TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A trigonometria tambÊm trata dos ângulos dos triângulos, assim fazer um estudo geral dos elementos dos triângulos retângulos e dos triângulos quaisquer.
ďƒź RAZĂ•ES TRIGONOMÉTRICAS Num triângulo retângulo, temos: Seno de um ângulo agudo ĂŠ dado pela razĂŁo entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. Cosseno de um ângulo agudo ĂŠ dado pela razĂŁo entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. Tangente de um ângulo agudo ĂŠ dado pela razĂŁo entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente. đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ =
đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘œđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘œ âđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘Ľ â„Žđ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ž
đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ =
đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘‘đ?‘—đ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Žđ?‘œ âđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘Ľ â„Žđ?‘–đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ž
đ?‘Ąđ?‘” đ?‘Ľ =
đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘œđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘œ âđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘‘đ?‘—đ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Žđ?‘œ âđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘Ľ
Exemplo: Seja um triângulo retângulo ABC, reto em A e de catetos b = 6 cm e c = 8 cm. Calcule o valor da hipotenusa e os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo C.
ďƒź Ă‚NGULOS NOTĂ VEIS Vejamos agora algumas consideraçþes importantes com relação aos chamados ângulos notĂĄveis. Dado o triĂŁngulo equilĂĄtero, vamos deduzir:
Dado um quadrado, vamos deduzir:
A matemĂĄtica ĂŠ elementar meu caro! Prof. Bernardo
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Resumindo temos a seguinte tabela:
30º 45º 60º Sen Cos Tg FÓRMULA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA (FFT) De maneira geral, podemos escrever, para um ângulo x qualquer: EXERCÍCIOS 1) Sendo x um ângulo agudo tal que
= , determine tg x.
2) Num triângulo retângulo, um dos catetos mede a terça parte da hipotenusa. Calcule a tangente do menor ângulo agudo. 3) Encontre o valor de x em cada caso abaixo: a) b)
c)
4) Se o menor ângulo de um triângulo retângulo é α e que seu lado oposto mede 6 cm. Determine o sen α e a medida da hipotenusa, sabendo que o cos α = 0,3. 5) Sendo α um ângulo agudo tal que
= , determine tg α.
6) Simplifique as expressões: a)
b)
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RESOLUÇÃO DE TRIÃNGULOS As propriedades estudadas anteriormente valem somente para os triângulos retângulos. Doravante vamos apresentar as propriedades que são válidas para quaisquer triângulos, sejam obliquângulos, sejam retângulos. TEOREMA DOS SENOS Em todo triângulo, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles.
Exemplos 1) Calcule x na figura:
2) Determine as medidas ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ da figura abaixo. 8
C
E
35º
30º x
120º 45º 4
D
3) O triângulo ABC é isósceles, de vértice A, e um de seus ângulos vale o dobro do outro. Se ̅̅̅̅ mede 3 cm, determine as medidas dos lados congruentes.
TEOREMA DOS COSSENOS Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois, diminuída do dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.
Exemplos 1) Determine x em cada caso: x
x
5
x
10
3 60º
120º 4
8
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45º 12
3
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO ARCOS E ÂNGULOS A cada arco tomado corresponde um ângulo central e a medida de um arco equivale à medida do ângulo central correspondente. Exemplo 1: Para transformar um arco de 45º com um ângulo de 45º em radianos, podemos estabelecer uma regra de três simples. O
Exemplo 2: Para transformar um arco de radianos em graus, podemos estabelecer uma regra de três.
EXERCÍCIOS 1) Exprima em radianos os ângulos abaixo: a) 60º
b) 36º
c) 135º
d) 240º
e) 90º
f) 270º
d)
e)
f) 2π rad
2) Exprima em graus os ângulos abaixo: a)
b)
c)
Cálculos:
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CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Agora vamos estudar o círculo trigonométrico.
Exercícios: 1) Calcule o valor da expressão a seguir:
Isso é muito importante para o cumprimento da missão rapazes!
2) Calcule o valor da expressão a seguir:
3) O valor numérico da expressão:
, para
=
é:
a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0 A matemática é elementar meu caro! Prof. Bernardo
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RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES As diversas funções de um mesmo arco x estão relacionadas uma com as outras. Vamos apresentar as cinco relações fundamentais a seguir.
