Géométrie spatiale

Tous les outils et méthodes de construction de la géométrie spatiale permettant d’élaborer des images d’objets tridimensionnels au moyen des projections géométriques.

Disponible en librairie, ou via commande directe ici ou sur www.ppur.org

Daniel Jaques

avec la collaboration de Jean-François Calame

GÉOMÉTRIE SPATIALE le vade-mecum

Presses polytechniques et universitaires romandes

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Sommaire Introduction CONVENTIONS DE REPRÉSENTATION

Géométrie descriptive 1 PROJECTIONS ORTHOGONALES

2 VRAIES GRANDEURS

3 OMBRES EN PROJECTIONS ORTHOGONALES Axonométrie

4 5

Perspective 6 7 Surfaces et volumes

8 9 10 11 12

AXONOMÉTRIE OMBRES EN AXONOMÉTRIE PERSPECTIVE OMBRES EN PERSPECTIVE SURFACES COURBES SURFACES RÉGLÉES SURFACES DE RÉVOLUTION POLYÈDRES RÉGULIERS TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES ICONOGRAPHIE BIBLIOGRAPHIE TABLE DES MATIÈRES INDEX

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« Tous les édifices de l’Antiquité qui puissent avoir de l’importance et qui sont dignes de respect, je les ai examinés afin d’en extraire des informations utiles. J’ai fouillé et scruté de façon incessante, représenté au moyen d’esquisses (…) tout ce que j’ai pu afin de pouvoir me servir de toutes les contributions possibles que l’intelligence et le labeur humain m’offraient. De cette façon, la passion et la délectation de l’apprentissage compensaient les difficultés du discours. Il est certain que de présenter de façon unitaire des sujets si variés et différents, dispersés çà et là, peu connus et peu traités par les auteurs, leur donner la formulation juste ; les disposer en bon ordre, les traiter dans un langage précis et une méthode sûre ; tout cela exigeait une capacité et une préparation plus importantes que celles que je possédais déjà. Je ne me lamenterai pas de mon travail si j’atteins le but que je me suis proposé, si mes lecteurs comprennent que j’ai préféré adopter un discours sans effet plutôt que de m’efforcer à paraître éloquent. Mais rejoindre ne serait-ce que ce résultat dans ce genre de traité est un enjeu dont la difficulté ne peut être comprise que par ceux qui en ont fait l’expérience directe. Avec tout cela, nous croyons – et espérons ne pas nous tromper – nous être exprimé dans un latin correct et dans une forme intelligible. »

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Leon Battista Alberti De re aedificatori, quatrième livre, 1435

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Préface LE TRACÉ ET L’EPURE Géométrie spatiale, le vade-mecum, est plus qu’un manuel pratique, c’est un viatique. Un compagnon de voyage.

Daniel Jaques, son auteur, en étroite collaboration avec Jean-François Calame, a cartographié et légendé le vaste territoire de la géométrie spatiale.

Il y a ajouté de précieux commentaires sémantiques, théoriques et historiques. Sans opposer le mode graphique au mode infographique, il s’est fixé comme objectif d’enseigner et de renseigner au sujet des différents processus et instruments qui permettent de lire une carte et, à chacun, d’en dresser d’autres. Toutes les démonstrations et modalités sont décrites méthodiquement et logiquement. Elles s’inscrivent dans le cadre d’une didactique simple et efficace.

Une thèse sous-jacente postule en filigranes que le Tracé prime l’Epure.

Le Tracé est l’empreinte indélébile de la Pensée et de l’Intelligence, le témoin ichnographique du Raisonnement et de la Méthode. L’Epure est la forme générée par le processus raisonné et séquentiel qui la précède et dont

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elle est une synthèse, une image, voire une réduction.

Le Tracé est un dessin dynamique, sorte de palimpseste de la construction, alors que celui de l’Epure semble statique. Pour s’en convaincre, il suffit de n’examiner que le calque de l’Epure pour vérifier combien ce dernier paraît vide et inerte, comparé à ceux qui ont servi au Tracé, qui apparaissent denses et actifs.

Force est de constater que c’est gratifiant, ludique même, de monter une perspective, de construire une figure géométrique complexe en 3D, et qu’il est frustrant de se voir confisquer ce plaisir par un logiciel, au demeurant performant, mais qui occulte une série d’opérations, les rendant implicites, pour, in fine, accélérer le processus d’élaboration du dessin, ne rendant explicite que la représentation finale.

Pour illustrer ces propos on peut reprendre la métaphore cartographique et géographique et citer l’exemple de ce qui est en usage dans la navigation aérienne ou maritime : que ce soit dans le cockpit d’un avion, sur la passerelle d’un navire et même dans le module lunaire d’Apollo 13 se trouve toujours un coffret dans lequel sont rangés un

sextant, un chronomètre/graphe et une boussole qui permettent, le cas échéant, de pallier les éventuelles défaillances des pilotes automatiques, compas magnétiques et autres GPS ! Encore faut-il connaître l’usage et le fonctionnement de ces différents instruments pour se situer avec exactitude dans le temps et dans l’espace…

En aucun cas il s’agit d’entretenir une nostalgie « romantique » mais bien de maintenir un savoir « humaniste » afin de ne pas être condamné à l’amnésie ! Géométrie spatiale, le vade-mecum devient ainsi un indispensable aide-mémoire.

Jacques-Xavier Aymon Avril 2013

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Avant-propos Vade-mecum. Un vade what ? Un vade-mecum. Le dictionnaire nous indique qu’il s’agit d’un livre, guide, manuel, ou encore d’un aide-mémoire, que l’on garde sur soi pour s’y référer en cas de besoin. Le terme est savant et désuet. Mais il reflète bien l’intention du présent ouvrage : fournir aux apprenants, et occasionnellement aux professionnels, des moyens de compréhension et de maîtrise de la représentation 3D – 3D pour trois dimensions –, qu’ils soient sur leur planche à dessin, devant leur écran d’ordinateur ou encore à leur établi. A ceuxlà, il faut adjoindre les enseignants à la recherche d’un support de cours relativement accessible et synthétique.

Il s’agit donc d’un vade-mecum de géométrie spatiale. A dessein, on a renoncé pour cet ouvrage à l’appellation de géométrie descriptive, son contenu débordant le cadre strict de cette discipline. On rappelle que la géométrie (dite) descriptive définit un mode de représentation bien précis des figures 3D sur une surface plane, la feuille de papier. Pratiquement, il s’agit de déterminer leurs formes réelles (dimensions et angles), de résoudre leurs intersections, de procéder à leurs développements, etc. : des méthodes qu’avait codifiées Gaspard Monge à la toute fin du XVIIIe siècle (elles lui étaient antérieures) et dont le nom reste attaché à ce système de représentation – les projections de Monge.

Jusque dans les années 2000, la géométrie descriptive, la « gédé » comme l’appelaient familièrement les étudiants,

était une discipline enseignée à part entière. Son apprentissage était incontournable dans les établissements techniques et artistiques, comme les écoles d’architecture et d’ingénierie, les écoles d’arts appliqués et celles des beaux-arts. La matière théorique était importante, organisée selon une suite de chapitres codifiés issus d’une tradition académique : représentation, intersections, développements, ombres, etc.

Et puis est arrivée l’informatique avec ses logiciels graphiques. La CAO (conception assistée par ordinateur) allait prendre la relève et proposer en l’espace de quelques minutes, voire de quelques secondes, de redoutables visualisations – mais après avoir introduit la modélisation des objets dans la machine ! A partir de ce moment, le contenu de l’enseignement s’est infléchi : toute une série de méthodes et stratégies graphiques enseignées ont légitimement perdu de leur nécessité, puisque c’est dorénavant « l’ordi qui fait ». Avec pour corollaire des plages horaires consacrées spécifiquement à la géométrie descriptive réduites à leurs portions congrues.

Evoquer cette évolution permet de préciser dans quel état d’esprit le présent ouvrage a été conçu : on croit aujourd’hui que, dans un cursus de formation dans les domaines évoqués plus haut, il est encore nécessaire de posséder un bagage de base concernant la 3D, comme celui par exemple, qui va permettre de maîtriser les

projections orthogonales et leurs manipulations fondamentales. On estime que des connaissances de base structurées vont permettre de pratiquer avec plus de confiance et de compétence des logiciels professionnels et de pouvoir encore pratiquer spontanément des esquisses manuelles, qui gardent toute leur validité.

Ajoutons qu’avec cet ouvrage, on privilégie une géométrie spatiale « concrète », ancrée dans une pratique professionnelle, explicitée par une illustration abondante et dont l’essentiel des figures représentent des solides, les mieux à même d’être « lus » en représentation plane.

On souhaite finalement que cet ouvrage se profile comme un vade-mecum que l’on tient pour consultation sur le coin de sa table de travail.

Reste à préciser le « niveau » de son contenu. En prenant comme référence le système de formation helvétique, on estime que l’ouvrage s’adresse à un public universitaire et à celui des HES (les Hautes Ecoles Spécialisées désignées comme les « universités des métiers »). On pense tout particulièrement aux étudiants en architecture, en ingénierie et en design en général.

Pour conclure, je dédie ce livre à mes anciens étudiants qui m’ont communiqué au fil des années un intérêt croissant pour la « gédé » et qui m’ont véritablement formé à son enseignement. A eux tous, j’exprime ma profonde gratitude !

Daniel Jaques

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CONVENTIONS DE REPRÉSENTATION

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Les projections orthogonales et Gaspard Monge « Ensuite on appliquera la méthode des projections aux constructions graphiques, nécessaires au plus grand nombre des arts, tels que les traits de coupe des pierres, ceux de charpenterie, etc. » Géométrie descriptive, G. Monge

En 1799 paraît en France un traité intitulé Géométrie descriptive : cent trente pages d’un texte serré illustré de vingt-cinq planches impeccables. Avec ce traité, Gaspard Monge (1746-1818), polytechnicien français – la station de métro parisienne, c’est la sienne ! – propose un langage graphique universel en rassemblant et codifiant des procédés permettant la représentation de volumes sur une surface plane.

L’apparition de ce traité à l’âge du développement industriel n’est pas due au hasard : les formes de plus en plus complexes des objets manufacturés, et leur production en série, contraignent les dessinateurs et les ingénieurs à mettre au point un code de représentation qui permet de faire de tout objet une représentation géométrique rigoureuse, en particulier d’en donner immédiatement les dimensions. Dans son traité, Monge appelle cet « art » celui de la géométrie descriptive et lui attribue deux objectifs : • « le premier est de représenter avec exactitude, sur des dessins qui n’ont que deux dimensions, les objets qui en ont trois, et qui sont susceptibles de définition rigoureuse » ; • « le second… est de déduire de la description exacte des corps tout ce qui suit nécessairement de leurs formes et de leurs positions respectives ».

La méthode est devenue si répandue que son nom va jusqu’à se confondre avec son auteur : on parle fréquemment de projections de Monge, ou représentation

« en Monge » pour parler des projections géométrales orthogonales.

La géométrie descriptive est un système de représentation qui consiste en des projections cylindriques orthogonales sur deux plans de projection, l’un vertical, l’autre horizontal, formant un dièdre droit. Ces deux projections sont souvent complétées par une projection latérale appelée vue de profil. Définies en termes simples, les projections géométrales sont les images d’un objet vu tour à tour par-dessus, par-devant et de côté, par un spectateur placé à l’infini. Ce système de projection a la caractéristique de représenter l’objet tel qu’il est, sans déformation : la plupart des grandeurs et des angles sont conservés – sous réserve d’une éventuelle mise à l’échelle. On comprend ainsi pourquoi cette représentation est aujourd’hui universelle dans tous les domaines liés à la production d’objets tridimensionnels.

En contrepartie de cette simplicité opérationnelle, cette représentation, si on la compare à l’axonométrie et à la perspective, correspond le moins bien à la vision humaine.

Deux projections au minimum sont nécessaires pour définir un objet : c’est principalement cette dissociation graphique qui rend la perception d’une épure souvent peu immédiate. L’aisance de cette lecture s’acquiert avec la pratique. Les professionnels concernés par la 3D – comme on dit – tels que les architectes, ingénieurs, designers et constructeurs de tous horizons, sont en principe rompus à cette représentation.

