عينة من كتاب الجبر - الصف العاشر

‫اإلحصائي‬ ‫َّ‬ ‫املجتمع‬ ‫َ‬ ‫ُرتب‬ ‫ميكن استخدامُه عندما ن ُ‬ ‫ُ‬ ‫النوع‬ ‫املنتظ َمةُ‪ :‬هذا ُ‬ ‫ العين ُة العشوائي ُة َ‬‫‪ 3‬‬

‫بطاقات‪ ،‬إذ متتا ُز هذه الطريق ُة بسهول ِة تطبيقِها مهما‬ ‫ٍ‬ ‫سجالت أو‬ ‫ٍ‬ ‫شكل‬ ‫بانتظام‪ ،‬أو على ِ‬ ‫ٍ‬ ‫املجتمع كبرياً‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫كا َن حج ُم‬

‫كل مرحلٍة‬ ‫ويدرس َّ‬ ‫ُ‬ ‫مراحل‬ ‫َ‬ ‫يقس ُم العين َة إىل عدةِ‬ ‫النوع ِّ‬ ‫ُ‬ ‫املراحل‪ :‬هذا‬ ‫ِ‬ ‫ العين ُة متعددةُ‬‫‪ 4‬‬ ‫احملاصيل الزراعيةِ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫على حدة كدراس ِة‬

‫ُ‬ ‫العينات ال�شخ�صي ُة‪:‬‬ ‫ثانياً‪:‬‬

‫ري عشوائيةٍ‪،‬‬ ‫اإلحصائي بطريقٍة غ ِ‬ ‫ِّ‬ ‫املجتمع‬ ‫ِ‬ ‫احلصول عليها من‬ ‫ُ‬ ‫يتم‬ ‫العينات اليت ُّ‬ ‫ُ‬ ‫هي‬

‫اإلحصائي أن يكو َن‬ ‫ِّ‬ ‫الباحث‬ ‫ِ‬ ‫جيب على‬ ‫عند اختيار العينةِ‪ .‬لذلك ُ‬ ‫أن هناك حتي ٌز َ‬ ‫أي َّ‬ ‫األخذ بنتائجها‪ .‬وأهم هذه العينات‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫حذراً عند‬

‫يكلف‬ ‫ُ‬ ‫حيث‬ ‫ُ‬ ‫الرأي العامّ‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫واستطالع‬ ‫ِ‬ ‫التسويقي‬ ‫ِّ‬ ‫املسح‬ ‫ِ‬ ‫ِصص‪ :‬تستخد ُم يف‬ ‫عينات احل ِ‬ ‫ُ‬ ‫‪-1‬‬ ‫موضوعات معينةٍ‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫الستطالع رأيِهم يف‬ ‫ِ‬ ‫ني من األفرا ِد‬ ‫عدد مع ٍ‬ ‫العَّدا ُد مبقابل ِة ٍ‬

‫الوحدات‬ ‫ِ‬ ‫العينات أي‬ ‫ِ‬ ‫النوع من‬ ‫ِ‬ ‫اإلحصائي يف هذا‬ ‫ُّ‬ ‫الباحث‬ ‫ُ‬ ‫العينات املنتقاةُ‪ :‬يقر ُر‬ ‫ُ‬ ‫‬‫‪ 2‬‬

‫النوع من العينات‬ ‫ُ‬ ‫يرغب بها الستخدامها يف دراستِه‪ ،‬ويستخد ُم هذا‬ ‫ُ‬ ‫اإلحصائي ِة اليت‬ ‫حساب األرقا ِم القياسي ِة ألسعا ِر اجلمل ِة وأسعا ِر املفر ِق‬ ‫ِ‬ ‫يف القط ِر العربي السوري عند‬

‫ألهداف الدراسةِ‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫السلع‬ ‫ِ‬ ‫ني من‬ ‫عدد مع ٍ‬ ‫يتم اختيا ُر ٍ‬ ‫حيث ُّ‬ ‫ُ‬

‫ري جداً من‬ ‫عينات من حجٍم كب ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫أخذ‬ ‫ِ‬ ‫أساس‬ ‫ِ‬ ‫العينات الواسعةُ‪ :‬وهي تقو ُم على‬ ‫ُ‬ ‫‬‫‪ 3‬‬

‫العينات بالثق ِة لالعتقا ِد‬ ‫ِ‬ ‫النوع من‬ ‫ُ‬ ‫ويتمتع هذا‬ ‫ُ‬ ‫موضوع الدراس ِة‬ ‫ِ‬ ‫اإلحصائي‬ ‫ِّ‬ ‫املجتمع‬ ‫للمجتمع املسحوب ِة منه‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ال صادقاً‬ ‫تصبح ممث ً‬ ‫ُ‬ ‫السائد كلما ازدا َد حج ُم العين ِة فإنها‬ ‫ِ‬

‫‪106‬‬

‫كل من احلاالت اآلتية‪:‬‬ ‫يف ٍّ‬

‫كانت األرقا ُم خمتلفةً‪.‬‬ ‫أ ‪ -‬إذا ِ‬

‫سح بتَكرا ِر األرقامِ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬إذا مُ ِ‬

