Introducción a la lógica matemática final by Pastor Iparraguirre

Lógica Matemática

Régulo Antezana Iparraguirre

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

Lógica Matemática

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INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA Autor Régulo Pastor Antezana Iparraguirre Docente de la Facultad de educación de la Universidad Nacional de Huancavelica E-mail: regulo66@hotmail.com Editado por: Universidad Nacional de Huancavelica Av. Universitaria s/n Teléfono (067) 451551 anexo 112 Email: anquseqo@hotmail.com Primera edición: Abril 2012 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 201204306 ISBN: 978-612-46019-7-2 CORRECCIÓN: Régulo Pastor Antezana Iparraguirre DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN: Jesúe Girón Aparco Oscar Ramos Quispe Impreso en los Talleres gráficos de la Universidad Nacional de Huancavelica. Av. Universitaria s/n Abril 2012, Huancavelica-Perú Cualquier reproducción total o parcial del contenido de este libro, esta permitido siempre que se mencione la fuente.

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INTRODUCCIÓN Al poner en tus manos esta modesta obra, se pretende que su contenido tenga un carácter eminentemente útil y formativo. Los temas incluidos en ésta, es de tal manera el estudiante se familiarice con los primeros pasos de la Lógica Matemática, toda vez que son de vital importancia para su comprensión, análisis e interpretación de cualquier hecho o fenómeno, particuarmente dentro del campo de la matemática. Para iniciar este trabajo, se requiere partir de los orígenes de estudio de la lógica, con la intención de mostrar cierto panorama de los hechos históricos vividos y controversiales por la humanidad, y al mismo tiempo contrastar con el presente y proponiendo sugerencias de desarrollo científico y humanístico para las nuevas generaciones que se avecinan, dado que la investigación científica es uno de los pilares y fuentes del desarrollo de la ciencia, la tecnología y de la sociedad actual y del futuro. Sin embargo, la investigación es una actividad relegada y poco estimulada en nuestro país y obviamente en nuestra región. Efectivamente, la ciencia y la actividad práctica del hombre demostró que el criterio de las leyes de la lógica reflejan determinadas relaciones con la realidad material, motivo por el cual los materialistas lo defienden en su lucha con los idealistas. Estos últimos, consideran que el pensamiento es lo primero y la materia lo secundario, y que es el pensamiento, la conciencia lo que crea la naturaleza. Por eso Gorski, afirma que actualmente existen cantidad de filósofos idealistas, pertenecientes a la corriente neopositivista, en la cual afirman que las leyes, reglas y procedimientos de la Lógica son arbitrarios y que puedan derogarse y modificarse caprichosamente. Este modo de concebir la naturaleza de las leyes de la Lógica lleva inevitablemente a la negación 3

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absoluta de la objetividad del conocimiento científico, el solipsismo. En su defensa del capitalismo, estos intelectuales burgueses, niegan las leyes de la naturaleza, sociedad y pensamiento humano. Frente a esta concepción, los materialistas afirman, que la materia es lo primario, mientras el pensamiento, la conciencia lo secundario; que el pensamiento surge únicamente en determinada fase de desarrollo del mundo material, y la comprobación del saber se verifica en la actividad práctica. Lenin tenia razón al reconocer, que las leyes objetivas de la naturaleza y del reflejo aproximadamente exacto de tales leyes en el cerebro del hombre, es materialismo. Y, admitir la necesidad de la naturaleza y deducir de ella la necesidad del pensamiento, es profesar el materialismo. Deducir del pensamiento la necesidad, la causalidad, las leyes naturales, etc., es profesar el idealismo. Cabe indicar, que la lógica es como cualquier ciencia (la matemática, la biología, la física, etc.), dado que tiene carácter objetivo (no son fruto de la voluntad y el deseo de los hombres, sino el reflejo exacto de los vínculos y relaciones existentes entre los objetos y los fenómenos de la realidad.), son utilizados por el hombre en su actividad práctica, son reflejos de determinados vínculos y relaciones esenciales existentes entre los objetos, y así sucesivamente. Se enriquece constantemente con el progreso de nuevos conocimientos científicos, principalmente matemáticos y físicos, lo cual describe su estructura, su armazón. Por tanto, decía Gorski, que la Lógica no tiene valor como base de un método filosófico destinado a conseguir la verdad; sus leyes no pueden ser un método universal de conocimiento de los fenómenos y de la transformación en la práctica. Por estas razones es conveniente sistematizar y ofrecer el presente, dirigido a estudiantes de cualquier nivel y a todas las personas involucradas en el que hacer educativo. Para ello, se ha tenido en cuenta los aportes de sus obras de muchos autores respecto a estos temas, así tenemos a Ricardo Figueroa, Moises Lázaro, Eduardo Espinoza, Carlos Lázaro, Diógenes Rosales y Armando Venero, con la sana intención de preparar el camino al futuro hombre, con sed de conocimientos y apetito e interpretación, en inculcarle la autoformación y

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su autoeducación, en el árido campo no sólo de la matemática, sino de cualquier ciencia y su práctica en la transformación de nuestra sociedad. Esta obra se encuentra organizado en cinco partes. La primera contempla una breve reseña histórica del estudio de la lógica, operaciones con proposiciones y su aplicación en la evaluación de los esquemas moleculares a través de la tabla de verdad, sin dejar de lado sus equivalencias e implicaciones lógicas. La segunda, consta de la aplicación de las principales leyes lógicas o tautológicas y sus correspondientes equivalencias notables, en el proceso de simplificación de esquemas moleculares. La penúltima parte trata de la validez de las proposiciones, los mismos que se determinan a través de la aplicación del método abreviado, todo esto corresponde a las inferencias lógicas. Con los circuitos lógicos terminamos la última parte. Desde ya el agradecimiento a las orientaciones y críticas de mis maestros, colegas y estudiantes que completaron este modesto texto. Sin embargo, estaré a la espera de sus observaciones y críticas para refinar este trabajo, porque todo se halla en proceso de cambio, desarrollo y transformación. Un proceso del devenir y del perecer. El Autor

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LÓGICA MATEMÁTICA BREVE HISTORIA DE LA LÓGICA

Los primeros trabajos de la Lógica, se realizaron en la antigua Grecia. Precisamente, fue Demócrito de Abdera (460-370 a.n.e.), materialista y fundador de la teoría atomística, quien inició sus investigaciones en el campo de la Lógica. Así lo manifiesta, Gorski (1970:32): “Demócrito estudió los problemas de la inducción, extendiéndose, sobre todo, en la analogía y la hipótesis, así como en la definición de los conceptos. Partía, para ello, del estudio experimental de la naturaleza. Por primera vez en la historia de la Lógica, Demócrito trató de formular la ley de la razón suficiente, considerándola como principio universal, aplicable no sólo y no tanto a nuestro pensamiento cuanto al propio mundo material: Nada hay que surja sin causa, todas las cosas surgen en virtud de alguna razón y de la necesidad.” Los filósofos idealistas Sócrates (469-399 a.n.e.) y Platón (427-347 a.n.e.), plantearon teorías opuestas al pensamiento materialista de Demócrito. Trataron de clasificar “…las categorías – señalaba Gorski (1970:32) – (de los géneros superiores de ideas) así como un ensayo de formulación de algunas leyes lógicas.” Sin embargo, se hizo presente Aristóteles, con su obra Organon, en donde plasmó su estudió de la Lógica. En esta obra se encuentran, indica Gorski (1970), las Categorías (se expone las bases de la teoría del concepto), Sobre la interpretación (se expone la teoría del juicio), los Primeros Analíticos y los Segundos Analíticos (se estudia detalladamente la teoría del raciocinio y la demostración), en los Tópicos (se describen las categorías y procedimientos lógicos fundamentales utilizados por el pensamiento razonador), en La Refutación de los Sofismas (se expone el problema de lo relativo a las fuentes de los raciocinios y demostraciones falsos y a los medios que permiten descubrir los vicios lógicos). Además se hallan elementos de sus teorías lógicas en otras obras de Aristóteles: en La Metafísica (expone las principales leyes lógicas del pensamiento: la ley de la identidad, la ley de la contradicción y la ley del tercio excluido), en la Física, en tres libros Sobre el Alma y en el tratado de Retórica. Aristóteles, como el máximo representante creador de la Lógica, se orientó principalmente a sentar las bases del conocimiento científico 7

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contra los planteamientos idealistas de su tiempo. No obstante, este no soluciona el problema entre lo singular y lo general. Además, decía Lenin, en este pensador “…vemos la lógica objetiva confundirse constantemente con la lógica subjetiva, pero de modo que la lógica objetiva sobresale en todas partes. La objetividad del conocimiento es indudable. Una fe ingenua en la fuerza de la razón, en la fuerza, la potencia, la veracidad objetiva del conocimiento.” (Citada por Kopnin, 1966:65) En la obra Organon, contiene la teoría del concepto, definición, teoría de la argumentación, los errores del razonamiento, la teoría del juicio, la clasificación, la teoría del razonamiento y la teoría de la demostración. Y, la metodología axiomática demostrativa fue fundamental para que se desarrollara la obra cumbre de Euclides; “Los Elementos”, tratado sistemático de la Geometría y la Aritmética. Precisamente, por sintetizar lógicamente la Geometría; Euclides es considerado como el “Padre de la Geometría”. Otro eminente materialista, fue Epicuro (341-270 a.n.e.) y sus discípulos, quienes se dedicaron a las investigaciones de la lógica del conocimiento experimental. Sobre el problema de la naturaleza de los conceptos universales, surgieron entre muchos pensadores, de la posición de Platón: Anselmo de Canterbury (1033-1109), Tomás de Aquino (1225-1274), los mismos que “…afirmaban que los conceptos universales – expresaba Gorski (1970: 34) – existen realmente al margen e independientemente de las cosas singulares, constituyendo como la esencia sobrenatural de éstas últimas.” Y, por otra parte, los llamados nominalistas: Roscelino (10501112), Duns Escoto (1265-1308), Guillermo de Occam (1300-1350), Buridán (siglo XIV) y otros, planteaban “…que tenían existencia real únicamente los cuerpos singulares de la naturaleza y reducían a meros nombres el sentido de los conceptos universales.” Gorski (1970: 34). Sin embargo, este planteamiento no es totalmente cierto, pero tiene más fundamento con respecto a las teorías idealistas. Con la presencia de Francisco Bacon (1561-1626), se fortaleció la lógica formal, dado que propuso en su máxima obra Novum Organum, la lógica inductiva, con el método de descubrimiento inductivo. Sin embargo, “Bacon plantea el

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problema de la inducción no con vistas a estudiar la estructura del razonamiento inductivo, sino con el fin de buscar un nuevo método de conocimiento, distinto del que proporcionaba la lógica formal.” Kopnin (1966:66). Es decir, para él, la base de todo conocimiento, era la relación de la inducción con formación de los conceptos científicos. Para ello, tuvo también que, elaborar “…sobre los métodos que permitan determinar la relación de causalidad existente entre los fenómenos, a saber: el método de la semejanza, el método de la diferencia y el método conjunto de la semejanza y de la diferencia, así como el método de los cambios concomitantes.” Gorski (1970: 34-35) Asimismo, Renato Descartes (1596-1650), reconocía a la lógica formal como una ciencia más, que se ayudaba de las contribuciones de conocimientos ya terminados. Al respecto Kopnin (1966:66), afirmaba que este francés “…no sólo comprendía la limitación de la lógica formal, sino también su fuerza y potencia. La lógica formal como arte de invención, como método para obtener nuevos conocimientos, es limitada, pero necesaria e insustituible como ciencia de las reglas de conexión de conocimientos ya cavados, obtenidos anteriormente.” El alemán Leibniz (1646-1716), formula la ley de la razón suficiente no “…para argumentar la necesidad lógica de las conclusiones de las premisas en el razonamiento deductivo, ni para explicar el análisis lógico – indicaba Kopnin (1966:68) – sino para argumentar la síntesis lógica que es inevitable cuando se forman los conceptos acerca de los fenómenos de la naturaleza, las leyes físicas, etc.; dicho más concretamente, para explicar la síntesis que se produce en la inducción.” En ese sentido, Leibniz fortalece y amplia la inferencia deductiva, asimismo aplica a la Lógica el método matemático, por su acercamiento a la ciencia Matemática. Manuel Kant (1724-1804), como fundador del apriorismo y el formalismo, reviven las ideas idealistas, al determinar que “…las formas del pensamiento – criticaba Kopnin (1966:69) – empiezan a interpretarse como algo puro, totalmente al margen de cualquier contenido objetivo y anteriores a la experiencia (a priori).” Y más aún, “Lo verdadero o falso, según, no estriba en la adecuación o falta de adecuación de las ideas y

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los objetos a la realidad, sino en la representaciones entre sí.” Gorski (1970:36)

concordancia

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Hegel (1770-1831), expuso planteamientos a la luz de la Lógica dialéctica, pero sobre la base de posiciones idealistas. Pese a tener ciertas críticas a las ideas de Kant, “…Hegel era propenso a identificar plenamente la metafísica con la lógica formal; no veía la tendencia fundamental en el desarrollo de la lógica formal, tendencia que le conducía a separarse de la filosofía, a transformarse en una rama independiente de la ciencia y, por consiguiente, a liberarse de la metafísica.” Kopnin (1966:73) Los genios Marx y Engels, le dan forma científica a la lógica dialéctica, apoyados en la síntesis de la síntesis de la historia del conocimiento. Por eso, Lenin, definía a la lógica dialéctica como teoría “…no de las formas externas del pensamiento, sino de las leyes del desarrollo “de todas las cosas materiales, naturales y espirituales”, es decir, del desarrollo de todo el mundo de contenido concreto y de su conocimiento; o sea, el resultado, la suma, la conclusión de la historia del conocimiento del mundo.” Gorski (1970:36) Para terminar, actualmente existen cantidad de filósofos idealistas, pertenecientes a la corriente neopositivista, en la cual “…afirman – según Gorski (1970:37) – que la leyes, reglas y procedimientos de la Lógica son arbitrarios y que puedan derogarse y modificarse caprichosamente. Este modo de concebir la naturaleza de las leyes de la Lógica lleva inevitablemente a la negación absoluta de la objetividad del conocimiento científico, el solipsismo.” En su defensa del capitalismo, estos intelectuales burgueses, niegan las leyes de la naturaleza, sociedad y pensamiento humano. A continuación mencionamos algunos filósofos que contribuyeron en el desarrollo de la Lógica. Lázaro (1998), menciona algunos filósofos que introdujeron una variedad de términos: Alcuino (735–804): Con su tratado sobre Lógica para el estudio del Trivium.

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Pedro Abelardo (1079–1142): Introduce el término COPULA; expresión técnica de la lógica. Guillermo de Shyreswood: Con su manual de Lógica Escolástica, enuncia los famosos versos mnemotécnicos sobre de los silogismos a los modos de la primera figura aristotélica. Roger Bacon (1214 –1294): Heterodoxo de la Lógica Medieval. Afirmó que la razón se decide entre el razonamiento verdadero y falso, considerando la experiencia. Raimundo Lulio (1235 –1315): Considerado como el precursor de la Lógica Simbólica, por haber inventado un sistema de combinación mecánica de los conceptos para establecer juicios y silogismos. Guillermo de Occam (1295–1349): Establece las reglas de inferencia consecuente; donde figuran las Leyes de Morgan. Nicolás de Cusa (1401–1349): Demostró la unidad de los opuestos, esto ocurre cuando las operaciones matemáticas se llevan al infinito. Johannes Kepler (1571–1630): Estudia el proceso lógico de la investigación científica. Francis Bacon (1561–1626): Estableció las bases de la Lógica inductiva y el Método Experimental, en su obra “Novum Organon”. Galileo Galilei (1564–1642): Formula el Principio de “Razón Suficiente”. Renato Descartes (1596–1650): Establece reglas lógicas para el descubrimiento, asimismo establece la vinculación entre la inducción y la deducción, la demostración de las causas por sus efectos y viceversa. Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 –1716): En su obra famosa “Característica Universalis”, estableció lo siguiente: La teoría general de la ordenación, teoría lógica de las estructuras, teoría de la lógica matemática, teoría de la definición y propiedades analíticas de los juicios de relación. Se le considera como el fundador de la Lógica Simbólica. 11

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Leonard Euler (1707–1783): Introdujo los diagramas que llevan su nombre para ilustrar geométricamente los silogismos. George Boole (1825–1864): Creador de la Lógica Simbólica o llamada Matemática Moderna. Además fundó el Cálculo Proposicional, enunció las leyes del cálculo de clases o Algebra Lógica, sistematiza la Lógica de la Probabilidad. Él no consideraba la lógica como una rama de la matemática, pero señaló una profunda analogía entre los símbolos del álgebra y las que se puede hacer, en su opinión, para representar formas lógicas y silogismos, que no podemos dejar de decir que (sobre todo la suya) la lógica formal es la matemática limitada a los, 0 y 1. Augustus de Morgan (1806–1871): Estableció el cálculo de relaciones, las leyes de transitividad, leyes distributivas de la negación. Es decir, en la moderna lógica matemática, llevan el nombre de De Morgan las siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica: “la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones”; “la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones”. Charles Sanders Peirce (1839–1914): Estableció las funciones proposicionales, introdujo las variables y sus cuantificadores en el cálculo de relaciones, separó el cálculo proposicional del cálculo de clases. Peirce es también considerado como el padre de la semiótica moderna: la ciencia de los signos. Más aún, su trabajo —a menudo pionero— fue relevante para muchas áreas del conocimiento, tales como astronomía, metrología, geodesia, matemática, lógica, filosofía, teoría e historia de la ciencia, semiótica, lingüística, econometría y psicología. Cada vez más, ha llegado a ser objeto de abundantes elogios. Popper lo ve como “uno de los filósofos más grandes de todos los tiempos”. Gottolob Frege (1848–1925): Investigó las relaciones lógicas, constituyó, estableció una lógica formalizada, inició la teoría de la demostración lógico – matemática. En 1879, Frege publicó su revolucionaria obra titulada Conceptografía (Begriffsschrift), en la que sentó las bases de la lógica matemática moderna, iniciando una nueva era en esta disciplina que había permanecido prácticamente inalterada desde Aristóteles. 12

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Mediante la introducción de una nueva sintaxis, con la inclusión de los llamados cuantificadores («para todo» o «para al menos un»), permitió formalizar una enorme cantidad de nuevos argumentos. También fue el primero en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido semántico. George Peano (1858–1932): Fue el primero en pronunciar “lógica Matemática”, asimismo estudió el proceso demostrativo. David Hilbert (1862 –1943): Desarrolló la estructura lógica de los axiomas y sistematizó axiomáticamente los fundamentos de la Geometría Euclideana más riguroso que Euclides. Bertrand Russell (1892 –1970): formuló en forma rigurosa y completa sobre el cálculo proposicional, el cálculo de clases. Cálculo de relaciones, teoría y análisis de las paradojas. Publicó su obra Principia mathematica (Principios matemáticos), en el cual el concepto de clase es inextricablemente ligado a la definición de número. Wittgenstein Ludwing Josef Johann (1889–1951): Creador del método de la tabla de verdad o tabla semántica. Jan Lukasiewicz (1878 –1956): Estableció la Lógica Trivalente y Tetravalenle dejando de lado los principios del tercio excluido y de la no contradicción. Alfred Tarski (1902–1983): Estableció la fundamentación de la Metalógica y la Metamatemática, en sus artículos sobre su definición matemática de la verdad para lenguajes formales. La influyente traducción al alemán se editó en 1936 bajo el título "Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen” (El concepto de verdad en los lenguajes de las disciplinas deductivas), y en 1956 se dio a conocer la versión inglesa como un capítulo de la antología ‘’Logic, Semantics, Metamathematics’’ (1956)

Lógica Matemática CONCEPCIÓN DE LA LÓGICA

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“La lógica es la ciencia – dice Gorski (1970:22-23) – de las formas del pensamiento estudiadas desde el punto de vista de su estructura, la ciencia de las leyes que deben observarse para obtener un conocimiento inferido; la Lógica estudia también los procedimientos lógicos generales utilizados para el conocimiento de la realidad.” La Lógica como tal es la lógica formal, que “…estudia las formas en que un juicio deriva de otros, la armazón y la estructura del conocimiento ya formado, a base de unas leyes determinadas: identidad, no contradictorio, tercero excluido y razón suficiente.” Kopnin (1966:56) El hombre para poder razonar o pensar no necesitó estudiar Lógica, y es que aprendemos a pensar en nuestra relación a los problemas dentro de la sociedad, naturaleza y el hombre. Si en el pensamiento del hombre no se refleja como es la realidad, no podrá existir ni vivir. Asimismo, si en sus relaciones inter-humanas el hombre no pensara razonablemente, coherente, orden y rectitud no podrían comprenderse adecuadamente unos a otros. Entonces, se puede afirmar que la Lógica en su más general se ocupa de las leyes que gobiernan la naturaleza, la sociedad y el pensamiento del hombre. Es decir, la característica fundamental de la Lógica es ayudar a la razón humana a conocer con profundidad las leyes de la realidad para conocer, dominar y transformar la naturaleza, sociedad y el hombre. En este sentido el conocimiento es ilimitado. En consecuencia, la Lógica es la ciencia que estudia las leyes dialécticas y lógico formales, los métodos, los procedimientos, las propiedades y las relaciones; sobre de las formas del pensamiento. Es un proceso que permite establecer la falsedad o verdad de proposiciones, mediante la aplicación de sus leyes, reglas y apoyados en el razonamiento: inductivo y deductivo. Con la aparición de la Lógica matemática se incrementó la lógica formal. El empleo de los símbolos matemáticos en la solución de los distintos problemas lógicos resultó beneficioso, dado que estos símbolos permiten relacionar un determinado pensamiento con otro y de un modo 14

