رياضيات

‫جمهورية العراق‬ ‫وزارة التربية‬ ‫املديرية العامة للمناهج‬

‫الرياضيات‬ ‫للصف السادس العلمي‬

‫المؤلفون‬ ‫الدكتور طارق شعبان رجب الحديثي‬

‫الدكتور رحيــم يــونس كـــــــرو‬

‫محمـــد عبــد الغفــــور الجواهـــــري‬

‫منعـــــم حســـــيـن التميـــمـــي‬

‫يــــوســــف شـــريـــــــف المعـمـــــار‬

‫جعفـــــر رضا هاشم الزبيــــــدي‬

‫الطبعة الرابعة‬

‫‪1434‬هـ ‪2013 /‬م‬

‫اﳌﺸﺮف اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺒﻊ‬

‫ﻣﻬﺪي ﻣﺎل اﷲ ﻣﻜﻲ‬

‫اﻟﺘﺼﻤﻴﻢ واﻻﺷﺮاف‬ ‫اﻟﻔﻨﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﻄـﺒﻊ‬

‫ﻣﺤﻤﺪ ﺳﻌﺪي ﻋﺰﻳﺰ‬

‫رﻗﻢ اﻻﻳﺪاع ﻓﻲ دار اﻟﻜﺘﺐ واﻟﻮﺛﺎﺋﻖ ﺑﺒﻐﺪاد ‪ ٨٥٥‬ﻟﺴﻨﺔ ‪٢٠١٠‬‬

‫مقدمة‬ ‫لقد ظهرت في الكثير من دول العالم املتقدم مناهج حديثة في الرياضيات‪ ،‬وطرائق جديدة لتناولها كانت‬ ‫سبب ًا في حركة ديناميكية ف ّعالة أثرت في العملية التعليمية في املدارس واجلامعات‪ ،‬وأحدثت فيها تطوير ًا‬ ‫جذرياً‪ ،‬وعليه أصبح من الضروري أن يلتحق العراق بهذا الركب وان يسارع في العمل لتطوير مناهج التعليم‬ ‫واساليبه وخاصة في الرياضيات التي تلعب دور ًا طليعي ًا في إرساء دعائم احلضارة واملدنية‪ ،‬فهناك عالقة‬ ‫طردية بني احتياجات التنمية الصناعية والزراعية واملدنية‪ ،‬والتكنولوجيه واالقتصادية بصفة خاصة وبني‬ ‫مناهج الرياضيات في املؤسسات التعليمية مبختلف مستوياتها ‪.‬‬ ‫وفي ضوء خطة تطوير املناهج الدراسية عامة ومناهج الرياضيات خاصة مت تأليف هذا الكتاب الذي هو‬ ‫آخر حلقة من سلسلة الرياضيات قبل اجلامعية‪ ،‬اذ تقع مادة هذا الكتاب في ستة فصول‪ ،‬تناول الفصل االول‬ ‫االعداد املركبة‪ ،‬والعمليات عليها وايجاد اجلذور وخواصها ‪ ،‬وحل معادالت من الدرجة الثانية في مجموعة‬ ‫االعداد املركبة‪ ،‬واالحداثيات القطبية واخير ًا مقياس العدد املركب وسعته وكتابته بداللتيهما‪.‬‬ ‫اما الفصل الثاني فقد احتوى على القطوع املخروطية متضمنة القطوع املخروطية (املكافيء‪ ،‬الناقص‪،‬‬ ‫الزائد) واملعادلة القياسية لكل منها في حاالت مختلفة‪ ،‬واالختالف املركزي لكل قطع مخروطي ‪.‬‬ ‫واشتمل الفصل الثالث على املشتقات العليا للدوال القابلة لالشتقاق واملعدّ الت الزمنية‬ ‫والقيم العظمى والصغرى احمللية ومبرهنة رول ومبرهنة القيمة املتوسطة والتقريب باستخدامها‪ ،‬والتقعر‬ ‫والتحدب ورسم بيان بعض كثيرات احلدود واحلدوديات النسبية‪ ،‬اما اشتقاق الدوال االسية واللوغارمتية‬ ‫فقد عرضت في الفصل الرابع الذي احتوى على موضوع التكامل وتطبيقاته‪ ،‬اذ مت التطرق الى التجزئة‬ ‫املنتظمة ومجموع رميان لكن بصورة مبسطة وعن طريق االمثلة بهدف التوصل الى املبرهنة االساسية للتفاضل‬ ‫والتكامل‪.‬‬ ‫ثم التركيز على ايجاد تكامالت الدوال اجلبرية واللوغارمتية واالسية والدائرية وايجاد املساحة بني منحنيني‬ ‫وبني منحني ومحور السينات وحجوم املجسمات الدورانية واحتوى الفصل اخلامس على موضوع املعادالت‬ ‫التفاضلية والذي اقتصر على املفاهيم اخلاصة باملعادالت التفاضلية (الرتبة‪ ،‬الدرجة‪ ،‬احلل)‪.‬‬ ‫ولم يركز عند حل املعادالت التفاضلية اال على فصل املتغيرات‪ ،‬واملعادالت املتجانسة‪.‬‬ ‫اما الفصل االخير فقد تضمن تكملة ملا درسه الطالب في الصف اخلامس العلمي من مادة الهندسة‬ ‫املجسمة واملتعلقة بالزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة ومفاهيم االسقاط العمودي واملبرهنات املتعلقة‬ ‫بهذه املوضوعات كما اشتمل هذا الفصل على مساحات وحجوم بعض املجسمات ‪.‬‬ ‫وقد روعي في هذا الكتاب وجود قدر كاف من التطبيقات احلياتية والفيزيائية واالمثلة واملسائل والتمرينات‬ ‫املنوعة ‪ ،‬وتوخينا جهد امكاننا ان تترابط موضوعات هذا الكتاب مع كتب الرياضيات للصفوف التي سبقته‬ ‫ومع ما يدرسه الطلبة في دراستهم الالحقة فض ً‬ ‫ال عن مراعاة الفروق الفردية بني الطلبة‪.‬‬ ‫كما نثمن جهود اخلبيرين العلميني اللذين ساهما باجناز هذا الكتاب وهما‪:‬‬ ‫الدكتور علي يوسف عبد اهلل‬ ‫الدكتور نوري فرحان عذاب‬ ‫آملني ان نكون قد وفقنا في ذلك كله ‪ ،‬ومرحبني بكل نقد بناء من الطلبة واولياء امورهم او مدرسيهم او‬ ‫من ذوي االختصاص واالهتمام إلثراء الكتاب وتطويره‬

‫واهلل ولي التوفيق‬

‫املؤلفون‬

‫المحتويات‬

‫‪1‬‬

‫الفصل االول‬

‫(‪ )18‬حصـة‬

‫‪5‬‬

‫‪47‬‬

‫‪2‬‬

‫الفصل الثاني‬

‫(‪ )18‬حصـة‬

‫‪48‬‬

‫‪89‬‬

‫‪3‬‬

‫الفصل الثالث (‪ )48‬حصـة‬

‫‪151 90‬‬

‫‪4‬‬

‫الفصل الرابع‬

‫(‪ )36‬حصـة‬

‫‪213 152‬‬

‫‪5‬‬

‫الفصل اخلامس (‪ )18‬حصـة‬

‫‪233 214‬‬

‫‪6‬‬

‫الفصل السادس (‪ )12‬حصة‬

‫‪258 234‬‬

‫ ‬

‫‪1‬‬

‫ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ‬

‫‪Complex Numbers‬‬

‫‪∫h’G π°üØdG‬‬ ‫‪Chapter One‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫]‪[1-1‬‬

‫اﳊﺎﺟﺔ اﻟﻰ ﺗﻮﺳﻴﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬

‫]‪[1-2‬‬

‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬

‫]‪[1-3‬‬

‫ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ‪.‬‬

‫]‪[1-4‬‬

‫اﳉﺬور اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ‪.‬‬

‫]‪[1-5‬‬

‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻲ ‪.C‬‬

‫]‪[1-6‬‬

‫اﳉﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬

‫]‪[1-7‬‬

‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻼﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬

‫]‪[1-8‬‬

‫اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ‪.‬‬

‫]‪[1-9‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﳝﻮاﭬﺮ‪.‬‬

‫ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ‬

‫ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳊﻘﻴﻘﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪R (z):z‬‬ ‫ﺍﳉﺰﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ ‪I (z): z‬‬ ‫ﺳﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ‪z‬‬ ‫ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ‪z‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻻﻳﺴﺮ‬ ‫ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻻﳝﻦ‬ ‫ﺭﻣﺰ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻄﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﺭﻣﺰ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺭﻣﺰ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ‬ ‫ﺭﻣﺰ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺭﻣﺰ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ‬

‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬ ‫‪R(z) = x = r cos θ‬‬ ‫‪I (z) = y = r sin θ‬‬ ‫‪arg (z) = θ‬‬ ‫‪r = ||z|| = mod z‬‬ ‫‪LHS‬‬ ‫‪RHS‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪R‬‬

‫‪ £‬‬

‫‪5‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫]‪ [1-1‬اﳊﺎﺟﺔ اﻟﻰ ﺗﻮﺳﻴﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫لقد درسنا في الصفوف السابقة حل املعادلة اخلطية (‪ ،)Linear Equation‬وعرفنا انه يوجد حل‬ ‫واحد في مجموعة االعداد احلقيقية الية معادلة خطية‪.‬‬ ‫وعند دراستنا للمعادلة التربيعية تبني أنه لنوع معني منها حل في مجموعة االعداد احلقيقية‪ ،‬ونوع آخر ال‬ ‫يوجد لها حل في هذه املجموعة‪ ،‬مثل املعادالت ‪ )x2 + 4x+ 5 =0( ، ) x2 + 1 = 0(:‬وكما تعلمت‬ ‫ان املعادالت التربيعية التي يكون ﳑيزها (‪ )b2 - 4ac‬عدد ًا سالب ًا ال يوجد لها حل في مجموعة االعداد‬ ‫احلقيقية‪.‬‬ ‫ان ظهور مثل هذه املعادالت في العديد من التطبيقات الفيزياوية والهندسية ادى الى احلاجة الى توسيع‬ ‫مجموعة االعداد احلقيقية الى مجموعة اوسع منها هي مجموعة االعداد املركبة والتي سوف تكون موضوع‬ ‫دراستنا في هذا الفصل‪.‬‬ ‫إننا عندما نريد حل املعادلة (‪ )x2+1=0‬أو (‪ )x2=-1‬الجند عدد ًا حقيقي ًا مربعه يساوي (‪)-1‬‬ ‫لذلك نفترض وجود عدد يساوي ‪ −1‬وهو غير حقيقي ونرمز له بالرمز (‪ )i‬ويسمى الوحدة التخيلية‬ ‫(‪ )Imaginary Unit‬وهو ليس من االعداد التي تقرن مع العد أو القياس‪.‬‬ ‫إن العدد (‪ )i‬يحقق اخلواص اجلبرية لالعداد احلقيقية ما عدا خاصية الترتيب‪ ،‬ولهذا نستطيع حساب‬ ‫قوى (‪ )i‬كما في اﻷمثلة اﻵتية‪:‬‬

‫‪i2 = -1‬‬ ‫‪i3 = i2. i = )-1(.i = -i‬‬ ‫‪i4 = i2. i2 = )-1( )-1( = 1‬‬ ‫‪i27 = i26.i = )i2(13.i = )-1(13.i = -i‬‬ ‫‪i81 = i80.i= )i2(40.i = )-1(40.i = 1.i = i‬‬ ‫‪i-7 = )i(-8.i = )i2(-4.i = )-1(-4 . i = i‬‬ ‫‪i-15= i-16.i = )i2(-8.i = )-1(-8 . i = i‬‬

‫‪6‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫وبصورة عامة يكون‬

‫حيث ‪i4n+r = ir , n ∈N , r= 0, 1, 2, 3‬‬

‫وهذا يعني انه عند رفع (‪ )i‬لعدد صحيح موجب فالناﰋ يكون احد عناصر املجموعة } ‪{- i, i , -1 ,1‬‬ ‫حيث نقسم أس (‪ )i‬على (‪ )4‬والباقي هو اﻷس اجلديد الى (‪.)i‬‬

‫فمث ً‬ ‫ال ‪:‬‬ ‫مثال‪-1 -‬‬

‫‪i25 = i‬‬ ‫‪i99 = i3 = -i‬‬

‫ﻷن ناﰋ قسمة ‪ 25‬على ‪ 4‬يساوي ‪ 6‬والباقي ‪.1‬‬ ‫ﻷن ناﰋ قسمة ‪ 99‬على ‪ 4‬يساوي ‪ 24‬والباقي ‪. 3‬‬

‫اكتب ما يلي في ابسط صورة‪:‬‬

‫‪)a( i16 )b( i58 )c( i12n+93 )d( i-13‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫‪)a( i16 = i4 )4( + 0 = i0 = 1‬‬ ‫‪)b( i58 = i4 )14( + 2 = i2 = -1‬‬ ‫‪)c( i12n+93= )i4(3n . i93 = )1(3n i4)23(+1=)1()i(=i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i16‬‬ ‫‪-13‬‬ ‫‪)d( i = 13 = 13 =i3 = -i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﳝﻜﻨﻨﺎ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻷﻱ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺳﺎﻟﺐ ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ i‬ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ‪:‬‬ ‫‪−16 = 16 . −1 = 4 ii‬‬ ‫‪−25 = 25 . −1 = 5 ii‬‬ ‫‪−12 = 12 . −1 = 2 3 ii‬‬ ‫‪−15 = 15 . −1 = 15 ii‬‬

‫‪7‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫وبصورة عامة يكون‬ ‫‪if a ≥ 0 then −a = a . −1 = a ii , ∀ a≥0‬‬ ‫واﻵن بعد أن تعرفنا على العدد التخيلي ماذا نسمي العدد (‪ )a+bi‬حيث ‪ a‬عدد حقيقي‪ b ،‬عدد‬ ‫حقيقي‪i = −1 =،‬؟‬ ‫‪i‬‬

‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[1-1‬‬ ‫يقــــال للعــــدد‬

‫‪ c = a+bi‬حيــث ‪ a,b‬عـــددان‬ ‫حقيقيـان= ‪−1‬‬ ‫‪i‬‬

‫مـــــركب‬ ‫= ‪ i‬عــــد ٌد‬ ‫ٌ‬

‫(‪ ،)Complex Number‬يسمى ‪ a‬جزؤه احلقيقي( ‪ ) Real Part‬ويسمى ‪ b‬جزؤه التخيلي‬ ‫(‪ .)Imaginary Part‬ويرمز الى مجموعة االعداد املركبة بالرمز ‪ £‬ويقال للصيغة ‪a +bi‬‬ ‫الصيغة العادية أو اجلبرية للعدد املركب‪.‬‬

‫ﺍﻥ ﺍﻱ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ ‪ c = a + bi‬ﳝﻜﻦ ﺟﻌﻠﻪ ﻣﻨﺎﻇﺮ ًﺍ ﻟﻠﺰﻭﺝ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﺍﳌﺮﺗﺐ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ )‪(a,b‬‬ ‫اذ أن ‪ b,a‬عددان حقيقيان‪ ،‬وبالعكس فالعدد احلقيقي ‪ a‬ميكن كتابته بالشكل ‪ a+0i‬أو (‪ .)a,0‬وان‬ ‫العدد ‪ ) Imaginary Unit( i‬حيث ان‪ i ⇔ )0,1 ( :‬او ‪. i= 0+1i‬‬ ‫يقال للعدد ‪ )0 , b( ⇔ bi‬عدد تخيلي بحت ( ‪ )pure Imaginary Number‬والعدد‬ ‫‪ )a , 0( ⇔ a= a+0i‬إنه عدد حقيقي بحت (‪. )Pure Real Number‬‬ ‫فالعدد ‪ -2 + 3i‬عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي‬

‫‪ -2‬وجزؤه التخيلي ‪3‬‬

‫عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي‬

‫‪ -2‬وجزؤه التخيلي ‪0‬‬

‫والعدد‬

‫‪-2‬‬

‫اما العدد ‪-3i‬‬

‫‪8‬‬

‫فهي عدد مركب ‪ ،‬جزؤه احلقيقي ‪ 0‬وجزؤه التخيلي ‪-3‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬

‫اكتب اﻷعداد اﻵتية على صورة ‪: a+bi‬‬ ‫‪d) 1+ −25‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪c)−1− −3‬‬

‫‪b) −100‬‬

‫‪a)− 5‬‬

‫احلل‪:‬‬

‫‪− 5 = −5 + 0a)i − 5 = −5 + 0 ii‬‬ ‫‪−1 =i10 i = 0 +10 ii‬‬ ‫‪100 −100‬‬ ‫‪−1 = =10 100‬‬ ‫‪i = 0 +10‬‬ ‫)‪−100 = b‬‬

‫‪−1 −3 −3‬‬ ‫‪= −1−‬‬ ‫‪−1==−1−‬‬ ‫‪−1− 33 ii−1 = −1− 3 i‬‬ ‫)‪−1 − −3 c‬‬

‫‪1+ −25 1 1+ 25−25−1 1 1 25‬‬ ‫‪5 i−1 1 5 i‬‬ ‫‪== ++ i‬‬ ‫‪= + i‬‬ ‫‪= d)+‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪44 4 4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مبا ان كل عدد حقيقي ‪ a‬ميكن كتابته بالشكل ‪ a+ 0i‬أو (‪ )a ,0‬اي ميكن كتابته على صورة عدد‬ ‫مركب جزؤه التخيلي صفر فان هذا يبني أن ‪:‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ R‬ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ ‪ £‬ﺍﻱ ﺍﻥ ‪. R ⊂ £‬‬

‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[1-2‬‬ ‫اذا كان ‪c1 = a1 + b1i , c2 = a2 + b2i :‬‬ ‫فﺈنﱠ ‪:‬‬

‫‪c1 = c2 ⇔ a1 = a2 , b1 = b2‬‬

‫‪¿É«∏«îàdG ɪgGAõL ihÉ°ùJh ¿É«≤«≤◊G ɪgGAõL ihÉ°ùJ GPG ¿ÉÑcôŸG ¿GOó©dG ihÉ°ùàj …G‬‬

‫‪.¢ùμ©dÉHh‬‬

‫‪9‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪- 3 -‬‬

‫جد قيمة كل من ‪ y , x‬احلقيقيتني اللتني ﲢققان املعادلة في كل ﳑا يأتي ‪.‬‬ ‫‪a( 2x -1 +2i = 1+)y+1(i .‬‬ ‫‪b( 3x+4i = 2 +8yi‬‬ ‫‪c( )2y+1( - )2x-1(i = -8+ 3i‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫‪a( ∵ 2x-1 +2i = 1+)y+1(i‬‬ ‫‪∴ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2‬‬ ‫‪⇒ x =1‬‬ ‫‪2 = y+1 ⇒ y = 2-1‬‬ ‫‪∴ y=1‬‬ ‫‪b( 3x+4i = 2 + 8yi‬‬ ‫⇒ ‪∴ 3x = 2 , 4 = 8y‬‬ ‫‪x= 2 , y = 4 = 1‬‬ ‫‪8 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c( ∵ )2y+1( - )2x-1(i = -8 + 3i‬‬ ‫⇒ ‪∴ 2y+1 = - 8 , - )2x -1 ( = 3‬‬ ‫⇒ ‪2y = -9 , -2x = 2‬‬ ‫‪y = −9 , x = -1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫]‪ [1-2‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪k hG‬‬ ‫’‪: áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ⋲∏Y ™ª÷G á«∏ªY :‬‬ ‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[1-3‬‬ ‫ليكن ‪ c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i‬حيث ‪ c1, c2 ∈ £‬ﻓﺎﻥ‬ ‫‪c1 + c2 = )a1 + a2 ( + )b1 + b2 ( i‬‬ ‫وكما تعلم أن‪ ) a1 + a2( ∈ R ،)b1 +b2 ( ∈ R :‬الن مجموعة االعداد احلقيقية مغلقة‬ ‫ﲢت عملية اجلمع ‪.‬‬ ‫‪∴ )a1 + a2 ( + )b1 + b2 ( i ∈ £‬‬ ‫اي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة ﲢت عملية اجلمع‪.‬‬

‫مثال‪-4 -‬‬

‫جد مجموع العددين املركبني في كل ﳑا يأتي ‪:‬‬

‫‪a)3+ 4 2i,i 5 − 2 2ii‬‬ ‫‪b)3, 2 − 5ii‬‬ ‫‪c)1−i,‬‬ ‫‪i 3ii‬‬

‫احلل ‪:‬‬

‫‪a)(3+ 4 2i)+(5‬‬ ‫)‪− 2 2i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i = (3+ 5)+(4 2 −2 2 )ii‬‬

‫‪= 8+2 2 i‬‬ ‫‪i = (3+ 0i)+(2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‪b)(3)+(2 − 5i‬‬ ‫)‪− 5i‬‬ ‫‪= (3+ 2)+(0 − 5)ii = 5 − 5ii‬‬ ‫‪i 3ii = (1−i)+(0‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪c)(1−i)+‬‬ ‫)‪+ 3i‬‬ ‫‪= (1+ 0)+(−1+ 3)ii =1+ 2ii‬‬

‫‪11‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ≈∏Y ™ª÷G á«∏ªY ¢UGƒN‬‬ ‫تتمتع عملية اجلمع على االعداد املركبة باخلواص اﻵتية‪:‬‬ ‫فان‪:‬‬

‫‪∀c1, c2, c3 ∈ £‬‬

‫‪)1( c1 + c2 = c2 + c1‬‬ ‫* اخلاصية االبدالية ‪)Commutativity( .‬‬ ‫‪)2( c1 + )c2 +c3( = )c1 + c2( +c3‬‬ ‫* اخلاصية التجميعية‪)Associativity( .‬‬ ‫* النظير اجلمعي‪)3( )Additive Inverse( .‬‬

‫‪ ∀c ∈£ , c = a + bi ∃ z ∈£ : c + z = z + c = 0 ⇒ z = −c = −a − bi‬‬ ‫*العنصر احملايد اجلمعي‪ Additive Identity .‬يرمز له بالرمز ‪ e‬و ُيعرف ‪)4( e = 0 = 0 + 0i ∈ £‬‬ ‫ﳑا سبق نستنتج أن‬

‫(‪ ) £ , +‬هي زمرة ابدالية (‪)Commutative Group‬‬

‫ﺍﻥ ﻃﺮﺡ ﺃﻱ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ ﻣﻦ ﺁﺧﺮ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﺍﳌﺮﻛﺐ ﺍﻻﻭﻝ ﻣﻊ ﺍﻟﻨﻈﻴﺮ ﺍﳉﻤﻌﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‪.‬‬

‫مثال‪-5 -‬‬

‫جد ناﰋ ‪:‬‬

‫(‪)7-13i( - )9+4i‬‬

‫احلل ‪:‬‬

‫(‪)7-13i( - )9+4i‬‬ ‫(‪=)7-13i( + )-9 -4i‬‬ ‫‪=)7-9( + )-13 - 4(i‬‬ ‫‪= -2 - 17i‬‬

‫‪12‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-6 -‬‬

‫حل املعادلة‪:‬‬

‫‪)2-4i( +x=-5+i‬‬

‫حيث ‪x ∈ £‬‬ ‫احلل ‪:‬‬

‫‪)2-4i( +x= -5+i‬‬ ‫باضافة النظير اجلمعي للعدد (‪ )2-4i‬للطرفني‬

‫(‪)2-4i(+)-2+4i(+x = )-5+i(+)-2+4i‬‬ ‫(‪∴ x = )-5+i(+)-2+4i‬‬ ‫‪= )-5-2(+)1+4(i‬‬ ‫‪x = -7+5i‬‬

‫‪: áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ⋲∏Y Üô°†dG á«∏ªY :Ék «fÉK‬‬ ‫اليجاد عملية ضرب عددين مركبني نقوم بضربهما بصفتهما مقدارين جبريني ونعوض بد ًال من ‪ i2‬العدد‬ ‫(‪ )-1‬كما يأتي‪:‬‬ ‫اذا كان ‪c1 = a1 +b1i‬‬

‫‪,‬‬

‫‪ c2 = a2 + b2i‬ﻓﺎﻥ‬ ‫(‪c1. c2 = )a1+b1i( )a2 + b2i‬‬

‫‪= a1a2 + + a1 b2i + a2 b1i + b1 b2i2‬‬ ‫‪= a1 a2 + a1 b2i + a2 b1i - b1b2‬‬ ‫‪= )a1a2 - b1b2 (+ )a1 b2 + a2b1(i‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ‪،‬‬

‫‪m ∈R‬‬

‫‪ c = a + b i‬ﻓﺎﻥ‬ ‫‪mc= ma+mb i‬‬

‫‪13‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[1-4‬‬ ‫ليكن ‪ c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i‬حيث ‪ c1,c2 ∈ £‬فان ‪:‬‬ ‫‪c1 . c2 = )a1a2 - b1b2( + )a1b2 + a2b1(i‬‬ ‫وكما تعلم ‪ )a1a2 - b1b2( ∈ R :‬وان ‪ )a1b2 + a2 b1( ∈ R‬الن‬ ‫‪ R‬مغلق ﲢت عملية الضرب‬ ‫لذلك فان ‪c1 . c2 ∈ £‬‬ ‫أي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة ﲢت عملية الضرب‪.‬‬

‫مثال‪-7 -‬‬

‫جد ناﰋ كال ﳑا يأتي ‪:‬‬

‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪a)(2 − 3i)(3−‬‬ ‫)‪5i‬‬ ‫)‪b)(3+ 4i‬‬ ‫‪i2‬‬ ‫)‪c)i(1+i‬‬ ‫‪i i‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪d)− (4+3i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪e)(1+i‬‬ ‫)‪i +(1−i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬

‫احلل ‪:‬‬ ‫‪a)(2 − 3i)(3−‬‬ ‫)‪5i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i = (6 −15)+ (−10 − 9)ii‬‬ ‫‪= −9 −19ii‬‬ ‫او ميكن ايجاد حاصل الضرب بالتوزيع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)2-3i()3-5i(=6-10i-9i+15i = -9-19i‬‬

‫)‪b)(3+ 4i‬‬ ‫‪i 2 = 9 + 24ii +16ii2‬‬ ‫‪= 9 + 24ii −16‬‬ ‫‪= −7 + 24ii‬‬

‫ﺃﻭ‬

‫)‪(3+4i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i = (9 - 16) + (12+12) ii = -7 +24ii‬‬ ‫)‪i 2 = (3+4i)(3+4i‬‬ ‫)‪c)i(1+i‬‬ ‫‪i i = i +ii2 = −1+ii‬‬

‫ ‪1‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪d)− (4+3i)=−10−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪i 2 +(1−i‬‬ ‫‪i 2 =(1+2i+i‬‬ ‫‪i i2 )+(1−2i+i‬‬ ‫) ‪i i2‬‬ ‫)‪e)(1+i‬‬ ‫‪= 2i+)-2i(= 0‬‬

‫‪áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ≈∏Y Üô°†dG á«∏ªY ¢UGƒN‬‬ ‫تتمتع عملية الضرب على االعداد املركبة باخلواص اﻵتية‪:‬‬

‫∈ ‪∀c1, c2, c3‬‬ ‫* اخلاصية االبدالية ‪)Commutativity( .‬‬ ‫‪)1( c1 × c2 = c2 £× c1‬‬ ‫* اخلاصية التجميعية‪)Associativity( .‬‬ ‫‪)2( c1 × )c2 ×c3( = )c1 × c2( ×c3‬‬ ‫* يتوفر العنصر احملايد الضربي (‪ )Multiplicative Identity‬وهو (‪)3( 1= )1+0i‬‬

‫* النظير الضربي (‪)Multiplicative Inverse‬‬ ‫‪)4( ∀c ≠ 0 + 0i , ∃ z ≠ 0 + 0i : c z = z c = 1 ⇒ z = 1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫اي ان لكل عدد مركب ‪c‬عدا الصفر يوجد له نظير ضربي ‪( 1‬يختلف عن الصفر) ينتمي الى‬ ‫‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬

‫اي ان‪ )C-)0+0i( ,×( :‬زمرة ابدالية‬ ‫اي ان‪ )C, + , ×( :‬حقل يسمى حقل االعداد املركبة‬

‫]‪ [1-3‬ﻣﺮاﻓــــﻖ اﻟﻌــﺪد اﳌــﺮﻛﺐ ‪Conjugate Number‬‬ ‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[1-5‬‬ ‫مرافق العدد املركب ‪ c=a+bi‬هو العدد املركب ‪∀ a, b∈R ، c = a-bi‬‬ ‫فمثالً‪ 3+i :‬هو مرافق العدد ‪ 3-i‬وبالعكس‪ ،‬وكذلك مرافق (‪ )i‬هو (‪ )-i‬وبالعكس ‪.‬‬ ‫وان ‪ 5-4i‬مرافق ‪ 5+4i‬وبالعكس‪ ،‬وكذلك مرافق العدد ‪ 7‬هو ‪. 7‬‬

‫‪15‬‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ :‫ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﳌﺮﺍﻓﻖ ﺃﻧﻪ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﳋﻮﺍﺹ ﺍﻵﺗﻴﺔ‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

1( c1 ± c2 = c1 ± c2 2( c1 g c2 = c1 g c2 3( c = c 4( c . c = a 2 + b2 ‫ فان‬c = a + bi ‫اذا كان‬ 5( c = c ‫ فان‬c ∈ R ‫اذا كان‬ 6(  c1  = c1 , c2 ≠ 0  c2  c2 : ‫ فتحقق من‬c1 = 1 + i , c2 = 3 - 2i ‫اذا كان‬ )1( c1 ± c2 = c1 ± c2

)2( c1 g c2 = c1 g c2

-8 -‫مثال‬ :‫احلل‬

)1( c1 + c2 = (1+ ii) + (3 − 2i) i = (4 −i) i = 4 +ii c1 + c2 = (1+ ii) + (3 − 2i) i i i = 4 +ii = (1−i)+(3+ 2i) ∴ c1 + c2 = c1 + c2

c1 − c2 = c1 − c2 ‫تأكد بنفسك ان‬ )2( c1 g c2 = (1+i)(3− i 2i) i = 3− 2ii+ 3ii− 2ii2 = 5 + i = 5 − i c1 . c2 = (1+ ii) (3− 2i) i = )1- i( ) 3+2i( = (3+ 2)+ (2 − 3)ii = 5 −ii

∴

c1 g

c2 = c1 g c2

16

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-9 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫مثال‪-10 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫مثال‪-11 -‬‬

‫جد النظير الضربي للعدد ‪ c = 2 - 2i‬وضعه بالصيغة العادية للعدد املركب‪.‬‬ ‫النظير الضربي للعدد ‪ c‬هو ‪1‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪c 2 − 2ii‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 + 2ii‬‬ ‫‪2 + 2ii 2+ 2ii‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2 − 2ii 2 + 2ii‬‬ ‫‪4+ 4‬‬ ‫‪8‬‬

‫=‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪+ i‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫=‬

‫‪x − yi 3,−3−‬‬ ‫‪2ii 2i‬‬ ‫بالصيغة العاد ّية‬ ‫العدد‬ ‫املركب‪.‬من ‪. x, y ∈ R‬‬ ‫للعددقيمة كل‬ ‫مترافقان فجد‬ ‫ضعكان‬ ‫اذا‬ ‫=‬ ‫‪1+ 5i 5 + iii‬‬

‫‪3 − 2i  x − yi ‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪5i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪3 − 2i 3 − 2i 5 − i‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪3−‬‬ ‫‪5 +2iii = x5++yii 5 − ii‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1− 5i‬‬ ‫‪− 2)+−(−3−10)i‬‬ ‫‪xi + yi 2==(15‬‬ ‫‪3−15i‬‬ ‫‪2i +10i 2 i = 13 − 13ii‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪25 +1‬‬ ‫‪xi −xiy−=y−7‬‬ ‫‪−17i‬‬ ‫‪7=−17i‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪−17i‬‬ ‫∴∴‬ ‫‪x =x−17‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪= −17‬‬ ‫‪= − i‬‬ ‫‪y =y7= 7‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪ c‬‬ ‫اذا كان ‪ c2 = 1 + i , c1 = 3 - 2i‬فتحقق من ‪:‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫احلل ‪:‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ c1   3 − 2ii ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ =‬‬ ‫‪ c2   1+ i ‬‬

‫‪17‬‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬  3 − 2ii 1− i   3 − 3ii − 2ii + 2ii2  = ×  =   1+ ii 1− ii   1+ 1   1− 5ii  1 5 1 5 =  = − i = + ii  2  2 2 2 2

c1 c1 3 − 2ii 3 + 2ii = = i 1− ii c 1+ i 2 c 2

3+ 2ii 1+ ii 3 + 3ii + 2ii + 2ii2 = × = 1+ 1 1− ii 1+ ii = c ∴ c

1

2

1+ 5ii 1 5 = + ii 2 2 2

 c =  c

1

2

‫ ﺣﻴﺚ‬c2 ‫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬c1 ‫ﻻﺟﺮﺍﺀ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ :‫ ﲟﺮﺍﻓﻖ ﺍﳌﻘﺎﻡ ﻓﻴﻜﻮﻥ‬c1 ‫ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﻀﺮﺏ ﺑﺴﻂ ﻭﻣﻘﺎﻡ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭ‬c2≠0

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

c2

c1 c1 c2 = × c2 c2 c2

ً ‫ضع ك‬ :a+bi ‫ال ﳑا يأتي بالصورة‬ a(

1+ ii 1− ii

b(

2 −i 3+ 4ii

c(

-12 -‫مثال‬

1+ 2ii −2 + ii

18

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫‪1+ i 1+ ii 1+ i 1+ 2ii + i 2 2ii‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪= = i = 0+i‬‬ ‫‪1− i 1− i 1+ i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+1‬‬ ‫‪2 − i 3 − 4ii 6 − 8ii − 3ii + 4ii 2 = 2 −11ii = 2 − 11 i‬‬ ‫‪2 −i‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25 25‬‬ ‫‪3+ 4ii 3+ 4ii 3 − 4ii‬‬ ‫‪9 + 16‬‬ ‫‪−5ii‬‬ ‫‪= −ii = 0 − i‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫(‪a‬‬

‫(‪b‬‬

‫‪−2 − i − 4ii − 2ii‬‬ ‫‪1+ 2ii 1+ 2ii −2 − ii‬‬ ‫=‬ ‫(‪c‬‬ ‫=‬ ‫×‬ ‫‪4 +1‬‬ ‫‪−2 + i −2 + i −2 − i‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﳝﻜﻦ ﲢﻠﻴﻞ ‪ x2+y2‬ﺍﻟﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﲔ ﻛﻞ‬ ‫ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ‪ a+bi‬ﻭﺫﻟﻚ ‪:‬‬ ‫(‪x2 +y2 = x2 - y2 i2 = )x-yi()x+yi‬‬

‫مثال‪-13 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫حلل ك ً‬ ‫ال من العددين ‪ 53 ، 10‬الى حاصل ضرب عاملني من صورة ‪ a+bi‬حيث ‪b,a‬‬ ‫عددين نسبيني ‪.‬‬ ‫‪10 = 1+9‬‬

‫او‬

‫‪● 10 = 9 + 1‬‬

‫‪= 1-9i2‬‬

‫‪= 9-i2‬‬

‫(‪= )1-3i()1+3i‬‬

‫(‪= )3-i()3+i‬‬

‫‪53 = 4 + 49‬‬

‫او‬

‫‪●53 = 49 + 4‬‬

‫‪= 4 - 49i2‬‬

‫‪= 49 - 4i2‬‬

‫(‪= )2-7i()2+7i‬‬

‫(‪= )7 - 2i ( )7 + 2i‬‬

‫‪19‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬

‫‪‐1‬‬

‫‪ .1‬ضع ك ً‬ ‫ال ﳑا يأتي بالصيغة العادية للعدد املركب‪:‬‬ ‫(‪i5 , i6 , i124 , i999 , i4n+1 ∀ n ∈ N, , )2+3i(2 + )12+2i‬‬ ‫‪, 12 +ii , , 3+ 4ii ,‬‬ ‫‪3 − 4ii‬‬ ‫‪ii‬‬

‫‪)10 + 3i()0 + 6i( , )1+i(4 - )1-i(4‬‬

‫‪2 + 3ii 1+ 4ii‬‬ ‫×‬ ‫‪. , )1+i(3 + )1-i(3‬‬ ‫‪4 +i‬‬ ‫‪1− i‬‬

‫‪ 3+ i ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ ,,‬‬ ‫‪,, ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2 + 3ii‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ .2‬جد قيمة كل من ‪ y , x‬احلقيقيتني اللتني ﲢققان املعادالت اﻵتية‪:‬‬

‫‪ .3‬اثبت ان ‪:‬‬

‫)‪i + 2i‬‬ ‫‪i +1‬‬ ‫‪b( 8ii = (x + 2i)(y‬‬

‫‪i‬‬ ‫)‪a( y + 5ii = (2x + ii)(x + 2i‬‬

‫‪d( 2 − i x + 3 − i y = 1‬‬ ‫‪2+i‬‬ ‫‪1+ i‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ 1− i ‬‬ ‫‪i2‬‬ ‫)‪+ (x + yi‬‬ ‫)‪i = (1+ 2i‬‬ ‫‪c( ‬‬ ‫‪ 1+ i ‬‬

‫) ‪(1− i ) (1+ i‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= −2‬‬ ‫‪1+ i‬‬ ‫‪1− i‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‪b‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪25‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 2 + i )2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 2 − i )2‬‬

‫(‪a‬‬

‫‪c( (1− ii)(1− i 2 )(1− i 3 ) = 4‬‬ ‫‪ .4‬حلل ك ً‬ ‫ال من االعداد ‪ 29 ،125 ، 41 ، 85‬الى حاصل ضرب عاملني من الصورة ‪ a+ bi‬حيث ‪b, a‬‬ ‫عددان نسبيان‪.‬‬ ‫‪ -5‬جد قيمة ‪ y , x‬احلقيقيتني اذا علمت ان ‪6‬‬ ‫‪ 3+ i ,‬مترافقان ‪.‬‬ ‫‪2−i‬‬ ‫‪x + yi‬‬

‫‪20‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫]‪ [1-4‬اﳉﺬور اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ ‪.‬‬ ‫لقد تعلمت أنه اذا كان ‪ a‬عدد ًا حقيقي ًا موجب ًا فانه يوجد عددان حقيقيان هما ‪ ± a‬يحقق كل منهما‬ ‫املعادلة ‪ x2 = a‬ويسمى ‪ ± a‬اجلذرين التربيعيني للعدد ‪ .a‬أما اذا كان ‪ a = 0‬فان له جذر واحد هو ‪.0‬‬ ‫واﻵن سنتناول دراسة اجلذور التربيعية للعدد املركب ‪.‬‬ ‫مثال‪-14 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫جد اجلذور التربيعية للعدد ‪.c = 8 + 6i‬‬ ‫نفرض ان اجلذر التربيعي للعدد ‪ c‬هو ‪x + yi‬‬

‫⇒ ‪i 2 = 8 + 6ii‬‬ ‫)‪∴ (x + yi‬‬ ‫⇒ ‪x 2 + 2xyii+ i 2 y2 = 8 + 6ii‬‬ ‫⇒ ‪(x 2 − y2 ) + 2xyii = 8 + 6ii‬‬

‫‪x 2 − y2 = 8.................(1)‬‬ ‫‪‬‬ ‫من تعريف تساوي عددين مركبني ‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2xy = 6 ⇒ y = .......(2)‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬في املعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬ ‫⇒ ‪x2 −   = 8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪9‬‬ ‫بضرب الطرفني في‪ x2 ≠ 0‬ينتج ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒‪x − 2 =8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⇒ ‪x 4 − 8x 2 − 9 = 0‬‬ ‫⇒ ‪(x 2 − 9)(x 2 +1) = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( x = −1‬تهمل الن ‪) xX ∈ R‬‬ ‫وبالتعويض في املعادلة (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬نحصل على ‪:‬‬

‫‪x 2 = −1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪±3‬‬

‫او‬ ‫‪x = ±3 or‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪∴ y = ±1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫أي أن جذري العدد‬

‫‪ c‬هما‬

‫‪ c2 = -3 - i‬و ‪∴ c1 = 3 + i‬‬ ‫‪-3 -i , 3 + i‬‬

‫‪21‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-15 -‬‬

‫جد اجلذور التربيعية لالعداد ‪8i, -i ، -17 ، -25 :‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫نفرض ان ‪:‬‬

‫⇒ ‪c 2 = −25‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪c = ± −25 = ± 25ii = ±5ii‬‬ ‫نفرض ان ‪:‬‬

‫⇒ ‪c 2 = −17‬‬

‫)‪b‬‬

‫‪c = ± −17‬‬ ‫‪⇒ c = ± 17 ii‬‬ ‫)‪c‬‬

‫نفرض ان )‪ (x+yi‬هو اجلذر التربيعي للعدد ‪-i‬‬

‫‪2‬‬ ‫)‪∴ (x + yi‬‬ ‫‪i = −ii ⇒ x2 + 2xyi + y2 i2 = 0 - i‬‬

‫)‪x 2 − y2 = 0.......(1‬‬ ‫‪2xy = −1‬‬

‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬باملعادلة (‪ )1‬ينتج‪:‬‬

‫بضرب الطرفني في ‪ 4x2 ≠ 0‬ينتج ‪:‬‬

‫اما‬ ‫او‬

‫‪22‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x2 = −‬‬

‫‪−1‬‬ ‫)‪.........(2‬‬ ‫‪2x‬‬

‫=‪∴y‬‬

‫‪1‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫‪4x 2‬‬

‫‪x2 −‬‬

‫⇒ ‪4x 4 −1 = 0‬‬ ‫‪(2x 2 −1)(2x 2 +1) = 0‬‬

‫) يهمل الن ‪(x ∈ R‬‬

‫‪1‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 1‬‬ ‫‪x=±‬‬ ‫⎜‪∴ y = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وبالتعويض في (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬جند ‪⎟ :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪±(2‬‬ ‫‪⎜ ±2x‬‬ ‫⎟‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪y =y±=+±‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∴ جذرا العدد ‪ -i‬التربيعيان هما ‪i ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2 ‬‬

‫نفرض ان ‪ x+yi‬هو اجلذر التربيعي للعدد ‪8i‬‬

‫)‪∴ (x + yi‬‬ ‫⇒ ‪i 2 = 8ii‬‬

‫(‪d‬‬

‫‪x 2 + 2xyii − y2 = 0+8i‬‬ ‫⇒ ‪8i‬‬ ‫)‪x 2 − y2 = 0........................(1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪2xy = 8 ⇒ y = ..............(2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪16‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫‪x2‬‬

‫وبالتعويض من املعادلة (‪ )2‬في املعادلة (‪ )1‬ينتج ‪:‬‬

‫‪x2 −‬‬

‫وبضرب الطرفني في ‪ x2 ≠ 0‬ينتج‪:‬‬ ‫⇒ ‪x 4 − 16 = 0‬‬ ‫⇒ ‪(x 2 − 4)(x 2 + 4) = 0‬‬ ‫‪x2 = -4‬‬

‫اما‬ ‫او‬

‫( يهمل الن ‪)x ∈ R‬‬

‫‪x 2 = 4 ⇒ x = ±2‬‬

‫وبالتعويض في املعادلة (‪ )2‬عن قيمة ‪ x‬ينتج‪:‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪= ±2‬‬ ‫‪±2‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫∴ جذرا العدد ‪ 8i‬التربيعيان هما (‪± )2+2i‬‬

‫‪23‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫]‪ [1-5‬ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻲ ) ‪. ( £‬‬ ‫تعلمت من املرحلة املتوسطة ان للمعادلة ‪ ax2 + bx + c = 0‬حيث ‪ a ≠ 0‬وان ‪ a, b, c ∈ R‬حلني‬ ‫‪−b± b2 − 4ac‬‬ ‫ميكن ايجادهما بالدستور ‪:‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫سالب ًا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية ولكن يوجد‬ ‫وعرفت أنه اذا كان املقدار املميز ‪ V= b − 4ac‬‬ ‫لها حالن في مجموعة االعداد املركبة ‪.‬‬

‫مثال‪-16 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫حل املعادلة ‪ x2 + 4x + 5 = 0‬في مجموعة االعداد املركبة‪.‬‬ ‫حسب القانون (الدستور)‪:‬‬

‫‪−b± b2 − 4ac‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪−4 ± 16 − (4)(1)(5‬‬ ‫)‪2(1‬‬

‫=‬

‫‪−4 ± 16 − 20‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪−4 ± −4‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪−4 ± 2ii‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪= −2 ± ii‬‬ ‫اي ان للمعادلة جذرين هما ‪−2 − i , −2 + ii‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﻣﻦ اﻟﺪﺳﺘﻮر ﻧﻌﻠﻢ ان ﺟﺬري اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ‪ ax 2 + bx + c = 0‬اﻟﺘﻲ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼﺗﻬﺎ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬

‫‪−b− b2 − 4ac‬‬ ‫‪−b+ b2 − 4ac‬‬ ‫= ‪x2‬‬ ‫= ‪x1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫وحاصل ضرب اجلذرين هو ‪c :‬‬ ‫ومجموع اجلذرين هو ‪−b :‬‬ ‫= ‪x1 . x2‬‬ ‫= ‪x1 + x2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫ ‪2‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫وﳝﻜﻦ اﻻﻓﺎدة ﻣﻦ ﻫﺬه اﳋﻮاص ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ‪:‬‬ ‫او ًال ‪ :‬اذا كان ‪ (y ≠ 0) x + yi‬احد جذري املعادلة ‪a,b,c ∈ R , ax2+bx+c = 0 , a≠ 0‬‬ ‫فان ‪ x - yi‬هو اجلذر اﻵخر لها ‪.‬‬ ‫ثاني ًا ‪ :‬بقسمة طرفي املعادلة ‪ ax +bx+c = 0‬على ‪ a≠ 0‬نحصل على‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫والتي هي عبارة عن‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ( = 0‬حاصل ضرب اجلذرين) ‪ ( x +‬مجموع اجلذرين) ‪x2 -‬‬ ‫مثال‪-17 -‬‬ ‫احلل‪:‬‬

‫جد املعادلة التربيعية التي جذراها (‪. ± )2+2i‬‬ ‫مجموع اجلذرين هو‪:‬‬

‫حاصل ضرب اجلذرين هو ‪:‬‬

‫‪)2-2( + )2-2( i = 0‬‬ ‫‪)2+2i()-2-2i( = -)2+2i(2‬‬ ‫(‪= -)4 + 8i + 4i2‬‬

‫∴ املعادلة التربيعية هي ‪:‬‬

‫‪= -8i‬‬ ‫⇒ ‪x − 0x + (−8i) = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x 2 − 8ii = 0 ⇒ x 2 = 8ii‬‬ ‫مثال‪-18 -‬‬ ‫احلل ‪:‬‬

‫كون املعادلة التربيعية التي معامالتها حقيقية وأحد جذريها ‪. 3-4i‬‬ ‫ﱠ‬

‫مبا أن معامالت املعادلة حقيقية وأحد جذريها‬ ‫∴ اجلذر االخر هو املرافق له وهو‬ ‫مجموع اجلذرين = ‪6‬‬

‫∴ املعادلة هي ‪ :‬‬

‫‪3-4i‬‬ ‫‪3+4i‬‬

‫وحاصل ضربهما = ‪25‬‬

‫‪x2 - 6x + 25 = 0‬‬

‫‪25‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬

‫‪‐2‬‬

‫‪ .1‬حل املعادالت التربيعية اﻵتية وبني اي منها يكون جذراها مترافقني؟‬ ‫‪b( z2 − 32z + 3+ i = 0‬‬ ‫‪d( z2 + 2z + ii(2 − ii) = 0‬‬ ‫ﺑﻄﺮﻳﻘﺘﲔ ‪f( z2 - 2z i + 3=0 ....‬‬ ‫‪ .2‬كون املعادلة التربيعية التي جذراها ‪ m,L‬حيث‪:‬‬ ‫‪3− ii‬‬ ‫‪i2‬‬ ‫= ‪b( m‬‬ ‫)‪, L = (3− 2i‬‬ ‫‪1+ ii‬‬

‫‪a( z2 = −12‬‬ ‫‪c( 2z2 − 5z + 13 = 0‬‬ ‫‪e( 4z2 + 25 = 0‬‬

‫‪L = 1− i‬‬

‫‪a( m= 1+ 2ii‬‬

‫‪ .3‬جد اجلذور التربيعية لالعداد املركبة االتية‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1− 3 ii‬‬

‫(‪c‬‬

‫‪b( 7 + 24ii‬‬

‫‪a( -6i‬‬

‫‪ .4‬ما املعادلة التربيعية ذات املعامالت احلقيقية وأحد جذريها هو‪:‬‬ ‫‪2 + 3ii‬‬ ‫‪4‬‬

‫(‪c‬‬

‫‪b( 5 − ii‬‬

‫‪a( i‬‬

‫‪ -5‬اذا كان ‪ 3 + i‬هو احد جذري املعادلة ‪ x 2 − ax + (5 + 5i) = 0‬فما قيمة ‪a ∈ C‬؟ وما هو‬ ‫اجلذر االخر؟‬

‫‪26‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫]‪ [1-6‬اﳉﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ليكن ‪ z‬احد اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح ‪:‬‬ ‫فان ‪ z3 =1‬ومنها ‪:‬‬

‫⇒ ‪z −1= 0‬‬ ‫⇒ ‪(z −1)(z2 + z +1) = 0‬‬ ‫أما ‪ z2 + z +1 = 0‬او‬ ‫‪either z = 1 or‬‬ ‫‪3‬‬

‫وحلل املعادلة ‪ z2 + z +1 = 0‬نستخدم الدستور ‪:‬‬ ‫‪−b± b2 − 4ac‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)‪−1± 1− (4)(1)(1‬‬ ‫)‪(2)(1‬‬

‫=‬

‫‪−1± −3‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪±‬‬ ‫‪ii‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫اي ان اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح املوجب هي ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3i‬‬ ‫‪ii , − −‬‬ ‫‪1 , − +‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫ان مربع أي من اجلذرين التخيليني يساوي اجلذر التخيلي االخر وهما مترافقان (ﲢقق من ذلك)‬ ‫فاذا رمزنا الحد اجلذرين التخيليني بالرمز ‪” ω‬ويقرأ أوميكا ‪ “Omega‬فان اجلذر اﻵخر هو ‪. ω 2‬‬ ‫ولذلك ميكن كتابة اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح على الصورة ‪:‬‬ ‫‪1, ω , ω 2‬‬

‫‪27‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫وهذه اجلذور ﲢقق اخلواص اﻵتية‪:‬‬ ‫‪1( 1 + ω + ω 2 = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2( ω = 1‬‬

‫ومن اخلاصية االولى نحصل على االتي‪:‬‬ ‫‪)3( 1+ ω 2 = - ω‬‬

‫‪)2( 1+ ω = - ω 2‬‬

‫‪1( ω + ω 2 = -1‬‬

‫‪)6( 1= - ω - ω‬‬

‫‪)5( ω 2 = - 1 - ω‬‬

‫‪4( ω = - 1 - ω 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7( ω −ω 2 = ± 3 i‬‬ ‫ومن اخلاصية الثانية ميكن التوصل الى النتائج االتية‪:‬‬

‫‪ω 4 = ω 3 . ω = 1. ω = ω‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 ω3 1 ω3‬‬ ‫=‪ω = 4 = 3= == ω‬‬ ‫‪= ω2‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω . ωω ω ω‬‬ ‫‪−4‬‬

‫‪ω 5 = ω 3 . ω 2 = 1. ω 2 = ω 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ω3‬‬ ‫= ‪ω = 5 = 3 2‬‬ ‫=‬ ‫‪=ω‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪ω .ω‬‬ ‫‪1. ω 2 ω 2‬‬ ‫‪−5‬‬

‫‪ω 6 = (ω 3 )2 = (1)2 = 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وباالستمرار على هذا النحو فان قوى ( ‪ ) ω‬العداد صحيحة تأخذ احدى القيم ‪:‬‬ ‫‪1, ω , ω 2‬‬ ‫وتتكرر هذه القيم كلما زادت االسس على التوالي مبقدار (‪. )3‬‬ ‫بمعنى أن ‪:‬‬ ‫‪ω 3n+r = ω r‬‬

‫حيث ‪ n‬عدد صحيح‬ ‫‪28‬‬

‫‪,‬‬

‫‪r = 0, 1, 2‬‬

‫= ‪ω −6‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-19 -‬‬ ‫احلل ‪:‬‬

‫جد ناﰋ ‪ω 33 ، ω 25 ، ω -58 :‬‬ ‫‪ω 33 = ω 3(11)+0 = ω 0 = 1‬‬ ‫‪ω 25 = ω 3(8 )+1 = ω1 = ω‬‬ ‫‪−60 )+2 2‬‬ ‫‪(ω3(−20‬‬ ‫‪)(ω=)1=. 1.‬‬ ‫‪= 2ω 2‬‬ ‫‪ω −58 = ω‬‬ ‫‪ω 2ω=2 ω‬‬

‫بمعنى أن ‪:‬‬

‫باقي قسمة أ س ( ‪ ) ω‬على (‪ )3‬هو االس اجلديد الى ‪ω‬‬

‫مثال‪-20 -‬‬

‫اثبت ان ‪:‬‬ ‫‪a) ω 7 +ω 5 + 1 = 0‬‬ ‫‪b) (5 + 3ω + 3ω 2 )2 = −4(2 +ω + 2ω 2 )3 = 4‬‬

‫احلل ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a) ω 7 +ω 5 + 1 = ω 67. ω +ω‬‬ ‫‪. ω 2 +1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a) ω +ω + 1 = ω 6 . ω +ω 3 . ω 2 +1‬‬ ‫‪ω +ω 2 +1 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(حسب اخلاصية االولى)‬ ‫َ‬ ‫‪= ω +ω +1 = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫]) ‪b) (5 + 3ω + 3ω 2 )2 = [ 5 + 3(ω +ω 2‬‬

‫‪= [5 − 3]2 = (2)2 = 4‬‬

‫كذلك‬

‫‪−4(2‬‬ ‫‪+ω +‬‬ ‫‪+22ω‬‬ ‫‪ω 22 ))33‬‬ ‫‪−4(2 +ω‬‬ ‫‪= −4[2(1+ω 2 )+ω]3‬‬ ‫‪= −4[−2ω +ω]3 = −4 [ −ω] 3‬‬ ‫‪= −4(−1) = 4‬‬

‫‪∴(5 + 3ω + 3ω 2 )2 = −4(2 +ω + 2ω 2 )3 = 4‬‬

‫‪29‬‬

‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ ‪Complex Numbers‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-21 -‬‬

‫ﻛﻮن اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﺟﺬراﻫﺎ ‪i ω‬‬ ‫‪a) 1− iiω 2 , 1−ωi‬‬ ‫ﱠ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1−ω 1−ω 2‬‬

‫اﳊﻞ ‪:‬‬

‫)‪b‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﳉﺬرﻳﻦ‬

‫‪(1−iiω 2 ) (1−ωi‬‬ ‫)‪i ω‬‬ ‫‪= 1−iiω −iiω 2 + i 2ω 3‬‬ ‫‪= 1− ii(ω +ω 2 ) −1×1‬‬ ‫)‪+ (-1) (1‬‬

‫‪=i‬‬

‫∴ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1−ω 1−ω 2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1−ω 2 −ω +ω 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪30‬‬

‫‪(1− iiω 2 ) + (1−ωi‬‬ ‫))‬ ‫‪iω‬‬

‫)‪= 2 − ii(ω 2 +ω‬‬ ‫‪= 2 + ii‬‬

‫‪x2-(2+i)x+i=0‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﳉﺬرﻳﻦ‬

‫∴ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع اﳉﺬرﻳﻦ‬

‫)‪a‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‬ ‫=‬

‫ﻣﺠﻤﻮع اﳉﺬرﻳﻦ‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1−ω‬‬ ‫‪1−ω 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2ω‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2ω‬‬ ‫=‬ ‫‪1−ω 2 −ω +ω 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2(ω‬‬ ‫‪+ω‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫) ‪2 − (ω +ω 2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2-2x+‬‬

‫=‬

‫)‪b‬‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ (1

) øjQɪ

J

‐3

:‫ اكتب املقادير االتية في ابسط صورة‬.1 a( ω 64

b( ω −32 5

c(

1 d( (1+ω 2 )−4 e( ω 9 n+5 , n ∈ N ‫حيث‬ −32 12 (1+ω ) :‫كون املعادلة التربيعية التي جذراها‬ ‫ ﱠ‬.2

a) 1+ω 2 , 1+ω ω2 ω , b) 2 2 −ω 2 −ω 3i −3ω 2 c) 2 , ω i 1+ 3z10 + 3z11 1− 3z7 − 3z8  1 1  1 a)  − = −   2 +ω 2 +ω 2  3 2

c) c)

 22 22   1+ω − 55 = 18  +ω 1−  = 18 2 +ω  1+ω − 1− ω   ω ω ω2

31

2 : ‫ فجد قيمة‬z + z +1 = 0 : ‫ اذا كان‬.3

ω14 +ω 7 −1 2 b) 10 = ω +ω 5 − 2 3 3 3 d) (1+ω2) + (1+ω) = −2 3 3 2 ( ) ( ) d) 1+ω + 1+ω = −2

: ‫ اثبت ان‬.4

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫]‪ [1-7‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻼﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ‪.‬‬

‫احملور التخيلي‬ ‫‪Imaginary axis‬‬

‫‪Geometric Representation of Complex Numbers.‬‬ ‫اذا كان ‪( E2‬او ‪ )R2‬ميـثل املستــوي االقليـــدي املتعامــــد احملـــورين‪ .‬فانه باقران كـــل عــدد مركب‬ ‫‪( x+yi‬حيث ‪ )x,y ∈ R‬بالنقطة (‪ )x,y‬في ‪ E2‬نحصل على تطبيق تقابل من ‪ £‬الى ‪ . R2‬وفي‬ ‫هذا املستوي سنمثل هندسي ًا بعض العمليات اجلبرية البسيطة في اجلمع والطرح في ‪ £‬والتي تقابل هندسي ًا‬ ‫العمليات في ‪( E2‬او ‪.)R2‬‬ ‫سوف نتناول في هذا البند والبنود الالحقة متثيل بعض العمليات على االعداد املركبة هندسي ًا والتي سنطلق‬ ‫على االشكال التي متثلها اشكال ارجاند نسبة الى العالم ( ‪ )J. R . Argand, 1768 - 1822‬وسمي‬ ‫املستوي باسم العالم االملاني الشهير غاوس‪ ،‬مبستوي غاوس ( ‪ )C.F. Gauss 1777-1855‬أو بشكل‬ ‫مبسط املستوي املركب ( ‪)Complex Plane‬‬ ‫‪y‬‬ ‫اذ يسمى احملور السيني (‪ )x-axis‬باحملـور‬ ‫(‪P )x,y‬‬ ‫احلقيقي حيث ميثل عليـــــه اجلــزء احلقيــقي‬ ‫للعــــدد املـــركب امــــا احملـــــــور الصـــادي‬ ‫(‪ )y - axis‬فيطلق عليــه اســم احملـــــــــور‬ ‫التخيلي والذي يـمثــل عليــه اجلزء التخيــلي‬ ‫‪θ‬‬ ‫للعدد املركب‪ .‬وبالتالي فان العدد املركب‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Real axis‬‬ ‫‪ُ x + yi‬ميثل هندسي ًا بالنقطة (‪ )x,y‬الحﻆ الشكل (‪ )1-1‬احملور احلقيقي‬

‫‪0‬‬

‫الشكل (‪)1-1‬‬

‫لو كان ‪z2 = x2 + y2 i , z1 = x1 + y1 i‬‬ ‫عــــــددان مركبـــــــان مـمثــــالن بالنـقطتيـن‬ ‫(‪ p2 )x2 , y2( , p1 )x1, y1‬فــــان ‪:‬‬ ‫‪z1 + z2 = (x1 +x2) + (y1 +y2)i‬‬ ‫ويـمكــن تـمثيــــــل ‪ z1 + z2‬بالنقطـــــــة‬ ‫) ‪p3 (x1 + x2 , y1 + y2‬‬ ‫مستخدمني الـمعلومات الـمتعلقة باملتجهات‪.‬‬ ‫كما في الشكل (‪: )1- 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⇀‪uuuv u‬‬ ‫⇀ ‪uuv‬‬ ‫‪uuuv‬‬ ‫⇀‬

‫اي ان‬ ‫‪ 0 p1 + 0 p2 = 0 p3‬‬

‫‪32‬‬

‫‪y‬‬ ‫(‪p3)z1+z2‬‬ ‫(‪p2)z2‬‬ ‫(‪p1)z1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫الشكل (‪)1-2‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫‪uuuv‬‬ ‫ان العدد املركب ‪ x + yi‬ميكن متثيله باملتجه ‪ 0⇀p‬وعليه يكون جمع عددين مركبني هو جمع‬ ‫ ‬ ‫متجهني‪.‬‬ ‫‪uuuv‬‬ ‫⇀ حول ‪ 0‬نصف دورة ‪ ،‬وعليه‬ ‫اذا اعتبرنا ‪ p2‬ميثل العدد املركب ‪ - z2‬فﺈن ‪ p2‬هي ناﲡة من دوران ‪0 p2‬‬ ‫فﺈن ‪:‬‬ ‫( ‪z1 - z2 = z1 +)-z2‬‬ ‫والذي يقترن بالنقطة ‪ p4‬حيث‬

‫‪0p1 p4 p2‬‬

‫يشابه متوازي االضالع‬

‫‪ 0p1 p3 p2‬كما‬

‫في الشكل (‪.)1-3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫(‪p3)z1+z2‬‬

‫‪x‬‬

‫(‪p2)z2‬‬

‫(‪p1)z1‬‬

‫⇀‪u‬‬ ‫⇀‪uuv u‬‬ ‫⇀ ‪uuuv‬‬ ‫⇀ ‪uuuv‬‬ ‫‪uuuv‬‬ ‫=‬ ‫‪p‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫أي أن ‪p2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 4‬‬

‫‪0‬‬

‫(‪p4)z1- z2‬‬

‫(‪p2 )- z2‬‬

‫الشكل (‪)1-3‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫(‪ )1‬ليكن ‪ k‬عدد حقيقي ال يساوي الصفر ‪ z .‬عدد مركب فان النقطة التي تمثل ‪ kz‬يمكن الحصول‬ ‫عليها بواسطة التكبير الذي مركزه ‪ 0‬ومعامله الثابت ‪.k‬‬ ‫(‪ )2‬لكل عدد مركب ‪ z‬فان النقطة ‪ iz‬يمكن الحصول عليها من دوران ربع دورة عكس عقارب‬ ‫الساعة‪.‬‬

‫‪33‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫مثال‪-22 -‬‬

‫مثّل العمليات االتية هندسي ًا في شكل ارجاند‪:‬‬ ‫(‪b( )6 - 2i( - )2 - 5i‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫(‪p1)z1( = p1 )3, 4‬‬ ‫(‪p2)z2( = p2)5, 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫الحﻆ ‪3 :‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫وهو مشابه الى جمع المتجهات‪.‬‬ ‫ويكــــــــون ‪0p p p‬‬ ‫⇀‪u‬‬ ‫‪uuv 1 3 2‬‬ ‫متوازي اضالع قـطره هـو ‪ op3‬‬

‫(‪p3)z3( = p3 )8, 6‬‬

‫‪a( )3 + 4i( + )5 + 2i( = 8 + 6i‬‬ ‫⇒‬ ‫‪z1 = 3 + 4i‬‬ ‫‪z2 = 5 + 2i‬‬ ‫⇒‬ ‫‪y‬‬

‫⇀‪uuuv u‬‬ ‫⇀‪uuv u‬‬ ‫‪uuv‬‬ ‫⇀‬ ‫‪0p +0p = 0p‬‬

‫⇒‬

‫(‪a( )3+4i( + )5 + 2i‬‬

‫(‪p3)z3‬‬ ‫(‪p1)z1‬‬

‫‪6‬‬

‫(‪p2)z2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫‪z1+z2=z3 = 8 + 6i‬‬

‫الشكل (‪)1-4‬‬

‫‪b( )6 - 2i( - )2 - 5i( = )6 - 2i( + )-2 + 5i( = 4 + 3i‬‬ ‫(‪z1 = 6 - 2i ⇒ p1)z1( = p1) 6, -2‬‬ ‫(‪z2 = -2 + 5i ⇒ p2)z2( = p2)-2, 5‬‬ ‫‪y‬‬

‫=(‪p2)z2‬‬

‫=(‪p3)z3‬‬ ‫(‪p3)4, 3‬‬ ‫الشكل (‪)1-5‬‬

‫‪x‬‬

‫(‪p3)z3( = p3 )4, 3‬‬

‫ ‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫= (‪p1)z1‬‬ ‫(‪p1)6, -2‬‬

‫⇒ ‪z3 = 4 + 3i‬‬

‫(‪p2)-2, 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬

‫‪‐4‬‬

‫‪ .1‬اكتب النظير الجمعي لكل من االعداد اﻵتية ثم مثّل هذه االعداد ونظائرها الجمعية على شكل‬ ‫ارجاند‪.‬‬ ‫‪z4 = i‬‬

‫‪z3 = 1-i ,‬‬

‫‪z2 = -1 + 3i ,‬‬

‫‪z1 = 2 + 3i ,‬‬

‫‪ .2‬اكتب العدد المرافق لكل من اﻷعداد االتية ثم مثّل االعداد ومرافقاتها على شكل ارجاند‪.‬‬ ‫‪z4 = -2i‬‬

‫‪z3 = 1 - i ,‬‬

‫‪z1 = 5 + 3i , z2 = -3 +2i ,‬‬

‫‪ .3‬اذا كان ‪ z = 4 + 2i‬فوضح على شكل ارجاند ك ً‬ ‫ال من ‪:‬‬

‫‪ .4‬اذا كان ‪, z1 = 4 - 2i‬‬

‫ــ‬ ‫‪z , z , -z‬‬

‫‪ z2 = 1+ 2i‬فوضح على شكل ارجاند ك ً‬ ‫ال من‪:‬‬ ‫‪z1 + z2‬‬

‫‪2z1 , z1 - z2 ,‬‬

‫‪-3z2 ,‬‬

‫‪35‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫[‪ ]1-8‬الصيغة القطبية ‪Polar Form‬للعدد املركب‪.‬‬ ‫في البنود السابقة درسنا العدد المركب بصيغته الجبرية ‪ z=x +yi‬والديكارتية ( ‪ z = (x, y‬وفي هذا‬ ‫البند سندرس صيغة اخرى للعدد المركب تدعى بالصيغة القطبية ‪ .‬وتحويل احدهما الى االخرى ‪.‬‬ ‫فلو كان لدينا العدد المركب ‪ z = x + yi‬ومثّلناه بالنقطة ( ‪ p (x,y‬كما في الشكل (‪ )1-6‬فان‪:‬‬ ‫) ‪ (r,θ‬همــا االحـــداثيــان القطبيــان‬

‫‪y‬‬

‫للنقطــــة ‪ p‬حيث ‪ 0‬يـمثـــــل القطب‬

‫)‪P (x,y‬‬

‫→ يمثــل الضلــع االبتدائي‪ ،‬وهذا‬ ‫و ‪ox‬‬ ‫يعني أن ‪:‬‬

‫⇀‬ ‫‪m‬‬ ‫‪= Sxop‬‬ ‫‪ r = op‬وان ‪xop‬‬ ‫= ‪ θ‬‬ ‫‪ θ S‬‬ ‫‪uuv‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫‪u‬‬ ‫⇀‬ ‫⇀ الى‬ ‫‪op‬‬ ‫ويكون قياس ‪ θ‬من ‪ox‬‬ ‫ ‬

