Libro fisica 2o bachillerato

PRÓLOGO Fruto del trabajo semanal dedicado a la preparación de las clases durante varios cursos se publica este libro, que pretende como objetivo principal facilitar a los alumnos de Segundo de Bachillerato el aprendizaje de los conceptos físicos y matemáticos necesarios para superar con éxito el presente curso y la consiguiente Prueba de Acceso a la Universidad.

Su contenido está estructurado en doce temas, y en todos ellos se han incluido una serie de ejercicios que ayudan al estudio de los conceptos teóricos y cantidad de problemas del estilo a los de la PAU. Se ha reducido al máximo la parte literaria que, sin embargo, se ilustra con un gran número de figuras en aras de una mayor y mejor compresión.

Dado el carácter práctico que se ha querido imprimir a este libro, se ha prescindido, en general, de las demostraciones de los teoremas y propiedades, pues consideramos que todo alumno que sienta interés por los mismos puede consultarlos en cualquiera de los muchos libros de texto que existen al respecto.

Madrid, Junio de 2013.

© Juan Ignacio Álvarez Barrios Iván Genovés Isidro Carlos Mateos Sánchez

Edita:

I.S.B.N.: 978-84-15933-10-6 Impreso en España Reservados todos los derechos. Ninguna parte de esta publicación ni de su contenido puede ser reproducida, almacenada o transmitida en modo alguno sin permiso previo y por escrito de los autores.

FÍSICA

2º BACHILLERATO

ÍNDICE TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL 1. Interacciones o fuerzas a distancia............................................................................7 2. Desarrollo de la Teoría de la Gravitación Universal ..................................................7 2.1 Leyes de Kepler ......................................................................................................8 2.2 Deducción de la Ley de Gravitación Universal ......................................................9 2.3 Consecuencias de la Ley de Gravitación Universal ..............................................10 3. Fuerzas conservativas. Energía mecánica. ..............................................................11 3.1 Energía Potencial Gravitatoria .............................................................................12 3.2 Energía Potencial Gravitatoria Terrestre .............................................................13 3.3 Energía Mecánica de un Satélite .........................................................................14 3.4 Energía de Enlace ................................................................................................14 3.5 Velocidad de Escape ............................................................................................15 Ejercicios Resueltos .........................................................................................................17 Ejercicios ..........................................................................................................................22

TEMA 2 – FUERZAS CENTRALES 1. Concepto de Fuerza Central ....................................................................................26 2. Momento de una Fuerza .........................................................................................26 3. Momento Angular de una Partícula ........................................................................27 4. Relación entre Momento de una Fuerza y Momento Angular ...............................28 Ejercicios Resueltos .........................................................................................................30 Ejercicios ..........................................................................................................................32

TEMA 3 – CAMPO GRAVITATORIO 1. Concepto de Campo ................................................................................................34 2. Concepto de Campo Gravitatorio ............................................................................34 2.1 Intensidad de Campo Gravitatorio ......................................................................35 3. Potencial Gravitatorio .............................................................................................36 3.1 Relación entre intensidad de campo y potencial ................................................37 Ejercicios Resueltos .........................................................................................................38 Ejercicios ..........................................................................................................................40

ÍNDICE

1

2º BACHILLERATO

FÍSICA

TEMA 4 – CAMPO ELÉCTRICO 0. Introducción ............................................................................................................41 1. Interacción Electrostática. Ley de Coulomb ............................................................41 2. Principio de Superposición de Fuerzas ....................................................................43 3. Campo Eléctrico .......................................................................................................43 3.1 Intensidad de Campo Eléctrico ............................................................................44 3.2 Principio de Superposición de Campos Eléctricos ...............................................44 4. Potencial Eléctrico ...................................................................................................45 4.1 Diferencia de Potencial entre dos puntos ...........................................................45 5. Relación entre Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico .............................................46 6. Energía Potencial Eléctrica de un Sistema de Cargas ..............................................47 7. Teorema de Gauss ...................................................................................................47 7.1 Flujo Eléctrico ......................................................................................................48 7.2 Aplicaciones del Teorema de Gauss ....................................................................50 Ejercicios Resueltos .........................................................................................................52 Ejercicios ..........................................................................................................................60

TEMA 5 – CAMPO MAGNÉTICO 0. Introducción ............................................................................................................64 1. Propiedades de los Imanes. Desarrollo del Magnetismo ........................................64 2. Campo Magnético ...................................................................................................65 3. Acción de un campo magnético sobre una carga en movimiento ..........................65 3.1 Movimiento de una carga en el interior de un campo magnético ......................67 4. Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica ...............................67 5. Campo magnético creado por una corriente rectilínea e indefinida ......................69 6. Campo magnético creado por una corriente circular .............................................69 7. Fuerza magnética entre corriente paralelas ...........................................................70 8. Campo magnético en el interior de un solenoide ...................................................72 9. Momento Magnético de una Espira ........................................................................73 Ejercicios Resueltos .........................................................................................................75 Ejercicios ..........................................................................................................................79

