6 eb ss

Page 1

หนังสือ สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB เหมาะสำหรับผสู นใจ (โดยเฉพาะอยางยิง่ นักศึกษา สาขาวิศวกรรมศาสตร) ทีต่ อ งการเรียนรเู กีย่ วกับการวิเคราะหสญ ั ญาณและระบบ เพือ่ ใชเปน พืน้ ฐานสำหรับการประยุกตใชงานทางดานวิศวกรรมศาสตร และวิทยาศาสตร

ราคา 290.-

หนังสือเลมนีจ้ ะมีตวั อยางการคำนวณจำนวนมาก รวมทัง้ มีการนำโปรแกรม SCILAB (เปนฟรีแวร) มาใชในการวาดรูปกราฟ และการคำนวณตางๆ เพือ่ ประกอบคำอธิบายของเนือ้ หาในแตละบทเรียน เชน ระบบเชิงเสนทีไ่ มแปรเปลีย่ นตามเวลา อนุกรมฟูเรียร การแปลงฟูเรียร การแปลงลาปลาซ และการแปลงซี เปนตน ซึง่ จะชวยทำใหผอู า นสามารถเขาใจในบทเรียนตางๆ ไดงา ยขึน้

URL: http://home.npru.ac.th/piya/Signal

สักับการประยุ ญญาณและระบบ กตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวฒ ั น

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB

Signals and Systems with SCILAB Applications

ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวฒ ั น โปรแกรมวิศวกรรมโทรคมนาคม มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม

A

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB (Signals and Systems with SCILAB Applications) สงวนลิขสิทธิต์ ามพระราชบัญญัตลิ ขิ สิทธิ์ หามลอกเรียนแบบไมวา สวนใด สวนหนึง่ ในหนังสือเลมนี้ ไมวา ในรูปแบบใดๆ นอกจากจะไดรับอนุญาตเปนลายลักษณอักษรจากผูเขียนเทานั้น

ขอมูลทางบรรณานุกรมของหอสมุดแหงชาติ ปยะ โควินททวีวฒ ั น สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB./ ปยะ โควินททวีวฒ ั น. —นครปฐม: โปรแกรมวิศวกรรมโทรคมนาคม คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม, 2552

ISBN : 978-974-235-415-2 พิมพครัง้ ที่ 1 ตุลาคม 2552 448 หนา ราคา 290 บาท ผจู ดั พิมพ : ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวฒ ั น พิมพที่

: บริษทั เพชรเกษม พริน้ ติง้ กรปุ จำกัด 18/49 ถ.ทรงพล ต.ลำพยา อ.เมือง จ.นครปฐม 73000 โทรศัพท : 0-3425-9758-9, 0-3425-9111 โทรสาร : 0-3425-3465

B

­Îµ®¦´ ¡ . «·¦­» µ à ª· r ª¸ª´ r ¨³ ¦° ¦´ª

C

D

ε ε ª· µ­´ µ ¨³¦³ (signal and system) º°ªnµÁ } ª· µ ¸É­Îµ ´ ¤µ n° µ¦Á¦¸¥ µ oµ ª·«ª ¦¦¤«µ­ ¦r Á ºÉ° µ ª· µ ¸Ê ´ ªnµÁ } ¡ºÊ µ ° µ¦Á¦¸¥ ¦¼oÄ ®¨µ¥Ç ª· µ Á n ª· µª·Á ¦µ³®rª ¦Å¢¢jµ ª· µ¦³ ª »¤ ¨³ª· µ µ¦­ºÉ°­µ¦ · · ´¨ Á } o ´ ´Ê ªµ¤¦¼o¨³ ªµ¤Á oµÄ µ oµ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¹ Á } ­·É ¸É Î µ Á } °¥n µ ¥·É ­Î µ ®¦´ ¼o ­ Ä ¸É o ° µ¦ Î µ ªµ¤¦¼o µ o µ ¸Ê Å ¦³¥» r Ä o Ä µ¦ Î µ µ µ o µ ª·«ª ¦¦¤«µ­ ¦r¨³ª· ¥µ«µ­ ¦r µ ¦³­ µ¦ r µ¦­° ° oµ¡Á oµ¡ ªnµ ª· µ­´ µ ¨³¦³ Á } ª· µ ¸É n° oµ ¥µ Á¡¦µ³ªnµ ¤¸ µ¦ ε ª ¸ÉÁ ¸É¥ª o° ´ ­¤ µ¦ · «µ­ ¦r ε ª ¤µ ¹É µ ¦´Ê εĮo ¼oÁ¦¸¥ Ťn­µ¤µ¦ ε ªµ¤Á oµÄ Å o °¥nµ ¨¹ ¹Ê ° µ ¸Ê­´ µ nµ Ç ¸ÉÄ o È ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ­¤ µ¦ · «µ­ ¦r ¹ εĮo ¼oÁ¦¸¥ ¤° ŤnÁ®È ªµ¤­´¤¡´ r ° ´ªÂ ¦ nµ Ç n°¨´ ¬ ³ ° µ¦Á · ° ­´ µ ¨nµª º°Ã ¥ ´ÉªÅ ³° · µ¥¨´ ¬ ³ ° ­´ µ Ä ¦¼ ° ­¤ µ¦ · «µ­ ¦r  ¨³¤¸ ¦¼ ¦µ¢ ° ­´ µ ´Ê ¦³ ° Î µ ° · µ¥ à ¥ ¸É ¼o Á ¦¸ ¥ Ťn­µ¤µ¦ ¨° Á° Å oªnµ oµ ´ªÂ ¦ ° ­´ µ Á ¨¸É¥ Å ¦¼ ¦nµ ° ­´ µ ´Ê ³Á ¨¸É¥  ¨ Å °¥nµ Ŧ ´ ´Ê ¹ ­n ¨Ä®o ¼oÁ¦¸¥ ŤnÅ o¦´ ªµ¤¦¼o µ µ¦Á¦¸¥ ª· µ­´ µ ¨³¦³ Å o°¥nµ Á Ȥ ¦³­· ·£µ¡ ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸ÊÅ o ¼ ´ ε ¹Ê ¤µÃ ¥¤¸ª´ » ¦³­ rÁ¡ºÉ°Ä o ¦³ ° µ¦Á¦¸¥ µ¦­° ª· µ­´ µ ¨³¦³ ¸ÉÁ d ­° Ä ³ª·«ª ¦¦¤«µ­ ¦r ° ¤®µª· ¥µ¨´¥ nµ Ç Ã ¥ ³Á®¤µ³ ´ ´ «¹ ¬µ ¸É nµ µ¦Á¦¸¥ ª· µÂ ¨ ¼¨´­ 1, 2, ¨³ 3 (®¦º° ε¨´ «¹ ¬µª· µÂ ¨ ¼¨´­ 3) ¦ª¤ ´Ê ¼o ¸É­ Ä µ oµ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³ ¦³ ° µ ¸Ê® ´ ­º°Á¨n¤ ¸ÊÅ o¤¸ µ¦ εà ¦Â ¦¤ SCILAB ¹É Á } à ¦Â ¦¤ ¸ÉÄ®o¢¦¸ (­µ¤µ¦ µª rî¨ ¼n¤º° µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Å o ¸É http://home.npru.ac.th/piya/webscilab) ¤µ ¦³¥» rÄ o ¦³ ° ε° · µ¥ ° Á ºÊ°®µÄ  n¨³ Á¦¸¥ ¹É nª¥ εĮo ¼oÁ¦¸¥ ­µ¤µ¦ Á oµÄ Á ºÊ°®µ nµ Ç Ä Á¦¸¥ Å o¤µ ¥·É ¹Ê ¨nµª º°Ä  n¨³ Á¦¸¥ ³¤¸ µ¦Â­ » ε­´É ° à ¦Â ¦¤ SCILAB ¸ÉÄ oÄ µ¦ªµ ¦¼ ¦µ¢ ° ­´ µ ¦ª¤ ´Ê µ¦ ε ª nµ Ç ¸ÉÁ ¸É¥ª o° ´ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¸É° · µ¥Ä ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê Á n ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series), µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform), µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ (Laplace transform), ¨³ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform) Á } o

E

® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ³Á¦·É¤ o ° · µ¥Á ¸É¥ª ´ ¦³Á£ ° ­´ µ ¨³¦³ µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ­´ µ ¨³­´ µ nµ Ç ¸É nµ­ Ä µ ´Ê ¸É 2 ¨³ ¸É 3 ³ ¨nµª ¹ µ¦®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³ » ­¤ ´ ·  £µ¡ ¨È° ¨³­¤ µ¦Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (LTI: linear time-invariant) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­Îµ®¦´ ¸É 4 ¨³ ¸É 5 ° · µ¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¨³ ¨ ° ­ ° ° ¦³ ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¸É 6 ¨³ ¸É 7 ³ ¨nµª ¹ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¨³ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É 8 ° · µ¥ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É 9 ³ ¨nµª ¹ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¨³ ¸É 10 ¹É Á } ­» oµ¥ ³° · µ¥ µ¦Â ¨ ¸ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸ ¨³ µ¦Â ¨ ¸  oµ Á ¸¥ª ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ³Å¤n­µ¤µ¦ εĮo­ÎµÁ¦È ¹Ê ¤µÅ o oµ®µ µ » ¨ nµ Ç ¸É °¥Ä®o ªµ¤ nª¥Á®¨º°Â¨³ Á } ε¨´ Ä Ä®o oµ¡Á oµ ¨° ¤µ oµ¡Á oµ ° ¦µ ° ¡¦³ » °µ µ¦¥r » nµ ¸ÉÄ®o ªµ¤¦¼o¨³ ε ¦¹ ¬µ ¨° ¦³¥³Áª¨µ µ¦«¹ ¬µ ¦ª¤ ´Ê » Ç Ä ¦° ¦´ª ° oµ¡Á oµ ° µ ¸Ê oµ¡Á oµ ° ° » «¼ ¥rÁ à 襸 °·Á¨È ¦° · ­r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r®n µ · (Á Á ) ­Îµ ´ µ ¡´ µª· ¥µ«µ­ ¦r¨³Á à 襸®n µ · (­ª .) ¦³ ¦ª ª· ¥µ«µ­ ¦r¨³Á à 襸 £µ¥Ä o¦®´­Ã ¦ µ¦ NT-B-22-FR-98-50-08 ¸É¤¸­nª ¦nª¤ ­ ´ ­ » µ¦ ´ ¡· ¤ ¡r ® ´ ­º ° Á¨n ¤ ¸Ê ­» o µ ¥ o µ ¡Á o µ ° ° » ¤®µª· ¥µ¨´ ¥ ¦µ £´ ¦ ¤ ¸É Ä ®o µ¦ ­ ´ ­ » ¨³Ä®o ªµ¤­³ ª  n oµ¡Á oµ ¨° ¦³¥³Áª¨µÄ µ¦Á ¸¥ ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê oµ¥­» ¸Ê oµ¡Á oµÅ o¡¥µ¥µ¤°¥nµ ¥·É Ä µ¦ ¸É ³ εĮo® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê nµ¥ n° µ¦Á¦¸¥ ¦¼o Á¡ºÉ°Ä®o ¼o°nµ ­µ¤µ¦ ε ªµ¤Á oµÄ Å o oª¥ Á° °¥nµ ¦ª Á¦ÈªÂ¨³¤¸ ¦³­· · ¨ ®µ ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê¤¸ o° ¡¦n° ¦³ µ¦Ä oµ¡Á oµ¤¸ ªµ¤¥· ¸Â¨³ ´ ° ¡¦³ » ¥·É ®µ nµ ¼oÄ o® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ³­n o° · Á®È ¨³ ε ³ ε ¸ÉÁ } ¦³Ã¥ r­Îµ®¦´ µ¦ ¦´ ¦» ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê¤µ ¸É°¸Á¤¨r piya@npru.ac.th Á¡ºÉ° ¸É oµ¡Á oµ ³Å o εÁ · µ¦ ¦´ ¦» ¨³Â oÅ Ä µ¦¡·¤¡r ¦´Ê n°Å

«. ¦. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤ »¨µ ¤ ¡.«. 2552

F

­µ¦ ´ ¸É 1 ¡ºÊ µ ° ­´ µ ¨³¦³ .......................................................................................1-1 1.1 ­´ µ .................................................................................................................................................... 1-1 1.2 ¦³Á£ ° ­´ µ ................................................................................................................................. 1-2 1.2.1 ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁÁ¨³­´ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ........................................................ 1-2 1.2.2 ­´ µ ° ³¨È° ÁÁ¨³­´ µ · · ´¨............................................................................................. 1-3 1.2.3 ­´ µ µ ÁÁ¨³­´ µ ŤnÁ } µ .............................................................................................. 1-5 1.2.4 ­´ µ Á · ε® ÁÁ¨³­´ µ ­»n¤ ................................................................................................ 1-7 1.2.5 ­´ µ ¡¨´ µ ÁÁ¨³­´ µ ε¨´ ................................................................................................. 1-7 1.2.6 ­´ µ ° °¨ ° Å ° °¨ ¨³ ° ° °¨ ........................................................................ 1-11 1.2.7 ­´ µ ¼nÁÁ¨³­´ µ ¸É ................................................................................................................ 1-12 1.2.8 ­´ µ {~ oµ¥ÁÁ¨³­´ µ {~ ªµ................................................................................................ 1-12 1.3 µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ­´ µ ............................................................................................................... 1-13 1.3.1 µ¦¥n°Â¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ­´ µ .......................................................................................... 1-14 1.3.2 µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ ............................................................................................................. 1-14 1.3.3 µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ ............................................................................................................. 1-15 1.3.4 µ¦¡´ ­´ µ .............................................................................................................................. 1-15 1.3.5 µ¦ ­¤¦³®ªnµ µ¦Á¨º°É Áª¨µÁÁ¨³ µ¦¡´ ­´ µ ....................................................................... 1-16 1.3.6 µ¦ ­¤¦³®ªnµ µ¦Á¨º°É Áª¨µÁÁ¨³ µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ ...................................................... 1-17 1.4 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ..................................................................................................................... 1-19 1.4.1 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .............................................................................. 1-19 1.4.2 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .......................................................................... 1-22 1.5 ­´ µ ¡ºÊ µ ¸É nµ­ Ä ..................................................................................................................... 1-26

G

1.5.1 ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ......................................................................................................... 1-26 1.5.2 ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ........................................................................................................... 1-27 1.5.3 ­´ µ µ ¨µ ............................................................................................................................. 1-29 1.5.4 ­´ µ · r................................................................................................................................... 1-30 1.6 ¦³ ....................................................................................................................................................... 1-32 1.6.1 ¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁÁ¨³¦³ ¸ÅÉ ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .............................................................. 1-33 1.6.2 ¦³ Á · Á­o ¨³¦³ ŤnÁ · Á­o ................................................................................................. 1-33 1.6.3 ¦³ ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÂ¨³¦³ ¸ÉÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ.................................................... 1-34 1.6.4 ¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ 娳¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε ................................................................. 1-35 1.6.5 ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o¨³¦³ ¸ÅÉ ¤n­µ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o ....................................................... 1-35 1.6.6 ¦³ ° °¨Â¨³¦³ ° ° °¨ ............................................................................................. 1-36 1.6.7 ¦³ Á­ ¸¥¦Â¨³¦³ ŤnÁ­ ¸¥¦ .................................................................................................... 1-37 1.7 µ¦ n° ´ ° ¦³ ................................................................................................................................ 1-38 1.8 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 1-40 1.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 1-41

¸É 2 ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ...............................................2-1 2.1 µ¦Â­ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ........................................................................................................ 2-2 2.2 ¦·¡´ r ° ꨼ ´ .................................................................................................................................. 2-3 2.3 ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r¨³ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ................................................................................. 2-10 2.4 » ­¤ ´ · ° ¦³ LTI ......................................................................................................................... 2-11 2.4.1 » ­¤ ´ · µ¦­¨´ ¸É ....................................................................................................................... 2-11 2.4.2 » ­¤ ´ · µ¦Â  .................................................................................................................... 2-12 2.4.3 » ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n ................................................................................................................. 2-13 2.4.4 » ­¤ ´ · µ¦¤¸Â¨³Å¤n¤¸® nª¥ ªµ¤ ε .......................................................................................... 2-14 2.4.5 » ­¤ ´ ·Ä µ¦®µ ´ª ´ Å o ..................................................................................................... 2-14 2.4.6 » ­¤ ´ · ° °¨ ........................................................................................................................... 2-15 2.4.7 » ­¤ ´ ·Á­ ¸¥¦ ............................................................................................................................. 2-17 2.5 ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r................................................................................................................................... 2-18 2.5.1 ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤­¸ ´¤ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Á­o ......................................................... 2-18 2.5.2 » ­¤ ´ ·Á · Á­o ............................................................................................................................ 2-21

H

2.5.3 » ­¤ ´ · ° °¨ ........................................................................................................................... 2-23 2.5.4 » ­¤ ´ ·Å¤n ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ................................................................................................... 2-23 2.5.5 ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r..................................................................................................................... 2-24 2.6  £µ¡ ¨È° ........................................................................................................................................ 2-25 2.7 ­®­´¤¡´ r .............................................................................................................................................. 2-29 2.7.1 ­®­´¤¡´ r oµ¤ .............................................................................................................................. 2-29 2.7.2 °´ ­®­´¤¡´ r ................................................................................................................................ 2-29 2.8 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 2-32 2.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 2-32

¸É 3 ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ...........................................3-1 3.1 µ¦Â­ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................................... 3-1 3.2 ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ ................................................................................................................................... 3-3 3.3 ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r¨³ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ................................................................................. 3-12 3.4 » ­¤ ´ · ° ¦³ LTI ......................................................................................................................... 3-13 3.4.1 » ­¤ ´ · µ¦­¨´ ¸É ....................................................................................................................... 3-13 3.4.2 » ­¤ ´ · µ¦Â  .................................................................................................................... 3-13 3.4.3 » ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n ................................................................................................................. 3-15 3.4.4 » ­¤ ´ · µ¦¤¸Â¨³Å¤n¤¸® nª¥ ªµ¤ ε .......................................................................................... 3-17 3.4.5 » ­¤ ´ · µ¦®µ ´ª ´ Å o .......................................................................................................... 3-17 3.4.6 » ­¤ ´ · ° °¨ ........................................................................................................................... 3-19 3.4.7 » ­¤ ´ ·Á­ ¸¥¦ ............................................................................................................................. 3-19 3.5 ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ..................................................................................................................................... 3-20 3.5.1 ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸­´¤ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Á­o ............................................................ 3-20 3.5.2 ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r..................................................................................................................... 3-24 3.6  £µ¡ ¨È° ........................................................................................................................................ 3-26 3.7 ­®­´¤¡´ r .............................................................................................................................................. 3-28 3.7.1 ­®­´¤¡´ r oµ¤ .............................................................................................................................. 3-29 3.7.2 °´ ­®­´¤¡´ r ................................................................................................................................ 3-29 3.7.3 ¦³Ã¥ r ° ­®­´¤¡´ r .............................................................................................................. 3-33

I

3.8 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 3-33 3.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 3-34

¸É 4 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ.....................................................................................4-1 4.1 ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ......................................................................... 4-1 4.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ................................................................................... 4-4 4.2.1 ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ....................................................................................................... 4-4 4.2.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ..................................................................................... 4-5 4.2.3 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ±µ¦r¤° · ................................................................................................... 4-7 4.2.4 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· · .................................................................................................. 4-7 4.2.5 ´ª°¥nµ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ............................................................................... 4-9 4.2.6 Á ºÉ° Å µ¦¨¼nÁ oµ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ................................................................................................ 4-22 4.2.7 ¦µ µ¦ r · r ........................................................................................................................... 4-24 4.3 » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ...................................................................................... 4-24 4.3.1 » ­¤ ´ ·Á · Á­o ............................................................................................................................ 4-24 4.3.2 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 4-25 4.3.3 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É.............................................................................................................. 4-25 4.3.4 » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ .............................................................................................................. 4-26 4.3.5 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ ........................................................................................................... 4-26 4.3.6 » ­¤ ´ · µ¦ ¼ ............................................................................................................................ 4-27 4.3.7 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ......................................................................................................... 4-27 4.3.8 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» ........................................................................................................................ 4-27 4.3.9 ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ........................................................................................................... 4-28 4.3.10 ­¦» » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .................................................................... 4-29 4.3.11 ­¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ........................................................................................ 4-29 4.4 ­Á ¦´¤ ε¨´ ........................................................................................................................................ 4-35 4.5 ¨ ° ­ ° ° ¦³ LTI n°­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ........................................................... 4-37 4.6 o° ª¦ ¦µ Á ¸É¥ª ´ ªµ¤ ¸É .................................................................................................................... 4-39 4.7 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 4-40 4.8  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 4-40

J

¸É 5 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................5-1 5.1 ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .................................................................... 5-1 5.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn °n Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................................... 5-4 5.2.1 ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ................................................................................................... 5-4 5.2.2 ¨¦ª¤Á · Á­o ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° .............................................................................................. 5-5 5.2.3 µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ........................................................... 5-5 5.2.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ........................................................................... 5-12 5.3 » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ.................................................................................. 5-14 5.3.1 ªµ¤Á } µ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .................................................................. 5-14 5.3.2 » ­¤ ´ ·Á · Á­o ............................................................................................................................ 5-15 5.3.3 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 5-15 5.3.4 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É.............................................................................................................. 5-16 5.3.5 » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ .............................................................................................................. 5-16 5.3.6 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ ........................................................................................................... 5-16 5.3.7 » ­¤ ´ · µ¦ ¼ ............................................................................................................................ 5-17 5.3.8 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ......................................................................................................... 5-17 5.3.9 » ­¤ ´ · ¨ nµ ¨Îµ ´ ¸É® ¹É ......................................................................................................... 5-18 5.3.10 » ­¤ ´ · ¨­³­¤ ....................................................................................................................... 5-18 5.3.11 ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ......................................................................................................... 5-19 5.3.12 ­¦» » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Å¸É ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................... 5-19 5.3.13 ­¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................... 5-19 5.4 ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ..................................................................................................................................... 5-25 5.5 ¨ ° ­ ° ° ¦³ LTI n°­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ...................................................... 5-28 5.6 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 5-30 5.7  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 5-31

¸É 6 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................6-1 6.1 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ° ­´ µ ŤnÁ } µ ..................................................................... 6-1 6.1.1 ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ......................................................................................................................... 6-2 6.1.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r.............................................................................................................................. 6-4 6.1.3 ­Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r................................................................................................................................ 6-4

K

6.1.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r............................................................................................................ 6-5 6.2 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .............................................................................. 6-11 6.3 » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ.......................................................................................... 6-17 6.3.1 » ­¤ ´ ·Á · Á­o ............................................................................................................................ 6-18 6.3.2 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 6-18 6.3.3 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ ........................................................................................................... 6-19 6.3.4 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» ........................................................................................................................ 6-21 6.3.5 » ­¤ ´ · ª·£µª³ .......................................................................................................................... 6-23 6.3.6 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É.............................................................................................................. 6-25 6.3.7 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ r................................................................................................................ 6-25 6.3.8 » ­¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡ ´ r ................................................................................................................ 6-27 6.3.9 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ......................................................................................................... 6-28 6.3.10 » ­¤ ´ · µ¦ ¼ .......................................................................................................................... 6-30 6.3.11 ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ................................................................................................................................ 6-31 6.3.12 ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ......................................................................................................... 6-31 6.3.13 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................ 6-32 6.3.14 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ..................................................................................... 6-32 6.4 §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r¨¸ ..................................................................................................................... 6-32 6.5 ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .................................................................... 6-36 6.5.1 µ¦®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ...................................................................................................... 6-36 6.5.2 µ¦­n ­´ µ ¸ÉŤn¤ ¸ ªµ¤ · Á¡¸¥Ê ............................................................................................... 6-38 6.6 ´ª°¥nµ µ¦ ¦³¥» rÄ o µ ..................................................................................................................... 6-39 6.7 µ¦ ¦° ­´ µ .................................................................................................................................... 6-43 6.7.1 ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ · ....................................................................................................... 6-44 6.7.2 ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸ÉÄ µ · ´ ·.............................................................................................. 6-45 6.8 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 6-51 6.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 6-51

¸É 7 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ .............................................................................7-1 7.1 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ ŤnÁ } µ ................................................................ 7-1 7.1.1 ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ......................................................................................................................... 7-1

L

7.1.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r.............................................................................................................................. 7-4 7.1.3 ­Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r................................................................................................................................ 7-4 7.1.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r.......................................................................................................... 7-12 7.2 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ......................................................................... 7-14 7.3 » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ..................................................................................... 7-17 7.3.1 » ­¤ ´ · ªµ¤Á } µ ................................................................................................................. 7-17 7.3.2 » ­¤ ´ ·Á · Á­o ............................................................................................................................ 7-17 7.3.3 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 7-18 7.3.4 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É.............................................................................................................. 7-18 7.3.5 » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ .............................................................................................................. 7-19 7.3.6 » ­¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ .................................................................................................................. 7-19 7.3.7 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» ........................................................................................................................ 7-22 7.3.8 » ­¤ ´ · ¨ nµ ¨³ ¨­³­¤°´ ´ ® ¹É ..................................................................................... 7-23 7.3.9 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ..................................................................................... 7-23 7.3.10 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ....................................................................................................... 7-24 7.3.11 » ­¤ ´ · µ¦ ¼ .......................................................................................................................... 7-27 7.3.12 ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ......................................................................................................... 7-29 7.3.13 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................ 7-29 7.3.14 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................ 7-29 7.4 ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ..................................................................................................................................... 7-29 7.4.1 ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r .............................................................. 7-33 7.5 ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................... 7-33 7.5.1 µ¦®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ...................................................................................................... 7-34 7.6 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 7-37 7.7  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 7-37

¸É 8 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ..................................................................................................8-1 8.1 §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ........................................................................................................................... 8-1 8.2 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ............................................................................................... 8-3 8.2.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ................................................................................................................... 8-4 8.2.2 µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r................................................................................... 8-7

M

8.2.3 ¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ ............................................................ 8-9 8.2.4 ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ .......................................................................................................................... 8-13 8.3 µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ................................................................................................ 8-17 8.3.1 µ¦Â ¨ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ.................................. 8-17 8.3.2 µ¦Â ¨ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ.................................. 8-19 8.4 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ......................................................................................... 8-21 8.4.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ................................................................................................................. 8-21 8.4.2 µ¦­¦oµ ­´ µ ¸ÉŤn n° n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ............................................................... 8-24 8.5 µ¦ ´ ´ª°¥nµ  ®¨µ¥°´ ¦µ ............................................................................................................... 8-25 8.6 ´ª°¥nµ µ¦ ε ª ................................................................................................................................. 8-28 8.7 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 8-32 8.8  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 8-32

¸É 9 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ...........................................................................................................9-1 9.1 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ..................................................................................................................................... 9-1 9.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ...................................................................................................... 9-8 9.3 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ......................................................................................................................... 9-10 9.4 » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ................................................................................................................... 9-13 9.4.1 » ­¤ ´ ·Á · Á­o ............................................................................................................................ 9-14 9.4.2 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ................................................................................................................. 9-14 9.4.3 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ S ...................................................................................................... 9-14 9.4.4 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ ........................................................................................................... 9-15 9.4.5 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» ........................................................................................................................ 9-16 9.4.6 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ......................................................................................................... 9-16 9.4.7 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ......................................................................................... 9-18 9.4.8 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ S ............................................................................................. 9-18 9.4.9 » ­¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡ ´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ......................................................................................... 9-19 9.4.10 §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ¨³ nµ­» oµ¥ ................................................................................................ 9-20 9.4.11 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ .......................................................................................... 9-22 9.4.12 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ .............................................................................................................. 9-22 9.5 µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ............................................................................... 9-24

N

9.5.1 ° °¨· ¸ ......................................................................................................................................... 9-24 9.5.2 ªµ¤Á­ ¸¥¦ .................................................................................................................................... 9-25 9.5.3 ¦³ µ¤­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o ............................................... 9-28 9.6 ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° ..................................................................... 9-31 9.6.1 µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ  £µ¡ ¨È° .................................................................................... 9-31 9.6.2 µ¦®µÂ £µ¡ ¨È° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° .................................................................................... 9-34 9.7 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ............................................................................................................. 9-37 9.7.1 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ............................................................................. 9-40 9.8 ­¦» oµ¥ ............................................................................................................................................. 9-43 9.9  f ®´ oµ¥ ................................................................................................................................... 9-43

¸É 10 µ¦Â ¨ ¸ ..................................................................................................................10-1 10.1 µ¦Â ¨ ¸ ............................................................................................................................................ 10-1 10.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¸............................................................................................................. 10-7 10.3 µ¦Â ¨ ¸ ´ ................................................................................................................................ 10-10 10.4 » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸ .......................................................................................................................... 10-14 10.4.1 » ­¤ ´ ·Á · Á­o ...................................................................................................................... 10-14 10.4.2 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ............................................................................................................ 10-15 10.4.3 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨Ä à Á¤ Z ................................................................................................ 10-15 10.4.4 » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ......................................................................................................... 10-17 10.4.5 » ­¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ............................................................................................................ 10-17 10.4.6 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» ................................................................................................................... 10-18 10.4.7 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ .................................................................................................... 10-18 10.4.8 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ rÄ Ã Á¤ Z ....................................................................................... 10-19 10.4.9 §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ................................................................................................................... 10-20 10.4.10 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸................................................................................................ 10-21 10.4.11 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¸ .................................................................................................................... 10-21 10.5 µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ........................................................................... 10-21 10.5.1 ° °¨· ¸ ................................................................................................................................... 10-23 10.5.2 ªµ¤Á­ ¸¥¦ ............................................................................................................................... 10-25 10.5.3 ¦³ µ¤­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o ............................................ 10-25

O

10.6 ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° ................................................................. 10-30 10.6.1 µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ  £µ¡ ¨È° ............................................................................... 10-30 10.6.2 µ¦®µÂ £µ¡ ¨È° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ............................................................................... 10-32 10.7 µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª .................................................................................................................... 10-35 10.7.1 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª................................................................................... 10-37 10.8 ­¦» oµ¥ ......................................................................................................................................... 10-41 10.9  f ®´ oµ¥ ............................................................................................................................... 10-42

£µ ª - ­¼ ¦ · «µ­ ¦r ¸É nµ­ Ä ................................................................................. -1 £µ ª - ¡ºÊ µ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB ................................................................ -1 ¦¦ µ » ¦¤ ............................................................................................................................. -1 ¦³ª´ · ¼oÁ ¸¥ .............................................................................................................................. -1

P

¸É 1 ¡ºÊ µ ° ­´ µ ¨³¦³ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ Á } ­·É εÁ } °¥nµ ¥·É µ oµ ª· ¥µ«µ­ ¦r¨³ª·«ª ¦¦¤ Á¡¦µ³ nª¥ εĮo Á oµÄ ¹ ¨´ ¬ ³Â¨³Ã ¦ ­¦oµ µ¦ ε µ ° ¦³ ´ ´Ê ªµ¤¦¼o ¨³ ªµ¤Á oµÄ Á ¸É¥ª ´ ¡ºÊ µ ° ­´ µ ¨³¦³ ¹ ¤¸ ªµ¤­Îµ ´ ¤µ Ä ¸Ê ³° · µ¥ §¬ ¸¡ºÊ µ nµ Ç µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ ¸É¥ª o° ´ ­´ µ ¨³¦³ à ¥Á¦·É¤ µ ¦³Á£ ° ­´ µ µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ­´ µ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¨³­´ µ ¡ºÊ µ °ºÉ Ç ¸É nµ­ Ä ¦ª¤ ´Ê µ¦ ε ¦³Á£ ° ¦³ Á } o Á¡ºÉ°Á ¦¸¥¤ ªµ¤¡¦o°¤Ä®o ¼o°nµ Å oÁ oµÄ ¹ ¡ºÊ µ nµ Ç ¸É εÁ } ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¸É ³«¹ ¬µÄ n°Å ­Îµ®¦´ ¼o­ Ä ¸É o° µ¦«¹ ¬µ¦µ¥¨³Á°¸¥ Á¡·É¤Á ·¤ ° Á ºÊ°®µÄ ¸Ê­µ¤µ¦ o ªoµÅ o µ [1 – 5]

1.1 ­´ µ ¦µ µ¦ r µ µ¥£µ¡®¨µ¥°¥nµ ­µ¤µ¦ ° · µ¥Å o oª¥­·É ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “­´ µ (signal)” à ¥ o°¤¼¨ ¸É o° µ¦ ³Â °¥¼nÄ ¦¼  µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ° ­´ µ ´ª°¥nµ Á n £µ¡ ¸É 1.1 ( ) ­ ª ¦Å¢¢jµÂ RL ¸É¤¸ ´ª ªµ¤ oµ µ ¨³ ´ªÁ® ¸É¥ª ε n°° » ¦¤ ´ ¨³Á¤ºÉ°Á ºÉ°¤ n°­ª· r ¸ÉÁª¨µ t 0 È ³Å o ¦µ¢Â­ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ° ¦³Â­Å¢¢jµ ¸ÉÅ®¨£µ¥Ä ª ¦Å¢¢jµÁ¤ºÉ° t ! 0 µ¤£µ¡ ¸É 1.1 ( ) ¹É Ä ¦ ¸ ¸Ê­´ µ È º°¦¼  µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ° ¦³Â­Å¢¢jµÁ¤ºÉ°Á ¸¥ ´ Áª¨µ µ¤ ªµ¤­´¤¡´ r i t E / R 1 e Rt / L

µ ´ª°¥nµ oµ o εĮo­¦» Å oªnµ ­´ µ º°¢{ r ´ (function) µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ o­ ¦·¤µ µ µ¥£µ¡ à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ ³ ¼  oª¥¢{ r ´ ° ´ªÂ ¦°·­¦³® ¹É ®¦º°¤µ ªnµ® ¹É ´ªÂ ¦ Á n ­´ µ x t ®¤µ¥ ¹ ­´ µ x ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ´ªÂ ¦°·­¦³ t Á } o ´ ´Ê Ä µ · ´ ·­´ µ ¹ ¤¸¤µ ¤µ¥®¨µ¥¦¼  Įo¡ Á®È Ä ¸ª· ¦³ εª´ Å o n ­´ µ Á­¸¥ ­´ µ £µ¡ ­´ µ ¨ºÉ ®´ªÄ ­´ µ ªµ¤ ´ è®· ­´ µ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °» ®£¼¤·£µ¥Ä ®o° ¨³­´ µ ¦µ µ®¨´ ¦´¡¥r Á } o

บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-1

i t

i t

E R

t=0

E

R

E 1 e Rt / L R

L

t

0

( )

( )

£µ¡ ¸É 1.1 ( ) ª ¦Å¢¢jµÂ RL ¨³ ( ) ¦µ¢Â­ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ° ¦³Â­Å¢¢jµÁ¤ºÉ°Á ¸¥ ´ Áª¨µ

1.2 ¦³Á£ ° ­´ µ Ä µ · ´ · ­´ µ ¸É Ä o µ ´É ª Å ­µ¤µ¦  n °° Å o ® ¨µ¥ ¦³Á£ µ¤ » ¨´ ¬ ³ ° ­´ µ ´ n°Å ¸Ê

1.2.1 ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁÁ¨³­´ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time signal) º°­´ µ ¸É¤¸ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °¥nµ n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥ ´ÉªÅ ³Ä o­´ ¨´ ¬ r x t  ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x Á¤ºÉ° t º° ´ªÂ ¦°·­¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ( ´É º° ´ªÂ ¦ t ¤¸ nµÁ } ε ª ¦· ) Á¡¦µ³ ³ ´Ê nµ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹ Á } ­¤µ · ° Á ε ª ¦· ®¦º°Á ° ´ r (infinite set) ´ª°¥nµ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o n Á­¸¥ ¡¼ , ­´ µ £µ¡, ¨³ ¨ºÉ ª· ¥» Á } o ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time signal) º°­´ µ ¸ÉŤn¤¸ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °¥nµ n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥ ´ÉªÅ ³Ä o­´ ¨´ ¬ r x > k @ ®¦º° xk  ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x Á¤ºÉ° k º° ´ªÂ ¦ °·­¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ( ´É º° ´ªÂ ¦ k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¸É¤¸ nµ ε ´ ) ´ ´Ê nµ ° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹ Á } ­¤µ · ° Á ε ´ (finite set) ´ª°¥nµ ° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o n ´ ¸ ¨µ ®»o Å ¥, ε ª ±µ¦r ·­ rÅ ¦¢m ¸É ¨· Å o, ¨³ ε ª ¦³ µ ¦ ° ¦³Á « Á } o £µ¡ ¸É 1.2 ­ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä µ · ´ ·­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xk ¤´ ³Å o¤µ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling) ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É » nª Áª¨µ t kTs Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¨³ Ts º° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling period) à ¥ f s 1/ Ts º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling frequency) ´ ´Ê ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° ( ¼£µ¡ ¸É 1.2( )) x >k @

1-2

xk

x t t

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

kTs

x kTs

(1.1)

x >k @

x t

xk

x1 x2

x3 k

t

£µ¡ ¸É 1.2 ´ª°¥nµ ( ) ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ o°¤¼¨ xk  n¨³ ´ª ³°¥¼n®nµ ´ Ts ® nª¥ Ä ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê o°¤¼¨Â n¨³ ´ª ° xk ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµ “ ¤Á d¨ (sample)” ¨³Â ¤Á d¨®¨µ¥Ç  ¤Á d¨ ¸ÉÁ¦¸¥ n° ´ Á } » ³Á¦¸¥ ªnµ “¨Îµ ´ o°¤¼¨ (data sequence)” ¹É Á ¸¥  oª¥­´ ¨´ ¬ r ^ xk ` ®¤µ¥Á® » ­¤ µ¦ (1.1) ­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ ­µ¤µ¦ Ä oÁ } ´ªÂ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oµ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling theorem) ¹É ³° · µ¥ n°Å Ä ¸É 8

1.2.2 ­´ µ ° ³¨È° ÁÁ¨³­´ µ · · ´¨ ­´ µ ° ³¨È° (analog signal) º°­´ µ ¸É°¤¡¨· ¼ (amplitude) ¤¸ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °¥nµ n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ´Ê ­´ µ ° ³¨È° » ­´ µ ¹ º°ªnµÁ } ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º° nµ ° ­´ µ ° ³¨È° ³Á } ­¤µ · ° Á ε ª ¦· ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.3 ( ) Ä ³ ¸É­´ µ · · ´¨ (digital signal) º°­´ µ ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼ ®¦º° nµ ° ­´ µ £µ¥Ä Á ε ´ ´ ´Ê ­´ µ · · ´¨°µ ®¤µ¥ ¹ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ®¦º°­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ÈÅ o µ¤£µ¡ ¸É 1.3 ( – ) à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ · · ´¨Â ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (¡ ¤µ Ä ¦³ ­ºÉ°­µ¦ · · ´¨) ­µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 2 ¦³Á£ º° ­´ µ ­° ¦³ ´ ®¦º°­´ µ Å µ¦¸ (binary signal) ¨³­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ (multi-level signal) µ¤£µ¡ ¸É 1.4

1.2.2.1 ­´ µ Å µ¦¸ ­´ µ Å µ¦¸ ³¤¸¦³ ´ ­´ µ (®¦º°Â°¤¡¨· ¼ ) °¥¼n­° ¦³ ´ à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ ¦³ ´ ® ¹É ³Ä o o°¤¼¨Á¨ “0” ¨³­´ µ °¸ ¦³ ´ ® ¹É ³Ä o o°¤¼¨Á¨ “1” ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.4 ( ) ° µ ¸Ê Ä ¦³ ­ºÉ°­µ¦ · · ´¨ o°¤¼¨Â n¨³ ´ª ° ­´ µ Å µ¦¸ ·¥¤Á¦¸¥ ´ ªnµ “ · (bit)” ´É º° · 0 ¨³ · 1 à ¥ ¸É บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-3

t

k

t

£µ¡ ¸É 1.3 ´ª°¥nµ ­´ µ ° ³¨È° ¨³­´ µ · · ´¨Â nµ Ç y t

x t

t

t

T

T

£µ¡ ¸É 1.4 ´ª°¥nµ ( ) ­´ µ Å µ¦¸ ¨³ ( ) ­´ µ ®¨µ¥¦³ ´

·  n¨³ · ³¤¸ nª Áª¨µ®nµ ´ T ª· µ ¸ Á¤ºÉ° T º° µ ° · (bit period) ´ ´Ê °´ ¦µ o°¤¼¨ (data rate) ­µ¤µ¦ ·¥µ¤Å oà ¥ R

1 T

(1.2)

¤¸® nª¥Á } · n°ª· µ ¸ (bps: bit per second) o° ¸ ° ­´ µ Å µ¦¸ º°­µ¤µ¦ ε o°¤¼¨Å ¦³¤ª¨ ¨Å o¦ª Á¦Èª Á ºÉ° µ o°¤¼¨¤¸Á¡¸¥ ­° ­ µ ³ º° nµ 0 ¨³ nµ 1 ¹É ­° ¨o° ´ µ¦ ε µ ° ¦³ °¤¡·ªÁ °¦r ° µ ¸Ê µ¦°°  ¨³ µ¦­¦oµ ª ¦°· Á¨È ¦° · ­r nµ Ç Á¡ºÉ ° ε µ ´ ­´ µ Å µ¦¸ È­µ¤µ¦ Î µÅ oà ¥ n µ ¥Â¨³¤¸ ¦µ µ ¼ °¥nµ Ŧ È µ¤ o°Á­¸¥ ° µ¦Ä o­´ µ Å µ¦¸ (Á¤ºÉ°Á ¸¥ ´ ­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ) È º° ³ o° Ä o · ε ª ¤µ ­Îµ®¦´  o°¤¼¨ Á n ­¤¤ ·ªnµ oµ o° µ¦Á È o°¤¼¨ ´ª°´ ¬¦ { , , , …, ±} ¦ª¤ ´Ê ®¤ 44 ´ª°´ ¬¦ ­ ªnµ o° Ä o · °¥nµ o°¥Á } ε ª 6 · ( 2 64 ) ­Îµ®¦´  nµ ´ª °´ ¬¦Â n¨³ ´ª ¹É ³ εĮo ­·Ê Á ¨º° Á ºÊ° ¸ÉÄ µ¦ ´ Á È o°¤¼¨Ä °» ¦ r±µ¦r ·­ rÅ ¦¢m¨³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ o°¤¼¨ È ³Ä oÁª¨µ µ ¹Ê 6

1.2.2.2 ­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ³¤¸¦³ ´ ­´ µ °¥¼n®¨µ¥¦³ ´  n°¥¼n£µ¥Ä Á ε ´ ´ª°¥nµ Á n ­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ Ä £µ¡ ¸É 1.4 ( ) ¤¸¦³ ´ ­´ µ ´Ê ®¤ 4 ¦³ ´ à ¥ ¸É­´ µ  n¨³¦³ ´ ³ ¼  oª¥ ´ªÁ¨ ^0,1, 2,3` 1-4

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

x t

( ) ­´ µ µ ¸ É °n Á º°É µ Áª¨µ

t -2T

0

-T

-6

-4

-2

2T

x >k @

( ) ­´ µ µ ¸ÅÉ ¤n °n Á º°É µ Áª¨µ -5

T

1

-1

2

0

-3

k

5

4 3

6

£µ¡ ¸É 1.5 ´ª°¥nµ ( ) ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

o° ¸ ° ­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ º° nª¥ ¦³®¥´ Á ºÊ° ¸ÉÄ µ¦ ´ Á È o°¤¼¨ Á n ­¤¤ ·ªnµ­´ µ ®¨µ¥ ¦³ ´ ¤¸ nµ ¸ÉÁ } Å Å o ´Ê ®¤ 4 nµ ´ ´Ê oµ o° µ¦Á È o°¤¼¨ ´ª°´ ¬¦ { , , , …, ±} ¦ª¤ ´Ê ®¤ 44 ´ª°´ ¬¦ ­ ªnµ ³ o° Ä o ´ªÁ¨ {0, 1, 2, 3} °¥nµ o°¥Á } ε ª 3 ´ª ( 4 64 ) ­Îµ®¦´  nµ ´ª°´ ¬¦  n¨³ ´ª °¥nµ Ŧ È µ¤ o°Á­¸¥ ° µ¦Ä o­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ º° ª ¦°·Á¨È ¦° · ­r ¸É ε µ ´ ­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ³¤¸ ªµ¤ ´ o° ¤µ ¹Ê ´ ´Ê µ¦Á¨º° ­´ µ · · ´¨Â Ä ¤µÄ o µ ¹ ¹Ê °¥¼n ´ ¨´ ¬ ³ ° µ ¦³¥» r (application) Á n ­´ µ Å µ¦¸ ·¥¤ ε¤µÄ oÄ ¦³ µ¦ ´ ¹ o°¤¼¨ ° ±µ¦r ·­ rÅ ¦¢m Ä ³ ¸É­´ µ ®¨µ¥¦³ ´ ·¥¤ ε¤µÄ oÄ ¦³ µ¦ ´ ¹ o°¤¼¨ °  n ¸ ¸Â¨³Â n ¸ª¸ ¸ Á } o 3

1.2.3 ­´ µ µ ÁÁ¨³­´ µ ŤnÁ } µ ­´ µ µ (periodic signal) º°­´ µ ¸É¤¸¦¼ ¦nµ Êε ´ª¤´ Á° » Ç nª Áª¨µ ¸É ε® à ¥ ³Á¦¸¥ nª Áª¨µ ¸Êªnµ “ µ (period)” ° ­´ µ ´ ´Ê ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (periodic continuous-time signal) º°­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É­µ¤µ¦ ®µ µ Áª¨µ T ¸ÉÁ } nµ ª ¸É εĮo x t

x t mT

(1.3)

­Îµ®¦´ » nµ t Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ £µ¡ ¸É 1.5 ( ) ­ ´ª°¥nµ ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É Ä ¸É ¸Ê­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ oªnµ­´ µ x t Á } ­´ µ ¸É¤¸ µ Á nµ ´ mT ® nª¥ °¥nµ Ŧ È µ¤ nµ T ¸É o°¥ ¸É­» ¸É¥´ εĮo­¤ µ¦ (1.3) Á } ¦· ³Á¦¸¥ ªnµ “ µ ¤¼¨ µ (fundamental period)” ¹É Á ¸¥  oª¥ ­´ ¨´ ¬ r T0 ( ´É º°Á¤ºÉ° m 1 ³Å oªnµ T0 T ) ¨³­nª ¨´ ° µ Áª¨µ T0 ³Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ (fundamental frequency)” f 0 ¹É ®µÅ o µ บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-5

1 T0

f0

(1.4)

¤¸® nª¥Á } Á±·¦ r (Hz: hertz) ° µ ¸Ê­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ È­µ¤µ¦ Á } ­´ µ µ Å o oµ­µ¤µ¦ ®µ µ Áª¨µ N ¸ÉÁ } Á¨ ε ª Á Ȥ ª ¸É εĮo x >k @

x >k N @

(1.5)

­Îµ®¦´ » nµ k µ¤£µ¡ ¸É 1.5 ( ) ¹É Ä ¸É ¸Ê ³Å oªnµ­´ µ x > k @ ¤¸ µ Á nµ ´ N , 2 N ,3N ,! Á¤ºÉ° N 3 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¤¼¨ µ N 0 º° nµ N ¸É o°¥ ¸É­» ¸É εĮo­¤ µ¦ (1.5) Á } ¦· ´É º° N 0 3 ­´ µ µ ¤¸ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ º° ­´ µ µ Á¡¸¥ ® ¹É µ ³¤¸ » ¨´ ¬ ³Á ¸¥ Á nµ ´ ­´ µ µ ´Ê ®¤ ´ ´Ê ­´ µ µ Á¡¸¥ ® ¹É µ ­µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦ª·Á ¦µ³®r o°¤¼¨ nµ Ç Å o ¦ oª  ¸É ³ª·Á ¦µ³®r o°¤¼¨ µ ­´ µ µ ´Ê ®¤ ­Îµ®¦´ ­´ µ °ºÉ Ç ¸ÉŤnÅ o¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ³Á¦¸¥ ªnµ ­´ µ ŤnÁ } µ (aperiodic ®¦º° non-periodic signal) ´ª°¥nµ ¸É 1.1 ε® Ä®o x1 t ¨³ x2 t Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T1 ¨³ T2 µ¤¨Îµ ´ ¡· µ¦ µªnµ­´ µ x t x1 t x2 t Á } ­´ µ µ ®¦º°Å¤n ª· ¸ ε µ » ­¤ ´ · ° ­´ µ µ ³Å oªnµ x1 t

x1 t mT1

¨³

Á¤ºÉ° m ¨³ n Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç oµ ε® Ä®o mT1 x t

x1 t x2 t

x2 t

nT2

x2 t nT2

T

¨oª ³Å oªnµ

x1 t mT1 x2 t nT2

x1 t T x2 t T

x t T

´ ´Ê ­´ µ x t ³Á } ­´ µ µ È n°Á¤ºÉ°°´ ¦µ­nª T1 / T2 Á } ε ª ¦¦ ¥³1 ¨³ µ Áª¨µ ° x t ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥ (least common multiple) ° nµ T1 ¨³ T2

1

ε ª ¦¦ ¥³ (rational number) º° ε ª Á Ȥ®¦º° oµÁ } Á«¬­nª ÈÁ } Á«¬­nª ¸É®µ nµ ° ¨®µ¦Â¨oª¨ ´ª ´É º° Å o ¨¨´¡ rÁ } « ·¥¤¦¼o ®¦º° « ·¥¤ Êε Á n –2, 3, 100, ®¦º° 10/3 = 3.3333... Á } o

1-6

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

´ª°¥nµ ¸É 1.2 ®µ µ ¤¼¨ µ T0 ° ­´ µ Å ¼ °¥ r (sinusoidal signal) x t

sin 0.4S t

ª· ¸ ε ­´ µ x t ³¤¸ µ ¤¼¨ µ Á nµ ´ T0 È n°Á¤ºÉ°­µ¤µ¦ ®µ nµ T0 ¸É εĮo x t

sin 0.4S t sin 0.4S >t T0 @

Á ºÉ° µ sin T

¹É ³Å oªnµ

sin T 2nS

1

2nS 0.4S

´É º°

sin 0.4S t 0.4S T0

Á¤ºÉ° n Á } ε ª Á Ȥ ´ ´Ê µ ¤¼¨ µ T0 ®µÅ o µ 0.4S T0 T0

Á¤ºÉ° n

x t T0

2nS

5n 5

´É º° µ ¤¼¨ µ ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ T0

5

® nª¥

1.2.4 ­´ µ Á · ε® ÁÁ¨³­´ µ ­»n¤ ­´ µ Á · ε® (deterministic signal) º°­´ µ ¸É­µ¤µ¦ ¦³ »Å o n ° ªnµ nµ®¦º° » ­¤ ´ · ° ­´ µ Áª¨µÄ Ç ³Á } °¥nµ Ŧ ´ ´Ê ­´ µ Á · ε® ¹ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o Ä ³ ¸É­´ µ ­»n¤ (random signal) º°­´ µ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ¦³ »Å o n ° ªnµ » ­¤ ´ · ° ­´ µ Áª¨µÄ Ç ³Á } °¥nµ Ŧ à ¥ ´ÉªÅ Ä ¦³ ­ºÉ°­µ¦ ­´ µ ¸É¡ ¤µ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ ­»n¤Ã ¥°µ °¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ nµª­µ¦ ¸É o° µ¦®¦º°Ä o ¦³Ã¥ rÅ o Á n ­´ µ Á­¸¥ Ä ¦³ à ¦«´¡ r, ­´ µ £µ¡ nµ ¦³ µªÁ ¸¥¤, ¨³­´ µ o°¤¼¨ ¸É ´ Á È Ä ±µ¦r ·­ rÅ ¦¢m Á } o ®¦º°°µ °¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ ¦ ª (noise) ¸ÉÁ · ¹Ê Ä ¦³ ¹É Á } ­·É ¸ÉŤn o° µ¦ Á n ­´ µ ¦ ª Á · ªµ¤¦o° (thermal noise) ¸ÉÁ · µ µ¦Á ¨ºÉ° Å®ª ° °·Á¨È ¦° Ä ³Ä o µ °» ¦ r°·Á¨È ¦° · ­r εĮoÁ · µ¦Â n ªµ¤¦o° °° ¤µÄ ¦¼ ° ­´ µ ¦ ª Á } o ®¤µ¥Á® » ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ³Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB [6 – 7] Ä µ¦ªµ ¦¼ ¦µ¢ ° ­´ µ nµ Ç ¦ª¤ ´Ê ¨ µ¦ ¨° ¸ÉÅ o µ µ¦ ε¨° ¦³ (simulation) ° µ ¸Ê ¼o°nµ ª¦¡¥µ¥µ¤ ¨° ªµ ¦¼ ­´ µ nµ Ç Ä ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê Á¡ºÉ° nª¥ εĮoÁ oµÄ Ä Á¦¸¥ ¤µ ¥·É ¹Ê

1.2.5 ­´ µ ¡¨´ µ ÁÁ¨³­´ µ ε¨´ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®rª ¦Å¢¢jµ oµ ε® Ä®o v t º° nµÂ¦ ´ Å¢¢jµ¤¸® nª¥Á } ê¨ r (V: volt) ¨³ i t º° ¦³Â­Å¢¢jµ¤¸® nª¥Á } °¤Â ¦r (A: ampere) ¸ÉÅ®¨ nµ ´ª ªµ¤ oµ µ R ¹É ¤¸® nª¥Á } ð®r¤ (:: ohm) Á¡¦µ³ ³ ´Ê ε¨´ ´Éª ³ (instantaneous power) ·¥µ¤Ã ¥ บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-7

1 2 v t

R

p t v t i t

(1.6)

´ ´Ê ¡¨´ µ ¦ª¤ (total energy) ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ t1 d t d t2 º° t2

t

1 2 2 v t dt R ³t1

³ p t dt t1

(1.7)

¨³ ε¨´ Á ¨¸¥É (average power) ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ t1 d t d t2 º° t º 1 ª2 « ³ p t dt » t2 t1 ¬« t1 ¼»

t º 1 ª1 2 2 « ³ v t dt » t2 t1 ¬« R t1 ¼»

(1.8)

µ ·¥µ¤ ° ¡¨´ µ ¨³ ε¨´ ¸ÉÄ oÅ Ä ª ¦Å¢¢jµ εĮo­µ¤µ¦ ·¥µ¤¡¨´ µ ¦ª¤ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ t1 d t d t2 Å o º° t2

³ x t

2

dt

(1.9)

t1

Á¤ºÉ° x t º° nµ­´¤ ¼¦ r®¦º° µ ° x t ¨³ nµ ε¨´ Á ¨¸É¥ µ Áª¨µ (time-averaged power) ° x t º° t

2 1 2 x t dt t2 t1 ³t1

(1.10)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡¨´ µ ¦ª¤ ° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ ­µ¤µ¦ ·¥µ¤Å o ´ ¸Ê k2

¦ x >k @

2

k1 d k d k2

(1.11)

k k1

¨³ nµ ε¨´ Á ¨¸É¥ µ Áª¨µ ° x > k @ º° k2 2 1 x >k @ ¦ k2 k1 1 k k1

(1.12)

°¥n µ Ŧ È µ¤Ä µ · ´ · ³­ Ä ¡¨´ µ ° ­´ µ Ä n ª Áª¨µ° ´ r Á n µ ´Ê ´É º ° Á¤ºÉ ° f d t d f ¨³ f d k d f ´ ´Ê Ä ¦ ¸ ¸Ê ³Å oªnµ¡¨´ µ ¦ª¤ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° T

E

1-8

lim

T of

³ x t

2

T

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

f

dt

³ x t

f

2

dt

(1.13)

¨³¡¨´ µ ¦ª¤ ° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° N

E

lim

N of

¦ x >k @

f

2

¦ x >k @

k N

2

(1.14)

k f

Á n Á ¸¥ª ´ ³Å oªnµ ε¨´ Á ¨¸É¥ µ Áª¨µ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ° ´ r º° P

1 T of 2T

T

³ x t

lim

2

dt

(1.15)

T

¨³ ε¨´ Á ¨¸¥É µ Áª¨µ ° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ ¸ÉÄ oÅ Ä nª Áª¨µ° ´ r º° P

N 2 1 x >k @ ¦ N of 2 N 1 k N

lim

(1.16)

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ Ä Ç ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµ “­´ µ ε¨´ (power signal)” È n°Á¤ºÉ° nµ ε¨´ ° ­´ µ ¤¸ nµ ε ´ ¨nµª º° 0 P f ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 1.3 ®µ ε¨´ ° ­´ µ x t A cos Zt I Á¤ºÉ° Z 2S f0 ¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ (radians per second), f0 º° ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ , ¨³ I Á } nµ ´ª (constant) ° ¤»¤Á¢­ (phase) ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x t Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T0 ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (1.15) ´É º° P

1 T of 2T lim

1 T0

T

³

1 T0

2

x t dt

T

T0

³ A cos Zt I

2

1/ f 0

T0

³ x t

2

´ ´Ê ε¨´ ° ­´ µ ­µ¤µ¦

dt

0

dt

0

T 1 2 0 ª1 cos 2Zt 2I º A ³« » dt T0 2 0 ¬ ¼

T T0 º A2 ª 0 1 cos 2Zt 2I dt » dt «³ ³ 2T0 ¬« 0 0 ¼»

A2 >T0 0@ 2T0

A2 2

T0

Á ºÉ° µ ³ cos 2Zt 2I dt

0

0

บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-9

x t

y t

c

t c

c

5c

t

3c

c

£µ¡ ¸É 1.6 ´ª°¥nµ ( ) ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

´ª°¥nµ ¸É 1.3 εĮo ¦µ ªnµ ε¨´ ° ­´ µ µ ­µ¤µ¦ ε ª ®µÅ oà ¥ µ¦Ä o­´ µ Á¡¸¥ µ Á ¸¥ª ´É º° ε¨´ ° ­´ µ µ x t ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T0 ®µÅ o µ P

1 T0

T0

³ x t

2

dt

(1.17)

0

°¥nµ Ŧ È µ¤¡¨´ µ ° ­´ µ µ ³¤¸ nµÁ } nµ° ´ r ( ¼ µ ­¤ µ¦ (1.13)) ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ µ ³ ¼ ¡· µ¦ µªnµÁ } ­´ µ ε¨´ Ä ³ ¸É­´ µ ŤnÁ } µ Á¤ºÉ° ε µ¦®µ nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ ­Îµ®¦´ nª Áª¨µ° ´ r ³Å o ¨¨´¡ rÁ } nµ«¼ ¥r ´ ´Ê ­´ µ ŤnÁ } µ ­nª ¤µ Ťn­µ¤µ¦ ®µ ε¨´ ° ­´ µ Å o ¹ o° Ä o ·¥µ¤ ° ¡¨´ µ Á oµ¤µ nª¥ ¨nµª º°­´ µ Ä Ç ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµ “­´ µ ¡¨´ µ (energy signal)” È n°Á¤ºÉ° nµ¡¨´ µ ° ­´ µ ¤¸ nµ ε ´ ´É º° 0 E f ´ª°¥nµ ¸É 1.4 ¡· µ¦ µªnµ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ £µ¡ ¸É 1.6 Á } ­´ µ ε¨´ ®¦º°­´ µ ¡¨´ µ Á¤ºÉ° c Á } nµ ´ª ª· ¸ ε ) µ £µ¡ ¸É 1.6 ( ) ε¨´ ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ P

1 T of 2T lim

T

³

2

x t dt

T

c

1 T of 2T

³

lim

2

A dt

c

A2 2c

T of 2T lim

0

¨³¡¨´ µ ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ f

E

³ x t

2

c

dt

f

³

2

A dt

2cA2

c

´ ´Ê ­´ µ x t Ä £µ¡ ¸É 1.6 ( ) ¹ Á } ­´ µ ¡¨´ µ Á¡¦µ³ªnµ P ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

0

¨³ 0 E f

x t

x t

x t

t

t

t

£µ¡ ¸É 1.7 ´ª°¥nµ ( ) ­´ µ ° °¨, ( ) ­´ µ ° Å ° °¨, ¨³ ( ) ­´ µ ° ° °¨

) µ £µ¡ ¸É 1.6 ( ) ε¨´ ° ­´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ P

1 T of 2T lim

T

³ y t

2

dt

T

3c

2 1 y t dt 4c ³c c 3c º 1 ª 2 2 A dt A dt » «³ ³ 4c ¬ c c ¼

1 ª 2cA2 2cA2 º¼ 4c ¬

A2 2

¨³¡¨´ µ ° ­´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ f

E

³ y t

2

dt

f

f

´ ´Ê ­´ µ y t Ä £µ¡ ¸É 1.6 ( ) ¹ Á } ­´ µ ε¨´ Á ºÉ° µ 0 P f ¨³ E

f

1.2.6 ­´ µ ° °¨ ° Å ° °¨ ¨³ ° ° °¨ ­´ µ ° °¨ (causal signal) º°­´ µ ¸É¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r­Îµ®¦´ nª Áª¨µ ¸ÉÁ } ¨ ´É º° x t 0 ,

­Îµ®¦´ t 0

¨³­´ µ ° Å ° °¨ (anticausal signal) º°­´ µ ¸É¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r­Îµ®¦´ nª Áª¨µ ¸ÉÁ } ª ´É º° x t 0 ,

­Îµ®¦´ t ! 0

Ä ³ ¸É­´ µ ° ° °¨ (noncausal signal) º°­´ µ ¸É¤¸ nµÅ¤nÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¦µ °¥¼nÄ ´Ê nª Áª¨µ ¸ÉÁ } ª ¨³ nª Áª¨µ ¸ÉÁ } ¨ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.7 บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-11

x t

x t

x t

x t

t

t

£µ¡ ¸É 1.8 ´ª°¥nµ ( ) ­´ µ ¼n ¨³ ( ) ­´ µ ¸É x t

t1

x t

t

t

t1

£µ¡ ¸É 1.9 ´ª°¥nµ ( ) ­´ µ {~ oµ¥ ¨³ ( ) ­´ µ {~ ªµ

1.2.7 ­´ µ ¼nÁÁ¨³­´ µ ¸É ­´ µ ¼n (even signal) º°­´ µ x t Ä Ç ¸É­° ¨o° ´ » ­¤ ´ · x t x t ´É º°­´ µ ¸É­¤¤µ ¦¦°  y Ä ³ ¸É­´ µ ¸É (odd signal) º°­´ µ x t Ä Ç ¸É­° ¨o° ´ » ­¤ ´ · x t x t ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.8 ´ ´Ê µ ·¥µ¤ ° ­´ µ ¼nÁÁ¨³­´ µ ¸É εĮoÅ oªnµ­´ µ f t Ä Ç ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ­´ µ ¼nÁÁ¨³­´ µ ¸ÉÅ o µ¤ ªµ¤­´¤¡´ r n°Å ¸Ê f t

1 ^ f t f t ` 1 ^ f t f t ` 2 2

even

(1.18)

odd

®¦º° ¨nµª°¸ ´¥® ¹É º°­´ µ Ä Ç ­µ¤µ¦ Â¥ °° Á } ­´ µ ¼nÁÁ¨³­´ µ ¸ÉÅ oÁ­¤°

1.2.8 ­´ µ {~ oµ¥ÁÁ¨³­´ µ {~ ªµ ­´ µ {~ oµ¥ (left-handed signal) º°­´ µ ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r£µ¥Ä nª Áª¨µ f t1 t ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.9 ( ) Á¤ºÉ° t1 Á } Áª¨µÄ Ç ´É º° x t 0 ­Îµ®¦´ f t1 t Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­´ µ {~ ªµ (right-handed signal) º°­´ µ ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r£µ¥Ä nª Áª¨µ t t1 f µ¤£µ¡ ¸É 1.9 ( ) Á¤ºÉ° t1 Á } Áª¨µÄ Ç ´É º° x t 0 ­Îµ®¦´ t t1 f ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

´ª°¥nµ ¸É 1.5 ° · µ¥ oª¥¦¼ £µ¡Á¡ºÉ°Â­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ f t

Ä £µ¡ oµ ªµ¤º°­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼Än ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ­´ µ ¼n ÁÁ¨³­´ µ ¸É

f t

t 0

–1

1

ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (1.18) ­´ µ f t ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ­´ µ ¼nÁÁ¨³­´ µ ¸É Å o µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ n°Å ¸Ê f t

fe t

t

f t

t t 1 2

f t

t 1 2

f t

t

fo t

t

f t

t

´É º° f t

1 1 fe t fo t

2 2

µ¤ ¸ É o° µ¦

1.3 µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ­´ µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ n°¥ ¦´Ê ¤¸ ªµ¤ εÁ } o° Á ¨¸É¥  ¨ ¨´ ¬ ³®¦º°¦¼  ° ­´ µ Á n µ¦¥n° ¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ­´ µ , µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ , µ¦ ¸ ¨³ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ­´ µ , ¨³ µ¦ ¡´ ­´ µ Á } o Á¡ºÉ° nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r o°¤¼¨ ° ­´ µ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ´ ´Ê Ä ®´ª o° ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ­´ µ ¨´ ¬ ³ nµ Ç ´ ¸Ê บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-13

Ax t

x t

Ax t

0 A 1

A !1

cA

c cA t

T1

T0

t

T1

T0

T1

T0

t

£µ¡ ¸É 1.10 µ¦¥n°Â¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ­´ µ x t

x t

T0

x t T

x t T

T1

t

T1 T

T0 T

t

T0 T

T1 T

t

£µ¡ ¸É 1.11 µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ x t

1.3.1 µ¦¥n°Â¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ­´ µ µ¦¥n°Â¨³ µ¦ ¥µ¥ µ ° ­´ µ ­µ¤µ¦ εŠo nµ¥Ã ¥ µ¦ ε nµ­Á ¨µ¦r (®¦º° nµ ´ª) Ä Ç ¤µ ¼ ´ ­´ µ ´Ê Á n y t Ax t ®¤µ¥ ¹ ­´ µ y t ³¤¸¦¼ ¦nµ Á®¤º° ´ ­´ µ x t Á¡¸¥  n­´ µ y t ³¤¸ µ Á } A Á nµ ° ­´ µ x t µ¤£µ¡ ¸É 1.10 à ¥ ¸É oµ A ! 1 ®¤µ¥ ¹ µ¦ ¥µ¥ µ ° ­´ µ x t ¨³ oµ 0 A 1 ®¤µ¥ ¹ µ¦¥n° µ ° ­´ µ x t

1.3.2 µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ (time-shifting) ° ­´ µ ­µ¤µ¦ εŠo ´Ê  ® nª Áª¨µ (delay) ¨³Â ¨nª ® oµÁª¨µ (advance) µ¤£µ¡ ¸É 1.11 ¹É Ä µ · «µ­ ¦r­µ¤µ¦ εŠo nµ¥Ã ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ Á n oµ o° µ¦Ä®o ­´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ x t ¸É ¼ ® nª Áª¨µÅ T ® nª¥ Á¤ºÉ° T ! 0 È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦ Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·­¦³ ° ­´ µ x t µ t Å Á } t T ´É º° y t

x t t o t T

x t T

(1.19)

­´ Á ³¡ ªnµ­´ µ ¸É ¼ ® nª Áª¨µ ³Á¨ºÉ° Å µ ªµ (right-shift) ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­´ µ y t ³ Á · ¹Ê oµ ªnµ­´ µ x t Á } ¦³¥³Áª¨µ T ® nª¥ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ oµ o° µ¦Ä®o­´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ x t ¸É ¼ ¨nª ® oµÁª¨µÅ T ® nª¥ È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·­¦³ ° ­´ µ x t µ t Å Á } t T ´É º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

x t

T0

x t / a

x at

T1

t

T0 / a

t

T1 / a

aT0

aT1

t

£µ¡ ¸É 1.12 µ¦ ¸ ¨³ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ­´ µ x t Á¤ºÉ° a ! 1 y t

x t t o t T

x t T

³Á®È Å oªnµ­´ µ ¸É ¼ ¨nª ® oµÁª¨µ ³Á¨ºÉ° Å µ oµ¥ (left-shift) ³Á · ¹Ê Á¦Èª ªnµ­´ µ x t Á } ¦³¥³Áª¨µ T ® nª¥

(1.20) ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­´ µ y t

1.3.3 µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ µ¦­Á ¨Áª¨µ (time-scaling) º° µ¦ ¸ Áª¨µ (time-compression) ®¦º° µ¦ ¥µ¥Áª¨µ (time-expansion) ° ­´ µ ­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ´ª°¥nµ Á n ε® Ä®o a ! 1 oµ o° µ¦Ä®o­´ µ y t ¤¸ nµ Á nµ ´ ­´ µ x t ¸É ¼ ¸ Áª¨µÅ Á } ε ª a Á nµ È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·­¦³ ° ­´ µ x t µ t Å Á } at ´ ¸Ê y t

x t t o at

x at

(1.21)

¨³ oµ o° µ¦Ä®o­´ µ y t ¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ x t ¸É ¼ ¥µ¥Áª¨µÅ Á } ε ª a Á nµ È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·­¦³ ° ­´ µ x t µ t Å Á } t / a ´ ¸Ê y t

x t to t / a

§t· x¨ ¸ ©a¹

(1.22)

£µ¡ ¸É 1.12 ­ ´ª°¥nµ µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ x t

1.3.4 µ¦¡´ ­´ µ ­¤¤ ·ªnµ­´ µ x t ­ °¥¼nÄ ¦³ µ ¡· ´ µ x, y µ¦¡´ (folding) ­´ µ ³Á ¦¸¥ Á­¤º° ´ µ¦­³ o° (reflect ®¦º° mirror) ­´ µ x t ¦°  y 0 ¹É εŠoà ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·­¦³ ° ­´ µ x t µ t Å Á } t µ¤ ´ª°¥nµ Ä £µ¡ ¸É 1.13 ´É º° y t

x t t o t

x t

(1.23) บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-15

x t

x t

T1

T0

t

T1

t

T0

£µ¡ ¸É 1.13 µ¦¡´ ­´ µ x t

x t

x t T

x t

T1

T0

T1

t

T0

T1 T

T0 T

t

t

x t T

T0 T

T1 T

x t T

t

T1 T

T0 T

t

£µ¡ ¸É 1.14 µ¦ ­¤¦³®ªnµ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÁÁ¨³ µ¦¡´ ­´ µ

1.3.5 µ¦ ­¤¦³®ªnµ µ¦Á¨º°É Áª¨µÁÁ¨³ µ¦¡´ ­´ µ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦°·­¦³­µ¤µ¦ 夵 ­¤¦ª¤ ´ εĮoÅ oÁ } µ¦Â ¨ ¸É ´ o° ¤µ ¹Ê Á n oµ o° µ¦¡´ ­´ µ x t ¨³® nª Áª¨µ ° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ oÁ } Áª¨µ T ® nª¥ È­µ¤µ¦ εŠo ´ ¸Ê

t o t x t o x t o x t T

fold delay t o t T

x T t

(1.24)

®¦º°­µ¤µ¦ εŠo°¸ ª· ¸® ¹É Á¡ºÉ°Ä®oÅ o ¨¨´¡ r°° ¤µÁ nµ ´ º° µ¦¨nª ® oµÁª¨µ ° ­´ µ Á } Áª¨µ T ® nª¥ n° ¨oª ¹ ε µ¦¡´ ­´ µ ¹É ³Å o ¨¨´¡ r º°

t o t x t o x t T o x t T

advance fold t o t T

x T t

³Á®È Å oªnµ ´ Ê ­° ª· ¸ ¸ÊÄ®o ¨¨´¡ r°° ¤µÁ nµ ´ º° x T t ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.14 o° ª¦¦³ª´ ­´ µ x t Á¤ºÉ° ε µ¦¡´ ­´ µ ¨oª ³Å o ¨¨´¡ rÁ } x t µ ´Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(1.25)

x 2t

x 2t 2

x t

0.5 1

2

1

t

1.5

t

x t 1

2

1

x 2t 1

t

1

£µ¡ ¸É 1.15 µ¦ ­¤¦³®ªnµ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÁÁ¨³ µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ x t Á¤ºÉ° D

t

0

0.5 2

¨³ E

t 1

oµ® nª Áª¨µ ° x t Á } Áª¨µ T ® nª¥ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° x t T ŤnÄ n x t T

oµ¨nª ® oµÁª¨µ ° x t Á } Áª¨µ T ® nª¥ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° x t T ŤnÄ n x t T

1.3.6 µ¦ ­¤¦³®ªnµ µ¦Á¨º°É Áª¨µÁÁ¨³ µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ Ä ¦ ¸ ¸É ¤¸ µ¦ ­¤¦³®ªn µ µ¦Á¨ºÉ ° Áª¨µÁÁ¨³ µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ Á n o µ o ° µ¦Ä®o ­´ µ y t x D t E Á¤ºÉ° D ! 0 ¨³ E ! 0 È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ n° ¨oª ¹ ε ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤µ ε µ¦­Á ¨Áª¨µ ´É º°

t oD t x t o x t E o x D t E

time-shifting time-scaling to t E

(1.26)

Ä µ ¦ ´ oµ¤ oµ ε µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ n° ¨oª ¹ ε ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤µ ε µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ È ³Å o ¨¨´¡ r ¸É · Å µ ¸É o° µ¦ ¹É ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê

t oD t x t o x D t o x D t E

time-scaling time-shifting to t E

x D t DE

(1.27)

£µ¡ ¸É 1.15 ­ ´ª°¥nµ µ¦ ­¤¦³®ªnµ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÁÁ¨³ µ¦­Á ¨Áª¨µ ° ­´ µ x t Á¤ºÉ° D 2 ¨³ E 1 à ¥ ³¡ ªnµ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o nµ ´ ¹É ¹Ê °¥¼n ´ ªnµ ³ ε µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ­´ µ x t

Â Ä n° Á n oµ ε µ¦ ¸ Áª¨µ ° x t n° ¨oª ¹ ε µ¦¨nª ® oµÁª¨µ­´ µ È ³Å o ¨¨´¡ r º° x 2t 2 Ä µ ¨´ ´ o µ Î µ µ¦¨n ª ® o µ Áª¨µ ° x t n ° ¨o ª ¹ Î µ µ¦ ¸ Áª¨µ­´ µ È ³Å o ¨¨´¡ r º° x 2t 1

บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-17

´ª°¥nµ ¸É 1.6 ε® Ä®o­ ´ µ x t ¤¸¨´ ¬ ³ µ¤£µ¡ oµ ªµ¤º° ªµ ¦¼ ° ­´ µ x 1 2t , x 2t 1 , x 2 t , ¨³

x t

2

§ t· x¨ ¸ © 2¹

1

t

2

ª· ¸ ε µ µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ­´ µ ¸ÉÅ o° · µ¥Åªo oµ o ³Å o¦¼ ° ­´ µ nµ Ç ´ ¸Ê x

­´ µ x 1 2t ®µÅ o µ x t

1 x

t

2

2

2

2

1

t

2

0.5

t

1

­´ µ x 2t 1 ®µÅ o µ x t 1

2

1

2

t

x 2t 1

2

2

2

t

1

1

t

0.5

­´ µ x 2 t ®µÅ o µ x t

2

2

1 x

t

1

x t

x

x 1 2t

x t 1

x t 1

2

2

­´ µ

§ t· x¨ ¸ © 2¹

2

t

2

2

1

t

0

t

3

®µÅ o µ

x t

2

2

1

x 2 t

x t

2

t

2

§ t· x¨ ¸ © 2¹ 2

x t

1

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

t

4

2

t

1.4 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° (complex exponential signal) Á } ­´ µ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦Ä o µ µ oµ ª· ¥µ«µ­ ¦r¨³ª·«ª ¦¦¤ Á ºÉ° µ { ®µ­nª Ä® n ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ε ª Á · o° ¨³¢{ r ´ Á · o° ´ ´Ê Ä ­nª ¸Ê ³° · µ¥¨´ ¬ ³Â¨³ » ­¤ ´ · ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

1.4.1 ­´ µ Á¨ ¸ Ê Îµ¨´ Á · o° ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ x t Ce at

(1.28)

Á¤ºÉ° C ¨³ a º°Á¨ ε ª Á · o° Ä µ · ´ ·­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¤¸ » ¨´ ¬ ³®¨µ¥Â à ¥ ¹Ê °¥¼n ´ nµ ° C ¨³ a ´ ¦µ¥¨³Á°¸¥ n°Å ¸Ê

1.4.1.1 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· µ ­¤ µ¦ (1.28) Ä ¦ ¸ ¸É C ¨³ a Á } Á¨ ε ª ¦· ­´ µ x t ³Á } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· ¹É ¤¸°¥¼n 2 ¦¼  º° 1) oµ a ! 0 ¨oª x t ³Á } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê (growing exponential) Á¤ºÉ° t ¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ µ µ¥£µ¡ ¸É¤¸¡§ · ¦¦¤Â ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê Å o n · ·¦·¥µ¨¼ à n Ä µ¦¦³Á · °³ °¤ ¨³ · ·¦·¥µ µ Á ¤¸ ¸É ´ o° Á } o 2) oµ a 0 ¨oª x t ³Á } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ (decaying exponential) Á¤ºÉ° t ¤¸ nµ¨ ¨ ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ µ µ¥£µ¡ ¸É¤¸¡§ · ¦¦¤Â ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ Å o n µ¦Á­ºÉ°¤ ° ´¤¤´ ¦´ ­¸ ¨³ ¨ ° ­ ° ° ª ¦ RC Á } o £µ¡ ¸É 1.16 ­ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê ¨³Â ¨ ¨ à ¥ ¸É C 2 ¨³ a 1.2 (Á­o ¹ ) ¨³ a 1.2 (Á­o ³) ¹É ­µ¤µ¦ ªµ ¦¼ ¦µ¢Å oà ¥Ä o ε­´É ° à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤ ¸É­ µ oµ ªµ¤º°

SCILAB:

(£µ¡ ¸É 1.16)

-->t = -1:0.01:1.5; -->C = 2; -->a = 1.2;

x1 = C*exp(a*t);

-->a = -1.2;

x2 = C*exp(a*t);

-->plot(t,x1,'b-', t,x2,'k-.'); -->legend('a = 1.2', 'a = -1.2'); -->xtitle('', 'time (t)', 'Amplitude');

บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-19

£µ¡ ¸É 1.16 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê (Á­o ¹ ) ¨³­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ (Á­o ³) Á¤ºÉ° C = 2

1.4.1.2 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  µ µ ­¤ µ¦ (1.28) Ä ¦ ¸ ¸É C 1 ¨³ a jZ Á } ε ª · £µ¡Â o ³Å oªnµ x t Á } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  µ (periodic complex exponential) ´ª°¥nµ Á n ¡· µ¦ µ¢{ r ´ x t e jZt

(1.29)

Á¤ºÉ° j 1 º°® nª¥ · £µ¡ ¨³ Z 2S f º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸, ¨³ ªµ¤ ¸É¤¸® nª¥Á } Á±·¦ r ´ ´Ê ¢{ r ´ x t ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T ´É º° e jZ t T

x t e jZt

e jZt e jZT

f

º°

(1.30)

È n°Á¤ºÉ° e jZT

à ¥ ¸É oµ Z 0 ³Å oªnµ x t

x t ¤¸ nµÁ nµ ´

1

Z

(1.31)

Á } ­´ µ µ ­Îµ®¦´ » nµ T  n oµ Z z 0 ³Å oªnµ µ ¤¼¨ µ ° T0

¤¸® nª¥Á } ª· µ ¸ Á¤ºÉ° Á ºÉ° µ Z Z

1

2S

º° nµ­´¤ ¼¦ r ° Z ´ ´Ê ­´ µ e jZt ¨³

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(1.32)

Z e jZt

³¤¸ µ ¤¼¨ µ Á nµ ´

£µ¡ ¸É 1.17 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  ´ÉªÅ ­Îµ®¦´ ( ) r

0 , ( ¨µ ) r ! 0 , ¨³ (¨nµ ) r 0

1.4.1.3 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  ´ÉªÅ µ ­¤ µ¦ (1.28) Ä ¦ ¸ ¸É C ¨³ a Á } Á¨ ε ª Á · o° à ¥ ¸É C e jT

C

¨³

a

r jZ

(1.33)

Á¤ºÉ° T º°¤»¤Á¢­ ¨³ r º°Á¨ ε ª ¦· ´ ´Ê ­´ µ x t Ä ­¤ µ¦ (1.28) ´ ¦¼ Å oÁ } x t Ce at

C e jT e r jZ t

C e rt e j Zt T

(1.34)

µ ªµ¤­´¤¡´ r ° °°¥Á¨°¦r (Euler’s relation) [4] ¸Éªµn e jE

cos E j sin E

(1.35)

Á¤ºÉ° E º°Á¨ ε ª ¦· ­¤ µ¦ (1.34) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } x t

C ert e j Zt T

C ert cos Zt T j C ert sin Zt T

(1.36)

oµ r 0 ­´ µ ¸ÉÅ o¤¸¨´ ¬ ³Á } ¨ºÉ ¦¼ Å r (sinusoidal wave)  n oµ r ! 0 ­´ µ ¸ÉÅ o¤¸¨´ ¬ ³Á } ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É ¼ ´ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê ¨³ oµ r 0 ­´ µ ¸ÉÅ o¤¸¨´ ¬ ³Á } ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É ¼ ´ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.17 Á¤ºÉ° C 1 , r 0.5 , Z 2S , ¨³ T 0 บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-21

à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É ¼ ¼ oª¥­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ ³Á¦¸¥ ªnµ ­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r  ® nª (damped sinusoidal) ¹É ¡ ¤µ Ä ¨ ° ­ ° ° ª ¦Å¢¢jµÂ RLC SCILAB:

(£µ¡ ¸É 1.17)

-->t = -2:0.01:4; r = 0.5; -->x1 = cos(w*t)+%i*sin(w*t); -->subplot(3,1,1);

w = 2*%pi; //£µ¡ ¸É 1.17 ( )

plot(t, x1);

-->x2 = exp(r*t).*cos(w*t) + %i*exp(r*t).*sin(w*t); -->subplot(3,1,2);

//£µ¡ ¸É 1.17 ( ¨µ )

plot(t, x2);

-->x3 = exp(-r*t).*cos(w*t) + %i*exp(-r*t).*sin(w*t); -->subplot(3,1,3);

//£µ¡ ¸É 1.17 (¨nµ )

plot(t, x3);

1.4.1.4 » ­¤ ´ · ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t

e jZt

¤¸ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ´ ¸Ê

°´ ¦µ µ¦Â ªn (oscillation rate) ° ­´ µ x t ¤¸ nµ¤µ oµ Z ¤¸ nµ¤µ ­´ µ e jZt ¤¸¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (unique) ­Îµ®¦´ nµ Z ¸É ε® ¤µÄ®o n¨³ nµ ­´ µ e jZt ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ­Îµ®¦´ » nµ ° Z

1.4.2 ­´ µ Á¨ ¸ Ê Îµ¨´ Á · o° ¸ÉŤn °n Á º°É µ Áª¨µ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ x > k @ CD k

Ce E k

(1.37)

Á¤ºÉ° C ¨³ D e E º°Á¨ ε ª Á · o° Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ¨´ ¬ ³®¨µ¥Â à ¥ ¹Ê °¥¼n ´ nµ ° C ¨³ D ´ ¦µ¥¨³Á°¸¥ n°Å ¸Ê

1.4.2.1 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· µ ­¤ µ¦ (1.37) Ä ¦ ¸ ¸É C ¨³ D Á } Á¨ ε ª ¦· ­´ µ x > k @ ³Á } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 1.18 Á¤ºÉ° C 1 ¹É ¡ ªnµ oµ D ! 1 µ ° ­´ µ ³Á¡·É¤ ¹Ê µ¤ nµ k ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê Ä ³ ¸É oµ D 1 µ ° ­´ µ ³¨ ¨ µ¤ nµ k ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê ° µ ¸Ê oµ D ! 0 nµ ° CD k ³¤¸ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥Á ¸¥ª ´ ( nµ ª ®¦º° nµ¨ )  n oµ D 0 nµ ° CD k ³¤¸Á ¦ºÉ° ®¤µ¥­¨´ ´ ( nµ ª ¨³ nµ¨ ­¨´ ´ Å ) ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ ¸É¤¸¡§ · ¦¦¤Â ­´ µ ¸Ê Á n µ¦Á · à ° ε ª ¦³ µ ¦ ¨³ ° Á ¸Ê¥Á · µ ° µ µ¦ Á } o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

D !1

0 D 1

D 1

1 D 0

£µ¡ ¸É 1.18 ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ SCILAB:

Dk

­Îµ®¦´ nµ D nµ Ç

(£µ¡ ¸É 1.18)

-->k = -5:20; -->a = 1.2; Xk1 = a^k; -->subplot(2,2,1); -->a = 0.7;

-->subplot(2,2,2); -->a = -0.9;

xtitle('alpha > 1');

//£µ¡ ¸É 1.18 ( oµ¥)

plot2d3(k,Xk2);

xtitle('0 < alpha < 1');

//£µ¡ ¸É 1.18 ( ªµ)

Xk3 = a^k;

-->subplot(2,2,3); -->a = -1.1;

plot2d3(k,Xk1);

Xk2 = a^k;

plot2d3(k,Xk3);

xtitle('-1 < alpha < 0'); //£µ¡ ¸É 1.18 (¨nµ oµ¥)

Xk4 = a^k;

-->subplot(2,2,4);

plot2d3(k,Xk4);

xtitle('alpha < -1');

//£µ¡ ¸É 1.18 (¨nµ ªµ)

1.4.2.2 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  µ µ ­¤ µ¦ (1.37) Ä ¦ ¸ ¸É C

1

¨³ E

jZ

Á } ε ª · £µ¡Â o ³Å oªnµ­´ µ

x > k @ Ce E k

¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ x > k @ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ¼ ε® à ¥

e jZ k

e jZ k

(1.38)

³¤¸¨´ ¬ ³Ä ¨oÁ ¸¥ ´ ­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-23

x >k @

A cos Z k T

(1.39)

Á¤ºÉ° T º°¤»¤Á¢­ ¨³ µ ªµ¤­´¤¡´ r ° °°¥Á¨°¦r εĮo­µ¤µ¦ ´ ¦¼ ­¤ µ¦ (1.39) Ä®¤nÅ oÁ } x >k @

A jZ k jT A jZ k jT e e e e 2 2

A cos Z k T

(1.40)

à ¥Á¤º°É ¡· µ¦ µ­¤ µ¦ (1.39) ¨³ (1.40) ³¡ ªnµ­´ µ ¸ÊÁ } ­´ µ ε¨´ Á ºÉ° µ ε¨´ Á ¨¸¥É ° ­´ µ 2 ¤¸ nµ ε ´ Á nµ ´ nµ 1 Á¡¦µ³ªnµ e jZk 1  n¤¸¡¨´ µ Ťn ε ´

1.4.2.3 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  ´ÉªÅ µ ­¤ µ¦ (1.37) Ä ¦ ¸ ¸É C ¨³ D Á } Á¨ ε ª Á · o° à ¥ ¸É C

C e jT

¨³

D

D e jZ

(1.41)

´ ´Ê ­´ µ x > k @ Ä ­¤ µ¦ (1.37) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } x > k @ CD k

k

k

C D cos Z k T j C D sin Z k T

(1.42)

oµ D 1 ­´ µ ¸ÉÅ o ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ¨Îµ ´ ¦¼ Å r (sinusoidal sequence)  n oµ D ! 1 ­´ µ ¸ÉÅ o ³¤¸ ¨´ ¬ ³Á } ¨Îµ ´ ¦¼ Å r ¸É ¼ ´ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  Á¡·É¤ ¹Ê ¨³ oµ D 1 ­´ µ ¸ÉÅ o ³¤¸¨´ ¬ ³ Á } ¨Îµ ´ ¦¼ Å r ¸É ¼ ´ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ¨ ¨ µ¤£µ¡ ¸É 1.19 Á¤ºÉ° C 1 , Z 0.7 , ¨³ T 0 SCILAB:

(£µ¡ ¸É 1.19)

-->k = -5:30; w = 0.7; -->a = 1; x1 = (a.^k).*cos(w*k) + %i*(a.^k).*sin(w*k); -->subplot(3,1,1); plot2d3(k, x1, rect=[-5,-1.1,20,1.1]); -->xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 1.19 ( )

xtitle('|alpha| = 1');

-->a = 1.1; x2 = (a.^k).*cos(w*k) + %i*(a.^k).*sin(w*k); -->subplot(3,1,2); plot2d3(k, x2); -->xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 1.19 ( ¨µ )

xtitle('|alpha| > 1');

-->a = 0.9; x3 = (a.^k).*cos(w*k) + %i*(a.^k).*sin(w*k); -->subplot(3,1,3); plot2d3(k, x3); -->xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 1.19 (¨nµ )

xtitle('|alpha| < 1');

1.4.2.4 » ­¤ ´ · ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

e jZ k

¤¸ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ´ ¸Ê

D

1

D !1

D 1

£µ¡ ¸É 1.19 ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´  ´ÉªÅ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > k @

e j Z nS k

°´ ¦µ µ¦Â ªn ³Å¤nÁ¡·É¤ ¹Ê Á­¤° µ¤ nµ ° Z ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê

oµ ε® Ä®o

e jZ k e jnS k

N !0

e jZ k

Á } µ ° ­´ µ e jZk ¨oª ³Å oªnµ e jZ k N

2S m

N

e jZ k e jZ N

(1.43)

®¦º° N

Á¤ºÉ°

­Îµ®¦´ nµ D nµ Ç

Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¼n

e jZ k

È n°Á¤ºÉ° Z N

CD k

¨³ m ! 0 º°Á¨ ε ª Á Ȥà ¥ nµ

§ 2S · m¨ ¸ ©Z ¹ N

´ª°¥nµ ¸É 1.7 ®µ µ ¤¼¨ µ ° ­´ µ x > k @

(1.44)

¸É o°¥ ¸É­» ¸ÉÁ } Å Å o ³Á¦¸¥ ªnµ µ ¤¼¨ µ e j 2S / 3 k e j 3S / 4 k

ª· ¸ ε Á¦·É¤ o Ä®o®µ µ ¤¼¨ µ ° ­´ µ ¥n°¥Â n¨³­´ µ µ¤­¤ µ¦ (1.44) ´É º° µ ¤¼¨ µ ° ­´ µ e j 2S / 3 k ®µÅ o µ บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-25

N1

N1

§ 2S · m¨ ¸ ©Z ¹

§ 2S · m¨ ¸ 3m © 2S / 3 ¹

Á ºÉ° µ nµ m ¸É o°¥­» ¸É εĮo nµ N1 Á } Á¨ ε ª Á Ȥ È º° nµ m 1 ¹É εĮoÅ o nµ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¤¼¨ µ N 2 ° ­´ µ e j 3S / 4 k ®µÅ o µ N2

Á ºÉ° µ nµ m ¸É o°¥­» ¸É εĮo nµ

N2

§ 2S · m¨ ¸ ©Z ¹

§ 2S · m¨ ¸ © 3S / 4 ¹

N1

3

8 m 3

Á } Á¨ ε ª Á Ȥ È º° nµ m

µ ¤¼¨ µ N ° ­´ µ x > k @ º° ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥ ( .¦. .) ° µ ¤¼¨ µ ­´ µ ¥n°¥Â n¨³­´ µ ´É º° ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥ ° 3 ¨³ 8 ¤¸ nµÁ nµ ´ 24 ´ ´ Ê µ ¤¼¨ µ ° ­´ µ x > k @ º° N 24

3

¹É εĮoÅ o nµ

N2

8

SCILAB: -->N = lcm(int32([3 8])) N = 24

1.5 ­´ µ ¡ºÊ µ ¸É nµ­ Ä Ä ­nª ¸Ê ³ ¨nµª ¹ ¨´ ¬ ³Â¨³ » ­¤ ´ · ° ­´ µ ¡ºÊ µ ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · ¹É Á } ¦³Ã¥ r n° µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³

1.5.1 ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time unit step signal) ·¥µ¤Ã ¥ ­1, t ! 0 u t ® ¯0, t 0

(1.45)

µ¤£µ¡ ¸É 1.20 ( ) à ¥ ¸É nµ ° ­´ µ u t Áª¨µ t 0 ³Å¤n ·¥µ¤  n oµ¤¸ ªµ¤ εÁ } o° Ä o nµ ° ­´ µ u t ¸ÉÁª¨µ t 0 È­µ¤µ¦ Ä o nµ u 0 0.5 Å o [2] Ä ³ ¸É­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time unit step function) ·¥µ¤Ã ¥ ­1, k t 0 u >k @ ® ¯0, k 0

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.20 ( ) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(1.46)

u t

u >k @

k

t

£µ¡ ¸É 1.20 ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ( ) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ G' t

1 '

' 2

G t

'o0

1

t

' 2

t

£µ¡ ¸É 1.21 ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ®¦º°­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ

1.5.2 ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time unit impulse signal) ®¦º° ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ (Dirac delta signal)” [2] º°¨·¤· ° ­´ µ G ' t ¸É ·¥µ¤Ã ¥ ­1 ° ,

t d

°¯0,

else

G ' t ® '

' 2

(1.47)

¨³Á¤ºÉ° ε® ¨·¤· Ä®o ' o 0 È ³Å oÁ } ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹ É ® nª¥ ´ ¸Ê ­1, t 0 lim G ' t G t ® 'o0 ¯0, t z 0

(1.48)

Á¤ºÉ° nµ “1” Ä o ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ´Ê ®¤ ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ´É º°­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ­´ µ ¡´¨­r o°¥¤µ (®¦º°°µ ¨nµªÅ oªnµ­´ µ ¸ÊŤn¤¸ nª Áª¨µ)  n¤¸ ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢Á nµ ´ ® ¹É ® nª¥ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 1.21 ­´ µ Å Â¦È Á ¨ µÁ } ­´ µ ¡´¨­r°» ¤ · ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³ ¦³ à ¥ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° ­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ¤¸ ´ ¸Ê บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-27

f

1) ³ G t dt

1

(®¤µ¥ ¹ ¡º Ê ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ¤¸ µn Á nµ ´ 1 ® nª¥)

f

1 G t

a

2)

G at

3)

G t G t

4)

f t G t t0

f t0 G t t 0

t2

5) ³ f t G t t0 dt t1

6)

f t G t t0

­ f t0 , t1 t t2 ® else ¯0, f t t0

f

7) ³ f t G n t t0 dt 1 n f

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) d n f t

dt n

t t0

Á¤ºÉ° f t º°¢{ r ´ Ä Ç Â¨³ t0 º°Á¨ ε ª ¦· ¸É­ ¹ ¦·¤µ Áª¨µ ° µ ¸Ê­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ G t ¥´ ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ u t ´ ¸Ê 1)

du t

2)

u t

G t

dt t

³ G W dW

f

3)

G n t

d nu t

dt n

Ä ³ ¸É­´ µ °·¤¡´¨­r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time impulse signal) ®¦º° ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “­´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ (Kronecker delta signal)” [2] ·¥µ¤Ã ¥ ­1, k 0 ¯0, k z 0

G >k @ ®

(1.49)

µ¤£µ¡ ¸É 1.22 ­´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ¤¸ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ nµ Ç Á®¤º° ´ ¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ µ¤ ¸É ° · µ¥Åªo oµ o Á¡¸¥  n°¥¼nÄ Ã Á¤ (domain) ¸É nµ ´ Á nµ ´Ê ´É º°¢{ r ´ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ ³°¥¼nÄ Ã Á¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time domain) ¨³¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ³°¥¼nÄ Ã Á¤ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time domain) ´ª°¥nµ » ­¤ ´ · ° ¢{ r ´ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ Å o n 1)

G > k @ u > k @ u > k 1@

2)

x > k @G > k @

x >0@G > k @

Á¤ºÉ° x > k @ º°­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ Ç

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

G >k @ k

£µ¡ ¸É 1.22 ­´ µ °·¤¡´¨­r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ®¦º°­´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ r >k / N @

r t / t0

1

1

t

k

t0

N

£µ¡ ¸É 1.23 ­´ µ µ ¨µ ( ) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

3)

x > k @ G > k k0 @

4)

x >k @

x > k0 @ G > k k0 @

f

¦ x > m@G > k m@

m f

5)

u >k @

k

¦ G > m@

m f

1.5.3 ­´ µ µ ¨µ ­´ µ µ ¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time ramp function) Á } ­´ µ ¸É¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê µ nµ«¼ ¥r ¹ nµ® ¹É £µ¥Ä ¦³¥³Áª¨µ ¸É ε® t0 ´É º° §t · r¨ ¸ © t0 ¹

­0, t 0 ° °t ® , 0 d t d t0 ° t0 °¯1, t ! t0

(1.50)

Á¤ºÉ° t0 Á } Á¨ ε ª ¦· ª µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 1.23 ( ) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­´ µ µ ¨µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time ramp function) Á } ­´ µ ¸É¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê µ nµ«¼ ¥r ¹ nµ® ¹É £µ¥Ä ¦³¥³Áª¨µ ¸É ε® N ´É º° บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-29

ªkº r« » ¬N ¼

Á¤ºÉ° k ¨³

N

k 0 ­0, °k ° ® , 0dk d N °N k!N °̄1,

(1.51)

Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 1.23 ( )

1.5.4 ­´ µ · r ­´ µ · r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time sinc signal) ®¦º°°µ Á¦¸¥ ªnµ “­´ µ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª (interpolation signal)” ·¥µ¤Ã ¥ t 0 ­1, ° sinc t ® sin t

, tz0 ° ¯ t

(1.52)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­´ µ · r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time sinc signal) ·¥µ¤Ã ¥ ªkº sinc « » ¬N ¼

k 0 ­1, ° ® sin k / N

, k z0 ° ¯ k/N

(1.53)

Á¤ºÉ° k ¨³ N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª £µ¡ ¸É 1.24 ­ ­´ µ · r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° Áª¨µ ­´ µ · rÁ } ¢{ r ´ ¸É¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ­ºÉ°­µ¦ · · ´¨Ã ¥Á ¡µ³°¥nµ ¥·É Ä Á¦ºÉ° ° §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¨³ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª [3] à ¥ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° ­´ µ · r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ ´ ¸Ê 1)

sinc t 0

Á¤ºÉ° t

f

r 1 , r2 , r 3 , …

2) ³ sinc2 t dt

S

f

f

3) ³ sinc t dt 0

S

f

5) ³ sinc t dt

4)

2

S

f

6) ³ sinc S x y sinc S y dy

sinc S x

f

f

1 §t· sinc ¨ ¸ f t dt a o0 ³ S a ©a¹ f

lim

a o0

1

Sa

§t· sinc ¨ ¸ G t

©a¹

´É º°¡ºÊ ¸ÄÉ o ¦µ¢ ° ­´ µ sinc t ¤¸ nµÁ nµ ´ S

f

7)

lim

f

³ G t f t dt

f

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

f 0

£µ¡ ¸É 1.24 ­´ µ · r ( ) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ SCILAB:

(£µ¡ ¸É 1.24)

-->t = -10:0.01:10;

x = %pi*t;

y = sinc(x); //£µ¡ ¸É 1.24 ( oµ¥)

-->subplot(1,2,1); plot(t, y) -->N = 5;

k = -20:20;

x = %pi*k/N;

y = sinc(x); //£µ¡ ¸É 1.24 ( ªµ)

-->subplot(1,2,2); plot2d3(k, y)

®¤µ¥Á® » Ä µ¦Ä o µ µ ¦´Ê [8] ­´ µ · r ³ ·¥µ¤Ã ¥ sincS t

t 0 ­1, ° ® sin S t

, tz0 ° ¯ St

(1.54)

¹É Á¦¸¥ ªnµ ­´ µ · r ¸É εĮoÁ } ¦¦ ´ µ (normalized sinc function) ´ ´Ê Ä ¦ ¸ ¸Ê ³Å oªnµ f

³ sincS t dt

1

f

´ª°¥nµ ¸É 1.8 ­ ­´ µ ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â¨³­´ µ ¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 1.25 Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ª· ¸ ε ) ­´ µ ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 1.25 ( ) ¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á nµ ´ ¸ÉÁª¨µ t T ®´ ¨ ´ ­´ µ ´Ê ´ Å ¸ÉÁ¦·É¤ o ¸ÉÁª¨µ t

A T

¹É Á · µ ­´ µ ´Ê ´ Å ¸ÉÁ¦·É¤ o ´É º° บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-31

x t

x t

t

t

£µ¡ ¸É 1.25 ­´ µ ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â¨³¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ x t

A ^u t T u t T `

) ­´ µ ¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 1.25 ( ) Á · µ ­nª ° Á­o ¦ ­° Á­o ¤µ¦ª¤ ´ à ¥Á­o ¦ ­nª ¸É® ¹É º° x1 t

A t / T 1 ^u t T u t `

x2 t

A 1 t / T ^u t u t T `

¨³Á­o ¦ ­nª ¸É­° º°

´ ´Ê ­´ µ ¦¼ ­µ¤Á®¨¸¥É ¤Ä £µ¡ ¸É 1.25 ( ) ¤¸¦¼ ­¤ µ¦ º° x t

x1 t x2 t

t · §t · § A ¨ 1¸ ^u t T u t ` A ¨1 ¸ ^u t T u t ` ©T ¹ © T¹

1.6 ¦³ ¦³ (system) ®¤µ¥ ¹ Á° · ¸ (entity) ®¦º°°» ¦ r® ¹É ¸É ° ­ ° ´ ­´ µ °· ¡» (input signal) ¨oª Ä®o ¨¨´¡ rÁ } ­´ µ Á°µ r¡» (output signal) ¹É °µ ¤¸ » ­¤ ´ ·Á®¤º° ´ ®¦º° nµ ´ ´ ­´ µ °· ¡» ÈÅ o à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ °· ¡» ° ¦³ Á¦¸¥ ´ ªnµ “­´ µ ¦³ »o (excitation signal)” ¨³­´ µ Á°µ r¡» Á¦¸¥ ªnµ “­´ µ ° ­ ° (response signal)” ®¦º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ (system response) oµ ε® Ä®o x t º°­´ µ °· ¡» ¨³ y t º°­´ µ Á°µ r¡» ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y t

º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ °· ¡» x t ®¦º°Á ¸¥ Á } ­´ ¨´ ¬ rÅ oªnµ y t T ª¬ x t º¼

µ¤£µ¡ ¸É 1.26 à ¥ ´ÉªÅ ¦³ ­µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ε °° Å oÁ } ®¨µ¥ ¦³Á£ ´ n°Å ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(1.55)

x t

y t

£µ¡ ¸É 1.26 ¦³ ¸É¦´ ­´ µ °· ¡» x t ¨³Ä®o­´ µ Á°µ r¡» y t

x t

h t

y t

x >k @

T > x t @

h >k @

°° ¤µ

y >k @

£µ¡ ¸É 1.27 ( ) ¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ ( ) ¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

1.6.1 ¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁÁ¨³¦³ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time system) ®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É¤¸­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á } ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ³ ¸É¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time system) ®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É¤¸­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤£µ¡ ¸É 1.27

1.6.2 ¦³ Á · Á­o ¨³¦³ ŤnÁ · Á­o ε® Ä®o y1 t T ª¬ x1 t º¼ ¨³ ¸É¤¸ » ­¤ ´ · 2 o° [3] ´ ¸Ê

y2 t T ª¬ x2 t º¼

´ ´ Ê ¦³ Á · Á­o (linear system) ®¤µ¥ ¹ ¦³

1) » ­¤ ´ · µ¦ ª (additivity property) ´É º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ °· ¡» x1 t x2 t

º°­´ µ Á°µ r¡» y1 t y2 t

2) » ­¤ ´ ·Á° ¡´ r (homogeneity ®¦º° scaling property) ¨nµª º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ °· ¡» ax1 t º°­´ µ Á°µ r¡» ay1 t Á¤ºÉ° a º° nµ ´ª » ­¤ ´ · ´Ê ­° o°¦ª¤ ´ Á¦¸¥ ªnµ “ » ­¤ ´ · µ¦ o° ´ (superposition property)” ¹É ¨nµªªnµ ¨ ° ­ ° ° ¦³ n °­´ µ °· ¡» a1 x1 t a2 x2 t Á¤ºÉ° a1 ¨³ a2 º ° n µ ´ ª º° ­´ µ Á°µ r¡» a1 y1 t a2 y2 t ´ ´Ê ¦³ ¸ÉŤn¤¸ » ­¤ ´ · µ¦ o° ´ Á¦¸¥ ªnµ¦³ ŤnÁ · Á­o (nonlinear system) ´ª°¥nµ ¸É 1.9 ¡· µ¦ µªnµ¦³ n°Å ¸ÊÁ } ¦³ Á · Á­o ®¦º°Å¤n ) y t

tx t

) y t

x2 t

ª· ¸ ε บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-33

) ¡· µ¦ µ­´ µ °· ¡» 2 ­´ µ Ä Ç ´É º° x1 t ¨³ y1 t T ¬ª x1 t ¼º

oµÄ®o­´ µ °· ¡» x3 t

a1 x1 t a2 x2 t

tx t

¨³

tx2 t

Á } ¦³ Á · Á­o

y1 t T ª¬ x1 t º¼

y3 t T ª¬ x3 t º¼

y2 t T ¬ª x2 t ¼º

Á¤ºÉ° a1 ¨³ a2 º° nµ ´ª ³Å oªnµ

) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡· µ¦ µ­´ µ °· ¡» x1 t ¨³

oµÄ®o­´ µ °· ¡» x3 t

³Å oªnµ

tx3 t t ^a1 x1 t a2 x2 t ` a1 y1 t a2 y2 t

y3 t T ª¬ x3 t º¼

´ ´Ê ¦³ y t

tx1 t

x2 t

x12 t

a1 x1 t a2 x2 t

x32 t

¨³

³Å oªnµ

y2 t T ª¬ x2 t º¼

x22 t

³Å oªnµ

a x t a x t

1 1

x2 t

2 2

2

a12 x12 t 2a1a2 x1 t x2 t a22 x22 t

a12 y1 t a22 y2 t 2a1a2 x1 t x2 t

z a1 y1 t a2 y2 t

Á ºÉ° µ

y3 t z a1 y1 t a2 y2 t

´ ´Ê ¦³ y t

x2 t

¹ ŤnÁ } ¦³ Á · Á­o

1.6.3 ¦³ ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÂ¨³¦³ ¸ÉÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ε® Ä®o y t T ª¬ x t º¼ ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (time-invariant system) ®¦º°¦³ ¸É (fixed system) º°¦³ ¸É¦´ ­´ µ °· ¡» ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ°° Å T ® nª¥ ´É º° x t T ¨oªÄ®o­´ µ Á°µ r¡» ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ°° Å T ® nª¥ ´É º° y t T Á n ´ Ä ³ ¸É¦³ ¸ÉŤn¤¸ » ­¤ ´ ·Á } Å µ¤ ¸Ê ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ¸É ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (time-varying system) ´ª°¥nµ ¸É 1.10 ¡· µ¦ µªnµ¦³ n°Å ¸ÁÊ } ¦³ ¸ÁÉ Á ¦Á ¨¸¥É µ¤Áª¨µ®¦º°¦³ ¸ÅÉ ¤nÁÁ ¦Á ¨¸¥É µ¤Áª¨µ ) y > k @

cos x > k @

) y t

tx t

ª· ¸ ε ) ¡· µ¦ µ µ¦ j° ­´ µ °· ¡» x2 > k @

x >k n@

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

Á oµÅ Ä ¦³ ³ εĮoÅ o­´ µ Á°µ r¡» º°

y2 > k @ cos x2 > k @ cos x > k n @

y > k n@

´É º° Á¤ºÉ° j° ­´ µ °· ¡» ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ°° Å n ® nª¥ ­´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÅ o È ³ ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ°° Å n ® nª¥ Á n ´ ´ ´Ê ¦³ y > k @ cos x > k @ ¹ Á } ¦³ ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¨°  ­´ µ °· ¡» oª¥ °·¤¡´¨­r ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» º°

x2 t G t 1

Á oµÅ Ä ¦³ Á¤ºÉ° G t º°­´ µ

y2 t tx2 t tG t 1 z y t 1

Á ºÉ° µ y t 1 t 1 x t 1 ´ ´Ê ¦³ y t

tx t

Á } ¦³ ¸ÉÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ

1.6.4 ¦³ ¸ÉŤn¤®¸ nª¥ ªµ¤ 娳¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε ¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε (memoryless system) º°¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» Áª¨µ® ¹É Ç ³ ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» ¸ÉÁª¨µÁ ¸¥ª ´ Á nµ ´Ê ( ³Å¤n ¹Ê ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ ®¦º°Ä Áª¨µ° µ ) Á n x2 >k @ 2 x >k @ , y >k @

y >k @

1 x >k @ , a

®¦º° y t

ax t

Á¤ºÉ° a Á } nµ ´ª Á } o Ä ³ ¸É¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε (system with memory) º°¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» Áª¨µ® ¹É Ç ³ ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ { » ´ ®¦º°° µ ÈÅ o Á n y >k @

k

¦ x > n@ , y > k @

ax > k 1@ ,

®¦º° y t

n f

t

1 ³ x W dW a f

1.6.5 ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o¨³¦³ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o (invertible system) º°¦³ ¸É εĮoÁ · ­´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÁ } Å o°¥nµ Á ¸¥ª (unique) ­Îµ®¦´ ­´ µ °· ¡»  n¨³Â Á n ¦³ ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r y t

2x t

(1.56)

³Á } ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å oà ¥¤¸¦³ ´ (inverse system) º° w t

1 y t

2

(1.57) บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-35

y >k @

x >k @

x t

x >k @

y >k @

y t

k

y t

2x t

¦ x > n@

w > n@

y >k @

w t

w>k @

1 y t

2

y > k @ y > k 1@

x >k @

w t

x t

w>k @

x >k @

n f

£µ¡ ¸É 1.28 ´ª°¥nµ ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o

´É º°Á¤ºÉ°Â nµ y t µ ­¤ µ¦ (1.56) ¨ Ä ­¤ µ¦ (1.57) ¨oª ³Å oªnµ w t x t £µ¡ ¸É 1.28 ­ ´ª°¥nµ ¦³ ¸É®µ ´ª ´ Å o Ä ³ ¸É¦³ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o (noninvertible system) Á n y > k @ 0 ®¦º° y t 3 x 2 t Á } o

1.6.6 ¦³ ° °¨Â¨³¦³ ° ° °¨ ¦³ ° °¨ (causal system) º°¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» ³ ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ ³ ´Ê ¨³ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸  nŤn ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ ´ ´Ê ¦³ Áª¨µ ¦· (real-time system) » ¦³ Á } ¦³ ° °¨ Á ºÉ° µ ¦³ Áª¨µ ¦· Ťn­µ¤µ¦ ¦´ nµ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ Å o ° µ ¸Ê¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε È º°ªnµÁ } ¦³ ° °¨ oª¥ Ä ³ ¸É¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ { » ´ ¨³° µ ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ° ° °¨ (noncausal system) ´ª°¥nµ ¸É 1.11 ¡· µ¦ µªnµ¦³ y > k @

x > k @

Á } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n

ª· ¸ ε Á¤ºÉ°¡· µ¦ µÃ ¥ ´ÉªÅ °µ Á oµÄ ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨ Á¡¦µ³ªnµ­´ µ Á°µ r¡» Áª¨µ { » ´ ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ ­Îµ®¦´ k t 0 °¥nµ Ŧ È µ¤Ä µ¦¡· µ¦ µªnµ¦³ Ä Á } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n ´Ê Ä®o¡· µ¦ µ » nª Áª¨µ ¸ÉÁ } Å Å o ¹É Ä ¦ ¸ ¸Ê oµ¡· µ¦ µ ¸ÉÁª¨µ k 0 Á n k 5 ³Å oªnµ¦³ ¸Ê º° y > 5@ x >5@ ´É º°­´ µ Á°µ r¡» Áª¨µ { » ´ ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¦³ y > k @ x > k @ ¹ ŤnÅ oÁ } ¦³ ° °¨

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

1.6.7 ¦³ Á­ ¸¥¦Â¨³¦³ ŤnÁ­ ¸¥¦ ¦³ Á­ ¸¥¦ (stable system) º°¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» y t ¤¸ nµÅ¤n¨¼n°° (diverge) Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x t ¤¸ nµÅ¤n¨¼n°° ®¦º°°µ ¨nµªÅ oªnµ­´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á (bounded input) ³ εĮoÁ · ­´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á (bounded output) ¹É » ­¤ ´ · ¸ÊÁ¦¸¥ ªnµ ªµ¤Á­ ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã° (BIBO: boundedinput bounded-output) Ä µ · «µ­ ¦r ªµ¤Á­ ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã°®¤µ¥ ¹ ­´ µ Á°µ r¡ » ³ o° ¤¸ nµÁ nµ ´ y t d M y f

(1.58)

x t d M x f

(1.59)

Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» ° ¦³ ¤¸ nµÁ nµ ´

­Îµ®¦´ » nª Áª¨µ t à ¥ ¸É M x ¨³ M y º° ε ª ¦· ª ¸É ε ´ (finite positive number) Ä Ç ¦³ ¸É εĮo­´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµ¨¼n°° Á¤ºÉ° j° ­´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á Á oµÅ Ä ¦³ ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ŤnÁ­ ¸¥¦ (unstable system) ´ª°¥nµ ¸É 1.12 ¡· µ¦ µªnµ¦³ n°Å ¸ÊÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦®¦º°¦³ ŤnÁ­ ¸¥¦ ) y t

) y t

tx t

e x t

ª· ¸ ε ª· ¸ µ¦¡· µ¦ µªnµ¦³ Ä Á } ¦³ Á­ ¸¥¦ Ä®o¨°  nµ­´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á Á oµÅ ¨oª ¼ªnµ ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ¤¸ nµ¨¼n°° ®¦º°Å¤n oµ­´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÅ¤n¨¼n°° È­ ªnµÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦ ) Ä ¦ ¸ ¸Ê oµÄ®o x t

¦³ ŤnÁ­ ¸¥¦

1

³Å o y t

t

¹É ­µ¤µ¦ ¤¸ nµÁ } °³Å¦ ÈÅ o ´ ´Ê ¦³ y t

tx t

Á }

) ­Îµ®¦´ ¦ ¸ ¸Ê ³Â nµ­´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á Ä Ç º° x t B