‫بأتجـاه عكس عقـارب الساعـة اذا كـان‬

‫‪r‬‬

‫‪y‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫القيـاس موجـبـاً‪ ،‬ومـع اتجــاه عقـارب‬ ‫الساعة اذا كـــان القياس سالب ًا يكــون‬ ‫بالقياس الدائري وعليــه فأن ‪:‬‬

‫‪0‬‬

‫الشكل (‪)1-6‬‬

‫)‪R(z) = x = r cos θ ....(1‬‬ ‫)‪I(z) = y = r sin θ ....(2‬‬ ‫حيث( ‪ R(z‬يرمز للجزء الحقيقي للعدد المركب ‪ z‬بينما ( ‪ I (z‬يرمز للجزء التخيلي للعدد المركب‪z‬‬ ‫‪ r‬يسمى مقياس العدد المركب ‪)Modulus of Complex Number( z‬‬

‫ويرمز =له ‪r = z‬‬ ‫مقياس ‪x 2 +z‬‬ ‫وهو عدد حقيقي غير سالب ويقرأ “‪ ”mod z‬او ‪y2‬‬ ‫حيث ‪r = z = x 2 + y2‬‬ ‫ومن العالقتين (‪ )1‬و (‪ )2‬نحصل على‪:‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫=‬ ‫‪r z‬‬

‫= ‪cosθ‬‬

‫‪y y‬‬ ‫=‬ ‫‪r z‬‬ ‫اما ‪ θ‬فقياسها يسمى سعة العدد المركب (‪)Argument of Complex Number‬‬ ‫= ‪sinθ‬‬

‫واختصار ًا تكتب بالشكل )‪θ = arg(z‬‬

‫‪36‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫ﳝﻜﻦ ﺍﻥ ﺗﺎﺧﺬ ‪ θ‬ﻋﺪﺩ ًﺍ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺘﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﻋﻦ ﺍﻻﺧﺮﻯ ﺑﻌﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﺕ‪.‬‬ ‫فاذا كانت ‪ θ‬سعة عدد مركب فان ك ً‬ ‫ال من االعداد ‪ θ + 2nπ :‬حيث ‪ n‬عدد صحيح يكون ايض ًا سعة‬ ‫لنفس العدد المركب‪.‬‬

‫اما اذا كانت ) ‪ θ ∈ [0, 2π‬الدالة على سعة العدد المركب فيقال لها القيمة االساسية لسعة العدد‬ ‫المركب ( ‪.)principle Value‬‬ ‫مثال‪-23 -‬‬

‫‪ zz==1−‬فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة ‪. z‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫اذا كان ‪+ 3i3i‬‬

‫احلل‪:‬‬ ‫‪mod z = z = x 2 + y2‬‬ ‫‪= 1+ 3 = 2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫=‬ ‫‪z 2‬‬ ‫نستنتج ان ‪ θ‬في الربع االول‬

‫مثال‪-24 -‬‬

‫= ‪cos θ‬‬

‫‪y − 3‬‬ ‫=‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪∴ arg=)2π‬‬ ‫‪z ( =−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬

‫اذا كان ‪ z = -1 - i‬فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة ‪. z‬‬

‫احلل ‪:‬‬ ‫‪mod z = z = 1+1 = 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نستنتج ان ‪ θ‬في الربع الثالث‬

‫= ‪cos θ‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫=‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪∴ arg ) z ( = π +‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬

‫‪37‬‬

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫‪(1‬ﺍﻥ ﺳﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ‪ z = 0‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻻﻥ ﺍﳌﺘﺠﻪ ﺍﻟﺼﻔﺮﻱ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﺍﲡﺎﻩ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﳑﻜﻦ ﺍﻻﻓﺎﺩﺓ ﻣﻦ ﺍﳌﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﺴﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ‪ z = x+yi‬ﺑﺼﻮﺭﺓ ﺍﺧﺮﻯ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺼﻴﻐﺔ ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬ ‫‪ Polar From‬ﻭﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ x = r cosθ , y = r sinθ‬‬ ‫) ‪z = (r cos θ + iir sin θ) = r (cos θ + ii sin θ‬‬ ‫))‪z = z ( cos(arg z)+ i sin(arg z‬‬ ‫او‬

‫‪Q‬‬ ‫‪ x = r cosθ , y = r sinθ‬‬

‫حيث ‪ θ = arg )z( ، r = mod z= z‬هي سعة العدد المركب ‪z‬‬

‫مثال‪-25 -‬‬

‫عبر عن كل من االعداد اﻵتية بالصيغة القطبية ‪:‬‬ ‫‪b) 2 3 − 2ii‬‬

‫‪a) − 2 + 2ii‬‬

‫احلل ‪:‬‬ ‫‪a) let z = −2 + 2ii‬‬

‫‪ θ‬تقع في الربع الثاني‬

‫‪mod z = z = 4 + 4 = 2 2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪cos θ‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬ ‫=‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∴ arg ) z ( = π − −π = 3π .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫الصيغة القطبية للعدد المركب ‪ z‬هي ‪:‬‬ ‫)‪z = r (cos θ + i sin θ‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫( ‪3π‬‬ ‫‪+ ii sin‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪38‬‬

‫‪z = 2 2(cos‬‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ b)b)let b) letzlet z==−2 z−2 = −2 33−−2i 32ii− 2i mod z = 12 + 4 = 16 = 4

cos θ =

sinθ =

2 3 3 =− 4 2

−2 −1 = 4 2 ‫ تقع في الربع الرابع‬θ

∴ arg ) z ( = 2π −

π 11π = 6 6

z =4 4= (cos

39

11π 11π + i sin ) 6 6

: ‫ هي‬z ‫∴ الصيغة القطبية للعدد المركب‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ :‫عبر عن كل من االعداد االتية بالصيغة القطبية‬ a( 1

b( i

c( -1

-26 -‫مثال‬

d( -i : ‫احلل‬

: ‫الحﻆ االشكال اﻵتية‬

y

)a(

y

)0,1(

)b(

)1,0( p)z1( = )1,0(= 1+0i

x p)z2( = )0,1(= 0+i mod z2 = 1 π arg z2 = 2

mod z1 = 1 arg z1 = 0

∴ z1 = 1 )cos 0 +i sin 0(

∴ z2 = 1 )cos

x

π π +i sin ( 2 2 y

y

)c(

)d(

x )-1,0( p)z3( =)-1,0(=-1+0i mod z3 = 1 arg z3 = π

x p)z4( = )0,-1(=0-i )0,-1( mod z4 = 1 3π arg z4 =

2

2 ∴ z3 = 1 )cos π +i sin π (

∴ z4 = 1 )cos

3π 2

+i sin

3π 2

(

)1-7( ‫الشكل‬

0

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ 1 = (cos 0 + i sin 0) −1 = (cos π + i sin π ) π π i = (cos + i sin ) 2 2 3π 3π −ii = (cos + i sin ) 2 2 i sin0)0) 33==33××11==(cos 3(cos00++i sin

:‫من املثال السابق نستنتج االتي‬

: ‫وبتطبيق االستنتاج السابق يمكن أن نضع‬

−2 = 2 × (−1) = 2(cos π + ii sin π ) π π + ii sin ) 2 2 3π 3π i = 7(cos −7ii = 7 × (−i) + i sin ) 2 2 5ii = 5 × i = 5(cos

.‫[ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﳝﻮاﭬﺮ‬1-9]

De Moivre’s Theorem z2 = cosφ + i sin φ , z1 = cosθ + i sinθ :‫ يمكن ان تكتب بصورة‬z2 , z1

‫ بالصيغة القطبية‬z1 . z2 ‫واالن سنجد‬

z1 × z2 = (cosθ + i sinθ )(cosφ + i sinφ) = cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)

= cosθ cosφ + i cosθ sin φ + i sinθ cosφ + i 2 sinθ sin φ = [cosθ cosφ − sinθ sin φ]+ i [cosθ sin φ + sinθ cos sin φ] = cos(θ + φ)+ i sin(θ + φ) (cosθ + i sinθ)2 = cos θ ++iisin θ ‫( فان العالقة تصبح‬φ = θ ) ‫ولو كان‬ cos22θ sin2 2θ :‫ويمكن برهنتها كما يأتي‬ = (cosθ + i sinθ)2 = (cos 2 θ + 2ii sinθ cosθ − sin 2 θ) LHS 22 22 == (cos cosθ = (cos 2θ))− sin 2θ) + i(2 sinθ cosθ ) (cos 2 θθ -++ sin sin 2 θ)+ θ)+ ii(2 i(2 sinθ sinθ cosθ == cos cos 2θ 2θ ++ ii sin sin 2θ 2θ ===RHS= (cos 2θ + i sin 2θ = .‫) الى تعميم العالقة والتي سميت بمبرهنة ديمواﭬر‬1664-1754( ‫وقد توصل العالم ديمواﭬر‬

1

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬ ‫’‬

‫مبرهنة ديمواﭬر‬

‫لكل ‪ θ ∈ R , n ∈ N‬فﺈن‬ ‫‪(cosθ + i sinθ)n = cos n θ + i sin n θ‬‬

‫البرهان‪( :‬لالطالع فقط)‬

‫سنتوصل الى برهان هذه المبرهنة بطريقة االستقراء الرياضي وكما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ )1‬لنعتبر ‪ n =1‬فان العالقة تصبح‪:‬‬ ‫‪ (cosθ + i sinθ)1 = cos1 θ + i sin1 θ‬وهي عبارة صحيحة ‪.‬‬ ‫‪ )2‬لنأخذ ‪ k≥ 1‬ونفترض ان العالقة صحيحة لكل ‪. n = k‬‬ ‫أي ان ‪ (cosθ + i sinθ)k = cos k θ + i sin k θ‬صحيحة فرضاً‪.‬‬ ‫‪ )3‬يجب ان نثبت ان العالقة صحيحة عندما ‪n = k + 1‬‬ ‫‪∴(cosθ‬‬ ‫)‪∴(cosθ++i sinθ‬‬ ‫‪i sinθk+1‬‬ ‫‪)k = (cosθ + i sinθ)1 (cosθ + i sinθ )k‬‬ ‫) ‪= (cosθ + i sinθ)(cos kθ + i sin kθ‬‬ ‫)‪= cos(θ + kθ ) + i sin(θ + kθ‬‬ ‫‪= cos(k +1)θ + i sin(k +1)θ‬‬

‫وعليه فاذا كانت العالقة صحيحة عند ‪ n‬أي ‪ n=k , k≥1‬فهي كذلك صحيحة عند ‪n = k + 1‬‬ ‫وبواسطة االستقراء الرياضي فان المبرهنة تعتبر صحيحة لجميع قيم ‪.n‬‬ ‫مثال‪-27 -‬‬

‫احلل‪:‬‬

‫‪ 2‬‬

‫احسب‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(cos π + i sin π )4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪33‬‬ ‫‪334‬‬ ‫‪= (cos‬‬ ‫‪= (cos π +πi+sin‬‬ ‫= ‪i sin π )π )=4‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪3π3π‬‬ ‫‪3π3π‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪= cos + i+sin‬‬ ‫= = ‪i sin‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫)‪0=+0i(−i‬‬ ‫)‪+ ii(−i‬‬ ‫‪= −ii‬‬ ‫‪1= −i‬‬

Complex Numbers ‫االعداد املركبة‬ :‫ فان‬θ ∈ R , n ∈ N ‫بين انه لكل‬

-28 -‫مثال‬

(cosθ − i sinθ )n = cos n θ − i sin n θ : ‫احلل‬ n LHSQ(cosθ = − ii sinθ)n = [ cosθ + (−ii sinθ)]

= [(cosθ + − i sin(−θ)]

n

= [ cos(−θ) + ii sin(−θ)]

n

φ = −θ

‫ تصبح العالقة‬φ = −θ ‫وبجعل‬

[ cosφ + i sinφ ] n = [ cosφ + i sin φ ] cos nφ + i sin nφ = = cos n φ + ii sin n φ cos(−nθ) + i sin(−nθ ) = = cos(−n θ)+ i sin(−n θ)

cos nθ − i sin nθ = cos n θ − i sin n θ n

= RHS

‫الطرف االيسر‬

‫الطرف االيمن‬

)‫ م‬. ‫ هـ‬. ‫(و‬

‫ فان‬θ ∈ R , n ∈ ZN+

:‫نتيجة ملبرهنة دميواﭬر‬

‫لكل‬

kkk nθ2π k2π +θ2π k2π θθ=++rθ2π 2π 2πkn θ+++ 1θ(cos +++ 2π k2π kk1θ +θθi+sin θ52π kn θ) z + i sin cos + i sin 2(− + i ) = 2 (−1+ i) rcos + i sin zz r=rzzz2cos rr cos cos + i sin + i sin  n nn  i)= 32(−1+ k = 0,1, 2,..., n −1 n2n 2 nn nnn 

nn

1 1 111n nnnn n 5nnn

2,......., −1 k===0,1, 0,1, 2,......., −1 2,......., nnn−1 kk==k0,1, k0,1, 2,......., 0,1, 2,......., nn−1 −1 (1+i )11 ‫احسب باستخدام مبرهنة ديموافر‬

:‫احلل‬

(1+ i)" let

z = 1+ i

1 1 3 1 1 π π Q mod 2 , cosθ ∴ zarg Q mod z= z= 2 , cosθ = = , sinθ ∴ arg = z= x, sinθ +=1 ==0 ⇒ 4 4 2 2 3 2 2

x = −1

3

-29 -‫مثال‬

x 3 = cos π + i sin π ∴ x = (cos π + i sin π )

1 3

π Q mod z = Complex 2 ang z = Numbers ‫االعداد املركبة‬ 4 π π ∴ z = 2(cos + i sin ) 4 4 π π 11 ∴(1+ ii)"11 = ( 2 )"11 (cos + i sin )" 4 4 11 11 11π π 11π + i sin ) ) = 22 22 (cos 4 44 11 3π 3π + i sin ) = 2 2 (cos 4 4 11 1 1 1 1 +i ) = 25 2(− +i ) = 2 5 (−1+ i) = 32(−1+ i) = 2 2 (− 2 2 2 2 5

= 2 (i −1) = 32(i −1) ( cosθ +i i sinθ )−1 = [ cos(−θ )+i i sin(−θ )] = (cosθ −i i sinθ )

[)cosθ + ii sinθ ])

−n

= cos n θ − i sin n θ

3

x ∈ £ ‫ حيث‬x +1 = 0

x3 + 1 = 0 ⇒

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

:‫ويمكن تعميم هذه العالقة بالشكل االتي‬

‫حل المعادلة‬

-30 -‫مثال‬

:‫احلل‬

x = −1 3

x 3 = cos π + ii sin π 1 3

∴ x = (cos π + i sin π ) π + 2nπ π + 2nπ k k ∴ x = cos + i sin 3 3 k = 0,1, 2 n ‫حيث‬ ‫النه جذر تكعيبي‬

Complex Numbers ‫اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ‬ x1x = cos π + i sin π 3 3 x1 = 1 + 3 i 2 2 x2x = cos π + i sin π = −1+ i(0) x2 = −1

‫ ﻳﻜﻮن‬k= 0 ‫ﺑﻮﺿﻊ‬

x3 x = cos 5π + i sin 5π 3 3 x3 = 1 − 3 i 2 2 ⎧1 ⎫ ⎨ + 3 i , −1 , 1 − 3 i ⎬ ⎩2 2 2 2 ⎭

‫ ﻳﻜﻮن‬k= 2

‫ ﻳﻜﻮن‬k= 1

‫ﺑﻮﺿﻊ‬

‫ﺑﻮﺿﻊ‬

: ‫ اذ ًا ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺤﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻫﻲ‬

2 ‫ ( ﺛﻢ ﺟﺪ اﻟﺠﺬور اﻟﺨﻤﺴﺔ ﻟﻪ‬3 + i) : ‫اوﺟﺪ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﻘﺪار‬

cosθ =

3 4

sinθ

1 2

π π arg(z) = 6 6 z = 3+1 = 2 ⎛ 3 π π1 ⎞ 3∴ 13 3، + isinθ 1 1 1⎟ sin zcosθ == 2 ⎜3cos cosθ = sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ =⎝ 4 sinθ cosθ = = =62 ⎠ 6 4 4 24 4 2 22 ⎛ π 2 π⎜ cos + i sin π ⎞⎟ π = 4 z ∴θ = ⎝ arg(z) =⎠ 3 3 6 6 ∴θ =

:‫ ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ‬z ‫ ﻧﻀﻊ‬z = 3 + i ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

1

z =2 13 + 11=⎡ 2 π π ⎤5 ∴(z ) 5 = 4 5 ⎢cos + i sin ⎥ ⎛ π⎣ 3 π ⎞ 3⎦ ∴ z = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎝ ⎠ π ⎤ 45 ⎡⎢ π6+ 2nπ 6 + 2nπ ⎥ ⎛ π3 π⎞ 5 3 = ⎥⎦ z2 =44 ⎜⎢⎣cos + i sin +⎟i sin 5 5 ⎝ ⎠ 3 3

-31 -‫ﻣﺜﺎل‬

:‫اﳊﻞ‬

π π arg(z) = Complex 6 6 Numbers ‫االعداد املركبة‬ z = 3+1 = 2 π π 2  π π 2 2 ∴ z = 2  cos + i sin  ⇒ z = 2 (cos + ii sin )  6 6 6 6  π π z2 = 4  cos + i sin   3 3

∴θ =

1 5

 π π ∴(z ) = 4 cos +ii sin   3 3   π π k k + 2nπ + 2nπ   = 5 4 cos 3 +ii sin 3   5 5  1 2 5

1 5

‫ النه جذر خامس‬k = 0, 1, 2,3,4 2 Zz 51 = 5 4  cos π +ii sin π 



15

15 

2 Zz 52 = 5 4 cos 7π + i sin 7π   



15

15 

‫حيث‬

‫ يكون‬k=0 ‫وبوضع‬ ‫ يكون‬k=1 ‫وبوضع‬

2 Zz 53 = 5 4 cos 13π + i sin 13π   

‫ يكون‬k=2 ‫وبوضع‬

2  19π 19π  Z 54 z = 5 4 cos + i sin 

‫ يكون‬k=3 ‫وبوضع‬





15

15 

15  2  25π 25π  zZ55 = 5 4 cos + i sin  15 15  Z5 = 5 4 cos 5π + i sin 25π   3 3  15

‫ يكون‬k=4 ‫وبوضع‬

6

‫االعداد املركبة ‪Complex Numbers‬‬

‫‪ .1‬احسب ما يأتي‪:‬‬

‫‪)1‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-5‬‬

‫‪4‬‬

‫⎡‬ ‫‪5‬‬ ‫⎤ ‪5‬‬ ‫⎥ ‪a) ⎢cos π + i sin π‬‬ ‫⎣‬ ‫‪24‬‬ ‫⎦ ‪24‬‬

‫‪c) (1− i)7‬‬ ‫‪d) ( 3 + i)9‬‬

‫⎡‬ ‫‪7‬‬ ‫⎤ ‪7‬‬ ‫⎥ ‪b) ⎢cos π + i sin π‬‬ ‫‪⎣ 12‬‬ ‫⎦ ‪12‬‬

‫‪−3‬‬

‫‪4‬‬

‫⎡‬ ‫⎤ ‪5‬‬ ‫‪75‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫⎥‪π‬‬ ‫‪c) (1− i)7‬‬ ‫‪c) (1−‬‬ ‫)‪i‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ .2‬احسب باستخدام مبرهنة ديموافر ⎦(او ‪24‬‬ ‫التعميم)ما يأتي‪:‬‬ ‫‪d) ( 3 + i)9‬‬

‫‪4‬‬

‫⎡‬ ‫‪5‬‬ ‫⎤ ‪5‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫⎥‪π‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫‪24‬‬ ‫⎦ ‪24‬‬

‫‪−3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎤ ‪7‬‬ ‫⎡ ⎤‬ ‫⎤ ‪⎡ 7 75‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5 b)⎤ ⎡cos 7-9‬‬ ‫‪π +(1−‬‬ ‫⎥ ‪i sini)7 π‬‬ ‫)‪b)⎥ ⎢cos c)a‬‬ ‫‪π +(1−‬‬ ‫‪i⎢cos‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫)‪i) ππ⎥+ i sin d)π ⎥( ⎢ 3 + i)9 c‬‬ ‫‪⎦ ⎣ 12‬‬ ‫‪⎣ 12‬‬ ‫⎦ ‪12‬‬ ‫⎦ ‪24‬‬ ‫‪24 ⎦ ⎣ 12‬‬

‫‪−3‬‬

‫⎡‬ ‫‪7‬‬ ‫⎤ ‪7‬‬ ‫‪ .3‬بسط ما يأتي‪:‬‬ ‫‪d)b)( ⎢3cos‬‬ ‫‪+ i)9 π + i sin‬‬ ‫⎥‪π‬‬ ‫‪d) ( 3 + i)9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪⎣2θ +2θ12‬‬ ‫‪(cos(cos‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪sini sin‬‬ ‫ ⎦ ‪2θ)2θ)12‬‬ ‫)‪a) a‬‬ ‫بطريقتين ‪b) (cosθ + i sinθ )8 (cosθ − i sinθ)4 ....‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪+ i3θ‬‬ ‫‪sin 3θ‬‬ ‫‪(cos(cos‬‬ ‫‪3θ +3θ‬‬ ‫‪i sin‬‬ ‫ ‬ ‫‪Hint : x4 y4 = (xy)4‬‬ ‫‪−3‬‬

‫‪ .4‬جد الجذور التربيعية للعدد المركب ‪ −1 + 3 i‬بأستخدام مبرهنة ديموافر ثم الطريقة المعروضة‬ ‫في البند [‪.]1-4‬‬ ‫‪ .5‬بأستخدام مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد ‪.27i‬‬

‫‪ .6‬جد الجذور االربعة للعدد (‪ )-16‬بأستخدام مبرهنة ديموافر‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ .7‬جد الجذور الستة للعدد )‪ (−64i‬بأستخدام مبرهنة ديموافر‪.‬‬

‫‪47‬‬

‫‪−3‬‬

‫⎤‬ ‫⎥‪π‬‬ ‫⎦‬

‫‪2‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬

‫‪ÊÉãdG π°üØdG‬‬ ‫‪Chapter Two‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫]‪[2-1‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﳌﺨﺮوﻃﻲ‪.‬‬

‫]‪[2-2‬‬

‫اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ‪.‬‬

‫]‪[2-3‬‬

‫اﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ‪.‬‬

‫]‪[2-4‬‬

‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‪.‬‬

‫]‪[2-5‬‬

‫اﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‪.‬‬

‫]‪[2-6‬‬

‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‪.‬‬

‫]‪[2-7‬‬

‫اﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‪.‬‬ ‫ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ‬

‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﺒﺆﺭﺓ ﻗﺒﻞ ﺍﻻﻧﺴﺤﺎﺏ‬

‫‪F‬‬

‫ﺍﻟﺒﺆﺭﺓ ﺑﻌﺪ ﺍﻻﻧﺴﺤﺎﺏ‬

‫ʹ‪F‬‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﳌﺮﻛﺰﻱ‬ ‫ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ‬

‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬

‫=‪e‬‬

‫‪2a‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ واﻫﻤﻴﺔ دراﺳﺘﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﻟﻨﺒﺤﺚ او ًﻻ ﻋﻦ وﺟﻮد ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻄﻮع ﻓﻲ اﻟﻜﻮن واﻟﻄﺒﻴﻌﺔ ﺳﻮف ﺗﺮى اﻟﻜﻮاﻛﺐ واﻟﻨﺠﻮم ﺗﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺪارات اﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺔ ‪).‬اي اﻟﻤﺪارات ﺗﺸﺒﻪ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ(‬ ‫وﻓﻲ اﻟﺬرة واﻻﻟﻜﺘﺮون ﻳﻼﺣﻆ اﻟﻤﺨﺘﺼﻮن ﺑﺎن‬ ‫اﻻﻟﻜﻠﺘﺮوﻧﺎت ﺗﺪور ﺣﻮل اﻟﻨﻮاة ﻋﻠﻰ ﻣــﺪارات‬ ‫اﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺔ اﻳﻀـــــﺎً‪ ،‬وﻣــﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت اﻻﺧــﺮى‬ ‫ﻟﻠﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ اﺳﺘﺨﺪاﻣﻬــﺎ ﻓﻲ اﻧﺘﺸــﺎر‬ ‫اﻟﺼــﻮت ﺣﻴﺚ ﻧـــﻼﺣﻈﻬــﺎ ﻓﻲ اﻻت ﺗﻜﺒﻴــﺮ‬ ‫اﻟﺼﻮت اﻟﺤﺪﻳﺜﺔ وﻛﺬﻟﻚ ﺗﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ اﻧﺘﺸﺎر‬ ‫اﻟﻀﻮء ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺿﻮء اﻟﺴﻴــﺎرة ﻓﻬــﻮ ﻣﺠﺴـــﻢ‬ ‫ﻣﻜﺎﻓﺊ وﺿﻊ ﻓﻲ ﺑﺆرﺗﻪ ﻣﺼﺒـــــﺎﺣ ًﺎ ‪ .‬ﻋﻨﺪﻣــــﺎ‬ ‫ﻳﻨﻄﻠﻖ ﺷﻌــﺎع ﺿــﻮﺋﻲ ﻣﻦ اﻟﻤﺼﺒـﺎح ﻳﻨﻌـﻜﺲ‬ ‫ﻫﺬا اﻟﺸﻌﺎع ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﻤﺠﺴــﻢ وﺑﺼــﻮرة‬ ‫اﻓﻘﻴﺔ‪ .‬وﻛﺬﻟﻚ ﺟﻤﻴﻊ اﻻﺷﻌـــﺔ اﻟﻤﻨﻄﻠﻘﺔ ﻣـﻦ‬ ‫اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻣﻤﺎ ﻳﺆدي اﻟﻰ اﻧﺎرة اﻟﻄﺮﻳﻖ اﻣﺎم اﻟﺴﻴـﺎرة‪.‬‬ ‫وﻣﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت اﻻﺧﺮى ﻧﻼﺣﻈﻬﺎ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺼﻮر‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫‪49‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻣﺪى اﻫﻤﻴﺔ اﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ اﻟﺘﻲ اﺻﺒﺤﺖ دراﺳﺘﻬﺎ ﻣﺤﻞ اﻫﺘﻤﺎم اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﻴﻦ واﻟﻔﻠﻜﻴﻴﻦ‬ ‫وﻋﻠﻤﺎء اﻟﻔﻀﺎء واﻟﻤﻴﻜﺎﻧﻴﻜﻴﻴﻦ وﻛﺎن ﻟﻠﺤﻀﺎرة اﻟﻌﺮﺑﻴﺔ اﻻﺳﻼﻣﻴﺔ دور ﻫﺎم ﻓﻲ ﻣﻮاﺻﻠﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﺪراﺳﺎت ﺑﻌﺪ‬ ‫اﻃﻼﻋﻬﻢ ﻋﻠﻰ اﻋﻤﺎل اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﻴﻦ اﻻﻏﺮﻳﻖ اﻣﺜﺎل ﻣﻴﻨﺸﻢ ‪ ،‬واﺑﻮﻟﺘﻴﻮس ‪ ،‬وﺑﺎﺑﻮس ‪ .‬وﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء اﻟﻌﺮب اﻟﺬﻳﻦ‬ ‫اﻫﺘﻤﻮا ﺑﺎﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮة واﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ اﻟﺨﺎزن ‪ ،‬واﺑﺎﺳﻬﻞ اﻟﻜﻮﻫﻲ ‪ ،‬واﺑﻦ اﻟﻬﻴﺜﻢ وﻏﻴﺮﻫﻢ‬ ‫ﻛﺜﻴﺮون‪.‬‬ ‫ﺳﺒﻖ وﺗﻌﺮﻓﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﺼﻒ اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻮﻟﺪ اﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ‪ :‬اﻟﺪاﺋﺮة ‪ -‬اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‪-‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‪ -‬اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‪ .‬ﺣﻴﺚ ﻳﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻄﻮع ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ وﻛﺎﻻﺗﻲ‪:‬‬

‫اذا ﻗﻄﻊ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ‬

‫✾ ﲟﺴﺘﻮ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﳌﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ وﻻ ﻳﺤﻮي رأس اﳌﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﺎن اﳌﻘﻄﻊ‬ ‫ﳝﺜﻞ ﺷﻜ ً‬ ‫ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻳﺴﻤﻰ داﺋﺮة )‪.(Circle‬‬ ‫ﻣﻮاز ﻷﺣﺪ ﻣﻮﻟﺪاﺗﻪ ﻓﺄن اﳌﻘﻄﻊ ﳝﺜﻞ ﺷﻜ ً‬ ‫ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ ” ‪. “Parabola‬‬ ‫✾ ﲟﺴﺘﻮ ٍ‬ ‫ﻣﻮاز ﻟﻘﺎﻋﺪﺗﻪ وﻻ ﻳﻮازي اﺣﺪ ﻣﻮﻟﺪاﺗﻪ ﻓﺄن اﻟﻘﻄﻊ ﳝﺜﻞ ﺷﻜ ً‬ ‫ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫✾ ﲟﺴﺘﻮ ﻏﻴﺮ ٍ‬ ‫”ّ‪.“Ellipse‬‬ ‫✾ ﲟﺴﺘﻮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﳌﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ وﻳﻘﻄﻊ ﻣﻮﻟﺪﻳﻦ ﻣﻦ ﻣﻮﻟﺪات اﳌﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﺎن‬ ‫اﳌﻘﻄﻊ ﳝﺜﻞ ﺷﻜ ً‬ ‫ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ”‪. “Hyperbola‬‬ ‫ﻻﺣﻆ اﻻﺷﻜﺎل اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻮع اﳌﺨﺮوﻃﻴﺔ ‪:‬‬

‫داﺋﺮة‬

‫ﻧﺎﻗﺺ‬

‫ﻣﻜﺎﻓﺊ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-1‬‬

‫‪50‬‬

‫زاﺋﺪ‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬

‫[‪ ]2-1‬القطع املخروطي‪:‬‬ ‫لتكن (‪ )x1,y1‬نقطة ثابتة في المستوي وليكن ‪ ax + by + c = 0‬مستقيم ًا ثابت ًا في المستوي نفسه‪،‬‬ ‫عندئذ مجموعة كل النقاط التي نسبة ُبعد كل منها عن النقطة (‪ )x1, y1‬الى بعدها عن المستقيم‬ ‫‪ ax +by +c = 0‬تساوي عدد ًا ثابت ًا (‪ )e‬تكون شكل هندسي يسمى بالقطع المخروطي ‪.‬‬

‫مما سبق نالحظ ان لكل قطع مخروطي (ما عدا الدائري) ثالثة مفاهيم اساسية يتعين بها هي‪:‬‬ ‫‪ -1‬النقطة الثابتة (‪ )x1,y1‬تسمى بؤرة القطع المخروطي “‪. ”Focus‬‬ ‫‪ -2‬المستقيم الثابت ‪ ax +by +c = 0‬يسمى دليل القطع المخروطي “‪.”Directrix‬‬ ‫‪ -3‬النسبة (‪ )e‬تسمى باالختالف المركزي “‪.”Eccentricity‬‬

‫مالحظـة‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 .. 0 < e < 1‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‪e‬‬ ‫<‪e‬‬ ‫>‪e‬‬

‫في القطع املكافئ‬ ‫في القطع االناقص‬ ‫في القطع الزائد‬

‫»‪«Parabola‬‬ ‫»‪«Ellipse‬‬ ‫»‪«Hyperbola‬‬

‫[‪ ]2-1-1‬المعادلة العامة للقطع المخروطي‪:‬‬ ‫من تعريف القطع المخروطي نستنتج المعادلة العامة وذلك كما يأتي‪:‬‬ ‫لتكن (‪ )x, y‬نقطة على القطع المخروطي ‪ ،‬عندئــــذ المســافة بيـن (‪ )x ,y‬والبؤرة (‪ )x1 , y1‬هي ‪:‬‬

‫‪51‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬ ‫والبعد بين (‪ )x , y‬والدليل ‪ ax +by +c = 0‬هي ‪:‬‬

‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬ ‫‪ax + by + c‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ax +aby++bc‬‬ ‫اي ان‬ ‫تساوي (‪2 )e‬‬ ‫وبموجب تعريف القطع المخروطي فان النسبة بين هاتين المسافتين ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪2 − x ) + (y − y‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a +b‬‬

‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪2+ by + c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(x − x1 ) + (y − y1‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ax + by + c‬‬ ‫‪aby‬‬ ‫‪++2bc2‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪⇒ (x − x1 ) + (y − y1 )2 = e .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪aby‬‬ ‫‪++bc2‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⇒ (x − x1 )2 + (y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 − y1 ) = 2e .‬‬ ‫‪2+ c ) 2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪2 − x1 ) + (y‬‬ ‫‪2 − y21 ) ( ax + by‬‬ ‫وبتربيع الطرفين نحصل على معادلة القطع‬ ‫‪(x − x1 ) + (y − y1 ) = e . = e 2 a 2+ b‬‬ ‫‪ax + by + c ( ax +aby++bc)2‬‬ ‫المخروطي العامة وهي معادلة من الدرجة‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x − x1 ) + (y − y1 )2 = e2 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ax + by + c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 +b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫الثانية‬ ‫‪⇒ (x − x1 ) + (y − y1 ) = e .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a +b‬‬ ‫المكافئ ألنه قد تم تعريف الدليل‬ ‫مالحظة ‪ :‬سنطبق هذه المعادلة على القطع‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( ax + by + c‬‬ ‫‪(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = e2 .‬‬ ‫‪a 2 + b2‬‬

‫[‪ ]2-2‬القطع املكافئ‪Parabola :‬‬

‫القطع المكافئ هو مجموعة النقط ( ‪ M(x , y‬في المستوي والتي يكون ُبعد كل منها عن نقطة ثابتة‬ ‫)‪ F(p,0‬تسمى البؤرة حيث ‪ P> 0‬مساوي ًا دائم ًا لبعدها عن مستقيم معلوم “‪ ”D‬يسمى الدليل ال‬ ‫‪y‬‬

‫يحوي البؤرة ‪.‬‬ ‫اي ان‬

‫‪ MF = MQ‬الحظ الشكل (‪: )2 - 2‬‬

‫وتسمى النقطــــة “‪ ”O‬بــــرأس القطـــع‬

‫)‪M(x,y‬‬

‫)‪Q(-p,y‬‬

‫المكافئ “‪”Vertex‬‬ ‫ويسمـــى المستقيـــــم (‪ )x‬المــــــــار‬ ‫بالبؤرة والعمود على الدليـــــل بمحـــور‬

‫‪MF‬‬ ‫القطع المكافئ‪.‬حيث الحظ ان‪= e =1‬‬ ‫‪MQ‬‬

‫‪52‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F(p,0‬‬ ‫الشكل (‪)2-2‬‬

‫‪O‬‬

‫‪D‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫[‪ ]2-2-1‬معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته تنتمي لمحور السينات(‪ )x-axis‬والرأس في نقطة األصل‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪D‬‬

‫)‪M(x,y‬‬

‫)‪M(x,y‬‬

‫)‪Q (p,y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬

‫‪D‬‬ ‫)‪Q(-p,y‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪F(-p,0‬‬

‫)‪F(p,0‬‬

‫‪O‬‬

‫‪x=p‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪x = -p‬‬

‫الشكل (‪)2-3‬‬

‫في المستوي الديكارتي المتعامد المحورين وبناء ًا على تعريف القطع المكافئ يمكن ايجاد معادلة‬ ‫القطع المكافئ في ابسط صورة ممكنة وكما يأتي‪:‬‬ ‫لتكــن النقطـــة (‪ F(p,0‬هي بؤرة القطــع المكافئ والمستقيــم ‪ D‬هو دليل القطع المكافئ ‪ ،‬والنقطة‬ ‫(‪ Q(-p,y‬نقطة على الدليل حيث ‪ MQ‬عمودي على المستقيم ‪ ،D‬والنقطة (‪ M(x,y‬من نقط منحني‬ ‫القطع المكافئ والرأس في نقطة االصل (‪ . )0,0‬كما في الشكل(‪ .)A ( )2-3‬من تعريف القطع المكافئ‪.‬‬ ‫‪MF = MQ‬‬

‫بتربيع الطرفين‬ ‫بالتبسيط‬

‫‪(x − p)2 + (y − 0)2 = (x + p)2 + (y − y)2‬‬ ‫‪x 2 − 2 px + p2 + y2 = x 2 + 2xp+ p2‬‬

‫‪x 2 − 2 px + p2 + y2 = x 2 + 2xp+ p2‬‬

‫) المعادلة القياسية للقطع المكافئ( ‪y2 = 4 px , ∀p > 0‬‬

‫‪53‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪M(x,y‬‬

‫)‪Q(-p,y‬‬ ‫ومعادلة الدليل ‪x=-p‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪F(p,0‬‬

‫‪O‬‬

‫الشكل (‪)2-4‬‬

‫‪D‬‬

‫مثال ‪- 1-‬‬

‫أ ) جد البؤرة ومعادلة دليل القطع المكافئ ‪y2 = -8x‬‬

‫ب) قطع مكافئ بؤرته (‪ )2،0‬ومعادلة دليله ‪ x = -2‬باستخدام معادلة القطع‬ ‫المخروطي العام جد معادلته‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ e=1‬‬ ‫معادلة الدليل المخروطي ‪x = −2 → x + 2 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2 (ax + by + c‬‬ ‫‪(x − x1 ) + (y − y1 ) = e‬‬ ‫‪a 2 + b2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2 (x + 0 + 2‬‬ ‫)‪∴(x − 2) + y = (1‬‬ ‫‪12 + 0‬‬ ‫‪y2 = 8x‬‬

‫⇒‬

‫‪x 2 − 4x + 4 + y2 = x 2 + 4x + 4‬‬

‫‪y2 = -8x‬‬ ‫‪yy22 = 4px‬‬ ‫بالمقارنة مع المعادلة القياسية ‪-4px‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪⇒ 4p = 8 ⇒ p = = 2 > 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪∴ p= 2‬‬ ‫‪F (−‬‬ ‫‪( p,p,0)0)= =F F(2,(−2,‬‬ ‫)‪0) 0‬‬ ‫الدليل ‪x = p−‬‬ ‫معادلة ‪p‬‬ ‫‪∴ xx==2−2‬‬

‫‪54‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 2-‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اذا ﻋﻠﻢ‪:‬‬ ‫أ( ﺑﺆرﺗﻪ )‪ (3,0‬واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬

‫ب( ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪ 2x - 6 = 0‬ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫)‪(p,0) = (3,0‬‬

‫أ(‬

‫‪⇒p=3‬‬

‫)اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ( ‪∴ y2 = 4px‬‬

‫‪⇒ y2 = (4) (3) x = 12x‬‬ ‫‪y2 = 12x‬‬

‫ب(‬

‫‪2x - 6 = 0‬‬

‫ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ‬

‫‪2x = 6 ⇒ x = 3‬‬ ‫)ﺑﻔﻀﻞ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ(‬

‫‪∴ p = 3‬‬

‫ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫‪y2 = -4px‬‬ ‫‪y2 = (-4) (3) x = -12 x ⇒ y2 = -12x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 3-‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫ﺟﺪ ﺑﺆرة وﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪ y2 = 4x‬ﺛﻢ أرﺳﻤﻪ‪:‬‬

‫ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬

‫‪y2 = 4px‬‬

‫‪⇒ 4p = 4 ⇒ p =1‬‬ ‫اﻟﺒﺆرة )‪F (1, 0‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪x = -1‬‬ ‫‪y2 = 4x ⇒ y = ±2 x‬‬

‫‪55‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪±2 2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪±2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪D‬‬

‫)‪(1,2‬‬ ‫‪x = -1‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪F(1,0‬‬ ‫‪O‬‬ ‫)‪(1,-2‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-5‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪- 4-‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اذا ﻋﻠﻢ ان ﺑﺆرﺗﻪ ) ‪ ( 3, 0‬واﻟﺮأس ﻓﻲ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫اﻟﺒﺆرة )‪ ، F ( 3, 0‬وﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ) ‪ M(x,y‬ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‪ ،‬واﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫‪sr‬‬ ‫)‪ Q(− 3, y‬ﻫﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ‪ M‬ﻋﻠﻰ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪ D‬وﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‪.‬‬ ‫)ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ(‬

‫‪(x − 3)2 + (y − 0)2 = (x + 3)2 + (y − y)2‬‬ ‫‪(x − 3)2 + y2 = (x + 3)2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪x 2 − 2 3x + 3+ y2 = x 2 + 2 3x + 3‬‬ ‫)ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴﻂ(‬ ‫‪y2 = 4 3x‬‬ ‫)‪Q(− 3, y‬‬ ‫)ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ(‬

‫)‪M(x,y‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪F ( 3, 0‬‬

‫‪0‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-6‬‬

‫‪x=− 3‬‬

‫‪56‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫]‪ [2-2-2‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات)‪ (y-axis‬واﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪Q(x,p‬‬

‫‪y=p‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F(0,p‬‬ ‫‪D‬‬ ‫)‪M(x,y‬‬

‫‪O‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪M(x,y‬‬ ‫)‪F(0, -p‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪Q(x,-p‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪y = -p‬‬

‫‪A‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-7‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻲ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ F(0,p‬ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪ ،‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪ D‬دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ واﻟﻨﻘﻄﺔ) ‪ Q(x,-p‬ﻫﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ‪ M‬ﻋﻠﻰ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪ ،‬واﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫) ‪ M(x,y‬ﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ واﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ )‪ (0, 0‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪A (2-7‬‬ ‫وﺑﻨﺎء ًا ﻋﻠﻰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻓﺎن ‪MF = MQ‬‬ ‫)ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ( ‪⇒ (x − 0)2 + (y − p)2 = (x − x)2 + (y + p)2‬‬ ‫‪⇒ x 2 + (y − p)2 = (y + p)2‬‬

‫‪x 2 + y2 − 2 py + p2 = y2 + 2 py + p2‬‬

‫)ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴﻂ(‬

‫‪x 2 = 2 py + 2 py‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬

‫‪x 2 = 4 py , ∀p > 0‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‪P>0x‬‬ ‫اﻟﺠﺪول اﻻﺗﻲ ﻳﻤﺜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‬ ‫=‪⇔y‬‬ ‫اﳌﻌــﺎدﻟـــﺔ‪4 p‬‬ ‫اﻟﺒﺆرة‬ ‫اﻟﺪﻟﻴﻞ‬ ‫اﶈﻮر‬ ‫ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫ﻧﺤﻮ اﻻﻋﻠﻰ‬ ‫)‪(0 , p‬‬ ‫‪y= -p‬‬ ‫‪y- axis‬‬ ‫‪x2 = 4py‬‬

‫ﻧﺤﻮ اﻻﺳﻔﻞ‬

‫‪y- axis‬‬

‫‪y=p‬‬

‫)‪(0 , - p‬‬

‫‪x2 = - 4py‬‬

‫ﻧﺤﻮ اﻟﻴﻤﲔ‬

‫‪x- axis‬‬

‫‪x = -p‬‬

‫)‪(p , 0‬‬

‫‪y2 = 4px‬‬

‫ﻧﺤﻮ اﻟﻴﺴﺎر‬

‫‪x- axis‬‬

‫‪x=p‬‬

‫)‪(-p , 0‬‬

‫‪y2 = - 4px‬‬

‫‪57‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 5-‬‬

‫ﺟﺪ اﻟﺒﺆرة وﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪.3x2 - 24y = 0‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪3x2 - 24y = 0‬‬

‫] ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ )‪[ (3‬‬

‫‪x2 = 8y‬‬ ‫‪x2 = 4py‬‬

‫ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬

‫‪⇒ 4p = 8 ⇒ p=2‬‬ ‫وﻣﻦ ﻗﻴﻤﺔ ‪ P‬ﻧﺠﺪ‬ ‫اﻟﺒﺆرة )‪F (0,2‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪y = -2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 6-‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اذا ﻋﻠﻢ ان ‪-:‬‬ ‫أ( ﺑﺆرﺗﻪ )‪ (0,5‬ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬ ‫ب( ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪ y = 7‬ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬

‫اﳊﻞ )أ(‬ ‫‪F (0,5) ⇒ p =5‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫)ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ(‬

‫‪x2 = 4py‬‬ ‫‪ x2 = 20y‬‬

‫اﳊﻞ )ب(‬ ‫‪y=7‬‬ ‫‪ p = 7‬‬ ‫)اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ(‬

‫‪x2=- 4py‬‬ ‫‪ x2 = -28y‬‬

‫‪58‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 7-‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ (2 , -4) ، (2,4‬ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎن ﺣﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ‪.‬‬ ‫اذ ًا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬

‫‪y2 = 4 px , ∀p > 0‬‬

‫ﻧﻌﻮض اﺣﺪى اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻠﺘﻴﻦ ﺗﺤﻘﻘﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ وﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪(2 ,4‬‬

‫ﻧﻌﻮض ‪ p = 2‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬

‫‪16‬‬ ‫‪⇒ p= 2‬‬ ‫‪8‬‬

‫)‪⇒ 16 = (4)( p)(2‬‬ ‫= ‪16 = 8 p ⇒ p‬‬

‫‪⇒ y2 = (4)(2)x‬‬

‫‪⇒ y2 = 8x‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 8-‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻳﻤﺮ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫)‪(3 ,-5‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫ﻳﻮﺟﺪ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻌﺪم ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﺒﺆرة ﻫﻤﺎ‪:‬‬

‫او ًﻻ ‪ :‬اﻟﺒﺆرة ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎً‪ :‬اﻟﺒﺆرة ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬

‫‪x2 = 4py‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ‬

‫‪y = -5‬‬

‫‪y2 = 4px‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ‬

‫‪x=3‬‬

‫‪ p = 5‬‬

‫‪ p = 3‬‬

‫‪ x2 = 4py‬‬

‫)اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ( ‪ y2 = - 4px‬‬

‫‪ x2 = 20y‬‬

‫‪ y2 = -12x‬‬

‫‪59‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬

‫]‪ [2-3‬إﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ ‪:‬‬ ‫]‪ [2-3-1‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ ﻳﻮازي أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻷﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ ورأﺳﻪ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪(h,k‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺒﻨﻮد اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺗﻌﺮﻓﻨﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺘﻴﻦ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ وﻫﻤﺎ‪:‬‬ ‫)‪y2 = 4px .......(1‬‬ ‫)‪x2 = 4py .......(2‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻻوﻟﻰ‪ :‬ﻫﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ ﻣﻜﺎﻓﺊ ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ )‪. (0,0‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ :‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ ﻣﻜﺎﻓﺊ ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ )‪. (0,0‬‬ ‫ﻓﺎذا ﻛﺎن اﻟﺮأس ﻫﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ O (h , k‬ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺘﻴﻦ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬ ‫)‪(y - k)2 = 4p(x - h) ...... (3‬‬ ‫)‪(x - h)2 = 4p(y - k) ...... (4‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‪ :‬ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ O (h , k‬وﻣﺤﻮرﻩ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﻴﻨﺎت‪ .‬ﻻﺣﻆ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪ (2 - 8‬اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻟﻤﻜﻮﻧﺎت اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F (Q, k‬‬

‫‪x‬‬

‫‪D‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(h,k‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(0,0) F (p,0‬‬

‫‪h‬‬ ‫ﻗﺒﻞ اﻻﻧﺴﺤﺎب‬

‫ﺑﻌﺪ اﻻﻧﺴﺤﺎب‬ ‫‪ x = - p +h‬اﻟﺪﻟﻴﻞ‬

‫‪60‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-8‬‬

‫‪A‬‬

‫‪x = -p‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫اﻧﺴﺤﺎب )‪O(h,k) ← O (0,0‬‬ ‫اﻧﺴﺤﺎب )‪F(p + h,k) ← F (p,0‬‬ ‫اﻧﺴﺤﺎب ‪x = -p + h ← x = -p‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر ‪y = k‬‬

‫ﺣﻴﺚ )‪ (p‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (4) ، (3‬ﻫﻮ اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ وﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺮأس ‪O‬‬ ‫واﻟﺒﺆرة ‪ F‬وﻳﺴﺎوي اﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ اﻟﺮأس وﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ اي ان ‪P = |Q - h | :‬‬ ‫وﻳﻤﻜﻦ ان ﺗﻜﻮن ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﺑﺎﻻﺗﺠﺎﻩ اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪:(2 - 9‬‬

‫)‪(y - k)2 = -4p(x - h‬‬ ‫اﻟﺒﺆرة )‪(Q , k ) = (h -p , k‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر‬

‫‪x = p +h‬‬ ‫‪y=k‬‬

‫)‪F (Q,k) (h,k‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪D‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-9‬‬

‫‪61‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ]‪) [2 - 3‬ﺍﻧﺴﺤﺎﺏ ﺍﶈﺎﻭﺭ( ﺳﻨﻜﺘﻔﻲ ﻓﻘﻂ ﻓﻲ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺑﺆﺭﺓ ﻭﺭﺃﺱ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﳌﻜﺎﻓﺊ ﻭﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﻟﻴﻞ ﻭﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﶈﻮﺭ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪- 9-‬‬

‫ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬

‫)‪(y + 1)2 = 4(x-2‬‬

‫ﻋﻴﻦ اﻟﺮأس ‪ ،‬اﻟﺒﺆرة ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر ‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‪.‬‬ ‫)‪(y - k)2 = 4p(x - h‬‬ ‫‪⇒ h = 2 , k = -1‬‬ ‫)اﻟﺮأس(‬

‫)‪∴ (h , k) = (2 , -1‬‬ ‫‪4p = 4‬‬ ‫‪⇒ p =1‬‬

‫)اﻟﺒﺆرة(‬

‫)‪∴ F(p + h , k) = F(1 + 2, -1) = F(3, -1‬‬

‫‪y‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر ‪y = k‬‬ ‫‪∴ y = -1‬‬ ‫‪x = -p + h‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y = -1‬‬

‫‪F‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪x = -1 + 2 = 1 ⇒ x = 1‬‬

‫‪x=1‬‬

‫‪62‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺮاﺑﻌﺔ‪ :‬ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ راﺳﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (h , k‬وﻣﺤﻮرﻩ ﻳﻮازي اﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﺼﺎدي ﻻﺣﻆ اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻟﻤﻜﻮﻧﺎت اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪ .‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪. (2 - 10‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫اﻧﺴﺤﺎب )‪ O(h,k) ← O (0,0‬اﻟﺮاس ﺑﻌﺪ اﻻﻧﺴﺤﺎب‬

‫اﻧﺴﺤﺎب )‪ F( h,iQ) ← F (0 ,p‬اﻟﺒﺆرة ﺑﻌﺪ اﻻﻧﺴﺤﺎب‬ ‫)‪F (h,p+k‬‬ ‫‪Q=p+k‬‬ ‫)اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري( |‪p = |Q - k‬‬

‫⇒‬

‫‪x‬‬

‫‪D‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر ‪x = h‬‬

‫)‪(h,k‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(0,0‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ ‪y = k - p‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-10‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(x- h)2 = -4p(y - k‬‬ ‫اﻟﺒﺆرة‬

‫)‪(h , k- p‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ‬

‫‪y=k+p‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر ‪x = h‬‬

‫‪y =k+p‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪D‬‬ ‫)‪(h,k‬‬

‫)‪F(h, k - p‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-11‬‬

‫‪63‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 10-‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫ﻧﺎﻗﺶ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‪y = x2 + 4x :‬‬ ‫ﻧﻀﻴﻒ ‪ 4‬اﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺣﺘﻰ ﻧﻀﻊ ﺣﺪود ‪ x‬ﻓﻲ ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ ‪ ،‬ﻓﻨﻜﺘﺐ‪:‬‬ ‫‪y + 4 = x2 + 4x + 4‬‬ ‫‪y + 4 = (x+2 )2‬‬ ‫ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫)‪(x - h)2 = 4p (y - k‬‬ ‫ﺣﻴﺚ‬ ‫اﻟﺮأس )‪(-2 , -4‬‬

‫‪h = −2 , k = −4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻫﺬا اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻣﻔﺘﻮح اﻟﻰ اﻻﻋﻠﻰ ﻻن‬

‫=‪4p=1 , p‬‬

‫ﻣﻦ اﺟﻞ ﻗﻴﻢ ‪ x‬اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ وﻟﻘﻴﻢ ‪ y ≥ − 4‬وراﺳﻪ‬

‫‪3‬‬ ‫ﻣﻮاز‬ ‫) ‪ v( -2,-4‬ﺗﻘﻊ اﻟﺒﺆرة ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ 1‬وﺣﺪة ﻣﻦ رأس اﻟﻘﻄﻊ وﻧﺤﻮ اﻻﻋﻠﻰ ‪ ،‬اي ﻋﻨﺪ ) ‪ Ff (−2, −3‬وان اﻟﺪﻟﻴﻞ ٍ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺤﻮر ‪ x‬وﻳﺒﻌﺪ ‪ 4 1‬وﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮر ‪ . x‬وﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ﻫﻲ ‪. y = −4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x= -2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫اﻟﺪﻟﻴﻞ‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪64‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪F‬‬ ‫)‪v(-2,-4‬‬

‫‪y = −4‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-12‬‬

‫‪-5‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪)2‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-1‬‬

‫‪ .1‬جد المعادلة للقطع المكافئ في كل مما يآتي ثم ارسم المنحني البياني لها ‪.‬‬ ‫أ‪ -‬البؤرة (‪ )5 , 0‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬

‫ب‪ -‬البؤرة (‪ )0 ,-4‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬ ‫ج‪ -‬البؤرة ) ‪ (0, 2‬والرأس نقطة االصل‪.‬‬

‫د‪ -‬معادلة دليل القطع المكافئ ‪ 4y + 3 = 0‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬ ‫‪ .2‬في كل مما يأتي جد البؤرة والرأس ومعادلتي المحور والدليل للقطع المكافئ‪-:‬‬ ‫)‪c)y2 = -4 (x-2‬‬ ‫‪f) x2+ 6x -y = 0‬‬

‫‪b) 2x + 16y2 = 0‬‬ ‫‪e) y2+4y + 2x =-6‬‬

‫‪a) x2 = 4y‬‬ ‫)‪d) (x - 1)2 = 8(y-1‬‬

‫‪ .3‬جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين (‪ )2 ,-5( ، )2 , 5‬والراس في نقطة االصل‪.‬‬ ‫‪ .4‬اذا كان دليل القطع المكافئ يمر بالنقطة (‪ )-3 ,4‬والرأس في نقطة االصل جد معادلته علم ًا ان‬ ‫بؤرته تنتمي ألحد المحورين ‪.‬‬ ‫‪ .5‬قطع مكافئ معادلته ‪ Ax2+8y= 0‬يمر بالنقطة (‪ )1, 2‬جد قيمة ‪ A‬ثم جد بؤرته ودليله و أرسم‬ ‫القطع‪.‬‬ ‫‪ .6‬باستخدام التعريف ‪ .‬جد معادلة القطع المكافئ‬ ‫أ‪ -‬البؤرة (‪ )7 ,0‬والرأس نقطة االصل‪.‬‬ ‫ب‪ -‬معادلة الدليل ‪ . y = 3‬والرأس نقطة االصل ‪.‬‬ ‫‪ .7‬باستخدام المعادلة العامة للقطع المخروطي جد معادلة القطع المكافيء الذي بؤرته (‪ )3،0‬ورأسه‬ ‫نقطة االصل‪.‬‬

‫‪65‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬

‫]‪ [2-4‬اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪:Ellipse‬‬

‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[2-4‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ﻓﻲ اﳌﺴﺘﻮي اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻌﺪﻳﻬﺎ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺘﲔ ﺛﺎﺑﺘﺘﲔ )اﻟﺒﺆرﺗﺎن(‬ ‫ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ‪.‬‬ ‫]‪ [2-4-1‬ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬

‫ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪(2 - 13‬‬ ‫)‪P(x,y‬‬ ‫‪F1‬‬

‫‪F2‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-13‬‬

‫ﺑﺆرﺗﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻫﻤﺎ ) ‪F1 (c, 0‬‬

‫‪ F2 (-c , 0) ,‬واﻟﻌﺪد اﻟﺜﺎﺑﺖ ﻫﻮ ‪c > 0 , a > 0 , 2a‬‬

‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫)‪ ،(Center‬وﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري )‪ (Focal axis‬وﻳﻘﻄﻊ اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺗﺴﻤﻴﺎن رأﺳﺎ اﻟﻘﻄﻊ وﺗﺴﻤﻰ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺮأﺳﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ‬ ‫)‪ (Major axis‬وﻃﻮﻟﻬﺎ )‪ (2a‬اﻳﻀ ًﺎ وﻳﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻌﺪي اي ﻧﻘﻄﺔ ) ‪ P(x, y‬ﻣﻦ ﻧﻘﺎط اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫ﻋﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ اي ان‪:‬‬

‫‪p F1 + pF2 = 2a‬‬

‫وﺗﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮد ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪66‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﻊ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﺑﺎﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ )‪ ( Minor axis‬وﻃﻮﻟﻬﺎ )‪ (2b‬ﺣﻴﺚ ‪ b>0‬وﻧﻬﺎﻳﺘﺎﻩ ﺗﺴﻤﻴﺎن‬ ‫‪y‬‬

‫اﻟﻘﻄﺒﻴﻦ‪.‬‬

‫)‪ (0,b) p(x ,y‬ﻗﻄﺐ‬

‫‪x‬‬

‫)‪v1(a,0‬‬ ‫رأس‬

‫)‪F1(c,0‬‬

‫)‪(0,0‬‬

‫)‪v2(-a,0‬‬ ‫)‪F2(-c,0‬‬

‫رأس‬

‫)‪ (0,-b‬ﻗﻄﺐ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-14‬‬

‫]‪ [2-4-2‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬ ‫ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ )‪(2 - 14‬‬

‫‪PF1 + PF2 = 2a‬‬

‫∵‬

‫‪pf1+ pf 2‬‬

‫‪⇒ (x − c)2 + (y − 0)2 + (x + c)2 + (y − 0)2 = 2a‬‬ ‫‪⇒ (x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a‬‬ ‫)ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ(‬

‫‪⇒ (x − c)2 + y2 =+ 2a − (x + c)2 + y2‬‬ ‫‪⇒ (x − c)2 + y2 += 4a 2 − 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2‬‬

‫‪⇒ x 2 − 2cx + c 2 + y2 = 4a 2 − 4a (x + c)2 + y2 + x 2 + 2cx + c 2 + y2‬‬ ‫)ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ‪(4‬‬ ‫)ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ(‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴﻂ‬

‫‪⇒ 4a (x + c)2 + y2 = 4a 2 + 4cx‬‬ ‫‪⇒ a (x + c)2 + y2 = a 2 + cx‬‬ ‫‪a 2 [ x 2 + 2cx + c 2 + y2 ] = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2‬‬ ‫‪a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2‬‬ ‫‪a 2 x 2 − c 2 x 2 + a 2 y2 = a 4 − a 2 c 2‬‬ ‫)‪x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ..........(1‬‬

‫‪67‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ان ‪ a> c‬داﺋﻤ ًﺎ ﻓﺎن ‪ a2 - c2 > 0‬وﺑﻔﺮض ان ‪ b2 = a2 -c2‬ﺣﻴﺚ ‪b> 0‬‬ ‫‪a 2 = b2 + c 2‬‬ ‫ﻧﻌﻮض ‪ 2‬ﻓﻲ ‪1‬‬

‫)‪⇒ b2 = a 2 − c 2 ...........(2‬‬

‫ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ‪a2 b2‬‬

‫‪⇒ x 2 b2 + a 2 y2 = a 2 b2‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪⇒ 2 + 2 =1‬‬ ‫‪a b‬‬

‫ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬ ‫وﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﺴﺒﺔ ‪ c‬ﺑﺎﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي ‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫أي ان = ‪ e‬وﻳﻜﻮن داﺋﻤ ًﺎ اﻗﻞ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫]‪ [2-4-3‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‪.‬‬ ‫ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ )‪(2 - 15‬‬

‫‪y‬‬

‫ﺑﻨﻔﺲ ﺧﻄﻮات اﻻﺷﺘﻘﺎق اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ‬ ‫)‪v1 (0,a‬‬

‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪b2 a 2‬‬

‫ﺣﻴﺚ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات واﻟﻤﺮﻛﺰ ﻓﻲ‬

‫)‪F1 (0, c‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪(b,0‬‬

‫)‪(0,0‬‬

‫ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬ ‫ﻧﻠﺨﺺ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﺑﺎﻟﺠﺪول اﻵﺗﻲ ‪:‬‬

‫)‪F2 (0, -c‬‬ ‫)‪v2 (0,-a‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-15‬‬

‫‪68‬‬

‫)‪(-b,0‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر‬

‫ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر‬

‫اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬

‫اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪b2 a 2‬‬ ‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن )‪F1(0,c) , F2(0,-c‬‬ ‫اﻟﺮأﺳﺎن )‪V1(0,a) , V2(0,-a‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪a 2 b2‬‬ ‫)‪2) F1(c,0) , F2(-c,0‬‬ ‫)‪3) V1(a, 0) , V2(-a,0‬‬ ‫‪4) c = a 2 − b2‬‬ ‫‪5) a > c , a > b‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ = ‪6) 2a‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ = ‪7) 2b‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ = ‪8) 2c‬‬ ‫= ‪9) A= abπ‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ‪(Area) A‬‬ ‫‪22‬‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ‪(Perimeter) P‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‪, π‬‬

‫”‪ “e‬اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي وﻳﻜﻮن داﺋﻤ ًﺎ اﻗﻞ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ)‪, (e < 1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪- 11-‬‬

‫‪a 2 + b2‬‬ ‫‪10) P= 2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a 2 − b2‬‬ ‫= = ‪11) e‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬

‫ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺟﺪ ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ واﺣﺪاﺛﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ‬ ‫واﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪25 16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‪1‬‬

‫= ‪2) 4x 2 + 3y2‬‬

‫‪69‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫اﳊﻞ )‪(1‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ‪ 2 + 2 = 1‬ﺣﻴﺚ ‪. a > b‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ‬

‫وﺣﺪة‬

‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ‬

‫وﺣﺪة‬

‫‪⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10‬‬ ‫‪b2 = 16 ⇒ b = 4 ⇒ 2b = 8‬‬

‫‪c = a 2 − b2 = 25 − 16 = 9 = 3‬‬ ‫‪∴ c=3‬‬ ‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬

‫)‪∴FF11 (3, 0) , FF22 (−3, 0‬‬

‫)‪V22(−5, 0‬‬ ‫‪V11(5, 0) , V‬‬ ‫اﻟﺮأﺳﺎن‬ ‫)اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي( ‪c 3 < 1‬‬ ‫= =‪e‬‬ ‫‪a 5‬‬ ‫اﳊﻞ )‪(2‬‬

‫‪3‬‬ ‫ﺑﻀﺮب ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺑـ‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪4x 2 + 3y2‬‬

‫‪9y2‬‬ ‫‪3x +‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ 4 =1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ‬

‫وﺣﺪة‬

‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ‬

‫وﺣﺪة‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪⇒ a = ⇒ 2a‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪b2 = ⇒ b‬‬ ‫= ‪⇒ 2b‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪⇒ a2‬‬

‫‪4 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪9 3‬‬ ‫‪9 3‬‬ ‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن‬ ‫اﻟﺮأﺳﺎن‬ ‫)اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي(‬

‫‪70‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c = aa2‬‬ ‫=‪⇒c‬‬ ‫‪−−bb2‬‬

‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫⎟ ‪FF1 ⎜ 0, 1 ⎟ , FF22 ⎜ 0,− 1‬‬ ‫⎠‪⎝ 3‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪3‬‬

‫⎞‪⎛ 2‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫‪V‬‬ ‫⎟ ‪V22 ⎜ 0,−‬‬ ‫‪V11 ⎜ 0, ⎟ , V‬‬ ‫⎠‪⎝ 3‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‪3‬‬ ‫‪1 <1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪c‬‬ ‫= =‪∴e‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 12-‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ) ‪ F2(-3,0) , F1(3,0‬ورأﺳﺎﻩ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن‬ ‫)‪ V2 (-5,0) , V1 (5,0‬وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن واﻟﺮأﺳﺎن ﻳﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت واﻟﻤﺮﻛﺰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪:‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪∴ 2 + 2 =1‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9‬‬ ‫‪⇒ a = 5 ⇒ a 2 = 25‬‬ ‫‪⇒ c 2 = a 2 − b2 ⇒ b2 = a 2 − c 2 = 25 − 9 = 16‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪- 13-‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫‪25 16‬‬ ‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻳﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮراﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ وﻳﻘﻄﻊ ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﺟﺰء ًا ﻃﻮﻟﻪ ‪ 8‬وﺣﺪات وﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﺟﺰء ًا ﻃﻮﻟﻪ ‪ 12‬وﺣﺪة‪ ،‬ﺛﻢ ﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺘﻪ وﻣﺤﻴﻄﻪ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪2b = 8 ⇒ b = 4 ⇒ b2 = 16‬‬

‫‪2b=8‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2a = 12 ⇒ a = 6 ⇒ a 2 = 36‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪16 36‬‬ ‫‪a 2 − b2‬‬ ‫‪b2 = 36 − 16 = 2 5‬‬ ‫‪c = a2‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ‬ ‫وﺣﺪة ‪⇒ 2c = 4 5‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪2a=12‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ‪A = abπ‬‬

‫‪22‬‬ ‫⇒‪A‬‬ ‫‪== abπ‬‬ ‫= ‪)،π‬وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ( ‪(6)(4)π = 24π‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-17‬‬

‫‪a 2 + b2‬‬ ‫=‪∵P‬‬ ‫‪Q 2π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪36 + 16‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪= 2π‬‬ ‫⇒‬ ‫وﺣﺪة ‪= 2π 26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪= 2π‬‬ ‫⇒‪P‬‬ ‫ ‬

‫‪71‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 14-‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ kx2 + 4y2 = 36‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ‬ ‫)‪ ( 3 ,0‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪.K∈R‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫] ‪[÷ 36‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة )‪( 3, 0‬‬

‫‪kx2 + 4y2 = 36‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 3‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬ ‫‪+ 2 =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪b2 = 9 , c2 = 3 .... (1‬‬ ‫)‪⇒ a 2 = ........(1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪=9‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c2 = a2 2 - b22 ......‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)‪=(1‬ﻓﻲ‪2)9‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ‪12‬‬ ‫‪c36= a − b2 ⇒ 3 = a 2 − 9 ⇒ a 2 =(3+‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪−9 ⇒ k = 3‬‬ ‫‪∴ a 2k= 12‬‬ ‫‪36‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 15-‬‬ ‫⇒‬ ‫‪12‬‬ ‫=‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫وﺑﺆرﺗﺎﻩ‬ ‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫ﻣﺮﻛﺰﻩ‬ ‫اﻟﺬي‬ ‫اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬ ‫‪k‬‬ ‫‪36‬‬ ‫وﺣﺪة‪.‬‬ ‫ﻳﺴﺎوي )‪⇒ k =(2‬‬ ‫واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ )‪ (6‬وﺣﺪات ‪ ،‬واﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ ‪= 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪k=3‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫‪2c = 6 ⇒ c = 3‬‬ ‫]‪[÷2‬‬