=
= =
= =
Exercícios 1) Simplifique a expressão
=
2) Simplifique a expressão
=
TRANSFORMAÇÕES O objetivo deste tópico é a obtenção de fórmulas que nos possibilitem encontrar as funções circulares da soma de dois arcos e da diferença de dois arcos. FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
(
)=
(
)=
(
)=
(
)=
Exemplo: 1) Calcule o cos 75º:
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Exemplo: 1) Calcule o sen 15º:
(
)= (
)=
Exemplo: 1) Determine a tg 75º
EXERCÍCIOS 1) Calcule tg 105º e cotg 15º
2) Efetue o produto sen 75º.sen 15º.
3) Ache o valor da expressão (sen 50º.cos 20º - sen 20º.cos 50º)
4) Se a)
=
= , então tg (x – y) é igual a: b)
c)
d)
e)
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Quando abrimos jornais e revistas, encontramos com frequência informações numéricas organizadas na forma de tabelas com linhas e colunas. Essas tabelas serão chamadas, em matemática, de matrizes. REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ Consideremos uma matriz A do tipo m x n. Um elemento dessa matriz será representado pelo símbolo , no qual o índice i refere-se à linha e j refere-se à coluna onde se encontra o elemento. Representamos também a matriz A por = ( ) . Exemplo: Escreva a matriz
=(
)
, sendo
=
.
MATRIZES ESPECIAIS Matriz linha: é a matriz formada por uma única linha. Exemplo: Matriz coluna: é a matriz formada por uma única coluna. Exemplo: Matriz nula: é a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Exemplo:
Matriz quadrada: é uma matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Exemplo:
=( versa).
Matriz transposta: Dada uma matriz = ( ) , chama-se matriz transposta de A a matriz ) . Isso significa que as linhas de At são ordenadamente iguais as colunas de A. (e viceExemplo:
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1) Construa a matriz
=(
)
, em que
=
2) Construa a matriz
=(
)
, tal que
=
.
.
3) Diz-se que uma matriz quadrada é simétrica se ela for igual à sua matriz transposta. Determine x e y a fim de que a matriz [
] seja simétrica.
IGUALDADE DE MATRIZES Dadas duas matrizes de mesmo “formato”, dizemos que os elementos que ocupam a mesma posição são correspondentes. Duas matrizes de mesmo tipo m x n são iguais quando todos os elementos correspondentes são iguais. Exemplo: Vamos determinar os valores de a, b, c e d para que se tenha: (
)=(
)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Dadas duas matrizes, = ( ) =( ) , a matriz soma A + B é a matriz em que cij = aij + bij, para todo i e todo j. Exemplo: Determine a soma A + B, das matrizes a seguir: =(
)
=(
=(
)
,
)
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MATRIZ OPOSTA Seja a matriz = ( ) , chama-se oposta de A a matriz representada por –A, tal que A + (-A) = 0, em que 0 é a matriz nula do tipo m x n. Exemplo: Ache a matriz oposta de
=(
).
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo e O a matriz nula, valem as seguintes propriedades para a adição das matrizes. I. II. III. IV.
A + B = B + A (comutativa) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) A + (- A) = O (oposto) A + O = A (elemento neutro) Exemplo: Vamos resolver a equação X – A = B, sendo
=*
+e
=*
+.
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Seja a matriz = ( ) e k um número real diferente de zero. A multiplicação de k pela matriz A é definida como a matriz B (do tipo m x n), B = k . A, em que = . Exemplo: 1) Dada a matriz
=(
), determine B = 2A.
2) Determine X na equação 3.X – A = B, sendo a)
=(
)
b)
=(
)
c)
=(
)
d)
=( )
e)
=( )
=(
)
=(
).
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dadas as matrizes = ( ) e =( ) chama-se produto de A por B, e se indica por A.B, a matriz = ( ) , em que um elemento qualquer cik é obtido da seguinte maneira: Exemplo: 1) Determine o produto das matrizes A e B a seguir: =(
) e
a)
=(
)
b)
=(
)
c)
=(
)
d)
=(
)
e)
=(
)
=(
2) Determine x e y na equação: (
)
) (
)=(
).