®¦º°

B x t B

­Îµ®¦´ » nµ t Á¤ºÉ° B º° nµ ´ª ´ ´Ê ³Å oªnµ e B y t e B

¹É εĮo­¦» Å oªnµ¦³ y t

e x t

Á } ¦³ Á­ ¸¥¦ บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-37

£µ¡ ¸É 1.29 µ¦ n° ´ ° ­° ¦³ ( )  ° » ¦¤, ( )  µ , ( )  ­¤, ¨³ ( )  j° ¨´

1.7 µ¦ n° ´ ° ¦³ à ¥ ´ÉªÅ ¦³ ¸ÉÄ o µ ¦· ³ ¦³ ° Å oª¥¦³ ¥n°¥®¨µ¥¦³ ¤µ n° ´ Á n ¦³ Á ¦ºÉ° Á­¸¥ ¦ ¥ r È ³ ¦³ ° Å oª¥ª ¦£µ ¦´ ¨ºÉ ª· ¥» Á ¦ºÉ° Á¨n  n ¸ ¸ ª ¦ ¥µ¥­´ µ ¨³¨ÎµÃ¡ Á } o ´ ´Ê Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ µ Ä® n ¸É ´ o° Ä®o­´ Á ¼ªnµ¦³ ´Ê ­µ¤µ¦  n °° Á } ¦³ ¥n°¥Å o®¦º°Å¤n Á¡ºÉ° ¸É ³Å o«¹ ¬µÂ¨³ª·Á ¦µ³®r¦³ ¥n°¥Á®¨nµ ¸Ê ¸¨³­nª ¹É nª¥ εĮoÁ oµÄ ¡§ · ¦¦¤ ° ¦³ ¦ª¤ ´Ê ®¤ Å o nµ¥ ªnµ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ µ Ä® nÄ ¦µªÁ ¸¥ª µ¦ n° ´ ° ¦³ (system interconnection) Ä µ · ´ ·­µ¤µ¦ εŠo®¨µ¥¦¼  £µ¡ ¸É 1.29 ( ) ­ µ¦ 妳 ¥n°¥­° ¦³ ¤µ n° ´  ° » ¦¤ (serial or cascade interconnection) ¹É  £µ¡ ¨´ ¬ ³ ¸ÊÁ¦¸¥ ªnµÂ £µ¡ ¨È° (block diagram) µ £µ¡ ¸É 1.29 ( ) ³Á®È Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®¤µ¥Á¨ 1 ³Á } ­´ µ °· ¡» ° ¦³ ®¤µ¥Á¨ 2 ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®¤µ¥Á¨ 2 ¹ º°ªnµ Á } ¨ ° ­ ° ° ¦³ ¦ª¤ ´Ê ®¤ n°­´ µ °· ¡» ¸ÉÁ oµ¤µÄ ¦³ ®¤µ¥Á¨ 1 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ £µ¡ ¸É 1.29 ( ) ­ µ¦ n° ´  µ (parallel interconnection) à ¥ ¸É­´ µ °· ¡» ³ ¼ ­n Á oµÅ ¦³¤ª¨ ¨ ´Ê Ä ¦³ ®¤µ¥Á¨ 1 ¨³¦³ ®¤µ¥Á¨ 2 ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ´Ê ®¤ È º° ¨¦ª¤ ° ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®¤µ¥Á¨ 1 ¨³¦³ ®¤µ¥Á¨ 2 Á¤ºÉ°Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ º° µ¦ ª ° µ ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥´ ¤¸Â ­¤ (mix interconnection) µ¤£µ¡ ¸É 1.29 ( ) ¨³Â j° ¨´ (feedback interconnection) µ¤£µ¡ ¸É 1.29 ( ) ´ ´Ê Á¤ºÉ°Á oµÄ ¹ ¨´ ¬ ³ µ¦ n° ´ ° ¦³ ¨oª È ³ nª¥ εĮo ¦µ ¹ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¸É o µ ¨³­´ µ Á°µ r¡» ¸É ¨µ¥ µ nµ µ ¦³ ¥n°¥Â n¨³ ¦³ Å o ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 1.13 ε® Ä®o¦³ y1 > n @ º°

S1

¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x1 > n@ ¨³­´ µ Á°µ r¡» y1 > n @

x1 > n @ 2 x1 > n 1@

(1.60)

¨³¦³ S2 ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x2 > n@ ¨³­´ µ Á°µ r¡»

y2 > n @

º°

y2 > n @ 3 x2 > n 1@ x2 > n 2@

(1.61)

) ®µ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ S1 ¨³¦³ S2 ¤µ n°Â ° » ¦¤ µ¤£µ¡ ¸É 1.30 ( )

A

Á¤ºÉ° 妳

) oµ¦³ S1 ¨³¦³ S2 ­¨´ ε® n ´ ®µ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ B µ¤£µ¡ ¸É 1.30 ( ) ª· ¸ ε ) µ £µ¡ ¸É 1.30 ( ) ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ x2 > n @ y1 > n @ ¨ Ä ­¤ µ¦ (1.61) ³Å oªnµ

S1

Á } ­´ µ °· ¡» ° ¦³

y2 > n @ 3 y1 > n 1@ y1 > n 2@

S2

´ ´Ê Â nµ

(1.62)

 nµ y1 > n@ µ ­¤ µ¦ (1.60) ¨ Ä ­¤ µ¦ (1.62) ³Å o y2 > n @ 3^ x1 > n 1@ 2 x1 > n 2@` ^ x1 > n 2@ 2 x1 > n 3@` 3 x1 > n 1@ 7 x1 > n 2@ 2 x1 > n 3@

Á ºÉ° µ x1 > n @ x > n@ ¨³ ­´ µ Á°µ r¡» º°

y2 > n @

y >n@

´ ´Ê ¦³

A

³¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³

y > n @ 3 x > n 1@ 7 x > n 2@ 2 x > n 3@

บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-39

x > n@

S1

S2

y > n@

x > n@

S2

S1

A

y > n@

B

£µ¡ ¸É 1.30 µ¦ n° ´  ° » ¦¤ ° ¦³ A ¨³¦³ B

) Á¤ºÉ° ε µ¦­¨´ ε® n ° ¦³ S1 ¨³¦³ S2 ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ S2 Á } ­´ µ °· ¡» ° ¦³ S1 µ¤£µ¡ ¸É 1.30 ( ) ´ ´Ê  nµ x1 > n@ y2 > n @ ¨ Ä ­¤ µ¦ (1.60) ³Å oªnµ y1 > n @

 nµ

y2 > n @

y2 > n @ 2 y2 > n 1@

(1.63)

µ ­¤ µ¦ (1.61) ¨ Ä ­¤ µ¦ (1.63) ³Å o y1 > n @

^3x > n 1@ x > n 2@` 2^3x > n 2@ x > n 3@` 2

2

2

2

3 x2 > n 1@ 7 x2 > n 2@ 2 x2 > n 3@

Á ºÉ° µ x2 > n@ x > n@ ¨³ y1 > n@ ­´ µ Á°µ r¡» º°

y > n@

´ ´Ê ¦³

B

¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³

y > n @ 3 x > n 1@ 7 x > n 2@ 2 x > n 3@

µ ´ª°¥nµ ­ Ä®oÁ®È ªnµ¦³ A ¨³¦³ B ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³ ­´ µ Á°µ r¡» Á®¤º° ´ ´ ´Ê ­¦» Å oªnµ oµ¦³ ¥n°¥ ´Ê ­° ¤¸ » ­¤ ´ ·Â Á · Á­o ¨oª ¨ ° ­ ° ° ¦³ ¦ª¤ ³Å¤nÁ ¨¸É¥  ¨ Á¤ºÉ°¤¸ µ¦­¨´ ε® n ° ¦³ ¥n°¥ ¸É n° ´  ° » ¦¤

1.8 ­¦» oµ¥ Ä ¸Ê Å o° · µ¥ ¹ ­´ µ ¦³Á£ ° ­´ µ µ¦Â ¨ ¨´ ¬ ³ ° ­´ µ ­´ µ Á¨ ¸Ê Î µ¨´ Á · o° ­´ µ ¡ºÊ µ nµ Ç ¦³Á£ ° ¦³ ¨³ µ¦ n° ´ ° ¦³ ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ´Ê ¸ÊÁ ºÉ° µ ªµ¤Á oµÄ Á ¸É¥ª ´ ¡ºÊ µ nµ Ç Á®¨nµ ¸ÊÁ } ­·É ¸É εÁ } °¥nµ ¥·É Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ Ä®o¤¸ ¦³­· ·£µ¡ Á¡¦µ³ ³ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ °°  ¨³¡´ µ¦³ Ä®oÁ®¤µ³­¤ ´ ªµ¤ o° µ¦Ä µ¦Ä o µ Ä Â n¨³ µ ¦³¥» rÅ o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

1.9  f ®´ oµ¥ 1) ¡· µ¦ µªnµ­´ µ n°Å ¸ÊÁ } ­´ µ µ ®¦º°Å¤n oµÁ } ­´ µ µ Ä®o®µ µ Áª¨µ ° ­´ µ ´Ê oª¥ ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ ¦¼ ° ­´ µ oª¥ 1.1)

x t

1.2)

x t

2 cos 3t S / 2

1.3)

x t 3sin 2 3t

1.4)

x t

4sin 2t cos 2t

1.5)

x t cos 50S t sin 15S t

1.6)

x t

2sin 3t cos 3t 3cos 2t

1.7)

x t sin 2S t cos 3S t cos 5S t 3S / 4

je j 5t

2) ¡· µ¦ µªnµ­´ µ n°Å ¸ÊÁ } ­´ µ ε¨´ ­´ µ ¡¨´ µ ®¦º°Å¤nÄ n ´Ê ­° ¦³Á£ Á¤ºÉ° ε® Ä®o a , A , A1 , ¨³ A2 º° nµ ´ªÄ Ç Â¨³ a ! 0 2.1)

x t

Ae a t

2.3)

x t

Ae at sin Zt

2.4)

x t u t u 10 t

2.2) Á¤ºÉ° Z

2S f

x t

At 2

º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤

Á¤ºÉ° u t º°¢{ r ´ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥

3) ªµ ¦¼ ° ­´ µ n°Å ¸Ê (¡¦o°¤ ´Ê ¦³ » nµ nµ Ç Á­o  x ¨³Á­o  y oª¥) 3.2)

x > k @ u > k 2@ 2u >3 k @

x > k @ 3G > k 2@ 2G > k @ G > k 3@

3.4)

x t

x t

3.6)

x > k @ 2r > k 1@ r > k / 2@

3.1)

x t

3.3) 3.5)

2u t u t 4

r t / 2 2r t / 4

4) ε® Ä®o­´ µ x > k @ º° x > k @

k 3 ­ 1, ° 3 d k 2 ®k , °2 / k , k t 2 ¯

2sinc t 1

ªµ ¦¼ ° ­´ µ x > k @ , x > 2 k @ ,

x > 2k @ , ¨³ x > k / 2 1@

5) ¡·­¼ rªnµ¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° n°­´ µ °· ¡» x t º° y t

¦³ Á · Á­o ¦³ ° ° °¨ ¨³¦³ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o

x t 3 x 4 t

º°ªnµÁ }

6) ¡·­¼ rªnµ¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° n°­´ µ °· ¡» x t º° y t x t cos 5S t º°ªnµÁ } ¦³ ¸ÉÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¦³ Á­ ¸¥¦ ¨³¦³ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o 7) ¡·­¼ rªnµ¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° n°­´ µ °· ¡» x > n@ º° y > n @ 5 x > n@ 4 º°ªnµÁ } ¦³ Ťn Á · Á­o ¦³ ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¨³¦³ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ´ª ´ Å o บทที่ 1 พืน้ ฐานของสัญญาณและระบบ 1-41

8) ε® Ä®o­´ µ x t ¤¸¨´ ¬ ³ µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê x t

t

ªµ £µ¡ ° ­´ µ n°Å ¸Ê (¡¦o°¤ ´Ê ¦³ » nµ nµ Ç Á­o  x ¨³Á­o  y oª¥) 8.1) x t 3

8.2)

3x 2 t

8.3) x 2t 1

8.4) x 3 t / 2

8.5)

ª¬ x t x t º¼ u t

8.6) x t ª¬G t 2 G t 2 º¼

9) ¡· µ¦ µ¦³ ¥n°¥­µ¤¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê x > n@

S1

S3

S2

y > n@

à ¥ ¸É ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³­´ µ Á°µ r¡» y > n@ °  n¨³¦³ º° ¦³ ¸É® ¹É S1 :

y > n@

x > 2n @

¦³ ¸É­° S2 :

y > n@

x > n @ 3 x > n 1@ 2 x > n 2@

¦³ ¸É­µ¤ S3 :

­ x > n / 2@ , n y > n@ ® n ¯0,

even odd

9.1) ®µ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ¦ª¤ 9.2) ¦ª ­° ªnµ¦³ ¦ª¤Á } ¦³ Á · Á­o ®¦º°Å¤n 9.3) ¦ª ­° ªnµ¦³ ¦ª¤Á } ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ®¦º°Å¤n 10) ¡· µ¦ µªnµ o° ªµ¤ n°Å ¸ÊÁ } ¦· ®¦º°Å¤n ¡¦o°¤ ´Ê ° · µ¥Á® » ¨ 10.1) µ¦ n° ´  ° » ¦¤ ° ¦³ ŤnÁ · Á­o ­° ¦³ ³ εĮo¦³ ¦ª¤ ¸ÉÅ o¤¸ » ­¤ ´ ·Å¤nÁ · Á­o oª¥ 10.2) µ¦ n° ´  ° » ¦¤ ° ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ­° ¦³ ³ εĮo¦³ ¦ª¤ ¸ÉÅ o¤¸ » ­¤ ´ ·Å¤n ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ oª¥ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 1-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

¸É 2 ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (LTI : linear time-invariant) ®¦º°¦³ LTI º°¦³ ¸É¤¸ » ­¤ ´ · ´Ê Á · Á­o ¨³Å¤n ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ Ä µ · ´ ·¦³ LTI ·¥¤ ε¤µÄ oÄ µ¦ ´Ê ­¤¤» · µ ° ¦µ µ¦ r nµ Ç Á¡ºÉ°«¹ ¬µ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ´ ´Ê ªµ¤ Á oµÄ Ä ¦³ LTI ¹ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ nµ¥ ¹Ê ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ¦³ LTI ¤¸ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ º° ­´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ (convolution) ¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r (impulse response) ° ¦³ ´ ´Ê oµ ¦µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI È ÎµÄ®o­µ¤µ¦ ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» Á } ­´ µ Ä Ç Å oà ¥ nµ¥ Ä ¸Ê ³¡· µ¦ µÁ ¡µ³¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time LTI system) ¹É ®¤µ¥ ¹ ¦³ LTI ¸É¤¸­´ µ °· ¡» , ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r, ¨³­´ µ Á°µ r¡» Á } ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥ ³Á o Ä Á¦ºÉ ° µ¦° · µ¥¡ºÊ µ µ · «µ­ ¦r n µ Ç ¸É Î µ Á } ­Î µ ®¦´ µ¦ª· Á ¦µ³®r ¦ ³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á n » ­¤ ´ · ° ¦³ LTI, ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r, ° ꨼ ´ , ¨³­®­´¤¡´ r Á } o ¦ª¤ ´Ê ° · µ¥ µ¦Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» Ä ¦¼ ° ­¤ µ¦ Á · ° »¡´ r oª¥ ­Îµ®¦´ ¡ºÊ µ µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ ¸É¥ª o° ´ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time LTI system) ³° · µ¥Ä ¸É 3 ­nª ¼o­ Ä ¸É o° µ¦«¹ ¬µ¦µ¥¨³Á°¸¥ Á¡·É¤Á ·¤ ° Á ºÊ°®µÄ ¸Ê­µ¤µ¦ o ªoµÅ o µ [1, 3 – 5]

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา

2-1

x t

x̂ t

x ' G ' t ' '

x t

x '

'

'

'

k'

x k ' G' t k' '

x 0 G ' t '

x k'

x 0

'

k'

£µ¡ ¸É 2.1 µ¦ ¦³¤µ nµ ° ­´ µ x t oª¥­´ µ x̂ t

2.1 µ¦Â­ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time signal) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° µ¦ o° ´ (superposition) ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ¸É ¼ ­Á ¨Â¨³ ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ®¨µ¥Ç ´ª Ä µ · ´ ·­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥®¦º°­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ G t °µ ¡· µ¦ µÅ oªnµÁ } ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä °» ¤ · (ideal rectangular pulse) ¸É¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ­´ µ o°¥¤µ ¨³¤¸Â°¤¡¨· ¼ ° ­´ µ ­¼ ¤µ µ¤ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê ­1 ° , 0dt '

G ' t ® '

°¯ 0,

(2.1)

else

Á¤ºÉ° ' º° nµ ´ª ¡· µ¦ µ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Ä £µ¡ ¸É 2.1 ¡ ªnµ­´ µ x t ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ n ª ÊÎ µ ® ´ ° ­´ µ ¡´ ¨ ­r ¦¼ ­¸É Á ®¨¸É ¥ ¤Ä °» ¤ · G ' t ¸É ¼ n ª ÊÎ µ ® ´ ¨³ ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ Á ºÉ° µ 'G ' t ¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á nµ ´ nµ 1 ´ ´Ê ­´ µ x t ¹ ­µ¤µ¦ ¦³¤µ nµÅ oÁ } f

xˆ t

¦ x k ' G t k ' ' '

k f

2-2

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

(2.2)

Á¤ºÉ° x̂ t º° nµ ¦³¤µ ° ­´ µ x t ­¤ µ¦ (2.2) ­ Ä®oÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ' ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ«¼ ¥r¤µ Á nµÄ È ³ εĮo x̂ t ¤¸ nµÄ ¨oÁ ¸¥ ´ x t ¤µ ¹Ê Á nµ ´Ê Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ ­ f ½ x t lim ® ¦ x k ' G ' t k ' ' ¾ 'o0 ¯ k f ¿

(2.3)

µ §¬ ¸ ¡ºÊ µ °  ¨ ¼¨´­ [4] ¦·¡´ r nµ ¦· (real integral) ° ¢{ r ´ ¦· ­µ¤µ¦ ·¥µ¤ Ä ¦¼ ¨·¤· ° ¨¦ª¤ b

b/H

³ g t dt

lim H o0

a

¦H g kH H

(2.4)

k a/

à ¥ ¸É H º°­nª ¸É o°¥¤µ Ç ° ´ªÂ ¦ t ´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (2.3) Á¤ºÉ° ' o 0 ­´ µ G ' t ³Á ¨¸É¥ Á } ­´ µ °· ¤ ¡´ ¨ ­r ® ¹É ® n ª ¥ G t ¨³Á ¦ºÉ ° ®¤µ¥ ¨¦ª¤ È ³Á ¨¸É ¥ Á } Á ¦ºÉ ° ®¤µ¥ ¦· ¡´ r ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­´ µ x t ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥Å o º° f

x t

³ x W G t W dW

(2.5)

f

2.2 ¦·¡ ´ r ° ꨼ ´ ε® Ä®o h t º° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ (unit impulse response) ®¦º° ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r” ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (®¦º°Á ¸¥ Á } ­´ ¨´ ¬ r º° T) ¹É È º°­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» Á } ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ G t ´É º° h t T ª¬G t º¼

(2.6)

´ ´Ê Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ °· ¡» º° x t ³Å oªµn ­´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ ¤¸ nµÁ nµ ´ y t T ª¬ x t º¼

(2.7)

 nµ x t µ ­¤ µ¦ (2.5) ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.7) ³Å o ªf º y t T « ³ x W G t W dW » ¬ f ¼

f

³ x W T ª¬G t W º¼ dW

(2.8)

f

Á ºÉ° µ ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ LTI ´ ´ Ê บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา

2-3

h t W T ª¬G t W º¼

(2.9)

 nµ­¤ µ¦ (2.9) ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.8) ³Å o f

y t

³ x W h t W dW

(2.10)

f

¹É Á } µ¦®µ nµ ¦·¡´ r ° ¢{ r ´ x W h t W ­Îµ®¦´ » nµ W à ¥°µ ¡· µ¦ µªnµ h t W º°­´ µ h W ¸É ε µ¦¡´ ­´ µ ¨oª ¼ ® nª Áª¨µÁ } ε ª t ® nª¥ ­¤ µ¦ (2.10) ³Á¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “ ¦·¡´ r ° ꨼ ´ (convolution integral)” ¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° f

y t

x t h t

³ x W h t W dW

(2.11)

f

Á¤ºÉ° “ ” º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) µ ­¤ µ¦ (2.11) Á®È Å oªnµ¦³ LTI ­µ¤µ¦ ¼ ε® Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ ¨nµª º° oµ ¦µ ªnµ h t º°°³Å¦ È­µ¤µ¦ ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» Á } ­´ µ Ä Ç Å oà ¥ nµ¥ ´ª°¥nµ ¸É 2.1 ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x t ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ º° ­3, 1 t 1 ® else ¯0,

x t

¨³

h t

­2, 0 t 4 ® else ¯0,

ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (2.11) à ¥Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ­´ µ x W ¨³ h t W µ¤ £µ¡ ¸É 2.2 ³¡ ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ­µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 5 nª Áª¨µÃ ¥¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É t 1 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸­nª Ä ° ­´ µ h t W ¨³ x W ¤µ ´ o° ´ ´ ´ Ê f

y t

³ x W h t W dW

0

f

nª Áª¨µ ¸É 1 t 1 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W Á¦·É¤ ´ o° ´ ­´ µ x W ¹ nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W ´ o° x W ´Ê ®¤ ´ ´Ê f

y t

³

t

x W h t W dW

f

³ 3 2 dW

t

6W W

1

6 t 1

1

nª Áª¨µ ¸É 1 t 3 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W ´ o° ´ ­´ µ x W ´Ê ®¤ ´ ´Ê 2-4

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

x W

h t

3 2

0

-1

W

1

h t W

t 4

t

0

W

t

t

W

3 t 5

t

t 4

W

W

1 t 3

t 4

0

-4

1 t 1 t 4

h W

2

2

t 1

t

4

0

W

t !5 t 4

W

t

£µ¡ ¸É 2.2 µ¦ ε® nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.1 f

y t

³

1

x W h t W dW

f

1

³ 3 2 dW

6W W

1

6 1 1 12

1

nª Áª¨µ ¸É 3 t 5 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W Á¦·É¤Á ¨ºÉ° ¸É°° µ µ¦ ´ o° ´ ­´ µ x W

´Ê ®¤ ¹ nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W ´ o° ´ x W ´ª­» oµ¥ ´ ´Ê f

y t

³

5

x W h t W dW

f

³ 3 2 dW

6 5 t 4 6 1 t

5

6W W

t 4

t 4

nª Áª¨µ ¸É t ! 5 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸­nª Ä ° ­´ µ h t W ¨³ x W ¤µ ´ o° ´ ´ ´Ê f

y t

³ x W h t W dW

0

f

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา

2-5

W

W x W h 0 W

x W h 1 W

x W h 2 W

x W h 4 W

x W h 5 W

W

W y t

t

£¾¥Âš¸Ă‰ 2.3 ˜´ª°¼n¾Š„¾ŒÂšĂŽÂľÂ‡°ÂœĂƒª¨ŸÂ?´ÂœŒ³Žªn¾Š x W Ă‚¨³ h t W

à ¥Œ¾³ÂŒÂłÂœ´ĂŠÂœ­´Â?Â?ÂľÂ–à °¾Â˜rÂĄÂ˜Âť Â…°ÂŠÂŚÂłÂ?Â? LTI ¤¸Â‡n¾à šn¾„´Â?

y t

­0, ° °°6 t 1 , ÂŽ12, °6 1 t , ° °Ě„0,

t 1 1 t 1 1 t 3 3 t 5 t !5

£¾¥Âš¸Ă‰ 2.3 Ă‚­Â—ŠŒ¾¼¨³à °¸¼Â—„¾ŒÂšĂŽÂľÂ‡°ÂœĂƒª¨ŸÂ?´ÂœŒ³Žªn¾Š x W Ă‚¨³ h t W à ¤ºĂ‰° t SCILAB:

1, 0, 2, 4, Ă‚¨³ 5

(£¾¥Âš¸Ă‰ 2.3)

-->function [y] = Xt(t) --> y = zeros(1,length(t)); --> index = find((t>-1)&(t<1)); --> y(index) = 3; -->endfunction

//¢{Š„rÂ?´ÂœÂĽn°¼­ĂŽ¾ŽŒ´Â?­´Â?Â?¾– x t

-->function [y] = Ht(t) --> y = zeros(1,length(t)); --> index = find((t>0)&(t<4)); --> y(index) = 2; -->endfunction

//¢{Š„rÂ?´ÂœÂĽn°¼­ĂŽ¾ŽŒ´Â?­´Â?Â?¾– h t

-->Step = 0.01;

Range_t = -3:Step:6;

2-6

Range_Tau = -2:Step:5;

สูŕ¸?ŕ¸?าณ๠ละระบบ ภูบภารประยุภŕ¸•ďœŽŕšƒŕ¸Šďœ‹ŕš‚ŕ¸›ร๠ภรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

-->for i = 1:length(Range_t) --> t = Range_t(i); --> Yt(i) = sum(Xt(Range_Tau).*Ht(t - Range_Tau))*Step; -->end -->plot(Range_t, Yt);

// ¦·¡´ r ° ꨼ ´

´ª°¥nµ ¸É 2.2 ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x t ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ º° x t e D t u t

¨³

h t u t

­Îµ®¦´ D ! 0 à ¥ ¸É u t º°­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (2.11) à ¥Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ­´ µ x W ¨³ h t W µ¤ £µ¡ ¸É 2.4 ³¡ ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ­µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 2 nª Áª¨µ º° Á¤ºÉ° t ! 0 ¨³ t 0 à ¥¤¸ ¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É t 0 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸­nª Ä ° ­´ µ h t W ´ o° ´ ­´ µ x W ( ¼£µ¡ ¸É 2.5) ´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä nª Áª¨µ ¸Ê ³¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r ´É º° f

y t

³e

DW

u W u t W dW

0

­Îµ®¦´ t 0

f

nª Áª¨µ ¸É t ! 0 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W ´ o° ´ ­´ µ x W µ ­nª ( ¼£µ¡ ¸É 2.5) ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ y t

f

t

DW ³ e u W u t W dW

DW ³ e dW

f

0

e DW D

t

W 0

1

D

1 e

D t

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ LTI ¸Ê­Îµ®¦´ » nµ t º° y t

1

D

1 e u t

D t

´ª°¥nµ ¸É 2.3 ε® Ä®o T º°Á¨ ε ª ¦· ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x t ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ º° ­ t , 0 t 2T x t ® else ¯0,

¨³

h t

­1, 0 t T ® else ¯0,

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา

2-7

x W

h W

1

1

W

0

h W

h t W

1

W

0

1

W

t

0

W

0

£µ¡ ¸É 2.4 µ¦¡· µ¦ µ nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.2 x W

1

1

1

W

W

W

h t W

W

t 0

W

t 1

t

3

W

£µ¡ ¸É 2.5 ´ª°¥nµ µ¦ ´ o° ° ­´ µ x W ¨³ h t W Á¤ºÉ° t < 0, t = 1, ¨³ t = 3 Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.2

ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (2.11) à ¥Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ­´ µ x W ¨³ h t W µ¦ ε ° ꨼ ´ ­µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 5 nª Áª¨µ µ¤£µ¡ ¸É 2.6 ¹É ¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É t 0 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸­nª Ä ° ­´ µ h t W ¨³ x W ¤µ ´ o° ´ ´ ´ Ê f

y t

³ x W h t W dW

0

f

nª Áª¨µ ¸É 0 t T Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W Á¦·É¤ ´ o° ´ ­´ µ x W ¹ nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W ´ o° x W ´Ê ®¤ ´ ´Ê f

y t

³

t

x W h t W dW

f

³ W dW 0

W2 2

t

1 2 t 0 2

W 0

t2 2

nª Áª¨µ ¸É T t 2T Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W ´ o° ´ ­´ µ x W ´Ê ®¤ ´ ´Ê 2-8

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

x W

W h t W

t 0 t T

t

0 t T t T

t

W

W

T t 2T t T

W

t

2T t 3T

W

t

t T

t ! 3T

W

t

t T

£µ¡ ¸É 2.6 µ¦ ε® nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.3 f

y t

t

W2

³ x W h t W dW ³ W dW

f

2

t T

t

W t T

1 2 2 t t T

2

Tt

T2 2

nª Áª¨µ ¸É 2T t 3T Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W Á¦·É¤Á ¨ºÉ° ¸É°° µ µ¦ ´ o° ´ ­´ µ x W ´Ê ®¤ ¹ nª Áª¨µ ¸É­´ µ h t W ´ o° ´ x W ´ª­» oµ¥ ´ ´Ê f

y t

³

f

2T

x W h t W dW

³ W dW

t T

W2 2

2T

W t T

1 2 2 2T t T

2

t2 3 Tt T 2 2 2

nª Áª¨µ ¸É t ! 3T Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸­nª Ä ° ­´ µ h t W ¨³ x W ¤µ ´ o° ´ ´ ´Ê บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา

2-9

f

y t

Âł x W h t W dW

0

f

à ¥Œ¾³ÂŒÂłÂœ´ĂŠÂœ­´Â?Â?ÂľÂ–à °¾Â˜rÂĄÂ˜Âť Â…°ÂŠÂŚÂłÂ?Â? LTI ¤¸Â‡n¾à šn¾„´Â?

y t

SCILAB:

­0, ° 2 °t , °2 °° T2 ŽTt , 2 ° ° t2 3 2 ° Tt T , 2 ° 2 °¯0,

t 0

0 t T T t 2T

2T t 3T t ! 3T

(˜´ª°¼n¾Šš¸Ă‰ 2.3)

-->function [y] --> y = --> index = --> y(index) = -->endfunction

= Xt(t, T, Step) zeros(1,length(t)); find((t>0)&(t<(2*T))); Step:Step:(2*T-Step);

//¢{Š„rÂ?´ÂœÂĽn°¼­ĂŽ¾ŽŒ´Â?­´Â?Â?¾– x t

-->function [y] --> y = --> index = --> y(index) = -->endfunction

= Ht(t, T) zeros(1,length(t)); find((t>0)&(t<T)); 1;

//¢{Š„rÂ?´ÂœÂĽn°¼­ĂŽ¾ŽŒ´Â?­´Â?Â?¾– h t

-->T = 1;

Step = 0.01;

Range_Tau = -T:Step:3*T;

Range_t = -T:Step:4*T;

-->for i = 1:length(Range_t) --> t = Range_t(i); --> Yt(i) = sum(Xt(Range_Tau).*Ht(t - Range_Tau))*Step; -->end

//žŒ¡¥´ÂœÂ›r‡°ÂœĂƒª¨ŸÂ?´Âœ

2.3 Â&#x;¨Â˜°Â?­Âœ°ÂŠ°¡¤¥´¨­rĂ‚¨³Â&#x;¨Â˜°Â?­Âœ°ÂŠÂ…´ĂŠÂœÂ?´ÂœĂ…— ¥¡Â‹¾ŒÂ–¾Œ³Â?Â? LTI š¸Ă‰Â˜n°à ÂœÂşĂ‰°ÂŠÂšÂľÂŠà ª¨¾Âš¸Ă‰¤¸­´Â?Â?¾–°¡ÂœÂĄÂťÂ˜ x t , Â&#x;¨Â˜°Â?­Âœ°ÂŠ°¡¤¥´¨­r h t , Ă‚¨³­´Â?Â?¾– à °¾Â˜rÂĄÂťÂ˜ y t ÂŽšĂ‰ÂŠÂŽÂľĂ…—o‹¾„­¤Â„¾Œ (2.11) —´ÂŠÂœ´ĂŠÂœÂ&#x;¨Â˜°Â?­Âœ°ÂŠ°¡¤¥´¨­rÂ…°ÂŠÂŚÂłÂ?Â? h t Â„ĂˆÂ‡º°­´Â?Â?ÂľÂ–à °¾Â˜rÂĄÂťÂ˜ y t à ¤ºĂ‰°­´Â?Â?¾–°¡ÂœÂĄÂťÂ˜Ă ž}Âœ­´Â?Â?ÂľÂ–Ă…Â—Ă‚ÂŚĂˆÂ„Ă Â—¨Â˜Âľ G t Âœ´Ă‰ÂœÂ‡º° f

y t

Âł

f

x W h t W dW

f

ŕ¸?ŕ¸?าณ๠ละระบบ ภูบภารประยุภŕ¸•ďœŽŕšƒŕ¸Šďœ‹ŕš‚ŕ¸›ร๠ภรม SCILAB 2-10 สูSignals and Systems with SCILAB Applications

Âł G W h t W dW

f

h t

(2.12)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ oµ ε® Ä®o s t º° ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å (step response) ° ¦³ ¹É ¤¸ nµ Á nµ ´ ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ u t ´É º° f

s t T ª¬u t º¼

h t u t

t

h W u t W dW

³

f

³ h W dW

(2.13)

f

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ s t º° ¦·¡´ r n°Á ºÉ° ° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ´Ê  nÁª¨µ° ¸ ¹ Áª¨µ { » ´ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å s t ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r Ä µ ¨´ ´ oµ ε® s t ¤µÄ®o È­µ¤µ¦ ®µ h t Å o µ h t

ds t

sc t

dt

(2.14)

à ¥ ¸É­¤ µ¦¨´ ¬ ³ ¸ÁÊ ¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “­¤ µ¦Á · ° »¡ ´ r°´ ´ ® ¹É (first differential equation)”

2.4 » ­¤ ´ · ° ¦³ LTI ¦³ LTI ­µ¤µ¦ ¼ ε® Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ ¨nµª º° oµ ¦µ ªnµ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI º°°³Å¦ È ÎµÄ®o­µ¤µ¦ ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ­Îµ®¦´ ­´ µ °· ¡» Ä Ç Å o µ ­¤ µ¦ (2.11) ´É º° f

y t

x t h t

³ x W h t W dW

f

¹É » ­¤ ´ · ¸ÊÁ } ¦· Á ¡µ³ ´ ¦³ LTI Á nµ ´Ê (ŤnÁ } ¦· ­Îµ®¦´ ¦³ ŤnÁ } Á · Á­o ) ´ ´Ê Ä ­nª ¸Ê ³° · µ¥ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° ¦³ LTI Á¡ºÉ° nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê

2.4.1 » ­¤ ´ · µ¦­¨´ ¸É ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ­¤ ´ · µ¦­¨´ ¸É (commutative property) º° x t h t h t x t

¹É ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê (à ¥ µ¦Á ¨¸¥É ´ªÂ ¦ u f

x t h t

³

f

t W

)

f

x W h t W dW

³

f

(2.15)

f

x t u h u du

³ h u x t u du

h t x t

f

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-11

x t

x t h1 t

h1 t

h2 t

x1 t

x2 t

x t

y t

h1 t h2 t

y t

x t h2 t

x1 t h t

h t

x1 t x2 t

y t

h t

h t

y t

x2 t h t

£µ¡ ¸É 2.7 ¨´ ¬ ³ µ¦Ä o µ ° » ­¤ ´ · µ¦Â Â

2.4.2 » ­¤ ´ · µ¦Â  ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ­¤ ´ · µ¦Â  (distributive property) ´ ¸Ê x t ^h1 t h2 t `

^ x t h t ` ^ x t h t ` 1

2

(2.16)

» ­¤ ´ · ¸Ê nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ´ ¦¼  ° ¦³ LTI ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  µ Ä®oÁ } ¦³ LTI ¦ª¤¦³ Á ¸¥ªÅ o ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 2.7 ( – ) ° µ ¸Ê » ­¤ ´ · µ¦Â  ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ oÄ °¸ ¦¼  ® ¹É º°

^ x t h t ` ^ x t h t ` ^ x t x t ` h t

1

2

1

2

(2.17)

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 2.7 ( – ) ´ª°¥nµ ¸É 2.4 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å º° s t

oµ­´ µ °· ¡» x t º°­´ µ Ä £µ¡ ¸É 2.8 ( ) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ ª· ¸ ε ­´ µ °· ¡» x t Ä £µ¡ ¸É 2.8 ( ) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° x t u t 1 u t 3

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

e t u t

y t

x t

e

t 1

u t 1

t

t e

t 3

u t 3

£µ¡ ¸É 2.8 ( ) ­´ µ °· ¡» x t ¨³ ( ) ­´ µ Á°µ r¡» y t Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.4 x t

x t

h1 t

h2 t

z t

w t

h2 t

h1 t

y t

x t

y t

x t

h t

h1 t h2 t

h t

h2 t h1 t

y t

y t

£µ¡ ¸É 2.9 ¡·­¼ r » ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n

µ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ¦³ LTI ¸É ε® Ä®o ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ º° y t T ª¬u t 1 u t 3 º¼

s t 1 s t 3

e t 1 u t 1 e t 3 u t 3

¹É ¤¸¦¼ ¦nµ ° ­´ µ µ¤£µ¡ ¸É 2.8 ( )

2.4.3 » ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n (associative property) º° x t h1 t h2 t

x t ^h1 t h2 t `

^ x t h t ` h t

1

2

(2.18)

» ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ´ ¦¼ ¦³ ¥n°¥ ¸É n° ´  ° » ¦¤Ä®oÁ } ¦³ ¦ª¤¦³ Á ¸¥ª Å o µ¤£µ¡ ¸É 2.9 ° µ ¸Ê£µ¡ ¸É 2.9 ¥´ ­ Ä®oÁ®È ªnµ¦³ ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤­µ¤µ¦ ­¨´ ¸É ´ Å o ´ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ ¨ ° ­ ° ¦ª¤ ° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ³Å¤n ¹Ê °¥¼n ´ “¨Îµ ´ ” ° ¦³ ¥n°¥ ¸É 夵 n° ´  n ³ ¹Ê ´ ¨ ° ­ ° ¦ª¤ ° ¦³ ´ª°¥nµ Á n oµ¦³ LTI ¦³ ° oª¥¦³ ¥n°¥­µ¤ บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-13

¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ à ¥ ¸É n¨³¦³ ¥n°¥¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h1 t , h2 t , ¨³ h3 t

µ¤¨Îµ ´ ³Å oªnµ h1 t h2 t h3 t h2 t h1 t h3 t h3 t h1 t h2 t Á } o

2.4.4 » ­¤ ´ · µ¦¤¸Â¨³Å¤n¤®¸ nª¥ ªµ¤ ε ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε (memoryless)” È n°Á¤ºÉ° h t 0 ­Îµ®¦´ t z 0 ®¦º°Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° h t

Á¤ºÉ° K

h 0

KG t

(2.19)

º° nµ ´ª (constant) ´ ´Ê ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ °· ¡» x t ¤¸ nµÁ nµ ´ y t

x t h t

K x t

(2.20)

Ä ³ ¸É¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε” È n°Á¤ºÉ° h t z 0 ­Îµ®¦´ t z 0 ° µ ¸ÊÄ ¦ ¸ ¸É ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ º° h t G t ³Á¦¸¥ ¦³ ´Ê ªnµ “¦³ Á° ¨´ ¬ r (identity system)” ¹É ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI º° f

y t

x t G t

³ x W G t W dW

x t

(2.21)

f

2.4.5 » ­¤ ´ ·Ä µ¦®µ ´ª ´ Å o ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ µ¤£µ¡ ¸É 2.10 ¦³ B ³Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ´ (inverse system)” ° ¦³ A oµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ B ¤¸ nµ y t x t ¹É Á } ¦· È n°Á¤ºÉ° h1 t h2 t G t

(2.22)

´ª°¥nµ ¸É 2.5 ε® Ä®o¦³ LTI ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ´ ¸Ê y t

x t W

à ¥ ¸É oµ W ! 0 ³Á } ¦³ ¸É ε µ¦® nª Áª¨µ­´ µ °· ¡» ¨³ oµ Áª¨µ­´ µ °· ¡» ¡· µ¦ µªnµ¦³ LTI ¸Ê¤¸¦³ ´ ®¦º°Å¤n ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

W 0

³Á } ¦³ ¸É ε µ¦¨nª ® oµ

x t

h1 t

h2 t

y t

x t

x t

G t

£µ¡ ¸É 2.10 ¦³ B Á } ¦³ ´ ° ¦³ A oµ­´ µ y t

x t

x t

ª· ¸ ε ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI º°­´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÅ o µ µ¦ j° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ G t Á oµÅ Ä ¦³ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ³Å oªnµ h t G t W ´É º° x t W

x t G t W

Ä µ¦ εĮo­´ µ x t W ¨´ Á } ­´ µ x t Á®¤º° Á ·¤ È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ x t W Á } ¦·¤µ W ® nª¥ ´ ´Ê ¦³ ´ ° ¦³ LTI ¸Ê¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° hI t G t W G t W

¹É εĮoÅ oªnµ h t hI t G t W G t W G t

2.4.6 » ­¤ ´ · ° °¨ ¦³ LTI ¸É¤¸ » ­¤ ´ · ° °¨ (causal) º°¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» ³ ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ ¨³Ä Áª¨µ { » ´ Á nµ ´Ê  nŤn ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ ­Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ » ­¤ ´ · ° °¨ ³®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» f

y t

³ x W h t W dW

f

Ťn ¹Ê ´ ­´ µ °· ¡» x W Á¤ºÉ° W ! t ¹É ³Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ° h t W

¦³ ° °¨ º°¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h t 0

Á¤ºÉ° t 0

0

Á¤ºÉ° W ! t ®¦º°­¦» Å oªnµ

(2.23)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ° °¨­µ¤µ¦ ®µÅ o µ f

t

y t

³

f

x W h t W dW

³ h W x t W dW

(2.24)

0

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-15

à ¥ ´ÉªÅ ¦³ ¸É­¦oµ ¹Ê ¤µ­Îµ®¦´ Ä o µ ¸É¤¸¨´ ¬ ³ µ¦ ° ­ °  Á¦¸¥¨Å ¤r (real time) ¨oª ¦³ ´Ê o° ¤¸ » ­¤ ´ · ° °¨· ¸ (causality) Á­¤° ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ¦³  Á¦¸¥¨Å ¤rŤn­µ¤µ¦ ¦´ nµ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ Å o ° µ ¸Ê¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε È º°ªnµÁ } ¦³ ° °¨ oª¥ Ä µ · ´ · » ­¤ ´ · ° °¨ µ¤­¤ µ¦ (2.24) ³­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å “ µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest)” ¸É ¨nµªªnµ oµ­´ µ °· ¡» ° ¦³ ° °¨¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¹ Áª¨µ® ¹É ¨oª ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³ o° ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¹ Áª¨µ ³ ´Ê oª¥Á n ´ à ¥ ´ÉªÅ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ³Ä oÅ o ´ ¦³ Á · Á­o Á nµ ´Ê ´ª°¥nµ Á n ¡· µ¦ µ¦³ y t 3x t 2 ¹ ¤oªnµ¦³ ¸Ê ³Á } ¦³ ° °¨ ¨³Å¤n¤¸® nª¥ ªµ¤ ε  n È º°ªnµÁ } ¦³ ŤnÁ } Á · Á­o ° µ ¸Ê¦³ ¸Ê¥´ Ťn­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o Á¡¦µ³ªnµ oµ x t 0 ³Å oªnµ y t 3 z 0 ­Îµ®¦´ » nµ t ­Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸É­´ µ Á°µ r¡» ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ { » ´ ¨³° µ ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ° ° °¨ (noncausal) ´ª°¥nµ ¸É 2.6 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê y t T ª¬ x t º¼

t T / 2

1 x W dW T t T³/ 2

®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ ¨³¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» y t Á ¸¥ Å oÁ } y t

1 T

t T / 2

³

x W dW

f

1 T

t T / 2

³ x W dW

f

t t0

Á ºÉ° µ x t u t t0 ³ x W dW ´ ´Ê ­´ µ y t ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } f

y t

1 § T· 1 § T· x t u ¨ t ¸ x t u ¨ t ¸ T © 2¹ T © 2¹

x t

1 ­ § T · § T ·½ ®u ¨ t ¸ u ¨ t ¸ ¾ T ¯ © 2 ¹ © 2 ¹¿

´É º° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ¤¸ nµÁ nµ ´ h t

1 ­ § T · § T ·½ ®u ¨ t ¸ u ¨ t ¸ ¾ T ¯ © 2 ¹ © 2 ¹¿

­1/ T , T / 2 t d T / 2 ® else ¯0,

¨³Á ºÉ° µ h t z 0 Á¤ºÉ° t 0 ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ ° °¨ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

x t h t

µ » ­¤ ´ · ° °¨ εĮo­¦» Å oªnµ ­´ µ x t Ä Ç ³Á¦¸¥ ªnµ “­´ µ ° °¨” oµ x t 0 ,

­Îµ®¦´ t 0

(2.25)

¨³ ³Á¦¸¥ ªnµ “­´ µ ° Å ° °¨ (anticausal)” oµ x t 0 ,

­Îµ®¦´ t ! 0

(2.26)

´ ´Ê ­Îµ®¦´ ¦³ LTI  ° °¨ ¸É¤¸­´ µ °· ¡» Á } ­´ µ ° °¨ oª¥ ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ y t

t

t

³ h W x t W dW

³ x W h t W dW

0

(2.27)

0

2.4.7 » ­¤ ´ ·Á­ ¸¥¦ ¦³ Á­ ¸¥¦ (stable) ®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É­´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á (bounded input) ¨³­n ¨ εĮoÁ · ­´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á oª¥ ¡· µ¦ µ­´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t B

(2.28)

­Îµ®¦´ » nµ t Á¤ºÉ° B f º° nµ ´ªÄ Ç ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®µÅ o µ f

y t

³

f

h t x t W dW d

f

³ h t x t W dW

(2.29)

f

µ ­¤ µ¦ (2.28) ³Å oªnµ x t W B Á n ´ ³ ´Ê ­¤ µ¦ (2.29) ¹ Á ¸¥ Å oÁ } f

y t d B ³ h t dW

(2.30)

f

­Îµ®¦´ » nµ t Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á ³Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ° f

³ h W dW f

(2.31)

f

®¦º° ¨nµªÅ oªnµ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­´¤ ¼¦ r (absolutely integrable) à ¥ ¸É Á ºÉ° Å ¸Ê º°ªnµÁ } Á ºÉ° Å ¸ÉÁ¡¸¥ ¡° (sufficient condition) ¨³Á ºÉ° Å ¸É εÁ } (necessary condition) ¸ÉÄ o ¡· µ¦ µªnµ¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦®¦º°Å¤n [3] บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-17

2.5 ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ ·¦³ ® ¹É º° ¦³ ¸É­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¤­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸­´¤ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Á­o (LCCDE: linear constant-coefficient differential equation) ¹É ­µ¤µ¦ Ä o° · µ¥ ¦µ µ¦ r nµ Ç Å o Á n ¡§ · ¦¦¤ ° ¦³Â­Å¢¢jµÄ ª ¦ RC , µ¦Á ¨ºÉ° ¸É ° ­ ¦· , ¨³¡¨´ µ ¨ r ° · ·¦·¥µ µ Á ¤¸ Á } o

2.5.1 ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸­¤´ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Á­o ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸­´¤ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Á­o °´ ´ N

¦a

k

k 0

d k y t

M

¦b

·¥µ¤Ã ¥

d k x t

k

dt k

N

k 0

dt k

(2.32)

Á¤ºÉ° ak ¨³ bk Á } nµ­´¤ ¦³­· ·Í ¸ÉÁ } Á¨ ε ª ¦· ¨³ N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¸É­ ¹ °´ ´ ° »¡´ r ­¼ ­» ° y t Ä µ¦Â o­¤ µ¦ (2.32) o° °µ«´¥Á ºÉ° Å nª¥ (auxiliary condition) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° nµ dy t

d N 1 y t

,! , y t , N 1 dt

dt

­Îµ®¦´ nµ t ® ¹É Ç ¹É ε ° ´ÉªÅ ° ­¤ µ¦ (2.32) ³°¥¼nÄ ¦¼ ° y t

y p t yh t

(2.33)

Á¤ºÉ° y p t º° ¨Á ¨¥Á ¡µ³ (particular solution) ¸É­° ¨o° ´ ­¤ µ¦ (2.32) ¨³ yh t º° ¨Á ¨¥ Á° ¡´ »r (homogeneous solution) ¹É ®µÅ o µ µ¦Â o­¤ µ¦Á · ° »¡´ rÁ° ¡´ »r (homogeneous differential equation) ´ ¸Ê N d k y t

0 (2.34) a

¦ k 0

k

dt k

Ä µ · ´ ·­¤ µ¦ (2.32) ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o ε® ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r È n°Á¤ºÉ°¤¸ µ¦ ε® Á ºÉ° Å nª¥ ° ­¤ µ¦ ´Ê Ūo ¨nµª º°¦³ ­° ¦³ ¸É¤¸­´ µ °· ¡» ¨³ ­´ µ Á°µ r¡» nµ ´ °µ ³¤¸­¤ µ¦Á · ° »¡´ rÁ®¤º° ´ Å o oµÅ¤n¤¸ µ¦ ε® Á ºÉ° Å nª¥ ¸É­° ¨o° ´ ¦³ ´Ê Ūo ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

´ª°¥nµ ¸É 2.7 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» µ¤­¤ µ¦ LCCDE n°Å ¸Ê dy t

ay t x t

(2.35) dt

Á¤ºÉ° a º° nµ ´ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ Á¤ºÉ° ε® Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o º° y 0

¨³Ä®o­´ µ °· ¡» º° x t

Á¤ºÉ°

K

Ke bt u t

y0

(2.36)

¨³ b Á } nµ ´ª

ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» y t ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (2.33) à ¥ ¸ÉÄ µ¦®µ nµ y p t Ä®o¡· µ¦ µ µ “ ¨ ° ­ ° ´ ´ (forced response)” ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³ ε® Ä®o y p t ¤¸¦¼  Á®¤º° ´ ­´ µ °· ¡» ´É º° y p t

Á¤ºÉ°

A

º° nµ ´ª ´ ´ Ê Â nµ

y p t

Ae bt , t ! 0

(2.37)

µ¤­¤ µ¦ (2.37) ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.35) ³Å o

bAe bt a Ae bt

Ke bt

(2.38)

ε nµ ebt ¤µ ¼ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (2.38) ³Å o bA aA

A

 nµ

A

K

K a b

¨ Ä ­¤ µ¦ (2.37) ³Å o K bt e , t !0 a b

y p t

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ nµ

yh t

®µÅ o µ µ¦Â o­¤ µ¦Á · ° »¡´ rÁ° ¡´ »r dyh t

dt

¹É à ¥ ´ÉªÅ ³ ε® Ä®o

yh t

(2.39)

ayh t 0

(2.40)

¤¸¦¼  ¨oµ¥ ´ ­´ µ °· ¡» ´É º° yh t

Be zt

(2.41)

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-19

Á¤ºÉ° B ¨³ z º° nµ ´ª  nµ

yh t

µ¤­¤ µ¦ (2.41) ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.40) ³Å o

Bze zt a Be zt

0

Be zt z a 0

¹É ³Å o

z

a

´ ´ Ê Â nµ z ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.41) ³Å o yh t

 nµ

y p t

µ ­¤ µ¦ (2.39) ¨³

B

yh t

(2.42)

µ ­¤ µ¦ (2.42) ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.33) ³Å o

K bt e Be at , t ! 0 a b

y t

¹É nµ ³Å o

Be at , t ! 0

(2.43)

­µ¤µ¦ ®µÅ o µ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o µ¤ ¸Éà ¥r ε® Ä®o º° y 0

y 0

B

y0

K B a b

y0

K a b

y0

¨ Ä ­¤ µ¦ (2.43)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ º° y t

K bt § K · at e ¨ y0 ¸e , t ! 0 a b a b ¹ ©

­Îµ®¦´ t 0 µ ­¤ µ¦ (2.36) ³Å oªnµ x t

¹É ³Å o­´ µ Á°µ r¡» º° y t

 nµ y 0

y0

0

´ ´Ê ­¤ µ¦ (2.35) ³¨ ¦¼ Á } ­¤ µ¦ (2.40)

Be at , t 0

µ Á º°É Å nª¥¨ Ä ­¤ µ¦ (2.45) εĮoÅ o y t

(2.44)

(2.45) B

y0

´ ´Ê

y0 e at , t 0

(2.46)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y t Áª¨µ t Ä Ç ®µÅ o µ µ¦¦ª¤­¤ µ¦ (2.44) ¨³ (2.46) Á oµ oª¥ ´ ´ É º° y t

y0 e at

K ^e bt e at ` u t

a b

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(2.47)

x t

y zs t

y t

y zi t

£µ¡ ¸É 2.11 ¨ ° ­ ° Á¤ºÉ°Å¤n¤¸­´ µ °· ¡»

y zi t

¨³ ¨ ° ­ ° Á¤ºÉ°­ µ ³Á } «¼ ¥r

y zs t

µ ´ª°¥nµ ¸É 2.7 ¡ ªnµª· ¸ µ¦Â oÅ { ®µ­¤ µ¦ LCCDE n° oµ ³ ´ o° °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä ¸É 9 ³° · µ¥ª· ¸ µ¦Â oÅ { ®µ­¤ µ¦ LCCDE  nµ¥ à ¥°µ«´¥Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ (Laplace transform)”

2.5.2 » ­¤ ´ ·Á · Á­o ­¤ µ¦ LCCDE µ¤­¤ µ¦ (2.32) ³¤¸ » ­¤ ´ ·Á · Á­o È n°Á¤ºÉ°Á ºÉ° Å nª¥ ´Ê ®¤ ° ­¤ µ¦ LCCDE ¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r oµÁ ºÉ° Å nª¥Å¤nÁ } nµ«¼ ¥r ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } y t

y zi t y zs t

(2.48)

à ¥ ¸É ¨ ° ­ ° Á¤ºÉ°Å¤n¤¸­´ µ °· ¡» (zero-input response) yzi t º° ¨ ° ­ ° n°Á ºÉ° Å nª¥ ´Ê ®¤ ¨³ ¨ ° ­ ° Á¤ºÉ°­ µ ³Á } «¼ ¥r (zero-state response) yzs t º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á · Á­o Á¤ºÉ°Á ºÉ° Å nª¥Á } nµ«¼ ¥r ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 2.11 Ä µ · ´ · yzi t z yh t ¨³ yzs t z y p t °¥nµ Ŧ È µ¤Ã ¥ ´ÉªÅ ¡ ªnµ­´ µ yzi t

³ ¦¦ » nµ yh t ¨³­´ µ yzs t ³ ¦¦ » nµ yh t ¨³ y p t

´ª°¥nµ ¸É 2.8 n°Á ºÉ° µ ´ª°¥nµ ¸É 2.7 ) ­ ­´ µ Á°µ r¡» Ä ¦¼ y t yzi t yzs t µ¤­¤ µ¦ (2.48) ) ¡·­¼ rªnµ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ Á · Á­o oµ y 0 y0 z 0 ) ¡·­¼ rªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á · Á­o oµ y 0 y0 0 ª· ¸ ε ) Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (2.47) ¨³ (2.48) ³Å oªnµ y t

y0 e at

K ^e bt e at ` u t

a b

y zi t y zs t

(2.49)

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-21

´É º° y zi t

y0 e at

(2.50)

¨³ K ^e bt e at ` u t

a b

yzs t

(2.51)

) ­Îµ®¦´ ¦³ LTI Á } ¸É ¦µ ´ ªnµ¦³ Á · Á­o º ° ¦³ ¸É ¤¸­´ µ Á°µ r¡» Á n µ ´ nµ«¼ ¥r Á¤ºÉ ° ­´ µ °· ¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r oµ ε® Ä®o K 0 Ä ­¤ µ¦ (2.36) ³Å oªnµ x t 0 ´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (2.49) ³Å oªnµ y t

Á¤ºÉ°

y0 z 0

y0 e at z 0

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¦³ ¸ÅÊ ¤nÁ } ¦³ Á · Á­o Á ºÉ° µ y 0

(2.52) y0 z 0

) oµ y 0 y0 0 ¨oª ¦³ ¸Ê ³Á } ¦³ Á · Á­o ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê ε® Ä®o x1 t ¨³ x2 t

Á } ­´ µ °· ¡» ¸É εĮoÁ · ­´ µ Á°µ r¡» y1 t ¨³ y2 t µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (2.35) ³Å oªnµ dy1 t

dt dy2 t

dt

ay1 t

x1 t

(2.53)

ay2 t

x2 t

(2.54)

¹É ¤¸Á ºÉ° Å nª¥ º° y1 0

y2 0 0

(2.55)

¡· µ¦ µ­´ µ n°Å ¸Ê x t D x1 t E x2 t

Á¤ºÉ° D ¨³ E º°Á¨ ε ª ¦· µ ´Ê ε nµ D ¤µ ¼ ­¤ µ¦ (2.53) ¨³ ε nµ ¨oª ε ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤µ¦ª¤ ´ ³Å oÁ } y t D y1 t E y2 t

(2.56) E

¤µ ¼ ­¤ µ¦ (2.54)

(2.57)

¹É ¥´ ­° ¨o° ´ ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r dy t

dt

ay t

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

x t

(2.58)

¨³­° ¨o° ´ ­¤ µ¦ (2.55) ´É º° y 0 D y1 0 E y2 0 0

(2.59)

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á · Á­o

2.5.3 » ­¤ ´ · ° °¨ ­¤ µ¦ LCCDE µ¤­¤ µ¦ (2.32) ³¤¸ » ­¤ ´ · ° °¨ È n°Á¤ºÉ°Á ºÉ° Å nª¥Á }  Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ´É º° oµ x t 0 ­Îµ®¦´ t d t0 ¨³­¤¤ ·ªnµ y t 0 ­Îµ®¦´ t d t0 ´ ´Ê ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á¤ºÉ° Áª¨µ t ! t0 ­µ¤µ¦ ε ª Å o µ ­¤ µ¦ (2.32) à ¥Ä oÁ ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o º° y t0

Á¤ºÉ°

d k y t0

d k y t

dt k

dt k

dy t0

!

dt

d N 1 y t0

dt N 1

0

(2.60)

t t0

2.5.4 » ­¤ ´ ·Å¤n ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¦³ Á · Á­o  ° °¨ ¸É­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ³Á } ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÁ­¤° ´ª°¥nµ ¸É 2.9 µ ´ª°¥nµ ¸É 2.7 ­ ªnµ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o y 0

 ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ oª¥

0

³Á } ¦³ ¸ÉŤn

ª· ¸ ε ε® Ä®o x1 t ¨³ y1 t º°­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ¨³ x1 t 0 , t d 0

(2.61)

´ ´Ê dy1 t

dt

ay1 t

x1 t

(2.62)

¨³ y1 t 0

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ Ä®o ­¤ µ¦ (2.61) ³Å oªnµ

y2 t

º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°

(2.63) x2 t

x1 t W

¹É µ

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-23

x2 t 0 , t d W

à ¥ ¸É­´ µ

y2 t

(2.64)

³ o° ­° ¨o° ´ dy2 t

dt

ay2 t

x2 t

(2.65)

¨³ y2 W 0

µ ­¤ µ¦ (2.62)  nµ ´ªÂ ¦ t

t W

dy1 t W

dt

oµ ε® Ä®o

y2 t

y1 t W

(2.66)

³Å oªnµ ay1 t W

x1 t W

x2 t

(2.67)

´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (2.66) ³Å oªnµ y2 W

y1 W W

y1 0 0

(2.68)

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­¤ µ¦ (2.65) ¨³ (2.66) ­° ¨o° ´ ¹ ­¦» Å oªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ

2.5.5 ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ­¤ µ¦ LCCDE µ¤­¤ µ¦ (2.32) ­µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦ ε ª ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ Å o ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 2.10 µ ´ª°¥nµ ¸É 2.7 ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ ª· ¸ ε Á ºÉ° µ h t º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ G t

´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (2.35) ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ³ o° ­° ¨o° ´ ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ´ ¸Ê dh t

dt

ah t G t

(2.69)

à ¥ ¸É ¨Á ¨¥Á° ¡´ »r hh t ° ­¤ µ¦ (2.69) ®µÅ o µ µ¦Â o­¤ µ¦ dhh t

dt

ahh t 0

¹É Ä µ¦Â o­¤ µ¦ (2.70) ³ ε® Ä®o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(2.70)

hh t ce st

(2.71)

Á¤ºÉ° c º° nµ ´ª  nµ hh t ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.70) ³Å o cse st ace st

¹É ³Å oªnµ s

a

s a ce st

0

´ ´Ê ¨Á ¨¥Á° ¡´ »r º° hh t ce at u t

(2.72)

­Îµ®¦´ ¨Á ¨¥Á ¡µ³ hp t ³¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r Á¡¦µ³ªnµ hp t Ťn­µ¤µ¦ ¤¸ nµ G t Å o ¤· ³ ´Ê ¨oª ­¤ µ¦ (2.69) ³Å¤nÁ } ¦· Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ º° h t

hh t hp t ce at u t 0 ce at u t

(2.73)

Ä µ¦®µ nµ c εŠoà ¥ µ¦Â nµ h t µ ­¤ µ¦ (2.73) ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.69) ³Å o d ^ce at u t ` a ^ce at u t ` G t

dt ­ at du t

½ u t ace at ¾ ace at u t G t

®ce dt ¯ ¿ ce atG t G t

cG t G t

´É º° c 1 à ¥°µ«´¥ » ­¤ ´ · ° ¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ f t G t f 0 G t Á¤ºÉ° f t Á } ¢{ r ´ Ä Ç ´ ´Ê  nµ c 1 ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.73) ³Å oªnµ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ µ¤­¤ µ¦ (2.35) º° h t e at u t

(2.74)

2.6  £µ¡ ¨È° à ¥ ´ÉªÅ ¦³ LTI ³ ¼ ε® oª¥­¤ µ¦ · «µ­ ¦r ¸É­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³ ­´ µ Á°µ r¡» ¹É µ ¦´Ê ¥µ n° µ¦ ε ªµ¤Á oµÄ Ä ­nª ¸Ê ³Â­ µ¦Ä o £µ¡ ¨È° (block diagram)  ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÁ®¨nµ ´Ê Ä µ · ´ ·Â £µ¡ ¨È° ­µ¤µ¦ ­¦oµ ¹Ê Å o µ µ¦ ε ·Ê ­nª ¡ºÊ µ บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-25

w t

x t

x t w t

x t

( ) µ¦ ª (addition)

( ) ª ¦° »¡´ r (differentiator)

w t

x t w t

x t

( ) µ¦¨ (subtraction) x t

dx t

dt

d dt

x t

³

a x t

a

t

³ x W dW f

( ) ª ¦ ¦·¡´ r (integrator)

( ) µ¦ ¼ (multiplication)

£µ¡ ¸É 2.12 ·Ê ­nª ¡ºÊ µ ¸ÉÄ oÄ µ¦­¦oµ  £µ¡ ¨È° ­Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

¸É­ Ä £µ¡ ¸É 2.12  n¨³ ·Ê ¤µ ¦³ ° ´ à ¥Á¤ºÉ°Á oµÄ ªµ¤®¤µ¥ ° ·Ê ­nª  n¨³ ·Ê Ä £µ¡ ¸É 2.12 ¨oª È ³­µ¤µ¦ ­¦oµ  £µ¡ ¨È° Å oà ¥ nµ¥ ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É ¼ ε® oª¥­¤ µ¦ LCCDE °´ ´ ® ¹É n°Å ¸Ê dy t

dt

bx t ay t

(2.75)

¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å oà ¥°µ«´¥ ·Ê ­nª ¡ºÊ µ Ä £µ¡ ¸É 2.12 ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 2.13 ( ) °¥nµ Ŧ È µ¤Â £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.13 ( ) Ťn ·¥¤ 夵­¦oµ Á } ª ¦Å¢¢jµÁ ºÉ° µ ª ¦° »¡´ r (differentiator) ­¦oµ Å o¥µ ¨³°n° Å®ª n° o° · ¡¨µ (error) ¨³­´ µ ¦ ª (noise) Á¡¦µ³ ³ ´Ê Ä µ · ´ · ³ ´ ¦¼ ­¤ µ¦ (2.75) Ä®¤nà ¥ µ¦®µ ¦·¡´ r µ Áª¨µ t0 ¹ Áª¨µ t ¹É εĮoÅ o ¨¨´¡ rÁ } ­ dy W ½ ³t ®¯ dW ¾¿ dW 0 t

t

³ ^bx W ay W ` dW

t0

t

y t

³ ^bx W ay W ` dW y t

0

(2.76)

t0

¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å o µ¤£µ¡ ¸É 2.13 ( ) à ¥ ¸É y t0 º°Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ° µ¦®µ ¦·¡´ r ®¦º°°µ ¡· µ¦ µÅ oªnµ y t0 Á } nµÁ¦·É¤ o ¸É ¼ Á È ÅªoÄ ª ¦ ¦·¡´ r (integrator) Áª¨µ ¸É t0 à ¥ ´ÉªÅ  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.13 ( ) ·¥¤ ε¤µÄ o­¦oµ Á } ª ¦Å¢¢jµ¤µ ªnµÂ £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.13 ( ) Á ºÉ° µ ª ¦ ¦·¡´ r­µ¤µ¦ ­¦oµ Å o µ ª ¦°° °¤ m (operational amplifier) ¹É ®µ ºÊ° Å o nµ¥ ¸É nµ ¤µÅ o­ µ¦­¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ ® ¹É à ¥ µ¦Ä o ·Ê ­nª ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

x t

b/a

y t0

y t

x t

d

³

b

y t

dt

1/ a

dy t

dt

a

£µ¡ ¸É 2.13  £µ¡ ¨È° ° ¦³

dy t

bx t ay t

dt

¡ºÊ µ Ä £µ¡ ¸É 2.12 ­Îµ®¦´ ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ ­¼ È­µ¤µ¦ 夵Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å oà ¥Ä o ·Ê ­nª ¡ºÊ µ nµ Ç Á n ´ ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 2.11 ­¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ¦³ LTI ¸É ¼ ε® oª¥­¤ µ¦ LCCDE ´ ¸Ê d 2 y t

dt

2

dx t

3 y t

2x t

(2.77)

2x t 3 y t

(2.78)

dt

ª· ¸ ε µ à ¥r ³Å oªnµ d 2 y t

dt

dx t

2

dt

à ¥ µ¦®µ ¦· ¡´ r ° ­¤ µ¦ (2.78) µ Áª¨µ µ¤Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ³Å o W

³

d 2 y u

f

dt 2

W

³

du

f

dy W

dt

dx u

dt

f

W

³

f

dy W

dt

dW

W

f

W

f

W

x W 2 ³ x u du 3 ³ y u du f

t

t

³

x W dW 2 ³

f

x f 0

du 2 ³ x u du 3 ³ y u du

µ ´Ê ε µ¦®µ ¦·¡´ r ° ­¤ µ¦ (2.79) µ Áª¨µ ³Å o t

¹ Áª¨µ W ¨³ Î µ ® Ä®o y f

(2.79)

f

f

¹ Áª¨µ t ¨³ ε® Ä®o y f

W

t

³

x u dudW 3 ³

f f

x f 0

W

³ y u dudW

f f

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-27

y t

x t

³

³

³

³ 3

2

£µ¡ ¸É 2.14  £µ¡ ¨È° ° ­¤ µ¦Á · ° »¡´ rÄ ´ª°¥nµ ¸É 2.11 a1

e t

x t

³

w t

y t

³

a2

£µ¡ ¸É 2.15  £µ¡ ¨È° Ä ´ª°¥nµ ¸É 2.12 y t

t

t

³

x W dW 2 ³

f

W

t

³

x u dudW 3 ³

f f

W

³ y u dudW

(2.80)

f f

¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å o µ¤£µ¡ ¸É 2.14 ´ª°¥nµ ¸É 2.12 ®µ­¤ µ¦ LCCDE µ  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.15 ª· ¸ ε µ  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 2.15 ³Å oªµn dw t

e t

dt

x t a1w t a2 y t

(2.81)

¨³ w t

dy t

(2.82)

dt

 nµ­¤ µ¦ (2.82) ¨ Ä ­¤ µ¦ (2.81) ³Å o­¤ µ¦ LCCDE °  £µ¡ ¨È° ¸Ê º° dy 2 t

dt

2

a1

dy t

dt

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

a2 y t

x t

(2.83)

2.7 ­®­´¤¡´ r ­®­´¤¡´ r (correlation) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦®µ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ ­° ­´ µ ªnµ¤¸ ªµ¤­° ¨o° ´ ¤µ o°¥Á¡¸¥ Ä oµ­´ µ ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¤µ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o È ³¤¸ nµ¤µ ¨³Ä µ ¨´ ´ oµ­´ µ ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ o°¥ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o È ³¤¸ nµ o°¥ à ¥ ´ÉªÅ ­®­´¤¡´ r n °° Á } 2 ¦³Á£ º° ­®­´¤¡´ r oµ¤ (cross-correlation) ¨³°´ ­®­´¤¡´ r (auto-correlation) à ¥ ¸É ·¥µ¤ ° ­®­´¤¡´ r ´Ê ­° ¦³Á£ ¸Ê ³Â nµ ´ [4] Á¤ºÉ°Ä o µ µ oµ ­ · ·Â¨³ µ oµ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ ­´ µ ­Îµ®¦´ Ä ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ³¡· µ¦ µÁ ¡µ³ ¦ ¸ ¸ÉÄ o µ µ oµ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ Á nµ ´Ê

2.7.1 ­®­´¤¡´ r oµ¤ ε® Ä®o x t ¨³ y t Á } ­´ µ ¡¨´ µ ´ ´Ê ¢{ r ´ ­®­´¤¡´ r oµ¤ Rxy W Áª¨µ¨nµ (lag time) W ¦³®ªnµ ­´ µ x t ¨³ y t ·¥µ¤Ã ¥ f

Rxy W

³

f

x t W y t dt

f

³ x t y t W dt

(2.84)

f

Á¤ºÉ° y t º°­´ ¥» Á · o° (complex conjugate) ° y t µ ­¤ µ¦ (2.84) ¡ ªnµ¢{ r ´ ­®­´¤¡´ r oµ¤ ¤¸¦¼  ¨oµ¥ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¨nµª º° oµ¡· µ¦ µ µ ­¤ µ¦ (2.84) ³Á ¦¸¥ Á­¤º° ´ µ¦ j° ­´ µ °· ¡» x t Á oµÅ Ä ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t y t ¨³Ä®o­´ µ Á°µ r¡» z t °° ¤µ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ Rxy t ´É º° f

z t

x t h t

³

f

x W h t W dW

³ x W y t W dt

f

f f

³ x W y W t dt

Rxy t

(2.85)

x t y t

(2.86)

f

´ ´Ê ­¦» Å oªnµ Rxy t

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 2.16

2.7.2 °´ ­®­´¤¡´ r Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ° x t Á ¸¥  oª¥

Rxx t

·¥µ¤Ã ¥

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-29

x t

h t

y t

Rxy t

£µ¡ ¸É 2.16 ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­®­´¤¡´ r oµ¤ ´ ° ꨼ ´ f

Rxx W

f

³ x t W x t dt ³ x t x t W dt

f

(2.87)

f

¹É È º° nµ­®­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ x t ¨³ x t ´É Á° Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­µ¤µ¦ ¸É ³¡·­¼ rÅ oªnµ Rxx t

x t x t

(2.88)

» ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r¤¸ ´ ¸Ê 1) ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ³¤¸ ªµ¤­¤¤µ ¦ (symmetry) ¨nµª º° oµ­´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· (realvalued function) ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ³Á } ¢{ r ´ ¼n (even funtion) Á­¤° ´É º° Rxx W

Rxx W

(2.89)

¨³ oµ x t Á } ¢{ r ´ Á · o° (complex function) ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ³Á } ¢{ r ´ Á°¦r¤¸Á ¸¥ (hermitian function) ´É º° Rxx W

2) nµ ° ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ¸ÉÁª¨µ W

0

Rxx W

³¤¸ nµÁ nµ ´ ¡¨´ µ ° ­´ µ ´Ê ¨nµª º° f

Rxx 0

Ex

(2.90)

³ x t

2

dt

(2.91)

f

Á ºÉ° µ x t

2

x t x t

3) nµ ° ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r

Rxx W

¤¸ nµ¤µ ­» Á¤ºÉ° W

0

Á nµ ´Ê ´É º°

Rxx 0 t Rxx W

(2.92)

­Îµ®¦´ » nµ W ¹É ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ oà ¥°µ«´¥ “°­¤ µ¦ ªµ¦r (Schwarz's inequality)” ´ ¸Ê Rxx W

f

2

³ x t W x t

2

dt

f f

d

³ x t W

f

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

2

f

2

dt ³ x t dt f

Rxx 0

2

(2.93)

à ¥ ¸ÉÁ ¦º°É ®¤µ¥ “ d ” ³Á } Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ “ ” È n°Á¤º°É x t W

D x t

Á¤ºÉ° D Á } nµ ´ªÄ Ç

4) °´ ­®­´¤¡´ r ° ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ ¸ÉŤn­´¤¡´ r ´ 1 (uncorrelated function) ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r °  n¨³¢{ r ´ 5) oµ ε® Ä®o n t Á } ­´ µ ¦ ª ­¸ µª (white noise) ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ° n t ³¤¸ nµÁ nµ ´ ­ K G W , W 0 Rnn W ® else ¯0,

(2.94)

Á¤ºÉ° K Á } nµ ´ª 6) ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r R W ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ªµ¤® µÂ n ­Á ¦´¤ ε¨´ (power spectral density) G f nµ µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform) [3] µ¤ §¬ ¸ ° ª· Á °¦r · · (Wiener– Khinchin theorem) ´ ¸Ê f

G f

³ R W e

j 2S f W

dW

(2.95)

df

(2.96)

f f

R W

³ G f e

j 2S f W

f

¨nµª º° G f º° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° R W ¨³Ä µ ¨´ ´ R W º° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ (inverse Fourier transform) ° G f

2.7.2.1 °´ ­®­´¤¡´ r ° ­´ µ ε¨´ ­Îµ®¦´ ­´ µ ε¨´ (power signal) x t ³ ·¥µ¤¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ (time-averaged auto-correlation function) [1] Á ¸¥  oª¥ Rxx W ´ ¸Ê T

Rxx W

´ ´Ê Á¤ºÉ° W

0

(2.97)

­¤ µ¦ (2.97) ³Ä®o ¨¨´¡ rÁ } ε¨´ ° ­´ µ x t ´É º° Rxx 0

1

1 x t W x t dt T of T ³ 0 lim

1 T of T lim

T

³ x t

2

dt

Px

(2.98)

0

¢{ r ´ x t ¨³ y t Á } ¢{ r ´ ¸ÉŤn­´¤¡´ r ´ È n°Á¤ºÉ°­®­´¤¡´ r oµ¤ ° x t ¨³ y t ´É º° ­Îµ®¦´ » nµ W

Rxy W

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-31

0

° µ ¸Ê oµ x t Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T0 ¨oª ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ ° x t ®µÅ o µ 1 T0

Rxx W

T0

³ x t W x t dt

(2.99)

0

2.8 ­¦» oµ¥ Ä ¸ÊÅ o ¨nµª ¹ ªµ¤­Îµ ´ ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time LTI system) à ¥Á ¡µ³°¥nµ ¥·É µ¦®µ ¦·¡´ r ° ꨼ ´ (convolution integral) ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ Á ºÉ° µ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ¨nµª º° oµ ¦µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ È ÎµÄ®o­µ¤µ¦ ε ª ®µ ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ­Îµ®¦´ ­´ µ °· ¡» Ä Ç Å o ´ ¸ ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ È º° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ° µ ¸Ê¥´ Å o° · µ¥ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¦ª¤ ´Ê ­ Ä®oÁ®È ªnµ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r (differential equation) ¨³Â £µ¡ ¨È° Å o ¹É nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ­» oµ¥Å o° · µ¥ ¹ ¢{ r ´ ­®­´¤¡´ r oµ¤ ¨³¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r Á¡ºÉ°Ä o¡· µ¦ µªnµ­´ µ ­° ­´ µ ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¤µ o°¥Á¡¸¥ Ä ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r

2.9  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ° y t

1.1)

­t , 0 t T x t ® ¯0, else

¨³

h t

1.2)

x t u t 2

¨³

h t

2e 2t u t

1.3)

x t e t u t 1

2) ε® Ä®o y t

x t h t

2.1) x t t1 h t t2

2.2)

yc t

¨³

xc t h t

x t h t

Á¤ºÉ°

­1, 0 t 2T ® ¯0, else

h t e 2t u 1 t

­ ªnµ

y t t1 t2

x t hc t

Á¤ºÉ°

f c t

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

º°¢{ r ´ ° »¡´ r ° f t

3) ε® Ä®o x t º°­´ µ °· ¡» ¨³ y t º°­´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ 3.1) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y t

¦³ ° ° °¨ ®¦º°Å¤n

x t 5 x 3 t

3.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y t

Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ®¦º°Å¤n

x t / 5

Á } ¦³ Á · Á­o ¦³ Ťn ´ ¨³

Á } ¦³ Á · Á­o ¦³ ° ° °¨Â¨³¦³

3.3) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y t cos 4S t x t Á } ¦³ Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ¦³ Ťn ´ ¨³¦³ Á­ ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã° ®¦º°Å¤n 4) ¡· µ¦ µ¦³ ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x t ¨³­´ µ Á°µ r¡» y t ´ ¸Ê dy t

dt

4 y t 3

x t

Á } ¦³ Á · Á­o ®¦º°Å¤n 5) ªµ  £µ¡ ¨È° ¡¦o°¤ ´Ê ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ n°Å ¸Ê 5.1)

dy t

5.3)

d 2 y t

dt dt

2

2 y t

4

x t

dy t

dt

2 y t 5

5.2) dx t

dt

d 2 y t

dt

2

3 y t

dx t

dt

4x t

3x t

6) ¡· µ¦ µ¦³ ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ´ £µ¡ n°Å ¸Ê x t

h1 t

y t

h2 t

h t

Á¤ºÉ° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ¥n°¥ ´Ê ­° º° h1 t

e 2t u t

6.1) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ¦ª¤ ´É º°®µ h t

¨³ h2 t

3e t u t

h1 t h2 t

6.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¦ª¤ ¸ÉÅ oÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã°®¦º°Å¤n 7) ®µ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ° ­´ µ x t e mt u t ¡¦o°¤ ´Ê ªµ ¦¼ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o Á¤ºÉ° m ! 0 º° nµ ´ª ¨³ u t º°¢{ r ´ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ 8) ®µ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ ° ­´ µ x t

f º° ªµ¤ ¸É, ¨³ I º°¤»¤Á¢­ ¹É ¤¸ nµ ¸É

B sin 2S ft I

Á¤ºÉ°

B

º° nµ ´ª,

บทที่ 2 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลา 2-33

9) Á ¸¥ ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r¨³®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ n°Å ¸Ê y t

x t

³ ³ 2

5

10) ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµÂ RLC µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ° ε® Ä®o¦ ´ Å¢¢jµ v t Á } ­´ µ °· ¡» ¨³ ¦³Â­Å¢¢jµ i t Á } ­´ µ Á°µ r¡» ®µ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ v t

¨³ i t

L

R

v t

i t

C

11) ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµÂ RL µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ° ε® Ä®o¦ ´ Å¢¢jµ v t Á } ­´ µ °· ¡» ¨³ ¦ ´ Å¢¢jµ ¸É ¦n°¤ ´ª ªµ¤ oµ µ y t Á } ­´ µ Á°µ r¡» L

v t

R

y t

11.1) ®µ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ v t ¨³ y t

11.2) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ¸Ê 11.3) ®µ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ¦³ ¸Ê

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 2-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

¸É 3 ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ¸É 2 Å o° · µ¥ ¹ ªµ¤­Îµ ´ ¨³ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time LTI system) ­Îµ®¦´ Ä ¸Ê ³ ¨nµª ¹ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discretetime LTI system) ¹É ®¤µ¥ ¹ ¦³ LTI ¸É¤¸­´ µ °· ¡» ­´ µ Á°µ r¡» ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r Á } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° µ ¸Ê » ­¤ ´ · nµ Ç ¸É­Îµ ´ ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¥´ ­µ¤µ¦ 夵 ¦³¥» rÄ o ´ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o à ¥Á ¡µ³°¥nµ ¥·É ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¥´ ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ´ ´Ê Ä ¸Ê ³° · µ¥ ªµ¤­Îµ ´ ¨³ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á n » ­¤ ´ · ° ¦³ LTI, ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r, ° ꨼ ´ , ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³ ­´ µ Á°µ r ¡» Ä ¦¼ ° ­¤ µ¦Á · ¨ n µ ¨³­®­´ ¤ ¡´ r Á } o ­Î µ ®¦´ ¼o ­ Ä ­µ¤µ¦ «¹ ¬µ ¦µ¥¨³Á°¸¥ Á¡·É¤Á ·¤ ° Á ºÊ°®µÄ ¸ÊÅ o µ [1, 3 – 5]

3.1 µ¦Â­ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ nª Êε® ´ (weighted sum) ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (®¦º°­´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ) ¹É ·¥µ¤Ã ¥ ­1, n 0 ¯0, n z 0

G > n@ ®

(3.1)

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-1

( ) x > n @

( ) x > 2@G > n 2@ -1

2 0

-2

n

1

-2

-1 0

1

n

2

-2

-1

0

1

2

0

1

2

n

-1

n

( ) x > 2@G > n 2@

( ) x >1@G > n 1@ -2

0

( ) x > 0@G > n@

( ) x > 1@G > n 1@ -2

-1

1

2

n

2

-2

-1

0

1

n

£µ¡ ¸É 3.1 µ¦Â¥ ­nª ¦³ ° ° ­´ µ x > n @ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ nª Êε® ´ ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥

Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ª°¥nµ Á n ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ Ä £µ¡ ¸É 3.1 ( ) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° x > n @ ! x > 2@ G > n 2@ x > 1@ G > n 1@ x > 0@ G > n @ x >1@G > n 1@ x > 2@ G > n 2@ !

(3.2)

Á¤ºÉ°Â n¨³¡ rÄ ­¤ µ¦ (3.2) º° ­ x > 2@ , n 2 x > 2@ G > n 2@ ® n z 2 ¯ 0, ­ x > 1@ , n 1 x > 1@ G > n 1@ ® n z 1 ¯ 0, ­ x > 0@ , n 0 x > 0@ G > n @ ® nz0 ¯ 0, ­ x >1@ , n 1 x >1@ G > n 1@ ® n z1 ¯ 0, ­ x > 2@ , n 2 x > 2@ G > n 2@ ® nz2 ¯ 0,

´ ´Ê ­¤ µ¦ (3.2) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x > n@

f

¦ x > k @G > n k @

k f

3-2

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

(3.3)

x > 2@

x > 0@

x >i 1@

x >i @

x >1@

£µ¡ ¸É 3.2 ε® n °  ¤Á d¨Ä ¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^ x >0@ , x >1@ , x > 2@ ,! , x >i @`

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­´ µ x > n@ º° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ G > n k @ ¨³ ¼ nª Êε® ´ oª¥ nµ x > k @ ®¤µ¥Á® » Ä ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ³Á¦¸¥ o°¤¼¨ x > k @ Ä ­¤ µ¦ (3.3)  n¨³ ´ªªnµ “ ¤Á d¨ (sample)” ¨³  ¤Á d¨®¨µ¥Ç  ¤Á d¨ ¸ÉÁ¦¸¥ n° ´ Á } » Á n ^ x >0@ , x >1@ , x > 2@ ,! , x >i @` ³Á¦¸¥ ªnµ “¨Îµ ´ o°¤¼¨ (data sequence)” ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 3.2 à ¥ o°¤¼¨ x >0@ °¥¼n ¸ÉÁª¨µ k 0 , o°¤¼¨ x >1@ °¥¼n ¸ÉÁª¨µ k 1 , ¨³ o°¤¼¨ x >i @ °¥¼n ¸ÉÁª¨µ k i ´ª°¥nµ ¸É 3.1 ε® Ä®o x > n@ u > n@ º°­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­ ­´ µ x > n@ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ nª Êε® ´ ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ µ¤­¤ µ¦ (3.3) ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¸ÅÉ ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ ­1, n t 0 u > n@ ® ¯0, n 0

(3.4)

´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (3.3) ³Å oªnµ u > n@

f

¦G >n k @

(3.5)

k 0

3.2 ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ ε® Ä®o h > n@ º° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ (unit impulse response) ®¦º°Á¦¸¥ ªnµ “ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r” ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (®¦º°Á ¸¥ Á } ­´ ¨´ ¬ r º° T) ¹É È º°­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° G > n @ ´É º° h > n @ T ^G > n @`

(3.6)

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-3

¨³Ä ¦ ¸ ­¸É ´ µ °· ¡» º° x > n@ ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ y > n@ º° y > n @ T ^ x > n @`

(3.7)

 nµ x > n@ µ ­¤ µ¦ (3.3) ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.7) ³Å o ­ f ½ y > n @ T ® ¦ x > k @ G > n k @¾ ¯ k f ¿

f

¦ x > k @ T ^G > n k @`

(3.8)

k f

Á ºÉ° µ ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ LTI ³Å oªnµ h > n k @ T ^G > n k @`

(3.9)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI n°­´ µ °· ¡» x > n@ º° y > n@

f

¦ x >k @ h >n k @

(3.10)

k f

¹É ®µÅ o µ µ¦®µ nµ ¨¦ª¤ ´Ê ®¤ ° ´ªÂ ¦ k à ¥°µ ¡· µ¦ µªnµ h > n k @ º° h > k @ ¸É ε µ¦¡´ ­´ µ ¨oª ¼ ® nª Áª¨µÁ } ε ª n Ä µ · ´ ·­¤ µ¦ (3.10) ³Á¦¸¥ ´ ªnµ “ ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ (convolution sum)” ¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­´ ¨´ ¬ r µ · «µ­ ¦rÅ o º° y > n@

x > n@ h > n@

f

¦ x >k @ h >n k @

(3.11)

k f

Á¤ºÉ° “ ” º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) ­¤ µ¦ (3.11) ­ Ä®oÁ®È ªnµ¦³ LTI Á } ¦³ ¸É nµ¥ n° µ¦ª·Á ¦µ³®r o°¤¼¨ Á ºÉ° µ ¦³ LTI ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ° µ ¸Ê­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ È º° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ´ ´Ê Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ¤´ ³ ´Ê ­¤¤» · µ ªnµ¦³ ´Ê Á } ¦³ LTI Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦ ε µ ®¤µ¥Á® » ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ µ¤­¤ µ¦ (3.11) ­µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o µ µ¦Ä o ε­´É Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB º° y >n@

x > n @ h > n @ = convol(Xn, Hn)

Á¤ºÉ° Xn º°Áª Á °¦r o°¤¼¨ ° x > n@ ¨³ Hn º°Áª Á °¦r o°¤¼¨ ° h > n@ ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê 3-4

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

´ª°¥nµ ¸É 3.2 ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n @ G > n @ 2G > n 1@ G > n 2@

SCILAB: -->Xn = [1 2 1];

¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ º°

-->Hn = [1 -1]; -->Yn = convol(Xn, Hn) Yn = 1. 1. - 1. - 1.

h > n @ G > n @ G > n 1@

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 3.3 ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (3.11) ´É º° y > n@

f

2

k f

k 0

¦ x >k @ h >n k @ ¦ x >k @ h >n k @

à ¥ ¸É nª µ¦®µ ¨¦ª¤­µ¤µ¦ ¨ ¨ Å oÁ } µ k nª Áª¨µ ¸É n = 0, 1, ¨³ 2 Á nµ ´Ê nª Áª¨µ ¸É n 0 ³Å oªnµ y > n @ nª Áª¨µ ¸É n y > 0@

0

0

0

Á ºÉ° µ h > n k @

¹ k

0

2

Å oÁ¡¦µ³ªnµ­´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ ¡µ³

­Îµ®¦´ k = 0, 1, ¨³ 2

³Å oªnµ

2

¦ x > k @ h >0 k @

x > 0@ h > 0@ x >1@ h > 1@ x > 2@ h > 2@

1 1 2 0 1 0

1

1 1 2 1 1 0

1

k 0

nª Áª¨µ ¸É n y >1@

1

³Å oªnµ

2

¦ x > k @ h >1 k @

x > 0@ h >1@ x >1@ h > 0@ x > 2@ h > 1@

k 0

nª Áª¨µ ¸É n y > 2@

2

³Å oªnµ

2

¦ x >k @ h >2 k @

x > 0@ h > 2@ x >1@ h >1@ x > 2@ h > 0@

1 0 2 1 1 1

1

x > 0@ h >3@ x >1@ h > 2@ x > 2@ h >1@

1 0 2 0 1 1

1

k 0

nª Áª¨µ ¸É n y >3@

3

³Å oªnµ

2

¦ x > k @ h >3 k @ k 0

nª Áª¨µ ¸É n ! 3 ³Å oªnµ y > n@

0

Á ºÉ° µ h > n k @

0

­Îµ®¦´ k = 0, 1, ¨³ 2

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-5

2

x[k]

1 0

1 1

k

2

1

=

h[k]

*

1

y[k] 1

2

k

0

1

0

-1 1

h[n – k], n < 0

n–1

y > n@ 0

k

n

3

k

1 -1

-1

Á¤ºÉ° n < 0

-1 1

h[0 – k], n = 0

-1

y > 0@

0 1 1 1

k

y >1@

1 1 2 1

k

y > 2@

2 1 1 1

1

k

y >3@

1 1 0 1

1

k

1

-1 1

h[1 – k], n = 1

1

-1 1

h[2 – k], n = 2 -1

1

h[3 – k], n = 3 3 -1

h[n – k], n > 3

1

n–1 n

k

y > n@ 0

Á¤ºÉ° n > 3

-1

£µ¡ ¸É 3.3 ´Ê ° µ¦ ε ° ꨼ ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ ´ª°¥nµ ¸É 3.2

´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ º° y > n @ G > n @ G > n 1@ G > n 2@ G > n 3@

£µ¡ ¸É 3.3 ­ ¦µ¥¨³Á°¸¥ ´Ê ° µ¦ ε ° ꨼ ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤ ¸ÉÅ o° · µ¥Åªo oµ o ­´ Á ³¡ ªnµÁ¤ºÉ° n 0 ¨³ n ! 3 ­´ µ x > k @ ¨³ h > n k @ ³Å¤n¤¸ o°¤¼¨­nª Ä ¸É¤µ o° Á®¨ºÉ°¤ ´ (overlap) ¹ εĮo ¨¨´¡ r µ µ¦ ε ° ꨼ ´ nª Áª¨µ ´Ê ¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r o°­´ Á ° µ¦ ε ° ꨼ ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° ε ª o°¤¼¨ ° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ³¤¸ nµÁ nµ ´ ε ª o°¤¼¨ ° ­´ µ ´Ê ­° ¦ª¤ ´ ¨oª¨ oª¥ nµ® ¹É Á­¤° ¨nµª º° µ 3-6

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

´ª°¥nµ ¸É 3.2 ­´ µ x > k @ ¤¸ o°¤¼¨ ε ª 3 ´ª ¨³­´ µ h > k @ ¤¸ o°¤¼¨ ε ª 2 ´ª ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y > k @ ¹ ¤¸ ε ª o°¤¼¨Á nµ ´ 3 + 2 – 1 = 4 ´ª ´ª°¥nµ ¸É 3.2 Å o­ ´Ê ° µ¦ ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ­Îµ®¦´  n¨³ nµ n Á ºÉ° µ o°¤¼¨ ° x > n@ ¨³ h > n@ ¤¸ ε ª o°¥ ¹ εĮo­µ¤µ¦ ε ª Å oà ¥ nµ¥ ( ´É º°­µ¤µ¦ Ä o ε­´É convol ° à ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦ ε ª Å o ´ ¸) ­Îµ®¦´ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ³Â­ ª· ¸ µ¦ ε ª ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ °¸ ¦¼  ® ¹É ¸É°µ«´¥ µ¦ ε ª µ · «µ­ ¦r ´ª°¥nµ ¸É 3.3 ε® Ä®o­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ LTI º° x > n @ a nu > n @ ¨³ h > n @ u > n @ Á¤ºÉ° a 1 ¨³ u > n @ º°­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ε ª ®µ ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ¸Ê ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (3.11) ´É º° y > n@

f

f

k f

k f

¦ x > k @ h > n k @ ¦ a u > k @ u > n k @ k

(3.12)

Á ºÉ° µ u > k @ 1 ­Îµ®¦´ k t 0 ¨³ u > n k @ 1 ­Îµ®¦´ n k t 0 ®¦º° k d n ´ ´Ê nª µ¦®µ ¨¦ª¤ ° ­¤ µ¦ (3.12) ³¨ ¨ Á } µ k 0 ¹ k n ´ ¸Ê y >n@

n

¦a k 0

k

1 a n 1 1 a

­Îµ®¦´ n t 0

®¦º°­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } § 1 a n 1 · y > n@ ¨ ¸ u >n@ © 1 a ¹ SCILAB:

(3.13)

( ´ª°¥nµ ¸É 3.3)

-->function [y] = Xn(a, n) --> y = zeros(1,length(n)); --> index = find(n>=0); --> y(index) = a^n(index); -->endfunction

//¢{ r ´ ¥n°¥­Îµ®¦´ ­´ µ x > n @

-->function [y] = Hn(n) --> y = zeros(1,length(n)); --> index = find(n>=0); --> y(index) = 1; -->endfunction

//¢{ r ´ ¥n°¥­Îµ®¦´ ­´ µ h > n @

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-7

-->a = 0.4;

Range_N = 0:10;

-->for i = 1:length(Range_N) --> n = Range_N(i); --> Yn(i) = sum(Xn(a, Range_N).*Hn(n - Range_N)); -->end

// ¨¦ª¤ ° ꨼ ´

-->plot2d3(Range_N, Yn)

// ε­´É ªµ ¦µ¢­´ µ Yn ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ y > n @ µ¤­¤ µ¦ (3.13)

-->Yn2 = (1-a^(Range_N+1))./(1-a)

// nµ ° ­´ µ y > n @ µ¤­¤ µ¦ (3.13)

´ª°¥nµ ¸É 3.4 ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ º° ­1, 0 d n d 3 x > n@ ® else ¯0,

¨³

­a n , 0 d n d 4 h > n@ ® else ¯ 0,

­Îµ®¦´ a ! 1 ª· ¸ ε µ¦ ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ¸ÊÄ®o¡· µ¦ µ°° Á } 5 nª µ¤£µ¡ ¸É 3.4 ¹É ¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª Ä Â n¨³ nª Áª¨µ ´ n°Å ¸Ê nª Áª¨µ ¸É n 0 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸­nª Ä ° ­´ µ x > k @ ¨³ h > n k @ ¤µ ´ o° ´ ´ ´ Ê y > n@

f

¦

x >k @ h >n k @

k f

Á ºÉ° µ h > n k @

0

2

¦ x >k @ h >n k @

0

k 0

­Îµ®¦´ k = 0, 1, ¨³ 2

nª Áª¨µ ¸É 0 d n d 2 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h > n k @ Á¦·É¤ ´ o° ´ ­´ µ x > k @ ¹ nª Áª¨µ ¸É ­´ µ h > n k @ ´ o° x > k @ ´Ê ®¤ Á¡¦µ³ ³ ´Ê y > n@

à ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ n k

r

n

n

k 0

k 0

¦ x >k @ h >n k @ ¦ a

n k

³Å o y > n@

n

¦ ar r 0

1 a n 1 1 a

nª Áª¨µ ¸É 2 d n d 4 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h > n k @ ´ o° ´ ­´ µ x > k @ ´Ê ®¤ ´Ê  n ¦´Ê ¦ ¹ ¦´Ê ­» oµ¥ ´ ´ Ê 3-8

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

a4

a3

a2 a

1

0dnd2

2dnd4

4dnd6

n!6

£µ¡ ¸É 3.4 µ¦ ε® nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.4 y >n@

2

¦ x >k @ h >n k @ k 0

2

¦a

2

n k

a

n

k 0

¦ a

1

k

k 0

a

n

2 1

1 a

1 a 1

1

a n a n 3 1 a 1

a n 2 a n 1 1 a

nª Áª¨µ ¸É 4 d n d 6 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h > n k @ Á¦·É¤Á ¨ºÉ° ¸É°° µ µ¦ ´ o° ´ ­´ µ x > k @ ´Ê ®¤ ¹ nª Áª¨µ ¸É­´ µ h > n k @ ´ o° ´ x > k @ ´ª­» oµ¥ ´ ´Ê y > n@

2

2

¦ x >k @ h >n k @ ¦ a

k n 4

ε® Ä®o r y >n@

k n 4 6 n

¦a r 0

4 r

n k

k n 4

³Å oªnµ a

4

6 n

¦ a

r 0

1

r

a

4

6 n 1

1 a

1 a 1

1

a4

1 a n 7 1 a 1

a 4 a n 3 1 a 1

a n 2 a5 1 a

nª Áª¨µ ¸É n ! 6 Á } nª Áª¨µ ¸ÉŤn¤¸­nª Ä ° ­´ µ x > k @ ¨³ h > n k @ ¤µ ´ o° ´ ´ ´Ê บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-9

y > n@

2

ÂŚ x >k @ h >n k @

0

k 0

Ă ÂœÂşĂ‰°ÂŠÂ‹ÂľÂ„ h > n k @

0

­ĂŽ¾ŽŒ´Â? k = 0, 1, Ă‚¨³ 2

—´ÂŠÂœ´ĂŠÂœ­´Â?Â?ÂľÂ–à °¾Â˜rÂĄÂťÂ˜Â…°ÂŠÂŚÂłÂ?Â? LTI ¤¸Â‡n¾à šn¾„´Â?

y > n@

SCILAB:

­0, ° n 1 °1 a , ° 1 a °° n 2 a a n 1 , Ž ° 1 a ° a n 2 a5 , ° ° 1 a °¯0,

n 0 0dnd2 2dnd4 4dnd6 n!6

(˜´ª°¼n¾Šš¸Ă‰ 3.4)

-->function [y] = Xn(n)

//¢{Š„rÂ?´ÂœÂĽn°¼­ĂŽ¾ŽŒ´Â?­´Â?Â?¾– x > n @

--> y = zeros(1,length(n)); --> index = find((n>=0)&(n<=3)); --> y(index) = 1; -->endfunction -->function [y] = Hn(a, n)

//¢{Š„rÂ?´ÂœÂĽn°¼­ĂŽ¾ŽŒ´Â?­´Â?Â?¾– h > n @

--> y = zeros(1,length(n)); --> index = find((n>=0)&(n<=4)); --> y(index) = a^n(index); -->endfunction -->a = 3;

Range_N = -2:10;

-->for i = 1:length(Range_N) --> n = Range_N(i); --> Yn(i) = sum(Xn(Range_N).*Hn(a, n-Range_N)); -->end -->plot2d3(Range_N, Yn)

//Â&#x;¨Œª¤Â‡°ÂœĂƒª¨ŸÂ?´Âœ

//‡Î¾­´Ă‰ÂŠÂŞÂľÂ—„Œ¾¢­´Â?Â?¾– Yn ÂŽšĂ‰ÂŠ¤¸Â‡n¾à šn¾„´Â? y > n @

˜´ª°¼n¾Šš¸Ă‰ 3.5 Â‹ÂŠÂ‡ĂŽÂľÂœÂŞÂ–Ž¾­´Â?Â?ÂľÂ–à °¾Â˜rÂĄÂťÂ˜ y > n@ Â…°ÂŠÂŚÂłÂ?Â? LTI à ¤ºĂ‰°­´Â?Â?¾–°¡ÂœÂĄÂťÂ˜ x > n@ Ă‚¨³Â&#x;¨Â˜°Â?­Âœ°ÂŠ °¡¤¥´¨­r h > n@ Â…°ÂŠÂŚÂłÂ?Â? ‡º° x > n@ a nu > n@ Ă‚¨³ h > n@ u > n@ ­ĂŽ¾ŽŒ´Â? a ! 1

ŕ¸?ŕ¸?าณ๠ละระบบ ภูบภารประยุภŕ¸•ďœŽŕšƒŕ¸Šďœ‹ŕš‚ŕ¸›ร๠ภรม SCILAB 3-10 สูSignals and Systems with SCILAB Applications

a

0 1 a 1 a 2 a

3

£µ¡ ¸É 3.5 µ¦ ε® nª ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.5

ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (3.11) ¨³Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ­´ µ x > k @ ¨³ h > n k @ µ¤£µ¡ ¸É 3.5 ³¡ ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ­µ¤µ¦  n °° Å oÁ } 2 nª Áª¨µ º° Á¤ºÉ° n t 0 ¨³ n 0 ¹É ¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É n t 0 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h > n k @ ´ o° ´ ­´ µ x > k @ ´Ê ®¤ ­Îµ®¦´ » nµ n ´ ´Ê y > n@

f

k

k

k f f

Á¤ºÉ° ¦ D r r 0

1 1 D

f

0

¦ a u > k @ u > n k @ ¦ a ¦ a

k f

­Îµ®¦´ 0 D

1

1 1 a 1

r

r 0

a a 1

1

nª Áª¨µ ¸É n 0 Á } nª Áª¨µ ¸É­´ µ h > n k @ ´ o° ´ ­´ µ x > k @ µ ­nª ´ ´Ê f

y > n@

n

¦ a u > k @ u > n k @ ¦ a k

k f

oµ ε® Ä®o m

k

¨³ r y > n@

m n f

¦

m n

a m

k

k f

³Å oªnµ f

¦ a n r r 0

f

a n ¦ a 1 r 0

r

an

1 1 a 1

a n 1 a 1

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ º° y >n@

­ a °° a 1 , n t 0 ® n 1 °a , n 0 °¯ a 1

(3.14)

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-11

SCILAB:

( ´ª°¥nµ ¸É 3.5) //¢{ r ´ ¥n°¥­Îµ®¦´ ­´ µ x > n @

-->function [y] = Xn(a, n) --> y = zeros(1,length(n)); --> index = find(n<=0); --> y(index) = a^n(index); -->endfunction

//¢{ r ´ ¥n°¥­Îµ®¦´ ­´ µ h > n @

-->function [y] = Hn(n) --> y = zeros(1,length(n)); --> index = find(n>=0); --> y(index) = 1; -->endfunction -->a = 5;

Range_N = -10:10;

-->for i = 1:length(Range_N) --> n = Range_N(i); --> Yn(i) = sum(Xn(a, Range_N).*Hn(n-Range_N)); -->end

// ¨¦ª¤ ° ꨼ ´

// ε­´É ªµ ¦µ¢­´ µ Yn ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ y > n @ µ¤­¤ µ¦ (3.14)

-->plot2d3(Range_N, Yn)

µ ´ª°¥nµ ¸É­ oµ o ³Á®È Å oªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI Á ºÉ° µ oµ ¦µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ È ³ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ­Îµ®¦´ ­´ µ °· ¡» Ä Ç Å o ´ ¸Ã ¥Å¤n o° ε µ¦ ¨° ´ °» ¦ r±µ¦r ª¦r

3.3 ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r¨³ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸­´ µ °· ¡» x > n@ , ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ , ¨³­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ¹É ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (3.11) ´ ´Ê ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ h > n@ È º°­´ µ Á°µ r¡» y > n @ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» Á } ­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ x > n @ G > n @ ´É º° y > n@

f

f

k f

k f

¦ x >k @ h >n k @ ¦ G >k @ h >n k @

h > n@

(3.15)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ oµ ε® Ä®o s > n @ º° ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å (step response) ° ¦³ ¹É ¤¸ nµ Á nµ ´ ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ u > n@ ´É º° s > n @ T ^u > n @` h > n @ u > n @

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

f

n

k f

k f

¦ h >k @u >n k @ ¦ h >k @

(3.16)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ s > n @ º° ¨¦ª¤ ° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ´Ê  nÁª¨µ° ¸ ¹ Áª¨µ { » ´ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å s > n @ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r Ä µ ¨´ ´ oµ ε® s > n @ ¤µÄ®o È­µ¤µ¦ ®µ h > n @ Å o µ h > n @ s > n @ s > n 1@

(3.17)

à ¥ ¸É­¤ µ¦¨´ ¬ ³ ¸ Ê ³Á¦¸¥ ´ ´ªÉ Å ªnµ “­¤ µ¦Á · ¨ nµ (difference equation)”

3.4 » ­¤ ´ · ° ¦³ LTI ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ¨nµª º° oµ ¦µ ªnµ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI º°°³Å¦ È ÎµÄ®o­µ¤µ¦ ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ­Îµ®¦´ ­´ µ °· ¡» Ä Ç Å o µ ­¤ µ¦ (3.11) ´É º° y > n@

x > n@ h > n@

f

¦ x >k @ h >n k @

(3.18)

k f

¹É » ­¤ ´ · ¸ÊÁ } ¦· Á ¡µ³ ´ ¦³ LTI Á nµ ´Ê (ŤnÁ } ¦· ­Îµ®¦´ ¦³ ŤnÁ · Á­o ) ´ ´Ê Ä ­nª ¸Ê ³ ° · µ¥ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ° nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê

3.4.1 » ­¤ ´ · µ¦­¨´ ¸É ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ­¤ ´ · µ¦­¨´ ¸É (commutative property) º° x > n@ h > n@ h > n@ x > n@

(3.19)

¹É ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê x > n@ h > n@

f

f

f

k f

r f

r f

¦ x >k @ h >n k @ ¦ x >n r @ h >r @ ¦ h >r @ x >n r @

à ¥ µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ r

h > n@ x > n@

(3.20)

n k

3.4.2 » ­¤ ´ · µ¦Â  ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ­¤ ´ · µ¦Â  (distributive property) º° บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-13

x > n@

x > n @ h1 > n @

h1 > n @

h2 > n @

x1 > n @

x2 > n @

x > n@

y > n@

y > n@

h1 > n @ h2 > n @

x > n @ h2 > n @

x1 > n @ h > n @

h > n@

x1 > n @ x2 > n @

y > n@

h > n@

h > n@

y > n@

x2 > n @ h > n @

£µ¡ ¸É 3.6 ¨´ ¬ ³ µ¦Ä o µ ° » ­¤ ´ · µ¦Â  x > n @ ^h1 > n @ h2 > n @`

^ x > n@ h > n@` ^ x > n@ h > n@` 1

2

(3.21)

» ­¤ ´ · ¸Ê ³ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ´ ¦¼  ° ¦³ LTI ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  µ Ä®oÁ } ¦³ LTI ¦ª¤¦³ Á ¸¥ª µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 3.6 ( – ) ° µ ¸Ê » ­¤ ´ · µ¦Â  ¸Ê­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o Ä °¸ ¦¼  ® ¹É º°

^ x > n@ h > n@` ^ x > n@ h > n@` ^ x > n@ x > n@` h > n@ 1

2

(3.22)

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 3.6 ( – ) ´ª°¥nµ ¸É 3.6 ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ º° x > n@

n 0.5 u > n@ 2n u > n@ ¨³

ª· ¸ ε oµ ε® Ä®o x1 > n@ 0.5 n u > n@ ¨³ x2 > n @

2n u > n @

§ 1 0.5 n 1 · ¸ u > n@ x1 > n @ h > n @ ¨ ¨ 1 0.5 ¸ © ¹

´ ´Ê µ ´ª°¥nµ ¸É 3.5 Á¤ºÉ° n 0 ³Å o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

h > n@ u > n@

µ ´ª°¥nµ ¸É 3.3 ³Å oªnµ

2 0.5 u >n@ n

2n 1 2n 1 , n 0 2 1

x2 > n @ h > n @

¨³Á¤ºÉ° n ! 0 ³Å o x2 > n @ h > n @

2 2 1

2, n ! 0

µ » ­¤ ´ · µ¦Â  ³Å oªnµ y > n@

x > n@ h > n@

^ x > n@ x > n@` h > n@ 1

2

x1 > n @ h > n @ x2 > n @ h > n @

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ LTI º° y >n@

­°2n 1 , n 0 ® n °̄4 0.5 , n ! 0

3.4.3 » ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ » ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n (associative property) º° x1 > n @ h1 > n @ h2 > n @

x1 > n @ ^h1 > n @ h2 > n @`

^ x > n@ h > n@` h > n@ 1

1

2

(3.23)

» ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ´ ¦¼ ¦³ ¥n°¥ ¸É n° ´  ° » ¦¤Ä®oÁ } ¦³ ¦ª¤¦³ Á ¸¥ª Å o µ¤£µ¡ ¸É 3.7 ° µ ¸Ê£µ¡ ¸É 3.7 ¥´ ­ Ä®oÁ®È ªnµ¦³ ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤­µ¤µ¦ ¸É ³­¨´ ¸É ´ Å o ´ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ ¨ ° ­ ° ¦ª¤ ° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ³Å¤n ¹Ê °¥¼n ´ “¨Îµ ´ ” ° ¦³ ¥n°¥ ¸É 夵 n° ´  n ³ ¹Ê ´ ¨ ° ­ ° ¦ª¤ ° ¦³ ´ª°¥nµ Á n oµ¦³ LTI ¦³ ° oª¥ ¦³ ¥n°¥­µ¤¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ à ¥Â n¨³¦³ ¥n°¥¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h1 > n@ , h2 > n@ , ¨³ h3 > n @ µ¤¨Îµ ´ ³Å oªnµ h1 > n @ h2 > n @ h3 > n @ h2 > n @ h1 > n @ h3 > n @ h3 > n @ h1 > n @ h2 > n @ Á } o ´ª°¥nµ ¸É 3.7 ¡· µ¦ µ¦³ LTI Ä £µ¡ ¸É 3.8 Á¤ºÉ°¨Îµ ´ o°¤¼¨°· ¡» º° ^an ` ^a0 , a1 , a2 , a3 ` ^1, 0,1,1` ­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ´Ê ­° ¤¸ nµÁ nµ ´ ´É º° ^rn ` ^ yn ` ª· ¸ ε ¡· µ¦ µ¦³ A ­´ µ Á°µ r¡» rn ®µÅ o µ r > n@ a > n@ h > n@

2

¦ h >k @ a >n k @ k 0

¹É ³Å o ¨¨´¡ r º° ^rn ` ^r0 , r1 , r2 , r3 , r4 , r5 ` ^1, 0, 0,1, 1, 1` บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-15

x > n@

h1 > n @

x > n@

h2 > n @

z > n@

w > n@

h2 > n @

h1 > n @

y > n@

x > n@

y > n@

x > n@

h > n @ h1 > n @ h2 > n @

h > n @ h2 > n @ h1 > n @

y > n@

y > n@

£µ¡ ¸É 3.7 ¡·­¼ r » ­¤ ´ · µ¦Á ¨¸É¥ ®¤¼n hn

an

rn

gn

an

bn

fn

yn

£µ¡ ¸É 3.8 ¦³ LTI ­° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.7

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­Îµ®¦´ ¦³ B ­´ µ Á°µ r¡» bn ®µÅ o µ b > n@ a > n@ g > n@

1

¦ g >k @ a >n k @ k 0

¹É ³Å o ¨¨´¡ r º° ^bn ` ^b0 , b1 , b2 , b3 , b4 ` ^1, 1,1, 0, 1`

µ ´Ê ¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^bn ` È ³ ¼ ­n nµ Á oµÅ Ä ¦³ ^ f n ` εĮoÅ oÁ } ­´ µ Á°µ r¡» ^ yn ` ¹É ®µÅ o µ y > n@ b > n@ f > n@ 1

¦ f >k @b >n k @ k 0

¹É ³Å o ¨¨´¡ r º° ^ yn ` ^ y0 , y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ` ^1, 0, 0,1, 1, 1`

´ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ ^ yn ` ^rn ` ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

SCILAB: -->An = [1 0 1 1]; -->Hn = [1 0 -1]; -->Rn = clean(convol(An, Hn)) Rn = 1. 0. 0. 1. - 1.

- 1.

-->Gn = [1 -1]; -->Fn = [1 1]; -->Bn = convol(An, Gn) Bn = 1. - 1. 1. 0.

- 1.

-->Yn = clean(convol(Bn, Fn)) Yn = 1. 0. 0. 1. - 1. -->Hn = convol(Gn, Fn) Hn = 1. 0. - 1.

- 1.

Á ºÉ° µ ^hn ` Á } ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI ¹ εĮo­µ¤µ¦ Â¥ Á } 2 ¦³ ¥n°¥Å o º° h > n @ g > n @ f > n @ ° µ ¸Ê¥´ ¡·­¼ rÅ oªnµ ^ yn ` ^rn ` à ¥ µ¦Ä o » ­¤ ´ · ° ° ꨼ ´ ´É º° r > n @ a > n @ h > n @ a > n @ g > n @ f > n @

a > n @ g > n @ f > n @

y > n@

b> n @

¹É È ³Å o ¨¨´¡ rÁ®¤º° ´

3.4.4 » ­¤ ´ · µ¦¤¸Â¨³Å¤n¤®¸ nª¥ ªµ¤ ε ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε (memoryless)” È n°Á¤ºÉ° h > n @ 0 ­Îµ®¦´ n z 0 ®¦º°Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° h > n@

Á¤ºÉ° K

h > 0@

KG > n@

(3.24)

º° nµ ´ª ´ ´Ê ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ °· ¡» x > n@ ³¤¸ nµÁ nµ ´ y > n@

x > n@ h > n@

K x > n @

(3.25)

Ä ³ ¸É¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Á¦¸¥ ªnµÁ } “¦³ ¸É¤¸® nª¥ ªµ¤ ε” È n°Á¤ºÉ° h > n@ z 0 ­Îµ®¦´ n z 0 Ä ¦ ¸ ¸É ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ º° h > n@ G > n@ ³Á¦¸¥ ¦³ ´Ê ªnµ “¦³ Á° ¨´ ¬ r (identity system)” ¹É ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³¤¸ nµÁ nµ ´ y > n@

x > n@ G > n@

f

¦ x > k @G > n k @

x > n@

(3.26)

k f

3.4.5 » ­¤ ´ · µ¦®µ ´ª ´ Å o ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ µ¤£µ¡ ¸É 3.9 ¦³ B ¼ Á¦¸¥ ªnµ Á } “¦³ ´ (inverse system)” ° ¦³ A oµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ B ¤¸ nµ y > n @ x > n@ ¹É ³ Á } ¦· È n°Á¤ºÉ° h1 > n @ h2 > n @ G > n @

(3.27)

´ª°¥nµ ¸É 3.8 ε® Ä®o¦³ LTI ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» º° y > n @ x > n m @ à ¥ ¸É m ! 0 ³Á } ¦³ ¸É ε µ¦® nª Áª¨µ­´ µ °· ¡» ¨³ m 0 ³Á } ¦³ ¸É ε µ¦ ¨nª ® oµÁª¨µ­´ µ °· ¡» ¡· µ¦ µªnµ¦³ LTI ¸Ê¤¸¦³ ´ ®¦º°Å¤n บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-17

x > n@

h1 > n @

h2 > n @

¦³ A

¦³ B

y > n@

x > n@

x > n@

G > n@

x > n@

¦³ Á° ¨´ ¬ r

£µ¡ ¸É 3.9 ¦³ B Á } ¦³ ´ ° ¦³ A oµ­´ µ y > n @

x > n@

ª· ¸ ε ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI º°­´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÅ o µ µ¦ j° ­´ µ °· ¡» ¸ÉÁ } ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ G > n @ Á oµÅ Ä ¦³ ´ ´Ê h > n@ G > n m@ ´É º° x > n m@

x > n@ G > n m@

Ä µ¦ εĮo­´ µ x > n m@ Á ¨¸É¥ ¨´ Å Á } ­´ µ x > n@ È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ x > n m@ Á } ¦·¤µ m ® nª¥ ³ ´Ê ¦³ ´ ° ¦³ ¸Ê ³¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° hI > n @ G ª¬ n m º¼ G > n m @

¹É ³ εĮoÅ oªnµ h > n @ hI > n @ G > n m @ G > n m @ G > n @

´ª°¥nµ ¸É 3.9 ε® Ä®o¦³ LTI ¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h > n@ ´ ®¦º°Å¤n

u > n@

¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸Ê¤¸¦³

ª· ¸ ε µ ¦³ LTI ¸É ε® Ä®o ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ y > n@

x > n@ h > n@

f

¦ x >k @u >n k @

k f

Á ºÉ° µ u > n k @

0

­Îµ®¦´ n k 0 ¨³ u > n k @ y >n@

1

­Îµ®¦´ n k ! 0 ´ ´Ê ³Å oªnµ

f

n

k f

k f

¦ x >k @u >n k @ ¦ x >k @

¹É Á } µ¦®µ ¨¦ª¤ ° ­´ µ °· ¡» ´Ê ®¤ ´Ê  nÁª¨µ° ¸ ¹ Áª¨µ { » ´ ¦³ ¨´ ¬ ³ ¸Ê ³¤¸¦³ ´ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° hI > n @ G > n @ G > n 1@

´É º° h > n @ hI > n @ u > n @ ^G > n @ G > n 1@`

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

u > n @ u > n 1@

G > n@

3.4.6 » ­¤ ´ · ° °¨ ¦³ LTI ¸É¤¸ » ­¤ ´ · ° °¨ (causal) º°¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» ³ ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ ¨³Ä Áª¨µ { » ´ Á nµ ´Ê  n ³Å¤n ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° µ ­Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ » ­¤ ´ · ° °¨ ³®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É­´ µ Á°µ r¡» y > n@

f

¦ x >k @ h >n k @

(3.28)

k f

³Å¤n ¹Ê ´ ­´ µ °· ¡» x > k @ Á¤ºÉ° k ! n ¹É ³Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ° h > n k @ ªnµ¦³ ° °¨ º°¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ 0

Á¤ºÉ° n 0

0

Á¤ºÉ° k ! n ®¦º°­¦» Å o

(3.29)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ° °¨­µ¤µ¦ ®µÅ o µ y > n@

n

f

k f

k 0

¦ x >k @ h >n k @ ¦ h >k @ x >n k @

(3.30)

à ¥ ´ÉªÅ ¦³ ¸É­¦oµ ¹Ê ¤µ­Îµ®¦´ Ä o µ ¸É¤¸¨´ ¬ ³ µ¦ ° ­ °  Á¦¸¥¨Å ¤r (real time) ¨oª ¦³ ´Ê ³ o° ¤¸ » ­¤ ´ · ° °¨Á­¤° ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ¦³  Á¦¸¥¨Å ¤rŤn­µ¤µ¦ ¦´ nµ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ ° µ Å o ° µ ¸Ê¦³ ¸ÉŤn¤¸® nª¥ ªµ¤ ε È º°ªnµÁ } ¦³ ° °¨ oª¥ Ä µ · ´ · » ­¤ ´ · ° °¨ µ¤­¤ µ¦ (3.29) ³­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å “ µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest)” ¸É ¨nµªªnµ oµ­´ µ °· ¡» ° ¦³ ° °¨¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¹ Áª¨µ® ¹É ¨oª ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³ o° ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ¹ Áª¨µ ³ ´Ê oª¥Á n ´ à ¥ ´ÉªÅ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ³Ä oÅ o ´ ¦³ Á · Á­o Á nµ ´Ê ´ª°¥nµ Á n ¡· µ¦ µ¦³ y > n@ 3x > n@ 2 ¹ ¤oªnµ¦³ ¸Ê ³Á } ¦³ ° °¨ ¨³Å¤n¤¸® nª¥ ªµ¤ ε  n¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ŤnÁ · Á­o ¨³Å¤n­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o Á ºÉ° µ oµ x > n@ 0 ³Å oªnµ y > n@ 3 z 0 ­Îµ®¦´ » nµ n ­Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸É­´ µ Á°µ r¡» ¹Ê °¥¼n ´ ­´ µ °· ¡» Ä Áª¨µ° ¸ { » ´ ¨³° µ ³Á¦¸¥ ªnµ¦³ ° ° °¨ (noncausal)

3.4.7 » ­¤ ´ ·Á­ ¸¥¦ ¦³ Á­ ¸¥¦ (stable system) ®¤µ¥ ¹ ¦³ ¸É­´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á (bounded input) ³ εĮoÁ · ­´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á (bounded output) ¡· µ¦ µ­´ µ °· ¡»  ¤¸ ° Á ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-19

x > n@ B

(3.31)

­Îµ®¦´ » nµ n Á¤ºÉ° B f º° nµ ´ªÄ Ç ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®µÅ o µ y > n@

f

f

k f

k f

¦ h >k @ x >n k @ d ¦ h >k @ x >n k @

(3.32)

µ ­¤ µ¦ (3.31) ³Å o x > n k @ B Á n ´ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­¤ µ¦ (3.32) ¹ Á ¸¥ Å oÁ } f

y > n@ d B ¦ h > k @

(3.33)

k f

­Îµ®¦´ » nµ n ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡»  ¤¸ ° Á ³Á · ¹Ê Å o È °n Á¤ºÉ° f

¦ h >k @ f

(3.34)

k f

®¦º° ¨nµªÅ oªnµ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r­µ¤µ¦ ®µ ¨¦ª¤Å o°¥nµ ­´¤ ¼¦ r (absolutely summable) à ¥ ¸ÉÁ ºÉ° Å ¸Ê º°ªnµÁ } Á ºÉ° Å ¸ÉÁ¡¸¥ ¡° (sufficient condition) ¨³Á ºÉ° Å ¸É εÁ } (necessary condition) ¸ÉÄ o¡· µ¦ µªnµ ¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦®¦º°Å¤n

3.5 ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · º° ¦³ ¸É­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¤ “­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸­´¤ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Á­o (LCCDE: linear constantcoefficient difference equation)” ¹É ­µ¤µ¦ Ä o° · µ¥ ¦µ µ¦ r nµ Ç Å o Á n Á · µ Ä µ µ¦ ¨³ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ ´ ¸ ¨µ ®¨´ ¦´¡¥r Á } o

3.5.1 ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸­´¤ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Á­o ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸­´¤ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ªÂ Á · Á­o °´ ´ N

¦ ak y > n k @ k 0

N

(N-th order LCCDE) ³ ·¥µ¤Ã ¥

M

¦ b x >n k @ k

(3.35)

k 0

Á¤ºÉ° ak ¨³ bk º° nµ­´¤ ¦³­· ·Í ¸ÉÁ } Á¨ ε ª ¦· , N º°Á¨ ε ª Á Ȥ ¸É­ ¹ ε ª ® nª Áª¨µ (delay) ­¼ ­» ° y > n@ ¨³ M º°Á¨ ε ª Á Ȥ ¸É­ ¹ ε ª ® nª Áª¨µ­¼ ­» ° x > n@ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

µ¦Â o­¤ µ¦ (3.35) ³ o° °µ«´¥Á ºÉ° Å nª¥ (auxiliary condition) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° nµ y > n @ , y > n 1@ ,! , y > n N @ ­Îµ®¦´  n¨³ nµ n à ¥ ¸É ε ° ´ÉªÅ ° ­¤ µ¦ (3.35) ³°¥¼nÄ ¦¼ ° y >n@

y p > n @ yh > n @

(3.36)

Á¤ºÉ° y p > n@ º° ¨Á ¨¥Á ¡µ³ (particular solution) ¸É­° ¨o° ´ ­¤ µ¦ (3.35) ¨³ yh > n @ º° ¨Á ¨¥ Á° ¡´ »r (homogeneous solution) ¹É ®µÅ o µ µ¦Â o­¤ µ¦Á · ° »¡´ rÁ° ¡´ »r (homogeneous differential equation) ´ ¸Ê N

¦ a y >n k @ k

0

(3.37)

k 0

oµ

N

0

­¤ µ¦ (3.35) ³¤¸¨´ ¬ ³Á } “­¤ µ¦Å¤nÁª¸¥ Á · (nonrecursive equation)” ´É º° y >n@

1 a0

M

¦ b x >n k @

(3.38)

k

k 0

¨³¦³ LTI Ä ­¤ µ¦ (3.38) ¸Ê ³Á¦¸¥ ªnµ “¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ε ´ (FIR: finite impulse response)” Ä ³ ¸É oµ N t 1 ­¤ µ¦ (3.35) ³¤¸¨´ ¬ ³Á } “­¤ µ¦Áª¸¥ Á · (recursive equation)” ´É º° y > n@

N 1 ­M ½ ®¦ bk x > n k @ ¦ ak y > n k @¾ a0 ¯ k 0 k 1 ¿

(3.39)

¦³ LTI Ä ­¤ µ¦ (3.39) Á¦¸¥ ªnµ “¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­rŤn ε ´ (IIR: infinite impulse response)” ´ª°¥nµ ¸É 3.10 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ´ ¸Ê y > n @ ay > n 1@

x > n@

(3.40)

Á¤ºÉ° a º° nµ ´ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@

Á¤ºÉ°

K

Kb nu > n @

¨³ b º° nµ ´ª ¨³Á ºÉ° Å nª¥ º° y > 1@

(3.41)

E

ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (3.36) à ¥ ¸É ¨Á ¨¥Á ¡µ³ ­¤ µ¦ (3.40) ¨³ ¨Á ¨¥Á° ¡´ r yh > n@ ®µÅ o µ µ¦Â o­¤ µ¦ yh > n @ ayh > n 1@ 0

y p >n@

o° ­° ¨o° ´

(3.42)

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-21

à ¥ ´ÉªÅ

y p > n@

³¤¸¦¼ ­¤ µ¦ ¨oµ¥ ´ ­´ µ °· ¡» x > n@ ´É º° y p > n@

Á¤ºÉ°

A

º° nµ ´ª Â nµ

y p > n@

Ab n , n t 0

µ ­¤ µ¦ (3.43) ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.40) ³Å o Ab n aAb n 1

A

Kb n

Kb b a

A

 nµ

(3.43)

¨ Ä ­¤ µ¦ (3.43) ³Å o y p > n@

Kb n b b a

K n 1 b , nt0 b a

(3.44)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ε® Ä®o yh > n @ Bz n , n t 0

Á¤ºÉ° B ¨³ z º° nµ ´ª  nµ

yh > n @

µ ­¤ µ¦ (3.45) ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.42) ³Å o z a Bz n 1

Bz n aBz n 1

¹É ³Å o

z

a

yh > n @

µ ­¤ µ¦ (3.46) ¨³ y > n@

y p > n@

Ba n , n t 0

yh > n @ y p > n @ Ba n

y > 0@ ay > 1@

K n 1 b , nt0 b a

y > 0@ a E

y > 0@ 0

(3.46)

µ ­¤ µ¦ (3.44) ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.36) ³Å o

Ä µ¦®µ nµ B ³ o° °µ«´¥ nµ y >0@ ´ ´Ê  nµ n

¨³Â nµ n

0

¨³Â nµ z ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.45) ³Å o yh > n @

 nµ

(3.45)

¨ Ä ­¤ µ¦ (3.47) ³Å o

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

K aE

0

(3.47)

¨ Ä ­¤ µ¦ (3.40) ¨³ (3.41) ³Å o

x > 0@ K

(3.48)

y > 0@ B

K b b a

(3.49)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (3.48) ¨³ (3.49) ³Å oªnµ B

aE

a b a

 nµ B ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.47) ³Å o­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ º° y > n @ E a n 1 K

­Îµ®¦´ n 0 ³Å o x > n@

0

b n 1 a n 1 b a

,

nt0

­¤ µ¦ (3.40) ³ ¨µ¥Á } ­¤ µ¦ (3.42) ´ ´Ê y > n @ Ba n

µ Á ºÉ° Å nª¥ ¸ É Îµ® Ä®o y > 1@

E

(3.50)

(3.51)

³Å o y > 1@ E

B

Ba 1

Ea

 nµ B ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.51) ³Å o y > n @ E a n 1 , n 0

(3.52)

ε µ¦¦ª¤­¤ µ¦ (3.50) ¨³ (3.52) ³Å o­´ µ Á°µ r¡» y > n@ nµ n Ä Ç º° ­ b n 1 a n 1 ½ y > n @ E a n 1 ® K ¾ u > n@ b a ¿ ¯

´ª°¥nµ ¸É 3.11 µ ´ª°¥nµ ¸É 3.10 ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x > n@ y > 1@ E

(3.53)

KG > n@

¨³

ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (3.40) ³Å oªnµ y > n @ ay > n 1@ x > n @

­Îµ®¦´ n t 0  nµ n

0,1, 2,! , n

(3.54)

¨ Ä ­¤ µ¦ (3.54) ³Å o บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-23

y > 0@ ay > 1@ x > 0@ a E K y >1@ ay > 0@ x >1@ a a E K

y > 2@ ay >1@ x > 2@ a 2 a E K

#

y > n @ ay > n 1@ x > n @ a n aE K

a n 1E a n K

(3.55)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­Îµ®¦´ n 0 à ¥ µ¦ ´ ¦¼ ­¤ µ¦ (3.54) Ä®¤n ³Å o y > n 1@

´ ´Ê µ Á ºÉ° Å nª¥ y > 1@

E

 nµ n

1 ^ y > n@ x > n@` a

1, 2,! , n

y > 2 @

1 ^ y > 1@ x > 1@` a

1 E a

y > 3@

1 ^ y > 2@ x > 2@` a 2 E a

(3.56)

¨ Ä ­¤ µ¦ (3.56) ³Å o a 1E

#

y > n@

1 ^ y > n 1@ x > n 1@` a n 1E a

(3.57)

ε µ¦¦ª¤­¤ µ¦ (3.55) ¨³ (3.57) ³Å o­´ µ Á°µ r¡» º° y > n @ a n 1E Ka nu > n @

(3.58)

Ä Î µ ° Á ¸ ¥ ª ´ ´ ¦ ¸ ° ¦³ LTI ¸É n °Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¦³ LTI ¸É Å ¤n n °Á ºÉ ° µ Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (3.54) ³Å¤nÁ } ¦³ Á · Á­o oµ y > 1@ z 0 ° µ ¸Ê¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Á } ¦³ ° °¨Â¨³Å¤n  ¦Á ¨¸É ¥ µ¤Áª¨µ È n ° Á¤ºÉ ° ¦³ ¸Ê ­ ° ¨o ° ´ Á ºÉ ° Å µ¦¡´ Á¦·É ¤ o ´É º ° y > 1@ 0

3.5.2 ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ¼ ε® oª¥­¤ µ¦ (3.35) ­µ¤µ¦ ®µÅ o à ¥ nµ¥ Á ºÉ° µ ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x > n@ Á } ­´ µ à ¦Á Á °¦r ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

Á ¨ µ G > n@ È º° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ ´É Á° ´ ´Ê Ä µ¦®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ εŠoà ¥ µ¦Â nµ x > n@ G > n@ ¨³ y > n@ h > n@ ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.35) ³Å o N

¦ ak h > n k @ k 0

h > n@

M

¦ b G >n k @ k

k 0

N 1 ­M ½ ®¦ bk G > n k @ ¦ ak h > n k @¾ a0 ¯ k 0 k 1 ¿

(3.59)

¨³­Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸É ε® à ¥­¤ µ¦ (3.38) ³¤¸ h > n@

1 a0

M

¦ b G >n k @ k

k 0

­bn / a0 , 0 d n d M ® else ¯0,

(3.60)

´ª°¥nµ ¸É 3.12 µ ´ª°¥nµ ¸É 3.11 oµ ε® Ä®o¦³ LTI ¸Ê­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ´É º° y > 1@ E 0 ) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ h > n@ ) ®µ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ¦³ s > n @ ) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ µ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å s > n @ ¸ÉÅ oÄ o° ( ) ª· ¸ ε ) ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ h > n@ ®µÅ oà ¥ µ¦Â nµ

K 1 ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.58) ³Å o

h > n @ a nu > n@

) ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ¦³ s > n @ ®µÅ oà ¥ µ¦Â nµ ´É º° s > n@

(3.61) K 1 ¨³ b 1 ¨ Ä ­¤ µ¦ (3.53)

1 a n 1 u > n@ 1 a

(3.62)

) ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ®µÅ o µ ­1 a n 1 ½ ­1 a n ½ h > n @ s > n @ s > n 1@ ® ¾ u > n@ ® ¾ u > n 1@ ¯ 1 a ¿ ¯ 1 a ¿

Á¤ºÉ° n

0

³Å o บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-25

­1 a ½ h > 0@ ® ¾ u > 0@ 1 ¯1 a ¿

¨³Á¤ºÉ° n ! 0 ³Å o h > n@

´ ´Ê h > n @

a nu > n@

1 1 a n 1 1 a n 1 a

^

`

a n 1 a

1 a

an

Á®¤º° ´ ­¤ µ¦ (3.61)

3.6  £µ¡ ¨È°  £µ¡ ¨È° (block diagram) Á }  £µ¡ ¸É­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI Ä µ · ´ ·Â £µ¡ ¨È° ¼ ­¦oµ ¹Ê µ µ¦ ε ·Ê ­nª ¡ºÊ µ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 3.10  n¨³ ·Ê ¤µ ¦³ ° ´ Á¤ºÉ°Á oµÄ ªµ¤®¤µ¥ ° ·Ê ­nª  n¨³ ·Ê Ä £µ¡ ¸É 3.10 ¨oª È­µ¤µ¦ ­¦oµ  £µ¡ ¨È° Å oà ¥ nµ¥ ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É ¼ ε® à ¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸­´¤ ¦³­· ·ÍÁ } nµ ´ª  Á · Á­o °´ ´ ® ¹É n°Å ¸Ê y > n @ bx > n @ ay > n 1@

(3.63)

¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å oà ¥°µ«´¥ ·Ê ­nª ¡ºÊ µ Ä £µ¡ ¸É 3.10 ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 3.11 à ¥ ¸É ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ (delay operator) D ³Á ¦¸¥ Á­¤º° ´ ® nª¥ ªµ¤ ε ¸ÉÁ È nµ­´ µ °· ¡» n° ® oµ ¸Ê® ¹É ® nª¥ ¸É nµ ¤µÅ o­ µ¦­¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ­¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ ® ¹É à ¥ µ¦Ä o ·Ê ­nª ¡ºÊ µ Ä £µ¡ ¸É 3.10 ­Îµ®¦´ ­¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ ­¼ È­µ¤µ¦ 夵Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å oà ¥Ä o ·Ê ­nª ¡ºÊ µ nµ Ç Á n ´ ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 3.13 ­¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ¦³ LTI ´ ¸Ê y > n @ 2 y > n 1@ y > n 3@

x > n @ 3 x > n 2@

ª· ¸ ε µ à ¥r ³Å oªnµ y > n@

x > n @ 3 x > n 2@ 2 y > n 1@ y > n 3@

¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° Å o µ¤£µ¡ ¸É 3.12 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

w> n@ x >n@ w>n@

x > n@

x > n@

( ) µ¦ ª (addition)

a

a x > n @

( ) µ¦ ¼ (multiplicaton)

w > n@

x > n@

x >n@ w >n@

x > n@

( ) µ¦¨ (subtraction)

D

x > n 1@

( ) µ¦® nª Áª¨µ (delay)

£µ¡ ¸É 3.10 ·Ê ­nª ¡ºÊ µ ¸ÉÄ oÄ µ¦­¦oµ  £µ¡ ¨È° ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@

y > n@

b

y > n 1@

a

£µ¡ ¸É 3.11  £µ¡ ¨È° ° ¦³ y > n @

bx > n @ ay > n 1@

y > n@

x > n@ 2

3

1

£µ¡ ¸É 3.12  £µ¡ ¨È° ° ­¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ ­¼ Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.13

´ª°¥nµ ¸É 3.14 ®µ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ° ¦³ LTI µ¤£µ¡ ¸É 3.13 ª· ¸ ε ε® Ä®o w > n@ º°­´ µ °· ¡» ° ª ¦® nª Áª¨µ ´ ´Ê ­´ µ °· ¡» ° ª ¦® nª Áª¨µ º° w > n 1@ µ £µ¡ ¸É 3.13 ³Å oªnµ w >n@

x > n @ 2 w > n 1@

(3.64)

y > n @ w > n @ 3w > n 1@

(3.65)

¨³

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-27

w > n@

x > n@

y > n@

3

2

w > n 1@

£µ¡ ¸É 3.13  £µ¡ ¨È° ° ¦³ LTI Ä ´ª°¥nµ ¸É 3.14

 o­¤ µ¦ (3.64) ¨³ (3.65) Á¡ºÉ°®µ nµ w > n@ ¨³ w > n 1@ Ä ¦¼ ° x > n@ ¨³ y > n@ ³Å o 2 3 y > n@ x > n@ 5 5

w > n@

(3.66)

¨³ 1 1 y > n@ x > n@ 5 5

(3.67)

2 3 y > n 1@ x > n 1@ 5 5

(3.68)

w > n 1@

Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ n

n 1 Ä ­¤ µ¦ (3.66) ³Å o

w > n 1@

Á ºÉ° µ ­¤ µ¦ (3.67) ¨³ (3.68) ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ ´Ê ³Å oªnµ 1 1 y > n@ x > n@ 5 5

2 3 y > n 1@ x > n 1@ 5 5

´É º°­¤ µ¦Á · ¨ nµ °  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 3.13 ¤¸ nµÁ nµ ´ y > n @ 2 y > n 1@

x > n @ 3x > n 1@

(3.69)

3.7 ­®­´¤¡´ r Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 2.7 ­®­´¤¡´ r (correlation) ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ È­µ¤µ¦  n °° Á } 2 ¦³Á£ º° ­®­´¤¡´ r oµ¤ (cross-correlation) ¨³°´ ­®­´¤¡´ r (auto-correlation) ´ ¦µ¥¨³Á°¸¥ n°Å ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

3.7.1 ­®­´¤¡´ r oµ¤ ε® Ä®o x > n@ ¨³ y > n@ Á } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÁ } ­´ µ ¡¨´ µ ¢{ r ´ ­®­´¤¡´ r oµ¤ Rxy > n @ ¸ÉÁª¨µ¨nµ (lag time) W ¦³®ªnµ ­´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ³ ·¥µ¤Ã ¥ Rxy > n @

f

f

¦ x > k n@ y > k @ ¦ x > k @ y > k n@

k f

Á¤ºÉ°

y > k @

(3.70)

k f

º°­´ ¥» Á · o° ° y > k @ ¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° µ¦ ε ° ꨼ ´ Å o °º Rxy > n @

x > n@ y > n@

(3.71)

3.7.2 °´ ­®­´¤¡´ r ε® Ä®o x > n@ Á } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ° x > n@ Á ¸¥  oª¥ ³ ·¥µ¤Ã ¥ Rxx > n @

f

¦

x > k n @ x > k @

k f

f

¦ x > k @ x > k n@

Rxx > n @

(3.72)

k f

¹É È º° nµ­®­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ x > n@ ¨³ x > n@ ´É Á° » ­¤ ´ · ° ¢{ r ´ °´ ­®­´ ¤ ¡´ r Rxx > n @ ° ­´ µ x > n@ ³Á®¤º ° ´ ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r Rxx W ° ­´ µ x t µ¤ ¸É ¨nµªÄ ®´ª o° ¸É 2.7.2 Á¡¸¥  n°¥¼n ´ ¨³Ã Á¤ ´ ´Ê Ä ¸É ¸Ê ³­¦» » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° Rxx > n @ ´ ¸Ê 1) ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ³­¤¤µ ¦ (symmetry) ¨nµª º° oµ­´ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ³Á } ¢{ r ´ ¼n (even funtion) Á­¤° ´É º° Rxx > n @

Rxx > n @

(3.73)

¨³ oµ x > n@ Á } ¢{ r ´ Á · o° ³Á } ¢{ r ´ Á°¦r¤¸Á ¸¥ (hermitian function) ´É º° Rxx > n @

2) nµ ° ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ¸ÉÁª¨µ n

0

Ex

Rxx > n @

(3.74)

³¤¸ nµÁ nµ ´ ¡¨´ µ ° ­´ µ ´Ê ´É º° Rxx > 0@

f

¦ x >k @

2

(3.75)

k f

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-29

3) nµ ° ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r

Rxx > n @

³¤¸ nµ¤µ ­» Á¤ºÉ° n

0

Á nµ ´ Ê ¨nµª º°

Rxx > 0@ t Rxx > n @

(3.76)

4) °´ ­®­´¤¡´ r ° ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ ¸ÉŤn­´¤¡´ r ´ (uncorrelated function) ³¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r °  n¨³¢{ r ´ 5) oµ ε® Ä®o w > n@ Á } ­´ µ ¦ ª ­¸ µª (white noise) ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r ° w > n@ ³¤¸ nµÁ nµ ´ ­ KG > n@ , n 0 Rww > n @ ® else ¯0,

Á¤ºÉ°

K

(3.77)

Á } nµ ´ª

6) ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r Rxx > n @ ³¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ªµ¤® µÂ n ­Á ¦´¤ ε¨´ G f µ¤ §¬ ¸ ° ª¸Á °¦r · · (Wiener–Khinchin theorem) ´ ¸Ê f

G f

¦ R >k @ e

j 2S kf

xx

(3.78)

k f

´ª°¥nµ ¸É 3.15 ε® Ä®o x > n @ G > n @ G > n 1@

ε ª ®µ nµ ª· ¸ ε nµ

Rxx > n @ , Ryy > n @ , Rxy > n @ , Ryx > n @

Rxx > n @

Rxx > n @

¨³

-->y = [1 0 -1];

1

¦ x >n k @ x >k @ k 0

¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º°

^R > 1@ , R >0@ , R >1@` ^ 1, 2, 1` xx

xx

nµ Ryy > n@ ®µÅ o µ Ryy > n @

SCILAB: -->x = [1 -1];

®µÅ o µ

xx

y > n @ G > n @ G > n 2@

2

¦ y >n k @ y >k @ k 0

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

-->Rxx = convol(x, mtlb_fliplr(x)) Rxx = - 1. 2. - 1. -->Ryy = convol(y, mtlb_fliplr(y)) Ryy = - 1. 0. 2. 0. - 1. -->Rxy = convol(x, mtlb_fliplr(y)) Rxy = - 1. 1. 1. - 1. -->Ryx = convol(y, mtlb_fliplr(x)) Ryx = - 1. 1. 1. - 1.

¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ^Ryy > 2@ , Ryy > 1@ , Ryy >0@ , Ryy >1@ , Ryy > 2@ ,` ^ 1, 0, 2, 0, 1` nµ

Rxy > n @

®µÅ o µ Rxy > n @

2

¦ x >n k @ y >k @ k 0

¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ^Rxy > 2@ , Rxy > 1@ , Rxy >0@ , Rxy >1@` ^ 1,1,1, 1` ¨³ nµ Ryx > n@ ®µÅ o µ Ryx > n @

1

¦ y >n k @ x >k @ k 0

¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ^Ryx > 1@ , Ryx >0@ , Ryx >1@ , Ryx > 2@` ^ 1,1,1, 1` ®¤µ¥Á® » Ä ¦ ¸ ¸É o°¤¼¨ x > n@ ¨³ y > n@ Á } Á¨ ε ª ¦· ´Ê ®¤ ¢{ r ´ ­®­´¤¡´ r oµ¤Ä ­¤ µ¦ (3.71) ­µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o µ µ¦Ä o ε­´É Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ´ ¸Ê Rxy > n @

x > n @ y > n @ = convol(Xn, mtlb_fliplr(Yn))

Á¤ºÉ° Xn º°¨Îµ ´ o°¤¼¨ ° x > n@ ¨³ Yn º°¨Îµ ´ o°¤¼¨ ° y > n@ à ¥ ¸É ε­´É mtlb_fliplr ε® oµ ¸É Ä µ¦­¨´ ε® n o°¤¼¨ µ oµ¥Å ªµ ´É º° y > n@ ³¤¸ nµÁ nµ ´ mtlb_fliplr(Yn) ´ª°¥nµ ¸É 3.16 ε® Ä®o­´ µ x > n@ ° x > n@

G > n @ 2G > n 1@ G > n 2@

ε ª ®µ nµ°´ ­®­´¤¡´ r

ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ­´ µ x > n@ Á } ­´ µ nµ ¦· ´ ´Ê nµ°´ ­®­´¤¡´ r­µ¤µ¦ ®µÅ o µ Rxx > n @

2

¦ x >n k @ x >k @ k 0

à ¥¤¸ ´Ê ° µ¦ ε ª ´ ¸Ê nª Áª¨µ ¸É n Rxx > 0@

³Å oªnµ

0 2

¦ x >0 k @ x > k @

x > 0@ x > 0@ x >1@ x >1@ x > 2@ x > 2@

1 1 2 2 1 1

6

k 0

nª Áª¨µ ¸É n

1

³Å oªnµ บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-31

Rxx > n @

x >k @

Rxx > n @

x >n k @

f

¦ x >n k @ x >k @

k f

Rxx > 0@

1 1 2 2 1 1

Rxx >1@

2 1 1 2

Rxx > 2@

1 1

6

4

1

Rxx > n @ 0

£µ¡ ¸É 3.14 ´ª°¥nµ ´Ê ° µ¦ ε ª ®µ nµ Rxx >1@

2

¦ x >1 k @ x > k @

Rxx > n @

x >1@ x > 0@ x > 2@ x >1@ x >3@ x > 2@

­Îµ®¦´ n t 0

2 1 1 2 0 1

4

k 0

nª Áª¨µ ¸É n Rxx > 2@

2

³Å oªnµ

2

¦ x >2 k @ x >k @

x > 2@ x > 0@ x >3@ x >1@ x > 4@ x > 2@

1 1 0 2 0 1

1

k 0

nª Áª¨µ ¸É n t 3 ³Å oªnµ Rxx > n@

0

Á ºÉ° µ x > n k @

0

­Îµ®¦´ » nµ n

£µ¡ ¸É 3.14 ­ ´ª°¥nµ µ¦ ε ª ®µ nµ Rxx > n@ ­Îµ®¦´ n t 0 Á ºÉ° µ x > n@ Á } ­´ µ nµ ¦· ¹ Á } ¨ εĮo nµ Rxx > n @ ­¤¤µ ¦¦°  n 0 ´ ´Ê nµ°´ ­®­´¤¡´ r ° x > n@ ³¤¸ nµÁ nµ ´ Rxx > n @

­6, n 0 °4, n 1 ° ® °1, n 2 °¯0, else

SCILAB: -->Xn = [1 2 1]; -->Rxx = convol(Xn, mtlb_fliplr(Xn)) Rxx = 1. 4. 6. 4. 1.

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

3.7.2.1 °´ ­®­´¤¡´ r ° ­´ µ ε¨´ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¸ÉÁ } ­´ µ ε¨´ (power signal) ³ ·¥µ¤¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ (time-averaged auto-correlation function) [1] Á ¸¥  oª¥ Rxx > n @ ´ ¸Ê Rxx > n @

1 N of N lim

N 1

¦ x > k n@x > k @

1 M

(3.79)

k 0

¨³ oµ x > n@ Á } ­´ µ Á } µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ x > n @ º° Rxx > n @

M 1

M

¨oª ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ rÁ ¨¸É¥ µ Áª¨µ °

¦ x > k n@x > k @

(3.80)

k 0

3.7.3 ¦³Ã¥ r ° ­®­´¤¡´ r Á ºÉ° µ ¢{ r ´ ­®­´¤¡´ r oµ¤Â¨³¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ rÁ } µ¦®µ nµ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ o°¤¼¨Â n¨³  ¤Á d¨ ¹É ¦³Ã¥ r ¸ÉÅ o¦´ µ µ¦ ¸É o°¤¼¨Â n¨³Â ¤Á d¨¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ Å o n 1) nª¥ Î µÄ®o ­µ¤µ¦ ®µª· ¸Ä µ¦ ¸É ³ Î µ µ¥ n µ °  ¤Á d¨Ä ° µ Å o Á n ­¤¤ · ªnµ¤¸¨Îµ ´ o°¤¼ ¨ ^ xn ` ^1,3,5, 7,9,11` o°¤¼¨ ´ª ´ Å È­µ¤µ¦ µ Á µÅ oªnµÁ } Á¨ 13 Á } o ¹É oµ ε¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^ xn ` ¸ÊÅ ®µ nµ ° ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r nµ Rxx > n @ ¸ÉÅ o ³¤¸ nµ¤µ Á¤ºÉ° n z 0 ´ ´Ê °µ ­¦» Å oªnµ o µ  ¤Á d ¨  n ¨ ³Â ¤Á d ¨ ¤¸ ªµ¤­´ ¤ ¡´ r ´ ¤µ ð µ­ ¸É ³ Î µ µ¥ n µ °  ¤Á d ¨ Ä ° µ Å o °¥nµ ¼ o° Ȥ¸¤µ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ´ °°  ¦³ ­µ¤µ¦ Ä o ¦³Ã¥ r o° ¸ÊÄ µ¦ εŠ­¦oµ ª ¦ ε µ¥ (predictor) Ä µ ¦³¥» r nµ Ç Å o 2) nª¥Ä Á¦ºÉ° ° µ¦¦³ »¦³ (system identification) ¨nµª º°­¤¤ ·ªnµ oµ¤¸¦³ °¥¼n¦³ ® ¹É  nŤn ¦µ ªnµ¦³ ¸Ê¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function) º°°³Å¦ nµ ¦³¤µ ° ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¸Ê­µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥ µ¦ j° o°¤¼¨°· ¡» x > n@ Á oµÅ Ä ¦³ ¨oª¦ª ¦ª¤ o°¤¼¨Á°µ r¡» y > n@ ¸ÉÅ o µ ¦³ oµ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ nµ¤µ ¹É ε ª ®µÅ o µ nµ ° ¢{ r ´ ­®­´¤¡´ r oµ¤ ªµ¤ ¼ o° ° nµ ¦³¤µ ° ¢{ r ´ nµ¥Ã° È ³¤¸¤µ

3.8 ­¦» oµ¥ Ä ¸ÊÅ o ¨nµª ¹ ªµ¤­Îµ ´ ¨³ µ¦®µ ¨¦ª¤ ° ꨼ ´ (convolution sum) ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¹É εĮo ¦µ ªnµ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤnÁÁ ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-33

³ ¼ ε® Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ à ¥ ¸É ¨ ° ­ ° ° ¦³ (®¦º° ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ) È º° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ° µ ¸Ê¥´ Å o° · µ¥ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¦ª¤ ´Ê ­ Ä®oÁ®È ªnµ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¨³Â £µ¡ ¨È° Å o ¹É nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ­» oµ¥Å o° · µ¥ ¹ ¢{ r ´ ­®­´¤¡´ r oµ¤Â¨³ ¢{ r ´ °´ ­®­´¤¡´ r Á¡ºÉ°Ä o¡· µ¦ µªnµ­´ µ ­° ­´ µ ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¤µ o°¥Á¡¸¥ Ä ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r

3.9  f ®´ oµ¥ 1) ε ª ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» x > n@ ^1, 1,1, 1` ¨³¦³ ¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ´ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê ¡·­¼ r ε ° à ¥Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB 1.1) h > n@ ^1, 2,1`

1.2) h > n@ ^1,3,3,1`

1.3) h > n@ ^1, 0, 1`

1.4) h > n@ ^1,1, 1, 1`

2) ®µ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´ ° y > n @ 2.1) x t

­1, 0 t 4 ® ¯0, else

2.2) x > n@

u > n@

¨³ h > n@

3n u > n @

2.3) x > n@

u > n@ u > n N @

¨³ h > n@

¨³

x > n@ h > n@

Á¤ºÉ°

­ 2, 0 t 3 h t ® ¯0, else

E nu > n@

Á¤ºÉ°

E 1

¨³

N

Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª

3) oµ x1 > n@ ¨³ x2 > n@ Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N ¨³ ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ x1 > n@ ¨³ x2 > n @ Ťn¨¼nÁ oµ Ä ¦ ¸ ¸Ê ³Ä o ° ꨼ ´  µ (periodic convolution) ¦³®ªnµ x1 > n @ ¨³ x2 > n @ ¹É ·¥µ¤Ã ¥ y > n@

x1 > n @ x2 > n @

N 1

¦ x >k @ x >n k @ 1

2

k 0

3.1) ­ ªnµ y > n@ Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 3.2) ­ ªnµ y > n@

N

m N 1

¦ x > k @ x > n k @ ­Îµ®¦´ » nµ m 1

2

k m

4) ε® Ä®o y > n @

x > n@ h > n@

­ ªnµ x > n n1 @ h > n n2 @

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

y > n n1 n2 @

5) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h > n@ 1/ 5 n u > n 1@ 5.1) ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n 5.2) ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦®¦º°Å¤n 6) ε® Ä®o x > n@ º°­´ µ °· ¡» ¨³ y > n@ º°­´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ n 1

6.1) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y > n@ ¦ x > m@ Á } ¦³ Ťn  ¦Á ¨¸É ¥ µ¤Áª¨µ ¦³ m f

Ťn ´ ¨³¦³ Á­ ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã° ®¦º°Å¤n 6.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ y > n @ Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ®¦º°Å¤n

2nx > n @

Á } ¦³ Á · Á­o ¦³ ° ° °¨ ¨³¦³

6.3) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É ε® à ¥ ny > n@ 5 y > n 1@ ¦³ Ťn ´ ¨³¦³ Á­ ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã° ®¦º°Å¤n

3x > n @

Á } ¦³ Ťn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ

7) ε® Ä®o¦³ LTI ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³­´ µ Á°µ r¡» y > n@ º° y > n @ 2 y > n 1@

Á¤ºÉ° y > 1@

0

x > n@

®µ­´ µ Á°µ r¡» Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@ 1/ 2 n u > n@

8) ªµ  £µ¡ ¨È° ¡¦o°¤ ´Ê ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ n°Å ¸Ê 8.1) y > n@

x > n @ 2 x > n 2@ x > n 3@

8.3) y > n@ 0.5 y > n 1@ 8.5) y > n 1@ 3 y > n@

8.2) y > n@ 2 y > n 1@

2 x > n @ x > n 2@ x > n@

8.7) y > n 2@ 2 y > n 1@ y > n@

x > n @ x > n 1@

8.4)

2 y > n @ 6 y > n 2@

x > n @ x > n 2@

8.6)

2 y > n @ y > n 1@ 4 x > n @ 2 x > n 1@

5 x > n 1@ 3 x > n @

9) ¡· µ¦ µ¦³ ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ´ £µ¡ n°Å ¸Ê x > n@

h1 > n @

h2 > n @

y > n@

h > n@

Á¤ºÉ° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ¥n°¥ ´Ê ­° º° h1 > n@

E nu > n @ ¨³ h2 > n @ E nu > n @

à ¥ ¸É

0 E 1

บทที่ 3 ระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลาที่ไมตอเนื่องทางเวลา 3-35

9.1) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ¦ª¤ ´É º°®µ h > n@

h1 > n @ h2 > n @

9.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¦ª¤ ¸ÉÅ oÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦Â ¸Å° ¸Ã°®¦º°Å¤n 10) Á ¸¥ ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¨³®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ n°Å ¸Ê x > n@

y > n@

3

2

4

11) Á ¸¥ ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¨³®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ n°Å ¸Ê 3

y > n@

x > n@

5

12) ®µ­´ µ Á°µ r ¡» y > n@ ° ¦³ Ä £µ¡ n ° Å ¸Ê Á¤ºÉ ° Î µ ® Á ºÉ ° Å n ª ¥ º ° y >0@ y > 1@ 0 ( ε ³ ε: ­´ µ Á°µ r¡» ³°¥¼nÄ ¦¼ y > n @ Kz n ) y > n@

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 3-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

1

¨³

¸É 4 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É 2 Å o­ Ä®oÁ®È ªnµ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oª¥ ¨ ° ­ ° °· ¤ ¡´ ¨ ­r ® ¹É ® n ª ¥ à ¥ ¸É ­´ µ Á°µ r ¡» ­µ¤µ¦ Á ¸ ¥ Ä®o ° ¥¼n Ä ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µÂ¨³ ¼ nª Êε® ´ oª¥­´ µ °· ¡» à ¥°µ«´¥ µ¦ ε ° ꨼ ´ µ¤ ­¤ µ¦ (2.11) ° µ ¸Ê­´ µ Ä Ç ­µ¤µ¦ ¼  oª¥ ¨¦ª¤Á · Á­o ° “­´ µ ¡ºÊ µ (basic signal)” ¹É à ¥ ´ÉªÅ Á } ­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r (sinusoidal wave) ®¦º°­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° (complex exponential) µ¦Â ­´ µ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r®¦º°­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Å o εŠ­¼n ª · µ oµ à Á¤ ªµ¤ ¸É (frequency domain) ¨nµª º°­´ µ o ´ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° Áª¨µ ³ ¼ ´ ¦¼ Ä®¤nÄ®oÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É à ¥ ¸É µ¦Â­ ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦°°  ¨³ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ° µ ¸Ê¥´ nª¥ εĮo µ¦Â oÅ { ®µ µ · «µ­ ¦r nµ Ç nµ¥ ¹Ê Á n µ¦Â o­¤ µ¦Á · ° »¡´ r­µ¤´ (ordinary differential equation) ¨³­¤ µ¦Á · ° »¡´ r¥n°¥ (partial differential equation) Á } o Ä ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Â ­´ µ µ ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µÄ®o ° ¥¼n Ä ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ª· ¸ µ¦ ¸ÊÁ¦¸¥ ´ ªnµ “° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series)” [3, 4]

4.1 ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡¦µ³ªnµ ­´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ °· ¡» ¸ÉÁ } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³¤¸ nµ Á nµ ´ ­´ µ °· ¡» Á ·¤  n°µ ¤¸Â°¤¡¨· ¼ ° ­´ µ Á ¨¸É¥ Å ÈÅ o ´ ­ n°Å ¸Ê

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา

4-1

¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h t oµ ε® Ä®o­´ µ °· ¡» x t est Á } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ ®µÅ o µ f

y t T ª¬ x t º¼

h t x t

³ h W x t W dW

f f

³ h W e

s t W

dW

f

f

e st

³ h W e

sW

dW

e st H s

(4.1)

f

Á¤ºÉ° H s Á } nµ ´ªÁ · o° ¸É ¹Ê ´ ´ªÂ ¦ s ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ f

H s

³ h W e

sW

dW

(4.2)

f

­¤ µ¦ (4.1) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­´ ¨´ ¬ rÅ o º° y t T ª¬e st º¼

e st H s

(4.3)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁ¤ºÉ° j° ­´ µ °· ¡» est Á oµÅ Ä ¦³ LTI ³Å o­´ µ Á°µ r¡» Á } e st H s

à ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥ ­´ µ °· ¡» ¸É εĮo­´ µ Á°µ r¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ´ª ¼ ´ ­´ µ °· ¡» ´Ê ªnµ “¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction)” ¨³Á¦¸¥ nµ ´ª ´Ê ªnµ “ nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenvalue)” ´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (4.1) ³Å oªnµ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ º° e st ¨³ nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ º° H s ° µ ¸Ê oµ ε® Ä®o­´ µ °· ¡» ° ¦³ LTI ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° º° x t

n

¦a e k 1

sk t

k

a1e s1t a2 e s2t ! an e snt

(4.4)

­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ È­µ¤µ¦ ®µÅ o µ y t

n

¦ a H s e k 1

k

k

sk t

a1 H s1 e s1t a2 H s2 e s2t ! an H sn e snt

(4.5)

´ ´Ê ­¦» Å oªnµ­Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oµ­´ µ °· ¡» ° ¦³ º° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á ¨¸É¥ Å µ¤­¤ µ¦ (4.5) 4-2

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

´ª°¥nµ ¸É 4.1 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h t

¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x t cos 2t cos 5t

G t 2

®µ­´ µ Á°µ r¡» °

ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®µÅ o µ f

y t

³

f

x W h t W dW

f

³ ^cos 2W cos 5W `G t W 2 dW

cos 2 t 2 cos 5 t 2

f

®¦º°­µ¤µ¦ ®µ­´ µ Á°µ r¡» Å o µ ­¤ µ¦ (4.3) ´ ¸Ê Á ºÉ° µ ­´ µ °· ¡» x t ­µ¤µ¦ ´ Ä®o°¥¼n Ä ¦¼ ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° à ¥°µ«´¥ ªµ¤­´¤¡´ r°°¥Á¨°¦r (Euler’s relation) º° 1 1 §1 · §1 · x t cos 2t cos 5t ¨ e j 2t e j 2t ¸ ¨ e j 5t e j 5t ¸ 2 2 ©2 ¹ ©2 ¹

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.5) à ¥ ¸É H s

y t

n

¦ a H s e k 1

k

k

sk t

e 2 s

´É º°

1 1 1 1 H j 2 e j 2 t H j 2 e j 2 t H j 5 e j 5t H j 5 e j 5t 2 2 2 2

1 2 j 2 j 2t 1 2 j 2 j 2t 1 2 j 5 j 5t 1 2 j 5 j 5t e e e e e e e e 2 2 2 2

1 j 2 t 2 1 j 2 t 2 1 j 5 t 2 1 j 5 t 2

e e e e 2 2 2 2 cos 2 t 2 cos 5 t 2

´ª°¥nµ ¸É 4.2 ­´ µ \ m t ¨³ \ k t ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } ­´ µ ¸É ´Ê µ ´ (orthogonal) Ä nª Áª¨µ a ¹ b È n°Á¤ºÉ°­´ µ ´Ê ­° ¸Ê­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å n°Å ¸Ê b

³\ t \ t dt m

a

k

­0, m z k ® ¯D , m k

(4.6)

Á¤ºÉ ° \ t º ° ­´ ¥» Á · o ° ° ­´ µ \ t ¨³ D z 0 ¡· ­¼ r ªn µ ­´ µ Á¨ ¸Ê Î µ ¨´ Á · o ° ^e jkZ t ` Á¤ºÉ ° k 0, r1, r2,!  n ¨ ³­´ µ Á } ­´ µ ¸É ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ £µ¥Ä n ª µ Áª¨µ 0

T0

2S / Z0

ª· ¸ ε ­Îµ®¦´ Áª¨µ t0 Ä Ç ³Å oªnµ บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา

4-3

t0 T0

³

e jmZ0t dt

t0

1 e jmZ0t jmZ0

1 jmZ t T e 0 0 0 e jmZ0t0 jmZ0

^

t0 T0 t0

1 e jmZ0t0 e jm 2S 1 jmZ0

^

Á¡¦µ³ªnµ e jm 2S

1

­Îµ®¦´ m

0

`

³Å oªnµ e jmZ t m 0

1

0

t0 T0

³

0, m z 0

³

t0

(4.7)

¨³

t0 T0

e jmZ0t dt

`

dt

T0 , m

0

(4.8)

t0

´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (4.7) ¨³ (4.8) ­¦» Å oªnµ t0 T0

³

e jmZ0t e jkZ0t

t0 T0

³

dt

t0

e j m k Z0t dt

t0

­0, m z k ® ¯T0 , m k

(4.9)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  n¨³­´ µ Á } ­´ µ ¸É ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ £µ¥Ä nª µ Áª¨µ T0

4.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS: continuous-time Fourier series) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ o Ä µ¦Â ¨ ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ (®¦º°­´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° Áª¨µ) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É (®¦º°­´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É) à ¥ ¸É µ¦Â­ ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ³ nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê

4.2.1 ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuous-time periodic signal) º°­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ­µ¤µ¦ ®µ µ Áª¨µ T ( ¸ÉÁ } nµ ª ) ¸É εĮo x t

x t mT

(4.10)

­Îµ®¦´ » nµ t Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ à ¥ nµ T ¸É o°¥­» ¸É¥´ εĮo­¤ µ¦ (4.10) Á } ¦· ³Á¦¸¥ ªnµ “ µ ¤¼¨ µ (fundamental period)” ¨³ Z0 2S / T 2S f º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ ¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ (radian per second) Á¤ºÉ° f 1/ T º° ªµ¤ ¸É¤¸® nª¥Á } Á±·¦ r (Hz: hertz) 4-4

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

° µ ¸Ê­´ µ µ ¸É¡ Á®È ´ªÉ Å ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ à Šr x t cos Z0t

(4.11)

x t e jZ0t

(4.12)

®¦º°­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°

Á¤ºÉ°­´ µ ´Ê ­° ¸ÊÁ } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ º° T \ k (t ) e jkZ t , k 0

2S / Z0

Ä µ · ´ ·­´ µ ¸É°¥¼nÄ ¦¼ °

0, r1, r2,!

(4.13)

º°ªnµÁ } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ ±µ¦r¤° · (harmonic) ¨nµª º°­´ µ Ä ­¤ µ¦ (4.13)  n¨³­´ µ ³¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤Á } ¡®» ¼ (multiple) ° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Zk kZ0

4.2.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Å o º° f

x t

¦ a\ k

k f

k

(t )

f

¦ae

jkZ0t

k

(4.14)

k f

Á¤ºÉ° ak º°­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series coefficients) ®¦º°­´¤ ¦³­· ·Í­Á ¦´¤ (spectral coefficients) ° ­´ µ µ x t ¹É ®µÅ o µ 1 x t e jkZ0t dt T ³T

ak

(4.15)

Á¤ºÉ° ³T º° µ¦®µ ¦·¡´ r£µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ à ¥ ´ÉªÅ nµ ak ³Ä oÁ } ´ªª´ ­´ ­nª ° ­´ µ x t

Ä Â n¨³±µ¦r¤° · ®¦º° ªµ¤ ¸É ¨³ nµ a0 º°° r ¦³ ° Å¢¢jµ ¦³Â­ ¦ (d.c. component) ° ­´ µ x t ¹É ®µÅ o µ µ¦Â nµ k 0 ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.15) ´É º° a0

1 x t dt T ³T

(4.16)

à ¥ ´ÉªÅ ­¤ µ¦ (4.14) Á¦¸¥ ªnµ “­¤ µ¦­´ Á ¦µ³®r (synthesis equation)” ¨³­¤ µ¦ (4.15) Á¦¸¥ ªnµ “­¤ µ¦ ª·Á ¦µ³®r (analysis equation)” บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา

4-5

­´ µ Ä ­¤ µ¦ (4.14) Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T à ¥ ¸É° r ¦³ ° ° ­´ µ Á¤ºÉ° k r1 º°ªnµÁ } ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ ® ¹É (first harmonic) ®¦º°° r ¦³ ° ¤¼¨ µ ¨³ ° r ¦³ ° ° ­´ µ Á¤ºÉ° k r N º°ªnµÁ } ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ N Á¤ºÉ° N t 2 Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê µ¦Â ­´ µ µ x t oª¥ ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (4.14) ³Á¦¸¥ ªnµ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS) Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ´É º° x t x t ´ ´Ê ­¤ µ¦ (4.14) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } § f · x t ¨ ¦ ak e jkZ0t ¸ k f © ¹

x t

 nµ k

k

f

jkZ0t k

¦ae

(4.17)

k f

³Å o f

x t

¦a

k

e jkZ0t

(4.18)

k f

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (4.14) ¨³ (4.18) ³Å oªnµ a k

ak

(4.19)

´ª°¥nµ ¸É 4.3 ¡·­¼ rªnµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak Ä ­¤ µ¦ (4.15) ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.14) ª· ¸ ε ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ®µÅ o µ µ¦ ¼ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (4.14) oª¥ e jnZ t ³Å o 0

§ f jkZ0t · jnZ0t ¨ ¦ ak e ¸e © k f ¹

x t e jnZ0t

µ ´Ê ε µ¦®µ nµ ¦·¡´ r ° ­¤ µ¦ (4.20) µ Áª¨µ ¸É t T

³ x t e 0

T jnZ0t

dt

f

³¦ae

jkZ0t jnZ0t

e

k

0 k f

0

¹ t

T

2S / Z0 ªT

f

dt

(4.20)

¦ a «³ e ¬ k

k f

0

´É º°

j k n Z0t

º dt » ¼

(4.21)

µ ­¤ µ¦ (4.9) ³Å oªnµ T

³e

j k n Z0t

dt

0

´ ´Ê ­¤ µ¦ (4.21) ­µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } 4-6

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

­T , k n ® ¯0, k z n

(4.22)

1 x t e jnZ0t dt T ³0

1 x t e jnZ0t dt T ³T

T

an

¹É ¦ ´ ­¤ µ¦ (4.15) µ¤ o° µ¦

4.2.3 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ±µ¦r¤° · Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÁ¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Ä ­¤ µ¦ (4.14) ­µ¤µ¦ ´ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼  Į¤nÅ o º° x t

Á¤ºÉ° a0 ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.16)  nµ a k x t

f

f

^

a0 ¦ ak e jkZ0t a k e jkZ0t k 1

ak

(4.23)

µ¤­¤ µ¦ (4.19) ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.23) ³Å o

^

a0 ¦ ak e jkZ0t ak e jkZ0t k 1

`

f

`

a0 ¦ 2 Re ª¬ ak e jkZ0t º¼

(4.24)

k 1

´ ´Ê oµ ´ nµ ak Ä®o°¥¼Än ¦¼  Á · ´Êª (polar form) ´É º° ak

Ak e jTk

(4.25)

 nµ ak µ ­¤ µ¦ (4.25) ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.24) ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ±µ¦r¤° · º° x t

f

a0 2¦ Re ª¬ Ak e

j kZ0t T k

k 1

º ¼

f

a0 2¦ Ak cos kZ0t T k

(4.26)

k 1

à ¥ ¸É¡ r 2 Ak cos kZ0t T k º°° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ k , (harmonic amplitude), ¨³ T k Á¦¸¥ ªnµ¤»¤Á¢­ (phase angle)

Ak

º°Â°¤¡¨· ¼ ° ±µ¦r¤° ·

4.2.4 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· · ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·­µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥ µ¦ ´ nµ ´Ê µ (rectangular form) ´É º° ak

ak

Ä ­¤ µ¦ (4.25) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼  Á ·

Bk jCk

(4.27)

Á¤ºÉ° Bk Ak cos T k ¨³ Ck Ak sin T k Á } nµ ¦·  nµ ak µ ­¤ µ¦ (4.27) ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.24) ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· · º° บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา

4-7

f

a0 ¦ 2 Re ª¬ Bk jCk cos kZ0t j sin kZ0t º¼

x t

k 1

f

a0 2¦ ª¬ Bk cos kZ0t Ck sin kZ0t º¼

(4.28)

k 1

Á ºÉ° µ e jT cos T j sin T

° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ±µ¦r¤° · ¨³° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ à ¥ Á¤ºÉ° ε µ¦Á ¦¸¥ Á ¸¥ nµ ak Ä ­¤ µ¦ (4.25) ¨³ (4.27) ³Å oªnµ Ak

Bk2 Ck2

¨³

Tk

§C · tan 1 ¨ k ¸ © Bk ¹

(4.29)

° µ ¸Ê° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·¥´ ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¨nµª º° µ ­¤ µ¦ (4.23) à ¥°µ«´¥ ªµ¤­´¤¡´ r°°¥Á¨°¦r ³Å o x t

f

^

`

a0 ¦ ak cos kZ0t j sin kZ0t a k cos kZ0t j sin kZ0t

k 1

f

a0 ¦ ^ ak a k cos kZ0t j ak a k sin kZ0t `

(4.30)

k 1

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (4.28) ¨³ (4.30) ³Å oªnµ Bk

ak a k

¨³

Ck

j ak a k

(4.31)

4.2.4.1 ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n (even function) ´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (4.28) ³Å oªnµ Ck 0 ¨³° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·­µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } x t

f

a0 2¦ Bk cos kZ0t

(4.32)

k 1

Á n Á ¸¥ª ´ oµ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¸É (odd function) ´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (4.28) ³Å oªnµ Bk 0 ¨³° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ¦¼ ° ¦¸Ã ¤· ·­µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } x t

4-8

f

2¦ Ck sin kZ0t

k 1

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

(4.33)

µ ¸É ¨nµª¤µ oµ o ³Á®È Å oªnµ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ nµ ¦· ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼  nµ Ç Å o µ¤­¤ µ¦ (4.14), (4.26), ®¦º° (4.28) ´ ´Ê µ¦ ´ ­· Ä ªnµ ³ ε° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¦¼ Â Ä ¤µÄ o µ ¹ ¹Ê °¥¼n ´ ¨´ ¬ ³ ° µ ¦³¥» r n¨³ ¦³Á£

4.2.5 ´ª°¥nµ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ ­¤ µ¦ (4.14) ¨³ (4.15) εĮo ¦µ ªnµ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Ä Ç ­µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ε® Å oÄ 2 à Á¤ º°

à Á¤ Áª¨µ (time domain) ¹É ­´ µ µ x t ³Â­ °¥¼nÄ ¦¼ ¢{ r ´ ° Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (4.14)

à Á¤ ªµ¤ ¸É (frequency domain) ¹É ³ ¼ ε® oª¥° r ¦³ ° ° ªµ¤ ¸É nµ Ç nµ µ nµ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (4.15)

´ ´Ê oµ ¦µ ­´ µ µ x t È­µ¤µ¦ ®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o µ¤­¤ µ¦ (4.15) Ä µ ¨´ ´ oµ ¦µ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r È­µ¤µ¦ ®µ­´ µ µ x t Å o µ¤­¤ µ¦ (4.14) Ä ­nª n°Å ¸Ê ³Â­ ´ª°¥nµ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ª°¥nµ ¸É 4.4 ¡· µ¦ µ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ S· § x t 1 sin 2S t 3cos 2S t cos ¨ 4S t ¸ 2¹ ©

¸É¤¸ µ Áª¨µ T

1

®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸Ê

ª· ¸ ε °µ«´¥ ªµ¤­´¤¡´ r ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ x t 1

1 j 2S t j 2S t 3 1 e e e j 2S t e j 2S t e j 4S t jS / 2 e j 4S t jS / 2

2j 2 2

§3 1 · §3 1 · 1 1 1 ¨ ¸ e j 2S t ¨ ¸ e j 2S t e jS / 2 e j 4S t e jS / 2 e j 4S t 2 2 ©2 2j¹ ©2 2j¹ §3 1 · §3 1 · 1 1 1 ¨ ¸ e jZ0t ¨ ¸ e jZ0t e jS / 2 e j 2Z0t e jS / 2 e j 2Z0t 2 2 ©2 2j¹ ©2 2j¹

Á¤ºÉ° Z0 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ´ ­¤ µ¦ (4.14) ³¡ ªnµ­´ µ µ x t ¤¸ nµ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา

4-9

Re ^ak `

ak

ak

Im ^ak `

k

k ak

ak

ak

ak

10 / 2

S /2

k

k S / 2

£µ¡ ¸É 4.1 nµ­nª ¦· , nµ­nª · £µ¡, µ , ¨³¤»¤Á¢­ ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r a0

1

a1

3 1 2 2j

a 1

3 1 2 2j

a2

1 j S2 e 2

a 2

1 j S2 e 2

3 1 j 2 2 3 1 j 2 2 1 j 2

1 j 2

a0

a1

a 1

a2

a 2

1

10 2 10 2 1 2 1 2

¨³

a0

0

¨³

a1

§ 1 · tan 1 ¨ ¸ © 3 ¹

¨³

a 1

¨³

a2

¨³

a 2

0.3217

§1· tan 1 ¨ ¸ 0.3217 ©3¹

S

1.5708

2

S 2

1.5708

¨³ ak 0 ­Îµ®¦´ k ! 2 £µ¡ ¸É 4.1 ­ nµ­nª ¦· (real part), nµ­nª · £µ¡ (imaginary part), µ (magnitude), ¨³¤»¤Á¢­ (phase) ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³Á®È Å oªnµ¦¼ ¦µ¢Ä £µ¡ ¸É 4.1 ( ) ¨³ 4.1 ( ) ¤¸¨´ ¬ ³Á } Á­o ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ ¹ Á¦¸¥ ¦¼ ¦µ¢ ¸É­ nµ µ ¨³¤»¤Á¢­ ° ­´¤ ¦³­· ·Í ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸Êªnµ “­Á ¦´¤Â Á­o (line spectrum)” ®¤µ¥Á® » à ¥ ´ÉªÅ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak n ° ¹ ° r ¦³ ° ° ­´ µ µ x t Ä Â n¨³ ªµ¤ ¸É Á n a0 °¥¼nÄ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ nµ«¼ ¥r ¨³ ak °¥¼nÄ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ Zk kZ0 ´ ´Ê µ £µ¡ ¸É 4.1 nµ k Ä Á­o  x ° µ ³®¤µ¥ ¹ ¨Îµ ´ ° ak ¨oª ¥´ ®¤µ¥ ¹ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ ¸É Zk kZ0 oª¥ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

x t

A

t

£µ¡ ¸É 4.2 ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¢{ Á¨ºÉ°¥

´ª°¥nµ ¸É 4.5 ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¢{ Á¨ºÉ°¥ (saw-tooth wave) µ¤£µ¡ ¸É 4.2 ª· ¸ ε ­´ µ ¦¼ ¨ºÉ ¢{ Á¨ºÉ°¥ ¸Ê¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T ¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° x t

A t, T

­Îµ®¦´ 0 t T

(4.34)

­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.15) ´É º° ak

1 x t e jkZ0t dt T ³T

1 A jkZ0t te dt T ³0 T T

T

A te jkZ0t dt T 2 ³0

°µ«´¥Á · µ¦®µ ¦·¡´ r ¸¨³­nª (by-part integration) µ ³ udv dv e jkZ t dt ³Å oªnµ

uv ³ vdu à ¥ ¸É u

t

¨³

0

A T2

ak

Á ºÉ° µ e jk 2S

1

ª te jkZ0t « «¬ jkZ0

T

0

T º 1 e jkZ0t dt » ³ jkZ0 0 »¼

0

ª Te jk 2S º 1 e jk 2S 1 » « 2 »¼ ¬« jkZ0 jkZ0

­Îµ®¦´ » nµ k ¸ÉÁ } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê ak

­Îµ®¦´ k

A T2

Aª 1 º « » T ¬ jkZ0 ¼

A j, k z0 2S k

(4.35)

nµ a0 ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.16) ´É º° 1 A tdt T ³0 T T

a0

A T2

ªt2 « «¬ 2

T

º » 0 » ¼

A 2

(4.36)

 nµ ak ¨³ a0 ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.14) ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ¢{ Á¨ºÉ°¥ º° x t

a0 ¦ ak e jkZ0t k z0

A A j 2 2S

e jkZ0t ¦ k k z0

A§ 1 e ¨¨1 ¦ 2 © S k z0

j kZ0t S / 2

k

· ¸¸ ¹

(4.37)

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-11

A

x t

A/ 2

ak 2A /S 2 A / 2S 2

k

t

£µ¡ ¸É 4.3 ( oµ¥) ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ ¨³ ( ªµ) ­Á ¦´¤Â Á­o

Á ºÉ° µ SCILAB:

e jS / 2

j

( ´ª°¥nµ ¸É 4.5) // ´ ¸Áª¨µ (time index) k ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak

-->k = -5:5; -->A = 3;

T = 2;

-->step = 0.00001;

//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ­´ µ µ x t Ä ­¤ µ¦ (4.34)

f = 1/T; t = 0:step:T;

-->xt = A/T*t; -->for ii = 1:length(k) --> wk = 2*%pi*f*k(ii); --> Ak(ii) = abs(1/T*sum(xt.*exp(-%i*wk*t)*step)); -->end

//­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak

// ε­´É ªµ ¦µ¢ ° ak ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ak µ¤­¤ µ¦ (4.35)

-->plot2d3(k, Ak)

-->Ak2 = (2*%pi*k).\(A*%i)

// nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak Ä ­¤ µ¦ (4.35)

´ª°¥nµ ¸É 4.6 ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ µ¤£µ¡ ¸É 4.3 ¡¦o°¤ ´Ê ­ ­Á ¦´¤  Á­o ª· ¸ ε ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ ¸Ê¤¸ µ Áª¨µ T

2

­ A At , 1 t 0 ® ¯ A At , 0 t 1

x t

­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.15) à ¥ ¸É Z0 0

ak 2ak A

¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º°

2S / T

1

1 1 A 1 t e jkZ0t dt ³ A 1 t e jkZ0t dt ³ 2 1 20 0

0

1

1

jkS t jkS t jkS t jkS t ³ e dt ³ te dt ³ e dt ³ te dt

1

1

0

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

0

(4.38) S

´É º°

e jkS t jkS

0

1

1

0

1

e jkS t te jkS t dt ³ te jkS t dt jkS 0 ³1 0

1 e jkS e jkS 1 § te jkS t ¨ ¨ jkS jkS jkS ©

0

1

1 jkS

1 · § te jkS t 1 · 1 jkS t ¸ ¨ e dt e jkS t dt ¸ ³ 1 ³ ¸ ¨ jkS 0 jkS 0 ¸ ¹ © ¹ 0

0 1 º 1 ª jkS t dt ³ e jkS t dt » «³ e jkS ¬ 1 0 ¼

1

kS

2

ª e jkS 1 e jkS 1 º ¬ ¼

2

ª e jkS / 2 e jkS / 2 e jkS / 2 e jkS / 2 e jkS / 2 e jkS / 2 º ¬ ¼

1

kS

Á ºÉ° µ sin T e jT e jT / 2 j ³Å o 2ak A

1

kS

2

ª¬ e jkS / 2 2 j sin kS / 2 e jkS / 2 2 j sin kS / 2 º¼

2 j sin kS / 2

kS

4

kS

Á ºÉ° µ sin x sin y

2

2

ª¬e jkS / 2 e jkS / 2 º¼

ª¬sin kS / 2 sin kS / 2 º¼

1 ªcos x y cos x y º¼ 2¬ 2ak A ak

2 2

ª¬ cos 0 cos kS º¼

2

ª¬1 cos kS º¼

kS

A

kS

³Å o

´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° ak

k ­0, ° ® 2A , k ° kS 2 ¯

r2, r4, r6,! r1, r3, r5,!

(4.39)

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-13

­Îµ®¦´ k

0

nµ a0 ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ µ x t Ä ® ¹ É µ Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (4.16) ´É º° 0 1 º 1ª A 1 t dt A 1 t dt »

«³ ³ 2 ¬ 1 0 ¼

a0

0 0 1 1 º Aª « ³ 1 dt ³ t dt ³ 1 dt ³ t dt » 2 ¬ 1 1 0 0 ¼ 0

Aª t2 « 0 1 2« 2 ¬

A ª 1 1º 2 » 2 «¬ 2 2¼

1 0 1

1 t2 º » 2 0» ¼

A 2

(4.40)

 nµ ak ¨³ a0 ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.14) ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ º°

a0 ¦ ak e jkZ0t

x t

k z0

­A k ° , °° 2 k ®0, ° jkZ0t °2A ¦ e , k °̄ S 2 k k 2

0 r2, r4, r6,!

(4.41)

r1, r3, r5,!

£µ¡ ¸É 4.3 ( ªµ) ­ ­Á ¦´¤Â Á­o ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ SCILAB:

( ´ª°¥nµ ¸É 4.6) // ´ ¸Áª¨µ (time index) k ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak

-->k = [-5:2:5]; -->A = 3; T = 2; -->step = 0.0001;

f = 1/T;

//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ­´ µ µ x t Ä ­¤ µ¦ (4.38)

-->t1 = -T/2:step:0;

xt1 = A*(1+t1);

-->t2 =

xt2 = A*(1-t2);

-->for --> --> --> --> -->end

step:step:T/2;

ii = 1:length(k) wk = 2*%pi*f*k(ii); Temp1 = 1/T*sum(xt1.*exp(-%i*wk*t1)*step); Temp2 = 1/T*sum(xt2.*exp(-%i*wk*t2)*step); Ak(ii) = clean(abs(Temp1+Temp2));

-->plot2d3(k, Ak)

//­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak

// ε­´É ªµ ¦µ¢ ° ak ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ak µ¤­¤ µ¦ (4.39)

-->Ak2 = ((%pi*k).^2).\(2*A) // nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak Ä ­¤ µ¦ (4.39)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

x t

A/S

ak

A

k

t A /15S

A / 3S

£µ¡ ¸É 4.4 ( oµ¥) ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ ¨³ ( ªµ) ­Á ¦´¤Â Á­o

´ª°¥nµ ¸É 4.7 ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ (half-wave rectifier) Ä £µ¡ ¸É 4.4 ¡¦o°¤ ´Ê ­ ­Á ¦´¤Â Á­o ª· ¸ ε ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ ¸Ê¤¸ µ Áª¨µ T x t

¹É Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º°

­ A sin S t , 0 t 1 ® 1 t 2 ¯0,

­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.15) à ¥ ¸É Z0 1

ak

2

(4.42)

2S / T

2

A A sin S t e jkZ0t dt ³ 0 e jkZ0t dt 2 ³0 21

S

´É º°

1

A sin S t e jkS t dt 2 ³0

µ ­¼ ¦ µ¦®µ ¦·¡´ r [9] ax ³ sin bx e dx

à ¥ ¸É a

jkS , b S

¨³ ak

x

t

e ax a sin bx b cos bx

a 2 b2

³Å o

ª jkS t jkS sin S t S cos S t 1 º

» A «e 2 2 » 2« jkS S 0¼ ¬

A ª e jkS t jk sin S t cos S t 1 º 2 « 0» ¼ 2S 1 k ¬ A ªe jkS 1º¼ 2S 1 k 2 ¬

Á ºÉ° µ e jkS

­ 1, k ® k ¯1,

r1, r3, r5,! r2, r4, r6,!

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-15

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° ak

­Îµ®¦´ k

0

k ­0, ° A ® , k ° S 1 k 2

¯

r1, r3, r5,!

(4.43)

r2, r4, r6,!

nµ a0 ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ µ x t Ä ® ¹ É µ Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (4.16) ´É º° 1

A sin S t dt 2 ³0

a0

1 A ª cos S t º « » 2« S »¼ 0 ¬

A ª cos S 1º¼ 2S ¬

A

S

(4.44)

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â nµ k 0 ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.43) ´ ´Ê  nµ ak ¨³ a0 ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.14) ³Å o ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ º° x t

­A e jkZ0t , k ° ¦ 2 ® S k 1 k

° k ¯0,

a0 ¦ ak e jkZ0t k z0

0, r2, r4,!

(4.45)

r1, r3, r5,!

£µ¡ ¸É 4.4 ( ªµ) ­ ­Á ¦´¤Â Á­o ° ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ SCILAB:

( ´ª°¥nµ ¸É 4.7) // ´ ¸Áª¨µ (time index) k ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak

-->k = [-6:2:6]; -->A = 1;

T = 2;

-->step = 0.00001;

//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ­´ µ µ x t Ä ­¤ µ¦ (4.42)

f = 1/T; t = 0:step:1;

-->xt = A*sin(%pi*t); -->for ii = 1:length(k) --> wk = 2*%pi*f*k(ii); --> Ak(ii) = clean(abs(1/T*sum(xt.*exp(-%i*wk*t)*step))); -->end -->plot2d3(k, Ak)

// ε­´É ªµ ¦µ¢ ° ak ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ak µ¤­¤ µ¦ (4.43)

-->Ak2 = (%pi*(1-k.^2)).\A

// nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak Ä ­¤ µ¦ (4.43)

´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¡· µ¦ µ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T µ¤£µ¡ ¸É 4.5 x t

­1, t T1 ° ® T °¯0, T1 t 2

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(4.46)

x t

t

T1

T1

£µ¡ ¸É 4.5 ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤

 ­´ µ ¸ÊÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ª· ¸ ε ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.15) ´É º° T

1 1 1 e jkZ0t dt T ³T1

ak

SCILAB:

-->T1 = 2; -->step = 0.00001;

1 e jkZ0T1 e jkZ0T1 jkZ0T

-->T

t = -T1:step:T1; //T > 4*T1

= 8*T1;

-->xt = 1; -->for ii = 1:length(k) --> wk = 2*%pi/T*k(ii); --> Ak(ii) = clean(abs(1/T*sum(... --> xt.*exp(-%i*wk*t)*step))); -->end

2 § e jkZ0T1 e jkZ0T1 · ¨ ¸ kZ0T © 2j ¹

kZ0T

// ´ ¸Áª¨µ k ° ak

-->k = [1:3];

T1 1 e jkZ0t t T 1 jkZ0T

2

( ´ª°¥nµ ¸É 4.8)

sin kZ0T1

2T1 sinc kZ0T1

T

Á¤ºÉ° k z 0 , Z0

2S / T

(4.47)

¨³ sinc x º°­´ µ · r ¹É ·¥µ¤Ã ¥ sinc x

­Îµ®¦´ k

0

x 0 ­1, ° ® sin x

, xz0 ° ¯ x

(4.48)

nµ a0 ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ µ x t Ä ® ¹ É µ Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (4.16) ´É º° T

a0

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â nµ k

0

1 1 1 dt T ³T1

2T1 T

¨ Ä ­¤ µ¦ (4.47) ´É º° a0

(4.49) 2T1 sinc 0

T

2T1 T

´ ´Ê ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r

° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸Ê º° บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-17

4T1

T

k

8T1

T

k

16T1

T

k

£µ¡ ¸É 4.6 nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r a ­Îµ®¦´ nµ T nµ Ç k

x t

f

¦ae

jkZ0t

k

k f

2T1 f ¦ sinc kZ0T1 e jkZ0t T k f

(4.50)

£µ¡ ¸É 4.6 ­ ­Á ¦´¤Â Á­o ° ­´ µ µ x t ®¦º° nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ­Îµ®¦´ T 4T1 , T 8T1 , ¨³ T 16T1 ­´ Á ³¡ ªnµÁ¤ºÉ°­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t Ä £µ¡ ¸É 4.5 ¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â Á n T 16T1 nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³Â n ¥µ¥°° Å ¤µ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 4.6 (¨nµ ) Á¤ºÉ°Á ¸¥ ´ £µ¡ ¸É 4.6 ( ) ­Îµ®¦´ T 4T1 SCILAB:

(£µ¡ ¸É 4.6)

-->T = 1;

w0 = 2*%pi/T;

-->T1 = T/4;

-->subplot(3,1,1); -->T1 = T/8;

plot2d3(k, ak);

//£µ¡ ¸É 4.6 ( )

ak = 2*T1/T*sinc(k*w0*T1);

-->subplot(3,1,2); -->T1 = T/16;

k = -25:25;

ak = 2*T1/T*sinc(k*w0*T1);

plot2d3(k, ak);

//£µ¡ ¸É 4.6 ( ¨µ )

ak = 2*T1/T*sinc(k*w0*T1);

-->subplot(3,1,3);

plot2d3(k, ak);

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

//£µ¡ ¸É 4.6 (¨nµ )

µ §¬ ¸ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (4.14) – (4.16) µ¦­¦oµ ­´ µ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r µ¤­¤ µ¦ (4.14) εÁ } o° Ä o ε ª ¡ rÁ } nµ° ´ r ´É º° k > f, f @ °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä µ · ´ · µ¦­¦oµ ­´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤ ³Ä o ε ª ¡ r ε ´ (finite term) ´É º° N

xˆ t

¦ae

jkZ0t

(4.51)

k

k N

¹É ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ³Á } µ¦ ¦³¤µ nµ ° ­´ µ µ ¦· à ¥ ¸É o° · ¡¨µ µ µ¦ ¦³¤µ nµ®µÅ o µ x t xˆ t

e t

x t

N

¦ae

jkZ0t

(4.52)

k

k N

Ä µ¦¡· µ¦ µªnµ­´ µ µ ¸ÉÅ o µ µ¦ ¦³¤µ ¤¸ nµÄ ¨oÁ ¸¥ ´ ­´ µ µ ¦· ®¦º°Å¤n ·¥¤Ä o Á r¡¨´ µ ° o° · ¡¨µ (error energy) Ä ® ¹É µ Áª¨µ T ¹É ·¥µ¤Ã ¥ E

³

T

2

e t dt

³

T

x t

N

¦

2

ak e jkZ0t dt

(4.53)

k N

¨nµª º°­´ µ µ ¸ÉÅ o µ µ¦ ¦³¤µ ³¤¸ nµÄ ¨oÁ ¸¥ ´ ­´ µ µ ¤µ È n°Á¤ºÉ° E ¤¸ nµ o°¥ ´ ´Ê Á¤ºÉ° ε® ε ª ¡ r ¸É ³Ä oÄ ­¤ µ¦ (4.51) ¤µÄ®o nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ¸É ¸ ¸É­» È º° nµ ak ¸É εĮo E ¤¸ nµ o°¥­» ¹É ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ( ¼¡·­¼ rÄ ´ª°¥nµ ¸É 4.9) ak

1 x t e jkZ0t dt T ³T

Á®¤º° ´ ­¤ µ¦ª·Á ¦µ³®rÄ ­¤ µ¦ (4.15) ´ ´Ê ­¦» Å oªnµ µ¦­¦oµ ­´ µ µ à ¥Ä o ε ª ¡ r ε ´ È¥´ ­µ¤µ¦ Ä o­¤ µ¦ (4.15) Ä µ¦®µ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É ¸ ¸É­» Å o ´ª°¥nµ ¸É 4.9 ¡·­¼ rªnµ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ¸É ¸ ¸É­» ¸É εĮo¡¨´ µ ° o° · ¡¨µ µ¤ ­¤ µ¦ (4.53) ¤¸ nµ o°¥­» º° nµ ak ¸É®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.15) ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (4.53) ³Å oªnµ E

³

T

x t

N

¦

k N

2

ak e jkZ0t dt

N N § · jiZ0t · § x t a e x t am e jmZ0t ¸ dt

¦ ¦ i ¸¨ ³T ¨© i N m N ¹© ¹

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-19

N

§

³ ¨© x t ¦ a e

jiZ0t

i

T

i N

N ·§ jmZ0t · ¸ ¨ x t ¦ am e ¸ dt m N ¹© ¹

N N N N § · jiZ0t jmZ0t x t x t x t a e x t a e ai am e j i m Z0t ¸ dt

¦ ¦ ¦ ¦ i m ¨ ³T © i N m N i N m N ¹ N

§ Z ³ ¨© x t x t x t ¦ a e

ji

T

N

x t

0t

i

i N

jmZ0t m

¦a

e

m N

N N · j i m Z0t dt ¸ dt ¦ am ¦ ai ³T e m N i N ¹

µ ­¤ µ¦ (4.22) ´É º° T

³e

j i m Z0t

­T , i m ® ¯0, i z m

dt

0

³Å oªnµ E

N

§ Z ³ ¨© x t x t x t ¦ a e

ji

i

T

0t

x t

i N

N

jmZ0t m

¦a

e

m N

N · ¸ dt T ¦ am m N ¹

2

(4.54)

µ ´Ê ®µ° »¡´ r ° ­¤ µ¦ (4.54) Á ¸¥ ´ ak ­Îµ®¦´ N d k d N ¨oªÄ®o ¨¨´¡ r¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r wE wak

2 ³ x t e jkZ0t dt 2Tak T

0

´ ´Ê nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É ¸ ¸É­ » ¸É ε¤µÄ o­¦oµ ­´ µ µ µ¤­¤ µ¦ (4.51) º° ak

1 x t e jkZ0t dt T ³T

¹É ¦ ´ ­¤ µ¦ (4.15) µ¤ ¸É o° µ¦ µ ´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¡ ªnµ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t µ¤£µ¡ ¸É 4.5 ­µ¤µ¦ ¸É ³­¦oµ ¨´ º ¤µÅ o°¥nµ ­¤ ¼¦ r µ ­¤ µ¦ (4.51) Á¤ºÉ°Ä o ε ª ¡ rÁ } ε ª ° ´ r N f Ä ¦ ¸ ¸É N f ­´ µ µ ¸ÉÅ o µ ­¤ µ¦ (4.51) ´É º° x̂ t ³¤¸¦¼ ¦nµ · Á¡¸Ê¥ Å µ ­´ µ µ o ´ x t à ¥ o° · ¡¨µ ³¤¸ nµ o°¥¨ Á¤ºÉ° N ¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê £µ¡ ¸É 4.7 ­ ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸É­¦oµ µ ­¤ µ¦ (4.51) Á¤ºÉ° T 4T1 ­Îµ®¦´ N 5 , N 10 , N 50 , ¨³ N 100 ¹É ³¡ ªnµÁ¤ºÉ° N ¤¸ nµ o°¥ ­´ µ x̂ t ³ · Á¡¸Ê¥ Å µ ­´ µ x t n° oµ ¤µ ¨³­´ µ x̂ t Á¦·É¤¤¸¦¼ ¦nµ Á®¤º° ´ ­´ µ x t Á¤ºÉ° N ¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê à ¥ ´ÉªÅ §¬ ¸ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r­µ¤µ¦ ¦´ ¦° Å oªnµ­´ µ µ à ¥ ¦³¤µ x̂ t ¸É­¦oµ µ ­¤ µ¦ (4.51) ¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ µ o ´ x t È n°Á¤ºÉ° N o f ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

N

5

N

20

N

50

N

100

£µ¡ ¸É 4.7 ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸É­¦oµ µ ­¤ µ¦ (4.51) ­Îµ®¦´ nµ SCILAB:

N

nµ Ç

(£µ¡ ¸É 4.7)

-->T = 1;

w0 = 2*%pi/T;

-->t = -0.5*T:0.001:0.5*T;

L = length(t);

-->T1 = T/4; -->N = 5; k = -N:N; xt = []; -->for i = 1:L, xt(i) = 2* T1/T*sum(sinc(k*w0*T1).*exp(%i*k*w0*t(i))); end -->subplot(2,2,1); plot2d1(t,xt,rect=[-0.5 -0.2 0.5 1.2]); xgrid(2); -->N = 20; k = -N:N; xt = []; -->for i = 1:L, xt(i) = 2* T1/T*sum(sinc(k*w0*T1).*exp(%i*k*w0*t(i))); end -->subplot(2,2,2); plot2d1(t,xt,rect=[-0.5 -0.2 0.5 1.2]) ; xgrid(2); -->N = 50; k = -N:N; xt = []; -->for i = 1:L, xt(i) = 2* T1/T*sum(sinc(k*w0*T1).*exp(%i*k*w0*t(i))); end -->subplot(2,2,3); plot2d1(t,xt,rect=[-0.5 -0.2 0.5 1.2]) ; xgrid(2); -->N = 100; k = -N:N; xt = []; -->for i = 1:L, xt(i) = 2* T1/T*sum(sinc(k*w0*T1).*exp(%i*k*w0*t(i))); end -->subplot(2,2,4); plot2d1(t,xt,rect=[-0.5 -0.2 0.5 1.2]) ; xgrid(2);

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-21

4.2.6 Á ºÉ° Å µ¦¨¼Án oµ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Ä µ · ´ ·Å¤n εÁ } ªnµ­´ µ µ x t » ­´ µ ³­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ´ª°¥nµ Á n ­´ µ µ ¸ÉÁ¤ºÉ° ε ª ®µ nµ ak ¨oª ¡ ªnµ ak µ ´ª¤¸ nµÁ } nµ° ´ r ´ ´Ê ­´ µ µ ¸É­µ¤µ¦ ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ³ o° ­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ (Dirichlet's conditions) ´Ê ­µ¤ o° ´ ¸Ê [3] 1) ­´ µ µ x t o° ­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­¤ ¼¦ r (absolutely integrable) £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ ´É º° (4.55) ³T x t dt f Á ºÉ° Å ¸Ê nª¥¦´ ¦° Å oªnµ ak

³ x t e

jkZ0t

T

dt

³ x t dt f T

(4.56)

2) ­´ µ µ x t o° ¤¸ ε ª » ­¼ ­» ¨³ » Éε­» Á } ε ª ε ´ £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ 3) ­´ µ µ x t o° ¤¸ ε ª » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° (discontinuities) ε ´ £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ Á ºÉ° µ ­´ µ µ ¸ÉŤn­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ ´Ê ­µ¤ o° ¸1Ê ¤´ ³Å¤nÁ · ¹Ê ¦· Ä µ · ´ · ´ ´Ê ¹ εĮo­¦» Å oªnµ

­´ µ µ ¸ÉŤn¤¸ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° µ¦Â ­´ µ µ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³¨¼nÁ oµ­¼n­´ µ µ ¦· ­Îµ®¦´ » nµ t Á­¤° ­´ µ µ ¸É¤¸ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ε ª ε ´ µ¦Â ­´ µ µ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ µ ¦· » ε® n ¥ Áªo ε® n ¸ÉÁ } » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ¨nµª º°° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ε® n ¸Ê ³¨¼nÁ oµ­¼n nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ ´Ê ­° oµ ° » ¸É¤ ¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ°

´ª°¥nµ ¸É 4.10 ¡· µ¦ µ­´ µ µ x t n°Å ¸Ê µ¤£µ¡ ¸É 4.8 ªnµÁ } ­´ µ µ ¸É­µ¤µ¦ ®µ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o®¦º°Å¤n ) ­´ µ x t

1 t

) ­´ µ x t

§ 2S · sin ¨ ¸ © t ¹

­Îµ®¦´ 0 t d 1 ¸É¤¸ µ Áª¨µ T

1

­Îµ®¦´ 0 t d 1 ¸É¤¸ µ Áª¨µ T

1

1

Á ºÉ° Å Á®¨nµ ¸ÊÁ } Á ºÉ° Å ¡°Á¡¸¥ (sufficient condition) ¸É εĮo­¦» Å oªnµ­´ µ µ x t ´Ê ­µ¤µ¦ ®µ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o  nŤnÄ nÁ ºÉ° ŠεÁ } (necessary condition) Á­¤°Å [3 – 4] ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

1

x t

t

t

§ 2S · ¸ © t ¹

x t

sin ¨

t

x t

t £µ¡ ¸É 4.8 ´ª°¥nµ ­´ µ µ ¸ÉŤn­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦Á¸ ¨ [3]

) ­´ µ x t ­Îµ®¦´ 0 t d 1 ¸É¤¸ µ Áª¨µ T 1 ¹É ¦³ ° Å oª¥£µ ´ (section) ®¨µ¥Ç ­nª à ¥ ¸É£µ ´  n¨³­nª ¤¸ ªµ¤­¼ ¨³ ªµ¤ ªoµ ° ­´ µ Á } ¦¹É ® ¹É ° £µ ´ ·Ê ­nª n° ® oµ ¸Ê ª· ¸ ε ) ­´ µ x t

1 t

1

Á } ­´ µ ¸ÉŤnÁ } Å µ¤Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ o° ¸É® ¹É Á ºÉ° µ ³ 1 dt t

f

´ ´Ê

0

­´ µ ¸ÊŤn­µ¤µ¦ ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ) ­´ µ

x t sin 2S / t

1

­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ o° ¸É® ¹É Á¡¦µ³ªnµ ³ sin 2S / t dt 1 0

°¥n µ Ŧ È µ¤­´ µ ¸Ê Å ¤n ­ ° ¨o ° ´ Á ºÉ ° Å ¸ ¦¸ Á ¨ o ° ¸É ­ ° Á ºÉ ° µ ¤¸ Î µ ª » ­¼ ­» ¨³ » Éε­» Á } ε ª ° ´ r£µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ ´ ´Ê ­´ µ ¸ÊŤn­µ¤µ¦ ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ) ­´ µ x t ¸Ê­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ o° ¸É® ¹É ¨³ o° ¸É­°  nŤn­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ o° ¸É­µ¤Á ºÉ ° µ ¤¸ » ¸É ¤¸ nµÅ¤n n °Á ºÉ ° Á } Î µ ª ° ´ r £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ ´ ´Ê ­´ µ ¸Ê Å ¤n ­µ¤µ¦ ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÅ o บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-23

4.2.7 ¦µ µ¦ r · r µ £µ¡ ¸É 4.7 µ¦­¦oµ ­´ µ µ Ä®o ¨´ º ¤µÃ ¥Ä o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (4.51) ´É º° xˆ t

N

¦ae

jkZ0t

k

k N

Á¤ºÉ° N f ¡ ªnµ¦¼ ¦nµ ° ­´ µ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ³¤¸¨´ ¬ ³ ° µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤ (ripples) ­Îµ®¦´ » nµ N ° µ ¸Ê ¹ ¤oªnµ N ³¤¸ nµ¤µ ¹Ê °¤¡¨· ¼ ° µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤ Ȥ¸ nµÅ¤n¨ ¨  n µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤ ´Ê ³ ¼ ¸ °´ Ä®oÁ oµÄ ¨o » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ¤µ ¹Ê (­´ Á £µ¡ ¸É 4.7) ¦µ µ¦ r ¸ÊÁ¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “ ¦µ µ¦ r · r (Gibb phenomenon)” [3, 4] ´ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ µ¦ ¦³¤µ ­´ µ µ ¸É¤¸ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° x t à ¥Ä o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (4.51) Á¤ºÉ° N ¤¸ nµ ε ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o®¦º° x̂ t ³Â­ µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É­¼ ¨³Á · ðÁª°¦r ¼o (overshoot) ¦·Áª » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° Á¡¦µ³ ³ ´Ê µ¦Â ­´ µ µ ¸É¤¸ » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r o° Á¨º° Ä o nµ N ¸É¤¸ nµ¤µ Á¡¸¥ ¡° ¸É ³ εĮo¡¨´ µ ¦ª¤ ° µ¦ ¦³Á¡ºÉ°¤¤¸ nµ o°¥¤µ Á¤ºÉ°Á ¸¥ ´ ¡¨´ µ ¦ª¤ ° ­´ µ µ x t

4.3 » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ­nª ¸Ê ³° · µ¥ » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥ ³Ä o­´ ¨´ ¬ r CtFS x t m o ak

(4.57)

 ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÁ¡ºÉ°Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É¤¸ µ Áª¨µ T ´ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ° ­´ µ x t à ¥ ¸É ªµ¤Á oµÄ Á ¸É¥ª ´ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ nµ Ç ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê

4.3.1 » ­¤ ´ ·Á · Á­o CtFS CtFS CtFS o ak , y t m o bk ¨³ z t m o ck ´ ´Ê z t Ax t By t º° ε® Ä®o x t m ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ µ x t ¨³ y t Á¤ºÉ° A ¨³ B Á } nµ ´ª ³Å oªnµ­´ µ z t ¤¸ nµ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

ck

Aak Bbk

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(4.58)

´ ´Ê » ­¤ ´ ·Á · Á­o (linearity) ®¦º° » ­¤ ´ · µ¦ o° ´ (superposition) ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r °º CtFS Ax t By t m o Aak Bbk

(4.59)

4.3.2 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk o µ ­´ µ y t x t t0 º ° ­´ µ µ x t

ε® Ä®o x t m ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time shifting) Á } ε ª t0 ® nª¥ ´ ´Ê ­´ µ y t ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

bk

ak e jkZ0t0

(4.60)

¹É ¡·­¼ rÅ o µ bk

 nµ W

t t0 bk

1 y t e jkZ0t dt T ³T

1 x t t0 e jkZ0t dt T ³T

³Å o 1 jkZ W t x W e 0 0 dW T ³T

§1 e jkZ0t0 ¨ ©T

³ x W e T

jkZ0W

· dW ¸ e jkZ0t0 ak ¹

¹É ³Á®È Å oªµn µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ µ ¥´ εĮo µ (magnitude) ° nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¤¸ nµÁ nµÁ ·¤ ´ É º° bk ak e jkZ t ak ´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦Á¨º°É Áª¨µ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° 0 0

CtFS x t t0 m o ak e jkZ0t0

(4.61)

4.3.3 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk o µ ­´ µ y t x t e jM Z t º ° ­´ µ x t

Î µ ® Ä®o x t m ¸É ¼ Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É (frequency shifting) Á } ε ª M ® nª¥ ´ ´Ê ­´ µ y t ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r º° 0

bk

ak M

(4.62)

¹É ¡·­¼ rÅ o µ bk

1 y t e jkZ0t dt ³ T T

1 x t e jM Z0t e jkZ0t dt ³ T T

1 x t e j k M Z0t dt ³ T T

ak M

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-25

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFS x t e jM Z0t m o ak M

(4.63)

4.3.4 » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk o µ ­´ µ y t x t º ° ­´ µ µ x t

Î µ ® Ä®o x t m ¸É ¼ ¡´ µ Áª¨µ (time reversal) ´ ´Ê ­´ µ y t ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

bk

a k

(4.64)

¹É ¡·­¼ rÅ o µ f

x t

¦a

m

e jmZ0t

(4.65)

m f

 nµ m

k

³Å o y t

x t

f

¦

a k e jkZ0t

k f

Á ¦¸¥ Á ¸¥ nµ­´¤ ¦³­· ·Í È ³Å oªnµ bk

a k

f

¦be

jkZ0t

k

(4.66)

k f

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦¡´ ­´ µ ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

CtFS x t m o a k

° µ ¸Ê oµ x t Á } ¢{ r ´ ¼n ´É º° x t x t ³Å oªnµ a k function) ´É º° x t x t ³Å oªnµ a k ak

(4.67) ak

¨³ oµ x t Á } ¢{ r ´ ¸É (odd

4.3.5 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ ε® Ä®o­´ µ µ x t ¤¸ µ ¤¼¨ µ T0 ®¦º°¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Z0 ­´ µ ¸É ¼ ­Á ¨ µ Áª¨µ ´É º° x D t ¥´ Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ T0 / D ®¦º°¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ DZ0 ´ ´Ê ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x D t ¤¸ nµÁ nµ ´ x D t

f

¦ae

jk DZ0 t

k

k f

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¸É ¼ ­Á ¨ µ Áª¨µ¥´ ¤¸ nµÁ nµÁ ·¤ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(4.68)

4.3.6 » ­¤ ´ · µ¦ ¼ CtFS CtFS CtFS o ak , y t m o bk , ¨³ z t m o ck oµ­´ µ z t x t y t º° ε® Ä®o x t m µ¦ ¼ (multiplication) ° ­´ µ µ x t ¨³ y t ´ ´Ê ­´ µ z t ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r º°

f

¦ ab

ck

i k i

ak bk

(4.69)

i f

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution) ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ¼ ´ ° ­´ µ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ (time domain) ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´ ° nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ´Ê ­° ´É º° CtFS x t y t m o ak bk

(4.70)

4.3.7 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ CtFS CtFS CtFS o ak , y t m o bk , ¨³ z t m o ck ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T oµ­´ µ ε® Ä®o x t m z t x t y t º° µ¦ ε ° ꨼ ´ ¦³®ªnµ ­´ µ µ x t ¨³ y t ´ ´Ê ­´ µ z t ¤¸ nµ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

ck

Tak bk

(4.71)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ° ­´ µ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦ ¼ ´ ° nµ­´¤ ¦³­· ·Í ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ´Ê ­° ´É º° CtFS x t y t m o Tak bk

(4.72)

4.3.8 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» CtFS CtFS o ak o bk oµ­´ µ y t x t

ε® Ä®o x t m ¨³ y t m º° nµ­´ ¥» Á · o° (complex conjugate) ° ­´ µ x t ´ ´Ê ­´ µ y t ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

bk

a k

(4.73)

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFS x t m o a k

(4.74) บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-27

Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ´É º° x t

­¤¤µ ¦ ´ ) ¨³ oµ

x t

³Å oªnµ

x t

Á } ¢{ r ´ ¼n ³Å oªnµ ak

x t

Á } ¢{ r ´ ¸É ³Å oªnµ ak Á } ε ª · £µ¡Â o (purely imaginary) ¨³ a0

a k

ak

a k

ak

(¤¸ ªµ¤

¨³ a0 Á } Á¨ ε ª ¦· 0

4.3.9 ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ Á ºÉ° µ ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ­´ µ µ x t ®µÅ o µ P

2 1 x t dt T ³T

(4.75)

CtFS o ak ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ (Parseval’s relation) ³ ·¥µ¤Ã ¥ oµ ε® Ä®o x t m 2 1 x t dt ³ T T

f

¦

2

ak

(4.76)

k f

¹É ¡·­¼ rÅ o µ 2 1 x t dt ³ T T

1 T ³T

2

f

¦ae

jkZ0t

k

dt

k f

f f 1 jkZ0t a e am e jmZ0t dt ¦ ¦ k T ³T k f m f f

f

¦ ¦aa k

m

k f m f

1 j k m Z t e 0 dt T ³T

µ ­¤ µ¦ (4.22) ´É º° 1 j k m Z t e 0 dt T ³T

­1, k m ® ¯0, k z m

´ ´Ê 2 1 x t dt ³ T T

µ¤ ¸É o° µ¦ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

f

¦

k f

ak

2

µ¦µ ¸É 4.1 » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

» ­¤ ´ · ªµ¤Á } Á · Á­o µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É µ¦¡´ µ Áª¨µ µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ µ¦ ¼ µ¦ ε ° ꨼ ´ µ¦­´ ¥»

9. ° »¡´ r

­´ µ µ

­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r

Ax t By t

Aak Bbk

x t t0

ak e

x t e

jM Z0t

ak M

x t

x D t , D ! 0

a k

(¤¸ µ Áª¨µ T / D )

ak

x t y t

ak bk

x t y t

Tak bk

x t

a k

dx t

jkZ0 ak

dt t

10. ¦·¡´ r

ak

³ x W dW

jkZ0

x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦·

ak

f

11. ªµ¤­¤¤µ ¦ ° µ¦­´ ¥»

jkZ0 t0

a k

Re ^ak ` Re ^a k ` Im ^ak ` Im ^a k ` ak

a k

a k (¤»¤Á¢­)

ak

12. ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨

x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n

ak

x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¸É

ak

1

T³

T

2

x t dt

Á } nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n Á } nµ · £µ¡Â o¨³¢{ r ´ ¸É f

¦a

2 k

k f

4.3.10 ­¦» » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk Á } ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ¤¼¨ µ ε® Ä®o x t m T ®¦º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Z0 2S / T µ¦µ ¸É 4.1 ­¦» » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

4.3.11 ­¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É¤¸ µ Áª¨µ T ¨³­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¤­¤ µ¦ (4.14) ¨³ (4.15) Ä ­nª ¸Ê ³­¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ ´ ­ Ä µ¦µ ¸É 4.2 Á¤ºÉ° Z0 2S f0 2S / T บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-29

µ¦µ ¸É 4.2 ­¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ µ x t

­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak

1

G >k @

f

1

k f

T

¦ G t kT

e

jZ0 t

e

j 2S f0 t

G > k 1@

.

1

cos 2S f 0t

2

j

sin 2S f0t

-T

T1

2

x t

1

T1

0

^G > k 1@ G > k 1@`

^G > k 1@ G > k 1@` 2T1 T · § sinc ¨ 2S k 1 ¸ T T¹ ©

t T

x t

ak t

A

G >k @

k 0 ­ A / 2, ° ® A ª1 cos kS º , k z 0 ¼ ° kS 2 ¬ ¯

x t

ak t

k 0 ­ A / 2, ° ® A °¯ 2S k j , k z 0

´ª°¥nµ ¸É 4.11 ¡· µ¦ µ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¹É ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° x t

­1, t T1 ° CtFS o ak ® T m T t 0, 1 °¯ 2

2T1 sinc kZ0T1

T

(4.77)

CtFS o d k ®µ d k ° ­´ µ µ y t Ä £µ¡ ¸É 4.9 ε® Ä®o y t m

ª· ¸ ε Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­´ µ µ y t Ä £µ¡ ¸É 4.9 ´ ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.8 (£µ¡ ¸É 4.5) ³Å oªnµ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

y t

t

£µ¡ ¸É 4.9 ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.11 y t

­Îµ®¦´ T

4

¨³ T1

x t 1

1 §Sk · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹

0.5

ak e jkZ0 1

(4.79)

ak e jkS / 2

(4.80)

CtFS o ck ³Å oªnµ ¨³ g t m

ck

Á ºÉ° µ y t

Ä ­¤ µ¦ (4.77) ¤¸ nµÁ nµ ´

CtFS o bk °µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ³Å oªnµ ¨³ z t m

bk

¨³ oµ g t

(4.78)

1 ´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x t

ak

oµ z t

x t 1 0.5

z t g t

­ 0.5, k 0 ® k z0 ¯0,

(4.81)

´ ´Ê dk

bk ck

­ a0 0.5, k 0 ® jkS / 2 , kz0 ¯ ak e

(4.82)

 nµ ak µ ­¤ µ¦ (4.79) ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.82) È ³Å o­¤´ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t ¤¸ nµÁ nµ ´ dk

k 0 ­0, ° ®1 § S k · jkS / 2 , k z0 ° 2 sinc ¨ 2 ¸ e © ¹ ¯

´ª°¥nµ ¸É 4.12 ¡· µ¦ µ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 4.10 ¹É ¤¸ µ Áª¨µ T ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸Ê

(4.83)

4

ε ª ®µ

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-31

x t

t

£µ¡ ¸É 4.10 ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­µ¤Á®¨¸É¥¤Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.12

ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ­´ µ x t Á } ¦·¡´ r ° ­´ µ y t Ä £µ¡ ¸É 4.9 ´É º° t

x t

³ y W dW

(4.84)

f

CtFS CtFS o d k ¨³ x t m o f k °µ«´¥ » ­¤ ´ ·° »¡´ rÄ µ¦µ ¸É 4.1 ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ´ ´Ê oµ y t m ³Å oªnµ

fk

dk jZ0 k

2d k jS k

(4.85)

 nµ d k µ ­¤ µ¦ (4.83) Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.11 ³Å o­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x t º° fk

­Îµ®¦´ k

0

³Å oªnµ

f0

1 § S k · jkS / 2 , k z0 sinc ¨ ¸e jkS © 2 ¹

(4.86)

­µ¤µ¦ ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ x t ´É º° f0

1 x t dt T ³T

1 2

(4.87)

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ­´ µ x t £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ®µ¦ oª¥ µ Áª¨µ ´ Ê ´ª°¥nµ ¸É 4.13 ¡· µ¦ µ ª ­´ µ °·¤¡´¨­r x t ¸É¤¸ µ Áª¨µ T µ¤£µ¡ ¸É 4.11 ®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸Ê ª· ¸ ε ª ­´ µ °·¤¡´¨­r x t Ä £µ¡ ¸É 4.11 ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° x t

f

¦ G t kT

k f

­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ®µÅ o µ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(4.88)

x t

t

£µ¡ ¸É 4.11 ª ­´ µ °·¤¡´¨­r y t

T1

t

T1

z t

T1

t

T1

£µ¡ ¸É 4.12 ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.14 T /2

ak

2S jk t 1 T G t e dt

³ T T / 2

1 T

(4.89)

­Îµ®¦´ » nµ k ´ ´Ê ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ­´ µ °·¤¡´¨­r º° x t

f

¦ G t kT m o a CtFS

k

k f

1 T

(4.90)

´ª°¥nµ ¸É 4.14 ¡·­¼ rªnµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ y t Ä £µ¡ ¸É 4.12 ­µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o µ ­´ µ µ z t

ª· ¸ ε ­´ µ µ z t ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼Än ¦¼ ° ª ­´ µ °·¤¡´¨­r x t Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.13 Å o º° z t

x t T1 x t T1

(4.91)

CtFS CtFS CtFS o ak , y t m o bk , ¨³ z t m o ck ´ ´Ê °µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ε® Ä®o x t m ³Å oªnµ

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-33

ck

Á¤ºÉ° ak

1 jZ0kT1 jZ0kT1 e e T

ak e jZ0kT1 ak e jZ0kT1

2j sin Z0 kT1

T

(4.92)

µ¤­¤ µ¦ (4.89) ¨³ Z0 2S / T Á ºÉ° µ ­´ µ z t º°° »¡ ´ r ° ­´ µ y t ´É º° 1/ T

dy t

dt

z t

´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ z t ®µÅ o µ ck

jZ0 k bk

(4.93)

 nµ ck µ ­¤ µ¦ (4.92) ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.93) ³Å o bk

­Îµ®¦´ k

0

sin Z0 kT1

kS

§ 1 ·2j ¨ ¸ sin Z0 kT1

© jZ0 k ¹ T

2T1 sinc Z0 kT1 , k z 0 T

(4.94)

³Å oªnµ nµ b0 º° nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ y t ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ 2T1 T

(4.95)

2T1 T· § sinc ¨ 2S k 1 ¸ T T¹ ©

(4.96)

1 y t dt T ³T

b0

´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ y t ¸Ê º° bk

­Îµ®¦´ » nµ k ¹É ¦ ´ ­¤ µ¦ (4.47) Ä ´ª°¥nµ ¸É 4.8 Á¤ºÉ° Z0 ´ª°¥nµ ¸É 4.15 ε® Ä®o x1 t ¨³ x1 t

x2 t

f

¦be

Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T ¨³¤¸¦¼ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° jkZ0t

k

¨³

x2 t

k f

Á¤ºÉ° Z0

2S / T

¡·­¼ rªnµ x t

2S / T

x1 t x2 t

x t

f

¦ce k

jkZ0t

(4.97)

k f

Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T ¨³¤¸¦¼ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° f

¦ae k

k f

à ¥ ¸É ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

jkZ0t

(4.98)

f

ak

¦b c

(4.99)

m k m

k f

ª· ¸ ε µ » ­¤ ´ · ° ­´ µ µ ³Å oªnµ x t T

x1 t T x2 t T

x1 t x2 t

x t

(4.100)

´ ´Ê ­´ µ x t Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T µ ­¤ µ¦ (4.98) ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x t ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.15) ´ É º° 1 x t e jkZ0t T ³T

ak

1 x1 t x2 t e jkZ0t T ³T

1 ­ f jmZ t ½ jkZ t ® ¦ bm e 0 ¾ x2 t e 0 T ³T ¯m f ¿

1

f

f

¦ b T ³ ^ x t e Z ` ¦ b c

m

j k m

T

m f

2

0t

m k m

k f

ck m

¹É ¦ ´ ­¤ µ¦ (4.99) µ¤ ¸É o° µ¦

4.4 ­Á ¦´¤ ε¨´ à ¥ ´ÉªÅ nµ ak 2 ­ ¹ ε¨´ Á ¨¸É¥ (average power) ° ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ k ° ­´ µ µ ´ ´Ê ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ° Ä®o ¦µ ªnµ ε¨´ Á ¨¸É¥¦ª¤ ° ­´ µ µ ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤ ° ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · » °´ ´ ° µ ¸Ê nµ µ oµ ªµ¤º° ° ­¤ µ¦ (4.76) ³Á¦¸¥ ´ ªnµ “­Á ¦´¤ ε¨´ (power spectrum)” ´É º° f

P

¦

2

ak

2

2

2

2

a f ! a 1 a0 a1 ! af

2

(4.101)

k f

¹É ­ Ä®oÁ®È ¹ µ¦Â  ε¨´ ° ­´ µ µ Ä Â n¨³° r ¦³ ° ° ªµ¤ ¸É Á n ε¨´ ° ­´ µ ¸É ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 ¤¸ nµÁ nµ ´ ak 2 ¨³ ¸É ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 ¤¸ nµÁ nµ ´ a k 2  nÁ ºÉ° µ a k ak ³Å o a k 2 ak 2 ´ ´Ê ε¨´ ° ­´ µ Ä ° r ¦³ ° ° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 ¨³ kZ0 ¤¸ nµÁ nµ ´ Á¡¦µ³ªnµ­´ µ e jkZ t ¨³ e jkZ t Á } ­´ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 Á ¸¥ª ´ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ε¨´ ¦ª¤Ä ° r ¦³ ° ° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ kZ0 º° 2 ak 2 0

0

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-35

´ª°¥nµ ¸É 4.16 ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ rÁ Ȥ ¨ºÉ (full-wave rectifier) µ¤ £µ¡ ¸É 4.13 ¡¦o°¤ ´Ê ­ ­Á ¦´¤ ε¨´ ° ­´ µ µ ¸Ê ª· ¸ ε ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ r ¦¹É ¨ºÉ ¸Ê¤¸ µ Áª¨µ T 1 ¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦r Å o º° (4.102) x t A sin S t , 0 t 1 à ¥ ¸É­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ° ­´ µ x t ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.15) ´É º° 1 T

ak

Á¤ºÉ° Z0

2S / T

2S

1

³

T

x t e jkZ0t dt

(4.103)

0

µ ­¼ ¦ µ¦®µ ¦·¡´ r e ax a sin bx b cos bx

ax ³ sin bx e dx

 nµ a

A³ sin S t e j 2S kt dt

j 2S k , b S

¨³ ak

x

t

(4.104)

a 2 b2

¨ Ä (4.103) ³Å o

ª e j 2S kt j 2S k sin S t S cos S t 1 º

» A« 2 2 « » j 2S k S 0¼ ¬

A ªe j 2S kt ^ j 2S k sin S t S cos S t ` 1 º 2 « » 0¼ S 1 4k ¬ 2

A

ª e j 2S k 1º¼

(4.105)

2A , k z0 S 1 4k 2

(4.106)

S 1 4k 2 ¬

Á ºÉ° µ e j 2S k

1

´ ´Ê ak

­Îµ®¦´ k

0

nµ a0 ®µÅ o µ nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ µ x t Ä ® ¹ É µ Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (4.16) ´É º° 1

a0

A³ sin S t dt 0

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â nµ k

ª cos S t 1 º » A « S «¬ 0» ¼

A

ª cos S 1º¼ S¬

2A

S

¨ Ä ­¤ µ¦ (4.106) ´ ´Ê ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸Ê º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications 0

(4.107)

x t

4A2

S

A

2

P 4 A2 9S 2 4 A2 225S 2

k

t

£µ¡ ¸É 4.13 ( oµ¥) ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ rÁ Ȥ ¨ºÉ ¨³ ( ªµ) ­Á ¦´¤ ε¨´ 2A

x t

e j 2S kt

f

¦ 1 4k

S

(4.108)

2

k f

Ä ³ ¸É­Á ¦´¤ ε¨´ ° ­´ µ µ ¸Ê®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.101) ´ ¸Ê f

P

¦

k f

ak

2

f

¦

k f

2

2A S 1 4k 2

!

4 A2 4 A2 4 A2 4 A2 4 A2 ! 225S 2 9S 2 S 2 9S 2 225S 2

£µ¡ ¸É 4.13 ( ªµ) ­ ­Á ¦´¤ ε¨´ ° ­´ µ µ Á¦È ·Å¢Á°°¦rÅ rÁ Ȥ ¨ºÉ

4.5 ¨ ° ­ ° ° ¦³ LTI n°­´ µ µ ¸É °n Á ºÉ° µ Áª¨µ µ ¸É ¨nµª¤µÄ ®´ª o° ¸É 4.1 ¨ ° ­ ° ° ¦³ LTI n°­´ µ ¸ÉÁ } ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³¤¸ ¨¨´¡ r ¸ÉÁ }  Á ¡µ³ ¨nµª º°¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ¨³¤¸ ­´ µ °· ¡» ° ¦³ º° x t

f

¦ae

jkZ0t

(4.109)

k

k f

Á¤ºÉ° ak º° nµ ´ªÄ Ç Á ºÉ° µ  n¨³¡ rÄ ­¤ µ¦ (4.109) Á } ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¹É Á®¤º° ´ ­¤ µ¦ (4.4) Á¤ºÉ° sk jkZ0 ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ ­µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.5) ´É º° y t

f

¦ a H jZ k e Z k

0

j

0 kt

(4.110)

k f

à ¥ ¸É H jZ0 k º° ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É (frequency response) ° ¦³ ¹É ·¥µ¤Ã ¥ f

H jZ0 k

³ h t e

jZ0 kt

dt

(4.111)

f

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-37

­¤ µ¦ (4.110) εĮo ¦µ ªnµ­´ µ Á°µ r¡» y t Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É¤¼ ¨ µ Á n µ ´ ­´ µ °· ¡» x t ° µ ¸Ê oµ ^ak ` º°Á ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x t ¨oª ³Å oªnµ ^ak H jZ0 k ` º°Á ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t

´ª°¥nµ ¸É 4.17 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x t ¨³ ­´ µ Á°µ r¡» y t Á } Å µ¤­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ´ ¸Ê

dy t

4 y t

dt

®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x t

x t

(4.112)

sin 4S t cos 6S t S / 4

ª· ¸ ε Á¦·É¤ o Ä®o®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É H jZ ¹É ­µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥ µ¦ j° ­´ µ x t

Á oµÅ Ä ¦³ µ ­¤ µ¦ (4.1) ³Å oªnµ ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ x t e jZt º° y t

Á¤ºÉ° s

jZ

H jZ e jZt

e jZt

(4.113)

 nµ y t µ ­¤ µ¦ (4.113) ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.112) ³Å o H jZ jZe jZt 4 H jZ e jZt H jZ

1 jZ 4

e jZt

(4.114)

à ¥ ¸É H jZ º°ªnµÁ } nµ ´ª CtFS CtFS o ak o bk ´ ´Ê ¨ ° ­ ° ° ¦³ y t

oµ Î µ® Ä®o x t m ¨³ y t m n°­´ µ °· ¡» Ä Ç ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (4.110) ´É º° y t

f

¦a

k

k f

­ ½ jZ0 kt 1 ® ¾e ¯ jZ0 k 4 ¿

f

¦beZ j

0 kt

k

(4.115)

k f

Á¤ºÉ° bk º°­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ bk

­Îµ®¦´ ­´ µ °· ¡» x t

ak H jZ0 k

ak jZ0 k 4

sin 4S t cos 6S t S / 4

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

°µ«´¥ ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ

(4.116)

1 j 4S t j 4 S t 1 j 6 S t S / 4 j 6 S t S / 4

e ^e e ` 2 e 2j

^

x t

`

1 j 4S t 1 j 4S t 1 jS / 4 j 6S t 1 jS / 4 j 6S t e e e e e e 2j 2j 2 2

(4.118)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (4.118) ¨³ (4.14) ³Å oªnµ­´ µ °· ¡» x t ¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ º° Z0 ¨³¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° a2

 nµ ak ­Îµ®¦´ k b 2

b 3

1 2j

r2, r3

,

a 2

1 2j

,

a3

1 jS / 4 e ¨³ a 3 2

2S

1 e jS / 4 2

¨ Ä ­¤ µ¦ (4.116) ³Å o

a 2 j 2S 2 4

a 3 j 2S 3 4

1 2 j 4 j 4S

¨³

b2

a2 j 2S 2 4

1 2 j 4 j 4S

e jS / 4 2 4 j 6S

¨³

b3

a3 j 2S 3 4

e jS / 4 2 4 j 6S

 nµ bk ­Îµ®¦´ k r2, r3 ¨ Ä ­¤ µ¦ (4.115) È ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y t Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x t sin 4S t cos 6S t S / 4

4.6 o° ª¦ ¦µ Á ¸¥É ª ´ ªµ¤ ¸É ªµ¤ ¸É (frequency) Á } ¡µ¦µ¤·Á °¦r ¸ÉÄ oª´ ε ª ¦° ° ­´ µ ¦¼ ¨ºÉ n°® ¹É ª· µ ¸ ¤¸® nª¥Á } ¦° n°ª· µ ¸ ®¦º°Á±·¦ r (Hz: hertz) Ä µ · ´ · ªµ¤ ¸É ¸É¤¸ nµÁ } “ nµ¨ (negative value)” ¼ ε® ¹Ê ¤µ Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦° · µ¥ §¬ ¸ µ · «µ­ ¦r nµ Ç Á n ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series), µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform), µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ (Laplace transform) ¨³ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform) Á } o °¥nµ Ŧ È µ¤­´ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É nµ¨ (negative frequency) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É nµ ª (positive frequency) Å oà ¥°µ«´¥Á° ¨´ ¬ r ¦¸Ã ¤· · Á n cos 2S ft T cos 2S ft T

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r Á ¸¥ª ´ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°

cos r2S ft T

e r j 2S ft

¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´

f

¸É¤¸ nµÁ } nµ ª Ä Îµ °

cos 2S ft r j sin 2S ft

บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-39

È º°ªnµ¤¸ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ f ¹É ¤¸ nµÁ } nµ ª ´ ´Ê ­¦» Å oªnµ “ µ¦¤¸°¥¼n ¦· (existence)” ° ­Á ¦´¤ ¸É ªµ¤ ¸É f kf0 Á¤ºÉ° k º°Á¨ ε ª Á Ȥ Á } Á¡¸¥ ´ª n ¸ÊªnµÁ¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° e j 2S kf t e jkZ t ¤¸°¥¼n ¦· Ä ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Á¤ºÉ° Z0 2S f 0 º° ªµ¤ ¸É Á · ¤»¤ ¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ 0

0

4.7 ­¦» oµ¥ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É±µ¦r¤° · nµ Ç ° ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ à ¥ ¸É­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r Á®¨nµ ¸Ê ³ ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ È º°ªnµ¤¸ ªµ¤­Îµ ´ n° µ¦ª· Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ ¤µ Á¡¦µ³ n ª ¥ Î µ Ä®o µ¦®µ° » ¦¤¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ° ­´ µ µ ¸É ´ o ° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ­» oµ¥Ä ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ µ¦®µ­Á ¦´¤ ε¨´ ° ­´ µ µ ¦ª¤ ´Ê µ¦®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

4.8  f ®´ oµ¥ 1) ®µ µ ¤¼¨ µ ¨³­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ n°Å ¸Ê 1.1) x t

§ 5S cos ¨ © 3

· § 3S t ¸ sin ¨ ¹ © 3

1.2) x t

§ 2S 2 cos ¨ © 3

1.3) x t

§ 2S 1 2 cos ¨ © 5

1.4) x t

2 cos 2 Zt 3sin Zt S / 2

· t¸ ¹

· § 5S t ¸ 3sin ¨ ¹ © 3

· t¸ ¹

· § 3S t ¸ 3sin ¨ ¹ © 2

· t¸ ¹

2) ε® Ä®o­´ µ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¸É¤¸ µ Áª¨µ T a1

a 1

2

¨³ a3

a 3

4j

8

f

­ ­´ µ x t Ä ¦¼ ° x t ¦ Ak cos Zk t Tk

k 0

3) ε® Ä®o 0 d t d1 ­t , x t ® ¯2 t , 1 d t d 2

Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ T

¨³¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

2

¨³¤¸­´¤ ¦³­· ·Í¢¼Á¦¸¥¦r º° ak

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

3.1) ®µ nµ ak ­Îµ®¦´ k

0,1, 2,!

3.2) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ g t

dx t

dt

CtFS CtFS o ak ¨³ y t m o bk ¡·­¼ rªnµ­´ µ z t

4) oµ x t m ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° Tak bk Á¤ºÉ° T º° µ Áª¨µ

5) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x t

cos 4S t , y t sin 4S t

x t y t

¨³ z t

¤¸­´¤ ¦³­· ·Í

x t y t

6) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x t n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ ¦µ¢ ° ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o x t

t

7) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x t n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ ¦µ¢ ° ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o x t

t

8) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x t n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ ¦µ¢ ° ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o x t

t

9) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¸É ¤¸ ªµ¤­´ ¤ ¡´ r ¦ ³®ªn µ ­´ µ °· ¡» x t ¨³­´ µ t Á°µ r¡» y t º° y t ³ f e t W x W dW บทที่ 4 อนุกรมฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 4-41

9.1) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ¸Ê 9.2) ­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ est Á } ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction) ° ¦³ ¸Ê 9.3) ®µ nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenvalue) ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° est 10) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¸É ¤¸ ¨ ° ­ ° °· ¤ ¡´ ¨ ­r Á } ¢{ r ´ n µ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n ¡·­¼ rªnµ­´ µ cos Zt ¨³ sin Zt Á } ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction) ° ¦³ ¸Ê ¨³¤¸ nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenvalue) Á®¤º° ´ 11) ε® Ä®o¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x t ¨³­´ µ Á°µ r¡» y t µ¤­¤ µ¦Á · ° »¡´ r dy t

dt

3y t

x t

®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á°µ r¡» y t Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° 11.1) x t

u t

11.2) x t

cos 3S t

11.3) x t

sin 3S t cos 6S t S / 3

12) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦ªµ ¦µ¢ ° ­´ µ n°Å ¸Ê 12.1) 12.2)

x t

1 N § kS · ¦ sinc ¨© 10 ¸¹ e j 200S kt 10 k N

­Îµ®¦´ N

10, 20, 40

§ k 2 S · § k 2 S j N °­ sinc ¨ ¸ sinc ¨ ¦ k N ® 4 2 2 °¯ © ¹ © –200 ms < t < 200 ms x t

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 4-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

¨³ –15 ms < t < 15 ms

· °½ j 5S kt ¸¾ e ¹ °¿

­Îµ®¦´ N

3,5,10

¨³

¸É 5 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ¸É 4 Å o­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Å oà ¥Ä oÁ ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS: continuous-time Fourier series) ¹É nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ­Îµ®¦´ Ä ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Â ¨ “­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time aperiodic signal)” Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° à ¥Ä oÁ ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS: discrete-time Fourier series)” [3, 4] ¡¦o°¤ ´Ê ° · µ¥ » ­¤ ´ · nµ Ç ¸É­Îµ ´ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ³¡ ªnµ¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡¸¥  n » ­¤ ´ · µ o° ³Â nµ ´ °¥nµ ´ Á

5.1 ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discretetime LTI system) Á¡¦µ³ªnµ­´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ °· ¡» ¸ÉÁ } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ °· ¡» Á ·¤Â n°µ ¤¸Â°¤¡¨· ¼ ° ­´ µ Á ¨¸É¥ Å ´ ­ n°Å ¸Ê ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ oµ ε® Ä®o­´ µ °· ¡» x > n@ z n Á } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ®µÅ o µ y > n @ T ^ x > n @` h > n @ x > n @ zn

f

¦ h >k @ z

k f

k

f

f

k f

k f

¦ h >k @ x >n k @ ¦ h >k @ z

znH z

n k

(5.1)

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-1

Á¤ºÉ°

H z

Á } nµ ´ªÁ · o° ¸É ¹Ê ´ ´ªÂ ¦ z ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ f

H z

¦ h >k @ z

k

(5.2)

k f

­¤ µ¦ (5.1) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­´ ¨´ ¬ rÅ o º°

^ `

y > n@ T z n

znH z

(5.3)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁ¤ºÉ° j° ­´ µ °· ¡» z n Á oµÅ Ä ¦³ LTI ³Å o­´ µ Á°µ r¡» Á } z n H z ´ ´Ê Ä ¦ ¸ ¸Ê z n º°¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction) ¨³ H z º° nµ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenvalue) ° µ ¸Ê oµ ε® Ä®o­´ µ °· ¡» ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ´É º° m

x > n@

n k k

¦a z

a1 z1n a2 z2n ! am zmn

(5.4)

k 1

³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ º° y >n@

m

¦a H z z k

k

n k

k 1

a1 H z1 z1n a2 H z2 z2n ! am H zm zmn

(5.5)

´ ´Ê ­¦» Å oªnµ­Îµ®¦´ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oµ­´ µ °· ¡» ° ¦³ º° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á ¨¸É¥ Å µ¤­¤ µ¦ (5.5) ´ª°¥nµ ¸É 5.1 ­´ µ \ m > n@ ¨³ \ k > n@ ³ ¼ Á¦¸¥ ªnµÁ } ­´ µ ¸É ´Ê µ ´ (orthogonal) Ä nª > N1 , N 2 @ È n°Á¤ºÉ°­´ µ ´Ê ­° ¸Ê­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å n°Å ¸Ê N2

¦ \ > n@\ > n@ m

k

n N1

­0, m z k ® ¯D , m k

(5.6)

Á¤ºÉ ° \ > n@ º ° ­´ ¥» Á · o ° ° ­´ µ \ > n@ ¨³ D z 0 ¡· ­¼ r ªn µ ­´ µ Á¨ ¸Ê Î µ ¨´ Á · o ° \ k > n @ e jk 2S / N n Á¤ºÉ° k 0,1, 2,! , N 1  n¨³­´ µ Á } ­´ µ ¸É ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ £µ¥Ä nª ªµ¤¥µª N ª· ¸ ε µ Á° ¨´ ¬ r n°Å ¸Ê 5-2

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

N 1

¦D

D 1 ­N, ° N ®1 D , D z1 ° ¯ 1 D

n

n 0

e jk 2S / N

 nµ D

(5.7)

¨ Ä ­¤ µ¦ (5.7) ³Å o N 1

¦e

­N , ° ®1 e jk 2S / N N ° jk 2S / N

¯ 1 e

jk 2S / N n

n 0

k

0, r N , r2 N ,!

(5.8)

0, else

Á ºÉ° µ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  n¨³ ´ªÄ ­¤ µ¦ (5.8) Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Á nµ ´ ­¤ µ¦ (5.8) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ }

¦e

n

Á¤ºÉ°­´ ¨´ ¬ r n n

­ N , k 0, r N , r2 N ,! ® ¯0, else

jk 2S / N n

N

®¤µ¥ ¹ nµ n ¸ÉÄ o ³Á¦¸¥ n° ´ Á } ε ª N ¡ r Á n n 2,3,! , N 1 ÈÅ o Á¡¦µ³ ³ ´Ê µ ­¤ µ¦ (5.6) ¨³°µ«´¥­¤ µ¦ (5.9) ³Å o m

n

k

N

n

jm 2S / N n jk 2S / N n

N

n

0,1,! , N 1 ®¦º°

­N , m k ® ¯0, m z k

j m k 2S / N n

¦e

e

´ ´Ê

(5.9)

N

¦ \ > n@\ > n@ ¦ e

N

N

Á¤ºÉ° m N ¨³ k N ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o°  n¨³­´ µ Á } ­´ µ ¸É ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ £µ¥Ä nª ªµ¤¥µª N ´ª°¥nµ ¸É 5.2 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ º° h > n@ Á°µ r¡» ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@ e 2 n

G > n 3@

®µ­´ µ

ª· ¸ ε ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ®µÅ o µ y > n@

x > n@ h > n@

f

f

k f

k f

¦ x >k @ h >n k @ ¦ e

2 k

G > n k 3@

e 2 n 3

e 2 n e6

®¦º°­µ¤µ¦ ®µ­´ µ Á°µ r¡» Å o µ ­¤ µ¦ (5.3) Á ºÉ° µ ­´ µ °· ¡» Á } ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° à ¥Ä ¦ ¸ ¸Ê ³Å oªnµ z e 2 ´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (5.2) ³Å o f

¦ G > k 3@ e

H e 2

k f

2

k

f

¦ G > k 3@ e

2k

e 2 3

e6

k f

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-3

¨³ µ ­¤ µ¦ (5.3) ³Å o 2 n

e H z

y >n@

e 2 n e 6

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´

5.2 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ´ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS) ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ¨ ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ (®¦º°­´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° Áª¨µ) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É (®¦º°­´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É) ¹É µ¦Â­ ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ à Á¤ ªµ¤ ¸É ³ nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê

5.2.1 ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º°­´ µ ¸É­µ¤µ¦ ®µ µ Áª¨µ x > n@

N

( ¸ÉÁ } nµ ª ) ¸É εĮo

x >n N @

(5.10)

­Îµ®¦´ » nµ n Á¤ºÉ° N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª à ¥ nµ N ¸É o°¥­» ¸É¥´ εĮo­¤ µ¦ (5.10) Á } ¦· ³Á¦¸¥ ªnµ “ µ ¤¼¨ µ (fundamental period)” ¨³ Z0 2S / N º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° \ k > n @ e jkZ n 0

e jk 2S / N n , k

0, r1, r2,!

(5.11)

³¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ ±µ¦r¤° · à ¥ ¸É n¨³­´ µ ³¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤Á } ¡®» ¼ (multiple) ° µ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ ´É º° Zk k 2S / N ­´ Á µ ­¤ µ¦ (5.11) ¡ ªnµ­´ µ \ k > n @ ¤¸­´ µ ¸É  nµ ´ Á¡¸¥ N ­´ µ Á nµ ´Ê Á ºÉ° µ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­° ­´ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É nµ ´ Á } ¡®» ¼ ° 2S ³ º°ªnµÁ } ­´ µ Á ¸¥ª ´ ´É º° \ k > n @ \ k iN > n @

(5.12)

Á¤ºÉ° i º°Á¨ ε ª Á Ȥ ´ª°¥nµ Á n \ i > n @ \ i N > n@ \ i 2 N > n @ Á } o ¹É  nµ µ ¦ ¸ ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ \ k t e jk 2S / T t ¸É ·¥µ¤Ä ­¤ µ¦ (4.13) Á¡¦µ³ªnµ­´ µ \ k t

¤¸ nµÂ nµ ´ ­Îµ®¦´ » nµ k 5-4

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

5.2.2 ¨¦ª¤Á · Á­o ° Á¨ ¸ Ê Îµ¨´ Á · o° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ Ä Ç ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ ±µ¦r¤° · Å o º° x > n@

¦ a \ > n@ ¦ a e k

k

k

k

jkZ0 n

k

¦a e k

jk 2S / N n

(5.13)

k

Á¤ºÉ° ak º° nµ ´ª ­´ µ Ä ­¤ µ¦ (5.13) ¥´ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N à ¥ ¸É ° r ¦³ ° ° ­´ µ Á¤ºÉ° k i Á¦¸¥ ªnµ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ i (i–th harmonic component) Á¤ºÉ° i d N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ Á ºÉ° µ ­´ µ \ k > n @ ¤¸ ªµ¤Â nµ ´ Á¡¸¥ N ­´ µ Á nµ ´Ê ´ ´Ê ¨¦ª¤Ä ­¤ µ¦ (5.13) ¹ ­µ¤µ¦ Ä oÁ¡¸¥ N ¡ r ÈÅ o ´É º° x > n@

µ¦Â ­´ µ µ x > n @ discrete-time Fourier seires)”

¦ae k

k

jk 2S / N n

(5.14)

N

µ¤­¤ µ¦ (5.14) ³Á¦¸¥ ªnµ “° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS:

5.2.3 µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ Ä µ¦Â ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (5.14) ´Ê ­·É ¸É­Îµ ´ º° ³ o° ¦µ nµ ´ª ak ­Îµ®¦´ » nµ k ¹É ­µ¤µ¦ ®µÅ o ´ ¸Ê µ ­¤ µ¦ (5.14) Ä®o ε µ¦ ¼ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (5.14) oª¥ e jr 2S / N n ³Å oÁ } § · jr 2S / N n jk 2S / N n ¨¨ ¦ ak e ¸¸ e ©k N ¹

x > n @ e jr 2S / N n

µ ´Ê ε µ¦®µ ¨¦ª¤ ° ­¤ µ¦ (5.15) ε ª

¦ x > n@ e

n

jr 2S / N n

N

N

¡ r ´É º°

j k r 2S / N n

¦ ¦ae k

n

N k

(5.15)

N

j k r 2S / N n

¦a ¦e k

k

N

n

(5.16)

N

µ ­¤ µ¦ (5.9) ³Å oªnµ j k r 2S / N n

¦e

n

N

­N , k r ® ¯0, else

0, r N , r2 N ,!

(5.17)

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-5

¡· µ¦ µ­¤ µ¦ (5.16) Á¤ºÉ° k

r

³Å o

¦ x > n@ e

n

jr 2S / N n

Nar

(5.18)

N

´ ´Ê ­¦» Å oªnµ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® à ¥ x > n@

¦ae k

k

jkZ0 n

(5.19)

N

¨³ 1 N

ak

¦ x > n@ e

n

jkZ0 n

(5.20)

N

à ¥ ¸É Z0 2S / N ¨³ ak Á¦¸¥ ªnµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r®¦º°­´¤ ¦³­· ·Í­Á ¦´¤ ° ­´ µ µ x > n @ ¹É Ä oÁ } ´ªª´ ­´ ­nª ° ­´ µ x > n @ Ä Â n¨³±µ¦r¤° · ¨³ nµ a0 º°° r ¦³ ° Å¢¢jµ ¦³Â­ ¦ (d.c. component) ° ­´ µ x > n@ ¹É ®µÅ o µ µ¦Â nµ k 0 ¨ Ä ­¤ µ¦ (5.20) ´É º° 1 N

a0

¦ x > n@

n

(5.21)

N

¹É È º° nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ x > n@ £µ¥Ä ® ¹É µ Áª¨µ N à ¥ ´ÉªÅ ­¤ µ¦ (5.19) Á¦¸¥ ªnµ­¤ µ¦­´ Á ¦µ³®r (synthesis equation) ¨³­¤ µ¦ (5.20) Á¦¸¥ ªnµ­¤ µ¦ª·Á ¦µ³®r (analysis equation) ° µ ¸Ê­¤ µ¦ (5.14) εĮo ¦µ ªnµ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¼ ε® oª¥­´ µ ¡ºÊ µ \ k > n@ e jk 2S / N n Á¡¸¥ N ¡ rÁ nµ ´Ê ´ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ­´¤ ¦³­· ·Í ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³ Êε ´ª¤´ Á° » Ç N ¦´Ê ´É º° ak

ak N

(5.22)

®¦º°°µ ¨nµªÅ oªnµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } µ Á n ´ à ¥¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 5.3 ε® Ä®o­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ª 2S n º ª 2S n º ª 4S n S º 3cos « cos « » x > n @ 1 sin « » » 2¼ ¬ N ¼ ¬ N ¼ ¬ N

®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸Ê 5-6

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

(5.23)

ª· ¸ ε °µ«´¥ ªµ¤­´¤¡´ r ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ x > n@ 1

§ 2S · § 2S · § 2S · § 2S · § 4S · §S · § 4S · §S · 1 § j ¨© N ¸¹ n j ¨© N ¸¹n · 3 § j ¨© N ¸¹ n j ¨© N ¸¹ n · 1 § j ¨© N ¸¹ n j ¨© 2 ¸¹ j ¨© N ¸¹ n j ¨© 2 ¸¹ · e e e e e e ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ 2¨ ¸ 2¨ ¸ 2 j ¨© ¹ © ¹ © ¹ § 2S ·

§ 2S ·

§ 4S ·

§ 4S ·

§ 3 1 · j¨ ¸n § 3 1 · j¨ ¸n 1 j S j¨ ¸n 1 j S j¨ ¸n 1 ¨ ¸ e © N ¹ ¨ ¸ e © N ¹ e 2 e © N ¹ e 2 e © N ¹ 2 2 ©2 2j¹ ©2 2j¹

(5.24)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (5.19) ¨³ (5.24) ¡ ªnµ­´ µ µ x > n@ ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° a0

1

a1

3 1 2 2j

a 1

3 1 2 2j

a2

1 j S2 e 2

a 2

3 1 j 2 2 3 1 j 2 2 1 j 2

1 j S2 e 2

1 j 2

a0

a1

a 1

a2

a 2

1

10 2 10 2 1 2 1 2

¨³

a0

0

¨³

a1

§1· tan 1 ¨ ¸ ©3¹

0.3217

¨³

a 1

§1· tan 1 ¨ ¸ 0.3217 ©3¹

¨³

a 2

S

¨³

a 2

2

S 2

£µ¡ ¸É 5.1 ­ nµ ¦· ¨³ nµ · £µ¡ ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¨³£µ¡ ¸É 5.2 ­ µ ¨³¤»¤Á¢­ ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Á¤ºÉ° ε® Ä®o µ Áª¨µ¤¸ nµÁ nµ ´ N 7 ¹É ³Á®È Å oªnµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¤¸¨´ ¬ ³Á } µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N 7 Á n ´ ´ª°¥nµ ¸É 5.4 ¡· µ¦ µ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ µ¤£µ¡ ¸É 5.3 ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¸Ê ª· ¸ ε nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (5.20) ´É º° ak

Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ m

n N1

1 N

N1

¦e

jk 2S / N n

(5.25)

n N1

Ä ­¤ µ¦ (5.25) ³Å o บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-7

ak

Re ^ak `

k ak

Im ^ak `

k

£µ¡ ¸É 5.1 ( ) nµ ¦· ¨³ ( ) nµ · £µ¡ ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ­Îµ®¦´ ( ) µ ° ak

N

7

ak 10 / 2

1 -N

-2 -1

0.5 0

ak

( ) ¤»¤Á¢­ ° ak

k

N

2

1

S /2

0.3217 -N

k

N

0 – 0.3217 S / 2

£µ¡ ¸É 5.2 ( ) µ ¨³ ( ) ¤»¤Á¢­ ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ­Îµ®¦´

N

7

x > n@

N

N1

N1

N

n

£µ¡ ¸É 5.3 ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ak

1 N

2 N1

¦e

jk 2S / N m N1

m 0

µ ° » ¦¤Á¦ µ · (geometric series) 5-8

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

1 jk 2S / N N1 2 N1 jk 2S / N m e ¦e N m 0

(5.26)

M

ÂŚD i 0

i

1 D M 1 D z1 1 D ,

—´ÂŠÂœ´ĂŠÂœ­¤Â„¾Œ (5.26) ­¾¤¾ŒÂ™Â‹´Â—ŒŸžÄŽ¤nŗoà ž}Âœ ak

1 jk 2S / N N1 § 1 e jk 2S / N 2 N1 1 ¡ e ¨¨ ¸¸ jk 2S / N

N Š 1 e š 1 jk 2S / N N1 e jk 2S / N N1 0.5 § e jk 2S / N N1 0.5 e jk 2S / N N1 0.5 ¡ e ¨¨ ¸¸ jk 2S / N / 2 jk 2S / N / 2 jk 2S / N / 2 N e e e Š š 1 sin S k 2 N1 1 / N

sin S k / N

N 2 N1 1 ­° sinc S k 2 N1 1 / N ½° Ž ž sinc S k / N

N ¯° ¿°

(5.27)

­ĂŽ¾ŽŒ´Â?š„‡nÂľ k —´ÂŠÂœ´ĂŠÂœ­´¤ÂžŒ³­¡ÂšÂ›¡Ă?°ÂœÂťÂ„Œ¤¢Ÿà Œ¸¼ŒrÂ…°ÂŠ­´Â?Â?¾–‡¾Â? x > n @ ‡º° ak

SCILAB:

­ 2 N1 1 / N , k 0, r N , r2 N ,! ° Ž 2 N1 1 ­° sinc S k 2 N1 1 / N ½° ž , else ° N Ž sinc S k / N

°¯ °¿ ¯

(5.28)

(˜´ª°¼n¾Šš¸Ă‰ 5.4)

-->N1 = 2;

N = 7;

Wk = 2*%pi/N;

n = -N1:N1;

-->for ii = 1:length(k) --> Ak(ii) = clean(sum(exp(-%i*k(ii)*Wk*n))/N); -->end

k = 0:N-1 //‡nÂľ ak ˜¾¤­¤Â„¾Œ (5.25)

-->temp = (2*N1+1)/N; -->for ii = 1:length(k) --> if modulo(k(ii),N)==0 then --> Ak2(ii) = temp; //‡nÂľ ak ˜¾¤­¤Â„¾Œ (5.28) --> else --> Ak2(ii) = temp*sinc(%pi*k(ii)*temp)/sinc(%pi*k(ii)/N); --> end -->end -->Xn

= [1 1 1 0 0 1 1];

-->Ak3 = clean(fft(Xn)/N)'

//­´Â?Â?¾– x > n @ ˜¾¤Âš¸Ă‰ĂƒÂ‹ÂšÂĽr„ξŽÂœÂ— //‡nÂľ ak š¸Ă‰Ă…—o‹¾„„¾ŒĂ„Â?o‡Î¾­´Ă‰ÂŠ fft Â…°ÂŠĂƒÂžÂŚĂ‚„Œ¤ SCILAB ÂŽšĂ‰ÂŠ¤¸Â‡n¾à šn¾„´Â? Ak Ă‚¨³ Ak2

บทท฾ŕšˆ 5 อนุภรลŕ¸&#x;บŕš€ร฾ยรďœŽŕ¸—฾ŕšˆŕš„ลďœŠŕ¸•ďœŠอŕš€ŕ¸™มŕšˆองทาŕ¸‡ŕš€ว฼า 5-9

N1

2

N1

4

£µ¡ ¸É 5.4 nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r a ­Îµ®¦´ nµ k

N1

nµ Ç Á¤ºÉ°

N

20

£µ¡ ¸É 5.4 ­ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ­Îµ®¦´ N 20 Á¤ºÉ° N1 2 ¨³ N1 4 ­´ Á ³¡ ªnµ Á¤ºÉ°­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x > n@ Ä £µ¡ ¸É 5.2 ¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â Á n N1 2 nµ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³Â n ¥µ¥°° Å ¤µ µ¤£µ¡ ¸É 5.4 ( ) Á¤ºÉ°Á ¸¥ ´ £µ¡ ¸É 5.4 (¨nµ ) Á¤ºÉ° N1 4 ° µ ¸Ê ³Á®È Å oªnµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸¨´ ¬ ³ Á } µ oª¥Á n ´ ¹É ³ ¦ ´ oµ¤ ´ ¦ ¸ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ SCILAB:

(£µ¡ ¸É 5.4)

-->N = 20;

k = -40:40;

-->N1 = 2; x = 2*N1+1; -->ak = (x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N); -->subplot(2,1,1); plot2d3(k, ak);

//£µ¡ ¸É 5.4 ( )

-->N1 = 4; x = 2*N1+1; -->ak = (x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N); -->subplot(2,1,2); plot2d3(k, ak);

//£µ¡ ¸É 5.4 (¨nµ )

´ª°¥nµ ¸É 5.5 ®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x > n @ 8sin S n / 2

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(5.29)

Á¤ºÉ° ε® Ä®o µ Áª¨µ ° ­´ µ x > n@ º°

N

4

ª· ¸ ε Á ºÉ ° µ ­´ µ µ x > n @ ¤¸ µ Áª¨µ N 4 ´ ´Ê ­´ ¤ ¦³­· ·Í ° » ¦¤¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r 4 ´ª ÈÁ¡¸¥ ¡°­Îµ®¦´ Ä oÄ µ¦Â ­´ µ x > n@ ¹É ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (5.20) ´É º° ak

à ¥ ¸ÉÁ¤ºÉ° k

­Îµ®¦´ k

1

0,1, 2,3

Î µ ª

(5.30)

³Å o

§Sn · 2 ¦ sin ¨ ¸ © 2 ¹ n 4

a0

a1

0

1 §Sn · ¦ 8sin ¨© 2 ¸¹ e jk 2S / 4 n , k 4n 4

ak

­ §S · § 3S · ½ 2 ®sin 0 sin ¨ ¸ sin S sin ¨ ¸ ¾ ©2¹ © 2 ¹¿ ¯

2 ^0 1 0 1 ` 0

³Å o

§ S n · j S / 2 n 2 ¦ sin ¨ ¸e © 2 ¹ n 4

­ § S · j S /2 § 3S · j 3S / 2 ½ 2 ®sin 0 sin ¨ ¸ e sin S e jS sin ¨ ¸ e ¾ ©2¹ © 2 ¹ ¯ ¿

2 ^0 1 j 0 1 j ` 4 j

­Îµ®¦´ k a2

2

³Å o

§ S n · j 2 S / 2 n 2 ¦ sin ¨ ¸e © 2 ¹ n 4

­ § S · jS 1 § 3S jS 2 2 ®sin 0 sin ¨ ¸ e sin S e sin ¨ 2 © ¹ © 2 ¯

· jS 3 ½ ¾ ¸e ¹ ¿

2 ^0 1 0 0 1 0 ` 0

¨³­Îµ®¦´ k a3

3

³Å o

§ S n · j 3 S / 2 n 2 ¦ sin ¨ ¸e © 2 ¹ n 4

­ § S · j3 S / 2 § 3S · j 3 3S / 2 ½ 2 ®sin 0 sin ¨ ¸ e sin S e j 3S sin ¨ ¸ e ¾ ©2¹ © 2 ¹ ¯ ¿

2 ^0 1 j 0 1 j ` 4 j

´ ´Ê ­´ µ µ x > n @

8sin S n / 2

x > n@

¹É ³Å o ε ° Á nµ ´ º° a0

­µ¤µ¦ Á ¸¥  oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (5.19) º°

¦ae k

k

0 , a1

jk S / 2 n

4 je j S / 2 n 4 je j 3 S / 2 n

(5.31)

4

4 j , a2

0

¨³ a3

4j

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-11

SCILAB:

-->N

( ´ª°¥nµ ¸É 5.5) = 4;

n = 0:N-1;

Wk = 2*%pi/N;

k = 0:N-1

-->Xn = 8*sin(%pi*n/2); // nµ ak µ¤­¤ µ¦ (5.30)

-->for ii = 1:length(k)

--> Ak(ii) = clean(sum(8*sin(%pi*n/2).*exp(-%i*k(ii)*Wk*n))/N); -->end -->Ak' ans = 0

4.i

0

- 4.i // nµ ak ¸ÉÅ o µ µ¦Ä o ε­´É fft ° à ¦Â ¦¤ SCILAB

-->Ak = clean(fft(Xn)/N) Ak

= 0 - 4.i

0

4.i

-->Xn = clean(8*sin(%pi*n/2)) Xn = 0.

8.

0.

- 8.

// nµ x > n @ µ ­¤ µ¦ (5.29)

-->Xk = clean(-4*%i*exp(%i*%pi/2*n) + 4*%i*exp(%i*3*%pi/2*n)) Xk = 0

8.

0

// nµ x > n @ µ ­¤ µ¦ (5.31) ¹É Ä®o ¨¨´¡ rÁ nµ ´ ´ ° ­¤ µ¦ (5.29)

- 8.

5.2.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ ®´ª o° ¸É 4.2.6 ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° ε ª ¡ r ¸ÉÄ oÄ µ¦­¦oµ ­´ µ µ µ¤­¤ µ¦ (4.51) ¤¸ nµ° ´ r ¤· ³ ´Ê ¨oª ³Á · ¦µ µ¦ r · r » ¸É ­´ µ µ ¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° °¥nµ Ŧ È µ¤­Îµ®¦´ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n @ ³Å¤n¤¸ { ®µÁ¦ºÉ° µ¦¨¼nÁ oµ ¨nµª º° µ¦Â nµ­´ µ µ x > n@ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (5.19) ¤¸ nµ ¨¼nÁ oµÁ­¤° ¹É ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o µ ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 5.6 ¡· µ¦ µ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ µ¤£µ¡ ¸É 5.3 Á¤ºÉ° ε® Ä®o N1 2 ¨³ N 9 ­¦oµ ­´ µ µ x > n@ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤ µ¤­¤ µ¦ (5.19) à ¥ Ä o ε ª ¡ r ε ´ ´É º° xˆ > n @

­Îµ®¦´ M

1,3, 4

M

¦ae k

jkZ0 n

k M

M

¦ae k

jk 2S / N n

(5.32)

k M

¨³ ak º° nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É ¸ ¸É­» ¹É ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (5.20)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

M

1

M

3

M

4

£µ¡ ¸É 5.5 ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É­¦oµ µ ­¤ µ¦ (5.32) ­Îµ®¦´ nµ

M

1, 3, 4

ª· ¸ ε °µ«´¥ ε ° Ä ­¤ µ¦ (5.28) Á¡ºÉ°®µ nµ ak ­Îµ®¦´ k 0, r1, r2, r3, r4 µ ´Ê  nµ ak ¸ÉÅ o ¨ Ä ­¤ µ¦ (5.32) ­Îµ®¦´ nµ M Ä Â n¨³ ¦ ¸Á¡ºÉ°®µ nµ ¦³¤µ ° ­´ µ µ x > n@ ´É º° x̂ > n @ £µ¡ ¸É 5.5 ­ ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x̂ > n@ ­Îµ®¦´ M 1,3, 4 ¹É ¡ ªnµÁ¤ºÉ° M 4 ­´ µ x̂ > n @ ¸ÉÅ o¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ µ o ´ x > n@ à ¥Å¤n¤¸ { ®µÁ¦ºÉ° ¦µ µ¦ r · r ´Ê ¸ÊÁ ºÉ° ¤µ µ ªµ¤ ¦· ¸Éªnµ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ³ ¼ ε® Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r oª¥ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ε ª N ´ª ¸ÉÁ¦¸¥ n° ´ ´É º° ε ª ¡ r ´Ê ®¤ ¸ÉÄ oÄ ­¤ µ¦ (5.32) ®¦º° 2M 1 o° ¤¸ ε ª N ´ª ¹É Ä ¸É ¸Ê ³Å oªnµ 2M 1 N 9 ®¦º° M 4 SCILAB:

(£µ¡ ¸É 5.5)

-->N = 9;

w0 = 2*%pi/N;

-->M = 1;

k = -M:M;

N1 = 2;

x = 2*N1+1;

n = -15:15;

xn = [];

-->for i = 1:length(n) --> xn(i) = sum(((x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N)).*exp(%i*k*w0*n(i))); -->end -->subplot(3,1,1); plot2d3(n, xn); //£µ¡ ¸É 5.5 ( ) -->M = 3;

k = -M:M;

xn = [];

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-13

-->for i = 1:length(n) --> xn(i) = sum(((x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N)).*exp(%i*k*w0*n(i))); -->end -->subplot(3,1,2); plot2d3(n, xn); //£µ¡ ¸É 5.5 ( ¨µ ) -->M = 4; k = -M:M; xn = []; -->for i = 1:length(n) --> xn(i) = sum(((x/N)*sinc(%pi*k*x/N)./sinc(%pi*k/N)).*exp(%i*k*w0*n(i))); -->end -->subplot(3,1,3); plot2d3(n, xn); //£µ¡ ¸É 5.5 (¨nµ )

µ¦­¦oµ ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤ µ¤­¤ µ¦ (5.32) ³Ä o ´ ­´ µ µ x > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¸Éà ¥Ä o M N 1 / 2 °¥nµ Ŧ È µ¤Ä ¦ ¸ ¸É ­´ µ µ x > n @ ¤¸ µ Áª¨µ N Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¼n µ¦­¦oµ ­´ µ µ x > n @ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤ ­µ¤µ¦ εŠoà ¥Ä o­¤ µ¦ n°Å ¸Ê xˆ > n @

à ¥ ¸É M

N /2

M

¦

k M 1

Á¡ºÉ° ¸É ³¦´ ¦° Å oªnµ x̂ > n @

M

ak e jkZ0 n

¦

ak e jk 2S / N n

(5.33)

k M 1

x > n@

5.3 » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS) ¤¸¦¼  ¨³ª· ¸ µ¦¡·­¼ r nµ Ç ¨oµ¥ ´ » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFS) µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 4.3 ´ ´Ê Ä ­nª ¸Ê ³ ¨nµª ¹ Á ¡µ³ » ­¤ ´ · ¸É nµ­ Ä Â¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥ ³Ä o­´ ¨´ ¬ r DtFS x > n@ m o ak

(5.34)

 ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁ¡ºÉ°Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ´ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ° ­´ µ x > n@

5.3.1 ªµ¤Á } µ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Å¸É ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­¤ µ¦ (5.20) εĮo ¦µ ªnµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ³¤¸ ¨´ ¬ ³Á } µ à ¥¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ N Á­¤° ´É º° ak

ak N

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(5.35)

5.3.2 » ­¤ ´ ·Á · Á­o DtFS DtFS DtFS o ak , y > n@ m o bk , ¨³ z > n@ m o ck Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ε® Ä®o x > n@ m ´ ´Ê ­´ µ z > n@ Ax > n@ By > n@ º ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¹É ¤¸ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

ck

Á¤ºÉ°

A

Aak Bbk

(5.36)

¨³ B Á } nµ ´ªÄ Ç Á¡¦µ³ ³ ´Ê » ­¤ ´ ·Á · Á­o ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS Ax > n@ By > n@ m o Aak Bbk

(5.37)

5.3.3 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ DtFS DtFS o ak o bk ´ ´Ê y > n@ x > n n0 @ º°­´ µ x > n@ ¸É ¼ ε® Ä®o x > n@ m ¨³ y > n@ m Á¨ºÉ° Áª¨µ (time shifting) Á } ε ª n0 ® nª¥ ¨³¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

bk

¹É ¡·­¼ rÅ o µ x > n@ ¦ k

ak e jkZ0 n

e

jk 2S / N n0

ak

(5.38)

oµÂ nµ n oª¥ n n0 ³Å o

N

x > n n0 @

¦ae k

k

¦ ^e

jkZ0 n n0

N

k

jkZ0 n0

`

ak e jkZ0 n

N

´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n n0 @ ¤¸ nµÁ nµ ´ bk

Á¤ºÉ° Z0

2S / N

e jkZ0 n0 ak

e jk 2S / N n0 ak

Á¡¦µ³ ³ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS x > n n0 @ m oe

jk 2S / N n0

ak

(5.39)

» ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° µ Áª¨µÂ­ Ä®oÁ®È ªnµ Á¤ºÉ° ε µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ x > n@ Á } Áª¨µ n0 ® n ª ¥ ¨ ¸É Á · ¹Ê ´ ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º ° µ¦ ¼ ­´ ¤ ¦³­· ·Í ° » ¦¤¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ak o ª ¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jk 2S / N n ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ (magnitude) ° ak ¥´ Á®¤º° Á ·¤ Á¡¸¥  n¤»¤Á¢­ (phase) ° ak ³Á ¨¸É¥ Å Â Á · Á­o oª¥ nµ 2S / N n0 0

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-15

5.3.4 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ´ ´Ê y > n@ e jM Z n x > n@ º°­´ µ x > n@ ¸É ¼ ε® Ä®o x > n@ m Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É (frequency shifting) Á } ε ª M Z0 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ¹É ¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° 0

bk

ak M

(5.40)

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS e jM 2S / N n x > n@ m o ak M

(5.41)

5.3.5 » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ´ ´Ê y > n@ ε® Ä®o x > n@ m Áª¨µ (time reversal) ¹É ¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

bk

x > n @

º°­´ µ x > n@ ¸É ¼ ¡´ µ

a k

(5.42)

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS x > n@ m o a k

(5.43)

5.3.6 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ´ ´Ê y > n@ x > n / D @ º° µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ­´ µ ε® Ä®o x > n@ m µ x > n@ à ¥ µ¦Ä­nÁ¨ «¼ ¥r ε ª D 1 ´ª¨ Å ¦³®ªnµ o°¤¼¨ ¸É · ´ ° x > n@ ´ ´Ê

­ x > n / D @ , n / D = integer y > n@ ® else ¯0,

Á¤ºÉ° D Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª oµ­´ µ x > n@ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ Á nµ ´ D N ¨³­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ º° bk

1

D

³Å oªnµ­´ µ y > n@ ¤¸ µ Áª¨µ

ak

£µ¡ ¸É 5.6 ­ ´ª°¥nµ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ­´ µ µ x > n@ ­Îµ®¦´ y > n@ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ D N 2 3 6 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

N

(5.44)

(5.45) N

3

¨³ D

2

¹É ³¡ ªnµ­´ µ

x >n@ -3 -2 -1 0

1

N

2 3 4

n

5

3

y > n@

-6

-4

-2

0

6

4

2

N

8

ªnº

x« » ¬2¼ n

10

6

£µ¡ ¸É 5.6 ´ª°¥nµ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ ° ­´ µ µ x > n@ ­Îµ®¦´

N

3

¨³ D

2

5.3.7 » ­¤ ´ · µ¦ ¼ DtFS DtFS DtFS o ak , y > n@ m o bk , ¨³ z > n@ m o ck Á } ­´ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ε® Ä®o x > n@ m ´ ´Ê z > n@ x > n@ y > n@ º° ¨ ¼ ° ­´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¹É ¥´ Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ Á nµ ´ N Á n ´ ¨³¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

ck l

¦ ab N

(5.46)

l k l

Á¡¦µ³ ³ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦ ¼ ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFS x > n@ y > n@ m o ¦ al bk l l

(5.47)

N

5.3.8 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ DtFS DtFS DtFS o ak , y > n@ m o bk , ¨³ z > n@ m o ck Á } ­´ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ε® Ä®o x > n@ m ´ ´Ê ­´ µ z > n@ x > n@ y > n@ Á } µ¦ ε ° ꨼ ´  µ (periodic convolution) ¦³®ªnµ ­´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¹É ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

ck

Nak bk

(5.48)

à ¥­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê ck

1 N

¦ z > n@ e

n

N

jkZ0 n

1 N

­°

½°

¦ ® ¦ x > l @ y > n l @¾ e

n

N

¯°l

N

jkZ0 n

¿°

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-17

­

l

°1 ¦ x >l @ ® N ¦ y > n l @ e ¯°

N

n

¦ x >l @^b e k

l

jkZ0 n

N

jkZ0l

N

½° ¾ ¿°

`

°­ 1 °½ N ® ¦ x >l @ e jkZ0l ¾ bk °¯ N l N °¿

Nak bk

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r °º DtFS

¦ x >l @ y > n l @ m o Na b

(5.49)

k k

l

N

5.3.9 » ­¤ ´ · ¨ nµ ¨Îµ ´ ¸É® ¹É DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ­´ µ y > n@ x > n@ x > n 1@ º° ¨ nµ °´ ´ ® ¹É ε® Ä®o x > n@ m (first difference) ° ­´ µ x > n@ ¹É ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

bk

1 e

jk 2S / N

a

(5.50)

k

´ ´Ê » ­¤ ´ · ¨ nµ ¨Îµ ´ ¸É® ¹É ¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º°

DtFS x > n@ x > n 1@ m o 1 e

jk 2S / N

a

k

(5.51)

5.3.10 » ­¤ ´ · ¨­³­¤ n

DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk ­´ µ y > n@ ¦ x > k @ º° ¨­³­¤ ° ­´ µ ε® Ä®o x > n@ m k f

x > n@

¹É ¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° bk

1 1 e

jk 2S / N

ak

(5.52)

´ ´Ê » ­¤ ´ · ¨­³­¤¤¸ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° n

DtFS

¦ x > k @ m o 1 e

k f

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

1 jk 2S / N

ak

(5.53)

5.3.11 ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ Á ºÉ° µ ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ­´ µ µ x > n@ ®µÅ o µ 1 N

P

¦ x > n@

n

2

(5.54)

N

DtFS o ak ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ (Parseval’s relation) ³ ·¥µ¤Ã ¥ oµ ε® Ä®o x > n@ m

1 N

¦ x > n@

n

N

2

¦

k

ak

2

(5.55)

N

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ nµ ak 2 ­ ¹ ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · °´ ´ k ° ­´ µ µ x > n@ ´ ´Ê ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ° Ä®o ¦µ ªnµ ε¨´ Á ¨¸É¥¦ª¤ ° ­´ µ µ ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤ ° ε¨´ Á ¨¸É¥ ° ° r ¦³ ° ±µ¦r¤° · » °´ ´

5.3.12 ­¦» » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ DtFS DtFS o ak ¨³ y > n@ m o bk Á } ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ε® Ä®o x > n@ m ®¦º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Z0 2S / N µ¦µ ¸É 5.1 ­¦» » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

5.3.13 ­¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Å¸É ¤n n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µ N ¨³­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¤­¤ µ¦ (5.19) ¨³ (5.20) Ä ­nª ¸Ê ³­¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ µ¤ µ¦µ ¸É 5.2 Á¤ºÉ° Z0 2S f0 2S / T , G N > n@ º°­´ µ G > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µ Á nµ ´ N , N F º° µ Áª¨µ ° ak , ¨³ m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª ´ª°¥nµ ¸É 5.7 ®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x > n @

A cos 2S n / N

ª· ¸ ε ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (5.20) ´É º° ak

1 N

¦

n

N

§ 2S n · jk 2S n / N A cos ¨ ¸e © N ¹

(5.56)

°µ«´¥ ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-19

µ¦µ ¸É 5.1 » ­¤ ´ · ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ­¤ ´ ·

­´ µ µ

­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r

1. ªµ¤Á } Á · Á­o

Ax > n @ By > n @

Aak Bbk

2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ

x > n n0 @

ak e

3. µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É

x > n@ e

4. µ¦¡´ µ Áª¨µ

x > n@

a k

5. µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ

x >n / D @

ak / D

6. µ¦ ¼

x > n@ y > n@

l

¦ x >l @ y > n l @

Nak bk

8. µ¦­´ ¥»

x > n @

a k

9. ¨ nµ °´ ´ ® ¹É

x > n @ x > n 1@

1 e

7. µ¦ ε ° ꨼ ´

l

jM 2S / N n

ak M

N

N

jk 2S / N

a

k

¦ x >k @

1 § ·a ¨ jk 2S / N ¸ k © 1 e ¹

x > n@

ak

k f

11. ªµ¤­¤¤µ ¦ ° µ¦­´ ¥»

¦ ab

l k l

n

10. ¨­³­¤

jk 2S / N n0

Á } ¢{ r ´ nµ ¦·

a k

Re ^ak ` Re ^a k ` Im ^ak ` Im ^a k ` ak

a k

ak

(¤»¤Á¢­)

x > n@

Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n

ak

Á } nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n

x > n@

Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¸É

ak

Á } nµ · £µ¡Â o¨³¢{ r ´ ¸É

12. ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ª· µ¨

1 N

ak

a k

A 2N A 2N

¦ ^e

j 2S n / N

¦ ^e

j 2S n 1 k / N

n

n

N

¦ x > n@

n

2

ak

¦

N

k

2

N

e j 2S n / N ` e jk 2S n / N e

j 2S n 1 k / N

n

N 1

N

A ­ N 1 j 2S 1 k / N ®¦ e 2N ¯n 0

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

¦ e n 0

`

j 2S 1 k / N

n

½¾¿

(5.57)

µ¦µ ¸É 5.2 ­¦» ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­´ µ µ x > n@

­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak G N >k @ ,

1

F

Á¤ºÉ° 1

G N > n@

N

NF

Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç

Gm >k @ , NF

mN

G N > k m@ , N F

e j 2S n / N .

F

1

cos 2S qn / N

2

j

sin 2S qn / N

2

mN

^G > k mq @ G > k mq @` ,

NF

mN

^G > k mq @ G > k mq @` ,

NF

mN

F

F

F

F

Á ºÉ° µ N 1

¦D

1 D N 1 D

n

n 0

,

D z1

´ ´Ê ­¤ µ¦ (5.57) ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } ak

N

N

A 2N

­1 e j 2S 1 k / N ° ® j 2S 1 k / N ° 1 e ¯

A 2N

­° 1 e j 2S 1 k

1 e j 2S 1 k ½° ® j 2S 1 k / N j 2S 1 k / N ¾ 1 e ¿° ¯°1 e

A 2N

­° e jS 1 k sin S k 1

e jS 1 k sin S k 1 ½° jS 1 k / N ® jS 1 k / N ¾ sin S k 1 / N e sin S k 1 / N ¿° ¯° e

1 e j 2S 1 k / N

1 e j 2S 1 k / N

½ ° ¾ ° ¿

(5.58)

°µ«´¥¢{ r ´ ¸¦¸Á ¨ (Dirichlet function) ¸É ·¥µ¤Ã ¥ [4] §k · drcl ¨ , N ¸ ©L ¹

Á¤ºÉ° k

k 1 ¨³ L

N

sin S Nk / L

N sin S k / L

(5.59)

´ ´Ê ­¤ µ¦ (5.58) ­µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-21

ak

jS 1 k

A °­ e jS 1 k

§ k 1 · e § k 1 · °½ , N ¸ jS 1 k / N drcl ¨ , N ¸¾ ® jS 1 k / N drcl ¨ N 2 ¯° e © ¹ e © N ¹ ¿°

(5.60)

µ » ­¤ ´ · ° ¢{ r ´ ¸¦¸Á ¨¡ ªnµ ak Ä ­¤ µ¦ (5.60) ¤¸ nµÁ nµ ´ ­ A / 2, k qN r 1 ® else ¯0,

ak

à ¥ ¸É q º°Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x > n @ ­ A / 2, k qN r 1½ ® ¾ else ¯0, ¿

ak

A cos 2S n / N

A ^G N > k 1@ G N > k 1@` 2

´ª°¥nµ ¸É 5.8 ®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x > n @

(5.61) º°

(5.62)

cos 2S n / 3 G 5 > n @

ª· ¸ ε ­´ µ x > n@ ¦³ ° Å oª¥­´ µ µ ­° ­´ µ ¦ª¤ ´ à ¥ ¸É x1 > n @ cos 2S n / 3

¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 3 ¨³ x2 > n @ G 5 > n @ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 5 ´ ´Ê µ Áª¨µ ° ­´ µ x > n @ ³¤¸ nµ Á nµ ´ 15 ( ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥ ° 3 ¨³ 5) µ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ µ¦µ ¸É 5.2 ³Å oªµn DtFS x1 > n@ cos 2S n / 3 m o ak ,1

1 ^G3 > k 1@ G3 > k 1@` 2

(5.63)

°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µÁ¡ºÉ° ¥µ¥Áª¨µ ° ­´ µ x1 > n@ Ä®o¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 15 ( ´É º° D ´ ´Ê ­´ µ x1 > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 15 ³¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° ak ,1,D

°­ 1/ 2 ^G 3 > k / 5 1@ G 3 > k / 5 1@` , k / 5 integer ® else °̄0,

5

5)

(5.64)

µ ·¥µ¤ ° ¢{ r ´ °·¤¡´¨­r µ ªk

º

ªk 5º

G N « 1» G N « G N > k 5@ ¬5 ¼ ¬ 5 »¼

´ ´Ê ­¤ µ¦ (5.64) ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } ak ,1,D

5

°­ 1/ 2 ^G 3 > k 5@ G 3 > k 5@` , k / 5 integer ® else °̄0,

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

(5.65)

x1 > n @ n

ak ,1 k

ak ,1,D

5

k

£µ¡ ¸É 5.7 ­´ µ µ x1 > n@ ¡¦o°¤ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ,1 ¨³ ak ,1,D

5

®¦º°­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } ak ,1,D

1 ^G15 > k 5@ G15 > k 5@` 2

5

£µ¡ ¸É 5.7 ­ ´ª°¥nµ ­´ µ µ x1 > n@ ¡¦o°¤ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ,1 ¨³ ak ,1,D Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ µ¦µ ¸É 5.2 ³Å oªnµ DtFS x2 > n@ G 5 > n@ m o ak ,2

(5.66) 5

1 G1 > k @ 5

(5.67)

°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µÁ¡ºÉ° ¥µ¥Áª¨µ ° ­´ µ x2 > n@ Ä®o¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 15 ´É º° D Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ x2 > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 15 ³¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° ak ,2,D

3

­1/ 5, k / 3 integer ½ ® ¾ else ¯0, ¿

1 G3 >k @ 5

£µ¡ ¸É 5.8 ­ ´ª°¥nµ ­´ µ µ x2 > n@ ¡¦o°¤ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ,2 ¨³ ak ,2,D ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ ak

ak ,1,D 5 ak ,2,D

3

1 1 G15 > k 5@ G15 > k 5@` G 3 > k @ ^ 2 5

3

(5.68) 5

´ ´Ê

(5.69)

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 5.9 บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-23

x2 > n @ n

ak ,2 k

ak ,2,D

3

k

£µ¡ ¸É 5.8 ´ª°¥nµ ­´ µ µ x > n@ ¡¦o°¤ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ,2 ¨³ ak ,2,D 2

3

x > n@

n

ak

ak ,1,D 5 ak ,2,D

3

k

£µ¡ ¸É 5.9 ´ª°¥nµ ­´ µ µ x > n@ ¨³­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak

´ª°¥nµ ¸É 5.9 ®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x > n @ Ä £µ¡ ¸É 5.10 ( ) DtFS DtFS DtFS o ak , x1 > n@ m o bk , ¨³ x2 > n@ m o ck Á ºÉ° µ ­´ µ µ ª· ¸ ε ε® Ä®o x > n@ m x > n @ º° ¨¦ª¤ ° ­´ µ x1 > n @ ¨³ x2 > n @ µ » ­¤ ´ · ªµ¤Á } Á · Á­o ³Å oªnµ

ck

ak bk

¨³ µ ´ª°¥nµ ¸É 5.4 ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x1 > n @ Á¤ºÉ° N 5 º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

N1 1 ¨³

x > n@ k

x1 > n @ k

x2 > n @ k

£µ¡ ¸É 5.10 ( ) ­´ µ µ x > n @ , ( ) ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x > n @ , ¨³ ( ) ­´ µ Å¢¢jµ ¦³Â­ ¦ x > n @ 1

2

bk

k 0, r5, r10,! ­3 / 5, ° ® 3 °­ sinc 3S k / 5 °½ ° 5 ® sinc S k / 5 ¾ , else ¿° ¯ ¯°

(5.70)

Ä Î µ ° Á ¸ ¥ª ´ ­´ µ x2 > n @ ¤¸ ¨´ ¬ ³Á } ­´ µ Å¢¢jµ ¦³Â­ ¦ ¹É ³ ¼ Î µ® à ¥ ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r c0 Á nµ ´Ê oµ ε® Ä®o­´ µ x2 > n @ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N 5 ´ ´Ê nµ c0 Á¤ºÉ° Z0 2S / N 2S / 5 ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (5.21) ´É º° c0

¨³ ck

0

1 ¦ x > n@ 1 5n 5

­Îµ®¦´ k z 0 ´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x > n@ º°

ak

bk ck

­8 k 0, r5, r10,! °5 , ° ® ­ sinc 3S k / 5 ½

° , else ° 3 °® ¾ °¯ 5 ¯° sinc S k / 5 ¿°

(5.71)

5.4 ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ®¨´ µ¦ ª·£µª³ (duality principle) ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-25

¡· µ¦ µ­¤ µ¦ (5.20) à ¥Ä ¸É ¸Ê ³Ä o­´ ¨´ ¬ r a > k @  ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak ´É º°

 nµ n

 nµ k

m

n

a >k @

1 N

a >k @

1 N

¦ x > n@ e

n

jkZ0 n

(5.72)

N

Ä ­¤ µ¦ (5.72) ³Å o

¨³ m

k

¦ x > m@ e

m

jkZ0 m

(5.73)

N

Ä ­¤ µ¦ (5.73) ³Å o a > n@

1 N

¦ x > k @ e

k

jnZ0 k

(5.74)

N

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (5.74) ¨³ (5.19) ¡ ªnµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ a > n@ º° 1/ N x > k @ ¨³ oµ ε® Ä®o ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x > n@ º° DtFS x > n@ m o ak

a >k @

(5.75)

1 x > k @ N

(5.76)

´ ´Ê ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ a > n@ º° DtFS a > n@ m o

­¤ µ¦ (5.76) º°ªnµÁ } ®¨´ µ¦®¦º° » ­¤ ´ · ª·£µª³ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ª°¥nµ ¸É 5.10 ­ ªnµ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ DtFS x > n M @ m o e jkZ0 M ak

(5.77)

DtFS e jM Z0n x > n@ m o ak M

(5.78)

¨³ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É

Á } ª·£µª³ ´ ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (5.77) °µ«´¥ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤­¤ µ¦ (5.19) ³Å oªnµ x >n M @

¦ ^e

k

N

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

jkZ0 M

`

ak e jkZ0n

Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦¦³®ªnµ n ¨³ k ³Å o x >k M @

¨³Â nµ n

n

¦ ^e

n

jnZ0 M

`

an e jnZ0 k

N

³Å o x >k M @

¦ ^e

n

jnZ0 M

N

`

a n e jnZ0k

(5.79)

µ ®¨´ µ¦ ª·£µª³ Ä®o ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ´ ¸Ê 1) Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ x > n@ Ä®oÁ } an ´É º° x > n@ o an Á n x > k M @ o ak M 2) Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ak Ä®oÁ }

1 x > k @ N

´É º° ak o

1 x > k @ N

Á n a n o

1 x > n@ N

´ ´Ê ­¤ µ¦ (5.79) ³Á ¨¸É¥ ¦¼ Á } ak M

­1

¦ ®¯ N x > n@ e

n

N

jnZ0 M

1 N

½ jnZ0k ¾e ¿

¦ ^ x > n@ e

n

N

jnZ0 M

`e

jkZ0 n

(5.80)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (5.80) ´ ­¤ µ¦ (5.20) ³¡ ªnµ DtFS x > n@ e jnZ0 M m o ak M

¹É ¦ ´ ­¤ µ¦ (5.78) µ¤ ¸É o° µ¦ ´ª°¥nµ ¸É 5.11 ­ ªnµ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ DtFS

¦ x >l @ y > n l @ m o Na b

k k

l

(5.81)

N

¨³ » ­¤ ´ · µ¦ ¼ DtFS x > n@ y > n@ m o ¦ al bk l l

(5.82)

N

Á } ª·£µª³ ´ ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (5.81) °µ«´¥ µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤­¤ µ¦ (5.20) ³Å oªnµ

¦ x >l @ y > n l @ ¦ ^ Na b ` e k k

l

N

k

jkZ0 n

N

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-27

Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦¦³®ªnµ n ¨³ k ³Å o

¦ x >l @ y > k l @ ¦ ^ Na b ` e n n

l

¨³Â nµ n

n

N

n

jnZ0 k

N

³Å oÁ } l

¦ x >l @ y > k l @ ¦ ^ Na N

n

b

n n

N

` e jnZ k

(5.83)

0

µ ®¨´ µ¦ ª·£µª³ Ä®o ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ´ ¸Ê 1) Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ x > n@ o an ´ª°¥nµ Á n x >l @ o al ¨³ y > k l @ o bk l 2) Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ak o

1 x > k @ N

´ª°¥nµ Á n a n o

1 x > n@ N

¨³ b n o

1 y > n@ N

´ ´Ê ­¤ µ¦ (5.83) ³Á ¨¸É¥ ¦¼ Á } l

¦ ab N

l k l

1 N

¦ ^ x > n@ y > n@` e

n

jkZ0 n

(5.84)

N

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (5.84) ´ ­¤ µ¦ (5.20) ³¡ ªnµ DtFS x > n@ y > n@ m o ¦ al bk l l

N

¹É ¦ ´ ­¤ µ¦ (5.82) µ¤ ¸É o° µ¦

5.5 ¨ ° ­ ° ° ¦³ LTI n°­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ ¸É ¨nµª¤µÄ ®´ª o° ¸É 5.1 ¨ ° ­ ° ° ¦³ LTI n°­´ µ ¸ÉÁ } ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ³¤¸ ¨¨´¡ r ¸ÉÁ }  Á ¡µ³ ¨nµª º° oµ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ¨³¤¸ ­´ µ °· ¡» ° ¦³ º° x > n@

¦ae k

k

jkZ0 n

(5.85)

N

Á¤ºÉ° ak º° nµ ´ªÄ Ç Â¨³ Z0 2S / N Á ºÉ° µ  n¨³¡ rÄ ­¤ µ¦ (5.85) Á } ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¹É Á®¤º° ´ ­¤ µ¦ (5.4) Á¤ºÉ° zk e jkZ ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ®¦º° ¨ ° ­ ° ° ¦³ ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (5.5) ´É º° 0

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

¦ a H e Z e jk

y > n@

k

k

0

jkZ0 n

(5.86)

N

à ¥ ¸É H e jZ º° ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É (frequency response) ° ¦³ ¹É ·¥µ¤Ã ¥ 0

H e jZ0

f

¦ h >k @ e

jkZ0

(5.87)

k f

µ ­¤ µ¦ (5.86) ¡ ªnµ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ Á nµ ´ ­´ µ °· ¡» x > n@ ° µ ¸Ê oµ ^ak ` º°Á ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ ¨oª ³Å oªnµ ^ak H e jkZ ` 0

º°Á ° ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ ´ª°¥nµ ¸É 5.12 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á } Å µ¤­¤ µ¦Á · ¨ nµ (difference equation) ´ ¸Ê y > n@

1 y > n 1@ 4

®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n @

x > n@

(5.88)

cos S n / 4 2 cos S n / 2

ª· ¸ ε Á¦·É¤ o Ä®o®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É H e jZ ¹É ­µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥ µ¦ j° ­´ µ x > n @ Á oµÅ Ä ¦³ µ ­¤ µ¦ (5.1) ³Å oªnµ ¨ ° ­ ° ° ¦³ n°­´ µ x > n@ ¸Ê º° 0

y > n @ e jZ0 n H e jZ0

Á¤ºÉ° z e jZ , Z0 ­¤ µ¦ (5.88) ³Å o 0

2S / N

¨³

N

e jZ0 n

(5.89)

º° µ Áª¨µ ° x > n@ µ ´Ê  nµ y > n@ µ ­¤ µ¦ (5.89) ¨ Ä

1 jZ n 1 e jZ0 n H e jZ0 e 0 H e jZ0 4

H e

jZ0

1 1 1/ 4 e jZ0

e jZ0 n

(5.90)

à ¥ ¸É H e jZ º°ªnµÁ } nµ ´ª DtFS DtFS o ak o bk ´ ´Ê ¨ ° ­ ° ° ¦³ y > n @ oµ ε® Ä®o x > n@ m ¨³ y > n@ m n°­´ µ °· ¡» Ä Ç ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (5.86) ´É º° 0

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-29

y > n@

¦a

k

k

N

1 °­ °½ jkZ0 n e ® jkZ0 ¾ °¯1 1/ 4 e °¿

¦be k

k

jkZ0 n

(5.91)

N

Á¤ºÉ° bk º°­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ bk

ak H e jkZ0

ak 1 1/ 4 e jkZ0

(5.92)

Á ºÉ° µ ­´ µ °· ¡» x > n @ cos S n / 4 2 cos S n / 2 ¦³ ° Å oª¥­´ µ µ ­° ­´ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ 8 ¨³ 4 ´ ´Ê ­´ µ µ x > n@ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N 8 ( ´É º° ´ª ¼ ¦nª¤ o°¥¦³®ªnµ nµ 8 ¨³ 4) °µ«´¥ ° °°¥rÁ¨°¦r ³Å oªnµ x > n@

1 jS n / 4 jS n / 4 2 jS n / 2 jS n / 2 ^e e ` 2 ^e e ` 2 1 j 2S / 8 1 n 1 j 2S / 8 1 n e e e j 2S / 8 2 n e 2S / 8 2 n 2 2

(5.93)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (5.93) ¨³ (5.19) ³Å oªnµ­´ µ °· ¡» x > n@ ¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° a1 a 1 1/ 2 ¨³ a2 a 2 1 ´ ´Ê  nµ ak ¨ Ä ­¤ µ¦ (5.92) ³Å o b1

b2

a1 1 1 e j 1 2S /8

4

1 , § 1 jS / 4 · 2 ¨1 e ¸ © 4 ¹

a2 1 1/ 4 e j 2 2S /8

1 1 1/ 4 e jS / 2

b 1

,

b 2

a 1 1 1 e j 1 2S / 8

4

1 § 1 jS / 4 · 2 ¨1 e ¸ © 4 ¹

a 2 1 1/ 4 e j 2 2S /8

1 1 1/ 4 e jS / 2

 nµ bk ­Îµ®¦´ k r1, r2 ¨ Ä ­¤ µ¦ (5.91) È ³Å o° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n @ cos S n / 4 2 cos S n / 2

5.6 ­¦» oµ¥ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å r ¸É±µ¦r¤° · nµ Ç ° ªµ¤ ¸É¤¼¨ µ à ¥ ¸É­´ µ ¨ºÉ ¦¼ Å rÁ®¨nµ ¸Ê ³ ´Ê µ ¹É ´ ¨³ ´ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º°ªnµ¤¸ ªµ¤­Îµ ´ n° µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤µ Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê ° µ ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ¦ª¤ ´Ê µ¦®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

5.7  f ®´ oµ¥ 1) ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê ¡·­¼ r ε ° à ¥Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB 1.1) x > n @

3cos S n / 8

1.2) x > n @

5sin S n 2 / 6

1.3) x > n @

sin 33S n / 32

1.4) x > n @

cos S n / 8 cos S n 1 / 8

1.5) x > n @

5sin S n 1 / 4 cos S n 1 / 4

1.6) x > n @

G > n @ G > n 2@ Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ N

4

2) ε® Ä®o­´ µ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ N 5 ¨³¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r º° a0 1 , a2 a 2 e jS / 4 , ¨³ a4 a 4 2e jS / 3 ­ ­´ µ µ x > n@ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° x > n@

f

A0 ¦ Ak sin Zk n T k k 1

3) ε® Ä®o­´ µ µ x > n@ ­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ´ n°Å ¸Ê ) x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n ) x > n@ ¤¸ µ ¤¼¨ µ

N

) 1/10 ¦ 9n 0 x > n@

2

¡·­¼ rªnµ x > n@

10

¨³¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak à ¥ ¸É a11

5

50

A cos Bn C

¨³ ®µ nµ

A, B

¨³ C

4) ε® Ä®o­´ µ °· ¡» x > n @ ¦ fk f G > n 4k @ Á } ª ­´ µ °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É

H e jZ

nµ ° H e jkS / 2 ­Îµ®¦´ k

¨³¤¸­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ º°

0,1, 2

S· § 5S y > n @ cos ¨ n ¸ 2 4¹ ©

®µ

¨³ 3

บทที่ 5 อนุกรมฟูเรียรที่ไมตอเนื่องทางเวลา 5-31

5) ¡· µ¦ µ­´ µ n°Å ¸Ê § 2S n · § 2S n S · ¸, x > n @ 1 cos ¨ ¸ , y > n @ sin ¨ 6 4¹ © ¹ © 6

¹É ¤¸ µ ¤¼¨ µ º°

N

6

¨³ z > n @

x > n@ y > n@

®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ , y > n@ , ¨³ z > n@

6) ε® Ä®o­´ µ µ x > n@

­1, 0 d n d 6 ¹É ¤¸ µ ¤¼¨ µ º° N ® ¯0, 7 d n d 8

¢¼Á¦¸¥¦r ak ´ ´Ê oµ ε® Ä®o­´ µ g > n @ 6.1) ­ ªnµ g > n @ ¤¸ µ ¤¼¨ µ º°

N

9

¨³¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤

x > n @ x > n 1@ 9

6.2) ®µ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° g > n @ 7) ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ¸É¤ ¸ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê

H e jZ 1

5S 3

19S

S

12

5S 12

S

S

5S

3

3

12

S

19S

5S

12

3

Z

Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° 7.1) x > n@ 2 n 7.2) x > n @

§ 3S n S · ¸ 2 sin ¨ 4¹ © 8

8) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h > n@ 1/ 2 n ®µ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á°µ r¡» y > n @ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° 8.1) x > n @ ¦ fk f G > n 4k @ 8.2) x > n@

°­1, n d 1 Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ¤¼¨ µ N ® °̄0, 2 d n d 3

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 5-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

6

¸É 6 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier series) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ­´ µ µ (periodic signal) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³ ¦³ µ¤ ¸É° · µ¥Ä ¸É 4 ¨³ 5 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­´ µ ŤnÁ } µ (aperiodic signal) È­µ¤µ¦ ¸É ³ ¼  oª¥ ¨¦ª¤Á · Á­o ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° Å oÁ n ´ à ¥°µ«´¥Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform)” [1, 3 – 5, 10 – 11] ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ­´ µ ŤnÁ } µ ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µ Å oªnµÁ } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ nµ° ´ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ε® oµ ¸ÉÄ µ¦Â ¨ ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ®¦º°­´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° Áª¨µ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É®¦º°­´ µ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É ¹É ³Á¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “­Á ¦´¤ (spectrum)” ­Á ¦´¤ ° ­´ µ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦°°  °» ¦ rÄ ¦³ ­ºÉ°­µ¦ nµ Ç Á n ª ¦ ¦° (filter) ¨³°¸ ª°Å¨Á °¦r (equalizer) Á } o ° µ ¸Ê µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ³ nµ¥ ªnµ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ¦ª¤ ´Ê ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É¥´ ° Ä®o ¦µ ¹  rª· r (bandwidth) ¨³¦¼ ¦nµ ­Á ¦´¤ ° ­´ µ ¹É nª¥ εĮoÁ oµÄ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ­´ µ Á®¨nµ ´Ê ¤µ ¥·É ¹Ê ´ª°¥nµ Á n ª ¦ ¦°  n¨ ³Â ³¥°¤Ä®o­´ µ nª  ªµ¤ ¸É® ¹É nµ Å Å o Ä ³ ¸É ³Á · µ¦¨ ° (attenuation) Ä °¸ nª  ªµ¤ ¸É® ¹É Á } o

6.1 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ° ­´ µ ŤnÁ } µ Ä ­nª ¸Ê ³° · µ¥ ¸É¤µ ° ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT: continuous-time Fourier transform) ¡¦o°¤ ´Ê ° · µ¥Á ºÉ° Å µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦¡· µ¦ µªnµ­´ µ ŤnÁ } µ Â Ä ¹ ³­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 187

6-1

xp t

T1

T1

T1

T1

t

x t

£µ¡ ¸É 6.1 ( ) ­´ µ µ

t

¨³ ( ) ­´ µ ŤnÁ } µ x t

xp t

6.1.1 ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ ŤnÁ } µ ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ oªnµÁ } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ nµ° ´ r ´ª°¥nµ Á n £µ¡ ¸É 6.1 ­ ­´ µ µ x p t ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T ¨³­´ µ ŤnÁ } µ x t ´ ´Ê oµ¡· µ¦ µ ªnµ µ Áª¨µ T ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ r ³Å oªnµ­´ µ x p t ¨³ x t º°­´ µ Á ¸¥ª ´ Á ºÉ° µ ­´ µ µ x p t ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o º° f

xp t

jkZ0t

¦ae

(6.1)

k

k f

¨³ T /2

ak

Á¤ºÉ° Z0 t

1 x p t e jkZ0t dt T T³/ 2

µ £µ¡ ¸É 6.1 ¡ ªnµ­´ µ x t

! T1 ´ ´Ê ­¤ µ¦ (6.2) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } 2S / T

T /2

ak

1 x t e jkZ0t dt T T³/ 2

xp t

Ä nª Áª¨µ

(6.2) t T /2

¨³ x t

0

­Îµ®¦´

f

1 jkZ t ³ x t e 0 dt T f

(6.3)

oµ ε® Ä®o f

X jZ

³ x t e

jZt

dt

(6.4)

f

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (6.3) ¨³ (6.4) ³Å oªµn 6-2

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

188

X jZ e jZt X jkZ0 e jkZ t Z0 0

X jkZ0 e

jk Z0 t

'Z

Z

k 1 Z0

kZ0

£µ¡ ¸É 6.2 £µ¡Â­ ªµ¤®¤µ¥ ° ­¤ µ¦ (6.6) 1 X jkZ0

T

ak

(6.5)

 nµ ak µ ­¤ µ¦ (6.5) ¨ Ä ­¤ µ¦ (6.1) ³Å o xp t

f

1 ¦ T X jkZ e

jkZ0t

0

k f

1 2S

f

¦ X jkZ e 0

jkZ0t

Z0

(6.6)

k f

Á¤ºÉ° T 2S / Z0 £µ¡ ¸É 6.2 ­ ªµ¤®¤µ¥ ° ­¤ µ¦ (6.6) ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦®µ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ­´ µ X jZ e jZt ° µ ¸ÊÁ¤ºÉ° T o f ³Å oªnµ Z0 o 0 ´ ´Ê oµ ε® Ä®o Z0 'Z ­¤ µ¦ (6.6) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } xp t

1 2S

T of

f

¦ X jk 'Z e

jk 'Z t

'Z

(6.7)

k f

´ ´Ê Á¤ºÉ° 'Z o 0 Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¨¦ª¤ (summation) Ä ­¤ µ¦ (6.7) ³Á ¨¸É¥ Á } Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¦·¡´ r (integral) ¨³Á } ¨ εĮo x p t o x t ´ ´Ê ­¤ µ¦ (6.7) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x t

lim x p t

T of

1 'Z o 0 2S lim

f

¦

k f

X jk 'Z e jk 'Zt 'Z

1 2S

f

³ X jZ e

jZt

dZ

(6.8)

f

Á¤ºÉ° Z 2S f º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á¤ºÉ°¡· µ¦ µ­¤ µ¦ (6.8) ¡ ªnµ­´ µ x t

­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Â n°Á ºÉ° ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸ÉÄ nª f, f Á¤ºÉ° °¤¡¨· ¼ °  n¨³° r ¦³ ° ªµ¤ ¸É Z ¤¸ µ  ¦ ´ µ¤¢{ r ´ X jZ ´ ´Ê µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r εĮo­µ¤µ¦  ¨ ­´ µ x t Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° r ¦³ ° ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸É ¦° ¨»¤ ¨° » ¥nµ ªµ¤ ¸É à ¥ ¸É nµ ° X jZ ³Á } ´ª ° µ °¤¡¨· ¼ °  n¨³° r ¦³ ° ªµ¤ ¸É Z บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 189

6-3

6.1.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ­¤ µ¦ (6.4) ¨³ (6.8) ´ ªnµÁ } “ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r1 (Fourier transform pair)” à ¥ ¸É­¤ µ¦ (6.4) Á¦¸¥ ªnµ “­¤ µ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform equation)” ®¦º°­¤ µ¦ª·Á ¦µ³®r ¹É Ä oÄ µ¦Â ¨ ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Ä ³ ¸É­¤ µ¦ (6.8) Á¦¸¥ ªnµ “­¤ µ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ (inverse Fourier transform equation)” ®¦º°­¤ µ¦­´ Á ¦µ³®r ¹É Ä oÄ µ¦Â ¨ ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸ÉÄ®o ¨´ ¤µÁ } ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ¨³Á¡ºÉ°Ä®o­³ ª Ä µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Ä o ­´ ¨´ ¬ r f

X jZ F ª¬ x t º¼

³ x t e

jZt

dt

(6.9)

f

¨³ x t F 1 ª¬ X jZ º¼

1 2S

f

³ X jZ e

jZt

dZ

(6.10)

f

Á¤ºÉ° F > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ F 1 > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° µ ¸Ê ³Ä o­´ ¨´ ¬ r CtFT x t m o X jZ

(6.11)

Á¡ºÉ°Â­ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¦³®ªnµ x t ¨³ X jZ

6.1.3 ­Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r à ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ Z Å oÁ n ´ ´É º° X jZ

Á¤ºÉ°

1

X jZ

X jZ e

j X jZ

(6.12)

º°­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼  n°Á ºÉ° (continuous amplitude spectrum) ¨³

·¥µ¤ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¤¸®¨µ¥¦¼  à ¥® ´ ­º° µ Á¨n¤ [4] °µ Ä o ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É f

f

´É º° X f ³ x t e f

6-4

f j 2 S ft

dt

¨³ x t ³ X f e

j 2 S ft

df

f

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

190

§ Im ^ X jZ ` · tan 1 ¨ ¸ ¨ Re ^ X jZ ` ¸ © ¹

X jZ

(6.13)

º°­Á ¦´¤Á · Á¢­Â n°Á ºÉ° (continuous phase spectrum) ° ­´ µ x t Á¤ºÉ° Re ^a` º°­nª ¸É Á } nµ ¦· (real part) ° ´ªÂ ¦ a ¨³ Im ^a` º°­nª ¸ÉÁ } nµ · £µ¡ (imaginary part) ° ´ªÂ ¦ a Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å o ªµ¤­´¤¡´ r nµ Ç ´ n°Å ¸Ê X jZ

X jZ

X jZ

X jZ

X jZ e

j X jZ

(6.14)

X jZ

(6.15)

X jZ

(6.16)

à ¥ ¸É X º° nµ­´ ¥» Á · o° ° X µ ­¤ µ¦ (6.15) ¨³ (6.16) ³¡ ªnµ X jZ Á } ¢{ r ´ ¼n ¨³ X jZ Á } ¢{ r ´ ¸É Ä µ · ´ ·­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ X jZ ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ X jZ Á¦¸¥ ¦ª¤ ´ ªnµ “­Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier spectrum)” ° ­´ µ x t à ¥¤¸¨´ ¬ ³Á } ­Á ¦´¤Â n°Á ºÉ° (continuous spectrum) ¹É  nµ µ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É¤¸¨´ ¬ ³Á } ­Á ¦´¤Â Á­o (line spectrum)

6.1.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Ä µ · ´ · Å ¤n Î µ Á } ¸É ªn µ ­´ µ Ťn Á } µ ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ x t » ­´ µ ³­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ¡· µ¦ µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ Ä ­¤ µ¦ (6.9) ¨³ ε® Ä®o x̂ t º°­´ µ ¸É­¦oµ ¨´ º ¤µ µ X jZ µ¤­¤ µ¦ (6.10) ´É º° xˆ t

1 2S

f

³ X jZ e

jZt

dZ

(6.17)

f

­´ µ x̂ t Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ° x̂ t ¤¸ nµ ε ´ (finite value) ¹É Á } Å Å o È n°Á¤ºÉ° X jZ ¤¸ nµ ε ´ 2 ° µ ¸ÊÁ ºÉ° Å ¸É εĮo x̂ t x t ­Îµ®¦´ » nµ t ¥ Áªo ε® n ¸ÉÁ } » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° à ¥ nµ ° x̂ t ε® n ¸Ê ³¤¸ nµÁ nµ ´ nµÁ ¨¸É¥ ° ­´ µ ´Ê ­° oµ ° » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° ¹É Á®¤º° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ (Dirichlet's condition) ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r 2

X jZ

¤¸ nµ ε ´ È n°Á¤ºÉ°­´ µ x t ¤¸¡¨´ µ ε ´ ´É º° ³

f

f

2

x t dt f

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 191

6-5

´ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Ä Ç ­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ Å o È n°Á¤ºÉ°­´ µ x t ­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å ¸¦¸Á ¨ ´Ê ­µ¤ o°3 [3, 4] ´ n°Å ¸Ê 1)

x t

o° ­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­¤ ¼¦ r (absolutely integrable) Å o ´É º°

³

f

f

x t dt f

(6.18)

Á ºÉ° Å ¸ Ê nª¥¦´ ¦° Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ¤¸ nµ ε ´ o° ¤¸ ε ª » ­¼ ­» ¨³ » Éε­» Á } ε ª ε ´ £µ¥Ä nª Áª¨µ ε ´ (finite interval) Ä Ç

2)

x t

3)

o° ¤¸ ε ª » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° (discontinuities) ε ´ £µ¥Ä nª Áª¨µ ε ´ Ä Ç Â¨³ » » ¸É¤¸ nµÅ¤n n°Á ºÉ° È ³ o° ¤¸ nµ ε ´ oª¥ x t

´ª°¥nµ ¸É 6.1 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ x t

¢{ r ´ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ µ¤£µ¡ ¸É 6.3 ( )

e at u t

Á¤ºÉ° a ! 0 ¨³ u t º°

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ x t ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.9) ´É º° f

X jZ

³e

f at

u t e

jZt

dt

f

³e

a jZ t

f

e

a jZ 0 a jZ t

dt

0

1 a jZ

(6.19)

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ º° CtFT e at u t m o

1 a jZ

a!0

,

(6.20)

Á ºÉ ° µ X jZ Á } ¢{ r ´ n µ Á · o ° (complex-valued function) ´ ´Ê à ¥ ´É ª Å ³Â­ X jZ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ ¹É ®µÅ o µ X jZ

X jZ

1 a jZ

1

a Z2

§Z · tan 1 1 tan 1 ¨ ¸ ©a¹

2

§Z · tan 1 ¨ ¸ ©a¹

(6.21) (6.22)

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 6.3 ( ) ¨³ ( ) µ¤¨Îµ ´ 3

Á ºÉ° Å Á®¨nµ ¸ÊÁ } Á ºÉ° Å ¡°Á¡¸¥ (sufficient condition) ¸É εĮo­µ¤µ¦ ­¦» ªnµ x t Á } ¢{ r ´ ¸É¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ  nŤnÄ nÁ ºÉ° ŠεÁ } (necessary condition) Á­¤°Å [3]

6-6

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

192

x(t )

( ) 1

0.368

X jZ

( )

t

1/ a

0

X jZ

( )

1/ a

S /2

S /4 a

1 2a

Z

a S / 4

a

a

Z

S / 2

£µ¡ ¸É 6.3 ( ) ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ x t , ( ) ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ , ¨³ ( ) ­Á ¦´¤Á · Á¢­ ° X jZ

SCILAB:

( ´ª°¥nµ ¸É 6.1)

-->a = 1; -->Tmax = 10;

//Ä o nµ° ´ r ­Îµ®¦´ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ e u t Á ºÉ° µ e at

-->dOmega = 0.001;

Omega = -3*%pi/2:dOmega:3*%pi/2;

-->dt

t = 0:dt:Tmax;

= 0.001;

1 10

|0

-->for w = 1:length(Omega) -->

Xw(w) = sum( exp(-(a + %i*Omega(w))*t )*dt);

//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (6.19)

-->end -->plot(Omega, abs(Xw));

//ªµ ¦µ¢­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ µ¤£µ¡ ¸É 6.3 ( )

-->plot(Omega, atan(imag(Xw)./real(Xw)));

//ªµ ¦µ¢­Á ¦´¤Á · Á¢­ µ¤£µ¡ ¸É 6.3 ( )

Ä µ · ´ ·­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ·¥¤ ε¤µÄ o µ ¤µ ªnµ­Á ¦´¤Á · Á¢­ ´ ´Ê µ ¸ÊÁ } o Å ­Á ¦´¤Á · Á¢­ ³ ¼ ¨³ÅªoÄ µ ¸ÉÁ oµÄ ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ §t · x t ¨ ¸ © T1 ¹

­1, t T1 ® ¯0, else

(6.23)

µ¤£µ¡ ¸É 6.4 ( ) ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.9) ´É º° บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 193

6-7

X jZ

x t

1

2T1

§t · ¨ ¸ © T1 ¹

T1

t

T1

S

S

T1

T1

2S

0

Z 2S

T1

T1

£µ¡ ¸É 6.4 ( ) ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t ¨³ ( ) ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ

T1

X jZ

³

1 e jZt dt

T1

e jZt jZ

T1

T1

1 ^e jZT1 e jZT1 ` jZ

2 ­ e jZT1 e jZT1 ½ ® ¾ Z¯ 2j ¿

2

Z

Á ºÉ° µ sinc T

sin T / T

sin ZT1

2T1sinc ZT1

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ º° § t · CtFT ¨ ¸ m o 2T1sinc ZT1

© T1 ¹

(6.24)

£µ¡ ¸É 6.4 ( ) ­ ¦¼ ¦nµ ° ­´ µ X jZ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É SCILAB:

( ´ª°¥nµ ¸É 6.2)

-->T1 = 2; -->dOmega = 0.001; -->dt = 0.001;

Omega = -2*%pi:dOmega:2*%pi; t = -T1:dt:T1;

-->for w = 1:length(Omega) --> Xw(w) = sum(exp(-%i*Omega(w)*t)*dt); -->end -->plot(Omega, Xw); xgrid(2);

//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¼ ¦Ä ­¤ µ¦ (6.9)

-->mtlb_axis([-6 6 -1 4]);

// ε­´É ¦´ nµÁ­o  x ¨³Á­o  y

-->Xw2 = 2*T1*sinc(Omega*T1);

// nµ X

-->plot(Omega, Xw2); xgrid(2);

// nµ Xw2 ¤¸ nµÁ nµ ´ Xw

jZ µ¤­¤ µ¦ (6.24)

-->mtlb_axis([-6 6 -1 4]);

6-8

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

194

T1 1

T1

3

T1

5

£µ¡ ¸É 6.5 ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ­Îµ®¦´ T

1

SCILAB:

-->w

1 , T1

3

¨³ T

1

5

(£µ¡ ¸É 6.5) = -4*%pi:0.01:4*%pi;

-->T1 = 1;

Xw = 2*T1*sinc(w*T1);

-->subplot(3,1,1); -->T1 = 3;

xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 6.5 ( )

Xw = 2*T1*sinc(w*T1);

-->subplot(3,1,2); -->T1 = 5;

plot(w, Xw);

plot(w, Xw);

xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 6.5 ( ¨µ )

Xw = 2*T1*sinc(w*T1);

-->subplot(3,1,3);

plot(w, Xw);

xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 6.5 (¨nµ )

­´ Á µ ­¤ µ¦ (6.24) ¨³£µ¡ ¸É 6.4 ¡ ªnµ oµ T1 ¤¸ nµ o°¥ ªµ¤ ªoµ ° ­´ µ x t ³Á¨È  n ªµ¤ ªoµ ° ­´ µ X jZ ³Ä® n Ä µ ¨´ ´ oµ T1 ¤¸ nµ¤µ ªµ¤ ªoµ ° ­´ µ x t

³Ä® n  n ªµ¤ ªoµ ° ­´ µ X jZ ³Á¨È £µ¡ ¸É 6.5 ­ ¦¼ ¦nµ ° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ

° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ Á¤ºÉ° T1 ¤¸ nµÁ nµ ´ 1, 3, ¨³ 5 ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ Ä Ç Å¤n­µ¤µ¦ ¸É ³Á } Å o ´Ê ­´ µ ¸É¤¸Áª¨µ ε ´ (timelimited signal) ¨³­´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ (band-limited signal) ¹É ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ oÄ ®´ª o° ¸É 6.3.3 Á¦ºÉ° » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 195

6-9

x t

W /S

X jZ

§Z · ¨ ¸ ©W ¹

1 W

Z

W

S

S

W

W

2S

t

2S

0

W

W

£µ¡ ¸É 6.6 ( ) ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É X jZ ¨³ ( ) ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ x t

´ª°¥nµ ¸É 6.3 ε® Ä®o ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ŤnÁ } µ x t º° §Z · X jZ ¨ ¸ ©W ¹

­1, Z W ® ¯0, else

(6.25)

µ¤£µ¡ ¸É 6.6 ( ) ®µ­´ µ x t ¸Ê ª· ¸ ε ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ x t ¸É­° ¨o° ´ X jZ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.10) ´É º° x t

1 2S

W

³ 1 e

jZt

dZ

W

ª e jZt « «¬ jt

1 2S

W

º » W » ¼

1 ª e jWt e jWt º » S t «¬ 2j ¼

1 sin Wt

St

W

S

sinc Wt

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° W

S

§Z · CtFT sinc Wt m o ¨ ¸ ©W ¹

(6.26)

£µ¡ ¸É 6.6 ( ) ­ ¦¼ ¦nµ ° ­´ µ x t Ä Ã Á¤ Áª¨µ SCILAB:

( ´ª°¥nµ ¸É 6.3)

-->W = 2*%pi;

Tmax = 4;

-->dOmega = 0.001;

//Ä o nµ° ´ r ­Îµ®¦´ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° X

Omega = -W:dOmega:W;

-->for ii = 1:length(t)

dt = 0.001;

jZ

t = -Tmax:dt:Tmax;

//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤­¼ ¦Ä ­¤ µ¦ (6.10)

--> xt(ii) = (1/2/%pi)*sum(exp(%i*Omega*t(ii))*dOmega); -->end -->plot(t, xt);

xgrid(2);

-->xt2 = W/%pi*sinc(W*t); -->plot(t, xt2);

xgrid(2);

mtlb_axis([-Tmax Tmax -0.5 2]);

//ªµ ¦µ¢­´ µ Xt

// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤­¤ µ¦ (6.26) mtlb_axis([-Tmax Tmax -0.5 2]); // nµ Xt2 ¤¸ µn Á nµ ´ Xt

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

196

´ª°¥nµ ¸É 6.2 ¨³ 6.3 ­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Â¨³­´ µ · rÁ } ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¹É ´ ¨³ ´ ¨nµª º°­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä à Á¤ Áª¨µ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ } ­´ µ · r Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¨³Ä µ ¨´ ´ ­´ µ · rÄ Ã Á¤ Áª¨µ È ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ } ­´ µ ¡´¨­r ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä à Á¤ ªµ¤ ¸É ªµ¤­´¤¡´ r ¸Ê­° ¨o° ´ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ » ­¤ ´ · ª·£µª³ (duality property)” µ¤®´ª o° ¸É 6.3.5 ´ª°¥nµ ¸É 6.4 ε® Ä®o­´ µ ŤnÁ } µ x t ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° G Z º°¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µÄ à Á¤ ªµ¤ ¸É ®µ nµ ° ­´ µ x t

X jZ G Z kZ0

Á¤ºÉ°

ª· ¸ ε ­´ µ x t ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.10) ´É º° 1 2S

x t

f

Z ³ G Z kZ e d Z j t

0

f

e jkZ0t 2S

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° º° CtFT e jkZ0t m o 2SG Z kZ0

´ª°¥nµ ¸É 6.5 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x t

e a t

(6.27)

Á¤ºÉ° a ! 0

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.9) ´É º° X jZ

f

0

a t jZt ³ e e dt

at jZt at jZt ³ e e dt ³ e e dt

f

f

f

0

1 1 a jZ a jZ

2a a Z2 2

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¸Ê º° e

a t

CtFT m o

2a a Z2

(6.28)

2

6.2 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° » ¦¤¢¼Á ¦¸¥ ¦rÁ } Á ¦ºÉ° ¤º° ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ¹É Á } ¢{ r ´ ° ªµ¤ ¸É °¥nµ Ŧ È µ¤ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r È­µ¤µ¦ Ä oÄ µ¦Â ¨ ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸ÉÅ oÁ n ´ à ¥°µ«´¥¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ¹É ­µ¤µ¦ ° · µ¥Å o ´ ¸Ê บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-11 197

ε® Ä®o­´ µ µ

xp t

¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ T ´ ´Ê µ ­¼ ¦ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ³Å oªnµ f

xp t

¦ae

jkZ0t

(6.29)

k

k f

Á¤ºÉ° Z0 2S / T º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ ¨³ ak º°­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° Å o µ ­¤ µ¦ (4.15) ´É º°

xp t

¹É ­µ¤µ¦ ®µ

T /2

ak

1 x p t e jkZ0t dt T T³/ 2

(6.30)

oµ ε® Ä®o x t º°­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ¤¸ nµÁ ¡µ³£µ¥Ä nª Áª¨µ ¨³ ° nª Áª¨µ ¸Ê¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r à ¥¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (6.9) º°

t dT /2

f

X jZ

³ x t e

jZt

dt

(6.31)

f

´ ´Ê ­´ µ µ

xp t

­µ¤µ¦ ­¦oµ Å o µ ­´ µ ŤnÁ } µ x t à ¥°µ«´¥ ªµ¤­´¤¡´ r n°Å ¸Ê xp t

f

¦ x t mT

(6.32)

m f

Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ à ¥ ´ÉªÅ ¢{ r ´ x t Ä ­¤ µ¦ (6.32) Á¦¸¥ ªnµ “¢{ r ´ n° εÁ · (generating function)” [3] Ä µ · ´ ·­´ µ ŤnÁ } µ x t °µ ¡· µ¦ µªnµÁ } ­´ µ µ Å o à ¥ ¸É µ Áª¨µ ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ° ´ r ´É º° T o f ¨³ x p t x t £µ¥Ä nª Áª¨µ t d T / 2 ´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ­¤ µ¦ (6.30) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÄ®¤nÁ } T /2

ak

Z0 2S

1 x t e jkZ0t dt T T³/ 2

Á¤ºÉ° X jkZ0 º° nµ ° X jZ ¸É ªµ¤ ¸É Z xp t

Z0 2S

f

³ x t e

jkZ0t

Z0

dt

2S

f

k Z0

X jkZ0

(6.33)

 nµ ak µ ­¤ µ¦ (6.33) ¨ Ä ­¤ µ¦ (6.29) ³Å o

f

¦ X jkZ e

jkZ0t

0

k f

¨³ µ ­¤ µ¦ (6.32) ³Å o xp t

f

¦ x t mT

m f

Z0 2S

f

¦ X jkZ e 0

jkZ0t

(6.34)

k f

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

198

CtFT Á ºÉ° µ e jkZ t m o 2SG Z kZ0 ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­¤ µ¦ (6.34) ®µÅ oà ¥ 0

f ª f º F « ¦ x t mT » Z0 ¦ X jkZ0 G Z kZ0

k f ¬ m f ¼

(6.35)

f

2S

¦ a G Z kZ

k

(6.36)

0

k f

Á ºÉ° µ Z0 X jkZ0

µ¤­¤ µ¦ (6.33) ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ

2S ak f

xp t

º°

f

¦ x t mT m o Z ¦ X jkZ G Z kZ

CtFT

0

m f

0

(6.37)

0

k f

®¦º° f

f

¦ x t mT m o 2S ¦ a G Z kZ

CtFT

k

m f

(6.38)

0

k f

ªµ¤­´ ¤¡´ r ¸Ê  ­ Ä®o Á ®È ªn µ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ° ­´ µ µ ¦³ ° Å o ª ¥¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ¸ÉÁ · ¹Ê » ªµ¤ ¸É kZ0 Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¨³Â n¨³¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ³ ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ X jkZ0 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÄ ­¤ µ¦ (6.37) – (6.38) ¸Ê¤¸ ªµ¤­Îµ ´ ¤µ ­Îµ®¦´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling theorem) ¹É Ä o¤µ Ä µ ¦³¥» r µ oµ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ ¨³ µ¦­ºÉ°­µ¦ · · ´¨ ( ¼¦µ¥¨³Á°¸¥ Ä ¸É 8) ´ª°¥nµ ¸É 6.6 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¢{ r ´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ °» ¤ · (ideal sampling function) ¹É ¦³ ° Å oª¥ ª ­´ µ °·¤¡´¨­r (impulse train) ¸É¤¸¦³¥³®nµ Á nµÇ ´ µ¤£µ¡ ¸É 6.7 ( ) f

ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 6.7 ( ) ­´ µ x t ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° x t ¦ G t mT

m f

CtFT o1 ¨³ Á¤ºÉ° T º° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á ºÉ° µ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ º° G t m µ ­¤ µ¦ (6.35) ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t ¤¸ nµÁ nµ ´

X jZ Z0

f

¦ X jkZ G Z kZ

0

0

k f

2S T

f

§

¦ G ¨© Z

k f

2S k · ¸ T ¹

(6.39)

à ¥ ¸É Z0 2S / T ¨³ X jkZ0 1 ­Îµ®¦´ » nµ k ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 6.7 ( ) ¹É È º° ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸ÉÁ n ´ ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¢{ r ´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ °» ¤ · º° f

2S

f

§

¦ G t mT m o T ¦ G ¨© Z CtFT

m f

k f

2S k · ¸ T ¹

(6.40)

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-13 199

x t

F F -1

2T

T

0

T

t

2T

T

X jZ

2S

4S T

2S T

0

2S

4S

T

T

Z

£µ¡ ¸É 6.7 ( ) ¢{ r ´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ °» ¤ · ¨³ ( ) ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É

­¤ µ¦ (6.39) ­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ­´ µ °·¤¡´¨­r ¸É¤¸¦³¥³®nµ  n¨³­´ µ ¡´¨­rÁ nµ ´ T ª· µ ¸ ³Å o ¨¨´¡ rÁ } ª ­´ µ °·¤¡´¨­r ¸É ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 2S / T ¨³­´ µ °·¤¡´¨­r n¨³ ´ª ³®nµ ´ Á nµ ´ 2S / T Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ° µ ¸Ê£µ¡ ¸É 6.7 ¥´ ­ Ä®oÁ®È ªnµ¦³¥³®nµ ¦³®ªnµ ­´ µ °·¤¡´¨­rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ³Â ¦ ´ ´ ¦³¥³®nµ ¦³®ªnµ ­´ µ °·¤¡´¨­r Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¨nµª º° oµ¦³¥³®nµ ¦³®ªnµ ­´ µ °·¤¡´¨­rÄ Ã Á¤ Áª¨µÂ ¨oª ¦³¥³®nµ ¦³®ªnµ ­´ µ °·¤¡´¨­rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É È ³ ªoµ (¨³Ä µ ¨´ ´ ) ´ª°¥nµ ¸É 6.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 6.8 ( ) ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¡ ªnµ­´ µ µ x t Ä £µ¡ ¸É 6.8 ( ) ¤¸­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r º° sin kZ0T1

Sk

2T1 sinc kZ0T1

T

ak

Á¤ºÉ° Z0 2S / T º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ ° x t ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸Ê®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.36) ´É º° X jZ

f

2S

¦ a G Z kZ

k

0

k f

sin kZ0T1

G Z k Z0

k f

f

2¦ k

(6.41)

£µ¡ ¸É 6.8 ( ) ­ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ° µ ¸Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤¥´ ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.35) Á n ´ ¨nµª º° µ £µ¡ ¸É 6.8 ( ) ­´ µ µ x t ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } x t

Á¤ºÉ° g t

t / T1

f

f

m f

m f

§ t mT · ¸ © T1 ¹

¦ g t mT ¦ ¨

º°­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (6.24) º°

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

200

x t

2T

T

T1 0

T

T1

t

2T

X jZ

S

S

T1

T1

Z

Z0 0 Z0

£µ¡ ¸É 6.8 ( ) ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¨³ ( ) ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É CtFT t / T1 m o 2T1sinc ZT1

´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (6.35) ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t º° X jZ Z0

f

¦ X jkZ G Z kZ

0

0

k f

f

Z0 ¦ 2T1sinc kZ0T1 G Z kZ0

k f

sin kZ0T1

G Z k Z0

k f

f

2¦ k

(6.42)

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ oÄ ­¤ µ¦ (6.41) ´ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ­µ¤µ¦ εŠoà ¥Ä o­¤ µ¦ (6.35) ®¦º° (6.36) £µ¡ ¸É 6.9 ­ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ µ x t Á¤ºÉ° T 4T1 , T 8T1 , ¨³ T 16T1 ¹É ¡ ªnµÁ¤ºÉ°­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä à Á¤ Áª¨µ¤¸ ªµ¤ ªoµ  ( ´É º° T1 o°¥) ³ εĮo­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ¤¸ µ¦Â n ¥µ¥°° Å ¤µ SCILAB:

(£µ¡ ¸É 6.9)

-->k = -15:15; T = 1; -->T1 = T/4; y = (4*%pi*T1/T)*sinc(2*%pi*T1/T*k); -->subplot(3,1,1); plot2d3(k, y); xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 6.9 ( )

-->T1 = T/8; y = (4*%pi*T1/T)*sinc(2*%pi*T1/T*k); -->subplot(3,1,2); plot2d3(k, y); xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 6.9 ( ¨µ )

-->T1 = T/16; y = (4*%pi*T1/T)*sinc(2*%pi*T1/T*k); -->subplot(3,1,3); plot2d3(k, y); xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 6.9 (¨nµ )

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-15 201

T

4T1

T

8T1

T

16T1

£µ¡ ¸É 6.9 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 6.8 ( ) ­Îµ®¦´ nµ T nµ Ç

´ª°¥nµ ¸É 6.8 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x1 t

sin Z0t

¨³

x2 t cos Z0t

ª· ¸ ε µ ­¼ ¦ µ¦Â ­´ µ µ oª¥° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (4.14) ´É º° x t

f

¦ae

jkZ0t

(6.43)

k

k f

¨³ µ » ­¤ ´ · ° ¦¸Ã ¤· · ³Å oªµn x1 t sin Z0t

e jZ0t e jZ0t 2j

(6.44)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (6.43) ¨³ (6.44) ³Å oªnµ a1

1 , a 1 2j

1 , 2j

¨³ ak

0

­Îµ®¦´ k z ^ 1,1`

Á¡¦µ³ ³ ´Ê µ ­¤ µ¦ (6.36) ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x1 t º° X 1 jZ

f

2S

¦ a G Z kZ

k

0

k f

S j

S G Z Z0 G Z Z0

j

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

202

X 2 jZ

X 1 jZ

S

S/j Z0 S / j

Z

Z0

0

S

Z0

0

Z0

Z

( )

( )

£µ¡ ¸É 6.10 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ µ ( ) x t

1

sin Z0 t

¨³ ( )

x2 t

cos Z0 t

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Å r º° S

S

CtFT sin Z0t m o G Z Z0 G Z Z0

j j

(6.45)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ Á ºÉ° µ x2 t cos Z0t

e jZ0t e jZ0t 2

(6.46)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (6.43) ¨³ (6.46) ³Å oªnµ a1

1 , a 1 2

1 , 2

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ X 2 jZ

¨³ ak

x2 t

­Îµ®¦´ k z ^ 1,1`

º°

f

2S

0

¦ a G Z kZ

k

0

SG Z Z0 SG Z Z0

k f

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ à Šr º° CtFT cos Z0t m o SG Z Z0 SG Z Z0

(6.47)

£µ¡ ¸É 6.10 ­ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ µ sin Z0t ¨³ cos Z0t

6.3 » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ®´ª o° ¸Ê ³° · µ¥ » ­¤ ´ · ¸É nµ­ Ä nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) Á¡ºÉ° nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ nµ¥ ¹Ê ´ ¸Ê บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-17 203

6.3.1 » ­¤ ´ ·Á · Á­o CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ ´ ´Ê ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ ŤnÁ } ε® Ä®o x t m µ x t ¨³ y t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°

CtFT ax t by t m o aX jZ bY jZ

(6.48)

Á¤ºÉ° a ¨³ b Á } nµ ´ªÄ Ç

6.3.2 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ CtFT o X jZ ´ ´Ê x t t0 º°­´ µ x t ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time shifting) Á } ε® Ä®o x t m ε ª t0 ® nª¥ ¨³¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT x t t0 m o e jZt0 X jZ

(6.49)

¹É ¡·­¼ rÅ o µ ­¤ µ¦ (6.10) ´É º° x t

1 2S

f

³ X jZ e

jZt

1 2S

f

dZ

f

 nµ t oª¥ t t0 ³Å o x t t0

1 2S

f

³

X jZ e

jZ t t0

dZ

f

³ ^ X jZ e

jZt0

`e

jZt

dZ

f

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t t0 º° F ª¬ x t t0 º¼

e jZt0 X jZ

» ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° µ Áª¨µÂ­ Ä®oÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ε µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ x t Á } Áª¨µ t0 ® nª¥ ¨ ¸ÉÁ · ¹Ê ´ ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° µ¦ ¼ ­´ µ X jZ oª¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jZt ´É º° °¤¡¨· ¼ ° ­´ µ X jZ ¥´ Á®¤º° Á ·¤ Á¡¸¥  n¤»¤Á¢­ ° ­´ µ X jZ ³Á ¨¸É¥ Å Â Á · Á­o oª¥ nµ Zt0 0

´ª°¥nµ ¸É 6.9 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ŤnÁ } µ x t Ä £µ¡ ¸É 6.11 ª· ¸ ε ­´ µ x t Ä £µ¡ ¸É 6.11 ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

204

x t

x1 t

2

x2 t

1

1

1 0

1

2

3

t

1.5

1.5

t

0.5

0.5

t

£µ¡ ¸É 6.11 ­´ µ ŤnÁ } µ Ä ´ª°¥nµ ¸É 6.9 x t 2 x1 t 1.5 x2 t 1.5

Á¤ºÉ° x1 t ¨³ x2 t Á } ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ µ¤£µ¡ ¸É 6.11 ¨³ µ ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (6.24) ´É º° § t · CtFT 2sin ZT1

¨ ¸ m o Z © T1 ¹

¹É ³Å oªnµ X 1 jZ

2sin 3Z / 2

Z

¨³

X 2 jZ

2sin Z / 2

Z

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ ­ 2sin 3Z / 2 sin Z / 2 ½ 2e j1.5Z ® ¾ Z ¯ ¿

X jZ 2e j1.5Z X 1 jZ e j1.5Z X 2 jZ

6.3.3 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ CtFT o X jZ ´ ´Ê ­´ µ ¸É ¼ ­Á ¨ µ Áª¨µ (time scaling) ´É º° x D t ³¤¸ ε® Ä®o x t m ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT x D t m o

§ jZ · X¨ D © D ¸¹ 1

(6.50)

Á¤ºÉ° D Á } nµ ´ªÄ Ç ¹É ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê Á ºÉ° µ f

F ª¬ x D t º¼

³ x D t e

jZt

dt

f

 nµ W D t ³Å o บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-19 205

F ¬ª x W ¼º

­1 f j Z / D W dW , D !0 ° ³ x W e °D f ® f ° 1 x W e j Z / D W dW , D 0 ° D ³

f ¯

´ ´Ê ­¦» Å oªnµ F ª¬ x D t º¼

1

D

§ jZ · X¨ ¸ ©D ¹

» ­¤ ´ · o° ¸ÊÁ } µ¦¥º ¥´ ªnµ­´ µ Ä Ç Å¤n­µ¤µ¦ Á } Å o ´Ê ­´ µ ¸É¤¸Áª¨µ ε ´ ¨³­´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ ´É º°

oµ D ! 1 ¢{ r ´ x D t È º° µ¦ ¸ ­´ µ x t Ä®o ¨ Ä µ Áª¨µ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á n µ ´ D Ä ³ ¸É X jZ / D ³Á } µ¦ ¥µ¥­´ µ X jZ Ä®o ªo µ ¹Ê Ä µ ªµ¤ ¸É o ª ¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ D

oµ 0 D 1 ¢{ r ´ x D t È º° µ¦ ¥µ¥­´ µ x t Ä®o ªo µ ¹Ê Ä µ Áª¨µ oª ¥ ´ ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ D ¨³ X jZ / D ³Á } µ¦ ¸ ­´ µ X jZ Ä®o ¨ Ä µ ªµ¤ ¸É oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ D

´ª°¥nµ Á n µ ­¤ µ¦ (6.24) ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ t / T1 º° § t · CtFT ¨ ¸ m o 2T1sinc ZT1

© T1 ¹

oµ ε® Ä®o x D t

D t / T1

Á¤ºÉ° D º° nµ ´ªÄ Ç Â¨oª ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x D t º° § D t · CtFT 2T1 § ZT · ¨ ¸ m o sinc ¨ 1 ¸ T D © D ¹ © 1¹

£µ¡ ¸É 6.12 ­ ­´ µ x D t ¨³­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ X jZ ­Îµ®¦´ nµ D Á nµ ´ 0.5, 1, 2 ¹É ³Á®È Å oªnµ ¨¨´¡ rÁ } Å µ¤ » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ µ¤ ¸É° · µ¥Åªo oµ o Ä ¦ ¸ ¸É D 1 ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° µ¦¡´ ­´ µ ®¦º° µ¦ ¨´ oµ ° ­´ µ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT x t m o X jZ

(6.51)

¨nµª º° µ¦¡´ ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ³­n ¨ εĮo­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ¼ ¨´ oµ oª¥Á n ´ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

206

X jZ

2

x t

D

2

D

1

1

D 1

1 1 4 2

0

( )

1 4

0.5

0.5

t

1

1 2

1

2S S

4S

0

S 2S

Z

4S

( )

£µ¡ ¸É 6.12 ( ) ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x D t

D t / T1

¨³ ( ) ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼

X jZ

6.3.4 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» CtFT o X jZ ´ ´Ê ε® Ä®o x t m ¢¼Á¦¸¥¦r º°

x t

º° nµ­´ ¥» Á · o° ° ­´ µ x t à ¥¤¸ ¼n µ¦Â ¨

CtFT x t m o X jZ

(6.52)

¹É ¡·­¼ rÅ o µ

F ª¬ x t º¼

§f · jZt ¨ ³ x t e dt ¸ © f ¹

f

Z ³ x t e dt

f

Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ´É º° x t

¤¸ ªµ¤­¤¤µ ¦Á · ­´ ¥» (conjugate symmetry) ¨nµª º° X jZ

X jZ

X jZ

j t

®¦º°

x t

X jZ

³Å oªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É

X jZ

X jZ

¨³ oµÂ­ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸ÉÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° X jZ Re ^ X jZ ` j Im ^ X jZ `

´ ´Ê oµ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å oªnµ Re ^ X jZ ` Re ^ X jZ `

¨³

Im ^ X jZ ` Im ^ X jZ `

° µ ¸ÊÄ ¦ ¸ ¸É x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n ´É º° x t

X jZ

x t

³Å oªnµ

X jZ

¨³ oµÂ­ ­´ µ x t Ä®o°¥¼Än ¦¼ ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ ¼Ân ¨³¢{ r ´ ¸É ¨nµª º° บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-21 207

x t

xe t xo t

(6.53)

Á¤ºÉ° xe t = Ev ^ x t ` ¨³ xo t = Od ^ x t ` º°­nª ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É ° ­´ µ x t

µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t º° F ª¬ x t º¼ F ª¬ xe t º¼ F ª¬ xo t º¼ X jZ Re ^ X jZ ` j Im ^ X jZ `

´É º° CtFT Ev ^ x t ` m o Re ^ X jZ `

¨³

´ª°¥nµ ¸É 6.10 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É

CtFT Od ^ x t ` m o j Im ^ X jZ `

­Îµ®¦´ a ! 0 à ¥Ä o » ­¤ ´ · °

x t e a t

ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 6.1 ³Å oªnµ CtFT e at u t m o

1 a jZ

,

a!0

´ ´Ê x t e a t

e at u t e at u t

­° e at u t e at u t ½° 2® ¾ 2 ¯° ¿°

2Ev ^e at u t `

Á ºÉ° µ e at u t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³ ­ 1 ½ CtFT Ev ^e at u t ` m o Re ® ¾ ¯ a jZ ¿

Á¡¦µ³ ³ ´Ê X jZ

­ 1 ½ ­ 1 a jZ ½ 2 Re ® u ¾ 2 Re ® ¾ Z Z a j a j a jZ ¿ ¯ ¿ ¯

­ a jZ ½ 2 Re ® 2 2 ¾ ¯a Z ¿

2a a2 Z 2

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o­¤ µ¦ (6.28) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

208

6.3.5 » ­¤ ´ · ª·£µª³ CtFT o X jZ » ­¤ ´ · ª·£µª³ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ ε® Ä®o x t m CtFT X t m o 2S x jZ

(6.54)

´ª°¥nµ Á n µ ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ t / T1 º° § t · CtFT 2sin ZT1

¨ ¸ m o Z © T1 ¹

¨³ µ ´ª°¥nµ ¸É 6.3 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ · r

W

S

sinc Wt

(6.55) sin Wt

St

sin Wt CtFT §Z · m o ¨ ¸ St ©W ¹

º° (6.56)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (6.55) ¨³ (6.56) ¡ ªnµ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ­° ¸Ê¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ (à ¥ µ¦Â¨ Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ ¹É ´ ¨³ ´ ) ªµ¤ ¨oµ¥ ´ ¸ÊÁ¦¸¥ ªnµ » ­¤ ´ · ª·£µª³ (duality) ¹É ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê µ ­¤ µ¦ (6.55) ³Å oªnµ §t · ¨ ¸ © T1 ¹

 nµ t

t

1 2S

§ 2sin ZT1 · jZt ¸ e dZ Z ¹ f f

³ ¨©

³Å o §t · ¨ ¸ © T1 ¹

§ sin ZT1 · jZt ¸ e dZ SZ ¹ f f

³ ¨©

ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦¦³®ªnµ t ¨³ Z ¨³ ε® Ä®o T1 §Z · ¨ ¸ ©W ¹

W

³Å o

§ sin Wt · jZt ¸ e dt St ¹ f f

³ ¨©

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ · r sin Wt / S t º° ­ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ¤ » ­¤ ´ · ª·£µª³ ´ª°¥nµ ¸É 6.11 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ y t

