Translap

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

CAPÍTULO V – A TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. TRANSFORMADAS INTEGRAIS: Quando uma função f(x), com x ∈ D, é definida em termos de uma função F(ξ), com ξ ∈ Ω, através de uma relação integral do tipo

f (x ) = ò F(ξ ) K (x , ξ ) dξ ,

(1.1)

Ω

dizemos que f(x) é a transformada integral da função F (ξ ) pelo kernel (núcleo) K ( x , ξ) e usamos a notação:

f ( x ) = ℑ[F(ξ ); x ] .

(1.2)

Devemos notar que o operador ℑ definido por (1.1) e (1.2) é linear, isto é, se ℑ[F1 (ξ ), x ] = f1 (x ) , ℑ[F2 (ξ ), x ] = f 2 (x ) e c1 e c 2 são constantes arbitrárias, então T[c1F1 (ξ ) + c 2 F2 (ξ ), x ] = c1f1 (x ) + c 2 f 2 (x ) .

(1.3)

Para escolhas particulares do kernel usaremos símbolos especiais para o operador transformada integral ℑ. Por exemplo: 1) Se Ω é toda a reta real e K(x.ξ) =

ejξ x 2π

, dizemos que f(x) é a transformada (exponencial)

de Fourier de F (ξ ) , ou ℱ [F(ξ )] = f (x ) = ò

+∞

−∞

F(ξ ) e j x ξ dξ .

(1.4)

2) Se Ω é toda a reta real e K(x.ξ) =

sen(ξ x) 2π

, dizemos que f(x) é a transformada seno de

Fourier de F (ξ ), ou ℱ S [F(ξ )] = f (x ) = ò

+∞

−∞

F(ξ ) sin (xξ ) dξ .

3) Se Ω é toda a reta real e K(x.ξ) =

(1.5) cos(ξ x) 2π

, dizemos que f(x) é a transformada coseno de

Fourier de F (ξ ), ou 1

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

ℱ C [F(ξ )] = f (x ) = ò

+∞

−∞

F(ξ ) cos(x ξ ) dξ .

(1.6)

4) Se Ω é o semi eixo real positivo e K ( x, ξ) = ξ J ν (ξ x ) , onde J ν (ξ x ) denota a função de Bessel de primeiro tipo e ordem ν, dizemos que f (x) é a transformada de Hankel de F (ξ ) , ou ℋ [F(ξ )] = f (x ) = ò

+∞

0

ξ F(ξ ) J ν (x ξ ) dξ .

(1.7)

Ainda temos as transformadas de Laplace, onde K ( x, ξ) = e − ξ x e Ω é o semi-eixo real positivo; a transformada de Mellin, onde K (x, ξ ) = x ξ −1 e Ω é o semi-eixo real positivo, etc...

Geralmente, o problema no qual a transformada integral é aplicada pede a determinação da função F (ξ ) quando f(x) é uma função conhecida. Esta solução é encontrada através dos teoremas de inversão, que são da forma, ℑ −1 [f (x )] = F(ξ ) = ò f (x ) H(x, ξ ) dx ,

(1.8)

D

onde H( x , ξ) denota o kernel da transformada integral inversa ℑ −1 .

2. A TRANSFORMADA DE LAPLACE Definição:

Seja f(t) uma função real definida para t > 0. Então a transformada de Laplace de

f(t), denotada por ℒ [f (t )] é definida por: ℒ [f (t )] = F(s ) = ò

+∞ 0

e − st f (t ) dt ,

(2.1)

onde assumimos que s é um parâmetro complexo. Dizemos que a transformada de Laplace existe se a integral (2.1) converge para algum valor de s, caso contrário esta transformada não existirá.

Observação: Em muitas aplicações a variável s pode ser restrita a valores reais.

Exemplos:

Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções: 1. f (t ) = 1 ℒ [f (t )] = ℒ [1] = ò

∞ − st e 0

e − st dt = − s

∞

0

1é ù = − ê lim e R (x + jy ) − e 0 ú = s ëR → ∞ û

2

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

1é ù 1 = − ê lim e Rx (cos y + j sen y ) − 1ú = , se Re (s ) > 0 , s ëR → ∞ û s

(2.2)

onde foi considerado que s = x + jy .

2. f (t ) = H(t − a ) + ∞ − st e 0

ℒ [H(t − a )] = ò

H(t − a ) dt = ò

+ ∞ − st

e

a

e − st dt = − s

+∞

a

e − as = , se Re (s ) > 0 . s

(2.3)

3. f (t ) = δ(t − a ) ℒ [δ(t − a )] = ò

∞ − st e 0

δ(t − a ) dt = e − as , se Re (s ) > 0 .

(2.4)

4. f (t ) = e at

[ ]= ò

ℒe

at

∞

∞ − (s − a ) t e − (s − a ) t e dt = − 0 s−a

= 0

1 , se Re (s ) > a . s−a

(2.5)

5. f (t ) = cos(at ) + ∞ − st e 0

ℒ [cos(at )] = ò

cos(at ) dt = e

− st

− s sen(at ) − a cos(at ) 2

s +a

2

+∞

= 0

s 2

s + a2

, se Re (s ) > 0 .

