Le minimum théorique by PPUR

Le MI N I MU M T H é O R I QUE

Le M INIM UM THé ORIQU E t ou t C e qu e vou s av e z besoin d e s avo i r p ou r co mmenc er à fa i r e d e l a p h y siqu e

Leonard Susskind george hrabovsky Traduit de l’anglais par André Cabannes

Presses polytechniques et universitaires romandes

Cet ouvrage paraît dans une collection placée sous la responsabilité scientifique du professeur Philippe A. Martin.

Autres ouvrages disponibles chez le même éditeur: Comprendre la physique David Cassidy, Gerald Holton, James Rutherford De l’atome antique à l’atome quantique A la recherche des mystères de la matière Christian Gruber, Philippe-André Martin L’Odyssée du Zeptoespace Un voyage au cœur de la physique du LHC Gian F. Giudice La face cachée de la Lune La science et les coïncidences François Rothen

Couverture : Nicole Caputo Photographie : Rick Schwab

La Fondation des Presses polytechniques et universitaires romandes (PPUR) publie principalement les travaux d’enseignement et de recherche de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL), des universités et des hautes écoles francophones. Presses polytechniques et universitaires romandes, EPFL – Rolex Learning Center, CH-1015 Lausanne E-Mail ppur@epfl.ch, téléphone (0)21 693 41 40, fax (0)21 693 40 27. http://www.ppur.org Version originale The Theoretical Minimum What you need to know to start doing physics Copyright © 2013 by Leonard Susskind and George Hrabovsky. All rights reserved. Published by Basic Books, a member of the Perseus Books Group. Première édition ISBN 978-2-88915-115-8 © Presses polytechniques et universitaires romandes, 2015 Tous droits réservés Reproduction, même partielle, sous quelque forme ou sur quelque support que ce soit, interdite sans l’accord écrit de l’éditeur. Imprimé en Italie

` nos épouses – A celles qui ont choisi de nous supporter, et aux élèves des cours pour adultes du Professeur Susskind

Table des mati` eres

Pr´eface

Le¸ con 1

La nature de la physique classique

Interlude 1

Espaces, trigonom´etrie, et vecteurs

Le mouvement

Le calcul int´egral

Le¸ con 2 Interlude 2 Le¸ con 3

Lois de la dynamique

Diﬀ´erentiation partielle

Le¸ con 4

Syst`emes a ` plus d’une particule

Le¸ con 5

L’´energie

105

Le¸ con 6

Le principe de moindre action

117

Le¸ con 7

Sym´etries et lois de conservation

141

Le¸ con 8

M´ecanique hamiltonienne et invariance par translation dans le temps

159

Le¸ con 9

Le fluide de l’espace des phases et le th´eor`eme de Gibbs-Liouville

177

Le¸ con 10

Les crochets de Poisson, le moment angulaire, et les sym´etries

191

Le¸ con 11

Forces ´electriques et magn´etiques

209

Appendice

Forces centrip`etes et orbites plan´etaires

233

Interlude 3

Index

249

Pr´ eface J’ai toujours aimé expliquer la Physique. Pour moi c’est beaucoup plus qu’enseigner. C’est une fa¸con de penser. Même quand je suis à mon bureau en train de faire de la recherche, un dialogue se déroule dans ma tête. Trouver la meilleure fa¸con d’expliquer quelque chose est presque toujours la meilleure fa¸con de la comprendre soi-même aussi. Il y a une dizaine d’années quelqu’un m’a demandé si je voulais enseigner un cours pour un public d’adultes. Il se trouve que dans la région de Stanford beaucoup de gens ont dans leur jeunesse voulu étudier la physique, mais les aléas de la vie les en ont empêchés. Ils ont eu toutes sortes de carrières, cependant ils n’ont jamais oublié le goˆ ut qu’ils avaient eu pour les lois de l’univers. Maintenant, après une carrière ou deux, ils aimeraient y revenir, au moins au niveau d’amateur éclairé. Malheureusement, il n’y avait pas beaucoup de possibilités pour ces gens de suivre des cours. La règle à Stanford comme dans les autres universités est de ne pas accepter de personnes qui ne soient pas élèves, et pour la plupart de ces adultes retourner à l’école et s’inscrire comme étudiant à plein temps n’est pas une option réaliste. Cela me troublait. Il devait y avoir un moyen pour qu’ils puissent satisfaire leur intérêt en rencontrant des scientifiques en activité. Mais lequel ? C’est à ce moment-l` a que j’ai entendu parler pour la pre´ mière fois du programme d’Etudes continues à Stanford. Ce programme propose des cours pour les habitants de la région qui n’ont pas de lien avec l’université. Alors j’ai pensé que ¸ca pouvait correspondre ` a mon désir de faire connaˆıtre ma discipline à ce public éclairé, que ¸ca pouvait répondre à leur désir

Le minimum th´ eorique

d’en apprendre plus, enfin que ¸ca pouvait être amusant d’enseigner un cours sur la physique moderne. Pour un trimestre en tout cas. C’était effectivement très amusant, et procurait une satisfaction que l’enseignement ` a des élèves niveau undergraduate ou graduate n’apportait pas toujours. Ces étudiants étaient là pour une seule raison : non pour obtenir des crédits ou un diplôme, ni pour passer des examens, mais seulement pour apprendre et satisfaire leur curiosité. En outre, ayant acquis l’assurance de personnes qui avaient déj` a fait des choses dans leur vie, ils ne craignaient pas de poser des questions, si bien qu’il régnait dans les cours une animation qu’il n’y a pas toujours dans les classes plus scolaires. J’ai décidé de le refaire. Puis de le refaire encore. Ce qui devint clair au bout de quelques trimestres, c’est que les étudiants n’étaient pas totalement satisfaits par le niveau trop élémentaire de ce que j’enseignais. Ils voulaient plus que le Scientific American. Beaucoup d’entre eux avaient quelques connaissances, ils avaient fait un peu de physique, avaient des souvenirs vagues mais pas totalement disparus de calcul intégral et différentiel, et une certaine expérience de résolution de problèmes techniques. Ils étaient prêts ` a essayer d’apprendre la vraie physique – avec des équations. Le résultat a été une série de cours cherchant ` a amener ces étudiants jusqu’aux premières loges de la physique moderne et de la cosmologie. Par chance, quelqu’un (pas moi) eut la bonne idée de filmer les cours. Ils sont accessibles sur Internet, o` u ils semblent extrêmement populaires : Stanford n’est pas le seul endroit o` u des gens ont soif d’apprendre la physique. Du monde entier, je re¸cois des milliers de messages par mail. L’une des demandes répétées est de savoir si j’ai l’intention de transformer un jour ces cours en livres ? Le Minimum Théorique est la réponse. Je n’ai pas inventé le terme minimum théorique (MT). Il est dˆ u au grand physicien russe Lev Landau (1908-1968). Le

Pr´ eface

MT en Russie voulait dire tout ce qu’un étudiant avait besoin de savoir pour travailler avec Landau lui-même. Landau était un homme très exigeant : son minimum théorique représentait à peu près tout ce qu’il savait lui-même, ce que naturellement personne d’autre ne pouvait savoir. J’emploie le terme différemment. Pour moi, le minimum théorique est tout ce que vous avez besoin de savoir pour passer au niveau supérieur. Cela veut dire non pas des livres épais et encyclopédiques qui expliquent tout, mais des livres minces qui expliquent tout ce qui est important. Les livres de la série Le Minimum Théorique suivent de près les cours par Internet que vous trouverez sur le web. Bienvenue donc au Minimum Théorique – Mécanique classique, et bonne chance ! Leonard Susskind Stanford, Californie, juillet 2012 J’ai commencé ` a enseigner les maths et la physique à moi-même quand j’avais onze ans. C’était il y a quarante ans. Beaucoup de choses se sont passées depuis – je suis une de ces personnes que les aléas de la vie ont éloignée de la physique. Cependant j’ai appris beaucoup de maths et de physique. Pourtant, bien que des gens me paient pour que je fasse de la recherche pour eux, je n’ai jamais cherché ` a décrocher un diplôme. En ce qui me concerne, ce livre a commencé par un e-mail. Après avoir regardé sur Internet les le¸cons sur la mécanique classique, j’ai écrit ` a Leonard Susskind lui demandant s’il voulait les transformer en livre. Une chose menant à l’autre, voici o` u nous en sommes aujourd’hui. On ne pouvait pas mettre tout ce que nous aurions voulu dans le livre, ou alors ¸ca n’aurait plus été Le Minimum Théorique – Mécanique classique. Ce serait devenu le-gros-manuelde-la-mécanique. C’est ` a ceci que sert Internet : utiliser la large

xii

Le minimum th´ eorique

bande pour diffuser des choses qui n’ont leur place nulle part ailleurs. Vous pouvez trouver du contenu supplémentaire sur le site www.madscitech.org/tm. Cela inclut des réponses aux problèmes, des démonstrations et d’autres choses qu’on ne pouvait inclure ici. J’espère que vous aimerez lire ce livre autant que nous avons aimé l’écrire. George Hrabovski Madison, Wisconsin, juillet 2012

Le¸ con 1 : La nature de la physique classique

Quelque part au pays de Steinbeck deux hommes fatigu´es sont assis au bord de la route. Lenny passe la main dans sa barbe et dit : « Parle-moi des lois de la physique, George. » George regarde par terre un moment, puis fixe Lenny par dessus ses lunettes. « D’accord, Lenny, mais seulement le minimum. »

Qu’est-ce que la physique classique ? Le terme physique classique s’applique à la physique avant l’avènement de la physique quantique. La physique classique inclut les équations de Newton décrivant le mouvement des corps, la théorie de Maxwell-Faraday sur les champs électromagnétiques, et la théorie de la relativité générale d’Einstein. Mais la physique classique est plus qu’une collection de théories spécifiques sur des phénomènes particuliers ; c’est un ensemble de principes et de règles – avec une logique sous-jacente – qui gouverne tous les phénomènes dans lesquels l’incertitude quantique ne joue aucun rˆ ole. Ces règles générales forment ce que l’on appelle la mécanique classique.