Z / W

µ¤­¤ µ¦ (6.56) £µ¡ ¸É 6.13

2 1 t2

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-23 209

2 sin ZT1

F

1

F -1 T1

Z

2T1

§t · ¨ ¸ © T1 ¹

t

T1

S

S

T1

T1

2S

Z

2S

0

T1

T1

sin Wt

St

W /S

§Z· ¸ ©W ¹

¨

F

2S

S

S

W

W

t

W

2S

0

1

F -1 W

t

W

W

£µ¡ ¸É 6.13 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ¤ » ­¤ ´ · ª·£µª³ CtFT o 2a / a 2 Z 2 ´ ´Ê oµ a ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (6.28) ³Å oªnµ e a t m

t

CtFT x t e m o X jZ

1

³Å o

2 1 Z2

®¦º°Á ¸¥ Å oªµn f

1 2S

e t

2

f

¼ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ oª¥ 2S ¨³Â nµ t f

2S e t

§

³ ¨© 1 Z

2

· jZt ¸ e dZ ¹

t

³Å o

§

2

³ ¨© 1 Z

f

2

· jZt ¸ e dZ ¹

ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦¦³®ªnµ t ¨³ Z ³Å oªnµ f

2S e Z

§ 2 · jZt e dt 2 ¸ ¹ f

³ ¨© 1 t

Y jZ

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ y t º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

210

ª 2 º F« 2 ¬1 t »¼

2S e

Z

6.3.6 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É CtFT o X jZ ´ ´Ê e jZ t x t º°­´ µ x t Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É (frequency shifting) Á } ε® Ä®o x t m ε ª Z0 ® nª¥ à ¥¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° 0

CtFT e jZ0t x t m o X j Z Z0

(6.57)

¹É ¡·­¼ rÅ o µ f

F ª¬e jZ0t x t º¼

³ ^e

jZ0t

f

`

x t e jZt dt

f

³ x t e

j Z Z0 t

dt

X j Z Z0

f

» ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É­ Ä®oÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ¼ ­´ µ x t oª¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jZ t ³¤¸ ¨ εĮo ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X jZ ¼ Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É°° Å Á } ¦·¤µ Z0 ® nª¥ ­´ Á ¡ ªnµ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÄ ­¤ µ¦ (6.49) ¨³ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸ÉÄ ­¤ µ¦ (6.57) ³¤¸ » ­¤ ´ · ª·£µª³¦³®ªnµ ´ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É ¸Ê ·¥¤ ε¤µÄ o µ Ä Á¦ºÉ° µ¦ ¨Êε­´ µ (modulation) Ä ¦³ ­ºÉ°­µ¦ 0

6.3.7 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ r CtFT o X jZ ° »¡´ r ° ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ x t ®µÅ o µ ε® Ä®o x t m

dx t

dt

d ª 1 « dt ¬ 2S

f

º jZt ³ f X jZ e dZ »¼

1 2S

f

³ jZ X jZ e

jZt

dZ

f

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ° »¡´ r ° x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° dx t

dt

CtFT m o jZ X jZ

(6.58)

¨³° »¡ ´ r°´ ´ n ° x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° d n x t CtFT n m o jZ X jZ

dt n

(6.59)

­¤ µ¦ (6.59) ­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦®µ° »¡ ´ r µ Áª¨µ­n ¨Ä®o° r ¦³ ° ªµ¤ ¸É­¼ ° ­´ µ ¤¸ µ¦ ¥µ¥ µ ¹Ê (¤¸ µn Á¡·É¤¤µ ¹Ê ) ¹É ­° ¨o° ´ ªµ¤ ¦· ¸ªÉ nµ µ¦®µ° »¡ ´ r n°Ä®oÁ · µ¦Á ¨¸É¥  ¨ บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-25 211

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ¦®µ° »¡´ r ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É X jZ ®µÅ o µ dX jZ

dZ

f º d ª jZt « ³ x t e dt » dZ ¬ f ¼

f

³ jtx t e

jZt

dt

f

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ° »¡´ r ° X jZ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT jtx t m o

dX jZ

dZ

(6.60)

¨³° »¡ ´ r°´ ´ n ° X jZ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° n

CtFT o jt x t m

d n X jZ

dZ n

(6.61)

´ ´Ê ³Á®È Å oªnµ­¤ µ¦ (6.58) ¨³ (6.60) ­° ¨o° ´ » ­¤ ´ · ª·£µª³ µ¤ ¸É° · µ¥ oµ o ´ª°¥nµ ¸É 6.12 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ µ ®¤¼ x t Ä £µ¡ ¸É 6.14 ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 6.14 ­´ µ x t ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° x t

Á¤ºÉ° r t

­t , t t 0 ® ¯0, t 0

A ª r t b r t a r t a r t b º¼ b a ¬

º°¢{ r ´ µ ¨µ (ramp function) Á ºÉ° µ ° »¡´ r ° r t º°¢{ r ´ ´Ê ´ Å

® ¹É ® nª¥ u t ´ ´Ê dx t

dt

A ªu t b u t a u t a u t b º¼ b a ¬

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ° »¡´ r ° u t º°¢{ r ´ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ G t ´ ´Ê d 2 x t

dt

2

A ªG t b G t a G t a G t b º¼ b a ¬

¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° d 2 x t / dt 2 º° ª d 2 x t º F« » 2 ¬ dt ¼

A ªe jZb e jZa e jZa e jZb º¼ b a ¬

2 A ª§ e jZb e jZb · § e jZa e jZa · º «¨ ¸ ¨ ¸» b a ¬© 2 2 ¹ © ¹¼

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

212

x t

A b a

a

b

t

dx t

xc t

dt a

b

b a

t

d 2 x t

xcc t

dt 2 a

a

b

b

t

£µ¡ ¸É 6.14 ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ µ ®¤¼ x t ¨³° »¡´ r°´ ´ ® ¹É xc t ¨³°´ ´ ­°

xcc t

´É º° ª d 2 x t º F« » 2 ¬ dt ¼

2A ªcos Zb cos Z a ¼º b a ¬

µ ­¤ µ¦ (6.59) ³Å o jZ

2

X jZ

2A ªcos Zb cos Z a º¼ b a ¬

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ µ ®¤¼ x t º° X jZ

2 A ª cos Z a cos Zb º « » Z2 b a ¬ ¼

6.3.8 » ­¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ r CtFT o X jZ ¦·¡´ r ° ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ x t ®µÅ o µ ε® Ä®o x t m t

1

³ x W dW m o jZ X jZ S X 0 G Z

CtFT

(6.62)

f

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-27 213

à ¥ ¸É nµ S X 0 G Z ­ ¹ ° r ¦³ ° Å¢¢jµ ¦³Â­ ¦ ®¦º° nµÁ ¨¸É¥ ¸ÉÁ } ¨¤µ µ µ¦®µ ¦·¡´ r ­¤ µ¦ (6.62) ° Ä®o ¦µ ªnµ µ¦®µ ¦·¡´ r µ Áª¨µ­n ¨Ä®o° r ¦³ ° ªµ¤ ¸É­¼ ° ­´ µ ¤¸ nµ¨ ¨ ¹É ­° ¨o° ´ ªµ¤ ¦· ¸Éªnµ µ¦®µ ¦·¡´ r ³ nª¥ εĮo­´ µ ¤¸ µ¦Â ªn ´ª o°¥¨ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¨ µ¦®µ ¦·¡´ r ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É X jZ ­° ¨o° ´ » ­¤ ´ · ª·£µª³Á n ´ ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° µ¦®µ ¦·¡´ r ° X jZ º° Z

1 CtFT x t S x 0 G t m o ³ X jT dT jt f

(6.63)

6.3.9 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ µ¦ ε ° ꨼ ´ (convolution) ¦³®ªnµ ε® Ä®o x t m ­´ µ x t ¨³ y t ³¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° CtFT x t y t m o X jZ Y jZ

(6.64)

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ ¨nµª º° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ¼ ´ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¹É ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê f

ε® Ä®o z t

x t y t

³ x t W y W dW ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° z t º°

f f

F ª¬ z t º¼

ªf º jZt ³ f «¬ f³ x t W y W dW »¼ e dt ªf º X jZ e jZW « ³ y W dW » ¬ f ¼

f

ªf º jZt x t W e dt

« ³ y W dW » ³ f ¬ f ¼

ªf º X jZ « ³ y W e jZW dW » ¬ f ¼

X jZ Y jZ

CtFT o X jZ Y jZ µ¤ ¸É o° µ¦ ´ ´Ê ³Å oªnµ x t y t m » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤ Áª¨µ (LTI: linear time-invariant) Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª nµ Ç nµ¥ ¹Ê ¨nµª º°¡· µ¦ µ£µ¡ ¸É 6.15 ( ) ³Á®È Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» y t ¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ °· ¡» x t ε ° ꨼ ´ ´ ¦³ h t ¹É ª· ¸ µ¦ Î µ ª n ° o µ ³¥»n ¥µ  n o µ Î µ µ¦Â ¨ ­´ µ ´Ê ®¤ Ä®o ° ¥¼n Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É µ¤ £µ¡ ¸É 6.15 ( ) ³¡ ªnµ­´ µ Á°µ r¡» Y jZ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦ ¼ ´ ° X jZ ¨³ H jZ Á nµ ´Ê ¹É à ¥ ´ÉªÅ µ¦ ε ª ³ nµ¥ ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤µ

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

214

x t

y t

h t

F -1

X jZ

x t h t

F

H jZ

Y jZ

X jZ H jZ

£µ¡ ¸É 6.15 ¦³ LTI Ä ( ) à Á¤ Áª¨µ ¨³ ( ) à Á¤ ªµ¤ ¸É

´ª°¥nµ ¸É 6.13 µ £µ¡ ¸É 6.15 ε® Ä®o­´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ LTI º° x t e at u t ¨³ h t e bt u t Á¤ºÉ° a ! 0 ¨³ b ! 0 µ¤¨Îµ ´ ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ ¸Ê ª· ¸ ε Á ºÉ° µ CtFT x t e at u t m o X jZ

1 a jZ

(6.65)

CtFT h t e bt u t m o H jZ

1 b jZ

(6.66)

¨³

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° y t º° Y jZ

X jZ H jZ

1

a jZ b jZ

(6.67)

Ä ¦ ¸ ¸É a z b ­¤ µ¦ (6.67) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } Y jZ

à ¥ ¸É nµ ´ª

A

A B a jZ b jZ

(6.68)

¨³ B ®µÅ o µ µ¦Â o­¤ µ¦ A b jZ B a jZ 1 Ab Ba jZ A B 1

¹É ³Å oªnµ

A B

¨³

A 1/ b a

µ ´ Ê Â nµ

A

¨³

B

¨ Ä ­¤ µ¦ (6.68) ³Å o

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-29 215

1 ­ 1 1 ½ ® ¾ b a ¯ a jZ b jZ ¿

Y jZ

¨³Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ Á¡ºÉ°®µ nµ y t µ Y jZ µ¤­¤ µ¦ (6.10) ®¦º° µ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÄ ­¤ µ¦ (6.65) ¨³ (6.66) Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y t ¤¸ nµÁ nµ ´ y t

Ä ¦ ¸ ¸É a

b

1 ^e at u t e bt u t ` b a

­¤ µ¦ (6.68) ´ ¦¼ Å oÁ } Y jZ

1

a jZ

2

Á ºÉ° µ 1

a jZ

2

j

d ª 1 º dZ «¬ a jZ »¼

°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ ­¤ µ¦ (6.60) ¨³ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r CtFT oj te at u t m

d ª 1 º dZ «¬ a jZ »¼

CtFT e at u t m o

1 a jZ

´ ´Ê

1

a jZ

2

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡ » y t ¤¸ nµÁ nµ ´ y t te at u t

6.3.10 » ­¤ ´ · µ¦ ¼ » ­¤ ´ · µ¦ ¼ (multiplication) ¤¸¨´ ¬ ³Á } ª·£µª³ ´ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ oµ ε® Ä®o CtFT CtFT x t m o X jZ ¨³ y t m o Y jZ ´ ´Ê ­´ µ z t x t y t ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° F ª¬ z t º¼

Z jZ

X jZ Y jZ

1 2S

f

³ X jT Y j Z T dT

f

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° µ¦ ¼ ­´ µ ­° ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ º° CtFT x t y t m o X jZ Y jZ

(6.69)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

216

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ¼ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ®¤µ¥Á® » Ä µ · ´ · µ oµ ¦³ ­ºÉ°­µ¦ ³Á¦¸¥ µ¦ ¼ ­´ µ ­° ­´ µ ªnµ “ µ¦ ¨Êε­´ µ Á · °¤¡¨· ¼ (amplitude modulation)” ´ ´Ê Ä µ ¦ ¸ » ­¤ ´ · µ¦ ¼ ¸Ê°µ ¼ Á¦¸¥ ªnµ “ » ­¤ ´ · µ¦ ¨Êε ­´ µ (modulation property)”

6.3.11 ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ CtFT o X jZ ´ ´Ê ¡ºÊ ¸ÄÉ o ¦µ¢ ° ­´ µ x t ®µÅ o µ ε® Ä®o x t m f

³ x t dt

X 0

(6.70)

f

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ´Ê ®¤ ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ ªµ¤ ¸É Z 0 ¨³Ã ¥ ´É ª Å n µ X 0 ¸Ê ³ ° ¹ ¦· ¤ µ ° ° r ¦³ ° Å¢¢j µ ¦³Â­ ¦ ¸É  °¥¼n £ µ¥Ä ­´ µ x t

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X jZ ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ 1 2S

f

³ X jZ dZ

x 0

(6.71)

f

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ´Ê ®¤ ° X jZ ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ° ­´ µ x t ¸ÉÁª¨µ t ¡ ªnµ­¤ µ¦ (6.70) ¨³ (6.71) ¤¸¨´ ¬ ³Á } ª·£µª³¦³®ªnµ ´

0

­´ Á

6.3.12 ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ CtFT o X jZ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ (Parseval’s relation) ·¥µ¤Ã ¥ ε® Ä®o x t m f

³

f

à ¥ ¸É x t

2

2

x t x t

2

x t dt

1 2S

f

³ X jZ

2

dZ

(6.72)

f

Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤Á o¤ ° ¡¨´ µ (energy intensity)” ¸É ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¨³

Á¦¸¥ ªnµ “­Á ¦´¤ ªµ¤® µÂ n ¡¨´ µ (energy-density spectrum)” ¤¸ ® nª¥Á } ¼¨ n°Á¦Á ¸¥ (joules per radian) ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨Ä ­¤ µ¦ (6.72) ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê X jZ

X jZ X jZ

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-31 217

f

³

f

2

x t dt

f

³

f

ª 1 ³ f x t «¬ 2S

x t x t dt

f

f

³ X jZ e

jZt

f

1 2S

ªf º jZt X j Z

« ³ x t e dt » dZ ³ f ¬ f ¼

1 2S

f

º dZ » dt ¼

f

³

1 2S

X jZ X jZ dZ

f

f

³ X jZ

2

dZ

f

à ¥ ´ÉªÅ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ ° Ä®o ¦µ ªnµ¡¨´ µ ° ­´ µ ­µ¤µ¦ ε ª ®µÅ o ´Ê µ à Á¤ Áª¨µÂ¨³ µ à Á¤ ªµ¤ ¸É µ¤­¤ µ¦ (6.72)

6.3.13 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ Á } ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ε® Ä®o x t m µ¦µ ¸É 6.1 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

6.3.14 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¦µ ¸É 6.2 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ ¸¡É ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³

6.4 §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r¨¸ Ä ®´ª o° ¸É 1.2.5 Å o­ ª· ¸ µ¦®µ¡¨´ µ ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t µ¤­¤ µ¦ (1.13) ´É º° f

E

³ x t

2

dt

(6.73)

f

° µ ¸Ê¡¨´ µ ° ­´ µ x t ¥´ ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸Éà ¥Ä o “ §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r¨¸ (Rayleigh's energy theorem)” [3] º° E

1 2S

f

³ X jZ

2

dZ

(6.74)

f

Á ºÉ° µ ¡¨´ µ ° ­´ µ ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.73) ¨³ (6.74) ´ ´Ê §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r¨¸ ¹ ­° ¨o° ´ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ µ¤­¤ µ¦ (6.72) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

218

µ¦µ ¸É 6.1 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ­¤ ´ ·

­´ µ ŤnÁ } µ

¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r

1. ªµ¤Á } Á · Á­o

ax t by t

aX jZ bY jZ

2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ

x t t0

e

3. µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É

e jZ0t x t

X j Z Z0

4. µ¦­´ ¥»

x t

X jZ

5. µ¦¡´ µ Áª¨µ

x t

X jZ

6. µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ

x D t , D ! 0

7. µ¦ ε ° ꨼ ´

x t y t

8. µ¦ ¼

x t y t

9. ° »¡´ r

X¨

D

X jZ Y jZ

1 2S

dx t

f

³ X jT Y j Z T dT

f

jZ X jZ

dt

1

³ x W dW

jZ

f

11. ªµ¤­¤¤µ ¦ ° µ¦­´ ¥»

X jZ S X 0 G Z

X jZ

x t

12. ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨

X jZ

§ jZ · ¸ ©D ¹

1

t

10. ¦·¡´ r

jZt0

Á } ¢{ r ´ nµ ¦·

X jZ

Re ^ X jZ `

Re ^ X jZ `

Im ^ X jZ `

Im ^ X jZ `

X jZ

X jZ

X jZ

X jZ

x t

Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n

X jZ

Á } nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n

x t

Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¸É

X jZ

Á } nµ · £µ¡Â o¨³¢{ r ´ ¸É

f

³ x t

f

2

dt

1 2S

f

³ X jZ

2

dZ

f

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-33 219

˜¾Œ¾ÂŠÂš¸Ă‰ 6.2 ‡Ÿn„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠ¢Ÿà Œ¸¼Œrš¸Ă‰Â˜n°à ÂœÂşĂ‰°ÂŠÂšÂľÂŠà ª¨¾ ­´Â?Â?¾– x t

­à ž„˜Œ´¤Â‡ª¾¤Â™¸Ă‰ X jZ

1

2SG Z

G t

1.

G t t0

e

jZ0 t

.

1/ jZ SG Z

u t

e

jZt0

2SG Z Z0

.

cos Z0t

sin Z0t

S ªG Z Z0 G Z Z0 ºŸ

S j

ªG Z Z0 G Z Z0 Ÿº

e at u t , a ! 0

1/ a jZ

te at u t , a ! 0

1/ a jZ

2

1/ a jZ

n

t n 1

n 1 ! e

e at u t , a ! 0

a t

,

2a / a 2 Z 2

a!0

e S t

2

e Z

2 jZ a Z 2

Z

e at sin Z0t u t , a ! 0 W

St

S

x t

sgn t

sinc Wt

­1, t T1 Ž ¯0, else

2 jZ a Z 2

X jZ

­1, Z W Ž ¯0, else

2 sin ZT1

2T1sinc ZT1

Z

t !0 ­1, ° Ž0, t 0 ° 1, t 0 ¯

2 jZ

f

2S

m f

T

ÂŚ G t mT

/ 4S

jZ a

e at cos Z0t u t , a ! 0

sin Wt

2

f

§

Œ G ¨Š Z

k f

2S k ¡

¸

T š

ŕ¸?ŕ¸?าณ๠ละระบบ ภูบภารประยุภŕ¸•ďœŽŕšƒŕ¸Šďœ‹ŕš‚ŕ¸›ร๠ภรม SCILAB 6-34 สูSignals and Systems with SCILAB Applications

220

2

AT

X jZ

2

2

§t· A ¨ ¸ ©T ¹

x t

A

T

T

2

2

t

4S

T

2S

0

T

£µ¡ ¸É 6.16 ­Á ¦´¤ ªµ¤® µÂ n ¡¨´ µ

2S

4S

T

T

X jZ

Z

2

´ª°¥nµ Á n µ ´ª°¥nµ ¸É 6.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ º° x t

§ t · CtFT o X jZ

A ¨ ¸ m ©T /2¹

§ ZT · ATsinc ¨ ¸ © 2 ¹

2

´ ´Ê ­Á ¦´¤ ªµ¤® µÂ n ¡¨´ µ X jZ ³¤¸¨´ ¬ ³ µ¤£µ¡ ¸É 6.16 ¨³ oµ­¤¤ ·ªnµ o° µ¦ ε ª ®µ¡¨´ µ ° ­´ µ ¸É°¥¼nÄ nª  ªµ¤ ¸É 2S / T d Z d 2S / T È­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.74) ´ ¸Ê E

1 2S

2S / T

2

ATsinc ZT / 2 dZ

³ S

2 / T

A2T 2 2S

2S / T

³

2S / T

| 0.9A2T

sinc2 ZT / 2 dZ

SCILAB: -->T = 1;

A = 2;

-->E = A^2*T^2/(2*%pi)*integrate ... -->('sinc(w*T/2)^2', 'w', -2*%pi/T, ... -->2*%pi/T) E = 3.6112933

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¡¨´ µ ° ­´ µ ¦³¤µ 90% ³°¥¼n£µ¥Ä nª  ªµ¤ ¸É 2S / T d Z d 2S / T ´ª°¥nµ Á n oµ T = 1 ¨³ A = 2 ³Å oªnµ¡¨´ µ ° ­´ µ x t º° E = 0.9 u 22 u 1 = 3.6 ¼¨ ´ ´Ê oµ­¤¤ ·ªnµ­´ µ X jZ º°­´ µ ¸É ³ ¼ ­n nµ Å ¥´ ª ¦ ¦° nµ Éε (low-pass filter) n° ­n n°Å ¥´ ª ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampler) o°¤¼¨Á ¸É¥ª ´ ¡¨´ µ ¸Ê­µ¤µ¦ ε¤µÄ o nª¥Ä µ¦°°  nµ ªµ¤ ¸É ´ (cut-off frequency) ° ª ¦ ¦° nµ ÉεŠo Á n oµ ε® Ä®o¦³ ¥´ ­µ¤µ¦ ε µ Å o °¥nµ ¤¸ ¦³­· ·£µ¡ oµ¡¨´ µ ° ­´ µ x t ¸É nµ ª ¦ ¦° nµ Éε¤¸ ¦·¤µ Ťn o°¥ ªnµ 90% ° ¡¨´ µ ´Ê ®¤ ´ ´Ê ª ¦ ¦° n µ ÉÎ µ °µ Ä o ªµ¤ ¸É Z 2S / T Á } ªµ¤ ¸É ´  µ¦Ä o ªµ¤ ¸É Z ! 2S / T ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµ ªµ¤ ¸É ´ ¸É¤¸ nµ o°¥ ³ nª¥¨ ¦·¤µ ° ­´ µ ¦ ª (noise) ¸É ³ nµ ª ¦ ¦° nµ ÉεÁ oµÅ Ä ¦³ Å o บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-35 221

6.5 ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä µ · ´ ·¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÂ Á · Á­o (LTI) ¤´ ³ ¼ ε® à ¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o (LCCDE: linear constant-coefficient differential equation) ´ ¸Ê N

¦ ak k 0

d k y t

dt k

M

¦ bk k 0

d k x t

dt k

(6.75)

Á¤ºÉ° ak ¨³ bk Á } nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ª, ¨³ y t ¨³ x t º°­´ µ Á°µ r¡» ¨³­´ µ °· ¡»  ŤnÁ } µ ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ­¤ µ¦ (6.75) Á¦¸¥ ªnµ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ N

6.5.1 µ¦®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É à ¥ ´ÉªÅ µ¦®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ ¸É ε® µ¤­¤ µ¦ (6.75) à ¥ ¦ εŠo¥µ Á¡¦µ³ªnµ ­¤ µ¦¤¸ ªµ¤ ´ o° ¤µ ´ ´Ê Ä µ¦®µ nµ h t ³Á¦·É¤ µ µ¦®µ nµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° h t ´É º° H jZ ¨oª ¹ Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ Á¡ºÉ°®µ nµ h t µ¤ ¸É o° µ¦ CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ µ ´Ê ε µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ε® Ä®o x t m ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (6.75) ³Å o ªN ª M d k x t º d k y t º F «¦ ak F » «¦ bk » dt k ¼ dt k ¼ ¬k 0 ¬k 0

°µ«´¥ » ­¤ ´ ·Á · Á­o µ¤­¤ µ¦ (6.48) ³Å o ª d k y t º a F » ¦ k « k k 0 ¬ dt ¼ N

ª d k x t º b F » ¦ k « k k 0 ¬ dt ¼ M

¨³ » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ r µ¤­¤ µ¦ (6.59) ³Å o N

M

k

k

¦ a jZ Y jZ ¦ b jZ X jZ

k

k

k 0

(6.76)

k 0

´ ´Ê ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° H jZ

¦ X jZ ¦

Y jZ

M

k

k

jZ

k a jZ

0 k b

k 0 k N

(6.77)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

222

´ª°¥nµ ¸É 6.14 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ ­° ´ ¸Ê d 2 y t

dt

2

4

dy t

dt

3y t

) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ ¸Ê ) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x t

dx t

dt

2x t

(6.78)

e t u t

ª· ¸ ε ) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (6.78) ³Å o 2

jZ Y jZ 4 jZ Y jZ 3Y jZ jZ X jZ 2 X jZ

´ ´Ê ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° H jZ

Y jZ

X jZ

jZ 2

jZ

2

4 jZ 3

ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ (partial-fraction expansion) ³Å o

jZ 2 jZ 1 jZ 3

SCILAB: // ε® Ä®o s -->s

0.5 0.5 jZ 1 jZ 3

H jZ

(6.79) jZ

= poly(0, 's');

-->Hs = (s+2)/((s+1)*(s+3)); -->h

= syslin('c', Hs);

-->Hjw = pfss(h) Hjw =

µ ´Ê °µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ³Å oªnµ

Hjw(1)

h t F ª¬ H jZ º¼ 1

1 t 3t ªe e º¼ u t

2¬

0.5 ----1 + s

) Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ °· ¡» º° X jZ F ª¬e t u t º¼

Hjw(2) 0.5 ----3 + s

1 jZ 1

­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Y jZ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (6.79) ´É º° Y jZ

H jZ X jZ

ª 1 º jZ 2 j j Z 1 Z 3

«¬ jZ 1»¼

jZ 2 2

jZ 1 jZ 3

ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ³Å o บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-37 223

A11 A12 A21 2 jZ 1 jZ 1 jZ 3

Y jZ

µ µ¦Â o­¤ µ¦Á¡ºÉ°®µ nµ

A11 , A11 , ¨³ A21 A11

³Å oªµn

1 , A12 4

1 , 2

¨³

A21

1 4

´ ´Ê 1/ 4

Y jZ

1/ 2

1/ 4

jZ 1 jZ 1 2 jZ 3

°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ³Å oªnµ y t F 1 ª¬Y jZ º¼

ª 1 t 1 t 1 3t º «¬ 4 e 2 te 4 e »¼ u t

µ ´ ª °¥n µ o µ o ­ Ä®o Á ®È ªn µ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r n ª ¥ Î µ Ä®o µ¦ª· Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê °¥nµ ¤µ ° µ ¸Ê µ¦ ε » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¤µ ¦³¥» rÄ o µ ¥´ nª¥ εĮo ­µ¤µ¦ ª· Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ ¸É ´ o ° Å o n µ ¥ ¹Ê ´ ´Ê Ä µ · ´ · ¡ ªn µ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ ¨³¦³ ­ºÉ°­µ¦

6.5.2 µ¦­n ­´ µ ¸ÉŤn¤¸ ªµ¤ · Á¡¸¥Ê ­´ µ ¸É­n nµ ¦³ LTI ³Å¤n¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ (distortionless) È n°Á¤ºÉ°­´ µ Á°µ r¡» ¸ÉÅ o o° ¤¸¦¼ ¦nµ Á®¤º° ´ ­´ µ °· ¡»  n°µ ¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á ¨¸É¥ Å ®¦º°°µ ¤¸ µ¦® nª Áª¨µ ° ­´ µ ÈÅ o ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 6.17 ( – ) ¨nµª º°­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ o° °¥¼nÄ ¦¼ ° y t

Kx t td

(6.80)

Á¤ºÉ° K º° nµ ´ª ¨³ td º° ¦·¤µ Áª¨µ ¸É ¼ ® nª ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­¤ µ¦ (6.80) ³Å o Y jZ

Ke jZtd X jZ

(6.81)

´ ´Ê ¦³ LTI Ťn n°Ä®oÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ ° ­´ µ ¸É­n È n°Á¤ºÉ° ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ º° H jZ

Ke jZtd

H jZ e

j H jZ

(6.82)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

224

x t

H jZ

K

A

Z

t

t2

t1

0

0

( )

( ) H jZ

y t

slope = td

KA

0

td

t

t2 td

t1 td

Z

( )

( )

£µ¡ ¸É 6.17 µ¦­n ­´ µ ¸ÉŤn¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥

´É º° H jZ

K

¨³

H jZ e jZtd

(6.83)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° H jZ o° ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ ´ª ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ ° H jZ o° Á } Á · Á­o ´ ªµ¤ ¸É ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 6.17 ( – ) Ä ¦ ¸ ¸É H jZ z K ®¤µ¥ ¹ ¦³ LTI n°Ä®oÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ Á · °¤¡¨· ¼ (amplitude distortion) ¨³ oµ H jZ z e jZt ®¤µ¥ ¹ ¦³ LTI n°Ä®oÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ Á · Á¢­ (phase distortion) d

6.6 ´ª°¥nµ µ¦ ¦³¥» rÄ o µ Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â­ ´ª°¥nµ µ¦ ¦³¥» rÄ o µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ à ¥°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r nµ Ç µ¤ ¸É ¨nµª¤µÄ ®´ª o° ¸É 6.3 ´ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 6.15 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ´ Á¨ (doublet signal) µ¤£µ¡ ¸É 6.18 ( ) ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 6.18 ( ) ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ´ Á¨ x t Á · µ ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤­° ­´ µ ´É º° x t

§ t T / 2 · § t T / 2 · A ¨ ¸ A ¨ ¸ / 2 T © ¹ © T /2 ¹

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-39 225

jX jZ

x(t )

F

A

F -1

T T

t

0

6S

A

T

4S T

2S

2S

4S

6S

T

T

T

0

Z

T

( )

( )

£µ¡ ¸É 6.18 ( ) ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ´ Á¨ ¨³ ( ) ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É

jX jZ

à ¥ µ¦®µ ¨Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ  n¨³ ´ª ³Å oªnµ § t T / 2 · CtFT § ZT · o e jZT / 2 ATsinc ¨ A ¨ ¸ m ¸ © T /2 ¹ © 2 ¹

¨³ § t T / 2 · CtFT § ZT · o e jZT / 2 ATsinc ¨ A ¨ ¸ m ¸ © T /2 ¹ © 2 ¹

°µ«´¥ » ­¤ ´ ·Á · Á­o µ¤­¤ µ¦ (6.48) Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ X jZ

§ ZT · jZT / 2 jZT / 2 º¼ e ATsinc ¨ ¸ ª¬e © 2 ¹

Á¤ºÉ° j 1 º°® nª¥ · £µ¡ ¨³¦¼ ¦nµ ° ­´ µ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ´ Á¨ º°

§ ZT · § ZT · 2 jATsinc ¨ ¸ sin ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹

jX jZ

­ Ä £µ¡ ¸É 6.18 ( ) ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨

ª § t T / 2 · § t T / 2 · º CtFT § ZT · § ZT · o 2 jATsinc ¨ A « ¨ ¸ ¨ ¸ » m ¸ sin ¨ ¸ / 2 / 2 T T © ¹ © ¹ © 2 ¹ © 2 ¹ ¬ ¼

(6.84)

´ª°¥nµ ¸É 6.16 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 6.19 ( ) ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 6.19 ( ) ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ x t ¤¸¦¼ ­¤ µ¦ · «µ­ ¦r º° x t

­ § t· § t · ° A ¨1 ¸ , t T A/ ¨ ¸ ® © T ¹ ©T ¹ ° else ¯0,

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

226

AT

x t

AT

X jZ

2

F F -1

T

0

T

t

6S

T

2S T

0

2S

6S

T

T

£µ¡ ¸É 6.19 ( ) ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ ¨³ ( ) ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼

Z

X jZ

Á ºÉ° µ ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤Ä £µ¡ ¸É 6.19 ( ) Á · µ µ¦®µ ¦·¡´ r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ´ Á¨ Ä £µ¡ ¸É 6.18 ( ) ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ ¸Ê­µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ r µ Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (6.62) ¹É ³Å oªnµ X jZ

à ¥ ¸É­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¡´¨­r¦¼ ­µ¤Á®¨¸É¥¤ º°

1 ª § ZT · § ZT · º 2 jATsinc ¨ ¸ sin ¨ ¸» jZ «¬ © 2 ¹ © 2 ¹¼ X jZ

§ ZT · AT 2sinc2 ¨ ¸ © 2 ¹

­ Ä £µ¡ ¸É 6.19 ( ) Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ

§ t · CtFT § ZT · A/ ¨ ¸ m o AT 2sinc2 ¨ ¸ T © ¹ © 2 ¹

(6.85)

´ª°¥nµ ¸É 6.17 ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµÂ RL ¨³Â RLC Ä £µ¡ ¸É 6.20 Á¤ºÉ° R, L, ¨³ C º° nµ ´ª ¨³ v t º°Â®¨n εÁ · ¦ ´ Å¢¢jµ ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function) ° ) ª ¦Å¢¢jµÂ RL µ¤£µ¡ ¸É 6.20 ( ) ) ª ¦Å¢¢jµÂ RLC µ¤£µ¡ ¸É 6.20 ( ) CtFT CtFT oV jZ º° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ °· ¡» , i t m o I jZ

ª· ¸ ε ε® Ä®o v t m CtFT º° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á°µ r¡» , ¨³ h t m o H jZ º° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ª ¦Å¢¢jµ ´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ³ ·¥µ¤Ã ¥ H jZ V jZ / I jZ

) µ ¦ ´ ° Á ·¦r ±°¢¢m (Kirchoff’s voltage law) ³Å oªnµ Ri t L

di dt

v t

(6.86) บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-41

227

i t

i t

R

t

R

0

t

v t

0

v t

L

L C

( )

( )

£µ¡ ¸É 6.20 ª ¦Å¢¢jµ ( ) Â

RL

¨³ ( ) Â

RLC

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (6.86) ³Å o RI jZ L ^ jZ I jZ ` V jZ

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ª ¦Å¢¢jµÂ

RL

º°

H jZ

I jZ

V jZ

1 R jZ L

) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ¦ ´ ° Á ·¦r ±°¢¢m ³Å oªnµ Ri t L

di 1 idt dt C ³

v t

(6.87)

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (6.87) ³Å o RI jZ L ^ jZ I jZ `

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ª ¦Å¢¢jµÂ H jZ

RLC

I jZ

V jZ

CjZ

º°

I jZ

V jZ

´ª°¥nµ ¸É 6.18 ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµÄ £µ¡ ¸É 6.21 Á¤ºÉ° Á È ¦³ » C

1 R jZ L

R 1:

1 jZC

¨³ C

2F

®µ nµÂ¦ ´ ¦n°¤ ´ª

ª· ¸ ε µ ¦³Â­Å¢¢jµ ° Á ·¦r ±°¢¢m (Kirchoff’s current law) ³Å oªnµ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

228

i t 12e t u t

iC

12

iR i t

R

C

v t

t

0

£µ¡ ¸É 6.21 ª ¦Å¢¢jµ ° ´ª°¥nµ ¸É 6.18 iR iC CtFT oV jZ ¨³ ε® Ä®o v t m ­¤ µ¦ (6.88) º°

R

C

dv t

dt

CtFT i t m o I jZ

V jZ

R

Á ºÉ° µ I jZ

v t

CjZV jZ

F ª¬12e t u t º¼ 12 / 1 jZ

i t

(6.88)

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ­° oµ °

I jZ

³Å oªnµ

V jZ

12 2 jZV jZ

1 1 jZ

V jZ

12

6

1 jZ 1 2 jZ 1 jZ 0.5 jZ

°µ«´¥ µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ³Å o V jZ

12 12 1 jZ 0.5 jZ

´ ´Ê ¦ ´ ¦n°¤ ´ªÁ È ¦³ »Ä à Á¤ Áª¨µ º° ª 12 º ª 12 º t 0.5t v t F 1 « F 1 « » » 12 ^ e e ` u t

¬ 1 jZ ¼ ¬ 0.5 jZ ¼

6.7 µ¦ ¦° ­´ µ µ¦ ¦° ­´ µ (filtering) ´ ªnµÁ } ´ª εÁ · µ¦¡ºÊ µ ¸É­Îµ ´ Ä ¦³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ ´Ê ¸Ê Á } Á¡¦µ³ªnµ µ¦ ¦° ­´ µ Á } ¦³ ª µ¦ ¸É εĮo°¤¡¨· ¼ ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É (­Á ¦´¤ บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-43 229

ªµ¤ ¸É) Á ¨¸É¥  ¨ Å ®¦º° εĮo®¤ Å µ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä ­¤ µ¦ (6.64) ° ¦³ LTI ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ °· ¡» Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¼ ´ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ ´ ´Ê ¹ °µ ­¦» Å oªnµ¦³ LTI ¤¸¨´ ¬ ³Á } ª ¦ ¦° ¸É ε® oµ ¸ÉÁ¨º° ªµ¤ ¸É (frequency-selective) ° ­´ µ °· ¡»

6.7.1 ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É° » ¤ · ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ · (ideal frequency-selective filter) ε® oµ ¸É¥°¤Ä®o ªµ¤ ¸É » ® ¹É nµ Å Å o ´Ê ®¤ Ä ³ ¸ÉŤn¥°¤Ä®o ªµ¤ ¸É°¸ » ® ¹É nµ nª  ªµ¤ ¸É ¸Éª ¦ ¦° ¥°¤Ä®o nµ Å Å o Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ ¸É nµ (pass band)” ¨³ nª  ªµ¤ ¸É ¸ÉŤn¥°¤Ä®o nµ Å Å oÁ¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ ¸É®¥» (stop band)” Ä µ · ´ ·ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ · ¸É¡ ¤µ ¤¸ ´ n°Å ¸Ê

6.7.1.1 ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · (ideal low-pass filter) ¤¸­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ º° H jZ

°­1, ® °̄0,

Z Zc Z ! Zc

(6.89)

Á¤ºÉ° Zc º° ªµ¤ ¸É ´ (cut-off frequency) µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 6.22 ( )

6.7.1.2 ª ¦ ¦° nµ ­¼ °» ¤ · ª ¦ ¦° nµ ­¼ °» ¤ · (ideal high-pass filter) ¤¸­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ º° H jZ

­°0, ® °̄1,

Z Zc Z ! Zc

(6.90)

µ¤£µ¡ ¸É 6.22 ( )

6.7.1.3 ª ¦ ¦° nµ  °» ¤ · ª ¦ ¦° nµ  °» ¤ · (ideal bandpass filter) ¤¸­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ º° H jZ

­1, Z1 Z Z2 ® ¯0, else

(6.91)

Á¤ºÉ° Z1 ¨³ Z2 º° nµ ´ªÄ Ç µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 6.22 ( ) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-44 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

230

H jZ

H jZ

1

1

Zc

Z

Zc

Zc

( ) ª ¦ ¦° nµ Î µÉ °» ¤ ·

( ) ª ¦ ¦° nµ ­¼ °» ¤ · H jZ

H jZ

1

1

Z2

Z1

Z

Zc

Z1

Z

Z2

Z2

Z1

Z1

Z2

Z

( ) ª ¦ ¦°  ®¥» °» ¤ ·

( ) ª ¦ ¦° Â nµ °» ¤ ·

£µ¡ ¸É 6.22 ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ ·Â nµ Ç

6.7.1.4 ª ¦ ¦°  ®¥» °» ¤ · ª ¦ ¦°  ®¥» °» ¤ · (ideal stopband filter) µ¤£µ¡ ¸É 6.22 ( ) ¤¸­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ º° H jZ

­0, Z1 Z Z2 ® ¯1, else

(6.92)

®¤µ¥Á® » ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É°» ¤ · ´Ê ®¤ ¸É ¨nµª¤µ ¸Ê º°ªnµÁ } ¦³  ° ° °¨ (noncausal system) ° µ ¸ÊÄ µ · ´ ·ª ¦ ¦° ª¦¤¸­Á ¦´¤Á · Á¢­Á }  Á · Á­o £µ¥Ä nª  ªµ¤ ¸É nµ ° ª ¦ ¦° ´Ê ´É º° H jZ td Z

(6.93)

Á¤ºÉ° td º° nµ ´ª Á¡ºÉ°®¨¸ Á¨¸É¥ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ Á · Á¢­ (phase distortion) ¸É°µ Á · ¹Ê Å o µ ¦³ ª µ¦ ¦°

6.7.2 ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸ÉÄ µ · ´ · à ¥ ´ÉªÅ ª ¦ ¦° °» ¤ ·Â nµ Ç Å¤n­µ¤µ¦ ­¦oµ Á } ª ¦°·Á¨È ¦° · ­rÅ o ¦· Ä µ · ´ · Á ºÉ° µ ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° ª ¦ ¦° °» ¤ ·Á®¨nµ ´Ê ¤¸ µ¦Á ¨¸É¥  ¨ °¥nµ ´ ¡¨´ ( ¹É ­n ¨ εĮo ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ¦° ¨»¤Áª¨µÅ¤n ε ´ ) Ä ­nª ¸Ê ³¥ ´ª°¥nµ ª ¦ ¦° Á¨º° ªµ¤ ¸É ¸É­¦oµ ¹Ê Å o ¦· Ä µ · ´ · ´ n°Å ¸Ê บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-45 231

R

x t

y t

C i t

( ) H jZ

H jZ

S /2

1

S /4

Z0

1 2

Z0

Z

S / 4

Z0

Z0

1/ RC

Z

S / 2

( )

( )

£µ¡ ¸É 6.23 ( ) ª ¦ ¦° nµ Éε RC, ( ) ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ , ¨³ ( ) ­Á ¦´¤Á · Á¢­

6.7.2.1 ª ¦ ¦° nµ Éε ª ¦ ¦° nµ Éε (low-pass filter) ­µ¤µ¦ ­¦oµ ¹Ê Å o µ ª ¦ RC µ¤£µ¡ ¸É 6.23 ( ) à ¥ ¸É ªµ¤­´¤¡´ r ¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x t ¨³­´ µ Á°µ r¡» y t Á } ´ ¸Ê RC

dy t

y t

dt

x t

(6.94)

¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ H jZ ®µÅ o µ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (6.94) ´É º° RC ^ jZY jZ ` Y jZ

^1 jZ RC` Y jZ

X jZ

X jZ

CtFT CtFT o X jZ ¨³ y t m o Y jZ ´ ´Ê ³Å oªnµ Á¤ºÉ° x t m

H jZ

Á¤ºÉ° Z0

1/ RC

Y jZ

1 1 jZ RC

X jZ

° µ ¸Ê­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼

H jZ

1 1 jZ / Z0

(6.95)

¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ H jZ ®µÅ o µ

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-46 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

232

s t

h t

1/ RC

1 1

1

1 e

eRC t

RC

t

RC

( )

( )

£µ¡ ¸É 6.24 ( ) ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ¨³ ( ) ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ¦³ H jZ

1

1

1 jZ / Z0

1 Z / Z0

(6.96)

2

§Z· H jZ tan 1 ¨ ¸ © Z0 ¹

(6.97)

£µ¡ ¸É 6.23 ( – ) ­ ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ ° ª ¦ ¦°  RC ¹É ³Á®È Å o ªnµ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° ª ¦ ¦° RC ¤¸¨´ ¬ ³Á }  ª ¦ ¦° nµ Éε ° µ ¸Ê ¨ ° ­ ° °· ¤ ¡´ ¨ ­r ° ¦³ È º ° ­´ µ Á°µ r ¡» y t Á¤ºÉ ° x t G t Á } ­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ ¹É ®µÅ o µ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° ­¤ µ¦ (6.95) ´É º° 1 t / RC e u t

RC

h t F 1 ª¬ H Z º¼

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ¦³ È º°­´ µ Á°µ r¡» y t Á¤ºÉ° ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ s t

^1 e

t / RC

(6.98) x t u t

` u t

Á }

(6.99)

£µ¡ ¸É 6.24 ­ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r¨³ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ª ¦ ¦° nµ Éε RC

6.7.2.2 ª ¦ ¦° nµ ­¼ ª ¦ ¦° nµ ­¼ (high-pass filter) ­µ¤µ¦ ­¦oµ ¹Ê Å o µ ª ¦ RC µ¤£µ¡ ¸É 6.25 ( ) à ¥ ªµ¤­´¤¡´ r ¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» x t ¨³­´ µ Á°µ r¡» y t Á } ´ ¸Ê RC

dy t

y t

dt

RC

dx t

dt

(6.100)

บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-47 233

y t

x t

i t

H jZ

H jZ

S /2

S /4

1

Z S / 4

Z 1/ RC

S / 2

1/ RC

£µ¡ ¸É 6.25 ( ) ª ¦ ¦° nµ ­¼  RC, ( ) ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ , ¨³ ( ) ­Á ¦´¤Á · Á¢­

¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ H jZ ®µÅ o µ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (6.100) ´É º° RC ^ jZY jZ ` Y jZ

^1 jZ RC` Y jZ

RC ^ jZ X jZ ` jZ RCX jZ

CtFT CtFT Á¤ºÉ° x t m o X jZ ¨³ y t m o Y jZ ´ ´Ê ³Å oªnµ

H jZ

Y jZ

X jZ

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼

jZ RC 1 jZ RC

H jZ

H jZ

R R 1/ jZC

(6.101)

¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ H jZ ®µÅ o µ 1 1 1/ Z RC

2

§ 1 · H jZ tan 1 ¨ ¸ © Z RC ¹

(6.102)

(6.103)

£µ¡ ¸É 6.25 ( – ) ­ ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ ° ¦³ ¸Ê ¹É ³Á®È Å oªnµ­Á ¦´¤ Á · °¤¡¨· ¼ ¤¸¨´ ¬ ³Á }  ª ¦ ¦° nµ ­¼ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-48 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

234

H jZ

L

C

ªµ¤ ¸ÁÉ ¦Ã  r

1

 rª· r x t

0.707

y t

R

B

i t

f fL

( )

fR

fH

ªµ¤ ¸É (Hz)

( )

£µ¡ ¸É 6.26 ( ) ª ¦ ¦°  nµ  RLC ¨³ ( ) ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼  ¸É εĮoÁ } ¦¦ ´ µ

6.7.2.3 ª ¦ ¦°  nµ ª ¦ ¦°  nµ (bandpass filter) ®¦º°ª ¦Á¨º° ªµ¤ ¸É (frequency selector) Á } ª ¦ ¦° ¸É ³¥°¤Ä®o ­´ µ °· ¡» ¸É¤¸ nª ªµ¤ ¸É µ¤ ¸É ε® nµ Å Å o ­nª ­´ µ °· ¡» ªµ¤ ¸É°ºÉ Ç ³ ¼ ¨ ° ®¦º°Å¤n¥°¤Ä®o nµ ª ¦Å Å o £µ¡ ¸É 6.26 ( ) ­ ª ¦ ¦°  nµ ¸É­¦oµ ¹Ê Å o µ ª ¦ RLC à ¥¤¸ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ H jZ º° H jZ

Y jZ

X jZ

R jZ L 1/ jZC R

(6.104)

CtFT CtFT Á¤ºÉ° x t m o X jZ ¨³ y t m o Y jZ £µ¡ ¸É 6.26 ­ ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ° ª ¦ ¦°  nµ  ¸É εĮoÁ } ¦¦ ´ µ (normalized bandpass filter) ´É º°°´ ¦µ ¥µ¥­´ µ ­¼ ­» ° ª ¦ ³¤¸ nµÁ nµ ´ 1 (®¦º° 0 Á ·Á ¨) ªµ¤ ¸É ε ¦ f R (resonant frequency) à ¥ ´ÉªÅ ªµ¤ ¸É ¸É Éε ªnµ ªµ¤ ¸É ε ¦ ¸É εĮo°´ ¦µ ¥µ¥­´ µ ¤¸ nµÁ nµ ´ 0.707 Á¦¸¥ ªnµ ªµ¤ ¸É ´ oµ Éε f L (low cutoff frequentcy), ªµ¤ ¸É ¸É­¼ ªnµ ªµ¤ ¸É ε ¦ ¸É εĮo°´ ¦µ ¥µ¥­´ µ ¤¸ nµÁ nµ ´ 0.707 Á¦¸¥ ªnµ ªµ¤ ¸É ´ oµ ­¼ f H (high cutoff frequency), ¨³ ªµ¤ ¸É nµ ³°¥¼n¦³®ªnµ f L ¨³ f H

 rª· r (bandwidth)  rª· r º° ªµ¤ ªoµ °  ªµ¤ ¸É ´ª°¥nµ Á n  rª· r ° ª ¦ ¦°  nµ Ä £µ¡ ¸É 6.26 ( ) È º° nª ªµ¤ ¸É¦³®ªnµ f L ´ f H ´É º° B

´ ´Ê oµ ¦µ nµ ªµ¤ ¸É

fL

¨³

fH

fH fL

(6.105)

È­µ¤µ¦ ε ª ®µ nµ ªµ¤ ¸É ε ¦Å o µ บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-49

235

R C x t

L

y t

i t

£µ¡ ¸É 6.27 ª ¦ ¦°  ®¥»  RLC fL u fH

fR

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ oµ ¦µ nµ ªµ¤ ¸É ε ¦ oµ ­¼ Å o µ fL

fR

(6.106)

¨³Â rª· r B È­µ¤µ¦ ®µ nµ ªµ¤ ¸É ´ oµ É娳 ªµ¤ ¸É ´

B2 B f R2 4 2

¨³

fH

fL B

(6.107)

´ª ¦³ ° » £µ¡ (quality factor) ´ª ¦³ ° » £µ¡ º°°´ ¦µ­nª ¦³®ªnµ ªµ¤ ¸É ε ¦

¨³Â rª· r B ° ª ¦ ´É º°

fR fR B

Q

(6.108)

Ä µ · ´ · ´ª ¦³ ° » £µ¡ ³Â­ Ä®oÁ®È ¹  ªµ¤ ¸É nµ (pass band) ° ª ¦ ¨nµª º° oµ ´ª ¦³ ° » £µ¡¤¸ nµ­¼ ³ ° ¹  ªµ¤ ¸É nµ ¸É ¨³Ä µ ¨´ ´ oµ ´ª ¦³ ° » £µ¡¤¸ nµ Éε ³ ° ¹  ªµ¤ ¸É nµ ¸É ªoµ

6.7.2.4 ª ¦ ¦°  ®¥» ª ¦ ¦°  ®¥» (stopband filter) ­µ¤µ¦ ­¦oµ ¹Ê Å o µ ª ¦ RLC µ¤£µ¡ ¸É 6.27 à ¥¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ H jZ º° H jZ

Y jZ

jZ L 1/ jZC

X jZ

jZ L 1/ jZC R

(6.109)

CtFT CtFT à ¥ ¸É x t m o X jZ ¨³ y t m o Y jZ

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-50 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

236

6.8 ­¦» oµ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “­Á ¦´¤” » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º°ªnµ¤¸ ªµ¤­Îµ ´ n° µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤µ Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ §¬ ¸ ¡¨´ µ ° Á¦¥r ¨¸ ¦ª¤ ´Ê µ¦®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á · Á­o ¸É Å ¤n  ¦Á ¨¸É ¥ µ¤Áª¨µ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­» oµ¥Å o­ µ¦ ε­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Å Ä o° · µ¥¡§ · ¦¦¤ ° ª ¦ ¦°  nµ Ç ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oª¥

6.9  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ¡·­¼ r ε ° Á¤ºÉ° Z

1.1) x t

e j 2Zt

1.3) x t

cos Zt sin Zt

2

2S f

Á¤ºÉ° a ! 0

1.5) x t

e at

1.7) x t

e at cos Z0t u t

Á¤ºÉ° a ! 0

1.2) x t

sin Zt S / 4

1.4) x t

eat u t

1.6) x t

cos Z0t u t

1.8) x t

e at sin Z0t u t

Á¤ºÉ° a ! 0 Á¤ºÉ° a ! 0

2) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ LTI ¸É ε® à ¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r yc t 3 y t

x t xc t

Á¤ºÉ° x t º°­´ µ °· ¡» ¨³ y t º°­´ µ Á°µ r¡» 3) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI ¸É ε® à ¥ yc t 3 y t

3.1) x t

u t

3.2) x t

3.3) x t

3

3.4)

x t

Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°

e 2t u t

x t sin Z0t u t

4) ε® Ä®o W90 º°Â rª· r ° ­´ µ x t ¸É ¦° ¨»¤¡¨´ µ ¦ª¤ ° ­´ µ ´Ê ­·Ê 90% ¹É ·¥µ¤Ã ¥ 1 2S

W90

³

W90

2

X jZ dZ

1

S

W90

³ X jZ

2

dZ

0.9 Ex

0

Á¤ºÉ° Ex º°¡¨´ µ ¦ª¤ ° ­´ µ x t ®µÂ rª · r W90 ° ­´ µ n°Å ¸Ê บทที่ 6 การแปลงฟูเรียรทตี่ อ เนือ่ งทางเวลา 6-51 237

4.1) x t

e at u t

Á¤ºÉ° a ! 0

4.2) x t

sin at / S t

5) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° X jZ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ¡·­¼ r ε ° 5.1)

X jZ

10 4 3 jZ 5 jZ

5.2)

X jZ

1 2 Z 2 j 3Z

5.3)

X jZ

5.4)

X jZ

1

a jZ

N

Á¤ºÉ°

N

º°Á¨ ε ª Á Ȥ

sin 2 3Z cos Z

Z2

6) Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ¡ºÉ°®µ nµÂ¦ ´ Å¢¢jµ ¸É ¦ ¦n°¤ ´ªÁ È ¦³ » C Ä ª ¦Å¢¢jµ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ°Â¦ ´ Å¢¢jµ°· ¡» ¤¸ nµÁ nµ ´ x t 50 cos 4t u t

x t

y t

7) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ´ ¸Ê d 2 y t

dy t

5 6 y t 10 x t

2 dt dt

Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ¡ºÉ°®µ­´ µ Á°µ r¡» y t Á¤ºÉ° ε® Ä®o­´ µ °· ¡» x t

2e t u t

8) ¡· µ¦ µª ¦ ¦° nµ  ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ oµ Éε f L 2 Á±·¦ r ¨³ ªµ¤ ¸É ´ oµ ­¼ f H 6 Á±·¦ r ¨³Â¦ ´ Å¢¢jµ°· ¡» (®¦º°­´ µ °· ¡» ) ¸ÉÅ®¨ nµ ª ¦ ¦° ¸Ê º° x t 3e 2t u t ê¨ r 8.1) ®µ¡¨´ µ ° ¦ ´ Å¢¢jµ°· ¡» ¸É ¦n°¤ ´ª ªµ¤ oµ µ µ 1 ð®r¤ 8.2) °´ ¦µ­nª ° ¡¨´ µ ¸É oµ Á°µ r¡» ¨³ ¸É oµ °· ¡» ° ª ¦ ¦° nµ  9) ¡·­¼ r » ­¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ rÄ ­¤ µ¦ (6.62) ´É º° t

1

³ x W dW m o jZ X jZ S X 0 G Z

CtFT

f

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 6-52 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

238

¸É 7 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É 6 Å o° · µ¥ª· ¸ µ¦Â ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ®¦º°­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É à ¥Ä oÁ ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time aperiodic signal) È­µ¤µ¦ ´ Ä®o °¥¼nÄ ¦¼ ° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸ÉÅ oÁ n ´ à ¥°µ«´¥Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT: discrete-time Fourier transform)” [1, 3 – 5, 10] ´ ´Ê Ä ¸Ê ³° · µ¥ ¸É¤µ ®¨´ µ¦ ¨³ » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ° ¸É ³Å o ÎµÅ Ä oÄ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

7.1 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ ŤnÁ } µ Ä ­nª ¸Ê ³ ¨nµª ¹ ¸É¤µ ° ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) ¡¦o°¤ ´Ê ° · µ¥Á ºÉ° Å µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦¡· µ¦ µªnµ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ Ä ¹ ³­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o

7.1.1 ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ­´ µ ŤnÁ } µ ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µªnµÁ } ­´ µ µ Å oà ¥¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ nµ° ´ r £µ¡ ¸É 7.1 ­ ­´ µ µ x p > n@ ¸É¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N ¨³­´ µ ŤnÁ } µ x > n@ ´ ´Ê oµ¡· µ¦ µªnµ µ Áª¨µ N ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ r ³Å oªnµ­´ µ x p > n@ ¨³ x > n@ º°­´ µ Á ¸¥ª ´ ­´ µ µ x p > n@ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFS) µ¤ ­¤ µ¦ (5.19) ¨³ (5.20) ´É º°

บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 239

7-1

x p > n@

( ) ­´ µ µ

N1

N

N2

0

x > n@

( ) ­´ µ ŤnÁ } µ

N1

£µ¡ ¸É 7.1 ( ) ­´ µ µ

x p > n@

n

¨³ ( ) ­´ µ ŤnÁ } µ x > n@ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

x p > n@

ak

N t N1 N 2 1

N2

0

n

N

1 N

¦ae k

k

jk 2S / N n

¦ x > n@ e p

n

(7.1)

N

jk 2S / N n

(7.2)

N

à ¥ ¸É­´ ¨´ ¬ r k N ®¤µ¥ ¹ nµ k ¸ÉÄ o ³Á¦¸¥ n° ´ Á } ε ª ®¦º° k 2,3,! , N 1 ÈÅ o ¨³Á ºÉ° µ

N

¡ r Á n k

0,1,! , N 1

­ x > n @ , N1 d n d N 2 x >n@ ® p else ¯0,

´ ´Ê ­¤ µ¦ (7.2) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } ak

1 N

N2

¦ x >n@ e

1 N

jk 2S / N n

n N1

f

¦ x > n@ e

jk 2S / N n

(7.3)

n f

oµ ε® Ä®o X e jZ

f

¦ x > n@ e

jZ n

(7.4)

n f

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (7.3) ¨³ (7.4) ³Å o ak

7-2

1 X e jkZ0 N

(7.5)

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

240

X e jZ e jZ n

X e jkZ0 e jkZ0 nZ0

X e jkZ0 e jkZ0 n 'Z k Z0

Z

k 1 Z0

£µ¡ ¸É 7.2 £µ¡Â­ ªµ¤®¤µ¥ ° ­¤ µ¦ (7.6)

Á¤ºÉ° Z0

2S / N

 nµ ak µ ­¤ µ¦ (7.5) ¨ Ä ­¤ µ¦ (7.1) ³Å oÁ } x p > n@

¦

k

N

1 X e jkZ0 e jkZ0 n N

1 2S

¦ X e Z e jk

k

0

jkZ0 n

Z0

(7.6)

N

Á¡¦µ³ªnµ N 2S / Z0 £µ¡ ¸É 7.2 ­ ªµ¤®¤µ¥ ° ­¤ µ¦ (7.6) ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦®µ¡ºÊ ¸ÉÄ o ¦µ¢ ° ­´ µ Ä £µ¡ ¸É 7.2 Á¤ºÉ° N o f ³Å oªnµ Z0 o 0 oµ ε® Ä®o Z0 'Z ­¤ µ¦ (7.6) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x p > n@

N of

1 2S

¦ X e

k

jk 'Z

N

e

jk 'Z n

'Z

(7.7)

¨³Á¤ºÉ° 'Z o 0 Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¨¦ª¤Ä ­¤ µ¦ (7.7) ³Á ¨¸É¥ Á } Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¦·¡´ r ¹É Á } ¨ εĮo x p > n @ o x > n @ ´ ´Ê ­¤ µ¦ (7.7) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } x > n@

1 2S

Z Z ³ S X e e dZ j

j n

2

(7.8)

à ¥ ¸É X e jZ Á¦¸¥ ªnµ­Á ¦´¤ (spectrum) ° ­´ µ x > n@ ¹É ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸É Á nµ ´ 2S ¨³ X e jZ ®µÅ o µ X e jZ

Á¤ºÉ° Z

2S f

f

¦ x > n@ e

jZ n

º° ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา

241

(7.9)

n f

7-3

7.1.2 ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ­¤ µ¦ (7.8) ¨³ (7.9) º°ªnµÁ } “ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ” à ¥ ¸É­¤ µ¦ (7.8) Á¦¸¥ ªnµ­¤ µ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ (inverse Fourier transform equation) ®¦º°­¤ µ¦­´ Á ¦µ³®r ¹É Ä oÄ µ¦Â ¨ ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸ÉÄ®o ¨´ ¤µÁ } ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ Ä ³ ¸É­¤ µ¦ (7.9) Á¦¸¥ ªnµ ­¤ µ¦ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier transform equation) ®¦º°­¤ µ¦ª·Á ¦µ³®r ¹É Ä oÄ µ¦Â ¨ ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¨³Á¡ºÉ°Ä®o­³ ª n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Ä o­´ ¨´ ¬ r n°Å ¸Ê X e jZ F ^ x > n @`

f

¦ x > n@ e

jZ n

(7.10)

n f

¨³

^

1 2S

`

x > n @ F 1 X e jZ

Z Z ³ S X e e dZ j

j n

2

(7.11)

Á¤ºÉ° F ^` º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨³ F 1 ^` º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° µ ¸Ê¥´ Ä o­´ ¨´ ¬ r DtFT x > n @ m o X e jZ

(7.12)

Á¡ºÉ°Â­ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ X e jZ

7.1.3 ­Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r à ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Z Å o º°

X e jZ

­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° ° ªµ¤ ¸É X e jZ

Á¤ºÉ°

X e jZ

X e jZ e

j X e jZ

(7.13)

º°­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼  n°Á ºÉ° ¨³ X e jZ

^ ^

` ·¸ ` ¸¹

§ Im X e jZ

tan 1 ¨ ¨ Re X e jZ

©

(7.14)

º°­Á ¦´¤Á · Á¢­Â n°Á ºÉ° ° ­´ µ x > n@ à ¥ ¸É Re ^a` º°­nª ¸ÉÁ } nµ ¦· ° ´ªÂ ¦ a ¨³ Im ^a` º°­nª ¸ÉÁ } nµ · £µ¡ ° ´ªÂ ¦ a 7-4

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

242

Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å o ªµ¤­´¤¡´ r nµ Ç ´ ¸Ê X e jZ

X e jZ

X e jZ e

X e jZ

j X e jZ

(7.15)

X e jZ

(7.16)

X e jZ X e jZ

Á¤ºÉ°

X

º° nµ­´ ¥» Á · o° °

(7.17)

µ ­¤ µ¦ (7.16) ¨³ (7.17) ³Å oªnµ

X

X e jZ

Á } ¢{ r ´ ¼n ¨³

X e jZ

Á } ¢{ r ´ ¸É ° µ ¸Ê¢{ r ´ ´Ê ­° ¦ª¤ ´ ³Á¦¸¥ ªnµ “­Á ¦´¤¢¼Á¦¸¥¦r (Fourier spectrum)” ° x > n@ à ¥ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ­Á ¦´¤Â n°Á ºÉ° (continuous spectrum) ¹É  nµ µ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É¤¸­Á ¦´¤Â Á­o (line spectrum) ´ª°¥nµ ¸É 7.1 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á¤ºÉ°

x > n @ a nu > n @ ,

a 1

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ° ­´ µ x > n@ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ

f

¦ ^a u > n@` e n

jZ n

n f

f

n jZ n

¦a e n 0

f

¦ ae Z

j

n

(7.18)

n 0

°µ«´¥° » ¦¤Á¦ µ ·  ° ´ r (infinite geometric series) [9] ¸É ¨nµªªnµ f

¦r n 0

n

1 , r 1 1 r

(7.19)

´ ´Ê ­¤ µ¦ (7.18) ¨ ¦¼ Á } X e jZ

1 1 ae jZ

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ¸ Ê º° DtFT a n u > n @ m o

1 1 ae jZ

,

a 1

(7.20)

Á ºÉ° µ X e jZ Á } nµÁ · o° ®¦º°­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 243

7-5

SCILAB:

( ´ª°¥nµ ¸É 7.1)

-->a = 0.5;

//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ­´ µ x > n @

-->Nmax = 100;

n = 0:Nmax;

dw = 0.01;

w = -3*%pi:dw:3*%pi;

-->for i = 1:length(w) --> Xw(i) = sum((a*exp(-%i*w(i))).^n); -->end

//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (7.10)

-->plot(w,abs(Xw)); xgrid(2);

//ªµ ¦µ¢­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼

-->plot(w,atan(imag(Xw)./real(Xw))); xgrid(2);

X e jZ

1

//ªµ ¦µ¢­Á ¦´¤Á · Á¢­ X e

X e

jZ

jZ

1 1 a cos Z ja sin Z

1 a ^cos Z j sin Z `

´ ´Ê ¦µ¢ ° ­´ µ X e jZ à ¥ ´ªÉ Å ³Â­ Ä®o°¥¼Än ¦¼ ° µ ¨³¤»¤Á¢­ ¹É ®µÅ o µ X e jZ

X e jZ

Á¤ºÉ°­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼

1 2

1 a cos Z a sin Z

§ a sin Z · tan 1 1 tan 1 ¨¨ ¸¸ © 1 a cos Z ¹ X e jZ

¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­

(7.21)

2

§ a sin Z · tan 1 ¨¨ ¸¸ © 1 a cos Z ¹ X e jZ

­ Ä £µ¡ ¸É 7.3

(7.22) ­Îµ®¦´

(£µ¡ ) ¨³ a 0.5 (£µ¡¨nµ ) ¹É ³¡ ªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ à ¥ ´ÉªÅ ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ·¥¤ ε¤µÄ o µ ¤µ ªnµ ­Á ¦´¤Á · Á¢­ ´ ´Ê µ ¸ÊÁ } o Å ­Á ¦´¤Á · Á¢­ ³ ¼ ¨³ÅªoÄ µ ¸ÉÁ oµÄ a

0.5

SCILAB:

(£µ¡ ¸É 7.3)

-->w = -3*%pi:0.01:3*%pi; -->a = 0.5;

Xw = (1-a*exp(-%i*w)).\1;

-->subplot(2,2,1);

plot2d1(w, abs(Xw));

// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o µ ­¤ µ¦ (7.20)

xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 7.3 ( oµ¥)

xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 7.3 ( ªµ)

-->phase = -atan(a*sin(w)./(1-a*cos(w))); -->subplot(2,2,2); -->a = -0.5;

plot2d1(w, phase);

Xw = (1-a*exp(-%i*w)).\1;

-->subplot(2,2,3);

plot2d1(w, abs(Xw));

// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉÅ o µ ­¤ µ¦ (7.20)

xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 7.3 (¨nµ oµ¥)

xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 7.3 (¨nµ ªµ)

-->phase = -atan(a*sin(w)./(1-a*cos(w))); -->subplot(2,2,4);

7-6

plot2d1(w, phase);

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

244

£µ¡ ¸É 7.3 ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼

¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ X e ­Îµ®¦´ a

X e jZ

jZ

´ª°¥nµ ¸É 7.2 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x > n@

an

Á¤ºÉ°

0.5

¨³ 0.5

a 1

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ ° ­´ µ x > n@ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ

f

¦a

n

1

e jZ n

¦a

n f f

n

n jZ n

n f

j n

f

e

f

¦ a n e jZ n n 0

n jZ n

¦a e Z ¦a e n 1

n 0

­f ½ f jZ n jZ n ®¦ ae 1¾ ¦ ae

¯n 0 ¿ n0

(7.23)

°µ«´¥° » ¦¤Á¦ µ ·  ° ´ r µ¤­¤ µ¦ (7.19) ´ ´Ê ­¤ µ¦ (7.20) ­µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } X e jZ

1 1 1 jZ 1 ae 1 ae jZ

ae jZ 1 jZ 1 ae 1 ae jZ

1 a2 1 2a cos Z a 2

บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 245

7-7

x > n @ > n / N1 @

N1

n

N1

£µ¡ ¸É 7.4 ­´ µ ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¸Ê º° n

DtFT a m o

SCILAB:

1 a2 1 2a cos Z a 2

a 1

,

(7.24)

( ´ª°¥nµ ¸É 7.2)

-->a = 0.5;

//¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ­´ µ x > n @

-->Nmax = 100;

n = -Nmax:Nmax;

dw = 0.01;

w = -3*%pi:dw:3*%pi;

-->for i = 1:length(w) --> Xw(i) = sum(a.^abs(n).*exp(-%i*w(i)*n)); -->end

//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (7.10)

-->subplot(2,1,1); plot(w, abs(Xw)); xgrid(2);

//ªµ ¦µ¢­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼

-->for i = 1:length(w) --> Xw2(i) = (1-a^2)/(1-2*a*cos(w(i))+a^2); -->end

// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (7.24)

X e

jZ

-->subplot(2,1,2); plot(w, abs(Xw2)); xgrid(2); //ªµ ¦µ¢­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ X e

jZ

´ª°¥nµ ¸É 7.3 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ­1, n d N1 ® ¯0, else

ªn º x > n@ « » ¬ N1 ¼

(7.25)

µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 7.4 ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x > n @ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ

Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ m

n N1

¦ 1 e

jZ n

n N1

³Å o X e jZ

7-8

N1

2 N1

¦e

jZ m N1

m 0

2 N1

e jZ N1 ¦ e jZ m

(7.26)

m 0

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

246

°µ«´¥° » ¦¤Á¦ µ · (geometric series) ¸É ¨nµªªnµ M

¦ ai i 0

1 a M 1 1 a

(7.27)

­¤ µ¦ (7.23) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } ­°1 e jZ 2 N1 1 ½° X e jZ e jZ N1 ® ¾ jZ °¯ 1 e °¿ e jZ N1

e jZ N1 0.5

e jZ / 2

­° e jZ N1 0.5 e jZ N1 0.5 ½° ® ¾ e jZ / 2 e jZ / 2 ¯° ¿°

sin Z N1 0.5

sin Z / 2

2 N1 1

sinc Z N1 0.5

(7.28)

sinc Z / 2

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ º° ª n º DtFT sin Z N1 0.5

« » m o sin Z / 2

¬ N1 ¼ SCILAB:

(7.29)

( ´ª°¥nµ ¸É 7.3)

-->Xn = 1; //¡µ¦µ¤·Á °¦r ° ­´ µ x > n @ µ¤­¤ µ¦ (7.25) -->N1 = 10;

n = -N1:N1;

dw = 0.01;

-->for i = 1:length(w) --> Xw(i) = sum(Xn * exp(-%i*w(i)*n)); -->end -->plot(w, Xw); xgrid(2);

w = -3*%pi:dw:3*%pi; //®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (7.10)

//ªµ ¦µ¢­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ X e

jZ

¹É ³Å o µ¤£µ¡ ¸É 7.5 (¨nµ )

£µ¡ ¸É 7.5 ­ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ­Îµ®¦´ N1 2 , 5 , ¨³ 10 à ¥ ³Á®È Å oªnµ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸É Á nµ ´ 2S ° µ ¸ÊÁ¤ºÉ° N1 ¤¸ nµ¤µ ¹Ê (­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ ªµ¤ ªoµ ¤µ ¹Ê ) ³¡ ªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ³ ¼ ¸ Ä®o ¨ ´ ´Ê ¹ ­¦» Å oªnµ­´ µ Ä Ç Å¤n­µ¤µ¦ ¸É ³Á } Å o ´Ê ­´ µ ¸É¤¸Áª¨µ ε ´ (time-limited signal) ¨³­´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ (band-limited signal) บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 247

7-9

N1

2

N1

5

N1 10

£µ¡ ¸É 7.5 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ ¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ­Îµ®¦´ nµ SCILAB:

N1

nµ Ç

(£µ¡ ¸É 7.5)

-->w = -3*%pi:0.1:3*%pi; -->N1 = 2; Xw = (2*N1+1)*sinc(w*(N1+0.5))./sinc(w/2); -->subplot(3,1,1); plot2d1(w,Xw); xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 7.5 ( )

-->N1 = 5; Xw = (2*N1+1)*sinc(w*(N1+0.5))./sinc(w/2); -->subplot(3,1,2); plot2d1(w,Xw); xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 7.5 ( ¨µ )

-->N1 = 10; Xw = (2*N1+1)*sinc(w*(N1+0.5))./sinc(w/2); -->subplot(3,1,3); plot2d1(w,Xw); xgrid(2);

//£µ¡ ¸É 7.5 (¨nµ )

´ª°¥nµ ¸É 7.4 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ µ¤£µ¡ ¸É 7.6 ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ 2S µ¤ ·¥µ¤ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ´Ê ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n @ ¹ ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤­¤ µ¦ (7.11) ´É º° x > n@

1 2S

ª

f

³ S «¬ ¦ 2SG Z Z 2

0

l f

º 2S l » e jZn dZ ¼

(7.30)

à ¥ ³ ε µ¦®µ ¦·¡´ rÁ¡¸¥ µ Á ¸¥ª£µ¥Ä nª 2S ´ ´Ê ¹ ­µ¤µ¦ ε® nµ l Ä Ç Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦®µ ¦·¡´ rÅ o ¹É Ä ¸É ¸Ê ε® Ä®o l 0 ¨³ ³Å oªnµ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

248

¦

X e jZ

f l f

2SG Z Z0 2S l

2S

Z0 4S

Z0 2S

Z0 2S

Z0

£µ¡ ¸É 7.6 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° x > n@ x > n@

1 2S

j n

j n

Z Z ³ S 2SG Z Z e dZ ³ S G Z Z e dZ 0

2

Z

Z0 4S

0

2

e

jZ0 n

e jZ0 n

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° º° DtFT x > n @ e jZ0 n m o X e jZ

f

¦ 2SG Z Z

0

l f

2S l

(7.31)

´ª°¥nµ ¸É 7.5 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ª ¦ ¦° nµ Éε (low-pass filter) H e jZ ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ (cutoff frequency) Zc µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 7.7 ª· ¸ ε ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É H e jZ Ä £µ¡ ¸É 7.7 ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° §Z · H e jZ ¨ ¸ © Zc ¹

¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ °

H e jZ

h > n@

­1, Z d Zc ® ¯0, else

(7.32)

®µÅ o µ ­¤ µ¦ (7.11) ´É º°

1 2S

³S

1 2S

ª e jZn « «¬ jn

2

H e jZ e jZ n dZ

1 2S

Zc

³Z 1 e

jZ n

dZ

c

Zc

º » Zc » ¼

1 ª e jZc n e jZc n º « » jn 2S ¬ ¼

sin Zc n

Sn

Zc sinc Zc n

S

บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-11 249

H LP e jZ

Zc

Zc

2S

£µ¡ ¸É 7.7 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É

2S

Z

° ª ¦ ¦° nµ Éε

H e jZ

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ª ¦ ¦° nµ Éε º° §Z · Zc DtFT o ¨ ¸ sinc Zc n m S © Zc ¹ SCILAB:

(7.33)

( ´ª°¥nµ ¸É 7.5)

-->Hw = 1; -->Step = 0.5; -->Wc = 3;

Nmax = 10; dw = 0.01;

n = -Nmax:Step:Nmax; w = -Wc:dw:Wc;

-->for i = 1:length(n) --> Hn(i) = 1/(2*%pi)*sum(Hw*exp(%i*w*n(i))*dw); //®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤­¤ µ¦ (7.11) -->end -->plot2d3(n, Hn); xgrid(2); //ªµ ¦µ¢­´ µ h > n @ ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª -->Hn2 = Wc/%pi*sinc(Wc*n);

//®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ µ¤­¤ µ¦ (7.33)

-->plot2d3(n, Hn2); xgrid(2);

//ªµ ¦µ¢­´ µ h > n @ µ ­¤ µ¦ (7.33) ¹É ³¡ ªnµ Hn2 ¤¸ nµÁ nµ ´ Hn

7.1.4 µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Ä µ · ´ ·Å¤n εÁ } ¸É­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ » ­´ µ ³­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o Á ºÉ° µ ­´ µ x > n@ ­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X e jZ Å o®¦º°Å¤n ¹Ê °¥¼n ´ µ¦¤¸°¥¼n ¦· (existence) ° µ¦®µ ¨¦ª¤° ´ r (infinite summation) Ä ­¤ µ¦ (7.10) ¨nµª º°­¤ µ¦ (7.10) ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° x > n @ ­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­¤ ¼¦ r (absolutely integrable) ´É º° f

¦ x > n@ f

(7.34)

n f

®¦º°­´ µ x > n @ ¤¸¡¨´ µ ε ´ ´É º° f

¦ x > n@

2

f

(7.35)

n f

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

250

­Îµ®¦´ ­¤ µ¦­´ Á ¦µ³®r µ¤­¤ µ¦ (7.11) ³Å¤n¤¸ { ®µ µ¦¨¼nÁ oµÁ n Á ¸¥ª ´ ­¤ µ¦­´ Á ¦µ³®r ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (7.10) Á¡¦µ³ªnµ­¤ µ¦ (7.11) ³®µ ¦·¡´ rÁ¡¸¥ µ ªµ¤ ¸É Á ¸¥ª º° 2S ´ª°¥nµ Á n oµ o° µ¦ ¦³¤µ nµ­´ µ ŤnÁ } µ x > n @ µ¤­¤ µ¦ (7.11) à ¥ ε µ¦®µ ¦·¡´ rÁ¡¸¥ nª ªµ¤ ¸É Z d W ´É º° xˆ > n @

1 2S

W

Z Z ³ X e e dZ j

j n

(7.36)

W

´ ´Ê x̂ > n @ x > n @ È n°Á¤ºÉ° W S à ¥ ³Å¤nÁ · ¦µ µ¦ r · r (Gibb phenomenon) Á n Á ¸¥ª ´ ¦ ¸ ° µ¦ ¦³¤µ nµ ° ­¤ µ¦­´ Á ¦µ³®r ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ­ Ä ´ª°¥nµ ¸É 7.6 ´ª°¥nµ ¸É 7.6 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ x > n@

G > n@

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r®µÅ o µ ­¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ

f

¦ x > n@ e

jZ n

n f

f

¦ G > n@ e

jZ n

1

n f

oµ o° µ¦ ¦³¤µ nµ­´ µ x > n@ µ¤­¤ µ¦ (7.36) ³Å oªnµ xˆ > n @

1 2S 1 2S

W

³ 1 e

jZ n

dZ

W

SCILAB:

(£µ¡ ¸É 7.8 )

-->n = -10:10; jZ n W

ªe « «¬ jn

º » W » ¼

-->W = %pi/4;

xn = W/%pi*sinc(W*n);

-->subplot(2,2,1); plot2d3(n,xn); -->W = %pi/2;

xn = W/%pi*sinc(W*n);

1 ª e jZW e jZW º » S n «¬ 2j ¼

-->subplot(2,2,2); plot2d3(n,xn);

sin Wn

Sn

-->W = %pi;

W

S

sinc Wn

//£µ¡ ¸É 7.8 ( oµ¥)

-->W = 7*%pi/8;

//£µ¡ ¸É 7.8 ( ªµ)

xn = W/%pi*sinc(W*n);

-->subplot(2,2,3); plot2d3(n,xn);

//£µ¡ ¸É 7.8 (¨nµ oµ¥)

xn = W/%pi*sinc(W*n);

-->subplot(2,2,4); plot2d3(n,xn);

//£µ¡ ¸É 7.8 (¨nµ ªµ)

(7.37)

£µ¡ ¸É 7.8 ­ nµ ¦³¤µ ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ µ¤­¤ µ¦ (7.37) Á¤ºÉ° W S / 4 ( oµ¥), W S / 2 ( ªµ), W 7S / 8 (¨nµ oµ¥), ¨³ W S (¨nµ ªµ) ¹É ¡ ªnµÁ¤ºÉ° W S È ³Å o­´ µ x > n @ G > n @ ¨´ º ¤µÅ o°¥nµ ­¤ ¼¦ rà ¥Å¤nÁ · ¦µ µ¦ r · r บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-13 251

W = S/4

W = S/2

W = 7S/8

W=S

£µ¡ ¸É 7.8 nµ ¦³¤µ ° ­´ µ °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ x > n @

G > n@

­Îµ®¦´ W nµ nµ Ç

7.2 µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¤¸¨´ ¬ ³Á®¤º° ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 6.2 à ¥°µ«´¥¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ (Dirac delta function) ´ ¸Ê oµ ε® Ä®o­´ µ µ x p > n @ ¤¸ µ Áª¨µÁ nµ ´ N µ ­¼ ¦ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ­¤ µ¦ (5.19) ³Å oªnµ x p > n@

à ¥ ¸É Z0

2S / N

¦ae k

k

jkZ0 n

¨³ ak º°­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° 1 N

ak

¦ x > n@ e p

n

(7.38)

N

x p > n@

¹É ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (5.20) ´É º°

jkZ0 n

(7.39)

N

oµ Ä®o x > n@ º° ­´ µ Ťn Á } µ ¸É Å ¤n n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¹É ¤¸ n µ Á ¡µ³£µ¥Ä ® ¹É nª Áª¨µ ° ´Ê ¤¸ nµÁ } nµ«¼ ¥r ¨³Ä®o x > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (7.10) ´É º° X e jZ

f

¦ x > n@ e

jZ n

n f

¦ x > n@ e

n

jZ n

n

N

(7.40)

N

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

252

´ ´Ê ­´ µ µ

x p > n@

­µ¤µ¦ ­¦oµ Å o µ ­´ µ ŤnÁ } µ x > n@ à ¥°µ«´¥ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê f

x p > n@

¦ x > n mT @

(7.41)

m f

Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á Ȥ Ä µ · ´ ·­´ µ ŤnÁ } µ x > n@ °µ ¡· µ¦ µªnµÁ } ­´ µ µ Å oà ¥ ¸É µ Áª¨µ ° ­´ µ x > n @ ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ° ´ r ´É º° N o f ´ ´Ê ­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦rÄ ­¤ µ¦ (7.39) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÄ®¤nÁ } 1 N

ak

¦ x > n@ e

n

1 X e jZ0 k N

jkZ0 n

N

Á¤ºÉ° X e jZ k º° nµ ° X e jZ Ä ­¤ µ¦ (7.40) ¸É ªµ¤ ¸É Z ­¤ µ¦ (7.38) ³Å oÁ }

kZ0

0

x p > n@

¦ae k

k

jkZ0 n

N

1 N

 nµ ak µ ­¤ µ¦ (7.42) ¨ Ä

¦ X e Z e j

k

0k

(7.42)

jkZ0 n

(7.43)

N

f

DtFT µ ­¤ µ¦ (7.31) ´É º° e jZ n m o ¦ 2SG Z Z0 2S l ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° 0

l f

­¤ µ¦ (7.38) º° X p e jZ = F ª¬ x p > n @º¼

¨³ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x p > n@

f

x p >n@

f

¦ 2S a G Z kZ

k

º° f

§ ¦ x > n mT @ m o X e Z ¦ 2S a G ¨© Z DtFT

j

p

m f

(7.44)

0

k f

k

k f

2S k · ¸ N ¹

(7.45)

ªµ¤­´ ¤¡´ r ¸Ê ­ Ä®oÁ ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸¥ ¦r ° ­´ µ µ ¦³ ° Å o ª ¥¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ¸ÉÁ · ¹Ê » Ç ªµ¤ ¸É kZ0 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¨³Â n¨³¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ³ ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 2S ak ´ª°¥nµ ¸É 7.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ­´ µ °·¤¡´¨­r Á } µ (periodic impulse train) ¹É ¦³ ° Å oª¥¨Îµ ´ ­´ µ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ ¸É¤¸¦³¥³®nµ Á nµÇ ´ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 7.9 ( ) บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-15 253

x > n@

¦

f k f

G > n kN @

1

N

N

2N

n

X e jZ 2S / N

Z

2S N

£µ¡ ¸É 7.9 ( ) ª ­´ µ °·¤¡´¨­r Á } µ ¨³ ( ) ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É

ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 7.9 ( ) ­´ µ µ x > n@ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° f

x > n@

Á¤ºÉ°

N

¦ G > n kN @

k f

º° µ Áª¨µ ¨³­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (7.39) ´É º° ak

1 N

¦ x > n@ e

n

jk 2S / N n

N

Á¨º° nª Áª¨µ£µ¥Ä ® ¹É µ Ä Ç Á n 0 d n d N 1 Á¡ºÉ°®µ nµ ak ¹É ³Å o ak

1/ N

´ ´Ê µ ­¤ µ¦ (7.44) ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ x > n@ º° X e jZ

2S N

f

§

¦ G ¨© Z

k f

2S k · ¸ N ¹

¨³ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ­´ µ °·¤¡´¨­r Á } µ º° f

DtFT

2S

f

§

¦ G > n kN @ m o N ¦ G ¨© Z

k f

k f

2S k · ¸ N ¹

(7.46)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

254

X e jZ

S

2S Z0

2S

2S Z0

Z0

0

Z

Z0

2S Z0

2S

£µ¡ ¸É 7.10 ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° x > n @

2S Z0 cos Z0 n

­¤ µ¦ (7.42) ­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ­´ µ °·¤¡´¨­r Á } µ ¸É¤¸¦³¥³®nµ °  n¨³­´ µ à Á Á °¦rÁ ¨ µÁ nµ ´ ® ¹É ® nª¥ ³Å o ¨¨´¡ rÁ } ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¸É¤¸ ¨´ ¬ ³Á } ª ­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ ¸É ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 2S / N ¨³¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µÂ n¨³­´ µ ³¤¸¦³¥³®nµ ´ Á nµ ´ 2S / N Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ µ¤£µ¡ ¸É 7.9 ( )

7.3 » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ¨oµ¥ ´ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤ ¸É ° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 6.3 à ¥ ¸É » ­¤ ´ · nµ Ç Á®¨nµ ¸Ê nª¥ εĮo¨ ªµ¤ ´ o° Ä µ¦ ε ª ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¦ª¤ ´Ê nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê

7.3.1 » ­¤ ´ · ªµ¤Á } µ µ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 7.1 εĮo ¦µ ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X e jZ ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸Á­¤° ´É º° X e jZ 2S k

X e jZ

(7.47)

Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç

7.3.2 » ­¤ ´ ·Á · Á­o DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ ´ ´Ê ¨¦ª¤Á · Á­o ° ­´ µ ŤnÁ } ε® Ä®o x > n@ m µ x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT ax > n@ by > n@ m o aX e jZ bY e jZ

(7.48)

บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-17 255

Á¤ºÉ° a ¨³ b Á } nµ ´ªÄ Ç

7.3.3 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ DtFT o X e jZ ´ ´Ê x > n n0 @ º°­´ µ x > n@ ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time shifting) Á } ε® Ä®o x > n@ m ε ª n0 ® nª¥ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x > n n0 @ m o e jZn0 X e jZ

(7.49)

à ¥¡·­¼ rÅ o µ x > n@

1 2S

Z Z ³ S X e e dZ j

j n

2

 nµ n oª¥ n n0 ³Å o x > n n0 @

1 2S

f

³

X e jZ e

jZ n n0

dZ

f

1 2S

f

³ ^ X jZ e

jZ n0

`e

jZ n

dZ

f

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n n0 @ º° F ^ x > n n0 @` e jZ n0 X e jZ

» ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° µ Áª¨µÂ­ Ä®oÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ε µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ° ­´ µ x > n@ Á } Áª¨µ n0 ® nª¥ ¨ ¸ÉÁ · ¹Ê ´ ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° µ¦ ¼ ­´ µ X e jZ oª¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jZn ´É º° °¤¡¨· ¼ ° ­´ µ X e jZ ¥´ Á®¤º° Á ·¤ Á¡¸¥  n¤»¤Á¢­ ° ­´ µ X e jZ ³Á ¨¸É¥ Å Â Á · Á­o oª¥ nµ Z n0 0

7.3.4 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É DtFT o X e jZ

ε® Ä®o x > n@ m ´ ´Ê e jZ n x > n@ º°­´ µ x > n@ ¸É ¼ Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É (frequency shifting) Á } ε ª Z0 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° 0

DtFT e jZ0n x > n@ m oX e

j Z Z0

(7.50)

à ¥¡·­¼ rÅ o µ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

256

^

f

` ¦e

F e jZ0 n x > n @

jZ0 n

n f

x > n @ e jZ n

f

¦ x > n@ e

j Z Z0 n

X e

n f

j Z Z0

» ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É­ Ä®oÁ®È ªnµÁ¤ºÉ° ¼ ­´ µ x > n@ oª¥¢{ r ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ e jZ n ³¤¸ ¨ εĮo ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¼ Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É°° Å Á } ¦·¤µ Z0 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ 0

7.3.5 » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ ´ ´Ê y > n@ ε® Ä®o x > n@ m ¸É ¼ ¡´ µ Áª¨µ (time reversal) ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°

x > n @

º°­´ µ x > n@

DtFT x > n@ m o X e jZ

(7.51)

à ¥¡·­¼ rÅ o µ Y e jZ

 nµ m

n

f

¦ y > n@ e

jZ n

n f

f

¦ x > n @ e

jZ n

n f

³Å o Y e jZ

f

¦ x > m@ e

jZ m

m f

f

¦ x > m@ e

j Z m

m f

X e jZ

7.3.6 » ­¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ » ­¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ (time expansion) ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ·¥µ¤Ã ¥ ­ x > n / k @ , if n is a multiple of k x k > n@ ® else ¯0,

(7.52)

Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª ´ª°¥nµ Á n oµ k 2 ³Å oªnµ x 2 > n@ º°­´ µ x > n@ ¸É ¼ Ä­n nµ«¼ ¥r ε ª k 1 1 ´ªÁ oµÅ ¦³®ªnµ  ¤Á d¨ ¸É°¥¼n · ´ ° x > n@ µ¤£µ¡ ¸É 7.11 µ ­¤ µ¦ (7.52) ­´ µ x k > n@ z 0 È n°Á¤ºÉ° n rk Á¤ºÉ° r Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç Â¨³ x k > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° X k e jZ

f

¦ x > n@ e

n f

k

jZ n

f

¦ x > rk @ e

r f

jZ rk

k

บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-19 257

x > n@

n

x 2 > n @ n

£µ¡ ¸É 7.11 ( ) ­´ µ ŤnÁ } µ x > n@ ¨³ ( ) ­´ µ ¸É ¼ ­Á ¨ µ Áª¨µ

Á ºÉ° µ

x k > rk @

x >r @

x 2 > n @

³Å oªnµ X k e jZ

f

¦ x >r @ e

r f

j Z k r

X e jZ k

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x k > n@ m o X e jZk

£µ¡ ¸É 7.12 ­ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZk ° ­´ µ ŤnÁ } µ SCILAB:

(7.53) x k > n@

­Îµ®¦´ k

0 , 1, 2

(£µ¡ ¸É 7.12)

-->getf('DtFT.sci');

//Á¦¸¥ ¢{ r ´ DtFT.sci ¹Ê ¤µÄ o µ Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB

-->w = -2*%pi:0.01:2*%pi; -->xn1 = [1 1 1 1 1]; n1 = [-2:2]; -->Xjw1 = DtFT(xn1,n1,w); -->subplot(3,2,1); plot2d3(n1,xn1,rect=[-8 -0.1 8 1.1]);

xgrid(2);

-->subplot(3,2,2);

//£µ¡ ¸É 7.12 ( )

plot2d1(w, Xjw1);

xgrid(2);

-->xn2 = [1 0 1 0 1 0 1 0 1]; n2 = [-4:4]; -->Xjw2 = DtFT(xn2,n2,w); -->subplot(3,2,3); plot2d3(n2,xn2,rect=[-8 -0.1 8 1.1]);

xgrid(2);

-->subplot(3,2,4);

//£µ¡ ¸É 7.12 ( ¨µ )

plot2d1(w, Xjw2);

xgrid(2);

-->xn3 = [1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1]; n3 = [-6:6]; -->Xjw3 = DtFT(xn3,n3,w); -->subplot(3,2,5); plot2d3(n3,xn3,rect=[-8 -0.1 8 1.1]);

xgrid(2);

-->subplot(3,2,6);

//£µ¡ ¸É 7.12 (¨nµ )

plot2d1(w, Xjw3);

xgrid(2);

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

258

k=1

k=2

k=3

£µ¡ ¸É 7.12 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É

X e jZk

° ­´ µ ŤnÁ } µ x > n@ ­Îµ®¦´ nµ k nµ Ç k

à ¥ ¸É ε­´É DtFT º°¢{ r ´ ¸É¡´ µ ¹Ê ¤µ µ à ¦Â ¦¤ SCILAB µ¤­¤ µ¦ (7.10) ¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ ° à ¦Â ¦¤ ´ ¸Ê function Xjw = DtFT(xn, n, w) //======================================================== // ε ª ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn ° n Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÅÉ ¤n °n Á ºÉ° µ Áª¨µ //

¡µ¦µ¤·Á °¦r°· ¡» : Áª Á °¦r ° o°¤¼¨°· ¡»  n¨³ ´ª n = Áª Á °¦r ° Áª¨µ ° o°¤¼¨°· ¡»  n¨³ ´ª (time index of xn) w = nª ° ªµ¤Á¦ÈªÁ · ¤»¤ (¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸) ¸É o° µ¦®µ nµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¡µ¦µ¤·Á °¦rÁ°µ r¡ » : Xjw = ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸ É ° ­´ µ xn £µ¥Ä nª ªµ¤Á¦ÈªÁ · ¤»¤ w

// xn = // // //

// //======================================================== Xjw = []; for i = 1:length(w) Xjw(i) = sum(xn.*exp(-%i*w(i)*n)); end

// ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¤­¤ µ¦ (7.10)

บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-21 259

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ » ­¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ εĮo ¦µ ªnµ­´ µ Ä Ç Å¤n­µ¤µ¦ Á } Å o ´Ê ­´ µ ¸É¤¸Áª¨µ ε ´ ¨³­´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ ¨nµª º° oµ ¥µ¥­´ µ x > n@ Ä®o ªoµ ¹Ê Ä Ã Á¤ Áª¨µ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É È ³ ¼ µ¦ ¸ Ä®o ¨ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 7.12 (¨³Ä µ ¨´ ´ )

7.3.7 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» DtFT o X e jZ ´ ´Ê x > n@ º° nµ­´ ¥» Á · o° (complex conjugate) ° ­´ µ x > n@ ε® Ä®o x > n@ m ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x > n@ m o X e jZ

(7.54)

à ¥¡·­¼ rÅ o µ

F ^ x > n @`

§ f jZ n · ¨ ¦ x >n@ e ¸ © n f ¹

f

j n

¦ x > n@ e Z

n f

X e jZ

Ä ¦ ¸ ¸É­´ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ´É º° x > n@ x > n@ ³Å oªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ

¤¸ ªµ¤­¤¤µ ¦Á · ­´ ¥» (conjugate symmetry) µ¤ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê X e jZ

X e jZ

¨³Á¤ºÉ° x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å oªnµ

^

`

^

`

Re X e jZ

^

`

^

`

Re X e jZ

Á } ¢{ r ´ ¼n ¨³ Im X e jZ

Im X e jZ

Á } ¢{ r ´ ¸É ° µ ¸Ê oµ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n ³Å oªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ ¼n oª¥ ´É º° X e jZ

X e jZ

X e jZ

oµÂ­ ­´ µ x > n@ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É ¨nµª º° x > n@ xe > n@ xo > n@

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

260

Á¤ºÉ° xe > n@ = Ev ^ x > n@` ¨³ xo > n@ = Od ^ x > n@` º°­nª ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ¼n¨³¢{ r ´ ¸É ° ­´ µ x > n@ µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ º° F ^ x > n@` F ^ xe > n@` F ^ xo > n@`

^

`

^

(7.55)

`

X e jZ Re X e jZ j Im X e jZ

(7.56)

7.3.8 » ­¤ ´ · ¨ nµ ¨³ ¨­³­¤°´ ´ ® ¹É DtFT o X e jZ ´ ´Ê y > n@ x > n@ x > n 1@ º°­´ µ Á · ¨ nµ °´ ´ ® ¹É (first ε® Ä®o x > n@ m difference signal) ° x > n@ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x > n@ x > n 1@ m o 1 e jZ X e jZ

(7.57)

¡· µ¦ µ­´ µ ¨­³­¤°´ ´ ® ¹É (first-accumulation signal) ¸É ε® à ¥ z > n@

n

¦ x > m@

(7.58)

m f

Á ºÉ° µ z > n@ z > n 1@ x > n@ ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° z > n@ ³­´¤¡´ r ´ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n@ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° n

¦

m f

DtFT x > m@ m o

f 1 jZ j0 X e S X e

¦ G Z 2S k

1 e jZ k f

(7.59)

Á¤ºÉ°¡ r ¸É­° µ ªµ¤º° ° ­¤ µ¦ (7.59) ° ¹ nµÁ ¨¸É¥®¦º°° r ¦³ ° Å¢¢jµ ¦³Â­ ¦ ¸ÉÁ } ¨ ¤µ µ µ¦®µ ¨¦ª¤

7.3.9 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É DtFT o X e jZ ° »¡´ r ° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ®µÅ o µ ε® Ä®o x > n@ m

d X e jZ

dZ

d f ¦ x > n@ e jZn dZ n f

f

¦ jZ x > n@ e

jZ n

n f

´ ´Ê ° »¡´ r ° X e jZ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT oj nx > n@ m

dX e jZ

dZ

(7.60)

บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-23 261

( )

¦³

x > n@

F -1

X e jZ

( )

y > n@

h > n@

x > n@ h > n@

F

H e jZ

Y e jZ

X e jZ H e jZ

£µ¡ ¸É 7.13 ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ ( ) à Á¤ Áª¨µ ¨³ ( ) à Á¤ ªµ¤ ¸É

7.3.10 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ h > n@ m o H e jZ µ¦ ε ° ꨼ ´ (convolution) ¦³®ªnµ ε® Ä®o x > n@ m ­´ µ x > n@ ¨³ h > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° DtFT x > n@ h > n@ m o X e jZ H e jZ

(7.61)

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ ­¤ µ¦ (7.61) ­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµ Á ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ¼ ´ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 7.13 ´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¹ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³ LTI ¤¸ ªµ¤ nµ¥¤µ ¹Ê ­¤ µ¦ (7.61) ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê oµ ε® Ä®o y > n@ x > n@ h > n@ ³Å oªnµ y > n@

f

¦ x >n k @ h>k @

k f

¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ º° f

Y e jZ = F ^ y > n@` f

f

­

½

¦ ®¯ ¦ x > n k @ h > k @¾¿ e

n f

k f

¦ ^ X e Z e Z `h > k @ j

j k

k f

jZ n

f

­

f

¦ ®¯ ¦ x > n k @ e

k f

n f

jZ n

½ ¾h > k @ ¿

f

X e jZ ¦ h > k @ e jZk k f

X e jZ H e jZ

DtFT o X e jZ H e jZ µ¤ ¸É o° µ¦ ´ ´Ê ³Å oªnµ x > n@ h > n@ m

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

262

´ª°¥nµ ¸É 7.8 µ £µ¡ ¸É 7.13 oµ ε® Ä®o­´ µ °· ¡» ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ º° x > n@ D nu > n@

Á¤ºÉ° D

1 ¨³ E 1

¨³

h > n@ E nu > n@

µ¤¨Îµ ´ ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ¸Ê

ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (7.20) Ä ´ª°¥nµ ¸É 7.1 ³Å oªµn DtFT x > n@ D nu > n@ m o X e jZ

1 , D 1 1 D e jZ

DtFT h > n@ E nu > n@ m o H e jZ

1 , 1 E e jZ

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° y > n@ Y e jZ

x > n@ h > n@

E 1

º°

X e jZ H e jZ

1

1 D e 1 E e

jZ

jZ

(7.62)

Ä ¦ ¸ ¸É D z E ­¤ µ¦ (7.62) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Å oÁ } A B jZ 1 D e 1 E e jZ

Y e jZ

à ¥ ¸É nµ ´ª

A

¨³

B

(7.63)

®µÅ o µ µ¦Â o­¤ µ¦ A 1 E e jZ B 1 D e jZ 1

A B AE BD e jZ

¹É ³Å o

A D / D E

¨³

B

E / D E

1

µ ´Ê Â nµ

A

¨³ B ¨ Ä ­¤ µ¦ (7.63) ³Å o

D

1 E 1 jZ D E 1 D e D E 1 E e jZ

Y e jZ

´ ´Ê y > n@ ®µÅ o µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ° Y jZ ´É º°

^

`

y > n@ F Y e jZ

D D E

D nu > n@

1 ^D n 1 E n 1` u > n@ D E

E D E

E nu > n @

(7.64) บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-25

263

Ä ¦ ¸ ¸É D E ­¤ µ¦ (7.62) ³¨ ¦¼ Á } 1

Y e jZ

jZ 2

1 D e

¹É ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ o º° Y e jZ

j

D

e jZ

d § 1 · ¨ ¸ dZ © 1 D e jZ ¹

°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ ­¤ µ¦ (7.60) ³Å o DtFT oj nD nu > n@ m

d § 1 · ¨ jZ ¸ dZ © 1 D e ¹

¨³°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µÄ ­¤ µ¦ (7.49) ³Å o DtFT o je jZ n 1 D n 1u > n 1@ m

d § 1 · ¨ jZ ¸ dZ © 1 D e ¹

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ ­j d § 1 ·½ y > n@ F 1 ® e jZ ¨ jZ ¸ ¾ D Z D d e 1 © ¹¿ ¯

Á ºÉ° µ Á¤ºÉ° n d 1 ³Å oªnµ y > n@

0

n 1 D nu > n 1@

(7.65)

Á¡¦µ³ ³ ´ Ê ­¤ µ¦ (7.65) Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } n 1 D nu > n@

y > n@

(7.66)

®¤µ¥Á® » Ä µ · ´ ·¦³ LTI ³¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ (stable) ®¦º°Å¤n Ä®o¡· µ¦ µ µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ ¨nµª º°¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° f

¦ h > n@ f

(7.67)

n f

oµ¦³ Ťn¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦Â¨oª ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° h > n@ ´É º° H e jZ ³¤¸ nµ¨¼n°° (diverge) ¹É ­n ¨ Î µ Ä®o Å ¤n ­ µ¤µ¦ ª· Á ¦µ³®r ¦ ³ Á¡ºÉ ° ®µ n µ ° ­´ µ Á°µ r ¡» Å o ´ ª °¥n µ Á n o µ h > n@ 2n u > n@ ¨o ª ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É H e jZ ³¤¸ nµ¨¼n°° Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r¨´ ¬ ³ ¸Ê ³Ä o Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform)” ¹É ³° · µ¥ n°Å Ä ¸É 10 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

264

7.3.11 » ­¤ ´ · µ¦ ¼ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ ¨ ¼ (multiplication) ¦³®ªnµ ­´ µ ε® Ä®o x > n@ m x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°

DtFT x > n@ y > n@ m o

¹É ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê ­´ µ z > n@

x > n@ y > n@

Z T

T ³ S X e Y e dT j

j

(7.68)

2

¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° f

Z e jZ F ^ z > n@` f

1 2S

¦ z > n@ e

n f

­ 1

f

jZ n

¦ x > n@ y > n@ e

n f

½

¦ ®¯ 2S ³ S X e T e T dT ¾¿ y > n@ e j

jZ n

j n

jZ n

2

n f

1 2S

f ½ jT ­ X e y > n@ e j Z T n ¾ dT

® ¦ ³2S ¯n f ¿

1 2S

Z T

T ³ S X e Y e dT j

j

2

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ¼ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´  µ (periodic convolution) Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ´ª°¥nµ ¸É 7.9 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x > n@

sin S n / 2 sin 3S n / 4

S 2n2

ª· ¸ ε ­´ µ x > n@ ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x > n@ x1 > n @ x2 > n@

sin S n / 2 sin 3S n / 4

Sn

Sn

µ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ¦ ¦° nµ É뵀 ­¤ µ¦ (7.33) ´É º° sin Zc n DtFT §Z · m o ¨ ¸ Sn © Zc ¹

³Å oªnµ บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-27 265

X 1 e jZ

X 2 e jZ

1

1

S

S

2

2

Z

S

S

2S

§ 1 · ¨u ¸ © 2S ¹

3S

3S

4

4

2S

Z

X e jZ 1/ 2 1/ 4

2S

3S

S

2

S

S

S

2

4

2

3S

3S S

2S

Z

2

4

£µ¡ ¸É 7.14 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ Ä ´ª°¥nµ ¸É 7.9 sin S n / 2 DtFT § Z · m o X 1 e jZ ¨ ¸ Sn ©S /2¹

x1 > n @

x2 > n @

sin 3S n / 4 DtFT § Z · m o X 2 e jZ ¨ ¸ Sn © 3S / 4 ¹

°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦ ¼ Ä ­¤ µ¦ (7.68) ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ X e jT

1 2S

1 2S

Z T

T ³ S X e X e dT j

j

1

2

2

S

Z T

T ³S X e X e dT j

j

1

2

(7.69)

­¤ µ¦ (7.69) Á } µ¦ ε ° ꨼ ´  Á } µ £µ¥Ä nª µ ªµ¤ ¸É 2S ¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦ ε ª ³ ´ ¦¼ ­¤ µ¦ (7.69) Ä®¤nÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° µ¦ ε ° ꨼ ´  · à ¥ µ¦Â nµ jT °­ X 1 e , S T S ® else °̄0,

X 1 e jT

´ ´Ê ­¤ µ¦ (7.69) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ } X e jT

1 2S

S

Z T

T ³S X e X e dT j

j

1

2

1 2S

f

Z T

T ³ X e X e dT j

j

1

2

(7.70)

f

£µ¡ ¸É 7.14 ­ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ° ꨼ ´  · ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

266

7.3.12 ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ DtFT o X e jZ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨ (Parseval’s relation) ·¥µ¤Ã ¥ ε® Ä®o x > n@ m f

¦ x > n@

1 2S

2

n f

à ¥ ¸É x > n@ X e jZ

2

2

x > n @ x > n @

Z ³ S X e

j

2

dZ

2

(7.71)

Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤Á o¤ ° ¡¨´ µ (energy intensity)” ¸É ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ ¨³

X e jZ X e jZ

³Á¦¸¥ ªnµ “­Á ¦´¤ ªµ¤® µÂ n ¡¨´ µ (energy-density spectrum)” ¤¸

® nª¥Á } ¼¨ n°Á¦Á ¸¥ (joules per radian) ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ·ªµ¨Ä ­¤ µ¦ (7.71) ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê f

¦ x > n@

2

n f

f

f

­ 1 ¦ x > n@ x > n@ ¦ x > n@ ®¯ 2S ³ S X e Z e

2

n f

n f

­

f

³ S ®¯ ¦ x > n@ e

1 2S

Z Z ³ S X e X e dZ

1 2S

Z ³ S X e

jZ n

n f

j

jZ n

½ dZ ¾ ¿

½ jZ ¾ X e dZ ¿

1 2S

2

j

j

2

j

2

2

dZ

7.3.13 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ Á } ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ ε® Ä®o x > n@ m Áª¨µ µ¦µ ¸É 7.1 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

7.3.14 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ µ¦µ ¸É 7.2 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r­ ´ µ ¨³¦³

7.4 ®¨´ µ¦ ª·£µª³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) ³Å¤n¤¸ » ­¤ ´ · ª·£µª³ (duality) ¦³®ªnµ ­¤ µ¦ (7.10) ¨³ (7.11) Á®¤º° ´ ¦ ¸ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT)  n ³¤¸ » ­¤ ´ · ª·£µª³ ´ ° » ¦¤ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ­ n°Å ¸Ê บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-29 267

µ¦µ ¸É 7.1 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ » ­¤ ´ ·

­´ µ ŤnÁ } µ

¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r

bY e

X e

jZ

jZ

1. ªµ¤Á } Á · Á­o

ax > n @ by > n @

aX e

2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ

x > n n0 @

e

3. µ¦Á¨ºÉ° ªµ¤ ¸É

e jZ0 n x > n @

X e

4. µ¦­´ ¥»

x > n @

X e jZ

5. µ¦¡´ µ Áª¨µ

x > n@

X e jZ

8. µ¦ ¥µ¥Áª¨µ

x k > n @ ®

8. µ¦ ε ° ꨼ ´

x > n@ y > n@

8. µ¦ ¼

x > n@ y > n@

9. ¨ nµ µ Áª¨µ

x > n @ x > n 1@

jZ

j Z Z0

­ x > n / k @ , if n = multiple of k ¯0,

X e jZk

else

X e jZ Y e jZ

1 2S

X e jT Y e

³

2S

j Z T

dT

1 e X e

jZ

jZ

1 X e jZ

1 e jZ

n

10. ¨­³­¤ µ Áª¨µ

jZ n0

¦ x >k @

f

¦ G Z 2S k

S X e j 0

k f

k f

11. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É

nx > n @

12. ªµ¤­¤¤µ ¦ ° µ¦­´ ¥»

x > n@

j

dX e

jZ

dZ

X e

Re ^ X e ` Re ^ X e ` Im ^ X e ` Im ^ X e ` X e X e

X e X e

X e Á } nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n X e Á } nµ · £µ¡Â o

Á } ¢{ r ´ nµ ¦·

X e jZ

jZ

jZ

jZ

jZ

jZ

jZ

jZ

x > n@

Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¼n

x > n@

Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³¢{ r ´ ¸É

jZ

jZ

jZ

jZ

¨³¢{ r ´ ¸É 13. ªµ¤­´¤¡´ r ° ¡µ¦r ª· µ¨

f

¦ x > n@

n f

2

1

2S ³

2S

X e jZ

2

dZ

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

268

˜¾Œ¾ÂŠÂš¸Ă‰ 7.2 ‡Ÿn„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠ¢Ÿà Œ¸¼Œrš¸Ă‰Ă…¤n˜n°à ÂœÂşĂ‰°ÂŠÂšÂľÂŠà ª¨¾ ­à ž„˜Œ´¤Â‡ª¾¤Â™¸Ă‰

­´Â?Â?¾– x > n@

X e jZ

f

1

2S ÂŚ G Z 2S k

G > n@

1.

k f

f

1

u > n@

1 e

S

jZ

k f

G > n n0 @ e

jZ0 n

ÂŚ G Z 2S k

e

jZ n0

.

f

2S ÂŚ G Z Z0 2S l

.

l f

f

S ÂŚ ^G Z Z0 2S l G Z Z0 2S l `

cos Z0 n

l f

S

f

ÂŚ ^G Z Z0 2S l G Z Z0 2S l ` j

sin Z0 n

l f

1

a nu > n@ , a 1

n 1 a nu > n@ ,

n

,

W

Sn

S

jZ

1 ae

jZ

ÂŚ G > n kN @

r

1 a2 1 2a cos Z a 2

­1, 0 Z d W Ž ¯0, W Z d S

X e jZ

sinc Wn ,

­1, n N1 x > n@ Ž ¯0, else

2

1

a 1

0 W S

k f

1 ae

a 1

sin Wn

f

1

a 1

n r 1 ! n a u > n@ , n ! r 1 ! a

1 ae jZ

à ž}Âœ­´Â?Â?¾–‡¾Â?š¸Ă‰¤¸Â‡ÂľÂ?‡ª¾¤Â™¸Ă‰Ă šn¾„´Â? 2S

X e jZ

sin Z N1 0.5

sin Z / 2

2S N

f

§

Œ G ¨Š Z

k f

2S k ¡

¸

N š

บทท฾ŕšˆ 7 ภาร๠ป฼งŕ¸&#x;บŕš€ร฾ยรďœŽŕ¸—ŕš„฾ŕšˆ ลďœŠŕ¸•อďœŠ ŕš€ŕ¸™มอŕšˆ งทาŕ¸‡ŕš€ว฼า 7-31 269

DtFT o X e jZ à ¥ ¸É µ ­¤ µ¦ (7.10) ¡· µ¦ µ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ m ¨³ (7.47) ³Å oªnµ

X e jZ

f

¦ x > n@ e

(7.72)

n f

X e jZ 2S

Á ºÉ° µ e jZ Á } ´ªÂ ¦ ¸É n°Á º°É ´ ´Ê  nµ e jZ X t

jZ n

X e jZ

¨³ n

t

f

¦ x > k @ e

(7.73) k

Ä ­¤ µ¦ (7.72) ³Å o

jkt

(7.74)

k f

­¤ µ¦ (7.73) ° Ä®o ¦µ ªnµ X e jZ ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (7.74) ´ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ ­¤ µ¦ (4.14) ´É º° x t

f ¦ k f ak e jkZ t ¡ ªnµ x > k @ º°­´¤ ¦³­· ·Í° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ µ X t ´ ´Ê » ­¤ ´ · ª·£µª³ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³ ·¥µ¤Ã ¥ 0

CtFS X t m o ak

x > k @

(7.75)

¡· µ¦ µ ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ³Å oÁ oµÄ ¹ µ¦Ä o » ­¤ ´ · ª·£µª³Ä µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÃ ¥°µ«´¥ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ª°¥nµ ¸É 7.10 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@

1 §Sn · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹

ª· ¸ ε µ¦Ä o » ­¤ ´ · ª·£µª³Ä µ¦Â oÅ Ã ¥r o° ¸Ê ³Á¦·É¤ µ µ¦®µ­´ µ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ¸É¤¸ µ Áª¨µ T 2S ( ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤¤¼¨ µ Z 0 2S / T 1 Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸) ¨³¤¸­´¤ ¦³­· ·Í ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ak x > k @ ´ ´Ê µ ´ª°¥nµ ¸É 4.8 ¡ ªnµ ¼n° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ µ ¦¼ ¨ºÉ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ x t º° x t

­1, t T1 ° CtFS o ak ® T m T t 0, 1 °¯ 2

2T1 sinc Z0 kT1

T

T1

S

sinc kT1

(7.76)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

270

à ¥ ¸É ak

x >k @

È n°Á¤ºÉ° T1 x >k @

S /2

Á¡¦µ³ ³ ´ Ê °µ«´¥­¤ µ¦ (7.75) ¨³ (7.76) ³Å o

1 §Sk · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹

1 2S

S

³S

x t e jkZ0t dt

1 2S

S /2

³ 1 e S

jkt

dt

/2

Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ µ k Á } n ¨³ µ t Á } Z ³Å o 1 §Sn · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹

x >n@

 nµ n

n

1 2S

S /2

³ 1 e S

jZ n

dZ

(7.77)

/2

¨ Ä ­¤ µ¦ (7.77) ¨³°µ«´¥®¨´ ªµ¤ ¦· ¸Éªnµ¢{ r ´ · rÁ } ¢{ r ´ ¼n ³Å oªnµ 1 §Sn · sinc ¨ ¸ 2 © 2 ¹

x > n @

1 2S

S /2

³ 1 e S

jZ n

dZ

(7.78)