(2.6)

6. f ( t ) = t p , com p > −1

[ ]

p

+∞ +∞ Γ(p + 1) 1 +∞ −u p æuö æuö e u du = ℒ t p = ò e − st t p dt = ò e − u ç ÷ dç ÷ = , ò 0 0 è s ø è s ø s p +1 0 s p +1

(2.7)

(vide Eq. (1.1), seção 1 do Apêndice A) onde foi realizada a mudança de variável u = st, considerando que s > 0 seja real.

Nos exemplos acima, fica claro que a transformada de Laplace converge numa certa região do plano complexo. Uma das propriedades que caracterizam a transformada de Laplace é que esta região é descrita pela equação Re(s) > a, onde a é uma constante real. Por outro lado, podem ocorrer funções para as quais a transformada de Laplace não existe, isto é, a integral (2.1) diverge para todos os valores de s. Assim, torna-se importante conhecer condições para a existência da transformada de Laplace de uma certa função. Então, apresentaremos um teorema que estabelece a existência desta transformada 3

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

para uma classe de funções bastante ampla. Com este objetivo, inicialmente, definiremos funções seccionalmente contínuas e funções de ordem exponencial.

Definição: Uma função f(t) é dita seccionalmente contínua ou contínua por partes num

intervalo a < t < b, se este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos nos quais a função f(t) é contínua e possui limites finitos a direita e à esquerda.

Um exemplo de função seccionalmente contínua é mostrado graficamente na Fig. 2.1. Esta função tem descontinuidades nos pontos t 1 , t 2 , t 3 , t 4 . Note que existem os limites à esquerda e à direita nos pontos t i , para i = 1,2,3 e 4 e, também, os limites à direita em a e à esquerda em b.

Figura 2.1: função contínua por partes.

Definição: Uma função real é dita de ordem exponencial γ (real), se existem M e T,

constantes reais positivas, tais que e − γ t f (t ) < M ou f (t ) < M e γ t , para todo t > T. Exemplos:

1. f (t ) = t 2 é de ordem exponencial 3, por exemplo, pois t 2 = t 2 < e 3t , para todo t > 0 2. f (t ) = e t não é uma função de ordem exponencial pois 3

e− γ t e t

3

(

)

3 2 = e t − γ t = e t t − γ → ∞, se t → ∞ .

(2.8)

Em outras palavras, as funções de ordem exponencial não podem crescer, em valor absoluto, mais que uma exponencial M e γ t , quando t cresce. Funções limitadas, tais como seno e coseno, são sempre de ordem exponencial, bem como as funções polinomiais também o são.

4

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

Teorema: (Condições suficientes para a existência da transformada de Laplace) Se, para todo

real positivo T, f(t) é uma função seccionalmente contínua no intervalo finito 0 < t < N e é de ordem exponencial γ , para t > N, então sua transformada de Laplace F(s) existe para todo s > γ .

Prova: Seja T um real positivo. Então, +∞ − st

ò0

e

f ( t ) dt = ò

e − s t f (t ) dt + ò

T

0

+∞

T

e − s t f (t ) dt .

(2.9)

Como f(t) é seccionalmente contínua no intervalo 0 < t < T, temos que a primeira integral no lado direito da equação (2.8) existe. Como f(t) é de ordem exponencial γ, para t > T, também existe a segunda integral, como podemos observar abaixo: +∞

òT

e − s t f (t ) dt ≤ ò

+∞

+ ∞ −s t + ∞ −s t γ t M e f (t ) dt ≤ M e e dt = .

0 0 s−γ

e − s t f (t ) dt ≤ ò

T

ò

(2.10)

Assim, a transformada de Laplace de f(t) existe, para todo s > γ .

Observação: Note que as condições do teorema são suficientes mas não necessárias para a

existência da transformada de Laplace, ou seja, se uma função não pertence ao grupo especificado ela 2 2 pode, ou não, possuir transformada de Laplace. Por exemplo, f (t ) = 2 t e t cos(e t ) não é de ordem

exponencial, mas sua transformada de Laplace existe, pois:

ò

2 2 ∞ − st é e ê2 t e t cos (e t 0 ë

+∞

2 ù )ú dt = e − st sin (e t ) û 0

∞

2

+ s ò e − st sin (e t ) dt = 0

(2.11)

2 ∞ − st = − sen 1 + s e sen(e t ) dt , se Re(s) > 0, 1

ò

2

onde foi utilizada integração por partes, considerando u = e −st e v = sen (e t ) . A integral que aparece no lado direito da equação (2.11) existe, pois: ∞

ò0

2

e − st sin (e t ) dt ≤

∞ − st

ò0

e

2

sin (e t ) dt ≤

∞

ò0

1 e − st dt = , se Re(s) > 0. s

(2.12)

3. A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE: Definição: Se a transformada de Laplace de uma função f(t) é F(s), isto é, se ℒ [f (t )] = F(s),

então f(t) é chamada de transformada inversa de Laplace de F(s) e, simbolicamente, podemos escrever f(t) = ℒ −1 [F(s )] .