‫يقبل العد ُد القسم َة على ‪.2‬‬ ‫أن َ‬ ‫ترُِط ْ‬ ‫ج ‪ -‬إذا اش َ‬

‫‪� 2-5‬أنواع العينات‪:‬‬

‫أحد األسلوبني التاليني‪:‬‬ ‫نعتمد َ‬ ‫ُ‬ ‫البيانات اإلحصائي ِة‬ ‫ِ‬ ‫جلمع‬ ‫ِ‬

‫البيانات‬ ‫ُ‬ ‫األسلوب‬ ‫ِ‬ ‫مبوجب هذا‬ ‫ِ‬ ‫َع‬ ‫حيث يجُ م ُ‬ ‫ُ‬ ‫الشامل (التعداد)‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫‪ -1‬احلص ُر‬

‫البحث من دون استثناء‪ .‬كتَعدا ِد السكان‬ ‫ِ‬ ‫كل مفردٍة داخلٍة يف نطا ِق‬ ‫واملعلومات من ِّ‬ ‫ُ‬

‫كل األفرادِ‪.‬‬ ‫الذي يشمل َّ‬

‫ري واختيارِه من‬ ‫عدد صغ ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫انتقاء‬ ‫ِ‬ ‫األسلوب إىل‬ ‫ِ‬ ‫الباحث يف هذا‬ ‫ُ‬ ‫‪ -2‬العينة‪ :‬يلجأُ‬

‫دراستَه‪ ،‬وتسمى العينةُ‪ ،‬وهذه العين ُة هي‬ ‫َ‬ ‫يود‬ ‫اإلحصائي الذي ُّ‬ ‫ِّ‬ ‫املجتمع‬ ‫ِ‬ ‫مفردات‬ ‫ِ‬ ‫نتائجها على املجتمع كلِّه‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫ُعم ُم‬ ‫يوجه إليها األسئل ُة وت َّ‬ ‫اليت َّ‬ ‫أنواع العينات‪:‬‬ ‫وهنا علينا التميي ُز بني ِ‬

‫�أو ًال‪ :‬العينات الع�شوائية‪:‬‬

‫أن يكو َن‬ ‫تضمن ْ‬ ‫ُ‬ ‫ُؤخ ُذ من املجتمع بطريقٍة‬ ‫ العين ُة العشوائي ُة البسيطةُ‪ ،‬وهي اليت ت َ‬‫‪ 1‬‬ ‫ضمن هذهَ العينة‪.‬‬ ‫َ‬ ‫فرد يف هذا املجتمع فرصةٌ متكافئةٌ الختبارِه‬ ‫لكل ٍ‬ ‫ِّ‬

‫ري‬ ‫اإلحصائي غ َ‬ ‫ُّ‬ ‫املجتمع‬ ‫ُ‬ ‫‪ -2‬العين ُة العشوائي ُة الطبيعيةُ‪ :‬وتُستخد ُم عندما يكو ُن‬

‫كل جمموعٍة‬ ‫جمموعات متجانسةٍ‪ ،‬ثم خنتا ُر العين َة من ِّ‬ ‫ٍ‬ ‫حيث يقس ُم إىل‬ ‫ُ‬ ‫متجانس‪،‬‬ ‫ٍ‬

‫طبقات فقريٍة ومتوسطٍة‬ ‫ٍ‬ ‫اإلحصائي إىل‬ ‫ُّ‬ ‫املجتمع‬ ‫ُ‬ ‫حيث يقس ُم‬ ‫ُ‬ ‫تكاليف املعيشةِ)‬ ‫ِ‬ ‫(كدراس ِة‬ ‫الثالث‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫الطبقات‬ ‫ِ‬ ‫وتسحب العين ُة من‬ ‫ُ‬ ‫وغنيٍة‬

‫‪105‬‬

‫العينات‬

‫الدر�س اخلام�س ‪:‬‬ ‫أ�سا�سي فـي ال َعدِّ‪:‬‬ ‫‪ 1-5‬املبد�أُ ال ُّ‬

‫رئيس جمموعٍة منتهيةٍ‪.‬‬ ‫ِّف َ‬ ‫العد نُعر ُ‬ ‫عرض القاعدةِ األساسية يف ِّ‬ ‫ِ‬ ‫الشروع يف‬ ‫ِ‬ ‫قبل‬ ‫ُ‬

‫فإذا كانت‬

‫جمموع ًة منتهي ًة عد ُد عناصرها‬

‫تعريفاً برئيس املجموعة‬

‫‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫رئيس املجموع ِة‬ ‫• ُ‬

‫فإننا نُسمي العد َد‬

‫يساوي ‪.4‬‬

‫رئيس املجموع ِة اخلالي ِة يساوي الصفرَ‪.‬‬ ‫• ُ‬

‫املبد�أ الأ�سا�سي فـي العد‪:‬‬ ‫متهيد‪:‬‬ ‫ُكن‬ ‫لت ْ‬

‫أرقا ِم املجموع ِة‬

‫ني من وبني‬ ‫مكون من رقم ِ‬ ‫ٍ‬ ‫عدد‬ ‫تكوين ٍ‬ ‫َ‬ ‫جمموع َة األرقا ِم وأردنَا‬

‫السماح بتكرا ِر الرقم)‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫(مع‬

‫إن األعدا َد املمكن َة هي‪ ،11 ,12 , 15 ,22 ,21 ,25 ,55 , 51 ,52 :‬وعددها‬ ‫العشرات ‪3‬‬ ‫ِ‬ ‫أن عد َد طرائ ِق اختيا ِر رق ِم اآلحا ِد هو ‪ 3‬و عد ُد طر ِق رق ِم‬ ‫الحظ َّ‬ ‫ْ‬

