Algebricamente

Manuale di algebra per chi ama la matematica

Parte integrante di un EAS svolto durante le attività di laboratorio informatico Gli altri prodotti sono visualizzabili sul sito:

http://fm6112650.wixsite.com/ilmiosito Secondaria 1°grado “D.Alighieri” Incisa V.no Classe 2B t.p.

Maggio 2018

Algebricamente Benvenuti cari lettori di Algebricamente! La storia di come è nato questo libro è molto carina e simpatica. Siamo riusciti a imparare con metodi alternativi al solito noioso libro di matematica e ci siamo appassionati all’algebra giorno dopo giorno senza accorgercene. Tutto è iniziato quando la nostra prof. P.M. enormemente creativa, ci ha offerto la possibilità e l’idea di scrivere un libro per trasmettere il nostro amore per l’algebra a tutti i nostri giovani lettori. Ci siamo divisi i compiti e abbiamo iniziato a studiare per spiegare al meglio gli argomenti nel nostro libro. Con Algebricamente è come se ci fosse stato aperto un mondo, composto da numeri, lettere e soprattutto passione, che è la cosa di maggior importanza per imparare, insegnare e pensare col cuore oltre che con la mente.

Questa ondata di energia e positività ha trascinato (oltre che tutta la 2 B, ovvero noi) anche un simpatico compagno delle classi terze che, come tutti, si è divertito imparando. Abbiamo scoperto che l’algebra è “cresciuta” assieme a noi fin dalle elementari, perché, non sapendo, la stavamo studiando anche semplicemente moltiplicando o addizionando i lati di una figura. Questo è quindi un amore verso questa fantastica materia cresciuta poco a poco e consolidato scrivendo Algebricamente. Non è comune che a soli 12 anni si scriva un libro come questo, ma abbiamo deciso di fare qualcosa di innovativo che ci piacesse davvero e magari passarvi un po’ della nostra passione e chissà… magari voi, giovani lettori, un giorno sarete al posto nostro a scrivere un libro ispirandosi ad Algebricamente. Qui troverete dei simpatici amici(Brina e Mister X) che vi spiegheranno un po’ meglio con teoria, esercizi ed esempi come comprendere ed apprezzare il fantastico mondo dell’algebra.

-capo redattrice L.M.

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“Algebricamente�-indice Parte A: i numeri-Parte B: le lettere-Parte C: la traduzione

Have a good time!

Capitolo 1: gli insiemi numerici Capitolo 2: il valore assoluto del numero e le operazioni fondamentali Capitolo 3: le operazioni non fondamentali Capitolo 4: il logaritmo Capitolo5: le espressioni in R Capitolo 6: il calcolo letterale Capitolo 7: i monomi Capitolo 8: le operazioni con i monomi Capitolo 9: i polinomi e le loro operazioni Capitolo 10: la traduzione in equazioni

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 Capitol 1:   gli insiemi numerici

Ci sono 4 insiemi numerici principali che sono: I numeri naturali: N I numeri interi: Z I numeri razionali: Q I numeri reali: R Iniziamo dall’insieme dei numeri naturali chiamato N!

È indicato dalla lettera N e i suoi elementi sono i numeri interi positivi e naturalmente sono infiniti: N = { 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .}.

In molti casi viene anche aggiunto lo 0: N0 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5…….} però si preferisce escluderlo dall’insieme N. 4

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Parte A: i numeri nell’algebra Capitolo 2..dal quaderno di Andrea..

OPERAZIONI FONDAMENTALI CON I NUMERI REALI E VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO Prima di entrare in questa nuova parte sconosciuta e misteriosa della matematica che riguarda l’ insieme dei numeri Rdetto anche dei numeri reali relativi, devi sapere che potrai trovare dei numeri insieme a segni tra i quali puoi trovare il + che fino ad ora avete usato senza saperlo perché si può anche omettere e il -.Con queste premesse possiamo iniziare questo splendido viaggio nei valori assoluti e nell’ insieme dei numeri reali IL VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale o di un numero complesso è una funzione che associa un numero reale non negativo. Se x è un numero reale, il suo valore assoluto è x stesso.

Ad esempio, il valore 3 è il modulo sia di più 3 che di meno 3.