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analítico y equivalente. Es decir, “las necesidades del desarrollo de la Lógica formal han exigido el fraccionamiento de las formas más simples y más generales de las relaciones existentes entre los juicios en el progreso de la deducción, y el empleo de los símbolos matemáticos han contribuido a la feliz solución de este problema.” Kopnin (1966:60). Asimismo, el empleo de la lógica formal también benefició a la lógica matemática. En consecuencia, la lógica matemática es una rama de la lógica formal, toda vez que “…su contenido tiene un valor puramente lógico, que no sólo sirve para las demostraciones matemáticas, sino también para cualquier demostración deductiva” Kopnin (1966:61). No obstante, continua Kopnin (1966:61) – “La lógica matemática tiene un contenido puramente matemático e investiga problemas puramente matemáticos.” A. Markov – citada por Kopnin (1966:61) – define a la lógica matemática como “…una ciencia que estudia las demostraciones matemáticas. La lógica matemática puede considerarse como una rama especial de la lógica general, que se desarrolla con vistas a las necesidades de las matemáticas.” La lógica matemática tiene un valor múltiple, una de ellas permite resolver problemas puramente matemáticos, y otro es que sus resultados influyen en la lógica formal que, producto de ello se ha profundizado su teoría de las demostraciones. El progreso de la lógica formal se debe mucho a la lógica matemática, específicamente en la teoría de la deducción. Y, la lógica matemática ha sido aplicada a la técnica, lo que originó la llamada lógica técnica, la cual está orientada al estudio y construcción de sistemas técnicos, instalaciones y máquinas. P. S- Poretski caracterizó a la lógica matemática: “la lógica matemática es lógica por su objeto y matemática por su método. (cita encontrada en Kopnin, 1966:73) A partir del siglo XIX, los intentos de resolver el problema de cómo formalizar las investigaciones lógicas elevan a la creación de cálculos de una implicación rigurosa y fuerte. Se estando bases de la lógica modal. Se sabe que la lógica modal es un sistema lógico que formaliza relaciones como las de “necesidad”, “posibilidad”, “casualidad” y sus negaciones. La primera tentativa de estructurar se debe a Aristóteles, 15

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quien formuló algunos de sus principios y definiciones más importantes de dicha lógica. La lógica matemática ejerce una gran influencia sobre la propia Matemática Moderna, algunos de cuyos aspectos esenciales han surgido de ella; así ha ocurrido, por ejemplo, con las teorías de los algoritmos y de funciones recursivas. La lógica matemática halla aplicación en electrónica; investigación de Boole de los relés de contacto y de los esquemas electrónicos, en técnica calculatoria, programación, en cibernética; teoría de los dispositivos automáticos, en neurofisiología; modelación de redes neuronales, y la lingüística; lingüística estructural y semántica. La vieja lógica formal no conocía esa estrecha concatenación de la problemática lógica con la resolución de los problemas científicos especiales, ni la utilización de la lógica como instrumento de las investigaciones científicas concretas. Validez o valor de verdad: El valor de verdad debe ser considerada como una proposición que puede ser verdadera o falsa pero nunca verdadero y falso a la vez, según de la ley del tercio excluido. Se denota así: V(p): se lee validez de la proposición “p” o valor de verdad de la proposición “p”. Si el valor de verdad de la proposición “p” es verdadero se denota: V(p) = V y si es falso V(p) = F. Enunciado: Es toda frase u oración. Algunos enunciados se expresan como mandatos, interrogaciones, de exclamación, de afirmación o negación. Ejemplos: 1. ¿Qué significa ser maestro en el Perú? 2. ¡Hola! 3. El es autor de la obra “La Fiesta del Chivo”. 4. Carlos Marx es autor de la Obra “El Capital”. 5. En una sociedad clasista la educación es un instrumento de dominación. 6. El autor de “Páginas Libres” es Manuel Gonzales Prada. 16

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La medida de un ángulo agudo es 90º. Prohibido fumar. Él es autor de la obra “El gran diseño”. El Estado es un instrumento de opresión. ¿Qué hacer por cambiar nuestra sociedad peruana? x+3>5 3x - 1 = 8, x∈ℜ 10 + 2 = 12 Él es un número par primo La suma de dos números impares resulta otro impar Todo número con exponente cero es uno. Toda función rectilínea puede ser constante. Él es un profesor alienado El es autor de la obra “Tungsteno” El bajo nivel de las fuerzas productivas condujo al hombre primitivo crear dioses y mitos. 22. La religión es el opio del pueblo. 23. Todo hombre que no es consciente adopta la ideología de la clase dominante. PROPOSICIÓN Es todo enunciado que tiene la característica fundamental de ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos a la vez. Una proposición se representa con letras minúsculas, así: p; q; r; s;... La existencia de muchas proposiciones, generalmente se representan con subíndices en cada proposición y es como sigue: p1; p2; p3; p4; p5;... q1; q2; q3; q4; q5;… Ejemplos: p:Stephen W. Hawking es autor de la obra “El gran diseño”; V(p) = V q:Los cationes son iones negativos y los aniones son iones positivos: V(q) = F r: La religión es el opio del pueblo; V(r) = F s:El calor dilata los cuerpos; V(s) = V t: El científico J. J. Tompson descubrió el átomo; V(t) = F w:La historia de la humanidad es la historia de la lucha de clases; V(w)=V v: La religión es el opio del pueblo; V(v) = V 17

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x: Todo número entero con exponente cero es uno; V(x) = F y:Toda función rectilínea puede ser constante; V(y) = V

Enunciado abierto: Son aquellos enunciados que usan las palabras: los, las, el, ella, etc. Y variables como: x, y, z, etc. Y que no tiene la propiedad de ser verdadero o falso. Ejemplos: 1. El descubrió y conquistó América. 2. x + 2 = 8 3. x2 + y2  0 4. Ella es el opio del pueblo. 5. Ella juega vóley. 6. Él es un número par primo. Observación: Si a las palabras él, ella, los, las, etc., o las variables x, y, z, etc., se le asigna un valor o palabras, entonces los enunciados abiertos se convierten en proposiciones. Ejemplos: 1. Él descubrió y conquistó América, es un enunciado abierto. Si al término “Él“, le asignamos un nombre de Cristóbal Colón, entonces el enunciado abierto quedará reemplazado así: Cristóbal Colón descubrió y conquistó América. Entonces este enunciado se convierte en proposición, por que el valor de verdad es verdadero. 2. x + 2 = 8, es un enunciado abierto. Si a la variable “x” le asignamos el valor de cinco (5), entonces el enunciado abierto quedará reemplazado así: 5 + 2 = 8, el cual se convierte en proposición, porque el valor de verdad es falso. 3. x 2 + y 2  0, es un enunciado abierto. Si a la variable “x” e “y” le asignamos el valor de 2 y 3 respectivamente, entonces el enunciado abierto queda así: 2 2 + 32 ≥ 0. Por lo tanto se convierte en una proposición, cuyo valor de verdad de verdadero.

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4. Ella es el opio del pueblo, es un enunciado abierto. Si al término “Ella“, le asignamos las palabras La religión, entonces el enunciado abierto quedará reemplazado así: La Religión es el opio del pueblo. Entonces este enunciado se convierte en una proposición, cuyo valor de verdad es verdadero. 5. Ella juega voleibol, es un enunciado abierto. Si a la palabra “Ella” se le asigna el nombre de Gabriela, entonces el enunciado abierto quedará reemplazado como: Gabriela juega voleibol; por lo tanto esta se convierte en proposición, cuyo valor de verdad será verdadero o falso, dependiendo de que si Gabriela está jugando o no. 6. El es autor de la obra “Tungsteno”, es un enunciado abierto. Si a la palabra “El” se le asigna las palabras: José María Arguedas, entonces el enunciado abierto quedará reemplazado como: José María Arguedas, es autor de la obra Tungsteno; por lo tanto esta se convierte en proposición, cuyo valor de verdad es falso. NO PROPOSICIONAL Son aquellos enunciados que expresan una o interrogación, un mandato u orden o exclamación. Ejemplos: 1. ¿Qué hora es? 2. ¡Viva el Perú! 3. ¡Traidor! 4. Por favor acércate 5. ¡Eureka, Eureka! CONECTIVOS O ENLACES LÓGICOS Son símbolos que enlazan proposiciones y son los siguientes:   se lee “y”   se lee “o”  ∆ se lee “O,..., o...”  → se lee “si,..., entonces...”  ↔ se lee “si y sólo sí”  ~ se lee “no” 19

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CLASES DE PROPOSICIONES 1. Proposición simple (atómicas, elementales ó básicas) Son proposiciones que tienen uno y sólo un sujeto y un solo predicado. Es decir, son proposiciones que no poseen conectivos lógicos. Ejemplos p: 12 es múltiplo de 4; V(p) = V q: En la sociedad esclavista, la filosofía era considerada como ciencia, V(q) = V r: La Estequiometría es una rama de la Química; V(r) = V t: “La Ciencia en la historia y el tiempo” es obra de Jhon Bernal; V(t)=V s: “Revolución en la ciencia” es obra de Miguel Angel Cornejo; V(s) = F, dado que es obra de Cohen. 2. Proposición compuesta (molecular, coligativas o funciones veritativas) Son enunciados que están constituidos por dos o más proposiciones simples. Es decir, son proposiciones que poseen conectivos lógicos. Ejemplos p: 8 es múltiplo de 4 ó múltiplo de 3. q: Si 7 es mayor que 5, entonces 5 es menor que 8. r: Max Planck fue el creador de la Teoría Cuántica y Galileo Galilei descubrió el telescopio. s: Anaximandro arguyó, si el primer humano hubiera aparecido sobre la tierra como un niño, entonces no habría podido sobrevivir. t: El modelo de cosmos de Ptolomeo fue adoptado por la Iglesia Católica y mantenido como doctrina durante 1 400 años. w: La luz se comporta como partícula y onda. u: Si deseas comprobar el sabor de una manzana, entonces tienes que comprobar comiéndola. COMBINACIÓN DE DOS O MÁS PROPOSICIONES Se calcula con la siguiente fórmula: 2n; donde 2 es una constante y “n” es el número entero positivo de proposiciones.

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Si existe una proposición “p” le corresponde combinación. p V F

21 = 2, una posible

Si existe dos proposiciones “p” y “q” le corresponde 22 = 4, 2 posibles combinaciones. p q V V V F F V F F Si existe “n” proposiciones le corresponde 2n combinaciones.

k, “n” posibles

OPERACIONES CON PROPOSICIONES A. CONJUNCION (  ).- Es el resultado de enlazar proposiciones con el conectivo “y”. Se denota: “p ∧ q” y se lee “p y q”. Ejemplo p: Gauss Benz nació en Alemania q: Gauss Benz es considerado como el “El príncipe de la Matemática” Por tanto: Gauss Benz nació en Alemania y es considerado como el “El príncipe de la Matemática” Esta conclusión es verdadera, dado que Gauss Benz nació en Alemania y es considerado como “El príncipe de la Matemática”, caso contrario la conclusión será falso. Tabla de verdad: p V V F F

q pq V V F F V F F F

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Es decir, la proposición “pq” es verdadera sólo cuando las dos proposiciones son verdaderas y en el resto de los casos son falsas. Sinónimos del término “y”: - Pero - Además - Sin embargo - Aunque - No obstante - A la vez

- A pesar de que

Ejemplo: p: Gauss Benz es considerado como “El príncipe de la Matemática” q: Pierre de Fermat es considerado como “El príncipe de los aficionados” Por tanto: Gauss Benz es considerado como el “El Príncipe de la Matemática” pero Pierre de Fermat como “El Príncipe de los aficionados” B. DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DÉBIL ().- Es el resultado de unir proposiciones con el conectivo “o”. Se denota: “p∨q” y se lee “p ó q”. Ejemplo q: Pedro habla español r : Pedro habla portugués Por tanto: q  r: Pedro habla español o portugués (o ambos) Para que esta conclusión sea verdadera, necesariamente Pedro debe hablar español y/o portugués. Es decir, Pedro debe hablar español y portugués o hablar uno de ellos. Tabla de verdad: p V V F F

q pq V V F V V V F F

La proposición “pq” es falsa, sólo cuando las dos proposiciones son falsas, en el resto de los casos son verdaderos. 22

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C. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O FUERTE ().- Es el resultado de enlazar proposiciones con el conectivo “O,.....o…”. Se denota: p ∆ q, y se lee “O, p ó q” (pero no ambos). Ejemplo p: Luis va al mercado q: Luis va al colegio Por tanto: p  q: O, Luis va al mercado ó va al colegio (pero no ambos). Esta conclusión será verdadera si Luis va al mercado o en todo caso Luis va al colegio. Pero nunca debe ir al mercado y luego al colegio. Tabla de verdad: p V V F F

q pq V F F V V V F F

Es decir, la proposición “p  q”, resultan falsas, cuando las dos proposiciones son ambas verdaderas y ambas falsas, en los casos siguientes son verdaderas. D. NEGACION (~ ).- Es el resultado de enlazar proposiciones con el conectivo “no”. Se denota: “~p“ se lee “no p”. Ejemplos: p : Galileo Galilei fue matemático. ~p : Galileo Galilei no fue matemático ~q: El grado de instrucción no es una variable cualitativa. q: El grado de instrucción es una variable cualitativa. Tabla de verdad: p V F 23

~p F V

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Es decir, la negación “no” cumple la función de negar una afirmación y de afirmar una negación. Recuerda: Un operador es monádico o instantáneo, cuando se niega a una proposición simple. E. DOBLE NEGACION (~ ~ p).- La negación cumple la función de afirmar la misma proposición. Se denota: “~ p”y se lee “no es cierto que no p”. Ejemplo: p : Alex estudia matemática ~p : Alex no estudia matemática ~~p : No es cierto que Alex no estudia matemática. Tabla de verdad: p V F

~p F V

~~p V F

F. LA CONDICIONAL ().- Es el resultado de enlazar proposiciones con el conectivo “si,..., entonces”. Se denota: “p  q” y se lee “p entonces q”, donde: p = antecedente y q = consecuente El conectivo “p→q” (“p entonces q”) se puede expresar de diversas formas, tales como:  “p implica q”  “en consecuencia”  “p sólo si q”  “de modo que”  “de ahí que”  “por lo tanto”  “en conclusión”  “p es condición suficiente para q”  “luego”

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El conectivo “q→p” (“q entonces p”), se puede expresar también de diversas formas:  “q a menos que p”  “dado que”  “q si p”  “puesto que”  “q es condición necesaria para p”  “si”  “q siempre que p”  “cuando”  “ya que “  “cada vez que”  “siempre que” Ejemplo p: Pedro estudia. q: Pedro aprueba la asignatura de Matemática. Por tanto: pq: Si Pedro estudia, entonces aprobará matemática. Tabla de verdad: p V V F F

q pq V V F F V V F V

Es decir, la proposición condicional es falsa, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los casos restantes resultan ser verdaderos. La proposición condicional “pq” se le considera como un teorema. Toda vez que, dentro de una demostración interviene dos factores: Primero, la hipótesis “p”, cuyo valor de verdad es verdadera y segundo la Tesis “q” ó conclusión, aquello que se quiere demostrar. En consecuencia, debemos demostrar que el teorema p  q es verdadera, sabiendo que la hipótesis es verdadera.

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Por dato tenemos el teorema siguiente: p  q = V Por dato tenemos el valor de verdad de p es verdaero; o sea: V( p ) = V Ahora, reemplazando en el teorema: Vq=V Para que el teorema sea verdadero, entonces la tesis “q” debe ser sólo y necesariamente verdadera. Reemplazando tenemos: V  V = V V = V Entonces, la tesis o proposición “q” no debe ser falsa, por que el teorema resultaría falsa, toda vez que la hipótesis es verdadera. En consecuencia, sólo existe una opción que “q” sea verdadera.

Dejamos al lector la demostración del teorema, cuando p  q es falsa, sabiendo que la hipótesis resulta ser verdadera. Toda proposición condicional tiene otras tres proposiciones: recíproca, contrarecíproco e inversa. 01. PROPOSICIÓN CONDICIONAL RECÍPROCA Una proposición condicional es recíproca cumple, cuando de una premisa condicional “pq” su antecedente “p” se convierte en un consecuente y el consecuente “q” se convierte en el antecedente, es decir: Si la proposición condicional es: “p  q”, entonces su proposición recíproca es: “q  p” Ejemplo Dada la proposición condicional: pq: Si, hoy es martes, entonces mañana es miércoles. p q

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Su recíproco de la proposición condicional dada es:

qp: Si, mañana es miércoles, entonces hoy es martes. q p 02. PROPOSICIÓN CONDICIONAL CONTRARECÍPROCO Una proposición condicional contrarecíproco cumple cuando de una premisa condicional pq, el antecedente “p” se convierte en la negación del consecuente, y el consecuente “q” se convierte en la negación del antecedente. Es decir, dada la premisa condicional: “p → q”. Su proposición condicional contrarecíproco es: “~ q → ~ p” Ejemplo Dada la premisa condicional: pq: Si, hoy es martes, entonces mañana es miércoles. p q Su contrarecíproco de la proposición condicional dada es: ~q→~p: Si, mañana no es miércoles, entonces hoy no es martes. ~q ~p 03. PROPOSICIÓN CONDICIONAL INVERSA Una proposición condicional inversa cumple, cuando de una premisa condicional pq, se niega tanto al antecedente como al consecuente; es decir: Dada la proposición condicional: “pq” La proposición condicional inversa es: “~ p ~q” Ejemplo Dada la proposición condicional: p→q: Si, hoy es martes, entonces mañana es miércoles. p q Su inversa de la proposición condicional dada es: ~p→~q: Si hoy no es martes, entonces mañana no es miércoles. ~p ~q

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G. LA BICONDICIONAL O DOBLE CONDICIONAL () Es el resultado de enlazar proposiciones con el conectivo” si y sólo si”. Se denota: “pq” ó “p  q” y se lee “p si y sólo si” o “p es equivalente a q”. Ejemplo p: Gabriela aprobó el primer ciclo en la UNH q: Gabriela estudia. Por tanto: p↔q: Gabriela aprueba el primer ciclo en la UNH, si y sólo si estudia. También se puede expresar así: p ↔ q ≡ (p → q) y (q → p) “Si Gabriela aprobó el primer ciclo en la UNH, entonces estudió y si Gabriela estudió, entonces aprobó el primer ciclo en la UNH” Tabla de verdad: p V V F F

q V F V F

pq V F F V

Es decir, la proposición “p  q” es verdadera, solo cuando ambas proposiciones son verdaderas o falsas, en los casos siguientes resultan ser falsos. Existen otras formas de expresar la bicondicional:  “p es condición necesaria y suficiente para q”  “p es equivalente a q”  “p entonces q y q entonces p”  “si y solamente si” Mediante la tabla de verdad tenemos: p V V F F

q (pq) V V F F V V F V

 (qp) V V F V F F V V

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Se observa, que el resultado es equivalente a la bicondicional. Por tanto: (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p) Jerarquía de conectivos Están dados en el siguiente orden:  La bicondicional  La condicional  La conjunción  La disyunción y  La negación Este orden se aplica solamente cuando existe un enlace proposicional, pero si existe signos de agrupación como: barras, corchetes, llaves, paréntesis, etc., el orden de desarrollo será en primer lugar, operar las proposiciones en el interior de cada uno de los signos de agrupación y luego se procede a evaluar de izquierda a derecha.

EVALUACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES POR LA TABLA DE VERDAD Se entiende por esquema molecular, a toda proposición molecular, es decir las proposiciones que tienen conectivos lógicos. Cuando expresamos el término evaluación en los tópicos Lógica, se entiende por averiguar por medio de las tablas de verdad si los esquemas moleculares son tautológicos, contradictorios o contingentes. Por tanto, cuando evaluamos un esquema molecular el resultado se obtiene bajo tres términos: tautología, contradicción o contingencia. A. TAUTOLOGÍA Es toda proposición compuesta cuyo valor de verdad en su operador principal resultan ser todas verdaderas. Ejemplo. Evaluar el siguiente esquema molecular: A =(~p ∨ q) ↔ (p∧~q)

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Mediante la tabla de verdad, resulta así: p V V F F

q ( ~p ∨ q ) V F V V F F F F V V V V F V V F

 V V V V

~ (p V V F V V F V F

∧~q) F F V V F F F V

Por tanto, “A” es una tautología, porque en el operador principal (  ), resultan todas verdaderas. B. CONTRADICCIÓN Es toda proposición compuesta cuyo valor de verdad en su operador principal resultan ser todas falsas. Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular. B = [ (~ p → q ) ∧ ~ p ] ∧ p. Solución Mediante la tabla de verdad tenemos: p V V F F

q [ (~ p → q ) V V F V V V F F

∧ ~p] F F F F V V F V

∧ F F F F

P V V F F

Por tanto: “B” es una contradicción, porque en su operador principal “” resultan todas falsas. C. CONTINGENCIA O CONSISTENCIA Es toda proposición compuesta, cuyo valor de verdad en su operador principal existe por lo menos una verdad y una falsedad.

