หนังสือ สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB เหมาะสำหรับผสู นใจ (โดยเฉพาะอยางยิง่ นักศึกษา สาขาวิศวกรรมศาสตร) ทีต่ อ งการเรียนรเู กีย่ วกับการวิเคราะหสญ ั ญาณและระบบ เพือ่ ใชเปน พืน้ ฐานสำหรับการประยุกตใชงานทางดานวิศวกรรมศาสตร และวิทยาศาสตร
ราคา 290.-
หนังสือเลมนีจ้ ะมีตวั อยางการคำนวณจำนวนมาก รวมทัง้ มีการนำโปรแกรม SCILAB (เปนฟรีแวร) มาใชในการวาดรูปกราฟ และการคำนวณตางๆ เพือ่ ประกอบคำอธิบายของเนือ้ หาในแตละบทเรียน เชน ระบบเชิงเสนทีไ่ มแปรเปลีย่ นตามเวลา อนุกรมฟูเรียร การแปลงฟูเรียร การแปลงลาปลาซ และการแปลงซี เปนตน ซึง่ จะชวยทำใหผอู า นสามารถเขาใจในบทเรียนตางๆ ไดงา ยขึน้
URL: http://home.npru.ac.th/piya/Signal
สักับการประยุ ญญาณและระบบ กตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวฒ ั น
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB
Signals and Systems with SCILAB Applications
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวฒ ั น โปรแกรมวิศวกรรมโทรคมนาคม มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม
A
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB (Signals and Systems with SCILAB Applications) สงวนลิขสิทธิต์ ามพระราชบัญญัตลิ ขิ สิทธิ์ หามลอกเรียนแบบไมวา สวนใด สวนหนึง่ ในหนังสือเลมนี้ ไมวา ในรูปแบบใดๆ นอกจากจะไดรับอนุญาตเปนลายลักษณอักษรจากผูเขียนเทานั้น
ขอมูลทางบรรณานุกรมของหอสมุดแหงชาติ ปยะ โควินททวีวฒ ั น สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB./ ปยะ โควินททวีวฒ ั น. —นครปฐม: โปรแกรมวิศวกรรมโทรคมนาคม คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม, 2552
ISBN : 978-974-235-415-2 พิมพครัง้ ที่ 1 ตุลาคม 2552 448 หนา ราคา 290 บาท ผจู ดั พิมพ : ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวฒ ั น พิมพที่
: บริษทั เพชรเกษม พริน้ ติง้ กรปุ จำกัด 18/49 ถ.ทรงพล ต.ลำพยา อ.เมือง จ.นครปฐม 73000 โทรศัพท : 0-3425-9758-9, 0-3425-9111 โทรสาร : 0-3425-3465
B
宦´ ¡ . «·¦» µ à ª· r ª¸ª´ r ¨³ ¦° ¦´ª
C
D
ε ε ª· µ´ µ ¨³¦³ (signal and system) º°ªnµÁ } ª· µ ¸Éε ´ ¤µ n° µ¦Á¦¸¥ µ oµ ª·«ª ¦¦¤«µ ¦r Á ºÉ° µ ª· µ ¸Ê ´ ªnµÁ } ¡ºÊ µ ° µ¦Á¦¸¥ ¦¼oÄ ®¨µ¥Ç ª· µ Á n ª· µª·Á ¦µ³®rª ¦Å¢¢jµ ª· µ¦³ ª »¤ ¨³ª· µ µ¦ºÉ°µ¦ · · ´¨ Á } o ´ ´Ê ªµ¤¦¼o¨³ ªµ¤Á oµÄ µ oµ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¹ Á } ·É ¸É Î µ Á } °¥n µ ¥·É Î µ ®¦´ ¼o Ä ¸É o ° µ¦ Î µ ªµ¤¦¼o µ o µ ¸Ê Å ¦³¥» r Ä o Ä µ¦ Î µ µ µ o µ ª·«ª ¦¦¤«µ ¦r¨³ª· ¥µ«µ ¦r µ ¦³ µ¦ r µ¦° ° oµ¡Á oµ¡ ªnµ ª· µ´ µ ¨³¦³ Á } ª· µ ¸É n° oµ ¥µ Á¡¦µ³ªnµ ¤¸ µ¦ ε ª ¸ÉÁ ¸É¥ª o° ´ ¤ µ¦ · «µ ¦r ε ª ¤µ ¹É µ ¦´Ê εĮo ¼oÁ¦¸¥ Ťnµ¤µ¦ ε ªµ¤Á oµÄ Å o °¥nµ ¨¹ ¹Ê ° µ ¸Ê´ µ nµ Ç ¸ÉÄ o È ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ¤ µ¦ · «µ ¦r ¹ εĮo ¼oÁ¦¸¥ ¤° ŤnÁ®È ªµ¤´¤¡´ r ° ´ªÂ ¦ nµ Ç n°¨´ ¬ ³ ° µ¦Á · ° ´ µ ¨nµª º°Ã ¥ ´ÉªÅ ³° · µ¥¨´ ¬ ³ ° ´ µ Ä ¦¼ ° ¤ µ¦ · «µ ¦r  ¨³¤¸ ¦¼ ¦µ¢ ° ´ µ ´Ê ¦³ ° Î µ ° · µ¥ à ¥ ¸É ¼o Á ¦¸ ¥ Ťnµ¤µ¦ ¨° Á° Å oªnµ oµ ´ªÂ ¦ ° ´ µ Á ¨¸É¥ Å ¦¼ ¦nµ ° ´ µ ´Ê ³Á ¨¸É¥  ¨ Å °¥nµ Ŧ ´ ´Ê ¹ n ¨Ä®o ¼oÁ¦¸¥ ŤnÅ o¦´ ªµ¤¦¼o µ µ¦Á¦¸¥ ª· µ´ µ ¨³¦³ Å o°¥nµ Á Ȥ ¦³· ·£µ¡ ® ´ º°Á¨n¤ ¸ÊÅ o ¼ ´ ε ¹Ê ¤µÃ ¥¤¸ª´ » ¦³ rÁ¡ºÉ°Ä o ¦³ ° µ¦Á¦¸¥ µ¦° ª· µ´ µ ¨³¦³ ¸ÉÁ d ° Ä ³ª·«ª ¦¦¤«µ ¦r ° ¤®µª· ¥µ¨´¥ nµ Ç Ã ¥ ³Á®¤µ³ ´ ´ «¹ ¬µ ¸É nµ µ¦Á¦¸¥ ª· µÂ ¨ ¼¨´ 1, 2, ¨³ 3 (®¦º° ε¨´ «¹ ¬µª· µÂ ¨ ¼¨´ 3) ¦ª¤ ´Ê ¼o ¸É Ä µ oµ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³ ¦³ ° µ ¸Ê® ´ º°Á¨n¤ ¸ÊÅ o¤¸ µ¦ εà ¦Â ¦¤ SCILAB ¹É Á } à ¦Â ¦¤ ¸ÉÄ®o¢¦¸ (µ¤µ¦ µª rî¨ ¼n¤º° µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Å o ¸É http://home.npru.ac.th/piya/webscilab) ¤µ ¦³¥» rÄ o ¦³ ° ε° · µ¥ ° Á ºÊ°®µÄ  n¨³ Á¦¸¥ ¹É nª¥ εĮo ¼oÁ¦¸¥ µ¤µ¦ Á oµÄ Á ºÊ°®µ nµ Ç Ä Á¦¸¥ Å o¤µ ¥·É ¹Ê ¨nµª º°Ä  n¨³ Á¦¸¥ ³¤¸ µ¦Â » ε´É ° à ¦Â ¦¤ SCILAB ¸ÉÄ oÄ µ¦ªµ ¦¼ ¦µ¢ ° ´ µ ¦ª¤ ´Ê µ¦ ε ª nµ Ç ¸ÉÁ ¸É¥ª o° ´ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¸É° · µ¥Ä ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê Á n ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series), µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform), µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ (Laplace transform), ¨³ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform) Á } o
E
® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ³Á¦·É¤ o ° · µ¥Á ¸É¥ª ´ ¦³Á£ ° ´ µ ¨³¦³ µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ´ µ ¨³´ µ nµ Ç ¸É nµ Ä µ ´Ê ¸É 2 ¨³ ¸É 3 ³ ¨nµª ¹ µ¦®µ ¨ ° ° ° ¦³ » ¤ ´ ·  £µ¡ ¨È° ¨³¤ µ¦Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (LTI: linear time-invariant) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ 宦´ ¸É 4 ¨³ ¸É 5 ° · µ¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¨³ ¨ ° ° ° ¦³ ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¸É 6 ¨³ ¸É 7 ³ ¨nµª ¹ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¨³ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É 8 ° · µ¥ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É 9 ³ ¨nµª ¹ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¨³ ¸É 10 ¹É Á } » oµ¥ ³° · µ¥ µ¦Â ¨ ¸ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸ ¨³ µ¦Â ¨ ¸  oµ Á ¸¥ª ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ³Å¤nµ¤µ¦ εĮoεÁ¦È ¹Ê ¤µÅ o oµ®µ µ » ¨ nµ Ç ¸É °¥Ä®o ªµ¤ nª¥Á®¨º°Â¨³ Á } ε¨´ Ä Ä®o oµ¡Á oµ ¨° ¤µ oµ¡Á oµ ° ¦µ ° ¡¦³ » °µ µ¦¥r » nµ ¸ÉÄ®o ªµ¤¦¼o¨³ ε ¦¹ ¬µ ¨° ¦³¥³Áª¨µ µ¦«¹ ¬µ ¦ª¤ ´Ê » Ç Ä ¦° ¦´ª ° oµ¡Á oµ ° µ ¸Ê oµ¡Á oµ ° ° » «¼ ¥rÁ à 襸 °·Á¨È ¦° · r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r®n µ · (Á Á ) ε ´ µ ¡´ µª· ¥µ«µ ¦r¨³Á à 襸®n µ · (ª .) ¦³ ¦ª ª· ¥µ«µ ¦r¨³Á à 襸 £µ¥Ä o¦®´Ã ¦ µ¦ NT-B-22-FR-98-50-08 ¸É¤¸nª ¦nª¤ ´ » µ¦ ´ ¡· ¤ ¡r ® ´ º ° Á¨n ¤ ¸Ê » o µ ¥ o µ ¡Á o µ ° ° » ¤®µª· ¥µ¨´ ¥ ¦µ £´ ¦ ¤ ¸É Ä ®o µ¦ ´ » ¨³Ä®o ªµ¤³ ª  n oµ¡Á oµ ¨° ¦³¥³Áª¨µÄ µ¦Á ¸¥ ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê oµ¥» ¸Ê oµ¡Á oµÅ o¡¥µ¥µ¤°¥nµ ¥·É Ä µ¦ ¸É ³ εĮo® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê nµ¥ n° µ¦Á¦¸¥ ¦¼o Á¡ºÉ°Ä®o ¼o°nµ µ¤µ¦ ε ªµ¤Á oµÄ Å o oª¥ Á° °¥nµ ¦ª Á¦ÈªÂ¨³¤¸ ¦³· · ¨ ®µ ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê¤¸ o° ¡¦n° ¦³ µ¦Ä oµ¡Á oµ¤¸ ªµ¤¥· ¸Â¨³ ´ ° ¡¦³ » ¥·É ®µ nµ ¼oÄ o® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ³n o° · Á®È ¨³ ε ³ ε ¸ÉÁ } ¦³Ã¥ r宦´ µ¦ ¦´ ¦» ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê¤µ ¸É°¸Á¤¨r piya@npru.ac.th Á¡ºÉ° ¸É oµ¡Á oµ ³Å o εÁ · µ¦ ¦´ ¦» ¨³Â oÅ Ä µ¦¡·¤¡r ¦´Ê n°Å
«. ¦. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤ »¨µ ¤ ¡.«. 2552
F
µ¦ ´ ¸É 1 ¡ºÊ µ ° ´ µ ¨³¦³ .......................................................................................1-1 1.1 ´ µ .................................................................................................................................................... 1-1 1.2 ¦³Á£ ° ´ µ ................................................................................................................................. 1-2 1.2.1 ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁÁ¨³´ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ........................................................ 1-2 1.2.2 ´ µ ° ³¨È° ÁÁ¨³´ µ · · ´¨............................................................................................. 1-3 1.2.3 ´ µ µ ÁÁ¨³´ µ ŤnÁ } µ .............................................................................................. 1-5 1.2.4 ´ µ Á · ε® ÁÁ¨³´ µ »n¤ ................................................................................................ 1-7 1.2.5 ´ µ ¡¨´ µ ÁÁ¨³´ µ ε¨´ ................................................................................................. 1-7 1.2.6 ´ µ ° °¨ ° Å ° °¨ ¨³ ° ° °¨ ........................................................................ 1-11 1.2.7 ´ µ ¼nÁÁ¨³´ µ ¸É ................................................................................................................ 1-12 1.2.8 ´ µ {~ oµ¥ÁÁ¨³´ µ {~ ªµ................................................................................................ 1-12 1.3 µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ´ µ ............................................................................................................... 1-13 1.3.1 µ¦¥n°Â¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ´ µ .......................................................................................... 1-14 1.3.2 µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ ............................................................................................................. 1-14 1.3.3 µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ ............................................................................................................. 1-15 1.3.4 µ¦¡´ ´ µ .............................................................................................................................. 1-15 1.3.5 µ¦ ¤¦³®ªnµ µ¦Á¨º°É Áª¨µÁÁ¨³ µ¦¡´ ´ µ ....................................................................... 1-16 1.3.6 µ¦ ¤¦³®ªnµ µ¦Á¨º°É Áª¨µÁÁ¨³ µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ ...................................................... 1-17 1.4 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ..................................................................................................................... 1-19 1.4.1 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .............................................................................. 1-19 1.4.2 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .......................................................................... 1-22 1.5 ´ µ ¡ºÊ µ ¸É nµ Ä ..................................................................................................................... 1-26
G
1.5.1 ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ......................................................................................................... 1-26 1.5.2 ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ........................................................................................................... 1-27 1.5.3 ´ µ µ ¨µ ............................................................................................................................. 1-29 1.5.4 ´ µ · r................................................................................................................................... 1-30 1.6 ¦³ ....................................................................................................................................................... 1-32 1.6.1 ¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁÁ¨³¦³ ¸ÅÉ ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .............................................................. 1-33 1.6.2 ¦³ Á · Áo ¨³¦³ ŤnÁ · Áo ................................................................................................. 1-33 1.6.3 ¦³ ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÂ¨³¦³ ¸ÉÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ.................................................... 1-34 1.6.4 ¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ 娳¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε ................................................................. 1-35 1.6.5 ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o¨³¦³ ¸ÅÉ ¤nµ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o ....................................................... 1-35 1.6.6 ¦³ ° °¨Â¨³¦³ ° ° °¨ ............................................................................................. 1-36 1.6.7 ¦³ Á ¸¥¦Â¨³¦³ ŤnÁ ¸¥¦ .................................................................................................... 1-37 1.7 µ¦ n° ´ ° ¦³ ................................................................................................................................ 1-38 1.8 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 1-40 1.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 1-41
¸É 2 ¦³ Á · Áo ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ...............................................2-1 2.1 µ¦Â ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ........................................................................................................ 2-2 2.2 ¦·¡´ r ° ꨼ ´ .................................................................................................................................. 2-3 2.3 ¨ ° ° °·¤¡´¨r¨³ ¨ ° ° ´Ê ´ Å ................................................................................. 2-10 2.4 » ¤ ´ · ° ¦³ LTI ......................................................................................................................... 2-11 2.4.1 » ¤ ´ · µ¦¨´ ¸É ....................................................................................................................... 2-11 2.4.2 » ¤ ´ · µ¦Â  .................................................................................................................... 2-12 2.4.3 » ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n ................................................................................................................. 2-13 2.4.4 » ¤ ´ · µ¦¤¸Â¨³Å¤n¤¸® nª¥ ªµ¤ ε .......................................................................................... 2-14 2.4.5 » ¤ ´ ·Ä µ¦®µ ´ª ´ Å o ..................................................................................................... 2-14 2.4.6 » ¤ ´ · ° °¨ ........................................................................................................................... 2-15 2.4.7 » ¤ ´ ·Á ¸¥¦ ............................................................................................................................. 2-17 2.5 ¤ µ¦Á · ° »¡´ r................................................................................................................................... 2-18 2.5.1 ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ ´¤ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Áo ......................................................... 2-18 2.5.2 » ¤ ´ ·Á · Áo ............................................................................................................................ 2-21
H
2.5.3 » ¤ ´ · ° °¨ ........................................................................................................................... 2-23 2.5.4 » ¤ ´ ·Å¤n ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ................................................................................................... 2-23 2.5.5 ¨ ° ° °·¤¡´¨r..................................................................................................................... 2-24 2.6  £µ¡ ¨È° ........................................................................................................................................ 2-25 2.7 ®´¤¡´ r .............................................................................................................................................. 2-29 2.7.1 ®´¤¡´ r oµ¤ .............................................................................................................................. 2-29 2.7.2 °´ ®´¤¡´ r ................................................................................................................................ 2-29 2.8 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 2-32 2.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 2-32
¸É 3 ¦³ Á · Áo ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ...........................................3-1 3.1 µ¦Â ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................................... 3-1 3.2 ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ ................................................................................................................................... 3-3 3.3 ¨ ° ° °·¤¡´¨r¨³ ¨ ° ° ´Ê ´ Å ................................................................................. 3-12 3.4 » ¤ ´ · ° ¦³ LTI ......................................................................................................................... 3-13 3.4.1 » ¤ ´ · µ¦¨´ ¸É ....................................................................................................................... 3-13 3.4.2 » ¤ ´ · µ¦Â  .................................................................................................................... 3-13 3.4.3 » ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n ................................................................................................................. 3-15 3.4.4 » ¤ ´ · µ¦¤¸Â¨³Å¤n¤¸® nª¥ ªµ¤ ε .......................................................................................... 3-17 3.4.5 » ¤ ´ · µ¦®µ ´ª ´ Å o .......................................................................................................... 3-17 3.4.6 » ¤ ´ · ° °¨ ........................................................................................................................... 3-19 3.4.7 » ¤ ´ ·Á ¸¥¦ ............................................................................................................................. 3-19 3.5 ¤ µ¦Á · ¨ nµ ..................................................................................................................................... 3-20 3.5.1 ¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸´¤ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Áo ............................................................ 3-20 3.5.2 ¨ ° ° °·¤¡´¨r..................................................................................................................... 3-24 3.6  £µ¡ ¨È° ........................................................................................................................................ 3-26 3.7 ®´¤¡´ r .............................................................................................................................................. 3-28 3.7.1 ®´¤¡´ r oµ¤ .............................................................................................................................. 3-29 3.7.2 °´ ®´¤¡´ r ................................................................................................................................ 3-29 3.7.3 ¦³Ã¥ r ° ®´¤¡´ r .............................................................................................................. 3-33
I
3.8 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 3-33 3.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 3-34
¸É 4 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ.....................................................................................4-1 4.1 ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ......................................................................... 4-1 4.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ................................................................................... 4-4 4.2.1 ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ....................................................................................................... 4-4 4.2.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ..................................................................................... 4-5 4.2.3 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ±µ¦r¤° · ................................................................................................... 4-7 4.2.4 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· · .................................................................................................. 4-7 4.2.5 ´ª°¥nµ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ............................................................................... 4-9 4.2.6 Á ºÉ° Å µ¦¨¼nÁ oµ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ................................................................................................ 4-22 4.2.7 ¦µ µ¦ r · r ........................................................................................................................... 4-24 4.3 » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ...................................................................................... 4-24 4.3.1 » ¤ ´ ·Á · Áo ............................................................................................................................ 4-24 4.3.2 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 4-25 4.3.3 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É.............................................................................................................. 4-25 4.3.4 » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ .............................................................................................................. 4-26 4.3.5 » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ ........................................................................................................... 4-26 4.3.6 » ¤ ´ · µ¦ ¼ ............................................................................................................................ 4-27 4.3.7 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ......................................................................................................... 4-27 4.3.8 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» ........................................................................................................................ 4-27 4.3.9 ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ........................................................................................................... 4-28 4.3.10 ¦» » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .................................................................... 4-29 4.3.11 ¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ........................................................................................ 4-29 4.4 Á ¦´¤ ε¨´ ........................................................................................................................................ 4-35 4.5 ¨ ° ° ° ¦³ LTI n°´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ........................................................... 4-37 4.6 o° ª¦ ¦µ Á ¸É¥ª ´ ªµ¤ ¸É .................................................................................................................... 4-39 4.7 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 4-40 4.8  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 4-40
J
¸É 5 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................5-1 5.1 ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .................................................................... 5-1 5.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn °n Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................................... 5-4 5.2.1 ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ................................................................................................... 5-4 5.2.2 ¨¦ª¤Á · Áo ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° .............................................................................................. 5-5 5.2.3 µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ........................................................... 5-5 5.2.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ........................................................................... 5-12 5.3 » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ.................................................................................. 5-14 5.3.1 ªµ¤Á } µ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .................................................................. 5-14 5.3.2 » ¤ ´ ·Á · Áo ............................................................................................................................ 5-15 5.3.3 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 5-15 5.3.4 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É.............................................................................................................. 5-16 5.3.5 » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ .............................................................................................................. 5-16 5.3.6 » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ ........................................................................................................... 5-16 5.3.7 » ¤ ´ · µ¦ ¼ ............................................................................................................................ 5-17 5.3.8 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ......................................................................................................... 5-17 5.3.9 » ¤ ´ · ¨ nµ ¨Îµ ´ ¸É® ¹É ......................................................................................................... 5-18 5.3.10 » ¤ ´ · ¨³¤ ....................................................................................................................... 5-18 5.3.11 ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ......................................................................................................... 5-19 5.3.12 ¦» » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Å¸É ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................... 5-19 5.3.13 ¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................... 5-19 5.4 ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ..................................................................................................................................... 5-25 5.5 ¨ ° ° ° ¦³ LTI n°´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ...................................................... 5-28 5.6 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 5-30 5.7  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 5-31
¸É 6 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................6-1 6.1 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ° ´ µ ŤnÁ } µ ..................................................................... 6-1 6.1.1 ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ......................................................................................................................... 6-2 6.1.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r.............................................................................................................................. 6-4 6.1.3 Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r................................................................................................................................ 6-4
K
6.1.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r............................................................................................................ 6-5 6.2 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .............................................................................. 6-11 6.3 » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ.......................................................................................... 6-17 6.3.1 » ¤ ´ ·Á · Áo ............................................................................................................................ 6-18 6.3.2 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 6-18 6.3.3 » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ ........................................................................................................... 6-19 6.3.4 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» ........................................................................................................................ 6-21 6.3.5 » ¤ ´ · ª·£µª³ .......................................................................................................................... 6-23 6.3.6 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É.............................................................................................................. 6-25 6.3.7 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ r................................................................................................................ 6-25 6.3.8 » ¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡ ´ r ................................................................................................................ 6-27 6.3.9 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ......................................................................................................... 6-28 6.3.10 » ¤ ´ · µ¦ ¼ .......................................................................................................................... 6-30 6.3.11 ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ................................................................................................................................ 6-31 6.3.12 ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ......................................................................................................... 6-31 6.3.13 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................ 6-32 6.3.14 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ..................................................................................... 6-32 6.4 §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r¨¸ ..................................................................................................................... 6-32 6.5 ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .................................................................... 6-36 6.5.1 µ¦®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ...................................................................................................... 6-36 6.5.2 µ¦n ´ µ ¸ÉŤn¤ ¸ ªµ¤ · Á¡¸¥Ê ............................................................................................... 6-38 6.6 ´ª°¥nµ µ¦ ¦³¥» rÄ o µ ..................................................................................................................... 6-39 6.7 µ¦ ¦° ´ µ .................................................................................................................................... 6-43 6.7.1 ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ · ....................................................................................................... 6-44 6.7.2 ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸ÉÄ µ · ´ ·.............................................................................................. 6-45 6.8 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 6-51 6.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 6-51
¸É 7 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .............................................................................7-1 7.1 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ ŤnÁ } µ ................................................................ 7-1 7.1.1 ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ......................................................................................................................... 7-1
L
7.1.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r.............................................................................................................................. 7-4 7.1.3 Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r................................................................................................................................ 7-4 7.1.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r.......................................................................................................... 7-12 7.2 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ......................................................................... 7-14 7.3 » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ..................................................................................... 7-17 7.3.1 » ¤ ´ · ªµ¤Á } µ ................................................................................................................. 7-17 7.3.2 » ¤ ´ ·Á · Áo ............................................................................................................................ 7-17 7.3.3 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 7-18 7.3.4 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É.............................................................................................................. 7-18 7.3.5 » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ .............................................................................................................. 7-19 7.3.6 » ¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ .................................................................................................................. 7-19 7.3.7 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» ........................................................................................................................ 7-22 7.3.8 » ¤ ´ · ¨ nµ ¨³ ¨³¤°´ ´ ® ¹É ..................................................................................... 7-23 7.3.9 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ..................................................................................... 7-23 7.3.10 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ....................................................................................................... 7-24 7.3.11 » ¤ ´ · µ¦ ¼ .......................................................................................................................... 7-27 7.3.12 ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ......................................................................................................... 7-29 7.3.13 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................ 7-29 7.3.14 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................ 7-29 7.4 ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ..................................................................................................................................... 7-29 7.4.1 ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r .............................................................. 7-33 7.5 ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................... 7-33 7.5.1 µ¦®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ...................................................................................................... 7-34 7.6 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 7-37 7.7  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 7-37
¸É 8 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ..................................................................................................8-1 8.1 §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ........................................................................................................................... 8-1 8.2 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................................................... 8-3 8.2.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ................................................................................................................... 8-4 8.2.2 µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r................................................................................... 8-7
M
8.2.3 ¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ ............................................................ 8-9 8.2.4 ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ .......................................................................................................................... 8-13 8.3 µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................................ 8-17 8.3.1 µ¦Â ¨ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ.................................. 8-17 8.3.2 µ¦Â ¨ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ.................................. 8-19 8.4 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ......................................................................................... 8-21 8.4.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ................................................................................................................. 8-21 8.4.2 µ¦¦oµ ´ µ ¸ÉŤn n° n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ............................................................... 8-24 8.5 µ¦ ´ ´ª°¥nµ  ®¨µ¥°´ ¦µ ............................................................................................................... 8-25 8.6 ´ª°¥nµ µ¦ ε ª ................................................................................................................................. 8-28 8.7 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 8-32 8.8  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 8-32
¸É 9 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ...........................................................................................................9-1 9.1 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ..................................................................................................................................... 9-1 9.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ...................................................................................................... 9-8 9.3 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ......................................................................................................................... 9-10 9.4 » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ................................................................................................................... 9-13 9.4.1 » ¤ ´ ·Á · Áo ............................................................................................................................ 9-14 9.4.2 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 9-14 9.4.3 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ S ...................................................................................................... 9-14 9.4.4 » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ ........................................................................................................... 9-15 9.4.5 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» ........................................................................................................................ 9-16 9.4.6 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ......................................................................................................... 9-16 9.4.7 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ......................................................................................... 9-18 9.4.8 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ S ............................................................................................. 9-18 9.4.9 » ¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡ ´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ......................................................................................... 9-19 9.4.10 §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ¨³ nµ» oµ¥ ................................................................................................ 9-20 9.4.11 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ .......................................................................................... 9-22 9.4.12 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ .............................................................................................................. 9-22 9.5 µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ............................................................................... 9-24
N
9.5.1 ° °¨· ¸ ......................................................................................................................................... 9-24 9.5.2 ªµ¤Á ¸¥¦ .................................................................................................................................... 9-25 9.5.3 ¦³ µ¤¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo ............................................... 9-28 9.6 ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° ..................................................................... 9-31 9.6.1 µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ  £µ¡ ¨È° .................................................................................... 9-31 9.6.2 µ¦®µÂ £µ¡ ¨È° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° .................................................................................... 9-34 9.7 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ............................................................................................................. 9-37 9.7.1 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ............................................................................. 9-40 9.8 ¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 9-43 9.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 9-43
¸É 10 µ¦Â ¨ ¸ ..................................................................................................................10-1 10.1 µ¦Â ¨ ¸ ............................................................................................................................................ 10-1 10.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¸............................................................................................................. 10-7 10.3 µ¦Â ¨ ¸ ´ ................................................................................................................................ 10-10 10.4 » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸ .......................................................................................................................... 10-14 10.4.1 » ¤ ´ ·Á · Áo ...................................................................................................................... 10-14 10.4.2 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ............................................................................................................ 10-15 10.4.3 » ¤ ´ · µ¦Á ¨Ä à Á¤ Z ................................................................................................ 10-15 10.4.4 » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ......................................................................................................... 10-17 10.4.5 » ¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ............................................................................................................ 10-17 10.4.6 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» ................................................................................................................... 10-18 10.4.7 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ .................................................................................................... 10-18 10.4.8 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ rÄ Ã Á¤ Z ....................................................................................... 10-19 10.4.9 §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ................................................................................................................... 10-20 10.4.10 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸................................................................................................ 10-21 10.4.11 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¸ .................................................................................................................... 10-21 10.5 µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ........................................................................... 10-21 10.5.1 ° °¨· ¸ ................................................................................................................................... 10-23 10.5.2 ªµ¤Á ¸¥¦ ............................................................................................................................... 10-25 10.5.3 ¦³ µ¤¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo ............................................ 10-25
O
10.6 ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° ................................................................. 10-30 10.6.1 µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ  £µ¡ ¨È° ............................................................................... 10-30 10.6.2 µ¦®µÂ £µ¡ ¨È° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ............................................................................... 10-32 10.7 µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª .................................................................................................................... 10-35 10.7.1 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª................................................................................... 10-37 10.8 ¦» oµ¥ ......................................................................................................................................... 10-41 10.9  f ®´ oµ¥ ............................................................................................................................... 10-42
£µ ª - ¼ ¦ · «µ ¦r ¸É nµ Ä ................................................................................. -1 £µ ª - ¡ºÊ µ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB ................................................................ -1 ¦¦ µ » ¦¤ ............................................................................................................................. -1 ¦³ª´ · ¼oÁ ¸¥ .............................................................................................................................. -1
P
¸É 1 ¡ºÊ µ ° ´ µ ¨³¦³ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ Á } ·É εÁ } °¥nµ ¥·É µ oµ ª· ¥µ«µ ¦r¨³ª·«ª ¦¦¤ Á¡¦µ³ nª¥ εĮo Á oµÄ ¹ ¨´ ¬ ³Â¨³Ã ¦ ¦oµ µ¦ ε µ ° ¦³ ´ ´Ê ªµ¤¦¼o ¨³ ªµ¤Á oµÄ Á ¸É¥ª ´ ¡ºÊ µ ° ´ µ ¨³¦³ ¹ ¤¸ ªµ¤Îµ ´ ¤µ Ä ¸Ê ³° · µ¥ §¬ ¸¡ºÊ µ nµ Ç µ · «µ ¦r ¸ÉÁ ¸É¥ª o° ´ ´ µ ¨³¦³ à ¥Á¦·É¤ µ ¦³Á£ ° ´ µ µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ´ µ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¨³´ µ ¡ºÊ µ °ºÉ Ç ¸É nµ Ä ¦ª¤ ´Ê µ¦ ε ¦³Á£ ° ¦³ Á } o Á¡ºÉ°Á ¦¸¥¤ ªµ¤¡¦o°¤Ä®o ¼o°nµ Å oÁ oµÄ ¹ ¡ºÊ µ nµ Ç ¸É εÁ } 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¸É ³«¹ ¬µÄ n°Å 宦´ ¼o Ä ¸É o° µ¦«¹ ¬µ¦µ¥¨³Á°¸¥ Á¡·É¤Á ·¤ ° Á ºÊ°®µÄ ¸Êµ¤µ¦ o ªoµÅ o µ [1 – 5]
1.1 ´ µ ¦µ µ¦ r µ µ¥£µ¡®¨µ¥°¥nµ µ¤µ¦ ° · µ¥Å o oª¥·É ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “´ µ (signal)” à ¥ o°¤¼¨ ¸É o° µ¦ ³Â °¥¼nÄ ¦¼  µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ° ´ µ ´ª°¥nµ Á n £µ¡ ¸É 1.1 ( )  ª ¦Å¢¢jµÂ RL ¸É¤¸ ´ª ªµ¤ oµ µ ¨³ ´ªÁ® ¸É¥ª ε n°° » ¦¤ ´ ¨³Á¤ºÉ°Á ºÉ°¤ n°ª· r ¸ÉÁª¨µ t 0 È ³Å o ¦µ¢Â µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ° ¦³ÂÅ¢¢jµ ¸ÉÅ®¨£µ¥Ä ª ¦Å¢¢jµÁ¤ºÉ° t ! 0 µ¤£µ¡ ¸É 1.1 ( ) ¹É Ä ¦ ¸ ¸Ê´ µ È º°¦¼  µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ° ¦³ÂÅ¢¢jµÁ¤ºÉ°Á ¸¥ ´ Áª¨µ µ¤ ªµ¤´¤¡´ r i t E / R 1 e Rt / L
µ ´ª°¥nµ oµ o εĮo¦» Å oªnµ ´ µ º°¢{ r ´ (function) µ · «µ ¦r ¸ÉÄ o ¦·¤µ µ µ¥£µ¡ à ¥ ´ÉªÅ ´ µ ³ ¼  oª¥¢{ r ´ ° ´ªÂ ¦°·¦³® ¹É ®¦º°¤µ ªnµ® ¹É ´ªÂ ¦ Á n ´ µ x t ®¤µ¥ ¹ ´ µ x ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ´ªÂ ¦°·¦³ t Á } o ´ ´Ê Ä µ · ´ ·´ µ ¹ ¤¸¤µ ¤µ¥®¨µ¥¦¼  Įo¡ Á®È Ä ¸ª· ¦³ εª´ Å o n ´ µ Á¸¥ ´ µ £µ¡ ´ µ ¨ºÉ ®´ªÄ ´ µ ªµ¤ ´ è®· ´ µ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °» ®£¼¤·£µ¥Ä ®o° ¨³´ µ ¦µ µ®¨´ ¦´¡¥r Á } o
บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-1
i t
i t
E R
t=0
E
R
E 1 e Rt / L R
L
t
0
( )
( )
£µ¡ ¸É 1.1 ( ) ª ¦Å¢¢jµÂ RL ¨³ ( ) ¦µ¢Â µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ° ¦³ÂÅ¢¢jµÁ¤ºÉ°Á ¸¥ ´ Áª¨µ
1.2 ¦³Á£ ° ´ µ Ä µ · ´ · ´ µ ¸É Ä o µ ´É ª Å µ¤µ¦  n °° Å o ® ¨µ¥ ¦³Á£ µ¤ » ¨´ ¬ ³ ° ´ µ ´ n°Å ¸Ê
1.2.1 ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁÁ¨³´ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time signal) º°´ µ ¸É¤¸ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °¥nµ n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥ ´ÉªÅ ³Ä o´ ¨´ ¬ r x t  ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x Á¤ºÉ° t º° ´ªÂ ¦°·¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ( ´É º° ´ªÂ ¦ t ¤¸ nµÁ } ε ª ¦· ) Á¡¦µ³ ³ ´Ê nµ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹ Á } ¤µ · ° Á ε ª ¦· ®¦º°Á ° ´ r (infinite set) ´ª°¥nµ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o n Á¸¥ ¡¼ , ´ µ £µ¡, ¨³ ¨ºÉ ª· ¥» Á } o ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time signal) º°´ µ ¸ÉŤn¤¸ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °¥nµ n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥ ´ÉªÅ ³Ä o´ ¨´ ¬ r x > k @ ®¦º° xk  ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x Á¤ºÉ° k º° ´ªÂ ¦ °·¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ( ´É º° ´ªÂ ¦ k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¸É¤¸ nµ ε ´ ) ´ ´Ê nµ ° ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹ Á } ¤µ · ° Á ε ´ (finite set) ´ª°¥nµ ° ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o n ´ ¸ ¨µ ®»o Å ¥, ε ª ±µ¦r · rÅ ¦¢m ¸É ¨· Å o, ¨³ ε ª ¦³ µ ¦ ° ¦³Á « Á } o £µ¡ ¸É 1.2  ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä µ · ´ ·´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xk ¤´ ³Å o¤µ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling) ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É » nª Áª¨µ t kTs Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¨³ Ts º° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling period) à ¥ f s 1/ Ts º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling frequency) ´ ´Ê ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° ( ¼£µ¡ ¸É 1.2( )) x >k @
1-2
xk
x t t
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
kTs
x kTs
(1.1)
x >k @
x t
xk
x1 x2
x3 k
t
£µ¡ ¸É 1.2 ´ª°¥nµ ( ) ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ o°¤¼¨ xk  n¨³ ´ª ³°¥¼n®nµ ´ Ts ® nª¥ Ä ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê o°¤¼¨Â n¨³ ´ª ° xk ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµ “ ¤Á d¨ (sample)” ¨³Â ¤Á d¨®¨µ¥Ç  ¤Á d¨ ¸ÉÁ¦¸¥ n° ´ Á } » ³Á¦¸¥ ªnµ “¨Îµ ´ o°¤¼¨ (data sequence)” ¹É Á ¸¥  oª¥´ ¨´ ¬ r ^ xk ` ®¤µ¥Á® » ¤ µ¦ (1.1)  ĮoÁ®È ªnµ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ µ¤µ¦ Ä oÁ } ´ªÂ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oµ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling theorem) ¹É ³° · µ¥ n°Å Ä ¸É 8
1.2.2 ´ µ ° ³¨È° ÁÁ¨³´ µ · · ´¨ ´ µ ° ³¨È° (analog signal) º°´ µ ¸É°¤¡¨· ¼ (amplitude) ¤¸ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °¥nµ n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ´Ê ´ µ ° ³¨È° » ´ µ ¹ º°ªnµÁ } ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º° nµ ° ´ µ ° ³¨È° ³Á } ¤µ · ° Á ε ª ¦· ´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.3 ( ) Ä ³ ¸É´ µ · · ´¨ (digital signal) º°´ µ ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼ ®¦º° nµ ° ´ µ £µ¥Ä Á ε ´ ´ ´Ê ´ µ · · ´¨°µ ®¤µ¥ ¹ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ®¦º°´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ÈÅ o µ¤£µ¡ ¸É 1.3 ( – ) à ¥ ´ÉªÅ ´ µ · · ´¨Â ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (¡ ¤µ Ä ¦³ ºÉ°µ¦ · · ´¨) µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 2 ¦³Á£ º° ´ µ ° ¦³ ´ ®¦º°´ µ Å µ¦¸ (binary signal) ¨³´ µ ®¨µ¥¦³ ´ (multi-level signal) µ¤£µ¡ ¸É 1.4
1.2.2.1 ´ µ Å µ¦¸ ´ µ Å µ¦¸ ³¤¸¦³ ´ ´ µ (®¦º°Â°¤¡¨· ¼ ) °¥¼n° ¦³ ´ à ¥ ´ÉªÅ ´ µ ¦³ ´ ® ¹É ³Ä o o°¤¼¨Á¨ “0” ¨³´ µ °¸ ¦³ ´ ® ¹É ³Ä o o°¤¼¨Á¨ “1” ´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.4 ( ) ° µ ¸Ê Ä ¦³ ºÉ°µ¦ · · ´¨ o°¤¼¨Â n¨³ ´ª ° ´ µ Å µ¦¸ ·¥¤Á¦¸¥ ´ ªnµ “ · (bit)” ´É º° · 0 ¨³ · 1 à ¥ ¸É บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-3
t
k
t
£µ¡ ¸É 1.3 ´ª°¥nµ ´ µ ° ³¨È° ¨³´ µ · · ´¨Â nµ Ç y t
x t
t
t
T
T
£µ¡ ¸É 1.4 ´ª°¥nµ ( ) ´ µ Å µ¦¸ ¨³ ( ) ´ µ ®¨µ¥¦³ ´
·  n¨³ · ³¤¸ nª Áª¨µ®nµ ´ T ª· µ ¸ Á¤ºÉ° T º° µ ° · (bit period) ´ ´Ê °´ ¦µ o°¤¼¨ (data rate) µ¤µ¦ ·¥µ¤Å oà ¥ R
1 T
(1.2)
¤¸® nª¥Á } · n°ª· µ ¸ (bps: bit per second) o° ¸ ° ´ µ Å µ¦¸ º°µ¤µ¦ ε o°¤¼¨Å ¦³¤ª¨ ¨Å o¦ª Á¦Èª Á ºÉ° µ o°¤¼¨¤¸Á¡¸¥ ° µ ³ º° nµ 0 ¨³ nµ 1 ¹É ° ¨o° ´ µ¦ ε µ ° ¦³ °¤¡·ªÁ °¦r ° µ ¸Ê µ¦°°  ¨³ µ¦¦oµ ª ¦°· Á¨È ¦° · r nµ Ç Á¡ºÉ ° ε µ ´ ´ µ Å µ¦¸ ȵ¤µ¦ Î µÅ oà ¥ n µ ¥Â¨³¤¸ ¦µ µ ¼ °¥nµ Ŧ È µ¤ o°Á¸¥ ° µ¦Ä o´ µ Å µ¦¸ (Á¤ºÉ°Á ¸¥ ´ ´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ) È º° ³ o° Ä o · ε ª ¤µ 宦´  o°¤¼¨ Á n ¤¤ ·ªnµ oµ o° µ¦Á È o°¤¼¨ ´ª°´ ¬¦ { , , , …, ±} ¦ª¤ ´Ê ®¤ 44 ´ª°´ ¬¦  ªnµ o° Ä o · °¥nµ o°¥Á } ε ª 6 · ( 2 64 ) 宦´  nµ ´ª °´ ¬¦Â n¨³ ´ª ¹É ³ εĮo ·Ê Á ¨º° Á ºÊ° ¸ÉÄ µ¦ ´ Á È o°¤¼¨Ä °» ¦ r±µ¦r · rÅ ¦¢m¨³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ o°¤¼¨ È ³Ä oÁª¨µ µ ¹Ê 6
1.2.2.2 ´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ³¤¸¦³ ´ ´ µ °¥¼n®¨µ¥¦³ ´  n°¥¼n£µ¥Ä Á ε ´ ´ª°¥nµ Á n ´ µ ®¨µ¥¦³ ´ Ä £µ¡ ¸É 1.4 ( ) ¤¸¦³ ´ ´ µ ´Ê ®¤ 4 ¦³ ´ à ¥ ¸É´ µ  n¨³¦³ ´ ³ ¼  oª¥ ´ªÁ¨ ^0,1, 2,3` 1-4
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
x t
( ) ´ µ µ ¸ É °n Á º°É µ Áª¨µ
t -2T
0
-T
-6
-4
-2
2T
x >k @
( ) ´ µ µ ¸ÅÉ ¤n °n Á º°É µ Áª¨µ -5
T
1
-1
2
0
-3
k
5
4 3
6
£µ¡ ¸É 1.5 ´ª°¥nµ ( ) ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
o° ¸ ° ´ µ ®¨µ¥¦³ ´ º° nª¥ ¦³®¥´ Á ºÊ° ¸ÉÄ µ¦ ´ Á È o°¤¼¨ Á n ¤¤ ·ªnµ´ µ ®¨µ¥ ¦³ ´ ¤¸ nµ ¸ÉÁ } Å Å o ´Ê ®¤ 4 nµ ´ ´Ê oµ o° µ¦Á È o°¤¼¨ ´ª°´ ¬¦ { , , , …, ±} ¦ª¤ ´Ê ®¤ 44 ´ª°´ ¬¦  ªnµ ³ o° Ä o ´ªÁ¨ {0, 1, 2, 3} °¥nµ o°¥Á } ε ª 3 ´ª ( 4 64 ) 宦´  nµ ´ª°´ ¬¦  n¨³ ´ª °¥nµ Ŧ È µ¤ o°Á¸¥ ° µ¦Ä o´ µ ®¨µ¥¦³ ´ º° ª ¦°·Á¨È ¦° · r ¸É ε µ ´ ´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ³¤¸ ªµ¤ ´ o° ¤µ ¹Ê ´ ´Ê µ¦Á¨º° ´ µ · · ´¨Â Ä ¤µÄ o µ ¹ ¹Ê °¥¼n ´ ¨´ ¬ ³ ° µ ¦³¥» r (application) Á n ´ µ Å µ¦¸ ·¥¤ ε¤µÄ oÄ ¦³ µ¦ ´ ¹ o°¤¼¨ ° ±µ¦r · rÅ ¦¢m Ä ³ ¸É´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ·¥¤ ε¤µÄ oÄ ¦³ µ¦ ´ ¹ o°¤¼¨ °  n ¸ ¸Â¨³Â n ¸ª¸ ¸ Á } o 3
1.2.3 ´ µ µ ÁÁ¨³´ µ ŤnÁ } µ ´ µ µ (periodic signal) º°´ µ ¸É¤¸¦¼ ¦nµ Êε ´ª¤´ Á° » Ç nª Áª¨µ ¸É ε® à ¥ ³Á¦¸¥ nª Áª¨µ ¸Êªnµ “ µ (period)” ° ´ µ ´ ´Ê ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (periodic continuous-time signal) º°´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸Éµ¤µ¦ ®µ µ Áª¨µ T ¸ÉÁ } nµ ª ¸É εĮo x t
x t mT
(1.3)
宦´ » nµ t Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ £µ¡ ¸É 1.5 ( )  ´ª°¥nµ ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É Ä ¸É ¸Êµ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ oªnµ´ µ x t Á } ´ µ ¸É¤¸ µ Á nµ ´ mT ® nª¥ °¥nµ Ŧ È µ¤ nµ T ¸É o°¥ ¸É» ¸É¥´ εĮo¤ µ¦ (1.3) Á } ¦· ³Á¦¸¥ ªnµ “ µ ¤¼¨ µ (fundamental period)” ¹É Á ¸¥  oª¥ ´ ¨´ ¬ r T0 ( ´É º°Á¤ºÉ° m 1 ³Å oªnµ T0 T ) ¨³nª ¨´ ° µ Áª¨µ T0 ³Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ (fundamental frequency)” f 0 ¹É ®µÅ o µ บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-5
1 T0
f0
(1.4)
¤¸® nª¥Á } Á±·¦ r (Hz: hertz) ° µ ¸Ê´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ ȵ¤µ¦ Á } ´ µ µ Å o oµµ¤µ¦ ®µ µ Áª¨µ N ¸ÉÁ } Á¨ ε ª Á Ȥ ª ¸É εĮo x >k @
x >k N @
(1.5)
宦´ » nµ k µ¤£µ¡ ¸É 1.5 ( ) ¹É Ä ¸É ¸Ê ³Å oªnµ´ µ x > k @ ¤¸ µ Á nµ ´ N , 2 N ,3N ,! Á¤ºÉ° N 3 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¤¼¨ µ N 0 º° nµ N ¸É o°¥ ¸É» ¸É εĮo¤ µ¦ (1.5) Á } ¦· ´É º° N 0 3 ´ µ µ ¤¸ » ¤ ´ · ¸Éε ´ º° ´ µ µ Á¡¸¥ ® ¹É µ ³¤¸ » ¨´ ¬ ³Á ¸¥ Á nµ ´ ´ µ µ ´Ê ®¤ ´ ´Ê ´ µ µ Á¡¸¥ ® ¹É µ µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦ª·Á ¦µ³®r o°¤¼¨ nµ Ç Å o ¦ oª  ¸É ³ª·Á ¦µ³®r o°¤¼¨ µ ´ µ µ ´Ê ®¤ 宦´ ´ µ °ºÉ Ç ¸ÉŤnÅ o¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ ³Á¦¸¥ ªnµ ´ µ ŤnÁ } µ (aperiodic ®¦º° non-periodic signal) ´ª°¥nµ ¸É 1.1 ε® Ä®o x1 t ¨³ x2 t Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T1 ¨³ T2 µ¤¨Îµ ´ ¡· µ¦ µªnµ´ µ x t x1 t x2 t Á } ´ µ µ ®¦º°Å¤n ª· ¸ ε µ » ¤ ´ · ° ´ µ µ ³Å oªnµ x1 t
x1 t mT1
¨³
Á¤ºÉ° m ¨³ n Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç oµ ε® Ä®o mT1 x t
x1 t x2 t
x2 t
nT2
x2 t nT2
T
¨oª ³Å oªnµ
x1 t mT1 x2 t nT2
x1 t T x2 t T
x t T
´ ´Ê ´ µ x t ³Á } ´ µ µ È n°Á¤ºÉ°°´ ¦µnª T1 / T2 Á } ε ª ¦¦ ¥³1 ¨³ µ Áª¨µ ° x t ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥ (least common multiple) ° nµ T1 ¨³ T2
1
ε ª ¦¦ ¥³ (rational number) º° ε ª Á Ȥ®¦º° oµÁ } Á«¬nª ÈÁ } Á«¬nª ¸É®µ nµ ° ¨®µ¦Â¨oª¨ ´ª ´É º° Å o ¨¨´¡ rÁ } « ·¥¤¦¼o ®¦º° « ·¥¤ Êε Á n –2, 3, 100, ®¦º° 10/3 = 3.3333... Á } o
1-6
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
´ª°¥nµ ¸É 1.2 ®µ µ ¤¼¨ µ T0 ° ´ µ Å ¼ °¥ r (sinusoidal signal) x t
sin 0.4S t
ª· ¸ ε ´ µ x t ³¤¸ µ ¤¼¨ µ Á nµ ´ T0 È n°Á¤ºÉ°µ¤µ¦ ®µ nµ T0 ¸É εĮo x t
sin 0.4S t sin 0.4S >t T0 @
Á ºÉ° µ sin T
¹É ³Å oªnµ
sin T 2nS
1
2nS 0.4S
´É º°
sin 0.4S t 0.4S T0
Á¤ºÉ° n Á } ε ª Á Ȥ ´ ´Ê µ ¤¼¨ µ T0 ®µÅ o µ 0.4S T0 T0
Á¤ºÉ° n
x t T0
2nS
5n 5
´É º° µ ¤¼¨ µ ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ T0
5
® nª¥
1.2.4 ´ µ Á · ε® ÁÁ¨³´ µ »n¤ ´ µ Á · ε® (deterministic signal) º°´ µ ¸Éµ¤µ¦ ¦³ »Å o n ° ªnµ nµ®¦º° » ¤ ´ · ° ´ µ Áª¨µÄ Ç ³Á } °¥nµ Ŧ ´ ´Ê ´ µ Á · ε® ¹ µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o Ä ³ ¸É´ µ »n¤ (random signal) º°´ µ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ¦³ »Å o n ° ªnµ » ¤ ´ · ° ´ µ Áª¨µÄ Ç ³Á } °¥nµ Ŧ à ¥ ´ÉªÅ Ä ¦³ ºÉ°µ¦ ´ µ ¸É¡ ¤µ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ »n¤Ã ¥°µ °¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ nµªµ¦ ¸É o° µ¦®¦º°Ä o ¦³Ã¥ rÅ o Á n ´ µ Á¸¥ Ä ¦³ à ¦«´¡ r, ´ µ £µ¡ nµ ¦³ µªÁ ¸¥¤, ¨³´ µ o°¤¼¨ ¸É ´ Á È Ä ±µ¦r · rÅ ¦¢m Á } o ®¦º°°µ °¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ ¦ ª (noise) ¸ÉÁ · ¹Ê Ä ¦³ ¹É Á } ·É ¸ÉŤn o° µ¦ Á n ´ µ ¦ ª Á · ªµ¤¦o° (thermal noise) ¸ÉÁ · µ µ¦Á ¨ºÉ° Å®ª ° °·Á¨È ¦° Ä ³Ä o µ °» ¦ r°·Á¨È ¦° · r εĮoÁ · µ¦Â n ªµ¤¦o° °° ¤µÄ ¦¼ ° ´ µ ¦ ª Á } o ®¤µ¥Á® » ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ³Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB [6 – 7] Ä µ¦ªµ ¦¼ ¦µ¢ ° ´ µ nµ Ç ¦ª¤ ´Ê ¨ µ¦ ¨° ¸ÉÅ o µ µ¦ ε¨° ¦³ (simulation) ° µ ¸Ê ¼o°nµ ª¦¡¥µ¥µ¤ ¨° ªµ ¦¼ ´ µ nµ Ç Ä ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê Á¡ºÉ° nª¥ εĮoÁ oµÄ Ä Á¦¸¥ ¤µ ¥·É ¹Ê
1.2.5 ´ µ ¡¨´ µ ÁÁ¨³´ µ ε¨´ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®rª ¦Å¢¢jµ oµ ε® Ä®o v t º° nµÂ¦ ´ Å¢¢jµ¤¸® nª¥Á } ê¨ r (V: volt) ¨³ i t º° ¦³ÂÅ¢¢jµ¤¸® nª¥Á } °¤Â ¦r (A: ampere) ¸ÉÅ®¨ nµ ´ª ªµ¤ oµ µ R ¹É ¤¸® nª¥Á } ð®r¤ (:: ohm) Á¡¦µ³ ³ ´Ê ε¨´ ´Éª ³ (instantaneous power) ·¥µ¤Ã ¥ บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-7
1 2 v t
R
p t v t i t
(1.6)
´ ´Ê ¡¨´ µ ¦ª¤ (total energy) ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ t1 d t d t2 º° t2
t
1 2 2 v t dt R ³t1
³ p t dt t1
(1.7)
¨³ ε¨´ Á ¨¸¥É (average power) ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ t1 d t d t2 º° t º 1 ª2 « ³ p t dt » t2 t1 ¬« t1 ¼»
t º 1 ª1 2 2 « ³ v t dt » t2 t1 ¬« R t1 ¼»
(1.8)
µ ·¥µ¤ ° ¡¨´ µ ¨³ ε¨´ ¸ÉÄ oÅ Ä ª ¦Å¢¢jµ εĮoµ¤µ¦ ·¥µ¤¡¨´ µ ¦ª¤ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ t1 d t d t2 Å o º° t2
³ x t
2
dt
(1.9)
t1
Á¤ºÉ° x t º° nµ´¤ ¼¦ r®¦º° µ ° x t ¨³ nµ ε¨´ Á ¨¸É¥ µ Áª¨µ (time-averaged power) ° x t º° t
2 1 2 x t dt t2 t1 ³t1
(1.10)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡¨´ µ ¦ª¤ ° ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ µ¤µ¦ ·¥µ¤Å o ´ ¸Ê k2
¦ x >k @
2
k1 d k d k2
(1.11)
k k1
¨³ nµ ε¨´ Á ¨¸É¥ µ Áª¨µ ° x > k @ º° k2 2 1 x >k @ ¦ k2 k1 1 k k1
(1.12)
°¥n µ Ŧ È µ¤Ä µ · ´ · ³ Ä ¡¨´ µ ° ´ µ Ä n ª Áª¨µ° ´ r Á n µ ´Ê ´É º ° Á¤ºÉ ° f d t d f ¨³ f d k d f ´ ´Ê Ä ¦ ¸ ¸Ê ³Å oªnµ¡¨´ µ ¦ª¤ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° T
E
1-8
lim
T of
³ x t
2
T
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
f
dt
³ x t
f
2
dt
(1.13)
¨³¡¨´ µ ¦ª¤ ° ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° N
E
lim
N of
¦ x >k @
f
2
¦ x >k @
k N
2
(1.14)
k f
Á n Á ¸¥ª ´ ³Å oªnµ ε¨´ Á ¨¸É¥ µ Áª¨µ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ° ´ r º° P
1 T of 2T
T
³ x t
lim
2
dt
(1.15)
T
¨³ ε¨´ Á ¨¸¥É µ Áª¨µ ° ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ° ´ r º° P
N 2 1 x >k @ ¦ N of 2 N 1 k N
lim
(1.16)
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ Ä Ç ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµ “´ µ ε¨´ (power signal)” È n°Á¤ºÉ° nµ ε¨´ ° ´ µ ¤¸ nµ ε ´ ¨nµª º° 0 P f ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 1.3 ®µ ε¨´ ° ´ µ x t A cos Zt I Á¤ºÉ° Z 2S f0 ¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ (radians per second), f0 º° ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ , ¨³ I Á } nµ ´ª (constant) ° ¤»¤Á¢ (phase) ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x t Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T0 ®µÅ o µ ¤ µ¦ (1.15) ´É º° P
1 T of 2T lim
1 T0
T
³
1 T0
2
x t dt
T
T0
³ A cos Zt I
2
1/ f 0
T0
³ x t
2
´ ´Ê ε¨´ ° ´ µ µ¤µ¦
dt
0
dt
0
T 1 2 0 ª1 cos 2Zt 2I º A ³« » dt T0 2 0 ¬ ¼
T T0 º A2 ª 0 1 cos 2Zt 2I dt » dt «³ ³ 2T0 ¬« 0 0 ¼»
A2 >T0 0@ 2T0
A2 2
T0
Á ºÉ° µ ³ cos 2Zt 2I dt
0
0
บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-9
x t
y t
c
t c
c
5c
t
3c
c
£µ¡ ¸É 1.6 ´ª°¥nµ ( ) ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
´ª°¥nµ ¸É 1.3 εĮo ¦µ ªnµ ε¨´ ° ´ µ µ µ¤µ¦ ε ª ®µÅ oà ¥ µ¦Ä o´ µ Á¡¸¥ µ Á ¸¥ª ´É º° ε¨´ ° ´ µ µ x t ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T0 ®µÅ o µ P
1 T0
T0
³ x t
2
dt
(1.17)
0
°¥nµ Ŧ È µ¤¡¨´ µ ° ´ µ µ ³¤¸ nµÁ } nµ° ´ r ( ¼ µ ¤ µ¦ (1.13)) ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ ´ µ µ ³ ¼ ¡· µ¦ µªnµÁ } ´ µ ε¨´ Ä ³ ¸É´ µ ŤnÁ } µ Á¤ºÉ° ε µ¦®µ nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ 宦´ nª Áª¨µ° ´ r ³Å o ¨¨´¡ rÁ } nµ«¼ ¥r ´ ´Ê ´ µ ŤnÁ } µ nª ¤µ Ťnµ¤µ¦ ®µ ε¨´ ° ´ µ Å o ¹ o° Ä o ·¥µ¤ ° ¡¨´ µ Á oµ¤µ nª¥ ¨nµª º°´ µ Ä Ç ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµ “´ µ ¡¨´ µ (energy signal)” È n°Á¤ºÉ° nµ¡¨´ µ ° ´ µ ¤¸ nµ ε ´ ´É º° 0 E f ´ª°¥nµ ¸É 1.4 ¡· µ¦ µªnµ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ £µ¡ ¸É 1.6 Á } ´ µ ε¨´ ®¦º°´ µ ¡¨´ µ Á¤ºÉ° c Á } nµ ´ª ª· ¸ ε ) µ £µ¡ ¸É 1.6 ( ) ε¨´ ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ P
1 T of 2T lim
T
³
2
x t dt
T
c
1 T of 2T
³
lim
2
A dt
c
A2 2c
T of 2T lim
0
¨³¡¨´ µ ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ f
E
³ x t
2
c
dt
f
³
2
A dt
2cA2
c
´ ´Ê ´ µ x t Ä £µ¡ ¸É 1.6 ( ) ¹ Á } ´ µ ¡¨´ µ Á¡¦µ³ªnµ P ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
0
¨³ 0 E f
x t
x t
x t
t
t
t
£µ¡ ¸É 1.7 ´ª°¥nµ ( ) ´ µ ° °¨, ( ) ´ µ ° Å ° °¨, ¨³ ( ) ´ µ ° ° °¨
) µ £µ¡ ¸É 1.6 ( ) ε¨´ ° ´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ P
1 T of 2T lim
T
³ y t
2
dt
T
3c
2 1 y t dt 4c ³c c 3c º 1 ª 2 2 A dt A dt » «³ ³ 4c ¬ c c ¼
1 ª 2cA2 2cA2 º¼ 4c ¬
A2 2
¨³¡¨´ µ ° ´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ f
E
³ y t
2
dt
f
f
´ ´Ê ´ µ y t Ä £µ¡ ¸É 1.6 ( ) ¹ Á } ´ µ ε¨´ Á ºÉ° µ 0 P f ¨³ E
f
1.2.6 ´ µ ° °¨ ° Å ° °¨ ¨³ ° ° °¨ ´ µ ° °¨ (causal signal) º°´ µ ¸É¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r宦´ nª Áª¨µ ¸ÉÁ } ¨ ´É º° x t 0 ,
宦´ t 0
¨³´ µ ° Å ° °¨ (anticausal signal) º°´ µ ¸É¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r宦´ nª Áª¨µ ¸ÉÁ } ª ´É º° x t 0 ,
宦´ t ! 0
Ä ³ ¸É´ µ ° ° °¨ (noncausal signal) º°´ µ ¸É¤¸ nµÅ¤nÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¦µ °¥¼nÄ ´Ê nª Áª¨µ ¸ÉÁ } ª ¨³ nª Áª¨µ ¸ÉÁ } ¨ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.7 บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-11
x t
x t
x t
x t
t
t
£µ¡ ¸É 1.8 ´ª°¥nµ ( ) ´ µ ¼n ¨³ ( ) ´ µ ¸É x t
t1
x t
t
t
t1
£µ¡ ¸É 1.9 ´ª°¥nµ ( ) ´ µ {~ oµ¥ ¨³ ( ) ´ µ {~ ªµ
1.2.7 ´ µ ¼nÁÁ¨³´ µ ¸É ´ µ ¼n (even signal) º°´ µ x t Ä Ç ¸É° ¨o° ´ » ¤ ´ · x t x t ´É º°´ µ ¸É¤¤µ ¦¦°  y Ä ³ ¸É´ µ ¸É (odd signal) º°´ µ x t Ä Ç ¸É° ¨o° ´ » ¤ ´ · x t x t ´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.8 ´ ´Ê µ ·¥µ¤ ° ´ µ ¼nÁÁ¨³´ µ ¸É εĮoÅ oªnµ´ µ f t Ä Ç µ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ´ µ ¼nÁÁ¨³´ µ ¸ÉÅ o µ¤ ªµ¤´¤¡´ r n°Å ¸Ê f t
1 ^ f t f t ` 1 ^ f t f t ` 2 2
even
(1.18)
odd
®¦º° ¨nµª°¸ ´¥® ¹É º°´ µ Ä Ç µ¤µ¦ Â¥ °° Á } ´ µ ¼nÁÁ¨³´ µ ¸ÉÅ oÁ¤°
1.2.8 ´ µ {~ oµ¥ÁÁ¨³´ µ {~ ªµ ´ µ {~ oµ¥ (left-handed signal) º°´ µ ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r£µ¥Ä nª Áª¨µ f t1 t ´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.9 ( ) Á¤ºÉ° t1 Á } Áª¨µÄ Ç ´É º° x t 0 宦´ f t1 t Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ µ {~ ªµ (right-handed signal) º°´ µ ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r£µ¥Ä nª Áª¨µ t t1 f µ¤£µ¡ ¸É 1.9 ( ) Á¤ºÉ° t1 Á } Áª¨µÄ Ç ´É º° x t 0 宦´ t t1 f ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
´ª°¥nµ ¸É 1.5 ° · µ¥ oª¥¦¼ £µ¡Á¡ºÉ°Â Ä®oÁ®È ªnµ´ µ f t
Ä £µ¡ oµ ªµ¤º°µ¤µ¦  Įo°¥¼Än ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ´ µ ¼n ÁÁ¨³´ µ ¸É
f t
t 0
–1
1
ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (1.18) ´ µ f t µ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ´ µ ¼nÁÁ¨³´ µ ¸É Å o µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ n°Å ¸Ê f t
fe t
t
f t
t t 1 2
f t
t 1 2
f t
t
fo t
t
f t
t
´É º° f t
1 1 fe t fo t
2 2
µ¤ ¸ É o° µ¦
1.3 µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ´ µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ n°¥ ¦´Ê ¤¸ ªµ¤ εÁ } o° Á ¨¸É¥  ¨ ¨´ ¬ ³®¦º°¦¼  ° ´ µ Á n µ¦¥n° ¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ´ µ , µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ , µ¦ ¸ ¨³ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ´ µ , ¨³ µ¦ ¡´ ´ µ Á } o Á¡ºÉ° nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r o°¤¼¨ ° ´ µ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ´ ´Ê Ä ®´ª o° ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ´ µ ¨´ ¬ ³ nµ Ç ´ ¸Ê บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-13
Ax t
x t
Ax t
0 A 1
A !1
cA
c cA t
T1
T0
t
T1
T0
T1
T0
t
£µ¡ ¸É 1.10 µ¦¥n°Â¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ´ µ x t
x t
T0
x t T
x t T
T1
t
T1 T
T0 T
t
T0 T
T1 T
t
£µ¡ ¸É 1.11 µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ x t
1.3.1 µ¦¥n°Â¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ´ µ µ¦¥n°Â¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ´ µ µ¤µ¦ εŠo nµ¥Ã ¥ µ¦ ε nµÁ ¨µ¦r (®¦º° nµ ´ª) Ä Ç ¤µ ¼ ´ ´ µ ´Ê Á n y t Ax t ®¤µ¥ ¹ ´ µ y t ³¤¸¦¼ ¦nµ Á®¤º° ´ ´ µ x t Á¡¸¥  n´ µ y t ³¤¸ µ Á } A Á nµ ° ´ µ x t µ¤£µ¡ ¸É 1.10 à ¥ ¸É oµ A ! 1 ®¤µ¥ ¹ µ¦ ¥µ¥ µ ° ´ µ x t ¨³ oµ 0 A 1 ®¤µ¥ ¹ µ¦¥n° µ ° ´ µ x t
1.3.2 µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ (time-shifting) ° ´ µ µ¤µ¦ εŠo ´Ê  ® nª Áª¨µ (delay) ¨³Â ¨nª ® oµÁª¨µ (advance) µ¤£µ¡ ¸É 1.11 ¹É Ä µ · «µ ¦rµ¤µ¦ εŠo nµ¥Ã ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ Á n oµ o° µ¦Ä®o ´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ x t ¸É ¼ ® nª Áª¨µÅ T ® nª¥ Á¤ºÉ° T ! 0 ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦ Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·¦³ ° ´ µ x t µ t Å Á } t T ´É º° y t
x t t o t T
x t T
(1.19)
´ Á ³¡ ªnµ´ µ ¸É ¼ ® nª Áª¨µ ³Á¨ºÉ° Å µ ªµ (right-shift) ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ´ µ y t ³ Á · ¹Ê oµ ªnµ´ µ x t Á } ¦³¥³Áª¨µ T ® nª¥ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ oµ o° µ¦Ä®o´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ x t ¸É ¼ ¨nª ® oµÁª¨µÅ T ® nª¥ ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·¦³ ° ´ µ x t µ t Å Á } t T ´É º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
x t
T0
x t / a
x at
T1
t
T0 / a
t
T1 / a
aT0
aT1
t
£µ¡ ¸É 1.12 µ¦ ¸ ¨³ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ´ µ x t Á¤ºÉ° a ! 1 y t
x t t o t T
x t T
³Á®È Å oªnµ´ µ ¸É ¼ ¨nª ® oµÁª¨µ ³Á¨ºÉ° Å µ oµ¥ (left-shift) ³Á · ¹Ê Á¦Èª ªnµ´ µ x t Á } ¦³¥³Áª¨µ T ® nª¥
(1.20) ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ´ µ y t
1.3.3 µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ µ¦Á ¨Áª¨µ (time-scaling) º° µ¦ ¸ Áª¨µ (time-compression) ®¦º° µ¦ ¥µ¥Áª¨µ (time-expansion) ° ´ µ µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ´ª°¥nµ Á n ε® Ä®o a ! 1 oµ o° µ¦Ä®o´ µ y t ¤¸ nµ Á nµ ´ ´ µ x t ¸É ¼ ¸ Áª¨µÅ Á } ε ª a Á nµ ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·¦³ ° ´ µ x t µ t Å Á } at ´ ¸Ê y t
x t t o at
x at
(1.21)
¨³ oµ o° µ¦Ä®o´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ x t ¸É ¼ ¥µ¥Áª¨µÅ Á } ε ª a Á nµ ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·¦³ ° ´ µ x t µ t Å Á } t / a ´ ¸Ê y t
x t to t / a
§t· x¨ ¸ ©a¹
(1.22)
£µ¡ ¸É 1.12  ´ª°¥nµ µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ x t
1.3.4 µ¦¡´ ´ µ ¤¤ ·ªnµ´ µ x t  °¥¼nÄ ¦³ µ ¡· ´ µ x, y µ¦¡´ (folding) ´ µ ³Á ¦¸¥ Á¤º° ´ µ¦³ o° (reflect ®¦º° mirror) ´ µ x t ¦°  y 0 ¹É εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·¦³ ° ´ µ x t µ t Å Á } t µ¤ ´ª°¥nµ Ä £µ¡ ¸É 1.13 ´É º° y t
x t t o t
x t
(1.23) บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-15
x t
x t
T1
T0
t
T1
t
T0
£µ¡ ¸É 1.13 µ¦¡´ ´ µ x t
x t
x t T
x t
T1
T0
T1
t
T0
T1 T
T0 T
t
t
x t T
T0 T
T1 T
x t T
t
T1 T
T0 T
t
£µ¡ ¸É 1.14 µ¦ ¤¦³®ªnµ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÁÁ¨³ µ¦¡´ ´ µ
1.3.5 µ¦ ¤¦³®ªnµ µ¦Á¨º°É Áª¨µÁÁ¨³ µ¦¡´ ´ µ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·¦³µ¤µ¦ 夵 ¤¦ª¤ ´ εĮoÅ oÁ } µ¦Â ¨ ¸É ´ o° ¤µ ¹Ê Á n oµ o° µ¦¡´ ´ µ x t ¨³® nª Áª¨µ ° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ oÁ } Áª¨µ T ® nª¥ ȵ¤µ¦ εŠo ´ ¸Ê
t o t x t o x t o x t T
fold delay t o t T
x T t
(1.24)
®¦º°µ¤µ¦ εŠo°¸ ª· ¸® ¹É Á¡ºÉ°Ä®oÅ o ¨¨´¡ r°° ¤µÁ nµ ´ º° µ¦¨nª ® oµÁª¨µ ° ´ µ Á } Áª¨µ T ® nª¥ n° ¨oª ¹ ε µ¦¡´ ´ µ ¹É ³Å o ¨¨´¡ r º°
t o t x t o x t T o x t T
advance fold t o t T
x T t
³Á®È Å oªnµ ´ Ê ° ª· ¸ ¸ÊÄ®o ¨¨´¡ r°° ¤µÁ nµ ´ º° x T t ´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.14 o° ª¦¦³ª´ ´ µ x t Á¤ºÉ° ε µ¦¡´ ´ µ ¨oª ³Å o ¨¨´¡ rÁ } x t µ ´Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(1.25)
x 2t
x 2t 2
x t
0.5 1
2
1
t
1.5
t
x t 1
2
1
x 2t 1
t
1
£µ¡ ¸É 1.15 µ¦ ¤¦³®ªnµ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÁÁ¨³ µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ x t Á¤ºÉ° D
t
0
0.5 2
¨³ E
t 1
oµ® nª Áª¨µ ° x t Á } Áª¨µ T ® nª¥ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° x t T ŤnÄ n x t T
oµ¨nª ® oµÁª¨µ ° x t Á } Áª¨µ T ® nª¥ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° x t T ŤnÄ n x t T
1.3.6 µ¦ ¤¦³®ªnµ µ¦Á¨º°É Áª¨µÁÁ¨³ µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ Ä ¦ ¸ ¸É ¤¸ µ¦ ¤¦³®ªn µ µ¦Á¨ºÉ ° Áª¨µÁÁ¨³ µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ Á n o µ o ° µ¦Ä®o ´ µ y t x D t E Á¤ºÉ° D ! 0 ¨³ E ! 0 ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ n° ¨oª ¹ ε ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤µ ε µ¦Á ¨Áª¨µ ´É º°
t oD t x t o x t E o x D t E
time-shifting time-scaling to t E
(1.26)
Ä µ ¦ ´ oµ¤ oµ ε µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ n° ¨oª ¹ ε ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤µ ε µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ È ³Å o ¨¨´¡ r ¸É · Å µ ¸É o° µ¦ ¹É µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê
t oD t x t o x D t o x D t E
time-scaling time-shifting to t E
x D t DE
(1.27)
£µ¡ ¸É 1.15  ´ª°¥nµ µ¦ ¤¦³®ªnµ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÁÁ¨³ µ¦Á ¨Áª¨µ ° ´ µ x t Á¤ºÉ° D 2 ¨³ E 1 à ¥ ³¡ ªnµ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o nµ ´ ¹É ¹Ê °¥¼n ´ ªnµ ³ ε µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ´ µ x t
Â Ä n° Á n oµ ε µ¦ ¸ Áª¨µ ° x t n° ¨oª ¹ ε µ¦¨nª ® oµÁª¨µ´ µ È ³Å o ¨¨´¡ r º° x 2t 2 Ä µ ¨´ ´ o µ Î µ µ¦¨n ª ® o µ Áª¨µ ° x t n ° ¨o ª ¹ Î µ µ¦ ¸ Áª¨µ´ µ È ³Å o ¨¨´¡ r º° x 2t 1
บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-17
´ª°¥nµ ¸É 1.6 ε® Ä®o ´ µ x t ¤¸¨´ ¬ ³ µ¤£µ¡ oµ ªµ¤º° ªµ ¦¼ ° ´ µ x 1 2t , x 2t 1 , x 2 t , ¨³
x t
2
§ t· x¨ ¸ © 2¹
1
t
2
ª· ¸ ε µ µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ´ µ ¸ÉÅ o° · µ¥Åªo oµ o ³Å o¦¼ ° ´ µ nµ Ç ´ ¸Ê x
´ µ x 1 2t ®µÅ o µ x t
1 x
t
2
2
2
2
1
t
2
0.5
t
1
´ µ x 2t 1 ®µÅ o µ x t 1
2
1
2
t
x 2t 1
2
2
2
t
1
1
t
0.5
´ µ x 2 t ®µÅ o µ x t
2
2
1 x
t
1
x t
x
x 1 2t
x t 1
x t 1
2
2
´ µ
§ t· x¨ ¸ © 2¹
2
t
2
2
1
t
0
t
3
®µÅ o µ
x t
2
2
1
x 2 t
x t
2
t
2
§ t· x¨ ¸ © 2¹ 2
x t
1
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
t
4
2
t
1.4 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° (complex exponential signal) Á } ´ µ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦Ä o µ µ oµ ª· ¥µ«µ ¦r¨³ª·«ª ¦¦¤ Á ºÉ° µ { ®µnª Ä® n ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ε ª Á · o° ¨³¢{ r ´ Á · o° ´ ´Ê Ä nª ¸Ê ³° · µ¥¨´ ¬ ³Â¨³ » ¤ ´ · ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
1.4.1 ´ µ Á¨ ¸ Ê Îµ¨´ Á · o° ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ x t Ce at
(1.28)
Á¤ºÉ° C ¨³ a º°Á¨ ε ª Á · o° Ä µ · ´ ·´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¤¸ » ¨´ ¬ ³®¨µ¥Â à ¥ ¹Ê °¥¼n ´ nµ ° C ¨³ a ´ ¦µ¥¨³Á°¸¥ n°Å ¸Ê
1.4.1.1 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· µ ¤ µ¦ (1.28) Ä ¦ ¸ ¸É C ¨³ a Á } Á¨ ε ª ¦· ´ µ x t ³Á } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· ¹É ¤¸°¥¼n 2 ¦¼  º° 1) oµ a ! 0 ¨oª x t ³Á } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê (growing exponential) Á¤ºÉ° t ¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ µ µ¥£µ¡ ¸É¤¸¡§ · ¦¦¤Â ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê Å o n · ·¦·¥µ¨¼ à n Ä µ¦¦³Á · °³ °¤ ¨³ · ·¦·¥µ µ Á ¤¸ ¸É ´ o° Á } o 2) oµ a 0 ¨oª x t ³Á } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ (decaying exponential) Á¤ºÉ° t ¤¸ nµ¨ ¨ ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ µ µ¥£µ¡ ¸É¤¸¡§ · ¦¦¤Â ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ Å o n µ¦ÁºÉ°¤ ° ´¤¤´ ¦´ ¸ ¨³ ¨ ° ° ° ª ¦ RC Á } o £µ¡ ¸É 1.16  ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê ¨³Â ¨ ¨ à ¥ ¸É C 2 ¨³ a 1.2 (Áo ¹ ) ¨³ a 1.2 (Áo ³) ¹É µ¤µ¦ ªµ ¦¼ ¦µ¢Å oà ¥Ä o ε´É ° à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤ ¸É µ oµ ªµ¤º°
SCILAB:
(£µ¡ ¸É 1.16)
-->t = -1:0.01:1.5; -->C = 2; -->a = 1.2;
x1 = C*exp(a*t);
-->a = -1.2;
x2 = C*exp(a*t);
-->plot(t,x1,'b-', t,x2,'k-.'); -->legend('a = 1.2', 'a = -1.2'); -->xtitle('', 'time (t)', 'Amplitude');
บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-19
£µ¡ ¸É 1.16 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê (Áo ¹ ) ¨³´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ (Áo ³) Á¤ºÉ° C = 2
1.4.1.2 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  µ µ ¤ µ¦ (1.28) Ä ¦ ¸ ¸É C 1 ¨³ a jZ Á } ε ª · £µ¡Â o ³Å oªnµ x t Á } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  µ (periodic complex exponential) ´ª°¥nµ Á n ¡· µ¦ µ¢{ r ´ x t e jZt
(1.29)
Á¤ºÉ° j 1 º°® nª¥ · £µ¡ ¨³ Z 2S f º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸, ¨³ ªµ¤ ¸É¤¸® nª¥Á } Á±·¦ r ´ ´Ê ¢{ r ´ x t ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T ´É º° e jZ t T
x t e jZt
e jZt e jZT
f
º°
(1.30)
È n°Á¤ºÉ° e jZT
à ¥ ¸É oµ Z 0 ³Å oªnµ x t
x t ¤¸ nµÁ nµ ´
1
Z
(1.31)
Á } ´ µ µ 宦´ » nµ T  n oµ Z z 0 ³Å oªnµ µ ¤¼¨ µ ° T0
¤¸® nª¥Á } ª· µ ¸ Á¤ºÉ° Á ºÉ° µ Z Z
1
2S
º° nµ´¤ ¼¦ r ° Z ´ ´Ê ´ µ e jZt ¨³
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(1.32)
Z e jZt
³¤¸ µ ¤¼¨ µ Á nµ ´
£µ¡ ¸É 1.17 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  ´ÉªÅ 宦´ ( ) r
0 , ( ¨µ ) r ! 0 , ¨³ (¨nµ ) r 0
1.4.1.3 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  ´ÉªÅ µ ¤ µ¦ (1.28) Ä ¦ ¸ ¸É C ¨³ a Á } Á¨ ε ª Á · o° à ¥ ¸É C e jT
C
¨³
a
r jZ
(1.33)
Á¤ºÉ° T º°¤»¤Á¢ ¨³ r º°Á¨ ε ª ¦· ´ ´Ê ´ µ x t Ä ¤ µ¦ (1.28) ´ ¦¼ Å oÁ } x t Ce at
C e jT e r jZ t
C e rt e j Zt T
(1.34)
µ ªµ¤´¤¡´ r ° °°¥Á¨°¦r (Euler’s relation) [4] ¸Éªµn e jE
cos E j sin E
(1.35)
Á¤ºÉ° E º°Á¨ ε ª ¦· ¤ µ¦ (1.34) µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } x t
C ert e j Zt T
C ert cos Zt T j C ert sin Zt T
(1.36)
oµ r 0 ´ µ ¸ÉÅ o¤¸¨´ ¬ ³Á } ¨ºÉ ¦¼ Å r (sinusoidal wave)  n oµ r ! 0 ´ µ ¸ÉÅ o¤¸¨´ ¬ ³Á } ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É ¼ ´ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê ¨³ oµ r 0 ´ µ ¸ÉÅ o¤¸¨´ ¬ ³Á } ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É ¼ ´ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.17 Á¤ºÉ° C 1 , r 0.5 , Z 2S , ¨³ T 0 บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-21
à ¥ ´ÉªÅ ´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É ¼ ¼ oª¥´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ ³Á¦¸¥ ªnµ ´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r  ® nª (damped sinusoidal) ¹É ¡ ¤µ Ä ¨ ° ° ° ª ¦Å¢¢jµÂ RLC SCILAB:
(£µ¡ ¸É 1.17)
-->t = -2:0.01:4; r = 0.5; -->x1 = cos(w*t)+%i*sin(w*t); -->subplot(3,1,1);
w = 2*%pi; //£µ¡ ¸É 1.17 ( )
plot(t, x1);
-->x2 = exp(r*t).*cos(w*t) + %i*exp(r*t).*sin(w*t); -->subplot(3,1,2);
//£µ¡ ¸É 1.17 ( ¨µ )
plot(t, x2);
-->x3 = exp(-r*t).*cos(w*t) + %i*exp(-r*t).*sin(w*t); -->subplot(3,1,3);
//£µ¡ ¸É 1.17 (¨nµ )
plot(t, x3);
1.4.1.4 » ¤ ´ · ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t
e jZt
¤¸ » ¤ ´ · ¸Éε ´ ´ ¸Ê
°´ ¦µ µ¦Â ªn (oscillation rate) ° ´ µ x t ¤¸ nµ¤µ oµ Z ¤¸ nµ¤µ ´ µ e jZt ¤¸¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (unique) 宦´ nµ Z ¸É ε® ¤µÄ®o n¨³ nµ ´ µ e jZt ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ 宦´ » nµ ° Z
1.4.2 ´ µ Á¨ ¸ Ê Îµ¨´ Á · o° ¸ÉŤn °n Á º°É µ Áª¨µ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ x > k @ CD k
Ce E k
(1.37)
Á¤ºÉ° C ¨³ D e E º°Á¨ ε ª Á · o° Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ¨´ ¬ ³®¨µ¥Â à ¥ ¹Ê °¥¼n ´ nµ ° C ¨³ D ´ ¦µ¥¨³Á°¸¥ n°Å ¸Ê
1.4.2.1 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· µ ¤ µ¦ (1.37) Ä ¦ ¸ ¸É C ¨³ D Á } Á¨ ε ª ¦· ´ µ x > k @ ³Á } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 1.18 Á¤ºÉ° C 1 ¹É ¡ ªnµ oµ D ! 1 µ ° ´ µ ³Á¡·É¤ ¹Ê µ¤ nµ k ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê Ä ³ ¸É oµ D 1 µ ° ´ µ ³¨ ¨ µ¤ nµ k ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê ° µ ¸Ê oµ D ! 0 nµ ° CD k ³¤¸ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥Á ¸¥ª ´ ( nµ ª ®¦º° nµ¨ )  n oµ D 0 nµ ° CD k ³¤¸Á ¦ºÉ° ®¤µ¥¨´ ´ ( nµ ª ¨³ nµ¨ ¨´ ´ Å ) ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ ¸É¤¸¡§ · ¦¦¤Â ´ µ ¸Ê Á n µ¦Á · à ° ε ª ¦³ µ ¦ ¨³ ° Á ¸Ê¥Á · µ ° µ µ¦ Á } o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
D !1
0 D 1
D 1
1 D 0
£µ¡ ¸É 1.18 ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ SCILAB:
Dk
宦´ nµ D nµ Ç
(£µ¡ ¸É 1.18)
-->k = -5:20; -->a = 1.2; Xk1 = a^k; -->subplot(2,2,1); -->a = 0.7;
-->subplot(2,2,2); -->a = -0.9;
xtitle('alpha > 1');
//£µ¡ ¸É 1.18 ( oµ¥)
plot2d3(k,Xk2);
xtitle('0 < alpha < 1');
//£µ¡ ¸É 1.18 ( ªµ)
Xk3 = a^k;
-->subplot(2,2,3); -->a = -1.1;
plot2d3(k,Xk1);
Xk2 = a^k;
plot2d3(k,Xk3);
xtitle('-1 < alpha < 0'); //£µ¡ ¸É 1.18 (¨nµ oµ¥)
Xk4 = a^k;
-->subplot(2,2,4);
plot2d3(k,Xk4);
xtitle('alpha < -1');
//£µ¡ ¸É 1.18 (¨nµ ªµ)
1.4.2.2 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  µ µ ¤ µ¦ (1.37) Ä ¦ ¸ ¸É C
1
¨³ E
jZ
Á } ε ª · £µ¡Â o ³Å oªnµ´ µ
x > k @ Ce E k
¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ à ¥ ´ÉªÅ ´ µ x > k @ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ¼ ε® à ¥
e jZ k
e jZ k
(1.38)
³¤¸¨´ ¬ ³Ä ¨oÁ ¸¥ ´ ´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-23
x >k @
A cos Z k T
(1.39)
Á¤ºÉ° T º°¤»¤Á¢ ¨³ µ ªµ¤´¤¡´ r ° °°¥Á¨°¦r εĮoµ¤µ¦ ´ ¦¼ ¤ µ¦ (1.39) Ä®¤nÅ oÁ } x >k @
A jZ k jT A jZ k jT e e e e 2 2
A cos Z k T
(1.40)
à ¥Á¤º°É ¡· µ¦ µ¤ µ¦ (1.39) ¨³ (1.40) ³¡ ªnµ´ µ ¸ÊÁ } ´ µ ε¨´ Á ºÉ° µ ε¨´ Á ¨¸¥É ° ´ µ 2 ¤¸ nµ ε ´ Á nµ ´ nµ 1 Á¡¦µ³ªnµ e jZk 1  n¤¸¡¨´ µ Ťn ε ´
1.4.2.3 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  ´ÉªÅ µ ¤ µ¦ (1.37) Ä ¦ ¸ ¸É C ¨³ D Á } Á¨ ε ª Á · o° à ¥ ¸É C
C e jT
¨³
D
D e jZ
(1.41)
´ ´Ê ´ µ x > k @ Ä ¤ µ¦ (1.37) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } x > k @ CD k
k
k
C D cos Z k T j C D sin Z k T
(1.42)
oµ D 1 ´ µ ¸ÉÅ o ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ¨Îµ ´ ¦¼ Å r (sinusoidal sequence)  n oµ D ! 1 ´ µ ¸ÉÅ o ³¤¸ ¨´ ¬ ³Á } ¨Îµ ´ ¦¼ Å r ¸É ¼ ´ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê ¨³ oµ D 1 ´ µ ¸ÉÅ o ³¤¸¨´ ¬ ³ Á } ¨Îµ ´ ¦¼ Å r ¸É ¼ ´ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ µ¤£µ¡ ¸É 1.19 Á¤ºÉ° C 1 , Z 0.7 , ¨³ T 0 SCILAB:
(£µ¡ ¸É 1.19)
-->k = -5:30; w = 0.7; -->a = 1; x1 = (a.^k).*cos(w*k) + %i*(a.^k).*sin(w*k); -->subplot(3,1,1); plot2d3(k, x1, rect=[-5,-1.1,20,1.1]); -->xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 1.19 ( )
xtitle('|alpha| = 1');
-->a = 1.1; x2 = (a.^k).*cos(w*k) + %i*(a.^k).*sin(w*k); -->subplot(3,1,2); plot2d3(k, x2); -->xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 1.19 ( ¨µ )
xtitle('|alpha| > 1');
-->a = 0.9; x3 = (a.^k).*cos(w*k) + %i*(a.^k).*sin(w*k); -->subplot(3,1,3); plot2d3(k, x3); -->xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 1.19 (¨nµ )
xtitle('|alpha| < 1');
1.4.2.4 » ¤ ´ · ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
e jZ k
¤¸ » ¤ ´ · ¸Éε ´ ´ ¸Ê
D
1
D !1
D 1
£µ¡ ¸É 1.19 ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ´ÉªÅ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @
e j Z nS k
°´ ¦µ µ¦Â ªn ³Å¤nÁ¡·É¤ ¹Ê Á¤° µ¤ nµ ° Z ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê
oµ ε® Ä®o
e jZ k e jnS k
N !0
e jZ k
Á } µ ° ´ µ e jZk ¨oª ³Å oªnµ e jZ k N
2S m
N
e jZ k e jZ N
(1.43)
®¦º° N
Á¤ºÉ°
宦´ nµ D nµ Ç
Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¼n
e jZ k
È n°Á¤ºÉ° Z N
CD k
¨³ m ! 0 º°Á¨ ε ª Á Ȥà ¥ nµ
§ 2S · m¨ ¸ ©Z ¹ N
´ª°¥nµ ¸É 1.7 ®µ µ ¤¼¨ µ ° ´ µ x > k @
(1.44)
¸É o°¥ ¸É» ¸ÉÁ } Å Å o ³Á¦¸¥ ªnµ µ ¤¼¨ µ e j 2S / 3 k e j 3S / 4 k
ª· ¸ ε Á¦·É¤ o Ä®o®µ µ ¤¼¨ µ ° ´ µ ¥n°¥Â n¨³´ µ µ¤¤ µ¦ (1.44) ´É º° µ ¤¼¨ µ ° ´ µ e j 2S / 3 k ®µÅ o µ บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-25
N1
N1
§ 2S · m¨ ¸ ©Z ¹
§ 2S · m¨ ¸ 3m © 2S / 3 ¹
Á ºÉ° µ nµ m ¸É o°¥» ¸É εĮo nµ N1 Á } Á¨ ε ª Á Ȥ È º° nµ m 1 ¹É εĮoÅ o nµ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¤¼¨ µ N 2 ° ´ µ e j 3S / 4 k ®µÅ o µ N2
Á ºÉ° µ nµ m ¸É o°¥» ¸É εĮo nµ
N2
§ 2S · m¨ ¸ ©Z ¹
§ 2S · m¨ ¸ © 3S / 4 ¹
N1
3
8 m 3
Á } Á¨ ε ª Á Ȥ È º° nµ m
µ ¤¼¨ µ N ° ´ µ x > k @ º° ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥ ( .¦. .) ° µ ¤¼¨ µ ´ µ ¥n°¥Â n¨³´ µ ´É º° ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥ ° 3 ¨³ 8 ¤¸ nµÁ nµ ´ 24 ´ ´ Ê µ ¤¼¨ µ ° ´ µ x > k @ º° N 24
3
¹É εĮoÅ o nµ
N2
8
SCILAB: -->N = lcm(int32([3 8])) N = 24
1.5 ´ µ ¡ºÊ µ ¸É nµ Ä Ä nª ¸Ê ³ ¨nµª ¹ ¨´ ¬ ³Â¨³ » ¤ ´ · ° ´ µ ¡ºÊ µ ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · ¹É Á } ¦³Ã¥ r n° µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³
1.5.1 ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time unit step signal) ·¥µ¤Ã ¥ 1, t ! 0 u t ® ¯0, t 0
(1.45)
µ¤£µ¡ ¸É 1.20 ( ) à ¥ ¸É nµ ° ´ µ u t Áª¨µ t 0 ³Å¤n ·¥µ¤  n oµ¤¸ ªµ¤ εÁ } o° Ä o nµ ° ´ µ u t ¸ÉÁª¨µ t 0 ȵ¤µ¦ Ä o nµ u 0 0.5 Å o [2] Ä ³ ¸É´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time unit step function) ·¥µ¤Ã ¥ 1, k t 0 u >k @ ® ¯0, k 0
´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.20 ( ) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(1.46)
u t
u >k @
k
t
£µ¡ ¸É 1.20 ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ( ) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ G' t
1 '
' 2
G t
'o0
1
t
' 2
t
£µ¡ ¸É 1.21 ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ®¦º°´ µ Å Â¦È Á ¨ µ
1.5.2 ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time unit impulse signal) ®¦º° ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “´ µ Å Â¦È Á ¨ µ (Dirac delta signal)” [2] º°¨·¤· ° ´ µ G ' t ¸É ·¥µ¤Ã ¥ 1 ° ,
t d
°¯0,
else
G ' t ® '
' 2
(1.47)
¨³Á¤ºÉ° ε® ¨·¤· Ä®o ' o 0 È ³Å oÁ } ´ µ °·¤¡´¨r® ¹ É ® nª¥ ´ ¸Ê 1, t 0 lim G ' t G t ® 'o0 ¯0, t z 0
(1.48)
Á¤ºÉ° nµ “1” Ä o ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ´Ê ®¤ ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ´É º°´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ´ µ ¡´¨r o°¥¤µ (®¦º°°µ ¨nµªÅ oªnµ´ µ ¸ÊŤn¤¸ nª Áª¨µ)  n¤¸ ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢Á nµ ´ ® ¹É ® nª¥ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 1.21 ´ µ Å Â¦È Á ¨ µÁ } ´ µ ¡´¨r°» ¤ · ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³ ¦³ à ¥ » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° ´ µ Å Â¦È Á ¨ µ¤¸ ´ ¸Ê บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-27
f
1) ³ G t dt
1
(®¤µ¥ ¹ ¡º Ê ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ´ µ Å Â¦È Á ¨ µ¤¸ µn Á nµ ´ 1 ® nª¥)
f
1 G t
a
2)
G at
3)
G t G t
4)
f t G t t0
f t0 G t t 0
t2
5) ³ f t G t t0 dt t1
6)
f t G t t0
f t0 , t1 t t2 ® else ¯0, f t t0
f
7) ³ f t G n t t0 dt 1 n f
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) d n f t
dt n
t t0
Á¤ºÉ° f t º°¢{ r ´ Ä Ç Â¨³ t0 º°Á¨ ε ª ¦· ¸É ¹ ¦·¤µ Áª¨µ ° µ ¸Ê´ µ Å Â¦È Á ¨ µ G t ¥´ ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ u t ´ ¸Ê 1)
du t
2)
u t
G t
dt t
³ G W dW
f
3)
G n t
d nu t
dt n
Ä ³ ¸É´ µ °·¤¡´¨r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time impulse signal) ®¦º° ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ (Kronecker delta signal)” [2] ·¥µ¤Ã ¥ 1, k 0 ¯0, k z 0
G >k @ ®
(1.49)
µ¤£µ¡ ¸É 1.22 ´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ¤¸ » ¤ ´ · ¸Éε ´ nµ Ç Á®¤º° ´ ¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ µ¤ ¸É ° · µ¥Åªo oµ o Á¡¸¥  n°¥¼nÄ Ã Á¤ (domain) ¸É nµ ´ Á nµ ´Ê ´É º°¢{ r ´ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ ³°¥¼nÄ Ã Á¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time domain) ¨³¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ³°¥¼nÄ Ã Á¤ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time domain) ´ª°¥nµ » ¤ ´ · ° ¢{ r ´ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ Å o n 1)
G > k @ u > k @ u > k 1@
2)
x > k @G > k @
x >0@G > k @
Á¤ºÉ° x > k @ º°´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ Ç
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
G >k @ k
£µ¡ ¸É 1.22 ´ µ °·¤¡´¨r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ®¦º°´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ r >k / N @
r t / t0
1
1
t
k
t0
N
£µ¡ ¸É 1.23 ´ µ µ ¨µ ( ) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
3)
x > k @ G > k k0 @
4)
x >k @
x > k0 @ G > k k0 @
f
¦ x > m@G > k m@
m f
5)
u >k @
k
¦ G > m@
m f
1.5.3 ´ µ µ ¨µ ´ µ µ ¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time ramp function) Á } ´ µ ¸É¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê µ nµ«¼ ¥r ¹ nµ® ¹É £µ¥Ä ¦³¥³Áª¨µ ¸É ε® t0 ´É º° §t · r¨ ¸ © t0 ¹
0, t 0 ° °t ® , 0 d t d t0 ° t0 °¯1, t ! t0
(1.50)
Á¤ºÉ° t0 Á } Á¨ ε ª ¦· ª µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 1.23 ( ) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ µ µ ¨µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time ramp function) Á } ´ µ ¸É¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê µ nµ«¼ ¥r ¹ nµ® ¹É £µ¥Ä ¦³¥³Áª¨µ ¸É ε® N ´É º° บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-29
ªkº r« » ¬N ¼
Á¤ºÉ° k ¨³
N
k 0 0, °k ° ® , 0dk d N °N k!N °̄1,
(1.51)
Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 1.23 ( )
1.5.4 ´ µ · r ´ µ · r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time sinc signal) ®¦º°°µ Á¦¸¥ ªnµ “´ µ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª (interpolation signal)” ·¥µ¤Ã ¥ t 0 1, ° sinc t ® sin t
, tz0 ° ¯ t
(1.52)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ µ · r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time sinc signal) ·¥µ¤Ã ¥ ªkº sinc « » ¬N ¼
k 0 1, ° ® sin k / N
, k z0 ° ¯ k/N
(1.53)
Á¤ºÉ° k ¨³ N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª £µ¡ ¸É 1.24  ´ µ · r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° Áª¨µ ´ µ · rÁ } ¢{ r ´ ¸É¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ºÉ°µ¦ · · ´¨Ã ¥Á ¡µ³°¥nµ ¥·É Ä Á¦ºÉ° ° §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¨³ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª [3] à ¥ » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° ´ µ · r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ ´ ¸Ê 1)
sinc t 0
Á¤ºÉ° t
f
r 1 , r2 , r 3 , …
2) ³ sinc2 t dt
S
f
f
3) ³ sinc t dt 0
S
f
5) ³ sinc t dt
4)
2
S
f
6) ³ sinc S x y sinc S y dy
sinc S x
f
f
1 §t· sinc ¨ ¸ f t dt a o0 ³ S a ©a¹ f
lim
a o0
1
Sa
§t· sinc ¨ ¸ G t
©a¹
´É º°¡ºÊ ¸ÄÉ o ¦µ¢ ° ´ µ sinc t ¤¸ nµÁ nµ ´ S
f
7)
lim
f
³ G t f t dt
f
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
f 0
£µ¡ ¸É 1.24 ´ µ · r ( ) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ SCILAB:
(£µ¡ ¸É 1.24)
-->t = -10:0.01:10;
x = %pi*t;
y = sinc(x); //£µ¡ ¸É 1.24 ( oµ¥)
-->subplot(1,2,1); plot(t, y) -->N = 5;
k = -20:20;
x = %pi*k/N;
y = sinc(x); //£µ¡ ¸É 1.24 ( ªµ)
-->subplot(1,2,2); plot2d3(k, y)
®¤µ¥Á® » Ä µ¦Ä o µ µ ¦´Ê [8] ´ µ · r ³ ·¥µ¤Ã ¥ sincS t
t 0 1, ° ® sin S t
, tz0 ° ¯ St
(1.54)
¹É Á¦¸¥ ªnµ ´ µ · r ¸É εĮoÁ } ¦¦ ´ µ (normalized sinc function) ´ ´Ê Ä ¦ ¸ ¸Ê ³Å oªnµ f
³ sincS t dt
1
f
´ª°¥nµ ¸É 1.8  ´ µ ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â¨³´ µ ¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 1.25 Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ª· ¸ ε ) ´ µ ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 1.25 ( ) ¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á nµ ´ ¸ÉÁª¨µ t T ®´ ¨ ´ ´ µ ´Ê ´ Å ¸ÉÁ¦·É¤ o ¸ÉÁª¨µ t
A T
¹É Á · µ ´ µ ´Ê ´ Å ¸ÉÁ¦·É¤ o ´É º° บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-31
x t
x t
t
t
£µ¡ ¸É 1.25 ´ µ ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â¨³¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤ x t
A ^u t T u t T `
) ´ µ ¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 1.25 ( ) Á · µ nª ° Áo ¦ ° Áo ¤µ¦ª¤ ´ à ¥Áo ¦ nª ¸É® ¹É º° x1 t
A t / T 1 ^u t T u t `
x2 t
A 1 t / T ^u t u t T `
¨³Áo ¦ nª ¸É° º°
´ ´Ê ´ µ ¦¼ µ¤Á®¨¸¥É ¤Ä £µ¡ ¸É 1.25 ( ) ¤¸¦¼ ¤ µ¦ º° x t
x1 t x2 t
t · §t · § A ¨ 1¸ ^u t T u t ` A ¨1 ¸ ^u t T u t ` ©T ¹ © T¹
1.6 ¦³ ¦³ (system) ®¤µ¥ ¹ Á° · ¸ (entity) ®¦º°°» ¦ r® ¹É ¸É ° ° ´ ´ µ °· ¡» (input signal) ¨oª Ä®o ¨¨´¡ rÁ } ´ µ Á°µ r¡» (output signal) ¹É °µ ¤¸ » ¤ ´ ·Á®¤º° ´ ®¦º° nµ ´ ´ ´ µ °· ¡» ÈÅ o à ¥ ´ÉªÅ ´ µ °· ¡» ° ¦³ Á¦¸¥ ´ ªnµ “´ µ ¦³ »o (excitation signal)” ¨³´ µ Á°µ r¡» Á¦¸¥ ªnµ “´ µ ° ° (response signal)” ®¦º° ¨ ° ° ° ¦³ (system response) oµ ε® Ä®o x t º°´ µ °· ¡» ¨³ y t º°´ µ Á°µ r¡» ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y t
º° ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ °· ¡» x t ®¦º°Á ¸¥ Á } ´ ¨´ ¬ rÅ oªnµ y t T ª¬ x t º¼
µ¤£µ¡ ¸É 1.26 à ¥ ´ÉªÅ ¦³ µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ε °° Å oÁ } ®¨µ¥ ¦³Á£ ´ n°Å ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(1.55)
x t
y t
£µ¡ ¸É 1.26 ¦³ ¸É¦´ ´ µ °· ¡» x t ¨³Ä®o´ µ Á°µ r¡» y t
x t
h t
y t
x >k @
T > x t @
h >k @
°° ¤µ
y >k @
£µ¡ ¸É 1.27 ( ) ¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
1.6.1 ¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁÁ¨³¦³ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time system) ®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É¤¸´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á } ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ³ ¸É¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time system) ®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É¤¸´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á } ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤£µ¡ ¸É 1.27
1.6.2 ¦³ Á · Áo ¨³¦³ ŤnÁ · Áo ε® Ä®o y1 t T ª¬ x1 t º¼ ¨³ ¸É¤¸ » ¤ ´ · 2 o° [3] ´ ¸Ê
y2 t T ª¬ x2 t º¼
´ ´ Ê ¦³ Á · Áo (linear system) ®¤µ¥ ¹ ¦³
1) » ¤ ´ · µ¦ ª (additivity property) ´É º° ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ °· ¡» x1 t x2 t
º°´ µ Á°µ r¡» y1 t y2 t
2) » ¤ ´ ·Á° ¡´ r (homogeneity ®¦º° scaling property) ¨nµª º° ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ °· ¡» ax1 t º°´ µ Á°µ r¡» ay1 t Á¤ºÉ° a º° nµ ´ª » ¤ ´ · ´Ê ° o°¦ª¤ ´ Á¦¸¥ ªnµ “ » ¤ ´ · µ¦ o° ´ (superposition property)” ¹É ¨nµªªnµ ¨ ° ° ° ¦³ n °´ µ °· ¡» a1 x1 t a2 x2 t Á¤ºÉ° a1 ¨³ a2 º ° n µ ´ ª º° ´ µ Á°µ r¡» a1 y1 t a2 y2 t ´ ´Ê ¦³ ¸ÉŤn¤¸ » ¤ ´ · µ¦ o° ´ Á¦¸¥ ªnµ¦³ ŤnÁ · Áo (nonlinear system) ´ª°¥nµ ¸É 1.9 ¡· µ¦ µªnµ¦³ n°Å ¸ÊÁ } ¦³ Á · Áo ®¦º°Å¤n ) y t
tx t
) y t
x2 t
ª· ¸ ε บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-33
) ¡· µ¦ µ´ µ °· ¡» 2 ´ µ Ä Ç ´É º° x1 t ¨³ y1 t T ¬ª x1 t ¼º
oµÄ®o´ µ °· ¡» x3 t
a1 x1 t a2 x2 t
tx t
¨³
tx2 t
Á } ¦³ Á · Áo
y1 t T ª¬ x1 t º¼
y3 t T ª¬ x3 t º¼
y2 t T ¬ª x2 t ¼º
Á¤ºÉ° a1 ¨³ a2 º° nµ ´ª ³Å oªnµ
) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡· µ¦ µ´ µ °· ¡» x1 t ¨³
oµÄ®o´ µ °· ¡» x3 t
³Å oªnµ
tx3 t t ^a1 x1 t a2 x2 t ` a1 y1 t a2 y2 t
y3 t T ª¬ x3 t º¼
´ ´Ê ¦³ y t
tx1 t
x2 t
x12 t
a1 x1 t a2 x2 t
x32 t
¨³
³Å oªnµ
y2 t T ª¬ x2 t º¼
x22 t
³Å oªnµ
a x t a x t
1 1
x2 t
2 2
2
a12 x12 t 2a1a2 x1 t x2 t a22 x22 t
a12 y1 t a22 y2 t 2a1a2 x1 t x2 t
z a1 y1 t a2 y2 t
Á ºÉ° µ
y3 t z a1 y1 t a2 y2 t
´ ´Ê ¦³ y t
x2 t
¹ ŤnÁ } ¦³ Á · Áo
1.6.3 ¦³ ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÂ¨³¦³ ¸ÉÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ε® Ä®o y t T ª¬ x t º¼ ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (time-invariant system) ®¦º°¦³ ¸É (fixed system) º°¦³ ¸É¦´ ´ µ °· ¡» ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ°° Å T ® nª¥ ´É º° x t T ¨oªÄ®o´ µ Á°µ r¡» ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ°° Å T ® nª¥ ´É º° y t T Á n ´ Ä ³ ¸É¦³ ¸ÉŤn¤¸ » ¤ ´ ·Á } Å µ¤ ¸Ê ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ¸É ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (time-varying system) ´ª°¥nµ ¸É 1.10 ¡· µ¦ µªnµ¦³ n°Å ¸ÁÊ } ¦³ ¸ÁÉ Á ¦Á ¨¸¥É µ¤Áª¨µ®¦º°¦³ ¸ÅÉ ¤nÁÁ ¦Á ¨¸¥É µ¤Áª¨µ ) y > k @
cos x > k @
) y t
tx t
ª· ¸ ε ) ¡· µ¦ µ µ¦ j° ´ µ °· ¡» x2 > k @
x >k n@
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
Á oµÅ Ä ¦³ ³ εĮoÅ o´ µ Á°µ r¡» º°
y2 > k @ cos x2 > k @ cos x > k n @
y > k n@
´É º° Á¤ºÉ° j° ´ µ °· ¡» ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ°° Å n ® nª¥ ´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÅ o È ³ ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ°° Å n ® nª¥ Á n ´ ´ ´Ê ¦³ y > k @ cos x > k @ ¹ Á } ¦³ ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¨°  ´ µ °· ¡» oª¥ °·¤¡´¨r ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» º°
x2 t G t 1
Á oµÅ Ä ¦³ Á¤ºÉ° G t º°´ µ
y2 t tx2 t tG t 1 z y t 1
Á ºÉ° µ y t 1 t 1 x t 1 ´ ´Ê ¦³ y t
tx t
Á } ¦³ ¸ÉÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ
1.6.4 ¦³ ¸ÉŤn¤®¸ nª¥ ªµ¤ 娳¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε ¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε (memoryless system) º°¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» Áª¨µ® ¹É Ç ³ ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» ¸ÉÁª¨µÁ ¸¥ª ´ Á nµ ´Ê ( ³Å¤n ¹Ê ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ ®¦º°Ä Áª¨µ° µ ) Á n x2 >k @ 2 x >k @ , y >k @
y >k @
1 x >k @ , a
®¦º° y t
ax t
Á¤ºÉ° a Á } nµ ´ª Á } o Ä ³ ¸É¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε (system with memory) º°¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» Áª¨µ® ¹É Ç ³ ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ { » ´ ®¦º°° µ ÈÅ o Á n y >k @
k
¦ x > n@ , y > k @
ax > k 1@ ,
®¦º° y t
n f
t
1 ³ x W dW a f
1.6.5 ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o¨³¦³ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o (invertible system) º°¦³ ¸É εĮoÁ · ´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÁ } Å o°¥nµ Á ¸¥ª (unique) 宦´ ´ µ °· ¡»  n¨³Â Á n ¦³ ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r y t
2x t
(1.56)
³Á } ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å oà ¥¤¸¦³ ´ (inverse system) º° w t
1 y t
2
(1.57) บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-35
y >k @
x >k @
x t
x >k @
y >k @
y t
k
y t
2x t
¦ x > n@
w > n@
y >k @
w t
w>k @
1 y t
2
y > k @ y > k 1@
x >k @
w t
x t
w>k @
x >k @
n f
£µ¡ ¸É 1.28 ´ª°¥nµ ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o
´É º°Á¤ºÉ°Â nµ y t µ ¤ µ¦ (1.56) ¨ Ä ¤ µ¦ (1.57) ¨oª ³Å oªnµ w t x t £µ¡ ¸É 1.28  ´ª°¥nµ ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o Ä ³ ¸É¦³ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o (noninvertible system) Á n y > k @ 0 ®¦º° y t 3 x 2 t Á } o
1.6.6 ¦³ ° °¨Â¨³¦³ ° ° °¨ ¦³ ° °¨ (causal system) º°¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» ³ ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ ³ ´Ê ¨³ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸  nŤn ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ ´ ´Ê ¦³ Áª¨µ ¦· (real-time system) » ¦³ Á } ¦³ ° °¨ Á ºÉ° µ ¦³ Áª¨µ ¦· Ťnµ¤µ¦ ¦´ nµ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ Å o ° µ ¸Ê¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε È º°ªnµÁ } ¦³ ° °¨ oª¥ Ä ³ ¸É¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ { » ´ ¨³° µ ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ° ° °¨ (noncausal system) ´ª°¥nµ ¸É 1.11 ¡· µ¦ µªnµ¦³ y > k @
x > k @
Á } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n
ª· ¸ ε Á¤ºÉ°¡· µ¦ µÃ ¥ ´ÉªÅ °µ Á oµÄ ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨ Á¡¦µ³ªnµ´ µ Á°µ r¡» Áª¨µ { » ´ ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ 宦´ k t 0 °¥nµ Ŧ È µ¤Ä µ¦¡· µ¦ µªnµ¦³ Ä Á } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n ´Ê Ä®o¡· µ¦ µ » nª Áª¨µ ¸ÉÁ } Å Å o ¹É Ä ¦ ¸ ¸Ê oµ¡· µ¦ µ ¸ÉÁª¨µ k 0 Á n k 5 ³Å oªnµ¦³ ¸Ê º° y > 5@ x >5@ ´É º°´ µ Á°µ r¡» Áª¨µ { » ´ ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¦³ y > k @ x > k @ ¹ ŤnÅ oÁ } ¦³ ° °¨
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
1.6.7 ¦³ Á ¸¥¦Â¨³¦³ ŤnÁ ¸¥¦ ¦³ Á ¸¥¦ (stable system) º°¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» y t ¤¸ nµÅ¤n¨¼n°° (diverge) Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x t ¤¸ nµÅ¤n¨¼n°° ®¦º°°µ ¨nµªÅ oªnµ´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á (bounded input) ³ εĮoÁ · ´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á (bounded output) ¹É » ¤ ´ · ¸ÊÁ¦¸¥ ªnµ ªµ¤Á ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã° (BIBO: boundedinput bounded-output) Ä µ · «µ ¦r ªµ¤Á ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã°®¤µ¥ ¹ ´ µ Á°µ r¡ » ³ o° ¤¸ nµÁ nµ ´ y t d M y f
(1.58)
x t d M x f
(1.59)
Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» ° ¦³ ¤¸ nµÁ nµ ´
宦´ » nª Áª¨µ t à ¥ ¸É M x ¨³ M y º° ε ª ¦· ª ¸É ε ´ (finite positive number) Ä Ç ¦³ ¸É εĮo´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµ¨¼n°° Á¤ºÉ° j° ´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á Á oµÅ Ä ¦³ ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ŤnÁ ¸¥¦ (unstable system) ´ª°¥nµ ¸É 1.12 ¡· µ¦ µªnµ¦³ n°Å ¸ÊÁ } ¦³ Á ¸¥¦®¦º°¦³ ŤnÁ ¸¥¦ ) y t
) y t
tx t
e x t
ª· ¸ ε ª· ¸ µ¦¡· µ¦ µªnµ¦³ Ä Á } ¦³ Á ¸¥¦ Ä®o¨°  nµ´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á Á oµÅ ¨oª ¼ªnµ ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ¤¸ nµ¨¼n°° ®¦º°Å¤n oµ´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÅ¤n¨¼n°° È ªnµÁ } ¦³ Á ¸¥¦ ) Ä ¦ ¸ ¸Ê oµÄ®o x t
¦³ ŤnÁ ¸¥¦
1
³Å o y t
t
¹É µ¤µ¦ ¤¸ nµÁ } °³Å¦ ÈÅ o ´ ´Ê ¦³ y t
tx t
Á }
) 宦´ ¦ ¸ ¸Ê ³Â nµ´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á Ä Ç º° x t B
®¦º°
B x t B
宦´ » nµ t Á¤ºÉ° B º° nµ ´ª ´ ´Ê ³Å oªnµ e B y t e B
¹É εĮo¦» Å oªnµ¦³ y t
e x t
Á } ¦³ Á ¸¥¦ บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-37
£µ¡ ¸É 1.29 µ¦ n° ´ ° ° ¦³ ( )  ° » ¦¤, ( )  µ , ( )  ¤, ¨³ ( )  j° ¨´
1.7 µ¦ n° ´ ° ¦³ à ¥ ´ÉªÅ ¦³ ¸ÉÄ o µ ¦· ³ ¦³ ° Å oª¥¦³ ¥n°¥®¨µ¥¦³ ¤µ n° ´ Á n ¦³ Á ¦ºÉ° Á¸¥ ¦ ¥ r È ³ ¦³ ° Å oª¥ª ¦£µ ¦´ ¨ºÉ ª· ¥» Á ¦ºÉ° Á¨n  n ¸ ¸ ª ¦ ¥µ¥´ µ ¨³¨ÎµÃ¡ Á } o ´ ´Ê Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ µ Ä® n ¸É ´ o° Ä®o´ Á ¼ªnµ¦³ ´Ê µ¤µ¦  n °° Á } ¦³ ¥n°¥Å o®¦º°Å¤n Á¡ºÉ° ¸É ³Å o«¹ ¬µÂ¨³ª·Á ¦µ³®r¦³ ¥n°¥Á®¨nµ ¸Ê ¸¨³nª ¹É nª¥ εĮoÁ oµÄ ¡§ · ¦¦¤ ° ¦³ ¦ª¤ ´Ê ®¤ Å o nµ¥ ªnµ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ µ Ä® nÄ ¦µªÁ ¸¥ª µ¦ n° ´ ° ¦³ (system interconnection) Ä µ · ´ ·µ¤µ¦ εŠo®¨µ¥¦¼  £µ¡ ¸É 1.29 ( )  µ¦ 妳 ¥n°¥° ¦³ ¤µ n° ´  ° » ¦¤ (serial or cascade interconnection) ¹É  £µ¡ ¨´ ¬ ³ ¸ÊÁ¦¸¥ ªnµÂ £µ¡ ¨È° (block diagram) µ £µ¡ ¸É 1.29 ( ) ³Á®È Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®¤µ¥Á¨ 1 ³Á } ´ µ °· ¡» ° ¦³ ®¤µ¥Á¨ 2 ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®¤µ¥Á¨ 2 ¹ º°ªnµ Á } ¨ ° ° ° ¦³ ¦ª¤ ´Ê ®¤ n°´ µ °· ¡» ¸ÉÁ oµ¤µÄ ¦³ ®¤µ¥Á¨ 1 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ £µ¡ ¸É 1.29 ( )  µ¦ n° ´  µ (parallel interconnection) à ¥ ¸É´ µ °· ¡» ³ ¼ n Á oµÅ ¦³¤ª¨ ¨ ´Ê Ä ¦³ ®¤µ¥Á¨ 1 ¨³¦³ ®¤µ¥Á¨ 2 ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ´Ê ®¤ È º° ¨¦ª¤ ° ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®¤µ¥Á¨ 1 ¨³¦³ ®¤µ¥Á¨ 2 Á¤ºÉ°Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ º° µ¦ ª ° µ ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥´ ¤¸Â ¤ (mix interconnection) µ¤£µ¡ ¸É 1.29 ( ) ¨³Â j° ¨´ (feedback interconnection) µ¤£µ¡ ¸É 1.29 ( ) ´ ´Ê Á¤ºÉ°Á oµÄ ¹ ¨´ ¬ ³ µ¦ n° ´ ° ¦³ ¨oª È ³ nª¥ εĮo ¦µ ¹ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¸É o µ ¨³´ µ Á°µ r¡» ¸É ¨µ¥ µ nµ µ ¦³ ¥n°¥Â n¨³ ¦³ Å o ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 1.13 ε® Ä®o¦³ y1 > n @ º°
S1
¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x1 > n@ ¨³´ µ Á°µ r¡» y1 > n @
x1 > n @ 2 x1 > n 1@
(1.60)
¨³¦³ S2 ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x2 > n@ ¨³´ µ Á°µ r¡»
y2 > n @
º°
y2 > n @ 3 x2 > n 1@ x2 > n 2@
(1.61)
) ®µ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x > n@ ¨³´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ S1 ¨³¦³ S2 ¤µ n°Â ° » ¦¤ µ¤£µ¡ ¸É 1.30 ( )
A
Á¤ºÉ° 妳
) oµ¦³ S1 ¨³¦³ S2 ¨´ ε® n ´ ®µ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ B µ¤£µ¡ ¸É 1.30 ( ) ª· ¸ ε ) µ £µ¡ ¸É 1.30 ( ) ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ x2 > n @ y1 > n @ ¨ Ä ¤ µ¦ (1.61) ³Å oªnµ
S1
Á } ´ µ °· ¡» ° ¦³
y2 > n @ 3 y1 > n 1@ y1 > n 2@
S2
´ ´Ê Â nµ
(1.62)
 nµ y1 > n@ µ ¤ µ¦ (1.60) ¨ Ä ¤ µ¦ (1.62) ³Å o y2 > n @ 3^ x1 > n 1@ 2 x1 > n 2@` ^ x1 > n 2@ 2 x1 > n 3@` 3 x1 > n 1@ 7 x1 > n 2@ 2 x1 > n 3@
Á ºÉ° µ x1 > n @ x > n@ ¨³ ´ µ Á°µ r¡» º°
y2 > n @
y >n@
´ ´Ê ¦³
A
³¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³
y > n @ 3 x > n 1@ 7 x > n 2@ 2 x > n 3@
บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-39
x > n@
S1
S2
y > n@
x > n@
S2
S1
A
y > n@
B
£µ¡ ¸É 1.30 µ¦ n° ´  ° » ¦¤ ° ¦³ A ¨³¦³ B
) Á¤ºÉ° ε µ¦¨´ ε® n ° ¦³ S1 ¨³¦³ S2 ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ S2 Á } ´ µ °· ¡» ° ¦³ S1 µ¤£µ¡ ¸É 1.30 ( ) ´ ´Ê  nµ x1 > n@ y2 > n @ ¨ Ä ¤ µ¦ (1.60) ³Å oªnµ y1 > n @
 nµ
y2 > n @
y2 > n @ 2 y2 > n 1@
(1.63)
µ ¤ µ¦ (1.61) ¨ Ä ¤ µ¦ (1.63) ³Å o y1 > n @
^3x > n 1@ x > n 2@` 2^3x > n 2@ x > n 3@` 2
2
2
2
3 x2 > n 1@ 7 x2 > n 2@ 2 x2 > n 3@
Á ºÉ° µ x2 > n@ x > n@ ¨³ y1 > n@ ´ µ Á°µ r¡» º°
y > n@
´ ´Ê ¦³
B
¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³
y > n @ 3 x > n 1@ 7 x > n 2@ 2 x > n 3@
µ ´ª°¥nµ  ĮoÁ®È ªnµ¦³ A ¨³¦³ B ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³ ´ µ Á°µ r¡» Á®¤º° ´ ´ ´Ê ¦» Å oªnµ oµ¦³ ¥n°¥ ´Ê ° ¤¸ » ¤ ´ ·Â Á · Áo ¨oª ¨ ° ° ° ¦³ ¦ª¤ ³Å¤nÁ ¨¸É¥  ¨ Á¤ºÉ°¤¸ µ¦¨´ ε® n ° ¦³ ¥n°¥ ¸É n° ´  ° » ¦¤
1.8 ¦» oµ¥ Ä ¸Ê Å o° · µ¥ ¹ ´ µ ¦³Á£ ° ´ µ µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ´ µ ´ µ Á¨ ¸Ê Î µ¨´ Á · o° ´ µ ¡ºÊ µ nµ Ç ¦³Á£ ° ¦³ ¨³ µ¦ n° ´ ° ¦³ ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ´Ê ¸ÊÁ ºÉ° µ ªµ¤Á oµÄ Á ¸É¥ª ´ ¡ºÊ µ nµ Ç Á®¨nµ ¸ÊÁ } ·É ¸É εÁ } °¥nµ ¥·É Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ Ä®o¤¸ ¦³· ·£µ¡ Á¡¦µ³ ³ nª¥ εĮoµ¤µ¦ °°  ¨³¡´ µ¦³ Ä®oÁ®¤µ³¤ ´ ªµ¤ o° µ¦Ä µ¦Ä o µ Ä Â n¨³ µ ¦³¥» rÅ o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
1.9  f ®´ oµ¥ 1) ¡· µ¦ µªnµ´ µ n°Å ¸ÊÁ } ´ µ µ ®¦º°Å¤n oµÁ } ´ µ µ Ä®o®µ µ Áª¨µ ° ´ µ ´Ê oª¥ ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ ¦¼ ° ´ µ oª¥ 1.1)
x t
1.2)
x t
2 cos 3t S / 2
1.3)
x t 3sin 2 3t
1.4)
x t
4sin 2t cos 2t
1.5)
x t cos 50S t sin 15S t
1.6)
x t
2sin 3t cos 3t 3cos 2t
1.7)
x t sin 2S t cos 3S t cos 5S t 3S / 4
je j 5t
2) ¡· µ¦ µªnµ´ µ n°Å ¸ÊÁ } ´ µ ε¨´ ´ µ ¡¨´ µ ®¦º°Å¤nÄ n ´Ê ° ¦³Á£ Á¤ºÉ° ε® Ä®o a , A , A1 , ¨³ A2 º° nµ ´ªÄ Ç Â¨³ a ! 0 2.1)
x t
Ae a t
2.3)
x t
Ae at sin Zt
2.4)
x t u t u 10 t
2.2) Á¤ºÉ° Z
2S f
x t
At 2
º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤
Á¤ºÉ° u t º°¢{ r ´ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥
3) ªµ ¦¼ ° ´ µ n°Å ¸Ê (¡¦o°¤ ´Ê ¦³ » nµ nµ Ç Áo  x ¨³Áo  y oª¥) 3.2)
x > k @ u > k 2@ 2u >3 k @
x > k @ 3G > k 2@ 2G > k @ G > k 3@
3.4)
x t
x t
3.6)
x > k @ 2r > k 1@ r > k / 2@
3.1)
x t
3.3) 3.5)
2u t u t 4
r t / 2 2r t / 4
4) ε® Ä®o´ µ x > k @ º° x > k @
k 3 1, ° 3 d k 2 ®k , °2 / k , k t 2 ¯
2sinc t 1
ªµ ¦¼ ° ´ µ x > k @ , x > 2 k @ ,
x > 2k @ , ¨³ x > k / 2 1@
5) ¡·¼ rªnµ¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° n°´ µ °· ¡» x t º° y t
¦³ Á · Áo ¦³ ° ° °¨ ¨³¦³ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o
x t 3 x 4 t
º°ªnµÁ }
6) ¡·¼ rªnµ¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° n°´ µ °· ¡» x t º° y t x t cos 5S t º°ªnµÁ } ¦³ ¸ÉÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¦³ Á ¸¥¦ ¨³¦³ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o 7) ¡·¼ rªnµ¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° n°´ µ °· ¡» x > n@ º° y > n @ 5 x > n@ 4 º°ªnµÁ } ¦³ Ťn Á · Áo ¦³ ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¨³¦³ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-41
8) ε® Ä®o´ µ x t ¤¸¨´ ¬ ³ µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê x t
t
ªµ £µ¡ ° ´ µ n°Å ¸Ê (¡¦o°¤ ´Ê ¦³ » nµ nµ Ç Áo  x ¨³Áo  y oª¥) 8.1) x t 3
8.2)
3x 2 t
8.3) x 2t 1
8.4) x 3 t / 2
8.5)
ª¬ x t x t º¼ u t
8.6) x t ª¬G t 2 G t 2 º¼
9) ¡· µ¦ µ¦³ ¥n°¥µ¤¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê x > n@
S1
S3
S2
y > n@
à ¥ ¸É ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x > n@ ¨³´ µ Á°µ r¡» y > n@ °  n¨³¦³ º° ¦³ ¸É® ¹É S1 :
y > n@
x > 2n @
¦³ ¸É° S2 :
y > n@
x > n @ 3 x > n 1@ 2 x > n 2@
¦³ ¸Éµ¤ S3 :
x > n / 2@ , n y > n@ ® n ¯0,
even odd
9.1) ®µ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ¦ª¤ 9.2) ¦ª ° ªnµ¦³ ¦ª¤Á } ¦³ Á · Áo ®¦º°Å¤n 9.3) ¦ª ° ªnµ¦³ ¦ª¤Á } ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ®¦º°Å¤n 10) ¡· µ¦ µªnµ o° ªµ¤ n°Å ¸ÊÁ } ¦· ®¦º°Å¤n ¡¦o°¤ ´Ê ° · µ¥Á® » ¨ 10.1) µ¦ n° ´  ° » ¦¤ ° ¦³ ŤnÁ · Áo ° ¦³ ³ εĮo¦³ ¦ª¤ ¸ÉÅ o¤¸ » ¤ ´ ·Å¤nÁ · Áo oª¥ 10.2) µ¦ n° ´  ° » ¦¤ ° ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ° ¦³ ³ εĮo¦³ ¦ª¤ ¸ÉÅ o¤¸ » ¤ ´ ·Å¤n ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ oª¥ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
¸É 2 ¦³ Á · Áo ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (LTI : linear time-invariant) ®¦º°¦³ LTI º°¦³ ¸É¤¸ » ¤ ´ · ´Ê Á · Áo ¨³Å¤n ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ Ä µ · ´ ·¦³ LTI ·¥¤ ε¤µÄ oÄ µ¦ ´Ê ¤¤» · µ ° ¦µ µ¦ r nµ Ç Á¡ºÉ°«¹ ¬µ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ´ ´Ê ªµ¤ Á oµÄ Ä ¦³ LTI ¹ nª¥ εĮoµ¤µ¦ ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ nµ¥ ¹Ê ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ¦³ LTI ¤¸ » ¤ ´ · ¸Éε ´ º° ´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ (convolution) ¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r (impulse response) ° ¦³ ´ ´Ê oµ ¦µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI È ÎµÄ®oµ¤µ¦ ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» Á } ´ µ Ä Ç Å oà ¥ nµ¥ Ä ¸Ê ³¡· µ¦ µÁ ¡µ³¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time LTI system) ¹É ®¤µ¥ ¹ ¦³ LTI ¸É¤¸´ µ °· ¡» , ¨ ° ° °·¤¡´¨r, ¨³´ µ Á°µ r¡» Á } ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥ ³Á o Ä Á¦ºÉ ° µ¦° · µ¥¡ºÊ µ µ · «µ ¦r n µ Ç ¸É Î µ Á } Î µ ®¦´ µ¦ª· Á ¦µ³®r ¦ ³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á n » ¤ ´ · ° ¦³ LTI, ¨ ° ° °·¤¡´¨r, ° ꨼ ´ , ¨³®´¤¡´ r Á } o ¦ª¤ ´Ê ° · µ¥ µ¦Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» Ä ¦¼ ° ¤ µ¦ Á · ° »¡´ r oª¥ 宦´ ¡ºÊ µ µ · «µ ¦r ¸ÉÁ ¸É¥ª o° ´ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time LTI system) ³° · µ¥Ä ¸É 3 nª ¼o Ä ¸É o° µ¦«¹ ¬µ¦µ¥¨³Á°¸¥ Á¡·É¤Á ·¤ ° Á ºÊ°®µÄ ¸Êµ¤µ¦ o ªoµÅ o µ [1, 3 – 5]
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา
2-1
x t
x̂ t
x ' G ' t ' '
x t
x '
'
'
'
k'
x k ' G' t k' '
x 0 G ' t '
x k'
x 0
'
k'
£µ¡ ¸É 2.1 µ¦ ¦³¤µ nµ ° ´ µ x t oª¥´ µ x̂ t
2.1 µ¦Â ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time signal) µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° µ¦ o° ´ (superposition) ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ¸É ¼ Á ¨Â¨³ ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ®¨µ¥Ç ´ª Ä µ · ´ ·´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥®¦º°´ µ Å Â¦È Á ¨ µ G t °µ ¡· µ¦ µÅ oªnµÁ } ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä °» ¤ · (ideal rectangular pulse) ¸É¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ´ µ o°¥¤µ ¨³¤¸Â°¤¡¨· ¼ ° ´ µ ¼ ¤µ µ¤ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê 1 ° , 0dt '
G ' t ® '
°¯ 0,
(2.1)
else
Á¤ºÉ° ' º° nµ ´ª ¡· µ¦ µ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Ä £µ¡ ¸É 2.1 ¡ ªnµ´ µ x t µ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ n ª ÊÎ µ ® ´ ° ´ µ ¡´ ¨ r ¦¼ ¸É Á ®¨¸É ¥ ¤Ä °» ¤ · G ' t ¸É ¼ n ª ÊÎ µ ® ´ ¨³ ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ Á ºÉ° µ 'G ' t ¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á nµ ´ nµ 1 ´ ´Ê ´ µ x t ¹ µ¤µ¦ ¦³¤µ nµÅ oÁ } f
xˆ t
¦ x k ' G t k ' ' '
k f
2-2
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
(2.2)
Á¤ºÉ° x̂ t º° nµ ¦³¤µ ° ´ µ x t ¤ µ¦ (2.2)  ĮoÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ' ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ«¼ ¥r¤µ Á nµÄ È ³ εĮo x̂ t ¤¸ nµÄ ¨oÁ ¸¥ ´ x t ¤µ ¹Ê Á nµ ´Ê Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ f ½ x t lim ® ¦ x k ' G ' t k ' ' ¾ 'o0 ¯ k f ¿
(2.3)
µ §¬ ¸ ¡ºÊ µ °  ¨ ¼¨´ [4] ¦·¡´ r nµ ¦· (real integral) ° ¢{ r ´ ¦· µ¤µ¦ ·¥µ¤ Ä ¦¼ ¨·¤· ° ¨¦ª¤ b
b/H
³ g t dt
lim H o0
a
¦H g kH H
(2.4)
k a/
à ¥ ¸É H º°nª ¸É o°¥¤µ Ç ° ´ªÂ ¦ t ´ ´Ê µ ¤ µ¦ (2.3) Á¤ºÉ° ' o 0 ´ µ G ' t ³Á ¨¸É¥ Á } ´ µ °· ¤ ¡´ ¨ r ® ¹É ® n ª ¥ G t ¨³Á ¦ºÉ ° ®¤µ¥ ¨¦ª¤ È ³Á ¨¸É ¥ Á } Á ¦ºÉ ° ®¤µ¥ ¦· ¡´ r ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ´ µ x t µ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥Å o º° f
x t
³ x W G t W dW
(2.5)
f
2.2 ¦·¡ ´ r ° ꨼ ´ ε® Ä®o h t º° ¨ ° ° °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ (unit impulse response) ®¦º° ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ ¨ ° ° °·¤¡´¨r” ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (®¦º°Á ¸¥ Á } ´ ¨´ ¬ r º° T) ¹É È º°´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» Á } ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ G t ´É º° h t T ª¬G t º¼
(2.6)
´ ´Ê Ä ¦ ¸ ¸É´ µ °· ¡» º° x t ³Å oªµn ´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ° ° ¦³ ¤¸ nµÁ nµ ´ y t T ª¬ x t º¼
(2.7)
 nµ x t µ ¤ µ¦ (2.5) ¨ Ä ¤ µ¦ (2.7) ³Å o ªf º y t T « ³ x W G t W dW » ¬ f ¼
f
³ x W T ª¬G t W º¼ dW
(2.8)
f
Á ºÉ° µ ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ LTI ´ ´ Ê บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา
2-3
h t W T ª¬G t W º¼
(2.9)
 nµ¤ µ¦ (2.9) ¨ Ä ¤ µ¦ (2.8) ³Å o f
y t
³ x W h t W dW
(2.10)
f
¹É Á } µ¦®µ nµ ¦·¡´ r ° ¢{ r ´ x W h t W 宦´ » nµ W à ¥°µ ¡· µ¦ µªnµ h t W º°´ µ h W ¸É ε µ¦¡´ ´ µ ¨oª ¼ ® nª Áª¨µÁ } ε ª t ® nª¥ ¤ µ¦ (2.10) ³Á¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “ ¦·¡´ r ° ꨼ ´ (convolution integral)” ¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° f
y t
x t h t
³ x W h t W dW
(2.11)
f
Á¤ºÉ° “ ” º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) µ ¤ µ¦ (2.11) Á®È Å oªnµ¦³ LTI µ¤µ¦ ¼ ε® Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ ¨nµª º° oµ ¦µ ªnµ h t º°°³Å¦ ȵ¤µ¦ ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» Á } ´ µ Ä Ç Å oà ¥ nµ¥ ´ª°¥nµ ¸É 2.1 ®µ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x t ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ º° 3, 1 t 1 ® else ¯0,
x t
¨³
h t
2, 0 t 4 ® else ¯0,
ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ ¤ µ¦ (2.11) à ¥Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ´ µ x W ¨³ h t W µ¤ £µ¡ ¸É 2.2 ³¡ ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 5 nª Áª¨µÃ ¥¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É t 1 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸nª Ä ° ´ µ h t W ¨³ x W ¤µ ´ o° ´ ´ ´ Ê f
y t
³ x W h t W dW
0
f
nª Áª¨µ ¸É 1 t 1 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W Á¦·É¤ ´ o° ´ ´ µ x W ¹ nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W ´ o° x W ´Ê ®¤ ´ ´Ê f
y t
³
t
x W h t W dW
f
³ 3 2 dW
t
6W W
1
6 t 1
1
nª Áª¨µ ¸É 1 t 3 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W ´ o° ´ ´ µ x W ´Ê ®¤ ´ ´Ê 2-4
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
x W
h t
3 2
0
-1
W
1
h t W
t 4
t
0
W
t
t
W
3 t 5
t
t 4
W
W
1 t 3
t 4
0
-4
1 t 1 t 4
h W
2
2
t 1
t
4
0
W
t !5 t 4
W
t
£µ¡ ¸É 2.2 µ¦ ε® nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.1 f
y t
³
1
x W h t W dW
f
1
³ 3 2 dW
6W W
1
6 1 1 12
1
nª Áª¨µ ¸É 3 t 5 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W Á¦·É¤Á ¨ºÉ° ¸É°° µ µ¦ ´ o° ´ ´ µ x W
´Ê ®¤ ¹ nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W ´ o° ´ x W ´ª» oµ¥ ´ ´Ê f
y t
³
5
x W h t W dW
f
³ 3 2 dW
6 5 t 4 6 1 t
5
6W W
t 4
t 4
nª Áª¨µ ¸É t ! 5 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸nª Ä ° ´ µ h t W ¨³ x W ¤µ ´ o° ´ ´ ´Ê f
y t
³ x W h t W dW
0
f
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา
2-5
W
W x W h 0 W
x W h 1 W
x W h 2 W
x W h 4 W
x W h 5 W
W
W y t
t
£¾¥Â&#x161;¸Ă&#x2030; 2.3 Â&#x2DC;´ª°¼nÂľÂ&#x160;Â&#x201E;¾ŒÂ&#x161;Ă&#x17D;ÂľÂ&#x2021;°Â&#x153;Ă&#x192;ª¨ŸÂ?´Â&#x153;Œ³ŽªnÂľÂ&#x160; x W Ă&#x201A;¨³ h t W
à ¥Œ¾³Â&#x152;ÂłÂ&#x153;´Ă&#x160;Â&#x153;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;à °¾Â&#x2DC;rÂĄÂ&#x2DC;Âť Â&#x2026;°Â&#x160;ÂŚÂłÂ?Â? LTI ¤¸Â&#x2021;n¾à Â&#x161;nÂľÂ&#x201E;´Â?