5

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

Por exemplo, se f(t) é uma função que, para t positivo, assume o valor um, a menos de um 1 é1 ù conjunto de pontos isolados, então ℒ [1] = ℒ [H(t )] = ℒ [f (t )] = . Assim, ℒ −1 ê ú = 1 ou H( t ) ou f ( t ) . s ës û

Observe que, como a transformada de Laplace só leva em consideração a parte da função definida para t ≥ 0, então podemos afirmar que, neste intervalo, H(t) = 1. Além disto, a transformada de Laplace é uma integral definida, logo “desconsidera” descontinuidades evitáveis. Do ponto de vista físico, funções como f(t) são “anormais” e não devem ser consideradas, assim podemos encarar um como 1 sendo a transformada inversa de Laplace da função complexa F(s) = . Neste sentido, a transformada s

inversa de Laplace de uma função F(s) é única.

Existe uma fórmula para a inversão da transformada de Laplace de uma função F(s), com Re(s) > α, definida pela integral de Mellin, f (t ) =

l γ + j∞ ts e F(s ) ds , 2πj òγ − j∞

(3.1)

onde γ é um real qualquer tal que γ > α , a qual é uma fórmula bastante geral, mas que não será empregada aqui, pois não estudamos a integração por resíduos. Esta fórmula origina muitos métodos numéricos para determinar a transformada inversa de Laplace de uma função F(s). Um método bastante simples e, portanto, muito usado é a inversão por quadratura de Gauss, que é a definida por: f (t) =

M

å Ak

k =1

sk æ sk ö Fç ÷ , t è t ø

(3.2)

onde A k e s k são parâmetros complexos tabelados (vide Stroud & Secrest, Gaussian Quadrature).

Neste estudo, nos restringiremos a inversão da transformada de Laplace através de métodos que usem uma tabela. Para tanto, vamos usar as técnicas de decomposição em frações parciais (ou diretamente os teoremas de Heaviside) e de completamento de quadrados, as quais serão vistas ao longo do texto deste material.

4. PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE: Nas propriedades a seguir, assumiremos que todas as funções envolvidas obedecem o teorema da existência, a não ser que se diga o contrário.

Propriedade 1: (LINEARIDADE) Se ℒ[f(t)] = F(s) e ℒ[g(t)] = G(s), então, para quaisquer a

e b constantes complexas, 6

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

ℒ [a f (t ) + b g(t )] = a ℒ [f (t )] + b ℒ [g(t )] = aF(s ) + bG (s )

(4.1)

ou ℒ −1 [a F(s ) + b G (s )] = a ℒ −1 [F(s )] + b ℒ −1 [G (s )] = a f (t ) + b g(t ) .

(4.2)

Observação: Este resultado pode ser estendido facilmente para mais de duas funções.

Prova: direta da definição.

2 −t Exemplo 1: ℒ é4t − 3 cos(2t) + 5 e ù = 4ℒ [ t 2 ] − 3 ℒ [cos(2t )] + 5 ℒ [e − t ] = êë

=4

2! s3

−

3s s2 + 4

+

úû

1 8 3s 5 = − + . s + 1 s3 s 2 + 4 s + 1

Exemplo 2: Encontre a transformada inversa de Laplace, f(t), de F(s) =

3 s 2 − 2s + 16 . (s − 1)(s + 2)(s − 6)

Sabe-se que a função racional acima pode ser escrita como a soma de funções racionais mais simples, da forma: F(s ) =

A B C + + , (s − 1) (s + 2) (s − 6)

(4.3)

ou, efetuando a soma destas frações, F(s ) =

A(s + 2)(s − 6) + B(s − 1)(s − 6) + C(s − 1)(s + 2) . (s − 1)(s + 2)(s − 6)

(4.4)

Assim, igualando a expressão original da F(s) com a Eq. (4.4), obtemos que, 3s 2 − 2s + 16 = A(s + 2)(s − 6) + B(s − 1)(s − 6) + C(s − 1)(s + 2) .

(4.5)

Em princípio, poderíamos obter A, B e C, igualando os coeficientes das potências de s. No entanto, este não seria o método mais rápido e eficiente, pois no caso, conduz a um sistema de três equações e três incógnitas. É fácil observar que estas igualdades valem sempre, isto é, para todo o valor de s. Assim, escolhendo valores para s que tornem nulos dois termos do lado direito da igualdade (4.5), deveremos ter: s = 1 Þ A(1 + 2 )(1 − 6 ) = 3 − 2 + 16 ou A = −

17 , 15

s = −2 Þ B(− 2 − 1)(− 2 − 6 ) = 12 + 4 + 16 ou B =

7

4 3

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

e s = 6 Þ A(6 − 1)(6 + 2 ) = 3 × 36 − 2 × 6 + 16 ou C =

14 .

5

Assim, F(s ) = −

17 1 4 1 14 1 + + .

15 (s − 1) 3 (s + 2) 5 (s − 6)

(4.6)

Esta técnica é denominada Separação em Frações Parciais. Agora, o cálculo da transformada inversa de F(s) é simples, bastando para tanto, usar a linearidade (4.2) e a equação (2.5). Temos então que: f (t ) = −

17 t 4 −2 t 14 6 t e + e + e .

15 3 5

(4.7)

Não é difícil observar que este método sempre fornece resultados rápidos para a transformada inversa de Laplace, desde que tenhamos F(s) como uma função racional, com o grau do numerador menor que o grau do denominador e o denominador com raízes simples. Resumindo este procedimento, tem-se o teorema de Heaviside: Teorema de Heaviside: Seja uma função racional

P(s ) , onde P(s) e Q(s) são polinômios, Q(s )

com grau(P(s)) < grau(Q(s)) = N. Se todas as raízes s n de Q(s), com n = l, 2,..., N, são simples, então: é P(s ) ù N ℒ −1 ê = å A n es n t , ú ( ) ëQ s û n =l

(4.8)

onde A n = lim (s − s n )F(s ) = s →s n

P(s n ) , Q′(s n )

(4.9)

sendo que Q′(s n ) denota a derivada de Q(s), calculada na raiz s n .

