عينة من كتاب الهندسة التحليلية - الصف العاشر

‫يط ْي قاعدتي ِه‬ ‫م َ‬ ‫جمموع حُ ِ‬ ‫ِ‬ ‫نصف‬ ‫ِ‬ ‫اء‬ ‫جلذع اهلر ِم املنتظ ِم تساوي ِج َد َ‬ ‫ِ‬ ‫اجلانبي ُة‬ ‫َّ‬ ‫املِساح ُة‬

‫بعامدهِ‪:‬‬ ‫ِ‬

‫جلذع اهلر ِم املنتظمِ‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫املِساح ُة ال ُكل َِّّي ُة‬

‫ني‬ ‫ني القائم ِ‬ ‫من تشابُ ُه املُثلَّث ِ‬ ‫‪ْ .2‬‬

‫ِد‪:‬‬ ‫نجَ ُ‬

‫ارتفاع اهلرمِ‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫ومن ُه‬ ‫عامد اهلرمِ‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫عامدهِ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫حميط قاعدتِ ِه يف‬ ‫ِ‬ ‫نصف‬ ‫ِ‬ ‫جداء‬ ‫َ‬ ‫اجلانبي ُة للهر ِم تُساوي‬ ‫َّ‬ ‫املِساح ُة‬ ‫اجلانبيةُ‪:‬‬ ‫َّ‬ ‫املِساح ُة‬ ‫حج ُم اهلرمِ‪:‬‬

‫تدريب‪:‬‬ ‫ٌ‬

‫طول َح ْر ِف ِه يُساوِي‪:‬‬ ‫ُباعي الوجوهِ املنتظ ِم الذي ُ‬ ‫أن حج َم ر ِّ‬ ‫ِن َّ‬ ‫‪ .1‬بَره ْ‬

‫‪110‬‬

‫دون ُب ٍ‬ ‫ُمبرَ ْ َه َن ٌة‪ُ ( :‬ت ْق َب ُل منْ ِ‬ ‫رهان)‬

‫حيث‬ ‫ُ‬ ‫‪،‬‬

‫هل َر ِم‬ ‫جذع ا َ‬ ‫ِ‬ ‫حج ُم‬ ‫ارتفاعهُ‪.‬‬ ‫ُ‬

‫مساحتَا قاعدتَيهِ‪ ،‬و‬ ‫َ‬

‫مترينٌ حملولٌ ‪:‬‬

‫مبستو يوازِي قاعدتَ ُه‬ ‫ٍ‬ ‫ُط َ​َع‬ ‫ضلع قاعدتِ ِه ‪ ،12‬ق ِ‬ ‫طول ِ‬ ‫رباعي منتظمٌ‪ُ ،‬‬ ‫ٌّ‬ ‫هر ٌم‬

‫املطلوب‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫احلاصل‪.16‬‬ ‫ِ‬ ‫املقطع‬ ‫ِ‬ ‫فكانت مِساح ُة‬ ‫ْ‬ ‫ُد عنها ‪،3‬‬ ‫يَ ْبع ُ‬

‫ِّي‪.‬‬ ‫سطح ِه ال ُكل ِّ‬ ‫ِ‬ ‫َّاتج ومِساح َة‬ ‫جذع اهلر ِم الن ِ‬ ‫ِ‬ ‫اح ُس ْب حج َم‬ ‫‪ْ .1‬‬ ‫اجلانبي َة للهر ِم وحج َمهُ‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫ب املِساح َة‬ ‫اح ُس ِ‬ ‫‪ْ .2‬‬

‫احللُّ ‪:‬‬

‫هلرم منتظمٍ‪.‬‬ ‫جذع ٍ‬ ‫ٌ‬ ‫منتظمٌ ألنَّ ُه‬

‫َّاتج‬ ‫اجلذع الن َ‬ ‫َ‬ ‫إن‬ ‫‪َّ .1‬‬ ‫اجلذع‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫حج ُم‬

‫يشابِ ُه القاعدةَ‬

‫املقطع‬ ‫ُ‬

‫كل‪.‬‬ ‫الش ِ‬ ‫َّ‬

‫َّع‬ ‫‪ ،‬فه َو مرب ُ‬

‫املقطع‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫ضلع‬ ‫طول ِ‬ ‫ُ‬

‫املقطع‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫عامد‬ ‫ُ‬

‫الشكل(‪)•13-7‬‬

‫عامد القاعدةِ‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫ِتكن‬ ‫ل ْ‬

‫مرتس َم‬

‫فيثاغورس‪:‬‬

‫على‬

‫َّث القائ ِم‬ ‫‪ .‬ويف املُثل ِ‬

‫‪109‬‬

‫َسب‬ ‫ِد حب ِ‬ ‫نجَ ُ‬

‫املجَ �سَّ مَاتُ‬

‫َّر�س ال�سَّ ا ِبعُ‪:‬‬ ‫الد ُ‬ ‫‪ 1-7‬املو�شو ُر والأُ�سطوان ُة‬ ‫تعريفٌ ‪:‬‬

‫ُسمَّى‪:‬‬ ‫سطوح مستويٍة متقاطعٍة َم ْثنَى َم ْثنَى ي َ‬ ‫ٍ‬ ‫من‬ ‫بأجزاء ْ‬ ‫ٍ‬ ‫الفراغ حُم َّد ٍد‬ ‫ِ‬ ‫كل مجَُ َّسٍم يف‬ ‫ُّ‬