y t
Â0, ° °°6 t 1 , ÂŽ12, °6 1 t , ° °Ě&#x201E;0,
t 1 1 t 1 1 t 3 3 t 5 t !5
£¾¥Â&#x161;¸Ă&#x2030; 2.3 Ă&#x201A;ÂÂ&#x2014;Â&#x160;Œ¾¼¨³à °¸¼Â&#x2014;Â&#x201E;¾ŒÂ&#x161;Ă&#x17D;ÂľÂ&#x2021;°Â&#x153;Ă&#x192;ª¨ŸÂ?´Â&#x153;Œ³ŽªnÂľÂ&#x160; x W Ă&#x201A;¨³ h t W à ¤ºĂ&#x2030;° t SCILAB:
1, 0, 2, 4, Ă&#x201A;¨³ 5
(£¾¥Â&#x161;¸Ă&#x2030; 2.3)
-->function [y] = Xt(t) --> y = zeros(1,length(t)); --> index = find((t>-1)&(t<1)); --> y(index) = 3; -->endfunction
//¢{Â&#x160;Â&#x201E;rÂ?´Â&#x153;ÂĽn°¼ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â?´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x t
-->function [y] = Ht(t) --> y = zeros(1,length(t)); --> index = find((t>0)&(t<4)); --> y(index) = 2; -->endfunction
//¢{Â&#x160;Â&#x201E;rÂ?´Â&#x153;ÂĽn°¼ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â?´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; h t
-->Step = 0.01;
Range_t = -3:Step:6;
2-6
Range_Tau = -2:Step:5;
สูŕ¸?ŕ¸?าŕ¸&#x201C;๠ละระŕ¸&#x161;ŕ¸&#x161; ภูŕ¸&#x161;ภารŕ¸&#x203A;ระยุภŕ¸&#x2022;ď&#x153;&#x17D;ŕš&#x192;ŕ¸&#x160;ď&#x153;&#x2039;ŕš&#x201A;ŕ¸&#x203A;ร๠ภรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
-->for i = 1:length(Range_t) --> t = Range_t(i); --> Yt(i) = sum(Xt(Range_Tau).*Ht(t - Range_Tau))*Step; -->end -->plot(Range_t, Yt);
// ¦·¡´ r ° ꨼ ´
´ª°¥nµ ¸É 2.2 ®µ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x t ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ º° x t e D t u t
¨³
h t u t
宦´ D ! 0 à ¥ ¸É u t º°´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ ¤ µ¦ (2.11) à ¥Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ´ µ x W ¨³ h t W µ¤ £µ¡ ¸É 2.4 ³¡ ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 2 nª Áª¨µ º° Á¤ºÉ° t ! 0 ¨³ t 0 à ¥¤¸ ¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É t 0 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸nª Ä ° ´ µ h t W ´ o° ´ ´ µ x W ( ¼£µ¡ ¸É 2.5) ´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä nª Áª¨µ ¸Ê ³¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r ´É º° f
y t
³e
DW
u W u t W dW
0
宦´ t 0
f
nª Áª¨µ ¸É t ! 0 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W ´ o° ´ ´ µ x W µ nª ( ¼£µ¡ ¸É 2.5) ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ y t
f
t
DW ³ e u W u t W dW
DW ³ e dW
f
0
e DW D
t
W 0
1
D
1 e
D t
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ LTI ¸Ê宦´ » nµ t º° y t
1
D
1 e u t
D t
´ª°¥nµ ¸É 2.3 ε® Ä®o T º°Á¨ ε ª ¦· ®µ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x t ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ º° t , 0 t 2T x t ® else ¯0,
¨³
h t
1, 0 t T ® else ¯0,
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา
2-7
x W
h W
1
1
W
0
h W
h t W
1
W
0
1
W
t
0
W
0
£µ¡ ¸É 2.4 µ¦¡· µ¦ µ nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.2 x W
1
1
1
W
W
W
h t W
W
t 0
W
t 1
t
3
W
£µ¡ ¸É 2.5 ´ª°¥nµ µ¦ ´ o° ° ´ µ x W ¨³ h t W Á¤ºÉ° t < 0, t = 1, ¨³ t = 3 Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.2
ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ ¤ µ¦ (2.11) à ¥Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ´ µ x W ¨³ h t W µ¦ ε ° ꨼ ´ µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 5 nª Áª¨µ µ¤£µ¡ ¸É 2.6 ¹É ¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É t 0 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸nª Ä ° ´ µ h t W ¨³ x W ¤µ ´ o° ´ ´ ´ Ê f
y t
³ x W h t W dW
0
f
nª Áª¨µ ¸É 0 t T Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W Á¦·É¤ ´ o° ´ ´ µ x W ¹ nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W ´ o° x W ´Ê ®¤ ´ ´Ê f
y t
³
t
x W h t W dW
f
³ W dW 0
W2 2
t
1 2 t 0 2
W 0
t2 2
nª Áª¨µ ¸É T t 2T Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W ´ o° ´ ´ µ x W ´Ê ®¤ ´ ´Ê 2-8
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
x W
W h t W
t 0 t T
t
0 t T t T
t
W
W
T t 2T t T
W
t
2T t 3T
W
t
t T
t ! 3T
W
t
t T
£µ¡ ¸É 2.6 µ¦ ε® nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.3 f
y t
t
W2
³ x W h t W dW ³ W dW
f
2
t T
t
W t T
1 2 2 t t T
2
Tt
T2 2
nª Áª¨µ ¸É 2T t 3T Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W Á¦·É¤Á ¨ºÉ° ¸É°° µ µ¦ ´ o° ´ ´ µ x W ´Ê ®¤ ¹ nª Áª¨µ ¸É´ µ h t W ´ o° ´ x W ´ª» oµ¥ ´ ´Ê f
y t
³
f
2T
x W h t W dW
³ W dW
t T
W2 2
2T
W t T
1 2 2 2T t T
2
t2 3 Tt T 2 2 2
nª Áª¨µ ¸É t ! 3T Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸nª Ä ° ´ µ h t W ¨³ x W ¤µ ´ o° ´ ´ ´Ê บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา
2-9
f
y t
Âł x W h t W dW
0
f
à ¥Œ¾³Â&#x152;ÂłÂ&#x153;´Ă&#x160;Â&#x153;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;à °¾Â&#x2DC;rÂĄÂ&#x2DC;Âť Â&#x2026;°Â&#x160;ÂŚÂłÂ?Â? LTI ¤¸Â&#x2021;n¾à Â&#x161;nÂľÂ&#x201E;´Â?
y t
SCILAB:
Â0, ° 2 °t , °2 °° T2 ÂŽTt , 2 ° ° t2 3 2 ° Tt T , 2 ° 2 °¯0,
t 0
0 t T T t 2T
2T t 3T t ! 3T
(Â&#x2DC;´ª°¼nÂľÂ&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 2.3)
-->function [y] --> y = --> index = --> y(index) = -->endfunction
= Xt(t, T, Step) zeros(1,length(t)); find((t>0)&(t<(2*T))); Step:Step:(2*T-Step);
//¢{Â&#x160;Â&#x201E;rÂ?´Â&#x153;ÂĽn°¼ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â?´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x t
-->function [y] --> y = --> index = --> y(index) = -->endfunction
= Ht(t, T) zeros(1,length(t)); find((t>0)&(t<T)); 1;
//¢{Â&#x160;Â&#x201E;rÂ?´Â&#x153;ÂĽn°¼ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â?´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; h t
-->T = 1;
Step = 0.01;
Range_Tau = -T:Step:3*T;
Range_t = -T:Step:4*T;
-->for i = 1:length(Range_t) --> t = Range_t(i); --> Yt(i) = sum(Xt(Range_Tau).*Ht(t - Range_Tau))*Step; -->end
//Â&#x17E;Œ¡¥´Â&#x153;Â&#x203A;rÂ&#x2021;°Â&#x153;Ă&#x192;ª¨ŸÂ?´Â&#x153;
2.3 Â&#x;¨Â&#x2DC;°Â?ÂÂ&#x153;°Â&#x160;°¡¤¥´¨ÂrĂ&#x201A;¨³Â&#x;¨Â&#x2DC;°Â?ÂÂ&#x153;°Â&#x160;Â&#x2026;´Ă&#x160;Â&#x153;Â?´Â&#x153;Ă&#x2026;Â&#x2014; ¥¡Â&#x2039;¾ŒÂ&#x2013;¾Œ³Â?Â? LTI Â&#x161;¸Ă&#x2030;Â&#x2DC;n°à Â&#x153;ÂşĂ&#x2030;°Â&#x160;Â&#x161;ÂľÂ&#x160;à ª¨¾Â&#x161;¸Ă&#x2030;¤¸Â´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;°¡Â&#x153;ÂĄÂťÂ&#x2DC; x t , Â&#x;¨Â&#x2DC;°Â?ÂÂ&#x153;°Â&#x160;°¡¤¥´¨Âr h t , Ă&#x201A;¨³Â´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; à °¾Â&#x2DC;rÂĄÂťÂ&#x2DC; y t Â&#x17D;šĂ&#x2030;Â&#x160;ÂŽÂľĂ&#x2026;Â&#x2014;oÂ&#x2039;ÂľÂ&#x201E;¤Â&#x201E;¾Œ (2.11) Â&#x2014;´Â&#x160;Â&#x153;´Ă&#x160;Â&#x153;Â&#x;¨Â&#x2DC;°Â?ÂÂ&#x153;°Â&#x160;°¡¤¥´¨ÂrÂ&#x2026;°Â&#x160;ÂŚÂłÂ?Â? h t Â&#x201E;Ă&#x2C6;Â&#x2021;º°Â´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;à °¾Â&#x2DC;rÂĄÂťÂ&#x2DC; y t à ¤ºĂ&#x2030;°Â´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;°¡Â&#x153;ÂĄÂťÂ&#x2DC;Ă Â&#x17E;}Â&#x153;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;Ă&#x2026;Â&#x2014;Ă&#x201A;ÂŚĂ&#x2C6;Â&#x201E;Ă Â&#x2014;¨Â&#x2DC;Âľ G t Â&#x153;´Ă&#x2030;Â&#x153;Â&#x2021;º° f
y t
Âł
f
x W h t W dW
f
ŕ¸?ŕ¸?าŕ¸&#x201C;๠ละระŕ¸&#x161;ŕ¸&#x161; ภูŕ¸&#x161;ภารŕ¸&#x203A;ระยุภŕ¸&#x2022;ď&#x153;&#x17D;ŕš&#x192;ŕ¸&#x160;ď&#x153;&#x2039;ŕš&#x201A;ŕ¸&#x203A;ร๠ภรม SCILAB 2-10 สูSignals and Systems with SCILAB Applications
Âł G W h t W dW
f
h t
(2.12)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ oµ ε® Ä®o s t º° ¨ ° ° ´Ê ´ Å (step response) ° ¦³ ¹É ¤¸ nµ Á nµ ´ ¨ ° ° ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ u t ´É º° f
s t T ª¬u t º¼
h t u t
t
h W u t W dW
³
f
³ h W dW
(2.13)
f
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ s t º° ¦·¡´ r n°Á ºÉ° ° ¨ ° ° °·¤¡´¨r ´Ê  nÁª¨µ° ¸ ¹ Áª¨µ { » ´ ¨ ° ° ´Ê ´ Å s t ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r Ä µ ¨´ ´ oµ ε® s t ¤µÄ®o ȵ¤µ¦ ®µ h t Å o µ h t
ds t
sc t
dt
(2.14)
à ¥ ¸É¤ µ¦¨´ ¬ ³ ¸ÁÊ ¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “¤ µ¦Á · ° »¡ ´ r°´ ´ ® ¹É (first differential equation)”
2.4 » ¤ ´ · ° ¦³ LTI ¦³ LTI µ¤µ¦ ¼ ε® Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ ¨nµª º° oµ ¦µ ªnµ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI º°°³Å¦ È ÎµÄ®oµ¤µ¦ ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ 宦´ ´ µ °· ¡» Ä Ç Å o µ ¤ µ¦ (2.11) ´É º° f
y t
x t h t
³ x W h t W dW
f
¹É » ¤ ´ · ¸ÊÁ } ¦· Á ¡µ³ ´ ¦³ LTI Á nµ ´Ê (ŤnÁ } ¦· 宦´ ¦³ ŤnÁ } Á · Áo ) ´ ´Ê Ä nª ¸Ê ³° · µ¥ » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° ¦³ LTI Á¡ºÉ° nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê
2.4.1 » ¤ ´ · µ¦¨´ ¸É ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ¤ ´ · µ¦¨´ ¸É (commutative property) º° x t h t h t x t
¹É µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê (à ¥ µ¦Á ¨¸¥É ´ªÂ ¦ u f
x t h t
³
f
t W
)
f
x W h t W dW
³
f
(2.15)
f
x t u h u du
³ h u x t u du
h t x t
f
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-11
x t
x t h1 t
h1 t
h2 t
x1 t
x2 t
x t
y t
h1 t h2 t
y t
x t h2 t
x1 t h t
h t
x1 t x2 t
y t
h t
h t
y t
x2 t h t
£µ¡ ¸É 2.7 ¨´ ¬ ³ µ¦Ä o µ ° » ¤ ´ · µ¦Â Â
2.4.2 » ¤ ´ · µ¦Â  ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ¤ ´ · µ¦Â  (distributive property) ´ ¸Ê x t ^h1 t h2 t `
^ x t h t ` ^ x t h t ` 1
2
(2.16)
» ¤ ´ · ¸Ê nª¥ εĮoµ¤µ¦ ´ ¦¼  ° ¦³ LTI ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  µ Ä®oÁ } ¦³ LTI ¦ª¤¦³ Á ¸¥ªÅ o ´ Â Ä £µ¡ ¸É 2.7 ( – ) ° µ ¸Ê » ¤ ´ · µ¦Â  µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ oÄ °¸ ¦¼  ® ¹É º°
^ x t h t ` ^ x t h t ` ^ x t x t ` h t
1
2
1
2
(2.17)
´ Â Ä £µ¡ ¸É 2.7 ( – ) ´ª°¥nµ ¸É 2.4 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ¨ ° ° ´Ê ´ Å º° s t
oµ´ µ °· ¡» x t º°´ µ Ä £µ¡ ¸É 2.8 ( ) ®µ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ ª· ¸ ε ´ µ °· ¡» x t Ä £µ¡ ¸É 2.8 ( ) µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° x t u t 1 u t 3
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
e t u t
y t
x t
e
t 1
u t 1
t
t e
t 3
u t 3
£µ¡ ¸É 2.8 ( ) ´ µ °· ¡» x t ¨³ ( ) ´ µ Á°µ r¡» y t Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.4 x t
x t
h1 t
h2 t
z t
w t
h2 t
h1 t
y t
x t
y t
x t
h t
h1 t h2 t
h t
h2 t h1 t
y t
y t
£µ¡ ¸É 2.9 ¡·¼ r » ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n
µ ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ¦³ LTI ¸É ε® Ä®o ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ º° y t T ª¬u t 1 u t 3 º¼
s t 1 s t 3
e t 1 u t 1 e t 3 u t 3
¹É ¤¸¦¼ ¦nµ ° ´ µ µ¤£µ¡ ¸É 2.8 ( )
2.4.3 » ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n (associative property) º° x t h1 t h2 t
x t ^h1 t h2 t `
^ x t h t ` h t
1
2
(2.18)
» ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n nª¥ εĮoµ¤µ¦ ´ ¦¼ ¦³ ¥n°¥ ¸É n° ´  ° » ¦¤Ä®oÁ } ¦³ ¦ª¤¦³ Á ¸¥ª Å o µ¤£µ¡ ¸É 2.9 ° µ ¸Ê£µ¡ ¸É 2.9 ¥´  ĮoÁ®È ªnµ¦³ ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤µ¤µ¦ ¨´ ¸É ´ Å o ´ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ ¨ ° ° ¦ª¤ ° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ³Å¤n ¹Ê °¥¼n ´ “¨Îµ ´ ” ° ¦³ ¥n°¥ ¸É 夵 n° ´  n ³ ¹Ê ´ ¨ ° ° ¦ª¤ ° ¦³ ´ª°¥nµ Á n oµ¦³ LTI ¦³ ° oª¥¦³ ¥n°¥µ¤ บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-13
¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ à ¥ ¸É n¨³¦³ ¥n°¥¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h1 t , h2 t , ¨³ h3 t
µ¤¨Îµ ´ ³Å oªnµ h1 t h2 t h3 t h2 t h1 t h3 t h3 t h1 t h2 t Á } o
2.4.4 » ¤ ´ · µ¦¤¸Â¨³Å¤n¤®¸ nª¥ ªµ¤ ε ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε (memoryless)” È n°Á¤ºÉ° h t 0 宦´ t z 0 ®¦º°Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° h t
Á¤ºÉ° K
h 0
KG t
(2.19)
º° nµ ´ª (constant) ´ ´Ê ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ °· ¡» x t ¤¸ nµÁ nµ ´ y t
x t h t
K x t
(2.20)
Ä ³ ¸É¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε” È n°Á¤ºÉ° h t z 0 宦´ t z 0 ° µ ¸ÊÄ ¦ ¸ ¸É ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ º° h t G t ³Á¦¸¥ ¦³ ´Ê ªnµ “¦³ Á° ¨´ ¬ r (identity system)” ¹É ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI º° f
y t
x t G t
³ x W G t W dW
x t
(2.21)
f
2.4.5 » ¤ ´ ·Ä µ¦®µ ´ª ´ Å o ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ µ¤£µ¡ ¸É 2.10 ¦³ B ³Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ´ (inverse system)” ° ¦³ A oµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ B ¤¸ nµ y t x t ¹É Á } ¦· È n°Á¤ºÉ° h1 t h2 t G t
(2.22)
´ª°¥nµ ¸É 2.5 ε® Ä®o¦³ LTI ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ´ ¸Ê y t
x t W
à ¥ ¸É oµ W ! 0 ³Á } ¦³ ¸É ε µ¦® nª Áª¨µ´ µ °· ¡» ¨³ oµ Áª¨µ´ µ °· ¡» ¡· µ¦ µªnµ¦³ LTI ¸Ê¤¸¦³ ´ ®¦º°Å¤n ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
W 0
³Á } ¦³ ¸É ε µ¦¨nª ® oµ
x t
h1 t
h2 t
y t
x t
x t
G t
£µ¡ ¸É 2.10 ¦³ B Á } ¦³ ´ ° ¦³ A oµ´ µ y t
x t
x t
ª· ¸ ε ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI º°´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÅ o µ µ¦ j° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ G t Á oµÅ Ä ¦³ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ³Å oªnµ h t G t W ´É º° x t W
x t G t W
Ä µ¦ εĮo´ µ x t W ¨´ Á } ´ µ x t Á®¤º° Á ·¤ ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ x t W Á } ¦·¤µ W ® nª¥ ´ ´Ê ¦³ ´ ° ¦³ LTI ¸Ê¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° hI t G t W G t W
¹É εĮoÅ oªnµ h t hI t G t W G t W G t
2.4.6 » ¤ ´ · ° °¨ ¦³ LTI ¸É¤¸ » ¤ ´ · ° °¨ (causal) º°¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» ³ ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ ¨³Ä Áª¨µ { » ´ Á nµ ´Ê  nŤn ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ 宦´ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ » ¤ ´ · ° °¨ ³®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» f
y t
³ x W h t W dW
f
Ťn ¹Ê ´ ´ µ °· ¡» x W Á¤ºÉ° W ! t ¹É ³Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ° h t W
¦³ ° °¨ º°¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h t 0
Á¤ºÉ° t 0
0
Á¤ºÉ° W ! t ®¦º°¦» Å oªnµ
(2.23)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ° °¨µ¤µ¦ ®µÅ o µ f
t
y t
³
f
x W h t W dW
³ h W x t W dW
(2.24)
0
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-15
à ¥ ´ÉªÅ ¦³ ¸É¦oµ ¹Ê ¤µÎµ®¦´ Ä o µ ¸É¤¸¨´ ¬ ³ µ¦ ° °  Á¦¸¥¨Å ¤r (real time) ¨oª ¦³ ´Ê o° ¤¸ » ¤ ´ · ° °¨· ¸ (causality) Á¤° ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ¦³  Á¦¸¥¨Å ¤rŤnµ¤µ¦ ¦´ nµ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ Å o ° µ ¸Ê¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε È º°ªnµÁ } ¦³ ° °¨ oª¥ Ä µ · ´ · » ¤ ´ · ° °¨ µ¤¤ µ¦ (2.24) ³° ¨o° ´ Á ºÉ° Å “ µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest)” ¸É ¨nµªªnµ oµ´ µ °· ¡» ° ¦³ ° °¨¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¹ Áª¨µ® ¹É ¨oª ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³ o° ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¹ Áª¨µ ³ ´Ê oª¥Á n ´ à ¥ ´ÉªÅ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ³Ä oÅ o ´ ¦³ Á · Áo Á nµ ´Ê ´ª°¥nµ Á n ¡· µ¦ µ¦³ y t 3x t 2 ¹ ¤oªnµ¦³ ¸Ê ³Á } ¦³ ° °¨ ¨³Å¤n¤¸® nª¥ ªµ¤ ε  n È º°ªnµÁ } ¦³ ŤnÁ } Á · Áo ° µ ¸Ê¦³ ¸Ê¥´ Ťn° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o Á¡¦µ³ªnµ oµ x t 0 ³Å oªnµ y t 3 z 0 宦´ » nµ t 宦´ ¦³ LTI ¸É´ µ Á°µ r¡» ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ { » ´ ¨³° µ ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ° ° °¨ (noncausal) ´ª°¥nµ ¸É 2.6 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê y t T ª¬ x t º¼
t T / 2
1 x W dW T t T³/ 2
®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ ¨³¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» y t Á ¸¥ Å oÁ } y t
1 T
t T / 2
³
x W dW
f
1 T
t T / 2
³ x W dW
f
t t0
Á ºÉ° µ x t u t t0 ³ x W dW ´ ´Ê ´ µ y t µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } f
y t
1 § T· 1 § T· x t u ¨ t ¸ x t u ¨ t ¸ T © 2¹ T © 2¹
x t
1 § T · § T ·½ ®u ¨ t ¸ u ¨ t ¸ ¾ T ¯ © 2 ¹ © 2 ¹¿
´É º° ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ¤¸ nµÁ nµ ´ h t
1 § T · § T ·½ ®u ¨ t ¸ u ¨ t ¸ ¾ T ¯ © 2 ¹ © 2 ¹¿
1/ T , T / 2 t d T / 2 ® else ¯0,
¨³Á ºÉ° µ h t z 0 Á¤ºÉ° t 0 ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ ° °¨ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
x t h t
µ » ¤ ´ · ° °¨ εĮo¦» Å oªnµ ´ µ x t Ä Ç ³Á¦¸¥ ªnµ “´ µ ° °¨” oµ x t 0 ,
宦´ t 0
(2.25)
¨³ ³Á¦¸¥ ªnµ “´ µ ° Å ° °¨ (anticausal)” oµ x t 0 ,
宦´ t ! 0
(2.26)
´ ´Ê 宦´ ¦³ LTI  ° °¨ ¸É¤¸´ µ °· ¡» Á } ´ µ ° °¨ oª¥ ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ y t
t
t
³ h W x t W dW
³ x W h t W dW
0
(2.27)
0
2.4.7 » ¤ ´ ·Á ¸¥¦ ¦³ Á ¸¥¦ (stable) ®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á (bounded input) ¨³n ¨ εĮoÁ · ´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á oª¥ ¡· µ¦ µ´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t B
(2.28)
宦´ » nµ t Á¤ºÉ° B f º° nµ ´ªÄ Ç ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®µÅ o µ f
y t
³
f
h t x t W dW d
f
³ h t x t W dW
(2.29)
f
µ ¤ µ¦ (2.28) ³Å oªnµ x t W B Á n ´ ³ ´Ê ¤ µ¦ (2.29) ¹ Á ¸¥ Å oÁ } f
y t d B ³ h t dW
(2.30)
f
宦´ » nµ t Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á ³Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ° f
³ h W dW f
(2.31)
f
®¦º° ¨nµªÅ oªnµ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ´¤ ¼¦ r (absolutely integrable) à ¥ ¸É Á ºÉ° Å ¸Ê º°ªnµÁ } Á ºÉ° Å ¸ÉÁ¡¸¥ ¡° (sufficient condition) ¨³Á ºÉ° Å ¸É εÁ } (necessary condition) ¸ÉÄ o ¡· µ¦ µªnµ¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦®¦º°Å¤n [3] บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-17
2.5 ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ ·¦³ ® ¹É º° ¦³ ¸É´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¤¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸´¤ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Áo (LCCDE: linear constant-coefficient differential equation) ¹É µ¤µ¦ Ä o° · µ¥ ¦µ µ¦ r nµ Ç Å o Á n ¡§ · ¦¦¤ ° ¦³ÂÅ¢¢jµÄ ª ¦ RC , µ¦Á ¨ºÉ° ¸É ° ¦· , ¨³¡¨´ µ ¨ r ° · ·¦·¥µ µ Á ¤¸ Á } o
2.5.1 ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸¤´ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Áo ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸´¤ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Áo °´ ´ N
¦a
k
k 0
d k y t
M
¦b
·¥µ¤Ã ¥
d k x t
k
dt k
N
k 0
dt k
(2.32)
Á¤ºÉ° ak ¨³ bk Á } nµ´¤ ¦³· ·Í ¸ÉÁ } Á¨ ε ª ¦· ¨³ N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¸É ¹ °´ ´ ° »¡´ r ¼ » ° y t Ä µ¦Â o¤ µ¦ (2.32) o° °µ«´¥Á ºÉ° Å nª¥ (auxiliary condition) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° nµ dy t
d N 1 y t
,! , y t , N 1 dt
dt
宦´ nµ t ® ¹É Ç ¹É ε ° ´ÉªÅ ° ¤ µ¦ (2.32) ³°¥¼nÄ ¦¼ ° y t
y p t yh t
(2.33)
Á¤ºÉ° y p t º° ¨Á ¨¥Á ¡µ³ (particular solution) ¸É° ¨o° ´ ¤ µ¦ (2.32) ¨³ yh t º° ¨Á ¨¥ Á° ¡´ »r (homogeneous solution) ¹É ®µÅ o µ µ¦Â o¤ µ¦Á · ° »¡´ rÁ° ¡´ »r (homogeneous differential equation) ´ ¸Ê N d k y t
0 (2.34) a
¦ k 0
k
dt k
Ä µ · ´ ·¤ µ¦ (2.32) µ¤µ¦ ε¤µÄ o ε® ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r È n°Á¤ºÉ°¤¸ µ¦ ε® Á ºÉ° Å nª¥ ° ¤ µ¦ ´Ê Ūo ¨nµª º°¦³ ° ¦³ ¸É¤¸´ µ °· ¡» ¨³ ´ µ Á°µ r¡» nµ ´ °µ ³¤¸¤ µ¦Á · ° »¡´ rÁ®¤º° ´ Å o oµÅ¤n¤¸ µ¦ ε® Á ºÉ° Å nª¥ ¸É° ¨o° ´ ¦³ ´Ê Ūo ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
´ª°¥nµ ¸É 2.7 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» µ¤¤ µ¦ LCCDE n°Å ¸Ê dy t
ay t x t
(2.35) dt
Á¤ºÉ° a º° nµ ´ª ®µ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ Á¤ºÉ° ε® Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o º° y 0
¨³Ä®o´ µ °· ¡» º° x t
Á¤ºÉ°
K
Ke bt u t
y0
(2.36)
¨³ b Á } nµ ´ª
ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ ¤ µ¦ (2.33) à ¥ ¸ÉÄ µ¦®µ nµ y p t Ä®o¡· µ¦ µ µ “ ¨ ° ° ´ ´ (forced response)” ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³ ε® Ä®o y p t ¤¸¦¼  Á®¤º° ´ ´ µ °· ¡» ´É º° y p t
Á¤ºÉ°
A
º° nµ ´ª ´ ´ Ê Â nµ
y p t
Ae bt , t ! 0
(2.37)
µ¤¤ µ¦ (2.37) ¨ Ä ¤ µ¦ (2.35) ³Å o
bAe bt a Ae bt
Ke bt
(2.38)
ε nµ ebt ¤µ ¼ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (2.38) ³Å o bA aA
A
 nµ
A
K
K a b
¨ Ä ¤ µ¦ (2.37) ³Å o K bt e , t !0 a b
y p t
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ nµ
yh t
®µÅ o µ µ¦Â o¤ µ¦Á · ° »¡´ rÁ° ¡´ »r dyh t
dt
¹É à ¥ ´ÉªÅ ³ ε® Ä®o
yh t
(2.39)
ayh t 0
(2.40)
¤¸¦¼  ¨oµ¥ ´ ´ µ °· ¡» ´É º° yh t
Be zt
(2.41)
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-19
Á¤ºÉ° B ¨³ z º° nµ ´ª  nµ
yh t
µ¤¤ µ¦ (2.41) ¨ Ä ¤ µ¦ (2.40) ³Å o
Bze zt a Be zt
0
Be zt z a 0
¹É ³Å o
z
a
´ ´ Ê Â nµ z ¨ Ä ¤ µ¦ (2.41) ³Å o yh t
 nµ
y p t
µ ¤ µ¦ (2.39) ¨³
B
yh t
(2.42)
µ ¤ µ¦ (2.42) ¨ Ä ¤ µ¦ (2.33) ³Å o
K bt e Be at , t ! 0 a b
y t
¹É nµ ³Å o
Be at , t ! 0
(2.43)
µ¤µ¦ ®µÅ o µ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o µ¤ ¸Éà ¥r ε® Ä®o º° y 0
y 0
B
y0
K B a b
y0
K a b
y0
¨ Ä ¤ µ¦ (2.43)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ º° y t
K bt § K · at e ¨ y0 ¸e , t ! 0 a b a b ¹ ©
宦´ t 0 µ ¤ µ¦ (2.36) ³Å oªnµ x t
¹É ³Å o´ µ Á°µ r¡» º° y t
 nµ y 0
y0
0
´ ´Ê ¤ µ¦ (2.35) ³¨ ¦¼ Á } ¤ µ¦ (2.40)
Be at , t 0
µ Á º°É Å nª¥¨ Ä ¤ µ¦ (2.45) εĮoÅ o y t
(2.44)
(2.45) B
y0
´ ´Ê
y0 e at , t 0
(2.46)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y t Áª¨µ t Ä Ç ®µÅ o µ µ¦¦ª¤¤ µ¦ (2.44) ¨³ (2.46) Á oµ oª¥ ´ ´ É º° y t
y0 e at
K ^e bt e at ` u t
a b
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(2.47)
x t
y zs t
y t
y zi t
£µ¡ ¸É 2.11 ¨ ° ° Á¤ºÉ°Å¤n¤¸´ µ °· ¡»
y zi t
¨³ ¨ ° ° Á¤ºÉ° µ ³Á } «¼ ¥r
y zs t
µ ´ª°¥nµ ¸É 2.7 ¡ ªnµª· ¸ µ¦Â oÅ { ®µ¤ µ¦ LCCDE n° oµ ³ ´ o° °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä ¸É 9 ³° · µ¥ª· ¸ µ¦Â oÅ { ®µ¤ µ¦ LCCDE  nµ¥ à ¥°µ«´¥Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ (Laplace transform)”
2.5.2 » ¤ ´ ·Á · Áo ¤ µ¦ LCCDE µ¤¤ µ¦ (2.32) ³¤¸ » ¤ ´ ·Á · Áo È n°Á¤ºÉ°Á ºÉ° Å nª¥ ´Ê ®¤ ° ¤ µ¦ LCCDE ¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r oµÁ ºÉ° Å nª¥Å¤nÁ } nµ«¼ ¥r ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } y t
y zi t y zs t
(2.48)
à ¥ ¸É ¨ ° ° Á¤ºÉ°Å¤n¤¸´ µ °· ¡» (zero-input response) yzi t º° ¨ ° ° n°Á ºÉ° Å nª¥ ´Ê ®¤ ¨³ ¨ ° ° Á¤ºÉ° µ ³Á } «¼ ¥r (zero-state response) yzs t º° ¨ ° ° ° ¦³ Á · Áo Á¤ºÉ°Á ºÉ° Å nª¥Á } nµ«¼ ¥r ´ Â Ä £µ¡ ¸É 2.11 Ä µ · ´ · yzi t z yh t ¨³ yzs t z y p t °¥nµ Ŧ È µ¤Ã ¥ ´ÉªÅ ¡ ªnµ´ µ yzi t
³ ¦¦ » nµ yh t ¨³´ µ yzs t ³ ¦¦ » nµ yh t ¨³ y p t
´ª°¥nµ ¸É 2.8 n°Á ºÉ° µ ´ª°¥nµ ¸É 2.7 )  ´ µ Á°µ r¡» Ä ¦¼ y t yzi t yzs t µ¤¤ µ¦ (2.48) ) ¡·¼ rªnµ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ Á · Áo oµ y 0 y0 z 0 ) ¡·¼ rªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á · Áo oµ y 0 y0 0 ª· ¸ ε ) Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (2.47) ¨³ (2.48) ³Å oªnµ y t
y0 e at
K ^e bt e at ` u t
a b
y zi t y zs t
(2.49)
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-21
´É º° y zi t
y0 e at
(2.50)
¨³ K ^e bt e at ` u t
a b
yzs t
(2.51)
) 宦´ ¦³ LTI Á } ¸É ¦µ ´ ªnµ¦³ Á · Áo º ° ¦³ ¸É ¤¸´ µ Á°µ r¡» Á n µ ´ nµ«¼ ¥r Á¤ºÉ ° ´ µ °· ¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r oµ ε® Ä®o K 0 Ä ¤ µ¦ (2.36) ³Å oªnµ x t 0 ´ ´Ê µ ¤ µ¦ (2.49) ³Å oªnµ y t
Á¤ºÉ°
y0 z 0
y0 e at z 0
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¦³ ¸ÅÊ ¤nÁ } ¦³ Á · Áo Á ºÉ° µ y 0
(2.52) y0 z 0
) oµ y 0 y0 0 ¨oª ¦³ ¸Ê ³Á } ¦³ Á · Áo µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê ε® Ä®o x1 t ¨³ x2 t
Á } ´ µ °· ¡» ¸É εĮoÁ · ´ µ Á°µ r¡» y1 t ¨³ y2 t µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê µ ¤ µ¦ (2.35) ³Å oªnµ dy1 t
dt dy2 t
dt
ay1 t
x1 t
(2.53)
ay2 t
x2 t
(2.54)
¹É ¤¸Á ºÉ° Å nª¥ º° y1 0
y2 0 0
(2.55)
¡· µ¦ µ´ µ n°Å ¸Ê x t D x1 t E x2 t
Á¤ºÉ° D ¨³ E º°Á¨ ε ª ¦· µ ´Ê ε nµ D ¤µ ¼ ¤ µ¦ (2.53) ¨³ ε nµ ¨oª ε ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤µ¦ª¤ ´ ³Å oÁ } y t D y1 t E y2 t
(2.56) E
¤µ ¼ ¤ µ¦ (2.54)
(2.57)
¹É ¥´ ° ¨o° ´ ¤ µ¦Á · ° »¡´ r dy t
dt
ay t
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
x t
(2.58)
¨³° ¨o° ´ ¤ µ¦ (2.55) ´É º° y 0 D y1 0 E y2 0 0
(2.59)
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á · Áo
2.5.3 » ¤ ´ · ° °¨ ¤ µ¦ LCCDE µ¤¤ µ¦ (2.32) ³¤¸ » ¤ ´ · ° °¨ È n°Á¤ºÉ°Á ºÉ° Å nª¥Á }  Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ´É º° oµ x t 0 宦´ t d t0 ¨³¤¤ ·ªnµ y t 0 宦´ t d t0 ´ ´Ê ¨ ° ° ° ¦³ Á¤ºÉ° Áª¨µ t ! t0 µ¤µ¦ ε ª Å o µ ¤ µ¦ (2.32) à ¥Ä oÁ ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o º° y t0
Á¤ºÉ°
d k y t0
d k y t
dt k
dt k
dy t0
!
dt
d N 1 y t0
dt N 1
0
(2.60)
t t0
2.5.4 » ¤ ´ ·Å¤n ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¦³ Á · Áo  ° °¨ ¸É° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ³Á } ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÁ¤° ´ª°¥nµ ¸É 2.9 µ ´ª°¥nµ ¸É 2.7  ªnµ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o y 0
 ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ oª¥
0
³Á } ¦³ ¸ÉŤn
ª· ¸ ε ε® Ä®o x1 t ¨³ y1 t º°´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ¨³ x1 t 0 , t d 0
(2.61)
´ ´Ê dy1 t
dt
ay1 t
x1 t
(2.62)
¨³ y1 t 0
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ Ä®o ¤ µ¦ (2.61) ³Å oªnµ
y2 t
º° ¨ ° ° ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°
(2.63) x2 t
x1 t W
¹É µ
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-23
x2 t 0 , t d W
à ¥ ¸É´ µ
y2 t
(2.64)
³ o° ° ¨o° ´ dy2 t
dt
ay2 t
x2 t
(2.65)
¨³ y2 W 0
µ ¤ µ¦ (2.62)  nµ ´ªÂ ¦ t
t W
dy1 t W
dt
oµ ε® Ä®o
y2 t
y1 t W
(2.66)
³Å oªnµ ay1 t W
x1 t W
x2 t
(2.67)
´ ´Ê µ ¤ µ¦ (2.66) ³Å oªnµ y2 W
y1 W W
y1 0 0
(2.68)
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¤ µ¦ (2.65) ¨³ (2.66) ° ¨o° ´ ¹ ¦» Å oªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ
2.5.5 ¨ ° ° °·¤¡´¨r ¤ µ¦ LCCDE µ¤¤ µ¦ (2.32) µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦ ε ª ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ Å o ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 2.10 µ ´ª°¥nµ ¸É 2.7 ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ ª· ¸ ε Á ºÉ° µ h t º° ¨ ° ° ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ G t
´ ´Ê µ ¤ µ¦ (2.35) ¨ ° ° °·¤¡´¨r ³ o° ° ¨o° ´ ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ´ ¸Ê dh t
dt
ah t G t
(2.69)
à ¥ ¸É ¨Á ¨¥Á° ¡´ »r hh t ° ¤ µ¦ (2.69) ®µÅ o µ µ¦Â o¤ µ¦ dhh t
dt
ahh t 0
¹É Ä µ¦Â o¤ µ¦ (2.70) ³ ε® Ä®o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(2.70)
hh t ce st
(2.71)
Á¤ºÉ° c º° nµ ´ª  nµ hh t ¨ Ä ¤ µ¦ (2.70) ³Å o cse st ace st
¹É ³Å oªnµ s
a
s a ce st
0
´ ´Ê ¨Á ¨¥Á° ¡´ »r º° hh t ce at u t
(2.72)
宦´ ¨Á ¨¥Á ¡µ³ hp t ³¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r Á¡¦µ³ªnµ hp t Ťnµ¤µ¦ ¤¸ nµ G t Å o ¤· ³ ´Ê ¨oª ¤ µ¦ (2.69) ³Å¤nÁ } ¦· Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ º° h t
hh t hp t ce at u t 0 ce at u t
(2.73)
Ä µ¦®µ nµ c εŠoà ¥ µ¦Â nµ h t µ ¤ µ¦ (2.73) ¨ Ä ¤ µ¦ (2.69) ³Å o d ^ce at u t ` a ^ce at u t ` G t
dt at du t
½ u t ace at ¾ ace at u t G t
®ce dt ¯ ¿ ce atG t G t
cG t G t
´É º° c 1 à ¥°µ«´¥ » ¤ ´ · ° ¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ f t G t f 0 G t Á¤ºÉ° f t Á } ¢{ r ´ Ä Ç ´ ´Ê  nµ c 1 ¨ Ä ¤ µ¦ (2.73) ³Å oªnµ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ µ¤¤ µ¦ (2.35) º° h t e at u t
(2.74)
2.6  £µ¡ ¨È° à ¥ ´ÉªÅ ¦³ LTI ³ ¼ ε® oª¥¤ µ¦ · «µ ¦r ¸É ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³ ´ µ Á°µ r¡» ¹É µ ¦´Ê ¥µ n° µ¦ ε ªµ¤Á oµÄ Ä nª ¸Ê ³Â µ¦Ä o £µ¡ ¨È° (block diagram)  ¤ µ¦ · «µ ¦rÁ®¨nµ ´Ê Ä µ · ´ ·Â £µ¡ ¨È° µ¤µ¦ ¦oµ ¹Ê Å o µ µ¦ ε ·Ê nª ¡ºÊ µ บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-25
w t
x t
x t w t
x t
( ) µ¦ ª (addition)
( ) ª ¦° »¡´ r (differentiator)
w t
x t w t
x t
( ) µ¦¨ (subtraction) x t
dx t
dt
d dt
x t
³
a x t
a
t
³ x W dW f
( ) ª ¦ ¦·¡´ r (integrator)
( ) µ¦ ¼ (multiplication)
£µ¡ ¸É 2.12 ·Ê nª ¡ºÊ µ ¸ÉÄ oÄ µ¦¦oµ  £µ¡ ¨È° 宦´ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 2.12  n¨³ ·Ê ¤µ ¦³ ° ´ à ¥Á¤ºÉ°Á oµÄ ªµ¤®¤µ¥ ° ·Ê nª  n¨³ ·Ê Ä £µ¡ ¸É 2.12 ¨oª È ³µ¤µ¦ ¦oµ  £µ¡ ¨È° Å oà ¥ nµ¥ ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É ¼ ε® oª¥¤ µ¦ LCCDE °´ ´ ® ¹É n°Å ¸Ê dy t
dt
bx t ay t
(2.75)
¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å oà ¥°µ«´¥ ·Ê nª ¡ºÊ µ Ä £µ¡ ¸É 2.12 ´ Â Ä £µ¡ ¸É 2.13 ( ) °¥nµ Ŧ È µ¤Â £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.13 ( ) Ťn ·¥¤ 夵¦oµ Á } ª ¦Å¢¢jµÁ ºÉ° µ ª ¦° »¡´ r (differentiator) ¦oµ Å o¥µ ¨³°n° Å®ª n° o° · ¡¨µ (error) ¨³´ µ ¦ ª (noise) Á¡¦µ³ ³ ´Ê Ä µ · ´ · ³ ´ ¦¼ ¤ µ¦ (2.75) Ä®¤nà ¥ µ¦®µ ¦·¡´ r µ Áª¨µ t0 ¹ Áª¨µ t ¹É εĮoÅ o ¨¨´¡ rÁ } dy W ½ ³t ®¯ dW ¾¿ dW 0 t
t
³ ^bx W ay W ` dW
t0
t
y t
³ ^bx W ay W ` dW y t
0
(2.76)
t0
¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å o µ¤£µ¡ ¸É 2.13 ( ) à ¥ ¸É y t0 º°Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ° µ¦®µ ¦·¡´ r ®¦º°°µ ¡· µ¦ µÅ oªnµ y t0 Á } nµÁ¦·É¤ o ¸É ¼ Á È ÅªoÄ ª ¦ ¦·¡´ r (integrator) Áª¨µ ¸É t0 à ¥ ´ÉªÅ  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.13 ( ) ·¥¤ ε¤µÄ o¦oµ Á } ª ¦Å¢¢jµ¤µ ªnµÂ £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.13 ( ) Á ºÉ° µ ª ¦ ¦·¡´ rµ¤µ¦ ¦oµ Å o µ ª ¦°° °¤ m (operational amplifier) ¹É ®µ ºÊ° Å o nµ¥ ¸É nµ ¤µÅ o µ¦¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ ® ¹É à ¥ µ¦Ä o ·Ê nª ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
x t
b/a
y t0
y t
x t
d
³
b
y t
dt
1/ a
dy t
dt
a
£µ¡ ¸É 2.13  £µ¡ ¨È° ° ¦³
dy t
bx t ay t
dt
¡ºÊ µ Ä £µ¡ ¸É 2.12 宦´ ¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ ¼ ȵ¤µ¦ 夵Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å oà ¥Ä o ·Ê nª ¡ºÊ µ nµ Ç Á n ´ ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 2.11 ¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ¦³ LTI ¸É ¼ ε® oª¥¤ µ¦ LCCDE ´ ¸Ê d 2 y t
dt
2
dx t
3 y t
2x t
(2.77)
2x t 3 y t
(2.78)
dt
ª· ¸ ε µ à ¥r ³Å oªnµ d 2 y t
dt
dx t
2
dt
à ¥ µ¦®µ ¦· ¡´ r ° ¤ µ¦ (2.78) µ Áª¨µ µ¤Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ³Å o W
³
d 2 y u
f
dt 2
W
³
du
f
dy W
dt
dx u
dt
f
W
³
f
dy W
dt
dW
W
f
W
f
W
x W 2 ³ x u du 3 ³ y u du f
t
t
³
x W dW 2 ³
f
x f 0
du 2 ³ x u du 3 ³ y u du
µ ´Ê ε µ¦®µ ¦·¡´ r ° ¤ µ¦ (2.79) µ Áª¨µ ³Å o t
¹ Áª¨µ W ¨³ Î µ ® Ä®o y f
(2.79)
f
f
¹ Áª¨µ t ¨³ ε® Ä®o y f
W
t
³
x u dudW 3 ³
f f
x f 0
W
³ y u dudW
f f
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-27
y t
x t
³
³
³
³ 3
2
£µ¡ ¸É 2.14  £µ¡ ¨È° ° ¤ µ¦Á · ° »¡´ rÄ ´ª°¥nµ ¸É 2.11 a1
e t
x t
³
w t
y t
³
a2
£µ¡ ¸É 2.15  £µ¡ ¨È° Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.12 y t
t
t
³
x W dW 2 ³
f
W
t
³
x u dudW 3 ³
f f
W
³ y u dudW
(2.80)
f f
¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å o µ¤£µ¡ ¸É 2.14 ´ª°¥nµ ¸É 2.12 ®µ¤ µ¦ LCCDE µ  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.15 ª· ¸ ε µ  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.15 ³Å oªµn dw t
e t
dt
x t a1w t a2 y t
(2.81)
¨³ w t
dy t
(2.82)
dt
 nµ¤ µ¦ (2.82) ¨ Ä ¤ µ¦ (2.81) ³Å o¤ µ¦ LCCDE °  £µ¡ ¨È° ¸Ê º° dy 2 t
dt
2
a1
dy t
dt
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
a2 y t
x t
(2.83)
2.7 ®´¤¡´ r ®´¤¡´ r (correlation) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦®µ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ ° ´ µ ªnµ¤¸ ªµ¤° ¨o° ´ ¤µ o°¥Á¡¸¥ Ä oµ´ µ ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¤µ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o È ³¤¸ nµ¤µ ¨³Ä µ ¨´ ´ oµ´ µ ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ o°¥ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o È ³¤¸ nµ o°¥ à ¥ ´ÉªÅ ®´¤¡´ r n °° Á } 2 ¦³Á£ º° ®´¤¡´ r oµ¤ (cross-correlation) ¨³°´ ®´¤¡´ r (auto-correlation) à ¥ ¸É ·¥µ¤ ° ®´¤¡´ r ´Ê ° ¦³Á£ ¸Ê ³Â nµ ´ [4] Á¤ºÉ°Ä o µ µ oµ · ·Â¨³ µ oµ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ ´ µ 宦´ Ä ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ³¡· µ¦ µÁ ¡µ³ ¦ ¸ ¸ÉÄ o µ µ oµ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨´ µ Á nµ ´Ê
2.7.1 ®´¤¡´ r oµ¤ ε® Ä®o x t ¨³ y t Á } ´ µ ¡¨´ µ ´ ´Ê ¢{ r ´ ®´¤¡´ r oµ¤ Rxy W Áª¨µ¨nµ (lag time) W ¦³®ªnµ ´ µ x t ¨³ y t ·¥µ¤Ã ¥ f
Rxy W
³
f
x t W y t dt
f
³ x t y t W dt
(2.84)
f
Á¤ºÉ° y t º°´ ¥» Á · o° (complex conjugate) ° y t µ ¤ µ¦ (2.84) ¡ ªnµ¢{ r ´ ®´¤¡´ r oµ¤ ¤¸¦¼  ¨oµ¥ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¨nµª º° oµ¡· µ¦ µ µ ¤ µ¦ (2.84) ³Á ¦¸¥ Á¤º° ´ µ¦ j° ´ µ °· ¡» x t Á oµÅ Ä ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t y t ¨³Ä®o´ µ Á°µ r¡» z t °° ¤µ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ Rxy t ´É º° f
z t
x t h t
³
f
x W h t W dW
³ x W y t W dt
f
f f
³ x W y W t dt
Rxy t
(2.85)
x t y t
(2.86)
f
´ ´Ê ¦» Å oªnµ Rxy t
´ Â Ä £µ¡ ¸É 2.16
2.7.2 °´ ®´¤¡´ r Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ° x t Á ¸¥  oª¥
Rxx t
·¥µ¤Ã ¥
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-29
x t
h t
y t
Rxy t
£µ¡ ¸É 2.16 ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ®´¤¡´ r oµ¤ ´ ° ꨼ ´ f
Rxx W
f
³ x t W x t dt ³ x t x t W dt
f
(2.87)
f
¹É È º° nµ®´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ x t ¨³ x t ´É Á° Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ¤µ¦ ¸É ³¡·¼ rÅ oªnµ Rxx t
x t x t
(2.88)
» ¤ ´ · ¸Éε ´ ° ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r¤¸ ´ ¸Ê 1) ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ³¤¸ ªµ¤¤¤µ ¦ (symmetry) ¨nµª º° oµ´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· (realvalued function) ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ³Á } ¢{ r ´ ¼n (even funtion) Á¤° ´É º° Rxx W
Rxx W
(2.89)
¨³ oµ x t Á } ¢{ r ´ Á · o° (complex function) ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ³Á } ¢{ r ´ Á°¦r¤¸Á ¸¥ (hermitian function) ´É º° Rxx W
2) nµ ° ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ¸ÉÁª¨µ W
0
Rxx W
³¤¸ nµÁ nµ ´ ¡¨´ µ ° ´ µ ´Ê ¨nµª º° f
Rxx 0
Ex
(2.90)
³ x t
2
dt
(2.91)
f
Á ºÉ° µ x t
2
x t x t
3) nµ ° ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r
Rxx W
¤¸ nµ¤µ » Á¤ºÉ° W
0
Á nµ ´Ê ´É º°
Rxx 0 t Rxx W
(2.92)
宦´ » nµ W ¹É µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ oà ¥°µ«´¥ “°¤ µ¦ ªµ¦r (Schwarz's inequality)” ´ ¸Ê Rxx W
f
2
³ x t W x t
2
dt
f f
d
³ x t W
f
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
2
f
2
dt ³ x t dt f
Rxx 0
2
(2.93)
à ¥ ¸ÉÁ ¦º°É ®¤µ¥ “ d ” ³Á } Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ “ ” È n°Á¤º°É x t W
D x t
Á¤ºÉ° D Á } nµ ´ªÄ Ç
4) °´ ®´¤¡´ r ° ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ ¸ÉŤn´¤¡´ r ´ 1 (uncorrelated function) ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r °  n¨³¢{ r ´ 5) oµ ε® Ä®o n t Á } ´ µ ¦ ª ¸ µª (white noise) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ° n t ³¤¸ nµÁ nµ ´ K G W , W 0 Rnn W ® else ¯0,
(2.94)
Á¤ºÉ° K Á } nµ ´ª 6) ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r R W ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ ªµ¤® µÂ n Á ¦´¤ ε¨´ (power spectral density) G f nµ µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform) [3] µ¤ §¬ ¸ ° ª· Á °¦r · · (Wiener– Khinchin theorem) ´ ¸Ê f
G f
³ R W e
j 2S f W
dW
(2.95)
df
(2.96)
f f
R W
³ G f e
j 2S f W
f
¨nµª º° G f º° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° R W ¨³Ä µ ¨´ ´ R W º° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ (inverse Fourier transform) ° G f
2.7.2.1 °´ ®´¤¡´ r ° ´ µ ε¨´ 宦´ ´ µ ε¨´ (power signal) x t ³ ·¥µ¤¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ (time-averaged auto-correlation function) [1] Á ¸¥  oª¥ Rxx W ´ ¸Ê T
Rxx W
´ ´Ê Á¤ºÉ° W
0
(2.97)
¤ µ¦ (2.97) ³Ä®o ¨¨´¡ rÁ } ε¨´ ° ´ µ x t ´É º° Rxx 0
1
1 x t W x t dt T of T ³ 0 lim
1 T of T lim
T
³ x t
2
dt
Px
(2.98)
0
¢{ r ´ x t ¨³ y t Á } ¢{ r ´ ¸ÉŤn´¤¡´ r ´ È n°Á¤ºÉ°®´¤¡´ r oµ¤ ° x t ¨³ y t ´É º° 宦´ » nµ W
Rxy W
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-31
0
° µ ¸Ê oµ x t Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T0 ¨oª ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ ° x t ®µÅ o µ 1 T0
Rxx W
T0
³ x t W x t dt
(2.99)
0
2.8 ¦» oµ¥ Ä ¸ÊÅ o ¨nµª ¹ ªµ¤Îµ ´ ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time LTI system) à ¥Á ¡µ³°¥nµ ¥·É µ¦®µ ¦·¡´ r ° ꨼ ´ (convolution integral) ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ Á ºÉ° µ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ¨nµª º° oµ ¦µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ È ÎµÄ®oµ¤µ¦ ε ª ®µ ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ 宦´ ´ µ °· ¡» Ä Ç Å o ´ ¸ ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ È º° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ° µ ¸Ê¥´ Å o° · µ¥ » ¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¦ª¤ ´Ê  ĮoÁ®È ªnµ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µµ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¤ µ¦Á · ° »¡´ r (differential equation) ¨³Â £µ¡ ¨È° Å o ¹É nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê » oµ¥Å o° · µ¥ ¹ ¢{ r ´ ®´¤¡´ r oµ¤ ¨³¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r Á¡ºÉ°Ä o¡· µ¦ µªnµ´ µ ° ´ µ ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¤µ o°¥Á¡¸¥ Ä ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r
2.9  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ° y t
1.1)
t , 0 t T x t ® ¯0, else
¨³
h t
1.2)
x t u t 2
¨³
h t
2e 2t u t
1.3)
x t e t u t 1
2) ε® Ä®o y t
x t h t
2.1) x t t1 h t t2
2.2)
yc t
¨³
xc t h t
x t h t
Á¤ºÉ°
1, 0 t 2T ® ¯0, else
h t e 2t u 1 t
 ªnµ
y t t1 t2
x t hc t
Á¤ºÉ°
f c t
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
º°¢{ r ´ ° »¡´ r ° f t
3) ε® Ä®o x t º°´ µ °· ¡» ¨³ y t º°´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ 3.1) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y t
¦³ ° ° °¨ ®¦º°Å¤n
x t 5 x 3 t
3.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y t
Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ®¦º°Å¤n
x t / 5
Á } ¦³ Á · Áo ¦³ Ťn ´ ¨³
Á } ¦³ Á · Áo ¦³ ° ° °¨Â¨³¦³
3.3) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y t cos 4S t x t Á } ¦³ Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ¦³ Ťn ´ ¨³¦³ Á ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã° ®¦º°Å¤n 4) ¡· µ¦ µ¦³ ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x t ¨³´ µ Á°µ r¡» y t ´ ¸Ê dy t
dt
4 y t 3
x t
Á } ¦³ Á · Áo ®¦º°Å¤n 5) ªµ  £µ¡ ¨È° ¡¦o°¤ ´Ê ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ n°Å ¸Ê 5.1)
dy t
5.3)
d 2 y t
dt dt
2
2 y t
4
x t
dy t
dt
2 y t 5
5.2) dx t
dt
d 2 y t
dt
2
3 y t
dx t
dt
4x t
3x t
6) ¡· µ¦ µ¦³ ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ´ £µ¡ n°Å ¸Ê x t
h1 t
y t
h2 t
h t
Á¤ºÉ° ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ¥n°¥ ´Ê ° º° h1 t
e 2t u t
6.1) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ¦ª¤ ´É º°®µ h t
¨³ h2 t
3e t u t
h1 t h2 t
6.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¦ª¤ ¸ÉÅ oÁ } ¦³ Á ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã°®¦º°Å¤n 7) ®µ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ° ´ µ x t e mt u t ¡¦o°¤ ´Ê ªµ ¦¼ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o Á¤ºÉ° m ! 0 º° nµ ´ª ¨³ u t º°¢{ r ´ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ 8) ®µ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ ° ´ µ x t
f º° ªµ¤ ¸É, ¨³ I º°¤»¤Á¢ ¹É ¤¸ nµ ¸É
B sin 2S ft I
Á¤ºÉ°
B
º° nµ ´ª,
บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-33
9) Á ¸¥ ¤ µ¦Á · ° »¡´ r¨³®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ n°Å ¸Ê y t
x t
³ ³ 2
5
10) ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµÂ RLC µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ° ε® Ä®o¦ ´ Å¢¢jµ v t Á } ´ µ °· ¡» ¨³ ¦³ÂÅ¢¢jµ i t Á } ´ µ Á°µ r¡» ®µ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ v t
¨³ i t
L
R
v t
i t
C
11) ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµÂ RL µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ° ε® Ä®o¦ ´ Å¢¢jµ v t Á } ´ µ °· ¡» ¨³ ¦ ´ Å¢¢jµ ¸É ¦n°¤ ´ª ªµ¤ oµ µ y t Á } ´ µ Á°µ r¡» L
v t
R
y t
11.1) ®µ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ v t ¨³ y t
11.2) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ¸Ê 11.3) ®µ ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ¦³ ¸Ê
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
¸É 3 ¦³ Á · Áo ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ¸É 2 Å o° · µ¥ ¹ ªµ¤Îµ ´ ¨³ » ¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time LTI system) 宦´ Ä ¸Ê ³ ¨nµª ¹ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discretetime LTI system) ¹É ®¤µ¥ ¹ ¦³ LTI ¸É¤¸´ µ °· ¡» ´ µ Á°µ r¡» ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r Á } ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° µ ¸Ê » ¤ ´ · nµ Ç ¸Éε ´ ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¥´ µ¤µ¦ 夵 ¦³¥» rÄ o ´ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o à ¥Á ¡µ³°¥nµ ¥·É ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¥´ ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ´ ´Ê Ä ¸Ê ³° · µ¥ ªµ¤Îµ ´ ¨³ » ¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á n » ¤ ´ · ° ¦³ LTI, ¨ ° ° °·¤¡´¨r, ° ꨼ ´ , ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³ ´ µ Á°µ r ¡» Ä ¦¼ ° ¤ µ¦Á · ¨ n µ ¨³®´ ¤ ¡´ r Á } o Î µ ®¦´ ¼o Ä µ¤µ¦ «¹ ¬µ ¦µ¥¨³Á°¸¥ Á¡·É¤Á ·¤ ° Á ºÊ°®µÄ ¸ÊÅ o µ [1, 3 – 5]
3.1 µ¦Â ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µµ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ nª Êε® ´ (weighted sum) ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (®¦º°´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ) ¹É ·¥µ¤Ã ¥ 1, n 0 ¯0, n z 0
G > n@ ®
(3.1)
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-1
( ) x > n @
( ) x > 2@G > n 2@ -1
2 0
-2
n
1
-2
-1 0
1
n
2
-2
-1
0
1
2
0
1
2
n
-1
n
( ) x > 2@G > n 2@
( ) x >1@G > n 1@ -2
0
( ) x > 0@G > n@
( ) x > 1@G > n 1@ -2
-1
1
2
n
2
-2
-1
0
1
n
£µ¡ ¸É 3.1 µ¦Â¥ nª ¦³ ° ° ´ µ x > n @ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ nª Êε® ´ ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥
Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ª°¥nµ Á n ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ Ä £µ¡ ¸É 3.1 ( ) µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° x > n @ ! x > 2@ G > n 2@ x > 1@ G > n 1@ x > 0@ G > n @ x >1@G > n 1@ x > 2@ G > n 2@ !
(3.2)
Á¤ºÉ°Â n¨³¡ rÄ ¤ µ¦ (3.2) º° x > 2@ , n 2 x > 2@ G > n 2@ ® n z 2 ¯ 0, x > 1@ , n 1 x > 1@ G > n 1@ ® n z 1 ¯ 0, x > 0@ , n 0 x > 0@ G > n @ ® nz0 ¯ 0, x >1@ , n 1 x >1@ G > n 1@ ® n z1 ¯ 0, x > 2@ , n 2 x > 2@ G > n 2@ ® nz2 ¯ 0,
´ ´Ê ¤ µ¦ (3.2) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x > n@
f
¦ x > k @G > n k @
k f
3-2
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
(3.3)
x > 2@
x > 0@
x >i 1@
x >i @
x >1@
£µ¡ ¸É 3.2 ε® n °  ¤Á d¨Ä ¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^ x >0@ , x >1@ , x > 2@ ,! , x >i @`
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ´ µ x > n@ º° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ G > n k @ ¨³ ¼ nª Êε® ´ oª¥ nµ x > k @ ®¤µ¥Á® » Ä ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ³Á¦¸¥ o°¤¼¨ x > k @ Ä ¤ µ¦ (3.3)  n¨³ ´ªªnµ “ ¤Á d¨ (sample)” ¨³  ¤Á d¨®¨µ¥Ç  ¤Á d¨ ¸ÉÁ¦¸¥ n° ´ Á } » Á n ^ x >0@ , x >1@ , x > 2@ ,! , x >i @` ³Á¦¸¥ ªnµ “¨Îµ ´ o°¤¼¨ (data sequence)” ´ Â Ä £µ¡ ¸É 3.2 à ¥ o°¤¼¨ x >0@ °¥¼n ¸ÉÁª¨µ k 0 , o°¤¼¨ x >1@ °¥¼n ¸ÉÁª¨µ k 1 , ¨³ o°¤¼¨ x >i @ °¥¼n ¸ÉÁª¨µ k i ´ª°¥nµ ¸É 3.1 ε® Ä®o x > n@ u > n@ º°´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ  ´ µ x > n@ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ nª Êε® ´ ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ µ¤¤ µ¦ (3.3) ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¸ÅÉ ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ 1, n t 0 u > n@ ® ¯0, n 0
(3.4)
´ ´Ê µ ¤ µ¦ (3.3) ³Å oªnµ u > n@
f
¦G >n k @
(3.5)
k 0
3.2 ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ ε® Ä®o h > n@ º° ¨ ° ° °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ (unit impulse response) ®¦º°Á¦¸¥ ªnµ “ ¨ ° ° °·¤¡´¨r” ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (®¦º°Á ¸¥ Á } ´ ¨´ ¬ r º° T) ¹É È º°´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° G > n @ ´É º° h > n @ T ^G > n @`
(3.6)
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-3
¨³Ä ¦ ¸ ¸É ´ µ °· ¡» º° x > n@ ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ° ° ¦³ y > n@ º° y > n @ T ^ x > n @`
(3.7)
 nµ x > n@ µ ¤ µ¦ (3.3) ¨ Ä ¤ µ¦ (3.7) ³Å o f ½ y > n @ T ® ¦ x > k @ G > n k @¾ ¯ k f ¿
f
¦ x > k @ T ^G > n k @`
(3.8)
k f
Á ºÉ° µ ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ LTI ³Å oªnµ h > n k @ T ^G > n k @`
(3.9)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI n°´ µ °· ¡» x > n@ º° y > n@
f
¦ x >k @ h >n k @
(3.10)
k f
¹É ®µÅ o µ µ¦®µ nµ ¨¦ª¤ ´Ê ®¤ ° ´ªÂ ¦ k à ¥°µ ¡· µ¦ µªnµ h > n k @ º° h > k @ ¸É ε µ¦¡´ ´ µ ¨oª ¼ ® nª Áª¨µÁ } ε ª n Ä µ · ´ ·¤ µ¦ (3.10) ³Á¦¸¥ ´ ªnµ “ ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ (convolution sum)” ¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ´ ¨´ ¬ r µ · «µ ¦rÅ o º° y > n@
x > n@ h > n@
f
¦ x >k @ h >n k @
(3.11)
k f
Á¤ºÉ° “ ” º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) ¤ µ¦ (3.11)  ĮoÁ®È ªnµ¦³ LTI Á } ¦³ ¸É nµ¥ n° µ¦ª·Á ¦µ³®r o°¤¼¨ Á ºÉ° µ ¦³ LTI ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ° µ ¸Ê´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ È º° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ´ ´Ê Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ¤´ ³ ´Ê ¤¤» · µ ªnµ¦³ ´Ê Á } ¦³ LTI Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦ ε µ ®¤µ¥Á® » ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ µ¤¤ µ¦ (3.11) µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o µ µ¦Ä o ε´É Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB º° y >n@
x > n @ h > n @ = convol(Xn, Hn)
Á¤ºÉ° Xn º°Áª Á °¦r o°¤¼¨ ° x > n@ ¨³ Hn º°Áª Á °¦r o°¤¼¨ ° h > n@ ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê 3-4
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
´ª°¥nµ ¸É 3.2 ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n @ G > n @ 2G > n 1@ G > n 2@
SCILAB: -->Xn = [1 2 1];
¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ º°
-->Hn = [1 -1]; -->Yn = convol(Xn, Hn) Yn = 1. 1. - 1. - 1.
h > n @ G > n @ G > n 1@
´ Â Ä £µ¡ ¸É 3.3 ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ®µÅ o µ ¤ µ¦ (3.11) ´É º° y > n@
f
2
k f
k 0
¦ x >k @ h >n k @ ¦ x >k @ h >n k @
à ¥ ¸É nª µ¦®µ ¨¦ª¤µ¤µ¦ ¨ ¨ Å oÁ } µ k nª Áª¨µ ¸É n = 0, 1, ¨³ 2 Á nµ ´Ê nª Áª¨µ ¸É n 0 ³Å oªnµ y > n @ nª Áª¨µ ¸É n y > 0@
0
0
0
Á ºÉ° µ h > n k @
¹ k
0
2
Å oÁ¡¦µ³ªnµ´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ ¡µ³
宦´ k = 0, 1, ¨³ 2
³Å oªnµ
2
¦ x > k @ h >0 k @
x > 0@ h > 0@ x >1@ h > 1@ x > 2@ h > 2@
1 1 2 0 1 0
1
1 1 2 1 1 0
1
k 0
nª Áª¨µ ¸É n y >1@
1
³Å oªnµ
2
¦ x > k @ h >1 k @
x > 0@ h >1@ x >1@ h > 0@ x > 2@ h > 1@
k 0
nª Áª¨µ ¸É n y > 2@
2
³Å oªnµ
2
¦ x >k @ h >2 k @
x > 0@ h > 2@ x >1@ h >1@ x > 2@ h > 0@
1 0 2 1 1 1
1
x > 0@ h >3@ x >1@ h > 2@ x > 2@ h >1@
1 0 2 0 1 1
1
k 0
nª Áª¨µ ¸É n y >3@
3
³Å oªnµ
2
¦ x > k @ h >3 k @ k 0
nª Áª¨µ ¸É n ! 3 ³Å oªnµ y > n@
0
Á ºÉ° µ h > n k @
0
宦´ k = 0, 1, ¨³ 2
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-5
2
x[k]
1 0
1 1
k
2
1
=
h[k]
*
1
y[k] 1
2
k
0
1
0
-1 1
h[n – k], n < 0
n–1
y > n@ 0
k
n
3
k
1 -1
-1
Á¤ºÉ° n < 0
-1 1
h[0 – k], n = 0
-1
y > 0@
0 1 1 1
k
y >1@
1 1 2 1
k
y > 2@
2 1 1 1
1
k
y >3@
1 1 0 1
1
k
1
-1 1
h[1 – k], n = 1
1
-1 1
h[2 – k], n = 2 -1
1
h[3 – k], n = 3 3 -1
h[n – k], n > 3
1
n–1 n
k
y > n@ 0
Á¤ºÉ° n > 3
-1
£µ¡ ¸É 3.3 ´Ê ° µ¦ ε ° ꨼ ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ ´ª°¥nµ ¸É 3.2
´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ º° y > n @ G > n @ G > n 1@ G > n 2@ G > n 3@
£µ¡ ¸É 3.3  ¦µ¥¨³Á°¸¥ ´Ê ° µ¦ ε ° ꨼ ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤ ¸ÉÅ o° · µ¥Åªo oµ o ´ Á ³¡ ªnµÁ¤ºÉ° n 0 ¨³ n ! 3 ´ µ x > k @ ¨³ h > n k @ ³Å¤n¤¸ o°¤¼¨nª Ä ¸É¤µ o° Á®¨ºÉ°¤ ´ (overlap) ¹ εĮo ¨¨´¡ r µ µ¦ ε ° ꨼ ´ nª Áª¨µ ´Ê ¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r o°´ Á ° µ¦ ε ° ꨼ ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° ε ª o°¤¼¨ ° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ³¤¸ nµÁ nµ ´ ε ª o°¤¼¨ ° ´ µ ´Ê ° ¦ª¤ ´ ¨oª¨ oª¥ nµ® ¹É Á¤° ¨nµª º° µ 3-6
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
´ª°¥nµ ¸É 3.2 ´ µ x > k @ ¤¸ o°¤¼¨ ε ª 3 ´ª ¨³´ µ h > k @ ¤¸ o°¤¼¨ ε ª 2 ´ª ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y > k @ ¹ ¤¸ ε ª o°¤¼¨Á nµ ´ 3 + 2 – 1 = 4 ´ª ´ª°¥nµ ¸É 3.2 Å o ´Ê ° µ¦ ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ 宦´  n¨³ nµ n Á ºÉ° µ o°¤¼¨ ° x > n@ ¨³ h > n@ ¤¸ ε ª o°¥ ¹ εĮoµ¤µ¦ ε ª Å oà ¥ nµ¥ ( ´É º°µ¤µ¦ Ä o ε´É convol ° à ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦ ε ª Å o ´ ¸) 宦´ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ³Â ª· ¸ µ¦ ε ª ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ °¸ ¦¼  ® ¹É ¸É°µ«´¥ µ¦ ε ª µ · «µ ¦r ´ª°¥nµ ¸É 3.3 ε® Ä®o´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ LTI º° x > n @ a nu > n @ ¨³ h > n @ u > n @ Á¤ºÉ° a 1 ¨³ u > n @ º°´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ε ª ®µ ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ¸Ê ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ®µÅ o µ ¤ µ¦ (3.11) ´É º° y > n@
f
f
k f
k f
¦ x > k @ h > n k @ ¦ a u > k @ u > n k @ k
(3.12)
Á ºÉ° µ u > k @ 1 宦´ k t 0 ¨³ u > n k @ 1 宦´ n k t 0 ®¦º° k d n ´ ´Ê nª µ¦®µ ¨¦ª¤ ° ¤ µ¦ (3.12) ³¨ ¨ Á } µ k 0 ¹ k n ´ ¸Ê y >n@
n
¦a k 0
k
1 a n 1 1 a
宦´ n t 0
®¦º°µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } § 1 a n 1 · y > n@ ¨ ¸ u >n@ © 1 a ¹ SCILAB:
(3.13)
( ´ª°¥nµ ¸É 3.3)
-->function [y] = Xn(a, n) --> y = zeros(1,length(n)); --> index = find(n>=0); --> y(index) = a^n(index); -->endfunction
//¢{ r ´ ¥n°¥Îµ®¦´ ´ µ x > n @
-->function [y] = Hn(n) --> y = zeros(1,length(n)); --> index = find(n>=0); --> y(index) = 1; -->endfunction
//¢{ r ´ ¥n°¥Îµ®¦´ ´ µ h > n @
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-7
-->a = 0.4;
Range_N = 0:10;
-->for i = 1:length(Range_N) --> n = Range_N(i); --> Yn(i) = sum(Xn(a, Range_N).*Hn(n - Range_N)); -->end
// ¨¦ª¤ ° ꨼ ´
-->plot2d3(Range_N, Yn)
// ε´É ªµ ¦µ¢´ µ Yn ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ y > n @ µ¤¤ µ¦ (3.13)
-->Yn2 = (1-a^(Range_N+1))./(1-a)
// nµ ° ´ µ y > n @ µ¤¤ µ¦ (3.13)
´ª°¥nµ ¸É 3.4 ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ º° 1, 0 d n d 3 x > n@ ® else ¯0,
¨³
a n , 0 d n d 4 h > n@ ® else ¯ 0,
宦´ a ! 1 ª· ¸ ε µ¦ ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ¸ÊÄ®o¡· µ¦ µ°° Á } 5 nª µ¤£µ¡ ¸É 3.4 ¹É ¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª Ä Â n¨³ nª Áª¨µ ´ n°Å ¸Ê nª Áª¨µ ¸É n 0 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸nª Ä ° ´ µ x > k @ ¨³ h > n k @ ¤µ ´ o° ´ ´ ´ Ê y > n@
f
¦
x >k @ h >n k @
k f
Á ºÉ° µ h > n k @
0
2
¦ x >k @ h >n k @
0
k 0
宦´ k = 0, 1, ¨³ 2
nª Áª¨µ ¸É 0 d n d 2 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h > n k @ Á¦·É¤ ´ o° ´ ´ µ x > k @ ¹ nª Áª¨µ ¸É ´ µ h > n k @ ´ o° x > k @ ´Ê ®¤ Á¡¦µ³ ³ ´Ê y > n@
à ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ n k
r
n
n
k 0
k 0
¦ x >k @ h >n k @ ¦ a
n k
³Å o y > n@
n
¦ ar r 0
1 a n 1 1 a
nª Áª¨µ ¸É 2 d n d 4 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h > n k @ ´ o° ´ ´ µ x > k @ ´Ê ®¤ ´Ê  n ¦´Ê ¦ ¹ ¦´Ê » oµ¥ ´ ´ Ê 3-8
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
a4
a3
a2 a
1
0dnd2
2dnd4
4dnd6
n!6
£µ¡ ¸É 3.4 µ¦ ε® nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.4 y >n@
2
¦ x >k @ h >n k @ k 0
2
¦a
2
n k
a
n
k 0
¦ a
1
k
k 0
a
n
2 1
1 a
1 a 1
1
a n a n 3 1 a 1
a n 2 a n 1 1 a
nª Áª¨µ ¸É 4 d n d 6 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h > n k @ Á¦·É¤Á ¨ºÉ° ¸É°° µ µ¦ ´ o° ´ ´ µ x > k @ ´Ê ®¤ ¹ nª Áª¨µ ¸É´ µ h > n k @ ´ o° ´ x > k @ ´ª» oµ¥ ´ ´Ê y > n@
2
2
¦ x >k @ h >n k @ ¦ a
k n 4
ε® Ä®o r y >n@
k n 4 6 n
¦a r 0
4 r
n k
k n 4
³Å oªnµ a
4
6 n
¦ a
r 0
1
r
a
4
6 n 1
1 a
1 a 1
1
a4
1 a n 7 1 a 1
a 4 a n 3 1 a 1
a n 2 a5 1 a
nª Áª¨µ ¸É n ! 6 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸nª Ä ° ´ µ x > k @ ¨³ h > n k @ ¤µ ´ o° ´ ´ ´Ê บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-9
y > n@
2
ÂŚ x >k @ h >n k @
0
k 0
Ă Â&#x153;ÂşĂ&#x2030;°Â&#x160;Â&#x2039;ÂľÂ&#x201E; h > n k @
0
ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â? k = 0, 1, Ă&#x201A;¨³ 2
Â&#x2014;´Â&#x160;Â&#x153;´Ă&#x160;Â&#x153;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;à °¾Â&#x2DC;rÂĄÂťÂ&#x2DC;Â&#x2026;°Â&#x160;ÂŚÂłÂ?Â? LTI ¤¸Â&#x2021;n¾à Â&#x161;nÂľÂ&#x201E;´Â?
y > n@
SCILAB:
Â0, ° n 1 °1 a , ° 1 a °° n 2 a a n 1 , ÂŽ ° 1 a ° a n 2 a5 , ° ° 1 a °¯0,
n 0 0dnd2 2dnd4 4dnd6 n!6
(Â&#x2DC;´ª°¼nÂľÂ&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 3.4)
-->function [y] = Xn(n)
//¢{Â&#x160;Â&#x201E;rÂ?´Â&#x153;ÂĽn°¼ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â?´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x > n @
--> y = zeros(1,length(n)); --> index = find((n>=0)&(n<=3)); --> y(index) = 1; -->endfunction -->function [y] = Hn(a, n)
//¢{Â&#x160;Â&#x201E;rÂ?´Â&#x153;ÂĽn°¼ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â?´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; h > n @
--> y = zeros(1,length(n)); --> index = find((n>=0)&(n<=4)); --> y(index) = a^n(index); -->endfunction -->a = 3;
Range_N = -2:10;
-->for i = 1:length(Range_N) --> n = Range_N(i); --> Yn(i) = sum(Xn(Range_N).*Hn(a, n-Range_N)); -->end -->plot2d3(Range_N, Yn)
//Â&#x;¨Œª¤Â&#x2021;°Â&#x153;Ă&#x192;ª¨ŸÂ?´Â&#x153;
//Â&#x2021;Ă&#x17D;¾´Ă&#x2030;Â&#x160;ÂŞÂľÂ&#x2014;Â&#x201E;Œ¾¢Â´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; Yn Â&#x17D;šĂ&#x2030;Â&#x160;¤¸Â&#x2021;n¾à Â&#x161;nÂľÂ&#x201E;´Â? y > n @
Â&#x2DC;´ª°¼nÂľÂ&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 3.5 Â&#x2039;Â&#x160;Â&#x2021;Ă&#x17D;ÂľÂ&#x153;ÂŞÂ&#x2013;Ž¾´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;à °¾Â&#x2DC;rÂĄÂťÂ&#x2DC; y > n@ Â&#x2026;°Â&#x160;ÂŚÂłÂ?Â? LTI à ¤ºĂ&#x2030;°Â´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;°¡Â&#x153;ÂĄÂťÂ&#x2DC; x > n@ Ă&#x201A;¨³Â&#x;¨Â&#x2DC;°Â?ÂÂ&#x153;°Â&#x160; °¡¤¥´¨Âr h > n@ Â&#x2026;°Â&#x160;ÂŚÂłÂ?Â? Â&#x2021;º° x > n@ a nu > n@ Ă&#x201A;¨³ h > n@ u > n@ ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â? a ! 1
ŕ¸?ŕ¸?าŕ¸&#x201C;๠ละระŕ¸&#x161;ŕ¸&#x161; ภูŕ¸&#x161;ภารŕ¸&#x203A;ระยุภŕ¸&#x2022;ď&#x153;&#x17D;ŕš&#x192;ŕ¸&#x160;ď&#x153;&#x2039;ŕš&#x201A;ŕ¸&#x203A;ร๠ภรม SCILAB 3-10 สูSignals and Systems with SCILAB Applications
a
0 1 a 1 a 2 a
3
£µ¡ ¸É 3.5 µ¦ ε® nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.5
ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (3.11) ¨³Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ´ µ x > k @ ¨³ h > n k @ µ¤£µ¡ ¸É 3.5 ³¡ ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 2 nª Áª¨µ º° Á¤ºÉ° n t 0 ¨³ n 0 ¹É ¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É n t 0 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h > n k @ ´ o° ´ ´ µ x > k @ ´Ê ®¤ 宦´ » nµ n ´ ´Ê y > n@
f
k
k
k f f
Á¤ºÉ° ¦ D r r 0
1 1 D
f
0
¦ a u > k @ u > n k @ ¦ a ¦ a
k f
宦´ 0 D
1
1 1 a 1
r
r 0
a a 1
1
nª Áª¨µ ¸É n 0 Á } nª Áª¨µ ¸É´ µ h > n k @ ´ o° ´ ´ µ x > k @ µ nª ´ ´Ê f
y > n@
n
¦ a u > k @ u > n k @ ¦ a k
k f
oµ ε® Ä®o m
k
¨³ r y > n@
m n f
¦
m n
a m
k
k f
³Å oªnµ f
¦ a n r r 0
f
a n ¦ a 1 r 0
r
an
1 1 a 1
a n 1 a 1
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ º° y >n@
a °° a 1 , n t 0 ® n 1 °a , n 0 °¯ a 1
(3.14)
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-11
SCILAB:
( ´ª°¥nµ ¸É 3.5) //¢{ r ´ ¥n°¥Îµ®¦´ ´ µ x > n @
-->function [y] = Xn(a, n) --> y = zeros(1,length(n)); --> index = find(n<=0); --> y(index) = a^n(index); -->endfunction
//¢{ r ´ ¥n°¥Îµ®¦´ ´ µ h > n @
-->function [y] = Hn(n) --> y = zeros(1,length(n)); --> index = find(n>=0); --> y(index) = 1; -->endfunction -->a = 5;
Range_N = -10:10;
-->for i = 1:length(Range_N) --> n = Range_N(i); --> Yn(i) = sum(Xn(a, Range_N).*Hn(n-Range_N)); -->end
// ¨¦ª¤ ° ꨼ ´
// ε´É ªµ ¦µ¢´ µ Yn ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ y > n @ µ¤¤ µ¦ (3.14)
-->plot2d3(Range_N, Yn)
µ ´ª°¥nµ ¸É oµ o ³Á®È Å oªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI Á ºÉ° µ oµ ¦µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ È ³ nª¥ εĮoµ¤µ¦ ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ 宦´ ´ µ °· ¡» Ä Ç Å o ´ ¸Ã ¥Å¤n o° ε µ¦ ¨° ´ °» ¦ r±µ¦r ª¦r
3.3 ¨ ° ° °·¤¡´¨r¨³ ¨ ° ° ´Ê ´ Å ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸´ µ °· ¡» x > n@ , ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ , ¨³´ µ Á°µ r¡» y > n@ ¹É ®µÅ o µ ¤ µ¦ (3.11) ´ ´Ê ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ h > n@ È º°´ µ Á°µ r¡» y > n @ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» Á } ´ µ Å Â¦È Á ¨ µ x > n @ G > n @ ´É º° y > n@
f
f
k f
k f
¦ x >k @ h >n k @ ¦ G >k @ h >n k @
h > n@
(3.15)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ oµ ε® Ä®o s > n @ º° ¨ ° ° ´Ê ´ Å (step response) ° ¦³ ¹É ¤¸ nµ Á nµ ´ ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ u > n@ ´É º° s > n @ T ^u > n @` h > n @ u > n @
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
f
n
k f
k f
¦ h >k @u >n k @ ¦ h >k @
(3.16)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ s > n @ º° ¨¦ª¤ ° ¨ ° ° °·¤¡´¨r ´Ê  nÁª¨µ° ¸ ¹ Áª¨µ { » ´ ¨ ° ° ´Ê ´ Å s > n @ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r Ä µ ¨´ ´ oµ ε® s > n @ ¤µÄ®o ȵ¤µ¦ ®µ h > n @ Å o µ h > n @ s > n @ s > n 1@
(3.17)
à ¥ ¸É¤ µ¦¨´ ¬ ³ ¸ Ê ³Á¦¸¥ ´ ´ªÉ Å ªnµ “¤ µ¦Á · ¨ nµ (difference equation)”
3.4 » ¤ ´ · ° ¦³ LTI ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ¨nµª º° oµ ¦µ ªnµ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI º°°³Å¦ È ÎµÄ®oµ¤µ¦ ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ 宦´ ´ µ °· ¡» Ä Ç Å o µ ¤ µ¦ (3.11) ´É º° y > n@
x > n@ h > n@
f
¦ x >k @ h >n k @
(3.18)
k f
¹É » ¤ ´ · ¸ÊÁ } ¦· Á ¡µ³ ´ ¦³ LTI Á nµ ´Ê (ŤnÁ } ¦· 宦´ ¦³ ŤnÁ · Áo ) ´ ´Ê Ä nª ¸Ê ³ ° · µ¥ » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ° nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê
3.4.1 » ¤ ´ · µ¦¨´ ¸É ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ¤ ´ · µ¦¨´ ¸É (commutative property) º° x > n@ h > n@ h > n@ x > n@
(3.19)
¹É µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê x > n@ h > n@
f
f
f
k f
r f
r f
¦ x >k @ h >n k @ ¦ x >n r @ h >r @ ¦ h >r @ x >n r @
à ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ r
h > n@ x > n@
(3.20)
n k
3.4.2 » ¤ ´ · µ¦Â  ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ¤ ´ · µ¦Â  (distributive property) º° บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-13
x > n@
x > n @ h1 > n @
h1 > n @
h2 > n @
x1 > n @
x2 > n @
x > n@
y > n@
y > n@
h1 > n @ h2 > n @
x > n @ h2 > n @
x1 > n @ h > n @
h > n@
x1 > n @ x2 > n @
y > n@
h > n@
h > n@
y > n@
x2 > n @ h > n @
£µ¡ ¸É 3.6 ¨´ ¬ ³ µ¦Ä o µ ° » ¤ ´ · µ¦Â  x > n @ ^h1 > n @ h2 > n @`
^ x > n@ h > n@` ^ x > n@ h > n@` 1
2
(3.21)
» ¤ ´ · ¸Ê ³ nª¥ εĮoµ¤µ¦ ´ ¦¼  ° ¦³ LTI ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  µ Ä®oÁ } ¦³ LTI ¦ª¤¦³ Á ¸¥ª µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 3.6 ( – ) ° µ ¸Ê » ¤ ´ · µ¦Â  ¸Êµ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o Ä °¸ ¦¼  ® ¹É º°
^ x > n@ h > n@` ^ x > n@ h > n@` ^ x > n@ x > n@` h > n@ 1
2
(3.22)
´ Â Ä £µ¡ ¸É 3.6 ( – ) ´ª°¥nµ ¸É 3.6 ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ º° x > n@
n 0.5 u > n@ 2n u > n@ ¨³
ª· ¸ ε oµ ε® Ä®o x1 > n@ 0.5 n u > n@ ¨³ x2 > n @
2n u > n @
§ 1 0.5 n 1 · ¸ u > n@ x1 > n @ h > n @ ¨ ¨ 1 0.5 ¸ © ¹
´ ´Ê µ ´ª°¥nµ ¸É 3.5 Á¤ºÉ° n 0 ³Å o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
h > n@ u > n@
µ ´ª°¥nµ ¸É 3.3 ³Å oªnµ
2 0.5 u >n@ n
2n 1 2n 1 , n 0 2 1
x2 > n @ h > n @
¨³Á¤ºÉ° n ! 0 ³Å o x2 > n @ h > n @
2 2 1
2, n ! 0
µ » ¤ ´ · µ¦Â  ³Å oªnµ y > n@
x > n@ h > n@
^ x > n@ x > n@` h > n@ 1
2
x1 > n @ h > n @ x2 > n @ h > n @
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ LTI º° y >n@
°2n 1 , n 0 ® n °̄4 0.5 , n ! 0
3.4.3 » ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n (associative property) º° x1 > n @ h1 > n @ h2 > n @
x1 > n @ ^h1 > n @ h2 > n @`
^ x > n@ h > n@` h > n@ 1
1
2
(3.23)
» ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n nª¥ εĮoµ¤µ¦ ´ ¦¼ ¦³ ¥n°¥ ¸É n° ´  ° » ¦¤Ä®oÁ } ¦³ ¦ª¤¦³ Á ¸¥ª Å o µ¤£µ¡ ¸É 3.7 ° µ ¸Ê£µ¡ ¸É 3.7 ¥´  ĮoÁ®È ªnµ¦³ ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤µ¤µ¦ ¸É ³¨´ ¸É ´ Å o ´ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ ¨ ° ° ¦ª¤ ° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ³Å¤n ¹Ê °¥¼n ´ “¨Îµ ´ ” ° ¦³ ¥n°¥ ¸É 夵 n° ´  n ³ ¹Ê ´ ¨ ° ° ¦ª¤ ° ¦³ ´ª°¥nµ Á n oµ¦³ LTI ¦³ ° oª¥ ¦³ ¥n°¥µ¤¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ à ¥Â n¨³¦³ ¥n°¥¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h1 > n@ , h2 > n@ , ¨³ h3 > n @ µ¤¨Îµ ´ ³Å oªnµ h1 > n @ h2 > n @ h3 > n @ h2 > n @ h1 > n @ h3 > n @ h3 > n @ h1 > n @ h2 > n @ Á } o ´ª°¥nµ ¸É 3.7 ¡· µ¦ µ¦³ LTI Ä £µ¡ ¸É 3.8 Á¤ºÉ°¨Îµ ´ o°¤¼¨°· ¡» º° ^an ` ^a0 , a1 , a2 , a3 ` ^1, 0,1,1`  ĮoÁ®È ªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ´Ê ° ¤¸ nµÁ nµ ´ ´É º° ^rn ` ^ yn ` ª· ¸ ε ¡· µ¦ µ¦³ A ´ µ Á°µ r¡» rn ®µÅ o µ r > n@ a > n@ h > n@
2
¦ h >k @ a >n k @ k 0
¹É ³Å o ¨¨´¡ r º° ^rn ` ^r0 , r1 , r2 , r3 , r4 , r5 ` ^1, 0, 0,1, 1, 1` บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-15
x > n@
h1 > n @
x > n@
h2 > n @
z > n@
w > n@
h2 > n @
h1 > n @
y > n@
x > n@
y > n@
x > n@
h > n @ h1 > n @ h2 > n @
h > n @ h2 > n @ h1 > n @
y > n@
y > n@
£µ¡ ¸É 3.7 ¡·¼ r » ¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n hn
an
rn
gn
an
bn
fn
yn
£µ¡ ¸É 3.8 ¦³ LTI ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.7
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ 宦´ ¦³ B ´ µ Á°µ r¡» bn ®µÅ o µ b > n@ a > n@ g > n@
1
¦ g >k @ a >n k @ k 0
¹É ³Å o ¨¨´¡ r º° ^bn ` ^b0 , b1 , b2 , b3 , b4 ` ^1, 1,1, 0, 1`
µ ´Ê ¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^bn ` È ³ ¼ n nµ Á oµÅ Ä ¦³ ^ f n ` εĮoÅ oÁ } ´ µ Á°µ r¡» ^ yn ` ¹É ®µÅ o µ y > n@ b > n@ f > n@ 1
¦ f >k @b >n k @ k 0
¹É ³Å o ¨¨´¡ r º° ^ yn ` ^ y0 , y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ` ^1, 0, 0,1, 1, 1`
´ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ ^ yn ` ^rn ` ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
SCILAB: -->An = [1 0 1 1]; -->Hn = [1 0 -1]; -->Rn = clean(convol(An, Hn)) Rn = 1. 0. 0. 1. - 1.
