Matemáticas
Matemáticas Las matemáticas despiertan diferentes reacciones en quienes tienen contacto con ellos. Algunos sienten gusto, en cambio otros muestran un rechazo franco por esta materia; pero sin duda sirven para enfrentar la vida cotidiana y comprender situaciones que tenemos necesidad de resolver constantemente. Desde tiempos muy remotos, algunas civilizaciones antiguas como la babilónica, la romana, la indo-arábiga y la maya investigaron e inventaron sistemas numéricos que han servido enormemente a la humanidad para comerciar, cuantificar, medir espacios, longitudes, capacidades y pesos. Si las matemáticas han sido tan útiles en épocas anteriores, hoy día, son igualmente necesarias, por eso Solucionario Escolar te ofrece la información de todo lo relacionado con esta materia con la finalidad de que: • • • • • • • •
Resuelvas con mayor facilidad problemas cada vez más complejos. Apliques las cuatro operaciones fundamentales en situaciones de tu vida diaria. Te inicies en el conocimiento y utilización de las fracciones. Efectúes mediciones. Aprendas a leer planos y croquis. Obtengas destrezas en el uso de instrumentos de medición. Construyas cuerpos geométricos. Reconozcas fórmulas para la resolución de problemas de superficie, longitud, volumen, peso, capacidad, velocidad, tiempo...
Solucionario Escolar tiene como objetivo en este apartado poner a tu alcance los conceptos matemáticos que debes adquirir a lo largo de tu trayectoria académica y cotidiana; para ello te brinda los conceptos organizados en forma alfabética de manera que la localización de cada tema sea ágil; además te brinda los datos más relevantes de cada aspecto en forma clara, atractiva y sencilla. Cada concepto está apoyado con un ejemplo, facilitando así la comprensión del mismo. Disfruta la grata experiencia de aprender con Solucinario Escolar quien será un aliado en tu desarrollo no sólo como estudiante sino como persona.
127
Matemรกticas
128
Matemáticas
A
Matemáticas Ábaco
Nuestros antepasados más remotos contaban con los dedos. Esta es la razón de que nuestro sistema de numeración sea decimal. Con el paso del tiempo se empezó a utilizar el primer instrumento de cálculo: el ábaco. Consistía en una caja de madera llena de arena en la que se hacía una serie de surcos,
en los que se colocaba una serie de piedras. Cuando en uno de estos surcos habían colocado 10 piedras, se retiraban todas ellas y se colocaba una en el surco siguiente. Más adelante el ábaco se perfeccionó, sustituyendo los surcos por unas finas varillas de alambre en las que se ensartaban bolas que hacían el papel de las piedras. Actualmente hay ábacos de materiales como plástico o madera. Se hacen ábacos sencillos para los niños pequeños; sólo tienen dos o tres varillas, para las unidades, decenas y centenas. Se van agregando varillas conforme los estudiantes van avanzando en sus conocimientos de cálculo. Para representar números u operaciones en el ábaco, las cuentas de cada varilla se van separando, de izquierda a derecha, las necesarias para representar los números de la siguiente manera:
129
A
A
Matemáticas
Número 35
Por último se cuentan las cifras que han queDecenas
dado: 7 centenas, 8 decenas y 2 unidades,
Unidades
Número 546
el número es 782.
Todas las grandes civilizaciones de la antigüedad utilizaron el ábaco: egipcios, babilonios, griegos, romanos, mayas, aztecas, incas... Las computadoras más modernas basan su sistema en el principio del ábaco.
Centenas Decenas Unidades
Pasos necesarios para representar la suma de los números 685 + 97. Se colocan 6 fichas en la columna de las centenas, 8 en el de las decenas y 5 en las unidades.
Después se agrega el número 9, es decir, se ponen 9 fichas más en el alambre de las decenas y
Ángulos Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos líneas que se unen en un mismo punto llamado vértice.
7 en el de las unidades.
lado A continuación se quitan 10 fichas de las unidades y se coloca una
vértice
ficha en las decenas.
abertura
Ahora como hay más de 10 fichas en las decenas se quita 10 y se pone
lado
una en las centenas.
130
Matemáticas
Por su abertura los ángulos pueden ser:
90° recto
180° colineal
>90° agudo
<180° entrante
<90° obtuso
El trasportador está graduado en grados 0º. El sistema de numeración a las que pertenecen los grados es sexagesimal. Un ángulo complementario es el que sumado a otro da como resultado 90º. Ejemplo: El ángulo complementario de uno de 35º es otro de 55º porque 35º+55º=90º
360° perigonal
Los ángulos se miden con el transportador. Para medir un ángulo el transportador se coloca de manera que: • El vértice del ángulo coincida con la marca que aparece en el centro del lado recto del transportador. • Un lado del ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. • El otro lado del ángulo corte círculo exterior del transportador, en este punto se determina la magnitud del ángulo.
55º 35º
Ángulos suplementarios son dos ángulos que suman 180º. Ejemplo: El suplemento de un ángulo de 115º es otro ángulo de 65º porque 115º + 65º = 180º
65º
115º
Apotema de un polígono regular La línea perpendicular que va a un lado del polígono trazado desde el centro de éste es la apotema. 131
A
A
Matemáticas
Figura
Fórmula A= bxh
Rectángulo
Apotema
A= Dxd 2
Área Superficie comprendida en un perímetro a la cual se le da una cantidad numérica para describir su tamaño. El área se mide con las unidades de superficie. Las áreas tienen dos dimensiones, largo y ancho. Para calcular el área de las figuras geométricas se aplican estas fórmulas: Figura
Fórmula
Rombo A= bxh Romboide A= B+bxh 2 Trapecio A= r2x
A= bxh 2
π
Círculo
Triángulo
A= pxa 2 Pentágono
A= L2
A= pxa 2 Cuadrado
Hexágono
132
Matemáticas
Ejemplos: Fórmula
4.5cm
A= bxh÷2 S= 3.5 x 4.5 ÷ 2 A= 7.875 cm2
A= D x d ÷ 2 S= 5.4 x 3.8 ÷ 2 A= 10.26cm2
3.8cm
6.2cm
4.2cm
3cm
5cm
4.0cm
A= b x h S= 5 x 2.3 A= 11.50cm2
s5.4cm
3.4cm
2.3cm
A= L x L S= 3.4 x 3.4 A= 11.56cm2
6.4cm
8cm
A= b x h S= 6.2 x 4.0 A 24.80 cm2
A= B + b x h ÷ 2 S= 6.4 + 4.2 x 3 ÷ 2 A= 15.90cm2
A= r2 x π S= 8 x 8 x 3.1416 A= 201.0624cm2
6.3cm 4.2cm
3.5cm
3.5cm 2.4cm
Figura
A= p x a ÷ 2 S= 3.5 x 5 x 2.4 ÷ 2 A= 21.00cm2 A= p x a÷2 S= 6.3 x 6 x 4.2 ÷ 2 A= 79.38cm2
Área de los poliedros Los poliedros son cuerpos geométricos formados por caras planas iguales; para calcular el área de los poliedros primero se obtiene el área de una de sus caras y luego se multiplica por el número de caras. Ejemplos: Medidas: Base 2 cm,
altura 3 cm
A=bxh 2 S =2x3x4 2 A = 12 cm2
Medidas: Base 4 cm, altura 5 cm A=bxhx8 2
S = 4 x 5 x 8 2 A = 80 cm2 133
A
A
Matemáticas
Medidas: Base 6 cm, el área de cada una de las figuras y se suman. altura 8 cm Ejemplo: 3 A = b x h x 20 4 2 2
S = 6 x 8 x 20 2
A = 480 cm2
1
Se formaron: 1. Triángulo b= 1.5 cm h= 2.5 cm
Medidas: Lado 4 cm A = L2 x 6 S= 4x4x6 A = 64 cm2
Medidas: Lado 6 cm, apotema 4 cm. A = P x a x 12 2 S = 6 x 5 x 4 x 12 2 A = 720 cm2
Área de polígonos irregulares Calcular el área de polígonos o figuras irregulares no se obtiene mediante una fórmula. Para calcularla, la figura se subdivide en figuras regulares, se obtiene
A=bxh 2 S = 1.5 x 2.5 2 A = 1.875 cm2
2. Rectángulo b= 1.7 cm h= 3.5 cm
A=bxh S = 3.5 x 1.7
A = 5.95 cm2
3.- Trapecio A=B+bxh b=1.3 cm 2 B=1.7 cm S = 1.3 +1.7 x 2.2 h=2.2 cm 2 A = 3.30 cm2 4.- Trapecio A=B+bxh b=2 cm 2 B=5 cm S = 2 + 5 x 2.3 h=2.3 cm 2 A = 8.05 cm2 1.875 5.95 + 3.30 8.05 19.175 A= 19.175 cm2
134
Matemáticas
B Bisectriz Línea que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Para trazar la bisectriz de un ángulo, por ejemplo, del ángulo ABC se hace centro en el vértice y con la misma abertura del compás se cortan los lados BA y BC en D y E respectivamente. Se hace centro en D y se traza un arco que corta al anterior en F. La recta que pasa por B y F es la bisectriz del ángulo ABC. A
A A D
D
B
C
B
E
C
B
F
E
C
C Calendario Instrumento que sirve para medir el tiempo de un año.
El año tiene 365 días y 6 horas, el tiempo que tarda la tierra en dar una vuelta alrededor del Sol. En el calendario los días están divididos en 12 meses, unos de 30 días y otros de 31, febrero de 28 días, y cada cuatro años febrero tiene 29 días. A este año se le llama bisiesto. Cada mes tiene 4 semanas, en total en el año hay 52 semanas. Los meses del año son: enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre. Los días de la semana son: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo.
135
C
C
Matemáticas
Centena La centena es un grupo o conjunto de 100 unidades. Ejemplo: Una centena de lápices son 100 lápices. Este conjunto está formado por una centena de lápices.
Un conjunto de 400 naranjas equivale a 4 centenas de naranjas.
Círculo Superficie comprendida en la circunferencia. En el círculo se distinguen los siguientes elementos:
Sector circular: todos los puntos o espacios que se encuentran entre los lados de un ángulo al centro y el arco correspondiente.
Ángulo al centro: es el ángulo que se traza al centro de la circunferencia. Para calcular el área del círculo se aplica la fórmula: radio al cuadrado por π (pi) Ejemplo:
1.5 cm
C= r2 x π C= (1.5 x 1.5) x 3.1416 C= 7.0686 cm2
Circunferencia Segmento circular: el espacio que se encuentra entre el arco y su cuerda.
Línea curva cerrada y plana en la que todos sus puntos están a la misma distancia del centro.
136
Matemáticas
Rectas que se pueden trazar sobre una circunferencia: 1
• En una circunferencia se pueden trazar infinitos diámetros y radios. • Todos los diámetros de una circunferencia son iguales entre sí. De igual manera todos los diámetros de una circunferencia son iguales entre sí. • La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio; en consecuencia, un diámetro equivale a dos radios. • El valor de la circunferencia siempre es de 360°.
3
2
1.- Rectas secantes son aquellas que cortan la circunferencia en dos puntos. 2.- Rectas tangentes son las que tocan a la circunferencia en un punto. 3.- Rectas exteriores son aquellas que no tocan o cortan a la circunferencia.
Para calcular la longitud de la circunferencia se aplica la siguiente fórmula: Circunferencia =D x π π (pi) es una letra griega cuyo valor es de 3.1416, y equivale a que en la circunferencia caben tres diámetros y una pequeña fracción.
Conversión de fracción común a decimal Para convertir de fracción común a decimal se divide el numerador entre el denominador. Ejemplo: 3 4 4
Círculo y Circunferencia
numerador denominador
.75 3. 0 2 0 0
3 = .75 4
Cuadriláteros Radio
Diámetro
Polígonos de cuatro lados. Tomando en cuenta el paralelismo de sus lados, es decir, según los lados 137
C
C
Matemáticas
paralelos que posean se clasifican en paralelogramos y trapecios.
Cuerpos geométricos
• rectángulo
Paralelogramos • cuadrado
• rombo
• romboide
• rectángulo
Trapecios
• isósceles
• trapezoide
Poliedros
Propiedades de los cuadriláteros
Prismas Triangular Pentagonal Cuadrangular Paralelepípedo
Todos tienen dos diagonales
Redondos
La suma de sus ángulos internos es de 360˚
Esfera Cono Ovoide Cilindro
Los cuerpos redondos giran sobre una superficie plana
Cuerpos geométricos Están formados por caras planas o curvas. Los objetos que nos rodean artificiales o naturales tiene formas geométricas. Por ejemplo, un balón de futbol tiene forma de esfera. Los cuerpos geométricos se clasifican en cuerpos redondos y poliedros: 138
Regulares
Irregulares
Tetraedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Cuadrangular Hexagonal Triangular Pentagonal
r=5 cm
Cuerpos redondos
V = 4� x r3 3 S= 4x3.1416x125 3 A = 523.600cm3
Cuerpos redondos
Matemáticas
Se obtienen
Desarrollo del cono y el cilindro.
Cuando una o varias caras del cuerpo es o son curvas. Éstas se pueden desplazar girando sobre una superficie plana. Son cuerpos redondos cilindro
cono
esfera
volumen
volumen
volumen
V.ABXH
Croquis
V=ABXH V=4X�Xr3 3 3
Ejemplos:
V = AB x H
Diseños no muy exactos, ya que no se elaboran con la precisión con que se hace el mapa de un terreno o paisaje. Sirven como guía, por ejemplo, para saber cómo llegar a un lugar.
S = r2 x � x H S= 3x3x3.1416x8
V= 226.1952cm3
V= AB x H 3 S = r2x � x H 3 S= 4x4x � x 12 3 V=201.0624 cm3
139
C
D
Matemáticas
D
Diagonales La diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
Decena La decena es un conjunto de 10 unidades. Ejemplos: Con 50 unidades se pueden formar 5 decenas
En el siguiente hexágono se puede apreciar que de cada vértice se pueden trazar tres diagonales.
Con 80 unidades se pueden formar 8 decenas
Docena La docena es un conjunto de doce elementos. Ejemplo:
Con doce docenas se forma una GRUESA; la gruesa tiene 144 unidades.
Para obtener el número de diagonales que tiene un vértice, se restan 3 vértices del total que tenga el polígono, ya que no se cuenta el vértice que da origen a las diagonales ni los consecutivos al mismo.
Los triángulos no tienen diagonales.
140
Matemáticas
Diagrama de árbol
Se puede representar de varias formas:
Representa los resultados de un experimento al azar o aleatorio. También se le conoce como árbol de posibilidades.
Dado Blanco
Sus elementos son: cociente 7 5 38 dividendo divisor 3 5 8 4 3 diviresiduo dendo o-3también 28 -2 7 residuo divisor dividendo 038 1 45 3 cociente residuo -1 27 2 residuo final Si el residuo es cero se dice que la división es exacta, cuando el residuo es mayor a cero es inexacta. Para dividir números enteros:
Ejemplo: Supongamos que tenemos un dado rojo (R) y uno blanco (B) en una caja y sacamos uno al azar. Los resultados posibles son: R1, R2, R3, R4, R5, R6, B1, B2, B3, B4, B5, B6. En el diagrama de árbol, el número de ramas finales es igual al número de casos posibles; que en nuestro ejemplo es de 12. Rojo
: ÷ divisor
R1 R2 R3 R4 R5 R6 B1 B2 B3 B4 B5 B6
División Operación donde repartimos una cantidad en partes iguales. 141
1.- Se escribe el divisor y a la derecha de él, el dividendo. 2.- Se toman a la izquierda del dividendo, el número de cifras necesarias que contengan al divisor. 3.- Se divide esta parte del dividendo entre el divisor y se acota la primera cifra del cociente. 4.- Se multiplica la primera cifra del cociente por el divisor y el resultado se resta del primer dividendo. 5.- Se baja la cifra siguiente del dividendo y se obtiene el segundo dividendo parcial.
D
D
Matemáticas 6.- Se divide el segundo dividendo parcial entre el divisor y se anota la segunda cifra del cociente. 7.- Se multiplica ésta por el divisor y el resultado se resta del segundo dividendo parcial. 8.- Se baja la siguiente cifra del dividendo y se procede de la misma forma hasta bajar la última cifra.
dad y tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Así se elimina la cifra decimal del divisor. B)
Cuando se dividen todas las cifras del dividendo se pueden calcular cifras decimales si el residuo es mayor que cero, agregando un cero al residuo y escribiendo el punto decimal al cociente, es decir, se aproxima a un resultado más exacto.