2

ÍNDICE

FÍSICA

2º BACHILLERATO

TEMA 6 – INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 1. Concepto de Inducción Electromagnética ...............................................................83 1.1. Experiencia de Faraday........................................................................................83 1.2 Experiencia de Henry ...........................................................................................84 1.3 Interpretación de las experiencias de Faraday y de Henry .................................84 2. Ley de Faraday .........................................................................................................85 3. Ley de Lenz ..............................................................................................................86 Ejercicios Resueltos .........................................................................................................87 Ejercicios ..........................................................................................................................91

TEMA 7 – MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE 0. Introducción ............................................................................................................94 1. Movimiento Vibratorio ............................................................................................94 2. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) ...................................................................95 2.1 Ecuación del M.A.S. .............................................................................................96 2.2 Magnitudes del M.A.S. ........................................................................................97 2.3 Velocidad del M.A.S. ............................................................................................98 2.4 Aceleración del M.A.S. .........................................................................................99 3. Dinámica del M.A.S..................................................................................................99 4. Energía de un Oscilador Armónico ........................................................................100 5. Péndulo Simple ......................................................................................................101 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................103 Ejercicios .......................................................................................................................110

TEMA 8 – MOVIMIENTO ONDULATORIO 0.

1.

1.1 2.

2.1 2.2 2.3 3.

4.

Introducción ..........................................................................................................112 Concepto de Onda .................................................................................................112 Pulso y Tren de Ondas .......................................................................................113 Tipos de ondas .......................................................................................................113 En función del Tipo de Energía propagada ........................................................113 En función del Número de Dimensiones ...........................................................114 En función de la Relación entre Propagación y Perturbación o Vibración ........114 Magnitudes características de las Ondas ..............................................................115 Ecuación de Ondas Armónicas Unidimensionales.................................................116

ÍNDICE

3

2º BACHILLERATO

FÍSICA

5. Fase y Oposición de Fase .......................................................................................117 6. Energía del Movimiento Ondulatorio ....................................................................118 6.1 Intensidad de una Onda ....................................................................................119 6.1.1 Absorción .......................................................................................................119 6.1.2 Atenuación ....................................................................................................120 7. El sonido ................................................................................................................120 7.1 Sonoridad e Intensidad......................................................................................121 Ejercicios Resueltos ......................................................................................................122 Ejercicios ........................................................................................................................126

TEMA 9 – LA LUZ 0. Introducción ..........................................................................................................131 1. Naturaleza de la luz ...............................................................................................131 1.1 Teoría Corpuscular de la luz ..............................................................................131 1.2 Teoría Ondulatoria de la luz ..............................................................................132 1.3 Doble naturaleza de la luz .................................................................................133 2. Índice de Refracción ..............................................................................................133 3. Reflexión y Refracción de la luz .............................................................................134 3.1 Reflexión de la luz ..............................................................................................135 3.2 Refracción de la luz ............................................................................................136 4. Ángulo límite y Reflexión total ..............................................................................137 5. Fenómenos asociados a la Refracción ...................................................................138 5.1 Paso de luz a través de una lámina de caras planas y paralelas........................138 5.2 Dispersión de la luz ............................................................................................138 5.3 Prisma Óptico ....................................................................................................140 Ejercicios Resueltos .......................................................................................................142 Ejercicios ........................................................................................................................147

4

ÍNDICE

FÍSICA

2º BACHILLERATO

TEMA 10 – ÓPTICA GEOMÉTRICA 0. Conceptos básicos .................................................................................................150 1. Dioptrio ..................................................................................................................150 2. Conceptos básicos de la Óptica Geométrica .........................................................150 3. Criterio de signos en Óptica Geométrica ..............................................................151 4. Dioptrio esférico ....................................................................................................152 5. Espejos Esféricos....................................................................................................152 5.1 Formación de imágenes en espejos esféricos ...................................................153 5.1.1 Formación de imágenes en espejos cóncavos ..............................................153 5.1.2 Formación de imágenes en espejos convexos ..............................................154 6. Lentes ....................................................................................................................154 6.1 Potencia de una lente ........................................................................................155 6.2 Construcción de imágenes en lentes delgadas .................................................155 6.3 Imágenes en lentes convergentes .....................................................................155 6.4 Imágenes en lentes divergentes ........................................................................155 7. Sistemas ópticos formados por varias lentes ........................................................156 8. Instrumentos ópticos: lupa y microscopio ............................................................156 Formación de imágenes en espejos cóncavos ..............................................................157 Formación de imágenes en espejos convexos ..............................................................158 Formación de imágenes en lentes convergentes (biconvexas) .....................................158 Formación de imágenes en lentes divergentes (bicóncavas)........................................159 Ejercicios Resueltos .......................................................................................................160 Ejercicios ........................................................................................................................166