‫تقاطع‬ ‫ِ‬ ‫ِقاط‬ ‫َحرُفاً‪ ،‬ون ُ‬ ‫ُسمَّى‪ :‬أ ْ‬ ‫السطوح املستوي ِة ت َ‬ ‫تقاطع ُّ‬ ‫ِ‬ ‫وخطوط‬ ‫ُ‬ ‫طوح‪،‬‬ ‫الس ِ‬ ‫ري ُّ‬ ‫كث َ‬ ‫ني‬ ‫ني متتالي ِ‬ ‫املحَُد ُد حبرف ِ‬ ‫َّ‬ ‫وجزء املستوي‬ ‫ُ‬ ‫طوح‪،‬‬ ‫الس ِ‬ ‫ري ُّ‬ ‫رؤوس كث ِ‬ ‫َ‬ ‫ُسمَّى‪:‬‬ ‫األحرف ت َ‬ ‫ِ‬

‫ُسمَّى‪ :‬وجهاً جانب ّياً‪.‬‬ ‫يَ‬

‫�أوالً‪ -1:‬املو�شو ُر القائ ُم ‪The Right Prism‬‬

‫تعريفٌ ‪:‬‬

‫ني يقطعا ِن‬ ‫ني متوازي ِ‬ ‫طوح مبستوي ِ‬ ‫الس ِ‬ ‫ري ُّ‬ ‫ُط َع كث ُ‬ ‫إذا ق ِ‬

‫واملحَُد ِد‬ ‫َّ‬ ‫طوح‬ ‫الس ِ‬ ‫ري ُّ‬ ‫من كث ِ‬ ‫اجلزء ْ‬ ‫ُ‬ ‫ُسمَّى‬ ‫أح ُر َفهُ‪ ،‬ي َ‬

‫من املقطعنيِ‪:‬‬ ‫كل َ‬ ‫ُسمَّى ٌّ‬ ‫باملستوينيِ‪ :‬موشوراً‪ ،‬وي َ‬ ‫قاع َدتا املوشورِ‪ .‬نَر ُم ُز هلما بـ ‪:‬‬ ‫ِ‬

‫و‬

‫كل‬ ‫بالش ِ‬ ‫َّ‬ ‫أو‬

‫ُسمَّى‬ ‫من مستوي القاعدتنيِ‪ ،‬وي َ‬ ‫ُل ْ‬ ‫عمودي على ك ٍّ‬ ‫ٌّ‬

‫ارتفاعاً‪ .‬‬

‫ ‬

‫خوا�ص املو�شو ِر القائمِ ‪:‬‬ ‫ُّ‬

‫الشكل(‪)1-7‬‬ ‫َّ‬

‫أضالع قاعدتِهِ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫ْق َع َد ِد‬ ‫ُسمَّى املوشو ُر ثالث ّياً أو رباع ّياً أو مخاس ّياً‪َ ......‬وف َ‬ ‫‪ -1‬ي َ‬ ‫‪ -2‬قاعدتا املوشو ِر متوازيتا ِن ومتطابقتانِ‪.‬‬

‫اجلانبي ُة متوازيةٌ ومتطابقةٌ‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫األحرف‬ ‫ُ‬ ‫‪-3‬‬

‫ني (موشو ٌر قائمٌ)‪.‬‬ ‫من القاعدت ِ‬ ‫كل َ‬ ‫اجلانبي ُة عموديَّةٌ على ٍّ‬ ‫َّ‬ ‫األحرف‬ ‫ُ‬ ‫‪-4‬‬

‫كل‪.‬‬ ‫الش ِ‬ ‫مستطيل َّ‬ ‫ُ‬ ‫كل منها‬ ‫اجلانبي ُة ٌّ‬ ‫َّ‬ ‫‪ -5‬األوج ُه‬ ‫‪95‬‬