Le minimum th´ eorique

L’objectif de la mécanique classique est de prédire l’avenir. Le grand physicien et mathématicien du xviiie siècle PierreSimon Laplace l’a dit dans une phrase célèbre : Nous devons donc envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaˆıtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données ` a l’Analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle et l’avenir, comme le passé, serait présent a ` ses yeux. En physique classique, si vous avez une connaissance complète d’un système ` a un moment donné, et si vous connaissez aussi les lois qui gouvernent l’évolution du système, vous pouvez prédire l’avenir. C’est ce que l’on veut dire par « les lois classiques de la physique sont déterministes ». Si c’est encore vrai avec le passé et l’avenir interchangés, les mêmes équations vous renseignent aussi totalement sur le passé. Un tel système est dit réversible.

Systèmes dynamiques simples et espace des états Une collection d’objets – particules, champs, ondes, ou quoi que ce soit – est appelé un système. Un système qui est soit l’univers entier, soit suffisamment isolé du reste pour se comporter comme si rien d’autre n’existait, est un système fermé .

La nature de la physique classique

´ Exercice 1 : Etant donn´ e que cette notion est tr` es importante en physique th´ eorique, pensez ` a ce qui pourrait constituer un syst` eme ferm´ e. Discutez de la possibilit´ e que de tels syst` emes existent eﬀectivement. Quelles hypoth` eses implicites sont faites quand on traite d’un syst` eme ferm´ e ? Qu’est-ce qu’un syst` eme ouvert ?

Pour mieux comprendre ce que déterministe et réversible signifient, nous allons commencer par des systèmes fermés extrêmement simples. Ils seront beaucoup plus simples que ce qu’on étudie habituellement en physique, mais ils seront régis par des règles qui seront des versions rudimentaires des lois de la mécanique classique. Nous commen¸cons par un exemple tellement simple qu’il en est trivial. Imaginez un objet concret ou abstrait qui a un seul état. Pensez ` a une pièce de monnaie collée sur cette table, et montrant pour toujours le côté face. Dans le jargon de la physique, la collection des états possibles dans lesquels peut se trouver un système est appelée son espace des états. L’espace des états n’est pas l’espace ordinaire ; c’est un ensemble mathématique dont les éléments consistent en les états possibles du système. Dans notre premier exemple l’espace des états a un seul élément – face, qu’on notera H 1 – car le système n’a qu’un seul état. Prédire l’avenir du système est particulièrement simple : rien ne changera jamais et le résultat de n’importe quelle observation sera toujours H. Le deuxième exemple dans l’ordre de simplicité a un espace des états formé de deux éléments. Maintenant nous avons un objet et deux états possibles. Imaginez une pièce qui peut mon1. Face, pour une pièce de monnaie, se dit « head » en anglais. (Toutes les notes de bas de page sont du traducteur.)

Le minimum th´ eorique

T Figure 1 Un espace des ´etats ` a deux ´etats.

trer face ou pile (qu’on notera H ou T 2 ). Voir la figure 1 cidessus. En mécanique classique on fait l’hypothèse que les systèmes évoluent de manière continue, sans sauts ni interruptions. Manifestement on ne peut pas passer de pile à face de manière continue. Le mouvement dans ce cas se déroule par sauts discrets. Supposons que le temps lui-même s’écoule non pas de manière continue, mais par pas discrets passant d’un temps au suivant, indexés par les nombres entiers. Un monde dont l’évolution est discrète pourrait être appelé stroboscopique. Un système qui change avec le temps est un système dynamique. Pour le décrire, un espace des états n’est pas suffisant ; il faut aussi une loi d’évolution, ou loi de mouvement, encore appelée parfois loi dynamique. La loi de mouvement est une règle qui nous dit quel sera le prochain état du système quand on sait dans quel état il se trouve maintenant. Un exemple de loi de mouvement particulièrement simple est celle qui dit que quel que soit l’état du système à un instant donné, l’état de l’instant suivant sera le même. Il y a alors deux chronologies possibles : H H H H H H... et T T T T T T... Une autre loi de mouvement est celle qui dit que quel que soit l’état présent, le suivant sera l’autre état. On peut faire des 2. Pile, pour une pièce de monnaie, se dit « tail » en anglais.

La nature de la physique classique

diagrammes pour illustrer ces deux lois. La figure 2 représente la première loi : la flèche qui part de H aboutit à H, et la flèche qui part de T aboutit ` a T. Il est facile, répétons-le, de prévoir l’avenir : si vous partez de H, le système restera dans H ; si vous partez de T, le système restera dans T. H

T Figure 2 Une loi d’évolution dans espace à deux états.

Un diagramme de la seconde loi est montr´e dans la figure 3, o` u les fl`eches vont de H vers T, et de T vers H. Par exemple, si vous partez de H la chronologie est H T H T H T... Si vous partez de T la chronologie est T H T H T H... H

Figure 3 Une deuxième loi d’évolution dans un espace à deux états.

On peut même écrire ces lois de d’évolution (encore appelée lois de mouvement) ` a l’aide d’équations. Les variables décrivant un système s’appellent ses degrés de liberté . Notre pièce de monnaie a un degré de liberté, qu’on peut noter avec la lettre grecque sigma, σ. Sigma ne peut prendre que deux valeurs possibles ; par exemple choisissons σ = 1 pour H, et σ = −1 pour T. Il nous faut aussi un symbole pour prendre en compte le temps. Quand on étudie un système o` u le temps est continu, on utilise en général le symbole t. Ici nous étudions des évolutions discrètes et nous utiliserons le symbole n. L’état

Le minimum th´ eorique

au temps n est décrit par le symbole σ(n), qui veut dire σ à l’instant n. ´ Ecrivons les équations d’évolution pour les deux lois. La première dit que rien ne change avec le temps. Sous forme d’équation, on écrit σ(n + 1) = σ(n) Autrement dit, quelle que soit la valeur de σ au n-ième instant, cette variable aura la même valeur ` a l’instant suivant. La deuxième loi d’évolution a la forme σ(n + 1) = −σ(n) signifiant que l’état change pour son opposé quand on passe d’un instant au suivant. Puisque dans chaque cas le comportement à venir est complètement déterminé par l’état initial, ces deux lois sont déterministes. Toutes les lois fondamentales de la mécanique classique sont déterministes. Pour rendre les choses plus intéressantes, étudions un système ayant un plus grand nombre d’états possibles. Au lieu d’une pièce de monnaie, nous pouvons utiliser un dé à six faces, ce qui donne six états possibles (voir fig. 4).

1 6

3 4

Figure 4 Un espace ` a six ´etats.

La nature de la physique classique

On peut à présent imaginer beaucoup plus de lois possibles. Et elles ne sont plus aussi faciles ` a décrire avec des mots – ni même avec des équations. Le mieux est de continuer à utiliser des diagrammes comme dans la figure 5. Celle-ci édicte qu’étant donné l’état numérique du dé au temps n, nous accroissons l’état d’une unité au temps n + 1. La loi va ainsi jusqu’à 6, ensuite le diagramme dit de revenir à 1 et de recommencer la progression. Une progression de genre qui se répète indéfiniment s’appelle un cycle. Par exemple, si nous démarrons à 3, la chronologie est 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2,... Nous appellerons cette loi la Loi d’évolution no 1. 1 6

3 4

Figure 5 Loi d’évolution no 1 pour un espace à six états.

La figure 6 montre une autre loi, la Loi d’évolution no 2. Elle a l’air plus compliquée que la loi précédente, mais en réalité elles sont logiquement équivalentes : dans les deux cas le système évolue indéfiniment dans un cycle parcourant six états possibles. Si nous changions les numéros des états de la figure 6, la Loi d’évolution no 2 deviendrait identique à la Loi d’évolution no 1. Toutes les lois d’évolution ne sont pas logiquement équivalentes. Regardez par exemple la loi de la figure 7. La Loi d’évolution no 3 a deux cycles. Si vous démarrez dans l’un, vous ne pouvez pas atteindre l’autre. Néanmoins, cette loi est totalement déterministe. D’o` u qu’on démarre, l’avenir est déterminé. Par exemple, si vous démarrez dans l’état 2, la chronologie sera

Le minimum th´ eorique

2, 6, 1, 2, 6, 1,... et vous n’arriverez jamais à 5. Si vous partez de l’état 5, la chronologie sera 5, 3, 4, 5, 3, 4,... et vous n’atteindrez jamais l’état 6. 1 2

6 5

3 4

Figure 6 Loi d’´evolution no 2.

1 6

3 4

Figure 7 Loi d’´evolution no 3.

La figure 8 pr´esente la Loi d’´evolution no 4, qui a trois cycles. 1 2

3 5

Figure 8 Loi d’´evolution no 4.