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Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: C = ~ (p ∧ q) → ~ (p → q) Solución Mediante la tabla de verdad tenemos: pq VV VF F V F F

~(p∧q) F V V F V F V F

 V V F F

~(p→q) F V V F F V F V

Por tanto: “C” es contingente, porque en el operador principal “ ”, existen verdades y falsos.

EJERCICIOS RESUELTOS 01. Evaluar el siguiente esquema molecular: A=~[~p→~(~q∧~p)]∨~(~p∨~q) Solución Mediante la tabla de verdad tenemos: pq [ p ∨ ~(~p VV V V V VF V V V FV F V V FF F F F

∧~q)] F F F V

→ (p∧q) V V F F F F F V

Por tanto: “A” es contingente 02. Si se sabe que: p ⊚ q = ~ [p → (p ∨ q) ] y p τ q = (p ∧ q).

Evaluar el esquema siguiente: B = [(p ⊚ q) ∨ (p ⊺ q)] → (~ p ∨ ~ q) 31

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Reemplazando los esquemas con operadores en “B” B =~p(p  q) ~(pq)(~p ~q) Mediante la tabla de verdad tenemos: pq VV VF FV F F

~ [ p F V F V F F F F

→(p V V V V

∨ q)] V V V F

∨ F V V V

~(p∧q) F V V F V F V F

 (~p∨~q) F V V V V V V V

Por tanto: “B” es una tautología. EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Evaluar los siguientes esquemas moleculares: A = ~ [(p ↔ q)] ↔ ~ [ (~p → q) ∧ (~q → p) ] B = ~ (p ↔ ~ q) ∆ (q ∆ ~ p) C = ~ (p ∧ q) ∨ [ p∧ (~ p ∨ q)]  ↔ ~ [~ (p → ~ q)] D = [ (p ∆ ~q) ∧ ~ (r ∧q)] ↔ [(p ∆ ~ q) ∨ (q ∧r) ] E = [(~ p ∧ r) → q] ↔ [~ q ↔ (~p ∧ r)] ∆ ~ (p ↔q) ∆ (q ∨ ~ r) F = [(q ∧ r) → ~p] ↔ [~p ∆ (~p ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) → ~ (p ∨ r)] 03. Si: p # q =[ ~ p ∧ ( p → q ) ] ∨ ~ q  y p & q = [(~ p → q) → q] ∨ q ∧ ~ p. Simplificar: A = [ (p # q) ∧ (p & q)] → (p & q) ∧ [(p # q ) & (p & q) → (p # q) & p] 04. ¿Cuáles de los siguientes esquemas son verdaderos? A: “Hoy es feriado, entonces no es verdad que hoy es lunes y no martes”, si y sólo si. “Hoy es lunes pero no martes, entonces hoy no es feriado” B: “José es amigo de Pedro y Juan no es amigo de Raúl”, entonces. “Si Juan es amigo de Raúl, entonces José no es amigo de Pedro”

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C: “Hoy no es lunes y hoy no es viernes”, si y sólo si. “hoy es lunes pero no es feriado”. 05. Si es imposible que consiga carro y me movilice rápido, pierdo el tren y no viajo a Huancayo. En consecuencia si no consigo carro, no viajo a Huancayo. 06. María será encontrada culpable si hoy rinde testimonio. Pero si María dice la verdad, no será encontrada culpable. En consecuencia, o María hoy no rinde testimonio o no dice la verdad. 07. Si el testigo dice la verdad entonces José estaba en su casa antes del medio día; pero si José pasó el día en el club. Por lo tanto, el testigo no dice la verdad. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN LÓGICA 01. EQUIVALENCIA LÓGICA () Dados dos esquemas moleculares A y B son lógicamente equivalentes, cuando unidos por la bicondicional el resultado es una tautología. Se simboliza: A  B ó A  B y se lee “A es equivalente a B”. Caso contrario, se dice que “A no es equivalente a B”, o sea: A⇎B ó A≢B

Ejemplo. Sean A = ~(p→~q) y B = (~pq). Determinar si A es equivalente a B. Solución Si pide determinar “A es equivalente a B”, entonces vamos a simbolizar: AB Reemplazando sus valores y hallando por la tabla de verdad: p V V F F 33

q V F V F

~ ( p → ~q )  ( ~ p  q) V F V F V V F V V F F F V F V V V V F V V V V F

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El resultado final es una tautología; por tanto se afirma que: A≡B ó AB (A es equivalente a B). La equivalencia lógica es una relación de equivalencia, en consecuencia debe cumplir las siguientes propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. a) REFLEXIVA.- Un esquema molecular es equivalente consigo mismo. AA b) SIMÉTRICA.- Si un primer esquema molecular es equivalente con otro, entonces ésta es equivalente con la primera. (A  B ) → (B  A)

c) TRANSITIVA.- Si un primer esquema molecular es equivalente con un segundo y ésta es equivalente con un tercero, entonces el primero es equivalente con el tercer esquema molecular. (A  B)  (B  C) → (A  C) 02. IMPLICACIÓN LÓGICA(  ) Dados dos esquemas moleculares A y B son lógicamente implicantes, cuando unidos por la condicional, resulta una tautología. Se simboliza: AB, se lee “A” implica a “B” ó “A” es condición suficiente para que B” ó “B es condición necesaria para “A”. Si “A” no implica a B”, se denota así: A⇏B. Ejemplo: Sean A = [(p → q)  ~ q] y B = ~ p  (q  ~ p). Determinar si A implica a B. Solución Por dato; si A implica a B, entonces se denota así: A ⇒ B. Reemplazando sus valores de A y B y hallando con la tabla de verdad.

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Se observa, que el resultado es una tautología, por tanto A implica a B ó A  B. La implicación lógica es una relación de orden, entonces debe cumplir tres propiedades fundamentales: reflexiva, antisimétrica y transitiva. a) Reflexiva.- Un esquema molecular es implicante consigo mismo. A B b) Antisimétrica.- Si un esquema molecular implica a otro segundo esquema y ésta implica al primero, entonces el primero es equivalente al segundo. [ (A  B)  (B  A) ]  (A  B) c) Transitiva.- Si un primer esquema molecular implica a un segundo y ésta implica a un tercero, entonces el primero implica al tercer esquema molecular. [ (A  B)  (B  C) ] → (A  C)

EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Determinar si los siguiente esquemas son equivalentes; si: a. A= ~[~ ( p  q ) ] y B = ( p ↔ q ) b. C = [ (p  q) → r] y D = [p → (q → r )] c. E = (p  q)  (r  p) y F = ~ q → (~ r → ~ p) 02. Determinar si los siguientes esquemas moleculares son implicantes; si: a) A = ~ p  ~ q y B = ~ (p  q)  ~ r b) C = [ ( p  ~ q )  (q → ~ r ) ] y D = [ ~ p  ( q  r ) ] c) E = [ ( p  q ) → r ] y F = [ p → ( q → r ) ] 03. Dados los esquemas moleculares: A = ~ (~p  q), B = ~p ↔ ~ q y C = ~ [~ (p  ~q)]. ¿Cuáles son correctas? 35

Lógica Matemática A) A ≡ B

B) A → ~ C

C) A ≢C

Régulo Antezana Iparraguirre D) B ≡ C

E) A ≢ B

04. Determinar si los siguientes esquemas moleculares son equivalentes o implicantes a) A= ~[(p ↔ q)] ↔ ~[(~p → q) ∧ (~q → p) ] y B=~(p↔ ~q) ∆ (q ∆ ~ p) b) C = ~(p ∧ q) ∨ [ p∧ (~ p ∨ q)]  ↔ ~ [~(p→ ~q)] y D = [ (p ∆ ~q) ∧ ~ (r ∧q)] ↔ [(p ∆ ~ q) ∨ (q ∧r) ] c) D = [ (p ∆ ~q) ∧ ~ (r∧q)] ↔ [(p ∆ ~ q) ∨ (q ∧r) ] y E = [(~ p ∧ r) → q] ↔ [~ q ↔ (~p ∧ r)] ∆ ~ (p ↔q) ∆ (q ∨ ~ r) 05. Del ejercicio anterior, hallar los siguientes esquemas moleculares: a) (A  C)  (D  E) b) (B  D)  (D  A) c) (A ∧ ~B)  (~C ∨ ~E) d) (~D ∧ ~A)  (B ∨ ~B) e) (A ∧ ~B)  (D  A) f) (B ∨ ~B)  (A  C) g) [(A ∧ ~B)  (~C ∨ ~E)]  [(B  D)  (D  A)] h) [(~D ∧ ~A)  (B ∨ ~B)]  [(B ∨ ~B)  (A  C)]

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LEYES LOGICAS O TAUTOLÓGICAS

Las principales leyes lógicas se presentan en tres grupos: I. LEYES CLÁSICAS: Las leyes clásicas determinan la relación y esencial entre las ideas de cierto razonamiento. Estudia la veracidad del pensamiento pero más que en su forma, en que un juicio se deduce de otros. 1.1. Ley de identidad o ley reflexiva Esta ley exige que toda noción empleada en el razonamiento tenga una sola y misma significación. Una proposición sólo es idéntica consigo mismo. Un mismo término en un mismo razonamiento ha de emplearse en una misma significación. Si los términos de un razonamiento no tienen la misma significación, no puede haber ningún vínculo entre los postulados del razonamiento y, por consiguiente, tampoco puede existir éste (Kopnin, 1966). La ley de la identidad se puede presentar por medio de la fórmula “A es A”, donde la variable A denota un pensamiento cualquiera. Si sustituimos A por el concepto “hombre”, vamos a obtener un juicio verdadero “un hombre es un hombre”. También, podemos representar simbólicamente: (p → p), (p ↔ p) 1.2. Ley de no contradicción Esta ley se basa en lo siguiente: Si un juicio A del sistema de juicios que forman el razonamiento es verdadero, no puede ser verdadero en ese sistema un juicio que contradiga al juicio A, es decir, en un determinado sistema de juicios, que forman un razonamiento, no pueden ser verdaderos el juicio A y el juicio que le contradice (no A) (Kopnin: 1966). Por ejemplo, el juicio “todos los perros son vertebrados” y su correspondiente contradicción “algunos perros no son vertebrados”, no permite esta ley, o sea no puede ser verdadero y falso al mismo tiempo. En otras palabras, el perro no puede ser vertebrado e invertebrado al mismo tiempo. Otro ejemplo, tú no puedes estar 37

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en dos lugares a la vez. Por eso Gorski (1970) decía que la ley de la contradicción constituye un reflejo en nuestro pensamiento producto de una realidad, que refleja el hecho de que una u otra cosa o su propiedad no pueden, al mismo tiempo, ser y no ser y no existir, cuando, al examinar las cosas, hacemos abstracción de sus cambios, de su desarrollo. Otro ejemplo, podría ilustrar lo dicho: “Gabriela estudia y no estudia”. La proposición “p” A y su negación no pueden ser verdaderas y falsas al mismo tiempo. Simbólicamente lo representamos así: ~ (p  ~ p) 1.3. Ley tercio excluido La ley del tercio excluido – decía Gorski (1970) – constituye un reflejo en el pensar del hombre hecho que una cosa o su propiedad, cuando hacemos abstracción de su desarrollo, de su transformación, existe o no existe, es o no es. Asimismo, ésta ley es importante para el proceso del pensar; es decir sirve de base de muchos razonamientos y en la de la demostración del contrario o demostraciones indirectas. Por otro lado, la ley del tercio excluido y la de no contradicción son la base de la negación. Esta ley se formula de la siguiente manera: de dos proposiciones que se niegan, uno es necesariamente verdadero. Significa que no existe una tercera posibilidad. Si una de las proposiciones es falsa, el otro es verdadero. Es decir, que una proposición es verdadera o es falsa. Simbólicamente se puede presentar así: (p~q). Esta fórmula resultará siempre verdadera, si sustituimos “p” por una proposición concreta, cualquiera que sea (tanto verdadero como falso). Ejemplo. De las proposiciones necesariamente es verdadero.

que

presenta,

uno

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1. “Si un número es divisible por 6, también lo es por 3 y 2” o “si un número no es divisible por 6, entonces tampoco es divisible por 2 y 3”. 2. “La suma de dos números enteros impares siempre resulta un número par” o “la suma de dos números enteros impares no siempre resulta un número par”. 3. “La luz se comporta en forma corpuscular y ondulatoria” o “la luz se no comporta en forma corpuscular ni ondulatoria”. 4. “Dos puntos determinan una recta” o “dos puntos no determinan una recta”. 5. “La ignorancia de los hombres primitivos frente a la acción de los fenómenos de la naturaleza condujo a la creación de dioses” o “la ignorancia de los hombres primitivos frente a la acción de los fenómenos de la naturaleza no condujo a la creación de dioses”. 6. “Todos los sacerdotes son pedófilos” o “algunos sacerdotes no son pedófilos”. 7. “Ningún Presidente es corrupto” o “algunos presidentes son corruptos”. 8. En la ciencia moderna las leyes de la naturaleza son formuladas en términos matemáticos “o” en la ciencia moderna las leyes de la naturaleza no son formuladas en términos matemáticos”. II. EQUIVALENCIAS NOTABLES 2.1. Ley involutiva o doble negación Dos negaciones de igual alcance equivalen a una afirmación, así: ~ ( ~ p ) ≡ p, ~ ( ~ r ) ≡ r, ~ ( ~ t ) ≡ t 2.2. Ley de Idempotencia Un conjunto de conjunciones o disyunciones de variables comunes se eliminan, así: pp≡p ó pp≡pó p  p  p… p ≡ p ó p  p  p… p ≡ p Ejemplos:  qq≡q  (ts)  (ts)  (ts) 39

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~r~r≡~r ~(pq)  ~(pq) ≡ ~(pq)

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2.3. Ley asociativa  p  ( q  r ) ≡ (p  q )  r ≡ (p  r )  q  p  ( q  r ) ≡ (p  q )  r ≡ (p r )  q  p  ( q  r ) ≡ (p  q )  r ≡ ( p  r ) q  p ↔ ( q ↔ r ) ≡ (p ↔ q) ↔ r ≡ ( p ↔ r ) ↔ q 2.4. Ley conmutativa  pq≡qp  (p↔q)≡(q↔p)  pq≡qp  (p ≡ q ) ≡ ( q ≡ p )  pq≡qp 2.5. Ley distributiva  p  ( q  r ) ≡ ( p q )  ( p  r )  p (q r)≡(pq)(p r)  p → ( q  r ) ≡ ( p → q )  ( p→ r )  p → ( q  r ) ≡ ( p→ q )  ( p→ r ) 2.6. Ley de Morgan ~(pq)≡(~p~q ) ~(pq)≡(~p~q ) En general:  ~ ( p  q  r  ... ) ≡ (~ p  ~ q  ~ r  ...)  ~ ( p  q  r  ... ) ≡ (~ p  ~ q  ~ r ... ) Ejemplos: 1. ~ ( ~p  q) ≡ ( p  ~q) 2. ~ ( ~p  q) ≡ (p  ~q) 3. ~ (~p  ~q) ≡ (p  q) 4. ~ (~r  t ) ≡ ( r  ~t )

5. (r  ~t ) ≡ ~ ( ~r  t) 6. (p  ~q ) ≡ ~ ( ~p  q) 7. (p  ~q) ≡ ~ ( ~p  q) 8. (p  q) ≡ ~ ( ~p  ~q)

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2.7. Ley de la absorción  p(pq)≡p  p(pq)≡p  ~p(pq)≡~pq  p  (~p  q) ≡ p  q  ~p(pq)≡~pq  p  ( ~p  q) ≡ p  q  p  (~p  q) ≡ p ↔(~p ↔ q) ≡ ~q  p  (p  q) ≡ p ↔ (p ↔ q) ≡ q 2.8. Ley condicional  p → q ≡ ~p  q 2.9. Ley del complemento  p  ~p ≡ ~p  p ≡ F  ~ p  ~p ≡ F  p  ~p ≡ ~p  p ≡ V  p  ~p ≡ ~ p  p ≡ V 2.10. Ley bicondicional  p↔q≡(p→q)(q→p)  p↔q≡(pq)(~p~q)  p↔q≡(p~q)(~pq) 2.11. Ley de la disyunción exclusiva  pq≡(p~q) (~pq)  pq≡(p q)(~p ~q) 2.12. Ley de transposición  p→q≡~q→ ~p  p↔q≡~q↔~p

2.13. Ley transitiva  [(p→q)∧(q→r)]→(p→r)  [(p↔q)∧(q↔r)]→(p↔r)

Lógica Matemática 2.14. Ley del elemento neutro  p∧V≡V∧p≡p  p∨F≡p∨F≡p  F∆p≡p∆F≡p  V∆p≡p∆V≡~p  p∧F≡F∧p≡F  p∨V≡V∨p≡V

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SIMPLICACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES A continuación se presenta algunas reglas o procedimientos; por supuesto que no son rígidas, para simplificar esquemas moleculares: 1. El esquema molecular debe convertirse en función a las operaciones de conjunción y disyunción inclusiva (conectivos lógicos ∧ y ∨), es decir si existen operaciones como la condicional, bicondicional y disyunción exclusiva, transformarlos por medio de las leyes lógicas a operaciones conjuntivas y disyuntivas. 2. Aplicar la Ley de Morgan en los distintos casos que se pueda presentar. 3. Encontrar o transformar por medio de las leyes lógicas: (p∧~p) ó (p∨~p), para utilizar las leyes del complemento y elemento neutro. 4. Aplicar las leyes lógicas, principalmente donde existan igual proposición y/o negando una misma proposición, pero observando detenidamente los signos de agrupación. 5. También se puede hacer uso de las tablas de verdad; según como lo ubicas dentro de los signos de agrupación. De esta manera se busca igualdad entre el operador principal con el restos de sus proposiciones.

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EJERCICIOS RESUELTOS

Nota: Las líneas subrayadas que observarás en los ejercicios resueltos, indican las leyes que se está utilizando o aplicando, en el desarrollo de simplificación de los esquemas moleculares. Simplificar los siguientes esquemas moleculares: Ejercicio N° 01 [q ∧ (r ∨ ~r) ] ∨ [ (q ∧ ~ q) ∨ ( r ∨ ~ r) ] ∧ r  Aplicando ley del complemento: [ q ∧ V ] ∨ [ F ∨ V ] ∧ r  Por la ley del elemento neutro y disyunción inclusiva q ∨ V∧r Por la ley del elemento neutro q∨r Ejercicio N° 02 [ ( p → ~q ) ∨ (~p → r ) ] ∧ ( ~p → q ) Por la ley condicional [ ( ~p ∨ ~q ) ∨ ( p ∨ r )] ∧ (p ∨ q) Por ley asociativa dentro del corchete. [ ( ~p ∨ p ) ∨ ( ~q ∨ r ) ] ∧ ( p ∨ q ) Por ley del complemento [ V ∨ ( ~q ∨ r ) ] ∧ ( p ∨ q ) Por ley del elemento neutro V∧(p∨q) Por ley del elemento neutro p∨q Ejercicio N° 03 [ ~ p ∧ ( p ∨ ~q ) ]→ [ ( ~p ∧ q ) ∨ ( p ∨ q ) ] Por la ley condicional. ~ [~ p ∧ ( p ∨ ~q) ] ∨ [ ( ~ p ∧ q ) ∨ ( p ∨ q ) ] Por la ley de Morgan [ p ∨ ~ ( p ∨ ~q ) ] ∨ [ ( ~p ∧ q ) ∨ ( p ∨ q ) ] Por la ley de Morgan [ p ∨ ( ~p ∧ q ) ] ∨ [ ~p ∧ q ) ∨ ( p ∨ q ) ] Por la ley de absorción 43

Lógica Matemática (p∨q)∨[(~p∧q)∨(p∨q)] Por la ley asociativa [ ( p ∨ q ) ∨ ( p ∨ q ) ] ∨ ( ~p ∧ q ) Por la ley idempotencia (p∨q)∨(~p∧q) Por la ley asociativa p ∨ [ q ∨ ( ~p ∧ q ) ] Por la ley de absorción p∨q Ejercicio N° 04 ~ ( p ∨ q ) ∧ [ ( p ∨ ~r ) ∨ ( p → q ) ] Por la ley condicional ~ ( p ∨ q ) ∧ [ ( p ∨ ~r ) ∨ ( ~p ∨ q ) ] Por la ley asociativa ~( p ∨ q ) ∧ [ ( p ∨ ~p ) ∨ ( r ∨ q ) ] Por la ley del complemento ~( p ∨ q ) ∧ [ V ∨ ( ~r ∨ q ) ] Por la ley del elemento neutro ~( p ∨ q ) ∧ V Por la ley del elemento neutro ~(p∨q) Por la ley de Morgan ~p∨~q Ejercicio N° 05 (p∧~r)∨[~q→ ~(p∧~r)] Por la ley condicional ( p ∧ ~ r ) ∨ [ q ∨ ~ ( p ∧ ~r ) ] Por la ley de Morgan (p ∧ ~ r ) ∨ [ q ∨ ( ~p ∨ r ) ] Por la ley asociativa [( p ∧ ~r ) ∨ r ] ∨ ~ p ∨ q Por la ley de absorción [(r∨p)∨~p]∨q Por la ley de absorción ~p∨r∨q ≡~p∨q∨r 44

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Ejercicio N° 06 p → (p ∆ ~q) Por la ley condicional ~p ∨ ( p ∆ ~q ) Por la ley de disyunción exclusiva: p ∆ q ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧~ p) ~ p ∨ [ ( p ∧ q ) ∨ ( ~q ∧ ~p ) ] Por la ley asociativa [ ~ p ∨ ( ~q ∧ ~p ) ] ∨ ( p ∧ q ) Por la ley de absorción ~p∨(p∧q) Por la ley de absorción ~p∨q Ejercicio N° 07 ~[(p∨q)→ ~(r→p)]∨(~r∨p) Por la ley condicional ~ [ ~ ( p ∨ q ) ∨ ~ ( ~r ∨ p ) ] ∨ ( ~ r ∨ p ) Por la ley de Morgan [ ( p ∨ q ) ∧ ( ~r ∨ p ) ] ∨ ( ~ r ∨ p ) Por la ley de absorción ~r∨p Ejercicio N° 08 p ∆ ~ ( p ↔ q ) ∧ ( q ∆ ~ p ) ∆ [ q ∨ ( p ∧ q ) ] Por la tabla de verdad pq VV VF FV FF

p V V F F

 V F V V

~ ( p  q ) F V V F V F F V

El resultado de este esquema molecular pertenece a la tabla de verdad de la condicional: p → q.