Géométrie descriptive, G. Monge, 1799

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CONVENTIONS DE REPRÉSENTATION

L’axonométrie et Sébastien Vauban « Le nom de perspective militaire qu’on donne aux élévations géométrales fait assez connaître qu’on en laisse l’usage aux gens de guerre… sans y employer le travail qu’il faut prendre en suivant les règles de la perspective régulière qui demande des sujétions mathématiques qui en rebutent beaucoup. » La perspective practique, J. Du Breuil

En 1651 J. Du Breuil (1602-1670) publie une nouvelle édition de son traité La perspective practique en y incluant un chapitre consacré à la perspective militaire. Cette appellation de « perspective militaire », comme d’ailleurs celle de « perspective cavalière », sa jumelle, connecte la représentation axonométrique à l’art militaire du XVIIe siècle qui voit la généralisation de l’artillerie. Ce mode de représentation, simple et efficace, est parfaitement bien adapté à sa finalité : l’objectif est de construire l’image, non d’un simple édifice, mais d’un champ opérationnel complet. Le dessin doit être, en lui-même, un document tactique. Non seulement il doit permettre de montrer les terrassements nécessaires à la construction d’une place forte, mais aussi d’exposer les manœuvres, les figures de combat et les trajectoires balistiques. La perspective militaire permet d’identifier facilement les reliefs du terrain, sans pour autant renoncer aux avantages qu’offre une vue en plan.

A ce contexte culturel et historique, il faut associer la personne emblématique de S. Vauban (1633-1703), ingénieur militaire et stratège au service de Louis XIV. Il a conduit à son aboutissement l’art des fortifications avec un type d’architecture militaire qui prit son nom : le système Vauban. Et indépendamment de cela, toutes ses constructions sont de belles démonstrations de l’esprit de géométrie.

D’un strict point de vue géométrique, l’axonométrie est un système de représentation qui consiste en une projection cylindrique orthogonale ou oblique sur un seul plan convenablement choisi. Avec ses fuyantes parallèles, elle est aussi appelée perspective parallèle puisque, à l’inverse de la perspective centrale, elle est sans point de fuite et sans horizon. Cette simplification engendre quelquefois une perception un peu dérangeante avec des objets qui peuvent paraître légèrement déformés. Mais cette représentation, avec ses constructions graphiques simples, surtout lorsqu’elle est tracée manuellement, reste remarquablement efficace, synthétique et suggestive.

Dès le XVIIIe siècle, l’usage militaire de l’axonométrie va trouver une application dans le dessin technique industriel. Les formes de plus en plus complexes des objets manufacturés et leur production en série incitent les dessinateurs et les ingénieurs à mettre au point un code de représentation qui donne presque immédiatement l’intelligibilité et les dimensions des objets : une sorte de langage graphique universel qui permet de faire de toute forme une description géométrique rigoureuse.

Aujourd’hui, l’axonométrie est souvent utilisée dans des dessins à vocation informative. Il suffit de citer les prospectus de montage du mobilier acheté en kit, des modèles réduits ou encore des jouets Lego.

L’art de la guerre, A. Manesson Mallet, 1684

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La perspective et Leon Battista Alberti « Je trace d’abord sur la surface à peindre un quadrilatère à angles droits aussi vaste que je le souhaite, qui joue le rôle d’une fenêtre ouverte, par où l’histoire puisse être perçue dans son ensemble ; puis je fixe la taille que je veux donner aux hommes. » De Pictura, livre I, L. B. Alberti

« L’invention » de la perspective date de la Renaissance italienne au début du XVe siècle, plus exactement entre 1415 et 1450 à Florence. Vers 1415, Brunelleschi fait la démonstration, avec une expérience connue et documentée dite de la tavoletta, de sa théorie sur la perspective rationnelle en exécutant deux vues urbaines, à Florence précisément. Cette démonstration est l’affirmation de la capacité de la perspective à restituer des conditions de perception, si ce n’est identiques, du moins équivalentes à celles de la vision directe. Un peu plus tard, Alberti (1404-1472) théorise avec son traité de peinture De pictura (titre en latin, 1435), la démonstration de Brunelleschi en proposant une méthode de construction rigoureuse et « légitime », la costruzione legittima. Plus largement, Alberti rédige la première formulation claire du principe de la perspective centrale qui fait de ce texte le programme fondateur de la représentation occidentale.

A partir de ce traité, les procédés de représentation sont posés, et des humanistes comme des artistes vont apporter au fil des siècles leur pierre à l’édifice de la perspective. Du XVe au XIXe siècle, l’histoire culturelle européenne est jalonnée de traités de perspective. Et dès la fin du XIXe, la photographie, qui débute avec la camera obscura et qui est l’héritière directe du dessin perspectif, va contribuer à conditionner définitivement notre façon de représenter le monde.

La construction emblématique d’Alberti est celle d’un carrelage en vue frontale dont les fuyantes convergent

vers un point de fuite principal localisant l’infini. Cette matérialisation d’un point, par définition inaccessible, est un des aspects le plus novateur des constructions perspectives : sur le tableau apparaît une trace, aussi réelle que n’importe quel autre point de l’espace, qui permet de construire l’image d’un monde clos et mesurable.

D’un strict point de vue géométrique, la perspective est un système de représentation qui consiste en une projection conique d’un objet donné, à partir d’un point de vue donné, sur un plan de projection choisi, appelé tableau. Cette définition englobe divers types de représentation. Citons la perspective usuelle à deux points de fuite, dite normale, celle à un point de fuite, dite centrale, celle à trois points de fuite, plongeante et plafonnante, et enfin la perspective curviligne recueillie sur un tableau cylindrique ou sphérique.

La représentation perspective est celle qui cerne au plus près une perception réaliste, picturale. Cependant, les dimensions comme les angles des objets subissent des déformations, rendant les représentations impropres à un usage technique, comme par exemple celui de la fabrication. Dans le monde professionnel d’aujourd’hui, cette représentation, qui privilégie des simulations virtuelles, est principalement réservée à la communication de projets architecturaux et de produits de design.

De pictura, L. B. Alberti, 1435

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CONVENTIONS DE REPRÉSENTATION

Les conventions de représentation VUES MULTIPLES Les projections orthogonales

VUE UNIQUE L’axonométrie (ou perspective parallèle)

∞

AXO

L OFI

PR

NO

FAC

E

La perspective (ou perspective conique)

PER

MÉ

SPE

TRI

E

CTI

VE

AN

PL

∞

∞

Les vues

plan

∞

Les vues

face

profil

autre

Définition Les projections orthogonales sont des projections parallèles et orthogonales de l’objet sur au moins deux plans de projection formant un dièdre

isométrie

Les vues

cavalière

militaire

autre

Définition L’axonométrie est une projection parallèle (ou cylindrique) de l’objet sur un plan de projection, perpendiculaire ou non aux rayons projetants

à 1 pt de fuite à 2 pts de fuite (ou vue frontale)

à 3 pts de fuite

curviligne

Définition La perspective est une projection centrale (ou conique) de l’objet sur un plan de projection

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1 PROJECTIONS ORTHOGONALES

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1.1 Généralités

Aspects historiques et culturels Dans l’Antiquité avec Vitruve (Ier av. J.-C.)* « Les représentations, ou pour parler comme les Grecs, les idées de la disposition, se font de trois manières, à savoir : par l’ichnographie, l’orthographie et la scénographie. L’ichnographie est le tracé à la règle et au compas du plan d’un édifice, dans un petit espace, comme si c’était sur le terrain ; l’orthographie représente, aussi dans un petit espace, l’élévation d’une des faces dans les mêmes proportions que doit avoir l’ouvrage que l’on veut construire ; la scénographie fait voir l’élévation non seulement d’une des faces mais encore des parties enfoncées, et cela par le concours de toutes les lignes à un point central. » (Les dix livres d’architecture, Vitruve, livre premier, ch. II) Au Moyen Age Au moment où n’existait aucune coupure entre l’élaboration et la réalisation de l’édifice, les constructeurs travaillaient généralement à partir d’un plan en grandeur réelle sur le sol dont ils tiraient ensuite l’élévation. L’examen des dessins d’architecture du Moyen Age montre que le passage de l’extraction du volume à partir du plan semble avoir constitué le problème central de l’architecture médiévale.

L’ordonnance d’un édifice, sa volumétrie intérieure et extérieure, procédait d’une loi établie par la tradition. Ce code évoluait grâce à l’invention des maîtres d’œuvre qui se mouvaient dans les limites d’une typologie constructive et esthétique codifiée, limitée par la technique de la pierre et du bois. * En complément des citations textuelles référencées, le texte de ce paragraphe est librement emprunté à deux ouvrages : Axonométrie de J. Aubert et Epures d’architecture de J. Sakarovitch (voir la bibliographie).

Au début de la Renaissance avec Alberti A la Renaissance, l’artisan du Moyen Age (le maître d’œuvre) est devenu un intellectuel (l’architecte). La conception savante de la Renaissance exige des projets plus élaborés que par le passé. C’est alors que se codifie le mode de représentation des édifices : le plan, les élévations et les coupes, complétés par la vue en perspective et éventuellement le modèle (ou maquette).

Alberti (1404-1472), dans son De re aedificatori (imprimé à Florence, après sa mort, en 1485) énonce pour la première fois la spécificité du dessin d’architecture, sur lequel on doit pouvoir mesurer les vraies grandeurs des angles et des longueurs nécessaires à la construction.

Avec lui, « le dessin devient le lien privilégié entre l’architecture et les mathématiques. Il s’agit du dessin géométral, dessin scientifique, projection mathématique d’un objet ou d’un bâtiment en deux dimensions, donnant des proportions exactes sans tenir compte des déformations de la perspective. Cette idée de la primauté du dessin va dominer l’enseignement de l’architecture en France, depuis la fin du XVIIe siècle jusqu’au milieu du XXe siècle. » (Dessins d’architecture, J. Neuenschwander Feihl) A la fin de la Renaissance avec Raphaël En 1519, Raphaël (1483-1520) adresse au pape Léon X un rapport connu sous le nom de Lettre de Raphaël, véritable mémoire sur l’architecture des Anciens et des Modernes, dans lequel est traité de façon précise le problème de la représentation architecturale. Raphaël reprend le point de vue albertien quant au mode de représentation d’un bâtiment, qu’il systématise encore davantage en introduisant la coupe dont Alberti ne parle pas. Pour Raphaël, la défense et illustration du géométral n’est plus comme chez son prédécesseur, le fait d’un

Livre d’architecture, Androuet du Cerceau (v. 1515-1585), 1559.

Les illustrations du bâtiment sont légendées Ichnographia, Orthographia et Scenographia

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PROJECTIONS ORTHOGONALES

1.1 Généralités

Aspects historiques et culturels théoricien. Elle est la traduction théorique d’une pratique rendue nécessaire par l’organisation du chantier de Saint-Pierre de Rome.

A la toute fin du XVIIIe siècle avec Monge A la toute fin du XVIIIe siècle, Gaspard Monge rassemble, sous l’appellation de géométrie descriptive, l’ensemble des méthodes permettant de représenter un solide avec ses projections orthogonales et d’en définir toutes ses parties.

Si la géométrie descriptive a été inventée par ce polytechnicien, les méthodes de projection lui sont antérieures.

Cependant, Monge, avec sa méthode, a la capacité d’accomplir une synthèse scientifique cohérente de toutes les méthodes qui préexistaient avant lui : le système qu’il propose peut dès lors intégrer toutes les constructions traditionnelles ou empiriques pratiquées avec la stéréotomie (taille des pierres) et l’art du trait (tracé des bois). Ainsi, ce système atteint une portée universelle et constitue un outil décisif de l’industrialisation. Avec Monge, la projection horizontale (ou plan) et la projection verticale (ou élévation) rejoignent l’ichnographia et l’orthographia de Vitruve.

Une référence bibliographique Sur les aspects historiques de la représentation géométrale, on recommande l’ouvrage récent de J. Sakarovitch, Epures d’architecture, De la coupe des pierres à la géométrie descriptive XVIe-XIXe siècles (voir bibliographie).

Epures de géométrie descriptive, travail d’étudiant, Ecole supérieure d’arts appliqués, Genève, 1995

Le plan, la coupe et la façade. Projets de A. Palladio (1566), L. Bagutti (1819), M. Botta (1971)

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1.1 Généralités

origine

e ss ci

nn ée

bas

x

ant

ab

dev

do

e

it dro

or

gau

e

z cote ou altitude

che

rièr

hauteur

der

y

L’enjeu L’enjeu de la géométrie spatiale, plus exactement de la géométrie descriptive, est de donner une représentation plane d’un objet volumétrique – sur une feuille de papier ou un écran d’ordinateur par exemple – et inversement, de restituer un objet à partir de sa représentation plane.