C)
Si el dividendo tiene cifras decimales y el divisor no, se realiza la operación como si fueran números naturales hasta que se comiencen a dividir los números decimales. Antes de bajar la primer cifra decimal, se coloca el punto decimal en el cociente y se continúa la operación.
Ejemplos: 146 3 439 -3 13 -12 19 -18 1
169 25 4235 -25 173 -150 0235 -225 010 o también
439 3 -3 146 13 -12 19 -18 1
4235 25 -25 169 173 -150 0235 -225 010
Ejemplos: A) A)
DIVISIÓN CON NÚMEROS DECIMALES:
A)
Si el divisor tiene cifras decimales y el dividendo no se divide, se multiplica el dividendo y el divisor por la uni142
2496 2 4 2. 9 63 5 . 5 8 6 7 0 0 2. 3 5 . 5 8 6 7 0 0 -4 57806 7 0 0 2. 3 5 . 2496 116 -4 7 0 -4 770 -9 141 0 1167 67 2 2 7 -9 4 0 o también -9 4 00 -2 1 21257 0 2270 0 1-251 51 50 -2 1 1 5 -1 4 1 0 01550 01550 0140 -1 4 1 0 -1 4 1 0 0140 0140
Matemáticas
B) B)
2 449 9 6 . 569. 5 9 2 2 .3 5 5 8 6 7 0 0 2 . 3 5 5 8-46770 0 0 -4 7 101 6 7 1 1 6-974 0 -9 42 207 0 2 2-2 71 105 -2 10 11 555 0 0 1 -1 5 45100 1400 -1 4-111 07 5 1042 20500 -1 1-271 155 50 0 20 123 5 -2 1 1 5 o también 0135 5 8 6 7 0 0 2. 3 5 C) -4 7 0 2 4 9 6 .5 9 1167 24.36 -9 4 0 2 2 7 02 8 6 8 2 . 1 2 -5 6 -2 1 1 5 122 01550 -1 4 1 0 -1 1 2 1400 0101 -1 1 7 5 -8 4 02250 172 -2 1 1 5 -1 6 8 0135 004
Todo número dividido por 1 da como resultado el mismo número. DIVISIONES ENTRE 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 Y 1 000 000.
Cuando dividimos entre la unidad seguida de ceros, movemos a la izquierda el punto decimal tantos lugares como tenga la unidad, lo mismo se aplica si el dividendo tiene números decimales. Ejemplos: 345 ÷ 10 = 34.5 247 ÷ 100 = 2.47 13 482 ÷ 1000 = 13.482 3 675 ÷ 1000 = 3.675 6 435 ÷ 10 000 = .6435 217248 ÷ 100 000 = 2.17248 632196 ÷ 1000 000 = .632196 24.5 ÷ 10 = 2.45 643.8 ÷ 100 = 6.483
La división se comprueba cuando se cumple con: Cociente x Divisor + Residuo= Dividendo
3 675.92 ÷ 1000 = 36.7592
Para continuar una division el residuo debe ser mayor que el divisor.
3 849 564.3 ÷ 1 000 000 =3.8495643
En algunas divisiones se pueden calcular infinitos números decimales.
313842.9 ÷ 10000= 31.38429 842.9 ÷10 000 = 31.38429 567 462.36 ÷ 100 000 =5.6746236
Cuando el punto se mueve a la izquierda, pero no hayamos cifras en el dividendo, se agregan tantos ceros como se necesiten para completar la operación. 143
D
D
Matemáticas
Ejemplo:
Ejemplos:
495.2 ÷ 10 000 = .04952 876 ÷ 1 000 000 = .000876
1- División 2- Criterio de divisibilidad 3- Cociente 4- Residuo
Divisibilidad Un número es divisible por otro número cuando el resultado de la división es cero. Ejemplo: el número 28 es divisible exactamente entre 1, 2, 4, 7 y 28. Los divisores no son infinitos. Todos los números son divisibles entre sí mismos y entre el número 1. Existen formas para saber rápidamente si un número es divisible entre otro sin realizar la división. Estas formas se llaman criterios de divisibilidad. Divisibilidad entre/criterio
1
3
4
5148÷2 La última cifra es par
2574
0
525÷3
175
0
144
La suma de sus cifras 5+2+5=12 es múltiplo de 3
2456÷4 Sus dos últimas cifras (56) forman un múltiplo de 4 1735÷5
2 Si la última cifra es par, o sea, 2, 4, 6, 8 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 4 Si sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 5 Si la cifra de las unidades es 0 o 5 6 Si cumple con los criterios de divisibilidad entre 2 y 3 8 Si el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 8 9 Si la suma de sus cifras forman un múltiplo de 9
2
Porque termina en un 5
345
0
2936÷8 Porque las 367 últimas 3 cifras ( 936) son múltiplo de 8
0
4455÷9
0
2292÷6 Porque cumple con los criterios de divisibilidad entre 2 y 3
Porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 9
495
Matemáticas
E Eje de simetría
Otras figuras no tienen eje de simetría como el triángulo escaleno, el romboide y algunos trapecios.
Una figura es simétrica con relación a una recta, si ésta divide a la figura en dos figuras tales que al superponerlas coinciden. Esta recta se llama eje de simetría. Algunas figuras tienen más de un eje de simetría. La elipse, el triángulo isósceles y el cuadrado son figuras geométricas.
Las fachadas de algunas construcciones, los arcos de algunos portales, las fuentes, los jarrones, etc; tienen al menos un eje de simetría:
El triángulo rojo es simétrico al azul con respecto al eje: 145
E
E
Matemáticas
Elaboración de tablas
Encuesta
Las tablas proporcionan información de un fenómeno o hecho para organizar la información. Son listas de datos que siguen un determinado orden o clasificación, con la intención de tomar decisiones u obtener conclusiones.
Preguntas que se hacen a un grupo de personas para conocer algunas características o para recopilar información. Por ejemplo se hace una encuesta para saber que partido político es el más popular en una determinada población. Ejemplo:
La información en una tabla se escribe en columnas y renglones. Ejemplo: Un doctor quiere saber cuántos niños han recibido en su consultorio la vacuna contra el sarampión cada mes, durante el primer semestre. Con esta información el doctor puede planear cuántas vacunas necesita al mes, cuántos niños que sean sus pacientes no se han vacunado, etc. Mes
Número de niños vacunados
Enero
12
Febrero
10
Los alumnos de una escuela realizaron una encuesta para saber cuál materia es la que predomina en el gusto de los alumnos. Esta encuesta se hizo a 250 alumnos. Materia de su preferencia
Número de alumnos
Español
35
Matemáticas
27
Ciencias Naturales
42
Historia
58
Geografía
19
Marzo
9
Civismo
25
Abril
12
Inglés
23
Mayo
9
Música
21
Junio
10
Total 146
250
Matemáticas
F
Reflejando la figura B
G
Figuras congruentes Son aquellas que tienen la misma forma y tamaño, es decir, al colocar una sobre otra coinciden en todos sus puntos. Se pueden obtener figuras congruentes a una dada, si ésta se coloca, se gira, se traslada o se refleja. Girando la figura
H A
F D
E K
La recta K actúa como un espejo. El cuadrado EFGH es el reflejo del cuadrado ABCD. Si se dibujan las figuras giradas, trasladadas, reflejadas y luego se recortan, se superponen unas sobre otras, se podrá observar que todos su puntos coinciden, son congruentes.
Figuras a escala
Trasladando la figura
La razón entre la longitud de dos segmentos se usa, asimismo, para expresar escalas. La escala es la relación de reducción o ampliación que existe entre las dimensiones reales de una figura y las dimensiones en que se presenta. Por ejemplo, si alguien elabora un croquis de su casa para que otra persona que lo vea le entienda, debe expresar la escala, es decir, indicar cuantos metros representa cada centímetro del croquis. 147
F
F
Matemáticas
Ejemplo:
Ejemplo:
Ampliación La escala de esta figura 1:2 se lee 1 a 2. Esto significa que por cada cuadro se amplían a 2.
Reducción La escala de esta figura es 3:1 se lee 3 a 1. Es decir, cada tres cuadros se reducen a uno. En todos los mapas se incluye la escala, esto es, se indica la equivalencia entre los centímetros del mapa y los kilómetros que representan como se muestra en el
La escala se puede expresar: 1:100, 1:1000 o 1:100,000 que se lee “uno a cien mil”. Esta expresión indica que la escala es un centímetro por cada 100,000 cm reales (o sea por cada Km). La escala también se emplea en los planos de las construcciones. Si la escala de un parque, de un estadio de futbol o de beisbol, de una plaza de toros, etc. es de 1/200 o bien 1:200 las dimensiones se encuentran multiplicando la medida que se obtenga en el plano por 200. En los mapas, con mucha frecuencia se encuentra la escala en la forma: 1/100Km. Esta escala equivale a 1/10 000 000 o bien 1:10 000 000. Para calcular la distancia entre dos puntos en el mapa se multiplica la distancia que indica el mapa, por 10 000 000 y después se reduce a la unidad más conveniente.
148
Matemáticas
La fracción 4/6 indica que la unidad se dividió en 6 partes y se han tomado 4 de ellas. Las fracciones pueden ser:
Ejemplo:
Propias
3/4
Si el numerador es < que el denominador
Impropias 5/3
Si el numerador es > que el denominador
Mixtas
La fachada, en el plano de una casa, mide 60cm. Si la escala es 1:50 ¿Qué dimensión tiene la fachada? Se multiplica 60 x 50 para calcular la longitud de la fachada y se obtienen 300 cm. La fachada de la casa mide 30m.
Una fracción impropia se puede convertir a un número mixto dividiendo el numerador entre el denominador. Ejemplo: 46 = 7
Fracciones Manera de representar una parte menor que la unidad. Una fracción está compuesta por dos elementos: numerador denominador
31/2 Si se forman con enteros y una fracción propia
El denominador indica en cuantas partes iguales se divide la unidad o el todo que se analiza. El numerador indica cuantas partes se tomaron. Ejemplo:
6 7 46 4
64 7
Un número mixto se puede convertir a fracción impropia multiplicando los enteros por el denominador y agregando el numerador. Este resultado será el numerador y se deja el mismo denominador. Ejemplo: 4 5/9 = 4 x 9 + 5 = 41 9 Fracciones equivalentes o iguales son aquellas cuyos productos cruzados de sus términos son iguales.
149
F
F
Matemáticas
3/5 es equivalente a 6/10. Es decir, 3 6 5 10 ya que 3 x 10 es igual a
Al compararlas vemos que:
5 x 6, o sea 30 = 30
De igual numerador:
4 5
3 5
2 5
De varias fracciones que tienen igual numerador, la mayor es la que tiene menor denominador. Ejemplo: 3 5
2 3 2 4
6 10
Con la representación gráfica se puede observar que 3/5 y 6/10 representan la misma fracción de unidad, por lo tanto son equivalentes.
Al comparar vemos que:
Comparación de fracciones: De igual denominador:
De varias fracciones que tienen igual denominador, la mayor es la que tiene mayor numerador. Ejemplo: 2 5 3 5 4 5
2 5
2 3
2 4
2 5
Con diferente denominador y numerador:
Para comparar fracciones comunes con diferente denominador y diferente numerador, por ejemplo 3/4 y 4/5 se transforman en fracciones equivalentes de igual denominador. Para ello se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores el cual será el denominador común: 150
Matemáticas
4 2 2 2
5 5 1
minador son pares, se divide otra vez entre 2. Se repite este proceso hasta que el denominador o el numerador (o ambos) no sean pares.
M, C, M (2,2,5)= 2 x 2 x 5= 20
Dividiendo 20 entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el respectivo numerador. 3 = 5 x 3 = 15 4 20 20
1200 = 600 = 300 = 150 = 75 1440 = 720 = 360 = 180 = 90
4 = 4 x 4 = 16 5 20 20
• Si ta nto el n u merador como el denominador son divisibles entre 3, ambos se dividen hasta que ya no sean divisibles entre 3.
Ahora se comparan las fracciones: 15 y 16 y se concluye que: 20 20 15 < 16 20 20
Es decir
3 4
4 5
75 = 25 90 30
Simplificación de fracciones
Simplificar una fracción es reducirla a su mínima expresión. Para encontrar la fracción más simple de esta fracción se puede dividir el numerador y el denominador entre el menor de sus divisores comunes (mayor que 1). Para simplificar la fracción 1200/ 1400 se siguen estos pasos: • Si el numerador y el denominador son pares se di vide entre 2 • Si el numerador y deno-
• Si el numerador y el denominador tienen como divisor el número 5 se divide entre 5. 25 = 5 30 6
En esta fracción ni el numerador ni el denominador tienen divisores comunes, por lo tanto la fracción 1200 / 1400 está en su mínima expresión que es 5 / 6 1200 = 5 1400 6
151
F
F
Matemáticas
Otra forma de simplificar es dividir el numerador y el denominador entre el mayor de su divisor común en el caso del ejemplo entre 240. 1200 = 1200÷240 = 5 1440 1440÷240 6 Suma de fracciones
Con igual denominador: Se suman los numeradores y se conserva el denominador. Ejemplo:
impropia, se convierte a fracción mixta: 1 10/8 = 8 10 = 1 2/8 2
Con números mixtos: Se siguen estos pasos: La fracción mixta se convierte a fracción impropia. Ahora se tiene una suma con distinto denominador, se sigue el proceso de dicho caso. Ejemplo: 2 3/4 + 1 1/2 = 1 1/8 + 3/2 =
3+2 + 1=3+2+1 = 6 7 7 7 7 7
11 x 1 + 2 x 3 = 11 + 6 = 4 4 4
3 + 2 + 1= 6 7 7 7 7
17/4 = 4 1/4
Con diferente denominador: • Se calcula el mínimo común múltiplo, por ejemplo: en 1/2 + 6/8 el m.c.m. de 2 y 8 es 8 • Se convierte cada fracción a otra equivalente cuyo denominador sea el m.c.m.
Resta de fracciones Con igual denominador: • Se restan los numeradores y se conserva el denominador.
Ejemplo: 4/5 - 3/5 = 4 – 3 = 1/5 5
Ejemplo: 1 = 1X4 = 4 2 2X4 8
6 = 6X1= 6 8 8X1 8
4 5
4/8 + 6/8 = 10/8 Si el resultado es una fracción 152
=
-
1 5
3 5
Matemáticas
Con diferente denominador: Se convierten las fracciones dadas en fracciones equivalentes de igual denominador. Ejemplo: 2/3 - 3/5 3 = 3 5=5 1 1 3=3
y los denominadores entre sí para obtener el producto. Se procede de la misma manera cuando hay más de dos factores. Ejemplo: 2 x 1= 2x1 = 3 x 4 3x4
5=5
2 12
4 x 2 x 5 = 4 x 2 x 5 = 40 5 3 6 5 x 3 x 6 90
m.c.m.= 3 x 5 = 15 2/3 - 3/5 = 10/15 -9/15= 1/5
Cuando se multiplica un número natural por una fracción, se convierte el número natural en fracción colocándole un 1 como denominador. Después se siguen los pasos del caso anterior para resolver la multiplicación. Si el resultado es una fracción impropia, se convierte a número mixto. Ejemplo:
10/15 - 9/15 = 1/15 Con números mixtos: • Las fracciones mixtas se convierten a fracción impropia. • Se calcula el m.c.m. • Cada fracción se convierte a otra equivalente cuyo denominador sea el m.c.m. • Se restan las fracciones. • Si el resultado es una fracción impropia, se convierte a fracción mixta.
12 x 3 = 12 x 3 = 12 x 3 = 36 = 5 1 5 1x5 5 7 5 36 1
Ejemplo:
= 7 1/5
Multiplicación de número decimal por una fracción.
5 2/3 - 2 3/4 = 17-11 = 68-33 =35 3 4 12 12 = 2 11/12
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí
Se convierte el número decimal en fracción colocándole como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número. El número se convierte en número decimal y
153
F
F
Matemáticas
se continúa con el proceso de los casos anteriores. Ejemplo: 2.65 x 4 = 265 x 4 = 265 x 4 = 5 100 5 100 x 5 1060 = 500
Propiedades de la multiplicación de fracciones.