MATRIZ IDENTIDADE Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A é dita matriz identidade de ordem n (indica-se por In) quando os elementos de sua diagonal principal são todos iguais a 1, e os demais elementos são iguais a zero. Exemplo:
PROPRIEDADE Qualquer que seja a matriz quadrada A de ordem n, tem-se: A . In = A e In . A = A. Exemplo: (
) (
)=
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MATRIZ INVERSA Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A é dita inversível (ou invertível) se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = In Exemplo: 1) Encontre, se existir a inversa da matriz = ( ) a)
=(
b)
=(
c)
=(
d)
=(
e)
=(
) ) ) ) )
2) Determine, se existir, a inversa da matriz *
3) Determine, se existir, a inversa da matriz *
4) Determine x a fim de que a matriz
=*
+.
+.
+ seja igual a sua inversa.
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
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DETERMINANTES DEFINIÇÃO E REGRAS PRÁTICAS Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se determinante da matriz A, e se indica por det A, o número obtido a partir de operações entre os elementos de A, de modo que: 1º Se A é de ordem n = 1, então det A é o único elemento de A: A = (3) ⇒ det A = 3 2º Se A é de ordem n = 2, então det A é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal de A e o produto dos elementos da diagonal secundária: =(
=( )( )
)⇒
( ) ( )=
=
Podemos também indicar o determinante de uma matriz colocando uma barra vertical em cada um de seus lados. Assim: |
|=
=
Se A é de ordem n = 3, utilizaremos o seguinte procedimento para obter o valor do det A: a) Copiamos ao lado da matriz A as duas primeiras colunas; b) Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras diagonais; c) Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas diagonais, também trocando o sinal dos produtos; d) Somamos todos os produtos obtidos dos itens b e c. Esse procedimento é conhecido como regra de Sarrus. Exemplo: Encontre |
|:
Exemplo: Determine o valor de x em |
|=
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui: a) Uma única nula: |
|=
|
|=
b) Duas filas paralelas iguais |
|=
|
|=
c) Duas filas paralelas proporcionais |
|=
|
|=
O determinante de uma matriz quadrada não se altera se: a) Trocarmos ordenadamente linhas por colunas: det A = det At. |
|=
|
|=
EXERCÍCIOS 1) Calcule o valor de cada um dos determinantes: a) |
|=
b) |
|=
c) |
|=
d) |
|=
2) Resolva em R, as seguintes equações: a) |
a) |
|=|
|
|=
3) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo:
=|
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|
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CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Determinado Possível Sistema
Indeterminado
Impossível RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Resolva os seguintes sistemas abaixo: = a) { =
b) {
= =
c) {
= =
d) {
= =
e) {
= =
f) {
= =
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SISTEMAS LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕES E TRÊS INCÓGNITAS Resolva os sistemas abaixo: = = = a) { b) { = = =
=
c) {
=
d) {
=
e) {
= = =
= = =
SISTEMA HOMOGÊNEO É o sistema em que todos os termos independentes são iguais a zero. Um sistema homogêneo é sempre possível, pois a sua solução nula satisfaz cada uma de suas equações. Exemplo: Classifique e resolva os seguintes sistemas homogêneos: = a) { =
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= = =
b) {
Considere o sistema { =
= , a solução do sistema é dada pela seguinte relação: =
=
Exemplo: Resolva os sistemas abaixo usando a regra de Cramer. a) {
b) {
= =
= = =
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ANÁLISE COMBINATÓRIA Foi à necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar, de uma forma indireta, o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. FATORIAL Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo: Para n = 0 , teremos : 0! = 1. n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 Para n = 1 , teremos : 1! = 1 Exemplos: 1) 6! = _____________________ 2) 4! = _____________________ 3) Calcule: a)
b) 5! – 3!
