Resumen ecuacion de la circunferencia

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA EcuaciĂłn ordinaria: (đ?‘Ľ − â„Ž)2 + (đ?‘Ś − đ?‘˜ )2 = đ?‘&#x; 2 Centro (â„Ž, đ?‘˜ ) 1) Dado el centro y el radio determine la ecuaciĂłn ordinaria de la circunferencia. a) đ??ś: (−3,7) đ?‘&#x; = 5 h = -3, k = 7 y r = 5 → sustituimos en la ecuaciĂłn (đ?‘Ľ − â„Ž)2 + (đ?‘Ś − đ?‘˜ )2 = đ?‘&#x; 2 en el caso de h y k aplicamos ley de signos. (đ?‘Ľ − â„Ž ) 2 + (đ?‘Ś − đ?‘˜ )2 = đ?‘&#x; 2 (đ?‘Ľ − −3)2 + (đ?‘Ś − 7)2 = 52 (đ?‘Ľ + 3)2 + (đ?‘Ś − 7)2 = 25 Ahora si nos dan la ecuaciĂłn ordinaria ya formada podemos determinar el centro y el radio.

Dada la ecuaciĂłn de la circunferencia (đ?‘Ľ − 5)2 + (đ?‘Ś + 12)2 = 49, determine el centro y el radio.

Tenemos que tener en cuenta que h es lo que “acompaĂąa a xâ€? y k lo que “acompaĂąa a yâ€? y le cambiamos el signo a cada nĂşmero y para obtener el radio calculamos la raĂ­z del nĂşmero que esta despuĂŠs del igual.

AsĂ­ tendrĂ­amos que en el caso de (đ?‘Ľ − 5)2 + (đ?‘Ś + 12)2 = 49 que â„Ž = 5, esta negativo se pasa a positivo y đ?‘˜ = −12, esta positivo pasa a negativo y đ?‘&#x; = 7, ya que √49 = 7. Por lo tanto: đ??ś: (5, −12) đ?‘Ś đ?‘&#x; = 7 Analicemos el siguiente caso: determine la ecuaciĂłn de centro đ??ś: (0, −8) đ?‘Ś đ?‘&#x; = 2 TendrĂ­amos que â„Ž = 0, đ?‘˜ = −8 đ?‘Ś đ?‘&#x; = 2, formando la ecuaciĂłn obtendrĂ­amos: (đ?‘Ľ − â„Ž ) 2 + (đ?‘Ś − đ?‘˜ )2 = đ?‘&#x; 2 (đ?‘Ľ − 0)2 + (đ?‘Ś + 8)2 = 4 →Sustituimos los valores de h y k y elevamos el radio a la 2 y aplicamos ley de signos por eso el 8 queda positivo.

� 2 + (� + 8)2 = 4 → Cuando x o y vayan acompaùados de 0 solo colocamos la letra ya sea x o y elevada a la 2. ** Entonces

si nos dan la ecuaciĂłn (đ?‘Ľ − 9)2 + đ?‘Ś 2 = 36 , ÂżcuĂĄl serĂ­a el centro y el

radio de dicha ecuaciĂłn?

La respuesta serĂ­a đ??ś: (9,0) đ?‘Ś đ?‘&#x; = 6. Recuerde que la ecuaciĂłn ordinaria es (đ?‘Ľ − â„Ž ) 2 + (đ?‘Ś − đ?‘˜ )2 = đ?‘&#x; 2

Ya observamos como determinar la ecuaciĂłn ordinaria dado el centro y el radio y como obtener el centro y el radio si nos dan la ecuaciĂłn ordinaria.

Ahora que pasa si nos dan la representaciĂłn grĂĄfica de una ecuaciĂłn de la circunferencia. Como por ejemplo la siguiente representaciĂłn:

2 estĂĄ en el eje x por lo tanto h = 2, 6 estĂĄ en el eje y por lo tanto k = 6 y r = 4 ya que del centro al “borde de la circunferencia hay 4 unidades.

k=6

h=2

Observemos que el centro es đ??ś: (2,6) đ?‘Ś đ?‘’đ?‘™ đ?‘&#x; = 4, ya que lo que hacemos es que h serĂĄ el valor con el que estĂŠ relacionado el centro en el eje “xâ€? y k serĂĄ el valor que estĂŠ relacionado con el eje “yâ€? y el radio son las unidades que hay del centro al “bordeâ€? de la circunferencia.

Con esto podemos formar la ecuaciĂłn de la circunferencia: (đ?‘Ľ − â„Ž ) 2 + (đ?‘Ś − đ?‘˜ )2 = đ?‘&#x; 2 (đ?‘Ľ − 2)2 + (đ?‘Ś − 6)2 = 16 Veamos la siguiente representaciĂłn grĂĄfica de una ecuaciĂłn de la circunferencia: ÂżCuĂĄl es el centro y el radio?

C: ________ r = ________ ÂżCuĂĄl es la ecuaciĂłn ordinaria?

( đ?‘Ľ − â„Ž ) 2 + (đ?‘Ś − đ?‘˜ ) 2 = đ?‘&#x; 2

EcuaciĂłn general: đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ??ˇđ?‘Ľ + đ??¸đ?‘Ś + đ??š = 0 Para poder obtener la ecuaciĂłn general de una circunferencia dado el centro y el radio procederemos a utilizar las siguientes fĂłrmulas: đ??ś: (â„Ž, đ?‘˜ ) đ?‘Ś đ?‘&#x;.