‫ني‬ ‫من النُّقطت ِ‬ ‫ُر َ‬ ‫أوجد معادل َة املستقي ِم الذي مي ُّ‬ ‫ْ‬ ‫‪.2‬‬

‫أوجد معادل َة املستقي ِم‬ ‫ْ‬ ‫‪.3‬‬

‫احللُّ ‪:‬‬

‫إن معادل َة املستقي ِم‬ ‫‪َّ .1‬‬

‫ني‬ ‫من النُّقطت ِ‬ ‫ُر َ‬ ‫الذي مي ُّ‬

‫كل‪:‬‬ ‫الش ِ‬ ‫من َّ‬ ‫َ‬

‫من النُّقط ِة‬ ‫ُر َ‬ ‫أن املستقي َم مي ُّ‬ ‫كما َّ‬

‫و‬

‫و ‪.‬‬

‫‪ ،‬ولكن‬

‫إذاً‪:‬‬

‫إذاً إحداثياتُها تحُ ِّق ُق معادل َة أي‪:‬‬

‫بالتّايل تكو ُن معادل ُة املستقي ِم هي‪. :‬‬ ‫أن فاصل َة‬ ‫نالحظ َّ‬ ‫ُ‬ ‫‪.2‬‬

‫‪.‬‬

‫عن فاصل ِة‬ ‫خمتلفةٌ ْ‬

‫كل‪:‬‬ ‫الش ِ‬ ‫من َّ‬ ‫وبالتَّايل فمعادلتُ ُه َ‬

‫اتيب‪،‬‬ ‫‪ ،‬فاملستقي ُم ال يوازي حمو َر الترَّ ِ‬

‫‪ ،‬لنحدد إذاً‬

‫و ‪.‬‬

‫أي‪:‬‬ ‫حتق ُق معادلتَ ُه ْ‬ ‫من النُّقط ِة ‪ ،‬فإحداثياتُها ِّ‬ ‫ُر َ‬ ‫أن يمَ ُّ‬ ‫مبا َّ‬ ‫وكذلك األم ُر بالنِّسب ِة للنُّقط ِة‬ ‫َ‬

‫‪ ،‬إذاً‪:‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫الشكل (‪)6-4‬‬

‫ن�ستنت ُج �أ َّن‪ :‬‬ ‫ِّض يف املعادل ِة‬ ‫نُعو ُ‬

‫ني‬ ‫‪ .3‬للنُّقطت ِ‬

‫و‬

‫فنجد‪:‬‬ ‫ُ‬

‫نفسها‪ ،‬إذاً‬ ‫الفاصل ُة ُ‬

‫هي‪:‬‬ ‫‪ ،‬بالتّايل معادل ُة املستقي ِم َ‬

‫اتيب ومعادلتُ ُه‬ ‫يوازي حمو َر الترَّ ِ‬

‫‪49‬‬

‫‪.‬‬

‫مثال‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫هي معادلة مستقيم ميله يساوي ‪ 2‬ويقطع حمور الرتاتيب عند‬

‫‪ .2‬كَيفَ نُوجِ ُد مي َل م�ستقيمٍ ُع ِرفَتْ مُعا َد َل ُتهُ؟‬

‫إن معا َدلَ َة املستقي ِم‬ ‫َّ‬ ‫أو‪:‬‬

‫كل‬ ‫بالش ِ‬ ‫َب َّ‬ ‫تُكت ُ‬

‫جند‪:‬‬ ‫ومن املعادلَ ِة (‪ُ )2‬‬

‫ ‬

‫(‪)1‬‬

‫(‪)2‬‬

‫(‪)َ2‬‬

‫جند أنَّ‪:‬‬ ‫لطرف ُ‬ ‫ٍ‬ ‫ني (‪ )1‬و(‪ )2‬طرفاً‬ ‫مبقارن ِة املعادلتَ ِ‬

‫�أ�ستنت ُج �أ َّن‪:‬‬

‫أمثال يف املعادلةِ‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫على‬

‫أمثال‬ ‫ِ‬ ‫سالب‬ ‫ميل املستقي ِم يساوي َ‬ ‫َ‬

‫أمثال‬ ‫َ‬ ‫ويساوي‬

‫يف املعادلَ ِة‬

‫‪.‬‬

‫مثالٌ ‪:‬‬

‫ميل املستقيمِ‪:‬‬ ‫أوجد َ‬ ‫ْ‬

‫احللُّ ‪:‬‬ ‫‪َ .3‬‬ ‫كيف ُن نِّ ُ‬ ‫م�ستقيم؟‬ ‫عي معادل َة‬ ‫ٍ‬

‫بإحدى احلالتنيِ‪:‬‬ ‫َ‬ ‫يتعينَّ ُ املستقي ُم يف املستوي‬ ‫‪ -‬معرف ُة ميلِ ِه ونقطٍة منهُ‪.‬‬

‫‪ -‬معرف ُة نقطتا ِن خمتلفتا ِن منهُ‪.‬‬

‫مترينٌ حملولٌ ‪:‬‬

‫ِس‬ ‫ُعطى يف َم ْعلٍَم مُتجان ٍ‬ ‫م ً‬

‫و‬

‫ِّقاط األربع ُة اآلتيةُ‪:‬‬ ‫الن ُ‬ ‫و‬

‫‪48‬‬

‫و‬

‫‪.‬‬

‫ّر�س الرَّابعُ‪ :‬تطبيقاتٌ فـي امل ُ�سْ َتوِي الإِحْ دَاثِيٍّ‬ ‫الد ُ‬ ‫متهي ٌد (حتديثُ امل�ستوي)‬ ‫حتديث املستقي ِم‬ ‫َ‬ ‫إن‬ ‫َّ‬

‫حقيقي‬ ‫ٍّ‬ ‫بعدد‬ ‫ٍ‬ ‫كل نقطٍة من ُه‬ ‫يعين جعلَ ُه حِموَراً‪ ،‬ومقابل َة ِّ‬

‫َاط املستقي ِم‬ ‫ِل منطل ِق ِه جمموع َة نِق ِ‬ ‫بذلك تُقَاب ُ‬ ‫َ‬ ‫هذهِ النُّقطةِ‪ .‬يَتعينَّ ُ‬ ‫ندعوه‪ :‬فاصل َة ِ‬

‫ومستقرهِ‬ ‫ِّ‬

‫ ‬

‫‪.‬‬

‫ ‬

‫الشكل (‪)1-4‬‬

‫ ‬

‫نسميهما احملورين‬

‫مثل‬ ‫حمورين ِ‬ ‫ِ‬ ‫يعن نسبتَ ُه إىل‬ ‫وحتديث املستوي يِ‬ ‫ُ‬

‫من‬ ‫ُنائيٍة َ‬ ‫من هذا املستوي بث َّ‬ ‫كل نقطٍة ْ‬ ‫َم مقابل ُة ِّ‬ ‫ومن ث َّ‬ ‫كل (‪ْ )3-4‬‬ ‫الش ُ‬ ‫االحداثيني‪َّ .‬‬ ‫نقط املستوي‬ ‫ُل منطل ِق ِه جمموع َة ِ‬ ‫ْق تقَاب ِ‬ ‫َوف َ‬

‫كل‬ ‫الش ِ‬ ‫َّ‬

‫‪.‬‬

‫كل نقطة يف املستوي مثل‬

‫مثل‬

‫متثل بثنائية‬

‫كما يف الشكل (‪.)2-4‬‬

‫احملورين‬ ‫ِ‬ ‫وسنقتص ُر يف دراستِنا على اتخِّ ا ِذ‬ ‫ني‪ .‬‬ ‫نظامي ِ‬ ‫َّ‬ ‫متعامدين‬ ‫ِ‬

‫الشكل (‪)2-4‬‬

‫ ‬

‫ِس ًة‬ ‫نظامي ًة متجان َ‬ ‫َّ‬ ‫ِدةً‬ ‫بأن يكو َن َم ْعلَُم املستوي مجل ًة متعام َ‬ ‫ْ‬

‫‪43‬‬

‫‪.‬‬

‫ومستقرهِ‬ ‫ِّ‬

‫الوحدة الثانية‬

‫الهند�سة التحليلية‬

‫الدر�س الرابع‪ :‬تطبيقات يف املستوي االحداثي‪.‬‬ ‫الدر�س اخلام�س‪ :‬املتجهات‪.‬‬

‫يتوقع يف نهاية الوحدة أن يكون املتعلم قادراً على‪:‬‬

‫‪ .1‬إجياد طول قطعة مستقيمة‪.‬‬

‫‪ .2‬حتديد املستقيمات املتوازية واملتعامدة‪ ،‬والعالقة بني ميليهما‪.‬‬

‫‪ .3‬إجياد البعد بني نقطة معلومة ومستقيم معلوم‪ ،‬والبعد بني مستقيمني متوازيني يف‬ ‫املستوي‪.‬‬

‫‪ .4‬إجياد معادلة الدائرة‪.‬‬

‫‪ .5‬إجياد نسبة التشابه يف املثلث‪.‬‬

‫‪ .6‬نعريف املتجهات وخصائصها‪.‬‬

‫‪ .7‬حتديد االرتباط اخلطي وحساب املسافة حتليلياً‪.‬‬

‫‪41‬‬

‫مترينات (‪)1‬‬ ‫رجات‪:‬‬ ‫ِ‬ ‫بالد‬ ‫قياسها َّ‬ ‫ُ‬ ‫من الزَّوايا التيِ‬ ‫ُل َ‬ ‫قياس ك ٍّ‬ ‫ُحس ْب بالرَّاديا ِن َ‬ ‫‪ .1‬ا ُ‬ ‫ ‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪d‬‬

‫ ‬

‫)‪d‬‬

‫ ‬

‫قياسها بالرَّاديان هوَ‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫القياسي والتيِ‬ ‫ِّ‬ ‫الوضع‬ ‫ِ‬ ‫املوجه َة يف‬ ‫َرس ُم الزَّوايا َّ‬ ‫‪ .2‬ا ُ‬ ‫ ‬ ‫)‪b‬‬