/2

°µ«´¥­¤ µ¦ (7.75) ¡¦o°¤ ´Ê Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (7.78) ´ ­¤ µ¦ (7.11) ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x > n @ º° X e jZ

°­1, Z d S / 2 ® °̄0, S / 2 Z d S

7.4.1 ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r µ¦µ ¸É 7.3 ­¦» ®¨´ µ¦ ª·£µª³ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê  ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³Â ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

7.5 ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¦³ ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÂ Á · Á­o (LTI) ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · ³ ¼ ε® à ¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o (LCCDE: linear constant-coefficient difference equation) ´ ¸Ê N

¦ ak y > n k @ k 0

M

¦ b x >n k @ k

(7.79)

k 0

Á¤ºÉ° N ¨³ M Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª , ak ¨³ bk Á } nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ª, ¨³ y > n@ ¨³ x > n@ º° ­´ µ Á°µ r¡» ¨³­´ µ °· ¡»  ŤnÁ } µ ° ¦³ LTI à ¥ ´ÉªÅ ­¤ µ¦ (7.79) Á¦¸¥ ªnµ­¤ µ¦ Á · ¨ nµ °´ ´ N (N-th order difference equation) บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-33 271

µ¦µ ¸É 7.3 ­¦» » ­¤ ´ · ª·£µª³ ° ° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t

à Á¤ Áª¨µ

­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x ¬ªn¼º à Á¤ Áª¨µ

à Á¤ ªµ¤ ¸É

à Á¤ ªµ¤ ¸É

­´ µ µ x t

° » ¦¤¢¼Á¦¸¥¦r Fourier series

f

¦ ak e

­´ µ µ

ak jkZ0t

ak

x ¬ª n ¼º ak e

jkZ0n

1 x ª n º e jkZ0n N n¦N ¬ ¼

k f

1 x t e jkZ0t dt T ³T

k

n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ Áª¨µ Á } µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ

Ťn n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ŤnÁ } µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É

Ťn n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ Áª¨µ Á } µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ

¦

N

ª·£µª³

Ťn n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Á } µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É

·£ ª µª³

­´ µ ŤnÁ } µ x t

µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r f 1 jZt Fourier ³ X jZ e dZ 2S f transform

x ª¬ n º¼

X jZ

f

³ x t e

­´ µ ŤnÁ } µ

jZt

1 2S

dt

f

³2S X e

X e jZ jZ

e

jZ n

dZ

f

¦

n f

x ¬ª n ¼º e jZn

ª·£µª³

n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ŤnÁ } µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É

n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ Áª¨µ ŤnÁ } µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ

Ťn n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ Áª¨µ ŤnÁ } µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ

n°Á ºÉ° Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Á } µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É

7.5.1 µ¦®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É à ¥ ´É ª Å µ¦®µ ¨ ° ­ ° °·¤ ¡´ ¨­r h > n@ ° ¦³ ¸É Î µ ® µ¤­¤ µ¦ (7.79) à ¥ ¦ ε Å o¥ µ Á ºÉ ° µ ­¤ µ¦ (7.79) ¤¸ ªµ¤ ´ o° ¤µ ´ ´Ê Ä µ¦®µ n µ h > n@ ³Á¦·É ¤ µ µ¦®µ nµ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° h > n@ ´É º° H e jZ ¨oª ¹ Ä o µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ Á¡ºÉ°®µ nµ h > n@ µ¤ ¸É o° µ¦ DtFT DtFT o X e jZ ¨³ y > n@ m o Y e jZ ε µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ε® Ä®o x > n@ m ­° oµ ° ­¤ µ¦ (7.79) ³Å o ­N ½ ­M ½ F ®¦ ak y > n k @¾ F ®¦ bk x > n k @¾ ¯k 0 ¿ ¯k 0 ¿

°µ«´¥ » ­¤ ´ ·Á · Á­o µ¤­¤ µ¦ (7.48) ³Å o N

M

¦ a F ^ y > n k @` ¦ b F ^ x > n k @` k

k 0

k

k 0

¨³ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ µ¤­¤ µ¦ (7.49) ³Å o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

272

N

¦a e k

jZ k

k 0

Y e jZ

M

¦b e k

jZ k

k 0

X e jZ

´ ´Ê ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É º° Y e jZ

¦ H e

X e Z ¦ jZ

j

M

b e jZ k

k 0 k N

(7.80)

ak e jZ k

k 0

´ª°¥nµ ¸É 7.11 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ ­° ´ ¸Ê y > n@

3 1 y > n 1@ y > n 2@ 2 x > n@ 4 8

(7.81)

) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ ¸Ê n

§1· ¨ ¸ u > n@ ©4¹

) ε® Ä®o­´ µ °· ¡» x > n@

®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@

ª· ¸ ε ) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (7.81) ³Å o 3 1 Y e jZ e jZY e jZ e 2 jZY e jZ 2 X e jZ

4 8

´ ´Ê ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­rÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É H e jZ

H e jZ

2

Y e jZ / X e jZ

2 § 1 jZ ·§ 1 jZ · ¨1 e ¸¨1 e ¸ © 2 ¹© 4 ¹

3 1 1 e jZ e 2 jZ 4 8

¤¸ nµÁ nµ ´

SCILAB: // ε® Ä®o s

e jZ

-->s = poly(0, 's'); -->H = 2/((1-s/2)*(1-s/4)); -->h = syslin('c', H);

ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ (partial-fraction expansion) ³Å o

-->He = pfss(h) He

H e

jZ

4 2 1 1/ 2 e jZ 1 1/ 4 e jZ

= Hjw(1)

- 8 ----- 2 + s

°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ³Å oªnµ

Hjw(2)

^

`

h > n@ F 1 H e jZ

n

­° § 1 · §1· ®4 ¨ ¸ 2 ¨ ¸ 2 © ¹ ©4¹ ¯°

n

½° ¾ u > n@ ¿°

8 ----- 4 + s

บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-35 273

) Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ °· ¡» º° n 1 °­§ 1 · °½ X e jZ F ®¨ ¸ u > n@¾ jZ °¯© 4 ¹ °¿ 1 1/ 4 e

­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É Y e jZ ®µÅ o µ Y e jZ

H e jZ X e jZ

2 1 u § 1 jZ ·§ 1 jZ · § 1 jZ · ¨1 e ¸¨1 e ¸ ¨1 e ¸ © 2 ¹© 4 ¹ © 4 ¹

2 § 1 jZ ·§ 1 jZ · ¨1 e ¸¨1 e ¸ © 2 ¹© 4 ¹

2

ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ³Å o Y e jZ

µ µ¦Â o­¤ µ¦Á¡ºÉ°®µ nµ

A11 A12 A21 2 1 1 1 e jZ §1 1 e jZ · 1 e jZ ¨ ¸ 4 2 © 4 ¹

A11 , A12 , ¨³ A21 Y e jZ

³Å oªµn

A11

4 , A12

2 , ¨³ A21 8

´ ´Ê

4 2 8 1 jZ § 1 jZ ·2 1 jZ 1 e 1 e ¨1 e ¸ 4 2 © 4 ¹

°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¨³ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn °n Á ºÉ° µ Áª¨µÄ µ¦µ ¸É 7.2 ³Å oªnµ

^

`

y > n@ F 1 Y e jZ

n n ª § 1 ·n §1· §1· º 4 2 1 8 n

« ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ » u > n@ ©4¹ © 2 ¹ ¼» ¬« © 4 ¹

µ ´ ª °¥n µ o µ o ­ Ä®o Á ®È ªn µ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r n ª ¥ Î µ Ä®o µ¦ª· Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê µ¦ ε » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r¤µ ¦³¥» rÄ o µ ¥´ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¸É ´ o° Å o nµ¥ ¹Ê ´ ´Ê Ä µ · ´ · ³¡ ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ·¥¤ ε¤µÄ o ª·Á ¦µ³®r¦³ nµ Ç Á n ¦³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ ¨³¦³ ­ºÉ°­µ¦ Á } o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

274

7.6 ­¦» oµ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “­Á ¦´¤” » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³®¨´ µ¦ ª·£µª³ º°ªnµ¤¸ ªµ¤­Îµ ´ n° µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ¤µ Á ºÉ° µ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ¥´ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn  ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÅ oà ¥ nµ¥ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º°­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

7.7  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ¡·­¼ r ε ° 1.1) x > n@

a

n

Á¤ºÉ°

Á¤ºÉ°

a 1

1.2) x > n@

sin Z n

1.3) x > n@ 1/ 3 n u > n 1@

1.4) x > n@

sin S n / 4 1/ 4 u > n 2@

Z S n

2) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É n°Å ¸Ê ¡¦o°¤ ´Ê Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ¡·­¼ r ε ° 2.1)

X e jZ 1/ 1 ae jZ

2

Á¤ºÉ°

a 1

2.2)

X e jZ

j sin Z cos 5Z

3) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@ 2 y > n 1@ 3 y > n 2@ º°­´ µ °· ¡» ¨³ y > n@ º°­´ µ Á°µ r¡» 3.1) ®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É

H e jZ

x > n@

Á¤ºÉ° x > n@

¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@

3.2) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@ 3 / 4 n u > n@ 3.3) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦¡·­¼ r µÎ ° ¡¦o°¤ ´Ê ªµ ¦¼ ­´ µ x > n@ , h > n@ , ¨³ y > n@ 4) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É ε® à ¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ º° x > n@ º°­´ µ °· ¡» ¨³ y > n@ º°­´ µ Á°µ r¡»

2 y > n@ y > n 1@ 2 x > n@ 3x > n 1@

Á¤ºÉ°

4.1) ®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É H e jZ ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ 4.2) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@

cos nS / 4

4.3) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦¡·­¼ r µÎ ° ¡¦o°¤ ´Ê ªµ ¦¼ ­´ µ x > n@ , h > n@ , ¨³ y > n@ บทที่ 7 การแปลงฟูเรียรทไี่ มตอ เนือ่ งทางเวลา 7-37 275

5) ¡· µ¦ µ¦³ LTI µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ°

z 1

º° ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ® ¹É ® nª¥ y >n@

x >n@

z 1

x > n 1@

5.1) ®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É H e jZ ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ 5.2) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ £µ¡­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ °

H e jZ

5.3) ®µÂ rª · r 3-dB ° ¦³ ¸Ê 6) ¡· µ¦ µ¦³ LTI µ¤£µ¡ n°Å ¸Ê Á¤ºÉ°

z 1

º° ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ® ¹É ® nª¥ y > n@

x >n@

a

y > n 1@

z 1

Á¤ºÉ° 0 a 1 º° nµ ´ª 6.1) ®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É

H e jZ

¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@

6.2) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ £µ¡­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ °

H e jZ

6.3) ®µÂ rª · r 3-dB ° ¦³ ¸Ê 7) ε® Ä®o¦³ LTI ¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° h > n@

^h0 , h1 , h2 , h3` ^1,1, 1, 1`

7.1) ®µ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É H e jZ

7.2) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ªµ £µ¡­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ °

H e jZ

7.3) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@ ^ x0 , x1 , x2 ` ^1, 2,1` 7.4) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@ ^ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ` ^1, 0,1, 0,1` 7.5) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦¡·­¼ r µÎ ° o° 7.3 ¨³ o° 7.4 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 7-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

276

¸É 8 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ Ä { » ´ ¸Ê µ¦ª·Á ¦µ³®r¨³ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ nµ Ç ·¥¤ 뵀 ¦¼ ° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ®¦º°­´ µ · · ´¨ (digital signal) ´Ê ¸ÊÁ } Á¡¦µ³ªnµÁ à 襸 µ oµ · · ´¨Å o oµª® oµÅ ¤µ ¹ εĮo ­µ¤µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ o°¤¼¨Å o°¥nµ ¦ª Á¦ÈªÃ ¥Ä oÁ ¦ºÉ° °¤¡·ªÁ °¦r ° µ ¸Ê o°¤¼¨Ä ¦¼ ° ­´ µ · · ´¨ ¤¸ ªµ¤­³ ª Ä µ¦ ´ Á È ¤µ ªnµ o°¤¼¨Ä ¦¼ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ®¦º°­´ µ ° ³¨È° (analog signal) Á n µ¦ ´ Á È o°¤¼¨ · · ´¨Ä °» ¦ r±µ¦r ·­ rÅ ¦¢m,  n ¸ ¸, ¨³Â n ¸ª¸ ¸ Á } o °¥nµ Ŧ È µ¤­´ µ ¸ÉÄ o µ ­nª ¤µ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ´Ê ¦³ ª µ¦  ¨ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o °¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ ¸É Å ¤n n° Á ºÉ° µ Áª¨µÃ ¥Å¤n ¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ (distortion) ®¦º° ¸É¦¼o ´ ´ ´ÉªÅ ªnµ “ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling process)” ¹ Á } ­·É εÁ } °¥nµ ¥·É ­Îµ®¦´ ¦³ ­ºÉ°­µ¦ nµ Ç ´ª°¥nµ Á n Ä ¦³ à ¦«´¡ rÁ ¨ºÉ° ¸É ­´ µ Á­¸¥ ¡¼ ¸ÉÁ ¦ºÉ° à ¦«´¡ rÁ ¨ºÉ° ¸É o µ ³ ¼  ¨ Á } ­´ µ · · ´¨Á¡ºÉ° ε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ µ °¥nµ n° ¸É ³­n nµ °µ µ«Å ¥´ Á ¦ºÉ° à ¦«´¡ rÁ ¨ºÉ° ¸É ¨µ¥ µ µ ´Ê ­´ µ ¸ÉÅ o¦´ È ³ ¼  ¨ ¨´ Ä®oÁ } ­´ µ Á­¸¥ ¡¼ Á®¤º° Á ·¤ ´ ´Ê Ä ¸Ê ³° · µ¥ ¹ ®¨´ µ¦ ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸ÉÄ o ´ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

8.1 §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¡· µ¦ µ£µ¡ ¸É 8.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t » Ç nª Áª¨µ tn nTs Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ¨³ Ts º° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling period) Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ x p t à ¥ ¸É xp t

x t t

nTs

x nTs

(8.1)

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-1 277

x t

xp t

tn

Ts

x nTs

nTs

£µ¡ ¸É 8.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t

x 0

x Ts

C

x 3Ts

B A

t

Ts x 2Ts

£µ¡ ¸É 8.2 ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ 3 ­´ µ ¸É ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ Áª¨µ tn ^ x 0 , x T , x 2T , x 3T ` Á®¤º° ´ s

s

nTs

¨oªÅ o¨Îµ ´ o°¤¼¨

s

à ¥ ´ÉªÅ o°¤¼¨Â n¨³ ´ª ° x nTs ³Á¦¸¥ ªnµ “ ¤Á d¨ (sample)” ¨³Ä ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ³Ä o­´ ¨´ ¬ r ^ x nTs `  » o°¤¼¨ ° x nTs ®¦º° ¸ÉÁ ¦¸¥ ªnµ “¨Îµ ´ o°¤¼¨ (data sequence)” Á n ^ x nTs ` ^ x 0 , x Ts , x 2Ts ,!, x nTs ` Ä µ · ´ ·­·É ¸É o° µ¦ µ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ º° o° µ¦Ä®o¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^ x nTs ` ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á } ´ªÂ ® ¹É Á ¸¥ª (uniqueness) ° ­´ µ x t à ¥Å¤n¤¸ µ¦­¼ Á­¸¥ nµª­µ¦Ä Ç Á¡ºÉ° ¸Éªnµ ³Å o­µ¤µ¦ ε¨Îµ ´ o°¤¼¨ ^ x nTs ` ¸Ê¤µ­¦oµ ­´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ (signal reconstruction) Á®¤º° Á ·¤Å o°¥nµ ­¤ ¼¦ r °¥nµ Ŧ È µ¤ o° ε® ¸ÊÁ } ¦· Å o È n°Á¤ºÉ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° Å ª·­ r (Nyquist's sampling theorem) [3, 12 – 13] ¤· ³ ´Ê ¨oª­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ®¨µ¥­´ µ Á¤ºÉ° ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¨oª°µ εĮoÅ o¨Îµ ´ o°¤¼¨Á®¤º° ´ µ¤ ¸É­ Ä £µ¡ ¸É 8.2 ¹É ³¡ ªnµ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­µ¤­´ µ º° A, B, ¨³ C Á¤ºÉ° ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ´Ê ­µ¤ ¸Ê Áª¨µ tn nTs Á¤ºÉ° n 0,1, 2, ¨³ 3 ¨oª ³Å o¨Îµ ´ o°¤¼¨°° ¤µ 4  ¤Á d¨ º° x 0 , x Ts , x 2Ts , ¨³ x 3Ts Á®¤º° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° Å ª· ­ r ³ ¨nµª ¹ Á ºÉ° Å ¸É εĮo o°¤¼ ¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÃ ¥Å¤n¤¸ µ¦­¼ Á­¸¥ nµª­µ¦ ³ ´Ê o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸Ê ¹ ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o 8-2

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

278

Ä µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤Å oà ¥Å¤n¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ Á · ¹Ê ¹É µ¦ ¸É ³ εÁ n ¸ÊÅ o ´Ê ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ o° Á } “­´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ (band-limited signal)” ¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ o° ¤µ ªnµ®¦º°Á nµ ´ ­° Á nµ ° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´Ê ° µ ¸ÊÁ¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥Á ºÊ°®µÄ ¸Ê ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ Z 2S f (¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n° ª· µ ¸) ³ ¼ Á¦¸¥ ­´Ê Ç ªnµ “ ªµ¤ ¸É”

8.2 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oµ ε® Ä®o x t º°­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³Á } ¢{ r ´ nµ ¦· à ¥¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Á nµ ´ X jZ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ x t ³Á¦¸¥ ªnµÁ } ­´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ È n°Á¤ºÉ° X jZ 0 ,

­Îµ®¦´

Z ! Zm

(8.2)

Á¤ºÉ° Zm º° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ x t ¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ µ¤£µ¡ ¸É 8.3 ´ ´Ê oµ o° µ¦Ä®o o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á } ´ªÂ ® ¹É Á ¸¥ª ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÃ ¥Å¤n¤¸ µ¦ ­¼ Á­¸¥ nµª­µ¦ È ³ o° ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t oª¥ ªµ¤ ¸É Zs t 2Zm

(8.3)

Á¤ºÉ° Zs 2S / Ts º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ à ¥ ¸É ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Éε­» Zs 2Zm ³Á¦¸¥ ªnµ “°´ ¦µ Å ª·­ r1 (Nyquist rate)”  n oµ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t oª¥ ªµ¤ ¸É Zs 2Zm È ³ n°Ä®oÁ · ¦µ µ¦ r ¸ÉÁ¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ (aliasing)” ¹É Á } ­·É ¸ÉŤn o° µ¦Ä » µ ¦³¥» r Á ºÉ° µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o¤¸ µ¦­¼ Á­¸¥ nµª­µ¦ ¨nµª º°Á¤ºÉ° ε o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸É ªµ¤ ¸É Zs 2Zm ¤µ­¦oµ ­´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ ­´ µ x t ¸ÉÅ o ³¤¸¦¼ ¦nµ · Á¡¸Ê¥ Å µ ° Á ·¤ («¹ ¬µ¦µ¥¨³Á°¸¥ Á¡·É¤Á ·¤Å oÄ ®´ª o° ¸É 8.2.4) §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¼ ε¤µÄ o µ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r ´ª°¥nµ Á n 1) ¦³ Á­¸¥ · · ´¨ °  n ¸ ¸ (CD: compact disc) ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ ¸É o° µ¦ ³ ´ ¹ ¨ Å Ä Â n ¸ ¸Á¡¨ ¤¸ nµÁ nµ ´ 20 ·Ã¨Á±·¦ r (kHz)  n¦³ Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á nµ ´ 44.1 kHz Á ºÉ° µ °´ ¦µÅ ª·­ r º° 2 u 20 40 kHz ­ ªnµ¦³ ³­Îµ¦°  rª· r (bandwidth) Ūo 4.1 kHz ­Îµ®¦´ ε® oµ ¸ÉÁ }  j° ´ (guard band) 1

ªµ¤ ¸É Zm ¸ÉÁ } ¦¹É ® ¹É ° °´ ¦µÅ ª·­ r Á¦¸¥ ªnµ “ ªµ¤ ¸ÉÅ ª·­ r (Nyquist frequency)”

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-3 279

X jZ

1

Zm

Z

Zm

0

£µ¡ ¸É 8.3 ´ª°¥nµ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´

2) ¦³ à ¦«´¡ r (telephone system) ­´ µ Á­¸¥ (speech signal) ¤¸Â rª· rÁ nµ ´ 3.4 kHz ¨³¦³ à ¦«´¡ rÄ o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á nµ ´ 8 kHz Á ºÉ° µ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Å ª·­ r º° 2 u 3.4 6.8 kHz ­ ªnµ¦³ ³­Îµ¦°  rª· rŪo 1.2 kHz ­Îµ®¦´ ε® oµ ¸ÉÁ }  j° ´ ´ª°¥nµ ¸É 8.1 ε® Ä®o­´ µ x t

¸É­° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ

10 cos 2000S t cos 8000S t

®µ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Éε­»

ª· ¸ ε µ Á° ¨´ ¬ r ¦¸Ã ¤· · ¸Éªnµ cos D cos E ^cos D E cos D E ` / 2 ´ ´Ê ­´ µ x t ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x t 10 cos 2000S t cos 8000S t

¹É ­ ªnµ ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ x t º° Zm Éε­» ®¦º°°´ ¦µÅ ª·­ r ¹ ¤¸ nµÁ nµ ´ Zs 2Zm

5cos 6000S t 5cos 10000S t

Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ´ ´Ê ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ 2 u10000S 20000S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ 10000S

8.2.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¡· µ¦ µ£µ¡ ¸É 8.1 ¡ ªnµ®¨´ µ¦ ε µ ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­µ¤µ¦ ° · µ¥Å oà ¥°µ«´¥­¤ µ¦ · «µ­ ¦r ´ ¸Ê o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼n Ä ¦¼ ° ¨ ¼ ¦³®ªnµ ­´ µ x t ¨³ ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÅ Â¦È Á ¨ µ (Dirac delta impulse train) ®¦º° ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “¢{ r ´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling function)” p t ´É º° xp t

x t p t

(8.4)

à ¥ ¸É p t

8-4

f

¦ G t nT

s

(8.5)

n f

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

280

p t

Ts

1

t

x 0

0

x t

x 2Ts

xp t

t

Ts

0

0

t

£µ¡ ¸É 8.4 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ à ¥Ä o ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÅ Â¦È Á ¨ µ

°µ«´¥ » ­¤ ´ · ° ¢{ r ´ Å Â¦È Á ¨ µ ¸Éªnµ x t G t t0

Á ¸¥ Å oÁ } xp t

x t0 G t t0

´ ´Ê ­¤ µ¦ (8.4) ­µ¤µ¦

f

¦ x nT G t nT

s

(8.6)

s

n f

´É º°­´ µ x p t ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ª ­´ µ °·¤¡´¨­r ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼¨ °  n¨³°·¤¡´¨­rÁ nµ ´ nµ x nTs à ¥¤¸¦³¥³®nµ °  n¨³­´ µ °·¤¡´¨­rÁ } ¦³¥³Áª¨µ Ts ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 8.4 Á ºÉ° µ¦ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÅ Â¦È Á ¨ µ º° p t

f

CtFT o P jZ

¦ G t nTs m

n f

2S Ts

f

¦ G Z kZ

s

(8.7)

k f

¨³°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦ ¼ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸Éªnµ F ª¬ x t p t º¼

1 2S

f

³ X jT P j Z T dT

(8.8)

f

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­¤ µ¦ (8.6) º° X p jZ F ª¬ x p t º¼

1 Ts

f

¦ X j Z kZ

s

(8.9)

k f

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ µ à ¥¤¸ nµ Á nµ ´ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X jZ ¸É ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 1/ Ts ¸É Êε ´ Å Á¦ºÉ°¥Ç à ¥ ¸É n¨³ ´ª¤¸¦³¥³®nµ ´ Á nµ ´ Zs Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-5 281

x t

s

n

n

t

F F

x t ¦ G t nTs

¦ G t nT

u

X jZ

2S

t

t

Ts

-1

X p jZ

¦ G Z kZ

s

Ts

k

1/ Ts

2S / Ts Zm 0

Zm

Z

Zs

Zs

0

Z Zs

0 Zm

Z

Zs Zs Zm

£µ¡ ¸É 8.5 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ( ) Ä Ã Á¤ Áª¨µ ¨³ (¨nµ ) à Á¤ ªµ¤ ¸É xp t

f

CtFT

¦ x nT G t nT m o X jZ

s

s

p

n f

1 Ts

f

¦ X j Z kZ

s

(8.10)

k f

£µ¡ ¸É 8.5 Á ¦¸¥ Á ¸¥ ´Ê ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ à Á¤ Áª¨µÂ¨³Ä à Á¤ ªµ¤ ¸É oµ ªµ¤ ¸É ¸ÉÄ oÄ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ Zs t 2Zm ¨oª ­´ µ x t ­µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ­¦oµ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º ° Á · ¤ Å o µ ¨Î µ ´ o °¤¼ ¨ ^ x nTs ` à ¥ µ¦ Î µ ¨Î µ ´ o °¤¼ ¨ ¸Ê Å n µ ª ¦ ¦° n µ ÉÎ µ °» ¤ · (ideal low-pass filter) ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r hLP t ¹É ¤¸°´ ¦µ ¥µ¥ (gain) Á nµ ´ Ts ¨³¤¸ ªµ¤ ¸É ´ (cutoff frequency) Á nµ ´ Zm d Zc d Zs Zm ´É º° hLP t

Ts sin Zc t

TsZc

St

S

sinc Zc t

(8.11)

¹É ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° H LP jZ

­Ts , Z d Zc ® ¯0, else

(8.12)

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 8.6 Á¤ºÉ° xr t º°­´ µ ¸É ¼ ­¦oµ Ä®o ¨´ º ¤µ (reconstructed signal) ´ ´Ê Á¤ºÉ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ Á } Å µ¤ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Å oªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X r jZ X jZ ¹É εĮo ­¦» Å oªnµ xr t x t Á n ´

8-6

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

282

P jZ

Zs

X jZ

Zm

Zs

0

Z X r jZ

p t

x t

Zm 0

2S / Ts

xp t

H LP jZ

Z

xr t

Zm 0

X p jZ

H LP jZ

1/ Ts Zs

0

Zm

Zs

Z

Zc

Ts

0

Zm

Z

Z m d Zc d Z s Z m

Zc

Z

Z s Zm

£µ¡ ¸É 8.6 µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ^ x t ` r

p

8.2.2 µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r µ £µ¡ ¸É 8.4 ­´ µ x p t ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÅ Â¦È Á ¨ µ ³¤¸¨´ ¬ ³ Á } ­´ µ ¡´¨­r ¸É¤¸ ªµ¤ ªoµ ° ­´ µ  ¨³¤¸Â°¤¡¨· ¼ ­¼ ¤µ ¹É Ä µ · ´ · µ¦­¦oµ ¨³­n ­´ µ x p t Å ¥´ ¨µ¥ µ εŠo¥µ ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ ­´ µ ¸É nµ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampled signal) ³ ¼ εĮo°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ oµ °´ ´ «¼ ¥r (zero-order hold) à ¥ µ¦­n ­´ µ x p t nµ Á oµÅ Ä ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h0 t µ¤£µ¡ ¸É 8.7 Á¤ºÉ° ­1, 0 t Ts h0 t ® ¯0, else

(8.13)

ª 2sin ZTs / 2 º H 0 jZ e jZTs / 2 « » Z ¬ ¼

(8.14)

¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° h0 t º°

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¦³ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t Áª¨µ ¸É ε® ¨oª ε µ¦ oµ nµ ° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ¦³ ´É ¹ Áª¨µ ¸É ³ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ Å ´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ¹ Á¦¸¥ ªnµ­´ µ oµ °´ ´ «¼ ¥r x0 t

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-7 283

Ts

1

p t

x0 t

t 0

x t

t

0

xp t

x t

zero-order hold

x0 t

h0 t

0

Ts

t

h0 t

1 0

t

Ts

Ts

0

t

£µ¡ ¸É 8.7 µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r H LP jZ

p t

x t

xp t

h0 t

x0 t

hr t

r t

£µ¡ ¸É 8.8 µ¦ n° ´ ° ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r¨³ª ¦ ¦° µ¦­¦oµ ­´ µ ¨´ º ¤µ

Ä Î µ ° Á ¸ ¥ ª ´ µ¦­¦o µ ­´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ µ ­´ µ o µ °´ ´ «¼ ¥r x0 t

È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦ ε­´ µ x0 t Å nµ ª ¦ ¦° µ¦­¦oµ ­´ µ ¨´ º ¤µ (reconstruction filter) ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­rÁ nµ ´ hr t µ¤£µ¡ ¸É 8.8 à ¥­´ µ ¸É­¦oµ ¨´ º ¤µ r t ³¤¸ nµ Á nµ ´ ­´ µ o ´ x t È n°Á¤ºÉ° ¨ ° ­ ° ¦ª¤ ° ª ¦ ¦° ¸É n° ´ ´Ê ­° ª ¦¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ´É º° hLP t h0 t hr t

(8.15)

®¦º°Ä à Á¤ ªµ¤ ¸É H LP jZ

 nµ H LP jZ µ ­¤ µ¦ (8.12) ¨³ 8-8

H 0 jZ H r jZ

H 0 jZ

(8.16)

µ ­¤ µ¦ (8.14) ³Å oªnµ

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

284

H r jZ

H r jZ

S /2 1

Zc

0

Zc

Zc

Zc

Z

Z

S / 2

£µ¡ ¸É 8.9 ( ) ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ ¨³ ( ) ­Á ¦´¤Á · Á¢­ ° ª ¦ ¦° µ¦­¦oµ ­´ µ ¨´ º ¤µ H r jZ

H LP jZ

H 0 jZ

jZTs / 2

ZTs e 2sin ZTs / 2

SCILAB:

hr t

(£µ¡ ¸É 8.9)

-->Ts = 1; Wc = %pi/2; Ws = -Wc:0.01:Wc; -->Hw = exp(%i*Ws*Ts/2)./sinc(Ws*Ts/2);

//£µ¡ ¸É 8.9 ( )

-->plot(Ws,abs(Hw));

-->plot(Ws,atan(imag(Hw)./real(Hw))); //£µ¡ ¸É 8.9 ( )

e jZTs / 2 sinc ZTs / 2

(8.17)

­Îµ®¦´ Z d Zc £µ¡ ¸É 8.9 ­ ­Á ¦´¤Á · °¤¡¨· ¼ (amplitude spectrum) ¨³­Á ¦´¤Á · Á¢­ (phase spectrum) ° ª ¦ ¦° µ¦­¦oµ ­´ µ ¨´ º ¤µ hr t ¸ÉÅ o µ ­¤ µ¦ (8.17) à ¥ ´ÉªÅ ª ¦ ¦° ¸É ε® µ¤­¤ µ¦ (8.17) Ťn­µ¤µ¦ ­¦oµ Å o ¦· Ä µ · ´ · °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä ®¨µ¥Ç ¦ ¸­´ µ oµ °´ ´ «¼ ¥r x0 t ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o ­´ µ o ´ x t Å oà ¥Å¤n o° εŠnµ ª ¦ ¦° hr t oµ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs ¤¸ nµ­¼ ®¦º°°µ Ä oª· ¸ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª 2 ®¦º° °· Á °¦ráÁ¨ ´ (interpolation) [14] ¦³®ªnµ o°¤¼¨Â ¤Á d¨

8.2.3 ¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á º°É µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ ε® Ä®o x t º°­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸Â ªµ¤ ¸É ε ´ ¨³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ nµ ´ X jZ

µ¤£µ¡ ¸É 8.3 oµ ªµ¤ ¸É ¸ÉÄ oÄ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ Zs t 2Zm ´ ´Ê o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x p t ¸ÉÅ o ³¤¸­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ µ¤£µ¡ ¸É 8.10

µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ®¦º°°· Á °¦ráÁ¨ ´ (interpolation) Á } µ¦®µ ªµ¤¡° ¸®¦º° ªµ¤Á®¤µ³­¤ (fitting) ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ » ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ´ ´Ê µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ¹ º°ªnµÁ } Á · ¡ºÊ µ ¸ÉÄ o Ä µ¦­¦oµ ­´ µ Ä®o ¨´ º ¤µ

2

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-9 285

X p jZ

H LP jZ

Ts

2Zm

1/ Ts

Zs

Zm

0

Zc

Zm

Zc

Zs ! 2Zm

Z

£µ¡ ¸É 8.10 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t ªµ¤ ¸É Zs t 2Zm ¡¦o°¤ ´Ê ­ ´Ê ° µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ x t

¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ Ä®o ¨´ º ¤µ

xp t

tn nTs Zs t 2Zm

hLP t

xr t

ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ ·

£µ¡ ¸É 8.11 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¨³ ¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ

¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ (signal reconstruction process) º° µ¦ ­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xr t µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x p t ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 8.11 à ¥ ¸É oµ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ ª °¥n µ ¸ÉÄ o ¤¸ n µ Zs t 2Zm ¨o ª È ³ Î µ Ä®o­´ µ xr t x t Å o à ¥ µ¦ Î µ o °¤¼ ¨  ¤Á d ¨ x p t Å nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r hLP t µ¤­¤ µ¦ (8.11) ¨³¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Zm d Zc d Zs Zm

®¨´ µ¦ ε µ ° ¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ­µ¤µ¦ ° · µ¥Ä à Á¤ ªµ¤ ¸ÉÅ o ´ ¸Ê ­´ µ xr t x t È n°Á¤ºÉ°­´ µ xr t ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÁ nµ ´ X jZ

´ ´Ê ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ Ä £µ¡ ¸É 8.10 ³¤¸ nµÁ nµ ´ X jZ Å o È n°Á¤ºÉ° ε X p jZ ¤µ ¼ ´ H LP jZ ´É º° X r jZ

X jZ

X p jZ H LP jZ

(8.18)

Á¤ºÉ° H LP jZ º° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · µ¤­¤ µ¦ (8.12) à ¥°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦ ¼ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É ¨nµªªnµ µ¦ ¼ ´ ° ­´ µ Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦ ε ° ꨼ ´ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

286

£µ¡ ¸É 8.12 ¨¦ª¤ ° ¢{ r ´ · r®¨µ¥Ç ­´ µ ¸É¤¸Â°¤¡¨· ¼ Á nµ ´ x nTs ¸É®nµ ´ Á } ¦³¥³ Ts

° ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­´ µ ° X r jZ ´É º° F 1 ª¬ X r jZ º¼

xr t

xr t

­µ¤µ¦ ®µÅ o µ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´

x p t hLP t

ª f º ª TsZc º « ¦ x nTs G t nTs » « S sinc Zc t » ¬ ¼ n f ¬ ¼ TsZc

S

f

¦ x nT sinc Z t nT

s

c

s

(8.19)

n f

­¤ µ¦ (8.19) ®¤µ¥ ¹ µ¦­n o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x p t nµ Á oµÅ Ä ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ ·Â¨oªÅ o­´ µ Á°µ r¡» °° ¤µÁ } ­´ µ xr t ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ x t µ¤£µ¡ ¸É 8.11 à ¥ ´ÉªÅ ­¤ µ¦ (8.19) ³Á¦¸¥ ªnµ “­¼ ¦ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ° Å ª·­ r¨³Â ° (Nyquist-Shannon interpolation formula)” [3, 12] ¹É ¤¸ ªµ¤®¤µ¥ º° o°¤¼¨Â n¨³Â ¤Á d¨ x nTs ³ ¼ ¼ oª¥¢{ r ´ · r (sinc function) à ¥ ¸É » «¼ ¥r ¨µ ° ¢{ r ´ · r ³ ¼ Á¨ºÉ° °° Å µ¤Áª¨µ °  n¨³Â ¤Á d¨ µ ´Ê È Îµ­´ µ ´Ê ®¤ ¤µ¦ª¤ ´ Á } ­´ µ Á ¸¥ª µ¤ ´ª°¥nµ Ä £µ¡ ¸É 8.12 ­¤ µ¦ (8.19) ­ Ä®oÁ®È Å oªnµ µ¦­¦oµ ­´ µ o ´ Ä®o ¨´ º ¤µ ³ o° °µ«´¥Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ¹É Ä ­¤ µ¦ (8.19) ³Ä o¢{ r ´ · r nª¥Ä µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª µ¤£µ¡ ¸É 8.12 Ä µ · ´ ·Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ¤¸®¨µ¥Â Á n µ¦Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 8.2.2 È º°ªnµÁ } Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª  ® ¹É ¹É ¤¸ ªµ¤ nµ¥Ä µ¦­¦oµ ª ¦  n ªµ¤ ¼ o° ° บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-11 287

hl t

Ts

0

H jZ

Ts

Ts

t

Z s

Zs

Zs

0

2

Zs

Z

2

£µ¡ ¸É 8.13 ( ) ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ¨³ ( ) ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ª ¦ ¦° oµ °´ ´ ® ¹É x 2Ts

x0 t

x Ts

x 0

x t

x0 t

xl t

xl t

x t

t

£µ¡ ¸É 8.14 ´ª°¥nµ µ¦­¦oµ ­´ µ o ´ Ä®o ¨´ º ¤µÃ ¥Ä oÁ · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª  nµ Ç

­´ µ ¸ÉÅ o ³Å¤n ¸ ´ ´Ê oµ o° µ¦Ä®o µ¦ ¦³¤µ nµ¤¸ ªµ¤ ¼ o° ¤µ ¹Ê È°µ Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ ¸É­¼ ¹Ê ´ª°¥nµ Á n ª ¦ ¦° oµ °´ ´ ® ¹É (first-order hold) ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r º° hl t

­ t °1 , t d Ts ® Ts °0, else ¯

(8.20)

¨³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° H l jZ F ª¬ hl t º¼

1 ª sin ZTs / 2 º « » Ts ¬ Z / 2 ¼

2

(8.21)

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 8.13 µ¦Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ ® ¹É Ä µ¦­¦oµ ­´ µ Ä®o ¨´ º ¤µ°µ ¡· µ¦ µªnµÁ } “ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª  Á · Á­o (linear interpolation)” ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Ä oÁ­o ¦ Ä µ¦Á ºÉ°¤ n° nµ  n¨³ nµ ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨ £µ¡ ¸É 8.14 ­ ´ª°¥nµ µ¦­¦oµ ­´ µ o ´ Ä®o ¨´ º ¤µÃ ¥Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r¨³Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª  Á · Á­o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

288

X p jZ

X jZ

Zm

0

Zm

Z

Zs Zm

0

Zm Zs 2Zm

Z

£µ¡ ¸É 8.15 ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¹É Á · µ µ¦Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 2Zm Ä Ã Á¤ ªµ¤ ¸É

° µ ¸ÊÄ ¦ ¸ ¸É o° µ¦Ä®o µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ¤¸ ªµ¤ ¼ o° ­¼ È­µ¤µ¦ Ä o µ¦ ¦³¤µ nµ Ä nª ¸ÉÁ ºÉ°¤ n° nµÂ n¨³ nµ ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨Ã ¥°µ«´¥­¤ µ¦¡®» µ¤°´ ´ ­¼ ®¦º°¢{ r ´ · «µ­ ¦r °ºÉ Ç Å o n ­¤ µ¦ ε¨´ ­µ¤ (cubic interpolation) ®¦º°¢{ r ´ Á­¤º° ¡®» µ¤ (spline interpolation) [9] Á } o

8.2.4 ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ (aliasing) Á · µ µ¦Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ o°¥ ªnµ­° Á nµ ° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º° Zs 2Zm £µ¡ ¸É 8.15 ­ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¸ÉÁ · µ µ¦Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 2Zm à ¥¡ ªnµÁ¤ºÉ°Ä o Zs 2Zm ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ X p jZ ³ ´ o° ´ (overlap) εĮoÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¹É ­n ¨ εĮoÁ¤ºÉ° o° µ¦ ¸É ³­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ªµ¤ ¸É Zs 2Zm ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÅ o ³¤¸¦¼ ¦nµ · Á¡¸Ê¥ Å µ ­´ µ o ´ Á ºÉ° µ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ ¸É ­¦oµ ¨´ º ¤µ¤¸¦¼ ¦nµ · Å µ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ o ´ £µ¡ ¸É 8.16 ­ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t cos Zmt à ¥ ¸É Zm 2S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ oª¥ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 1.5Zm , 2Zm , ¨³ 3.5Zm Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á¤ºÉ° ¦µ¢Â n ­ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x nTs ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t ¨³ ε­´É “sim_sampling” º°¢{ r ´ ¸É¡´ µ ¹Ê ¤µ µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á¡ºÉ°Ä o­¦oµ ¦µ¢Â­ ´ª°¥nµ µ¦Ä o µ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ µ £µ¡ ¸É 8.16 ¡ ªnµ

oµ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ à ¥Ä o Zs 2Zm Á¤ºÉ°­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x nTs ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉÅ o ³¦¼ ¦nµ ŤnÁ®¤º° Á ·¤ (Á · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¹Ê ) µ¤£µ¡ ¸É 8.16 ( oµ¥)

oµ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ à ¥Ä o Zs t 2Zm ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É­¦oµ ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨  ¤Á d¨ x nTs ³¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ o ´ Á®¤º° Á ·¤ µ¤ ¸É­ £µ¡ ¸É 8.16 ( ªµ – ¨nµ oµ¥) บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-13

289

£µ¡ ¸É 8.16 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É Zm

2S

oª¥ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs nµ Ç

´ ´Ê ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ¹ Á } ­·É ¸É o° ®¨¸ Á¨¸É¥ Ä » µ ¦³¥» r Á¡¦µ³ªnµ­´ µ ¸É­¦oµ ¨´ º ¤µ ¤¸ » ­¤ ´ ·Â nµ µ ­´ µ o ´ à ¥ ´ÉªÅ ª· ¸ µ¦ j° ´ µ¦Á · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡­µ¤µ¦ εŠo ®¨µ¥ª· ¸ Á n Á¡·É¤ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ (Á¡·É¤ Zs ) ®¦º°Ä oª ¦ ¦° n° oµ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ (anti-aliasing filter) Á } o Á¡¦µ³ ³ ´Ê Á¡ºÉ° j° ´ µ¦Á · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡Ä ¦³®ªnµ ´Ê ° µ¦­¦oµ ­´ µ o ´ Ä®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x nTs §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¹ ε® Ä®o ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ o ´ oª¥ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs t 2Zm °¥nµ Ŧ È µ¤Ä µ · ´ · ·¥¤Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¤µ ªnµ ­° Á nµ ° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ o ´ ´É º° Zs ! 2Zm Á¡ºÉ°¦´ ¦³ ´ ªnµ ³Å¤n¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ Á · ¹Ê °¥nµ  n ° ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

290

function [ ] = sim_sampling(wm, ws) //================================================== // ­ ´ª°¥nµ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á¤ºÉ°Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ nµ nµ Ç // Á¤ºÉ°­´ µ o ´ º° ­´ µ à Šr x t

cos Zm t

// ¡µ¦µ¤·Á °¦r°· ¡» : // wm = 2*%pi*fm = ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ o ´ n° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ // ws = 2*%pi*fs = ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­¼ ­» // // ¡µ¦µ¤·Á °¦rÁ°µ r¡» : // ¢{ r ´ ¸Ê ³Ä®oÁ°µ r¡» Á } ¦µ¢­° ¦µ¢ à ¥ ¸É ¦µ¢Â¦ Á } ¦µ¢Â­ ­´ µ o ´ // ¨³ ¦µ¢ ¸É­° Á } ¦µ¢Â­ ­´ µ ¸É­¦oµ ¨´ º ¤µ //================================================== t

= 0:0.01:8;

xt = cos(wm*t); //===== Sampling at ws fs

= ws/2/%pi;

Ts

= 1/fs;

Tneed = t(1):Ts:t($); L

= length(Tneed);

xtp

= interp1(t,xt,Tneed,'spline');

xk

= zeros(1,L);

for i = 1:L xk(i) = xtp(i); end subplot(2,1,1);

plot2d(t,xt,rect=[0,-1.2,8,1.2]);

subplot(2,1,1);

plot2d3(0:Ts:t($),xk,rect=[0,-1.2,8,1.2]);

xgrid(2);

//===== SIGNAL RECONSTRUCTION Step

= 100;

Upsp_xk = zeros(1,(L-1)*Step+1); for i = 1:L Upsp_xk((i-1)*Step+1) = xk(i); end th

= -10:(1/Step):10;

tsinc = th*%pi; ht

= sinc(tsinc);

xr

= convol(ht, Upsp_xk);

xrn

= xr(1000+(1:fs*t($)*Step+1));

tn

= 0:0.01/fs:t($);

subplot(2,1,2);

plot2d3(0:Ts:t($),xk,rect=[0,-1.2,8,1.2]);

subplot(2,1,2);

plot2d(tn,xrn,rect=[0,-1.2,8,1.2]);

xgrid(2);

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-15 291

´ª°¥nµ ¸É 8.2 ¡· µ¦ µ­´ µ à Šr §Z t · x t cos ¨ s T ¸ © 2 ¹

(8.22)

Á¤ºÉ° T º°¤»¤Á¢­ ¹É ¼ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÅ Â¦È Á ¨ µ ¸É ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á nµ ´ ­° Á nµ ° ªµ¤ ¸É­¼ ° ­´ µ ®µ­´ µ ¸É ¼ ­¦oµ ¨´ º ¤µ xr t Á¤ºÉ° ε o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ oÅ nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Á nµ ´ Zs / 2 ª· ¸ ε µ » ­¤ ´ · ° ¦¸Ã ¤· · ­¤ µ¦ (8.22) ¹ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } §Z t · §Z t · x t cos ¨ s ¸ cos T sin ¨ s ¸ sin T

2 © ¹ © 2 ¹

 nµ Zs

2S / T

¨³ t

nT

Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ³Å o

x nT cos nS cos T sin nS sin T

cos nS cos T

§Z · cos ¨ s nT ¸ cos T

2 © ¹

Á ºÉ° µ sin nS 0 ´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t oª¥ ªµ¤ ¸É Zs Á } ­° Á nµ ° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ x t ´ É º° xp t

Á¤ºÉ° ε­´ µ

xp t

f

f

n f

n f

§ Zs · nT ¸ cos T G t nT

2 ¹

¦ x nT G t nT ¦ cos ¨©

Å nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ³Å o ¨¨´¡ rÁ } §Z t · xr t cos ¨ s ¸ cos T

© 2 ¹

¨³ xr t x t È n°Á¤ºÉ°¤»¤Á¢­ T Ä ¦ ¸ ¸É T S / 2 ³Å oªnµ

2mS

Á¤ºÉ° m Á } Á¨ ε ª Á È¤Ä Ç

§Z t · x t sin ¨ s ¸ © 2 ¹

o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t ¸É¤¸ µ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ T

2S / Zs

¤¸ nµÁ nµ ´

§Z · x nT sin ¨ s nT ¸ sin nS 0 © 2 ¹

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

292

yd > n @

xd > n @

xc t

xc nT

Hd e

j:

T

yc t

yc nT

T

£µ¡ ¸É 8.17 µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

Á¤ºÉ° n Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t oª¥ ªµ¤ ¸É Zs ¹É Á nµ ´ ­° Á nµ ° ªµ¤ ¸É ­¼ ­» ° ­´ µ x t ³ εĮoÅ o ¨¨´¡ r°° ¤µÁ } nµ«¼ ¥r ´Ê ®¤ ¹É Á¤ºÉ° ε o°¤¼¨Á®¨nµ ¸ÊÅ nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · È ³ εĮoÅ o­´ µ ¸É­¦oµ ¨´ º ¤µ xr t ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥rÁ n ´ ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ Á¡ºÉ°®¨¸ Á¨¸É¥ { ®µ¨´ ¬ ³ ¸Ê ¹ εÁ } o° Ä o ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¤µ ªnµ­° Á nµ ° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ o ´

8.3 µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä µ · ´ · µ ¦³¥» r nµ Ç ·¥¤Ä o µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time processing) à ¥Ä o “ ¦³ ª µ¦Â ¨ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (continuoustime-to-discrete-time (C/D) conversion)” ´É º° ε µ¦Â ¨ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xc t Ä®oÁ } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xd > n@ à ¥°µ«´¥ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ oª¥ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ T µ ´Ê ¹ ε¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n@ Šε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â¨³Å o ¨¨´¡ rÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ yd > n@ ®¨´ µ ´Ê È ³Ä o “ ¦³ ª µ¦  ¨ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time to continuous-time (D/C) conversion)” Á¡ºÉ° ε µ¦Â ¨ ­´ µ yd > n@ Ä®oÁ } yc t ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 8.17

8.3.1 µ¦Â ¨ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á¡ºÉ°Ä®oÁ oµÄ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xc t ¨³­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ®¦º° ¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n@ ¤µ ¹Ê ¦³ ª µ¦Â ¨ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ  Á } µ ¨oª µ¤ oª¥ µ¦Â ¨ ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÄ®oÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 8.18 ( ) ¹É ³¡ ªnµ µ¦Â ¨ ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÄ®oÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨Á ¦¸¥ Á­¤º° ´ µ¦ ε Áª¨µÄ®oÁ } ¦¦ ´ µ (normalization in time) ´ª°¥nµ Á n £µ¡ ¸É 8.18 ( ) – ( ) ­ µ¦ ε Áª¨µÄ®oÁ } ¦¦ ´ µ ­Îµ®¦´ µ¦Â ¨ ­´ µ x p t Å Á } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n @ Á¤ºÉ° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ T T1 ¨³ T 2T1 µ¤¨Îµ ´ บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-17 293

T

1

p t

t

0

xp t

xc t

xd > n @

xc nT

xp t

T

xc t

T1 xd > n @ t

T 0 T 2T 3T

xp t

T

xc t

T

0

T

2T

2T1

xd > n @

t

3T

n

1 0 1 2 3

1

1

0

2

3

n

£µ¡ ¸É 8.18 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ xc t µ¤ oª¥ ¦³ ª µ¦Â ¨ ­´ µ x p t

Ä®oÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n@ Á¤ºÉ° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ( ) T T1 ¨³ ( ) T 2T1

Ä ­nª n°Å ¸Ê ³¡· µ¦ µ ªµ¤­´¤¡´ r ° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° xc t ¨³ xd > n@ oµ ε® Ä®o Z º° ´ªÂ ¦ ¸ÉÄ oÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ, : º° ´ªÂ ¦ ¸ÉÄ oÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ° DtFT CtFT ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ, xc t m o X d e j: ´ ´Ê µ £µ¡ ¸É o X c jZ , ¨³ xd > n @ m 8.18 ( ) ³Å oªnµ xp t

f

¦ x nT G t nT

(8.23)

c

n f

CtFT Á ºÉ° µ G t nT m o e jZ nT ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r °

X p jZ F ª¬ x p t º¼

xp t

f

¤¸ nµÁ nµ ´

¦ x nT e c

jZ nT

(8.24)

n f

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

294

¡· µ¦ µ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É °

xd > n @

xd > n @

xc nT

f

F ^ xd > n @`

X d e j:

 nµ

¹É ®µÅ o µ

¦ x > n@ e d

j:n

(8.25)

n f

¨ Ä ­¤ µ¦ (8.25) ³Å o f

¦ x nT e

X d e j:

c

j :n

(8.26)

n f

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (8.24) ¨³ (8.26) ³Å o ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê § :· Xp ¨ j ¸ © T¹

(8.27)

1 f ¦ X c j Z kZ s

T k f

(8.28)

X d e j:

µ ­¤ µ¦ (8.9) ¸Éªnµ X p jZ

Á¤ºÉ° Zs

2S / T

Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ´ ´Ê ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É °

X d e j:

xd > n @

¤¸ nµÁ nµ ´

§ § : 2S k · · 1 f Xc ¨ j ¨ ¦ ¸¸ T k f © © T ¹¹

(8.29)

£µ¡ ¸É 8.19 ­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X c jZ , X p jZ , ¨³ X d e j: ­Îµ®¦´ µ µ¦ ´ ´ª °¥nµ T T1 ¨³ T 2T1 ¹É ³¡ ªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X d e j: ¤¸ nµÁ nµ ´ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p jZ ¸É ¼ ­Á ¨ µ ªµ¤ ¸É (frequency-scaled version) ´É Á° à ¥ X d e j: ¤¸ µ ªµ¤ ¸É Á nµ ´ : 2S Á¦Á ¸¥

8.3.2 µ¦Â ¨ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸É n°Á º°É µ Áª¨µ µ £µ¡ ¸É 8.17 µ¦­¦oµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ yc t µ ¨Îµ ´ o°¤¼¨ yd > n@ ­µ¤µ¦ εŠoà ¥°µ«´¥ ¦³ ª µ¦Â ¨ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤£µ¡ ¸É 8.20 ¨nµª º° ¨Îµ ´ o°¤¼¨ yd > n@ ³ ¼ ε µ¦Â ¨ Ä®oÁ } ª ­´ µ °·¤¡´¨­r y p t µ ´Ê ¹ ­n nµ Å ¥´ ª ¦ ¦° nµ Éε ¸É¤¸°´ ¦µ ¥µ¥Á nµ ´ T ¨³ ªµ¤ ¸É ´ Zc Zs / 2 S / T Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-19 295

X c jZ

T

T1 X p jZ

1 / T1

2S T1

Z

2S T2

X d e j:

1 / T1 0

:

2S

£µ¡ ¸É 8.19 ªµ¤­´¤¡´ r ° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ­Îµ®¦´ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ T

yd > n @

2T1

Z

2S T2

0

X d e j:

1 / T2

2S

T2

X p jZ

1/ T2 2S T1

0

2S

T

Z

0

0

:

2S

X c jZ , X p jZ , ¨³ X d e j: T1

¨³ T

T2

2T1

yc t

T

yp t

Zs

Zs

2

2

Z

£µ¡ ¸É 8.20 ¦³ ª µ¦Â ¨ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®oÁ } ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ H c jZ

p t

xc t

xp t

xd > n @ xc nT

H d e j:

yd > n @ yc nT

yp t

yc t

T

Zs

Zs

2

2

Z

£µ¡ ¸É 8.21 ¦³ ¦ª¤ ° µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

oµ¡· µ¦ µ¦³ ¦ª¤ ´Ê ®¤ Ä £µ¡ ¸É 8.17 (®¦º°Ä £µ¡ ¸É 8.21) Á¤ºÉ°¦³ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¤¸ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ H d e j: ¨³­¤¤ ·ªnµ ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ xc t º° Zm Zs / 2 ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ yc t ³¤¸­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸ÉÁ nµ ´ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

296

A

2S

:c 0

H c jZ

H d e j:

A

2S

:c

:

:c

0

T

:c

Z

T

£µ¡ ¸É 8.22 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ª ¦ ¦° nµ Éε ´Ê ­°  Yc jZ

X c jZ H d e j:

(8.30)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ®µ ¡· µ¦ µªnµ¦³ Ä £µ¡ ¸É 8.21 º°¦³ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ ­¤¤¼¨ (equivalent continuous-time system) ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É º° H c jZ ³Å oªnµ­¤ µ¦ (8.30) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } Yc jZ

à ¥ ¸É H c jZ ¨³

ZT

(8.31)

¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ´ ¸Ê

H d e j:

H c jZ

´É º° :

X c jZ H c jZ

­ H d e jZT , Z Zs / 2 ° ® else °̄0,

(8.32)

´ ­ Ä £µ¡ ¸É 8.22

8.4 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ®´ª o° ¸É 8.2 Å o­ Ä®oÁ®È ¹ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ µ¤ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸Ê È¥´ ­µ¤µ¦ 夵 ¦³¥» rÄ oÄ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time signal) Å oÁ n ´

8.4.1 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ£µ¡ ¸É 8.4 ³°µ«´¥ ª ­´ µ °·¤¡´¨­rÅ Â¦È Á ¨ µ Ä ³ ¸É ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Ä o ª ­´ µ °·¤¡´¨­rà ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ (Kronecker delta impulse train) ¹É ·¥µ¤Ã ¥ บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-21 297

x > n@ n

x > n@

x p > n@

p > n@ N

N

0

n

2N

p > n@

x p > n@

¦ G > n kN @ k

n

£µ¡ ¸É 8.23 ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ p > n@

Á¤ºÉ°

N

f

¦ G > n kN @

(8.33)

k f

º° µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling period) ¨³ G > n @ º°¢{ r ´ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ [3] ¹É ·¥µ¤Ã ¥ ­1, n 0 ¯0, n z 0

G > n@ ®

(8.34)

£µ¡ ¸É 8.23 ­ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥ ¸É ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´

x p >n@

­ x > n @ , n = multiple of N x p > n@ ® else ¯0,

º°­´ µ Á°µ r¡»

(8.35)

°µ«´¥ » ­¤ ´ · ° ¢{ r ´ à ¦Á Á °¦rÁ ¨ µ x > k @ G > k k0 @

´ ´Ê o°¤¼¨Â ¤Á d¨

x p >n@

x > k0 @ G > k k0 @

(8.36)

­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } ­¤ µ¦ · «µ­ ¦rÅ o º° x p > n@

f

x > n@ p >n@

¦ x > kN @G > n kN @

(8.37)

Z T

T ³ S P e X e dT

(8.38)

k f

¹É ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°

X p e jZ

F ^ x p > n @`

1 2S

j

2

j

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

298

Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ p > n@ Ä ­¤ µ¦ (8.33) º°

P e jZ

Á¤ºÉ° Zs

2S / N

F ^ p > n @`

2S N

f

¦ G Z kZ

(8.39)

s

k f

º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ ´Ê ­¤ µ¦ (8.38) ¤¸ nµÁ nµ ´

X p e jZ

1 N

N 1

¦ X e Z j

kZ s

k 0

(8.40)

³Á®È Å oªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨Ä ­¤ µ¦ (8.40) ¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ ­¤ µ¦ (8.9) ¨nµª º° ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p e jZ ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } µ à ¥¤¸ nµÁ nµ ´ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X e jZ ¸É ¼ nª Êε® ´ oª¥ ´ª ¦³ ° µ¦ ¼ Á nµ ´ 1/ N ¸É Êε ´ Å Á¦ºÉ°¥Ç Á } ε ª N ´ª à ¥ ¸É  n¨³ ´ª¤¸¦³¥³®nµ ´ Á nµ ´ Zs Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° x p > n@

f

¦ x > kN @G > n kN @ m o X e Z

DtFT

j

p

k f

1 N

N 1

¦ X e Z j

kZ s

k 0

(8.41)

£µ¡ ¸É 8.24 ­ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹É ¡ ªnµÁ¤ºÉ° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 2Zm à ¥ ¸É Zm º° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ o ´ x > n@ ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X p e jZ

³Á · µ¦ ´ o° ´ ¹É Á } ¨ εĮoÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ (aliasing) Á n Á ¸¥ª ´ ´ ¦ ¸ ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oª¥ ªµ¤ ¸É Zs 2Zm ´ª°¥nµ ¸É 8.3 ¡· µ¦ µ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ¸É¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º° X e jZ 0 ­Îµ®¦´ 2S / 9 d Z d S ®µ°´ ¦µÅ ª·­ r®¦º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Éε­» ¸ÉŤn εĮoÁ · ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡ ª· ¸ ε µ X e jZ ¸É ε® εĮo ¦µ ªnµ ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° ­´ µ x > n@ º° ª· µ ¸ ´ ´Ê Ä µ¦®µ°´ ¦µÅ ª·­ r ­·É ¦ ¸É o° ε º° µ¦®µ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ª ¸É¤¸ nµ o°¥­» °µ«´¥ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Å oªnµ°´ ¦µÅ ª·­ r®µÅ o µ Zs

Zm N

Á¦Á ¸¥ n° ¸ÉÁ } Á¨ ε ª Á Ȥ 2S / 9

2S § 2S · t 2¨ ¸ N © 9 ¹ N d 9/2

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-23 299

X e jZ

Zm 0 Zm

2S

2S

Z

P e jZ 2S / N 2S

Z s

Zs

0

2S

Z

X p e jZ 1/ N

Z s Zm 0 Zm Z s Zs Zm

2S

2S

Z

X p e jZ 1/ N

Z s

2S

0

Zs

2S

Z

£µ¡ ¸É 8.24 µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ à Á¤ ªµ¤ ¸É à ¥ ¸É ( ) ­Á ¦´¤ ° ­´ µ o ´ X e jZ , ( ) ­Á ¦´¤ ° ª ­´ µ °·¤¡´¨­r P e jZ , ( ) ­Á ¦´¤ ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨ X p e jZ Á¤ºÉ° Zs ! 2Zm , ¨³ ( ) ­Á ¦´¤ ° o°¤¼¨Â ¤Á d¨ X p e jZ Á¤ºÉ° Zs 2Zm

¹É ­¦» Å oªnµ

N

4

´ ´Ê °´ ¦µÅ ª·­ r­Îµ®¦´ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸Ê º° Zs

2S / N

S /2

Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸

8.4.2 µ¦­¦oµ ­´ µ ¸ÉŤn n° n°Á º°É µ Áª¨µÄ®o ¨´ º ¤µ µ £µ¡ ¸É 8.24 oµ ªµ¤ ¸É ¸ÉÄ oÄ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ Zs t 2Zm ¨oª ­´ µ o ´ x > n@ ­µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ­¦oµ Ä®o ¨´ º ¤µÁ®¤º° Á ·¤Å o µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ x p > n @ à ¥ µ¦ ε o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ¸Ê nµ Á oµÅ Ä ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r hLP > n @ ¸É¤¸°´ ¦µ ¥µ¥Á nµ ´ N ¨³¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Á nµ ´ Zc ´É º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

300

hLP > n @

N sin Zc n

N Zc

Sn

S

sinc Zc n

(8.42)

­ N , Z d Zc ® ¯0, else

(8.43)

¹É ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r º°

H LP e jZ

§Z · N ¨ ¸ © Zc ¹

à ¥ ¸É­´ µ Á°µ r¡» ° ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · xr > n @ ¤¸ nµÁ nµ ´ ­´ µ o ´ x > n@ È n°Á¤ºÉ° ªµ¤ ¸É ´ Zm d Zc d Zs Zm £µ¡ ¸É 8.25 ­ ¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É ¼ ­¦oµ Ä®o ¨´ º ¤µ xr > n @ ´ ´Ê Á¤ºÉ° ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ Á } Å µ¤ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Å oªnµ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X r e jZ X e jZ ¹É εĮo­¦» Å oªnµ xr > n@ x > n@ à ¥ ¸É­´ µ xr > n @ ¤¸ nµÁ nµ ´ xr > n @

N Zc

x p > n @ hLP > n @

S

f

¦ x > kN @ sinc Z n kN

c

(8.44)

k f

³Á®È Å oªnµ ¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ Ä®o ¨´ º ¤µ µ¤­¤ µ¦ (8.44) o° Ä oª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¹É ­¦o µ Å o ¥ µ Ä µ · ´ · Á¡¦µ³ ³ ´Ê à ¥ ´É ª Å ³ Î µ µ¦ ¦³¤µ ª ¦ ¦° n µ ÉÎ µ °» ¤ · à ¥ °µ«´¥Á · µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª Á¡ºÉ° ³Å o­´ µ xr > n @ ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° xr > n @

f

¦ x > kN @ h > n kN @ r

(8.45)

k f

Á¤ºÉ° hr > n@ º° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ª ¦ ¦° µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª (interpolating filter) Á n ª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r ®¦º°ª ¦ ¦° oµ °´ ´ ® ¹É Á } o

8.5 µ¦ ´ ´ª°¥nµ  ®¨µ¥°´ ¦µ Ä µ · ´ · µ¦ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ ° ¦³ nµ Ç ·¥¤Ä o°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ (sampling rate) ®¨µ¥Ç  (Á n £µ ­n ¨³£µ ¦´ ­´ µ Ä o°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ nµ ´ ) ´Ê ¸ÊÁ ºÉ° ¤µ µ °» ¦ r · · ´¨ nµ ¤µ ¦ µ ³ ε µ ¸É°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ nµ ´ ° µ ¸Ê µ¦ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ à ¥Ä o µ¦ ´ ´ª°¥nµ  ®¨µ¥ °´ ¦µ (multi-rate sampling) ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Å o n ¦³ ¦ª¤­µ¤µ¦ Ä o µ¦Â ¨ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥Á¨ ¸ÉŤnÁ } ε ª Á ȤŠo บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-25 301

p > n@ x > n@

x p > n@

H LP e jZ

xr > n @

X e jZ 1

( ) 2S

Zm 0 Zm

2S

Z

P e jZ 2S / N

( ) 2S

2S

0

Z

X p e jZ 1/ N

( ) 2S

Z s Zm 0 Zm Z s Z s Zm

2S

Z

H LP e jZ

N

( ) 2S

Zc

0

Zc

2S

Z

X r e jZ 1

( ) 2S

Zm 0 Zm

2S

Z

£µ¡ ¸É 8.25 ¦³ ª µ¦­¦oµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ xr > n@ Ä®o ¨´ º ¤µ µ o°¤¼¨Â ¤Á d¨

ª ¦ ¦°  ªµ¤ ¸É (narrowband filter) ­µ¤µ¦ ­¦oµ Å o nµ¥Ã ¥°µ«´¥ ¦³ ª µ¦Á ·Á¤ ´ (decimation) ¨³ µ¦ ¦³¤µ nµÄ nª ®¦º°°· Á °¦ráÁ¨ ´ (interpolation) µ¦Á ¨¸É¥ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ·¥¤ ε¤µÄ oÄ ¦³ ¸É o° Á¡·É¤Â rª· r (bandwidth) Á n µ¦ ε ­®­´ µ   n Áª¨µ (time-division multiplexing) Á } o ­´ µ ¦ ª (noise) Ä ¥nµ ªµ¤ ¸ÉÁ­¸¥ ­µ¤µ¦ εĮo¨ ¨ Å o oª¥ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á · ¦· ´ µ¦ ¦´ ¦¼ ¦nµ ° ­´ µ ¦ ª (noise shaping) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

302

x t

f s1

A/D

x > n@

x > n@

w > n@

D/A fs 2

44.1 kHz

x t

8 kHz

£µ¡ ¸É 8.26 ´ª°¥nµ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸ÄÉ oÄ ¦³ Á ¦ºÉ° Á¨n  n ¸ ¸Á¡¨

µ¦Ä o°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á · ¦· 3 (oversampling rate) ³ nª¥ εĮo o° ε® nµ Ç ° ª ¦ ¦° Á o¤ ª o°¥¨ Á n εĮoª ¦ ¦° nµ ÉÎµÄ Ã Á¤ ªµ¤ ¸É ¸ÉÄ o¤¸ ªµ¤ ´ o°¥¨ (Ťn o° Á } ¦¼ ­¸É Á ®¨¸É ¥ ¤) ´É º ° ­µ¤µ¦ Ä o ª ¦ ¦° °´ ´ ÉÎ µ Å o ¹É ¤¸ ¦ µ µ ¼ ¤µ ªn µ ª ¦ ¦° °´ ´ ­¼ ¸É ¤¸ ªµ¤ ´ ¤µ ° µ ¸Ê¥´ εĮo ¦³ ª µ¦Â ¨ ­´ µ ° ³¨È° Å Á } ­´ µ · · ´¨ (A/D: analog-to-digital conversion) ¨³ ¦³ ª µ¦Â ¨ ­´ µ · · ´¨Å Á } ­´ µ ° ³¨È° (D/A: digital-to-analog conversion) ¤¸ ªµ¤Â¤n ¥ÎµÂ¨³ ¼ o° ¤µ ¹Ê

´ª°¥nµ ¸É 8.4 ¡· µ¦ µ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¸ÉÄ oÄ ¦³ Á ¦ºÉ° Á¨n  n ¸ ¸Á¡¨ µ¤£µ¡ ¸É 8.26 ´É º° ­´ µ Á­¸¥ x t ³ ¼ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ªµ¤ ¸É f s1 = 44.1 kHz Å o°° ¤µÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n@ ¹É ³ ¼ ­n n°Á oµÅ ε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ µ °¥nµ n° ε µ¦Á ¸¥ o°¤¼¨¨ Å Ä Â n ¸ ¸ Ä µ¦Á¨n  n ¸ ¸ oª¥ Á ¦ºÉ° °¤¡·ªÁ °¦r­nª » ¨ (PC: personal computer) o°¤¼¨Ä  n ¸ ¸ ³ ¼ ε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ µ °¥nµ Á¡ºÉ°Ä®oÅ o¤µÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n@ n° ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ oª¥ ªµ¤ ¸É f s 2 = 8 kHz µ ´Ê ¨Îµ ´ o°¤¼¨ w > n@ ¹ ¼  ¨ ¨´ Å Á } ­´ µ Á­¸¥ x t µ¤Á ·¤ ´ ´Ê ³Á®È Å oªnµ°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Á ¨¸É¥ Å Á } °´ ¦µ­nª ´ ¸Ê fs2 f s1

8192 44100

213 2 2 2

2357

211 2

2 2

357

2048 2

11025

¨nµª º°°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³Á¡·É¤ ¹ Ê 2,048 Á nµ µ ´ Ê ¹ ε µ¦¨ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ¨ 11,025 Á nµ µ ´ª°¥nµ ¸É 8.4 ¡ ªnµ µ¦Á ¨¸É¥ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ³ o° Á } Á¨ ε ª Á ȤÁ­¤° ¨³¤¸®¨´ µ¦ªnµ o° ε µ¦Á¡·É¤°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ n° Á­¤° ¨oª ¹ n°¥ ε µ¦¨ °´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­Îµ®¦´ ¼o­ Ä ­µ¤µ¦ «¹ ¬µ¦µ¥¨³Á°¸¥ ° µ¦ ´ ´ª°¥nµ  ®¨µ¥°´ ¦µÅ o ¸É [3, 4]

µ¦Ä o°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á · ¦· (oversampling rate) º° µ¦Á¡·É¤°´ ¦µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Ä®o¤µ ªnµ°´ ¦µÅ ª·­ r ´É º° Zs ! 2Zm ¹É ³ εĮoÅ o ε ª o°¤¼¨Â ¤Á d¨¤µ ªnµ ¸É o° µ¦Ã ¥ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ

3

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-27 303

8.6 ´ª°¥nµ µ¦ ε ª Ä ­nª ¸Ê ³Â­ ´ª°¥nµ µ¦ ε ª ¸ÁÉ ¸¥É ª o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ´ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 8.5 ¡· µ¦ µ¦³ Ä £µ¡ ¸É 8.21 Á¤ºÉ° ε® Ä®o­´ µ °· ¡» xc t º°­´ µ · r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º° sin S t / T

xc t

(8.46)

St

®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r hd > n@ ° ª ¦ ¦° ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÁ¡ºÉ° ε® oµ ¸ÉÁ } ª ¦° »¡´ r · · ´¨ (digital differentiator) ¹É ³ εĮoÅ o­´ µ Á°µ r¡» ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ º° yc t

d xc t

dt

cos S t / T

Tt

sin S t / T

(8.47)

St2

ª· ¸ ε µ £µ¡ ¸É 8.21 ¨³­¤ µ¦ (8.46) ³Å oªnµ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ¨Îµ ´ o°¤¼¨ xd > n @

Á¤ºÉ° sin 0 / 0 ´ ´ ¸Ê

¨³ xc t º°

­1/ T , n 0 1 G > n@ ® nz0 T ¯0,

xc nT

1 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ µ ­¤ µ¦ (8.47) ³Å oªnµ¨Îµ ´ o°¤¼¨ yd > n @

yd > n @

xd > n @

yc nT

(8.48) ¨³

yc t

­ 1 n ° , nz0 ® nT 2 °0, n 0 ¯

¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r

(8.49)

´ ´Ê Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (8.48) ¨³ (8.49) ³Å oªnµ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r hd > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ hd > n @

­ 1 n ° , nz0 ® nT °0, n 0 ¯

(8.50)

CtFT CtFT o X 1 jZ ¨³ x2 t m o X 2 jZ º° ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r Á¤ºÉ° ´ª°¥nµ ¸É 8.6 ε® Ä®o x1 t m

X 1 jZ 0 , Z t Z1

(8.51)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

304

¨³ X 2 jZ 0 , Z t Z2

(8.52)

oµ ε­´ µ y t x1 t x2 t Å nµ ª ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ (sampler) ®µ µ Áª¨µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­¼ ­» T ¸É­° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° Å ª·­ r ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° y t º° 1 ^ X1 jZ X 2 jZ ` 2S

Y jZ

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ µ ­¤ µ¦ (8.51) ¨³ (8.52) εĮo­¦» Å oªnµ Y jZ 0 , Z t Z1 Z2

´ ´Ê °´ ¦µÅ ª· ­ r ­Î µ ®¦´ µ¦ ´ ´ ª °¥n µ ­´ µ y t º ° Zs µ Áª¨µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­¼ ­» ¤¸ nµÁ nµ ´ T

2S

S

Zs

Z1 Z2

2 Z1 Z2

Á¦Á ¸ ¥ n °ª· µ ¸ ¨³

´ª°¥nµ ¸É 8.7 ¡· µ¦ µ­´ µ x t

§ sin 50S t · ¨ ¸ St © ¹

2

(8.53)

oµ o° µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t ¸É¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r X jZ oª¥ ªµ¤ ¸É Zs 150S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á¡ºÉ°Ä®oÅ oÁ } ­´ µ g t ¸É¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r G jZ ®µ nµ­¼ ­» ° Z0 Á¡ºÉ°¦´ ¦³ ´ ªnµ G jZ 75 X jZ , Z d Z0

(8.54)

ª· ¸ ε µ ­¼ ¦ ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ¡´¨­r¦¼ ­¸ÉÁ®¨¸É¥¤ ¸Éªnµ h t

sin Wt

St

§Z · CtFT m o H jZ ¨ ¸ ©W ¹

°­1, ® °̄0,

Z W Z !W

(8.55)

¨³ µ » ­¤ ´ · µ¦ ¼ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-29 305

H jZ

1

W

0

Z

W

=

H jZ

(convolution)

X jZ

1

W

1

W

0

Z

2W

0

2W

Z

( ) G jZ

75

50S

150S 100S

0

50S

Z

150S

100S

( ) £µ¡ ¸É 8.27 ­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É ° ( ) X jZ ¨³ ( ) G jZ

CtFT h t y t m o H jZ Y jZ

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (8.53) ¨³ (8.55) ³Å oªnµ W

50S

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° x t º°

2

x t

§ sin 50S t · CtFT o X jZ

¨ ¸ m S t © ¹

H jZ H jZ

à ¥ ¸É­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É X jZ ¤¸¨´ ¬ ³ µ¤£µ¡ ¸É 8.27 ( ) ´É º° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° X jZ ¤¸ nµÁ nµ ´ 2W 100S Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ Á ºÉ° µ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ Zs 150S ¹É ¤¸ nµ o°¥ ªnµ­° Á nµ ° ªµ¤ ¸É­¼ ­» ° X jZ

­ ªnµ­´ µ G jZ ¤¸ ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡Á · ¹Ê ´ ´Ê µ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ³Å oªnµ G jZ

Á¤ºÉ° T

2S / Zs

1/ 75

¨³ Zs

150S

Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 8.27 ( ) ¹É ³Å oªnµ

G jZ

Á ¡µ³Ä nª ªµ¤ ¸É

Z d 50S

1 f ¦ X j Z kZ s

T k f

1 X jZ 75 X jZ

T

Á nµ ´Ê ´ ´Ê nµ­¼ ­» ° Z0 º° Z0

50S

Á¦Á ¸¥ n°ª· µ ¸

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

306

´ª°¥nµ ¸É 8.8 ­´ µ

xp t

¸ÉÅ o¦´ µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É Zs / 2 à ¥ ¸É

§Z · x t cos ¨ s t I ¸ © 2 ¹

Á¤ºÉ° Zs

2S / T

¨³

xp t

f

¦ x nT G t nT

n f

º° ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ

) ®µ nµ g t ¸É εĮo x t

) ­ ªnµ g nT

0

cos I cos Zs t / 2 g t

­Îµ®¦´ n

0, r1, r2,!

) ­ ªnµÁ¤ºÉ° ε­´ µ x p t Å nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Zs / 2 ¨oª ³ εĮoÅ o Á } ­´ µ y t cos I cos Zst / 2

ª· ¸ ε ) µ Á° ¨´ ¬ r ¦¸Ã ¤· · ³Å oªnµ §Z · §Z · §Z · x t cos ¨ s t I ¸ cos ¨ s t ¸ cos I sin ¨ s t ¸ sin I

© 2 ¹ © 2 ¹ © 2 ¹

´É º° g t

) Â nµ Zs

2S / T

¨³ t g nT

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ g nT

0

nT

§Z · sin ¨ s t ¸ sin I

© 2 ¹

¨ Ä ­¤ µ¦ g t ³Å o

§ 2S sin ¨ nT ·¸ sin I

2 T © ¹

­Îµ®¦´ n

sin nS sin I

0, r1, r2,!

) µ o° ) ¨³ ) ³Å oªnµ xp t

f

­

n f

¯

½ § Zs · nT ¸ g nT ¾ 2 ¹ ¿

¦ G t nT ®cos I cos ¨© f

§ Zs · nT ¸ cos I

2 ¹

¦ G t nT cos ¨©

n f

´ ´Ê Á¤ºÉ° ε­´ µ x p t Å nµ ª ¦ ¦° nµ Éε°» ¤ · ¸É¤¸ ªµ¤ ¸É ´ Á nµ ´ Zs / 2 È ³Å oÁ } ­´ µ y t cos I cos Zs t / 2

บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-31 307

8.7 ­¦» oµ¥ Ä ¸Ê Å o ¨nµ ª ¹ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ ª °¥n µ ¹É ¤¸ ªµ¤­Î µ ´ °¥n µ ¤µ Ä ¦³ ­ºÉ °­µ¦ · · ´¨ Á ºÉ° µ ­´ µ ¸É­n ¤µ µ ª ¦£µ ­n ³°¥¼nÄ ¦¼ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä ³ ¸É¦³ ¦³¤ª¨ ¨ ­´ µ ¸Éª ¦£µ ¦´ Á }  · · ´¨ ´ ´Ê ­´ µ ¸Éª ¦£µ ¦´ Å o¦´ ³ o° ¼ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ n° ¸É ³­n ¨¨´¡ r ¸ÉÅ oŠε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨Â · · ´¨ ° µ ¸ÊÄ ¸Ê¥´ Å o° · µ¥ ¹ ¦³ ª µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¤¸ ªµ¤­Îµ ´ Ä ®¨µ¥Ç µ ¦³¥» r

8.8  f ®´ oµ¥ 1) ­´ µ x t 25sin 200S t ¼ ´ ´ª°¥nµ ªµ¤ ¸É 300 Á±·¦ r à ¥ ¸É ¤Á d¨Â¦ Á¦·É¤ ¸ÉÁª¨µ ¸É t 0 ®µ nµ °  ¤Á d¨ ¸É 1, 2, ¨³ 3 2) ®µ°´ ¦µÅ ª·­ r ¸É­° ¨o° ´ §¬ ¸ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ° ­´ µ n°Å ¸Ê 2.1) x t

5cos 200S t

2.2) x t

2 cos 2000S t sin 4000S t

2.3) x t

3cos 500S t sin 500S t

2.4) x t

sin 2000S t

St

2.5) x t

§ sin 2000S t · ¨ ¸ St © ¹

2.6) x t

2sinc 5t

2

3) ε® Ä®o­´ µ x t ¤¸°´ ¦µÅ ª·­ rÁ nµ ´ Z0 ®µ°´ ¦µÅ ª·­ r ° ­´ µ n°Å ¸Ê 3.1) x t x t 2

3.2)

d x t

dt

3.3)

x2 t

3.4) x t sin Z0t

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

308

4) ­´ µ x > n@ ¼ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ oª¥ ª ­´ µ °·¤¡´¨­r¨³Ä®o­´ µ Á°µ r¡» Á } g > n@

f

¦ x > n@G > n kN @

k f

oµ ε® Ä®o X e jZ 0 ­Îµ®¦´ 3S / 7 d Z d S ®µ nµ­¼ ­» ° ªµ¤ · Á¡¸Ê¥ £µ¡Á · ¹Ê Ä ¦³®ªnµ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x > n@

N

5) ε® Ä®o o°¤¼¨ n°Å ¸ÊÁ } ¦· ­Îµ®¦´ ­´ µ x > n@ ¨³­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É

¸É¥´ ¦´ ¦° Å oªnµ ³Å¤n¤¸

X e jZ

) x > n@ Á } ­´ µ nµ ¦· )

X e jZ z 0

­Îµ®¦´ 0 Z S

) x > n@ ¦ fk f G > n 2k @

G > n@

®µ nµ­´ µ x > n@ 6) ε® Ä®o­´ µ x > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r x > n@

X e jZ

0

­Îµ®¦´ S / 3 d Z

dS

¡·­¼ rªnµ

§ sin S n 3k / 3 · ¸ ¸ © S n 3k / 3 ¹

f

¦ x >3k @ ¨¨

k f

7) ε® Ä®o­´ µ x > n@ ¨³­Á ¦´¤ ªµ¤ ¸É

¤¸ » ­¤ ´ · ´ ¸Ê

X e jZ

f § · § sin S n / 5 · ¨ x > n @ ¦ G > n 5k @ ¸ ¨ S n / 5 ¸ k f © ¹ © ¹

x > n@

®µ nµ ªµ¤ ¸ÉÁ · ¤»¤ Z ¸É εĮo 8) oµ ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x1 t 2e t ¨³ x2 t 2e t sin 8S t Ä nª Áª¨µ 3 t 3 ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ f s 8 Á±·¦ r ­ ªnµ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ ´Ê ­° ¤¸ nµ Á nµ ´ ¡¦o°¤ ´Ê ¡·­¼ r ε ° à ¥Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB 2

2

9) ªµ ¦¼ ­´ µ ¸É nµ µ¦°· Á °¦ráÁ¨ ´ ¦³®ªnµ o°¤¼¨Â ¤Á d¨ ° ­´ µ x t Ä nª Áª¨µ 1 t 1 à ¥Ä oª ¦ ¦° oµ °´ ´ «¼ ¥r 9.1) x t

sin 2S t

¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ

fs

8

Á±·¦ r บทที่ 8 กระบวนการชักตัวอยาง 8-33

309

¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ

9.2) x t

sin 4S t

9.3) x t

­1, t 1 ® ¯0, else

9.4) x t

­1 t , t 1 ® else ¯0,

16

Á±·¦ r

fs

8

Á±·¦ r

¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ

fs

fs

¨³ ªµ¤ ¸É µ¦ ´ ´ª°¥nµ

8

Á±·¦ r

10) Á ¸¥ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á¡ºÉ°ªµ ¦¼ ¦µ¢ ° ­´ µ x t 3cos 20S t 2sin 30S t ­Îµ®¦´ 0 t 400 µÃ ª· µ ¸ µ ´Ê ε µ¦ ´ ´ª°¥nµ ­´ µ x t Á¡ºÉ°Ä®oÅ oÁ } ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n @ oª¥ µ Áª¨µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Ts ª· µ ¸ ¡¦o°¤ ´Ê Á ¸¥ à ¦Â ¦¤Á¡ºÉ°­¦oµ ­´ µ x t Ä®o ¨´ º ¤µ µ ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n@ Á¡ºÉ° ¼ªnµ µ Áª¨µ µ¦ ´ ´ª°¥nµ Á nµÄ ¹ ³ εĮoÅ o­´ µ ¸É­¦oµ ¨´ º ¤µ¤¸¦¼ ¦nµ Á®¤º° ´ ­´ µ o ´ Á¤ºÉ° ε® Ä®o ª· µ ¸

10.1)

Ts

1/120

10.2)

Ts

1/ 60

ª· µ ¸

10.3)

Ts

1/ 30

ª· µ ¸

10.4)

Ts

1/15

ª· µ ¸

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 8-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

310

¸É 9 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸É 6 Å o­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) Á } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦  ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÄ®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ° Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° e st Á¤ºÉ° s jZ Á } ε ª · £µ¡Â o °¥nµ Ŧ È µ¤ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ¢{ r ´ ¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (eigenfunction) ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 4.1 ¥´ ­µ¤µ¦ Ä oÅ o ´ Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° e st Á¤ºÉ° s Á } Á¨ ε ª Á · o° Ä Ç ´ ´Ê Ä ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ ´ÉªÅ (generalization of CtFT) ¹É ¦¼o ´ ´ Ä ºÉ°ªnµ “ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ (Laplace transform)” [3, 4, 15] ¨³Ä ¸É 10 ³Â­ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ ´ÉªÅ (generalization of DtFT) ¹É ¦¼o ´ ´ Ä ºÉ°ªnµ “ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform)” [3, 4] µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ µ¦Â ¨ ¸¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ Á ºÉ° µ ¤¸ » ­¤ ´ · nµ Ç ¤µ ¤µ¥ ¸É nµ­ Ä Á n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ µ¦Â ¨ ¸­µ¤µ¦ ε¤µÄ o®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (¦³ LTI), Ä o¡· µ¦ µ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ LTI, ¨³ Ä oª·Á ¦µ³®r¡§ · ¦¦¤ ° ¦³ j° ¨´ (feedback system) Á } o

9.1 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ·¥µ¤Ã ¥ f

X s

³ x t e

st

dt

(9.1)

f

à ¥ ¸É s V jZ Á } Á¨ ε ª Á · o° Ä Ç Á¤ºÉ° V ¨³ Z Á } ­nª ¦· ¨³­nª · £µ¡ ° Á¨ ε ª Á · o° s ¨³Ä ¦ ¸ ¸É s jZ ³Å oªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ä ­¤ µ¦ (9.1) ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º°

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 311

9-1

f

X s s

jZ

³ x t e

jZt

X jZ F ª¬ x t º¼

dt

(9.2)

f

¨³Á¡ºÉ°Ä®o­³ ª n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³Ä o­´ ¨´ ¬ r X s L ª¬ x t º¼

(9.3)

x t L 1 ª¬ X s º¼

(9.4)

¨³

Á¤ºÉ° L > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ L 1 > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ¹É ³° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 9.3 ° µ ¸Ê¥´ Ä o­´ ¨´ ¬ r L x t m o X s

(9.5)

­ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¦³®ªnµ x t ¨³ X s

µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¥´ ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¹ ¤oªnµ ´ªÂ ¦ ³Å¤nÅ oÁ } ε ª · £µ¡Â o ´É º° oµÂ nµ s V jZ Á oµÅ Ä ­¤ µ¦ (9.1) ³Å o f

X V jZ

³

x t e V jZ t dt

f

s

f

V ³ ^x t e ` e t

jZt

dt

f

F ª¬ x t e V t º¼

(9.6)

´ ´Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ x t

¸É ¼ ¼ oª¥­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ e V t Á¤ºÉ° V Á } Á¨ ε ª ¦· Ä Ç ´ª°¥nµ ¸É 9.1 Á ¦¸¥ Á ¸¥ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÂ¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t e at u t Á¤ºÉ° a ! 0 ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 6.1 ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ x t ¸Ê¤¸ nµÁ nµ ´ X jZ

f

f

at jZt ³ e u t e dt

³e

f

at jZt

e

dt

0

1 a jZ

,

a!0

(9.7)

­Îµ®¦´ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (9.1) ´É º° X s

f

f

at st ³ e u t e dt

³e

f

9-2

at st

e dt

(9.8)

0

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

312

 nµ s

V jZ

¨ Ä ­¤ µ¦ (9.8) ³Å o f

X V jZ

at ³e e

V jZ t

f

dt

0

³e

V a t jZt

e

dt

(9.9)

0

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (9.7) ¨³ (9.9) ¡ ªnµ X V jZ

Á ºÉ° µ s

V jZ

¨³ V

Re ^s`

1 , V a jZ

V a ! 0

(9.10)

³Å o

X s

´ ´Ê ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t

1 , Re ^s` ! a s a e at u t

L e at u t m o

(9.11)

Á¤ºÉ° a ! 0 º°

1 , Re ^s` ! a s a

(9.12)

¹ ¤oªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Ä µ · ´ · ¡ ªnµ­´ µ µ ­´ µ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o ( ´É º° ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ° ­´ µ ´Ê ¤¸ nµ¨¼n°° )  n°µ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Å o ¨nµª º° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ °µ ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ (converge) ­Îµ®¦´ µ nµ ° Re ^s` Á n ´ª°¥nµ ¸É 9.1 ­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ x t e at u t Á¤ºÉ° a ! 0 ­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼ Á ¦¸ ¥ ¦r ¸É n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µÂ¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Å o à ¥ ¸É µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ n µ ¨¼n Á o µ Á ¡µ³ ¦· Á ª ¸É V Re ^s` ! a ° µ ¸Ê Ä ¦ ¸ ¸É x t e at u t ¨³ a 0 ³¡ ªnµ­´ µ ¸ÊŤn­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o  n¥´ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Å o ´ª°¥nµ ¸É 9.2 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t

e at u t

Á¤ºÉ° a ! 0

ª· ¸ ε ­´ µ x t ¸ÊŤn­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o Á ºÉ° µ x t f Á¤ºÉ° t ­´ µ x t ¸Ê¥´ ­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Å o µ ­¤ µ¦ (9.1) ´ ¸Ê f

X s

³ ^ e

at

`

u t e st dt

f

à ¥ ¸É X s ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° ­´ µ ¸Ê º°

0

f

Re ^s a` 0

0

³ e at e st dt

¹É ³Å oªnµ

³ e s a t dt f

Re ^s` a

f

°¥nµ Ŧ È µ¤

1 s a

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ

313

9-3

Im

Im

Re

a

a

Re ^s` ! a

Re ^s` a

Re

£µ¡ ¸É 9.1 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ­Îµ®¦´ ROC nµ Ç X s

1 , Re ^s` a s a

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t

L e at u t m o

e at u t

(9.13)

Á¤ºÉ° a ! 0 º°

1 , Re ^s` a s a

(9.14)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (9.11) ¨³ (9.13) ¡ ªnµ­´ µ ­° ­´ µ ¸É nµ ´  n¤¸ ·¡ r¡¸ · 1 (algebraic expression) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s Á®¤º° ´ °¥nµ Ŧ È µ¤­·É ¸É nµ ´ º° ¦·Áª ¸É X s ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ ´É º° X s Ä ­¤ µ¦ (9.11) ³¨¼nÁ oµÄ ¦·Áª Re ^s` ! a ¨³ X s Ä ­¤ µ¦ (9.13) ³¨¼nÁ oµÄ ¦·Áª Re ^s` a ´ ´Ê Ä µ · ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³ o° ¼ ε® oª¥ ·¡ r ¡¸ · ¨³ ¦· Á ª n µ ° s ¸É Î µ Ä®o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ n µ ¨¼n Á o µ à ¥ ¦· Á ª ¸É Î µ Ä®o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ ³Á¦¸¥ ªnµ “ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC: region of convergence)” Ä µ · ´ · ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ³Â­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¦³ µ Á · o° ¸ÉÁ¦¸¥ ´ ªnµ “¦³ µ s (s–plane)” à ¥ ¸ÉÁ­o  x ³Á¦¸¥ ªnµ “Á­o  V ” ¹É ­ ­nª ¦· ° ´ªÂ ¦ s ( ´É º° Re ^s` ) ¨³ Á­o  y ³Á¦¸¥ ªnµ “Á­o  jZ ” ¹É ­ ­nª · £µ¡ ° ´ªÂ ¦ s ( ´É º° Im ^s` ) ´ª°¥nµ Á n £µ¡ ¸É 9.1 ( ) ­ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° X s ( ´É º° ¦·Áª ¸É¦Á µÁ } ­¸Á µ) Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.1 Á¤ºÉ° Re ^s` ! a ¨³£µ¡ ¸É 9.1 ( ) ­ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° X s Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.2 Á¤ºÉ° Re ^s` a 1

·¡ r¡¸ · ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s ®¤µ¥ ¹ ¦¼ ­¤ µ¦ · «µ­ ¦r ° X s ´É Á°

9-4

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

314

˜´ª°¼n¾Šš¸Ă‰ 9.3 ‹ŠŽ¾Â&#x;¨Â„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠ¨¾Âž¨¾ÂŽÂ…°ÂŠ­´Â?Â?¾– x t

2e 3t u t e t cos 3t u t

ª¡Â›¸ÂšĂŽÂľ ‹¾„‡ª¾¤­´¤¥´ÂœÂ›r°°¼rà ¨°Œr (Euler’s relation) š¸Ă‰ÂŞnÂľ cos 3t

­¾¤¾ŒÂ™Ă Â…¸¼ÂœĂ…—oà ž}Âœ

^e

j 3t

` —´ÂŠÂœ´ĂŠÂœ­´Â?Â?¾– x t

e j 3t / 2

­ 3t 1 1 3 j t 1 1 3 j t ½ e Ž2e e ž u t

2 2 ÂŻ Âż

x t

(9.15)

Ă‚¨³Â&#x;¨Â„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠ¨¾Âž¨¾ÂŽÂ…°ÂŠ x t ‡º° f

X s

­

Âł ÂŽÂŻ2e

f

3t

1 1 3 j t 1 1 3 j t ½ e e ž u t e st dt 2 2 ¿

f

f

2 Âł e 3t e st dt 0

f

2Âł e

s 3 t

f

dt

0

e

e

1 3 j t

1 3 j t

1 , Re ^s` ! 3 s 3

1 , Re ^s` ! 1 u t m o s 1 3 j

L

L u t m o

1 , Re ^s` ! 1 s 1 3 j

—´ÂŠÂœ´ĂŠÂœÂ&#x;¨Â„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠ¨¾Âž¨¾ÂŽÂ…°ÂŠ x t ¤¸Â‡n¾à šn¾„´Â? X s

¡ 1§ ¡ 2 1§ 1 1 ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸ s 3 2 Š s 1 3 j š 2 Š s 1 3 j ¸š 3s 2 8s 23 s 3 s 1 3 j s 1 3 j

f

1 s 1 3 j

t 1 s 1 3 j t e dt Âł e dt Âł 20 20

°¾´¼­¤Â„¾Œ (9.12) ‹³Å—oÂŞnÂľ L e 3t u t m o

f

1 1 3 j t st 1 1 3 j t e e dt Âł e e st dt Âł 20 20

SCILAB: -->s = poly(0, 's'); -->A = 2/(s+3) + 0.5/(s+1-3*%i); -->Xs = A + 0.5/(s+1+3*%i) Xs = 2 23 + 8s + 3s -----------------2 3 30 + 16s + 5s + s -->Zero = roots(numer(Xs)) Zero = - 1.3333333 - 2.4267033i - 1.3333333 + 2.4267033i -->Pole = clean(roots(denom(Xs))) Pole = - 1. + 3.i - 3. - 1. - 3.i

3s 2 8s 23 , Re ^s` ! 1 s 3 5s 2 16 s 30

(9.16) บทท฾ŕšˆ 9 ภาร๠ป฼ง฼าป฼าซ

315

9-5

Im 3 2 1

3

Re

2 1

1 2 3

£µ¡ ¸É 9.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµÂ¨³ ε ° ° X s Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.3 SCILAB:

-->s

(£µ¡ ¸É 9.2)

= poly(0, 's');

-->Xs = (3*s^2 + 8*s + 23)/(s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30); -->h = syslin('c', Xs);

// ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ä ­¤ µ¦ (9.16)

-->plzr(h);

//£µ¡ ¸É 9.2

´ª°¥nµ ¸É 9.3 ­ Ä®oÁ®È ªnµÃ ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° “¢{ r ´ ¦¦ ¥³ (rational function)” ¹É ¤¸¨´ ¬ ³Á } Á«¬­nª ° ¡®» µ¤ ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ´ªÂ ¦ s ´É º° X s

N s

D s

à ¥ ¸É N s ¨³ D s º°¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ (numerator polynomial) ¨³¡®» µ¤ ´ª­nª (denominator polynomial) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s ° µ ¸Ê ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ¨³ ε ° (roots) ° N s ¨³ D s ¥´ ­µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦° · µ¥ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s Å o ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³Â­ ε ° Á®¨nµ ¸ÊÄ ¦³ µ s à ¥ ¸É ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ N s ­ oª¥­´ ¨´ ¬ r “ 9 ” ¨³ ε ° ° ¡®» µ¤ ´ª­nª D s ­ oª¥­´ ¨´ ¬ r “ u ” £µ¡ ¸É 9.2 ­ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµÂ¨³ ε ° ° X s

Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.3 Á¤ºÉ° ε ° ° N s Ä ­¤ µ¦ (9.16) ®µÅ o µ µ¦Â o­¤ µ¦ 3s 2 8s 23 0 ¹É ³ Å o s 1.33 r 2.4267 j Ä µ · ´ · ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ N s Á¦¸¥ ªnµ “ ¸Ã¦ (zero)” Á ºÉ° µ ε ° Á®¨nµ ¸Ê ³ εĮo X s 0 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ε ° ° ¡®» µ¤ ´ª­nª D s Á¦¸¥ ªnµ “ᨠ(pole)” Á ºÉ° µ ε ° Á®¨nµ ¸Ê ³ εĮo X s f ° µ ¸Ê µ¦Â ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s à ¥Ä oá¨Â¨³ ¸Ã¦Ä ¦³ µ s ³Á¦¸¥ ªnµ “ £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ (pole–zero plot)” ° X s ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s ­µ¤µ¦ 9-6

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

316

ε® Å o 2 ¦¼  º° µ¦Ä o ·¡ r¡¸ · ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ®¦º° µ¦Ä o ·¡ r¡¸ · ¨³Â £µ¡ ᨠ¸Ã¦ Ä ¦ ¸ ¸É¦³ ´ ´Ê (degree) ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬¤¸ nµ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª X s ³¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ rÁ¤ºÉ° s ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ r ¨³Ä µ ¨´ ´ oµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª ¤¸ nµ ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ X s È ³¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ«¼ ¥rÁ¤ºÉ° s ¤¸ nµÁ oµÄ ¨o nµ° ´ r ° µ ¸Ê oµ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬¤¸ nµ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª Á } ε ª k ¦³ ´ ³Å oªnµ X s

¤¸Ã¡¨ k ´ª ¸É nµ° ´ r ¨³ oµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª ¤¸ nµ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Á } ε ª k ¦³ ´ ³Å oªnµ X s ¤¸ ¸Ã¦ k ´ª ¸É nµ° ´ r ´ª°¥nµ ¸É 9.4 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ 4 1 x t G t e t u t e 2t u t

3 3

(9.17)

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ¡ r ¸É­° ¨³­µ¤ µ oµ ªµ¤º° ° ­¤ µ¦ (9.17) ®µÅ o µ µ¦Ä o ­¤ µ¦ (9.12) ´É º° L e t u t m o

1 , Re ^s` ! 1 s 1

L e 2t u t m o

1 , Re ^s` ! 2 s 2

­Îµ®¦´ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ Å Â¦È Á ¨ µ G t ®µÅ oà ¥ f

L ¬ªG t ¼º

³ G t e

st

dt 1

f

­Îµ®¦´ » nµ s ´É º° ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) º° ´Ê ¦³ µ s ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t

Ä ­¤ µ¦ (9.17) º° X s

4§ 1 · 1§ 1 · 1 ¨ ¸ ¨ ¸ 3 © s 1 ¹ 3 © s 2 ¹

2

s 1 , s 1 s 2

Re ^s` ! 2

(9.18)

Á¤ºÉ° Re ^s` ! 2 º° ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¸É εĮo ´Ê ­µ¤¡ r µ oµ ªµ¤º° ° ­¤ µ¦ (9.17) ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ Á ºÉ° µ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Â¨³ ´ª­nª ° X s ¤¸ nµÁ nµ ´ Á¡¦µ³ ³ ´Ê X s ¹ Ťn¤¸Ã¡¨Â¨³ ¸Ã¦ ¸É nµ° ´ r £µ¡ ¸É 9.3 ­  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t ¹É ³Á®È Å oªnµ¤¸ ¸Ã¦ บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 317

9-7

Im

1

1

2

Re

£µ¡ ¸É 9.3  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ´ª°¥nµ ¸É 9.4

­° ´ª ¸É s 1 à ¥ ´ÉªÅ εªnµ “°´ ´ (order)” ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ³ ¼ Ä o ε ª á¨Â¨³ ¸Ã¦ ε® n Ä Ç Ä ¦³ µ s Á n  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Ä £µ¡ ¸É 9.3 ¤¸ ¸Ã¦°´ ´ ­° ¸É s 1 ¨³¤¸Ã¡¨°´ ´ ® ¹É 2 ´ª ¸É s 1 ¨³ s 2 µ ¸É ¨nµª¤µ oµ o Ä ¦ ¸ ¸É s jZ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ  n oµ ROC ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ťn ¦° ¨»¤Á­o  y ®¦º°Á­o  jZ ¨oª µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ È ³¤¸ nµÅ¤n¨¼nÁ oµ ¹É ­° ¨o° ´ ´ª°¥nµ ¸É 9.4 ¨nµª º°¢{ r ´ 1/ 3 e2t u t

Ä ¡ r ¸É­µ¤ µ oµ ªµ¤º° ° ­¤ µ¦ (9.17) Ťn­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o Á¡¦µ³ªnµ¢{ r ´ ¸Ê¤¸ nµÅ¤n ε ´ (unbound) Á¤ºÉ° t ¤¸ nµÁ¡·É¤ ¹Ê

9.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ª°¥nµ ¸É 9.1 ¨³ 9.2 Å o­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ ¸É nµ ´ ­° ­´ µ ­µ¤µ¦ ¤¸ ·¡ r¡¸ · (®¦º°¦¼ ­¤ µ¦) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Á®¤º° ´ Å o  n¤¸ ROC nµ ´ ´ ´Ê µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³ o° ¼ ε® oª¥ ·¡ r¡¸ · ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â­ » ­¤ ´ · É­¸ ε ´ ° ROC ¹É nª¥ εĮoÁ oµÄ ¹ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ x t ¨³ X s ¤µ ¹Ê » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° ROC ¤¸ ´ n°Å ¸Ê 1. ROC ° X s ¤¸¨´ ¬ ³Á }  ¸É µ ´ Á­o  jZ (®¦º°Á­o  y ) Ä ¦³ µ s ¹É ³ ­´ Á Á®È Å oÄ £µ¡ ¸É 9.1 ¹ £µ¡ ¸É 9.3 2. oµ X s ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ 2.1) ROC ³ o° Ťn¤¸Ã¡¨ ¦¦ »°¥¼n£µ¥Ä 2.2) ROC ³ ¼ ε® ° Á à ¥Ã¡¨ ®¦º° ¥µ¥Å ¹ nµ° ´ r 9-8

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

318

3. oµ­´ µ x t ¤¸ nª Áª¨µ ε ´ ¨³­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­´¤ ¼¦ r (absolutely integrable) ROC º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ s 4. oµ x t Á } ­´ µ {~ ªµ (right-sided signal) ¨³ oµÁ­o ¦ Re ^s` V R °¥¼nÄ ROC ¨oª » nµ s ¸É Re ^s` ! V R ³°¥¼nÄ ROC oª¥ 5. oµ x t Á } ­´ µ {~ oµ¥ (left-sided signal) ¨³ oµÁ­o ¦ Re ^s` V L °¥¼nÄ ROC ¨oª » nµ s ¸É Re ^s` V L ³°¥¼nÄ ROC oª¥ 6. oµ x t Á } ­´ µ ­° {~ (two-sided signal) ¨³ oµÁ­o ¦ Re ^s` V 0 °¥¼nÄ ROC ¨oª ROC ³ ¦³ ° Å oª¥Â ¸É µ ´ Á­o  jZ ¹É ³¦ª¤Á­o ¦ Re ^s` V 0 ¸Ê oª¥ 7. ­Îµ®¦´ X s ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ 7.1) oµ x t Á } ­´ µ {~ ªµ ROC º° ¦·Áª µ oµ ªµ¤º° ´Ê ®¤ Ä ¦³ µ s ´Ê  nᨠ¸É°¥¼n oµ ªµ­» 7.2) oµ x t Á } ­´ µ {~ oµ¥ ROC º° ¦·Áª µ oµ oµ¥¤º° ´Ê ®¤ Ä ¦³ µ s ´Ê  nᨠ¸É°¥¼n oµ oµ¥­» ´ª°¥nµ ¸É 9.5 ­ ªnµ­´ µ x t

­e at , 0 t T ® else ¯0,

(9.19)

¤¸ ROC Á } ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ s ª· ¸ ε

¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s ®µÅ o µ X s

T

T

at st ³ e e dt

³e

0

s a t

dt

0

1 ª s a T 1 e º¼ s a ¬

(9.20)

Á ºÉ° µ x t Á } ­´ µ ¸É¤¸ nª Áª¨µ ε ´ ¨³­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­´¤ ¼¦ r ´ ´Ê µ » ­¤ ´ · o° ¸É 3 ° ROC ³Å oªnµ ROC º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ s ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ¦³ µ s o° Ťn¤¸Ã¡¨Ä Ç °¥nµ Ŧ È µ¤­¤ µ¦ (9.20) ¼Á®¤º° ³¤¸Ã¡¨ ¸É s a ´ ´Ê oµ ε µ¦ª·Á ¦µ³®r nµ X s ¸É » s a à ¥°µ«´¥ ° è d µ¨ (L’hopital’s rule) ³Å oªnµ lim X s

s o a

ªd s a T « ds 1 e lim « s o a d « s a

¬ ds

º»

» » ¼

lim ª¬Te aT e sT º¼

s o a

lim ª¬Te s a T º¼

s o a

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 319

9-9

´ ´Ê X a Te a a T

Te0

Á ºÉ° µ X a z f ¹ ­¦» Å oªnµ ROC Ťn¤¸Ã¡¨ ¸É » s

T

(9.21)

a

´ª°¥nµ ¸É 9.6 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t

e b t

Á¤ºÉ° b ! 0

ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x t Á } ­´ µ ­° {~ µ¤£µ¡ ¸É 9.4 ( ) ¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ­´ µ {~ oµ¥Â¨³­´ µ {~ ªµÅ o º° x t e bt u t e bt u t

µ ­¤ µ¦ (9.12) Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.1 ¨³­¤ µ¦ (9.14) Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.2 ³Å oªnµ L e bt u t m o

1 , Re ^s` ! b s b

L e bt u t m o

1 , Re ^s` b s b

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x t º° X s

1 1 s b s b

£µ¡ ¸É 9.4 ( ) ­  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° » ­¤ ´ · o° ¸É 6 ° ROC

2b , b Re ^s` b s b s b

X s

à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª

b Re ^s` b

¹É ­° ¨o° ´

9.3 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ­¤ µ¦ (9.6) ­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ x t ®¨´ µ µ¦ ¼ oª¥­´ µ e V t Á¤ºÉ° V Á } Á¨ ε ª ¦· ¨nµª º° f

X s s

V jZ

X V jZ

³

x t e V jZ t dt

f

f

V ³ ^x t e ` e t

f

jZt

dt

F ª¬ x t e V t º¼

(9.22)

­Îµ®¦´ nµ ° s V jZ Ä ROC ´ ´Ê µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ (inverse Laplace transform) ³°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ´É º° µ ­¤ µ¦ (9.22) ³Å oªnµ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

320

e

1

Im

b t

b!0

e

b

b t

Re

b 0

1

£µ¡ ¸É 9.4 ( ) ¦¼ ¦nµ ° ­´ µ x t

x t e V t

b

e

Á¤ºÉ° b ! 0 ¨³ b 0 ¨³ ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° X s

b t

1 2S

F 1 ª¬ X V jZ º¼

f

³ X V jZ e

jZt

dZ

(9.23)

f

¼ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (9.23) oª¥ eV t ³Å o x t

 nµ s

V jZ

¨³ ds

jd Z

1 2S

f

³ X V jZ e

V jZ t

dZ

(9.24)

f

¨ Ä ­¤ µ¦ (9.24) ³Å o x t

1 V jf X s e st ds 2S j ³V jf

(9.25)

´É º°­´ µ x t ­µ¤µ¦ ®µ µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s ­Îµ®¦´ Á ° nµ s V jZ Ä ROC à ¥ ¸É ¦·¡´ r µ¤Á­o ¦° ° (contour integral) Ä ­¤ µ¦ (9.25) º°Á­o ¦ Ä Ç ¸É µ ´ Á­o  jZ ¹É ­° ¨o° ´ Re ^s` V ¨³¤¸ ¨ εĮo X V jZ ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ à ¥ ´ÉªÅ µ¦®µ ¦·¡´ r µ¤Á­o ¦° ° ° ­¤ µ¦ (9.25) à ¥ ¦ n° oµ ´ o° °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä ¦ ¸ ¸É ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ³Á¦·É¤ µ µ¦Ä oÁ · µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ (partial-fraction expansion) Á¡ºÉ° ´ ¦¼ ° X s Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o ´É º° X s

m

­ Ai ½

i 1

¯

¦®s a ¾ i

(9.26)

¿

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-11 321

Á¤ºÉ° Ai ¨³ ai º° nµ ´ª µ ´Ê ¹ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ °  n¨³¡ r (9.26) µ¤ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o ¨nµª º°

Ai / s ai

oµ ROC º° ¦·Áª Re ^s` ! ai ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ º°

oµ ROC º° ¦·Áª Re ^s` ai ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ º° Ai e a t u t

Ä ­¤ µ¦

Ai e ait u t

i

´ ´Ê ­´ µ x t ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤Á · Á­o ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ °  n¨³¡ r

Ai / s ai

´ª°¥nµ ¸É 9.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° 1

X s

(9.27)

s 1 s 2

Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É )

)

Re ^s` ! 1

)

Re ^s` 2

2 Re ^s` 1

ª· ¸ ε °µ«´¥Á · µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ° X s Ä ­¤ µ¦ (9.27) ³Å oªnµ 1

X s

à ¥ ¸É

A

¨³ A

B

s 1 s 2

B

SCILAB:

A B s 1 s 2

-->s -->Xs -->h -->F F =

®µÅ o µ

ª¬ s 1 X s º¼ s ª¬ s 2 X s º¼ s

1 1

2

s 2 s 1 s 1 s

1 1 1 2

1

1 2 1

2

1

Á¡¦µ³ ³ ´Ê X s

1

s 1 s 2

= = = =

poly(0, 's'); 1/((s+1)*(s+2)); syslin('c',Xs); pfss(h)

F(1) 1 ----1 + s F(2) - 1 ----2 + s

1 1 s 1 s 2

(9.28)

Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° X s ³ ¹Ê °¥¼n ´ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o Á¡¦µ³ ³ ´Ê ) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É Re ^s` ! 1 µ ­¤ µ¦ (9.12) ³Å oªnµ L e t u t m o

1 , Re ^s` ! 1 s 1

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

322

L e 2t u t m o

1 , Re ^s` ! 2 s 2

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° X s Á¤ºÉ° Re ^s` ! 1 ¤¸ nµÁ nµ ´

^e

x t

e 2t ` u t

t

(9.29)

) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É Re ^s` 2 µ ­¤ µ¦ (9.14) ³Å oªnµ L e t u t m o

1 , Re ^s` 1 s 1

L e 2t u t m o

1 , Re ^s` 2 s 2

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° X s Á¤ºÉ° Re ^s` 2 ¤¸ nµÁ nµ ´

^ e

x t

t

e 2t ` u t

(9.30)

) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É 2 Re ^s` 1 ³Å oªnµ L e t u t m o

L e 2t u t m o

1 , Re ^s` 1 s 1

1 , Re ^s` ! 2 s 2

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° X s Á¤ºÉ° 2 Re ^s` 1 ¤¸ nµÁ nµ ´ x t

e t u t e 2t u t

(9.31)

µ o° ( ) – ( ) ¡ ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ³Ä®o ¨¨´¡ r nµ ´ à ¥ ¹Ê °¥¼n ´ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o

9.4 » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â­ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸É­Îµ ´ ¹É ³¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r à ¥Á¤ºÉ° ¼o°nµ Á oµÄ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨oª È ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° ¢{ r ´ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-13 323

9.4.1 » ­¤ ´ ·Á · Á­o L L o X s ­Îµ®¦´ ROC = R1 ¨³ y t m o Y s ­Îµ®¦´ ROC = ε® Ä®o x t m Á · Á­o ° ­´ µ x t ¨³ y t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° L ax t by t m o aX s bY s ,

ROC =

R2

´ ´Ê ¨¦ª¤

R1 R2

(9.32)

Á¤ºÉ° a ¨³ b Á } nµ ´ªÄ Ç Â¨³ ROC º° ¦·Áª ¸ÉÁ } ­nª ¦nª¤ ´ (overlap) ¦³®ªnµ ¦·Áª µ¤ ´ª°¥nµ ¸É 9.7

R1

¨³ R2

9.4.2 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ L o X s Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê x t t0 º°­´ µ x t ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time ε® Ä®o x t m shifting) Á } ε ª t0 ® nª¥ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° L x t t0 m o X s e st0 ,

ROC =

R

(9.33)

à ¥¡·­¼ rÅ o µ x t

1

V jf

2S j ³V

jf

X s e st ds

 nµ t oª¥ t t0 ³Å o x t t0

1

V jf

2S j ³V

jf

X s e

s t t0

ds

1

V jf

^X s e `e 2S j ³V jf

st0

st

ds

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x t t0 º° L ª¬ x t t0 º¼

e st0 X s

9.4.3 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ S L o X s Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ s ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° ε® Ä®o x t m

L e s0t x t m o X s s0 ,

ROC = R Re ^s0 `

(9.34)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ oµ X s ¤¸Ã¡¨®¦º° ¸Ã¦ ¸É » s a ¨oª X s s0 ³¤¸Ã¡¨®¦º° ¸Ã¦ ¸É » s s0 ®¦º° s a s0 £µ¡ ¸É 9.5 ­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ROC ° X s ¨³ X s s0

a

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

324

Im

Im

r1 Re ^s0 `

r1

r2 Re ^s0 `

Re

r2

Re

£µ¡ ¸É 9.5 ´ª°¥nµ ROC ° ( ) X s ¨³ ( ) X s s0

9.4.4 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ L o X s Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x t m x D t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°

L o x D t m

R

´ ´Ê ­´ µ ¸É ¼ ­Á ¨ µ Áª¨µ (time scaling) ´É º°

§s· X¨ ¸, D ©D ¹

1

R1 D R

ROC =

(9.35)

Á¤ºÉ° D Á } nµ ´ª ¹É ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê Á ºÉ° µ f

L ¬ª x D t ¼º

³ x D t e

st

dt

f

 nµ W D t ³Å oªnµ L ª¬ x W º¼

­1 f s / D W dW , D !0 ° ³ x W e D ° f ® f ° 1 x W e s / D W dW , D 0 ° D ³

¯ f

´ ´Ê ­¦» Å oªnµ L ¬ª x D t ¼º

1

D

§s· X¨ ¸ ©D ¹

­¤ µ¦ (9.35) ­ Ä®oÁ®È ªnµ Á¤ºÉ° D ! 1 ROC ° L ª¬ x D t º¼ ³ ¼ ¥µ¥Ä®oÄ® n ¹Ê Á } ε ª D Á nµ Ä ³ ¸É oµ 0 D 1 ROC ° L ª¬ x D t º¼ ³ ¼ ¸ Ä®oÁ¨È ¨ Á } ε ª D Á nµ µ¤£µ¡ ¸É 9.6 บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-15 325

Im

r1

Im

Im

r2

Re

D r1

D r2

Re

D r1

D r2

Re

£µ¡ ¸É 9.6 ( ) ROC ° X s ¨³ ROC ° 1/ D X s / D Á¤ºÉ° ( ) D ! 1 ¨³ ( ) 0 D 1

°¥nµ Ŧ È µ¤Ä ¦ ¸ ¸É D ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°

1 ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ³Á } µ¦¡´ ­´ µ ®¦º° µ¦ ¨´ oµ ° ­´ µ

L x t m o X s ,

ROC = R

(9.36)

¨nµª º° µ¦¡´ ­´ µ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ³­n ¨ εĮo­´ µ Ä Ã Á¤ s ¨³ ROC ¼ ¨´ oµ oª¥Á n ´

9.4.5 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» L o X s Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê ε® Ä®o x t m ­´ µ x t à ¥¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°

x t

L x t m o X s ,

º° nµ­´ ¥» Á · o° (complex conjugate) °

ROC = R

(9.37)

¨³Ä ¦ ¸ ­¸É ´ µ x t Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å oªnµ X s

X s

(9.38)

9.4.6 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ L L o X s Á¤ºÉ° ROC = R1 ¨³ y t m o Y s Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x t m (convolution) ¦³®ªnµ ­´ µ x t ¨³ y t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°

L x t y t m o X s Y s ,

ROC = R1 R2

R2

µ¦ ε ° ꨼ ´

(9.39)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

326

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) ¨nµª º° µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ Áª¨µ ³¤¸ nµ Á ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ¼ ´ Ä Ã Á¤ s ¹É ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê ¡·­¼ r ε® Ä®o z t

x t y t

³Å oªnµ f

z t

³ x t W y W dW

f

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° z t º° f

L ª¬ z t º¼

ªf º st ³ f «¬ f³ x t W y W dW »¼ e dt f

ªf º st x t W e dt

« ³ y W dW » ³ f ¬ f ¼ ªf º X s e sW « ³ y W dW » ¬ f ¼ ªf º X s « ³ y W e sW dW » ¬ f ¼

X s Y s

L o X s Y s µ¤ ¸É o° µ¦ ´ ´Ê ³Å oªnµ x t y t m

. .¡.