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p q VV VF FV FF

(q V F V F

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 ~p ) V F F F F V V V

El resultado de este esquema molecular pertenece a la tabla de verdad de la bicondicional: p  q Reemplazando valores, tenemos: ( p → q ) ∧ (p ↔ q) ∆ [q ∨ ( p ∧ q )] Por la ley de absorción p → q ) ∧ ( p ↔ q ) ∆ q  Por la tabla de verdad p q (p VV VF FV FF

 q) V F F V

 q) F F F F V V V F

La solución de esta tabla de verdad pertenece a ~ p Reemplazando valores, tenemos: (p→q)~p Por la ley condicional ( ~p  q )  ~ p Por la ley de absorción ~p Ejercicio N° 09 ~ ( p → q ) ∨ [ (p ∧ q) ∧ ~ (p ∆ q) ] Por la ley condicional ~ ( ~ p ∨ q ) ∨ [ ( p ∧ q ) ∧ ~ ( p ∆ q )] Por la tabla de verdad, tenemos:

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p q [( p ∧ q ) VV V VF F FV F FF F

Régulo Antezana Iparraguirre ∧ V F F F

~(p V F F V

∆q)] F V V F

La solución de ésta tabla pertenece a la conjunción (p ∧ q) ~ ( ~p ∨ q ) ∨ ( p ∧ q) Por la ley de Morgan ( p ∧ ~q ) ∨ ( p ∧ q ) Por la ley distributiva p ∧ ( ~q ∨ q ) Por la ley del complemento p∧V Por la ley del elemento neutro p Ejercicio N° 10 [(p→q)→(p→q)]∨[(p→q)∨(r∨s)] Por la ley condicional [~(p→q)∨(p→q)]∨[(p→q)∨(r∨s)] Por la ley del complemento V ∨[(p→q)∨(r∨s)] Por la ley del complemento V Ejercicio N° 11 [(p→q)→ q]→[(p→q)∨p] Por la ley condicional [ ~ ( ~p ∨ q ) ∨ q ] → [ (~p ∨ q ) ∨ p ] Por la ley condicional ~ [ ~ ( ~ p ∨ q ) ∨ q ] ∨ [ (~ p ∨ q ) ∨ p ] Por ley de Morgan [ ( ~ p ∨ q ) ∧ ~ q ] ∨ [ (~ p ∨ q ) ∨ p ] Por ley de absorción y ley asociativa (~q∧~p)∨[(~p∨p)∨q] 47

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Por ley del complemento (~q∧~p)∨(V∨q) Por ley del elemento neutro ( ~ q ∧ ~p ) ∨ V Por ley de elemento neutro V Ejercicio N° 12 [ ( p ∨ ~ q ) ∨ q] ∧ [ ( p → q ) ∨ r]  ∨ ( p ∨ ~ q ) Por la ley condicional  [ ( p ∨ ~ q ) ∨ q ] ∧ [ (~ p ∨ q ) ∨ r ] ∨ ( p ∨ ~ q ) Por la ley asociativa [ p ∨ ( ~ q ∨ q ) ] ∧ [ (~ p ∨ q ) ∨ r ] ∨ ( p ∨ ~ q ) Por la ley del complemento ( p ∨ V ) ∧ [(~ p ∨ q ) ∨ r ]  ∨ ( p ∨ ~ q ) Por la ley del elemento neutro V ∧ [ (~ p ∨ q ) ∨ r ] ∨ ( p ∨ ~ q ) Por ley del elemento neutro [ (~ p ∨ q ) ∨ r ] ∨ ( p ∨ ~q ) Por ley asociativa ( ~ p ∨ p ) ∨ ( q ∨ ~ q ) ∨ r  Por ley del complemento V ∨ V ∨ r  Por la disyunción V∨r Por el elemento neutro r

Ejercicio N° 13 ~  ~ [ ~ ( p ∨ q ) ∨ ~ p ] → (p → q) ∨ ( p ∧ ~ q ) Por ley condicional ~ [~ ( p ∨ q ) ∨ ~ p ] ∨ ( ~ p ∨ q ) ∨ ( p ∧ ~ q ) Por la ley de Morgan ~ [ ( ~ p ∧ ~ q ) ∨ ~ p ] ∨ ( ~ p ∨ q ) ∨  ∨ ( p ∧ ~q ) Por ley de absorción ~ ~ p ∨ ( ~ p ∨ q )  ∨ ( p ∧ ~ q ) Por ley Morgan p ∧ ~ ( ~ p ∨ q )  ∨ ( p ∧ ~ q ) Por ley de Morgan 48

Lógica Matemática [p ∧(p∧~q)]∨(p∧~q) Por ley de absorción (p∧~q) Ejercicio N° 14 [p∨(~q→p)]∨(~p→q) Por la ley condicional [p∨(q∨p)]∨(p∨q) Por la ley asociativa (p ∨ p ∨ p ) ∨ ( q ∨ q ) Por ley de idempotencia p∨q Ejercicio N° 15 ( p ∧ q ) ∧ ( ~ p ∨ p ) ∧ (~ q ∨ p) Asociando y por ley del complemento [( p ∧ q ) ∧ V ] ∧ ( ~ q ∨ p ) Por ley del elemento neutro (p∧q)∧(~q∨p) Por ley asociativa [p∧(~q∨p)]∧q Por ley de absorción p∧q Ejercicio N° 16 ( q  r )   ( q  p )  ( r  p)  Por ley distributiva (qr)  p(qr) Por ley de absorción qr Ejercicio N° 17 [(~p∧q)→(r∧~r)] ∧ ~q Por ley condicional [~(~p∧q)∨(r∧~r)]∧~q Por ley de Morgan y ley del complemento [(p∨~q)∨F]∧~q Por ley del elemento neutro 49

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Lógica Matemática (p∧~q)∧~q Por ley asociativa p ∧ (~ q ∧ ~ q) Por ley de idempotencia p∧~q Ejercicio N° 18 ~(p→q) ∧ p Por ley condicional ~(~p∨q) ∧ p Por ley de Morgan (p∧~q)∧p Por ley asociativa (p ∧ p) ∧ ~ q Por ley de idempotencia p ∧~q Ejercicio N° 19 ~[(p∧q)∨~q] Por ley de absorción ~(~q∨p) Por ley de Morgan q∧~p≡~p∧q Ejercicio N° 20 ~ ( p ∧ q ) ∨ [ ( p ∧ ~ p ) ∨ ( p ∧ q ) ] Por ley del complemento ~  ( p ∧ q ) ∨ [ F ∨ ( p ∧ q ) ] Por ley del elemento neutro ~(p∧q) ∨ (p∧q) Por ley de idempotencia ~(p∧q) Por ley de Morgan ~p∨~q

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Ejercicio N° 21 Sea la operación ⊕ definido por: p ⊕ q ≡ { [ ( ~ p → q ) → q ]  q }  ~ p. Simplificar: A = { [ ~ p ⊕ (~ q ⊕ r ) ] → [ p ⊕ (~ r ⊕ ~ s ) ] } Solución Simplificando la definición p⊕q≡{[(~p→q)→q]∨q} ∧~p Por la ley condicional p⊕q≡{[( p∨q)→ q]∨q} ∧~p Por la ley condicional p ⊕ q ≡ { [ ~ (p ∨ q ) ∨ q ] ∨ q } ∧ ~ p Por la ley de Morgan p⊕q≡{[(~p∨~q)∨ q]∨q} ∧~p Por la ley asociativa p⊕q≡{[ ~p∨(~q ∨ q)]∨q} ∧~p Por la ley del complemento p⊕q≡{ [~p ∨ V ] ∨ q } ∧~p Por la ley del elemento neutro p⊕q≡{ V∨ q } ∧~p Por la ley del elemento neutro p⊕q≡ V∧~p Por la ley del elemento neutro p⊕q≡ ~p Reemplazando en “A”: A = { [ ~ p ⊕ (~ q ⊕ r ) ] → [ p ⊕ (~ r ⊕ ~ s ) ] } A=~{p→~p} Por la ley condicional A=~{~p∨~p} Por la ley de idempotencia A=~{~p} Por la doble negación A=p Ejercicio N° 22 (~p↔q)∆(p→q) Por la ley condicional (~p↔q)∆(~p∨q) Por la ley disyuntiva exclusiva: ~ ( p ↔ q ) ≡ p ∆ q y ~ p ↔ q ≡ p ∆ q (p∆q)∆(~p∨q) 51

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Por la ley asociativa (p∆[q ∆(~p∨q)] Por la ley de disyuntiva exclusiva: p ∆ q ≡ ( p ∨ q ) ∧ ~ ( p ∧ q ) p ∆ { [ q ∨ (~ p ∨ q )] ∧ ~ [ q ∧ ( ~ p ∨ q ) ] } Por la ley de Morgan p∆{[q ∨(~p∨q)]∧[~q∨~(~p∨q)]} Por la ley de Morgan p∆{[q∨(~p∨q)]∧[~q∨(p∧~q)]} Por la ley asociativa y ley de absorción p ∆ { [ (q ∨ q ) ∨ ~ p ) ] ∧ ~ q } Por la ley de idempotencia p∆{[q ∨~p)] ∧ ~q } Por la ley de absorción p ∆ [~ p ∧ ~ q ] Por la ley de disyunción exclusiva: p ∆ q ≡ ( p ∨ q ) ∧ ~ ( p ∧ q ) [p∨(~p∧~q)]∧{~[p∧(~p∧~q)]} Por la ley de absorción y Morgan (p∨~q)∧{[~p∨~(~p∧~q)]} Por la ley de Morgan (p∨~q)∧{[~p∨( p∨q)]} Por la ley asociativa ( p ∨ ~ q ) ∧ { [ (~ p ∨ p) ∨ q ) ] } Por la ley de complemento (p∨~q)∧{[ V∨q)]} Por la ley de elemento neutro p∨~q)∧V Por la ley de elemento neutro p∨~q <<

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio N° 01 Si: (m∨n) es falsa; (r→q) es verdadera; (n ↔ r) es verdadera y (p ∆ m) es falsa. Hallar el valor de verdad de: A = [ ( r ∧ p ) ∆ (~ m → n ) ] → ( p ∧ ~ q ) B={[(q∧r)→x]∆[(~n∆~m)∧(t∆s)]}∨~q

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Tanto la proposición “m” como “n” deben ser falsas, para que la disyunción también sea falsa, en: mn≡F F F La proposición “r” debe ser falsa, para que la bicondicional sea verdadera, y reemplazamos el valor de verdad de “n”, en: n↔r V F F El valor de verdad de la proposición “q” puede verdadero o falsa, para que la condicional sea verdadera, y reemplazamos el valor de verdad de “r”, en: r→q ≡V F V/F El valor de verdad de la proposición “p” debe ser falsa, para que la disyunción exclusiva sea falsa, y reemplazamos el valor de verdad de “m”, en: p  m≡F F F Entonces, los valores de verdad de las proposiciones; m, n, p y q son: V(m) = F V(n) = F V(p) = F V(q) = V / F ( se desconoce) Reemplazando en: A A = [( r  p )  ( ~ m → n ) ] → ( p  ~ q ) A = [( F F )  ( ~ F → F ) ] → ( F  ~ q ) A=[F (V→ F)]→F A=[F F]→F A = F→ F A=V Entonces el valor de verdad de A es verdadero

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Reemplazando en: B B={[(q∧r)→x]∆[(~n∆~m)∧(t∆s)]}∨~q B={[(q∧F)→x]∆[(~F∆~F)∧(t∆s)]}∨~q B = { [ F→ x ] ∆ [ ( V ∆ V ) ∧ ( t ∆ s ) ] } ∨ ~ q B={V∆[F∧(t∆s)]}∨~q B={V∆F}∨~q B=V∨ ~q B=V Entonces el valor de verdad de B es verdadero

Ejercicio N° 02 Si: (r → q) es verdadero; (n  r) es verdadero; (m  n) es falso y (p  m) es falsa. Hallar el valor de verdad de A y B. Sabiendo que A= [(p~r)→(~m→n)]  (~qs) y B = ~(t~r)→(m~nx) Solución Por la condición de ejercicio, tanto el valor de verdad de las proposiciones “m” y “n” deben ser falsas, para que la disyunción inclusiva sea falsa: m  n ≡ F F F La proposición “r” debe ser verdadera, para que la disyunción inclusiva sea también verdadera y reemplazando el valor de verdad de “n”, tenemos: n  r ≡ V F V La proposición “q” debe ser verdadera, para que la condicional sea verdadera, y además reemplazando el valor de verdad de “r”, tenemos: r → q ≡ V V V El valor de verdad de “m” debe ser falso, para que la disyunción exclusiva sea falsa, y además reemplazando el valor de verdad de “m”, tenemos: p  m ≡F F F 54

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Entonces los valores de verdad de las proposiciones de m, n, r, p, q, son: V(m) = F V(n) = F V(r) = V V(p) = F V q) = V Reemplazamos en los esquemas moleculares de A y B (dejamos al curioso lector continuar resolviendo) Ejercicio N° 03 Si: (m  n) es verdadera; (r → q) es verdadera; (n  r) es falsa y (p  m) es falsa. Hallar el valor de verdad de A y B. sabiendo que: A = [(p~m) ↔ (~pr)]  [(n~q)  ~n] B= [(m~t) → (p→~q)]  (m→~n) Solución El valor de verdad de las proposiciones “p” y “m” deben ser falsas, para que la disyunción inclusiva sea también falsa: pm ≡ F F F Para que la disyunción inclusiva sea verdadera, es necesario que el valor de verdad de la proposición “n” sea verdadero, y debemos remplazar el valor de verdad de “m”, en: mn ≡V F V Para que la conjunción sea verdadera, es necesario que el valor de verdad de “r” sea verdadero. Asimismo, reemplazamos el valor de verdad de “n”, en: nr ≡F V F Sea verdadera o falsa el valor de verdad de la proposición “q”, la premisa condicional será siempre verdadera. Además, reemplazamos el valor de verdad de “n”, en: 55

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r→q ≡V F V/F

Entonces los valores de verdad de las proposiciones de: p; m; n; r, es: V(m) = F V(n) = V V(r) = F V(p) = F Reemplazamos en los esquema moleculares A y B (dejamos al culto lector continuar resolviendo) Ejercicio N° 04 Si: [ ( p → q )  ( p  r ) ] ≡ F. Hallar: E = [ ( p  r ) ↔ ( q ↔ r ) ]  ~ p Solución De la condición, tenemos: [( p → q )  ( p  r ) ] ≡ F La única posibilidad para que la premisa disyuntiva inclusiva sea falsa, es que: (p → q) y (p  r) sean falsas; así: [(p→q)(pr)]≡F V F V F F F Entonces los valores de verdad de las proposiciones de: p; q; r, es: V(p) =V V (q)= F V (r) = F Reemplazando los valores de verdad, en E: E=[(pr)↔(q↔r)]~p E = [ ( V  F) ↔ ( F ↔ F ) ]  ~ F E=[V↔V]V E=VV E=F Luego, la expresión “E” es falso. Ejercicio N° 05 Si: [(p  q) → (q → r ) ] ≡ F. Hallar los valores de verdad de p; q; r 56

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De la condición, tenemos: [(pq)→(q→r)] ≡F La única posibilidad para que la premisa condicional sea falsa, es que: el antecedente (p  q) sea verdadero y el consecuente (q→ r) sea falso; así: [(pq)→(q→r)] ≡F V V V F V F Entonces los valores de verdad de las proposiciones de: p; q; r, es: V(p) = V V(q) = V V(r) = F Ejercicio N° 06 Si: [ ( p → ~ q )  ( ~ r → ~ s ) ] ≡ F. Hallar los valores de verdad de p; q; r y s Solución De la condición, tenemos: [(p→~q)  (~r→~s)]≡F La única posibilidad para que la premisa disyuntiva inclusiva sea falso, es que: (p → ~ q) sea falso y (~ r → ~ s) también sea falso; así [(p→~q) (~r→~s)]≡F V F V F F F Entonces los valores de verdad de las proposiciones de: p; q; r; s, es: V (p) = V V (~ q) = F ó también V(q) = V V (~ r) = V ó también V(r) = F V (~ s) = F ó también V(q) = V Ejercicio N° 07 Si: [(q → p ) → ( r  p ) ] ≡ F. Hallar los valores de verdad de p; q; r

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De la condición, tenemos: [( q → p ) → ( r  p ) ] ≡ F La única posibilidad para que la premisa condicional sea falsa, es que: el antecedente ( q → p ) sea verdadero y el consecuente (r  p) sea falso; así [( q → p ) → ( r  p ) ] ≡ F F F F F V F Entonces los valores de verdad de las proposiciones de: p; q; r, es: V(p) = F V(q) = F V(r) = F Ejercicio N° 08 Si: {~ [ (p  r) → q ]  [ ( p  q )  s ) ] } → [ (s  p ) → t ] ≡ F. Hallar los valores de verdad de p; q; r; s; t. Solución De la condición, tenemos: {~ [ ( p  r ) → q ]  [ ( p  q )  s ) ] } → [ ( s  p ) → t ] ≡ F. La única posibilidad para que la premisa condicional sea falsa, es que el antecedente {~ [ ( p  r ) → q ]  [ ( p  q )  s ) ] } sea verdadero y el consecuente [ ( s  p ) → t ] debe ser falso; así: {~[(pr)→q][(pq)s)]}→[(sp)→ t]≡F V F Hallando los valores de verdad en el antecedente {~ [ ( p  r ) → q ]  [ ( p  q )  s ) ] } ≡ V 1ra premisa 2da premisa La única posibilidad para que esta premisa conjuntiva sea verdadera, es que ambas premisas deben ser verdaderas; así {~ [ ( p  r ) → q ]  [ ( p  q )  s ) ] } ≡ V V 58

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Hallando los valores de verdad de la primera premisa:~ [(p  r) → q] ≡ V La premisa condicional que se encuentra en el interior del corchete, debe ser falso. Necesariamente el antecedente (cuyas proposiciones “p” y “r”), deben ser verdaderas, y el consecuente, cuya proposición es “q”, debe ser falsa, para que toda la premisa sea verdadero; quedando así: (p  r) → q ≡ F V V F Entonces el valor de verdad de “p”, “q” y “r” es: V (p) = V V (q) = F V (r) = V Hallando los valores de verdad de la segunda premisa: [(p  q)  s)] ≡ V Reemplazando el valor de “p” y “q”. Entonces, el valor de verdad de “q” puede ser verdadero ó falso; al final siempre va resultar verdadera. Luego, la proposición “s” debe ser falsa, para que la premisa disyuntiva exclusiva, [(pq)  s)], sea verdadera, o sea: [ ( p  q )  s ) ]≡ V V F F V Por tanto, el valor de verdad de “s” es verdadera, es decir V (s) = F Hallando los valores de verdad en el consecuente; tenemos [(sp)→ t] ≡F Para que la premisa; [(s  p) → t ] sea falsa, el antecedente (sp), debe ser verdadero y el consecuente “t” debe ser falso, y reemplazando el valor de verdad de “p” y “s”, tenemos: [ (s  p)→ t]≡F F V F V Luego, el valor de verdad de la proposición “t” es falsa, o sea V (t) = F. Vamos a presentar otra forma de solución.