‫ )‪a‬‬

‫ )‪ c‬‬

‫ ‬

‫)‪a‬‬

‫ ‬

‫ )‪c‬‬

‫ ‬

‫نفسها‪.‬‬ ‫قياسات أُخرَى للزَّاوي ِة ِ‬ ‫ٍ‬ ‫ثالث‬ ‫ُب َ‬ ‫‪ ،‬فا ْكت ْ‬ ‫قياس‬ ‫‪ .3‬إذا كا َن ُ‬ ‫فندق على‬ ‫ٍ‬ ‫اخنفاض قاعدةِ‬ ‫ِ‬ ‫قياس زاوي ِة‬ ‫َ‬ ‫أن‬ ‫ُجد َّ‬ ‫ارتفاع ُه ‪ 25‬مرتاً و ِ‬ ‫ُ‬ ‫َاء‬ ‫ِم ِة بِن ٍ‬ ‫من ق َّ‬ ‫‪ْ .4‬‬ ‫ِم ِة الفند ِق‬ ‫ارتفاع ق َّ‬ ‫ِ‬ ‫وقياس زاوي ِة‬ ‫َ‬ ‫‪،‬‬

‫أفقي تُساوي‬ ‫شارع ٍّ‬ ‫ٍ‬ ‫من‬ ‫اجلانب اآلخ ِر ْ‬ ‫ِ‬ ‫ارتفاع الفندقِ؟‬ ‫ُ‬ ‫فما‬

‫‪،‬‬

‫من أما ِم‬ ‫َهر يمَ ُّر ْ‬ ‫عرض ن ٍ‬ ‫َ‬ ‫أن حُي ِّد َد‬ ‫ارتفاع ُه ‪ 40‬مرتاً‪ ،‬أرا َد ْ‬ ‫ُ‬ ‫َاء‬ ‫سطح بِن ٍ‬ ‫ِ‬ ‫يقف رج ٌل على‬ ‫‪ُ .5‬‬

‫اخنفاض النُّقط ِة‬ ‫ِ‬ ‫قياس زاوي ِة‬ ‫أن َ‬ ‫فوجد َّ‬ ‫َ‬ ‫َاء‬ ‫البِن ِ‬

‫تُساوي‬

‫اخنفاض‬ ‫ِ‬ ‫وقياس زاوي ِة‬ ‫َ‬ ‫‪،‬‬

‫تُساوي‬

‫كانت النُّقطتا ِن‬ ‫‪ .‬فإذا ِ‬

‫النُّقط ِة‬

‫الض َّف ِة البعيدةِ للنَّه ِر‬ ‫على ِّ‬

‫الض َّّف ِة ال َق ِر ْيبَ ِة للنَّه ِر‬ ‫على ِّ‬

‫َاء على استقامٍة‬ ‫وقاعدةُ البِن ِ‬

‫رض النَّهرِ؟ الشكل‬ ‫واحدٍة فما َع ُ‬

‫(‪ )20-1‬‬

‫ ‬

‫الشكل (‪)20-1‬‬

‫‪18‬‬

‫واحلاالت (‪ِّ )4( ،)3( ،)2( ،)1‬‬ ‫توض ُح‬ ‫ُ‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫األوضاع املُ ْم ِكنَ ِة ُّ‬ ‫قبل‬ ‫عاع‬ ‫بعض‬ ‫للش ِ‬ ‫ِ‬ ‫وبعد َد َو َرانِ ِه‪ .‬‬ ‫َ‬

‫(‪)3‬‬

‫ ‬

‫الش ُ‬ ‫َّ‬ ‫كل (‪)4-1‬‬

‫(‪)4‬‬

‫ُ‬ ‫يف ِّ‬ ‫اجلديد ُّ‬ ‫نسمي‬ ‫عاع‬ ‫الوضع‬ ‫أن‬ ‫َ‬ ‫نالحظ َّ‬ ‫َ‬ ‫مرٍة يعينِّ ُ زاوي ًة‪ِّ ،‬‬ ‫للش ِ‬ ‫كل َّ‬ ‫ْ‬ ‫َ‬ ‫الدورا َن ِّ‬ ‫لع‬ ‫حول نقط ِة بداي ِة‬ ‫الدورا ِن‬ ‫ِن َّ‬ ‫بدأنَا م ْن ُه َّ‬ ‫االبتدائي للزَّاوي ِة النَّاجت ِة م َ‬ ‫الض َ‬ ‫َّ‬ ‫ُ‬ ‫ُّ‬ ‫ومثل هذه‬ ‫ِّهائي للزَّاوي ِة النَّاجتةِ‪،‬‬ ‫ِّهائي‬ ‫سمي‬ ‫َ‬ ‫َ‬ ‫عاع‪ ،‬كما نُ ِّ‬ ‫الش ِ‬ ‫الضلع الن َّ‬ ‫الوضع الن َّ‬ ‫الذي‬

