Considere la función ݂ሺݔሻ = ݔଶ − 2 ݔ− 3 a).- Determine su dominio. b).- Encuentre los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes coordenados. c).- Localice su vértice. d).- Represente la gráfica de la función. (Madrid, 2010) Las funciones de la forma ݂ሺݔሻ = ܽ ݔଶ + ܾ ݔ+ ܿ son funciones cuadráticas cuya representación gráfica se corresponde con una parábola. Para representar una parábola es necesario determinar los siguientes elementos: • • • • •
Vértice Puntos de corte con el eje X Puntos de corte con el eje Y Eje de simetría Algunos puntos adicionales
Para cualquier valor de la variable independiente x es posible hallar su correspondiente valor de la función f(x), por tanto el dominio de estas funciones es ℝ: ሺ−∞, +∞ሻ
Vértice
Coordenada “x” del vértice: ଶ = ଶ = 1 ି
ଶ
Coordenada “y” del vértice: ݂ ቀ ଶ ቁ = ݂ሺ1ሻ = 1 − 2 − 3 = −4 ି
Por tanto V = (1, – 4)
Corte con el eje X Se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado:
2+4 =3 2 ± − 4 · 1 · ሺ−3ሻ 2 ± 4 ඥ4 ݔଶ − 2 ݔ− 3 = 0 → = ݔ = =൞ 2 2−4 2 2 = −1 2
La parábola corta al eje X en los puntos: (3,0) y (−1, 0).
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Corte con el eje Y
Se obtiene calculando ݂ሺ0ሻ = −3
La parábola corta al eje Y en el punto (0, – 3) Eje de simetría
La parábola es simétrica respecto al eje vertical = ݔ
ି ଶ
En este caso la parábola es simétrica respecto a la recta x = 1.
Otros puntos Hallamos el valor de otros puntos por los que pasa la parábola. ݂ሺ2ሻ = 4 − 2 · 2 − 3 = −3
݂ሺ−2ሻ = 4 + 2 · 2 − 3 = 5 ݂ሺ4ሻ = 16 − 2 · 4 − 3 = 5
Con esta información ya podemos realizar la representación gráfica de la parábola en unos ejes coordenados.
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