‫‪2a − 2b = 2‬‬

‫)‪a -= b = 1 ⇒ a = 1+ b .......(1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∵ c = a −b‬‬ ‫‪9 = (1+ b)2 − b2‬‬

‫∵‬

‫‪9 = 1+ 2b+ b2 − b2‬‬ ‫‪9 = 1+ 2b‬‬ ‫)‪b = 4........(2‬‬

‫‪72‬‬

‫‪a = 1+ 4 = 5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬

‫‪9 = 1+ 2b‬‬ ‫)‪b = 4........(2‬‬ ‫‪a = 1+ 4 = 5‬‬ ‫‪a 2 = 25‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫ﻣﺜﺎل ‪- 16-‬‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪+ =1‬‬ ‫‪25 16‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﺣﺪى ﺑﺆﺗﻴﻪ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪ , y2 - 12x =0‬وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺼﻐﻴﺮ ﻳﺴﺎوي )‪ (10‬وﺣﺪات ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪y2 − 12x = 0‬‬ ‫‪y2 = 12x‬‬ ‫‪y2 = 4px‬‬

‫)ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ(‬ ‫‪4 p = 12 ⇒ p = 3‬‬ ‫ﺑﺆرﺗﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻫﻤﺎ ‪FF1 (3, 0) , FF22 (−3, 0) :‬‬ ‫‪⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9‬‬ ‫‪2b = 10‬‬ ‫‪b = 5 ⇒ b2 = 25‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∵ c = a − 25‬‬ ‫‪9 = a 2 − 25‬‬

‫∵‬

‫‪a 2 = 34‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪34 25‬‬

‫‪73‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪- 17-‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ‪ ،‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ‪:‬‬ ‫) ‪ F2 (-2,0) , F1(2,0‬واﻟﻌﺪد اﻟﺜﺎﺑﺖ = ‪6‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪ ∀p(x,‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‪:‬‬ ‫)‪P y)y‬‬ ‫‪∀p(x,‬‬

‫‪PF1 1++PF‬‬ ‫‪⇒ pF‬‬ ‫‪pF22 = 2a‬‬

‫‪(zx − 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2 = 6‬‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬

‫‪(x − 2)2 + y2 = 6 − (x + 2)2 + y2‬‬

‫‪(x − 2)2 + y2 = 36 −12 (x + 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2 − 4x + 4 + y2 = 36 −12 (x + 2)2 + y2 + x 2 + 4x + 4 + y2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪4‬‬

‫‪12 (x + 2)2 + y2 = 36 + 8x‬‬

‫ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ‬

‫‪3 (x + 2)2 + y2 = 9 + 2x‬‬ ‫‪9 [ x 2 + 4x + 4 + y2 ] = 81+ 36x + 4x 2‬‬ ‫‪9x 2 + 36x + 36 + 9y2 = 81+ 36x + 4x 2‬‬ ‫‪5x 2 + 9y2 = 81− 36‬‬ ‫‪5x 2 + 9y2 = 45‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ‪+ = 1‬‬ ‫‪9 5‬‬

‫]‪ [2-4-4‬ﻃﺮﻳﻘﺔ رﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ‪.Graph The Ellipse‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ 2 + 2 = 1‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻟﺮﺳﻢ ﻫﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪:‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪ .1‬ﻧﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) ‪V1 (a , 0) , V2(-a,0‬‬ ‫‪ .2‬ﻧﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) ‪M1 (0 , b) , M2(0,-b‬‬ ‫‪ .3‬ﻧﺼﻞ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﺎط اﻻرﺑﻌﺔ ‪ V1 M1 V2 M2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺑﻤﻨﺤﻨﻲ ﻣﺘﺼﻞ‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﻧﻌﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ) ‪F1 (c , 0) , F2(-c,0‬‬

‫‪74‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬

‫]‪ [2-5‬اﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‪.‬‬ ‫ﺗﺒﻴﻨﺎ ان ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﺑﺎﻧﻪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺤﻮري ﺗﻨﺎﻇﺮﻩ ‪ ،‬ﻓﺎذا ﻛﺎن اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪c (h,k‬‬ ‫واﻟﻤﺤﻮران ﻳﻮازﻳﺎن اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻓﻲ اﻻﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﺠﺪﻳﺪة‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫]‪ [2-5-1‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻻﻛﺒﺮ ﻳﻮازي اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ وﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫)‪. (h, k‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻧﺴﺤﺎب ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ )‪ (0,0‬ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﺑﻤﻘﺪار ‪ h‬ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات وﺑﻤﻘﺪار ‪ k‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ‪ ،‬ﺗﺼﺒﺢ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﺑﺎﻟﺼﻮرة‬ ‫‪2‬‬

‫اﻻﺗﻴﺔ‪( y − k ) = 1 :‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪( x − h)2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪a2‬‬ ‫)‪(h,b+k‬‬

‫)‪V1(a+h,k‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F1(c+h,k‬‬

‫)‪F2(-c+h,k‬‬

‫)‪V2(-a+h,k‬‬

‫)‪(h,-b+k‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-19‬‬

‫ﻻﺣﻆ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ )‪ (2 - 19‬ان اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻃﻮﻟﻪ )‪ (2a‬وﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y = k‬‬ ‫واﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻃﻮﻟﻪ )‪ (2b‬وﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ x = h‬اﻣﺎ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﺑﻌﺪ اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻓﺘﺼﺒﺤﺎن‬

‫‪V‬‬ ‫)‪F11(c + h, k) , FF22 (−c + h, k‬‬ ‫‪ F‬واﻟﺮأﺳﺎن ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻫﻤﺎ )‪V11(a + h, k) , VV22 (−a + h, k‬‬

‫‪75‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫]‪ [2-5-2‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻻﻛﺒﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫)‪.(h, k‬‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ اﻻﺳﻠﻮب اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻻﻛﺒﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫)‪ (h,k‬ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻻﻛﺒﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫وﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (h,k‬وﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪(x − h)2 (y − k)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪a2‬‬

‫ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ )‪(2 - 20‬‬

‫ﺣﻴﺚ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ )‪F1 (h, c + k) , FF22 (h,−c + k‬‬ ‫واﻟـــﺮأﺳــــــــــــﺎن )‪V22 (h,−a + k‬‬ ‫‪VV11 (h, a + k) , V‬‬ ‫واﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤـﻮر اﻟﺼﺎدات وﻃﻮﻟــﻪ )‪(2a‬‬ ‫وﻣﻌﺎدﻟﺘـــﻪ ‪ x = h‬اﻣﺎ اﻟﻤﺤـﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ ﻓﺎﻧﻪ ﻳـﻮازي ﻣﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻃﻮﻟﻪ )‪ (2b‬وﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪. y = k‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪V1(h,a+k‬‬

‫)‪F1(h,c+k‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪(-b+h,k‬‬

‫)‪(b+h,k‬‬ ‫)‪F2(h,-c+k‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪V2(h,-a+k‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-20‬‬

‫‪76‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﺳﻨﻘﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ]‪ [2 - 5‬ﻋﻠﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ‪،‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﻭﺍﻟﺒﺆﺭﺗﺎﻥ ﻭﺍﻟﺮﺃﺳﺎﻥ ﻭﺍﻟﻘﻄﺒﺎﻥ‪ ،‬ﻭﻃﻮﻝ ﺍﶈﻮﺭﻳﻦ ﻭﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﺍﶈﻮﺭﻳﻦ ﻓﻘﻂ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪- 18-‬‬

‫ﺟﺪ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ واﻟﻘﻄﺒﻴﻦ‬

‫وﻃﻮل وﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ ﻟﻠﻘﻄﻊ‬

‫اﻟﻨﺎﻗﺺ ﺛﻢ ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪.e‬‬ ‫‪(X − 2)2 (y −1)2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‪.‬‬

‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ‬ ‫اﻟﻘﻄﺒﺎن‬

‫)‪(X − h) (y − k‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪⇒ (h, k) = (2,1‬‬

‫وﺣﺪة ‪⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10‬‬ ‫وﺣﺪة ‪b2 = 9 ⇒ b = 3 ⇒ 2b = 6‬‬

‫)‪c = a 2 +- b2 ⇒ c = 25 − 9 = 16 = 4 (-b + h,k) , (b+h,k‬‬ ‫)‪(-1, 1) , (5,1‬‬ ‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن )‪FF (h, c + k) , FF (h,−c + k‬‬ ‫‪22‬‬

‫)‪FF22 (2,−3‬‬

‫اﻟﺮأﺳﺎن )‪V22(h,−a + kh‬‬ ‫‪V‬‬

‫‪,‬‬

‫‪11‬‬

‫)‪FF11 (2, 5‬‬

‫‪V‬‬ ‫‪V11(h, a + k) ,‬‬

‫)‪V22(2,−4‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V11(2, 6) , V‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ‪∴ x = 2‬‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ ‪y = 1‬‬ ‫)اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي(‬

‫‪c 4‬‬ ‫‪= <1‬‬ ‫‪a 5‬‬

‫=‪e‬‬

‫‪77‬‬

‫القطوع املخروطية ‪Conic Sections‬‬ ‫‪)2‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-2‬‬

‫‪ .1‬عين كل من البؤرتين والرأسين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين واالختالف‬ ‫المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلتها في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫‪b) 9x 2 +13y2 = 117‬‬

‫‪a) x 2 + 2y2 = 1‬‬

‫‪(x + 3)2 (y + 2)2‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪(x − 4)2 (y +1)2‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪f) x2 + 25y2 + 4x - 150y + 204 =0‬‬

‫‪e) 9x2+16y2 -72x-96y+144 =0‬‬

‫‪ .2‬جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه في نقطة االصل في كل مما يأتي‪:‬‬ ‫أ‪ .‬البؤرتان هما النقطتان (‪ )5 ,0‬و (‪ )-5 ,0‬وطول محوره الكبير يساوي (‪ )12‬وحدة‪.‬‬ ‫ب‪ .‬البؤرتان )‪0‬‬ ‫‪ )0 (±2,‬ويتقاطع مع محور السينات عند ‪. x = ±4‬‬ ‫هما(‪, 2‬‬

‫جـ‪ .‬احدى بؤرتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين ‪ 5 ،1‬وحدة على الترتيب‪.‬‬ ‫د‪ .‬االختالف المركزي = ‪ 1‬وطول محوره الصغير (‪ )12‬وحدة طولية ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫هـ‪ .‬المسافة بين بؤرتيه تساوي (‪ )8‬وحدات ‪ ،‬ونصف محوره الصغير يساوي (‪)3‬وحدة ‪.‬‬ ‫‪ .3‬باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص اذا علم‪:‬‬

‫أ‪ .‬بؤرتاه النقطتان )‪ (0,±2‬ورأساه النقطتان )‪ (0,±3‬ومركزه نقطة االصل ‪.‬‬

‫ب‪.‬المسافة بين البؤرتين(‪)6‬وحدة والعدد الثابت(‪)10‬والبؤرتان تقعان على محور السينات ومركزه‬ ‫نقطة االصل‪.‬‬ ‫‪ .4‬جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي‬ ‫‪2‬‬ ‫معادلته ‪ y + 8x = 0‬علم ًا بان القطع الناقص يمر بالنقطة )‪3‬‬

‫‪78‬‬

‫‪. (2 3 ,‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫‪ .5‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫)‪.(3 ,4) , (6, 2‬‬ ‫‪ .6‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻧﻘﻄﺘﺎ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫‪ x2 + y2 -3x = 16‬ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻳﻤﺲ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪. y2 = 12x‬‬ ‫‪ .7‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن اﻟﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻃﻮل‬ ‫ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻜﺒﻴﺮ ﺿﻌﻒ ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺼﻐﻴﺮ وﻳﻘﻄﻊ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪ y2 + 8x = 0‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ‬ ‫اﺣﺪاﺛﻴﻬﺎ اﻟﺴﻴﻨﻲ ﻳﺴﺎوي )‪. (-2‬‬ ‫‪ .8‬ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ hx 2 + ky2 = 36‬وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ ﻣﺤﻮرﻳﻪ ﻳﺴﺎوي‬ ‫)‪ ، (60‬واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y2 = 4 3x‬ﻣﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫‪h,k∈R‬؟‬ ‫‪ .9‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪x2 = 24y‬‬ ‫وﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮﻟﻲ ﻣﺤﻮرﻳﻪ )‪ (36‬وﺣﺪة‪.‬‬ ‫‪ .10‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﻴﻪ )‪ F2(-4,0)، F1(4,0‬واﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ Q‬ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ‬ ‫ﺑﺤﻴﺚ ان ﻣﺤﻴﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ QF1F2‬ﻳﺴﺎوي)‪ (24‬وﺣﺪة‪.‬‬

‫‪79‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬

‫]‪ [2-6‬اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ‪. Hyperbola‬‬

‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[2-6‬‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ﻓﻲ اﳌﺴﺘﻮي اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﻄﻠﻘﺔ ﻟﻔﺮق ﺑﻌﺪي اي ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﲔ ﺛﺎﺑﺘﺘﲔ )اﻟﺒﺆرﺗﺎن( ﻳﺴﺎوي ﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ ‪.‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪(2 - 22‬‬ ‫‪y‬‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ ) ‪F1 (c , 0) , F2(-c,0‬‬ ‫اﻟﺮأﺳﺎن ﻫﻤﺎ ) ‪V1 (a , 0) , V2(-a,0‬‬ ‫واﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ P(x,y‬ﻧﻘﻄــﺔ ﻣــﻦ ﻧﻘـــﺎط ﻣﻨﺤﻨﻲ‬

‫)‪P(x,y‬‬

‫اﻟﻘﻄــــــﻊ اﻟﺰاﺋــﺪ وﻣـــﻦ اﻟﺘﻌــــﺮﻳﻒ ]‪[2 - 6‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪| PF1 - PF2| = 2a‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ 2a‬ﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘــ ًﺎ ﻳﻤﺜـــﻞ ﻃــﻮل اﻟﻤﺤـــﻮر‬

‫)‪(0,b‬‬

‫)‪F1(c,0‬‬

‫‪O‬‬ ‫)‪v1(a,0‬‬

‫)‪v2(-a,0‬‬

‫)‪(0,-b‬‬

‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻟﻠﻘﻄــــﻊ اﻟﺰاﺋـــﺪ اﻟــﺬي ﺗﻘــﻊ ﻋﻠﻴــﻪ‬ ‫اﻟﺒــــﺆرﺗﻴــــــﻦ واﻟــــﺮأﺳﻴـــﻦ وﻛــــــﻞ ﻣـــــــﻦ‬ ‫‪ pF1 , pF2‬ﻳﺴﻤﻴـــــﺎن ﻃـــــــــﻮﻟﻲ ﻧﺼﻔـــــﻲ‬ ‫اﻟﻘﻄﺮﻳــــﻦ اﻟﺒﺆرﻳﻴـﻦ اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﻴـﻦ ﻣـﻦ ﻧﻘﻄــــﺔ‬ ‫)‪ (p‬واﻟﻤﺴـــــﺎﻓـــﺔ ‪ F1 F2‬ﻫﻲ اﻟﺒﻌــــــﺪ ﺑﻴﻦ‬ ‫اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ وﺗﺴﺎوي ‪ 2c‬وﻃﻮل اﻟﻤﺤـﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ‬ ‫او اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻫﻮ )‪) (2b‬وﻫﻮ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻌﻤﻮدي‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ واﻟﻤﺎر ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ( ‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-22‬‬

‫)‪F2(-c,0‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫]‪ [2-6-1‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ )‪ (2 - 22‬وﺗﺒﻌ ًﺎ ﻟﺘﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ‪:‬‬

‫‪|PF1pF‬‬ ‫=|‪-PF−2‬‬ ‫‪pF2a= 2a‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪⇒ PF‬‬ ‫‪pF11 − PF‬‬ ‫‪pF22 = ±2a‬‬ ‫‪⇒ (x − c)2 + y2 − (x + c)2 + y2 = ±2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪⇒ (x − c)2 + y2 ±‬‬ ‫‪= 2a‬‬ ‫)‪±2a++ (x(x−+c)c‬‬ ‫‪++y2y‬‬

‫وﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ واﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﻛﻤﺎ ﻣﺮ ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a 2 a 2 − c2‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ )‪ (2 - 22‬ﻓﺎن‪c > 0 , a > 0 , c > a :‬‬ ‫‪c2 - a2 > 0‬‬ ‫وﺑﻔﺮض ان ‪b2 = c2 - a2‬‬

‫وﺑﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ‪ a2 - c2 = -b2‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪⇒ 2 − 2 =1‬‬ ‫‪a b‬‬

‫‪81‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫]‪ [2-6-2‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪F1(0,c‬‬

‫اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼـــﺎدات‬ ‫‪suuur‬‬ ‫وﻣﺤﻮراﻟﺴﻴﻨﺎت ﻫﻮ اﻟﻌﻤـــﻮد ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ F1 F2‬‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ)‪(2 - 23‬‬ ‫وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻧﺠﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟــــــﺔ‬ ‫اﻟﻘﻴــﺎﺳﻴـــــﺔ ﻟﻠﻘـﻄـــــــﻊ اﻟﺰاﺋـــــــــــــــﺪ ‪.‬‬

‫)‪v1(0,a‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(b,0‬‬

‫‪y2 x 2‬‬ ‫وﻫﻲ‪− 2 = 1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b‬‬

‫)‪(-b,0‬‬ ‫)‪v2(0,-a‬‬ ‫)‪F2(0,-c‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-23‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﳌﺮﻛﺰﻱ ‪ e‬ﻟﻠﻘﻄﻊ ﺍﻟﺰﺍﺋﺪ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻭﺍﺣﺪ ﺃﻱ‬ ‫‪c‬‬ ‫‪>1‬‬ ‫‪a‬‬

‫=‪e‬‬

‫]‪ [2-6-3‬ﻃﺮﻳﻘﺔ رﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ‪. Graph The Hyperbola‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ 2 − 2 = 1‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ زاﺋﺪ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻟﺮﺳﻢ ﻫﺬا اﻟﻘﻄﻊ ‪:‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪ .1‬ﻧﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) ‪. (a , 0) , (-a , 0‬‬ ‫‪ .2‬ﻧﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪.(0 ,-b) , (0 , b‬‬ ‫‪ .3‬ﻧﻜﻮن ﻣﺴﺘﻄﻴ ً‬ ‫ﻼ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻘﻂ أﺿﻼﻋﻪ ﺗــــﻮازي اﻟﻤﺤﻮرﻳـﻦ ﻛﻤــــﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜـﻞ )‪.(2 - 24‬‬

‫‪82‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪ .4‬ﻧﺮﺳـــــــﻢ ﻗﻄــــــــﺮي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴــــــــــــﻞ‬ ‫)‪(0,b‬‬

‫ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪ (2 - 24‬ﻓﻬﻤﺎ ﻳﻤﺜﻼن‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﺤﺎذﻳﻴﻦ ﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄــﻊ‬ ‫اﻟﺰاﺋﺪ ‪.‬‬

‫)‪V1(a,0‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪V2(-a,0‬‬ ‫)‪(0,-b‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-24‬‬

‫‪ .5‬ﻧﻌﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ) ‪ F1(c , 0) , F2(-c,0‬ﺛﻢ ﻧﺮﺳﻢ ذراﻋﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪.(2 - 25‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F1(c ,0‬‬

‫)‪F2(-c,0‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-25‬‬

‫‪83‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-19-‬‬

‫ﻋﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ واﻟﻘﻄﺒﻴﻦ وﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ واﻟﻤﺮاﻓﻖ ﻟﻠﻘﻄﻊ‬

‫اﻟﺰاﺋﺪ ﺛﻢ أرﺳﻤﻪ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪64 36‬‬

‫ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬

‫‪2‬‬

‫‪22‬‬

‫‪yx xy‬‬ ‫‪− 2 =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫وﺣﺪة ‪⇒ a 2 = 64 ⇒ a = 8 ⇒ 2a = 16‬‬

‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬

‫وﺣﺪة ‪⇒ b2 = 36 ⇒ b = 6 ⇒ 2b = 12‬‬

‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ‬

‫‪c 2 = a 2 + b2 ⇒ c 2 = 64 + 36‬‬ ‫‪⇒ c 2 = 100 ⇒ c = 10‬‬

‫رأﺳﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻫﻤﺎ ) ‪V1 (8 , 0) , V2(-8,0‬‬ ‫ﻗﻄﺒﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻫﻤﺎ‬

‫)‪y 0‬‬ ‫‪∴ F1 (10, 0) , F2 (−10,‬‬

‫)‪(0 ,6) , (0 , -6‬‬

‫)‪∴V1 (8, 0) , V2 (−8, 0‬‬

‫واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ ) ‪F1 (10 , 0) , F2(-10,0‬‬

‫)‪(0, 6‬‬

‫‪x‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-26‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-20-‬‬

‫)‪F1(10 ,0‬‬

‫)‪V2(-8,0‬‬

‫)‪V1(8,0‬‬

‫)‪F2(-10,0‬‬ ‫)‪(0, -6‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ = ‪ 6‬وﺣﺪات‬ ‫واﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي ﻳﺴﺎوي )‪ (2‬واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a 2 = 9‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪∴e= ⇒ 2 = ⇒ c = 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪∴ c 2 = a 2 + b2 ⇒ 36 = 9 + b2‬‬ ‫‪⇒ b2 = 36 − 9 ⇒ b2 = 27‬‬ ‫‪x 2 y2‬‬ ‫‪∴ −‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ‪= 1‬‬ ‫‪9 27‬‬

‫‪84‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-21-‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻤﺮاﻓﻖ ‪ 4‬وﺣﺪات‬ ‫) ‪F1 (0, 8 ) , F2 (0,− 8‬‬

‫وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻫﻤﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن‪:‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪y2 x 2‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ان اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻓﻤﻌﺎدﻟﺘﻪ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ‪− 2 = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b‬‬

‫⇒ ‪2b = 4‬‬ ‫⇒‪2bb==42‬‬ ‫‪= bb2 ==24= b2 = 4‬‬

‫‪y‬‬

‫⇒ ‪c= 8‬‬ ‫‪c =c 2 8= 8⇒ c 2 = 8‬‬

‫) ‪F1 (0, 8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪+cb‬‬ ‫‪= a 2 + b2‬‬ ‫‪Q c 2 = aQ‬‬

‫‪∴ 8 = a 2∴+84 = a 2 + 4‬‬

‫)‪(0, 2‬‬

‫‪a2 = 4 a2 = 4‬‬ ‫‪y2 x 2 y2 x 2‬‬ ‫‪− = 1− = 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4 4‬‬ ‫ ‬

‫‪x‬‬

‫)‪(−2, 0‬‬

‫)‪(2, 0‬‬ ‫)‪(0, −2‬‬

‫) ‪F2 (0, − 8‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-27‬‬

‫ﻣﺴﺎو اﻟﻰ ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ ﻣﺜﻞ ﻫﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻘﻄﻮع اﻟﺰاﺋﺪة‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻤﺜﺎل ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ٍ‬

‫ﻳﺪﻋﻰ ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﻘﺎﺋﻢ او )اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻻﺿﻼع( ﻻن اﻟﻨﻘﺎط اﻻرﺑﻊ ﺗﺸﻜﻞ رؤوس ﻣﺮﺑﻊ وﻓﻴﻪ ﻳﻜﻮن‬ ‫اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي )‪ (e‬ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﻗﻴﻤﺘﻪ ) ‪. ( 2‬‬

‫‪85‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬

‫]‪ [2-7‬اﻧﺴﺤﺎب ﻣﺤﺎور اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ‪:‬‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (h,k‬وﻣﺤﻮراﻩ ﻳﻮازﻳﺎن اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ‪.‬‬ ‫اوﻻً‪ :‬ﻋﻨﺪ اﻧﺴﺤﺎب ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﺑﻤﻘﺪار )‪ (h‬ﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﺑﻤﻘﺪار )‪ (k‬ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات واﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﺗﺼﺒﺢ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪(x − h)2 (y − k)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪(2 - 28‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(h,b+k‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪F1(h+c,k‬‬

‫)‪V1(h+a,k‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪(h,-b+k‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-28‬‬

‫ﺣﻴﺚ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬ ‫واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ‬

‫)‪FF11 (c + h, k) , FF22 (−c + h, k‬‬

‫‪V11 (a + h, k) , V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫واﻟﺮأﺳﺎن ﻫﻤﺎ )‪V22 (−a + h, k‬‬

‫‪86‬‬

‫)‪V2(h-a,k‬‬

‫)‪F2(h-c,k‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎً‪ :‬ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ)‪.(h,k‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫وﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪(2 - 29‬‬

‫‪(y − k)2 (x − h)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪b2‬‬

‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ )‪F11(h,c + k) , FF22(h,−c + k‬‬ ‫‪F‬‬

‫‪y‬‬

‫واﻟﺮأﺳﺎن ﻫﻤﺎ )‪V 11 (h,a + k) , VV22 (h,−a + k‬‬ ‫‪V‬‬ ‫)‪F1(h,c+k‬‬

‫)‪V1(h,a+k‬‬ ‫‪x‬‬

‫)‪(h,k‬‬

‫)‪V2(h,-a+k‬‬

‫)‪F2(h,-c+k‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(2-29‬‬

‫ﺳﻨﻘﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ]‪ [2 - 7‬ﻋﻠﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﺰﺍﺋﺪ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﻭﺑﺆﺭﺗﺎﻩ ﻭﺭﺃﺳﺎﻩ ﻭﻃﻮﻝ ﺍﶈﻮﺭﻳﻦ‪.‬‬

‫‪87‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-22-‬‬

‫ﺟﺪ اﺣﺪاﺛﻴﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰ واﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ وﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ واﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي‬ ‫ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪=1‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫ﺑﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬

‫ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ‬

‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ‬

‫)‪(x + 2) (y −1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪(x + 2)2 (y −1)2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(x − h)2 (y − k)2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪b2‬‬

‫ﻧﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪− k)2‬‬ ‫‪(x − h)2 (y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫وﺣﺪة ‪⇒ a 2 = 9 ⇒ a = 3 ⇒ 2a = 6‬‬ ‫وﺣﺪة ‪⇒ b2 = 4 ⇒ b = 2 ⇒ 2b = 4‬‬ ‫‪a 2==−2‬‬ ‫⇒‪9‬‬ ‫‪⇒h‬‬ ‫‪, ka==13 ⇒ 2a = 6‬‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰ‬ ‫‪∴(h,‬‬ ‫)‪= =4 (−2,1‬‬ ‫⇒‪⇒ b= 2‬‬ ‫‪2b = 4‬‬ ‫)‪⇒ b2k‬‬

‫⇒‬ ‫‪k =c12 = 9 + 4 = 13 ⇒ c = 13‬‬ ‫⇒ ‪+ b,2‬‬ ‫‪c 2 =h a=2−2‬‬ ‫‪∴(h,‬‬ ‫)‪F11(ck)+=h,(−2,1‬‬ ‫∴‬ ‫ﻻن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت )‪k) , FF2 (−c + h, k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪⇒ c, =F29(−+ 43=−13‬‬ ‫‪⇒ c = 13‬‬ ‫)‪c =F1a( +3 b− 2,1‬‬ ‫)‪2,1‬‬ ‫⇒‬ ‫∴‬ ‫‪+13‬‬ ‫‪h,h,‬‬ ‫)‪+ h, k‬‬ ‫‪F2 2(−a‬‬ ‫‪⇒FFFV111(c‬‬ ‫)‪−k)2,1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪k), ,F2,V(−c‬‬ ‫اﻟﺒﺆرﺗﺎن )‪h, −k)2,1‬‬ ‫‪1((a‬‬ ‫‪2 (− +13‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪3 − ,2,1‬‬ ‫)‪, F2 (− 3 − 2,1‬‬ ‫)‪⇒ FV11((1,1‬‬ ‫)‪V 2 (−5,1‬‬

‫‪k) , V‬‬ ‫)‪V 22 (−a + h, k‬‬ ‫‪V 1 (a‬‬ ‫‪c + h,13‬‬ ‫= ‪∴ e =1‬‬ ‫اﻟﺮأﺳﺎن )‪V22 (−5,1‬‬ ‫‪V 11 a(1,1) ,3V‬‬ ‫‪V‬‬

‫)اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي( ‪>1‬‬

‫‪88‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪13‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪∴e‬‬

‫‪Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG‬‬ ‫‪(2‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬

‫‪‐3‬‬

‫‪b) 16x 2 − 9y = 144‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﻟﻠﻘﻄﻮع‪(x +‬‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰي ‪5)2‬‬ ‫واﻻﺧﺘﻼف)‪(y −1‬‬ ‫اﻟﺰاﺋﺪة‬ ‫‪ .1‬ﻋﻴﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ ﺛﻢ ﺟﺪ ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪362 − 4y2 =64‬‬ ‫‪a) 12x‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪b) 16x 2 − 9y = 144‬‬ ‫اﻻﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪y2y+1‬‬ ‫‪x 2 − 4(x −1)2 = 8‬‬ ‫)‪(x +2 5‬‬ ‫)‪(y−−1‬‬ ‫‪fc)) 2(x‬‬ ‫‪d) 16x‬‬ ‫‪+160x‬‬ ‫‪9y2 +18y = 185‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪− =3‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪ .2‬اﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻓﻲ‪64‬‬ ‫‪36‬ﺛﻢ ارﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ ‪:‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﻴﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(y −1) (x − 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(±5,‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ‪0)2‬‬ ‫وﻳﺘﻘﺎﻃﻊ‬ ‫‪ x = ±3‬وﻣﺮﻛﺰﻩ‪ −‬ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪e) .‬‬ ‫اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻋﻨﺪ ‪= 1‬‬ ‫ﻣﺤﻮر ) ‪f‬‬ ‫)‪+1‬ﻣﻊ‪2(x‬‬ ‫‪− 4(x‬‬ ‫)‪−1‬‬ ‫أ‪ .‬اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ ‪= 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻣﺤﻮراﻩ ﻋﻠﻰ‬ ‫ب‪ .‬ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪ (12‬وﺣﺪة وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻤﺮاﻓﻖ )‪ (10‬وﺣﺪات ‪5‬وﻳﻨﻄﺒﻖ‬

‫اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬ ‫ﺟـ‪ .‬ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻤﺮاﻓﻖ ‪ 2 2‬وﺣﺪة واﺧﺘﻼﻓﻪ‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺰي ﻳﺴﺎوي )‪.(3‬‬ ‫‪ .3‬ﺟــــــــــــــﺪ ﺑﺎﺳﺘﺨــــﺪام ﺗﻌــﺮﻳﻒ ﻣﻌــﺎدﻟـــﺔ اﻟﻘﻄــﻊ اﻟـــﺰاﺋـــﺪ اﻟــﺬي ﻣﺮﻛـﺰﻩ ﻧﻘﻄــﺔ اﻻﺻـــﻞ وﺑﺆرﺗﻴــﻪ‬ ‫‪(2 (2‬‬ ‫‪2 0)2 , 0)(−2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫)‪2 0)2 , 0‬‬ ‫)‪(−2 2 0‬‬ ‫وﻳﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮراﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ واﻟﻘﻴﻤــﺔ اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﻔـــﺮق ﺑﻴــﻦ‬ ‫‪, (−2‬‬ ‫ﺑﻌﺪي اﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻳﺴﺎوي )‪ (4‬وﺣﺪات‪.‬‬

‫‪ .4‬ﻗﻄﻊ زاﺋﺪ ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪ (6‬وﺣﺪات واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫‪ . (1,−2‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ ﻧﻘﻄـــﺔ‬ ‫اﻻﺻﻞ وﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) ‪5 ) , (1, 2 5‬‬ ‫‪,‬‬

‫اﻻﺻﻞ واﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬

‫‪ .5‬ﻗﻄﻊ زاﺋﺪ ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ hx2 - ky2 = 90‬وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ )‪ (6 2‬وﺣﺪة وﺑﺆرﺗﺎﻩ‬ ‫ﺗﻨﻄﺒﻘﺎن ﻋﻠﻰ ﺑﺆرﺗﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ 9x2 + 16y2 = 576‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ h , k‬اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ‬ ‫اﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ .6‬اﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ اذا ﻋﻠﻤﺖ ان اﺣﺪ راﺳﻴﻪ ﻳﺒﻌﺪ ﻋﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪ 1 , 9‬وﺣﺪات ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ وﻳﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮراﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ‪.‬‬

‫‪ .7‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻫﻤﺎ ﺑﺆرﺗﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ x2 - 3y2 = 12‬واﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻲ ﻣﺤﻮرﻳﻪ = ‪ 5‬وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ‪.‬‬ ‫‪ .8‬اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪3 p(6 , L‬‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ x2-3y2 =12‬ﺟﺪ ﻛ ً‬ ‫ﻼ ﻣﻦ‪:‬‬

‫ب‪ .‬ﻃﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺒﺆري ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻓﻲ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﻤﻨﻰ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.P‬‬ ‫أ‪ .‬ﻗﻴﻤﺔ ‪. L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .9‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻫﻤﺎ ﺑﺆرﺗﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ‪ x + y = 1‬وﻳﻤﺲ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫‪9 25‬‬ ‫اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ‪. x2 + 12y = 0‬‬

‫‪89‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Application of Differentiationπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫‪ådÉãdG π°üØdG‬‬ ‫‪Chapter Three‬‬

‫‪π°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫]‪[3-1‬‬

‫اﳌﺸﺘﻘﺎت ذات اﻟﺮﺗﺐ اﻟﻌﻠﻴﺎ‬

‫]‪[3-2‬‬

‫اﳌﻌﺪﻻت اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ‬

‫]‪[3-3‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺘﺎ رول واﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‬

‫]‪ [3-4‬اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫]‪ [3-5‬اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ‬ ‫]‪ [3-6‬ﺗﻘﻌﺮ وﲢﺪب اﳌﻨﺤﻨﻴﺎت وﻧﻘﻂ اﻻﻧﻘﻼب‬ ‫]‪ [3-7‬اﺧﺘﺒﺎر اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻨﻘﻂ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ‬

‫]‪ [3-8‬رﺳﻢ اﳌﺨﻄﻂ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫]‪ [3-9‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻌﻈﻤﻰ او اﻟﺼﻐﺮى‪.‬‬ ‫ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ‬ ‫ﺍﳌﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﻌﻠﻴﺎ‬ ‫ﺍﻟﺘﻐﻴﺮ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻲ ﻋﻨﺪ ‪a‬‬

‫‪90‬‬ ‫‪90‬‬

‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬

‫‪dn y‬‬ ‫)‪= n = f (n)(x‬‬ ‫‪cx‬‬ ‫‪dx‬‬

‫)‪(n‬‬

‫‪y‬‬

‫‪hf ʹ(a), h = b− a‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ‬ ‫ﲤﻬﻴﺪ ‪ :‬ﻟﻘﺪ ﺳﺒﻖ أن ﺗﻌﻠﻤﺖ ﻓﻲ اﻟﺼﻒ اﳋﺎﻣﺲ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻣﺘﻰ ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ‬ ‫ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق وﺗﻌﺮﻓﺖ ﻋﻠﻰ ﻗﻮاﻋﺪ اﻳﺠﺎد ﻣﺸﺘﻘﺎت اﻟﺪوال اﳉﺒﺮﻳﺔ واﻟﺪاﺋﺮﻳﺔ واﻟﺘﻔﺴﻴﺮ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ‬ ‫واﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺔ وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻨﺘﻨﺎول ﺑﻌﺾ اﳌﻔﺎﻫﻴﻢ اﻻﺧﺮى وﺑﻌﺾ اﺳﺘﻌﻤﺎﻻت‬ ‫وﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ‬

‫]‪ [3-1‬اﳌﺸﺘﻘﺎت ذات اﻟﺮﺗﺐ‬

‫اﻟﻌﻠﻴﺎ)‪(Higher- Order Dedrivatives‬‬

‫إذا ﻛﺎﻧﺖ )‪Yy = f (x‬داﻟﺔ ﺗﺘﻮاﻓﺮ ﻓﻴﻬﺎ ﺷﺮوط اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﺎن ﻣﺸﺘﻘﺘﻬﺎ اﻷوﻟﻰ )‪(First Derivative‬‬ ‫ﻫﻲ )‪ yʹ = dy = f ʹ(x‬وﲤﺜﻞ داﻟﺔ ﺟﺪﻳﺪة‬ ‫‪dx‬‬ ‫واﻟﺪاﻟﺔ اﳉﺪﻳﺪة ﻫﺬﻩ إذا ﺗﻮاﻓﺮت ﻓﻴﻬﺎ ﺷﺮوط اﻻﺷﺘﻘﺎق أﻳﻀ ًﺎ ﻓﺈن ﻣﺸﺘﻘﻬﺎ داﻟﺔ ﺟﺪﻳﺪة ﲤﺜﻞ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ (Second Derivative‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ )‪ yʹʹ = d y = f ʹʹ(x‬وﻫﺬﻩ اﻻﺧﻴﺮة اﻳﻀ ًﺎ داﻟﺔ ﺟﺪﻳﺪة‬ ‫‪dx 2‬‬ ‫ﻓﻲ اﳌﺘﻐﻴﺮ‪x‬‬ ‫وإذا ﺗﻮاﻓﺮت ﻓﻴﻬﺎ ﺷﺮوط اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﺈن ﻣﺸﺘﻘﺘﻬﺎ ﺗﺴﻤﻰ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫)‪ :(Third Derivative‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ‬

‫‪d3 y‬‬ ‫)‪yʹʹʹ = 3 = f ʹʹʹ(x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫وﻋﻠﻰ ﻫﺬا اﳌﻨﻮال ﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﻣﺸﺘﻘﺎت ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ وﺑﺪء ًا ﻣﻦ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ اﳌﺸﺘﻘﺎت ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺎت‬ ‫اﻟﻌﻠﻴﺎ )‪(Higher Derivatives‬وﺗﻜﺘﺐ اﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ ‪ n‬ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ y(n) = d y = f (n) (x‬ﺣﻴﺚ ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ‪.‬‬ ‫‪dx n‬‬

‫‪91‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫وﻟﻨﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ رﻣﻮز ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺎت اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬

‫)‪,...,f (n) (x‬‬ ‫‪f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4 ) (x)....,‬‬

‫)‪y', y'', y''', y(4 ) ,...., y(n‬‬

‫‪dy d2 y d3 y d 4 y‬‬ ‫‪dn y‬‬ ‫‪, 2 , 3 , 4 ,..., n‬‬ ‫‪dx dx dx dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫وﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﳌﺸﺘﻘﺎت اﻟﻌﻠﻴﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻟﻨﺎ أن ‪:‬‬ ‫وأن ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫⎞ ‪d y d ⎛ dy‬‬ ‫⎟ ⎜ =‬ ‫⎠ ‪dx 2 dx ⎝ dx‬‬ ‫⎞ ‪d3 y d ⎛ d2 y‬‬ ‫⎜ =‬ ‫‪⎟ ,.....‬‬ ‫⎠ ‪dx 3 dx ⎝ dx 2‬‬

‫وﻛﻤﺜﺎل ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺎت اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻧﺄﺧﺬ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺗﻴﺔ‪ s=f(t ) :‬ﺣﻴﺚ ‪ s‬ﲤﺜﻞ إزاﺣﺔ ﺟﺴﻢ ﻣﺘﺤﺮك ﻋﻨﺪ أي زﻣﻦ‪،t‬‬ ‫‪d2 s‬‬ ‫ﻓﺎﳌﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ )‪ ds = f ʹ(t‬ﲤﺜﻞ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻠﺤﻈﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ اﳉﺴﻢ‪ ،‬واﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬ ‫ʹʹ‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt 2‬‬ ‫ﲤﺜﻞ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻟﺴﺮﻋﺔ أي اﻟﺘﻌﺠﻴﻞ)‪ (Acceleration‬ﻟﻠﺠﺴﻢ اﳌﺘﺤﺮك‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أﻣﺎ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻟﻺزاﺣﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺰﻣﻦ ‪ d s = f ʹʹʹ (t ) ,t‬ﻓﺘﻤﺜﻞ اﳌﻌﺪل اﻟﻠﺤﻈﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﻌﺠﻴﻞ‬ ‫‪dt 3‬‬ ‫وﻣﻦ اﻷﻣﺜﻠﺔ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ا ُﻷﺧﺮى‪ ،‬ﺣﺴﺎب درﺟﺔ اﻷﻣﺎن ﻓﻲ ﻧﻈﺎم ﻓﺮاﻣﻞ ﺳﻴﺎرة ﻣﺎ ﻳﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ أﻗﺼﻰ ﺗﺒﺎﻃﺆ‬ ‫)‪(Deceleration‬ﳝﻜﻦ أن ﲢﺪﺛﻪ اﻟﻔﺮاﻣﻞ)وﻫﻮ ﺗﻌﺠﻴﻞ ﺳﺎﻟﺐ(‪.‬‬ ‫وﻋﻨﺪ اﻃﻼق ﺻﺎروخ ﻟﻠﻔﻀﺎء ﻓﺈن راﺋﺪ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺬي ﻓﻲ اﳌﺮﻛﺒﺔ داﺧﻞ اﻟﺼﺎروخ ﻳﺘﻌﺮض ﻟﺘﺄﺛﻴﺮات ﺻﺤﻴﺔ‬ ‫وﻫﺬﻩ اﻟﺘﺄﺛﻴﺮات ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﺠﻴﻞ اﻟﺬي ﻳﺘﻌﺮض ﻟﻪ ﻫﺬا اﻟﺮاﺋﺪ ‪.‬‬ ‫وﺗﺴﺘﻌﻤﻞ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻟﺪراﺳﺔ ﻣﺎ ﻳﺘﻌﺮض ﻟﻪ راﻛﺐ ﻗﻄﺎرات اﻷﻧﻔﺎق‪.‬‬

‫‪92‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-1-‬‬ ‫احلل‬

‫‪d4 y‬‬ ‫إذا كانت ‪ y= cos 2x‬فجد‬ ‫‪dx 4‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= −2sin 2x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫‪= −(2)2 cos 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d3 y‬‬ ‫‪= 23 sin 2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪d4 y‬‬ ‫‪= 24 cos 2x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫مثال‪-2-‬‬ ‫احلل‬

‫‪d3 y‬‬ ‫‪d2 y dy‬‬ ‫إذا علمت بأن ‪ y2+x2=1‬فبرهن على أن ‪y 3 + 3 2 . = 0 :‬‬ ‫‪dx3‬‬ ‫‪dx dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫نشتق العالقة املعطاة اشتقاق ًا ضمني ًا ‪،‬أي نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير ‪x‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪:‬ومن قسمة طرفي املعادلة على ‪ 2‬نحصل على‬ ‫‪2y + 2x = 0‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪+x=0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫والتنسى ان احلد االول هو حالة ضرب متغيرين‬ ‫‪d2 y dy dy‬‬ ‫‪y 2 + . +1 = 0‬‬ ‫‪dx dx dx‬‬ ‫‪y‬‬

‫ثم نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير ‪x‬‬

‫‪d2 y dy 2‬‬ ‫‪y 2 +( ) +1 = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d3 y‬‬ ‫‪d2 y dy‬‬ ‫‪⎛ dy ⎞ d y‬‬ ‫⎟ ⎜‪y 3 + 3 2 . + 2‬‬ ‫‪+0 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫⎠ ⎝‬

‫‪d3 y‬‬ ‫‪d2 y dy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+3 2 . =0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dx3‬‬ ‫‪dx dx‬‬ ‫وبهذا يتم املطلوب‬ ‫‪dx‬‬

‫‪93‬‬

Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J (

1 ) ‫ﺎرﻳﻦ‬

‫ﺗﻤ‬

3-

d2 y :‫ ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ‬2 ‫ ﺟﺪ‬.1 dx 2− x b)e)y = , x ≠ −2 2+ x

a) y = 2 − x ,∀x ≤< 22

c) 2xy − 4y + 5 = 0, y ≠ 0, x ≠ 2 :‫ ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬f ʹʹʹ(1) ‫ ﺟﺪ‬.2 a) f (x) =y4= 62−−2xx ,∀x <≤ 3 2

x≠

b) f (x) = x sin π x

c) f (x) =

3 ,x ≠ 2 2−x

(2n+1)π d2 yx x ≠ (2n+1)π , ∀n ∈ Z, ‫ﺣﻴﺚ‬ y = tan ∀n ∈ Z, y = tan x ‫ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬.3 = 2y (1+ y2 ) ‫ أن‬,‫ﻓﺒﺮﻫﻦ‬ 2 2 2 dx (4) 4y + 5x == 0, 0, x ≠y=x 2 sin x ‫ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬.4 y( 4 ) 2xy − y +− 3cos 0 y‫ﻓﺒﺮﻫﻦ≠أن‬

94

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫]‪ [3-2‬اﳌﻌﺪﻻت اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ ‪Related Rates‬‬ ‫إذا وﺟﺪ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﺘﻮﻗﻒ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ ﻳﺴﻤﻰ )ﺑﺎراﻣﺘﺮ(‬ ‫وﻣﺜﺎﻟ ُﻪ اﻟﺰﻣﻦ ﻓﺘﺘﻐﻴﺮ ﻛﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﺗﺒﻌ ًﺎ ﻟﺘﻐﻴﺮﻩ وﺣﻴﺚ أن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻫﻲ ارﺗﺒﺎط ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﻤﻲ اﳌﻌﺪﻻت اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻫﺬﻩ‬ ‫ﺑﺎﳌﻌﺪﻻت اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ واﺣﻴﺎﻧ ًﺎ ﺑﺎﳌﻌﺪﻻت اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ أو اﳌﻌﺪﻻت اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻓﻘﻂ‪ ،‬ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ اذا ﻛﺎن‬ ‫)‪y = g(t), x = f (t‬‬ ‫ﻓﺎﳌﺘﻐﻴﺮان ‪ x,y‬ﻣﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ﺗﺎﺑﻌﲔ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﳌﺘﻐﻴﺮ اﳌﺴﺘﻘﻞ ‪ ،t‬ﻓﻤﻦ اﳌﻤﻜﻦ رﺑﻂ اﳌﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ﺑﺒﻌﻀﻬﻤﺎ‪،‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ dx‬واﻟﻨﺎﲡﺎن ﳝﺜﻼن اﳌﻌﺪﻟﲔ‬ ‫وﳝﻜﻦ أن ﳒﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪= f ʹ(t), = gʹ(t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫اﻟﺰﻣﻨﻴﲔ ﻟﺘﻐﻴﺮ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪y,x‬‬ ‫وﻗﺪ ﻳﺘﻮاﻓﺮ اﻟﺮﺑﻂ ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ﻓﻲ ﻣﺴﺄﻟﺔ ﻣﺎ ﲟﻌﺎدﻟﺔ وﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺰﻣﻦ ‪ t‬ﻓﻌﻠﻰ‬ ‫ﺳﺒﻴﻞ اﳌﺜﺎل ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ x2+y2-4y+6x=0‬ﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎد اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ x,y‬وﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪d 2 2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫⇒ )‪(x + y − 4y + 6x) = (0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻮن ‪ :‬اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ ‪ y‬ﻳﺴﺎوي ‪dy‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪dx‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪+ 2y − 4 + 6‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪dx‬‬ ‫واﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ ‪ x‬ﻳﺴﺎوي‬ ‫‪dt‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﳊﻞ أي ﺳﺆال ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﳌﻌﺪﻻت اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ ﺣﺎول إﺗﺒﺎع ﻣﺎ ﻳﻠﻲ إن أﻣﻜﻦ‪:‬‬

‫‪ (1‬ارﺳﻢ ﻣﺨﻄﻄ ًﺎ ﻟﻠﻤﺴﺄﻟﺔ )أن اﺣﺘﺠﺖ اﻟﻰ ذﻟﻚ(وﺣﺪد اﳌﺘﻐﻴﺮات واﻟﺜﻮاﺑﺖ وﺿﻊ ﻟﻬﺎ اﻟﺮﻣﻮز وﺣﺪد‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ اﻟﺴﺆال‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺣﺎول إﻳﺠﺎد ﻋﻼﻗﺔ أﺧﺮى ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻟﻜﻲ ﺗﻘﻠﻞ ﻣﻦ ﻋﺪد اﳌﺘﻐﻴﺮات‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ )اﻟﺰﻣﻦ( ‪.t‬‬ ‫‪ (4‬ﻋﻮض ﻣﻌﻄﻴﺎت اﻟﺴﺆال ﻣﻦ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﺑﻌﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق‪.‬‬ ‫واﻻﻣﺜﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ذﻟﻚ‪:‬‬

‫‪95‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-1-‬‬ ‫خزان مملوء باملاء على شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة طول ضلعها ‪ 2m‬يتسرب منه املاء‬ ‫مبعدل ‪ 0.4m3/h‬جد معدل تغير انخفاض املاء في اخلزان عند أي زمن ‪.t‬‬ ‫‪h‬‬

‫احلل‬ ‫ليكن حجم املاء في اخلزان عند أي زمن ‪ t‬هو (‪v(t‬‬ ‫(تسرب) ⇐ ‪( dv = −0.4‬االشارة السالبة تعني نقصان)‬

‫‪2m‬‬

‫‪dt‬‬

‫وليكن ارتفاع املاء في اخلزان عند أي زمن هو ‪ h‬واملطلوب إيجاد‬ ‫أن املاء يأخذ شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة‬

‫‪dh‬‬ ‫‪dt‬‬

‫مساحة القاعدة = ‪∴V = Ah , A‬‬ ‫‪V=(2)(2)h⇒ V= 4h‬‬ ‫‪⇒ dv = 4 dh‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪dh‬‬ ‫‪dh‬‬ ‫‪= −0.1 m / h‬‬ ‫⇒‬ ‫⇒‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪dt‬‬

‫‪−0.4 = 4‬‬

‫معدل تغير انخفاض املاء في اخلزان ‪0.1m/h‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬ ‫صفيحة مستطيلة من املعدن مساحتها تساوي ‪ . 96cm2‬يتمدد طولها مبعدل‬ ‫‪2cm/s‬بحيث تبقى مساحتها ثابتة‪ ،‬جد معدل النقصان في عرضها وذلك عندما يكون عرضها ‪.8cm‬‬ ‫احلل‬

‫‪96‬‬

‫في أية حلظة ما نفرض طول املستطيل = ‪x‬‬ ‫وعرض املستطيل= ‪y‬‬ ‫‪ dx = 2cm/s‬معدل تغير الطول‬ ‫‪dt‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫?=‬ ‫‪dt‬‬

‫ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻟﻌﺮض‬ ‫‪A = xy‬‬ ‫‪∴ 96∴=96‬‬ ‫)‪xy...(1‬‬ ‫)‪= xy...(1‬‬

‫ﻧﺸﺘﻖ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻰ ‪t‬‬

‫)‪∴ 96 = xy...(1‬‬

‫‪∴ y = 8 ⇒ x = 12‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪(96) = (xy‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪+ y.‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪0 = 12 + 8(2‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪⇒ 0 = x.‬‬

‫‪dy −16 −4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪cm/ ssec‬‬ ‫‪dt 12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻓﻲ ﺗﻠﻚ اﻟﻠﺤﻈﺔ‬ ‫∴ اﻟﻌﺮض ﻳﺘﻨﺎﻗﺺ ﲟﻌﺪل ‪cm/ s‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-3 -‬‬ ‫ﻣﻜﻌﺐ ﺻﻠﺪ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ ‪ 8cm‬ﻣﻐﻄﻰ ﺑﻄﺒﻘﺔ ﻣﻦ اﳉﻠﻴﺪ ﺑﺤﻴﺚ ﺷﻜﻠﻪ ﻳﺒﻘﻰ ﻣﻜﻌﺒﺎً‪،‬‬ ‫ﻓﺈذا ﺑﺪأ اﳉﻠﻴﺪ ﺑﺎﻟﺬوﺑﺎن ﲟﻌﺪل ‪ 6cm3/s‬ﻓﺠﺪ ﻣﻌﺪل اﻟﻨﻘﺼﺎن ﺑﺴﻤﻚ اﳉﻠﻴﺪ ﻓﻲ اﻟﻠﺤﻈﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺬا‬ ‫اﻟﺴﻤﻚ ‪.1cm‬‬ ‫⇒‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﻧﻔﺮض ﺳﻤﻚ اﳉﻠﻴﺪ ﻓﻲ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ = ‪ x‬واﳌﻄﻠﻮب ﺣﺴﺎب ‪ dx‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪x=1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﺣﺠﻢ اﳉﻠﻴﺪ = ﺣﺠﻢ اﳌﻜﻌﺐ اﳌﻐﻄﻰ ﺑﺎﳉﻠﻴﺪ‪ -‬ﺣﺠﻢ اﳌﻜﻌﺐ اﻷﺻﻠﻲ‬ ‫‪V=(8+2x )3-83‬‬

‫‪8cm‬‬

‫‪dv‬‬ ‫‪dxdx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-0‬‬ ‫= )‪(2‬‬ ‫)‪= 3(8 + 2x)(2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dtdt‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻌﻄﺎة ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪−6 = 3(8 + (2)(1))2 .2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪cm/s‬‬ ‫‪= −0.01cm/‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫∴ﻣﻌﺪل ﻧﻘﺼﺎن ﺳﻤﻚ اﳉﻠﻴﺪ = ‪0.01cm/s‬‬

‫‪97‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-4 -‬‬ ‫ﺳﻠﻢ ﻃﻮﻟﻪ ‪ 10m‬ﻳﺴﺘﻨﺪ ﻃﺮﻓﻪ اﻷﺳﻔﻞ ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﻴﺔ وﻃﺮﻓﻪ اﻟﻌﻠﻮي ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ‪،‬‬ ‫ﻓﺈذا اﻧﺰﻟﻖ اﻟﻄﺮف اﻷﺳﻔﻞ ﻣﺒﺘﻌﺪ ًا ﻋﻦ اﳊﺎﺋﻂ ﲟﻌﺪل ‪ 2m/s‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺮف اﻷﺳﻔﻞ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ 8m‬ﻋﻦ‬ ‫اﳊﺎﺋﻂ ﺟﺪ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻣﻌﺪل اﻧﺰﻻق اﻟﻄﺮف اﻟﻌﻠﻮي‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺳﺮﻋﺔ ﺗﻐﻴﺮ اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﲔ اﻟﺴﻠﻢ واﻷرض‪.‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫‪θ‬‬ ‫ارض‬

‫‪x‬‬ ‫‪x 2 + y2 = 100‬‬

‫‪∴ x = 8, ⇒ y = 6‬‬

‫)‪1‬‬

‫= ‪∴ x = 8, ⇒ y‬‬

‫ﻧﻔﺮض ﻋﻨﺪ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ ‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫⇐‪= 2 ,‬‬ ‫ﺑﻌﺪ اﻟﻄﺮف اﻻﺳﻔﻞ ﻋﻦ اﳊﺎﺋﻂ= ‪x‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﺑﻌﺪ اﻟﻄﺮف اﻷﻋﻠﻰ ﻋﻦ اﻷرض =‪. y‬‬ ‫ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﲔ اﻟﺴﻠﻢ واﻷرض = ‪) θ‬ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻳﺔ(‬ ‫ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪10m‬‬

‫‪ y‬ﺣﺎﺋﻂ‬

‫‪d 2 2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪(x + y ) = (100) ⇒ 2x + 2y = 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻌﻠﻮﻣﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫ﻣﻌﺪل اﻧﺰﻻق اﻟﻄﺮف اﻟﻌﻠﻮي‬

‫‪98‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dy −8‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫=‬ ‫‪m/ s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt 3‬‬

‫)‪(2)(8)(2)+ (2)(6‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dy −8‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫=‬ ‫‪m/ s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt 3‬‬

‫)‪(2)(8)(2)+ (2)(6‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪8 dθ1 dy 11 dy−4‬‬ ‫‪y yy y d⇒dd(d sinθ‬‬ ‫) ‪d dyddyy y‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪⇒sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫‪sinθ‬‬ ‫⇒ ⇒=== =‬ ‫( ===) =‬ ‫‪⇒ cosθ‬‬ ‫) () (=== =‬ ‫‪⇒ cosθ‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1010‬‬ ‫‪1010dt dt‬‬ ‫‪dtdt dt dt‬‬ ‫‪dtdt‬‬ ‫‪10 dt‬‬ ‫‪10 dt 3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 10‬‬ ‫‪10 dt10‬‬

‫)‪2‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪x8 dθ1x dy 11 dy‬‬ ‫= ‪ cosθ‬ﻳﻨﺘﺞ) () (‬ ‫== =‬ ‫‪10dt10‬‬ ‫‪10 dt3‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ‪10‬‬ ‫‪1010 dt‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪dy −8‬‬ ‫=‬ ‫وﻣﻦ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﻘﻴﻤﺔ ‪ x=8‬وﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺳﺮﻋﺔ ﺗﻐﻴﺮ اﻟﺰاوﻳﺔ‬

‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫‪8 dθ‬‬ ‫‪1 −8‬‬ ‫) () ( =‬ ‫‪10 dt‬‬ ‫‪10 3‬‬ ‫‪dθ −1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫∴‬ ‫‪= rad / sec‬‬ ‫‪dt 63‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪-5 -‬‬ ‫ﻣﺮﺷﺢ ﻣﺨﺮوﻃﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ اُﻓﻘﻴﺔ ورأﺳﻪ ﻟﻸﺳﻔﻞ‪ ،‬ارﺗﻔﺎﻋﻪ ﻳﺴﺎوي ‪24cm‬وﻃﻮل ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪ 16cm‬ﻳﺼﺐ ﻓﻴﻪ ﺳﺎﺋﻞ ﲟﻌﺪل ‪5cm3/s‬ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﺘﺴﺮب ﻣﻨﻪ اﻟﺴﺎﺋﻞ ‪ ،1cm3/s‬ﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ‬ ‫ﻋﻤﻖ اﻟﺴﺎﺋﻞ ﻓﻲ اﻟﻠﺤﻈﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻤﻖ اﻟﺴﺎﺋﻞ ‪. 12cm‬‬ ‫‪16‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫ﻧﻔﺮض ﺑﻌﺪي اﳌﺨﺮوط اﳌﺎﺋﻲ‬ ‫)ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ=‪ r‬واﻻرﺗﻔﺎع= ‪ (h‬ﻋﻨﺪ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ‬ ‫ﻧﻔﺮض ﺣﺠﻢ اﻟﺴﺎﺋﻞ ﻋﻨﺪ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ )‪v(t‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﳌﺠﺎور ﻣﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎل ‪ tanθ‬أو ﻣﻦ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﺜﻠﺜﲔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪r‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒r = h‬‬ ‫‪h 24‬‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪tanθ‬‬

‫‪1‬‬ ‫⇒ ‪v = πr 2 h‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪24‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪2‬‬

‫⎞ ‪1 ⎛1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪πh3‬‬ ‫= ‪ v = π ⎜ h⎟ h‬ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺰﻣﻦ ‪t‬‬ ‫⎠ ‪3 ⎝3‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪99‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪dv 1 2 dh‬‬ ‫‪= πh‬‬ ‫)‪....(1‬‬ ‫‪dt 9‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ ﺣﺠﻢ اﻟﺴﺎﺋﻞ ﻓﻲ اﳌﺨﺮوط =ﻣﻌﺪل اﻟﺼﺐ ‪-‬ﻣﻌﺪل اﻟﺘﺴﺮب‪.‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪= 5 − 1 = 4 cm3/s‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ )‪ (1‬ﻳﻨﺘﺞ‬ ‫‪dh‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π(12)2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪9‬‬

‫=‪4‬‬

‫‪dh 1‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪== 5 − 1cm/‬‬ ‫‪= 4 ssec‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪dt‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪-6 -‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺘﺤﺮﻛﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ ‪ y2=4x‬ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن ﻣﻌﺪل‬

‫اﺑﺘﻌﺎدﻫﺎ ﻋﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ)‪ (7,0‬ﻳﺴﺎوي ‪ ، 0.2unit/s‬ﺟﺪ اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ اﻻﺣﺪاﺛﻲ اﻟﺴﻴﻨﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪M‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ‪.x=4‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ M(x,y‬وﻟﺘﻜﻦ )‪ N(7,0‬وﻟﺘﻜﻦ اﳌﺴﺎﻓﺔ ‪ MN‬ﺗﺴﺎوي ‪S‬‬ ‫‪S = (x − 7)2 + (y − 0)2 ⇒ S = x 2 −14x + 49 + y2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ‪ y2=4x‬ﻳﻨﺘﺞ‬ ‫‪⇒ S = x 2 − 10x + 49‬‬ ‫‪8 −10 dx‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪10 dt‬‬

‫= ‪⇒ 0.2‬‬

‫‪ds‬‬ ‫‪2x − 10‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪dt 2 x 2 − 10x + 49 dt‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪= −1unit / ssec‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪100‬‬

‫⇒‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫(‬

‫ﺗﻤ‬

‫رﻳﻦ )‪2‬‬ ‫ﺎ‬

‫‪3-‬‬

‫‪ .1‬ﺳﻠﻢ ﻳﺴﺘﻨﺪ ﻃﺮﻓﻪ اﻷﺳﻔﻞ ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﻴﺔ وﻃﺮﻓﻪ اﻷﻋﻠﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ ﻓﺎذا أﻧﺰﻟﻖ اﻟﻄﺮف اﻷﺳﻔﻞ‬ ‫ﻣﺒﺘﻌﺪ ًا ﻋﻦ اﳊﺎﺋﻂ ﲟﻌﺪل ‪ ، 2m/s‬ﻓﺠﺪ ﻣﻌﺪل اﻧﺰﻻق اﻟﻄﺮف اﻟﻌﻠﻮي ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﲔ اﻟﺴﻠﻢ‬

‫‪2‬‬ ‫‪(0,‬‬ ‫واﻷرض ﺗﺴﺎوي ) ‪. π‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪ .2‬ﻋﻤﻮد ﻃﻮﻟﻪ ‪ 7.2m‬ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺘﻪ ﻣﺼﺒﺎح‪ ،‬ﻳﺘﺤﺮك رﺟﻞ ﻃﻮﻟﻪ ‪ 1.8m‬ﻣﺒﺘﻌﺪ ًا ﻋﻦ اﻟﻌﻤﻮد وﺑﺴﺮﻋﺔ‬ ‫‪ ، 30m/min‬ﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ ﻃﻮل ﻇﻞ اﻟﺮﺟﻞ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ ‪، y=x2‬ﺟﺪ اﺣﺪاﺛﻴﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ‬ ‫ﻷﺑﺘﻌﺎدﻫﺎ ﻋﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ (0, 3‬ﻳﺴﺎوي ﺛﻠﺜﻲ اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ اﻻﺣﺪاﺛﻲ اﻟﺼﺎدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪.M‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .4‬ﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﺪاﺋﺮة ‪ x 2 + y2 + 4x − 8y = 108‬واﻟﺘﻲ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻳﻜﻮن اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ ‪x‬‬ ‫ﻳﺴﺎوي اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ ‪ y‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺰﻣﻦ ‪. t‬‬ ‫‪ .5‬ﻣﺘﻮازي ﺳﻄﻮح ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ أﺑﻌﺎدﻩ ﺗﺘﻐﻴﺮ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﺒﻘﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺮﺑﻌﺔ اﻟﺸﻜﻞ‪ ،‬ﻳﺰداد ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﲟﻌﺪل‬ ‫‪، 0.3cm/s‬وارﺗﻔﺎﻋﻪ ﻳﺘﻨﺎﻗﺺ ﲟﻌﺪل ‪، 0.5cm/s‬ﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﳊﺠﻢ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫‪ 4cm‬واﻻرﺗﻔﺎع ‪. 3cm‬‬

‫‪101‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫]‪ [3-3‬ﻣﺒﺮﻫﻨﺘﺎ رول واﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‬

‫‪Rollesُ and Mean Value Theorems‬‬

‫ﻗﺒﻞ أن ﻧﺘﻌﺮف ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﺒﻨﺪ اﻟﻰ ﻣﺒﺮﻫﻨﺘﻲ رول واﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻧﺬﻛﺮ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻌﺎرﻳﻒ واﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﺘﻲ ﲤﻬﺪ‬ ‫ﻟﻬﺎﺗﲔ اﳌﺒﺮﻫﻨﺘﲔ‪) :‬ﻟﻼﻃﻼع(‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ]‪[3-1‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ]‪ [a,b‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪ f(1‬ﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻋﻨﺪ ‪ c‬ﺣﻴﺚ ]‪ c ∈ [a,b‬اذا وﻓﻘﻂ اذا‬

‫)‪ f (c) ≥ f (x‬ﻟﻜﻞ] ‪x ∈ [a ,b‬‬

‫‪ f (2‬ﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺔ ﺻﻐﺮى ﻋﻨﺪ ‪ c‬ﺣﻴﺚ ]‪ c∈ [a,b‬اذا وﻓﻘﻂ اذا‬ ‫)‪ f(c)≤f(x‬ﻟﻜﻞ] ‪x∈[a ,b‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ)‪(3-1‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ]‪ [a,b‬وﻛﺎن ‪:‬‬

‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ أو ﺻﻐﺮى ﻋﻨﺪ ‪ c‬ﺣﻴﺚ )‪ c ∈ (a,b‬وأن )‪ f ʹ(c‬ﻣﻮﺟﻮدة‬ ‫ﻓﺎن ‪f ʹ(c) = 0‬‬

‫وﺳﻨﻜﺘﻔﻲ ﺑﺘﻮﺿﻴﺢ ﻫﺬﻩ اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪102‬‬

‫‪b‬‬

‫‪f ʹ(c) = 0‬‬

‫‪c‬‬

‫‪y‬‬

‫‪a‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ c‬اﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻦ ‪ a,b‬واﻟﺘﻲ ﺗﺄﺧﺬ ﻋﻨﺪﻫﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ أو ﺻﻐﺮى ﻳﻜﻮن اﳌﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻓﻘﻴ ًﺎ )اي ﻣﻮازي ﶈﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت(‬ ‫واﻻن ﳝﻜﻦ أن ﺗﻔﻜﺮ ﻓﻲ اﺟﺎﺑﺔ ﻟﻠﺴﺆال اﻻﺗﻲ‪:‬‬ ‫اذا ﻛﺎن ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ أو ﻗﻴﻤﺔ ﺻﻐﺮى ﻋﻨﺪ ‪ c‬ﺣﻴﺚ )‪ c ∈ (a,b‬ﻓﻬﻞ ﻳﺸﺘﺮط أن ﻳﻜﻮن ‪ f ʹ(c) = 0‬؟‬ ‫وﻟﻼﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺆال اﻟﻴﻚ اﳌﺜﺎل اﻻﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-1-‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪f : [−1,1] → R, f (x) = x‬‬

‫وﻛﻤﺎ ﺗﻼﺣﻆ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ أدﻧﺎﻩ ﻓﺈن‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﲤﺘﻠﻚ اﻋﻈﻢ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ ‪x = 1 ، x = -1‬‬ ‫وﲤﺘﻠﻚ اﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻨﺪ ‪x = 0‬‬ ‫واﻧﺖ ﺗﻌﻠﻢ ﻣﻦ دراﺳﺘﻚ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ ‪x = 0‬‬ ‫اي ان )‪ f ʹ(0‬ﻏﻴﺮ ﻣﻮﺟﻮدة ‪.‬‬