‫ب(‬ ‫سمى زوايا‬ ‫َّ‬ ‫موجه ًة والز ُ‬ ‫َّوج املرتَّ ُ‬ ‫الزَّوايَا تُ َّ‬

‫‪،‬‬

‫) ميث ُ‬ ‫موجه ًة‪.‬‬ ‫ِّل زاوي ًة‬ ‫َّ‬

‫ملحوظة (‪:)2‬‬

‫الش ُ‬ ‫يبينِّ ُ َّ‬ ‫ني‪،‬‬ ‫ني َّ‬ ‫موجهت ِ‬ ‫كل (‪ )5-1‬زاويت ِ‬

‫عن دورا ِن‬ ‫ت ْ‬ ‫نتج ْ‬ ‫األوىل َ‬

‫جِّ‬ ‫باتاهِ‬

‫أن‬ ‫عكس‬ ‫ني َّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫الساعةِ‪ ،‬يف ح ِ‬ ‫عقارب َّ‬ ‫جِّ‬ ‫باتاهِ‬ ‫عن دورا ِن‬ ‫ت ْ‬ ‫نتج ْ‬ ‫الثّاني َة َ‬ ‫الساعةِ‪.‬‬ ‫ِ‬ ‫عقارب َّ‬

‫قياس الزَّاوي َة يكو ُن‬ ‫أن‬ ‫وقد اتُف َق على َّ‬ ‫َ‬ ‫ُموجباً إذا كانَ ‬

‫ ‬ ‫الدورا ُن يف جِّ‬ ‫الدورا ُن جِّ‬ ‫اتاهِ‬ ‫باتاهِ‬ ‫عكس‬ ‫الساع ِة بينَ َما يكو ُن سالِباً إذا كا َن َّ‬ ‫َّ‬ ‫ِ‬ ‫ِ‬ ‫عقارب َّ‬ ‫الساعةِ‪.‬‬ ‫دورا ِن‬ ‫ِ‬ ‫عقارب َّ‬ ‫الشكل (‪)5-1‬‬

‫موجهةٍ‪:‬‬ ‫الو�ض ُع‬ ‫القيا�سي لزاوي ٍة َّ‬ ‫ُّ‬

‫ُ‬ ‫جه ِة املرسوم ِة يف َّ‬ ‫نالحظ ما يَأتي‪:‬‬ ‫كل (‪)6-1‬‬ ‫بالنَّظ ِر إىل الزَّوايا امل َو َّ‬ ‫الش ِ‬ ‫رأس الزَّاوي ِة يف ٍّ‬ ‫األصل‪.‬‬ ‫يقع على نقط ِة‬ ‫ِ‬ ‫كل م ْن َها ُ‬ ‫�أ َّوالً‪ُ :‬‬ ‫‪8‬‬

‫الدر�س الأول‪:‬‬

‫الزَّوايا وقيا�سُ هَا‬

‫وقيا�سها‪:‬‬ ‫املوجه ُة‬ ‫‪ 1-1‬ال َّزاوي ُة َّ‬ ‫ُ‬

‫حتديد جِّ‬ ‫جوانب‬ ‫نشاهد على‬ ‫اليومي ِة‬ ‫األهم َّيةِ‪ ،‬ففي حياتِنَا‬ ‫أمر يف غاي ِة‬ ‫إن‬ ‫ُ‬ ‫َ‬ ‫َّ‬ ‫ِ‬ ‫ِّ‬ ‫االتاهِ ٌ‬ ‫َّ‬ ‫حتد ُد جِّ‬ ‫ُّ‬ ‫ِ‬ ‫ري‪،‬‬ ‫إشارات‬ ‫الطر ِق‬ ‫مرور ِّ‬ ‫الس ِ‬ ‫ٍ‬ ‫اتاهَ َّ‬ ‫َ‬ ‫السالم ِة‬ ‫ينبغي االلتزا ُم بِ َها‬ ‫حفاظاً على َّ‬ ‫الش ُ‬ ‫كل (‪ )1-1‬بعضاً‬ ‫العامةِ‪ ،‬ويُبينِّ ُ َّ‬ ‫َّ‬ ‫ا‪.‬ولتحديد جِّ‬ ‫ِ‬ ‫أهم َّيةٌ أيضاً يف‬ ‫من َه‬ ‫التاهِ ِّ‬

‫الرياضيات‪ .‬‬ ‫ِّ‬ ‫فالش ُ‬ ‫أن ُّ‬ ‫َّ‬ ‫كل (‪ِّ )2-1‬‬ ‫ ‬ ‫عاع‬ ‫الش َ‬ ‫يوض ُح َّ‬ ‫الذي نقط ُة بدايتِ ِه ‪ o‬جَِّ‬ ‫ني‪.‬‬ ‫واتا ُه ُه إىل اليم ِ‬