Exemplo 3: Encontre a transformada inversa de Laplace, f(t), de F(s) =

(

1 s + s + s +1 3

2

.

)

Podemos ver que Q(s) = s 3 + s 2 + s + 1 = (s 2 + 1)(s + 1) = (s − j)(s + j)(s + 1) , ou seja, temos três raízes distintas, s l = j, s 2 = − j, s 3 = −1 . Assim, podemos usar o teorema de Heaviside,

8

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

considerando P(s) = 1 e Q′(s) = 3s 2 + 2s + 1 , ou seja,

− 2 − 2j −1− j P( j) 1 = = = , 2 2 Q′( j) − 2 + 2 j (−2) + 2 4

− 2 + 2j −1+ j P(− j) 1 P(−1) 1 = = = e = . Concluindo, temos que: Q′(− j) − 2 − 2 j (−2) 2 + 2 2 4 Q′(−1) 2 f (t) =

1 1 − t − 1 + j − jt − 1 − j jt 1 − t 1 e + e + e = e − cos( t ) + sen( t ) , 2 4 4 2 2 2

(4.10)

Na equação (4.10), usamos a expressão da exponencial complexa para transformar e jt e e − jt em sem(t) e cos(t). Observem que, após esta transformação, a função f(t) é uma função real (sem nenhum termo imaginário). Este fato sempre ocorrerá na inversão da transformada de Laplace.

Propriedade 2: (PRIMEIRO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) Se ℒ [f (t )] = F(s) , então

[

]

ℒ e a t f (t ) = F(s − a )

(4.11)

ou ℒ −1 [F(s − a )] = e at f (t ) .

(4.12)

Este resultado pode também ser chamado de propriedade do amortecimento, pois se a função f(t) for “amortecida” pelo fator exponencial e −at , com a > 0, então a transformada de Laplace será deslocada para a esquerda a unidades em relação a nova variável s.

[

]

+∞ +∞ Prova: ℒ e a t f (t ) = ò e − st e at f (t ) dt = ò e − (s − a )t f (t ) dt = F(s − a ) .

0

0

Exemplo 4: Sabendo que ℒ [cos(2 t )] =

[

]

ℒ −1 e − t cos(2t ) =

s +1

(s + 1)2 + 4

=

s +1 s 2 + 2s + 5

s 2

s +4

, calcule ℒ [ e − t cos(2t ) ] .

.

(4.13)

é 6s − 4 ù Exemplo 5: Calcule ℒ −1 ê ú. ë s 2 − 4s + 20 û é 6(s − 2) + 8 ù é ù é ù é 6s − 4 ù s−2 4 ℒ −1 ê = ℒ −1 ê = 6ℒ −1 ê + 2ℒ −1 ê ú ú ú = ú 2 2 2 ë s 2 − 4s + 20 û ëê (s − 2) + 16 ûú ëê (s − 2) + 16 ûú ëê (s − 2) + 16 ûú

= 6 e 2 t cos (4t ) + 2 e 2 t sin (4t ) .

(4.14)

9

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

O processo realizado na primeira igualdade da equação (4.14) acima é conhecido como completamento de quadrados. é 1 ù t n −1e at Exemplo 6: Mostre que ℒ −1 ê , onde a é qualquer complexo e n é natural. ú= n ëê (s − a ) ûú (n − 1)!

Usando a propriedade 2 acima e a equação (2.7) da seção 2 acima, obtemos que é 1 ù é 1 ù e at é Γ(n ) ù t n −1e at ℒ −1 ê = e at ℒ −1 ê ú = ℒ −1 ê , ú ú= ë s n û Γ(n ) ë s n û (n − 1)! êë (s − a )n úû

(4.15)

pois Γ(n ) = (n − 1)! (vide propriedade 3, da seção 1, do Apêndice A).

Exemplo 7: Calcule a transformada inversa de Laplace da função F(s) = (2s + 3)−1 / 2 .

é 1 −1 ê ℒ ê 1 êë (2s + 3) 2

ù ú ú= úû

é ù ê ú ú 1 −1 ê 1 ℒ ê ú= 1 2 2 êæ 3ö ú êçs + 2 ÷ ú ø û ëè

1 − 3t / 2 −1 é 1 ù ℒ ê e ú= 2 ë s1 / 2 û

e − 3t t −1 / 2 = 2 æ1ö Γç ÷ è2ø

Exemplo 8: Calcule a transformada inversa de Laplace de F(s) =

s2

(s − 1)3

e − 3t .

2π t

(4.16)

.

Usando a decomposição em frações parciais, a função F(s) é rescrita como: s2

(s − 1)3

=

A B C A(s − 1)2 + B(s − 1) + C . + + = (s − 1) (s − 1)2 (s − 1)3 (s − 1)3

(4.17)

Então, comparando os numeradores da equação (4.17), obtemos que A = 1, B = 2 e C = 1. Assim ,pela linearidade da transformada inversa de Laplace e pelo exemplo 5 acima, concluímos que: ℒ

−1

é s2 ù æ t 2 ö÷ tç ê ú = e ç1 + 2 t + ÷ .

