8Galicia11

Parte 4 La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dĂŠ en el blanco es 0,4. a) Si se lanzan seis torpedos, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que al menos uno dĂŠ en el blanco?

A 0,95.

B 0,35.

C 0,05.

b) Calcule la media y la desviaciĂłn tĂ­pica de la distribuciĂłn anterior.

A Media 6,4.

B Media 3,6.

C Media 2,4.

c) Si los sucesos A y B son tales que P(A)=0,4, P(B)=0,3 y P(A∊B)=0,12, ÂżquĂŠ podemos decir de los sucesos A y B? A El suceso A estĂĄ incluido en el suceso B. B A y B son sucesos incompatibles.

C Los sucesos A y B son independientes. d) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de acertar con algĂşn torpedo a un barco sabiendo que solo se pueden lanzar tres torpedos y que la probabilidad de hacer blanco con cada torpedo es 0,2?

A 0,488.

B 0,512.

C 0,992.

e) El 6 % de los coches de una determinada marca tienen un defecto en el motor, el 8 % lo tienen en la carrocerĂ­a y el 2 % lo tienen en ambos. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un coche de la misma marca tenga al menos un defecto?

A 0,12

B 0,14

C 0,16 (Galicia, 2011)

a) Estamos considerando a variable aleatoria: X = nĂşmero de aciertos en el lanzamiento de n = 6 torpedos, donde la probabilidad de acierto es p = 0,4. Esta variable aleatoria se corresponde con una distribuciĂłn binomial, cuya funciĂłn de probabilidad es:

= = p ¡ 1 − p

Para contabilizar la probabilidad de que al menos 1 dĂŠ en el blanco habrĂ­a que calcular las siguientes probabilidades: P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

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Utilizando las propiedades de las probabilidades, la suma anterior es equivalente a calcular: 1 – P(X = 0) Ya que la suma de las probabilidades de todos los casos elementales tiene que ser 1.

6 = 0 = 0,4 ¡ 1 − 0,4 = 0,6 = 0,047 0 La probabilidad de que al menos 1 dĂŠ en el blanco es: 1 – 0,047 = 0,953

b) La media de una distribución estadística se calcula mediante la siguiente fórmula: = ¡ = donde k son los distintos valores que puede tomar dicha variable y la letra Σ representa la suma de las cantidades ¡ = que se van obteniendo.

Para una distribuciĂłn binomial dicha expresiĂłn se puede simplificar, quedando como resultado el siguiente valor para la media:

= Por tanto E(X) = 6¡0,4 = 2,4

Para obtener la desviaciĂłn tĂ­pica en primer lugar vamos a calcular la varianza: = − ! ¡ = En la distribuciĂłn binomial este valor se obtiene como:

= 1 − Por tanto Var(X) = 1,44.

La desviaciĂłn tĂ­pica es: ". $. = % = 1,2 c) Si el suceso A estĂĄ incluido en B entonces ' ∊ ) = '. Por tanto ' ∊ ) = ' = 0,4

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B

A

Si A y B son incompatibles entonces ' ∩ ) = ∅. Por tanto ' ∩ ) = 0

B

A

Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de un suceso no condiciona o afecta la posibilidad de ocurrencia del otro suceso. Esto lleva al siguiente resultado sobre dos sucesos A y B independientes: ' ∩ ) = ' · ) A partir de los valores dados podemos deducir que A y B son independientes.

d) Ahora las condiciones cambian a: • n=3 • p = 0,2 El procedimiento es el mismo que en el apartado a), vamos a calcular: 1 – P(X = 0).

3 = 0 = 0,2 · 1 − 0,2 - = 0,8- = 0,512 0 Por tanto la probabilidad pedida es: 1 – 0,512 = 0,488.

e) Escribiendo los porcentajes en términos de probabilidad, tenemos los siguientes datos: • • •

P(defecto en el motor) = 0 = 0,06

P(defecto en la carrocería) = 0,08 P(defecto en motor y carrocería) = 0,02

Y queremos hallar: P(defecto en motor o carrocería) http://pruebasresueltascf.blogspot.com/ Página 3

Designamos con letras los sucesos del problema: A = defecto en el motor B = defecto en la carrocería Podemos representar ambos sucesos mediante las operaciones con conjuntos de la siguiente forma:

Para representar el conjunto ' ∪ ) si tomamos el conjunto A y el conjunto B, estamos tomando dos veces el conjunto ' ∩ ), por lo que hay que quitarlo una vez. De aquí se deduce la fórmula para obtener ' ∪ ) : ' ∪ ) = ' + ) − ' ∩ ) Sustituyendo los valores obtenemos el resultado: ' ∪ ) = ' + ) − ' ∩ ) = 0,06 + 0,08 − 0,02 = 0,12

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