‫‪y‬‬

‫∴ ﻻ ﻳﺸﺘﺮط أن ﻳﻜﻮن ‪f ʹ(c) = 0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ]‪[3-2‬‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻌﺪد ‪ . c‬ﻳﻘﺎل ﻋﻦ اﻟﻌﺪد ‪ c‬ﺑﺄﻧﻪ ﻋﺪد ﺣﺮج )‪ (Critical Number‬اذا‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ّ f‬‬

‫ﻛﺎن ‪ f ʹ(c) = 0‬او ان اﻟﺪاﻟﺔ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ‪ c‬وﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) )‪ ( c, f (c‬ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ‬ ‫ﻓﻔﻲ اﳌﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ ‪:‬‬

‫ ‪f :[−1,1] → R ∈ f (x) = x‬‬

‫ﺗﻼﺣﻆ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻨﺪ ﺻﻔﺮ ‪ ،‬وان )‪ f ʹ(0‬ﻏﻴﺮ ﻣﻮﺟﻮدة‬ ‫ﻟﺬا ﻳﻘﺎل أن اﻟﻌﺪد ”ﺻﻔﺮ“ ﻫﻮ اﻟﻌﺪد اﳊﺮج ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬وان اﻟﻨﻘﻄﺔ ))‪ (0, f (0‬ﻫﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ‪.‬‬

‫‪103‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ‪Rolle’s Theorem‬‬ ‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول‪ :‬ﻟﻘﺪ وﺿﻊ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻲ )ﻣﺘﺸﻞ رول( ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﻣﺒﺴﻄﺔ ﻹﻳﺠﺎد ﻧﻘﻂ ﲤﺜﻞ ﻧﻘﻄ ًﺎ ﺣﺮﺟﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻌﻄﺎة وﺳﻤﻴﺖ ﻫﺬﻩ اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ ﺑﺎﺳﻤﻪ‪.‬‬

‫)‪ (3-2‬ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺭﻭﻝ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ‪: f‬‬

‫‪fʹ = 0‬‬

‫‪ (1‬ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ]‪[a,b‬‬ ‫‪ (2‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )‪(a,b‬‬ ‫‪f(b)=f(a) (3‬‬

‫)‪f (b‬‬

‫‪c3‬‬

‫‪fʹ = 0‬‬ ‫‪fʹ = 0‬‬

‫‪c2‬‬

‫ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻗﻴﻤﺔ واﺣﺪة ‪ c‬ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ )‪ (a,b‬وﲢﻘﻖ ‪f ʹ(c) = 0 :‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-2 -‬‬

‫)‪y = f (x‬‬

‫)‪f (a‬‬

‫‪c1‬‬

‫ﺑﲔ ﻫﻞ أن ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﺗﺘﺤﻘﻖ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ؟ وﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ c‬اﳌﻤﻜﻨﺔ‪:‬‬ ‫]‪, x ∈ [0,4‬‬

‫‪a)f(x) =(2-x)2‬‬

‫]‪b)f(x)=9x+3x2-x3 , x ∈ [-1,1‬‬ ‫]‪, x ∈ [-1,2‬‬

‫‪⎧x2+1‬‬ ‫⎨ =)‪c)f(x‬‬ ‫‪⎩ -1‬‬

‫]‪, x ∈ [a,b‬‬

‫‪d) f(x)=k‬‬

‫)‪, x ∈ [-4,-1‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫]‪a)f(x) =(2-x)2 , x ∈ [0,4‬‬

‫اﻟﺸﺮط اﻻول ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ]‪ [0,4‬ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود‪.‬‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )‪ (0,4‬ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود‪.‬‬ ‫‪f(0)=(2-0)2=4‬‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬ ‫)‪f(4)=(2-4)2=4 ⇒ f(0)=f(4‬‬ ‫∴اﻟﺪاﻟﺔ ﺿﻤﻦ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻌﻄﺎة ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫)‪f ʹ(x) = −2(2 − x‬‬ ‫)‪f ʹ(c) = −2(2 − c‬‬ ‫‪f ʹ(c) = 0 ⇒ −2(2 − c) = 0‬‬ ‫)‪∴ c = 2 ∈ (0,4‬‬

‫]‪b)f(x)=9x+3x2-x3 , x ∈ [-1,1‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻻول‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ]‪ [-1,1‬ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود‪.‬‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )‪ (-1,1‬ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود‪.‬‬ ‫‪f(-1)=-9+3+1=-5‬‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬ ‫)‪f(1)=9+3-1=11 ⇒ f (−1) ≠ f (1‬‬ ‫ﻻﺗﺘﺤﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻷن اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻢ ﻳﺘﺤﻘﻖ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻻول‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪⎧⎪ x⎪⎧2 x+1‬‬ ‫‪[−1,‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪x ∈x [∈−1,‬‬ ‫]‪2] 2‬‬ ‫)‪c) f (x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫⎨ ⎨=‬ ‫‪⎪⎩−1 x ∈x [∈−4,‬‬ ‫‪[−4,‬‬ ‫‪⎪⎩−1‬‬ ‫]) ]‬ ‫‪−1−1‬‬

‫ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ = ]‪[-4,2‬‬

‫‪⎧ lim (x 2 +1) = 2 = L 1‬‬ ‫)‪⎪ x→(−1‬‬ ‫‪⎨ x→−1‬‬ ‫‪lim (−1) = −1 = L 2‬‬ ‫‪⎪⎩ x→−1‬‬ ‫)‪x→(−1‬‬ ‫‪+ +‬‬

‫‪− −‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﺴﻴﺖ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻷن ‪ L 1 ≠ L 2‬ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪[-4,2‬‬ ‫∴ ﻻ ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول‬

‫]‪, x ∈ [a,b‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫‪d) f(x)=k‬‬

‫اﻟﺸﺮط اﻻول‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ]‪ [a,b‬ﻻﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ‪.‬‬

‫اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻧﻲ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة )‪.(a,b‬‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻟﺚ‪f (a) = f (b) = k :‬‬ ‫∴ اﻟﺪاﻟﺔ ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ‪ .‬وان ﻗﻴﻤﺔ ‪ c‬ﳝﻜﻦ ان ﺗﻜﻮن اي ﻗﻴﻤﺔ ﺿﻤﻦ اﻟﻔﺘﺮة )‪.(a, b‬‬

‫‪105‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫)‪(3-3‬ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ]‪ [a,b‬وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )‪(a,b‬‬ ‫ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻗﻴﻤﺔ واﺣﺪة ‪ c‬ﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ )‪ (a,b‬وﲢﻘﻖ‪f ( b) − f ( a ) :‬‬ ‫= )‪f ʹ (c‬‬ ‫‪b− a‬‬ ‫او )‪f (b) − f (a) = f ʹ(c)(b− a‬‬

‫واﳌﺨﻄﻂ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻌﻄﻲ اﻟﺘﻔﺴﻴﺮ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‪:‬‬ ‫اﳌﻤﺎس ﻳﻮازي اﻟﻮﺗﺮ ‪AB‬‬

‫ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس = )‪f ʹ(c‬‬

‫‪B‬‬ ‫))‪(b, f (b‬‬

‫)‬ ‫اﻟﻮﺗﺮ‬

‫‪f ʹ(c 2‬‬

‫=‬

‫‪B‬‬ ‫‪= mA‬‬

‫)‬ ‫‪f ʹ(c 1‬‬

‫‪A‬‬ ‫))‪( a, f (a‬‬ ‫)‪y = f (x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪c2‬‬

‫ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ اﳌﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ ‪ A,B‬ﻳﺴﺎوي‬

‫‪c1‬‬

‫)‪Δy f (b) − f (a‬‬ ‫=‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪b− a‬‬

‫ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻋﻨﺪ ‪ = c‬اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺪ ‪( f ʹ(c) ) , c‬‬ ‫ﻟﻜﻦ اﳌﻤﺎس واﻟﻮﺗﺮ ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻟﺬا ﻳﺘﺴﺎوى ﻣﻴﻼﻫﻤﺎ ) ‪f ( b) − f ( a‬‬ ‫‪b− a‬‬

‫‪106‬‬

‫= )‪f ʹ (c‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫أن ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻫﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﻔﻲ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻳﺠﺐ ﺗﻮاﻓﺮ ﺷﺮط ﺛﺎﻟﺚ‬ ‫)‪f (a) = f (b‬‬ ‫ﻫﻮ‪:‬‬ ‫أي أن اﻟﻮﺗﺮ واﳌﻤﺎس ﻳﻮازﻳﺎن ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬

‫أي ﻓﺮق اﻟﺼﺎدات =‪ 0‬ﻟﺬا ﻳﺼﺒﺢ اﳌﻴﻞ =‪ 0‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪f ʹ(c) = 0 :‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-3 -‬‬

‫ﺑﺮﻫﻦ ان اﻟﺪوال اﻻﺗﻴﺔ ﲢﻘﻖ ﺷﺮوط ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ واوﺟﺪ ﻗﻴﻢ ‪:c‬‬ ‫‪a)a)f f( (xx) )==xx2 2−−6x‬‬ ‫‪6x++4....on..‬‬ ‫‪4....on..‬‬ ‫] ]‪[ −1,7‬‬ ‫‪, x ∈ [ −1,7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b) fb)( xf )(=x ) =25 25‬‬ ‫‪− x−2 ...on..‬‬ ‫‪x‬‬ ‫] ]‬ ‫‪[ −4,0‬‬ ‫‪∈[ −4,0‬‬ ‫‪, x...on..‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 6x‬‬ ‫‪+ 4....on..‬‬ ‫] ]‪[ −1,7‬‬ ‫)‪a)a‬‬ ‫‪f (fx()x=) =x 2x− 6x‬‬ ‫‪+ 4....on..‬‬ ‫‪, x ∈[ −1,7‬‬

‫اﻟﺸﺮط اﻷول ﻳﺘﺤﻘﻖ ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [-1 ,7‬ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود‪.‬‬ ‫اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻳﺘﺤﻘﻖ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة )‪ (-1 ,7‬ﻻﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود‪.‬‬ ‫ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس‬ ‫ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ‬

‫)‪f ʹ(x) f=ʹ(x‬‬ ‫= ‪2x‬‬ ‫⇒ʹ ‪− 62x⇒− 6f‬‬ ‫)‪(c) f=ʹ(c‬‬ ‫‪2c = 2c −= 62c − 6‬‬ ‫)‪f (b)−−f f(a‬‬ ‫‪(a) f (7) − f (−1) 11− 11‬‬ ‫)‪f (b‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪a −ab‬‬ ‫‪7 +1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪b−‬‬ ‫ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس = ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ‬

‫‪0 = 2c − 6 ⇒ c = 3 ∈ [−1,‬‬ ‫]‪(−1,7‬‬ ‫)‪7‬‬

‫‪107‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪,x 2 ...on..‬‬ ‫∋‪x‬‬ ‫‪= −25‬‬ ‫)‪b) f (b‬‬ ‫‪x )f =( x )25‬‬ ‫‪x 2 −...on..‬‬ ‫‪[ −4,0[ −4,0‬‬ ‫] ]‬

‫احلل‬ ‫مجال ‪ = f‬مجموعة حل املتباينة ‪ 25 − x 2 ≥ 0‬اي ]‪[−5, 5‬‬ ‫(‪ )1‬استمرارية ‪ f‬في ]‪ : [−4, 0‬نثبت االستمرارية او ًال في الفترة املفتوحة )‪ I = (−4, 0‬بعدها‬ ‫عن طرفي الفترة ‪.‬‬

‫]‬

‫لتكن ‪ f (a) = 25 − a 2 ∈R ⇐ a ∈II‬الن ‪ a‬ضمن مجال الدالة‬

‫‪0 5‬‬

‫‪a‬‬

‫[‬

‫‪-5 -4‬‬

‫)‪lim f (x) = lim 25 − x 2 = 25 − a 2 ⇒ f (a) = lim f (x‬‬ ‫‪x→a‬‬

‫∴ مستمرة في )‪(−4, 0‬‬

‫‪x→a‬‬

‫)‪25 − x = 25 − 16 = 3 = f (−4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x→a‬‬

‫‪lim f (x) = lim‬‬

‫‪x→−4 +‬‬

‫‪x→−4 +‬‬

‫)‪lim f (x) = lim 25 − x 2 = 25 − 0 = 5 = f (0‬‬

‫‪x→0 −‬‬

‫‪x→0 −‬‬

‫∴ ‪ f‬مستمرة عند طرفي الفترة ]‪ f ⇐ [−4, 0‬مستمرة على الفترة املغلقة ]‪[−4, 0‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪25 − x 2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪25‬‬

‫= )‪f ʹ(x‬‬

‫‪−x‬‬ ‫مجال( ʹ ‪ f ⇐ (−5.5) = f‬قابلة لالشتقاق في الفترة )‪ (−4, 0‬النها محتواة‬ ‫(‪⇒)2‬قابلية االشتقاق‪x ) =:‬‬ ‫= )‪f ʹ (c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25 − x‬‬ ‫كلي ًا في مجال مشتقة ‪f‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫ميل املماس‬ ‫(‪)3‬‬ ‫= )‪f ʹ ( x‬‬ ‫= )‪⇒ f ʹ (c‬‬ ‫‪25 − x 2‬‬ ‫‪25 − c 2‬‬ ‫‪f (b) − f (a) f (0) − f (−4) 5 − 3 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ميل الوتر‬ ‫‪b− a‬‬ ‫‪0+4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ميل املماس = ميل الوتر‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25 − c 2‬‬ ‫ ‬ ‫⇒ ‪25 − c 2 = −2c‬‬ ‫(‪)0,5‬‬ ‫املماس‬ ‫القاطع‬

‫‪x‬‬

‫‪108‬‬

‫)‪(5, 0‬‬

‫‪c‬‬

‫‪(−5, 0) −4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪555‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪25‬‬ ‫⇒ ‪− c = 4c‬‬ ‫⇒ ‪c‬‬ ‫⇒‬ ‫=‪c‬‬ ‫‪m‬‬ ‫⇒‪=⇒5555‬‬ ‫‪25‬‬ ‫⇒‬ ‫‪==±‬‬ ‫‪mm‬‬ ‫‪25−−cc ==4c‬‬ ‫⇒ ‪4c‬‬ ‫⇒ ‪⇒cc‬‬ ‫=‪⇒ccc‬‬ ‫= ‪cc‬‬ ‫‪5 ∉ −4,0‬‬ ‫)‪c== 55∉∉[[(-4,0‬‬ ‫]]]‪−4,0‬‬ ‫‪[−4,0‬‬ ‫‪==−‬‬ ‫‪−− 5‬‬ ‫∈‪55‬‬ ‫‪∈∈[[[−4,0‬‬ ‫‪−4,0‬‬ ‫)‪(-4,0‬‬ ‫=‪

ccc‬‬ ‫]]]‪−4,0‬‬ ‫ ‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-4 -‬‬

‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪f : [ 0,b] → R :، f ( x ) = x 3 − 4x 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫وﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻋﻨﺪ‬ ‫‪3‬‬

‫= ‪ c‬ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪. b‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪⎛ 2 ⎞ 4 16‬‬ ‫‪f ʹ ( x ) = 3x 2 − 8x ⇒ f ʹ ( c ) = 3c 2 − 8c ⇒ f ʹ ⎜ ⎟ = −‬‬ ‫ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس ‪= −4‬‬ ‫‪⎝ 3⎠ 3 3‬‬ ‫‪f (b) − f (a) f (b) − f (0) b3 − 4b2 − 0‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ ‪= b2 − 4b‬‬ ‫‪b− a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b− 0‬‬ ‫ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس = ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫‪∴b‬‬ ‫‪−4b4b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−4b4b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∴b‬‬ ‫‪− ∴b‬‬ ‫= ‪=2‬‬ ‫⇒⇒‬ ‫‪b‬‬ ‫⇒‪2)2()b=−=020‬‬ ‫‪−4 4b‬‬ ‫⇒‪=2b4−2‬‬ ‫⇒‪b+2 +4− 4=4b=0+0‬‬ ‫⇒‪4‬‬ ‫⇒‪(=b(0−b‬‬ ‫‪) ⇒b= b=0 =2⇒2b = 2‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة وﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ [a,b‬وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ )‪ (a,b‬وﻟﻮ اﻋﺘﺒﺮﻧﺎ ‪h = b− a‬‬ ‫ﻓﺄن ‪ b = a + h‬ﺣﻴﺚ ‪ h ≠ 0, h ∈R‬ﻓﺎﻧﻪ ﲟﻮﺟﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‪:‬‬

‫)‪f (a + h) − f (a‬‬ ‫‪h‬‬

‫= )‪f ʹ(c‬‬

‫)‪⇒ f (a + h) = f (a)+ hf ʹ(c‬‬ ‫وﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن اﻗﺘﺮاب ‪ b‬ﻣﻦ ‪ a‬ﻗﺮﺑ ًﺎ ﻛﺎﻓﻴ ًﺎ ﺗﻜﻮن ﻓﻲ ﻫﺬة اﳊﺎﻟﺔ ‪ h‬ﺻﻐﻴﺮة وﻳﺼﺒﺢ اﻟﻮﺗﺮ ﺻﻐﻴﺮ ًا وﻧﻬﺎﻳﺘﻴﻪ‬ ‫ﻗﺮﻳﺒﺘﺎن ﻣﻦ ‪ a‬أي أن اﳌﻤﺎس ﻋﻨﺪ ‪ c‬ﺳﻴﻜﻮن ﳑﺎﺳ ًﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻗﺮﻳﺒﺔ ﺟﺪ ًا ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺣﻴﺚ ‪x=a‬‬ ‫وﻟﺬﻟﻚ ﻳﺼﺒﺢ ‪:‬‬ ‫) ‪f ( a + h) ≈ f ( a ) + hf ʹ ( a‬‬ ‫ﻳﻘﺎل ﻟﻠﻤﻘﺪار )‪ hf ʹ(a‬اﻟﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻘﺮﻳﺐ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‬ ‫‪109‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مالحظة‪ -:‬سوف نقتصر في حل متارين التقريب باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة فقط‬ ‫مثال‪-5 -‬‬ ‫احلل‬

‫جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة تقريب ًا مناسب ًا للعدد ‪26‬‬ ‫لتكن‬

‫‪ x ≥ 0 , y = f (x) = x...‬الدالة ‪x ≥ 0 , y = f (x) = x...‬‬

‫نفرض ‪( a = 25‬اقرب مربع كامل من العدد ‪) 26‬‬

‫‪b = 26‬‬ ‫القيمة السهلة‪a = 25...‬‬ ‫‪h= 1=b - a‬‬

‫ومن النتيجة‪:‬‬

‫‪h = b− a = 1‬‬ ‫‪f (a) = f (25) = 25 = 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f ʹ(x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f ʹ(a‬‬ ‫‪= 0.1‬‬ ‫‪10‬‬

‫)‪≅ f (a) + (b − a) f ʹ(a‬‬ ‫↓‬ ‫)‪f (a) + hf ʹ(a‬‬

‫)‪f (b‬‬

‫↓‬ ‫≅ )‪f (a + h‬‬

‫)‪26 = f (25 + 1) ≅ f (25) + (1)xf ʹ(25‬‬ ‫‪∴ 26 ≅ 5 + 1× ( 0.1) = 5.1‬‬

‫‪110‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-6 -‬‬

‫اذا ﻛﺎن ‪f ( x ) = x 3 + 3x 2 + 4x + 5‬‬

‫)‪f (1.001‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫ﻓﺠﺪ ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ‬

‫‪f (1) = 1 + 3 + 4 + 5 = 13‬‬ ‫‪f ʹ ( x ) = 3x 2 + 6x + 4‬‬ ‫‪f ʹ (1) = 3 + 6 + 4 = 13‬‬ ‫) ‪f ( a + h) ; f ( a ) + hf ʹ ( a‬‬

‫‪b =1.001‬‬ ‫‪a=1‬‬

‫∴‬ ‫‪f (1.001)==f f(1(1) + (0.001‬‬ ‫)‪0.001)) f ʹ (1‬‬ ‫)‪ f(1.001‬‬ ‫)‪= 13 + ( 0.001) (13‬‬

‫‪h= b-a =0.001‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪-7 -‬‬

‫‪= 13.013‬‬

‫ﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ ‪ 9.98cm‬ﺟﺪ ﺣﺠﻤﻪ ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ V‬ﺣﺠﻢ اﳌﻜﻌﺐ اﻟﺬي ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ )‪( x‬‬ ‫‪b = 9.98‬‬ ‫‪a = 10‬‬ ‫‪h = b − a = −0.02‬‬

‫اي ان اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻴﻐﺔ‬

‫‪v ( xx) = L 3‬‬

‫)‪v(x‬‬ ‫] ‪= x33‬‬ ‫∈‪L‬‬ ‫‪9.98,10‬‬ ‫[ ‪3‬‬

‫‪v ( x ) =v L( x ) = L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 2 ⇒ vʹ (10 ) = 3 (10 ) = 300‬‬ ‫∈(ʹ‪vvx‬‬ ‫]‪x))=[9.98,10‬‬ ‫‪=L3x‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪L ∈[ 9.98,10‬‬ ‫‪L ∈[ 9.98,10‬‬ ‫]‪] 3‬‬ ‫∈( ‪v‬‬ ‫‪10 ) = 102 =] 1000‬‬ ‫= ) ‪vʹ ( x‬‬ ‫‪10 )v=ʹ (10‬‬ ‫‪3 (10‬‬ ‫‪vLʹ 3x‬‬ ‫⇒( ʹ‪=⇒3xv‬‬ ‫‪( x[)29.98,10‬‬ ‫‪) =)23 (=10300‬‬ ‫‪)2 = 300‬‬ ‫‪2) ≅ 994 = 998cm3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪vʹ((9.98‬‬ ‫‪≅ 1000‬‬ ‫‪−0.02‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪(10‬‬ ‫‪) ((10‬‬ ‫‪3 =) 3x‬‬ ‫‪3 ⇒ v+‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪= 300‬‬ ‫ʹ‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪v (10 ) v=(10 ) = 10‬‬ ‫‪1000= 1000‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪) =) 10‬‬ ‫‪v ( 9.98vv)((10‬‬ ‫‪≅ 1000‬‬ ‫‪994‬‬ ‫‪998cm‬‬ ‫‪9.98‬‬ ‫‪≅+1000‬‬ ‫‪+ ( −0.02‬‬ ‫‪= 998cm‬‬ ‫‪(=−0.02‬‬ ‫‪) ( 300) (≅300‬‬ ‫‪) ≅=994‬‬ ‫‪v ( 9.98 ) ≅ 1000 + ( −0.02 ) ( 300 ) ≅ 994 = 998cm3‬‬

‫‪111‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-8 -‬‬

‫لتكن ‪ f (x) = 3 x 2‬فاذا تغيرت ‪ x‬من ‪ 8‬إلى ‪ 8.06‬فما مقدار التغير التقريبي‬ ‫للدالة؟‬

‫احلل‬ ‫الدالة ‪f : [ 8, 8.06 ] → R , f ( x ) = 3 x 2 :‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫املشتقة‪:‬‬ ‫‪f ʹ ( x) = 3‬‬ ‫‪3 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 0.333‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪33 8‬‬

‫‪b =8.06‬‬ ‫‪a= 8= 23‬‬ ‫‪h= b-a =0.06‬‬

‫= )‪f '(a) = f '(8‬‬

‫‪1‬‬ ‫التغير التقريبي‬ ‫‪= 0.02‬‬ ‫)‪hf ʹ(8) ≅ (0.06)(0.333‬‬ ‫‪= 0.01998‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال‪-9 -‬‬

‫يراد طالء مكعب طول ضلعه ‪ 10cm‬فادا كان سمك الطالء ‪ 0.15cm‬اوجد‬ ‫حجم الطالء بصورة تقريبية وباستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة ‪.‬‬

‫احلل‬ ‫‪v(x) = x 3 − (10)3‬‬ ‫‪vʹ ( x ) = 3x 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪vʹ ( a ) = vʹ (10 ) = ( 3) (10 ) = 300‬‬

‫‪3‬‬ ‫)‪hvʹ(10‬‬ ‫‪0.6 ) ( 300 ) = 90cm‬‬ ‫حجم الطالء بصورة تقريبية ‪180cm3‬‬ ‫)‪( a ) ≅≅((0.3)(300‬‬

‫‪112‬‬

‫‪b =10.3‬‬ ‫‪a= 10‬‬ ‫‪h= b-a = 0.3‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪10‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﺟﺪ وﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ وﻣﻘﺮﺑ ًﺎ ﻟﺜﻼث ﻣﺮاﺗﺐ‬

‫ﻋﺸﺮﻳﺔ‬

‫ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ ﻛ ً‬ ‫ﻼ ﻣﻦ‪:‬‬

‫‪b) 3 7.8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪+ ( 0.98 ) + 3‬‬

‫‪d) 3 0.12‬‬

‫اﳌﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬

‫) ‪(0.98‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪5‬‬

‫‪c) 17 + 4 17‬‬

‫‪(0.98 )3 + (0.98 )4 + 3‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‪:‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪f (x) = x + x 4 + 3‬‬

‫‪+ 4x 3‬‬

‫‪−2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪f ʹ(x) = x‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪f (a) = f (1) = 1 + 14 + 3 = 5‬‬

‫ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ‪:‬‬

‫‪−2‬‬ ‫‪2 25‬‬

‫‪33‬‬ ‫= )‪f ʹf(ʹa( a‬‬ ‫‪4.6‬‬ ‫‪) =f ʹf(ʹ1()1=) =⎛⎜⎝ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎞⎟⎠(1()1)5 5++( 4( 4) ()1()13)3==4.6‬‬ ‫‪55‬‬

‫ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن‬

‫‪ff((a‬‬ ‫)‪a ++hh‬‬ ‫)‪a ) + hfhf( aʹ(a‬‬ ‫‪) ≅≅f f( (a)+‬‬ ‫)‬

‫‪b = 0.98‬‬ ‫‪a= 1‬‬ ‫‪h= b-a = -0.02‬‬

‫‪(−0.02).‬‬ ‫)‪ff((0.98‬‬ ‫‪0.98 ) ==f f(1(1)+‬‬ ‫‪) + ( −0.02‬‬ ‫)‪) . f (f1ʹ)(1‬‬

‫‪f ( 0.98‬‬ ‫) ‪1 ) = +5 + ( −0.02) .( 4.6‬‬ ‫)‪f ʹ ( x‬‬ ‫‪2 x) = +5 − 0.092 = 4.908‬‬ ‫‪f ( 0.98‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∴ 5f (ʹ 0.98‬‬ ‫‪( c ) =)3 + (0.98 )4 + 3 ≅ 4.908‬‬ ‫‪2 c‬‬

‫‪113‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪b) 3 7.8‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‪f (x) = 3 x :‬‬ ‫‪1‬‬

‫اﳌﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬

‫‪3 3 x2‬‬

‫‪b =7.8‬‬ ‫‪a= 8=23‬‬

‫= )‪f ʹ ( x‬‬

‫‪h= b-a = -0.2‬‬

‫اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪f (a) = f (8) = 3 8 = 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 0.083‬‬ ‫‪12‬‬

‫اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫= )‪f ʹ (a ) = f ʹ (8‬‬

‫‪3 8‬‬ ‫‪3‬‬

‫) ‪f ( a + h) ≅ f ( a ) + hf ʹ ( a‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن ‪:‬‬

‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬

‫‪1‬‬ ‫‪( 8 ) += ( f−0.2‬‬ ‫‪( 8 ) ≅) f2ʹ−( 8()0.2‬‬ ‫‪≅ 2) (−0.083‬‬ ‫‪( 8 ) )+f(ʹ−0.2‬‬ ‫)‪( 0.2 ) ( 0.083‬‬ ‫‪f ʹ (fx()7.8 ) =f (f7.8‬‬ ‫‪x)=+ 2( −0.2‬‬ ‫‪1.9834‬‬ ‫=‪−‬‬ ‫‪0.0166‬‬ ‫‪f ( 7.8 )==2f2−( 80.0166‬‬ ‫)‪≅ 2 − ( 0.2 ) ( 0.083‬‬ ‫‪) f ʹ ( 8=) 1.9834‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∴‪= 2‬‬ ‫‪− 0.0166‬‬ ‫‪1.9834‬‬ ‫‪f3ʹ (7.8‬‬ ‫‪c ) =≅=1.9814‬‬ ‫‪7.8 ≅ :1.9814 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7.8 ≅ 1.9814 :‬‬ ‫‪17 + 4 17‬‬

‫)‪c‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‪ :‬ﻟﺘﻜﻦ‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪f ( x) = x + x‬‬

‫اﳌﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬

‫‪1 −12 1 − 34‬‬ ‫‪f ʹ ( x) = x + x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b =17‬‬ ‫‪a= 16‬‬

‫ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4 2‬‬

‫‪f (16) = (2 ) + (2 ) = 4 + 2 = 6‬‬

‫‪h=b-a = 17-16=1‬‬

‫ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎞‪⎛ 1‬‬ ‫⎞‪⎛ 1‬‬ ‫⎟ ⎜ ‪= 2−2 + 2−3 = 0.5 ⎜ ⎟ + 0.25‬‬ ‫⎠‪⎝ 2‬‬ ‫⎠‪⎝ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪114‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪+ 24‬‬ ‫‪4‬‬

‫) (‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪f ʹ (16 ) = 24‬‬ ‫‪2‬‬

‫) (‬

Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J f ʹ(16) = (0.5)(0.5)2 + (0.25)(0.5)3 = (0.5)(0.25)+ (0.25)(0.125) = 0.125 + 0.031 = 0.156 ‫اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬

f (fa(+a h+)h≅) ≅f (fa()a+)h+f hʹ (f aʹ ()a )

f (f17(17 ʹ (f16 ) ≅) ≅f (f16(16 ) +)1+f 1(1) ) ) ʹf(ʹ16 (16) f (f17(17 ) ≅) 6≅ +6(+1)(1(0.156 ) ) ) (0.156 4 ≅ 6.156 ∴∴1717 + 4+17 17 ≅ 6.156

d) 3 0.12

‫اﳊﻞ‬ f (x) = x

1 3

‫اﻟﺪاﻟﺔ‬

1 − 23 f ʹ ( x) = x 3

f (0.125) f (x) = (0.5)

(

‫اﳌﺸﺘﻘﺔ‬ 1 3 3

)

‫ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ‬

= 0.5 2

−2

1 1 ⎛ 1⎞ 1 2 4 3 − f ʹ(0.125) f ʹ ( x ) = ⎡⎣( 0.5 ) ⎤⎦ 3 = ⎜ ⎟ = ( 2) = = 1.333 3 3 ⎝ 2⎠ 3 3 f ( a + b) ≅ f ( a ) + h. f ʹ ( a )

‫ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺔ‬

: ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬

ff ( aa ++hbb) ≅≅f (ff0.12 aa) ) + ( −0.005 ) .(1.333) ( aa) ++) ≅h.h.ff ʹ(ʹ(0.125 ff ( 0.12 ++( −0.005 (0.125 ) ..(1.333 0.12) ≅≅f ff( 0.12 0.125 −0.005 1.333) − 0.006665 ) ≅)0.5 ff ( 0.12 −− 0.006665 0.12) ≅≅f0.5 0.5 0.006665 (0.12 ) ≅ 0.493335 3 ff ( 0.12 0.493335 0.12) ≅≅∴0.493335 0.12 ≅ 0.44935

0.493335 ∴ ∴ 33 0.12 0.12 ≅≅≅0.44935 0.44935 ≅≅ 0.493335 0.493335

115

b =0.120 a= 0.125 h= b-a = -0.005

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪)3‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-3‬‬

‫‪ .1‬اوجد قيمة ‪ c‬التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪−3,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫]‬ ‫[ ∈‪a) f ( x ) = x − 9x ,x‬‬ ‫‪a) 63 + 3 63‬‬ ‫⎤ ‪⎡1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪1.04‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.04‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∈‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪b) f ( x ) = 2x +‬‬ ‫‪⎢⎣ 2 ⎥⎦ 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a) 63 + 63‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪a) f (c‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪x )ff=((xxx))==−(xx −−3x) +−1,‬‬ ‫‪[+−1,1,3[ −1,‬‬ ‫‪]b) 31.04‬‬ ‫‪] 3 + 3 1.04 4 c) 31‬‬ ‫∈‪,xx‬‬ ‫]‪[−1,1‬‬ ‫) ( ‪( )3‬‬ ‫‪ .2‬جد تقريب ًا لكل مما يلي ‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫املتوسطة‪:‬‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتبجة‬ ‫باستخدام‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪b)h (a‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x ) =63‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪5,‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫‪5,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪( xx)+=− x4x‬‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫‪63‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪43 63‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫) ‪3(1.04 ) + 3 (1.04‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪(1.04‬‬ ‫]‪) 2‬‬ ‫‪101‬‬ ‫)‪c)g (b‬‬ ‫‪c)g‬‬ ‫‪x )(1.04‬‬ ‫‪=( x ) )= +, [3−1,‬‬ ‫‪,2[ −1,‬‬ ‫]‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x + 2x + 2‬‬ ‫‪b) (1.04‬‬ ‫‪11‬‬ ‫) ‪1 ) + 3 (1.04‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪d) 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪d)B (d)B‬‬ ‫‪x )31=9( x )(=x + 1‬‬ ‫‪, [ 0,] 2π ] 101‬‬ ‫‪( x) +, [10,) 2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c) 3‬‬ ‫باستخدام‬ ‫‪ .3‬كرة نصف قطرها ‪ 6cm‬طليت بطالء سمكه ‪ 0.1cm‬جد‪11‬حجم الطالء بصورة تقريبية‬ ‫‪19‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪101‬‬ ‫نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪101‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪ .4‬كرة حجمها ‪، 84π cm3‬جد نصف قطرها بصورة ‪1‬‬ ‫املتوسطة‪.‬‬ ‫تقريبية)‪e‬باستخدام نتيجة القيمة‬ ‫‪101‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫‪ .5‬مخروط دائري قائم ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته فاذا ‪2‬كان ارتفاعه يساوي ‪ 2.98cm‬فجد ‪1‬‬ ‫حجمه‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بصورة تقريبية باستخدام القيمة املتوسطة او نتيجتها‪.‬‬ ‫‪ .6‬بني أن كل دالة من الدوال التالية حتقق مبرهنة رول على الفترة املعطاة ازاء كل منها ثم جد قيمة ‪: c‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪44‬‬

‫‪44‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4fx‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪[ −1,‬‬ ‫‪[,−1,‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫] ]‪33] 3‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫)‪a) f (a‬‬ ‫‪x )f=( x( x) =− 1‬‬ ‫‪( x) −, [1−1,‬‬ ‫‪) ,3[ −1,‬‬ ‫‪] 31)],)[,−1,‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3 33‬‬ ‫‪3b)h‬‬ ‫‪3[x‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪[ −1,1‬‬ ‫‪[ −1,1‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪−1,1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫]‬ ‫]] ]‬ ‫‪b)h (b)h‬‬ ‫‪x ) =( xx) =− xx, [−−1,1‬‬ ‫‪x, [ −1,1‬‬ ‫‪]xx−−x,]−x,[x,−1,1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2 22‬‬ ‫‪x)=)=x4=4‬‬ ‫‪[ −1,‬‬ ‫‪[ −1,‬‬ ‫‪c)g‬‬ ‫‪−−c)g‬‬ ‫‪3x,‬‬ ‫] ]‪44] 4‬‬ ‫‪(2 x(−[[x)(−1,‬‬ ‫‪]]x−−3x,‬‬ ‫‪[ −1,‬‬ ‫‪c)g((xc)g‬‬ ‫‪x)) ==( xxx)2c)g‬‬ ‫=‬ ‫‪xc)g‬‬ ‫‪3x,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫‪3x,‬‬ ‫‪4−3x,‬‬ ‫‪[x−1,‬‬ ‫‪]3x,‬‬

‫) (‬ ‫] [‬ ‫‪22‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪==cos‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪0,2π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪f(++fx(fx)2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪(22(x)=cos‬‬ ‫‪)=+)cos‬‬ ‫‪[[0,[2π‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪xx))f==( cos‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪fcos‬‬ ‫‪+x,‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪[[30,0,‬‬ ‫‪]]cos‬‬ ‫]]]‪]3‬‬ ‫)‪d) ff ((d‬‬ ‫‪xcos‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x,‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪xcos‬‬ ‫‪x2x‬‬ ‫‪−2x‬‬ ‫‪x+2[+‬‬ ‫‪−2cos‬‬ ‫‪xcos‬‬ ‫‪+]x,[1,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫)‪)d)=d‬‬ ‫ذكر السبب وإن حتققت‬ ‫إزاءها(مع‬ ‫‪ .7‬اختبر امكانية تطبيق القيمة املتوسطة للدوال] ‪5‬التالية‬ ‫‪b)h‬‬ ‫املعطاة= ) ‪x‬‬ ‫الفترة ‪x 2 −‬‬ ‫على ‪4x +‬‬ ‫‪5, [ −1,‬‬ ‫املبرهنة‪ ،‬جد قيم ‪ c‬املمكنة‪.‬‬ ‫‪34‬‬ ‫= )‪a) f ( x ) = x3333 − xa)222 −f (xx3+‬‬ ‫‪1, [x2−1,‬‬ ‫‪− 33x,]2 −1,‬‬ ‫]‪− x2+ 1, [ −1, 3‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪a) ff (x‬‬ ‫‪x −f−(xxc)g‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫=‬ ‫)‪( x )==xa‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫]‪] 3‬‬ ‫‪) = − x[ − x +][ 1, [ −1,‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2+ 2‬‬ ‫‪b)h ( x ) = x 2 − 4x‬‬ ‫‪b)h+(5,‬‬ ‫‪x [ −1,‬‬ ‫] ‪= x553 ]− 4x2 + 5, [ −1, 5‬‬ ‫‪b)h ( x ) = b)h‬‬ ‫‪x −( 4x‬‬ ‫‪xa)) =+‬‬ ‫‪xx2)[)−−1,‬‬ ‫‪f (5,‬‬ ‫‪=4x‬‬ ‫‪x3 +]−5,x[ −1,‬‬ ‫]‪−2 x5+] 1, [ −1, 3‬‬ ‫‪d)B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫] ‪) , [0, 2π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ) ‪c)g ( x‬‬ ‫‪, [ −1,‬‬ ‫]‪2‬‬ ‫‪c)g‬‬ ‫‪, −1, 2‬‬ ‫‪b)h‬‬ ‫‪− 4x‬‬ ‫‪c)g ( x ) = c)g‬‬ ‫‪=( x2)]= xx, [+−1,‬‬ ‫] ‪2[]+ 5, []−1, 5‬‬ ‫‪x + (2x,)[ −1,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x+2 4‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪==2π3 ]( x2 +,[−2,‬‬ ‫‪, [1−1,‬‬ ‫‪d)B ( x ) = 3 ( x +c)g‬‬ ‫‪1) (2(x,3x[)0,‬‬ ‫] ‪] 2π‬‬ ‫‪d)B‬‬ ‫‪,27]0,‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪d)B ( x ) = d)B‬‬ ‫‪( x(+x )1)= , [(0,x2π‬‬ ‫][‪+x 1+]) 2, [ 0, 2π‬‬ ‫‪116‬‬

‫] ‪( x + 1)2 , [0, 2π‬‬

‫‪3‬‬

‫= ) ‪d)B ( x‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫]‪ [3-4‬اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻوﻟﻰ‪.‬‬ ‫‪The First Derivative Test For Increasing And Decreasing of a Function‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ان ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﳌﻬﻤﻪ ﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻫﻲ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻻﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ]‪ [ a,b‬وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )‪ ( a,b‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪⎛ Increa‬‬ ‫⎞‬ ‫‪⎛⎛Icrea‬‬ ‫‪Increasing‬‬ ‫‪Icrea‬‬ ‫‪singg⎞sin‬‬ ‫‪⎞on (ga,b‬‬ ‫‪1‬‬‫)‪a‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫>‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪∀x‬‬ ‫∈‬ ‫‪a,b‬‬ ‫⇒‬ ‫‪f‬‬ ‫ʹ‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫⎜ ⎜⎜ ‪a) f ʹ(x) > 0, ∀x ∈( a,b) ⇒ f‬‬ ‫))‪⎟⎠⎟ on ( ⎟a,b‬‬ ‫⎝ ⎝⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎠‬ ‫ﻣﺘﺰاﻳﺪة‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪⎛⎛decrea‬‬ ‫⎞‪⎞⎞ g‬‬ ‫‪decrea‬‬ ‫‪singg‬‬ ‫⎛‬ ‫‪Decrea‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪Decreasing‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪2‬‬‫‪on(⎟(a,b‬‬ ‫))‪a,b‬‬ ‫‪b)ffʹʹ((xx))<<0,0,∀x‬‬ ‫‪∀x∈∈((a,b‬‬ ‫⇒))‪a,b‬‬ ‫⎜ ⎜⎜ ‪⇒ ff‬‬ ‫‪⎟⎠⎟on‬‬ ‫⎝⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎠ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫⎝‬ ‫أﻣﺎ ﺑﻘﻴﺔ اﳊﺎﻻت ﻓﺴﻮف ﻻﻧﺘﻄﺮق ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﳌﺮﺣﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-1 -‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ . y = f ( x ) = x 2‬ﺟﺪ ﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ ‪yʹ = 2x‬‬ ‫‪y = f ( xy) ʹ==x02 ⇒ xy=ʹ =0 2x‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫اﺷﺎرة ‪yʹ = 2x‬‬

‫‪yʹ = 0 ⇒ x = 0‬‬ ‫‪----- --0 +++++++‬‬

‫‪Q f ʹ ( x ) > 0, ∀x > 0‬‬

‫‪f‬ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ }‪∴ {xx=: 0x > 0‬‬ ‫‪Q f ʹ ( x ) < 0, ∀x < 0‬‬

‫‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ }‪∴ {xx=: 0x < 0‬‬

‫‪117‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬

‫جد مناطق التزايد والتناقص لكل من الدالتني االتيتني‪:‬‬

‫)(‬

‫‪b) f ( x ) = 3 x 2‬‬

‫احلل‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f x = 9x + 3x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪yʹ = 2x‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪a) f x = 9x + 3x 2yʹ−=x03 ⇒ x f=ʹ 0x = 9 + 6x − 3x 2‬‬

‫)(‬

‫)(‬

‫‪0 = 9 + 6x − 3x 2‬‬

‫‪0 = −3 x 2 − 2xyʹ−=32x‬‬

‫(‬

‫)‬

‫()‬

‫)‬

‫(‬

‫‪0 = − x − 3 xyʹ+1‬‬ ‫‪= 0 ⇒ x x= =0 3, x = −1‬‬ ‫نختبر على خط األعداد إشارة املشتقة األولى بالتعويض بقيم مجاورة للعددين ‪x = 3, x = −1 :‬‬ ‫اشارة ) ‪f ʹ ( x‬‬

‫‪- -- - - - - -1 + + + + + + + 3 - - - - - - -‬‬

‫‪x }<, {−1‬‬ ‫‪ f‬متناقصة }‪3:‬في> }‪x}: ,x{>x :3x‬‬ ‫‪{x : x{<x :−1‬‬ ‫‪( −1, 3( −1,‬‬ ‫‪ f‬متزايدة ‪ :‬في الفترة املفتوحة )‪) 3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬ ‫احلل‬

‫‪2‬‬

‫‪33 x‬‬ ‫)‪f ʹ ( x‬‬

‫عدد حرج‬ ‫غير معرفه اذا كانت ‪ , x = 0‬اي ‪∴ x = 0‬‬ ‫اشارة ) ‪f ʹ ( x‬‬

‫‪ f‬متزايدة في‬ ‫‪ f‬متناقصة في‬

‫‪118‬‬

‫= ) ‪b) f ( x ) = 3 x 2 ⇒ f ʹ ( x‬‬

‫}‪{ x : x > 0‬‬ ‫}‪{ x : x < 0‬‬

‫‪- - - - - - - (0)+ + + + + + +‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪y= x‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫]‪ [3-5‬اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ‬ ‫ﻻﺣﻆ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ أدﻧﺎﻩ أن اﻟﺪاﻟﺔ ) ‪ y = f ( x‬ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ) ‪ ( a, c‬ﻷن ‪ ، f ʹf =( x0) > 0‬وﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ) ‪ ( c, d‬ﻻن ‪f ʹ ( x ) < 0‬‬ ‫ﺛﻢ ﺗﺘﺰاﻳﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة )‪. (d,b‬‬ ‫‪x=c , x=d‬‬ ‫ﻛﻤﺎ أن ‪ f ʹ = 0‬ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ ﻧﻘﻄﺔ )) ‪p ( c, f ( c‬ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ وإن ) ‪ f ( c‬ﻫﻲ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ اﶈﻠﻴﺔ‬ ‫)‪ (Local Maximum‬وﺗﺪﻋﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ )) ‪q ( d, f ( d‬ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ وان ) ‪ f ( d‬ﻫﻲ‬ ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ )‪(Local Minimum‬‬

‫اﺷﺎرة )‪f ʹ(x‬‬

‫‪b‬‬

‫‪++++++‬‬

‫‪d‬‬

‫‪c‬‬

‫‪++++++ ----- --‬‬

‫‪a‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ )‪(3-3‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [ a,b‬وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ ‪ x=C‬اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ‬ ‫)‪ ( a,b‬ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ‪:‬‬

‫اﺷﺎرة )‪a + + + + + + c - - - - - - - b f '(x‬‬

‫)‪1) f ʹ (xc ) < 0; ∀x ∈( c,b‬‬ ‫) ‪f ʹ (xc ) > 0; ∀x ∈( a, c‬‬ ‫‪f ʹ (c) = 0‬‬ ‫ﻓﺈن ) ‪ f ( c‬ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ‬

‫اﺷﺎرة )‪a - - - - - - - c + + + + + + b f '(x‬‬

‫)‪2) f ʹ (xc ) > 0; ∀x ∈( c,b‬‬ ‫) ‪f ʹ (xc ) < 0; ∀x ∈( a, c‬‬ ‫‪f ʹ (c) = 0‬‬

‫ﻓﺈن ) ‪ f ( c‬ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ‬

‫‪119‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﻟﻜﻲ ﻧﺨﺘﺒﺮ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺑﻮاﺳﻄﺔ‬ ‫اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻻﺗﻴﺔ‪:‬‬

‫●ﳒﺪ اﻻﻋﺪاد اﳊﺮﺟﺔ وذﻟﻚ ﺑﺤﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ * f ʹ(x) = 0‬وﻟﻴﻜﻦ ‪ x = x1‬ﻫﻮ أﺣﺪ ﻫﺬﻩ اﻷﻋﺪاد اﳊﺮﺟﺔ‬ ‫إﺷﺎرة= )‪ f ʹ(x‬ﺑﺠﻮار ‪ x = x1‬ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ إﺷﺎرة ) ‪ f ʹ ( x‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ‪∀x < x1‬‬ ‫● ﻧﺨﺘﺒﺮ ‪0‬‬ ‫وﺳﺎﻟﺒﺔ ‪∀x > x1‬‬ ‫ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ )) ‪ ( x1 , f ( x1‬ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ‬ ‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﺷﺎرة ) ‪ f ʹ ( x‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ‪∀x < x1‬‬ ‫وﻣﻮﺟﺒﺔ ‪∀x > x1‬‬

‫ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن )) ‪ ( x1 , f ( x1‬ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ‬ ‫أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﺷﺎرة ) ‪ f ʹ ( x‬ﻻﺗﻐﻴﺮ ﻗﺒﻞ وﺑﻌﺪ ‪ x1‬ﻓﻼ ﻳﻜﻮن ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ وﻻﺻﻐﺮى ﻋﻨﺪ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫‪f ʹ(x) < 0‬‬

‫‪f ʹ(x) > 0‬‬

‫‪f ʹ(x) > 0‬‬

‫‪f ʹ(x) < 0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ‬

‫‪0‬‬

‫ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f ʹ(x) < 0‬‬

‫‪f ʹ(x) > 0‬‬ ‫‪f ʹ(x) < 0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺎت‬

‫* ﺳﻨﻘﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﺑﺤﺜﻨﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق‪.‬‬

‫‪120‬‬

‫‪f ʹ(x) > 0‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪0‬‬

y

x

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪ f‬متزايدة في }‪on { x : x < 2‬‬ ‫‪ f‬متناقصة في }‪on { x : x > 2‬‬ ‫النقطة= )‪ ( 2,1‬متثل نقطة نهاية عظمى احمللية‬ ‫)) ‪(( 2 )∴, f ( 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪c) f ( x ) = x 3 − 9x 2 + 24x‬‬

‫)‪(4,16‬‬

‫‪⇒ f ʹ ( x ) = 3x 2 − 18x + 24‬‬

‫)‪(2, 20‬‬

‫‪when‬‬ ‫‪f ʹ ( x) = 0‬‬ ‫‪⇒ 3 x 2 − 6x + 8 = 0‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪⇒ 3( x − 4 ) ( x − 2 ) = 0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x=2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f (2) = 20‬‬

‫اشارة )‪+ + + + + + f '(x‬‬

‫‪4‬‬

‫تزايد‬

‫‪2‬‬

‫‪++++++ ----- -‬‬‫تناقص‬

‫‪ f‬متزايدة في‬ ‫‪on { x : x < 2} and‬‬ ‫}‪, { x : x > 4‬‬ ‫‪ f‬متناقصة في الفترة املفتوحة (‪)2 ,4‬‬

‫) ‪on ( 2, 4‬‬

‫نقطة النهاية العظمى احمللية ) ‪(( 2) f ( 2)) = ( 2, 20‬‬ ‫نقطة النهاية الصغرى احمللية ) ‪(( 4 ) f ( 4 )) = ( 4,16‬‬

‫‪122‬‬

‫‪,‬‬

‫تزايد‬

‫‪⇒x=4‬‬

‫‪f (4) = 16 ,‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫]‪ [3-6‬ﺗﻘﻌﺮ وﲢﺪب اﳌﻨﺤﻨﻴﺎت وﻧﻘﻂ اﻻﻧﻘﻼب‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻣﻘﻌﺮ واﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﺘﺰاﻳﺪة‬

‫)‪(A‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻣﺤﺪب واﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬

‫)‪(B‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ]‪[3-4‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )‪ (a,b‬ﻓﻴﻘﺎل ﻋﻦ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺑﺄﻧﻬﺎ ﻣﺤﺪﺑﺔ اذاﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ʹ ‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺧﻼل ﺗﻠﻚ اﻟﻔﺘﺮة وﺗﺴﻤﻰ ﻣﻘﻌﺮة اذا ﻛﺎﻧﺖ ʹ ‪ f‬ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﺧﻼل ﺗﻠﻚ اﻟﻔﺘﺮة‪.‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﻘﻌﺮ ﻓﻲ )‪ ⇔ (Concave up) (a,b‬اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻳﻘﻊ ﻓﻮق ﺟﻤﻴﻊ ﳑﺎﺳﺎﺗﻪ ﻓﻲ‬ ‫)‪(a,b‬‬ ‫واﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﺤﺪب ﻓﻲ )‪ ⇔ ( Concave down) (a, b‬اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻳﻘﻊ ﲢﺖ ﺟﻤﻴﻊ ﳑﺎﺳﺎﺗﻪ ﻓﻲ‬ ‫)‪ (a,b‬ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻠﲔ) ‪( A ) ،( B‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪(3-4‬‬ ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ ]‪ [a,b‬وﻟﻬﺎ ﻣﺸﺘﻘﺔ أوﻟﻰ وﺛﺎﻧﻴﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (a,b‬ﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﻘﻌﺮة ﻋﻠﻰ )‪(a,b‬‬ ‫اذا ﺣﻘﻘﺖ اﻟﺸﺮط اﻻﺗﻲ ‪:‬‬ ‫)‪f ʹʹ ( x ) > 0, ∀ ∈(a,b‬‬

‫ﻟﻜﻞ )‪f ʹʹ ( x ) > 0, ∀x ∈(a,b‬‬

‫ﺗﻜﻮن ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻋﻠﻰ )‪ (a,b‬اذا ﺣﻘﻘﺖ اﻟﺸﺮط اﻻﺗﻲ ‪:‬‬ ‫)‪ f ʹʹ ( x ) < 0, ∀x ∈(a,b‬ﻟﻜﻞ )‪x ∈(a,b‬‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) < 0, ∀x‬‬

‫‪123‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-1 -‬‬

‫إدرس تقعر وحتدب كل من الدالتني‪:‬‬

‫‪a) f ( x ) = x 2‬‬ ‫‪b) f ( x ) = x 3‬‬

‫احلل‬

‫‪y‬‬

‫‪a) f (x) = x 2‬‬ ‫‪a) f ʹ ( x ) =2x‬‬ ‫‪2x‬‬

‫‪y = x2‬‬

‫‪f ʹʹ ( x ) = 2‬‬

‫الدالة ‪ f‬مقعرة على ‪R‬‬

‫‪x‬‬

‫⇒ ‪∴ f ʹʹ ( x ) > 0, ∀x ∈R‬‬

‫‪y‬‬

‫⇒ ‪b) f (x) = x‬‬ ‫‪3‬‬

‫⇒ ‪f ʹ(x) = 3x 2‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 6x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f ʹʹ(x) = 0 ⇒ 6x = 0‬‬ ‫‪∴x = 0‬‬ ‫‪f (0) = 0‬‬

‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬ ‫‪ f‬مقعرة في}‪{x:x>0‬‬

‫‪----- --0 ++++++‬‬ ‫تقعر‬ ‫‪ f‬محدبة في}‪{x:x<0‬‬

‫حتدب‬

‫في هذا املثال (‪ )b‬الحظ أن املنحني في {‪ }x:x< 0‬محدب وفي {‪ }x:x>0‬مقعر‪.‬‬ ‫‪0) = (0, (0,‬‬ ‫))‪f (0‬‬ ‫‪0) = (0,‬‬ ‫املنحني‪(0,‬محدب وبعدها مقعر‪.‬‬ ‫أي‬ ‫))‪(0, f0)(0‬‬ ‫النقطة=‬ ‫قبل‪(0, f‬‬ ‫))‪(0‬‬ ‫تسمى هذه النقطة نقطة انقالب (‪)Point of Inflection‬‬

‫‪124‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫تعريف [‪]3-5‬‬ ‫تدعى النقطة التي تنتمي ملنحني دالة والتي يتغير عندها منحني الدالة (من تقعر الى حتدب) أو‬ ‫بالعكس (من حتدب الى تقعر) بنقطة انقالب لهذا املنحني‪.‬‬ ‫‪f ʹ = f ʹʹ = 0‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫↓‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫مثال‪-2 -‬‬

‫‪x‬‬

‫جد نقطة االنقالب للمنحني‪f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 :‬‬

‫احلل‬ ‫‪f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 6x 2 − 6x − 12‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 12x − 6‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 0‬‬

‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ‪12x − 6 = 0 ⇒ x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪f( )=−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪----- --2 ++++++‬‬

‫في جوار ‪1‬‬ ‫لندرس اآلن اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫نالحظ عن ميني تكون )‪ f ʹʹ(x‬موجبة‬ ‫‪2‬‬ ‫وعن يسار ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫تكون )‪f ʹʹ(x‬‬

‫تقعر‬

‫حتدب‬

‫=‪x‬‬

‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫⎨‬ ‫سالبة ⎪‬ ‫⎩‬

‫∴ النقطة ) ‪ ( 1 ,− 11‬هي نقطة انقالب‪.‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪125‬‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫مثال‪-3 -‬‬

‫جد مناطق التحدب والتقعر ونقط االنقالب إن وجدت للدوال التالية‪:‬‬ ‫‪a) f (x) = 4x 3 − x 4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪b) f (x) = x + , x ≠ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪c) −h(x‬‬ ‫)‪4(x=+4-(x+2‬‬ ‫‪2)4‬‬ ‫‪d) f (x) = 3 − 2x − x 2‬‬

‫‪e) f (x) = x 4 + 3x 2 − 3‬‬ ‫احلل‬

‫‪y‬‬ ‫‪a) f (x) = 4x 3 − x 4‬‬

‫)‪(3, 27‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f ʹ x = 12x − 4x‬‬

‫‪f ʹʹ(x) = 0‬‬ ‫⇒ ‪0 = 12x 2 − x‬‬

‫‪x‬‬

‫)‬

‫محدبة‬

‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫)(‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) = 24x −12x‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x = 0 ,or x = 2‬‬ ‫‪f (0)=0 , f(2) = 16‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫)‪, (2, 16‬‬ ‫محدبة‬

‫مقعرة‬

‫ ‪- - - - - - -0 + + + + + + 2 - - - - - -‬‬‫انقالب‬

‫انقالب‬

‫‪ f‬محدبة في {‪ } x:x <2‬و {‪⎧ } x:x >0‬‬ ‫⎪‬ ‫⎨ ∴ نقطتا االنقالب هما ‪)0,0( ,)2,16( :‬‬ ‫‪ f‬مقعرة في الفترة املفتوحة‪⎪ )0,2( :‬‬ ‫⎩‬

‫‪126‬‬

‫(‬

‫تطبيقات التفا�ضل‪Applications of Differentiations‬‬ ‫‪b) f x = x + 1 , x ≠ 0‬‬ ‫‪x‬‬

‫)(‬

‫احلل‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪f ʹ(x) = 1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x3‬‬

‫)‪ f ʹʹ(0‬غير معرفة‬ ‫اشارة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫)(‬

‫= ‪f ʹʹ x‬‬

‫‪----- --0 ++++++‬‬ ‫مقعر‬

‫‪ f‬محدبة ‪ :‬في {‪} x:x>0‬‬ ‫في {‪} x:x <0‬‬ ‫‪ f‬مقعرة ‪:‬‬ ‫التوجد نقطة انقالب ألن ‪ 0‬الينتمي ملجال الدالة‪.‬‬

‫محدب‬

‫‪4‬‬

‫احلل‬

‫‪c) h(x) = 4 − (x + 2)3‬‬

‫‪y‬‬

‫‪hʹ(x) = −4(x + 2)4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)(‬

‫‪hʹʹ x = −12 x + 2‬‬

‫⇒ ‪hʹʹ(x) = 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪0 = −12 x + 2 ⇒ x = −2‬‬ ‫ميكن للطالب بالرجوع الى اختبار املشتقة االولى ليجد ان للدالة نقطة نهاية عظمى محلية عند (‪)-2 , 4‬‬

‫إشارة )‪h''(x‬‬

‫‪- - - - - - - -2- - - - - - - -‬‬

‫محدبة‬ ‫الدالة ‪ h‬محدبة في {‪ } x:x>-2‬و {‪} x:x <-2‬‬

‫محدبة‬

‫التوجد نقطة انقالب عند ‪ x= -2‬ألن الدالة محدبة على جهتيها‬

‫‪127‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪d) f (x) = 3 − 2x − x 2‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫)(‬

‫)(‬

‫⇒ ‪f ʹ x = −2 − 2x ⇒ f ʹʹ x = −2 < 0‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = −2 < 0‬‬

‫∴ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ ‪ R‬ﻟﺬا ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب‪.‬‬

‫)(‬

‫‪e) f x = x 4 + 3x 2 − 3‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫)(‬

‫)(‬

‫⇒ ‪f ʹ x = 4x3 + 6x ⇒ f ʹʹ x = 12x 2 + 6 > 0‬‬ ‫ﳉﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ ‪، x ∈ R‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ ‪ .R‬ﻟﺬا ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب‬

‫]‪ [3-7‬اﺧﺘﺒﺎر اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻨﻘﻂ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ‬ ‫ﺑﺪ ًﻻ ﻣﻦ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻐﻴﺮ اﺷﺎرة ʹ ‪ f‬ﻋﻨﺪ اﳌﺮور ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ﺣﻴﺚ ‪f ʹ(x) = 0‬‬

‫ﻓﺎﻧﻪ ﺑﺎﻣﻜﺎﻧﻨﺎ اﺳﺘﺨﺪام اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻨﻘﺮر ﻓﻴﻤﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ﲤﺜﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ أو ﻧﻬﺎﻳﺔ‬ ‫ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ‪ .‬وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﺧﺘﺒﺎر اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪ (1‬اذا ﻛﺎن ‪ f ʹ(c) = 0‬وإن ‪ f ʹʹ(c) < 0‬ﻓﺈن ‪ f‬ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ ‪. x=c‬‬ ‫)‪ (2‬اذا ﻛﺎن ‪ f ʹ(c) = 0‬وإن ‪ f ʹʹ(c) > 0‬ﻓﺈن ‪ f‬ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ ‪.x=c‬‬ ‫)‪ (3‬اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f ʹʹ(c) = 0‬او )‪ f ʹʹ(c‬ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻼ ﻳﺼﺢ ﻫﺬا اﻻﺧﺘﺒﺎر )وﻳﻌﺎد اﻻﺧﺘﺒﺎر ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳌﺸﺘﻘﺔ‬ ‫اﻻوﻟﻰ(‪.‬‬

‫‪128‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-1 -‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﺧﺘﺒﺎر اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ان أﻣﻜﻦ‪ ،‬ﺟﺪ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﶈﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪوال اﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪c) f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x‬‬

‫‪a) f x = 6x − 3x 2 −1‬‬

‫)(‬

‫‪4‬‬ ‫‪,x ≠0‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪d) f (x) = 4 − (x +1)4‬‬

‫‪b) f (x) = x −‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪a) f x = 6x − 3x 2 −1‬‬

‫)(‬

‫)(‬

‫‪f ʹ x = 6 − 6x‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0‬‬ ‫‪0 = 6 − 6x ⇒ x = 1‬‬ ‫‪f ʹʹ x = −6 ⇒ f ʹʹ 1 = −6 < 0‬‬

‫)(‬

‫)(‬

‫ﲟﺎ أن ‪ f ʹ(1) = 0 :‬و ‪ . f ʹʹ(1) < 0‬اذ ًا ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ‪x=1‬‬ ‫∴ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ اﶈﻠﻴﺔ ﻫﻲ‪f 1 = 6 − 3 −1 = 2 =:‬‬

‫)(‬

‫‪x≠0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪b) f x = x − 4‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪f ʹ x = 1+ 3 ,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0‬‬

‫)(‬

‫)(‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⇒ x 3=+−1‬‬ ‫⇒‪8 =⇒0 x‬‬ ‫‪= −2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪=x−8x‬‬ ‫‪= −2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 1+ 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−24‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪f ʹʹ −2 = − < 0,‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪0 = 1+‬‬

‫∵‬

‫) (‬

‫∵‬

‫‪129‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫) )( (‬

‫‪ ⇐ f ʹf −2‬ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ اﻟـﻨﻘﻄﺔ ‪x=-2‬‬ ‫ﲟﺎ أن ‪ f ʹ −2 = 0 :‬و‬ ‫⇐ ‪ʹʹ −2= 0< 0‬‬ ‫اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ اﶈﻠﻴﺔ ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫= ‪f −2 = −2 −1 = −3‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫)(‬ ‫‪f ʹ ( x ) = 3x‬‬

‫∵‬

‫‪c) f x = x3 − 3x 2 − 9x‬‬ ‫‪− 6x − 9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f ʹ(x) = 0‬‬

‫()‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫‪0 = 3 x 2 − 2x − 3 ⇔ 0 = 3 x − 3 x +1‬‬ ‫‪ x=-1‬او ‪⇒ x=3‬‬

‫)(‬

‫‪f ʹʹ x = 6x − 6‬‬

‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬

‫‪ x = 3‬ﻓﺎن ‪⇒ f ʹʹ(3) = 18 − 6 = 12 > 0‬‬

‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻫﻲ ‪f (3) = 27 − 27 − 27 = −27‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫ﻓﺎن ‪⇒ f ʹʹ −1 = −6 − 6 = −12 < 0 ⇒ f‬‬ ‫وﻋﻨﺪﻣﺎ =‪−1x== 5-1‬‬ ‫ ∴ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻫﻲ ‪f(-1)=5‬‬ ‫‪d) f (x) = 4 − (x + 1)4‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‬

‫)(‬

‫(‬

‫‪f ʹ x = −4 x +1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪f ʹ(x) = 0‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪0 = −4 x +1 ⇒ x = −1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻫﺬﻩ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻻ ﺗﺼﺢ ﻧﻌﻮد اﻟﻰ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺗﻐﻴﺮ اﺷﺎرة ʹ ‪ f‬ﺑﺠﻮار ‪x=-1‬‬

‫اﺷﺎرة )‪f ʹ(x‬‬ ‫‪130‬‬

‫‪----- -‬‬‫ﺗﻨﺎﻗﺺ‬

‫‪+ + + + + + -1‬‬ ‫ﺗﺰاﻳﺪ‬

‫)‬

‫(‬

‫)(‬ ‫) (‬

‫‪f ʹʹ x = −12 x +1‬‬ ‫⇒ ‪f ʹʹ −1 = 0‬‬

‫∵‬

Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J

f ( x ) = x2 +

a , x ≠ 0 , a∈R ‫ﻟﺘﻜﻦ‬ x

∵

∴ f (−1) = 4 − (−1+ 1)2 = 4

{x:x<-1} ‫ ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ‬f ‫وﲟﺎ أن‬ {x:x>-1} ‫وﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ‬ : ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻫﻲ‬ -2 -‫ﻣﺜﺎل‬

a f x = 2x − ʹ ( ) ‫ ﻻﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ‬f ‫ﺛﻢ ﺑﲔ أن اﻟﺪاﻟﺔ‬x 2، x = 1 ‫ ﻋﻠﻤ ًﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻋﻨﺪ‬a ‫ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ‬ .‫ﻣﺤﻠﻴﺔ‬ 2a f ʹʹ ( x ) = 2 − 3 = 0 a a f ʹ ( x ) = 2x − f2 ʹ ( x ) = 2x − (12 ) a ‫اﳊﻞ‬ 2a axa 2 x f x = 2x − ʹ ʹʹ ( ) ⇒ 2 + 2a 0 ⇒ f (x) = 2 + ,x ≠ 0 3 ff ʹ((xx))==x2x+−x2a x2 2 x 2a f ʹʹ ( x ) = 2 − xf⇒ =a 0= −1 =0 ʹʹ 3 ( x) = 2 − 3 2a a 2a 2 1 ( ) 1 ( ) x( x) )===x22 − +− 2a , x3 ≠==f00ʹʹ0( x ) =2 2 −a 3 = 0 ff ʹʹʹʹ((1) ∴ ) ==x0 + (1) ⇒ 2 + 2a = 0(x1 )3 2f +( x2a 1⇒ x ⇒ 2 + 2a = 0 ⇒ a2 += 2a −1 = 0 ⇒ a = −1 a ⇒⇒ f ʹ (ax )==−1 2x − 2 a1 a x ⇒ a = −1 ∵ ∴ f ( x ) = x 2 +−∴ f ( x ) = x 2 + x2 + a a ax⇒ ∴ f x = x ( ) 2 ∴ f ( x ) = x + a1f ʹ ( x ) = 0 ⇒ a2xx− x 2 = 0 x f ʹ ( x ) = 2x − ⇒ f ʹ ( x ) = 2x ⇒ −+ 2 a xa22⇒3 f ʹ ( x ) = 2x 3x − a ⇒ f ʹ ( x ) = 2x −⇒ 22x 1a= a ⇒ x = 2x 2a xf ʹ+ ⇒ f ʹ ( x) = 0 ⇒ −( x )22==00⇒ 2x − 2 =a0 ⇒2x x− ⇒ xfa3ʹ (ax ) = 0 ⇒ 2x =0 2 ⇒ x = ⇒ f ʹ ( x ) = 0 ⇒ 2x −a−12 = 0 x x a2⇒ x 3 = a ⇒ 2x 3 = −1 a⇒ xx3 3= ⇒⇒ =3 = 2x a a222x 3 = a2a⇒ x23 = 3 3 ⇒ ⇒ 2x = a1⇒ xf ʹʹ=( x ) = 2 + 2 a a a 2 3 3 ⇒x=− ⇒x= 3 2 2 2= 3 a2 a ⇒ x ⇒x= 3 2 0 2a 222af2=ʹʹ 6( x>) = 2 f ʹʹ ( x ) = 22 +2a 2=+−6 −>2022a (x)2 ⇒ ,⇒ ∀x f ʹʹ(x) R= 6= >6 0> 0, ∀x ∈∈ RR = 2 − f⇒ f ʹʹf(x) ʹʹ(x)2 f ʹʹ(x)2 f∈ʹʹ(x) , ∀x fʹʹ= (x) ʹʹ(1) 2= −2=−−2 −a3 ⇒ =⇒ 0f ʹʹ(x) a 1 1 1 2a x3 x3 x3 f x = 2 + ʹʹ ( ) − −a f ʹʹ ( x ) = 2(+−1)2 22 2 2a 2 =6>0 2= 6 > 0 =6>0 =6>0 1 ∴ ⇒ x = − 3 ‫ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ‬ 2 ‫ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ‬f ‫∴ ﻻﲤﻠﻚ‬

131

Applications of Differentiations‫تطبيقات التفا�ضل‬ 3 2 -3 -‫مثال‬ ‫ نهاية عظمى‬y = x + ax + bx ‫ لكي يكون ملنحني الدالة‬b,a ‫عني قيمتي الثابتني‬ . ‫ ثم جد نقطة االنقالب‬x = 2 ‫ ونهاية صغرى محلية عند‬، x = −1 ‫محلية عند‬

y = x 3 + ax 2 + bx ‫احلل‬ dy dy ⇒ = 3x 2 +2ax 2a + b ∴ ]=0 dx dx dy dy x = −1 ‫مبا أن للدالة نهاية عظمى محلية عند‬ ∴ =∴dy 0 ] ]==00 ] dy ∴ 2 dx∴ dx ]=0 dx 3 ( −1) + 2a ( −1) + b = 0 ⇒ 3 − 2a + b = 0..