- 1.
-->Gn = [1 -1]; -->Fn = [1 1]; -->Bn = convol(An, Gn) Bn = 1. - 1. 1. 0.
- 1.
-->Yn = clean(convol(Bn, Fn)) Yn = 1. 0. 0. 1. - 1. -->Hn = convol(Gn, Fn) Hn = 1. 0. - 1.
- 1.
Á ºÉ° µ ^hn ` Á } ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI ¹ εĮoµ¤µ¦ Â¥ Á } 2 ¦³ ¥n°¥Å o º° h > n @ g > n @ f > n @ ° µ ¸Ê¥´ ¡·¼ rÅ oªnµ ^ yn ` ^rn ` à ¥ µ¦Ä o » ¤ ´ · ° ° ꨼ ´ ´É º° r > n @ a > n @ h > n @ a > n @ g > n @ f > n @
a > n @ g > n @ f > n @
y > n@
b> n @
¹É È ³Å o ¨¨´¡ rÁ®¤º° ´
3.4.4 » ¤ ´ · µ¦¤¸Â¨³Å¤n¤®¸ nª¥ ªµ¤ ε ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε (memoryless)” È n°Á¤ºÉ° h > n @ 0 宦´ n z 0 ®¦º°Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° h > n@
Á¤ºÉ° K
h > 0@
KG > n@
(3.24)
º° nµ ´ª ´ ´Ê ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ °· ¡» x > n@ ³¤¸ nµÁ nµ ´ y > n@
x > n@ h > n@
K x > n @
(3.25)
Ä ³ ¸É¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε” È n°Á¤ºÉ° h > n@ z 0 宦´ n z 0 Ä ¦ ¸ ¸É ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ º° h > n@ G > n@ ³Á¦¸¥ ¦³ ´Ê ªnµ “¦³ Á° ¨´ ¬ r (identity system)” ¹É ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³¤¸ nµÁ nµ ´ y > n@
x > n@ G > n@
f
¦ x > k @G > n k @
x > n@
(3.26)
k f
3.4.5 » ¤ ´ · µ¦®µ ´ª ´ Å o ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ µ¤£µ¡ ¸É 3.9 ¦³ B ¼ Á¦¸¥ ªnµ Á } “¦³ ´ (inverse system)” ° ¦³ A oµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ B ¤¸ nµ y > n @ x > n@ ¹É ³ Á } ¦· È n°Á¤ºÉ° h1 > n @ h2 > n @ G > n @
(3.27)
´ª°¥nµ ¸É 3.8 ε® Ä®o¦³ LTI ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» º° y > n @ x > n m @ à ¥ ¸É m ! 0 ³Á } ¦³ ¸É ε µ¦® nª Áª¨µ´ µ °· ¡» ¨³ m 0 ³Á } ¦³ ¸É ε µ¦ ¨nª ® oµÁª¨µ´ µ °· ¡» ¡· µ¦ µªnµ¦³ LTI ¸Ê¤¸¦³ ´ ®¦º°Å¤n บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-17
x > n@
h1 > n @
h2 > n @
¦³ A
¦³ B
y > n@
x > n@
x > n@
G > n@
x > n@
¦³ Á° ¨´ ¬ r
£µ¡ ¸É 3.9 ¦³ B Á } ¦³ ´ ° ¦³ A oµ´ µ y > n @
x > n@
ª· ¸ ε ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI º°´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÅ o µ µ¦ j° ´ µ °· ¡» ¸ÉÁ } ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ G > n @ Á oµÅ Ä ¦³ ´ ´Ê h > n@ G > n m@ ´É º° x > n m@
x > n@ G > n m@
Ä µ¦ εĮo´ µ x > n m@ Á ¨¸É¥ ¨´ Å Á } ´ µ x > n@ ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ x > n m@ Á } ¦·¤µ m ® nª¥ ³ ´Ê ¦³ ´ ° ¦³ ¸Ê ³¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° hI > n @ G ª¬ n m º¼ G > n m @
¹É ³ εĮoÅ oªnµ h > n @ hI > n @ G > n m @ G > n m @ G > n @
´ª°¥nµ ¸É 3.9 ε® Ä®o¦³ LTI ¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h > n@ ´ ®¦º°Å¤n
u > n@
¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸Ê¤¸¦³
ª· ¸ ε µ ¦³ LTI ¸É ε® Ä®o ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ y > n@
x > n@ h > n@
f
¦ x >k @u >n k @
k f
Á ºÉ° µ u > n k @
0
宦´ n k 0 ¨³ u > n k @ y >n@
1
宦´ n k ! 0 ´ ´Ê ³Å oªnµ
f
n
k f
k f
¦ x >k @u >n k @ ¦ x >k @
¹É Á } µ¦®µ ¨¦ª¤ ° ´ µ °· ¡» ´Ê ®¤ ´Ê  nÁª¨µ° ¸ ¹ Áª¨µ { » ´ ¦³ ¨´ ¬ ³ ¸Ê ³¤¸¦³ ´ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° hI > n @ G > n @ G > n 1@
´É º° h > n @ hI > n @ u > n @ ^G > n @ G > n 1@`
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
u > n @ u > n 1@
G > n@
3.4.6 » ¤ ´ · ° °¨ ¦³ LTI ¸É¤¸ » ¤ ´ · ° °¨ (causal) º°¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» ³ ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ ¨³Ä Áª¨µ { » ´ Á nµ ´Ê  n ³Å¤n ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ 宦´ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ » ¤ ´ · ° °¨ ³®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É´ µ Á°µ r¡» y > n@
f
¦ x >k @ h >n k @
(3.28)
k f
³Å¤n ¹Ê ´ ´ µ °· ¡» x > k @ Á¤ºÉ° k ! n ¹É ³Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ° h > n k @ ªnµ¦³ ° °¨ º°¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ 0
Á¤ºÉ° n 0
0
Á¤ºÉ° k ! n ®¦º°¦» Å o
(3.29)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ° °¨µ¤µ¦ ®µÅ o µ y > n@
n
f
k f
k 0
¦ x >k @ h >n k @ ¦ h >k @ x >n k @
(3.30)
à ¥ ´ÉªÅ ¦³ ¸É¦oµ ¹Ê ¤µÎµ®¦´ Ä o µ ¸É¤¸¨´ ¬ ³ µ¦ ° °  Á¦¸¥¨Å ¤r (real time) ¨oª ¦³ ´Ê ³ o° ¤¸ » ¤ ´ · ° °¨Á¤° ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ¦³  Á¦¸¥¨Å ¤rŤnµ¤µ¦ ¦´ nµ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ ° µ Å o ° µ ¸Ê¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε È º°ªnµÁ } ¦³ ° °¨ oª¥ Ä µ · ´ · » ¤ ´ · ° °¨ µ¤¤ µ¦ (3.29) ³° ¨o° ´ Á ºÉ° Å “ µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest)” ¸É ¨nµªªnµ oµ´ µ °· ¡» ° ¦³ ° °¨¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¹ Áª¨µ® ¹É ¨oª ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³ o° ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¹ Áª¨µ ³ ´Ê oª¥Á n ´ à ¥ ´ÉªÅ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ³Ä oÅ o ´ ¦³ Á · Áo Á nµ ´Ê ´ª°¥nµ Á n ¡· µ¦ µ¦³ y > n@ 3x > n@ 2 ¹ ¤oªnµ¦³ ¸Ê ³Á } ¦³ ° °¨ ¨³Å¤n¤¸® nª¥ ªµ¤ ε  n¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ŤnÁ · Áo ¨³Å¤n° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o Á ºÉ° µ oµ x > n@ 0 ³Å oªnµ y > n@ 3 z 0 宦´ » nµ n 宦´ ¦³ LTI ¸É´ µ Á°µ r¡» ¹Ê °¥¼n ´ ´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ { » ´ ¨³° µ ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ° ° °¨ (noncausal)
3.4.7 » ¤ ´ ·Á ¸¥¦ ¦³ Á ¸¥¦ (stable system) ®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á (bounded input) ³ εĮoÁ · ´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á (bounded output) ¡· µ¦ µ´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-19
x > n@ B
(3.31)
宦´ » nµ n Á¤ºÉ° B f º° nµ ´ªÄ Ç ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®µÅ o µ y > n@
f
f
k f
k f
¦ h >k @ x >n k @ d ¦ h >k @ x >n k @
(3.32)
µ ¤ µ¦ (3.31) ³Å o x > n k @ B Á n ´ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¤ µ¦ (3.32) ¹ Á ¸¥ Å oÁ } f
y > n@ d B ¦ h > k @
(3.33)
k f
宦´ » nµ n ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á ³Á · ¹Ê Å o È °n Á¤ºÉ° f
¦ h >k @ f
(3.34)
k f
®¦º° ¨nµªÅ oªnµ ¨ ° ° °·¤¡´¨rµ¤µ¦ ®µ ¨¦ª¤Å o°¥nµ ´¤ ¼¦ r (absolutely summable) à ¥ ¸ÉÁ ºÉ° Å ¸Ê º°ªnµÁ } Á ºÉ° Å ¸ÉÁ¡¸¥ ¡° (sufficient condition) ¨³Á ºÉ° Å ¸É εÁ } (necessary condition) ¸ÉÄ o¡· µ¦ µªnµ ¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦®¦º°Å¤n
3.5 ¤ µ¦Á · ¨ nµ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · º° ¦³ ¸É´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¤ “¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸´¤ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Áo (LCCDE: linear constantcoefficient difference equation)” ¹É µ¤µ¦ Ä o° · µ¥ ¦µ µ¦ r nµ Ç Å o Á n Á · µ Ä µ µ¦ ¨³ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ´ ¸ ¨µ ®¨´ ¦´¡¥r Á } o
3.5.1 ¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸´¤ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Áo ¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸´¤ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Áo °´ ´ N
¦ ak y > n k @ k 0
N
(N-th order LCCDE) ³ ·¥µ¤Ã ¥
M
¦ b x >n k @ k
(3.35)
k 0
Á¤ºÉ° ak ¨³ bk º° nµ´¤ ¦³· ·Í ¸ÉÁ } Á¨ ε ª ¦· , N º°Á¨ ε ª Á Ȥ ¸É ¹ ε ª ® nª Áª¨µ (delay) ¼ » ° y > n@ ¨³ M º°Á¨ ε ª Á Ȥ ¸É ¹ ε ª ® nª Áª¨µ¼ » ° x > n@ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
µ¦Â o¤ µ¦ (3.35) ³ o° °µ«´¥Á ºÉ° Å nª¥ (auxiliary condition) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° nµ y > n @ , y > n 1@ ,! , y > n N @ 宦´  n¨³ nµ n à ¥ ¸É ε ° ´ÉªÅ ° ¤ µ¦ (3.35) ³°¥¼nÄ ¦¼ ° y >n@
y p > n @ yh > n @
(3.36)
Á¤ºÉ° y p > n@ º° ¨Á ¨¥Á ¡µ³ (particular solution) ¸É° ¨o° ´ ¤ µ¦ (3.35) ¨³ yh > n @ º° ¨Á ¨¥ Á° ¡´ »r (homogeneous solution) ¹É ®µÅ o µ µ¦Â o¤ µ¦Á · ° »¡´ rÁ° ¡´ »r (homogeneous differential equation) ´ ¸Ê N
¦ a y >n k @ k
0
(3.37)
k 0
oµ
N
0
¤ µ¦ (3.35) ³¤¸¨´ ¬ ³Á } “¤ µ¦Å¤nÁª¸¥ Á · (nonrecursive equation)” ´É º° y >n@
1 a0
M
¦ b x >n k @
(3.38)
k
k 0
¨³¦³ LTI Ä ¤ µ¦ (3.38) ¸Ê ³Á¦¸¥ ªnµ “¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ε ´ (FIR: finite impulse response)” Ä ³ ¸É oµ N t 1 ¤ µ¦ (3.35) ³¤¸¨´ ¬ ³Á } “¤ µ¦Áª¸¥ Á · (recursive equation)” ´É º° y > n@
N 1 M ½ ®¦ bk x > n k @ ¦ ak y > n k @¾ a0 ¯ k 0 k 1 ¿
(3.39)
¦³ LTI Ä ¤ µ¦ (3.39) Á¦¸¥ ªnµ “¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨rŤn ε ´ (IIR: infinite impulse response)” ´ª°¥nµ ¸É 3.10 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ´ ¸Ê y > n @ ay > n 1@
x > n@
(3.40)
Á¤ºÉ° a º° nµ ´ª ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@
Á¤ºÉ°
K
Kb nu > n @
¨³ b º° nµ ´ª ¨³Á ºÉ° Å nª¥ º° y > 1@
(3.41)
E
ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (3.36) à ¥ ¸É ¨Á ¨¥Á ¡µ³ ¤ µ¦ (3.40) ¨³ ¨Á ¨¥Á° ¡´ r yh > n@ ®µÅ o µ µ¦Â o¤ µ¦ yh > n @ ayh > n 1@ 0
y p >n@
o° ° ¨o° ´
(3.42)
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-21
à ¥ ´ÉªÅ
y p > n@
³¤¸¦¼ ¤ µ¦ ¨oµ¥ ´ ´ µ °· ¡» x > n@ ´É º° y p > n@
Á¤ºÉ°
A
º° nµ ´ª Â nµ
y p > n@
Ab n , n t 0
µ ¤ µ¦ (3.43) ¨ Ä ¤ µ¦ (3.40) ³Å o Ab n aAb n 1
A
Kb n
Kb b a
A
 nµ
(3.43)
¨ Ä ¤ µ¦ (3.43) ³Å o y p > n@
Kb n b b a
K n 1 b , nt0 b a
(3.44)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ε® Ä®o yh > n @ Bz n , n t 0
Á¤ºÉ° B ¨³ z º° nµ ´ª  nµ
yh > n @
µ ¤ µ¦ (3.45) ¨ Ä ¤ µ¦ (3.42) ³Å o z a Bz n 1
Bz n aBz n 1
¹É ³Å o
z
a
yh > n @
µ ¤ µ¦ (3.46) ¨³ y > n@
y p > n@
Ba n , n t 0
yh > n @ y p > n @ Ba n
y > 0@ ay > 1@
K n 1 b , nt0 b a
y > 0@ a E
y > 0@ 0
(3.46)
µ ¤ µ¦ (3.44) ¨ Ä ¤ µ¦ (3.36) ³Å o
Ä µ¦®µ nµ B ³ o° °µ«´¥ nµ y >0@ ´ ´Ê  nµ n
¨³Â nµ n
0
¨³Â nµ z ¨ Ä ¤ µ¦ (3.45) ³Å o yh > n @
 nµ
(3.45)
¨ Ä ¤ µ¦ (3.47) ³Å o
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
K aE
0
(3.47)
¨ Ä ¤ µ¦ (3.40) ¨³ (3.41) ³Å o
x > 0@ K
(3.48)
y > 0@ B
K b b a
(3.49)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (3.48) ¨³ (3.49) ³Å oªnµ B
aE
a b a
 nµ B ¨ Ä ¤ µ¦ (3.47) ³Å o´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ º° y > n @ E a n 1 K
宦´ n 0 ³Å o x > n@
0
b n 1 a n 1 b a
,
nt0
¤ µ¦ (3.40) ³ ¨µ¥Á } ¤ µ¦ (3.42) ´ ´Ê y > n @ Ba n
µ Á ºÉ° Å nª¥ ¸ É Îµ® Ä®o y > 1@
E
(3.50)
(3.51)
³Å o y > 1@ E
B
Ba 1
Ea
 nµ B ¨ Ä ¤ µ¦ (3.51) ³Å o y > n @ E a n 1 , n 0
(3.52)
ε µ¦¦ª¤¤ µ¦ (3.50) ¨³ (3.52) ³Å o´ µ Á°µ r¡» y > n@ nµ n Ä Ç º° b n 1 a n 1 ½ y > n @ E a n 1 ® K ¾ u > n@ b a ¿ ¯
´ª°¥nµ ¸É 3.11 µ ´ª°¥nµ ¸É 3.10 ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x > n@ y > 1@ E
(3.53)
KG > n@
¨³
ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (3.40) ³Å oªnµ y > n @ ay > n 1@ x > n @
宦´ n t 0  nµ n
0,1, 2,! , n
(3.54)
¨ Ä ¤ µ¦ (3.54) ³Å o บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-23
y > 0@ ay > 1@ x > 0@ a E K y >1@ ay > 0@ x >1@ a a E K
y > 2@ ay >1@ x > 2@ a 2 a E K
#
y > n @ ay > n 1@ x > n @ a n aE K
a n 1E a n K
(3.55)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ 宦´ n 0 à ¥ µ¦ ´ ¦¼ ¤ µ¦ (3.54) Ä®¤n ³Å o y > n 1@
´ ´Ê µ Á ºÉ° Å nª¥ y > 1@
E
 nµ n
1 ^ y > n@ x > n@` a
1, 2,! , n
y > 2 @
1 ^ y > 1@ x > 1@` a
1 E a
y > 3@
1 ^ y > 2@ x > 2@` a 2 E a
(3.56)
¨ Ä ¤ µ¦ (3.56) ³Å o a 1E
#
y > n@
1 ^ y > n 1@ x > n 1@` a n 1E a
(3.57)
ε µ¦¦ª¤¤ µ¦ (3.55) ¨³ (3.57) ³Å o´ µ Á°µ r¡» º° y > n @ a n 1E Ka nu > n @
(3.58)
Ä Î µ ° Á ¸ ¥ ª ´ ´ ¦ ¸ ° ¦³ LTI ¸É n °Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¦³ LTI ¸É Å ¤n n °Á ºÉ ° µ Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (3.54) ³Å¤nÁ } ¦³ Á · Áo oµ y > 1@ z 0 ° µ ¸Ê¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Á } ¦³ ° °¨Â¨³Å¤n  ¦Á ¨¸É ¥ µ¤Áª¨µ È n ° Á¤ºÉ ° ¦³ ¸Ê ° ¨o ° ´ Á ºÉ ° Å µ¦¡´ Á¦·É ¤ o ´É º ° y > 1@ 0
3.5.2 ¨ ° ° °·¤¡´¨r ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ¼ ε® oª¥¤ µ¦ (3.35) µ¤µ¦ ®µÅ o à ¥ nµ¥ Á ºÉ° µ ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x > n@ Á } ´ µ à ¦Á Á °¦r ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
Á ¨ µ G > n@ È º° ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ ´É Á° ´ ´Ê Ä µ¦®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ εŠoà ¥ µ¦Â nµ x > n@ G > n@ ¨³ y > n@ h > n@ ¨ Ä ¤ µ¦ (3.35) ³Å o N
¦ ak h > n k @ k 0
h > n@
M
¦ b G >n k @ k
k 0
N 1 M ½ ®¦ bk G > n k @ ¦ ak h > n k @¾ a0 ¯ k 0 k 1 ¿
(3.59)
¨³Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸É ε® à ¥¤ µ¦ (3.38) ³¤¸ h > n@
1 a0
M
¦ b G >n k @ k
k 0
bn / a0 , 0 d n d M ® else ¯0,
(3.60)
´ª°¥nµ ¸É 3.12 µ ´ª°¥nµ ¸É 3.11 oµ ε® Ä®o¦³ LTI ¸Ê° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ´É º° y > 1@ E 0 ) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ h > n@ ) ®µ ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ¦³ s > n @ ) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ µ ¨ ° ° ´Ê ´ Å s > n @ ¸ÉÅ oÄ o° ( ) ª· ¸ ε ) ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ h > n@ ®µÅ oà ¥ µ¦Â nµ
K 1 ¨ Ä ¤ µ¦ (3.58) ³Å o
h > n @ a nu > n@
) ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ¦³ s > n @ ®µÅ oà ¥ µ¦Â nµ ´É º° s > n@
(3.61) K 1 ¨³ b 1 ¨ Ä ¤ µ¦ (3.53)
1 a n 1 u > n@ 1 a
(3.62)
) ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ®µÅ o µ 1 a n 1 ½ 1 a n ½ h > n @ s > n @ s > n 1@ ® ¾ u > n@ ® ¾ u > n 1@ ¯ 1 a ¿ ¯ 1 a ¿
Á¤ºÉ° n
0
³Å o บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-25
1 a ½ h > 0@ ® ¾ u > 0@ 1 ¯1 a ¿
¨³Á¤ºÉ° n ! 0 ³Å o h > n@
´ ´Ê h > n @
a nu > n@
1 1 a n 1 1 a n 1 a
^
`
a n 1 a
1 a
an
Á®¤º° ´ ¤ µ¦ (3.61)
3.6  £µ¡ ¨È°  £µ¡ ¨È° (block diagram) Á }  £µ¡ ¸É ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI Ä µ · ´ ·Â £µ¡ ¨È° ¼ ¦oµ ¹Ê µ µ¦ ε ·Ê nª ¡ºÊ µ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 3.10  n¨³ ·Ê ¤µ ¦³ ° ´ Á¤ºÉ°Á oµÄ ªµ¤®¤µ¥ ° ·Ê nª  n¨³ ·Ê Ä £µ¡ ¸É 3.10 ¨oª ȵ¤µ¦ ¦oµ  £µ¡ ¨È° Å oà ¥ nµ¥ ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É ¼ ε® à ¥¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸´¤ ¦³· ·ÍÁ } nµ ´ª  Á · Áo °´ ´ ® ¹É n°Å ¸Ê y > n @ bx > n @ ay > n 1@
(3.63)
¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å oà ¥°µ«´¥ ·Ê nª ¡ºÊ µ Ä £µ¡ ¸É 3.10 ´ Â Ä £µ¡ ¸É 3.11 à ¥ ¸É ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ (delay operator) D ³Á ¦¸¥ Á¤º° ´ ® nª¥ ªµ¤ ε ¸ÉÁ È nµ´ µ °· ¡» n° ® oµ ¸Ê® ¹É ® nª¥ ¸É nµ ¤µÅ o µ¦¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ ® ¹É à ¥ µ¦Ä o ·Ê nª ¡ºÊ µ Ä £µ¡ ¸É 3.10 宦´ ¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ ¼ ȵ¤µ¦ 夵Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å oà ¥Ä o ·Ê nª ¡ºÊ µ nµ Ç Á n ´ ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 3.13 ¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ¦³ LTI ´ ¸Ê y > n @ 2 y > n 1@ y > n 3@
x > n @ 3 x > n 2@
ª· ¸ ε µ à ¥r ³Å oªnµ y > n@
x > n @ 3 x > n 2@ 2 y > n 1@ y > n 3@
¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å o µ¤£µ¡ ¸É 3.12 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
w> n@ x >n@ w>n@
x > n@
x > n@
( ) µ¦ ª (addition)
a
a x > n @
( ) µ¦ ¼ (multiplicaton)
w > n@
x > n@
x >n@ w >n@
x > n@
( ) µ¦¨ (subtraction)
D
x > n 1@
( ) µ¦® nª Áª¨µ (delay)
£µ¡ ¸É 3.10 ·Ê nª ¡ºÊ µ ¸ÉÄ oÄ µ¦¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@
y > n@
b
y > n 1@
a
£µ¡ ¸É 3.11  £µ¡ ¨È° ° ¦³ y > n @
bx > n @ ay > n 1@
y > n@
x > n@ 2
3
1
£µ¡ ¸É 3.12  £µ¡ ¨È° ° ¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ ¼ Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.13
´ª°¥nµ ¸É 3.14 ®µ¤ µ¦Á · ¨ nµ ° ¦³ LTI µ¤£µ¡ ¸É 3.13 ª· ¸ ε ε® Ä®o w > n@ º°´ µ °· ¡» ° ª ¦® nª Áª¨µ ´ ´Ê ´ µ °· ¡» ° ª ¦® nª Áª¨µ º° w > n 1@ µ £µ¡ ¸É 3.13 ³Å oªnµ w >n@
x > n @ 2 w > n 1@
(3.64)
y > n @ w > n @ 3w > n 1@
(3.65)
¨³
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-27
w > n@
x > n@
y > n@
3
2
w > n 1@
£µ¡ ¸É 3.13  £µ¡ ¨È° ° ¦³ LTI Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.14
 o¤ µ¦ (3.64) ¨³ (3.65) Á¡ºÉ°®µ nµ w > n@ ¨³ w > n 1@ Ä ¦¼ ° x > n@ ¨³ y > n@ ³Å o 2 3 y > n@ x > n@ 5 5
w > n@
(3.66)
¨³ 1 1 y > n@ x > n@ 5 5
(3.67)
2 3 y > n 1@ x > n 1@ 5 5
(3.68)
w > n 1@
Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ n
n 1 Ä ¤ µ¦ (3.66) ³Å o
w > n 1@
Á ºÉ° µ ¤ µ¦ (3.67) ¨³ (3.68) ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ ´Ê ³Å oªnµ 1 1 y > n@ x > n@ 5 5
2 3 y > n 1@ x > n 1@ 5 5
´É º°¤ µ¦Á · ¨ nµ °  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 3.13 ¤¸ nµÁ nµ ´ y > n @ 2 y > n 1@
x > n @ 3x > n 1@
(3.69)
3.7 ®´¤¡´ r Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 2.7 ®´¤¡´ r (correlation) ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ȵ¤µ¦  n °° Á } 2 ¦³Á£ º° ®´¤¡´ r oµ¤ (cross-correlation) ¨³°´ ®´¤¡´ r (auto-correlation) ´ ¦µ¥¨³Á°¸¥ n°Å ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
3.7.1 ®´¤¡´ r oµ¤ ε® Ä®o x > n@ ¨³ y > n@ Á } ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÁ } ´ µ ¡¨´ µ ¢{ r ´ ®´¤¡´ r oµ¤ Rxy > n @ ¸ÉÁª¨µ¨nµ (lag time) W ¦³®ªnµ ´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ³ ·¥µ¤Ã ¥ Rxy > n @
f
f
¦ x > k n@ y > k @ ¦ x > k @ y > k n@
k f
Á¤ºÉ°
y > k @
(3.70)
k f
º°´ ¥» Á · o° ° y > k @ ¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Å o °º Rxy > n @
x > n@ y > n@
(3.71)
3.7.2 °´ ®´¤¡´ r ε® Ä®o x > n@ Á } ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ° x > n@ Á ¸¥  oª¥ ³ ·¥µ¤Ã ¥ Rxx > n @
f
¦
x > k n @ x > k @
k f
f
¦ x > k @ x > k n@
Rxx > n @
(3.72)
k f
¹É È º° nµ®´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ x > n@ ¨³ x > n@ ´É Á° » ¤ ´ · ° ¢{ r ´ °´ ®´ ¤ ¡´ r Rxx > n @ ° ´ µ x > n@ ³Á®¤º ° ´ ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r Rxx W ° ´ µ x t µ¤ ¸É ¨nµªÄ ®´ª o° ¸É 2.7.2 Á¡¸¥  n°¥¼n ´ ¨³Ã Á¤ ´ ´Ê Ä ¸É ¸Ê ³¦» » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° Rxx > n @ ´ ¸Ê 1) ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ³¤¤µ ¦ (symmetry) ¨nµª º° oµ´ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ³Á } ¢{ r ´ ¼n (even funtion) Á¤° ´É º° Rxx > n @
Rxx > n @
(3.73)
¨³ oµ x > n@ Á } ¢{ r ´ Á · o° ³Á } ¢{ r ´ Á°¦r¤¸Á ¸¥ (hermitian function) ´É º° Rxx > n @
2) nµ ° ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ¸ÉÁª¨µ n
0
Ex
Rxx > n @
(3.74)
³¤¸ nµÁ nµ ´ ¡¨´ µ ° ´ µ ´Ê ´É º° Rxx > 0@
f
¦ x >k @
2
(3.75)
k f
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-29
3) nµ ° ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r
Rxx > n @
³¤¸ nµ¤µ » Á¤ºÉ° n
0
Á nµ ´ Ê ¨nµª º°
Rxx > 0@ t Rxx > n @
(3.76)
4) °´ ®´¤¡´ r ° ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ ¸ÉŤn´¤¡´ r ´ (uncorrelated function) ³¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r °  n¨³¢{ r ´ 5) oµ ε® Ä®o w > n@ Á } ´ µ ¦ ª ¸ µª (white noise) ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r ° w > n@ ³¤¸ nµÁ nµ ´ KG > n@ , n 0 Rww > n @ ® else ¯0,
Á¤ºÉ°
K
(3.77)
Á } nµ ´ª
6) ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r Rxx > n @ ³¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ ªµ¤® µÂ n Á ¦´¤ ε¨´ G f µ¤ §¬ ¸ ° ª¸Á °¦r · · (Wiener–Khinchin theorem) ´ ¸Ê f
G f
¦ R >k @ e
j 2S kf
xx
(3.78)
k f
´ª°¥nµ ¸É 3.15 ε® Ä®o x > n @ G > n @ G > n 1@
ε ª ®µ nµ ª· ¸ ε nµ
Rxx > n @ , Ryy > n @ , Rxy > n @ , Ryx > n @
Rxx > n @
Rxx > n @
¨³
-->y = [1 0 -1];
1
¦ x >n k @ x >k @ k 0
¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º°
^R > 1@ , R >0@ , R >1@` ^ 1, 2, 1` xx
xx
nµ Ryy > n@ ®µÅ o µ Ryy > n @
SCILAB: -->x = [1 -1];
®µÅ o µ
xx
y > n @ G > n @ G > n 2@
2
¦ y >n k @ y >k @ k 0
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
-->Rxx = convol(x, mtlb_fliplr(x)) Rxx = - 1. 2. - 1. -->Ryy = convol(y, mtlb_fliplr(y)) Ryy = - 1. 0. 2. 0. - 1. -->Rxy = convol(x, mtlb_fliplr(y)) Rxy = - 1. 1. 1. - 1. -->Ryx = convol(y, mtlb_fliplr(x)) Ryx = - 1. 1. 1. - 1.
¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ^Ryy > 2@ , Ryy > 1@ , Ryy >0@ , Ryy >1@ , Ryy > 2@ ,` ^ 1, 0, 2, 0, 1` nµ
Rxy > n @
®µÅ o µ Rxy > n @
2
¦ x >n k @ y >k @ k 0
¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ^Rxy > 2@ , Rxy > 1@ , Rxy >0@ , Rxy >1@` ^ 1,1,1, 1` ¨³ nµ Ryx > n@ ®µÅ o µ Ryx > n @
1
¦ y >n k @ x >k @ k 0
¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ^Ryx > 1@ , Ryx >0@ , Ryx >1@ , Ryx > 2@` ^ 1,1,1, 1` ®¤µ¥Á® » Ä ¦ ¸ ¸É o°¤¼¨ x > n@ ¨³ y > n@ Á } Á¨ ε ª ¦· ´Ê ®¤ ¢{ r ´ ®´¤¡´ r oµ¤Ä ¤ µ¦ (3.71) µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o µ µ¦Ä o ε´É Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ´ ¸Ê Rxy > n @
x > n @ y > n @ = convol(Xn, mtlb_fliplr(Yn))
Á¤ºÉ° Xn º°¨Îµ ´ o°¤¼¨ ° x > n@ ¨³ Yn º°¨Îµ ´ o°¤¼¨ ° y > n@ à ¥ ¸É ε´É mtlb_fliplr ε® oµ ¸É Ä µ¦¨´ ε® n o°¤¼¨ µ oµ¥Å ªµ ´É º° y > n@ ³¤¸ nµÁ nµ ´ mtlb_fliplr(Yn) ´ª°¥nµ ¸É 3.16 ε® Ä®o´ µ x > n@ ° x > n@
G > n @ 2G > n 1@ G > n 2@
ε ª ®µ nµ°´ ®´¤¡´ r
ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ´ µ x > n@ Á } ´ µ nµ ¦· ´ ´Ê nµ°´ ®´¤¡´ rµ¤µ¦ ®µÅ o µ Rxx > n @
2
¦ x >n k @ x >k @ k 0
à ¥¤¸ ´Ê ° µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É n Rxx > 0@
³Å oªnµ
0 2
¦ x >0 k @ x > k @
x > 0@ x > 0@ x >1@ x >1@ x > 2@ x > 2@
1 1 2 2 1 1
6
k 0
nª Áª¨µ ¸É n
1
³Å oªnµ บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-31
Rxx > n @
x >k @
Rxx > n @
x >n k @
f
¦ x >n k @ x >k @
k f
Rxx > 0@
1 1 2 2 1 1
Rxx >1@
2 1 1 2
Rxx > 2@
1 1
6
4
1
Rxx > n @ 0
£µ¡ ¸É 3.14 ´ª°¥nµ ´Ê ° µ¦ ε ª ®µ nµ Rxx >1@
2
¦ x >1 k @ x > k @
Rxx > n @
x >1@ x > 0@ x > 2@ x >1@ x >3@ x > 2@
宦´ n t 0
2 1 1 2 0 1
4
k 0
nª Áª¨µ ¸É n Rxx > 2@
2
³Å oªnµ
2
¦ x >2 k @ x >k @
x > 2@ x > 0@ x >3@ x >1@ x > 4@ x > 2@
1 1 0 2 0 1
1
k 0
nª Áª¨µ ¸É n t 3 ³Å oªnµ Rxx > n@
0
Á ºÉ° µ x > n k @
0
宦´ » nµ n
£µ¡ ¸É 3.14  ´ª°¥nµ µ¦ ε ª ®µ nµ Rxx > n@ 宦´ n t 0 Á ºÉ° µ x > n@ Á } ´ µ nµ ¦· ¹ Á } ¨ εĮo nµ Rxx > n @ ¤¤µ ¦¦°  n 0 ´ ´Ê nµ°´ ®´¤¡´ r ° x > n@ ³¤¸ nµÁ nµ ´ Rxx > n @
6, n 0 °4, n 1 ° ® °1, n 2 °¯0, else
SCILAB: -->Xn = [1 2 1]; -->Rxx = convol(Xn, mtlb_fliplr(Xn)) Rxx = 1. 4. 6. 4. 1.
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
3.7.2.1 °´ ®´¤¡´ r ° ´ µ ε¨´ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¸ÉÁ } ´ µ ε¨´ (power signal) ³ ·¥µ¤¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ (time-averaged auto-correlation function) [1] Á ¸¥  oª¥ Rxx > n @ ´ ¸Ê Rxx > n @
1 N of N lim
N 1
¦ x > k n@x > k @
1 M
(3.79)
k 0
¨³ oµ x > n@ Á } ´ µ Á } µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ x > n @ º° Rxx > n @
M 1
M
¨oª ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ °
¦ x > k n@x > k @
(3.80)
k 0
3.7.3 ¦³Ã¥ r ° ®´¤¡´ r Á ºÉ° µ ¢{ r ´ ®´¤¡´ r oµ¤Â¨³¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ rÁ } µ¦®µ nµ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ o°¤¼¨Â n¨³  ¤Á d¨ ¹É ¦³Ã¥ r ¸ÉÅ o¦´ µ µ¦ ¸É o°¤¼¨Â n¨³Â ¤Á d¨¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ Å o n 1) nª¥ Î µÄ®o µ¤µ¦ ®µª· ¸Ä µ¦ ¸É ³ Î µ µ¥ n µ °  ¤Á d¨Ä ° µ Å o Á n ¤¤ · ªnµ¤¸¨Îµ ´ o°¤¼ ¨ ^ xn ` ^1,3,5, 7,9,11` o°¤¼¨ ´ª ´ Šȵ¤µ¦ µ Á µÅ oªnµÁ } Á¨ 13 Á } o ¹É oµ ε¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^ xn ` ¸ÊÅ ®µ nµ ° ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r nµ Rxx > n @ ¸ÉÅ o ³¤¸ nµ¤µ Á¤ºÉ° n z 0 ´ ´Ê °µ ¦» Å oªnµ o µ  ¤Á d ¨  n ¨ ³Â ¤Á d ¨ ¤¸ ªµ¤´ ¤ ¡´ r ´ ¤µ ð µ ¸É ³ Î µ µ¥ n µ °  ¤Á d ¨ Ä ° µ Å o °¥nµ ¼ o° Ȥ¸¤µ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ °°  ¦³ µ¤µ¦ Ä o ¦³Ã¥ r o° ¸ÊÄ µ¦ εŠ¦oµ ª ¦ ε µ¥ (predictor) Ä µ ¦³¥» r nµ Ç Å o 2) nª¥Ä Á¦ºÉ° ° µ¦¦³ »¦³ (system identification) ¨nµª º°¤¤ ·ªnµ oµ¤¸¦³ °¥¼n¦³ ® ¹É  nŤn ¦µ ªnµ¦³ ¸Ê¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function) º°°³Å¦ nµ ¦³¤µ ° ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¸Êµ¤µ¦ ®µÅ oà ¥ µ¦ j° o°¤¼¨°· ¡» x > n@ Á oµÅ Ä ¦³ ¨oª¦ª ¦ª¤ o°¤¼¨Á°µ r¡» y > n@ ¸ÉÅ o µ ¦³ oµ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ nµ¤µ ¹É ε ª ®µÅ o µ nµ ° ¢{ r ´ ®´¤¡´ r oµ¤ ªµ¤ ¼ o° ° nµ ¦³¤µ ° ¢{ r ´ nµ¥Ã° È ³¤¸¤µ
3.8 ¦» oµ¥ Ä ¸ÊÅ o ¨nµª ¹ ªµ¤Îµ ´ ¨³ µ¦®µ ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ (convolution sum) ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¹É εĮo ¦µ ªnµ¦³ Á · Áo ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-33
³ ¼ ε® Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ à ¥ ¸É ¨ ° ° ° ¦³ (®¦º° ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ) È º° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ° µ ¸Ê¥´ Å o° · µ¥ » ¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¦ª¤ ´Ê  ĮoÁ®È ªnµ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µµ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¤ µ¦Á · ¨ nµ ¨³Â £µ¡ ¨È° Å o ¹É nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê » oµ¥Å o° · µ¥ ¹ ¢{ r ´ ®´¤¡´ r oµ¤Â¨³ ¢{ r ´ °´ ®´¤¡´ r Á¡ºÉ°Ä o¡· µ¦ µªnµ´ µ ° ´ µ ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¤µ o°¥Á¡¸¥ Ä ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r
3.9  f ®´ oµ¥ 1) ε ª ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» x > n@ ^1, 1,1, 1` ¨³¦³ ¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ´ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê ¡·¼ r ε ° à ¥Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB 1.1) h > n@ ^1, 2,1`
1.2) h > n@ ^1,3,3,1`
1.3) h > n@ ^1, 0, 1`
1.4) h > n@ ^1,1, 1, 1`
2) ®µ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ° y > n @ 2.1) x t
1, 0 t 4 ® ¯0, else
2.2) x > n@
u > n@
¨³ h > n@
3n u > n @
2.3) x > n@
u > n@ u > n N @
¨³ h > n@
¨³
x > n@ h > n@
Á¤ºÉ°
2, 0 t 3 h t ® ¯0, else
E nu > n@
Á¤ºÉ°
E 1
¨³
N
Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª
3) oµ x1 > n@ ¨³ x2 > n@ Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N ¨³ ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ x1 > n@ ¨³ x2 > n @ Ťn¨¼nÁ oµ Ä ¦ ¸ ¸Ê ³Ä o ° ꨼ ´  µ (periodic convolution) ¦³®ªnµ x1 > n @ ¨³ x2 > n @ ¹É ·¥µ¤Ã ¥ y > n@
x1 > n @ x2 > n @
N 1
¦ x >k @ x >n k @ 1
2
k 0
3.1)  ªnµ y > n@ Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 3.2)  ªnµ y > n@
N
m N 1
¦ x > k @ x > n k @ 宦´ » nµ m 1
2
k m
4) ε® Ä®o y > n @
x > n@ h > n@
 ªnµ x > n n1 @ h > n n2 @
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
y > n n1 n2 @
5) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h > n@ 1/ 5 n u > n 1@ 5.1) ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n 5.2) ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á ¸¥¦®¦º°Å¤n 6) ε® Ä®o x > n@ º°´ µ °· ¡» ¨³ y > n@ º°´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ n 1
6.1) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y > n@ ¦ x > m@ Á } ¦³ Ťn  ¦Á ¨¸É ¥ µ¤Áª¨µ ¦³ m f
Ťn ´ ¨³¦³ Á ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã° ®¦º°Å¤n 6.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y > n @ Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ®¦º°Å¤n
2nx > n @
Á } ¦³ Á · Áo ¦³ ° ° °¨ ¨³¦³
6.3) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ ny > n@ 5 y > n 1@ ¦³ Ťn ´ ¨³¦³ Á ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã° ®¦º°Å¤n
3x > n @
Á } ¦³ Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ
7) ε® Ä®o¦³ LTI ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x > n@ ¨³´ µ Á°µ r¡» y > n@ º° y > n @ 2 y > n 1@
Á¤ºÉ° y > 1@
0
x > n@
®µ´ µ Á°µ r¡» Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@ 1/ 2 n u > n@
8) ªµ  £µ¡ ¨È° ¡¦o°¤ ´Ê ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ n°Å ¸Ê 8.1) y > n@
x > n @ 2 x > n 2@ x > n 3@
8.3) y > n@ 0.5 y > n 1@ 8.5) y > n 1@ 3 y > n@
8.2) y > n@ 2 y > n 1@
2 x > n @ x > n 2@ x > n@
8.7) y > n 2@ 2 y > n 1@ y > n@
x > n @ x > n 1@
8.4)
2 y > n @ 6 y > n 2@
x > n @ x > n 2@
8.6)
2 y > n @ y > n 1@ 4 x > n @ 2 x > n 1@
5 x > n 1@ 3 x > n @
9) ¡· µ¦ µ¦³ ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ´ £µ¡ n°Å ¸Ê x > n@
h1 > n @
h2 > n @
y > n@
h > n@
Á¤ºÉ° ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ¥n°¥ ´Ê ° º° h1 > n@
E nu > n @ ¨³ h2 > n @ E nu > n @
à ¥ ¸É
0 E 1
บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-35
9.1) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ¦ª¤ ´É º°®µ h > n@
h1 > n @ h2 > n @
9.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¦ª¤ ¸ÉÅ oÁ } ¦³ Á ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã°®¦º°Å¤n 10) Á ¸¥ ¤ µ¦Á · ¨ nµ ¨³®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ n°Å ¸Ê x > n@
y > n@
3
2
4
11) Á ¸¥ ¤ µ¦Á · ¨ nµ ¨³®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ n°Å ¸Ê 3
y > n@
x > n@
5
12) ®µ´ µ Á°µ r ¡» y > n@ ° ¦³ Ä £µ¡ n ° Å ¸Ê Á¤ºÉ ° Î µ ® Á ºÉ ° Å n ª ¥ º ° y >0@ y > 1@ 0 ( ε ³ ε: ´ µ Á°µ r¡» ³°¥¼nÄ ¦¼ y > n @ Kz n ) y > n@
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
1
¨³
¸É 4 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É 2 Å o ĮoÁ®È ªnµ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ° °· ¤ ¡´ ¨ r ® ¹É ® n ª ¥ à ¥ ¸É ´ µ Á°µ r ¡» µ¤µ¦ Á ¸ ¥ Ä®o ° ¥¼n Ä ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µÂ¨³ ¼ nª Êε® ´ oª¥´ µ °· ¡» à ¥°µ«´¥ µ¦ ε ° ꨼ ´ µ¤ ¤ µ¦ (2.11) ° µ ¸Ê´ µ Ä Ç µ¤µ¦ ¼  oª¥ ¨¦ª¤Á · Áo ° “´ µ ¡ºÊ µ (basic signal)” ¹É à ¥ ´ÉªÅ Á } ´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r (sinusoidal wave) ®¦º°´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° (complex exponential) µ¦Â ´ µ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r®¦º°´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Å o εŠ¼n ª · µ oµ à Á¤ ªµ¤ ¸É (frequency domain) ¨nµª º°´ µ o ´ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° Áª¨µ ³ ¼ ´ ¦¼ Ä®¤nÄ®oÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É à ¥ ¸É µ¦Â ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦°°  ¨³ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ° µ ¸Ê¥´ nª¥ εĮo µ¦Â oÅ { ®µ µ · «µ ¦r nµ Ç nµ¥ ¹Ê Á n µ¦Â o¤ µ¦Á · ° »¡´ rµ¤´ (ordinary differential equation) ¨³¤ µ¦Á · ° »¡´ r¥n°¥ (partial differential equation) Á } o Ä ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Â ´ µ µ ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µÄ®o ° ¥¼n Ä ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ª· ¸ µ¦ ¸ÊÁ¦¸¥ ´ ªnµ “° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series)” [3, 4]
4.1 ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡¦µ³ªnµ ´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ °· ¡» ¸ÉÁ } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³¤¸ nµ Á nµ ´ ´ µ °· ¡» Á ·¤  n°µ ¤¸Â°¤¡¨· ¼ ° ´ µ Á ¨¸É¥ Å ÈÅ o ´  n°Å ¸Ê
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา
4-1
¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h t oµ ε® Ä®o´ µ °· ¡» x t est Á } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ ®µÅ o µ f
y t T ª¬ x t º¼
h t x t
³ h W x t W dW
f f
³ h W e
s t W
dW
f
f
e st
³ h W e
sW
dW
e st H s
(4.1)
f
Á¤ºÉ° H s Á } nµ ´ªÁ · o° ¸É ¹Ê ´ ´ªÂ ¦ s ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ f
H s
³ h W e
sW
dW
(4.2)
f
¤ µ¦ (4.1) µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ´ ¨´ ¬ rÅ o º° y t T ª¬e st º¼
e st H s
(4.3)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁ¤ºÉ° j° ´ µ °· ¡» est Á oµÅ Ä ¦³ LTI ³Å o´ µ Á°µ r¡» Á } e st H s
à ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥ ´ µ °· ¡» ¸É εĮo´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ´ª ¼ ´ ´ µ °· ¡» ´Ê ªnµ “¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction)” ¨³Á¦¸¥ nµ ´ª ´Ê ªnµ “ nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenvalue)” ´ ´Ê µ ¤ µ¦ (4.1) ³Å oªnµ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ º° e st ¨³ nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ º° H s ° µ ¸Ê oµ ε® Ä®o´ µ °· ¡» ° ¦³ LTI ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° º° x t
n
¦a e k 1
sk t
k
a1e s1t a2 e s2t ! an e snt
(4.4)
´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ȵ¤µ¦ ®µÅ o µ y t
n
¦ a H s e k 1
k
k
sk t
a1 H s1 e s1t a2 H s2 e s2t ! an H sn e snt
(4.5)
´ ´Ê ¦» Å oªnµÎµ®¦´ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oµ´ µ °· ¡» ° ¦³ º° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á ¨¸É¥ Å µ¤¤ µ¦ (4.5) 4-2
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
´ª°¥nµ ¸É 4.1 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h t
¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x t cos 2t cos 5t
G t 2
®µ´ µ Á°µ r¡» °
ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®µÅ o µ f
y t
³
f
x W h t W dW
f
³ ^cos 2W cos 5W `G t W 2 dW
cos 2 t 2 cos 5 t 2
f
®¦º°µ¤µ¦ ®µ´ µ Á°µ r¡» Å o µ ¤ µ¦ (4.3) ´ ¸Ê Á ºÉ° µ ´ µ °· ¡» x t µ¤µ¦ ´ Ä®o°¥¼n Ä ¦¼ ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° à ¥°µ«´¥ ªµ¤´¤¡´ r°°¥Á¨°¦r (Euler’s relation) º° 1 1 §1 · §1 · x t cos 2t cos 5t ¨ e j 2t e j 2t ¸ ¨ e j 5t e j 5t ¸ 2 2 ©2 ¹ ©2 ¹
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» µ¤µ¦ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.5) à ¥ ¸É H s
y t
n
¦ a H s e k 1
k
k
sk t
e 2 s
´É º°
1 1 1 1 H j 2 e j 2 t H j 2 e j 2 t H j 5 e j 5t H j 5 e j 5t 2 2 2 2
1 2 j 2 j 2t 1 2 j 2 j 2t 1 2 j 5 j 5t 1 2 j 5 j 5t e e e e e e e e 2 2 2 2
1 j 2 t 2 1 j 2 t 2 1 j 5 t 2 1 j 5 t 2
e e e e 2 2 2 2 cos 2 t 2 cos 5 t 2
´ª°¥nµ ¸É 4.2 ´ µ \ m t ¨³ \ k t ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } ´ µ ¸É ´Ê µ ´ (orthogonal) Ä nª Áª¨µ a ¹ b È n°Á¤ºÉ°´ µ ´Ê ° ¸Ê° ¨o° ´ Á ºÉ° Å n°Å ¸Ê b
³\ t \ t dt m
a
k
0, m z k ® ¯D , m k
(4.6)
Á¤ºÉ ° \ t º ° ´ ¥» Á · o ° ° ´ µ \ t ¨³ D z 0 ¡· ¼ r ªn µ ´ µ Á¨ ¸Ê Î µ ¨´ Á · o ° ^e jkZ t ` Á¤ºÉ ° k 0, r1, r2,!  n ¨ ³´ µ Á } ´ µ ¸É ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ £µ¥Ä n ª µ Áª¨µ 0
T0
2S / Z0
ª· ¸ ε 宦´ Áª¨µ t0 Ä Ç ³Å oªnµ บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา
4-3
t0 T0
³
e jmZ0t dt
t0
1 e jmZ0t jmZ0
1 jmZ t T e 0 0 0 e jmZ0t0 jmZ0
^
t0 T0 t0
1 e jmZ0t0 e jm 2S 1 jmZ0
^
Á¡¦µ³ªnµ e jm 2S
1
宦´ m
0
`
³Å oªnµ e jmZ t m 0
1
0
t0 T0
³
0, m z 0
³
t0
(4.7)
¨³
t0 T0
e jmZ0t dt
`
dt
T0 , m
0
(4.8)
t0
´ ´Ê µ ¤ µ¦ (4.7) ¨³ (4.8) ¦» Å oªnµ t0 T0
³
e jmZ0t e jkZ0t
t0 T0
³
dt
t0
e j m k Z0t dt
t0
0, m z k ® ¯T0 , m k
(4.9)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  n¨³´ µ Á } ´ µ ¸É ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ £µ¥Ä nª µ Áª¨µ T0
4.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS: continuous-time Fourier series) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ o Ä µ¦Â ¨ ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ (®¦º°´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° Áª¨µ) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É (®¦º°´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É) à ¥ ¸É µ¦Â ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ³ nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê
4.2.1 ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time periodic signal) º°´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É µ¤µ¦ ®µ µ Áª¨µ T ( ¸ÉÁ } nµ ª ) ¸É εĮo x t
x t mT
(4.10)
宦´ » nµ t Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ à ¥ nµ T ¸É o°¥» ¸É¥´ εĮo¤ µ¦ (4.10) Á } ¦· ³Á¦¸¥ ªnµ “ µ ¤¼¨ µ (fundamental period)” ¨³ Z0 2S / T 2S f º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ ¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ (radian per second) Á¤ºÉ° f 1/ T º° ªµ¤ ¸É¤¸® nª¥Á } Á±·¦ r (Hz: hertz) 4-4
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
° µ ¸Ê´ µ µ ¸É¡ Á®È ´ªÉ Å ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ à Šr x t cos Z0t
(4.11)
x t e jZ0t
(4.12)
®¦º°´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°
Á¤ºÉ°´ µ ´Ê ° ¸ÊÁ } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ º° T \ k (t ) e jkZ t , k 0
2S / Z0
Ä µ · ´ ·´ µ ¸É°¥¼nÄ ¦¼ °
0, r1, r2,!
(4.13)
º°ªnµÁ } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ ±µ¦r¤° · (harmonic) ¨nµª º°´ µ Ä ¤ µ¦ (4.13)  n¨³´ µ ³¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤Á } ¡®» ¼ (multiple) ° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Zk kZ0
4.2.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t µ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Å o º° f
x t
¦ a\ k
k f
k
(t )
f
¦ae
jkZ0t
k
(4.14)
k f
Á¤ºÉ° ak º°´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series coefficients) ®¦º°´¤ ¦³· ·ÍÁ ¦´¤ (spectral coefficients) ° ´ µ µ x t ¹É ®µÅ o µ 1 x t e jkZ0t dt T ³T
ak
(4.15)
Á¤ºÉ° ³T º° µ¦®µ ¦·¡´ r£µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ à ¥ ´ÉªÅ nµ ak ³Ä oÁ } ´ªª´ ´ nª ° ´ µ x t
Ä Â n¨³±µ¦r¤° · ®¦º° ªµ¤ ¸É ¨³ nµ a0 º°° r ¦³ ° Å¢¢jµ ¦³Â ¦ (d.c. component) ° ´ µ x t ¹É ®µÅ o µ µ¦Â nµ k 0 ¨ Ä ¤ µ¦ (4.15) ´É º° a0
1 x t dt T ³T
(4.16)
à ¥ ´ÉªÅ ¤ µ¦ (4.14) Á¦¸¥ ªnµ “¤ µ¦´ Á ¦µ³®r (synthesis equation)” ¨³¤ µ¦ (4.15) Á¦¸¥ ªnµ “¤ µ¦ ª·Á ¦µ³®r (analysis equation)” บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา
4-5
´ µ Ä ¤ µ¦ (4.14) Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T à ¥ ¸É° r ¦³ ° ° ´ µ Á¤ºÉ° k r1 º°ªnµÁ } ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ ® ¹É (first harmonic) ®¦º°° r ¦³ ° ¤¼¨ µ ¨³ ° r ¦³ ° ° ´ µ Á¤ºÉ° k r N º°ªnµÁ } ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ N Á¤ºÉ° N t 2 Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê µ¦Â ´ µ µ x t oª¥ ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (4.14) ³Á¦¸¥ ªnµ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS) Ä ¦ ¸ ¸É´ µ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ´É º° x t x t ´ ´Ê ¤ µ¦ (4.14) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } § f · x t ¨ ¦ ak e jkZ0t ¸ k f © ¹
x t
 nµ k
k
f
jkZ0t k
¦ae
(4.17)
k f
³Å o f
x t
¦a
k
e jkZ0t
(4.18)
k f
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (4.14) ¨³ (4.18) ³Å oªnµ a k
ak
(4.19)
´ª°¥nµ ¸É 4.3 ¡·¼ rªnµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak Ä ¤ µ¦ (4.15) ®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.14) ª· ¸ ε ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ®µÅ o µ µ¦ ¼ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (4.14) oª¥ e jnZ t ³Å o 0
§ f jkZ0t · jnZ0t ¨ ¦ ak e ¸e © k f ¹
x t e jnZ0t
µ ´Ê ε µ¦®µ nµ ¦·¡´ r ° ¤ µ¦ (4.20) µ Áª¨µ ¸É t T
³ x t e 0
T jnZ0t
dt
f
³¦ae
jkZ0t jnZ0t
e
k
0 k f
0
¹ t
T
2S / Z0 ªT
f
dt
(4.20)
¦ a «³ e ¬ k
k f
0
´É º°
j k n Z0t
º dt » ¼
(4.21)
µ ¤ µ¦ (4.9) ³Å oªnµ T
³e
j k n Z0t
dt
0
´ ´Ê ¤ µ¦ (4.21) µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } 4-6
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
T , k n ® ¯0, k z n
(4.22)
1 x t e jnZ0t dt T ³0
1 x t e jnZ0t dt T ³T
T
an
¹É ¦ ´ ¤ µ¦ (4.15) µ¤ o° µ¦
4.2.3 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ±µ¦r¤° · Ä ¦ ¸ ¸É´ µ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÁ¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Ä ¤ µ¦ (4.14) µ¤µ¦ ´ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼  Į¤nÅ o º° x t
Á¤ºÉ° a0 ®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.16)  nµ a k x t
f
f
^
a0 ¦ ak e jkZ0t a k e jkZ0t k 1
ak
(4.23)
µ¤¤ µ¦ (4.19) ¨ Ä ¤ µ¦ (4.23) ³Å o
^
a0 ¦ ak e jkZ0t ak e jkZ0t k 1
`
f
`
a0 ¦ 2 Re ª¬ ak e jkZ0t º¼
(4.24)
k 1
´ ´Ê oµ ´ nµ ak Ä®o°¥¼Än ¦¼  Á · ´Êª (polar form) ´É º° ak
Ak e jTk
(4.25)
 nµ ak µ ¤ µ¦ (4.25) ¨ Ä ¤ µ¦ (4.24) ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ±µ¦r¤° · º° x t
f
a0 2¦ Re ª¬ Ak e
j kZ0t T k
k 1
º ¼
f
a0 2¦ Ak cos kZ0t T k
(4.26)
k 1
à ¥ ¸É¡ r 2 Ak cos kZ0t T k º°° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ k , (harmonic amplitude), ¨³ T k Á¦¸¥ ªnµ¤»¤Á¢ (phase angle)
Ak
º°Â°¤¡¨· ¼ ° ±µ¦r¤° ·
4.2.4 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· · ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥ µ¦ ´ nµ ´Ê µ (rectangular form) ´É º° ak
ak
Ä ¤ µ¦ (4.25) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼  Á ·
Bk jCk
(4.27)
Á¤ºÉ° Bk Ak cos T k ¨³ Ck Ak sin T k Á } nµ ¦·  nµ ak µ ¤ µ¦ (4.27) ¨ Ä ¤ µ¦ (4.24) ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· · º° บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา
4-7
f
a0 ¦ 2 Re ª¬ Bk jCk cos kZ0t j sin kZ0t º¼
x t
k 1
f
a0 2¦ ª¬ Bk cos kZ0t Ck sin kZ0t º¼
(4.28)
k 1
Á ºÉ° µ e jT cos T j sin T
° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ±µ¦r¤° · ¨³° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ à ¥ Á¤ºÉ° ε µ¦Á ¦¸¥ Á ¸¥ nµ ak Ä ¤ µ¦ (4.25) ¨³ (4.27) ³Å oªnµ Ak
Bk2 Ck2
¨³
Tk
§C · tan 1 ¨ k ¸ © Bk ¹
(4.29)
° µ ¸Ê° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·¥´ ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¨nµª º° µ ¤ µ¦ (4.23) à ¥°µ«´¥ ªµ¤´¤¡´ r°°¥Á¨°¦r ³Å o x t
f
^
`
a0 ¦ ak cos kZ0t j sin kZ0t a k cos kZ0t j sin kZ0t
k 1
f
a0 ¦ ^ ak a k cos kZ0t j ak a k sin kZ0t `
(4.30)
k 1
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (4.28) ¨³ (4.30) ³Å oªnµ Bk
ak a k
¨³
Ck
j ak a k
(4.31)
4.2.4.1 ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É Ä ¦ ¸ ¸É´ µ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n (even function) ´ ´Ê µ ¤ µ¦ (4.28) ³Å oªnµ Ck 0 ¨³° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } x t
f
a0 2¦ Bk cos kZ0t
(4.32)
k 1
Á n Á ¸¥ª ´ oµ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¸É (odd function) ´ ´Ê µ ¤ µ¦ (4.28) ³Å oªnµ Bk 0 ¨³° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } x t
4-8
f
2¦ Ck sin kZ0t
k 1
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
(4.33)
µ ¸É ¨nµª¤µ oµ o ³Á®È Å oªnµ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ nµ ¦· µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼  nµ Ç Å o µ¤¤ µ¦ (4.14), (4.26), ®¦º° (4.28) ´ ´Ê µ¦ ´ · Ä ªnµ ³ ε° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¦¼ Â Ä ¤µÄ o µ ¹ ¹Ê °¥¼n ´ ¨´ ¬ ³ ° µ ¦³¥» r n¨³ ¦³Á£
4.2.5 ´ª°¥nµ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ ¤ µ¦ (4.14) ¨³ (4.15) εĮo ¦µ ªnµ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Ä Ç µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ε® Å oÄ 2 à Á¤ º°
à Á¤ Áª¨µ (time domain) ¹É ´ µ µ x t ³Â °¥¼nÄ ¦¼ ¢{ r ´ ° Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (4.14)
à Á¤ ªµ¤ ¸É (frequency domain) ¹É ³ ¼ ε® oª¥° r ¦³ ° ° ªµ¤ ¸É nµ Ç nµ µ nµ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (4.15)
´ ´Ê oµ ¦µ ´ µ µ x t ȵ¤µ¦ ®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o µ¤¤ µ¦ (4.15) Ä µ ¨´ ´ oµ ¦µ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ȵ¤µ¦ ®µ´ µ µ x t Å o µ¤¤ µ¦ (4.14) Ä nª n°Å ¸Ê ³Â ´ª°¥nµ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ª°¥nµ ¸É 4.4 ¡· µ¦ µ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ S· § x t 1 sin 2S t 3cos 2S t cos ¨ 4S t ¸ 2¹ ©
¸É¤¸ µ Áª¨µ T
1
®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸Ê
ª· ¸ ε °µ«´¥ ªµ¤´¤¡´ r ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ x t 1
1 j 2S t j 2S t 3 1 e e e j 2S t e j 2S t e j 4S t jS / 2 e j 4S t jS / 2
2j 2 2
§3 1 · §3 1 · 1 1 1 ¨ ¸ e j 2S t ¨ ¸ e j 2S t e jS / 2 e j 4S t e jS / 2 e j 4S t 2 2 ©2 2j¹ ©2 2j¹ §3 1 · §3 1 · 1 1 1 ¨ ¸ e jZ0t ¨ ¸ e jZ0t e jS / 2 e j 2Z0t e jS / 2 e j 2Z0t 2 2 ©2 2j¹ ©2 2j¹
Á¤ºÉ° Z0 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ´ ¤ µ¦ (4.14) ³¡ ªnµ´ µ µ x t ¤¸ nµ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา
4-9
Re ^ak `
ak
ak
Im ^ak `
k
k ak
ak
ak
ak
10 / 2
S /2
k
k S / 2
£µ¡ ¸É 4.1 nµnª ¦· , nµnª · £µ¡, µ , ¨³¤»¤Á¢ ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r a0
1
a1
3 1 2 2j
a 1
3 1 2 2j
a2
1 j S2 e 2
a 2
1 j S2 e 2
3 1 j 2 2 3 1 j 2 2 1 j 2
1 j 2
a0
a1
a 1
a2
a 2
1
10 2 10 2 1 2 1 2
¨³
a0
0
¨³
a1
§ 1 · tan 1 ¨ ¸ © 3 ¹
¨³
a 1
¨³
a2
¨³
a 2
0.3217
§1· tan 1 ¨ ¸ 0.3217 ©3¹
S
1.5708
2
S 2
1.5708
¨³ ak 0 宦´ k ! 2 £µ¡ ¸É 4.1  nµnª ¦· (real part), nµnª · £µ¡ (imaginary part), µ (magnitude), ¨³¤»¤Á¢ (phase) ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³Á®È Å oªnµ¦¼ ¦µ¢Ä £µ¡ ¸É 4.1 ( ) ¨³ 4.1 ( ) ¤¸¨´ ¬ ³Á } Áo ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ ¹ Á¦¸¥ ¦¼ ¦µ¢ ¸É nµ µ ¨³¤»¤Á¢ ° ´¤ ¦³· ·Í ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸Êªnµ “Á ¦´¤Â Áo (line spectrum)” ®¤µ¥Á® » à ¥ ´ÉªÅ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak n ° ¹ ° r ¦³ ° ° ´ µ µ x t Ä Â n¨³ ªµ¤ ¸É Á n a0 °¥¼nÄ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ nµ«¼ ¥r ¨³ ak °¥¼nÄ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ Zk kZ0 ´ ´Ê µ £µ¡ ¸É 4.1 nµ k Ä Áo  x ° µ ³®¤µ¥ ¹ ¨Îµ ´ ° ak ¨oª ¥´ ®¤µ¥ ¹ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ ¸É Zk kZ0 oª¥ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
x t
A
t
£µ¡ ¸É 4.2 ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¢{ Á¨ºÉ°¥
´ª°¥nµ ¸É 4.5 ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¢{ Á¨ºÉ°¥ (saw-tooth wave) µ¤£µ¡ ¸É 4.2 ª· ¸ ε ´ µ ¦¼ ¨ºÉ ¢{ Á¨ºÉ°¥ ¸Ê¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T ¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° x t
A t, T
宦´ 0 t T
(4.34)
´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.15) ´É º° ak
1 x t e jkZ0t dt T ³T
1 A jkZ0t te dt T ³0 T T
T
A te jkZ0t dt T 2 ³0
°µ«´¥Á · µ¦®µ ¦·¡´ r ¸¨³nª (by-part integration) µ ³ udv dv e jkZ t dt ³Å oªnµ
uv ³ vdu à ¥ ¸É u
t
¨³
0
A T2
ak
Á ºÉ° µ e jk 2S
1
ª te jkZ0t « «¬ jkZ0
T
0
T º 1 e jkZ0t dt » ³ jkZ0 0 »¼
0
ª Te jk 2S º 1 e jk 2S 1 » « 2 »¼ ¬« jkZ0 jkZ0
宦´ » nµ k ¸ÉÁ } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê ak
宦´ k
A T2
Aª 1 º « » T ¬ jkZ0 ¼
A j, k z0 2S k
(4.35)
nµ a0 ®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.16) ´É º° 1 A tdt T ³0 T T
a0
A T2
ªt2 « «¬ 2
T
º » 0 » ¼
A 2
(4.36)
 nµ ak ¨³ a0 ¨ Ä ¤ µ¦ (4.14) ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¢{ Á¨ºÉ°¥ º° x t
a0 ¦ ak e jkZ0t k z0
A A j 2 2S
e jkZ0t ¦ k k z0
A§ 1 e ¨¨1 ¦ 2 © S k z0
j kZ0t S / 2
k
· ¸¸ ¹
(4.37)
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-11
A
x t
A/ 2
ak 2A /S 2 A / 2S 2
k
t
£µ¡ ¸É 4.3 ( oµ¥) ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ µ¤Á®¨¸É¥¤ ¨³ ( ªµ) Á ¦´¤Â Áo
Á ºÉ° µ SCILAB:
e jS / 2
j
( ´ª°¥nµ ¸É 4.5) // ´ ¸Áª¨µ (time index) k ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak
-->k = -5:5; -->A = 3;
T = 2;
-->step = 0.00001;
//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ´ µ µ x t Ä ¤ µ¦ (4.34)
f = 1/T; t = 0:step:T;
-->xt = A/T*t; -->for ii = 1:length(k) --> wk = 2*%pi*f*k(ii); --> Ak(ii) = abs(1/T*sum(xt.*exp(-%i*wk*t)*step)); -->end
//´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak
// ε´É ªµ ¦µ¢ ° ak ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ak µ¤¤ µ¦ (4.35)
-->plot2d3(k, Ak)
-->Ak2 = (2*%pi*k).\(A*%i)
// nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak Ä ¤ µ¦ (4.35)
´ª°¥nµ ¸É 4.6 ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ µ¤Á®¨¸É¥¤ µ¤£µ¡ ¸É 4.3 ¡¦o°¤ ´Ê  Á ¦´¤  Áo ª· ¸ ε ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ µ¤Á®¨¸É¥¤ ¸Ê¤¸ µ Áª¨µ T
2
A At , 1 t 0 ® ¯ A At , 0 t 1
x t
´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.15) à ¥ ¸É Z0 0
ak 2ak A
¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º°
2S / T
1
1 1 A 1 t e jkZ0t dt ³ A 1 t e jkZ0t dt ³ 2 1 20 0
0
1
1
jkS t jkS t jkS t jkS t ³ e dt ³ te dt ³ e dt ³ te dt
1
1
0
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
0
(4.38) S
´É º°
e jkS t jkS
0
1
1
0
1
e jkS t te jkS t dt ³ te jkS t dt jkS 0 ³1 0
1 e jkS e jkS 1 § te jkS t ¨ ¨ jkS jkS jkS ©
0
1
1 jkS
1 · § te jkS t 1 · 1 jkS t ¸ ¨ e dt e jkS t dt ¸ ³ 1 ³ ¸ ¨ jkS 0 jkS 0 ¸ ¹ © ¹ 0
0 1 º 1 ª jkS t dt ³ e jkS t dt » «³ e jkS ¬ 1 0 ¼
1
kS
2
ª e jkS 1 e jkS 1 º ¬ ¼
2
ª e jkS / 2 e jkS / 2 e jkS / 2 e jkS / 2 e jkS / 2 e jkS / 2 º ¬ ¼
1
kS
Á ºÉ° µ sin T e jT e jT / 2 j ³Å o 2ak A
1
kS
2
ª¬ e jkS / 2 2 j sin kS / 2 e jkS / 2 2 j sin kS / 2 º¼
2 j sin kS / 2
kS
4
kS
Á ºÉ° µ sin x sin y
2
2
ª¬e jkS / 2 e jkS / 2 º¼
ª¬sin kS / 2 sin kS / 2 º¼
1 ªcos x y cos x y º¼ 2¬ 2ak A ak
2 2
ª¬ cos 0 cos kS º¼
2
ª¬1 cos kS º¼
kS
A
kS
³Å o
´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° ak
k 0, ° ® 2A , k ° kS 2 ¯
r2, r4, r6,! r1, r3, r5,!
(4.39)
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-13
宦´ k
0
nµ a0 ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ µ x t Ä ® ¹ É µ Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (4.16) ´É º° 0 1 º 1ª A 1 t dt A 1 t dt »
«³ ³ 2 ¬ 1 0 ¼
a0
0 0 1 1 º Aª « ³ 1 dt ³ t dt ³ 1 dt ³ t dt » 2 ¬ 1 1 0 0 ¼ 0
Aª t2 « 0 1 2« 2 ¬
A ª 1 1º 2 » 2 «¬ 2 2¼
1 0 1
1 t2 º » 2 0» ¼
A 2
(4.40)
 nµ ak ¨³ a0 ¨ Ä ¤ µ¦ (4.14) ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ µ¤Á®¨¸É¥¤ º°
a0 ¦ ak e jkZ0t
x t
k z0
A k ° , °° 2 k ®0, ° jkZ0t °2A ¦ e , k °̄ S 2 k k 2
0 r2, r4, r6,!
(4.41)
r1, r3, r5,!
£µ¡ ¸É 4.3 ( ªµ)  Á ¦´¤Â Áo ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ µ¤Á®¨¸É¥¤ SCILAB:
( ´ª°¥nµ ¸É 4.6) // ´ ¸Áª¨µ (time index) k ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak
-->k = [-5:2:5]; -->A = 3; T = 2; -->step = 0.0001;
f = 1/T;
//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ´ µ µ x t Ä ¤ µ¦ (4.38)
-->t1 = -T/2:step:0;
xt1 = A*(1+t1);
-->t2 =
xt2 = A*(1-t2);
-->for --> --> --> --> -->end
step:step:T/2;
ii = 1:length(k) wk = 2*%pi*f*k(ii); Temp1 = 1/T*sum(xt1.*exp(-%i*wk*t1)*step); Temp2 = 1/T*sum(xt2.*exp(-%i*wk*t2)*step); Ak(ii) = clean(abs(Temp1+Temp2));
-->plot2d3(k, Ak)
//´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak
// ε´É ªµ ¦µ¢ ° ak ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ak µ¤¤ µ¦ (4.39)
-->Ak2 = ((%pi*k).^2).\(2*A) // nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak Ä ¤ µ¦ (4.39)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
x t
A/S
ak
A
k
t A /15S
A / 3S
£µ¡ ¸É 4.4 ( oµ¥) ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ ¨³ ( ªµ) Á ¦´¤Â Áo
´ª°¥nµ ¸É 4.7 ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ (half-wave rectifier) Ä £µ¡ ¸É 4.4 ¡¦o°¤ ´Ê  Á ¦´¤Â Áo ª· ¸ ε ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ ¸Ê¤¸ µ Áª¨µ T x t
¹É Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º°
A sin S t , 0 t 1 ® 1 t 2 ¯0,
´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.15) à ¥ ¸É Z0 1
ak
2
(4.42)
2S / T
2
A A sin S t e jkZ0t dt ³ 0 e jkZ0t dt 2 ³0 21
S
´É º°
1
A sin S t e jkS t dt 2 ³0
µ ¼ ¦ µ¦®µ ¦·¡´ r [9] ax ³ sin bx e dx
à ¥ ¸É a
jkS , b S
¨³ ak
x
t
e ax a sin bx b cos bx
a 2 b2
³Å o
ª jkS t jkS sin S t S cos S t 1 º
» A «e 2 2 » 2« jkS S 0¼ ¬
A ª e jkS t jk sin S t cos S t 1 º 2 « 0» ¼ 2S 1 k ¬ A ªe jkS 1º¼ 2S 1 k 2 ¬
Á ºÉ° µ e jkS
1, k ® k ¯1,
r1, r3, r5,! r2, r4, r6,!
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-15
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° ak
宦´ k
0
k 0, ° A ® , k ° S 1 k 2
¯
r1, r3, r5,!
(4.43)
r2, r4, r6,!
nµ a0 ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ µ x t Ä ® ¹ É µ Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (4.16) ´É º° 1
A sin S t dt 2 ³0
a0
1 A ª cos S t º « » 2« S »¼ 0 ¬
A ª cos S 1º¼ 2S ¬
A
S
(4.44)
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â nµ k 0 ¨ Ä ¤ µ¦ (4.43) ´ ´Ê  nµ ak ¨³ a0 ¨ Ä ¤ µ¦ (4.14) ³Å o ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ º° x t
A e jkZ0t , k ° ¦ 2 ® S k 1 k
° k ¯0,
a0 ¦ ak e jkZ0t k z0
0, r2, r4,!
(4.45)
r1, r3, r5,!
£µ¡ ¸É 4.4 ( ªµ)  Á ¦´¤Â Áo ° ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ SCILAB:
( ´ª°¥nµ ¸É 4.7) // ´ ¸Áª¨µ (time index) k ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak
-->k = [-6:2:6]; -->A = 1;
T = 2;
-->step = 0.00001;
//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ´ µ µ x t Ä ¤ µ¦ (4.42)
f = 1/T; t = 0:step:1;
-->xt = A*sin(%pi*t); -->for ii = 1:length(k) --> wk = 2*%pi*f*k(ii); --> Ak(ii) = clean(abs(1/T*sum(xt.*exp(-%i*wk*t)*step))); -->end -->plot2d3(k, Ak)
// ε´É ªµ ¦µ¢ ° ak ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ak µ¤¤ µ¦ (4.43)
-->Ak2 = (%pi*(1-k.^2)).\A
// nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak Ä ¤ µ¦ (4.43)
´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¡· µ¦ µ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T µ¤£µ¡ ¸É 4.5 x t
1, t T1 ° ® T °¯0, T1 t 2
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(4.46)
x t
t
T1
T1
£µ¡ ¸É 4.5 ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤
 ´ µ ¸ÊÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ª· ¸ ε ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.15) ´É º° T
1 1 1 e jkZ0t dt T ³T1
ak
SCILAB:
-->T1 = 2; -->step = 0.00001;
1 e jkZ0T1 e jkZ0T1 jkZ0T
-->T
t = -T1:step:T1; //T > 4*T1
= 8*T1;
-->xt = 1; -->for ii = 1:length(k) --> wk = 2*%pi/T*k(ii); --> Ak(ii) = clean(abs(1/T*sum(... --> xt.*exp(-%i*wk*t)*step))); -->end
2 § e jkZ0T1 e jkZ0T1 · ¨ ¸ kZ0T © 2j ¹
kZ0T
// ´ ¸Áª¨µ k ° ak
-->k = [1:3];
T1 1 e jkZ0t t T 1 jkZ0T
2
( ´ª°¥nµ ¸É 4.8)
sin kZ0T1
2T1 sinc kZ0T1
T
Á¤ºÉ° k z 0 , Z0
2S / T
(4.47)
¨³ sinc x º°´ µ · r ¹É ·¥µ¤Ã ¥ sinc x
宦´ k
0
x 0 1, ° ® sin x
, xz0 ° ¯ x
(4.48)
nµ a0 ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ µ x t Ä ® ¹ É µ Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (4.16) ´É º° T
a0
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â nµ k
0
1 1 1 dt T ³T1
2T1 T
¨ Ä ¤ µ¦ (4.47) ´É º° a0
(4.49) 2T1 sinc 0
T
2T1 T
´ ´Ê ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r
° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸Ê º° บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-17
4T1
T
k
8T1
T
k
16T1
T
k
£µ¡ ¸É 4.6 nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r a 宦´ nµ T nµ Ç k
x t
f
¦ae
jkZ0t
k
k f
2T1 f ¦ sinc kZ0T1 e jkZ0t T k f
(4.50)
£µ¡ ¸É 4.6  Á ¦´¤Â Áo ° ´ µ µ x t ®¦º° nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak 宦´ T 4T1 , T 8T1 , ¨³ T 16T1 ´ Á ³¡ ªnµÁ¤ºÉ°´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t Ä £µ¡ ¸É 4.5 ¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â Á n T 16T1 nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³Â n ¥µ¥°° Å ¤µ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 4.6 (¨nµ ) Á¤ºÉ°Á ¸¥ ´ £µ¡ ¸É 4.6 ( ) 宦´ T 4T1 SCILAB:
(£µ¡ ¸É 4.6)
-->T = 1;
w0 = 2*%pi/T;
-->T1 = T/4;
-->subplot(3,1,1); -->T1 = T/8;
plot2d3(k, ak);
//£µ¡ ¸É 4.6 ( )
ak = 2*T1/T*sinc(k*w0*T1);
-->subplot(3,1,2); -->T1 = T/16;
k = -25:25;
ak = 2*T1/T*sinc(k*w0*T1);
plot2d3(k, ak);
//£µ¡ ¸É 4.6 ( ¨µ )
ak = 2*T1/T*sinc(k*w0*T1);
-->subplot(3,1,3);
plot2d3(k, ak);
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
//£µ¡ ¸É 4.6 (¨nµ )
µ §¬ ¸ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (4.14) – (4.16) µ¦¦oµ ´ µ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r µ¤¤ µ¦ (4.14) εÁ } o° Ä o ε ª ¡ rÁ } nµ° ´ r ´É º° k > f, f @ °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä µ · ´ · µ¦¦oµ ´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤ ³Ä o ε ª ¡ r ε ´ (finite term) ´É º° N
xˆ t
¦ae
jkZ0t
(4.51)
k
k N
¹É ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ³Á } µ¦ ¦³¤µ nµ ° ´ µ µ ¦· à ¥ ¸É o° · ¡¨µ µ µ¦ ¦³¤µ nµ®µÅ o µ x t xˆ t
e t
x t
N
¦ae
jkZ0t
(4.52)
k
k N
Ä µ¦¡· µ¦ µªnµ´ µ µ ¸ÉÅ o µ µ¦ ¦³¤µ ¤¸ nµÄ ¨oÁ ¸¥ ´ ´ µ µ ¦· ®¦º°Å¤n ·¥¤Ä o Á r¡¨´ µ ° o° · ¡¨µ (error energy) Ä ® ¹É µ Áª¨µ T ¹É ·¥µ¤Ã ¥ E
³
T
2
e t dt
³
T
x t
N
¦
2
ak e jkZ0t dt
(4.53)
k N
¨nµª º°´ µ µ ¸ÉÅ o µ µ¦ ¦³¤µ ³¤¸ nµÄ ¨oÁ ¸¥ ´ ´ µ µ ¤µ È n°Á¤ºÉ° E ¤¸ nµ o°¥ ´ ´Ê Á¤ºÉ° ε® ε ª ¡ r ¸É ³Ä oÄ ¤ µ¦ (4.51) ¤µÄ®o nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ¸É ¸ ¸É» È º° nµ ak ¸É εĮo E ¤¸ nµ o°¥» ¹É µ¤µ¦ ®µÅ o µ ( ¼¡·¼ rÄ ´ª°¥nµ ¸É 4.9) ak
1 x t e jkZ0t dt T ³T
Á®¤º° ´ ¤ µ¦ª·Á ¦µ³®rÄ ¤ µ¦ (4.15) ´ ´Ê ¦» Å oªnµ µ¦¦oµ ´ µ µ à ¥Ä o ε ª ¡ r ε ´ È¥´ µ¤µ¦ Ä o¤ µ¦ (4.15) Ä µ¦®µ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É ¸ ¸É» Å o ´ª°¥nµ ¸É 4.9 ¡·¼ rªnµ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ¸É ¸ ¸É» ¸É εĮo¡¨´ µ ° o° · ¡¨µ µ¤ ¤ µ¦ (4.53) ¤¸ nµ o°¥» º° nµ ak ¸É®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.15) ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (4.53) ³Å oªnµ E
³
T
x t
N
¦
k N
2
ak e jkZ0t dt
N N § · jiZ0t · § x t a e x t am e jmZ0t ¸ dt
¦ ¦ i ¸¨ ³T ¨© i N m N ¹© ¹
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-19
N
§
³ ¨© x t ¦ a e
jiZ0t
i
T
i N
N ·§ jmZ0t · ¸ ¨ x t ¦ am e ¸ dt m N ¹© ¹
N N N N § · jiZ0t jmZ0t x t x t x t a e x t a e ai am e j i m Z0t ¸ dt
¦ ¦ ¦ ¦ i m ¨ ³T © i N m N i N m N ¹ N
§ Z ³ ¨© x t x t x t ¦ a e
ji
T
N
x t
0t
i
i N
jmZ0t m
¦a
e
m N
N N · j i m Z0t dt ¸ dt ¦ am ¦ ai ³T e m N i N ¹
µ ¤ µ¦ (4.22) ´É º° T
³e
j i m Z0t
T , i m ® ¯0, i z m
dt
0
³Å oªnµ E
N
§ Z ³ ¨© x t x t x t ¦ a e
ji
i
T
0t
x t
i N
N
jmZ0t m
¦a
e
m N
N · ¸ dt T ¦ am m N ¹
2
(4.54)
µ ´Ê ®µ° »¡´ r ° ¤ µ¦ (4.54) Á ¸¥ ´ ak 宦´ N d k d N ¨oªÄ®o ¨¨´¡ r¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r wE wak
2 ³ x t e jkZ0t dt 2Tak T
0
´ ´Ê nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É ¸ ¸É » ¸É ε¤µÄ o¦oµ ´ µ µ µ¤¤ µ¦ (4.51) º° ak
1 x t e jkZ0t dt T ³T
¹É ¦ ´ ¤ µ¦ (4.15) µ¤ ¸É o° µ¦ µ ´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¡ ªnµ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t µ¤£µ¡ ¸É 4.5 µ¤µ¦ ¸É ³¦oµ ¨´ º ¤µÅ o°¥nµ ¤ ¼¦ r µ ¤ µ¦ (4.51) Á¤ºÉ°Ä o ε ª ¡ rÁ } ε ª ° ´ r N f Ä ¦ ¸ ¸É N f ´ µ µ ¸ÉÅ o µ ¤ µ¦ (4.51) ´É º° x̂ t ³¤¸¦¼ ¦nµ · Á¡¸Ê¥ Å µ ´ µ µ o ´ x t à ¥ o° · ¡¨µ ³¤¸ nµ o°¥¨ Á¤ºÉ° N ¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê £µ¡ ¸É 4.7  ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸É¦oµ µ ¤ µ¦ (4.51) Á¤ºÉ° T 4T1 宦´ N 5 , N 10 , N 50 , ¨³ N 100 ¹É ³¡ ªnµÁ¤ºÉ° N ¤¸ nµ o°¥ ´ µ x̂ t ³ · Á¡¸Ê¥ Å µ ´ µ x t n° oµ ¤µ ¨³´ µ x̂ t Á¦·É¤¤¸¦¼ ¦nµ Á®¤º° ´ ´ µ x t Á¤ºÉ° N ¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê à ¥ ´ÉªÅ §¬ ¸ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rµ¤µ¦ ¦´ ¦° Å oªnµ´ µ µ à ¥ ¦³¤µ x̂ t ¸É¦oµ µ ¤ µ¦ (4.51) ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ µ o ´ x t È n°Á¤ºÉ° N o f ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
N
5
N
20
N
50
N
100
£µ¡ ¸É 4.7 ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸É¦oµ µ ¤ µ¦ (4.51) 宦´ nµ SCILAB:
N
nµ Ç
(£µ¡ ¸É 4.7)
-->T = 1;
w0 = 2*%pi/T;
-->t = -0.5*T:0.001:0.5*T;
L = length(t);
-->T1 = T/4; -->N = 5; k = -N:N; xt = []; -->for i = 1:L, xt(i) = 2* T1/T*sum(sinc(k*w0*T1).*exp(%i*k*w0*t(i))); end -->subplot(2,2,1); plot2d1(t,xt,rect=[-0.5 -0.2 0.5 1.2]); xgrid(2); -->N = 20; k = -N:N; xt = []; -->for i = 1:L, xt(i) = 2* T1/T*sum(sinc(k*w0*T1).*exp(%i*k*w0*t(i))); end -->subplot(2,2,2); plot2d1(t,xt,rect=[-0.5 -0.2 0.5 1.2]) ; xgrid(2); -->N = 50; k = -N:N; xt = []; -->for i = 1:L, xt(i) = 2* T1/T*sum(sinc(k*w0*T1).*exp(%i*k*w0*t(i))); end -->subplot(2,2,3); plot2d1(t,xt,rect=[-0.5 -0.2 0.5 1.2]) ; xgrid(2); -->N = 100; k = -N:N; xt = []; -->for i = 1:L, xt(i) = 2* T1/T*sum(sinc(k*w0*T1).*exp(%i*k*w0*t(i))); end -->subplot(2,2,4); plot2d1(t,xt,rect=[-0.5 -0.2 0.5 1.2]) ; xgrid(2);
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-21
4.2.6 Á ºÉ° Å µ¦¨¼Án oµ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Ä µ · ´ ·Å¤n εÁ } ªnµ´ µ µ x t » ´ µ ³µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ´ª°¥nµ Á n ´ µ µ ¸ÉÁ¤ºÉ° ε ª ®µ nµ ak ¨oª ¡ ªnµ ak µ ´ª¤¸ nµÁ } nµ° ´ r ´ ´Ê ´ µ µ ¸Éµ¤µ¦ ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ³ o° ° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ (Dirichlet's conditions) ´Ê µ¤ o° ´ ¸Ê [3] 1) ´ µ µ x t o° µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ¤ ¼¦ r (absolutely integrable) £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ ´É º° (4.55) ³T x t dt f Á ºÉ° Å ¸Ê nª¥¦´ ¦° Å oªnµ ak
³ x t e
jkZ0t
T
dt
³ x t dt f T
(4.56)
2) ´ µ µ x t o° ¤¸ ε ª » ¼ » ¨³ » Éε» Á } ε ª ε ´ £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ 3) ´ µ µ x t o° ¤¸ ε ª » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° (discontinuities) ε ´ £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ Á ºÉ° µ ´ µ µ ¸ÉŤn° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ ´Ê µ¤ o° ¸1Ê ¤´ ³Å¤nÁ · ¹Ê ¦· Ä µ · ´ · ´ ´Ê ¹ εĮo¦» Å oªnµ
´ µ µ ¸ÉŤn¤¸ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° µ¦Â ´ µ µ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³¨¼nÁ oµ¼n´ µ µ ¦· 宦´ » nµ t Á¤° ´ µ µ ¸É¤¸ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ε ª ε ´ µ¦Â ´ µ µ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ µ ¦· » ε® n ¥ Áªo ε® n ¸ÉÁ } » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ¨nµª º°° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ε® n ¸Ê ³¨¼nÁ oµ¼n nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ ´Ê ° oµ ° » ¸É¤ ¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ°
´ª°¥nµ ¸É 4.10 ¡· µ¦ µ´ µ µ x t n°Å ¸Ê µ¤£µ¡ ¸É 4.8 ªnµÁ } ´ µ µ ¸Éµ¤µ¦ ®µ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o®¦º°Å¤n ) ´ µ x t
1 t
) ´ µ x t
§ 2S · sin ¨ ¸ © t ¹
宦´ 0 t d 1 ¸É¤¸ µ Áª¨µ T
1
宦´ 0 t d 1 ¸É¤¸ µ Áª¨µ T
1
1
Á ºÉ° Å Á®¨nµ ¸ÊÁ } Á ºÉ° Å ¡°Á¡¸¥ (sufficient condition) ¸É εĮo¦» Å oªnµ´ µ µ x t ´Ê µ¤µ¦ ®µ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o  nŤnÄ nÁ ºÉ° ŠεÁ } (necessary condition) Á¤°Å [3 – 4] ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
1
x t
t
t
§ 2S · ¸ © t ¹
x t
sin ¨
t
x t
t £µ¡ ¸É 4.8 ´ª°¥nµ ´ µ µ ¸ÉŤn° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦Á¸ ¨ [3]
) ´ µ x t 宦´ 0 t d 1 ¸É¤¸ µ Áª¨µ T 1 ¹É ¦³ ° Å oª¥£µ ´ (section) ®¨µ¥Ç nª à ¥ ¸É£µ ´  n¨³nª ¤¸ ªµ¤¼ ¨³ ªµ¤ ªoµ ° ´ µ Á } ¦¹É ® ¹É ° £µ ´ ·Ê nª n° ® oµ ¸Ê ª· ¸ ε ) ´ µ x t
1 t
1
Á } ´ µ ¸ÉŤnÁ } Å µ¤Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ o° ¸É® ¹É Á ºÉ° µ ³ 1 dt t
f
´ ´Ê
0
´ µ ¸ÊŤnµ¤µ¦ ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ) ´ µ
x t sin 2S / t
1
° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ o° ¸É® ¹É Á¡¦µ³ªnµ ³ sin 2S / t dt 1 0
°¥n µ Ŧ È µ¤´ µ ¸Ê Å ¤n ° ¨o ° ´ Á ºÉ ° Å ¸ ¦¸ Á ¨ o ° ¸É ° Á ºÉ ° µ ¤¸ Î µ ª » ¼ » ¨³ » Éε» Á } ε ª ° ´ r£µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ ´ ´Ê ´ µ ¸ÊŤnµ¤µ¦ ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ) ´ µ x t ¸Ê° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ o° ¸É® ¹É ¨³ o° ¸É°  nŤn° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ o° ¸Éµ¤Á ºÉ ° µ ¤¸ » ¸É ¤¸ nµÅ¤n n °Á ºÉ ° Á } Î µ ª ° ´ r £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ ´ ´Ê ´ µ ¸Ê Å ¤n µ¤µ¦ ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-23
4.2.7 ¦µ µ¦ r · r µ £µ¡ ¸É 4.7 µ¦¦oµ ´ µ µ Ä®o ¨´ º ¤µÃ ¥Ä o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (4.51) ´É º° xˆ t
N
¦ae
jkZ0t
k
k N
Á¤ºÉ° N f ¡ ªnµ¦¼ ¦nµ ° ´ µ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ³¤¸¨´ ¬ ³ ° µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤ (ripples) 宦´ » nµ N ° µ ¸Ê ¹ ¤oªnµ N ³¤¸ nµ¤µ ¹Ê °¤¡¨· ¼ ° µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤ Ȥ¸ nµÅ¤n¨ ¨  n µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤ ´Ê ³ ¼ ¸ °´ Ä®oÁ oµÄ ¨o » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ¤µ ¹Ê (´ Á £µ¡ ¸É 4.7) ¦µ µ¦ r ¸ÊÁ¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “ ¦µ µ¦ r · r (Gibb phenomenon)” [3, 4] ´ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ µ¦ ¦³¤µ ´ µ µ ¸É¤¸ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° x t à ¥Ä o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (4.51) Á¤ºÉ° N ¤¸ nµ ε ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o®¦º° x̂ t ³Â µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É¼ ¨³Á · ðÁª°¦r ¼o (overshoot) ¦·Áª » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° Á¡¦µ³ ³ ´Ê µ¦Â ´ µ µ ¸É¤¸ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r o° Á¨º° Ä o nµ N ¸É¤¸ nµ¤µ Á¡¸¥ ¡° ¸É ³ εĮo¡¨´ µ ¦ª¤ ° µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤¤¸ nµ o°¥¤µ Á¤ºÉ°Á ¸¥ ´ ¡¨´ µ ¦ª¤ ° ´ µ µ x t
4.3 » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä nª ¸Ê ³° · µ¥ » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥ ³Ä o´ ¨´ ¬ r CtFS x t m o ak
(4.57)
 ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÁ¡ºÉ°Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É¤¸ µ Áª¨µ T ´ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ° ´ µ x t à ¥ ¸É ªµ¤Á oµÄ Á ¸É¥ª ´ » ¤ ´ · nµ Ç ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ nµ Ç ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê
4.3.1 » ¤ ´ ·Á · Áo CtFS CtFS CtFS o ak , y t m o bk ¨³ z t m o ck ´ ´Ê z t Ax t By t º° ε® Ä®o x t m ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ µ x t ¨³ y t Á¤ºÉ° A ¨³ B Á } nµ ´ª ³Å oªnµ´ µ z t ¤¸ nµ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
ck
Aak Bbk
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(4.58)
´ ´Ê » ¤ ´ ·Á · Áo (linearity) ®¦º° » ¤ ´ · µ¦ o° ´ (superposition) ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r °º CtFS Ax t By t m o Aak Bbk
(4.59)
4.3.2 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk o µ ´ µ y t x t t0 º ° ´ µ µ x t
ε® Ä®o x t m ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time shifting) Á } ε ª t0 ® nª¥ ´ ´Ê ´ µ y t ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
bk
ak e jkZ0t0
(4.60)
¹É ¡·¼ rÅ o µ bk
 nµ W
t t0 bk
1 y t e jkZ0t dt T ³T
1 x t t0 e jkZ0t dt T ³T
³Å o 1 jkZ W t x W e 0 0 dW T ³T
§1 e jkZ0t0 ¨ ©T
³ x W e T
jkZ0W
· dW ¸ e jkZ0t0 ak ¹
¹É ³Á®È Å oªµn µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ µ ¥´ εĮo µ (magnitude) ° nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¤¸ nµÁ nµÁ ·¤ ´ É º° bk ak e jkZ t ak ´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦Á¨º°É Áª¨µ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° 0 0
CtFS x t t0 m o ak e jkZ0t0
(4.61)
4.3.3 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk o µ ´ µ y t x t e jM Z t º ° ´ µ x t
Î µ ® Ä®o x t m ¸É ¼ Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É (frequency shifting) Á } ε ª M ® nª¥ ´ ´Ê ´ µ y t ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r º° 0
bk
ak M
(4.62)
¹É ¡·¼ rÅ o µ bk
1 y t e jkZ0t dt ³ T T
1 x t e jM Z0t e jkZ0t dt ³ T T
1 x t e j k M Z0t dt ³ T T
ak M
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-25
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFS x t e jM Z0t m o ak M
(4.63)
4.3.4 » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk o µ ´ µ y t x t º ° ´ µ µ x t
Î µ ® Ä®o x t m ¸É ¼ ¡´ µ Áª¨µ (time reversal) ´ ´Ê ´ µ y t ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
bk
a k
(4.64)
¹É ¡·¼ rÅ o µ f
x t
¦a
m
e jmZ0t
(4.65)
m f
 nµ m
k
³Å o y t
x t
f
¦
a k e jkZ0t
k f
Á ¦¸¥ Á ¸¥ nµ´¤ ¦³· ·Í È ³Å oªnµ bk
a k
f
¦be
jkZ0t
k
(4.66)
k f
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦¡´ ´ µ ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
CtFS x t m o a k
° µ ¸Ê oµ x t Á } ¢{ r ´ ¼n ´É º° x t x t ³Å oªnµ a k function) ´É º° x t x t ³Å oªnµ a k ak
(4.67) ak
¨³ oµ x t Á } ¢{ r ´ ¸É (odd
4.3.5 » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ ε® Ä®o´ µ µ x t ¤¸ µ ¤¼¨ µ T0 ®¦º°¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Z0 ´ µ ¸É ¼ Á ¨ µ Áª¨µ ´É º° x D t ¥´ Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ T0 / D ®¦º°¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ DZ0 ´ ´Ê ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x D t ¤¸ nµÁ nµ ´ x D t
f
¦ae
jk DZ0 t
k
k f
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¸É ¼ Á ¨ µ Áª¨µ¥´ ¤¸ nµÁ nµÁ ·¤ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(4.68)
4.3.6 » ¤ ´ · µ¦ ¼ CtFS CtFS CtFS o ak , y t m o bk , ¨³ z t m o ck oµ´ µ z t x t y t º° ε® Ä®o x t m µ¦ ¼ (multiplication) ° ´ µ µ x t ¨³ y t ´ ´Ê ´ µ z t ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r º°
f
¦ ab
ck
i k i
ak bk
(4.69)
i f
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution) ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ¼ ´ ° ´ µ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ (time domain) ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´ ° nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ´Ê ° ´É º° CtFS x t y t m o ak bk
(4.70)
4.3.7 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ CtFS CtFS CtFS o ak , y t m o bk , ¨³ z t m o ck ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T oµ´ µ ε® Ä®o x t m z t x t y t º° µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ´ µ µ x t ¨³ y t ´ ´Ê ´ µ z t ¤¸ nµ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
ck
Tak bk
(4.71)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ° ´ µ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦ ¼ ´ ° nµ´¤ ¦³· ·Í ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ´Ê ° ´É º° CtFS x t y t m o Tak bk
(4.72)
4.3.8 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» CtFS CtFS o ak o bk oµ´ µ y t x t
ε® Ä®o x t m ¨³ y t m º° nµ´ ¥» Á · o° (complex conjugate) ° ´ µ x t ´ ´Ê ´ µ y t ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
bk
a k
(4.73)
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦´ ¥» ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFS x t m o a k
(4.74) บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-27
Ä ¦ ¸ ¸É´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ´É º° x t
¤¤µ ¦ ´ ) ¨³ oµ
x t
³Å oªnµ
x t
Á } ¢{ r ´ ¼n ³Å oªnµ ak
x t
Á } ¢{ r ´ ¸É ³Å oªnµ ak Á } ε ª · £µ¡Â o (purely imaginary) ¨³ a0
a k
ak
a k
ak
(¤¸ ªµ¤
¨³ a0 Á } Á¨ ε ª ¦· 0
4.3.9 ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ Á ºÉ° µ ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ´ µ µ x t ®µÅ o µ P
2 1 x t dt T ³T
(4.75)
CtFS o ak ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ (Parseval’s relation) ³ ·¥µ¤Ã ¥ oµ ε® Ä®o x t m 2 1 x t dt ³ T T
f
¦
2
ak
(4.76)
k f
¹É ¡·¼ rÅ o µ 2 1 x t dt ³ T T
1 T ³T
2
f
¦ae
jkZ0t
k
dt
k f
f f 1 jkZ0t a e am e jmZ0t dt ¦ ¦ k T ³T k f m f f
f
¦ ¦aa k
m
k f m f
1 j k m Z t e 0 dt T ³T
µ ¤ µ¦ (4.22) ´É º° 1 j k m Z t e 0 dt T ³T
1, k m ® ¯0, k z m
´ ´Ê 2 1 x t dt ³ T T
µ¤ ¸É o° µ¦ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
f
¦
k f
ak
2
µ¦µ ¸É 4.1 » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
» ¤ ´ · ªµ¤Á } Á · Áo µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É µ¦¡´ µ Áª¨µ µ¦Á ¨ µ Áª¨µ µ¦ ¼ µ¦ ε ° ꨼ ´ µ¦´ ¥»
9. ° »¡´ r
´ µ µ
´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r
Ax t By t
Aak Bbk
x t t0
ak e
x t e
jM Z0t
ak M
x t
x D t , D ! 0
a k
(¤¸ µ Áª¨µ T / D )
ak
x t y t
ak bk
x t y t
Tak bk
x t
a k
dx t
jkZ0 ak
dt t
10. ¦·¡´ r
ak
³ x W dW
jkZ0
x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦·
ak
f
11. ªµ¤¤¤µ ¦ ° µ¦´ ¥»
jkZ0 t0
a k
Re ^ak ` Re ^a k ` Im ^ak ` Im ^a k ` ak
a k
a k (¤»¤Á¢)
ak
12. ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨
x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n
ak
x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¸É
ak
1
T³
T
2
x t dt
Á } nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n Á } nµ · £µ¡Â o¨³¢{ r ´ ¸É f
¦a
2 k
k f
4.3.10 ¦» » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk Á } ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ¤¼¨ µ ε® Ä®o x t m T ®¦º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Z0 2S / T µ¦µ ¸É 4.1 ¦» » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
4.3.11 ¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É¤¸ µ Áª¨µ T ¨³´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¤¤ µ¦ (4.14) ¨³ (4.15) Ä nª ¸Ê ³¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ ´ Â Ä µ¦µ ¸É 4.2 Á¤ºÉ° Z0 2S f0 2S / T บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-29
µ¦µ ¸É 4.2 ¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ µ x t
´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak
1
G >k @
f
1
k f
T
¦ G t kT
e
jZ0 t
e
j 2S f0 t
G > k 1@
.
1
cos 2S f 0t
2
j
sin 2S f0t
-T
T1
2
x t
1
T1
0
^G > k 1@ G > k 1@`
^G > k 1@ G > k 1@` 2T1 T · § sinc ¨ 2S k 1 ¸ T T¹ ©
t T
x t
ak t
A
G >k @
k 0 A / 2, ° ® A ª1 cos kS º , k z 0 ¼ ° kS 2 ¬ ¯
x t
ak t
k 0 A / 2, ° ® A °¯ 2S k j , k z 0
´ª°¥nµ ¸É 4.11 ¡· µ¦ µ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¹É ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° x t
1, t T1 ° CtFS o ak ® T m T t 0, 1 °¯ 2
2T1 sinc kZ0T1
T
(4.77)
CtFS o d k ®µ d k ° ´ µ µ y t Ä £µ¡ ¸É 4.9 ε® Ä®o y t m
ª· ¸ ε Á ¦¸¥ Á ¸¥ ´ µ µ y t Ä £µ¡ ¸É 4.9 ´ ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.8 (£µ¡ ¸É 4.5) ³Å oªnµ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
y t
t
£µ¡ ¸É 4.9 ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.11 y t
宦´ T
4
¨³ T1
x t 1
1 §Sk · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹
0.5
ak e jkZ0 1
(4.79)
ak e jkS / 2
(4.80)
CtFS o ck ³Å oªnµ ¨³ g t m
ck
Á ºÉ° µ y t
Ä ¤ µ¦ (4.77) ¤¸ nµÁ nµ ´
CtFS o bk °µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ³Å oªnµ ¨³ z t m
bk
¨³ oµ g t
(4.78)
1 ´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x t
ak
oµ z t
x t 1 0.5
z t g t
0.5, k 0 ® k z0 ¯0,
(4.81)
´ ´Ê dk
bk ck
a0 0.5, k 0 ® jkS / 2 , kz0 ¯ ak e
(4.82)
 nµ ak µ ¤ µ¦ (4.79) ¨ Ä ¤ µ¦ (4.82) È ³Å o¤´ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t ¤¸ nµÁ nµ ´ dk
k 0 0, ° ®1 § S k · jkS / 2 , k z0 ° 2 sinc ¨ 2 ¸ e © ¹ ¯
´ª°¥nµ ¸É 4.12 ¡· µ¦ µ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 4.10 ¹É ¤¸ µ Áª¨µ T ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸Ê
(4.83)
4
ε ª ®µ
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-31
x t
t
£µ¡ ¸É 4.10 ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ µ¤Á®¨¸É¥¤Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.12
ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ´ µ x t Á } ¦·¡´ r ° ´ µ y t Ä £µ¡ ¸É 4.9 ´É º° t
x t
³ y W dW
(4.84)
f
CtFS CtFS o d k ¨³ x t m o f k °µ«´¥ » ¤ ´ ·° »¡´ rÄ µ¦µ ¸É 4.1 ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ´ ´Ê oµ y t m ³Å oªnµ
fk
dk jZ0 k
2d k jS k
(4.85)
 nµ d k µ ¤ µ¦ (4.83) Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.11 ³Å o´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x t º° fk
宦´ k
0
³Å oªnµ
f0
1 § S k · jkS / 2 , k z0 sinc ¨ ¸e jkS © 2 ¹
(4.86)
µ¤µ¦ ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ x t ´É º° f0
1 x t dt T ³T
1 2
(4.87)
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ´ µ x t £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ®µ¦ oª¥ µ Áª¨µ ´ Ê ´ª°¥nµ ¸É 4.13 ¡· µ¦ µ ª ´ µ °·¤¡´¨r x t ¸É¤¸ µ Áª¨µ T µ¤£µ¡ ¸É 4.11 ®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸Ê ª· ¸ ε ª ´ µ °·¤¡´¨r x t Ä £µ¡ ¸É 4.11 µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° x t
f
¦ G t kT
k f
´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ®µÅ o µ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(4.88)
x t
t
£µ¡ ¸É 4.11 ª ´ µ °·¤¡´¨r y t
T1
t
T1
z t
T1
t
T1
£µ¡ ¸É 4.12 ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.14 T /2
ak
2S jk t 1 T G t e dt
³ T T / 2
1 T
(4.89)
宦´ » nµ k ´ ´Ê ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ´ µ °·¤¡´¨r º° x t
f
¦ G t kT m o a CtFS
k
k f
1 T
(4.90)
´ª°¥nµ ¸É 4.14 ¡·¼ rªnµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ y t Ä £µ¡ ¸É 4.12 µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o µ ´ µ µ z t
ª· ¸ ε ´ µ µ z t µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼Än ¦¼ ° ª ´ µ °·¤¡´¨r x t Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.13 Å o º° z t
x t T1 x t T1
(4.91)
CtFS CtFS CtFS o ak , y t m o bk , ¨³ z t m o ck ´ ´Ê °µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ε® Ä®o x t m ³Å oªnµ
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-33
ck
Á¤ºÉ° ak
1 jZ0kT1 jZ0kT1 e e T
ak e jZ0kT1 ak e jZ0kT1
2j sin Z0 kT1
T
(4.92)
µ¤¤ µ¦ (4.89) ¨³ Z0 2S / T Á ºÉ° µ ´ µ z t º°° »¡ ´ r ° ´ µ y t ´É º° 1/ T
dy t
dt
z t
´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ z t ®µÅ o µ ck
jZ0 k bk
(4.93)
 nµ ck µ ¤ µ¦ (4.92) ¨ Ä ¤ µ¦ (4.93) ³Å o bk
宦´ k
0
sin Z0 kT1
kS
§ 1 ·2j ¨ ¸ sin Z0 kT1
© jZ0 k ¹ T
2T1 sinc Z0 kT1 , k z 0 T
(4.94)
³Å oªnµ nµ b0 º° nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ y t ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ 2T1 T
(4.95)
2T1 T· § sinc ¨ 2S k 1 ¸ T T¹ ©
(4.96)
1 y t dt T ³T
b0
´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ y t ¸Ê º° bk
宦´ » nµ k ¹É ¦ ´ ¤ µ¦ (4.47) Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.8 Á¤ºÉ° Z0 ´ª°¥nµ ¸É 4.15 ε® Ä®o x1 t ¨³ x1 t
x2 t
f
¦be
Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T ¨³¤¸¦¼ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° jkZ0t
k
¨³
x2 t
k f
Á¤ºÉ° Z0
2S / T
¡·¼ rªnµ x t
2S / T
x1 t x2 t
x t
f
¦ce k
jkZ0t
(4.97)
k f
Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T ¨³¤¸¦¼ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° f
¦ae k
k f
à ¥ ¸É ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
jkZ0t
(4.98)
f
ak
¦b c
(4.99)
m k m
k f
ª· ¸ ε µ » ¤ ´ · ° ´ µ µ ³Å oªnµ x t T
x1 t T x2 t T
x1 t x2 t
x t
(4.100)
´ ´Ê ´ µ x t Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T µ ¤ µ¦ (4.98) ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x t ®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.15) ´ É º° 1 x t e jkZ0t T ³T
ak
1 x1 t x2 t e jkZ0t T ³T
1 f jmZ t ½ jkZ t ® ¦ bm e 0 ¾ x2 t e 0 T ³T ¯m f ¿
1
f
f
¦ b T ³ ^ x t e Z ` ¦ b c
m
j k m
T
m f
2
0t
m k m
k f
ck m
¹É ¦ ´ ¤ µ¦ (4.99) µ¤ ¸É o° µ¦
4.4 Á ¦´¤ ε¨´ à ¥ ´ÉªÅ nµ ak 2  ¹ ε¨´ Á ¨¸É¥ (average power) ° ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ k ° ´ µ µ ´ ´Ê ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ° Ä®o ¦µ ªnµ ε¨´ Á ¨¸É¥¦ª¤ ° ´ µ µ ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤ ° ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · » °´ ´ ° µ ¸Ê nµ µ oµ ªµ¤º° ° ¤ µ¦ (4.76) ³Á¦¸¥ ´ ªnµ “Á ¦´¤ ε¨´ (power spectrum)” ´É º° f
P
¦
2
ak
2
2
2
2
a f ! a 1 a0 a1 ! af
2
(4.101)
k f
¹É  ĮoÁ®È ¹ µ¦Â  ε¨´ ° ´ µ µ Ä Â n¨³° r ¦³ ° ° ªµ¤ ¸É Á n ε¨´ ° ´ µ ¸É ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 ¤¸ nµÁ nµ ´ ak 2 ¨³ ¸É ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 ¤¸ nµÁ nµ ´ a k 2  nÁ ºÉ° µ a k ak ³Å o a k 2 ak 2 ´ ´Ê ε¨´ ° ´ µ Ä ° r ¦³ ° ° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 ¨³ kZ0 ¤¸ nµÁ nµ ´ Á¡¦µ³ªnµ´ µ e jkZ t ¨³ e jkZ t Á } ´ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 Á ¸¥ª ´ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ε¨´ ¦ª¤Ä ° r ¦³ ° ° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 º° 2 ak 2 0
0
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-35
´ª°¥nµ ¸É 4.16 ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ rÁ Ȥ ¨ºÉ (full-wave rectifier) µ¤ £µ¡ ¸É 4.13 ¡¦o°¤ ´Ê  Á ¦´¤ ε¨´ ° ´ µ µ ¸Ê ª· ¸ ε ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ ¸Ê¤¸ µ Áª¨µ T 1 ¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦r Å o º° (4.102) x t A sin S t , 0 t 1 à ¥ ¸É´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ° ´ µ x t ®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.15) ´É º° 1 T
ak
Á¤ºÉ° Z0
2S / T
2S
1
³
T
x t e jkZ0t dt
(4.103)
0
µ ¼ ¦ µ¦®µ ¦·¡´ r e ax a sin bx b cos bx
ax ³ sin bx e dx
 nµ a
A³ sin S t e j 2S kt dt
j 2S k , b S
¨³ ak
x
t
(4.104)
a 2 b2
¨ Ä (4.103) ³Å o
ª e j 2S kt j 2S k sin S t S cos S t 1 º
» A« 2 2 « » j 2S k S 0¼ ¬
A ªe j 2S kt ^ j 2S k sin S t S cos S t ` 1 º 2 « » 0¼ S 1 4k ¬ 2
A
ª e j 2S k 1º¼
(4.105)
2A , k z0 S 1 4k 2
(4.106)
S 1 4k 2 ¬
Á ºÉ° µ e j 2S k
1
´ ´Ê ak
宦´ k
0
nµ a0 ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ µ x t Ä ® ¹ É µ Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (4.16) ´É º° 1
a0
A³ sin S t dt 0
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â nµ k
ª cos S t 1 º » A « S «¬ 0» ¼
A
ª cos S 1º¼ S¬
2A
S
¨ Ä ¤ µ¦ (4.106) ´ ´Ê ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸Ê º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications 0
(4.107)
x t
4A2
S
A
2
P 4 A2 9S 2 4 A2 225S 2
k
t
£µ¡ ¸É 4.13 ( oµ¥) ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ rÁ Ȥ ¨ºÉ ¨³ ( ªµ) Á ¦´¤ ε¨´ 2A
x t
e j 2S kt
f
¦ 1 4k
S
(4.108)
2
k f
Ä ³ ¸ÉÁ ¦´¤ ε¨´ ° ´ µ µ ¸Ê®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.101) ´ ¸Ê f
P
¦
k f
ak
2
f
¦
k f
2
2A S 1 4k 2
!