‫الشكل (‪)1-1‬‬

‫كل (‪ )3-1‬ميث ُ‬ ‫الش َ‬ ‫كما أن َّ‬ ‫ميكن ‬ ‫ِّل زاوي ًة‬ ‫ُ‬ ‫أوالزَّاوي ُة‬ ‫قرائتُ َهاكالتَّايل‪ :‬الزَّاوي ُة‬

‫الش ُ‬ ‫َّ‬ ‫كل (‪)2-1‬‬

‫ ‬ ‫‪.‬‬

‫الش ُ‬ ‫َّ‬ ‫كل (‪)3-1‬‬

‫ملحوظة (‪:)1‬‬ ‫ُ‬ ‫نالحظ يف َّ‬ ‫كل (‪ )4-1‬أَنَّ ُه إذا دا َر‬ ‫الش ِ‬ ‫َ‬ ‫حنص ُل على ٍ ‬ ‫وضع‬ ‫حول النُّقط ِة ‪ o‬فإنَّنَا ُ‬ ‫ُ‬ ‫حنصل‬ ‫‪ ،‬وبالتَّايل فإنَّنَا‬ ‫وليكن‬ ‫آخر له‬ ‫ْ‬ ‫ٍ‬ ‫رأسها النُّقط ُة‬ ‫و‬ ‫على زاويٍة بني‬ ‫ُ‬

‫ ‬ ‫(‪)1‬‬

‫‪.o‬‬

‫‪7‬‬

‫(‪)2‬‬

‫ملحة تاريخية‪:‬‬ ‫كان حلساب املثلثات دور كبري يف احلضارة الفرعونية عند بناء األهرامات الثالثة‪ ،‬كما‬

‫كان له تأثري كبري على مالحظاتهم الفلكية يف ذلك الوقت‪.‬‬

‫كذلك كان للبابليني اهتمام كبري بالفلك‪ ،‬ومن ثم حبساب املثلثات‪.‬‬

‫وبدورهم األغريق اعتمدوا على كثري من املعلومات اليت وصلت إليهم من البابليني‬

‫واملصريني‪ ،‬وذلك عندما طوروا الساعة الشمسية أو ما يسمى باملقياس الشمسي سنة ألف‬ ‫ومخس مئة قبل امليالد‪.‬‬

‫يعرف حساب املثلثات على أنه قياس املثلث‪ ،‬وهو قديم قدم حاجة اإلنسان ومعرفته‬

‫بالفلك واهلندسة‪ ،‬ومبا أن قياس املثلث مفهوم يدخل حتت اهلندسة وتطبق مفاهيمه يف‬

‫الفلك‪ ،‬فإن حساب املثلثات يتبع اهلندسة والفلك حبسب االستخدام واحلاجة حتى مت فصله‬

‫كعلم مستقل يف القرن التاسع امليالدي خالل نهضة احلضارة اإلسالمية‪.‬‬

‫‪6‬‬

‫الوحد ُة الأُوىل‬

‫ح�ساب املث َّل ِ‬ ‫ثات‬ ‫ُ‬

‫وقياسها‪.‬‬ ‫الدرس األول‪ :‬الزَّوايَا‬ ‫ُ‬ ‫الدائريَّ ُة‪.‬‬ ‫ائري والقِطع ُة َّ‬ ‫الدرس الثاني‪ :‬ال َق ّطاع َّ‬ ‫الد ُّ‬ ‫ثي ُة‪.‬‬ ‫الدرس الثالث‪ :‬الن َ‬ ‫ِّس ُب املُثلَّ َّ‬ ‫يتوقع يف نهاية الوحدة أن يكون املتعلم قادراً على‪:‬‬

‫‪ .1‬إجياد قيم اجليب وجيب التمام والظل لزاوية قياسها ‪.‬‬ ‫‪ .2‬اجياد زوايا االرتفاع واالخنفاض‪.‬‬

‫‪ .3‬اجياد طول قوس ومساحة القطاع الدائري والقطعة الدائرية‪.‬‬ ‫‪ .4‬استنتاج النسب املثلثية يف املثلث قائم الزاوية‪.‬‬

‫‪ .5‬اجياد العالقات بني الدوال املثلثية على دائرة الوحدة (الدائرة املثلثية)‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫املحتويات‬ ‫الوحد ُة الأُوىل‪:‬‬