La nature de la physique classique

Cela prendrait beaucoup de temps de décrire toutes les lois d’évolution possibles pour un système dont l’espace des états a six positions. Exercice 2 : Pouvez-vous concevoir une m´ ethode g´ en´ erale de classification des lois possibles pour un syst` eme ` a six ´ etats ?

Lois interdites : la Loi no -1 Dans le cadre de la physique classique, toutes les lois ne sont pas « constitutionnelles ». Il n’est pas suffisant pour une loi d’évolution d’être déterministe, il faut aussi qu’elle soit réversible. Il y a plusieurs fa¸cons d’expliquer dans le contexte de la physique le mot réversible. La plus concise est de dire que si vous inversez toutes les flèches dans le diagramme montrant l’espace des états et la loi d’évolution d’un système, la nouvelle loi qui en résulte est encore déterministe. Une autre formulation est de dire que les lois sont déterministes dans le passé comme dans l’avenir. Rappelez-vous la remarque de Laplace :« Une intelligence qui, pour un instant donné, connaˆıtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, [...] rien ne serait incertain pour elle et l’avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. » Peut-on concevoir des lois qui soient déterministes dans l’avenir, mais pas dans le passé ? En d’autres termes, peut-on énoncer des lois irréversibles ? Eh bien, oui, c’est possible. Regardez la figure 9. O` u que nous soyons, la loi de la figure 9 nous dit bien o` u aller ensuite. Si vous démarrez ` a 1, allez ` a 2. Si vous êtes à 2, allez à 3. Si vous êtes ` a 3, allez ` a 2. Il n’y a pas d’ambigu¨ıté quant à

Le minimum th´ eorique

2 1

Figure 9 Exemple de syst`eme irr´eversible.

l’avenir. Mais pour le passé, c’est une autre affaire. Supposez que vous soyez ` a l’état 2. O` u étiez-vous l’instant d’avant ? Vous pouvez être venu de 3 ou bien de 1. Le diagramme ne l’indique pas. Pire encore en termes de réversibilité, il n’y a aucun état qui conduise à 1 ; il n’a pas de passé ! La loi de la figure 9 est irréversible. Cela illustre le genre de situation prohibée par les principes de la physique classique. Notez d’ailleurs que si vous inversez toutes les flèches dans la figure 9, ce qui donne la figure 10, la nouvelle loi ne dit pas o` u aller dans l’avenir. 2 1

Figure 10 Exemple de syst`eme non d´eterministe dans l’avenir.

Il existe une règle très simple pour vérifier si un diagramme représente une loi déterministe et réversible, ou pas. Si chaque état a une seule flèche arrivant vers lui, et une seule flèche qui en part, alors il s’agit d’une loi légale déterministe réversible. Retenons cette devise : il doit y avoir une flèche vous disant o` u aller et une flèche vous disant d’o` u vous venez. Le principe selon lequel les lois dynamiques doivent être déterministes et réversibles est tellement fondamental dans toute

La nature de la physique classique

la physique classique que nous en oublions parfois de le mentionner dans nos cours. Il n’a d’ailleurs même pas de nom. Nous pourrions l’appeler la première loi, mais il y a malheureusement déj` a deux premières lois – celle de Newton, et la première loi de la thermodynamique. Il existe même une loi no 0 de la thermodynamique. Aussi il nous faut l’appeler la Loi no -1 afin de rétablir la priorité de ce qui est sans aucun doute la loi la plus fondamentale de toutes les lois de la physique – la conservation de l’information. C’est simplement la règle selon laquelle chaque état a une flèche entrante et une flèche sortante. Cela garantit que vous ne perdiez jamais de vue, même au bout d’un certain temps, d’o` u vous êtes parti. La conservation de l’information n’est pas une loi de conservation ordinaire. Nous reviendrons aux lois de conservation après une digression vers les systèmes ` a un nombre infini d’états.

Systèmes dynamiques à nombre infini d’états Jusqu’à présent, tous nos exemples évoluaient dans un espace des états comportant seulement un nombre fini d’états. Mais un système peut aussi tout ` a fait avoir un nombre infini d’états possibles. Par exemple, imaginez une ligne avec un nombre infini de points discrets disposés le long de la ligne – comme une voie ferrée avec une suite infinie de gares dans chaque direction. Supposons qu’une sorte de pointeur marquant l’état du système puisse sauter d’un point ` a un autre selon une certaine règle. Pour décrire un tel système, nous pouvons numéroter les points le long de la ligne avec les nombres entiers de la même fa¸con que nous avons noté les temps discrets dans les exemples précédents (temps n = 1, n = 2, n = 3, etc.). Comme la notation n est déjà utilisée pour les temps discrets, utilisons un N majuscule pour les points sur la voie ferrée. Une chronologie de la position du pointeur consisterait en une fonction N (n),

Le minimum th´ eorique

nous indiquant ` a quel endroit N de la voie ferrée il se trouve au temps n 3 . Une partie de l’espace des états est représentée sur la figure 11. …

–1

…

Figure 11 Un espace des ´etats infini.

Une loi d’évolution très simple pour ce système est montrée sur le diagramme de la figure 12 : ` a chaque pas de temps déplacer le pointeur d’une unité dans la direction positive. …

–1

…

Figure 12 Un espace des ´etats infini.

C’est une loi autorisée par la physique car chaque état a une flèche entrante et une flèche sortante. On peut facilement exprimer cette loi sous forme d’une équation. N (n + 1) = N (n) + 1

(1)

Voici d’autres lois possibles d’un point de vue math´ematique, mais toutes ne sont pas autoris´ees d’un point de vue physique. N (n + 1) = N (n) − 1

(2)

N (n + 1) = N (n) + 2

(3)

3. Par exemple N (4) = 10 signifie qu’au temps discret 4 le syst`eme est dans la gare no 10.

La nature de la physique classique

N (n + 1) = N (n)2

(4)

N (n + 1) = (−1)N (n) N (n)

(5)

Exercice 3 : Identifiez parmi les ´ equations (2) ` a (5) ci-dessus quelles sont les lois d’´ evolution autoris´ ees.

Avec la loi représentée par l’équation (1), d’o` u que vous partiez, vous atteindrez au bout d’un certain temps n’importe quel autre point en progressant vers l’avenir ou vers le passé. On dit qu’il y a un cycle unique infini. Avec l’équation (3), en revanche, si vous partez d’une position N impaire, vous n’atteindrez jamais une position paire, et vice versa. On dit dans ce cas qu’il y a deux cycles infinis. Nous pouvons aussi ajouter librement d’autres états au système, et détailler en même temps la loi d’évolution concernant ce nouveau point, afin de créer davantage de cycles, comme l’illustre la figure 13. … A

–1

…

Figure 13 Fractionnement d’un espace des ´etats infini en deux cycles, l’un fini, l’autre infini.

Si nous démarrons depuis un nombre, alors nous continuerons à progresser le long de la ligne supérieure, comme c’était le cas dans la figure 12. Tandis que si nous démarrons depuis une

Le minimum th´ eorique

lettre, nous alternerons dans un cycle entre l’une et l’autre. Ainsi nous pouvons avoir des situations mixtes o` u à partir de certains états nous tournons dans un cycle fini, et à partir d’autres nous nous éloignons vers l’infini.

Cycles et lois de conservation Quand l’espace des états est séparé en plusieurs cycles, le système reste dans le cycle dans lequel il a démarré. Chaque cycle a sa propre loi d’évolution, mais ils font tous partie d’un même espace des états global car ils décrivent le même système dynamique. Considérons un système avec trois cycles. Chacun des états 1 et 2 forme son propre cycle, tandis que les états 3 et 4 appartiennent ` a un troisième cycle, figure 14 ci-dessous. 2

1 Figure 14 S´eparation d’un espace des ´etats en plusieurs cycles.

Quand une loi d’évolution sépare l’espace des états en plusieurs cycles distincts, il existe en quelque sorte une mémoire du cycle dans lequel le système a démarré. Une telle mémoire s’appelle une loi de conservation ; elle nous dit qu’un certain aspect du système est préservé pour toujours. Pour rendre la loi de conservation quantitative, attribuons à chaque cycle une valeur numérique Q dépendant du cycle. Dans l’exemple de la figure 15, les trois cycles ont re¸cu les valeurs respectives Q(premier cycle) = +1, Q(deuxi` eme cycle) = −1, et Q(troisi` eme cycle) = 0. On peut aussi voir Q comme une fonction de l’état dans lequel se trouve du système, puisqu’à

La nature de la physique classique

chaque instant le système est dans un état et donc un cycle donné. Alors quelle que soit la valeur de Q quand le système démarre, elle restera toujours la même au cours du temps car la loi d’évolution n’autorise pas le système à sauter d’un cycle à un autre. Dit plus simplement, Q est conservée dans le temps. +1

–1 ` chaque cycle est attach´ee une certaine quantit´e Q. Figure 15 A

Dans les chapitres qui suivent nous aborderons le problème d’un mouvement continu dans lequel ` a la fois le temps et l’espace des états sont continus. Tous les faits que nous venons de discuter pour des systèmes simples discrets ont leurs analogues dans des systèmes plus réalistes, mais cela prendra plusieurs le¸cons avant qui nous voyions comment tout cela s’organise.