4 A2 4 A2 4 A2 4 A2 4 A2 ! 225S 2 9S 2 S 2 9S 2 225S 2
£µ¡ ¸É 4.13 ( ªµ)  Á ¦´¤ ε¨´ ° ´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ rÁ Ȥ ¨ºÉ
4.5 ¨ ° ° ° ¦³ LTI n°´ µ µ ¸É °n Á ºÉ° µ Áª¨µ µ ¸É ¨nµª¤µÄ ®´ª o° ¸É 4.1 ¨ ° ° ° ¦³ LTI n°´ µ ¸ÉÁ } ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³¤¸ ¨¨´¡ r ¸ÉÁ }  Á ¡µ³ ¨nµª º°¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ¨³¤¸ ´ µ °· ¡» ° ¦³ º° x t
f
¦ae
jkZ0t
(4.109)
k
k f
Á¤ºÉ° ak º° nµ ´ªÄ Ç Á ºÉ° µ  n¨³¡ rÄ ¤ µ¦ (4.109) Á } ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¹É Á®¤º° ´ ¤ µ¦ (4.4) Á¤ºÉ° sk jkZ0 ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ° ° ¦³ µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.5) ´É º° y t
f
¦ a H jZ k e Z k
0
j
0 kt
(4.110)
k f
à ¥ ¸É H jZ0 k º° ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É (frequency response) ° ¦³ ¹É ·¥µ¤Ã ¥ f
H jZ0 k
³ h t e
jZ0 kt
dt
(4.111)
f
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-37
¤ µ¦ (4.110) εĮo ¦µ ªnµ´ µ Á°µ r¡» y t Á } ´ µ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É¤¼ ¨ µ Á n µ ´ ´ µ °· ¡» x t ° µ ¸Ê oµ ^ak ` º°Á ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x t ¨oª ³Å oªnµ ^ak H jZ0 k ` º°Á ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t
´ª°¥nµ ¸É 4.17 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x t ¨³ ´ µ Á°µ r¡» y t Á } Å µ¤¤ µ¦Á · ° »¡´ r ´ ¸Ê
dy t
4 y t
dt
®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x t
x t
(4.112)
sin 4S t cos 6S t S / 4
ª· ¸ ε Á¦·É¤ o Ä®o®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É H jZ ¹É µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥ µ¦ j° ´ µ x t
Á oµÅ Ä ¦³ µ ¤ µ¦ (4.1) ³Å oªnµ ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ x t e jZt º° y t
Á¤ºÉ° s
jZ
H jZ e jZt
e jZt
(4.113)
 nµ y t µ ¤ µ¦ (4.113) ¨ Ä ¤ µ¦ (4.112) ³Å o H jZ jZe jZt 4 H jZ e jZt H jZ
1 jZ 4
e jZt
(4.114)
à ¥ ¸É H jZ º°ªnµÁ } nµ ´ª CtFS CtFS o ak o bk ´ ´Ê ¨ ° ° ° ¦³ y t
oµ Î µ® Ä®o x t m ¨³ y t m n°´ µ °· ¡» Ä Ç ®µÅ o µ ¤ µ¦ (4.110) ´É º° y t
f
¦a
k
k f
½ jZ0 kt 1 ® ¾e ¯ jZ0 k 4 ¿
f
¦beZ j
0 kt
k
(4.115)
k f
Á¤ºÉ° bk º°´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ bk
宦´ ´ µ °· ¡» x t
ak H jZ0 k
ak jZ0 k 4
sin 4S t cos 6S t S / 4
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
°µ«´¥ ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ
(4.116)
1 j 4S t j 4 S t 1 j 6 S t S / 4 j 6 S t S / 4
e ^e e ` 2 e 2j
^
x t
`
1 j 4S t 1 j 4S t 1 jS / 4 j 6S t 1 jS / 4 j 6S t e e e e e e 2j 2j 2 2
(4.118)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (4.118) ¨³ (4.14) ³Å oªnµ´ µ °· ¡» x t ¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ º° Z0 ¨³¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° a2
 nµ ak 宦´ k b 2
b 3
1 2j
r2, r3
,
a 2
1 2j
,
a3
1 jS / 4 e ¨³ a 3 2
2S
1 e jS / 4 2
¨ Ä ¤ µ¦ (4.116) ³Å o
a 2 j 2S 2 4
a 3 j 2S 3 4
1 2 j 4 j 4S
¨³
b2
a2 j 2S 2 4
1 2 j 4 j 4S
e jS / 4 2 4 j 6S
¨³
b3
a3 j 2S 3 4
e jS / 4 2 4 j 6S
 nµ bk 宦´ k r2, r3 ¨ Ä ¤ µ¦ (4.115) È ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x t sin 4S t cos 6S t S / 4
4.6 o° ª¦ ¦µ Á ¸¥É ª ´ ªµ¤ ¸É ªµ¤ ¸É (frequency) Á } ¡µ¦µ¤·Á °¦r ¸ÉÄ oª´ ε ª ¦° ° ´ µ ¦¼ ¨ºÉ n°® ¹É ª· µ ¸ ¤¸® nª¥Á } ¦° n°ª· µ ¸ ®¦º°Á±·¦ r (Hz: hertz) Ä µ · ´ · ªµ¤ ¸É ¸É¤¸ nµÁ } “ nµ¨ (negative value)” ¼ ε® ¹Ê ¤µ Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦° · µ¥ §¬ ¸ µ · «µ ¦r nµ Ç Á n ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series), µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform), µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ (Laplace transform) ¨³ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform) Á } o °¥nµ Ŧ È µ¤´ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É nµ¨ (negative frequency) µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É nµ ª (positive frequency) Å oà ¥°µ«´¥Á° ¨´ ¬ r ¦¸Ã ¤· · Á n cos 2S ft T cos 2S ft T
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r Á ¸¥ª ´ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°
cos r2S ft T
e r j 2S ft
¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´
f
¸É¤¸ nµÁ } nµ ª Ä Îµ °
cos 2S ft r j sin 2S ft
บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-39
È º°ªnµ¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ f ¹É ¤¸ nµÁ } nµ ª ´ ´Ê ¦» Å oªnµ “ µ¦¤¸°¥¼n ¦· (existence)” ° Á ¦´¤ ¸É ªµ¤ ¸É f kf0 Á¤ºÉ° k º°Á¨ ε ª Á Ȥ Á } Á¡¸¥ ´ª n ¸ÊªnµÁ¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° e j 2S kf t e jkZ t ¤¸°¥¼n ¦· Ä ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Á¤ºÉ° Z0 2S f 0 º° ªµ¤ ¸É Á · ¤»¤ ¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ 0
0
4.7 ¦» oµ¥ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É±µ¦r¤° · nµ Ç ° ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ à ¥ ¸É´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r Á®¨nµ ¸Ê ³ ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ » ¤ ´ · nµ Ç ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ È º°ªnµ¤¸ ªµ¤Îµ ´ n° µ¦ª· Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ ¤µ Á¡¦µ³ n ª ¥ Î µ Ä®o µ¦®µ° » ¦¤¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ° ´ µ µ ¸É ´ o ° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê » oµ¥Ä ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ µ¦®µÁ ¦´¤ ε¨´ ° ´ µ µ ¦ª¤ ´Ê µ¦®µ ¨ ° ° ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
4.8  f ®´ oµ¥ 1) ®µ µ ¤¼¨ µ ¨³´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ n°Å ¸Ê 1.1) x t
§ 5S cos ¨ © 3
· § 3S t ¸ sin ¨ ¹ © 3
1.2) x t
§ 2S 2 cos ¨ © 3
1.3) x t
§ 2S 1 2 cos ¨ © 5
1.4) x t
2 cos 2 Zt 3sin Zt S / 2
· t¸ ¹
· § 5S t ¸ 3sin ¨ ¹ © 3
· t¸ ¹
· § 3S t ¸ 3sin ¨ ¹ © 2
· t¸ ¹
2) ε® Ä®o´ µ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¸É¤¸ µ Áª¨µ T a1
a 1
2
¨³ a3
a 3
4j
8
f
 ´ µ x t Ä ¦¼ ° x t ¦ Ak cos Zk t Tk
k 0
3) ε® Ä®o 0 d t d1 t , x t ® ¯2 t , 1 d t d 2
Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T
¨³¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
2
¨³¤¸´¤ ¦³· ·Í¢¼Á¦¸¥¦r º° ak
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
3.1) ®µ nµ ak 宦´ k
0,1, 2,!
3.2) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ g t
dx t
dt
CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk ¡·¼ rªnµ´ µ z t
4) oµ x t m ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° Tak bk Á¤ºÉ° T º° µ Áª¨µ
5) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x t
cos 4S t , y t sin 4S t
x t y t
¨³ z t
¤¸´¤ ¦³· ·Í
x t y t
6) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x t n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ ¦µ¢ ° ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o x t
t
7) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x t n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ ¦µ¢ ° ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o x t
t
8) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x t n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ ¦µ¢ ° ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o x t
t
9) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¸É ¤¸ ªµ¤´ ¤ ¡´ r ¦ ³®ªn µ ´ µ °· ¡» x t ¨³´ µ t Á°µ r¡» y t º° y t ³ f e t W x W dW บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-41
9.1) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ¸Ê 9.2)  ĮoÁ®È ªnµ´ µ est Á } ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction) ° ¦³ ¸Ê 9.3) ®µ nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenvalue) ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° est 10) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¸É ¤¸ ¨ ° ° °· ¤ ¡´ ¨ r Á } ¢{ r ´ n µ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n ¡·¼ rªnµ´ µ cos Zt ¨³ sin Zt Á } ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction) ° ¦³ ¸Ê ¨³¤¸ nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenvalue) Á®¤º° ´ 11) ε® Ä®o¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x t ¨³´ µ Á°µ r¡» y t µ¤¤ µ¦Á · ° »¡´ r dy t
dt
3y t
x t
®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á°µ r¡» y t Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° 11.1) x t
u t
11.2) x t
cos 3S t
11.3) x t
sin 3S t cos 6S t S / 3
12) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦ªµ ¦µ¢ ° ´ µ n°Å ¸Ê 12.1) 12.2)
x t
1 N § kS · ¦ sinc ¨© 10 ¸¹ e j 200S kt 10 k N
宦´ N
10, 20, 40
§ k 2 S · § k 2 S j N ° sinc ¨ ¸ sinc ¨ ¦ k N ® 4 2 2 °¯ © ¹ © –200 ms < t < 200 ms x t
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
¨³ –15 ms < t < 15 ms
· °½ j 5S kt ¸¾ e ¹ °¿
宦´ N
3,5,10
¨³
¸É 5 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ¸É 4 Å o ĮoÁ®È ªnµ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µµ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Å oà ¥Ä oÁ ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS: continuous-time Fourier series) ¹É nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê 宦´ Ä ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Â ¨ “´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time aperiodic signal)” Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° à ¥Ä oÁ ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS: discrete-time Fourier series)” [3, 4] ¡¦o°¤ ´Ê ° · µ¥ » ¤ ´ · nµ Ç ¸Éε ´ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ³¡ ªnµ¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡¸¥  n » ¤ ´ · µ o° ³Â nµ ´ °¥nµ ´ Á
5.1 ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discretetime LTI system) Á¡¦µ³ªnµ´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ °· ¡» ¸ÉÁ } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ °· ¡» Á ·¤Â n°µ ¤¸Â°¤¡¨· ¼ ° ´ µ Á ¨¸É¥ Å ´  n°Å ¸Ê ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ oµ ε® Ä®o´ µ °· ¡» x > n@ z n Á } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ®µÅ o µ y > n @ T ^ x > n @` h > n @ x > n @ zn
f
¦ h >k @ z
k f
k
f
f
k f
k f
¦ h >k @ x >n k @ ¦ h >k @ z
znH z
n k
(5.1)
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-1
Á¤ºÉ°
H z
Á } nµ ´ªÁ · o° ¸É ¹Ê ´ ´ªÂ ¦ z ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ f
H z
¦ h >k @ z
k
(5.2)
k f
¤ µ¦ (5.1) µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ´ ¨´ ¬ rÅ o º°
^ `
y > n@ T z n
znH z
(5.3)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁ¤ºÉ° j° ´ µ °· ¡» z n Á oµÅ Ä ¦³ LTI ³Å o´ µ Á°µ r¡» Á } z n H z ´ ´Ê Ä ¦ ¸ ¸Ê z n º°¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction) ¨³ H z º° nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenvalue) ° µ ¸Ê oµ ε® Ä®o´ µ °· ¡» ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´É º° m
x > n@
n k k
¦a z
a1 z1n a2 z2n ! am zmn
(5.4)
k 1
³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ º° y >n@
m
¦a H z z k
k
n k
k 1
a1 H z1 z1n a2 H z2 z2n ! am H zm zmn
(5.5)
´ ´Ê ¦» Å oªnµÎµ®¦´ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oµ´ µ °· ¡» ° ¦³ º° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á ¨¸É¥ Å µ¤¤ µ¦ (5.5) ´ª°¥nµ ¸É 5.1 ´ µ \ m > n@ ¨³ \ k > n@ ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } ´ µ ¸É ´Ê µ ´ (orthogonal) Ä nª > N1 , N 2 @ È n°Á¤ºÉ°´ µ ´Ê ° ¸Ê° ¨o° ´ Á ºÉ° Å n°Å ¸Ê N2
¦ \ > n@\ > n@ m
k
n N1
0, m z k ® ¯D , m k
(5.6)
Á¤ºÉ ° \ > n@ º ° ´ ¥» Á · o ° ° ´ µ \ > n@ ¨³ D z 0 ¡· ¼ r ªn µ ´ µ Á¨ ¸Ê Î µ ¨´ Á · o ° \ k > n @ e jk 2S / N n Á¤ºÉ° k 0,1, 2,! , N 1  n¨³´ µ Á } ´ µ ¸É ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ £µ¥Ä nª ªµ¤¥µª N ª· ¸ ε µ Á° ¨´ ¬ r n°Å ¸Ê 5-2
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
N 1
¦D
D 1 N, ° N ®1 D , D z1 ° ¯ 1 D
n
n 0
e jk 2S / N
 nµ D
(5.7)
¨ Ä ¤ µ¦ (5.7) ³Å o N 1
¦e
N , ° ®1 e jk 2S / N N ° jk 2S / N
¯ 1 e
jk 2S / N n
n 0
k
0, r N , r2 N ,!
(5.8)
0, else
Á ºÉ° µ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  n¨³ ´ªÄ ¤ µ¦ (5.8) Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Á nµ ´ ¤ µ¦ (5.8) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ }
¦e
n
Á¤ºÉ°´ ¨´ ¬ r n n
N , k 0, r N , r2 N ,! ® ¯0, else
jk 2S / N n
N
®¤µ¥ ¹ nµ n ¸ÉÄ o ³Á¦¸¥ n° ´ Á } ε ª N ¡ r Á n n 2,3,! , N 1 ÈÅ o Á¡¦µ³ ³ ´Ê µ ¤ µ¦ (5.6) ¨³°µ«´¥¤ µ¦ (5.9) ³Å o m
n
k
N
n
jm 2S / N n jk 2S / N n
N
n
0,1,! , N 1 ®¦º°
N , m k ® ¯0, m z k
j m k 2S / N n
¦e
e
´ ´Ê
(5.9)
N
¦ \ > n@\ > n@ ¦ e
N
N
Á¤ºÉ° m N ¨³ k N ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  n¨³´ µ Á } ´ µ ¸É ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ £µ¥Ä nª ªµ¤¥µª N ´ª°¥nµ ¸É 5.2 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ º° h > n@ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@ e 2 n
G > n 3@
®µ´ µ
ª· ¸ ε ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®µÅ o µ y > n@
x > n@ h > n@
f
f
k f
k f
¦ x >k @ h >n k @ ¦ e
2 k
G > n k 3@
e 2 n 3
e 2 n e6
®¦º°µ¤µ¦ ®µ´ µ Á°µ r¡» Å o µ ¤ µ¦ (5.3) Á ºÉ° µ ´ µ °· ¡» Á } ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° à ¥Ä ¦ ¸ ¸Ê ³Å oªnµ z e 2 ´ ´Ê µ ¤ µ¦ (5.2) ³Å o f
¦ G > k 3@ e
H e 2
k f
2
k
f
¦ G > k 3@ e
2k
e 2 3
e6
k f
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-3
¨³ µ ¤ µ¦ (5.3) ³Å o 2 n
e H z
y >n@
e 2 n e 6
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´
5.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS) ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ¨ ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ (®¦º°´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° Áª¨µ) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É (®¦º°´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É) ¹É µ¦Â ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ à Á¤ ªµ¤ ¸É ³ nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê
5.2.1 ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º°´ µ ¸Éµ¤µ¦ ®µ µ Áª¨µ x > n@
N
( ¸ÉÁ } nµ ª ) ¸É εĮo
x >n N @
(5.10)
宦´ » nµ n Á¤ºÉ° N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª à ¥ nµ N ¸É o°¥» ¸É¥´ εĮo¤ µ¦ (5.10) Á } ¦· ³Á¦¸¥ ªnµ “ µ ¤¼¨ µ (fundamental period)” ¨³ Z0 2S / N º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ à ¥ ´ÉªÅ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° \ k > n @ e jkZ n 0
e jk 2S / N n , k
0, r1, r2,!
(5.11)
³¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ ±µ¦r¤° · à ¥ ¸É n¨³´ µ ³¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤Á } ¡®» ¼ (multiple) ° µ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ ´É º° Zk k 2S / N ´ Á µ ¤ µ¦ (5.11) ¡ ªnµ´ µ \ k > n @ ¤¸´ µ ¸É  nµ ´ Á¡¸¥ N ´ µ Á nµ ´Ê Á ºÉ° µ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ° ´ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É nµ ´ Á } ¡®» ¼ ° 2S ³ º°ªnµÁ } ´ µ Á ¸¥ª ´ ´É º° \ k > n @ \ k iN > n @
(5.12)
Á¤ºÉ° i º°Á¨ ε ª Á Ȥ ´ª°¥nµ Á n \ i > n @ \ i N > n@ \ i 2 N > n @ Á } o ¹É  nµ µ ¦ ¸ ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ \ k t e jk 2S / T t ¸É ·¥µ¤Ä ¤ µ¦ (4.13) Á¡¦µ³ªnµ´ µ \ k t
¤¸ nµÂ nµ ´ 宦´ » nµ k 5-4
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
5.2.2 ¨¦ª¤Á · Áo ° Á¨ ¸ Ê Îµ¨´ Á · o° ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ Ä Ç µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ ±µ¦r¤° · Å o º° x > n@
¦ a \ > n@ ¦ a e k
k
k
k
jkZ0 n
k
¦a e k
jk 2S / N n
(5.13)
k
Á¤ºÉ° ak º° nµ ´ª ´ µ Ä ¤ µ¦ (5.13) ¥´ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N à ¥ ¸É ° r ¦³ ° ° ´ µ Á¤ºÉ° k i Á¦¸¥ ªnµ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ i (i–th harmonic component) Á¤ºÉ° i d N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ Á ºÉ° µ ´ µ \ k > n @ ¤¸ ªµ¤Â nµ ´ Á¡¸¥ N ´ µ Á nµ ´Ê ´ ´Ê ¨¦ª¤Ä ¤ µ¦ (5.13) ¹ µ¤µ¦ Ä oÁ¡¸¥ N ¡ r ÈÅ o ´É º° x > n@
µ¦Â ´ µ µ x > n @ discrete-time Fourier seires)”
¦ae k
k
jk 2S / N n
(5.14)
N
µ¤¤ µ¦ (5.14) ³Á¦¸¥ ªnµ “° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS:
5.2.3 µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ Ä µ¦Â ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (5.14) ´Ê ·É ¸Éε ´ º° ³ o° ¦µ nµ ´ª ak 宦´ » nµ k ¹É µ¤µ¦ ®µÅ o ´ ¸Ê µ ¤ µ¦ (5.14) Ä®o ε µ¦ ¼ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (5.14) oª¥ e jr 2S / N n ³Å oÁ } § · jr 2S / N n jk 2S / N n ¨¨ ¦ ak e ¸¸ e ©k N ¹
x > n @ e jr 2S / N n
µ ´Ê ε µ¦®µ ¨¦ª¤ ° ¤ µ¦ (5.15) ε ª
¦ x > n@ e
n
jr 2S / N n
N
N
¡ r ´É º°
j k r 2S / N n
¦ ¦ae k
n
N k
(5.15)
N
j k r 2S / N n
¦a ¦e k
k
N
n
(5.16)
N
µ ¤ µ¦ (5.9) ³Å oªnµ j k r 2S / N n
¦e
n
N
N , k r ® ¯0, else
0, r N , r2 N ,!
(5.17)
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-5
¡· µ¦ µ¤ µ¦ (5.16) Á¤ºÉ° k
r
³Å o
¦ x > n@ e
n
jr 2S / N n
Nar
(5.18)
N
´ ´Ê ¦» Å oªnµ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® à ¥ x > n@
¦ae k
k
jkZ0 n
(5.19)
N
¨³ 1 N
ak
¦ x > n@ e
n
jkZ0 n
(5.20)
N
à ¥ ¸É Z0 2S / N ¨³ ak Á¦¸¥ ªnµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®¦º°´¤ ¦³· ·ÍÁ ¦´¤ ° ´ µ µ x > n @ ¹É Ä oÁ } ´ªª´ ´ nª ° ´ µ x > n @ Ä Â n¨³±µ¦r¤° · ¨³ nµ a0 º°° r ¦³ ° Å¢¢jµ ¦³Â ¦ (d.c. component) ° ´ µ x > n@ ¹É ®µÅ o µ µ¦Â nµ k 0 ¨ Ä ¤ µ¦ (5.20) ´É º° 1 N
a0
¦ x > n@
n
(5.21)
N
¹É È º° nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ x > n@ £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ N à ¥ ´ÉªÅ ¤ µ¦ (5.19) Á¦¸¥ ªnµ¤ µ¦´ Á ¦µ³®r (synthesis equation) ¨³¤ µ¦ (5.20) Á¦¸¥ ªnµ¤ µ¦ª·Á ¦µ³®r (analysis equation) ° µ ¸Ê¤ µ¦ (5.14) εĮo ¦µ ªnµ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® oª¥´ µ ¡ºÊ µ \ k > n@ e jk 2S / N n Á¡¸¥ N ¡ rÁ nµ ´Ê ´ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ´¤ ¦³· ·Í ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³ Êε ´ª¤´ Á° » Ç N ¦´Ê ´É º° ak
ak N
(5.22)
®¦º°°µ ¨nµªÅ oªnµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } µ Á n ´ à ¥¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 5.3 ε® Ä®o´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ª 2S n º ª 2S n º ª 4S n S º 3cos « cos « » x > n @ 1 sin « » » 2¼ ¬ N ¼ ¬ N ¼ ¬ N
®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸Ê 5-6
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
(5.23)
ª· ¸ ε °µ«´¥ ªµ¤´¤¡´ r ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ x > n@ 1
§ 2S · § 2S · § 2S · § 2S · § 4S · §S · § 4S · §S · 1 § j ¨© N ¸¹ n j ¨© N ¸¹n · 3 § j ¨© N ¸¹ n j ¨© N ¸¹ n · 1 § j ¨© N ¸¹ n j ¨© 2 ¸¹ j ¨© N ¸¹ n j ¨© 2 ¸¹ · e e e e e e ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ 2¨ ¸ 2¨ ¸ 2 j ¨© ¹ © ¹ © ¹ § 2S ·
§ 2S ·
§ 4S ·
§ 4S ·
§ 3 1 · j¨ ¸n § 3 1 · j¨ ¸n 1 j S j¨ ¸n 1 j S j¨ ¸n 1 ¨ ¸ e © N ¹ ¨ ¸ e © N ¹ e 2 e © N ¹ e 2 e © N ¹ 2 2 ©2 2j¹ ©2 2j¹
(5.24)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (5.19) ¨³ (5.24) ¡ ªnµ´ µ µ x > n@ ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° a0
1
a1
3 1 2 2j
a 1
3 1 2 2j
a2
1 j S2 e 2
a 2
3 1 j 2 2 3 1 j 2 2 1 j 2
1 j S2 e 2
1 j 2
a0
a1
a 1
a2
a 2
1
10 2 10 2 1 2 1 2
¨³
a0
0
¨³
a1
§1· tan 1 ¨ ¸ ©3¹
0.3217
¨³
a 1
§1· tan 1 ¨ ¸ 0.3217 ©3¹
¨³
a 2
S
¨³
a 2
2
S 2
£µ¡ ¸É 5.1  nµ ¦· ¨³ nµ · £µ¡ ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¨³£µ¡ ¸É 5.2  µ ¨³¤»¤Á¢ ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Á¤ºÉ° ε® Ä®o µ Áª¨µ¤¸ nµÁ nµ ´ N 7 ¹É ³Á®È Å oªnµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¤¸¨´ ¬ ³Á } µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N 7 Á n ´ ´ª°¥nµ ¸É 5.4 ¡· µ¦ µ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ µ¤£µ¡ ¸É 5.3 ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¸Ê ª· ¸ ε nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ®µÅ o µ ¤ µ¦ (5.20) ´É º° ak
Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ m
n N1
1 N
N1
¦e
jk 2S / N n
(5.25)
n N1
Ä ¤ µ¦ (5.25) ³Å o บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-7
ak
Re ^ak `
k ak
Im ^ak `
k
£µ¡ ¸É 5.1 ( ) nµ ¦· ¨³ ( ) nµ · £µ¡ ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r 宦´ ( ) µ ° ak
N
7
ak 10 / 2
1 -N
-2 -1
0.5 0
ak
( ) ¤»¤Á¢ ° ak
k
N
2
1
S /2
0.3217 -N
k
N
0 – 0.3217 S / 2
£µ¡ ¸É 5.2 ( ) µ ¨³ ( ) ¤»¤Á¢ ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r 宦´
N
7
x > n@
N
N1
N1
N
n
£µ¡ ¸É 5.3 ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ak
1 N
2 N1
¦e
jk 2S / N m N1
m 0
µ ° » ¦¤Á¦ µ · (geometric series) 5-8
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
1 jk 2S / N N1 2 N1 jk 2S / N m e ¦e N m 0
(5.26)
M
ÂŚD i 0
i
1 D M 1 D z1 1 D ,
Â&#x2014;´Â&#x160;Â&#x153;´Ă&#x160;Â&#x153;¤Â&#x201E;¾Œ (5.26) ¾¤¾ŒÂ&#x2122;Â&#x2039;´Â&#x2014;ÂŚÂźÂ&#x17E;Ă&#x201E;Ž¤nĂ&#x2026;Â&#x2014;oĂ Â&#x17E;}Â&#x153; ak
1 jk 2S / N N1 § 1 e jk 2S / N 2 N1 1 ¡ e ¨¨ ¸¸ jk 2S / N
N Š 1 e š 1 jk 2S / N N1 e jk 2S / N N1 0.5 § e jk 2S / N N1 0.5 e jk 2S / N N1 0.5 ¡ e ¨¨ ¸¸ jk 2S / N / 2 jk 2S / N / 2 jk 2S / N / 2 N e e e Š š 1 sin S k 2 N1 1 / N
sin S k / N
N 2 N1 1 ° sinc S k 2 N1 1 / N ½° ÂŽ ž sinc S k / N
N ¯° ¿°
(5.27)
ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â?Â&#x161;ÂťÂ&#x201E;Â&#x2021;nÂľ k Â&#x2014;´Â&#x160;Â&#x153;´Ă&#x160;Â&#x153;´¤Â&#x17E;ÂŚÂłÂ¡Â&#x161;Â&#x203A;¡Ă?°Â&#x153;ÂťÂ&#x201E;Œ¤¢Ÿà Œ¸¼ŒrÂ&#x2026;°Â&#x160;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;Â&#x2021;ÂľÂ? x > n @ Â&#x2021;º° ak
SCILAB:
 2 N1 1 / N , k 0, r N , r2 N ,! ° ÂŽ 2 N1 1 ° sinc S k 2 N1 1 / N ½° ž , else ° N ÂŽ sinc S k / N
°¯ °¿ ¯
(5.28)
(Â&#x2DC;´ª°¼nÂľÂ&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 5.4)
-->N1 = 2;
N = 7;
Wk = 2*%pi/N;
n = -N1:N1;
-->for ii = 1:length(k) --> Ak(ii) = clean(sum(exp(-%i*k(ii)*Wk*n))/N); -->end
k = 0:N-1 //Â&#x2021;nÂľ ak Â&#x2DC;¾¤Â¤Â&#x201E;¾Œ (5.25)
-->temp = (2*N1+1)/N; -->for ii = 1:length(k) --> if modulo(k(ii),N)==0 then --> Ak2(ii) = temp; //Â&#x2021;nÂľ ak Â&#x2DC;¾¤Â¤Â&#x201E;¾Œ (5.28) --> else --> Ak2(ii) = temp*sinc(%pi*k(ii)*temp)/sinc(%pi*k(ii)/N); --> end -->end -->Xn
= [1 1 1 0 0 1 1];
-->Ak3 = clean(fft(Xn)/N)'
//´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x > n @ Â&#x2DC;¾¤Â&#x161;¸Ă&#x2030;Ă&#x192;Â&#x2039;Â&#x161;ÂĽrÂ&#x201E;Ă&#x17D;¾ŽÂ&#x153;Â&#x2014; //Â&#x2021;nÂľ ak Â&#x161;¸Ă&#x2030;Ă&#x2026;Â&#x2014;oÂ&#x2039;ÂľÂ&#x201E;Â&#x201E;¾ŒĂ&#x201E;Â?oÂ&#x2021;Ă&#x17D;¾´Ă&#x2030;Â&#x160; fft Â&#x2026;°Â&#x160;Ă&#x192;Â&#x17E;ÂŚĂ&#x201A;Â&#x201E;Œ¤ SCILAB Â&#x17D;šĂ&#x2030;Â&#x160;¤¸Â&#x2021;n¾à Â&#x161;nÂľÂ&#x201E;´Â? Ak Ă&#x201A;¨³ Ak2
ŕ¸&#x161;ŕ¸&#x2014;ŕ¸&#x2014;฾ŕš&#x2C6; 5 ŕ¸ŕ¸&#x2122;ุภรลŕ¸&#x;บŕš&#x20AC;ร฾ยรď&#x153;&#x17D;ŕ¸&#x2014;฾ŕš&#x2C6;ŕš&#x201E;ลď&#x153;&#x160;ŕ¸&#x2022;ď&#x153;&#x160;ŕ¸ŕš&#x20AC;ŕ¸&#x2122;มŕš&#x2C6;ŕ¸ŕ¸&#x2021;ŕ¸&#x2014;าŕ¸&#x2021;ŕš&#x20AC;ว฼า 5-9
N1
2
N1
4
£µ¡ ¸É 5.4 nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r a 宦´ nµ k
N1
nµ Ç Á¤ºÉ°
N
20
£µ¡ ¸É 5.4  nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak 宦´ N 20 Á¤ºÉ° N1 2 ¨³ N1 4 ´ Á ³¡ ªnµ Á¤ºÉ°´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x > n@ Ä £µ¡ ¸É 5.2 ¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â Á n N1 2 nµ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³Â n ¥µ¥°° Å ¤µ µ¤£µ¡ ¸É 5.4 ( ) Á¤ºÉ°Á ¸¥ ´ £µ¡ ¸É 5.4 (¨nµ ) Á¤ºÉ° N1 4 ° µ ¸Ê ³Á®È Å oªnµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸¨´ ¬ ³ Á } µ oª¥Á n ´ ¹É ³ ¦ ´ oµ¤ ´ ¦ ¸ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ SCILAB:
(£µ¡ ¸É 5.4)
-->N = 20;
k = -40:40;
-->N1 = 2; x = 2*N1+1; -->ak = (x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N); -->subplot(2,1,1); plot2d3(k, ak);
//£µ¡ ¸É 5.4 ( )
-->N1 = 4; x = 2*N1+1; -->ak = (x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N); -->subplot(2,1,2); plot2d3(k, ak);
//£µ¡ ¸É 5.4 (¨nµ )
´ª°¥nµ ¸É 5.5 ®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x > n @ 8sin S n / 2
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(5.29)
Á¤ºÉ° ε® Ä®o µ Áª¨µ ° ´ µ x > n@ º°
N
4
ª· ¸ ε Á ºÉ ° µ ´ µ µ x > n @ ¤¸ µ Áª¨µ N 4 ´ ´Ê ´ ¤ ¦³· ·Í ° » ¦¤¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r 4 ´ª ÈÁ¡¸¥ ¡°Îµ®¦´ Ä oÄ µ¦Â ´ µ x > n@ ¹É ®µÅ o µ ¤ µ¦ (5.20) ´É º° ak
à ¥ ¸ÉÁ¤ºÉ° k
宦´ k
1
0,1, 2,3
Î µ ª
(5.30)
³Å o
§Sn · 2 ¦ sin ¨ ¸ © 2 ¹ n 4
a0
a1
0
1 §Sn · ¦ 8sin ¨© 2 ¸¹ e jk 2S / 4 n , k 4n 4
ak
§S · § 3S · ½ 2 ®sin 0 sin ¨ ¸ sin S sin ¨ ¸ ¾ ©2¹ © 2 ¹¿ ¯
2 ^0 1 0 1 ` 0
³Å o
§ S n · j S / 2 n 2 ¦ sin ¨ ¸e © 2 ¹ n 4
§ S · j S /2 § 3S · j 3S / 2 ½ 2 ®sin 0 sin ¨ ¸ e sin S e jS sin ¨ ¸ e ¾ ©2¹ © 2 ¹ ¯ ¿
2 ^0 1 j 0 1 j ` 4 j
宦´ k a2
2
³Å o
§ S n · j 2 S / 2 n 2 ¦ sin ¨ ¸e © 2 ¹ n 4
§ S · jS 1 § 3S jS 2 2 ®sin 0 sin ¨ ¸ e sin S e sin ¨ 2 © ¹ © 2 ¯
· jS 3 ½ ¾ ¸e ¹ ¿
2 ^0 1 0 0 1 0 ` 0
¨³Îµ®¦´ k a3
3
³Å o
§ S n · j 3 S / 2 n 2 ¦ sin ¨ ¸e © 2 ¹ n 4
§ S · j3 S / 2 § 3S · j 3 3S / 2 ½ 2 ®sin 0 sin ¨ ¸ e sin S e j 3S sin ¨ ¸ e ¾ ©2¹ © 2 ¹ ¯ ¿
2 ^0 1 j 0 1 j ` 4 j
´ ´Ê ´ µ µ x > n @
8sin S n / 2
x > n@
¹É ³Å o ε ° Á nµ ´ º° a0
µ¤µ¦ Á ¸¥  oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (5.19) º°
¦ae k
k
0 , a1
jk S / 2 n
4 je j S / 2 n 4 je j 3 S / 2 n
(5.31)
4
4 j , a2
0
¨³ a3
4j
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-11
SCILAB:
-->N
( ´ª°¥nµ ¸É 5.5) = 4;
n = 0:N-1;
Wk = 2*%pi/N;
k = 0:N-1
-->Xn = 8*sin(%pi*n/2); // nµ ak µ¤¤ µ¦ (5.30)
-->for ii = 1:length(k)
--> Ak(ii) = clean(sum(8*sin(%pi*n/2).*exp(-%i*k(ii)*Wk*n))/N); -->end -->Ak' ans = 0
4.i
0
- 4.i // nµ ak ¸ÉÅ o µ µ¦Ä o ε´É fft ° à ¦Â ¦¤ SCILAB
-->Ak = clean(fft(Xn)/N) Ak
= 0 - 4.i
0
4.i
-->Xn = clean(8*sin(%pi*n/2)) Xn = 0.
8.
0.
- 8.
// nµ x > n @ µ ¤ µ¦ (5.29)
-->Xk = clean(-4*%i*exp(%i*%pi/2*n) + 4*%i*exp(%i*3*%pi/2*n)) Xk = 0
8.
0
// nµ x > n @ µ ¤ µ¦ (5.31) ¹É Ä®o ¨¨´¡ rÁ nµ ´ ´ ° ¤ µ¦ (5.29)
- 8.
5.2.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ ®´ª o° ¸É 4.2.6 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° ε ª ¡ r ¸ÉÄ oÄ µ¦¦oµ ´ µ µ µ¤¤ µ¦ (4.51) ¤¸ nµ° ´ r ¤· ³ ´Ê ¨oª ³Á · ¦µ µ¦ r · r » ¸É ´ µ µ ¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° °¥nµ Ŧ È µ¤Îµ®¦´ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n @ ³Å¤n¤¸ { ®µÁ¦ºÉ° µ¦¨¼nÁ oµ ¨nµª º° µ¦Â nµ´ µ µ x > n@ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (5.19) ¤¸ nµ ¨¼nÁ oµÁ¤° ¹É µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o µ ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 5.6 ¡· µ¦ µ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ µ¤£µ¡ ¸É 5.3 Á¤ºÉ° ε® Ä®o N1 2 ¨³ N 9 ¦oµ ´ µ µ x > n@ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤ µ¤¤ µ¦ (5.19) à ¥ Ä o ε ª ¡ r ε ´ ´É º° xˆ > n @
宦´ M
1,3, 4
M
¦ae k
jkZ0 n
k M
M
¦ae k
jk 2S / N n
(5.32)
k M
¨³ ak º° nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É ¸ ¸É» ¹É µ¤µ¦ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (5.20)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
M
1
M
3
M
4
£µ¡ ¸É 5.5 ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¦oµ µ ¤ µ¦ (5.32) 宦´ nµ
M
1, 3, 4
ª· ¸ ε °µ«´¥ ε ° Ä ¤ µ¦ (5.28) Á¡ºÉ°®µ nµ ak 宦´ k 0, r1, r2, r3, r4 µ ´Ê  nµ ak ¸ÉÅ o ¨ Ä ¤ µ¦ (5.32) 宦´ nµ M Ä Â n¨³ ¦ ¸Á¡ºÉ°®µ nµ ¦³¤µ ° ´ µ µ x > n@ ´É º° x̂ > n @ £µ¡ ¸É 5.5  ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x̂ > n@ 宦´ M 1,3, 4 ¹É ¡ ªnµÁ¤ºÉ° M 4 ´ µ x̂ > n @ ¸ÉÅ o¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ µ o ´ x > n@ à ¥Å¤n¤¸ { ®µÁ¦ºÉ° ¦µ µ¦ r · r ´Ê ¸ÊÁ ºÉ° ¤µ µ ªµ¤ ¦· ¸Éªnµ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r oª¥ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ε ª N ´ª ¸ÉÁ¦¸¥ n° ´ ´É º° ε ª ¡ r ´Ê ®¤ ¸ÉÄ oÄ ¤ µ¦ (5.32) ®¦º° 2M 1 o° ¤¸ ε ª N ´ª ¹É Ä ¸É ¸Ê ³Å oªnµ 2M 1 N 9 ®¦º° M 4 SCILAB:
(£µ¡ ¸É 5.5)
-->N = 9;
w0 = 2*%pi/N;
-->M = 1;
k = -M:M;
N1 = 2;
x = 2*N1+1;
n = -15:15;
xn = [];
-->for i = 1:length(n) --> xn(i) = sum(((x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N)).*exp(%i*k*w0*n(i))); -->end -->subplot(3,1,1); plot2d3(n, xn); //£µ¡ ¸É 5.5 ( ) -->M = 3;
k = -M:M;
xn = [];
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-13
-->for i = 1:length(n) --> xn(i) = sum(((x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N)).*exp(%i*k*w0*n(i))); -->end -->subplot(3,1,2); plot2d3(n, xn); //£µ¡ ¸É 5.5 ( ¨µ ) -->M = 4; k = -M:M; xn = []; -->for i = 1:length(n) --> xn(i) = sum(((x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N)).*exp(%i*k*w0*n(i))); -->end -->subplot(3,1,3); plot2d3(n, xn); //£µ¡ ¸É 5.5 (¨nµ )
µ¦¦oµ ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤ µ¤¤ µ¦ (5.32) ³Ä o ´ ´ µ µ x > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¸Éà ¥Ä o M N 1 / 2 °¥nµ Ŧ È µ¤Ä ¦ ¸ ¸É ´ µ µ x > n @ ¤¸ µ Áª¨µ N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¼n µ¦¦oµ ´ µ µ x > n @ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤ µ¤µ¦ εŠoà ¥Ä o¤ µ¦ n°Å ¸Ê xˆ > n @
à ¥ ¸É M
N /2
M
¦
k M 1
Á¡ºÉ° ¸É ³¦´ ¦° Å oªnµ x̂ > n @
M
ak e jkZ0 n
¦
ak e jk 2S / N n
(5.33)
k M 1
x > n@
5.3 » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS) ¤¸¦¼  ¨³ª· ¸ µ¦¡·¼ r nµ Ç ¨oµ¥ ´ » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS) µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 4.3 ´ ´Ê Ä nª ¸Ê ³ ¨nµª ¹ Á ¡µ³ » ¤ ´ · ¸É nµ Ä Â¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥ ³Ä o´ ¨´ ¬ r DtFS x > n@ m o ak
(5.34)
 ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁ¡ºÉ°Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ´ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ° ´ µ x > n@
5.3.1 ªµ¤Á } µ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Å¸É ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¤ µ¦ (5.20) εĮo ¦µ ªnµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ³¤¸ ¨´ ¬ ³Á } µ à ¥¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ N Á¤° ´É º° ak
ak N
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(5.35)
5.3.2 » ¤ ´ ·Á · Áo DtFS DtFS DtFS o ak , y > n@ m o bk , ¨³ z > n@ m o ck Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ε® Ä®o x > n@ m ´ ´Ê ´ µ z > n@ Ax > n@ By > n@ º ° ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¹É ¤¸ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
ck
Á¤ºÉ°
A
Aak Bbk
(5.36)
¨³ B Á } nµ ´ªÄ Ç Á¡¦µ³ ³ ´Ê » ¤ ´ ·Á · Áo ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS Ax > n@ By > n@ m o Aak Bbk
(5.37)
5.3.3 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ DtFS DtFS o ak o bk ´ ´Ê y > n@ x > n n0 @ º°´ µ x > n@ ¸É ¼ ε® Ä®o x > n@ m ¨³ y > n@ m Á¨ºÉ° Áª¨µ (time shifting) Á } ε ª n0 ® nª¥ ¨³¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
bk
¹É ¡·¼ rÅ o µ x > n@ ¦ k
ak e jkZ0 n
e
jk 2S / N n0
ak
(5.38)
oµÂ nµ n oª¥ n n0 ³Å o
N
x > n n0 @
¦ae k
k
¦ ^e
jkZ0 n n0
N
k
jkZ0 n0
`
ak e jkZ0 n
N
´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n n0 @ ¤¸ nµÁ nµ ´ bk
Á¤ºÉ° Z0
2S / N
e jkZ0 n0 ak
e jk 2S / N n0 ak
Á¡¦µ³ ³ ´Ê » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS x > n n0 @ m oe
jk 2S / N n0
ak
(5.39)
» ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° µ Áª¨µÂ Ä®oÁ®È ªnµ Á¤ºÉ° ε µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ x > n@ Á } Áª¨µ n0 ® n ª ¥ ¨ ¸É Á · ¹Ê ´ ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º ° µ¦ ¼ ´ ¤ ¦³· ·Í ° » ¦¤¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ak o ª ¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jk 2S / N n ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ (magnitude) ° ak ¥´ Á®¤º° Á ·¤ Á¡¸¥  n¤»¤Á¢ (phase) ° ak ³Á ¨¸É¥ Å Â Á · Áo oª¥ nµ 2S / N n0 0
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-15
5.3.4 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ´ ´Ê y > n@ e jM Z n x > n@ º°´ µ x > n@ ¸É ¼ ε® Ä®o x > n@ m Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É (frequency shifting) Á } ε ª M Z0 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ¹É ¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° 0
bk
ak M
(5.40)
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS e jM 2S / N n x > n@ m o ak M
(5.41)
5.3.5 » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ´ ´Ê y > n@ ε® Ä®o x > n@ m Áª¨µ (time reversal) ¹É ¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
bk
x > n @
º°´ µ x > n@ ¸É ¼ ¡´ µ
a k
(5.42)
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS x > n@ m o a k
(5.43)
5.3.6 » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ´ ´Ê y > n@ x > n / D @ º° µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ´ µ ε® Ä®o x > n@ m µ x > n@ à ¥ µ¦ÄnÁ¨ «¼ ¥r ε ª D 1 ´ª¨ Å ¦³®ªnµ o°¤¼¨ ¸É · ´ ° x > n@ ´ ´Ê
x > n / D @ , n / D = integer y > n@ ® else ¯0,
Á¤ºÉ° D Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª oµ´ µ x > n@ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ Á nµ ´ D N ¨³´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ º° bk
1
D
³Å oªnµ´ µ y > n@ ¤¸ µ Áª¨µ
ak
£µ¡ ¸É 5.6  ´ª°¥nµ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ´ µ µ x > n@ 宦´ y > n@ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ D N 2 3 6 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
N
(5.44)
(5.45) N
3
¨³ D
2
¹É ³¡ ªnµ´ µ
x >n@ -3 -2 -1 0
1
N
2 3 4
n
5
3
y > n@
-6
-4
-2
0
6
4
2
N
8
ªnº
x« » ¬2¼ n
10
6
£µ¡ ¸É 5.6 ´ª°¥nµ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ´ µ µ x > n@ 宦´
N
3
¨³ D
2
5.3.7 » ¤ ´ · µ¦ ¼ DtFS DtFS DtFS o ak , y > n@ m o bk , ¨³ z > n@ m o ck Á } ´ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ε® Ä®o x > n@ m ´ ´Ê z > n@ x > n@ y > n@ º° ¨ ¼ ° ´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¹É ¥´ Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ Á nµ ´ N Á n ´ ¨³¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
ck l
¦ ab N
(5.46)
l k l
Á¡¦µ³ ³ ´Ê » ¤ ´ · µ¦ ¼ ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS x > n@ y > n@ m o ¦ al bk l l
(5.47)
N
5.3.8 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ DtFS DtFS DtFS o ak , y > n@ m o bk , ¨³ z > n@ m o ck Á } ´ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ε® Ä®o x > n@ m ´ ´Ê ´ µ z > n@ x > n@ y > n@ Á } µ¦ ε ° ꨼ ´  µ (periodic convolution) ¦³®ªnµ ´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¹É ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
ck
Nak bk
(5.48)
à ¥µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê ck
1 N
¦ z > n@ e
n
N
jkZ0 n
1 N
°
½°
¦ ® ¦ x > l @ y > n l @¾ e
n
N
¯°l
N
jkZ0 n
¿°
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-17
l
°1 ¦ x >l @ ® N ¦ y > n l @ e ¯°
N
n
¦ x >l @^b e k
l
jkZ0 n
N
jkZ0l
N
½° ¾ ¿°
`
° 1 °½ N ® ¦ x >l @ e jkZ0l ¾ bk °¯ N l N °¿
Nak bk
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r °º DtFS
¦ x >l @ y > n l @ m o Na b
(5.49)
k k
l
N
5.3.9 » ¤ ´ · ¨ nµ ¨Îµ ´ ¸É® ¹É DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ´ µ y > n@ x > n@ x > n 1@ º° ¨ nµ °´ ´ ® ¹É ε® Ä®o x > n@ m (first difference) ° ´ µ x > n@ ¹É ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
bk
1 e
jk 2S / N
a
(5.50)
k
´ ´Ê » ¤ ´ · ¨ nµ ¨Îµ ´ ¸É® ¹É ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°
DtFS x > n@ x > n 1@ m o 1 e
jk 2S / N
a
k
(5.51)
5.3.10 » ¤ ´ · ¨³¤ n
DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ´ µ y > n@ ¦ x > k @ º° ¨³¤ ° ´ µ ε® Ä®o x > n@ m k f
x > n@
¹É ¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° bk
1 1 e
jk 2S / N
ak
(5.52)
´ ´Ê » ¤ ´ · ¨³¤¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° n
DtFS
¦ x > k @ m o 1 e
k f
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
1 jk 2S / N
ak
(5.53)
5.3.11 ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ Á ºÉ° µ ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ´ µ µ x > n@ ®µÅ o µ 1 N
P
¦ x > n@
n
2
(5.54)
N
DtFS o ak ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ (Parseval’s relation) ³ ·¥µ¤Ã ¥ oµ ε® Ä®o x > n@ m
1 N
¦ x > n@
n
N
2
¦
k
ak
2
(5.55)
N
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ nµ ak 2  ¹ ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ k ° ´ µ µ x > n@ ´ ´Ê ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ° Ä®o ¦µ ªnµ ε¨´ Á ¨¸É¥¦ª¤ ° ´ µ µ ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤ ° ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · » °´ ´
5.3.12 ¦» » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk Á } ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ε® Ä®o x > n@ m ®¦º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Z0 2S / N µ¦µ ¸É 5.1 ¦» » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
5.3.13 ¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Å¸É ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ¨³´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¤¤ µ¦ (5.19) ¨³ (5.20) Ä nª ¸Ê ³¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ µ¤ µ¦µ ¸É 5.2 Á¤ºÉ° Z0 2S f0 2S / T , G N > n@ º°´ µ G > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µ Á nµ ´ N , N F º° µ Áª¨µ ° ak , ¨³ m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª ´ª°¥nµ ¸É 5.7 ®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x > n @
A cos 2S n / N
ª· ¸ ε ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ®µÅ o µ ¤ µ¦ (5.20) ´É º° ak
1 N
¦
n
N
§ 2S n · jk 2S n / N A cos ¨ ¸e © N ¹
(5.56)
°µ«´¥ ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-19
µ¦µ ¸É 5.1 » ¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ¤ ´ ·
´ µ µ
´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r
1. ªµ¤Á } Á · Áo
Ax > n @ By > n @
Aak Bbk
2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ
x > n n0 @
ak e
3. µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É
x > n@ e
4. µ¦¡´ µ Áª¨µ
x > n@
a k
5. µ¦Á ¨ µ Áª¨µ
x >n / D @
ak / D
6. µ¦ ¼
x > n@ y > n@
l
¦ x >l @ y > n l @
Nak bk
8. µ¦´ ¥»
x > n @
a k
9. ¨ nµ °´ ´ ® ¹É
x > n @ x > n 1@
1 e
7. µ¦ ε ° ꨼ ´
l
jM 2S / N n
ak M
N
N
jk 2S / N
a
k
¦ x >k @
1 § ·a ¨ jk 2S / N ¸ k © 1 e ¹
x > n@
ak
k f
11. ªµ¤¤¤µ ¦ ° µ¦´ ¥»
¦ ab
l k l
n
10. ¨³¤
jk 2S / N n0
Á } ¢{ r ´ nµ ¦·
a k
Re ^ak ` Re ^a k ` Im ^ak ` Im ^a k ` ak
a k
ak
(¤»¤Á¢)
x > n@
Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n
ak
Á } nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n
x > n@
Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¸É
ak
Á } nµ · £µ¡Â o¨³¢{ r ´ ¸É
12. ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ª· µ¨
1 N
ak
a k
A 2N A 2N
¦ ^e
j 2S n / N
¦ ^e
j 2S n 1 k / N
n
n
N
¦ x > n@
n
2
ak
¦
N
k
2
N
e j 2S n / N ` e jk 2S n / N e
j 2S n 1 k / N
n
N 1
N
A N 1 j 2S 1 k / N ®¦ e 2N ¯n 0
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
¦ e n 0
`
j 2S 1 k / N
n
½¾¿
(5.57)
µ¦µ ¸É 5.2 ¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ µ µ x > n@
´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak G N >k @ ,
1
F
Á¤ºÉ° 1
G N > n@
N
NF
Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç
Gm >k @ , NF
mN
G N > k m@ , N F
e j 2S n / N .
F
1
cos 2S qn / N
2
j
sin 2S qn / N
2
mN
^G > k mq @ G > k mq @` ,
NF
mN
^G > k mq @ G > k mq @` ,
NF
mN
F
F
F
F
Á ºÉ° µ N 1
¦D
1 D N 1 D
n
n 0
,
D z1
´ ´Ê ¤ µ¦ (5.57) ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } ak
N
N
A 2N
1 e j 2S 1 k / N ° ® j 2S 1 k / N ° 1 e ¯
A 2N
° 1 e j 2S 1 k
1 e j 2S 1 k ½° ® j 2S 1 k / N j 2S 1 k / N ¾ 1 e ¿° ¯°1 e
A 2N
° e jS 1 k sin S k 1
e jS 1 k sin S k 1 ½° jS 1 k / N ® jS 1 k / N ¾ sin S k 1 / N e sin S k 1 / N ¿° ¯° e
1 e j 2S 1 k / N
1 e j 2S 1 k / N
½ ° ¾ ° ¿
(5.58)
°µ«´¥¢{ r ´ ¸¦¸Á ¨ (Dirichlet function) ¸É ·¥µ¤Ã ¥ [4] §k · drcl ¨ , N ¸ ©L ¹
Á¤ºÉ° k
k 1 ¨³ L
N
sin S Nk / L
N sin S k / L
(5.59)
´ ´Ê ¤ µ¦ (5.58) µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-21
ak
jS 1 k
A ° e jS 1 k
§ k 1 · e § k 1 · °½ , N ¸ jS 1 k / N drcl ¨ , N ¸¾ ® jS 1 k / N drcl ¨ N 2 ¯° e © ¹ e © N ¹ ¿°
(5.60)
µ » ¤ ´ · ° ¢{ r ´ ¸¦¸Á ¨¡ ªnµ ak Ä ¤ µ¦ (5.60) ¤¸ nµÁ nµ ´ A / 2, k qN r 1 ® else ¯0,
ak
à ¥ ¸É q º°Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x > n @ A / 2, k qN r 1½ ® ¾ else ¯0, ¿
ak
A cos 2S n / N
A ^G N > k 1@ G N > k 1@` 2
´ª°¥nµ ¸É 5.8 ®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x > n @
(5.61) º°
(5.62)
cos 2S n / 3 G 5 > n @
ª· ¸ ε ´ µ x > n@ ¦³ ° Å oª¥´ µ µ ° ´ µ ¦ª¤ ´ à ¥ ¸É x1 > n @ cos 2S n / 3
¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 3 ¨³ x2 > n @ G 5 > n @ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 5 ´ ´Ê µ Áª¨µ ° ´ µ x > n @ ³¤¸ nµ Á nµ ´ 15 ( ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥ ° 3 ¨³ 5) µ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ µ¦µ ¸É 5.2 ³Å oªµn DtFS x1 > n@ cos 2S n / 3 m o ak ,1
1 ^G3 > k 1@ G3 > k 1@` 2
(5.63)
°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µÁ¡ºÉ° ¥µ¥Áª¨µ ° ´ µ x1 > n@ Ä®o¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 15 ( ´É º° D ´ ´Ê ´ µ x1 > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 15 ³¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° ak ,1,D
° 1/ 2 ^G 3 > k / 5 1@ G 3 > k / 5 1@` , k / 5 integer ® else °̄0,
5
5)
(5.64)
µ ·¥µ¤ ° ¢{ r ´ °·¤¡´¨r µ ªk
º
ªk 5º
G N « 1» G N « G N > k 5@ ¬5 ¼ ¬ 5 »¼
´ ´Ê ¤ µ¦ (5.64) ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } ak ,1,D
5
° 1/ 2 ^G 3 > k 5@ G 3 > k 5@` , k / 5 integer ® else °̄0,
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
(5.65)
x1 > n @ n
ak ,1 k
ak ,1,D
5
k
£µ¡ ¸É 5.7 ´ µ µ x1 > n@ ¡¦o°¤ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ,1 ¨³ ak ,1,D
5
®¦º°µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } ak ,1,D
1 ^G15 > k 5@ G15 > k 5@` 2
5
£µ¡ ¸É 5.7  ´ª°¥nµ ´ µ µ x1 > n@ ¡¦o°¤ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ,1 ¨³ ak ,1,D Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ µ¦µ ¸É 5.2 ³Å oªnµ DtFS x2 > n@ G 5 > n@ m o ak ,2
(5.66) 5
1 G1 > k @ 5
(5.67)
°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µÁ¡ºÉ° ¥µ¥Áª¨µ ° ´ µ x2 > n@ Ä®o¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 15 ´É º° D Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ x2 > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 15 ³¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° ak ,2,D
3
1/ 5, k / 3 integer ½ ® ¾ else ¯0, ¿
1 G3 >k @ 5
£µ¡ ¸É 5.8  ´ª°¥nµ ´ µ µ x2 > n@ ¡¦o°¤ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ,2 ¨³ ak ,2,D ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ ak
ak ,1,D 5 ak ,2,D
3
1 1 G15 > k 5@ G15 > k 5@` G 3 > k @ ^ 2 5
3
(5.68) 5
´ ´Ê
(5.69)
´ Â Ä £µ¡ ¸É 5.9 บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-23
x2 > n @ n
ak ,2 k
ak ,2,D
3
k
£µ¡ ¸É 5.8 ´ª°¥nµ ´ µ µ x > n@ ¡¦o°¤ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ,2 ¨³ ak ,2,D 2
3
x > n@
n
ak
ak ,1,D 5 ak ,2,D
3
k
£µ¡ ¸É 5.9 ´ª°¥nµ ´ µ µ x > n@ ¨³´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak
´ª°¥nµ ¸É 5.9 ®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x > n @ Ä £µ¡ ¸É 5.10 ( ) DtFS DtFS DtFS o ak , x1 > n@ m o bk , ¨³ x2 > n@ m o ck Á ºÉ° µ ´ µ µ ª· ¸ ε ε® Ä®o x > n@ m x > n @ º° ¨¦ª¤ ° ´ µ x1 > n @ ¨³ x2 > n @ µ » ¤ ´ · ªµ¤Á } Á · Áo ³Å oªnµ
ck
ak bk
¨³ µ ´ª°¥nµ ¸É 5.4 ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x1 > n @ Á¤ºÉ° N 5 º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
N1 1 ¨³
x > n@ k
x1 > n @ k
x2 > n @ k
£µ¡ ¸É 5.10 ( ) ´ µ µ x > n @ , ( ) ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x > n @ , ¨³ ( ) ´ µ Å¢¢jµ ¦³Â ¦ x > n @ 1
2
bk
k 0, r5, r10,! 3 / 5, ° ® 3 ° sinc 3S k / 5 °½ ° 5 ® sinc S k / 5 ¾ , else ¿° ¯ ¯°
(5.70)
Ä Î µ ° Á ¸ ¥ª ´ ´ µ x2 > n @ ¤¸ ¨´ ¬ ³Á } ´ µ Å¢¢jµ ¦³Â ¦ ¹É ³ ¼ Î µ® à ¥ ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r c0 Á nµ ´Ê oµ ε® Ä®o´ µ x2 > n @ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N 5 ´ ´Ê nµ c0 Á¤ºÉ° Z0 2S / N 2S / 5 ®µÅ o µ ¤ µ¦ (5.21) ´É º° c0
¨³ ck
0
1 ¦ x > n@ 1 5n 5
宦´ k z 0 ´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x > n@ º°
ak
bk ck
8 k 0, r5, r10,! °5 , ° ® sinc 3S k / 5 ½
° , else ° 3 °® ¾ °¯ 5 ¯° sinc S k / 5 ¿°
(5.71)
5.4 ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ®¨´ µ¦ ª·£µª³ (duality principle) ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-25
¡· µ¦ µ¤ µ¦ (5.20) à ¥Ä ¸É ¸Ê ³Ä o´ ¨´ ¬ r a > k @  ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ´É º°
 nµ n
 nµ k
m
n
a >k @
1 N
a >k @
1 N
¦ x > n@ e
n
jkZ0 n
(5.72)
N
Ä ¤ µ¦ (5.72) ³Å o
¨³ m
k
¦ x > m@ e
m
jkZ0 m
(5.73)
N
Ä ¤ µ¦ (5.73) ³Å o a > n@
1 N
¦ x > k @ e
k
jnZ0 k
(5.74)
N
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (5.74) ¨³ (5.19) ¡ ªnµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ a > n@ º° 1/ N x > k @ ¨³ oµ ε® Ä®o ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x > n@ º° DtFS x > n@ m o ak
a >k @
(5.75)
1 x > k @ N
(5.76)
´ ´Ê ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ a > n@ º° DtFS a > n@ m o
¤ µ¦ (5.76) º°ªnµÁ } ®¨´ µ¦®¦º° » ¤ ´ · ª·£µª³ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ª°¥nµ ¸É 5.10  ªnµ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ DtFS x > n M @ m o e jkZ0 M ak
(5.77)
DtFS e jM Z0n x > n@ m o ak M
(5.78)
¨³ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É
Á } ª·£µª³ ´ ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (5.77) °µ«´¥ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤¤ µ¦ (5.19) ³Å oªnµ x >n M @
¦ ^e
k
N
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
jkZ0 M
`
ak e jkZ0n
Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦¦³®ªnµ n ¨³ k ³Å o x >k M @
¨³Â nµ n
n
¦ ^e
n
jnZ0 M
`
an e jnZ0 k
N
³Å o x >k M @
¦ ^e
n
jnZ0 M
N
`
a n e jnZ0k
(5.79)
µ ®¨´ µ¦ ª·£µª³ Ä®o ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ´ ¸Ê 1) Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ x > n@ Ä®oÁ } an ´É º° x > n@ o an Á n x > k M @ o ak M 2) Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ak Ä®oÁ }
1 x > k @ N
´É º° ak o
1 x > k @ N
Á n a n o
1 x > n@ N
´ ´Ê ¤ µ¦ (5.79) ³Á ¨¸É¥ ¦¼ Á } ak M
1
¦ ®¯ N x > n@ e
n
N
jnZ0 M
1 N
½ jnZ0k ¾e ¿
¦ ^ x > n@ e
n
N
jnZ0 M
`e
jkZ0 n
(5.80)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (5.80) ´ ¤ µ¦ (5.20) ³¡ ªnµ DtFS x > n@ e jnZ0 M m o ak M
¹É ¦ ´ ¤ µ¦ (5.78) µ¤ ¸É o° µ¦ ´ª°¥nµ ¸É 5.11  ªnµ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ DtFS
¦ x >l @ y > n l @ m o Na b
k k
l
(5.81)
N
¨³ » ¤ ´ · µ¦ ¼ DtFS x > n@ y > n@ m o ¦ al bk l l
(5.82)
N
Á } ª·£µª³ ´ ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (5.81) °µ«´¥ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤¤ µ¦ (5.20) ³Å oªnµ
¦ x >l @ y > n l @ ¦ ^ Na b ` e k k
l
N
k
jkZ0 n
N
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-27
Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦¦³®ªnµ n ¨³ k ³Å o
¦ x >l @ y > k l @ ¦ ^ Na b ` e n n
l
¨³Â nµ n
n
N
n
jnZ0 k
N
³Å oÁ } l
¦ x >l @ y > k l @ ¦ ^ Na N
n
b
n n
N
` e jnZ k
(5.83)
0
µ ®¨´ µ¦ ª·£µª³ Ä®o ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ´ ¸Ê 1) Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ x > n@ o an ´ª°¥nµ Á n x >l @ o al ¨³ y > k l @ o bk l 2) Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ak o
1 x > k @ N
´ª°¥nµ Á n a n o
1 x > n@ N
¨³ b n o
1 y > n@ N
´ ´Ê ¤ µ¦ (5.83) ³Á ¨¸É¥ ¦¼ Á } l
¦ ab N
l k l
1 N
¦ ^ x > n@ y > n@` e
n
jkZ0 n
(5.84)
N
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (5.84) ´ ¤ µ¦ (5.20) ³¡ ªnµ DtFS x > n@ y > n@ m o ¦ al bk l l
N
¹É ¦ ´ ¤ µ¦ (5.82) µ¤ ¸É o° µ¦
5.5 ¨ ° ° ° ¦³ LTI n°´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ ¸É ¨nµª¤µÄ ®´ª o° ¸É 5.1 ¨ ° ° ° ¦³ LTI n°´ µ ¸ÉÁ } ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³¤¸ ¨¨´¡ r ¸ÉÁ }  Á ¡µ³ ¨nµª º° oµ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ¨³¤¸ ´ µ °· ¡» ° ¦³ º° x > n@
¦ae k
k
jkZ0 n
(5.85)
N
Á¤ºÉ° ak º° nµ ´ªÄ Ç Â¨³ Z0 2S / N Á ºÉ° µ  n¨³¡ rÄ ¤ µ¦ (5.85) Á } ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¹É Á®¤º° ´ ¤ µ¦ (5.4) Á¤ºÉ° zk e jkZ ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ° ° ¦³ µ¤µ¦ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (5.5) ´É º° 0
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
¦ a H e Z e jk
y > n@
k
k
0
jkZ0 n
(5.86)
N
à ¥ ¸É H e jZ º° ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É (frequency response) ° ¦³ ¹É ·¥µ¤Ã ¥ 0
H e jZ0
f
¦ h >k @ e
jkZ0
(5.87)
k f
µ ¤ µ¦ (5.86) ¡ ªnµ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ Á nµ ´ ´ µ °· ¡» x > n@ ° µ ¸Ê oµ ^ak ` º°Á ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ ¨oª ³Å oªnµ ^ak H e jkZ ` 0
º°Á ° ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ ´ª°¥nµ ¸É 5.12 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á } Å µ¤¤ µ¦Á · ¨ nµ (difference equation) ´ ¸Ê y > n@
1 y > n 1@ 4
®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n @
x > n@
(5.88)
cos S n / 4 2 cos S n / 2
ª· ¸ ε Á¦·É¤ o Ä®o®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É H e jZ ¹É µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥ µ¦ j° ´ µ x > n @ Á oµÅ Ä ¦³ µ ¤ µ¦ (5.1) ³Å oªnµ ¨ ° ° ° ¦³ n°´ µ x > n@ ¸Ê º° 0
y > n @ e jZ0 n H e jZ0
Á¤ºÉ° z e jZ , Z0 ¤ µ¦ (5.88) ³Å o 0
2S / N
¨³
N
e jZ0 n
(5.89)
º° µ Áª¨µ ° x > n@ µ ´Ê  nµ y > n@ µ ¤ µ¦ (5.89) ¨ Ä
1 jZ n 1 e jZ0 n H e jZ0 e 0 H e jZ0 4
H e
jZ0
1 1 1/ 4 e jZ0
e jZ0 n
(5.90)
à ¥ ¸É H e jZ º°ªnµÁ } nµ ´ª DtFS DtFS o ak o bk ´ ´Ê ¨ ° ° ° ¦³ y > n @ oµ ε® Ä®o x > n@ m ¨³ y > n@ m n°´ µ °· ¡» Ä Ç ®µÅ o µ ¤ µ¦ (5.86) ´É º° 0
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-29
y > n@
¦a
k
k
N
1 ° °½ jkZ0 n e ® jkZ0 ¾ °¯1 1/ 4 e °¿
¦be k
k
jkZ0 n
(5.91)
N
Á¤ºÉ° bk º°´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ bk
ak H e jkZ0
ak 1 1/ 4 e jkZ0
(5.92)
Á ºÉ° µ ´ µ °· ¡» x > n @ cos S n / 4 2 cos S n / 2 ¦³ ° Å oª¥´ µ µ ° ´ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 8 ¨³ 4 ´ ´Ê ´ µ µ x > n@ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N 8 ( ´É º° ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥¦³®ªnµ nµ 8 ¨³ 4) °µ«´¥ ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ x > n@
1 jS n / 4 jS n / 4 2 jS n / 2 jS n / 2 ^e e ` 2 ^e e ` 2 1 j 2S / 8 1 n 1 j 2S / 8 1 n e e e j 2S / 8 2 n e 2S / 8 2 n 2 2
(5.93)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (5.93) ¨³ (5.19) ³Å oªnµ´ µ °· ¡» x > n@ ¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° a1 a 1 1/ 2 ¨³ a2 a 2 1 ´ ´Ê  nµ ak ¨ Ä ¤ µ¦ (5.92) ³Å o b1
b2
a1 1 1 e j 1 2S /8
4
1 , § 1 jS / 4 · 2 ¨1 e ¸ © 4 ¹
a2 1 1/ 4 e j 2 2S /8
1 1 1/ 4 e jS / 2
b 1
,
b 2
a 1 1 1 e j 1 2S / 8
4
1 § 1 jS / 4 · 2 ¨1 e ¸ © 4 ¹
a 2 1 1/ 4 e j 2 2S /8
1 1 1/ 4 e jS / 2
 nµ bk 宦´ k r1, r2 ¨ Ä ¤ µ¦ (5.91) È ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n @ cos S n / 4 2 cos S n / 2
5.6 ¦» oµ¥ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É±µ¦r¤° · nµ Ç ° ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ à ¥ ¸É´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å rÁ®¨nµ ¸Ê ³ ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ » ¤ ´ · nµ Ç ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º°ªnµ¤¸ ªµ¤Îµ ´ n° µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤µ Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê ° µ ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ¦ª¤ ´Ê µ¦®µ ¨ ° ° ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
5.7  f ®´ oµ¥ 1) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê ¡·¼ r ε ° à ¥Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB 1.1) x > n @
3cos S n / 8
1.2) x > n @
5sin S n 2 / 6
1.3) x > n @
sin 33S n / 32
1.4) x > n @
cos S n / 8 cos S n 1 / 8
1.5) x > n @
5sin S n 1 / 4 cos S n 1 / 4
1.6) x > n @
G > n @ G > n 2@ Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ N
4
2) ε® Ä®o´ µ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ N 5 ¨³¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r º° a0 1 , a2 a 2 e jS / 4 , ¨³ a4 a 4 2e jS / 3  ´ µ µ x > n@ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° x > n@
f
A0 ¦ Ak sin Zk n T k k 1
3) ε® Ä®o´ µ µ x > n@ ° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ´ n°Å ¸Ê ) x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n ) x > n@ ¤¸ µ ¤¼¨ µ
N
) 1/10 ¦ 9n 0 x > n@
2
¡·¼ rªnµ x > n@
10
¨³¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak à ¥ ¸É a11
5
50
A cos Bn C
¨³ ®µ nµ
A, B
¨³ C
4) ε® Ä®o´ µ °· ¡» x > n @ ¦ fk f G > n 4k @ Á } ª ´ µ °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É
H e jZ
nµ ° H e jkS / 2 宦´ k
¨³¤¸´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ º°
0,1, 2
S· § 5S y > n @ cos ¨ n ¸ 2 4¹ ©
®µ
¨³ 3
บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-31
5) ¡· µ¦ µ´ µ n°Å ¸Ê § 2S n · § 2S n S · ¸, x > n @ 1 cos ¨ ¸ , y > n @ sin ¨ 6 4¹ © ¹ © 6
¹É ¤¸ µ ¤¼¨ µ º°
N
6
¨³ z > n @
x > n@ y > n@
®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ , y > n@ , ¨³ z > n@
6) ε® Ä®o´ µ µ x > n@
1, 0 d n d 6 ¹É ¤¸ µ ¤¼¨ µ º° N ® ¯0, 7 d n d 8
¢¼Á¦¸¥¦r ak ´ ´Ê oµ ε® Ä®o´ µ g > n @ 6.1)  ªnµ g > n @ ¤¸ µ ¤¼¨ µ º°
N
9
¨³¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤
x > n @ x > n 1@ 9
6.2) ®µ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° g > n @ 7) ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ¸É¤ ¸ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê
H e jZ 1
5S 3
19S
S
12
5S 12
S
S
5S
3
3
12
S
19S
5S
12
3
Z
Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° 7.1) x > n@ 2 n 7.2) x > n @
§ 3S n S · ¸ 2 sin ¨ 4¹ © 8
8) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h > n@ 1/ 2 n ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á°µ r¡» y > n @ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° 8.1) x > n @ ¦ fk f G > n 4k @ 8.2) x > n@
°1, n d 1 Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ N ® °̄0, 2 d n d 3
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
6
¸É 6 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ´ µ µ (periodic signal) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³ ¦³ µ¤ ¸É° · µ¥Ä ¸É 4 ¨³ 5 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ µ ŤnÁ } µ (aperiodic signal) ȵ¤µ¦ ¸É ³ ¼  oª¥ ¨¦ª¤Á · Áo ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Å oÁ n ´ à ¥°µ«´¥Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform)” [1, 3 – 5, 10 – 11] ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ´ µ ŤnÁ } µ µ¤µ¦ ¡· µ¦ µ Å oªnµÁ } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ nµ° ´ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ε® oµ ¸ÉÄ µ¦Â ¨ ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ®¦º°´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° Áª¨µ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É®¦º°´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É ¹É ³Á¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “Á ¦´¤ (spectrum)” Á ¦´¤ ° ´ µ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦°°  °» ¦ rÄ ¦³ ºÉ°µ¦ nµ Ç Á n ª ¦ ¦° (filter) ¨³°¸ ª°Å¨Á °¦r (equalizer) Á } o ° µ ¸Ê µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ³ nµ¥ ªnµ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ¦ª¤ ´Ê ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É¥´ ° Ä®o ¦µ ¹  rª· r (bandwidth) ¨³¦¼ ¦nµ Á ¦´¤ ° ´ µ ¹É nª¥ εĮoÁ oµÄ » ¤ ´ · nµ Ç ° ´ µ Á®¨nµ ´Ê ¤µ ¥·É ¹Ê ´ª°¥nµ Á n ª ¦ ¦°  n¨ ³Â ³¥°¤Ä®o´ µ nª  ªµ¤ ¸É® ¹É nµ Å Å o Ä ³ ¸É ³Á · µ¦¨ ° (attenuation) Ä °¸ nª  ªµ¤ ¸É® ¹É Á } o
6.1 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ° ´ µ ŤnÁ } µ Ä nª ¸Ê ³° · µ¥ ¸É¤µ ° ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT: continuous-time Fourier transform) ¡¦o°¤ ´Ê ° · µ¥Á ºÉ° Å µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦¡· µ¦ µªnµ´ µ ŤnÁ } µ Â Ä ¹ ³µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 187
6-1
xp t
T1
T1
T1
T1
t
x t
£µ¡ ¸É 6.1 ( ) ´ µ µ
t
¨³ ( ) ´ µ ŤnÁ } µ x t
xp t
6.1.1 ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r à ¥ ´ÉªÅ ´ µ ŤnÁ } µ µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ oªnµÁ } ´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ nµ° ´ r ´ª°¥nµ Á n £µ¡ ¸É 6.1  ´ µ µ x p t ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T ¨³´ µ ŤnÁ } µ x t ´ ´Ê oµ¡· µ¦ µ ªnµ µ Áª¨µ T ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ r ³Å oªnµ´ µ x p t ¨³ x t º°´ µ Á ¸¥ª ´ Á ºÉ° µ ´ µ µ x p t µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o º° f
xp t
jkZ0t
¦ae
(6.1)
k
k f
¨³ T /2
ak
Á¤ºÉ° Z0 t
1 x p t e jkZ0t dt T T³/ 2
µ £µ¡ ¸É 6.1 ¡ ªnµ´ µ x t
! T1 ´ ´Ê ¤ µ¦ (6.2) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } 2S / T
T /2
ak
1 x t e jkZ0t dt T T³/ 2
xp t
Ä nª Áª¨µ
(6.2) t T /2
¨³ x t
0
宦´
f
1 jkZ t ³ x t e 0 dt T f
(6.3)
oµ ε® Ä®o f
X jZ
³ x t e
jZt
dt
(6.4)
f
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (6.3) ¨³ (6.4) ³Å oªµn 6-2
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
188
X jZ e jZt X jkZ0 e jkZ t Z0 0
X jkZ0 e
jk Z0 t
'Z
Z
k 1 Z0
kZ0
£µ¡ ¸É 6.2 £µ¡Â ªµ¤®¤µ¥ ° ¤ µ¦ (6.6) 1 X jkZ0
T
ak
(6.5)
 nµ ak µ ¤ µ¦ (6.5) ¨ Ä ¤ µ¦ (6.1) ³Å o xp t
f
1 ¦ T X jkZ e
jkZ0t
0
k f
1 2S
f
¦ X jkZ e 0
jkZ0t
Z0
(6.6)
k f
Á¤ºÉ° T 2S / Z0 £µ¡ ¸É 6.2  ªµ¤®¤µ¥ ° ¤ µ¦ (6.6) ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦®µ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ´ µ X jZ e jZt ° µ ¸ÊÁ¤ºÉ° T o f ³Å oªnµ Z0 o 0 ´ ´Ê oµ ε® Ä®o Z0 'Z ¤ µ¦ (6.6) µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } xp t
1 2S
T of
f
¦ X jk 'Z e
jk 'Z t
'Z
(6.7)
k f
´ ´Ê Á¤ºÉ° 'Z o 0 Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¨¦ª¤ (summation) Ä ¤ µ¦ (6.7) ³Á ¨¸É¥ Á } Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¦·¡´ r (integral) ¨³Á } ¨ εĮo x p t o x t ´ ´Ê ¤ µ¦ (6.7) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x t
lim x p t
T of
1 'Z o 0 2S lim
f
¦
k f
X jk 'Z e jk 'Zt 'Z
1 2S
f
³ X jZ e
jZt
dZ
(6.8)
f
Á¤ºÉ° Z 2S f º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ¤ µ¦ (6.8) ¡ ªnµ´ µ x t
µ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Â n°Á ºÉ° ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸ÉÄ nª f, f Á¤ºÉ° °¤¡¨· ¼ °  n¨³° r ¦³ ° ªµ¤ ¸É Z ¤¸ µ  ¦ ´ µ¤¢{ r ´ X jZ ´ ´Ê µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r εĮoµ¤µ¦  ¨ ´ µ x t Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° r ¦³ ° ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É ¦° ¨»¤ ¨° » ¥nµ ªµ¤ ¸É à ¥ ¸É nµ ° X jZ ³Á } ´ª ° µ °¤¡¨· ¼ °  n¨³° r ¦³ ° ªµ¤ ¸É Z บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 189
6-3
6.1.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¤ µ¦ (6.4) ¨³ (6.8) ´ ªnµÁ } “ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r1 (Fourier transform pair)” à ¥ ¸É¤ µ¦ (6.4) Á¦¸¥ ªnµ “¤ µ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform equation)” ®¦º°¤ µ¦ª·Á ¦µ³®r ¹É Ä oÄ µ¦Â ¨ ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Ä ³ ¸É¤ µ¦ (6.8) Á¦¸¥ ªnµ “¤ µ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ (inverse Fourier transform equation)” ®¦º°¤ µ¦´ Á ¦µ³®r ¹É Ä oÄ µ¦Â ¨ ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸ÉÄ®o ¨´ ¤µÁ } ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ¨³Á¡ºÉ°Ä®o³ ª Ä µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Ä o ´ ¨´ ¬ r f
X jZ F ª¬ x t º¼
³ x t e
jZt
dt
(6.9)
f
¨³ x t F 1 ª¬ X jZ º¼
1 2S
f
³ X jZ e
jZt
dZ
(6.10)
f
Á¤ºÉ° F > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ F 1 > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° µ ¸Ê ³Ä o´ ¨´ ¬ r CtFT x t m o X jZ
(6.11)
Á¡ºÉ°Â ªµ¤´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¦³®ªnµ x t ¨³ X jZ
6.1.3 Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r à ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ Z Å oÁ n ´ ´É º° X jZ
Á¤ºÉ°
1
X jZ
X jZ e
j X jZ
(6.12)
º°Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼  n°Á ºÉ° (continuous amplitude spectrum) ¨³
·¥µ¤ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¤¸®¨µ¥¦¼  à ¥® ´ º° µ Á¨n¤ [4] °µ Ä o ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É f
f
´É º° X f ³ x t e f
6-4
f j 2 S ft
dt
¨³ x t ³ X f e
j 2 S ft
df
f
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
190
§ Im ^ X jZ ` · tan 1 ¨ ¸ ¨ Re ^ X jZ ` ¸ © ¹
X jZ
(6.13)
º°Á ¦´¤Á · Á¢Â n°Á ºÉ° (continuous phase spectrum) ° ´ µ x t Á¤ºÉ° Re ^a` º°nª ¸É Á } nµ ¦· (real part) ° ´ªÂ ¦ a ¨³ Im ^a` º°nª ¸ÉÁ } nµ · £µ¡ (imaginary part) ° ´ªÂ ¦ a Ä ¦ ¸ ¸É´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å o ªµ¤´¤¡´ r nµ Ç ´ n°Å ¸Ê X jZ
X jZ
X jZ
X jZ
X jZ e
j X jZ
(6.14)
X jZ
(6.15)
X jZ
(6.16)
à ¥ ¸É X º° nµ´ ¥» Á · o° ° X µ ¤ µ¦ (6.15) ¨³ (6.16) ³¡ ªnµ X jZ Á } ¢{ r ´ ¼n ¨³ X jZ Á } ¢{ r ´ ¸É Ä µ · ´ ·Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ X jZ ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ X jZ Á¦¸¥ ¦ª¤ ´ ªnµ “Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier spectrum)” ° ´ µ x t à ¥¤¸¨´ ¬ ³Á } Á ¦´¤Â n°Á ºÉ° (continuous spectrum) ¹É  nµ µ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É¤¸¨´ ¬ ³Á } Á ¦´¤Â Áo (line spectrum)
6.1.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Ä µ · ´ · Å ¤n Î µ Á } ¸É ªn µ ´ µ Ťn Á } µ ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ x t » ´ µ ³µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ¡· µ¦ µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ Ä ¤ µ¦ (6.9) ¨³ ε® Ä®o x̂ t º°´ µ ¸É¦oµ ¨´ º ¤µ µ X jZ µ¤¤ µ¦ (6.10) ´É º° xˆ t
1 2S
f
³ X jZ e
jZt
dZ
(6.17)
f
´ µ x̂ t Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ° x̂ t ¤¸ nµ ε ´ (finite value) ¹É Á } Å Å o È n°Á¤ºÉ° X jZ ¤¸ nµ ε ´ 2 ° µ ¸ÊÁ ºÉ° Å ¸É εĮo x̂ t x t 宦´ » nµ t ¥ Áªo ε® n ¸ÉÁ } » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° à ¥ nµ ° x̂ t ε® n ¸Ê ³¤¸ nµÁ nµ ´ nµÁ ¨¸É¥ ° ´ µ ´Ê ° oµ ° » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ¹É Á®¤º° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ (Dirichlet's condition) ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r 2
X jZ
¤¸ nµ ε ´ È n°Á¤ºÉ°´ µ x t ¤¸¡¨´ µ ε ´ ´É º° ³
f
f
2
x t dt f
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 191
6-5
´ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Ä Ç µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ Å o È n°Á¤ºÉ°´ µ x t ° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ ´Ê µ¤ o°3 [3, 4] ´ n°Å ¸Ê 1)
x t
o° µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ¤ ¼¦ r (absolutely integrable) Å o ´É º°
³
f
f
x t dt f
(6.18)
Á ºÉ° Å ¸ Ê nª¥¦´ ¦° Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ¤¸ nµ ε ´ o° ¤¸ ε ª » ¼ » ¨³ » Éε» Á } ε ª ε ´ £µ¥Ä nª Áª¨µ ε ´ (finite interval) Ä Ç
2)
x t
3)
o° ¤¸ ε ª » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° (discontinuities) ε ´ £µ¥Ä nª Áª¨µ ε ´ Ä Ç Â¨³ » » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° È ³ o° ¤¸ nµ ε ´ oª¥ x t
´ª°¥nµ ¸É 6.1 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ x t
¢{ r ´ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ µ¤£µ¡ ¸É 6.3 ( )
e at u t
Á¤ºÉ° a ! 0 ¨³ u t º°
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ x t ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.9) ´É º° f
X jZ
³e
f at
u t e
jZt
dt
f
³e
a jZ t
f
e
a jZ 0 a jZ t
dt
0
1 a jZ
(6.19)
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ º° CtFT e at u t m o
1 a jZ
a!0
,
(6.20)
Á ºÉ ° µ X jZ Á } ¢{ r ´ n µ Á · o ° (complex-valued function) ´ ´Ê à ¥ ´É ª Å ³Â X jZ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ ¹É ®µÅ o µ X jZ
X jZ
1 a jZ
1
a Z2
§Z · tan 1 1 tan 1 ¨ ¸ ©a¹
2
§Z · tan 1 ¨ ¸ ©a¹
(6.21) (6.22)
´ Â Ä £µ¡ ¸É 6.3 ( ) ¨³ ( ) µ¤¨Îµ ´ 3
Á ºÉ° Å Á®¨nµ ¸ÊÁ } Á ºÉ° Å ¡°Á¡¸¥ (sufficient condition) ¸É εĮoµ¤µ¦ ¦» ªnµ x t Á } ¢{ r ´ ¸É¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ  nŤnÄ nÁ ºÉ° ŠεÁ } (necessary condition) Á¤°Å [3]
6-6
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
192
x(t )
( ) 1
0.368
X jZ
( )
t
1/ a
0
X jZ
( )
1/ a
S /2
S /4 a
1 2a
Z
a S / 4
a
a
Z
S / 2
£µ¡ ¸É 6.3 ( ) ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ x t , ( ) Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ , ¨³ ( ) Á ¦´¤Á · Á¢ ° X jZ
SCILAB:
( ´ª°¥nµ ¸É 6.1)
-->a = 1; -->Tmax = 10;
//Ä o nµ° ´ r 宦´ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ e u t Á ºÉ° µ e at
-->dOmega = 0.001;
Omega = -3*%pi/2:dOmega:3*%pi/2;
-->dt
t = 0:dt:Tmax;
= 0.001;
1 10
|0
-->for w = 1:length(Omega) -->
Xw(w) = sum( exp(-(a + %i*Omega(w))*t )*dt);
//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (6.19)
-->end -->plot(Omega, abs(Xw));
//ªµ ¦µ¢Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ µ¤£µ¡ ¸É 6.3 ( )
-->plot(Omega, atan(imag(Xw)./real(Xw)));
//ªµ ¦µ¢Á ¦´¤Á · Á¢ µ¤£µ¡ ¸É 6.3 ( )
Ä µ · ´ ·Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ·¥¤ ε¤µÄ o µ ¤µ ªnµÁ ¦´¤Á · Á¢ ´ ´Ê µ ¸ÊÁ } o Å Á ¦´¤Á · Á¢ ³ ¼ ¨³ÅªoÄ µ ¸ÉÁ oµÄ ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ §t · x t ¨ ¸ © T1 ¹
1, t T1 ® ¯0, else
(6.23)
µ¤£µ¡ ¸É 6.4 ( ) ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.9) ´É º° บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 193
6-7
X jZ
x t
1
2T1
§t · ¨ ¸ © T1 ¹
T1
t
T1
S
S
T1
T1
2S
0
Z 2S
T1
T1
£µ¡ ¸É 6.4 ( ) ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t ¨³ ( ) ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ
T1
X jZ
³
1 e jZt dt
T1
e jZt jZ
T1
T1
1 ^e jZT1 e jZT1 ` jZ
2 e jZT1 e jZT1 ½ ® ¾ Z¯ 2j ¿
2
Z
Á ºÉ° µ sinc T
sin T / T
sin ZT1
2T1sinc ZT1
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ º° § t · CtFT ¨ ¸ m o 2T1sinc ZT1
© T1 ¹
(6.24)
£µ¡ ¸É 6.4 ( )  ¦¼ ¦nµ ° ´ µ X jZ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É SCILAB:
( ´ª°¥nµ ¸É 6.2)
-->T1 = 2; -->dOmega = 0.001; -->dt = 0.001;
Omega = -2*%pi:dOmega:2*%pi; t = -T1:dt:T1;
-->for w = 1:length(Omega) --> Xw(w) = sum(exp(-%i*Omega(w)*t)*dt); -->end -->plot(Omega, Xw); xgrid(2);
//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¼ ¦Ä ¤ µ¦ (6.9)
-->mtlb_axis([-6 6 -1 4]);
// ε´É ¦´ nµÁo  x ¨³Áo  y
-->Xw2 = 2*T1*sinc(Omega*T1);
// nµ X
-->plot(Omega, Xw2); xgrid(2);
// nµ Xw2 ¤¸ nµÁ nµ ´ Xw
jZ µ¤¤ µ¦ (6.24)
-->mtlb_axis([-6 6 -1 4]);
6-8
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
194
T1 1
T1
3
T1
5
£µ¡ ¸É 6.5 ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ 宦´ T
1
SCILAB:
-->w
1 , T1
3
¨³ T
1
5
(£µ¡ ¸É 6.5) = -4*%pi:0.01:4*%pi;
-->T1 = 1;
Xw = 2*T1*sinc(w*T1);
-->subplot(3,1,1); -->T1 = 3;
xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 6.5 ( )
Xw = 2*T1*sinc(w*T1);
-->subplot(3,1,2); -->T1 = 5;
plot(w, Xw);
plot(w, Xw);
xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 6.5 ( ¨µ )
Xw = 2*T1*sinc(w*T1);
-->subplot(3,1,3);
plot(w, Xw);
xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 6.5 (¨nµ )
´ Á µ ¤ µ¦ (6.24) ¨³£µ¡ ¸É 6.4 ¡ ªnµ oµ T1 ¤¸ nµ o°¥ ªµ¤ ªoµ ° ´ µ x t ³Á¨È  n ªµ¤ ªoµ ° ´ µ X jZ ³Ä® n Ä µ ¨´ ´ oµ T1 ¤¸ nµ¤µ ªµ¤ ªoµ ° ´ µ x t
³Ä® n  n ªµ¤ ªoµ ° ´ µ X jZ ³Á¨È £µ¡ ¸É 6.5  ¦¼ ¦nµ ° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ
° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ Á¤ºÉ° T1 ¤¸ nµÁ nµ ´ 1, 3, ¨³ 5 ´ª°¥nµ ¸É 6.2  ĮoÁ®È ªnµ´ µ Ä Ç Å¤nµ¤µ¦ ¸É ³Á } Å o ´Ê ´ µ ¸É¤¸Áª¨µ ε ´ (timelimited signal) ¨³´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ (band-limited signal) ¹É µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ oÄ ®´ª o° ¸É 6.3.3 Á¦ºÉ° » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 195
6-9
x t
W /S
X jZ
§Z · ¨ ¸ ©W ¹
1 W
Z
W
S
S
W
W
2S
t
2S
0
W
W
£µ¡ ¸É 6.6 ( ) ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É X jZ ¨³ ( ) ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ x t
´ª°¥nµ ¸É 6.3 ε® Ä®o ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ŤnÁ } µ x t º° §Z · X jZ ¨ ¸ ©W ¹
1, Z W ® ¯0, else
(6.25)
µ¤£µ¡ ¸É 6.6 ( ) ®µ´ µ x t ¸Ê ª· ¸ ε ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ x t ¸É° ¨o° ´ X jZ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.10) ´É º° x t
1 2S
W
³ 1 e
jZt
dZ
W
ª e jZt « «¬ jt
1 2S
W
º » W » ¼
1 ª e jWt e jWt º » S t «¬ 2j ¼
1 sin Wt
St
W
S
sinc Wt
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° W
S
§Z · CtFT sinc Wt m o ¨ ¸ ©W ¹
(6.26)
£µ¡ ¸É 6.6 ( )  ¦¼ ¦nµ ° ´ µ x t Ä Ã Á¤ Áª¨µ SCILAB:
( ´ª°¥nµ ¸É 6.3)
-->W = 2*%pi;
Tmax = 4;
-->dOmega = 0.001;
//Ä o nµ° ´ r 宦´ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° X
Omega = -W:dOmega:W;
-->for ii = 1:length(t)
dt = 0.001;
jZ
t = -Tmax:dt:Tmax;
//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤¼ ¦Ä ¤ µ¦ (6.10)
--> xt(ii) = (1/2/%pi)*sum(exp(%i*Omega*t(ii))*dOmega); -->end -->plot(t, xt);
xgrid(2);
-->xt2 = W/%pi*sinc(W*t); -->plot(t, xt2);
xgrid(2);
mtlb_axis([-Tmax Tmax -0.5 2]);
//ªµ ¦µ¢´ µ Xt
// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤¤ µ¦ (6.26) mtlb_axis([-Tmax Tmax -0.5 2]); // nµ Xt2 ¤¸ µn Á nµ ´ Xt
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
196
´ª°¥nµ ¸É 6.2 ¨³ 6.3  ĮoÁ®È ªnµ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â¨³´ µ · rÁ } ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¹É ´ ¨³ ´ ¨nµª º°´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä à Á¤ Áª¨µ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ } ´ µ · r Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¨³Ä µ ¨´ ´ ´ µ · rÄ Ã Á¤ Áª¨µ È ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ } ´ µ ¡´¨r ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä à Á¤ ªµ¤ ¸É ªµ¤´¤¡´ r ¸Ê° ¨o° ´ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ » ¤ ´ · ª·£µª³ (duality property)” µ¤®´ª o° ¸É 6.3.5 ´ª°¥nµ ¸É 6.4 ε® Ä®o´ µ ŤnÁ } µ x t ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° G Z º°¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µÄ à Á¤ ªµ¤ ¸É ®µ nµ ° ´ µ x t
X jZ G Z kZ0
Á¤ºÉ°
ª· ¸ ε ´ µ x t µ¤µ¦ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.10) ´É º° 1 2S
x t
f
Z ³ G Z kZ e d Z j t
0
f
e jkZ0t 2S
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° º° CtFT e jkZ0t m o 2SG Z kZ0
´ª°¥nµ ¸É 6.5 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x t
e a t
(6.27)
Á¤ºÉ° a ! 0
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.9) ´É º° X jZ
f
0
a t jZt ³ e e dt
at jZt at jZt ³ e e dt ³ e e dt
f
f
f
0
1 1 a jZ a jZ
2a a Z2 2
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¸Ê º° e
a t
CtFT m o
2a a Z2
(6.28)
2
6.2 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° » ¦¤¢¼Á ¦¸¥ ¦rÁ } Á ¦ºÉ° ¤º° ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¹É Á } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É °¥nµ Ŧ È µ¤ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ȵ¤µ¦ Ä oÄ µ¦Â ¨ ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸ÉÅ oÁ n ´ à ¥°µ«´¥¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ¹É µ¤µ¦ ° · µ¥Å o ´ ¸Ê บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-11 197
ε® Ä®o´ µ µ
xp t
¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T ´ ´Ê µ ¼ ¦ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³Å oªnµ f
xp t
¦ae
jkZ0t
(6.29)
k
k f
Á¤ºÉ° Z0 2S / T º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ ¨³ ak º°´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° Å o µ ¤ µ¦ (4.15) ´É º°
xp t
¹É µ¤µ¦ ®µ
T /2
ak
1 x p t e jkZ0t dt T T³/ 2
(6.30)
oµ ε® Ä®o x t º°´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ¤¸ nµÁ ¡µ³£µ¥Ä nª Áª¨µ ¨³ ° nª Áª¨µ ¸Ê¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r à ¥¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (6.9) º°
t dT /2
f
X jZ
³ x t e
jZt
dt
(6.31)
f
´ ´Ê ´ µ µ
xp t
µ¤µ¦ ¦oµ Å o µ ´ µ ŤnÁ } µ x t à ¥°µ«´¥ ªµ¤´¤¡´ r n°Å ¸Ê xp t
f
¦ x t mT
(6.32)
m f
Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ à ¥ ´ÉªÅ ¢{ r ´ x t Ä ¤ µ¦ (6.32) Á¦¸¥ ªnµ “¢{ r ´ n° εÁ · (generating function)” [3] Ä µ · ´ ·´ µ ŤnÁ } µ x t °µ ¡· µ¦ µªnµÁ } ´ µ µ Å o à ¥ ¸É µ Áª¨µ ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ° ´ r ´É º° T o f ¨³ x p t x t £µ¥Ä nª Áª¨µ t d T / 2 ´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¤ µ¦ (6.30) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÄ®¤nÁ } T /2
ak
Z0 2S
1 x t e jkZ0t dt T T³/ 2
Á¤ºÉ° X jkZ0 º° nµ ° X jZ ¸É ªµ¤ ¸É Z xp t
Z0 2S
f
³ x t e
jkZ0t
Z0
dt
2S
f
k Z0
X jkZ0
(6.33)
 nµ ak µ ¤ µ¦ (6.33) ¨ Ä ¤ µ¦ (6.29) ³Å o
f
¦ X jkZ e
jkZ0t
0
k f
¨³ µ ¤ µ¦ (6.32) ³Å o xp t
f
¦ x t mT
m f
Z0 2S
f
¦ X jkZ e 0
jkZ0t
(6.34)
k f
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
198
CtFT Á ºÉ° µ e jkZ t m o 2SG Z kZ0 ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¤ µ¦ (6.34) ®µÅ oà ¥ 0
f ª f º F « ¦ x t mT » Z0 ¦ X jkZ0 G Z kZ0
k f ¬ m f ¼
(6.35)
f
2S
¦ a G Z kZ
k
(6.36)
0
k f
Á ºÉ° µ Z0 X jkZ0
µ¤¤ µ¦ (6.33) ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ
2S ak f
xp t
º°
f
¦ x t mT m o Z ¦ X jkZ G Z kZ
CtFT
0
m f
0
(6.37)
0
k f
®¦º° f
f
¦ x t mT m o 2S ¦ a G Z kZ
CtFT
k
m f
(6.38)
0
k f
ªµ¤´ ¤¡´ r ¸Ê  Įo Á ®È ªn µ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ° ´ µ µ ¦³ ° Å o ª ¥¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ¸ÉÁ · ¹Ê » ªµ¤ ¸É kZ0 Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¨³Â n¨³¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ³ ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ X jkZ0 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¤ µ¦ (6.37) – (6.38) ¸Ê¤¸ ªµ¤Îµ ´ ¤µ 宦´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling theorem) ¹É Ä o¤µ Ä µ ¦³¥» r µ oµ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨´ µ ¨³ µ¦ºÉ°µ¦ · · ´¨ ( ¼¦µ¥¨³Á°¸¥ Ä ¸É 8) ´ª°¥nµ ¸É 6.6 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¢{ r ´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ °» ¤ · (ideal sampling function) ¹É ¦³ ° Å oª¥ ª ´ µ °·¤¡´¨r (impulse train) ¸É¤¸¦³¥³®nµ Á nµÇ ´ µ¤£µ¡ ¸É 6.7 ( ) f
ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 6.7 ( ) ´ µ x t µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° x t ¦ G t mT
m f
CtFT o1 ¨³ Á¤ºÉ° T º° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á ºÉ° µ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ º° G t m µ ¤ µ¦ (6.35) ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t ¤¸ nµÁ nµ ´
X jZ Z0
f
¦ X jkZ G Z kZ
0
0
k f
2S T
f
§
¦ G ¨© Z
k f
2S k · ¸ T ¹
(6.39)
à ¥ ¸É Z0 2S / T ¨³ X jkZ0 1 宦´ » nµ k ´ Â Ä £µ¡ ¸É 6.7 ( ) ¹É È º° ª ´ µ °·¤¡´¨rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸ÉÁ n ´ ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¢{ r ´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ °» ¤ · º° f
2S
f
§
¦ G t mT m o T ¦ G ¨© Z CtFT
m f
k f
2S k · ¸ T ¹
(6.40)
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-13 199
x t
F F -1
2T
T
0
T
t
2T
T
X jZ
2S
4S T
2S T
0
2S
4S
T
T
Z
£µ¡ ¸É 6.7 ( ) ¢{ r ´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ °» ¤ · ¨³ ( ) Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É
¤ µ¦ (6.39)  ĮoÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ´ µ °·¤¡´¨r ¸É¤¸¦³¥³®nµ  n¨³´ µ ¡´¨rÁ nµ ´ T ª· µ ¸ ³Å o ¨¨´¡ rÁ } ª ´ µ °·¤¡´¨r ¸É ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 2S / T ¨³´ µ °·¤¡´¨r n¨³ ´ª ³®nµ ´ Á nµ ´ 2S / T Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ° µ ¸Ê£µ¡ ¸É 6.7 ¥´  ĮoÁ®È ªnµ¦³¥³®nµ ¦³®ªnµ ´ µ °·¤¡´¨rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ³Â ¦ ´ ´ ¦³¥³®nµ ¦³®ªnµ ´ µ °·¤¡´¨r Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¨nµª º° oµ¦³¥³®nµ ¦³®ªnµ ´ µ °·¤¡´¨rÄ Ã Á¤ Áª¨µÂ ¨oª ¦³¥³®nµ ¦³®ªnµ ´ µ °·¤¡´¨rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É È ³ ªoµ (¨³Ä µ ¨´ ´ ) ´ª°¥nµ ¸É 6.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 6.8 ( ) ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¡ ªnµ´ µ µ x t Ä £µ¡ ¸É 6.8 ( ) ¤¸´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° sin kZ0T1
Sk
2T1 sinc kZ0T1
T
ak
Á¤ºÉ° Z0 2S / T º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ ° x t ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸Ê®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.36) ´É º° X jZ
f
2S
¦ a G Z kZ
k
0
k f
sin kZ0T1
G Z k Z0
k f
f
2¦ k
(6.41)
£µ¡ ¸É 6.8 ( )  Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ° µ ¸Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤¥´ µ¤µ¦ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.35) Á n ´ ¨nµª º° µ £µ¡ ¸É 6.8 ( ) ´ µ µ x t µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } x t
Á¤ºÉ° g t
t / T1
f
f
m f
m f
§ t mT · ¸ © T1 ¹
¦ g t mT ¦ ¨
º°´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (6.24) º°
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
200
x t
2T
T
T1 0
T
T1
t
2T
X jZ
S
S
T1
T1
Z
Z0 0 Z0
£µ¡ ¸É 6.8 ( ) ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¨³ ( ) Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É CtFT t / T1 m o 2T1sinc ZT1
´ ´Ê µ ¤ µ¦ (6.35) ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t º° X jZ Z0
f
¦ X jkZ G Z kZ
0
0
k f
f
Z0 ¦ 2T1sinc kZ0T1 G Z kZ0
k f
sin kZ0T1
G Z k Z0
k f
f
2¦ k
(6.42)
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ oÄ ¤ µ¦ (6.41) ´ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ µ¤µ¦ εŠoà ¥Ä o¤ µ¦ (6.35) ®¦º° (6.36) £µ¡ ¸É 6.9  Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ µ x t Á¤ºÉ° T 4T1 , T 8T1 , ¨³ T 16T1 ¹É ¡ ªnµÁ¤ºÉ°´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä à Á¤ Áª¨µ¤¸ ªµ¤ ªoµ  ( ´É º° T1 o°¥) ³ εĮoÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É ¤¸ µ¦Â n ¥µ¥°° Å ¤µ SCILAB:
(£µ¡ ¸É 6.9)
-->k = -15:15; T = 1; -->T1 = T/4; y = (4*%pi*T1/T)*sinc(2*%pi*T1/T*k); -->subplot(3,1,1); plot2d3(k, y); xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 6.9 ( )
-->T1 = T/8; y = (4*%pi*T1/T)*sinc(2*%pi*T1/T*k); -->subplot(3,1,2); plot2d3(k, y); xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 6.9 ( ¨µ )
-->T1 = T/16; y = (4*%pi*T1/T)*sinc(2*%pi*T1/T*k); -->subplot(3,1,3); plot2d3(k, y); xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 6.9 (¨nµ )
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-15 201
T
4T1
T
8T1
T
16T1
£µ¡ ¸É 6.9 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 6.8 ( ) 宦´ nµ T nµ Ç
´ª°¥nµ ¸É 6.8 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x1 t
sin Z0t
¨³
x2 t cos Z0t
ª· ¸ ε µ ¼ ¦ µ¦Â ´ µ µ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (4.14) ´É º° x t
f
¦ae
jkZ0t
(6.43)
k
k f
¨³ µ » ¤ ´ · ° ¦¸Ã ¤· · ³Å oªµn x1 t sin Z0t
e jZ0t e jZ0t 2j
(6.44)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (6.43) ¨³ (6.44) ³Å oªnµ a1
1 , a 1 2j
1 , 2j
¨³ ak
0
宦´ k z ^ 1,1`
Á¡¦µ³ ³ ´Ê µ ¤ µ¦ (6.36) ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x1 t º° X 1 jZ
f
2S
¦ a G Z kZ
k
0
k f
S j
S G Z Z0 G Z Z0
j
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
202
X 2 jZ
X 1 jZ
S
S/j Z0 S / j
Z
Z0
0
S
Z0
0
Z0
Z
( )
( )
£µ¡ ¸É 6.10 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ µ ( ) x t
1
sin Z0 t
¨³ ( )
x2 t
cos Z0 t
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Å r º° S
S
CtFT sin Z0t m o G Z Z0 G Z Z0
j j
(6.45)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ Á ºÉ° µ x2 t cos Z0t
e jZ0t e jZ0t 2
(6.46)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (6.43) ¨³ (6.46) ³Å oªnµ a1
1 , a 1 2
1 , 2
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ X 2 jZ
¨³ ak
x2 t
宦´ k z ^ 1,1`
º°
f
2S
0
¦ a G Z kZ
k
0
SG Z Z0 SG Z Z0
k f
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ à Šr º° CtFT cos Z0t m o SG Z Z0 SG Z Z0
(6.47)
£µ¡ ¸É 6.10  Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ µ sin Z0t ¨³ cos Z0t
6.3 » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ®´ª o° ¸Ê ³° · µ¥ » ¤ ´ · ¸É nµ Ä nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) Á¡ºÉ° nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ nµ¥ ¹Ê ´ ¸Ê บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-17 203
6.3.1 » ¤ ´ ·Á · Áo CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ ´ ´Ê ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ ŤnÁ } ε® Ä®o x t m µ x t ¨³ y t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°
CtFT ax t by t m o aX jZ bY jZ
(6.48)
Á¤ºÉ° a ¨³ b Á } nµ ´ªÄ Ç
6.3.2 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ CtFT o X jZ ´ ´Ê x t t0 º°´ µ x t ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time shifting) Á } ε® Ä®o x t m ε ª t0 ® nª¥ ¨³¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT x t t0 m o e jZt0 X jZ
(6.49)
¹É ¡·¼ rÅ o µ ¤ µ¦ (6.10) ´É º° x t
1 2S
f
³ X jZ e
jZt
1 2S
f
dZ
f
 nµ t oª¥ t t0 ³Å o x t t0
1 2S
f
³
X jZ e
jZ t t0
dZ
f
³ ^ X jZ e
jZt0
`e
jZt
dZ
f
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t t0 º° F ª¬ x t t0 º¼
e jZt0 X jZ
» ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° µ Áª¨µÂ Ä®oÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ε µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ x t Á } Áª¨µ t0 ® nª¥ ¨ ¸ÉÁ · ¹Ê ´ ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° µ¦ ¼ ´ µ X jZ oª¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jZt ´É º° °¤¡¨· ¼ ° ´ µ X jZ ¥´ Á®¤º° Á ·¤ Á¡¸¥  n¤»¤Á¢ ° ´ µ X jZ ³Á ¨¸É¥ Å Â Á · Áo oª¥ nµ Zt0 0
´ª°¥nµ ¸É 6.9 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ŤnÁ } µ x t Ä £µ¡ ¸É 6.11 ª· ¸ ε ´ µ x t Ä £µ¡ ¸É 6.11 µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
204
x t
x1 t
2
x2 t
1
1
1 0
1
2
3
t
1.5
1.5
t
0.5
0.5
t
£µ¡ ¸É 6.11 ´ µ ŤnÁ } µ Ä ´ª°¥nµ ¸É 6.9 x t 2 x1 t 1.5 x2 t 1.5
Á¤ºÉ° x1 t ¨³ x2 t Á } ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ µ¤£µ¡ ¸É 6.11 ¨³ µ ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (6.24) ´É º° § t · CtFT 2sin ZT1
¨ ¸ m o Z © T1 ¹
¹É ³Å oªnµ X 1 jZ
2sin 3Z / 2
Z
¨³
X 2 jZ
2sin Z / 2
Z
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ 2sin 3Z / 2 sin Z / 2 ½ 2e j1.5Z ® ¾ Z ¯ ¿
X jZ 2e j1.5Z X 1 jZ e j1.5Z X 2 jZ
6.3.3 » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ CtFT o X jZ ´ ´Ê ´ µ ¸É ¼ Á ¨ µ Áª¨µ (time scaling) ´É º° x D t ³¤¸ ε® Ä®o x t m ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT x D t m o
§ jZ · X¨ D © D ¸¹ 1
(6.50)
Á¤ºÉ° D Á } nµ ´ªÄ Ç ¹É ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê Á ºÉ° µ f
F ª¬ x D t º¼
³ x D t e
jZt
dt
f
 nµ W D t ³Å o บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-19 205
F ¬ª x W ¼º
1 f j Z / D W dW , D !0 ° ³ x W e °D f ® f ° 1 x W e j Z / D W dW , D 0 ° D ³
f ¯
´ ´Ê ¦» Å oªnµ F ª¬ x D t º¼
1
D
§ jZ · X¨ ¸ ©D ¹
» ¤ ´ · o° ¸ÊÁ } µ¦¥º ¥´ ªnµ´ µ Ä Ç Å¤nµ¤µ¦ Á } Å o ´Ê ´ µ ¸É¤¸Áª¨µ ε ´ ¨³´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ ´É º°
oµ D ! 1 ¢{ r ´ x D t È º° µ¦ ¸ ´ µ x t Ä®o ¨ Ä µ Áª¨µ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á n µ ´ D Ä ³ ¸É X jZ / D ³Á } µ¦ ¥µ¥´ µ X jZ Ä®o ªo µ ¹Ê Ä µ ªµ¤ ¸É o ª ¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ D
oµ 0 D 1 ¢{ r ´ x D t È º° µ¦ ¥µ¥´ µ x t Ä®o ªo µ ¹Ê Ä µ Áª¨µ oª ¥ ´ ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ D ¨³ X jZ / D ³Á } µ¦ ¸ ´ µ X jZ Ä®o ¨ Ä µ ªµ¤ ¸É oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ D
´ª°¥nµ Á n µ ¤ µ¦ (6.24) ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ t / T1 º° § t · CtFT ¨ ¸ m o 2T1sinc ZT1
© T1 ¹
oµ ε® Ä®o x D t
D t / T1
Á¤ºÉ° D º° nµ ´ªÄ Ç Â¨oª ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x D t º° § D t · CtFT 2T1 § ZT · ¨ ¸ m o sinc ¨ 1 ¸ T D © D ¹ © 1¹
£µ¡ ¸É 6.12  ´ µ x D t ¨³Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ X jZ 宦´ nµ D Á nµ ´ 0.5, 1, 2 ¹É ³Á®È Å oªnµ ¨¨´¡ rÁ } Å µ¤ » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ µ¤ ¸É° · µ¥Åªo oµ o Ä ¦ ¸ ¸É D 1 ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° µ¦¡´ ´ µ ®¦º° µ¦ ¨´ oµ ° ´ µ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT x t m o X jZ
(6.51)
¨nµª º° µ¦¡´ ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ³n ¨ εĮoÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É ¼ ¨´ oµ oª¥Á n ´ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
206
X jZ
2
x t
D
2
D
1
1
D 1
1 1 4 2
0
( )
1 4
0.5
0.5
t
1
1 2
1
2S S
4S
0
S 2S
Z
4S
( )
£µ¡ ¸É 6.12 ( ) ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x D t
D t / T1
¨³ ( ) Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼
X jZ
6.3.4 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» CtFT o X jZ ´ ´Ê ε® Ä®o x t m ¢¼Á¦¸¥¦r º°
x t
º° nµ´ ¥» Á · o° ° ´ µ x t à ¥¤¸ ¼n µ¦Â ¨
CtFT x t m o X jZ
(6.52)
¹É ¡·¼ rÅ o µ
F ª¬ x t º¼
§f · jZt ¨ ³ x t e dt ¸ © f ¹
f
Z ³ x t e dt
f
Ä ¦ ¸ ¸É´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ´É º° x t
¤¸ ªµ¤¤¤µ ¦Á · ´ ¥» (conjugate symmetry) ¨nµª º° X jZ
X jZ
X jZ
j t
®¦º°
x t
X jZ
³Å oªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É
X jZ
X jZ
¨³ oµÂ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸ÉÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° X jZ Re ^ X jZ ` j Im ^ X jZ `
´ ´Ê oµ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å oªnµ Re ^ X jZ ` Re ^ X jZ `
¨³
Im ^ X jZ ` Im ^ X jZ `
° µ ¸ÊÄ ¦ ¸ ¸É x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n ´É º° x t
X jZ
x t
³Å oªnµ
X jZ
¨³ oµÂ ´ µ x t Ä®o°¥¼Än ¦¼ ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ ¼Ân ¨³¢{ r ´ ¸É ¨nµª º° บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-21 207
x t
xe t xo t
(6.53)
Á¤ºÉ° xe t = Ev ^ x t ` ¨³ xo t = Od ^ x t ` º°nª ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É ° ´ µ x t
µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t º° F ª¬ x t º¼ F ª¬ xe t º¼ F ª¬ xo t º¼ X jZ Re ^ X jZ ` j Im ^ X jZ `
´É º° CtFT Ev ^ x t ` m o Re ^ X jZ `
¨³
´ª°¥nµ ¸É 6.10 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É
CtFT Od ^ x t ` m o j Im ^ X jZ `
宦´ a ! 0 à ¥Ä o » ¤ ´ · °
x t e a t
ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 6.1 ³Å oªnµ CtFT e at u t m o
1 a jZ
,
a!0
´ ´Ê x t e a t
e at u t e at u t
° e at u t e at u t ½° 2® ¾ 2 ¯° ¿°
2Ev ^e at u t `
Á ºÉ° µ e at u t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³ 1 ½ CtFT Ev ^e at u t ` m o Re ® ¾ ¯ a jZ ¿
Á¡¦µ³ ³ ´Ê X jZ
1 ½ 1 a jZ ½ 2 Re ® u ¾ 2 Re ® ¾ Z Z a j a j a jZ ¿ ¯ ¿ ¯
a jZ ½ 2 Re ® 2 2 ¾ ¯a Z ¿
2a a2 Z 2
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤ µ¦ (6.28) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
208
6.3.5 » ¤ ´ · ª·£µª³ CtFT o X jZ » ¤ ´ · ª·£µª³ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ ε® Ä®o x t m CtFT X t m o 2S x jZ
(6.54)
´ª°¥nµ Á n µ ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ t / T1 º° § t · CtFT 2sin ZT1
¨ ¸ m o Z © T1 ¹
¨³ µ ´ª°¥nµ ¸É 6.3 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ · r
W
S
sinc Wt
(6.55) sin Wt
St
sin Wt CtFT §Z · m o ¨ ¸ St ©W ¹
º° (6.56)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (6.55) ¨³ (6.56) ¡ ªnµ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ° ¸Ê¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ (à ¥ µ¦Â¨ Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ¹É ´ ¨³ ´ ) ªµ¤ ¨oµ¥ ´ ¸ÊÁ¦¸¥ ªnµ » ¤ ´ · ª·£µª³ (duality) ¹É ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê µ ¤ µ¦ (6.55) ³Å oªnµ §t · ¨ ¸ © T1 ¹
 nµ t
t
1 2S
§ 2sin ZT1 · jZt ¸ e dZ Z ¹ f f
³ ¨©
³Å o §t · ¨ ¸ © T1 ¹
§ sin ZT1 · jZt ¸ e dZ SZ ¹ f f
³ ¨©
ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦¦³®ªnµ t ¨³ Z ¨³ ε® Ä®o T1 §Z · ¨ ¸ ©W ¹
W
³Å o
§ sin Wt · jZt ¸ e dt St ¹ f f
³ ¨©
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ · r sin Wt / S t º°  ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ¤ » ¤ ´ · ª·£µª³ ´ª°¥nµ ¸É 6.11 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ y t
Z / W
µ¤¤ µ¦ (6.56) £µ¡ ¸É 6.13
2 1 t2
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-23 209
2 sin ZT1
F
1
F -1 T1
Z
2T1
§t · ¨ ¸ © T1 ¹
t
T1
S
S
T1
T1
2S
Z
2S
0
T1
T1
sin Wt
St
W /S
§Z· ¸ ©W ¹
¨
F
2S
S
S
W
W
t
W
2S
0
1
F -1 W
t
W
W
£µ¡ ¸É 6.13 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ¤ » ¤ ´ · ª·£µª³ CtFT o 2a / a 2 Z 2 ´ ´Ê oµ a ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (6.28) ³Å oªnµ e a t m
t
CtFT x t e m o X jZ
1
³Å o
2 1 Z2
®¦º°Á ¸¥ Å oªµn f
1 2S
e t
2
f
¼ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ oª¥ 2S ¨³Â nµ t f
2S e t
§
³ ¨© 1 Z
2
· jZt ¸ e dZ ¹
t
³Å o
§
2
³ ¨© 1 Z
f
2
· jZt ¸ e dZ ¹
ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦¦³®ªnµ t ¨³ Z ³Å oªnµ f
2S e Z
§ 2 · jZt e dt 2 ¸ ¹ f
³ ¨© 1 t
Y jZ
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ y t º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
210
ª 2 º F« 2 ¬1 t »¼
2S e
Z
6.3.6 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É CtFT o X jZ ´ ´Ê e jZ t x t º°´ µ x t Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É (frequency shifting) Á } ε® Ä®o x t m ε ª Z0 ® nª¥ à ¥¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° 0
CtFT e jZ0t x t m o X j Z Z0
(6.57)
¹É ¡·¼ rÅ o µ f
F ª¬e jZ0t x t º¼
³ ^e
jZ0t
f
`
x t e jZt dt
f
³ x t e
j Z Z0 t
dt
X j Z Z0
f
» ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É ĮoÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ¼ ´ µ x t oª¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jZ t ³¤¸ ¨ εĮo Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X jZ ¼ Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É°° Å Á } ¦·¤µ Z0 ® nª¥ ´ Á ¡ ªnµ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÄ ¤ µ¦ (6.49) ¨³ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸ÉÄ ¤ µ¦ (6.57) ³¤¸ » ¤ ´ · ª·£µª³¦³®ªnµ ´ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É ¸Ê ·¥¤ ε¤µÄ o µ Ä Á¦ºÉ° µ¦ ¨Êε´ µ (modulation) Ä ¦³ ºÉ°µ¦ 0
6.3.7 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ r CtFT o X jZ ° »¡´ r ° ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ x t ®µÅ o µ ε® Ä®o x t m
dx t
dt
d ª 1 « dt ¬ 2S
f
º jZt ³ f X jZ e dZ »¼
1 2S
f
³ jZ X jZ e
jZt
dZ
f
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ° »¡´ r ° x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° dx t
dt
CtFT m o jZ X jZ
(6.58)
¨³° »¡ ´ r°´ ´ n ° x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° d n x t CtFT n m o jZ X jZ
dt n
(6.59)
¤ µ¦ (6.59)  ĮoÁ®È ªnµ µ¦®µ° »¡ ´ r µ Áª¨µn ¨Ä®o° r ¦³ ° ªµ¤ ¸É¼ ° ´ µ ¤¸ µ¦ ¥µ¥ µ ¹Ê (¤¸ µn Á¡·É¤¤µ ¹Ê ) ¹É ° ¨o° ´ ªµ¤ ¦· ¸ªÉ nµ µ¦®µ° »¡ ´ r n°Ä®oÁ · µ¦Á ¨¸É¥  ¨ บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-25 211
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ¦®µ° »¡´ r ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É X jZ ®µÅ o µ dX jZ
dZ
f º d ª jZt « ³ x t e dt » dZ ¬ f ¼
f
³ jtx t e
jZt
dt
f
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ° »¡´ r ° X jZ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT jtx t m o
dX jZ
dZ
(6.60)
¨³° »¡ ´ r°´ ´ n ° X jZ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° n
CtFT o jt x t m
d n X jZ
dZ n
(6.61)
´ ´Ê ³Á®È Å oªnµ¤ µ¦ (6.58) ¨³ (6.60) ° ¨o° ´ » ¤ ´ · ª·£µª³ µ¤ ¸É° · µ¥ oµ o ´ª°¥nµ ¸É 6.12 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ µ ®¤¼ x t Ä £µ¡ ¸É 6.14 ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 6.14 ´ µ x t µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° x t
Á¤ºÉ° r t
t , t t 0 ® ¯0, t 0
A ª r t b r t a r t a r t b º¼ b a ¬
º°¢{ r ´ µ ¨µ (ramp function) Á ºÉ° µ ° »¡´ r ° r t º°¢{ r ´ ´Ê ´ Å
® ¹É ® nª¥ u t ´ ´Ê dx t
dt
A ªu t b u t a u t a u t b º¼ b a ¬
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ° »¡´ r ° u t º°¢{ r ´ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ G t ´ ´Ê d 2 x t
dt
2
A ªG t b G t a G t a G t b º¼ b a ¬
¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° d 2 x t / dt 2 º° ª d 2 x t º F« » 2 ¬ dt ¼
A ªe jZb e jZa e jZa e jZb º¼ b a ¬
2 A ª§ e jZb e jZb · § e jZa e jZa · º «¨ ¸ ¨ ¸» b a ¬© 2 2 ¹ © ¹¼
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
212
x t
A b a
a
b
t
dx t
xc t
dt a
b
b a
t
d 2 x t
xcc t
dt 2 a
a
b
b
t
£µ¡ ¸É 6.14 ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ µ ®¤¼ x t ¨³° »¡´ r°´ ´ ® ¹É xc t ¨³°´ ´ °
xcc t
´É º° ª d 2 x t º F« » 2 ¬ dt ¼
2A ªcos Zb cos Z a ¼º b a ¬
µ ¤ µ¦ (6.59) ³Å o jZ
2
X jZ
2A ªcos Zb cos Z a º¼ b a ¬
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ µ ®¤¼ x t º° X jZ
2 A ª cos Z a cos Zb º « » Z2 b a ¬ ¼
6.3.8 » ¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ r CtFT o X jZ ¦·¡´ r ° ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ x t ®µÅ o µ ε® Ä®o x t m t
1
³ x W dW m o jZ X jZ S X 0 G Z
CtFT
(6.62)
f
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-27 213
à ¥ ¸É nµ S X 0 G Z  ¹ ° r ¦³ ° Å¢¢jµ ¦³Â ¦ ®¦º° nµÁ ¨¸É¥ ¸ÉÁ } ¨¤µ µ µ¦®µ ¦·¡´ r ¤ µ¦ (6.62) ° Ä®o ¦µ ªnµ µ¦®µ ¦·¡´ r µ Áª¨µn ¨Ä®o° r ¦³ ° ªµ¤ ¸É¼ ° ´ µ ¤¸ nµ¨ ¨ ¹É ° ¨o° ´ ªµ¤ ¦· ¸Éªnµ µ¦®µ ¦·¡´ r ³ nª¥ εĮo´ µ ¤¸ µ¦Â ªn ´ª o°¥¨ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¨ µ¦®µ ¦·¡´ r ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É X jZ ° ¨o° ´ » ¤ ´ · ª·£µª³Á n ´ ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° µ¦®µ ¦·¡´ r ° X jZ º° Z
1 CtFT x t S x 0 G t m o ³ X jT dT jt f
(6.63)
6.3.9 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ µ¦ ε ° ꨼ ´ (convolution) ¦³®ªnµ ε® Ä®o x t m ´ µ x t ¨³ y t ³¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT x t y t m o X jZ Y jZ
(6.64)
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ ¨nµª º° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ¼ ´ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¹É ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê f
ε® Ä®o z t
x t y t
³ x t W y W dW ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° z t º°
f f
F ª¬ z t º¼
ªf º jZt ³ f «¬ f³ x t W y W dW »¼ e dt ªf º X jZ e jZW « ³ y W dW » ¬ f ¼
f
ªf º jZt x t W e dt
« ³ y W dW » ³ f ¬ f ¼
ªf º X jZ « ³ y W e jZW dW » ¬ f ¼
X jZ Y jZ
CtFT o X jZ Y jZ µ¤ ¸É o° µ¦ ´ ´Ê ³Å oªnµ x t y t m » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤ Áª¨µ (LTI: linear time-invariant) Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª nµ Ç nµ¥ ¹Ê ¨nµª º°¡· µ¦ µ£µ¡ ¸É 6.15 ( ) ³Á®È Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» y t ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ °· ¡» x t ε ° ꨼ ´ ´ ¦³ h t ¹É ª· ¸ µ¦ Î µ ª n ° o µ ³¥»n ¥µ  n o µ Î µ µ¦Â ¨ ´ µ ´Ê ®¤ Ä®o ° ¥¼n Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É µ¤ £µ¡ ¸É 6.15 ( ) ³¡ ªnµ´ µ Á°µ r¡» Y jZ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦ ¼ ´ ° X jZ ¨³ H jZ Á nµ ´Ê ¹É à ¥ ´ÉªÅ µ¦ ε ª ³ nµ¥ ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤µ
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
214
x t
y t
h t
F -1
X jZ
x t h t
F
H jZ
Y jZ
X jZ H jZ
£µ¡ ¸É 6.15 ¦³ LTI Ä ( ) à Á¤ Áª¨µ ¨³ ( ) à Á¤ ªµ¤ ¸É
´ª°¥nµ ¸É 6.13 µ £µ¡ ¸É 6.15 ε® Ä®o´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ LTI º° x t e at u t ¨³ h t e bt u t Á¤ºÉ° a ! 0 ¨³ b ! 0 µ¤¨Îµ ´ ®µ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ ¸Ê ª· ¸ ε Á ºÉ° µ CtFT x t e at u t m o X jZ
1 a jZ
(6.65)
CtFT h t e bt u t m o H jZ
1 b jZ
(6.66)
¨³
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° y t º° Y jZ
X jZ H jZ
1
a jZ b jZ
(6.67)
Ä ¦ ¸ ¸É a z b ¤ µ¦ (6.67) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } Y jZ
à ¥ ¸É nµ ´ª
A
A B a jZ b jZ
(6.68)
¨³ B ®µÅ o µ µ¦Â o¤ µ¦ A b jZ B a jZ 1 Ab Ba jZ A B 1
¹É ³Å oªnµ
A B
¨³
A 1/ b a
µ ´ Ê Â nµ
A
¨³
B
¨ Ä ¤ µ¦ (6.68) ³Å o
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-29 215
1 1 1 ½ ® ¾ b a ¯ a jZ b jZ ¿
Y jZ
¨³Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ Á¡ºÉ°®µ nµ y t µ Y jZ µ¤¤ µ¦ (6.10) ®¦º° µ ªµ¤´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¤ µ¦ (6.65) ¨³ (6.66) Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y t ¤¸ nµÁ nµ ´ y t
Ä ¦ ¸ ¸É a
b
1 ^e at u t e bt u t ` b a
¤ µ¦ (6.68) ´ ¦¼ Å oÁ } Y jZ
1
a jZ
2
Á ºÉ° µ 1
a jZ
2
j
d ª 1 º dZ «¬ a jZ »¼
°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ ¤ µ¦ (6.60) ¨³ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r CtFT oj te at u t m
d ª 1 º dZ «¬ a jZ »¼
CtFT e at u t m o
1 a jZ
´ ´Ê
1
a jZ
2
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ Á°µ r¡ » y t ¤¸ nµÁ nµ ´ y t te at u t
6.3.10 » ¤ ´ · µ¦ ¼ » ¤ ´ · µ¦ ¼ (multiplication) ¤¸¨´ ¬ ³Á } ª·£µª³ ´ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ oµ ε® Ä®o CtFT CtFT x t m o X jZ ¨³ y t m o Y jZ ´ ´Ê ´ µ z t x t y t ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° F ª¬ z t º¼
Z jZ
X jZ Y jZ
1 2S
f
³ X jT Y j Z T dT
f
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° µ¦ ¼ ´ µ ° ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ º° CtFT x t y t m o X jZ Y jZ
(6.69)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
216
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ¼ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ®¤µ¥Á® » Ä µ · ´ · µ oµ ¦³ ºÉ°µ¦ ³Á¦¸¥ µ¦ ¼ ´ µ ° ´ µ ªnµ “ µ¦ ¨Êε´ µ Á · °¤¡¨· ¼ (amplitude modulation)” ´ ´Ê Ä µ ¦ ¸ » ¤ ´ · µ¦ ¼ ¸Ê°µ ¼ Á¦¸¥ ªnµ “ » ¤ ´ · µ¦ ¨Êε ´ µ (modulation property)”
6.3.11 ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ CtFT o X jZ ´ ´Ê ¡ºÊ ¸ÄÉ o ¦µ¢ ° ´ µ x t ®µÅ o µ ε® Ä®o x t m f
³ x t dt
X 0
(6.70)
f
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ´Ê ®¤ ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ªµ¤ ¸É Z 0 ¨³Ã ¥ ´É ª Å n µ X 0 ¸Ê ³ ° ¹ ¦· ¤ µ ° ° r ¦³ ° Å¢¢j µ ¦³Â ¦ ¸É  °¥¼n £ µ¥Ä ´ µ x t
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X jZ µ¤µ¦ ®µÅ o µ 1 2S
f
³ X jZ dZ
x 0
(6.71)
f
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ´Ê ®¤ ° X jZ ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ° ´ µ x t ¸ÉÁª¨µ t ¡ ªnµ¤ µ¦ (6.70) ¨³ (6.71) ¤¸¨´ ¬ ³Á } ª·£µª³¦³®ªnµ ´
0
´ Á
6.3.12 ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ CtFT o X jZ ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ (Parseval’s relation) ·¥µ¤Ã ¥ ε® Ä®o x t m f
³
f
à ¥ ¸É x t
2
2
x t x t
2
x t dt
1 2S
f
³ X jZ
2
dZ
(6.72)
f
Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤Á o¤ ° ¡¨´ µ (energy intensity)” ¸É ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¨³
Á¦¸¥ ªnµ “Á ¦´¤ ªµ¤® µÂ n ¡¨´ µ (energy-density spectrum)” ¤¸ ® nª¥Á } ¼¨ n°Á¦Á ¸¥ (joules per radian) ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨Ä ¤ µ¦ (6.72) ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê X jZ
X jZ X jZ
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-31 217
f
³
f
2
x t dt
f
³
f
ª 1 ³ f x t «¬ 2S
x t x t dt
f
f
³ X jZ e
jZt
f
1 2S
ªf º jZt X j Z
« ³ x t e dt » dZ ³ f ¬ f ¼
1 2S
f
º dZ » dt ¼
f
³
1 2S
X jZ X jZ dZ
f
f
³ X jZ
2
dZ
f
à ¥ ´ÉªÅ ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ° Ä®o ¦µ ªnµ¡¨´ µ ° ´ µ µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o ´Ê µ à Á¤ Áª¨µÂ¨³ µ à Á¤ ªµ¤ ¸É µ¤¤ µ¦ (6.72)
6.3.13 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ Á } ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ε® Ä®o x t m µ¦µ ¸É 6.1 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
6.3.14 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¦µ ¸É 6.2 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ¸¡É ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³
6.4 §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r¨¸ Ä ®´ª o° ¸É 1.2.5 Å o ª· ¸ µ¦®µ¡¨´ µ ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t µ¤¤ µ¦ (1.13) ´É º° f
E
³ x t
2
dt
(6.73)
f
° µ ¸Ê¡¨´ µ ° ´ µ x t ¥´ µ¤µ¦ ®µÅ o µ ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸Éà ¥Ä o “ §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r¨¸ (Rayleigh's energy theorem)” [3] º° E
1 2S
f
³ X jZ
2
dZ
(6.74)
f
Á ºÉ° µ ¡¨´ µ ° ´ µ µ¤µ¦ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.73) ¨³ (6.74) ´ ´Ê §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r¨¸ ¹ ° ¨o° ´ ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ µ¤¤ µ¦ (6.72) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
218
µ¦µ ¸É 6.1 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ¤ ´ ·
´ µ ŤnÁ } µ
¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r
1. ªµ¤Á } Á · Áo
ax t by t
aX jZ bY jZ
2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ
x t t0
e
3. µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É
e jZ0t x t
X j Z Z0
4. µ¦´ ¥»
x t
X jZ
5. µ¦¡´ µ Áª¨µ
x t
X jZ
6. µ¦Á ¨ µ Áª¨µ
x D t , D ! 0
7. µ¦ ε ° ꨼ ´
x t y t
8. µ¦ ¼
x t y t
9. ° »¡´ r
X¨
D
X jZ Y jZ
1 2S
dx t
f
³ X jT Y j Z T dT
f
jZ X jZ
dt
1
³ x W dW
jZ
f
11. ªµ¤¤¤µ ¦ ° µ¦´ ¥»
X jZ S X 0 G Z
X jZ
x t
12. ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨
X jZ
§ jZ · ¸ ©D ¹
1
t
10. ¦·¡´ r
jZt0
Á } ¢{ r ´ nµ ¦·
X jZ
Re ^ X jZ `
Re ^ X jZ `
Im ^ X jZ `
Im ^ X jZ `
X jZ
X jZ
X jZ
X jZ
x t
Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n
X jZ
Á } nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n
x t
Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¸É
X jZ
Á } nµ · £µ¡Â o¨³¢{ r ´ ¸É
f
³ x t
f
2
dt
1 2S
f
³ X jZ
2
dZ
f
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-33 219
Â&#x2DC;¾Œ¾Â&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 6.2 Â&#x2021;ÂźnÂ&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;¢Ÿà Œ¸¼ŒrÂ&#x161;¸Ă&#x2030;Â&#x2DC;n°à Â&#x153;ÂşĂ&#x2030;°Â&#x160;Â&#x161;ÂľÂ&#x160;à ª¨¾ ´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x t
ÂĂ Â&#x17E;Â&#x201E;Â&#x2DC;Œ´¤Â&#x2021;ª¾¤Â&#x2122;¸Ă&#x2030; X jZ
1
2SG Z
G t
1.