‫فإن األعدا َد املمكن َة هي‪12 ,15 , 21 ,25 ,51 , 52 :‬‬ ‫يسمح بتكرا ِر الرق ِم َّ‬ ‫ْ‬ ‫أما إذا ْمل‬

‫إن عد َد طر ِق اختيا ِر الرق ِم األوىل هو ‪ 3‬وعدد طرق اختيار الرقم الثنائي يساوي ‪2‬‬ ‫َّ‬ ‫وبالتايل فعد ُد الطر ِق املمكن ِة تساوي‬

‫القاعد ُة الأ�سا�سي ُة للعدِّ‪:‬‬

‫ميكن إجراؤها بعد ِد‬ ‫ُ‬ ‫وكانت اخلُطوة األوىل‬ ‫ِ‬ ‫خطوات‬ ‫ٍ‬ ‫يتطلب عدةَ‬ ‫ُ‬ ‫بعمل‬ ‫ٍ‬ ‫إذا أردنا القيا َم‬

‫ميكن إجراؤها بعد ِد طريقٍة خمتلفٍة وهكذا‪...‬‬ ‫ُ‬ ‫طريقةٌ خمتلفةٌ واخلطوةُ الثاني ُة‬

‫الضرب‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫حاصل‬ ‫ُ‬ ‫فإن عد َد الطر ِق املمكن ِة ألداء هذا العمل هو‬ ‫َّ‬

‫‪103‬‬

‫ِل ال َعمُو َد األكثَ َر‬ ‫أن القِيم َة األكث َر تَكرا َراً تقاب ُ‬ ‫أن نرى َّ‬ ‫والذي من خاللِه يمُ كنُنا بسهولٍة ْ‬

‫ِدةِ‪.‬‬ ‫البياني باألعم َ‬ ‫َّ‬ ‫التمثيل‬ ‫َ‬ ‫املخطط‬ ‫َّ‬ ‫ارتفاعاً‪ .‬نُسمِّي هذا‬ ‫َ‬

‫ُ‬ ‫جدول ال َّتكرا ِر ال ِّن�س ِب ِّي‪:‬‬

‫قد ال يعطي‬ ‫ِج مدرسة مبدرسٍة أُخرى‪ .‬و ْ‬ ‫ِن األحيا ِن إىل مُوا َزنَ ِة نتائ َ‬ ‫ري م َ‬ ‫حنتاج يف كث ٍ‬ ‫ُ‬

‫جدول‬ ‫َ‬ ‫جدول آخ َر نُسمِّيه‬ ‫ٍ‬ ‫اجلدول السابق املعلومات الالزمة للموازنة لذلك نلجأُ إىل‬

‫مرات ُورُودِها أو تَكرارُها إىل‬ ‫ٍ‬ ‫ُل قِي َمٍة بنسبٍة عدد‬ ‫يقابل ك َّ‬ ‫ُ‬ ‫ِّسيب والذي‬ ‫توزيع التَّكرا ِر الن ِّ‬ ‫ِ‬

‫َّكرارات كلِّها‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫جمموع الت‬ ‫ُ‬ ‫العدد اإلمجايلِّ أي‬

‫ب التَّكرا ِر‬ ‫ضر ِ‬ ‫حاص َل ْ‬ ‫ِ‬ ‫‪ .‬كما نُسمِّي‬

‫َج ِة ‪ 8‬هو‬ ‫للدر َ‬ ‫ِّسيب َّ‬ ‫فالتَّكرا ُر الن ُّ‬

‫َوي‪ .‬فيكو ُن ‪ %15‬هو التَّكرا ُر‬ ‫ِّسيب املِئ ِّ‬ ‫بالعد ِد ‪ 100‬بالتَّكرا ِر الن ِّ‬ ‫َ‬ ‫َجٍة ما‬ ‫لدر َ‬ ‫ِّسيب َ‬ ‫الن ِّ‬ ‫ِي النِّسبيِ ِّ‬ ‫ْع التَّكرار ِّ‬ ‫جدول التَّوزي ِ‬ ‫ِ‬ ‫َستطيع كتاب َة‬ ‫ُ‬ ‫للدرج ِة ‪ .8‬وبالتَّايل ن‬ ‫املئوي َّ‬ ‫ُّ‬ ‫ِّسيب‬ ‫الن ُّ‬ ‫كل اآلتي‪:‬‬ ‫الش ِ‬ ‫ابق على َّ‬ ‫الس ِ‬ ‫ِثال َّ‬ ‫ات يف امل ِ‬ ‫َاس ِ‬ ‫جلُملَ ِة ال ِقي َ‬ ‫الدرج ُة‬ ‫َّ‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪ 10‬املجموع‬

‫التَّكرا ُر‬ ‫ختتص ُرهَا‬ ‫ِ‬ ‫مبعطيات‬ ‫ٍ‬ ‫السابق ِة‬ ‫املعطيات َّ‬ ‫ِ‬ ‫االستعاض َة عن‬ ‫َ‬ ‫اإلحصائي ُة‬ ‫َّ‬ ‫الدراس ُة‬ ‫َّب ِّ‬ ‫قد تتطل ُ‬ ‫ْ‬