Propiedad conmutativa: Se pueden cambiar de orden las fracciones y el resultado no cambia. Ejemplo: 3 x 2 = 3x2 = 6 8 5 8 x 5 40 2 x 3 = 2x3 = 6 5 x 8 5 x 8 40 Propiedad asociativa: Se pueden agrupar dos o más fracciones y el resultado de ellas se multiplica por las fracciones restantes. El resultado es el mismo que si se multiplican todas las fracciones juntas. Ejemplo:
3 x 4 x 5 = 3 x 20 = 3 x 20 = 60 4 5 x 9 4 45 4 x 45 180
3 x 4 x 5 = 3 x 4 x 5 = 60 4 x 5 x 9 4 x 5 x 9 180
Toda fracción que se multiplica por la unidad (1) da como resultado la misma fracción. Ejemplo:
2 500 1060 = 2 60 60 500
a)
b)
12 x 1 = 12 x 1 = 12 x 1 = 12 20 20 1 20 x 1 20 División de fracciones
Para dividir fracciones se recurre al número inverso, es decir, se invierte la fracción que se indica como divisor y se procede a resolverla como una multiplicación de fracciones. Si el resultado es una fracción impropia se convierte a número mixto. Ejemplo: 4 ÷1 = 4 x 2 =4x2=8= 6 2 6 1 16 x 1 6 1 6 8 = 1 2/6 2 Cuando dividimos un número natural por una fracción, convertimos el número natural en fracción colocándole un 1 como denominador y procedemos como en el caso anterior.
154
Matemáticas
Ejemplo:
Ejemplo:
En la casa de deportes se venden:
28 25 ÷ 7 = 25 x 8 = 200 = 7 200 = 8 1 7 7 60 4 = 28 7/4
Cuando dividimos un número decimal por una fracción, convertimos el número decimal en fracción, colocándole como denominador la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga dicho número y el numerador se convierte en un número natural. Se invierte la fracción que se indica como divisor y se multiplican las fracciones como en los casos anteriores. Ejemplo:
Artículos Balones Raquetas Pelotas Bates TOTAL
Cantidad 24 15 42 13 94
Frecuencia relativa De balones 24 De pelotas 94
42 94
De raquetas 15 De bates 94
13 94
11 4.5 ÷ 2 = 45 x 5 = 225 = 20 225 5 10 2 20 25 5 = 11 5 /20 = 11 1/4
G Geoplano
Frecuencia relativa Nú mero de veces que se repite un resultado. Frecuencia relativa es la frecuencia entre el total de resultados.
Instrumento con el que se pueden construir figuras a las que se les puede calcular el perímetro y el área; además de ser de gran ayuda en la comprensión del área y perí-
155
G
G
Matemáticas
metro de figuras, es muy divertido trabajar con él. Para construir un geoplano, se necesita:
que permiten observar y analizar de una forma objetiva y rápida la información. Hay varios tipos de gráficas, entre ellas tenemos: Gráfica de barras: Se forma con dos rectas dispuestas en forma de “ele”, una vertical dividida en segmentos iguales donde se colocan las frecuencias de manera ascendente y otra horizontal donde se colocan los datos o clases. Sobre la línea de datos se trazan las barras rectangulares del mismo ancho y separadas entre sí por igual distancia.
Una tabla que mida 20cm de cada lado y 2cm de grueso. Sobre la superficie de la tabla se traza una cuadrícula de 9 por 9 cuadrados. Cada cuadrado debe medir 2cm por lado. Después se clavan diez filas de clavos, como se muestra en la ilustración. Se necesitan tres ligas con las que se forman las figuras. Éstas son algunas que se pueden hacer en el geoplano aunque pueden hacerse una gran variedad de figuras.
Ejemplo: En una escuela se realiza el recuento de los alumnos que cuentan con computadora en su casa. Con los datos obtenidos se elabora una gráfica como ésta: Tabla de datos Grados
Gráficas Frecuentemente utilizadas en la economía y estadística, en la industria y en las ciencias. En las gráficas se registran datos 156
No. de computadoras
1˚
10
2˚
12
3˚
11
4˚
15
5˚
17
6˚
19
Matemáticas
Gráfica de barras
Gráfica de sectores circulares: La gráfica de sectores circulares cuya área representa el total de datos y que se divide en tantos sectores como tipos de datos se presenten. La amplitud de cada sector es proporcional a la frecuencia del dato correspondiente.
•Gráfica poligonal: Se forma con dos líneas en forma de “ele”, la vertical se divide en segmentos iguales donde se escriben las frecuencias de manera ascendente y en la horizontal se colocan los datos o clases. En esta gráfica se buscan los puntos de coincidencia de cada dato con su frecuencia correspondiente con rectas perpendiculares a la recta de los datos y a la recta de las frecuencias. Por último se unen los puntos hallados con segmentos de recta.
Ejemplo: En un grupo de 60 alumnos se formaron comités para el trabajo anual por materia.
Ejemplo: Recuento de los votos para reina de la primavera de un grupo de 4° grado: Candidata
No. de votos
Rosa
18
Elena
7
Ivón
13
Elizabeth
12
Mayra
16
Tabla de datos: Comité Español
14
Matemáticas
10
C.Naturales
12
Historia Geografía
157
No. de alumnos por materia
8 16
G
I
Matemáticas Historia Matemáticas
C.Naturales
8
16
10
12
14
Interés
Español
El interés es la ganancia que produce un capital o préstamo a un tanto por ciento dado durante un tiempo determinado. Para calcular el interés, el capital, el tanto por ciento o rédito y el tiempo se aplican las siguientes fórmulas:
•Gráfica de figuras simbólicas: Son gráficas de barras modificadas. Se emplean figuras o símbolos del mismo tamaño y cada uno de ellos representa la misma clase de información con un valor fijo.
Meses
Días
Interés
i=cxrxt i=cxrxt i=cxrxt
Capital
100 200 C=100xI C=1200xI Rxt
Rédito Tiempo
rxt
36000 C=36000xI
rxt
R=100xI R=1200xI R=3600xI Cxt
Panteras
T=100xI Cxr
cxt
cxt
T=1200xI T=36000xI cxr
cxr
Ejemplos:
Leones
Linces
Tiempo en: Años
En esta gráfica se representan los goles anotados por cada uno de los 6 grupos que participaron en el torneo de futbol de una escuela . Cada balón representa 3 goles
Leopardos
I
Geografía
Rosa hace un préstamo a Luis de $5, 400.00 al 7% anual el 12 de junio y le devolverá el dinero recibido el 18 de septiembre ¿Cuánto recibirá Rosa de interés?
Tigres Jaguares
158
Matemáticas Datos C=$5400.00
Operaciones I=cxrxt 36000
¿A qué rédito se prestará un capital de $38750.00 para que en 2 años produzca un interés de $3100.00?
Respuestas Rosa recibirá de interés
R=7%
Sustitución de
T=9 días
letras por
C=$38750.00
(del 12/06 al
valores reales
T= 2 años
18/09)
I=5400x7x99=
I=?
$ 105.89
Datos
I= $ 97.50
3600
R= ?
Operaciones R= 100 x i
Se prestará
cxt
al 4%
Sustitución R= 100x3100 =
=3812.200=
38750x2
105.89
100x172= 17200
36000
Respuesta
2150x4
8600
=2
Si Ricardo recibe de interés $97.50 por un dinero que metió al banco durante 6 meses con un rédito al 3% ¿Cuál será su capital? Datos Operaciones Respuesta R= 3%
c= 1200 x i Ricardo tiene rxt T= 6 Sustitución de un capital de meses letras por $ 6500.00 I=$97.50 valores C= ? reales C=1200x97.50= 3x6 =117000=6500 18
¿Cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $2150.00 si produjo un interés de $172.00 al 4% anual?
Datos C= $2150.00 R= $172.00 I= 4% anual T= ?
Operaciones T= 100 x i cxr T= 100 x 172 2150 x 4 17200 = 2 8600
159
Respuesta Estuvo invertido
el capital 2 años
I
L
Matemáticas
L
Los números del cuadro se leen: • Doscientos, cincuenta y cuatro. • Doce mil, cuatro cientos, cincuenta y ocho. • Veinte millones, trescientos cincuenta y dos mil, quinientos diecisiete. • Dos billones, quinientos setenta y tres mil millones, ciento sesenta y tres millones, ciento cuarenta y tres mil, doscientos sesenta y tres.
Lectura y escritura de números en el sistema decimal
Para leer cantidades se separan las cifras en grupos de tres, empezando por la derecha. Se lee el número de izquierda a derecha dándole a cada grupo el nombre que le corresponde. Ejemplos:
Para escribir cantidades se comienza de izquierda a derecha a colocar las cifras en grupos de tres. Si algún orden no tiene cifra se completa colocando cero. Ejemplos:
B Millar Millones Millares Unidades u C DU C D U
C D U
1
C
D
U
2
5
4
2 4 5
8
2 0 3 5 2
2 5 7 3 1 6 3
5
1
7
9 1 4
0 7
2
1 4 3
2
3
6
Treinta y cinco 35 Ciento veinte 120 Doce mil, ciento ocho 12,108 Dos millones, cuarenta mil, veinticuatro 2,040,024 Tres mil ciento quince millones, ciento cuarenta y siete mil, quinientos nueve 3,115,147,519 Cuatro billones, seis cientos cinco mil novecientos cinco millones, trescientos catorce mil, seiscientos treinta 4,605,905,314,630
160
Matemáticas
Lectura de mapas Los mapas son representaciones de terrenos, ciudades, países, áreas geográficas... Para entender un mapa, los astronautas del observatorio de Greenwich, crearon las Coordenadas Geográficas, sistemas de líneas imaginarias en la Tierra, que sirven para ubicar cualquier punto del planeta. Las coordenadas geográficas se crearon con base en tres medidas.
Latitud: distancia que va del Ecuador a cualquier punto de la Tierra. La latitud puede ser norte (N) o sur, (S) se expresa en grados. Longitud: distancia que va del meridiano de Greenwich o meridiano 0 a cualquier punto de la superficie terrestre. La latitud puede ser este (E) u oeste (O) y se expresa en grados. Altitud: altura de cualquier punto del planeta, se expresa en metros sobre el nivel del mar.
Ejemplo:
País
161
Latitud Longitud Altitud
México
22º
104º
2300 m
París
54º
200º
-100m
China
33º
90º
350m
Egipto
31º
34º
300m
L
L
Matemáticas
Para que se puedan interpretar los mapas se hace uso de una simbología. Estos son algunos de los símbolos.
Carretera de un sentido
Líneas
La línea es una sucesión de puntos, solo tienen una dimensión, una longitud. Las líneas sirven como límite a las superficies. Pueden ser:
Carretera de doble sentido
Recta Monumento colonial
Quebrada
Artesanías
Curva
El tramo limitado por dos puntos en una recta se llama segmento: Glorieta
Gasolinería
a
b
ab es un segmento de la recta.
Restaurante
Aeropuerto
Zona arqueológica
Curva a la izquierda
La recta por su posición puede ser:
Teléfono
Museo
162
Horizontal
Cuando sigue la dirección del agua en reposo.
Vertical
Cuando sigue la dirección de un hilo que sostiene a un cuerpo suspendido.
Inclinada
Cuando no es ni horizontal ni vertical.
Matemáticas
M
Dos líneas que se relacionan entre sí pueden ser: Líneas Perpendiculares
Paralelas
Oblicuas
Convergentes
Divergentes
Descripción Dos líneas que caen una sobre otra sin inclinarse.
Dos líneas que no tienen punto de contacto. Aunque se prolonguen nunca se tocan.
Máximo común divisor El máximo común divisor (m.c.d) de varios números es el mayor de los divisores comunes de dichos números. Ejemplo: El m.c.d. de los números 12, 36 y 54. Divisores del 12= 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores del 36= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Dos líneas que caen una sobre otra inclinándose.
Divisores del 54= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 27, 54
Dos líneas que al prolongarse en una de sus direcciones tienen un punto de contacto.
El m.c.d. de estos números es el 6 Para hallar el m.c.d. de varios números se descomponen en factores primos. Ejemplo:
Dos líneas que al prolongarse, separan más y nunca llegan a tener contacto.
Los factores primos de 12, 36 y 54 12 2 6 2 3 3 1 163
36 18 9 3
2 2 3 3 1
54 27 9 3
2 3 3 3 1
M
M
Matemáticas
Medidas de capacidad
12=2 x 3 36=2 x 3 54=2 x 3 Se toma una sola vez los factores comunes con su menor exponente 3x2=6 m. c. d. de 12, 36 y 54 es 6
Medidas agrarias Las medidas agrarias son las que se utilizan para medir terrenos dedicados a la ag r icult ura. Tienen equivalencia con las medidas de superficie:
L as medidas de capacidad miden líquidos. La unidad principal es el litro que se representa con el símbolo l y se define como la capacidad de un recipiente cuyo volumen equivale a un dm 3 . Las medidas de capacidad aumentan y disminuyen de 10 en 10. Kilolitro (kl)= 1000 l Hectolitro (hl)= 100 l Decalitro (dal) = 10 l Múltiplos Unidad Submúltiplos kl, hl, dal
dl. cl. ml.
1l= 10 dl. (decilitros) 1l= 100 cl. (centilitros) 1l= 1000 ml. (mililitros)
La hectárea (ha) es igual a hm2 = 10 000m2 El área (a) es igual al dam2=100m2 La centiárea (ca) se igual al m2=1m2
Las conversiones de estas medidas se calculan igual que las medidas de superficie. Ejemplo: 32 ha = 320000 ca porque 32 x 10000 = 320000 4672 ca = 46.72a porque 4672 ÷ 100 = 46.72
1.
Equivalencias con medidas de volumen. 1l. = 1 dm3
1ml. = 1cm3
Para conver t ir de una unidad mayor a una menor se multiplica por su equivalencia. Ejemplo: 42.5 hl = 4250 l. porque 42.5 x 100 = 4250 192.80 = 192800 ml porque 192.8 x 1000 = 192800
164
Matemáticas
Para convertir una unidad menor a una mayor se divide por la equivalencia. Ejemplo: 4672 cl = 46.7211. porque 4672 ÷ 100 = 46.2 6485.21 cl = 6.4852 kl porque
unidad Km hm dam
m
dm
cm
mm
1km= 1000m 1hm= 100m 1dam= 10m 1dm= 0.1m 1cm = 0.01m 1mm = 0.001m
6485.2 ÷ 6.4852
Medidas de longitud El metro es la unidad fundamental de las medidas de longitud y se representa con el símbolo m. Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro los prefijos griegos: deca, hecto y kilo que significan diez, cien y mil y se representan con los símbolos dam., hm., km. respectivamente. Los submúltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro los prefijos latinos deci, centi y mili entre otros que significan respectivamente décima, centésima y milésima parte y se representan con los símbolos dm., cm. y mm respectivamente. Las unidades de longitud aumentan y disminuyen de diez en diez como puede observarse en la siguiente tabla:
Para convertir una medida mayor a una menor se multiplica por la equivalencia correspondiente. Ejemplo: 26 hm = 2600m porque 26x100 = 2600 4.5 m = 450 cm porque 4.5x100 = 450 9.42 cm = 94.2 mm porque 9.42x1000 = 94.2
Para convertir una medida de menor a mayor se divide entre la equivalencia correspondiente. Ejemplo: 362.2 dam = 36.22 porque 362.2 ÷ 10 = 36.22
165
M
M
Matemáticas
436745 cm = 4.36745 km porque 436745 ÷ 100 000 = 4.36745
Para convertir de una unidad mayor a una menor se multiplica por la equivalencia correspondiente: Ejemplo:
Medidas de peso La unidad principal de las medidas de peso es el gramo que se representa con el símbolo g. El kilogramo es un múltiplo del gramo y es la medida más usada para medir el peso en kilogramos; se simboliza con la expresión kg. y se define como el peso que tiene 1 dm3 de agua destilada a la temperatura de 4 grados centígrados. Las unidades de peso aumentan y disminuyen de diez en diez como puede verse en la siguiente tabla: unidad
Kg mg
hg
1000 100 0.001
dag
g
10
1kg = 1000g 1hg = 100g 1dag = 10g 1dg = 0.1g 1cg = 0.01g 1mg = 0.001g
dg 0.1
cg 0.01
368.7 kg = 368700 g porque 368.7 x 1000 = 368700 54.2 dag = 542000 mg porque 2495.2 /1000 = 2.495 Para convertir de una unidad menor a una mayor se divide: Para cargas muy pesadas se emplean el quintal métrico (q) que equivale a 100 kg y la tonelada métrica (tm) que equivale a 1000 kg. También se pueden convertir a unidades menores. Ejemplo: 5 tm = 5000 kg porque 5 x 1000 = 5000 12 q = 1200 kg porque 12 x 100 = 1200
Medidas de superficie Miden el área de las figuras. La unidad principal es el metro cuadrado cuyo símbolo es m2. El m2 es la superficie de un cuadrado que mide un metro de lado.