G t t0
e
jZ0 t
.
1/ jZ SG Z
u t
e
jZt0
2SG Z Z0
.
cos Z0t
sin Z0t
S ªG Z Z0 G Z Z0 ºŸ
S j
ªG Z Z0 G Z Z0 Ÿº
e at u t , a ! 0
1/ a jZ
te at u t , a ! 0
1/ a jZ
2
1/ a jZ
n
t n 1
n 1 ! e
e at u t , a ! 0
a t
,
2a / a 2 Z 2
a!0
e S t
2
e Z
2 jZ a Z 2
Z
e at sin Z0t u t , a ! 0 W
St
S
x t
sgn t
sinc Wt
Â1, t T1 ÂŽ ÂŻ0, else
2 jZ a Z 2
X jZ
Â1, Z W ÂŽ ÂŻ0, else
2 sin ZT1
2T1sinc ZT1
Z
t !0 Â1, ° ÂŽ0, t 0 ° 1, t 0 ÂŻ
2 jZ
f
2S
m f
T
ÂŚ G t mT
/ 4S
jZ a
e at cos Z0t u t , a ! 0
sin Wt
2
f
§
Œ G ¨Š Z
k f
2S k ¡
¸
T š
ŕ¸?ŕ¸?าŕ¸&#x201C;๠ละระŕ¸&#x161;ŕ¸&#x161; ภูŕ¸&#x161;ภารŕ¸&#x203A;ระยุภŕ¸&#x2022;ď&#x153;&#x17D;ŕš&#x192;ŕ¸&#x160;ď&#x153;&#x2039;ŕš&#x201A;ŕ¸&#x203A;ร๠ภรม SCILAB 6-34 สูSignals and Systems with SCILAB Applications
220
2
AT
X jZ
2
2
§t· A ¨ ¸ ©T ¹
x t
A
T
T
2
2
t
4S
T
2S
0
T
£µ¡ ¸É 6.16 Á ¦´¤ ªµ¤® µÂ n ¡¨´ µ
2S
4S
T
T
X jZ
Z
2
´ª°¥nµ Á n µ ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ º° x t
§ t · CtFT o X jZ
A ¨ ¸ m ©T /2¹
§ ZT · ATsinc ¨ ¸ © 2 ¹
2
´ ´Ê Á ¦´¤ ªµ¤® µÂ n ¡¨´ µ X jZ ³¤¸¨´ ¬ ³ µ¤£µ¡ ¸É 6.16 ¨³ oµ¤¤ ·ªnµ o° µ¦ ε ª ®µ¡¨´ µ ° ´ µ ¸É°¥¼nÄ nª  ªµ¤ ¸É 2S / T d Z d 2S / T ȵ¤µ¦ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.74) ´ ¸Ê E
1 2S
2S / T
2
ATsinc ZT / 2 dZ
³ S
2 / T
A2T 2 2S
2S / T
³
2S / T
| 0.9A2T
sinc2 ZT / 2 dZ
SCILAB: -->T = 1;
A = 2;
-->E = A^2*T^2/(2*%pi)*integrate ... -->('sinc(w*T/2)^2', 'w', -2*%pi/T, ... -->2*%pi/T) E = 3.6112933
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¡¨´ µ ° ´ µ ¦³¤µ 90% ³°¥¼n£µ¥Ä nª  ªµ¤ ¸É 2S / T d Z d 2S / T ´ª°¥nµ Á n oµ T = 1 ¨³ A = 2 ³Å oªnµ¡¨´ µ ° ´ µ x t º° E = 0.9 u 22 u 1 = 3.6 ¼¨ ´ ´Ê oµ¤¤ ·ªnµ´ µ X jZ º°´ µ ¸É ³ ¼ n nµ Å ¥´ ª ¦ ¦° nµ Éε (low-pass filter) n° n n°Å ¥´ ª ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampler) o°¤¼¨Á ¸É¥ª ´ ¡¨´ µ ¸Êµ¤µ¦ ε¤µÄ o nª¥Ä µ¦°°  nµ ªµ¤ ¸É ´ (cut-off frequency) ° ª ¦ ¦° nµ ÉεŠo Á n oµ ε® Ä®o¦³ ¥´ µ¤µ¦ ε µ Å o °¥nµ ¤¸ ¦³· ·£µ¡ oµ¡¨´ µ ° ´ µ x t ¸É nµ ª ¦ ¦° nµ Éε¤¸ ¦·¤µ Ťn o°¥ ªnµ 90% ° ¡¨´ µ ´Ê ®¤ ´ ´Ê ª ¦ ¦° n µ ÉÎ µ °µ Ä o ªµ¤ ¸É Z 2S / T Á } ªµ¤ ¸É ´  µ¦Ä o ªµ¤ ¸É Z ! 2S / T ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ ªµ¤ ¸É ´ ¸É¤¸ nµ o°¥ ³ nª¥¨ ¦·¤µ ° ´ µ ¦ ª (noise) ¸É ³ nµ ª ¦ ¦° nµ ÉεÁ oµÅ Ä ¦³ Å o บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-35 221
6.5 ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä µ · ´ ·¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÂ Á · Áo (LTI) ¤´ ³ ¼ ε® à ¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo (LCCDE: linear constant-coefficient differential equation) ´ ¸Ê N
¦ ak k 0
d k y t
dt k
M
¦ bk k 0
d k x t
dt k
(6.75)
Á¤ºÉ° ak ¨³ bk Á } nµ´¤ ¦³· ·Í ´ª, ¨³ y t ¨³ x t º°´ µ Á°µ r¡» ¨³´ µ °· ¡»  ŤnÁ } µ ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ¤ µ¦ (6.75) Á¦¸¥ ªnµ¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ N
6.5.1 µ¦®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É à ¥ ´ÉªÅ µ¦®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ ¸É ε® µ¤¤ µ¦ (6.75) à ¥ ¦ εŠo¥µ Á¡¦µ³ªnµ ¤ µ¦¤¸ ªµ¤ ´ o° ¤µ ´ ´Ê Ä µ¦®µ nµ h t ³Á¦·É¤ µ µ¦®µ nµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° h t ´É º° H jZ ¨oª ¹ Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ Á¡ºÉ°®µ nµ h t µ¤ ¸É o° µ¦ CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ µ ´Ê ε µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ε® Ä®o x t m ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (6.75) ³Å o ªN ª M d k x t º d k y t º F «¦ ak F » «¦ bk » dt k ¼ dt k ¼ ¬k 0 ¬k 0
°µ«´¥ » ¤ ´ ·Á · Áo µ¤¤ µ¦ (6.48) ³Å o ª d k y t º a F » ¦ k « k k 0 ¬ dt ¼ N
ª d k x t º b F » ¦ k « k k 0 ¬ dt ¼ M
¨³ » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ r µ¤¤ µ¦ (6.59) ³Å o N
M
k
k
¦ a jZ Y jZ ¦ b jZ X jZ
k
k
k 0
(6.76)
k 0
´ ´Ê ¨ ° ° °·¤¡´¨rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° H jZ
¦ X jZ ¦
Y jZ
M
k
k
jZ
k a jZ
0 k b
k 0 k N
(6.77)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
222
´ª°¥nµ ¸É 6.14 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ ° ´ ¸Ê d 2 y t
dt
2
4
dy t
dt
3y t
) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ ¸Ê ) ®µ´ µ Á°µ r¡» y t Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x t
dx t
dt
2x t
(6.78)
e t u t
ª· ¸ ε ) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (6.78) ³Å o 2
jZ Y jZ 4 jZ Y jZ 3Y jZ jZ X jZ 2 X jZ
´ ´Ê ¨ ° ° °·¤¡´¨rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° H jZ
Y jZ
X jZ
jZ 2
jZ
2
4 jZ 3
ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ (partial-fraction expansion) ³Å o
jZ 2 jZ 1 jZ 3
SCILAB: // ε® Ä®o s -->s
0.5 0.5 jZ 1 jZ 3
H jZ
(6.79) jZ
= poly(0, 's');
-->Hs = (s+2)/((s+1)*(s+3)); -->h
= syslin('c', Hs);
-->Hjw = pfss(h) Hjw =
µ ´Ê °µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ³Å oªnµ
Hjw(1)
h t F ª¬ H jZ º¼ 1
1 t 3t ªe e º¼ u t
2¬
0.5 ----1 + s
) Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ °· ¡» º° X jZ F ª¬e t u t º¼
Hjw(2) 0.5 ----3 + s
1 jZ 1
´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Y jZ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (6.79) ´É º° Y jZ
H jZ X jZ
ª 1 º jZ 2 j j Z 1 Z 3
«¬ jZ 1»¼
jZ 2 2
jZ 1 jZ 3
ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ³Å o บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-37 223
A11 A12 A21 2 jZ 1 jZ 1 jZ 3
Y jZ
µ µ¦Â o¤ µ¦Á¡ºÉ°®µ nµ
A11 , A11 , ¨³ A21 A11
³Å oªµn
1 , A12 4
1 , 2
¨³
A21
1 4
´ ´Ê 1/ 4
Y jZ
1/ 2
1/ 4
jZ 1 jZ 1 2 jZ 3
°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ³Å oªnµ y t F 1 ª¬Y jZ º¼
ª 1 t 1 t 1 3t º «¬ 4 e 2 te 4 e »¼ u t
µ ´ ª °¥n µ o µ o  Įo Á ®È ªn µ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r n ª ¥ Î µ Ä®o µ¦ª· Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê °¥nµ ¤µ ° µ ¸Ê µ¦ ε » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¤µ ¦³¥» rÄ o µ ¥´ nª¥ εĮo µ¤µ¦ ª· Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ ¸É ´ o ° Å o n µ ¥ ¹Ê ´ ´Ê Ä µ · ´ · ¡ ªn µ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨´ µ ¨³¦³ ºÉ°µ¦
6.5.2 µ¦n ´ µ ¸ÉŤn¤¸ ªµ¤ · Á¡¸¥Ê ´ µ ¸Én nµ ¦³ LTI ³Å¤n¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ (distortionless) È n°Á¤ºÉ°´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÅ o o° ¤¸¦¼ ¦nµ Á®¤º° ´ ´ µ °· ¡»  n°µ ¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á ¨¸É¥ Å ®¦º°°µ ¤¸ µ¦® nª Áª¨µ ° ´ µ ÈÅ o ´ Â Ä £µ¡ ¸É 6.17 ( – ) ¨nµª º°´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ o° °¥¼nÄ ¦¼ ° y t
Kx t td
(6.80)
Á¤ºÉ° K º° nµ ´ª ¨³ td º° ¦·¤µ Áª¨µ ¸É ¼ ® nª ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¤ µ¦ (6.80) ³Å o Y jZ
Ke jZtd X jZ
(6.81)
´ ´Ê ¦³ LTI Ťn n°Ä®oÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ ° ´ µ ¸Én È n°Á¤ºÉ° ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ º° H jZ
Ke jZtd
H jZ e
j H jZ
(6.82)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
224
x t
H jZ
K
A
Z
t
t2
t1
0
0
( )
( ) H jZ
y t
slope = td
KA
0
td
t
t2 td
t1 td
Z
( )
( )
£µ¡ ¸É 6.17 µ¦n ´ µ ¸ÉŤn¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥
´É º° H jZ
K
¨³
H jZ e jZtd
(6.83)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁ ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° H jZ o° ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ´ª ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ ° H jZ o° Á } Á · Áo ´ ªµ¤ ¸É ´ Â Ä £µ¡ ¸É 6.17 ( – ) Ä ¦ ¸ ¸É H jZ z K ®¤µ¥ ¹ ¦³ LTI n°Ä®oÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ Á · °¤¡¨· ¼ (amplitude distortion) ¨³ oµ H jZ z e jZt ®¤µ¥ ¹ ¦³ LTI n°Ä®oÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ Á · Á¢ (phase distortion) d
6.6 ´ª°¥nµ µ¦ ¦³¥» rÄ o µ Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â ´ª°¥nµ µ¦ ¦³¥» rÄ o µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ à ¥°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r nµ Ç µ¤ ¸É ¨nµª¤µÄ ®´ª o° ¸É 6.3 ´ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 6.15 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ´ Á¨ (doublet signal) µ¤£µ¡ ¸É 6.18 ( ) ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 6.18 ( ) ´ µ ¡´¨r¦¼ ´ Á¨ x t Á · µ ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤° ´ µ ´É º° x t
§ t T / 2 · § t T / 2 · A ¨ ¸ A ¨ ¸ / 2 T © ¹ © T /2 ¹
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-39 225
jX jZ
x(t )
F
A
F -1
T T
t
0
6S
A
T
4S T
2S
2S
4S
6S
T
T
T
0
Z
T
( )
( )
£µ¡ ¸É 6.18 ( ) ´ µ ¡´¨r¦¼ ´ Á¨ ¨³ ( ) Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É
jX jZ
à ¥ µ¦®µ ¨Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ  n¨³ ´ª ³Å oªnµ § t T / 2 · CtFT § ZT · o e jZT / 2 ATsinc ¨ A ¨ ¸ m ¸ © T /2 ¹ © 2 ¹
¨³ § t T / 2 · CtFT § ZT · o e jZT / 2 ATsinc ¨ A ¨ ¸ m ¸ © T /2 ¹ © 2 ¹
°µ«´¥ » ¤ ´ ·Á · Áo µ¤¤ µ¦ (6.48) Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ X jZ
§ ZT · jZT / 2 jZT / 2 º¼ e ATsinc ¨ ¸ ª¬e © 2 ¹
Á¤ºÉ° j 1 º°® nª¥ · £µ¡ ¨³¦¼ ¦nµ ° ´ µ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ´ Á¨ º°
§ ZT · § ZT · 2 jATsinc ¨ ¸ sin ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹
jX jZ
Â Ä £µ¡ ¸É 6.18 ( ) ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨
ª § t T / 2 · § t T / 2 · º CtFT § ZT · § ZT · o 2 jATsinc ¨ A « ¨ ¸ ¨ ¸ » m ¸ sin ¨ ¸ / 2 / 2 T T © ¹ © ¹ © 2 ¹ © 2 ¹ ¬ ¼
(6.84)
´ª°¥nµ ¸É 6.16 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 6.19 ( ) ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 6.19 ( ) ´ µ ¡´¨r¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤ x t ¤¸¦¼ ¤ µ¦ · «µ ¦r º° x t
§ t· § t · ° A ¨1 ¸ , t T A/ ¨ ¸ ® © T ¹ ©T ¹ ° else ¯0,
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
226
AT
x t
AT
X jZ
2
F F -1
T
0
T
t
6S
T
2S T
0
2S
6S
T
T
£µ¡ ¸É 6.19 ( ) ´ µ ¡´¨r¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤ ¨³ ( ) Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼
Z
X jZ
Á ºÉ° µ ´ µ ¡´¨r¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 6.19 ( ) Á · µ µ¦®µ ¦·¡´ r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ´ Á¨ Ä £µ¡ ¸É 6.18 ( ) ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤ ¸Êµ¤µ¦ ®µÅ oà ¥°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ r µ Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (6.62) ¹É ³Å oªnµ X jZ
à ¥ ¸ÉÁ ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¡´¨r¦¼ µ¤Á®¨¸É¥¤ º°
1 ª § ZT · § ZT · º 2 jATsinc ¨ ¸ sin ¨ ¸» jZ «¬ © 2 ¹ © 2 ¹¼ X jZ
§ ZT · AT 2sinc2 ¨ ¸ © 2 ¹
Â Ä £µ¡ ¸É 6.19 ( ) Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ
§ t · CtFT § ZT · A/ ¨ ¸ m o AT 2sinc2 ¨ ¸ T © ¹ © 2 ¹
(6.85)
´ª°¥nµ ¸É 6.17 ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµÂ RL ¨³Â RLC Ä £µ¡ ¸É 6.20 Á¤ºÉ° R, L, ¨³ C º° nµ ´ª ¨³ v t º°Â®¨n εÁ · ¦ ´ Å¢¢jµ ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function) ° ) ª ¦Å¢¢jµÂ RL µ¤£µ¡ ¸É 6.20 ( ) ) ª ¦Å¢¢jµÂ RLC µ¤£µ¡ ¸É 6.20 ( ) CtFT CtFT oV jZ º° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ °· ¡» , i t m o I jZ
ª· ¸ ε ε® Ä®o v t m CtFT º° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á°µ r¡» , ¨³ h t m o H jZ º° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ª ¦Å¢¢jµ ´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ³ ·¥µ¤Ã ¥ H jZ V jZ / I jZ
) µ ¦ ´ ° Á ·¦r ±°¢¢m (Kirchoff’s voltage law) ³Å oªnµ Ri t L
di dt
v t
(6.86) บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-41
227
i t
i t
R
t
R
0
t
v t
0
v t
L
L C
( )
( )
£µ¡ ¸É 6.20 ª ¦Å¢¢jµ ( ) Â
RL
¨³ ( ) Â
RLC
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (6.86) ³Å o RI jZ L ^ jZ I jZ ` V jZ
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ª ¦Å¢¢jµÂ
RL
º°
H jZ
I jZ
V jZ
1 R jZ L
) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¦ ´ ° Á ·¦r ±°¢¢m ³Å oªnµ Ri t L
di 1 idt dt C ³
v t
(6.87)
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (6.87) ³Å o RI jZ L ^ jZ I jZ `
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ª ¦Å¢¢jµÂ H jZ
RLC
I jZ
V jZ
CjZ
º°
I jZ
V jZ
´ª°¥nµ ¸É 6.18 ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµÄ £µ¡ ¸É 6.21 Á¤ºÉ° Á È ¦³ » C
1 R jZ L
R 1:
1 jZC
¨³ C
2F
®µ nµÂ¦ ´ ¦n°¤ ´ª
ª· ¸ ε µ ¦³ÂÅ¢¢jµ ° Á ·¦r ±°¢¢m (Kirchoff’s current law) ³Å oªnµ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
228
i t 12e t u t
iC
12
iR i t
R
C
v t
t
0
£µ¡ ¸É 6.21 ª ¦Å¢¢jµ ° ´ª°¥nµ ¸É 6.18 iR iC CtFT oV jZ ¨³ ε® Ä®o v t m ¤ µ¦ (6.88) º°
R
C
dv t
dt
CtFT i t m o I jZ
V jZ
R
Á ºÉ° µ I jZ
v t
CjZV jZ
F ª¬12e t u t º¼ 12 / 1 jZ
i t
(6.88)
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ° oµ °
I jZ
³Å oªnµ
V jZ
12 2 jZV jZ
1 1 jZ
V jZ
12
6
1 jZ 1 2 jZ 1 jZ 0.5 jZ
°µ«´¥ µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ³Å o V jZ
12 12 1 jZ 0.5 jZ
´ ´Ê ¦ ´ ¦n°¤ ´ªÁ È ¦³ »Ä à Á¤ Áª¨µ º° ª 12 º ª 12 º t 0.5t v t F 1 « F 1 « » » 12 ^ e e ` u t
¬ 1 jZ ¼ ¬ 0.5 jZ ¼
6.7 µ¦ ¦° ´ µ µ¦ ¦° ´ µ (filtering) ´ ªnµÁ } ´ª εÁ · µ¦¡ºÊ µ ¸Éε ´ Ä ¦³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨´ µ ´Ê ¸Ê Á } Á¡¦µ³ªnµ µ¦ ¦° ´ µ Á } ¦³ ª µ¦ ¸É εĮo°¤¡¨· ¼ ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É (Á ¦´¤ บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-43 229
ªµ¤ ¸É) Á ¨¸É¥  ¨ Å ®¦º° εĮo®¤ Å µ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ¤ µ¦ (6.64) ° ¦³ LTI ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ °· ¡» Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¼ ´ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ ´ ´Ê ¹ °µ ¦» Å oªnµ¦³ LTI ¤¸¨´ ¬ ³Á } ª ¦ ¦° ¸É ε® oµ ¸ÉÁ¨º° ªµ¤ ¸É (frequency-selective) ° ´ µ °· ¡»
6.7.1 ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É° » ¤ · ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ · (ideal frequency-selective filter) ε® oµ ¸É¥°¤Ä®o ªµ¤ ¸É » ® ¹É nµ Å Å o ´Ê ®¤ Ä ³ ¸ÉŤn¥°¤Ä®o ªµ¤ ¸É°¸ » ® ¹É nµ nª  ªµ¤ ¸É ¸Éª ¦ ¦° ¥°¤Ä®o nµ Å Å o Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ ¸É nµ (pass band)” ¨³ nª  ªµ¤ ¸É ¸ÉŤn¥°¤Ä®o nµ Å Å oÁ¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ ¸É®¥» (stop band)” Ä µ · ´ ·ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ · ¸É¡ ¤µ ¤¸ ´ n°Å ¸Ê
6.7.1.1 ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · (ideal low-pass filter) ¤¸Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ º° H jZ
°1, ® °̄0,
Z Zc Z ! Zc
(6.89)
Á¤ºÉ° Zc º° ªµ¤ ¸É ´ (cut-off frequency) µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 6.22 ( )
6.7.1.2 ª ¦ ¦° nµ ¼ °» ¤ · ª ¦ ¦° nµ ¼ °» ¤ · (ideal high-pass filter) ¤¸Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ º° H jZ
°0, ® °̄1,
Z Zc Z ! Zc
(6.90)
µ¤£µ¡ ¸É 6.22 ( )
6.7.1.3 ª ¦ ¦° nµ  °» ¤ · ª ¦ ¦° nµ  °» ¤ · (ideal bandpass filter) ¤¸Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ º° H jZ
1, Z1 Z Z2 ® ¯0, else
(6.91)
Á¤ºÉ° Z1 ¨³ Z2 º° nµ ´ªÄ Ç µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 6.22 ( ) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-44 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
230
H jZ
H jZ
1
1
Zc
Z
Zc
Zc
( ) ª ¦ ¦° nµ Î µÉ °» ¤ ·
( ) ª ¦ ¦° nµ ¼ °» ¤ · H jZ
H jZ
1
1
Z2
Z1
Z
Zc
Z1
Z
Z2
Z2
Z1
Z1
Z2
Z
( ) ª ¦ ¦°  ®¥» °» ¤ ·
( ) ª ¦ ¦° Â nµ °» ¤ ·
£µ¡ ¸É 6.22 Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ ·Â nµ Ç
6.7.1.4 ª ¦ ¦°  ®¥» °» ¤ · ª ¦ ¦°  ®¥» °» ¤ · (ideal stopband filter) µ¤£µ¡ ¸É 6.22 ( ) ¤¸Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ º° H jZ
0, Z1 Z Z2 ® ¯1, else
(6.92)
®¤µ¥Á® » ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ · ´Ê ®¤ ¸É ¨nµª¤µ ¸Ê º°ªnµÁ } ¦³  ° ° °¨ (noncausal system) ° µ ¸ÊÄ µ · ´ ·ª ¦ ¦° ª¦¤¸Á ¦´¤Á · Á¢Á }  Á · Áo £µ¥Ä nª  ªµ¤ ¸É nµ ° ª ¦ ¦° ´Ê ´É º° H jZ td Z
(6.93)
Á¤ºÉ° td º° nµ ´ª Á¡ºÉ°®¨¸ Á¨¸É¥ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ Á · Á¢ (phase distortion) ¸É°µ Á · ¹Ê Å o µ ¦³ ª µ¦ ¦°
6.7.2 ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸ÉÄ µ · ´ · à ¥ ´ÉªÅ ª ¦ ¦° °» ¤ ·Â nµ Ç Å¤nµ¤µ¦ ¦oµ Á } ª ¦°·Á¨È ¦° · rÅ o ¦· Ä µ · ´ · Á ºÉ° µ Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° ª ¦ ¦° °» ¤ ·Á®¨nµ ´Ê ¤¸ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °¥nµ ´ ¡¨´ ( ¹É n ¨ εĮo ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ¦° ¨»¤Áª¨µÅ¤n ε ´ ) Ä nª ¸Ê ³¥ ´ª°¥nµ ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É ¸É¦oµ ¹Ê Å o ¦· Ä µ · ´ · ´ n°Å ¸Ê บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-45 231
R
x t
y t
C i t
( ) H jZ
H jZ
S /2
1
S /4
Z0
1 2
Z0
Z
S / 4
Z0
Z0
1/ RC
Z
S / 2
( )
( )
£µ¡ ¸É 6.23 ( ) ª ¦ ¦° nµ Éε RC, ( ) Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ , ¨³ ( ) Á ¦´¤Á · Á¢
6.7.2.1 ª ¦ ¦° nµ Éε ª ¦ ¦° nµ Éε (low-pass filter) µ¤µ¦ ¦oµ ¹Ê Å o µ ª ¦ RC µ¤£µ¡ ¸É 6.23 ( ) à ¥ ¸É ªµ¤´¤¡´ r ¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x t ¨³´ µ Á°µ r¡» y t Á } ´ ¸Ê RC
dy t
y t
dt
x t
(6.94)
¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ H jZ ®µÅ o µ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (6.94) ´É º° RC ^ jZY jZ ` Y jZ
^1 jZ RC` Y jZ
X jZ
X jZ
CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ ´ ´Ê ³Å oªnµ Á¤ºÉ° x t m
H jZ
Á¤ºÉ° Z0
1/ RC
Y jZ
1 1 jZ RC
X jZ
° µ ¸ÊÁ ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼
H jZ
1 1 jZ / Z0
(6.95)
¨³Á ¦´¤Á · Á¢ H jZ ®µÅ o µ
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-46 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
232
s t
h t
1/ RC
1 1
1
1 e
eRC t
RC
t
RC
( )
( )
£µ¡ ¸É 6.24 ( ) ¨ ° ° °·¤¡´¨r ¨³ ( ) ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ¦³ H jZ
1
1
1 jZ / Z0
1 Z / Z0
(6.96)
2
§Z· H jZ tan 1 ¨ ¸ © Z0 ¹
(6.97)
£µ¡ ¸É 6.23 ( – )  Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ ° ª ¦ ¦°  RC ¹É ³Á®È Å o ªnµÁ ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° ª ¦ ¦° RC ¤¸¨´ ¬ ³Á }  ª ¦ ¦° nµ Éε ° µ ¸Ê ¨ ° ° °· ¤ ¡´ ¨ r ° ¦³ È º ° ´ µ Á°µ r ¡» y t Á¤ºÉ ° x t G t Á } ´ µ Å Â¦È Á ¨ µ ¹É ®µÅ o µ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° ¤ µ¦ (6.95) ´É º° 1 t / RC e u t
RC
h t F 1 ª¬ H Z º¼
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ¦³ È º°´ µ Á°µ r¡» y t Á¤ºÉ° ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ s t
^1 e
t / RC
(6.98) x t u t
` u t
Á }
(6.99)
£µ¡ ¸É 6.24  ¨ ° ° °·¤¡´¨r¨³ ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ª ¦ ¦° nµ Éε RC
6.7.2.2 ª ¦ ¦° nµ ¼ ª ¦ ¦° nµ ¼ (high-pass filter) µ¤µ¦ ¦oµ ¹Ê Å o µ ª ¦ RC µ¤£µ¡ ¸É 6.25 ( ) à ¥ ªµ¤´¤¡´ r ¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» x t ¨³´ µ Á°µ r¡» y t Á } ´ ¸Ê RC
dy t
y t
dt
RC
dx t
dt
(6.100)
บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-47 233
y t
x t
i t
H jZ
H jZ
S /2
S /4
1
Z S / 4
Z 1/ RC
S / 2
1/ RC
£µ¡ ¸É 6.25 ( ) ª ¦ ¦° nµ ¼  RC, ( ) Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ , ¨³ ( ) Á ¦´¤Á · Á¢
¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ H jZ ®µÅ o µ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (6.100) ´É º° RC ^ jZY jZ ` Y jZ
^1 jZ RC` Y jZ
RC ^ jZ X jZ ` jZ RCX jZ
CtFT CtFT Á¤ºÉ° x t m o X jZ ¨³ y t m o Y jZ ´ ´Ê ³Å oªnµ
H jZ
Y jZ
X jZ
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼
jZ RC 1 jZ RC
H jZ
H jZ
R R 1/ jZC
(6.101)
¨³Á ¦´¤Á · Á¢ H jZ ®µÅ o µ 1 1 1/ Z RC
2
§ 1 · H jZ tan 1 ¨ ¸ © Z RC ¹
(6.102)
(6.103)
£µ¡ ¸É 6.25 ( – )  Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ ° ¦³ ¸Ê ¹É ³Á®È Å oªnµÁ ¦´¤ Á · °¤¡¨· ¼ ¤¸¨´ ¬ ³Á }  ª ¦ ¦° nµ ¼ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-48 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
234
H jZ
L
C
ªµ¤ ¸ÁÉ ¦Ã  r
1
 rª· r x t
0.707
y t
R
B
i t
f fL
( )
fR
fH
ªµ¤ ¸É (Hz)
( )
£µ¡ ¸É 6.26 ( ) ª ¦ ¦°  nµ  RLC ¨³ ( ) Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼  ¸É εĮoÁ } ¦¦ ´ µ
6.7.2.3 ª ¦ ¦°  nµ ª ¦ ¦°  nµ (bandpass filter) ®¦º°ª ¦Á¨º° ªµ¤ ¸É (frequency selector) Á } ª ¦ ¦° ¸É ³¥°¤Ä®o ´ µ °· ¡» ¸É¤¸ nª ªµ¤ ¸É µ¤ ¸É ε® nµ Å Å o nª ´ µ °· ¡» ªµ¤ ¸É°ºÉ Ç ³ ¼ ¨ ° ®¦º°Å¤n¥°¤Ä®o nµ ª ¦Å Å o £µ¡ ¸É 6.26 ( )  ª ¦ ¦°  nµ ¸É¦oµ ¹Ê Å o µ ª ¦ RLC à ¥¤¸ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ H jZ º° H jZ
Y jZ
X jZ
R jZ L 1/ jZC R
(6.104)
CtFT CtFT Á¤ºÉ° x t m o X jZ ¨³ y t m o Y jZ £µ¡ ¸É 6.26  Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° ª ¦ ¦°  nµ  ¸É εĮoÁ } ¦¦ ´ µ (normalized bandpass filter) ´É º°°´ ¦µ ¥µ¥´ µ ¼ » ° ª ¦ ³¤¸ nµÁ nµ ´ 1 (®¦º° 0 Á ·Á ¨) ªµ¤ ¸É ε ¦ f R (resonant frequency) à ¥ ´ÉªÅ ªµ¤ ¸É ¸É Éε ªnµ ªµ¤ ¸É ε ¦ ¸É εĮo°´ ¦µ ¥µ¥´ µ ¤¸ nµÁ nµ ´ 0.707 Á¦¸¥ ªnµ ªµ¤ ¸É ´ oµ Éε f L (low cutoff frequentcy), ªµ¤ ¸É ¸É¼ ªnµ ªµ¤ ¸É ε ¦ ¸É εĮo°´ ¦µ ¥µ¥´ µ ¤¸ nµÁ nµ ´ 0.707 Á¦¸¥ ªnµ ªµ¤ ¸É ´ oµ ¼ f H (high cutoff frequency), ¨³ ªµ¤ ¸É nµ ³°¥¼n¦³®ªnµ f L ¨³ f H
 rª· r (bandwidth)  rª· r º° ªµ¤ ªoµ °  ªµ¤ ¸É ´ª°¥nµ Á n  rª· r ° ª ¦ ¦°  nµ Ä £µ¡ ¸É 6.26 ( ) È º° nª ªµ¤ ¸É¦³®ªnµ f L ´ f H ´É º° B
´ ´Ê oµ ¦µ nµ ªµ¤ ¸É
fL
¨³
fH
fH fL
(6.105)
ȵ¤µ¦ ε ª ®µ nµ ªµ¤ ¸É ε ¦Å o µ บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-49
235
R C x t
L
y t
i t
£µ¡ ¸É 6.27 ª ¦ ¦°  ®¥»  RLC fL u fH
fR
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ oµ ¦µ nµ ªµ¤ ¸É ε ¦ oµ ¼ Å o µ fL
fR
(6.106)
¨³Â rª· r B ȵ¤µ¦ ®µ nµ ªµ¤ ¸É ´ oµ É娳 ªµ¤ ¸É ´
B2 B f R2 4 2
¨³
fH
fL B
(6.107)
´ª ¦³ ° » £µ¡ (quality factor) ´ª ¦³ ° » £µ¡ º°°´ ¦µnª ¦³®ªnµ ªµ¤ ¸É ε ¦
¨³Â rª· r B ° ª ¦ ´É º°
fR fR B
Q
(6.108)
Ä µ · ´ · ´ª ¦³ ° » £µ¡ ³Â Ä®oÁ®È ¹  ªµ¤ ¸É nµ (pass band) ° ª ¦ ¨nµª º° oµ ´ª ¦³ ° » £µ¡¤¸ nµ¼ ³ ° ¹  ªµ¤ ¸É nµ ¸É ¨³Ä µ ¨´ ´ oµ ´ª ¦³ ° » £µ¡¤¸ nµ Éε ³ ° ¹  ªµ¤ ¸É nµ ¸É ªoµ
6.7.2.4 ª ¦ ¦°  ®¥» ª ¦ ¦°  ®¥» (stopband filter) µ¤µ¦ ¦oµ ¹Ê Å o µ ª ¦ RLC µ¤£µ¡ ¸É 6.27 à ¥¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ H jZ º° H jZ
Y jZ
jZ L 1/ jZC
X jZ
jZ L 1/ jZC R
(6.109)
CtFT CtFT à ¥ ¸É x t m o X jZ ¨³ y t m o Y jZ
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-50 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
236
6.8 ¦» oµ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “Á ¦´¤” » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º°ªnµ¤¸ ªµ¤Îµ ´ n° µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤µ Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r ¨¸ ¦ª¤ ´Ê µ¦®µ ¨ ° ° ° ¦³ Á · Áo ¸É Å ¤n  ¦Á ¨¸É ¥ µ¤Áª¨µ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » oµ¥Å o µ¦ ε´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Å Ä o° · µ¥¡§ · ¦¦¤ ° ª ¦ ¦°  nµ Ç ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oª¥
6.9  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ¡·¼ r ε ° Á¤ºÉ° Z
1.1) x t
e j 2Zt
1.3) x t
cos Zt sin Zt
2
2S f
Á¤ºÉ° a ! 0
1.5) x t
e at
1.7) x t
e at cos Z0t u t
Á¤ºÉ° a ! 0
1.2) x t
sin Zt S / 4
1.4) x t
eat u t
1.6) x t
cos Z0t u t
1.8) x t
e at sin Z0t u t
Á¤ºÉ° a ! 0 Á¤ºÉ° a ! 0
2) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ LTI ¸É ε® à ¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r yc t 3 y t
x t xc t
Á¤ºÉ° x t º°´ µ °· ¡» ¨³ y t º°´ µ Á°µ r¡» 3) ®µ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI ¸É ε® à ¥ yc t 3 y t
3.1) x t
u t
3.2) x t
3.3) x t
3
3.4)
x t
Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°
e 2t u t
x t sin Z0t u t
4) ε® Ä®o W90 º°Â rª· r ° ´ µ x t ¸É ¦° ¨»¤¡¨´ µ ¦ª¤ ° ´ µ ´Ê ·Ê 90% ¹É ·¥µ¤Ã ¥ 1 2S
W90
³
W90
2
X jZ dZ
1
S
W90
³ X jZ
2
dZ
0.9 Ex
0
Á¤ºÉ° Ex º°¡¨´ µ ¦ª¤ ° ´ µ x t ®µÂ rª · r W90 ° ´ µ n°Å ¸Ê บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-51 237
4.1) x t
e at u t
Á¤ºÉ° a ! 0
4.2) x t
sin at / S t
5) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° X jZ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ¡·¼ r ε ° 5.1)
X jZ
10 4 3 jZ 5 jZ
5.2)
X jZ
1 2 Z 2 j 3Z
5.3)
X jZ
5.4)
X jZ
1
a jZ
N
Á¤ºÉ°
N
º°Á¨ ε ª Á Ȥ
sin 2 3Z cos Z
Z2
6) Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ¡ºÉ°®µ nµÂ¦ ´ Å¢¢jµ ¸É ¦ ¦n°¤ ´ªÁ È ¦³ » C Ä ª ¦Å¢¢jµ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ°Â¦ ´ Å¢¢jµ°· ¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ x t 50 cos 4t u t
x t
y t
7) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r ´ ¸Ê d 2 y t
dy t
5 6 y t 10 x t
2 dt dt
Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ¡ºÉ°®µ´ µ Á°µ r¡» y t Á¤ºÉ° ε® Ä®o´ µ °· ¡» x t
2e t u t
8) ¡· µ¦ µª ¦ ¦° nµ  ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ oµ Éε f L 2 Á±·¦ r ¨³ ªµ¤ ¸É ´ oµ ¼ f H 6 Á±·¦ r ¨³Â¦ ´ Å¢¢jµ°· ¡» (®¦º°´ µ °· ¡» ) ¸ÉÅ®¨ nµ ª ¦ ¦° ¸Ê º° x t 3e 2t u t ê¨ r 8.1) ®µ¡¨´ µ ° ¦ ´ Å¢¢jµ°· ¡» ¸É ¦n°¤ ´ª ªµ¤ oµ µ µ 1 ð®r¤ 8.2) °´ ¦µnª ° ¡¨´ µ ¸É oµ Á°µ r¡» ¨³ ¸É oµ °· ¡» ° ª ¦ ¦° nµ  9) ¡·¼ r » ¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ rÄ ¤ µ¦ (6.62) ´É º° t
1
³ x W dW m o jZ X jZ S X 0 G Z
CtFT
f
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-52 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
238
¸É 7 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É 6 Å o° · µ¥ª· ¸ µ¦Â ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ®¦º°Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É à ¥Ä oÁ ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time aperiodic signal) ȵ¤µ¦ ´ Ä®o °¥¼nÄ ¦¼ ° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸ÉÅ oÁ n ´ à ¥°µ«´¥Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT: discrete-time Fourier transform)” [1, 3 – 5, 10] ´ ´Ê Ä ¸Ê ³° · µ¥ ¸É¤µ ®¨´ µ¦ ¨³ » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ° ¸É ³Å o ÎµÅ Ä oÄ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
7.1 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ ŤnÁ } µ Ä nª ¸Ê ³ ¨nµª ¹ ¸É¤µ ° ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) ¡¦o°¤ ´Ê ° · µ¥Á ºÉ° Å µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦¡· µ¦ µªnµ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ Ä ¹ ³µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o
7.1.1 ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ ŤnÁ } µ µ¤µ¦ ¡· µ¦ µªnµÁ } ´ µ µ Å oà ¥¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ nµ° ´ r £µ¡ ¸É 7.1  ´ µ µ x p > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N ¨³´ µ ŤnÁ } µ x > n@ ´ ´Ê oµ¡· µ¦ µªnµ µ Áª¨µ N ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ r ³Å oªnµ´ µ x p > n@ ¨³ x > n@ º°´ µ Á ¸¥ª ´ ´ µ µ x p > n@ µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS) µ¤ ¤ µ¦ (5.19) ¨³ (5.20) ´É º°
บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 239
7-1
x p > n@
( ) ´ µ µ
N1
N
N2
0
x > n@
( ) ´ µ ŤnÁ } µ
N1
£µ¡ ¸É 7.1 ( ) ´ µ µ
x p > n@
n
¨³ ( ) ´ µ ŤnÁ } µ x > n@ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
x p > n@
ak
N t N1 N 2 1
N2
0
n
N
1 N
¦ae k
k
jk 2S / N n
¦ x > n@ e p
n
(7.1)
N
jk 2S / N n
(7.2)
N
à ¥ ¸É´ ¨´ ¬ r k N ®¤µ¥ ¹ nµ k ¸ÉÄ o ³Á¦¸¥ n° ´ Á } ε ª ®¦º° k 2,3,! , N 1 ÈÅ o ¨³Á ºÉ° µ
N
¡ r Á n k
0,1,! , N 1
x > n @ , N1 d n d N 2 x >n@ ® p else ¯0,
´ ´Ê ¤ µ¦ (7.2) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } ak
1 N
N2
¦ x >n@ e
1 N
jk 2S / N n
n N1
f
¦ x > n@ e
jk 2S / N n
(7.3)
n f
oµ ε® Ä®o X e jZ
f
¦ x > n@ e
jZ n
(7.4)
n f
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (7.3) ¨³ (7.4) ³Å o ak
7-2
1 X e jkZ0 N
(7.5)
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
240
X e jZ e jZ n
X e jkZ0 e jkZ0 nZ0
X e jkZ0 e jkZ0 n 'Z k Z0
Z
k 1 Z0
£µ¡ ¸É 7.2 £µ¡Â ªµ¤®¤µ¥ ° ¤ µ¦ (7.6)
Á¤ºÉ° Z0
2S / N
 nµ ak µ ¤ µ¦ (7.5) ¨ Ä ¤ µ¦ (7.1) ³Å oÁ } x p > n@
¦
k
N
1 X e jkZ0 e jkZ0 n N
1 2S
¦ X e Z e jk
k
0
jkZ0 n
Z0
(7.6)
N
Á¡¦µ³ªnµ N 2S / Z0 £µ¡ ¸É 7.2  ªµ¤®¤µ¥ ° ¤ µ¦ (7.6) ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦®µ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ´ µ Ä £µ¡ ¸É 7.2 Á¤ºÉ° N o f ³Å oªnµ Z0 o 0 oµ ε® Ä®o Z0 'Z ¤ µ¦ (7.6) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x p > n@
N of
1 2S
¦ X e
k
jk 'Z
N
e
jk 'Z n
'Z
(7.7)
¨³Á¤ºÉ° 'Z o 0 Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¨¦ª¤Ä ¤ µ¦ (7.7) ³Á ¨¸É¥ Á } Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¦·¡´ r ¹É Á } ¨ εĮo x p > n @ o x > n @ ´ ´Ê ¤ µ¦ (7.7) µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } x > n@
1 2S
Z Z ³ S X e e dZ j
j n
2
(7.8)
à ¥ ¸É X e jZ Á¦¸¥ ªnµÁ ¦´¤ (spectrum) ° ´ µ x > n@ ¹É ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸É Á nµ ´ 2S ¨³ X e jZ ®µÅ o µ X e jZ
Á¤ºÉ° Z
2S f
f
¦ x > n@ e
jZ n
º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา
241
(7.9)
n f
7-3
7.1.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¤ µ¦ (7.8) ¨³ (7.9) º°ªnµÁ } “ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ” à ¥ ¸É¤ µ¦ (7.8) Á¦¸¥ ªnµ¤ µ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ (inverse Fourier transform equation) ®¦º°¤ µ¦´ Á ¦µ³®r ¹É Ä oÄ µ¦Â ¨ ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸ÉÄ®o ¨´ ¤µÁ } ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ Ä ³ ¸É¤ µ¦ (7.9) Á¦¸¥ ªnµ ¤ µ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform equation) ®¦º°¤ µ¦ª·Á ¦µ³®r ¹É Ä oÄ µ¦Â ¨ ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¨³Á¡ºÉ°Ä®o³ ª n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Ä o´ ¨´ ¬ r n°Å ¸Ê X e jZ F ^ x > n @`
f
¦ x > n@ e
jZ n
(7.10)
n f
¨³
^
1 2S
`
x > n @ F 1 X e jZ
Z Z ³ S X e e dZ j
j n
2
(7.11)
Á¤ºÉ° F ^` º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ F 1 ^` º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° µ ¸Ê¥´ Ä o´ ¨´ ¬ r DtFT x > n @ m o X e jZ
(7.12)
Á¡ºÉ°Â ªµ¤´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ X e jZ
7.1.3 Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r à ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Z Å o º°
X e jZ
µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ° ªµ¤ ¸É X e jZ
Á¤ºÉ°
X e jZ
X e jZ e
j X e jZ
(7.13)
º°Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼  n°Á ºÉ° ¨³ X e jZ
^ ^
` ·¸ ` ¸¹
§ Im X e jZ
tan 1 ¨ ¨ Re X e jZ
©
(7.14)
º°Á ¦´¤Á · Á¢Â n°Á ºÉ° ° ´ µ x > n@ à ¥ ¸É Re ^a` º°nª ¸ÉÁ } nµ ¦· ° ´ªÂ ¦ a ¨³ Im ^a` º°nª ¸ÉÁ } nµ · £µ¡ ° ´ªÂ ¦ a 7-4
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
242
Ä ¦ ¸ ¸É´ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å o ªµ¤´¤¡´ r nµ Ç ´ ¸Ê X e jZ
X e jZ
X e jZ e
X e jZ
j X e jZ
(7.15)
X e jZ
(7.16)
X e jZ X e jZ
Á¤ºÉ°
X
º° nµ´ ¥» Á · o° °
(7.17)
µ ¤ µ¦ (7.16) ¨³ (7.17) ³Å oªnµ
X
X e jZ
Á } ¢{ r ´ ¼n ¨³
X e jZ
Á } ¢{ r ´ ¸É ° µ ¸Ê¢{ r ´ ´Ê ° ¦ª¤ ´ ³Á¦¸¥ ªnµ “Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier spectrum)” ° x > n@ à ¥ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } Á ¦´¤Â n°Á ºÉ° (continuous spectrum) ¹É  nµ µ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É¤¸Á ¦´¤Â Áo (line spectrum) ´ª°¥nµ ¸É 7.1 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á¤ºÉ°
x > n @ a nu > n @ ,
a 1
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ° ´ µ x > n@ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ
f
¦ ^a u > n@` e n
jZ n
n f
f
n jZ n
¦a e n 0
f
¦ ae Z
j
n
(7.18)
n 0
°µ«´¥° » ¦¤Á¦ µ ·  ° ´ r (infinite geometric series) [9] ¸É ¨nµªªnµ f
¦r n 0
n
1 , r 1 1 r
(7.19)
´ ´Ê ¤ µ¦ (7.18) ¨ ¦¼ Á } X e jZ
1 1 ae jZ
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ¸ Ê º° DtFT a n u > n @ m o
1 1 ae jZ
,
a 1
(7.20)
Á ºÉ° µ X e jZ Á } nµÁ · o° ®¦º°µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 243
7-5
SCILAB:
( ´ª°¥nµ ¸É 7.1)
-->a = 0.5;
//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ´ µ x > n @
-->Nmax = 100;
n = 0:Nmax;
dw = 0.01;
w = -3*%pi:dw:3*%pi;
-->for i = 1:length(w) --> Xw(i) = sum((a*exp(-%i*w(i))).^n); -->end
//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (7.10)
-->plot(w,abs(Xw)); xgrid(2);
//ªµ ¦µ¢Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼
-->plot(w,atan(imag(Xw)./real(Xw))); xgrid(2);
X e jZ
1
//ªµ ¦µ¢Á ¦´¤Á · Á¢ X e
X e
jZ
jZ
1 1 a cos Z ja sin Z
1 a ^cos Z j sin Z `
´ ´Ê ¦µ¢ ° ´ µ X e jZ à ¥ ´ªÉ Å ³Â Ä®o°¥¼Än ¦¼ ° µ ¨³¤»¤Á¢ ¹É ®µÅ o µ X e jZ
X e jZ
Á¤ºÉ°Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼
1 2
1 a cos Z a sin Z
§ a sin Z · tan 1 1 tan 1 ¨¨ ¸¸ © 1 a cos Z ¹ X e jZ
¨³Á ¦´¤Á · Á¢
(7.21)
2
§ a sin Z · tan 1 ¨¨ ¸¸ © 1 a cos Z ¹ X e jZ
Â Ä £µ¡ ¸É 7.3
(7.22) 宦´
(£µ¡ ) ¨³ a 0.5 (£µ¡¨nµ ) ¹É ³¡ ªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ à ¥ ´ÉªÅ Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ·¥¤ ε¤µÄ o µ ¤µ ªnµ Á ¦´¤Á · Á¢ ´ ´Ê µ ¸ÊÁ } o Å Á ¦´¤Á · Á¢ ³ ¼ ¨³ÅªoÄ µ ¸ÉÁ oµÄ a
0.5
SCILAB:
(£µ¡ ¸É 7.3)
-->w = -3*%pi:0.01:3*%pi; -->a = 0.5;
Xw = (1-a*exp(-%i*w)).\1;
-->subplot(2,2,1);
plot2d1(w, abs(Xw));
// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o µ ¤ µ¦ (7.20)
xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 7.3 ( oµ¥)
xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 7.3 ( ªµ)
-->phase = -atan(a*sin(w)./(1-a*cos(w))); -->subplot(2,2,2); -->a = -0.5;
plot2d1(w, phase);
Xw = (1-a*exp(-%i*w)).\1;
-->subplot(2,2,3);
plot2d1(w, abs(Xw));
// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o µ ¤ µ¦ (7.20)
xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 7.3 (¨nµ oµ¥)
xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 7.3 (¨nµ ªµ)
-->phase = -atan(a*sin(w)./(1-a*cos(w))); -->subplot(2,2,4);
7-6
plot2d1(w, phase);
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
244
£µ¡ ¸É 7.3 Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼
¨³Á ¦´¤Á · Á¢ X e 宦´ a
X e jZ
jZ
´ª°¥nµ ¸É 7.2 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x > n@
an
Á¤ºÉ°
0.5
¨³ 0.5
a 1
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ° ´ µ x > n@ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ
f
¦a
n
1
e jZ n
¦a
n f f
n
n jZ n
n f
j n
f
e
f
¦ a n e jZ n n 0
n jZ n
¦a e Z ¦a e n 1
n 0
f ½ f jZ n jZ n ®¦ ae 1¾ ¦ ae
¯n 0 ¿ n0
(7.23)
°µ«´¥° » ¦¤Á¦ µ ·  ° ´ r µ¤¤ µ¦ (7.19) ´ ´Ê ¤ µ¦ (7.20) µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } X e jZ
1 1 1 jZ 1 ae 1 ae jZ
ae jZ 1 jZ 1 ae 1 ae jZ
1 a2 1 2a cos Z a 2
บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 245
7-7
x > n @ > n / N1 @
N1
n
N1
£µ¡ ¸É 7.4 ´ µ ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¸Ê º° n
DtFT a m o
SCILAB:
1 a2 1 2a cos Z a 2
a 1
,
(7.24)
( ´ª°¥nµ ¸É 7.2)
-->a = 0.5;
//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ´ µ x > n @
-->Nmax = 100;
n = -Nmax:Nmax;
dw = 0.01;
w = -3*%pi:dw:3*%pi;
-->for i = 1:length(w) --> Xw(i) = sum(a.^abs(n).*exp(-%i*w(i)*n)); -->end
//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (7.10)
-->subplot(2,1,1); plot(w, abs(Xw)); xgrid(2);
//ªµ ¦µ¢Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼
-->for i = 1:length(w) --> Xw2(i) = (1-a^2)/(1-2*a*cos(w(i))+a^2); -->end
// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (7.24)
X e
jZ
-->subplot(2,1,2); plot(w, abs(Xw2)); xgrid(2); //ªµ ¦µ¢Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ X e
jZ
´ª°¥nµ ¸É 7.3 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ 1, n d N1 ® ¯0, else
ªn º x > n@ « » ¬ N1 ¼
(7.25)
µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 7.4 ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x > n @ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ
Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ m
n N1
¦ 1 e
jZ n
n N1
³Å o X e jZ
7-8
N1
2 N1
¦e
jZ m N1
m 0
2 N1
e jZ N1 ¦ e jZ m
(7.26)
m 0
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
246
°µ«´¥° » ¦¤Á¦ µ · (geometric series) ¸É ¨nµªªnµ M
¦ ai i 0
1 a M 1 1 a
(7.27)
¤ µ¦ (7.23) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } °1 e jZ 2 N1 1 ½° X e jZ e jZ N1 ® ¾ jZ °¯ 1 e °¿ e jZ N1
e jZ N1 0.5
e jZ / 2
° e jZ N1 0.5 e jZ N1 0.5 ½° ® ¾ e jZ / 2 e jZ / 2 ¯° ¿°
sin Z N1 0.5
sin Z / 2
2 N1 1
sinc Z N1 0.5
(7.28)
sinc Z / 2
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ º° ª n º DtFT sin Z N1 0.5
« » m o sin Z / 2
¬ N1 ¼ SCILAB:
(7.29)
( ´ª°¥nµ ¸É 7.3)
-->Xn = 1; //¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ´ µ x > n @ µ¤¤ µ¦ (7.25) -->N1 = 10;
n = -N1:N1;
dw = 0.01;
-->for i = 1:length(w) --> Xw(i) = sum(Xn * exp(-%i*w(i)*n)); -->end -->plot(w, Xw); xgrid(2);
w = -3*%pi:dw:3*%pi; //®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (7.10)
//ªµ ¦µ¢Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ X e
jZ
¹É ³Å o µ¤£µ¡ ¸É 7.5 (¨nµ )
£µ¡ ¸É 7.5  Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ 宦´ N1 2 , 5 , ¨³ 10 à ¥ ³Á®È Å oªnµ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸É Á nµ ´ 2S ° µ ¸ÊÁ¤ºÉ° N1 ¤¸ nµ¤µ ¹Ê (´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ ªµ¤ ªoµ ¤µ ¹Ê ) ³¡ ªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É ³ ¼ ¸ Ä®o ¨ ´ ´Ê ¹ ¦» Å oªnµ´ µ Ä Ç Å¤nµ¤µ¦ ¸É ³Á } Å o ´Ê ´ µ ¸É¤¸Áª¨µ ε ´ (time-limited signal) ¨³´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ (band-limited signal) บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 247
7-9
N1
2
N1
5
N1 10
£µ¡ ¸É 7.5 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ ¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ 宦´ nµ SCILAB:
N1
nµ Ç
(£µ¡ ¸É 7.5)
-->w = -3*%pi:0.1:3*%pi; -->N1 = 2; Xw = (2*N1+1)*sinc(w*(N1+0.5))./sinc(w/2); -->subplot(3,1,1); plot2d1(w,Xw); xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 7.5 ( )
-->N1 = 5; Xw = (2*N1+1)*sinc(w*(N1+0.5))./sinc(w/2); -->subplot(3,1,2); plot2d1(w,Xw); xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 7.5 ( ¨µ )
-->N1 = 10; Xw = (2*N1+1)*sinc(w*(N1+0.5))./sinc(w/2); -->subplot(3,1,3); plot2d1(w,Xw); xgrid(2);
//£µ¡ ¸É 7.5 (¨nµ )
´ª°¥nµ ¸É 7.4 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ µ¤£µ¡ ¸É 7.6 ª· ¸ ε Á ºÉ° µ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ 2S µ¤ ·¥µ¤ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ´Ê ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n @ ¹ µ¤µ¦ ®µÅ o µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤¤ µ¦ (7.11) ´É º° x > n@
1 2S
ª
f
³ S «¬ ¦ 2SG Z Z 2
0
l f
º 2S l » e jZn dZ ¼
(7.30)
à ¥ ³ ε µ¦®µ ¦·¡´ rÁ¡¸¥ µ Á ¸¥ª£µ¥Ä nª 2S ´ ´Ê ¹ µ¤µ¦ ε® nµ l Ä Ç Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦®µ ¦·¡´ rÅ o ¹É Ä ¸É ¸Ê ε® Ä®o l 0 ¨³ ³Å oªnµ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
248
¦
X e jZ
f l f
2SG Z Z0 2S l
2S
Z0 4S
Z0 2S
Z0 2S
Z0
£µ¡ ¸É 7.6 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° x > n@ x > n@
1 2S
j n
j n
Z Z ³ S 2SG Z Z e dZ ³ S G Z Z e dZ 0
2
Z
Z0 4S
0
2
e
jZ0 n
e jZ0 n
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° º° DtFT x > n @ e jZ0 n m o X e jZ
f
¦ 2SG Z Z
0
l f
2S l
(7.31)
´ª°¥nµ ¸É 7.5 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ª ¦ ¦° nµ Éε (low-pass filter) H e jZ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ (cutoff frequency) Zc µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 7.7 ª· ¸ ε Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É H e jZ Ä £µ¡ ¸É 7.7 µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° §Z · H e jZ ¨ ¸ © Zc ¹
¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ °
H e jZ
h > n@
1, Z d Zc ® ¯0, else
(7.32)
®µÅ o µ ¤ µ¦ (7.11) ´É º°
1 2S
³S
1 2S
ª e jZn « «¬ jn
2
H e jZ e jZ n dZ
1 2S
Zc
³Z 1 e
jZ n
dZ
c
Zc
º » Zc » ¼
1 ª e jZc n e jZc n º « » jn 2S ¬ ¼
sin Zc n
Sn
Zc sinc Zc n
S
บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-11 249
H LP e jZ
Zc
Zc
2S
£µ¡ ¸É 7.7 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É
2S
Z
° ª ¦ ¦° nµ Éε
H e jZ
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ª ¦ ¦° nµ Éε º° §Z · Zc DtFT o ¨ ¸ sinc Zc n m S © Zc ¹ SCILAB:
(7.33)
( ´ª°¥nµ ¸É 7.5)
-->Hw = 1; -->Step = 0.5; -->Wc = 3;
Nmax = 10; dw = 0.01;
n = -Nmax:Step:Nmax; w = -Wc:dw:Wc;
-->for i = 1:length(n) --> Hn(i) = 1/(2*%pi)*sum(Hw*exp(%i*w*n(i))*dw); //®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤¤ µ¦ (7.11) -->end -->plot2d3(n, Hn); xgrid(2); //ªµ ¦µ¢´ µ h > n @ ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª -->Hn2 = Wc/%pi*sinc(Wc*n);
//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤¤ µ¦ (7.33)
-->plot2d3(n, Hn2); xgrid(2);
//ªµ ¦µ¢´ µ h > n @ µ ¤ µ¦ (7.33) ¹É ³¡ ªnµ Hn2 ¤¸ nµÁ nµ ´ Hn
7.1.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Ä µ · ´ ·Å¤n εÁ } ¸É´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ » ´ µ ³µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o Á ºÉ° µ ´ µ x > n@ µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X e jZ Å o®¦º°Å¤n ¹Ê °¥¼n ´ µ¦¤¸°¥¼n ¦· (existence) ° µ¦®µ ¨¦ª¤° ´ r (infinite summation) Ä ¤ µ¦ (7.10) ¨nµª º°¤ µ¦ (7.10) ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° x > n @ µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ¤ ¼¦ r (absolutely integrable) ´É º° f
¦ x > n@ f
(7.34)
n f
®¦º°´ µ x > n @ ¤¸¡¨´ µ ε ´ ´É º° f
¦ x > n@
2
f
(7.35)
n f
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
250
宦´ ¤ µ¦´ Á ¦µ³®r µ¤¤ µ¦ (7.11) ³Å¤n¤¸ { ®µ µ¦¨¼nÁ oµÁ n Á ¸¥ª ´ ¤ µ¦´ Á ¦µ³®r ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (7.10) Á¡¦µ³ªnµ¤ µ¦ (7.11) ³®µ ¦·¡´ rÁ¡¸¥ µ ªµ¤ ¸É Á ¸¥ª º° 2S ´ª°¥nµ Á n oµ o° µ¦ ¦³¤µ nµ´ µ ŤnÁ } µ x > n @ µ¤¤ µ¦ (7.11) à ¥ ε µ¦®µ ¦·¡´ rÁ¡¸¥ nª ªµ¤ ¸É Z d W ´É º° xˆ > n @
1 2S
W
Z Z ³ X e e dZ j
j n
(7.36)
W
´ ´Ê x̂ > n @ x > n @ È n°Á¤ºÉ° W S à ¥ ³Å¤nÁ · ¦µ µ¦ r · r (Gibb phenomenon) Á n Á ¸¥ª ´ ¦ ¸ ° µ¦ ¦³¤µ nµ ° ¤ µ¦´ Á ¦µ³®r ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ Â Ä ´ª°¥nµ ¸É 7.6 ´ª°¥nµ ¸É 7.6 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ x > n@
G > n@
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ
f
¦ x > n@ e
jZ n
n f
f
¦ G > n@ e
jZ n
1
n f
oµ o° µ¦ ¦³¤µ nµ´ µ x > n@ µ¤¤ µ¦ (7.36) ³Å oªnµ xˆ > n @
1 2S 1 2S
W
³ 1 e
jZ n
dZ
W
SCILAB:
(£µ¡ ¸É 7.8 )
-->n = -10:10; jZ n W
ªe « «¬ jn
º » W » ¼
-->W = %pi/4;
xn = W/%pi*sinc(W*n);
-->subplot(2,2,1); plot2d3(n,xn); -->W = %pi/2;
xn = W/%pi*sinc(W*n);
1 ª e jZW e jZW º » S n «¬ 2j ¼
-->subplot(2,2,2); plot2d3(n,xn);
sin Wn
Sn
-->W = %pi;
W
S
sinc Wn
//£µ¡ ¸É 7.8 ( oµ¥)
-->W = 7*%pi/8;
//£µ¡ ¸É 7.8 ( ªµ)
xn = W/%pi*sinc(W*n);
-->subplot(2,2,3); plot2d3(n,xn);
//£µ¡ ¸É 7.8 (¨nµ oµ¥)
xn = W/%pi*sinc(W*n);
-->subplot(2,2,4); plot2d3(n,xn);
//£µ¡ ¸É 7.8 (¨nµ ªµ)
(7.37)
£µ¡ ¸É 7.8  nµ ¦³¤µ ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ µ¤¤ µ¦ (7.37) Á¤ºÉ° W S / 4 ( oµ¥), W S / 2 ( ªµ), W 7S / 8 (¨nµ oµ¥), ¨³ W S (¨nµ ªµ) ¹É ¡ ªnµÁ¤ºÉ° W S È ³Å o´ µ x > n @ G > n @ ¨´ º ¤µÅ o°¥nµ ¤ ¼¦ rà ¥Å¤nÁ · ¦µ µ¦ r · r บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-13 251
W = S/4
W = S/2
W = 7S/8
W=S
£µ¡ ¸É 7.8 nµ ¦³¤µ ° ´ µ °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ x > n @
G > n@
宦´ W nµ nµ Ç
7.2 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸¨´ ¬ ³Á®¤º° ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 6.2 à ¥°µ«´¥¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ (Dirac delta function) ´ ¸Ê oµ ε® Ä®o´ µ µ x p > n @ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N µ ¼ ¦ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¤ µ¦ (5.19) ³Å oªnµ x p > n@
à ¥ ¸É Z0
2S / N
¦ae k
k
jkZ0 n
¨³ ak º°´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° 1 N
ak
¦ x > n@ e p
n
(7.38)
N
x p > n@
¹É ®µÅ o µ ¤ µ¦ (5.20) ´É º°
jkZ0 n
(7.39)
N
oµ Ä®o x > n@ º° ´ µ Ťn Á } µ ¸É Å ¤n n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¹É ¤¸ n µ Á ¡µ³£µ¥Ä ® ¹É nª Áª¨µ ° ´Ê ¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r ¨³Ä®o x > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ
f
¦ x > n@ e
jZ n
n f
¦ x > n@ e
n
jZ n
n
N
(7.40)
N
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
252
´ ´Ê ´ µ µ
x p > n@
µ¤µ¦ ¦oµ Å o µ ´ µ ŤnÁ } µ x > n@ à ¥°µ«´¥ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê f
x p > n@
¦ x > n mT @
(7.41)
m f
Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ Ä µ · ´ ·´ µ ŤnÁ } µ x > n@ °µ ¡· µ¦ µªnµÁ } ´ µ µ Å oà ¥ ¸É µ Áª¨µ ° ´ µ x > n @ ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ° ´ r ´É º° N o f ´ ´Ê ´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¤ µ¦ (7.39) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÄ®¤nÁ } 1 N
ak
¦ x > n@ e
n
1 X e jZ0 k N
jkZ0 n
N
Á¤ºÉ° X e jZ k º° nµ ° X e jZ Ä ¤ µ¦ (7.40) ¸É ªµ¤ ¸É Z ¤ µ¦ (7.38) ³Å oÁ }
kZ0
0
x p > n@
¦ae k
k
jkZ0 n
N
1 N
 nµ ak µ ¤ µ¦ (7.42) ¨ Ä
¦ X e Z e j
k
0k
(7.42)
jkZ0 n
(7.43)
N
f
DtFT µ ¤ µ¦ (7.31) ´É º° e jZ n m o ¦ 2SG Z Z0 2S l ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° 0
l f
¤ µ¦ (7.38) º° X p e jZ = F ª¬ x p > n @º¼
¨³ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x p > n@
f
x p >n@
f
¦ 2S a G Z kZ
k
º° f
§ ¦ x > n mT @ m o X e Z ¦ 2S a G ¨© Z DtFT
j
p
m f
(7.44)
0
k f
k
k f
2S k · ¸ N ¹
(7.45)
ªµ¤´ ¤¡´ r ¸Ê ĮoÁ ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸¥ ¦r ° ´ µ µ ¦³ ° Å o ª ¥¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ¸ÉÁ · ¹Ê » Ç ªµ¤ ¸É kZ0 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¨³Â n¨³¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ³ ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 2S ak ´ª°¥nµ ¸É 7.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ´ µ °·¤¡´¨r Á } µ (periodic impulse train) ¹É ¦³ ° Å oª¥¨Îµ ´ ´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ ¸É¤¸¦³¥³®nµ Á nµÇ ´ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 7.9 ( ) บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-15 253
x > n@
¦
f k f
G > n kN @
1
N
N
2N
n
X e jZ 2S / N
Z
2S N
£µ¡ ¸É 7.9 ( ) ª ´ µ °·¤¡´¨r Á } µ ¨³ ( ) Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É
ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 7.9 ( ) ´ µ µ x > n@ µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° f
x > n@
Á¤ºÉ°
N
¦ G > n kN @
k f
º° µ Áª¨µ ¨³´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (7.39) ´É º° ak
1 N
¦ x > n@ e
n
jk 2S / N n
N
Á¨º° nª Áª¨µ£µ¥Ä ® ¹É µ Ä Ç Á n 0 d n d N 1 Á¡ºÉ°®µ nµ ak ¹É ³Å o ak
1/ N
´ ´Ê µ ¤ µ¦ (7.44) ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ x > n@ º° X e jZ
2S N
f
§
¦ G ¨© Z
k f
2S k · ¸ N ¹
¨³ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ´ µ °·¤¡´¨r Á } µ º° f
DtFT
2S
f
§
¦ G > n kN @ m o N ¦ G ¨© Z
k f
k f
2S k · ¸ N ¹
(7.46)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
254
X e jZ
S
2S Z0
2S
2S Z0
Z0
0
Z
Z0
2S Z0
2S
£µ¡ ¸É 7.10 ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° x > n @
2S Z0 cos Z0 n
¤ µ¦ (7.42)  ĮoÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ´ µ °·¤¡´¨r Á } µ ¸É¤¸¦³¥³®nµ °  n¨³´ µ à Á Á °¦rÁ ¨ µÁ nµ ´ ® ¹É ® nª¥ ³Å o ¨¨´¡ rÁ } Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¸É¤¸ ¨´ ¬ ³Á } ª ´ µ Å Â¦È Á ¨ µ ¸É ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 2S / N ¨³¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µÂ n¨³´ µ ³¤¸¦³¥³®nµ ´ Á nµ ´ 2S / N Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ µ¤£µ¡ ¸É 7.9 ( )
7.3 » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¨oµ¥ ´ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤ ¸É ° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 6.3 à ¥ ¸É » ¤ ´ · nµ Ç Á®¨nµ ¸Ê nª¥ εĮo¨ ªµ¤ ´ o° Ä µ¦ ε ª ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¦ª¤ ´Ê nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê
7.3.1 » ¤ ´ · ªµ¤Á } µ µ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 7.1 εĮo ¦µ ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X e jZ ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸Á¤° ´É º° X e jZ 2S k
X e jZ
(7.47)
Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç
7.3.2 » ¤ ´ ·Á · Áo DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ ´ ´Ê ¨¦ª¤Á · Áo ° ´ µ ŤnÁ } ε® Ä®o x > n@ m µ x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT ax > n@ by > n@ m o aX e jZ bY e jZ
(7.48)
บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-17 255
Á¤ºÉ° a ¨³ b Á } nµ ´ªÄ Ç
7.3.3 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ DtFT o X e jZ ´ ´Ê x > n n0 @ º°´ µ x > n@ ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time shifting) Á } ε® Ä®o x > n@ m ε ª n0 ® nª¥ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x > n n0 @ m o e jZn0 X e jZ
(7.49)
à ¥¡·¼ rÅ o µ x > n@
1 2S
Z Z ³ S X e e dZ j
j n
2
 nµ n oª¥ n n0 ³Å o x > n n0 @
1 2S
f
³
X e jZ e
jZ n n0
dZ
f
1 2S
f
³ ^ X jZ e
jZ n0
`e
jZ n
dZ
f
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n n0 @ º° F ^ x > n n0 @` e jZ n0 X e jZ
» ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° µ Áª¨µÂ Ä®oÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ε µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ´ µ x > n@ Á } Áª¨µ n0 ® nª¥ ¨ ¸ÉÁ · ¹Ê ´ ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° µ¦ ¼ ´ µ X e jZ oª¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jZn ´É º° °¤¡¨· ¼ ° ´ µ X e jZ ¥´ Á®¤º° Á ·¤ Á¡¸¥  n¤»¤Á¢ ° ´ µ X e jZ ³Á ¨¸É¥ Å Â Á · Áo oª¥ nµ Z n0 0
7.3.4 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É DtFT o X e jZ
ε® Ä®o x > n@ m ´ ´Ê e jZ n x > n@ º°´ µ x > n@ ¸É ¼ Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É (frequency shifting) Á } ε ª Z0 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° 0
DtFT e jZ0n x > n@ m oX e
j Z Z0
(7.50)
à ¥¡·¼ rÅ o µ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
256
^
f
` ¦e
F e jZ0 n x > n @
jZ0 n
n f
x > n @ e jZ n
f
¦ x > n@ e
j Z Z0 n
X e
n f
j Z Z0
» ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É ĮoÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ¼ ´ µ x > n@ oª¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jZ n ³¤¸ ¨ εĮo Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¼ Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É°° Å Á } ¦·¤µ Z0 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ 0
7.3.5 » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ ´ ´Ê y > n@ ε® Ä®o x > n@ m ¸É ¼ ¡´ µ Áª¨µ (time reversal) ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°
x > n @
º°´ µ x > n@
DtFT x > n@ m o X e jZ
(7.51)
à ¥¡·¼ rÅ o µ Y e jZ
 nµ m
n
f
¦ y > n@ e
jZ n
n f
f
¦ x > n @ e
jZ n
n f
³Å o Y e jZ
f
¦ x > m@ e
jZ m
m f
f
¦ x > m@ e
j Z m
m f
X e jZ
7.3.6 » ¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ » ¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ (time expansion) ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ x > n / k @ , if n is a multiple of k x k > n@ ® else ¯0,
(7.52)
Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª ´ª°¥nµ Á n oµ k 2 ³Å oªnµ x 2 > n@ º°´ µ x > n@ ¸É ¼ Än nµ«¼ ¥r ε ª k 1 1 ´ªÁ oµÅ ¦³®ªnµ  ¤Á d¨ ¸É°¥¼n · ´ ° x > n@ µ¤£µ¡ ¸É 7.11 µ ¤ µ¦ (7.52) ´ µ x k > n@ z 0 È n°Á¤ºÉ° n rk Á¤ºÉ° r Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç Â¨³ x k > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° X k e jZ
f
¦ x > n@ e
n f
k
jZ n
f
¦ x > rk @ e
r f
jZ rk
k
บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-19 257
x > n@
n
x 2 > n @ n
£µ¡ ¸É 7.11 ( ) ´ µ ŤnÁ } µ x > n@ ¨³ ( ) ´ µ ¸É ¼ Á ¨ µ Áª¨µ
Á ºÉ° µ
x k > rk @
x >r @
x 2 > n @
³Å oªnµ X k e jZ
f
¦ x >r @ e
r f
j Z k r
X e jZ k
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x k > n@ m o X e jZk
£µ¡ ¸É 7.12  Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZk ° ´ µ ŤnÁ } µ SCILAB:
(7.53) x k > n@
宦´ k
0 , 1, 2
(£µ¡ ¸É 7.12)
-->getf('DtFT.sci');
//Á¦¸¥ ¢{ r ´ DtFT.sci ¹Ê ¤µÄ o µ Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB
-->w = -2*%pi:0.01:2*%pi; -->xn1 = [1 1 1 1 1]; n1 = [-2:2]; -->Xjw1 = DtFT(xn1,n1,w); -->subplot(3,2,1); plot2d3(n1,xn1,rect=[-8 -0.1 8 1.1]);
xgrid(2);
-->subplot(3,2,2);
//£µ¡ ¸É 7.12 ( )
plot2d1(w, Xjw1);
xgrid(2);
-->xn2 = [1 0 1 0 1 0 1 0 1]; n2 = [-4:4]; -->Xjw2 = DtFT(xn2,n2,w); -->subplot(3,2,3); plot2d3(n2,xn2,rect=[-8 -0.1 8 1.1]);
xgrid(2);
-->subplot(3,2,4);
//£µ¡ ¸É 7.12 ( ¨µ )
plot2d1(w, Xjw2);
xgrid(2);
-->xn3 = [1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1]; n3 = [-6:6]; -->Xjw3 = DtFT(xn3,n3,w); -->subplot(3,2,5); plot2d3(n3,xn3,rect=[-8 -0.1 8 1.1]);
xgrid(2);
-->subplot(3,2,6);
//£µ¡ ¸É 7.12 (¨nµ )
plot2d1(w, Xjw3);
xgrid(2);
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
258
k=1
k=2
k=3
£µ¡ ¸É 7.12 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É
X e jZk
° ´ µ ŤnÁ } µ x > n@ 宦´ nµ k nµ Ç k
à ¥ ¸É ε´É DtFT º°¢{ r ´ ¸É¡´ µ ¹Ê ¤µ µ à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤¤ µ¦ (7.10) ¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ ° à ¦Â ¦¤ ´ ¸Ê function Xjw = DtFT(xn, n, w) //======================================================== // ε ª ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn ° n Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÅÉ ¤n °n Á ºÉ° µ Áª¨µ //
¡µ¦µ¤·Á °¦r°· ¡» : Áª Á °¦r ° o°¤¼¨°· ¡»  n¨³ ´ª n = Áª Á °¦r ° Áª¨µ ° o°¤¼¨°· ¡»  n¨³ ´ª (time index of xn) w = nª ° ªµ¤Á¦ÈªÁ · ¤»¤ (¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸) ¸É o° µ¦®µ nµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¡µ¦µ¤·Á °¦rÁ°µ r¡ » : Xjw = Á ¦´¤ ªµ¤ ¸ É ° ´ µ xn £µ¥Ä nª ªµ¤Á¦ÈªÁ · ¤»¤ w
// xn = // // //
// //======================================================== Xjw = []; for i = 1:length(w) Xjw(i) = sum(xn.*exp(-%i*w(i)*n)); end
// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤¤ µ¦ (7.10)
บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-21 259
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ » ¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ εĮo ¦µ ªnµ´ µ Ä Ç Å¤nµ¤µ¦ Á } Å o ´Ê ´ µ ¸É¤¸Áª¨µ ε ´ ¨³´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ ¨nµª º° oµ ¥µ¥´ µ x > n@ Ä®o ªoµ ¹Ê Ä Ã Á¤ Áª¨µ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É È ³ ¼ µ¦ ¸ Ä®o ¨ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 7.12 (¨³Ä µ ¨´ ´ )
7.3.7 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» DtFT o X e jZ ´ ´Ê x > n@ º° nµ´ ¥» Á · o° (complex conjugate) ° ´ µ x > n@ ε® Ä®o x > n@ m ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x > n@ m o X e jZ
(7.54)
à ¥¡·¼ rÅ o µ
F ^ x > n @`
§ f jZ n · ¨ ¦ x >n@ e ¸ © n f ¹
f
j n
¦ x > n@ e Z
n f
X e jZ
Ä ¦ ¸ ¸É´ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ´É º° x > n@ x > n@ ³Å oªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ
¤¸ ªµ¤¤¤µ ¦Á · ´ ¥» (conjugate symmetry) µ¤ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê X e jZ
X e jZ
¨³Á¤ºÉ° x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å oªnµ
^
`
^
`
Re X e jZ
^
`
^
`
Re X e jZ
Á } ¢{ r ´ ¼n ¨³ Im X e jZ
Im X e jZ
Á } ¢{ r ´ ¸É ° µ ¸Ê oµ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n ³Å oªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n oª¥ ´É º° X e jZ
X e jZ
X e jZ
oµÂ ´ µ x > n@ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É ¨nµª º° x > n@ xe > n@ xo > n@
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
260
Á¤ºÉ° xe > n@ = Ev ^ x > n@` ¨³ xo > n@ = Od ^ x > n@` º°nª ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É ° ´ µ x > n@ µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ º° F ^ x > n@` F ^ xe > n@` F ^ xo > n@`
^
`
^
(7.55)
`
X e jZ Re X e jZ j Im X e jZ
(7.56)
7.3.8 » ¤ ´ · ¨ nµ ¨³ ¨³¤°´ ´ ® ¹É DtFT o X e jZ ´ ´Ê y > n@ x > n@ x > n 1@ º°´ µ Á · ¨ nµ °´ ´ ® ¹É (first ε® Ä®o x > n@ m difference signal) ° x > n@ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x > n@ x > n 1@ m o 1 e jZ X e jZ
(7.57)
¡· µ¦ µ´ µ ¨³¤°´ ´ ® ¹É (first-accumulation signal) ¸É ε® à ¥ z > n@
n
¦ x > m@
(7.58)
m f
Á ºÉ° µ z > n@ z > n 1@ x > n@ ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° z > n@ ³´¤¡´ r ´ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° n
¦
m f
DtFT x > m@ m o
f 1 jZ j0 X e S X e
¦ G Z 2S k
1 e jZ k f
(7.59)
Á¤ºÉ°¡ r ¸É° µ ªµ¤º° ° ¤ µ¦ (7.59) ° ¹ nµÁ ¨¸É¥®¦º°° r ¦³ ° Å¢¢jµ ¦³Â ¦ ¸ÉÁ } ¨ ¤µ µ µ¦®µ ¨¦ª¤
7.3.9 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É DtFT o X e jZ ° »¡´ r ° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ®µÅ o µ ε® Ä®o x > n@ m
d X e jZ
dZ
d f ¦ x > n@ e jZn dZ n f
f
¦ jZ x > n@ e
jZ n
n f
´ ´Ê ° »¡´ r ° X e jZ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT oj nx > n@ m
dX e jZ
dZ
(7.60)
บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-23 261
( )
¦³
x > n@
F -1
X e jZ
( )
y > n@
h > n@
x > n@ h > n@
F
H e jZ
Y e jZ
X e jZ H e jZ
£µ¡ ¸É 7.13 ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ ( ) à Á¤ Áª¨µ ¨³ ( ) à Á¤ ªµ¤ ¸É
7.3.10 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ h > n@ m o H e jZ µ¦ ε ° ꨼ ´ (convolution) ¦³®ªnµ ε® Ä®o x > n@ m ´ µ x > n@ ¨³ h > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x > n@ h > n@ m o X e jZ H e jZ
(7.61)
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ ¤ µ¦ (7.61)  ĮoÁ®È ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµ Á ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ¼ ´ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ´ Â Ä £µ¡ ¸É 7.13 ´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¹ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ ° ° ° ¦³ LTI ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê ¤ µ¦ (7.61) µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê oµ ε® Ä®o y > n@ x > n@ h > n@ ³Å oªnµ y > n@
f
¦ x >n k @ h>k @
k f
¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ º° f
Y e jZ = F ^ y > n@` f
f
½
¦ ®¯ ¦ x > n k @ h > k @¾¿ e
n f
k f
¦ ^ X e Z e Z `h > k @ j
j k
k f
jZ n
f
f
¦ ®¯ ¦ x > n k @ e
k f
n f
jZ n
½ ¾h > k @ ¿
f
X e jZ ¦ h > k @ e jZk k f
X e jZ H e jZ
DtFT o X e jZ H e jZ µ¤ ¸É o° µ¦ ´ ´Ê ³Å oªnµ x > n@ h > n@ m
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
262
´ª°¥nµ ¸É 7.8 µ £µ¡ ¸É 7.13 oµ ε® Ä®o´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ º° x > n@ D nu > n@
Á¤ºÉ° D
1 ¨³ E 1
¨³
h > n@ E nu > n@
µ¤¨Îµ ´ ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ¸Ê
ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (7.20) Ä ´ª°¥nµ ¸É 7.1 ³Å oªµn DtFT x > n@ D nu > n@ m o X e jZ
1 , D 1 1 D e jZ
DtFT h > n@ E nu > n@ m o H e jZ
1 , 1 E e jZ
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ Y e jZ
x > n@ h > n@
E 1
º°
X e jZ H e jZ
1
1 D e 1 E e
jZ
jZ
(7.62)
Ä ¦ ¸ ¸É D z E ¤ µ¦ (7.62) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } A B jZ 1 D e 1 E e jZ
Y e jZ
à ¥ ¸É nµ ´ª
A
¨³
B
(7.63)
®µÅ o µ µ¦Â o¤ µ¦ A 1 E e jZ B 1 D e jZ 1
A B AE BD e jZ
¹É ³Å o
A D / D E
¨³
B
E / D E
1
µ ´Ê Â nµ
A
¨³ B ¨ Ä ¤ µ¦ (7.63) ³Å o
D
1 E 1 jZ D E 1 D e D E 1 E e jZ
Y e jZ
´ ´Ê y > n@ ®µÅ o µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° Y jZ ´É º°
^
`
y > n@ F Y e jZ
D D E
D nu > n@
1 ^D n 1 E n 1` u > n@ D E
E D E
E nu > n @
(7.64) บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-25
263
Ä ¦ ¸ ¸É D E ¤ µ¦ (7.62) ³¨ ¦¼ Á } 1
Y e jZ
jZ 2
1 D e
¹É µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ o º° Y e jZ
j
D
e jZ
d § 1 · ¨ ¸ dZ © 1 D e jZ ¹
°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ ¤ µ¦ (7.60) ³Å o DtFT oj nD nu > n@ m
d § 1 · ¨ jZ ¸ dZ © 1 D e ¹
¨³°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÄ ¤ µ¦ (7.49) ³Å o DtFT o je jZ n 1 D n 1u > n 1@ m
d § 1 · ¨ jZ ¸ dZ © 1 D e ¹
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ j d § 1 ·½ y > n@ F 1 ® e jZ ¨ jZ ¸ ¾ D Z D d e 1 © ¹¿ ¯
Á ºÉ° µ Á¤ºÉ° n d 1 ³Å oªnµ y > n@
0
n 1 D nu > n 1@
(7.65)
Á¡¦µ³ ³ ´ Ê ¤ µ¦ (7.65) Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } n 1 D nu > n@
y > n@
(7.66)
®¤µ¥Á® » Ä µ · ´ ·¦³ LTI ³¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ (stable) ®¦º°Å¤n Ä®o¡· µ¦ µ µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ ¨nµª º°¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° f
¦ h > n@ f
(7.67)
n f
oµ¦³ Ťn¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦Â¨oª Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° h > n@ ´É º° H e jZ ³¤¸ nµ¨¼n°° (diverge) ¹É n ¨ Î µ Ä®o Å ¤n µ¤µ¦ ª· Á ¦µ³®r ¦ ³ Á¡ºÉ ° ®µ n µ ° ´ µ Á°µ r ¡» Å o ´ ª °¥n µ Á n o µ h > n@ 2n u > n@ ¨o ª Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É H e jZ ³¤¸ nµ¨¼n°° Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r¨´ ¬ ³ ¸Ê ³Ä o Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform)” ¹É ³° · µ¥ n°Å Ä ¸É 10 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
264
7.3.11 » ¤ ´ · µ¦ ¼ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ ¨ ¼ (multiplication) ¦³®ªnµ ´ µ ε® Ä®o x > n@ m x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°
DtFT x > n@ y > n@ m o
¹É ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê ´ µ z > n@
x > n@ y > n@
Z T
T ³ S X e Y e dT j
j
(7.68)
2
¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° f
Z e jZ F ^ z > n@` f
1 2S
¦ z > n@ e
n f
1
f
jZ n
¦ x > n@ y > n@ e
n f
½
¦ ®¯ 2S ³ S X e T e T dT ¾¿ y > n@ e j
jZ n
j n
jZ n
2
n f
1 2S
f ½ jT X e y > n@ e j Z T n ¾ dT
® ¦ ³2S ¯n f ¿
1 2S
Z T
T ³ S X e Y e dT j
j
2
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ¼ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´  µ (periodic convolution) Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ´ª°¥nµ ¸É 7.9 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x > n@
sin S n / 2 sin 3S n / 4
S 2n2
ª· ¸ ε ´ µ x > n@ µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x > n@ x1 > n @ x2 > n@
sin S n / 2 sin 3S n / 4
Sn
Sn
µ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ¦ ¦° nµ É뵀 ¤ µ¦ (7.33) ´É º° sin Zc n DtFT §Z · m o ¨ ¸ Sn © Zc ¹
³Å oªnµ บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-27 265
X 1 e jZ
X 2 e jZ
1
1
S
S
2
2
Z
S
S
2S
§ 1 · ¨u ¸ © 2S ¹
3S
3S
4
4
2S
Z
X e jZ 1/ 2 1/ 4
2S
3S
S
2
S
S
S
2
4
2
3S
3S S
2S
Z
2
4
£µ¡ ¸É 7.14 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ Ä ´ª°¥nµ ¸É 7.9 sin S n / 2 DtFT § Z · m o X 1 e jZ ¨ ¸ Sn ©S /2¹
x1 > n @
x2 > n @
sin 3S n / 4 DtFT § Z · m o X 2 e jZ ¨ ¸ Sn © 3S / 4 ¹
°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦ ¼ Ä ¤ µ¦ (7.68) ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ X e jT
1 2S
1 2S
Z T
T ³ S X e X e dT j
j
1
2
2
S
Z T
T ³S X e X e dT j
j
1
2
(7.69)
¤ µ¦ (7.69) Á } µ¦ ε ° ꨼ ´  Á } µ £µ¥Ä nª µ ªµ¤ ¸É 2S ¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦ ε ª ³ ´ ¦¼ ¤ µ¦ (7.69) Ä®¤nÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° µ¦ ε ° ꨼ ´  · à ¥ µ¦Â nµ jT ° X 1 e , S T S ® else °̄0,
X 1 e jT
´ ´Ê ¤ µ¦ (7.69) µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } X e jT
1 2S
S
Z T
T ³S X e X e dT j
j
1
2
1 2S
f
Z T
T ³ X e X e dT j
j
1
2
(7.70)
f
£µ¡ ¸É 7.14  ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´  · ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
266
7.3.12 ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ DtFT o X e jZ ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ (Parseval’s relation) ·¥µ¤Ã ¥ ε® Ä®o x > n@ m f
¦ x > n@
1 2S
2
n f
à ¥ ¸É x > n@ X e jZ
2
2
x > n @ x > n @
Z ³ S X e
j
2
dZ
2
(7.71)
Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤Á o¤ ° ¡¨´ µ (energy intensity)” ¸É ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¨³
X e jZ X e jZ
³Á¦¸¥ ªnµ “Á ¦´¤ ªµ¤® µÂ n ¡¨´ µ (energy-density spectrum)” ¤¸
® nª¥Á } ¼¨ n°Á¦Á ¸¥ (joules per radian) ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨Ä ¤ µ¦ (7.71) ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê f
¦ x > n@
2
n f
f
f
1 ¦ x > n@ x > n@ ¦ x > n@ ®¯ 2S ³ S X e Z e
2
n f
n f
f
³ S ®¯ ¦ x > n@ e
1 2S
Z Z ³ S X e X e dZ
1 2S
Z ³ S X e
jZ n
n f
j
jZ n
½ dZ ¾ ¿
½ jZ ¾ X e dZ ¿
1 2S
2
j
j
2
j
2
2
dZ
7.3.13 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ Á } ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ ε® Ä®o x > n@ m Áª¨µ µ¦µ ¸É 7.1 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
7.3.14 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ µ¦µ ¸É 7.2 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³
7.4 ®¨´ µ¦ ª·£µª³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) ³Å¤n¤¸ » ¤ ´ · ª·£µª³ (duality) ¦³®ªnµ ¤ µ¦ (7.10) ¨³ (7.11) Á®¤º° ´ ¦ ¸ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT)  n ³¤¸ » ¤ ´ · ª·£µª³ ´ ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´  n°Å ¸Ê บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-29 267
µ¦µ ¸É 7.1 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ¤ ´ ·
´ µ ŤnÁ } µ
¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r
bY e
X e
jZ
jZ
1. ªµ¤Á } Á · Áo
ax > n @ by > n @
aX e
2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ
x > n n0 @
e
3. µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É
e jZ0 n x > n @
X e
4. µ¦´ ¥»
x > n @
X e jZ
5. µ¦¡´ µ Áª¨µ
x > n@
X e jZ
8. µ¦ ¥µ¥Áª¨µ
x k > n @ ®
8. µ¦ ε ° ꨼ ´
x > n@ y > n@
8. µ¦ ¼
x > n@ y > n@
9. ¨ nµ µ Áª¨µ
x > n @ x > n 1@
jZ
j Z Z0
x > n / k @ , if n = multiple of k ¯0,
X e jZk
else
X e jZ Y e jZ
1 2S
X e jT Y e
³
2S
j Z T
dT
1 e X e
jZ
jZ
1 X e jZ
1 e jZ
n
10. ¨³¤ µ Áª¨µ
jZ n0
¦ x >k @
f
¦ G Z 2S k
S X e j 0
k f
k f
11. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É
nx > n @
12. ªµ¤¤¤µ ¦ ° µ¦´ ¥»
x > n@
j
dX e
jZ
dZ
X e
Re ^ X e ` Re ^ X e ` Im ^ X e ` Im ^ X e ` X e X e
X e X e
X e Á } nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n X e Á } nµ · £µ¡Â o
Á } ¢{ r ´ nµ ¦·
X e jZ
jZ
jZ
jZ
jZ
jZ
jZ
jZ
x > n@
Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n
x > n@
Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¸É
jZ
jZ
jZ
jZ
¨³¢{ r ´ ¸É 13. ªµ¤´¤¡´ r ° ¡µ¦r ª· µ¨
f
¦ x > n@
n f
2
1
2S ³
2S
X e jZ
2
dZ
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
268
Â&#x2DC;¾Œ¾Â&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 7.2 Â&#x2021;ÂźnÂ&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;¢Ÿà Œ¸¼ŒrÂ&#x161;¸Ă&#x2030;Ă&#x2026;¤nÂ&#x2DC;n°à Â&#x153;ÂşĂ&#x2030;°Â&#x160;Â&#x161;ÂľÂ&#x160;à ª¨¾ ÂĂ Â&#x17E;Â&#x201E;Â&#x2DC;Œ´¤Â&#x2021;ª¾¤Â&#x2122;¸Ă&#x2030;
´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x > n@
X e jZ
f
1
2S ÂŚ G Z 2S k
G > n@
1.