Le passage de l’objet à sa représentation plane se fait selon des conventions et des codes graphiques précis, développés dans le présent chapitre.

L’architecte et plus généralement le designer 3D sont confrontés à cette pratique, qui constitue leur outil de travail par excellence.

Références S’il s’agissait aujourd’hui de recommander un seul ouvrage de géométrie descriptive « classique », on choisirait celui de N. Krylov, Géométrie descriptive (voir bibliographie).

haut

Du volume à la surface (de papier)

pro

fon

eur

deu

r

larg

Position et repérage dans l’espace

De la conception à la réalisation d’un objet a. Le designer / b. Le designer / la conception 3D le codage en 2D

c. L’exécutant / le décodage de la 2D

d. L’exécutant / la restitution 3D

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…

2 VRAIES GRANDEURS

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2.1 Généralités

Vraies grandeurs et problèmes métriques

Un aspect historique « Contrairement à ce que laissent entendre Alberti ou Raphaël, la représentation d’un bâtiment selon la trilogie plan-coupe-élévation ne suffit pas, du moins pas nécessairement pour donner les vraies mesures des angles ou des distances à prendre pour construire le bâtiment. Par contre, la représentation en géométral permet de retrouver toutes ces vraies grandeurs, par l’exploitation des opérations géométriques associées à la double projection. Avec le Cours d’architecture [1675] de François Blondel, ces opérations géométriques font leur apparition dans les traités d’architecture. » (Epures d’architecture, J. Sakarovitch)

8

Aspects géométriques L’épure d’un objet en projections orthogonales fournit beaucoup d’éléments en grandeur réelle, réserve faite d’une mise à l’échelle de son tracé. Ces grandeurs sont appelées les vraies grandeurs. Elles correspondent aux projections des droites et des surfaces en position parallèle aux plans de projection. Pour le reste, les éléments plans en situation non parallèle aux plans de projection se projettent « en raccourci », voire sur la tranche (en bout) : ni leurs mesures, ni leurs angles ne sont conservés. Le designer doit alors avoir recours à des opérations graphiques sur l’épure pour afficher les vraies grandeurs dont il a besoin.

Ces opérations sont regroupées dans les manuels de géométrie descriptive classique, sous le nom de vraies grandeurs ou de problèmes métriques. Elles se résument à trois méthodes présentées dans ce chapitre 2. Les opérations de développement viennent utilement les compléter, lorsque l’objectif est de construire un modèle volumétrique de l’objet dessiné.

5 1

6

3

2

7

FACE

DÉVELOPPEMENT 8 5

4

7

4 1

3 8 5

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4

Une « maison », axonométrie, épure et deux variantes de développement. Le tracé du développement d’un solide est un exercice classique de la mise en application de recherches de vraies grandeurs

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PLAN

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1 5

Exercice classique de développement. Travaux d’étudiants, Ecole supérieure d’arts appliqués, Genève, 1995.

L’objet est inspiré de l’encrier Watermann (voir plus loin à la section 2.6, sa restitution exacte)

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VRAIES GRANDEURS

2.1 Généralités

Les méthodes d’obtention des vraies grandeurs

2 5 R

L SO

MU

2 1

U

U

MUR 2 SOL 1

EA UV NO

EA UV NO

4

Représentation des deux changements de plans classiques Ces opérations permettent d’obtenir ici la face principale de l’objet en vraie grandeur ; par un changement de sol dans le 1er cas, et par un changement de mur dans le 2e cas

axe vert.

1

2 1

2 1

2 1

2 1

Représentation des deux rotations classiques Ces opérations permettent d’obtenir ici la face principale de l’objet en vraie grandeur ; par une rotation autour d’un axe en bout dans le 1er cas, et par une rotation autour d’un axe vertical dans le 2e cas

axe en bout

Obtenir en épure la vraie grandeur d’une figure (une droite, un plan), c’est établir un parallélisme entre cette figure et l’un des plans de projection. Cette opération recourt à l’une des trois méthodes suivantes : le changement de plan de projection, la rotation et le rabattement.

La présente page synthétise ces opérations. Les méthodes de changement de plan modifient la position de l’un ou l’autre des plans de projection tout en conservant la position de l’objet considéré. A l’inverse, les méthodes de rotation et de rabattement interviennent sur la position de l’objet ou de l’une de ses parties, tout en conservant celle des plans de projection.

Le choix de l’une ou de l’autre des méthodes dépend de la nature de l’objet (droite, surface, volume), de sa position et plus généralement des objectifs à atteindre : on choisira l’opération la plus efficace.

ch de arnièr rab e att.

charnière de rabatt.

Tête de trépied photographique L’appareil permet d’incliner dans les 3 directions de l’espace un appareil photographique. On associe ici les mouvements de cette rotule aux diverses méthodes géométriques appliquées à un objet en vue d’obtenir ses vraies grandeurs

ch de arnièr rab e att.

charnière de rabatt.

Représentation des deux rabattements classiques Ces opérations permettent ici d’obtenir la face principale de l’objet en vraie grandeur ; par un rabattement autour d’une charnière horizontale dans le 1er cas, et par un rabattement autour d’une charnière frontale dans le 2e cas

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2.2 Changement de plan

Le changement de plan

b B1 C1 B1

A1

2 1

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a B1 Cc. 1 Epure ordinaire

B2

B2

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b

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2

b. Epure correspondante, avec une délimitation des plans de projection. Les nouveaux éloignements correspondent à ceux de la projection que l’on abandonne

B1 C1

C5

A1 C1

C1

Le changement de sol a. Axonométrie de la disposition spatiale

B1

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C1 b. Epure correspondante, avec une délimitation des plans de projection. Les nouvelles hauteurs correspondent à celles de la projection que l’on abandonne

B4

b

Le changement de mur a. Axonométrie de la disposition spatiale

A2 A1

B4 es rt d rs o p re uteu a C4 h des ort rep uteurs ha C4

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MUR

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B2

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B2

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a

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mesure des mesure des hauteurs hauteurs

NOUVEAU

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Le changement de plan s’applique aux surfaces planes.

Il consiste à installer un nouveau plan de projection (nouveau mur ou nouveau sol) parallèlement à une surface considérée de manière à obtenir sa vraie grandeur. Avec cette opération, la figure reste fixe, alors que l’un des nouveaux plans de projection change d’orientation tout en restant perpendiculaire à l’autre.

Dans une épure, on peut enchaîner plusieurs changements de plans successifs – par exemple un changement de mur suivi d’un changement de sol.

Changement de mur pour une surface verticale Le nouveau mur est disposé parallèlement à la surface considérée et recueille les vraies grandeurs. L’opération conserve la projection horizontale et les hauteurs (ou cotes) en projection verticale.

Un nouveau mur porte le numéro 4.

Changement de sol pour une surface en bout Un nouveau sol est disposé parallèlement à la surface considérée et recueille les vraies grandeurs. L’opération conserve la projection verticale et les éloignements en projection horizontale.

Notons que le nouveau sol auxiliaire n’est plus horizontal !

Cette configuration inhabituelle est la raison pour laquelle un changement de sol est plus difficilement lisible qu’un changement de mur.

Un nouveau sol porte le numéro 5.

c. Epure ordinaire

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…

3 OMBRES EN PROJECTIONS ORTHOGONALES

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3.1 Généralités

De l’efficience des ombres L’ombre comme moyen de communication Dans les disciplines de l’architecture et des arts appliqués, l’utilisation de l’ombre fait partie des moyens intervenant dans le « rendu » des professionnels. L’indication des ombres sur une représentation plane, à côté de son aspect pictural, enrichit souvent de manière décisive la compréhension d’un volume en suggérant sa troisième dimension.

Le plan de masse de l’architecte, qui consiste en une vue aérienne d’un bâtiment ou d’un ensemble de bâtiments (comme un quartier), fournit un bon exemple de l’efficience des ombres : leur indication, avec leurs étendues proportionnées, permet de suggérer les hauteurs respectives des différentes volumétries.

L’ombre dans l’enseignement de la géométrie descriptive Au-delà de sa finalité première (ombrer un objet), le tracé des ombres est un sujet classique de l’enseignement de la géométrie descriptive. En effet, la mise en ombre fournit une excellente mise en pratique de méthodes de tracés, comme celles de recherche de traces de droites ou d’intersections de plans.

ÉLÉVATION

PLAN Une information déterminante Avec l’indication des ombres, deux carrés en plan et élévation peuvent représenter tour à tour un cube, un cylindre ou un coin. Les épures de ces objets nécessitent, pour les définir complètement, une vue de profil

Un supplément de lisibilité Eglise de l’abbaye royale de Saint-Louis, Metz (fragment), J.-F. Blondel architecte

Dessin de la façade de La Rinascente, Rome, F. Albini et F. Helg

Gymnase et Ecole supérieure de Commerce, Nyon, V. Mangeat architecte

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3

OMBRES EN PROJECTIONS ORTHOGONALES

3.1 Généralités

La tradition du « rendu » ombré L’ombre et la tradition du « rendu » ombré « Si les traités d’architecture du XVIIe et surtout du XVIIIe siècle ont bien recours au tracé des ombres, avec un éternel soleil à 45°, ils ne comportent pas de chapitre réservé aux méthodes de construction de ce tracé.

Au XVIIe siècle, l’ouvrage le plus complet sur ce sujet reste le Traité des pratiques géométrales et perspectives d’Abraham Bosse, de 1655. » (Epures d’architecture, J. Sakarovitch) Un siècle plus tard, Chastillon écrit en introduction d’un petit traité : « La partie de fixation proportionnelle des ombres n’ayant pas été traitée jusqu’à présent relativement au dessin géométral dont les Ingénieurs font usage, nous avons cherché des pratiques puisées dans la géométrie, commodes et expéditives pour le déterminer en n’employant sur les dessins que le moins de lignes possible ». (J. Sakarovitch, ibid.)

Au XIXe siècle, les rendus au lavis des Ecoles des beauxarts sont ombrés, et l’exactitude de leur tracé est pris en considération par le jury. « Ainsi la technique du dessin géométral, réalisé à l’aquarelle ou au lavis et modelé par des ombres projetées à 45°, « rend » le projet dans sa globalité : « Le dessin n’est complet que si, à la mise en place, c’est-à-dire au trait, il superpose le modelé, c’est-à-dire l’expression de la forme. Toute manière de modeler est bonne, si le modelé est juste. Pour nous, toutefois, le lavis est le procédé le plus ordinaire pour modeler le dessin d’architecture » écrivait Guadet en 1901. » (Dessins d’architecture, J. Neuenschwander) Aujourd’hui les logiciels graphiques perpétuent, et avec infiniment plus d’aisance pour leurs utilisateurs, ces rendus ombrés, avec une finalité qui reste d’actualité, celle d’une meilleure lisibilité volumétrique de la représentation plane.

Epures ombrées, travaux d’étudiants, Ecole supérieure d’arts appliqués, Genève, 1993. On reconnaît au passage des fragments de bâtiments appartenant au patrimoine architectural moderne (W. Gropius, L. Kahn, R. Meier)

Ordres architecturaux antiques dessinés à la manière académique du XIXe siècle (fragments), vinylique sur bois, A. Cantàfora, s.d.

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3.1 Généralités

De la réalité à la géométrie Le tracé géométrique traditionnel des ombres ne retient que deux situations franches : la surface éclairée, uniformément claire, et celle ombrée uniformément foncée.

Toutes deux avec des « bords » strictement délimités.

Tant l’ombre sur l’objet que celle se déployant sur les surfaces environnantes se soumettent à cette convention simplificatrice.

On sait la réalité physique infiniment plus complexe, avec un jeu étendu de nuances, que les logiciels de dessin d’aujourd’hui restituent avec beaucoup de vraisemblance.

Pour revenir aux conventions traditionnelles de tracé, il faut mentionner deux points : • Il est d’usage d’adopter un ton plus soutenu pour les ombres portées que pour les ombres propres.

• Il faut éviter de cerner les ombres de leur délimitation géométrique et cela par souci de vraisemblance : une ombre naturelle n’est pas bordée.