Il valore assoluto di un numero è uguale: Quindi:

NUMERO POSITIVO

VALORE ASSOLUTO NUMERO STESSO

NUMERO NULLO

NUMERO STESSO

Esempio

NUMERO NEGATIVO OPPOSTO DEL NUMERO

Supponiamo allora di indicare con a un numero relativo, un numero che potrà essere sia positivo che negativo.

Possiamo allora dire che: •se a è positivo o nullo avremo: |a|= a.

Esempio: |+4|=4 •se a è negativo avremo: |-a|= a.

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Esempio: |-4|=4 Quindi se a è negativo, il valore assoluto di a è il suo opposto.

OPERAZIONI FONDAMENTALI CON I NUMERI REALI ADDIZIONI Impariamo a sommare due numeri interi muovendoci sulla retta dei numeri. Per sommare un numero ad un altro, facciamo spostamenti verso destra Sommiamo due numeri interi!

Se gli addendi hanno lo stesso segno, sommiamo i loro valori assoluti e poi aggiungiamo il segno degli addendi.

Esempi: (+5)+(+6) gli addendi hanno lo stesso segno positivo.

Sommiamo come al solito 5+6=11 e poi aggiungiamo il segno +.Il risultato è (+5)+(+6)=+11 (−4)+(−3) gli addendi hanno lo stesso segno negativo.

Sommiamo come al solito 4+3=7 e poi aggiungiamo il segno −.

Il risultato è (−4)+(−3)=−7

Se gli addendi hanno segno opposto, guardiamo ai loro valori assoluti: il risultato avrà il segno del termine con valore assoluto maggiore!

Esempi: (−5)+(+6) è una somma di numeri discordi. Il primo ha valore assoluto 5, il secondo ha valore assoluto 6.

Poiché 5<6, facciamo la sottrazione 6−5 e poi aggiungiamo il segno +.

Il risultato è (−5)+(+6)=+1 (+3)+(-4) è una somma di numeri discordi. Il primo ha valore assoluto 3, il secondo ha valore assoluto 4.

Poiché 3<4, facciamo la sottrazione 4−3 e poi aggiungiamo il segno −.

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Il risultato è (+3)+(−4)=−1 Ricorda! La somma di due numeri opposti è sempre 0! (+7)+(−7)=0 (−2)+(+2)=0 SOTTRAZIONE Impariamo a svolgere le sottrazioni tra due numeri interi spostandoci sulla retta numerica. Per sottrarre un numero ad un altro, facciamo spostamenti verso sinistra. Quindi se vogliamo svolgere la differenza tra due numeri basta trasformare ogni sottrazione in addizione. Sottrarre da un numero intero un altro numero intero equivale a sommare il primo all’ opposto del secondo.

Esempi: (+5)-(-2)=(+5)+(+2)=+7 (-5)-(-2)=(-5)+(+2)=-3 MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI La moltiplicazione e la divisione tra due numeri interi rispettano la regola dei segni: se i numeri moltiplicati o divisi sono concordi, il risultato è un numero positivo; se i numeri moltiplicati o divisi sono discordi, il risultato è negativo.

MOLTIPLICAZIONI Per fare le moltiplicazioni con i numeri relativi basta ricordare come fare le moltiplicazioni tra numeri naturali e poi imparare una semplice regolina: la regola dei segni.

Se i segni dei fattori sono concordi, il risultato è positivo.

Se i segni dei fattori sono discordi, il risultato è negativo.

Per fare ad es. una moltiplicazione con i numeri interi: decidiamo il segno del risultato con la regola dei segni; calcoliamo il prodotto tra i valori assoluti dei fattori.

Esempi: (+5)*(+2)=+10 (-5)*(-2)=+10 (+5)*(-2)=-10 (-5)*(+2)=-10 Qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0. (+5)*0 = 0 8

(-5)*0 = 0 Il numero 1 invece è l’ elemento neutro della moltiplicazione: la moltiplicazione per 1 dà come risultato il numero stesso. (+5)*(+1)=+5 (-5)*(+1)=-5 E’ diverso invece per la moltiplicazione per -1.

La moltiplicazione per questo numero dà come risultato il numero di partenza, ma con il segno opposto. (+5)*(-1)=-5 (-5)*(-1)=+5 Moltiplicare per -1 equivale a cambiare segno.

DIVISIONI

Anche per fare la divisione basta conoscere la regola dei segni.