TEMA 11 – FÍSICA CUÁNTICA 0. Introducción ..........................................................................................................170 1. Radiación Térmica. Teoría de Planck .....................................................................170 1.1 Hipótesis de Planck ............................................................................................171 2. Efecto Fotoeléctrico. Teoría de Einstein................................................................172 3. Mecánica Cuántica ................................................................................................173 3.1 Hipótesis de De Broglie .....................................................................................173 3.2 Principio de Incertidumbre de Heisenberg .......................................................174 Ejercicios Resueltos .......................................................................................................175 Ejercicios ........................................................................................................................180

ÍNDICE

5

2º BACHILLERATO

FÍSICA

TEMA 12 – FÍSICA NUCLEAR 1. Composición del núcleo de los átomos. Isótopos .................................................184 1.1 Volumen y Masa del núcleo ..............................................................................185 2. Masa Relativista.....................................................................................................186 2.1 Equivalencia Masa-Energía ................................................................................186 3. Estabilidad del núcleo. Energía de enlace .............................................................187 3.1 Defecto de masa. Energía de enlace .................................................................187 4. Radiactividad .........................................................................................................188 4.1 Magnitudes características de la desintegración radiactiva .............................189 4.1.1 Ley de la desintegración radiactiva ...............................................................190 Ejercicios Resueltos .......................................................................................................192 Ejercicios ........................................................................................................................196

FÓRMULAS ESENCIALES Tema 1 – Ley de Gravitación Universal .........................................................................200 Tema 2 – Fuerzas Centrales...........................................................................................202 Tema 3 – Campo Gravitatorio .......................................................................................203 Tema 4 – Campo Eléctrico .............................................................................................204 Tema 5 – Campo Magnético .........................................................................................206 Tema 6 – Inducción Electromagnética ..........................................................................208 Tema 7 – Movimiento Vibratorio Armónico Simple .....................................................209 Tema 8 – Movimiento Ondulatorio ...............................................................................210 Tema 9 – La Luz .............................................................................................................211 Tema 10 – Óptica Geométrica.......................................................................................213 Tema 11 – Física Cuántica .............................................................................................214 Tema 12 – Física Nuclear ...............................................................................................215

6

ÍNDICE

FÍSICA

2º BACHILLERATO

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL 1. INTERACCIONES O FUERZAS A DISTANCIA Existen en la Naturaleza distintos tipos de interacción a distancia: A) Interacción gravitatoria o fuerza con que se atraen dos partículas cualesquiera Es proporcional a las masas de las partículas y decrece con el cuadrado de la distancia que las separa. Su alcance es ilimitado y es imperceptible entre cuerpos de poca masa. Es la responsable de la existencia de planetas, estrellas y, en general, de la estructura del Universo.

La Ley que rige la interacción gravitatoria, llamada Ley de la Gravitación Universal no se formuló para explicar la atracción entre los cuerpos, sino para explicar el movimiento de los planetas en el Sistema Solar.

B) Interacción electrostática Actúa sobre partículas cargadas y en reposo. Puede ser atractiva o repulsiva dependiendo del signo de las cargas. De alcance ilimitado. Es proporcional a la carga y decae con el cuadrado de la distancia entre ellos.

La interacción electrostática es la responsable de que los átomos, moléculas y materia, en general, permanezcan unidos.

La ley que rige la interacción electrostática es la Ley de Coulomb.

C) Interacción magnética Producida por las cargas eléctricas al moverse con cierta velocidad. No guarda ninguna relación con las dos anteriores.

D) Interacción nuclear fuerte y débil Propias del mundo microscópico. Se estudian en Física Moderna.

2. DESARROLLO DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Kepler, como resultado de una serie de observaciones, enunció en 1609 sus tres Leyes que rigen el movimiento de los planetas. Casi 100 años más tarde, Newton demostró que estas leyes eran consecuencia de una única fuerza que existe entre dos masas cualesquiera.

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

7

FĂ?SICA

2Âş BACHILLERATO

2.1 LEYES DE KEPLER 1ÂŞ Ley: Ley de las Ăłrbitas “Los planetas giran alrededor del Sol describiendo Ăłrbitas elĂ­pticas en uno de cuyos focos estĂĄ el Solâ€?.

Esta Ley acaba con la idea de AristĂłteles de que la circunferencia era la trayectoria perfecta de los cuerpos celestes.

Planeta

Perihelio

SOL

Afelio Foco

Foco

2ÂŞ Ley: Ley de las ĂĄreas “Las ĂĄreas barridas o recorridas por el radio vector que une el Sol con un planeta son directamente proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlasâ€?. đ?‘†đ?‘– đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 = đ?‘Ą4 − đ?‘Ą3 đ?‘ đ?‘’ đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ??´ = ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ??ľ

Planeta

đ?’•đ?&#x;‘

đ?’•đ?&#x;?

A

B

SOL

đ?’•đ?&#x;?

đ?’•đ?&#x;’

Otra forma de enunciar la Ley es: “La recta que une el Sol con los planetas recorre ĂĄreas iguales en tiempos igualesâ€?.