166
Matemáticas
Ejemplo:
1m
1m
746342 mm2 = 74.6342 dm2 porque 746342 ÷ 100 000 = 74.6342
1m2
9364.18 dam2 = 93.6418 hm2 porque 9364.18 ÷ 100 = 93.6418
unidad
Km2 hm2 dam2
1 1 1 1 1 1
m2
dm2
cm2 mm2
Medidas de tiempo La mayoría de las actividades del ser humano están regidas por el tiempo. Los principales instrumentos que el hombre ha inventado para medir el tiempo son el reloj y el calendario.
km2 = 1 000 000 m2 hm2 = 100 000 m2 dam2 = 100 m2 dm2 = 0.01 m2 cm2 = 0.0001 m2 mm2 = 0.000001 m2
Las medidas de superficie aumentan y disminuyen de 100 en 100, es decir, toda unidad de superficie es 100 veces mayor que la inmediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior. Para convertir una medida mayor a una menor se multiplica por la equivalencia respectiva. Ejemplo:
Unidades de tiempo
32.46 m2 = 324600cm2 porque 32.49 x 10 000 = 324600 4.8 m2 = 4 hm2 porque 4.08 x 100 = 408 Para convertir una unidad menor a una mayor se divide entre la equivalencia respectiva.
167
Unidad Milenio Siglo Década Lustro Año civil Mes
Equivalencia 1000 años 100 años 10 años 5 años 12 meses = 54 sem = 365 días 4 semanas = 30 días
M
M
Matemáticas
Semana Día Hora Minuto Segundo
7 días 24 horas 60 minutos 60 segundos 100 cen/seg
120 ÷ 30 = 4 Estuvieron 4 meses.
Con las unidades de tiempo se pueden hacer conversiones, de una unidad mayor a una menor se multiplica por la equivalencia correspondiente. Ejemplo: • Mario cumplió 3 lustros. ¿Cuántos años tiene Mario? 3 x 5 = 15 Mario tiene 15 años.
Como las unidades de tiempo no pertenecen al sistema decimal sino al sistema sexagesimal las horas (hrs), minutos (min) y segundos (seg) aumentan y disminuyen de 60 en 60.
Suma:
• El tratamiento de Laura durará 5 semanas. ¿Cuantos días estará en tratamiento Laura?
Operaciones con unidades de tiempo:
Se colocan en columna los números que se corresponden entre sí: Ejemplo:
5 x 7 = 35 35 días tardará el tratamiento de Laura.
Para convertir una unidad menor a una mayor se divide entre la equivalencia correspondiete. Ejemplo: Unos astronautas estuvieron en el espacio 120 días. ¿Cuántos meses estuvieron en el espacio? 168
1 2 12 hrs 20 min 8 hrs 30 min 10 hrs 25 min
50 seg 36 seg 40 seg
31 31 hrs
126 6 seg
77 17 min
• Se empieza a sumar por la unidad menor, en este caso los segundos. • Si suman más de 60 se convierten a la siguiente unidad mediante una división. 126 ÷ 60 = 2.6
Matemáticas
• Los min. que se formaron se colocan en la columna de los minutos, en este caso 2 minutos y quedaron 6 segundos que se escriben abajo de la suma. • Se suman los minutos y si suman más de 60 se convierten a hrs dividiendo entre 60. En este caso 77÷60=1.17 En este caso se formó 1hr que se coloca en la columna de las horas y quedaron 17 min que se escriben debajo de la suma de los min. • Por último se suman las horas y el resultado se encierra en una línea.
Resta:
Para restar unidades de tiempo se colocan de tal manera que se correspondan entre sí: Ejemplo: 17 18 hrs -12 hrs 5 hrs
Cuando se suman años, meses etc. se hace como en el caso anterior, se va convirtiendo a la siguiente unidad. Ejemplo: 1 2 5 años 8 meses 3 semanas 2 años 7 meses 2 semanas 3 años 5 meses 3 semanas 22 8 11 años 10 meses 0 semanas • Se suman las semanas y se convienten a meses: 8÷4 = 2 • Se suman los meses y se convierten a años: 22 ÷ 12 = 10 169
72 12 min 15 20 min 12 52 min 03 seg
• Se comienza por la menor unidad, en este caso los segundos y se asegura que las cantidades se puedan restar 15 –12= 3 • Luego se resta la siguiente unidad; en este caso, a 12 min. no se le pueden restar 20 min. procedemos a tomar una hora y convertirla en min. para sumarlos a los 12 que tenemos 1 x 60= 60 + 12 = 72 ahora tenemos 72 min. a los que les podemos restar los 20 min. 72 – 20 = 52. • Por último se restan las horas, a las 18 que teníamos, le quitamos una que ya convertimos en min. 18 – 1 = 17; a las 17 hrs les restamos 12, 17 – 12 = 5 y encerramos el resultado.
M
M
Matemáticas
Multiplicación:
Para multiplicar unidades de tiempo se tiene que ir convirtiendo a la unidad inmediata superior. Para lo que se siguen estos pasos. Ejemplo: 12 hrs 84 + 4 88
40 min 280 + 3 283
1 x 60 = 60 72 02
+
2x20= 120 158 18 4
Medidas de volumen La unidad principal de las medidas de volumen es el metro cúbico cuyo símbolo es m3. El m3 es un cubo que mide un metro por cada uno de sus lados.
30 seg x7 210
3 días 16 hrs 43 min 210 seg 3 min 60 210 , 30 seg
Múltiplo unidad
4 hrs 60 283 43 min
km3 hm3 dam3
La división se empieza mayor cifra y los residuos convirtiendo a la siguiente y sumando a las unidades tienen. Ejemplo: 2hrs 7 15hrs
10 min 12min
m3
dm3 cm3 mm3
1km3 = 10 000 000m3 1hm3 = 1 000 000 m3 1dam3 = 1 000 m3 1dm3 = 0.001m3 1cm3 = 0.000001m3 1mm3 = 0.000 000 001m3
3 días 24 88 16 hrs División:
submúltiplos
por la se van unidad que se
22 seg 38 seg
Estas medidas aumentan y disminuyen de 1000 en 1000, es decir, toda unidad de volumen es 1000 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 1000 veces menor que la inmediata superior. Para convertir una unidad mayor a una unidad menor se multiplica por la equivalencia correspondi-
170
Matemáticas
ente y viceversa de una menor a una mayor se divide. Ejemplo: 27 m3 = 27000 dm3 porque 27 x 1000 = 27000 42586 dm3 = 42.586 m3 porque 42586 ÷ 1000 = 42.586 Tabla de medidas Medidas Múltiplos Unidad de Longitud
sub-
principal múltiplos Km. hm
m
Media, mediana, moda La media aritmética es una medida de tendencia central que se obtiene dividiendo la suma de los valores del conjunto de datos entre el número total de éstos. Ejemplo: Las ventas de un negocio fueron de: Lunes $12 300.00 Martes $ 14 000.00 Miércoles $ 14 500.00 Jueves $ 13 250.00 Viernes $ 14 000.00 Sábado $16 700.00 Domingo $ 15 400.00
dm cm mm
dam Peso
Tm. q. kg.
g
dg. cg. mg
l
dl. cl. ml
Hg. dg Capacidad Kl. hl. dal Superficie Km hm 2
2
m
2
dam2 Volumen
Km3 hm3 dam3
dm2 cm2 mm2
m3
dm3 cm3
12 300.00 14 000.00 14 500.00 13 200.00 14 000.00 16 700.00 15 400.00 100 100.00
mm3
100100÷7=14300 La media en este negocio es de $14300.00
171
M
M
Matemáticas
La mediana en un conjunto de valores es aquel valor que tiene por encima y por debajo el mismo número de datos. Si el conjunto de datos es par, la mediana se obtiene hallando la media de los dos términos centrales. Ejemplo: La estatura de estos niños es:
Se ordenan las cantidades en forma creciente: 7 8 8 9 9 10 Las dos calificaciones centrales fueron 8 y 9, por eso la mediana es 8.5 8 + 9 = 17 = 8.5 2 2 La moda de un conjunto de valores es el valor o los valores que más se repiten o sea los que más frecuencia tienen. Ejemplo:
1.32m
1.30m
1.29m
1.35m
El peso de estos niños es de:
Primero se ordenan las cantidades en forma creciente: 1.29 m, 1.30 m, 1.32 m. 1.35 m los número que quedan al centro son 1.30 y 1.32, por lo que la mediana de estatura en estos niños es de 1.31 m. Ejemplo: Las calificaciones dadas a estos dibujos fueron:
8
9
7
8
10
9
35kg, 32kg, 35kg, 34jg, 31kg 24kg
La moda es 35 porque es el peso que más se repite.
Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo(m. c.m.) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes que no sea cero.
172
Matemáticas
res primos comunes y no comunes con su mayor exponente y se multiplican. es decir: m. c. m. de 54, 60 y 48= 2 x 3 x 5 = 2160
Ejemplo: Para obtener el m. c. m. de 3 y 4 deben buscarse sus múltiplos y luego determinar cuál es el menor común a ambos.
Para comprobar que 2160 es el m. c. m. de 54, 60 y 48 se divide el m c m entre cada cantidad. La división de cada uno de estos números debe ser exacta.
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 y 27. Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28.
Comprobación:
En este grupo de múltiplos los comunes para 3 y 4 son 12 y 24
2160÷54=40 2160÷60=36
El m. c. m. de 3 y 4 es 12.
2160÷48=45
La descomposición de dos o más números en sus factores permite determinar el m. c. m. Ejemplo:
Moneda
Hallar el m c m de 54, 60 y 48 Se descomponen los números en sus factores primos. 54 27 9 3 1
2 3 3 3
60 30 15 5 1
2 2 3 5
48 24 12 6 3 1
2 2 2 2 3
54=2x3 60=2x3x5 48=2x3 Se toman una sola vez los facto-
La moneda sirve para hacer intercambios comerciales . Cada país tiene su propia moneda para llevar a cabo sus transacciones internas. Para negociaciones internacionales la moneda que más se utiliza es el dólar.
173
M
M
Matemáticas
Monedas del mundo, divisas por dólar. País
Divisa
Compra
Venta
Argentina
Peso
2.9540
2.9640
Brasil
Real
2.8675
2.8705
Canadá
Dólar
1.2335
1.2345
China
Yuan
N.D
8.2865
Chile
Peso
617.500
618.00
Bretaña
Libra
1.8277
1.8285
Hong Kong
Dólar
N.D
7.7886
Japón
Yen
107.24
107.29
México
Peso
11.5
11.53
Suecia
Corona
7.1725
7.1775
Suiza
Franco
1.2099
1.2109
Singapur
Dólar
N.D
1.6732
Venezuela
Bolívar
1916.6
1918.6
Taiwán
Dólar
N.D
33.79
Euro
1.2603
¿Cuántos dólares puede comprar? Operación 750 11.53 8647.50 05765 0000
Gran
R= Comprará 750 dólares Para convertir de dólares a pesos mexicanos se multiplica el valor del dólar en pesos mexicanos por el número de dólares. Ejemplo:
Unión Europea
1.2606
Para convertir de pesos mexicanos a dólares EU, se divide entre la equivalencia de dicha moneda. Ejemplo:
Mario en su viaje a Estados Unidos se ganó un premio de 275 dólares, ¿A cuánto equivaldrá su premio en moneda nacional? Operación
Mario va a Estados Unidos, lleva para su viaje $8,647.50 Pesos 174
275.00 x 11.53 82500 137500 27500 27500 3170.7500 R.Su premio equivale a $3,170.7500 pesos
Matemáticas
Para convertir de otra moneda extranjera a pesos mexicanos:
Para convertir de pesos mexicanos a otra moneda extranjera:
• Primero la moneda extranjera se convierte a dólares, dividiendo entre la equivalencia de la moneda. • Ya que está en dólares, los dólares se convierten a pesos mexicanos.
• Primero los pesos mexicanos se convierten a dólares (dividiendo) • Luego los dólares se convierte a la moneda extranjera (multiplicando por la equivalencia en dicha moneda).
Ejemplo:
Ejemplo: Gloria estudia en Brasil. Paga una colegiatura de $7,500 pesos mexicanos ¿A cuántos reales equivale su colegiatura?
Marcela compró un suéter en Argentina por el que pagó $75 pesos argentinos ¿Cuánto pagó en pesos mexicanos? El peso argentino vale 2.96 dólares. Operación
75 / 2.9649 = 25.30
75 pesos argentinos son 25.30 dólares.
25.30 x 11.53 = 291.7090
25.30 dólares son 291.7090 pesos mexicanos
Operaciones: 650 650 11.53 7500 x2.8705 05820 325670 01550 455938 03970 521072 05110 130268 0468 1865.825 7500 pesos mexicanos = 650 dólares = 1869.6714 reales. R= Gloria paga de colegiatura 1865.82 Reales.
R= Marcela pagó 291.70 pesos mexicanos por el suéter. 175
M
M
Matemáticas
Multiplicación
Por ejemplo los cuadros que están marcados son los productos de:
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, es decir, en la multiplicación 4 x 3 = 4 veces el 3 es decir que 4 x 3 = 3+3+3+3 Los elementos de la multiplicación son: 2148 x25 10740 4296 53700
multiplicando multiplicador productos parciales producto total
3 5 6 9
x x x x
5=15 8=40 3=18 7=63
Esta escalera es otra forma de repasar y aprender las tablas de multiplicar. Ejemplo: 3x1=3 3x2=6 3x3=9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 9 = 27 3 x 10 = 30
Para multiplicar es importante saber las tablas de multiplicar, a continuación se presenta la tabla pitagórica donde se encuentran los productos de los números del 2 al 10. Para leerla se multiplica un número de la vertical por otro de la horizontal. Y donde se cruzan está el producto o sea, el resultado.
1 vez 3= 3 x 1=3 2 veces 3= 2 x 3=6 3 veces 3= 3 x 3=9 4 veces 3= 4 x 3=12 5 veces 3= 5 x 3=15 6 veces 3= 6 x 3=18 7 veces 3= 7 x 3=21 8 veces 3= 8 x 3=24 9 veces 3= 9 x 3=27 10 veces 3= 10 x 3=30 Para multiplicar siempre se empieza por las unidades. 176
MatemĂĄticas
Ejemplo:
42 x3 126
Multiplica centenas
Cuando el resultado de multiplicar las unidades es mayor a nueve, por ejemplo 12, se escriben las unidades y se llevan las decenas, que se entregan despuĂŠs de multiplicarlas: Ejemplo: 4 3 x4 172 4 x 3 = 12, se pone el 2 y se lleva 1, luego se multiplica 4 x 4=16 + 1 que se llevaba = 17 y se escribe el 17. Para resolver mult iplic aciones que no excedan las unidades de mil, se puede utilizar el siguiente algoritmo: Lee factores Escribe unidades, lleva decenas Suma decenas incluyendo las que llevas
Escribe las centenas y unidades de mil
Suma productos parciales
Propiedades de la multiplicaciĂ&#x201C;n Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo:
2 x 48 = 96 48 x 2= 96
Multiplica unidades
Multiplica decenas
Suma centenas incluyendo las que llevas
Asociativa: Se pueden asociar o agrupar los factores como se desee y no se altera el producto.
Ejemplo:
Escribe decenas, lleva centenas
(43 x 3) x 2 = 43 x (3 x 2) 129 x 2 = 43 x 6 258 = 258 177
M
M
Matemáticas
Distributiva:
Ejemplo: 2.75 dos cifras decimales x 4.15 dos cifras decimales 1375 275 1100 se separan 4 cifras 11.4125 de derecha a izquierda
Si se multiplica un factor por la suma de varios sumandos es igual a sumar los productos del factor por cada uno de los sumandos.
Ejemplo:
4 x (12+5+8) = (4x12)+(4x5)+(4x8)
Para multiplicar por la unidad seguida de ceros.
4 x 25 = 48 + 20 + 32 = 100
• Se escribe el mismo número y se le agrega tantos ceros como tenga la unidad. Si hay decimales se recorre el punto decimal a la derecha tantas cifras como ceros tenga el multiplicador, si no alcanzan las cifras se aumentan ceros.
Cuando se multiplica un número por 1 da el mismo número 4267 x 1= 4267 12526 x 1 = 12526 Todo número multiplicado por cero da cero. 5287 x 0= 0
2x0=0
Ejemplo: 425 x 1000 = 425000 7.6 x 100 = 760
Para multiplicar números decimales: • Se obtiene el producto como si fuesen números enteros. • Se separan en el producto total tantas cifras decimales como haya en el multiplicando y el multiplicador reunidos.