Les limites de la précision Laplace a peut-être été indˆ ument optimiste sur la possibilité de prédire l’évolution du monde, même en physique classique. Il aurait certainement reconnu que prédire l’avenir exige une connaissance parfaite des lois dynamiques gouvernant l’évolution du monde, ainsi qu’une capacité de calcul phénoménale – ce qu’il appelait « une intelligence [...] assez vaste pour soumettre ces données ` a l’analyse. » Mais il y a un autre aspect qu’il a peut-être sous-estimé : la possibilité de connaˆıtre les conditions initiales avec une précision presque parfaite. Imaginez un dé avec un million de faces, chacune portant un symbole similaire ` a nos chiffres, mais avec suffisamment de légères différences entre eux pour qu’il y ait un

Le minimum th´ eorique

million de signes distincts. Si quelqu’un connaissait la loi d’évolution, et s’il pouvait connaˆıtre le symbole initial, il pourrait prédire la chronologie d’évolution du dé-` a-un-million-de-faces. Cependant, si la « vaste intelligence » dont parle Laplace souffrait d’un léger défaut de vision, de sorte qu’elle soit dans l’incapacité de distinguer des symboles se ressemblant, sa capacité de prévision en serait limitée. Dans le monde réel, la situation est encore pire : l’espace des états a non seulement un nombre infini de points, mais il s’agit d’une infinité continue 4 . Autrement dit, ses états possibles sont numérotés par une collection de nombres réels, comme par exemple les coordonnées de chaque particule. Les nombres réels sont tellement denses que chacun d’eux est arbitrairement proche en valeur d’une infinité de nombres voisins. La capacité de distinguer les valeurs voisines de ces nombres est la « capacité de résolution » d’une expérience, et pour n’importe quel observateur celle-ci est limitée. Il est impossible, pour des raisons de principe, de connaˆıtre les conditions initiales avec une précision absolue. Dans la plupart des cas, de minuscules différences dans les conditions initiales – l’état de départ du système – conduisent au bout d’un certain temps à de grandes différences dans l’évolution du système. Ce phénomène porte en mathématiques le nom de chaos. Si un système est chaotique (comme le sont la plupart des systèmes dans la réalité), cela a pour conséquence que quel que soit le pouvoir de résolution des appareillages utilisés, la durée pendant laquelle le système sera prévisible est restreinte. La prédictibilité parfaite n’existe pas, tout simplement car notre pouvoir de résolution est limité.

4. L’infini continu est encore plus grand que l’infini dénombrable, et il n’y a pas de distance minimale entre les éléments.

Interlude 1 : Espaces, trigonom´ etrie et vecteurs

« O` u sommes-nous, George ? » George sortit sa carte et la déplia devant Lenny. « Nous sommes exactement ici Lenny, coordonnées 36.60709 Nord, – 121.618652 Ouest. » « Euh ? C’est quoi des coordonnées George ? »

Coordonnées Pour décrire des points de manière quantitative, nous avons besoin d’un système de coordonnées. La construction d’un système de coordonnées commence par le choix d’un point de l’espace qui sera l’origine. Généralement elle est choisie afin de rendre les équations les plus simples possible. Par exemple, la théorie du système solaire a l’air plus compliquée si nous mettons l’origine ` a un autre endroit qu’au point o` u se trouve le soleil. Strictement parlant, l’origine peut être choisie arbitrairement – placez-la o` u vous voudrez – mais une fois choisie ne la modifiez plus.

Le minimum th´ eorique

L’étape suivante consiste ` a choisir trois axes perpendicu` nouveau, leur emplacement est plus ou moins arbilaires. A traire, pourvu qu’ils soient perpendiculaires. Les axes sont souvent nommés x, y, et z ; parfois on les nomme x1 , x2 , et x3 . Un système formé d’une origine et de trois axes perpendiculaires s’appelle un système de coordonnées cartésiennes, comme dans la figure 1. y

x z Figure 1 Système de coordonnées cartésiennes à trois dimensions.

Nous voulons décrire un certain point situé dans l’espace : appelons-le P . On peut savoir sans équivoque o` u il se trouve si on a ses trois coordonnées x, y, et z. Autrement dit, nous pouvons identifier le point P avec le triplet ordonné de nombres (x, y, z), voir figure 2. y P x z Figure 2 Un point dans l’espace cartésien.

La coordonnée x représente la distance entre P et le plan défini par x = 0, voir figure 3. La même chose est vraie pour

Espaces, trigonom´ etrie et vecteurs

les coordonnées y et z. Comme les coordonnées représentent des distances, elles sont exprimées en unité de longueur, par exemple en mètre. y

P x z

Figure 3 Plan d´efini par x = 0 et distance du point P au plan.

Quand nous étudions un mouvement, nous devons aussi suivre le temps. L` a encore, nous avons besoin de partir d’une origine – c’est-` a-dire d’un temps zéro. Nous pouvons prendre le Big Bang comme temps zéro, ou la naissance du Christ, ou simplement le début de l’expérience. Mais une fois qu’on a choisi l’origine, on n’en change plus. Ensuite il faut fixer une direction du temps. La convention habituelle est que les temps positifs correspondent à l’avenir après l’origine, et les temps négatifs au passé avant l’origine. On pourrait faire autrement, mais nous ne le ferons pas. Enfin, nous avons besoin d’une unité pour mesurer le temps. La seconde est l’unité la plus fréquemment utilisée par les physiciens, mais l’heure, la nanoseconde, ou l’année feraient aussi bien l’affaire. Une fois l’origine et l’unité de temps choisies, nous pouvons repérer n’importe temps – au sens de date – à l’aide d’un nombre t. Il y a deux hypothèses implicites concernant le temps en mécanique classique. La première est que le temps s’écoule de fa¸con uniforme : un intervalle d’une seconde a exactement le

Le minimum th´ eorique

même sens aujourd’hui qu’` a n’importe quelle autre époque. Par exemple, le poids que Galilée a laissé tomber du haut de la Tour de Pise au xviie siècle a mis exactement le même nombre de secondes pour atteindre le sol que si on reproduisait l’expérience aujourd’hui. Une seconde veut dire la même chose à cette époque-l` a et aujourd’hui La deuxième hypothèse est que les temps à différents endroits peuvent être comparés. Cela veut dire que deux horloges ´ distantes l’une de l’autre peuvent être synchronisées. Etant donné toutes ces hypothèses, le système de quatre coordonnées (x, y, z, t) définit un repère. N’importe quel évènement dans le repère doit avoir une valeur pour chacune des quatre coordonnées. Soit la fonction f (t) = t2 , on peut dessiner des points correspondant à cette fonction dans un système de coordonnées. Nous allons utiliser l’un des axes pour le temps t, et l’autre pour la fonction f (t) (voir fig. 4).

f(t) 15 10 5 t Figure 4 Dessin de quelques points de f (t) = t2 .

Nous pouvons aussi connecter les points entre eux avec des traits interm´ediaires afin de remplir les espaces entre les points (voir fig. 5). De cette mani`ere on peut visualiser des fonctions.

Espaces, trigonom´ etrie et vecteurs

f(t) 15 10 5 1

Figure 5 Le graphe de f (t) complété avec des traits intermédiaires.

` l’aide d’une calculette graphique Exercice 1 : A ou d’un programme comme Mathematica, dessinez le graphe de chacune des fonctions suivantes. Reportez-vous ` a la section suivante si nous n’ˆ etes pas familier avec les fonctions trigonom´ etriques. f (t) = t4 + 3t3 − 12t2 + t − 6 g(x) = sin x − cos x θ(α) = eα + α ln α

x(t) = sin2 t − cos t

Trigonométrie Si vous n’avez jamais étudié la trigonométrie, ou si vous l’avez étudiée il y a longtemps, cette section est pour vous. En physique on l’utilise constamment ; elle est partout. Aussi devez-vous être familier avec quelques idées, symboles et méthodes employés en trigonométrie. Tout d’abord, en physique, on ne travaille généralement pas avec les degrés pour mesurer les angles. On utilise les radians ; on dit qu’il y a 2π

Le minimum th´ eorique

radians dans 360˚, ou 1 radian = 180/π˚; ainsi 90˚= π/2 radians, et 30˚= π/6 radians. Un radian est approximativement ´egal `a 57˚(voir fig. 6).

un radian

rayon

Figure 6 Le radian est l’angle qui intercepte un arc dont la longueur est ´egale au rayon.

Les fonctions trigonométriques sont définies à l’aide de propriétés des triangles. La figure 7 montre un triangle rectangle, son hypoténuse c, sa base b et sa hauteur a. La lettre grecque thêta, θ, est utilisée pour noter l’angle opposé à la hauteur, et la lettre grecque phi, φ, pour noter l’angle opposé à la base. f

q b Figure 7 Un triangle rectangle, avec les notations habituelles pour ses cˆ ot´es et ses angles.

Nous définissons les fonctions sinus, cosinus et tangente de l’angle θ (notées respectivement sin θ, cos θ et tan θ) comme des ratios de différents cˆ otés entre eux.

Espaces, trigonom´ etrie et vecteurs

Les d´efinitions sont les suivantes :

a c b c a sin θ = b cos θ

sin θ = cos θ = tan θ =

On peut dessiner ces fonctions pour voir comment elles varient quand varie l’angle θ (voir fig. 8 ` a 10). sin q 1

p –1

3p 2

q 2p

Figure 8 Graphe de la fonction sinus.

cos q 1

p –1

3p 2

Figure 9 Graphe de la fonction cosinus.