Per fare ad es. una divisione con i numeri interi: -decidiamo il segno del risultato con la regola dei segni -calcoliamo la divisione tra i valori assoluti dei termini.

Esempi: (+10) / (+2) =+5 (-10) / (-2) = +5 (+10) / (-2) =-5 9

(-10) / (+2) =-5

Il quoziente tra due numeri interi non è sempre un numero intero. Prima di tutto, non si può mai dividere per 0. (+10) / 0 non ha significato.

Inoltre, ad esempio, il quoziente (+5) / (+3) non è un numero intero.

Il numero 0 diviso per qualsiasi altro numero diverso da 0, dà 0 come risultato.

0 / (+5) = 0 0 / (-5) = 0 Qualsiasi numero diviso per +1 dà come risultato il numero stesso. (+5) / (+1) = +5 (-5) / (+1) = -5 E la divisione per -1 dà come risultato il suo opposto. (+5) / (-1) = -5 (-5) / (-1<) = +5 Anche nella divisione dunque dividere per -1 equivale a cambiare il segno!

Capitolo 3..dal quaderno di Alessia..

Le operazioni non fondamentali con i numeri reali -ELEVAZIONE A POTENZA Cari lettori, l’elevazione a potenza è l’operazione aritmetica che associa a due numeri naturali chiamati rispettivamente base ed esponente un terzo numero naturale detto valore della potenza.

Consideriamo per semplicità per adesso, solo basi positive.

Quindi: la potenza di un numero con esponente da zero e da uno, è il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante sono le unità dell’esponente.

Ecco un esempio per voi: 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2

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-RADICE QUADRATA

La radice quadrata è l’operazione inversa all’elevazione a potenza, che ci permette di calcolare la base conoscendo la potenza e l’esponente.

-La radice quadrata di un numero (radicando) è quel numero che elevato al quadrato dà come risultato il radicando stesso cioè il numero sotto radice.

Esempio: 2√ 81=9 → 92=81 -La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori.

Esempio: √ 4 . 9= √ 36= 6 o √ 4 . 9= √ 4 . √ 9 = 2 . 3= 6 -La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente fra le radici quadrate del dividendo e del divisore.

Esempio: √ 36:9= √ 4= 2 o √ 36:√9=2 -La radice quadrata di una potenza con esponenti pari è una potenza avente per base la stessa base e per esponente la metà dell’esponente del radicando.

Esempio: √76= 73 → (73)2= 76 -se un numero termina con le cifre 2,3,7,8 o con un numero dispari di zeri non è un quadrato perfetto -se un numero termina con le cifre 1,4,5,6,9 o con un numero pari di zeri può essere un quadrato perfetto Il quadrato perfetto è un numero che scomposto in fattori primi presenta solo esponenti pari.

Il quadrato non perfetto è un numero che se scomposto ha anche esponenti dispari.

-La radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto è un numero decimale illimitato non periodico -La radice quadrata di un numero naturale approssimata per difetto a meno di una unità è il più grande numero naturale il cui quadrato è minore del radicando.

La radice quadrata di un numero naturale approssimata per eccesso a meno di una unità è il più piccolo numero naturale il cui quadrato è maggiore del radicando.

-La radice quadrata esatta di un numero decimale possiede un numero di cifre decimali che è uguale alla metà di quelle del radicando.

Esempio: 1,32= 1,69 → √ 1,69 = 1,3 -Per calcolare la radice quadrata quando il radicando è espresso sotto forma di numero decimale dobbiamo: - pareggiare le cifre decimali in relazione all’approssimazione richiesta; - trasformare il numero in frazione decimale; - estrarre la radice quadrata del numeratore approssimata per difetto all’unità; - estrarre la radice quadrata del denominatore; - trasformare la frazione decimale così ottenuta in numero decimale; Esempio:

N.B. la potenza di un numero reale è sempre positiva salvo il caso della base negativa con 11

esponente dispari (vedi regola dei segni al capitolo 2).

La potenza ad esponente negativo, viene sviluppata come il reciproco od inverso della potenza positiva corrispondente: es 2-3= 1/8 Speriamo che abbiate capito e che questa spiegazione di elevazione a potenza e radice quadrata vi sia stata di aiuto!

Capitolo 4..dal quaderno di Elena C… IL LOGARITMO

I logaritmi introdotti da “Nepero” all’inizio del 1600 sono uno strumento matematico atto a semplificare i calcoli. Con i logaritmi e possibile trasformare i prodotti in somme, i quozienti in differenze ecc.

La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale.

Il logaritmo è l’esponente da dare alla base per ottenere il numero: il log in base dieci di cento è 2!

Se si ha y = a ( a > o, a ≠ 1 ) Inversamente è x = loga (y) a = base y = numero argomento x = logaritmo Il logaritmo è, come detto, l’ esponente da dare alla base per ottenere il numero argomento.

Facciamo un esempio: il log in base 2 di 8 è 3. Infatti: 8=2^3, pertanto, l’esponente da dare a due per ottenere otto e 3.

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Capitolo 5..dal quaderno di Manuele..

Le espressioni con i numeri reali relativi Per eseguire correttamente un’espressione con i numeri reali relativi, occorre applicare le regole sempre viste per i numeri positivi, aggiungendovi poi le regole dei segni, per ovvia introduzione del segno meno (vedi capitoli 2 e 3).

Naturalmente valgono pure le regole di risoluzione delle parentesi: prima le più interne, le tonde, poi le quadre ed infine le graffe.

Adesso prova tu:

rispondi segnando la risposta giusta a(+5)+(-4)=

+9

b(-2)+(-7)=

-5

-1

+1

-9

-9

+5

c(-10)+(+3)=

+7

-13

+13

d(-15)+(-15)=

0

-30

+1

e(21)+(+21)=

0

f 0+(-8)=

0

-42 +8

-8

+42

0 -7 +30 +1

non esiste

Parte B: le lettere Capitolo 6..dal quaderno di Chiara Z…

Calcolo letterale Algebrico Il termine Algebra deriva dall’Arabo significa unione, connessione, aggiustare e completare.

Nell’Algebra il numero e un oggetto astratto che si usa per misurare la quantità, in questo caso sono numeri naturali: 1, 2, 3, 4, 5, ……

Invece se si aggiungono numeri negativi tramite il segno meno, si ottiene i numeri interi: ……. -3, -2, -1,0,1…. aggiungendo a questa le frazioni si ottiene il numero razionale: -6,-3\2,27\4,….. i numeri reali hanno molti altri numeri che possono essere espressi come frazione o espressioni eseguite dall’Algebra. (vedi capitoli precedenti) Aggiungendo ad essa questo elemento ( i ), si chiama unità immaginaria i2= -1 si ottengono numeri 13

complessi: 2 − i , 2 + 3 i , π i,….

Gli insiemi formati da numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi sono indicati con le lettere: NCZCQCRCC Ciascun insieme è contenuto nel successivo, come indicato dal simbolo ⊂ di inclusione insiemistica.

L’Algebra si occupa anche delle lettere e della loro gestione con i numeri.

Regole dell’Algebra . La moltiplicazione tra un numero ad esempio "5" e una lettera "b" si rappresenta senza il segno "per"; non si mette nulla, (5 x b) lo scriveremo così: (5b). Se ad un certo punto della risoluzione del problema scopriamo che "b" è uguale (per ipotesi) a "4", allora 5b darà come risultato 20 (cioè 5 x 4).

Il numero che mettiamo davanti alla lettera viene detto "coefficiente". . Si utilizzano le frazioni, in modo tale da poter sempre rappresentare un numero anche se non è intero: (3/5), (1/2), (6/11), ecc.. . Con l'introduzione dei numeri relativi (con segno "-" o "+") vengono rese possibili alcune operazioni che con l'aritmetica non si potevano fare. . In Algebra non abbiamo, come in Aritmetica, i numeri 1, 2, 3, 4, ... eccetera, ma avremo sempre un segno davanti al numero, quindi +1, +2, +3, +4, ... oppure -1, -2, -3, -4, ....

•

•

anche le lettere avranno sempre un segno: (+a) oppure (-a), (+b) oppure (-b), eccetera. Questa regola si può facilmente ricordare pensando che davanti alla lettera, se non sono presenti dei numeri, possiamo mettere l'1, come numero sottinteso: a = 1a = (1 x a) --> perché qualsiasi numero (o lettera) moltiplicato per "1" dà come risultato il numero stesso (o la lettera). In "a", il numero uno è sottinteso.

Quindi, scrivere "-a" equivale a scrivere "-1a", come se il segno fosse portato dall'uno.

Se invece due lettere ("a" e "b") si trovano nello stesso punto, allora abbiamo che (a = b), un'uguaglianza. Ecco alcune proprietà: • • •

Riflessiva ---> (a = a) Simmetrica ---> se (a = b), allora (b = a) Transitiva ---> se (a = b) e (b = c), allora (a = c) Solitamente si utilizzano le lettere in questo modo:

• •

a, b, c, ... per indicare le quantità note e le costanti x, y, z, ... per indicare le incognite

Ci sono poi alcune lettere che hanno un valore prestabilito e che troviamo in alcune materie. Ad esempio il "π" (pi greco) in geometria.

Algebra, due novità rispetto all'aritmetica: • •

la presenza delle lettere i numeri relativi: ogni numero può essere rappresentato come positivo (con il segno +) o negativo (con il segno -)

Nei capitoli precedenti, abbiamo fatto cenno alle proprietà delle operazioni matematiche, Tra queste, ad esempio, troviamo la proprietà commutativa dell'addizione: 14

•

3 + 5 = 5 + 3 (cioè, cambiando l'ordine degli addendi, il risultato non cambia)

Tale regola vale allo stesso modo in algebra.

Supponiamo che il 3 sia la nostra "a" e il 5 sia la nostra "b", allora avremo: •

a+b=b+a

In realtà al posto delle lettere (in questo caso "a" e "b") potremmo mettere qualsiasi numero, non solo il 3 e il 5. Questa possibilità ci permette di risolvere numerose operazioni con una semplice formula, come ad esempio la nostra "a + b".

Capitolo 7..da quaderno di Lavinia..

I MONOMI

Monomio: è il prodotto di più fattori rappresentati da numeri e lettere.

Esempi: 5a 2b3 Nei Monomi, quindi, non copiano mai i segni dell’addizione e della sottrazione, altrimenti avremmo un polinomio (vedi capitolo 9).

Esempio: +4x+2y 5a b-2non è un monomio Invece: +2.(-3) a.ab2 è un monomio infatti, se moltiplichiamo tra loro i fattori numerici(+2)e(-3)abbiamo 6°.ab2si chiama il segno del monomio il segno del coefficiente del monomio Monomio a forma normale: assume la sua forma tipica che è quella del prodotto tra un solo fattore numerico e di fattori letterali, in cui ciascuna lettera compare una sola volta.

In un monomio ridotto in forma normale, chiamano: _ coefficiente; il fattore numerico; _parte letterale :il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti Monomio nullo: il monomio che ha per coefficiente lo zero Due monomi simile: quando hanno la stessa parte letterale Monomi uguali: stessa parte letterale e stesso coefficiente Monomi opposti: stessa parte letterale coefficiente opposto

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Capitolo.8..dai quaderni di Giada e Juliana…

APPROFONDIMENTI SUI MONOMI I monomi sono le prime operazioni che si incontrano a scuola, anche quando forniamo le formule per calcolare ad esempio, il perimetro e l’area delle figure piane.

Sono l’unità strutturale su cui si fonda l’ algebra e sono operazioni matematiche che hanno una parte letterale e numerale.

La parte numerale del monomio intero è costituita da un qualsiasi numero, mentre la parte letterale è formata da una base letterale con esponente positivo.

I monomi fratti hanno le lettere al denominatore.

I monomi sono divisi in tre parti: es 4x2 –il segno, il coefficiente numerico e la parte letterale.

Il fattore 4 viene chiamato coefficiente ed è la parte numerica mentre x2 è la parte letterale.

Attenzione! Le potenze sono moltiplicazioni dove i fattori coincidono con la base, e quindi vengono considerate monomi. Infatti, ogni lettera elevata a zero dà come risultato 1.

Ora facciamo degli esempi con i monomi: 3x2yz3 Questo è un monomio dove il 3 il il coefficiente numerico e x2yz3 sono la parte letterale.

-abc Questo è un monomio diverso da quello precedente perché qui il coefficiente numerico è -1 che è un numero relativo, (i numeri relativi sono caratterizzati da segni positivi, nullo o negativo:+,0,-)e abc è la parte letterale.

1/7x2z Questo è un altro caso differente dai precedenti, è un monomio intero a coefficiente numerico fratto.

Infatti, qui il coefficiente numerico è 1/7 ed è un numero razionale (i numeri razionali sono indicati con il simbolo Q)e la parte letterale è x²z. √3x la parte numerica di questo monomio è√3 e la parte letterale è x.

-abc¯² questo non è un monomio intero perché l’esponente di c, che è ¯², è negativo .

Esistono vari tipi di monomi come: .I monomi simili, che hanno la stessa parte letterale come: xy²z;3/2xy²z; .monomi uguali, sono due monomi che hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale come: 4x²yz;4x²yz; .monomi opposti,devono essere simili e devono avere i coefficienti numerici opposti come: 3abc²;-3abc².

Per sommare i monomi non simili, basta solo eliminare le parentesi, se sono precedute dal segno +, si elimina la parentesi, il segno e si ricopia tutto tal quale.

Se la parentesi è preceduta dal segno-, si toglie la parentesi, il segno e si cambia il segno a tutti i termini che vi erano contenuti ( vedi regola dei segni della moltiplicazione e divisione).

Il risultato sarà un polinomio. Potrà essere apparente, ovvero contenente due o più monomi simili.

In tal caso metteremo in evidenza la parte letterale e faremo la somma algebrica dei coefficienti numerici.

Per moltiplicare un numero per un monomio moltiplicheremo segno con segno e numero con numero. La parte letterale sarà ricopiata.

Per moltiplicare due monomi, procederemo come sopra, moltiplicando anche le parti letterali. Nel caso ci fossero coincidenze di lettere dovremmo applicare opportunamente le proprietà delle potenze.

Per elevare a potenza un monomio eleveremo a potenza le tre parti di cui è costituito.

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Capitolo 9…dai quaderni di Marta ed Anna Chiara…

E ORA ALGE E BRINA VI PRESENTANO …

CIAO A TUTTI! SIAMO QUI A SCRIVERE TUTTO QUESTO PER VOI CON IL FINE DI ACCOMPAGNARVI IN UN VIAGGIO IN UNA DELLE PARTI PIÙ IMPORTANTI DELLA MATEMATICA. S EMBRERÀ TUTTO MOLTO DIFFICILE E INCOMPRENSIBILE, MA CON IL NOSTRO AIUTO RIUSCIRETE A SUPERARE MI RACCOMANDO DOVETE ASCOLTARCI ATTENTAMENTE TUTTE LE VOSTRE DIFFICOLTÀ, PERÒ, SIETE PRONTI?!?!...

PER COMPRENDERE TUTTO ALLA PERFEZIONE !

INIZIAMO IL NOSTRO VIAGGIO ALLA SCOPERTA DI NUOVE CONOSCENZE…!!!

I POLINOMI e le loro OPERAZIONI In matematica un polinomio è un’espressione composta da numeri, lettere e segni combinate usando solo addizioni, e sottrazioni. Un polinomio tipico (ridotto in forma normale) è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro (vedi capitolo 8) Ciascun monomio è chiamato termine del polinomio.

LE OPERAZIONI CON I POLINOMI . . .

L’addizione e la sottrazione di polinomi si indicano scrivendo tra parentesi i polinomi separati dal segno di operazione.

ADDIZIONE: Per addizionare due polinomi: (-5xy + 3x2) + (-14xy + 3x2) = Eliminiamo le parentesi algebricamente, scriviamo uno dopo l’altro i termini dei polinomi, ciascuno con il proprio segno, ed eliminiamo il segno + di addizione: = -5xy + 3x2 – 14xy + 3x2= Addizioniamo infine i termini simili riducendo il polinomio a forma normale: = -19xy + 6x2 , abbiamo così ottenuto la somma dei polinomi assegnati.

SOTTRAZIONE : Per sottrarre due polinomi: ( -5xy + 3x2) – ( - 7xy – 7xy2 + 3x2) = addizioniamo al primo polinomio l’opposto del secondo: = - 5xy + 3x2 + 7xy +7xy2- 3x2 = otteniamo, riducendo i termini simili ed eliminando i termini opposti: = +2xy + 7xy2 abbiamo così ottenuto la differenza fra i polinomi che risulta in questo caso un binomio.

MOLTIPLICAZIONE: Il prodotto di un polinomio per un monomio, o viceversa, si ottiene moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio e addizionando poi i prodotti ottenuti.

