APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Jacqueline Cabello Ingeniería Civil Industrial Matemáticas Aplicada
•Aplicación de la ley de Torricelli.
Para esto establecemos como y(t) la profundidad de agua en el estanque, el tiempo t y por V(t) el volumen de agua en el estanque en ese momento. Es posible que la velocidad del agua que sale a través del agujero sea.
v = 2 gy Que es la velocidad de una gota de agua adquirida en caída libre desde la superficie del agua hasta el agujero, bajo condiciones ideales tomando en cuenta la compresión del chorro de agua en el orificio: v =C 2 gy, donde C es una constante empírica (experimental se obtiene por mediciones) entre 1 y 0 (que usualmente es 0,6 para flujos de agua pequeños y continuos ) por simplicidad tomamos C=1 en la siguiente discusión.
• Como consecuencia de la ecuación anterior: dV =−a ∗v =−a dt
• Que equivale dV = −K dt
y
2 gy
• Donde
K = a 2g
(1)
• Esta es la ley de Torricelli para un estanque drenado. Si A (y) denota la acción de área horizontal del tanque y sobre el agujero el método del volumen por sección del área de entrega. y
V =∫ A( y ) dy 0
• Por lo que el teorema fundamental del calculo implica que
• Entonces
(2)
dV =A( y ) dy
dV dV dy dy = ∗ = A( y ) dt dy dt dt
• Por lo tanto si mezclamos las dos ecuaciones anteriores 1 y 2, obtendremos
dy A( y ) ∗ = − a 2 gy = − K y dt • Que es una alternativa para la ley de Torricelli
Ejemplo:
• En un estanque hemisférico tiene radio superior 4 pies y en el tiempo t=0 está lleno de agua en ese momento un agujero circular de una pulgada (0,5 de radio) es abierto en el fondo del estanque. ¿ Cuánto tiempo tomara para vaciar el estanque completamente?
Este problema requiere construir una ecuación diferencial que modele el ritmo de decrecimiento de la altura del agua, con respecto al tiempo.
Solución:
• Del triangulo rectángulo de la figura vemos que
[
]
A( y ) = π r = π 16 − (1 − y ) = π (8 y − y ) 2
2
Si
g =32
f
t
s
2
2
Si reemplazamos en la ecuacion de torricelli dy A( y ) ∗ = −a 2 gy = −K dt
dy 1 π (8 y − y ) = −π dt 24 2
1 3 2 2 8 y − y ∫
3 2
y
2
64 y
1 dy =−∫ dt 72 5 2
16 2 1 y − y = − t +C 3 5 72
• Si
y (0) = 4, entonces 3
5
16 2 448 2 2 C= *4 − *4 = 3 5 15
• Si el tanque fuera vaciado cuando
y (0) = entonces, 448 t =72 ∗ 15
t = 2150 s • Entonces tomara 35 minutos y 50 segundos, en vaciar el estanque.
• GRACIAS !!!