k f
f
1
u > n@
1 e
S
jZ
k f
G > n n0 @ e
jZ0 n
ÂŚ G Z 2S k
e
jZ n0
.
f
2S ÂŚ G Z Z0 2S l
.
l f
f
S ÂŚ ^G Z Z0 2S l G Z Z0 2S l `
cos Z0 n
l f
S
f
ÂŚ ^G Z Z0 2S l G Z Z0 2S l ` j
sin Z0 n
l f
1
a nu > n@ , a 1
n 1 a nu > n@ ,
n
,
W
Sn
S
jZ
1 ae
jZ
ÂŚ G > n kN @
r
1 a2 1 2a cos Z a 2
Â1, 0 Z d W ÂŽ ÂŻ0, W Z d S
X e jZ
sinc Wn ,
Â1, n N1 x > n@ ÂŽ ÂŻ0, else
2
1
a 1
0 W S
k f
1 ae
a 1
sin Wn
f
1
a 1
n r 1 ! n a u > n@ , n ! r 1 ! a
1 ae jZ
Ă Â&#x17E;}Â&#x153;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013;Â&#x2021;ÂľÂ?Â&#x161;¸Ă&#x2030;¤¸Â&#x2021;ÂľÂ?Â&#x2021;ª¾¤Â&#x2122;¸Ă&#x2030;Ă Â&#x161;nÂľÂ&#x201E;´Â? 2S
X e jZ
sin Z N1 0.5
sin Z / 2
2S N
f
§
Œ G ¨Š Z
k f
2S k ¡
¸
N š
ŕ¸&#x161;ŕ¸&#x2014;ŕ¸&#x2014;฾ŕš&#x2C6; 7 ภาร๠ŕ¸&#x203A;฼ŕ¸&#x2021;ŕ¸&#x;บŕš&#x20AC;ร฾ยรď&#x153;&#x17D;ŕ¸&#x2014;ŕš&#x201E;฾ŕš&#x2C6; ลď&#x153;&#x160;ŕ¸&#x2022;ŕ¸ď&#x153;&#x160; ŕš&#x20AC;ŕ¸&#x2122;มŕ¸ŕš&#x2C6; ŕ¸&#x2021;ŕ¸&#x2014;าŕ¸&#x2021;ŕš&#x20AC;ว฼า 7-31 269
DtFT o X e jZ à ¥ ¸É µ ¤ µ¦ (7.10) ¡· µ¦ µ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ m ¨³ (7.47) ³Å oªnµ
X e jZ
f
¦ x > n@ e
(7.72)
n f
X e jZ 2S
Á ºÉ° µ e jZ Á } ´ªÂ ¦ ¸É n°Á º°É ´ ´Ê  nµ e jZ X t
jZ n
X e jZ
¨³ n
t
f
¦ x > k @ e
(7.73) k
Ä ¤ µ¦ (7.72) ³Å o
jkt
(7.74)
k f
¤ µ¦ (7.73) ° Ä®o ¦µ ªnµ X e jZ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (7.74) ´ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ ¤ µ¦ (4.14) ´É º° x t
f ¦ k f ak e jkZ t ¡ ªnµ x > k @ º°´¤ ¦³· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ µ X t ´ ´Ê » ¤ ´ · ª·£µª³ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ·¥µ¤Ã ¥ 0
CtFS X t m o ak
x > k @
(7.75)
¡· µ¦ µ ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ³Å oÁ oµÄ ¹ µ¦Ä o » ¤ ´ · ª·£µª³Ä µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÃ ¥°µ«´¥ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ª°¥nµ ¸É 7.10 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@
1 §Sn · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹
ª· ¸ ε µ¦Ä o » ¤ ´ · ª·£µª³Ä µ¦Â oÅ Ã ¥r o° ¸Ê ³Á¦·É¤ µ µ¦®µ´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É¤¸ µ Áª¨µ T 2S ( ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Z 0 2S / T 1 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸) ¨³¤¸´¤ ¦³· ·Í ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak x > k @ ´ ´Ê µ ´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¡ ªnµ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t º° x t
1, t T1 ° CtFS o ak ® T m T t 0, 1 °¯ 2
2T1 sinc Z0 kT1
T
T1
S
sinc kT1
(7.76)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
270
à ¥ ¸É ak
x >k @
È n°Á¤ºÉ° T1 x >k @
S /2
Á¡¦µ³ ³ ´ Ê °µ«´¥¤ µ¦ (7.75) ¨³ (7.76) ³Å o
1 §Sk · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹
1 2S
S
³S
x t e jkZ0t dt
1 2S
S /2
³ 1 e S
jkt
dt
/2
Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ µ k Á } n ¨³ µ t Á } Z ³Å o 1 §Sn · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹
x >n@
 nµ n
n
1 2S
S /2
³ 1 e S
jZ n
dZ
(7.77)
/2
¨ Ä ¤ µ¦ (7.77) ¨³°µ«´¥®¨´ ªµ¤ ¦· ¸Éªnµ¢{ r ´ · rÁ } ¢{ r ´ ¼n ³Å oªnµ 1 §Sn · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹
x > n @
1 2S
S /2
³ 1 e S
jZ n
dZ
(7.78)
/2
°µ«´¥¤ µ¦ (7.75) ¡¦o°¤ ´Ê Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (7.78) ´ ¤ µ¦ (7.11) ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n @ º° X e jZ
°1, Z d S / 2 ® °̄0, S / 2 Z d S
7.4.1 ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¦µ ¸É 7.3 ¦» ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê  ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³Â ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
7.5 ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÂ Á · Áo (LTI) ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · ³ ¼ ε® à ¥¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo (LCCDE: linear constant-coefficient difference equation) ´ ¸Ê N
¦ ak y > n k @ k 0
M
¦ b x >n k @ k
(7.79)
k 0
Á¤ºÉ° N ¨³ M Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª , ak ¨³ bk Á } nµ´¤ ¦³· ·Í ´ª, ¨³ y > n@ ¨³ x > n@ º° ´ µ Á°µ r¡» ¨³´ µ °· ¡»  ŤnÁ } µ ° ¦³ LTI à ¥ ´ÉªÅ ¤ µ¦ (7.79) Á¦¸¥ ªnµ¤ µ¦ Á · ¨ nµ °´ ´ N (N-th order difference equation) บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-33 271
µ¦µ ¸É 7.3 ¦» » ¤ ´ · ª·£µª³ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t
à Á¤ Áª¨µ
´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x ¬ªn¼º à Á¤ Áª¨µ
à Á¤ ªµ¤ ¸É
à Á¤ ªµ¤ ¸É
´ µ µ x t
° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Fourier series
f
¦ ak e
´ µ µ
ak jkZ0t
ak
x ¬ª n ¼º ak e
jkZ0n
1 x ª n º e jkZ0n N n¦N ¬ ¼
k f
1 x t e jkZ0t dt T ³T
k
n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ Áª¨µ Á } µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ
Ťn n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ŤnÁ } µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É
Ťn n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ Áª¨µ Á } µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ
¦
N
ª·£µª³
Ťn n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Á } µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É
·£ ª µª³
´ µ ŤnÁ } µ x t
µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r f 1 jZt Fourier ³ X jZ e dZ 2S f transform
x ª¬ n º¼
X jZ
f
³ x t e
´ µ ŤnÁ } µ
jZt
1 2S
dt
f
³2S X e
X e jZ jZ
e
jZ n
dZ
f
¦
n f
x ¬ª n ¼º e jZn
ª·£µª³
n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ŤnÁ } µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É
n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ Áª¨µ ŤnÁ } µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ
Ťn n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ Áª¨µ ŤnÁ } µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ
n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Á } µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É
7.5.1 µ¦®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É à ¥ ´É ª Å µ¦®µ ¨ ° ° °·¤ ¡´ ¨r h > n@ ° ¦³ ¸É Î µ ® µ¤¤ µ¦ (7.79) à ¥ ¦ ε Å o¥ µ Á ºÉ ° µ ¤ µ¦ (7.79) ¤¸ ªµ¤ ´ o° ¤µ ´ ´Ê Ä µ¦®µ n µ h > n@ ³Á¦·É ¤ µ µ¦®µ nµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° h > n@ ´É º° H e jZ ¨oª ¹ Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ Á¡ºÉ°®µ nµ h > n@ µ¤ ¸É o° µ¦ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ ε µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ε® Ä®o x > n@ m ° oµ ° ¤ µ¦ (7.79) ³Å o N ½ M ½ F ®¦ ak y > n k @¾ F ®¦ bk x > n k @¾ ¯k 0 ¿ ¯k 0 ¿
°µ«´¥ » ¤ ´ ·Á · Áo µ¤¤ µ¦ (7.48) ³Å o N
M
¦ a F ^ y > n k @` ¦ b F ^ x > n k @` k
k 0
k
k 0
¨³ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ µ¤¤ µ¦ (7.49) ³Å o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
272
N
¦a e k
jZ k
k 0
Y e jZ
M
¦b e k
jZ k
k 0
X e jZ
´ ´Ê ¨ ° ° °·¤¡´¨rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° Y e jZ
¦ H e
X e Z ¦ jZ
j
M
b e jZ k
k 0 k N
(7.80)
ak e jZ k
k 0
´ª°¥nµ ¸É 7.11 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ ° ´ ¸Ê y > n@
3 1 y > n 1@ y > n 2@ 2 x > n@ 4 8
(7.81)
) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ ¸Ê n
§1· ¨ ¸ u > n@ ©4¹
) ε® Ä®o´ µ °· ¡» x > n@
®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@
ª· ¸ ε ) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (7.81) ³Å o 3 1 Y e jZ e jZY e jZ e 2 jZY e jZ 2 X e jZ
4 8
´ ´Ê ¨ ° ° °·¤¡´¨rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É H e jZ
H e jZ
2
Y e jZ / X e jZ
2 § 1 jZ ·§ 1 jZ · ¨1 e ¸¨1 e ¸ © 2 ¹© 4 ¹
3 1 1 e jZ e 2 jZ 4 8
¤¸ nµÁ nµ ´
SCILAB: // ε® Ä®o s
e jZ
-->s = poly(0, 's'); -->H = 2/((1-s/2)*(1-s/4)); -->h = syslin('c', H);
ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ (partial-fraction expansion) ³Å o
-->He = pfss(h) He
H e
jZ
4 2 1 1/ 2 e jZ 1 1/ 4 e jZ
= Hjw(1)
- 8 ----- 2 + s
°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ³Å oªnµ
Hjw(2)
^
`
h > n@ F 1 H e jZ
n
° § 1 · §1· ®4 ¨ ¸ 2 ¨ ¸ 2 © ¹ ©4¹ ¯°
n
½° ¾ u > n@ ¿°
8 ----- 4 + s
บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-35 273
) Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ °· ¡» º° n 1 °§ 1 · °½ X e jZ F ®¨ ¸ u > n@¾ jZ °¯© 4 ¹ °¿ 1 1/ 4 e
´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Y e jZ ®µÅ o µ Y e jZ
H e jZ X e jZ
2 1 u § 1 jZ ·§ 1 jZ · § 1 jZ · ¨1 e ¸¨1 e ¸ ¨1 e ¸ © 2 ¹© 4 ¹ © 4 ¹
2 § 1 jZ ·§ 1 jZ · ¨1 e ¸¨1 e ¸ © 2 ¹© 4 ¹
2
ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ³Å o Y e jZ
µ µ¦Â o¤ µ¦Á¡ºÉ°®µ nµ
A11 A12 A21 2 1 1 1 e jZ §1 1 e jZ · 1 e jZ ¨ ¸ 4 2 © 4 ¹
A11 , A12 , ¨³ A21 Y e jZ
³Å oªµn
A11
4 , A12
2 , ¨³ A21 8
´ ´Ê
4 2 8 1 jZ § 1 jZ ·2 1 jZ 1 e 1 e ¨1 e ¸ 4 2 © 4 ¹
°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¨³ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn °n Á ºÉ° µ Áª¨µÄ µ¦µ ¸É 7.2 ³Å oªnµ
^
`
y > n@ F 1 Y e jZ
n n ª § 1 ·n §1· §1· º 4 2 1 8 n
« ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ » u > n@ ©4¹ © 2 ¹ ¼» ¬« © 4 ¹
µ ´ ª °¥n µ o µ o  Įo Á ®È ªn µ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r n ª ¥ Î µ Ä®o µ¦ª· Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê µ¦ ε » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¤µ ¦³¥» rÄ o µ ¥´ nª¥ εĮoµ¤µ¦ ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¸É ´ o° Å o nµ¥ ¹Ê ´ ´Ê Ä µ · ´ · ³¡ ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ·¥¤ ε¤µÄ o ª·Á ¦µ³®r¦³ nµ Ç Á n ¦³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨´ µ ¨³¦³ ºÉ°µ¦ Á } o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
274
7.6 ¦» oµ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “Á ¦´¤” » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³®¨´ µ¦ ª·£µª³ º°ªnµ¤¸ ªµ¤Îµ ´ n° µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ¤µ Á ºÉ° µ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ŤnÁ } µ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¥´ nª¥ εĮoµ¤µ¦ ®µ ¨ ° ° ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn  ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÅ oà ¥ nµ¥ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º°´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
7.7  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ¡·¼ r ε ° 1.1) x > n@
a
n
Á¤ºÉ°
Á¤ºÉ°
a 1
1.2) x > n@
sin Z n
1.3) x > n@ 1/ 3 n u > n 1@
1.4) x > n@
sin S n / 4 1/ 4 u > n 2@
Z S n
2) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ¡·¼ r ε ° 2.1)
X e jZ 1/ 1 ae jZ
2
Á¤ºÉ°
a 1
2.2)
X e jZ
j sin Z cos 5Z
3) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@ 2 y > n 1@ 3 y > n 2@ º°´ µ °· ¡» ¨³ y > n@ º°´ µ Á°µ r¡» 3.1) ®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É
H e jZ
x > n@
Á¤ºÉ° x > n@
¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@
3.2) ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@ 3 / 4 n u > n@ 3.3) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦¡·¼ r µÎ ° ¡¦o°¤ ´Ê ªµ ¦¼ ´ µ x > n@ , h > n@ , ¨³ y > n@ 4) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥¤ µ¦Á · ¨ nµ º° x > n@ º°´ µ °· ¡» ¨³ y > n@ º°´ µ Á°µ r¡»
2 y > n@ y > n 1@ 2 x > n@ 3x > n 1@
Á¤ºÉ°
4.1) ®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É H e jZ ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ 4.2) ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@
cos nS / 4
4.3) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦¡·¼ r µÎ ° ¡¦o°¤ ´Ê ªµ ¦¼ ´ µ x > n@ , h > n@ , ¨³ y > n@ บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-37 275
5) ¡· µ¦ µ¦³ LTI µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ°
z 1
º° ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ® ¹É ® nª¥ y >n@
x >n@
z 1
x > n 1@
5.1) ®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É H e jZ ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ 5.2) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ £µ¡Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ °
H e jZ
5.3) ®µÂ rª · r 3-dB ° ¦³ ¸Ê 6) ¡· µ¦ µ¦³ LTI µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ°
z 1
º° ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ® ¹É ® nª¥ y > n@
x >n@
a
y > n 1@
z 1
Á¤ºÉ° 0 a 1 º° nµ ´ª 6.1) ®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É
H e jZ
¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@
6.2) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ £µ¡Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ °
H e jZ
6.3) ®µÂ rª · r 3-dB ° ¦³ ¸Ê 7) ε® Ä®o¦³ LTI ¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° h > n@
^h0 , h1 , h2 , h3` ^1,1, 1, 1`
7.1) ®µ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É H e jZ
7.2) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ £µ¡Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ °
H e jZ
7.3) ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@ ^ x0 , x1 , x2 ` ^1, 2,1` 7.4) ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@ ^ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ` ^1, 0,1, 0,1` 7.5) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦¡·¼ r µÎ ° o° 7.3 ¨³ o° 7.4 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
276
¸É 8 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ Ä { » ´ ¸Ê µ¦ª·Á ¦µ³®r¨³ ¦³¤ª¨ ¨´ µ nµ Ç ·¥¤ 뵀 ¦¼ ° ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ®¦º°´ µ · · ´¨ (digital signal) ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµÁ à 襸 µ oµ · · ´¨Å o oµª® oµÅ ¤µ ¹ εĮo µ¤µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ o°¤¼¨Å o°¥nµ ¦ª Á¦ÈªÃ ¥Ä oÁ ¦ºÉ° °¤¡·ªÁ °¦r ° µ ¸Ê o°¤¼¨Ä ¦¼ ° ´ µ · · ´¨ ¤¸ ªµ¤³ ª Ä µ¦ ´ Á È ¤µ ªnµ o°¤¼¨Ä ¦¼ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ®¦º°´ µ ° ³¨È° (analog signal) Á n µ¦ ´ Á È o°¤¼¨ · · ´¨Ä °» ¦ r±µ¦r · rÅ ¦¢m,  n ¸ ¸, ¨³Â n ¸ª¸ ¸ Á } o °¥nµ Ŧ È µ¤´ µ ¸ÉÄ o µ nª ¤µ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ´Ê ¦³ ª µ¦  ¨ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o °¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ ¸É Å ¤n n° Á ºÉ° µ Áª¨µÃ ¥Å¤n ¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ (distortion) ®¦º° ¸É¦¼o ´ ´ ´ÉªÅ ªnµ “ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling process)” ¹ Á } ·É εÁ } °¥nµ ¥·É 宦´ ¦³ ºÉ°µ¦ nµ Ç ´ª°¥nµ Á n Ä ¦³ à ¦«´¡ rÁ ¨ºÉ° ¸É ´ µ Á¸¥ ¡¼ ¸ÉÁ ¦ºÉ° à ¦«´¡ rÁ ¨ºÉ° ¸É o µ ³ ¼  ¨ Á } ´ µ · · ´¨Á¡ºÉ° ε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ µ °¥nµ n° ¸É ³n nµ °µ µ«Å ¥´ Á ¦ºÉ° à ¦«´¡ rÁ ¨ºÉ° ¸É ¨µ¥ µ µ ´Ê ´ µ ¸ÉÅ o¦´ È ³ ¼  ¨ ¨´ Ä®oÁ } ´ µ Á¸¥ ¡¼ Á®¤º° Á ·¤ ´ ´Ê Ä ¸Ê ³° · µ¥ ¹ ®¨´ µ¦ ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸ÉÄ o ´ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
8.1 §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¡· µ¦ µ£µ¡ ¸É 8.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t » Ç nª Áª¨µ tn nTs Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¨³ Ts º° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling period) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ x p t à ¥ ¸É xp t
x t t
nTs
x nTs
(8.1)
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-1 277
x t
xp t
tn
Ts
x nTs
nTs
£µ¡ ¸É 8.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t
x 0
x Ts
C
x 3Ts
B A
t
Ts x 2Ts
£µ¡ ¸É 8.2 ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ 3 ´ µ ¸É ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ Áª¨µ tn ^ x 0 , x T , x 2T , x 3T ` Á®¤º° ´ s
s
nTs
¨oªÅ o¨Îµ ´ o°¤¼¨
s
à ¥ ´ÉªÅ o°¤¼¨Â n¨³ ´ª ° x nTs ³Á¦¸¥ ªnµ “ ¤Á d¨ (sample)” ¨³Ä ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ³Ä o´ ¨´ ¬ r ^ x nTs `  » o°¤¼¨ ° x nTs ®¦º° ¸ÉÁ ¦¸¥ ªnµ “¨Îµ ´ o°¤¼¨ (data sequence)” Á n ^ x nTs ` ^ x 0 , x Ts , x 2Ts ,!, x nTs ` Ä µ · ´ ··É ¸É o° µ¦ µ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ º° o° µ¦Ä®o¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^ x nTs ` ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á } ´ªÂ ® ¹É Á ¸¥ª (uniqueness) ° ´ µ x t à ¥Å¤n¤¸ µ¦¼ Á¸¥ nµªµ¦Ä Ç Á¡ºÉ° ¸Éªnµ ³Å oµ¤µ¦ ε¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^ x nTs ` ¸Ê¤µ¦oµ ´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ (signal reconstruction) Á®¤º° Á ·¤Å o°¥nµ ¤ ¼¦ r °¥nµ Ŧ È µ¤ o° ε® ¸ÊÁ } ¦· Å o È n°Á¤ºÉ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° Å ª· r (Nyquist's sampling theorem) [3, 12 – 13] ¤· ³ ´Ê ¨oª´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ®¨µ¥´ µ Á¤ºÉ° ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¨oª°µ εĮoÅ o¨Îµ ´ o°¤¼¨Á®¤º° ´ µ¤ ¸ÉÂ Ä £µ¡ ¸É 8.2 ¹É ³¡ ªnµ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µµ¤´ µ º° A, B, ¨³ C Á¤ºÉ° ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ´Ê µ¤ ¸Ê Áª¨µ tn nTs Á¤ºÉ° n 0,1, 2, ¨³ 3 ¨oª ³Å o¨Îµ ´ o°¤¼¨°° ¤µ 4  ¤Á d¨ º° x 0 , x Ts , x 2Ts , ¨³ x 3Ts Á®¤º° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° Å ª· r ³ ¨nµª ¹ Á ºÉ° Å ¸É εĮo o°¤¼ ¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÃ ¥Å¤n¤¸ µ¦¼ Á¸¥ nµªµ¦ ³ ´Ê o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸Ê ¹ µ¤µ¦ ε¤µÄ o 8-2
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
278
Ä µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤Å oà ¥Å¤n¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ Á · ¹Ê ¹É µ¦ ¸É ³ εÁ n ¸ÊÅ o ´Ê ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ o° Á } “´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ (band-limited signal)” ¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ o° ¤µ ªnµ®¦º°Á nµ ´ ° Á nµ ° ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´Ê ° µ ¸ÊÁ¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥Á ºÊ°®µÄ ¸Ê ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ Z 2S f (¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n° ª· µ ¸) ³ ¼ Á¦¸¥ ´Ê Ç ªnµ “ ªµ¤ ¸É”
8.2 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oµ ε® Ä®o x t º°´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³Á } ¢{ r ´ nµ ¦· à ¥¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Á nµ ´ X jZ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ x t ³Á¦¸¥ ªnµÁ } ´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ È n°Á¤ºÉ° X jZ 0 ,
宦´
Z ! Zm
(8.2)
Á¤ºÉ° Zm º° ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ x t ¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ µ¤£µ¡ ¸É 8.3 ´ ´Ê oµ o° µ¦Ä®o o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á } ´ªÂ ® ¹É Á ¸¥ª ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÃ ¥Å¤n¤¸ µ¦ ¼ Á¸¥ nµªµ¦ È ³ o° ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t oª¥ ªµ¤ ¸É Zs t 2Zm
(8.3)
Á¤ºÉ° Zs 2S / Ts º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ à ¥ ¸É ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Éε» Zs 2Zm ³Á¦¸¥ ªnµ “°´ ¦µ Å ª· r1 (Nyquist rate)”  n oµ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t oª¥ ªµ¤ ¸É Zs 2Zm È ³ n°Ä®oÁ · ¦µ µ¦ r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ (aliasing)” ¹É Á } ·É ¸ÉŤn o° µ¦Ä » µ ¦³¥» r Á ºÉ° µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o¤¸ µ¦¼ Á¸¥ nµªµ¦ ¨nµª º°Á¤ºÉ° ε o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸É ªµ¤ ¸É Zs 2Zm ¤µ¦oµ ´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ ´ µ x t ¸ÉÅ o ³¤¸¦¼ ¦nµ · Á¡¸Ê¥ Å µ ° Á ·¤ («¹ ¬µ¦µ¥¨³Á°¸¥ Á¡·É¤Á ·¤Å oÄ ®´ª o° ¸É 8.2.4) §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¼ ε¤µÄ o µ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r ´ª°¥nµ Á n 1) ¦³ Á¸¥ · · ´¨ °  n ¸ ¸ (CD: compact disc) ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ ¸É o° µ¦ ³ ´ ¹ ¨ Å Ä Â n ¸ ¸Á¡¨ ¤¸ nµÁ nµ ´ 20 ·Ã¨Á±·¦ r (kHz)  n¦³ Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á nµ ´ 44.1 kHz Á ºÉ° µ °´ ¦µÅ ª· r º° 2 u 20 40 kHz  ªnµ¦³ ³Îµ¦°  rª· r (bandwidth) Ūo 4.1 kHz 宦´ ε® oµ ¸ÉÁ }  j° ´ (guard band) 1
ªµ¤ ¸É Zm ¸ÉÁ } ¦¹É ® ¹É ° °´ ¦µÅ ª· r Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ ¸ÉÅ ª· r (Nyquist frequency)”
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-3 279
X jZ
1
Zm
Z
Zm
0
£µ¡ ¸É 8.3 ´ª°¥nµ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´
2) ¦³ à ¦«´¡ r (telephone system) ´ µ Á¸¥ (speech signal) ¤¸Â rª· rÁ nµ ´ 3.4 kHz ¨³¦³ à ¦«´¡ rÄ o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á nµ ´ 8 kHz Á ºÉ° µ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Å ª· r º° 2 u 3.4 6.8 kHz  ªnµ¦³ ³Îµ¦°  rª· rŪo 1.2 kHz 宦´ ε® oµ ¸ÉÁ }  j° ´ ´ª°¥nµ ¸É 8.1 ε® Ä®o´ µ x t
¸É° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ
10 cos 2000S t cos 8000S t
®µ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Éε»
ª· ¸ ε µ Á° ¨´ ¬ r ¦¸Ã ¤· · ¸Éªnµ cos D cos E ^cos D E cos D E ` / 2 ´ ´Ê ´ µ x t µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x t 10 cos 2000S t cos 8000S t
¹É  ªnµ ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ x t º° Zm Éε» ®¦º°°´ ¦µÅ ª· r ¹ ¤¸ nµÁ nµ ´ Zs 2Zm
5cos 6000S t 5cos 10000S t
Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ´ ´Ê ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ 2 u10000S 20000S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ 10000S
8.2.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¡· µ¦ µ£µ¡ ¸É 8.1 ¡ ªnµ®¨´ µ¦ ε µ ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ µ¤µ¦ ° · µ¥Å oà ¥°µ«´¥¤ µ¦ · «µ ¦r ´ ¸Ê o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼n Ä ¦¼ ° ¨ ¼ ¦³®ªnµ ´ µ x t ¨³ ª ´ µ °·¤¡´¨rÅ Â¦È Á ¨ µ (Dirac delta impulse train) ®¦º° ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “¢{ r ´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling function)” p t ´É º° xp t
x t p t
(8.4)
à ¥ ¸É p t
8-4
f
¦ G t nT
s
(8.5)
n f
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
280
p t
Ts
1
t
x 0
0
x t
x 2Ts
xp t
t
Ts
0
0
t
£µ¡ ¸É 8.4 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ à ¥Ä o ª ´ µ °·¤¡´¨rÅ Â¦È Á ¨ µ
°µ«´¥ » ¤ ´ · ° ¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ¸Éªnµ x t G t t0
Á ¸¥ Å oÁ } xp t
x t0 G t t0
´ ´Ê ¤ µ¦ (8.4) µ¤µ¦
f
¦ x nT G t nT
s
(8.6)
s
n f
´É º°´ µ x p t ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ª ´ µ °·¤¡´¨r ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼¨ °  n¨³°·¤¡´¨rÁ nµ ´ nµ x nTs à ¥¤¸¦³¥³®nµ °  n¨³´ µ °·¤¡´¨rÁ } ¦³¥³Áª¨µ Ts ´ Â Ä £µ¡ ¸É 8.4 Á ºÉ° µ¦ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ´ µ °·¤¡´¨rÅ Â¦È Á ¨ µ º° p t
f
CtFT o P jZ
¦ G t nTs m
n f
2S Ts
f
¦ G Z kZ
s
(8.7)
k f
¨³°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦ ¼ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸Éªnµ F ª¬ x t p t º¼
1 2S
f
³ X jT P j Z T dT
(8.8)
f
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¤ µ¦ (8.6) º° X p jZ F ª¬ x p t º¼
1 Ts
f
¦ X j Z kZ
s
(8.9)
k f
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ µ à ¥¤¸ nµ Á nµ ´ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X jZ ¸É ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 1/ Ts ¸É Êε ´ Å Á¦ºÉ°¥Ç à ¥ ¸É n¨³ ´ª¤¸¦³¥³®nµ ´ Á nµ ´ Zs Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-5 281
x t
s
n
n
t
F F
x t ¦ G t nTs
¦ G t nT
u
X jZ
2S
t
t
Ts
-1
X p jZ
¦ G Z kZ
s
Ts
k
1/ Ts
2S / Ts Zm 0
Zm
Z
Zs
Zs
0
Z Zs
0 Zm
Z
Zs Zs Zm
£µ¡ ¸É 8.5 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ( ) Ä Ã Á¤ Áª¨µ ¨³ (¨nµ ) à Á¤ ªµ¤ ¸É xp t
f
CtFT
¦ x nT G t nT m o X jZ
s
s
p
n f
1 Ts
f
¦ X j Z kZ
s
(8.10)
k f
£µ¡ ¸É 8.5 Á ¦¸¥ Á ¸¥ ´Ê ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ à Á¤ Áª¨µÂ¨³Ä à Á¤ ªµ¤ ¸É oµ ªµ¤ ¸É ¸ÉÄ oÄ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ Zs t 2Zm ¨oª ´ µ x t µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ¦oµ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º ° Á · ¤ Å o µ ¨Î µ ´ o °¤¼ ¨ ^ x nTs ` à ¥ µ¦ Î µ ¨Î µ ´ o °¤¼ ¨ ¸Ê Å n µ ª ¦ ¦° n µ ÉÎ µ °» ¤ · (ideal low-pass filter) ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r hLP t ¹É ¤¸°´ ¦µ ¥µ¥ (gain) Á nµ ´ Ts ¨³¤¸ ªµ¤ ¸É ´ (cutoff frequency) Á nµ ´ Zm d Zc d Zs Zm ´É º° hLP t
Ts sin Zc t
TsZc
St
S
sinc Zc t
(8.11)
¹É ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° H LP jZ
Ts , Z d Zc ® ¯0, else
(8.12)
´ Â Ä £µ¡ ¸É 8.6 Á¤ºÉ° xr t º°´ µ ¸É ¼ ¦oµ Ä®o ¨´ º ¤µ (reconstructed signal) ´ ´Ê Á¤ºÉ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ Á } Å µ¤ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Å oªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É X r jZ X jZ ¹É εĮo ¦» Å oªnµ xr t x t Á n ´
8-6
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
282
P jZ
Zs
X jZ
Zm
Zs
0
Z X r jZ
p t
x t
Zm 0
2S / Ts
xp t
H LP jZ
Z
xr t
Zm 0
X p jZ
H LP jZ
1/ Ts Zs
0
Zm
Zs
Z
Zc
Ts
0
Zm
Z
Z m d Zc d Z s Z m
Zc
Z
Z s Zm
£µ¡ ¸É 8.6 µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ^ x t ` r
p
8.2.2 µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r µ £µ¡ ¸É 8.4 ´ µ x p t ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ª ´ µ °·¤¡´¨rÅ Â¦È Á ¨ µ ³¤¸¨´ ¬ ³ Á } ´ µ ¡´¨r ¸É¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ´ µ  ¨³¤¸Â°¤¡¨· ¼ ¼ ¤µ ¹É Ä µ · ´ · µ¦¦oµ ¨³n ´ µ x p t Å ¥´ ¨µ¥ µ εŠo¥µ ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ ´ µ ¸É nµ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampled signal) ³ ¼ εĮo°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ oµ °´ ´ «¼ ¥r (zero-order hold) à ¥ µ¦n ´ µ x p t nµ Á oµÅ Ä ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h0 t µ¤£µ¡ ¸É 8.7 Á¤ºÉ° 1, 0 t Ts h0 t ® ¯0, else
(8.13)
ª 2sin ZTs / 2 º H 0 jZ e jZTs / 2 « » Z ¬ ¼
(8.14)
¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° h0 t º°
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¦³ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t Áª¨µ ¸É ε® ¨oª ε µ¦ oµ nµ ° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ¦³ ´É ¹ Áª¨µ ¸É ³ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ Å ´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ¹ Á¦¸¥ ªnµ´ µ oµ °´ ´ «¼ ¥r x0 t
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-7 283
Ts
1
p t
x0 t
t 0
x t
t
0
xp t
x t
zero-order hold
x0 t
h0 t
0
Ts
t
h0 t
1 0
t
Ts
Ts
0
t
£µ¡ ¸É 8.7 µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r H LP jZ
p t
x t
xp t
h0 t
x0 t
hr t
r t
£µ¡ ¸É 8.8 µ¦ n° ´ ° ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r¨³ª ¦ ¦° µ¦¦oµ ´ µ ¨´ º ¤µ
Ä Î µ ° Á ¸ ¥ ª ´ µ¦¦o µ ´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ µ ´ µ o µ °´ ´ «¼ ¥r x0 t
ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦ ε´ µ x0 t Å nµ ª ¦ ¦° µ¦¦oµ ´ µ ¨´ º ¤µ (reconstruction filter) ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨rÁ nµ ´ hr t µ¤£µ¡ ¸É 8.8 à ¥´ µ ¸É¦oµ ¨´ º ¤µ r t ³¤¸ nµ Á nµ ´ ´ µ o ´ x t È n°Á¤ºÉ° ¨ ° ° ¦ª¤ ° ª ¦ ¦° ¸É n° ´ ´Ê ° ª ¦¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ´É º° hLP t h0 t hr t
(8.15)
®¦º°Ä à Á¤ ªµ¤ ¸É H LP jZ
 nµ H LP jZ µ ¤ µ¦ (8.12) ¨³ 8-8
H 0 jZ H r jZ
H 0 jZ
(8.16)
µ ¤ µ¦ (8.14) ³Å oªnµ
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
284
H r jZ
H r jZ
S /2 1
Zc
0
Zc
Zc
Zc
Z
Z
S / 2
£µ¡ ¸É 8.9 ( ) Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³ ( ) Á ¦´¤Á · Á¢ ° ª ¦ ¦° µ¦¦oµ ´ µ ¨´ º ¤µ H r jZ
H LP jZ
H 0 jZ
jZTs / 2
ZTs e 2sin ZTs / 2
SCILAB:
hr t
(£µ¡ ¸É 8.9)
-->Ts = 1; Wc = %pi/2; Ws = -Wc:0.01:Wc; -->Hw = exp(%i*Ws*Ts/2)./sinc(Ws*Ts/2);
//£µ¡ ¸É 8.9 ( )
-->plot(Ws,abs(Hw));
-->plot(Ws,atan(imag(Hw)./real(Hw))); //£µ¡ ¸É 8.9 ( )
e jZTs / 2 sinc ZTs / 2
(8.17)
宦´ Z d Zc £µ¡ ¸É 8.9  Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ (amplitude spectrum) ¨³Á ¦´¤Á · Á¢ (phase spectrum) ° ª ¦ ¦° µ¦¦oµ ´ µ ¨´ º ¤µ hr t ¸ÉÅ o µ ¤ µ¦ (8.17) à ¥ ´ÉªÅ ª ¦ ¦° ¸É ε® µ¤¤ µ¦ (8.17) Ťnµ¤µ¦ ¦oµ Å o ¦· Ä µ · ´ · °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä ®¨µ¥Ç ¦ ¸´ µ oµ °´ ´ «¼ ¥r x0 t µ¤µ¦ ε¤µÄ o ´ µ o ´ x t Å oà ¥Å¤n o° εŠnµ ª ¦ ¦° hr t oµ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs ¤¸ nµ¼ ®¦º°°µ Ä oª· ¸ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª 2 ®¦º° °· Á °¦ráÁ¨ ´ (interpolation) [14] ¦³®ªnµ o°¤¼¨Â ¤Á d¨
8.2.3 ¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á º°É µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ ε® Ä®o x t º°´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ ¨³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ nµ ´ X jZ
µ¤£µ¡ ¸É 8.3 oµ ªµ¤ ¸É ¸ÉÄ oÄ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ Zs t 2Zm ´ ´Ê o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x p t ¸ÉÅ o ³¤¸Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ µ¤£µ¡ ¸É 8.10
µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ®¦º°°· Á °¦ráÁ¨ ´ (interpolation) Á } µ¦®µ ªµ¤¡° ¸®¦º° ªµ¤Á®¤µ³¤ (fitting) ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ » ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ´ ´Ê µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ¹ º°ªnµÁ } Á · ¡ºÊ µ ¸ÉÄ o Ä µ¦¦oµ ´ µ Ä®o ¨´ º ¤µ
2
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-9 285
X p jZ
H LP jZ
Ts
2Zm
1/ Ts
Zs
Zm
0
Zc
Zm
Zc
Zs ! 2Zm
Z
£µ¡ ¸É 8.10 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t ªµ¤ ¸É Zs t 2Zm ¡¦o°¤ ´Ê  ´Ê ° µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ x t
¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ Ä®o ¨´ º ¤µ
xp t
tn nTs Zs t 2Zm
hLP t
xr t
ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ ·
£µ¡ ¸É 8.11 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¨³ ¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ
¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ (signal reconstruction process) º° µ¦ ¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xr t µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x p t ´ Â Ä £µ¡ ¸É 8.11 à ¥ ¸É oµ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ ª °¥n µ ¸ÉÄ o ¤¸ n µ Zs t 2Zm ¨o ª È ³ Î µ Ä®o´ µ xr t x t Å o à ¥ µ¦ Î µ o °¤¼ ¨  ¤Á d ¨ x p t Å nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r hLP t µ¤¤ µ¦ (8.11) ¨³¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Zm d Zc d Zs Zm
®¨´ µ¦ ε µ ° ¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µµ¤µ¦ ° · µ¥Ä à Á¤ ªµ¤ ¸ÉÅ o ´ ¸Ê ´ µ xr t x t È n°Á¤ºÉ°´ µ xr t ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ nµ ´ X jZ
´ ´Ê Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ Ä £µ¡ ¸É 8.10 ³¤¸ nµÁ nµ ´ X jZ Å o È n°Á¤ºÉ° ε X p jZ ¤µ ¼ ´ H LP jZ ´É º° X r jZ
X jZ
X p jZ H LP jZ
(8.18)
Á¤ºÉ° H LP jZ º° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · µ¤¤ µ¦ (8.12) à ¥°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦ ¼ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É ¨nµªªnµ µ¦ ¼ ´ ° ´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
286
£µ¡ ¸É 8.12 ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ · r®¨µ¥Ç ´ µ ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á nµ ´ x nTs ¸É®nµ ´ Á } ¦³¥³ Ts
° ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ µ ° X r jZ ´É º° F 1 ª¬ X r jZ º¼
xr t
xr t
µ¤µ¦ ®µÅ o µ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´
x p t hLP t
ª f º ª TsZc º « ¦ x nTs G t nTs » « S sinc Zc t » ¬ ¼ n f ¬ ¼ TsZc
S
f
¦ x nT sinc Z t nT
s
c
s
(8.19)
n f
¤ µ¦ (8.19) ®¤µ¥ ¹ µ¦n o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x p t nµ Á oµÅ Ä ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ ·Â¨oªÅ o´ µ Á°µ r¡» °° ¤µÁ } ´ µ xr t ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ x t µ¤£µ¡ ¸É 8.11 à ¥ ´ÉªÅ ¤ µ¦ (8.19) ³Á¦¸¥ ªnµ “¼ ¦ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ° Å ª· r¨³Â ° (Nyquist-Shannon interpolation formula)” [3, 12] ¹É ¤¸ ªµ¤®¤µ¥ º° o°¤¼¨Â n¨³Â ¤Á d¨ x nTs ³ ¼ ¼ oª¥¢{ r ´ · r (sinc function) à ¥ ¸É » «¼ ¥r ¨µ ° ¢{ r ´ · r ³ ¼ Á¨ºÉ° °° Å µ¤Áª¨µ °  n¨³Â ¤Á d¨ µ ´Ê È Îµ´ µ ´Ê ®¤ ¤µ¦ª¤ ´ Á } ´ µ Á ¸¥ª µ¤ ´ª°¥nµ Ä £µ¡ ¸É 8.12 ¤ µ¦ (8.19)  ĮoÁ®È Å oªnµ µ¦¦oµ ´ µ o ´ Ä®o ¨´ º ¤µ ³ o° °µ«´¥Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ¹É Ä ¤ µ¦ (8.19) ³Ä o¢{ r ´ · r nª¥Ä µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª µ¤£µ¡ ¸É 8.12 Ä µ · ´ ·Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ¤¸®¨µ¥Â Á n µ¦Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 8.2.2 È º°ªnµÁ } Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª  ® ¹É ¹É ¤¸ ªµ¤ nµ¥Ä µ¦¦oµ ª ¦  n ªµ¤ ¼ o° ° บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-11 287
hl t
Ts
0
H jZ
Ts
Ts
t
Z s
Zs
Zs
0
2
Zs
Z
2
£µ¡ ¸É 8.13 ( ) ¨ ° ° °·¤¡´¨r ¨³ ( ) Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ª ¦ ¦° oµ °´ ´ ® ¹É x 2Ts
x0 t
x Ts
x 0
x t
x0 t
xl t
xl t
x t
t
£µ¡ ¸É 8.14 ´ª°¥nµ µ¦¦oµ ´ µ o ´ Ä®o ¨´ º ¤µÃ ¥Ä oÁ · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª  nµ Ç
´ µ ¸ÉÅ o ³Å¤n ¸ ´ ´Ê oµ o° µ¦Ä®o µ¦ ¦³¤µ nµ¤¸ ªµ¤ ¼ o° ¤µ ¹Ê È°µ Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ ¸É¼ ¹Ê ´ª°¥nµ Á n ª ¦ ¦° oµ °´ ´ ® ¹É (first-order hold) ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r º° hl t
t °1 , t d Ts ® Ts °0, else ¯
(8.20)
¨³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° H l jZ F ª¬ hl t º¼
1 ª sin ZTs / 2 º « » Ts ¬ Z / 2 ¼
2
(8.21)
´ Â Ä £µ¡ ¸É 8.13 µ¦Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ ® ¹É Ä µ¦¦oµ ´ µ Ä®o ¨´ º ¤µ°µ ¡· µ¦ µªnµÁ } “ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª  Á · Áo (linear interpolation)” ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Ä oÁo ¦ Ä µ¦Á ºÉ°¤ n° nµ  n¨³ nµ ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨ £µ¡ ¸É 8.14  ´ª°¥nµ µ¦¦oµ ´ µ o ´ Ä®o ¨´ º ¤µÃ ¥Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r¨³Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª  Á · Áo ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
288
X p jZ
X jZ
Zm
0
Zm
Z
Zs Zm
0
Zm Zs 2Zm
Z
£µ¡ ¸É 8.15 ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¹É Á · µ µ¦Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 2Zm Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É
° µ ¸ÊÄ ¦ ¸ ¸É o° µ¦Ä®o µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ¤¸ ªµ¤ ¼ o° ¼ ȵ¤µ¦ Ä o µ¦ ¦³¤µ nµ Ä nª ¸ÉÁ ºÉ°¤ n° nµÂ n¨³ nµ ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨Ã ¥°µ«´¥¤ µ¦¡®» µ¤°´ ´ ¼ ®¦º°¢{ r ´ · «µ ¦r °ºÉ Ç Å o n ¤ µ¦ ε¨´ µ¤ (cubic interpolation) ®¦º°¢{ r ´ Á¤º° ¡®» µ¤ (spline interpolation) [9] Á } o
8.2.4 ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ (aliasing) Á · µ µ¦Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ o°¥ ªnµ° Á nµ ° ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º° Zs 2Zm £µ¡ ¸É 8.15  ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¸ÉÁ · µ µ¦Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 2Zm à ¥¡ ªnµÁ¤ºÉ°Ä o Zs 2Zm Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ X p jZ ³ ´ o° ´ (overlap) εĮoÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¹É n ¨ εĮoÁ¤ºÉ° o° µ¦ ¸É ³¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ªµ¤ ¸É Zs 2Zm ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÅ o ³¤¸¦¼ ¦nµ · Á¡¸Ê¥ Å µ ´ µ o ´ Á ºÉ° µ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ ¸É ¦oµ ¨´ º ¤µ¤¸¦¼ ¦nµ · Å µ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ o ´ £µ¡ ¸É 8.16  µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t cos Zmt à ¥ ¸É Zm 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ oª¥ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 1.5Zm , 2Zm , ¨³ 3.5Zm Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á¤ºÉ° ¦µ¢Â n  o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x nTs ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t ¨³ ε´É “sim_sampling” º°¢{ r ´ ¸É¡´ µ ¹Ê ¤µ µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á¡ºÉ°Ä o¦oµ ¦µ¢Â ´ª°¥nµ µ¦Ä o µ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ µ £µ¡ ¸É 8.16 ¡ ªnµ
oµ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ à ¥Ä o Zs 2Zm Á¤ºÉ°¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x nTs ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÅ o ³¦¼ ¦nµ ŤnÁ®¤º° Á ·¤ (Á · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¹Ê ) µ¤£µ¡ ¸É 8.16 ( oµ¥)
oµ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ à ¥Ä o Zs t 2Zm ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¦oµ ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨  ¤Á d¨ x nTs ³¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ o ´ Á®¤º° Á ·¤ µ¤ ¸É £µ¡ ¸É 8.16 ( ªµ – ¨nµ oµ¥) บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-13
289
£µ¡ ¸É 8.16 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É Zm
2S
oª¥ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs nµ Ç
´ ´Ê ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¹ Á } ·É ¸É o° ®¨¸ Á¨¸É¥ Ä » µ ¦³¥» r Á¡¦µ³ªnµ´ µ ¸É¦oµ ¨´ º ¤µ ¤¸ » ¤ ´ ·Â nµ µ ´ µ o ´ à ¥ ´ÉªÅ ª· ¸ µ¦ j° ´ µ¦Á · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡µ¤µ¦ εŠo ®¨µ¥ª· ¸ Á n Á¡·É¤ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ (Á¡·É¤ Zs ) ®¦º°Ä oª ¦ ¦° n° oµ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ (anti-aliasing filter) Á } o Á¡¦µ³ ³ ´Ê Á¡ºÉ° j° ´ µ¦Á · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡Ä ¦³®ªnµ ´Ê ° µ¦¦oµ ´ µ o ´ Ä®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x nTs §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¹ ε® Ä®o ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ o ´ oª¥ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs t 2Zm °¥nµ Ŧ È µ¤Ä µ · ´ · ·¥¤Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¤µ ªnµ ° Á nµ ° ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ o ´ ´É º° Zs ! 2Zm Á¡ºÉ°¦´ ¦³ ´ ªnµ ³Å¤n¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ Á · ¹Ê °¥nµ  n ° ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
290
function [ ] = sim_sampling(wm, ws) //================================================== //  ´ª°¥nµ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á¤ºÉ°Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ nµ nµ Ç // Á¤ºÉ°´ µ o ´ º° ´ µ à Šr x t
cos Zm t
// ¡µ¦µ¤·Á °¦r°· ¡» : // wm = 2*%pi*fm = ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ o ´ n° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ // ws = 2*%pi*fs = ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¼ » // // ¡µ¦µ¤·Á °¦rÁ°µ r¡» : // ¢{ r ´ ¸Ê ³Ä®oÁ°µ r¡» Á } ¦µ¢° ¦µ¢ à ¥ ¸É ¦µ¢Â¦ Á } ¦µ¢Â ´ µ o ´ // ¨³ ¦µ¢ ¸É° Á } ¦µ¢Â ´ µ ¸É¦oµ ¨´ º ¤µ //================================================== t
= 0:0.01:8;
xt = cos(wm*t); //===== Sampling at ws fs
= ws/2/%pi;
Ts
= 1/fs;
Tneed = t(1):Ts:t($); L
= length(Tneed);
xtp
= interp1(t,xt,Tneed,'spline');
xk
= zeros(1,L);
for i = 1:L xk(i) = xtp(i); end subplot(2,1,1);
plot2d(t,xt,rect=[0,-1.2,8,1.2]);
subplot(2,1,1);
plot2d3(0:Ts:t($),xk,rect=[0,-1.2,8,1.2]);
xgrid(2);
//===== SIGNAL RECONSTRUCTION Step
= 100;
Upsp_xk = zeros(1,(L-1)*Step+1); for i = 1:L Upsp_xk((i-1)*Step+1) = xk(i); end th
= -10:(1/Step):10;
tsinc = th*%pi; ht
= sinc(tsinc);
xr
= convol(ht, Upsp_xk);
xrn
= xr(1000+(1:fs*t($)*Step+1));
tn
= 0:0.01/fs:t($);
subplot(2,1,2);
plot2d3(0:Ts:t($),xk,rect=[0,-1.2,8,1.2]);
subplot(2,1,2);
plot2d(tn,xrn,rect=[0,-1.2,8,1.2]);
xgrid(2);
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-15 291
´ª°¥nµ ¸É 8.2 ¡· µ¦ µ´ µ à Šr §Z t · x t cos ¨ s T ¸ © 2 ¹
(8.22)
Á¤ºÉ° T º°¤»¤Á¢ ¹É ¼ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ª ´ µ °·¤¡´¨rÅ Â¦È Á ¨ µ ¸É ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á nµ ´ ° Á nµ ° ªµ¤ ¸É¼ ° ´ µ ®µ´ µ ¸É ¼ ¦oµ ¨´ º ¤µ xr t Á¤ºÉ° ε o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ oÅ nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Á nµ ´ Zs / 2 ª· ¸ ε µ » ¤ ´ · ° ¦¸Ã ¤· · ¤ µ¦ (8.22) ¹ µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } §Z t · §Z t · x t cos ¨ s ¸ cos T sin ¨ s ¸ sin T
2 © ¹ © 2 ¹
 nµ Zs
2S / T
¨³ t
nT
Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ³Å o
x nT cos nS cos T sin nS sin T
cos nS cos T
§Z · cos ¨ s nT ¸ cos T
2 © ¹
Á ºÉ° µ sin nS 0 ´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t oª¥ ªµ¤ ¸É Zs Á } ° Á nµ ° ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ x t ´ É º° xp t
Á¤ºÉ° ε´ µ
xp t
f
f
n f
n f
§ Zs · nT ¸ cos T G t nT
2 ¹
¦ x nT G t nT ¦ cos ¨©
Å nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ³Å o ¨¨´¡ rÁ } §Z t · xr t cos ¨ s ¸ cos T
© 2 ¹
¨³ xr t x t È n°Á¤ºÉ°¤»¤Á¢ T Ä ¦ ¸ ¸É T S / 2 ³Å oªnµ
2mS
Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç
§Z t · x t sin ¨ s ¸ © 2 ¹
o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ T
2S / Zs
¤¸ nµÁ nµ ´
§Z · x nT sin ¨ s nT ¸ sin nS 0 © 2 ¹
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
292
yd > n @
xd > n @
xc t
xc nT
Hd e
j:
T
yc t
yc nT
T
£µ¡ ¸É 8.17 µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t oª¥ ªµ¤ ¸É Zs ¹É Á nµ ´ ° Á nµ ° ªµ¤ ¸É ¼ » ° ´ µ x t ³ εĮoÅ o ¨¨´¡ r°° ¤µÁ } nµ«¼ ¥r ´Ê ®¤ ¹É Á¤ºÉ° ε o°¤¼¨Á®¨nµ ¸ÊÅ nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · È ³ εĮoÅ o´ µ ¸É¦oµ ¨´ º ¤µ xr t ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥rÁ n ´ ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ Á¡ºÉ°®¨¸ Á¨¸É¥ { ®µ¨´ ¬ ³ ¸Ê ¹ εÁ } o° Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¤µ ªnµ° Á nµ ° ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ o ´
8.3 µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä µ · ´ · µ ¦³¥» r nµ Ç ·¥¤Ä o µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time processing) à ¥Ä o “ ¦³ ª µ¦Â ¨ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuoustime-to-discrete-time (C/D) conversion)” ´É º° ε µ¦Â ¨ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xc t Ä®oÁ } ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xd > n@ à ¥°µ«´¥ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ oª¥ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ T µ ´Ê ¹ ε¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n@ Šε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â¨³Å o ¨¨´¡ rÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ yd > n@ ®¨´ µ ´Ê È ³Ä o “ ¦³ ª µ¦  ¨ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time to continuous-time (D/C) conversion)” Á¡ºÉ° ε µ¦Â ¨ ´ µ yd > n@ Ä®oÁ } yc t ´ Â Ä £µ¡ ¸É 8.17
8.3.1 µ¦Â ¨ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ°Ä®oÁ oµÄ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xc t ¨³´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ®¦º° ¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n@ ¤µ ¹Ê ¦³ ª µ¦Â ¨ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µµ¤µ¦  Įo°¥¼nÄ ¦¼ ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ  Á } µ ¨oª µ¤ oª¥ µ¦Â ¨ ª ´ µ °·¤¡´¨rÄ®oÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 8.18 ( ) ¹É ³¡ ªnµ µ¦Â ¨ ª ´ µ °·¤¡´¨rÄ®oÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨Á ¦¸¥ Á¤º° ´ µ¦ ε Áª¨µÄ®oÁ } ¦¦ ´ µ (normalization in time) ´ª°¥nµ Á n £µ¡ ¸É 8.18 ( ) – ( )  µ¦ ε Áª¨µÄ®oÁ } ¦¦ ´ µ 宦´ µ¦Â ¨ ´ µ x p t Å Á } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n @ Á¤ºÉ° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ T T1 ¨³ T 2T1 µ¤¨Îµ ´ บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-17 293
T
1
p t
t
0
xp t
xc t
xd > n @
xc nT
xp t
T
xc t
T1 xd > n @ t
T 0 T 2T 3T
xp t
T
xc t
T
0
T
2T
2T1
xd > n @
t
3T
n
1 0 1 2 3
1
1
0
2
3
n
£µ¡ ¸É 8.18 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ xc t µ¤ oª¥ ¦³ ª µ¦Â ¨ ´ µ x p t
Ä®oÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n@ Á¤ºÉ° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ( ) T T1 ¨³ ( ) T 2T1
Ä nª n°Å ¸Ê ³¡· µ¦ µ ªµ¤´¤¡´ r ° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° xc t ¨³ xd > n@ oµ ε® Ä®o Z º° ´ªÂ ¦ ¸ÉÄ oÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ, : º° ´ªÂ ¦ ¸ÉÄ oÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ° DtFT CtFT ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ, xc t m o X d e j: ´ ´Ê µ £µ¡ ¸É o X c jZ , ¨³ xd > n @ m 8.18 ( ) ³Å oªnµ xp t
f
¦ x nT G t nT
(8.23)
c
n f
CtFT Á ºÉ° µ G t nT m o e jZ nT ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r °
X p jZ F ª¬ x p t º¼
xp t
f
¤¸ nµÁ nµ ´
¦ x nT e c
jZ nT
(8.24)
n f
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
294
¡· µ¦ µÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É °
xd > n @
xd > n @
xc nT
f
F ^ xd > n @`
X d e j:
 nµ
¹É ®µÅ o µ
¦ x > n@ e d
j:n
(8.25)
n f
¨ Ä ¤ µ¦ (8.25) ³Å o f
¦ x nT e
X d e j:
c
j :n
(8.26)
n f
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (8.24) ¨³ (8.26) ³Å o ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê § :· Xp ¨ j ¸ © T¹
(8.27)
1 f ¦ X c j Z kZ s
T k f
(8.28)
X d e j:
µ ¤ µ¦ (8.9) ¸Éªnµ X p jZ
Á¤ºÉ° Zs
2S / T
Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ´ ´Ê Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É °
X d e j:
xd > n @
¤¸ nµÁ nµ ´
§ § : 2S k · · 1 f Xc ¨ j ¨ ¦ ¸¸ T k f © © T ¹¹
(8.29)
£µ¡ ¸É 8.19  ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X c jZ , X p jZ , ¨³ X d e j: 宦´ µ µ¦ ´ ´ª °¥nµ T T1 ¨³ T 2T1 ¹É ³¡ ªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É X d e j: ¤¸ nµÁ nµ ´ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ ¸É ¼ Á ¨ µ ªµ¤ ¸É (frequency-scaled version) ´É Á° à ¥ X d e j: ¤¸ µ ªµ¤ ¸É Á nµ ´ : 2S Á¦Á ¸¥
8.3.2 µ¦Â ¨ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ µ £µ¡ ¸É 8.17 µ¦¦oµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ yc t µ ¨Îµ ´ o°¤¼¨ yd > n@ µ¤µ¦ εŠoà ¥°µ«´¥ ¦³ ª µ¦Â ¨ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤£µ¡ ¸É 8.20 ¨nµª º° ¨Îµ ´ o°¤¼¨ yd > n@ ³ ¼ ε µ¦Â ¨ Ä®oÁ } ª ´ µ °·¤¡´¨r y p t µ ´Ê ¹ n nµ Å ¥´ ª ¦ ¦° nµ Éε ¸É¤¸°´ ¦µ ¥µ¥Á nµ ´ T ¨³ ªµ¤ ¸É ´ Zc Zs / 2 S / T Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-19 295
X c jZ
T
T1 X p jZ
1 / T1
2S T1
Z
2S T2
X d e j:
1 / T1 0
:
2S
£µ¡ ¸É 8.19 ªµ¤´¤¡´ r ° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É 宦´ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ T
yd > n @
2T1
Z
2S T2
0
X d e j:
1 / T2
2S
T2
X p jZ
1/ T2 2S T1
0
2S
T
Z
0
0
:
2S
X c jZ , X p jZ , ¨³ X d e j: T1
¨³ T
T2
2T1
yc t
T
yp t
Zs
Zs
2
2
Z
£µ¡ ¸É 8.20 ¦³ ª µ¦Â ¨ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ H c jZ
p t
xc t
xp t
xd > n @ xc nT
H d e j:
yd > n @ yc nT
yp t
yc t
T
Zs
Zs
2
2
Z
£µ¡ ¸É 8.21 ¦³ ¦ª¤ ° µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
oµ¡· µ¦ µ¦³ ¦ª¤ ´Ê ®¤ Ä £µ¡ ¸É 8.17 (®¦º°Ä £µ¡ ¸É 8.21) Á¤ºÉ°¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¤¸ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ H d e j: ¨³¤¤ ·ªnµ ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ xc t º° Zm Zs / 2 ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ yc t ³¤¸Á ¦´¤ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
296
A
2S
:c 0
H c jZ
H d e j:
A
2S
:c
:
:c
0
T
:c
Z
T
£µ¡ ¸É 8.22 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ª ¦ ¦° nµ Éε ´Ê °  Yc jZ
X c jZ H d e j:
(8.30)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ®µ ¡· µ¦ µªnµ¦³ Ä £µ¡ ¸É 8.21 º°¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ ¤¤¼¨ (equivalent continuous-time system) ¸É¤¸ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É º° H c jZ ³Å oªnµ¤ µ¦ (8.30) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } Yc jZ
à ¥ ¸É H c jZ ¨³
ZT
(8.31)
¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ ´ ¸Ê
H d e j:
H c jZ
´É º° :
X c jZ H c jZ
H d e jZT , Z Zs / 2 ° ® else °̄0,
(8.32)
´ Â Ä £µ¡ ¸É 8.22
8.4 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ®´ª o° ¸É 8.2 Å o ĮoÁ®È ¹ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸Ê È¥´ µ¤µ¦ 夵 ¦³¥» rÄ oÄ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time signal) Å oÁ n ´
8.4.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ£µ¡ ¸É 8.4 ³°µ«´¥ ª ´ µ °·¤¡´¨rÅ Â¦È Á ¨ µ Ä ³ ¸É ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Ä o ª ´ µ °·¤¡´¨rà ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ (Kronecker delta impulse train) ¹É ·¥µ¤Ã ¥ บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-21 297
x > n@ n
x > n@
x p > n@
p > n@ N
N
0
n
2N
p > n@
x p > n@
¦ G > n kN @ k
n
£µ¡ ¸É 8.23 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ p > n@
Á¤ºÉ°
N
f
¦ G > n kN @
(8.33)
k f
º° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling period) ¨³ G > n @ º°¢{ r ´ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ [3] ¹É ·¥µ¤Ã ¥ 1, n 0 ¯0, n z 0
G > n@ ®
(8.34)
£µ¡ ¸É 8.23  ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥ ¸É ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´
x p >n@
x > n @ , n = multiple of N x p > n@ ® else ¯0,
º°´ µ Á°µ r¡»
(8.35)
°µ«´¥ » ¤ ´ · ° ¢{ r ´ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ x > k @ G > k k0 @
´ ´Ê o°¤¼¨Â ¤Á d¨
x p >n@
x > k0 @ G > k k0 @
(8.36)
µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ¤ µ¦ · «µ ¦rÅ o º° x p > n@
f
x > n@ p >n@
¦ x > kN @G > n kN @
(8.37)
Z T
T ³ S P e X e dT
(8.38)
k f
¹É ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°
X p e jZ
F ^ x p > n @`
1 2S
j
2
j
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
298
Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ p > n@ Ä ¤ µ¦ (8.33) º°
P e jZ
Á¤ºÉ° Zs
2S / N
F ^ p > n @`
2S N
f
¦ G Z kZ
(8.39)
s
k f
º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ ´Ê ¤ µ¦ (8.38) ¤¸ nµÁ nµ ´
X p e jZ
1 N
N 1
¦ X e Z j
kZ s
k 0
(8.40)
³Á®È Å oªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨Ä ¤ µ¦ (8.40) ¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ ¤ µ¦ (8.9) ¨nµª º° Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p e jZ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } µ à ¥¤¸ nµÁ nµ ´ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¸É ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 1/ N ¸É Êε ´ Å Á¦ºÉ°¥Ç Á } ε ª N ´ª à ¥ ¸É  n¨³ ´ª¤¸¦³¥³®nµ ´ Á nµ ´ Zs Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° x p > n@
f
¦ x > kN @G > n kN @ m o X e Z
DtFT
j
p
k f
1 N
N 1
¦ X e Z j
kZ s
k 0
(8.41)
£µ¡ ¸É 8.24  Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ¡ ªnµÁ¤ºÉ° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 2Zm à ¥ ¸É Zm º° ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ o ´ x > n@ Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p e jZ
³Á · µ¦ ´ o° ´ ¹É Á } ¨ εĮoÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ (aliasing) Á n Á ¸¥ª ´ ´ ¦ ¸ ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oª¥ ªµ¤ ¸É Zs 2Zm ´ª°¥nµ ¸É 8.3 ¡· µ¦ µ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¸É¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° X e jZ 0 宦´ 2S / 9 d Z d S ®µ°´ ¦µÅ ª· r®¦º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Éε» ¸ÉŤn εĮoÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ª· ¸ ε µ X e jZ ¸É ε® εĮo ¦µ ªnµ ªµ¤ ¸É¼ » ° ´ µ x > n@ º° ª· µ ¸ ´ ´Ê Ä µ¦®µ°´ ¦µÅ ª· r ·É ¦ ¸É o° ε º° µ¦®µ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ª ¸É¤¸ nµ o°¥» °µ«´¥ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Å oªnµ°´ ¦µÅ ª· r®µÅ o µ Zs
Zm N
Á¦Á ¸¥ n° ¸ÉÁ } Á¨ ε ª Á Ȥ 2S / 9
2S § 2S · t 2¨ ¸ N © 9 ¹ N d 9/2
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-23 299
X e jZ
Zm 0 Zm
2S
2S
Z
P e jZ 2S / N 2S
Z s
Zs
0
2S
Z
X p e jZ 1/ N
Z s Zm 0 Zm Z s Zs Zm
2S
2S
Z
X p e jZ 1/ N
Z s
2S
0
Zs
2S
Z
£µ¡ ¸É 8.24 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ à Á¤ ªµ¤ ¸É à ¥ ¸É ( ) Á ¦´¤ ° ´ µ o ´ X e jZ , ( ) Á ¦´¤ ° ª ´ µ °·¤¡´¨r P e jZ , ( ) Á ¦´¤ ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨ X p e jZ Á¤ºÉ° Zs ! 2Zm , ¨³ ( ) Á ¦´¤ ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨ X p e jZ Á¤ºÉ° Zs 2Zm
¹É ¦» Å oªnµ
N
4
´ ´Ê °´ ¦µÅ ª· r宦´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸Ê º° Zs
2S / N
S /2
Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸
8.4.2 µ¦¦oµ ´ µ ¸ÉŤn n° n°Á º°É µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ µ £µ¡ ¸É 8.24 oµ ªµ¤ ¸É ¸ÉÄ oÄ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ Zs t 2Zm ¨oª ´ µ o ´ x > n@ µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ¦oµ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤Å o µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x p > n @ à ¥ µ¦ ε o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸Ê nµ Á oµÅ Ä ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r hLP > n @ ¸É¤¸°´ ¦µ ¥µ¥Á nµ ´ N ¨³¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Á nµ ´ Zc ´É º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
300
hLP > n @
N sin Zc n
N Zc
Sn
S
sinc Zc n
(8.42)
N , Z d Zc ® ¯0, else
(8.43)
¹É ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°
H LP e jZ
§Z · N ¨ ¸ © Zc ¹
à ¥ ¸É´ µ Á°µ r¡» ° ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · xr > n @ ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ µ o ´ x > n@ È n°Á¤ºÉ° ªµ¤ ¸É ´ Zm d Zc d Zs Zm £µ¡ ¸É 8.25  ¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É ¼ ¦oµ Ä®o ¨´ º ¤µ xr > n @ ´ ´Ê Á¤ºÉ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ Á } Å µ¤ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Å oªnµÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É X r e jZ X e jZ ¹É εĮo¦» Å oªnµ xr > n@ x > n@ à ¥ ¸É´ µ xr > n @ ¤¸ nµÁ nµ ´ xr > n @
N Zc
x p > n @ hLP > n @
S
f
¦ x > kN @ sinc Z n kN
c
(8.44)
k f
³Á®È Å oªnµ ¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ Ä®o ¨´ º ¤µ µ¤¤ µ¦ (8.44) o° Ä oª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¹É ¦o µ Å o ¥ µ Ä µ · ´ · Á¡¦µ³ ³ ´Ê à ¥ ´É ª Å ³ Î µ µ¦ ¦³¤µ ª ¦ ¦° n µ ÉÎ µ °» ¤ · à ¥ °µ«´¥Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª Á¡ºÉ° ³Å o´ µ xr > n @ ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° xr > n @
f
¦ x > kN @ h > n kN @ r
(8.45)
k f
Á¤ºÉ° hr > n@ º° ¨ ° ° °·¤¡´¨r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ª ¦ ¦° µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª (interpolating filter) Á n ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r ®¦º°ª ¦ ¦° oµ °´ ´ ® ¹É Á } o
8.5 µ¦ ´ ´ª°¥nµ  ®¨µ¥°´ ¦µ Ä µ · ´ · µ¦ ¦³¤ª¨ ¨´ µ ° ¦³ nµ Ç ·¥¤Ä o°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling rate) ®¨µ¥Ç  (Á n £µ n ¨³£µ ¦´ ´ µ Ä o°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ nµ ´ ) ´Ê ¸ÊÁ ºÉ° ¤µ µ °» ¦ r · · ´¨ nµ ¤µ ¦ µ ³ ε µ ¸É°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ nµ ´ ° µ ¸Ê µ¦ ¦³¤ª¨ ¨´ µ à ¥Ä o µ¦ ´ ´ª°¥nµ  ®¨µ¥ °´ ¦µ (multi-rate sampling) ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Å o n ¦³ ¦ª¤µ¤µ¦ Ä o µ¦Â ¨ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥Á¨ ¸ÉŤnÁ } ε ª Á ȤŠo บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-25 301
p > n@ x > n@
x p > n@
H LP e jZ
xr > n @
X e jZ 1
( ) 2S
Zm 0 Zm
2S
Z
P e jZ 2S / N
( ) 2S
2S
0
Z
X p e jZ 1/ N
( ) 2S
Z s Zm 0 Zm Z s Z s Zm
2S
Z
H LP e jZ
N
( ) 2S
Zc
0
Zc
2S
Z
X r e jZ 1
( ) 2S
Zm 0 Zm
2S
Z
£µ¡ ¸É 8.25 ¦³ ª µ¦¦oµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xr > n@ Ä®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨
ª ¦ ¦°  ªµ¤ ¸É (narrowband filter) µ¤µ¦ ¦oµ Å o nµ¥Ã ¥°µ«´¥ ¦³ ª µ¦Á ·Á¤ ´ (decimation) ¨³ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ®¦º°°· Á °¦ráÁ¨ ´ (interpolation) µ¦Á ¨¸É¥ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ·¥¤ ε¤µÄ oÄ ¦³ ¸É o° Á¡·É¤Â rª· r (bandwidth) Á n µ¦ ε ®´ µ   n Áª¨µ (time-division multiplexing) Á } o ´ µ ¦ ª (noise) Ä ¥nµ ªµ¤ ¸ÉÁ¸¥ µ¤µ¦ εĮo¨ ¨ Å o oª¥ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á · ¦· ´ µ¦ ¦´ ¦¼ ¦nµ ° ´ µ ¦ ª (noise shaping) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
302
x t
f s1
A/D
x > n@
x > n@
w > n@
D/A fs 2
44.1 kHz
x t
8 kHz
£µ¡ ¸É 8.26 ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸ÄÉ oÄ ¦³ Á ¦ºÉ° Á¨n  n ¸ ¸Á¡¨
µ¦Ä o°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á · ¦· 3 (oversampling rate) ³ nª¥ εĮo o° ε® nµ Ç ° ª ¦ ¦° Á o¤ ª o°¥¨ Á n εĮoª ¦ ¦° nµ ÉÎµÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¸ÉÄ o¤¸ ªµ¤ ´ o°¥¨ (Ťn o° Á } ¦¼ ¸É Á ®¨¸É ¥ ¤) ´É º ° µ¤µ¦ Ä o ª ¦ ¦° °´ ´ ÉÎ µ Å o ¹É ¤¸ ¦ µ µ ¼ ¤µ ªn µ ª ¦ ¦° °´ ´ ¼ ¸É ¤¸ ªµ¤ ´ ¤µ ° µ ¸Ê¥´ εĮo ¦³ ª µ¦Â ¨ ´ µ ° ³¨È° Å Á } ´ µ · · ´¨ (A/D: analog-to-digital conversion) ¨³ ¦³ ª µ¦Â ¨ ´ µ · · ´¨Å Á } ´ µ ° ³¨È° (D/A: digital-to-analog conversion) ¤¸ ªµ¤Â¤n ¥ÎµÂ¨³ ¼ o° ¤µ ¹Ê
´ª°¥nµ ¸É 8.4 ¡· µ¦ µ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸ÉÄ oÄ ¦³ Á ¦ºÉ° Á¨n  n ¸ ¸Á¡¨ µ¤£µ¡ ¸É 8.26 ´É º° ´ µ Á¸¥ x t ³ ¼ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ªµ¤ ¸É f s1 = 44.1 kHz Å o°° ¤µÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n@ ¹É ³ ¼ n n°Á oµÅ ε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ µ °¥nµ n° ε µ¦Á ¸¥ o°¤¼¨¨ Å Ä Â n ¸ ¸ Ä µ¦Á¨n  n ¸ ¸ oª¥ Á ¦ºÉ° °¤¡·ªÁ °¦rnª » ¨ (PC: personal computer) o°¤¼¨Ä  n ¸ ¸ ³ ¼ ε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ µ °¥nµ Á¡ºÉ°Ä®oÅ o¤µÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n@ n° ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ªµ¤ ¸É f s 2 = 8 kHz µ ´Ê ¨Îµ ´ o°¤¼¨ w > n@ ¹ ¼  ¨ ¨´ Å Á } ´ µ Á¸¥ x t µ¤Á ·¤ ´ ´Ê ³Á®È Å oªnµ°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Á ¨¸É¥ Å Á } °´ ¦µnª ´ ¸Ê fs2 f s1
8192 44100
213 2 2 2
2357
211 2
2 2
357
2048 2
11025
¨nµª º°°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Á¡·É¤ ¹ Ê 2,048 Á nµ µ ´ Ê ¹ ε µ¦¨ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¨ 11,025 Á nµ µ ´ª°¥nµ ¸É 8.4 ¡ ªnµ µ¦Á ¨¸É¥ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³ o° Á } Á¨ ε ª Á ȤÁ¤° ¨³¤¸®¨´ µ¦ªnµ o° ε µ¦Á¡·É¤°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ n° Á¤° ¨oª ¹ n°¥ ε µ¦¨ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ 宦´ ¼o Ä µ¤µ¦ «¹ ¬µ¦µ¥¨³Á°¸¥ ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ  ®¨µ¥°´ ¦µÅ o ¸É [3, 4]
µ¦Ä o°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á · ¦· (oversampling rate) º° µ¦Á¡·É¤°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Ä®o¤µ ªnµ°´ ¦µÅ ª· r ´É º° Zs ! 2Zm ¹É ³ εĮoÅ o ε ª o°¤¼¨Â ¤Á d¨¤µ ªnµ ¸É o° µ¦Ã ¥ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ
3
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-27 303
8.6 ´ª°¥nµ µ¦ ε ª Ä nª ¸Ê ³Â ´ª°¥nµ µ¦ ε ª ¸ÁÉ ¸¥É ª o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 8.5 ¡· µ¦ µ¦³ Ä £µ¡ ¸É 8.21 Á¤ºÉ° ε® Ä®o´ µ °· ¡» xc t º°´ µ · r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º° sin S t / T
xc t
(8.46)
St
®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r hd > n@ ° ª ¦ ¦° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁ¡ºÉ° ε® oµ ¸ÉÁ } ª ¦° »¡´ r · · ´¨ (digital differentiator) ¹É ³ εĮoÅ o´ µ Á°µ r¡» ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° yc t
d xc t
dt
cos S t / T
Tt
sin S t / T
(8.47)
St2
ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 8.21 ¨³¤ µ¦ (8.46) ³Å oªnµ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n @
Á¤ºÉ° sin 0 / 0 ´ ´ ¸Ê
¨³ xc t º°
1/ T , n 0 1 G > n@ ® nz0 T ¯0,
xc nT
1 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¤ µ¦ (8.47) ³Å oªnµ¨Îµ ´ o°¤¼¨ yd > n @
yd > n @
xd > n @
yc nT
(8.48) ¨³
yc t
1 n ° , nz0 ® nT 2 °0, n 0 ¯
¤¸ ªµ¤´¤¡´ r
(8.49)
´ ´Ê Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (8.48) ¨³ (8.49) ³Å oªnµ ¨ ° ° °·¤¡´¨r hd > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ hd > n @
1 n ° , nz0 ® nT °0, n 0 ¯
(8.50)
CtFT CtFT o X 1 jZ ¨³ x2 t m o X 2 jZ º° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Á¤ºÉ° ´ª°¥nµ ¸É 8.6 ε® Ä®o x1 t m
X 1 jZ 0 , Z t Z1
(8.51)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
304
¨³ X 2 jZ 0 , Z t Z2
(8.52)
oµ ε´ µ y t x1 t x2 t Å nµ ª ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ (sampler) ®µ µ Áª¨µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¼ » T ¸É° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° Å ª· r ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° y t º° 1 ^ X1 jZ X 2 jZ ` 2S
Y jZ
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ µ ¤ µ¦ (8.51) ¨³ (8.52) εĮo¦» Å oªnµ Y jZ 0 , Z t Z1 Z2
´ ´Ê °´ ¦µÅ ª· r Î µ ®¦´ µ¦ ´ ´ ª °¥n µ ´ µ y t º ° Zs µ Áª¨µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¼ » ¤¸ nµÁ nµ ´ T
2S
S
Zs
Z1 Z2
2 Z1 Z2
Á¦Á ¸ ¥ n °ª· µ ¸ ¨³
´ª°¥nµ ¸É 8.7 ¡· µ¦ µ´ µ x t
§ sin 50S t · ¨ ¸ St © ¹
2
(8.53)
oµ o° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t ¸É¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ oª¥ ªµ¤ ¸É Zs 150S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á¡ºÉ°Ä®oÅ oÁ } ´ µ g t ¸É¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r G jZ ®µ nµ¼ » ° Z0 Á¡ºÉ°¦´ ¦³ ´ ªnµ G jZ 75 X jZ , Z d Z0
(8.54)
ª· ¸ ε µ ¼ ¦ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ¡´¨r¦¼ ¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸Éªnµ h t
sin Wt
St
§Z · CtFT m o H jZ ¨ ¸ ©W ¹
°1, ® °̄0,
Z W Z !W
(8.55)
¨³ µ » ¤ ´ · µ¦ ¼ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-29 305
H jZ
1
W
0
Z
W
=
H jZ
(convolution)
X jZ
1
W
1
W
0
Z
2W
0
2W
Z
( ) G jZ
75
50S
150S 100S
0
50S
Z
150S
100S
( ) £µ¡ ¸É 8.27 Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ( ) X jZ ¨³ ( ) G jZ
CtFT h t y t m o H jZ Y jZ
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (8.53) ¨³ (8.55) ³Å oªnµ W
50S
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t º°
2
x t
§ sin 50S t · CtFT o X jZ
¨ ¸ m S t © ¹
H jZ H jZ
à ¥ ¸ÉÁ ¦´¤ ªµ¤ ¸É X jZ ¤¸¨´ ¬ ³ µ¤£µ¡ ¸É 8.27 ( ) ´É º° ªµ¤ ¸É¼ » ° X jZ ¤¸ nµÁ nµ ´ 2W 100S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á ºÉ° µ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 150S ¹É ¤¸ nµ o°¥ ªnµ° Á nµ ° ªµ¤ ¸É¼ » ° X jZ
 ªnµ´ µ G jZ ¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡Á · ¹Ê ´ ´Ê µ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ³Å oªnµ G jZ
Á¤ºÉ° T
2S / Zs
1/ 75
¨³ Zs
150S
Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 8.27 ( ) ¹É ³Å oªnµ
G jZ
Á ¡µ³Ä nª ªµ¤ ¸É
Z d 50S
1 f ¦ X j Z kZ s
T k f
1 X jZ 75 X jZ
T
Á nµ ´Ê ´ ´Ê nµ¼ » ° Z0 º° Z0
50S
Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
306
´ª°¥nµ ¸É 8.8 ´ µ
xp t
¸ÉÅ o¦´ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É Zs / 2 à ¥ ¸É
§Z · x t cos ¨ s t I ¸ © 2 ¹
Á¤ºÉ° Zs
2S / T
¨³
xp t
f
¦ x nT G t nT
n f
º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ
) ®µ nµ g t ¸É εĮo x t
) Â ªnµ g nT
0
cos I cos Zs t / 2 g t
宦´ n
0, r1, r2,!
)  ªnµÁ¤ºÉ° ε´ µ x p t Å nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Zs / 2 ¨oª ³ εĮoÅ o Á } ´ µ y t cos I cos Zst / 2
ª· ¸ ε ) µ Á° ¨´ ¬ r ¦¸Ã ¤· · ³Å oªnµ §Z · §Z · §Z · x t cos ¨ s t I ¸ cos ¨ s t ¸ cos I sin ¨ s t ¸ sin I
© 2 ¹ © 2 ¹ © 2 ¹
´É º° g t
) Â nµ Zs
2S / T
¨³ t g nT
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ g nT
0
nT
§Z · sin ¨ s t ¸ sin I
© 2 ¹
¨ Ä ¤ µ¦ g t ³Å o
§ 2S sin ¨ nT ·¸ sin I
2 T © ¹
宦´ n
sin nS sin I
0, r1, r2,!
) µ o° ) ¨³ ) ³Å oªnµ xp t
f
n f
¯
½ § Zs · nT ¸ g nT ¾ 2 ¹ ¿
¦ G t nT ®cos I cos ¨© f
§ Zs · nT ¸ cos I
2 ¹
¦ G t nT cos ¨©
n f
´ ´Ê Á¤ºÉ° ε´ µ x p t Å nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Á nµ ´ Zs / 2 È ³Å oÁ } ´ µ y t cos I cos Zs t / 2
บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-31 307
8.7 ¦» oµ¥ Ä ¸Ê Å o ¨nµ ª ¹ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ ª °¥n µ ¹É ¤¸ ªµ¤Î µ ´ °¥n µ ¤µ Ä ¦³ ºÉ °µ¦ · · ´¨ Á ºÉ° µ ´ µ ¸Én ¤µ µ ª ¦£µ n ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ³ ¸É¦³ ¦³¤ª¨ ¨ ´ µ ¸Éª ¦£µ ¦´ Á }  · · ´¨ ´ ´Ê ´ µ ¸Éª ¦£µ ¦´ Å o¦´ ³ o° ¼ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ n° ¸É ³n ¨¨´¡ r ¸ÉÅ oŠε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â · · ´¨ ° µ ¸ÊÄ ¸Ê¥´ Å o° · µ¥ ¹ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤Îµ ´ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r
8.8  f ®´ oµ¥ 1) ´ µ x t 25sin 200S t ¼ ´ ´ª°¥nµ ªµ¤ ¸É 300 Á±·¦ r à ¥ ¸É ¤Á d¨Â¦ Á¦·É¤ ¸ÉÁª¨µ ¸É t 0 ®µ nµ °  ¤Á d¨ ¸É 1, 2, ¨³ 3 2) ®µ°´ ¦µÅ ª· r ¸É° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° ´ µ n°Å ¸Ê 2.1) x t
5cos 200S t
2.2) x t
2 cos 2000S t sin 4000S t
2.3) x t
3cos 500S t sin 500S t
2.4) x t
sin 2000S t
St
2.5) x t
§ sin 2000S t · ¨ ¸ St © ¹
2.6) x t
2sinc 5t
2
3) ε® Ä®o´ µ x t ¤¸°´ ¦µÅ ª· rÁ nµ ´ Z0 ®µ°´ ¦µÅ ª· r ° ´ µ n°Å ¸Ê 3.1) x t x t 2
3.2)
d x t
dt
3.3)
x2 t
3.4) x t sin Z0t
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
308
4) ´ µ x > n@ ¼ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ oª¥ ª ´ µ °·¤¡´¨r¨³Ä®o´ µ Á°µ r¡» Á } g > n@
f
¦ x > n@G > n kN @
k f
oµ ε® Ä®o X e jZ 0 宦´ 3S / 7 d Z d S ®µ nµ¼ » ° ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡Á · ¹Ê Ä ¦³®ªnµ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x > n@
N
5) ε® Ä®o o°¤¼¨ n°Å ¸ÊÁ } ¦· 宦´ ´ µ x > n@ ¨³Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É
¸É¥´ ¦´ ¦° Å oªnµ ³Å¤n¤¸
X e jZ
) x > n@ Á } ´ µ nµ ¦· )
X e jZ z 0
宦´ 0 Z S
) x > n@ ¦ fk f G > n 2k @
G > n@
®µ nµ´ µ x > n@ 6) ε® Ä®o´ µ x > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r x > n@
X e jZ
0
宦´ S / 3 d Z
dS
¡·¼ rªnµ
§ sin S n 3k / 3 · ¸ ¸ © S n 3k / 3 ¹
f
¦ x >3k @ ¨¨
k f
7) ε® Ä®o´ µ x > n@ ¨³Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É
¤¸ » ¤ ´ · ´ ¸Ê
X e jZ
f § · § sin S n / 5 · ¨ x > n @ ¦ G > n 5k @ ¸ ¨ S n / 5 ¸ k f © ¹ © ¹
x > n@
®µ nµ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ Z ¸É εĮo 8) oµ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x1 t 2e t ¨³ x2 t 2e t sin 8S t Ä nª Áª¨µ 3 t 3 ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ f s 8 Á±·¦ r  ªnµ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ ´Ê ° ¤¸ nµ Á nµ ´ ¡¦o°¤ ´Ê ¡·¼ r ε ° à ¥Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB 2
2
9) ªµ ¦¼ ´ µ ¸É nµ µ¦°· Á °¦ráÁ¨ ´ ¦³®ªnµ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ° ´ µ x t Ä nª Áª¨µ 1 t 1 à ¥Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r 9.1) x t
sin 2S t
¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ
fs
8
Á±·¦ r บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-33
309
¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ
9.2) x t
sin 4S t
9.3) x t
1, t 1 ® ¯0, else
9.4) x t
1 t , t 1 ® else ¯0,
16
Á±·¦ r
fs
8
Á±·¦ r
¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ
fs
fs
¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ
8
Á±·¦ r
10) Á ¸¥ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á¡ºÉ°ªµ ¦¼ ¦µ¢ ° ´ µ x t 3cos 20S t 2sin 30S t 宦´ 0 t 400 µÃ ª· µ ¸ µ ´Ê ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ µ x t Á¡ºÉ°Ä®oÅ oÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n @ oª¥ µ Áª¨µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Ts ª· µ ¸ ¡¦o°¤ ´Ê Á ¸¥ à ¦Â ¦¤Á¡ºÉ°¦oµ ´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ µ ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n@ Á¡ºÉ° ¼ªnµ µ Áª¨µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á nµÄ ¹ ³ εĮoÅ o´ µ ¸É¦oµ ¨´ º ¤µ¤¸¦¼ ¦nµ Á®¤º° ´ ´ µ o ´ Á¤ºÉ° ε® Ä®o ª· µ ¸
10.1)
Ts
1/120
10.2)
Ts
1/ 60
ª· µ ¸
10.3)
Ts
1/ 30
ª· µ ¸
10.4)
Ts
1/15
ª· µ ¸
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
310
¸É 9 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸É 6 Å o ĮoÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦  ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° e st Á¤ºÉ° s jZ Á } ε ª · £µ¡Â o °¥nµ Ŧ È µ¤ » ¤ ´ · nµ Ç ° ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction) ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 4.1 ¥´ µ¤µ¦ Ä oÅ o ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° e st Á¤ºÉ° s Á } Á¨ ε ª Á · o° Ä Ç ´ ´Ê Ä ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ ´ÉªÅ (generalization of CtFT) ¹É ¦¼o ´ ´ Ä ºÉ°ªnµ “ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ (Laplace transform)” [3, 4, 15] ¨³Ä ¸É 10 ³Â µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ ´ÉªÅ (generalization of DtFT) ¹É ¦¼o ´ ´ Ä ºÉ°ªnµ “ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform)” [3, 4] µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ µ¦Â ¨ ¸¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ Á ºÉ° µ ¤¸ » ¤ ´ · nµ Ç ¤µ ¤µ¥ ¸É nµ Ä Á n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ µ¦Â ¨ ¸µ¤µ¦ ε¤µÄ o®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (¦³ LTI), Ä o¡· µ¦ µ ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ LTI, ¨³ Ä oª·Á ¦µ³®r¡§ · ¦¦¤ ° ¦³ j° ¨´ (feedback system) Á } o
9.1 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ·¥µ¤Ã ¥ f
X s
³ x t e
st
dt
(9.1)
f
à ¥ ¸É s V jZ Á } Á¨ ε ª Á · o° Ä Ç Á¤ºÉ° V ¨³ Z Á } nª ¦· ¨³nª · £µ¡ ° Á¨ ε ª Á · o° s ¨³Ä ¦ ¸ ¸É s jZ ³Å oªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ä ¤ µ¦ (9.1) ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º°
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 311
9-1
f
X s s
jZ
³ x t e
jZt
X jZ F ª¬ x t º¼
dt
(9.2)
f
¨³Á¡ºÉ°Ä®o³ ª n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³Ä o´ ¨´ ¬ r X s L ª¬ x t º¼
(9.3)
x t L 1 ª¬ X s º¼
(9.4)
¨³
Á¤ºÉ° L > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ L 1 > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ¹É ³° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 9.3 ° µ ¸Ê¥´ Ä o´ ¨´ ¬ r L x t m o X s
(9.5)
 ªµ¤´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¦³®ªnµ x t ¨³ X s
µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¥´ ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹ ¤oªnµ ´ªÂ ¦ ³Å¤nÅ oÁ } ε ª · £µ¡Â o ´É º° oµÂ nµ s V jZ Á oµÅ Ä ¤ µ¦ (9.1) ³Å o f
X V jZ
³
x t e V jZ t dt
f
s
f
V ³ ^x t e ` e t
jZt
dt
f
F ª¬ x t e V t º¼
(9.6)
´ ´Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ x t
¸É ¼ ¼ oª¥´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ e V t Á¤ºÉ° V Á } Á¨ ε ª ¦· Ä Ç ´ª°¥nµ ¸É 9.1 Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t e at u t Á¤ºÉ° a ! 0 ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 6.1 ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ x t ¸Ê¤¸ nµÁ nµ ´ X jZ
f
f
at jZt ³ e u t e dt
³e
f
at jZt
e
dt
0
1 a jZ
,
a!0
(9.7)
宦´ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (9.1) ´É º° X s
f
f
at st ³ e u t e dt
³e
f
9-2
at st
e dt
(9.8)
0
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
312
 nµ s
V jZ
¨ Ä ¤ µ¦ (9.8) ³Å o f
X V jZ
at ³e e
V jZ t
f
dt
0
³e
V a t jZt
e
dt
(9.9)
0
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (9.7) ¨³ (9.9) ¡ ªnµ X V jZ
Á ºÉ° µ s
V jZ
¨³ V
Re ^s`
1 , V a jZ
V a ! 0
(9.10)
³Å o
X s
´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t
1 , Re ^s` ! a s a e at u t
L e at u t m o
(9.11)
Á¤ºÉ° a ! 0 º°
1 , Re ^s` ! a s a
(9.12)
¹ ¤oªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä µ · ´ · ¡ ªnµ´ µ µ ´ µ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o ( ´É º° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ´ µ ´Ê ¤¸ nµ¨¼n°° )  n°µ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Å o ¨nµª º° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ °µ ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ (converge) 宦´ µ nµ ° Re ^s` Á n ´ª°¥nµ ¸É 9.1  ĮoÁ®È ªnµ´ µ x t e at u t Á¤ºÉ° a ! 0 µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µÂ¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Å o à ¥ ¸É µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ n µ ¨¼n Á o µ Á ¡µ³ ¦· Á ª ¸É V Re ^s` ! a ° µ ¸Ê Ä ¦ ¸ ¸É x t e at u t ¨³ a 0 ³¡ ªnµ´ µ ¸ÊŤnµ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o  n¥´ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Å o ´ª°¥nµ ¸É 9.2 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t
e at u t
Á¤ºÉ° a ! 0
ª· ¸ ε ´ µ x t ¸ÊŤnµ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o Á ºÉ° µ x t f Á¤ºÉ° t ´ µ x t ¸Ê¥´ µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Å o µ ¤ µ¦ (9.1) ´ ¸Ê f
X s
³ ^ e
at
`
u t e st dt
f
à ¥ ¸É X s ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° ´ µ ¸Ê º°
0
f
Re ^s a` 0
0
³ e at e st dt
¹É ³Å oªnµ
³ e s a t dt f
Re ^s` a
f
°¥nµ Ŧ È µ¤
1 s a
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ
313
9-3
Im
Im
Re
a
a
Re ^s` ! a
Re ^s` a
Re
£µ¡ ¸É 9.1 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ 宦´ ROC nµ Ç X s
1 , Re ^s` a s a
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t
L e at u t m o
e at u t
(9.13)
Á¤ºÉ° a ! 0 º°
1 , Re ^s` a s a
(9.14)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (9.11) ¨³ (9.13) ¡ ªnµ´ µ ° ´ µ ¸É nµ ´  n¤¸ ·¡ r¡¸ · 1 (algebraic expression) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s Á®¤º° ´ °¥nµ Ŧ È µ¤·É ¸É nµ ´ º° ¦·Áª ¸É X s ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ ´É º° X s Ä ¤ µ¦ (9.11) ³¨¼nÁ oµÄ ¦·Áª Re ^s` ! a ¨³ X s Ä ¤ µ¦ (9.13) ³¨¼nÁ oµÄ ¦·Áª Re ^s` a ´ ´Ê Ä µ · ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³ o° ¼ ε® oª¥ ·¡ r ¡¸ · ¨³ ¦· Á ª n µ ° s ¸É Î µ Ä®o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ n µ ¨¼n Á o µ à ¥ ¦· Á ª ¸É Î µ Ä®o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ ³Á¦¸¥ ªnµ “ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC: region of convergence)” Ä µ · ´ · ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ³Â Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¦³ µ Á · o° ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “¦³ µ s (s–plane)” à ¥ ¸ÉÁo  x ³Á¦¸¥ ªnµ “Áo  V ” ¹É  nª ¦· ° ´ªÂ ¦ s ( ´É º° Re ^s` ) ¨³ Áo  y ³Á¦¸¥ ªnµ “Áo  jZ ” ¹É  nª · £µ¡ ° ´ªÂ ¦ s ( ´É º° Im ^s` ) ´ª°¥nµ Á n £µ¡ ¸É 9.1 ( )  ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° X s ( ´É º° ¦·Áª ¸É¦Á µÁ } ¸Á µ) Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.1 Á¤ºÉ° Re ^s` ! a ¨³£µ¡ ¸É 9.1 ( )  ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° X s Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.2 Á¤ºÉ° Re ^s` a 1
·¡ r¡¸ · ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s ®¤µ¥ ¹ ¦¼ ¤ µ¦ · «µ ¦r ° X s ´É Á°
9-4
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
314
Â&#x2DC;´ª°¼nÂľÂ&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 9.3 Â&#x2039;Â&#x160;ÂŽÂľÂ&#x;¨Â&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;¨¾Â&#x17E;¨¾Â&#x17D;Â&#x2026;°Â&#x160;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x t
2e 3t u t e t cos 3t u t
ª¡Â&#x203A;¸Â&#x161;Ă&#x17D;Âľ Â&#x2039;ÂľÂ&#x201E;Â&#x2021;ª¾¤Â´¤¥´Â&#x153;Â&#x203A;r°°¼rà ¨°Œr (Eulerâ&#x20AC;&#x2122;s relation) Â&#x161;¸Ă&#x2030;ÂŞnÂľ cos 3t
¾¤¾ŒÂ&#x2122;Ă Â&#x2026;¸¼Â&#x153;Ă&#x2026;Â&#x2014;oĂ Â&#x17E;}Â&#x153;
^e
j 3t
` Â&#x2014;´Â&#x160;Â&#x153;´Ă&#x160;Â&#x153;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x t
e j 3t / 2
 3t 1 1 3 j t 1 1 3 j t ½ e Ž2e e ž u t
2 2 ÂŻ Âż
x t
(9.15)
Ă&#x201A;¨³Â&#x;¨Â&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;¨¾Â&#x17E;¨¾Â&#x17D;Â&#x2026;°Â&#x160; x t Â&#x2021;º° f
X s
Â
Âł ÂŽÂŻ2e
f
3t
1 1 3 j t 1 1 3 j t ½ e e ž u t e st dt 2 2 ¿
f
f
2 Âł e 3t e st dt 0
f
2Âł e
s 3 t
f
dt
0
e
e
1 3 j t
1 3 j t
1 , Re ^s` ! 3 s 3
1 , Re ^s` ! 1 u t m o s 1 3 j
L
L u t m o
1 , Re ^s` ! 1 s 1 3 j
Â&#x2014;´Â&#x160;Â&#x153;´Ă&#x160;Â&#x153;Â&#x;¨Â&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;¨¾Â&#x17E;¨¾Â&#x17D;Â&#x2026;°Â&#x160; x t ¤¸Â&#x2021;n¾à Â&#x161;nÂľÂ&#x201E;´Â? X s
¡ 1§ ¡ 2 1§ 1 1 ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸ s 3 2 Š s 1 3 j š 2 Š s 1 3 j ¸š 3s 2 8s 23 s 3 s 1 3 j s 1 3 j
f
1 s 1 3 j
t 1 s 1 3 j t e dt Âł e dt Âł 20 20
°¾´¼Â¤Â&#x201E;¾Œ (9.12) Â&#x2039;ÂłĂ&#x2026;Â&#x2014;oÂŞnÂľ L e 3t u t m o
f
1 1 3 j t st 1 1 3 j t e e dt Âł e e st dt Âł 20 20
SCILAB: -->s = poly(0, 's'); -->A = 2/(s+3) + 0.5/(s+1-3*%i); -->Xs = A + 0.5/(s+1+3*%i) Xs = 2 23 + 8s + 3s -----------------2 3 30 + 16s + 5s + s -->Zero = roots(numer(Xs)) Zero = - 1.3333333 - 2.4267033i - 1.3333333 + 2.4267033i -->Pole = clean(roots(denom(Xs))) Pole = - 1. + 3.i - 3. - 1. - 3.i
3s 2 8s 23 , Re ^s` ! 1 s 3 5s 2 16 s 30
(9.16) ŕ¸&#x161;ŕ¸&#x2014;ŕ¸&#x2014;฾ŕš&#x2C6; 9 ภาร๠ŕ¸&#x203A;฼ŕ¸&#x2021;฼าŕ¸&#x203A;฼าŕ¸&#x2039;
315
9-5
Im 3 2 1
3
Re
2 1
1 2 3
£µ¡ ¸É 9.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµÂ¨³ ε ° ° X s Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.3 SCILAB:
-->s
(£µ¡ ¸É 9.2)
= poly(0, 's');
-->Xs = (3*s^2 + 8*s + 23)/(s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30); -->h = syslin('c', Xs);
// ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ä ¤ µ¦ (9.16)
-->plzr(h);
//£µ¡ ¸É 9.2
´ª°¥nµ ¸É 9.3  ĮoÁ®È ªnµÃ ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° “¢{ r ´ ¦¦ ¥³ (rational function)” ¹É ¤¸¨´ ¬ ³Á } Á«¬nª ° ¡®» µ¤ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ´ªÂ ¦ s ´É º° X s
N s
D s
à ¥ ¸É N s ¨³ D s º°¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ (numerator polynomial) ¨³¡®» µ¤ ´ªnª (denominator polynomial) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s ° µ ¸Ê ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ¨³ ε ° (roots) ° N s ¨³ D s ¥´ µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦° · µ¥ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s Å o ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³Â ε ° Á®¨nµ ¸ÊÄ ¦³ µ s à ¥ ¸É ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ N s  oª¥´ ¨´ ¬ r “ 9 ” ¨³ ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªnª D s  oª¥´ ¨´ ¬ r “ u ” £µ¡ ¸É 9.2  ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµÂ¨³ ε ° ° X s
Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.3 Á¤ºÉ° ε ° ° N s Ä ¤ µ¦ (9.16) ®µÅ o µ µ¦Â o¤ µ¦ 3s 2 8s 23 0 ¹É ³ Å o s 1.33 r 2.4267 j Ä µ · ´ · ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ N s Á¦¸¥ ªnµ “ ¸Ã¦ (zero)” Á ºÉ° µ ε ° Á®¨nµ ¸Ê ³ εĮo X s 0 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªnª D s Á¦¸¥ ªnµ “ᨠ(pole)” Á ºÉ° µ ε ° Á®¨nµ ¸Ê ³ εĮo X s f ° µ ¸Ê µ¦Â ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s à ¥Ä oá¨Â¨³ ¸Ã¦Ä ¦³ µ s ³Á¦¸¥ ªnµ “ £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ (pole–zero plot)” ° X s ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s µ¤µ¦ 9-6
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
316
ε® Å o 2 ¦¼  º° µ¦Ä o ·¡ r¡¸ · ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ®¦º° µ¦Ä o ·¡ r¡¸ · ¨³Â £µ¡ ᨠ¸Ã¦ Ä ¦ ¸ ¸É¦³ ´ ´Ê (degree) ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬¤¸ nµ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª X s ³¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ rÁ¤ºÉ° s ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ r ¨³Ä µ ¨´ ´ oµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª ¤¸ nµ ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ X s È ³¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ«¼ ¥rÁ¤ºÉ° s ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ r ° µ ¸Ê oµ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬¤¸ nµ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª Á } ε ª k ¦³ ´ ³Å oªnµ X s
¤¸Ã¡¨ k ´ª ¸É nµ° ´ r ¨³ oµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª ¤¸ nµ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Á } ε ª k ¦³ ´ ³Å oªnµ X s ¤¸ ¸Ã¦ k ´ª ¸É nµ° ´ r ´ª°¥nµ ¸É 9.4 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ 4 1 x t G t e t u t e 2t u t
3 3
(9.17)
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ¡ r ¸É° ¨³µ¤ µ oµ ªµ¤º° ° ¤ µ¦ (9.17) ®µÅ o µ µ¦Ä o ¤ µ¦ (9.12) ´É º° L e t u t m o
1 , Re ^s` ! 1 s 1
L e 2t u t m o
1 , Re ^s` ! 2 s 2
宦´ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ Å Â¦È Á ¨ µ G t ®µÅ oà ¥ f
L ¬ªG t ¼º
³ G t e
st
dt 1
f
宦´ » nµ s ´É º° ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) º° ´Ê ¦³ µ s ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t
Ä ¤ µ¦ (9.17) º° X s
4§ 1 · 1§ 1 · 1 ¨ ¸ ¨ ¸ 3 © s 1 ¹ 3 © s 2 ¹
2
s 1 , s 1 s 2
Re ^s` ! 2
(9.18)
Á¤ºÉ° Re ^s` ! 2 º° ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¸É εĮo ´Ê µ¤¡ r µ oµ ªµ¤º° ° ¤ µ¦ (9.17) ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ Á ºÉ° µ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Â¨³ ´ªnª ° X s ¤¸ nµÁ nµ ´ Á¡¦µ³ ³ ´Ê X s ¹ Ťn¤¸Ã¡¨Â¨³ ¸Ã¦ ¸É nµ° ´ r £µ¡ ¸É 9.3   £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t ¹É ³Á®È Å oªnµ¤¸ ¸Ã¦ บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 317
9-7
Im
1
1
2
Re
£µ¡ ¸É 9.3  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ´ª°¥nµ ¸É 9.4
° ´ª ¸É s 1 à ¥ ´ÉªÅ εªnµ “°´ ´ (order)” ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ³ ¼ Ä o ε ª á¨Â¨³ ¸Ã¦ ε® n Ä Ç Ä ¦³ µ s Á n  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Ä £µ¡ ¸É 9.3 ¤¸ ¸Ã¦°´ ´ ° ¸É s 1 ¨³¤¸Ã¡¨°´ ´ ® ¹É 2 ´ª ¸É s 1 ¨³ s 2 µ ¸É ¨nµª¤µ oµ o Ä ¦ ¸ ¸É s jZ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ  n oµ ROC ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ťn ¦° ¨»¤Áo  y ®¦º°Áo  jZ ¨oª µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ È ³¤¸ nµÅ¤n¨¼nÁ oµ ¹É ° ¨o° ´ ´ª°¥nµ ¸É 9.4 ¨nµª º°¢{ r ´ 1/ 3 e2t u t
Ä ¡ r ¸Éµ¤ µ oµ ªµ¤º° ° ¤ µ¦ (9.17) Ťnµ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o Á¡¦µ³ªnµ¢{ r ´ ¸Ê¤¸ nµÅ¤n ε ´ (unbound) Á¤ºÉ° t ¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê
9.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ª°¥nµ ¸É 9.1 ¨³ 9.2 Å o ĮoÁ®È ªnµ´ µ ¸É nµ ´ ° ´ µ µ¤µ¦ ¤¸ ·¡ r¡¸ · (®¦º°¦¼ ¤ µ¦) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Á®¤º° ´ Å o  n¤¸ ROC nµ ´ ´ ´Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³ o° ¼ ε® oª¥ ·¡ r¡¸ · ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â » ¤ ´ · ɸ ε ´ ° ROC ¹É nª¥ εĮoÁ oµÄ ¹ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ x t ¨³ X s ¤µ ¹Ê » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° ROC ¤¸ ´ n°Å ¸Ê 1. ROC ° X s ¤¸¨´ ¬ ³Á }  ¸É µ ´ Áo  jZ (®¦º°Áo  y ) Ä ¦³ µ s ¹É ³ ´ Á Á®È Å oÄ £µ¡ ¸É 9.1 ¹ £µ¡ ¸É 9.3 2. oµ X s ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ 2.1) ROC ³ o° Ťn¤¸Ã¡¨ ¦¦ »°¥¼n£µ¥Ä 2.2) ROC ³ ¼ ε® ° Á à ¥Ã¡¨ ®¦º° ¥µ¥Å ¹ nµ° ´ r 9-8
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
318
3. oµ´ µ x t ¤¸ nª Áª¨µ ε ´ ¨³µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ´¤ ¼¦ r (absolutely integrable) ROC º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ s 4. oµ x t Á } ´ µ {~ ªµ (right-sided signal) ¨³ oµÁo ¦ Re ^s` V R °¥¼nÄ ROC ¨oª » nµ s ¸É Re ^s` ! V R ³°¥¼nÄ ROC oª¥ 5. oµ x t Á } ´ µ {~ oµ¥ (left-sided signal) ¨³ oµÁo ¦ Re ^s` V L °¥¼nÄ ROC ¨oª » nµ s ¸É Re ^s` V L ³°¥¼nÄ ROC oª¥ 6. oµ x t Á } ´ µ ° {~ (two-sided signal) ¨³ oµÁo ¦ Re ^s` V 0 °¥¼nÄ ROC ¨oª ROC ³ ¦³ ° Å oª¥Â ¸É µ ´ Áo  jZ ¹É ³¦ª¤Áo ¦ Re ^s` V 0 ¸Ê oª¥ 7. 宦´ X s ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ 7.1) oµ x t Á } ´ µ {~ ªµ ROC º° ¦·Áª µ oµ ªµ¤º° ´Ê ®¤ Ä ¦³ µ s ´Ê  nᨠ¸É°¥¼n oµ ªµ» 7.2) oµ x t Á } ´ µ {~ oµ¥ ROC º° ¦·Áª µ oµ oµ¥¤º° ´Ê ®¤ Ä ¦³ µ s ´Ê  nᨠ¸É°¥¼n oµ oµ¥» ´ª°¥nµ ¸É 9.5  ªnµ´ µ x t
e at , 0 t T ® else ¯0,
(9.19)
¤¸ ROC Á } ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ s ª· ¸ ε
¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s ®µÅ o µ X s
T
T
at st ³ e e dt
³e
0
s a t
dt
0
1 ª s a T 1 e º¼ s a ¬
(9.20)
Á ºÉ° µ x t Á } ´ µ ¸É¤¸ nª Áª¨µ ε ´ ¨³µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ´¤ ¼¦ r ´ ´Ê µ » ¤ ´ · o° ¸É 3 ° ROC ³Å oªnµ ROC º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ s ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¦³ µ s o° Ťn¤¸Ã¡¨Ä Ç °¥nµ Ŧ È µ¤¤ µ¦ (9.20) ¼Á®¤º° ³¤¸Ã¡¨ ¸É s a ´ ´Ê oµ ε µ¦ª·Á ¦µ³®r nµ X s ¸É » s a à ¥°µ«´¥ ° è d µ¨ (L’hopital’s rule) ³Å oªnµ lim X s
s o a
ªd s a T « ds 1 e lim « s o a d « s a
¬ ds
º»
» » ¼
lim ª¬Te aT e sT º¼
s o a
lim ª¬Te s a T º¼
s o a
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 319
9-9
´ ´Ê X a Te a a T
Te0
Á ºÉ° µ X a z f ¹ ¦» Å oªnµ ROC Ťn¤¸Ã¡¨ ¸É » s
T
(9.21)
a
´ª°¥nµ ¸É 9.6 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t
e b t
Á¤ºÉ° b ! 0
ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x t Á } ´ µ ° {~ µ¤£µ¡ ¸É 9.4 ( ) ¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ´ µ {~ oµ¥Â¨³´ µ {~ ªµÅ o º° x t e bt u t e bt u t
µ ¤ µ¦ (9.12) Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.1 ¨³¤ µ¦ (9.14) Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.2 ³Å oªnµ L e bt u t m o
1 , Re ^s` ! b s b
L e bt u t m o
1 , Re ^s` b s b
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x t º° X s
1 1 s b s b
£µ¡ ¸É 9.4 ( )   £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° » ¤ ´ · o° ¸É 6 ° ROC
2b , b Re ^s` b s b s b
X s
à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª
b Re ^s` b
¹É ° ¨o° ´
9.3 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ¤ µ¦ (9.6)  ĮoÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ x t ®¨´ µ µ¦ ¼ oª¥´ µ e V t Á¤ºÉ° V Á } Á¨ ε ª ¦· ¨nµª º° f
X s s
V jZ
X V jZ
³
x t e V jZ t dt
f
f
V ³ ^x t e ` e t
f
jZt
dt
F ª¬ x t e V t º¼
(9.22)
宦´ nµ ° s V jZ Ä ROC ´ ´Ê µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ (inverse Laplace transform) ³°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ´É º° µ ¤ µ¦ (9.22) ³Å oªnµ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
320
e
1
Im
b t
b!0
e
b
b t
Re
b 0
1
£µ¡ ¸É 9.4 ( ) ¦¼ ¦nµ ° ´ µ x t
x t e V t
b
e
Á¤ºÉ° b ! 0 ¨³ b 0 ¨³ ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° X s
b t
1 2S
F 1 ª¬ X V jZ º¼
f
³ X V jZ e
jZt
dZ
(9.23)
f
¼ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (9.23) oª¥ eV t ³Å o x t
 nµ s
V jZ
¨³ ds
jd Z
1 2S
f
³ X V jZ e
V jZ t
dZ
(9.24)
f
¨ Ä ¤ µ¦ (9.24) ³Å o x t
1 V jf X s e st ds 2S j ³V jf
(9.25)
´É º°´ µ x t µ¤µ¦ ®µ µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s 宦´ Á ° nµ s V jZ Ä ROC à ¥ ¸É ¦·¡´ r µ¤Áo ¦° ° (contour integral) Ä ¤ µ¦ (9.25) º°Áo ¦ Ä Ç ¸É µ ´ Áo  jZ ¹É ° ¨o° ´ Re ^s` V ¨³¤¸ ¨ εĮo X V jZ ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ à ¥ ´ÉªÅ µ¦®µ ¦·¡´ r µ¤Áo ¦° ° ° ¤ µ¦ (9.25) à ¥ ¦ n° oµ ´ o° °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä ¦ ¸ ¸É ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ³Á¦·É¤ µ µ¦Ä oÁ · µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ (partial-fraction expansion) Á¡ºÉ° ´ ¦¼ ° X s Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo ´É º° X s
m
Ai ½
i 1
¯
¦®s a ¾ i
(9.26)
¿
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-11 321
Á¤ºÉ° Ai ¨³ ai º° nµ ´ª µ ´Ê ¹ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ °  n¨³¡ r (9.26) µ¤ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o ¨nµª º°
Ai / s ai
oµ ROC º° ¦·Áª Re ^s` ! ai ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ º°
oµ ROC º° ¦·Áª Re ^s` ai ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ º° Ai e a t u t
Ä ¤ µ¦
Ai e ait u t
i
´ ´Ê ´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤Á · Áo ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ °  n¨³¡ r
Ai / s ai
´ª°¥nµ ¸É 9.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° 1
X s
(9.27)
s 1 s 2
Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É )
)
Re ^s` ! 1
)
Re ^s` 2
2 Re ^s` 1
ª· ¸ ε °µ«´¥Á · µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ° X s Ä ¤ µ¦ (9.27) ³Å oªnµ 1
X s
à ¥ ¸É
A
¨³ A
B
s 1 s 2
B
SCILAB:
A B s 1 s 2
-->s -->Xs -->h -->F F =
®µÅ o µ
ª¬ s 1 X s º¼ s ª¬ s 2 X s º¼ s
1 1
2
s 2 s 1 s 1 s
1 1 1 2
1
1 2 1
2
1
Á¡¦µ³ ³ ´Ê X s
1
s 1 s 2
= = = =
poly(0, 's'); 1/((s+1)*(s+2)); syslin('c',Xs); pfss(h)
F(1) 1 ----1 + s F(2) - 1 ----2 + s
1 1 s 1 s 2
(9.28)
Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° X s ³ ¹Ê °¥¼n ´ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o Á¡¦µ³ ³ ´Ê ) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É Re ^s` ! 1 µ ¤ µ¦ (9.12) ³Å oªnµ L e t u t m o
1 , Re ^s` ! 1 s 1
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
322
L e 2t u t m o
1 , Re ^s` ! 2 s 2
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° X s Á¤ºÉ° Re ^s` ! 1 ¤¸ nµÁ nµ ´
^e
x t
e 2t ` u t
t
(9.29)
) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É Re ^s` 2 µ ¤ µ¦ (9.14) ³Å oªnµ L e t u t m o
1 , Re ^s` 1 s 1
L e 2t u t m o
1 , Re ^s` 2 s 2
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° X s Á¤ºÉ° Re ^s` 2 ¤¸ nµÁ nµ ´
^ e
x t
t
e 2t ` u t
(9.30)
) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É 2 Re ^s` 1 ³Å oªnµ L e t u t m o
L e 2t u t m o
1 , Re ^s` 1 s 1
1 , Re ^s` ! 2 s 2
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° X s Á¤ºÉ° 2 Re ^s` 1 ¤¸ nµÁ nµ ´ x t
e t u t e 2t u t
(9.31)
µ o° ( ) – ( ) ¡ ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ³Ä®o ¨¨´¡ r nµ ´ à ¥ ¹Ê °¥¼n ´ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o
9.4 » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸Éε ´ ¹É ³¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r à ¥Á¤ºÉ° ¼o°nµ Á oµÄ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨oª È ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° ¢{ r ´ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-13 323
9.4.1 » ¤ ´ ·Á · Áo L L o X s 宦´ ROC = R1 ¨³ y t m o Y s 宦´ ROC = ε® Ä®o x t m Á · Áo ° ´ µ x t ¨³ y t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° L ax t by t m o aX s bY s ,
ROC =
R2
´ ´Ê ¨¦ª¤
R1 R2
(9.32)
Á¤ºÉ° a ¨³ b Á } nµ ´ªÄ Ç Â¨³ ROC º° ¦·Áª ¸ÉÁ } nª ¦nª¤ ´ (overlap) ¦³®ªnµ ¦·Áª µ¤ ´ª°¥nµ ¸É 9.7
R1
¨³ R2
9.4.2 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ L o X s Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê x t t0 º°´ µ x t ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time ε® Ä®o x t m shifting) Á } ε ª t0 ® nª¥ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° L x t t0 m o X s e st0 ,
ROC =
R
(9.33)
à ¥¡·¼ rÅ o µ x t
1
V jf
2S j ³V
jf
X s e st ds
 nµ t oª¥ t t0 ³Å o x t t0
1
V jf
2S j ³V
jf
X s e
s t t0
ds
1
V jf
^X s e `e 2S j ³V jf
st0
st
ds
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x t t0 º° L ª¬ x t t0 º¼
e st0 X s
9.4.3 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ S L o X s Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ s ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° ε® Ä®o x t m
L e s0t x t m o X s s0 ,
ROC = R Re ^s0 `
(9.34)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ oµ X s ¤¸Ã¡¨®¦º° ¸Ã¦ ¸É » s a ¨oª X s s0 ³¤¸Ã¡¨®¦º° ¸Ã¦ ¸É » s s0 ®¦º° s a s0 £µ¡ ¸É 9.5  ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ROC ° X s ¨³ X s s0
a
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
324
Im
Im
r1 Re ^s0 `
r1
r2 Re ^s0 `
Re
r2
Re
£µ¡ ¸É 9.5 ´ª°¥nµ ROC ° ( ) X s ¨³ ( ) X s s0
9.4.4 » ¤ ´ · µ¦Á ¨ µ Áª¨µ L o X s Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x t m x D t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°
L o x D t m
R
´ ´Ê ´ µ ¸É ¼ Á ¨ µ Áª¨µ (time scaling) ´É º°
§s· X¨ ¸, D ©D ¹
1
R1 D R
ROC =
(9.35)
Á¤ºÉ° D Á } nµ ´ª ¹É ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê Á ºÉ° µ f
L ¬ª x D t ¼º
³ x D t e
st
dt
f
 nµ W D t ³Å oªnµ L ª¬ x W º¼
1 f s / D W dW , D !0 ° ³ x W e D ° f ® f ° 1 x W e s / D W dW , D 0 ° D ³
¯ f
´ ´Ê ¦» Å oªnµ L ¬ª x D t ¼º
1
D
§s· X¨ ¸ ©D ¹
¤ µ¦ (9.35)  ĮoÁ®È ªnµ Á¤ºÉ° D ! 1 ROC ° L ª¬ x D t º¼ ³ ¼ ¥µ¥Ä®oÄ® n ¹Ê Á } ε ª D Á nµ Ä ³ ¸É oµ 0 D 1 ROC ° L ª¬ x D t º¼ ³ ¼ ¸ Ä®oÁ¨È ¨ Á } ε ª D Á nµ µ¤£µ¡ ¸É 9.6 บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-15 325
Im
r1
Im
Im
r2
Re
D r1
D r2
Re
D r1
D r2
Re
£µ¡ ¸É 9.6 ( ) ROC ° X s ¨³ ROC ° 1/ D X s / D Á¤ºÉ° ( ) D ! 1 ¨³ ( ) 0 D 1
°¥nµ Ŧ È µ¤Ä ¦ ¸ ¸É D ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°
1 ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ³Á } µ¦¡´ ´ µ ®¦º° µ¦ ¨´ oµ ° ´ µ
L x t m o X s ,
ROC = R
(9.36)
¨nµª º° µ¦¡´ ´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ³n ¨ εĮo´ µ Ä Ã Á¤ s ¨³ ROC ¼ ¨´ oµ oª¥Á n ´
9.4.5 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» L o X s Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê ε® Ä®o x t m ´ µ x t à ¥¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°
x t
L x t m o X s ,
º° nµ´ ¥» Á · o° (complex conjugate) °
ROC = R
(9.37)
¨³Ä ¦ ¸ ¸É ´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å oªnµ X s
X s
(9.38)
9.4.6 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ L L o X s Á¤ºÉ° ROC = R1 ¨³ y t m o Y s Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x t m (convolution) ¦³®ªnµ ´ µ x t ¨³ y t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°
L x t y t m o X s Y s ,
ROC = R1 R2
R2
µ¦ ε ° ꨼ ´
(9.39)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
326
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) ¨nµª º° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ³¤¸ nµ Á ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ¼ ´ Ä Ã Á¤ s ¹É ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê ¡·¼ r ε® Ä®o z t
x t y t
³Å oªnµ f
z t
³ x t W y W dW
f
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° z t º° f
L ª¬ z t º¼
ªf º st ³ f «¬ f³ x t W y W dW »¼ e dt f
ªf º st x t W e dt
« ³ y W dW » ³ f ¬ f ¼ ªf º X s e sW « ³ y W dW » ¬ f ¼ ªf º X s « ³ y W e sW dW » ¬ f ¼
X s Y s
L o X s Y s µ¤ ¸É o° µ¦ ´ ´Ê ³Å oªnµ x t y t m
. .¡.