‫رجات‪،‬‬ ‫ِ‬ ‫الد‬ ‫بتفاصيل َّ‬ ‫ِ‬ ‫َهتم ِف ْعالً‪،‬‬ ‫ُوس ال ن ُّ‬ ‫املثال املدر ِ‬ ‫أفض َل‪ .‬ففي ِ‬ ‫بأسلوب َ‬ ‫ٍ‬ ‫وتعبرُِّ عنها‬

‫‪80‬‬

‫الدر�س الرابع ‪:‬‬

‫مقايي�س ال َّنز َع ِة امل ْرك ِز َّي ِة وال َّت َ�ش ُّتتِ‬ ‫ُ‬

‫متهيدٌ‪:‬‬

‫دونَّا‬ ‫ِس َّ‬ ‫َّات يف إحدى املدار ِ‬ ‫مبادةِ الرِّياضي ِ‬ ‫َّانوي َّ‬ ‫َّل الث ِّ‬ ‫الصف األو ِ‬ ‫ِّ‬ ‫طالب‬ ‫ِ‬ ‫ملع ِر َف ِة مستوى‬

‫فكانت كاآلتي‪:‬‬ ‫ْ‬ ‫النهائي‬ ‫ِّ‬ ‫حص َل عليها أربعو َن طالباً يف االمتحا ِن‬ ‫الدرجات اليت َ‬ ‫ِ‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫بسبب عد ِد‬ ‫ِ‬ ‫السابِ َق ِة وذلك‬ ‫ِن القائِ َم ِة َّ‬ ‫معلومات مفيدٍة م َ‬ ‫ٍ‬ ‫استنباط‬ ‫ُ‬ ‫عب‬ ‫الص ِ‬ ‫من َّ‬ ‫ُالحظ أنَّه َ‬ ‫ُ‬ ‫ن‬

‫فنجد أنَّه‬ ‫ُ‬ ‫مرٍة‬ ‫تكر َر أكثر من َّ‬ ‫رجات قد َّ‬ ‫ِ‬ ‫الد‬ ‫أن مُعظ َم َّ‬ ‫ِسبياً‪ .‬ولكن مبا َّ‬ ‫ري ن َّ‬ ‫ُشاهدات الكب ِ‬ ‫ِ‬ ‫امل‬ ‫ِل في ِه‬ ‫ِي‪ .‬والذي نُقاب ُ‬ ‫َّوزيع التَّكرار ِّ‬ ‫جدول الت ِ‬ ‫َ‬ ‫دول نُسمِّيه‬ ‫ج ٍ‬ ‫ترتيب هذه ال ِق َي ِم يف َ‬ ‫ُ‬ ‫ُفيد‬ ‫ِن امل ِ‬ ‫مَ‬ ‫اجلدول اآلتي‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫فنحص ُل على‬ ‫ُ‬ ‫َّات ُورُودِها أو تَكرارِها‬ ‫بعد ِد مر ِ‬ ‫ُل درجٍة َ‬ ‫ك َّ‬ ‫الدرج ُة‬ ‫َّ‬

‫التَّكرا ُر‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫ُالحظ من خاللِه أنَّ‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫والذي ن‬

‫رج ِة ‪.8‬‬ ‫الد َ‬ ‫الب حصلُوا على َّ‬ ‫إن ِستَّ َة ُط ٍ‬ ‫َّات أي َّ‬ ‫الدرج ِة ‪ 8‬هو ‪ 6‬مر ٍ‬ ‫• تَكرا َر َّ‬ ‫حص َل عليها سبع ُة ُطلاَّ ٍب‪.‬‬ ‫حيث َ‬ ‫ُ‬ ‫الدرج َة األكث َر تَكراراً هي ‪6‬‬ ‫إن َّ‬ ‫• َّ‬

‫الدرج َة ‪.10‬‬ ‫نال َّ‬ ‫نال الدرج َة صفراً وطالباً واحداً َ‬ ‫وأن هناك طالباً واحداً َ‬ ‫• َّ‬

‫كل اآلتي‪:‬‬ ‫الش ِ‬ ‫مبخط ٍط كما يف َّ‬ ‫َّ‬ ‫بيانياً‬ ‫الساب ِق َّ‬ ‫اجلدول َّ‬ ‫ِ‬ ‫متثيل‬ ‫ُ‬ ‫ِن‬ ‫كما يمُ ك ُ‬

‫‪79‬‬

‫ٌ‬ ‫مثال (‪:)3‬‬

‫خالل‬ ‫َ‬ ‫املشروع‬ ‫ِ‬ ‫إنهاء‬ ‫َ‬ ‫ال يستطيعو َن‬ ‫أيام فك ْم عا ِم ً‬ ‫خالل ‪ٍ 3‬‬ ‫َ‬ ‫ال مشروعاً‬ ‫يُنهي ‪ 56‬عام ً‬