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Los subíndices; V1, V2, V3,…ó F1, F2, F3,…indican el orden con que va tomando los valores de verdad, para cumplir que cierta premisa ó inferencia sea verdadera o falsa. Empezamos de abajo hacia arriba (método del cangrejo) {~[(pr)→q]  [(pq) s)]}→[(s  p)→ t]≡F V7 V8 F6 V9 F10 F12 F13 V14 F16 V5 V11 V15 V3 V4 V1 F2 Entonces los valores de verdad de “p”, “q”, “r”, “s” y “t” son: V(p) = V V(q) = F V(r) = V V(s) = F V(t) = F Ejercicio N° 09 Si: {~ [ ( ~ p  q )  (r → q ]  [ (~ p  q ) → ( q  ~ p ) ] } ≡ V. Hallar los valores de verdad de p; q; r; s.

Solución Vamos de dar otra forma de solución. Los subíndices; V1, V2, V3,…ó F1, F2, F3,… indican el orden con que va tomando los valores de verdad, para cumplir que cierta premisa ó inferencia sea verdadera o falsa. Empezamos de abajo hacia arriba (método del cangrejo) Si: { ~ [ ( ~ p  q )  ( r → q ) ]  [ ( ~ p  q ) → ( q  ~ p ) ] } ≡ V F6 F7 V9 F8 F10 F11 F12 F13 F4

F14

F15

F3 V1 60

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Luego, el valor de verdad de: “p”, “q” y “r” es: V(p) = V V(q) = F V(r) = V

Ejercicio N° 10 Si: [(p → ~ r) → (r → ~ s)] ≡ V. Hallar los valores de verdad de “p”; “r” y “s”. Solución De la condición, tenemos: [(p →~r)→ (r→~s)]≡V F6 F5 V3 F4 V1

Luego, el valor de verdad de: “p”, “r” y “s” es: V(p) = F V(r) = V V(s) = V Ejercicio N° 11 Si: ~ [(r  m) → (r→p)] ≡ V y el valor de verdad de “m” es falso. Hallar los valores de verdad de “p” y “r”. Solución De la condición, tenemos: ~[(r m)→ (r→p)]≡V Reemplazando el valor de verdad de “m”, y dando valores a “p” y “r”: ~[(r  m)→ (r → p)]≡V V5 F1 V6 F7 V3

F4 F2

Luego, el valor de verdad de: “p” y “r” es: V(p) = F y V(r) = V 61

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Ejercicio N° 12 Si: [(p  q) ↔ (r → s)] ≡ V y tanto “r” y “s” tienen valores de verdad opuestos. Hallar los valores de verdad de “p”; “q”, “r” y “s”. Solución De la condición; si consideramos el valor de verdad de “r” como verdadero y el valor de verdad de “s” falso. Asimismo damos valores a “p” y “q”: [(pq)↔(r→s)]≡V F5 F6 V1 F2 F4 F3 Luego, el valor de verdad de: “p”, “r” y “s” es: V(p) = F V(q) = F V(r) = V V(s) = F Ejercicio N° 13 Si: [(q  p) → (r  p)] ≡ F. Hallar el valor de verdad de: A = ( q  y ) → ( a → b ), B = ( r → m )  ( m → p ), C=(r↔q)→(px)y D=[(s→r)(n↔r)]→(t~ t)] Solución De la condición, tenemos: [(q  p)→ (r  p)]≡F V6 F5 F3 F4 V1 F2 Luego, el valor de verdad de: “p”, “r” y “s” es: V(p) = F V(q) = V V(r) = F Hallando el valor de verdad de “A” Reemplazando el valor de verdad de “q” en “A”; tenemos:

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A = (F  y) → (a → b) Si en la conjunción existe una proposición falsa, entonces siempre resulta falso, o sea: A = F → (a → b) Si el antecedente de una proposición condicional es falsa, entonces siempre resulta verdadero; o sea: A= V Hallando el valor de verdad de “B” Reemplazando los valores de verdad de “p” y “r” en “B”; tenemos: B = (F → m)  (m → F) Si el antecedente de una proposición condicional es falsa, entonces siempre resulta verdadero; o sea: B=VV Por tanto: B=V Hallando el valor de verdad de “C” Reemplazando los valores de verdad de “q”, “p” y “r” en “C”; tenemos: C = (F ↔ F) → (p  x) C = V → (Fx) Si en la conjunción existe una proposición falsa, entonces siempre es falso, o sea: C=V→F Por tanto: C= F Hallando el valor de verdad de “D” D = [(s → r)  (n ↔ r)] → (t  ~ t)] Por la ley de complemento, tenemos D=[(s→ r)(n↔r)] → V Si el consecuente de una proposición condicional es verdadera, siempre resulta verdadero; por tanto: C=V

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Simplificar los siguientes esquemas moleculares 1. (q ∨ r) ∨ [(p ∧ q) ∨ r ] ∧ (r ∧ ~ q) 2. [(p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p)] ∧ [(p ∧ ~ q) ∨ (p ∨ ~ p)] 3. [(~ q → ~ p) → (~ p → ~ q)] ∧ ~ (p ∨ q) 4. [(p ↔ ~ q) ∆ (q ∆ ~ p)] ↔ p 5. (p → q) ∧ (~ q → ~ r) → (p ↔ r) 6. (~p ∨ ~q ∨ ~r) ∧ (~p ∨ q ∨ ~r) ∧ (p ∨ ~q ∨ ~r ) ∧ (p∨q∨ ~r) ∧ (p∨q∨r) 7. ~ (p ↔ q ) ∨(p∧~q )∨ ~ [(r→s)∨(q→p) ] ∆ [q ∧ (p → q)] 8. [(p ∆ ~p) ∆ q] ↔ ~ p 9. [~ (p ∨ q) ↔ ~ (~p → ~q)] ∆ (p ∧~q) ∨ ~ [(p ∧~q )∨ (q → p) ]  III.

IMPLICACIONES NOTABLES

Existen dos formas de expresar: 01. Forma Horizontal: (P1  P2  P3  ...  P n)  q Antecedente ó conjunto de premisas

consecuente ó conclusión

P1  P2  P3  ...  P n, son premisas 02. Forma Vertical ( Forma clásica): P1 P2 Antecedente ó P3 conjunto de premisas Pn ∴q Conclusión Vamos a trabajar con la forma vertical, porque se considera más didáctico para su aprendizaje. Dentro de las implicaciones notables se considera las siguientes leyes:

Lógica Matemática A.

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LEY DEL MODUS PONENDO PONENS (PP) Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye afirmando el consecuente, esto es: Premisa condicional pq Afirmando el antecedente p Se concluye afirmando el consecuente q Ejemplo: Sean las proposiciones “p” y “q” p: Galileo fue matemático q: Galileo descubrió el telescopio Si Galileo fue matemático, entonces descubrió el telescopio Galileo fue matemático Por tanto: Galileo descubrió el telescopio

LEY DEL MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT) Si se niega al consecuente de una premisa condicional, se concluye negando el antecedente, esto es: Premisa condicional pq Afirmando el antecedente ~q Se concluye negando al consecuente  ~p Ejemplo: Sean las proposiciones “p” y “q” p: Galileo fue matemático q: Galileo descubrió el telescopio Si Galileo fue matemático, entonces descubrió el telescopio Galileo no descubrió el telescopio Por tanto: Galileo no fue matemático.

LEY DEL MODUS TOLLENDO PONENS O SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) Si se niega cualquiera de las dos proposiciones de una premisa disyuntiva, se concluye afirmando la otra proposición, esto es: Premisa disyuntiva Negando cualquier proposición Se concluye, afirmando la otra proposición

pq ~p q

pq ~q p

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Ejemplo: Sean las proposiciones “p” y “q” p: Galileo fue matemático q: Galileo descubrió el telescopio Galileo fue matemático o descubrió el telescopio Galileo no descubrió el telescopio Por tanto: Galileo fue matemático. D.

LEY DE INFERENCIA EQUIVALENTE (IE) Si cualquiera de las proposiciones de una premisa bicondicional es verdadera, se concluye también como verdadera la otra proposición, esto es: Premisa bicondicional pq pq Proposición verdadera p ó q Se concluye como verdadera la otra proposición q p Ejemplo: Sean las proposiciones “p” y “q” p: Silvia aprueba el primer ciclo q: Silvia estudia Silvia aprueba el primer ciclo si y sólo sí estudia Silvia estudia aprueba el primer ciclo Por tanto: Silvia aprueba el primer ciclo.

LEY DEL SILOGISMO HIPOTETICO (SH) Si una primera proposición (p) implica a otra segunda proposición (q) y ésta implica a una tercera proposición (r), se concluye que la primera proposición implica a la tercera proposición. p  q q  r p  r Ejemplo: Sean las proposiciones “p”, “q” y “r” p: 7 > 5 q: 5 > 3 r:3>1 Si 7 > 5, entonces 5 > 3 Si 5 > 3, entonces 3 > 1 Por tanto: Si 7 > 5, entonces 3 > 1.

Lógica Matemática F.

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LEY DE TRANSITIVIDAD SIMETRICA (TS) Si una primera proposición es equivalente a una segunda proposición y ésta es equivalente a una tercera, se concluye que la primera proposición es equivalente a la tercera proposición. pq qr p  r Ejemplo: Sean las proposiciones “p”, “q” y “ r ” p: Gabriela es buen profesional q: Gabriela aprueba los diez ciclos r : Gabriela estudia Gabriela es profesional si y sólo si aprueba los diez ciclos Gabriela aprueba los diez ciclos si y sólo si estudia Por tanto: Gabriela será buen profesional si y sólo si estudia.

G. LEY DEL DILEMA CONSTRUCTIVO (DC) De dos premisas condicionales distintas y la disyunción de sus antecedentes de dichas premisas, se concluye con la disyunción de los consecuentes de las premisas condicionales, esto es: 1ª Premisa condicional pq 2ª Premisa condicional r s Disyunción de sus antecedentes p  r Se concluye, con la disyunción q  s de los consecuentes de las premisas condicionales Ejemplo: Sean las proposiciones “p”, “q” y “r” p: Gabriela es buen profesional q: Gabriela aprobó los diez ciclos r : Gabriela estudia s : Gabriela gana mucho dinero Si Gabriela es buen profesional, entonces aprobó los diez ciclos Si Gabriela estudia, entonces ganará mucho dinero Gabriela es buen profesional o estudia Por tanto: Gabriela aprobó los diez ciclos o gana mucho dinero

Lógica Matemática H.

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LEY DEL DILEMA DESTRUCTIVO (DD) De dos premisas condicionales distintas y la disyunción de la negación de sus consecuentes, se concluye con la disyunción de la negación de los antecedentes de las premisas condicionales, esto es: 1ª Premisa condicional pq 2ª Premisa condicional r s Negación de la disyunción de sus consecuentes ~q  ~s Se concluye, con la negación de la ~p  ~r disyunción de los antecedentes de las premisas condicionales. Ejemplo: Sean las proposiciones “p”, “q”, “r” y “s” p: Gabriela es buen profesional q: Gabriela aprobó los diez ciclos r : Gabriela estudia s : Gabriela gana mucho dinero Aplicando el dilema constructivo, tenemos: Si Gabriela es buen profesional, entonces aprobó los diez ciclos Si Gabriela estudia, entonces ganará mucho dinero Gabriela no aprobó los diez ciclos o no gana mucho dinero Por tanto: Gabriela no es buen profesional o no estudia.

LEY DE SIMPLICACION (S) De una premisa conjuntiva, se concluye afirmando o simplificando cualquiera de sus proposiciones. Premisa conjuntiva Se concluye afirmando cualquiera de sus proposiciones.

pq p

p q q

Ejemplo: Sean las proposiciones “p” y “q” p: 7 es un número primo q: 4 es un número par p  q: 7 es un número primo y 4 es un número par Por tanto: 4 es un número par. O también se puede concluir que 7 es un número primo

Lógica Matemática

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LEY DE SIMPLICACION CONJUNTIVA Y CONDICIONAL (SC) De dos proposiciones cualesquiera que sea, se concluye con la simplificación o implicación de las proposiciones, esto es: 1ª Proposición p p 2ª Proposición q ó q Se concluye, con la conjun-  p  q pq ción o implicación de las Proposiciones. Ejemplo: Sean las proposiciones “p” y “q” p: 7 es un número primo q: 4 es un número par Por tanto: 7 es un número primo y 4 es un número par ó Si, 7 es un número primo, entonces 4 es un número par

LEY DE ADICION (A) De una premisa, se puede concluir adicionando a esta otra premisa pero solamente con la disyunción. Premisa p ó q Se concluye aumentando a p  q qr esta otra premisa pero con la disyunción. Ejemplo: Sean las proposiciones “p” y “q” p: Carlos Marx escribió la obra “El Capital” Por tanto: Carlos Marx escribió “El Capital” o César Vallejo escribió “Tungsteno”

LEY DE ADJUNCION ( ADJ ) Significa que a cualquier premisa se le puede adjuntar otra premisa cualquiera, pero que tenga la intención de ayudar a resolver el problema o demostración. Ejemplo: Sea la proposición “p” p: José Carlos Mariátegui escribió la obra “Temas de educación” q: José Carlos Mariátegui es peruano

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LL. LEY DEL ABSURDO ( ABS ) Si una contradicción se deduce de una premisa condicional, se concluye con la negación del antecedente, esto es: Premisa Condicional p  (q  ~q) Se concluye negando el antecedente  ~p

DEMOSTRACIÓN DE IMPLICACIONES NOTABLES A continuación se presenta algunas recomendaciones para demostrar ejercicios sobre implicaciones notables. 1. Generalmente no se efectúa operaciones donde se encuentran las proposiciones que se pretende demostrar. 2. Se tantea o se juega con las premisas donde existan proposiciones similares que se afirman o niegan y luego se aplican las leyes implicativas. 3. Si existen demostraciones de premisas con operaciones algebraicas o lenguaje natural, se recomienda simbolizar dichas proposiciones con p, q, r, etc. para su desarrollo. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio N° 01 Demostrar: p  q 1. r → p 2. r 3. s → q 4. s 5. p (1;2) (PP) 6. q (3:4) (PP) 7. p  q (5;6) (SC) Ejercicio N° 02 Demostrar: p → r 1. s  t 2. s → ~ q 3. q  ( p → r ) 70

Lógica Matemática 4. s (1) (S) 5. ~ q (2;4) (PP) 6. p → r (3;5)(SD) Ejercicio N° 03 Demostrar: s  ~ r 1. ( t → p )  ( t → k ) 2. ~ ( ~ t  r ) 3. ~ ( ~ s  p ) 4. t  ~ r (2) (Ley de Morgan) 5. t (4) (S) 6. t → p (1) (S) 7. p (5;6) (PP) 8. s~ p (3) (Ley de Morgan) 9. s (7;8) (SD) 10. ~ r (4) (S) 11. s  ~ r (9:10) (SC) Ejercicio N° 04 Demostrar: ~ s 1. ( q  r ) → ~ t 2. ( p  r )  t 3. s → ~ p 4. (qp)  (qr) (2) (Distributiva) 5. ( q  r ) (4)(S) 6. ~ t (1;5)(PP) 7. p  r (2;6)(SD) 8. p (7)(S) 9. ~ s (3;8)(TT) Ejercicio N° 05 Demostrar: (x = 5)  (x  4) 1. x = 2 → x < 3 2. x ≠ 4 ∧ x ≯ 3 3. (x ≠ 4 ∨ x ≮ 4) → (x = 2) Valores a estas proposiciones p: x = 5 ~ t: x  4 q: x  4 ~s: x ≮ 3 71

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Lógica Matemática r: x = 2 ~r: x  2 s: x  3 ~q: x ≮ 4 Reemplazando tenemos: Demostrar: p  q 1. r → s 2. ~ t  ~ s 3. (~ r  ~ q ) → r 4. ~ s (2) (S) 5. ~ r (1;4) (TT) 6. ~ (~ r  ~ q) (3;5) (TT) 7. r  q (6) (L. de Morgan) 8. q (7) (S) 9. p (9) (ADJ.) 10. p  q (8;9) (SC) Ejercicio N° 06 Demostrar: tan 30º = 0,5  cos 60º = 0,5º 1. sen 30º = 0,5 → cosec 30º = 2,0 2. sen 30º = 0,5 3. cosec 30º = 2,0 → tan 30º = 0,5 Dando valores p: tan 30º = 0,5 r: sen 30º = 0,5 q: cos 60º = 0,5º t: cosec 30º = 2,0 Reemplazando tenemos: Demostrar: p  q 1. r → t 2. r 3. t → p 4. t (1;2)(PP) 5. p (3;4)(PP) 6. p  q (5) (A) Ejercicio N° 07 Demostrar: x = 4 1. 3x + 2y = 18  x + 4y = 18 2. x = 2 → 3x + 2y ≠ 18 3. x = 2  y = 3 72

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Lógica Matemática 4. x ≠ 4 → y ≠ 3 Dando valores: p: x = 4 s: x = 2 q: 3x + 2y = 18 t: y = 3 r : x + 4y=18 ~p: x  4 ~ t: y  3 ~q: 3x + 2y  18 Reemplazando tenemos: Demostrar: p 1. q  r 2. s → ~ q 3. s  t 4. ~ p → ~ t 5. q (1) (S) 6. ~ s (2;5) (TT) 7. t (6;3) (SD) 8. p (4;7) (TT) Ejercicio N° 08 Demostrar: x  6 1. x  5 → ( x = 6  x  6 ) 2. ( x  5  x ≮ 5 ) → x  5 3. x  5 → x  3 + 4 4. x = 3 + 4  x  6 5. x = 3 + 4 → x  5 Dando valores: p: x  6 ~t: x ≮ 5 q: x  5 t: x  5 r: x = 6 w: x = 3 + 4 ~: x  5 ~ w: x  3 + 4 Reemplazando tenemos: Demostrar: p 1. q → ( r  p ) 2. ( ~ s  ~ t ) → q 3. t → ~ w 4. w  ~ r 5. w → ~ s 6. w (4)(S) 73

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Lógica Matemática 7. ~t 8. ~s 9. (~s  ~ t) 10. q 11. r  p 12. ~r 13. p

(3;6)(TT) (5;6)(PP) (7;8)(SC) (2;9)(PP) (1;10)(PP) (4)(S) (11;12)(SD)

Ejercicio N° 09 Demostrar: y = 2  x  y 1. ~ ( y  5  x  6 ) 2. x = 6 → x > y 3. y ≯5 → x > y Dando valores: p: y = 2 s: x = 6 q: x > y ~ s: x ≠ 6 r: y > 5 ~ r: y ≯ 5 Reemplazando tenemos: Demostrar: p ∧ q 1. ~ ( r ∧ ~ s ) 2. s → q 3. ~ r → q 4. ~ r ∨ s (1) (L. Morgan) 5. q ∨ p (2;3; 4)(DC) 6. q (5)(Ley de idempotente) 7. p (7) (ADJ.) 8. p ∧ q (6;7)(SC) Ejercicio N° 10 Demostrar: x = 6 ∨ x > 6 1. x ≠ y → y < x 2. ( x > 5 → y < x ) → y = 5 3. y ≠ 5 ∨ x = 6 4. x > 5 → x ≠ y Sustituyendo valores: p: x = 6 s: y < x ~ w: y ≠ 5 q: x > 6 t: x > 5 74

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Lógica Matemática ~ r : x ≠ y w: y = 5 Reemplazando tenemos: Demostrar: p ∨ q 1. ~ r → s 2. ( t → s ) → w 3. ~ w ∨ p 4. t → ~ r 5. t → s (1;4)(SH) 6. w (2;5)(PP) 7. p (3;6)(SD) 8. p∨q (7)(A) Ejercicio N° 11 Demostrar: r 1. s → t 2. ~ t 3. ~ s → r 4. ~ s (1;2)(TT) 5. r (3;4)(PP) Ejercicio N° 12 Demostrar: s  t 1. p → s 2. p → t 3. p 4. t (2;3)(PP) 5. s (1;3)(PP) 6. s∧t (4;5)(ADJ) Ejercicio N° 13 Demostrar: 3 – 2 = 1 1. 1 + 1 = 2 y 2 + 1 = 3 2. 3 – 2 = 1 o no ocurre 2 – 1 = 1 3. Si 1 + 1 = 2 entonces 2 – 1 = 1 Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: p 1. q ∧ r 2. p ∨ ~ s 75

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Lógica Matemática 3. q → s 4. q (1)(S) 5. s (3;4)(TT) 6. p (2;5)(SD) Ejercicio N° 14 Demostrar: x = y 1. x = y ó x = z 2. Si x = z entonces x = 6 3. No es x = 6 Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: p 1. p ∨ q 2. q → r 3. ~ r 4. ~ q (2;3)(TT) 5. p (4;1)(SD) Ejercicio N° 15 Demostrar: y ≮ 4 ∨ x > 2 1. x  3 ∨ y ≮ 4 2. x > 3 → x > y 3. x ≯ y Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: ~ p ∨ q 1. r ∨ ~ p 2. r → s 3. ~ s 4. ~ r (2;3)(TT) 5. ~ p (2;4)(SD) 6. ~ p ∨ q (6)(A) Ejercicio N° 16 Demostrar: 5x - 4 = 3x + 4 → x = 4 1. 5x – 4 = 3x + 4 → 5x = 3x + 8 2. 2x = 8 → x = 4 3. 5x = 3x + 8 → 2x = 8

