LĂmites al Detalle
Límites al Detalle Luis Camilo Páez Juan Pablo Banquez Natalia Lozano Montes José Tomás Vega Daniel Villadiego Luis Andrés Navarro
Límites al Detalle
2014, Luis Camilo Páez, Juan Pablo Banquez, Natalia Lozano, José Tomas Vega, Daniel Villadiego, Luis Andrés Navarro.
Edición, Diseño y Diagramación Luis Camilo Páez Juan Pablo Banquez Natalia Lozano Montes José Tomás Vega Daniel Villadiego Luis Andrés Navarro
CONTENIDO PAG Los problemas de la tangente y la velocidad………......... Límite de una función real……………………...……......... Breve reseña histórica del cálculo a partir del concepto de límites Calculo de límites usando las leyes del límite…………… Limites infinitos……………………………………………… Limites en el infinito………………………………………… Limites trigonométricos……………………………………. Teorema de L’Hopital……………………………………… Funciones continuas o discontinuas……………………… Continuidad evitable o removible…………………………
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Los Problemas de la Tangente y la Velocidad
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“Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los griegos (alrededor de 300-200 a. de J.C.). Es éste el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto específico a ella. Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco interés a los no matemáticos, el hecho es que las técnicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las órbitas de los planetas al rededor del sol y las de los satélites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmente comenzando con la información sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un tipo diferente de problemas es el de estudiar la descomposición de una sustancia radioactiva tal como el radio cuando se conoce que la razón de descomposición en cada instante es proporcional a la cantidad de radio presente. La clave de este problema así como la del problema del movimiento, está en un análisis de lo que queremos designar con la palabra razón. 11
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Problema 1 Un tanque contiene 1000 galones de agua que salen por el fondo del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V de agua restante en el tanque (en galones) al cabo de t minutos. t (min) 5 10 25 30 V (gal)
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694 444 111 28 0
20 250
a) Si P es el punto (15,250) en la gráfica de V hallar la pendiente de las rectas secantes PQ cuando Q es un punto en la gráfica con t=5, 10, 20, 25, 30. b) Estimar la pendiente de la recta tangente en P como el promedio de pendiente de dos secantes. c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P (está pendiente representa la velocidad del flujo de agua a la salida del tanque a los quince minutos). 12
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Respuestas: a) Tabla realizada en Excel Pendiente de PQ = \frac{V_2-V_1}{t_2-t_1} Observamos como el programa no puede calcular la pendiente cuando Q coincide con P. La f贸rmula usada en la casilla C2 es: b) Calcularemos el promedio de las pendientes en los puntos t = 10 y t = 20. \frac{(-38,8)+(-27,8)}{2}=-33,3 c) Los puntos de la tabla son los extremos de los segmentos rojos.
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L铆mite de una Funci贸n Real
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La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos. Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R: f:D————>R x—————>x2. Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar: * El conjunto inicial o dominio de la función. * El conjunto final o imagen de la función. * La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen. Así, por ejemplo, la función definida por: f:R———–—>R x—————>x2. asigna a cada número real su cuadrado. 17
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Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real. Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo: lim(f)=R+. La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”. Ejemplo:
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LĂmites TrigonomĂŠtricos
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Los límites trigonométricos también se establecen en trigonometría, estos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites. Los tipos de teoremas básicos generalmente proporcionan en su primera aplicación, la indeterminación 0/0. Por ello, es necesario tener en cuenta la aplicación de las identidades básicas trigonométricas, para eliminar tal indeterminación. Para este factor es fácilmente aplicable la Regla de L’Hospital.
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Cálculo de Límites Usando las Leyes del Límite
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Si c es una constante y existen los límites y entonces se cumplen los siguientes teoremas: Teorema 1
El límite de una suma de funciones va a ser igual a la suma de los límites de cada una de las funciones. Teorema 2
El límite de una diferencia de funciones va a ser igual a la diferencia de los límites de cada una de las funciones. Teorema 3
El límite de una constante multiplicada por una función, será igual a la constante multiplicada por el límite de la función. 25
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Teorema 4
El límite de la multiplicación de funciones es igual a la multiplicación de los límites de cada una de las funciones Teorema 5 El límite de una división de funciones es igual a la división de los límites de cada una de las funciones. Teorema 6
El límite de una función elevada a n potencia, será igual al límite de la función elevado a la n potencia. Teorema 7
El límite de una constante, es igual, a la misma constante. 26
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Teorema 8 El límite de x cuando x tiende hacia a de x es igual a a. Teorema 9
donde n es un entero positivo El límite de x elevado a la n es igual a a elevada a la n. Teorema 10
El límite de la raíz n de x es igual a la raíz n de a. Teorema 11
El límite de la raíz n de una función, es igual a la raíz n del límite de la función. 27
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Teorema 12 Si
es continua en
y
, entonces
Ejemplo: Evaluar el lĂmite y justifique cada paso indicando las leyes(teoremas) de los limites apropiadas
Por los teoremas 2 y 1 Por el teorema 3 Por los teoremas 9, 8 y 7
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LĂmites Infinitos
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Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes. x
f(x)
100
1,0x10-4
1.000
1,0x10-6
10.000 1,0x10-8 100.000 1,0x10-10 1.000.000 1,0x10-12 Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito. Ilustración geométrica del límite infinito Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito
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Caso 1: limx→af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A.
