Energ´ıa elastica
Ampliaci´on de Resistencia de Materiales, curso 2013/14
En Resistencia de Materiales se demostr´ o que en un cuerpo el´ astico, la energ´ıa almacenada despu´es de aplicar fuerzas F i , i = 1, . . . , N se pod´ıa calcular como W =
N X 1 i=1
2
F i · ui ,
(1)
siendo ui el desplazamiento bajo el punto de aplicaci´on de la carga al final de la aplicaci´on de todas ellas. En un medio continuo, la energ´ıa el´astica total se puede calcular como la integral de un densidad de energ´ıa el´ astica w de la forma Z W = w dv . (2) Ω
La densidad de energ´ıa el´astica, que es la energ´ıa de un diferencial de volumen, se puede obtener extendiendo la definici´ on (1) como w=
1 (σxx εxx + σyy εyy + σzz εzz + τxy γxy + τxz γxz + τyz γyz ) . 2
(3)
Empleando la ley de Hooke generalizada es sencillo obtener una expresi´on de la densidad de energ´ıa el´ astica en funci´ on de las tensiones u ´nicamente: w=
1 2 1 2 2 2 2 2 σxx + σyy + σzz − 2ν(σxx σyy + σxx σzz + σyy σzz ) + τxy + τxz + τyz . (4) 2E 2G
Tambi´en se puede expresar la densidad energ´ıa el´astica u ´ nicamente en funci´on de las deformaciones resultando en 2 2 2 w = λ (εxx + εyy + εzz )2 + G 2ε2xx + 2ε2yy + 2ε2zz + γxy + γxz + γyz . (5) Por u ´ ltimo, observamos que ambas expresiones para la densidad de energ´ıa el´astica se pueden escribir de forma m´as compacta si empleamos la base principal de tensi´ on y deformaci´ on, resultando en: 1 2 σI + σII 2 + σIII 2 − 2ν(σI σII + σI σIII + σII σIII ) 2E = λ (εI + εII + εIII )2 + 2G εI 2 + εII 2 + εIII 2 .
w=
1
(6)
I. Romero, 17/2/2014