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Lógica Matemática Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: p → q 1. p → r 2. s → q 3. r → s 4. p → s (1;3)(SH) 5. p → q (4;2)(SH) Ejercicio N° 17 Demostrar: x = 3 ∨ x = 2 1. x + y = 7 → x = 2 2. y – x = 2 → x = 2 3. x + y = 7 ∨ y – x = 2 Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: p ∨ q 1. r → q 2. s → p 3. r ∨ s 4. p ∨ q (1;2;3)(DC) Ejercicio N° 18 Demostrar: x ≠ 3 ∨ x > 2 1. x + 2 ≠ 5 ∨ 2x = 6 2. x + 2 ≠ 5 → x ≠ 3 3. 2x – 2 = 8 → 2x ≠ 6 4. x + 3 = 8 ∧ 2x – 2 = 8 Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: ~ p ∨ q 1. ~ r ∨ s 2. ~ r → ~ p 3. t → ~ s 4. w ∧ t 5. t (4)(S) 6. ~ s (3;5)(TT) 7. ~ r (1;6)(SD) 8. ~ p (2;7)(PP) 9. ~ p ∨ q (9)(A) 77

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Lógica Matemática Ejercicio N° 19 Demostrar: x 2 = 4 ∨ x 2 = 9 1. 2x2 – 10x + 12 = 0 ∧ x < 1 2. x2 - 5x + 6 = 0 → (x = 2 ∨ x = 3) 3. x = 2 → x 2 = 4 4. x = 3 → x 2 = 9 5. 2x 2 – 10x + 12 = 0 → x 2 - 5x + 6 = 0 Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: p ∨ q 1. r ∧ s 2. t → (w ∨ u) 3. w → p 4. u → q 5. r → t 6. r (1)(S) 7. t (5;6)(PP) 8. (w ∨ u) (2;7)(PP) 9. p ∨ q (3;4;8)(DC) Ejercicio N° 20 Demostrar: y + 8 < 12 1. x + 8 = 12 ∨ x ≠ 4 2. x = 4 ∧ y < x 3. x + 8 = 12 ∧ y < x → y + 8 < 12 Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: p 1. q ∨ ~ r 2. r ∧ t 3. q ∧ t → p 4. r (2)(S) 5. q (1;4)(SD) 6. t (2)(S) 7. q ∧ t (5;6)(ADJ.) 8. p (3;7)(PP) Ejercicio N° 21 Demostrar: x < 3 78

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Lógica Matemática 1. x + 2 > 5 → x = 4 2. x = 4→ x + 4 ≮ 7 3. x + 4 < 7 4. x + 2 > 5 ∨ ( 5 – x > 2 ∧ x < 3 ) Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: p 1. q → r 2. r → ~ s 3. s 4. q ∨ (t ∧ p) 5. ~ r (2;3)(TT) 6. ~ q (3;5)(TT) 7. (t ∧ p) (4;6)(SD) 8. p (7)(S) Ejercicio N° 22 Demostrar: x.y ≠ 0 1. y > x ↔ x = 0 2. x.y = 0 ↔ x = 0 3. y≯x ↔ r Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: ~ p 1. q ↔ r 2. p ↔ r 3. ~ q 4. p ↔ q (1;2)(TS) 5. (p→q)∧(q→p) (4)(Def. Bicond.) 6. p → q (5)(S) 7. ~ p (6;3)(TT) Ejercicio N° 23 Demostrar: x ∨ y 1. ~ z → x ∨ y 2. a ∨ b → ~ z 3. a ∨ b 4. ~ z (2;3)(PP) 5. x ∨ y (1;4)(PP) 79

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Lógica Matemática Ejercicio N° 24 Demostrar: x ≠ 0 1. x = 0 → x ≠ y 2. x = z → x = y 3. x = z Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: ~ p 1. p → ~ q 2. r → q 3. r 4. q (2;3)(PP) 5. ~ p (1;4)(TT)

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Ejercicio N° 25 Demostrar: x < 4 ∧ y < 6 1. x + 2 < 6 → x < 4 2. y < 6 ∨ x + y ≮ 10 3. x + y < 10 ∧ x + 2 < 6 Reemplazando valores, tenemos: Demostrar: p ∧ q 1. r → p 2. q ∨ ~ s 3. s ∧ r 4. s (3)(S) 5. q (2;4)(SD) 6. r (3)(S) 7. p (1;6)(PP) 8. p ∧ q (7;5)(ADJ) Ejercicio N° 26 Demostrar que: Pedro es mayor que Juan. Si: Si José es mayor que Roberto, entonces Pancho es menor que Carlos. Pero si Pancho es menor que Carlos, entonces Carmen no es mayor que Doris. Además Carmen es mayor que Doris. Sin embargo Luis es amigo de Juan y Pedro es mayor que Juan, o en todo caso José es mayor que Roberto. Solución

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Sustituyendo las proposiciones con variables: p: Pedro es mayor que Juan. q: José es mayor que Roberto. r: Pancho es menor que Carlos. t: Luis es amigo de Juan. Reemplazando variables y demostrando: p 1. q → r 2. r → ~ s 3. s 4. t ∧ (p ∨ q) 5. ~ r (2;3)(TT) 6. ~ q (1;5)(TT) 7. p ∨ q (4)(S) 8. p (6;7)(SD)

Ejercicio N° 27 Demostrar que: José es tío de Juan o Pedro es primo de Raúl. Si: David es primo de José y María es tía de Pedro. Si Raúl es tío de Doris, entonces Juan es hermano de Pedro o María es prima de Luis. Si Juan es hermano de Pedro quiere decir que José es tío de Juan. Pero si María es prima de Luis, entonces Pedro es primo de Raúl. Además que si David es primo de José, entonces Raúl es tío de Doris. Solución Sustituyendo las proposiciones con variables p: José es tío de Juan. q: Pedro es primo de Raúl. r : David es primo de José. s: María es tía de Luis t : Raúl es tío de Doris. w: Juan es hermano de Pedro Reemplazando variables y demostrando: p ∨ q 1. r ∧ s 2. t → (w ∨ s) 3. w → p 4. s → q 5. r → t 81

Lógica Matemática 6. s 7. q 8. r 9. t 10. w ∨ s 11. p ∨ q

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(1)(S) (4;6)(PP) (1)(S) (8;5)(PP) (2;9)(PP) (10;3;4)(DC)

Ejercicio N° 28 Si el cielo está nublado y hace frío, entonces no se llevará a cabo el concurso de natación. Ocurre que el cielo está nublado y hace frío. Luego,... Solución Sustituyendo las proposiciones con variables p: El cielo está nublado. q: Hace frío. r: Se llevará a cabo el concurso e natación. Reemplazando valores: 1. ( p ∧ q ) → ~ r 2. ( p ∧ q ) 3. ~ r (1;2)(PP) Luego, no se llevará a cabo el concurso de natación. Ejercicio N° 29 Si Carlos visita los museos y asiste a conciertos, entonces es aficionado al arte. Pero Carlos no es aficionado al arte. Por lo tanto,... Solución Sustituyendo las proposiciones con variables p: Carlos visita a los museos. q: Carlos asiste a los conciertos. r: Carlos es aficionado al arte. Reemplazando valores: 1. ( p ∧ q ) → r 2. ~ r 3. ~ ( p ∧ q ) (1;2) (TT)

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Por lo tanto, no es el caso que Carlos visita a los museos y asiste a los conciertos. O también Carlos no visita a los museos o no asiste a los conciertos. Ejercicio N° 30 El festival se celebrará al aire libre si no llueve, o se celebrará en el coliseo cerrado si hace frío. Pero, no es el caso que si no llueve, el festival se celebre al aire libre. De ahí que,... Solución Sustituyendo las proposiciones con variables p: El festival se celebrará al aire libre. q: Llueve. r: El festival se celebrará en el coliseo cerrado. s: Hace frío Reemplazando valores: 1. ( ~ q → p ) ∨ (s → r ) 2. ~ (~ q → p ) 3. (s→ r) (1;2)(SD) De ahí que, Si hace frío, entonces el festival se celebrará en el coliseo cerrado. O también, no hace frío o el festival se celebrará en el coliseo cerrado. Ejercicio N° 31 Luis llegará a la hora exacta al examen de Matemática si no tuvo problemas en casa. Sus compañeros darán examen de Matemática si Luis llega a la hora exacta al examen de Matemática. Luego,… Solución Sustituyendo las proposiciones con variables p: Luis llegará a la hora exacta al examen de Matemática. q: Luis tuvo problemas en casa. r: Sus compañeros darán examen de Matemática. Reemplazando valores: 1. ~ q → p 2. p→r

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3. (~ q → r) (1;2)(SH)

De ahí que, si Luis no tuvo problemas en casa, entonces sus compañeros darán examen de Matemática. O en todo caso, Luis tuvo problemas en casa o sus compañeros darán examen de Matemática. Ejercicio N° 32 El incendio en la fábrica fue premeditado o se produjo por combustión espontánea, si y sólo si se corto el fluido eléctrico. El accidente no se produjo en horas de la madrugada si y sólo si se cortó el fluido eléctrico. En consecuencia,... Solución Sustituyendo las proposiciones con variables p : El incendio en la fábrica fue premeditado. q : El incendio en la fábrica se produjo por combustión espontánea. r : Se cortó el fluido eléctrico. s : El accidente se produjo en horas de madrugada. Reemplazando valores: 1. ( p ∨ q ) ↔ r 2. ~ s ↔ r 3. (p∨q) ↔ ~ s (1;2) (TS) En consecuencia, el incendio en la fábrica fue premeditado o se produjo por combustión espontánea si y sólo si el accidente no se produjo en horas de madrugada. Ejercicio N° 33 La raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución en los números reales si todo conjunto no se contiene a sí mismo, y si todo conjunto se contiene a sí mismo entonces el concepto de conjunto es abstracto. Pero, todo conjunto, o se contiene a sí mismo o no se contiene a sí mismo. En consecuencia,... Solución Sustituyendo las proposiciones con variables p: La raíz cuadrada de un número negativo tiene solución en los números reales.

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q: Todo conjunto no se contiene a sí mismo. r: El concepto de conjunto es abstracto. Reemplazando valores: 1. ~ q → ~ p 2. q → r 3. q ∨ ~ q 4. ~ p ∨ r (1;2) (DC) En consecuencia, La raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución en los números reales o el concepto de conjunto es abstracto. O también puede ser, si la raíz cuadrada de un número negativo tiene solución en los números reales, entonces el concepto de conjunto es abstracto. Ejercicio N° 34 Si las pirámides egipcias fueron construidas en tiempo de los faraones entonces los arquitectos egipcios conocieron la Geometría, y si los científicos egipcios conocieron la Matemática entonces Egipto fue cuna de las ciencias abstractas. Pero, Egipto no fue cuna de las ciencias abstractas o los arquitectos egipcios no conocieron la Geometría. Luego,... Solución Sustituyendo las proposiciones con variables p: Las pirámides egipcias fueron construidas en tiempo de los faraones. q: Los arquitectos egipcios conocieron la Geometría. r: Los científicos egipcios conocieron la Matemática. s: Egipto fue cuna de las ciencias abstractas. Reemplazando valores: 1. p → q 2. r → s 3. ~ s ∨ ~q 4. ~ p ∨ ~ r (1;2)(DD) Luego, Las pirámides egipcias no fueron construidas en tiempo de faraones o los científicos egipcios no conocieron la matemática. O también, no es cierto que, las pirámides egipcias fueron construidas en tiempo de faraones y los científicos egipcios conocieron la matemática. 85

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Régulo Antezana Iparraguirre EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Demostrar: José no es amigo de Pedro, si: a) Si Luis es enemigo de Pedro, entonces José no es amigo de Pedro. b) Si Raúl es mayor que José, entonces Luis es enemigo de Pedro. c) Raúl es mayor que José. 02. Viajaré a Huancayo, sí y solamente desapruebo el curso. Si desapruebo el curso entonces no es estoy contento. Pero estoy contento, puesto que no viajaré a Huancayo. Luego,... 03. Si trabajo no gozo de la vida. Si estoy ocioso no gano dinero. Si estoy ocioso, entonces gozo de la vida. Trabajo o estoy ocioso. Si trabajo, entonces gano dinero. Por lo tanto, si gozo de la vida, entonces no tengo dinero. En consecuencia,... 04. José es bueno o Juan es malo. Si José es bueno, entonces Pedro es malo. Si Juan es malo, entonces Raúl es bueno. Luego... 05. José es amigo de María o María no es amiga de Doris. Si José es amigo de María, entonces Carlos es enamorado de María. Pero Carlos no es enamorado de María. Luego,... 06. No es el caso que la semillas estén podridas o el abono esté malogrado. Si los cultivos no prosperan a pesar de que hay lluvias y el clima es favorable, entonces las semillas están podridas o el abono está malogrado. Por tanto,... 07. El gobierno controla la inflación y aplica una economía liberal, a menos que los partidos políticos y los empresarios estén descontentos. No es el caso que el gobierno controle la inflación y aplique una economía liberal. Luego,... 08. No es cierto que Juan estudia y no trabaja. Pero si Carmen participa en el festival, entonces Juan no trabaja y estudia. Patricia llora si y sólo si José deja de quererla o Carmen participa en el festival si y sólo si Juan trabaja. Sin embargo, si Juan no trabaja, entonces no estudia, por tanto Juan estudia. Además si Gabriela es encontrada enamorada, José deja de quererla y Patricia no llora. En consecuencia,…

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INFERENCIA LÓGICA

El método abreviado de deducción natural (inferencia), fue propuesto por Gerhard Gentzen en el año de 1934. La inferencia también se conoce con el nombre de deducción, que significa demostrar una conclusión a partir de un conjunto de premisas, aplicando una serie de procedimientos y reglas de inferencia. Una inferencia tiene la forma siguiente: (P1  P2  P3  ...  Pn)  Conjunto de premisas

conclusión

Esta inferencia se puede demostrar por tres métodos: Primer Método: Por la tabla de verdad Ejemplo: Dada la inferencia en el lenguaje natural: “Juan aprueba Matemática y no aprueba Química. En consecuencia, Juan no aprueba Matemática o no aprueba Química.” Solución Expresando a la forma simbólica y aplicando la tabla de verdad: p: Juan Aprueba Matemática ~p: Juan no aprueba Matemática q: Juan aprueba Química ~q: Juan no aprueba Química pq p ∧~q VV F VF V FV F FF F

 ~p V V V V

∨ ~q F V V V

 La inferencia es válida, toda vez que el resultado resulta una tautología. 87

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Segundo método: Simplificación

Se aplica las leyes lógicas. Ejemplo: Consideramos el ejemplo anterior:(p ∧~q) → (~p ∨ ~q) Solución ( p ∧ ~q ) → ( ~p ∨ ~q ) Por la condicional ~(p∧~q)∨(~p∨~q) Ley de Morgan (~p∨q)∨(~p∨~q) Ley asociativa ( ~ p ∨ ~ p) ∨ ( q ∨ ~ q ) Ley del complemento V∨V Por la disyunción V Por tanto: la inferencia es válida Tercer método: Método abreviado Este método es de fácil manejo donde evita el tedioso trabajo de realizar por los métodos anteriores. Lo que se requiere es reconocer e identificar las tablas de verdad de las operaciones proposicionales (conjunción, disyunción, condicional, etc.). El método abreviado tiene la forma siguiente: ( P1  P2  P3  ...  Pn )



Antecedente o conjunto de premisas

Q consecuente o conclusión

El antecedente es verdadera entonces cada premisa (P1, P2, P3,…, Pn) son verdaderas y el consecuente o conclusión (Q) es falsa. Para resolver ejercicios mediante el método abreviado se recomienda los siguientes pasos:

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1. Al antecedente o al conjunto de premisas (P1, P2, P3,…, Pn) y a cada una de la variables proposicionales se le considera como verdadero (V) y falso (F) al consecuente o a la conclusión. 2. Se elige una premisa que tenga una variable proposicional si esta no existe, entonces se prefiere una variable proposicional que no tenga varias posibilidades, teniendo en cuenta las reglas de las operaciones proposicionales(, , , etc.) que se puede presentar. 3. Al encontrar el o los valores de verdad de cada variable proposicional, entonces estos se van reemplazando en las premisas donde existan dichas variables. 4. Si cada una de las variables proposicionales tiene un único valor de verdad, entonces se concluye que la inferencia no es válida o simplemente es una falacia. Puesto que en la tabla de verdad de la condicional existe una única posibilidad; esto es, cuando el antecedente resulta verdadera y el consecuente falso se concluye siempre como falsa. 5. Si cualquiera de las variables proposicionales tiene dos valores de verdad (V ó F), entonces la inferencia se considera como válida. Por tanto existe implicación, porque la conjunción de premisas no es verdadera y la conclusión falsa: EJERCICIOS RESUELTOS Mediante el método abreviado diga si las inferencias siguientes son válidas o no. Ejercicio N° 01 [(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)]→(q∨s) Solución 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V) y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es:

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[(p→q) ∧ (r→s)∧ (p∨r)] → (q∨s) 1ra premisa

2da premisa 3ra premisa

4ta premisa

2° De las cuatro premisa; (q∨s) ≡ F, porque existe solamente una única posibilidad; donde el valor de verdad de “q” y “s” es falso: V(q) ≡ F y V(s) ≡ F, esto es: (q∨s) ≡F F F 3° Reemplazamos los valores de verdad de la proposición “q” y “s”, en las premisas donde existen éstas, es decir: Si: V(q) ≡ F y V(s) ≡ F, entonces reemplazamos en la primera y segunda premisa: p → q ≡V r → s ≡ V F F F F Cualquiera de las proposiciones “p” o “r” debe ser verdadera. Luego elegimos que la proposición “p” sea verdadera, V(p) ≡ V. Quiere decir que la premisa se hace verdadera. p ∨ r ≡V V F 4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “p” puede ser verdadera y falsa. Ejercicio N° 02 [(p↔q)∧ (r∨q)∧~r] → q Solución 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V) y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V V V F [ ( p↔q) ∧ ( r ∨ q ) ∧ ~ r 1ra premisa

2da premisa

]

→

3ra premisa

q 4ta premisa

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2° De las cuatro premisas, elegimos la tercera y la cuarta premisa; esto es: V(q) ≡ F y V( ~ r ) ≡ V 3° Reemplazamos el valor de verdad de las proposiciones “q” y “r” en la primera y segunda premisa, respectivamente. Asimismo, damos valor a “p”, de tal manera cumpla que el antecedente sea verdadero. p ↔ q ≡V F F Cualquiera de las proposiciones “q” o “r” pueden ser verdaderos. Luego elegimos que la proposición “q” sea verdadera [V(q) ≡ V]; quiere decir que la premisa se hace verdadera. r ∨q ≡ V F V 4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “q” puede ser verdadera o y falsa. Ejercicio N° 03 [(p→~q)∧(p∨~q )]→~q Solución 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V) y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V V F [ (p→~q)∧ (p ∨ ~q ) ] → ~q 1ra premisa 2da premisa 3ra premisa 2° Elegimos la tercera premisa: V(~q ) ≡ F 3° Reemplazamos el valor de verdad de la proposición “q” en la primera y tercera premisa. Asimismo, damos el valor a “p”, de tal forma el antecedente sea verdadero. p→ ~q≡V F F

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La proposición “p” o “q” puede ser verdadera para que la premisa sea verdadera. Elegimos la proposición “p” como verdadera. p ∨ ~q≡V V F 4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “p” puede ser verdadera y falsa. Ejercicio N° 04 [ (p ∆ q) ∧ (s → q) ∧ (~ s ∨ r) ] → (p → r) Solución 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V) y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V

[(p ∆ q) ∧ ( s→ q) ∧ (~s ∨ r) ] → (p → r) 1ra premisa

2da premisa

3ra premisa

4ta premisa

2° Elegimos la cuarta premisa, donde el antecedente “p” y el consecuente “q” debe ser verdadero y falso, respectivamente. p→ r ≡ F V F 3° Reemplazamos el valor de verdad de las proposiciones “p” y “r” en la primera y tercera premisa. Asimismo damos valores a “q” y “s”, de tal manera el antecedente sea verdadero; esto es: p ∆ q ≡ V V F ~s ∨ r ≡ V V F Ahora remplazamos en la segunda premisa, los valores de verdad de las proposiciones “q” y “s” s → q≡V F F

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4° Por tanto, la inferencia no es válida o falacia, porque ninguna proposición puede ser verdadera o falsa. Ejercicio N° 05 [ (~p→~q ) ∧ (q ∆~ s) ∧ (~q ∧~ s ) ] → (p ∨ s) Solución 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V V V F [ (~p→ ~q ) ∧ (q ∆~s) ∧(~q ∧~s)] → (p∨s) 1ra premisa

2da premisa

3ra premisa

4ta premisa

2° Elegimos la cuarta premisa, porque es la única posibilidad para que ésta sea falsa; donde necesariamente “p” y “s” debe ser verdadera y falsa, respectivamente. p ∨ s ≡ F V F 3° Reemplazamos el valor de verdad de las proposiciones “s” y “p” en la segunda y primera premisa, respectivamente. Asimismo, damos el valor a “q”, de tal manera sea verdadera dicha premisa. q ∆ ~s ≡ V F V ~p→ ~q ≡ V F V Ahora reemplazamos, los valores de verdad obtenidos en la tercera premisa: ~q ∧~s ≡ V V V 4° Por tanto, la inferencia es una falacia, porque ninguna proposición puede ser verdadera o falsa.