3 2 dx y = x + ax + bx x = −1 xx==−1 −1 x 2= −1 2 dy=+xb3 =+20...........

22 +2a b( −1 = 0) )+⇒ −02a 1) 3 ( −10= ) +33(2a ()−1 ax −1 +bb3⇒ 0y⇒ ⇒=333x 2a +b+b=+bx =0...........

1 ( ) ( +)+2a == −−2a −1 2−1 ++2a b(0........... dy(1) (1( ) ) 3 − 2a + b = 0...........

3 ( −1) + 2a ( −1) + b = 0 ⇒dx ∴ ]=0 dy 2 dx ⇒ = 3x + 2a + b dx dy dy dy x = 2 ‫مبا أن للدالة نهاية صغرى محلية عند‬ ∴ =∴0 ] ]==00 ∴ ] dy 2 dx ∴ dx dx = 0 + 2a ( 2) + b = 0 ⇒ 12 + 4a + b = ⇒ 3 2 3 2 ( ) ] y = x + ax + bx x = 2 xx=dx 2 =2 x2 += 2a 2 22 2 + b = 0 ⇒ 12 +dy 3 2 2 ==12 x+12 ax bx 4a b++=4a 0........... ⇒ 3 ( 2)0= ()) )+ 2a2a((22))++bb⇒ ( 2) ((22)) ==00y⇒ ++b+ =b ⇒ 3x +4a 2a ⇒ b =0...........

0........... ⇒33( (22 2 ⇒dy 12 + 4a2+ b = 0...........

2)‫) آني ًا‬2( ‫) و‬1( ‫وبحل املعادلتني‬ ⇒ 3 ( 2) + 2a ( 2) + b = 0dx : ‫جند( ان‬ ⇒ = 3x + 2a + b dx −3 a a== −3,b,b==−6 −6 22 3 ∴∴y y==x 3x 3−− 3x 2x 2−−6x6x 22 dy 2 2 ⇒⇒ dy==3x3x −−3x3x−−6 6 dxdx 22 2 dy y ddy ⇒⇒ 2 ==6x6x−− a3 f ʹ (dx xdx)dx= 2x − 2 3 1 x 22 2 d dyy ----- --2 ++++++ 2a ⇒ dy = 0 ⇒ 6x − 3 = 0 1⎫ ⎧ 3= f ʹʹ(x) ‫اشارة‬ f dx − 6x − = 00 ʹʹ22(2x )==02⇒ dx x:x > ⎬ 3 ⎨ ‫تقعر‬ ‫حتدب‬ 1) ( 2 ⎩ ⎭ 11 ∴ ∴x2x=+=2a = 0 ⇒ 1⎫ 1⎫ ⎧ ⎧ 22 ⎨ x : x > ⎬‫ مقعرة في‬f ‫مبا أن‬ ⎨ x : x < ⎬ ‫ومحدبة في‬ 2⎭ 2⎭ ⇒ a = −1 ⎩ ⎩ 1 −26 a −13 1⎫ ⎧ ∴ f ( ∴ f (2x )) = = x82 + = ⎨x : x < ⎬ −26 ⎞ 2 ⎭⎛ 1 −13 x 4 ⎩ ∴ ‫ ⎜ نقطة انقالب‬, ⎝ 2 84 ⎟⎠ a ⇒ f ʹ ( x ) = 2x − 2 x a 132 ⇒ f ʹ ( x ) = 0 ⇒ 2x − 2 = 0 x

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-4 -‬‬ ‫ﻣﻘﻌﺮ ﻓﻲ‬

‫اذا ﻛﺎن ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪f ( x ) = ax 3 + bx 2 + c :‬‬

‫}‪ {x : x < 1‬وﻣﺤﺪب ﻓﻲ }‪{x : x > 1‬‬

‫وﳝﺲ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ( y + 9x = 28 ):‬ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﳊﻞ‬

‫)‪( 3,1‬‬

‫ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻢ اﻻﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ ‪. c,b, a‬‬

‫∵اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود ‪،‬ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ }‪ {x : x < 1‬وﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ }‪{x : x > 1‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻋﻨﺪ)‪( x = 1‬‬

‫ﻓﻬﻲ ﲤﺘﻠﻚ‬

‫‪∴ f ʹ ( x ) = 3ax 2 + 2bx‬‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) = 6ax + 2b‬‬ ‫‪f ʹʹ (1) = 0 ⇒ 6a +2b = 0‬‬

‫‪÷2‬‬ ‫)‪− − − − (1‬‬

‫⇒ʹʹ ‪0f‬‬ ‫‪− 02a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b ==0...........‬‬ ‫‪( −1) + b =3a‬‬ ‫== )‪+(1b3‬‬ ‫⇒‪0‬‬ ‫‪∴b‬‬ ‫)‪−3a (1‬‬

‫‪dy‬‬ ‫ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس ‪ y + 9x = 28‬ﻫﻮ ‪= 9−9‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪ f ʹ ( 3‬ﻫﻮ ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس ﳌﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺪ ‪x = 3‬‬ ‫‪f ʹ ( 3) = 27a + 6b‬‬ ‫‪- 9=27a+6b‬‬

‫‪÷3‬‬

‫‪f ʹʹ (12)) =+ b‬‬ ‫⇒‪0‬‬ ‫‪3 =129a+ +4a2b‬‬ ‫)‪− − − −( 2() 2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫⇒‪= 0-‬‬ ‫‪+ b =−0...........‬‬

‫)‬

‫اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ ( 3,1‬ﲢﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪+ bx 2 + c‬‬

‫‪3‬‬

‫‪( y = f ( x ) = ax‬‬ ‫‪133‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫)‪( 3‬‬

‫)‪∴1 = 27a + 9b + c ...(3‬‬ ‫‪−−−−−‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻣﻦ )‪ (1‬ﻓﻲ )‪( 2‬‬

‫ﻳﻨﺘﺞ‪:‬‬

‫‪0 ⇒ b=- 3(-1)= 3‬‬ ‫‪ʹʹ (a1)==1-1‬‬ ‫⇒‪- 3 = 9a + 2 ( −3a ) f‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ ( 3‬ﻳﻨﺘﺞ ‪:‬‬

‫‪1 = −27 + 27 + c ⇒ c = 1‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪-5 -‬‬ ‫اذا ﻛﺎن ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + c‬ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﺗﺴﺎوي ‪ ،8‬وﻧﻘﻄﺔ‬ ‫اﻧﻘﻼب ﻋﻨﺪ ‪ x = 1‬ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪a, cb ∈ R‬‬ ‫‪a ∈ {−4,.8},‬‬ ‫اﳊﻞ‪ :‬اﳊﻞ‬ ‫ﻋﻨﺪ ‪ x = 1‬ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب‬ ‫‪⇒ f ʹʹ (1) = 0‬‬ ‫‪⇒ f ʹ ( x ) = 3ax 2 + 6x‬‬

‫‪f ʹʹ(x) = 6ax + 6 ⇒ f ʹʹ(1) = 0‬‬ ‫‪∴ 0 = 6a + 6 ⇒ a =−1‬‬ ‫⇒‬ ‫‪1‬‬

‫‪f ( x ) = −x 3 + 3x 2 + c‬‬ ‫= ‪⇒⇒f ʹf(ʹx( )x‬‬ ‫‪) =-3x3x2 2++6x6x‬‬ ‫⇒ ‪f ʹ ( x) = 0‬‬

‫)‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫اﺷﺎرة )‪( 3‬‬

‫⇒ ‪−3x 2 + 6x = 0‬‬ ‫ﺣﺮﺟﺘﺎن‬ ‫ ‪−3x ( x − 2) = 0 ⇒ x = 0 , x = 2‬‬ ‫‪- - - - - - -0‬‬

‫‪+ + + + + +2- - - - - - -‬‬

‫∴ ‪ f‬ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ ‪x = 2‬‬ ‫∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( 2, 8‬ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ و ﲢﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪f ( x ) = −x 3 + 3x 2 + c‬‬

‫‪1−8‬‬ ‫‪) +=+c012=⇒4+ c = 4‬‬ ‫∴= ‪∴ 8‬‬ ‫‪−88f +ʹʹ=(12‬‬

‫‪134‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫‪J‬‬

‫‪(3‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‐‬

‫‪ .1‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f (x) = ax 2 − 6x + b‬ﺣﻴﺚ ان ‪ a ∈ {−4, 8}, b ∈ R‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ a‬اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫أ( اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺤﺪﺑﺔ ب( اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻘﻌﺮة ‪.‬‬ ‫‪ .2‬اذا ﻛﺎﻧﺖ )‪ (2,6‬ﻧﻘﻄﺔ ﺣﺮﺟﺔ ﳌﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ )‪ f ( x) = a − ( x − b‬ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪a,bb ∈ R‬‬ ‫‪a ∈ {−4, 8},‬‬ ‫‪4‬‬

‫وﺑﲔ ﻧﻮع اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ‪.‬‬

‫‪ .3‬اذا ﻛﺎن ‪ g ( x) = 1−12x, f ( x) = ax + bx + cx‬وﻛﺎن ﻛﻞ ﻣﻦ ‪ g,f‬ﻣﺘﻤﺎﺳﺎن ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫‪a ∈ {−4,‬‬ ‫اﻧﻘﻼب اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ f‬وﻫﻲ )‪ (1 ,-11‬ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺜﻮاﺑﺖ ‪8}, b ∈ R‬‬ ‫‪.a,b,c‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .4‬اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ 6‬ﲤﺜﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﳌﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f ( x) = 3x − x + c‬ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪∈ {−4, 8}, cb ∈ R‬‬

‫ﺛﻢ ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﳑﺎس اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼﺑﻪ‪.‬‬

‫‪ ∀x〈1‬وﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫‪.5‬اذا ﻛﺎن ‪ f ( x) = ax + bx + cx‬وﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻣﻘﻌﺮة ‪ ∀x〉1>1‬وﻣﺤﺪﺑﺔ‪<1‬‬ ‫‪a ∈ {−4,‬‬ ‫ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻫﻲ )‪ (-1,5‬ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺜﻮاﺑﺖ ‪8}, b ∈ R‬‬ ‫‪.a,b,c‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .6‬ﻟﺘﻜﻦ‬

‫‪3‬‬

‫‪, a ∈R / {0} , x ≠ 0‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f ( x) = x 2 −‬‬

‫ﺑﺮﻫﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻻ ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ .7‬اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ 3x-y=7‬ﳝﺲ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y=ax2+bx+c‬ﻋﻨﺪ )‪ (2 , -1‬وﻛﺎﻧﺖ ﻟﻪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﺤﻠﻴﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪ ‪ x = 1‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ a,b, c ∈ R‬وﻣﺎ ﻧﻮع اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪135‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫]‪ [3-8‬رﺳﻢ اﳌﺨﻄﻂ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

‫‪Graphing Function‬‬

‫وﻟﻜﻲ ﻧﺮﺳﻢ اﳌﺨﻄﻂ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻌﻄﺎة ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻻﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻧﺤﺪد أوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ )‪ (Polynomial‬ﻓﺈن أوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻬﺎ ﻫﻮ ‪R‬‬ ‫اﻣﺎ اذا ﻛﺎﻧﺖ داﻟﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ )‪ f (x) = g(x‬ﻓﺎن اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻬﺎ ﻫﻮ }‪R = {x ∈ R : h(x) ≠ 0‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫‪ (2‬ﻧﺒﲔ ﻧﻮع اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻫﻞ ﻫﻮﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات أم ﻣﻊ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ؟‬ ‫)‪ f : A → B (i‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ⇔‬ ‫ ‬ ‫‪∀x‬‬ ‫‪∀x∈∈A∃(−X‬‬ ‫‪A∃(−X‬‬ ‫∈∈‪f ʹʹ)()1‬‬ ‫)‪) =AA0 ⇒ f (−x) = f (x‬‬ ‫)‪ f : A → B (ii‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ⇔‬

‫‪∀x‬‬ ‫‪∀x∈∈A∃(−X‬‬ ‫‪A∃(−X‬‬ ‫∈∈‪f ʹʹ)()1‬‬ ‫)‪) =AA0 ⇒ f (−x) = − f (x‬‬ ‫‪ (3‬ﻧﺒﲔ إن ﻛﺎن ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ﻳﻘﻄﻊ اﶈﻮرﻳﻦ أم ﻻ؟‬ ‫اي ﳒﻌﻞ ‪ x=0‬وﳒﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪) y‬ان اﻣﻜﻦ( ﻓﺠﺪ ﺑﺬﻟﻚ ﻧﻘﻂ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‪.‬‬ ‫وﳒﻌﻞ ‪ y=0‬وﳒﺪ ﻗﻴﻤﺔ أو ﻗﻴﻢ ‪) x‬ان اﻣﻜﻦ( ﻓﺠﺪ ﺑﺬﻟﻚ ﻧﻘﻂ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬ ‫‪ (4‬ﳒﺪ اﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﶈﺎذﻳﺔ ا ُﻻﻓﻘﻴﺔ واﻟﻌﻤﻮدﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ إن وﺟﺪت‪:‬‬ ‫)‪ (i‬ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ )‪ y = g(x‬ﳒﻌﻞ‪ h(x)= 0‬وﳒﺪ ﻗﻴﻢ ‪x‬‬ ‫)‪h(x‬‬ ‫وﻟﺘﻜﻦ ‪ x=a‬ﻓﻬﻲ ﲤﺜﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﶈﺎذي اﻟﻌﻤﻮدي )‪(Vertical Asymptote‬‬ ‫)‪ (ii‬واذا ﻛﺎﻧﺖ )‪ x = n(y‬ﳒﻌﻞ‪ m(y ) = 0‬وﳒﺪ ﻗﻴﻤﺔ )‪) ( y‬ان اﻣﻜﻦ( وﻟﺘﻜﻦ ‪ y= b‬ﻓﻬﻲ ﲤﺜﻞ‬ ‫)‪m(y‬‬ ‫اﶈﺎذي اﻻﻓﻘﻲ‬ ‫)‪(Horizontal Asymptote‬‬ ‫‪ (5‬ﳒﺪ )‪ f ʹʹ(x) , f ʹ(x‬وﻣﻨﻬﻤﺎ ﳒﺪ ﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ واﻟﻨﻘﺎط اﳊﺮﺟﺔ وﻧﻮﻋﻬﺎ وﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺘﻘﻌﺮ‬ ‫واﻟﺘﺤﺪب وﻧﻘﻂ اﻻﻧﻘﻼب إن وﺟﺪت ‪.‬‬ ‫‪ (6‬ﳒﺪ ﻧﻘﻂ اﺿﺎﻓﻴﺔ إن اﺣﺘﺠﻨﺎ اﻟﻰ ذﻟﻚ ﺛﻢ ﻧﺮﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪.‬‬

‫‪136‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫ارﺳﻢ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﲟﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ ﻓﻲ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪f(x)=x5 :‬‬ ‫)‪ (1‬اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل = ‪R‬‬

‫)‪ (0,0) (2‬ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ اﻹﺣﺪاﺛﻴﲔ‪.‬‬ ‫)‪ (3‬اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻷن‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪∀x ∈R, ∃ (f−x‬‬ ‫‪ʹʹ ()1∈R‬‬ ‫) ‪) = 0 ⇒∍ f ( −x ) = ( −x‬‬

‫‪= −x 5‬‬ ‫) ‪f(-x) = − f ( x‬‬ ‫)‪ (4‬اﶈﺎذﻳﺎت ‪ :‬ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻧﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪f ʹ ( x ) = 5x 4‬‬

‫)‪(5‬‬

‫→‪f ʹʹʹ((x1) = 00f‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪ʹʹ (1x)== 00 ⇒ ( 0,0‬‬ ‫اﺷﺎرة )‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫‪ f‬ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ‬

‫‪++++++‬‬

‫‪++++++ 0‬‬

‫}‪{ x : x < 0} ، { x : x > 0‬‬

‫) ‪ ( 0,0‬ﻧﻘﻄﺔ ﺣﺮﺟﺔ ﻻ ﲤﺜﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ‪.‬‬

‫اﺷﺎرة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫‪----- --0 ++++++‬‬

‫}‪{ x : x > 0‬‬ ‫}‪{ x : x < 0‬‬

‫ﺗﻘﻌﺮ‬

‫‪f ʹʹ ( x ) = 20x 3‬‬ ‫‪f ʹʹ ( x ) = 0 ⇒ x = 0‬‬

‫ﲢﺪب‬

‫‪ f‬ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ‬ ‫‪ f‬ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ‬ ‫∴ ) ‪ ( 0,0‬ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻘﻼب‬

‫‪137‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-32‬‬

‫‪-1 2‬‬ ‫‪-1 32‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪(1 ,1‬‬ ‫‪x‬‬

‫⚈‬

‫)‪(0 ,0‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫⚈‬

‫⚈ )‪(-1 ,-1‬‬

‫ارﺳﻢ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪y = x 3 − 3x 2 + 4‬‬

‫‪ (1‬اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل = ‪R‬‬ ‫)‪x = 0 ⇒ y = 04 ⇒ (0, 40‬‬ ‫‪ (2‬اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬ ‫‪ (3‬اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫‪,‬‬ ‫‪∀x‬‬ ‫)‪∀x∈∈R∃(−x‬‬ ‫)‪R∃(−x‬‬ ‫⇒‪∈∈RR‬‬ ‫)‪⇒f f(−x‬‬ ‫)‪(−x)==(−x‬‬ ‫)‪(−x)3 3−−3(−x‬‬ ‫‪3(−x)2 2++44‬‬

‫‪==−x‬‬ ‫‪−x3 3+−‬‬ ‫‪+3x‬‬ ‫)‪3x2 2++44≠≠f f(x‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺗﻨﺎﻇﺮ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات او ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻷن )‪f (−x) ≠ − f (x) , f (x) ≠ f (−x‬‬ ‫‪ (4‬اﶈﺎذﻳﺎت ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻧﺴﺒﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪f (x)== x 3 − 3x 2 + 4 ⇒ f ʹ(x) = 3x 2 − 6x‬‬ ‫)‪f ʹf(x‬‬ ‫‪ʹ(x)== 0 ⇒ 3x 2 − 6x = 0 ⇒ x = 0 , x = 2‬‬ ‫)‪f (0‬‬ ‫)‪f (0)== 4 ⇒ (0, 4‬‬

‫)‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫اﺷﺎرة )‪( 3‬‬

‫‪138‬‬

‫‪+ + + + + +0 - - - - - - - 2 + + + + + +‬‬

‫)‪f (2‬‬ ‫)‪f (2)== 0 ⇒ (2, 0‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫‪ f‬ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ }‪{x : x < 0} , {x : x > 2‬‬ ‫‪ f‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة )‪(0 , 2‬‬ ‫∴)‪ (0, 4‬ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ‪(2 , 0) ،‬ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ‪.‬‬

‫‪f ʹʹ(x) = 6x − 6‬‬ ‫‪f ʹʹ(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1‬‬ ‫)‪f (1) = 2 ⇒ (1, 2‬‬

‫اﺷﺎرة )‪f ʹʹ(x‬‬

‫‪----- --1 ++++++‬‬ ‫ﺗﻘﻌﺮ‬

‫ﲢﺪب‬

‫‪ f‬ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ }‪{x : x > 1‬‬ ‫‪ f‬ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ }‪{x : x < 1‬‬ ‫∴)‪ (1, 2‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب‪.‬‬ ‫‪ (6‬اﳉﺪول‬

‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫)‪(0,4‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(2,0‬‬

‫)‪(-1,0‬‬

‫‪139‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪- 3-‬‬

‫ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ارﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‪:‬‬

‫‪3x − 1‬‬ ‫‪x+1‬‬

‫= )‪f (x‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪ (1‬اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪x + 1 = 0 ⇒ x = −1 :‬‬ ‫∴ اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻫﻮ }‪R − {−1‬‬ ‫‪ (2‬ﲟﺎ أن ‪ 1‬ﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻜﻦ )‪ (-1‬ﻻﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺎﳌﻨﺤﻨﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﻊ‬ ‫ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﻊ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﲔ‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫⇒ ‪if x = 0 ⇒ y = −1‬‬ ‫(‪∴(0,−1),‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫)‪,0‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3x − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫(‪= 0⇒ x∴(0,−1),‬‬ ‫⇒ ‪if y = 0‬‬ ‫ﻫﻤﺎ ﻧﻘﻄﺘﺎ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ )‪= ⇒ x = ,0‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪(4‬‬

‫اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﶈﺎذي اﻟﺸﺎﻗﻮﻟﻲ‬

‫‪when x + 1 = 0 ⇒ x=-1‬‬ ‫‪3x − 1‬‬ ‫= ‪letff (x) = y‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x+1‬‬ ‫⇒ ‪yx + y = 3x − 1 ⇒ yx − 3x = −1− y‬‬ ‫‪−1− y‬‬ ‫‪y−3‬‬ ‫اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﶈﺎذي اﻻﻓﻘﻲ ‪when y − 3 = 0 ⇒ y −= 3‬‬ ‫= ‪x(y − 3) = −1− y ⇒ x‬‬

‫‪(5‬‬

‫اﺷﺎرة )‪3‬‬ ‫)‪+ + + + + +-1 + + + + + + f ʹʹʹ((x‬‬

‫)‪(x + 1)(3) − (3x − 1)(1‬‬ ‫‪(x + 1)2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪3x + 3 − 3x −‬‬ ‫‪42‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(x + 1‬‬ ‫‪(x + 1)2‬‬

‫)‪f ʹ(x‬‬ ‫= ʹ‪y‬‬

‫‪∀x ∈ R − {−1} ، f ʹ(x) > 0‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ }‪ {x : x > −1} , {x : x < −1‬وﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﺎط ﺣﺮﺟﺔ‪.‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫)‪= 42(x +1‬‬ ‫)‪f ʹʹ(x‬‬ ‫= ʹ‪y‬‬ ‫)‪f ʹ(x‬‬ ‫‪y'' == -8‬‬ ‫= )‪−4(x + 1) (1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(x + 1)3‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪140‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫)‪ + 1)−3 (1‬اﺷﺎرة‬ ‫)‪f ʹʹ(x‬‬ ‫''‪y‬‬ ‫‪= −4(x‬‬

‫ ‪+ + + + + +-1 - - - - - -‬‬‫ﺗﻘﻌﺮ‬

‫ﲢﺪب‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ }‪{x:x<-1‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ }‪{x:x>-1‬‬

‫‪y‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻻﲤﺘﻠﻚ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻻن )‪ (-1‬ﻻ ﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﳌﺠﺎل‪.‬‬

‫‪y=3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x=-1‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪-4 -‬‬

‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ ﻓﻲ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ارﺳﻢ اﳌﻨﺤﻨﻲ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f (x) = 2‬‬ ‫‪x +1‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪ (1‬اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ =‪R‬‬ ‫‪ (2‬ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪ x=0‬ﻓﺈن ‪ y=0‬وﺑﺎﻟﻌﻜﺲ‪.‬‬ ‫∴ )‪ (0 , 0‬ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ‪.‬‬ ‫‪ (3‬اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ‪:‬‬

‫∴ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫‪(−x)2‬‬ ‫‪∀x‬‬ ‫‪−−xx∈=∈RR 2‬‬ ‫)‪f (−x‬‬ ‫∃‪∀x∈∈R,‬‬ ‫∃‪R,‬‬ ‫‪(−x) + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(−x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫= )‪f (−x‬‬ ‫=‬ ‫)‪= f (x‬‬ ‫‪(−x)2 + 1 x 2 + 1‬‬

‫‪141‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫‪ (4‬اﶈﺎذﻳﺎت ‪:‬‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ ﻻﻳﻮﺟﺪ ﻣﺤﺎذي ﻋﻤﻮدي‬

‫‪x2 + 1 ≠ 0‬‬ ‫‪x 2 2x 2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ y2 +‬‬ ‫‪= yx 2= x 2‬‬ ‫‪=+ y =2 x 2 = y =⇒y yx‬‬ ‫⇒ ‪yx‬‬ ‫‪⇒ yx‬‬ ‫)‪let= yy=⇒f (x‬‬ ‫‪x +x1 + 1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪⇒ x 2 (y − 1) = −y ⇒ x 2 = −y‬‬ ‫‪y−1‬‬ ‫‪let y −1 = 0 ⇒ y = 1‬‬

‫∴ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﶈﺎذي اﻻﻓﻘﻲ‬ ‫‪(5‬‬

‫‪2x‬‬ ‫)‪(x 2 +1)(2x) − x 2 (2x‬‬ ‫=‬ ‫= )‪f ʹ(x‬‬ ‫‪(x 2 +1)2‬‬ ‫‪(x 2 +1)2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫)‪= 0 ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = 0 ⇒ (0, 0‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0 ⇒ 2‬‬ ‫‪(x +1)2‬‬ ‫‪----- --0++++++‬‬ ‫)‪f ʹʹʹ (x‬‬ ‫اﺷﺎرة )‪( 3‬‬ ‫ﺗﺰاﻳﺪ‬

‫) ‪ f(x‬ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ }‪{x : x > 0‬‬ ‫) ‪ f(x‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ }‪{x : x < 0‬‬

‫ﺗﻨﺎﻗﺺ‬

‫)‪(x 2 +1)2 (2) − 2x(2)(x 2 +1)(2x‬‬ ‫)‪ (0 ,0‬ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ‬ ‫= )‪f ʹʹ(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(x +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x + 2 − 8x 2 2 − 6x 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪±‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(x 2 +1)3‬‬ ‫‪(x 2 +1)33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ ‪- - - - - - - 3+ + + + + + 3 - - - - - -‬‬‫اﺷﺎرة )‪f ʹʹ(x‬‬ ‫ﲢﺪب‬

‫‪1‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ ‪1‬‬ ‫> ‪}, {x : x‬‬ ‫}‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪ f (x‬ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )‬ ‫‪3 3‬‬

‫ﲢﺪب‬

‫ﺗﻘﻌﺮ‬

‫‪y‬‬

‫‪{x : x < −‬‬

‫ﻧﻘﻄﺘﺎ اﻻﻧﻘﻼب ﻫﻤﺎ‪:‬‬

‫‪142‬‬

‫‪y=1‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪) = ⇒ ( , ), (−‬‬ ‫) ‪,‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪3 4‬‬

‫(‪f‬‬ ‫‪f (±‬‬

Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J (3

) øjQɪ

J

‐5

: ‫أرﺳﻢ ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ ﻓﻲ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ 1) f (x) = 10 − 3x − x 2 2) f (x) = x 2 + 4x + 3 3) f (x) = (1− x)3 +1

4) f (x) = 6x − x 3 5) f (x) =

1 x

1 6) f (x) = x -1 x +1 7) f (x) = (x + 2)(x −1)2 x 2 −1 8) f (x) = 2 x +1 9) f (x) = 2x 2 − x 4 10) f (x) =

143

6 x2 + 3

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫]‪ [3-9‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻌﻈﻤﻰ او اﻟﺼﻐﺮى‪.‬‬ ‫ﻇﻬﺮت ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺴﺎﺑﻊ ﻋﺸﺮ اﻟﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ اﻻﺳﺌﻠﺔ دﻓﻌﺖ اﻟﻰ ﺗﻄﻮر ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ وﻣﻦ اﻣﺜﻠﺔ‬ ‫ذﻟﻚ اﳌﺴﺎﺋﻞ اﻟﺘﻲ وردت ﻓﻲ ﺑﺤﻮث اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ﻣﺜﻞ اﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﺗﺼﻠﻪ ﻗﺬﻳﻔﺔ اﻃﻠﻘﺖ ﺑﺰواﻳﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ‪ ،‬او اﻗﺼﻰ‬ ‫ارﺗﻔﺎع ﻳﺼﻠﻪ ﺟﺴﻢ ﻣﻘﺬوف ﺷﺎﻗﻮﻟﻴ ًﺎ اﻟﻰ اﻋﻠﻰ اواﻗﻞ زﻣﻦ وأﻗﻞ ﻛﻠﻔﺔ وﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺎﻋﺎت ﻣﺜﻞ أﻗﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫وأﻛﺒﺮ ﺣﺠﻢ وأﻗﻞ ﻣﺤﻴﻂ ‪ ... ،‬اﻟﺦ ‪.‬‬ ‫وﳊﻞ ﻫﺬﻩ اﳌﺴﺎﺋﻞ ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻧﺮﺳﻢ ﻣﺨﻄﻄ ًﺎ ﻟﻠﻤﺴﺄﻟﺔ )إن اﻣﻜﻦ ( وﻧﻌﲔ ﻋﻠﻴﻪ اﻷﺟﺰاء اﳌﻬﻤﺔ ﻓﻲ اﳌﺴﺄﻟﺔ ‪.‬‬ ‫ﻧﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺮاد اﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ اﻟﻌﻈﻤﻰ او اﻟﺼﻐﺮى وﻧﺤﺪد ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ان ﺗﻜﻮن ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﱢ‬ ‫‪ .3‬اذا ﻛﺎن اﳌﺠﺎل ﻓﺘﺮة ﻣﻐﻠﻘﺔ ﳒﺪ اﻻﻋﺪاد اﳊﺮﺟﺔ وﻗﻴﻢ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻲ اﻃﺮاف اﻟﻔﺘﺮة وﻓﻲ اﻻﻋﺪاد اﳊﺮﺟﺔ ‪.‬‬ ‫ﻓﺄ ّﻳﻬﺎ اﻛﺒﺮ ﻫﻲ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ و َأ ّﻳﻬﺎ أﺻﻐﺮ ﻫﻲ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-1 -‬‬

‫ﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺬي اذا اﺿﻴﻒ اﻟﻰ ﻣﺮﺑﻌﻪ ﻳﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ اﺻﻐﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ اﻟﻌﺪد = ‪x‬‬ ‫ ∴ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻌﺪد = ‪x2‬‬ ‫وﻟﺘﻜﻦ ‪f(x) = x+x2‬‬

‫‪f ʹ(x) = 1+ 2x, f ʹʹ(x) = 2 > 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫∴ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∴اﻟﻌﺪد ﻫﻮ ⎟⎞ ‪. ⎛⎜− 1‬‬ ‫⎠‪⎝ 2‬‬

‫‪144‬‬

‫‪x=−‬‬

‫‪f ʹ(x) = 0 ⇒ x = −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ʹʹ(− ) = 2 > 0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-2 -‬‬ ‫ﺻﻨﻊ ﺻﻨﺪوق ﻣﻔﺘﻮح ﻣﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﺤﺎس ﻣﺮﺑﻌﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻃﻮل ﺿﻠﻌﻬﺎ ‪ 12cm‬وذﻟﻚ ﺑﻘﺺ أرﺑﻌﺔ ﻣﺮﺑﻌﺎت‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻷﺑﻌﺎد ﻣﻦ أرﻛﺎﻧﻬﺎ اﻷرﺑﻌﺔ ﺛﻢ ﺛﻨﻲ اﻷﺟﺰاء اﻟﺒﺎرزة ﻣﻨﻬﺎ‪ .‬ﻣﺎ ﻫﻮ اﳊﺠﻢ اﻷﻋﻈﻢ ﻟﻬﺬة اﻟﻌﻠﺒﺔ؟‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫‪12‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪0<x<6‬‬

‫‪12 - 2x‬‬ ‫‪x‬‬

‫ﻧﻔﺮض ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﳌﺮﺑﻊ اﳌﻘﻄﻮع ﻳﺴﺎوي ‪x cm‬‬ ‫∴ أﺑﻌﺎد اﻟﺼﻨﺪوق ﻫﻲ‪12 − 2x ;12 − 2x; x :‬‬ ‫اﳊﺠﻢ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب أﺑﻌﺎدﻩ اﻟﺜﻼﺛﺔ‪:‬‬

‫‪12 - 2x‬‬

‫) ( ) () () ( (‬

‫)‬

‫‪ v = v12‬‬ ‫‪= −12‬‬ ‫‪v −= 2x‬‬ ‫‪12−−12‬‬ ‫‪2x− ∗2x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x ∗− x2x ∗ x‬‬

‫( )(‬ ‫)‬ ‫‪V = f ( x ) = 144x − 48x + 4x‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪= f ʹ ( x ) = 144 − 96x +12x‬‬ ‫‪⇒ = 0 ⇒ 0=12(12-8x+x )⇒12(6-x)(2-x)=0‬‬ ‫‪when‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪V = f x = x 144 − 48x + 4x 4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﻨﻘﻂ اﳊﺮﺟﺔ ‪⇒ x = 2 , ; x = 6‬‬ ‫ﻻﺣﻆ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ أن ‪ 6‬ﻳﻬﻤﻞ ﻻﻧﻪ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻘﻮل‬

‫ﻋﻨﺪ ‪ 2‬ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻟﻠﺤﺠﻢ وﺗﺴﺎوي ‪v = f (2) = 2(12 − 4)2 = 128cm3‬‬

‫‪145‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-3 -‬‬ ‫ﺟﺪ ﺑﻌﺪي أﻛﺒﺮ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﲔ ﳝﻜﻦ أن ﻳﻮﺿﻊ داﺧﻞ داﺋﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪12cm‬‬ ‫ﺛﻢ ﺑﺮﻫﻦ أن ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺜﻠﺚ إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﻛﻨﺴﺒﺔ ‪3 3‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫ﻧﻔﺮض ﺑﻌﺪي اﳌﺜﻠﺚ ‪ b = 2x , h :‬ﻗﺎﻋﺪة اﳌﺜﻠﺚ )اﳌﺘﻐﻴﺮات(‬ ‫ﻟﻨﺠﺪ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮات‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‪x 2 + h−12 = 144 :‬‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪x + h2 − 24h+144 = 144‬‬

‫(‬

‫‪12‬‬ ‫‪h‬‬

‫‪x 2 = 24h− h2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x = 24h− h2‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ‪) :‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺜﻠﺚ(‬

‫اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ‪:‬‬

‫‪h -12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫)‪A = (b)(h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A = (2x)(h) = hx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A = f h = h 24h− h2‬‬

‫)(‬

‫ﻻﺣﻆ اﳌﺠﺎل‪ 0 ≤ h ≤ 24 :‬وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ‪ h‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﻴﻤﻜﻦ ﺗﻮﺣﻴﺪ اﳉﺬر‬

‫) ‪A = f (h) = h2 (24h − h2‬‬

‫)(‬

‫‪A = f h = 24h3 − h4‬‬ ‫اﳌﺸﺘﻘﺔ‬

‫‪dA‬‬ ‫‪72h2 − 4h3‬‬ ‫= )‪= f ʹ(h‬‬ ‫‪dh‬‬ ‫‪2 24h3 − h4‬‬

‫ﳒﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺴﺎﺣﺔ‬ ‫وﻋﻨﺪﻣﺎ‬

‫‪f ʹ(h) = 0 ⇒ 72h2 − 4h3 = 0‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪4h2 18 − h = 0 ⇒ h = 18cm‬‬

‫‪146‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪hh=18‬‬ ‫∴ اﻻرﺗﻔﺎع=‪= 18cm‬‬ ‫‪x = 24h− h2 ⇒ x = 24‬‬ ‫‪∗18 −18‬‬ ‫)‪24(18‬‬ ‫‪− 1822‬‬

‫)‬

‫(‬

‫∗‪x = 18 24 −18 = 18‬‬ ‫‪3 ==6 6 3cm‬‬ ‫)‪18(6‬‬ ‫‪3cm‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻘﺎﻋﺪة ‪b = 2x= 12 3cm‬‬ ‫ﻣﺲ اﻟﺪاﺋﺮة‪:‬‬ ‫ﻣﺲ اﳌﺜﻠﺚ‪:‬‬

‫‪A1 = π r 2‬‬

‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪A11c= ππ(12‬‬ ‫⇐‬ ‫‪cm2 ⇐ 2 rA1π==π1Ar 2 ⇐ 2m‬‬ ‫‪π∗12‬‬ ‫‪441 ==2144π‬‬ ‫‪21 ∗ π =cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪bh ⇒ A2 = 6 3(18) = 108 3cm2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A2 108 3 3 3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪A1 144π‬‬ ‫‪4π‬‬

‫ﻣﺜﺎل‪-4 -‬‬

‫=‬

‫= ‪A2‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺜﻠﺚ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة‬

‫ﺟﺪ ﺑﻌﺪي أﻛﺒﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﳝﻜﻦ أن ﻳﻮﺿﻊ داﺧﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪ 24cm‬وارﺗﻔﺎﻋﻪ‬

‫‪ 18cm‬ﺑﺤﻴﺚ أن رأﺳﲔ ﻣﺘﺠﺎورﻳﻦ ﻣﻦ رؤوﺳﻪ ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة واﻟﺮأﺳﲔ اﻟﺒﺎﻗﻴﲔ ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﺳﺎﻗﻴﻪ ‪.‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪ -‬ﻧﻔﺮض ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ ﺑﻌﺪي اﳌﺴﺘﻄﻴﻞ‪x,y cm :‬‬

‫‪147‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪18 - x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪r‬‬

‫‪t‬‬

‫‪18‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪p‬‬

‫‪c‬‬

‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫⎪⎪‬ ‫⎨‬ ‫⎪‬ ‫⎪‬ ‫⎩⎪‬

‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫⎪⎪‬ ‫⎨‬ ‫⎪‬ ‫⎪‬ ‫⎩⎪‬

‫‪y‬‬

‫‪24‬‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮات‪ :‬اﳌﺜﻠﺜﺎن‪ btr , bcq :‬ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎن ﻟﺘﺴﺎوي زواﻳﺎﻫﻤﺎ اﳌﺘﻨﺎﻇﺮة ﻟﺬا ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ أﺿﻼﻋﻬﻤﺎ‬ ‫اﳌﺘﻨﺎﻇﺮة وﻛﺬﻟﻚ ارﺗﻔﺎﻋﺎﻫﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ns‬‬ ‫‪y 18 − x‬‬ ‫‪tr ba‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪cr‬‬ ‫‪bp‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪cq‬‬

‫)‬

‫‪4‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪18 − x ⇒ y = − 18 − x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪18‬‬

‫(‬

‫)‬

‫⇐ ‪A = xy‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ‪ :‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺑﻌﺪﻳﺔ‬

‫‪4‬‬ ‫‪A = x (18 − x).x‬‬ ‫‪3‬‬

‫اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﻗﺒﻞ اﳌﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬

‫ﳒﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﳊﺮﺟﺔ‪:‬‬

‫(‬

‫=‪⇒ y‬‬

‫‪4 44‬‬ ‫‪f fx f x= xA= =A A18x‬‬ ‫‪− x−2 −x 2x 2‬‬ ‫‪18x‬‬ ‫‪18x‬‬ ‫‪3 33‬‬

‫)) )‬

‫( ( ( ) )( () (‬

‫)‬

‫‪4‬‬ ‫‪18 − 2x‬‬ ‫‪3‬‬

‫(‬

‫)(‬

‫= ‪fʹ x‬‬

‫‪f ʹ(x) = 0 ⇒ x = 9‬‬

‫‪148‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−2 = −‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫) (‬

‫)(‬

‫= ‪f ʹʹ x‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪f ʹʹ 9 = − < 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ ﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ ‪ x= 9 cm‬وﳝﺜﻞ أﺣﺪ اﻟﺒﻌﺪﻳﻦ‪.‬‬

‫)(‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y = f18‬‬ ‫‪ʹ(x)− =x 0 ⇒; xy==9 18 − 9 = 12 cm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫)‬

‫اﻟﺒﻌﺪ اﻵﺧﺮ‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫ﻣﺜﺎل‪-5 -‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﻴﻄﻲ داﺋﺮة وﻣﺮﺑﻊ ﻳﺴﺎوي ‪ 60cm‬أﺛﺒﺖ أﻧﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ‬ ‫اﻟﺸﻜﻠﲔ أﺻﻐﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ﻓﺈن ﻃﻮل ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻳﺴﺎوي ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﳌﺮﺑﻊ‪.‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫اﻟﻔﺮﺿﻴﺔ‪ :‬ﻧﻔﺮض ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة = ‪ r cm‬وﻧﻔﺮض ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﳌﺮﺑﻊ = ‪x cm‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‪ :‬ﻣﺤﻴﻂ اﳌﺮﺑﻊ ‪ +‬ﻣﺤﻴﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = ‪60 cm‬‬

‫‪∴60‬‬ ‫‪60 == 4x‬‬ ‫‪4x++2rπ‬‬ ‫⇒‪2πr‬‬ ‫⇒‬ ‫∴‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪r = (30 − 2x‬‬ ‫‪π‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ ﻫﻲ ‪ :‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ‪ +‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺮﺑﻊ‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫⎡‬ ‫⎡‬ ‫⎤‬ ‫⎤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪A = x 2 + ⎢ 30A−=A‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪x=2 +‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫⎢ ⎢⎥‬ ‫‪⎥ ⎥ π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪⎣π‬‬ ‫⎣ ‪⎦ ⎣π‬‬ ‫⎦ ⎦‬

‫) )‬

‫اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﳌﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ ‪:‬‬

‫)‬

‫‪1‬‬ ‫‪900 −120x + 4x 2‬‬ ‫‪π‬‬

‫ﻧﺸﺘﻖ‪:‬‬ ‫وﻋﻨﺪﻣﺎ‬

‫(‬

‫)‬ ‫‪π‬‬

‫( (‬

‫(‬

‫)‬

‫)(‬

‫‪A = f x = x2 +‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪−120 + 8x‬‬ ‫‪π‬‬

‫(‬

‫)(‬

‫‪f ʹ x = 2x +‬‬

‫⊗‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ʹ(x)+ =2πr‬‬ ‫‪0 ⇒ 0 = 2x + −120 + 8x ⇒ 2 = xπ − 60 + 4x‬‬ ‫‪∴ 60 =f4x‬‬ ‫‪π‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪0=π‬‬ ‫‪xπx + 4x − 60 ⇒ 60 = πxπx + 4x‬‬

‫‪149‬‬

‫‪60‬‬

‫= ‪x(π + 4) = 60 ⇒ x‬‬ ‫‪cmäÉ≤«Ñ£J‬‬ ‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG‬‬ ‫‪π+4‬‬

‫‪120‬‬ ‫‪60 1‬‬ ‫)‬ ‫‪x(π + 4) = 60 ⇒ x = ∴ r =cm(30 −‬‬ ‫‪π+4‬‬ ‫‪π+4 π‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪cm ⇒∴ x = z2 r‬‬ ‫‪∴ r = (30 −‬‬ ‫= ‪)⇒r‬‬ ‫‪π+4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π+4‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪cm‬‬ ‫‪ f ʹʹ(x) = 2 + (8) > 0‬اﻟﺪاﻟﺔ ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ‬ ‫) و ‪ .‬ﻫـ ‪4 .‬م(‪π +‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪-6 -‬‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ )‪(0,4‬‬

‫ﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ أو ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ‪ y2 − x 2 = 3‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن أﻗﺮب ﻣﺎ ﳝﻜﻦ‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﻧﻔﺮض أن اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ p(x,y‬ﻫﻲ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y2 − x 2 = 3‬ﻓﺘﺤﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪.‬‬ ‫)‪... (1‬‬

‫‪∴ x2 = y2 _ 3‬‬ ‫‪s = (x − 0)2 + (y − 4)2‬‬

‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ 1‬ﻓﻲ ‪ 2‬ﻳﻨﺘﺞ ‪:‬‬

‫)‪∴ s = x 2 + y2 − 8y +16...(2) ... (2‬‬ ‫‪s = f (y) = 2y2 − 8y +13‬‬ ‫‪4y − 8‬‬

‫‪2 2y2 − 8y +13‬‬

‫= )‪f ʹ(y‬‬

‫‪f ʹ(y) = 0 ⇒ 4y − 8 = 0 ⇒ y = 2‬‬ ‫‪Q x 2 = y2 − 3‬‬ ‫‪∴ x 2 = 4 − 3 = 1 ⇒ x = ±1‬‬ ‫)‪ ⇒ (1, 2), (−1, 2‬‬

‫‪150‬‬

‫‪Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J‬‬

‫‪(3‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‐‬

‫‪ .1‬ﺟﺪ ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﻮﺟﺒﲔ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ ‪ 75‬وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب أﺣﺪﻫﻤﺎ ﻓﻲ ﻣﺮﺑﻊ اﻻﺧﺮ أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﺟﺪ ارﺗﻔﺎع اﻛﺒﺮ اﺳﻄﻮاﻧﺔ داﺋﺮﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺗﻮﺿﻊ داﺧﻞ ﻛﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪. 4 3cm‬‬ ‫‪ .3‬ﺟﺪ ﺑﻌﺪي اﻛﺒﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﻮﺿﻊ داﺧﻞ ﻧﺼﻒ داﺋﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪. 4 2cm‬‬ ‫‪ .4‬ﺟﺪ اﻛﺒﺮ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﳌﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﲔ ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ ﺳﺎﻗﻴﻪ ‪. 8 2cm‬‬ ‫‪ .5‬ﺟﺪ اﻗﻞ ﻣﺤﻴﻂ ﳑﻜﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴﻞ اﻟﺬي ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ‪.16 cm2‬‬ ‫‪ .6‬ﺟﺪ ﺣﺠﻢ اﻛﺒﺮ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ﳝﻜﻦ وﺿﻌﻪ داﺧﻞ ﻛﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ‪.3 cm‬‬ ‫‪ .7‬ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﳝﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ (6,8‬واﻟﺬي ﻳﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﺮﺑﻊ اﻻول أﺻﻐﺮ ﻣﺜﻠﺚ‪.‬‬ ‫‪ .8‬ﺟﺪ ﺑﻌﺪي اﻛﺒﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﻮﺿﻊ داﺧﻞ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ f ( x) = 12 − x 2‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‪ ،‬رأﺳﺎن‬ ‫ﻣﻦ رؤوﺳﻪ ﻋﻠﻰ اﳌﻨﺤﻨﻲ واﻟﺮأﺳﺎن اﻻﺧﺮان ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﺛﻢ ﺟﺪ ﻣﺤﻴﻄﻪ‪.‬‬ ‫‪ .9‬ﺟﺪ اﺑﻌﺎد اﻛﺒﺮ اﺳﻄﻮاﻧﺔ داﺋﺮﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺗﻮﺿﻊ داﺧﻞ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ارﺗﻔﺎﻋﻪ ‪ 8cm‬وﻃﻮل ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪. 12cm‬‬ ‫‪ .10‬ﺟﺪ اﻛﺒﺮ ﺣﺠﻢ ﳌﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ﻧﺎﰋ ﻣﻦ دوران ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻃﻮل وﺗﺮﻩ ‪ 64 3 cm‬دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ‬ ‫ﺣﻮل اﺣﺪ ﺿﻠﻌﻴﻪ اﻟﻘﺎﺋﻤﲔ‪.‬‬

‫‪ .11‬ﻋﻠﺒﺔ اﺳﻄﻮاﻧﻴﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ ﻣﻦ اﻷﻋﻠﻰ ﺳﻌﺘﻬﺎ ‪ (125π ) cm3‬ﺟﺪ أﺑﻌﺎدﻫﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫اﳌﻌﺪن اﳌﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ ﺻﻨﻌﻬﺎ اﻗﻞ ﻣﺎﳝﻜﻦ‪.‬‬ ‫‪ .12‬ﺧﺰان ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺘﻮازي ﺳﻄﻮح ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﺿﻌﻒ ﻋﺮﺿﻬﺎ ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻌـــﺪن‬ ‫اﳌﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ ﺻﻨﺎﻋﺘﻪ ‪ 108 m2‬ﺟﺪ اﺑﻌﺎد اﳋﺰان ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﺣﺠﻤﻪ اﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ﻋﻠﻤ ًﺎ ان اﳋﺰان‬ ‫ذو ﻏﻄﺎء ﻛﺎﻣﻞ‪.‬‬

‫‪151‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪4‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪™HGôdG π°üØdG‬‬ ‫‪Chapter Four‬‬ ‫‪Integration πeÉμàdG‬‬

‫]‪[4-1‬‬

‫اﳌﻨﺎﻃﻖ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻴﺎت‬

‫]‪[4-2‬‬

‫اﳌﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﻌﻠﻴﺎ واﳌﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﺴﻔﻠﻰ‪.‬‬

‫]‪[4-3‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‪.‬‬

‫]‪[4-4‬‬

‫اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ ‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ‪.‬‬

‫]‪[4-5‬‬

‫ﺧﻮاص اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﶈﺪد‪.‬‬

‫]‪[4-6‬‬

‫اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻏﻴﺮ اﶈﺪد‪.‬‬

‫]‪[4-7‬‬

‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬

‫]‪[4-8‬‬

‫إﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ‪.‬‬

‫]‪[4-9‬‬

‫إﻳﺠﺎد ﺣﺠﻢ ﺟﺴــﻢ ﻧﺎﺷﻰء ﻣﻦ دوران ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ‬

‫ﲡﺰﺋﺔ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ‬

‫‪152‬‬ ‫‪152‬‬

‫] ‪[x0 , xn‬‬

‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬

‫) ‪σ = (x0 , x1 , x2 ....xn‬‬

‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ ﺍﻻﺳﻔﻞ‬

‫) ‪L (σ , f‬‬

‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ ﺍﻻﻋﻠﻰ‬

‫) ‪U (σ, f‬‬

‫ﺍ‪‬ﻤﻮﻉ‬

‫∑‬

‫ﺳﻴﻜﻤﺎ ) ‪σ = (x0 , x1 x2 ..., xn‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫]‪ [4-1‬اﳌﻨﺎﻃﻖ اﶈﺪدة ﺑـﻤﻨﺤﻨﻴﺎت ‪.‬‬ ‫‪Regions Bounded by Curves.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻓﺖ ﻣﻦ دراﺳﺘﻚ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜﻞ اﻟﺬي ﺗﺮاﻩ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪: (4 - 1‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪A4‬‬

‫‪A3‬‬

‫‪A2‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-1‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ A1‬ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ و ‪ A2‬ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺜﻠﺜﺔ و ‪ A3‬ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮف و ‪ A4‬ﻣﻨﻄﻘﺔ داﺋﺮﻳﺔ وﻻﺷﻚ أﻧﻚ‬ ‫ﺗﻌﺮف إﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺎت ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ ‪.‬‬

‫أﻣﺎ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ A‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪ (4 - 2‬واﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻀﻠﻌﺔ ﻓﻴﻤﻜﻨﻚ ﺣﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺑﺘﻘﺴﻴﻤﻬﺎ‬

‫اﻟﻰ ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺜﻠﺜﺔ ‪.‬‬

‫‪A1 , A2 , A3 , A4‬‬

‫‪A1‬‬

‫وﺗﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎوي ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ + A1‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ + A2‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪+ A3‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪A4‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪A3‬‬ ‫‪A4‬‬

‫‪A‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-2‬‬

‫وﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ اﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ اي ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻀﻠﻌﺔ ﺑﻌﺪ أن ﻧﻘﺴﻤﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺜﻠﺜﺔ أو ﻣﺮﺑﻌﺔ أو‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ‪.... ،‬‬

‫‪y‬‬

‫اﻣـــﺎ اﻟﻤﻨﻄﻘـــﺔ ‪ A‬ﻓـــﻲ اﻟﺸﻜـــــﻞ )‪(4 - 3‬‬ ‫واﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤـﻰ ﻣﻨﻄﻘــــــﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨــــﻲ ‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫وﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋـــﺔ اﻟﻨﻘـــﺎط اﻟﻤﺤـﺼــﻮرة ﺑﻴـــﻦ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨــﻲ )ﺑﻴﺎن اﻟــﺪاﻟﺔ ‪ (f‬واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴــﻦ‬

‫‪A‬‬

‫‪ x = b , x = a‬وﻣﺤـــﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻓـﻼ‬

‫ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻘﺴﻴﻤﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﻨﺎﻃـﻖ ﻣﻌﻠـﻮﻣﺔ ﻟﺪﻳــﻚ‬ ‫ﻣﺜﻞ )ﻣﺜﻠﺚ‪ ،‬ﻣﺮﺑﻊ‪ ،‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‪ ،‬داﺋﺮة‪(... ،‬‬ ‫ﻓﻜﻴﻒ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺣﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ؟‬

‫‪x‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-3‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪153‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﺗﺴﻤﻴﺎت‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ A‬ﻣﻨﻄﻘﺔ ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ‬

‫‪f‬‬

‫‪ A1‬اﻛﺒﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ‬ ‫داﺧﻞ اﳌﻨﻄﻘﺔ ‪A‬‬ ‫)‪ A1‬ﻣﺤﺘﻮاة ﻓﻲ ‪(A‬‬

‫‪y‬‬

‫‪AA‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪ A1‬أﺻﻐﺮﻣﻨﻄﻘﺔﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ‬ ‫ﺧﺎرج اﳌﻨﻄﻘﺔ ‪A‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-4‬‬

‫‪ .1‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺃﻱ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻫﻲ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺐ ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫‪ Aʹ ⊆ A‬ﻓﺎﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ʹ‪ ≥ A‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ‪.A‬‬ ‫‪ .2‬ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ )‪(4 - 5‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-5‬‬

‫‪154‬‬

‫ʹ‪A‬‬

‫‪A‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫إﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ‪:‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪ A ، (4 - 6‬ﻫﻲ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺗﺤﺖ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة ‪ , f‬أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬

‫)اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ(‬ ‫‪AA == {(x,‬‬ ‫‪{(x,‬‬ ‫)‪y‬‬ ‫‪y) ::22A≤≤=xx{(x,‬‬ ‫)‪≤≤ 55 y‬‬ ‫‪,, 00:A‬‬ ‫=≤≤‪2‬‬ ‫‪≤yy{(x,‬‬ ‫‪x≤≤≤ff 5(x),‬‬ ‫‪(x),‬‬ ‫= ‪y), : 2y0y‬‬ ‫}‪≤= xy x≤x −1‬‬ ‫}‪−1‬‬ ‫‪5f (x),‬‬ ‫}‪, 0 y≤=y ≤xf−1‬‬ ‫}‪(x), y = x −1‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫‪y‬‬

‫ﻧﺤﺪد داﺧﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ A‬اﻛﺒﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ‬ ‫)‪ ( a b c d‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜـــﻮن ﻗﺎﻋـــﺪﺗﻬـــــــــــﺎ‬ ‫ﻣﻦ ‪ x=2‬اﻟﻰ ‪x=5‬‬

‫)‪cʹ(5, 2‬‬

‫وﻟﺘﻜــــﻦ ‪ A1‬ﺣﻴـــﺚ ‪ A1 ⊆ A‬وﻋﻠﻴـــــــــــﻪ‬ ‫ﺗﻜــــــﻮن ﻣﺴـﺎﺣـــــــــﺔ ﻫــــﺬﻩ اﻟﻤﻨﻄﻘـــــــــــﺔ‬ ‫‪A1 = ab × ad=(5-2)×1=3 uint2‬‬ ‫ﻛﺬﻟﻚ ﻧﺤـﺪد ﺧــﺎرج اﻟﻤﻨﻄﻘـــﺔ أﺻﻐـﺮ ﻣﻨﻄﻘـﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻠـــــﺔ )ʹ‪ (abcʹd‬وﻟﺘﻜــﻦ ʹ‪ A1‬ﺣﻴــﺚ‬

‫‪x‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬

‫ʹ‪d‬‬ ‫‪d‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a‬‬

‫)‪(2,1‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-6‬‬

‫ʹ‪ A ⊆ A1‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﻦ ‪ x=2‬اﻟﻰ ‪ x=5‬ﻓﺘﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ ʹ‪ A1‬ﺗﺴﺎوي‪:‬‬ ‫‪A1ʹ = ab× axdʹʹ= (5 − 2)× 2 = 6unit 2‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ان ʹ‪A1 ⊆ A ⊆ A1‬‬ ‫∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ ≥ A1‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ ≥ A‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ʹ‪A1‬‬ ‫‪ ≥ 3‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪126 ≥ A‬‬

‫‪3+ 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻮن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ اﻻوﻟﻰ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ A‬ﺗﺴﺎوي ‪= 4 unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪155‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫ﻻﺣﻆ ﻓﻲ ﺍﳌﺜﺎﻝ ‪ 1‬ﺍﻥ ‪ A1‬ﻫﻲ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫)‪ (ad‬ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻓﻲ ]‪ [2 ,5‬ﻭﺳﻨﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬ ‫)‪ (m‬ﺍﻣﺎ ʹ‪ A1‬ﻓﻬﻲ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ʹ‪ ad‬ﻳﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻛﺒﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻓﻲ ]‪ [2 ,5‬ﻭﺳﻨﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ )‪ (M‬ﻭﻛﻤﺎ ﺗﻌﺮﻓﺖ ﻓﻲ ﻓﺼﻞ‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ﻓﺎﻥ)‪) (m‬ﺍﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ]‪ ( [a,b‬ﻭﻛﺬﻟﻚ‬ ‫)‪) (M‬ﺍﻛﺒﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ]‪ ([a,b‬ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻨﻬﻤﺎ ﻋﻨﺪ ﺍﺣﺪ ﻃﺮﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ]‪ [a,b‬ﺃﻭ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳊﺮﺟﺔ ﺍﻥ ﻭﺟﺪﺕ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬

‫‪A = {(x, y) :1 ≤ x ≤ 2, y = x 2 +1‬‬

‫اوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪. A‬‬ ‫‪y‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫)‪(2 ,5‬‬

‫‪ A1‬اﻛﺒﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ ‪)A‬ﻣﺤﺘﻮاة ﻓﻲ‪(A‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫ﻗــﺎﻋﺪﺗﻬـﺎ ﻣﻦ ‪ x=1‬اﻟﻰ ‪ x=2‬وارﺗﻔﺎﻋـﻬـﺎ ‪m = 2‬‬ ‫ﻫﻲ ‪A1 = 2 ( 2 - 1) = 2 unit 2‬‬

‫‪A‬‬

‫ʹ‪ A1‬اﺻﻐﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج ‪) A‬ﺗﺤﺘﻮي ‪(A‬‬

‫)‪(1 ,2‬‬

‫ﻗــﺎﻋﺪﺗﻬـﺎ اﻳﻀـــــ ًﺎ ﻣﻦ ‪ x=1‬اﻟﻰ ‪ x=2‬وارﺗﻔﺎﻋﻬــــﺎ ‪M = 5‬‬ ‫‪A1ʹ = 5 ( 2 - 1) = 5 unit 2‬‬

‫‪x‬‬

‫ﺑﻤﺎ ان ʹ‪A1 ⊆ A ⊆ A1‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-7‬‬

‫∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ ≥ A1‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ‪ ≥ A‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ʹ‪A1‬‬ ‫∴ ‪ ≥ 2‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪5 ≥ A‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪≥ A1+‬‬ ‫‪A1 A1ʹ 2 + 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ﻓﺘﻜﻮن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ‪ A‬ﺗﺴﺎوي ‪= 3 unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪156‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﺑﺪﻗﺔ اﻛﺒﺮ‪:‬‬ ‫ﺗﻤﻬﻴﺪ‪ :‬ﻟﻨﻔﺮض ان ﻣﻊ ﻣﻬﻨﺪ ‪ 19000‬دﻳﻨﺎر ًا وأراد ﺣﺴﺎم ان ﻳﻌﺮف ﻫﺬا اﻟﻤﺒﻠﻎ ﻓﻜﺎن اﻟﺤﻮار اﻻﺗﻲ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ‪:‬‬ ‫ﺣﺴﺎم‪ :‬ﻛﻢ ﻣﻌﻚ ﻣﻦ اﻟﺪﻧﺎﻧﻴﺮ؟‬ ‫ﻣﻬﻨﺪ‪ :‬ﻗﺪّ ر اﻟﻤﺒﻠﻎ ﺑﻨﻔﺴﻚ ﻋﻠﻤ ًﺎ ﺑﺄﻧﻪ ﺑﻴﻦ ﻋﺸﺮة آﻻف وﻋﺸﺮﻳﻦ اﻟﻔﺎً‪.‬‬ ‫‪20000 + 10000‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺣﺴﺎم‪ :‬أﺗﻮﻗﻊ ان ﻳﻜﻮن ﻣﻌﻚ ‪ 15000‬دﻳﻨﺎر ًا أي ‪= 15000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻬﻨﺪ‪ :‬اﻗﺘﺮﺑﺖ ﻗﻠﻴ ً‬ ‫أﻟﻤﺢ ﻟﻚ اﻛﺜﺮ ﻓﺎﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﺬي ﻣﻌﻲ ﺑﻴﻦ ‪ 20000 ، 15000‬دﻳﻨﺎر‪.‬‬ ‫ﻼ وﻟﻜﻦ ّ‬ ‫‪20000 + 15000‬‬ ‫ﺣﺴﺎم‪ :‬اذ ًا ﻓﻲ ﺣﺪود ‪ 17500‬دﻳﻨﺎر اي ‪= 17500‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻬﻨﺪ‪ :‬ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻛﺜﺮ دﻗﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻻوﻟﻰ ﻻن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ 19000‬دﻳﻨﺎر ‪.‬‬

‫ﻣﻦ ﻫﺬا اﻟﻤﺜﺎل ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ اﻷﺗﻲ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺤﺎوﻟﺔ اﻻوﻟﻰ ‪ > 10000 :‬اﻟﻤﺒﻠﻎ > ‪ 20000‬وﻛﺎن اﻟﺨﻄﺄ ﻓﻲ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ اﻻوﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪19000 - 15000 = 4000‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺤﺎوﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪ > 15000 :‬اﻟﻤﺒﻠﻎ > ‪ 20000‬ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ اﻛﺜﺮ دﻗﺔ وﻣﻘﺪار اﻟﺨﻄﺄ‪:‬‬ ‫‪19000 - 17500 = 1500‬‬ ‫اذ ًا ﻛﻠﻤﺎ اﺳﺘﻄﻌﻨﺎ ان ﻧﺠﻌﻞ اﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ اﻟﺤﺪﻳﻦ اﻻﻋﻠﻰ واﻻدﻧﻰ اﻗﻞ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ اﻛﺜﺮ دﻗﺔ ‪ ،‬وﻫﻜﺬا‬ ‫ﻟﺤﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ‪ A‬ﺑﺪﻗﺔ اﻛﺒﺮ ﻧﺤﺎول ان ﻧﺠﻌﻞ ﻣﻘﺪار ﻫﺬﻩ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن اﻟﻔﺮق‬ ‫ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ اﻗﻞ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ ‪.‬‬ ‫واﻟﺤﺪﻳﻦ اﻻﻋﻠﻰ واﻻدﻧﻰ ﻫﻤﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ اﻟﺪاﺧﻠﻴﺔ )اﻟﻤﺤﺘﻮاة ﻓﻲ ‪،(A‬‬ ‫وﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج ‪ A‬واﻻﺷﻜﺎل )‪ (4 - 10) ،( 4 - 9) ، (4 - 8‬ﺗﻮﺿﺢ ﻫﺬﻩ‬ ‫اﻟﻔﻜﺮة‪.‬‬

‫‪157‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ A‬ﻣﻨﻄﻘﺔ ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ A1‬اﳌﻨﻄﻘﺔ اﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ‬ ‫‪A‬‬

‫ʹ‪ A1‬اﳌﻨﻄﻘﺔ اﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج‬ ‫‪A‬ﺧﺎرج ) ʹ‪ A1‬ﲢﺘﻮي ‪(A‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-8‬‬

‫ﻻﺣﻆ ان ﻫﻨﺎك ﻓﺮﻗ ًﺎ واﺿﺤ ًﺎ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ A1‬وﻣﺴﺎﺣﺔ ʹ‪ A1‬ﺣﻴﺚ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ A1‬أﺻﻐﺮ ﺑﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪, A‬‬ ‫اﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ʹ‪ A1‬ﻓﻬﻲ اﻛﺒﺮ ﻛﺜﻴﺮ ًا ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪.A‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫‪y‬‬

‫‪A1ʹf‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A1UA2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫ʹ‪A2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻣﻨﻄﻘﺔ‪ A‬ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪f‬‬

‫ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ ‪A‬‬

‫‪5‬‬

‫ʹ‪A1‬‬ ‫‪3‬‬

‫ʹ‪A1ʹU A2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج ‪A‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-9‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪ (4 - 10‬ﺗﺠﺰأت اﻟﻘﺎﻋﺪة ]‪ [1 , 5‬اﻟﻰ أرﺑﻌﺔ ﻓﺘﺮات ﺟﺰﺋﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A1 A2 A3 A4‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ ‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪f‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻣﻨﻄﻘﺔ‪ A‬ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪f‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-10‬‬

‫‪158‬‬

‫‪y‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫ʹ‪A2ʹ A3ʹ A4‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪1 2‬‬ ‫‪3 4 5‬‬ ‫ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج ‪A‬‬ ‫)ﲢﺘﻮي ‪(A‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ (1‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ )‪ (4 - 9‬ﲡﺰﺃﺕ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟـﻰ ﻓﺘﺮﺗﲔ ﺟﺰﺋﻴﺘﲔ ﻫﻤـــﺎ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫]‪ , [3 ,5] ,[1 ,3‬ﻓﻲ ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﺗﺴﻤﻲ ﺍﻟﺜﻼﺛﻴﺔ ﺍﳌﺮﺗﺒﺔ )‪(1 ,3 ,5‬‬ ‫ﲡﺰﻳﺌ ًﺎ )‪ (partition‬ﻟﻠﻔﺘﺮﺓ ]‪ [1 ,5‬ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ σ‬ﺍﻱ)‪σ =(1 ,3 ,5‬‬ ‫وﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ اذا ﻛﺎﻧﺖ ﻟﺪﻳﻨــﺎ ]‪ [a,b‬واردﻧــﺎ ان ﻧﺠﺰﺋﻬـــﺎ اﻟﻰ ‪ n‬ﻣﻦ اﻟﻔﺘﺮات اﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﺎن‬ ‫‪b− a‬‬ ‫=‪.h‬‬ ‫ﻃـﻮل اﻟﻔﺘﺮة ﺣﻴﺚ‬ ‫‪n‬‬