c)
d)
e)
f)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
4) Resolva a equação (n + 3)! = 120
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1. k2 . k3 . ... . kn Exemplo: 1) De casa para o trabalho o Sd Silva pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho para a faculdade, ele pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. De quantos modos diferentes o Sd Silva pode, no mesmo dia, ir de casa para o trabalho e de lá para a faculdade? a) 3
b) 4
c) 7
d) 9
e) 12
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2) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5? a) 120
b) 100
c) 125
d) 64
e) 150
3) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? a) 216
b) 210
c) 144
d) 140
e) 150
PERMUTAÇÕES SIMPLES Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplos: 1) P6 = _____________
2) P4 = _________________
3) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. 4) Determine os possíveis anagramas da palavra REI: 5) Considere os anagramas formados a partir de JANEIRO. a) Quantos são? b) Quantos começam por J? c) Quantos começam e terminam por vogal? d) Quantos começam por vogal e terminam por consoante? e) Quantos apresentam as letras J, A e N juntas? f) Quantos apresentam a letra N antes da letra R? PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por: Exemplos: 1) Determine o número de anagramas da palavra CASA. 2) Determine o número de anagramas da palavra PARAÍBA. 3) Determine o número de anagramas da palavra PASSARELA. 4) Determine o número de anagramas da palavra RESSACA. 5) Determine o número de anagramas da palavra TERRITÓRIO.
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ARRANJOS SIMPLES Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p, a qualquer sequência ordenadamente de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes. =
(
)
Exemplo: 1) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? a) 1000 b) 900 c) 810 d) 720 e) 729
2) Um candidato ao se inscrever para o concurso da Escola de Sargento das Armas/2011, deverá cadastrar no portal eletrônico uma senha formada por duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguidas por dois algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas nessas condições? a) 67 600 b) 65 000 c) 58 500 d) 60 840 e) 52 650
3) Calcule: a) =
b)
4) Resolva as equações: a) =
b)
=
=
Exemplo importante: Nos jogos militares mundiais realizados no mês de julho, quinze seleções disputam o torneio de vôlei feminino, entre elas dois rivais históricos: Brasil e Cuba. 1) Quantos são os resultados possíveis para a distribuição das medalhas de ouro, prata e bronze? a) 3375 b) 2730 c) 2197 d) 45 e) 90
2) Em quantos resultados o Brasil recebe medalha, mas Cuba não? a) 468 b) 156 d) 210 d) 2744
e) 364
3) Em quantas premiações pelo menos uma dessas equipes receba medalha, com o Brasil na frente de Cuba. a) 39 b) 2197 c) 195 d) 182 e) 1320
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COMBINAÇÕES SIMPLES Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados p a p aos subconjuntos formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Então temos: =
(
)
Exemplo: 1) Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? a) 3 003 b) 231 c) 360 360 d) 72 072 e) 2 730 2) Para organizar um coquetel de lançamento de um produto, o departamento de eventos de uma empresa terá de escolher três dos cinco salgadinhos que um bufê oferece: Coxinha, empadinha, risole, quibe e minibauru. Quantas opções para escolha terá o departamento de eventos da empresa? a) 60 b) 125 c) 120 d) 10 e) 20 3) Considerando 10 pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com extremidades em dois desses pontos? a) 90 b) 720 c) 360 d) 45 e) 135 4) Num acampamento, o monitor deve montar uma equipe de quatro jovens para improvisar uma ponte que possibilite a travessia de um riacho. Se há 8 rapazes e 6 moças, quantas equipes de dois rapazes e duas moças podem ser formadas? a) 43 b) 28 c) 15 d) 1001 e) 986 5) Calcule a) = b) c)
= = A matemática é elementar meu caro! Prof. Bernardo
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PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. EXPERIMENTO ALEATÓRIO É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se lança um dado, não é possível saber que irá ocorrer, esse experimento pode apresentar 6 possibilidades distintas. ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S. Exemplo: 1) Lançamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima. Qual o espaço amostral desse experimento?
2) lançamos um dado perfeito, a face voltada para cima pode mostra um número qualquer de 1 a 6. Qual o espaço amostral desse experimento?
3) Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente. Quantos elemento possuui o espaço amostral desse experimento?
EVENTO São os possíveis resultados que se obtêm de um espaço amostral. 1) Lançamos uma moeda honesta duas vezes, simultaneamente. Em relação a sequência de faces obtidas, qual o evento que ocorre faces diferentes?
2) Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Descreva os seguuintes eventos: a) Ocorre um número maior que 4. b) Ocorre um número par. c) Não ocorre o número 5.
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CONCEITO DE PROBABILIDADE É a razão entre o número de casos favoráveis (que nos interessa) e o número de casos possíveis. Assim temos que: ( )=
(
)
( ) Exemplo: 1) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número PAR?
2) De um baralho comum de 52 cartas (13 cartas de cada naipe), uma é selecionada ao acaso. Qual é a probabilidade de observarmos: a) o sete de copas? b) o número sete? c) um número diferente de sete?