Esta Ley elimina la creencia de que los astros se movĂ­an con velocidad constante ya que si ĂĄrea A=ĂĄrea B, los planetas se mueven mĂĄs rĂĄpido en el perihelio que en el afelio. Por tanto, la velocidad de los planetas depende de su posiciĂłn en la Ăłrbita.

3ÂŞ Ley: Ley de los periodos “Los cuadrados de los periodos orbitales son directamente proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Solâ€?. đ?‘ťđ?&#x;?

đ?’“đ?&#x;?

SOL

8

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

đ?‘ˇđ?&#x;?

đ?‘ťđ?&#x;?

đ?’“đ?&#x;?

SOL

đ?‘ˇđ?&#x;?

FĂ?SICA

2Âş BACHILLERATO

Si tenemos dos planetas P1 y P2, se cumple que: đ?‘‡12 đ?‘‡22 = đ?‘…13 đ?‘…23 O en general: đ?‘‡ 2 = đ??žđ?‘… 3

* EJERCICIO RESUELTO 1

K = CTE que depende de la masa del Sol. Es idĂŠntica para todos los planetas.

2.2 DEDUCCIĂ“N DE LA LEY DE GRAVITACIĂ“N UNIVERSAL A partir de las Leyes de Kepler, Newton dedujo la Ley de GravitaciĂłn Universal teniendo en cuentas las siguientes hipĂłtesis que constituyen el modelo del Sistema Solar: 1) El Sol y los planetas son considerados partĂ­culas ya que las distancias entre ellas son muy superiores a sus tamaĂąos.

2) El Sistema de referencia estĂĄ fijo en el Sol. La aceleraciĂłn de cada planeta se mide con respecto al Sol. 3) Cada planeta describe una Ăłrbita circular con aceleraciĂłn đ?‘Žđ?‘? = đ?‘‰ 2 â „đ?‘… . Esta hipĂłtesis no es muy errĂłnea ya que las Ăłrbitas de todos los planetas (excepto Mercurio y marte) son aproximadamente circulares.

4) La Ăşnica fuerza significativa que actĂşa sobre un planeta es la del Sol. Por tanto, la Ăłrbita de un planeta no se ve afectada por el movimiento del resto de planetas.

A partir de estas hipĂłtesis y de los estudios realizados por Newton, ĂŠste enunciĂł la Ley de GravitaciĂłn Universal: “Dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separaâ€? đ??š=đ??ş

�¡� �2

R = distancia entre centros G = CTE de GravitaciĂłn Universal = 6.67x10-11Nm2/kg2. Fue calculada por Cavendish en 1798 con una balanza de torsiĂłn * EJERCICIO RESUELTO 2

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

9

2Âş BACHILLERATO

FĂ?SICA

2.3 CONSECUENCIAS DE LA LEY DE GRAVITACIĂ“N UNIVERSAL A) AceleraciĂłn en las superficies planetarias Todo cuerpo de masa m que estĂŠ a una altura h sobre la superficie terrestre estĂĄ sometido a una fuerza đ?‘€Âˇđ?‘š đ??š=đ??ş (đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž)2 Aplicando la 2ÂŞ Ley de Newton: đ??š =đ?‘šÂˇđ?‘Ž =đ??ş

đ?‘€đ?‘‡ ¡ đ?‘š đ?‘€đ?‘‡ ≍đ?‘Ž=đ??ş 2 (đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž) (đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž)2

Esto demuestra que la aceleraciĂłn con que cae un objeto de masa m sobre la Tierra no depende de la masa de ese objeto. SĂłlo depende de la masa de la Tierra.

En el caso de que la altura sobre la superficie terrestre fuera casi nula (h->0): đ?‘Ž=đ??ş

đ?‘€đ?‘‡ = 9.8 đ?‘š/đ?‘ 2 (đ?‘…đ?‘‡ )2

B) Valor de la constante k de la 3ÂŞ Ley de Kepler

* EJERCICIOS RESUELTOS 3 Y 4

Kepler supuso que la razĂłn del movimiento planetario se encontraba en el Sol. Para que un planeta e masa m gire en Ăłrbita circular alrededor del Sol debe estar sometido a una fuerza gravitatoria, pero tambiĂŠn a una fuerza centrĂ­peta: đ??ş

đ?‘€đ?‘†đ?‘‚đ??ż ¡ đ?‘šđ?‘?

4đ?œ‹ 2 4đ?œ‹ 2 4đ?œ‹ 2 2 = đ?‘š ¡ đ?‘Š ¡ đ?‘… = đ?‘š ¡ ¡ đ?‘… = đ?‘š ¡ ¡ đ?‘… = đ?‘š ¡ đ?‘? đ?‘? đ?‘? đ?‘? đ?‘…2 đ?‘‡2 đ??žđ?‘… 3 đ??žđ?‘… 2

Por tanto: đ?‘˜=

4đ?œ‹ 2 đ??şđ?‘€đ?‘†đ?‘‚đ??ż

Depende de đ?‘€đ?‘†đ?‘‚đ??ż no de đ?‘šđ?‘ƒđ??ż .

Repitiendo el procedimiento para el movimiento de un satĂŠlite en torno a un planeta: 4đ?œ‹ 2 đ?‘˜= đ??şđ?‘€đ?‘ƒđ??żđ??´đ?‘ đ??¸đ?‘‡đ??´

10

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

FĂ?SICA

2Âş BACHILLERATO

Esto permite calcular la masa de cualquier planeta si conocemos el periodo y el radio de uno de sus satĂŠlites. * EJERCICIO RESUELTO 5 C) Velocidad orbital Es la velocidad con la que un planeta gira alrededor del Sol o la de un satĂŠlite que gira alrededor de un planeta.

Para calcularla igualamos la fuerza gravitatoria a la centrĂ­peta: đ?‘€đ?‘†đ?‘‚đ??ż ¡ đ?‘šđ?‘? đ?‘‰2 đ??ş = đ?‘š ¡ ≍ đ?‘? đ?‘…2 R đ??şđ?‘€đ?‘†đ?‘‚đ??ż đ?‘‰đ?‘‚đ?‘…đ??ľ = √ đ?‘… Si es el satĂŠlite el que gira alrededor del planeta: đ??şđ?‘€đ?‘ƒđ??ż đ?‘‰đ?‘‚đ?‘…đ??ľ = √ đ?‘… Existe una fĂłrmula equivalente en la que sustituimos

đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘…2

por đ?‘” (gravedad):

đ?‘‰đ?‘‚đ?‘…đ??ľ = √đ?‘” ¡ đ?‘… No obstante, se recomienda utilizarla lo menos posible ya que es menos precisa. * EJERCICIO RESUELTO 6

3. FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERGĂ?A MECĂ NICA. La interacciĂłn gravitatoria entre partĂ­culas tambiĂŠn puede describirse en tĂŠrminos energĂŠticos, utilizando los conceptos de fuerza conservativa y energĂ­a potencial.

Las fuerzas que “devuelvenâ€? la energĂ­a consumida para vencerlas se denominan fuerzas conservativas. Son fuerzas cuyo trabajo sĂłlo depende del punto inicial y final y no del camino recorrido. O bien, son aquellas cuyo trabajo total realizado sobre un objeto, si ĂŠste describe una trayectoria cerrada vale cero.

Ejemplos de fuerzas conservativas son: A) Fuerza gravitatoria đ??š=đ??ş

�¡� �2

B) Fuerza electrostĂĄtica đ??š=

đ??žÂˇđ?‘„¡đ?‘ž đ?‘…2

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

11

2Âş BACHILLERATO

FĂ?SICA

C) Fuerza recuperadora o elĂĄstica đ??š = −đ?‘˜đ?‘Ľ Cuando una fuerza conservativa realiza trabajo, la energĂ­a potencial disminuye. Esto permite definir la energĂ­a potencial como una magnitud caracterĂ­stica de las fuerzas conservativas.

Es decir, la energĂ­a potencial es una magnitud fĂ­sica cuya disminuciĂłn mide el trabajo realizado por una fuerza conservativa: đ?‘Šđ??š.đ??śđ?‘œđ?‘›đ?‘ = −∆đ??¸đ?‘? đ?‘‡đ?‘’đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘šđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ??¸đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘”Ă­đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ Recordando el Teorema de la EnergĂ­a CinĂŠtica: đ?‘Šđ?‘‡đ?‘‚đ?‘‡đ??´đ??żđ??š = ∆đ??¸đ?‘?

AsĂ­ podemos calcular el trabajo total de una fuerza conservativa de dos maneras: đ?‘Šđ??š.đ??śđ?‘œđ?‘›đ?‘ = ∆đ??¸đ?‘? = −∆đ??¸đ?‘? ≍ ∆đ??¸đ?‘? + ∆đ??¸đ?‘? = 0 ≍ ∆đ??¸đ?‘€ = 0 Por tanto, si sĂłlo actĂşan fuerzas conservativas, la EnergĂ­a MecĂĄnica es constante (Teorema de la EnergĂ­a MecĂĄnica).