Le minimum th´ eorique

tan q

p 2

3p 2

q 2p

Figure 10 Graphe de la fonction tangente.

Il y a un certain nombre de choses utiles à connaˆıtre sur les fonctions trigonométriques. La première est que nous pouvons dessiner un cercle, centré ` a l’origine du système de coordonnées et de rayon quelconque, et un triangle rectangle à l’intérieur du cercle, comme montré dans la figure 11. y P c a V b

Figure 11 Un triangle rectangle dessin´e dans un cercle.

Ici le segment reliant le centre du cercle ` a n’importe quel point P sur la circonférence forme l’hypoténuse c du triangle rectangle. Et les coordonnées du point P sont la base b et la hauteur a du triangle rectangle. On a donc : abscisse de P = b = c cos θ et ordonnée de P = a = c sin θ

Espaces, trigonom´ etrie et vecteurs

C’est une relation très utile entre les triangles rectangles et les cercles. Supposez qu’un certain angle θ soit la somme ou la différence de deux autres angles. En utilisant les lettres grecques alpha, α, et bêta, β, on peut écrire cet angle, θ, comme α ± β. Il y a des formules exprimant les fonctions trigonométriques de α ± β à l’aide des fonctions trigonométriques de α et β. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β Enfin une dernière identité très utile est sin2 θ + cos2 θ = 1

(1)

(La notation sin2 θ signifie (sin θ)(sin θ), c’est-à-dire (sin θ) au carré.) Cette équation est en fait le théorème de Pythagore sous une forme déguisée. Si dans la figure 11 nous choisissons un cercle de rayon 1, les longueurs des cˆ otés a et b sont les sinus et cosinus de l’angle θ, et l’hypoténuse, c = 1. L’équation (1) n’est donc rien de plus que la relation familière entre les trois côtés d’un triangle rectangle : a2 + b2 = c2 .

Vecteurs La notation vectorielle est un autre sujet mathématique que vous avez sans doute déj` a vu, mais – juste pour être complet dans nos révisions – passons en revue l’utilisation des vecteurs dans l’espace ordinaire ` a trois dimensions.

Le minimum th´ eorique

Un vecteur est un objet mathématique qui a, à la fois, une longueur (ou magnitude 5 ) et une direction dans l’espace. Un exemple typique est un déplacement. Si on déplace un objet d’un endroit vers un autre, ce n’est pas suffisant de connaˆıtre son point de départ et la distance dont on l’a déplacé pour savoir o` u il est arrivé. Il faut aussi savoir dans quelle direction on l’a déplacé. Un déplacement est l’exemple le plus simple d’une quantité vectorielle. Graphiquement, un vecteur est représenté par une flèche avec une longueur et une direction, comme l’illustre la figure 12. y rx

rz z

rx x

Figure 12 Un vecteur �r en coordonn´ees cart´esiennes.

On représente symboliquement les vecteurs avec des lettres surmontées d’une petite flèche. Ainsi le symbole pour un déplacement est �r. La magnitude, ou longueur, d’un vecteur est exprimée avec la même notation que pour valeur absolue. Ainsi, la longueur de �r est notée |�r|.

Voici quelques opérations qu’on peut faire avec les vecteurs. Tout d’abord, on peut les multiplier par des nombres réels ordinaires. Dans le contexte des vecteurs, un nombre réel est souvent appelé un scalaire. Multiplier un vecteur par un nombre positif multiplie simplement la longueur du vecteur par 5. D’autres termes équivalents a ` magnitude sont norme ou module.

Espaces, trigonom´ etrie et vecteurs

ce nombre et ne change pas sa direction. On peut aussi multiplier un vecteur par un nombre négatif, auquel cas la longueur du vecteur est multipliée par la valeur absolue du nombre, et la direction du vecteur résultat est l’opposée de celle du vecteur initial. Par exemple −2�r est le vecteur qui a une longueur double de �r mais pointe dans la direction opposée. � et On peut additionner les vecteurs. Pour additionner A � B, placez-les comme montré sur la figure 13 pour former un quadrilatère (de cette manière les directions des vecteurs sont � et B � est le vecteur diapréservées). La somme des vecteurs A � � gonal A + B . B A A+B

Figure 13 Addition de deux vecteurs.

Puisque les vecteurs peuvent être additionnés et qu’ils peuvent être multipliés par un nombre négatif, ils peuvent aussi être soustraits. Exercice 2 : Explicitez la r` egle g´ eom´ etrique pour la soustraction des vecteurs.

On peut aussi décrire et manipuler les vecteurs à l’aide de leurs composantes. Considérons pour commencer trois axes perpendiculaires x, y, z. Ensuite, définissons trois vecteurs unitaires, chacun le long d’un des axes, et ayant pour longueur l’unité. Les vecteurs unitaires le long des axes de coordonnées

Le minimum th´ eorique

s’appellent les vecteurs de base. Ils sont traditionnellement noˆ t´es ˆi, ˆj et k. y

^j ^k

z Figure 14 Vecteurs de base d’un système de coordonnées cartésiennes en trois dimensions.

Plus généralement, nous écrivons eˆ1 , eˆ2 et eˆ3 quand nous faisons référence ` a un autre triplet de vecteurs perpendiculaires entre eux et chacun de longueur unité. Le symbole ˆ (appelé « chapeau »), quand il est utilisé ` a la place de la flèche habituelle, signale par convention qu’il s’agit de vecteurs unitaires (ou de base). Les vecteurs de base sont utiles car un vecteur quelconque V peut toujours être écrit ` a l’aide des vecteurs de base de la manière suivante : � = Vxî + Vy ˆj + Vz kˆ V

(2)

Les quantités Vx , Vy et Vz sont des coefficients numériques nécessaires devant chaque vecteur de base afin que la somme dans � . On les appelle les composantes de V � 6. l’équation (2) donne V On peut dire que le terme de droite dans l’équation (2) est ˆ », car l’utilisation 6. On précise parfois « relatives a ` la base (î, ˆj, k) � ne sont alors plus d’une autre base est possible, et les composantes de V les mêmes.

Espaces, trigonom´ etrie et vecteurs

une combinaison linéaire des vecteurs de base. C’est le terme mathématique pour de dire que nous additionnons les vecteurs de base, chacun multiplié par un facteur approprié. Les composantes d’un vecteur peuvent être positives ou négatives. Une notation habituelle est aussi d’écrire un vecteur comme la liste ordonnée de ses composantes – dans le cas ci-dessus (Vx , Vy , Vz ). La longueur d’un vecteur peut être calculée à partir de ses composantes en appliquant le théorème de Pythagore en trois dimensions. � � |= V 2 + V 2 + V 2 |V (3) x y z Nous pouvons multiplier, comme on l’a vu, un vecteur par un scalaire. Exprimé en termes de composantes, les composantes � sont simplement les trois composantes de V � chacune de αV multipliée par α. � = (αVx , αVy , αVz ) αV Nous pouvons écrire la somme de deux vecteurs comme la somme des composantes respectives. � � �+B � A = (Ax + Bx ) � �x �+B � = (Ay + By ) A y � � �+B � = (Az + Bz ) A z

Peut-on multiplier deux vecteurs ? Oui, et il y a plus d’une fa¸con de faire. L’un des types de multiplication – le produit vectoriel – a pour r´esultat un autre vecteur. Pour l’instant nous ne nous occuperons pas du produit vectoriel, mais seulement de l’autre type de multiplication, le produit scalaire.

Le minimum th´ eorique

Le produit scalaire de deux vecteurs a pour résultat, comme ´ � son nom le suggère, un scalaire. Etant donné deux vecteurs A � et B, leur produit scalaire, noté avec un point entre les deux (mais on l’omet parfois quand il n’y a pas d’ambigu¨ıté), est défini comme suit : �B � =| A � || B � | cos θ A. o` u θ est l’angle entre les deux vecteurs. En langage ordinaire, le produit scalaire de deux vecteurs est le produit de leurs magnitudes et du cosinus de l’angle entre les deux. Le produit scalaire peut aussi être défini en termes de composantes, et les deux méthodes donnent le même résultat : �B � = Ax Bx + Ay By + Az Bz A. Cela rend facile le calcul du produit scalaire de deux vecteurs quand on connaˆıt leurs composantes.

Exercice 3 : Montrez que la magnitude d’un vecteur satisfait la propri´ et´ e suivante : 2 � � � | A | = A.A

Exercice 4 : Soit (Ax = 2, Ay = −3, Az = 1) et (Bx = −4, By = −3, Bz = 2). Calculez les magnitudes de � et de B, � leur produit scalaire, et l’angle entre les A deux.

Une propriété importante du produit scalaire de deux vecteurs est qu’il est égal ` a zéro si et seulement si les deux vecteurs

Espaces, trigonom´ etrie et vecteurs

sont orthogonaux (un autre mot pour perpendiculaires). Gardez cela `a l’esprit car nous aurons l’occasion de l’utiliser pour montrer que des vecteurs sont orthogonaux. Exercice 5 : D´ eterminez quelles paires de vecteurs sont orthogonaux parmi les suivants : (1, 1, 1) (2, −1, 3) (3, 1, 0) (−3, 0, 2).

Exercice 6 : Pouvez-vous expliquer pourquoi le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est ´ egal ` a 0?