¤ µ¦ (9.39) εĮo ¦µ ªnµ ROC ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s Y s º° ¦·Áª ¸ÉÁ } nª ¦nª¤ ¦³®ªnµ ROC ° X s ¨³ Y s ¹É °µ ¤¸ ¨ εĮo ROC ¤¸ ªµ¤ ªoµ ¤µ ¹Ê oµÁ · µ¦ ´ °° ° ᨠ¨³ ¸Ã¦ (zero-pole cancellation) Ä X s Y s
´ª°¥nµ ¸É 9.8 ε® Ä®o X s
s 1 s 2
宦´ Re ^s` ! 2 ¨³ Y s
s 2 s 1
宦´ Re ^s` ! 1
®µ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° ¨ ¼ ¦³®ªnµ X s ¨³ Y s
ª· ¸ ε ¨ ¼ ¦³®ªnµ X s ¨³ Y s ¤¸ nµÁ nµ ´ § s 1 ·§ s 2 · X s Y s ¨ ¸¨ ¸ 1 © s 2 ¹© s 1 ¹
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ ROC ° X s Y s º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ s ´ ´Ê ´ª°¥nµ ¸Ê ĮoÁ®È ªnµ µ¦ ´ °° ° á¨Â¨³ ¸Ã¦¤¸ ¨ εĮo ROC ° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤¸ ªµ¤ ªoµ ¤µ ¹Ê บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-17 327
» ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (LTI: linear time-invariant) Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª nµ Ç nµ¥ ¹Ê Á®¤º° ´ ¸É° · µ¥Ä Á¦ºÉ° µ¦  ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
9.4.7 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ L o X s Á¤º° ε® Ä®o x t m É ROC =
dx t
dt
R
° »¡´ r ° ´ µ x t ®µÅ o µ
º d ª 1 V jf X s e st ds » « ³ f V j dt ¬ 2S j ¼
1
V jf
2S j ³V
jf
sX s e st ds
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ° »¡´ r ° x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° dx t
dt
L m o sX s
(9.40)
à ¥ ¸É ROC ° sX s º° ¦·Áª R ¹É °µ Á } ¦·Áª ¸ÉÄ® n ªnµ R ÈÅ o oµ ¸É » s 0 Á¡¦µ³ ³ εĮoÁ · µ¦ ´ °° ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ° µ ¸Ê° »¡´ r°´ ´ n ° x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° d n x t
dt n
L m o sn X s
X s
¤¸Ã¡¨°´ ´ ® ¹É
(9.41)
9.4.8 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ S µ ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ä ¤ µ¦ (9.1) ´É º° f
X s
³ x t e
st
dt
(9.42)
f
®µ° »¡´ r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (9.42) Á ¸¥ ´ ´ªÂ ¦ s ³Å o dX s
ds
f
³ t x t e
st
dt
(9.43)
f
L o X s Á¤ºÉ° ROC = ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ oµ ε® Ä®o x t m
R
´ ´Ê
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
328
L tx t m o
dX s
ds
, ROC =
R
(9.44)
¨³° »¡´ r°´ ´ n ° X s ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° n
L o t x t m
d n X s
(9.45)
ds n
´ª°¥nµ ¸É 9.9 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ y t
te at u t
ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (9.12) ³Å oªnµ 1 , Re ^s` ! a s a
L x t e at u t m o X s
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° y t
te at u t
L te at u t m o
®µÅ o µ ¤ µ¦ (9.45) ´É º°
d ª 1 º ds «¬ s a »¼
1
s a
2
,
Re ^s` ! a
(9.46)
¨³° »¡´ r°´ ´ ° ° X s ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° t 2 at 1 L e u t m o 3 2 s a
,
Re ^s` ! a
(9.47)
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ° »¡´ r°´ ´ n ° X s ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° t n 1 at 1 L e u t m o n n 1 ! s a
,
Re ^s` ! a
(9.48)
9.4.9 » ¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ L o X s Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x t m
R
´ ´Ê ¦·¡´ r ° ´ µ x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°
t
1
³ x W dW m o s X s
L
(9.49)
f
à ¥ ¸É ROC ° X s / s º° ¦·Áª R ^Re ^s` ! 0` ®¦º°°µ Á } ¦·Áª ¸ÉÄ® n ªnµ R ^Re ^s` ! 0` ÈÅ o oµÁ · µ¦ ´ °° ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ¤ µ¦ (9.49) µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o µ µ¦°µ«´¥ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-19 329
t
³ x W dW = u t x t
(9.50)
f
L o1/ s à ¥ ¸É ROC = Re ^s` ! 0 ´ ´Ê °µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ³Å oªnµ Á ºÉ° µ u t m
1 L u t x t m o X s , s
ROC = Re ^s` ! 0
(9.51)
9.4.10 §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ¨³ nµ» oµ¥ L o X s Á¤ºÉ° ROC = R oµ´ µ x t 0 宦´ t 0 ¨³ x t Ťn¤¸´ µ ε® Ä®o x t m °·¤¡´¨r®¦º°£µª³Á° µ °´ ´ ¼ (higher-order singularity) ¸É » t 0 ´ ´Ê nµÁ¦·É¤ o x 0 Á¤ºÉ° t ¤¸ nµ Á oµÄ ¨o nµ«¼ ¥r µ µ oµ nµ ª ° t ®µÅ o µ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o (initial-value theorem) ´ ¸Ê
x 0 lim sX s
(9.52)
s of
° µ ¸ÊÄ ¦ ¸ ¸É x t 0 宦´ t 0 ¨³ x t ¤¸¨·¤· ε ´ Á¤ºÉ° t Á oµÄ ¨o nµ° ´ r ´ ´Ê §¬ ¸ nµ» oµ¥ (final-value theorem) ¨nµªªnµ lim x t lim sX s
t of
(9.53)
s o0
´ª°¥nµ ¸É 9.10 ¡·¼ r §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o Ä ¤ µ¦ (9.52) ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x t 0 宦´ t 0 ¨³ x t x t u t °µ«´¥ µ¦ ¦³ µ¥° » ¦¤Á Á¨°¦r (Taylor’s series expansion) Á¡ºÉ°®µ nµ x t ¸ÉÁª¨µ t 0 ³Å o x t
f
n
n 0
Á¤ºÉ°
x
n
§ tn ·
¦ x 0 ¨ n ! ¸
©
¹
x 0 x 0 t ! x 1
0 º°° »¡´ r¨Îµ ´ ¸É n ° ¢{ r ´ x t Áª¨µ t
0
n
n
0 tn! !
µ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸Éªnµ
§ tn · 1 L e at ¨ ¸ u t m o , Re ^s` ! a n 1 n ! s a
© ¹
宦´ a
0
³Å o x 0 § tn · L x n 0 ¨ ¸ u t m o s n 1 © n! ¹ n
,
Re ^s` ! a
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
330
´ ´Ê ¢{ r ´ x t ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° x t
§ x n 0 · ¨ ¸ ¦ s n 1 ¸ n 0¨ © ¹
§ tn · L o X s
x n 0 ¨ ¸ m ¦ n 0 © n! ¹ f
f
ε µ¦ ¼ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ X s ³Å o sX s
n f § x 0 · ¸ s¦ ¨ n 1 ¸ s n 0¨ © ¹
x 0 0
x 1 0
s1
x 2 0
s2
!
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ³Å oªnµ lim sX s
s of
x 0 0
x 0
¹É ° ¨o° ´ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o µ¤¤ µ¦ (9.52) ´ª°¥nµ ¸É 9.11 ®µ nµÁ¦·É¤ o x 0 ° ´ µ x t Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.3 ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 9.3 ´ µ x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° L x t 2e 3t u t e t cos 3t u t m o X s
3s 2 8s 23 s 5s 2 16s 30 3
nµÁ¦·É¤ o ° ´ µ x t ®µÅ oà ¥ x 0 lim x t 2 1 1 3 t o0
®¦º°µ¤µ¦ ®µÅ o µ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o µ¤¤ µ¦ (9.52) ´É º° x 0 lim sX s
s of
3s 3 8s 2 23s s of s 3 5s 2 16 s 30
lim 3
SCILAB: -->s -->num -->den -->Xs -->inf -->x x =
= = = = = =
poly(0, 's'); 3*s^2 + 8*s + 23; s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30; num/den; 10000; //¤¤ ·ªnµ¤¸ nµÁ } nµ° ´ r horner(s*Xs, inf)
2.9993001
// ¦³¤µ nµ 3 µ¤ ¸É o° µ¦
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-21 331
µ¦µ ¸É 9.1 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ » ¤ ´ · 1. ªµ¤Á } Á · Áo
´ µ
¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ
ax t by t
aX s bY s
2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ
x t t0
X s e
3. µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ s
e x t
X s s0
4. µ¦Á ¨ µ Áª¨µ
x D t
5. µ¦´ ¥»
x t
X s
x t y t
X s Y s
6. µ¦ ε ° ꨼ ´
s0 t
1
D
R1 Re ^s0 `
§s· ¸ ©D ¹
X¨
D R1 R1
°¥nµ o°¥
1 s
f
X s
R1 R2
°¥nµ o°¥
R1
R1
ds
³ x W dW
R1 R2
R1
dX s
tx t
t
9. ¦·¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ
st0
sX s
dt
8. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ s
°¥nµ o°¥
dx t
7. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ
¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC)
°¥nµ o°¥
R1 ^Re ^s` ! 0`
10. §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o
oµ x t 0 宦´ t 0 ¨³ x t Ťn¤¸´ µ °·¤¡´¨r®¦º°£µª³Á° µ sX s
°´ ´ ¼ ¸É » t 0 ´ ´Ê x 0 lim s of
11. §¬ ¸ nµ» oµ¥
oµ x t
lim x t
t of
宦´ t 0 ¨³ x t ¤¸¨·¤· ε ´ Á¤ºÉ° t o f ´ ´Ê lim sX s
s o0
0
9.4.11 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ L o X s 宦´ ROC = ε® Ä®o x t m ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ
R1
L o Y s 宦´ ROC = ¨³ y t m
R2
µ¦µ ¸É 9.1
9.4.12 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦µ ¸É 9.2 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸ÉÄ o¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
332
Â&#x2DC;¾Œ¾Â&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 9.2 Â&#x2021;ÂźnÂ&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;¨¾Â&#x17E;¨¾Â&#x17D; ´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x t
Â&#x;¨Â&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;¨¾Â&#x17E;¨¾Â&#x17D; X s
Â?Œ¡à ªÂ&#x2013;Â&#x201E;¾Œ¨ŸnĂ Â&#x2026;oÂľ (ROC)
G t
1
Â&#x161;ÂťÂ&#x201E;Â&#x2021;nÂľ s
u t
1
Re ^s` ! 0
u t
1
t n 1
n 1 !
t n 1
n 1 !
s
n 1 !
t n 1
n 1 !
e at u t
e at u t
G t T
cos Z0 t u t
sin Z0 t u t
e at cos Z0t u t
e at sin Z0t u t
d nG t
Re ^s` ! 0
sn 1
u t
e at u t
t n 1
1
u t
e at u t
Re ^s` 0
s
Re ^s` 0
sn 1
Re ^s` ! a
s a 1
Re ^s` a
s a 1
s a
n
Re ^s` ! a
n
Re ^s` a
1
s a
Â&#x161;ÂťÂ&#x201E;Â&#x2021;nÂľ s
e sT s 2
s Z02
Z0 s Z02 2
s a
s a
2
Z02
Z0
s a
2
Z02
Re ^s` ! 0 Re ^s` ! 0 Re ^s` ! a Re ^s` ! a
sn
Â&#x161;ÂťÂ&#x201E;Â&#x2021;nÂľ s
u t ! u t
1
n 1 convolutions
sn
Re ^s` ! 0
un t
dt n
ŕ¸&#x161;ŕ¸&#x2014;ŕ¸&#x2014;฾ŕš&#x2C6; 9 ภาร๠ŕ¸&#x203A;฼ŕ¸&#x2021;฼าŕ¸&#x203A;฼าŕ¸&#x2039; 9-23 333
9.5 µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ L L o X s , h t m o H s , ¡· µ¦ µ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (LTI) oµ ε® Ä®o x t m L ¨³ y t m o Y s º° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ °· ¡» , ¨ ° ° °·¤¡´¨r, ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê °µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ³Å o ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê
H s
Y s
X s
(9.54)
Á¤ºÉ° H s Á¦¸¥ ªnµ “¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function)” ®¦º° “¢{ r ´ ¦³ (system function)” ° µ ¸Ê oµ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° H s ¦ª¤¡ºÊ ¸É ° Áo  jZ ³Å oªnµ H s ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ Ä ¸É ¸Ê ³Â Ä®oÁ®È ªnµ H s µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦° · µ¥ » ¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI Å o
9.5.1 ° °¨· ¸ ¦³ LTI  ° °¨ (causal) º°¦³ ¸É ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r 宦´ t 0 ´É º° h t ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ {~ ªµ ´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ° ¦³ ° °¨ ³¤¸ ROC °¥¼n µ {~ ªµ ° ¦³ µ s °¥nµ Ŧ È µ¤Ä µ ¨´ ´ oµ ROC ° H s °¥¼n µ {~ ªµ ° ¦³ µ s ¨oª Ťn εÁ } ªnµ¦³ ´Ê ³Á } ¦³ ° °¨ Á¡¸¥  n¦´ ¦° Å oªnµ h t Á } ´ µ {~ ªµ ° µ ¸Ê oµ H s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ LTI  ° °¨ ³¤¸ ROC ° H s
°¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ» Ä µ ¨´ ´ oµ H s ¤¸ ROC °¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ» ¨oª ¦³ LTI ´Ê ³Á } ¦³ ° °¨ ´ª°¥nµ ¸É 9.12 ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t n°Å ¸Ê Á } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n ) h t
) h t
e 2t u t
e
t
ª· ¸ ε ) Á ºÉ° µ h t 0 宦´ t 0 ´ ´Ê ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨ ° µ ¸Ê ªµ¤Á } ° °¨· ¸ (causality) ¥´ µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ´É º° µ ¤ µ¦ (9.12) ³Å o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t ¤¸ nµÁ nµ ´ H s
1 , Re ^s` ! 2 s 2
(9.55)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
334
Á ºÉ° µ H s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³Â¨³ ROC °¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ» ´ ´Ê ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨ ) Á ºÉ° µ h t z 0 宦´ t 0 ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ ° °¨ ®¦º°µ¤µ¦ ¡· µ¦ µ ªµ¤Á } ° °¨· ¸Å o µ H s ¨nµª º° µ ¤ µ¦ (9.22) ³Å o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t º° H s
2 , 1 Re ^s` 1 s 1 s 1
(9.56)
Á ºÉ° µ H s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³Â¨³ ROC ŤnÅ o°¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ» ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ ° °¨ Ä ³ ¸É¦³ ° Å ° °¨ (anticausal system) º°¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t 0 宦´ t ! 0 ´É º° h t ¤¸¨´ ¬ ³Á } ´ µ {~ oµ¥ ´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ° ¦³ ° Å ° °¨ ³¤¸ ROC °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ¦³ µ s °¥nµ Ŧ È µ¤Ä µ ¨´ ´ oµ ROC ° H s °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ¦³ µ s ¨oª Ťn εÁ } ªnµ¦³ ´Ê ³ o° Á } ¦³ ° Å ° °¨ Á¡¸¥  n¦´ ¦° Å oªnµ h t
Á } ´ µ {~ oµ¥ ° µ ¸Ê oµ H s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ° Å ° °¨ ³¤¸ ROC ° H s °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ oµ¥» Ä µ ¨´ ´ oµ H s ¤¸ ROC °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ oµ¥» ¨oª ¦³ LTI ´Ê ³Á } ¦³ ° °¨
9.5.2 ªµ¤Á ¸¥¦ à ¥ ´ÉªÅ ªµ¤Á ¸¥¦ (stability) ° ¦³ LTI µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ´É º° ¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° h t µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ´¤ ¼¦ r °¥nµ Ŧ È µ¤ ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ ¥´ µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ¨nµª º°¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° ROC ° H s ¦ª¤Áo  jZ ´ª°¥nµ ¸É 9.13 ¡· µ¦ µ ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ ¸É¤¸¢ { r ´ nµ¥Ã° H s
s 1 2 s s 1
1/ 3 2 / 3 s 2 s 1
(9.57)
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-25 335
Im
Im
2 1
1
Re
2 1
1
Re
Re ^s` ! 1
Im
2
1
Im
1
Re
1 2
2 Re ^s` 1
1
Re
Re ^s` 2
£µ¡ ¸É 9.7 ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ¨³ ( ) – ( ) ROC °
H s
 nµ Ç
ª· ¸ ε £µ¡ ¸É 9.7 ( )   £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° H s à ¥ ¸É¤¸Ã¡¨°´ ´ ® ¹É °¥¼n 2 ´ª ¸É » s 1 ¨³ s 2 ¨³¤¸ ¸Ã¦°´ ´ ® ¹É °¥¼n 1 ´ª ¸É » s 1 Á ºÉ° µ à ¥rŤnÅ o ε® ROC ° H s ¤µÄ®o ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° H s ¹ ¤¸Å o®¨µ¥¦¼  °¥nµ Ŧ È µ¤ oµ ¦µ o°¤¼¨Á¡·É¤Á ·¤ªnµ ¦³ ¤¸ ªµ¤Á } ° °¨· ¸®¦º°¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ È ³ nª¥ εĮoµ¤µ¦ ¦³ » ROC Å o Á¡¦µ³ªnµ H s ¸ÉÄ®o¤µ°¥¼n Ä ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ´ª°¥nµ Á n ) oµ¦³ Á } ¦³ ° °¨Â ªnµ ROC °¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ» ´É º° Re ^s` ! 1 µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° H s º° 2 · §1 h t ¨ e 2t et ¸ u t
3 ¹ ©3
Á ºÉ° µ ROC °
H s
Ťn¦ª¤Áo  jZ µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤn¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦
) oµ¦³ ¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦  ªnµ ROC ° H s ³ o° ¦ª¤Áo  jZ ´É º° 2 Re ^s` 1 µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° H s º° h t
1 2t 2 e u t et u t
3 3
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
336
¹É µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ´¤ ¼¦ r Á¡¦µ³ ³ ´ Ê ¦³ ¸Ê¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ ) oµ¦³ Á }  ¦³ ° Å ° °¨Â¨³Å¤n¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦  ªnµ ROC °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ oµ¥» ´É º° Re ^s` 2 µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° H s º° 2 · §1 h t ¨ e 2t et ¸ u t
3 ¹ ©3
Á ºÉ° µ ROC ° H s Ťn¦ª¤Áo  jZ µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤn¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ ° µ ¸Ê ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ LTI ¥´ µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o°¥nµ nµ¥ à ¥ ¼ µ ε® n ° ᨠ° ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s Ä Â £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ¨nµª º°Îµ®¦´ ¦³ ° °¨ (ROC ³°¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É °¥¼n oµ µ ªµ» ) ¸É¤¸ H s Ä ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ³¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ (ROC ³¦ª¤Áo  jZ ) È n°Á¤ºÉ°Ã¡¨ ¸É°¥¼n oµ µ ªµ» °¥¼n µ oµ oµ¥ ° Áo  jZ ®¦º°°µ ¨nµªÅ oªnµ » ᨤ¸ nµnª ¦· Á } nµ¨ ´É º° Re ^s` 0 ´ª°¥nµ ¸É 9.14 ¡· µ¦ µ ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ ° °¨ ¸É¤¸ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ´ ¸Ê ) h t
e 3t u t
) h t
e3t u t
ª· ¸ ε ) µ ¤ µ¦ (9.12) ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t
e 3t u t
L h t e 3t u t m o H s
Á ºÉ° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¸É¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦
H s
¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » s
) µ ¤ µ¦ (9.12) ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t
3
3
1 , Re ^s` ! 3 s 3
(9.58)
¹É ¤¸ nµnª ¦· Á } nµ¨  ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³
e3t u t
L h t e3t u t m o H s
Á ºÉ° µ H s ¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » s
º°
º°
1 , Re ^s` ! 3 s 3
(9.59)
¹É ¤¸ nµnª ¦· Á } nµ ª  ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ¸ÉŤn¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-27
337
9.5.3 ¦³ µ¤¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ µn ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo ¦³ LTI ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · ³ ¼ ε® à ¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo (LCCDE: linear constant-coefficient differential equation) ´ ¸Ê N
¦ ak k 0
d k y t
dt k
M
¦ bk k 0
d k x t
dt k
(9.60)
Á¤ºÉ° ak ¨³ bk Á } nµ´¤ ¦³· ·Í ´ª, ¨³ y t ¨³ x t º°´ µ Á°µ r¡» ¨³´ µ °· ¡» ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ¤ µ¦ (9.60) Á¦¸¥ ªnµ¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ N (N-th order differential equation) à ¥ ´ÉªÅ ¡§ · ¦¦¤ nµ Ç ° ¦³ LTI µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ° ¦³ ¹É ®µÅ o µ ¤ µ¦ (9.54) à ¥ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (9.60) ´É º° oµÄ®o L L x t m o X s ¨³ y t m o Y s ³Å oªnµ ªN ª M d k x t º d k y t º L «¦ ak » L «¦ bk » k dt ¼ dt k ¼ ¬k 0 ¬k 0
°µ«´¥ » ¤ ´ ·Á · Áo ³Å o ª d k y t º L a » ¦ k « k k 0 ¬ dt ¼ N
ª d k x t º L b » ¦ k « k k 0 ¬ dt ¼ M
¨³°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ r ³Å o § N §M k · k · a s Y s
¦ k ¨ ¸ ¨ ¦ bk s ¸ X s
©k 0 ¹ ©k 0 ¹
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H s
¦ ¦
Y s
X s
M
b sk
k 0 k N k 0
ak s k
(9.61)
¹É ³Á®È Å oªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸É ¼ ε® à ¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ (°¥¼nÄ ¦¼ ° Á«¬nª ) à ¥ ¸É ¸Ã¦ (zero) º° ε ° ° ¤ µ¦ M
¦b s k
k
0
(9.62)
k 0
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
338
i t
R
v t
C
vC t
L
£µ¡ ¸É 9.8 ª ¦Å¢¢jµ RLC ¸É n° ´  ° » ¦¤
¨³Ã¡¨ (pole) º° ε ° ° ¤ µ¦ N
¦a s
k
0
k
(9.63)
k 0
¢{ r ´ nµ¥Ã° H s Á¡¸¥ ¨Îµ¡´ Ťnµ¤µ¦ ε¤µÄ o®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ Å o Á¡¦µ³Å¤n ¦µ o°¤¼¨Á ¸É¥ª ´ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° H s °¥nµ Ŧ È µ¤ oµ¤¸ o°¤¼¨Á¡·É¤Á ·¤Á ¸É¥ª ´ ° °¨· ¸®¦º° ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ È ³ nª¥ εĮoµ¤µ¦ ¦³ » ROC ° H s ¨³ εĮo®µ nµ h t Å o µ¤ ¸É o° µ¦ ´ª°¥nµ ¸É 9.15 ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµ RLC ¸É n° ´  ° » ¦¤Ä £µ¡ ¸É 9.8 à ¥ ¸É´ µ °· ¡» º° ®¨n εÁ · ¦ ´ Å¢¢jµ v t ¨³´ µ Á°µ r¡» º°Â¦ ´ Å¢¢jµ ¸É ¦n°¤ ´ªÁ È ¦³ » vC t ®µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ª ¦Å¢¢jµ RLC ¸Ê oµ ε® Ä®o vC t ¨³ i t ° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ª· ¸ ε °µ«´¥ ° Á ·¦r ±°¢¢m (Kirchhoff’s law) ³Å oªnµ v t
RC
dvC t
d 2vC t
vC t LC dt dt 2
(9.64)
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (9.64) ³Å o V s
RCsVC s VC s LCs 2VC s
(9.65)
L L oV s ¨³ vC t m oVC s ´ ´Ê ¢{ r à ¥ ¸É v t m ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º°
H s
VC s
V s
1 RCs 1 LCs 2
oµ R , L , ¨³ C ¤¸ nµÁ } nµ ª ¨oª ᨠ° ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á ¸¥¦ (stable system)
H s
1/ LC s 2 R / L s 1/ LC
(9.66)
Ä ¤ µ¦ (9.66) ³¤¸ nµÁ } nµ¨ ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-29 339
´ª°¥nµ ¸É 9.16 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸´ µ °· ¡» º° x t
y t ª¬e 2t e 3t º¼ u t ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê
e t u t
¨³´ µ Á°µ r¡» º°
ª· ¸ ε ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x t ¨³ y t ³Å o X s
1 , Re ^s` ! 1 s 1
(9.67)
¨³ 1 1 s 2 s 3
Y s
1
s 2 s 3
,
Re ^s` ! 3
(9.68)
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H s
Y s
X s
s 1 2 s s 3
s 1 s 2 5s 6
(9.69)
à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª nª ¦nª¤ ° ROC ° X s ¨³ Y s ´É º° ROC ° H s ³¤¸ nµÁ nµ ´ Re ^s` ! 1 ¹É °¥¼n µ oµ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ªµ»  ªnµ H s Á }  ° °¨ ¨³Á ºÉ° µ ᨠ´Ê ° ° H s ¤¸ nµÁ } nµ¨  ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á ¸¥¦ (stable system) ° µ ¸Ê¤ µ¦ (9.69) ¥´ µ¤µ¦ ε¤µÄ o¦³ »¤ µ¦Á · ° »¡´ r µ¤¤ µ¦ (9.60) Å oà ¥°µ«´¥ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ´ ´Ê Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (9.60) ¨³ (9.61) ³Å oªnµ H s Ä ¤ µ¦ (9.69) µ¤µ¦ ´ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¤ µ¦Á · ° »¡´ rÅ o ´ ¸Ê d 2 y t
dy t
5 6 y t
dt 2 dt
dx t
x t
dt
(9.70)
´ª°¥nµ ¸É 9.17 ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ LTI ¸É ε® à ¥Á ºÉ° Å ´ ¸Ê ) ¦³ Á }  ° °¨ ) ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¤¸¨´ ¬ ³Á }  ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¸É¤¸° ᨠ¸É » s ) oµ j° ´ µ °· ¡» x t
1
¨³ s
3
1 Á oµÅ Ä ¦³ ³Å o´ µ Á°µ r¡» º° y t 0
) ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ Áª¨µ t
0
¤¸ nµÁ nµ ´ 2
ª· ¸ ε µ Á ºÉ° Å o° ) ¨³ ) εĮo ¦µ ªnµ¦³ ° °¨¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » ¦³ ŤnÁ ¸¥¦ (unstable system) ¨³¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° º° 9-30 สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB
s 3
´ ´Ê ¦³ ¸Ê ¹ Á }
Signals and Systems with SCILAB Applications
340
H s
N s
s 1 s 3
N s
s 2s 3
(9.71)
2
Á¤ºÉ° N s º°¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ ° H s ¨³ µ Á ºÉ° Å o° ) Á¤ºÉ° x t 1 e 0 t ³Å o´ µ Á°µ r¡» y t est H s e 0 t H 0 0  ªnµ N 0 0 ´É º° N s ¤¸ ¸Ã¦ ¸É » s 0 ´ ´ Ê N s
sF s
Á¤ºÉ° F s º°¡®» µ¤¦nª¤ ° N s Á¡¦µ³ ³ ´ Ê H s
sF s
2
s 2s 3
¨³ µ Á ºÉ° Å o° ) à ¥°µ«´¥ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ³Å oªnµ h 0 lim sH s lim s of
s of
s2 F s
2
s 2s 3
2
°µ«´¥ ° è d µ¨ ³Å oªµn lim s of
s2 F s
s 2 2s 3
lim s of
s2 F s
s2
F s 2
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H s
2s s 2 2s 3
9.6 ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° à ¥ ´ÉªÅ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI µ¤µ¦ ° · µ¥Å o oª¥ ¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function) ®¦º°Â £µ¡ ¨È° (block diagram) ° ¦³ ´ ´Ê Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â µ¦ª·Á ¦µ³®r µ¦ n° ´ ° ¦³ (system interconnection) Á¡ºÉ°Ä o®µ ªµ¤´¤¡´ r ° ´ µ °· ¡» ¨³ ´ µ Á°µ r¡» ¦ª¤ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¦ª¤
9.6.1 µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ  £µ¡ ¨È° ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³ Ä £µ¡ ¸É 9.9 à ¥ ¸É x t º°´ µ °· ¡» , y t º°´ µ Á°µ r¡» , ¨³ ¦³ ¥n°¥ ´Ê ®¤ Á } ¦³ LTI à ¥ ´ÉªÅ ·É ¸É ´ ª·Á ¦µ³®r¦³ Ä º° µ¦®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-31 341
x t
h1 t
w t
y t
h2 t
x t
h1 t
v t
x t
v t
y t
h2 t
w t
h1 t
y t
h2 t
w t
£µ¡ ¸É 9.9 µ¦ n° ´ ° ¦³ ( )  ° » ¦¤, ( )  µ , ¨³ ( )  j° ¨´
° ¦³ ¦ª¤Á¡ºÉ°Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ x t ¨³ y t Ä µ · ´ · µ¦®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ³°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Á¡ºÉ°®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s n° µ ´Ê ¹ n°¥Ä o µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ Á¡ºÉ° ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ´ ´Ê Ä nª ¸Ê ³° · µ¥ µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¦ª¤ ¸ÉÁ · µ µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥ ´ n°Å ¸Ê ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³  ° » ¦¤ (serial or cascade interconnection) Ä £µ¡ ¸É 9.9 ( ) ³Å oªnµ ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 t º° w t
x t h1 t
(9.72)
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h2 t º° y t
w t h2 t
(9.73)
 nµ w t µ ¤ µ¦ (9.72) ¨ Ä ¤ µ¦ (9.73) ³Å o y t
ª¬ x t h1 t º¼ h2 t
(9.74)
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ¤ µ¦ (9.74) ³Å o Y s
X s H1 s H 2 s
(9.75)
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H s
Y s
X s
H1 s H 2 s
(9.76)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
342
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³  µ (parallel interconnection) Ä £µ¡ ¸É 9.9 ( ) ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 t ¨³¦³ h2 t º° v t
x t h1 t
(9.77)
w t
x t h2 t
(9.78)
¨³
µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ¦ª¤ º° y t v t w t
x t h1 t x t h2 t
(9.79)
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ¤ µ¦ (9.79) ³Å o Y s
X s H1 s X s H 2 s
(9.80)
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H s
Y s
X s
H1 s H 2 s
(9.81)
宦´ µ¦ n° ´ ° ¦³  j° ¨´ (feedback interconnection) ´ Â Ä £µ¡ ¸É 9.9 ( ) ´ µ °· ¡» ° ¦³ h1 t º° w t
x t v t
(9.82)
¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 t º° y t
w t h1 t
ª¬ x t v t º¼ h1 t
x t h1 t v t h1 t
(9.83)
Á ºÉ° µ ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h2 t º° v t
y t h2 t
(9.84)
 nµ v t Ä ¤ µ¦ (9.84) ¨ Ä ¤ µ¦ (9.83) ³Å o y t
x t h1 t ª¬ y t h2 t º¼ h1 t
ª¬1 h1 t h2 t º¼ y t
x t h1 t
(9.85) บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-33
343
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ¤ µ¦ (9.85) ³Å o ª¬1 H1 s H 2 s º¼ Y s
H1 s X s
(9.86)
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° Y s
X s
H s
H1 s
1 H1 s H 2 s
(9.87)
9.6.2 µ¦®µÂ £µ¡ ¨È° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 9.5.3 à ¥ ´ÉªÅ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ³ ¼ ε® oª¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ nµ ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° ¦³ ¸Êµ¤µ¦ ¦oµ ¹Ê Å oà ¥°µ«´¥ ´ª εÁ · µ¦ ¡ºÊ µ (basic operator) 3  º° µ¦ ª µ¦ ¼ ¨³ µ¦®µ ¦·¡´ r ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 9.18   £µ¡ ¨È° ° ¦³ ¸É¤¸¢ { r ´ nµ¥Ã° H s
3 s 2
(9.88)
Á¤ºÉ° ε® Ä®o¦³ ° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest) ª· ¸ ε ¤ µ¦ (9.60) ¨³ (9.61) εĮo ¦µ ªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ¤ µ¦ (9.88) ¼ ε® oª¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r º° dy t
dt
2 y t 3x t
(9.89)
ε µ¦®µ ¦·¡´ r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (9.89) ³Å o t
t
y t 2 ³ y W dW f
y t
³
t
f
3 ³ x W dW f
ª¬3x W 2 y W º¼ dW
(9.90)
£µ¡ ¸É 9.10 ( )   £µ¡ ¨È° µ¤¤ µ¦ (9.90) ¨³ µ » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° µ¦®µ ¦·¡´ r¤¸ nµÁ nµ ´ 1/ s ´ ´Ê £µ¡ ¸É 9.10 ( ) ¹ Á ¸¥ Ä®¤nÅ o µ¤£µ¡ ¸É 9.10 ( ) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
344
x t
3
v t
y t
³
x t
v t
3
2
1 s
y t
2
£µ¡ ¸É 9.10  £µ¡ ¨È° ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.18 dy t
dt
1 s
y t
£µ¡ ¸É 9.11  £µ¡ ¨È° ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.18
° µ ¸Ê £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 9.10 ( ) µ¤µ¦ ¦oµ ¹Ê Å oà ¥ nµ¥ µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ¤ µ¦ (9.88) à ¥ µ¦ ´ ¦¼ ¤ µ¦Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ X s ¨³ Y s ´É º° µ H s
¸É ε® Ä®o ³Å oªnµ
> s 2@ Y s
Y s
3X s
1 ª3 X s 2Y s º¼ s¬
(9.91)
µ ´Ê ε¤ µ¦ (9.91) Å Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° È ³Å o µ¤£µ¡ ¸É 9.10 ( ) µ £µ¡ ¸É 9.10 εĮo¦» Å oªnµ oµ¦³ ° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ¨oª ¨È° 1/ s ³¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» µ¤£µ¡ ¸É 9.11 ´ ´Ê ¤ µ¦ (9.89) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } dy t
dt
oµ ε® Ä®o v t
dy t / dt
3x t 2 y t
(9.92)
¤ µ¦ (9.92) ³ ´ ¦¼ Å oÁ } v t 3x t 2 y t
(9.93)
¹É ° ¨o° ´  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 9.10 ( ) ´ª°¥nµ ¸É 9.19 ®µÂ £µ¡ ¨È° ° ¦³ ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-35 345
H s
1
s 2 s 3
1 s 5s 6 2
(9.94)
ª· ¸ ε ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ¤ µ¦ (9.94) ¼ ε® oª¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r º° d 2 y t
dy t
5 6 y t
2 dt dt
x t
(9.95)
oµ ε® Ä®o v t
dy t
dt
¨³
w t
d 2 y t
dt 2
¤ µ¦ (9.95) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } w t 5v t 6 y t
w t
x t
x t 5v t 6 y t
(9.96)
¹É ¤¸Â £µ¡ ¨È° µ¤£µ¡ ¸É 9.12 ( ) à ¥ ´ÉªÅ  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸ÊÁ¦¸¥ ´ ªnµ “ £µ¡¦¼  ¦ (direct-form diagram)” Á¡¦µ³ªnµ nµ´¤ ¦³· ·Í ¸É ¦µ °¥¼nÄ Â £µ¡ ¨È° º° nµ´¤ ¦³· ·ÍÁ ¸¥ª ´ ´ ¸É ¦µ °¥¼nÄ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ®¦º°Ä ¤ µ¦Á · ° »¡´ r Ä µ · ´ ·Â £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 9.12 ( ) µ¤µ¦ ¸É ´ ¦¼ Ä®oÁ }  °ºÉ Ç Å o µ¤ ªµ¤ o° µ¦ °  n¨³ µ ¦³¥» r ¨nµª º°¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ¤ µ¦ (9.94) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } § 1 ·§ 1 · H s ¨ ¸¨ ¸ © s 2 ¹© s 3 ¹
H1 s H 2 s
(9.97)
¹É È º° µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° H s Ä ¤ µ¦ (9.97) µ¤µ¦ ¦oµ Å o µ¤£µ¡ ¸É 9.12 ( ) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Êªnµ “ £µ¡¦¼  ° » ¦¤ (cascade-form diagram)” ° µ ¸Ê oµÄ o µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ° H s Ä ¤ µ¦ (9.94) È ³Å oÁ } H s
1 1 s 2 s 3
H1 s H 2 s
(9.98)
¹É È º° µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  µ ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° H s Ä ¤ µ¦ (9.98) µ¤µ¦ ¦oµ Å o µ¤£µ¡ ¸É 9.12 ( ) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Êªnµ “ £µ¡¦¼  µ (parallel-form diagram)” ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
346
x t
w t
1 s
v t
6
5
x t
1 s
H1 s
y t
1 s
y t
1 s
2
H2 s
3
1 s x t
H1 s
y t
2
1
1 s H2 s
3
£µ¡ ¸É 9.12  £µ¡ ¨È° ¦¼  nµ Ç ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.19
9.7 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª Ä ®´ª o° ¸Ê ³° · µ¥ “ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª (unilateral Laplace transform)” ¹É  nµ µ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸É ¨nµª¤µÄ ®´ª o° ¸É 9.2 ®¦º° “ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ (bilateral Laplace transform)” µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI  ° °¨ ¸É ¼ ε® oª¥ ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o (initial condition) ŤnÁ } nµ«¼ ¥r บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-37 347
µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ³ ·¥µ¤Ã ¥ X s
f
³ x t e
st
0
dt
(9.99)
à ¥ ¸É nª ¨nµ ° µ¦®µ ¦·¡´ r 0 ®¤µ¥ ¹ Ä®o¦ª¤ nµ«¼ ¥rÄ µ¦®µ ¦·¡´ r ¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ³Ä o´ ¨´ ¬ r X s UL ª¬ x t º¼
(9.100)
x t UL 1 ª¬ X s º¼
(9.101)
¨³
Á¤ºÉ° UL > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¨³ UL 1 > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ (inverse unilateral Laplace transform) ° µ ¸Ê ³Ä o´ ¨´ ¬ r UL x t m o X s
(9.102)
 ªµ¤´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª¦³®ªnµ x t ¨³ X s
µ ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ Ä ¤ µ¦ (9.1) ´É º° X s
f
³ x t e f
st
dt
(9.103)
¨³¼ ¦ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ªÄ ¤ µ¦ (9.99) ³¡ ªnµ¤¸¦¼  Á®¤º° ´ ¤µ à ¥Â nµ ´ Á ¡µ³ nª ¨nµ ° µ¦®µ ¦·¡´ r ¨nµª º° nª ° µ¦®µ ¦·¡´ r ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ º° f d t d f Ä ³ ¸É nª ° µ¦®µ ¦·¡´ r ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  o µ Á ¸¥ª º ° 0 d t d f ´ ´Ê ´ µ ° ´ µ ¸É¤¸ nµÂ nµ ´ 宦´ t 0 ¨³¤¸ nµÁ nµ ´ 宦´ t t 0 ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ nµ ´  n ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ªÁ®¤º° ´ ´ µ x t Ä Ç ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ «¼ ¥r宦´ t 0 ´É º°´ µ {~ ªµ (right-sided signal) ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ¨³ oµ Á ¸¥ªÁ®¤º° ´ Ä ¦ ¸ ¸Ê » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 9.4 ¹ µ¤µ¦ ε¤µÄ o ´ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª Á¡¦µ³ ³ ´Ê 宦´ ´ µ {~ ªµ ¹É ¤¸ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ °¥¼n µ oµ ªµ ° ¦³ µ s ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ³Á®¤º° ´ ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ´ µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 9.3 à ¥ ¸É¤¸ o° ε® ªnµ ROC ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ³°¥¼n µ oµ ªµ ° ¦³ µ s Á¤° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
348
´ª°¥nµ ¸É 9.20 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ¨³Â oµ Á ¸¥ª ° ´ µ x t e b t 1 u t 1
(9.104)
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ° ´ µ x t ®µÅ oà ¥°µ«´¥ » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ¹É ³Å oªnµ es , Re ^s` ! b s b
X s L ª¬ x t º¼
(9.105)
宦´ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª®µÅ o µ ¤ µ¦ (9.99) ´É º° X s
³
f
0
ªe b t 1 u t 1 º e st dt ¬ ¼
³
f
0
e b e
t s b
dt
e b
1 , Re ^s` ! b s b
(9.106)
³Á®È Å oªnµÎµ®¦´ ´ µ ¸ÉŤnÅ oÁ } ´ µ {~ ªµ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ¨³Â oµ Á ¸¥ª ° ´ µ ´Ê ³¤¸ nµÂ nµ ´ ´ª°¥nµ ¸É 9.21 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° X s
s2 3 s 2
(9.107)
ª· ¸ ε Ä µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ´ ´Ê (degree) ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ o° ¤¸ nµ o°¥ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª Á ºÉ° µ ¤ µ¦ (9.107) ¤¸¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Á nµ ´ nµ° Ä ³ ¸É¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ® ¹É ´ ´Ê ¹ o° ´ ¦¼ ¤ µ¦ (9.107) Ä®¤nÄ®o¤¸ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ o°¥ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª n° ¸É ³ ε µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ¸Ê Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¤ µ¦ (9.107) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } SCILAB: X s
C A Bs s 2
s2 3 s 2
(9.108)
µ µ¦ ε ª ¨³ µ¦Á ¦¸¥ Á ¸¥ nµ´¤ ¦³· ·Í nµ Ç ³Å oªnµ A 2 , B 1 , ¨³ C 1 ´É º° X s 2 s
1 s 2
(9.109)
-->s -->Xs -->h -->F F =
= = = =
poly(0, 's'); (s^2 - 3)/(s + 2); syslin('c',Xs); pfss(h)
F(1) 1 ----2 + s F(2) - 2 + s
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-39 349
µ¦µ ¸É 9.3 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª » ¤ ´ · 1. ªµ¤Á } Á · Áo
´ µ
¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ
ax t by t
a X s bY s
e x t
X s s0
2. µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ s 3. µ¦Á ¨ µ Áª¨µ
s0 t
4. µ¦´ ¥» 5. µ¦ ε ° ꨼ ´
X s
oµ´ µ x t
y t
0
宦´ t 0 ´ ´Ê
x t y t
X s Y s
dx t
s X s x 0
dt
7. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ s
d X s
tx t
ds
t
8. ¦·¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ 9. §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o 10. §¬ ¸ nµ» oµ¥
1
³ x W dW 0
X¨
D
x t
6. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ
§s· ¸ ©D ¹
1
x D t , D ! 0
s
X s
oµ´ µ x t Ťn¤¸°·¤¡´¨r®¦º°£µª³Á° µ °´ ´ ¼ ¸É » t
x 0
0
´ ´Ê
0
´ ´Ê
lim s X s
s of
oµ´ µ x t Ťn¤¸°·¤¡´¨r®¦º°£µª³Á° µ °´ ´ ¼ ¸É » t lim x t lim s X s
t of s o0
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° ¤ µ¦ (9.109) Á¤ºÉ° ROC °¥¼n µ oµ ªµ ° ¦³ µ s º° x t UL 1 ª¬ X s º¼
2G t u t e 2t u t
9.7.1 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª UL UL X s ¨³ y t m o Y s º° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¸É¤¸ ROC ε® Ä®o x t m o °¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ» µ¦µ ¸É 9.3 ¦» » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¹É ³¤¸ ´Ê » ¤ ´ · ¸ÉÁ®¤º° ´ ¨³ » ¤ ´ · ¸É nµ ´ ´ » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ µ¤ ¸ÉÂ Ä µ¦µ ¸É 9.1
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
350
» ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ªÂ¨³Â ° oµ ³Á®¤º° ´ à ¥ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ¦³ LTI  ° °¨ ¨nµª º° oµ´ µ °· ¡» x t ¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h t ° ¦³ ¤¸ nµ Á nµ ´ nµ«¼ ¥r宦´ t 0 ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y t ³¤¸ nµÁ nµ ´ y t
UL x t h t m o Y s
X s H s
(9.110)
UL H s º ° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  o µ Á ¸ ¥ ª ° ¨ ° ° °· ¤ ¡´ ¨ r ° µ ¸Ê Á¤ºÉ ° h t m o » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¥´ µ¤µ¦ ε¤µÄ o° · µ¥ » ¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ´É º°
t
UL x t u t m o X s U s
³ x W dW 0
1 X s
s
UL oU s 1/ s º° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ Á¤ºÉ° u t m » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ªÂ¨³ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ³Â nµ ´ ¨nµª º° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° dx t / dt ¤¸ nµÁ nµ ´
ª dx t º » ¬ dt ¼
UL «
³
f
0
dx t st e dt dt
x t e st
Ä ³ ¸É ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ °  oµ Á ¸¥ª ° d 2 x t / dt 2 ³¤¸ nµÁ nµ ´ ª d 2 x t º » 2 ¬ dt ¼
UL «
Á¤ºÉ° xc 0 º° nµ° »¡´ r ° x t 宦´ t
f 0
f
s X s x 0
s ³ x t e st dt
dx t / dt
0
º°
sX s
(9.111)
° µ ¸Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ
s 2 X s sx 0 xc 0
(9.112)
0
´ª°¥nµ ¸É 9.22 ®µ´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ ¸É ¼ ε® oª¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r d 2 y t
dy t
3 2 y t
2 dt dt
x t
(9.113)
à ¥ ¸É´ µ °· ¡» º° x t D u t ¨³ D º° nµ ´ªÄ Ç Á¤ºÉ° ) ¦³ ¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest) ) ¦³ ¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o º° y 0 E ¨³ yc 0 J บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-41 351
ª· ¸ ε ) 宦´ ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ¤ µ¦ (9.113) º° s 2Y s 3sY s 2Y s
X s
¹É ³Å o¢ { r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° Y s
X s
H s
1 s 3s 2 2
1
s 1 s 2
Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ´ µ °· ¡» º° UL x t D u t m o X s
D s
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ s º° · 1 § D ·§ Y s X s H s ¨ ¸ ¨¨ ¸¸ © s ¹ © s 1 s 2 ¹
D /2 s
D
D /2
s 1 s 2
(9.114)
´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ Áª¨µ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° ¤ µ¦ (9.114) Á¤ºÉ° ROC º° Re ^s` ! 0 ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ 1 ª1 º y t UL 1 ª¬Y s º¼ D « e t e 2t » u t
2 2 ¬ ¼
(9.115)
) 宦´ ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ¤ µ¦ (9.113) º° ª s 2Y s sy 0 yc 0 º 3s ª sY s y 0 º 2Y s
¬ ¼ ¬ ¼
 nµ
y 0 E , yc 0 J
X s
(9.116)
, ¨³ X s D / s ¨ Ä ¤ µ¦ (9.116) ³Å o
s 2Y s sE J 3sY s 3E 2Y s
Y s ª¬ s 2 3s 2º¼ s 3 E J
D
Y s ª¬ s 2 3s 2º¼
D
s 3 E J
D s
s s
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
352
E s 3
Y s
oµ ε® Ä®o D 2 , E µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ }
J
s 1 s 2 s 1 s 2
3,
¨³ J
5
Y s
D s s 1 s 2
(9.117)
à ¥°µ«´¥ µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ³ εĮo¤ µ¦ (9.117) 1 1 3 s s 1 s 2
(9.118)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ Áª¨µ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° ¤ µ¦ (9.118) Á¤ºÉ° ROC º° Re ^s` ! 0 ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ y t UL 1 ª¬Y s º¼
ª¬1 e t 3e 2t º¼ u t
(9.119)
9.8 ¦» oµ¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°ªnµÁ } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ ´ ´Ê Ä ¸Ê ¹ Å o° · µ¥ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ È º°ªnµ¤¸ ªµ¤Îµ ´ ¤µ Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ µ¦®µ ¨ ° ° ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn  ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÃ ¥°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¦ª¤ ´Ê  ĮoÁ®È ¹ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° ° ¦³ » o µ¥Å o ¨nµª ¹ ªµ¤Î µ ´ ¨³ ¦³Ã¥ r ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI  ° °¨ ¸É ¼ ε® oª¥¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o ŤnÁ } nµ«¼ ¥r
9.9  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ , ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC), ¨³Â £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ¢{ r ´ n°Å ¸Ê 1.1) x t
e 2t u t e3t u t
1.2) x t
e 5t u t 1
1.3) x t
e 4t u t e 5t sin 5t u t
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-43 353
2 t
1.4) x t
te
1.5) x t
te
1.6) x t
t e2t u t
1.7)
2 t
x t et sin 2t u t
0 d t d1 t , ® ¯2 t , 1 d t d 2
1.8) x t
2) ®µ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° ¢{ r ´ X s n°Å ¸Ê 2.1)
X s
1 , Re ^s` ! 0 s2 9
2.2)
X s
s , Re ^s` 0 s 9
2.3)
X s
s 1
, 2 s 1 9
2.4)
X s
2.5)
X s
2.6)
X s
2
s 1
Re ^s` 1
2
s2 s 1
,
Re ^s` ! 0.5
s 2 , 4 Re ^s` 3 s 7 s 12 2
s2 s 1
s 1
2
,
Re ^s` ! 1
L o X s ¹É ¤¸Á ºÉ° Å ´ ¸Ê 3) ε® Ä®o x t m
)
X s
¤¸Ã¡¨ 2 á¨
)
X s
Ťn¤¸ ¸Ã¦Ä ¦³ µ s ¸É ε ´ (finite s-plane)
)
X s
¤¸® ¹É ᨰ¥¼n ¸É s
)
e2t x t Ťnµ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ r°¥nµ ´¤ ¼¦ rÅ o
)
X 0 8
1 j
®µ nµ X s ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-44 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
354
4) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸´ µ °· ¡» º° x t
h t e 2t u t
e t u t
¨³ ¨ ° ° °·¤¡´¨r® ¹É ® nª¥ º°
4.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x t ¨³ h t
4.2) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ´ µ Á°µ r¡» y t ´É º° Y s
4.3) ®µ´ µ Á°µ r¡» y t µ Y s ¸ÉÅ oÄ o° 5.2) 4.4)  ĮoÁ®È ªnµ ¨¨´¡ r y t ¸ÉÅ o µ µ¦Ä o µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦®µ´ µ Á°µ r¡» à ¥Ä o ª´ εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ y t x t h t
5) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É° ¨o° ´ ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ´ ¸Ê d 2 y t dy t
3y t
dt dt
Á¤ºÉ° x t º°´ µ °· ¡» , °·¤¡´¨r ° ¦³
y t
x t
º°´ µ Á°µ r¡» , ¨³ ε® Ä®o h t º° ¨ ° °
5.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t ¨³®µ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¡¦o°¤ ´Ê ªµ  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ 5.2) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ h t Á¤ºÉ° 5.2.1) ¦³ LTI Á } ¦³ Á ¸¥¦ (stable) 5.2.2) ¦³ LTI Á } ¦³ ° °¨ (causal) 5.2.3) ¦³ LTI ŤnÁ } ¦³ Á ¸¥¦Â¨³¦³ ° °¨ 6) ªµ  £µ¡¦¼  ¦ (direct-form diagram) ° ¦³ LTI  ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° º° 6.1)
H s
s 1 s 5s 6
6.2)
H s
s s 3
s 1 s 2
6.3)
H s
s 2 5s 6 s 2 7 s 10
6.4)
H s
6.5)
X s
2
s
s 3
2
2
s 3
s 3 s 2
บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-45
355
7) ε® Ä®o´ µ °· ¡» x t ¨³´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI  ° °¨¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¤Â £µ¡ ¨È° n°Å ¸Ê y t
x t
1 s 1
2
1 s 5
1
7.1) ®µ¤ µ¦Á · ° »¡´ r ° ¦³ Á¡ºÉ°Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ x t ¨³ y t
7.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á ¸¥¦®¦º°Å¤n 8) ε® Ä®o x1 t
e 4t u t
¨³
x2 t e
2 t 1
u t 1
8.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª X 1 s ¨³Â ° oµ
X1 s
° ´ µ x1 t
8.2) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª X 2 s ¨³Â ° oµ
X2 s
° ´ µ
x2 t
Á¡ºÉ°®µ nµ´ µ
g t
8.3) ®µ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ° oµ ´ ° ¨ ¼ x1 t x2 t
X1 s X 2 s
8.4)  ªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° ¨ ¼ g t Ä o° ¸É 8.3) 宦´ t ! 0
X1 s X 2 s
¤¸ nµÅ¤nÁ nµ ´ ´ µ
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-46 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
356
¸É 10 µ¦Â ¨ ¸ Ä ¸É 9 Å o ĮoÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Á } nª ¥µ¥ (extension) ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) ¹É Ä oÄ µ¦Â ´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ “ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform)” Ȥ¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Á¡¸¥  n ³Ä o ´ ´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time aperiodic signal) Á nµ ´Ê Ä ¸Ê ³Â Ä®oÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¸Á } nª ¥µ¥ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) à ¥µ¤µ¦ ε¤µÄ oª·Á ¦µ³®r´ µ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o Á¡¦µ³ ³ ´Ê µ¦Â ¨ ¸ ¹ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ Á n Ä o®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (¦³ LTI), Ä o¡· µ¦ µ ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ LTI, ¨³Ä oª·Á ¦µ³®r ¡§ · ¦¦¤ ° ¦³ j° ¨´ (feedback system) Á } o
10.1 µ¦Â ¨ ¸ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ·¥µ¤Ã ¥ X z
f
¦ x > n@ z
n
(10.1)
n f
à ¥ ¸É z º° ´ªÂ ¦Á · o° ¨³Á¡ºÉ°Ä®o³ ª n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¸ ³Ä o´ ¨´ ¬ r X z Z ^ x > n @`
(10.2)
¨³
บทที่ 10 การแปลงซี 10-1 357
x > n @ Z 1 ^ X z `
(10.3)
Á¤ºÉ° Z > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¸ ¨³ Z 1 > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¸ ´ ¹É ³° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 10.3 ° µ ¸Ê ³Ä o´ ¨´ ¬ r Z x > n @ m o X z
(10.4)
 ªµ¤´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¸¦³®ªnµ x > n@ ¨³ X z
Á ºÉ° µ z Á } ´ªÂ ¦Á · o° ¹ µ¤µ¦ Á ¸¥ ´ªÂ ¦ z Ä ¦¼  Á · ´Êª (polar form) Å o º° re jZ
z
(10.5)
Á¤ºÉ° r º° µ (magnitude) ° z ¨³ Z º°¤»¤Á¢ (phase) ° z µ¦Â ¨ ¸Ä ¤ µ¦ (10.1) ³¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ¸Ê X z z
re jZ
X re jZ
f
¦ x > n@ re
jZ
n
n f
f
¦ ^x > n@ r ` e
n f
n
jZ n
^
F x > n@ r n
`
(10.6)
´É º° µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) ° ´ µ x > n @ ®¨´ µ µ¦ ¼ oª¥´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· r n 宦´ Ä ¦ ¸ ¸É r 1 ®¦º° z 1 µ¦Â ¨ ¸ ³¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º°¤ µ¦ (10.6) µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } X z z
e jZ
X e jZ
F ^ x > n @`
(10.7)
µ ¸É ¨nµª¤µ oµ o ¡ ªnµ µ¦Â ¨ ¸¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥ ¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ n° oµ ¤µ Á n Á ¸¥ª ´ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨nµª º° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ  · £µ¡ ( ´É º° Á¤ºÉ° ´ªÂ ¦ Á · o° s V jZ ¤¸ nµ ¦· Á } nµ«¼ ¥r ®¦º° V 0 ) Ä ³ ¸É µ¦Â ¨ ¸¤¸ ªµ¤´¤¡´ r¤¸ nµ Á nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Áo ¦° ° (contour) ¸É¤¸¦´«¤¸Á nµ ´ nµ® ¹É ¦³ µ z à ¥ ¸É ª ¨¤ ¸Ê ³Á¦¸¥ ªnµ “ª ¨¤® ¹É ® nª¥ (unit circle)” µ¤£µ¡ ¸É 10.1 ¹É ¤¸ µ ¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ à ¥Ä o µ¦Â ¨ ¸ µ ¤ µ¦ (10.6) µ¦¨¼nÁ oµ (convergence) ° µ¦Â ¨ ¸ ³Á · ¹Ê Á¤ºÉ°¡ r x > n@ r n ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ ´ ´Ê µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¸ ° ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n@ ³Á · ¹Ê 宦´ nª ° nµ r ¹É Ä µ · ´ · ³Á¦¸¥ nª ° nµ r ¸É εĮo µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ ¤¸ nµ¨¼nÁ oµªnµ “ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC: region of convergence)” à ¥ ¸É oµ ROC ° X z ¦° ¨»¤ ¦·Áª ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥Â¨oª µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° x > n@ ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµÁ¤° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-2 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
358
Im ^ z`
¦³ µ z
ª ¨¤® ¹ É ® nª¥
e jZ
z Z
1
Re ^ z`
1 1
£µ¡ ¸É 10.1 ª ¨¤® ¹É ® nª¥Ä ¦³ µ
´ª°¥nµ ¸É 10.1 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@
z
a nu > n@
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (10.1) ´É º° X z
f
¦ ^a u > n@` z n
n
n f
f
¦ az
1
n
(10.8)
n 0
à ¥ ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° 1 n
f
¦ az
n 0
¹É  ªnµ ROC ° X z º° ¦·Áª ¸É
®¦º°
az 1 1 f
¦r
n
n 0
f z !a
¨³Á ºÉ° µ
1 1 r
(10.9)
´ ´Ê ³Å oªnµ X z
f
¦ az
1
n
n 0
宦´
z !a
1 1 az 1
z z a
(10.10)
Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@ º° Z x > n @ a nu > n @ m o X z
´ª°¥nµ ¸É 10.2 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@
1 , 1 az 1
z !a
(10.11)
a nu > n 1@
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (10.1) ´É º° บทที่ 10 การแปลงซี 10-3 359
X z
f
¦ ^ a u > n 1@` z n
1
n f
宦´
z a
¦ a n z n
n f
à ¥ ¸É X z ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° ¦ fn 0 a 1 z
®¦º° z a ´ ´Ê ³Å oªnµ X z 1
f
¦ an z n
n
n
f
1 1 a 1 z
n 1
f
1 ¦ a 1 z n 0
n
¹É  ªnµ ROC ° X z º° ¦·Áª ¸É 1 1 az 1
z z a
(10.12) a 1 z 1
(10.13)
Á¡¦µ³ ³ ´ Ê ¼n µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@ º° Z x > n @ a nu > n 1@ m o X z
1 , 1 az 1
z a
(10.14)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (10.11) ¨³ (10.14) ¡ ªnµ´ µ ´Ê ° ¤¸ ·¡ r¡¸ · 1 (algebraic expression) ° ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z Á®¤º° ´  n¤¸ nµ ROC nµ ´ ¨nµª º° X z Ä ¤ µ¦ (10.11) ¤¸ ROC º° z ! a ¨³ X z Ä ¤ µ¦ (10.14) ¤¸ ROC º° z a ´ ´Ê ¦» Å oªnµ µ¦Â ¨ ¸ ³ o° ¼ ε® oª¥ ·¡ r¡¸ · ¨³ ROC ° ¨ µ¦Â ¨ ¸ à ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° “¢{ r ´ ¦¦ ¥³ (rational function)” ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ´ªÂ ¦ z ´É º° X z
N z
D z
(10.15)
Á¤ºÉ° N z ¨³ D z º°¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Â¨³¡®» µ¤ ´ªnª ° X z ° µ ¸Ê ε ° ° N z
¨³ D z Ä ¦³ µ z µ¤µ¦ ε¤µÄ o° · µ¥ ¨ µ¦Â ¨ ¸Å o à ¥ ε ° ° N z ³Â oª¥ ´ ¨´ ¬ r “ 9 ” ¨³ ε ° ° D z ³Â oª¥´ ¨´ ¬ r “ u ” Ä µ · ´ · ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ N z Á¦¸¥ ªnµ “ ¸Ã¦ (zero)” Á¡¦µ³ªnµ ε ° Á®¨nµ ¸Ê ³ εĮo X z 0 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªnª D z Á¦¸¥ ªnµ “ᨠ(pole)” Á¡¦µ³ªnµ ε ° Á®¨nµ ¸Ê εĮo X z f ° µ ¸Ê µ¦Â ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z à ¥Ä oá¨Â¨³ ¸Ã¦Ä ¦³ µ z ³Á¦¸¥ ´ ªnµ “ £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ (pole–zero plot)” ° X z ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z µ¤µ¦ ε® Å o 2 ¦¼  º° µ¦Ä o ·¡ r¡¸ · ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ®¦º° µ¦Ä o ·¡ r¡¸ · ¨³Â £µ¡ ᨠ¸Ã¦ 1
·¡ r¡¸ · ° ¨ µ¦Â ¨ ¸
X z
®¤µ¥ ¹ ¦¼ ¤ µ¦ · «µ ¦r °
X z
´É Á°
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-4 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
360
Im ^ z`
Im ^ z`
a
1
Re ^ z`
a
1
Re ^ z`
z a
z !a
£µ¡ ¸É 10.2  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z Á¤ºÉ°
a d 1 宦´ ( ) ´ª°¥nµ ¸É 10.1 ¨³ ( ) ´ª°¥nµ ¸É 10.2
£µ¡ ¸É 10.2 ( )   £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z 1/ 1 az 1 Ä ¤ µ¦ (10.11) 宦´ a d 1 à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª ¸É¦Á µÁ } ¸Á µ °¥nµ Ŧ È µ¤ oµ a ! 1 ¨oª ROC ³Å¤n¦ª¤ª ¨¤ ® ¹É ® nª¥ ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ´ µ x > n @ a nu > n@ ³Å¤nµ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ( n¥´ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ Å o) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ £µ¡ ¸É 10.2 ( )   £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z Ä ¤ µ¦ (10.14) 宦´ a d 1 ´ª°¥nµ ¸É 10.3 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ n
n
x > n @ 7 1/ 3 u > n @ 6 1/ 2 u > n @
(10.16)
ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (10.1) ´É º° X z
f
n f
°¯
n
n
½
° §1· ° §1· ¦ ®7 ¨© 3 ¸¹ u > n@ 6 ¨© 2 ¸¹ u > n@¾ z f
n
°¿
n
n
f §1· §1· 7 ¦ ¨ ¸ z n 6¦ ¨ ¸ z n 3 n 0© ¹ n 0© 2¹ n
f f §1 · §1 · 7¦ ¨ z 1 ¸ 6¦ ¨ z 1 ¸ 3 2 ¹ ¹ n 0© n 0©
7 6 1 1 1 1 1 z 1 z 3 2
SCILAB: -->z
n
(£µ¡ ¸É 10.3 ( )) = poly(0, 'z');
-->num = z*(z-3/2);
(10.17) (10.18)
-->den = (z-1/3)*(z-1/2); -->Xz
= num/den;
-->h
= syslin('d', Xz);
-->plzr(h); //£µ¡ ¸É 10.3 ( )
บทที่ 10 การแปลงซี 10-5 361
Im
Im
Im
1
1
Re
1
1
3
Re
1 1
2
§ ©
§ 1 · 1/ ¨ 1 z 1 ¸ © 3 ¹
1/ ¨ 1
1 2
3 2
· ¹
1
3
Re
2
§ 1 · § 1 · 7 / ¨ 1 z 1 ¸ 6 / ¨ 1 z 1 ¸ © 3 ¹ © 2 ¹
z 1 ¸
£µ¡ ¸É 10.3  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.3 3 1 z 2 § 1 1 · § 1 1 · ¨1 z ¸ ¨1 z ¸ © 3 ¹© 2 ¹ 1
3· § z¨z ¸ 2¹ © 1 ·§ 1· § ¨ z ¸¨ z ¸ 3 ¹© 2¹ ©
(10.19)
à ¥ ¸É X z ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° ¨¦ª¤ °  n¨³¡ rÄ ¤ µ¦ (10.17) ¨¼nÁ oµ ´É º°Á¤ºÉ° 1/ 3 z 1 1 ¨³ 1/ 2 z 1 1 ¹É ³Å oªnµ z ! 1/ 3 ¨³ z ! 1/ 2 µ¤¨Îµ ´ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ROC ° X z º° z ! 1/ 2 ( ¦·Áª ¸É ´ o° ´ ° z ! 1/ 3 ¨³ z ! 1/ 2 ) £µ¡ ¸É 10.3   £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z
° µ ¸Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@ Ä ¤ µ¦ (10.16) µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥°µ«´¥ » ¤ ´ · Á · Áo ¨nµª º° µ ¤ µ¦ (10.11) ³Å oªnµ n
1 §1· Z ¨ ¸ u > n @ m o 1 ©3¹ 1 z 1 3 n
1 §1· Z ¨ ¸ u > n @ m o 1 ©2¹ 1 z 1 2
z z
, 1
z !
1 3
(10.20)
z !
1 2
(10.21)
3
z 1 z 2
,
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ Ä ¤ µ¦ (10.16) º° X z
7 6 , 1 1 1 1 1 z 1 z 3 2
z !
1 2
(10.22)
¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ ¤ µ¦ (10.18) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-6 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
362
10.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¸ ´ª°¥nµ ¸É 10.1 ¨³ 10.2 Å o ĮoÁ®È ªnµ´ µ ¸É nµ ´ ° ´ µ µ¤µ¦ ¤¸ ·¡ r¡¸ · (®¦º°¦¼ ¤ µ¦) ° ¨ µ¦Â ¨ ¸Á®¤º° ´ Å o  n¤¸ ROC nµ ´ ´ ´Ê µ¦Â ¨ ¸ o° ¼ ε® oª¥ ·¡ r ¡¸ · ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ Ä ®´ª o° ¸Ê ³ ¨nµª ¹ » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° ROC Á¡ºÉ° nª¥ εĮoÁ oµÄ ¹ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ X z ¤µ ¹Ê » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° ROC ¤¸ ´ n°Å ¸Ê 1. ROC ¤¸¨´ ¬ ³Á } ª ®ª Ä ¦³ µ z ¸É¤¸ » «¼ ¥r ¨µ °¥¼n ¸É » εÁ · ¹É ³´ Á Á®È Å o µ ´ª°¥nµ Ä £µ¡ ¸É 10.3 Á¤ºÉ°ª ®ª ¦° ° °¥¼n ¸É nµ° ´ r 2. ROC o° Ťn¤¸Ã¡¨°¥¼n£µ¥Ä 3. oµ´ µ x > n@ ¤¸ nª Áª¨µ ε ´ ¨oª ROC º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ z ¹É °µ ³¦ª¤ » z 0 ¨³/®¦º ° z f ®¦º ° Ťn È Å o ¨n µ ª º ° ¤¤ · ªn µ ´ µ x > n@ ¤¸ n µ Ťn Á n µ ´ n µ «¼ ¥r Î µ ®¦´ n ª N1 d n d N 2 ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n @ º° X z
N2
¦ x > n@ z
n
(10.23)
n N1
¹É ³Å oªµn oµ N1 0 ¨³ N 2 ! 0 ¨oª ³Å oªnµ ROC ° X z Ťn¦ª¤ » z 0 ¨³ z f oµ N1 t 0 ¨³ N 2 ! N1 ¨oª ³Å oªnµ ROC ° X z ¦ª¤ » z f oµ N 2 d 0 ¨³ N1 N 2 ¨oª ³Å oªnµ ROC ° X z ¦ª¤ » z 0 4. oµ x > n@ Á } ´ µ {~ ªµ (right-sided signal) ¨³ oµª ¨¤ z rR °¥¼nÄ ROC ¨oª ´ ´Ê » nµ ¸É z ! rR ³°¥¼nÄ ROC oª¥
z
5. oµ x > n@ Á } ´ µ {~ oµ¥ (left-sided signal) ¨³ oµª ¨¤ z rL °¥¼nÄ ROC ¨oª ´ ´Ê » nµ z ¸É 0 z rL ³°¥¼nÄ ROC oª¥ 6. oµ x > n@ Á } ´ µ ° {~ (two-sided signal) ¨³ oµª ¨¤ z r0 °¥¼nÄ ROC ¨oª ´ ´Ê ROC ³ ¦³ ° Å oª¥ª ®ª Ä ¦³ µ z ¸É¦ª¤ª ¨¤ z r0 ¸Ê oª¥ 7. oµ X z °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³Â¨oª ROC ³ ¼ ε ´ ° Á oª¥Ã¡¨®¦º° ¥µ¥Å ¹ nµ° ´ r 8. 宦´ X z ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ (rational function) 8.1) oµ x > n@ Á } ´ µ {~ ªµ ³Å oªnµ ROC º° ¦·Áª oµ ° ° ª ¨¤ ¸É¤¸¦´«¤¸Á nµ ´ ᨠ° X z ¸É¤¸ nµ¤µ » ° µ ¸Ê oµ x > n @ Á } ´ µ ° °¨Â¨oª ROC ³¦ª¤ » z f บทที่ 10 การแปลงซี 10-7 363
8.2) oµ x > n@ Á } ´ µ {~ oµ¥ ³Å oªnµ ROC º° ¦·Áª oµ Ä ° ª ¨¤ ¸É¤¸¦´«¤¸Á nµ ´ ᨠ° X z ¸É¤¸ µ o°¥» ( ¹É °µ ¦ª¤ » z 0 ®¦º°Å¤n ÈÅ o) ° µ ¸Ê oµ x > n @ Á } ´ µ ° Å ° °¨Â¨oª ROC ³¦ª¤ » z 0 ´ª°¥nµ ¸É 10.4 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ a n , 0 d n d N 1 x > n@ ® ¯0, else
(10.24)
Á¤ºÉ° a ! 0 ª· ¸ ε
¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ ®µÅ o µ ¤ µ¦ (10.1) ´É º° N 1
X z
¦a
n n
z
n 0
N 1
¦ az
1
n
(10.25)
n 0
°µ«´¥ ªµ¤´¤¡´ r 1 r L 1 1 r
L
¦ rn n 0
(10.26)
³ ´Ê ¤ µ¦ (10.25) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } X z
à ¥ ¸É ROC ° ° ROC ´ ¸Ê
X z
1 az 1
N
1 az 1
1 § zN aN · ¨ ¸ z N 1 © z a ¹
º° ¦·Áª ´Ê ®¤ Ä ¦³ µ z ¥ Áªo ¸É »
z
0
(10.27) ¹É ° · µ¥Å o µ » ¤ ´ · o° ¸É 3
) Á ºÉ° µ x > n@ ¤¸ nª Áª¨µ ε ´ ´ ´Ê ROC º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ z ¹É °µ ¦ª¤ » z f ®¦º°Å¤n ÈÅ o
z
) Á ºÉ° µ x > n@ 0 宦´ n 0 ´ ´Ê ROC ° X z ³¦ª¤ » z f ) Á ºÉ° µ x > n@ z 0 宦´ µ nµ ° n ¸É¤µ ªnµ nµ«¼ ¥r ´ ´Ê ROC ° X z ³Å¤n¦ª¤ » µ ¤ µ¦ (10.27) ¡ ªnµ X z ¤¸Ã¡¨°´ ´ N 1 ¸É » z 0 ( ´É º° ¤¸Ã¡¨ ¸É » N 1 ´ª) ¨³¤¸Ã¡¨°´ ´ ® ¹É ¸É » z a Ä ³ ¸É X z ¤¸ ¸Ã¦ ε ª N ´ª ¸É » z
ae j 2S k / N ,
宦´ k
0,1,! , N 1
z
0
0
¨³
z
0
ε ª
(10.28)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-8 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
364
Im
a Re
£µ¡ ¸É 10.4  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° X z Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.4
à ¥ ¸É ¸Ã¦ ¸É » z a (Á¤ºÉ° k X z ´ Â Ä £µ¡ ¸É 10.4
0 ) ³®´ ¨oµ ´ ᨠ¸É » z
´ª°¥nµ ¸É 10.5 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@
a
´ ´Ê  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC °
宦´ b ! 0
bn
ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x > n@ Á } ´ µ ° {~ µ¤£µ¡ ¸É 10.5 ( ) 宦´ 0 b 1 ¨³ b ! 1 ¹É µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ´ µ {~ oµ¥Â¨³´ µ {~ ªµÅ o º° x > n @ b nu > n @ b nu > n 1@
(10.29)
µ ¤ µ¦ (10.11) Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.1 ¨³¤ µ¦ (10.14) Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.2 ³Å oªnµ Z b nu > n @ m o
1 1 bz 1
Z b nu > n 1@ m o
,
z !b
1 , 1 b 1 z 1
z
1 b
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x > n@ º° X z
1 1 1 1 bz 1 b 1 z 1
£µ¡ ¸É 10.5 ( )   £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ °
b2 1 z , b z 1 1 b z b z b
b
X z
à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª b
z
(10.30) 1 b
¹É ° ¨o° ´
» ¤ ´ · o° ¸É 6 ° ROC บทที่ 10 การแปลงซี 10-9 365
x > n@ b
Im
n
1
0 b 1 n
x > n@ b
n
1
b
1
Re
b
1
b !1
n
£µ¡ ¸É 10.5 ( ) ¦¼ ¦nµ ° ´ µ x > n @
b
n
¨³ ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ °
X z
10.3 µ¦Â ¨ ¸ ´ ¤ µ¦ (10.6)  ĮoÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ´ µ x > n@ ®¨´ µ µ¦ ¼ oª¥´ µ r n Á¤ºÉ° r Á } Á¨ ε ª ¦· ¨nµª º° X z z
re
f
¦ ^ x > n@ r ` e
X re jZ
jZ
n
^
F x > n@ r n
jZ n
n f
`
(10.31)
宦´ nµ r Ä Ç ¸É εĮo z re jZ £µ¥Ä ROC ´ ´Ê µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ (inverse Z transform) ³°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ´É º° µ ¤ µ¦ (10.31) ³Å oªnµ
^ `
x > n@ r n
F 1 X re jZ
1 2S
Z Z ³ S X re e dZ j
j n
(10.32)
2
¼ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (10.32) oª¥ r n ³Å o x > n@ r n
1 2S
Z Z ³ S X re e dZ j
j n
2
1 2S
Z Z ³ S X re re
j
2
j
n
dZ
(10.33)
´É º°´ µ x > n@ µ¤µ¦ ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z à ¥ µ¦®µ ¦·¡´ r µ¤Áo ¦° ° (contour integral) z re jZ Ä ROC Á¤ºÉ° r ¤¸ nµ ¸É ¨³ Z Á ¨¸É¥ nµ£µ¥Ä nª 2S Á¤ºÉ° ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ µ¦®µ ¦·¡´ r ° ¤ µ¦ (10.33) µ Z Å Á } z à ¥ µ¦Ä o z re jZ Á¤ºÉ° r ¤¸ nµ ¸É ´ ´Ê ³Å oªµn dz jre jZ dZ jzdZ ®¦º° dZ 1/ j z 1dz ¨³ µ¦®µ ¦·¡´ rÄ nª ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
366
° Z È ³ ¼ Á ¨¸É¥ Á } µ¦®µ ¦·¡´ r µ¤Áo ¦° ° ° ª ¨¤ Á ¨¸É¥ ¦¼ Ä®¤nÁ } 2S
x > n@
1
2S j v³
z
r
´ ´Ê ¤ µ¦ (10.33) ¹
X z z n 1dz
(10.34)
Á¤ºÉ° v³ ®¤µ¥ ¹ µ¦®µ ¦·¡´ r¦° µ¤Áo ¦° ° Ä ·« µ ª Á Ȥ µ¯· µ ° ª ¨¤ d ¸É¤¸ » «¼ ¥r ¨µ ¸É » εÁ · ¨³¤¸¦´«¤¸ r à ¥ ¸É r ¤¸ nµÁ nµ ´ nµÄ ÈÅ o£µ¥Ä ROC ¸É εĮo X z ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ à ¥ ´ÉªÅ µ¦®µ ¦·¡´ r µ¤Áo ¦° ° ° ¤ µ¦ (10.34) à ¥ ¦ n° oµ ´ o° °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä ¦ ¸ ¸É ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ³Á¦·É¤ µ µ¦Ä o Á · µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥Á¡ºÉ° ´ ¦¼ ° X z Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Áo X z
m
i 1
¨oª ¹ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ °  n¨³¡ r ¨nµª º°
Ai
¦ ®1 a z ¯
1
i
Ai / 1 ai z 1
½ ¾ ¿
(10.35)
Ä ¤ µ¦ (10.35) µ¤ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o
oµ ROC º° ¦·Áª
z ! ai
³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ º°
oµ ROC º° ¦·Áª
z ai
³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ º° Ai ainu > n 1@
Ai ain u > n @
µ ´Ê ´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤Á · Áo ° ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ °  n¨³¡ r ¨³Á¡ºÉ°Ä®o³ ª n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ³Ä o´ ¨´ ¬ r
Ai / 1 ai z 1
x > n @ Z 1 ^ X z `
(10.36)
 ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ Á®¤º° ´ ¸É ε® Ä ¤ µ¦ (10.3) ´ª°¥nµ ¸É 10.6 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z
2 z 1 § 3 1 · § 1 1 · ¨1 z ¸ ¨1 z ¸ © 2 ¹© 2 ¹
(10.37)
Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É )
z !
3 2
)
z
1 2
)
1 3 z 2 2
บทที่ 10 การแปลงซี 10-11 367
ª· ¸ ε °µ«´¥Á · µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ³Å oªnµ X z
2 z 1 § 3 1 · § 1 1 · ¨1 z ¸ ¨1 z ¸ © 2 ¹© 2 ¹
4 2 3 1 1 1 1 z 1 z 2 2
(10.38)
Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z ³ ¹Ê °¥¼n ´ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o Á¡¦µ³ ³ ´ Ê ) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É
z !
3 2
³Å oªnµ n
1 §3· Z ¨ ¸ u > n @ m o 3 2 © ¹ 1 z 1 2
,
z !
3 2
,
z !
1 2
n
1 §1· Z ¨ ¸ u > n @ m o 1 ©2¹ 1 z 1 2
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z º° n n ° § 3 · § 1 · °½ x > n @ ®4 ¨ ¸ 2 ¨ ¸ ¾ u > n @ © 2 ¹ °¿ °¯ © 2 ¹
) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É
z
1 2
(10.39)
³Å oªnµ n
1 §3· Z , ¨ ¸ u > n 1@ m o 3 ©2¹ 1 z 1 2
z
3 2
z
1 2
n
1 §1· Z , ¨ ¸ u > n 1@ m o 1 1 ©2¹ 1 z 2
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z º° n ° § 3 ·n § 1 · ½° x > n @ ® 4 ¨ ¸ 2 ¨ ¸ ¾ u > n 1@ © 2 ¹ ¿° ¯° © 2 ¹
) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É
1 3 z 2 2
(10.40)
µ ¤ µ¦ (10.14) ³Å oªnµ
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
368
Im
Im
1
0.5
1.5
Re
Re
z ! 3/ 2 Im
Im
Re
Re
z 1/ 2
1/ 2 z 3 / 2
£µ¡ ¸É 10.6  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z  nµ Ç Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.6 n
1 §1· Z ¨ ¸ u > n @ m o 1 ©2¹ 1 z 1 2
,
z !
1 2
n
1 §3· Z , ¨ ¸ u > n 1@ m o 1 ©2¹ 1 z 1 3
z
3 2
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z º° n
n
§3· §1· x > n @ 4 ¨ ¸ u > n 1@ 2 ¨ ¸ u > n @ ©2¹ ©2¹
(10.41)
µ o° ( ) – ( ) ¡ ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ Ä®o ¨¨´¡ r nµ ´ à ¥ ¹Ê °¥¼n ´ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o £µ¡ ¸É 10.6 ( )   £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° X z ¨³£µ¡ ¸É 10.6 ( ) – ( )  ROC ° X z  nµ Ç บทที่ 10 การแปลงซี 10-13 369
´ª°¥nµ ¸É 10.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ °
X z log 1 bz 1
,
z !b
(10.42)
ª· ¸ ε µ µ¦ ¦³ µ¥° » ¦¤Á Á¨°¦r (Taylor’s series expansion) log 1 y
f
¦
1
z !b
®¦º°
yn
n
n 1
Á ºÉ° µ
n 1
y 1
,
(10.43)
bz 1 1 ´ ´Ê ¤ µ¦ (10.42) µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ }
X z log 1 bz
1
f
¦
1
n 1
bz
1
n
f
¦
n
n 1
1
n 1
n 1
bn
n
z n
(10.44)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (10.44) ¨³ (10.1) ³Å oªnµ x > n@
1 n 1 b n ° , n t1 ® n °0, nd0 ¯
®¦º° ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x > n@
b
n
n
u > n 1@
(10.45)
10.4 » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸ Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸ ¸Éε ´ ¹É ¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥Á¤ºÉ° ¼o°nµ Á oµÄ » ¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸Â¨oª È ³ nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³ nµ¥ ¹Ê
10.4.1 » ¤ ´ ·Á · Áo Z Z o X z ¸É¤¸ ROC = R1 ¨³ y > n@ m o Y z ¸É¤¸ ROC = ε® Ä®o x > n@ m ° ´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° Z ax > n@ by > n@ m o aX z bY z ,
ROC =
R2
R1 R2
´ ´Ê ¨¦ª¤Á · Áo
(10.46)
Á¤ºÉ° a ¨³ b Á } nµ ´ªÄ Ç Â¨³ ROC º° ¦·Áª ¸É ´ o° ´ ¦³®ªnµ R1 ¨³ R2 10-14 สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
370
10.4.2 » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ Z o X z Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê x > n n0 @ º°´ µ x > n@ ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time ε® Ä®o x > n@ m shifting) Á } ε ª n0 ® nª¥ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° Z x > n n0 @ m o z n0 X z
Á¤ºÉ° ROC = R  n°µ ¤¸ µ¦Á¡·É¤®¦º°¨ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¸É » oª¥ z n à ¥ ¸É
z
0
®¦º°
(10.47) z
f
ÈÅ o Á¡¦µ³ªnµ µ¦ ¼ X z
0
oµ n0 ! 0 ³ εĮoÁ · ᨠ¸É » z 0 ¹É °µ εĮoÁ · µ¦®´ ¨oµ ´ ¸Ã¦ ° X z ¸É » z 0 ÈÅ o Á¡¦µ³ ³ ´Ê z 0 °µ Á } ᨠ° z n X z  n°µ ŤnÁ } ᨠ° X z ¹É Ä ¦ ¸ ¸Ê ROC ° z n X z º° ROC ° X z ¸ÉŤn¦ª¤ » z 0 0
0
oµ n0 0 ³ εĮoÁ · ¸Ã¦ ¸É » z 0 ¹É °µ εĮoÁ · µ¦®´ ¨oµ ´ ᨠ° X z ¸É » z 0 ÈÅ o Á¡¦µ³ ³ ´Ê z 0 °µ Á } ¸ à ¦ ° z n X z  n ° µ Ťn Á } ¸ à ¦ ° X z Ä ¦ ¸ ¸Ê z f ³Á } ᨠ° z n X z ¹É ³Å oªnµ ROC ° z n X z º° ROC ° X z ¸ÉŤn¦ª¤ » z f 0
0
0
» ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ¤ µ¦ (10.47) µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o µ ¤ µ¦ (10.34) ´É º° x > n@
1 X z z n 1dz 2S j v³
 nµ n oª¥ n n0 ³Å o x > n n0 @
1 n n 1 X z z 0 dz 2S j v³
1 X z z n0 z n 1dz 2S j v³
^
`
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n n0 @ º° Z ^ x > n n0 @`
z n0 X z
10.4.3 » ¤ ´ · µ¦Á ¨Ä à Á¤ z Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m
R
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦Á ¨ (scaling) Ä Ã Á¤ z ³ ·¥µ¤Ã ¥ §z·
Z D n x > n@ m o X ¨ ¸, ©D ¹
ROC = D
R
(10.48)
บทที่ 10 การแปลงซี 10-15 371
Im
Im
T T
Z0
T T
Re
Re
£µ¡ ¸É 10.7 ¨ ¦³ ¸ÉÁ · µ µ¦ ¼ ´ µ x > n@ oª¥ e jZ n à ¥ ¸É ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° X z
¨³ ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° X e jZ z
0
0
Á¤ºÉ° D Á } nµ ´ª ´ª°¥nµ Á n oµ ROC ° X z ¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É » (®¦º° ¸Ã¦) ¸É » z D a ¤ µ¦ (10.48) µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o µ f
¦ x > n@ z
X z
z
a
¨oª X z / D ³¤¸Ã¡¨
n
n f
 nµ
z
z /D
³Å o §z· X¨ ¸ ©D ¹
f
§z· x > n@ ¨ ¸ ¦ ©D ¹ n f
µ ¤ µ¦ (10.48) Ä ¦ ¸ ¸É D
e jZ0
n
f
¦ ^ x > n @D ` z n
n
n f
^
`
Z D n x > n@
³Å oªnµ
Z e jZ0n x > n@ m o X e jZ0 z
, ROC = D R
R
(10.49)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ¼ ´ µ x > n@ oª¥Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° e jZ n ³¤¸ ¨ εĮoá¨Â¨³ ¸Ã¦Ä ¦³ µ z Á · µ¦®¤» Á } ¤»¤ Z0 ´ Â Ä £µ¡ ¸É 10.7 ´ª°¥nµ Á n oµ X z 1/ 1 az 1  ªnµ¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » z a ´ ´Ê X e jZ z 1/ 1 ae jZ z 1 È ³¤¸ à ¡¨°¥¼n ¸É » z ae jZ ° µ ¸Ê Ä ¦ ¸ ¸É ¤ µ¦ (10.48) ¤¸ nµ D r0e jZ ³Å oªnµ 0
0
0
0
0
r e x > n@ m o X ¨©§ Dz ¸¹· jZ0 n
0
Z
§ ze jZ0 · X¨ ¸, © r0 ¹
ROC = D
R
r0 R
(10.50)
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ ε® n ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ° X z / D ³ ¼ ®¤» Á } ¤»¤ Z0 ¨³ µ ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ³ ¼ Á ¨Á } ¦·¤µ r0 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
372
x > n@
n
x 2 > n @
n
£µ¡ ¸É 10.8 ( ) ´ µ x > n@ ¨³ ( ) ´ µ ¸É ¼ Á ¨ µ Áª¨µ
x 2 > n @
10.4.4 » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m
R
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ (time reversal) ·¥µ¤Ã ¥
Z x > n@ m o X 1/ z ,
´ª°¥nµ Á n oµ
z0
ROC = 1/ R
(10.51)
°¥¼nÄ ROC ° X z ´ ´Ê 1/ z0 °¥¼nÄ ROC ° X 1/ z
10.4.5 » ¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ (time expansion) ° ´ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ x > n@ ·¥µ¤Ã ¥ x > n / k @ , if n is a multiple of k x k > n@ ® if n is not a multiple of k ¯0,
(10.52)
Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª Á nµ ´Ê ¹É ®¤µ¥ ¹ µ¦Än nµ«¼ ¥r ε ª k 1 ´ªÁ oµÅ ¦³®ªnµ  ¤Á d¨ ¸É°¥¼n · ´ ° x > n@ Á n oµ k 2 ³Å oªnµ x 2 > n@ º°´ µ x > n@ ¸É ¼ Än nµ«¼ ¥r ε ª ® ¹É ´ªÁ oµÅ ¦³®ªnµ  ¤Á d¨ ° x > n@ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 10.8 Z o X z Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê x k > n@ ³¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° oµ ε® Ä®o x > n@ m Z x k > n@ m o X zk ,
ROC =
R1/ k
(10.53)
´ª°¥nµ Á n oµ z0 °¥¼nÄ ROC ° X z ´ ´Ê z1/0 k °¥¼nÄ ROC ° X z k ¨³ oµ X z ¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É » z a ¨oª X z k ³¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É » z a1/ k บทที่ 10 การแปลงซี 10-17 373
¤ µ¦ (10.53) µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê µ ¤ µ¦ (10.52) ´ µ à ¥ ¸É r Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê x k > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸ º° X k z
Á ºÉ° µ
x k > rk @ x > r @
f
¦ x > n@ z
È n°Á¤ºÉ° n
rk
rk
k
n f
r f
³Å oªnµ f
x k > n@
k r
¦ x >r @ z
X k z
¹É È ³Å o ¼n µ¦Â ¨ ¸ °
f
¦ x > rk @ z
n
k
x k > n@ z 0
r f
X zk
µ¤¤ µ¦ (10.53)
10.4.6 » ¤ ´ · µ¦´ ¥» Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m ´ µ x > n@ à ¥¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º°
R
´ ´Ê x > n@ º° nµ´ ¥» Á · o° (complex conjugate) °
L x > n@ m o X z ,
ROC =
R
(10.54)
¨³Ä ¦ ¸ ¸É ´ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å oªnµ X z
´ª°¥nµ Á n oµ X z ¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É »
z
z0
X z
(10.55)
¨oª X z ³ o° ¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É »
z
z0
oª¥
10.4.7 » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ Z Z o X z Á¤ºÉ° ROC = R1 ¨³ y > n@ m o Y z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m (convolution) ¦³®ªnµ ´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° Z x > n@ y > n@ m o X z Y z ,
ROC = R1 R2
R2
µ¦ ε ° ꨼ ´
(10.56)
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ ¨³ ROC ° X z Y z º° ¦·Áª ¸ÉÁ } nª ¦nª¤ (intersection) ¦³®ªnµ ROC ° X z ¨³ Y z ¹É °µ ¤¸ ¨ εĮo ROC ¤¸ ªµ¤ ªoµ ¤µ ¹Ê Å o oµÁ · µ¦ ´ °° ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ (zero-pole cancellation) Ä X z Y z
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
374
z
¤ µ¦ (10.56)  ĮoÁ®È ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ¼ ´ Ä Ã Á¤ ¹É µ¤µ¦ ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê
¡·¼ r ε® Ä®o v > n@
x > n@ y > n@
³Å oªnµ f
v > n@
¦ x>n k @ y >k @
(10.57)
k f
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° v > n@ º° Z ^v > n@`
f
f
½
¦ ®¯ ¦ x > n k @ y > k @¾¿z
n f
f
n f
k f
f
¦ y >k @ X z z
k
X z
n f
f
¦ y > k @ ®¯ ¦ x > n k @ z
n
k f
f
¦ y >k @ z
n
½ ¾ ¿
k
n f
X z Y z
(10.58)
Z o X z Y z µ¤ ¸É o° µ¦ ´ ´Ê ³Å oªnµ x > n@ y > n@ m
. .¡.
» ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤ Áª¨µ (LTI system) Á¡¦µ³ ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª nµ Ç nµ¥ ¹Ê Á®¤º° ´ ¸É° · µ¥Ä Á¦ºÉ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ
10.4.8 » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ z Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m
R
´ ´Ê » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ rÄ Ã Á¤ z ·¥µ¤Ã ¥
Z nx > n@ m o z
dX z
, dz
ROC =
R
(10.59)
¹É ¡·¼ rÅ o ´ ¸Ê µ ¼ ¦ µ¦Â ¨ ¸Ä ¤ µ¦ (10.1) ´É º° X z
f
¦ x > n@ z
n
(10.60)
k f
®µ° »¡´ r ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (10.60) Á ¸¥ ´ ´ªÂ ¦ z ³Å o dX z
dz
f
n ¦ x > n @ z n 1 k f
f
z 1 ¦ ^nx > n @` z n k f
บทที่ 10 การแปลงซี 10-19 375
´É º° z
dX z
f
¦ ^nx > n@` z
dz
n
(10.61)
k f
¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° nx > n @ ¤¸ nµÁ nµ ´ zdX z / dz µ¤¤ µ¦ (10.59) ´ª°¥nµ ¸É 10.8 µ ´ª°¥nµ ¸É 10.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° ´ µ
X z log 1 bz 1
à ¥°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ rÄ Ã Á¤
,
z !b
(10.62)
z
ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (10.59) ³Å oªnµ Z o z nx > n@ m
dX z
dz
bz 1 , 1 bz 1
z !b
(10.63)
¨³ µ ¤ µ¦ (10.11) ³Å oªnµ n
Z o b b u > n @ m
b 1 bz 1
,
z !b
(10.64)
°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° µ Áª¨µ ³Å oªnµ b b
n 1
§ b · 1 Z o¨ u > n 1@ m z , 1 ¸ © 1 bz ¹
z !b
(10.65)
Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¤ µ¦ (10.63) ¨³ (10.65) ³Å oªnµ nx > n @ b b
n 1
u > n 1@
(10.66)
´É º° ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z º° x > n@
b
n
n
u > n 1@
(10.67)
10.4.9 §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o Z o X z oµ´ µ x > n@ ε® Ä®o x > n@ m nµÁ¦·É¤ o (initial-value theorem) ´ ¸Ê
0
宦´ n 0 ´ ´Ê nµÁ¦·É¤ o x >0@ ®µÅ o µ §¬ ¸
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
376
x > 0@ lim X z
(10.68)
z of
¦³Ã¥ r ° §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o µ¤µ¦ ÎµÅ Ä oÄ µ¦ ¦ª ° ªµ¤ ¼ o° ° ¨ µ¦Â ¨ ¸Å o ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 10.9 ®µ nµÁ¦·É¤ o x >0@ ° ´ µ x > n@ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.3 ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 10.3 ´ µ x > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° n
n
7 6 §1· §1· Z , o X z
x > n @ 7 ¨ ¸ u > n @ 6 ¨ ¸ u > n @ m 1 1 1 1 ©3¹ ©2¹ 1 z 1 z 3 2
nµÁ¦·É¤ o ° ´ µ x > n@ ®µÅ oà ¥ µ¦Â nµ n x > 0@
0
z !
1 2
¨ Ä x > n@ ¹É ³Å oªnµ
0 ° § 1 ·0 § 1 · ½° ®7 ¨ ¸ 6 ¨ ¸ ¾ u > 0 @ 7 6 1 © 2 ¹ ¿° ¯° © 3 ¹
®¦º°µ¤µ¦ ®µÅ o µ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o µ¤¤ µ¦ (10.68) ´É º° x > 0@ lim X z 7 6 1 z of
10.4.10 ¦» » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸ Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸
R1
Z o Y z Á¤ºÉ° ROC = ¨³ y > n@ m
R2
µ¦µ ¸É 10.1 ¦»
10.4.11 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¸ µ¦µ ¸É 10.2 ¦» ¼n µ¦Â ¨ ¸ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r´ µ ¨³¦³
10.5 µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ Z Z o X z , h > n@ m o H z , ¨³ ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oµ ε® Ä®o x > n@ m Z y > n@ m o Y z º° ¼n µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ °· ¡» , ¨ ° ° °·¤¡´¨r, ¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê °µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ³Å o ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê
บทที่ 10 การแปลงซี 10-21 377
µ¦µ ¸É 10.1 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸ » ¤ ´ · 1. ªµ¤Á } Á · Áo 2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ
3. µ¦Á ¨Ä à Á¤
z
4. µ¦¡´ µ Áª¨µ
¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC)
´ µ
¨ µ¦Â ¨ ¸
ax > n @ by > n @
aX z bY z
x > n n0 @
z n X z
R1
z0n x > n @
X z / z0
z0 R1
e
jZ0 n
°¥nµ o°¥
0
x > n@
R1 R2
R1
D R1
1/ R1
R11/ k
R1
X e
jZ0
z
D n x > n@
X D 1 z
x > n@
X z 1
x > r @ , n rk
x k > n @ ®
¯0,
5. µ¦ ¥µ¥ µ Áª¨µ
n z rk
X zk
Á¤ºÉ° r Á } Á¨ ε ª Á Ȥ 6. µ¦´ ¥» 7. µ¦ ε ° ꨼ ´ 8. ° »¡´ rÄ Ã Á¤
x > n @
X z
x > n@ y > n@
X z Y z
nx > n @
z
9. ¨ nµ °´ ´ ® ¹É 10. ¨³¤ 11. §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o
z
¦
n k f
1 1 z 1 0
H z
X z
宦´ n 0 ¨oª x > 0@
Y z
X z
R1 R2
R1
dz 1
x >k @
oµ x > n@
dX z
1 z X z
x > n @ x > n 1@
°¥nµ o°¥
°¥nµ o°¥
R1 z ! 0
°¥nµ o°¥
R1 z ! 1
lim X z
z of
(10.69)
à ¥ ¸ÉÄ µ · ´ · H z ³Á¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function)” ®¦º° “¢{ r ´ ¦³ (system function)” ° µ ¸Ê oµ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° H z °¥¼n ª ¨¤® ¹É ® nª¥ z e jZ ¨oª ³Å oªnµ H z ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ ° ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â Ä®oÁ®È ªnµ H z
µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦° · µ¥ » ¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI Å o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
378
Â&#x2DC;¾Œ¾Â&#x160;Â&#x161;¸Ă&#x2030; 10.2 Â&#x2021;ÂźnÂ&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;Â&#x17D;¸ ´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; x t
Â&#x;¨Â&#x201E;¾ŒĂ&#x201A;Â&#x17E;¨Â&#x160;Â&#x17D;¸ X s
G > n@
1
u > n@
1
u > n 1@
G > n m@
D nu > n@ D n u > n 1@ nD n u > n @
nD n u > n 1@
cos Z0 n u > n @ sin Z0 n u > n @ r n cos Z0 n u > n @
r n sin Z0 n u > n @
Â?Œ¡à ªÂ&#x2013;Â&#x201E;¾Œ¨ŸnĂ Â&#x2026;oÂľ (ROC) Â&#x161;ÂťÂ&#x201E;Â&#x2021;nÂľ
1 z 1 1 1 z 1
z
z !1 z 1
Â&#x161;ÂťÂ&#x201E;Â&#x2021;nÂľ z ÂĽÂ&#x201E;Ă ÂŞoÂ&#x153; 0 (Â&#x2122;oÂľ m ! 0 ) z
m
ŽŒº° f (Â&#x2122;oÂľ m 0 )
1 1 D z 1
1 1 D z 1
D z 1 1 2
1 D z
D z 1
1 2
1 D z
1 cos Z0 z 1 1 2 cos Z0 z 1 z 2 1 sin Z0 z 1 1 2 sin Z0 z 1 z 2 1 r cos Z0 z 1 1 2r cos Z0 z 1 r 2 z 2 1 r sin Z0 z 1 1 2r cos Z0 z 1 r 2 z 2
z !D z D
z !D
z D
z !1
z !1
z !r
z !r
10.5.1 Â&#x2021;°Â&#x17D;°¨¡Â&#x2DC;¸ ÂŚÂłÂ?Â? LTI Ă&#x201A;Â?Â?Â&#x2021;°Â&#x17D;°¨ (causal LTI system) Â&#x2021;º°Œ³Â?Â?Â&#x161;¸Ă&#x2030;Â&#x;¨Â&#x2DC;°Â?ÂÂ&#x153;°Â&#x160;°¡¤¥´¨Âr h > n@ ¤¸Â&#x2021;n¾à Â&#x161;nÂľÂ&#x201E;´Â?Â&#x2021;n¾ŸÂ&#x153;ÂĽr ÂĂ&#x17D;¾ŽŒ´Â? n 0 Â&#x153;´Ă&#x2030;Â&#x153;Â&#x2021;º° h > n@ Â&#x2039;³¤¸¨´Â&#x201E;ÂŹÂ&#x2013;³à Â&#x17E;}Â&#x153;´Â?Â?ÂľÂ&#x2013; {~Â&#x160;Â&#x2026;ÂŞÂľ Ă&#x192;Â&#x2014;ÂĽÂ&#x161;¸Ă&#x2030;¢{Â&#x160;Â&#x201E;rÂ?´Â&#x153;Â&#x2122;n¾¼Ă&#x192;°Â&#x153; H z Â&#x2026;°Â&#x160;ÂŚÂłÂ?Â?Â&#x2039;³°¼Ÿn Ă&#x201E;Â&#x153;ÂŚÂźÂ&#x17E;Â&#x2026;°Â&#x160; ŕ¸&#x161;ŕ¸&#x2014;ŕ¸&#x2014;฾ŕš&#x2C6; 10 ภาร๠ŕ¸&#x203A;฼ŕ¸&#x2021;ŕ¸&#x2039;฾ 10-23 379
H z
f
¦ h > n@ z
n
(10.70)
n 0
´ ´Ê ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Á } ¦³ ° °¨ È n°Á¤ºÉ° ROC ° ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ° ¦³ o° °¥¼£n µ¥ ° ª ¨¤ ¹É ¦ª¤ ¦·Áª ¸É » z f oª¥ ° µ ¸Ê oµ H z °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³Â¨oª ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Á } ¦³ ° °¨ È n°Á¤ºÉ° 1) ROC ° H z °¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° » 2) ¦³ ´ ´Ê (degree) ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ o° ¤¸ nµ o°¥ ªnµ®¦º°Á nµ ´ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª ´ª°¥nµ ¸É 10.10 ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É¤¢¸ { r ´ nµ¥Ã° H z n°Å ¸Ê Á } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n )
H z
)
H z
z 3 3z 2 2 z2 2z 1
(10.71)
1 1 , 1 1 1 z 1 1 3z 3
z !3
(10.72)
ª· ¸ ε ) µ H z ¸É ε® Ä®oÄ ¤ µ¦ (10.71)  ªnµ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ ° °¨Á¡¦µ³ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ ( nµ 3) ¤¸ nµ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª ( nµ 2) ) Á ºÉ° µ ROC °¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° »  ªnµ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ Á } ´ µ {~ ªµ °¥n µ Ŧ È µ¤ µ¦¡· µ¦ µªn µ Á } ¦³ ° °¨®¦º ° Ťn Î µ ®¦´ H z ¸É ° ¥¼n Ä ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ³ o° ¡· µ¦ µÁ ºÉ° Å ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Â¨³ ° ¡®» µ¤ ´ªnª ´É º° H z Ä ¤ µ¦ (10.72) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } H z
10 1 z 3 § 1 1 · 1 ¨1 z ¸ 1 3z
© 3 ¹ 2
2 1
10 1 z 3
10 1 2 z z 3
10 z 3 10 z2 z 1 3 2z2
¹É ®¤µ¥ ¹ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Â¨³ ° ¡®» µ¤ ´ªnª ¤¸ nµÁ nµ ´ (Á nµ ´ nµ 2) ´ ´Ê ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨ ° µ ¸Ê ªµ¤Á } ° °¨· ¸ (casuality) ° ¦³ ¥´ µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ¨nµª º° ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° H z Ä ¤ µ¦ (10.72) º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
380
n °§ 1 · °½ h > n@ ®¨ ¸ 3n ¾ u > n@ ¯°© 3 ¹ ¿°
Á ºÉ° µ h > n@
0
宦´ n 0  ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨
10.5.2 ªµ¤Á ¸¥¦ à ¥ ´ÉªÅ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ (stability) È n°Á¤ºÉ° ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ´¤ ¼¦ r (absolutely summable) ° µ ¸Ê ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ ¥´ µ¤µ¦ ¡· µ¦ µ Å o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ¨nµª º°¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° ROC ° H z ¦ª¤Áo ¦° ° ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ° µ ¸Ê宦´ ¦³ LTI  ° °¨ (ROC °¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° » ) ¸É¤¸ H z Ä ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ³¤¸ ªµ¤Á ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° » ᨠ° H z ³ o° °¥¼n£µ¥Ä ª ¨¤ ® ¹É ® nª¥ ´É º° µ ° ᨠo° ¤¸ nµ o°¥ ªnµ nµ® ¹É Á¤° ´ª°¥nµ ¸É 10.11 ¡· µ¦ µªnµ¦³ LTI ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° H z n°Å ¸Ê Á } ¦³ Á ¸¥¦®¦º°Å¤n )
H z
)
H z
1 1 az 1
,
z !a
1 1 2r cos T z 1 r 2 z 2
(10.73) z2 , z re jT z re jT
z !r
(10.74)
ª· ¸ ε ) H z Ä ¤ µ¦ (10.73) ¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É z a ´ ´Ê ¦³ ¸Ê ³Á } ¦³ Á ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° ³Ä®o h > n@ a nu > n@ µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ´¤ ¼¦ r
a 1
Á¡¦µ³ªnµ
Ä ¤ µ¦ (10.74) ¤¸Ã¡¨° ᨰ¥¼n ¸É » z re jT ¨³ z re jT µ¤£µ¡ ¸É 10.9 ´ ´Ê oµ r 1 ³ εĮoᨰ¥¼n£µ¥Ä ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ¨³ ROC ¦ª¤Áo ¦° ° ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ¹É  ªnµ ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á ¸¥¦  n oµ r ! 1 ³ εĮoᨰ¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ¨³ ROC ³Å¤n¦ª¤Áo ¦° ° ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ¹É  ªnµ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ Á ¸¥¦
)
H z
10.5.3 ¦³ µ¤¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ µn ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · ³ ¼ ε® à ¥¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo (LCCDE: linear constant-coefficient differential equation) ´ ¸Ê บทที่ 10 การแปลงซี 10-25 381
Im
Im
r T
T
Re
1
1
( )
r Re
( )
£µ¡ ¸É 10.9  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ °
H z
N
宦´ ( ) r 1 ¨³ ( )
r !1
M
¦ a y >n k @ ¦ b x >n k @ k
k
k 0
(10.75)
k 0
Á¤ºÉ° ak ¨³ bk Á } nµ´¤ ¦³· ·Í ´ª, ¨³ y > n@ ¨³ x > n@ º°´ µ Á°µ r¡» ¨³´ µ °· ¡» ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ¤ µ¦ (10.75) ³Á¦¸¥ ªnµ¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ N (N-th order differential equation) à ¥ ´ÉªÅ ¡§ · ¦¦¤ nµ Ç ° ¦³ LTI µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ° ¦³ ¹É ®µÅ o µ ¤ µ¦ (10.69) à ¥ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´Ê ° o µ ° ¤ µ¦ (10.75) ´É º ° o µ Ä®o Z Z x > n@ m o X z ¨³ y > n@ m o Y z ³Å oªnµ N ½ M ½ Z ®¦ ak y > n k @¾ Z ®¦ bk x > n k @¾ ¯k 0 ¿ ¯k 0 ¿
°µ«´¥ » ¤ ´ ·Á · Áo ³Å o N
M
¦ a Z ^ y > n k @` ¦ b Z ^ x > n k @` k
k
k 0
k 0
¨³°µ«´¥ » ¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ³Å o § N §M k · k · ¨ ¦ ak z ¸ Y z ¨ ¦ bk z ¸ X z
©k 0 ¹ ©k 0 ¹
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º°
¦ H z
X z ¦ Y z
M
b z k
k 0 k N k 0
ak z k
(10.76)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
382
¹É ³¡ ªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸É ¼ ε® à ¥¤ µ¦Á · ¨ nµ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ à ¥ ¸É ¸Ã¦ (zero) º° ε ° ° ¤ µ¦ M
¦b z
k
k
0
(10.77)
0
(10.78)
k 0
¨³Ã¡¨ (pole) º° ε ° ° ¤ µ¦ N
¦a z
k
k
k 0
¢{ r ´ nµ¥Ã° H z Á¡¸¥ ¨Îµ¡´ Ťnµ¤µ¦ ε¤µÄ o®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ Å o Á¡¦µ³Å¤n ¦µ o°¤¼¨Á ¸É¥ª ´ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° H z °¥nµ Ŧ È µ¤ oµ¤¸ o°¤¼¨Á¡·É¤Á ·¤Á ¸É¥ª ´ ° °¨· ¸®¦º° ªµ¤Á ¸¥¦ ° ¦³ È ³ nª¥ εĮoµ¤µ¦ ¦³ » ROC ° H z ¨³ εĮo®µ nµ h > n@ Å o µ¤ ¸É o° µ¦ ´ª°¥nµ Á n oµ¦³ Á } ¦³ ° °¨Â ªnµ ROC ³°¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° »  n oµ¦³ Á } ¦³ Á ¸¥¦Â ªnµ ROC ³°¥¼n£µ¥Ä ª ¨¤® ¹É ® nª¥ Á } o ´ª°¥nµ ¸É 10.12 ¡· µ¦ µ¦³ LTI  ° °¨ ¸É ¼ ε® à ¥¤ µ¦Á · ¨ nµ y > n@
1 1 y > n 1@ y > n 2@ 2 4
x > n@
(10.79)
) ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê n
) ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@
§1· ¨ ¸ u > n@ ©2¹
ª· ¸ ε ) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´Ê ° oµ ° ¤ µ¦ (10.79) ³Å o 1 1 Y z z 1Y z z 2Y z
2 4
X z
(10.80)
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H z
Y z
X z
1 1 1 1 z 1 z 2 2 4
z2 § §1 3 · ·§ § 1 3 ·· z ¨ j ¨¨ z ¨ j ¸ ¸¨ ¸¸ ¸¨ 4 ¹ ¹© © 4 4 ¹ ¸¹ © ©4
(10.81)
บทที่ 10 การแปลงซี 10-27 383
¹É ¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » z ! 1/ 4 j
z
1/ 4 r j 3/4
3/4
¨³Á ºÉ° µ ¦³ Á } ¦³ ° °¨ ´ ´Ê ROC ° H z º°
1/ 2 n
) Á ºÉ° µ ´ µ °· ¡» x > n@
§1· ¨ ¸ u > n@ ©2¹
X z
¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸ º° 1 , 1 1 1 z 2
z !