3.1 ENERGĂ?A POTENCIAL GRAVITATORIA Imaginemos dos partĂ­culas infinitamente separadas (đ?‘&#x; = ∞). La interacciĂłn gravitatoria entre ellas: đ??şÂˇđ?‘€Âˇđ?‘š đ??š(đ?‘&#x;) = =0 ∞ Una de las partĂ­culas (đ?‘š1 ) permanece fija. La otra (đ?‘š2 ) se desplaza desde el infinito hasta el punto B, que dista đ?‘&#x;đ??ľ de đ?‘š1 : đ?‘ƒđ?‘Ąđ?‘œ đ??ľ

đ?‘š1

đ?‘š2

đ?‘&#x;đ??ľ

đ??š

đ?‘š2 (∞)

Si este desplazamiento lo realiza la fuerza gravitatoria entre las dos partĂ­culas, el trabajo realizado por esta fuerza es:

12

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

FĂ?SICA đ??ľ

đ??ľ

đ?‘Šđ??š.đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Ł = âˆŤ đ??š ¡ đ?‘‘đ?‘&#x; = âˆŤ ∞

∞

2Âş BACHILLERATO

đ??şđ?‘€1 đ?‘€2 1 đ??ľ đ??şđ?‘€1 đ?‘€2 đ?‘‘đ?‘&#x; = đ??şđ?‘€ đ?‘€ (− )âˆŤ = − 1 2 2 đ?‘&#x; đ?‘&#x; ∞ đ?‘&#x;đ??ľ

La expresiĂłn anterior simboliza el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (conservativa) lo que equivale a la energĂ­a potencial gravitatoria: đ??¸đ?‘ƒ (đ?‘&#x;) = −

đ??şđ?‘€1 đ?‘€2 đ?‘…

đ?‘… = đ?‘‘đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Žđ?‘ Esta đ??¸đ?‘? (đ?‘&#x;) siempre toma valor negativa ya que a medida que la fuerza gravitatoria realiza trabajo de aproximaciĂłn entre las dos masas, la energĂ­a potencial disminuye. Si inicialmente era nula (đ??¸đ?‘? (∞) = 0), al final del recorrido serĂĄ negativa obligatoriamente.

NOTA: Si queremos separar dos masas, hemos de aplicar una fuerza exterior opuesta a la fuerza gravitatoria. Esta fuerza realizarĂĄ un trabajo que se emplearĂĄ en aumentar la EnergĂ­a Potencial del sistema. Esta EnergĂ­a potencial tomarĂĄ su mĂĄximo valor en el infinito (đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ) ya que todos los valores anteriores serĂĄn siempre negativos.

Podemos definir tambiĂŠn la variaciĂłn de energĂ­a potencial asociada a la masa đ?‘š2 cuando se desplaza desde un punto A hasta otro punto B: đ?‘š2

đ?‘š1

A

B

đ?‘&#x;đ??´ đ?‘&#x;đ??ľ ∆đ??¸đ?‘? = đ??¸đ?‘? (đ??ľ) − đ??¸đ?‘? (đ??´) = −

đ??şđ?‘€1 đ?‘€2 đ??şđ?‘€1 đ?‘€2 1 1 + = đ??şđ?‘€1 đ?‘€2 [ − ] đ?‘&#x;đ??ľ đ?‘&#x;đ??´ đ?‘&#x;đ??´ đ?‘&#x;đ??ľ

3.2 ENERGĂ?A POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE Aplicando lo anterior, si un objeto de masa đ?‘š estĂĄ a una distancia đ?‘… del centro de la Tierra, poseerĂĄ cierta energĂ­a potencial: đ??¸đ?‘ƒ = −

đ??şđ?‘€đ?‘š đ??şđ?‘€đ?‘š =− đ?‘… đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

13

2Âş BACHILLERATO

FĂ?SICA

NOTA: La expresiĂłn đ??¸đ?‘? = đ?‘šđ?‘”â„Ž pasa a utilizarse sĂłlo para alturas pequeĂąas cuando đ?‘” = đ??śđ?‘‡đ??¸ . * EJERCICIO RESUELTO 7 3.3 ENERGĂ?A MECĂ NICA DE UN SATÉLITE đ??¸đ?‘€.đ?‘†đ?‘Žđ?‘ĄĂŠđ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘’ = đ??¸đ?‘ƒ + đ??¸đ??ś = −

đ??şđ?‘€đ?‘š 1 đ??şđ?‘€đ?‘š 1 đ??şđ?‘€đ?‘š + đ?‘šđ?‘Ł 2 = (−1 + ) = − đ?‘… 2 đ?‘… 2 2đ?‘…

Lo que se ha realizado en la ecuaciĂłn anterior es sustituir đ?‘Ł por la fĂłrmula de la đ??şđ?‘€ đ?‘…

đ?‘‰đ?‘‚đ?‘…đ??ľ = √

ya que estamos hablando de un satĂŠlite. Por ello sĂłlo es utilizable para

objetos que estĂĄn orbitando. Es muy Ăştil cuando debemos resolver un problema y no nos dan la đ?‘‰đ?‘‚đ?‘…đ??ľ del objeto que orbita.

3.4 ENERGĂ?A DE ENLACE Se define como la energĂ­a mecĂĄnica que debe tener un satĂŠlite para mantenerse en una Ăłrbita estacionaria a cierta altura sobre la superficie terrestre. Equivale a la energĂ­a total del satĂŠlite.