‫يومنيِ؟‬

‫ُّ‬ ‫احلل‪:‬‬

‫ئذ‪:‬‬ ‫العمال ‪ x‬عند ٍ‬ ‫ِ‬ ‫ِض عد َد‬ ‫نَفر ُ‬

‫(عامالً)‬ ‫تدريب (‪:)2‬‬ ‫ٌ‬ ‫يقطع مساف َة ‪ 45‬كلم إذا‬ ‫ُ‬ ‫ساعات‪ .‬فك ْم ساع ًة‬ ‫ٍ‬ ‫خالل ‪4‬‬ ‫َ‬ ‫قطع رج ٌل مساف َة ‪ 20‬كلم‬ ‫‪َ .1‬‬ ‫نفسها؟‬ ‫بالسرع ِة ِ‬ ‫سا َر ُّ‬ ‫لتقط َع مساف َة‬ ‫ْت َ‬ ‫من الوق ِ‬ ‫خالل ‪ 50‬دقيق ًة ك ْم يلزمُها َ‬ ‫َ‬ ‫قطعت سيَّارةٌ ‪ 37.5‬كلم‬ ‫ْ‬ ‫‪.2‬‬ ‫نفسها؟‬ ‫بالسرع ِة ِ‬ ‫سارت ُّ‬ ‫ْ‬ ‫‪ 157.5‬كلم إذا‬

‫ساعات وبسرع ِة ‪ 40‬كم يف‬ ‫ٍ‬ ‫خالل ‪8‬‬ ‫َ‬ ‫ني مدينٍة وأخرى‬ ‫قطعت سيَّارةٌ مساف ًة ب َ‬ ‫ْ‬ ‫‪.3‬‬

‫الساعةِ؟‬ ‫بسرع ِة ‪ 60‬كم يف َّ‬ ‫نفسها ُ‬ ‫لقطع املساف ِة ِ‬ ‫ِ‬ ‫السيَّارةُ‬ ‫حتتاج َّ‬ ‫ُ‬ ‫الساعةِ‪ .‬ك ْم ساع ًة‬ ‫َّ‬

‫نفسه؟‬ ‫البناء َ‬ ‫ال َ‬ ‫منزل‪ .‬بكم يوماً يُنهي ‪ 40‬عام ً‬ ‫لبناء ٍ‬ ‫ُدةَ ‪ 50‬يوماً ِ‬ ‫ال م َّ‬ ‫حيتاج ‪ 16‬عام ً‬ ‫ُ‬ ‫‪.4‬‬

‫الواحد‪ 150‬لريةً‪ .‬على َك ْم‬ ‫ُ‬ ‫نال‬ ‫شخص‪ ،‬حبيُث َ‬ ‫ٍ‬ ‫املال على مئ ِة‬ ‫مبلغ من ِ‬ ‫ٌ‬ ‫ِّع‬ ‫‪ .5‬وُز َ‬ ‫شخص ‪ 300‬لريةٍ؟‬ ‫ٍ‬ ‫ُل‬ ‫حص ُة ك ِّ‬ ‫أصبحت َّ‬ ‫ْ‬ ‫نفسه إذا‬ ‫املبلغ ِ‬ ‫توزيع ِ‬ ‫ُ‬ ‫ِن‬ ‫شخصاً يمُ ك ُ‬

‫‪49‬‬

‫للعددين ‪َ 4‬و ‪.9‬‬ ‫ِ‬ ‫املتناسب‬ ‫َ‬ ‫الوسط‬ ‫َ‬ ‫العد َد ‪6‬‬ ‫نُسمِّي َ‬

‫تدريب‪:‬‬ ‫ٌ‬

‫تيب أوجد قيمة ‪.‬‬ ‫كانت األعدا ُد ‪ ,2 , 6 , 4‬متناسب ًة بهذا الترَّ ِ‬ ‫‪ .1‬إذا ِ‬

‫للعددين ‪َ 27‬و ‪.3‬‬ ‫ِ‬ ‫املتناسب‬ ‫َ‬ ‫الوسط‬ ‫َ‬ ‫ب‬ ‫ُحس ِ‬ ‫‪ .2‬ا ُ‬

‫نا�سب‬ ‫ثانياً‪:‬‬ ‫خ�صائ�ص ال َّت ِ‬ ‫ُ‬

‫من املساواةِ‪:‬‬ ‫خصائص األعدا ِد العاديَّ ِة وانطالقاً َ‬ ‫ِ‬ ‫من‬

‫تناسب خمتلفةٍ‪:‬‬ ‫ٍ‬ ‫حاالت‬ ‫ِ‬

‫أربع‬ ‫استنتاج ِ‬ ‫ُ‬ ‫ميكنُنا‬

‫)‪1‬‬

‫وإذا كانَ‪:‬‬

‫م�سائ ُل ح�ساب َّي ٌة‪:‬‬

‫بعض األمثلةِ‪:‬‬ ‫وإليك َ‬ ‫َ‬ ‫خاص‬ ‫ٍّ‬ ‫نوع‬ ‫من ٍ‬ ‫حسابي ًة ْ‬ ‫َّ‬ ‫مسائل‬ ‫َ‬ ‫َّناسب حلل‬ ‫خصائص الت ِ‬ ‫ُ‬ ‫تَستخد ُم‬

‫‪42‬‬

‫الدر�س الثاين‪:‬‬

‫نا�س ُب‬ ‫ال ِّن�سب ُة وال َّت ُ‬

‫نا�س ُب‪:‬‬ ‫‪ 1-2‬مدخِ ٌل �إىل ال ِّن�سب ُة وال َّت ُ‬

‫أمحد إىل عم ِر‬ ‫َ‬ ‫والده ‪ 35‬سن ًة تكو ُن نسب ُة عم ِر‬ ‫وع ْم ُر ِ‬ ‫أمحد ‪ 15‬سن ًة ُ‬ ‫َ‬ ‫أوالً‪ :‬إذا كان ُع ْم ُر‬ ‫َّ‬ ‫أي‬