Para determinar D: đ??ˇ = −2 ∙ â„Ž Para determinar E: đ??¸ = −2 ∙ đ?‘˜ Para determinar F:

Ejemplo: Sea C: (-4,7) y r = 5, determine la ecuaciĂłn general de la circunferencia.

đ??ˇ = −2 ∙ â„Ž → đ??ˇ = −2 ∙ −4 = 8 đ??¸ = −2 ∙ đ?‘˜ → đ??¸ = −2 ∙ 7 = −14 đ??š = â„Ž2 + đ?‘˜ 2 − đ?‘&#x; 2 → đ??š = (−4)2 + (7)2 − (5)2 = 40

∴ đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + 8đ?‘Ľ − 14đ?‘Ś + 40

đ??š = â„Ž2 + đ?‘˜ 2 − đ?‘&#x; 2

Ahora como obtenemos el centro y el radio de una ecuaciĂłn general, lo haremos con las siguientes fĂłrmulas: Dada la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ??ˇđ?‘Ľ + đ??¸đ?‘Ś + đ??š = 0, utilizaremos: Para determinar h: â„Ž=

−đ??ˇ 2

Para determinar k: đ?‘˜=

−đ??¸ 2

Para determinar r: √(đ??ˇ)2 + (đ??¸)2 − 4đ??š đ?‘&#x;= 2

Ejemplo: Sea la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − 10đ?‘Ľ + 6đ?‘Ś − 20 = 0 determine el centro y el radio:

â„Ž=

−đ??ˇ − − 10 →ℎ= =5 2 2

đ?‘˜=

−đ??¸ −6 →đ?‘˜= = −3 2 2

đ?‘&#x;=

√(đ??ˇ )2 + (đ??¸)2 − 4đ??š √(−10)2 + (6)2 − 4 ∙ −20 →đ?‘&#x;= 2 2

đ?‘&#x; = 3√6

∴ đ??ś: (5, −3) đ?‘Ś đ?‘&#x; = 3√6

Practica 1) Determine la ecuaciĂłn ordinaria dados los siguientes centros y radios: a) đ??ś: (−2,7) đ?‘&#x; = 2

b) đ??ś: (6, −12) đ?‘&#x; = 6

c) đ??ś: (0, −4) đ?‘&#x; = 2

d) đ??ś: (0,0) đ?‘&#x; = 5 2) Determine el centro y radio de las siguientes ecuaciones de una circunferencia: a) (đ?‘Ľ − 13)2 + (đ?‘Ś + 5)2 = 32

b) đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − 12đ?‘Ľ + 14đ?‘Ś + 12 = 0

c) (đ?‘Ľ − 1)2 + đ?‘Ś 2 = 64

d) đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ś+đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ľ = 40 3) Determine el centro y el radio de las siguientes representaciones graficas de una circunferencia. a)

b)

c)

ÂżQuĂŠ pasa si me piden determinar la ecuaciĂłn de la circunferencia y no tengo como dato el valor del radio?

Ejemplo: Determine la ecuaciĂłn de la circunferencia cuyo centro corresponde a đ??ś: (−3,6) y pasa por el punto (2, -4).

Como podemos ver nos estĂĄn dando el centro que cumple la funciĂłn de (h, k), pero ocupamos el valor del radio. Este lo obtendremos con la fĂłrmula de las distancia entre dos puntos. ÂżY cuĂĄles serĂ­an esos dos puntos? Son el centro y por donde pasa el otro punto.

Formula de la distancia entre dos puntos: đ?‘‘ = √(đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 )2 + (đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 )2 AsĂ­ tendrĂ­amos que: đ??ś: (−3,6) serĂ­a un punto y (2, −4) el otro punto. (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 )

(đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 )

đ?‘‘ = √(đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 )2 + (đ?‘Ś1 − đ?‘Ś2 )2 đ?‘‘ = √(−3 − 2)2 + (6 − −4)2

đ?‘‘ = 5√5

∴ đ?‘&#x; = 5√5

Ahora si con đ??ś: (−3,6) đ?‘Ś đ?‘&#x; = 5√5 podemos determinar la ecuaciĂłn de la circunferencia ya sea ordinaria o general. ** Nota: cuando se les diga que el centro pasa por el origen o que un punto pasa por el origen se refiere al par ordenado (0, 0).

***PĂĄgina 12 del libro Reforma MatemĂĄtica.

DETERMINAR SI UN PUNTO DADO SE ENCUENTRA EN EL INTERIOR, EXTERIOR O PERTENECE A UNA CIRCUNFERENCIA. Para saber si un punto se encuentra en el interior, exterior o sobre la circunferencia tendremos que hacer uso nuevamente uso de la fĂłrmula de la distancia entre 2 puntos y dicho resultado compararlo con el valor del radio de la circunferencia.

Punto interior: un punto estĂĄ en el interior si la distancia es menor que el radio de la circunferencia.

ď&#x192;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2018; < đ?&#x2018;&#x; Punto exterior: un punto estĂĄ en el exterior si la distancia es mayor que el radio de la circunferencia.

ď&#x192;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2018; > đ?&#x2018;&#x; Punto pertenece a la circunferencia: un punto pertenece a la circunferencia si la distancia es igual que el radio de la circunferencia.

ď&#x192;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x; Ejemplo: Con la ecuaciĂłn (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3)2 + (đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 5)2 = 9, determine si los siguientes puntos estĂĄn en el interior, exterior o sobre la circunferencia: a) (8,4)

b) (4,7)

c) (6,5)

DETERMINAR SI UNA RECTA DADA ES SECANTE, TANGENTE O EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA.