2 carga axial

CAPITULO

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Notas de Aula: Prof. Gilfran Milfont As anotações, ábacos, tabelas, fotos e gráficos contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes livros: -RESISTÊNCIA DOS MATERIAISBeer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw Hill-4ª edição-2006 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R. C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição2004 -MECÂNICA DOS MATERIAIS-James M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009 -MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley, Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Tensão e Deformação

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Tensão e Deformação: Carga Axial • O projeto de estruturas e máquinas deve levar em conta não somente a análise das tensões envolvidas, mas também, as deformações impostas, não permitindo que estas se tornem tão grandes a ponto de impedirem que as estruturas ou máquinas desempenhem a função para a qual são destinadas.

• Cosiderando as estruturas e órgãos de máquinas como deformáveis, nos permitem determinar forças e reações que são estaticamente indeterminadas.

• Este capítulo é dedicado ao estudo das deformações causadas por cargas axiais.

Definições:   deformação total ou elongação   deformação específica , def . unitária ou simplesmente deformação   tensão normal

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Deformação

  P  tensão



A





L

 Deformação unitária



2P P  2A A



L

P A 2    2L L



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Diagrama Tensão-Deformação – Máquina de Ensaio

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Diagrama Tensão-Deformação (Mat. Dúctil)

No caso do alumínio e de vários outros materiais dúcteis, não existe o patamar de escoamento. As tensões continuam aumentando, porém de forma não linear. Convencionou-se tomar a Tensão de Escoamento o ponto onde a deformação permanente atinge: εp=0,2% 1-5

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Diagrama Tensão-Deformação (Mat. Frágil)

Sendo : Alangament o Percentual 

LR  LO 100 LO

Re dução Percentual de Área 

AR  AO 100 AO

Distingue-se um material dúctil de um frágil pelo Alongamento Percentual que os dúcteis apresentam, maior que 5%.

Para o aço estrutural, é comum uma RPA da ordem de 60 a 70%.

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Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade

• Até o Limite de Proporcionalidade

  E

E  Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young

• Observamos que todos os materiais representados no diagrama ao lado têm o mesmo Módulo de Elasticidade, ou seja, sua rigidez é a mesma, dentro da região elástica.

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Deformações Sob Carga Axial • Da Lei de Hooke:

  E



• Da definição de deformação:





• Logo:

L • Se temos variação nas cargas, área da seção ou propriedades do material:



 E



P AE

PL AE

PL   i i

i Ai Ei

Muitos cientistas utilizam as tensões e as deformações específicas verdadeiras nos seus estudos: L O engenheiro, tem a responsabilidade de  v      ( ) L determinar se uma determinada carga leva à ou tensões e deformações aceitáveis, usando L dL L dados fáceis de avaliar. Usará então, o v    ln L L0 L diagrama tensão-deformação obtido através e dos valores originais da área e do P comprimento do corpo de provas.   0

v

Av

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Comportamento Elástico e Plástico do Material • Se a deformação desaparece quando a carga é removida, o material deformou elasticamente.

• A maior tensão onde isto ocorre é chamada de Limite de Elasticidade.

• Quando a deformação não retorna a zero após a remoção da carga, o material deformou plasticamente. Para que haja deformação plástica, o material precisa atingir a Tensão de Escoamento.

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Fadiga • O diagrama ao lado mostra a relação entre a tensão de falha por fadiga e o número de ciclos de aplicação da mesma.

• Um membro pode falhar por fadiga, sob uma tensão significantemente inferior a sua Tensão Última, se submetido a vários ciclos de aplicação da carga.

• Quando a tensão é reduzida para um nível abaixo do Limite de Duração, não ocorre a falha por fadiga.

• Este assunto será melhor estudado na disciplina de Elementos de Máquinas.

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Exemplo 2.01 Determine a deformação da barra de aço da figura, sob ação das cargas indicadas (E=200GPa).

P1  400 KN P2  100 KN P3  200 KN

• Calculando a deformação total: Pi Li 1  E i Ai E i

 



 P1 L1 P2 L 2 P3 L 3    A2 A3  A1

  

 400 103  0,3 (100 103 )  0,3 200 103  0,4  1  3 m  2,75mm   9  200 10  600 106 2,75 10 600 106 200 106 

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Exemplo 2.2 A barra rígida BDE é suportada por duas barras AB e CD. A barra AB é de aluminio (E = 70 GPa) e tem uma seção transversal de 500 mm2. A Abarra CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma seção transversal de 600 mm2.

Para a força de 30-kN mostrada, determine a deflexão: a) de B, b) de D, c) de E.

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Exemplo 2.2 SOLUÇÃO:

Deformação total de AB: B 

Diagrama Corpo Livre: BDE



PL AE

 60 103 N 0.3 m  50010-6 m2 70 109 Pa 

 514 10 6 m

MB  0 0  30 kN  0.6 m   FCD  0.2 m

 B  0.514 mm 

Deformação total de CD: D 

FCD  90 kN tension

 MD  0

PL AE

90 103 N0.4 m  60010-6 m2 200109 Pa 

0  30 kN  0.4 m   FAB  0.2 m



FAB  60 kN compression

 300 10 6 m

 D  0.300 mm  1 - 13

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Exemplo 2.2 Deslocamento de E: BB BH  DD HD 0.514 mm 200 mm   x  0.300 mm x x  73.7 mm

EE  HE  DD HD

E 0.300 mm



400  73.7 mm 73.7 mm

 E  1.928 mm

 E  1.928 mm 

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Sistemas Estaticamente Indeterminados • Também chamados de sistemas hiperestáticos, são aqueles onde o número de equações da estática aplicaveis ao problema é menor que o número de incógnitas a resolver.

• Para a sua solução, lança-se mão de equações auxiliares, conseguidas a partir das condições de deslocamento.

• Um dos métodos de solução é o método da superposição, que consiste em considerar uma das reações como superabundante.

• Isto é, as deformações devidas às cargas externas e devido à reação superabundante são calculadas separadamente e depois superpostas.

  L R  0 1 - 15

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Exemplo 2.04 Determine as reações em A e B para a barra de aço e o carregamento mostrado na figura.

SOLUÇÃO: V=0 => RA+RB=900KN (I) AD+ DC+ CK+ KB=0 FKB= -RB

FCK= -RB+600= FDC FAD= -RB+900

RB=577KN e RA=323KN 1 - 16

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Exemplo 2.04 (Método da Superposição) Determine as reações em A e B para a barra de aço e o carregamento mostrado na figura.

SOLUÇÃO: • Considere a reação em B como superabundante, libere a barra deste suporte e calcule as deformações causadas pelas cargas externas aplicadas.

• Calcule as deformações causadas pela reação superabundante em B. • O sistema requer que haja compatibilidade entre as deformações causadas pelas cargas externas e pela reação, ou seja, sua soma é nula neste caso.

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Exemplo 2.04 (Método da Superposição) SOLUÇÃO: • Deformação total devida às cargas externas: P1  0 P2  P3  600 103 N A1  A2  400 10 6 m 2

P4  900 103 N

A3  A4  250 10 6 m 2

L1  L2  L3  L4  0.150 m Pi Li 1.125109  A E i i Ei

L  

• Deformação total devida à reação: P1  P2   RB A1  400  10 6 m 2 L1  L2  0.300 m



A2  250  10 6 m 2



PL 1.95  103 RB δR   i i   E i Ai Ei 1 - 18

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Exemplo 2.04 (Método da Superposição) • Compatibilidade das deformações:   L R  0  





1.125109 1.95 103 RB  0 E E

RB  577 103 N  577 kN

• Cálculo da reação em A:  Fy  0  RA  300 kN  600 kN  577 kN RA  323kN

R A  323kN RB  577 kN

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Tensões Devido a Variações de Temperatura • Uma variação de temperatura resulta em uma variação no comprimento da barra ou dilatação térmica. Se a barra está livre para deformar, nenhuma tensão é induzida à mesma. Porém, se ela é impedida de deformar pelos suportes, surge uma tensão, chamada de tensão térmica.  T   T L

P 

  coeficient e de dilatação térmica

PL AE

• A deformação térmica e a deformação causada pela reação superabundate precisam ser compativeis:

  T   P  0  T L 

PL 0 AE

  T   P  0 P   AE  T  

P   E T  A 1 - 20

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Coeficiente de Poisson • Para uma barra sujeita a uma carga axial, temos:

x 

x E

y z  0

• A elongação na direção do eixo x é acompanhada de uma contração nas outras direções.

Assumindo que o material é isotropico.

y  z  0 • O Coeficiente de Poisson é definido como: 

y deformação transversal    z deformação axial x x

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Generalização da Lei de Hooke • Para um elemento submetido a um estado multiaxial de tensões, a componente da deformação normal pode ser determinada pelo princípio da superposição. Isto requer: 1) a deformação varia linearmente com a tensão.

2) as deformações são pequenas.

• Com estas restrições, temos (Lei de Hooke generalizada):

 x  y  z 1  [ x   ( y   z )]   E E E E  x  y  z 1  [ y   ( x   z )] y     E E E E  x  y  z  1       [ z ( x z     y )] E E E E x  

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Dilatação Volumétrica • Em relação ao cubo de lados iniciais unitários, a variação unitária de volume é:











e  1  1   x  1   y 1   z   1  1   x   y   z



 x  y z 

1  2  x  y  z E





 dilatation in volume per unit volum e) Variação(change específica de volume

• Para um elemento submetido a uma pressão hidrostática p: 31  2  p e  p

E



k

E k  bulk modulus Módulo de elasticidade de volume 31  2 

• Neste caso, a dilatação volumétrica é negativa, embora: 0    12

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Deformação de Cisalhamento • Um cubo elementar submetido a uma tensão de cisalhamento, não sofre alteração no comprimento dos seus lados, porém sofre distorção nos seus ângulos, sendo a tensão, uma função desta variação no ângulo:  xy  f  xy

 

• Ou seja, a tensão é proporcional à distorção de cisalhamento (Lei de Hooke para o Cisalhamento):  xy  G  xy  yz  G  yz  zx  G  zx Onde G é o Módulo de Elasticidade Transversal.

Temos então:



 G

 radianos

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Exemplo 2.10 Um bloco retangular de borracha, com G = 600MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a superior é submetida a uma força horizontal P. Sabendo-se que a placa superior moveu-se de 0,8mm. sob a ação da força, determine: a) a tensão média de cisalhamento na borracha; b) a força P aplicada.

50mm

160mm

• Deformação angular do bloco de borracha.  xy  tan  xy  0,8mm

40mm

40mm

 xy  0.020 rad

• Pela Lei de Hooke para o cisalhamento: 0,8mm

40m m



 xy  G xy  600 106

0.020 rad  12 MPa

• Multiplique a tensão de cisalhamento pela área resistente para encontrar P. P   xy A  12 x106 x 0,050 x 0,160 P  96,0 KN 1 - 25

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Relação Entre: E, , e G • Um carregamento axial atuando em uma barra, irá alongá-la na direção axial e contraí-la na direção transversal.

• Um cubo elementar orientado como na figura acima, irá deformar sob a forma de um paralelepípedo. O carregamento axial produz tensão e deformação normal.

• Se o cubo for orientado como na figura inferior, ele irá deformar sob a forma de um romboédro e a carga axial irá causar também tensão e deformação de cisalhamento • Componentes normal e de cisalhamento são relacionadas por: E  1    2G 1 - 26

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Exemplo 2.5 Um circulo de diâmetro d = 230mm é inscrito em uma placa de alumínio de espessura t = 20mm. Forças atuando no plano da placa causam as tensões normais x = 84MPa e z = 140MPa. Para E = 70GPa e  = 1/3, determine a variação: a) No comprimento do diâmetro AB, b) No comprimento do diâmetro CD, c) Na espessura da placa d) No volume da placa.

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Exemplo 2.5 • Calcule as componentes de deformação:

SOLUÇÃO: • Aplique a Lei de Hooke generalizada para encontrar as três componentes de deformação normal.  x  1 [   ( x

E

y

  z )]

 x  0,533 x 103  y  1 [   ( y

E

A

  x d  0,533 x 103 x 230

B C

D

A

 122,6  10 3 mm

  z d  1,600 x 103 x 230

C

D

368

3  10 mm

 t   y t  1,067 x 103 x 20 x

  z )]

 y  1,067 x 103  z  1 [ z   ( x   y )] E  z  1,600 x 103

B

 t  21,3  10 3 mm

• Encontre a variação no volume: e   x   y   z  1,067 x 10-3 V  eV  1,067 x 10-3 x 380 x380 x 20 V   3081mm3 1 - 28

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Materiais Compostos • Materiais compostos são formados de lâminas de fibras de grafite, vidro ou polimeros embebidos em resinas.

• A tensão e a deformação normal seguem a Lei de Hooke, porém o módulo de elasticidade varia de direção para direção:

Ex 

x x

Ey 

y y

Ez 

z z

• O mesmo ocorre com a deformação transversal, que depende do coeficiente de Poisson para cada direção.  xy  

y   xz   z x x

• Materiais que têm suas propriedades mecânicas variando com a direção são chamados de anisotrópicos.

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Pricípio de Saint-Venant • Cargas transmitidas através de placas rígidas, resultam em distribuição uniforme de tensão e deformação.

• Cargas concentradas resultam em altas concentrações de tensão na região de aplicação das mesmas.

• Tensão e deformação passam a ser uniformes em uma região relativamente próxima do ponto de aplicação da carga.

• Princípio de Saint-Venant : A distribuição de tensões pode ser assumida como uniforme, independente do modo de aplicação da carga, exceto nas vizinhanças do ponto de aplicação da carga.

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Concentração de Tensões: Furo

 Descontinuidade na seção pode resultar em K  max altas tensões localizadas ou concentração de  med tensões.

K=fator de concentração de tensões 1 - 31

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Concentração de Tensões: Mudança de Seção

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Exemplo 2.12 Determine a maior carga axial P que pode ser suportada com segurança pela barra plana da figura, composta de duas porções, ambas com 10mm de espessura e com largura de 60mm e 40mm, respectivamente, com um raio de adoçamento r=8mm entre elas, adotando uma tensão admissível para o material de 165MPa. • Determine as relações geométricas e • Encontre a tensão máxima encontre o fator de concentração de admissível, dividindo a tensão tensões: admissível pelo fator de concentração D 60 mm r 8 mm de tensões:   1.50   0.20 d 40 mm d 40 mm  165 MPa  max  adm   90.7 MPa K  1.82 K 1.82 • Encontre a carga máxima, multiplicando a tensão máxima pela área mínima:

P  A max  40 mm 10 mm 90.7 MPa  36.3 103 N

P  36.3 kN

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Materiais Elastoplásticos • As análises anteriores besearam-se no trabalho na região elástica, isto é, as tensões estavam abaixo da tensão de escoamento do material.

• Se a tensão de escoamento, para um material dúctil, é atingida, então passaremos a ter, também, deformações plásticas.

• A análise de deformações plásticas é simplificada se idealizarmos o material como sendo elastoplástico.

• Nestes materiais, adotamos que as deformações sejam compostas por uma região totalmente elástica e outra totalmente plástica. Quando se atinge a região plástica e se descarrega o material, ele permanece com uma deformação permanente.

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Deformações Plásticas • Deformação elástica, enquanto a tensão máxima é menor que a tensão de escoamento.

P   med A 

• A tensão máxima atinge o valor da tensão de escoamento.

 max A K

 A PY  Y K

• Se a carga aumenta, a região plastificada aumenta nas proximidades do furo.

• Com o incremento da carga, a região plástica aumenta, atingindo toda a seção da barra, permanecendo a tensão constante e igual a tensão de escoamento.

PU   Y A  K PY 1 - 35

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Tensões Residuais • Quando um elemento estrutural é carregado uniformente, atingindo a sua tensão de escoamento, após descarregada ela possuí uma deformação permanente, mas as tensões retornam para zero. Isto, porém, nem sempre acontece.

• Tensões Residuais irão aparecer em uma estrutura, após o carregamento e o descarregamento, se : - Somente parte da estrutura entrar em escoamento - Diferentes partes da estrutura sofrerem diferentes deformações plásticas.

• Tensões Residuais irão surgir em condições especiais de aquecimento ou resfriamento de um elemento estrutural.

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Exemplo 2.14, 2.15, 2.16 Uma barra cilindrica é colocada dentro de um tubo, de mesmo comprimento.

As extremidades do tubo e da barra são presas a um apoio fixo e uma placa rígida. Uma carga é aplicada na placa rígida, variando de zero até 24KN e depois retorna para zero.

Tubo Placa Barra

800mm

a) Trace o diagrama Força-Deflexão para o conjunto;

Ab  48mm2

At  60mm2

b) Determine a máxima elongação;

Eb  200GPa

Et  80GPa

σY b  250MPa

σY ,t  300MPa

c) Determine a deformação; permanente d) Calcule a tensão residual na barra e no tubo.

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Exemplo 2.14, 2.15, 2.16 a) Diagrama Força-Deflexão

P (KN) 12

PY , b   Y , b Ab  12 KN 1,0

b

(mm)

P (KN) 18

6

 Y ,b δY,b  Y , b L  L  1,0mm EY , b PY ,t   Y ,t At  18 KN

1,0

3,0

(mm)

PP(KN) (KN) 3024

1815

 Y ,t δY,t   Y ,t L  L  3,0mm EY ,t

P  Pb, Pt

  b  t 0,8 1,0

2,0 3,0

(mm) (mm)

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b,c) determine the maximum elongation and permanent set

Exemplo 2.14, 2.15, 2.16

b) Ao atingir P = 12KN, a barra entra em escoamento, enquanto que o tubo permanece elástico

Pb (KN) 12

Pb  PY , b  12 KN 2,0

b

(mm)

Pt (KN)

Pt  P  Pb   24 - 12   12 KN 3  t  Pt 12 x 10  200 MPa

12

At

(mm)

2,0

60 x10-6

 t  t L 

t Et

L

P (KN)

200 106 80 109

x 0,8

 max   t  2,0 mm

c) A curva de descarregamento do conjunto se dá paralelamente à 0Yb

24 18

m

18 KN

 18,0 KN/mm  declividade

1 mm (mm) 2,0 mm

    Pmáx   24

KN  1,333 mm 18 KN/mm

m

 p   máx     2,0 1,333 = 0,667 mm

 p  0,667 mm 1 - 39

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Exemplo 2.14, 2.15, 2.16 d) cálculo das tensões residuais:

Pb (KN) 12

2,0

b

(mm)

Pt (KN)

Calcule a tensão reversa na barra e no tubo causadas pelo descarregamento e some à tensão máxima atingida por cada um:

12

  2,0

 L



 1,333 mm  1,67 x 103 800 mm

(mm)

P (KN)

 b   Eb   1,67x 103 x 200 x 109  334 MPa

24

 t   Et   1,67 x 103 x 80 x 109  134 MPa

18

 residual , b   b   b  250334  84 MPa (mm)

 residual ,t   t   t  200134  66 MPa

2,0mm

1 - 40

20