‫‪(2‬‬

‫ﺍﻧﻈﺮ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜﻠﲔ )‪ (4 - 12) ، (4 - 11‬ﲡﺪ ﺃﻧﻪ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩﺕ ﻧﻘﺎﻁ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺰﻱﺀ ﻓﺎﻥ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺎﺕ ﺍﳌﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺩﺍﺧﻞ ‪A‬‬ ‫ﻭﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺎﺕ ﺍﳌﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎﺭﺝ ‪ A‬ﻳﻘﻞ ﺗﺪﺭﻳﺠﻴ ًﺎ‪ .‬ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎﻥ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ‪ A‬ﺗﺼﺒﺢ ﺍﻛﺜﺮ ﺩﻗﺔ‪.‬‬ ‫∴ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ ‪ ≥ A‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ ≥ A‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ‬ ‫ﺧﺎرج ‪.A‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪fA1 A2 A3 A4‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f‬‬

‫‪A1‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪b‬‬

‫‪c‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪a‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-11‬‬

‫‪y‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬

‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫ʹ‪A1ʹ A2ʹ A3ʹ A4‬‬ ‫‪c‬‬

‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫‪f‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪x‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫ʹ‪A2‬‬ ‫‪b‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-12‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪159‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-3 -‬‬

‫‪Integration‬‬

‫أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻻﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫}‪A = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 5 , y0 =≤ xy2≤+ x1}2 − 2‬‬

‫وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ‬ ‫)‪a) σ 1 = (2, 3, 5‬‬

‫)‪b) σ 2 = (2, 3, 4, 5‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫)‪a) σ 1 = (2, 3, 5‬‬ ‫ان ﺗﺠﺰﺋﺔ )‪ σ1 = (2,3,5‬ﻳﻌﻨﻲ ان اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [2 ,5‬ﺗﺠﺰأت)‪5‬اﻟﻰ‬ ‫‪(2, 3, 4,‬‬ ‫اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ )‪b‬‬ ‫اﻟﻔﺘﺮات= ‪σ‬‬ ‫‪2‬‬

‫]‪.[2 ,3] , [3 ,5‬‬

‫‪m = A1 + A2 = 1× 5 + 2 ×10 = 25unit 2‬‬ ‫ﻛﺬﻟﻚ‬ ‫‪M = A1ʹ + A2ʹ = 1×10 + 2 × 26 = 62unit 2‬‬ ‫ﺑﻤﺎ ان ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ ‪ > A‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج ‪A‬‬

‫‪25 + 62‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪∴ 25 ≤ A ≤ 62 ⇒ A‬‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ‪= 43 unit 2 A‬‬ ‫ ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬

‫)‪(5,26‬‬

‫ʹ‪A2‬‬ ‫)‪(3,10‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪A2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-13‬‬

‫‪160‬‬

‫)‪(2,5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫)‪a) σ 1 = (2, 3, 5‬‬

‫)‪b) σ 2 = (2, 3, 4, 5‬‬

‫ان ﺗﺠﺰﺋﺔ ) ‪ σ2 = (2,3,4,5‬ﻳﻌﻨﻲ ان اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [2 , 5‬ﺗﺠﺰأت اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮات اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ ]‪[2 ,3],[3 ,4],[4,5‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫×‪∴ m = A1 + A2 + A3 = 1‬‬ ‫‪+1×14‬‬ ‫‪= 23unit‬‬ ‫×‪1×25+1‬‬ ‫‪+ 1×710‬‬ ‫‪+ 1× 17‬‬ ‫‪= 32unit‬‬

‫‪2‬‬ ‫×‪∴ M = A1ʹ + A2ʹ + A3ʹ = 1‬‬ ‫‪1× 10‬‬ ‫‪7 +1×14‬‬ ‫‪2326‬‬ ‫==‬ ‫‪44unit‬‬ ‫×‪+ 1× 17+1‬‬ ‫×‪+ 1‬‬ ‫‪53unit 2‬‬

‫‪32 + 53‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 42 unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪∴A‬‬

‫‪y‬‬

‫)‪(5,26‬‬

‫ʹ‪A3‬‬ ‫)‪(4,17‬‬

‫ʹ‪A2‬‬

‫‪A3‬‬

‫‪x‬‬

‫)‪(3,10‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫‪A2‬‬

‫)‪(2,5‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-14‬‬

‫ﻛﻤﺎ ﺍﻭﺿﺤﻨﺎ ﺃﻧﻪ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩﺕ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺘﺠﺰﻳﺌﻴﺔ ﻓﺎﻥ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺎﺕ ﺍﳌﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺩﺍﺧﻞ ‪ A‬ﻭﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺎﺕ‬ ‫ﺍﳌﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎﺭﺝ ‪ A‬ﻳﻘﻞ ﺗﺪﺭﻳﺠﻴ ًﺎ‪.‬‬ ‫ﻓﻔﻲ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ )‪ (2 ,3 ,5‬ﻛﺎن اﻟﻔﺮق ‪:‬‬ ‫وﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﺗﺠﺰﺋﺔ )‪ (2 ,3 ,4 ,5‬ﻛﺎن اﻟﻔﺮق ‪:‬‬

‫‪62 - 25 = 37‬‬

‫‪53 - 32 = 21‬‬

‫‪161‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫]‪ [4-2‬اﳌﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﻌﻠﻴﺎ واﳌﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﺴﻔﻠﻰ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﻠﻤﺖ ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ إﻳﺠﺎد ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ اﻟﺪاﺧﻠﻴﺔ وﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ‬ ‫‪f : [ a,b] → R‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ اﻟﺨﺎرﺟﻴﺔ‪ ،‬وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﺒﻨﺪ ﺳﻮف ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪:‬‬

‫ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ]‪ [a,b‬وﻧﺠﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت داﺧﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ ( Lower Rectangles ) A‬ﺛﻢ‬ ‫) ‪) (Upper Rectangles‬ﺣﻴﺚ ‪ A‬اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺗﺤﺖ‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت ﺧﺎرج اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪A‬‬

‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ ‪.(f‬‬ ‫ﻻ ‪ :‬ﻧﻔﺮض أن ‪f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a,b] :‬‬ ‫أو ً‬ ‫ﺣﻴﺚ ) ‪σ = (x0 , x1 , x2 , x3 , x4‬‬

‫ﻓﺘﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ‪ A1‬اﻟﺘﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [x0, x1‬وارﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ‪ m1‬ﺗﺴﺎوي‬ ‫) ‪ m1(x1-x0‬ﺣﻴﺚ ‪)m1‬اﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﻟﻔﺘﺮة( ‪.‬‬

‫وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ‪ A2‬واﻟﺘﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ اﻟﻔﺘــــﺮة ]‪ [x1, x2‬وارﺗﻔﺎﻋﻬـــــﺎ ‪m2‬‬ ‫ﺗﺴﺎوي ) ‪ .... m2 (x2 - x1‬وﻫﻜﺬا‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ ‪ A‬واﻟﺘﻲ ﺳﻨﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪ L (σ , f‬ﺗﺴﺎوي‬ ‫‪L (σ , f ) = m1(x1 - x0) + m2(x2-x1) + m3(x3-x2) + m4(x4- x3).‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪A4‬‬ ‫‪m4‬‬

‫‪A3‬‬ ‫‪m3‬‬

‫‪A2‬‬ ‫‪m2‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪m1‬‬

‫‪A2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x4 = b‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪x2‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-15‬‬

‫‪162‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪a = x0‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫ﻻﺣﻆ ان ‪ ≥ L (σ , f ) :‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪A‬‬

‫ﻛﺬﻟﻚ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )‪(4 - 16‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f‬‬ ‫ʹ‪A4‬‬ ‫‪M4‬‬

‫ʹ‪A3‬‬ ‫‪M3‬‬

‫ʹ‪A1‬‬

‫ʹ‪A2‬‬

‫‪M1‬‬

‫‪M2‬‬

‫‪A2‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪x4 = b‬‬

‫‪x3‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪a = x0‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-16‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ʹ‪ A1‬اﻟﺘﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [x0, x1‬ﺗﺴﺎوي ) ‪ M1(x1-x0‬ﺣﻴﺚ ‪ M1‬اﻛﺒﺮ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [x0,x1‬وﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ʹ‪ A2‬اﻟﺘﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪[x1,x2‬‬ ‫ﺗﺴﺎوي )‪ ...... M2 (x2-x1‬وﻫﻜﺬا‬ ‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪ U (σ , f‬ﺗﺴﺎوي‬ ‫ﺳﻨﺮﻣﺰ‪, f‬ﻟﻬﺎ‪≥ L (σ‬‬ ‫ﻓﻴﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج ‪ A‬ﺗﺴﺎوي واﻟﺘﻲ )‬ ‫‪U (σ , f ) = M1(x1-x0) + M2(x2-x1) + M3(x3-x2) + M4(x4 - x3).‬‬ ‫ﻻﺣﻆ أن‪:‬‬

‫) ‪U (σ , f ) ≥ L (σ , f‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ‪U (σ , f ) ≥ L (σ , f ) ≤ UA(σ‬‬ ‫) ‪, f ) ≤ U (σ , f‬‬

‫∴ أول ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ‪ A‬وﻓﻖ اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ‪ σ‬ﺗﺴﺎوي ) ‪. L (σ , f ) +U (σ , f‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪163‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫ﺛﺎﻧﻴﺎً‪:‬‬

‫‪Integration‬‬

‫)‪f (x‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪0 ,∀∀x ∈ [a,b] ، f (x) ≥ 0‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪ (4 - 17‬ﻓﺎﻧﻪ ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻤﺎ≥ﻓﻲ‬ ‫ﻻﻧﺸﺘﺮط∈ان‪, ∀x‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ]‪[a,b‬‬

‫اﻟﻤﻤﻜﻦ ان ﻳﻜﻮن ‪) m‬اﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ( ﻋﺪد ًا ﺳﺎﻟﺒ ًﺎ أو ﻣﻮﺟﺒ ًﺎ او ﺻﻔﺮ ًا وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎﻧﻪ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ‬ ‫أن ﺗﻜﻮن ) ‪ L (σ , f‬ﻋﺪد ًا ﺳﺎﻟﺒ ًﺎ أو ﻣﻮﺟﺒ ًﺎ أو ﺻﻔﺮ ًا ‪.‬‬

‫وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ) ‪ ≤ U (σ , f‬ﻋﺪد ﻣﻮﺟﺒ ًﺎ أو ﺳﺎﻟﺒ ًﺎ أو ﺻﻔﺮ ًا وﺑﻤﺎ ان اﻟﻌﺪد اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻻ ﻳﻘﻴﺲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻟﻬﺬا ﻓﺎﻧﻨﺎ‬ ‫‪y‬‬

‫ﻧﺴﻤﻲ‪:‬‬

‫) ‪ L (σ , f‬اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻻﺳﻔﻞ‬

‫) ‪ U (σ , f‬اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻻﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-17‬‬

‫‪f‬‬

‫‪x‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-4 -‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪f :[1, 4] → R , f (x) = 5 + 2x‬‬

‫ﺟﺪ اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻻﺳﻔﻞ ) ‪ L (σ , f‬واﻟﻤﺠﻤﻮع اﻻﻋﻠﻰ ) ‪U (σ , f‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﻧﺠﺰيء اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [1 , 4‬اﻟﻰ ﺛﻼﺛﺔ ﻓﺘﺮات ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻓﻴﻜﻮن ‪.‬‬ ‫‪b− a 4 − 1‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫=‬ ‫)‪= 1 ⇒ σ = (1, 2, 3, 4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∴ اﻟﻔﺘﺮات ﻫﻲ‪:‬‬ ‫]‪[1, 2] , [2, 3] , [3, 4‬‬ ‫‪f (x) = 5 + 2x ⇒ f ʹ(x) = 2 > 0‬‬ ‫∴ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﺎط ﺣﺮﺟﺔ واﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ‪ .‬ﻓﻨﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮات وﻻﻳﺠﺎد‬ ‫) ‪ L (σ, f ) , U (σ, f‬ﻧﻌﻤﻞ اﻟﺠﺪول اﻵﺗﻲ‪ :‬ﻓﺄﻳﻬﻤﺎ أﺻﻐﺮ ﻓﻬﻮ ‪ mi‬واﻳﻬﻤﺎ اﻛﺒﺮ ﻓﻬﻮ ‪Mi‬‬ ‫‪hiMi‬‬

‫‪himi‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪11‬‬

‫‪9‬‬

‫‪13‬‬

‫‪11‬‬

‫‪mi‬‬

‫‪Mi‬‬

‫اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ‬

‫ﻃﻮل اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫‪h‬‬

‫‪m1 = 5+2=7 M 1 = 5 + 4 = 9‬‬ ‫‪m2 = 5+4=9 M 2 =5+6=11‬‬

‫‪∑ h m = 27 ∑ h M = 33‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪164‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪m3 = 5+6=11 M 3 =5+8=13‬‬

‫]‪[ a , b‬‬ ‫]‪[ 1 , 2‬‬ ‫]‪[ 2 , 3‬‬ ‫]‪[ 3 , 4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪i‬‬

‫∑‪∴ L‬‬ ‫‪(σh, m‬‬ ‫∴) ‪f‬‬ ‫∑‬ ‫‪(σ,, fU)(σ,‬‬ ‫‪=∴27‬‬ ‫‪,=U‬‬ ‫‪f27‬‬ ‫‪) ==, 33‬‬ ‫‪== L27‬‬ ‫‪h, M‬‬ ‫‪Lf )(σ‬‬ ‫‪, 33‬‬ ‫‪f(σ‬‬ ‫=)‬ ‫‪U (σ, f ) = 33‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-5 -‬‬

‫‪Integration‬‬

‫اذا كانت ‪f :[0, 4] → R , f (x) = 3x − x 2‬‬ ‫اوجد كل من ) ‪ U (σ , f ) ، L (σ , f‬مستخدم ًا اربعة تجزيئات منتظمة‬ ‫‪y‬‬

‫احلل‬

‫‪b− a 4 − 0‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫=‬ ‫)‪= 1 ⇒ σ = (0,1, 2, 3, 4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫]‪[0,1] , [1, 2] , [2, 3] , [3, 4‬‬ ‫‪f (x) = 3x − x 2 ⇒ f ʹ(x) = 3 − 2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫]‪f ʹ(x) = 0 ⇒ x = ∈[1, 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫أي ان العدد الحرج يوجد في الفترة ]‪[1, 2‬‬ ‫‪++++++ -----------‬‬‫]‪[1, 2‬‬ ‫اشارة )‪[1, 2] f ʹ(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪hiMi‬‬

‫‪himi‬‬

‫‪Mi‬‬

‫‪mi‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫]‪[ a , b‬‬ ‫]‪[ 0 , 1‬‬ ‫]‪[ 1 , 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫]‪[ 2 , 3‬‬

‫‪1‬‬

‫]‪[ 3 , 4‬‬

‫‪∑h m = -2 ∑h M =86 1‬‬ ‫‪4‬‬

‫طول الفترة‬

‫الفترة الجزئية‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪∴ L (σ, f ) = −2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫∑‪∴ L‬‬ ‫‪(σ,‬‬ ‫∴) ‪f‬‬ ‫‪= L27‬‬ ‫‪(σ , fU) (σ,‬‬ ‫‪= −2f ) =, 33∑ h M = U (σ, f ) = 868‬‬ ‫‪him‬‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U (σ, f ) = 8‬‬ ‫الحظ ان ) ‪L (σ,4f ) ≤ U (σ, f‬‬

‫‪165‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ ﲤﺎرﻳﻦ )‪(4 -1‬‬ ‫‪ - 1‬ﳒﺰء اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻌﻄﺎة ]‪ [a,b‬اﻟﻰ ﻓﺘﺮات ﺟﺰﺋﻴﺔ ﺑﺄﻳﺠﺎد ‪ h‬ﺣﻴﺚ‬ ‫ﳒﺪ ‪U (σ‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺪد اﳉﺰﻳﺌﺎت ﻣﻨﻬﺎ) ‪, f‬‬

‫‪b− a‬‬ ‫‪n‬‬

‫=‪h‬‬

‫‪0- 2‬ﳒﺪ= )‪ f ʹ(x‬وﻣﻨﻬﺎ ﳒﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ﺑﺠﻌﻞ ‪f ʹ(x) = 0‬‬ ‫‪ - 3‬ﻧﻌﻤﻞ ﺟﺪول ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻻﻣﺜﻠﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ ‪) Mi , mi‬ﻻﺣﻆ اﻟﺘﺰاﻳﺪ‪ ،‬اﻟﺘﻨﺎﻗﺺ( وﻣﻨﻪ ﳒﺪ‬ ‫) ‪U (σ , f ) ، L (σ , f‬‬

‫‪(4‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‐‬

‫اوﺟﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ ) ‪ U (σ , f ) ، L (σ , f‬ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫)‪a) σ = (1, 2, 4‬‬

‫‪(1, 2,‬‬ ‫)‪let1. f :[−2,1] →b)R σ, =f (x‬‬ ‫‪= 3,‬‬ ‫‪5 −4)x‬‬

‫)‪a) σ = (−2, 0,1‬‬

‫ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ‪b) σ‬‬ ‫‪= (−2,−1,‬‬ ‫ﺗﻘﺴﻴﻢ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [-2 ,1‬اﻟﻰ ﺛﻼث )‪0,1‬‬ ‫ﻓﺘﺮات ﺟﺰﺋﻴﺔ‬

‫‪2. f :[1,‬‬ ‫]‪[0, 5‬‬ ‫‪4] →a)R σ‬‬ ‫‪let‬‬ ‫)‪, f=(x‬‬ ‫‪= 6x‬‬ ‫‪(1, 2,‬‬ ‫‪4) − x 2‬‬

‫‪σ 2,‬‬ ‫‪= (1,‬‬ ‫)‪2, 4, 5‬‬ ‫‪b) σ = (1,‬‬ ‫)‪3, 4‬‬ ‫اذا ﻛﺎن )‪σ = (0,1, 2, 3, 4‬‬

‫‪2 2‬‬ ‫‪3. f :[1, 4] → R , f (x) = x3x‬‬ ‫‪let‬‬ ‫‪+2x‬‬

‫)‪a) σ = (1, 2, 4‬‬

‫ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ )‪b‬‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﺌﺎت‪σ = (1,‬‬ ‫اﺳﺘﺨﺪم ﺛﻼث)‪2, 3, 4‬‬

‫‪166‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫]‪ [4-3‬ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪.‬‬ ‫ﻻﺣﻈﺖ ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬

‫‪f :[a,b] → R‬‬

‫داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬ﻓﺎﻧﻪ وﻓﻘ ًﺎ ﻟﻠﺘﺠﺰﺋﺔ ‪ σ‬ﻳﻜﻮن ) ‪U (σ , f ) ≥ L (σ , f‬‬ ‫واﻵن ﻧﺴﺄل اﻟﺴﺆال اﻵﺗﻲ ‪ :‬ﻫﻞ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ‪ k‬ﺑﺤﻴﺚ ‪L (σ , f ) ≤ k ≤ U (σ , f ) :‬‬ ‫ﻷي ﺗﺠﺰﺋﺔ ﻟﻠﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬؟‬ ‫واﻟﺠﻮاب‪ :‬ﻫﻮ ﻣﺎ ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻴﻪ اﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ‪(4-1):‬‬

‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f :[a,b] → R :‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬ﻓﺎﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد وﺣﻴﺪ ‪ k‬ﺑﺤﻴﺚ‬

‫ﻷي ﲡﺰيء ‪ σ‬ﻟﻠﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬ﻓﺎن ) ‪L (σ , f ) ≤ k ≤ U (σ , f‬‬

‫‪b‬‬

‫ﻧﺴﻤﻲ اﻟﻌﺪد ‪ k‬اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ]‪ [a,b‬وﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ‪f (x)dx‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ a‬اﻟﻰ ‪ b‬ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬وﻧﺴﻤﻲ ‪ b,a‬ﺣﺪّ ي اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬

‫∫‬

‫وﻳﻘﺮأ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻣﻦ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ‬

‫≤ ) ‪L (σ , f‬‬ ‫‪L (σ‬‬ ‫‪ .1‬اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ]‪ [a,b‬ﻓﺎن ‪≤U∫(σ ,f f≤)U (σ , f ) :‬‬ ‫‪∫ a, f )≤(x)dx‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫وﺗﻜﻮن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ ‪f (x)dx‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫) ‪L (σ , f ) +U (σ , f‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .2‬اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a,b] :‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻓﺎن ‪ ∫ f (x)dx‬ﻳﻌﻄﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ A‬ﺗﺤﺖ‬

‫‪f‬‬

‫‪a‬‬

‫ﻣﻨﺤﻨﻲ ‪ f‬وﻫﻮ ﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺐ ‪.‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ dx‬ﺗﺸﻴﺮ اﻟﻰ ان ﺣﺪي اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪ b,a‬ﻗﻴﻤﺘﺎن ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪x‬‬

‫‪y‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-19‬‬

‫‪167‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ .3‬اذا ﻛـﺎﻧﺖ ‪ ∀× ∈ [ a,b] ، f ( x ) ≤ 0‬ﻓــــﺈن‪:‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪f ≤(x)dx‬‬ ‫‪0∫ a f ≤ 0‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪y‬‬

‫∫‬

‫وﻫﺬا ﻻ ﻳــﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺎﺣــــــــﺔ ‪ ،‬أﻣــﺎ ﻣﺴﺎﺣـــــــﺔ‬ ‫اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ A‬اﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜــﻞ )‪ (4 - 20‬ﻓﻬﻲ ﺗﺴﺎوي‬ ‫‪b‬‬

‫= ‪∫ a∫ ff (x)dx‬‬ ‫‪−‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫‪f‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-20‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ .4‬إن ﻗﻴﻤﺔ ‪f (x)dx‬‬

‫ﺗﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬وﻋﻠﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ) ‪f(x‬‬

‫‪2‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ‪ f : [1, 3] → R , f ( x ) = x‬ﺣﻴﺚ ‪f : [1, 3] → R , f ( x ) = x 2‬‬

‫أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ ‪x 2 dx‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪A‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪∫ f (x)dx‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬

‫‪b‬‬

‫‪x‬‬

‫‪a‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫اذا ﺟﺰﺋﺖ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [1 ,3‬اﻟﻰ ﺗﺠﺰﺋﺘﻴﻦ ‪.‬‬

‫‪let f (x) = x 2‬‬ ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [1,3‬ﻛﺜﻴﺮة ﺣﺪود‪.‬‬ ‫‪x ==00‬‬ ‫‪f ʹ(x) = 0 ⇒ 2x‬‬ ‫أي أن اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺤﺮﺟﺔ ﻋﻨﺪ ‪ x = 0‬وأن ]‪0 ∉ [1, 3‬‬

‫‪hiM i‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪168‬‬

‫‪him i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b− a 3−1 2‬‬ ‫=‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻔﺘﺮة ‪b - a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪∴ f ʹ(x) = 2x‬‬ ‫‪∴x = 0‬‬

‫=‪h‬‬ ‫اﻟﻔﺘﺮات اﳉﺰﺋﻴﺔ ]‪[a , b‬‬ ‫]‪[1 , 2‬‬ ‫]‪[2 , 3‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪L (σ , f ) =Integration‬‬ ‫)‪(1×1) + (1× 4‬‬

‫ﻛﻞ‪L‬‬ ‫ﻃﺮﻓﻲ‪(σ‬‬ ‫=) ‪, f‬‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫)‪(1×1‬‬ ‫∴أﻋﻈﻢ ﻗﻴﻤﺔ وأﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﺗﻜﻮن ﻋﻨﺪ ﻃﺮﻓﻲ)‪4‬‬ ‫]‪L (σ[, 2,3‬‬ ‫)‪f ) = ،(1×1‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫×‪=+5(1‬‬ ‫×‪(1‬ﻣﻦ‪[1,2]+‬‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺟﺰﺋﻴﺔ‪4‬اي‬ ‫ﻛﻞ ﻓﺘﺮة‬ ‫‪L (σ , f ) == 1+‬‬ ‫)‪(1×1‬‬ ‫)‪U (σ4‬‬ ‫‪, f )==1+‬‬ ‫)‪(1×44‬‬ ‫)‪= 5+ (1× 9‬‬ ‫×‪4 =+5(1‬‬

‫)‪(σ 9‬‬ ‫×‪, f )== 4(1‬‬ ‫×‪= 5+U(1‬‬ ‫‪U (σ , f )==1+‬‬ ‫)‪(1×44‬‬ ‫)‪+ 94)= +13(1× 9‬‬ ‫‪5 +13‬‬ ‫∴‪U‬‬ ‫==‪(σ , f3 )x‬‬ ‫×‪(1‬‬ ‫‪9 = 13‬‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ‪+ =94)= +13(1×=9)9 = 4 +‬‬ ‫‪∫1 2 4dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪= 4 + 9 = 13‬‬ ‫)‪(5,7‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ‪f :[2, 5] → R ,‬‬ ‫‪f (x) = 2x − 3‬‬

‫‪f f:[2,‬‬ ‫أوﺟﺪ→ ]‪5‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪R , f (x) = 2x − 3‬‬ ‫‪(x)dx‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-21‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪A‬‬

‫)‪(2,1‬‬

‫ﻻﺣﻆ ان ]‪f (x)) ≥> 00 ∀x ∈ [2, 5‬‬ ‫‪f(x‬‬

‫∴ ﻳﻤﻜﻦ اﻳﺠﺎد ‪f (x)dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﻫﻲ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮف‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪ 1 = A‬ﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﻴﻦ اﻟﻤﺘﻮازﻳﺘﻴﻦ × ﻃﻮل اﻻرﺗﻔﺎع‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪∴ A = 1 [1+‬‬ ‫‪7](3) = 1(8)(3) = 12 Unit‬‬ ‫‪U int‬‬ ‫‪∴ A = 2 [1+ 7 ] × 3 = 2 × 8 × 3 = 12 Unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪∴ ∫ f =(x)dx‬‬ ‫‪12 =12‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫أو ﻳﻤﻜﻦ إﻳﺠﺎد ‪f (x)dx‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫∫‬

‫∫‬

‫ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪A‬‬

‫‪x‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬

‫‪him i‬‬

‫‪hiM i‬‬

‫‪mi‬‬

‫‪Mi‬‬

‫ﻃﻮل اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫‪hi=b-a‬‬

‫ﻓﺘﺮة اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫]‪[2,3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪14‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫]‪[3,5‬‬

‫‪∑ h M = 17 ∑ h m = 7‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪17 +7 24‬‬ ‫‪∫ (2x − 3) dx = 2 = 2 = 12 Unit‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪169‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-3 -‬‬

‫احلل‬

‫‪Integration‬‬

‫لتكن ‪ f:f [1, 5] → R , f (x) = 3‬أؤجد ‪f (x)dx‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪y‬‬

‫من الشكل (‪ )4 - 22‬نالحظ ان المنطقة ‪ A‬هي‬

‫)‪(1,3‬‬

‫)‪(5,3‬‬

‫منطقة مستطيلة طول قاعدتها =‬

‫‪A‬‬

‫(‪ 4 = )5 - 1‬وعرضها = ‪3‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∴ A = (4)(3) = 12 Unit 2 2‬‬ ‫‪∴ A = 4 × 3 = 12 Unit‬‬ ‫‪∴ ∫ f =(x)dx‬‬ ‫‪12 = 12 unit2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫الشكل (‪)4-22‬‬

‫طريقة ثانية‪:‬‬ ‫‪hiM i‬‬

‫‪him i‬‬

‫‪mi‬‬

‫‪Mi‬‬

‫‪=12‬‬

‫‪i‬‬

‫طول الفترة‬ ‫‪hi=b-a‬‬

‫فترة التجزئة‬ ‫]‪[a,b‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫]‪[1,3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫]‪[3,5‬‬

‫‪∑ hM‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪=12‬‬

‫‪i‬‬

‫‪∑ hm‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪L (σ, f ) = ∑ hi mi = 12 , U (σ, f ) = ∑ hi M i = 12‬‬ ‫‪12 +12 24‬‬ ‫=‬ ‫‪= 12 Unit 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪170‬‬

‫= ‪3dx‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ .1‬أوجد قيمة تقريبية للتكامل ‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬لتكن ‪, f (x) = 3x − 32‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪)4‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-2‬‬

‫بأستخدام التجزئة )‪. σ = (1, 2, 3‬‬

‫∫‬

‫‪f : [1, 54 ] → R‬‬

‫أوجد قيمة التكامل ‪f (x)dx‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫بأستخدام التجزئة )‪ σ = (1, 2, 3,45‬ثم تحقق هندسي ًا‬

‫∫‬

‫بحساب مساحة المنطقة تحت منحني ‪.f‬‬ ‫‪ .3‬أوجد قيمة تقريبية التكامل ‪− 3) dx‬‬ ‫‪ .4‬أوجد قيمة التكامل ‪f (x)dx‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪−3‬‬

‫∫‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪∫ (3x‬‬ ‫‪2‬‬

‫باستخدام التجزئة )‪. σ = (2, 3, 4‬‬

‫‪f (x) = -4‬‬ ‫حيث ‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪.5‬اوجد قيمة تقريبية للتكامل‬

‫‪3‬‬

‫‪∫ x dx‬‬ ‫‪1‬‬

‫باستخدام اربعة تجزيئات منتظمة‪.‬‬

‫‪171‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫]‪ [4-4‬اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ ‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﻘﺪ ﺗﻌﻠﻤﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻃﺮﻳﻘﺔ إﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد ‪f (x)dx‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﻔﺘﺮة اﻟﻤﻐﻠﻘﺔ ]‪ [a,b‬ﻛﻤﺎ وﺟﺪﻧﺎ ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺨﺎﺻﺔ ﻗﻴﻤﺔ دﻗﻴﻘﺔ ﻟﻬﺬا اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد )ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ(‪.‬‬ ‫واﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ اﻵﺗﻴﺔ ﺗﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﻓﻲ إﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد ‪.‬‬

‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ‪(4-2):‬‬ ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬ﻓﺎﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ ‪ F‬ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬ﺑﺤﻴﺚ ‪:‬‬ ‫)‪F ʹ(x) = f (x) , ∀x ∈ (a,b‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪f =(x)dx‬‬ ‫= )‪F∫ a(bf‬‬ ‫وﻳﻜﻮن‪− F ( ab) − F ( a ) :‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬

‫∫‬

‫ﺗﺴﻤﻰ ‪ F‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ (Antiderivative of The Function ) f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪[a,b‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ ‪ :‬اذا ﻛﺎﻧﺖ‬

‫‪, f (x) = 2x‬‬

‫‪f : [1, 2 ] → R‬‬

‫ﻓﺎن‬ ‫‪F : [1, 2 ] → R , F (x) = x 2‬‬ ‫)‪F ʹ(x) = 2x = f (x) , ∀x ∈ [(1,2‬‬ ‫]‪a,b‬‬ ‫وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎن ‪:‬‬

‫‪(x)dx‬‬ ‫=‪f‬‬ ‫)‪F∫ (2‬‬ ‫)‪(1) − F (1‬‬ ‫)‪f =− F (2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪= 4 −1 = 43 −1 = 3‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫‪172‬‬

‫ﻧﺸﻴﺮ اﻟﻰ أن‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫)‪ F (2) − F (1‬ﺗﻜﺘﺐ ﺑﺎﻟﺼﻮرة‬

‫‪2‬‬

‫‪[ F (x)]1‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ f (x)dx‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [1,5‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ F(x) = 3x2‬داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ‬

‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺠﺪ ‪( ∫ f )(x)dx‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪.‬‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪55‬‬

‫)‪⎤⎦ =−⎡⎣3(25‬‬ ‫)‪3(1‬‬ ‫‪75 −=−375‬‬ ‫‪= −723==75‬‬ ‫‪72− 3 = 72‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫)‪F3x(1)⎤⎦ =−=3(25‬‬ ‫)‪3(1‬‬ ‫)‪dx⎡⎣fF−=(FxF)(1‬‬ ‫)‪∫ f (=xF)∫=(5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬

‫‪1‬‬

‫وﻳﻤﻜﻦ ان ﻧﻜﺘﺐ ذﻟﻚ ﺑﺎﻟﺼﻮرة اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪⎤⎦ 2=⎤575=−753 −‬‬ ‫‪⎡⎣2 3x‬‬ ‫‪f∫ ( xf) (dx‬‬ ‫‪=x⎡⎣)F=(⎡⎣xF)⎤⎦(1x=)⎤⎦⎡⎣3x‬‬ ‫‪= 372= 72‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫⎦ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-3 -‬‬

‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪π‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] ‪ [0,‬وإن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪F (x) = sin x , F :[0, ] → R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‪f (x)dx :‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫⎞ ‪⎛⎡π ⎞ ⎤5 π π2⎡ 2 ⎤⎛5ππ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫‪ff(=x )Fdx‬‬ ‫)‪=⎜⎣F=⎟([−xF)F(x‬‬ ‫‪3==1−‬‬ ‫‪] f⎣=3x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪0 = 1− sin 0 = 1− 0 = 1‬‬ ‫‪=sin‬‬ ‫‪F⎦⎜1 =−⎟75‬‬ ‫)‪− F−0(0‬‬ ‫‪=72‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫)‪⎦∫1(0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫⎠‪⎝2‬‬ ‫⎠ ‪⎝22‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬

‫∫‬

‫‪FF :[1,3‬‬ ‫أﺛﺒﺖ ﻓﻴﻤﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:[1,3]] → RR , F (x) = x 3 +12‬‬ ‫ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‪f ( x ) = 3x 2 :‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫∵ ‪ Ff ( x ) = x 3 + 2‬داﻟــــــــﺔ ﻣﺴﺘﻤـــــــﺮة وﻗـﺎﺑـــﻠـﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘـــﺎق ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫)ﻻﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮة اﻟﺤﺪود(‬ ‫∴‪ F‬ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ]‪ [1,3‬وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ )‪. (1,3‬‬

‫‪2‬‬ ‫ʹ‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪F‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x‬‬ ‫)‪= f (x) , ∀x ∈ (1, 3‬‬ ‫ ‬ ‫ ∴‪ F‬ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ]‪. [1,3‬‬

‫‪173‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-4 -‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪1‬‬ ‫أﺛﺒﺖ أن اﻟﺪاﻟﺔ‪ F : R → R , F (x) = sin 2x :‬ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f : R → R , f (x) = cos 2x‬‬ ‫ﺛﻢ اوﺟﺪ ‪cos 2x dx‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ f (x) = cos 2x , f : R → R‬‬ ‫ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﻛﻤﺎ ﺗﻌﻠﻤﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﺼﻒ اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F (x) = sin 2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ‪R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Q F ʹ(x) = (cos 2x)(2) = cos 2x = f (x) , ∀x ∈ R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬ ‫∴‪ F‬ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪Q ∫ fQ‬‬ ‫‪=(x)dx‬‬ ‫)‪F (b‬‬ ‫)‪(a)− F (a‬‬ ‫)‪f =−FF(b‬‬ ‫)‪∴ ∫a f =∫F (b) − F (a‬‬ ‫‪ a a‬‬ ‫‪b‬‬

‫ﺣﺴﺐ اﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ )‪(4-2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪⎡1‬‬ ‫⎤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos 2x dx = ⎢ sin 2x⎥ = sin − sin 0 = ×1− 0 = .‬‬ ‫‪⎣2‬‬ ‫‪⎦x=0 2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪x‬‬

‫وﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ ﺟﺪول ﻣﺴﺎﻋﺪ ﻳﺒﻴﻦ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬واﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ ‪ F‬ﻓﻲ ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ ‪ .‬وﺑﺈﻣﻜﺎﻧﻚ ﻋﺰﻳﺰي‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺐ أن ﺗﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ذﻟﻚ ﺑﺈﺛﺒﺎت أن ‪:‬‬ ‫)‪F ʹ(x) = f (x‬‬

‫‪174‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫وﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺟﺪول ﻣﺴﺎﻋﺪ ﻳﺒ ّﻴﻦ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬واﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ ‪F‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ) ‪F(x‬‬

‫اﻟﺪاﻟﺔ )‪f(x‬‬

‫‪ax‬‬

‫‪a‬‬

‫‪xn+1‬‬ ‫‪n+1‬‬

‫‪, n ≠ −1‬‬

‫‪axn+1‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪n+1‬‬ ‫اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ ‪F‬‬

‫‪, n ≠ −1‬‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫])‪[ f (x‬‬

‫‪n+1‬‬

‫‪[ f (x)] . f ʹ(x) , n ≠ −1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪tan (ax+b‬‬

‫‪sec ax‬‬ ‫‪csc ax‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬

‫)‪cot (ax+b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪−‬‬

‫‪1‬‬

‫)‪sin (ax+b‬‬

‫‪−‬‬

‫‪n‬‬

‫‪ax‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪n +1‬‬ ‫)‪cos(ax+b‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬

‫‪−‬‬

‫)‪sin (ax+b‬‬ ‫)‪cos(ax+b‬‬ ‫)‪sec2(ax+b‬‬ ‫)‪csc2 (ax+b‬‬ ‫‪sec ax tan ax‬‬ ‫‪csc ax cot ax‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻻﻳﺔ داﻟﺔ ‪ f‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول ﻫﻲ ‪ F + C‬ﺣﻴﺚ ‪ C‬ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ ﺣﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪.‬‬

‫‪175‬‬

πeÉμàdG

Integration

∫ ∫

π 4 0

π

sec 2 x dx = [ tan x ] = tan 4

0

π 4 0

∫

2

π 4

∫

2

π

π

csc 2 x dx = [− cot x ] = − cot 2

π

4

4

∫ ∫

π 3 0

π

π 3 0

π

π - ‫ ﻣﺜﺎل‬π [− cot x-6 ] = csc x dx =‫أوﺟﺪ‬ − cot + cot 2 4

∫

1

2

2

π

4

‫اﳊﻞ‬

sec x tan x dx ‫أوﺟﺪ‬

-7 - ‫ﻣﺜﺎل‬

π − sec 0 = 2 − 1 = 1 3

‫اﳊﻞ‬

∫ 3

3 1

x 3 dx

‫ﺟﺪ‬

⎡ x 4 ⎤ 34 1 81 1 80 3 x dx = ⎢ ⎥ = − = − = = 20 ⎣ 4 ⎦1 4 4 4 4 4 3

‫اﳊﻞ‬

π π + cot = 0 +1 = 1.

2 4

sec x tan x dx = [sec x ]0 = sec 3

-5 - ‫ﻣﺜﺎل‬

π − tan 0 = 1− 0 = 1.

4 π

π

sec 2 x dx ‫أوﺟﺪ‬

-8 - ‫ﻣﺜﺎل‬

‫اﳊﻞ‬

176

πeÉμàdG

Integration

∫

ً ‫ﻓﺄوﺟﺪ ﻛ‬ :‫ﻼ ﻣﻦ‬

3

3 3 3 3 3 -10 -3 ‫ﻣﺜﺎل‬ 3 f 3 f = 15 , f2 = 17 ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ (x)dx (x)dx f = 15 , = 17 ∫ ∫ ∫ ∫ f1 = 1151 , 1 ∫ 1 f2 = 117 2 ‫اذا‬ ( f (x)1+ f (x)) dx = f (x)dx + f (x)dx = 15 + 1

∫ ∫ ∫ f (x)dx +17 =−32 f (x) −+ ∫f (x) ) dx ==∫ 15f (x)dx ∫ ( f (x) + f (x)) dx =, ∫∫ f((x)dx ∫ f (x)dx = 15 − ∫ ( f (x) − f (x)) dx = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx = 15 −17 = −2‫اﳊﻞ‬ 1

3

1

1

1

1 33

2

11

3

2

3

1 1

1

2

3

3

∫1 ( f1 (x) + f2 (x)) dx = ∫1 3

3

∫1 ( f1 (x) − f2 (x)) dx = ∫1 ∫

2 1

1

3

2

21

3

1

1

1

2

1

3

1

2

1

3

1

1

2

1

3

f1 (x)dx + ∫ f2 (x)dx = 15 +17 = 32 1

3

f1 (x)dx − ∫ f2 (x)dx = 15 −17 = −2 1

f (X )dx ‫ ﻓﺄوﺟﺪ‬f (x) = 3x 2 + 2x ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ‬

-11 - ‫ﻣﺜﺎل‬

‫اﳊﻞ‬

∫

f (x)dx =

2 1

∫

2 1

(3x 2 + 2x)dx = ∫ 3x 2 dx + 2

1

∫

2 1

2x dx

3 2 2 2 [x ] +[x ]1 = (8 − 1)+ (4 − 1) = 7 + 3 = 10 1 =

: ‫ ﻓﺎن‬c ∈ (a,b) ‫[ وﻛﺎﻧﺖ‬a,b] ‫ داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة‬f (x) ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ‬

∫

b

b

a

c

f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

a

∫

∫

c

:ً‫راﺑﻌﺎ‬

7

1

7 1

f (x)dx ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬

3

∫

3 1

3

73

7

7

f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = 5 + 8 = 13 1

7

= ∫8 f = 8 ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ‬ f =(x)dx ∫51 f, =∫531 ff, == ∫853 f, (x)dx 3

-12 - ‫ﻣﺜﺎل‬

‫اﳊﻞ‬

3

178

πeÉμàdG

Integration

∫

∴

∫

−3

f (x)dx =

−3

f (x) =| x |

f (x)dx ‫اوﺟﺪ‬

‫ﻟﺘﻜﻦ‬

-13 - ‫ﻣﺜﺎل‬

‫اﳊﻞ‬

: ‫[ وﻟﻬﺎ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎن ﻫﻤﺎ‬-3 ,4] ‫ داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ‬f

⎧2x⎧⎪+1, x , ∀x Ax ≥ 10 f (x)f (x) = ⎨= ⎨ ⎪⎩−x , ∀x Ax1 <≥01 , +1, ∀x< ⎩ 3⎧2x f (x) = ⎨ ⎩ 3 , ∀x< 1 4

4

∫

0 −3

(−x)dx +

∫

4 0

0

4

⎡ −x 2 ⎤ ⎡ x2 ⎤ xdx = ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦−3 ⎣ 2 ⎦0

=⎡0 + 9 ⎤ + ⎡16 − 0⎤ = 9 + 16 = 25 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

2⎦ ⎣ 2

⎣

⎦

2

2

2

⎧2x +1, ∀x ≥ 1 f (x) = ⎨ ⎩ 3 , ∀x< 1

‫ﻓﺄوﺟﺪ‬

∫

5 0

:‫اذا ﻛﺎﻧﺖ‬

f (x)dx

:‫[ وذﻟﻚ ﻻﻧﻬﺎ‬0 ,5] ‫ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة‬f :‫ﻷن‬

(i) f(1) =2(1)+1=3 ‫ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ (ii) lim x→1

∵L1=L2 ∴

⎧lim(2x +1) = 3 = L 1 (2 x+1)=3=L 1 ⎪ lim x→1 x→11 f (x) = ⎨ lim 3=3=L 2 x→1 3 = 3 = L 2 ⎪lim ⎩ x→11

{

lim f (x) = 3 x→1

179

+

+

−−

‫ ∴⇒ ﻣﻮﺟﻮدة‬lim x→1

-14 - ‫ﻣﺜﺎل‬

f (x) = f (1)

x = 1 ‫ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻨﺪ‬

‫اﳊﻞ‬

πeÉμàdG

Integration

[0,5] ‫ وﺑﻤﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ‬. { x : x < 1} , { x : x > 1} ‫ﻛﺬﻟﻚ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ 5

∴ ∫ f (x)dx =

∫

0

1 0

f (x)dx +

1

∫

5 1

f (x)dx 1

5

5

= ∫ 3dx + ∫ (2x +1)dx = [ 3x] + ⎡⎣ x 2 + x⎤⎦ 0 1 1 0

= [ 3− 0 ] + [ 25 + 5 ] − [ 2 ] = 3+ 28 = 31

a) ∫

a a

(x)dx f= a) 0∫ f = 0 a

a

b) ∫

b a

fb)=(x)dx ∫− ∫ f f= − ∫ b

a

a

a

b

b

2

:ً‫ﺧﺎﻣﺴﺎ‬ :ً‫ﻣﺜﻼ‬

3

⎡x ⎤ 9 9 a) ∫ x dx ⇒ ⎢ ⎥ = − = 0 ⎣ 2 ⎦3 2 2 3 3

f (x)dx

‫او اﺧﺘﺼﺎر ًا وﺣﺴﺐ اﻟﻘﺎﻋﺪة‬

3

∫ x dx = 0 3

2

3

b) ∫ 3 x dx = − ∫ 3x 2 dx 3

2

2

3

= − [ x 3 ]2 = −[27] + − [8] = −19

180

πeÉμàdG

Integration (4 22

) øjQɪ

J

‐3

22

)dx 3x−−22)dx a)a) ∫∫ −2( (3x

−2 )dx 2x+1 +1)dx b)b) ∫∫ 1( (xx−2 ++2x

4 )dx 4x)dx c)c) ∫∫ 1( (xx4 ++4x

2 (3x )dx d) 12dx d)∫∫0∫ x( − 3x 2x+1 +1)dx d) ++2x −1

1 200

−2 33

1

−1

3 2 −1−1

3 2 3 2x − 4x + 5 x ( (− 13 3 22 ) ) 4xdx 6xg)+1 +1 ++6x f f) )∫∫∫ −2 4x dx ∫ 1 dxdx x2 3 −2 x −1

00 ππ −− 22

e)e) ∫∫

ً ‫ اﺣﺴﺐ ﻛ‬.1 :‫ﻼ ﻣﻦ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻻﺗﻴﺔ‬

)dx ( (xx++cos cosxx)dx

‫ ﺣﻴﺚ‬f(x) ‫ ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬F(x) ‫ أﺛﺒﺖ أن‬.2

.

∫

π 6 0

4

π π F :[0, ] → R , F (x) = sin x + x ‫ ﺣﻴﺚ‬F :[0, ] → R , F (x) = si 6 6 π f (x)dx ‫ ﺛﻢ اﺣﺴﺐ‬f :[0, ] → R ‫ﺣﻴﺚ‬ , f (x) = 1+ cos x 6 1

a) ∫ (x − 2)(x +1) dx 2

b) ∫ x +1 dx

1

c)

∫

3

2

−1

x4 − 1 dx x −1

d)

∫

4 1

∫

181

ً ‫ أوﺟﺪ ﻛ‬.3 :‫ﻼ ﻣﻦ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻻﺗﻴﺔ‬

3 −1

f (x)dx

f (x)dx

‫ﺟﺪ‬

‫ﺟﺪ‬

∫

1

0

x( x + 2)2 dx

⎧⎪2x , ∀x ≥ 3 f (x) = ⎨ ⎩⎪6 , ∀x < 3

⎪⎧ 3x 2 , ∀x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩⎪2x , ∀x < 0

‫ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬.4

‫ إذا ﻛﺎﻧﺖ‬.5

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫]‪ [4-6‬اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻏﻴﺮ اﶈﺪد‪Indefinite Integral :‬‬ ‫ﻋﺮﻓﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [ a, b‬ﻓﺎﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ‬

‫ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ‪ F‬ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ]‪ [a,b‬ﺑﺤﻴﺚ أن‪F ʹ(x) = f (x) , ∀x ∈ (a, b) :‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ‪:‬‬

‫‪ F : [1, 3] → R , F (X ) = X 2‬ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪f :[1, 3] → R ,. f (x) = 2x‬‬ ‫وﻟﻜﻦ ﻫﻞ ‪ F (x) = x 2‬داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ وﺣﻴﺪة ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ F ʹ(X ) = 2X‬؟‬ ‫وﻗﺒﻞ اﻻﺟﺎﺑﺔ ﻋﻦ ﻫﺬا اﻟﺴﺆال ﻧﺘﺄﻣﻞ اﻟﺪوال اﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬

‫‪1) F1 :[1, 3] → R , F1 (x) = x 2 +1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2) F2 :[1, 3] → R , F2 (x) = x 2 +‬‬

‫‪3) F3 :[1, 3] → R , F3 (x) = x 2 − 2‬‬ ‫‪4) F4 :[1, 3] → R , F4 (x) = x 2 − 5‬‬

‫ﻼ ﻣﻦ ‪ F1 ,F2 , F3 , F4‬ﻟﻬﺎ ﺻﻔﺎت ‪ F‬ﻧﻔﺴﻬﺎ أي ﱠأن ﻛ ً‬ ‫اﻧﻨﺎ ﻧﻼﺣﻆ أن ﻛ ً‬ ‫ﻼ ﻣﻨﻬﺎ‪:‬‬ ‫‪⎧⎪2x , ∀x‬‬ ‫]‪[1,3‬‬ ‫)‪ (i‬ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ‪≥ 3‬‬ ‫⎨ = )‪f (x‬‬ ‫ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود‬ ‫)‪ (ii‬ﻗﺎﺑﻠﺔ‬ ‫)‪⎪⎩(1,3‬‬ ‫ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق <ﻋﻠﻰ‪6 , ∀x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪. F1ʹ(x) = F2ʹ(x) = F3ʹ(x) = F4ʹ(x) = 2x , ∀x ∈ (1, 3) (iii‬‬ ‫وﺑﻨﺎء ًا ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﻘﻮل ﺑﺎن ﻛ ً‬ ‫ﻼ ﻣﻦ‪ F1 ,F2 , F3 , F4 :‬داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ اﻟﻰ ‪.f‬‬ ‫أي اﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ اﻛﺜﺮ ﻣﻦ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ]‪ [1,3‬واﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ أي داﻟﺘﻴﻦ ﻣﻘﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻳﺴﺎوي ﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ ﻻﺣﻆ أن‪:‬‬

‫وﻫﻜﺬا‬

‫‪182‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫= ) ‪F1 (x) − F2 (x) = (x 2 +1) − (x 2 +‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F1 (x) − F4 (x) = (x +1) − (x − 5) = 6‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫وﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ]‪ [a,b‬داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ‪ F‬ﻓﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﻻﻧﻬﺎﺋﻲ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

‫‪ ،f‬ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة ‪ F + C :‬ﺣﻴﺚ ‪ C‬ﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ واﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ أي إﺛﻨﺘﻴﻦ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺴﺎوي ﻋﺪد ًا‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺎً‪.‬‬

‫ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ اﻟﺘﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪ F + C‬ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺤﺪد ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ‬ ‫]‪ [a,b‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ∫ f (x)dx‬إذا ﻛﺎن رﻣﺰ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ‪.x‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ﻳﺼﻄﻠﺢ ﻋﻠﻰ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺤﺪد ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬ ‫ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ ‪f (x)dx = F (x)+ C ... ,C ∈ R‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬

‫أوﺟﺪ ‪f (x)dx‬‬

‫∫‬

‫∫‬

‫اذا ﻋﻠﻤﺖ أن‪:‬‬

‫)‪a)a) f f(x‬‬ ‫‪(x)==3x‬‬ ‫‪3x2 2++2x‬‬ ‫‪2x+1‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪b) f (x) = cos x + x−2‬‬

‫‪c) f (x) = x + sec x tan x‬‬

‫)‪d)d) f (x‬‬ ‫‪f (x)==sin(2x‬‬ ‫)‪sin(2x++4)4‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫‪3x 3 2x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪(3x + 2x +1)dx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ x + c = x3 + x2 + x + c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(cos x + x−2 )dx = sin x +‬‬ ‫‪+ c = sin x − + c‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪(x + sec x tan x)dx = + sec x + c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪sin(2x + 4)dx = cos(2x + 4)+ c‬‬ ‫‪2‬‬

‫∫‬

‫)‪a‬‬

‫∫‬

‫)‪b‬‬

‫∫‬

‫)‪c‬‬

‫∫‬

‫)‪d‬‬

‫‪183‬‬

πeÉμàdG

Integration

a. a)

∫

(x 2 + 3)2 (2x)dx =

∫ [ f (x)]

2

f (x) = x 2 + 3 ∴ f ʹ(x) = 2x

∫ (x2 + 3)2 (2x)dx =

b.

∫ (3x

∫ [ f (x)]

2

1 2

∫ (3x

2

+ 8x + 5)6 (6x + 8)dx

7

1 1 [ f (x)] ʹ f (x) × + c = (3x 2 + 8x + 5)7 + c f (x)dx = [ ] ∫ 7 14 2 6

∫ sin

4

x cos xdx : ‫ﻧﻔﺮض أن‬

⇒ ʹ(x)= =cos f (x) f (x)= =sinsinx x→ →f ʹf(x) cosx x ∴ ∫ sin x cos xdx = 4

d.

: ‫ﻧﻔﺮض أن‬

f (x) = 3x 2 + 8x + 5 ⇒ f ʹ(x) = 6x + 8

1 2

‫اﳊﻞ‬

1 3 [ f (x)] + c 3 1 = (x 2 + 3)3 + c 3

+ 8x + 5)6 (3x + 4)dx

2

-2 - ‫ﻣﺜﺎل‬

f ʹ(x)dx =

∴ ∫ (3x 2 + 8x + 5)6 (3x + 4)dx =

c.

:‫ ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬3‫ﺟﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت‬ [ f (x)] + c f ʹ(x)dx = 3 ‫ﻟﻨﻔﺮض أن‬

∫ tan

6

∫ [ f (x)]

4

[ f (x)] . f ʹ(x)dx =

5

5

+c =

1 5 sin x + c 5

x sec 2 xdx : ‫ﻧﻔﺮض أن‬

f (x) = tan x ⇒ f ʹ(x) = cos sec xx 2

∴ ∫ tan 6 x sec 2 xdx =

∫ [ f (x)]

6

[ f (x)] f ʹ(x)dx = 7

7

+c =

1 tan 7 x + c 7

184

πeÉμàdG

Integration

á«©«HÎdG á«ã∏ãŸG ∫GhódG πeɵJ 1.

∫ sec θ dθ = tanθ + c

2.

∫ csc

2

θ dθ = − cotθ + c

3.

∫ tan

2

θ dθ =

∫ (sec

4.

∫ cot

2

θ dθ =

∫

2

5. ∫∫sin sin22θθ dθ dθ== ∫∫

2

θ −1)dθ =

∫ sec

2

θ dθ −

∫ dθ = tanθ −θ + c

(csc 2 θ −1)dθ = − cotθ −θ + c

1− cos 1− 11 11 1−cos cos22θ 2θθ dθ == ∫∫dθ dθ dθ−− ∫∫cos cos2θ(2)dθ 2θ(2)dθ 222 22 44

1 1 1 1 2θc + c == =θ −θ- −sin sin 2θ + 2 4 2 4 1+ cos 2θ 1 1 2 dθ = θ + sin 2θ + c 6. ∫ cos θdθ = ∫ 2 2 4

: ‫ﺟﺪ ﺗﻜﺎﻣﻼت ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬ 1. ∫ 9 sin 3xdx = 3 ∫ 3sin 3xdx = −3cos 3x + c 2.

∫

3.

∫

1 3

∫

1− sin 2x dx =

∫

x 2 sin x 3 dx =

‫أﻣﺜﻠﺔ‬

1 3x 2 sin x 3 dx = − cos x 3 + c 3 sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x dx =∫± ∫ (sin (sinxx−−cos cosx)x)2dxdx

x + cos 2 xdx== ± ∫ (sin x − cos x)dx = ±(cos x + sin x)+ c

1 (1− cos 2x)2 1 1 os xdx =4. ± ∫ (sin cos=x)∫dx sin dx dx = ∫ dx − ∫ 2 cos 2xdx + ∫ cos 2 2xdx ∫ sinxx−dx 4 4 4 4 1 1 1 1 = ∫ dx − ∫ 2 cos 2xdx + ∫ dx + ∫ 4 cos 4xdx 4 4 8 32 2

4

=

4

1 1 1 1 x − sin 2x + x + sin 4x + c = 3 × − 1 sin 2x + 1 sin 4x + c 4 4 8 32 8 4 32

185

πeÉμàdG

Integration

(sin x − cos x)8 +c 5. ∫ (sin x − cos x) (cos x + sin x)dx = 8 7

1+ tan 2 x dx = tan 3 x

6.

∫

7.

∫ cos

3

∫ cos x(1− sin

xdx =

tan x dx = cos 2 x

8.

∫

9.

∫ sin 6x cos

2

∫

tan −2 x −1 tan x sec xdx = +c = +c −2 2 tan 2 x 2

−3

∫

2

x)dx =

∫ cos xdx − ∫ sin

2

sin 3 x = sin x − +c 3

x cos xdx

tan 2 x tan x sec xdx = +c 2 2

3xdx =

∫ (2 sin 3x cos 3x) cos

2

3xdx = 2 ∫ cos 3 32x sin 3xdx

−2 cos 4 3x 1 = × + c = − cos 4 3x + c 4 3 6

10. =

∫

∫

cos 4x dx = cos 2x − sin 2x

∫

cos 2 2x − sin 2 2x dx cos 2x − sin 2x

(cos 2x − sin 2x)(cos 2x + sin 2x) 1 1 dx = − sin 2x − cos 2x + c cos 2x − sin 2x 2 2

11 1 11 1 ==∫ ∫( cos + cos + sin sin 2x 2 2 dx + dx sin = = 2 sin dx sin 2x = 2x − − sin cos 2x cos 2x − 2x +cos +c c 2x + c ( cos=2x2x ( ) ) ) ∫ 22 2 22 2 1 1 × − sin 6x + c 2 12 1 12. ∫ cot 2 5xdx = − cos cot 5x + (x)+ c 5 1 13. ∫ tan 2 7xdx = tan 7x − x + c 7 11. ∫ sin 2 3xdx =

186

Integration (4

) øjQɪ

J

‐4

πeÉμàdG

: ‫ﺟﺪ ﺗﻜﺎﻣﻼت ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ ﺿﻤﻦ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ‬ (2x 2 − 3)2 − 9 dx 1. ∫ 2 x 3 cos x dx 3. ∫ 1− sin x x dx (3x 2 + 5)4

5.

∫

7.

∫ sin

9.

∫ (3x

11.

3

(3− 5x)74 3 Ans : dx x −12x + c 2. ∫ 7x 3 1 2 2 : sin x cos x xdx+ sin x + c 4. ∫ csc Ans 2

xdx

8.

+1)2 dx

10.

2

∫ (1+ cos 3x) dx 2

13 . ∫ csc 2 2x dx

∫

6.

∫

3

cos 1− xcos 3 x Ans : dx − cos x + c 1− x 3

cot 2x ∫ 1− cos2 2xdx

16.

17.

∫ sin

4 18. ∫ cos 3x dx

187

8x dx

Ans :

∫ cos

2

2x dx

3(x + 5

Ans : −2 sin 1−

x−x9 5 3 Ans : x + 2x + x+c dx ∫ 4 x3 5 3 2 1 2 Ansdx : x + sin 3x + sin 6x + c 12. ∫ sec 4x 2 3 12 14. ∫ tan 2 8x dx

−(3− 5 4 35

Ans : − csc x

−1 x 2Ans +10x : + 25 dx +c 18(3x 2 + 5)3

15.