Múltiplos de un número
Los múltiplos de un número son todos aquellos que resultan de multiplicar ese número por cualquier otro. Los múltiplos de un número son infinitos. Un número es múltiplo de sí mismo y el cero es múltiplo de cualquier número. 178
Matemáticas
Ejemplo: Los múltiplos del número 6 pueden ser: 6 x 0 =0 6 x 3 = 18
Los términos de una ecuación son: • Signo igual. • Primer miembro, expresión a la izquierda del signo igual. • Segundo miembro, expresión a la derecha del signo igual. • Incógnita o término desconocido, término desconocido que puede estar en el primero o segundo miembro y se representa con una letra : X, Y o Z.
6 x 1 =6 6 x 2 =12
Algunos de los múltiplos del número 6 son: M (6)= 0, 6, 12, 18
N
Reglas para resolver una ecuación: Cuando un término de la ecuación cambia de un miembro a otro, cambia de signo.
Noción de ecuación
Si el término tiene signo + pasa al otro miembro con signo – y si tiene signo – pasa con signo +. Una ecuación es una igualdad en la que aparece una incógnita o término y dos grupos de términos separados por un signo igual. Incógnita 60+ 92+ X = 248
1º miembro
Si tiene signo X pasa con signo ÷ y si tiene signo ÷ pasa con signo X. Ejemplo: Pedro y Rosa ganaron en la feria 248 canicas, las que guardaron en 3 bolsitas; en una guardaron 60, en otra 92. ¿Cuántas canicas guardaron en la tercera bolsita? Ecuación: 60
2° miembro signo igual
179
92
x
N
N
Matemáticas
60 + 92 + ¿incógnita? = 248 canicas
Los puntos que obtuvo Ana en el concurso de belleza el triple disminuido en 5 es igual a 40
60+ 92+ X = 248 X = 248- 60- 92 X = 96
Ecuación
En el ejemplo anterior se puede observar que los números 60 y 92 con signo + del primer miembro pasaron al segundo miembro con signo -. Ejemplo: 2X = 4 X=4÷2 X=2 7X – 12 = 32 X=(32 + 3) 7 X= 30
5X + 5 = 50 X(50-5)2 X=9 6X –7 = 53 X=(53+7)6 X= 10
Problemas que se resuelven con ecuaciones:
3X – 5 = 40 X = (40+ 5) ÷ 3 X = 15 Ana ganó 15 puntos.
Notación Desarrollada
2X + 12 = 72 X = 72 – 12 ÷ 2 X = 30
Manuel tiene 30 años.
400
90
5
2
4
9
5
La suma de los valores relativos de cada una de las cifras de un número representa la notación desarrollada de dicho número. Ejemplos: 357 = 300+ 50+ 7 1 695 = 1000+ 600+ 90+ 5 24 785 = 20 000+ 4 000+ 700+ 80+ 5
El doble de le edad de Manuel aumentada en 12 es igual a 72. Ecuación
2000
Los números decimales también se pueden presentar en notación desarrollada, ya sea en forma de fracción común o decimal. Ejemplo: .467 En fracción común: .457 4 + 6 + 7 10 100 1000 180
Matemáticas
En decimal: .467 .4+ .06+.007 Notación desarrollada del número: 2678. 5743 2000 + 600 + 70 + 8 + 0.5 + 0.07 + .004 + .0003
Numeración Un sistema de numeración es un conjunto limitado de símbolos, dígitos o cifras, que se combinan mediante reglas específicas para expresar números, cantidades y operaciones.
Numeración maya
Numeración egipcia La civilización egipcia se desarrolló a orillas del río Nilo hacia el año 3000 A.C. Entre los años 3000 y 2000 A.C. construyeron las pirámides, lo que requería de profundos conocimientos matemáticos. Su sistema para contar era muy sencillo; su numeración tenía como base el 10, sus símbolos siempre tenían el mismo valor, no conocían el cero. Se sabe algo de la aritmética egipcia por los papiros de Rhind. Símbolos empleados en la numeración egipcia.
El sistema de numeración maya era un sistema posicional con base en el número 20 en el cual se emplearon tres símbolos básicos: El punto =1, la raya = 5 Y la concha =0 Números mayas del 1 al 19:
181
N
Matemáticas
Números decimales
65/100 se simplifica hasta su mínima expresión.
.
0 0
1
.
0 0
0
1
.
0 0
0
0
1
.
0 0
0
0
0
1
.
0 0
0
0
0
Millonésimo
1
Cienmilésimo
0
Diezmilésimo
.
Milésimo
Décimo
1
Centésimo
Punto Decimal
Un número decimal consta de una parte entera y una parte decimal separadas por un punto llamado punto decimal. Los decimales resultan de dividir la unidad en 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 y 1 000 000 en partes iguales. Posición de los números decimales.
Enteros
N
Fracción común 3/4
100 ÷ 5 = 20
20
Decimal Se divide el numerador entre el denominador 3 ÷ 4 = .75 3/4 = .75
Comparación decimales
de
números
Un número decimal entre más cerca está del punto decimal es mayor y entre más se aleje es menor. Ejemplo: De mayor a menor: 0
Conversión de: Decimal Fracción común .65
65/100 = 65÷ 5 = 13 = ,65 = 13
65/100 se quita el punto y el denominador es la unidad seguida de tantos decimales como tenga.
.3 .0003 .3
> .03 >
.003 .003
.03
>
De menor a mayor:
.0004 .00004 .000004
.04
.0003
.03
>
.000004
< .00004 < .0004 < .04
Un número decimal es mayor cuando su parte entera es mayor: 42.003 > 30.3 182
Matemáticas
Cuando la parte entera de dos números es igual, es mayor el de mayor parte decimal: 215.5 > 215.123
Números ordinales Los números ordinales indican orden en un grupo.
Números negativos
Los números enteros, el cero y los números negativos forman el conjunto de los números naturales. Los números enteros negativos son infinitos y se representan en la recta numérica a la izquierda del cero.
Escritura de los números ordinales.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Para cada número natural existe su correspondiente número negativo llamado opuesto o simétrico. Los números negativos se leen así -4 (menos 4) -12 (menos 12). Son los números negativos cuando, por ejemplo, nos referimos a temperaturas bajo cero, a dinero que debemos, a profundidades por debajo del nivel del mar.
183
1º primero 2º segundo 3º tercero 4º cuarto 5º quinto 6º sexto 7º séptimo 8º octavo 9º noveno 10º décimo 11º décimo primero 12º décimo segundo 13º décimo tercero 14º décimo cuarto 15º décimo quinto 16º décimo sexto 17º décimo séptimo 18º décimo octavo 19º décimo noveno 20º vigésimo 30º trigésimo 40º cuadragésimo 50º quincuagésimo
N
N
Matemáticas
visores el 1 y el mismo número.
60º sexagésimo 70º septuagésimo 80º octogésimo 90º nonagésimo 100º centésimo 200º ducentésimo 300º tricentésimo 400º cuadragentésimo 500º quingentésimo 600º sexcentésimo 700º septingentésimo 800º octagentésimo 900º noningentésimo 1000º milésimo
NÚMEROS PRIMOS DEL 1 AL 100 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
Ejemplos:
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 NÚMEROS COMPUESTOS
1º
4º
2º
3º
5º
La niña que está en 3er lugar tiene una bolsa en la mano. El niño que está en 1º lugar trae una gorra azul. Las niñas de 4º y 5º lugar son hermanas.
Números primos y compuestos Los números primos son aquellos que sólo se pueden dividir entre 1 o entre el mismo número. Por ejemplo los números 3,5,11,13 son primos porque sólo tienen dos di-
Los números que tienen más de dos divisores exactos son los números compuestos, es decir, además de ser divisibles por 1 y entre ellos mismos también son divisibles por otros números. Los números 4,8,25,42 son números compuestos porque tienen varios divisores, además del 1 y el mismo número. Para comprobar que un número es primo o compuesto se descompone en sus factores primos. Por ejemplo para comprobar el número 81, se divide por otro número por el cual sea divisible de acuerdo con los criterios de divisibilidad hasta obtener la unidad(1). Este proceso es igual a:
184
Matemáticas
27 3 81 21 0
9 3 27 0
3 3 9 0
3 3 0
Los números naturales se pueden redondear por decenas, centenas, unidades de millar, etc. El redondeo lo podemos apreciar mejor en la recta numérica.
1
Redondear el 67 a la decena más cercana
Este proceso es igual a: 81 27 9 3 1
3 3 3 3
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
El 67 está más cerca del 70, por lo que 67 se redondea a 70. Se ha aproximado por exceso.
81=3x3x3x3=81 se pueden determinar los divisores
Números redondos
Redondear 32 a la decena cercana.
más
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
El 32 está más cerca de 30 que de 40, por lo que se redondea a 30 es decir, por defecto.
Se llaman números redondos a los números aproximados que se obtienen por redondeo. Por ejemplo si un artículo cuesta $11.00 redondea a $10.00. Cuando se redondea 11 a 10 se aproxima a un número menor ya que 10<11, es decir, se redondea por defecto. Si se redondea de 18 a 20, se está aproximando a un número mayor, ya que 20>18 se está redondeando por exceso.
Redondear a la centena más cercana el número 390. 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400
La centena más cercana es 400 por lo que 390 se redondea a 400 se ha aproximado por exceso. Redondear el número 510 a la centena más cercana. 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600
185
N
N
Matemáticas
están a su derecha y se aumenta uno a la última cifra que queda a la derecha.
La centena más cercana es 500 por lo que 510 se redondea a 500, se ha aproximado por defecto. REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES
• Si la cifra a eliminar es menor que 5, se elimina ésta y las que están a su derecha.
Los números decimales también se pueden redondear a décimas, centésimas, milésimas, etc. Redondear el número 2.38 a la décima más cercana.
Si se redondean a décimas los números tenemos que: 2.372 número redondo 2.4 2.325 número redondo 2.3
2.30 2.31 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40
El número 2.38 está más cerca de 2.40 que de 2.50, por lo que el redondeo es a 2.40, es una aproximación por exceso. Redondear el número 5.683 a la centésima más cerca.
5.680 5.681 5.682 5.683 5.684 5.685 5.686 5.687 5.688 5.689 5.690
El numeral 5.683 está más cerca de 5.680 que de 5.690 por lo tanto se redondea a 5.680, es una aproximación por defecto.
Números romanos Fueron muy usados durante la edad media, actualmente se utilizan muy poco, se usan para marcar capítulos y tomos en los libros, en la carátula de algunos relojes, para marcar el año de algunos acontecimientos.
Para redondear un número decimal se deben seguir estas reglas: • Si la cifra a eliminar es 5 o mayor a 5, se elimina ésta y las que
Los símbolos básicos de esta numeración son siete.
186
Matemáticas
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Reglas para combinar los símbolos de los números romanos: •Todo símbolo colocado a la derecha de otro, de igual o menos valor que él suma su valor. Ejemplo: XX= 10+10=20 DCL=500+100+50=650 •Todo número colocado a la izquierda de otro de menor valor que él, resta su valor. Por ejemplo: IV=5-1=4 XL=50-10=40 •Ningún símbolo puede escribirse más de tres veces seguidas. I,X,C pueden repetirse tres veces. •Sólo la M se repite tres veces pero no puede restarse. •Una raya colocada arriba de un símbolo aparte de un número lo multiplica por 1000 dos rayas multiplican por 1000000. Ejemplos: V=5x1000=5000 X=(10x1000 000)=10 000 000
O Órdenes, clases y periodos en el sistema decimal
Las órdenes son las posiciones que ocupan cada una de las cifras que forman un número. Se enumeran de derecha a izquierda y corresponden a las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, unidades de millar de millón, decenas de millar de millón, centenas de millar de millón, billones. Las clases son grupos de tres órdenes. Los periodos son grupos de dos clases que permiten clasificar las cantidades en unidades, millares, millones, millares de millón, billones, etc. 187
O
Matemáticas
En este cuadro se pueden ver gráficamente las órdenes, clases y periodos. 3er Periodo
2do Periodo
1er Periodo
Billones
Millones
Unidades
5ª clase Billones
4ª clase Millares de millón
3ª clase Millones
Las siguientes figuras tienen el perímetro pintado con azul.
2ª clase 1ª clase Millares Unidades
Para calcular el perímetro de las figuras geométricas se aplican estas fórmulas.
13˚ 12˚ 11˚ 10˚ 9˚ 8˚ 7˚ 6˚ 5˚ 4˚ 3˚ 2˚ 1˚orden Unidades
Decenas
Centenas Unidades de millar Decenas de millar Centenas de millar
Unidades de millón
Decenas de millón
Centenas de millón
Unidades de millar de millón
Decenas de millar de millón
Centenas de millar de millón
Unidades de billón
P=Lx3 P=4x3 P=12cm
P
4 cm
Perímetro P=l+l+l P = 4 +3+5 P = 12 cm
5 cm
Perímetro quiere decir “medida alrededor de” peri viene del griego que quiere decir alrededor, por lo tanto para saber el perímetro de una figura basta sumar la longitud de sus lados y el resultado se da en medidas de longitud.
4 cm
P
3 cm P=l+l+l+l P = 1.5 + 1.5 +2.5 +2.5 1.5 cm P = 8.0cm 2.5cm
188
Matemáticas
3.8 cm
P=l+l+l S =3.8+3.8+2.3 P = 9.90cm
Pirámides y prismas
2.3 cm
2.5
P = lX4 S =2.5X4 P = 10.0cm
cm
P=l+l+l+l S =4.5+4.5+3.2+3.2 P = 13.6 cm
3.2 cm
Las pirámides son cuerpos geométricos que tienen una sola base, sus caras laterales en forma de triángulo que se unen en un punto llamado cúspide. Tiene tantas caras laterales como lados tenga la base. Su nombre lo reciben de la forma de su base, por ejemplo, pirámide cuadrangular; pirámide triangular, etc.
4.5cm
2.5c m
5.0cm
P=l+l+l+l S = 2.5+2.5+5+7.2 P = 17.2 cm
7.2cm
3c m P = 1X5 S = 3X5 P = 15 cm
La altura de las pirámides se mide del centro de la base a la cúspide. La apotema es la altura de las caras laterales. 189
P
Matemáticas
PIRÁMIDES Y SU ÁREA LATERAL
El área lateral de las pirámides la forman sus caras laterales y se calcula con la siguiente fórmula. AL = PBxa Perímetro de la base por apotema entre 2.
Ejemplo:
AL = PBxa 2 S.= 4x3x7 2 2 AL = 42cm 4cm 7cm
PIRÁMIDES Y EL ÁREA TOTAL
El área total corresponde al AL más el área de la base y se aplica la fórmula: AT = AL+ab
Ejemplo:
divide entre tres, se aplica la fórmula: V= ABxH 3
Ejemplo:
4.5cm
V= ABxH 3 S = bxh x H 9cm 2 3 S = 3x4.5 x 9 2 3 V = 20.250 cm3 3cm
El volumen de una pirámide con las mismas medidas de un prisma corresponde a 1/3 de éste. Para comprobarlo se puede construir una pirámide y un prisma que tengan la misma forma de la base y las mismas dimensiones.
AT = AL+ab S = 1x4xa +12 2 S = 2.5x4x4.5+(2.5x2.5) 2 2 AT =28.75cm 4.5cm
4 cm
P
2.5cm
PIRÁMIDES Y SU VOLUMEN
Para calcular el volumen se calcula el área de la base por la altura y se
Se necesita algún tipo de semilla o grano, puede ser arroz (crudo) se llena la pirámide con el arroz y se vacía al prisma. Se necesita llenar tres veces la pirámide con el arroz y vaciarlo al prisma para que éste se llene.
190
Matemáticas
• Se traza un arco grande. • Se abre el compás del ta- maño de un lado de la base. • Se hace centro en el ex tremo izquierdo del arco ya trazado. • Se corta el arco tantas veces como lados tenga la base, por ejemplo, si es tri angular, se marcan tres lados en la base. • Luego se unen los puntos y el arco con la cúspide. • Por último se traza la base • Se le ponen pestañas, se recorta, se arma y se pega.
PIRÁMIDES Y SU CAPACIDAD
A las pirámides también se les mide la capacidad, es decir, la propiedad de los cuerpos de contener un líquido. El volumen y la capacidad están relacionados, pero se diferencian en que el volumen es el lugar que ocupa el cuerpo en el espacio y la capacidad es la cantidad de líquido que se puede obtener en ese espacio. Para calcular la capacidad de las pirámides, ya que se obtuvo el volumen, las unidades de volumen se convierten a unidades de capacidad. Por ejemplo:
V= ABxH 3 S = L2Xh 3 S = 3.5x3.5x8.3 3 V. 33.891 dm3 3.5cm Capacidad = 33.891 dm3= 33.89 l. 8.3cm
PIRÁMIDES Y SU CONSTRUCCIÓN
Porque 1 dm3 = 1 l. Para construir pirámides con cartulina se siguen estos pasos. • Se necesitan un compás y escuadras. • Se marca un punto donde va a ser centro el compás y se abre de la medida de la altura que se desee ha- cer la pirámide.
Los prismas
191
P
P
Matemáticas
Los pismas.
lateral más el área de las dos bases. Ejemplo: (se continúa con el ejemplo anterior) AT = AL +2 A2B S= Lx5xH+ pxa x2 2
S= 2x5x8+2x5x2
Son cuer pos formados por dos bases poligonales iguales y paralelas y por caras laterales en forma de rectángulo, tienen tantas caras laterales como número de lados tenga la base, su nombre va de acuerdo con la forma de su base, por ejemplo: prisma triangular, prisma pentagonal, etc.
1.3 dm
AT= 90 dm2
PRISMAS Y VOLUMEN
Para calcular el volumen de los prismas se obtiene el área de la base por la altura y se aplica la fórmula: V= BxH
Ejemplo:
PRISMAS Y ÁREA LATERAL
El área lateral de los prismas es la suma del área de sus caras laterales y se aplica la siguiente fórmula: AL = PB x H, que quiere decir, perímetro de la base por la altura del prisma. Ejemplo: AL = PB x H S = Lx5xH S = 2x5x8 AL = 80cm2
V= BxH 2 xH S= pxa 2 x8 S= 2x3
PRISMAS Y CAPACIDAD
V= 52 dm3
Para obtener la capacidad, después de calcular el volumen se convierte a medidas de capacidad. Ejemplo: 40 dm3 = 40 l Capacidad 40 l
PRISMAS Y SU CONSTRUCCIÓN PRISMAS Y ÁREA TOTAL
Para construir prismas
El área total se obtiene de sumarle al área total, el área de las dos bases, se aplica la fórmula: AT = AL + A2B, quiere decir, área 192
• Se hace un rectángulo que será el área de las caras laterales. • Se divide el rectángulo
Matemáticas
de acuerdo con el número de lados de la base. • Se trazan las bases. • Se marcan las pestañas. • Se recorta, se arma y se pega.
Y -+
5 4 3 2 1
++
X’
X -5 -4 -3 -2 -1
--
12 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
+Y’
Los ejes x y representan números positivos. Los ejes x’ y’ representan números negativos. Para localizar un punto en el plano cartesiano primero se da el número del eje de las x, luego se da el número en el eje de las y. Ejemplo:
Plano cartesiano E st á for m ado por dos eje s de coordenadas que son dos rectas numéricas colocadas perpendicularmente: la horizontal recibe el nombre de eje de las abscisas (eje de las x) y la vertical se llama eje de las ordenadas (eje de las y). El punto donde se unen ambos ejes recibe el nombre de origen. El plano queda dividido en cuatro cuadrantes como se puede ver en el ejemplo.
(5,7) árbol (-3,-8) montaña (-4,5) avión (3,-3) barco
193
P
P
Matemáticas
El plano cartesiano se usa en aeronáutica para localizar objetos, barcos, marcar rutas, etc. También se emplea para hacer mapas y croquis donde se puedan localizar lugares, sitios, etc.
Los poliedros regulares son:
Tetraedro: 4 caras triangulares
Poliedros regulares
Los poliedros están formados por: caras aristas vértices
CARAS Superficies que los limitan, siempre son polígonos
Hexaedro: 6 caras cuadrangulares.
Octaedro: 8 caras triangulares.
ARISTAS Líneas de unión de dos planos, es decir, el lugar donde se unen dos caras. VÉRTICES Puntos donde se unen dos o más aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales
Características de los poliedros regulares Sus caras son polígonos regulares En cada vértice se une la misma cantidad de aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares.
194
Matemáticas
Polígonos Regulares
POLÍGONOS TRAZO:
Los polígonos son figuras cerradas formadas por líneas que forman sus lados. Su nombre depende del número de lados que los formen. Los polígonos regulares tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados
Y
SU
El 0 es el centro del círculo, se considera como el vértice de un ángulo de 360º. Se dividen los 360º entre el número de lados del polígono. Los vértices del polígono se localizarán donde los lados del ángulo corten la circunferencia. Ejemplo: 360º / 5 = 72º
Triángulo: 3 lados
Cuadrado: 4 lados
REGULARES
72º
POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
A la circunferencia que pasa por cada uno de los vértices del polígono se le llama “circunferencia circunscrita” del polígono. Al unir el centro de la circunferencia circunscrita con cada uno de los vértices del polígono, se obtienen triángulos isósceles iguales y en todos ellos dos de sus lados son radios de la circunferencia y el tercero es un lado del polígono.
Octágono: 8 lados Eneágono: 9 lados
195
P
Matemáticas
POLÍGONOS Y SU PERÍMETRO
Para calcular el perímetro de los polígonos se multiplica lo que mide uno de sus lados por el número de lados (n) que tenga, fórmula P=lxn Ejemplo: P=lx5
Multiplicar un número tantas veces como lo indique el exponente es la potencia. Elementos de la potenciación 54=625 5: Base del número que se multiplica por sí mismo tantas veces como lo indique el exponente.
S=4x5 P= 20cm
4 cm
4: Exponente número que indica las veces que la base se multiplica por sí misma.
POLÍGONOS Y SU ÁREA
Para calcular el área se aplica la fórmula, A=pxa
645: Potencia resultado de multiplicar la base por sí misma.
2
La apotema va de la mitad de uno de sus lados al centro de la circunferencia circunscrita. Ejemplo: A = pxa 2
S = Lx6xa 2
7 cm
P
5 cm
Potencias
Ejemplos: 23= 2x2x2 = 8 32= 3x3= 9 54= 5x5x5x5 = 625 Gráfica de una potencia
S= 5x6x7 2
A = 105 cm2 2X2= 4 22
2X2X2= 8 23
196
3X3= 9 32
6X6= 36 62
3X3X3= 27 33
Matemáticas
Cuando el exponente de una base es 2 se puede leer de dos maneras: a la segunda potencia o al cuadrado y cuando es 3 se lee a la tercera potencia o al cubo. Cuando el exponente es 1 no se escribe. POTENCIAS Y SUS REGLAS • Si la base es cero la potencia es cero. 02=0 • Si la base es uno la potencia es uno. 13=1 • Si el exponente es cero, la potencia es uno, excepto cuando la base es cero. 30 =1 • Si el exponente es uno, la potencia es igual a la base. 71=7
Al lanzar varias veces una moneda al aire ¿De qué lado caerá, del sol o del águila? El resultado no siempre es el mismo; a veces caerá del lado del águila y a veces del sol. Si se repite el experimento varias veces, nunca se tendrá seguridad en el resultado del siguiente lanzamiento. Siempre existe la posibilidad de que sea uno de los dos resultados, a estos resultados se les llama aleatorios. Si observamos otro fenómeno al lanzar la moneda sabemos que siempre caerá al suelo, por lo tanto el resultado será siempre uno; a este experimento se le llama determinista. Experimentos
Ejemplos: 25= 2x2x2x2x2x=32 53=5x5x5=125 1 0 6= 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 = 1000000 15=1x1x1x1x1=5 122=12x12=144
Probabilidad
197
Aleatorios
Deterministas
Dos o más resultados posibles
Un solo resultado posible
Ejemplos
Ejemplos
Lanzar una moneda Tiro al blanco
Dejar caer un objeto
P
P
Matemáticas
Una probabilidad es la posibilidad de que ocurra un evento especial. Para determinar las probabilidades se utiliza la fórmula:
El estudio de los fenómenos aleatorios muestra aspectos importantes en el ámbito de la investigación científica.
P= eventos probables eventos posibles
Promedio
En una bolsa hay 5 canicas amarillas, 3 canicas rojas y 2 verdes. Al sacar una canica al azar ¿Cuál será más probable sacar? Será más probable que sea amarilla que roja o verde y más probable que sea roja que azul. Como hay 10 canicas en la bolsa se dice que hay 10 casos posibles, de los cuales 5 son favorables a las amarillas, 3 a las rojas y 2 a las azules. Por lo tanto la posibilidad de sacar una canica amarilla es de 5 en 10 y lo indicamos así: P(amarillas)= 5 10 P (rojas)= 3 10 P (verdes)= 2 10
La medida que resulta de sumar todos los datos y dividirlos entre el número total de casos es el promedio. Ejemplo: En una tienda varía la venta durante la semana ¿Cuál será el promedio de venta por día? Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
$2750.00 $1585.00 $1690.00 $1650.00 $1700.00 $2100.00 $2780.00
Se suman las ventas de todos los días 2750.00 1585.00 +1690.00 1650.00 1700.00 2100.00 2780.00 $14255.00
2036.42 7 14255.00 025 45 30 20 6
El promedio de ventas por día es de $2036.42 198
Matemáticas
Proporcionalidad directa e inversa Proporcionalidad directa
Si al comprar una pelota se pagan $15.00 se entiende que al comprar 2,3 o 4 pelotas se paguen $30.00, $45.00 o $60.00 respectivamente. E st a rel ación entre cantidad de pelotas y cantidad de dinero se llama proporcionalidad directa ya que si una aumenta la otra también aumenta en la misma proporción. A las cantidades se les llama magnitudes. En una proporción directa cuando una magnitud aumenta o disminuye la otra magnitud también aumenta o disminuye en la misma proporción.
En este caso mientras una magnitud (llaves de agua) aumenta la otra magnitud (horas) disminuye proporcionalmente. En una proporción inversa mientras una magnitud aumenta, la otra disminuye proporcionalmente. En el siguiente cuadro se pueden analizar algunos ejemplos de proporcionalidad.
Proporcionalidad inversa:
Un tanque tarda en llenarse en una llave de agua 36 hrs., pero si se usan 2, 3 o 4 llaves se tardará menos; se tardará en llenar 18 hrs., 12 hrs. o 9 hrs. respectivamente. 199
EVENTO
MAGNITUDES
PROPORCIONALIDAD
Por 10 cuadernos se pagan $120.00
Cuadernos dinero
directa
8 costureras hacen un trabajo en 2 días; 6 costureras lo hacen en 3 días
Tiempo costureras
inversa
Para 5 personas se necesita 1 l.de leche; para 7 personas se necesita 1.40
Personas leche
directa
Por 4 cuadernos $40.00
l. de leche
P
R
Matemáticas
R
es natural se llaman cuadros perfectos. Ejemplos: 4,
Raíz cuadrada 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16, 16 = 4 64, 64 = 8
2 9 =3
La raíz cuadrada de un número es la operación inversa a elevar al cuadrado un número, es decir, dado un número se busca otro que elevado al cuadrado sea igual que el número original. Ejemplo:
Cualquier número que se eleva al cuadrado, el resultado será un cuadrado perfecto, por ejemplo, si se eleva al cuadrado el número 37, se obtiene el número 1369, este número es un cuadrado perfecto. Ejemplos:
La raíz cuadrada de 9 es 3, pues 3 elevado al cuadrado es 9. Elementos de la raíz cuadrada radical índice
2
16 = 4
4 =2
raíz
122 = 144
142 = 12
72 = 49
49 = 7
252 = 625
625 = 25
RAíZ CUADRADA Y LOS PASOS PARA RESOLVERLA 1. Se separan las cifras del radicando de 2 en 2 comenzando por la derecha no importa que el último número de la izquierda resulte una cifra.
radicando Radical, es el signo de la raíz. Radicando, número cuya raíz se quiere obtener. Raíz, es el resultado. Indice, indica la raíz (2) que se obtiene, es raíz cuadrada.
4,36,80
Los números cuya raíz cuadrada 200
64,38
2. Se busca la raíz cuadrada de los primeros dos números de la izquierda.
Matemáticas
Nota: Sólo se tiene que encontrar que el número buscado, multiplicado por el mismo número, resulte exactamente o menos que lo que resulta el anterior número de la serie de los dígitos. Ejemplo Raíz de 1 de: 1 2 de: 4 3 de: 9 4 de: 16 5 de: 25 6 de: 36 7 de: 49 8 de: 64 9 de: 81
5. Se duplica la raíz obtenida, o sea 9 y 9 = 18 92,16 -81 11 16
Nuevo radicando
6. Se busca un número que acompañará a la raíz, este número se baja con el 18 quedando imaginariamente ciento ochenta y tantos 92,16 -81 11 16
92,16
9 18
9 6 18 6
7. Por último el número aumentado (6) se multiplica por el mismo y por la raíz duplicada (186) y se resta.
9
El número se escribe a la derecha del radicando, en este caso es 9.
92,16 9 6 -81 18 6 1116 1116 0000
3. La cifra que resulta (9) se eleva al cuadrado y se resta de 92. 92,16 9 92 = 81 -81 11
186 X6 1116
Si hubiera más cifras pares a la derecha del radicando se siguen bajando y se sigue aumentado a la raíz formándose 3 números, 4, 5 o más.
4. Se bajan los dos siguientes números
80,10,25 895 -64 1610 169 -1521 008925 1785 -8925 0000
92,16 9 -81 11 16
201
R
R
Matemáticas
RAíZ CUADRADA CON NÚMEROS DECIMALES
Se resuelve de la misma manera que con números enteros pero es muy importante saber que el punto decimal se pone al bajar las dos cifras que están a la derecha del punto, si fuera al último una cifra la que se baja, se completa con un cero. Ejemplo: 239.5630 15.47
Si 6 balones cuestan $720 10 balones cuestan $X Se establece una proporción directa 6 = 720 10 = X
Regla de tres
Es una proporción en la que se conocen tres términos y se desconoce uno. La regla de tres puede ser simple o compuesta. Regla de tres compuesta
intervienen
intervienen
tres magnitudes
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo:
-1 139 125 25 014 56 -1216 304 024030 21609 3087 02421
simple
Si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa la regla de tres es simple directa o simple inversa.
Para saber el valor de X se multiplican los dos medios y el resultado se divide entre el extremo conocido, por lo tanto: X = 10x720 = $1200 6 X = $1200
más de tres magnitudes
202
Matemáticas
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Si 6 costureras hacen un ajuar de novia en 18 días, ¿en cuantos días podrían hacer el mismo ajuar 12 costureras, con la misma capacidad de trabajo? Se establece una proporcionalidad inversa Como a más mujeres, menos días de trabajo. La proporción se forma igualando la razón directa entre las cantidades de costureras con la razón inversa entre las cantidades de días o viceversa. 12 - 6 18 - X
Planteo de la regla de tres compuesta: 6 hombres – 8 horas – 160m. – 20 días 12 hombres – 10 horas – 120m. – X días Razonamiento
Si 6 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 160m. en 20 días, 1 hombre tardará 6 veces más (multiplicar) 12 hombres, 12 veces menos (dividir).
18 x 6 = 9 12 R= 12 costureras hacen el trabajo en 9 días REGLA DE TRES COMPUESTA
6 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 160m. de una obra en 20 días. ¿Cuántos días necesitan 12 hombres, trabajando 10 horas diarias, para hacer 120m. de la misma obra?
La regla de tres compuesta tiene más de tres elementos.
20x6 = a días trabajando 8 horas 12 diarias.
Si en lugar de trabajar 8 horas diarias, trabajaran 1 hora diaria, tardarían 8 veces más y trabajando 10 horas diarias tardarían 10 veces menos. 20x6x8 = días para hacer 160m. 12x10
Si en lugar de hacer 160m. hicieran 1m., tardarían 160 veces menos y para hacer 120m., tardarían 120 veces más. 203
R
R
Matemáticas
20x6x8x120 = días 12x10x160 X = 20x6x8x120 = 115200 = 6 días 12x10x160 19200
o 8/24 y se lee, 8 es a 24 o 8 a 24. La comparación de 4 con 12 es la razón de 4 a 12 y se expresa 4:12 o 4/12 y se lee, 4 es a 12 o 4 a 12.
En una excursión de 80 personas se tienen víveres para 15 días a razón de 3 raciones diarias para cada persona. Se agregan 20 personas más ¿Cuántos días durarán los víveres si cada persona consume 2 raciones diarias? Planteo:
Una proporción es igual entre dos razones:
80 personas – 15 días – raciones diarias 100 personas X raciones Razonamiento: X = 80x15x3 = 3600 = 18 días 100x2 200
8 a 4 o 8 es a 24 como 4 es a 12 24 12
3 2
Como 8 es equivalente a 4 se 24 12 puede construir la razón. 8= 4 o 8:24::4:12 y se lee 24
El primer término de la razón se llama antecedente y el segundo consecuente, en la razón 8:24, 8 es el antecedente y 24 el consecuente.
Razones y proporciones Antecedente Consecuente
Se llama razón a la relación que existe entre dos cantidades. Ejemplo: María compró 8 melones en $24 y Luis compró 4 melones en $12 La comparación de 8 con 24 es la razón de 8 a 24 y se expresa 8:24
8 = 4 24 12
En una proporción el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda se llaman extremos; y el consecuente de la primera razón y el antecedente de la segunda se llaman medios.
204
medios 8 : 24 : : 4 : 12 extremos
Matemáticas
Ejemplos:
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. En la proporción:
7-4=3
8 : 24 : : 4 : 12 8x12 =96 y 24x4 =96
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Recta numérica
8-3=5
Es la recta en la que se pueden representar los números naturales.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
En la recta numérica se pueden representar operaciones como la suma y la resta. Ejemplos:
RECTA NUMÉRICA Y COMPARACIÓN DE NÚMEROS
2+5=7
En la recta numérica se pueden comparar los números naturales. Todo número colocado a la derecha de otro es mayor. Ejemplo:
95 96 97 98 99 100 101 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2+3+1=6
99>96
Y todo número colocado a la izquierda es menor 44 45 46 47 48 49 50 51
0 1 2 3 4 5 6 7 8
45<50
205
R
R
Matemáticas
RECTA NUMÉRICA, ANTECESOR Y SUCESOR
En la recta numérica también se puede ver el antecesor y sucesor de un número dado. El número antecesor de 73 es el 72 en la recta numérica es el que está antes del 74 y éste es el sucesor. 72 Antecesor
73 74 sucesor
Antecesor sucesor Y
4
4.3
5
6
Si se quieren representar centésimos en la recta numérica se dividen los décimos en 10 partes iguales. Ejemplo: si se quiere representar 0.23 (23 son centésimos=
71 72 73 74 75 76 77
RE C T A NU M É RI C A FRACCIONES COMUNES
dad, se divide en 10 partes iguales el intervalo de 4 a 5.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
LAS
En la recta numérica también se pueden representar fracciones comunes. Ejemplo:
0 1 1 3 1 11 11 13 2 2 1 2 1 23 3 4 2 4 4 2 4 4 2 4
0
.23
1.0
Relación entre medidas de volumen y capacidad
RECTA NUMÉRICA Y LOS NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales, así como los naturales se pueden representar en la recta numérica. Si se quiere representar 4.3 (4 enteros, 3 décimos), se debe localizar en la recta numérica el número 4 y luego, 3 décimas después de él; como una décima es la décima parte de la uni-
Las medidas de volumen están relacionadas con las medidas de capacidad. Ya que el volumen de un cuerpo se refiere al lugar que ocupa en el espacio y la capacidad al líquido que puede contener dicho cuerpo.
206
Matemáticas
Las equivalencias entre medidas de volumen y capacidad son: 1 m3 = 1 kl. 1 dm3 = 1 l. 1 cm3 = 1 ml. m3
dm3
cm3
kl
L
ml
Reloj El reloj mide el tiempo transcurrido en un día, un día tiene 24 horas. Una hora tiene 60 minutos. Un minuto tiene 60 segundos. Un día tiene 1440 minutos y 86400 segundos.
Para convertir de unidades de volumen a unidades de capacidad: • Se hace la conversión como si fueran medidas de la misma especie y se cambia el símbolo. Ejemplo:
3.5 dal = 3500kl Los decalitros se convierten a m3, ya que equivalen a kl 3.5x1000=3500
El reloj tiene una carátula con números del 1 al 12, dos manecillas una chica que marca las horas y la grande que marca los minutos. Algunos relojes traen otra manecilla más pequeña que marca los segundos. Cuando la manecilla que marca las horas da dos vueltas marca un día.
• Para convertir unidades de capacidad a volumen, se convierten como si fueran de la misma especie y se pone el símbolo de la uni dad a la que convierten. Ejemplo: 46785 dl = 46.785 m3 Los decilitros se convier ten a kl 46758 dl = 4.6785,
Si la manecilla chica está en el 8 y la grande en el 12, son las 8:00 hrs. en punto. 207
R
R
Matemáticas
proporcional que le corresponde, esto se expresa: Mamá 4 de 1500000 = 4 x 1500000 10 10 =$600000
Si la manecilla chica está en el 9 y la grande está en el 1 son las 9: 05 hrs.
Miguel 3 de 1500000 = 3 x 1500000 10 10 = $ 450000
Reparto proporcional
Patricia 2 de 1500000 = 2 x 1500000 10 10 = $ 300000
Distribuir una cantidad en proporción directa a ciertos números es repartir proporcionalmente. Ejemplo:
Juanito 1 de 1500000 = 1 x 1500000 10 10 = $ 150000
Para comprobar si el resultado es correcto se suma la cantidad de dinero que recibió cada uno. El total es el dinero que se repartió. El señor Ramírez dejó una herencia a su esposa y a sus hijos de $1500000.00. Pidió que se distribuyera de la siguiente manera: 4 partes para la esposa, 3 partes para Miguel, 2 partes para Patricia y 1 parte para Juanito.
600 000 + 450 000 300 000 150 000 1500 000
Resta o sustracción
Si se suman las partes en las que se dividirá la herencia son: 4+3+2+1 = 10. La herencia se dividirá en 10 partes iguales y cada miembro de la familia recibirá la parte 208
Matemáticas
Luis escala la montaña que tiene una altura de 1830m. si lleva escalados 1520 m ¿Cuántos metros le faltan para llegar a la cumbre? En la resta se le quita a un número mayor (minuendo) otro menor (sustraendo) y el resultado se llama resta o diferencia. El signo que se utiliza en la resta es una raya (-) que se llama menos.
a 5? Le faltan 3 ¿Cuántos le faltan al 5 para llegar a 9? Le faltan 4 ¿Cuántos le faltan al 3 para llegar a 8? Le faltan 5 Si alguna cifra del sustraendo es mayor que la correspondiente en el minuendo se aumentan 10 de esas unidades, a la cifra del minuendo y se resta, como en el ejemplo: c 4 - 2 2
769 minuendo Menos - 243 sustraendo 526 resta o diferencia
Para restar se siguen estos pasos:
Como a 2 no se le puede restar 7, al 2 se le aumentan 10, 2+10 =12. Al 12 si se le pueden restar 7. Se dice 7 para llegar a 12 son 5. Después se le agrega uno a la cifra siguiente del sustraendo, en este caso al 3, 3+1=4. Se dice 4 para llegar a 6 son y se continúa la resta normal. Si se repite el caso se vuelve hacer lo mismo. Para comprobar si la resta es correcta se suman el sustraendo y la diferencia y debe dar como resultado el minuendo. Ejemplo:
• Se coloca el sustraendo debajo del minuendo. • Las unidades del mismo orden deben quedar en columna. • Siempre se comienza a restar por las unidades, luego las decenas y se sigue este orden hasta que se resten todas las cifras.
Ejemplo: c d
8 9 - 3 5 5 4
d u 6 12 3 7 2 5
u 5 2 3
Se resta del sustraendo el minuendo y se dice: ¿Cuántos le faltan al 2 para llegar 209
5742 - 3268 2474
3268 + 2474 5742
Cuando en una resta se desconoce el minuendo, se suma el sustraendo
R
S
Matemáticas
16.348 47.91 - 12.6475
con la diferencia el resultado será el minuendo. Ejemplo: traendo - 4678 3268
minuendo
4678 sus-
S
+ 3268 diferencia 7946 minuendo
Cuando en una resta se desconoce el sustraendo, restamos el minuendo menos la diferencia. El resultado será el sustraendo. Ejemplo: 4708
4708 minuendo sustraendo -2734 diferencia 2734 1474 sustraendo
Segmento Segmento es la parte comprendida entre dos puntos en una línea. Un segmento se designa por las letras de sus extremos. E
A
Para restar con números decimales se emplea el mismo procedimiento que con los números naturales, teniendo en cuenta bajar al llegar al punto decimal. Ejemplo: 838.72 - 563.45 275.27
B H
G
F
J
I
K
Los segmentos anteriores son:
Cuando en el minuendo hay más cifras decimales que en el sustraendo en éste se agregan ceros hasta tener igual número de cifras y viceversa, si en el sustraendo hay más cifras decimales que en el minuendo se resta normalmente. Ejemplos: 32.748 - 16.4
47.9100 - 12.6475 35.2625
Segmento AB Segmento EF Segmento GH
segmento HI segmento IJ segmento JK
Series numéricas
32.748 - 16.400 210
Matemáticas
Sucesión de números, también se conoce como progresión aritmética. La regla principal de una serie numérica es que un número cualquiera de la sucesión y el anterior sea constante. Ejemplo: 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14 -16 La diferencia entre un número y el anterior siempre es 2, es decir entre un número y otro siempre hay un intervalo de 2, el intervalo varía en cada serie o progresión numérica. SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE
Ascendente cuando la serie va aumentando. Ejemplos:
Sistema decimal El sistema decimal de numeración ha sido empleado por la humanidad desde tiempos remotos a causa de tener diez dedos en las manos, los que utilizaban para contar. Esta práctica de contar con los dedos dio origen a los números dígitos : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Nuestro sistema de numeración es decimal porque con cada 10 unidades de un orden se forma otro de orden inmediatamente superior, es decir es una numeración con base en el 10. Otro paso importante en el desarrollo de nuestro actual sistema de numeración es el concepto de posicionalidad, esto permite representar cualquier número por grande que sea con tan sólo los números dígitos. Unidades
5 – 8 – 11 – 14 – 17 – 20 – 23 – 26 – aumenta de 3 en 3. 2 – 7 – 12 – 17 – 22 – 27 – 32 – 37 – 42 … aumenta de 5 en 5
BALONES 2
SERIE NUMÉRICA DESCENDENTE
Descendente cuando la serie va disminuyendo Ejemplos: 81 – 77 – 73 – 69 – 65 – 61 – 57 – 53 … disminuye de 4 en 4 149 – 144 – 139 – 134 – 129 – 124 – 119 – 114 … disminuye de 5 en 5
PECES 8
BLUSAS 5
211
S
S
MatemĂĄticas
BOLOS 4
Centenas
Para formar una centena se necesitan 10 decenas o 100 unidades.
LAPICES 7
ZAPATOS 6
Decenas
Para formar una decena se necesitan 10 unidades
1 decena = 10 unidades 2 decenas = 20 unidades 3 decenas = 30 unidades 4 decenas = 40 unidades 5 decenas = 50 unidades 6 decenas = 60 unidades 7 decenas = 70 unidades 8 decenas = 80 unidades 9 decenas = 90 unidades 10 decenas = 100 unidades
1 centena = 10 decenas = 100 unidades 2 centenas = 20 decenas = 200 unidades 3 centenas = 30 decenas = 300 unidades 4 centenas = 40 decenas = 400 unidades 5 centenas = 50 decenas = 500 unidades 6 centenas = 60 decenas = 600 unidades 7 centenas = 70 decenas = 700 unidades 8 centenas = 80 decenas = 800 unidades 9 centenas = 90 decenas = 900 unidades 10 centenas = 100 decenas = 1000 unidades Unidades de millar
Para formar un millar se necesitan 10 centenas o 100 decenas o 1000 unidades. 212
MatemĂĄticas
1 unidad de millar centenas 2 unidades de millar centenas 3 unidades de millar centenas 4 unidades de millar centenas 5 unidades de millar centenas 6 unidades de millar centenas 7 unidades de millar centenas
8 unidades de millar = 80 centenas 9 unidades de millar = 90 centenas 10 unidades de millar = 100 centenas 10 unidades de millar = 1 decenas de millar = 10000 unidades 10 decenas de millar = 1 centena de millar = 100000 unidades 10 centenas de millar = 1 unidad de millĂłn = 1000000 unidades 10 unidades de millĂłn = 1 decena de millĂłn = 10000000 unidades 10 decenas de millĂłn = 1 centena de millĂłn = 100000000 unidades 10 unidades de millar de millĂłn = 1 decena de millar de millĂłn = 10000000000 unidades 10 decenas de millar de millĂłn = 1 centena de millar de millĂłn = 100000000000 unidades 10 centenas de millar de millĂłn = 1 unidad de billĂłn = 1000000000000 unidades
= 10 = 20 = 30 = 40
Billones Millares Millones Millares de millĂłn
= 50 = 60 = 70
1
000
000
000
Unidades
000
Con los siguientes ejemplos se verĂĄ cĂłmo se forman los nĂşmeros. 213
S
S
Matemáticas
Con 1 decena y 3 unidades se forma el número: Decena 1
Con 2 centenas, 1 decena y 3 unidades se forma el número:
unidad
Centenas decenas unidades 2
3
1
3
Se lee trece
Se lee doscientos trece.
Con 3 decenas y 5 unidades se forma el número:
Sistemas de numeración con otra base distinta a base 10
Decenas
unidades
3
5
Se lee treinta y cinco
Además del sistema de numeración decimal, en la unidad cotidiana se usan diferentes bases numéricas, por ejemplo, la sexagesimal que se usa en las horas, minutos y segundos (1 hora = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos), es una numeración con base en el 60. Existen numeraciones con base en 214
Matemáticas
2, con base en 3, …. en todas ellas hay dos elementos fundamentales: el valor de un símbolo está determinado por la posición que ocupa en el número y el valor de cada posición.
• El número binario se forma con el último cociente y los residuos de derecha a izquierda. Expresión numérica
SISTEMA DE NUMERACIÓN EN BASE DOS
25 = 11001 2
El sistema de numeración en base 2 o binario utiliza sólo dos símbolos, (0,1). El valor de cada posición es dos veces mayor que la posición de la derecha inmediata. Valores de cada posición 5ª
4ª 3ª 2ª 1ª Posición
24
23 22 21 1
Valor de
16
8
posición
4
2
1
Procedimiento para expresar un número decimal en el sistema binario: • Se divide sucesivamente entre dos hasta obtener un cociente uno, ejemplo.
12 2 25 05 1
6 2 12 0
3 26 0
Se lee: veinticinco es igual a uno, uno, cero, cero, uno base dos. Sistema binario, base 2 5º orden 4º orden (2.2.2.2) (2.2.2) 1
1
3er orden (2.2) 0
2º orden (2.1)
1er orden (1)
0
1
2.2.2.2.1+2.2.2.1+2.2.0+2.0+1 16+8+0+0+1=2.5
Proceso de un número binario expresado en el sistema decimal. Se escribe el número binario en forma desarrollada y se realizan las operaciones indicadas. Ejemplo: El número decimal:
Número decimal 25
Indica el sistema de numeración.
1 23 1
11112
en
forma
11112= 1x23+1x22+1x21+1 = 18 + 4 + 2 +1= 15 215
S
S
Matemáticas
SISTEMA DE NUMERACIÓN EN BASE 5
5º orden 54
El sistema de numeración en base 5 o quinario, emplea sólo cinco dígitos: 0,1,2,3,4. El valor de cada posición es cinco veces mayor que el valor de la posición derecha inmediata. Valores de cada posición 5ª
4ª 3ª 2ª 1ª 1
Valor de
625 125 25 5
1
posición
1
3
4
1er orden 1 0
62.5x2+125x1+25x3+5x4+0 1250 + 125 + 75 + 20 +0 = 1470
Proceso para expresar un número en base 5 en el sistema decimal. Se escribe el número en forma desarrollada y se realizan las operaciones necesarias. Ejemplo:
Posición
54 53 52 51
2
4º orden 3er orden 2º orden 53 52 51
Proceso para expresar un número decimal en numeración quinaria
Se divide el número y los cocientes que resulten entre 5 hasta que el cociente sea menor que el divisor. Los residuos que den cero, uno o menor que 5 de cada división se escriben de derecha a izquierda empezando por el último cociente y terminando con el primer residuo. Ejemplo:
El número 3024 en expresión decimal. 3024 4x1
= 3x53 + 0x52 + 2x51 + =
315 +
0
+ 10 + 4
= 379
Sistema inglés de medidas
Número decimal 1470 294 5 1470 47 20 0
58 11 2 5 294 5 58 5 11 44 08 1 4 3
1470 = 4340
Países como Estados Unidos, Canadá e Inglaterra usan el Sistema Inglés de Medidas (S.I.M.). Como México tiene relaciones políticas, 216
Matemáticas
económicas y sociales con estos países es conveniente conocer las equivalencias de estas medidas con las del S.M.D.
Para convertir medidas del S.I.M. al S.M.D. se multiplica por la equivalencia correspondiente. Ejemplos: Laura compró 45 yd de tela para un trabajo ¿A cuántos metros equivale? Operaciones
MEDIDAS DE LONGITUD S.I.M. Símbolo Equivalencia Milla terrestre
mi
1609m.