(4a3 b3+7a3b2-3ab)(-3ab)= applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: 4a3b3(-3ab) + 7a3b2(-3ab)-3ab(-3ab)= ricordando come si calcola il prodotto fra monomi possiamo scrivere: -12a4b4 - 21a4b3 + 9a2b2

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DIVISIONE: La divisione di un polinomio per un monomio è un’operazione che si esegue dividendo ciascun monomio che costituisce il polinomio per il monomio divisore, in modo ordinato.

Poi ci sarebbero anche, cari lettori ,i prodotti notevoli!

Possiamo occuparci per iniziare: del quadrato del binomio, del cubo del binomio e del prodotto della differenza di due monomi per la loro somma (vedi esempio a seguire).

In teoria, per moltiplicare due polinomi, si moltiplica ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo. Si può comprendere così l’importanza dei prodotti notevoli come semplificazione, in quanto sono casi che, quando riconosciuti, non vengono eseguiti e viene riportato direttamente il risultato: proprio come le cinque proprietà delle potenze!

Esempio: dove A e B sono monomi (A+B)(A-B)=A2-B2 DIMOSTRAZIONE: A2-AB+AB-B2 AB si escludono a vicenda e quindi: A2 - B2 !

Parte C: MISTER X la traduzione in equazione

Capitolo 10..dai quaderni di Chiara D., Lucrezia M. ed Oeis

LE EQUAZIONI Eccoci arrivati a questo capitolo.. LE EQUAZIONI! Quante volte avrete sentito questa parola, chiedendovi magari cosa significasse, beh adesso lo scoprirete! Non 18

siate intimoriti e come dice sempre la nostra prof ,metteteci - MENTE ,ANIMA E CUORE!- e vedrete che imparerete divertendovi! Pronti a fare un salto di qualche anno nella matematica della 3^ media?! VIA!!!

MA CHE COSA SONO LE EQUAZIONI?

Già dal nome il concetto può sembrare difficile, ma tranquilli, ve lo spieghiamo noi! Un'equazione è una uguaglianza matematica tra due espressioni che hanno uno o più dati numerici, di cui non conosciamo il valore , chiamati incognite (che noi chiameremo mister x) , che possono essere scoperte grazie ai dati che ci sono stati forniti dal problema.

Le formule matematiche che servono per le equazioni sono usate in molti campi, nell'ingegneria, nella medicina, nella meteorologia ed anche nella tecnologia. Se non ci fosse la matematica adesso non avremmo un auto, i telefoni e neanche una casa; quindi se la matematica non vi piace pensate a quanto è utile nella vostra vita!!!

L’EQUAZIONE LINEARE Nelle «equazioni algebriche», come dice la parola, si fanno OPERAZIONI ALGEBRICHE,come: addizione, sottrazione, moltiplicazione , divisione, potenze e radice quadrata! Un'equazione «LINEARE», o equazione di primo grado , è quella in cui il grado massimo di mister x (incognita) ,è uguale a uno. Essa avrà una sola soluzione RISOLVERE L’EQUAZIONI Risolvere un'equazione significa trovare il valore smascherando il nostro mister x. Per farlo bisognerà usare alcune strategie: la riduzione dei monomi simili e le due leggi di Monotonia.

Quando arrivati allo stadio risolutivo (monomio positivo al primo membro dell’uguaglianza, e termine noto, cioè qualunque numero, al secondo), per poter calcolare l’incognita è necessario quando possibile utilizzareil principio della formula inversa.

ES. 5x=6; x=6/5!

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Ma non è finita qui ?! Il nostro mister x è proprio determinato! Ma con noi non ha scampo! Per scoprire il suo valore dobbiamo precisare la modalità con cui si traduce un qualunque problema in equazione.. … LA TRADUZIONE Dobbiamo leggerecon molta attenzione il problema decodificandolo (capendo bene i dati richesti e quelli forniti), dobbiamo poi assegnare la x al parametro (variabile), in base al quale tutti gli altri possono essere espressi, uguagliando poi con il dato numerico fornito..il gioco è fatto!

Facciamo subito un esempio: il problema: un mattone ed una sua metà pesano 350grammi, quanto pesa il singolo mattone? Traducendo in equazione otteniamo: X+1/2X=350 procedendo con le strategie accennate: (1+1/2)X= 350 3/2X=350 (forma normale); pertanto X=350*2/3; X=700/3= 233,3

A presto!!

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