2

Ans :

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫]‪ [4-7‬اﻟﻠﻮﻏﺎرﰎ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ‪The Natural Logarithmic‬‬ ‫درﺳﻨﺎ دوا ًﻻ ﻣﺄﻟﻮﻓﺔ ﻧﻮﻋ ًﺎ ﻣﺎ‪ .‬ﻓﻜﺜﻴﺮات اﳊﺪود واﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ وﻏﻴﺮﻫﺎ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﳉﺒﺮﻳﺔ ﺗﻨﺘﺞ ﻋﻦ ﻋﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ﻣﺄﻟﻮﻓﺔ ﻓﻲ اﳊﺴﺎب واﳉﺒﺮ‪ ،‬وﳝﻜﻦ ﻣﻄﺎﺑﻘﺔ ﻗﻴﻢ اﻟﺪوال اﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﺑﺎﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻂ ﻋﻠﻰ داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة‪ .‬اﻣﺎ اﻻن‬ ‫ﻓﻨﺪرس داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﰎ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﺘﻲ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺣﺘﻰ ﻓﻲ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ]‪[4-1‬‬ ‫ﻳﻌﺮف ﻟﻮﻏﺎرﰎ ‪ x‬اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‪ ،‬وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ )‪ (ln x‬ﺑﺄﻧﻪ ‪:‬‬ ‫ﱠ‬ ‫)‪......... (1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dt ; ∀x > 0‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪x‬‬

‫∫‬

‫‪1‬‬

‫= ‪ln x‬‬

‫ﳝﺜﻞ ﻫﺬا اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻟﻜﻞ ‪ x‬اﻛﺒﺮ ﻣﻦ ‪ ، 1‬اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪودة ﻣﻦ اﻻﻋﻠﻰ ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y = 1‬وﻣﻦ اﻻﺳﻔﻞ ﺑﺎﶈﻮر ‪، t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫وﻣﻦ اﻟﻴﺴﺎر ﺑﺎﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ t = 1‬وﻣﻦ اﻟﻴﻤﲔ ﺑﺎﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪t = x‬‬ ‫اي اذا ﻛﺎن ‪ ، x = 1‬ﺗﻄﺎﺑﻖ اﳊﺪان اﻻﳝﻦ واﻻﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣﺔ واﺻﺒﺤﺖ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﺻﻔﺮاً‪.‬‬ ‫⎞‪⎛ a ⎛ a‬‬ ‫⎞‬ ‫⎟ ‪=⎜ 0∫ ⎟f = 0‬‬ ‫‪⎜ ∫ f (x)dx‬‬ ‫⎠‪⎝ a ⎝ a‬‬ ‫⎠‬

‫‪1‬‬ ‫‪ln1 = ∫ dt = 0‬‬ ‫‪1 t‬‬ ‫‪1‬‬

‫اﻣﺎ اذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ x‬اﺻﻐﺮ ﻣﻦ ‪ 1‬واﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﺼﻔﺮ ﻓﻌﻨﺪﺋﺬ ﻳﻜﻮن اﳊﺪ اﻻﻳﺴﺮ ﻫﻮ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ ، t = x‬واﳊﺪ اﻻﳝﻦ‬ ‫ﻫﻮ ‪ t=1‬وﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻳﻜﻮن اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dt = − ∫ dt‬‬ ‫‪x t‬‬ ‫‪t‬‬

‫ﻣﺴﺎوﻳﺎ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣﺔ ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﺑﲔ ‪ x‬و ‪. 1‬‬ ‫* ﻳﻨﺴﺐ اول اﻛﺘﺸﺎف ﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻰ اﻟﻨﺒﻴﻞ اﻻﺳﻜﺘﻠﻨﺪي ‪(1617 - 1550) John Napier‬‬

‫‪188‬‬

‫‪x‬‬

‫∫‬

‫‪1‬‬

‫= ‪ln x‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫وﻓﻲ ﻛﻞ اﳊﺎﻻت ‪ x ،‬ﻋﺪد ًا ﻣﻮﺟﺒﺎً‪ ،‬ﻓﺎﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﶈﺪد ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ (1‬اﻟﻰ اي ﻋﺪد‬ ‫ﻧﺮﻏﺐ ﻓﻴﻪ ﻣﻦ اﻻرﻗﺎم اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﻛﻤﺎ ﻣﺮ ﺑﻨﺎ ﻓﻲ ﺣﺴﺎب اﳌﺴﺎﺣﺔ ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳﺐ‪.‬‬ ‫وﲟﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ ‪ F(x) = ln x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬ ‫‪x 1‬‬ ‫∫ = )‪F ( x‬‬ ‫‪dt , ∀x > 0‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻓﺎﻧﻪ ﻣﻦ اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﳊﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ )‪ (4-4‬ﻧﻌﻠﻢ ان‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اي ان‪:‬‬ ‫= ) ‪( ln x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫= )‪F ʹ(x‬‬

‫ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻨﻨﺎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺻﻴﻐﺔ أﻋـﻢ ﻋﻨـﺪﻣـﺎ ﻳﻜــﻮن ﻟﺪﻳﻨــﺎ ‪ ln u‬ﺣﻴﺚ ‪ u‬داﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒـــﺔ ﻗﺎﺑﻠـــﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘـــﺎق‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪x‬‬ ‫ﻓﻘﺎﻋﺪة اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺎت )‪ (Chain Rule‬ﺗﻌﻄﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪d dd ⇒ d‬‬ ‫‪1dd‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪=du du‬‬ ‫(‬ ‫‪lnuuu) du‬‬ ‫‪∴ ( lnlnu‬‬ ‫‪.. u‬‬ ‫===‪)u‬‬ ‫‪lnu‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dxdx‬‬ ‫‪u du‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪du dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1 du‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪∴ ( ln u‬‬ ‫‪⇒ d ( ln u) = du‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪u dx‬‬ ‫‪u‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬

‫اذا ﻛﺎن ‪ y = ln 3x 2 + 4‬ﻓﺎوﺟﺪ ‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬

‫)‬

‫(‬

‫اﳊﻞ‬

‫)‬

‫(‬

‫‪2‬‬ ‫‪+4‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪dy‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dxdy 3x + 4‬‬

‫‪6x‬‬ ‫‪3x 2 + 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪u‬‬ ‫=‬ ‫ان اﻟﺼﻴﻐﺔ ‪du‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﺗﻘﻮدﻧﺎ‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪∫u‬‬ ‫‪u‬‬

‫=‬

‫وﺑﺸﺮط ان ﺗﻜﻮن ‪ u‬ﻣﻮﺟﺒﺔ‬

‫‪189‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪cosθdθ‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬ ‫ﺟﺪ ‪∫ 1 + sinθ‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫ﻧﻔﺮض‬

‫‪u = 1+ sinθ‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪= cosθ ⇒ du = cosθdθ‬‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‪cosθdθ‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪= ln u + c‬‬ ‫∫=‬ ‫‪1 + sinθ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪= ln 1+ sinθ + c‬‬

‫∫∴‬

‫]‪ [4-7-1‬داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﰎ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫‪y = ln x‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ‬

‫‪lnln‬‬ ‫‪= {=({x,( x,‬‬ ‫= ‪y)y:)y: =y‬‬ ‫‪lnln‬‬ ‫‪x, x,‬‬ ‫}‪x, >x 0>}0‬‬

‫ﻟﻮ اﺑﺪﻟﻨﺎ ‪ y , x‬ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻزواج اﳌﺮﺗﺒﺔ‪:‬‬ ‫ﳊﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ‬

‫‪x ∈R‬‬

‫‪y = ln −1 ( xyy) == ln‬‬ ‫‪ln−1−1((xyxx))==lnln−1‬‬ ‫‪, y,( x ) y > 0,‬‬ ‫‪x = ey‬‬

‫وﻳﻜﻮن( ‪ln −1‬‬ ‫)‪x‬‬ ‫ﻣﺠﺎل =) ‪= ln −1 ( xy‬ﻫﻮ‪ y‬ﻣﺪى ) ‪ln (x‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ‪ :‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ ‪) ex‬اﺳﺎس ‪ (e‬ﻫﻲ ﻋﻜﺲ داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ وﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﻮاﺻﻬﺎ‬ ‫ﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﳊﻘﻴﻘﺔ‪.‬‬

‫‪190‬‬

‫التكامل‬

Integration

]4-2[ ‫مبرهنة‬

d x e = ex dx

( )

y

‫البرهان‬

x

y=e

‫لتكن‬ ∴ x = ln y ⇒

1 dy 1= . ⇒ y dx dy = y = ex dx

x

d u du e = eu . dx dx

‫وبصورة عامة‬

( )

. d(etan x ) tan x d(tan x) =e . dx dx

⇒

dy x y = e2 tan =‫فجد‬ etan x .sec x dx

‫لتكن‬

-3 - ‫مثال‬ ‫احلل‬

dy = etan x .sec 2 x dx

‫مالحظـة‬ u

u

∫ e du = e

+ c : ‫ تقودنا الى صيغة التكامل‬d eu = eu du ‫ان صيغة التفاضل‬ dx

( )

2

x ∫ xe dx

xx2 2==uu→ ==du →2xdx 2xdx du ⇒

1 1 1 ∴ ∫ ex xdx = ∫ euudu = eu + c = ex + c 2 2 2 2

‫جد‬

-4 - ‫مثال‬

‫احلل‬

: ‫نفرض ان‬

2

)4 - 2( ‫تعريف‬ a u = eu ln a ‫ فان‬، ‫ عددا موجب ًا‬a ‫اذا كان‬ u

191

πeÉμàdG

Integration

dauuu du da u du .lnaa d e ===aaeu .u. .ln dx dx dx dx

[4-3] ‫ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ‬

( )

da u d u ln a = e dx dx

(

u ln a = eu ln a . uu

: ‫اﻟﺒﺮﻫﺎن‬

)

d .ln a a) (u ln dx

da u du ∴ = a u . .ln a dx dx : ‫ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬ x−5 a) y = 322x−5

a) y = 32 x−5 ⇒ 2

b) y = 2−x ⇒

− x2

x−5 b) y = 2 22x−5

-5 - ‫ﻣﺜﺎل‬ dy =‫ﺟﺪ‬etan x .sec 2 x dx

sin xx c) y = 5 sin

dy = 32 x−5 (2).ln 3 dx = (2 ln 3) 3e2 x−5

‫اﳊﻞ‬

2 dy = 2−x (−2x).ln 2 dx − x2 == (−2x ln22)(2 −2x ln (e−x )) 2

c) c) yy==55

) y = 5 sin x ⇒

sin sinxx

uu dy dy da dd u lnu5lna a da sin xx sin ⇒ .cos ⇒ ==55 .cos x.ln = ee 5 = x.ln dx dx dx dx dx dx

(( ))

dy = 5 sin x .cos=x.ln (lim55).5 sin x.cos x dx

192

πeÉμàdG

Integration (4

) øjQɪ

J

‐5

:‫ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬

a)

y = ln 3x

b)

⎛ x⎞ y = ln ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

c)

y = ln x 2

d)

y = ( ln x )

e)

⎛ 1⎞ 3 y = ln ⎜ ⎟ ⎝ x⎠

f)

y = ln ( 2 − cos x )

g)

y = e−5 x

h)

y = 9e

j)

y = x 2 ex − xex

i)

a) c) e) g)

i)

k)

193

( )

2

+ 3x+5

−x 4

y = e7

∫

3

0

1 dx x +1

ln 5

∫

ln 3

b)

e2 x dx

1

d) 2

∫ (1+ e ) e dx x

x

0

∫

4

1

∫ ∫

x

e dx 2 x

π 2

cos x dx sin x

π 6 π 2

0

cos x

e

sin x dx

f) h)

j)

l)

∫

0

ln 2

∫

0

∫ ∫

π 4

sec 2 x

( 2 + tan x ) 3

π − 4

∫ cot ∫

1

:‫ ﺟﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻻﺗﻴﺔ‬- 2

3x 2 + 4 dx x 3 + 4x +1

0

2

x

e− x dx

1

3

‫ ﺟﺪ‬- 1

2

2x dx x2 + 9

4

dy dx

5x dx

x e− ln x dx

dx

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ - 3‬اﺛﺒﺖ ان‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3x − 6 dx = 30‬‬

‫‪−2‬‬

‫‪8 27 3 3‬‬

‫‪x −1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪dxdx‬‬ ‫==‬ ‫‪2 14‬‬ ‫‪3 32‬‬ ‫‪x x2‬‬

‫∫ )‪b‬‬

‫‪ f(x )- 4‬داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [-2 , 6‬ﻓﺎذا ﻛﺎن ‪f (x)dx = 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪∫∫ [f (x)+ 3] dx = 32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬

‫ﻓﺠﺪ ‪f (x)dx‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪0‬‬

‫∫∫)‪a)a‬‬ ‫‪1‬‬

‫وﻛﺎن‬

‫∫‬

‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ - 5‬ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ a ∈ R‬اذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪∫ 2 )dx = 2 ∫ sec2 xdx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪ - 6‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f(x) = x2 +2x+k‬ﺣﻴﺚ ‪ ، k ∈ R‬داﻟﺔ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ اﻟﺼﻐﺮى ﺗﺴﺎوي )‪ (-5‬ﺟﺪ ‪f (x)dx‬‬ ‫‪ - 7‬إذا ﻛﺎن ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ f (x) = (x − 3)3 +1‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب )‪ (a,b‬ﺟﺪ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﻘﺪار‬ ‫‪f ʹʹ(x)dx‬‬

‫‪194‬‬

‫‪a‬‬

‫∫‬ ‫‪0‬‬

‫‪f ʹ(x)dx −‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫∫‬ ‫‪1‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫[‪ ]4-8‬إيجاد مساحة املنطقة املستوية‪.‬‬ ‫‪Plane Area by Definite Integral‬‬ ‫[‪ ]4-8-1‬مساحة املنطقة املستوية احملددة مبنحني ومحور السينات‬ ‫‪The area between a Curve and the x-axis‬‬ ‫لتكن )‪ y = f (x‬دالة مستمرة على الفترة ]‪ [ a, b‬ولتكن ‪ A‬مساحة املنطقة التي يحدها منحني الدالة‬ ‫ومحور السينات واملستقيمني ‪: x = a, x = b‬‬ ‫اذا كانت ‪ f (x) > 0‬فان املساحة ‪ A‬تساوي ‪f (x)dx :‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬

‫=‪A‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬

‫إذا كانت ‪ f (x) < 0‬فان املساحة ‪ A‬تساوي ‪A = − ∫ f (x)dx :‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪a‬‬

‫‪y‬‬

‫ ‬ ‫‪x‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪x‬‬

‫الشكل (‪)4-23‬‬

‫نتبع اخلطوات االتية ‪:‬خطوات ايجاد املساحة عندما ‪ f‬متتلك قيم موجبة وقيم سالبة على الفترة [‪:]a,b‬‬ ‫‪ .1‬جند النقاط عندما ‪. f(x)=0‬‬ ‫‪ .2‬نستخدم قيم ‪ x‬التي جتعل ‪ f(x)=0‬كموقع على [‪ ]a,b‬لتحصل على فترات جزئية من [‪. ]a,b‬‬ ‫‪ .3‬جنري عملية التكامل على كل فترة جزئية‪.‬‬ ‫‪ .4‬جنمع القيم املطلقة للتكامالت في اخلطوة (‪.)3‬‬

‫‪195‬‬

‫التكامل‬ ‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫ ‬

‫جد مساحة املنطقة احملددة مبنحني الدالة ‪f ( x ) = x 3 − 4x‬‬ ‫ومحور السينات وعلى الفترة [‪. ]-2,2‬‬

‫احلل‬ ‫اخلطوة االولى ‪ :‬جنعل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪Integration‬‬

‫‪f ( x) = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪∴ x − 4x = 0‬‬

‫‪x ( x 2 − 4) = 0‬‬

‫‪44)) == 00‬‬ ‫‪x = 0 orx =x 0= 2ororxxx=x((x2=x−−‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪or44))x((xx=++−2‬‬ ‫‪∴ x = 0 or, x = 2 or, x = −2‬‬

‫اخلطوة الثانية ‪ :‬فترات التكامل هي ‪]-2,0[ ، ]0,2[ :‬‬ ‫اخلطوة الثالثة ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫‪f ( x ) = x 3 − 4x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪⎡ x 24‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪⎥ = 0 − [4 − 8] = 4‬‬ ‫‪) ⎢⎣ 4‬‬ ‫( ‪A1= ∫ −2‬‬ ‫‪⎦−2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪⎡ x 24‬‬ ‫⎤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪⎥ = [ 4 − 8 ] − 0 = −4‬‬ ‫‪) ⎢⎣ 4‬‬ ‫( ‪A2= ∫ 0‬‬ ‫‪⎦0‬‬ ‫‪3‬‬

‫ ‬

‫‪196‬‬

‫‪2‬‬

‫اخلطوة الرابعة‪ :‬جمع القيم املطلقة للتكامالت‬ ‫وحدة مربعة ‪A= |A1|+|A2| ⇒ A = 4 + −4 = 4 + 4 = 8‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬ ‫‪y‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪x2‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺤﺪﻫﺎ ﻣﺨﻄﻂ اﻟﺪاﻟﺔ ‪y = x2‬‬ ‫وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ‪. x = 1 , x = 3‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫ﻧﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﺑﺠﻌﻞ ‪.y = 0‬‬ ‫]‪∴ x 2 = 0 ⇒ x = 0 ∉ [1, 3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫∴ ﻻ ﲡﺰﺋﺔ ﻟﻔﺘﺮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬ ‫]‪∵f(x)≥ 0 , x ∈ [1,3‬‬

‫‪0‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-24‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪⎡ x 3 ⎤ 27 1 26‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ⎥ ⎢ = ‪x dx‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪= 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎣ 3 ⎦1 3 3 3‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-3 -‬‬ ‫ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪ f (x) = x 3 − 3x 2 + 2x‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‪.‬‬

‫‪x‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت أي ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪y = 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫∫‬

‫=‪A‬‬

‫‪1‬‬

‫‪y‬‬

‫‪0‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-25‬‬

‫‪∴ x 3 − 3x 2 + 2x = 0 ⇒ x(x −1)(x − 2) = 0‬‬ ‫‪∴ x = 0, x = 1, x = 2‬‬ ‫∴ ﻓﺘﺮات اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻫﻨﺎ ‪[0,1] ، [1,2] :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪⎡ 2x 4 3 3 2 2 ⎤ ⎡ x 4‬‬ ‫⎤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x)dx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2x)dx‬‬ ‫∫ =‪A1‬‬ ‫∫⎢‬ ‫⎢ ⎥‬ ‫⎥‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫⎣‬ ‫‪⎦1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪116 1 1‬‬ ‫= ‪− (0) =+ ( + − =8 + 4) − ( −1+1) = +‬‬ ‫)‪= ( −1+1) − (0) + ( A−18==+ (4) −−1+1‬‬ ‫)‪( −1+1‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪444 2‬‬

‫‪197‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Integration‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪21‬‬

‫‪⎡3x 4 2 3 2 ⎤ ⎡⎡xx44 33 22⎤⎤ ⎡ x 4‬‬ ‫⎤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪− x ++2x)dx‬‬ ‫⎥ ‪x ⎥ += ⎢⎢ −−xx ++xx ⎥⎥ + ⎢ − x + x‬‬ ‫‪x − 3x + 2x)dx2 + ∫ =(x⎢ − 3x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⎣‬ ‫‪⎦0 ⎣⎣ 44‬‬ ‫‪⎦⎦10 ⎣ 4‬‬ ‫‪⎦1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 - 111+ 11) 1 11 1 1 16 16‬‬ ‫‪116‬‬ ‫‪16‬‬ ‫)‪=(0‬‬ ‫)‪(−4(+-1 8(−1+1‬‬ ‫)‪+ 4−)8-+=(4‬‬ ‫)‪= ( −1+1) − (0)= +( ( −1+1‬‬ ‫=‪−A82‬‬ ‫)‪+−4‬‬ ‫)‪−+ ( =−1+1‬‬ ‫)‪= ( = −1+1‬‬ ‫)‪=( −1+1‬‬ ‫)‪+ −=(0‬‬ ‫)‪− (0‬‬ ‫‪+ ( + (− 8 +− 48‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4 44 2 4 44 4 2‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫|‪A= |A1|+|A2‬‬

‫‪1616 16 161 1 31 1 121113 1 1-1112 111 1 1 116 1216 16‬‬ ‫‪16 21 1 1 11 1 111 1 1 11 1‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫)‪+−1+1‬‬ ‫)‪−+((0‬‬ ‫)‪( −+−−8((0‬‬ ‫)‪8+ +4)+−4)−8(−(+(4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪−1+1‬‬ ‫‪8−xA‬‬ ‫)‪+( 4‬‬ ‫)‪−1+1‬‬ ‫‪=−∫(=((x‬‬ ‫)‪=++−1+1‬‬ ‫)‪−1+1‬‬ ‫‪(2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=−=(3x‬‬ ‫=‬ ‫)‪−1+1‬‬ ‫⇒‪−(+‬‬ ‫)‪=(0‬‬ ‫)‪=−1+1‬‬ ‫‪−x(x‬‬ ‫)‪+(0‬‬ ‫‪−(−1)(x‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫‪8(x‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫)‪+−3+2‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫=‪8(−‬‬ ‫‪+3x‬‬ ‫وﺣﺪة‪−‬‬ ‫)‪84‬‬ ‫)‪8−1+1‬‬ ‫)‪(+−4‬‬ ‫)‪(−1+1‬‬ ‫)‪−−1+1‬‬ ‫)‪(= −1+1‬‬ ‫= =‪=+ =+= =+= +‬‬ ‫)‪∴−1+1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪==+‬‬ ‫)‪0−1+1‬‬ ‫)‪0(+−+−4‬‬ ‫==‬ ‫‪2x)dx‬‬ ‫‪+=−(−∫+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x)dx‬‬ ‫‪44 4‬‬ ‫‪44 4 4 0 4444 4 4442 244 4 2 4 4 21 4 4 4 4 4 4 44 4 442 4 2 42 2‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-4 -‬‬

‫ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ f (x) = x 2 −1‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪. [−2, 3‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﳒﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬ ‫‪x 2 −1 = 0‬‬ ‫]‪∴ x = ±1 ∈ [−2, 3‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪x=3‬‬

‫∴ ﳒﺰيء ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮات اﳉﺰﺋﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ ‪:‬‬

‫‪x=-2‬‬

‫]‪[-2,-1] ، [-1,1] ، [1,3‬‬

‫‪x‬‬

‫‪A3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪-2 -1‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-26‬‬

‫‪198‬‬

πeÉμàdG

Integration 11

: ‫ﳒﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت‬

33

⎡⎡x1x33 2 ⎤⎤ ⎡⎡xx333 ⎤2⎤ ⎡⎡xx33 ⎤⎤ 22 22 22 22 22 xx⎥⎥ −1)dx ++ ⎢⎢ −−xx⎥⎥ == ++ ++ ++ ++ 66++ A1∴ = ∫ (x −1)dx==+⎢⎢∫ (x−−xx−1)dx ⎥⎥ ++ ⎢⎢+ ∫−−(x 33 ⎣⎣−133 ⎦⎦−2−2 ⎣⎣ 331 ⎦⎦−1−1 ⎣⎣ 33 ⎦⎦11 33 33 33 33 −2 −1

−1 −1

2

1

3

1

3

−1 3 3 ⎡ ⎤ x1⎤31 ⎡ x⎡⎤3x 3 ⎤⎡⎤x3 3 ⎡ x23⎤ 2 ⎤ 22 222 2 2 222 2 ⎡_x13 ⎡ x 3⎤1 ⎡-⎤x⎡2 22 x 8 2⎢⎥ −++ 4x⎥+− x=⎥+ =++ +++ 6+ ++ + + +6 + =+x+ x−9⎢⎥x⎥ +=−+⎢x‫ــــــــ‬ x⎥‫ـــــــــ‬ 6+ +2 − x⎥ − − x⎢2⎥ +==⎢−‫ــــــــــــ‬ + ⎢6⎥‫ـــــــــ‬ ⎢ −= A1===⎢1=3 ⎢+1 333 ⎣⎦−23⎦−1 ⎣ 33⎣⎦ 3 ⎦−1 ⎣ 3 ⎣ 3⎦3−2 ⎣ ⎦3⎣−2 33 ⎣3⎦13 ⎣ 33 ⎦1 3 ⎦1 33 333 3 3 333 3 −1

−1

−1

1

3

⎡ x23 ⎤ ⎡⎡3xx33 2 ⎤⎤−1 ⎡⎡xx33 ⎤⎤1 2⎡ x 32 ⎤23 22 2 22 2 2 − x⎥ += ⎢⎢∫ (x−−−1)dx xx⎥⎥ ++⎢⎢ −−xx⎥⎥ =+ ⎢ + −+x⎥ += ++ 6 ++ + + 6 + A2=+ =∫ ⎢(x −1)dx ∫ (x −1)dx 3 ⎦−2 ⎣⎣1 33 ⎦⎦−1−2 ⎣⎣ 33 ⎦⎦1−1 3⎣ 3 3 ⎦31 33 3 33 3 −2 −1 ⎣ 3 −1

1

2

−1

−1 −1 1 1 3 3 −1 1 3 13 3 3 3−11 3 3 3⎤3 3⎤13⎤ 3 ⎡ 3⎤ ⎡ x 3⎤ ⎤⎡ x13 ⎡ x13⎤ ⎤2⎡ x⎡ 3x13⎡⎡1xx3⎤3⎤1−1 ⎡⎤-⎤2x⎡−1231x 3 22⎤⎡−1x1⎤3132 ⎡⎡xx⎡23⎤231x 3 2⎤⎡1⎡−1⎡x⎤xx33233⎡⎡⎡xx2x34⎤32⎤−1 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ x 2 2 2 x x 2 x 2 x x 2 2 +222 +22 2 x+ 22 +22− 2 x2 2−=x222 2+ ‫ـــــــــ‬ = −⎢ x⎥ − x+=⎥⎢1 ++1 −⎢ x⎥ + −A6x+= + − x − = x + = = + = − + x − + x + 6 + + + 6 − + x − = + = − + − x + − =x⎥ + = = − x + + x = + + + + 6 + = − x + − x + − x +1 =⎢== − x + − x − x = + + + 6 = − x + + − x = + + 6 + ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 +1 + 6 = 9 9 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎥ 33 333⎥ 3 ⎣ 3⎦−2 ⎦−2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 ⎣ 33 ⎣ 33⎦−1 2 ⎦3−1 ⎣ ⎣3 33⎣⎣333⎦1⎦3−2 ⎣⎦1⎦33⎣−2333 33⎦⎣−23⎦3−13 ⎣⎣ 33⎣3⎦3−1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ 3 3 3 3 3 3 ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣−21 ⎦−21−1 1−2−1 −1 −2 −11 1 −11 1 3

1

3

−1 1 3 3 ⎡ 3 3 33 3 3 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x x x 2 2 2 2 2 x x x 2 2 2 2 2 x+⎥ ∫+(x⎢2 −1)dx − x⎥ =+ ⎢⎢ −−xx⎥⎥ = + ⎢ + − x+⎥ + ⎢ + −6 x+⎥ = + + + + 6 + ∫ (x=2 ⎢⎣−1)dx A−3= 3 3 ⎦−2 1 ⎣ 3 ⎦−1 ⎣⎣ 33 ⎦⎦−21 ⎣33 3 ⎦−13 ⎣3 3 ⎦3 3 3 1 3 3 −1 −11 3 3 3 3 ⎤ ⎡x ⎤ ⎡x ⎤ 1 -111 ] 12 21 ⎡‫ــــــــــــ‬ 1x 2 20 = 6 + A3= [9 - 3 ] -=[1 =+1 + 6 = 9 1 +1 + 6 ==9⎢ − x⎥ + ⎢ − x⎥ + ⎢ − x⎥ = + 3 33 33 33 ⎣333 3 ⎦−2 ⎣ 3 ⎦−1 ⎣ 3 ⎦1 1

−1

A= |A1|+|A2|+|A3| : ‫ﳒﻤﻊ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت‬

3 16 11 31 1‫ــــــــــــ‬ 1421213 1111 2‫ــــــــــــ‬ 16 11216 1 ⎤1 111⎡1x13 11 1⎤1 11 121 12 1 ⎡ x16 ⎤ 211616 ⎡1x 316 41 1 1120 16 1 3 0) + ( − 8 + 4) − ( −1+1) = ( = = −1+1) ( + = ( −1+1) = − −1+1) (0) − + (0) − ( (0) − ( + 8 ( + − 4) 8 − + − 8 4) ( + − 4) −1+1) ( − ( −1+1) =x+−⎥4) = +−−1+1) ∴ x − 3x + 2x = 0 ⇒ x(x −1)(x − 2) = 0 = 1 +1 + 6 = 9 ‫ـــــــــ‬ 1 A = (x − 3x + 2x)dx + (x − 3x + 2x)dx −1+1) − (0) + ( − 8 + 4) −∫( −1+1) = = (=+ (−1+1) ==−1+1) (=∫⎢9−1+1) (0) −−(0) +‫ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ −+−8−1+1) 4) −8 + (=+ −4) (⎢=−1+1) (−+=x−1+1) x+⎥−((0) +( ⎢+ 8‫وﺣﺪة‬ ‫ـــــــــــ‬ ⎥2== =2+ =+ = +=+ 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 3 3 3 3 4 4 444 241⎣ 3 3 ⎦ 4 ⎣ 3 4 ⎦ 4 ⎣43 4 ⎦ 4 434 43 2 0 4

199

−1

1

3

−2

−1

1

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-5 -‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ y = sin x‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻲ اﻟﻔﺘﺮة ⎦⎥ ‪⎢⎣− , π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫ﳒﺪ ﻧﻘﺎط ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮات ⎥ ‪. ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫‪∵ sin x = 0 ⇒ x = 0 + n π , n∈ Z‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪0 ∈ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪π ∈ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪2π ∉ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪−π ∉ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬ ‫⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎥ ‪−2π ∉ ⎢− , π‬‬ ‫⎦ ‪⎣ 2‬‬

‫∴ ﳒﺰيء ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮات اﳉﺰﺋﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻲ اﳉﻴﺐ‬ ‫‪x‬‬

‫‪2π‬‬

‫=‪ n = 1 ⇒ x‬‬ ‫ =‪ n = 2 ⇒ x‬‬ ‫= ‪sin x = 0 ⇒ x‬‬ ‫ =‪ n =-1 ⇒ x‬‬ ‫=‪ n =-2 ⇒ x‬‬

‫[‬

‫‪0‬‬

‫‪[π‬‬

‫‪π‬‬

‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪+1‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪π‬‬

‫‪A2‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A1‬‬ ‫‪-1‬‬

‫اﻟﺸﻜﻞ )‪(4-27‬‬

‫‪200‬‬

‫=‪∴ n = 0 ⇒ x‬‬

‫‪−‬‬

‫‪−π‬‬

‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−2π‬‬ ‫‪−‬‬

0

∫

0 0

0

− cos x ] ∫sinsinx xdxdx= [=−[cos x] 0

π − π 2 − 2

0

− Integration π 2 −

[ ] ∫∫ sin sin xx dx dx == [−− cos cos xx ]

π

2

0 0 π −π −2 2

πeÉμàdG

π = − cos(0)+ cos(− ) π A1= π = − cos(0)+ cos(− ) 2 −π −2 0 2 2 0 = −1− 0 π ∫ sin x dx = [− cos= −x]cos(0)+ π = −1− 0 π − cos(− )) π 2 = − cos(0)+ cos(− − = −1 2 A21= -1+0 = -1 = −1 2 π == π−1− 00 π π −1− = − cos(0)+ cos(− ) [− cos x] sin x dx = ∫ π 0 sin x dx =2 [− cos x]0 == ∫−1 0 −1 π = −1− 0 0 = − cos π + cos 0 π π A2= ∫ sin π cos π + cos 0 dx == [− [− cos cos x] x]00 = − ∫0 sin=xx−1dx = 1+1 0 = 1+1 π π = − cos π + cos =002 − cos π + cos ∫ sin x dx = [− cos= x] 0 =2 A0 2= 1+1=2 == 1+1 +2 ∴ A = −1 1+1 + ∴ A = −1 = − cos=π2+ cos=03 2 =2 =3 = 1+1 A= |A∴ |+|A | 1 A =2 −1 + 2 ∴ A = −1 + 2 == 23 =3 ∴ A = −1 + 2 ⇒ A= 3 ‫وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ‬

: ‫ﺛﻢ ﳒﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‬

=3

-6 - ‫ﻣﺜﺎل‬

[−π, π ] ‫ وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة‬y = cos x ‫ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﳊﻞ‬ :‫ﳒﺪ ﻧﻘﺎط ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬ π n ∈ ZI cos x = 0 ⇒ x = + nπ , n∈ π 2 ∈ [−π, π ] ∴ n = 0 ⇒ x= 2 π n = -1 ⇒ x= − ∈ [−π, π ] 2 ∴x = n = 1 ⇒ x= 3π ∉ [−π, π ] 2 n = -2 ⇒ x= − 3π ∉ [−π, π ] 2 ‫ﳒﺰيء ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮات اﳉﺰﺋﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ‬ ⎡ π ⎤ ⎡ π π ⎤ ⎡π ⎤ −π ,− ⎢⎣ ⎥ , ⎢− , ⎥ , ⎢ , π ⎥ 2⎦ ⎣ 2 2⎦ ⎣2 ⎦

201

πeÉμàdG

Integration y

‫ﻣﻨﺤﻨﻲ اﳉﻴﺐ ﲤﺎم‬ 3π − 2

−2π

−π

A1

A2 π − 2

π

0

π 2

A3

3π 2

x

2π

(4-28) ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ππ −− 22

ππ −− 22 −π−π

cosxxdx dx==[ [sin sinx]x] ∫∫cos

π − 2

π 2 −π 00 ππ −−−−πππ π− 2π −−π −2222 −π −π2 −π 2 −π

: ‫ﳒﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت‬ ∫ cos x dx = [ sin x] ππ ππ [[−−xcos [−cos sinxxAdx dx cos sin xdx dxxx=]]=[− cosxx] ] ==sin− =∫∫==sin sin− − sin− π = −sin sinππ==−1+ −1+00==−1 −1 − sin− π = −sin ++sin ∫∫ sin x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] ∫∫∫∫cos π π 2 2 2 2 cos x dx ==[ sin sin−x] − sin− π = −sin + sin π = −1+ 0 = −1 00

ππ −− 22

1

0−− 0π−ππππ − − 222−π 2 2

ππ −− −π −π −π 2−π 2−π

−π−π

00 ππ −− 22

−

2 2 ππ πππππ π π π π π 0 2 π π++++sin 2 sin− sin− =x= A== ===− [sin− ]−sin sin− ππππ −sin −1+ −1 = −dx sin− −sin sinπππππ=====−1+ −1+00000=====−1 −1 sin− sin− −sin sin −1+ −1 ==−−cos(0)+ cos(0)+ cos(− cos(− )− )dx [sin sin x] cos(0)+ cos(0)+ )===)x] sin xcos dx =−−cos(− −==cos cos xx− [π πcos(− ∫sin− 1∫− ∫sin− = sin− −sin +sin sin −1+ −1 π ππ − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 π ππ 2 cos x dx x] − −=− [ sin 2 π ππππ∫ 2 2 2 π−1− =2= −1−00 ==−1− −1−00 πππππ− 2 222− π 2 2 ππ πππ 2222 cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] 2ππ −= ∫=∫∫∫−1 = sin − sin− 1+11==22 π = cos(0)+ cos(− sin − sin− =)=1+ π A2== −1 cos x dx =−1[ sin x]−−−−π ==−1 π π ππππ − 2 2 2 2 2 2 2 2 − −π =π sin −22 sin− = 1+ 1 = 2 ππ π π−−− 2222 π 2 2π π= −1− 02 π π ππ sinxx dx dx∫∫==sin [− [−xcos cos x] x] sin xdx dx ==π0π0[− [−cos cos x] x] ∫∫ sin 0x0dx π π = [ sin x] = sin π − sin −1 cos dx = [ sin x] = sin π − sin ==00−−11==−1 cos x π π π π π π ∫ ∫ π π π π−−−−sin− π =====sin = 1+ 1 = 2 sin sin− = 1+ 1 = 2 00 sin sin− = 1+ 1 = 2 sin sin− = 1+ 1 = 2 00 π 2 2 π −1 π −=sin− 1+sin 2 21 = 2= 0 − 1 = −1 [ sin cos x dx =π sin 22222x] 22222 π= − A3= ==−∫−cos π = sin 2 2 cosππ=++=π− cos cos 00ππ++cos −cos cos cos 00 2 πππππ 2 π π π π π π π π π π 2 sin x x] dx cos [[[[sin πππππ−x] cos ==== x] sin −−−−sin sin −1 cos dx [sin sin x]πππππ=====[− =sin sin sin π=====00000−−−−−11111=====−1 −1 cosxxxxxdx dx sin x] sin sin −1 cos dx 0sin ∫=∫=∫∫1+1 1+1 ==∫=1+1 1+1 sin x] sin −1 cos dx π 2 2 2 2 0 ππππ 2222 2 π 2 2= 2222 = 2 = = 2 2 = − cos π‫اﳌﻄﻠﻘﺔ‬ + cos‫اﻟﻘﻴﻢ‬ 0 ‫ﳒﺪ ﻣﺠﻤﻮع‬ A= |A2 1|+|A2|+|A3| :‫ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت‬ ++A2A 2==−1 ∴ ∴AA== −1 −1∴∴ −1++22 = 1+1 0

π 2

==33

ππ 22

==33

=2 ∴AA== −1 −1++ 22 + −1 A = −1 + 2 + −1 = =1+3 2 +1 = 4 ‫وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ = 1+ 2 +1 = 4

202

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫]‪ [4-8-2‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﶈﺪﺩﺓ ﲟﻨﺤﻨﻴﲔ‬ ‫ﺳﺒﻖ وأن درﺳﻨﺎ ﻛﻴﻔﻴﺔ أﻳﺠﺎد اﳌﺴﺎﺣﺔ ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ داﻟﺔ وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺴﺘﻘﻴﻤﲔ واﻵن ﺳﻨﺪرس ﻛﻴﻔﻴﺔ‬ ‫إﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺼﻮر ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻴﲔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ g(x), f (x‬داﻟﺘﲔ ﻣﺴﺘﻤﺮﺗﲔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [ a, b‬ﻓﺎن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ ‪ A‬اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻴﲔ‬ ‫ﳒﺪﻫﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ‪:‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪(1‬اذا ﻛﺎن ) ‪ f (x) > g (x‬ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬ﻓﺎﳌﺴﺎﺣﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ‪A = ∫ ∫ [f (x) − g(x)]dx‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪b a‬‬

‫‪(2‬اذا ﻛﺎﻧﺖ ) ‪ f (x) < g (x‬ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [a,b‬ﻓﺎﳌﺴﺎﺣﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ‪A = - ∫ ∫ [f (x) − g(x)]dx‬‬ ‫‪a b‬‬

‫‪ (3‬اذا ﺗﻘﺎﻃﻊ اﳌﻨﺤﻨﻴﺎن ﺑﲔ ]‪ [a,b‬ﳒﺪ ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ وذﻟﻚ ﺑﺠﻌﻞ ) ‪ f (x) = g (x‬ﺛﻢ ﳒﺪ ﻗﻴﻢ ‪ x‬اﻟﺘﻲ‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ )‪ (a,b‬وﳒﺰﺋﺔ ]‪ [a,b‬اﻟﻰ ﻓﺘﺮات ﺟﺰﺋﻴﺔ ﺛﻢ ﳒﺪ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﻔﺮق ﺑﲔ اﻟﺪاﻟﺘﲔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻓﺘﺮة ﺟﺰﺋﻴﺔ‬ ‫ﺛﻢ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﳒﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻄﻠﻖ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت واﻟﺘﻲ ﲤﺜﻞ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳌﻄﻠﻮﺑﺔ ‪.‬‬

‫)‪y = g(x‬‬ ‫↓‬

‫‪y‬‬

‫)‪y = f (x‬‬ ‫↓‬

‫‪x‬‬ ‫‪A = A1 + A2‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪c‬‬

‫‪c‬‬

‫‪a‬‬

‫)‪ f (x) > g(x‬ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪[a, b‬‬

‫)‪A == ∫A[1 f+(x‬‬ ‫‪A2 − g(x)]dx + ∫ [g(x) − f (x)]dx‬‬

‫‪b‬‬

‫‪A = ∫ [ f (x) − g(x)]dx‬‬

‫اي ان اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻴﻲ اﻟﺪاﻟﺘﲔ ‪: g, f‬‬ ‫‪f (x) − g(x) dx‬‬

‫‪a‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬

‫=‪A‬‬

‫‪a‬‬

‫‪203‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬ ‫ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪y = x 3‬‬ ‫‪y= x‬‬

‫واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺘﲔ‬

‫‪x3 = x‬‬ ‫‪x 3 − x = 0 ⇒ x(x − 1)(x + 1) = 0‬‬ ‫]‪x = 0, x = 1, x = −1 ⇒ [−1,0 ] , [0,1‬‬ ‫‪− x)dx‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫ (x‬‬

‫‪− x)dx +‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪∫ (x‬‬

‫= ‪A = A1 + A2‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪00‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪⎡x‬‬ ‫‪⎡x‬‬ ‫⎤ ‪x‬‬ ‫⎤ ‪x‬‬ ‫⎥ ‪=⎢ − ⎥ +⎢ −‬‬ ‫‪⎣ 4 2 ⎦ −1 ⎣ 4 2 ⎦ 0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪11 11 1 11 11 1‬‬ ‫‪11 11 111 1‬‬ ‫)‪==00=−−(0( −−(− )−++( (+−(− −)−(0‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫)‪− (0‬‬ ‫وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ = =‪== =++ +=-‬‬ ‫‪44 422 2 44 422 2‬‬ ‫‪44 44 422 2‬‬

‫‪204‬‬

Integration

‫التكامل‬

y

x

205

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫]‪ [4-8-3‬ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ ‪The Distance‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻮ ﻓﺄن اﳌﺴﺎﻓﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ )‪ V(t‬ﺳﺮﻋﺔ ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﻓﻲ‬ ‫ٍ‬ ‫‪t‬‬ ‫]‪ [t1, t2‬ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪d = ∫ V (t) dt‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪t1‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ d‬ﲤﺜﻞ اﳌﺴﺎﻓﺔ‪ ،‬اﳌﺴﺎﻓﺔ ﻛﻤﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺠﻬﺔ أﻣﺎ اﻻزاﺣﺔ ‪ s‬واﻟﺴﺮﻋﺔ ‪ v‬واﻟﺘﻌﺠﻴﻞ ‪ a‬ﻓﺎن ﻛ ً‬ ‫ﻼ ﻣﻨﻬﺎ ﻛﻤﻴﺔ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻟﺬا ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪v = ∫ a(t)dt‬‬

‫و‬

‫‪∫ V (t) dt‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪t1‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬ ‫ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪V (t) = 2t − 4 m/ s‬‬ ‫ﻓﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪ (a‬اﳌﺴﺎﻓﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪[1,3‬‬ ‫‪ (b‬اﻻزاﺣﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪[1,3‬‬ ‫‪ (c‬اﳌﺴﺎﻓﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﳋﺎﻣﺴﺔ‬ ‫‪ (d‬ﺑﻌﺪﻩ ﺑﻌﺪ ﻣﻀﻲ )‪ (4‬ﺛﻮاﻧﻲ ﻣﻦ ﺑﺪء اﳊﺮﻛﺔ‪.‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻮاﺿﺢ أن اﳉﺴﻢ ﻳﻐﻴﺮ اﲡﺎﻫﻪ‬

‫)‪a‬‬ ‫]‪∴ 2t − 4 = 0 ⇒ t = 2 ∈ [1, 3] ⇒ [1, 2] , [ 2, 3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− 4t ]1 + ⎡⎣t 2 − 4t ]2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪43‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪∫ (2t − 4)dt + ∫ (2t − 4)dt = ⎡⎣t‬‬

‫= ‪∴d‬‬

‫‪= (4 − 8) − (1− 4) + (9 − 12) − (4 − 8) = 1+ 1 = 2m‬‬

‫‪206‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬ ‫‪43‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪[16−12]−[1−‬‬ ‫]‪−16]− [ 0 ]4‬‬ ‫‪= =0 0‬‬ ‫‪(2t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4)dt‬‬ ‫=‬ ‫‪[t‬‬ ‫‪−‬‬ ‫]‪4t‬‬ ‫‪= [9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪01‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪(2t − 4)dt = [t 2 − 4t]54 = [ 25, 20 ] − [16 −16 ] = 5m‬‬ ‫‪(2t − 4)dt = [t 2 − 4t]04 = [16 −16]− [ 0 ] = 0‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬

‫∫‬

‫= ‪b) ds‬‬

‫∫‬ ‫∫‬

‫= ‪b) d‬‬ ‫)‪c‬‬

‫)‪d‬‬ ‫= ‪b) s‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬ ‫‪82))m‬‬ ‫‪m//sec‬‬ ‫ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺘﻌﺠﻴﻞ ﻗﺪرﻩ ‪s 2‬‬ ‫‪ ((18‬ﻓﺄذا ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺘﻪ ﻗﺪ أﺻﺒﺤﺖ ‪(82) m / s‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺑﻌﺪ ﻣﺮور ‪ 4‬ﺛﻮاﻧﻲ ﻣﻦ ﺑﺪ اﳊﺮﻛﺔ ﺟﺪ‪:‬‬ ‫‪(a‬اﳌﺴﺎﻓﺔ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫‪(b‬ﺑﻌﺪﻩ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺪء اﳊﺮﻛﺔ ﺑﻌﺪ ﻣﺮور ‪ 3‬ﺛﻮاﻧﻲ‬ ‫اﳊﻞ‬

‫⇒‪dt‬‬ ‫‪⇒Vvv== ∫ 18dt‬‬ ‫‪18dt‬‬ ‫‪VV == ∫ aa((tt))dt‬‬ ‫‪a (t )dt ⇒ v = ∫ 18dt‬‬ ‫‪V = 82,t = 4‬‬

‫)‪a‬‬

‫‪∴V = 18t + c‬‬

‫‪∴82‬‬ ‫⇒‪4)))+++ccc‬‬ ‫‪⇒ccc===10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪∴82 == ((18‬‬ ‫‪18×× 44‬‬ ‫⇒‬ ‫‪10‬‬ ‫‪∴V = 18t +10‬‬ ‫ﲟﺎ أن‬

‫‪18t +10 > 0 ⇒ Vt >=>0 ∫0a (t )dt ⇒ v = ∫ 18dt‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∴d = ∫ (18t +10 ) dt = ⎡⎣9t +10t⎤⎦ = [81+3 30 ] − [36 + 20 ] = 55m‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫⎦⎤‪+10t‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪∫ (18t +10) dt = ⎡⎣9t‬‬ ‫‪0‬‬

‫=‪S‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪+10t⎤⎦ = [ 81+ 30 ] − [ 0 ] = 111m‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪∫ (18t +10) dt = ⎡⎣9t‬‬

‫= ‪b) S‬‬

‫‪0‬‬

‫‪= [ 81+ 30 ] − [ 0 ] = 111m‬‬

‫‪207‬‬

‫‪(4‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‐‬

‫‪J‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ .1‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y = x 4 − x‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ ‪. x=1 , x=-1‬‬ ‫‪.2‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ f ( x ) = x 4 − 3x 2 − 4‬وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]‪ [−2,3‬وﻣﺤﻮراﻟﺴﻴﻨﺎت‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ f ( x ) = x 4 − x 2‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y=sin 3x‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ⎤ ‪⎡ π‬‬ ‫⎦⎥ ‪⎢⎣0,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪ .5‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y = 2cos 2 × −1‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] ‪. [0,‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .6‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺘﲔ ‪x − 1‬‬

‫= ‪ y = 1 x, y‬وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] ‪[2,5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ .7‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺘﲔ ‪. y = x , y = x − 12‬‬

‫‪ .8‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺘﲔ ‪ g ( x) = sin x cos x, f ( x) = sin x‬ﺣﻴﺚ ] ‪x ∈ [0,2π‬‬ ‫⎤ ‪⎡ 3π‬‬ ‫‪ .9‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺘﲔ ‪ g ( x ) = sin x, f ( x ) = 2sin x + 1‬ﺣﻴﺚ ⎥ ‪x ∈ ⎢0,‬‬ ‫⎦‪⎣ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .10‬ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ y = x + 4x + 3x‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‪.‬‬

‫‪208‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪ .11‬ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ ‪ v (t ) = (3t 2 − 6t + 3) m / s‬إﺣﺴﺐ‪:‬‬ ‫‪ (a‬اﳌﺴﺎﻓﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ] ‪[2, 4‬‬ ‫‪ (b‬اﻻزاﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]‪[0, 5‬‬ ‫‪ .12‬ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺘﻌﺠﻴﻞ ﻗﺪرﻩ ‪ ( 4t + 12) m / s‬وﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺘﻪ ﺑﻌﺪ ﻣﺮور )‪ (4‬ﺛﻮاﻧﻲ‬ ‫ﺗﺴﺎوي ‪ 90m / s‬إﺣﺴﺐ‪:‬‬ ‫‪ (a‬اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪t=2‬‬ ‫‪(b‬اﳌﺴﺎﻓﺔ ﺧﻼل اﻟﻔﺘﺮة ]‪[1,2‬‬ ‫‪ (c‬اﻻزاﺣﺔ ﺑﻌﺪ )‪ (10‬ﺛﻮاﻧﻲ ﻣﻦ ﺑﺪء اﳊﺮﻛﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫‪v (t )(100t‬‬ ‫‪= ( 3t 2 − 6t‬‬ ‫‪ .13‬ﺗﺘﺤﺮك ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن وﺑﻌﺪ ‪ t‬ﺛﺎﻧﻴﺔ ﻣﻦ ﺑﺪء اﳊﺮﻛﺔ أﺻﺒﺤﺖ ﺳﺮﻋﺘﻬﺎ ‪6t+2 3)) m / s‬‬

‫أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻼزم ﻟﻌﻮدة اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻰ ﻣﻮﺿﻌﻬﺎ اﻻول اﻟﺬي ﺑﺪأت ﻣﻨﻪ‪ ،‬ﺛﻢ اﺣﺴﺐ اﻟﺘﻌﺠﻴﻞ ﻋﻨﺪﻫﺎ‬

‫‪209‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫]‪ [4-8‬اﳊﺠﻮم‬

‫‪Integration‬‬

‫اﻟﺪوراﻧﻴﺔ‪Volumes of Revolution :‬‬

‫‪ .1‬ﳊﺴﺎب ﺣﺠﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪ x=a‬اﻟﻰ ‪ x=b‬ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‬

‫)‪y = f ( x‬‬

‫اﳌﺴﺘﻤﺮة ﻣﻦ‬ ‫‪b‬‬

‫‪V = π ∫ y2 dx‬‬

‫ﻧﻄﺒﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬

‫‪a‬‬

‫‪ .2‬ﳊﺴﺎب ﺣﺠﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫‪ y= a‬اﻟﻰ ‪ y=b‬ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات‬

‫)‪x = f ( y‬‬

‫اﳌﺴﺘﻤﺮة ﻣﻦ‬ ‫‪b‬‬

‫‪V = π ∫ x 2 dy‬‬

‫ﻧﻄﺒﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬

‫‪a‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬ ‫‪ y =y = x,0x,0‬وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‪ ،‬دارت ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت‪ ،‬ﺟﺪ ﺣﺠﻤﻬﺎ‪.‬‬ ‫اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪, ≤≤xx≤≤44‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫‪π y2 dx‬‬ ‫‪π x dx‬‬ ‫وﺣﺪة ﻣﻜﻌﺒﺔ‬

‫‪210‬‬

‫‪4‬‬

‫∫‬

‫‪0‬‬

‫= ‪π ( x )2 dx‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪b‬‬

‫∫‬

‫‪a‬‬ ‫‪4‬‬

‫∫‬

‫‪0‬‬

‫=‪v‬‬ ‫=‬

‫⎤ ‪⎡ x2‬‬ ‫‪= ⎢π ⎥ = 8π − 0 = 8π‬‬ ‫‪⎣ 2 ⎦0‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫‪11‬‬ ‫مثال ‪-2 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫احملددة ‪4‬بني املنحني ‪ x =x = ،,1 ≤ y ≤ 4‬دارت حول محور الصادات‪ .‬جد‬ ‫‪π‬‬ ‫املنطقة ‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪V 4 =π∫ π x = ∫ dy‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حجمها‪V =4 ∫ π x = ∫ 1 dy .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪dy = [ π ln y]1‬‬

‫∫‬

‫]‪y y‬‬ ‫‪= [ π1 ln‬‬ ‫‪= π ln 4 − 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪44 π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪vv == ∫ ππ xx22dy‬‬ ‫‪dy == ∫ dy‬‬ ‫وحدة مكعبة ‪dy = [ π ln y]1 = π ln 4 − 0 = 2π ln 2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11 y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪= π ln 4 − 0= 2π ln 2‬‬ ‫‪4‬‬

‫احلل‬

‫=‬

‫‪∫ πx‬‬

‫=‪V‬‬

‫‪1‬‬

‫‪= 2π ln 2‬‬

‫مثال ‪-3 -‬‬

‫أوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ الذي معادلته ‪y2 = 8x‬‬ ‫واملستقيمني ‪x=2 , x=0‬حول احملور السيني‪.‬‬ ‫احلل‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪b‬‬

‫وحدة مكعبة ‪v = π ∫ π y dx = π ∫ 8x dx = 4π ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ 0 = 16π‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪a‬‬

‫مثال ‪-4 -‬‬

‫احلل‬

‫اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ الذي معادلته ‪y = 2x 2‬‬ ‫واملستقيم ‪ x = 0, x = 5‬حول احملور السيني‪.‬‬ ‫‪4π 5 5‬‬ ‫= ⎤ ‪⎡x‬‬ ‫‪5 ⎣ ⎦0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪b‬‬

‫‪0‬‬

‫‪a‬‬

‫= ‪v = π ∫ π y2 dx = π ∫ 4x 4 dx‬‬

‫‪4π‬‬ ‫وحدة مكعبة ‪× 3125 = 2500π‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬

‫‪211‬‬

‫التكامل‬

‫‪Integration‬‬

‫مثال ‪-5 -‬‬ ‫اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة احملددة بالقطع املكافئ ‪ y = 4x 2‬واملستقيمني ‪y=0 , y=16‬حول‬ ‫احملور الصادي‪.‬‬ ‫احلل‬

‫‪b‬‬

‫‪v = π ∫ x 2 dy‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪16‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪dy = [ y2 ] = [16 × 16 ] = 32π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫وحدة مكعبة‬

‫‪16‬‬

‫∫ ‪v=π‬‬ ‫‪0‬‬

‫مثال ‪-6 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اوجد احلجم الناشيء من دوران املنطقة احملصورة بني محور الصادات ومنحني الدالة‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫= ‪ x = 1 , x‬دورة كاملة حول احملور الصادي ‪.‬‬ ‫احلل‬

‫= ‪ y‬واملستقيمني‬

‫‪x =1⇒ y =1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x= ⇒ y=2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪b‬‬

‫‪v = π ∫ x 2 dy‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪⎡ −12 ⎤2‬‬ ‫‪⎡1 ⎤ π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v = π ∫1 1 2 dy =⎡π−1‬‬ ‫‪=π‬‬ ‫‪⎤ ⎤⎥ = π⎡−1⎡⎢1 +⎤1⎤⎥ π‬‬ ‫‪⎡⎢−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⎣‬ ‫⎦‬ ‫‪v v= =π π∫ ∫1 2 ydy‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪dy‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪⎢ ⎢⎣ ⎥y ⎥⎦1‬‬ ‫‪⎢⎣ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎥⎦ 2Unit‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪⎣ ⎣y y⎦1⎦1‬‬ ‫‪1 1y y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪212‬‬

‫‪x‬‬

‫‪πeÉμàdG‬‬

‫‪Integration‬‬

‫‪(4‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬

‫‪‐7‬‬

‫‪ .1‬اوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﺪوراﻧﻲ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ ‪ y = x 2‬واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ‬ ‫‪ x = 1, x = 2‬ﺣﻮل اﶈﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ‪.‬‬ ‫‪ .2‬اوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﻨﺎﰋ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ y = x 2 + 1‬واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ y=4‬ﺣﻮل‬ ‫اﶈﻮر اﻟﺼﺎدي‪.‬‬ ‫‪ .3‬اﺣﺴﺐ اﳊﺠﻢ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y2 + x = 1‬واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ‪ x=0‬ﺣﻮل اﶈﻮر‬ ‫اﻟﺼﺎدي‪.‬‬

‫‪ .4‬اﺣﺴﺐ اﳊﺠﻢ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ ‪ y2 = x 3‬واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ‪x = 0, x = 2‬‬ ‫ﺣﻮل اﶈﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ‪.‬‬

‫‪213‬‬

‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸG‬‬

‫‪5‬‬

‫‪¢ùeÉÿG π°üØdG‬‬ ‫‪Chapter Five‬‬ ‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸG‬‬

‫]‪ [5-1‬ﻣﻘﺪﻣﺔ‪.‬‬ ‫]‪ [5-2‬ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫]‪ [5-3‬اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻣﻦ اﳌﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ‪.‬‬ ‫]‪ [5-4‬ﺑﻌﺾ ﻃﺮق ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬

‫ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ‬ ‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺍﻻﻋﺘﻴﺎﺩﻳﺔ‬ ‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬

‫‪214‬‬ ‫‪214‬‬

‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬ ‫‪O.D.E‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬

‫⎟ ⎜ ‪yʹ = f‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬

‫]‪ [5-1‬ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﻳﻌﺘﺒﺮ ﻣﻮﺿﻮع اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﻮاﺿﻴﻊ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ﻟﻜﺜﺮة ﻇﻬﻮرﻫﺎ ﻓﻲ اﳌﺴﺎﺋﻞ‬ ‫اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ واﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‪ .‬ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻨﺘﻄﺮق وﺑﺸﻜﻞ ﻣﺒﺴﻂ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔاﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ وﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﻠﻬﺎ‪.‬‬

‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[5-1‬‬ ‫اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ )‪ (Differential Equation‬ﻫﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﲢﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ‬ ‫واﺣﺪة او أﻛﺜﺮ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﳌﺠﻬﻮﻟﺔ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )اي ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﺎﺑﻊ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ(‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﻣﺜﻼً‪:‬‬

‫ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴــــــﺔ ﺍﻻﻋﺘﻴﺎﺩﻳﺔ ﻫـــﻲ ﻋﻼﻗـــﺔ ﺑﲔ ﻣﺘﻐـﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘــﻞ‬ ‫)‪ (Independt Variable‬ﻭﻟﻴﻜﻦ )‪ (x‬ﻭﺩﺍﻟﺘﻪ ﻏﻴـــﺮ ﺍﳌﻌﺮﻭﻓــﺔ )‪(y‬‬ ‫)‪ (Dependt Variabie‬ﻭﺑﻌﺾ ﻣﺸﺘﻘــــــﺎﺕ )‪ (y‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒـــــــﺔ ﺍﻟﻰ )‪(x‬‬ ‫ﻭﻳــــــﺮﻣـــﺰ ﻟﻬــــﺎ ‪ O . D . E‬ﻭﺍﻟﺘـــــــﻲ ﻫـــــﻲ ﻣﺨﺘﺼـــــﺮ ﺍﻟﻰ‬ ‫)‪(Ordinary Differential Equation‬‬

‫‪4) yʹ + x 2 y + x = y‬‬

‫‪1) dy = 3y − 4x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪5) ( yʹʹ)3 + 2 yʹ + x 2 ln x = 5‬‬

‫‪2) x 2 yʹʹ + 5xyʹ − x 3 y = 0‬‬

‫‪6) y( 4 ) + cos y + x 2 y yʹ = 0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪3) y3 + dy = y − 4‬‬ ‫‪dx dx‬‬

‫ﻛﻠﻬﺎ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻻن اﳌﺘﻐﻴﺮ ‪ y‬ﻳﻌﺘﻤﺪ ﻓﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﳌﺘﻐﻴﺮ ‪X‬‬

‫‪215‬‬

‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG‬‬ ‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[5-2‬‬ ‫اﳌﺮﺗﺒﺔ او )اﻟﺮﺗﺒﺔ( ‪ :Order‬ﺗﻌﺮف رﺗﺒﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑﺎﻧﻬﺎ رﺗﺒﺔ اﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ ‪ :Degree‬ﺗﻌﺮف درﺟﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑﺄﻧﻬﺎ‪ :‬اﻛﺒﺮ ﻗﻮة )أس( ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻟﻪ اﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻼً‪:‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬

‫‪1) dy + x − 7y = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2) y = 5x − 3xy + 7‬‬ ‫‪dx 2‬‬ ‫‪3) ( yʹʹʹy)3ʹʹʹ + yʹ − y = 0‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ‪4) yʹʹ + 2y( yʹ)3 = 0‬‬ ‫‪dy dy‬‬ ‫‪d 33 y 2‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺮاﺑﻌﺔ ‪x ( ) +=( x 3−)5+ 2‬‬ ‫واﻟﺪرﺟﺔ=‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪5‬‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx dx dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪dy 4 d 3 y 2‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫‪6) x ( ) + ( 3 ) + 2 2 = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫ﻓﻬﻲ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺮاﺑﻌﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ‪7) y( 4 ) + cos y + x 2 y yʹ = 0‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﺩﺭﺟﺔ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮﻥ ﺟﺒﺮﻳﺔ ﻓﻲ ﻣﺸﺘﻘﺎﺗﻬﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ‬ ‫ﺍﳉﺒﺮﻳﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻋﻠﻰ ﺭﺗﺒﺔ ﺗﻈﻬــﺮ ﻓﻲ ﺍﳌﻌـﺎﺩﻟﺔ ‪ .‬ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟـﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪( yʹʹ) = 1+ ( yʹ)2 :‬‬

‫ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻻﻥ ﺍﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ ﻓﻴﻬﺎ ʹʹ‪y‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺣﻴﺚ ﳝﻜﻦ ازاﻟﺔ اﳉﺬور او اﻻﺳﺲ اﻟﻜﺴﺮﻳﺔ وﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪( yʹʹ)4 = [1+ ( yʹ)2 ] :‬‬ ‫وﺑﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮن درﺟﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻟﺮاﺑﻌﺔ‬

‫‪216‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬

‫]‪ [5-2‬ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‬ ‫‪Solution of an Ordinary Differential Equation‬‬ ‫ان اﻟﻐﺎﻳﺔ ﻣﻦ دراﺳﺔ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻫﻲ ﻛﻴﻔﻴﺔ أﻳﺠﺎد ﺣﻠﻮ ًﻻ ﻟﻬﺎ‪ ،‬وﻳﺘﻢ ذﻟﻚ ﺑﺄﻳﺠﺎد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﺎﺑﻊ‬ ‫)ﻏﻴﺮ اﳌﺴﺘﻘﻞ ( ‪ y‬واﳌﺘﻐﻴﺮ اﳌﺴﺘﻘﻞ ‪ x‬ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﻻﺷﺘﻘﺎﻗﺎت وان ﲢﻘﻖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ‬ ‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[5-3‬‬ ‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻫﻮ اﻳﺔ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﻣﺘﻐﻴﺮات اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑﺤﻴﺚ ان ﻫﺬﻩ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬ ‫أ( ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ب( ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة ﻣﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﺟـ( ﲢﻘﻖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫اي ان اﳊﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻫﻮ اي داﻟﺔ ﳌﺠﻬﻮل )اﳌﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﺎﺑﻊ ( ﺑﺪﻻﻟﺔ اﳌﺘﻐﻴﺮ اﳌﺴﺘﻘﻞ ﲢﻘﻖ‬ ‫اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬ ‫ﺑﲔ ان اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ y = x 2 + 3x‬ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪xyʹ = x 2 + y‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫‪ y = x 2 + 3x‬ﳒﺪ ʹ‪ y‬ﻓﻴﻜﻮن‪:‬‬ ‫‪y = x 2 + 3x ... 1 ⇒ yʹ = 2x + 3 ... 2‬‬ ‫ﻧﻌﻮض )‪ (1‬و )‪ (2‬ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ واﻻﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ʹ‪LHS= xy‬‬ ‫)‪3x2 += 3x‬‬ ‫‪2x 2 + 3x‬‬ ‫‪x 22++(x‬‬ ‫= )‪= x(2x + 3‬‬ ‫‪= 2x‬‬ ‫‪RHS = x 2 + y = x 2 + x 2 + 3x‬‬ ‫اذ ًا اﻟﻌﻼﻗﺔ اﳌﻌﻄﺎة ﻫﻲ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻋﻼﻩ‬

‫‪= 2x 2 + 3x = LHS‬‬

‫‪217‬‬

‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG‬‬

‫]‪ [5 - 3‬اﳊﻞ اﳋﺎص واﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‪:‬‬ ‫ان ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻛﻤﺎ اﺳﻠﻔﻨﺎ ﻫﻮ اي ﻋﻼﻗﺔ ﺑﲔ ‪ y,x‬ﲢﻘﻖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬ﻏﻴﺮ ان اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻻي‬ ‫ﻣﺴﺎو ﻟﺮﺗﺒﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ ،‬ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻫﻮ اﳊﻞ اﳌﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺜﻮاﺑﺖ اﻻﺧﺘﻴﺎرﻳﺔ ٍ‬ ‫اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ وﺟﺐ ان ﻳﻜﻮن ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻌﺎم ﻣﺸﺘﻤ ً‬ ‫ﻼ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري واﺣﺪ ﻫﻮ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺬي ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻨﺪ‬ ‫اﺟﺮاء ﺧﻄﻮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻮﺣﻴﺪة ﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ ‪ .‬اﻣﺎ اذا ﻛﺎﻧﺖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﺟﺐ اﺷﺘﻤﺎل‬ ‫ﺣﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻧﻈﺮ ًا ﻻﺟﺮاء ﺧﻄﻮﺗﻲ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻫﻜﺬا ‪...‬‬ ‫ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﳌﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪− 5y = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ﺗﻌﺘﺒﺮ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ وﻳﺤﻘﻘﻬﺎ اﳊﻞ اﳋﺎص ‪ y = e5x‬ﻛﻤﺎ ﻳﺒﺪو ﻣﻦ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻏﻴﺮ ان ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻌﺎم ﻳﺠﺐ ان ﻳﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري واﺣﺪ ‪ ، c‬ﻓﻴﻜﻮن ‪y =ce5x‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫ﻓﻬﻲ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﲢﻘﻘﻬﺎ اﳊﻠﻮل اﳋﺎﺻﺔ ‪:‬‬ ‫اﻣﺎ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪+ y = 0‬‬ ‫‪dx 2‬‬ ‫‪ y = sin x, y = cos x‬ﻏﻴﺮ ان ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻌﺎم ﻳﺠﺐ ان ﻳﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﺧﺘﻴﺎرﻳﲔ‪ ،‬ﻛﺎن ﻳﻜﻮﻧﺎ‬ ‫‪ A,B‬وﻳﺼﺒﺢ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻋﻨﺪﺋﺬ ﺑﺎﻟﺼﻮرة ‪y = A sin x + B cos x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬

‫اﳊﻞ‬

‫اﺛﺒﺖ ان ‪ y=x ln |x| - x‬اﺣﺪ ﺣﻠﻮل اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬

‫‪dy‬‬ ‫)‪= x + y , x > 0....(1‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪x‬‬

‫ان اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = x ln |x|-x‬ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﺸﺘﻘﺎت وﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ ‪ x >0‬وﻟﻜﻲ ﻧﺜﺒﺖ اﻧﻬﺎ‬ ‫اﺣﺪ ﺣﻠﻮل اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ )‪ (1‬ﻧﻘﻮم ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ اﳌﺒﺎﺷﺮ ﻓﻲ )‪(1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪LHS == xx ==x.(x.‬‬ ‫)‪x(x. ++lnlnx| 1−1‬‬ ‫)‪x | (1) − 1‬‬ ‫‪LHS‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪= x.( 1 + ln x − 1 ) = x ln x‬‬ ‫‪RHS = x + y = x + x ln x − x = x.ln x‬‬

‫اذ ًا اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻌﻄﺎة ﻫﻲ اﺣﺪ اﳊﻠﻮل اﳋﺎﺻﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ )‪.(1‬‬

‫‪218‬‬

Ordinary Differential Equations -3 - ‫ﻣﺜﺎل‬ ً ‫ ﺣ‬، a ∈ R ، ln y2 = x + a ‫ﺑﲔ ان‬ 2yʹ − y = 0 ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫اﳊﻞ‬ ln y2 = x + a ⇒ 2 ln y = x + a ⇒ 2

1 ( yʹ) = 1 y

⇒ 2yʹ = y ⇒ 2yʹ − y = 0 ً ‫ ﺣ‬ln y2 = x + a ∴ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻋﻼﻩ‬

-4 - ‫ﻣﺜﺎل‬ d2 y ً ‫ ﺣ‬y = x 3 + x − 2 ‫ﻫﻞ‬ ‫؟‬ = 6x ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ 2 dx ‫اﳊﻞ‬ 22 2 dy d 2 y= x +x−2⇒ = 3x + 1 ⇒ y2 = 6x dx2 dx 33

d2 y = 6x ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ً ‫ ﻫﻮ ﺣ‬y = x 3 + x − 2 ‫وﻋﻠﻴﻪ‬ 2 dx

219

‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-5 -‬‬ ‫ﺑﺮﻫﻦ ان ‪ y = 3 cos 2x + 2sin 2x‬ﻫﻮ ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪. yʹʹ + 4y = 0‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫‪∵ y = 3 cos 2x + 2sin 2x ... 1‬‬ ‫‪∴ yʹ = −6 sin 2x + 4 cos 2x‬‬

‫‪yʹʹ = −12 cos 2x − 8 sin 2x ... 2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ① ‪ ② ،‬ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻻﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻨﺘﺞ‪:‬‬

‫⇒ ) ‪LHS = (−12 cos 2x − 8 sin 2x ) + 4 ( 3 cos 2x + 2sin 2x‬‬ ‫اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ ‪−12 cos 2x − 8 sin 2x + 12 cos 2x + 8 sin 2x = 0‬‬ ‫‪= RHS‬‬ ‫وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎن ‪ y = 3 cos 2x + 2sin 2x‬ﻫﻮ ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻋﻼﻩ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-6 -‬‬ ‫ﻫﻞ ‪ y2 = 3x 2 + x 3‬ﻫﻮ ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ yyʹʹ + ( yʹ)2 − 3x = 5‬؟‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫⇒ ‪∵ y2 = 3x 2 + x 3 ⇒ 2yyʹ = 6x + 3x 2‬‬ ‫‪2y ( yʹʹ) + yʹ ( 2) yʹ = 6 + 6x‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( yʹ3x‬‬ ‫=‪)2 =⇒3+yLHS‬‬ ‫‪+ ( y=ʹy)3−≠=3x‬‬ ‫⇒‪ʹʹ +‬‬ ‫‪yyʹʹ + ( yʹy)2yʹʹ=+3+‬‬ ‫‪y3x‬‬ ‫‪( yʹy)y−ʹʹ3x‬‬ ‫اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ ‪53x= 3+≠x 5‬‬ ‫‪≠ RHS‬‬ ‫وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎن ‪ y2 = 3x 2 + x 3‬ﻟﻴﺲ ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻋﻼﻩ‬

‫‪220‬‬

Ordinary Differential Equations -7 - ‫ﻣﺜﺎل‬ ً ‫ ﻫﻮ ﺣ‬y = e2x + e−3x ‫ﺑﲔ ان‬ . yʹʹ + yʹ − 6y = 0 ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫اﳊﻞ‬ 2x2x −3x 2x2x −3x −3x ∵ y y==e2xe2x++e−3x +9e−3x ʹʹ =4e4e −−3e3e ⇒⇒yʹʹy= 9e e−3x⇒⇒yʹy=ʹ =2e2e ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻻﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ LHS= yʹʹ + yʹ − 6y

= ( 4e2x + 9e−3x ) + ( 2e2x − 3e−3x ) − 6 ( e2x + e−3x ) = 4e2x + 9e−3x + 2e2x − 3e−3x − 6e2x − 6e−3x = 0 = ‫اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ‬ =RHS 2x −3x ً ‫ ﺣ‬y= e +e ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻋﻼﻩ‬ ‫وﻋﻠﻴﻪ ﻳﻜﻮن‬

221

‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG‬‬ ‫‪(5‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬

‫‪‐1‬‬

‫‪ .1‬ﺑﲔ رﺗﺒﺔ ودرﺟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ‪:‬‬

‫‪a) (x 2 − y2 )+ 3xy dy = 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪d2 y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪− 5y = 7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪c) ( yʹʹʹ)3 − 2 yʹ + 8y = x 3 + cos x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d) ( d y )2 − 2( dy )5 + 3y = 0‬‬ ‫‪dx 3‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪ .2‬ﺑﺮﻫﻦ ان ‪ y = sin x‬ﻫﻮ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪yʹʹ + y = 0‬‬ ‫‪d2 s‬‬ ‫‪ .3‬ﺑﺮﻫﻦ ان اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ Ss = 8 cos 3t + 6 sin 3t‬ﻫﻲ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪+ 9s = 0‬‬ ‫‪dt 2‬‬ ‫‪ .4‬ﻫﻞ ان ‪ y = x + 2‬ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ yʹʹ + 3yʹ + y = x‬؟‬ ‫‪ .5‬ﻫﻞ ‪ y = tan x‬ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ yʹʹ = 2y (1+ y2‬؟‬ ‫‪ .6‬ﻫﻞ ‪ 2x 2 + y2 = 1‬ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y3 yʹʹ = −2‬؟‬ ‫‪ .7‬ﻫﻞ ‪ yx = sin 5x‬ﺣ ً‬ ‫‪ xyʹʹ + 2yʹ + 5yx‬؟‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‪25yx= =0‬‬ ‫ﻼ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .8‬ﺑﲔ ان ‪ y = ae− x‬ﻫﻮ ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ yʹ + y = 0‬ﺣﻴﺚ ‪a ∈ R‬‬ ‫‪ .9‬ﺑﲔ ان ‪ c ∈ R , ln y = x 2 + c‬ﻫﻮ ﺣ ً‬ ‫ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪yʹʹ = 4x 2 y + 2y‬‬