Yarda
yd
0.914m.
Pie
ft
0.305m.
Pulgada
in
0.0254m.
.914 x45 4570 3656 41.130
MEDIDAS DE SUPERFICIE
¿Cuántos litros de gasolina le caben a un tanque si para llenarlo necesita 50 galones? Operaciones
S.I.M. Símbolo Equivalencia Milla2
m2
Acre
ac
2.589.900m2. 0.914m.
Pie
ft
0.305m.
Pulgada
in
0.0254m.
3.785 x50 189.250
MEDIDAS DE CAPACIDAD S.I.M. Símbolo Equivalencia Galón
gal
3.785l.
218 x.454 872 1090 872 98.972
S.I.M. Símbolo Equivalencia lb
R= le caben 189.250 l.
¿A cuántos kilogramos equivalen 218lb de trigo? Operaciones
MEDIDAS DE PESO
Libra
R= 41.130m
454g o 0.454kg
217
R= Equivalen a 98.972kg.
S
S
Matemáticas
Para convertir unidades del Sistema Métrico Decimal al Sistema Inglés de Medida se divide entre la correspondiente equivalencia. Ejemplos:
Sistema métrico decimal
¿Cuántas millas terrestres habrá de distancia entre dos poblados, sabiendo que los separan 750km? Operaciones 466.12 1609 750000 10640 09860 02060 04511 1293 R=466.12mi ¿Cuántas pulgadas de cintura tendrá un pantalón que mide 58cm? Operación
22.8 254 5800 0720 2120 088 R=22.8cm
El sistema métrico decimal tuvo su origen en Francia en 1790. La idea fue que hubiera una medida de longitud que estuviera basada en el tamaño del Globo Terráqueo. Y midiendo desde el Polo hasta el Ecuador se sacó el Metro Patrón que es igual a la diezmillonésima parte de un cuarto del meridiano terrestre. Los científicos M. Pelambre y M. Méchain construyeron en una barra de platino e iridio el Metro Patrón. El metro original está en Sévres, cerca de París. El sistema métrico decimal ha sido aceptado casi en todo el mundo y establece cinco tipos de unidades de medida: longitud, superficie, volumen, capacidad, peso o masa.
218
Matemáticas
Medidas de longitud; su medida fundamental es el metro (m). Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro los prefijos: deca, hecto y kilo que significan respectivamente, diez, cien y mil y se representan con los símbolos dam, hm, km respectivamente. Los submúltiplos del metro se forman posponiendo a la palabra metro los sufijos deci, centi, mili, que significan respectivamente décima, centésima y milésima parte y se representa con los símbolos dm, cm, mm, respectivamente. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y LAS RECTAS NUMÉRICAS DE DIVERSAS UNIDADES
Sucesor y antecesor
Los números naturales son 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12…. Cada número natural tiene un sucesor, es decir, inmediatamente después de un número natural hay otro. Ejemplos: El sucesor de los números: Sucesor
Múltiplos Unidad Submúltiplos princip.
4 12 37 99 1000 9999 1000001 5100
Longitud km hm dan m dm cm mm Superficie km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Volumen km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Capacidad kl hl dal
l.
dl cl
ml
Cada número natural menos el cero, tiene un número que le precede, es decir, un antecesor. Ejemplo:
Peso o kg hg dag g
dg cg mg
5 13 38 100 1001 10000 1000002 5101
masa
219
Antecesor 6 41
7 42
S
S
Matemáticas
Antecesor 309 1499 5823 2100 120500 4999999
Ejemplos: 310 500 5824 2101 120501 5000000
D 2 + 1 3 6 UM 1 +2 6 9
Suma o adición
Reunión de varias cantidades (sumandos) en una sola suma total. Ejemplos: 2 + 3 =5 Los términos de la suma son: 25 Más +12 30 67
sumandos suma o total
U 4 2 3 9 C 5 1 2 8
C D U 3 2 0 +1 4 3 2 1 5 6 7 8
D U 2 4 3 2 4 1 9 7
Si al sumar las unidades dan decenas, éstas se suman con las decenas, si la suma de las decenas da centenas, éstas se suman con las centenas, etc. Ejemplo: D U 1 3 2 +1 5 2 6 7 3 Al sumar las unidades 2+5+6=13=1 decena y 3 unidades. Las unidades se escriben en el lugar de las unidades, y la decena que dio se agrega en la columna de las decenas. Luego se suman todas las decenas.
Para sumar: • Sólo se suman cantidades de la misma especie • Se suman unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc. 220
U 1 4 +1 2 8
D C 1 5 6 7 4 6 5 9 5
Matemáticas
Se suman las unidades: 6+4+5=15=1 decena 5 unidades. Se suman las decenas: 1+5+7+6=19=1 decena y 9 unidades Se anotan las decenas y la centena se agrega en la columna de las centenas. MD 2 5 + 2 1 1 0
UM 1 9 7 9 6
C D 1 1 2 8 9 4 4 2 6 5
SUMA Y PROPIEDAD ASOCIATIVA Se pueden agrupar los sumandos de diferentes formas y el resultado no cambia. Ejemplo: 7+3+12=22 = (7+3)+12 = 10+12 =22
U
143+95+105=343=143+(95+105) =143+200 =343
5 3 3 1
Elemento neutro El elemento neutro es el cero. Cualquier número que se sume con cero da el mismo número. Ejemplos:
U. 5+3+3=11= 1 decena, 1 unidad. D. 1+8+4+2=15= 1 centena, 5 decenas. C. 1+2+9+4=16= 1 unidad de millar, 6 centenas U. MILLAR. 1+9+7+9=26=2decenas de millar, 6 unidades de millar D. MILLAR 2+5+2+1=10
4+0=4 95+0=95 312+0=312 0+5781=5781
SUMA Y SUS PROPIEDADES Propiedad conmutativa: Se pueden cambiar de orden los sumandos de una adición y el resultado o suma no cambia. Ejemplos: 45+18=63 18+45=63 4251 +1250 2345 7846
SUMA DE NÚMEROS DECIMALES • Se hacen corresponder los pun tos decimales de los sumandos. • Se suma como si fueran enteros. • Se coloca el punto decimal en el resultado Ejemplo: 425.63 + 168.135 2307.92 1516.0046 4417.6896
4251 + 2345 1250 7846
221
534.75 + 164.086 3403.19 2961.725 7063.751
S
T
Matemáticas
T
por el tanto por ciento y se divide entre 100. Ejemplos: 15% de 90 90x15=1350/100=13.50 30% de 450 = 450 x 30 = 13500/100 =135
Tanto por ciento
Problemas
El símbolo de tanto por ciento es %. El tanto por ciento de un número significa que de cada 100 se toma la parte que indique el tanto por ciento, por ejemplo, 5% significa, que de cada 100(ciento) se toman 5. El tanto por ciento se puede expresar en forma de
En una secundaria de 900 alumnos, el 36% son de primer grado, el 33% de segundo grado y el 31% a tercero. ¿Cuántos alumnos hay en cada grado? Operaciones
•Fracción, el denominador siempre es 100, ejemplo, 5 por ciento. •Decimal se divide entre 100 el número de partes iguales que se tomen, ejemplo: 5 por ciento, 5/100=.05 •Por el número de partes que se toman, ejemplo cinco por ciento, 5%.
36% de 900=900x36=32400/ 100=324.00 33% de 900=900x33=29700/ 100=297.00 31% de 900=900x31=27900/ 100=279.00
Ejemplos: Tanto% 25% 8% 75%
Fracción 25/100 8/100 75/100
Decimal
R= de primer grado 324 alumnos De segundo grado 297 alumnos De tercer grado 279 alumnos
.25 .08 .75
Para calcular el tanto por ciento de un número se multiplica el número
Juan, de los $780.00 que recibe cada semana para sus gastos ahorra el
222
Matemáticas
20% ¿Cuánto ahorrará y cuánto le queda para sus gastos? Operaciones 20% de 180=180x20= 3600/100=36.00 180.00 - 36.00 144.00
pagó en total por el televisor? Operaciones 4500 x 15 = 67500 6750/100=675.00 Me aumentan 675.00 4500+675=5175.00 Pago en total = 5175.00
R = Ahorra $36.00 R =Para gastos $144.00
TANTO POR CIENTO Y REGLA DE TRES
En otros casos donde interviene el tanto por ciento, se utiliza la regla de tres simple directa para obtener las respuestas.
• Hallar un número cuando se conoce un tanto por ciento de él.
Ejemplo:
De qué número es 80 el 20% Planteo 20% -------- 80 100% ------- X Razonamiento X= 80x100 = 400 20
En la compra de un saco de $6250 me descuentan el 20% ¿Cuánto me descuentan y cuánto tengo que pagar? Operaciones Me descuentan 20% de 6250 6250x20=125000/100=1250 Descuento=$1250.00 Tengo que pagar 6250-1250=5,000.00 Pago= $5000.00 Para comprar un televisor de $4500, en pagos, me aumentan el 15% ¿Cuánto me aumentan y cuánto
Respuesta= 40 es el 20% de 400.00 Hallar qué tanto por ciento es un número de otro. Ejemplo:
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¿Qué % de 750 es 90?
T
T
Matemáticas
Planteo 750 ----------- 100% 90 ----------- X Razonamiento X= 90x100 = 12 750
Para convertir de kg a t se divide entre 1000. Ejemplo: 3000kg= 3t porque 3000/1000=3.000 12750kg = 12.750t porque 12750/1000=12.750
Respuesta 90 es el 12% de 750
Triángulos
Tonelada
Trazo de triángulos
La tonelada es una medida de peso o masa, se simboliza con la letra t. La tonelada es un múltiplo de kilogramo, equivale a 1000kg. Mide animales o cosas muy pesadas, por ejemplo un elefante, un hipopótamo, un coche. Cuando la producción de alguna semilla es abundante se pesa en toneladas. Para convertir de t a kg se multiplica por 1000. Ejemplo:
Para trazar triángulos: equilátero, isósceles y escaleno se usa la regla y el compás.
5t = 5000kg porque 5x1000=5000 4.5t = 4500kg porque 4.5x1000=4500
Pasos para trazar un triángulo • Equilátero: Se traza con la regla o escuadra la línea base, se abre el compás de la misma medida que la línea base, se apoya en uno de los extremos y se traza un arco, después se apoya el compás en el otro extremo y se traza otro arco, los arcos deben cruzarse, por último se unen los extremos de la línea base con el punto donde cruzan los arcos.
Equilátero
224
Matemáticas
• Isósceles: Se traza la línea base, se abre el compás de una medida diferente a la línea base, puede ser más grande o más chica, se trazan los arcos y se unen los extremos con el punto donde se cruzan los arcos.
Isósceles • Escaleno: Se traza la línea base, se abre el compás con una medida menor a la línea base, y se marca un arco, después se abre el compás mayor a la línea base y se traza el otro arco, los arcos deben cruzar entre sí, por último, une los extremos de la línea base con el punto donde cruzan los arcos
El triángulo es un polígono de tres lados. Los puntos donde se unen los lados del triángulo son los vértices.
Los triángulos por sus lados se clasifican en: • Equilátero: sus tres lados son iguales. • Isósceles: Dos lados iguales y uno desigual • Escaleno: Sus tres lados son desiguales.
Los triángulos por sus ángulos se clasifican en: • Acutángulo: cuando sus tres ángulos son agudos. • Rectángulo: cuando tiene un ángulo recto. • Obtusángulo: cuando tiene un ángulo obtuso.
Acutángulo Rectángulo
Obtusángulo
Escaleno
225
T
Matemáticas
TRIÁNGULOS Y SUS PROPIEDADES
A
La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180º.
En el triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto son los catetos y el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.
U
H en ot ip us a
Cateto
La suma del cuadrado de sus lados es igual al cuadrado de sus lados.
altura
60º+60º+60º=180º.
C
E
La perpendicular trazada desde cualquiera de los vértices de un triángulo al lado opuesto o a su prolongación es la altura del triángulo. Las alturas concurren en el ortocentro del triángulo. altura
60˚ 60˚
F
D
B
60˚
Cateto
U
Unidad Unidad equivale a uno, es cada una de las cosas u objetos que pertenecen a una cantidad. Ejemplos:
4 X 4 = 16 3 X 3 =9 5 X 5 = 25
La línea que une al punto medio de uno de los lados de un triángulo con el vértice opuesto es la mediana de ese lado. Las medianas de los lados de un triángulo concurren en él. Las AE, BF y CD son las medianas del triángulo ABC
Una pelota
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un balón
un árbol
un tenis
Matemáticas
Tabla de comparación de ºC y ºF ºC 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
una tortuga
un helado
ºF 32 50 68 86 104 122 140 158 176 194 212
un planeta
un panqué
Unidades de temperatura La temperatura es el grado de calor de los cuerpos. Se mide con el termómetro (es un bulbo de vidrio que se continúa por un tubo capilar y que contiene mercurio o alcohol teñido; su dilatación por efecto de la temperatura se mide sobre una escala graduada). La graduación puede ser en grados centígrados (ºC) o en grados Farenheit (ºF). La temperatura de congelación del agua corresponde a 0ºC o a 32ºF El agua hierve a los 100ºC o 212ºF
Los grados centígrados aumentan de 10 en 10 y los grados Farenheit después del punto de congelación aumentan de 18 en 18. De ahí que se establezca la siguiente fórmula para convertir grados centígrados a grados Fahrenheit. Grados centígrados Fahrenheit
a
Grados
Fórmula = (ºC x 18) + 32 10 Ejemplo de convertir 15ºC a ºF (15ºx 18 ) +32 10 = (15ºx 1.8) +32 = 27+32 =59ºF 15ºC = 59ºF Fórmula = (ºF - 32) / 18 10 = (59ºF-32)/1.8 = 27/1.8 =15ºC 59ºF = 15ºC
Uso de la calculadora La calculadora es un recurso para realizar operaciones matemáticas. Para dar un buen uso a la calculadora es importante conocer el funcionamiento de sus teclas. 227
U
V
Matemáticas
V Valor posicional
M+ Guarda en la calculadora un número conservando su signo (suma) M- Guarda en la memoria un número cambiando su signo (resta) MR Recupera el número incluido en cualquiera RCM Recupera de las memorias +/- Cambia el signo del número que aparece en la pantalla
El concepto de posicionalidad de nuestro sistema de numeración, según el cual una misma cifra puede tener diversos valores en función de la posic ión que ocupe. Esto permite representar cualquier número por grande que sea con tan sólo diez signos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0).
MC Borra la memoria ABS Muestra el valor absoluto de cualquier número.
Se debe tener cuidado al utilizar la calculadora por las siguientes razones: • La calculadora sólo utiliza un rango limitado de valores, después de lo cual se obtiene un error, por lo general se muestra con la letra E. • Utiliza el redondeo, ya que no puede escribir números con una cantidad grande de dígitos. 228
Los dígitos tienen dos valores: Valor Absoluto: Indica el número de unidades que lo forman. Valor Relativo: Según la posición que ocupan en el número. Por ejemplo: del número 536, sus valores absolutos son 5, 3 y 6 y sus valores relativos con 500, 30 y 6.
Matemáticas
En el siguiente cuadro se puede observar el valor absoluto y relativo de la cifra subrayada en cada número. Cifra
Valor Absoluto
36 178 3468 63571 4712 43263184
3 8 4 6 7 3
dimensiones.
Ejemplo:
6u
Valor Relativo 4u
30 8 400 60000 700 3000000
2u
V = 4X2X6 = 48 u3 Las unidades que miden el volumen son las medidas de volumen, su principal unidad es el metro cúbico (m3).
Volumen
Volumen del cubo
Volumen es el espacio que ocupan los cuerpos. Dos cuerpos no pueden ocupar el mismo espacio. Los cuerpos tienen tres dimensiones que son: Altura, ancho y grueso.
El cubo es un poliedro formado por 6 caras iguales en forma de cuadrado con 12 aristas y 8 vértices. Para calcular el volumen del cubo se aplica la fórmula: V = L3 Ejemplo:
V = L3 V = 23 = 2x2x2 V = 8 cm3
altura
gr
ancho
ue
so
2cm
Para calcular el volumen de los cuerpos se multiplican estas
229
V
V
Matemáticas
Volumen del paralelepípedo Los paralelepípedos son poliedros for m ados por dos paralelogramos (rectángulos) iguales y paralelos entre sí, llamados bases y por otros paralelogramos llamados caras laterales las cuales son cuatro. Para calcular su volumen se aplica la fórmula V = largo x ancho x alto Ejemplo: V=Lxaxh V=3x2x5 V = 30 cm3
5cm 2cm
3cm
230