3) Em um programa de prêmios da TV, são colocados oito fichas sobre uma mesa, das quais três contêm prêmios. O participante deve escolher duas fichas ao acaso e virá-las simultaneamente. Qual a probabilidade de que haja prêmio nas duas fichas? a) 25% b) 20% c) 16% d) 11,2% e) 10,7% 4) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 9 ou números iguais? a) b) c) d) e)
5) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 8 e números iguais? a) b) c) d) e)
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POLINÔMIOS GRAU DE UM POLINÔMIO Grau de um polinômio p(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente dominante do polinômio. Acompanhe os seguintes exemplos: ( )= é um polinômio de grau ____ e coeficiente dominante ____. ( )= é um polinômio de grau ____ e coeficiente dominante ____. ℎ( ) = é um polinômio de grau ____ e coeficiente dominante ____. Exercícios: 1) Determine m a fim de que o grau do polinômio ( ) =
, seja igual a 2.
2) Qual deve ser o valor de k para que o grau do polinômio ( ) = ( , seja igual a 2.
VALOR NUMÉRICO 1) Vamos calcular o valor numérico do polinômio ( ) =
)
, para x
2) Sabendo que x = -3 é raiz do polinômio ( ) = m.
{3, 0, 1 +i}.
, determine o valor de
3) Qual é o polinômio de grau 1 que apresenta soma dos coeficientes igual a 3 e raiz igual a 2?
POLINÔMIO NULO Vamos considerar um polinômio p que tenha todos os coeficientes iguais a zero. Uando isso acontecer dizemos que p é um polinômio nulo, ou polinômio identicamente nulo, indicamos assim ( ) . Exemplo: Determine a soma dos valores de a, b e c, sabendo-se que o polinômio ( ) = ( ) é um polinômio nulo. a) -2 b) -3 c) 0 d) -1 e) 1 A matemática é elementar meu caro! Prof. Bernardo
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IDENTIDADES Dizemos que um polinômio p(x) e g(x) são idênticos quando todos os coeficientes de p(x) e de g(x) são ordenadamente iguais. Indicamos por ( ) ( ). Exemplo: Determine a soma dos valores de a, b e c sabendo-se que ( ) = é idêntico a ( ) = . a) -7 b) -4 c) 11 d) -8 e) 3 Exemplo: Considerando que a, b e c são constntes reais tais que, para todo número real x ≠ 0 e x ≠ 3,
(
)
(
)
, calcule a soma a + b + c.
a) 28 b) 20 c) 27 d) 8 e) 35 ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS. As operações de adição, subtração e multiplicação de polinômios seguem os procedimentos de Álgebra estudados no ensino fundamental. ( )= Exemplo: Sendo os polinômios ( ) = ℎ( ) = , determine: a) f(x) + g(x) b) g(x) – h(x) c) f(x).g(x) + h(x)
DIVISÃO DE POLINÔMIOS De um modo geral, a divisão de dois polinômios quaisquer é feita por meio do método da chave, que apresentamos a seguir: dividendo
( ) ( )
( ) ( )
resto
Exemplo: 1) Determine o quociente e o resto da divisão de ( ) = ( )= .
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divisor
quociente
por
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2) Determine o quociente e o resto da divisão de ( ) =
DIVISÃO POR BINÔMIOS DO TIPO (x – a) Vamos fazer a divisão do polinômio ( ) =
por ( ) =
, por ( ) =
.
.
TEOREMA DO RESTO Seja p(x) um polinômio tal que grau p 1. O resto da divisão p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a). Exercícios: 1) Determine o resto da divisão de f(x) por g(x), em cada caso, sendo: a) ( ) = e ( )= b) ( ) =
e ( )=
2) Encontre o valor de a, em cada caso, sabendo que f(x) é divisível por g(x). a) ( ) =
b) ( ) =
e ( )=
e ( )=
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EQUAÇÕES POLINOMIAIS TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO Seja um polinômio p(x) de grau n, n 1, e a, b e c raízes do polinômio, então p(x) pode ser decomposto por p(x) = an.(x – a).(x – b).(x – c), onde an é o coeficiente dominante de p(x). Exemplo: Sabendo que as raízes do polinômio ( ) = mos fatorá-lo como:
são 1, -2 e 4, pode-
Exemplo: Sabendo que uma das raízes da equação as outras duas raízes:
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Vamos resolver a equação
RELAÇÕES DE GIRARD Dado o polinômio raízes. Através desse raciocínio podemos dizer que:
é igual a 2, determine
= , sabendo que 3 é raiz dupla.