Le¸ con 2 : Le mouvement Lenny se plaignait, « George, cette histoire de temps stroboscopique qui saute d’un instant ` a un autre me stresse. Le temps est-il réellement aussi saccadé ? Les choses ne pourraient-elles pas être un peu plus fluides. » George réfléchit un moment tout en effa¸cant le tableau. « D’accord, Lenny, aujourd’hui étudions les systèmes qui évoluent de fa¸con continue. »

Interlude mathématique : le calcul différentiel Dans ce livre nous nous occuperons principalement de la fa¸con dont diverses quantités changent avec le temps. La plus grande partie de la mécanique classique traite de choses qui, au fur et à mesure que le temps s’écoule, changent de manière fluide – continue est le terme mathématique. Le temps lui-même s’écoule de manière continue. Les lois d’évolution qui gouvernent la fa¸con dont un système change devront tenir compte de ce passage continu du temps, contrairement aux changements stroboscopiques de la première le¸con. Nous allons par conséquent nous intéresser aux fonctions de la variable indépendante t. Pour traiter mathématiquement les changements continus, nous utilisons les mathématiques du calcul différentiel et intégral. Un concept central y est celui de limite, alors commen¸cons par expliquer de quoi il s’agit. Supposons que nous ayons une suite de nombres, l1 , l2 , l3 ,...., qui s’approchent de plus en plus d’une certaine valeur L. Par exemple : 0,9 0,99 0,999 0,9999,...

Le minimum th´ eorique

La limite de cette suite est 1. Aucun des termes de la suite n’est égal à 1, cependant ils s’en approchent de plus en plus près quand on va plus loin dans la suite. Pour indiquer cela nous écrivons lim li = L i→∞

Exprimé en fran¸cais : la limite des li quand i tend vers l’infini est L. On peut appliquer la même idée aux fonctions. Supposons que nous ayons une fonction, f (t), et que nous voulions décrire comment elle varie quand t s’approche de plus en plus d’une valeur donnée a. Si f (t) s’approche aussi près qu’on veut de L quand t s’approche suffisamment près de a, alors on dit que la limite de f (t) est L quand t tend vers a. On le note lim f (t) = L

t→a

Soit f (t) une fonction de la variable indépendante t. Quand t varie, f (t) varie aussi. Le calcul différentiel étudie le taux de variation d’une telle fonction. L’idée est de partir de la valeur de f (t) à un certain instant donné, ensuite de faire bouger un peu le temps t autour de cet instant et de regarder comment bouge f (t). Le taux de variation ` a l’instant donné est défini comme le ratio entre la variation de f (t) et la variation de t. Nous notons la variation d’une quantité avec la lettre grecque delta majuscule, ∆. La variation de t est notée ∆t. On l’appelle aussi l’accroissement de t. (Il ne s’agit pas du produit de ∆ par t ; c’est une notation pour une petite variation de t.) Sur l’intervalle ∆t, f passe de f (t) a` f (t + ∆t). L’accroissement de f , noté ∆f , et qui peut être positif ou négatif, est donné par ∆f = f (t + ∆t) − f (t) Pour définir le taux de variation précisément au temps t, nous devons faire diminuer ∆t jusqu’` a zéro. Bien sˆ ur pour une

Le mouvement

fonction lisse, quand nous faisons cela, ∆f va aussi diminuer jusqu’à zéro, mais si nous divisons ∆f par ∆t, le ratio va en général tendre vers une limite. Cette limite est la définition de la dérivée de f (t) par rapport ` a t, df (t) ∆f f (t + ∆t) − f (t) = lim = lim ∆t→0 ∆t ∆t→0 dt ∆t

(1)

Un mathématicien rigoureux froncera les sourcils à l’idée que df (t) erentielles, car une dérivée est la dt est le ratio de deux diff´ limite du ratio de deux accroissements, mais n’est techniquement pas elle-même un ratio. Toutefois vous ferez rarement une erreur en calculant les dérivées ainsi. Calculons quelques dérivées. Tout d’abord nous allons regarder des fonctions définies comme des puissances de t. En particulier, illustrons la méthode en calculant la dérivée de f (t) = t2 . Nous appliquons l’équation (1) et commen¸cons par examiner f (t + ∆t) : f (t + ∆t) = (t + ∆t)2 En développant (t + ∆t)2 nous obtenons f (t + ∆t) = t2 + 2t∆t + (∆t)2 Maintenant on soustrait f (t) : f (t + ∆t) − f (t) = t2 + 2t∆t + (∆t)2 − t2 = 2t∆t + (∆t)2 L’étape suivante est de diviser par ∆t : f (t + ∆t) − f (t) ∆t

2t∆t + (∆t)2 ∆t

= 2t + ∆t

Le minimum th´ eorique

` présent il est facile de calculer la limite quand ∆t → 0. Le A premier terme ne dépend pas de ∆t est reste tel quel, tandis que le second terme tend vers zéro et disparaˆıt. C’est un point à retenir : quand on calcule une dérivée, dans le développement de f (t + ∆t) − f (t) les termes o` u ∆t est à une puissance plus grande que 1 peuvent être ignorés. Ainsi lim

∆t→0

f (t + ∆t) − f (t) = 2t ∆t

Et donc la dérivée de la fonction f qui a` t fait correspondre t2 est une deuxième fonction qui ` a t fait correspondre d(t2 ) = 2t dt Considérons maintenant une puissance quelconque, f (t) = tn . Pour calculer sa dérivée, nous avons besoin de calculer f (t + ∆t) = (t + ∆t)n . Ici nos souvenirs de lycée vont nous servir : le résultat est donné par la formule du binôme de Newton. Soit deux nombres a et b, nous voulons calculer (a+b)n . La formule du binôme donne n(n − 1) n−2 2 a b + 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3 a b + 3 ... + bn

(a + b)n = an + nan−1 b +

Quelle est la longueur de l’expression ? Si n est un entier, il y a n + 1 termes. Mais la formule du binˆ ome est plus générale : en fait, n peut être n’importe quel nombre réel ou complexe. Si n n’est pas un nombre entier cependant, l’expression n’a pas de terme final ; c’est une série infinie. Heureusement, en ce qui nous concerne, seuls les deux premiers termes sont importants.

Le mouvement

Pour calculer (t + ∆t)n , tout ce que nous avons à faire est de remplacer a par t et b par ∆t. Nous obtenons f (t + ∆t) = (t + ∆t)n = tn + ntn−1 ∆t + ... Tous les autres termes contiennent en facteur ∆t à une puissance plus grande que 1. Quand, après avoir soustrait f (t), on divisera par ∆t, ils seront encore l` a à une puissance plus grande que 0 et tendront vers zéro, donc on peut déjà les ignorer, et voir quelle est la dérivée. Faisons néanmoins les calculs en détail. Nous commen¸cons par soustraire f (t), c’est-à-dire tn , ∆f

= f (t + ∆t) − f (t) n(n − 1) n−2 = tn + ntn−1 ∆t + t (∆t)2 + ... − tn 2 n(n − 1) n−2 = ntn−1 ∆t + t (∆t)2 + ... 2

Puis nous divisons par ∆t, ∆f n(n − 1) n−2 = ntn−1 + t ∆t + ... ∆t 2 et faisons tendre ∆t → 0. Cela donne la d´eriv´ee d(tn ) = ntn−1 dt

Un point important, sur lequel nous voulons insister, est que cette fonction ntn−1 est la dérivée de tn même quand n n’est pas un nombre entier ; n peut être un nombre réel ou complexe. Voici quelques exemples particuliers de fonctions dérivées. Commen¸cons par les puissances de la variable indépendante : f (t) = tn . Si n = 0, alors f (t) est juste le nombre un. Sa

Le minimum th´ eorique

dérivée vaut zéro quel que soit t. C’est le cas pour n’importe quelle fonction qui ne change pas. Si n = 1, alors f (t) = t, et sa dérivée est 1 quel que soit t. Ceci est toujours vrai quand vous prenez la dérivée d’une quantité variable, par rapport à elle-même. Maintenant les dérivées de puissances plus grandes : d(t2 ) dt

= 2t

d(t3 ) dt

= 3t2

d(t4 ) dt

= 4t3

d(tn ) dt

= ntn−1

En voici quelques autres qui nous serviront plus tard : d(sin t) = cos t dt d(cos t) = − sin t dt d(et ) = et dt

(2)

d(ln t) 1 = dt t Un commentaire sur la 3e formule dans le groupe d’équations t) t t (2), d(e dt = e . Quand t est un entier, le sens de e est clair. 3 (Pour mémoire, e = 2, 7182...). Par exemple e = e × e × e. Mais pour des valeurs non entières de t, son sens est moins clair. Essentiellement, la fonction et est définie par la propriété

Le mouvement

que c’est la fonction qui est égale ` a sa dérivée, et qui vaut 1 quand t = 0. Donc la 3e formule du groupe d’équations (2) est en réalité une définition. Il y a quelques règles utiles ` a retenir sur les dérivées. Vous pouvez les démontrer toutes vous-même si vous voulez vous lancer dans un exercice d’epsilonite. La première dit que la dérivée d’une fonction constante vaut zéro quelle que soit la valeur de la variable indépendante. Cela va de soi ; en effet, la dérivée est un taux de variation, or une constante ne change jamais, donc dc =0 dt La dérivée d’une fonction multipliée par une constante est la constante multipliée par la dérivée de la fonction : d(cf ) df =c dt dt Supposons que nous ayons deux fonctions, f (t) et g(t). Leur somme est aussi une fonction et sa dérivée est donnée par d(f + g) d(f ) d(g) = + dt dt dt On l’appelle la règle de la somme. Le produit de f et g est une autre fonction, et sa dérivée est

d(f g) d(g) d(f ) = f (t) + g(t) dt dt dt

Sans surprise, on l’appelle la règle du produit. Passons à la règle concernant les fonctions composées. Soit une fonction g(t), dépendant de la variable t, et une fonction f (g) dépendant de la valeur de g. Cela fait de f une fonction implicite de t. Si vous voulez connaˆıtre la valeur de f pour une certaine valeur de t, vous commencez par calculer g(t).