3 2ø ëê (s − 1) ûú è

(4.18)

Devemos observar que, neste caso, temos uma raiz tripla em s = 1. Assim, não podemos aplicar o teorema de Heaviside neste problema. No entanto, abaixo apresentamos uma generalização deste teorema para o caso de funções racionais cujo denominador tenha raízes múltiplas.

Teorema de Heaviside Generalizado: Consideremos a mesma situação do teorema de

Heaviside. Se s1 é uma raiz de Q(s) de multiplicidade m e as demais (n - m) raízes de Q(s) são simples temos que:

10

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

f (t ) = e

s1 t

n é m Ak t m−k ù s t êå ú + å Ak e k , êë k =1 (m − k )! úû k = m +1

(4.19)

onde

{

}

1 d k −1 (s − s1 )m F(s ) , para k = 1,2,3,..., m , k 1 − s → s1 (k − 1)! ds

A k = lim

(4.20)

e A k = lim (s − s k ) F(s ), para k = (m + 1), (m + 2),..., n . s →s k

(4.21)

é 2s 2 − 9s + 19 ù Exemplo 9: Calcule ℒ −1 ê ú. êë (s − 1)2 (s + 3) úû

Usando o teorema de Heaviside Generalizado, considerando que o denominador de F(s) tem como raízes s1 = 1, com m = 2, e s 2 = −3, com m = 1 , vemos que a transformada inversa de Laplace desta função tem a forma: é A l t 2 −1 A 2 t 2 − 2 ù − 3t + , f (t ) = e ê ú + A3 e (2 − 2)! ûú ëê (2 − 1)! t

(4.22)

onde: æ 2s 2 − 9s + 19 ö 2s 2 − 9s + 19 ö÷ 1 æç ÷ = 3, ( = lim ç s − 1)2 s →1 (1 − 1)! çè (s − 1)2 (s + 3) ÷ø s →1 çè s + 3 ÷ø

(4.23)

æ (4s − 9)(s + 3) − (2s 2 − 9s + 19) ö 2s 2 − 9s + 19 ö÷ 1 d æç ÷ = −2 ( s − 1)2 = lim ç 2 2 ç ÷ ç ÷ ( ) 2 1 ! ds − s →1 (s + 3) (s − 1) (s + 3) ø s →1è è ø

(4.24)

A1 = lim

A 2 = lim e

æ 2s 2 − 9s + 19 ö ÷ = 4.

A 3 = lim (s + 3) = lim ç 2 2 ç ÷ → − s → −3 s 3 (s − 1) (s + 3) è (s − 1) ø

2s 2 − 9s + 19

(4.25)

Concluindo, f (t ) = e t (3t − 2) + 4 e −3t .

(4.26)

é ù 2s + 3 Exemplo 10: Calcule ℒ −1 ê ú.

2 2 êë (s + 1) (s + 2) úû

11

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

Como a função F(s) tem as raízes duplas s1 = −1 e s 2 = −2 , pelo teorema de Heaviside Generalizado temos a solução: é A t 2 −1 A 2 t 2 − 2 ù − 2 t é B1t 2 −1 B 2 t 2 − 2 ù f (t ) = e − t ê 1 + + ú +e ê ú, (2 − 2)! úû êë (2 − 1)! êë (2 − 1)! (2 − 2)! úû

(4.27)

onde: ö 2s + 3 1 æç ÷ = lim 2s + 3 = 1 , ( s + 1)2 s → −1 (1 − 1)! çè (s + 1)2 (s + 2)2 ÷ø s → −1 (s + 2)2

(4.28)

2 ö 2s + 3 1 d æç ÷ = lim 2(s + 2) − (2s + 3)2(s + 2) = 0 , ( s + 1)2 s → −1 (2 − 1)! ds çè (s + 2)4 (s + 1)2 (s + 2)2 ÷ø s → −1

(4.29)

ö 2s + 3 1 æç ÷ = lim 2s + 3 = −1 ( s + 2 )2 2 2 ç s → −2 (1 − 1)! è (s + 1) (s + 2) ÷ø s → −2 (s + 1)2

(4.30)

2 ö 2s + 3 1 d æç ÷ = lim 2(s + 1) − (2s + 3)2(s + 1) = 0 . ( s + 2)2 s → −2 (2 − 1)! ds çè (s + 1)4 (s + 1)2 (s + 2)2 ÷ø s → −2

(4.31)

A1 = lim

A 2 = lim

B1 = lim e

B 2 = lim

Concluindo,

(

)

f (t ) = t e − t − e − 2 t .

(4.32)

Exercício: Aplique o teorema generalizado de Heaviside no exemplo 8 acima.

Propriedade 3: (SEGUNDO TEOREMA DA TRANSLAÇÃO) Se ℒ [f (t )] = F(s ) , então ℒ [f (t − a ) H( t − a )] = e −as F(s )

(4.33)

onde a > 0 é um dado real, ou ℒ −1[ e −as F(s ) ] = H(t − a ) f (t − a ) .

(4.34)

Prova: Considerando que a seja real positivo, ℒ [f (t − a ) H( t − a )] = ò

∞ − st e f (t − a ) H( t − a ) dt 0

=ò

∞ − st e f (t − a ) dt a

12

= ò e − s(u − a )f (u ) du = ∞

0

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

= e − as ò

∞ − su e 0

f (u ) du = e − as F(s ) ,

(4.35)

onde foi feita a mudança de variável u = t - a.

[]

3!

Exemplo 11: Sabendo que ℒ t 3 = , calcule ℒ [ H(t − 2)( . t − 2)3 ] .

4 s

. t − 2)3 ] = Pela propriedade 3 acima, ℒ [ H(t − 2)(

Exemplo 12: ℒ

−1

6 e −2s s4

.

é e − πs / 3 ù æ πö æ πö ê 2 ú = Hç t − ÷ sin ç t − ÷ .

3ø è 3ø è ëê s + 1 ûú

Exemplo 13: Calcule a transformada inversa de Laplace da função F(s) =

e −3s (3s − 4) s 2 − 4s + 13

.

È importante ressaltar que para aplicar a decomposição em frações parciais (ou o teorema de Heaviside), a função F(s) deve ser racional. Portanto, o primeiro passo a ser executado neste problema é o uso da propriedade 3. Assim, é e − 3s (3s − 4) ù é 3s − 4 ù ℒ −1 ê =ℒ −1 ê H( t − 3) . ú ú ë s 2 − 4s + 13 û t = t − 3 êë s 2 − 4s + 13 úû

(4.36)

Agora, para resolver a transformada inversa de Laplace que aparece no lado direito da equação (4.36), poderemos usar a decomposição em frações parciais. No entanto, as raízes do polinômio do denominador da função racional são complexas, o que dificulta um pouco os cálculos envolvidos (estes cálculos ficam como exercício). Assim, é mais conveniente aplicar o completamento de quadrados no denominador desta função, ou seja, é 3(s − 2) + 2 ù é 3s − 4 ù 2 æ ö ℒ −1 ê = ℒ −1 ê = e 2 t ç 3 cos(3t ) + sen(3t ) ÷ , ú ú 2 2 3 è ø ë s − 4s + 13 û êë (s − 2) + 9 úû

(4.37)

sendo que, na última igualdade da Eq. (4.37), utilizamos a propriedade 2. Concluindo, 2 æ ö ℒ −1 [F(s)] = e 2( t − 3) ç 3 cos(3( t − 3)) + sen(3( t − 3)) ÷ H( t − 3) .

3 è ø

Propriedade 4: (MUDANÇA DE ESCALA) Se ℒ [f (t )] = F(s ) então ℒ [f (at )] = Observação: A prova desta propriedade fica como exercício.

13

(4.38) 1 æsö Fç ÷ . a èaø

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

Exemplo 14: Sabendo que ℒ [sen (t )] =

Pela propriedade 4 acima, ℒ [sen(3t )] =

1 2

s +1

, encontre ℒ [sen(3t )] .

1 1 3 = .

3 (s / 3)2 + 1 s 2 + 9

Propriedade 5: (MULTIPLICAÇÃO POR T) Se ℒ [f (t )] = F(s) , então, para todo n natural,

[

]

n n d F (s ) = (− 1)n F (n ) (s ) . ℒ t f (t ) = (− 1) n n

(4.39)

ds

Prova: Sabendo que F(s) = ò

∞ 0

e − st f (t ) dt , esta prova é obtida usando-se o Princípio da

Indução sobre n. Na base de indução (n = 1), usamos a regra de Leibnitz para diferenciação, ou seja,

[ ]

+ ∞ ∂ − st +∞ d + ∞ − st e f (t ) dt = ò e f (t ) dt = − ò e − st (t f (t )) dt = − ℒ [t f (t )] , ò 0 ∂s 0 ds 0

isto é, ℒ [t f (t )] = −

(4.40)

d F(s ) , o que comprova a validade da equação (4.39) para n = 1. ds

No passo de indução, vamos supor então que a Eq. (4.39) é valida para n = k, e vamos mostrar sua validade para n = k+1. Assim,

[(

[

)]

]

d dkF d k + 1F d ( (s ) , ℒ [ t k +1f (t ) ] = ℒ t t k f (t ) = − ℒ t k f (t ) = − (− 1)k s ) = (− 1)k +1 ds ds ds k ds k +1

(4.41)

o que demonstra esta propriedade.

[ ]

1 Exemplo 15: Se ℒ e 2 t = , então, pela propriedade 5 acima, temos que s−2

[ ]

ℒ te 2 t = −

d æ 1 ö 1 ç ÷= ds è s − 2 ø (s − 2 )2

(4.42)

e

[

]

d2 æ 1 ö 2 ℒ t 2 e2 t = . ç ÷= 2 ès−2ø ds (s − 2)3

(4.43)

ìï0, se 0 ≤ t < 4 Exemplo 16: Calcule a transformada de Laplace de f ( t ) = í − 3t . ïîte , se t ≥ 4

14

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

Usando a função de Heaviside (vide Apêndice A, seção 2), a função f(t) acima é rescrita como f ( t ) = te −3t H( t − 4) . Para calcular sua transformada de Laplace podemos usar as propriedades 2, 3 ou 5, desde que tomemos certos cuidados. Por uma questão de simplicidade, aconselha-se usar, sempre que possível, primeiramente a propriedade 2, depois a 3 e, por último a 5. Assim, ì æ 1 4 öü ℒ [f ( t )] = ℒ [( t − 4 + 4)H( t − 4)] s = s + 3 = {e −4s ℒ [t + 4]} s = s + 3 = íe − 4s çç + ÷÷ý = è s 2 s øþ s + s + 3 î

= e − 4(s + 3)

1 + 4(s + 3) (s + 3) 2

.

(4.44)

Propriedade 6: (FUNÇÕES PERIÓDICAS) Se f(t) é uma função periódica com período T,

isto é, f (t + T) = f(t), para todo t ≥ 0, então T − st

ℒ [f (t )] =

ò0 e

f (t ) dt

1 − e − sT

.

(4.45)

Prova: Se f(t) é uma função periódica com período T, então, onde n é um número inteiro,

temos que f (t ) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = K = f (t + nT ) = K . Assim, obtemos que: +∞ − st

ò0

e

f (t ) dt = ò e − st f (t ) dt + ò T

2T

0

T

e − st f (t ) dt + ò

3T − st e f ( t ) dt + K , 2T

(4.46)

então, fazendo mudança de variável nas integrais da Eq. (4.46), resulta: +∞ − st

ò0

e

f (t ) dt = ò e − st f (t ) dt + ò e − s(t + T ) f (t + T ) dt + ò e − s(t + 2T ) f (t + 2T ) dt + K .

T

T

T

0

0

0

+∞

Usando a periodicidade da função f(t) e lembrando que

å

n =0 +∞ − st

ò0

e

=

xn =

(4.47)

1 , se x < 1 , obtemos: 1− x

f (t ) dt = ò e − st f (t ) dt + e − sT ò e − st f (t ) dt + e − 2sT ò e − st f (t ) dt + K = T

0

+∞

T

T e − ksT e − st 0 k =0

å

ò

ò f ( t ) dt = 0

T

T

0

0

e − st f (t ) dt

1 − e − sT

(4.48) ,

como queríamos demonstrar.

Exemplo 17: Determine F(s) = ℒ [f (t )] , onde

15

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

ì1, se 0 ≤ t < 1 f (t ) = í e f (t + 2) = f (t ), para todo t ≥ 0 . î− 1, se 1 ≤ t < 2

(4.49)

Usando a propriedade 6 acima, obtemos que: 2 − st

e ò 0 F(s) =

f (t ) dt

1 − e − 2s

=

(1 − e s(1 + e

−s

1 − st

e ò 0 =

−s 2

)

)(1 − e

−s

dt − ò e − st dt 2

1− e

1 − 2s

1− e

=

−s

s(1 + e

)

−s

e

s/2

) e

s/2

⋅

( 1 − e − s ) − (e − s − e − 2s ) 1 − 2e − s + e − 2s = = = s (1 − e − 2s ) s(1 − e − 2s ) =

e

−e

s/2

s( e

s/2

−s / 2

+e

−s / 2

(4.50)

1 æsö = tgh ç ÷ . è2ø ) s

Propriedade 7: (DIVISÃO POR T) Se ℒ [f (t )] = F(s ) e existe o limite lim

f (t) , então t →0 t

+∞ é f (t ) ù ℒê = ò F(u ) du . ú ë t û s

(4.51) sen( t ) = 1 , temos que t →0 t

Exemplo 18: Como lim

+ ∞ du é sen( t ) ù æ1ö æ1ö ℒê =ò = arctgç ÷ ou tg −1 ç ÷ . ú ë t û s u2 +1 èsø èsø

(4.52)

Propriedade 8: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS) Se ℒ [f (t )] = F(s ) ,

com f ′( t ) continua por partes, então ℒ [f ′(t )] = s F(s ) − f (0) . + ∞ − st e 0

Prova: ℒ [f ′(t )] = ò

f ′(t ) dt = f (t ) e − st

+∞ 0

+ ∞ − st e 0

+ sò

f (t ) dt = −f (0 ) + s ℒ [f (t )].

Propriedade 9 (DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR) Se ℒ [f (t )] = F(s ) e f ′( t ) é contínua

por partes, então

[

]

ℒ f ( n ) (t ) = s n F(s ) − s n −1f (0) − s n − 2 f ′(0) − K − s f (n − 2 ) (0) − f (n −1) (0) .

(4.53)

Prova: A demonstração é obtida pelo Princípio Indução Matemática sobre n, ficando esta

prova como exercício.

Exemplo 19: Se ℒ [cos(3t )] =

s s2 + 9

, calcule ℒ [sen(3t )] .

Usando a linearidade e a propriedade 8 acima, temos que

16

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

ù 1 éd s 1 és2 − s2 − 9ù 3 1é ù ℒ [sen(3t )] = − ℒ ê (cos(3t ) )ú = − ês − 1ú = − ê . ú= 2 2 2 3 ëê s + 9 ûú s + 9 3 ë dt 3ë s +9 û û

(4.54)

Propriedade 10: (TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS) Se ℒ [f (t )] = F(s ) , t F(s ) . então ℒ éê ò f (u ) du ùú = s ë0 û t 2 Exemplo 20: ℒ éê ò sen(2u ) du ùú = . ë0 û s s2 + 4

(

)

Propriedade 11: (COMPORTAMENTO DE F(s) QUANDO s → +∞ ) Se ℒ [f (t )] = F(s ) ,

então lim F(s) = 0 . s → +∞

Propriedade 12: (TEOREMA DO VALOR INICIAL) Se ℒ [f (t )] = F(s ) , então lim f ( t ) = lim sF(s) .

t →0

(4.55)

s → +∞

Prova: Pela definição e propriedade 8, temos que ℒ [f ′(t )] = ò

+∞ − st

0

e

f ′(t ) dt = s F(s ) − f (0 ) .

Assim, temos que: + ∞ − st

ò s → +∞ 0 lim

e

ù ù é ù é é f ′(t ) dt = lim [s F(s ) − f (0 )] = ê lim s F(s )ú − f (0 ) = ê lim s F(s )ú − ê lim f (t )ú , (4.56) s → +∞ û û ët → 0 û ës → +∞ ës → +∞

ou seja, 0 = éê lim s F(s )ùú − éê lim f (t )ùú , o que demonstra esta propriedade. û ët → 0 û ës → +∞ Propriedade 13 (TEOREMA DO VALOR FINAL) Se ℒ [f (t )] = F(s ) , então lim f ( t ) = lim sF(s) .

t → +∞

(4.57)

s→0

Prova: Pela definição e propriedade 8, temos que ℒ [f ′(t )] = ò

+∞ − st

0

e

f ′(t ) dt = s F(s ) − f (0 ) .

Assim, +∞

ò s→0 0 lim

ù é e − st f ′(t ) dt = ê lim s F(s )ú − f (0 ) . û ës → 0

(4.58)

Mas, por outro lado,

17

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

+∞ − st e s→0 0

lim

ò

f ′(t ) dt = ò

+∞

0

f ′(t ) dt = lim

ò

R

R → +∞ 0

f ′(t ) dt = lim {f (R ) − f (0)} = R → +∞

(4.59)

é ù = ê lim f (R )ú − f (0). ë R → +∞ û

Portanto, das equações (4.58) e (4.59), obtemos a fórmula (4.57), provando a propriedade 13.

5. TEOREMA DA CONVOLUÇÃO: Muitas vezes, para resolver Equações Diferenciais pela aplicação da transformada de Laplace, precisamos inverter funções do tipo [F(s).G(s)]. Para tanto, vamos definir a Convolução entre duas funções f(t) e g(t).

Definição: A convolução de duas funções f(t) e g(t), denotada por f ∗ g , é definida por: f ( t ) ∗ g ( t ) = ò f (τ ) g (t − τ ) dτ . t

(5.1)

0

Observa-se que f ∗ g é uma função de t e, é fácil mostrar que, (f ∗ g )( t ) = (g ∗ f )( t ) , para todo t real positivo.

Teorema da Convolução: Se ℒ [f (t )] = F(s) e ℒ [g(t )] = G (s) , então: ℒ [(f * g )( t )] = F(s ).G (s )

(5.2)

ou, simplesmente, ℒ −1 [F(s ).G (s )] = (f ∗ g )( t ) .

(5.3)

Exemplo 1: Prove que

ò0 sen(u ) cos(t − u ) du = 2 sen(t ) . t

t

Considerando F(s) = ℒ [sen( t )] =

1 s2 +1

e G(s) = ℒ [cos( t )] =

s s2 +1

, obtemos do teorema da

Convolução que:

ò 0 sen(u ) cos(t − u )du = ℒ [F(s ).G(s )] = ℒ t

−1

ù ú 2ú ê 2 ë s +1 û é

−1 ê

(

s

)

e obtemos, das propriedades 1 e 5 da seção anterior, que

18

(5.4)

Cálculo Avançado A - Transformadas de Laplace

1 dæ 1 ö 1 − 2s s é1 ù 1 ÷÷ = − ℒ ê t sen( t )ú = ℒ [t sen( t )] = (− 1)−1 çç , = 2 2 2 ds è s 2 + 1 ø 2 2 2 ë2 û 2 s +1 s +1

(

) (

)

(5.5)

o que comprova a afirmação acima.

Exemplo 2: Calcule a transformada inversa de F(s) =

1 s 2 (s + 1)2

.

é 1 ù é1ù −t Sabe-se que ℒ −1 ê ú = t e ℒ −1 ê ú = t e . Assim, 2 2 ës û êë (s + 1) úû

(

)

é1 é ù t t 1 1 ù ℒ −1 ê 2 = ℒ −1 ê = t ∗ t e − t = ò ( t − u ) u e − u du = ò ut − u 2 e − u du = ú 2 ú 0 0 êë s 2 (s + 1)2 úû ë s (s + 1) û

(

)(

)

(

)

(

= ut − u 2 − e −u + (t − 2u ) − e −u + (− 2) − e −u

) 0t = (t + 2) e −t + t − 2 ,

(5.6)

sendo que no cálculo da integral acima, foi utilizada duas vezes a técnica de integração por partes.

Observação: Para inverter a transformada de Laplace acima, seria mais simples usar os

teoremas de Heaviside.

Para mais exemplos resolvidos ver os livros Transformadas de Laplace, coleção Schaum, de Murray Spiegel, ou Moderna Introdução às Equações Diferenciais, coleção Schaum, de Richard Bronson.

19