­¤ µ¦ (9.39) εĮo ¦µ ªnµ ROC ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ X s Y s º° ¦·Áª ¸ÉÁ } ­nª ¦nª¤ ¦³®ªnµ ROC ° X s ¨³ Y s ¹É °µ ¤¸ ¨ εĮo ROC ¤¸ ªµ¤ ªoµ ¤µ ¹Ê oµÁ · µ¦ ´ °° ° ᨠ¨³ ¸Ã¦ (zero-pole cancellation) Ä X s Y s

´ª°¥nµ ¸É 9.8 ε® Ä®o X s

s 1 s 2

­Îµ®¦´ Re ^s` ! 2 ¨³ Y s

s 2 s 1

­Îµ®¦´ Re ^s` ! 1

®µ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° ¨ ¼ ¦³®ªnµ X s ¨³ Y s

ª· ¸ ε ¨ ¼ ¦³®ªnµ X s ¨³ Y s ¤¸ nµÁ nµ ´ § s 1 ·§ s 2 · X s Y s ¨ ¸¨ ¸ 1 © s 2 ¹© s 1 ¹

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ ROC ° X s Y s º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ s ´ ´Ê ´ª°¥nµ ¸Ê­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦ ´ °° ° á¨Â¨³ ¸Ã¦¤¸ ¨ εĮo ROC ° ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤¸ ªµ¤ ªoµ ¤µ ¹Ê บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-17 327

» ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (LTI: linear time-invariant) Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª nµ Ç nµ¥ ¹Ê Á®¤º° ´ ¸É° · µ¥Ä Á¦ºÉ° µ¦  ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

9.4.7 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ L o X s Á¤º° ε® Ä®o x t m É ROC =

dx t

dt

R

° »¡´ r ° ­´ µ x t ®µÅ o µ

º d ª 1 V jf X s e st ds » « ³ f V j dt ¬ 2S j ¼

1

V jf

2S j ³V

jf

sX s e st ds

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ° »¡´ r ° x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° dx t

dt

L m o sX s

(9.40)

à ¥ ¸É ROC ° sX s º° ¦·Áª R ¹É °µ Á } ¦·Áª ¸ÉÄ® n ªnµ R ÈÅ o oµ ¸É » s 0 Á¡¦µ³ ³ εĮoÁ · µ¦ ´ °° ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ° µ ¸Ê° »¡´ r°´ ´ n ° x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° d n x t

dt n

L m o sn X s

X s

¤¸Ã¡¨°´ ´ ® ¹É

(9.41)

9.4.8 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ S µ ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Ä ­¤ µ¦ (9.1) ´É º° f

X s

³ x t e

st

dt

(9.42)

f

®µ° »¡´ r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (9.42) Á ¸¥ ´ ´ªÂ ¦ s ³Å o dX s

ds

f

³ t x t e

st

dt

(9.43)

f

L o X s Á¤ºÉ° ROC = ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ oµ ε® Ä®o x t m

R

´ ´Ê

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

328

L tx t m o

dX s

ds

, ROC =

R

(9.44)

¨³° »¡´ r°´ ´ n ° X s ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° n

L o t x t m

d n X s

(9.45)

ds n

´ª°¥nµ ¸É 9.9 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ y t

te at u t

ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (9.12) ³Å oªnµ 1 , Re ^s` ! a s a

L x t e at u t m o X s

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° y t

te at u t

L te at u t m o

®µÅ o µ ­¤ µ¦ (9.45) ´É º°

d ª 1 º ds «¬ s a »¼

1

s a

2

,

Re ^s` ! a

(9.46)

¨³° »¡´ r°´ ´ ­° ° X s ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° t 2 at 1 L e u t m o 3 2 s a

,

Re ^s` ! a

(9.47)

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ° »¡´ r°´ ´ n ° X s ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° t n 1 at 1 L e u t m o n n 1 ! s a

,

Re ^s` ! a

(9.48)

9.4.9 » ­¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ L o X s Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x t m

R

´ ´Ê ¦·¡´ r ° ­´ µ x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°

t

1

³ x W dW m o s X s

L

(9.49)

f

à ¥ ¸É ROC ° X s / s º° ¦·Áª R ^Re ^s` ! 0` ®¦º°°µ Á } ¦·Áª ¸ÉÄ® n ªnµ R ^Re ^s` ! 0` ÈÅ o oµÁ · µ¦ ´ °° ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ­¤ µ¦ (9.49) ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o µ µ¦°µ«´¥ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-19 329

t

³ x W dW = u t x t

(9.50)

f

L o1/ s à ¥ ¸É ROC = Re ^s` ! 0 ´ ´Ê °µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ³Å oªnµ Á ºÉ° µ u t m

1 L u t x t m o X s , s

ROC = Re ^s` ! 0

(9.51)

9.4.10 §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ¨³ nµ­» oµ¥ L o X s Á¤ºÉ° ROC = R oµ­´ µ x t 0 ­Îµ®¦´ t 0 ¨³ x t Ťn¤¸­´ µ ε® Ä®o x t m °·¤¡´¨­r®¦º°£µª³Á° µ °´ ´ ­¼ (higher-order singularity) ¸É » t 0 ´ ´Ê nµÁ¦·É¤ o x 0 Á¤ºÉ° t ¤¸ nµ Á oµÄ ¨o nµ«¼ ¥r µ µ oµ nµ ª ° t ®µÅ o µ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o (initial-value theorem) ´ ¸Ê

x 0 lim sX s

(9.52)

s of

° µ ¸ÊÄ ¦ ¸ ¸É x t 0 ­Îµ®¦´ t 0 ¨³ x t ¤¸¨·¤· ε ´ Á¤ºÉ° t Á oµÄ ¨o nµ° ´ r ´ ´Ê §¬ ¸ nµ­» oµ¥ (final-value theorem) ¨nµªªnµ lim x t lim sX s

t of

(9.53)

s o0

´ª°¥nµ ¸É 9.10 ¡·­¼ r §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o Ä ­¤ µ¦ (9.52) ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x t 0 ­Îµ®¦´ t 0 ¨³ x t x t u t °µ«´¥ µ¦ ¦³ µ¥° » ¦¤Á Á¨°¦r (Taylor’s series expansion) Á¡ºÉ°®µ nµ x t ¸ÉÁª¨µ t 0 ³Å o x t

f

n

n 0

Á¤ºÉ°

x

n

§ tn ·

¦ x 0 ¨ n ! ¸

©

¹

x 0 x 0 t ! x 1

0 º°° »¡´ r¨Îµ ´ ¸É n ° ¢{ r ´ x t Áª¨µ t

0

n

n

0 tn! !

µ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸Éªnµ

§ tn · 1 L e at ¨ ¸ u t m o , Re ^s` ! a n 1 n ! s a

© ¹

­Îµ®¦´ a

0

³Å o x 0 § tn · L x n 0 ¨ ¸ u t m o s n 1 © n! ¹ n

,

Re ^s` ! a

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

330

´ ´Ê ¢{ r ´ x t ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° x t

§ x n 0 · ¨ ¸ ¦ s n 1 ¸ n 0¨ © ¹

§ tn · L o X s

x n 0 ¨ ¸ m ¦ n 0 © n! ¹ f

f

ε µ¦ ¼ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ X s ³Å o sX s

n f § x 0 · ¸ s¦ ¨ n 1 ¸ s n 0¨ © ¹

x 0 0

x 1 0

s1

x 2 0

s2

!

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ³Å oªnµ lim sX s

s of

x 0 0

x 0

¹É ­° ¨o° ´ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o µ¤­¤ µ¦ (9.52) ´ª°¥nµ ¸É 9.11 ®µ nµÁ¦·É¤ o x 0 ° ­´ µ x t Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.3 ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 9.3 ­´ µ x t ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º° L x t 2e 3t u t e t cos 3t u t m o X s

3s 2 8s 23 s 5s 2 16s 30 3

nµÁ¦·É¤ o ° ­´ µ x t ®µÅ oà ¥ x 0 lim x t 2 1 1 3 t o0

®¦º°­µ¤µ¦ ®µÅ o µ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o µ¤­¤ µ¦ (9.52) ´É º° x 0 lim sX s

s of

3s 3 8s 2 23s s of s 3 5s 2 16 s 30

lim 3

SCILAB: -->s -->num -->den -->Xs -->inf -->x x =

= = = = = =

poly(0, 's'); 3*s^2 + 8*s + 23; s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30; num/den; 10000; //­¤¤ ·ªnµ¤¸ nµÁ } nµ° ´ r horner(s*Xs, inf)

2.9993001

// ¦³¤µ nµ 3 µ¤ ¸É o° µ¦

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-21 331

µ¦µ ¸É 9.1 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ » ­¤ ´ · 1. ªµ¤Á } Á · Á­o

­´ µ

¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ

ax t by t

aX s bY s

2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ

x t t0

X s e

3. µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ s

e x t

X s s0

4. µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ

x D t

5. µ¦­´ ¥»

x t

X s

x t y t

X s Y s

6. µ¦ ε ° ꨼ ´

s0 t

1

D

R1 Re ^s0 `

§s· ¸ ©D ¹

X¨

D R1 R1

°¥nµ o°¥

1 s

f

X s

R1 R2

°¥nµ o°¥

R1

R1

ds

³ x W dW

R1 R2

R1

dX s

tx t

t

9. ¦·¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ

st0

sX s

dt

8. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ s

°¥nµ o°¥

dx t

7. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ

¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC)

°¥nµ o°¥

R1 ^Re ^s` ! 0`

10. §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o

oµ x t 0 ­Îµ®¦´ t 0 ¨³ x t Ťn¤¸­´ µ °·¤¡´¨­r®¦º°£µª³Á° µ sX s

°´ ´ ­¼ ¸É » t 0 ´ ´Ê x 0 lim s of

11. §¬ ¸ nµ­» oµ¥

oµ x t

lim x t

t of

­Îµ®¦´ t 0 ¨³ x t ¤¸¨·¤· ε ´ Á¤ºÉ° t o f ´ ´Ê lim sX s

s o0

0

9.4.11 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ L o X s ­Îµ®¦´ ROC = ε® Ä®o x t m ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ

R1

L o Y s ­Îµ®¦´ ROC = ¨³ y t m

R2

µ¦µ ¸É 9.1

9.4.12 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ µ¦µ ¸É 9.2 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸ÉÄ o¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

332

˜¾Œ¾ÂŠÂš¸Ă‰ 9.2 ‡Ÿn„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠ¨¾Âž¨¾ÂŽ ­´Â?Â?¾– x t

Â&#x;¨Â„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠ¨¾Âž¨¾ÂŽ X s

Â?Œ¡à ªÂ–„¾Œ¨ŸnĂ Â…oÂľ (ROC)

G t

1

š„‡n¾ s

u t

1

Re ^s` ! 0

u t

1

t n 1

n 1 !

t n 1

n 1 !

s

n 1 !

t n 1

n 1 !

e at u t

e at u t

G t T

cos Z0 t u t

sin Z0 t u t

e at cos Z0t u t

e at sin Z0t u t

d nG t

Re ^s` ! 0

sn 1

u t

e at u t

t n 1

1

u t

e at u t

Re ^s` 0

s

Re ^s` 0

sn 1

Re ^s` ! a

s a 1

Re ^s` a

s a 1

s a

n

Re ^s` ! a

n

Re ^s` a

1

s a

š„‡n¾ s

e sT s 2

s Z02

Z0 s Z02 2

s a

s a

2

Z02

Z0

s a

2

Z02

Re ^s` ! 0 Re ^s` ! 0 Re ^s` ! a Re ^s` ! a

sn

š„‡n¾ s

u t ! u t

1

n 1 convolutions

sn

Re ^s` ! 0

un t

dt n

บทท฾ŕšˆ 9 ภาร๠ป฼ง฼าป฼าซ 9-23 333

9.5 µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ L L o X s , h t m o H s , ¡· µ¦ µ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (LTI) oµ ε® Ä®o x t m L ¨³ y t m o Y s º° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ °· ¡» , ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r, ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê °µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ³Å o ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê

H s

Y s

X s

(9.54)

Á¤ºÉ° H s Á¦¸¥ ªnµ “¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function)” ®¦º° “¢{ r ´ ¦³ (system function)” ° µ ¸Ê oµ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° H s ¦ª¤¡ºÊ ¸É ° Á­o  jZ ³Å oªnµ H s ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ Ä ¸É ¸Ê ³Â­ Ä®oÁ®È ªnµ H s ­µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦° · µ¥ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI Å o

9.5.1 ° °¨· ¸ ¦³ LTI  ° °¨ (causal) º°¦³ ¸É ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r ­Îµ®¦´ t 0 ´É º° h t ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ {~ ªµ ´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ° ¦³ ° °¨ ³¤¸ ROC °¥¼n µ {~ ªµ ° ¦³ µ s °¥nµ Ŧ È µ¤Ä µ ¨´ ´ oµ ROC ° H s °¥¼n µ {~ ªµ ° ¦³ µ s ¨oª Ťn εÁ } ªnµ¦³ ´Ê ³Á } ¦³ ° °¨ Á¡¸¥  n¦´ ¦° Å oªnµ h t Á } ­´ µ {~ ªµ ° µ ¸Ê oµ H s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ LTI  ° °¨ ³¤¸ ROC ° H s

°¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ­» Ä µ ¨´ ´ oµ H s ¤¸ ROC °¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ­» ¨oª ¦³ LTI ´Ê ³Á } ¦³ ° °¨ ´ª°¥nµ ¸É 9.12 ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t n°Å ¸Ê Á } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n ) h t

) h t

e 2t u t

e

t

ª· ¸ ε ) Á ºÉ° µ h t 0 ­Îµ®¦´ t 0 ´ ´Ê ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨ ° µ ¸Ê ªµ¤Á } ° °¨· ¸ (causality) ¥´ ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ´É º° µ ­¤ µ¦ (9.12) ³Å o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t ¤¸ nµÁ nµ ´ H s

1 , Re ^s` ! 2 s 2

(9.55)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

334

Á ºÉ° µ H s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³Â¨³ ROC °¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ­» ´ ´Ê ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨ ) Á ºÉ° µ h t z 0 ­Îµ®¦´ t 0 ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ ° °¨ ®¦º°­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µ ªµ¤Á } ° °¨· ¸Å o µ H s ¨nµª º° µ ­¤ µ¦ (9.22) ³Å o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t º° H s

2 , 1 Re ^s` 1 s 1 s 1

(9.56)

Á ºÉ° µ H s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³Â¨³ ROC ŤnÅ o°¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ­» ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ ° °¨ Ä ³ ¸É¦³ ° Å ° °¨ (anticausal system) º°¦³ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t 0 ­Îµ®¦´ t ! 0 ´É º° h t ¤¸¨´ ¬ ³Á } ­´ µ {~ oµ¥ ´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ° ¦³ ° Å ° °¨ ³¤¸ ROC °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ¦³ µ s °¥nµ Ŧ È µ¤Ä µ ¨´ ´ oµ ROC ° H s °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ¦³ µ s ¨oª Ťn εÁ } ªnµ¦³ ´Ê ³ o° Á } ¦³ ° Å ° °¨ Á¡¸¥  n¦´ ¦° Å oªnµ h t

Á } ­´ µ {~ oµ¥ ° µ ¸Ê oµ H s °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ° Å ° °¨ ³¤¸ ROC ° H s °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ oµ¥­» Ä µ ¨´ ´ oµ H s ¤¸ ROC °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ oµ¥­» ¨oª ¦³ LTI ´Ê ³Á } ¦³ ° °¨

9.5.2 ªµ¤Á­ ¸¥¦ à ¥ ´ÉªÅ ªµ¤Á­ ¸¥¦ (stability) ° ¦³ LTI ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ´É º° ¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° h t ­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­´¤ ¼¦ r °¥nµ Ŧ È µ¤ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ ¥´ ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ¨nµª º°¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° ROC ° H s ¦ª¤Á­o  jZ ´ª°¥nµ ¸É 9.13 ¡· µ¦ µ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ ¸É¤¸¢ { r ´ nµ¥Ã° H s

s 1 2 s s 1

1/ 3 2 / 3 s 2 s 1

(9.57)

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-25 335

Im

Im

2 1

1

Re

2 1

1

Re

Re ^s` ! 1

Im

2

1

Im

1

Re

1 2

2 Re ^s` 1

1

Re

Re ^s` 2

£µ¡ ¸É 9.7 ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ¨³ ( ) – ( ) ROC °

H s

 nµ Ç

ª· ¸ ε £µ¡ ¸É 9.7 ( ) ­  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° H s à ¥ ¸É¤¸Ã¡¨°´ ´ ® ¹É °¥¼n 2 ´ª ¸É » s 1 ¨³ s 2 ¨³¤¸ ¸Ã¦°´ ´ ® ¹É °¥¼n 1 ´ª ¸É » s 1 Á ºÉ° µ à ¥rŤnÅ o ε® ROC ° H s ¤µÄ®o ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° H s ¹ ¤¸Å o®¨µ¥¦¼  °¥nµ Ŧ È µ¤ oµ ¦µ o°¤¼¨Á¡·É¤Á ·¤ªnµ ¦³ ¤¸ ªµ¤Á } ° °¨· ¸®¦º°¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ È ³ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ¦³ » ROC Å o Á¡¦µ³ªnµ H s ¸ÉÄ®o¤µ°¥¼n Ä ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ´ª°¥nµ Á n ) oµ¦³ Á } ¦³ ° °¨Â­ ªnµ ROC °¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ­» ´É º° Re ^s` ! 1 µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° H s º° 2 · §1 h t ¨ e 2t et ¸ u t

3 ¹ ©3

Á ºÉ° µ ROC °

H s

Ťn¦ª¤Á­o  jZ µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤn¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦

) oµ¦³ ¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ­ ªnµ ROC ° H s ³ o° ¦ª¤Á­o  jZ ´É º° 2 Re ^s` 1 µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° H s º° h t

1 2t 2 e u t et u t

3 3

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

336

¹É ­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­´¤ ¼¦ r Á¡¦µ³ ³ ´ Ê ¦³ ¸Ê¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ) oµ¦³ Á }  ¦³ ° Å ° °¨Â¨³Å¤n¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ­ ªnµ ROC °¥¼n µ {~ oµ¥ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ oµ¥­» ´É º° Re ^s` 2 µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° H s º° 2 · §1 h t ¨ e 2t et ¸ u t

3 ¹ ©3

Á ºÉ° µ ROC ° H s Ťn¦ª¤Á­o  jZ µ¤£µ¡ ¸É 9.7 ( ) ´ ´Ê ¦³ ¸ÊŤn¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° µ ¸Ê ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ LTI ¥´ ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o°¥nµ nµ¥ à ¥ ¼ µ ε® n ° ᨠ° ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s Ä Â £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ¨nµª º°­Îµ®¦´ ¦³ ° °¨ (ROC ³°¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É °¥¼n oµ µ ªµ­» ) ¸É¤¸ H s Ä ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ³¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ (ROC ³¦ª¤Á­o  jZ ) È n°Á¤ºÉ°Ã¡¨ ¸É°¥¼n oµ µ ªµ­» °¥¼n µ oµ oµ¥ ° Á­o  jZ ®¦º°°µ ¨nµªÅ oªnµ » ᨤ¸ nµ­nª ¦· Á } nµ¨ ´É º° Re ^s` 0 ´ª°¥nµ ¸É 9.14 ¡· µ¦ µ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ ° °¨ ¸É¤¸ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ´ ¸Ê ) h t

e 3t u t

) h t

e3t u t

ª· ¸ ε ) µ ­¤ µ¦ (9.12) ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t

e 3t u t

L h t e 3t u t m o H s

Á ºÉ° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¸É¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦

H s

¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » s

) µ ­¤ µ¦ (9.12) ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t

3

3

1 , Re ^s` ! 3 s 3

(9.58)

¹É ¤¸ nµ­nª ¦· Á } nµ¨ ­ ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³

e3t u t

L h t e3t u t m o H s

Á ºÉ° µ H s ¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » s

º°

º°

1 , Re ^s` ! 3 s 3

(9.59)

¹É ¤¸ nµ­nª ¦· Á } nµ ª ­ ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ¸ÉŤn¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-27

337

9.5.3 ¦³ µ¤­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ µn ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o ¦³ LTI ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · ³ ¼ ε® à ¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o (LCCDE: linear constant-coefficient differential equation) ´ ¸Ê N

¦ ak k 0

d k y t

dt k

M

¦ bk k 0

d k x t

dt k

(9.60)

Á¤ºÉ° ak ¨³ bk Á } nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ª, ¨³ y t ¨³ x t º°­´ µ Á°µ r¡» ¨³­´ µ °· ¡» ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ­¤ µ¦ (9.60) Á¦¸¥ ªnµ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r°´ ´ N (N-th order differential equation) à ¥ ´ÉªÅ ¡§ · ¦¦¤ nµ Ç ° ¦³ LTI ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s ° ¦³ ¹É ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (9.54) à ¥ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (9.60) ´É º° oµÄ®o L L x t m o X s ¨³ y t m o Y s ³Å oªnµ ªN ª M d k x t º d k y t º L «¦ ak » L «¦ bk » k dt ¼ dt k ¼ ¬k 0 ¬k 0

°µ«´¥ » ­¤ ´ ·Á · Á­o ³Å o ª d k y t º L a » ¦ k « k k 0 ¬ dt ¼ N

ª d k x t º L b » ¦ k « k k 0 ¬ dt ¼ M

¨³°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ r ³Å o § N §M k · k · a s Y s

¦ k ¨ ¸ ¨ ¦ bk s ¸ X s

©k 0 ¹ ©k 0 ¹

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H s

¦ ¦

Y s

X s

M

b sk

k 0 k N k 0

ak s k

(9.61)

¹É ³Á®È Å oªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸É ¼ ε® à ¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ (°¥¼nÄ ¦¼ ° Á«¬­nª ) à ¥ ¸É ¸Ã¦ (zero) º° ε ° ° ­¤ µ¦ M

¦b s k

k

0

(9.62)

k 0

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

338

i t

R

v t

C

vC t

L

£µ¡ ¸É 9.8 ª ¦Å¢¢jµ RLC ¸É n° ´  ° » ¦¤

¨³Ã¡¨ (pole) º° ε ° ° ­¤ µ¦ N

¦a s

k

0

k

(9.63)

k 0

¢{ r ´ nµ¥Ã° H s Á¡¸¥ ¨Îµ¡´ Ťn­µ¤µ¦ ε¤µÄ o®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ Å o Á¡¦µ³Å¤n ¦µ o°¤¼¨Á ¸É¥ª ´ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° H s °¥nµ Ŧ È µ¤ oµ¤¸ o°¤¼¨Á¡·É¤Á ·¤Á ¸É¥ª ´ ° °¨· ¸®¦º° ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ È ³ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ¦³ » ROC ° H s ¨³ εĮo®µ nµ h t Å o µ¤ ¸É o° µ¦ ´ª°¥nµ ¸É 9.15 ¡· µ¦ µª ¦Å¢¢jµ RLC ¸É n° ´  ° » ¦¤Ä £µ¡ ¸É 9.8 à ¥ ¸É­´ µ °· ¡» º° ®¨n εÁ · ¦ ´ Å¢¢jµ v t ¨³­´ µ Á°µ r¡» º°Â¦ ´ Å¢¢jµ ¸É ¦n°¤ ´ªÁ È ¦³ » vC t ®µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ª ¦Å¢¢jµ RLC ¸Ê oµ ε® Ä®o vC t ¨³ i t ­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ª· ¸ ε °µ«´¥ ° Á ·¦r ±°¢¢m (Kirchhoff’s law) ³Å oªnµ v t

RC

dvC t

d 2vC t

vC t LC dt dt 2

(9.64)

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (9.64) ³Å o V s

RCsVC s VC s LCs 2VC s

(9.65)

L L oV s ¨³ vC t m oVC s ´ ´Ê ¢{ r à ¥ ¸É v t m ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º°

H s

VC s

V s

1 RCs 1 LCs 2

oµ R , L , ¨³ C ¤¸ nµÁ } nµ ª ¨oª ᨠ° ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦ (stable system)

H s

1/ LC s 2 R / L s 1/ LC

(9.66)

Ä ­¤ µ¦ (9.66) ³¤¸ nµÁ } nµ¨ ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-29 339

´ª°¥nµ ¸É 9.16 ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸­´ µ °· ¡» º° x t

y t ª¬e 2t e 3t º¼ u t ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê

e t u t

¨³­´ µ Á°µ r¡» º°

ª· ¸ ε ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x t ¨³ y t ³Å o X s

1 , Re ^s` ! 1 s 1

(9.67)

¨³ 1 1 s 2 s 3

Y s

1

s 2 s 3

,

Re ^s` ! 3

(9.68)

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H s

Y s

X s

s 1 2 s s 3

s 1 s 2 5s 6

(9.69)

à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª ­nª ¦nª¤ ° ROC ° X s ¨³ Y s ´É º° ROC ° H s ³¤¸ nµÁ nµ ´ Re ^s` ! 1 ¹É °¥¼n µ oµ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ªµ­» ­ ªnµ H s Á }  ° °¨ ¨³Á ºÉ° µ ᨠ´Ê ­° ° H s ¤¸ nµÁ } nµ¨ ­ ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦ (stable system) ° µ ¸Ê­¤ µ¦ (9.69) ¥´ ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o¦³ »­¤ µ¦Á · ° »¡´ r µ¤­¤ µ¦ (9.60) Å oà ¥°µ«´¥ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ´ ´Ê Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (9.60) ¨³ (9.61) ³Å oªnµ H s Ä ­¤ µ¦ (9.69) ­µ¤µ¦ ´ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ­¤ µ¦Á · ° »¡´ rÅ o ´ ¸Ê d 2 y t

dy t

5 6 y t

dt 2 dt

dx t

x t

dt

(9.70)

´ª°¥nµ ¸É 9.17 ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ LTI ¸É ε® à ¥Á ºÉ° Å ´ ¸Ê ) ¦³ Á }  ° °¨ ) ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¤¸¨´ ¬ ³Á }  ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¸É¤¸­° ᨠ¸É » s ) oµ j° ­´ µ °· ¡» x t

1

¨³ s

3

1 Á oµÅ Ä ¦³ ³Å o­´ µ Á°µ r¡» º° y t 0

) ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ Áª¨µ t

0

¤¸ nµÁ nµ ´ 2

ª· ¸ ε µ Á ºÉ° Å o° ) ¨³ ) εĮo ¦µ ªnµ¦³ ° °¨¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » ¦³ ŤnÁ­ ¸¥¦ (unstable system) ¨³¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° º° 9-30 สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB

s 3

´ ´Ê ¦³ ¸Ê ¹ Á }

Signals and Systems with SCILAB Applications

340

H s

N s

s 1 s 3

N s

s 2s 3

(9.71)

2

Á¤ºÉ° N s º°¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ ° H s ¨³ µ Á ºÉ° Å o° ) Á¤ºÉ° x t 1 e 0 t ³Å o­´ µ Á°µ r¡» y t est H s e 0 t H 0 0 ­ ªnµ N 0 0 ´É º° N s ¤¸ ¸Ã¦ ¸É » s 0 ´ ´ Ê N s

sF s

Á¤ºÉ° F s º°¡®» µ¤¦nª¤ ° N s Á¡¦µ³ ³ ´ Ê H s

sF s

2

s 2s 3

¨³ µ Á ºÉ° Å o° ) à ¥°µ«´¥ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ³Å oªnµ h 0 lim sH s lim s of

s of

s2 F s

2

s 2s 3

2

°µ«´¥ ° è d µ¨ ³Å oªµn lim s of

s2 F s

s 2 2s 3

lim s of

s2 F s

s2

F s 2

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H s

2s s 2 2s 3

9.6 ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° à ¥ ´ÉªÅ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI ­µ¤µ¦ ° · µ¥Å o oª¥ ¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function) ®¦º°Â £µ¡ ¨È° (block diagram) ° ¦³ ´ ´Ê Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â­ µ¦ª·Á ¦µ³®r µ¦ n° ´ ° ¦³ (system interconnection) Á¡ºÉ°Ä o®µ ªµ¤­´¤¡´ r ° ­´ µ °· ¡» ¨³ ­´ µ Á°µ r¡» ¦ª¤ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¦ª¤

9.6.1 µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ  £µ¡ ¨È° ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³ Ä £µ¡ ¸É 9.9 à ¥ ¸É x t º°­´ µ °· ¡» , y t º°­´ µ Á°µ r¡» , ¨³ ¦³ ¥n°¥ ´Ê ®¤ Á } ¦³ LTI à ¥ ´ÉªÅ ­·É ¸É ´ ª·Á ¦µ³®r¦³ ­ Ä º° µ¦®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-31 341

x t

h1 t

w t

y t

h2 t

x t

h1 t

v t

x t

v t

y t

h2 t

w t

h1 t

y t

h2 t

w t

£µ¡ ¸É 9.9 µ¦ n° ´ ° ¦³ ( )  ° » ¦¤, ( )  µ , ¨³ ( )  j° ¨´

° ¦³ ¦ª¤Á¡ºÉ°Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ x t ¨³ y t Ä µ · ´ · µ¦®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ³°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Á¡ºÉ°®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° H s n° µ ´Ê ¹ n°¥Ä o µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ Á¡ºÉ° ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ´ ´Ê Ä ­nª ¸Ê ³° · µ¥ µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¦ª¤ ¸ÉÁ · µ µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥ ´ n°Å ¸Ê ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³  ° » ¦¤ (serial or cascade interconnection) Ä £µ¡ ¸É 9.9 ( ) ³Å oªnµ ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 t º° w t

x t h1 t

(9.72)

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ (convolution operator) ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h2 t º° y t

w t h2 t

(9.73)

 nµ w t µ ­¤ µ¦ (9.72) ¨ Ä ­¤ µ¦ (9.73) ³Å o y t

ª¬ x t h1 t º¼ h2 t

(9.74)

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­¤ µ¦ (9.74) ³Å o Y s

X s H1 s H 2 s

(9.75)

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H s

Y s

X s

H1 s H 2 s

(9.76)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

342

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³  µ (parallel interconnection) Ä £µ¡ ¸É 9.9 ( ) ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 t ¨³¦³ h2 t º° v t

x t h1 t

(9.77)

w t

x t h2 t

(9.78)

¨³

µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ ¦ª¤ º° y t v t w t

x t h1 t x t h2 t

(9.79)

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­¤ µ¦ (9.79) ³Å o Y s

X s H1 s X s H 2 s

(9.80)

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H s

Y s

X s

H1 s H 2 s

(9.81)

­Îµ®¦´ µ¦ n° ´ ° ¦³  j° ¨´ (feedback interconnection) ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 9.9 ( ) ­´ µ °· ¡» ° ¦³ h1 t º° w t

x t v t

(9.82)

¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 t º° y t

w t h1 t

ª¬ x t v t º¼ h1 t

x t h1 t v t h1 t

(9.83)

Á ºÉ° µ ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h2 t º° v t

y t h2 t

(9.84)

 nµ v t Ä ­¤ µ¦ (9.84) ¨ Ä ­¤ µ¦ (9.83) ³Å o y t

x t h1 t ª¬ y t h2 t º¼ h1 t

ª¬1 h1 t h2 t º¼ y t

x t h1 t

(9.85) บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-33

343

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­¤ µ¦ (9.85) ³Å o ª¬1 H1 s H 2 s º¼ Y s

H1 s X s

(9.86)

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° Y s

X s

H s

H1 s

1 H1 s H 2 s

(9.87)

9.6.2 µ¦®µÂ £µ¡ ¨È° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 9.5.3 à ¥ ´ÉªÅ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ³ ¼ ε® oª¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸ nµ ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° ¦³ ¸Ê­µ¤µ¦ ­¦oµ ¹Ê Å oà ¥°µ«´¥ ´ª εÁ · µ¦ ¡ºÊ µ (basic operator) 3  º° µ¦ ª µ¦ ¼ ¨³ µ¦®µ ¦·¡´ r ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 9.18 ­  £µ¡ ¨È° ° ¦³ ¸É¤¸¢ { r ´ nµ¥Ã° H s

3 s 2

(9.88)

Á¤ºÉ° ε® Ä®o¦³ ­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest) ª· ¸ ε ­¤ µ¦ (9.60) ¨³ (9.61) εĮo ¦µ ªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ­¤ µ¦ (9.88) ¼ ε® oª¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r º° dy t

dt

2 y t 3x t

(9.89)

ε µ¦®µ ¦·¡´ r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (9.89) ³Å o t

t

y t 2 ³ y W dW f

y t

³

t

f

3 ³ x W dW f

ª¬3x W 2 y W º¼ dW

(9.90)

£µ¡ ¸É 9.10 ( ) ­  £µ¡ ¨È° µ¤­¤ µ¦ (9.90) ¨³ µ » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° µ¦®µ ¦·¡´ r¤¸ nµÁ nµ ´ 1/ s ´ ´Ê £µ¡ ¸É 9.10 ( ) ¹ Á ¸¥ Ä®¤nÅ o µ¤£µ¡ ¸É 9.10 ( ) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

344

x t

3

v t

y t

³

x t

v t

3

2

1 s

y t

2

£µ¡ ¸É 9.10  £µ¡ ¨È° ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.18 dy t

dt

1 s

y t

£µ¡ ¸É 9.11  £µ¡ ¨È° ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.18

° µ ¸Ê £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 9.10 ( ) ­µ¤µ¦ ­¦oµ ¹Ê Å oà ¥ nµ¥ µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ­¤ µ¦ (9.88) à ¥ µ¦ ´ ¦¼ ­¤ µ¦Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ X s ¨³ Y s ´É º° µ H s

¸É ε® Ä®o ³Å oªnµ

> s 2@ Y s

Y s

3X s

1 ª3 X s 2Y s º¼ s¬

(9.91)

µ ´Ê ε­¤ µ¦ (9.91) Å Á ¸¥ Á }  £µ¡ ¨È° È ³Å o µ¤£µ¡ ¸É 9.10 ( ) µ £µ¡ ¸É 9.10 εĮo­¦» Å oªnµ oµ¦³ ­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ¨oª ¨È° 1/ s ³¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» µ¤£µ¡ ¸É 9.11 ´ ´Ê ­¤ µ¦ (9.89) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } dy t

dt

oµ ε® Ä®o v t

dy t / dt

3x t 2 y t

(9.92)

­¤ µ¦ (9.92) ³ ´ ¦¼ Å oÁ } v t 3x t 2 y t

(9.93)

¹É ­° ¨o° ´  £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 9.10 ( ) ´ª°¥nµ ¸É 9.19 ®µÂ £µ¡ ¨È° ° ¦³ ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-35 345

H s

1

s 2 s 3

1 s 5s 6 2

(9.94)

ª· ¸ ε ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ­¤ µ¦ (9.94) ¼ ε® oª¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r º° d 2 y t

dy t

5 6 y t

2 dt dt

x t

(9.95)

oµ ε® Ä®o v t

dy t

dt

¨³

w t

d 2 y t

dt 2

­¤ µ¦ (9.95) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } w t 5v t 6 y t

w t

x t

x t 5v t 6 y t

(9.96)

¹É ¤¸Â £µ¡ ¨È° µ¤£µ¡ ¸É 9.12 ( ) à ¥ ´ÉªÅ  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸ÊÁ¦¸¥ ´ ªnµ “ £µ¡¦¼  ¦ (direct-form diagram)” Á¡¦µ³ªnµ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ¸É ¦µ °¥¼nÄ Â £µ¡ ¨È° º° nµ­´¤ ¦³­· ·ÍÁ ¸¥ª ´ ´ ¸É ¦µ °¥¼nÄ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ®¦º°Ä ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r Ä µ · ´ ·Â £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 9.12 ( ) ­µ¤µ¦ ¸É ´ ¦¼ Ä®oÁ }  °ºÉ Ç Å o µ¤ ªµ¤ o° µ¦ °  n¨³ µ ¦³¥» r ¨nµª º°¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ­¤ µ¦ (9.94) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } § 1 ·§ 1 · H s ¨ ¸¨ ¸ © s 2 ¹© s 3 ¹

H1 s H 2 s

(9.97)

¹É È º° µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° H s Ä ­¤ µ¦ (9.97) ­µ¤µ¦ ­¦oµ Å o µ¤£µ¡ ¸É 9.12 ( ) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Êªnµ “ £µ¡¦¼  ° » ¦¤ (cascade-form diagram)” ° µ ¸Ê oµÄ o µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ° H s Ä ­¤ µ¦ (9.94) È ³Å oÁ } H s

1 1 s 2 s 3

H1 s H 2 s

(9.98)

¹É È º° µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  µ ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° H s Ä ­¤ µ¦ (9.98) ­µ¤µ¦ ­¦oµ Å o µ¤£µ¡ ¸É 9.12 ( ) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Êªnµ “ £µ¡¦¼  µ (parallel-form diagram)” ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

346

x t

w t

1 s

v t

6

5

x t

1 s

H1 s

y t

1 s

y t

1 s

2

H2 s

3

1 s x t

H1 s

y t

2

1

1 s H2 s

3

£µ¡ ¸É 9.12  £µ¡ ¨È° ¦¼  nµ Ç ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 9.19

9.7 µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª Ä ®´ª o° ¸Ê ³° · µ¥ “ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª (unilateral Laplace transform)” ¹É  nµ µ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¸É ¨nµª¤µÄ ®´ª o° ¸É 9.2 ®¦º° “ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ (bilateral Laplace transform)” µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI  ° °¨ ¸É ¼ ε® oª¥ ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o (initial condition) ŤnÁ } nµ«¼ ¥r บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-37 347

µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x t ³ ·¥µ¤Ã ¥ X s

f

³ x t e

st

0

dt

(9.99)

à ¥ ¸É nª ¨nµ ° µ¦®µ ¦·¡´ r 0 ®¤µ¥ ¹ Ä®o¦ª¤ nµ«¼ ¥rÄ µ¦®µ ¦·¡´ r ¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ³Ä o­´ ¨´ ¬ r X s UL ª¬ x t º¼

(9.100)

x t UL 1 ª¬ X s º¼

(9.101)

¨³

Á¤ºÉ° UL > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¨³ UL 1 > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ (inverse unilateral Laplace transform) ° µ ¸Ê ³Ä o­´ ¨´ ¬ r UL x t m o X s

(9.102)

­ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª¦³®ªnµ x t ¨³ X s

µ ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ Ä ­¤ µ¦ (9.1) ´É º° X s

f

³ x t e f

st

dt

(9.103)

¨³­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ªÄ ­¤ µ¦ (9.99) ³¡ ªnµ¤¸¦¼  Á®¤º° ´ ¤µ à ¥Â nµ ´ Á ¡µ³ nª ¨nµ ° µ¦®µ ¦·¡´ r ¨nµª º° nª ° µ¦®µ ¦·¡´ r ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ º° f d t d f Ä ³ ¸É nª ° µ¦®µ ¦·¡´ r ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  o µ Á ¸¥ª º ° 0 d t d f ´ ´Ê ­´ µ ­° ­´ µ ¸É¤¸ nµÂ nµ ´ ­Îµ®¦´ t 0 ¨³¤¸ nµÁ nµ ´ ­Îµ®¦´ t t 0 ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ nµ ´  n ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ªÁ®¤º° ´ ­´ µ x t Ä Ç ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ «¼ ¥r­Îµ®¦´ t 0 ´É º°­´ µ {~ ªµ (right-sided signal) ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ¨³ oµ Á ¸¥ªÁ®¤º° ´ Ä ¦ ¸ ¸Ê » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 9.4 ¹ ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o ´ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­Îµ®¦´ ­´ µ {~ ªµ ¹É ¤¸ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ °¥¼n µ oµ ªµ ° ¦³ µ s ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ³Á®¤º° ´ ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ´ µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 9.3 à ¥ ¸É¤¸ o° ε® ªnµ ROC ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ³°¥¼n µ oµ ªµ ° ¦³ µ s Á­¤° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

348

´ª°¥nµ ¸É 9.20 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ¨³Â oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ x t e b t 1 u t 1

(9.104)

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ° ­´ µ x t ®µÅ oà ¥°µ«´¥ » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ¹É ³Å oªnµ es , Re ^s` ! b s b

X s L ª¬ x t º¼

(9.105)

­Îµ®¦´ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª®µÅ o µ ­¤ µ¦ (9.99) ´É º° X s

³

f

0

ªe b t 1 u t 1 º e st dt ¬ ¼

³

f

0

e b e

t s b

dt

e b

1 , Re ^s` ! b s b

(9.106)

³Á®È Å oªnµ­Îµ®¦´ ­´ µ ¸ÉŤnÅ oÁ } ­´ µ {~ ªµ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ¨³Â oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ ´Ê ³¤¸ nµÂ nµ ´ ´ª°¥nµ ¸É 9.21 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° X s

s2 3 s 2

(9.107)

ª· ¸ ε Ä µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ´ ´Ê (degree) ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ o° ¤¸ nµ o°¥ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª Á ºÉ° µ ­¤ µ¦ (9.107) ¤¸¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Á nµ ´ nµ­° Ä ³ ¸É¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ® ¹É ´ ´Ê ¹ o° ´ ¦¼ ­¤ µ¦ (9.107) Ä®¤nÄ®o¤¸ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ o°¥ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª n° ¸É ³ ε µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ¸Ê Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­¤ µ¦ (9.107) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } SCILAB: X s

C A Bs s 2

s2 3 s 2

(9.108)

µ µ¦ ε ª ¨³ µ¦Á ¦¸¥ Á ¸¥ nµ­´¤ ¦³­· ·Í nµ Ç ³Å oªnµ A 2 , B 1 , ¨³ C 1 ´É º° X s 2 s

1 s 2

(9.109)

-->s -->Xs -->h -->F F =

= = = =

poly(0, 's'); (s^2 - 3)/(s + 2); syslin('c',Xs); pfss(h)

F(1) 1 ----2 + s F(2) - 2 + s

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-39 349

µ¦µ ¸É 9.3 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª » ­¤ ´ · 1. ªµ¤Á } Á · Á­o

­´ µ

¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ

ax t by t

a X s bY s

e x t

X s s0

2. µ¦Á¨ºÉ° Ä Ã Á¤ s 3. µ¦­Á ¨ µ Áª¨µ

s0 t

4. µ¦­´ ¥» 5. µ¦ ε ° ꨼ ´

X s

oµ­´ µ x t

y t

0

­Îµ®¦´ t 0 ´ ´Ê

x t y t

X s Y s

dx t

s X s x 0

dt

7. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ s

d X s

tx t

ds

t

8. ¦·¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ 9. §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o 10. §¬ ¸ nµ­» oµ¥

1

³ x W dW 0

X¨

D

x t

6. ° »¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ

§s· ¸ ©D ¹

1

x D t , D ! 0

s

X s

oµ­´ µ x t Ťn¤¸°·¤¡´¨­r®¦º°£µª³Á° µ °´ ´ ­¼ ¸É » t

x 0

0

´ ´Ê

0

´ ´Ê

lim s X s

s of

oµ­´ µ x t Ťn¤¸°·¤¡´¨­r®¦º°£µª³Á° µ °´ ´ ­¼ ¸É » t lim x t lim s X s

t of s o0

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° ­¤ µ¦ (9.109) Á¤ºÉ° ROC °¥¼n µ oµ ªµ ° ¦³ µ s º° x t UL 1 ª¬ X s º¼

2G t u t e 2t u t

9.7.1 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª UL UL X s ¨³ y t m o Y s º° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¸É¤¸ ROC ε® Ä®o x t m o °¥¼n µ {~ ªµ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ µ ªµ­» µ¦µ ¸É 9.3 ­¦» » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¹É ³¤¸ ´Ê » ­¤ ´ · ¸ÉÁ®¤º° ´ ¨³ » ­¤ ´ · ¸É nµ ´ ´ » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ µ¤ ¸É­ Ä µ¦µ ¸É 9.1

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

350

» ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ªÂ¨³Â ­° oµ ³Á®¤º° ´ à ¥ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ¦³ LTI  ° °¨ ¨nµª º° oµ­´ µ °· ¡» x t ¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h t ° ¦³ ¤¸ nµ Á nµ ´ nµ«¼ ¥r­Îµ®¦´ t 0 ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y t ³¤¸ nµÁ nµ ´ y t

UL x t h t m o Y s

X s H s

(9.110)

UL H s º ° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  o µ Á ¸ ¥ ª ° ¨ ° ­ ° °· ¤ ¡´ ¨ ­r ° µ ¸Ê Á¤ºÉ ° h t m o » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¥´ ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o° · µ¥ » ­¤ ´ · µ¦®µ ¦·¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ´É º°

t

UL x t u t m o X s U s

³ x W dW 0

1 X s

s

UL oU s 1/ s º° ¼n µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥ Á¤ºÉ° u t m » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ rÄ Ã Á¤ Áª¨µ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ªÂ¨³ ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ³Â nµ ´ ¨nµª º° ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° dx t / dt ¤¸ nµÁ nµ ´

ª dx t º » ¬ dt ¼

UL «

³

f

0

dx t st e dt dt

x t e st

Ä ³ ¸É ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ °  oµ Á ¸¥ª ° d 2 x t / dt 2 ³¤¸ nµÁ nµ ´ ª d 2 x t º » 2 ¬ dt ¼

UL «

Á¤ºÉ° xc 0 º° nµ° »¡´ r ° x t ­Îµ®¦´ t

f 0

f

s X s x 0

s ³ x t e st dt

dx t / dt

0

º°

sX s

(9.111)

° µ ¸Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ

s 2 X s sx 0 xc 0

(9.112)

0

´ª°¥nµ ¸É 9.22 ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ ¸É ¼ ε® oª¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r d 2 y t

dy t

3 2 y t

2 dt dt

x t

(9.113)

à ¥ ¸É­´ µ °· ¡» º° x t D u t ¨³ D º° nµ ´ªÄ Ç Á¤ºÉ° ) ¦³ ¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest) ) ¦³ ¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o º° y 0 E ¨³ yc 0 J บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-41 351

ª· ¸ ε ) ­Îµ®¦´ ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ­¤ µ¦ (9.113) º° s 2Y s 3sY s 2Y s

X s

¹É ³Å o¢ { r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° Y s

X s

H s

1 s 3s 2 2

1

s 1 s 2

Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ °· ¡» º° UL x t D u t m o X s

D s

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ s º° · 1 § D ·§ Y s X s H s ¨ ¸ ¨¨ ¸¸ © s ¹ © s 1 s 2 ¹

D /2 s

D

D /2

s 1 s 2

(9.114)

­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ Áª¨µ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° ­¤ µ¦ (9.114) Á¤ºÉ° ROC º° Re ^s` ! 0 ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ 1 ª1 º y t UL 1 ª¬Y s º¼ D « e t e 2t » u t

2 2 ¬ ¼

(9.115)

) ­Îµ®¦´ ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ° ­¤ µ¦ (9.113) º° ª s 2Y s sy 0 yc 0 º 3s ª sY s y 0 º 2Y s

¬ ¼ ¬ ¼

 nµ

y 0 E , yc 0 J

X s

(9.116)

, ¨³ X s D / s ¨ Ä ­¤ µ¦ (9.116) ³Å o

s 2Y s sE J 3sY s 3E 2Y s

Y s ª¬ s 2 3s 2º¼ s 3 E J

D

Y s ª¬ s 2 3s 2º¼

D

s 3 E J

D s

s s

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

352

E s 3

Y s

oµ ε® Ä®o D 2 , E ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ }

J

s 1 s 2 s 1 s 2

3,

¨³ J

5

Y s

D s s 1 s 2

(9.117)

à ¥°µ«´¥ µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ³ εĮo­¤ µ¦ (9.117) 1 1 3 s s 1 s 2

(9.118)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ Áª¨µ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° ­¤ µ¦ (9.118) Á¤ºÉ° ROC º° Re ^s` ! 0 ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ y t UL 1 ª¬Y s º¼

ª¬1 e t 3e 2t º¼ u t

(9.119)

9.8 ­¦» oµ¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ º°ªnµÁ } Á ¦ºÉ° ¤º° µ · «µ­ ¦r ¸ÉÄ oÄ µ¦Â ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ ´ ´Ê Ä ¸Ê ¹ Å o° · µ¥ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ È º°ªnµ¤¸ ªµ¤­Îµ ´ ¤µ Á¡¦µ³ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ µ¦®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn  ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÃ ¥°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¦ª¤ ´Ê ­ Ä®oÁ®È ¹ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° ° ¦³ ­» o µ¥Å o ¨nµª ¹ ªµ¤­Î µ ´ ¨³ ¦³Ã¥ r ° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI  ° °¨ ¸É ¼ ε® oª¥­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ¸É¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o ŤnÁ } nµ«¼ ¥r

9.9  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ , ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC), ¨³Â £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ¢{ r ´ n°Å ¸Ê 1.1) x t

e 2t u t e3t u t

1.2) x t

e 5t u t 1

1.3) x t

e 4t u t e 5t sin 5t u t

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-43 353

2 t

1.4) x t

te

1.5) x t

te

1.6) x t

t e2t u t

1.7)

2 t

x t et sin 2t u t

0 d t d1 ­t , ® ¯2 t , 1 d t d 2

1.8) x t

2) ®µ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ° ¢{ r ´ X s n°Å ¸Ê 2.1)

X s

1 , Re ^s` ! 0 s2 9

2.2)

X s

s , Re ^s` 0 s 9

2.3)

X s

s 1

, 2 s 1 9

2.4)

X s

2.5)

X s

2.6)

X s

2

s 1

Re ^s` 1

2

s2 s 1

,

Re ^s` ! 0.5

s 2 , 4 Re ^s` 3 s 7 s 12 2

s2 s 1

s 1

2

,

Re ^s` ! 1

L o X s ¹É ¤¸Á ºÉ° Å ´ ¸Ê 3) ε® Ä®o x t m

)

X s

¤¸Ã¡¨ 2 á¨

)

X s

Ťn¤¸ ¸Ã¦Ä ¦³ µ s ¸É ε ´ (finite s-plane)

)

X s

¤¸® ¹É ᨰ¥¼n ¸É s

)

e2t x t Ťn­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ r°¥nµ ­´¤ ¼¦ rÅ o

)

X 0 8

1 j

®µ nµ X s ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-44 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

354

4) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸­´ µ °· ¡» º° x t

h t e 2t u t

e t u t

¨³ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r® ¹É ® nª¥ º°

4.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x t ¨³ h t

4.2) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° ­´ µ Á°µ r¡» y t ´É º° Y s

4.3) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y t µ Y s ¸ÉÅ oÄ o° 5.2) 4.4) ­ Ä®oÁ®È ªnµ ¨¨´¡ r y t ¸ÉÅ o µ µ¦Ä o µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦®µ­´ µ Á°µ r¡» à ¥Ä o ª´ εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ y t x t h t

5) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É­° ¨o° ´ ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ´ ¸Ê d 2 y t dy t

3y t

dt dt

Á¤ºÉ° x t º°­´ µ °· ¡» , °·¤¡´¨­r ° ¦³

y t

x t

º°­´ µ Á°µ r¡» , ¨³ ε® Ä®o h t º° ¨ ° ­ °

5.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° h t ¨³®µ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¡¦o°¤ ´Ê ªµ  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ 5.2) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ h t Á¤ºÉ° 5.2.1) ¦³ LTI Á } ¦³ Á­ ¸¥¦ (stable) 5.2.2) ¦³ LTI Á } ¦³ ° °¨ (causal) 5.2.3) ¦³ LTI ŤnÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦Â¨³¦³ ° °¨ 6) ªµ  £µ¡¦¼  ¦ (direct-form diagram) ° ¦³ LTI  ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° º° 6.1)

H s

s 1 s 5s 6

6.2)

H s

s s 3

s 1 s 2

6.3)

H s

s 2 5s 6 s 2 7 s 10

6.4)

H s

6.5)

X s

2

s

s 3

2

2

s 3

s 3 s 2

บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ 9-45

355

7) ε® Ä®o­´ µ °· ¡» x t ¨³­´ µ Á°µ r¡» y t ° ¦³ LTI  ° °¨¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¤Â £µ¡ ¨È° n°Å ¸Ê y t

x t

1 s 1

2

1 s 5

1

7.1) ®µ­¤ µ¦Á · ° »¡´ r ° ¦³ Á¡ºÉ°Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ x t ¨³ y t

7.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦®¦º°Å¤n 8) ε® Ä®o x1 t

e 4t u t

¨³

x2 t e

2 t 1

u t 1

8.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª X 1 s ¨³Â ­° oµ

X1 s

° ­´ µ x1 t

8.2) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª X 2 s ¨³Â ­° oµ

X2 s

° ­´ µ

x2 t

Á¡ºÉ°®µ nµ­´ µ

g t

8.3) ®µ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  ­° oµ ´ ° ¨ ¼ x1 t x2 t

X1 s X 2 s

8.4) ­ ªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ  oµ Á ¸¥ª ´ ° ¨ ¼ g t Ä o° ¸É 8.3) ­Îµ®¦´ t ! 0

X1 s X 2 s

¤¸ nµÅ¤nÁ nµ ´ ­´ µ

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 9-46 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

356

¸É 10 µ¦Â ¨ ¸ Ä ¸É 9 Å o­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Á } ­nª ¥µ¥ (extension) ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (CtFT) ¹É Ä oÄ µ¦Â ­´ µ ŤnÁ } µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ “ µ¦Â ¨ ¸ (Z transform)” Ȥ¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ Á¡¸¥  n ³Ä o ´ ­´ µ ŤnÁ } µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (discrete-time aperiodic signal) Á nµ ´Ê Ä ¸Ê ³Â­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¸Á } ­nª ¥µ¥ ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) à ¥­µ¤µ¦ ε¤µÄ oª·Á ¦µ³®r­´ µ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o Á¡¦µ³ ³ ´Ê µ¦Â ¨ ¸ ¹ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ Á n Ä o®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ (¦³ LTI), Ä o¡· µ¦ µ ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ LTI, ¨³Ä oª·Á ¦µ³®r ¡§ · ¦¦¤ ° ¦³ j° ¨´ (feedback system) Á } o

10.1 µ¦Â ¨ ¸ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ·¥µ¤Ã ¥ X z

f

¦ x > n@ z

n

(10.1)

n f

à ¥ ¸É z º° ´ªÂ ¦Á · o° ¨³Á¡ºÉ°Ä®o­³ ª n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¸ ³Ä o­´ ¨´ ¬ r X z Z ^ x > n @`

(10.2)

¨³

บทที่ 10 การแปลงซี 10-1 357

x > n @ Z 1 ^ X z `

(10.3)

Á¤ºÉ° Z > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¸ ¨³ Z 1 > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¸ ´ ¹É ³° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 10.3 ° µ ¸Ê ³Ä o­´ ¨´ ¬ r Z x > n @ m o X z

(10.4)

­ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¸¦³®ªnµ x > n@ ¨³ X z

Á ºÉ° µ z Á } ´ªÂ ¦Á · o° ¹ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ ´ªÂ ¦ z Ä ¦¼  Á · ´Êª (polar form) Å o º° re jZ

z

(10.5)

Á¤ºÉ° r º° µ (magnitude) ° z ¨³ Z º°¤»¤Á¢­ (phase) ° z µ¦Â ¨ ¸Ä ­¤ µ¦ (10.1) ³¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´ ¸Ê X z z

re jZ

X re jZ

f

¦ x > n@ re

jZ

n

n f

f

¦ ^x > n@ r ` e

n f

n

jZ n

^

F x > n@ r n

`

(10.6)

´É º° µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ (DtFT) ° ­´ µ x > n @ ®¨´ µ µ¦ ¼ oª¥­´ µ Á¨ ¸Ê ε¨´ ε ª ¦· r n ­Îµ®¦´ Ä ¦ ¸ ¸É r 1 ®¦º° z 1 µ¦Â ¨ ¸ ³¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ´É º°­¤ µ¦ (10.6) ­µ¤µ¦ ¨ ¦¼ Å oÁ } X z z

e jZ

X e jZ

F ^ x > n @`

(10.7)

µ ¸É ¨nµª¤µ oµ o ¡ ªnµ µ¦Â ¨ ¸¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥ ¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ n° oµ ¤µ Á n Á ¸¥ª ´ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¨³ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¨nµª º° µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ  · £µ¡ ( ´É º° Á¤ºÉ° ´ªÂ ¦ Á · o° s V jZ ¤¸ nµ ¦· Á } nµ«¼ ¥r ®¦º° V 0 ) Ä ³ ¸É µ¦Â ¨ ¸¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r¤¸ nµ Á nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ Á­o ¦° ° (contour) ¸É¤¸¦´«¤¸Á nµ ´ nµ® ¹É ¦³ µ z à ¥ ¸É ª ¨¤ ¸Ê ³Á¦¸¥ ªnµ “ª ¨¤® ¹É ® nª¥ (unit circle)” µ¤£µ¡ ¸É 10.1 ¹É ¤¸ µ ¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ à ¥Ä o µ¦Â ¨ ¸ µ ­¤ µ¦ (10.6) µ¦¨¼nÁ oµ (convergence) ° µ¦Â ¨ ¸ ³Á · ¹Ê Á¤ºÉ°¡ r x > n@ r n ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ ´ ´Ê µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¸ ° ¨Îµ ´ o°¤¼¨ x > n@ ³Á · ¹Ê ­Îµ®¦´ nª ° nµ r ¹É Ä µ · ´ · ³Á¦¸¥ nª ° nµ r ¸É εĮo µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ ¤¸ nµ¨¼nÁ oµªnµ “ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC: region of convergence)” à ¥ ¸É oµ ROC ° X z ¦° ¨»¤ ¦·Áª ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥Â¨oª µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° x > n@ ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµÁ­¤° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-2 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

358

Im ^ z`

¦³ µ z

ª ¨¤® ¹ É ® nª¥

e jZ

z Z

1

Re ^ z`

1 1

£µ¡ ¸É 10.1 ª ¨¤® ¹É ® nª¥Ä ¦³ µ

´ª°¥nµ ¸É 10.1 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@

z

a nu > n@

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (10.1) ´É º° X z

f

¦ ^a u > n@` z n

n

n f

f

¦ az

1

n

(10.8)

n 0

à ¥ ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° 1 n

f

¦ az

n 0

¹É ­ ªnµ ROC ° X z º° ¦·Áª ¸É

®¦º°

az 1 1 f

¦r

n

n 0

f z !a

¨³Á ºÉ° µ

1 1 r

(10.9)

´ ´Ê ³Å oªnµ X z

f

¦ az

1

n

n 0

­Îµ®¦´

z !a

1 1 az 1

z z a

(10.10)

Á¡¦µ³ ³ ´Ê ¼ n µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@ º° Z x > n @ a nu > n @ m o X z

´ª°¥nµ ¸É 10.2 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@

1 , 1 az 1

z !a

(10.11)

a nu > n 1@

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (10.1) ´É º° บทที่ 10 การแปลงซี 10-3 359

X z

f

¦ ^ a u > n 1@` z n

1

n f

­Îµ®¦´

z a

¦ a n z n

n f

à ¥ ¸É X z ³¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° ¦ fn 0 a 1 z

®¦º° z a ´ ´Ê ³Å oªnµ X z 1

f

¦ an z n

n

n

f

1 1 a 1 z

n 1

f

1 ¦ a 1 z n 0

n

¹É ­ ªnµ ROC ° X z º° ¦·Áª ¸É 1 1 az 1

z z a

(10.12) a 1 z 1

(10.13)

Á¡¦µ³ ³ ´ Ê ¼n µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@ º° Z x > n @ a nu > n 1@ m o X z

1 , 1 az 1

z a

(10.14)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (10.11) ¨³ (10.14) ¡ ªnµ­´ µ ´Ê ­° ¤¸ ·¡ r¡¸ · 1 (algebraic expression) ° ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z Á®¤º° ´  n¤¸ nµ ROC nµ ´ ¨nµª º° X z Ä ­¤ µ¦ (10.11) ¤¸ ROC º° z ! a ¨³ X z Ä ­¤ µ¦ (10.14) ¤¸ ROC º° z a ´ ´Ê ­¦» Å oªnµ µ¦Â ¨ ¸ ³ o° ¼ ε® oª¥ ·¡ r¡¸ · ¨³ ROC ° ¨ µ¦Â ¨ ¸ à ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ³°¥¼nÄ ¦¼ ° “¢{ r ´ ¦¦ ¥³ (rational function)” ¸ÉÁ } ¢{ r ´ ° ´ªÂ ¦ z ´É º° X z

N z

D z

(10.15)

Á¤ºÉ° N z ¨³ D z º°¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Â¨³¡®» µ¤ ´ª­nª ° X z ° µ ¸Ê ε ° ° N z

¨³ D z Ä ¦³ µ z ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o° · µ¥ ¨ µ¦Â ¨ ¸Å o à ¥ ε ° ° N z ³Â­ oª¥ ­´ ¨´ ¬ r “ 9 ” ¨³ ε ° ° D z ³Â­ oª¥­´ ¨´ ¬ r “ u ” Ä µ · ´ · ε ° ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ N z Á¦¸¥ ªnµ “ ¸Ã¦ (zero)” Á¡¦µ³ªnµ ε ° Á®¨nµ ¸Ê ³ εĮo X z 0 Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ε ° ° ¡®» µ¤ ´ª­nª D z Á¦¸¥ ªnµ “ᨠ(pole)” Á¡¦µ³ªnµ ε ° Á®¨nµ ¸Ê εĮo X z f ° µ ¸Ê µ¦Â ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z à ¥Ä oá¨Â¨³ ¸Ã¦Ä ¦³ µ z ³Á¦¸¥ ´ ªnµ “ £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ (pole–zero plot)” ° X z ´ ´Ê à ¥ ´ÉªÅ ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z ­µ¤µ¦ ε® Å o 2 ¦¼  º° µ¦Ä o ·¡ r¡¸ · ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ®¦º° µ¦Ä o ·¡ r¡¸ · ¨³Â £µ¡ ᨠ¸Ã¦ 1

·¡ r¡¸ · ° ¨ µ¦Â ¨ ¸

X z

®¤µ¥ ¹ ¦¼ ­¤ µ¦ · «µ­ ¦r °

X z

´É Á°

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-4 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

360

Im ^ z`

Im ^ z`

a

1

Re ^ z`

a

1

Re ^ z`

z a

z !a

£µ¡ ¸É 10.2  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z Á¤ºÉ°

a d 1 ­Îµ®¦´ ( ) ´ª°¥nµ ¸É 10.1 ¨³ ( ) ´ª°¥nµ ¸É 10.2

£µ¡ ¸É 10.2 ( ) ­  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z 1/ 1 az 1 Ä ­¤ µ¦ (10.11) ­Îµ®¦´ a d 1 à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª ¸É¦Á µÁ } ­¸Á µ °¥nµ Ŧ È µ¤ oµ a ! 1 ¨oª ROC ³Å¤n¦ª¤ª ¨¤ ® ¹É ® nª¥ ¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ­´ µ x > n @ a nu > n@ ³Å¤n­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦rÅ o ( n¥´ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ Å o) Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ £µ¡ ¸É 10.2 ( ) ­  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z Ä ­¤ µ¦ (10.14) ­Îµ®¦´ a d 1 ´ª°¥nµ ¸É 10.3 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ n

n

x > n @ 7 1/ 3 u > n @ 6 1/ 2 u > n @

(10.16)

ª· ¸ ε ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (10.1) ´É º° X z

f

­

n f

°¯

n

n

½

° §1· ° §1· ¦ ®7 ¨© 3 ¸¹ u > n@ 6 ¨© 2 ¸¹ u > n@¾ z f

n

°¿

n

n

f §1· §1· 7 ¦ ¨ ¸ z n 6¦ ¨ ¸ z n 3 n 0© ¹ n 0© 2¹ n

f f §1 · §1 · 7¦ ¨ z 1 ¸ 6¦ ¨ z 1 ¸ 3 2 ¹ ¹ n 0© n 0©

7 6 1 1 1 1 1 z 1 z 3 2

SCILAB: -->z

n

(£µ¡ ¸É 10.3 ( )) = poly(0, 'z');

-->num = z*(z-3/2);

(10.17) (10.18)

-->den = (z-1/3)*(z-1/2); -->Xz

= num/den;

-->h

= syslin('d', Xz);

-->plzr(h); //£µ¡ ¸É 10.3 ( )

บทที่ 10 การแปลงซี 10-5 361

Im

Im

Im

1

1

Re

1

1

3

Re

1 1

2

§ ©

§ 1 · 1/ ¨ 1 z 1 ¸ © 3 ¹

1/ ¨ 1

1 2

3 2

· ¹

1

3

Re

2

§ 1 · § 1 · 7 / ¨ 1 z 1 ¸ 6 / ¨ 1 z 1 ¸ © 3 ¹ © 2 ¹

z 1 ¸

£µ¡ ¸É 10.3  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.3 3 1 z 2 § 1 1 · § 1 1 · ¨1 z ¸ ¨1 z ¸ © 3 ¹© 2 ¹ 1

3· § z¨z ¸ 2¹ © 1 ·§ 1· § ¨ z ¸¨ z ¸ 3 ¹© 2¹ ©

(10.19)

à ¥ ¸É X z ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ È n°Á¤ºÉ° ¨¦ª¤ °  n¨³¡ rÄ ­¤ µ¦ (10.17) ¨¼nÁ oµ ´É º°Á¤ºÉ° 1/ 3 z 1 1 ¨³ 1/ 2 z 1 1 ¹É ³Å oªnµ z ! 1/ 3 ¨³ z ! 1/ 2 µ¤¨Îµ ´ Á¡¦µ³ ³ ´Ê ROC ° X z º° z ! 1/ 2 ( ¦·Áª ¸É ´ o° ´ ° z ! 1/ 3 ¨³ z ! 1/ 2 ) £µ¡ ¸É 10.3 ­  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z

° µ ¸Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@ Ä ­¤ µ¦ (10.16) ­µ¤µ¦ ®µÅ oà ¥°µ«´¥ » ­¤ ´ · Á · Á­o ¨nµª º° µ ­¤ µ¦ (10.11) ³Å oªnµ n

1 §1· Z ¨ ¸ u > n @ m o 1 ©3¹ 1 z 1 3 n

1 §1· Z ¨ ¸ u > n @ m o 1 ©2¹ 1 z 1 2

z z

, 1

z !

1 3

(10.20)

z !

1 2

(10.21)

3

z 1 z 2

,

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ Ä ­¤ µ¦ (10.16) º° X z

7 6 , 1 1 1 1 1 z 1 z 3 2

z !

1 2

(10.22)

¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ´ ­¤ µ¦ (10.18) ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-6 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

362

10.2 ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° µ¦Â ¨ ¸ ´ª°¥nµ ¸É 10.1 ¨³ 10.2 Å o­ Ä®oÁ®È ªnµ­´ µ ¸É nµ ´ ­° ­´ µ ­µ¤µ¦ ¤¸ ·¡ r¡¸ · (®¦º°¦¼ ­¤ µ¦) ° ¨ µ¦Â ¨ ¸Á®¤º° ´ Å o  n¤¸ ROC nµ ´ ´ ´Ê µ¦Â ¨ ¸ o° ¼ ε® oª¥ ·¡ r ¡¸ · ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ Ä ®´ª o° ¸Ê ³ ¨nµª ¹ » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° ROC Á¡ºÉ° nª¥ εĮoÁ oµÄ ¹ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ X z ¤µ ¹Ê » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° ROC ¤¸ ´ n°Å ¸Ê 1. ROC ¤¸¨´ ¬ ³Á } ª ®ª Ä ¦³ µ z ¸É¤¸ » «¼ ¥r ¨µ °¥¼n ¸É » εÁ · ¹É ³­´ Á Á®È Å o µ ´ª°¥nµ Ä £µ¡ ¸É 10.3 Á¤ºÉ°ª ®ª ¦° ° °¥¼n ¸É nµ° ´ r 2. ROC o° Ťn¤¸Ã¡¨°¥¼n£µ¥Ä 3. oµ­´ µ x > n@ ¤¸ nª Áª¨µ ε ´ ¨oª ROC º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ z ¹É °µ ³¦ª¤ » z 0 ¨³/®¦º ° z f ®¦º ° Ťn È Å o ¨n µ ª º ° ­¤¤ · ªn µ ­´ µ x > n@ ¤¸ n µ Ťn Á n µ ´ n µ «¼ ¥r ­Î µ ®¦´ n ª N1 d n d N 2 ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n @ º° X z

N2

¦ x > n@ z

n

(10.23)

n N1

¹É ³Å oªµn oµ N1 0 ¨³ N 2 ! 0 ¨oª ³Å oªnµ ROC ° X z Ťn¦ª¤ » z 0 ¨³ z f oµ N1 t 0 ¨³ N 2 ! N1 ¨oª ³Å oªnµ ROC ° X z ¦ª¤ » z f oµ N 2 d 0 ¨³ N1 N 2 ¨oª ³Å oªnµ ROC ° X z ¦ª¤ » z 0 4. oµ x > n@ Á } ­´ µ {~ ªµ (right-sided signal) ¨³ oµª ¨¤ z rR °¥¼nÄ ROC ¨oª ´ ´Ê » nµ ¸É z ! rR ³°¥¼nÄ ROC oª¥

z

5. oµ x > n@ Á } ­´ µ {~ oµ¥ (left-sided signal) ¨³ oµª ¨¤ z rL °¥¼nÄ ROC ¨oª ´ ´Ê » nµ z ¸É 0 z rL ³°¥¼nÄ ROC oª¥ 6. oµ x > n@ Á } ­´ µ ­° {~ (two-sided signal) ¨³ oµª ¨¤ z r0 °¥¼nÄ ROC ¨oª ´ ´Ê ROC ³ ¦³ ° Å oª¥ª ®ª Ä ¦³ µ z ¸É¦ª¤ª ¨¤ z r0 ¸Ê oª¥ 7. oµ X z °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³Â¨oª ROC ³ ¼ ε ´ ° Á oª¥Ã¡¨®¦º° ¥µ¥Å ¹ nµ° ´ r 8. ­Îµ®¦´ X z ¸É°¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ (rational function) 8.1) oµ x > n@ Á } ­´ µ {~ ªµ ³Å oªnµ ROC º° ¦·Áª oµ ° ° ª ¨¤ ¸É¤¸¦´«¤¸Á nµ ´ ᨠ° X z ¸É¤¸ nµ¤µ ­» ° µ ¸Ê oµ x > n @ Á } ­´ µ ° °¨Â¨oª ROC ³¦ª¤ » z f บทที่ 10 การแปลงซี 10-7 363

8.2) oµ x > n@ Á } ­´ µ {~ oµ¥ ³Å oªnµ ROC º° ¦·Áª oµ Ä ° ª ¨¤ ¸É¤¸¦´«¤¸Á nµ ´ ᨠ° X z ¸É¤¸ µ o°¥­» ( ¹É °µ ¦ª¤ » z 0 ®¦º°Å¤n ÈÅ o) ° µ ¸Ê oµ x > n @ Á } ­´ µ ° Å ° °¨Â¨oª ROC ³¦ª¤ » z 0 ´ª°¥nµ ¸É 10.4 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ ­a n , 0 d n d N 1 x > n@ ® ¯0, else

(10.24)

Á¤ºÉ° a ! 0 ª· ¸ ε

¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (10.1) ´É º° N 1

X z

¦a

n n

z

n 0

N 1

¦ az

1

n

(10.25)

n 0

°µ«´¥ ªµ¤­´¤¡´ r 1 r L 1 1 r

L

¦ rn n 0

(10.26)

³ ´Ê ­¤ µ¦ (10.25) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } X z

à ¥ ¸É ROC ° ° ROC ´ ¸Ê

X z

1 az 1

N

1 az 1

1 § zN aN · ¨ ¸ z N 1 © z a ¹

º° ¦·Áª ´Ê ®¤ Ä ¦³ µ z ¥ Áªo ¸É »

z

0

(10.27) ¹É ° · µ¥Å o µ » ­¤ ´ · o° ¸É 3

) Á ºÉ° µ x > n@ ¤¸ nª Áª¨µ ε ´ ´ ´Ê ROC º° ¦·Áª ´Ê ®¤ ° ¦³ µ z ¹É °µ ¦ª¤ » z f ®¦º°Å¤n ÈÅ o

z

) Á ºÉ° µ x > n@ 0 ­Îµ®¦´ n 0 ´ ´Ê ROC ° X z ³¦ª¤ » z f ) Á ºÉ° µ x > n@ z 0 ­Îµ®¦´ µ nµ ° n ¸É¤µ ªnµ nµ«¼ ¥r ´ ´Ê ROC ° X z ³Å¤n¦ª¤ » µ ­¤ µ¦ (10.27) ¡ ªnµ X z ¤¸Ã¡¨°´ ´ N 1 ¸É » z 0 ( ´É º° ¤¸Ã¡¨ ¸É » N 1 ´ª) ¨³¤¸Ã¡¨°´ ´ ® ¹É ¸É » z a Ä ³ ¸É X z ¤¸ ¸Ã¦ ε ª N ´ª ¸É » z

ae j 2S k / N ,

­Îµ®¦´ k

0,1,! , N 1

z

0

0

¨³

z

0

ε ª

(10.28)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-8 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

364

Im

a Re

£µ¡ ¸É 10.4  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ° X z Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.4

à ¥ ¸É ¸Ã¦ ¸É » z a (Á¤ºÉ° k X z ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 10.4

0 ) ³®´ ¨oµ ´ ᨠ¸É » z

´ª°¥nµ ¸É 10.5 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@

a

´ ´Ê  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC °

­Îµ®¦´ b ! 0

bn

ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x > n@ Á } ­´ µ ­° {~ µ¤£µ¡ ¸É 10.5 ( ) ­Îµ®¦´ 0 b 1 ¨³ b ! 1 ¹É ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤ ° ­´ µ {~ oµ¥Â¨³­´ µ {~ ªµÅ o º° x > n @ b nu > n @ b nu > n 1@

(10.29)

µ ­¤ µ¦ (10.11) Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.1 ¨³­¤ µ¦ (10.14) Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.2 ³Å oªnµ Z b nu > n @ m o

1 1 bz 1

Z b nu > n 1@ m o

,

z !b

1 , 1 b 1 z 1

z

1 b

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ° x > n@ º° X z

1 1 1 1 bz 1 b 1 z 1

£µ¡ ¸É 10.5 ( ) ­  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ °

b2 1 z , b z 1 1 b z b z b

b

X z

à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª b

z

(10.30) 1 b

¹É ­° ¨o° ´

» ­¤ ´ · o° ¸É 6 ° ROC บทที่ 10 การแปลงซี 10-9 365

x > n@ b

Im

n

1

0 b 1 n

x > n@ b

n

1

b

1

Re

b

1

b !1

n

£µ¡ ¸É 10.5 ( ) ¦¼ ¦nµ ° ­´ µ x > n @

b

n

¨³ ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ °

X z

10.3 µ¦Â ¨ ¸ ´ ­¤ µ¦ (10.6) ­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ° ­´ µ x > n@ ®¨´ µ µ¦ ¼ oª¥­´ µ r n Á¤ºÉ° r Á } Á¨ ε ª ¦· ¨nµª º° X z z

re

f

¦ ^ x > n@ r ` e

X re jZ

jZ

n

^

F x > n@ r n

jZ n

n f

`

(10.31)

­Îµ®¦´ nµ r Ä Ç ¸É εĮo z re jZ £µ¥Ä ROC ´ ´Ê µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ (inverse Z transform) ³°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ´ ´É º° µ ­¤ µ¦ (10.31) ³Å oªnµ

^ `

x > n@ r n

F 1 X re jZ

1 2S

Z Z ³ S X re e dZ j

j n

(10.32)

2

¼ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (10.32) oª¥ r n ³Å o x > n@ r n

1 2S

Z Z ³ S X re e dZ j

j n

2

1 2S

Z Z ³ S X re re

j

2

j

n

dZ

(10.33)

´É º°­´ µ x > n@ ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z à ¥ µ¦®µ ¦·¡´ r µ¤Á­o ¦° ° (contour integral) z re jZ Ä ROC Á¤ºÉ° r ¤¸ nµ ¸É ¨³ Z Á ¨¸É¥ nµ£µ¥Ä nª 2S Á¤ºÉ° ε µ¦Á ¨¸É¥ ´ªÂ ¦ µ¦®µ ¦·¡´ r ° ­¤ µ¦ (10.33) µ Z Å Á } z à ¥ µ¦Ä o z re jZ Á¤ºÉ° r ¤¸ nµ ¸É ´ ´Ê ³Å oªµn dz jre jZ dZ jzdZ ®¦º° dZ 1/ j z 1dz ¨³ µ¦®µ ¦·¡´ rÄ nª ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

366

° Z È ³ ¼ Á ¨¸É¥ Á } µ¦®µ ¦·¡´ r µ¤Á­o ¦° ° ° ª ¨¤ Á ¨¸É¥ ¦¼ Ä®¤nÁ } 2S

x > n@

1

2S j v³

z

r

´ ´Ê ­¤ µ¦ (10.33) ¹

X z z n 1dz

(10.34)

Á¤ºÉ° v³ ®¤µ¥ ¹ µ¦®µ ¦·¡´ r¦° µ¤Á­o ¦° ° Ä ·« µ ª Á Ȥ µ¯· µ ° ª ¨¤ d ¸É¤¸ » «¼ ¥r ¨µ ¸É » εÁ · ¨³¤¸¦´«¤¸ r à ¥ ¸É r ¤¸ nµÁ nµ ´ nµÄ ÈÅ o£µ¥Ä ROC ¸É εĮo X z ¤¸ nµ¨¼nÁ oµ à ¥ ´ÉªÅ µ¦®µ ¦·¡´ r µ¤Á­o ¦° ° ° ­¤ µ¦ (10.34) à ¥ ¦ n° oµ ´ o° °¥nµ Ŧ È µ¤ Ä ¦ ¸ ¸É ¨ µ¦Â ¨ ¸ X z °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ³Á¦·É¤ µ µ¦Ä o Á · µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥Á¡ºÉ° ´ ¦¼ ° X z Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¨¦ª¤Á · Á­o X z

m

i 1

¨oª ¹ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ °  n¨³¡ r ¨nµª º°

­

Ai

¦ ®1 a z ¯

1

i

Ai / 1 ai z 1

½ ¾ ¿

(10.35)

Ä ­¤ µ¦ (10.35) µ¤ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o

oµ ROC º° ¦·Áª

z ! ai

³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ º°

oµ ROC º° ¦·Áª

z ai

³Å oªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ º° Ai ainu > n 1@

Ai ain u > n @

µ ´Ê ­´ µ x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨¦ª¤Á · Á­o ° ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ °  n¨³¡ r ¨³Á¡ºÉ°Ä®o­³ ª n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ³Ä o­´ ¨´ ¬ r

Ai / 1 ai z 1

x > n @ Z 1 ^ X z `

(10.36)

 ¨ µ¦Â ¨ ¨µ ¨µ ´ Á®¤º° ´ ¸É ε® Ä ­¤ µ¦ (10.3) ´ª°¥nµ ¸É 10.6 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z

2 z 1 § 3 1 · § 1 1 · ¨1 z ¸ ¨1 z ¸ © 2 ¹© 2 ¹

(10.37)

Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É )

z !

3 2

)

z

1 2

)

1 3 z 2 2

บทที่ 10 การแปลงซี 10-11 367

ª· ¸ ε °µ«´¥Á · µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ³Å oªnµ X z

2 z 1 § 3 1 · § 1 1 · ¨1 z ¸ ¨1 z ¸ © 2 ¹© 2 ¹

4 2 3 1 1 1 1 z 1 z 2 2

(10.38)

Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z ³ ¹Ê °¥¼n ´ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o Á¡¦µ³ ³ ´ Ê ) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É

z !

3 2

³Å oªnµ n

1 §3· Z ¨ ¸ u > n @ m o 3 2 © ¹ 1 z 1 2

,

z !

3 2

,

z !

1 2

n

1 §1· Z ¨ ¸ u > n @ m o 1 ©2¹ 1 z 1 2

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z º° n n °­ § 3 · § 1 · °½ x > n @ ®4 ¨ ¸ 2 ¨ ¸ ¾ u > n @ © 2 ¹ °¿ °¯ © 2 ¹

) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É

z

1 2

(10.39)

³Å oªnµ n

1 §3· Z , ¨ ¸ u > n 1@ m o 3 ©2¹ 1 z 1 2

z

3 2

z

1 2

n

1 §1· Z , ¨ ¸ u > n 1@ m o 1 1 ©2¹ 1 z 2

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z º° n ­° § 3 ·n § 1 · ½° x > n @ ® 4 ¨ ¸ 2 ¨ ¸ ¾ u > n 1@ © 2 ¹ ¿° ¯° © 2 ¹

) Á¤ºÉ° ROC º° ¦·Áª ¸É

1 3 z 2 2

(10.40)

µ ­¤ µ¦ (10.14) ³Å oªnµ

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

368

Im

Im

1

0.5

1.5

Re

Re

z ! 3/ 2 Im

Im

Re

Re

z 1/ 2

1/ 2 z 3 / 2

£µ¡ ¸É 10.6  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦Â¨³ ROC ° X z  nµ Ç Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.6 n

1 §1· Z ¨ ¸ u > n @ m o 1 ©2¹ 1 z 1 2

,

z !

1 2

n

1 §3· Z , ¨ ¸ u > n 1@ m o 1 ©2¹ 1 z 1 3

z

3 2

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z º° n

n

§3· §1· x > n @ 4 ¨ ¸ u > n 1@ 2 ¨ ¸ u > n @ ©2¹ ©2¹

(10.41)

µ o° ( ) – ( ) ¡ ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ Ä®o ¨¨´¡ r nµ ´ à ¥ ¹Ê °¥¼n ´ ROC ¸É ε® ¤µÄ®o £µ¡ ¸É 10.6 ( ) ­  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° X z ¨³£µ¡ ¸É 10.6 ( ) – ( ) ­ ROC ° X z  nµ Ç บทที่ 10 การแปลงซี 10-13 369

´ª°¥nµ ¸É 10.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ °

X z log 1 bz 1

,

z !b

(10.42)

ª· ¸ ε µ µ¦ ¦³ µ¥° » ¦¤Á Á¨°¦r (Taylor’s series expansion) log 1 y

f

¦

1

z !b

®¦º°

yn

n

n 1

Á ºÉ° µ

n 1

y 1

,

(10.43)

bz 1 1 ´ ´Ê ­¤ µ¦ (10.42) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Ä®¤nÅ oÁ }

X z log 1 bz

1

f

¦

1

n 1

bz

1

n

f

¦

n

n 1

1

n 1

n 1

bn

n

z n

(10.44)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (10.44) ¨³ (10.1) ³Å oªnµ x > n@

­ 1 n 1 b n ° , n t1 ® n °0, nd0 ¯

®¦º° ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } x > n@

b

n

n

u > n 1@

(10.45)

10.4 » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸ Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â­ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸ ¸É­Îµ ´ ¹É ¤¸¨´ ¬ ³ ¨oµ¥ ´ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ à ¥Á¤ºÉ° ¼o°nµ Á oµÄ » ­¤ ´ · µ¦Â ¨ ¸Â¨oª È ³ nª¥ εĮo µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³ nµ¥ ¹Ê

10.4.1 » ­¤ ´ ·Á · Á­o Z Z o X z ¸É¤¸ ROC = R1 ¨³ y > n@ m o Y z ¸É¤¸ ROC = ε® Ä®o x > n@ m ° ­´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° Z ax > n@ by > n@ m o aX z bY z ,

ROC =

R2

R1 R2

´ ´Ê ¨¦ª¤Á · Á­o

(10.46)

Á¤ºÉ° a ¨³ b Á } nµ ´ªÄ Ç Â¨³ ROC º° ¦·Áª ¸É ´ o° ´ ¦³®ªnµ R1 ¨³ R2 10-14 สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

370

10.4.2 » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ Z o X z Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê x > n n0 @ º°­´ µ x > n@ ¸É ¼ Á¨ºÉ° Áª¨µ (time ε® Ä®o x > n@ m shifting) Á } ε ª n0 ® nª¥ ¹É ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° Z x > n n0 @ m o z n0 X z

Á¤ºÉ° ROC = R  n°µ ¤¸ µ¦Á¡·É¤®¦º°¨ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¸É » oª¥ z n à ¥ ¸É

z

0

®¦º°

(10.47) z

f

ÈÅ o Á¡¦µ³ªnµ µ¦ ¼ X z

0

oµ n0 ! 0 ³ εĮoÁ · ᨠ¸É » z 0 ¹É °µ εĮoÁ · µ¦®´ ¨oµ ´ ¸Ã¦ ° X z ¸É » z 0 ÈÅ o Á¡¦µ³ ³ ´Ê z 0 °µ Á } ᨠ° z n X z  n°µ ŤnÁ } ᨠ° X z ¹É Ä ¦ ¸ ¸Ê ROC ° z n X z º° ROC ° X z ¸ÉŤn¦ª¤ » z 0 0

0

oµ n0 0 ³ εĮoÁ · ¸Ã¦ ¸É » z 0 ¹É °µ εĮoÁ · µ¦®´ ¨oµ ´ ᨠ° X z ¸É » z 0 ÈÅ o Á¡¦µ³ ³ ´Ê z 0 °µ Á } ¸ à ¦ ° z n X z  n ° µ Ťn Á } ¸ à ¦ ° X z Ä ¦ ¸ ¸Ê z f ³Á } ᨠ° z n X z ¹É ³Å oªnµ ROC ° z n X z º° ROC ° X z ¸ÉŤn¦ª¤ » z f 0

0

0

» ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ­¤ µ¦ (10.47) ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o µ ­¤ µ¦ (10.34) ´É º° x > n@

1 X z z n 1dz 2S j v³

 nµ n oª¥ n n0 ³Å o x > n n0 @

1 n n 1 X z z 0 dz 2S j v³

1 X z z n0 z n 1dz 2S j v³

^

`

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n n0 @ º° Z ^ x > n n0 @`

z n0 X z

10.4.3 » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨Ä à Á¤ z Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m

R

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦­Á ¨ (scaling) Ä Ã Á¤ z ³ ·¥µ¤Ã ¥ §z·

Z D n x > n@ m o X ¨ ¸, ©D ¹

ROC = D

R

(10.48)

บทที่ 10 การแปลงซี 10-15 371

Im

Im

T T

Z0

T T

Re

Re

£µ¡ ¸É 10.7 ¨ ¦³ ¸ÉÁ · µ µ¦ ¼ ­´ µ x > n@ oª¥ e jZ n à ¥ ¸É ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° X z

¨³ ( )  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° X e jZ z

0

0

Á¤ºÉ° D Á } nµ ´ª ´ª°¥nµ Á n oµ ROC ° X z ¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É » (®¦º° ¸Ã¦) ¸É » z D a ­¤ µ¦ (10.48) ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o µ f

¦ x > n@ z

X z

z

a

¨oª X z / D ³¤¸Ã¡¨

n

n f

 nµ

z

z /D

³Å o §z· X¨ ¸ ©D ¹

f

§z· x > n@ ¨ ¸ ¦ ©D ¹ n f

µ ­¤ µ¦ (10.48) Ä ¦ ¸ ¸É D

e jZ0

n

f

¦ ^ x > n @D ` z n

n

n f

^

`

Z D n x > n@

³Å oªnµ

Z e jZ0n x > n@ m o X e jZ0 z

, ROC = D R

R

(10.49)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ µ¦ ¼ ­´ µ x > n@ oª¥Á¨ ¸Ê ε¨´ Á · o° e jZ n ³¤¸ ¨ εĮoá¨Â¨³ ¸Ã¦Ä ¦³ µ z Á · µ¦®¤» Á } ¤»¤ Z0 ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 10.7 ´ª°¥nµ Á n oµ X z 1/ 1 az 1 ­ ªnµ¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » z a ´ ´Ê X e jZ z 1/ 1 ae jZ z 1 È ³¤¸ à ¡¨°¥¼n ¸É » z ae jZ ° µ ¸Ê Ä ¦ ¸ ¸É ­ ¤ µ¦ (10.48) ¤¸ nµ D r0e jZ ³Å oªnµ 0

0

0

0

0

r e x > n@ m o X ¨©§ Dz ¸¹· jZ0 n

0

Z

§ ze jZ0 · X¨ ¸, © r0 ¹

ROC = D

R

r0 R

(10.50)

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ ε® n ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ° X z / D ³ ¼ ®¤» Á } ¤»¤ Z0 ¨³ µ ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ ³ ¼ ­Á ¨Á } ¦·¤µ r0 ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

372

x > n@

n

x 2 > n @

n

£µ¡ ¸É 10.8 ( ) ­´ µ x > n@ ¨³ ( ) ­´ µ ¸É ¼ ­Á ¨ µ Áª¨µ

x 2 > n @

10.4.4 » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m

R

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦¡´ µ Áª¨µ (time reversal) ·¥µ¤Ã ¥

Z x > n@ m o X 1/ z ,

´ª°¥nµ Á n oµ

z0

ROC = 1/ R

(10.51)

°¥¼nÄ ROC ° X z ´ ´Ê 1/ z0 °¥¼nÄ ROC ° X 1/ z

10.4.5 » ­¤ ´ · µ¦ ¥µ¥Áª¨µ µ¦ ¥µ¥Áª¨µ (time expansion) ° ­´ µ ¸ÉŤn n°Á º°É µ Áª¨µ x > n@ ·¥µ¤Ã ¥ ­ x > n / k @ , if n is a multiple of k x k > n@ ® if n is not a multiple of k ¯0,

(10.52)

Á¤ºÉ° k Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ª Á nµ ´Ê ¹É ®¤µ¥ ¹ µ¦Ä­n nµ«¼ ¥r ε ª k 1 ´ªÁ oµÅ ¦³®ªnµ  ¤Á d¨ ¸É°¥¼n · ´ ° x > n@ Á n oµ k 2 ³Å oªnµ x 2 > n@ º°­´ µ x > n@ ¸É ¼ Ä­n nµ«¼ ¥r ε ª ® ¹É ´ªÁ oµÅ ¦³®ªnµ  ¤Á d¨ ° x > n@ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 10.8 Z o X z Á¤ºÉ° ROC = R ´ ´Ê x k > n@ ³¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° oµ ε® Ä®o x > n@ m Z x k > n@ m o X zk ,

ROC =

R1/ k

(10.53)

´ª°¥nµ Á n oµ z0 °¥¼nÄ ROC ° X z ´ ´Ê z1/0 k °¥¼nÄ ROC ° X z k ¨³ oµ X z ¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É » z a ¨oª X z k ³¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É » z a1/ k บทที่ 10 การแปลงซี 10-17 373

­¤ µ¦ (10.53) ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê µ ­¤ µ¦ (10.52) ­´ µ à ¥ ¸É r Á } Á¨ ε ª Á Ȥ ´ ´Ê x k > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸ º° X k z

Á ºÉ° µ

x k > rk @ x > r @

f

¦ x > n@ z

È n°Á¤ºÉ° n

rk

rk

k

n f

r f

³Å oªnµ f

x k > n@

k r

¦ x >r @ z

X k z

¹É È ³Å o ¼n µ¦Â ¨ ¸ °

f

¦ x > rk @ z

n

k

x k > n@ z 0

r f

X zk

µ¤­¤ µ¦ (10.53)

10.4.6 » ­¤ ´ · µ¦­´ ¥» Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m ­´ µ x > n@ à ¥¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º°

R

´ ´Ê x > n@ º° nµ­´ ¥» Á · o° (complex conjugate) °

L x > n@ m o X z ,

ROC =

R

(10.54)

¨³Ä ¦ ¸ ­¸É ´ µ x > n@ Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ³Å oªnµ X z

´ª°¥nµ Á n oµ X z ¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É »

z

z0

X z

(10.55)

¨oª X z ³ o° ¤¸Ã¡¨ (®¦º° ¸Ã¦) ¸É »

z

z0

oª¥

10.4.7 » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ Z Z o X z Á¤ºÉ° ROC = R1 ¨³ y > n@ m o Y z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m (convolution) ¦³®ªnµ ­´ µ x > n@ ¨³ y > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° Z x > n@ y > n@ m o X z Y z ,

ROC = R1 R2

R2

µ¦ ε ° ꨼ ´

(10.56)

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ ¨³ ROC ° X z Y z º° ¦·Áª ¸ÉÁ } ­nª ¦nª¤ (intersection) ¦³®ªnµ ROC ° X z ¨³ Y z ¹É °µ ¤¸ ¨ εĮo ROC ¤¸ ªµ¤ ªoµ ¤µ ¹Ê Å o oµÁ · µ¦ ´ °° ° á¨Â¨³ ¸Ã¦ (zero-pole cancellation) Ä X z Y z

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

374

z

­¤ µ¦ (10.56) ­ Ä®oÁ®È ªnµ µ¦ ε ° ꨼ ´ Ä Ã Á¤ Áª¨µ¤¸ nµÁ ¸¥ Á nµ ´ µ¦ ¼ ´ Ä Ã Á¤ ¹É ­µ¤µ¦ ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê

¡·­¼ r ε® Ä®o v > n@

x > n@ y > n@

³Å oªnµ f

v > n@

¦ x>n k @ y >k @

(10.57)

k f

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° v > n@ º° Z ^v > n@`

f

f

­

½

¦ ®¯ ¦ x > n k @ y > k @¾¿z

n f

f

n f

k f

f

¦ y >k @ X z z

k

X z

n f

­

f

¦ y > k @ ®¯ ¦ x > n k @ z

n

k f

f

¦ y >k @ z

n

½ ¾ ¿

k

n f

X z Y z

(10.58)

Z o X z Y z µ¤ ¸É o° µ¦ ´ ´Ê ³Å oªnµ x > n@ y > n@ m

. .¡.

» ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤ Áª¨µ (LTI system) Á¡¦µ³ ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª nµ Ç nµ¥ ¹Ê Á®¤º° ´ ¸É° · µ¥Ä Á¦ºÉ° µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸É Ťn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ

10.4.8 » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡ ´ rÄ Ã Á¤ z Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m

R

´ ´Ê » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ rÄ Ã Á¤ z ·¥µ¤Ã ¥

Z nx > n@ m o z

dX z

, dz

ROC =

R

(10.59)

¹É ¡·­¼ rÅ o ´ ¸Ê µ ­¼ ¦ µ¦Â ¨ ¸Ä ­¤ µ¦ (10.1) ´É º° X z

f

¦ x > n@ z

n

(10.60)

k f

®µ° »¡´ r ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (10.60) Á ¸¥ ´ ´ªÂ ¦ z ³Å o dX z

dz

f

n ¦ x > n @ z n 1 k f

f

z 1 ¦ ^nx > n @` z n k f

บทที่ 10 การแปลงซี 10-19 375

´É º° z

dX z

f

¦ ^nx > n@` z

dz

n

(10.61)

k f

¹É ®¤µ¥ ªµ¤ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° nx > n @ ¤¸ nµÁ nµ ´ zdX z / dz µ¤­¤ µ¦ (10.59) ´ª°¥nµ ¸É 10.8 µ ´ª°¥nµ ¸É 10.7 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° ­´ µ

X z log 1 bz 1

à ¥°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦®µ° »¡´ rÄ Ã Á¤

,

z !b

(10.62)

z

ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (10.59) ³Å oªnµ Z o z nx > n@ m

dX z

dz

bz 1 , 1 bz 1

z !b

(10.63)

¨³ µ ­¤ µ¦ (10.11) ³Å oªnµ n

Z o b b u > n @ m

b 1 bz 1

,

z !b

(10.64)

°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° µ Áª¨µ ³Å oªnµ b b

n 1

§ b · 1 Z o¨ u > n 1@ m z , 1 ¸ © 1 bz ¹

z !b

(10.65)

Á ¦¸¥ Á ¸¥ ­¤ µ¦ (10.63) ¨³ (10.65) ³Å oªnµ nx > n @ b b

n 1

u > n 1@

(10.66)

´É º° ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z º° x > n@

b

n

n

u > n 1@

(10.67)

10.4.9 §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o Z o X z oµ­´ µ x > n@ ε® Ä®o x > n@ m nµÁ¦·É¤ o (initial-value theorem) ´ ¸Ê

0

­Îµ®¦´ n 0 ´ ´Ê nµÁ¦·É¤ o x >0@ ®µÅ o µ §¬ ¸

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

376

x > 0@ lim X z

(10.68)

z of

¦³Ã¥ r ° §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o ­µ¤µ¦ ÎµÅ Ä oÄ µ¦ ¦ª ­° ªµ¤ ¼ o° ° ¨ µ¦Â ¨ ¸Å o ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 10.9 ®µ nµÁ¦·É¤ o x >0@ ° ­´ µ x > n@ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.3 ª· ¸ ε µ ´ª°¥nµ ¸É 10.3 ­´ µ x > n@ ¤¸ ¼n µ¦Â ¨ ¸ º° n

n

7 6 §1· §1· Z , o X z

x > n @ 7 ¨ ¸ u > n @ 6 ¨ ¸ u > n @ m 1 1 1 1 ©3¹ ©2¹ 1 z 1 z 3 2

nµÁ¦·É¤ o ° ­´ µ x > n@ ®µÅ oà ¥ µ¦Â nµ n x > 0@

0

z !

1 2

¨ Ä x > n@ ¹É ³Å oªnµ

0 ­° § 1 ·0 § 1 · ½° ®7 ¨ ¸ 6 ¨ ¸ ¾ u > 0 @ 7 6 1 © 2 ¹ ¿° ¯° © 3 ¹

®¦º°­µ¤µ¦ ®µÅ o µ §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o µ¤­¤ µ¦ (10.68) ´É º° x > 0@ lim X z 7 6 1 z of

10.4.10 ­¦» » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸ Z o X z Á¤ºÉ° ROC = ε® Ä®o x > n@ m » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸

R1

Z o Y z Á¤ºÉ° ROC = ¨³ y > n@ m

R2

µ¦µ ¸É 10.1 ­¦»

10.4.11 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¸ µ¦µ ¸É 10.2 ­¦» ¼n µ¦Â ¨ ¸ ¸É¡ ¤µ Ä µ¦ª·Á ¦µ³®r­´ µ ¨³¦³

10.5 µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µ Z Z o X z , h > n@ m o H z , ¨³ ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ oµ ε® Ä®o x > n@ m Z y > n@ m o Y z º° ¼n µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ °· ¡» , ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r, ¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ´ ´Ê °µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ³Å o ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê

บทที่ 10 การแปลงซี 10-21 377

µ¦µ ¸É 10.1 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸ » ­¤ ´ · 1. ªµ¤Á } Á · Á­o 2. µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ

3. µ¦­Á ¨Ä à Á¤

z

4. µ¦¡´ µ Áª¨µ

¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC)

­´ µ

¨ µ¦Â ¨ ¸

ax > n @ by > n @

aX z bY z

x > n n0 @

z n X z

R1

z0n x > n @

X z / z0

z0 R1

e

jZ0 n

°¥nµ o°¥

0

x > n@

R1 R2

R1

D R1

1/ R1

R11/ k

R1

X e

jZ0

z

D n x > n@

X D 1 z

x > n@

X z 1

­ x > r @ , n rk

x k > n @ ®

¯0,

5. µ¦ ¥µ¥ µ Áª¨µ

n z rk

X zk

Á¤ºÉ° r Á } Á¨ ε ª Á Ȥ 6. µ¦­´ ¥» 7. µ¦ ε ° ꨼ ´ 8. ° »¡´ rÄ Ã Á¤

x > n @

X z

x > n@ y > n@

X z Y z

nx > n @

z

9. ¨ nµ °´ ´ ® ¹É 10. ¨­³­¤ 11. §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o

z

¦

n k f

1 1 z 1 0

H z

X z

­Îµ®¦´ n 0 ¨oª x > 0@

Y z

X z

R1 R2

R1

dz 1

x >k @

oµ x > n@

dX z

1 z X z

x > n @ x > n 1@

°¥nµ o°¥

°¥nµ o°¥

R1 z ! 0

°¥nµ o°¥

R1 z ! 1

lim X z

z of

(10.69)

à ¥ ¸ÉÄ µ · ´ · H z ³Á¦¸¥ ´ ´ÉªÅ ªnµ “¢{ r ´ nµ¥Ã° (transfer function)” ®¦º° “¢{ r ´ ¦³ (system function)” ° µ ¸Ê oµ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° H z °¥¼n ª ¨¤® ¹É ® nª¥ z e jZ ¨oª ³Å oªnµ H z ¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ ° ­ ° Á · ªµ¤ ¸É ° ¦³ LTI Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â­ Ä®oÁ®È ªnµ H z

­µ¤µ¦ ε¤µÄ oÄ µ¦° · µ¥ » ­¤ ´ · nµ Ç ° ¦³ LTI Å o ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

378

˜¾Œ¾ÂŠÂš¸Ă‰ 10.2 ‡Ÿn„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠÂŽ¸ ­´Â?Â?¾– x t

Â&#x;¨Â„¾ŒĂ‚ž¨ÂŠÂŽ¸ X s

G > n@

1

u > n@

1

u > n 1@

G > n m@

D nu > n@ D n u > n 1@ nD n u > n @

nD n u > n 1@

cos Z0 n u > n @ sin Z0 n u > n @ r n cos Z0 n u > n @

r n sin Z0 n u > n @

Â?Œ¡à ªÂ–„¾Œ¨ŸnĂ Â…oÂľ (ROC) š„‡nÂľ

1 z 1 1 1 z 1

z

z !1 z 1

š„‡nÂľ z ¼„à ªoÂœ 0 (™oÂľ m ! 0 ) z

m

ŽŒº° f (™oÂľ m 0 )

1 1 D z 1

1 1 D z 1

D z 1 1 2

1 D z

D z 1

1 2

1 D z

1 cos Z0 z 1 1 2 cos Z0 z 1 z 2 1 sin Z0 z 1 1 2 sin Z0 z 1 z 2 1 r cos Z0 z 1 1 2r cos Z0 z 1 r 2 z 2 1 r sin Z0 z 1 1 2r cos Z0 z 1 r 2 z 2

z !D z D

z !D

z D

z !1

z !1

z !r

z !r

10.5.1 ‡°ÂŽ°¨¡Â˜¸ ÂŚÂłÂ?Â? LTI Ă‚Â?Â?‡°ÂŽ°¨ (causal LTI system) ‡º°Œ³Â?Â?š¸Ă‰Â&#x;¨Â˜°Â?­Âœ°ÂŠ°¡¤¥´¨­r h > n@ ¤¸Â‡n¾à šn¾„´Â?‡n¾ŸÂœÂĽr ­ĂŽ¾ŽŒ´Â? n 0 Âœ´Ă‰ÂœÂ‡º° h > n@ ‹³¤¸¨´Â„–³à ž}Âœ­´Â?Â?¾– {~Š…ª¾ ĂƒÂ—ÂĽÂš¸Ă‰¢{Š„rÂ?´ÂœÂ™n¾¼Ăƒ°Âœ H z Â…°ÂŠÂŚÂłÂ?Â?‹³°¼Ÿn Ă„ÂœÂŚÂźÂžÂ…°ÂŠ บทท฾ŕšˆ 10 ภาร๠ป฼งซ฾ 10-23 379

H z

f

¦ h > n@ z

n

(10.70)

n 0

´ ´Ê ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Á } ¦³ ° °¨ È n°Á¤ºÉ° ROC ° ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ° ¦³ o° °¥¼£n µ¥ ° ª ¨¤ ¹É ¦ª¤ ¦·Áª ¸É » z f oª¥ ° µ ¸Ê oµ H z °¥¼nÄ ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³Â¨oª ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³Á } ¦³ ° °¨ È n°Á¤ºÉ° 1) ROC ° H z °¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° ­» 2) ¦³ ´ ´Ê (degree) ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ o° ¤¸ nµ o°¥ ªnµ®¦º°Á nµ ´ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª ´ª°¥nµ ¸É 10.10 ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸É¤¢¸ { r ´ nµ¥Ã° H z n°Å ¸Ê Á } ¦³ ° °¨®¦º°Å¤n )

H z

)

H z

z 3 3z 2 2 z2 2z 1

(10.71)

1 1 , 1 1 1 z 1 1 3z 3

z !3

(10.72)

ª· ¸ ε ) µ H z ¸É ε® Ä®oÄ ­¤ µ¦ (10.71) ­ ªnµ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ ° °¨Á¡¦µ³ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ ( nµ 3) ¤¸ nµ¤µ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª ( nµ 2) ) Á ºÉ° µ ROC °¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° ­» ­ ªnµ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ Á } ­´ µ {~ ªµ °¥n µ Ŧ È µ¤ µ¦¡· µ¦ µªn µ Á } ¦³ ° °¨®¦º ° Ťn ­Î µ ®¦´ H z ¸É ° ¥¼n Ä ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ³ o° ¡· µ¦ µÁ ºÉ° Å ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Â¨³ ° ¡®» µ¤ ´ª­nª ´É º° H z Ä ­¤ µ¦ (10.72) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } H z

10 1 z 3 § 1 1 · 1 ¨1 z ¸ 1 3z

© 3 ¹ 2

2 1

10 1 z 3

10 1 2 z z 3

10 z 3 10 z2 z 1 3 2z2

¹É ®¤µ¥ ¹ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Â¨³ ° ¡®» µ¤ ´ª­nª ¤¸ nµÁ nµ ´ (Á nµ ´ nµ 2) ´ ´Ê ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨ ° µ ¸Ê ªµ¤Á } ° °¨· ¸ (casuality) ° ¦³ ¥´ ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ¨nµª º° ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° H z Ä ­¤ µ¦ (10.72) º° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

380

n °­§ 1 · °½ h > n@ ®¨ ¸ 3n ¾ u > n@ ¯°© 3 ¹ ¿°

Á ºÉ° µ h > n@

0

­Îµ®¦´ n 0 ­ ªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ ° °¨

10.5.2 ªµ¤Á­ ¸¥¦ à ¥ ´ÉªÅ ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ³¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ (stability) È n°Á¤ºÉ° ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­´¤ ¼¦ r (absolutely summable) ° µ ¸Ê ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ ¥´ ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µ Å o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ¨nµª º°¦³ LTI ¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° ROC ° H z ¦ª¤Á­o ¦° ° ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ° µ ¸Ê­Îµ®¦´ ¦³ LTI  ° °¨ (ROC °¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° ­» ) ¸É¤¸ H z Ä ¦¼ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ³¤¸ ªµ¤Á­ ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° » ᨠ° H z ³ o° °¥¼n£µ¥Ä ª ¨¤ ® ¹É ® nª¥ ´É º° µ ° ᨠo° ¤¸ nµ o°¥ ªnµ nµ® ¹É Á­¤° ´ª°¥nµ ¸É 10.11 ¡· µ¦ µªnµ¦³ LTI ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° H z n°Å ¸Ê Á } ¦³ Á­ ¸¥¦®¦º°Å¤n )

H z

)

H z

1 1 az 1

,

z !a

1 1 2r cos T z 1 r 2 z 2

(10.73) z2 , z re jT z re jT

z !r

(10.74)

ª· ¸ ε ) H z Ä ­¤ µ¦ (10.73) ¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É z a ´ ´Ê ¦³ ¸Ê ³Á } ¦³ Á­ ¸¥¦ È n°Á¤ºÉ° ³Ä®o h > n@ a nu > n@ ­µ¤µ¦ ®µ ¦·¡´ rÅ o°¥nµ ­´¤ ¼¦ r

a 1

Á¡¦µ³ªnµ

Ä ­¤ µ¦ (10.74) ¤¸Ã¡¨­° ᨰ¥¼n ¸É » z re jT ¨³ z re jT µ¤£µ¡ ¸É 10.9 ´ ´Ê oµ r 1 ³ εĮoᨰ¥¼n£µ¥Ä ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ¨³ ROC ¦ª¤Á­o ¦° ° ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ¹É ­ ªnµ ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦  n oµ r ! 1 ³ εĮoᨰ¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ¨³ ROC ³Å¤n¦ª¤Á­o ¦° ° ° ª ¨¤® ¹É ® nª¥ ¹É ­ ªnµ¦³ ¸ÊŤnÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦

)

H z

10.5.3 ¦³ µ¤­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ µn ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o ¦³ LTI ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µ ¸É¡ ¤µ Ä µ · ´ · ³ ¼ ε® à ¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o (LCCDE: linear constant-coefficient differential equation) ´ ¸Ê บทที่ 10 การแปลงซี 10-25 381

Im

Im

r T

T

Re

1

1

( )

r Re

( )

£µ¡ ¸É 10.9  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ °

H z

N

­Îµ®¦´ ( ) r 1 ¨³ ( )

r !1

M

¦ a y >n k @ ¦ b x >n k @ k

k

k 0

(10.75)

k 0

Á¤ºÉ° ak ¨³ bk Á } nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ª, ¨³ y > n@ ¨³ x > n@ º°­´ µ Á°µ r¡» ¨³­´ µ °· ¡» ° ¦³ LTI µ¤¨Îµ ´ ­¤ µ¦ (10.75) ³Á¦¸¥ ªnµ­¤ µ¦Á · ¨ nµ °´ ´ N (N-th order differential equation) à ¥ ´ÉªÅ ¡§ · ¦¦¤ nµ Ç ° ¦³ LTI ­µ¤µ¦ ¡· µ¦ µÅ o µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ° ¦³ ¹É ®µÅ o µ ­¤ µ¦ (10.69) à ¥ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´Ê ­° o µ ° ­¤ µ¦ (10.75) ´É º ° o µ Ä®o Z Z x > n@ m o X z ¨³ y > n@ m o Y z ³Å oªnµ ­N ½ ­M ½ Z ®¦ ak y > n k @¾ Z ®¦ bk x > n k @¾ ¯k 0 ¿ ¯k 0 ¿

°µ«´¥ » ­¤ ´ ·Á · Á­o ³Å o N

M

¦ a Z ^ y > n k @` ¦ b Z ^ x > n k @` k

k

k 0

k 0

¨³°µ«´¥ » ­¤ ´ · µ¦Á¨ºÉ° Áª¨µ ³Å o § N §M k · k · ¨ ¦ ak z ¸ Y z ¨ ¦ bk z ¸ X z

©k 0 ¹ ©k 0 ¹

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º°

¦ H z

X z ¦ Y z

M

b z k

k 0 k N k 0

ak z k

(10.76)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-26 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

382

¹É ³¡ ªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸É ¼ ε® à ¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ ³¤¸¨´ ¬ ³Á } ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ à ¥ ¸É ¸Ã¦ (zero) º° ε ° ° ­¤ µ¦ M

¦b z

k

k

0

(10.77)

0

(10.78)

k 0

¨³Ã¡¨ (pole) º° ε ° ° ­¤ µ¦ N

¦a z

k

k

k 0

¢{ r ´ nµ¥Ã° H z Á¡¸¥ ¨Îµ¡´ Ťn­µ¤µ¦ ε¤µÄ o®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ Å o Á¡¦µ³Å¤n ¦µ o°¤¼¨Á ¸É¥ª ´ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° H z °¥nµ Ŧ È µ¤ oµ¤¸ o°¤¼¨Á¡·É¤Á ·¤Á ¸É¥ª ´ ° °¨· ¸®¦º° ªµ¤Á­ ¸¥¦ ° ¦³ È ³ nª¥ εĮo­µ¤µ¦ ¦³ » ROC ° H z ¨³ εĮo®µ nµ h > n@ Å o µ¤ ¸É o° µ¦ ´ª°¥nµ Á n oµ¦³ Á } ¦³ ° °¨Â­ ªnµ ROC ³°¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° ­»  n oµ¦³ Á } ¦³ Á­ ¸¥¦Â­ ªnµ ROC ³°¥¼n£µ¥Ä ª ¨¤® ¹É ® nª¥ Á } o ´ª°¥nµ ¸É 10.12 ¡· µ¦ µ¦³ LTI  ° °¨ ¸É ¼ ε® à ¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ y > n@

1 1 y > n 1@ y > n 2@ 2 4

x > n@

(10.79)

) ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê n

) ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@

§1· ¨ ¸ u > n@ ©2¹

ª· ¸ ε ) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´Ê ­° oµ ° ­¤ µ¦ (10.79) ³Å o 1 1 Y z z 1Y z z 2Y z

2 4

X z

(10.80)

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H z

Y z

X z

1 1 1 1 z 1 z 2 2 4

z2 § §1 3 · ·§ § 1 3 ·· z ¨ j ¨¨ z ¨ j ¸ ¸¨ ¸¸ ¸¨ 4 ¹ ¹© © 4 4 ¹ ¸¹ © ©4

(10.81)

บทที่ 10 การแปลงซี 10-27 383

¹É ¤¸Ã¡¨°¥¼n ¸É » z ! 1/ 4 j

z

1/ 4 r j 3/4

3/4

¨³Á ºÉ° µ ¦³ Á } ¦³ ° °¨ ´ ´Ê ROC ° H z º°

1/ 2 n

) Á ºÉ° µ ­´ µ °· ¡» x > n@

§1· ¨ ¸ u > n@ ©2¹

X z

¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸ º° 1 , 1 1 1 z 2

z !