‫‪222‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬

‫]‪ [5-3‬اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻣﻦ اﳌﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ ‪:‬‬ ‫ان ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻫﻮ ﻋﻤﻞ ﻣﻌﺎﻛﺲ ﻟﻌﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ‪ ،‬أي ﻳﻘﻮم ﻋﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ‪ ،‬وﻣﻦ اﳌﻌﺮوف‬ ‫اﻧﻪ ﻻ ﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﻋﻜﺲ ﺗﻔﺎﺿﻞ )اﻟﺼﻮرة اﳌﺒﺎﺷﺮة( ﻟﻜﻞ داﻟﺔ ‪ .‬اي ﻻ ﻧﺘﻮﻗﻊ ان ﻳﻜﻮن ﻟﻜﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫ﺣﻞ ﻋﺎم ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻟﺪوال اﻻوﻟﻴﺔ اﳌﻌﺮوﻓﺔ ‪ .‬وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﳝﻜﻦ ﺣﻠﻬﺎ ﺗﻘﺴﻢ اﻟﻰ اﻧﻮاع ﻣﺘﻌﺪدة‬ ‫ﺣﺴﺐ ﻃﺮﻳﻘﺔ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻌﺎم‪.‬‬ ‫وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻮف ﻧﺴﺘﻌﺮض اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ﲟﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ‪. y , x‬‬ ‫وﻣﻊ ان ﻫﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻗﺪ ﺗﺒﺪو ﺑﺴﻴﻄﺔ إﻻ أﻧﻪ ﻟﻴﺲ ﻣﻦ اﳌﻤﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﺣﻞ ﻋﺎم ﻻي ﻣﻨﻬﺎ‬ ‫ﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ ‪ ،‬وﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻋﺎﻣﺔ ﻟﻠﺤﻞ ‪ .‬وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺴﻮف ﻧﻘﺴﻢ ﻫﺬﻩ اﳌﻌﺎدﻻت واﻟﺘﻲ ﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﺣﻠﻬﺎ‬ ‫ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻣﺒﺎﺷﺮة اﻟﻰ ﻋﺪة اﻧﻮاع ‪ ،‬اﻫﻤﻬﺎ ‪:‬‬ ‫‪ .1‬اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻔﺼﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﳌﺘﺠﺎﻧﺲ ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺗﺎﻣﺔ‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺮﻧﻮﻟﻲ ‪.‬‬ ‫وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻨﻘﺘﺼﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻮﻋﲔ )‪ ( 1‬و )‪ ( 2‬وﻃﺮاﺋﻖ ﺣﻠﻴﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫ﻼ ﺗﺄﺧﺬ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ اﻟﺸﻜﻠﲔ اﻻﺗﻴﲔ‪:‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫)‪= F ( x, y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2)M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪M ( x, y) ≠ 0‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪N (x, y) ≠ 0 , M (x, y) ≠ 0‬‬ ‫ﻓﺎﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﳝﻜﻦ ان ﺗﻜﺘﺐ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﺣﻴﺚ ان‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ اﻟﻼﺣﻖ ﺳﻨﺪرس ﺑﻌﺾ ﻃﺮق ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‪.‬‬

‫‪ dy = 3xy‬ﻣﺜ ً‬ ‫ﻼ‬ ‫‪dx x + y‬‬

‫‪(3xy) dx = ( x + y) dy‬‬ ‫‪(3xy).dx - (x+y).dy=0‬‬ ‫)‪M = 3xy , N = x(x+y‬‬ ‫‪+y‬‬

‫‪223‬‬

‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG‬‬

‫]‪ [5-4‬ﺑﻌﺾ ﻃﺮق ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫او ًﻻ ‪ :‬اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻔﺼﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ‪Separation of Variables‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت وﻛﻤﺎ ﻳﻈﻬﺮ ﻣﻦ اﺳﻤﻬﺎ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ان ﻧﻌﺰل ﻛﻞ اﳊﺪود اﻟﺘﻲ ﲢﺘﻮي ﻋﻠﻰ ‪ x‬ﻓﻘﻂ ﻣﻊ‬ ‫‪ dx‬ﻓﻲ ﺟﺎﻧﺐ واﳊﺪود اﻟﺘﻲ ﲢﺘﻮي ﻋﻠﻰ ‪ y‬ﻓﻘﻂ ﻣﻊ ‪ dy‬ﻓﻲ اﳉﺎﻧﺐ اﻻﺧﺮ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‪:‬‬ ‫)‪f(x).dx = g(y)dy ... (1‬‬ ‫ﺛﻢ ﻧﻜﺎﻣﻞ ﻃﺮﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ (1‬ﻓﻴﻜﻮن‬ ‫‪f (x)dx + c‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ c‬ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري )‪(Arbitrary Constant‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬

‫∫ = ‪∫ g(y)dy‬‬

‫‪dy‬‬ ‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪= 2x + 5‬‬ ‫‪dx‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= 2x + 5 ⇒ dy = ( 2x + 5 ) dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪∫ dy = ∫ (2x + 5)dx ⇒ y = x2 + 5x + c‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-2 -‬‬ ‫اﳊﻞ‬

‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪dy x −1‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﳒﻌﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮرة ‪g(y)dy = f (x)dx‬‬ ‫اي‪:‬‬ ‫ﺑﺎﺧﺬ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ ‪:‬‬

‫‪ydy = (x −1)dx‬‬

‫‪∫ ydy = ∫ ( x −1)dx‬‬

‫‪1 2 1 2‬‬ ‫‪y = x − x+c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = x − 2x + 2c ⇒ y = ±(x − 2x + 2c) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫) ‪= ±(x − 2x + c1‬‬ ‫)ﻟﻜﻮن ‪ c‬ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري ﻓﺎن ‪ 2c‬ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري اﻳﻀ ًﺎ اﺳﻤﻴﻨﺎﻩ ‪(c1‬‬

‫‪224‬‬

‫‪2‬‬

Ordinary Differential Equations -3 - ‫ﻣﺜﺎل‬ ππ y ≠y (2n+ 1) 1) , cos ≠y 0≠ 0 ‫ ﺣﻴﺚ‬dy = sin x cos ≠ (2n+ , cos cos2 2ydx y dx ‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ 22 ‫اﳊﻞ‬ g(y)dy = f (x)dx ‫ﳒﻌﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ 1 dx dy = sin xdx cos 2 y

:‫اي‬

sec 2 ydy = sin xdx dx ⇒

∫ sec

2

ydy =

dx ∫ sin xdx

‫ﺑﺎﺧﺬ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ‬

tan y = − cos x + c ‫ ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري‬c ‫ﺣﻴﺚ‬ -4 - ‫ﻣﺜﺎل‬ x= 2 , y= 9 ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬yʹ − x y = 0 ‫اوﺟﺪ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ 1

1

‫اﳊﻞ‬

dy dy − xy 2 = 0 ⇒ = xy 2 yʹ − x y = 0 ⇒ dx dx 1 1 1 1 1 1 − − −dy − dy 1 1 2 2 =⇒ 0 ∫⇒ −=xy =xdx 0 =⇒=2 2 y =y= = xy x2 2x+2 +c c y2 ʹdy −=x=xdx y⇒ y y2 dy dydy xdx =∫2 ∫xdx ∫y ydx dx 2 2 ‫ ﻳﻨﺘﺞ‬x= 2 , y= 9 ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ‬ 1 2 2 9 = (2) + c ⇒ 6 = 2 + c ⇒ c = 4 2 ‫∴ اﳊﻞ ﻫﻮ‬ 1 1 2 y = x 2 + 4 ⇒ y = ( x 2 + 2)2 2 4

225

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG -5 - ‫ﻣﺜﺎل‬ x=0 ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ‬y=0 ‫ﺣﻴﺚ‬

dy 2 x+y ‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬ =e dx ‫اﳊﻞ‬

dy 2 x y = e .e ⇒ e− y dy = e2 x dx dx 1 − ∫ e− y (−1)dy = ∫ e2 x (2)dx 2 1 ‫ ﻳﻨﺘﺞ‬x = 0 , y = 0 ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ‬ −e− y = e2x + c y = 0, x = 0 2 1 1 3 ⇒ −e−0 = e0 + c ⇒ −1 = + c ⇒ c = − 2 2 2 : ‫اذن اﳊﻞ ﻫﻮ‬ 1 3 1 −e− y = e2 x − ⇒ e− y = (3− e2 x ) 2 2 2 1 3 − e2x = ey 2 ⇒ ye= = ln y

22 33−−eex2x

⇒ y = ln

2 3 − e2x

: ‫ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ ﻳﻨﺘﺞ‬ln ‫وﺑﺄﺧﺬ‬ (x +1)

dy dx =2 ⇒ y x +1

dy = 2y : ‫ﺟﺪ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ dx

dy dx = 2 ∫y ∫ x+1

-6 - ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫اﳊﻞ‬

ln y = ln(x +1)2 + c ⇒

ln ln(x 1)22 .e =cc) ⇒ ln| y |=−ln ((x++1) |= y |ec (x +1)2 | y | y ln =c⇒ = ec 2 2 (x + 1) (x + 1) | y |= ec (x + 1)2

∴ y = ±C 1 (x + 1)2

. ‫ ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري‬c1= ec ‫ﺣﻴﺚ‬

226

Ordinary Differential Equations (5

) øjQɪ

J

‐2

:‫ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻓﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات‬- 1 a) yʹ cos 3 x = sin x c)

dy = (x +1)(y −1) dx

e) yyʹ = 4 (1+ y2 )3 g) yʹ = 2ex y3 ,

dy x 3 + y3 = b) dy + dx xy xy2 y, x = 10, y = 2 x 3 = 3x x = 0, y = yʹ =dx 2e y , 2 d) (y2 + 4y −1) yʹ = x 2 − 2x + 3 f) ex dx − y3 dy = 0

x = 0, y =

1 2

dy 2 xy + y = 1− y2 a) dx

: ‫ ﺟﺪ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ‬- 2 dy b) sin x cos y + cos x sin y = 0 dx

c) x cos 2 y dx + tan y dy = 0

d) tan 2 y dy = sin 3 x dx

e)

dy = cos 2 x cos 2 y dx

g) ex+2 y + yʹ = 0

227

f)

dy cos x = 2 y dx 3y + e

‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻴﺎً‪ :‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ‪Homogeneous Differential Equation‬‬ ‫ﻗﺪ ﺗﻜﻮن اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻔﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻓﻴﻬﺎ وﻟﻜﻦ ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﻓﻲ اﻟﻮﻗﺖ ﻧﻔﺴﻪ ﺑﺼﻮرة‬ ‫ﻣﻌﻴﻨﺔ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﲢﻮﻳﻠﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻔﺼﻞ وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺤﻮﻳﻼت وﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﻟﺼﻮر اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ وﻫﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) (‪= f‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫⎟ ⎜‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪ 4 4 dy‬ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻻﺗﻴﺔ‪⎝ x ⎠ :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻓﻤﺜ ً‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻼ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ‪y :‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫⎟ ⎜ ‪1+‬‬ ‫وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪x4 ≠ 0‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬ ‫ﺑﲔ اي اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ؟‬ ‫)‪ (1‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬

‫‪dy x 3 + y3‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪3x 2 y‬‬

‫ﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﺒﺴﻂ واﳌﻘﺎم ﻋﻠﻰ ‪ x 3 ≠ 0‬ﻳﻨﺘﺞ‬

‫∴ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬

‫‪y 3‬‬ ‫‪x 3 y3‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪3x 2 y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫) (‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x3‬‬

‫)‪ (2‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪2xyyʹ − y2 + 2x 2 = 0‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ‪ x 2 ≠ 0‬ﻳﻨﺘﺞ‪:‬‬

‫∴ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪x2 − y‬‬ ‫‪= yʹ = 3‬‬ ‫)‪ (3‬اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫ﻫﺬﻩ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻻﻧﻪ ﻻﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﺑﺎﻟﺼﻮرة ‪= f ⎜ ⎟ :‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪228‬‬

‫‪2xy‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪yʹ − 2 + 2 2 = 0‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2( ) yʹ − ( )2 + 2 = 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪Ordinary Differential Equations‬‬ ‫‪á°ùfÉéàŸG ádOÉ©ŸG πM á≤jôW‬‬ ‫اذا ﻛﺎﻧﺖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻟﻐﺮض ﺣﻠﻬﺎ ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻻﺗﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫⎞‪⎛ y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫ﺛﻢ ﻧﻌﻮض ‪v‬ﻋﻦ=‬ ‫‪ (1‬ﻧﻜﺘﺒﻬﺎ ﺑﺎﻟﺼﻮرة ⎟ ⎜ ‪= f‬‬ ‫⎠‪⎝x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫= ‪ v‬او ‪ y = vx‬ﺣﻴﺚ ‪ v‬ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺟﺪﻳﺪ وﻫﻮ داﻟﺔ ﻟـ ‪x‬‬

‫‪ (2‬ﻧﺸﺘﻖ ‪ y = vx‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ x‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫⇒ ‪= v ⇒ y = vx‬‬ ‫‪= x + v ... 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ (3‬ﺑﺎﻟﺮﺑﻂ ﺑﲔ ‪ 1‬و ‪ 2‬ﻳﻨﺘﺞ‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪x + v = f (v) ⇒ x = f (v) − v‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪f (v) − v x‬‬

‫‪ (4‬ﺑﻌﺪ ﻓﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ (5‬ﺑﺄﺧﺬ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﻄﺮﻓﲔ ‪+ c‬‬ ‫‪x‬‬

‫∫‬

‫‪dv‬‬ ‫=‬ ‫‪f (v) − v‬‬

‫∫‬

‫ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪v , x‬‬

‫‪ (6‬ﻧﻌﻮض ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻋﻦ ‪ v = y‬ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ اﳌﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ‪.y, x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-1 -‬‬ ‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬

‫‪3y2 − x 2‬‬ ‫= ʹ‪y‬‬ ‫‪2xy‬‬

‫اﳊﻞ‬ ‫ﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﺒﺴﻂ واﳌﻘﺎم ﺑﺎﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ ﻋﻠﻰ ‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3( )2 −1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪= x‬‬ ‫)‪...(1‬‬ ‫اي ان اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ‬ ‫‪y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫) (‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ ‪ v = y‬ﺗﺼﺒﺢ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )‪ (1‬ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dy 3v −1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫)‪... 2(2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2v‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫⇒ ‪y = vx‬‬ ‫)‪= x + v ...(3‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ )‪ (3‬ﻓﻲ )‪ (2‬ﻳﻨﺘﺞ‬

‫‪ x2‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪229‬‬

ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG dv 3v2 −1 dv 3v2 −1 x +v= ⇒x = −v 2v 2v dx dx dv v2 −1 x = 2v dx

:‫ﺑﻔﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻳﻨﺘﺞ‬

1 2v dx = 2 dv x v −1 1

∫ x dx = ∫ v

2v 2 dv ⇒ ln x = ln v −1 + ln c 2 −1

,c > 0

ln x = ln c(v2 −1) ⇒ x = ±c(v2 −1) ⎡ y⎡2y⎡2y2⎤ ⎤ ⎤ yy y x 3x 3x 3 ∵ v v= =v =⇒⇒x⇒x= =x± ± c ⎢= ⇒ c ⎢c2 ⎢−1−1 c= =c 2= ⎥−1 ⎥⇒ ⎥c⇒ y y−2y−x2 2− xx x x 2x 2 ⎣ x⎣ x⎣2x 2⎦ ⎦ ⎦ dy y + x = ‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ dx y − x

-2 - ‫ﻣﺜﺎل‬

: ‫( ﺗﺼﺒﺢ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬x ≠ 0) ‫ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻃﺮﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫اﳊﻞ‬

y dy x + 1 = ....(1) dx y − 1 x y dy dv Qv = ⇒ = (v × 1) + x ....(2) x dx dx

dv v + 1 : (1) ‫( ﻓﻲ‬2) ‫ﻧﻌﻮض ﻣﻦ‬ v+ x = dx v − 1 dv v + 1 dv 2v − v2 + 1 v−1 dx ∴x = −v⇒ x = ⇒ dv = v−1 dx v − 1 dx 2v − v2 + 1 x 2 − 2v −1 dx −1 ⇒ dv = ⇒ ln 2v − v2 + 1 = ln x + ln c 2 ∫ ∫ 2 2 2v − v + 1 x −1 1 2 ln 2v − v + 1 2 = ln cx ⇒ ln = ln cx 2 2v − v + 1

230

Ordinary Differential Equations ⇒ 2v − v2 + 1 =

1 = cx

c12 ⇒ 2v − v + 1 = 2 x 2

= x 2 + 2xy − y2 = k

(3x − y) yʹ = x + y y x+ y x ⇒ yʹ = yʹ = y 3x − y 3− x dy 1+ v ∴ = ...(1) dx 3− v 1+

∵v = ∴

-3 - ‫ﻣﺜﺎل‬

x ≠ 0 ‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ‬

y dy dv ⇒ y = xv ⇒ = x +v x dx dx

d 1+ v x dv + v = dx 3− v

‫ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ‬

...(2)

:‫( ﻳﻨﺘﺞ‬2) ‫( ﻓﻲ‬1) ‫ﻧﻌﻮض ﻣﻦ‬

dv 1+ v dv v2 − 2v+1 dv (v −1)2 x = −v⇒ x = ⇒x = 3− v 3− v dx 3− v dx dx − [(v −1) − 2 ] 1 3− v 1 dx = dv ⇒ dx = dv x (v −1)2 (v −1)2 x 1 −1 2 2 v −1+ + cc ∫ x dx = ∫ (v −1) dv + ∫ (v −1)2 dv ⇒ ln x = − ln v −1 − v 2−1 y 2 ln x = − ln −1 − +c y x −1 x −2x ln y − x = +c y− x

231

‫اﳊﻞ‬

‫‪ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪-4 -‬‬

‫‪dy‬‬ ‫ﺟﺪ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪= x 2 + y2‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪2x 2‬‬

‫‪dy x 2 + y2‬‬ ‫اﳊﻞ‬ ‫=‬ ‫اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻻﺗﻴﺔ ‪K(1) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪ dx‬‬ ‫وﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﳝﻜﻦ اﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ان ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﳌﻘﺎم ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ ﻫﻮ داﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ وﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ ﻧﻌﻮض ﻋﻦ ‪ y = vx :‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎن ‪:‬‬ ‫‪dv x 2 + x 2 v2‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫)‪ (1‬ﻳﻨﺘﺞ= ‪v+ x‬‬ ‫)‪= v+ x K(2‬‬ ‫ﻧﻌﻮض ﻣﻦ )‪ (2‬ﻓﻲ ‪2x 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ ‬ ‫‪dv x 2 + x 2 v2‬‬ ‫) ‪x 2 (1+ v2‬‬ ‫= ‪v+ x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2x 2‬‬ ‫) ‪dv 1+ vx2 2 (1+ v2‬‬ ‫⇒‪x = = −v‬‬ ‫‪2 2x 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dv 1+‬‬ ‫‪- 2v+ v2‬‬ ‫= ‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪2x = (v −1)2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪1 dx‬‬ ‫ﻓﺒﻔﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻻﺗﻲ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(v −1‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫وﺑﺎﺧﺬ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ ﳒﺪ ان‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫ʹ‪= ln x + c‬‬ ‫‪v −1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ʹ‪ c‬ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري اي ان ‪:‬‬ ‫‪v = 1−‬‬ ‫ʹ‪ln x + 2c‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ‪ v = y‬وﺑﻮﺿﻊ ʹ‪ c = 2 c‬ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻻﺧﻴﺮة ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫=‪y= x‬‬ ‫‬‫‪ln x + c‬‬

‫‪232‬‬

Ordinary Differential Equations (5 1. yʹ = y + e x

y x

2. (y2 − xy)dx + x 2 dy = 0 3. (x + 2y)dx + (2x + 3y)dy = 0 2 2 dy + y x 4. = dx 2xy

5. (y2 − x 2 )dx + xydy = 0 6. x 2 ydx = (x 3 + y3 )dy 7. x(

dy y − tan ) = y dx x

233

J

) øjQɪ 3 ‐

:‫ﺣﻞ ﻛﻼ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ‬

‫‪6‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬

‫‪¢SOÉ°ùdG π°üØdG‬‬ ‫‪Chapter Six‬‬ ‫‪Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG‬‬

‫]‪[6-1‬‬ ‫]‪[6-2‬‬ ‫]‪[6-3‬‬ ‫]‪[6-4‬‬

‫‪234‬‬ ‫‪234‬‬

‫ﲤﻬﻴﺪ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺰوﺟﻴﺔ واﳌﺴﺘﻮﻳﺎت اﳌﺘﻌﺎﻣﺪة‪.‬‬ ‫اﻻﺳﻘﺎط اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ‪.‬‬ ‫اﳌﺠﺴﻤﺎت‬

‫ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ‬

‫ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ‬

‫ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺔ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﺑﲔ )‪(x) ، (y‬‬

‫)‪(x) - AB - (y‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳉﺎﻧﺒﻴﺔ‬

‫‪L-A‬‬

‫ﺍﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ‬

‫‪T-A‬‬

‫ﺍﳌﺴﺘﻮﻱ ‪x‬‬

‫)‪(x‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫]‪ [6-1‬ﲤﻬﻴﺪ‪.‬‬ ‫سبق وان علمنا أن ك ً‬ ‫ال من املستقيم واملستوي مجموعة ﻏير منتهية من النقط‬ ‫وأن كل نقطتﲔ تعينان مستقيم ًا واحد ًا وواحد ًا فقط وكل ثالث نقط ليست على استقامة‬ ‫واحدة تعﲔ مستوي ًا واحد ًا فقط‪ ،‬وكل اربعة نقط ال تقع في مستو واحد تعﲔ فﻀاء‪.‬‬ ‫اي أن املستقيم يحتوي على نقطتﲔ على اقل تقدير‪ ،‬واملستوي يحتوي على ثالث نقط على اقل تقدير‬ ‫ال يحتويها مستقيم واحد‪ ،‬والفراغ يحتوي على على اربع نقط على اقل تقدير ليست جميعها في مستو‬ ‫واحد‪.‬‬ ‫كما تعرفنا في الصف اﳋامﺲ العلمي على عالقات بﲔ املستقيمات واملستويات وبرهنا بعﺾ‬ ‫املبرهنات التي ميكن االفادة منها في مبرهنات جديدة ستتعرف عليها في هذا الفصل‪.‬‬ ‫ولكي تتمكن من التواصل معنا وتتعرف على عالقات جديدة بﲔ املستقيمات واملستويات‪،‬‬ ‫واملستويات واملستويات وتكتسﺐ مفاهيم جديدة وتبرهن مبرهنات اخرىما عليك اال الرجوع الى مراجعة‬ ‫ما درسته في هذا املوضوع في السنة السابقة‪.‬‬

‫‪235‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬

‫]‪ [6-2‬اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺰوﺟﻴﺔ واﳌﺴﺘﻮﻳﺎت اﳌﺘﻌﺎﻣﺪة‪.‬‬ ‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[6-1‬‬ ‫الزاوية الزوجية‪ :‬احتاد نصفي مستويﲔ لهما حافة (‪ )Edge‬مﺸتركة‪.‬‬ ‫تسمى احلافة املﺸتركة بـ ( حرف االزاوية الزوجية ‪ )Edge of Dihedral‬ويسمى كل من نصفي املستويﲔ‬ ‫بـ (وجه الزاوية الزوجية) كما فى الﺸكل (‪)6-1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪Y‬‬

‫‪A‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪B‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪B‬‬

‫الﺸكل (‪)6-1‬‬

‫حيث ‪ AB‬هو حرف الزاوية الزوجية ‪ )X( ،‬و (‪ )Y‬هما وجهاها‬ ‫ويعبر عن الزاوية الزوجية بالتعبير‪)X( -A B - )Y( :‬‬ ‫وقد يعبر عنها بحرف الزاوية الزوجية ان لم يكن مﺸترك ًا مع زاوية اخرى‪.‬‬ ‫مثالً‪:‬‬ ‫الزاوية الزوجية‬ ‫‪Y‬‬ ‫(‪)X( - A B - )Z‬‬ ‫‪A‬‬

‫(‪)X( - A B - )Y‬‬ ‫(‪)Y( - A B - )Z‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪B‬‬ ‫الﺸكل (‪)6-2‬‬

‫وال ميكن ان تكتﺐ الزاوية الزوجية بﺸكل ‪ A B‬في هذا املثال ﻷن احلرف ‪ AB‬مﺸترك في اكثر من زاوية زوجية‪.‬‬

‫‪236‬‬

‫‪X‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﺭﺑﻊ ﻧﻘﺎﻁ ﻟﻴﺴﺖ ﻓﻲ ﻣﺴﺘ ٍﻮ ﻭﺍﺣﺪ‪ ،‬ﻧﻜﺘﺐ‬ ‫ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ‪ A - B C - D‬ﺍﻭ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ‬ ‫ﺑﲔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﲔ )‪ . (ABC) , (DBC‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ )‪(6-3‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬ ‫الﺸكل (‪)6-3‬‬

‫‪B á«LhõdG ájhGõdG ¢SÉ≤Jh‬‬ ‫‪:»J’Éc‬نأخذ نقطة ‪ D‬على احلافة املﺸتركة ‪ AB‬ونرسم من‪ D‬العمود‬ ‫‪ D C‬في (‪ )X‬والعمود ‪ D E‬في (‪ )Y‬على احلرف ‪ AB‬فيكون قياس الزاوية الزوجية بﲔ املستويﲔ‬ ‫هو قياس الزاوية‬

‫‪ C D E‬وتسمى الزاوية ‪ C D E‬الزاوية العائدة للزاوية الزوجية‪( .‬كما في الﺸكل‬

‫(‪))6-4‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫الﺸكل (‪)6-4‬‬

‫بعبارة اخرى لدينا الزاوية الزوجية‬ ‫(‪)X( - A B - )Y‬‬

‫‪237‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬ ‫ولدينا‬ ‫(‪D C ⊂ )X( , D E ⊂ )Y‬‬ ‫‪DC⊥AB,DE⊥AB‬‬ ‫∴‪CDE‬‬

‫هي الزاوية العائدة للزاوية الزوجية ‪ A B‬او (‪)X( - AB -)Y‬‬

‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[6-2‬‬ ‫الزاوية املستوية العائدة لزاوية زوجية‪ :‬هي الزاوية التي ضلعاها عموديان على حرف الزاوية الزوجية من‬ ‫نقطة تنتمي اليه وكل منهما في أحد وجهي الزاوية الزوجية‬ ‫أو هي احتاد شعاعﲔ عموديﲔ على حرف الزاوية الزوجية من نقطة تنتمي اليه وكل منهما في احد وجهي‬ ‫الزاوية الزوجية‬ ‫‪B êÉàæà°SG øμÁ á«LhõdGh IóFÉ©dG ÚàjhGõdG ∞jô©J øeh‬‬ ‫‪»J’G‬‬

‫‪ (1‬قياس زاوية عائدة لزاوية زوجية ثابت‬

‫‪ (2‬قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها وبالعكﺲ‪.‬‬ ‫ﺗﻌـــﺮﻳـﻒ ]‪[6-3‬‬ ‫اذا كانت الزاوية الزوجية قائمة فان املستويﲔ متعامدان وبالعكﺲ‬

‫قياس ‪)X( ⊥ )Y( ⇔ )X( - A B - )Y( = 90°‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪A‬‬

‫الﺸكل (‪)6-5‬‬

‫‪238‬‬

‫‪B‬‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬ ‫مبرهنة (‪:)7‬‬

‫اذا تعامد مستويان فاملستقيم املرسوم في احدهما والعمودي على مستقيم التقاطع يكون عمودي ًا على‬ ‫املستوي اآلخر‬ ‫‪:¬fG …G‬‬ ‫اذا كان ) ‪(X ) ⊥ (Y‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪(X )∩ (Y ) = AB‬‬

‫‪E‬‬

‫في ‪D‬‬ ‫فان ) ‪CD ⊥ (X‬‬ ‫‪:äÉ«£©ŸG‬‬

‫‪A‬‬

‫‪X‬‬

‫‪CD ⊂ (Y ), CD ⊥ AB‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪(X‬‬ ‫‪(Y(Y),‬‬ ‫‪(X(X‬‬ ‫‪(Y(Y),‬‬ ‫⊂= )‬ ‫‪AB,‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫‪(YAB‬‬ ‫⊥‪),‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫⊥ ) ‪(X‬‬ ‫‪), (X‬‬ ‫‪),‬‬ ‫∩)‪)(X=(Y‬‬ ‫‪AB,‬‬ ‫⊂‪(Y‬‬ ‫‪), CD‬‬ ‫‪(X(Y‬‬ ‫⊥)‬ ‫⊥ )‪(Y‬‬ ‫∩)‪),‬‬ ‫‪(X‬‬ ‫∩)‬ ‫∩)‪(Y‬‬ ‫∩)‪),‬‬ ‫‪(X‬‬ ‫∩)‬ ‫‪) =(YCD‬‬ ‫‪AB,‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫⊂‪(Y‬‬ ‫⊥ ‪),‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫في نقطة ‪AB⊥ AB D‬‬

‫‪:¬JÉÑKG ܃∏£ŸG‬‬

‫) ‪CD ⊥ (X‬‬

‫‪:¿ÉgÈdG‬‬ ‫في (‪ )X‬نرسم ‪DE ⊥ AB‬‬

‫(في املستوي الواحد ميكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم‬ ‫فيه من نقطة معلومة)‬

‫‪CD ⊂ (Y ), CD ⊥ AB‬‬

‫(معطى)‬

‫∴ ‪CDE‬‬ ‫∴‬

‫⊥ ) ‪( (X‬تعريف الزاوية العائدة)‬ ‫‪- (Y‬‬ ‫عائدة للزاوية الزوجية (‪AB) - )Y‬‬

‫‪CDE = 90°‬‬

‫∴ ‪CD ⊥ DE‬‬ ‫∴ ) ‪CD ⊥ (X‬‬

‫‪m‬‬

‫(قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها‬ ‫وبالعكﺲ)‬

‫(اذا كان قياس الزاوية بﲔ مستقيمﲔ ‪ 90°‬فان املستقيمﲔ متعامدان وبالعكﺲ)‬ ‫(املستقيم العمودي على مستقيمﲔ متقاطعﲔ من نقطة تقاطعهما يكون عمودي ًا‬ ‫على مستويهما)‬ ‫‪Ω . `g . h‬‬

‫‪239‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪:(7‬‬ ‫ﺍﺫﺍ ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﻥ ﻓﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﺍﺣﺪﻫﻤﺎ ﻋﻤﻮﺩﻳ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻵﺧﺮ‬ ‫ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺤﺘﻮﻯ ﻓﻴﻪ‪.‬‬ ‫‪:¬fG …G‬‬

‫‪Y‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪D‬‬

‫‪X‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪E‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪B‬‬

‫‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y‬‬

‫) ‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y ) ⊥ (X‬‬

‫مبرهنة (‪:)8‬‬

‫) ‪CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y ) ⊥ (X‬‬

‫مستو مار مبستقيم عمودي على‬ ‫كل‬ ‫مستو آخر يكون عمودي ًا على ذلك املستوي‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على اآلخر‬ ‫أو‬ ‫‪:¬fG …G‬‬ ‫⎧ ‪) X (⊥⊥(XB)A‬‬ ‫‪⎧ AB‬‬ ‫‪X ( (Y‬‬ ‫⊥‪⊥ ))Y‬‬ ‫) ‪( (X‬‬ ‫⇒) ⎨‬ ‫⎨ ) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬ ‫⎩ ‪) Y(⊂⊂(YB)A‬‬ ‫‪⎩ AB‬‬ ‫‪:äÉ«£©ªdG‬‬

‫‪240‬‬

‫) ‪AB ⊥ (X‬‬ ‫) ‪AB ⊂ (Y‬‬

‫‪E‬‬

‫‪Y‬‬ ‫‪C‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬ ‫‪:¬JÉÑKG ܃∏£ªdG‬‬

‫) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬

‫‪:¿ÉgôÑdG‬‬

‫ليكن ‪( (X )∩ (Y ) = CD‬يتقاطع المستويان بخط مستقيم)‬ ‫(مستقيم التقاطع يحتوي النقاط المﺸتركة)‬

‫‪B ∈ CD‬‬ ‫في (‪ )X‬نرسم ‪( BE ⊥ CD‬في المستوي الواحد يوجد مستقيم وحيد عمودي على مستقيم فيه‬ ‫من نقطة معلومة)‬ ‫∴ ) ‪AB ⊥ (X‬‬

‫(معطى)‬

‫∴ ‪( ∴ AB ⊥ CD, BE‬المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع المستقيمات‬ ‫المحتواة في المستوي والمارة من أثره)‬ ‫(معطى)‬ ‫∴ ) ‪AB ⊂ (Y‬‬ ‫∴ ‪ABE‬‬ ‫‪= 90°‬‬ ‫∴ ‪ABE‬‬

‫عائدة للزاوية الزوجية ‪( CD‬تعريف الزاوية العائدة)‬ ‫(الن ‪) AB ⊥ BE‬‬

‫‪m‬‬

‫∴ قياس الزاوية الزوجية ‪(Y ) − CD − (X ) = 90°‬‬

‫(قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية‬ ‫العائدة لها وبالعكﺲ)‬

‫∴) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬

‫(اذا كان قياس الزاوية الزوجية ْ‪ 90‬فان المستويين متعامدان وبالعكﺲ)‬ ‫‪Ω . `g . h‬‬

‫مبرهنة (‪:)9‬‬ ‫مستو وحيد عمودي على املستوي املعلوم‪.‬‬ ‫علىمستو معلوم يوجد‬ ‫من مستقيم ﻏير عمودي‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫‪:¬fG …G‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ AB‬ﻏير عمودي على (‪)X‬‬

‫‪Y‬‬

‫فيوجد مستوي وحيد يحتوي ‪AB‬‬

‫‪B‬‬

‫وعمودي على (‪)X‬‬

‫‪:äÉ«£©ªdG‬‬ ‫‪ AB‬ﻏير عمودي على (‪)X‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪X‬‬

‫‪241‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬ ‫‪:¬JÉÑKG ܃∏£ªdG‬‬

‫مستو وحيد يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪)X‬‬ ‫ايجاد‬ ‫ٍ‬ ‫‪:¿ÉgôÑdG‬‬

‫من نقطة (‪ )A‬نرسم ) ‪( AC ⊥ (X‬يوجد مستقيم وحيد عمودي على‬ ‫مستو معلوم من نقطة ال تنتمي‬ ‫ٍ‬ ‫اليه)‬ ‫∵ ‪ AB , AC‬متقاطعان‬

‫مستو وحيد يحويهما)‬ ‫مستو وحيد مثل (‪ )Y‬يحويهما (لكل مستقيمين متقاطعين يوجد‬ ‫∴ يوجد‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫∴ ) ‪(Y ) ⊥ (X‬‬

‫(مبرهنة ‪)8‬‬

‫‪:á«fGóMƒdG áægôÑdh‬‬ ‫ليكن (‪ )Z‬مستوي اخر يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪)X‬‬ ‫∵ ) ‪( AC ⊥ (X‬بالبرهان)‬

‫∴) ‪( AC ⊂ (Z‬نتيجة مبرهنة ‪)7‬‬

‫مستو وحيد يحويهما)‬ ‫∴) ‪( (Y ) = (Z‬لكل مستقيمين متقاطعين يوجد‬ ‫ٍ‬

‫‪Ω . `g . h‬‬

‫‪Ω . `g . h‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ )‪:(9‬‬

‫ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻋﻤﻮﺩﻳ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘ ٍﻮ ﺛﺎﻟﺚ ﻓﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻥ‬ ‫ﻋﻤﻮﺩﻳ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‪.‬‬

‫‪:äÉ«£©ªdG‬‬

‫‪A‬‬

‫‪(X )∩ (Y ) = AB‬‬

‫‪X‬‬

‫‪Y‬‬

‫) ‪(X ), (Y ) ⊥ (Z‬‬

‫‪:¬JÉÑKG ܃∏£ªdG‬‬ ‫) ‪AB ⊥ (Z‬‬

‫‪B‬‬

‫‪:¿ÉgôÑdG‬‬ ‫ان لم يكن ‪ AB‬عمودي ًا على (‪)Z‬‬ ‫لما وجد اكثر من مستوي يحوي ‪ AB‬وعمودي على (‪( )Z‬مبرهنة ‪)9‬‬ ‫‪Z‬‬

‫∴) ‪AB ⊥ (Z‬‬

‫‪Ω . `g . h‬‬

‫ﻧﺸـــﺎﻁ‪ :‬ﺗﻮﺟﺪ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺮﻯ ﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ ‪ ،‬ﺣﺎﻭﻝ ﺫﻟﻚ‪.‬‬

‫‪242‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫مثال ‪-1 -‬‬ ‫في ‪ABC‬‬ ‫‪A = 30°‬‬

‫‪BD ⊥ (ABC ) , m‬‬

‫‪AB = 10 cm , BD = 5cm‬‬ ‫جد قياس الزاوية الزوجية ‪D − AC − B‬‬ ‫‪:äÉ«£©ŸG‬‬ ‫‪, AB =10 cm, BD = 5 cm‬‬ ‫‪:¬JÉÑKG ܃∏£ŸG‬‬

‫‪BAC = 30°‬‬

‫‪BD ⊥ (ABC ), m‬‬

‫ايجاد قياس الزاوية الزوجية ‪D − AC − B‬‬

‫‪:¿ÉgÈdG‬‬ ‫في املستوي (‪ )ABC‬نرسم ‪ BE ⊥ AC‬في نقطة ‪( E‬في املستوي الواحد يوجد مستقيم وحيد عمودي‬ ‫على آخر من نقطة معلومة)‬ ‫∴‬ ‫(معطى)‬ ‫) ‪BD ⊥ (ABC‬‬ ‫∴ ‪( DE ⊥ AC‬مبرهنة االعمدة الثالثة)‬ ‫عائدة للزاوية الزوجية ‪( AC‬تعريف الزاوية العائدة)‬ ‫⇐ ‪DE B‬‬ ‫‪( DB ⊥ BE‬املستقيم العمودي على مستوي يكون عموديا على جميع املستقيمات احملتواة في‬ ‫املستوي واملارة من اثره)‬ ‫⇐ ‪DBE‬‬ ‫في‬

‫‪BE A‬‬

‫في‬ ‫⇐ ‪DBE‬‬

‫قائم الزاوية في ‪B‬‬ ‫القائم الزاوية في ‪E‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪1 BE‬‬ ‫= ‪Sin30°‬‬ ‫= ⇒‬ ‫‪⇒ BE = 5cm‬‬ ‫‪BA‬‬ ‫‪2 10‬‬ ‫القائم الزاوية في ‪:B‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪tan )BED‬‬ ‫‪BE D) = = 1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪m‬‬ ‫∴ قياس ‪BE D = 45°‬‬ ‫الزاوية ‪− AC‬‬ ‫∴ قياس ‪− B‬‬ ‫‪ 45°‬الزاوية الزوجية هو قياس الزاوية العائدة‬ ‫الزوجية‪(= D − AC − B = 45° = D‬قياس‬ ‫لها وبالعكﺲ)‬

‫‪Ω . `g . h‬‬

‫‪243‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬ ‫مثال ‪-2 -‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬

‫ليكن ‪ ABC‬مثلث ًا وليكن‬ ‫‪AF‬‬ ‫⊥ ‪AF‬‬ ‫‪⊥ (ABC‬‬ ‫)) ‪(ABC‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫⊥ ‪BD‬‬ ‫‪⊥ CF‬‬ ‫‪CF‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫⊥ ‪BE‬‬ ‫‪⊥ CA‬‬ ‫‪CD‬‬

‫‪E‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪:¿G øgôH‬‬

‫) ‪BE ⊥ (CAF‬‬ ‫‪E D ⊥ CF‬‬

‫‪B‬‬

‫‪: äÉ«£©ŸG‬‬

‫‪AF ⊥ (ABC ), BE ⊥ CA, BD ⊥ CF‬‬

‫‪:¬JÉÑKG ܃∏£ŸG‬‬ ‫) ‪DE ⊥ CF , BE ⊥ (CAF‬‬ ‫‪:¿ÉgÈdG‬‬ ‫∵ ) ‪( AF ⊥ (ABC‬معطى)‬

‫∴) ‪( (CAF ) ⊥ (ABC‬مبرهنة ‪: 8‬يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على‬ ‫اآلخر )‬

‫∵‬

‫‪BE ⊥ CA‬‬

‫(معطى)‬

‫∴) ‪( BE ⊥ (CAF‬مبرهنة ‪ :7‬اذا تعامد مستويان فاملستقيم املرسوم في احدهما والعمودي على‬ ‫مستقيم التقاطع يكون عمودي ًا على اآلخر )‬ ‫∵‬

‫‪BD ⊥ CF‬‬

‫∴ ‪E D ⊥ CF‬‬

‫(معطى)‬ ‫(نتيجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬ ‫‪Ω . `g . h‬‬

‫‪244‬‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬ ‫مثال ‪-3 -‬‬ ‫) ‪ (Y ), (X‬مستويان متعامدان‬

‫‪A‬‬

‫) ‪AB ⊂ (X‬‬ ‫‪ BC , BD‬عموديان على ‪AB‬‬

‫‪Z‬‬

‫ويقطعان (‪ )Y‬في ‪ C,D‬على الترتيﺐ‬ ‫‪:¿G øgôH‬‬ ‫) ‪CD ⊥ (X‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫‪: äÉ«£©ŸG‬‬

‫‪Y‬‬

‫إن ) ‪ BC ,BD ، AB ⊂ (X ) ، (X ) ⊥ (Y‬عموديﲔ على ‪ AB‬ويقطعان (‪ )Y‬في ‪ C,D‬على الترتيﺐ‬ ‫‪:¬JÉÑKG ܃∏£ŸG‬‬ ‫) ‪CD ⊥ (X‬‬ ‫‪: ¿ÉgÈdG‬‬

‫ليكن (‪ )Z‬مستوي املستقيمﲔ املتقاطعﲔ ‪( BC ,BD‬لكل مستقيمﲔ متقاطعﲔ يوجد مستوي ًا وحيد ًا‬ ‫يحويهما )‬

‫مبا ان ‪ ( AB ⊥ BC , BD‬معطى )‬

‫) ‪∴ AB ⊥ (Z ) ∴ AB ⊥ (Z‬‬

‫(املستقيم العمودي على مستقيمﲔ متقاطعﲔ من نقطة تقاطعهما يكون عمودي ًا على مستويهما)‬ ‫∴ ) ‪( AB ⊂ (X‬معطى)‬

‫∴ ) ‪( (X ) ⊥ (Z‬يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على اآلخر)‬ ‫∴ ) ‪( (X ) ⊥ (Y‬معطى)‬ ‫وملا كان ‪( (Z )∩ (Y ) = CD‬النه محتوى في كل منهما )‬

‫∴ ) ‪∴CD ⊥ (X‬‬ ‫مستو ثالث فان مستقيم تقاطعهما يكون عمودي ًا على‬ ‫(اذا كان كل من مستويﲔ متقاطعﲔ عمودي ًا على‬ ‫ٍ‬ ‫املستوي الثالث)‬

‫‪Ω . `g . h‬‬

‫‪245‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬ ‫‪(6‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬

‫‪‐1‬‬

‫‪ .1‬برهن ان مستوي الزاوية املستوية العائدة لزاوية زوجية يكون عمودي ًا على حرفها‪.‬‬ ‫مستو آخر فان املستويﲔ متعامدان ‪.‬‬ ‫‪ .2‬برهن انه اذا وازى مستقيم مستوي ًا وكان عمودي ًا على‬ ‫ٍ‬ ‫‪ .3‬برهن ان املستوي العمودي على احد مستويﲔ متوازيﲔ يكون عمودي ًا على اآلخر ايﻀ ًا ‪.‬‬ ‫‪ A,B,C,D .4‬اربع نقاط ليست في‬ ‫مستو واحد بحيث ‪ E ∈ BC , AB = AC‬فاذا كانت‬ ‫ٍ‬ ‫عائدة للزاوية الزوجية ‪ A- BC - D‬برهن ان ‪.CD = BD‬‬ ‫‪AED‬‬ ‫‪ .5‬برهن انه اذا وازى كل من مستقيمﲔ متقاطعﲔ مستوي ًا معلوم ًا وكانا عموديﲔ على مستويﲔ متقاطعﲔ فان‬ ‫مستقيم تقاطع املستويﲔ املتقاطعﲔ يكون عمودي ًا على املستوي املعلوم ‪.‬‬ ‫‪ .6‬دائرة قطرها ‪ AC ، AB‬عمودي على مستويها ‪ D ،‬نقطة تنتمي للدائرة ‪ .‬برهن ان (‪)CDA‬‬ ‫عمودي على (‪.)CDB‬‬

‫‪246‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫ﻣﺴﺘﻮ‬ ‫)‪ (6-3‬اﻻﺳﻘﺎط اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ‬ ‫ٍ‬ ‫‪The Orthogonal Projection on a Plane‬‬ ‫‪ :ƒà°ùe‬هو أثر العمود املرسوم من تلك النقطة على املستوي‪.‬‬ ‫‪⋲∏Y á£≤f §≤°ùe (1‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪ :…ƒà°ùe ⋲∏Y §≤f áYƒª› §≤°ùe (2‬لتكن ‪ L‬مجموعة من نقاط في الفراغ فان مسقطها هو‬ ‫مجموعة كل اثار االعمدة املرسومة من نقاطه على املستوي ‪.‬‬

‫‪ :Ωƒ∏©e ƒà°ùe‬هو قطعة املستقيم احملددة بأثري‬ ‫‪⋲∏Y ájOƒªY ÒZ º«≤à°ùe á©£b §≤°ùe (3‬‬ ‫‪m‬‬ ‫العمودين املرسومﲔ من نهايتي القطعة على املستوي املعلوم‬ ‫‪B‬‬

‫ليكن ‪ AB‬ﻏير عمودي على (‪ )X‬وليكن‬

‫) ‪ ⇐ AC ⊥ (X‬مسقط ‪ A‬على (‪ )X‬هو ‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫) ‪ ⇐ BD ⊥ (X‬مسقط ‪ B‬على (‪ )X‬هو‪D‬‬

‫∴ مسقط ‪ AB‬على (‪ )X‬هو ‪CD‬‬

‫‪D‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ) ‪(X‬‬

‫‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫‪AB‬‬

‫ﻓﺎﻥ ‪AB = CD‬‬ ‫‪ :ƒà°ùe‬هو املستقيم ﻏير العمودي على املستوي وقاطع له‬ ‫‪⋲∏Y( Inclined Line) πFÉŸG º«≤à°ùŸG (4‬‬ ‫‪m‬‬

‫‪ :( Angle of Inclination) π«ŸG ájhGR (5‬هي الزاوية احملددة باملائل ومسقطه على املستوي‪.‬‬ ‫ليكن ‪ AB‬مائ ً‬ ‫ال على (‪ )X‬في ‪B‬‬

‫وليكن ) ‪ AC ⊥ (X‬في ‪C‬‬

‫‪247‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬ ‫∴ ‪ C‬مسقط ‪ A‬على (‪ )X‬حيث ) ‪A ∉ (X‬‬

‫‪A‬‬

‫كذلك ‪ B‬مسقط نفسها حيث ) ‪B ∈ (X‬‬ ‫⇐ ‪ BC‬مسقط ‪ AB‬على (‪)X‬‬ ‫اي ان ‪0 < θ < 90°‬‬ ‫)‪θ ∈ (0, 90°‬‬

‫‪θ‬‬

‫‪C‬‬

‫‪§≤°ùŸG ∫ƒW (6‬‬

‫‪B‬‬

‫‪X‬‬

‫مستو = طول املائل × جيﺐ متام زاوية امليل‪.‬‬ ‫طول مسقط قطعة مستقيم على‬ ‫ٍ‬

‫فعندما تكون ‪ AB‬مائ ً‬ ‫ال على (‪ )X‬وزاوية ميله ‪ θ‬ومسقطه ‪ BC‬فان ‪BC = AB cosθ‬‬

‫‪)X( ⋲∏Y (Inclined Plane)πFÉe …ƒà°ùe §≤°ùe (7‬‬ ‫مستو معلوم هو قياس الزاوية املستوية العائدة للزاوية الزوجية بينهما‬ ‫مستو على‬ ‫زاوية ميل‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫مساحة مسقط منطقة مائلة على‬ ‫مستو معلوم = مساحة املنطقة املائلة × جيﺐ متام زاوية امليل‬ ‫ٍ‬ ‫لتكن ‪ A‬مساحة املنطقة املائلة ‪ Aʹ ،‬مساحة املسقط ‪ θ ،‬قياس زاوية امليل‬ ‫⇐ ‪Aʹ = A.cosθ‬‬ ‫مثال ‪-4 -‬‬ ‫ﺍﺫﺍ ﻭﺍﺯﻯ ﺍﺣﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳ ًﺎ ﻣﻌﻠﻮﻣ ًﺎ ﻓﺎﻥ ﻣﺴﻘﻄﻲ ﺿﻠﻌﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺴﺘﻮﻱ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ‪.‬‬ ‫‪:äÉ«£©ŸG‬‬ ‫‪ ABC‬زاوية قائمة في ‪B‬‬ ‫) ‪، AB / /(X‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪Y‬‬

‫ʹ ‪ AʹB‬هو مسقط ‪ AB‬على (‪)X‬‬

‫‪Z‬‬

‫ʹ ‪ B ʹC‬هو مسقط ‪ BC‬على (‪)X‬‬ ‫‪: ¬JÉÑKG ܃∏£ŸG‬‬ ‫ʹ ‪AʹB ʹ ⊥ B ʹC‬‬

‫‪248‬‬

‫ﹶ‪A‬‬

‫ﹶ‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫ﹶ‪C‬‬

‫‪X‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫‪: ¿ÉgÈdG‬‬ ‫ʹ ‪ AʹB‬مسقط ‪AB‬‬ ‫ʹ ‪ B ʹC‬مسقط ‪BC‬‬

‫⎧‬ ‫⎨‬ ‫⎩‬

‫معطى‬

‫مستو معلوم هو القطعة احملددة بأثري العمودين‬ ‫⇐ ) ‪( C C ʹ, B B ʹ, AAʹ ⊥ (X‬مسقط قطعة مستقيم على ٍ‬ ‫املرسومﲔ على املستوي من طرفي القطعة املستقيمة )‪.‬‬

‫مستو واحد متوازيان )‬ ‫ʹ ‪( B B ʹ / /C C ʹ ، AAʹ / /B B‬املستقيمان العموديان على‬ ‫ٍ‬

‫باملستقيمﲔ املتوازيﲔ ʹ ‪ AAʹ ، B B‬نعﲔ (‪⎧ )Y‬‬ ‫مستو وحيد يحتويهما(‬ ‫⎨ (لكل مستقيمﲔ متوازيﲔ يوجد‬ ‫ٍ‬ ‫باملستقيمﲔ املتوازيﲔ ʹ ‪ B B ʹ ، C C‬نعﲔ (‪⎩ )Z‬‬ ‫لكن ) ‪AB / /(X‬‬

‫(معطى )‬

‫ʹ ‪(Y )∩ (X ) = AʹB‬‬

‫(يتقاطع املستويان بخط مستقيم )‬

‫⇐ ʹ ‪AB / / AʹB‬‬

‫(اذا وازى مستقيم مستوي ًا معلوم ًا فانه يوازي جميع املستقيمات الناﲡة‬ ‫من تقاطع هذا املستوي واملستويات التي حتوي املستقيم )‬

‫كذلك ʹ ‪B B ʹ ⊥ AʹB‬‬

‫(املستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع املستقيمات‬ ‫املرسومة من أثره ضمن ذلك املستوي )‬

‫ʹ ‪AB ⊥ B B‬‬

‫( في املستوي الواحد ‪ :‬املستقيم العمودي على احد مستقيمﲔ متوازيﲔ‬ ‫يكون عمودي ًا على اآلخر)‬

‫لكن‬

‫‪AB ⊥ BC‬‬

‫) ‪AB ⊥ (Z‬‬

‫(الن ‪ABC = 90°‬‬

‫‪ M‬معطى )‬

‫( املستقيم العمودي على مستقيمن متقاطعﲔ من نقطة تقاطعهما يكون‬ ‫عمودي ًا على مستويهما )‬

‫⇐ ) ‪AʹB ʹ ⊥ (Z‬‬

‫(املستوي العمودي على احد مستقيمﲔ متوازيﲔ يكون عمودي ًا على اآلخر)‬

‫∴ʹ ‪AʹB ʹ ⊥ B ʹC‬‬

‫(املستقيم العمودي على مستوي يكون عمودي ًا على جميع املستقيمات‬ ‫املرسومة من أثره ضمن ذلك املستوي )‬ ‫‪Ω . `g . h‬‬

‫‪249‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬ ‫مثال ‪-5 -‬‬ ‫‪ ABC‬مثلث ‪BC ⊂ (X ) ،‬‬ ‫والزاوية الزوجية بﲔ مستوي املثلث‬ ‫‪ ABC‬واملستوي (‪)X‬‬ ‫قياسها ‪ 60°‬فاذا كان‬ ‫‪AB = AC = 13cm, BC = 10cm‬‬ ‫جد مسقط املثلث (‪ )ABC‬على (‪)X‬‬ ‫ثم جد مساحة مسقط ‪ABC‬‬

‫‪10‬‬

‫على (‪)X‬‬

‫‪: äÉ«£©ŸG‬‬ ‫) ‪ABC, BC ⊂ (X‬‬ ‫قياس ‪(ABC ) − BC − (X ) = 60°‬‬ ‫‪AB = AC = 13, BC = 10‬‬ ‫‪:¬JÉÑKG ܃∏£ŸG‬‬ ‫ايجاد مسقط ‪ABC‬‬

‫على (‪ )X‬وايجاد مساحة مسقط ‪ABC‬‬

‫على (‪)X‬‬

‫‪: ¿ÉgÈdG‬‬

‫‪⊥ (X‬في)‪D‬‬ ‫‪(X‬‬ ‫‪AD) ⊥ (X‬‬ ‫نرسم⊥ )‪AD‬‬ ‫‪AD‬‬

‫( ميكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة )‬

‫∴ ‪ CD‬مسقط ‪AC‬‬ ‫⎧‬ ‫⎪‬ ‫‪ BD‬مسقط ‪AB‬‬ ‫⎨‬ ‫‪BC‬مسقط نفسه على (‪⎪ )X‬‬ ‫⎩‬ ‫∴ ‪BCD‬‬

‫مسقط ‪ABC‬‬

‫(مسقط قطعة مستقيم على مستو معلوم هو القطعة احملددة بأثري‬ ‫العمودين املرسومﲔ على املستوي من طرفي القطعة املستقيمة )‬ ‫على (‪)X‬‬

‫في (‪ )ABC‬نرسم ‪ BC ⊥ AE‬في ‪( E‬في املستوي الواحد ميكن رسم مستقيم عمود على آخر من‬ ‫نقطة معلومة )‬ ‫ومبا أن ‪AC = AB‬‬

‫(معطى)‬

‫∴‪ ( E C = BE = 5cm‬العمود النازل من راس مثلث متساوي الساقﲔ على القاعدة ينصفها )‬

‫‪250‬‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬ ‫∴ ‪E D ⊥ BC‬‬ ‫∴ ‪DEA‬‬ ‫عائدة للزوجية ‪BC‬‬

‫(نتيجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬ ‫(تعريف الزاوية العائدة )‬

‫(معطى)‬ ‫‪BC =BC‬‬ ‫‪60°= 60°‬‬ ‫الزوجية= ‪BC‬‬ ‫لكن قياس الزاوية ‪60°‬‬ ‫في ‪AEB‬‬

‫القائم في ‪: E‬‬

‫في ‪AED‬‬

‫القائم في ‪D‬‬

‫‪AE = 169 − 25 = 144 = 12cm‬‬ ‫‪ED‬‬ ‫‪1 ED‬‬ ‫= ⇒‬ ‫‪⇒ E D = 6cm‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2 12‬‬ ‫‪AE‬‬

‫= ‪cos 60°‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مساحة‬ ‫املثلث ‪BCD‬‬ ‫‪= ×10‬‬ ‫‪× 6== 30cm‬‬ ‫‪BCD‬‬ ‫‪×10 ×2 6 = 30cm2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ω . `g . h‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫ﻟﻮ ﻃﻠﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﻘﻂ ﻓﻘﻂ ﻓﻴﻤﻜﻦ ﺍﻳﺠﺎﺩﻩ ﻛﺎﻵﺗﻲ‪:‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪ = BCD‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪cos 60° × ABC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= × (12× 10 × ) = 30cm2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ ‪ .‬ﻫـ ‪ .‬ﻡ‬

‫‪251‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ‪Space Geometry‬‬ ‫‪(6‬‬

‫‪J‬‬

‫‪) øjQɪ‬‬

‫‪‐2‬‬

‫‪ .1‬ﺑﺮﻫﻦ أن ﻃﻮل ﻗﻄﻌﺔ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﳌﻮازي ﳌﺴﺘﻮ ﻣﻌﻠﻮم ﻳﺴﺎوي ﻃﻮل ﻣﺴﻘﻄﻪ ﻋﻠﻰ اﳌﺴﺘﻮي اﳌﻌﻠﻮم وﻳﻮازﻳﻪ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﺑﺮﻫﻦ أﻧﻪ إذا ﻗﻄﻊ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﲟﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﺎن ﻣﻴﻠﻪ ﻋﻠﻰ أﺣﺪﻫﻤﺎ ﻳﺴﺎوي ﻣﻴﻠﻪ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ‪.‬‬ ‫‪ .3‬ﺑﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ أن ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﳌﺘﻮازﻳﺔ اﳌﺎﺋﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ اﳌﻴﻞ ﻧﻔﺴﻪ‬ ‫‪ .4‬ﺑﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ أﻧﻪ إذا رﺳﻢ ﻣﺎﺋﻼن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻲ اﻟﻄﻮل ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻻ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﻣﻌﻠﻮم ﻓﺎن أﻃﻮﻟﻬﻤﺎ ﺗﻜﻮن‬ ‫زاوﻳﺔ ﻣﻴﻠﻪ ﻋﻠﻰ اﳌﺴﺘﻮي أﺻﻐﺮ ﻣﻦ زاوﻳﺔ ﻣﻴﻞ اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫‪ .5‬ﺑﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ أﻧﻪ إذا رﺳﻢ ﻣﺎﺋﻼن ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎ اﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﻓﺄﺻﻐﺮﻫﻤﺎ ﻣﻴ ً‬ ‫ﻼ ﻫﻮ اﻻﻃﻮل ‪.‬‬ ‫‪ .6‬ﺑﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ أن زاوﻳﺔ اﳌﻴﻞ ﺑﲔ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺴﻘﻄﻪ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮ اﺻﻐﺮ ﻣﻦ اﻟﺰاوﻳﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻔﺴﻪ‬ ‫ٍ‬ ‫واي ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ آﺧﺮ ﻣﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻣﻮﻗﻌﻪ ﺿﻤﻦ ذﻟﻚ اﳌﺴﺘﻮي‪.‬‬

‫‪252‬‬

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫]‪ [6-4‬اﳌﺠﺴﻤﺎت )‪(Solid‬‬ ‫ﺳﺒﻖ ﻟﻠﻄﺎﻟﺐ دراﺳﺔ اﳌﺠﺴﻤﺎت ﻓﻲ اﳌﺮﺣﻠﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ وﻧﻠﺨﺺ ﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﻗﻮاﻧﲔ اﳊﺠﻮم واﳌﺴﺎﺣﺎت‬ ‫اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ واﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﺒﻌﺾ اﳌﺠﺴﻤﺎت ﻋﻠﻤ ًﺎ ان اﳊﺪﻳﺚ ﻋﻦ ﺣﺠﻢ ﻣﺠﺴﻢ ﻧﻘﺼﺪ ﺑﻪ ﺣﺠﻢ اﳌﻨﻄﻘﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺮاغ‬ ‫)اﻟﻔﻀﺎء( اﻟﻮاﻗﻌﺔ داﺧﻞ اﳌﺠﺴﻢ‪.‬‬ ‫‪(Right Prism) ºFÉ≤dG (Qƒ°ûæŸG) Qƒ°TƒŸG (1‬‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫‪Diagram‬‬

‫اﳊﺠﻢ‬ ‫‪Volume‬‬ ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ‬ ‫‪Lateral Area‬‬ ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ‬ ‫‪Total Area‬‬

‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻻوﺟﻪ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ = ﻣﺤﻴﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة × اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪ +‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﲔ‬

‫‪253‬‬

Space Geometry ‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬ (ParallelPiped) (äÓ«£à°ùŸG …RGƒàe) á∏«£à°ùŸG 샣°ùdG …RGƒàe (2 ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ Diagram

Z

Y X V= x y z

Volume ‫اﳊﺠﻢ‬

L.A = 2(x + y)z

Lateral Area ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ‬

T.A = 2(x + y)z + 2xy

Total Area ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ‬ (Cube) Ö©μŸG (3

X

‫اﻟﺮﺳﻢ‬ Diagram

X X

V = x3

L.A = 4x 2

T.A = 6x23

Volume ‫اﳊﺠﻢ‬ Lateral Area ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ‬ Total Area ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ‬

254

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫‪(Right Circular Cylinder) áªFÉ≤dG ájôFGódG áfGƒ£°S’G (4‬‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫‪Diagram‬‬

‫‪h‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪V=π r h‬‬

‫اﳊﺠﻢ ‪Volume‬‬

‫‪L .A = 2πrh‬‬

‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪Lateral Area‬‬

‫‪T .A = 2πrh+ 2πr 2‬‬

‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ‪Total Area‬‬ ‫‪(Pyramid) Ωô¡dG (5‬‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫‪Diagram‬‬

‫‪h‬‬

‫ارﺗﻔﺎع ﺟﺎﻧﺒﻲ‬

‫‪b‬‬ ‫اﳊﺠﻢ ‪Volume‬‬ ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪Lateral Area‬‬ ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ ‪Total Area‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪bh‬‬ ‫‪3‬‬

‫=‪V‬‬

‫‪ : b‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة‬

‫‪ : h‬اﻻرﺗﻔﺎع‬

‫ﻃﻮل اﻻرﺗﻔﺎع اﳉﺎﻧﺒﻲ × )ﻣﺤﻴﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة( ‪L.A = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ ‪ +‬ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة = ‪T.A‬‬

‫‪255‬‬

Space Geometry ‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬ (Right Circular Cone) ºFÉ≤dG …ôFGódG •hôîŸG (6 ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ Diagram

l h r 1 2 πr h 3 L.A= πr l

‫اﳊﺠﻢ‬ Volume

V=

Lateral Area ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳉﺎﻧﺒﻴﺔ‬ Total Area ‫اﳌﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ‬

2 T.A= πr l + πr

(Sphere) IôμdG (7 ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ Diagram r

4 V= πr 3 3 4πr 2 = ‫ دواﺋﺮ ﻋﻈﻴﻤﺔ‬4 ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻜﺮة = ﻣﺴﺎﺣﺔ‬

‫اﳊﺠﻢ‬ Volume ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻜﺮة‬

S = 4πr 2

256

‫ﺍﻟﻬﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬

‫ﻣﻼﺣﻈـﺔ‬

‫‪X‬‬

‫‪Space Geometry‬‬

‫‪ (1‬ﺫﻭ ﺍﻟﻮﺟﻮﻩ ﺍﻻﺭﺑﻌﺔ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ‪ :‬ﻫﺮﻡ ﺛﻼﺛﻲ ﻗﺎﺋﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺍﻭﺟﻬﻪ ﺍﻻﺭﺑﻌﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻻﺿﻼﻉ ﻭﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ‬ ‫‪ (2‬ﺍﺫﺍ ﻗﻄﻊ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﲟﺴﺘﻮﻱ ﻣﺎﺭ ﻣﻦ ﺍﺣﺪ ﻣﻮﻟﺪﺍﺗﻪ ﻓﺎﻥ ﺍﳌﻘﻄﻊ‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﻓﻲ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪X‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻣﺎﺋﻞ‬ ‫⇐ ‪AC ≠ AB‬‬

‫ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫⇐ ‪AC = AB‬‬

‫‪257‬‬

‫‪)6‬‬

‫ت‬

‫مارين (‬

‫‪-3‬‬

‫‪ .1‬اذا كانت املساحة الكلية ملتوازي املستطيالت = ‪ 724cm2‬ومساحة قاعدته = ‪ 132cm2‬ومساحة احد‬ ‫اوجهه اجلانبية = ‪ 110cm2‬جد حجمه‪.‬‬ ‫‪ .2‬اسطوانة دائرية قائمة مساحتها اجلانبية ‪ 400πcm2‬وحجمها ‪ 2000πcm3‬اوجد ارتفاعها ونصف‬ ‫قطر قاعدتها‪.‬‬ ‫‪ .3‬برهن على ان حجم ذي الوجوه االربعة املنتظم والذي طول حرفه = ‪ l‬هو‬

‫‪3‬‬

‫‪2l‬‬ ‫‪12‬‬

‫وحدة مكعبة‪.‬‬

‫مستو فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة مبقدار ‪8cm‬‬ ‫مر برأسه‬ ‫ٍ‬ ‫‪ .4‬مخروط دائري قائم ّ‬ ‫فاذا كانت مساحة املقطع = ‪ 102cm2‬وارتفاع املخروط = ‪ 15cm‬احسب‪:‬‬ ‫‪ )3‬مساحته الكلية‬ ‫ ‬ ‫‪ )2‬مساحته اجلانبية‬ ‫ ‬ ‫‪ )1‬حجمه‬ ‫‪ .5‬اذا علمت انه ميكن رسم كرة خارج ذي الوجوه االربعة املنتظم‪.‬‬ ‫برهن ان نصف قطر الكرة = ‪ 3‬االرتفاع‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪258‬‬

‫‪ .7‬استخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة القيمة املتوسطة اليجاد قيم ‪ C‬للدالة ]‪. f (x) = x 4 − 2x 2 , x ∈ [−2, 2‬‬ ‫تنتمي‬ ‫‪∃c =c=2‬‬ ‫كانت∈ ‪2‬‬ ‫فاذا‪[−1,‬‬ ‫‪ f (x) = ax 2 − 4x + 5 .8‬دالة حتقق شروط مبرهنة رول على الفترة ]‪b],[−1, b‬‬ ‫للفترة (‪ )-1 ,b‬فجد قيمة ‪r‬‬ ‫‪. a, b ∈ R‬‬ ‫‪ .9‬متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة وارتفاعه ثالثة امثال طول قاعدته ‪ ،‬جد احلجم التقريبي له‬ ‫عندما يكون طول قاعدته ‪. 2.97cm‬‬ ‫‪ .10‬مخروط دائري قائم حجمه ‪ 210πcm3‬جد القيمة التقريبة لنصف قطر قاعدته اذا كان ارتفاعه ‪.10cm‬‬ ‫‪ .11‬اذا كانت ‪ f (x) = 5 31x +1‬جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة القيمة التقريبية الى‬ ‫)‪. f (1.01‬‬ ‫‪ .12‬باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم املنحني البياني للدالة ‪. yx 2 = 1‬‬ ‫‪ .13‬جد تكامالت ك ً‬ ‫ال مما يأتي‪:‬‬ ‫‪b) ∫ (sin 2x −1)(cos 2x + 2)dx‬‬

‫‪a)a)∫−∫(cos‬‬ ‫‪−−sin‬‬ ‫‪a) ∫ (cos‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪(cosx)dx‬‬ ‫‪sin x)dx‬‬ ‫‪x)dx‬‬ ‫‪4 4‬‬

‫‪2‬‬

‫∫ )‪d‬‬

‫‪x‬‬ ‫)‪ln(x‬‬ ‫∫ )‪c‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f ) ∫ 3 3x 3 − 5x 5 dx‬‬

‫‪cotxxcsc‬‬ ‫‪csc3 3xxdx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪e)e)∫∫cot‬‬

‫‪tan‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪3x3x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪h)∫ ∫sec‬‬ ‫‪sec2223xe‬‬ ‫‪3xetan‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪h‬‬ ‫‪sec‬‬ ‫‪3xe‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)‪h‬‬ ‫‪dx‬‬

‫∫ )‪g‬‬

‫‪dx‬‬

‫‪ .14‬حل املعادلة التفاضلية اآلتية‬

‫‪2 sin 3 x‬‬

‫‪44 4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪,x =1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫=‪, y‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x −14x + 49‬‬ ‫‪cos 2 y‬‬ ‫= ʹ‪. y‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ .15‬حل املعادلة التفاضلية ‪= −2x tan y‬‬ ‫حيث ان ‪ x = 0‬عندما = ‪. y‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .16‬حل املعادلة التفاضلية ‪ x yʹ = y − x‬حيث ان ‪. x = 1, y = 1‬‬ ‫‪ .17‬حل املعادلة التفاضلية االتية ‪.(x 2 + 3y2 )dx − 2xy dy = 0‬‬

‫‪260‬‬