Todo está lejos, pero es un modo de decir. En realidad no tengo patrón universal para medir cercanos y remotos...
Matemática para todos
...En mi mejor historia ha habido lontananzas a granel y mi experiencia dice que lo remoto a veces se aproxima.
Fascículo
Estimando Medidas III
medidas
Mario Benedetti Poeta y escritor uruguayo (1920- )
Gérard David Pintor flamenco (1450/60-1523) En Las bodas de Caná, David logró combinar las características de cuadro colectivo y las convenciones de cuadro religioso, en donde destacan al frente unas vasijas para guardar agua, que parecieran tener la misma capacidad de almacenaje. Esta ha sido una constante de búsqueda en los matemáticos y físicos, el conseguir el recipiente que contenga más cantidad de líquido, sea resistente, manejable y de fácil apilamiento.
Estimando medidas
En la vida diaria nos encontramos ante muchas situaciones en las que se hace necesario estimar, es decir, valorar de manera cuantitativa una determinada magnitud. Por ejemplo, estimamos el tiempo para llegar de un lugar a otro, la cantidad de alimentos necesarios para alimentar a una familia en una semana, la cantidad de tela requerida para hacer un traje, la cantidad de ingredientes para preparar una comida, la cantidad de pintura que hace falta para pintar una ventana o una casa. No siempre es fácil asignar un número exacto a una magnitud, por ejemplo, conocer la cantidad de asistentes a una manifestación, la cantidad de cabellos que tenemos en la cabeza, la cantidad de agua que utilizamos para bañarnos, la cantidad y el costo del material necesario para hacer una construcción o la extensión de alguna superficie. Así también, hay algunas magnitudes de las cuales es imposible obtener un valor exacto, por ejemplo, la cantidad de población y la cantidad de agua caída como consecuencia de las lluvias. No obstante, la estimación permite asignar valores numéricos a estas magnitudes manteniendo al mismo tiempo un control sobre la validez de esa valoración.
Interesante Esta figura representa el cálculo que Fermat hizo con el fin de determinar el área entre el eje horizontal, las verticales a izquierda y derecha y la curva definida por la 1
función y=x 3 . Fermat generalizó el cálculo para curvas de ecuación p q
y=x . Observa que la suma de las áreas de esos rectángulos da un valor aproximado del área antes descrita. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
Pierre de Fermat Matemático francés (1601-1665) Este personaje estudió y ejerció el Derecho y fue consejero en el Parlamento. En su tiempo libre se ocupó de la literatura y de la matemática llegando a ser uno de los principales matemáticos del siglo XVII y gloria universal de esta ciencia debido a numerosos aportes en sus diversas áreas. Publicó poco sus resultados, figurando algunos de ellos como notas y apéndices a libros escritos por otros, en los márgenes de esos tratados. Varios de sus trabajos se perdieron.
Estimando la longitud de una circunferencia Consideremos un polígono regular M1 inscrito en una circunferencia C y llamemos p1 a su perímetro. Construyamos otro polígono regular M2, inscrito en la misma circunferencia y con el doble número de lados que M1, y llamemos p2 a su perímetro; entonces se cumple que p1 < p2. Si continuamos construyendo polígonos inscritos a esa circunferencia, duplicando indefinidamente el número de sus lados, los perímetros de los polígonos serán cada vez mayores y más cercanos a la medida de la longitud de la circunferencia L: p1 < p2 < p3 < p4 < ..... < pn < ..... < L. C M M11
M1
C
L1
L2 M2
R≈2,2 R≈2,2
L
R≈2,2 Cuadrado inscrito
Octógono inscrito
L1 ≈ 3,1 cm p1 ≈ 4 • L1 ≈ 12,4 cm
L2 ≈ 1,7 cm p2 ≈ 8 • L2 ≈ 13,6 cm L= 2πR ≈ 13,82 cm
Se han medido los lados L1 y L2 con una regla graduada y por esto resultan aproximaciones. Asimismo, consideremos un polígono regular S1 circunscrito a la circunferencia C y llamemos P1 a su perímetro. Construyamos otro polígono regular S2, circunscrito a la misma circunferencia y con el doble de lados que S1. Llamemos P2 al perímetro de S2, entonces se cumple que P1 > P2 . En forma análoga al caso anterior, si duplicamos indefinidamente el número de lados, los perímetros de los polígonos obtenidos serán cada vez menores y más cercanos a la medida de la longitud de la circunferencia L: P1 > P2 > P3 > P4 > .... > Pn > .... > L.