1 2
(10.82)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ ¸ (Z domain) ®µÅ o µ Y z
X z H z
1 § 1 1 ·§ 1 1 1 2 · ¨1 z ¸¨1 z z ¸ 4 ¹ © 2 ¹© 2
(10.83)
à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª nª ¦nª¤¦³®ªnµ ROC ° X z ¨³ H z ´É º° ROC ° Y z ¤¸ nµÁ nµ ´ z ! 1/ 2 ¤ µ¦ (10.83) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oà ¥°µ«´¥ µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ´É º° 1/ 2 z 1 1 1 1 1 1 z 1 1 z 1 z 2 2 2 4
Y z
(10.84)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» y > n@ º° ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° Y z ¹É ®µÅ oà ¥°µ«´¥ µ¦µ ¸É 10.2 ´É º° n
n
2 §1· §1· §Sn · y > n@ ¨ ¸ u > n@ ¨ ¸ sin ¨ ¸ u > n@ 3©2¹ ©2¹ © 3 ¹
(10.85)
´ª°¥nµ ¸É 10.13 ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ LTI oµ´ µ °· ¡» ° ¦³ º° x > n@ 1/ 6 n u > n@ ¨³ ³ εĮoÅ o´ µ Á°µ r¡» º° (Á¤ºÉ° a Á } nµ ´ª) n ° § 1 ·n § 1 · ½° y > n@ ®a ¨ ¸ 10 ¨ ¸ ¾ u > n@ © 3 ¹ ¿° ¯° © 2 ¹
(10.86)
ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ ¨³ y > n@ º° X z
1 , 1 1 1 z 6
z !
1 6
(10.87)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
384
Y z
a 10 1 1 1 1 z 1 z 1 2 3
a 10 5 a / 3 z 1 § 1 1 ·§ 1 1 · ¨1 z ¸¨1 z ¸ © 2 ¹© 3 ¹
,
z !
1 2
(10.88)
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H z
Y z
a 10 5 a / 3 z 1 1/ 6 z
X z
§ 1 1 ·§ 1 1 · ¨1 z ¸¨1 z ¸ © 2 ¹© 3 ¹
1
1
(10.89)
´ª°¥nµ ¸É 10.14 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z
2z2 z z 3
(10.90)
ª· ¸ ε Ä µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ ³ o° ¤¸ nµ o°¥ ªnµ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª Á ºÉ° µ ¤ µ¦ (10.90) ¤¸¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Á nµ ´ nµ° Ä ³ ¸É ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ® ¹É ´ ´Ê ¹ o° ´ ¦¼ ¤ µ¦ (10.90) Ä®¤nÄ®o¤¸¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ o°¥ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªnª n° ¸É ³ ε µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ¸Ê Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¤ µ¦ (10.90) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } SCILAB: 2
X s
2z z z 3
A Bz
C z 3
Bz 2 A 3B z C 3 A
z 3
à ¥ ¸É µ µ¦Á ¦¸¥ Á ¸¥ nµ´¤ ¦³· ·Í nµ Ç ³Å oªnµ A 7 , B 2 , ¨³ C 21 ´É º° X z 7 2z
-->z = poly(0, 'z'); -->X = (2*z^2 + z)/(z - 3); -->F = pfss(syslin('z', X)) F = F(1) 21 ---- 3 + z F(2) 7 + 2z
21 z 3
(10.91)
³ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° ¤ µ¦ (10.91) º° x > n @ Z 1 ^ X z ` 7G > n @ 2G > n 1@ 21 3
n 1
u > n 1@
(10.92)
บทที่ 10 การแปลงซี 10-29 385
x > n@
h1 > n @
w > n@
h2 > n @
y >n@
x > n@
x > n@
h1 > n @
h2 > n @
w > n@
v > n@
w > n@
y >n@
v > n@
h1 > n @
y >n@
h2 > n @
£µ¡ ¸É 10.10 µ¦ n° ´ ° ¦³ ( )  ° » ¦¤, ( )  µ , ¨³ ( )  j° ¨´
10.6 ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â µ¦ª·Á ¦µ³®r µ¦ n° ´ ° ¦³ (system interconnection) Á¡ºÉ°Ä o®µ ªµ¤´¤¡´ r ° ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» ¨³¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¦ª¤
10.6.1 µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ  £µ¡ ¨È° ¡· µ¦ µÂ £µ¡ ¨È° (block diagram) µ¦ n° ´ ° ¦³ Ä £µ¡ ¸É 10.10 à ¥ ¸É x > n@ º°´ µ °· ¡» , y > n@ º°´ µ Á°µ r¡» , ¨³¦³ ¥n°¥ ´Ê ®¤ Á } ¦³ LTI à ¥ ´ÉªÅ ·É ¸É ´ ª·Á ¦µ³®r¦³ Ä º° µ¦®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ ¦ª¤ Á¡ºÉ°Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ y > n@ Ä µ · ´ · µ¦®µ°·¤¡´¨r ³°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¸Á¡ºÉ° ε ª ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ° ¦³ n° µ ´Ê ¹ Ä o µ¦Â ¨ ¸ ´ Á¡ºÉ°®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ´ ´Ê Ä nª ¸Ê ³° · µ¥ µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¦ª¤ ¸ÉÁ · µ µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥ ´ ¸Ê ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³  ° » ¦¤ (serial or cascade interconnection) Ä £µ¡ ¸É 10.10 ( ) ³Å oªnµ ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 > n@ º° w > n@ x > n@ h1 > n@
(10.93)
Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ ¨³´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ h2 > n@ º° y > n@ w > n@ h2 > n@
(10.94)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
386
 nµ w> n@ µ ¤ µ¦ (10.93) ¨ Ä ¤ µ¦ (10.94) ³Å o y > n@
^x > n@ h > n@` h > n@
(10.95)
X z H1 z H 2 z
(10.96)
Y z
X z
(10.97)
1
2
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ¤ µ¦ (10.95) ³Å o Y z
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H z
H1 z H 2 z
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³  µ (parallel interconnection) Ä £µ¡ ¸É 10.10 ( ) ³Å oªnµ´ µ Á°µ r¡» y > n@ º° y > n@ v > n@ w > n@
^ x > n@ h > n@` ^x > n@ h > n@` 1
2
(10.98)
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ¤ µ¦ (10.98) ³Å o Y z
X z H1 z X z H 2 z
(10.99)
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H z
Y z
X z
H1 z H 2 z
(10.100)
宦´ µ¦ n° ´ ° ¦³  j° ¨´ (feedback interconnection) ´ Â Ä £µ¡ ¸É 10.10 ( ) ´ µ °· ¡» ° ¦³ h1 > n@ º° w > n@ x > n@ v > n@
(10.101)
¨³´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 > n@ º° y > n@ w > n@ h1 > n@
^ x > n@ v > n@` h > n@ 1
x > n@ h1 > n@ v > n@ h1 > n@
(10.102)
Á ºÉ° µ ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h2 > n@ º° v > n@
y > n@ h2 > n@
(10.103) บทที่ 10 การแปลงซี 10-31
387
 nµ v > n@ µ ¤ µ¦ (10.103) ¨ Ä ¤ µ¦ (10.102) ³Å o y > n@ x > n@ h1 > n@ ^ y > n@ h2 > n@` h1 > n@
^1 h > n@ h > n@` y > n@ 1
2
x > n@ h1 > n@
(10.104)
H1 z X z
(10.105)
®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ¤ µ¦ (10.104) ³Å o
^1 H z H z `Y z
1
2
´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H z
Y z
X z
H1 z
1 H1 z H 2 z
(10.106)
10.6.2 µ¦®µÂ £µ¡ ¨È° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 10.5.3 à ¥ ´ÉªÅ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ³ ¼ ε® oª¥¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ nµ´¤ ¦³· ·Í ´ªÂ Á · Áo ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° ¦³ ¸Êµ¤µ¦ ¸É ³¦oµ ¹Ê ¤µÅ oà ¥°µ«´¥ ´ª εÁ · µ¦¡ºÊ µ 3  º° µ¦ ª µ¦ ¼ ¨³ µ¦®µ ¦·¡´ r ´ Â Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 10.15   £µ¡ ¨È° ° ¦³ ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° H z
2 1 1/ 3 z 1
(10.107)
ª· ¸ ε ¤ µ¦ (10.75) ¨³ (10.76) εĮo ¦µ ªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ¤ µ¦ (10.107) ¼ ε® oª¥¤ µ¦ Á · ¨ nµ º° 1 y > n@ y > n 1@ 2 x > n@ 3
(10.108)
oµ¤¤ ·ªnµ¦³ ° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° ¦³ Ä Ã Á¤ z ³Â Ä £µ¡ ¸É 10.11 à ¥ ¸É ¨È° z 1 º° ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ® ¹É ® nª¥ (unit delay operator) ¹É ¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ¦³®ªnµ ´ µ °· ¡» ¨³´ µ Á°µ r¡» µ¤£µ¡ ¸É 10.12 ´ª°¥nµ ¸É 10.16 ®µÂ £µ¡ ¨È° ° ¦³ ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
388
x > n@
y > n@
2
x > n@
y > n@
2
z 1
1 3
1 1 z 3
y > n 1@
£µ¡ ¸É 10.11  £µ¡ ¨È° ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.14 y > n@
y > n 1@
z 1
£µ¡ ¸É 10.12  £µ¡ ¨È°  ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ H s
1
(10.109)
1 1/ 4 z 1/ 8 z 2 1
ª· ¸ ε µ ¤ µ¦ (10.75) ¨³ (10.76) εĮo ¦µ ªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ¤ µ¦ (10.109) ¼ ε® oª¥ ¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@
1 1 y > n 1@ y > n 2@ x > n@ 4 8
(10.110)
oµ ε® Ä®o v > n@
y > n 1@
¨³
w > n@ v > n 1@
y > n 2@
¤ µ¦ (10.110) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } y > n@ x > n@
1 1 y > n 1@ y > n 2@ 4 8
1 1 x > n@ v > n@ w > n@ 4 8
(10.111)
¹É ¤¸Â £µ¡ ¨È° ´ Â Ä £µ¡ ¸É 10.13 ( ) ¨³Ã ¥ ´ÉªÅ  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Ê ³Á¦¸¥ ´ ªnµ “ £µ¡¦¼  ¦ (direct-form diagram)” Á¡¦µ³ªnµ nµ´¤ ¦³· ·Í ¸É ¦µ °¥¼nÄ Â £µ¡ ¨È° º° nµ ´¤ ¦³· ·ÍÁ ¸¥ª ´ ´ ¸É ¦µ °¥¼nÄ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ®¦º°Ä ¤ µ¦Á · ¨ nµ ´É º°¤ µ¦ (10.111) Ä µ · ´ ·Â £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 10.13 ( ) µ¤µ¦ ¸É ´ ¦¼ Ä®oÁ }  °ºÉ Ç Å o µ¤ ªµ¤ o° µ¦ °  n¨³ µ ¦³¥» r ¨nµª º°¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ¤ µ¦ (10.109) µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } H z
1 1 1/ 4 z 1/ 8 z 1
2
§ ·§ · 1 1 ¨¨ 1 ¸¨ 1 ¸ ¸¨ ¸ © 1 1/ 2 z ¹© 1 1/ 4 z ¹
H1 z H 2 z
(10.112)
บทที่ 10 การแปลงซี 10-33 389
y > n@
x > n@
z 1
1 4
v > n@
z 1 1 8
w > n@
y > n@
x > n@
1 2
H1 z
z 1 H2 z
2 3
x > n@
H1 z
1 2
1 3 H2 z
1 4
1 4
z 1
z 1
y > n@
z 1
£µ¡ ¸É 10.13  £µ¡ ¨È° ¦¼  nµ Ç ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.16
¹É È º° µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ´ Â Ä £µ¡ ¸É 10.13 ( ) ¨³Ã ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Êªnµ “ £µ¡¦¼  ° » ¦¤ (cascade-form diagram)” ° µ ¸Ê oµ ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬nª ¥n°¥ ° H z Ä ¤ µ¦ (10.109) È ³Å oÁ } H z
2/3 1/ 3 1 1 1/ 2 z 1 1/ 4 z 1
H1 z H 2 z
(10.113)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
390
¹É È º° µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥° ¦³ ¸É n° ´  µ ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° H z Ä ¤ µ¦ (10.113) µ¤µ¦ ¦oµ ¹Ê Å o µ¤£µ¡ ¸É 10.13 ( ) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Êªnµ “ £µ¡ ¦¼  µ (parallel-form diagram)”
10.7 µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª Ä ®´ª o° ¸Ê ³° · µ¥ “ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª (unilateral Z transform)” ¹É  nµ µ µ¦Â ¨ ¸ ¸É ¨nµª¤µ Ä ®´ª o° ¸É 10.2 ®¦º° “ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ (bilateral Z transform)” µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI  ° °¨ ¸É ¼ ε® oª¥¤ µ¦Á · ¨ nµ ¹É ¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o ŤnÁ } nµ«¼ ¥r µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ³ ·¥µ¤Ã ¥ X z
f
¦ x > n@ z
n
(10.114)
n 0
¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ³Ä o´ ¨´ ¬ r X z UZ ^ x > n @`
(10.115)
x > n @ UZ 1 ^ X z `
(10.116)
¨³
Á¤ºÉ° UZ > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ¨³ UZ 1 > @ º°´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ (inverse unilateral Z transform) ° µ ¸Ê ³Ä o´ ¨´ ¬ r UZ x > n @ m o X z
(10.117)
 ªµ¤´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª¦³®ªnµ x > n@ ¨³ X z
µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª µ¤¤ µ¦ (10.114) ³Â nµ µ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ µ¤¤ µ¦ (10.1) Á ¡µ³ nª ¨nµ ° µ¦®µ ¨¦ª¤ ¨nµª º° nª ° µ¦®µ ¨¦ª¤ ° µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ º° f d n d f Ä ³ ¸É nª ° µ¦®µ ¨¦ª¤ ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª º° 0 d n d f ´ ´Ê ´ µ ° ´ µ ¸É¤¸ nµ nµ ´ 宦´ n 0 ¨³¤¸ nµÁ nµ ´ 宦´ n t 0 ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ nµ ´  n¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ªÁ®¤º° ´ ´ µ x > n@ Ä Ç ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ «¼ ¥r宦´ n 0 ´É º°´ µ {~ ªµ (right-sided signal) ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ ¨³ oµ Á ¸¥ªÁ®¤º° ´ Ä ¦ ¸ ¸Ê » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ บทที่ 10 การแปลงซี 10-35 391
¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 10.5 ¹ µ¤µ¦ ε¤µÄ o ´ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ´Ê 宦´ ´ µ {~ ªµ ¹É ¤¸ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° ¨ µ¦Â ¨ ¸°¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° » Ä ¦³ µ z ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ³Á®¤º° ´ ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ ´ µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 10.4 à ¥ ¸É¤¸ o° ε® ªnµ ROC ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ³°¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° » ° ¦³ µ z Á¤° ´ª°¥nµ ¸É 10.17 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ´ µ x > n@ ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x > n@ 0 宦´  ° oµ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´
n 0
a nu > n@
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ³¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ µ¦Â ¨ ¸ 1 1 az 1
X z UZ ^ x > n @`
z !a
,
´ª°¥nµ ¸É 10.18 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ ¨³Â oµ Á ¸¥ª ° ´ µ x > n @ a n 1u > n 1@
(10.118)
ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x > 1@ 1 z 0  ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ ¨³Â oµ Á ¸¥ª ³Â nµ ´ ´É º° °µ«´¥ » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ x > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ º° z 1 az 1
X z Z ^ x > n @`
z !a
,
(10.119)
宦´ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª®µÅ o µ ¤ µ¦ (10.114) ´É º° X z
f
¦ x > n@ z n 0
Á ºÉ° µ ¦ fn 0 r n
1/ 1 r
n
f
¦a
n 1 n
z
n 0
f
a ¦ az 1
n
(10.120)
n 0
´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ X z
a 1 az 1
,
z !a
(10.121)
´ª°¥nµ ¸É 10.19 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
392
5 2 z 1 § 1 1 ·§ 1 1 · ¨1 z ¸¨1 z ¸ © 3 ¹© 2 ¹
X z
2 3 1 1 1 1 1 z 1 z 3 2
ª· ¸ ε ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ³Á®¤º° ´ ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ ´ à ¥ ¸ÉÄ®o¡· µ¦ µªnµ ROC °¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° » ° ¦³ µ z Á¤° ¹É Ä ¸É ¸Ê ªnµ ROC ° X z º° z ! 1/ 2 ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° X z º° x > n @ UZ
1
^X s `
n ° § 1 · n § 1 · ½° ®2 ¨ ¸ 3 ¨ ¸ ¾ u > n @ , © 2 ¹ ¿° ¯° © 3 ¹
宦´ n t 0
10.7.1 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª UZ UZ X z ¨³ y > n@ m o Y z º° ¼n µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ¸É¤¸ ROC °¥¼n ε® Ä®o x > n@ m o £µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° » µ¦µ ¸É 10.3 ¦» » ¤ ´ · ¸Éε ´ ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ¹É ¤¸ ´Ê » ¤ ´ · ¸ÉÁ®¤º° ´ ¨³ » ¤ ´ · ¸É nµ ´ ´ » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ªÂ¨³ ° µ¦Â ¨ ¸Â ° oµ ³¤¸ nµÁ nµ ´ à ¥ » ¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ¦³ LTI  ° °¨ ¨nµª º° oµ´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ¨ ° ° ° ¦³ h > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r宦´ n 0 ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ UZ y > n@ x > n@ h > n@ m o Y z
X z H z
UZ H z º° ¼n µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ¨ ° ° ° ¦³ ° µ ¸Ê » ¤ ´ · Á¤ºÉ° h > n@ m o µ¦ ε ° ꨼ ´ ¥´ µ¤µ¦ ε¤µÄ o° · µ¥ » ¤ ´ · µ¦®µ ¨³¤Ä à Á¤ Áª¨µ ´É º° n
¦ x >k @
UZ x > n@ u > n@ m o X z U z X s
k 0
UZ oU z
Á¤ºÉ° u > n@ m
1 1 z 1
1 1 z 1
º° ¼n µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥
´ª°¥nµ ¸É 10.20 ®µ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ¸É ¼ ε® oª¥¤ µ¦Á · ¨ nµ y > n@ 3 y > n 1@ x > n@
(10.122) บทที่ 10 การแปลงซี 10-37
393
µ¦µ ¸É 10.3 » ¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª » ¤ ´ ·
´ µ
¨ µ¦Â ¨ ¸
ax > n @ by > n @
a X z bY z
2. µ¦® nª Áª¨µ® ¹É ® nª¥
x > n 1@
z 1 X z x > 1@
3. µ¦¨nª ® oµÁª¨µ® ¹É ® nª¥
x > n 1@
z X z zx > 0@
z0n x > n @
X z / z0
1. ªµ¤Á } Á · Áo
4. µ¦Á ¨Ä à Á¤
z
X D z
e jZ n x > n @
z
X e
0
jZ0
1
D n x > n@
x > r @ , n rk
x k > n @ ®
5. µ¦ ¥µ¥ µ Áª¨µ
¯0,
X zk
n z rk
Á¤ºÉ° r Á } Á¨ ε ª Á Ȥ 6. µ¦´ ¥»
oµ´ µ x > n@
7. µ¦ ε ° ꨼ ´ 8. ° »¡´ rÄ Ã Á¤
X z
x > n @ y > n@ 0
宦´ n 0 ´ ´Ê
x > n@ y > n@
X z Y z
nx > n @
z
9. ¨ nµ °´ ´ ® ¹É
z
n
¦
11. §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o
oµ x > n@
k f
1 z X z x > 1@ 1
x >k @ 0
dz
1
x > n @ x > n 1@
10. ¨³¤
dX z
1 z 1
宦´ n 0 ¨oª x > 0@
X z
lim X z
z of
à ¥ ¸É´ µ °· ¡» º° x > n@ D u > n@ ¨³ D º° nµ ´ªÄ Ç Á¤ºÉ° ) ¦³ ¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest) ´É º° y > n@
0
宦´ n 0
) ¦³ ¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o º° y > 1@ E ª· ¸ ε ) 宦´ ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ¤ µ¦ (10.122) º° Y z 3z 1Y z
X z
(10.123)
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
394
¹É ³Å o¢ { r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H z
Y z
X z
1 1 3z 1
(10.124)
Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ´ µ °· ¡» º° D
UZ o X z
x > n@ D u > n@ m
(10.125)
1 z 1
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ z º° 1/ 4 D 3 / 4 D
§ D ·§ 1 · Y z X z H z ¨ 1 ¸¨ 1 ¸ © 1 z ¹© 1 3z ¹
1 z 1
1 3z 1
(10.126)
´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ Áª¨µ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° ¤ µ¦ (10.126) Á¤ºÉ° ROC º° z ! 3 (®¦º° z ! 3 ) ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ n½ 1 3 y > n@ UZ 1 ^Y z ` D ® 3 ¾ u > n@ ¯4 4 ¿
(10.127)
) 宦´ ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ¤ µ¦ (10.122) º° Y z 3^ z 1Y z y > 1@` X z
 nµ y > 1@ E ¨³ X z
D 1 z 1
¨ Ä ¤ µ¦ (10.128) ³Å o
Y z 3z 1Y z 3E
Y z
oµ ε® Ä®o E
1 ¨³ D
8
(10.128)
D 1 z 1
3E D 1 1 1 3z 1 3z 1 z 1
(10.129)
¤ µ¦ (10.129) µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } Y z
3 2 1 1 3z 1 z 1
(10.130)
´ ´Ê ´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ Áª¨µ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° ¤ µ¦ (10.130) Á¤ºÉ° ROC º° z ! 3 (®¦º° z ! 3 ) ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ บทที่ 10 การแปลงซี 10-39 395
y > n@ UZ 1 ^Y z `
^3 3 2` u >n@ n
´ª°¥nµ ¸É 10.21 ¡· µ¦ µ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.20 ( ) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦ªµ ¦¼ £µ¡ ° ) ¨ ° ° ´Ê ´ Å ) ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ ª· ¸ ε ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.20 ( ) ¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° µ¤¤ µ¦ (10.124) ´É º° H z
1 1 3z 1
(10.131)
) ¨ ° ° ´Ê ´ Å (step response) ° ¦³ È º° ´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ Á¤ºÉ°´ µ °· ¡» º° x > n@ u > n@ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ¤ µ¦ (10.127) à ¥ ¸É D 1 ´É º° n½ 1 3 y > n@ ® 3 ¾ u > n@ ¯4 4 ¿
(10.132)
£µ¡ ¸É 10.14  ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ¦³ ¸ÉÅ o µ ε´É flts Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ¨³ ¸ÉÅ o µ ¤ µ¦ (10.132) SCILAB:
(£µ¡ ¸É 10.14)
-->z = poly(0,'z'); -->N = 6;
// ε ª  ¤Á d¨ o°¤¼¨ ° ´ µ °· ¡»
n = 0:N-1;
-->u = ones(1,N);
//´ µ °· ¡» x > n @
u > n@
-->Hz = 1/(1+3/z);
//¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ µ¤¤ µ¦ (10.131)
-->stprep = flts(u, tf2ss(Hz));
// ε´É flts Ä o®µ ¨ ° ° ° ¦³
-->subplot(2,1,1); -->plot2d2(n, stprep, rect=[0,-100,N-1,100]); -->xtitle('SCILAB', '', 'Amplitude');
//£µ¡ ¸É 10.14 ( )
xgrid(2);
-->y =1/4 + 3/4*(-3).^n;
//´ µ Á°µ r¡» y > n @ µ¤¤ µ¦ (10.132)
-->subplot(2,1,2); -->plot2d2(n, y, rect=[0,-100,N-1,100]); -->xtitle('Eq.(10.132)', 'n', 'Amplitude');
//£µ¡ ¸É 10.14 (¨nµ ) xgrid(2);
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
396
n
£µ¡ ¸É 10.14 ¨ ° ° ´Ê ´ Å ° ¦³ Á¤ºÉ° ( ) Å o µ ε´É flts ¨³ (¨nµ ) Å o µ ¤ µ¦ (10.132)
) Á ºÉ° µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r (impulse response) ° ¦³ È º°´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ Á¤ºÉ° ´ µ °· ¡» º° x > n@ G > n@ ´ ´Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB ¹ µ¤µ¦ ªµ ¦¼ ¨ ° ° °·¤¡´¨r ° ¦³ Å oà ¥ nµ¥ à ¥Ä o » ε´É Á ¸¥ª ´ ´ ¸ÉÄ oªµ £µ¡ ¨ ° ° ´Ê ´ Å Á¡¸¥  nÁ ¨¸É¥ ´ µ °· ¡» µ u = ones(1,N); Á } u = [1 zeros(1,N-1)]; Á nµ ´Ê
10.8 ¦» oµ¥ µ¦Â ¨ ¸ Á } Á ¦ºÉ ° ¤º ° µ · «µ ¦r ¸É Ä o Ä µ¦Â ´ µ Ťn Á } µ ¸É Å ¤n n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¸ÉŤnµ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o µ¦Â ¨ ¸¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ 宦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ´ µ ¨³¦³ ´ ´Ê Ä ¸Ê ¹ Å o° · µ¥ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â¨³ µ¦Â ¨ ¸ ´ » ¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¸ È º°ªnµ¤¸ ªµ¤Îµ ´ Á n ´ Á ºÉ° µ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ µ¦®µ ¨ ° ° ° ¦³ Á · Áo ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÃ ¥°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¸ ¦ª¤ ´Ê  ĮoÁ®È ¹ ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° ° ¦³ » oµ¥Å o ¨nµª ¹ ªµ¤Îµ ´ ¨³ ¦³Ã¥ r ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª บทที่ 10 การแปลงซี 10-41 397
10.9  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸, ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC), ¨³Â £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ¢{ r ´ n°Å ¸Ê 1.1) x > n@ 0.5 n 1 u > n 2@
1.2) x > n@ 1/ 3 n u >3 n@ n
1.3) x > n@
2n u > n@ 1/ 3 u > n 2@
1.5) x > n@ 0.5 n ^u > n 4@ u > n 5@`
n
1.4) x > n@
n 1/ 2
1.6) x > n@
S· § 2S n ¸ u > n 1@ 4n cos ¨ 6 4¹ ©
2) ®µ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° ¢{ r ´ X z n°Å ¸Ê 2.1)
X z
2.3)
X z
2.5)
X z
1 z 1 1 1/ 4 z 2 z 1 0.5 1 2
1 0.5z
,
z !
1 2
2.2)
X z
,
z !
1 2
2.4)
X z
2.6)
X z
1 1/ 3 z 1
,
1 z 1 2 z
1
1
z !2
1 z 1 1 1/ 4 z 2 z 1 0.5 1 2
1 0.5z
,
z
1 2
,
z
1 2
12 z
z 1 z 1
2
,
z !1
3) ε® Ä®o´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI º° y > n@ x > n 3@ h > n 1@ Á¤ºÉ° x > n@ 1/ 2 n u > n@ ¨³ h > n@ 1/ 3 n u > n@ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ y > n@ Z o X z à ¥ ¸É X z ¤¸Á ºÉ° Å ´ n°Å ¸Ê 4) ε® Ä®o ¼n µ¦Â ¨ ¸ ° ´ µ x > n@ º° x > n@ m
)
X z
Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ {~ ªµ (right-sided function)
)
X z
¤¸Ã¡¨° á¨Á nµ ´Ê
)
X z
¤¸° ¸Ã¦°¥¼n ¸É » εÁ ·
)
X z
¤¸Ã¡¨® ¹É ᨰ¥¼n ¸É »
)
X 1 8 / 3
z
0.5e jS / 3
®µ nµ X z ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ 5) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@
1 1 y > n 1@ y > n 2@ 2 4
x > n@
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
398
Á¤ºÉ° x > n@ º°´ µ °· ¡» ¨³ °·¤¡´¨r ° ¦³
y > n@
º°´ µ Á°µ r¡» oµ ε® Ä®o h > n@ º° ¨ ° °
5.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° h > n@ ¨³®µ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¡¦o°¤ ´Ê ªµ  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ 5.2) ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y > n@ Á¤ºÉ° x > n@
0.5n u > n@
6) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@
y > n 1@ y > n 2@ x > n 1@
Á¤ºÉ° x > n@ º°´ µ °· ¡» ¨³ °·¤¡´¨r ° ¦³
y > n@
º°´ µ Á°µ r¡» oµ ε® Ä®o h > n@ º° ¨ ° °
6.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° h > n@ ¨³®µ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¡¦o°¤ ´Ê ªµ  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ 6.2) ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y > n@ Á¤ºÉ° x > n@
u > n@
7) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@ y > n 1@ ax > n 1@
Á¤ºÉ° a ! 0 , x > n@ º°´ µ °· ¡» , ¨³ y > n@ º°´ µ Á°µ r¡» 7.1) ®µ ¨ ° ° °·¤¡´¨r h > n@ ° ¦³ 7.2) ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ° ¦³ 7.3) ®µ´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y > n@ Á¤ºÉ° x > n@
e an
8) ªµ  £µ¡¦¼  ¦ (direct-form diagram) ° ¦³ LTI  ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° º° z 1 0.5
8.1)
H z
8.2)
H z
8.3)
H z
2z 1 z 4 / 3 1/ 2 z 2 2 / 3 z 3
8.4)
H z
3 1 z 1/ 4 z 1 2 / 3 z 1 1/ 9 z 2
1 2
1 0.5z
5z
z 1 z 1
1
2
2
บทที่ 10 การแปลงซี 10-43 399
8.5)
H z
2 z 1 1 z 1 1/ 2 z 2 1 1/ 2 z 1 z 2
9) ε® Ä®o´ µ °· ¡» x > n@ ¨³´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI  ° °¨¤¸ ªµ¤´¤¡´ r ´ µ¤Â £µ¡ ¨È° n°Å ¸Ê y > n@
x > n@
z 1
1 4
7 6
z 1 2 7
9.1) ®µ¤ µ¦Á · ¨ nµ ° ¦³ Á¡ºÉ°Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ y > n@ 9.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á ¸¥¦®¦º°Å¤n 10) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª, ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC), ¨³Â £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ¢{ r ´ n°Å ¸Ê 10.1) x > n@ 1/ 4 n u > n 5@ 10.2) x > n@ G > n 2@ G > n@ 3n u > n@ 10.3) x > n@
0.3
n
11) ε® Ä®o x1 t 1/ 3 n 1 u > n 1@ ¨³ x2 > n@ 1/ 5 n u > n@ 11.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª
X1 z
¨³Â ° oµ
X1 z
° ´ µ x1 > n@
11.2) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª
X 2 z
¨³Â ° oµ
X2 z
° ´ µ x2 > n@
11.3) ®µ µ¦Â ¨ ¸  ° o µ ´ ° ¨ ¼ x1 > n@ x2 > n@
X1 z X 2 z
Á¡ºÉ ° ®µ n µ ´ µ g > n@
11.4)  ªnµ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° ¨ ¼ X 1 z X 2 z ¤¸ nµÅ¤nÁ nµ ´ ´ µ g > n@ Ä o° ¸É 11.3) 宦´ n t 0
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-44 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
400
£µ ª ¼ ¦ · «µ ¦r ¸É nµ Ä £µ ª ¸Ê ³¦» ¼ ¦ · «µ ¦r ¸É nµ Ä Á¡ºÉ° nª¥Ä µ¦Â oÅ { ®µ µ · «µ ¦rÄ ® ´ º°Á¨n¤ ¸Ê ¹É ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª nµ Ç ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê
.1 ¼ ¦ µ¦®µ ¨¦ª¤ M
¦a
1 a M 1 1 a
n
n 0
f
¦a
1 , a 1 1 a
n
n 0
N 1
¦a
1 a N , n z1 ° ® 1 a °N, n 1 ¯
n
n 0
ak , a 1 1 a
f
¦ an n k
f
¦ na
a
n
1 a
n 0
f
¦n a 2
n 0
n
,
2
a2 a
1 a
3
a 1
,
a 1
ภาคภนวก ก สูตรคณิตศาสตรทนี่ า สนใจ
401
ก-1
ÂŚe
n
jm 2S / N n
N
 N , m 0, r N , r2 N ,! Ž ¯0, else
Â&#x201E;.2 ÂÂźÂ&#x2DC;ÂŚÂ&#x2026;°Â&#x160;°°¼à ¨°Œr e r jT
cos T j sin T
cos T
1 jT ^e e jT ` 2
sin T
1 jT ^e e jT ` 2j
Â&#x201E;.3 à °Â&#x201E;¨´Â&#x201E;ÂŹÂ&#x2013;rÂ&#x2DC;Œ¸Ă&#x192;Â&#x201E;Â&#x2013;¤¡Â&#x2DC;¡ sin 2 T cos 2 T 1 sin 2T
2sin T cos T
sin 2 T
1 1 cos 2T
2
cos 2T cos 2 T sin 2 T 1 2 cos 2 T
cos 2 T
1 1 cos 2T
2
sin D r E sin D cos E r cos D sin E
cos D r E cos D cos E B sin D sin E
sin D sin E
1 ^cos D E cos D E ` 2
cos D cos E
1 ^cos D E cos D E ` 2
sin D cos E
1 ^sin D E sin D E ` 2
ŕ¸?ŕ¸?าŕ¸&#x201C;๠ละระŕ¸&#x161;ŕ¸&#x161; ภูŕ¸&#x161;ภารŕ¸&#x203A;ระยุภŕ¸&#x2022;ď&#x153;&#x17D;ŕš&#x192;ŕ¸&#x160;ď&#x153;&#x2039;ŕš&#x201A;ŕ¸&#x203A;ร๠ภรม SCILAB ภ-2 สูSignals and Systems with SCILAB Applications
402
§D E sin D sin E 2sin ¨ Š 2 cos D cos E
¡ §D E ¡ ¸ cos ¨ ¸ š Š 2 š
§D E ¡ §D E ¡ 2 cos ¨ ¸ cos ¨ ¸ Š 2 š Š 2 š § § b ¡¡ a 2 b 2 cos ¨ D tan 1 ¨ ¸ ¸ Š a šš Š
a cos D b sin D
Â&#x201E;.4 Â&#x201E;¾ŒÂ&#x201E;ÂŚÂłÂ&#x2039;¾¼°Â&#x153;ÂťÂ&#x201E;Œ¤Â&#x201E;Ă&#x17D;¾¨´Â&#x160; f
ex
§1
Œ ¨Š k x k 0
1 D
n
k
x1 x 2 x 3 ¡ ¸ 1 ! 1! 2! 3! š
1 nD
n n 1
2!
§n¡
D 2 ! ¨ ¸D k ! D n k Š š
1
1 1 ln 1 D D D 2 D 3 ! k 2 3
k 1
D k ! , D 1
Â&#x201E;.5 Â&#x17E;Œ¡¥´Â&#x153;Â&#x203A;rÂ&#x2039;Ă&#x17D;ÂľÂ&#x201E;´Â&#x2014;Ă Â&#x2026;Â&#x2DC; S
ÂłS cos nx cos mx dx
S
ÂłS sin nx cos mx dx
S
ÂłS sin nx sin mx dx
ÂS , m n ÂŽ ÂŻ0, m z n ÂS , m n ÂŽ ÂŻ0, m z n ÂS , m n ÂŽ ÂŻ0, m z n
2S
Âł sin nx cos mx dx
0
à ¤ºĂ&#x2030;° m Ă&#x201A;¨³ n Ă Â&#x17E;}Â&#x153;à ¨Â&#x2026;Â&#x2039;Ă&#x17D;ÂľÂ&#x153;ÂŞÂ&#x153;Ă Â&#x2DC;Ă&#x2C6;¤Ă&#x201E;Â&#x2014;Ă&#x2021;
0
T0
Âłe 0
j k n Z0t
dt
ÂT0 , k n ÂŽ ÂŻ0, k z n
ภาŕ¸&#x201E;ภŕ¸&#x2122;วภภสบŕ¸&#x2022;รŕ¸&#x201E;ŕ¸&#x201C;ิŕ¸&#x2022;ศาสŕ¸&#x2022;รď&#x153;&#x17D;ŕ¸&#x2014;ŕ¸&#x2122;฾ŕš&#x2C6; าď&#x153;&#x160; สŕ¸&#x2122;ŕš&#x192;ŕ¸&#x2C6;
403
ภ-3
f n ax
Âłx e
n! a n 1
,
a!0
1 S 2 a
,
a!0
dx
0
f
Âłe
ax 2
dx
0
f
Âł xe
ax 2
1 2a
dx
0
,
a!0
Â&#x201E;.6 Â&#x17E;Œ¡¥´Â&#x153;Â&#x203A;rĂ&#x2026;¤nÂ&#x2039;Ă&#x17D;ÂľÂ&#x201E;´Â&#x2014;Ă Â&#x2026;Â&#x2DC; Âł sin mx cos nx dx Âł sin mx sin nx dx
Âł sin ax cos ax dx ax Âł e sin bx dx
ax Âł e cos bx dx
Âłx
2
Âłx
2
Âł xe
cos m n x
2 m n
sin m n x
2 m n
2 m n
sin m n x
2 m n
à ¤ºĂ&#x2030;° m2 z n2
à ¤ºĂ&#x2030;° m2 z n2
e ax ^a sin bx b cos bx ` a 2 b2 e ax ^a cos bx b sin bx ` a 2 b2
1 § x¡ tan 1 ¨ ¸ a Šaš
x dx a2
1 ln x 2 a 2
a
dx
cos m n x
1 sin 2 ax
2a
1 dx a2
ax
eax ax 1
a2
Âł x sin ax dx
1 x sin ax cos ax
a2 a
Âł x cos ax dx
1 x cos ax sin ax
2 a a
ŕ¸?ŕ¸?าŕ¸&#x201C;๠ละระŕ¸&#x161;ŕ¸&#x161; ภูŕ¸&#x161;ภารŕ¸&#x203A;ระยุภŕ¸&#x2022;ď&#x153;&#x17D;ŕš&#x192;ŕ¸&#x160;ď&#x153;&#x2039;ŕš&#x201A;ŕ¸&#x203A;ร๠ภรม SCILAB ภ-4 สูSignals and Systems with SCILAB Applications
404
£µ ª ¡ºÊ µ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB [6, 7] Á } à ¦Â ¦¤£µ¬µ ´Ê ¼ ¸É ¼ ¡´ µ ¹Ê à ¥ ªµ¤¦nª¤¤º° ´ ¦³®ªnµ ´ ª· ´¥ µ µ ´ Institut National De Recherche En Informatique Et En Automatique (INRIA) ¨³ École nationale des ponts et chausses (ENPC) ¦³Á « ¦´É Á« ´Ê  n e .«.1990 à ¥¤¸ » ¤»n ®¤µ¥Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦ ε ª Á · ´ªÁ¨ ¨³Â ¨ ¦µ¢¦· ¸É ´ o° ° µ ¸Êà ¦Â ¦¤ SCILAB ¥´ Á } à ¦Â ¦¤ ¸ÉÄ®o¢¦¸ (Ťn o° Á¸¥Á · nµ¨· · ·Í °¢ rª¦r) ¼o°nµ µ¤µ¦ µª rî¨ Å o µ http://www.scilab.org 宦´ Ä £µ ª ¸Ê ³° · µ¥¡ºÊ µ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á¡ºÉ°Ä®o ¼o°nµ µ¤µ¦ ¨° Ä o µ ´ª°¥nµ à ¦Â ¦¤ SCILAB ¸É ¦µ Ä Â n¨³ Á¦¸¥ Å o Á ºÉ° µ ª· µ “´ µ ¨³¦³ ” ¤¸¤ µ¦ · «µ ¦r ε ª ¤µ ¹É µ ¦´Ê εĮo¥µ  n µ¦ ε ªµ¤Á oµÄ ´ ´Ê µ¦Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ª ¼nÅ ´ µ¦Á¦¸¥ ¦¼oÄ Â n¨³ Á¦¸¥ ³ nª¥ εĮo ¼oÁ¦¸¥ µ¤µ¦ Á oµÄ Ä Á¦¸¥ Å o¤µ ¥·É ¹Ê SCILAB1
.1 µ¦¦oµ Á ¨nµ¦r Áª Á °¦r ¨³Á¤ ¦· r nµÁ ¨µ¦r (scalar) µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ε® ¨ Ä ´ªÂ ¦Å o ´ ¸ Á n oµ o° µ¦ ε® Ä®o a b 5 È ÎµÅ o ´ ¸Ê -->a = 2 + 3*%i
1
2 3i
¨³
// ε® Ä®o a 2 3i
SCILAB Á } à ¦Â ¦¤ ¸Éµ¤µ¦ ε µ Å o°¥nµ ¤¸ ¦³· ·£µ¡Ä ¨oÁ ¸¥ ´ à ¦Â ¦¤ MATLAB [16] ¹É nµ¨· · ·Í
°¢ rª¦r ° à ¦Â ¦¤ MATLAB ¤¸¦µ µÂ¡ ¤µ  n SCILAB Á } à ¦Â ¦¤ ¸ÉÄ®o¢¦¸ (freeware) à ¥µ¤µ¦ µª rî¨ Å o µ http//www.scilab.org ®¦º° http://home.npru.ac.th/piya/webscilab ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB
405
ข-1
a 2. + 3.i -->b = 5;
// ε® Ä®o b 5
-->
à ¥ ¸É %i º° nµ ¸É¡·Á«¬ ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ´ªÁ¨ Á · o° à ¥ ³¤¸ nµÁ nµ ´ ® nª¥ · £µ¡ (imaginary unit) ´É º° i 1 nª Á ¦ºÉ° ®¤µ¥Á ¤·Ã ¨° “;” ¸ÉÄ o d oµ¥ ε´É ¸É° Á } µ¦ ° Ä®oà ¦Â ¦¤ Ťn o°  ¨¨´¡ r°° µ ® oµ nµ ε´É ¨³Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ double slash “//” ®¦º°Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ °¤Á¤ r (comment) Á } Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¸É ³ ° Ä®oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ťn ε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ n° ε´É ®¦º° o° ªµ¤ ¸É°¥¼n®¨´ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ °¤Á¤ r ¸Ê Ä µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¹Ê ¦¦ ´ Ä®¤n “...” ¹É ¤¸¨´ ¬ ³Á } » ¸ÉÁ¦¸¥ n° ´ µ¤ » ³¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Ä µ¦Á ¸¥ à ¦Â ¦¤Ã ¥Á ¡µ³°¥nµ ¥·É Á¤ºÉ° ε´É ¸ÉÄ o¤¸ ªµ¤¥µª¤µ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¸ÊÁ°µÅªoÄ o n° oµ¥ ε´É Á¡ºÉ° ° ªnµ ε´É Ä ¦¦ ´ ´Ê ¥´ Ťn·Ê » ´ ´Ê ¹ ¤oªnµ ³ »i¤ Enter ®¨´ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ » µ¤ » ¸Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB È ³¥´ Ťn ε ε´É ´Ê Å ¦³¤ª¨ ¨  n ³¦°¦´ o°¤¼¨ nª ¸ÉÁ®¨º° ¸É ³Á ¸¥ n°Å Ä ¦¦ ´ Ä®¤n ¦³ ´É ®¤ ε´É ¨oª »i¤ Enter °¸ ¦´Ê µ ´Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB ¹ ³Á°µ o° ªµ¤ ´Ê ®¤ ¤µ¦ª¤ ´ Á } ¦³Ã¥ ε´É Á ¸¥ªÂ¨oª n°¥ εÁ°µÅ ¦³¤ª¨ ¨ ´ª°¥nµ Á n -->x = 5; -->y = 3; -->z = x + y z
//®µ ¨ ª ° ´ªÂ ¦ x ´ ´ªÂ ¦ y //¨oª ε ¨¨´¡ r ¸ÉÅ oÅ ¦¦ »ÅªoÄ ´ªÂ ¦Ä®¤n ¸É ºÉ° ´ªÂ ¦ z
= 8.
-->z = x + ...
//®¤µ¥ ¹ ¥´ Ťn·Ê » ε´É à ¦Â ¦¤ SCILAB ³¥´ Ťn ε o°¤¼¨ ¸ÊÅ ¦³¤ª¨ ¨
-->y
//Á¤ºÉ° »i¤ Enter È º°ªnµÁ } µ¦·Ê » ε´É ¸É j° µ ¦¦ ´ n° ® oµ ¸Ê
z
//à ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε ε´É ´Ê ®¤ º° z = x + y Å ¦³¤ª¨ ¨
= 8.
³Á®È Å oªnµ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤¸ nµÁ nµ ´ à ¦Â ¦¤ SCILAB Å oÁ ¦¸¥¤ nµ ¸É¡·Á«¬°ºÉ Ç Á¡ºÉ°¦° ¦´ µ¦ ε ª µ · «µ ¦r Á n %pi
º° nµ°´ ¦µnª ¦³®ªnµ ªµ¤¥µªÁo ¦° ª ´ Áo nµ «¼ ¥r ¨µ ° ª ¨¤ ¤¸ nµÁ nµ ´
ʌ = 3.1415927... %e
º° nµ ¸É ¦¸Ã ¤· · à ¥¤¸ µn Á nµ ´ e = 2.7182818...
%inf ¤µ µ εªnµ “infinity”
ข-2
º° nµ° ´ r ´É º° %inf =
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
406
%eps ¤µ µ εªnµ “epsilon”
à ¥¤¸ nµÁ nµ ´ e § ³ º°ªnµÁ } nµ«¼ ¥r
º° nµ® nª¥¥n°¥ µ Á¨È ¸É» ¸Éà ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤µ¦ ¦° ¦´ Å o 2.22*10-16 ´ ´Ê nµ ε ª ¦· ¸É¤¸ nµ o°¥ ªnµ nµ %eps à ¦Â ¦¤ SCILAB
%nan ¤µ µ εªnµ “Not-A-Number” º° nµ ¸ÉŤnµ¤µ¦  Įo°¥¼Än ¦¼ ° ´ªÁ¨ Å o ans º° ´ªÂ ¦ ´Éª ¦µª ¸Éà ¦Â ¦¤ SCILAB
Ä oÁ È ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª  n¨³ ε´É Ä ¦ ¸ ¸É
Ťn¤¸ ´ªÂ ¦¤µ¦´ nµ ¨¨´¡ r ´Ê Áª Á °¦r (vector) º°Á¤ ¦· r (matrix) µ ® ¹É  ª ®¦º°Á¤ ¦· r µ ® ¹É  ª ´Ê Áª Á °¦r ª (row vector) µ¤µ¦ ¦oµ Å oà ¥ µ¦Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ °¤¤nµ (comma) “,” ®¦º° n° ªnµ (space) Á } ´ªÂ¥ ¤µ ·  n¨³¤µ · Ä Áª Á °¦r ª ´ª°¥nµ Á n -->v = [1, 2, -3] v = 1. 2. - 3. -->v = [1 2 v = 1. 2.
-3] - 3.
oµ o° µ¦ ¦µ ªnµÁª Á °¦r v ¤¸ ªµ¤¥µªÁ nµÄ ®¦º°¤¸ ε ª ¤µ · ´Ê ®¤ Á nµÄ È ÎµÅ oà ¥ µ¦Ä o ε´É length ´ ¸Ê -->length(v) ans =
//®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁª Á °¦r v ¤¸¤µ · µ¤ ´ª
3.
Ä ³ ¸ÉÁª Á °¦r ª ´Ê (column vector) µ¤µ¦ ¦oµ Å oà ¥ µ¦ ¦µ rá (transpose) Áª Á °¦r ª ¹É ³Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ single quote “ ' ” µ¤®¨´ ´ªÂ ¦Áª Á °¦r ª ®¦º°µ¤µ¦ ¦oµ Áª Á °¦r ª ´Ê ¹Ê ¤µÅ oà ¥ ¦ à ¥ µ¦Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥Á ¤·Ã ¨n° Á } ´ª Â¥ ¤µ ·  n¨³¤µ · Ä Áª Á °¦r ª ´Ê Á n -->v = [1 2 3];
//¦oµ Áª Á °¦r ª v
-->v'
//Ä o ¦µ rá ´ Áª Á °¦r ªÁ¡ºÉ°Ä®oÅ oÁ } Áª Á °¦r ª ´Ê
ans
= 1. 2. 3.
ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB
407
ข-3
//¦oµ Áª Á °¦r ª ´Ê ¹Ê ¤µÃ ¥Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥Á ¤·Ã ¨n°
-->w = [1; 2; -3] w
= 1. 2. - 3.
° µ µ¦ ε® nµÃ ¥ ¦ Ä®o ´ Áª Á °¦r¨oª ¼oÄ o¥´ µ¤µ¦ ε® nµ ° Áª Á °¦rÄ®o¤¸ nµ Á¡·É¤ ¹Ê ®¦º°¨ ¨  °´ à ¤´ ·Å o à ¥ µ¦Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥Ã ¨n° (colon) “ : ” ¹É ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê ºÉ° ´ªÂ ¦ = nµÁ¦·É¤ o : nµ ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê (®¦º° nµ ¸É¨ ¨ ) : nµ» oµ¥ Ä ¦ ¸ ¸ÉŤn¤¸ µ¦ ε® nµ ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê (®¦º° nµ ¸É¨ ¨ ) à ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε® Ä®oÁ } nµ ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê Á nµ ´ +1 à ¥°´ à ¤´ · ( nµÃ ¥ ¦·¥µ¥) ´ª°¥nµ Á n //Á¦·É¤ o ¸É nµ 1 ¨oªÁ¡·É¤ ¹Ê ¸¨³ +2 ¦³ ´É ¹ nµ ¸É¤µ ¸É» ¸ÉŤnÁ · 10
-->z = 1:2:10 z
= 1.
3.
5.
= 0.
1.
2.
3.
4.
5.
// nµÁ¦·É¤ o ¸É 5Ťnµ¤µ¦ Á¡·É¤ ¹Ê ¸¨³ +1 ¹ 0 Å o ´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ¹ Á }
-->z = 5:0 z
9.
//Á¦·É¤ o ¸É nµ 0 ¨oª nµÁ¡·É¤ ¹Ê ¸¨³ +1 ¦³ ´É ¹ 5
-->z = 0:5 z
7.
//Á¤ ¦· rªnµ (empty matrix) ´É º°¤¸ ε ª  ª ´ ε ª  ª ´Ê Á nµ ´ «¼ ¥r
= []
Á¤ ¦· r µ mun º°Á¤ ¦· r ¸É¤¸ ε ª ε ª m  ª ¨³ n  ª ´Ê Á n oµ o° µ¦¦oµ Á¤ ¦· r µ 2u3 µ¤µ¦ ¦oµ Å o Á n -->A = [1 2 3; 4 5 6] A = 1. 2. 3. 4. 5. 6.
¨³®µ o° µ¦ ¦µ ªnµÁ¤ ¦· r A ¤¸ µ Á nµÄ ȵ¤µ¦ εŠoà ¥Ä o ε´É size ´ ¸Ê -->size(A) ans = 2.
ข-4
3.
// ° ªnµÁ¤ ¦· r A ¤¸ µ 2u3 (®¦º° 2  ª ¨³ 3  ª ´Ê )
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
408
° µ ¸Ê ¼oÄ oµ¤µ¦ ¸É ³°oµ ¹ ¤µ ·  n¨³ ´ªÄ Á¤ ¦· rÅ oà ¥ ¦ µ¤¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê -->b = A(2, 3) b = 6.
ε´É ¸ÊÁ } µ¦ ° à ¦Â ¦¤ SCILAB Ä®o ε nµ ° ¤µ · Ä Â ª ¸É° ¨³Â ª ´Ê ¸Éµ¤ ° Á¤ ¦· r A Å ¦¦ »ÅªoÄ ´ªÂ ¦ b Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¼oÄ o¥´ µ¤µ¦ ¸É ³ ε® nµÄ®o n¤µ ·  n¨³ ´ªÄ Á¤ ¦· r Å oà ¥ ¦ Á n -->A(2, 3) = 10 A = 1. 2. 3. 4. 5. 10.
¹É Á } µ¦ ε® Ä®o nµ ° ¤µ · Ä Â ª ¸É° ¨³Â ª ´Ê ¸Éµ¤ ° Á¤ ¦· r Á¤ ¦· r A ¹ ¤¸ ¨¨´¡ r µ¤ ¸É Ūo oµ o
A
¤¸ nµÁ } nµ
10 ´ ´Ê
.1.1 µ¦®µ ¦µ rá ¸Á °¦r¤·Â r °· Áª°¦r µ¦ ¼ ° Á¤ ¦· r ¦µ ráÁ¤ ¦· r (matrix transpose) Á } µ¦Á ¨¸É¥  ª ´Ê Ä®oÁ }  ª ¨³Á ¨¸É¥  ªÄ®oÁ }  ª ´Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤µ¦ ε µ¦ ¦µ ráÁ¤ ¦· rÅ o 2 ¦¼  º° 1) ¦µ rá ´ ¥» (conjugate transpose) ³Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ “ ' ” Á } ´ª εÁ · µ¦ à ¥ ε® oµ ¸É ¦oµ ¦µ ráÁ¤ ¦· r ¡¦o°¤ ´Ê ε µ¦´ ¥» ° ´ªÁ¨ Á · o° oª¥ 2) ¦µ rá ¦¦¤ µ (transpose) ³Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ “ .' ” Á } ´ª εÁ · µ¦ à ¥ ³¦oµ Á ¡µ³ ¦µ ráÁ¤ ¦· rÁ nµ ´Ê ´ª°¥nµ µ¦Ä o µ Á n -->A = [1 + 2*%i; 3; 2 - %i];
//Ä o ¦µ rá ´ ¥»
-->A' ans
= 1. - 2.i
3.
2. + i
//Ä o ¦µ rá ¦¦¤ µ
-->A.' ans
= 1. + 2.i
// ε µ¦´ ¥» ° ´ªÁ¨ Á · o° oª¥
3.
2. - i
ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB
409
ข-5
宦´ nµ ¸Á °¦r¤·Â r (determinant) ¨³ µ¦®µ°· Áª°¦r µ¦ ¼ ° Á¤ ¦· r A µ¤µ¦ εŠo à ¥ µ¦Ä o ε´É det(A) ¨³ inv(A) µ¤¨Îµ ´ Á n -->A = [1 2; 3 4];
//¦oµ Á¤ ¦· r A
-->det(A)
//®µ ¸Á °¦r¤·Â r ° Á¤ ¦· r A
ans
=
- 2.
//®µ°· Áª°¦r µ¦ ¼ ° Á¤ ¦· r A
-->inv(A) ans
=
- 2.
1.
1.5
- 0.5
.2 ¡®» µ¤ à ¦Â ¦¤ SCILAB ³¦° ¦´ ¡®» µ¤ (polynomial) ¸É¤¸¦¼  ´ ¸Ê 2
y = a0 + a1x + a2x + … + an x
n
Á¤ºÉ° x º° ´ªÂ ¦¡®» µ¤, a = [a0 a1 a2 ... an] º°Áª Á °¦r ¸É¤¸¤µ ·  n¨³ ´ªÁ } nµ´¤ ¦³· ·Í ° ¡®» µ¤, n º° ¸ ¦¸ (degree) ° ¡®» µ¤, ¨³ y º°¤ µ¦¡®» µ¤ Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ¤ µ¦¡®» µ¤ µ¤µ¦ ¦oµ Å oà ¥Ä o ε´É poly ´ ¸Ê y = poly(a, "x", [flag])
¹É ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ °¥¼n 2  º° 1) oµ¡µ¦µ¤·Á °¦r a Á } Áª Á °¦r ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ¤ µ¦¡®» µ¤ y ¸É ¼ ε® à ¥¡µ¦µ¤·Á °¦r x ¨³ flag Á¤ºÉ° x º° ´ªÂ ¦¡®» µ¤ ¨³ flag Á } ´ªÁ¨º° (option) ¸É¤¸ µ¦Á¦¸¥ Ä o µ ´ ¸Ê flag = "coeff" Ä®o¦oµ ¤ µ¦¡®» µ¤ µ nµ´¤ ¦³· ·Í ¸É ε® à ¥Áª Á °¦r a flag = "roots" ( nµÃ ¥ ¦·¥µ¥) Ä®o¦oµ ¤ µ¦¡®» µ¤ µ ε ° ° ¤ µ¦¡®» µ¤ ¸É µÎ ® à ¥Áª Á °¦r a ´ª°¥nµ Á n -->q = poly([1 2 3], "x", "coeff") //¦oµ ¤ µ¦¡®» µ¤ µ nµ´¤ ¦³· ·Í q
ข-6
=
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
410
2 1 + 2x + 3x
//¦oµ ¤ µ¦¡®» µ¤ µ ε ° ° ¤ µ¦¡®» µ¤
-->p = poly([1 2], "s") p
= 2
// ´É º° s = 1 ¨³ s = 2 Á } ε ° ° s
2
2 - 3s + s
// ε´É ¸ÉÄ o®µ ε ° ° ¤ µ¦¡®» µ¤ p
-->roots(p) ans
3s 2 0
= 1. 2.
2) oµ¡µ¦µ¤·Á °¦r a Á } Á¤ ¦· r ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ¤ µ¦¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (characteristic equation) ° Á¤ ¦· r a ¹É Ä µ · «µ ¦r¤ µ¦¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° Á¤ ¦· r A ®µÅ o µ µ¦ µ¦Â o¤ µ¦ det(A – ȜI) = 0 à ¥ ¸É Ȝ º° nµ ´ªÄ Ç Â¨³ I º°Á¤ ¦· rÁ° ¨´ ¬ r ¸É¤¸ µ ´ Á¤ ¦· r A Á n oµ ε® Ä®oÁ¤ ¦· r Ȝ 2 5Ȝ 2 0
ª1 2º A=« » ¬3 4¼
³Å oªnµ¤ µ¦¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° Á¤ ¦· r A º°¤ µ¦
à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤µ¦ ®µ¤ µ¦¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° Á¤ ¦· r A Å oà ¥Ä o ε´É
poly ´ ¸Ê -->A = [1 2;
3 4];
-->y = poly(A, "x") y = 2 - 2 - 5x + x
// ¨¨´¡ rÁ nµ ´ ´ ¤ µ¦ Ȝ 2 5Ȝ 2 0 Á¤ºÉ°Â nµ x
Ȝ
.3 µ¦ εÁ · µ¦ µ · «µ ¦r µ¦ ε ª µ · «µ ¦r¦³®ªnµ nµÁ ¨µ¦r ´ nµÁ ¨µ¦r Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª ´ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¸ÉÄ oÄ Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ³ nµ ´ Á¨È o°¥ ´ ¸ÉÂ Ä µ¦µ ¸É .1 ´ª°¥nµ Á n -->a = 3; -->b = 2; -->M = [a + b, a - b, a * b; a \b, a /b, a^b] M = 5. 1. 6. 0.6666667 1.5 9.
ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB
411
ข-7
µ¦µ ¸É .1 µ¦ εÁ · µ¦ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª µ · «µ ¦r ° nµÁ ¨µ¦r µ¦ εÁ · µ¦
¦¼  ¡¸ ·
¦¼  ° SCILAB
µ¦ ª (addition)
a+b
a + b
µ¦¨ (subtraction)
a–b
a – b
µ¦ ¼ (multiplication)
a×b
a * b
µ¦®µ¦ oµ¥ (left division) µ¦®µ¦ ªµ (right division) µ¦¥ ε¨´ (exponentiation)
b
a \ b
a a
a / b
b
ab
a^b ®¦º° a**b
µ¦µ ¸É .2 ´ª εÁ · µ¦ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª µ · «µ ¦r ° Á¤ ¦· r ´ª εÁ · µ¦
ε° · µ¥
+
µ¦ ª (addition)
–
µ¦¨ (subtraction) µ¦ ¼ (multiplication) µ¦ ¼ Ä ¦³ ´ ¤µ · (element-wise multiplication)
* .* .*. \
µ¦ ¼  à ¦Á Á °¦r (Kronecker product) µ¦®µ¦ oµ¥ (left division)
.\
µ¦®µ¦ oµ¥Ä ¦³ ´ ¤µ · (element-wise left division)
.\.
µ¦®µ¦ oµ¥Â à ¦Á Á °¦r (Kronecker left division)
/
µ¦®µ¦ ªµ (right division)
./
µ¦®µ¦ ªµÄ ¦³ ´ ¤µ · (element-wise right division)
./.
µ¦®µ¦ ªµÂ à ¦Á Á °¦r (Kronecker right division)
^ ®¦º° ** .^
µ¦¥ ε¨´ (exponentiation) µ¦¥ ε¨´ Ä ¦³ ´ ¤µ · (element-wise exponentiation)
Ä ³ ¸É ´ª εÁ · µ¦ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª µ · «µ ¦r宦´ Á¤ ¦· r Â Ä µ¦µ ¸É .2 ´ª°¥nµ Á n -->A = [1 2 3; 4 5 6]; -->B = [1 1 1; -1 -1 -1];
ข-8
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
412
-->A + B ans = 2. 3.
3. 4.
4. 5.
-->A – B ans = 0. 5.
1. 6.
2. 7.
// µ ° Á¤ ¦· rŤn° ¨o° ´ µ¦ ¼ ´ ° Á¤ ¦· r
-->A * B !--error 10 inconsistent multiplication -->A * B' ans = 6. - 6. 15. - 15.
// µ¦ ¼ Ä ¦³ ´ ¤µ ·
-->A .* B ans = 1. 2. – 4. – 5.
3. – 6.
// µ¦®µ¦ oµ¥Ä ¦³ ´ ¤µ ·
-->A .\ B ans = 1. - 0.25
0.5 - 0.2
0.3333333 - 0.1666667
// µ¦¥ ε¨´ Ä ¦³ ´ ¤µ ·
-->A .^ B ans = 1. 0.25
2. 0.2
3. 0.1666667
³Á®È Å oªnµ µ¦ εÁ · µ¦ nµ Ç Ä ¦³ ´ ¤µ · ³Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ°Á¤ ¦· r ´Ê ° ³ o° ¤¸ µ Á nµ ´
.4 µ¦Â o¦³ ¤ µ¦Á · Áo à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤µ¦ ε¤µÄ o oÅ { ®µ¦³ ¤ µ¦Á · Áo (linear equation system) Å oà ¥ nµ¥ ´ª°¥nµ Á n oµ o° µ¦Â o¤ µ¦° ´ªÂ ¦Á¡ºÉ°®µ nµ ° ´ªÂ ¦ x1 ¨³ x2 µ 2x1 + x2 = 3
( 1)
x1 – x2 = 3
( 2) ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB
413
ข-9
oµÄ o®¨´ µ¦Â o¤ µ¦° ´ªÂ ¦ ´ÉªÅ Á¡ºÉ°Â o¤ µ¦ ¸É ( 1) ¨³ ( 2) ³Å o ¨¨´¡ r º° x1 x2 = -1 Á n Á ¸¥ª ´ ¼oÄ oµ¤µ¦  o¤ µ¦ ´Ê ° ¸ÊÅ oà ¥Ä o®¨´ µ¦ ° Á¤ ¦· r ´ ¸Ê ¤ µ¦ ¸É ( 1) ¨³ ( 2) µ¤µ¦ Á ¸¥ ¤ µ¦ ´Ê ° Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° Á¤ ¦· rÅ o º° ª2 1 º ªx1 º «1 1» «x » ¬ ¼ ¬ 2¼
à ¥ ¸É
A
ª2 1 º «1 1» ¬ ¼
¨³
b
ª3º «3» ¬ ¼
ª3º «3» ¬ ¼
®¦º°
Á ºÉ° µ ε ° ° ¤ µ¦
Ax
b
Ax
b
= 2 ¨³
( 3) º°
x
A 1b
´ ´Ê ε ° °
¤ µ¦ ¸É ( 1) ¨³ ( 2) µ¤µ¦ ®µÅ o µ µ¦Ä o » ε´É ´ ¸Ê -->A = [2 1; 1 -1];
//Á¤ ¦· r µ 2u2
-->b = [3; 3];
//Áª Á °¦r ª ´Ê µ 2u1
-->x = inv(A)*b
// ε ° ° ¤ µ¦° ´ªÂ ¦Á } Áª Á °¦r ª ´Ê µ 2u1
x
= 2. - 1.
¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° x1 = 2 ¨³ x2 = -1
.5 µ¦ εÁ · µ¦ µ · «µ ¦r à ¦Â ¦¤ SCILAB ¤¸¢{ r ´ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª µ · «µ ¦r ε ª ¤µ Á n ¢{ r ´ ¡ºÊ µ ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ´ªÁ¨ , ¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· ·, ¢{ r ´ ¡ºÊ µ µ · · Á } o à ¥¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ ´ n°Å ¸Ê
.5.1 ¢{ r ´ ¡ºÊ µ ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ´ªÁ¨ µ¦µ ¸É .3  ¢{ r ´ ¡º Ê µ ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ´ªÁ¨ ´ª°¥nµ Á n -->abs([1, %i, -2, -2*%i, 3 + 4*%i]) ans = 1. 1. 2. 2. 5. -->sqrt([2, 4, -1, -4]) ans = 1.4142136 2. i
2.i
-->real([0.1, %i, -1.5 + 2*%i, 2 - %i]) ans = 0.1 0. - 1.5 2.
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
414
µ¦µ ¸É .3 ´ª°¥nµ ¢{ r ´ ¡ºÊ µ ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ´ªÁ¨ ¢{ r ´ abs(x) sqrt(x) modulo(m,n) ceil(x) floor(x) sign(x) roots(p) real(x) imag(x) conj(x) exp(x) log(x) log2(x) log10(x)
ε° · µ¥ ®µ nµ´¤ ¼¦ r (absolute value) ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ¦µ ¸É° (square root) ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµÁ«¬ ¸ÉÁ®¨º° µ¦®µ¦ ´ªÂ ¦ n oª¥ m ®µ nµ ε ª Á Ȥ ¸É¤¸ nµÄ ¨o ´ nµ x Å µ nµ ¤µ ¸É» ®µ nµ ε ª Á Ȥ ¸É¤¸ nµÄ ¨o ´ nµ x Å µ nµ - ¤µ ¸É» ®µ nµÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ¦µ ®¦º° ε ° ° ¤ µ¦¡®» µ¤ p ®µ nµ ε ª ¦· ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ ε ª · £µ¡ ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ´ ¥» ° ε ª ε ªÁ · o° ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ ex ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ log µ e ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ log µ 2 ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ log µ 10 ° ´ªÂ ¦ x
-->imag([0.1, %i, -1.5 + 2*%i, 2 - %i]) ans = 0. 1. 2. - 1. -->log([1, %e, 10, 20, 100]) ans = 0. 1. 2.3025851 2.9957323 -->log10([1, 2, 10, 20, 100]) ans = 0. 0.30103 1. 1.30103
4.6051702
2.
.5.2 ¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· · à ¦Â ¦¤ SCILAB Å oÁ ¦¸¥¤ ε´É ¡ºÊ µ 宦´ ¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· ·Â¨³¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· · ´ Ūo µ¤ µ¦µ ¸É .4 à ¥ n µ ¤» ¤ ¸É Ä o ® ¦º ° ¸É Å o ¦´ µ ¢{ r ´ µ ¦¸ à ¤· · ³ o ° ¤¸ ® n ª ¥Á } Á¦Á ¸ ¥ (radian) ´ª°¥nµ Á n -->y = sin([0, 1, %pi/2, -%pi/2]) y = 0. 0.8414710 1. - 1.
ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-11
415
µ¦µ ¸É .4 ¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· ·Â¨³¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· · ´ ¢{ r ´
ε° · µ¥ ®µ nµ sine ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ cosine ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ tangent ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ sine inverse ° ´ªÂ ¦ y ®µ nµ cosine inverse ° ´ªÂ ¦ y ®µ nµ tangent inverse ° ´ªÂ ¦ y
sin(x) cos(x) tan(x) asin(y) acos(y) atan(y)
-->x = asin(y) x = 0. 1.
1.5707963
//¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥
- 1.570796
-->y = tan([0, %pi/6, %pi/4, %pi/3]) y = 0. 0.5773503 1. 1.7320508 -->x = atan(y) x = 0. 0.5235988
0.7853982
//¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥
1.0471976
.5.3 ¢{ r ´ ¡ºÊ µ µ · · à ¦Â ¦¤ SCILAB Å oÁ ¦¸¥¤¢{ r ´ 宦´ µ¦Ä o µ µ oµ · · µ¤ ¸ÉÂ Ä µ¦µ ¸É .6 ´ª°¥nµ Á n -->x = [3 1 4 9 2 5 7 8 6]; -->[min(x), max(x), mean(x), median(x), sum(x)] ans = 1. 9. 5. 5. 45. -->sort(x) ans = 9. 8.
7.
6.
5.
4.
3.
2.
1.
Ä µ¦Ä o µ µ oµ · · ε´É ¸ÉÄ o n°¥ ¦´Ê º° ε´É histplot(n,x) ¹É Á } ε´É ¸ÉÄ o Ä µ¦ªµ ¦¼ ±·Ã  ¦¤ (histogram) ° nµ ´Ê ®¤ Ä Áª Á °¦r x Á } ε ª n nª ¦³®ªnµ nµ Éε» ¨³ nµ¼ » ° Áª Á °¦r x ´ª°¥nµ Á n -->d = rand(1, 10000, 'normal');
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
416
µ¦µ ¸É .6 ´ª°¥nµ ¢{ r ´ ¡ºÊ µ µ · · ¢{ r ´ min(x) max(x) mean(x) median(x) sum(x) prod(x) sort(x) histplot(n,x) variance(x) geomean(x)
ε° · µ¥ ®µ nµ Éε» (minimum) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµ¼ » (maximum) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµÁ ¨¸É¥ (mean) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ( º°Á } nµÁ ¨¸É¥Á¨ · ) ®µ nµ¤´ ¥ µ (median) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµ ¨ ª ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµ ¨ ¼ ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x Á¦¸¥ ¨Îµ ´ ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x µ nµ¤µ Å ®µ nµ o°¥ ªµ ¦¼ ±·Ã  ¦¤ (histogram) ° nµ ´Ê ®¤ Ä Áª Á °¦r x Á } ε ª n nª ¦³®ªnµ nµ Éε» ¨³ nµ¼ » ° Áª Á °¦r x ®µ nµ ªµ¤Â ¦ ¦ª (variance) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµÁ ¨¸É¥Á¦ µ (geometric mean) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x
¦¼ ¸É .1 ´ª°¥nµ ¦¼ ±·Ã  ¦¤ -->subplot(1,2,1);
histplot(10, d, normalization = %F);
//¦¼ ¸É .1 oµ oµ¥
-->subplot(1,2,2);
histplot(20, d, normalization = %F);
//¦¼ ¸É .1 oµ ªµ
ε´É ¦ ³ ε µ¦¦oµ ε ª »n¤ (random number) ε ª 10000 ´ª ( ¦¦ »ÅªoÄ Áª Á °¦r µ 1u10000) à ¥¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Â  ¦ · (normal distribution) ®¦º° µ¦Â   Á µrÁ ¸¥ (Gaussian) ´É º°¤¸ nµÁ ¨¸É¥ (mean) Á nµ ´ nµ 0 ¨³¤¸ nµ ªµ¤Â ¦ ¦ª (variance) Á nµ ´ nµ 1 µ ´Ê È Îµ µ¦ªµ ¦¼ ±·Ã  ¦¤ ° ε ª »n¤ ´Ê ®¤ à ¥Â n o°¤¼¨Á } 10 nª (¦¼ ¸É .1 oµ oµ¥) ¨³Â n o°¤¼¨Á } 20 nª (¦¼ ¸É .1 oµ ªµ) ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-13
417
µ¦µ ¸É .7 ´ª°¥nµ Á¤ ¦· r¡·Á«¬Ä à ¦Â ¦¤ SCILAB ε´É eye ones zeros rand diag tril triu toeplitz
ε° · µ¥ Á¤ ¦· rÁ° ¨´ ¬ r (identity matrix) Á¤ ¦· r nµ® ¹É (one matrix) Á¤ ¦· r nµ«¼ ¥r (zero matrix) Á¤ ¦· r»n¤ (random matrix) Á¤ ¦· r Â¥ ¤»¤ (diagonal matrix) Á¤ ¦· rµ¤Á®¨¸É¥¤ oµ ¨nµ (lower triangular matrix) Á¤ ¦· rµ¤Á®¨¸É¥¤ oµ (upper triangular matrix) Á¤ ¦· r Toeplitz (toeplitz matrix)
.6 Á¤ ¦· r¡·Á«¬ Ä µ¦ ¦³¥» rÄ o µ Á¤ ¦· r µ ¦´Ê ¤¸ ªµ¤ εÁ } o° ¦oµ Á¤ ¦· r ¸É¤¸ nµÁ ¡µ³®¦º°¤¸¦¼  ¸ÉÁ } ¤µ ¦ µ Á n o° µ¦¦oµ Á¤ ¦· r ¸É¤¸ nµÁ } ® ¹É ´Ê ®¤ µ mun à ¥ ¸É m ¨³ n ¤¸ nµ¤µ oµ¦oµ Á¤ ¦· r ¸Êà ¥ µ¦¡·¤¡r nµÂ n¨³ nµÁ oµÅ °µ ³ εĮoÁ¸¥Áª¨µ¤µ ¨³°µ Á · o° · ¡¨µ Å o nµ¥ ´ ´Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB ¹ Å oÁ ¦¸¥¤¢{ r ´ ¡ºÊ µ 宦´ ¦oµ Á¤ ¦· r¡·Á«¬®¨µ¥¦¼  ¹Ê ¤µÅªoÄ o µ µ¤ µ¦µ ¸É .7 ´ª°¥nµ Á n //¦oµ Á¤ ¦· rÁ° ¨´ ¬ r ¸É¤¸ µ 3u3
-->A = eye(3,3) A
= 1. 0. 0.
0. 1. 0.
0. 0. 1.
// nµ 1, 2, ¨³ 3 °¥¼n ¸ÉÁo Â¥ ¤»¤®¨´
-->diag([1 2 3]) ans = 1. 0. 0.
0. 2. 0.
0. 0. 3.
.6.1 Á¤ ¦· r»n¤ Á¤ ¦· r»n¤ (random matrix) Á } Á¤ ¦· r ¸É¤¸¤µ · Á } ε ª »n¤ µ¦¦oµ Á¤ ¦· r»n¤Ä à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤µ¦ εŠoà ¥Ä o ε´É rand ¹É ¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Á¦¸¥ Ä o µ ´ ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
418
rand(m1, m2, [key])
à ¥ ¸É º°Á¨ ε ª Á Ȥ ª ¸ÉÄ o ε® µ ° Á¤ ¦· r»n¤ ¸É ³¦oµ ¹Ê ¤µ Á n rand(m1, m2) ®¤µ¥ ¹ Ä®o¦oµ Á¤ ¦· r»n¤ µ m1  ª ° ¨³ m2  ª ´Ê key Á } ´ªÁ¨º° ¸ É Îµ® ¨´ ¬ ³ µ¦Â  (distribution) ° ε ª »n¤ ¸É¦oµ ¨nµª º° oµ o key = "uniform" ε ª »n¤ ¸É¦oµ ¹Ê ¤µ ³¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Â  Á° ¦¼ ¤¸ µn °¥¼n¦³®ªnµ 0 ¹ 1 (Á } nµÃ ¥ ¦·¥µ¥) o key = "normal" ε ª »n¤ ¸É¦oµ ¹Ê ¤µ ³¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Â  ¦ · (®¦º°Â Á µrÁ ¸¥ ) ¸É ¤¸ nµÁ ¨¸É¥Á nµ ´ nµ 0 ¨³¤¸ nµ ªµ¤Â ¦ ¦ª (varaince) Á nµ ´ nµ 1
m1, m2
´ª°¥nµ µ¦Ä o µ ° ε´É ¸Ê Á n -->X = rand(2, 4, 'uniform') X
= 0.3095371 0.6762972
0.9706916 0.5441797
//¦oµ Á¤ ¦· r»n¤ µ 2u4 0.0204748 0.8941365
0.3490364 0.1105365
-->W = rand(1, 100000, 'normal'); -->[mean(W), variance(W)] ans = 0.0048048
// nµÁ ¨¸É¥Â¨³ nµ ªµ¤Â ¦ ¦ª ° ¨o° ´ ¨´ ¬ ³ µ¦Â  ¦ ·
0.9988003
.7 µ¦Á ¸¥ à ¦Â ¦¤ oª¥ SCILAB Ä nª ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Ä o µ ε´É ª Ê娳 ε´É ° Á ºÉ° Å Á¡ºÉ°Ä®o ¼o°nµ µ¤µ¦ Á ¸¥ à ¦Â ¦¤°¥nµ nµ¥ ¹Ê ¤µÄ o µ Å o°¥nµ ¦ª Á¦ÈªÂ¨³¤¸ ¦³· · ¨
.7.1 ε´É ª Êε n°¥ ¦´Ê Ä µ¦Á ¸¥ à ¦Â ¦¤¤¸ ªµ¤ εÁ } ¸É ³ o° ε ª » ε´É µ °¥nµ ÊεÁ } ε ª ®¨µ¥Ç ¦° ¹É Ä ¦ ¸ ¸Ê µ¦Ä o ε´É ª Êε ¹ ¤¸ ªµ¤ εÁ } ¤µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Å oÁ ¦¸¥¤ ε´É 宦´ µ¦ª Êε Ūo°¥¼n° ¦¼  º° ε´É for ¨³ ε´É while ¹É ¤¸®¨´ µ¦Ä o µ ´ ¸Ê
ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-15
419
.7.1.1 ε´É for ε´É for Á®¤µ³Îµ®¦´ µ¦Ä o µ ¸É o° µ¦Ä®oà ¦Â ¦¤ ε Êε » ε´É Á ·¤ ¸É°¥¼n£µ¥Ä ¨¼ (loop) Á } ε ª ¦° µ¤ ¸É ε® ŪoÄ ·¡ r (expression) ε´É for ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê for variable = expression instruction_1; instruction_n; end
¨nµª º°Ã ¦Â ¦¤ ³ ε Êε ε´É (instruction) ´Ê ®¤ £µ¥Ä ¨¼ Á } ε ª ¦° µ¤ ¸É ε® à ¥ ´ªÂ ¦ ¸ÉÁ } Å µ¤Á ºÉ° Å ° ·¡ r ´ª°¥nµ µ¦Ä o µ ε´É for ´ª°¥nµ Á n -->L = 5; -->x = []; -->for i = 1:L -->
x(i) = i;
-->end
» ε´É ¸Ê®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁ¤ºÉ°Á¦·É¤ o Ä o µ ´ªÂ ¦ L ³¤¸ nµÁ nµ ´ 5 ¨³ ε® Ä®o x Á } Á¤ ¦· rªnµ (empty matrix) µ ´Ê È Îµ µ¦ª Êεà ¥Ä o ´ªÂ ¦ i Á } ´ª ´ ε ª Êε ´É º° ´ªÂ ¦ i ³Á¦·É¤ µ nµ 1 ¨oªÁ¡·É¤ ¹Ê ¸¨³ +1 Å ¹ nµ 5 à ¥ ¸É nµ ° ´ªÂ ¦ i  n¨³ nµ ³ ¼ ¦¦ »ÅªoÄ ¤µ · ¨Îµ ´ ¸É i ° Áª Á °¦r x ¨¨´¡ r ° µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ » ε´É ¸Ê º° -->x' ans = 1.
2.
3.
4.
5.
.7.1.2 ε´É while ε´É while ¤¸¨´ ¬ ³ µ¦ ε µ ¨oµ¥ ´ ε´É for Á¡¸¥  n ε´É while ³¤¸ µ¦ ° Á ºÉ° Å ¸É ¼oÁ ¸¥ à ¦Â ¦¤ ε® ŪoÄ ·¡ r » Ç ¦° ° µ¦ª Êε ¨nµª º° oµ ¨ µ¦ ° Ä®o nµ ¦¦ ³Á } nµ 1 (Á } ¦· ) à ¦Â ¦¤ È ³ ε Êε » ε´É £µ¥Ä ¨¼ ´Ê n°°¸ ® ¹É ¦°  n oµ ¨ µ¦ ° Ä®o nµ ¦¦ ³ Á } nµ 0 (Á } Á È ) à ¦Â ¦¤ È ³¥ Á¨· µ¦ ε µ » ε´É £µ¥Ä ¨¼ ´Ê ´ ¸ ε´É while ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
420
while expression instruction_1; instruction_n; end
´ª°¥nµ Á n -->L = 5; -->x = []; -->i = 1; -->while i <= L --> x(i) = i; --> i = i + 1; -->end
» ε´É ¸ÊÄ®o ¨¨´¡ rÁ®¤º° ´ ´ª°¥nµ ° µ¦Ä o ε´É for Á¡¸¥  n µ¦Ä o ε´É while ³ o° ε® nµÁ¦·É¤ o ° ´ªÂ ¦ i n° ¸É ³ ε nµ i Šε µ¦Á ¦¸¥ Á ¸¥ ´ nµ L µ¤Á ºÉ° Å ¸É ε®
.7.2 ε´É ° Á ºÉ° Šε´É ° Á ºÉ° Å ¤¸ ªµ¤ εÁ } ¤µ 宦´ µ¦Á ¸¥ à ¦Â ¦¤ °¤¡·ªÁ °¦r ¸É ´ o° ε´É ° Á ºÉ° Å ¸ÉÄ o¤µ º° ε´É if ¹É ¤¸®¨´ µ¦Ä o µ ´ ¸Ê if expression
then
instruction_1; instruction_n; end
¨nµª º° oµ ¨ µ¦ ° Á ºÉ° Å Ä ·¡ rÁ } ¦· à ¦Â ¦¤ SCILAB È ³ ε ε´É ´Ê ®¤ ¸É°¥¼n¦³®ªnµ εªnµ then ¨³ end  n oµ ¨ µ¦ ° Á } Á È Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ³Å¤n ε ε´É ´Ê ®¤ ¸É°¥¼n¦³®ªnµ εªnµ then ¨³ end ° µ ¸Ê ε´É if ¥´ µ¤µ¦ ÎµÅ Ä o µ ´ µ¦ ´ · Ä ¸É ´ o° ¤µ ¹Ê Å oà ¥ µ¦Ä o µ ¦nª¤ ´ else ¹É ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ º° ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-17
421
if expression then instructions_set1; else instructions_set2; end
´É º° oµ ¨ µ¦ ° Á ºÉ° Å Ä ·¡ rÁ } ¦· à ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε ε´É ´Ê ®¤ ¸É°¥¼n¦³®ªnµ εªnµ then ¨³ else  n oµ ¨ µ¦ ° Á } Á È Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε ε´É ´Ê ®¤ ¸É°¥¼n¦³®ªnµ εªnµ else ¨³ end Ä µ¦Ä o µ ¸É¤¸ µ¦ ´ · Ä ¸É ´ o° ¤µ ¥·É ¹Ê ¼oÄ o ȵ¤µ¦ Ä o µ ε´É if ¦nª¤ ´ elseif Å o à ¥¤¸¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê if expression_1 then instructions_set1; elseif expression_2 then instructions_set2; else instructions_set3; end
´É º° oµ ¨ µ¦ ° Á ºÉ° Å Ä ·¡ r expression_1 Á } ¦· à ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε » ε´É instructions_set1  n oµ ¨ µ¦ ° Á } Á È Ã ¦Â ¦¤ SCILAB È ³ ε µ¦ ° Á ºÉ° Å Ä ·¡ r expression_2 n°Å ´ ¸ à ¥ ¸É oµ ¨ µ¦ ° Ä ·¡ r expression_2 Á } ¦· à ¦Â ¦¤ SCILAB È ³ ε » ε´É instructions_set2  n oµ ¨ µ¦ ° Á } Á È È ³ ε » ε´É instructions_set3
.7.3 µ¦Á ¸¥ ¢{ r ´  °· Ũ r à ¦Â ¦¤ SCILAB ° » µ Ä®o ¼oÄ oµ¤µ¦ ¦oµ ¢{ r ´ Ä®¤nÇ ¹Ê ¤µÄ o µ ¦nª¤ ´ à ¦Â ¦¤ SCILAB Å o Ä ¸É ¸Ê ³° · µ¥Á ¡µ³ µ¦Á ¸¥ ¢{ r ´  °· Ũ r (in-line function) ¹É ¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Ä o µ ´ ¸Ê function [Á°µ r¡» ] = function_name(°· ¡» ),
» ε´É ,
endfunction
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
422
´É º° ³ o° Á¦·É¤ o oª¥ εªnµ function ¨³ d oµ¥ oª¥ εªnµ endfunction à ¥ ¸É£µ¥Ä ¢{ r ´ ³¤¸ ε´É  n¨³ ε´É ³ o° ´Ê oª¥Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ °¤¤nµ ´ª°¥nµ Á n oµ o° µ¦¦oµ ¢{ r ´  °· Ũ r ¸É ºÉ°ªnµ MyMax Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦®µ nµ¼ » ° Á¨ ε ª ¦· ° ε ª ȵ¤µ¦ εŠo ´ ¸Ê -->function [y] = MyMax(x1, x2), if x1 >= x2 then y = x1, ... -->else y = x2; end; endfunction;
//Á¦¸¥ ¢{ r ´ MyMax ¹Ê ¤µÄ o µ
-->y = MyMax(1, 5) y
= 5.
° µ ¸Ê¥´ µ¤µ¦ Ä o ε´É deff Ä µ¦¦oµ ¢{ r ´  °· Ũ rÅ oÁ n ´ à ¥¤¸¦¼  µ¦Ä o µ º° deff('[Á°µ r¡» ] = function_name(°· ¡» )', ' » ε´É ')
´ª°¥nµ Á n -->deff('y = MyMax(x1, x2)', 'if x1 > x2 then y = x1; ... -->else y = x2; end'); -->y = MyMax(1,5) y = 5.
¹É Ä®o ¨¨´¡ rÁ nµ ´
.8 µ¦ªµ ¦µ¢° ¤· · ε´É ¡ºÊ µ 宦´ µ¦ªµ ¦µ¢° ¤· · ¦³ ¡· ´ µ x-y º° ε´É plot ¹É ¤¸¦¼  µ¦Á¦¸¥ Ä o µ ´ ¸Ê plot(x, y)
Á¤ºÉ°Áª Á °¦r x Á } ´ªÂ ¦°·¦³ ¸É ε® nµÄ Áo  x ¨³Áª Á °¦r y ¹É Á } ´ªÂ ¦ µ¤ ¸É ε® nµ Ä Áo  y (à ¥ ¸ÉÁª Á °¦r y ³ o° ¤¸ µ Á nµ ´ ´ Áª Á °¦r x Á¤°) ° µ ¸Ê ε´É plot ¥´ µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ Á¦¸¥ Ä o µ Å oÄ °¸ ¦¼  ® ¹É º° plot(y)
ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-19
423
¦¼ ¸É .2 ´ µ Å ¼ °¥ r y = sin(2ʌft)
¹É Ä ¦ ¸ ¸Êà ¦Â ¦¤ SCILAB ³¤¤ ·ªnµ¡µ¦µ¤·Á °¦r x ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ 1 ¹ ε ª ¤µ · ´Ê ®¤ ° Áª Á °¦r y ´É º° x = 1:length(y) à ¥°´ à ¤´ · ´ª°¥nµ ¸É .1 ªµ ¦µ¢ ° ¦¼ ´ µ Å ¼ °¥ r (sinusoid waveform) µ¤¤ µ¦ y = sin(2ʌft) 宦´ Áª¨µ ¸É t = 0 ¹ 2 ª· µ ¸ oµ ε® Ä®o ªµ¤ ¸É f = 1 Á±·¦ r (Hertz) ª· ¸ ε µ à ¥rµ¤µ¦ Á ¸¥ Á } » ε´É ° à ¦Â ¦¤ SCILAB Å o ´ ¸Ê -->t = 0:0.01:2; -->f = 1; -->y = sin(2*%pi*f*t); -->plot(t, y) -->xtitle('A sinusoidal wave','Time (t)','Amplitude')
ε´É ¦ Á } µ¦ ε® Ä®o ´ªÂ ¦ t Ä®o¤¸ nµ°¥¼n¦³®ªnµ 0 ¹ 2 à ¥ ¸É¤µ ·  n¨³ ´ª ¸É°¥¼n · ´ ³¤¸ nµ ®nµ ´ ¸ÉÁ nµ ´ 0.01 ( µ ° ´ªÂ ¦ t º° 1u201) µ ´Ê È Îµ® nµ ªµ¤ ¸É f Ä®oÁ nµ ´ ® ¹É ¨oª È®µ nµ ° ´ µ y à ¥ nµ y ¸É®µ¤µÅ o ³¤¸ µ Á nµ ´ ´ªÂ ¦ t µ ´Ê È´É Ä®oªµ ¦µ¢ ¹Ê ¤µ ¹É ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ³Á } ¦µ¢ µ¤¦¼ ¸É .2 nª ε´É xtitle Á } ε´É ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε® ºÉ° ° ¦µ¢, ºÉ° ° Áo  x, ¨³ ºÉ° ° Áo  y ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
424
y
x, y
r ș
x
¦¼ ¸É .3 ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ » (x, y) Ä ¦³ ¡· ´ µ ¨³ » (r, ș) Ä ¦³ ¡· ´ Á · ´Êª
.8.1 ¦µ¢Á · ´Êª à ¥ ´ÉªÅ » (x, y) ¸É ¹ ε® n (location) ¦¼ ¦µ¢Ä ¦³ ¡· ´ µ µ¤µ¦ ¸É ³Á ¨¸É¥ Ä®o°¥¼n Ä ¦¼ ° » (r, ș) Ä ¦³ ¡· ´ Á · ´ÊªÅ o à ¥ ¸É r º° µ ¨³ ș º°¤»¤Á¦Á ¸¥ (Á ¸¥ ´  x Ä ·« ª Á Ȥ µ¯· µ) à ¥°µ«´¥ ° ¦¸Ã ¤· · ´ ´Ê µ ¦¼ ¸É .3 ³Å oªnµ x 2 y2
r
¨³
§y· tan 1 ¨ ¸ ©x¹
ș
Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ » ¡· ´ (r, ș) Ä ¦³ ¡· ´ Á · ´Êª ȵ¤µ¦ ¸É ³Â ¨ ¨´ Å Á } » ¡· ´ (x, y) Ä ¦³ ¡· ´ µ Å o µ ªµ¤´¤¡´ r ´ ¸Ê x
r cos ș
¨³
y
r sin ș
µ¦ªµ ¦µ¢Á · ´ÊªÄ à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Ä o ε´É polarplot(theta, r)
Á¤ºÉ°¡µ¦µ¤·Á °¦r theta º° nµ¤»¤ ´ª°¥nµ Á n
ș
(¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ ) ¨³¡µ¦µ¤·Á °¦r r º° nµ ªµ¤¥µª ° ¦´«¤¸
-->t = 0:0.01:2*%pi; -->polarplot(sin(7*t), cos(8*t))
¨¨´¡ rÂ Ä ¦¼ ¸É .4 ®¤µ¥Á® » ° µ ¸Êà ¦Â ¦¤ SCILAB ¥´ Å oÁ ¦¸¥¤ ε´É 宦´ µ¦ªµ ¦µ¢° ¤· ·Â °ºÉ Ç ÅªoÄ o µ Á ¡µ³ oµ ¤µ ¤µ¥ ´ Â Ä µ¦µ ¸É .8 ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-21
425
¦¼ ¸É .4 ´ª°¥nµ ¦¼ ¦µ¢Â ¨¨´¡ r µ µ¦Ä o ε´É polarplot µ¦µ ¸É .8 ´ª°¥nµ ε´É Ä µ¦ªµ ¦µ¢° ¤· ·Îµ®¦´ µ¦Ä o µ Á ¡µ³ oµ ε´É contour2d champ fchamp
ε° · µ¥ ªµ ¦µ¢ ° ´ª¦r (contour surface) µ ¦¼ ¦µ¢° ¤· · ªµ ¦µ¢ µ¤Áª Á °¦r ° ¤· · (2-D vector field) ªµ ¦µ¢ µ¤Áª Á °¦r ° ¤· · ¸É ε® à ¥¤ µ¦° »¡´ r°´ ´ ® ¹É (firstorder ordinary differential equation)
bode gainplot nyquist evans plzr
ªµ ¦µ¢ ° à Š°³Â ¦¤ (Bode diagram) ´Ê ¦µ¢Â µ (magnitude plot) ¨³ ¦µ¢Â ¤»¤ (phase plot) ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ µ oµ ª·«ª ¦¦¤ ªµ ¦µ¢Â µ ° à Š°³Â ¦¤ ªµ ¦µ¢Å ª· r (Nyquist plot) ªµ ¦µ¢°¸Âª ¦¼ è ´ (Evans root locus) ªµ ¦µ¢Ã¡¨- ¸Ã¦n (pole-zero plot)
.9 µ¦ªµ ¦µ¢µ¤¤· · ¤ µ¦ · «µ ¦r µ¤ ´ªÂ ¦Ä Ç µ¤µ¦ ¸É ³Â Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¦µ¢µ¤¤· ·Å o Á¡ºÉ°Ä o ªµ¤´¤¡´ r ° ´ªÂ ¦ ´Ê µ¤ µ¦Ä o µ ε´É ªµ ¦µ¢µ¤¤· · ´Ê Ťn¥µ Á¡¸¥  n o° Á oµÄ ¹ ¦¼  ° o°¤¼¨ ¸É ³ j° Ä®o ´ ε´É Á®¨nµ ¸Ê µ¦ªµ ¦µ¢µ¤¤· · ³Ä o o°¤¼¨ ´Ê ®¤ µ¤ » 宦´ Áo  x, Áo  y, ¨³Áo  z ¸É°¥¼nÄ ¡· ´ µ¦r ¸Á ¸¥ (Cartesian coordinate) x-y-z à ¥Áª Á °¦r x ³Á } ´ª ε® nµÄ Áo  x, Áª Á °¦r y ³Á } ´ª ε® nµÄ Áo  y, ¨³ ´ªÂ ¦ µ¤ ¸É¤¸ nµÁ ¨¸É¥  ¨ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
426
¦¼ ¸É .5 ´ª°¥nµ ¦¼ ¦µ¢Â ¨¨´¡ r µ µ¦Ä o ε´É plot3d
Å µ¤ nµ x ¨³ y ¹É È º° µ ° nµ Áo  z ´É Á° ´ ´Ê ´ªÂ ¦ µ¤ z ¸Ê ³ o° ¤¸ ε ª Á nµ ´ ¨ ¼ ° ε ª o°¤¼¨Ä Áª Á °¦r x ´ ε ª o°¤¼¨Ä Áª Á °¦r y ε´É ¡ºÊ µ 宦´ µ¦ªµ ¦µ¢Â µ¤¤· ·Ä à ¦Â ¦¤ SCILAB ¤¸¦¼  ´ ¸Ê plot3d(x, y, z)
à ¥ ¸É¡µ¦µ¤·Á °¦r x ¨³ y º°Áª Á °¦r ¸É¤¸ µ Á nµ ´ ¨³¡µ¦µ¤·Á °¦r z º° ´ªÂ ¦ µ¤ ¸É ¹Ê ´ nµ ° x ¨³ y ¹É ³¤¸ ε ª Á nµ ´ ¨ ¼ ° ε ª o°¤¼¨Ä Áª Á °¦r x ´ ε ª o°¤¼¨Ä Áª Á °¦r y ´ª°¥nµ ¸É .2 ε® Ä®o ´ªÂ ¦ x ¨³ y ¤¸ nµ¦³®ªnµ 0 ¹ 1 ªµ ¦µ¢µ¤¤· · µ ¤ µ¦ z
0.5 cos 2xʌ cos 2yʌ
ª· ¸ ε µ à ¥r µ¤µ¦ ªµ ¦µ¢µ¤¤· ·Å oà ¥Ä o » ε´É ° à ¦Â ¦¤ SCILAB ´ ¸Ê -->x = linspace(0, 1, 21); -->y = linspace(0, 1, 21); -->z = abs(0.5 * cos(2*%pi*x)' * cos(2*%pi*y)); -->plot3d(x, y, z);
¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ » ε´É Á®¨nµ ¸ÊÂ Ä ¦¼ ¸É .5 ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-23
427
¦¼ ¸É .6 ´ª°¥nµ ¦¼ ¦µ¢Â ¨¨´¡ r µ µ¦Ä o ε´É colorbar ¦nª¤ ´ plot3d1
oµ o° µ¦Ä®o¤¸ µ¦Å¨nà ¸ µ¤ µ ° nµÄ  z ȵ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Ä o ε´É plot3d1 ¨³ o µ o ° µ¦ ¦µ ªµ¤´ ¤ ¡´ r ¦ ³®ªn µ ¸ ´ µ ° n µ Ä Â z È µ¤µ¦ Î µ Å o à ¥Ä o Î µ ´É colorbar ¹É ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ º° colorbar(umin, umax, [colminmax])
à ¥ ¸É¡µ¦µ¤·Á °¦r
umin
umax
colminmax
Á } Á¨ ε ª ¦· ° nµ Éε» ° µ ° nµÄ  z Á } Á¨ ε ª ¦· ° nµ¼ » ° µ ° nµÄ  z Á } ´ªÁ¨º° ¸¤É ¸¦¼  µ¦Ä o µ º° colminmax = [1 nb_colors] Á } Áª Á °¦r µ 1u2 à ¥ ¸É nb_colors º° ε ª ¸ ¸É ³Ä oÄ ¦¼ ¦µ¢
´ª°¥nµ µ¦Ä o µ ε´É ¸Ê Á n ( n°Á ºÉ° µ ¦¼ ¸É .5) -->clf;
zmin = min(z);
-->zmax = max(z); -->colorbar(zmin, zmax, [1 30]); -->plot3d1(x, y, z);
¨¨´¡ r ¸ÉÅ oÂ Ä ¦¼ ¸É .6 ¹É ³¤¸Â ¸Â ªµ¤´¤¡´ r¦³®ªnµ ¸ nµ Ç ´ µ ° nµÄ  z ®¤µ¥Á® » µ ¸É ¨nµª¤µ ´Ê ®¤ ¸ÊÁ } Á¡¸¥ ¡ºÊ µ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB 宦´ ¼o ¸É Ä ª· ¸ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á¡·¤É Á ·¤µ¤µ¦ «¹ ¬µÅ o µ [7] ®¦º° http://home.npru.ac.th/piya/webscilab ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
428
¦¦ µ » ¦¤ [1] [2] [3] [4] [5]
H. P. Hsu, Schaum's outline series: theory and problem of analog and digital communications. New York: McGraw-Hill, 1993. E. Ström, “Notes of signals and systems,” Available online at http://www.s2.chalmers.se/ undergraduate/courses/ess140/doc/Handouts.htm A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, and S. H. Nawab, Signals and systems. New Jersey: Prentice Hall, 2nd-edition, 1997. M. J. Roberts, Fundamentals of signals and systems. Singapore: McGraw-Hill, 2008. Steven T. Karris, Signals and Systems with MATLAB Computing and Simulink Modeling. Orchard Publications, 3rd-edition, 2007.
[6] Retrieved July 14, 2008, from, http://www.scilab.org [7] d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, ¼n¤º°Ã ¦Â ¦¤£µ¬µ SCILAB 宦´ ¼oÁ¦·É¤ o ( ´ ¦´ ¦» Ä®¤n), Á¡ ¦Á ¬¤ µ¦¡·¤¡r, ¦ ¤, 2551. [8] [9]
Retrieved July 14, 2008, from http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function M. Spiegel, S. Lipschutz, J. Liu, Schaum's Outline of Mathematical Handbook of Formulas and Tables. McGraw-Hill, 3rd edition, 2008.
[10] M. H. Hayes, Statistical digital signal processing and modeling. New York: John Wiley & Sons Inc., 1996.
[11] ¨´ ¦ ª» ·· · »¨ · , ®¨´ µ¦Å¢¢jµºÉ°µ¦, ε ´ ¡·¤¡r®n »¯µ¨ ¦ r¤®µª· ¥µ¨´¥, »¯µ¨ ¦ r ¤®µª· ¥µ¨´¥, 2546. [12] B. Sklar, Digital communications: fundamentals and applications. Prentice Hall, 2nd-edition, 2001. [13] J. G. Proakis, Digital communication. Singapore: McGraw Hill, 4th-edition, 2001. ภาคภนวก ค บรรณานุกรม
429
ค-1
[14] E. W. Weisstein, “Interpolation.”' From MathWorld -- A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Interpolation.html. [15] ·¦´ ¦r ε ¦³Á¦· , · «µ ¦rª·«ª ¦¦¤Å¢¢jµ 2 ¨µ ¨µ ¦µ r¢°¦r¤Â¨³ µ¦ ¦³¥» rÄ o, «¼ ¥rºÉ°Á¦·¤ ¦» Á ¡², ´  oÅ ¦´Ê ¸É 1, ¡.«. 2540. [16] Retrieved from October 17, 2008, http://www.mathwork.com
ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ค-2 สัSignals and Systems with SCILAB Applications
430
¦³ª´ · ¼oÁ ¸¥ «. ¦. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r URL: http://home.npru.ac.th/piya
µ¦«¹ ¬µ
¡.«. 2537 ¦· µ ¦¸ (Á ¸¥¦ · ·¥¤)
Thammasat University, Bangkok, Thailand
¡.«. 2541 ¦· µÃ
Chalmers University of Technology, Göteborg, Sweden
¡.«. 2547 ¦· µÁ°
Georgia Institute of Technology, Atlanta, GA, USA
¦³ µ¦ r ε µ
°µ µ¦¥r¨³ ´ ª· ¥´ ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤ (¡.«. 2548 – { » ´ ) °µ µ¦¥r¡·Á«¬ (¤®µª· ¥µ¨´¥ ¦¦¤«µ ¦r «¼ ¥r¦´ · , µ ´ Á à 襸¡¦³ °¤Á ¨oµÁ oµ » ®µ¦ ¨µ ¦³ ´ , ¤®µª· ¥µ¨´¥Á à 襸¡¦³ °¤Á ¨oµ¡¦³ ¦Á® º°, ²¨²)
Technical Intern, Channels Department, Seagate Research Center, Pittsburgh, USA
(¦ª¤ 1 e)
¼o nª¥ ´ ª· ´¥ ®o° · ´ · µ¦Á à 襸Á ¦º° nµ¥ «¼ ¥rÁ à 襸°·Á¨È ¦° · r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r®n µ · (Á Á ) ¦³Á «Å ¥ (1 e) ª·«ª ¦ ¦·¬ ´ TT&T (¤®µ ) ε ´ ¦³Á «Å ¥ (3.5 e)
¨ µ µ ª· µ µ¦
ªµ¤ª· µ µ¦ ¸¡·¤¡r¦³ ´ µ µ µ ·¤µ ªnµ 30 ´
· · ´ ¦: P. Kovintavewat, J. R. Barry, F. M. Erden, and E. M. Kurtas, “Method and Apparatus for Providing Iterative Timing Recovery,” Patent number US20060067434A1, March 30, 2006.
ภาคภนวก ง ประวัติผูเขียน
431
ง-1
® ´ º° o
o
o
o
o
d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, µ¦ ¦´¤ª¨ ¨³ µ 宦³ µ¦ ³ Á È o°¤¼¨ · · ³¨ Á¨n¤ 1 : ¡ºÊ µ n° ³ µ °nµ -Á ¸¥ , «¼ ¥rÁ à 襸°·Á¨È ¦° · r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r®n µ · (Á Á ), ¡.«. 2550. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, µ¦ ¦´¤ª¨ ¨³ µ 宦³ µ¦ ³ Á È o°¤¼¨ · · ³¨ Á¨n¤ 2 : µ¦°°  ª ¦£µ ¦³ , «¼ ¥rÁ à 襸°·Á¨È ¦° · r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r®n µ · (Á Á ), ¡.«. 2550. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, ¼n¤º°Ã ¦Â ¦¤£µ¬µ SCILAB 宦³ ¼oÁ¦·É¤ o ( ´ ¦´ ¦» Ä®¤n), Á¡ ¦Á ¬¤ µ¦¡·¤¡r, ¦ ¤, ¡.«. 2551. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, ¦´ n ¸Ê oª¥ ¨ºÉ ªµ¤ ¸Éª· ¥», «¼ ¥rÁ à 襸°·Á¨È ¦° · r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r ®n µ · (Á Á ), ¡.«. 2552. B. Vasic and E. M. Kurtas, Coding and Signal Processing for Recording Systems, Book Chapter: Interpolated timing recovery, CRC press, pp. 27-1 – 27-16, 2005.
µ ε ´
¼o nª¥° · µ¦ ¸ iµ¥ª· ´¥ (¡.«. 2550-2551) ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤
¦³ µ à ¦Â ¦¤ª·«ª ¦¦¤Ã ¦ ¤ µ ¤ ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤
¦¦ µ · µ¦ ªµ¦µ¦ª· ¥µ«µ ¦r¨³Á à 襸 ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤
µ ª· ´¥
¦³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨´ µ 宦´ µ¦ ´ Á È o°¤¼¨ · · ´¨
Á à 襸 µ¦Á oµ- ° ¦®´Â oÅ o° · ¡¨µ ° n° ´ µ
Á à 襸 µ¦ ¦ª ®µÂ ª Êε (iterative detection)
Á à 襸¤µ¦r µ¦r (smart card)
Á à 襸 RFID (radio frequency identification)
ง-2
สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications
432