BIOESTATÍSTICA E DELINEAMENTO EXPERIMENTAL: MEDIDAS DE DISPERSÃO: DESVIO PADRÃO E VARIÂNCIA
CRBM 6.831
Pedro Veloso Biomédico
INTRODUÇÃO
• Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados;
•Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados;
•Portanto, nesta aula, estudaremos essas medidas de dispersão.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
1, 6, 4, 10, 9
• Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema: • Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo:
MEDIDAS DE DISPERSÃO • 1º passo - calcular a média dos dados: •A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é: MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5 MA = 30/5 MA = 6 A média aritmética é 6.
MEDIDAS
DISPERSÃO • 2º passo - calcular o desvio dos dados: •Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a
aritmética desses valores. •Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:
DE
média
MEDIDAS DE DISPERSÃO • 2º passo - calcular o desvio dos dados: • desvio do valor 1 1 - 6 = -5 • desvio do valor 6 6 - 6 = 0 • desvio do valor 4 4 - 6 = -2 • desvio do valor 10 10 - 6 = 4 • desvio do valor 9 9 - 6 = 3 Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.
DE DISPERSÃO • A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, obtivemos: • Considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6. • Desvios: -5, 0, -2, 4 e 3; • Vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão.
MEDIDAS
MEDIDAS DE DISPERSÃO: DESVIO MÉDIO • Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios. • No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será: DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3)/5 DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)/5 DM = 14/5 DM = 2,8 O módulo garante que o valor seja positivo. EXs.: a) +3 = 3 b) -3 = 3
MEDIDAS DE DISPERSÃO: VARIÂNCIA • Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição. • Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será: V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)/5 V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9)/5 V = 54/5 V = 10,8
MEDIDAS DE DISPERSÃO: DESVIO PADRÃO •Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância: DP = V • No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8 3,28.
DISPERSÃO:
Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;
Quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;
O desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.
MEDIDAS DE
OBSERVAÇÕES •
•
•
DE FIXAÇÃO
Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine: a)o desvio médio; b) a variância; c) o desvio padrão.
EXERCÍCIO
1
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1: SOLUÇÃO A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos: MA = (2+4+6+12)/4 = 24/4 = 6 a) DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6)/4 = 12/4 = 3 b) V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)/4 = 56/4 = 14 c) DP = 14 = 3,74
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 2 Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: a) a média aritmética; b) o desvio médio; c) a variância; d) o desvio padrão. JOGADORES LANÇAMENTOS ACERTOS MÁRCIO 10 arremessos de cada jogador 6 MURIEL 4 JONAS 8 EDSON 2 ROMUALDO 7
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 2: SOLUÇÃO a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4 b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5 DM = 1,92 c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 V = 4,64 d) DP = 4,64 = 2,15
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3 No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas. Taxistas segunda terça quarta quinta I 10 9 23 12 II 16 18 8 32 III 25 17 30 10
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3: SOLUÇÃO Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância. Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos: MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5 MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5 MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3: SOLUÇÃO Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas. VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4 31,25 VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4 74,75 VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4 58,25
Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 3: SOLUÇÃO • Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o consumo dos carros dos três taxistas. • Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio padrão é o menor. DPI = 31,25 5,59 litros DPII = 74,75 8,64 litros DPIII = 58,25 7,63 litros
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 4 Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê? Oferta 1 Oferta 2 Média Salarial 890,00 950,00 Mediana 800,00 700,00 Desvio Padrão 32,00 38,00
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 4: SOLUÇÃO
• Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima.
• Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.
IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004.
GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.
PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999..
“ESTATÍSTICA: A CIÊNCIA QUE DIZ QUE SE EU COMI UM FRANGO E TU NÃO COMESTE NENHUM, TEREMOS COMIDO, EM MÉDIA, MEIO FRANGO CADA UM.” “DINO “PITIGRILLI” SEGRÈ /drpedroveloso @drpedroveloso pedro.veloso@unils.edu.br