Notons encore que le présent chapitre privilégie des éclairages solaires, plus fréquents dans la pratique professionnelle que des éclairages ponctuels, provenant de sources artificielles.

En géométrie descriptive traditionnelle, la construction des ombres peut être guidée par des méthodes générales (de tracé graphique). On trouve également des théorèmes généraux qui gouvernent ces constructions (voir Ombres et lumières de J.-P. Jungmann).

Représentation de cylindres ombrés faite avec le logiciel Cinéma 4D et épure géométrique correspondante

Sphère au soleil dans trois contextes différents : représentation dessinée (A. Cantàfora), photographie et épure

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…

4 AXONOMÉTRIE

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4.1 Généralités

Aspects historiques et culturels L’axonométrie a son histoire culturelle, tout comme les projections de Monge et la perspective ont les leurs*.

Au XVIe siècle, J. Androuet Du Cerceau (v. 1515-1585) utilise la perspective et l’axonométrie dans Les plus excellents bâtiments de France (1576-1579). L’ouvrage est novateur avec l’usage d’axonométries empiriques, prenant la forme de cavalières.

Mais, c’est J. de la Gournerie (1814-1883), successeur de Monge à l’Ecole polytechnique, qui peut être considéré comme le premier en France à développer dans son Traité de géométrie descriptive (dès 1873) ce qu’il appelle les perspectives axonométriques et cavalières.

Il les englobe sous l’appellation de perspectives rapides.

Pour réaliser une image parlante d’un objet, en complément du système parfait mais visuellement abstrait de la double projection de Monge, La Gournerie recommande le recours à la perspective cavalière, tout en s’accommodant de sa « tare congénitale », le parallélisme des fuyantes qui entraînent des distorsions visuelles. C’était dire en somme qu’au chapitre dessin, pour les ingénieurs de la fin du XIXe siècle, il y a une voie royale, celle de la géométrie descriptive, et un succédané de représentation tridimensionnelle, la perspective cavalière, qui ne saurait remplacer la grande perspective conique, réservée à ceux qui la maîtrisent, les architectes et les perspectivistes.

La Gournerie sera le formateur d’Auguste Choisy (18411909), polytechnicien, qui publia en 1899 une Histoire de l’architecture qui offre une synthèse de ses travaux et * Le texte qui suit emprunte librement des passages à Jean Aubert, dans son ouvrage Axonométrie (1996, pp. 83 à 90). L’auteur y fait, comme il le dit, une brève histoire orientée de l’axonométrie. Notre source citée, on renonce, par souci de lisibilité, à multiplier les guillemets pour les citations textuelles et ponctuelles.

A Bastion B Cavalier

A. Choisy, axonométries militaires, extrait de L’art de bâtir chez les Byzantins, 1883 Axonométrie cavalière (en haut) « Le cavalier est un ouvrage en terre-plein, destiné à recevoir de l’artillerie, élevé au-dessus d’un autre ouvrage… pour doubler les feux de cet ouvrage » (J.-M. Pérouse de Montclos, 1989) Axonométrie militaire (en bas) « Le nom de perspective militaire qu’on donne aux élévations géométrales fait assez connaître qu’on en laisse l’usage aux gens de guerre… » (J. du Breuil, 1642)

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4

AXONOMÉTRIE

4.1 Généralités

crée en même temps une des œuvres dessinées les plus étonnantes qu’un historien de l’architecture ait jamais produite. Dans son introduction, il écrit : « Dans ce système, une seule image, mouvementée et animée comme l’édifice lui-même, tient lieu de la figuration abstraite, fractionnée par plan, coupe et élévation ».

Malgré La Gournerie et quelques autres, l’axonométrie ne s’est pas imposée en France. Elle n’a jamais eu droit de cité à l’Ecole des Beaux-Arts de Paris pour la représentation des projets d’architecture, et cela jusqu’à sa restructuration dans les années 1966-1968. Exclue pour un rendu de projet, elle était tolérée dans les exercices de stéréotomie et les projets de construction. Les architectes et les peintres, sous la férule des Beaux-arts, campaient fièrement sur le territoire du géométral, tel qu’il se pratiquait naturellement bien avant Monge, et sur celui de la perspectiva legittima issue de la Renaissance.

Il en va tout autrement en Angleterre, Allemagne, Autriche et dans les pays d’Europe centrale. Dans ces pays, des intellectuels (dont K. Pohlke) fondent au XIXe siècle une théorie et une pratique de l’axonométrie solidement étayées par la géométrie. Ces travaux vinrent atténuer l’hégémonisme naissant de Monge et de sa géométrie descriptive. Dans le premier quart du XXe siècle, les architectes du Mouvement moderne manient des axonométries, dont il faut chercher l’origine davantage en Europe centrale et du Nord qu’à Paris. Et les artistes issus des arts appliqués, d’Europe centrale encore (Werbund, Bauhaus, De Stijl), l’utilisent aussi. En résumant schématiquement, on peut dire que, tant dans la pratique que dans la théorie, la géométrie descriptive est française alors que l’axonométrie est allemande.

Un objet en axonométrie – on reconnaît la chaise Zig-Zag (1932) de G. Rietveld. Le siège est d’abord représenté en épure puis selon les trois axonométries (en vue plongeante et plafonnante) présentées dans ce chapitre. Travail d’étudiant, Ecole supérieure d’arts appliqués, Genève, 1994

Maison particulière, Th. van Doesburg et C. van Eesteren, 1923 Vues axonométriques et Contre-Construction

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4.1 Généralités

La projection axonométrique

∞ L

∞

AXO

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FI PRO

E

FIL

AXO

TRI

NO

FAC

PRO

MÉ

E

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AN

∞

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Définition et convention de représentation L’étymologie renvoie aux termes grec axon, axonos, axe et métrie, mesure. L’axonométrie est une projection parallèle (ou projection cylindrique), orthogonale ou oblique, sur un plan de projection. Ce système de projection comprend donc un objet, une direction de projection et un plan de projection, appelé plan axonométrique. Il a la particularité de faire apparaître, avec une seule projection, les trois dimensions de l’espace (largeur, profondeur et hauteur) et de conserver le parallélisme des droites parallèles dans l’espace. On peut dire que l’axonométrie s’inscrit en quelque sorte à mi-chemin entre la perspective conique et la projection orthogonale de Monge.

L’axonométrie appartient, avec la perspective, aux représentations facilement perceptibles par le nonprofessionnel. Pour tout un chacun, elle facilite grandement la compréhension de dispositifs spatiaux complexes et s’utilise souvent comme complément informatif aux projections orthogonales. A ce titre, elle est fréquemment utilisée par les architectes, ingénieurs et autres constructeurs.

De plus, l’axonométrie tracée manuellement se caractérise par une grande facilité d’exécution, qualité valant tout particulièrement lorsqu’elle est comparée à la perspective.

Autres appellations L’axonométrie peut prendre d’autres appellations, comme : • perspective axonométrique ; • perspective parallèle ; • perspective cylindrique.

∞

∞

∞

∞

De la projection multivue (cylindrique et orthogonale) de l’épure à la projection monovue (cylindrique) de l’axonométrie Alors que la projection orthogonale ne précise simultanément que deux dimensions, l’axonométrie intègre la troisième dimension

Un même objet représenté tour à tour en épure, en axonométrie et en perspective Chacune de ces représentations trouve sa finalité dans un processus de communication

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…

5 OMBRES EN AXONOMÉTRIE

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5.1 Généralités

Les ombres en axonométrie Prérequis théoriques Ce chapitre reprend largement les notions développées dans les deux chapitres précédents consacrés respectivement aux ombres en projections orthogonales et à l’axonométrie. Il ne donne aucune information sur la représentation axonométrique. En revanche, les notions théoriques attachées aux ombres sont rappelées ici, afin d’éviter au lecteur un retour au chapitre 3, Ombres en projections orthogonales.

Soulignons encore que ce chapitre privilégie la représentation isométrique et l’éclairage solaire, mais il va sans dire que tout autre cas de figure reste possible, avec des constructions géométriques similaires.

Un sujet classique d’apprentissage Dans l’enseignement traditionnel de la géométrie 3D, l’apprentissage du tracé des axonométries est habituellement prolongé par celui du tracé de leurs ombres. Au-delà de sa finalité première (ombrer un objet), il fournit une excellente mise en pratique de procédés de construction, comme avec la recherche de traces de droites ou d’intersections de plans.

Un aspect historique et culturel Il est intéressant de noter qu’Abraham Bosse dans son Traité des pratiques géométrales et perspectives (1665) utilise, pour expliquer le tracé des ombres en géométral, de petites axonométries ombrées. Certaines d’entre elles prennent la forme d’axonométries frontales (voir sect. 4.3), avec l’avantage de conserver les vraies grandeurs en plan comme en élévation. Bosse tient cette représentation « de très grand usage » : les constructions géométriques des ombres restent plus faciles à visualiser et à expliciter, et par là à tracer et à enseigner sur une représentation axonométrique !

Travaux d’étudiants, Ecole supérieure d’arts appliqués de Genève, 1995.

Projet pour le Manzana de Corpus Christi (fragment), H. Meyer architecte, 1947

Projet pour le Palais des Nations (fragment), H. Meyer architecte, 1927

Projet pour le Musée des travaux publics (fragment), A. Perret architecte, 1936

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OMBRES EN AXONOMÉTRIE

5.1 Généralités

Le « rendu » ombré L’éclairage solaire : le choix d’une direction En règle générale et par défaut, on adopte une direction oblique surplombant l’objet et venant de la gauche et de derrière le spectateur. C’est la direction communément pratiquée par la tradition académique. On peut déroger à ce choix, lorsque les ombres qui en résultent sont peu valorisantes et peu expressives. L’architecte, quant à lui, a la possibilité d’adopter une direction solaire qui corresponde à une réalité géographique définie.

Le « rendu » ombré : de la géométrie à la réalité Le tracé traditionnel des ombres procédait d’un traitement simplificateur qui ne retenait que deux situations franches : les surfaces éclairées, uniformément claires, et celles dans l’ombre, uniformément foncées. Les surfaces courbes ne faisaient pas exception à la règle et restaient sans dégradé. La seule nuance était de différencier les ombres portées des ombres propres avec une densité de gris un peu plus forte.

On sait que la réalité physique est infiniment plus complexe et que les logiciels graphiques d’aujourd’hui dépassent ces conventions, pour offrir des traitements ombrés très réalistes.

Ajoutons au sujet du rendu, que toute mise en ombre débouche sur une représentation graphique généralement très gratifiante.

La direction solaire

Le rendu des ombres a. Tracé géométrique des ombres

b. Simulation avec le logiciel Cinéma 4D

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5.1 Généralités

Nature des éclairages et des ombres e dr lin re cy 'omb d

ne re cô 'omb d

L

l

l1 L1

séparatrice d'ombre portée

séparatrice d'ombre propre

b. L’éclairage au flambeau. Il correspond à une projection conique de l’objet considéré sur un plan donné

rayons lumineux divergents

source lumineuse

ombre portée

ombre propre

rayons lumineux parallèles

L’éclairage a. L’éclairage solaire. Il correspond à une projection cylindrique de l’objet considéré sur un plan donné

source lumineuse

Deux éclairages : solaire ou ponctuel Il faut distinguer deux types d’éclairage : l’éclairage solaire et l’éclairage ponctuel.

• L’éclairage solaire. La source lumineuse est à l’infini, les rayons lumineux sont parallèles et engendrent un système de projection dit parallèle ou cylindrique. C’est généralement l’éclairage adopté par défaut. De surcroit, cette source engendre des ombres portées qui peuvent être, géométriquement, assez facilement pressenties.

• L’éclairage ponctuel. La source lumineuse est ponctuelle et occupe une position déterminée dans l’espace.

Elle engendre un système de projection dit central ou conique. Les ombres résultantes sont appelées de façon désuète ombres au flambeau.

Deux ombres : propre et portée Une source lumineuse engendre deux sortes d’ombres : des ombres propres et des ombres portées.

• L’ombre propre correspond aux parties non éclairées de l’objet.

• L’ombre portée correspond à l’ombre projetée par L’objet sur le sol ou sur d’autres surfaces. Un solide complexe peut occasionnellement générer sur luimême une ombre autoportée.

L l

l1 L1 Les ombres a. L’ombre propre et l’ombre portée avec le cas d’un éclairage solaire

b. L’ombre propre et l’ombre portée avec le cas d’un éclairage au flambeau

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…

6 PERSPECTIVE

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Geom_spatiale_ppur.indd 140

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6.1 Généralités

Aspects historiques et culturels L’origine du terme perspective La perspective, comme système de représentation, tire son nom du latin médiéval perspectiva (de per-spicere, voir à travers, pénétrer de ses regards, apercevoir), ou prospectiva, qui désignait la science optique. Cette connexion est due au fait que certains principes de perspective sont issus des théories de la vision. « La perspective géométrique élaborée par les artistes s’appellera perspectiva artificialis tandis que l’optique s’appellera perspectiva communis ou naturalis ». (La perspective, A. Flocon) Le terme français perspectif ne fut utilisé comme terme de dessin qu’à la Renaissance (milieu du XVIe), inspiré du terme italien au sens analogue de prospettiva.

Les traités et autres ouvrages La littérature sur la perspective est extrêmement abondante. Les traités de perspective du passé ont pour mérite de nous immerger directement dans les contextes historique, culturel et scientifique de l’époque à laquelle ils ont été rédigés. On lit la plupart du temps ces ouvrages à travers des rééditions contemporaines, souvent utilement annotées et commentées.

En complément de ces traités historiques, publiés à partir du XVe siècle et jusqu’au XIXe siècle, il faut mentionner l’existence de ceux écrits au XXe siècle par des intellectuels qui éclairent souvent de manière érudite et brillante un aspect de la représentation perspective.

On peut citer ici E. Panofsky, R. Wittkower, E. Gombrich, A. Flocon, R. Barthes, H. Damish, D. Arasse.

Dans un autre registre, on retient l’ouvrage récent de D. Favennec, Douce perspective, une histoire de science et d’art (voir bibliographie), qui aborde avec érudition et clarté l’invention de la perspective.

L. de Vinci, perspectographe, vers 1480-1482

A. Dürer, illustre la « construction légitime » d’Alberti in Institutionum geometricum libri quator, 1535

J. Du Breuil, in La perspective pratique (fragment), 1642

Liste des principaux traités fondateurs de la perspective, constituant des jalons historiques et culturels Démarches empiriques première Renaissance XIVe siècle

Se référer à des peintres comme Duccio (vers 1255-1319), Giotto (1266-1337), Martini (vers 1280-1344), Lorenzetti (vers 1290-1348)

Filippo Brunelleschi (1377-1446)

Un des fondateurs de la perspective classique. Sans pour autant avoir rédigé un traité, il fait la démonstration de la perspective « artificielle » avec un petit appareillage centré sur le baptistère de Florence (vers 1415)

Leon Battista Alberti (1404-1472)

De pictura, (De la peinture) écrit en 1435 On connaît d’Alberti sa fameuse mise en perspective d’un carré quadrillé

Dès 1450, édition des premiers incunables, les livres du début de l’ère Gutenberg

Piero della Francesca (v.1414/1420-1492)

De prospectiva pingenti, (De la perspective en peinture ), rédigé dans les années 1480, mais demeuré inédit jusqu’à sa publication en 1899

Léonard de Vinci (1452-1519)

Trattato della pittura, (Traité de la peinture ), paraît pour la première fois en italien et en français en 1651

Jean Pèlerin, dit Viator De artificiali perspectiva, (De la perspective artificielle),1505, traduit en français lors de la (v. 1435/1440-1524) 4e édition sous le titre La perspective positive de Viator, Latine et Françoise…, 1635 Albrecht Dürer (1471-1528)

Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, (Instruction pour la mesure à la règle et au compas), 1525

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6

PERSPECTIVE

6.1 Généralités

Aspects historiquesn et culturels

Vue de face du dispositif

Vue de dos du dispositif

toile pivotée

miroir coulissé

Le dispositif de Brunelleschi Le baptistère Saint-Jean

miroir

L’expérience fondatrice : le dispositif de Brunelleschi Cette expérience est connue grâce aux commentaires rédigés vers 1475 par le mathématicien A. di Tuccio Manetti, et plus tard vers 1550, grâce à une description à peu près similaire faite par G. Vasari. Ces témoignages décrivent deux mêmes expériences réalisées en deux lieux de Florence vers 1415. Les panneaux du dispositif ayant disparu, les historiens en sont réduits à des conjectures. Des tentatives de reconstitution se sont heurtées à des difficultés pratiques et ont débouché sur des interprétations divergentes. Néanmoins, le principe du dispositif inventé par Brunelleschi garde toute sa légitimité et fait l’objet de la description sommaire ci-après.

Un des panneaux représentait le baptistère Saint-Jean de la place du Dôme, tel qu’il apparaissait du portail opposé de la cathédrale Sainte-Marie des Fleurs. A l’emplacement de son point de fuite, la perspective était percée d’un trou conique de la taille d’une lentille. Le tableau disposé sur son site et retourné, les spectateurs étaient invités à placer un (unique !) œil contre l’orifice de son revers et « tout en soutenant le tableau d’une main, de tenir un miroir dans l’autre, à la hauteur de l’œil, de telle sorte que la peinture s’y reflétât » (G. Vasari au sujet de Brunelleschi in Le grand livre de la perspective, J. M. Parramón). Le miroir étant placé à une distance convenable, il semblait, comme le mentionne Manetti, que l’observateur « voyait le vrai » (A. Manetti cité in Douce perspective, D. Favennec).

Avec cette expérience, Brunelleschi montrait concrètement pour la première fois les mécanismes de la perspective monoculaire.

c.

b.

Restitution schématique du dispositif a. L’exécution de la perspective par l’artiste b. La toile est percée et pivotée. Un miroir est placé en face d’elle.

L’observateur voit la représentation du bâtiment c. Le miroir est coulissé. L’observateur voit le bâtiment réel. Sur la rétine, cette image et la précédente se superposent

a.

142 Geom_spatiale_ppur.indd 142

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FIL

EAU

PLA

N

∞

6.1 Généralités

TAB L

FAC E

PRO

∞

SOL

La représentation perspective La perspective La perspective se propose de représenter les trois dimensions d’éléments volumétriques sur une surface plane en s’appuyant sur la physiologie de la vision humaine.

Elle utilise pour cela un ensemble de lois et de méthodes fondées sur la géométrie.

Une définition géométrique La perspective d’un objet est la projection centrale de cet objet sur un plan, appelé tableau, à partir d’un centre de projection. La perspective d’une figure est l’ensemble des perspectives de ses points. On parle communément de perspective à deux points de fuite lorsqu’on veut désigner une perspective « classique » ou « normale ». On fait remarquer cependant qu’une perspective peut avoir autant de points de fuite que l’objet représenté possède de directions d’arêtes. L’appellation à deux points de fuite est donc une appellation restrictive qui s’applique à un objet parallélépipédique tel un cube, constitué de droites horizontales orientées selon deux directions orthogonales de l’espace (la largeur et la profondeur).

Vraisemblance de la représentation Comparée à l’axonométrie, l’image perspective gagne en « crédibilité » visuelle grâce à une restitution formelle plus proche de la perception réelle. Cependant, cette représentation touche vite à ses propres limites puisqu’elle reste une perception monoculaire déposée sur une surface plane – la perception humaine étant binoculaire et reçue sur une surface sphérique.

C’est historiquement la représentation des peintres figuratifs par excellence. Elle n’a pas de statut « technique » puisque plus aucune grandeur représentée ne permet d’être mesurée ni aucune surface appréhendée dans sa forme « réelle » – c’est-à-dire en vraie grandeur.

EAU

L TAB

Trois systèmes de vision a. La perception humaine La rétine forme la surface de réception virtuelle d’une image sphérique et inversée

b. La chambre photographique La plaque sensible forme la surface de dépôt d’une image plane et inversée

c. Le système perspectif Le tableau forme la surface de construction d’une image plane

∞ ÉPURE

PERSPECTIVE

FIL

∞

TAB L

FAC E

PRO

EAU

PLA

N

∞

SOL

Conventions de représentation De la représentation à vues multiples de l’épure à la représentation à vue unique de la perspective

143 EAU

L TAB Geom_spatiale_ppur.indd 143

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…

7 OMBRES EN PERSPECTIVE

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7.1 Généralités

Les ombres en perspective Prérequis théoriques Ce chapitre est largement issu des deux précédents, Les ombres en géométral et La perspective. Il ne contient par conséquent qu’un résumé des notions géométriques s’appliquant aux ombres et aucune information sur la représentation perspective.

Soulignons encore que cette partie privilégie l’éclairage solaire, et réduit à sa portion congrue l’éclairage au flambeau.

Les ombres et l’académisme Dans l’enseignement académique, l’apprentissage du tracé des ombres prolongeait celui de la perspective.

Les représentations ombrées pouvaient être le sujet de constructions d’une grande virtuosité (voir chap. 3).

Les ombres et la géométrie Le tracé géométrique traditionnel ne retient que deux situations franches avec les surfaces éclairées et celles ombrées, sans transition nuancée entre elles, alors que la réalité physique est plus complexe. Le phénomène naturel est abordé au chapitre 3.

Perspective pour le Unity Temple (fragment), F. L. Wright architecte, 1908

Projet pour une école d’ingénieurs (fragment), W. Gropius architecte, 1929

Lieux de mémoire, eau forte et aquatinte, A. Cantàfora, s. d.

Tracés intuitifs d’ombres, travaux d’étudiants de l’Ecole supérieure d’arts appliqués, Genève, 1990

191 Geom_spatiale_ppur.indd 191

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7

OMBRES EN PERSPECTIVE

7.1 Généralités

Nature de l’éclairage et des ombres

L’éclairage a. Eclairage solaire. Il correspond à une projection cylindrique de l’objet considéré sur un plan donné

séparatrice d'ombre portée

séparatrice d'ombre propre

source lumineuse

b. Eclairage au flambeau. Il correspond à une projection conique de l’objet considéré sur un plan donné

ombre portée

ombre propre

rayons lumineux

rayons lumineux divergents

L

rayons lumineux

rayons lumineux parallèles

l

source lumineuse

Deux éclairages : solaire ou ponctuel Il faut distinguer deux sources émettrices de lumière, génératrices de deux catégories d’ombres : • les ombres solaires (ou ombres naturelles) ; • les ombres au flambeau (ou ombres artificielles).

Deux ombres : propre et portée Une source lumineuse engendre pour un même corps deux zones d’ombres distinctes : • une ombre propre, qui correspond aux surfaces non éclairées de l’objet ; • une ombre portée, qui résulte de la projection, sur les surfaces avoisinantes, des surfaces non éclairées de l’objet.

La direction solaire : de l’espace à sa représentation Dans l’espace, les rayons lumineux solaires sont parallèles alors qu’en perspective ces mêmes rayons divergent de la source lumineuse. Ainsi, sur la perspective, le soleil est matérialisé par un centre de rayonnement tout comme l’infini est matérialisé par un ou des point(s) de fuite.

L

l

=

= =

Les ombres a. Ombre propre et ombre portée dans le cas d’un éclairage solaire

b. Ombre propre et ombre portée dans le cas d’un éclairage au flambeau

192 Geom_spatiale_ppur.indd 192

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7.2 Eclairages et ombres

L’ombre solaire, soleil devant le spectateur Le soleil (foyer lumineux) est situé devant et au-dessus de l’observateur, à sa gauche ou à sa droite. Il est par conséquent visible. Cette configuration est celle du contre-jour.

Dans l’espace, les rayons lumineux sont parallèles. Dans le tracé perspectif, ces rayons et leurs projections sont convergents.

S

rayo

n lu

H

min

eux

raba

ttu [

l]

PP

PF1

[a]

A

ligne d’horizon

PF2

ligne de terre

EAU

L TAB

PF11

H1 S1

PP1

A°

tableau

PF21

lh S

l

PP

a

A1 mât

lt N

a H

SP

PLA

AL CIP

l1

N PRI

SOL

SP1 Axonométrie du dispositif d’éclairage et tracé perspectif correspondant Perspective à 2 points de fuite. Le soleil est placé devant le spectateur (situation de contre-jour) et à sa gauche : SP, H, S Ces 3 points forment l’équerre de lumière. Cette équerre, rabattue, permet de mesurer en vraie grandeur l’angle d’incidence des rayons solaires (angle a) S Foyer lumineux, correspondant au point d’élévation du soleil au-dessus de la ligne d’horizon H Projection du foyer lumineux sur la ligne d’horizon. Ce point est le pied de lumière et correspond au point de convergence des ombres des verticales projetées sur le sol

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…

8 SURFACES COURBES

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8.1 Généralités

Introduction Architecture et ingénierie L’utilisation de surfaces courbes en architecture s’est limitée pendant des siècles aux formes traditionnelles dérivées du cylindre (la voûte) et de la sphère (la coupole). L’apparition du béton armé (ou pierre liquide) au début du XXe siècle a permis aux constructeurs (architectes et ingénieurs civils) de se libérer de ces formes traditionnelles dérivées de l’arc de cercle. L’utilisation de surfaces courbes sous forme de voiles minces en béton armé peut engendrer des constructions très efficientes statiquement. Elles peuvent cependant être complexes d’un point de vue constructif et par conséquent coûteuses à mettre en œuvre. Ainsi, ces constructions sont souvent réglées, c’est-à-dire générées par des droites, car elles peuvent être coulées sur des coffrages en planches de bois rectilignes.

Stéréotomie La stéréotomie (du grec stereós, solide, dur et tomê, coupe, découpe) est l’art de tracer les formes à donner aux pierres en vue de leur taille et de leur assemblage. Cette discipline, qui concerne aussi les pièces de bois, se pratique sous le nom de l’art du trait. La stéréotomie a une histoire que Viollet-le-Duc fait débuter avec les grands chantiers de l’époque romane. Elle est ponctuée de traités théoriques qui peuvent être considérés comme les prémices du dessin technique et des méthodes de projections. Jusqu’à la fin du XVIIe siècle, les appareilleurs ne se servaient, pour le tracé de leurs blocs, que de méthodes particulières à chaque problème. De cette période, on peut citer les noms de F. Derand et de G. Desargues. Au siècle suivant, A. F. Frézier contribue, avec son traité de stéréotomie de 1737-1739, à généraliser les méthodes empiriques de tracé. Enfin, à la toute fin du XVIIIe siècle, G. Monge, avec sa géométrie descriptive, englobe les opérations de stéréotomie dans une doctrine cohérente et rigoureuse.

Philharmonie de Berlin, Berlin, H. Scharoun architecte, 1963

Opéra de Sydney, Sydney, J. Utzon architecte, 1957-1975

Musée Guggenheim, Bilbao, F. Gehry architecte, 1997

Détail d’un escalier à vis, Gothique tardif

Détail d’un appareil de pierre, Haut Moyen Age

Fragment d’une planche d’un traité de stéréotomie, A. F. Frézier, 1737-1739

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8

SURFACES COURBES

8.1 Généralités

Définitions L’appellation de surface courbe On regroupe sous cette appellation générique et volontairement simple, toutes les surfaces non planes.

Une surface courbe est définie comme l’ensemble des positions que prend une ligne, rigide ou flexible (appelée génératrice), qui se déplace dans l’espace selon une loi donnée. En modifiant la loi des génératrices et celle de leurs déplacements, il est possible d’obtenir une variété infinie de surfaces.

Par opposition aux surfaces planes, les surfaces courbes sont aussi appelées surfaces gauches.

Surfaces courbes et mathématiques Une théorie des surfaces courbes s’appuie nécessairement sur les méthodes de géométrie analytique et inclut aussi des concepts empruntés au calcul différentiel et intégral. Dans le monde industriel et de la construction, toute surface quelconque va être réduite par le scientifique (ingénieur, ingénieur civil) à une surface paramétrée par une fonction mathématique. Le recours aux mathématiques est un outil puissant et incontournable qui permet également de rendre plus aisées les démonstrations de certains théorèmes.

En géométrie analytique, une surface est définie par ses coordonnées spatiales x, y, z données • soit sous forme paramétrique x = f (u, v) y = g (u, v) z = h (u, v) • soit par une équation sous forme explicite ou implicite z = F (x, y) ou F (x, y, z) = 0

Champ du présent ouvrage Dans cet ouvrage, on renonce volontairement au champ mathématique pour s’en tenir à quelques aspects géométriques simples, explicités sous forme graphique exclusivement.

L’ouvrage se limite à deux types de surfaces : • les surfaces réglées, engendrées par le déplacement d’une droite selon une loi donnée (chap. 09) ; • les surfaces de révolution, engendrées par la rotation d’une ligne autour d’un axe (chap. 10).

Un corpus de propriétés géométriques communes à ces surfaces est rassemblé dans le présent chapitre.

Mise en équation mathématique des conchiglioni rigati Il s’agit de pâtes italiennes ! Photographie, schémas orthonormés et équations paramétriques en P, q et k [pi, théta et kappa]

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8.1 Généralités

Nature des surfaces courbes Modes de génération D’un point de vue géométrique, il se peut qu’une même surface soit engendrée de différentes manières. Le cylindre circulaire droit, par exemple, peut être obtenu par la rotation d’une droite parallèle à un axe ou par la translation d’un cercle le long de ce même axe. Un même hyperboloïde de révolution (HR) peut résulter de la rotation d’une hyperbole (il est défini comme une surface de révolution) ou du déplacement d’une droite (il est alors défini comme une surface réglée). Ainsi, de nombreuses surfaces peuvent appartenir simultanément à deux, voire à plusieurs catégories géométriques.

Etat limite (ou cas particulier) Un ensemble de surfaces peut constituer un sousensemble d’une famille plus générale. L’exemple classique est celui du cylindre qui peut être considéré comme le cas particulier du cône, lorsque son sommet est envoyé à l’infini. Et du cylindre de révolution qui peut être aussi considéré comme le cas particulier d’un cylindre de section elliptique.

Surface ou volume?

Une surface courbe engendre généralement un solide : c’est l’ensemble des points de l’espace qu’elle entoure.

On adopte ici la convention de donner le même nom à la surface et à la partie qu’elle englobe. Par exemple, le nom de sphère s’appliquera aussi bien à l’objet qu’à la surface qui le délimite.

Dans son travail quotidien, le professionnel manipule, selon sa profession ou ses activités, des surfaces ou des volumes. Le ferblantier, par exemple, façonne des surfaces de tôle alors que le fondeur coule des solides de métal.

Trois types de surfaces courbes a. Surface quelconque

b. Surface réglée

c. Surface de révolution

Mode de génération des surfaces, exemples avec trois types de génératrices a. Surface générée par une droite b. Surface générée par un cercle (un paraboloïde hyperbolique) (une sphère)

c. Surface générée par une hyperbole (un hyperboloïde)

Mode de génération des surfaces, exemples avec trois types de déplacements a. Surface obtenue par révolution b. Surface obtenue par translation (un cylindre) (une surface ondulée)

c. Surface obtenue par révolution et translation (un hélicoïde droit)

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9 SURFACES RÉGLÉES

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9.1 Généralités

Introduction Architecture et ingénierie Comme il est dit au chapitre 8, les voiles en béton armé contemporains sont souvent des surfaces réglées. Ces surfaces, dont la géométrie est engendrée par des faisceaux de droites, ont l’avantage d’être, malgré leur apparence, assez simples à construire dans la mesure où elles peuvent être réalisées au moyen de coffrages faits de planches de bois rectilignes. Les châteaux d’eau coniques, les toitures paraboloïdes et les tours de refroidissement hyperboloïdes en sont des exemples représentatifs.

En ingénierie civile, la surface réglée en forme de paraboloïde hyperbolique est l’une des géométries emblématiques des édifices en voile mince. Ces voiles permettent des grandes portées sans points d’appui intermédiaires et sont particulièrement efficients statiquement – propriété mise en évidence par leur minceur. Dans un domaine plus courant, l’escalier à vis en béton armé constitue un autre exemple représentatif de surface réglée avec sa structure (la paillasse) en forme d’hélicoïde. Cette paillasse est encore assez souvent coffrée artisanalement par le maçon, au moyen de planchettes de bois en forme de quadrilatères.

Historiquement, on peut citer, comme construction novatrice dans le domaine, la première Tour Choukhov. En 1896, l’ingénieur V. Choukhov construit une tour ajourée à carcasse de barreaux rectilignes mis en place suivant des génératrices d’un corps de révolution (un hyperboloïde à une nappe) et reliés aux points d’intersection par des anneaux horizontaux. La construction de l’ouvrage n’imposait ni cintrage ni profilage des éléments (exception faite des anneaux) et réunissait, en une forme architecturale élégante, des propriétés de résistance, de stabilité et d’économie.

Maison Bavinger, Norman, Oklahoma, USA, B. Goff architecte, 1955

Restaurant de Xochimilco, Mexique, F. Candela architecte, 1958

Synagogue Cymbalista, Tel Aviv, Israël M. Botta architecte, 1998

Garde-meuble national, Paris, A. Perret architecte, 1934

Bibliothèque de Viipuri, Finlande, A. Aalto architecte, 1935

Meadows museum, Dallas, USA, S. Calatrava ingénieur, 2001

La première Tour Choukhov, Nijni Novgorod, Russie, V. Choukhov, 1896

Maquette pour le Monument de la IIIe Internationale, V. Tatlin, 1919

Station de métro, Paris, H. Guimard architecte, 1900

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9

SURFACES RÉGLÉES

9.1 Généralités

Définitions

g d P g

P d

d

Trois modes de génération de surfaces réglées a. Surface de révolution, obtenue par rotation

génératrice

Une définition Une surface réglée est engendrée par une ligne droite qui se déplace dans l’espace selon une loi donnée. La droite est appelée droite génératrice ou génératrice de la surface ainsi définie.

Autrement définie, une surface réglée est une surface par chaque point de laquelle passe au moins une droite (appelée génératrice) contenue dans la surface. Une surface réglée est dite simplement réglée lorsqu’elle est définie par une seule famille de droites génératrices. Elle est dite doublement réglée lorsqu’elle comprend deux familles de génératrices.

Génératrice, directrice, plan directeur Tout déplacement d’une droite (une génératrice) dans l’espace engendrant une surface réglée peut se faire de telle sorte que la droite s’appuie constamment sur trois courbes, généralement gauches. Ces courbes sont appelées les directrices de la surface réglée. « On obtient des familles de surfaces réglées intéressantes si l’on exige qu’une ou plusieurs directrices soient rectilignes. Dans ce contexte, il s’avère nécessaire de prendre en compte également des droites directrices se trouvant à distance infinie. On peut en effet montrer que lorsqu’une directrice rectiligne est rejetée à l’infini, toutes les génératrices de la surface réglée sont parallèles à un plan, appelé plan directeur. » (Méthodes constructives de géométrie spatiale, A. Rüegg) Classification Ces surfaces ne font pas exception aux règles de classification : dans leur domaine également, il n’y a pas de nomenclature absolue. Elles peuvent être classées, par exemple, selon leur mode de génération ou leur courbure.

P g

b. Surface plissée, obtenue par translation

c. Surface hélicoïdale, obtenue par rotation et translation

P P

Trois exemples de surfaces réglées de révolution a. Surface simplement réglée b. Surface simplement réglée (un cylindre) (un cône)

c. Surface doublement réglée (un hyperboloïde de révolution)

Trois surfaces réglées Un appareil imaginaire permet de passer d’un cylindre à un hyperboloïde puis à un cône. On remarque le déplacement (vers le haut) du cercle de base. Ces figures montrent qu’un cylindre et un cône peuvent être considérés comme des cas limites de l’hyperboloïde de révolution

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9.1 Généralités

Un inventaire de surfaces réglées représentatives Les surfaces sont classées en fonction de leurs directrices

nom

courbure tot.

développement

sections planes

autre spécification

hélicoïde réglé

ctot < 0 en général

non développable en général

variable

il existe un hélicoïde développable (ctot = 0) et un hélicoïde cylindroïde

cylindroïde (quelconque)

ctot < 0 en général

non développable en général

variable

conoïde (quelconque)

ctot < 0 en général

non développable en général

variable

surface cylindrique

ctot = 0

développable

variable

surfaces réglées

cylindroïdes (1 droite directrice)

conoïdes (2 droites directrices)

quadriques doublement réglées (3 droites directrices)

cylindre de révolution droit

ctot = 0

développable

cercle ellipse 2 génératrices droites

surface conique

ctot = 0

développable

variable

surface de révolution

surface de révolution

cône de révolution droit

ctot = 0

développable

cercle, ellipse parabole, hyperbole 2 génératrices droites

paraboloïde hyperbolique PH

ctot < 0

non développable

parabole, hyperbole 2 génératrices droites

surface doublement réglée

non développable

cercle, ellipse parabole, hyperbole 2 génératrices droites

surface doublement réglée

hyperboloïde à une nappe H1

ctot < 0

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10 SURFACES DE RÉVOLUTION

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10.1 Généralités

Introduction Surfaces de révolution et objets du quotidien Dans la vie quotidienne, beaucoup d’objets présentent des surfaces de révolution. Leur symétrie peut faciliter leur fabrication et éventuellement leur usage, alors que certains d’entre eux sont conçus sur ce modèle avec l’objectif d’atteindre un dépouillement formel maximum.

Les verres, quelles que soient leurs formes, sont de parfaits corps de révolution. Les quilles de bowling et de jonglage matérialisent aussi par excellence cette figure géométrique.

Architecture Dans leur pratique professionnelle courante, les architectes et constructeurs rencontrent des corps de révolution avec les travaux de serrurerie : toutes sortes de barrières, mains-courantes, échelons, etc. sont fabriqués en particulier avec des tubes cylindriques.

Chaudronnerie Les surfaces de révolution peuvent être associées à la chaudronnerie industrielle, concernée par le travail des métaux en feuille. Leur mise en forme utilise essentiellement deux techniques : le roulage (ou cintrage) et le pliage. Le roulage produit des surfaces de révolution réglées, comme les portions de cônes et de cylindres.

Traditionnellement, la chaudronnerie recourait au traçage, qui consiste à représenter les pièces à plat, à même la tôle – c’est-à-dire en vraie grandeur – en vue de leur découpage et de leur façonnage.

Surfaces de révolution et coniques Les coniques (dont l’ellipse tout particulièrement) occupent une place importante en géométrie spatiale et plus particulièrement lors de l’étude des surfaces de révolution (voir sect. 10.2).

Corps de révolution et objets du quotidien

Projet d’un Cénotaphe de style égyptien (fragment), E.-L. Boullée, 1786

Bâtiment tiré du projet pour la Cité idéale de Chaux (fragment), C.-N. Ledoux, 1804

Bâtiment tiré du projet pour la Cité idéale de Chaux (fragment), C.-N. Ledoux, 1804

Coniques et artistes M. Verjus, Suite sur trois murs, exposition, 1990

F. Morellet, Vaguement, Paris, 2005

F. Morellet, Arc de cercle sur trois murs, 2011

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10

SURFACES DE RÉVOLUTION

10.1 Généralités

génératrice g

Les surfaces de révolution Une surface de révolution est engendrée par une ligne plane ou une droite (la génératrice) tournant autour d’un axe fixe (l’axe de révolution).

Surface ou volume?

La révolution d’une génératrice engendre une surface.

Souvent, le nom de surface est aussi utilisé pour désigner le corps (ou solide) qui en résulte (la sphère, le cylindre, le cône, etc.). C’est la convention qui est adoptée dans cet ouvrage.

Dans son travail quotidien, le professionnel manipule, selon sa profession ou ses activités, des surfaces ou des volumes.

Contour apparent La représentation plane de surfaces courbes fait apparaître le problème quelquefois délicat de leur contour apparent. Cette notion est abordée au chapitre 8.

Surfaces de révolution et enseignement Traditionnellement, les surfaces de révolution font partie des programmes de géométrie descriptive. D’autre part, les formes de ces surfaces les rendent particulièrement intéressantes pour appréhender des problèmes spatiaux (études de sections, d’intersections, de vraies grandeurs, de développements, etc.)

axe a

Introduction

Tableau noir d’une classe d’apprentis bijoutiers, Ecole d’arts appliqués, Genève, 2009

Surfaces de révolution

Epure d’un volume avec son développement, travail d’étudiant, Ecole supérieure d’arts appliqués, Genève, 1995.

Le volume est librement inspiré de la Maison Duncan, B. Goff architecte

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10.1 Généralités

Un inventaire de quelques surfaces de révolution représentatives nom

courbure tot.

développement

ctot var

non développ.

surfaces de révolution tore

coniques dégénérées

quadriques de révolution cylindre

ctot = 0

développable

paire de parallèles

cône

ctot = 0

développable

paire de diagonales coniques

sphère

ctot > 0

non développ.

cercle (cas particulier de l’ellipse)

ellipsoïde

ctot > 0

non développ.

ellipse

paraboloïde

ctot > 0

non développ.

parabole

hyperboloïde à une nappe H1R

ctot < 0

non développ.

hyperbole, d'axe focal horizontal

hyperboloïde à deux nappes H2R ctot > 0

non développ.

hyperbole, d'axe focal vertical

Les coniques Les coniques résultent de l’intersection d’un cône de révolution avec un plan (voir plus loin)

Huit surfaces de révolution Les quadriques de révolution, sous-ensemble des surfaces de révolution, sont engendrées par des coniques tournant autour d’un de leurs axes de symétrie. On précise que le cône et le cylindre peuvent être considérés comme engendrés par des coniques dégénérées

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11 POLYÈDRES RÉGULIERS

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11.1 Généralités

Aspects historiques et culturels Les solides de Platon Les cinq polyèdres réguliers sont associés au nom de Platon (IVe s. av. J.-C.). Dans son traité de cosmologie, le Timée, il s’est efforcé de les rattacher aux grandes entités qui, selon lui, façonnaient le monde. Il associe le feu au tétraèdre, la terre au cube, l’air à l’octaèdre, l’eau à l’icosaèdre ; et enfin, l’univers est représenté par le dodécaèdre. Au siècle suivant, Euclide (IIIe s. av. J.-C.) traite des polyèdres au livre XIII de ses Eléments.

A la Renaissance, Pacioli apporte une contribution déterminante avec ses travaux sur les corps polyédriques et les proportions. Vinci participe à ces investigations géométriques et dessine pour le traité de Pacioli (De divina proportione) une série de quarante polyèdres.

Une génération plus tard, Dürer apporte sa contribution.

La cité de l’humaniste, Nuremberg, devient un des pôles de l’orfèvrerie dont l’essor est dominé par la tradition qu’établit la dynastie des frères Jamnitzer (XVIe s.), « orfèvres » en polyèdres. Plus tard, du XVIe au XVIIIe siècle, J. Kepler, R. Descartes et L. Euler s’illustrent dans l’étude de ces solides.

Cosmologie L’idée selon laquelle les polyèdres réguliers jouent un rôle essentiel dans la structure de l’Univers était encore retenue à l’aube du XVIIe, lorsque Kepler (1571-1630) entama ses investigations mathématiques sur les mouvements des corps célestes. Aujourd’hui, si les polyèdres ne gouvernent plus l’Univers, ils sont encore revisités dans différentes disciplines scientifiques contemporaines.

Minéralogie La formation des bijoutiers, des joailliers et des gemmologistes aborde, avec la minéralogie, les aspects polyédriques de certaines pierres précieuses.

Luca Pacioli (v. 1445-1514), toile attribuée à J. de' Barbari, 1495 Pacioli, de face en robe de franciscain avec son élève et ami le duc Guidobaldo da Montefeltro (?). Le tableau met en scène des éléments liés à ses travaux : la main gauche du savant s’appuie sur un de ses traités, tandis que sa main droite dessine un triangle isocèle inscrit dans un cercle, figure apparaissant sur un livre d’Euclide – dont le nom apparaît sur la tranche de l’ardoise. Des instruments de géométrie sont posés sur sa table ainsi qu’un dodécaèdre. Un polyèdre transparent de 26 faces (un rhombicuboctaèdre), à moitié rempli d’eau, est suspendu à hauteur de son visage.

Pacioli est l’auteur de plusieurs ouvrages, dont Summa de arithmetica, geometrica, de proportioni et de proportionalita (1494) et De divina proportione (1509). Ce dernier ouvrage aurait plagié un manuscrit de Piero della Francesca (v. 1415-1492), Libellus de quinque corporibus regularibus (Des cinq corps réguliers)

Les cinq polyèdres réguliers gravés par L. de Vinci pour De divina proportione de Pacioli. Vinci grave, à partir de solides construits, 40 polyèdres, comprenant les solides platoniciens et archimédiens, ainsi que des polyèdres étoilés ou creusés, bâtis sur leurs faces

Le système planétaire et son ajustement avec les solides platoniciens vu par J. Kepler dans son Mysterium Cosmographicum (1596)

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11

POLYÈDRES RÉGULIERS

11.1 Généralités

Définitions Polygones et polyèdres Un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane formée par une ligne brisée fermée. Un triangle, un carré sont des polygones. Les polygones se regroupent en plusieurs sous-ensembles : polygones convexes, concaves, réguliers, irréguliers.

Un polyèdre (du grec polus, nombreux, et hedra, face ou base) est un solide limité par des polygones plans ayant deux à deux un côté commun. Un cube, une pyramide, un prisme sont des polyèdres. Comme les polygones, les polyèdres se regroupent en plusieurs sous-ensembles (voir plus bas). D’une façon générale, on désigne les polyèdres selon leur nombre de faces, en utilisant des préfixes grecs.

Polyèdres réguliers et semi-réguliers Un polyèdre régulier est un solide qui possède les propriétés suivantes : • des faces polygonales régulières et égales ; • des angles dièdres égaux ; • des angles polyèdres égaux ; • une sphère circonscrite (passant par ses sommets) ; • une sphère inscrite (tangente en chacune de ses faces).

Ces caractéristiques entraînent la convexité (voir plus bas) et la symétrie du solide.

On dénombre cinq polyèdres réguliers, appelés aussi les solides de Platon.

Les polyèdres semi-réguliers répondent à quelques propriétés des polyèdres réguliers, auxquelles s’en ajoutent d’autres. On dénombre treize polyèdres semi-réguliers, qui sont regroupés sous le nom de solides d’Archimède.

Polyèdres convexes et concaves Un polyèdre convexe est un polyèdre entièrement situé dans l’un des demi-espaces déterminé par le plan d’une

face quelconque. En termes simples, un polyèdre convexe peut être posé sur chacune de ses faces. A contrario, un polyèdre concave est celui qui possède au moins une face sur laquelle il ne peut pas être posé.

Les cinq solides de Platon sont des solides convexes.

Polyèdres étoilés Aux cinq polyèdres réguliers convexes, on peut associer les quatre polyèdres réguliers étoilés qui en dérivent, appelés aussi polyèdres de Kepler-Poinsot.

Formule d’Euler Les polyèdres sont régis par la formule d’Euler : dans tout polyèdre, le nombre de ses faces additionné au nombre de ses sommets est égal au nombre de ses arêtes augmenté de deux. Faces + sommets = arêtes + 2. La formule d’Euler est une propriété topologique des polyèdres. Elle exclut ceux qui comportent une cavité.

angle dièdre

angle au centre angle polyèdre

sommet face arête diagonale centre

w y

Deux polyèdres semi-réguliers (dits d’Archimède) : le cube tronqué et l’octaèdre tronqué

Deux polyèdres réguliers étoilés (dits de Kepler-Poinsot) : le petit dodécaèdre étoilé et son dual le grand dodécaèdre

a

Eléments d’un polyèdre – L’angle dièdre est formé par deux faces adjacentes. Il se mesure perpendiculairement à l’arête – L’angle polyèdre est celui formé par les arêtes, considérées deux à deux, issues d’un sommet – L’angle au centre est formé par deux segments issus du centre et joignant deux sommets reliés par une arête – Les diagonales du polyèdre sont les segments joignant deux sommets non consécutifs

Deux polyèdres complémentaires, convexe et concave : un tétraèdre et une étoile tétraèdre (ou octaèdre étoilé)

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11.1 Généralités

Polyèdres et représentation Perception visuelle La plupart des polyèdres, avec la multiplicité de leurs faces, peuvent rapidement devenir difficiles à « lire » en épure. Une fois encore, la méthode de Monge compte parmi la moins visuelle des représentations. « Compte tenu de l’extrême difficulté de représenter par un dessin en deux dimensions des volumes aussi complexes, il n’est pas surprenant que Pacioli, pour illustrer son traité [Eléments, 1509, Venise], ait lui-même réalisé matériellement ces corps réguliers, les offrant au Duc [Piero Soderini, son dédicataire] en même temps que son traité » (Le nombre d’or, M. Neveux).

Représentation, ponctuation Il est rappelé que la ponctuation d’un corps consiste à distinguer les arêtes visibles (trait fort continu) des arêtes cachées (traitillés). Sur l’épure, la ponctuation doit se faire séparément pour chaque projection. Elle se réduit à reconnaître si un point de la surface du corps est vu ou est caché. On trouve dans les anciens manuels de géométrie descriptive les règles de ponctuation avec l’identification des points de plus grande hauteur et de ceux de plus grand éloignement.

Contour apparent Quand on projette un polyèdre sur un plan, quelques-unes de ses arêtes forment un polygone qui entoure toutes les autres arêtes. Ce polygone est appelé le contour apparent du polyèdre. Sur chaque projection, le contour apparent est vu. On ajoute qu’un polyèdre convexe a pour contour apparent un polygone convexe.

Développement Traditionnellement, les ouvrages de géométrie, lorsqu’ils traitent des polyèdres réguliers, représentent toujours leur développement. Cela dit, il faut faire remarquer que si le tracé d’un développement à partir d’un polygone donné est facile, il n’en va pas de même pour la construction des projections : la mise en place d’un plan/face/profil aux instruments demande de bons prérequis de géométrie descriptive – l’épure du cube exceptée !

Intersection de deux cubes, travail d’étudiant, Ecole supérieure d’arts appliqués, Genève, 1996

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…

12 TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES

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Geom_spatiale_ppur.indd 312

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12.1 Généralités

Trois transformations géométriques S centre d'homologie

e

i ax

log

mo

o d'h

ie

i axe d'homologie

S1

Homologie

a. Une homologie spatiale : cas d’une ombre au flambeau d’un carré vertical

S centre d'homologie

b. Une homologie plane : cas de la transformation d’un carré

S centre d'homothétie

S centre d'homothétie S1

d d'a irec ffin tion ité d

d1

Affinité

a. Une affinité spatiale : cas de l’ombre solaire d’un carré vertical

finit

ité

ffin

d'a

d'af

e i ax

b. Une homothétie plane : cas de la transformation d’un carré

éd

a. Une homothétie spatiale : cas d’une ombre au flambeau d’un carré horizontal

i axe d'affinité

ction

Homothétie

dire

Généralités La transformation d’une figure géométrique entraîne souvent la modification de sa forme et des dimensions de ses parties. Dans les transformations ponctuelles, planes ou spatiales, dont il est question dans ce chapitre, chaque point d’une figure correspond à un point déterminé d’une autre. La figure donnée de départ, considérée comme un ensemble de point, est modifiée en une nouvelle figure appelée image ou transformée. Les points qui correspondent l’un à l’autre sont des point homologues.

Dans un tracé géométrique, les transformations sont gouvernées assez fréquemment par l’une des trois relations suivantes : l’homologie, l’homothétie ou l’affinité.

Auxquels s’ajoutent comme cas particuliers (ou cas limites), la symétrie centrale, axiale, la symétrie plane et la translation.

Dans le cas d’un tracé manuel, la prise en compte des propriétés géométriques de la relation active permet de construire efficacement et avec exactitude les figures recherchées. Pour mener à bien, par exemple, des constructions de sections planes ou d’ombre portée, on recourt, et souvent de manière implicite, aux diverses propriétés des relations citées plus haut. Ou, il peut arriver que le problème graphique posé soit plus simple à résoudre via une figure correspondante, comme par exemple dans le cas du tracé de tangentes à l’ellipse (voir sect. 12.4).

Le présent chapitre a pour objectif de rassembler et de systématiser les propriétés des trois transformations géométriques citées plus haut et rencontrées en ordre dispersé dans l’ouvrage. Son contenu reste sommaire et s’en tient, comme pour l’ensemble des autres chapitres, à une approche graphique.

b. Une affinité plane : cas de la transformation d’un carré

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12

TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES

12.2 Homologie

L’homologie, définition et propriétés i axe d'homologie

R'

R'

P' M'

IM'

i axe d'homologie

M' I

I

IM M' S

P' M'

i axe d'homologie J

P

P

P S centre d'homologie

Homologie coplanaire a. Homologie de rapport k k = SM' : IM' SM IM

R

M'

M R

M

P'

i axe d'homologie

M

SM

Définition L’homologie (du grec homo, semblable et logos, raison) est une relation divergente ayant un axe et un centre.

Plus précisément, l’homologie est une transformation géométrique définie par un axe i, un centre S et une paire de points correspondants M et M' fixés, où M' est l’image de M. Ses propriétés sont les suivantes : • deux points correspondants sont alignés avec un point fixe, le centre d’homologie ; • deux droites correspondantes se coupent sur une droite fixe, l’axe d’homologie, ou lui sont parallèles.

La transformation se caractérise par un coefficient constant k, appelé rapport d’homologie (ou cœfficient d’homologie), positif ou négatif.

Propriétés de l’homologie Toute homologie : • modifie les angles et en particulier les angles droits ; • dilate ou rétracte les distances, en lien avec le rapport d’homologie k.

Application de l’homologie L’usage de l’homologie se fait notamment via les deux propriétés ci-après.

Une homologie transforme une droite en une droite. Deux droites homologiques se coupent sur l’axe d’homologie ou lui sont parallèles.

Si deux courbes sont homologiques, les tangentes à ces courbes en deux points homologiques sont deux droites homologiques.

M S

S

b. Homologie d’une paire de points M et P

S

c. Homologie d’un triangle Les points correspondants sont de part et d’autre de l’axe : le rapport k est négatif (k < 0)

d. Homologie d’un triangle Les points correspondants sont du même côté de l’axe : le rapport k est positif (k > 0)

D'

R' U'

A' C'

B' B

i axe d'homologie

O'

t'

T'

S'

T C

S

t

O

A R

U

D

Homologie d’un carré (un carré Ò un quadrilatère)

S

Homologie d’un cercle (un cercle Ò une ellipse) A la tangente t au point T correspond la tangente t' au point T'

S

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12.2 Homologie

Cas d’homologies S

Les propriétés homologiques se vérifient dans le plan comme dans l’espace. Elles sont présentes dans les cas de projection centrale.

Cette page recense quelques cas représentatifs.

S

P P

S1 S1

i

SO

L SO L

e

i log mogie o h o ' l e d mo i axd'ho e x a

S S

i

S1

ie log moloogie o h ' e d om i aex d'h i ax

f f

PF1 PF1

axe d’homologie axe d’homologie

S1

ligne d'horizon PF2 ligne d'horizon PF2

ligne de terre ligne de terre

PF21 PF21

Homologie de centre S et d’axe i La configuration S, f et f1 est celle d’une homologie spatiale, alors que la configuration S1, f'1, f1 est celle de l’homologie plane correspondante

PF11 PF11 [SP] rabattu rabattu centre[SP] d’homologie centre d’homologie 1 SPSP 1

report hauteur report hauteur ligne d'horizon ligne d'horizon

f1 f

1

f1' f 1'

SO S L OL

S1 S1

P P

ie

Cas de la section d’une pyramide La base du solide, la section oblique et sa projection horizontale sont en relation homologique. La section d’un cône montrerait les mêmes propriétés

Cas d’une ombre au flambeau L’exemple montre l’ombre d’un carré vertical sur un plan horizontal. Les figures sont en relation homologique projection projection auau solsol

S centre S centre d'homologie d'homologie

log mioe 'hoolog d em i adx'ho axe

Cas d’une perspective à deux points de fuite La perspective établit une relation homologique entre le plan (de l’objet) et sa perspective. Le tracé de cette relation exige que les deux éléments soient coplanaires : cette condition est obtenue avec le rabattement du spectateur et du tableau dans le sol

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Table des matières Introduction CONVENTIONS DE REPRÉSENTATION 3 Géométrie descriptive 1 PROJECTIONS ORTHOGONALES 1.1 Généralités 11

1.2 Tracé d’une épure 17

1.3 Droite 23

1.4 Plan 26

1.5 Droite et plan 28

1.6 Positions 34

1.7 Annexes 38

5 OMBRES EN AXONOMÉTRIE

5.1 Généralités 5.2 Eclairages et ombres 5.3 Ombres exemplaires 5.4 Annexes

123 126 130 137

6.1 Généralités 6.2 Dispositif 6.3 Pas à pas 6.4 Variétés 6.5 Construction 6.6 Paramètres 6.7 Annexes

141 145 150 154 170 180 186

7.1 Généralités 7.2 Eclairages et ombres 7.3 Ombres exemplaires 7.4 Annexes

191 193 198 204

2 VRAIES GRANDEURS

2.1 Généralités 2.2 Changement de plan 2.3 Rotation 2.4 Rabattement 2.5 Développement 2.6 Annexes

45 47 51 55 58 64

Perspective

6 PERSPECTIVE

3 OMBRES EN PROJECTIONS ORTHOGONALES

3.1 Généralités 3.2 Eclairages et ombres 3.3 Ombres exemplaires 3.4 Annexes

71 74 82 90

7 OMBRES EN PERSPECTIVE

Surfaces et volumes

Axonométrie 4 AXONOMÉTRIE

4.1 Généralités 4.2 Propriétés 4.3 Axonométries 4.4 Annexes

95 101 104 118

8 SURFACES COURBES

8.1 Généralités 209 8.2 Propriétés 214 8.3 Annexes 221

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9 SURFACES RÉGLÉES

9.1 Généralités 9.2 Propriétés 9.3 Surfaces réglées 9.4 Annexes

10 SURFACES DE RÉVOLUTION

10.1 Généralités 245 10.2 Coniques 249 10.3 Cylindre 256 10.4 Cône 260 10.5 Sphère 264 10.6 Autres surfaces 269 10.7 Tore 275 10.8 Annexes 278

11 POLYÈDRES RÉGULIERS

11.1 Généralités 11.2 Tétraèdre 4 11.3 Hexaèdre 6 11.4 Octaèdre 8 11.5 Dodécaèdre 12 11.6 Icosaèdre 20 11.7 Propriétés 11.8 Annexes

225 228 231 241

283 288 291 294 297 300 303 308

12 TRANSFORMATIONS 12.1 Généralités 313 GÉOMÉTRIQUES 12.2 Homologie 314

12.3 Homothétie 316

12.4 Affinité 318

12.5 Annexes 322

337 Geom_spatiale_ppur.indd 337

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Privilégiant une géométrie spatiale concrète, ancrée dans la pratique professionnelle, ce vade-mecum permet à son lecteur de maîtriser les propriétés fondamentales de la géométrie spatiale, de réaliser manuellement des croquis d’objets spatiaux et de pratiquer avec davantage de compétence les logiciels informatiques 3D actuels.

A différents titres, il constitue une référence utile et précieuse pour tous les étudiants et praticiens en architecture, ingénierie, design ou beaux-arts.

Daniel Jaques est diplômé de l’Ecole d’architecture de Genève.

Durant la première moitié de sa carrière, il a travaillé dans divers bureaux d’architecture. Il s’est ensuite consacré à la formation. Il a notamment enseigné la théorie de l’architecture, la construction et la géométrie descriptive à l’Ecole des arts appliqués de Genève (devenue aujourd’hui Centre de formation professionnelle arts appliqués et Haute école d’art et de design).

le vade-mecum

Très richement illustré et imprimé en couleur, il expose les concepts clés des projections orthogonales, de l’axonométrie et de la perspective, et aborde les surfaces courbes et réglées, les surfaces de révolution ainsi que les polyèdres réguliers.

GÉOMÉTRIESPATIALE

De manière inédite, cet ouvrage présente, sous une forme synthétique et didactique, l’ensemble des outils et méthodes de construction de la géométrie spatiale permettant d’élaborer des images d’objets tridimensionnels au moyen des projections géométriques.

Daniel Jaques

Géométrie spatiale Le vade-mecum Daniel Jaques Avec la collaboration de Jean-François Calame

Daniel Jaques

avec la collaboration de Jean-François Calame

le vade-mecum

Jean-François Calame est graphiste. Il a commencé sa carrière à l’atelier André Masméjan à Genève. Il a ensuite partagé sa vie professionnelle entre une activité indépendante et une charge d’enseignement en communication visuelle et graphisme à l’Ecole des arts appliqués de Genève.

Presses polytechniques et universitaires romandes

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