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Ejercicio N° 06 [(~s∆t)∧(p∧s)∧(t↔p)]→(p∆s) Solución

1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso al consecuente o conclusión; esto es: V V V F [ ( ~ s ∆ t ) ∧ ( p ∧ s ) ∧ (t ↔ p ) ] 1ra premisa

2da premisa 3ra premisa

→ (p ∆ s) 4ta premisa

2° Elegimos la segunda premisa; donde las proposiciones “p” y “s” deben ser verdaderas, única posibilidad para que la conjunción sea verdadera: p ∧ s ≡ F V V 3° Reemplazamos el valor de verdad de las proposiciones “p” y “s” en el resto de las premisas, asimismo damos valor a “t” para que la premisa sea verdadera; esto es: Primera premisa: ~ s ∆ t ≡ V F V Segunda premisa:

t ↔ p ≡ V V V

Tercera premisa:

p ∆ s ≡ V V F

4° Por tanto, la inferencia es válida, porque la proposición “s” puede ser verdadera o falsa. Ejercicio N° 07 [(p→q)∧(q→r)∧(r→s)]→ (p→s)

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1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso al consecuente o conclusión; esto es: V V V F [ ( p → q ) ∧ ( q → r ) ∧ ( r → s ) ] → (p → s) 1ra premisa

2da premisa

3ra premisa

4ta premisa

2° Elegimos la cuarta premisa; donde necesariamente el antecedente “p” y el consecuente “s” debe ser verdadera y falsa, respectivamente. p → s ≡F V F 3° Reemplazamos el valor de verdad de las proposiciones “p” y “s” en la primera y tercera premisa, respectivamente. Asimismo, el valor de “q” debe ser verdadera, y el valor de “r” sea falsa, con la finalidad que éstas premisas sean verdaderas; esto es: p → q ≡ V V V r → s ≡ V F F Ahora reemplazamos los valores obtenidos en la segunda premisa. Sin embargo, el valor de “r” debe ser verdadero, para que la premisa sea también verdadera. q → r ≡ V V F 4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “r” puede ser verdadero o falso. Ejercicio N° 08 { [q ↔ (~ p ∨ r ) ] ∧ ( r ∨ s ) ∧ ( ~ p ↔ r ) } → ( q ∨ r )

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1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso al consecuente o conclusión; esto es: V V V F {[q ↔ (~p∨r)] ∧ (r∨s) ∧ (~p↔r)} → (q∨r) 1ra premisa 2da premisa 3ra premisa 4ta premisa 2° Elegimos la cuarta premisa, donde necesariamente las proposiciones “q” y “r” deben ser falsas. q ∨ r ≡ F F F 3° Reemplazamos el valor de verdad de las proposiciones “q” y “r” en el resto de las premisas, y dando valor a la proposición “~p” y “s”, de tal forma sea verdadera dichas premisas; esto es: Primera premisa: q ↔ ( ~ p ∨ r ) ≡ V F F F Segunda premisa: r ∨ s ≡ V F V Tercera premisa.

~p ↔ r≡V F F

4° Por tanto, la inferencia no es válida o falacia, porque ninguna proposición puede ser verdadera o falsa. Ejercicio N° 09 { (q→p) ∧ [q → (r∨s) ] ∧ ~ (~ q ∨ ~ s ) } → [ r → (s→p) ] Solución 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es:

Lógica Matemática V

Régulo Antezana Iparraguirre F

{ ( q → p ) ∧ [ q→ (r ∨ s ) ] ∧ ~ (~ q ∨ ~ s )}→ [ r → (s→ p) ] 1ra premisa

2da premisa

3ra premisa

4ta premisa

2° Elegimos la cuarta premisa, donde necesariamente el antecedente “r” y el consecuente “s→p” debe ser verdadera y falsa respectivamente. r → (s→p) ≡ F V V F 3° Reemplazamos los valores de verdad de las proposiciones “p”, “s” y “r” en la primera, segunda y tercera premisa. Asimismo, damos valores tanto a la proposición “q” y “r”, de tal forma sea verdadera dichas premisas; esto es: Primera premisa: q → p ≡ V F F Segunda premisa. q → ( r ∨ s ) ≡ V V V/F V Aplicando la Ley de Morgan, en la tercera premisa tenemos: (q ∧ s) ≡ V Dando valores a las proposiciones “q” y “s”, de tal forma sea verdadera la tercera premisa: (q ∧ s) ≡ V V V 4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “q” (o también a “r”) puede ser verdadero o falso. Ejercicio N° 10 [ (p ∨ ~ q) ∧ ( r→~ p ) ∧ ( s↔p ) ] → [ p ∨ ( q → ~ r ) ] Solución 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es:

Lógica Matemática V

Régulo Antezana Iparraguirre F

[ ( p ∨ ~ q ) ∧ ( r → ~ p ) ∧ (~ r ↔ p ) ] → [ p ∨ ( q → ~ r ) ] 1ra premisa

2da premisa

3ra premisa

4ta premisa

2° Elegimos la tercera premisa, donde necesariamente el antecedente “p” y el consecuente, “q → ~ r” deben ser falsas. p ∨ (q → ~r )≡ F F V F 3° Reemplazamos los valores de verdad de “p”, “q” y “r” en el resto de las premisas; esto es: r→~p ≡ V V V ~r ↔ p ≡ V F F p ∨ ~q V F

≡ V

4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “p” puede ser verdadero o falso.

Ejercicio N° 11 Si el contrato no se cumple entonces la construcción del edificio no terminará a fin de año. Si la construcción del edificio no termina a fin de año entonces el banco pierde dinero. Por lo tanto, si el banco no pierde dinero entonces el contrato se cumple. Solución Reemplazando por variables proposicionales, al texto en mención: p: El contrato se cumple. q: La construcción terminará a fin de año. r : El banco pierde dinero. 98

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Expresando el texto en el leguaje simbólico, obtenemos: (~p~q)(~qr)  (~rp)

Aplicando el método abreviado 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V V F [(~p→~q ) ∧ ( ~q → r )] → (~r →p) 1ra premisa 2da premisa 3ra premisa 2° Elegimos la tercera premisa, donde necesariamente el antecedente “~ r” y el consecuente “p” debe ser verdadera y falsa, respectivamente, para que la premisa condicional sea falsa. ~r → p ≡ F V F 3° Reemplazamos los valores de verdad en “p” y “r” en las demás premisas, de tal forma sea verdadera el resto de las premisas; esto es: ~p → ~q ≡ V V V ~q → r ≡ V V V 4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “r” puede ser verdadero o falso. Ejercicio N° 12 Si es imposible que consiga carro y me movilice rápido, pierdo el tren y no viajo a Huancayo. En consecuencia si no consigo carro, no viajo a Huancayo. Solución Reemplazando por variables proposicionales, al texto en mención: p : Es imposible que consiga carro. q: Me movilice rápido. 99

Lógica Matemática r: Pierdo el tren. s: Viajo a Huancayo.

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Expresando el texto en el leguaje simbólico, obtenemos:  ( p  q )  ( r  ~ s )   ( ~p  ~s ) Aplicando el método abreviado 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V F [ ( p ∧ q ) → ( r ∧ ~ s ) ] → ( ~ p → ~s ) 1ra premisa 2da premisa 2° Elegimos la tercera premisa, donde necesariamente el antecedente “~p” y el consecuente “s” debe ser verdadera y falsa, respectivamente: ~p→~s ≡ F V F 3° Reemplazamos los valores de verdad de las proposiciones “p” y “s” en la primera y única premisa del antecedente de la inferencia; esto es: (p ∧ q) → (r ∧ ~s) ≡ V F V/F V/F F Si las proposiciones “q” o “r” son verdaderas o falsas, siempre la premisa será verdadera. 4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “q” o “r” puede ser verdadero o falso. Ejercicio N° 13 Si un número no es divisible por dos, o es un número impar o es un número primo. No es un número primo si es una fracción positiva. Pero, si es un número impar entonces no es número decimal. Por tanto, si un número no es divisible por dos y es una fracción positiva, entonces no es un número decimal. 100

Lógica Matemática Solución

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Reemplazando por variables proposicionales, al texto en mención: p: Un número es divisible por dos. q: Es un número impar. r : Es un número primo. s: Es una fracción positiva . t : Es un número decimal. Expresando el texto en el leguaje simbólico, obtenemos: { ~p  (q ∆ r)   (s  ~ r)  (q  ~ t ) }   (~ p  s)  ~ t  Aplicando el método abreviado 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V V V F { [ ~ p → ( q ∆ r ) ] ∧ ( s → ~ r ) ∧ (q → ~ t ) } →[ ( ~ p ∧ s ) → ~ t ] 1ra premisa 2da premisa 3ra premisa 4ta premisa 2° Elegimos la cuarta premisa, donde necesariamente el antecedente, “~p∧s” y el consecuente “~t” debe ser verdadera y falsa, respectivamente: (~p ∧ s) → ~t ≡ F V V F 3° Reemplazamos los valores de verdad de las proposiciones “p” y “s” en las demás premisas: Asimismo, damos valores a las proposiciones “t” y “r”, de tal manera sea verdadera la premisa; esto es: q → ~t ≡ V F F ~p→(q∆ r)≡V V F V s→ ~r ≡ V F F

101

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4° Por tanto, la inferencia válida, porque el valor de verdad de verdad de “s” puede ser verdadera y falsa. Ejercicio N° 14 María será encontrada culpable si hoy rinde testimonio. Pero si María dice la verdad, no será encontrada culpable. En consecuencia, o María hoy no rinde testimonio o no dice la verdad. Solución Reemplazando por variables proposicionales, al texto en mención: p: María será encontrada culpable. q: María dice la verdad. r : María hoy no rinde testimonio. Expresando el texto en el leguaje simbólico, obtenemos: (q p)(r~p)(~p ~r) Aplicando el método abreviado 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V V F [(q → p)∧ ( r→~p) ] → (~p ∆~r) 1ra premisa 2da premisa 3ra premisa 2° Elegimos la tercera premisa: ~ p ∆ ~ r ≡ F (esta premisa tiene dos posibilidades; cuando las proposiciones son verdaderas y falsas a la vez). 3° Primera posibilidad:

~p ∆ ~r ≡ F V V

Reemplazamos los valores de verdad de las proposiciones “p” y “r” en las demás premisas; esto es:

r → ~p ≡ V 102

q → p ≡ V

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F V F F De la primera posibilidad, concluimos que la inferencia es una falacia, porque ninguna proposición puede tener dos valores de verdad. Segunda posibilidad:

~p ∆~r ≡ F F F

Reemplazamos los valores de verdad de las proposiciones “p” y “r” en la segunda premisa, de tal manera sea verdadera la premisa; esto es: r → ~p ≡ V F F De la segunda posibilidad, concluimos que la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “r” puede ser verdadero o falso. 4° Por tanto, la inferencia es una falacia, toda vez que exista por lo menos una inferencia es no válida. Ejercicio N° 15 Si los fenómenos naturales se comportan según las leyes mecánicas de Newton, entonces Newton dice la verdad, sin embargo la Física Clásica no es absoluta. La Física Clásica es absoluta, si el movimiento o la velocidad de la luz son absolutos. Si Newton dice verdad, el movimiento es absoluto. Por lo tanto, los fenómenos naturales no se comportan según las leyes las mecánicas de Newton ni la velocidad de la luz es absoluta. Solución Reemplazando por variables proposicionales, al texto en mención: p: Los fenómenos naturales se comportan según las leyes mecánicas de Newton. q: Newton dice la verdad. r: La Física Clásica es absoluta. s: El movimiento es absoluto t : La velocidad de la luz es absoluto. 103

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Expresando el texto en el leguaje simbólico, obtenemos: { ( p  q )  ~r   ( s  t )  r   ( q  s ) }  (~ p  ~ t ) Aplicando el método abreviado 1° Al conjunto de premisas del antecedente se le considera como verdadero (V), y falso (F) al consecuente o conclusión; esto es: V

{( p → q ) ∧ ~r ∧ [ ( s ∨ t ) → r ] ∧ ( q → s ) } → ( ~ p ∧ ~ t ) 1ra premisa 2da premisa

3ra premisa

4ta premisa

5ta premisa

2° Elegimos la segunda premisa: V(~ r) ≡ V 3° Reemplazamos el valor de verdad de la proposición “r”, en la tercera premisa, asimismo damos valores a las proposiciones “s”, “t”, “p” y “q”, de tal manera las premisas sean verdaderas, con excepción a la quinta premisa, los mismos que se remplazarán en las demás premisas; esto es: (s ∨ t)→ r ≡ V F F F q → s ≡ V F F p → q ≡ V F F ~p ∧ ~t ≡ F V F 4° Por tanto, la inferencia es válida, porque el valor de verdad de la proposición “~t” puede ser verdadera o falsa.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Demostrar mediante el método abreviado, si las siguientes inferencias son válidas o no a. { [ → ( q ∧ ~ r ) ] ∧ ( s → r ) } → ( p → ~ s ) b. [( p → q ) ∧ ( q → p ) ] → ( p → q ) c. [ ( p → q ) ∧ p ∧ ( q → r ) ] → r d. [ ( p → q ) ∧ ( ~ q → ~ r ) ] → ( p ↔ r ) e. [ ( p ↔ ~ q ) ∧ ( ~ p ∆ s ) ∧ ( r → s ) ] → [ p → ( r ∧ ~ q ) ] 2. Si el testigo dice la verdad entonces José estaba en su casa antes del medio día; pero si José pasó el día en el club. Por lo tanto, el testigo no dice la verdad. 3. Si en la luna no hay oxigeno entonces no hay agua ni aire. Si no hay oxigeno ni hay agua, entonces no hay plantas. En consecuencia, la luna está hecha de queso verde. 4. Si gano el concurso de Matemática o gano el concurso de Física entonces estudiare informática o Física nuclear. Si estudio Física nuclear si gano el concurso de matemática, entonces ganaré el concurso de Física. Conoceré la construcción de naves espaciales si gano el concurso de Física. De modo que, si gano el concurso de Matemática, entonces conoceré la construcción de naves espaciales, si no estudio informática. 5. No es cierto que Juan estudia y no trabaja. Pero si Carmen participa en el festival, entonces Juan no trabaja y estudia. Patricia llora si y sólo si José deja de quererla o Carmen participa en el festival si y sólo si Juan trabaja. Sin embargo, si Juan no trabaja, entonces no estudia, por tanto Juan estudia. Además si Gabriela es encontrada enamorada, José deja de quererla y Patricia no llora. En consecuencia, Gabriela es encontrada enamorada si y sólo si Juan no estudia.

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CIRCUITOS LÓGICOS

Un circuito lógico es un circuito controlado por un interruptor que permiten dejar o pasar corriente eléctrica. Se dice que un circuito está cerrado cuando admite el paso de corriente y está abierto cuando no admite paso de corriente. Representamos un interruptor mediante una proposición “p”; esto es: p p Interruptor o circuito cerrado Interruptor o circuito abierto (pasa corriente: V(p) ≡ V) (no pasa corriente: V(p) ≡ F) Existe dos clases de instalación: En serie y el paralelo 01.

CIRCUITO EN SERIE.- Son aquellos circuitos que están

compuestos por interruptores, conectados uno a continuación de otro. Un circuito en serie está representado por la conjunción; esto es: p  q Representación gráfica p

Representación simbólica ≡

p ∧ q ∧ r ≡ p ∧ ~q ∧ r ∧ ~ s

≡ p ∧ ~q

02. CIRCUITO EN PARALELO.- Son aquellos circuitos que están compuestos por interruptores, conectados en paralelo. Un circuito en paralelo está representada por la disyunción inclusiva; esto es: p  q.

106

Lógica Matemática Representación gráfica p

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Representación simbólica ≡ p∨q

q p ≡ p∨~q ~q p q

≡ p ∨ q ∨ ~r

~r SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITO LÓGICOS Se recomienda seguir los siguientes pasos. 1ro Expresar el circuito en su forma proposicional o simbólica 2do Aplicar los pasos de simplificación de esquema moleculares 3ro Graficar el circuito después de simplificar. EJERCICIOS RESUELTOS Simplificar los circuitos lógicos y hallar su equivalente. ~p 01.

q ~q Solución

Expresando simbólicamente, tenemos: (~ p ∨ ~ q ) ∧ q Por la ley de absorción q∧ ~p Por la ley conmutativa ~p ∧ q ~p q 107

Lógica Matemática

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p 02. ~p q ~q

~p Solución

Expresando simbólicamente, tenemos {p∨[q∨(~q∧~p)]}∧~p Por ley de absorción [p∨(q∨~p)∧~p Por la ley asociativa [(p∨~p)∨q]∧~p Por la ley del complemento (V∨q)∧~p Por la ley del elemento neutro V∧~p Ley del elemento neutro ~p ~p 03.

p ~p

q ~q

q Solución Expresando simbólicamente, tenemos {(p∧q )∨[(~p∧ ~q)∨q]}∧p Por la ley de absorción { (p∧q) ∨ (q∨~p) } ∧ p Por la ley distributiva (p∧q)∧p]∨[(q∨ ~p)∧p] Por la ley asociativa y de absorción

108

Lógica Matemática

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(p∧p)∧q]∨(p ∧ q) Por la ley de idempotencia (p∧ q)∨ (p∧q) Por la ley de idempotencia p∧q p q

04.

q ~q

p ~p

~q Solución

Expresando simbólicamente, tenemos [p∨q∨(~q∧~p)]∧(~p∨~q) ∧ p Por la ley asociativa y absorción [ (p ∨ q ) ∨ ( ~q ∧ ~ p ) ] ∧ ( p ∧~ q ) Por la ley de Morgan [ (p ∨ q)∨ ~( q ∨ p)] ∧ (p ∧ ~q) Por la ley de complemento V∧( p ∧ ~q) Por la ley del elemento neutro (p∧ ~q) p ~q p

05. s Solución Expresando simbólicamente, tenemos ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ~ s) ∨ s

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Lógica Matemática

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Por la ley asociativa (p ∧ q)∨[(p ∧ ~ s) ∨ s] Por la ley de absorción (p∧q)∨(s∨ p) Por la ley asociativa [ (p∧q) ∨ p] ∨s Por la ley absorción (p ∨ s) p s 06.

~p ~q

p p

q Solución

Expresando simbólicamente, tenemos p∧{~p∨[~q ∨(p∧q)]}∧~q Por la ley de absorción p∧{~p∨(~q∨ p)}∧~q Por la ley absorción {p ∧ ( ~ q ∨ p ) } ∧ ~ q Por la ley de absorción p∧ ~q p

07.

~p ~q p

110

~q p q

Lógica Matemática Solución

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Expresando simbólicamente, tenemos {(p ∧ q)∨ [ (~p ∧~ q ) ∨ p] } ∧ [ ( ~p ∧ ~q) ∨ ( p ∨ q)] ∧ p Por la ley de Morgan {(p ∧ q) ∨ [ (~p ∧ ~q ) ∨ p] } ∧ [ ~(p ∨ q) ∨ ( p ∨ q ) ] ∧ p Por la ley de absorción y de complemento { ( p ∧ q ) ∨ (p ∨ ~q ) } ∧ V ∧ p Por la ley de elemento neutro { ( p ∧ q ) ∨ (p ∨ ~q ) } ∧ p Por la ley distributiva { ( p ∧ q ) ∧ p } ∨ { ( p ∨ ~ q ) ∧ p} Por la ley asociativa y absorción { ( p ∧ p ) ∧ q } ∨ ( p ∧ ~ q) Por la ley de idempotencia (p∧q)∨(p∧ ~q) Por la ley distributiva p∧(q ∨~q) Por la ley de complemento p∧V Por la ley de elemento neutro p p 08.

p p

q q ~r

p q Solución

Expresando simbólicamente, tenemos: [p∧(p∨q)∧q]∨[r∧(~r∨ q)∧p] Por la ley de absorción (p ∧ q ) ∨ [ ( r ∧ q ) ∧ p ] 111

Lógica Matemática

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Por la ley asociativa (p ∧ q) ∨ [ ( r ∧ p ) ∧ q ] Por la ley absorción p∧q p

r s ~r ~s

09.