‫والده‬ ‫ِ‬

‫أمحد هو‬ ‫َ‬ ‫إن عم َر‬ ‫ونقول َّ‬ ‫ُ‬

‫والده‪.‬‬ ‫ُعم ِر ِ‬

‫إذاً‪ :‬نسبة العدد ‪ a‬إىل العدد ‪ b‬هي العدد ‪.‬‬ ‫الدوائِ ِر‬ ‫َّثات إىل عد ِد َّ‬ ‫كل (‪ ،)1‬نسب ُة عد ِد املثل ِ‬ ‫الش ِ‬ ‫يف َّ‬ ‫هي‪. :‬‬ ‫الدوائ ِر‬ ‫َّثات إىل عد ِد َّ‬ ‫كل (‪ ،)2‬نسب ُة عد ِد املثل ِ‬ ‫الش ِ‬ ‫يف َّ‬

‫هي‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫وتعل ُم أنَّ‪:‬‬

‫تيب‪.‬‬ ‫إن األعدادَ‪ 4 ,6 ,8 ,12 :‬هي متناسبةٌ وبهذا الترَّ ِ‬ ‫نقول َّ‬ ‫= لذلك ُ‬

‫�إذاً‪ :‬التَّنا�سبُ هو جمل ٌة ريا�ضيّات َي ٌة تعبرِّ ُ عن ت�ساوِي ن�سبتنيِ‪( ،‬‬

‫تنا�سب)‪.‬‬

‫حيث‬ ‫َّناسب‪ُ ،‬‬ ‫واألعدا ُد املتتاليةُ‪ a,b,c,d ،‬هي حدو ُد الت ِ‬

‫وس َطا‬ ‫َّناسب‪ ،‬والعددا ِن ‪ b,c‬هما َ‬ ‫‪ a,d‬هما طرفَا الت ِ‬

‫َّناسب‪.‬‬ ‫الت ِ‬

‫وتعل ُم أنَّ‪:‬‬

‫مثا ٌل‪ :‬‬ ‫إذا كا َن عدداً موجباً واألعدا ُد (‬

‫أوجد قيم َة ‪.‬‬ ‫ْ‬ ‫تيب‬ ‫) متناسبةٌ بهذا الترَّ ِ‬

‫احللُّ ‪:‬‬

‫كل‪:‬‬ ‫بالش ِ‬ ‫َّناسب َّ‬ ‫نكتب هذا الت َ‬ ‫ُ‬ ‫‪41‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫||‬

‫ِع ‪f‬‬ ‫ات التَّاب ِ‬ ‫جدول تغيرُّ ِ‬ ‫ُ‬ ‫ِع ‪f‬‬ ‫اجلزء من منحين التَّاب ِ‬ ‫َ‬ ‫أوالً‬ ‫نرس ُم َّ‬ ‫ُ‬

‫نرس ُم‬ ‫ُم ُ‬ ‫ُّل ‪ x‬ث َّ‬ ‫املوا ِف ِق لل ِق َي ِم املوجب ِة للتَّحو ِ‬ ‫اجلزء بالنِّسب ِة إىل‬ ‫ُ‬ ‫ري هذا‬ ‫بعد ذلك‪ ،‬نظ ُ‬ ‫َ‬

‫املبدأِ‪.‬‬ ‫َ‬

‫ملحوظ ٌة‪:‬‬

‫ِع‬ ‫ِّثل للتَّاب ِ‬ ‫البياني املم َ‬ ‫َّ‬ ‫ين‬ ‫إن املنح َ‬ ‫مع‬ ‫َ‬

‫متناظ ٌر بالنِّسبَ ِة إىل املبدأِ ‪.o‬‬ ‫ِ‬

‫قطع زائِ ٌد‬ ‫ٌ‬

‫تدريبٌ (‪:)4‬‬ ‫ْق‬ ‫َّف على ‪َ R‬وف َ‬ ‫ِع املعر ِ‬ ‫ُّالت التَّاب ِ‬ ‫ُس حتو ِ‬ ‫‪ -1‬اُدر ْ‬

‫ْس ْم منحنيه يف‬ ‫وار ُ‬

‫*‬ ‫ْق‬ ‫َّف على ‪َ R‬وف َ‬ ‫ِع املعر ِ‬ ‫ُّالت التَّاب ِ‬ ‫ُس حتو ِ‬ ‫‪ -2‬اُدر ْ‬

‫وارسم منحنيه يف‬ ‫ُ‬

‫ِس‪.‬‬ ‫معلٍم متجان ٍ‬ ‫ِس‪.‬‬ ‫معلٍم متجان ٍ‬

‫فردي وأيُّها‬ ‫ٌّ‬ ‫احلقيقي ِة أيُّها‬ ‫َّ‬ ‫ِع املعرّفة على جمموع ِة األعداِد‬ ‫عد ٌد من التَّواب ِ‬ ‫‪ -3‬فيما يأتي َ‬ ‫زوجي‪:‬‬ ‫ٍّ‬ ‫ري‬ ‫فردي وغ ُ‬ ‫ٍّ‬ ‫ري‬ ‫زوج ٌّي وأيُّها غ ُ‬ ‫ِ‬

‫‪37‬‬

‫بع�ض التَّوا ِب ِع امل�ألوفةِ‪:‬‬ ‫‪ُ 4-1‬‬

‫ليكن ‪ f‬تاب َعاً معرفاً على جمموع ِة األعدا ِد‬ ‫ْ‬

‫متجانس‬ ‫ٍ‬ ‫َّل املستوى مزوداً مبعلٍم‬ ‫نتأم ُ‬

‫البياني‪.‬‬ ‫ُّ‬ ‫خط ُه‬ ‫ُن (‪ُّ )c‬‬ ‫احلقيقي ِة ‪ ،R‬ولْ َيك ْ‬ ‫َّ‬

‫الزوجي‪:‬‬ ‫• التاب ُع‬ ‫ُّ‬

‫زوج ٌّي على ‪،R‬‬ ‫تابع ِ‬ ‫ِع ‪ٌ f‬‬ ‫إن التَّاب َ‬ ‫نقول َّ‬ ‫ُ‬

‫العد ِد ‪ x‬من ‪.R‬‬ ‫كانت قيم ُة َ‬ ‫أياً ْ‬

‫إذا كا َن‬

‫ِثل هذه احلال ِة تكو ُن النقطتا ِن‬ ‫يف م ِ‬

‫ني بالنِّسب ِة إىل محِ َو ِر‬ ‫متناظرت ِ‬

‫‪،‬‬

‫تناظ ٍر بالنِّسب ِة إىل املنحين ‪.c‬‬ ‫الرتاتيب الذي يكو ُن محِ َو ُر ُ‬ ‫ِ‬

‫• ال َّتاب ُع الفرديُّ ‪:‬‬

‫فردي على ‪،R‬‬ ‫ٌّ‬ ‫تابع‬ ‫إن ‪ٌ f‬‬ ‫نقول َّ‬ ‫ُ‬ ‫إذا‬

‫كا َن‬

‫أيَّاً‬

‫كا َن‬

‫من ‪ R‬عندها تكو ُن النقطتا ِن‬ ‫و‬

‫ني بالنِّسب ِة إىل املبدأِ الذي‬ ‫مُتناظرت ِ‬

‫ُنحنيِ‬ ‫تناظر للم َ‬ ‫ٍ‬ ‫يكو ُن مرك َز‬

‫‪.C‬‬

‫‪:‬‬

‫‪ )1‬درا�س ُة التَّا ِب ِع‬ ‫ِي‬ ‫عد ٍد حقيق ٍّ‬ ‫ُل َ‬ ‫ِع ‪ f‬الذي يُق َر ُن بِك ِّ‬ ‫َّع‪ .‬فالتَّاب ُ‬ ‫حقيقي مرب ٌ‬ ‫ٍّ‬ ‫عد ٍد‬ ‫ُل َ‬ ‫• جمموع ُة التَّعريفِ ‪ :‬لِك ِّ‬ ‫ّف على ‪.R‬‬ ‫مربَّ ُع ُه معر ٌ‬

‫‪32‬‬

‫مقدمة‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫إما للمنفع ِة أو لل ُمت َع ِة‬ ‫تاريخ‬ ‫يف‬ ‫لوم اليت اكتُ ِش َف ْت َّ‬ ‫احلضارات البشريَّ ِة الكث ُ‬ ‫ِ‬ ‫ري من ال ُع ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫أحباث الفراعنة‬ ‫أخذت حيِّزاً كبرياً يف‬ ‫وحلَّها‬ ‫أن‬ ‫العقليةِ‪ ،‬ويف‬ ‫دراسات كثريٍة ُو ِ‬ ‫ج َد َّ‬ ‫ٍ‬ ‫ْ‬ ‫املعادالت َ‬ ‫َّ‬

‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫والكتابات املِسماريَّةِ‪.‬‬ ‫الربدي‬ ‫لفافات أورا ِق‬ ‫ت يف‬ ‫ِّ‬ ‫والبابليني‪ ،‬وهو مثبَ ٌ‬ ‫لوم احلديثةِ‪ُ ،‬‬ ‫ويشغل ُّ‬ ‫ُ‬ ‫املعادالت حيِّزاً ملحوظاً يف ال َع ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫مثل‬ ‫ِن‬ ‫حل‬ ‫ديد م ْ‬ ‫تطبيقات ال ُع ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫ريها‪...‬‬ ‫والفيزياء‬ ‫واهلندس ِة‬ ‫االقتصا ِد‬ ‫َ‬ ‫والكيمياء وغ ِ‬ ‫وحل املُ‬ ‫ُّ‬ ‫املتغريات يف هذه املعا َد ِ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الت‪.‬‬ ‫املجاهيل أو‬ ‫قي ِم‬ ‫ِ‬ ‫عادالت يعين إجياد َ‬ ‫البحث َ‬ ‫املعادالت ُ‬ ‫وط ُر َقاً َ‬ ‫َ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫حللِّها وتطبي َق‬ ‫تشكيل‬ ‫الطالب‬ ‫تدرس عزيزي‬ ‫سوف‬ ‫ويف هذا‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫ذلك يف مواق َ‬ ‫وعمليٍة‪.‬‬ ‫حياتيٍة‬ ‫ِف‬ ‫َّ‬ ‫َّ‬