Si el satĂŠlite describe una Ăłrbita circular: đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘š đ?‘šđ?‘Ł 2 = (đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž)2 đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž De aquĂ­ obtenemos su EnergĂ­a CinĂŠtica: 1 1 đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ??¸đ??ś = đ?‘šđ?‘Ł 2 = đ?‘š 2 2 đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž Su đ??¸đ?‘? es la siguiente: đ??¸đ?‘ƒ = −

đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘š đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž

La EnergĂ­a MecĂĄnica (EnergĂ­a en su Ăłrbita) del satĂŠlite es: đ??¸đ?‘€ = −

14

đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘š 1 đ??şđ?‘€đ?‘‡ 1 đ??şđ?‘€đ?‘‡ + đ?‘š → đ??¸đ?‘€ = − đ?‘š đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž 2 đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž 2 đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

FĂ?SICA

2Âş BACHILLERATO

Esa es la EnergĂ­a de enlace o ligadura de un satĂŠlite en su Ăłrbita. Mientras el satĂŠlite permanezca en su Ăłrbita esta energĂ­a serĂĄ constante.

En el caso de que el satĂŠlite cambie de Ăłrbita habrĂĄ que realizar un trabajo o aporte de energĂ­a equivalente a la diferencia entre las energĂ­as de enlace correspondientes: đ?‘Š = đ??¸đ?‘€đ??š − đ??¸đ?‘€0 = − đ?‘Š=

đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘š đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘š − (− ) 2đ?‘…đ??š 2đ?‘…0

đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘š 1 1 ( − ) 2 đ?‘…0 đ?‘…đ??š

Esta es la energĂ­a necesaria para que un satĂŠlite cambie de Ăłrbita.

3.5 VELOCIDAD DE ESCAPE El estudio de cohetes ocupa hoy en dĂ­a un primer plano gracias al lanzamiento de satĂŠlites artificiales en torno a la Tierra y resto de planetas.

Para conseguir que un cohete lanzado desde la superficie de la Tierra salga del campo gravitatorio terrestre habrĂĄ que comunicarle gran velocidad.

Definimos velocidad de escape a la mĂ­nima velocidad necesaria para que un cohete pueda escapar de la atracciĂłn terrestre.

A medida que el cohete se aleja de la superficie terrestre, aumenta su energĂ­a potencial (por actuar la fuerza gravitatoria que es conservativa); por tanto, tiene que disminuir su energĂ­a cinĂŠtica. AsĂ­, la energĂ­a del cohete en la superficie de la Tierra serĂĄ igual a su energĂ­a en cierta altura â„Ž .

AsĂ­, la velocidad de lanzamiento necesaria para que un cohete alcance cierta altura â„Ž (y se detenga) es: đ??¸đ?‘€đ??´ = đ??¸đ?‘€đ?‘ → −

đ??ş ¡ đ?‘€đ?‘‡ ¡ đ?‘š 1 đ??ş ¡ đ?‘€đ?‘‡ ¡ đ?‘š 2 + đ?‘š đ?‘‰đ??żđ??´đ?‘ đ?‘? = − +0 đ?‘…đ?‘‡ 2 đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž

1 1 đ?‘‰đ??żđ??´đ?‘ đ?‘? = √2đ??şđ?‘€đ?‘‡ ( − ) đ?‘…đ?‘‡ đ?‘…đ?‘‡ + â„Ž

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

15

2Âş BACHILLERATO

FĂ?SICA

Si queremos que el cohete abandone la atracciĂłn terrestre, â„Ž = ∞ y esta velocidad de lanzamiento serĂĄ la velocidad de escape: 1 1 2đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘‰đ??¸đ?‘†đ??śđ??´đ?‘ƒđ??¸ = √2đ??şđ?‘€đ?‘‡ ( − ) = √ = √2đ?‘”đ?‘…đ?‘‡ = 11′ 2đ?‘˜đ?‘š/đ?‘ đ?‘…đ?‘‡ ∞ đ?‘…đ?‘‡ Vemos que la velocidad de escape es independiente de la masa del objeto. Por ello, una nave espacial necesita la misma velocidad de escape que una molĂŠcula.

En el caso de que la velocidad de lanzamiento sea superior a la velocidad de escape, la EnergĂ­a mecĂĄnica del objeto serĂĄ mayor que cero y el objeto llegarĂĄ a una distancia “infinitaâ€? con cierta velocidad.

En realidad, esta đ?‘‰đ??¸đ?‘†đ??śđ??´đ?‘ƒđ??¸ es teĂłrica ya que no consideramos el rozamiento con la atmĂłsfera. * EJERCICIOS RESUELTOS 8, 9 Y 10

16

TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

FĂ?SICA

2Âş BACHILLERATO

EJERCICIOS RESUELTOSR(T EMA 1 – LEY(T DE GRAVITACIÓN ) UNIVERSAL) EJERCICIOS ESUELTOS EMA 1 – LEY DEUGNIVERSAL RAVITACIÓN 1. Calcular el periodo de revolución de Marte si la distancia media de Marte al Sol es 228x106 km, la distancia media de la Tierra al Sol es 149′ 6x106 km y el periodo de a Tierra es 365′ 26 días.