Le minimum th´ eorique

Puis, connaissant g, vous calculez f (g). Il est aisé de calculer la dérivée de f par rapport ` a t. Elle est donnée par la formule df df dg = dt dg dt Cela s’appelle la règle de dérivation des fonctions composées. Ce serait évident si les dérivées étaient effectivement des ratios ; dans ce cas, les termes dg au numérateur et au dénominateur, à droite, pourraient simplement être éliminés. Il se trouve néanmoins que c’est un des exemples o` u la manipulation na¨ıve des dérivées comme des ratios de différentielles donne un résultat correct. Le point important ` a retenir sur cette règle est qu’elle est souvent utile pour dériver une fonction f (t) qui de prime abord paraˆıt compliquée. On passe par une fonction intermédiaire g(t), pour simplifier f (t) en en faisant f (g). Par exemple, voyons f (t) = ln(t3 ) et cherchons sa dérivée df a l’intérieur du logarithme dt . Le cube ` népérien peut poser un problème. (Oublions momentanément que ln(t3 ) = 3 ln(t).) Alors on passe par la fonction g(t) = t3 , afin de parvenir ` a f (g) = ln(g). Ensuite on peut appliquer la règle de dérivation des fonctions composées. df df dg = dt dg dt Nous nous reportons ` a nos formules de différentiation (un autre df 2 terme pour dérivation) et notons que dg = g1 et dg dt = 3t ; il s’ensuit que df 3t2 = dt g On remplace g par t3 , et nous obtenons df 3t2 3 = 3 = dt t t

Le mouvement

C’est une illustration de l’emploi de la règle de dérivation des fonctions composées. A l’aide de ces règles, vous pouvez calculer un grand nombre de fonctions dérivées. C’est essentiellement tout ce qu’il y a à savoir sur le calcul différentiel.

Exercice 1 : Calculez les d´ eriv´ ees de chacune de ces fonctions. f (t) = t4 + 3t3 − 12t2 + t − 6 g(x) = sin x − cos x θ(α) = eα + α ln α

x(t) = sin2 t − cos t

Exercice 2 : La d´ eriv´ ee d’une d´ eriv´ ee est appel´ ee d2 f (t) la d´ eriv´ ee seconde et est not´ ee dt2 . Calculez la d´ eriv´ ee seconde de chacune des fonctions de l’exercice 1.

Exercice 3 : Utilisez la r` egle de d´ erivation des fonctions compos´ ees pour calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes. g(t) = sin(t2 ) − cos(t2 )

θ(α) = e3α + 3α ln(3α) x(t) = sin2 (t2 ) − cos(t2 )

Le minimum th´ eorique

Exercice 4 : D´ emontrez la r` egle de la somme (tr` es facile), la r` egle du produit (facile si vous connaissez l’astuce), et la r` egle de d´ erivation des fonctions compos´ ees (tr` es facile).

Exercice 5 : D´ emontrez toutes ces formules d(sin t) = cos t dt d(cos t) = − sin t dt d(et ) = et dt d(ln t) 1 = dt t Conseil : réviser les identités trigonométriques et les propriétés des limites dans un manuel.

Mouvement d’une particule Le concept de particule ponctuelle est une idéalisation. Aucun objet ne peut être tellement petit qu’il soit un point – pas même un électron. Néanmoins dans de nombreuses situations on peut ignorer l’extension spatiale de certains objets et les traiter comme des points. Par exemple la planète Terre n’est manifestement pas un point, cependant quand on calcule son orbite autour du soleil, on peut ignorer la taille de la Terre tout en conservant une grande précision.

Le mouvement

La position d’une particule est spécifiée en donnant la valeur de chacune de ses trois coordonnées spatiales, et le mouvement d’une particule est défini par sa position à chaque instant. Mathématiquement, on peut décrire une position en mouvement en donnant trois coordonnées spatiales, elles-mêmes fonctions de t : x(t), y(t), z(t). On peut aussi penser ` a la position comme à un vecteur �r(t) dont les composantes sont x, y, z au temps t. Le chemin parcouru par la particule – sa trajectoire – est spécifié par �r(t). L’objectif de la mécanique classique est de déterminer �r(t) a` partir de certaines conditions initiales et d’une loi d’évolution (ou loi de mouvement ou loi dynamique). Après sa position, la caractéristique la plus importante d’une particule est sa vélocité. C’est aussi un vecteur. Pour la définir nous avons besoin d’un peu de calcul différentiel. Voici comment on procède : Considérez le déplacement de la particule entre le temps t et un petit peu après, au temps t + ∆t. Durant cet intervalle de temps, la particule se déplace de x(t), y(t), z(t) a` x(t + ∆t), y(t + ∆t), z(t + ∆t), ou, en notation vectorielle, de �r(t) a` �r(t + ∆t). Le déplacement est défini par ∆x = x(t + ∆t) − x(t) ∆y = y(t + ∆t) − y(t) ∆z = z(t + ∆t) − z(t) ou ∆�r = �r(t + ∆t) − �r(t) Le déplacement est la petite distance couverte par la particule en mouvement durant le bref intervalle de temps ∆t. Pour arriver à la vélocité, nous divisons le déplacement par ∆t et prenons la limite quand ∆t tend vers zéro. Par exemple, ∆x vx = lim ∆t→0 ∆t

Le minimum th´ eorique

Il s’agit bien sˆ ur de la définition de la dérivée de x par rapport au temps t. dx vx = = x˙ dt vy =

dy = y˙ dt

vz =

dz = z˙ dt

Un point placé au dessus d’une quantité est la notation standard pour sa dérivée par rapport au temps. Cette convention peut être employée pour noter la dérivée par rapport au temps de n’importe quelle mesure, pas seulement la position d’une particule. Par exemple, si T représente la température d’un bain chaud, alors T˙ représentera le taux de variation de la température avec le temps. Nous l’utiliserons de fa¸con répétée, donc il est important que vous vous familiarisiez avec cette notation. Comme c’est, ` a la longue, lassant d’écrire chaque fois x, y, z, nous utiliserons souvent une notation condensée. Les trois coordonnées seront notées collectivement xi , et les composantes de la vélocité vi : dxi vi = = x˙ i dt o` u les xi parcourent les valeurs x, y, z, ou encore, en notation vectorielle, d�r �v = = �r˙ dt Le vecteur de la vélocité a une magnitude | �v | donnée par la formule � | �v |= vx2 + vy2 + vz2

Le mouvement

Elle représente la rapidité avec laquelle la particule se déplace, sans considération de direction. En physique c’est ce qu’on appelle la vitesse de la particule 7 . L’accélération est la mesure qui vous dit comment la vélocité change. Si un objet se déplace avec un vecteur de vélocité constant, il ne subit aucune accélération. Une vélocité constante implique non seulement une vitesse constante, mais aussi une direction constante. Vous ressentez une accélération seulement quand le vecteur de votre vélocité change, en magnitude ou en direction. L’accélération est la dérivée par rapport au temps de la vélocité : ai =

dvi = v˙ i dt

soit, en notation vectorielle, �a = �v˙ Puisque vi est la dérivée temporelle de xi , et ai est la dérivée temporelle de vi , il en découle que l’accélération est la dérivée seconde par rapport au temps de xi , ai =

d2 xi =x ¨i dt2

o` u le double point au dessus de xi signifie la dérivée seconde par rapport au temps. 7. En résumé, la vélocité d’une particule est une grandeur vectorielle. Sa vitesse est la magnitude de sa vélocité, sans considération de direction ; c’est une grandeur scalaire.

Le minimum th´ eorique

Exemples de mouvement Supposons qu’une particule commence ` a se déplacer au temps t = 0, selon les équations suivantes x(t) = 0 y(t) = 0 1 z(t) = z(0) + v(0)t − gt2 2 Cette particule n’a clairement pas de mouvement dans les directions x et y, elle se déplace seulement le long de l’axe des z. Les constantes z(0) et v(0) sont les valeurs initiales de la position et de la vélocité dans la direction de l’axe des z au temps t = 0. Nous considérons aussi que g est un nombre positif constant. Calculons la vélocité en différentiant par rapport au temps. vx (t) = 0 vy (t) = 0 vz (t) = v(0) − gt Les composantes x et y de la vélocité restent égales à zéro. La composante z de la vélocité démarre, au temps t = 0, avec la valeur v(0). Autrement dit, v(0) est la condition initiale concernant la vélocité. Au fur et ` a mesure que le temps s’écoule, le terme −gt ` devient de plus en plus grand (vers les valeurs négatives). A supposer que v(0) était positive, ` a un moment donné néanmoins −gt en valeur absolue va dépasser la vélocité initiale, et la particule commencera ` a se déplacer dans la direction négative de l’axe des z.

Le mouvement

Maintenant calculons l’accélération en différentiant à nouveau par rapport au temps. ax (t) = 0 ay (t) = 0 az (t) = −g L’accélération le long de l’axe des z est constante et négative. Si l’axe des z représentait l’altitude, la particule accélèrerait vers le bas comme un caillou lancé en l’air. Dans l’exemple suivant nous considérons une particule qui oscille de part et d’autre d’un point donné, le long de l’axe des x. Comme il n’y a pas de mouvement dans les deux autres directions, nous les ignorerons. Un mouvement oscillatoire simple est représenté par la fonction trigonométrique : x(t) = sin ωt o` u la lettre grecque oméga minuscule, ω, est une constante. Plus ω est grand, plus l’oscillation est rapide. Ce type de mouvement s’appelle une oscillation harmonique simple (fig. 1). x

Figure 1 Oscillation harmonique simple.

Calculons la vélocité et l’accélération. Pour cela, nous devons différentier x(t) par rapport au temps. La dérivée première est vx =

d sin ωt dt

Le minimum th´ eorique

Nous avons le sinus d’un produit. On va utiliser la technique de dérivation des fonctions composées. Introduisons b = ωt. Alors on a d vx = sin b dt et d’après la règle de dérivation des fonctions composées, on peut aussi l’écrire � � d db vx = sin b db dt ou encore vx = (cos b)

d(ωt) dt

et finalement vx = ω cos ωt L’accélération se calcule de manière similaire, en différentiant une nouvelle fois. On obtient ax = −ω 2 sin ωt Observons certaines choses intéressantes. Quand la position x est à son maximum ou ` a son minimum, la vélocité est égale à zéro. L’opposé est vrai aussi : quand la vélocité est à son maximum ou à son minimum, la particule est en train de passer par la position x = 0. On dit que la position et la vélocité sont en décalage de phase de 90˚. On peut voir cela sur la figure 2, représentant x(t), et la figure 3, représentant v(t), o` u au lieu de mettre le temps t en abscisse, on a mis θ = ωt. La position et l’accélération sont aussi liées par une relation, toutes les deux étant proportionnelles à sin ωt. Observez néanmoins le signe moins devant l’accélération. Ce signe moins a pour conséquence que quand la position x est positive, l’accélération a est négative, et vice versa. Autrement dit, o` u que

Le mouvement

x(t) 1

3U 2

–1 Figure 2 Position de la particule.

v(t) 1

U 2

3U 2

–1 Figure 3 V´elocit´e de la particule.

soit la particule, elle est accélérée vers l’origine. En termes techniques, la position et l’accélération sont en décalage de phase de 180˚– on dit aussi qu’elles sont en opposition de phase.

Exercice 6 : Combien de temps met la particule oscillante pour parcourir un cycle complet ?

Pour finir, considérons une particule se dépla¸cant en un mouvement circulaire uniforme autour de l’origine. Cela signifie qu’elle décrit un cercle ` a vitesse constante. Dans ce cas, nous

Le minimum th´ eorique

pouvons ignorer l’axe des z et penser ` a ce mouvement dans le plan x, y. Pour le décrire nous avons besoin de deux fonctions, x(t) et y(t). Pour être spécifique nous considérons un mouvement dans le sens contraire des aiguilles d’une montre (appelé aussi en mathématiques, le sens positif). Appelons R le rayon de l’orbite. Il est utile de visualiser le mouvement en le projetant sur chacun des deux axes. Tandis que la particule tourne autour de l’origine, son abscisse x(t) oscille entre x = −R et x = +R. La même chose est vraie de son ordonnée y(t). Mais les deux coordonnées sont en décalage de phase de 90˚; quand x est maximum, y est égal ` a zéro, et inversement. Le mouvement circulaire uniforme autour de l’origine le plus général a la forme mathématique suivante x(t) = R cos ωt y(t) = R sin ωt Le paramètre ω s’appelle la fréquence angulaire (ou pulsation). On peut le définir comme le nombre de radians dont l’angle s’accroˆıt par unité de temps. Il est aussi lié au temps que prend la particule pour faire une révolution complète, appelée période du mouvement – le temps que nous avons trouvé en faisant l’exercice 6 : 2π T = ω ` présent il est facile de calculer, par différentiation, les comA posantes de la vélocité et de l’accélération : vx = −Rω sin ωt vy = +Rω cos ωt ax = −Rω 2 cos ωt ay = −Rω 2 sin ωt

(3)

Le mouvement

Cela révèle une propriété intéressante du mouvement circulaire, que Newton a utilisée quand il a analysé le mouvement de la lune : l’accélération d’un corps en orbite circulaire est un vecteur colinéaire (c’est-` a-dire parallèle) ` a son vecteur-position, mais dans la direction opposée. En d’autres termes, le vecteuraccélération est radial et pointe vers l’origine. Exercice 7 : Montrez que les vecteur-position et vecteur-v´ elocit´ e de la section pr´ ec´ edente sont orthogonaux.

Exercice 8 : Calculez la v´ elocit´ e, la vitesse, et l’acc´ el´ eration pour chacun des vecteurs-position suivants. Si vous avez un logiciel de graphisme math´ ematique, dessinez chaque vecteur-position, chaque vecteur-v´ elocit´ e et chaque vecteur-acc´ el´ eration. �r = (cos ωt, eωt ) �r = (cos(ωt − φ), sin(ωt − φ)) �r = (c cos3 t, c sin3 t)

�r = (c(t − sin t), c(1 − cos t))

Interlude 2 : Le calcul int´ egral « George, j’aime beaucoup faire les choses à l’envers. Est-ce qu’on peut différentier ` a l’envers ? » « Tout à fait, Lenny. Ca ¸ s’appelle l’intégration. »

Le calcul intégral Le calcul différentiel s’occupe de taux de variation. Le calcul intégral s’occupe de sommes d’un grand nombre de petites quantités incrémentielles. Il n’est pas évident a priori que ces deux techniques aient un rapport l’une avec l’autre, mais nous allons voir que c’est le cas. Commen¸cons avec le graphe de la fonction f (t) ci-dessous : f (t) 15 10 5 1

Figure 1 Visualisation du comportement de f (t).

Le problème central du calcul intégral est d’évaluer la surface sous la courbe définie par f (t). Pour qu’il n’y ait pas d’ambigu¨ıté, nous considérons la fonction entre deux valeurs qu’on

Le minimum th´ eorique

appelle les bornes d’int´egration, t = a et t = b. La surface que nous voulons calculer est la portion gris´ee sous la courbe dans la figure 2. f (t) 15 10 5

b 1

Figure 2 Les bornes d’intégration, a et b, et la surface à évaluer.

Pour effectuer ce calcul, on découpe la région en fins rectangles verticaux et on additionne leurs surfaces comme sur la figure 3. f (t) 15 10 5

b 1

Figure 3 D´ecoupage de la surface en fins rectangles verticaux.

Bien sˆ ur cela donne une valeur approximative, mais elle est de plus en plus précise quand on fait tendre la largeur des rectangles vers zéro. Pour mettre en œuvre explicitement cette procédure, commen¸cons par diviser l’intervalle entre t = a et t = b en un nombre N de petits intervalles – chacun de largeur ∆t. On obtient une collection de points t1 = a, t2 = t1 + ∆t,

et ouvrage exceptionnel s’adresse à ceux qui ont toujours regretté de ne pas avoir suivi de cours en physique, ou qui souhaitent apprendre à penser comme un physicien. Dans ce livre – véritable phénomène d’édition aux Etats-Unis avec plus de 40 000 exemplaires vendus – les physiciens Leonard Susskind et George Hrabovsky prennent le lecteur par la main et l’emmènent progressivement, sans jamais le perdre, à la découverte des bases essentielles de la physique. A l’arrivée, celui-ci est tout étonné d’avoir compris si facilement les notions présentées. Le secret des auteurs ? Privilégier la clarté sur la brillance et la simplicité sur l’exhaustivité. Les ouvrages de la collection Le Minimum Théorique, qui donne aussi son nom à ce premier volume, sont issus d’un cours public donné à l’Université de Stanford par le professeur Leonard Susskind et ont aujourd’hui acquis une notoriété mondiale. Ils s’adressent à tous ceux désireux de comprendre la physique contemporaine, quelque soit leur bagage scientifique de départ. « Un sens pédagogique remarquable. Leonard Susskind pourrait bien être le Feynman du 21e siècle. »—Vincent Faye, professeur de physique au lycée Victor Bérard (Morez) « Le livre que tous ceux qui souhaitent enfin comprendre la physique doivent se procurer. » —Sean Carroll, physicien, Institut Californien de Technologie, auteur de Higgs, le boson manquant (The Particle at the End of the Universe) « Des explications parfaitement claires de choses notoirement difficiles. »—Wall Street Journal « Un tour de force, qui rend désormais la physique théorique accessible à tous. »—Science News

Leonard Susskind est professeur en physique théorique à l’Université de Stanford depuis 1978. Auteur de nombreux ouvrages, il vit actuellement à Palo Alto, en Californie.

George Hrabovsky est président de l’association Madison Area Science and Technology (MAST), une organisation à but non lucratif spécifiquement dédiée au soutien de la recherche et de l’enseignement scientifique et technique. Il vit à Madison, dans le Wisconsin.

Presses polytechniques et universitaires romandes