‫‪6‬‬

‫اجلبـر‬

‫الوحدة الأوىل‬ ‫الدرس األول‪ :‬معادالت الدرجة الثانية‪.‬‬ ‫الدرس الثاني‪ :‬النسبة والتناسب‪.‬‬

‫الدرس الثالث‪ :‬املتتاليات‪.‬‬

‫ويُ َّ‬ ‫أن‪:‬‬ ‫توق ُع من‬ ‫أن يكو َن قادِراً على ْ‬ ‫الطالب بعد دراسة الوحدة ْ‬ ‫ُ‬ ‫الثاني ِة ُ‬ ‫‪ُ -1‬‬ ‫بط ُر ٍق خمتلِفٍة‪.‬‬ ‫حي َّل املعادل َة من الدرج ِة َّ‬

‫مبعلومي ِة ا َ‬ ‫ ِّ‬‫ذرين‪.‬‬ ‫يشك َل معادل ًة‬ ‫‪ 2‬‬ ‫جل ِ‬ ‫َّ‬ ‫َ‬ ‫‪َّ -3‬‬ ‫الدرج ِة الثَّانيةِ‪.‬‬ ‫باستخدام‬ ‫حياتيٍة‬ ‫مسائل‬ ‫حيل‬ ‫معادالت من َّ‬ ‫ٍ‬ ‫َّ‬ ‫ِ‬ ‫الدرج ِة األُوىل والثَّانيةِ‪.‬‬ ‫جي َد ُحلوالً مرتاجح ًة من َّ‬ ‫‪ِ -4‬‬

‫ يربِ َ‬‫الدرج ِة الثَّاني ِة ومنحين الدرج ِة الثَّانيةِ‪.‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫ِن َّ‬ ‫ني معادلٍة م َ‬ ‫طب َ‬ ‫‪ -6‬يتعرف التغيري الطردي والعكسي‪.‬‬

‫ يطبق التغيري الطردي والعكسي‪.‬‬‫‪ 7‬‬

‫ يتعرف املتتابعات (املتتاليات ) احلسابية واهلندسية‪.‬‬‫‪ 8‬‬ ‫‪ -9‬حيل مسائل املتتابعات (املتتاليات )‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫املحتويات‬ ‫الوحدة الأوىل‬

‫‪5‬‬

‫اجلرب‬

‫الدرس األول‪ :‬معادالت الدرجة الثانية ‬

‫‪7‬‬

‫ناس ُب ‬ ‫الدرس الثاني النِّسب ُة والتَّ ُ‬

‫‪41‬‬

‫الدرس الثالث املتتاليات (املتتابعات) ‬

‫‪51‬‬

‫‪38‬‬

‫مترينات (‪ )1‬‬

‫‪50‬‬

‫مترينات (‪ )2‬‬

‫مترينات (‪ )3‬‬

‫الوحدة الثانية‬

‫‪73‬‬

‫الإح�صاء ‬

‫‪75‬‬

‫املرك ِزيَّ ِة والتَّ َشتُّ ِت‬ ‫الدرس الرابع‪:‬‬ ‫مقاييس الن َ‬ ‫ُ‬ ‫َّزع ِة ْ‬

‫‪81‬‬

‫الدرس اخلامس العينات ‬

‫‪103‬‬

‫مترينات (‪ )4‬‬

‫مترينات (‪ )5‬‬

‫‪101‬‬

‫‪113‬‬

‫‪4‬‬

‫حيم‬ ‫ب�سم ا ِ‬ ‫هلل ال َّر ِ‬ ‫حمن ال َّر ِ‬ ‫ِ‬ ‫امل ُ َق ِّد َم ُة‬ ‫نقدم ألبنائنا األعزاء كتاب اجلرب للصف األول الثانوي العام‪ ،‬والذي أعد وفق‬

‫املعايري واألهداف اليت وضعتها وزارة الرتبية يف اجلمهورية العربية السورية‪.‬‬ ‫تضمن هذا الكتاب زاداً علمياً ميكن أبناءنا الطالب من القيام ببعض العمليات احلسابية‬ ‫اليت يتعرضون هلا؛ كحل املعادالت من الدرجة الثانية وبعدة طرق‪ ،‬ودراسة إشارة تركيب‬

‫جربي وبعض أنواع التوابع العددية‪...‬‬

‫وقد احتوى هذا الكتاب وحدتني رئيستني‪:‬‬

‫الوحدة األوىل‪ :‬اجلرب‪ ،‬ومت فيها حل املعادالت من الدرجة الثانية مبجهول واحد‪،‬‬

‫ودراسة بعض التوابع العددية‪.‬‬ ‫وتناولت أيضاً النسبة والتناسب واملتتاليات العددية احلسابية واهلندسية‪.‬‬

‫الوحدة الثانية‪ :‬اإلحصاء‪ ،‬وتضمنت مقاييس النزعة املركزية والتشتت والعينات‪.‬‬

‫وقد حرصنا على إغناء الكتاب بتدريبات ومترينات تعزز األهداف اليت تطمح إليها‬

‫التعديالت اجلديدة‪.‬‬

‫نرجو من زمالئنا الكرام أن يزودونا مبالحظاتهم وآرائهم كي نعمل على اإلفادة‬

‫منها‪.‬‬

‫واهلل ويل التوفيق‬

‫‪3‬‬

‫امل�ؤلفون‬

ُ ُ

www.istishraf.org ُ

2

ِ ِْ ْ

َُ َ ْ َ