Aplicamos la 3ÂŞ Ley de Kepler que afirma que “los cuadrados de los periodos orbitales son directamente proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Solâ€?. De esta forma: đ?‘‡12 đ?‘‡22 = = đ?‘˜ = đ??śđ?‘‡đ??¸ đ?‘…13 đ?‘…23 Y por ello: đ?‘‡đ?‘€đ??´đ?‘…đ?‘‡đ??¸ 2

đ?‘‡đ?‘‡đ??źđ??¸đ?‘…đ?‘…đ??´ 2

đ?‘…đ?‘€đ??´đ?‘…đ?‘‡đ??¸

đ?‘…đ?‘‡đ??źđ??¸đ?‘…đ?‘…đ??´ 3

3 =

Sustituyendo los datos que nos dan en la ecuaciĂłn anterior obtenemos que: đ?‘ťđ?‘´đ?‘¨đ?‘šđ?‘ťđ?‘Ź = đ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;•â€˛ đ?&#x;? đ?’…Ă­đ?’‚đ?’” Nota: no olvidar transformar las unidades y trabajar con las del Sistema Internacional (metros y segundos en este caso) 2. Sabiendo que đ?‘š đ?‘‡ = 6đ?‘Ľ1024 đ?‘˜đ?‘” y que đ?‘…đ?‘‡ = 6370 đ?‘˜đ?‘š. Calcular: A) Fuerza con que la Tierra atrae a un objeto de 100g Aplicando la Ley de GravitaciĂłn universal obtenemos que: đ?‘­=đ??ş

đ?‘€đ?‘‡ ¡ đ?‘š 6′ 67đ?‘Ľ10−11 ¡ 6đ?‘Ľ1024 ¡ 0′1 = = đ?&#x;Žâ€˛ đ?&#x;—đ?&#x;– đ?‘ľ đ?‘…2 (6370 ¡ 103 )2

B) Fuerza con que ese objeto atrae a la Tierra SerĂĄ la misma que la del apartado anterior (debido a la 3ÂŞ Ley de Newton).

C) AceleraciĂłn que adquiere el objeto Sabemos que: đ??š = đ?‘š ¡ đ?‘Ž

EJERCICIOS RESUELTOS (TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL)

17

2Âş BACHILLERATO

FĂ?SICA

Despejando đ?‘Ž en la ecuaciĂłn anterior y sustituyendo los datos obtenemos que la aceleraciĂłn es: 0′986 đ?’‚= = đ?&#x;—′ đ?&#x;– đ?’Ž/đ?’”đ?&#x;?

0′1 D) AceleraciĂłn adquirida por la Tierra Sustituimos en la ecuaciĂłn del apartado anterior solo que ahora tomamos la masa de la Tierra: 0.986 đ?’‚= = đ?&#x;?′ đ?&#x;”đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;Žâˆ’đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’Ž/đ?’”đ?&#x;?

6đ?‘Ľ1024 Como podemos apreciar, ĂŠsta es insignificante en relaciĂłn a su masa.

3. Sabiendo que G = 6′ 67x10−11 Nm2 /Kg 2 , g T = 9′ 8 m/s2 y R T = 6400 km, hallar la masa de la Tierra y su densidad.

Sabemos que: đ?‘Ž=đ??ş

đ?‘€đ?‘‡ = g T = 9′8 đ?‘š/đ?‘ 2 (đ?‘…đ?‘‡ )2

Y, por tanto: 9′ 8 = 6′ 67x10−11

đ?‘€đ?‘‡ → đ?‘€đ?‘‡ = 5′ 96đ?‘Ľ1024 đ?‘˜đ?‘” (6.370.000)2 4

Sabiendo que es volumen de la esfera es đ?‘‰đ??¸đ?‘†đ??š = 3 đ?œ‹đ?‘&#x; 3 y que densidad es đ?‘‘ = đ?’…=

5′ 96đ?‘Ľ1024 4 3 3 đ?œ‹ 6.370.000

đ?‘š đ?‘Ł

:

= đ?&#x;“. đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;”′ đ?&#x;’đ?&#x;” đ?’Œđ?’ˆ/đ?’Žđ?&#x;‘

4. Si đ?‘€đ??żđ?‘ˆđ?‘ đ??´ = 0′ 012 đ?‘€đ?‘‡đ??źđ??¸đ?‘…đ?‘…đ??´ y đ?‘…đ??ż =

1 4

�� , hallar la gravedad en la superficie

lunar.

Como sabemos que la gravedad en la Tierra es 9′8, es decir,

đ??şđ?‘€đ?‘‡ đ?‘…đ?‘‡ 2

= 9′8 no es necesario

tener los datos de la masa y el radio de la Tierra sino que buscamos esta ecuación para sustituirla por 9′8:

18

EJERCICIOS RESUELTOS (TEMA 1 – LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL)