Problemas sobre el MCD y el mcm Vamos a plantear situaciones en las que hay que aplicar o bien el Máximo Común Divisor (MCD) o bien el mínimo común múltiplo (mcm) para resolver un problema.
MCD (Máximo común divisor) Para hallar el MCD de dos o más números hay que buscar el mayor divisor común a ambos. Ejemplo Hallar el MCD de 36 y 30. Tenemos dos formas de hacerlo. 1ª Forma: Calculando los divisores de ambos números. Esta forma es apropiada cuando los números son pequeños. Divisores de 36 = { … } Divisores de 30 = { … } Para hallar los divisores de un número tenemos que buscar pares de números cuyo producto sea el dado. Terminamos cuando dicho par sean cantidades iguales o cercanas. Rellenamos una tabla como la siguiente:
…….
⦁
= 36
⦁
= 36
⦁
= 36
⦁
= 36 ……
Para 36 obtenemos los siguientes pares: 1·36, 2·18, 3·12, 4·9 y 6·6 Por tanto Divisores de 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18, 36} De igual forma obtenemos Divisores de 30 = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} a partir de los productos: 1·30. 2·15, 3·10 y 5·6 Podemos observar que el mayor divisor común a ambos números es el 6: MCD = 6
http://pacfgmandalucia.blogspot.com/ Página 1
Problemas sobre el MCD y el mcm 2ª Forma: Factorizando y tomando los factores comunes con menor exponente. Esta forma es apropiada cuando los números son muy grandes.
36
2
30
2
18
2
15
3
9
3
5
5
3
3
1
1
Por tanto: 36 = 2ଶ · 3ଶ
30 = 2 · 3 · 5
MCD = 2·3 = 6
Situación 1: Embaldosar una pared rectangular con azulejos cuadrados, los más grandes posibles y sin tener que cortarlos.
2,4 m
6m El problema se resuelve hallando el MCD de los lados del rectángulo. 2,4 m = 24 dm
24 = 23·3
6 m = 60 dm
60 = 22·3·5
Por tanto MCD = 22·3 = 12 dm Los azulejos más grandes que podemos utilizar miden 12 dm de lado. http://pacfgmandalucia.blogspot.com/ Página 2
Problemas sobre el MCD y el mcm Podemos conocer también cuántos azulejos necesitaremos en total para embaldosar la pared. ¿Cuántos azulejos se colocarán en el lado mayor de la pared? 60 : 12 = 5 azulejos en cada fila ¿Cuántos azulejos se colocarán en el lado menor de la pared? 24:12 = 2 azulejos en cada columna En total harán falta: 5·2 = 10 azulejos para recubrir toda la pared. La situación quedaría de la siguiente manera:
Situación 2: El mismo problema que en anterior pero considerando tres dimensiones sería colocar cajas cúbicas lo más grandes posible en un depósito de lados rectangulares.
4m
3,5 m 7m Alto : 40 = 23·5
Largo: 70 = 2·5·7
Ancho: 35 = 5·7
MCD (40, 70, 35) = 5 dm • • •
Número de cajas en el alto: 40:5 = 8 cajas Número de cajas en el ancho: 35:5 = 7 cajas Número de cajas en el largo: 70:5 = 14 cajas
Por tanto se podrán colocar 8·7·14 = 784 cajas http://pacfgmandalucia.blogspot.com/ Página 3
Problemas sobre el MCD y el mcm
Situación 3: Cortar tablillas cuadradas, lo más grandes posible de un panel de madera. Es el mismo problema que se planteó en la situación 1.
B
A Se calcula MCD (A, B)
Situación 4: Tenemos dos o más sustancias con distintas cantidades y queremos repartirlas en frascos en la mayor cantidad posible sin que sobre nada.
Como 13 es primo, al igual que 19, solo es divisible entre 1 y él mismo. Por tanto el MCD de estas cantidades es 1: las botellas que voy a utilizar para repartir el contenido de las garrafas de forma exacta son las de 1 litro de capacidad. ¿Cuántas botellas voy a necesitar? Tantas como litros: 13 botellas para el aceite de oliva, 16 para el de girasol y 19 para el de orujo.
http://pacfgmandalucia.blogspot.com/ Página 4
Problemas sobre el MCD y el mcm
Situación 5: Dividir dos barras de distinta longitud en trozos de la misma longitud, lo más grandes posible, sin que sobre nada.
32 = 2ହ ; 40 = 2ଷ · 5
MCD = 2ଷ = 8 cm
La barra de menor longitud se va a dividir en 32 : 8 = 4 trozos La barra de mayor longitud se va dividir en 40 : 8 = 5 trozos
mcm (mínimo común múltiplo) Para hallar el mcm de dos o más números hay que buscar el primer múltiplo que coincida en ambos números. Ejemplo Hallar el mcm de 8 y 12. Tenemos dos formas de hacerlo. 1ª Forma: Calculando los múltiplos de ambos números hasta obtener uno común a ambos. Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, … Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, … Por tanto mcm(8, 12) = 24.
http://pacfgmandalucia.blogspot.com/ Página 5
Problemas sobre el MCD y el mcm 2ª Forma: Factorizando y tomando todos los factores y los que se repiten con mayor exponente. Esta forma es apropiada cuando los números son muy grandes. 8 = 2ଷ ; 12 = 2ଶ · 3
mcm = 2ଷ · 3 = 24
Situación 1: Obtener cuándo dos o más sucesos coinciden en el tiempo. Las líneas de autobuses A y B inician su actividad a las siete menos cuarto de la mañana desde el mismo punto de partida. Cada 14 minutos sale un autobús de la línea A y cada 36 minutos de la línea B. ¿A qué hora, después de la hora de salida, vuelven a coincidir las salidas de ambos autobuses?
14 = 2 · 7 ; 36 = 2ଶ · 3ଷ
mcm = 2ଶ · 3ଷ · 7 = 252 min =4·60 + 12 = 4 h 12 min
Hora de coincidencia = hora de salida + 4 h 12 min = 6 h 45 min + 4 h 12 min = 10 h 57 min
Situación 2: Obtener el número total de un conjunto que se puede repartir de forma exacta en varios grupos más pequeños. Un pastor observa que puede agrupar sus ovejas en grupos de 6, de 10 y de 11 ovejas sin que quede ninguna suelta. Si sabe que tiene menos de 400 ovejas, ¿cuántas ovejas tiene el pastor? 6 = 2 · 3 ; 10 = 2 · 5 ; 11 = 11
mcm = 2·3·5·11 = 330 ovejas
http://pacfgmandalucia.blogspot.com/ Página 6
Problemas sobre el MCD y el mcm
Situación 3: Embaldosar una pared cuadrada con azulejos rectangulares. Hallar el cuadrado más pequeño que se puede construir con baldosas del siguiente tamaño:
18 cm 8 cm
Se trata de obtener un cuadrado de la siguiente forma:
18 = 2 · 3ଶ ; 8 = 2ଷ
mcm = 3ଶ · 2ଷ = 72 cm
El cuadrado va a tener 72 cm de lado.
¿Cuántas baldosas se colocarán en la base? 72 : 18 = 4 baldosas ¿Cuántas baldosas se colocarán en la altura? 72 : 8 = 9 baldosas
En total harán falta 4 · 9 = 36 baldosas, y el cuadrado tendrá la siguiente forma:
http://pacfgmandalucia.blogspot.com/ Página 7
Problemas sobre el MCD y el mcm
http://pacfgmandalucia.blogspot.com/ Pรกgina 8