1 2

(10.82)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ ¸ (Z domain) ®µÅ o µ Y z

X z H z

1 § 1 1 ·§ 1 1 1 2 · ¨1 z ¸¨1 z z ¸ 4 ¹ © 2 ¹© 2

(10.83)

à ¥ ¸É ROC º° ¦·Áª ­nª ¦nª¤¦³®ªnµ ROC ° X z ¨³ H z ´É º° ROC ° Y z ¤¸ nµÁ nµ ´ z ! 1/ 2 ­¤ µ¦ (10.83) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oà ¥°µ«´¥ µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ´É º° 1/ 2 z 1 1 1 1 1 1 z 1 1 z 1 z 2 2 2 4

Y z

(10.84)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ º° ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° Y z ¹É ®µÅ oà ¥°µ«´¥ µ¦µ ¸É 10.2 ´É º° n

n

2 §1· §1· §Sn · y > n@ ¨ ¸ u > n@ ¨ ¸ sin ¨ ¸ u > n@ 3©2¹ ©2¹ © 3 ¹

(10.85)

´ª°¥nµ ¸É 10.13 ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ LTI oµ­´ µ °· ¡» ° ¦³ º° x > n@ 1/ 6 n u > n@ ¨³ ³ εĮoÅ o­´ µ Á°µ r¡» º° (Á¤ºÉ° a Á } nµ ´ª) n ­° § 1 ·n § 1 · ½° y > n@ ®a ¨ ¸ 10 ¨ ¸ ¾ u > n@ © 3 ¹ ¿° ¯° © 2 ¹

(10.86)

ª· ¸ ε Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° x > n@ ¨³ y > n@ º° X z

1 , 1 1 1 z 6

z !

1 6

(10.87)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-28 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

384

Y z

a 10 1 1 1 1 z 1 z 1 2 3

a 10 5 a / 3 z 1 § 1 1 ·§ 1 1 · ¨1 z ¸¨1 z ¸ © 2 ¹© 3 ¹

,

z !

1 2

(10.88)

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H z

Y z

a 10 5 a / 3 z 1 1/ 6 z

X z

§ 1 1 ·§ 1 1 · ¨1 z ¸¨1 z ¸ © 2 ¹© 3 ¹

1

1

(10.89)

´ª°¥nµ ¸É 10.14 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° X z

2z2 z z 3

(10.90)

ª· ¸ ε Ä µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° ¢{ r ´ ¦¦ ¥³ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ ³ o° ¤¸ nµ o°¥ ªnµ ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª Á ºÉ° µ ­¤ µ¦ (10.90) ¤¸¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬Á nµ ´ nµ­° Ä ³ ¸É ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ® ¹É ´ ´Ê ¹ o° ´ ¦¼ ­¤ µ¦ (10.90) Ä®¤nÄ®o¤¸¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ªÁ«¬ o°¥ ªnµ¦³ ´ ´Ê ° ¡®» µ¤ ´ª­nª n° ¸É ³ ε µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ¸Ê Á¡¦µ³ ³ ´Ê ­¤ µ¦ (10.90) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } SCILAB: 2

X s

2z z z 3

A Bz

C z 3

Bz 2 A 3B z C 3 A

z 3

à ¥ ¸É µ µ¦Á ¦¸¥ Á ¸¥ nµ­´¤ ¦³­· ·Í nµ Ç ³Å oªnµ A 7 , B 2 , ¨³ C 21 ´É º° X z 7 2z

-->z = poly(0, 'z'); -->X = (2*z^2 + z)/(z - 3); -->F = pfss(syslin('z', X)) F = F(1) 21 ---- 3 + z F(2) 7 + 2z

21 z 3

(10.91)

³ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° ­¤ µ¦ (10.91) º° x > n @ Z 1 ^ X z ` 7G > n @ 2G > n 1@ 21 3

n 1

u > n 1@

(10.92)

บทที่ 10 การแปลงซี 10-29 385

x > n@

h1 > n @

w > n@

h2 > n @

y >n@

x > n@

x > n@

h1 > n @

h2 > n @

w > n@

v > n@

w > n@

y >n@

v > n@

h1 > n @

y >n@

h2 > n @

£µ¡ ¸É 10.10 µ¦ n° ´ ° ¦³ ( )  ° » ¦¤, ( )  µ , ¨³ ( )  j° ¨´

10.6 ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° Ä ®´ª o° ¸Ê ³Â­ µ¦ª·Á ¦µ³®r µ¦ n° ´ ° ¦³ (system interconnection) Á¡ºÉ°Ä o®µ ªµ¤­´¤¡´ r ° ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» ¨³¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¦ª¤

10.6.1 µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ  £µ¡ ¨È° ¡· µ¦ µÂ £µ¡ ¨È° (block diagram) µ¦ n° ´ ° ¦³ Ä £µ¡ ¸É 10.10 à ¥ ¸É x > n@ º°­´ µ °· ¡» , y > n@ º°­´ µ Á°µ r¡» , ¨³¦³ ¥n°¥ ´Ê ®¤ Á } ¦³ LTI à ¥ ´ÉªÅ ­·É ¸É ´ ª·Á ¦µ³®r¦³ ­ Ä º° µ¦®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ ¦ª¤ Á¡ºÉ°Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ y > n@ Ä µ · ´ · µ¦®µ°·¤¡´¨­r ³°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¸Á¡ºÉ° ε ª ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ° ¦³ n° µ ´Ê ¹ Ä o µ¦Â ¨ ¸ ´ Á¡ºÉ°®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ´ ´Ê Ä ­nª ¸Ê ³° · µ¥ µ¦®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¦ª¤ ¸ÉÁ · µ µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥ ´ ¸Ê ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³  ° » ¦¤ (serial or cascade interconnection) Ä £µ¡ ¸É 10.10 ( ) ³Å oªnµ ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 > n@ º° w > n@ x > n@ h1 > n@

(10.93)

Á¤ºÉ° º° ´ª εÁ · µ¦ ° ꨼ ´ ¨³­´ µ Á°µ r¡ » ° ¦³ h2 > n@ º° y > n@ w > n@ h2 > n@

(10.94)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-30 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

386

 nµ w> n@ µ ­¤ µ¦ (10.93) ¨ Ä ­¤ µ¦ (10.94) ³Å o y > n@

^x > n@ h > n@` h > n@

(10.95)

X z H1 z H 2 z

(10.96)

Y z

X z

(10.97)

1

2

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­¤ µ¦ (10.95) ³Å o Y z

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H z

H1 z H 2 z

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¡· µ¦ µ µ¦ n° ´ ° ¦³  µ (parallel interconnection) Ä £µ¡ ¸É 10.10 ( ) ³Å oªnµ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ º° y > n@ v > n@ w > n@

^ x > n@ h > n@` ^x > n@ h > n@` 1

2

(10.98)

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­¤ µ¦ (10.98) ³Å o Y z

X z H1 z X z H 2 z

(10.99)

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H z

Y z

X z

H1 z H 2 z

(10.100)

­Îµ®¦´ µ¦ n° ´ ° ¦³  j° ¨´ (feedback interconnection) ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 10.10 ( ) ­´ µ °· ¡» ° ¦³ h1 > n@ º° w > n@ x > n@ v > n@

(10.101)

¨³­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h1 > n@ º° y > n@ w > n@ h1 > n@

^ x > n@ v > n@` h > n@ 1

x > n@ h1 > n@ v > n@ h1 > n@

(10.102)

Á ºÉ° µ ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ h2 > n@ º° v > n@

y > n@ h2 > n@

(10.103) บทที่ 10 การแปลงซี 10-31

387

 nµ v > n@ µ ­¤ µ¦ (10.103) ¨ Ä ­¤ µ¦ (10.102) ³Å o y > n@ x > n@ h1 > n@ ^ y > n@ h2 > n@` h1 > n@

^1 h > n@ h > n@` y > n@ 1

2

x > n@ h1 > n@

(10.104)

H1 z X z

(10.105)

®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­¤ µ¦ (10.104) ³Å o

^1 H z H z `Y z

1

2

´ ´Ê ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ¸Ê º° H z

Y z

X z

H1 z

1 H1 z H 2 z

(10.106)

10.6.2 µ¦®µÂ £µ¡ ¨È° µ ¢{ r ´ nµ¥Ã° µ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 10.5.3 à ¥ ´ÉªÅ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ ³ ¼ ε® oª¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¸É¤¸ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ´ªÂ Á · Á­o ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° ¦³ ¸Ê­µ¤µ¦ ¸É ³­¦oµ ¹Ê ¤µÅ oà ¥°µ«´¥ ´ª εÁ · µ¦¡ºÊ µ 3  º° µ¦ ª µ¦ ¼ ¨³ µ¦®µ ¦·¡´ r ´ ­ Ä ´ª°¥nµ n°Å ¸Ê ´ª°¥nµ ¸É 10.15 ­  £µ¡ ¨È° ° ¦³ ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° H z

2 1 1/ 3 z 1

(10.107)

ª· ¸ ε ­¤ µ¦ (10.75) ¨³ (10.76) εĮo ¦µ ªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ­¤ µ¦ (10.107) ¼ ε® oª¥­¤ µ¦ Á · ¨ nµ º° 1 y > n@ y > n 1@ 2 x > n@ 3

(10.108)

oµ­¤¤ ·ªnµ¦³ ­° ¨o° ´ Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° ¦³ Ä Ã Á¤ z ³Â­ Ä £µ¡ ¸É 10.11 à ¥ ¸É ¨È° z 1 º° ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ® ¹É ® nª¥ (unit delay operator) ¹É ¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ¦³®ªnµ ­´ µ °· ¡» ¨³­´ µ Á°µ r¡» µ¤£µ¡ ¸É 10.12 ´ª°¥nµ ¸É 10.16 ®µÂ £µ¡ ¨È° ° ¦³ ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-32 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

388

x > n@

y > n@

2

x > n@

y > n@

2

z 1

1 3

1 1 z 3

y > n 1@

£µ¡ ¸É 10.11  £µ¡ ¨È° ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.14 y > n@

y > n 1@

z 1

£µ¡ ¸É 10.12  £µ¡ ¨È° ­ ´ª εÁ · µ¦® nª Áª¨µ H s

1

(10.109)

1 1/ 4 z 1/ 8 z 2 1

ª· ¸ ε µ ­¤ µ¦ (10.75) ¨³ (10.76) εĮo ¦µ ªnµ¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ­¤ µ¦ (10.109) ¼ ε® oª¥ ­¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@

1 1 y > n 1@ y > n 2@ x > n@ 4 8

(10.110)

oµ ε® Ä®o v > n@

y > n 1@

¨³

w > n@ v > n 1@

y > n 2@

­¤ µ¦ (10.110) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } y > n@ x > n@

1 1 y > n 1@ y > n 2@ 4 8

1 1 x > n@ v > n@ w > n@ 4 8

(10.111)

¹É ¤¸Â £µ¡ ¨È° ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 10.13 ( ) ¨³Ã ¥ ´ÉªÅ  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Ê ³Á¦¸¥ ´ ªnµ “ £µ¡¦¼  ¦ (direct-form diagram)” Á¡¦µ³ªnµ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ¸É ¦µ °¥¼nÄ Â £µ¡ ¨È° º° nµ ­´¤ ¦³­· ·ÍÁ ¸¥ª ´ ´ ¸É ¦µ °¥¼nÄ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ®¦º°Ä ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ´É º°­¤ µ¦ (10.111) Ä µ · ´ ·Â £µ¡ ¨È° Ä £µ¡ ¸É 10.13 ( ) ­µ¤µ¦ ¸É ´ ¦¼ Ä®oÁ }  °ºÉ Ç Å o µ¤ ªµ¤ o° µ¦ °  n¨³ µ ¦³¥» r ¨nµª º°¢{ r ´ nµ¥Ã° Ä ­¤ µ¦ (10.109) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ Å oÁ } H z

1 1 1/ 4 z 1/ 8 z 1

2

§ ·§ · 1 1 ¨¨ 1 ¸¨ 1 ¸ ¸¨ ¸ © 1 1/ 2 z ¹© 1 1/ 4 z ¹

H1 z H 2 z

(10.112)

บทที่ 10 การแปลงซี 10-33 389

y > n@

x > n@

z 1

1 4

v > n@

z 1 1 8

w > n@

y > n@

x > n@

1 2

H1 z

z 1 H2 z

2 3

x > n@

H1 z

1 2

1 3 H2 z

1 4

1 4

z 1

z 1

y > n@

z 1

£µ¡ ¸É 10.13  £µ¡ ¨È° ¦¼  nµ Ç ° ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.16

¹É È º° µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  ° » ¦¤ ´ ­ Ä £µ¡ ¸É 10.13 ( ) ¨³Ã ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Êªnµ “ £µ¡¦¼  ° » ¦¤ (cascade-form diagram)” ° µ ¸Ê oµ ε µ¦ ¦³ µ¥Á«¬­nª ¥n°¥ ° H z Ä ­¤ µ¦ (10.109) È ³Å oÁ } H z

2/3 1/ 3 1 1 1/ 2 z 1 1/ 4 z 1

H1 z H 2 z

(10.113)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-34 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

390

¹É È º° µ¦ n° ´ ° ¦³ ¥n°¥­° ¦³ ¸É n° ´  µ ´ ´Ê  £µ¡ ¨È° ° H z Ä ­¤ µ¦ (10.113) ­µ¤µ¦ ­¦oµ ¹Ê Å o µ¤£µ¡ ¸É 10.13 ( ) ¹É à ¥ ´ÉªÅ ³Á¦¸¥  £µ¡ ¨È° ¨´ ¬ ³ ¸Êªnµ “ £µ¡ ¦¼  µ (parallel-form diagram)”

10.7 µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª Ä ®´ª o° ¸Ê ³° · µ¥ “ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª (unilateral Z transform)” ¹É  nµ µ µ¦Â ¨ ¸ ¸É ¨nµª¤µ Ä ®´ª o° ¸É 10.2 ®¦º° “ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ (bilateral Z transform)” µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r¦³ LTI  ° °¨ ¸É ¼ ε® oª¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ ¹É ¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o ŤnÁ } nµ«¼ ¥r µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ ¸É n°Á ºÉ° µ Áª¨µ x > n@ ³ ·¥µ¤Ã ¥ X z

f

¦ x > n@ z

n

(10.114)

n 0

¨³Á¡ºÉ°Ä®o nµ¥ n° µ¦° · µ¥ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ³Ä o­´ ¨´ ¬ r X z UZ ^ x > n @`

(10.115)

x > n @ UZ 1 ^ X z `

(10.116)

¨³

Á¤ºÉ° UZ > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ¨³ UZ 1 > @ º°­´ ¨´ ¬ r µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ (inverse unilateral Z transform) ° µ ¸Ê ³Ä o­´ ¨´ ¬ r UZ x > n @ m o X z

(10.117)

­ ªµ¤­´¤¡´ r ° ¼n µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª¦³®ªnµ x > n@ ¨³ X z

µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª µ¤­¤ µ¦ (10.114) ³Â nµ µ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ µ¤­¤ µ¦ (10.1) Á ¡µ³ nª ¨nµ ° µ¦®µ ¨¦ª¤ ¨nµª º° nª ° µ¦®µ ¨¦ª¤ ° µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ º° f d n d f Ä ³ ¸É nª ° µ¦®µ ¨¦ª¤ ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª º° 0 d n d f ´ ´Ê ­´ µ ­° ­´ µ ¸É¤¸ nµ nµ ´ ­Îµ®¦´ n 0 ¨³¤¸ nµÁ nµ ´ ­Îµ®¦´ n t 0 ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ nµ ´  n¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ªÁ®¤º° ´ ­´ µ x > n@ Ä Ç ¸É¤¸ nµÁ nµ ´ «¼ ¥r­Îµ®¦´ n 0 ´É º°­´ µ {~ ªµ (right-sided signal) ³¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ ¨³ oµ Á ¸¥ªÁ®¤º° ´ Ä ¦ ¸ ¸Ê » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ บทที่ 10 การแปลงซี 10-35 391

¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 10.5 ¹ ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o ´ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ´Ê ­Îµ®¦´ ­´ µ {~ ªµ ¹É ¤¸ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC) ° ¨ µ¦Â ¨ ¸°¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° ­» Ä ¦³ µ z ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ³Á®¤º° ´ ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ ´ µ¤ ¸É° · µ¥Ä ®´ª o° ¸É 10.4 à ¥ ¸É¤¸ o° ε® ªnµ ROC ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ³°¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° ­» ° ¦³ µ z Á­¤° ´ª°¥nµ ¸É 10.17 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ x > n@ ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x > n@ 0 ­Îµ®¦´  ­° oµ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´

n 0

a nu > n@

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ³¤¸ nµÁ nµ ´ ¨ µ¦Â ¨ ¸ 1 1 az 1

X z UZ ^ x > n @`

z !a

,

´ª°¥nµ ¸É 10.18 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ ¨³Â oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ x > n @ a n 1u > n 1@

(10.118)

ª· ¸ ε Á ºÉ° µ x > 1@ 1 z 0 ­ ªnµ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ ¨³Â oµ Á ¸¥ª ³Â nµ ´ ´É º° °µ«´¥ » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ x > n@ ¤¸ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ º° z 1 az 1

X z Z ^ x > n @`

z !a

,

(10.119)

­Îµ®¦´ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª®µÅ o µ ­¤ µ¦ (10.114) ´É º° X z

f

¦ x > n@ z n 0

Á ºÉ° µ ¦ fn 0 r n

1/ 1 r

n

f

¦a

n 1 n

z

n 0

f

a ¦ az 1

n

(10.120)

n 0

´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° x > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ X z

a 1 az 1

,

z !a

(10.121)

´ª°¥nµ ¸É 10.19 ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-36 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

392

5 2 z 1 § 1 1 ·§ 1 1 · ¨1 z ¸¨1 z ¸ © 3 ¹© 2 ¹

X z

2 3 1 1 1 1 1 z 1 z 3 2

ª· ¸ ε ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ³Á®¤º° ´ ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ ´ à ¥ ¸ÉÄ®o¡· µ¦ µªnµ ROC °¥¼n£µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° ­» ° ¦³ µ z Á­¤° ¹É Ä ¸É ¸Ê­ ªnµ ROC ° X z º° z ! 1/ 2 ´ ´Ê ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° X z º° x > n @ UZ

1

^X s `

n ­° § 1 · n § 1 · ½° ®2 ¨ ¸ 3 ¨ ¸ ¾ u > n @ , © 2 ¹ ¿° ¯° © 3 ¹

­Îµ®¦´ n t 0

10.7.1 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª UZ UZ X z ¨³ y > n@ m o Y z º° ¼n µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ¸É¤¸ ROC °¥¼n ε® Ä®o x > n@ m o £µ¥ ° ª ¨¤ ° ᨠ¸É°¥¼n oµ ° ­» µ¦µ ¸É 10.3 ­¦» » ­¤ ´ · ¸É­Îµ ´ ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ¹É ¤¸ ´Ê » ­¤ ´ · ¸ÉÁ®¤º° ´ ¨³ » ­¤ ´ · ¸É nµ ´ ´ » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ªÂ¨³ ° µ¦Â ¨ ¸Â ­° oµ ³¤¸ nµÁ nµ ´ à ¥ » ­¤ ´ · µ¦ ε ° ꨼ ´ ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ¦³ LTI  ° °¨ ¨nµª º° oµ­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³ ¨ ° ­ ° ° ¦³ h > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ«¼ ¥r­Îµ®¦´ n 0 ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y > n@ ¤¸ nµÁ nµ ´ UZ y > n@ x > n@ h > n@ m o Y z

X z H z

UZ H z º° ¼n µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ¨ ° ­ ° ° ¦³ ° µ ¸Ê » ­¤ ´ · Á¤ºÉ° h > n@ m o µ¦ ε ° ꨼ ´ ¥´ ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o° · µ¥ » ­¤ ´ · µ¦®µ ¨­³­¤Ä à Á¤ Áª¨µ ´É º° n

¦ x >k @

UZ x > n@ u > n@ m o X z U z X s

k 0

UZ oU z

Á¤ºÉ° u > n@ m

1 1 z 1

1 1 z 1

º° ¼n µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ ´Ê ´ Å ® ¹É ® nª¥

´ª°¥nµ ¸É 10.20 ®µ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ ¸É ¼ ε® oª¥­¤ µ¦Á · ¨ nµ y > n@ 3 y > n 1@ x > n@

(10.122) บทที่ 10 การแปลงซี 10-37

393

µ¦µ ¸É 10.3 » ­¤ ´ · ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª » ­¤ ´ ·

­´ µ

¨ µ¦Â ¨ ¸

ax > n @ by > n @

a X z bY z

2. µ¦® nª Áª¨µ® ¹É ® nª¥

x > n 1@

z 1 X z x > 1@

3. µ¦¨nª ® oµÁª¨µ® ¹É ® nª¥

x > n 1@

z X z zx > 0@

z0n x > n @

X z / z0

1. ªµ¤Á } Á · Á­o

4. µ¦­Á ¨Ä à Á¤

z

X D z

e jZ n x > n @

z

X e

0

jZ0

1

D n x > n@

­ x > r @ , n rk

x k > n @ ®

5. µ¦ ¥µ¥ µ Áª¨µ

¯0,

X zk

n z rk

Á¤ºÉ° r Á } Á¨ ε ª Á Ȥ 6. µ¦­´ ¥»

oµ­´ µ x > n@

7. µ¦ ε ° ꨼ ´ 8. ° »¡´ rÄ Ã Á¤

X z

x > n @ y > n@ 0

­Îµ®¦´ n 0 ´ ´Ê

x > n@ y > n@

X z Y z

nx > n @

z

9. ¨ nµ °´ ´ ® ¹É

z

n

¦

11. §¬ ¸ nµÁ¦·É¤ o

oµ x > n@

k f

1 z X z x > 1@ 1

x >k @ 0

dz

1

x > n @ x > n 1@

10. ¨­³­¤

dX z

1 z 1

­Îµ®¦´ n 0 ¨oª x > 0@

X z

lim X z

z of

à ¥ ¸É­´ µ °· ¡» º° x > n@ D u > n@ ¨³ D º° nµ ´ªÄ Ç Á¤ºÉ° ) ¦³ ¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o (initial rest) ´É º° y > n@

0

­Îµ®¦´ n 0

) ¦³ ¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o º° y > 1@ E ª· ¸ ε ) ­Îµ®¦´ ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å µ¦¡´ Á¦·É¤ o ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ­¤ µ¦ (10.122) º° Y z 3z 1Y z

X z

(10.123)

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-38 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

394

¹É ³Å o¢ { r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ º° H z

Y z

X z

1 1 3z 1

(10.124)

Á ºÉ° µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ­´ µ °· ¡» º° D

UZ o X z

x > n@ D u > n@ m

(10.125)

1 z 1

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ z º° 1/ 4 D 3 / 4 D

§ D ·§ 1 · Y z X z H z ¨ 1 ¸¨ 1 ¸ © 1 z ¹© 1 3z ¹

1 z 1

1 3z 1

(10.126)

­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ Áª¨µ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° ­¤ µ¦ (10.126) Á¤ºÉ° ROC º° z ! 3 (®¦º° z ! 3 ) ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ n½ ­1 3 y > n@ UZ 1 ^Y z ` D ® 3 ¾ u > n@ ¯4 4 ¿

(10.127)

) ­Îµ®¦´ ¦³ ¸É¤¸Á ºÉ° Å Á¦·É¤ o ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ° ­¤ µ¦ (10.122) º° Y z 3^ z 1Y z y > 1@` X z

 nµ y > 1@ E ¨³ X z

D 1 z 1

¨ Ä ­¤ µ¦ (10.128) ³Å o

Y z 3z 1Y z 3E

Y z

oµ ε® Ä®o E

1 ¨³ D

8

(10.128)

D 1 z 1

3E D 1 1 1 3z 1 3z 1 z 1

(10.129)

­¤ µ¦ (10.129) ­µ¤µ¦ ´ ¦¼ Ä®¤nÅ oÁ } Y z

3 2 1 1 3z 1 z 1

(10.130)

´ ´Ê ­´ µ Á°µ r¡» Ä Ã Á¤ Áª¨µ®µÅ o µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° ­¤ µ¦ (10.130) Á¤ºÉ° ROC º° z ! 3 (®¦º° z ! 3 ) ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ บทที่ 10 การแปลงซี 10-39 395

y > n@ UZ 1 ^Y z `

^3 3 2` u >n@ n

´ª°¥nµ ¸É 10.21 ¡· µ¦ µ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.20 ( ) Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ä µ¦ªµ ¦¼ £µ¡ ° ) ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ) ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ ª· ¸ ε ¦³ Ä ´ª°¥nµ ¸É 10.20 ( ) ¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° µ¤­¤ µ¦ (10.124) ´É º° H z

1 1 3z 1

(10.131)

) ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å (step response) ° ¦³ È º° ­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ Á¤ºÉ°­´ µ °· ¡» º° x > n@ u > n@ ¹É ¤¸ nµÁ nµ ´ ­¤ µ¦ (10.127) à ¥ ¸É D 1 ´É º° n½ ­1 3 y > n@ ® 3 ¾ u > n@ ¯4 4 ¿

(10.132)

£µ¡ ¸É 10.14 ­ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ¦³ ¸ÉÅ o µ ε­´É flts Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ¨³ ¸ÉÅ o µ ­¤ µ¦ (10.132) SCILAB:

(£µ¡ ¸É 10.14)

-->z = poly(0,'z'); -->N = 6;

// ε ª  ¤Á d¨ o°¤¼¨ ° ­´ µ °· ¡»

n = 0:N-1;

-->u = ones(1,N);

//­´ µ °· ¡» x > n @

u > n@

-->Hz = 1/(1+3/z);

//¢{ r ´ nµ¥Ã° ° ¦³ µ¤­¤ µ¦ (10.131)

-->stprep = flts(u, tf2ss(Hz));

// ε­´É flts Ä o®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³

-->subplot(2,1,1); -->plot2d2(n, stprep, rect=[0,-100,N-1,100]); -->xtitle('SCILAB', '', 'Amplitude');

//£µ¡ ¸É 10.14 ( )

xgrid(2);

-->y =1/4 + 3/4*(-3).^n;

//­´ µ Á°µ r¡» y > n @ µ¤­¤ µ¦ (10.132)

-->subplot(2,1,2); -->plot2d2(n, y, rect=[0,-100,N-1,100]); -->xtitle('Eq.(10.132)', 'n', 'Amplitude');

//£µ¡ ¸É 10.14 (¨nµ ) xgrid(2);

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-40 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

396

n

£µ¡ ¸É 10.14 ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å ° ¦³ Á¤ºÉ° ( ) Å o µ ε­´É flts ¨³ (¨nµ ) Å o µ ­¤ µ¦ (10.132)

) Á ºÉ° µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r (impulse response) ° ¦³ È º°­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ Á¤ºÉ° ­´ µ °· ¡» º° x > n@ G > n@ ´ ´Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB ¹ ­µ¤µ¦ ªµ ¦¼ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r ° ¦³ Å oà ¥ nµ¥ à ¥Ä o » ε­´É Á ¸¥ª ´ ´ ¸ÉÄ oªµ £µ¡ ¨ ° ­ ° ´Ê ´ Å Á¡¸¥  nÁ ¨¸É¥ ­´ µ °· ¡» µ u = ones(1,N); Á } u = [1 zeros(1,N-1)]; Á nµ ´Ê

10.8 ­¦» oµ¥ µ¦Â ¨ ¸ Á } Á ¦ºÉ ° ¤º ° µ · «µ­ ¦r ¸É Ä o Ä µ¦Â ­´ µ Ťn Á } µ ¸É Å ¤n n ° Á ºÉ ° µ Áª¨µ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¢¼Á¦¸¥¦r ¸ÉŤn n°Á ºÉ° µ Áª¨µÅ o µ¦Â ¨ ¸¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ ­Îµ®¦´ µ¦ª·Á ¦µ³®r ­´ µ ¨³¦³ ´ ´Ê Ä ¸Ê ¹ Å o° · µ¥ª· ¸ µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â¨³ µ¦Â ¨ ¸ ´ » ­¤ ´ · nµ Ç ° µ¦Â ¨ ¸ È º°ªnµ¤¸ ªµ¤­Îµ ´ Á n ´ Á ºÉ° µ nª¥ εĮo µ¦®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ ¸É ´ o° ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê ° µ ¸Ê¥´ Å o ¨nµª ¹ µ¦®µ ¨ ° ­ ° ° ¦³ Á · Á­o ¸ÉŤn ¦Á ¨¸É¥ µ¤Áª¨µÃ ¥°µ«´¥ µ¦Â ¨ ¸ ¦ª¤ ´Ê ­ Ä®oÁ®È ¹ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ¢{ r ´ nµ¥Ã° ¨³Â £µ¡ ¨È° ° ¦³ ­» oµ¥Å o ¨nµª ¹ ªµ¤­Îµ ´ ¨³ ¦³Ã¥ r ° µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª บทที่ 10 การแปลงซี 10-41 397

10.9  f ®´ oµ¥ 1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸, ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC), ¨³Â £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ¢{ r ´ n°Å ¸Ê 1.1) x > n@ 0.5 n 1 u > n 2@

1.2) x > n@ 1/ 3 n u >3 n@ n

1.3) x > n@

2n u > n@ 1/ 3 u > n 2@

1.5) x > n@ 0.5 n ^u > n 4@ u > n 5@`

n

1.4) x > n@

n 1/ 2

1.6) x > n@

S· § 2S n ¸ u > n 1@ 4n cos ¨ 6 4¹ ©

2) ®µ µ¦Â ¨ ¸ ´ ° ¢{ r ´ X z n°Å ¸Ê 2.1)

X z

2.3)

X z

2.5)

X z

1 z 1 1 1/ 4 z 2 z 1 0.5 1 2

1 0.5z

,

z !

1 2

2.2)

X z

,

z !

1 2

2.4)

X z

2.6)

X z

1 1/ 3 z 1

,

1 z 1 2 z

1

1

z !2

1 z 1 1 1/ 4 z 2 z 1 0.5 1 2

1 0.5z

,

z

1 2

,

z

1 2

12 z

z 1 z 1

2

,

z !1

3) ε® Ä®o­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ LTI º° y > n@ x > n 3@ h > n 1@ Á¤ºÉ° x > n@ 1/ 2 n u > n@ ¨³ h > n@ 1/ 3 n u > n@ ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ y > n@ Z o X z à ¥ ¸É X z ¤¸Á ºÉ° Å ´ n°Å ¸Ê 4) ε® Ä®o ¼n µ¦Â ¨ ¸ ° ­´ µ x > n@ º° x > n@ m

)

X z

Á } ¢{ r ´ nµ ¦· ¨³Á } ¢{ r ´ {~ ªµ (right-sided function)

)

X z

¤¸Ã¡¨­° á¨Á nµ ´Ê

)

X z

¤¸­° ¸Ã¦°¥¼n ¸É » εÁ ·

)

X z

¤¸Ã¡¨® ¹É ᨰ¥¼n ¸É »

)

X 1 8 / 3

z

0.5e jS / 3

®µ nµ X z ¨³ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ 5) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸­¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@

1 1 y > n 1@ y > n 2@ 2 4

x > n@

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-42 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

398

Á¤ºÉ° x > n@ º°­´ µ °· ¡» ¨³ °·¤¡´¨­r ° ¦³

y > n@

º°­´ µ Á°µ r¡» oµ ε® Ä®o h > n@ º° ¨ ° ­ °

5.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° h > n@ ¨³®µ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¡¦o°¤ ´Ê ªµ  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ 5.2) ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y > n@ Á¤ºÉ° x > n@

0.5n u > n@

6) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸­¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@

y > n 1@ y > n 2@ x > n 1@

Á¤ºÉ° x > n@ º°­´ µ °· ¡» ¨³ °·¤¡´¨­r ° ¦³

y > n@

º°­´ µ Á°µ r¡» oµ ε® Ä®o h > n@ º° ¨ ° ­ °

6.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸ ° h > n@ ¨³®µ ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ ¡¦o°¤ ´Ê ªµ  £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ 6.2) ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y > n@ Á¤ºÉ° x > n@

u > n@

7) ¡· µ¦ µ¦³ LTI ¸É¤¸­¤ µ¦Á · ¨ nµ º° y > n@ y > n 1@ ax > n 1@

Á¤ºÉ° a ! 0 , x > n@ º°­´ µ °· ¡» , ¨³ y > n@ º°­´ µ Á°µ r¡» 7.1) ®µ ¨ ° ­ ° °·¤¡´¨­r h > n@ ° ¦³ 7.2) ®µ¢{ r ´ nµ¥Ã° H z ° ¦³ 7.3) ®µ­´ µ Á°µ r¡» ° ¦³ y > n@ Á¤ºÉ° x > n@

e an

8) ªµ  £µ¡¦¼  ¦ (direct-form diagram) ° ¦³ LTI  ° °¨ ¸É¤¸¢{ r ´ nµ¥Ã° º° z 1 0.5

8.1)

H z

8.2)

H z

8.3)

H z

2z 1 z 4 / 3 1/ 2 z 2 2 / 3 z 3

8.4)

H z

3 1 z 1/ 4 z 1 2 / 3 z 1 1/ 9 z 2

1 2

1 0.5z

5z

z 1 z 1

1

2

2

บทที่ 10 การแปลงซี 10-43 399

8.5)

H z

2 z 1 1 z 1 1/ 2 z 2 1 1/ 2 z 1 z 2

9) ε® Ä®o­´ µ °· ¡» x > n@ ¨³­´ µ Á°µ r¡» y > n@ ° ¦³ LTI  ° °¨¤¸ ªµ¤­´¤¡´ r ´ µ¤Â £µ¡ ¨È° n°Å ¸Ê y > n@

x > n@

z 1

1 4

7 6

z 1 2 7

9.1) ®µ­¤ µ¦Á · ¨ nµ ° ¦³ Á¡ºÉ°Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ x > n@ ¨³ y > n@ 9.2) ¡· µ¦ µªnµ¦³ ¸ÊÁ } ¦³ Á­ ¸¥¦®¦º°Å¤n 10) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª, ¦·Áª µ¦¨¼nÁ oµ (ROC), ¨³Â £µ¡Ã¡¨ ¸Ã¦ ° ¢{ r ´ n°Å ¸Ê 10.1) x > n@ 1/ 4 n u > n 5@ 10.2) x > n@ G > n 2@ G > n@ 3n u > n@ 10.3) x > n@

0.3

n

11) ε® Ä®o x1 t 1/ 3 n 1 u > n 1@ ¨³ x2 > n@ 1/ 5 n u > n@ 11.1) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª

X1 z

¨³Â ­° oµ

X1 z

° ­´ µ x1 > n@

11.2) ®µ ¨ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª

X 2 z

¨³Â ­° oµ

X2 z

° ­´ µ x2 > n@

11.3) ®µ µ¦Â ¨ ¸  ­° o µ ´ ° ¨ ¼ x1 > n@ x2 > n@

X1 z X 2 z

Á¡ºÉ ° ®µ n µ ­´ µ g > n@

11.4) ­ ªnµ µ¦Â ¨ ¸Â oµ Á ¸¥ª ´ ° ¨ ¼ X 1 z X 2 z ¤¸ nµÅ¤nÁ nµ ´ ­´ µ g > n@ Ä o° ¸É 11.3) ­Îµ®¦´ n t 0

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB 10-44 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

400

£µ ª ­¼ ¦ · «µ­ ¦r ¸É nµ­ Ä £µ ª ¸Ê ³­¦» ­¼ ¦ · «µ­ ¦r ¸É nµ­ Ä Á¡ºÉ° nª¥Ä µ¦Â oÅ { ®µ µ · «µ­ ¦rÄ ® ´ ­º°Á¨n¤ ¸Ê ¹É ³ nª¥ εĮo µ¦ ε ª nµ Ç ¤¸ ªµ¤ nµ¥ ¹Ê

.1 ­¼ ¦ µ¦®µ ¨¦ª¤ M

¦a

1 a M 1 1 a

n

n 0

f

¦a

1 , a 1 1 a

n

n 0

N 1

¦a

­1 a N , n z1 ° ® 1 a °N, n 1 ¯

n

n 0

ak , a 1 1 a

f

¦ an n k

f

¦ na

a

n

1 a

n 0

f

¦n a 2

n 0

n

,

2

a2 a

1 a

3

a 1

,

a 1

ภาคภนวก ก สูตรคณิตศาสตรทนี่ า สนใจ

401

ก-1

ÂŚe

n

jm 2S / N n

N

­ N , m 0, r N , r2 N ,! Ž ¯0, else

„.2 ­ŸÂ˜ÂŚÂ…°ÂŠ°°¼à ¨°Œr e r jT

cos T j sin T

cos T

1 jT ^e e jT ` 2

sin T

1 jT ^e e jT ` 2j

„.3 à °Â„¨´Â„–r˜Œ¸ĂƒÂ„–¤¡Â˜¡ sin 2 T cos 2 T 1 sin 2T

2sin T cos T

sin 2 T

1 1 cos 2T

2

cos 2T cos 2 T sin 2 T 1 2 cos 2 T

cos 2 T

1 1 cos 2T

2

sin D r E sin D cos E r cos D sin E

cos D r E cos D cos E B sin D sin E

sin D sin E

1 ^cos D E cos D E ` 2

cos D cos E

1 ^cos D E cos D E ` 2

sin D cos E

1 ^sin D E sin D E ` 2

ŕ¸?ŕ¸?าณ๠ละระบบ ภูบภารประยุภŕ¸•ďœŽŕšƒŕ¸Šďœ‹ŕš‚ŕ¸›ร๠ภรม SCILAB ภ-2 สูSignals and Systems with SCILAB Applications

402

§D E sin D sin E 2sin ¨ Š 2 cos D cos E

¡ §D E ¡ ¸ cos ¨ ¸ š Š 2 š

§D E ¡ §D E ¡ 2 cos ¨ ¸ cos ¨ ¸ Š 2 š Š 2 š § § b ¡¡ a 2 b 2 cos ¨ D tan 1 ¨ ¸ ¸ Š a šš Š

a cos D b sin D

„.4 „¾ŒÂ„Œ³‹¾¼°ÂœÂťÂ„Œ¤Â„ĂŽ¾¨´ÂŠ f

ex

§1

Œ ¨Š k x k 0

1 D

n

k

x1 x 2 x 3 ¡ ¸ 1 ! 1! 2! 3! š

1 nD

n n 1

2!

§n¡

D 2 ! ¨ ¸D k ! D n k Š š

1

1 1 ln 1 D D D 2 D 3 ! k 2 3

k 1

D k ! , D 1

„.5 žŒ¡¥´ÂœÂ›r‹Î¾„´Â—Ă Â…Â˜ S

ÂłS cos nx cos mx dx

S

ÂłS sin nx cos mx dx

S

ÂłS sin nx sin mx dx

­S , m n Ž ¯0, m z n ­S , m n Ž ¯0, m z n ­S , m n Ž ¯0, m z n

2S

Âł sin nx cos mx dx

0

à ¤ºĂ‰° m Ă‚¨³ n à ž}Âœà ¨Â…Â‹ĂŽÂľÂœÂŞÂœĂ Â˜Ăˆ¤Ă„—Ç

0

T0

Âłe 0

j k n Z0t

dt

­T0 , k n Ž ¯0, k z n

ภาคภนวภภสบตรคณิตศาสตรďœŽŕ¸—ŕ¸™฾ŕšˆ าďœŠ สŕ¸™ŕšƒŕ¸ˆ

403

ภ-3

f n ax

Âłx e

n! a n 1

,

a!0

1 S 2 a

,

a!0

dx

0

f

Âłe

ax 2

dx

0

f

Âł xe

ax 2

1 2a

dx

0

,

a!0

„.6 žŒ¡¥´ÂœÂ›rĂ…¤n‹Î¾„´Â—Ă Â…Â˜ Âł sin mx cos nx dx Âł sin mx sin nx dx

Âł sin ax cos ax dx ax Âł e sin bx dx

ax Âł e cos bx dx

Âłx

2

Âłx

2

Âł xe

cos m n x

2 m n

sin m n x

2 m n

2 m n

sin m n x

2 m n

à ¤ºĂ‰° m2 z n2

à ¤ºĂ‰° m2 z n2

e ax ^a sin bx b cos bx ` a 2 b2 e ax ^a cos bx b sin bx ` a 2 b2

1 § x¡ tan 1 ¨ ¸ a Šaš

x dx a2

1 ln x 2 a 2

a

dx

cos m n x

1 sin 2 ax

2a

1 dx a2

ax

eax ax 1

a2

Âł x sin ax dx

1 x sin ax cos ax

a2 a

Âł x cos ax dx

1 x cos ax sin ax

2 a a

ŕ¸?ŕ¸?าณ๠ละระบบ ภูบภารประยุภŕ¸•ďœŽŕšƒŕ¸Šďœ‹ŕš‚ŕ¸›ร๠ภรม SCILAB ภ-4 สูSignals and Systems with SCILAB Applications

404

£µ ª ¡ºÊ µ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB [6, 7] Á } à ¦Â ¦¤£µ¬µ ´Ê ­¼ ¸É ¼ ¡´ µ ¹Ê à ¥ ªµ¤¦nª¤¤º° ´ ¦³®ªnµ ´ ª· ´¥ µ ­ µ ´ Institut National De Recherche En Informatique Et En Automatique (INRIA) ¨³ École nationale des ponts et chausses (ENPC) ¦³Á « ¦´É Á«­ ´Ê  n e .«.1990 à ¥¤¸ » ¤»n ®¤µ¥Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦ ε ª Á · ´ªÁ¨ ¨³Â­ ¨ ¦µ¢¦· ¸É ´ o° ° µ ¸Êà ¦Â ¦¤ SCILAB ¥´ Á } à ¦Â ¦¤ ¸ÉÄ®o¢¦¸ (Ťn o° Á­¸¥Á · nµ¨· ­· ·Í °¢ rª¦r) ¼o°nµ ­µ¤µ¦ µª rî¨ Å o µ http://www.scilab.org ­Îµ®¦´ Ä £µ ª ¸Ê ³° · µ¥¡ºÊ µ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á¡ºÉ°Ä®o ¼o°nµ ­µ¤µ¦ ¨° Ä o µ ´ª°¥nµ à ¦Â ¦¤ SCILAB ¸É ¦µ Ä Â n¨³ Á¦¸¥ Å o Á ºÉ° µ ª· µ “­´ µ ¨³¦³ ” ¤¸­¤ µ¦ · «µ­ ¦r ε ª ¤µ ¹É µ ¦´Ê εĮo¥µ  n µ¦ ε ªµ¤Á oµÄ ´ ´Ê µ¦Ä oà ¦Â ¦¤ SCILAB ª ¼nÅ ´ µ¦Á¦¸¥ ¦¼oÄ Â n¨³ Á¦¸¥ ³ nª¥ εĮo ¼oÁ¦¸¥ ­µ¤µ¦ Á oµÄ Ä Á¦¸¥ Å o¤µ ¥·É ¹Ê SCILAB1

.1 µ¦­¦oµ ­Á ¨nµ¦r Áª Á °¦r ¨³Á¤ ¦· r nµ­Á ¨µ¦r (scalar) ­µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ ε® ¨ Ä ´ªÂ ¦Å o ´ ¸ Á n oµ o° µ¦ ε® Ä®o a b 5 È ÎµÅ o ´ ¸Ê -->a = 2 + 3*%i

1

2 3i

¨³

// ε® Ä®o a 2 3i

SCILAB Á } à ¦Â ¦¤ ¸É­µ¤µ¦ ε µ Å o°¥nµ ¤¸ ¦³­· ·£µ¡Ä ¨oÁ ¸¥ ´ à ¦Â ¦¤ MATLAB [16] ¹É nµ¨· ­· ·Í

°¢ rª¦r ° à ¦Â ¦¤ MATLAB ¤¸¦µ µÂ¡ ¤µ  n SCILAB Á } à ¦Â ¦¤ ¸ÉÄ®o¢¦¸ (freeware) à ¥­µ¤µ¦ µª rî¨ Å o µ http//www.scilab.org ®¦º° http://home.npru.ac.th/piya/webscilab ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB

405

ข-1

a 2. + 3.i -->b = 5;

// ε® Ä®o b 5

-->

à ¥ ¸É %i º° nµ ¸É¡·Á«¬ ¸ÉÄ oÄ µ¦Â­ ´ªÁ¨ Á · o° à ¥ ³¤¸ nµÁ nµ ´ ® nª¥ · £µ¡ (imaginary unit) ´É º° i 1 ­nª Á ¦ºÉ° ®¤µ¥Á ¤·Ã ¨° “;” ¸ÉÄ o d oµ¥ ε­´É ¸É­° Á } µ¦ ° Ä®oà ¦Â ¦¤ Ťn o° ­ ¨¨´¡ r°° µ ® oµ nµ ε­´É ¨³Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ double slash “//” ®¦º°Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ °¤Á¤ r (comment) Á } Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¸É ³ ° Ä®oà ¦Â ¦¤ SCILAB Ťn ε µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ n° ε­´É ®¦º° o° ªµ¤ ¸É°¥¼n®¨´ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ °¤Á¤ r ¸Ê Ä µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¹Ê ¦¦ ´ Ä®¤n “...” ¹É ¤¸¨´ ¬ ³Á } » ¸ÉÁ¦¸¥ n° ´ ­µ¤ » ³¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ Ä µ¦Á ¸¥ à ¦Â ¦¤Ã ¥Á ¡µ³°¥nµ ¥·É Á¤ºÉ° ε­´É ¸ÉÄ o¤¸ ªµ¤¥µª¤µ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¸ÊÁ°µÅªoÄ o n° oµ¥ ε­´É Á¡ºÉ° ° ªnµ ε­´É Ä ¦¦ ´ ´Ê ¥´ Ťn­·Ê ­» ´ ´Ê ¹ ¤oªnµ ³ »i¤ Enter ®¨´ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ » ­µ¤ » ¸Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB È ³¥´ Ťn ε ε­´É ´Ê Å ¦³¤ª¨ ¨  n ³¦°¦´ o°¤¼¨ ­nª ¸ÉÁ®¨º° ¸É ³Á ¸¥ n°Å Ä ¦¦ ´ Ä®¤n ¦³ ´É ®¤ ε­´É ¨oª »i¤ Enter °¸ ¦´Ê µ ´Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB ¹ ³Á°µ o° ªµ¤ ´Ê ®¤ ¤µ¦ª¤ ´ Á } ¦³Ã¥ ε­´É Á ¸¥ªÂ¨oª n°¥ εÁ°µÅ ¦³¤ª¨ ¨ ´ª°¥nµ Á n -->x = 5; -->y = 3; -->z = x + y z

//®µ ¨ ª ° ´ªÂ ¦ x ´ ´ªÂ ¦ y //¨oª ε ¨¨´¡ r ¸ÉÅ oÅ ¦¦ »ÅªoÄ ´ªÂ ¦Ä®¤n ¸É ºÉ° ´ªÂ ¦ z

= 8.

-->z = x + ...

//®¤µ¥ ¹ ¥´ Ťn­·Ê ­» ε­´É à ¦Â ¦¤ SCILAB ³¥´ Ťn ε o°¤¼¨ ¸ÊÅ ¦³¤ª¨ ¨

-->y

//Á¤ºÉ° »i¤ Enter È º°ªnµÁ } µ¦­·Ê ­» ε­´É ¸É j° µ ¦¦ ´ n° ® oµ ¸Ê

z

//à ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε ε­´É ´Ê ®¤ º° z = x + y Å ¦³¤ª¨ ¨

= 8.

³Á®È Å oªnµ ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o¤¸ nµÁ nµ ´ à ¦Â ¦¤ SCILAB Å oÁ ¦¸¥¤ nµ ¸É¡·Á«¬°ºÉ Ç Á¡ºÉ°¦° ¦´ µ¦ ε ª µ · «µ­ ¦r Á n %pi

º° nµ°´ ¦µ­nª ¦³®ªnµ ªµ¤¥µªÁ­o ¦° ª ´ Á­o nµ «¼ ¥r ¨µ ° ª ¨¤ ¤¸ nµÁ nµ ´

ʌ = 3.1415927... %e

º° nµ ¸É ¦¸Ã ¤· · à ¥¤¸ µn Á nµ ´ e = 2.7182818...

%inf ¤µ µ εªnµ “infinity”

ข-2

º° nµ° ´ r ´É º° %inf =

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

406

%eps ¤µ µ εªnµ “epsilon”

à ¥¤¸ nµÁ nµ ´ e § ³ º°ªnµÁ } nµ«¼ ¥r

º° nµ® nª¥¥n°¥ µ Á¨È ¸É­» ¸Éà ¦Â ¦¤ SCILAB ­µ¤µ¦ ¦° ¦´ Å o 2.22*10-16 ´ ´Ê nµ ε ª ¦· ¸É¤¸ nµ o°¥ ªnµ nµ %eps à ¦Â ¦¤ SCILAB

%nan ¤µ µ εªnµ “Not-A-Number” º° nµ ¸ÉŤn­µ¤µ¦ ­ Ä®o°¥¼Än ¦¼ ° ´ªÁ¨ Å o ans º° ´ªÂ ¦ ´Éª ¦µª ¸Éà ¦Â ¦¤ SCILAB

Ä oÁ È ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ µ¦ ε ª  n¨³ ε­´É Ä ¦ ¸ ¸É

Ťn¤¸ ´ªÂ ¦¤µ¦´ nµ ¨¨´¡ r ´Ê Áª Á °¦r (vector) º°Á¤ ¦· r (matrix) µ ® ¹É  ª ®¦º°Á¤ ¦· r µ ® ¹É  ª ´Ê Áª Á °¦r ª (row vector) ­µ¤µ¦ ­¦oµ Å oà ¥ µ¦Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ °¤¤nµ (comma) “,” ®¦º° n° ªnµ (space) Á } ´ªÂ¥ ­¤µ ·  n¨³­¤µ · Ä Áª Á °¦r ª ´ª°¥nµ Á n -->v = [1, 2, -3] v = 1. 2. - 3. -->v = [1 2 v = 1. 2.

-3] - 3.

oµ o° µ¦ ¦µ ªnµÁª Á °¦r v ¤¸ ªµ¤¥µªÁ nµÄ ®¦º°¤¸ ε ª ­¤µ · ´Ê ®¤ Á nµÄ È ÎµÅ oà ¥ µ¦Ä o ε­´É length ´ ¸Ê -->length(v) ans =

//®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁª Á °¦r v ¤¸­¤µ · ­µ¤ ´ª

3.

Ä ³ ¸ÉÁª Á °¦r ª ´Ê (column vector) ­µ¤µ¦ ­¦oµ Å oà ¥ µ¦ ¦µ ­rá­ (transpose) Áª Á °¦r ª ¹É ³Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ single quote “ ' ” µ¤®¨´ ´ªÂ ¦Áª Á °¦r ª ®¦º°­µ¤µ¦ ­¦oµ Áª Á °¦r ª ´Ê ¹Ê ¤µÅ oà ¥ ¦ à ¥ µ¦Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥Á ¤·Ã ¨n° Á } ´ª Â¥ ­¤µ ·  n¨³­¤µ · Ä Áª Á °¦r ª ´Ê Á n -->v = [1 2 3];

//­¦oµ Áª Á °¦r ª v

-->v'

//Ä o ¦µ ­rá­ ´ Áª Á °¦r ªÁ¡ºÉ°Ä®oÅ oÁ } Áª Á °¦r ª ´Ê

ans

= 1. 2. 3.

ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB

407

ข-3

//­¦oµ Áª Á °¦r ª ´Ê ¹Ê ¤µÃ ¥Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥Á ¤·Ã ¨n°

-->w = [1; 2; -3] w

= 1. 2. - 3.

° µ µ¦ ε® nµÃ ¥ ¦ Ä®o ´ Áª Á °¦r¨oª ¼oÄ o¥´ ­µ¤µ¦ ε® nµ ° Áª Á °¦rÄ®o¤¸ nµ Á¡·É¤ ¹Ê ®¦º°¨ ¨  °´ à ¤´ ·Å o à ¥ µ¦Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥Ã ¨n° (colon) “ : ” ¹É ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê ºÉ° ´ªÂ ¦ = nµÁ¦·É¤ o : nµ ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê (®¦º° nµ ¸É¨ ¨ ) : nµ­» oµ¥ Ä ¦ ¸ ¸ÉŤn¤¸ µ¦ ε® nµ ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê (®¦º° nµ ¸É¨ ¨ ) à ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε® Ä®oÁ } nµ ¸ÉÁ¡·É¤ ¹Ê Á nµ ´ +1 à ¥°´ à ¤´ · ( nµÃ ¥ ¦·¥µ¥) ´ª°¥nµ Á n //Á¦·É¤ o ¸É nµ 1 ¨oªÁ¡·É¤ ¹Ê ¸¨³ +2 ¦³ ´É ¹ nµ ¸É¤µ ¸É­» ¸ÉŤnÁ · 10

-->z = 1:2:10 z

= 1.

3.

5.

= 0.

1.

2.

3.

4.

5.

// nµÁ¦·É¤ o ¸É 5Ťn­µ¤µ¦ Á¡·É¤ ¹Ê ¸¨³ +1 ¹ 0 Å o ´ ´Ê ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ¹ Á }

-->z = 5:0 z

9.

//Á¦·É¤ o ¸É nµ 0 ¨oª nµÁ¡·É¤ ¹Ê ¸¨³ +1 ¦³ ´É ¹ 5

-->z = 0:5 z

7.

//Á¤ ¦· rªnµ (empty matrix) ´É º°¤¸ ε ª  ª ´ ε ª  ª ´Ê Á nµ ´ «¼ ¥r

= []

Á¤ ¦· r µ mun º°Á¤ ¦· r ¸É¤¸ ε ª ε ª m  ª ¨³ n  ª ´Ê Á n oµ o° µ¦­¦oµ Á¤ ¦· r µ 2u3 ­µ¤µ¦ ­¦oµ Å o Á n -->A = [1 2 3; 4 5 6] A = 1. 2. 3. 4. 5. 6.

¨³®µ o° µ¦ ¦µ ªnµÁ¤ ¦· r A ¤¸ µ Á nµÄ È­µ¤µ¦ εŠoà ¥Ä o ε­´É size ´ ¸Ê -->size(A) ans = 2.

ข-4

3.

// ° ªnµÁ¤ ¦· r A ¤¸ µ 2u3 (®¦º° 2  ª ¨³ 3  ª ´Ê )

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

408

° µ ¸Ê ¼oÄ o­µ¤µ¦ ¸É ³°oµ ¹ ­¤µ ·  n¨³ ´ªÄ Á¤ ¦· rÅ oà ¥ ¦ µ¤¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê -->b = A(2, 3) b = 6.

ε­´É ¸ÊÁ } µ¦ ° à ¦Â ¦¤ SCILAB Ä®o ε nµ ° ­¤µ · Ä Â ª ¸É­° ¨³Â ª ´Ê ¸É­µ¤ ° Á¤ ¦· r A Å ¦¦ »ÅªoÄ ´ªÂ ¦ b Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ ¼oÄ o¥´ ­µ¤µ¦ ¸É ³ ε® nµÄ®o n­¤µ ·  n¨³ ´ªÄ Á¤ ¦· r Å oà ¥ ¦ Á n -->A(2, 3) = 10 A = 1. 2. 3. 4. 5. 10.

¹É Á } µ¦ ε® Ä®o nµ ° ­¤µ · Ä Â ª ¸É­° ¨³Â ª ´Ê ¸É­µ¤ ° Á¤ ¦· r Á¤ ¦· r A ¹ ¤¸ ¨¨´¡ r µ¤ ¸É­ Ūo oµ o

A

¤¸ nµÁ } nµ

10 ´ ´Ê

.1.1 µ¦®µ ¦µ ­rá­ ¸Á °¦r¤·Â r °· Áª°¦r­ µ¦ ¼ ° Á¤ ¦· r ¦µ ­rá­Á¤ ¦· r (matrix transpose) Á } µ¦Á ¨¸É¥  ª ´Ê Ä®oÁ }  ª ¨³Á ¨¸É¥  ªÄ®oÁ }  ª ´Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB ­µ¤µ¦ ε µ¦ ¦µ ­rá­Á¤ ¦· rÅ o 2 ¦¼  º° 1) ¦µ ­rá­Â ­´ ¥» (conjugate transpose) ³Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ “ ' ” Á } ´ª εÁ · µ¦ à ¥ ε® oµ ¸É ­¦oµ ¦µ ­rá­Á¤ ¦· r ¡¦o°¤ ´Ê ε µ¦­´ ¥» ° ´ªÁ¨ Á · o° oª¥ 2) ¦µ ­rá­Â ¦¦¤ µ (transpose) ³Ä oÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ “ .' ” Á } ´ª εÁ · µ¦ à ¥ ³­¦oµ Á ¡µ³ ¦µ ­rá­Á¤ ¦· rÁ nµ ´Ê ´ª°¥nµ µ¦Ä o µ Á n -->A = [1 + 2*%i; 3; 2 - %i];

//Ä o ¦µ ­rá­Â ­´ ¥»

-->A' ans

= 1. - 2.i

3.

2. + i

//Ä o ¦µ ­rá­Â ¦¦¤ µ

-->A.' ans

= 1. + 2.i

// ε µ¦­´ ¥» ° ´ªÁ¨ Á · o° oª¥

3.

2. - i

ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB

409

ข-5

­Îµ®¦´ nµ ¸Á °¦r¤·Â r (determinant) ¨³ µ¦®µ°· Áª°¦r­ µ¦ ¼ ° Á¤ ¦· r A ­µ¤µ¦ εŠo à ¥ µ¦Ä o ε­´É det(A) ¨³ inv(A) µ¤¨Îµ ´ Á n -->A = [1 2; 3 4];

//­¦oµ Á¤ ¦· r A

-->det(A)

//®µ ¸Á °¦r¤·Â r ° Á¤ ¦· r A

ans

=

- 2.

//®µ°· Áª°¦r­ µ¦ ¼ ° Á¤ ¦· r A

-->inv(A) ans

=

- 2.

1.

1.5

- 0.5

.2 ¡®» µ¤ à ¦Â ¦¤ SCILAB ³¦° ¦´ ¡®» µ¤ (polynomial) ¸É¤¸¦¼  ´ ¸Ê 2

y = a0 + a1x + a2x + … + an x

n

Á¤ºÉ° x º° ´ªÂ ¦¡®» µ¤, a = [a0 a1 a2 ... an] º°Áª Á °¦r ¸É¤¸­¤µ ·  n¨³ ´ªÁ } nµ­´¤ ¦³­· ·Í ° ¡®» µ¤, n º° ¸ ¦¸ (degree) ° ¡®» µ¤, ¨³ y º°­¤ µ¦¡®» µ¤ Ä Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ­¤ µ¦¡®» µ¤ ­µ¤µ¦ ­¦oµ Å oà ¥Ä o ε­´É poly ´ ¸Ê y = poly(a, "x", [flag])

¹É ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ °¥¼n 2  º° 1) oµ¡µ¦µ¤·Á °¦r a Á } Áª Á °¦r ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ­¤ µ¦¡®» µ¤ y ¸É ¼ ε® à ¥¡µ¦µ¤·Á °¦r x ¨³ flag Á¤ºÉ° x º° ´ªÂ ¦¡®» µ¤ ¨³ flag Á } ´ªÁ¨º° (option) ¸É¤¸ µ¦Á¦¸¥ Ä o µ ´ ¸Ê flag = "coeff" Ä®o­¦oµ ­¤ µ¦¡®» µ¤ µ nµ­´¤ ¦³­· ·Í ¸É ε® à ¥Áª Á °¦r a flag = "roots" ( nµÃ ¥ ¦·¥µ¥) Ä®o­¦oµ ­¤ µ¦¡®» µ¤ µ ε ° ° ­¤ µ¦¡®» µ¤ ¸É µÎ ® à ¥Áª Á °¦r a ´ª°¥nµ Á n -->q = poly([1 2 3], "x", "coeff") //­¦oµ ­¤ µ¦¡®» µ¤ µ nµ­´¤ ¦³­· ·Í q

ข-6

=

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

410

2 1 + 2x + 3x

//­¦oµ ­¤ µ¦¡®» µ¤ µ ε ° ° ­¤ µ¦¡®» µ¤

-->p = poly([1 2], "s") p

= 2

// ´É º° s = 1 ¨³ s = 2 Á } ε ° ° s

2

2 - 3s + s

// ε­´É ¸ÉÄ o®µ ε ° ° ­¤ µ¦¡®» µ¤ p

-->roots(p) ans

3s 2 0

= 1. 2.

2) oµ¡µ¦µ¤·Á °¦r a Á } Á¤ ¦· r ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° ­¤ µ¦¨´ ¬ ³Á ¡µ³ (characteristic equation) ° Á¤ ¦· r a ¹É Ä µ · «µ­ ¦r­¤ µ¦¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° Á¤ ¦· r A ®µÅ o µ µ¦ µ¦Â o­¤ µ¦ det(A – ȜI) = 0 à ¥ ¸É Ȝ º° nµ ´ªÄ Ç Â¨³ I º°Á¤ ¦· rÁ° ¨´ ¬ r ¸É¤¸ µ ´ Á¤ ¦· r A Á n oµ ε® Ä®oÁ¤ ¦· r Ȝ 2 5Ȝ 2 0

ª1 2º A=« » ¬3 4¼

³Å oªnµ­¤ µ¦¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° Á¤ ¦· r A º°­¤ µ¦

à ¦Â ¦¤ SCILAB ­µ¤µ¦ ®µ­¤ µ¦¨´ ¬ ³Á ¡µ³ ° Á¤ ¦· r A Å oà ¥Ä o ε­´É

poly ´ ¸Ê -->A = [1 2;

3 4];

-->y = poly(A, "x") y = 2 - 2 - 5x + x

// ¨¨´¡ rÁ nµ ´ ´ ­¤ µ¦ Ȝ 2 5Ȝ 2 0 Á¤ºÉ°Â nµ x

Ȝ

.3 µ¦ εÁ · µ¦ µ · «µ­ ¦r µ¦ ε ª µ · «µ­ ¦r¦³®ªnµ nµ­Á ¨µ¦r ´ nµ­Á ¨µ¦r Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª ´ Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ ¸ÉÄ oÄ Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ³ nµ ´ Á¨È o°¥ ´ ¸É­ Ä µ¦µ ¸É .1 ´ª°¥nµ Á n -->a = 3; -->b = 2; -->M = [a + b, a - b, a * b; a \b, a /b, a^b] M = 5. 1. 6. 0.6666667 1.5 9.

ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB

411

ข-7

µ¦µ ¸É .1 µ¦ εÁ · µ¦ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª µ · «µ­ ¦r ° nµ­Á ¨µ¦r µ¦ εÁ · µ¦

¦¼  ¡¸ ·

¦¼  ° SCILAB

µ¦ ª (addition)

a+b

a + b

µ¦¨ (subtraction)

a–b

a – b

µ¦ ¼ (multiplication)

a×b

a * b

µ¦®µ¦ oµ¥ (left division) µ¦®µ¦ ªµ (right division) µ¦¥ ε¨´ (exponentiation)

b

a \ b

a a

a / b

b

ab

a^b ®¦º° a**b

µ¦µ ¸É .2 ´ª εÁ · µ¦ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª µ · «µ­ ¦r ° Á¤ ¦· r ´ª εÁ · µ¦

ε° · µ¥

+

µ¦ ª (addition)

–

µ¦¨ (subtraction) µ¦ ¼ (multiplication) µ¦ ¼ Ä ¦³ ´ ­¤µ · (element-wise multiplication)

* .* .*. \

µ¦ ¼  à ¦Á Á °¦r (Kronecker product) µ¦®µ¦ oµ¥ (left division)

.\

µ¦®µ¦ oµ¥Ä ¦³ ´ ­¤µ · (element-wise left division)

.\.

µ¦®µ¦ oµ¥Â à ¦Á Á °¦r (Kronecker left division)

/

µ¦®µ¦ ªµ (right division)

./

µ¦®µ¦ ªµÄ ¦³ ´ ­¤µ · (element-wise right division)

./.

µ¦®µ¦ ªµÂ à ¦Á Á °¦r (Kronecker right division)

^ ®¦º° ** .^

µ¦¥ ε¨´ (exponentiation) µ¦¥ ε¨´ Ä ¦³ ´ ­¤µ · (element-wise exponentiation)

Ä ³ ¸É ´ª εÁ · µ¦ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª µ · «µ­ ¦r­Îµ®¦´ Á¤ ¦· r ­ Ä µ¦µ ¸É .2 ´ª°¥nµ Á n -->A = [1 2 3; 4 5 6]; -->B = [1 1 1; -1 -1 -1];

ข-8

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

412

-->A + B ans = 2. 3.

3. 4.

4. 5.

-->A – B ans = 0. 5.

1. 6.

2. 7.

// µ ° Á¤ ¦· rŤn­° ¨o° ´ µ¦ ¼ ´ ° Á¤ ¦· r

-->A * B !--error 10 inconsistent multiplication -->A * B' ans = 6. - 6. 15. - 15.

// µ¦ ¼ Ä ¦³ ´ ­¤µ ·

-->A .* B ans = 1. 2. – 4. – 5.

3. – 6.

// µ¦®µ¦ oµ¥Ä ¦³ ´ ­¤µ ·

-->A .\ B ans = 1. - 0.25

0.5 - 0.2

0.3333333 - 0.1666667

// µ¦¥ ε¨´ Ä ¦³ ´ ­¤µ ·

-->A .^ B ans = 1. 0.25

2. 0.2

3. 0.1666667

³Á®È Å oªnµ µ¦ εÁ · µ¦ nµ Ç Ä ¦³ ´ ­¤µ · ³Á · ¹Ê Å o È n°Á¤ºÉ°Á¤ ¦· r ´Ê ­° ³ o° ¤¸ µ Á nµ ´

.4 µ¦Â o¦³ ­¤ µ¦Á · Á­o à ¦Â ¦¤ SCILAB ­µ¤µ¦ ε¤µÄ o oÅ { ®µ¦³ ­¤ µ¦Á · Á­o (linear equation system) Å oà ¥ nµ¥ ´ª°¥nµ Á n oµ o° µ¦Â o­¤ µ¦­° ´ªÂ ¦Á¡ºÉ°®µ nµ ° ´ªÂ ¦ x1 ¨³ x2 µ 2x1 + x2 = 3

( 1)

x1 – x2 = 3

( 2) ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB

413

ข-9

oµÄ o®¨´ µ¦Â o­¤ µ¦­° ´ªÂ ¦ ´ÉªÅ Á¡ºÉ°Â o­¤ µ¦ ¸É ( 1) ¨³ ( 2) ³Å o ¨¨´¡ r º° x1 x2 = -1 Á n Á ¸¥ª ´ ¼oÄ o­µ¤µ¦  o­¤ µ¦ ´Ê ­° ¸ÊÅ oà ¥Ä o®¨´ µ¦ ° Á¤ ¦· r ´ ¸Ê ­¤ µ¦ ¸É ( 1) ¨³ ( 2) ­µ¤µ¦ Á ¸¥ ­¤ µ¦ ´Ê ­° Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° Á¤ ¦· rÅ o º° ª2 1 º ªx1 º «1 1» «x » ¬ ¼ ¬ 2¼

à ¥ ¸É

A

ª2 1 º «1 1» ¬ ¼

¨³

b

ª3º «3» ¬ ¼

ª3º «3» ¬ ¼

®¦º°

Á ºÉ° µ ε ° ° ­¤ µ¦

Ax

b

Ax

b

= 2 ¨³

( 3) º°

x

A 1b

´ ´Ê ε ° °

­¤ µ¦ ¸É ( 1) ¨³ ( 2) ­µ¤µ¦ ®µÅ o µ µ¦Ä o » ε­´É ´ ¸Ê -->A = [2 1; 1 -1];

//Á¤ ¦· r µ 2u2

-->b = [3; 3];

//Áª Á °¦r ª ´Ê µ 2u1

-->x = inv(A)*b

// ε ° ° ­¤ µ¦­° ´ªÂ ¦Á } Áª Á °¦r ª ´Ê µ 2u1

x

= 2. - 1.

¨¨´¡ r ¸ÉÅ o º° x1 = 2 ¨³ x2 = -1

.5 µ¦ εÁ · µ¦ µ · «µ­ ¦r à ¦Â ¦¤ SCILAB ¤¸¢{ r ´ ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε ª µ · «µ­ ¦r ε ª ¤µ Á n ¢{ r ´ ¡ºÊ µ ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ´ªÁ¨ , ¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· ·, ¢{ r ´ ¡ºÊ µ µ ­ · · Á } o à ¥¤¸¦µ¥¨³Á°¸¥ ´ n°Å ¸Ê

.5.1 ¢{ r ´ ¡ºÊ µ ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ´ªÁ¨ µ¦µ ¸É .3 ­ ¢{ r ´ ¡º Ê µ ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ´ªÁ¨ ´ª°¥nµ Á n -->abs([1, %i, -2, -2*%i, 3 + 4*%i]) ans = 1. 1. 2. 2. 5. -->sqrt([2, 4, -1, -4]) ans = 1.4142136 2. i

2.i

-->real([0.1, %i, -1.5 + 2*%i, 2 - %i]) ans = 0.1 0. - 1.5 2.

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-10 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

414

µ¦µ ¸É .3 ´ª°¥nµ ¢{ r ´ ¡ºÊ µ ¸ÉÁ ¸É¥ª ´ ´ªÁ¨ ¢{ r ´ abs(x) sqrt(x) modulo(m,n) ceil(x) floor(x) sign(x) roots(p) real(x) imag(x) conj(x) exp(x) log(x) log2(x) log10(x)

ε° · µ¥ ®µ nµ­´¤ ¼¦ r (absolute value) ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ¦µ ¸É­° (square root) ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµÁ«¬ ¸ÉÁ®¨º° µ¦®µ¦ ´ªÂ ¦ n oª¥ m ®µ nµ ε ª Á Ȥ ¸É¤¸ nµÄ ¨o ´ nµ x Å µ nµ ¤µ ¸É­» ®µ nµ ε ª Á Ȥ ¸É¤¸ nµÄ ¨o ´ nµ x Å µ nµ - ¤µ ¸É­» ®µ nµÁ ¦ºÉ° ®¤µ¥ ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ¦µ ®¦º° ε ° ° ­¤ µ¦¡®» µ¤ p ®µ nµ ε ª ¦· ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ ε ª · £µ¡ ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ­´ ¥» ° ε ª ε ªÁ · o° ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ ex ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ log µ e ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ log µ 2 ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ log µ 10 ° ´ªÂ ¦ x

-->imag([0.1, %i, -1.5 + 2*%i, 2 - %i]) ans = 0. 1. 2. - 1. -->log([1, %e, 10, 20, 100]) ans = 0. 1. 2.3025851 2.9957323 -->log10([1, 2, 10, 20, 100]) ans = 0. 0.30103 1. 1.30103

4.6051702

2.

.5.2 ¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· · à ¦Â ¦¤ SCILAB Å oÁ ¦¸¥¤ ε­´É ¡ºÊ µ ­Îµ®¦´ ¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· ·Â¨³¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· · ´ Ūo µ¤ µ¦µ ¸É .4 à ¥ n µ ¤» ¤ ¸É Ä o ® ¦º ° ¸É Å o ¦´ µ ¢{ r ´ µ ¦¸ à ¤· · ³ o ° ¤¸ ® n ª ¥Á } Á¦Á ¸ ¥ (radian) ´ª°¥nµ Á n -->y = sin([0, 1, %pi/2, -%pi/2]) y = 0. 0.8414710 1. - 1.

ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-11

415

µ¦µ ¸É .4 ¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· ·Â¨³¢{ r ´ ¦¸Ã ¤· · ´ ¢{ r ´

ε° · µ¥ ®µ nµ sine ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ cosine ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ tangent ° ´ªÂ ¦ x ®µ nµ sine inverse ° ´ªÂ ¦ y ®µ nµ cosine inverse ° ´ªÂ ¦ y ®µ nµ tangent inverse ° ´ªÂ ¦ y

sin(x) cos(x) tan(x) asin(y) acos(y) atan(y)

-->x = asin(y) x = 0. 1.

1.5707963

//¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥

- 1.570796

-->y = tan([0, %pi/6, %pi/4, %pi/3]) y = 0. 0.5773503 1. 1.7320508 -->x = atan(y) x = 0. 0.5235988

0.7853982

//¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥

1.0471976

.5.3 ¢{ r ´ ¡ºÊ µ µ ­ · · à ¦Â ¦¤ SCILAB Å oÁ ¦¸¥¤¢{ r ´ ­Îµ®¦´ µ¦Ä o µ µ oµ ­ · · µ¤ ¸É­ Ä µ¦µ ¸É .6 ´ª°¥nµ Á n -->x = [3 1 4 9 2 5 7 8 6]; -->[min(x), max(x), mean(x), median(x), sum(x)] ans = 1. 9. 5. 5. 45. -->sort(x) ans = 9. 8.

7.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

Ä µ¦Ä o µ µ oµ ­ · · ε­´É ¸ÉÄ o n°¥ ¦´Ê º° ε­´É histplot(n,x) ¹É Á } ε­´É ¸ÉÄ o Ä µ¦ªµ ¦¼ ±·­Ã  ¦¤ (histogram) ° nµ ´Ê ®¤ Ä Áª Á °¦r x Á } ε ª n nª ¦³®ªnµ nµ Éε­» ¨³ nµ­¼ ­» ° Áª Á °¦r x ´ª°¥nµ Á n -->d = rand(1, 10000, 'normal');

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-12 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

416

µ¦µ ¸É .6 ´ª°¥nµ ¢{ r ´ ¡ºÊ µ µ ­ · · ¢{ r ´ min(x) max(x) mean(x) median(x) sum(x) prod(x) sort(x) histplot(n,x) variance(x) geomean(x)

ε° · µ¥ ®µ nµ Éε­» (minimum) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµ­¼ ­» (maximum) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµÁ ¨¸É¥ (mean) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ( º°Á } nµÁ ¨¸É¥Á¨ · ) ®µ nµ¤´ ¥ µ (median) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµ ¨ ª ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµ ¨ ¼ ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x Á¦¸¥ ¨Îµ ´ ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x µ nµ¤µ Å ®µ nµ o°¥ ªµ ¦¼ ±·­Ã  ¦¤ (histogram) ° nµ ´Ê ®¤ Ä Áª Á °¦r x Á } ε ª n nª ¦³®ªnµ nµ Éε­» ¨³ nµ­¼ ­» ° Áª Á °¦r x ®µ nµ ªµ¤Â ¦ ¦ª (variance) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x ®µ nµÁ ¨¸É¥Á¦ µ (geometric mean) ° ´ªÁ¨ ´Ê ®¤ Ä ´ªÂ ¦ x

¦¼ ¸É .1 ´ª°¥nµ ¦¼ ±·­Ã  ¦¤ -->subplot(1,2,1);

histplot(10, d, normalization = %F);

//¦¼ ¸É .1 oµ oµ¥

-->subplot(1,2,2);

histplot(20, d, normalization = %F);

//¦¼ ¸É .1 oµ ªµ

ε­´É ¦ ³ ε µ¦­¦oµ ε ª ­»n¤ (random number) ε ª 10000 ´ª ( ¦¦ »ÅªoÄ Áª Á °¦r µ 1u10000) à ¥¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Â  ¦ · (normal distribution) ®¦º° µ¦Â   Á µ­rÁ ¸¥ (Gaussian) ´É º°¤¸ nµÁ ¨¸É¥ (mean) Á nµ ´ nµ 0 ¨³¤¸ nµ ªµ¤Â ¦ ¦ª (variance) Á nµ ´ nµ 1 µ ´Ê È Îµ µ¦ªµ ¦¼ ±·­Ã  ¦¤ ° ε ª ­»n¤ ´Ê ®¤ à ¥Â n o°¤¼¨Á } 10 nª (¦¼ ¸É .1 oµ oµ¥) ¨³Â n o°¤¼¨Á } 20 nª (¦¼ ¸É .1 oµ ªµ) ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-13

417

µ¦µ ¸É .7 ´ª°¥nµ Á¤ ¦· r¡·Á«¬Ä à ¦Â ¦¤ SCILAB ε­´É eye ones zeros rand diag tril triu toeplitz

ε° · µ¥ Á¤ ¦· rÁ° ¨´ ¬ r (identity matrix) Á¤ ¦· r nµ® ¹É (one matrix) Á¤ ¦· r nµ«¼ ¥r (zero matrix) Á¤ ¦· r­»n¤ (random matrix) Á¤ ¦· r Â¥ ¤»¤ (diagonal matrix) Á¤ ¦· r­µ¤Á®¨¸É¥¤ oµ ¨nµ (lower triangular matrix) Á¤ ¦· r­µ¤Á®¨¸É¥¤ oµ (upper triangular matrix) Á¤ ¦· r Toeplitz (toeplitz matrix)

.6 Á¤ ¦· r¡·Á«¬ Ä µ¦ ¦³¥» rÄ o µ Á¤ ¦· r µ ¦´Ê ¤¸ ªµ¤ εÁ } o° ­¦oµ Á¤ ¦· r ¸É¤¸ nµÁ ¡µ³®¦º°¤¸¦¼  ¸ÉÁ } ¤µ ¦ µ Á n o° µ¦­¦oµ Á¤ ¦· r ¸É¤¸ nµÁ } ® ¹É ´Ê ®¤ µ mun à ¥ ¸É m ¨³ n ¤¸ nµ¤µ oµ­¦oµ Á¤ ¦· r ¸Êà ¥ µ¦¡·¤¡r nµÂ n¨³ nµÁ oµÅ °µ ³ εĮoÁ­¸¥Áª¨µ¤µ ¨³°µ Á · o° · ¡¨µ Å o nµ¥ ´ ´Ê à ¦Â ¦¤ SCILAB ¹ Å oÁ ¦¸¥¤¢{ r ´ ¡ºÊ µ ­Îµ®¦´ ­¦oµ Á¤ ¦· r¡·Á«¬®¨µ¥¦¼  ¹Ê ¤µÅªoÄ o µ µ¤ µ¦µ ¸É .7 ´ª°¥nµ Á n //­¦oµ Á¤ ¦· rÁ° ¨´ ¬ r ¸É¤¸ µ 3u3

-->A = eye(3,3) A

= 1. 0. 0.

0. 1. 0.

0. 0. 1.

// nµ 1, 2, ¨³ 3 °¥¼n ¸ÉÁ­o Â¥ ¤»¤®¨´

-->diag([1 2 3]) ans = 1. 0. 0.

0. 2. 0.

0. 0. 3.

.6.1 Á¤ ¦· r­»n¤ Á¤ ¦· r­»n¤ (random matrix) Á } Á¤ ¦· r ¸É¤¸­¤µ · Á } ε ª ­»n¤ µ¦­¦oµ Á¤ ¦· r­»n¤Ä à ¦Â ¦¤ SCILAB ­µ¤µ¦ εŠoà ¥Ä o ε­´É rand ¹É ¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Á¦¸¥ Ä o µ ´ ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-14 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

418

rand(m1, m2, [key])

à ¥ ¸É º°Á¨ ε ª Á Ȥ ª ¸ÉÄ o ε® µ ° Á¤ ¦· r­»n¤ ¸É ³­¦oµ ¹Ê ¤µ Á n rand(m1, m2) ®¤µ¥ ¹ Ä®o­¦oµ Á¤ ¦· r­»n¤ µ m1  ª ° ¨³ m2  ª ´Ê key Á } ´ªÁ¨º° ¸ É Îµ® ¨´ ¬ ³ µ¦Â  (distribution) ° ε ª ­»n¤ ¸É­¦oµ ¨nµª º° oµ o key = "uniform" ε ª ­»n¤ ¸É­¦oµ ¹Ê ¤µ ³¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Â  Á° ¦¼ ¤¸ µn °¥¼n¦³®ªnµ 0 ¹ 1 (Á } nµÃ ¥ ¦·¥µ¥) o key = "normal" ε ª ­»n¤ ¸É­¦oµ ¹Ê ¤µ ³¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Â  ¦ · (®¦º°Â Á µ­rÁ ¸¥ ) ¸É ¤¸ nµÁ ¨¸É¥Á nµ ´ nµ 0 ¨³¤¸ nµ ªµ¤Â ¦ ¦ª (varaince) Á nµ ´ nµ 1

m1, m2

´ª°¥nµ µ¦Ä o µ ° ε­´É ¸Ê Á n -->X = rand(2, 4, 'uniform') X

= 0.3095371 0.6762972

0.9706916 0.5441797

//­¦oµ Á¤ ¦· r­»n¤ µ 2u4 0.0204748 0.8941365

0.3490364 0.1105365

-->W = rand(1, 100000, 'normal'); -->[mean(W), variance(W)] ans = 0.0048048

// nµÁ ¨¸É¥Â¨³ nµ ªµ¤Â ¦ ¦ª ­° ¨o° ´ ¨´ ¬ ³ µ¦Â  ¦ ·

0.9988003

.7 µ¦Á ¸¥ à ¦Â ¦¤ oª¥ SCILAB Ä ­nª ¸Ê ³° · µ¥ µ¦Ä o µ ε­´É ª Ê娳 ε­´É ­° Á ºÉ° Å Á¡ºÉ°Ä®o ¼o°nµ ­µ¤µ¦ Á ¸¥ à ¦Â ¦¤°¥nµ nµ¥ ¹Ê ¤µÄ o µ Å o°¥nµ ¦ª Á¦ÈªÂ¨³¤¸ ¦³­· · ¨

.7.1 ε­´É ª Êε n°¥ ¦´Ê Ä µ¦Á ¸¥ à ¦Â ¦¤¤¸ ªµ¤ εÁ } ¸É ³ o° ε ª » ε­´É µ °¥nµ ÊεÁ } ε ª ®¨µ¥Ç ¦° ¹É Ä ¦ ¸ ¸Ê µ¦Ä o ε­´É ª Êε ¹ ¤¸ ªµ¤ εÁ } ¤µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Å oÁ ¦¸¥¤ ε­´É ­Îµ®¦´ µ¦ª Êε Ūo°¥¼n­° ¦¼  º° ε­´É for ¨³ ε­´É while ¹É ¤¸®¨´ µ¦Ä o µ ´ ¸Ê

ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-15

419

.7.1.1 ε­´É for ε­´É for Á®¤µ³­Îµ®¦´ µ¦Ä o µ ¸É o° µ¦Ä®oà ¦Â ¦¤ ε Êε » ε­´É Á ·¤ ¸É°¥¼n£µ¥Ä ¨¼ (loop) Á } ε ª ¦° µ¤ ¸É ε® ŪoÄ ·¡ r (expression) ε­´É for ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê for variable = expression instruction_1; instruction_n; end

¨nµª º°Ã ¦Â ¦¤ ³ ε Êε ε­´É (instruction) ´Ê ®¤ £µ¥Ä ¨¼ Á } ε ª ¦° µ¤ ¸É ε® à ¥ ´ªÂ ¦ ¸ÉÁ } Å µ¤Á ºÉ° Å ° ·¡ r ´ª°¥nµ µ¦Ä o µ ε­´É for ´ª°¥nµ Á n -->L = 5; -->x = []; -->for i = 1:L -->

x(i) = i;

-->end

» ε­´É ¸Ê®¤µ¥ ªµ¤ªnµÁ¤ºÉ°Á¦·É¤ o Ä o µ ´ªÂ ¦ L ³¤¸ nµÁ nµ ´ 5 ¨³ ε® Ä®o x Á } Á¤ ¦· rªnµ (empty matrix) µ ´Ê È Îµ µ¦ª Êεà ¥Ä o ´ªÂ ¦ i Á } ´ª ´ ε ª Êε ´É º° ´ªÂ ¦ i ³Á¦·É¤ µ nµ 1 ¨oªÁ¡·É¤ ¹Ê ¸¨³ +1 Å ¹ nµ 5 à ¥ ¸É nµ ° ´ªÂ ¦ i  n¨³ nµ ³ ¼ ¦¦ »ÅªoÄ ­¤µ · ¨Îµ ´ ¸É i ° Áª Á °¦r x ¨¨´¡ r ° µ¦ ¦³¤ª¨ ¨ » ε­´É ¸Ê º° -->x' ans = 1.

2.

3.

4.

5.

.7.1.2 ε­´É while ε­´É while ¤¸¨´ ¬ ³ µ¦ ε µ ¨oµ¥ ´ ε­´É for Á¡¸¥  n ε­´É while ³¤¸ µ¦ ­° Á ºÉ° Å ¸É ¼oÁ ¸¥ à ¦Â ¦¤ ε® ŪoÄ ·¡ r » Ç ¦° ° µ¦ª Êε ¨nµª º° oµ ¨ µ¦ ­° Ä®o nµ ¦¦ ³Á } nµ 1 (Á } ¦· ) à ¦Â ¦¤ È ³ ε Êε » ε­´É £µ¥Ä ¨¼ ´Ê n°°¸ ® ¹É ¦°  n oµ ¨ µ¦ ­° Ä®o nµ ¦¦ ³ Á } nµ 0 (Á } Á È ) à ¦Â ¦¤ È ³¥ Á¨· µ¦ ε µ » ε­´É £µ¥Ä ¨¼ ´Ê ´ ¸ ε­´É while ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-16 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

420

while expression instruction_1; instruction_n; end

´ª°¥nµ Á n -->L = 5; -->x = []; -->i = 1; -->while i <= L --> x(i) = i; --> i = i + 1; -->end

» ε­´É ¸ÊÄ®o ¨¨´¡ rÁ®¤º° ´ ´ª°¥nµ ° µ¦Ä o ε­´É for Á¡¸¥  n µ¦Ä o ε­´É while ³ o° ε® nµÁ¦·É¤ o ° ´ªÂ ¦ i n° ¸É ³ ε nµ i Šε µ¦Á ¦¸¥ Á ¸¥ ´ nµ L µ¤Á ºÉ° Å ¸É ε®

.7.2 ε­´É ­° Á ºÉ° Šε­´É ­° Á ºÉ° Å ¤¸ ªµ¤ εÁ } ¤µ ­Îµ®¦´ µ¦Á ¸¥ à ¦Â ¦¤ °¤¡·ªÁ °¦r ¸É ´ o° ε­´É ­° Á ºÉ° Å ¸ÉÄ o¤µ º° ε­´É if ¹É ¤¸®¨´ µ¦Ä o µ ´ ¸Ê if expression

then

instruction_1; instruction_n; end

¨nµª º° oµ ¨ µ¦ ­° Á ºÉ° Å Ä ·¡ rÁ } ¦· à ¦Â ¦¤ SCILAB È ³ ε ε­´É ´Ê ®¤ ¸É°¥¼n¦³®ªnµ εªnµ then ¨³ end  n oµ ¨ µ¦ ­° Á } Á È Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ³Å¤n ε ε­´É ´Ê ®¤ ¸É°¥¼n¦³®ªnµ εªnµ then ¨³ end ° µ ¸Ê ε­´É if ¥´ ­µ¤µ¦ ÎµÅ Ä o µ ´ µ¦ ´ ­· Ä ¸É ´ o° ¤µ ¹Ê Å oà ¥ µ¦Ä o µ ¦nª¤ ´ else ¹É ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ º° ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-17

421

if expression then instructions_set1; else instructions_set2; end

´É º° oµ ¨ µ¦ ­° Á ºÉ° Å Ä ·¡ rÁ } ¦· à ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε ε­´É ´Ê ®¤ ¸É°¥¼n¦³®ªnµ εªnµ then ¨³ else  n oµ ¨ µ¦ ­° Á } Á È Ã ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε ε­´É ´Ê ®¤ ¸É°¥¼n¦³®ªnµ εªnµ else ¨³ end Ä µ¦Ä o µ ¸É¤¸ µ¦ ´ ­· Ä ¸É ´ o° ¤µ ¥·É ¹Ê ¼oÄ o È­µ¤µ¦ Ä o µ ε­´É if ¦nª¤ ´ elseif Å o à ¥¤¸¦¼  µ¦Ä o µ ´ ¸Ê if expression_1 then instructions_set1; elseif expression_2 then instructions_set2; else instructions_set3; end

´É º° oµ ¨ µ¦ ­° Á ºÉ° Å Ä ·¡ r expression_1 Á } ¦· à ¦Â ¦¤ SCILAB ³ ε » ε­´É instructions_set1  n oµ ¨ µ¦ ­° Á } Á È Ã ¦Â ¦¤ SCILAB È ³ ε µ¦ ­° Á ºÉ° Å Ä ·¡ r expression_2 n°Å ´ ¸ à ¥ ¸É oµ ¨ µ¦ ­° Ä ·¡ r expression_2 Á } ¦· à ¦Â ¦¤ SCILAB È ³ ε » ε­´É instructions_set2  n oµ ¨ µ¦ ­° Á } Á È È ³ ε » ε­´É instructions_set3

.7.3 µ¦Á ¸¥ ¢{ r ´  °· Ũ r à ¦Â ¦¤ SCILAB ° » µ Ä®o ¼oÄ o­µ¤µ¦ ­¦oµ ¢{ r ´ Ä®¤nÇ ¹Ê ¤µÄ o µ ¦nª¤ ´ à ¦Â ¦¤ SCILAB Å o Ä ¸É ¸Ê ³° · µ¥Á ¡µ³ µ¦Á ¸¥ ¢{ r ´  °· Ũ r (in-line function) ¹É ¤¸¨´ ¬ ³ µ¦Ä o µ ´ ¸Ê function [Á°µ r¡» ] = function_name(°· ¡» ),

» ε­´É ,

endfunction

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-18 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

422

´É º° ³ o° Á¦·É¤ o oª¥ εªnµ function ¨³ d oµ¥ oª¥ εªnµ endfunction à ¥ ¸É£µ¥Ä ¢{ r ´ ³¤¸ ε­´É  n¨³ ε­´É ³ o° ´Ê oª¥Á ¦ºÉ° ®¤µ¥ °¤¤nµ ´ª°¥nµ Á n oµ o° µ¦­¦oµ ¢{ r ´  °· Ũ r ¸É ºÉ°ªnµ MyMax Á¡ºÉ°Ä oÄ µ¦®µ nµ­¼ ­» ° Á¨ ε ª ¦· ­° ε ª È­µ¤µ¦ εŠo ´ ¸Ê -->function [y] = MyMax(x1, x2), if x1 >= x2 then y = x1, ... -->else y = x2; end; endfunction;

//Á¦¸¥ ¢{ r ´ MyMax ¹Ê ¤µÄ o µ

-->y = MyMax(1, 5) y

= 5.

° µ ¸Ê¥´ ­µ¤µ¦ Ä o ε­´É deff Ä µ¦­¦oµ ¢{ r ´  °· Ũ rÅ oÁ n ´ à ¥¤¸¦¼  µ¦Ä o µ º° deff('[Á°µ r¡» ] = function_name(°· ¡» )', ' » ε­´É ')

´ª°¥nµ Á n -->deff('y = MyMax(x1, x2)', 'if x1 > x2 then y = x1; ... -->else y = x2; end'); -->y = MyMax(1,5) y = 5.

¹É Ä®o ¨¨´¡ rÁ nµ ´

.8 µ¦ªµ ¦µ¢­° ¤· · ε­´É ¡ºÊ µ ­Îµ®¦´ µ¦ªµ ¦µ¢­° ¤· · ¦³ ¡· ´ µ x-y º° ε­´É plot ¹É ¤¸¦¼  µ¦Á¦¸¥ Ä o µ ´ ¸Ê plot(x, y)

Á¤ºÉ°Áª Á °¦r x Á } ´ªÂ ¦°·­¦³ ¸É ε® nµÄ Á­o  x ¨³Áª Á °¦r y ¹É Á } ´ªÂ ¦ µ¤ ¸É ε® nµ Ä Á­o  y (à ¥ ¸ÉÁª Á °¦r y ³ o° ¤¸ µ Á nµ ´ ´ Áª Á °¦r x Á­¤°) ° µ ¸Ê ε­´É plot ¥´ ­µ¤µ¦ ¸É ³ ¼ Á¦¸¥ Ä o µ Å oÄ °¸ ¦¼  ® ¹É º° plot(y)

ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-19

423

¦¼ ¸É .2 ­´ µ Å ¼ °¥ r y = sin(2ʌft)

¹É Ä ¦ ¸ ¸Êà ¦Â ¦¤ SCILAB ³­¤¤ ·ªnµ¡µ¦µ¤·Á °¦r x ¤¸ nµÁ nµ ´ nµ 1 ¹ ε ª ­¤µ · ´Ê ®¤ ° Áª Á °¦r y ´É º° x = 1:length(y) à ¥°´ à ¤´ · ´ª°¥nµ ¸É .1 ªµ ¦µ¢ ° ¦¼ ­´ µ Å ¼ °¥ r (sinusoid waveform) µ¤­¤ µ¦ y = sin(2ʌft) ­Îµ®¦´ Áª¨µ ¸É t = 0 ¹ 2 ª· µ ¸ oµ ε® Ä®o ªµ¤ ¸É f = 1 Á±·¦ r (Hertz) ª· ¸ ε µ à ¥r­µ¤µ¦ Á ¸¥ Á } » ε­´É ° à ¦Â ¦¤ SCILAB Å o ´ ¸Ê -->t = 0:0.01:2; -->f = 1; -->y = sin(2*%pi*f*t); -->plot(t, y) -->xtitle('A sinusoidal wave','Time (t)','Amplitude')

ε­´É ¦ Á } µ¦ ε® Ä®o ´ªÂ ¦ t Ä®o¤¸ nµ°¥¼n¦³®ªnµ 0 ¹ 2 à ¥ ¸É­¤µ ·  n¨³ ´ª ¸É°¥¼n · ´ ³¤¸ nµ ®nµ ´ ¸ÉÁ nµ ´ 0.01 ( µ ° ´ªÂ ¦ t º° 1u201) µ ´Ê È Îµ® nµ ªµ¤ ¸É f Ä®oÁ nµ ´ ® ¹É ¨oª È®µ nµ ° ­´ µ y à ¥ nµ y ¸É®µ¤µÅ o ³¤¸ µ Á nµ ´ ´ªÂ ¦ t µ ´Ê È­´É Ä®oªµ ¦µ¢ ¹Ê ¤µ ¹É ¨¨´¡ r ¸ÉÅ o ³Á } ¦µ¢ µ¤¦¼ ¸É .2 ­nª ε­´É xtitle Á } ε­´É ¸ÉÄ oÄ µ¦ ε® ºÉ° ° ¦µ¢, ºÉ° ° Á­o  x, ¨³ ºÉ° ° Á­o  y ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-20 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

424

y

x, y

r ș

x

¦¼ ¸É .3 ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ » (x, y) Ä ¦³ ¡· ´ µ ¨³ » (r, ș) Ä ¦³ ¡· ´ Á · ´Êª

.8.1 ¦µ¢Á · ´Êª à ¥ ´ÉªÅ » (x, y) ¸É­ ¹ ε® n (location) ¦¼ ¦µ¢Ä ¦³ ¡· ´ µ ­µ¤µ¦ ¸É ³Á ¨¸É¥ Ä®o°¥¼n Ä ¦¼ ° » (r, ș) Ä ¦³ ¡· ´ Á · ´ÊªÅ o à ¥ ¸É r º° µ ¨³ ș º°¤»¤Á¦Á ¸¥ (Á ¸¥ ´  x Ä ·« ª Á Ȥ µ¯· µ) à ¥°µ«´¥ ° ¦¸Ã ¤· · ´ ´Ê µ ¦¼ ¸É .3 ³Å oªnµ x 2 y2

r

¨³

§y· tan 1 ¨ ¸ ©x¹

ș

Ä Îµ ° Á ¸¥ª ´ » ¡· ´ (r, ș) Ä ¦³ ¡· ´ Á · ´Êª È­µ¤µ¦ ¸É ³Â ¨ ¨´ Å Á } » ¡· ´ (x, y) Ä ¦³ ¡· ´ µ Å o µ ªµ¤­´¤¡´ r ´ ¸Ê x

r cos ș

¨³

y

r sin ș

µ¦ªµ ¦µ¢Á · ´ÊªÄ à ¦Â ¦¤ SCILAB ­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Ä o ε­´É polarplot(theta, r)

Á¤ºÉ°¡µ¦µ¤·Á °¦r theta º° nµ¤»¤ ´ª°¥nµ Á n

ș

(¤¸® nª¥Á } Á¦Á ¸¥ ) ¨³¡µ¦µ¤·Á °¦r r º° nµ ªµ¤¥µª ° ¦´«¤¸

-->t = 0:0.01:2*%pi; -->polarplot(sin(7*t), cos(8*t))

¨¨´¡ r­ Ä ¦¼ ¸É .4 ®¤µ¥Á® » ° µ ¸Êà ¦Â ¦¤ SCILAB ¥´ Å oÁ ¦¸¥¤ ε­´É ­Îµ®¦´ µ¦ªµ ¦µ¢­° ¤· ·Â °ºÉ Ç ÅªoÄ o µ Á ¡µ³ oµ ¤µ ¤µ¥ ´ ­ Ä µ¦µ ¸É .8 ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-21

425

¦¼ ¸É .4 ´ª°¥nµ ¦¼ ¦µ¢Â­ ¨¨´¡ r µ µ¦Ä o ε­´É polarplot µ¦µ ¸É .8 ´ª°¥nµ ε­´É Ä µ¦ªµ ¦µ¢­° ¤· ·­Îµ®¦´ µ¦Ä o µ Á ¡µ³ oµ ε­´É contour2d champ fchamp

ε° · µ¥ ªµ ¦µ¢ ° ´ª¦r (contour surface) µ ¦¼ ¦µ¢­° ¤· · ªµ ¦µ¢­ µ¤Áª Á °¦r ­° ¤· · (2-D vector field) ªµ ¦µ¢­ µ¤Áª Á °¦r ­° ¤· · ¸É ε® à ¥­¤ µ¦° »¡´ r°´ ´ ® ¹É (firstorder ordinary differential equation)

bode gainplot nyquist evans plzr

ªµ ¦µ¢ ° à Š°³Â ¦¤ (Bode diagram) ´Ê ¦µ¢Â­ µ (magnitude plot) ¨³ ¦µ¢Â­ ¤»¤ (phase plot) ¹É ¤¸ ¦³Ã¥ r¤µ µ oµ ª·«ª ¦¦¤ ªµ ¦µ¢Â­ µ ° à Š°³Â ¦¤ ªµ ¦µ¢Å ª· r (Nyquist plot) ªµ ¦µ¢°¸Âª ¦¼ è ´­ (Evans root locus) ªµ ¦µ¢Ã¡¨- ¸Ã¦n (pole-zero plot)

.9 µ¦ªµ ¦µ¢­µ¤¤· · ­¤ µ¦ · «µ­ ¦r ­µ¤ ´ªÂ ¦Ä Ç ­µ¤µ¦ ¸É ³Â­ Ä®o°¥¼nÄ ¦¼ ° ¦µ¢­µ¤¤· ·Å o Á¡ºÉ°Ä o­ ªµ¤­´¤¡´ r ° ´ªÂ ¦ ´Ê ­µ¤ µ¦Ä o µ ε­´É ªµ ¦µ¢­µ¤¤· · ´Ê Ťn¥µ Á¡¸¥  n o° Á oµÄ ¹ ¦¼  ° o°¤¼¨ ¸É ³ j° Ä®o ´ ε­´É Á®¨nµ ¸Ê µ¦ªµ ¦µ¢­µ¤¤· · ³Ä o o°¤¼¨ ´Ê ®¤ ­µ¤ » ­Îµ®¦´ Á­o  x, Á­o  y, ¨³Á­o  z ¸É°¥¼nÄ ¡· ´ µ¦r ¸Á ¸¥ (Cartesian coordinate) x-y-z à ¥Áª Á °¦r x ³Á } ´ª ε® nµÄ Á­o  x, Áª Á °¦r y ³Á } ´ª ε® nµÄ Á­o  y, ¨³ ´ªÂ ¦ µ¤ ¸É¤¸ nµÁ ¨¸É¥  ¨ ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-22 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

426

¦¼ ¸É .5 ´ª°¥nµ ¦¼ ¦µ¢Â­ ¨¨´¡ r µ µ¦Ä o ε­´É plot3d

Å µ¤ nµ x ¨³ y ¹É È º° µ ° nµ Á­o  z ´É Á° ´ ´Ê ´ªÂ ¦ µ¤ z ¸Ê ³ o° ¤¸ ε ª Á nµ ´ ¨ ¼ ° ε ª o°¤¼¨Ä Áª Á °¦r x ´ ε ª o°¤¼¨Ä Áª Á °¦r y ε­´É ¡ºÊ µ ­Îµ®¦´ µ¦ªµ ¦µ¢Â ­µ¤¤· ·Ä à ¦Â ¦¤ SCILAB ¤¸¦¼  ´ ¸Ê plot3d(x, y, z)

à ¥ ¸É¡µ¦µ¤·Á °¦r x ¨³ y º°Áª Á °¦r ¸É¤¸ µ Á nµ ´ ¨³¡µ¦µ¤·Á °¦r z º° ´ªÂ ¦ µ¤ ¸É ¹Ê ´ nµ ° x ¨³ y ¹É ³¤¸ ε ª Á nµ ´ ¨ ¼ ° ε ª o°¤¼¨Ä Áª Á °¦r x ´ ε ª o°¤¼¨Ä Áª Á °¦r y ´ª°¥nµ ¸É .2 ε® Ä®o ´ªÂ ¦ x ¨³ y ¤¸ nµ¦³®ªnµ 0 ¹ 1 ªµ ¦µ¢­µ¤¤· · µ ­¤ µ¦ z

0.5 cos 2xʌ cos 2yʌ

ª· ¸ ε µ à ¥r ­µ¤µ¦ ªµ ¦µ¢­µ¤¤· ·Å oà ¥Ä o » ε­´É ° à ¦Â ¦¤ SCILAB ´ ¸Ê -->x = linspace(0, 1, 21); -->y = linspace(0, 1, 21); -->z = abs(0.5 * cos(2*%pi*x)' * cos(2*%pi*y)); -->plot3d(x, y, z);

¨¨´¡ r ¸ÉÅ o µ » ε­´É Á®¨nµ ¸Ê­ Ä ¦¼ ¸É .5 ภาคภนวก ข พื้นฐานการใชงานโปรแกรม SCILAB ข-23

427

¦¼ ¸É .6 ´ª°¥nµ ¦¼ ¦µ¢Â­ ¨¨´¡ r µ µ¦Ä o ε­´É colorbar ¦nª¤ ´ plot3d1

oµ o° µ¦Ä®o¤¸ µ¦Å¨nà ­¸ µ¤ µ ° nµÄ  z È­µ¤µ¦ εŠoà ¥ µ¦Ä o ε­´É plot3d1 ¨³ o µ o ° µ¦ ¦µ ªµ¤­´ ¤ ¡´ r ¦ ³®ªn µ ­¸ ´ µ ° n µ Ä Â z È ­ µ¤µ¦ Î µ Å o à ¥Ä o Î µ ­´É colorbar ¹É ¤¸¦¼  µ¦Ä o µ º° colorbar(umin, umax, [colminmax])

à ¥ ¸É¡µ¦µ¤·Á °¦r

umin

umax

colminmax

Á } Á¨ ε ª ¦· ° nµ Éε­» ° µ ° nµÄ  z Á } Á¨ ε ª ¦· ° nµ­¼ ­» ° µ ° nµÄ  z Á } ´ªÁ¨º° ¸¤É ¸¦¼  µ¦Ä o µ º° colminmax = [1 nb_colors] Á } Áª Á °¦r µ 1u2 à ¥ ¸É nb_colors º° ε ª ­¸ ¸É ³Ä oÄ ¦¼ ¦µ¢

´ª°¥nµ µ¦Ä o µ ε­´É ¸Ê Á n ( n°Á ºÉ° µ ¦¼ ¸É .5) -->clf;

zmin = min(z);

-->zmax = max(z); -->colorbar(zmin, zmax, [1 30]); -->plot3d1(x, y, z);

¨¨´¡ r ¸ÉÅ o­ Ä ¦¼ ¸É .6 ¹É ³¤¸Â ­¸Â­ ªµ¤­´¤¡´ r¦³®ªnµ ­¸ nµ Ç ´ µ ° nµÄ  z ®¤µ¥Á® » µ ¸É ¨nµª¤µ ´Ê ®¤ ¸ÊÁ } Á¡¸¥ ¡ºÊ µ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB ­Îµ®¦´ ¼o ¸É­ Ä ª· ¸ µ¦Ä o µ à ¦Â ¦¤ SCILAB Á¡·¤É Á ·¤­µ¤µ¦ «¹ ¬µÅ o µ [7] ®¦º° http://home.npru.ac.th/piya/webscilab ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ข-24 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

428

¦¦ µ » ¦¤ [1] [2] [3] [4] [5]

H. P. Hsu, Schaum's outline series: theory and problem of analog and digital communications. New York: McGraw-Hill, 1993. E. Ström, “Notes of signals and systems,” Available online at http://www.s2.chalmers.se/ undergraduate/courses/ess140/doc/Handouts.htm A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, and S. H. Nawab, Signals and systems. New Jersey: Prentice Hall, 2nd-edition, 1997. M. J. Roberts, Fundamentals of signals and systems. Singapore: McGraw-Hill, 2008. Steven T. Karris, Signals and Systems with MATLAB Computing and Simulink Modeling. Orchard Publications, 3rd-edition, 2007.

[6] Retrieved July 14, 2008, from, http://www.scilab.org [7] d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, ¼n¤º°Ã ¦Â ¦¤£µ¬µ SCILAB ­Îµ®¦´ ¼oÁ¦·É¤ o ( ´ ¦´ ¦» Ä®¤n), Á¡ ¦Á ¬¤ µ¦¡·¤¡r, ¦ ¤, 2551. [8] [9]

Retrieved July 14, 2008, from http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function M. Spiegel, S. Lipschutz, J. Liu, Schaum's Outline of Mathematical Handbook of Formulas and Tables. McGraw-Hill, 3rd edition, 2008.

[10] M. H. Hayes, Statistical digital signal processing and modeling. New York: John Wiley & Sons Inc., 1996.

[11] ¨´ ¦ ª» ·­· · »¨ · , ®¨´ µ¦Å¢¢jµ­ºÉ°­µ¦, ­Îµ ´ ¡·¤¡r®n »¯µ¨ ¦ r¤®µª· ¥µ¨´¥, »¯µ¨ ¦ r ¤®µª· ¥µ¨´¥, 2546. [12] B. Sklar, Digital communications: fundamentals and applications. Prentice Hall, 2nd-edition, 2001. [13] J. G. Proakis, Digital communication. Singapore: McGraw Hill, 4th-edition, 2001. ภาคภนวก ค บรรณานุกรม

429

ค-1

[14] E. W. Weisstein, “Interpolation.”' From MathWorld -- A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Interpolation.html. [15] ·¦´ ¦r ε ¦³Á­¦· , · «µ­ ¦rª·«ª ¦¦¤Å¢¢jµ 2 ¨µ ¨µ ¦µ ­r¢°¦r¤Â¨³ µ¦ ¦³¥» rÄ o, «¼ ¥r­ºÉ°Á­¦·¤ ¦» Á ¡², ´  oÅ ¦´Ê ¸É 1, ¡.«. 2540. [16] Retrieved from October 17, 2008, http://www.mathwork.com

ญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB ค-2 สัSignals and Systems with SCILAB Applications

430

¦³ª´ · ¼oÁ ¸¥ «. ¦. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r URL: http://home.npru.ac.th/piya

µ¦«¹ ¬µ

¡.«. 2537 ¦· µ ¦¸ (Á ¸¥¦ · ·¥¤)

Thammasat University, Bangkok, Thailand

¡.«. 2541 ¦· µÃ

Chalmers University of Technology, Göteborg, Sweden

¡.«. 2547 ¦· µÁ°

Georgia Institute of Technology, Atlanta, GA, USA

¦³­ µ¦ r ε µ

°µ µ¦¥r¨³ ´ ª· ¥´ ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤ (¡.«. 2548 – { » ´ ) °µ µ¦¥r¡·Á«¬ (¤®µª· ¥µ¨´¥ ¦¦¤«µ­ ¦r «¼ ¥r¦´ ­· , ­ µ ´ Á à 襸¡¦³ °¤Á ¨oµÁ oµ » ®µ¦ ¨µ ¦³ ´ , ¤®µª· ¥µ¨´¥Á à 襸¡¦³ °¤Á ¨oµ¡¦³ ¦Á® º°, ²¨²)

Technical Intern, Channels Department, Seagate Research Center, Pittsburgh, USA

(¦ª¤ 1 e)

¼o nª¥ ´ ª· ´¥ ®o° · ´ · µ¦Á à 襸Á ¦º° nµ¥ «¼ ¥rÁ à 襸°·Á¨È ¦° · ­r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r®n µ · (Á Á ) ¦³Á «Å ¥ (1 e) ª·«ª ¦ ¦·¬ ´ TT&T (¤®µ ) ε ´ ¦³Á «Å ¥ (3.5 e)

¨ µ µ ª· µ µ¦

ªµ¤ª· µ µ¦ ¸¡·¤¡r¦³ ´ µ µ µ ·¤µ ªnµ 30 ´

­· · ´ ¦: P. Kovintavewat, J. R. Barry, F. M. Erden, and E. M. Kurtas, “Method and Apparatus for Providing Iterative Timing Recovery,” Patent number US20060067434A1, March 30, 2006.

ภาคภนวก ง ประวัติผูเขียน

431

ง-1

® ´ ­º° o

o

o

o

o

d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, µ¦ ¦´¤ª¨ ¨­³ µ ­Îµ®¦³ µ¦ ³ Á È o°¤¼¨ · · ³¨ Á¨n¤ 1 : ¡ºÊ µ n° ­³ µ °nµ -Á ¸¥ , «¼ ¥rÁ à 襸°·Á¨È ¦° · ­r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r®n µ · (Á Á ), ¡.«. 2550. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, µ¦ ¦´¤ª¨ ¨­³ µ ­Îµ®¦³ µ¦ ³ Á È o°¤¼¨ · · ³¨ Á¨n¤ 2 : µ¦°°  ª ¦£µ ¦³ , «¼ ¥rÁ à 襸°·Á¨È ¦° · ­r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r®n µ · (Á Á ), ¡.«. 2550. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, ¼n¤º°Ã ¦Â ¦¤£µ¬µ SCILAB ­Îµ®¦³ ¼oÁ¦·É¤ o ( ´ ¦´ ¦» Ä®¤n), Á¡ ¦Á ¬¤ µ¦¡·¤¡r, ¦ ¤, ¡.«. 2551. d¥³ à ª· r ª¸ª´ r, ¦´ n ¸Ê oª¥ ¨ºÉ ªµ¤ ¸Éª· ¥», «¼ ¥rÁ à 襸°·Á¨È ¦° · ­r¨³ °¤¡·ªÁ °¦r ®n µ · (Á Á ), ¡.«. 2552. B. Vasic and E. M. Kurtas, Coding and Signal Processing for Recording Systems, Book Chapter: Interpolated timing recovery, CRC press, pp. 27-1 – 27-16, 2005.

µ ­Îµ ´

¼o nª¥° · µ¦ ¸ iµ¥ª· ´¥ (¡.«. 2550-2551) ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤

¦³ µ à ¦Â ¦¤ª·«ª ¦¦¤Ã ¦ ¤ µ ¤ ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤

¦¦ µ · µ¦ ªµ¦­µ¦ª· ¥µ«µ­ ¦r¨³Á à 襸 ¤®µª· ¥µ¨´¥¦µ £´ ¦ ¤

µ ª· ´¥

¦³ µ¦ ¦³¤ª¨ ¨­´ µ ­Îµ®¦´ µ¦ ´ Á È o°¤¼¨ · · ´¨

Á à 襸 µ¦Á oµ- ° ¦®´­Â oÅ o° · ¡¨µ ° n° ­´ µ

Á à 襸 µ¦ ¦ª ®µÂ ª Êε (iterative detection)

Á à 襸­¤µ¦r µ¦r (smart card)

Á à 襸 RFID (radio frequency identification)

ง-2

สัญญาณและระบบ กับการประยุกตใชโปรแกรม SCILAB Signals and Systems with SCILAB Applications

432

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.