~s p

r ~r Solución Expresando simbólicamente, tenemos {[(r ∨ s) ∨ (~ r ∨ ~ s )] ∧ ~ s } ∨ [ r ∧ (p ∨ ~ r )] Por la ley asociativa y absorción { [(r ∨ ~ r ) ∨ ( s ∨ ~s ) ] ∧ ~s} ∨ ( r ∧ p ) Por la ley de complemento { V ∧ ~ s } ∨ ( r ∧ p) Por la ley de elemento neutro ~s∨(r∧p) ~s r

10.

p ~q p q

112

~p ~q ~p

Lógica Matemática Solución

Régulo Antezana Iparraguirre

Expresando simbólicamente, tenemos { [ (p∨ ~q) ∧(q ∨ ~p)]∨[ (p ∧ ~q ) ∨ (q ∧ ~p)] } ∧ (p ∨ ~q) Por la ley bicondicional y disyunción exclusiva { (p ↔ q) ∨ (p ∆ q) } ∧ (p∨ ~ q) Por la por la tabla de verdad p V V F F

q (p↔q) ∨ (p∆q) V V V F F F V V V F V V F V V F

V ∧ (p ∨ ~ q) Por la ley de elemento neutro (p ∨ ~ q) p ~q

11. ~p

p ~q

p q

~r ~p Solución

Expresando simbólicamente, tenemos [(~p ∧ ~q) ∨ (p∨ q) ] ∧ {p ∨ [q ∧ ( ~r ∨ ~p) ] } ∧ ~ q Por la ley de Morgan y distributiva [ ~(p∨q) ∨ (p∨q)] ∧ {(p ∨ q) ∧ [ p ∨ ( ~r ∨ ~p )] } ∧ ~q Por la ley de complemento y asociativa

113

Lógica Matemática V∧{(p∨ q)∧[(p∨~p)∨~r]}∧~q Por la ley de elemento neutro { ( p ∨ q ) ∧ [ (p ∨ ~ p ) ∨ ~ r ] } ∧ ~ q Por la ley de complemento { (p ∨ q ) ∧ [ V ∨ ~ r ] } ∧ ~ q Por la ley de elemento neutro {(p∨q)∧V }∧~q Por la ley de elemento neutro (p ∨ q) ∧ ~ q Por la ley de absorción ~q∧p ~q p

12.

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~q r

p q

r s t

q t s

Solución Expresando simbólicamente p∧{p∧[(~q∨r)∨(q∧~r)]}∨ {[(q∧r)∨(s∨ t)] ∧ [(r∧q) ∨ (t∨ s)]} Por la ley de idempotencia p ∧{ p ∧ [(~q ∨ r) ∨ (q ∧ ~ r)]} ∨ [(q ∨ r) ∨ (s ∨ t)] Por la ley asociativa p ∧{p ∧ [~ q ∨ (q ∧ ~ r) ∨ r]} ∨ [q ∨ r) ∨ (s∨t)] Por la ley de absorción p ∧{p ∧ [(~ q ∨ ~ r ) ∨ r]} ∨ [q ∨ r) ∨ (s ∨ t)] Por la ley asociativa p ∧{p ∧ [~ q ∨ (~ r ∨ r) ] } ∨ [q ∨ r) ∨ (s ∨ t)] Por la ley de complemento p ∧{p ∧ [~ q ∨ V ]} ∨ [q ∨ r) ∨ (s ∨ t)] Por la ley de elemento neutro 114

Lógica Matemática

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p ∧{p ∧ V} ∨ [q ∨ r) ∨ (s ∨ t)] Por la ley de elemento neutro p ∧p ∨ [q ∨ r) ∨ (s ∨ t)] Por la ley de absorción p p

13. Sea P la proposición más simplificada del circuito lógico: ~p p

q ~q ~p

y sea Q la proposición más simplificada: s → [ w ∆ ( ~ s → w ) ]. Si p, q, s, t, w son proposiciones lógicas cualesquiera tales que p↔q es verdadera y ~w → ~s es falsa; hallar los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a). (s ↔ ~ w ) → ~ ( ~ p → q ) b). ~ ( ~ q → ~ p ) → [ ( t ∨ ~ w ) → ( w ∧ ~ p ) ] Solución Expresando simbólicamente el circuito lógico, tenemos: {( ~p ∧q)∨[ p ∧ ( ~q ∨ ~p)]} ∨[ ( ~p ∨ p ) ∧ (~p∨~q)]∧ p ley de absorción y ley del complemento {[ (~ p∧ q ) ∨ (p ∧ ~ q ) ] ∨ [ V ∧ (~ p ∨ ~ q) ]}∧ p ley de elemento neutro { [ (~ p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ~ q) ] ∨ ( ~ p ∨ ~ q ) } ∧ p Por la ley distributiva {[ (~ p ∧ q) ∨ (p ∧ ~ q) ] ∧ p } ∨ [ (~ p ∨ ~ q) ∧ p] Por la ley de absorción { [ (~ p ∧ q) ∨ (p ∧ ~ q )] ∧p } ∨ (p ∧ ~ q) Por la ley distributiva { [ (~ p ∧ q ) ∧ p ] ∨ [ (p ∧ ~ q ) ∧ p ] } v (p ∧ ~ q) 115

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Por la ley asociativa { [ (~ p ∧ p) ∧ q ] ∨ [ (p ∧ p) ∧ ~ q ] } ∨ (p ∧ ~ q) Por la ley del complemento e idempotencia { [ F ∧ q ] ∨ (p ∧ ~ q) ] } ∨ (p ∧ ~ q) Por la ley de elemento neutro {F ∨ ( p ∧ ~ q) } ∨ (p ∧ ~ q) Por la ley de elemento neutro (p ∧ ~ q ) ∨ (p ∧ ~ q) Por la ley de idempotencia (p ∧ ~ q) Entonces: P: (p ∧ ~q)

Hallando “Q” Por dato tenemos que: Q: ~ w→ ~ s ≡ F V F Por dato también sabemos que: P ↔ Q ≡ V Entonces reemplazando sus valores de verdad, obtenemos:  ( p ∧ ~ q) ↔ { [ s → [ w ∆ ( ~ s → w )]}  ≡ V V V V F F F V

Hallando el valor de verdad de “a” ( s ↔~w ) → ~(~p→ q) V V F F V V F F Hallando el valor de verdad de “b” ~ ( ~ q → ~p ) → [ ( t ∨ ~ w ) → ( w ∧ ~ p ) ] V F V/F V F F F V F V F F

116

Lógica Matemática

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14. p

~q q

p ~q

~p p

q Solución

Expresando simbólicamente, tenemos: { [(p ∧ q) ∨ ~ q] ∧~ p} ∨ {q∨ [p ∨ (~ q ∧ ~ p) ] } ∨ [p ∨ (p ∧ q)] Por la ley de absorción { (~ q ∨ p) ∨ ~ p} ∨ { q ∧ (p ∧ ~ q} ∨ p Por la ley de absorción (~ p ∧ ~ p) ∨ (q ∧ p) ∨ p Por la ley de absorción (~ p ∧ ~ q) ∨ p Por la ley absorción p∨~q p ~q 15. p

r Solución

Expresando simbólicamente, tenemos: (p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ~ q ∧ r) ∨ (~ p ∧ ~ q ∧ r) Por la ley asociativa { [ (p ∧ r ) ∧ q ] ∨ [ ( p ∧ r ) ∧ ~q ] }∨(~p ∧ ~q ∧ r) 117

Lógica Matemática

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Por la ley distributiva [ (p ∧ r) ∧ (q ∨ ~ q)] ∨ ( ~ p ∧ ~ q ∧ r) Por la ley de complemento [ (p ∧ r ) ∧ V ] ∨ ( ~ p ∧ ~ q ∧ r) Por la ley de elemento neutro (p ∧ r ) ∨ (~ p ∧ ~ q ∧ r) Por la ley asociativa (p ∧ r) ∨ [(~ p ∧ ~ q ) ∧ r] Por la ley distributiva r ∧ [ p ∨ (~ p ∧ ~ q )] Por la ley de absorción r ∧ ( p ∨ ~ q) p r ~q

16. A un electricista se le da el diagrama del circuito siguiente: p q p

q r

r ~q

El quiere hacer una instalación lo más económico posible y sea equivalente al circuito original. Si cada interruptor cuesta S/. 1.20 nuevos soles y no teniendo en cuenta el alambre. ¿Cuánto le costó la instalación y cuanto ahorró? Solución Para hacer una instalación económica se debe simplificar el circuito original. Entonces expresaremos dicho circuito simbólicamente: (p ∨ r) ∨ { [ ( p ∧ q ) ∨ r] ∧ ( r ∨ ~ q ) } Por la ley distributiva (p ∨ r) ∨ { r ∨ [ (p ∧ q) ∧ ~ q ] } Por la ley asociativa (p ∨ r) ∨ { r ∨ [ (p ∧ (q ∧ ~ q) ] } Por la ley de complemento

118

Lógica Matemática (p ∨ r) ∨ { r ∨ (p ∧ F)} Por la ley de elemento neutro ( p ∨ r) ∨ ( r ∨ F) Por la ley de elemento neutro (p ∨ r) ∨ r Por la ley asociativa p ∨ (r ∨ r) Por la ley idempotencia p∨r

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p r Se observa que se tiene dos interruptores, quiere decir que por los dos interruptores le costó S/. 2.40 nuevos soles. Si antes de simplificar, tenia 7 interruptores, entonces le costaba S/. 8.40 nuevos soles. Ahora logró ahorrar S/. 6.00 nuevos soles (S/. 8.40 - S/. 2.40 = S/. 6.00). 17. Hallar la proposición “X” más simple de manera que el circuito lógico siguiente: p q p q p p q p p q p x Solución Expresando a su forma simbólicamente, tenemos: (p ∧q)∨ {p ∧(p∧q)∨{p ∧ [(p∧q) ∨ {p ∧ [ (p ∧ q) ∨ X ] } ] }} Por la ley distributiva (p ∧q) ∨ {p∧(p∧q)∨{p∧[(p∧q)∨{[p∧(p∧q)]∨(p∧X)}]}} Por la ley asociativa e idempotencia (p∧q)∨ {p∧(p∧q)∨{p∧[(p ∧q)∨ {(p ∧q)∨(p ∧ X) } ] }} Por la ley asociativa e idempotencia (p ∧ q) ∨ { p ∧(p ∧ q ) ∨ { p ∧ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ X )] }}

119

Lógica Matemática

Régulo Antezana Iparraguirre

Por la ley distributiva (p ∧ q) ∨ { p ∧(p ∧ q ) ∨ { p ∧ [ p ∧ ( q ∨ X ) ] } } Por la ley asociativa e idempotencia (p ∧ q) ∨ { p ∧(p ∧ q ) ∨ { p ∧ ( q ∨ X ) } } Por la ley distributiva (p ∧ q) ∨ { p ∧(p ∧ q ) ∨ { ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ X ) } } Por la ley asociativa e idempotencia (p ∧ q) ∨ { p ∧ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ X )} Por la ley distributiva (p ∧ q) ∨ { p ∧ p ∧ ( q ∨ X ) } Por la ley asociativa e idempotencia (p∧q)∨ {p∧(q∨X)} Por la ley distributiva (p ∧ q) ∨ { (p ∧ q) ∨ (p ∧ X) } Por la ley asociativa e idempotencia (p ∧ q) ∨ (p ∧ X) Por la ley distributiva p ∧ (q ∨ X) Pero: p  ( q  X)  p Entonces: Xp

19. Sea A, el circuito lógico más simple equivalente al circuito: p ~q ~p q q

Y sea B, el circuito lógico más simple equivalente al circuito p q p q ~r ~s p s t ~t

120

Lógica Matemática Solución

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Hallando el circuito lógico A Expresando en forma simbólicamente, tenemos: [(p∨~q)∨(~p∧q)∨q ]∧~p Por la ley de absorción [(p∨~q)∨q ]∧~p Por la ley asociativa [p∨(~q∨ q)]∧~p Por la ley del complemento [p∨V]∧~p Por la ley de elemento neutro V∧~p Por la ley de elemento neutro A  ~p Hallando el circuito lógico B Expresando simbólicamente, tenemos: [ ( p ∧ q ) ∨ ( ~r ∨ ~s ∨ ~t ) ] ∧ [ (p∧q)∨ (p∧s∧ t ) ] Por la ley distributiva (p ∧ q) ∨ [ (~ r ∨ ~ s ∨ ~ t ) ∧ (p ∧ s ∧ t) ] Hallando: A B ~p→{(p∧q)∧[(~r∨~s∨~t)∧(p∧s∧t)]} Por la ley condicional p∨{(p∨q)∨[(~r∨~s∨~t)∧(p∧s∧t)]} Por la ley asociativa [p∨(p∧q)]∨[(~r∨~s∨~t)∧(p∧s∧t)] Por la ley de absorción p∨[(~r∨~s∨~t)∧(p∧s∧t)] Por la ley asociativa p∨{[(~r∨~s∨~t)∧(s∧t)]∧p} Por la ley de absorción P p

121

Lógica Matemática

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20. Sea A la proposición más simplificada del circuito: p r ~q q p q q ~r p ~q ~r q r ~q ~p ~q

Y sea B la proporción más simplificada de: [ (p ∧ s) ∨ (p ∧ ~ s) ] ∧ [(p ∧ q) ∧ (p ∧ r)] Construir el circuito lógico más simple correspondiente a B  A. Solución Hallando “A” Expresando simbólicamente, tenemos: {(p∨ q) ∧ [( r ∧ ~q )∨ (q∨ ~r)]} ∨ [ (~r ∧ q ) ∨ ( r ∧ ~q ) ] ∧ [(p∧ q)∨(p∧~q)∨(~p ∧~q)] Por la ley asociativa y distributiva {(p ∨ q) ∧ {[( r ∧ ~q)]∨ ~r }∨ [ ( ~ r ∧ q )∨ ( r ∧~ q ) ]} ∧ {[p∧(q ∨~q)] ∨ (~p ∧~q)} Por la ley de absorción y de complemento {( p ∨ q ) ∧ [ ( q ∨ r) ∨ ~ r ] } ∨ [ ( ~r ∧ q ) ∨ ( r ∧ ~ q ) ] ∧ { ( p ∧ V ) ∨ (~p∧~q)} Por la ley asociativa y elemento neutro { ( p ∨ q ) ∧ [ q ∨ ( ~ r ∨ r ) ] } ∨ [ ( ~ r ∧ q ) ∨ ( r ∧ ~ q ) ]∧ {p∨(~p ∧~q)} Por la ley de complemento y absorción {( p ∨ q ) ∧ (q ∨ V )} ∨ [ (~r ∧ q ) ∨ (r ∧ ~q) ]∧(p ∨ ~ q ) Por la ley de elemento neutro { (p ∨ q) ∧ V) } ∨ [ (~ r ∧ q) ∨ (r ∧ ~ q ) ] ∧ (p ∨ ~ q) Por la ley de elemento neutro { (p ∨ q) } ∨ [ (~r ∧ q ) ∨ (r ∧ ~q ) ]∧ (p ∨ ~ q) Por la ley asociativa { [ (p ∨ q) ∨ (~ r ∧ q) ] ∨ (r ∧ ~ q ) ]} ∧ (p ∨ ~ q ) Por la ley asociativa {(p ∨ [ q ∨ (~r ∧ q) ]} ∨ (r ∧ ~ q)∧ (p ∨ ~ q) Por la ley de absorción [(p∨ q)∨ ( ~r ∧ q) ] ∨ ( r ∧ ~ q ) ]∧ ( p ∨ ~q )

122

Lógica Matemática

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Por la ley asociativa { p ∨ [ q ∨ ( ~r ∧ q ) ] } ∨ (r ∧ ~ q ) ∧ (p ∨ ~ q) Por la ley de absorción [(p ∨ q) ∨ ( r ∧ ~ q) ] ∧ (p ∨ ~ q) Por la ley asociativa [ p ∨ [ q ∨ ( r ∧ ~ q) ] ∧ (p ∨ ~ q) Por la ley absorción [ p∨ (q∨ r) ] ∧ (p ∨ ~q) Por la ley distributiva p ∨ [ (q ∨ r) ∧ ~ q ] Por la ley de absorción p ∨ (~ q ∧ r) Hallando “B” [ (p ∧ s ) ∨ ( p ∧ ~ s ) ] ∧ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) ] Por la ley distributiva [p∧(s∨~s)]∧[p∧(q∨r)] Por la ley de complemento [ p ∧ V ] ∧ [ p ∧ (q ∨ r) ] Por la ley de elemento neutro p∧[p∧(q∨r)] Por la ley asociativa e idempotencia p∧(q∨r)] Hallando: B  A [ p ∧ ( q ∨ r ) ] → [ p ∨ (~ q ∧ r ) ] Por la ley condicional ~[p∧(q∨ r)]∨[p∨(~q ∧ r )] Por la ley de Morgan [ ~ p ∨ ~ (q ∨ r) ] ∨ [ p ∨ (~ q ∧ r ) ] Por la ley de Morgan [ ~ p ∨ ( ~ q ∧ ~ r ) ] ∨ [ p ∨ ( ~ q ∧ r )] Por la ley asociativa (~p∨p)∨[ (~q ∧~r)∨(~q∧r )] Por la ley de idempotencia y distributiva V∨ [~q ∧(~r∨r)] Por la ley de elemento neutro V

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EJERCICIOS PROPUESTOS

A. Simplificar los siguientes circuitos y hallar su equivalente. a)

~q ~p

p q c)

p ~p

~q q

~p q

p ~q

B. Un Ingeniero electricista se le da el diagrama del circuito. El quiere hacer una instalación lo más barato posible y que sea equivalente al circuito original. Si cada interruptor cuesta S/. 1.80 nuevos soles; sin tener en cuenta el costo del alambre. ¿Cuánto le costó la instalación y cuanto ahorró? q ~p

~p q

q ~r

~r q

C. Sea X el circuito lógico más simple correspondiente a la proposición: ~ [ ~ (p ∧ q) ∨ ~ (p ∧ r) ] ∧ [ ( p ∧ s ) ∨ ~ ( ~ p ∨ s ) ] e Y el circuito lógico más simple equivalente a: ~q ~q ~p q ~p 124

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D. Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas moleculares: a. ~ [ ~ p ∨ ( ~ q ∧ ~ r ) ] b. ( ~ p ∨ ~ q ) ↔ ~ p c. ( p ∨ q ) → [ ( ~ p ∨ q ) → ( p ∧ q ) ] d. ( p ∨ q ) ∧ { [ ~ q ∧ ( r ∨ ~ q ) ] ∨ ( p ∧ q ) } ∧ r

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Lógica Matemática ÍNDICE

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Breve reseña histórica de la lógica Concepción de lógica Validez o valor de verdad Enunciado Proposición Enunciado abierto No proposicional Conectivos o enlaces lógicos Clases de proposiciones Proposición simple Proposición compuesta Combinación de dos a más proposiciones Operaciones con proposiciones Conjunción Disyunción inclusiva o débil Disyunción exclusiva o fuerte Negación Doble negación Condicional Condicional como teorema Proposición condicional recíproca Proposición condicional contrarecíproco Proposición condicional inversa Bicondicional o doble condicional Jerarquía de los conectivos Evaluación de esquemas moleculares por la tabla de verdad Tautología Contradicción Contingencia o consistencia Equivalencia e implicación lógica Equivalencia lógica Implicación lógica Principales leyes lógicas o tautológicas Leyes clásicas Equivalencias notables Simplificación de esquemas moleculares 126

7 14 16 16 17 18 19 19 20 20 20 20 21 21 22 23 23 24 24 26 26 27 27 28 29 29 29 29 30 33 33 34 37 37 39 42

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Implicaciones notables Ley del Modus Ponendo Ponens Ley del Modus Tollendo Tollens Ley del Modus Tollendo Ponens o silogismo disyuntivo Ley de inferencia equivalente Ley del silogismo hipotético Ley de transitividad simétrica Ley del dilema constructivo Ley del dilema destructivo Ley de simplificación Ley de simplificación conjuntiva y condicional Ley de la adición Ley del absurdo Demostración de implicaciones notables Inferencia lógica Circuitos lógicos Circuitos en serie Circuitos en paralelo Simplificación de circuitos lógicos

127

64 65 65 65 66 66 67 67 68 68 69 69 70 70 87 106 106 106 107

Lógica Matemática

Régulo Antezana Iparraguirre

REFERENCICAS BIBLIOGRÁFICAS

 Espinoza, E. (2002). Matemática Básica. Edit. Servicios Gráficos JJ. Lima – Perú.  Figueroa, R. (1999). Matemática Básica 1. Edit. Talleres, edic. sexta. Lima – Perú.  Gorski, D. y otros. (1970). Lógica. Edit. Grijalbo. México.  Lázaro, C. (1998). Introducción a la lógica y del razonamiento lógico. Lima – Perú.  Lázaro, Moisés (1966). Matemática Básica – A. Edit. Moshera, Tomo I. Lima – Perú.  Kopnin, P. (1966). Lógica dialéctica. Edit. México.  Potatov, A. (2000). Álgebra y análisis de funciones elementales. Edit. Moscú – Rusia.  Mark, S. (1999). Matemáticas y lógica. Edit. Fondo educativo Interamericano.  Rojo, A. (1992). Álgebra I. Edit. El Ateneo. Lima – Perú.  Rosales, D. (1988). Introducción a la lógica. Edit. Monterrico S. A, edic. Primera. Lima – Perú.  Rosental, I. (1980). Diccionario filosófico. Edit. Pueblos Unidos. Lima – Perú.  Silva, A. (1999). Fundamentos de matemáticas. Edit. Limusa – México.  Torres, C. (2000). Algebra. Edit. San Marcos. Lima – Perú.  Venero, A. (1996). Matemática básica. Edit. San Marcos, edic. Gemar. Lima – Perú.

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