El límite de f(x) cuando x→a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A. En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.lim f(x) = +inf cuando x→a 32
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Caso 2: limx→af(x) = —inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) < —A.lim f(x) = —inf
cuando x→a Caso 3: limx→+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.lim f(x) = +inf cuando x→+inf
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Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande. Caso 4 limx→+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.lim f(x) = -inf cuando x→+inf
Caso 5: limx→-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.lim f(x) = +inf cuando x→-inf
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Caso 6: limx→-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A.lim f(x) = -inf cuando x→-inf
Caso 7: limx→+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε.lim f(x) = b cuando x->+inf
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Caso 8: limx→-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε.lim f(x) = b cuando x→-inf
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Breve Reseña Histórica del Cálculo a Través de los Límites
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La palabra cálculo proviene del latín calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo, o de las matemáticas. Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad. Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular áreas, como el área del círculo, utilizando el <<>>.consistía en cubrir o (agotar) una región de forma tan completa como fuera posible utilizando triángulos. Sumando las áreas de los triángulos se tenía una aproximación al área de la región de interés. Newton y Leibniz, los inventores del cálculo. Sin embargo, no dieron una definición rigurosa del procedimiento. El matemático francés Augusti39
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ne-Louis Cauchy (1789-1857) fue el primero en desarrollar una definición rigurosa de límite. La definición que usaremos aquí se remonta al matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897).
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LĂmites al Infinito
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Diremos que b es el límite de la función f(x) cuando x tiende a más infinito, cuando sea cual sea el valor del número positivo ε , es posible encontrar un número real, B, tal que si x es mayor que B, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que ε. Simbólicamente lo representamos así:
Gráficamente lo definimos así:
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Teorema de Lâ&#x20AC;&#x2122;Hopital
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En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l’Hôpital o regla de l’Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada. Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l’Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró. Demostración: El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L’Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración. Se asume que tanto f como g son derivables en c, y además las derivadas de f y g son funciones continuas • Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b, con x distinto de c, se puede escribir de la siguiente manera: 47
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• Sabemos que f y g son derivables en c y que g’(x) no se anula en x=c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:
Ejemplos: La regla de l’Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f ’(x)/g’(x). Aplicación sencilla
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Aplicaci贸n consecutiva Mientras la funci贸n sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:
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Funciones Continuas o Discontinuas
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En esencia, una función es continua si su gráfica es una línea seguida, no interrumpida. La definición matemática de continuidad comprende las propiedades de los límites. En la definición de límite el valor de no se especifica; es decir este límite depende únicamente de los valores de en la vecindad de (o sea, cerca de), pero no en el valor de. Por consiguiente, puede ser o no ser igual a. Si existe, y también existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en. Es decir, se dice que una función es continua en sí: Entonces se puede decir que una función f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en cada punto del intervalo en cuestión. De la definición de continuidad se deduce que 53
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la gráfica de una función que es continua en un intervalo, es una línea ininterrumpida (es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o también se hace posible trazar una curva con sólo situar unos pocos puntos y dibujar una línea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso de varias clases de curvas. Ejemplos: aplicación de la definición de continuidad. Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7. Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan. Primera, f (7) = 5, de modo que f está definida en x = 7. Segunda, por tanto, f tiene límite cuando X → 7 Tercera, por tanto f es continua en 7 (Véase la fig. 9.25
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Discontinuidad Evitable o Removible
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Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe límite y éste es finito. Las funciones que no son continuas pueden presentar diferentes tipos de discontinuidades. Para empezar definiremos función no continua como aquella que no cumple la definición de función continua, es decir, existe algún punto del dominio donde el límite de la función a ese punto no es igual al valor de ésta en el mismo punto: f(x) no es continua si existe un x=a perteneciente al Dom(f) tal que limx→a±f(x)≠f(a) Ejemplo Tomemos la función f(x)={12 si si x≤0x>0. Esta función no es continua ya que en el punto x=0 observamos que: limx→0+f(x)=limx→02=2f(0)=1
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