‫ح�ساب املث َّلثات ‬ ‫ُ‬

‫‪5‬‬

‫وقياس َها ‬ ‫األو ُل‪ :‬الزَّوايا‬ ‫َّ‬ ‫رس َّ‬ ‫الد ُ‬ ‫ُ‬

‫‪7‬‬

‫ائري والقِطع ُة ‬ ‫رس الثَّاني‪ :‬ال َق ّطاع َّ‬ ‫َّ‬ ‫الد ُّ‬ ‫الد ُ‬

‫‪19‬‬

‫ثي ُة ‬ ‫رس الث ُ‬ ‫ّ‬ ‫الد ُ‬ ‫َّالث‪ :‬الن َ‬ ‫ِّس ُب املُثلَّ َّ‬

‫‪29‬‬

‫‪18‬‬

‫مترينات (‪ )1‬‬ ‫ٌ‬

‫‪28‬‬

‫مترينات (‪)2‬‬

‫مترينات (‪ )3‬‬

‫الوحدة الثانية‪:‬‬

‫‪39‬‬

‫الهند�سة التحليلية ‬

‫ِي ‬ ‫ابع‪:‬‬ ‫ّ‬ ‫ٌ‬ ‫الر ُ‬ ‫الد ُ‬ ‫رس َّ‬ ‫تطبيقات يف املُ ْستَ ِوي اإلِ ْح َداث ٍّ‬ ‫مترينات (‪)4‬‬ ‫هات و َ‬ ‫ِصها ‬ ‫رس‬ ‫َّ‬ ‫اخلامس‪ :‬املتَّ ِج ُ‬ ‫خصائ ُ‬ ‫الد ُ‬ ‫ُ‬

‫مترينات (‪)5‬‬

‫الوحد ُة ال َّثالث ُة‪:‬‬

‫الهند�س ُة الفراغ َّي ُة ‬

‫ادس‪ :‬الن َ‬ ‫واملستقيم واملستوي ‬ ‫ُّقط ُة‬ ‫َّ‬ ‫الس ُ‬ ‫الد ُ‬ ‫رس َّ‬ ‫ُ‬

‫مترينات (‪ )6‬‬ ‫ٌ‬

‫‪41‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪62‬‬

‫‪65‬‬

‫‪75‬‬

‫‪77‬‬ ‫‪79‬‬

‫‪93‬‬ ‫‪95‬‬

‫ات ‬ ‫َّ‬ ‫املج َّس َم ُ‬ ‫السابِ ُع‪َ :‬‬ ‫الد ُ‬ ‫رس َّ‬

‫‪120‬‬

‫مترينات (‪ )7‬‬

‫‪4‬‬

‫حيم‬ ‫ب�سم ا ِ‬ ‫هلل ال َّر ِ‬ ‫حمن ال َّر ِ‬ ‫ِ‬ ‫امل ُ َق ِّد َم ُة‬ ‫نضع بني يدي أبنائنا األعزاء كتاب اهلندسة التحليلية للصف األول الثانوي العام‪،‬‬

‫والذي أعد وفق املعايري العامة اليت ضعتها وزارة الرتبية يف اجلمهورية العربية‬ ‫السورية‪.‬‬

‫وحرصنا يف إعداد هذا الكتاب على إغناء ثقافة الطالب مبفاهيم الرياضيات الرئيسة‬

‫وتقدميها يف مقاربة شاملة مركزة على فهم مبادئ الرياضيات وعالقتها باحلياة اليومية‬

‫يف ميادين شتى‪.‬‬

‫وقد احتوى الكتاب ثالث وحدات دراسة؛ األوىل حبثت يف الزوايا وقياسها والنسب‬

‫املثلثية وتطبيقات املثلث القائم‪ ،‬والثانية‪:‬يف اهلندسة التحليلية‪ ،‬وتعرضت لبعض‬

‫التطبيقات يف املستوى اإلحداثي واملتجهات‪ ،‬والثالثة‪ :‬يف اهلندسة الفراغية‪ ،‬وتناولت‬ ‫هذه الوحدة النقطة واملستقيم واملستوى واملجسمات‪ ،‬كما تضمنت كل وحدة دروساً‬ ‫عدة‪ ،‬مت تعزيزها يف النهاية مبجموعة من األسئلة والتمرينات املتدرجة يف املستوى‬

‫لتمكني املدرس من متابعة مجيع طالبه وفق مستوياتهم‪.‬‬

‫وكلنا أمل يف زمالئنا املدرسني أن يعملوا على حتقيق األهداف املرجوة لبناء مستقبل‬ ‫وطننا وأمتنا العربية‪ ،‬بناء مشيداً على العلم واملعرفة لتتبوأ مكانتها احلضارية‪.‬‬ ‫وأخرياً‪ :‬نرجو أن نكون قد وفقنا يف إعداد منهج تتحقق من خالله األهداف‬

‫العلمية والرتبوية‪ ،‬واهلل من وراء القصد‪.‬‬

‫امل�ؤلفون‬

‫‪3‬‬

ُ ُ

www.istishraf.org ُ

2