + x 2 [n ]) = n x 1 [n ] + n x 2 [n ] = y 1 [n ] + y 2 [n ] a x [n ] → n (a x [n ]) = a (n x [n ]) = a y [n ] y [n ] = Real (x [n ])
ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ
(د
ﺧﻄﻲ
(ﻩ
x [n ] = r + js → y [n ] = r a x [n ] = a (r + js ) ⇒ if a = j 2 ⇒ −2S ≠ ay [n ] y [n ] = 2x [n ] + 3
x 1 [n ] + x 2 [n ] ⇒ 2(x 1 [n ] + x 2 [n ]) + 3 ≠ (2x 1 [n ] + 3) + (2x 2 [n ] + 3) ≠ y 1 [n ] + y 2 [n ]
٢٩
(ن ﻏﻴﺮﺧﻄﻲ
ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻓﺼﻞ -١ﺗﻌﻴﻴﻦ آﻨﻴﺪ آﺪام ﻳﻚ از ﺳﻴﮕﻨﺎل هﺎي زﻳﺮ ﻣﺘﻨﺎوﺑﻨﺪ؟ اﻟﻒ(
] x 2 [n ] = u [n ] + u [−n
ﻳﻚ راﻩ ﺗﺸﺨﻴﺺ ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﻮدن رﺳﻢ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ.
] x 2 [n n
1
2
وﺟﻮد ﻳﻚ ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ در ﻧﻘﻄﻪ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻲﺷﻮد آﻪ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎوب ﺷﻮد.
ب(
] x 3 [n ] = ∑ δ [n − 4k ] − δ [n − 1 − 4k
در هﺮ دورﻩ ﺗﻨﺎوب ٢ ، N = 4ﺿﺮﺑﻪ را ﺷﺎﻣﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ.
] x 3 [n 1
n
5
−3
4
−1
ج(
2π n 7
⇒ N = 35
−j
−e
4π n 7
j
−4
x [n ] = 1 + e
2kπ )= 5k = 5 , (k = 1 2π 5
= N2
,
2kπ )= 7k = 7 (k = 1 4π 7
-٢ﺗﻌﻴﻴﻦ آﻨﻴﺪ آﺪام ﻳﻚ از ﺳﻴﮕﻨﺎلهﺎي زﻳﺮ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ؟ اﻟﻒ(
]y [n ] = x [n ] x [n − 2
]x [n ] = Aδ [n ] , y [n ] = A 2δ [n ] δ [n − 2] = 0 , x [n ] = δ [n − 3 ⇒ y [n ] = δ [n − 3] δ [n − 5] = 0 ﺣﺎﻓﻈﻪدار اﺳﺖ وﻟﻲ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ.
ب(
n τ0 n ≤ −1
]x [n + 1 ] x [n
y [n ] =
= x [n + 1] u [n ] + x [n ] u [−n − 1] ,
٣٠
= N1
] if x [n ] = u [n ] ⇒ y [n ] = u [n + 1] u [n ] + u [n ] u [−n − 1] = u [n n1τ44 n4 0 n1τ44 02 , n4≤4 −12, 4 τ3 − 31 ] =u [n
=0
if x [n ] = u [n − 1] ⇒ y [n ] = u1[4 n2 ] ] u [n ] + u [n − 1] u [−n − 1] = u [n 43 14442444 3 n1τ4 1,n ≤ −1 243 =0
n1τ402 ,n τ 0 43 ] u [n
ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ. ﺗﻤﺮﻳﻦ( ﺁﻳﺎ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻧﻪ؟ اﮔﺮ هﺴﺖ ﻣﻌﻜﻮﺳﺶ را ﺑﻪ دﺳﺖ ﺁورﻳﺪ.
n τ1 n =0 n ≤ −1
]x [n − 1 y [n ] = 0 ] x [n
-١٢-١ﺧﻼﺻﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺗﺎﺑﻌﻲ اﺳﺖ آﻪ ﺣﺎوي اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ درﺑﺎرﻩ رﻓﺘﺎر ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﺳﺖ. هﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل دﻟﺨﻮاﻩ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮع دو ﺳﻴﮕﻨﺎل زوج و ﻓﺮد ﻧﻮﺷﺖ. در ﺑﺴﻴﺎري از ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺷﻴﻔﺖ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﺻﻮرت زوج ﻳﺎ ﻓﺮد درﺁورد. آﻮﭼﻜﺘﺮﻳﻦ دورﻩ ﺗﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل دورﻩ ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ اﺳﺖ و ﻓﺮآﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ دورﻩ ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ ﻓﺮآﺎﻧﺲ اﺻﻠﻲ اﺳﺖ. ﺗﻮاﺑﻌﻲ آﻪ ﻓﺮم هﻨﺪﺳﻲ دارﻧﺪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﻮاﺑﻊ وﻳﮋﻩ ﺑﻴﺎن آﺮد. ﺗﻮاﺑﻊ ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ ،ﭘﻠﻪ واﺣﺪ و دوﺑﻠﺖ واﺣﺪ ﺧﻮاص ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪﻓﺮدي دارﻧﺪ. اﮔﺮ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ ﺑﺎ ورودي ﻣﺤﺪود و ﺧﺮوﺟﻲ ﻧﺎﻣﺤﺪود داﺷﺘﻴﻢ اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ. ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﺪون ﺣﺎﻓﻈﻪ ﻣﻄﻤﺌﻨﺎ ﻋﻠﻲ اﺳﺖ.
٣١