S1 C
L2
S2
C
L1
R
R
Octógono circunscrito
Cuadrado circunscrito
L2 ≈ 1,8 cm P2 ≈ 8 • L2 ≈ 14,4 cm
L1 ≈ 4,4 cm P1 ≈ 4 • L1 ≈ 17,6 cm
L = 2πR ≈ 13,82 cm
Calculando los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos, notamos que se aproximan a un mismo valor L. Estos perímetros son valores aproximados de L. Los errores cometidos en estas aproximaciones se hacen más pequeños a medida que tomamos los polígonos regulares con mayor número de lados.
p1
p2
p3
pn
L
Pn
P3
P2
P1
Interesante Los cálculos de esos perímetros se pueden hacer, aplicando propiedades geométricas, en función del radio (R). Por ejemplo: P1 = 4 • 2 R ≈ 12,4 cm P1 = 8R ≈ 17,6 cm
P2 = 8 • 2 - 2 • R ≈ 13,47 cm P2 = 8 • 2 • (2- 2) • R ≈ 14,58 cm
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Error en la estimación
Escuela de Atenas (Fragmento) Rafael Sanzio (1483-1520)
Al estimar utilizamos expresiones como: "entre tanto y tanto", "alrededor de", "aproximadamente", etc., para indicar que no es la cantidad exacta, sino que existe un margen de error, es decir, que puede ser más o menos la cantidad exacta. Error es el término utilizado para designar la diferencia que un valor aproximado (Va), tiene respecto del valor exacto (Ve) al que representa. Este error es conocido como error absoluto (Ea), es decir, Ea = |Ve - Va|, donde | | indica el valor absoluto. En casi todas las estimaciones se comete un error, más aún, podríamos decir que regularmente la medición de las magnitudes físicas son inexactas, aun cuando éstas sean realizadas con instrumentos de medida, ya que existen algunos imponderables como las imperfecciones de los objetos, los defectos de construcción de los instrumentos de medida y los errores que cometemos en su manipulación, que impiden la exactitud. No obstante, lo importante es saber cuándo un error es aceptable, por ejemplo, en la estimación de la cantidad de agua al preparar 3 una comida, un error de 1 cm no es significativo, no así, si ese mismo error se comete en la dosis de un medicamento. Para tener una mejor idea de cuán buena es la estimación realizada, calculamos la razón entre el error cometido (Ea) y el tamaño de la magnitud medida (Ve). Esta razón es lo que se conoce con el E nombre de Error relativo (Er). Es decir, Er = Va . e Cuando este valor relativo (Er) lo expresamos en porcentaje, multiplicando la relación referida por cien, hablamos entonces de error porcentual.
Uno de los teoremas notables de Arquímedes se refiere a: “La longitud de la circunferencia de un círculo es igual al triple del diámetro, más una parte de éste, que es menor que su séptima parte, y mayor que diez setenta y un avos del mismo” ya que los números 3 10 y 3 1 son dos valores aproximados por defecto 71 7 y por exceso, respectivamente, del conocido número π. Arquímedes determinó estos números utilizando el método de inscribir y circunscribir polígonos duplicando el número de lados, Arquímedes partiendo del hexágono regular, para llegar al polígono regular Matemático griego (siglo III a.C.) de 96 lados y calculando aproximadamente sus perímetros. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
Pancho Quilici Pintor caraqueño (1954- ) Para conocer un mundo, una isla basta y sobra. 1988
Estimando áreas
Veamos el caso de una región como la dibujada y tratemos de calcular su área. Para la región S no hay una fórmula que permita calcular su superficie.
S
Cuando no tengamos una fórmula para calcular el área hay que buscar otro procedimiento para ello. Uno de estos procedimientos es emplear instrumentos de medida, otro sería buscar alguna herramienta matemática para hacerlo, o una combinación de los procedimientos antes nombrados. En todo caso, esto nos conduce a una estimación del valor del área y no a un cálculo exacto. ¿Qué nos muestran las dos figuras a la derecha? En ellas hemos superpuesto una cuadrícula a la región a la cual queremos calcular el área. ¿Por qué hacemos esto? Lo hacemos porque tenemos un procedimiento, una fórmula, para calcular el área de un cuadrado. ¿Cómo estimar el área de S por intermedio de la cuadrícula? Basta contar cuántos cuadrados quedan encerrados en la región y multiplicar este número por el área de cada cuadrado. El resultado obtenido es menor que el área de S. Esto es, obtenemos una aproximación del área por defecto. Podemos también contar el número mínimo de cuadrados que cubren a S, esto es, los que están dentro más aquellos que tienen una parte dentro de S y una parte fuera. En este caso también hay que multiplicar el número de cuadrados por el área de cada uno de ellos para obtener la estimación del área de S. El resultado obtenido es mayor que el área de S. En este caso obtenemos una aproximación del área por exceso.
Aproximación por defecto
60 cuadrados de 0,25 cm2 = 15 cm2
Aproximación por exceso
103 cuadrados de 0,25 cm2 = 25,75 cm2
Otra estimación la obtenemos promediando ambos valores
Area de la figura = (15 + 25,75) = 20,37 cm2 2 No siempre la última aproximación del área es mejor que las anteriores Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
Guárico
Anzoátegui
Delta
Estimando áreas Consideremos un estado venezolano. Ejemplo: el estado Bolívar. Veamos un Atlas (hemos consultado el Libro Imagen de Venezuela: Una visión espacial. PDVSA, 1990) y en él hallamos el mapa del estado que nos concierne. En este libro aparece que el área del estado es 238 000 km2. Por otra parte, hemos de tener cuidado en mirar la escala de nuestro mapa. Según la escala gráfica del mapa un cm de éste es equivalente a 104 km en la realidad. Si lo transformamos, 1 cm equivale a 10.400.000 cm, por lo que la escala del plano es 1:10.400.000.
Estado Bolívar
Amazonas
1 cm 1 cm equivale a 104 km 1 cuadrado = 0,5 cm • 0,5 cm equivale a 52 km • 52 km ≈ 2 704 km2
Cálculo con la misma cuadrícula utilizada en el ejercicio anterior (0,5 cm x 0,5 cm) Nº de cuadrados dentro del estado (color amarillo) = 63 Nº de cuadrados dentro y fuera = 110 Los valores que se obtendrán son estimados. Estimación por defecto (color amarillo) = 63 • 2.704 km2 = 170.352 km2. Estimación por exceso = 110 • 2.704 km2 = 297.440 km2. El promedio de los dos valores anteriores = (170.352 + 297.440) = 233.896 km2. 2 1 cuadrado = 1 mm • 1 mm equivale a 10,4 km • 10,4 km ≈ 108.16 km2
Cálculo con papel milimetrado Nº de cuadrados dentro del estado (color amarillo) = 2.033 Nº de cuadrados dentro y fuera = 2.295 Los valores que se obtendrán son estimados Estimación por defecto (color amarillo) = 2.033 • 108,16 km2= 219.889,28 km2. Estimación por exceso = 2.295 • 108,16 km2= 248.227,20 km2. El promedio de los dos valores anteriores = (219.889,28 + 248.227,20) = 234.058,24 km2. 2
Para saber cuán buenas son estas aproximaciones debemos calcular el error cometido. La siguiente tabla recoge las estimaciones anteriores y el cálculo de errores tomando como valor exacto 238.000 km2 Área aproximada Ad= 170 352 km2 Ae= 297 440 km2 Ap= 233 896 km2 A’d= 219 889 km2 A’e= 248 227 km2 A’p= 234 058 km2
Error Absoluto |170 352 - 238 000| = 67 648 |297 440 - 238 000| = 59 440 |233 896 - 238 000| = 4 104 |219 889 - 238 000| = 18 111 |248 227 - 238 000| = 10 227 |234 058 - 238 000| = 3.942
km2 km2 km2 km2 km2 km2
Error relativo 67 648 / 238 000 ≈ 0,2842 59 440 / 238 000 ≈ 0,2497 4 104 / 238 000 ≈ 0,0172 18 111 / 238 000 ≈ 0,0761 10 227 / 238 000 ≈ 0,0430 3 942 / 238 000 ≈ 0,0166
Error Porcentual 28,42 % 24,97 % 1,72 % 7,61 % 4,30 % 1,66 %
Observa que el menor error porcentual (1,66%) corresponde a A’p, esta es la mejor de las aproximaciones efectuadas. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
Estimando volúmenes En todos estos objetos podemos calcular sus áreas y/o volúmenes (capacidades) con sólo medir ciertas longitudes y luego aplicar fórmulas:
Círculo
Paralelepípedo más prisma
Pirámide
Cilindro
Tanque esférico
¿Y cómo calculamos las longitudes, áreas o volúmenes de estos otros objetos?
Las curvas de los adornos en las rejas
Los restos arqueológicos encontrados en Barinas
La superficie territorial abarcada por el Delta del Orinoco
La capacidad de esta cesta de moriche
El volumen de este matero
Hay muchos otros objetos para los que no existen fórmulas, o no las conocemos, que permitan calcular sus longitudes, áreas o volúmenes.
Todo ello se hace mediante un proceso de aproximación que permite estimar las medidas respectivas, bien sea por defecto (menores que la medida considerada como exacta) o por exceso (mayores que la medida considerada como exacta). En casos como el de la cesta moriche o del matero de las fotografías, su capacidad puede determinarse experimentalmente: se llena de agua o arena el recipiente hasta el tope y luego se trasvasa el contenido a una jarra graduada con la que medimos volúmenes.
R +10% de R R
Reto Si el radio de una esfera aumenta en 10%. ¿En qué porcentaje aumenta el volumen de esa esfera? Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones Consideremos el sólido de color amarillo claro, dibujado al lado, en el que se han medido las longitudes allí indicadas (diámetro de la tapa superior y altura). ¿Cómo calcular su volumen V?
1,3 m
Esto se hace mediante aproximaciones. Primera aproximación (por defecto) Color verde: El volumen aproximado del cilindro interior al sólido es Vf=πR2 • H 3,14 • ( 1,32 m )2 • 1,4 m = 1,8573 m3 (1 857,3 l) Segunda aproximación (por exceso) Color azul Medimos con algún instrumento el diámetro (o la circunferencia) mayor y supongamos que el resultado da igual a 1,52 m. Entonces, el volumen del cilindro exterior al sólido es 3,14 •( 1,52 m )2 • 1,4 m = 2 2,5391 m3 (2 539,1 l). Observemos que 1,8573 < V < 2,5391 y el promedio entre esos dos volúmenes es 2,1982 m3: Tercera aproximación: Si queremos mejorar la aproximación para el volumen V se divide el sólido en pequeños cilindros interiores (de color rojo), por ejemplo dividiendo la altura como se muestra en el dibujo, y luego haciendo la suma de los volúmenes de esos cilindros (da un valor aproximado de V por defecto).
1,52 m
1,4 m
1,3 m
1,3 m 0,35 m
0,35 m 1,52 m
En forma análoga se puede hacer con cilindros exteriores y obtener un valor aproximado de V por exceso. ¿Cómo realizarías los cálculos?
0,35 m
0,35 m 1,3 m
Un sólido
Aproximación del volumen del sólido mediante la suma de volúmenes de cilindros
Reto Un envase cilíndrico de diámetro d, acostado, con un volumen total de 60 litros, sólo queda lleno hasta las tres cuartas partes de d. ¿Cuántos litros más de agua hacen falta para llenar el envase? Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
Fascículo
Matemática para todos Estimando
medidas
8 cm
Consideremos un cono con radio de la base R = 4 cm y altura H = 8 cm. ¿Cómo podemos determinar aproximadamente, el volumen V de este cono a partir del conocimiento del volumen de un cilindro y sin utilizar la fórmula que da el volumen del cono? Para ello dividimos la altura del cono, digamos en cuatro partes iguales de longitud 2 cm. De aquí se obtienen tres troncos de cono y un pequeño cono, todos de altura 2 cm, como se muestra a continuación:
2c m
3c m
4c m
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
4 cm
1c m
Ahora calculamos la suma de los volúmenes de los cilindros mostrados a continuación:
Cilindros que contienen esos sólidos VE2
VE4
3c m
4c m
2 cm
2 cm
VE3
2 cm
2 cm
VE1
2c m
1 cm
1c m
VD4 0 cm
2
V =π•R •H VE < VE1 + VE2 + VE3 + VE4 2
2
2
3
Cilindros que son contenidos por esos sólidos VD2 VD3 2 cm
2 cm
2 cm
3c m
2 cm
VD1
3
VD > VD1 + VD2 + VD3 + VD4 2
2
2
2
3
V > (π • 3 • 2 + π • 2 • 2 + π • 1 • 2 + π • 0 • 2) cm = 28 π cm
3
2 cm
2
V < (π • 4 • 2 + π • 3 • 2 + π • 2 • 2 + π • 1 • 2) cm = 60 π cm
Este pequeño cono no contiene ningún cilindro, por lo que se coloca 0.
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones
2,5
1 cm
m
2c
1 cm
3,5
4c
2
2
2
m
4c
m
Al calcular de manera análoga a lo realizado antes, la suma de los volúmenes de los cilindros es la siguiente:
cm
3,5
cm
2
m
3c
m
4c m
cm
2,5
cm
3c
m
1,5
1 cm
2c
cm
cm
1c
1 cm
1,5
m
1 cm
1c
0,5
1 cm
cm
1 cm
0,5
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
8 cm
Consideremos el mismo cono con radio de la base R = 4 cm y altura H = 8 cm. Si dividimos la altura del cono en ocho partes iguales de longitud 1 cm obtendremos siete troncos de cono y un pequeño cono, todos de altura 1 cm, como se muestra a continuación:
cm
m
2
2
2
2
3
3
2
3
3
V < [π • 1• (4) + π • 1 • (3,5) + π • 1 • (3) + π • 1 • (2,5) + π • 1 • (2) + π • 1 • (1,5) + π • 1 • (1) + π • 1 • (0,5) ] cm = 51 π cm 2
2
2
2
2
2
2
V > [π • 1 • (3,5) + π • 1 • (3) + π • 1 • (2,5) + π • 1 • (2) + π • 1 • (1,5) + π • 1 • (1) + π • 1 • (0,5) + π • 1 • (0) ] cm = 35 π cm
Por lo tanto:
28π < 35π < V < 51π < 60π 28π
35π
42,67π
51π
60π
V Si continuamos ese proceso de dividir la altura en partes de igual longitud, observamos que cada vez los valores obtenidos se aproximan al valor V.
V cono=
1 π • R2 • H 3
V=(
3 3 128 ) x π cm ≈ 42,67 x π cm 3
Los radios obtenidos anteriormente 3 cm, 2 cm, 1 cm, etc., se determinan utilizando el Teorema de Tales. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
Esfinge y pirámide de Kefrén
Reto
2.600 a.C. (Egipto)
10 cm
Consideremos una pirámide con base rectangular de lados 4 cm y 5 cm, y altura 10 cm. ¿Cómo procedes para estimar el volumen V de esa pirámide a partir del conocimiento del volumen de un paralelepípedo recto y sin utilizar la fórmula que da el volumen de una pirámide? Explica con detalle y haz los dibujos respectivos.
El número π (pi) presenta una larga historia, comenzando con que tradicionalmente se entendía ese número como el cociente entre la longitud L de una circunferencia y su diámetro D, por lo que se denota con la letra griega π, inicial de la palabra que significa perímetro. La notación π la popularizó L. Euler a partir de 1737, aun cuando había sido utilizada por William Jones en 1706. 9 Todavía en nuestros días se hacen cálculos sobre π, llegando a estimarlo con 10 cifras decimales. Este número figura en muchas fórmulas relacionadas con medidas: longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de un óvalo, volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de una esfera, entre otros. En las civilizaciones más antiguas, los Babilonios y los Egipcios, si bien no se le da ese nombre ni ese símbolo, se le atribuye (los Babilonios) el valor 3 obtenido a partir de aproximar la longitud L de una circunferencia mediante 6R que es el perímetro del hexágono regular inscrito (de la relación 6R= 2πR se obtiene π=3). También de un pasaje de la Biblia se puede deducir ese valor 3: "Él hizo también un vaso de metal fundido, la gran cuba, que tenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo, y tenía cinco codos de alto, en tanto que un cordón de treinta codos medía la circunferencia en derredor". (Lo que equivale a tomar π=30 codos/10 codos = 3). El primer matemático que calculó π con muchas cifras, 707 cifras decimales, fue el inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio del Descubrimiento” (Museo de Ciencias) en París. Esta cúpula se encuentra en una sala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro. El ingeniero y matemático venezolano Francisco José Duarte (Maracaibo, 1883Caracas, 1972) también calculó el número π con muchas cifras. Él escribió, en 1956, una monografía sobre los números π y e.
4c
5 cm
m
R
R
Leonardo Euler Matemático suizo (1707-1783)
Reto En el papiro Rhind (aproximadamente 1650 a.C.), uno de los principales documentos para el estudio de la matemática egipcia, se encuentra un problema relacionado con el cálculo del área de un círculo de diámetro D, aproximándola al área de un cuadrado de lado ( 8 )D. ¿Qué valor aproximado de π, con dos cifras decimales, se obtiene a 9
partir de esa consideración y cuál es el error porcentual cometido si tomamos como valor exacto π= 3,1416?
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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente
Cálculos y estimaciones En la enseñanza de la matemática a nivel de educación básica, es importante hacer hincapié en los contenidos que sustentan los cálculos y la estimación en diversos contextos. Así, se pueden desarrollar en los estudiantes habilidades cognitivas que les permitan, además de emplear los cálculos y la estimación en la resolución de problemas, utilizar la estimación para verificar lo razonable de los resultados. La estimación se utiliza en muchas situaciones de la vida cotidiana tales como calcular el número de baldosas que se necesitan para cubrir un piso o pared de una casa. Por otra parte, hemos presentado algunos aspectos que intervienen en el proceso de medición de magnitudes. Entre ellos está la utilización de instrumentos de medida. Un instrumento tiene escalas graduadas, como se puede notar en el gráfico. Llamaremos apreciación del instrumento a la menor división de su escala. En forma de ecuación matemática la apreciación se calcula de la siguiente manera:
2 3 1 4
Apreciación = Lectura mayor - Lectura menor Número de divisiones A=
De esta manera se puede observar la apreciación de diferentes instrumentos. Sin embargo, en algunos casos las divisiones de la escala del instrumento permiten que el experimentador pueda estimar visualmente una cantidad menor a la apreciación del instrumento. Esta cantidad se denomina estimación de una lectura. En las figuras se muestran algunos ejemplos de estimación. Es conveniente plantear a los estudiantes situaciones como la siguiente: suponga que al medir con una cinta métrica la longitud de una barra de metal, se obtiene una medida de 15 cm. Además, ya sea por la apreciación de la cinta o por estimación del obsevador se Ie puede asignar un error de 0,1 cm. A partir de estos datos promueva una discusión que le permita a los estudiantes concluir que: 1.El valor verdadero de la medida está en el rango comprendido entre 14,9 cm y 15,1 cm. 2.Por estimación, el mínimo valor que se puede distinguir es de 0,1 cm. Comente que este mínimo valor determina las cifras significativas del resultado de la lectura. Así, es necesario que al expresar la medición de la barra se consideren las dos conclusiones y, en consecuencia, la expresión más adecuada para registrar el valor obtenido es: Longitud = (15,0 ± 0,1) cm, como se presenta en el siguiente gráfico. 14,9 cm
15 cm 0,1 cm
1,1
Para finalizar la clase, es recomendable inducir a los estudiantes para que valoren el hecho de que los resultados obtenidos al realizar una medida no son exactos, es decir, por diversas razones presentan un error. La eficacia del resultado está determinada por un análisis adecuado del error, en el conocimiento que se tenga de ellos y en la habilidad del experimentador para minimizar sus efectos. Los errores más usuales que se presentan en la ciencia se caracterizan en dos tipos: Errores casuales: Su característica es el azar. Pueden proceder de Ia interacción de un experimento con un sistema físico, o de un cambio en el ambiente. Errores sistemáticos: Aquellos que varían en una misma dirección la magnitud a medir. Se deben a fallas en los equipos o a errores en los procedimientos realizados. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 7 - Estimando MEDIDAS 3
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1,2 1,3 2,1
0
2,2
A = 2,2 - 2,1 = 0,02 5
2 3 1 4 Estimación: 2,975
15,1 cm 0,1 cm
4-3 = 0,05 20
1,1
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 1,2 1,3 2,1
0 Estimación: 1,95
2,2
Tengo que pensarlo Un fósforo tiene aproximadamente 3 cm de largo. Hacen falta 16 fósforos para hacer una escalera de 15 cm de largo y 3 cm de ancho como la mostrada. ¿Cuántos fósforos se necesitan para hacer una escalera similar de 90 cm de largo por 3 cm de ancho?
Para determinar el área de una región plana de forma irregular se puede proceder de la siguiente manera: pesa un recorte de cartón cuya forma coincida con la de la región y luego compara el peso del recorte con el peso de un pedazo rectangular del mismo cartón, cuyas dimensiones son conocidas. Explica por qué este procedimiento conduce a determinar aproximadamente el área de la región. Piensa en otros procesos que te permitan determinar el área de una región plana.
Los cohetes que impulsan los transbordadores espaciales tiene distintos tanques de combustible: tanque de oxígeno líquido, tanque de hidrógeno líquido y el intertanque conectando esos dos tanques. En los dibujos siguientes tienes esos tanques con sus dimensiones. 4,2m
4m
8,1 m
8,4 m
8,4 m
29,6 m
Tanque de hidrógeno líquido
Intertanque
Tanque de oxígeno líquido
Calcula los volúmenes aproximados de los tanques de hidrógeno líquido y de oxígeno líquido y compáralos con los valores exactos que son 1.450 m3 y 541 m3 respectivamente, determinando los errores cometidos. Fuente: Space Mathematics. A resource for Secondary School Teachers. Por B. Kastner & S. Fraser, NASA (1985).
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¡A jugar! Magnitudes, instrumentos, fórmulas y unidades o tr e m ó Kil
cm
n
lo Re
j
Mi
o
uto
ram
ho
Metro cuadrado
c an
ÁREA
l
o arg
x
m2
m3
1. Se colocan los 24 cartoncitos boca abajo,
jugadores que pueden ser 2, 4 o 6.
o
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G
TIEMPO
VOLUMEN
se revuelven y se reparten entre los
í
me tr
Segundo
largo x ancho x altura
¿Cómo jugar?:
LONGITUD
m e tr
ó
24 piezas de forma triangular cortadas en cartón. En 12 de éstas (color marrón) se escriben nombres de magnitudes, en las otras 12 (color amarillo) se escriben intrumentos de medición, fórmulas y unidades correspondientes a las magnitudes seleccionadas, en forma similar a las del dibujo.
De c
Te rm
Materiales:
25 °C
pasa, y juega el siguiente participante. Y así sucesivamente hasta que uno de los jugadores se quede sin cartones y es considerado el ganador. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
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posee una pieza del juego con esas características
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Dos dimensiones
Bibliografía Del Olmo R. y Moreno C., et al (1993) Superficie y volumen ¿Algo más que el trabajo con fórmulas? Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº 19, Editorial Síntesis, Madrid. Prada V. María Dolores (1990) Cómo enseñar las magnitudes, la medida y la proporcionalidad. Cuadernos de matemáticas, Nº 1, Editorial Ágora, Málaga.
Video Donald en el país de las matemáticas. Producción Walt Disney. California, Estados Unidos. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
Gustavo Ponce
La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1952. Licenciado en Matemáticas en la Universidad Central de Venezuela, en 1976, realizó su posgrado en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York, obteniendo el PhD en 1982. Desde ese año hasta 1984 estuvo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Berkeley, California, en tareas de posdoctorado. En 1985 obtuvo el Premio Anual del CONICIT en el área de Matemáticas. Fue profesor de la Facultad de Ciencias de la UCV desde 1977 hasta 1991, y profesor visitante en Universidades en España, Francia y Alemania. Ha tenido posiciones académicas en la Universidad de Chicago y en la Universidad del Estado de Pennsylvania. Actualmente es Profesor Titular en la Universidad de Santa Bárbara, California. Fue conferencista invitado al Congreso Internacional de Matemáticos, realizado en Berlín en agosto de 1998. Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1987. Fotografía: Vladimir Sersa
Los trabajos del doctor Ponce están relacionados con el estudio de los sistemas que aparecen en la propagación de ondas, por ejemplo, la estructura de una ola moviéndose en una dirección dentro de un canal, la evolución en el tiempo de un hilo de torbellino o la forma de la superficie de un líquido sometido a ciertas fuerzas externas. Con esto podemos predecir la evolución del movimiento de un líquido, el cual inicialmente está represado y que al abrir la compuerta escapa por un canal. Dicha evolución dependerá de la cantidad de líquido y de las dimensiones del canal. En la búsqueda de una solución a este tipo de problemas se conectan varias áreas de la matemática y la física, como son el análisis armónico y la dinámica de fluidos, con aplicaciones a modelos concretos y el diseño de códigos numéricos, los cuales modelan el comportamiento de la solución en problemas donde no han sido aún establecidos resultados rigurosos. Según nos expresa el doctor Ponce, su interés en estos problemas es básicamente teórico, la idea es tener la mejor descripción posible que modela el problema físico. Esto nos muestra una característica muy importante del trabajo de los matemáticos. En muchas oportunidades el interés es totalmente teórico, el fin último es la comprensión total de un fenómeno determinado. Su posible aplicación es muchas veces algo del futuro. Aún así, muchos de los grandes avances tecnológicos y científicos tienen base en resultados matemáticos que en un principio sólo motivaron intelectualmente a sus creadores.
* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.