(
) = , sendo
suas
= = = { Exemplo: Se r, s e t são raízes, em C, da equação a) r + s + t
=
b) r.s + r.t + s.t c) r.s.t d)
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GEOMETRIA ANALÍTICA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem dois pontos por extremidades.
Exemplos: 1) Dados os pontos A(-3, 1) e B(4, 3), determine a distância entre eles: a) 53 b) 10 c) 9 d) √ e) √ 2) Encontre a distância entre os pontos A(-3, 2) e B(1, 0) a) 32 b) 16 c) 4 d) √ e) √ 3) Considere os pontos A(3, 2) e B(8, 6). Determine as coordenadas do ponto P, pertencente ao eixo x, de modo que os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ tenham o mesmo comprimento.
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
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1) Determine, em cada caso, as coordenadas do ponto médio do segmento com extremidades nos pontos: a) A(-5, 2) e b(3, -2) b) C(1 - √ , 2) e D(1 - √ , -1)
2) Seja o segmento ̅̅̅̅, cujo ponto médio M tem coordenadas = , encontre as coordenadas de B.
=
= . Se
=
3) Os pontos (3, -9), (7, -5) e (-4, -2) são vértices de um retângulo. Determine as coordenadas do quarto vértice desse retângulo. a) (0, 2) b) (2, 0) c) ( ) d) ( ) e) (2, 2) CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Para constatar a colinearidade de três pontos, basta calcular um determinante de terceira ordem que contenha os pontos dados, conforme a seguir: Exemplos 1) Verifique se os pontos A(-3, -11), B(0, -2) e C(5, 13) são colineares.
2) Quais são os valores de k para os quais os pontos (2, k), (14, -3) e (k, 3) são colineares?
EQUAÇÃO GERAL DA RETA Dizemos que qualquer equação do 1º grau com duas variáveis, do tipo ax + by + c = 0, com a, b e c R, representa a equação geral de uma reta.
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Exemplo: 1) Obter a equação da geral da reta r, que passa pelos pontos A(-3, -1) e B(2, 3). a) -3x – y = 0 b) – x + 3y – 4 = 0 c) 4x – 5y + 7 = 0 d) 5x – 4y + 7 = 0 e) x – 4y – 3 = 0 2) Obtenha a equação da reta que passa pela origem e pelo ponto (6, 5). a) 5x – 6y = 0 b) 6x – 5y = 0 c) x – 5y = 0 d) 6x – y = 0 e) 5x – 6y + 11 = 0 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
1) Obtenha a equação reduzida da reta s, que forma 45º com o eixo das abscissas, no seu sentido positivo, e que passa por (3, 5). a) y = 3x + 5 b) y = x + 3 c) y = x + 5 d) y = 2x + 1 e) y = x + 2
2) Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4). a) 3x + 4y + 1 = 0 b) 4x + 3y + 1 = 0 c) y = d) y = e) y =
3) Determine o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos (0, 2) e (5, 1).
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ďƒź PARALELISMO Duas retas paralelas formam com o eixo das abscissas ângulos congruentes, assim ambas possuem coeficientes angulares iguais. Exemplos: 1) Determine a posição relativa das retas r: 3x + 6y + 2 = 0 e s: x + 2y – 1 = 0.
2) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto (3, 2) e Ê paralela à reta r: 4x – y + 1 = 0
ďƒź PERPENDICULARISMO Duas retas sĂŁo perpendiculares entre si, quando o produto entre seus coeficientes angulares ĂŠ igual a -1. Exemplos: 1) Determine a equação da reta s, perpendicular a reta r: 2x – y + 3 = 0 e que passa pelo ponto (-3, 4).
2) Dados dois pontos A(2, 6) e B(4, 3), determine a equação da mediatriz do segmento ̅̅̅̅ .
ďƒź Ă REA DE UM TRIĂ‚NGULO Sejam trĂŞs pontos nĂŁo alinhados A, B e C, para calcular a ĂĄrea do triângulo formado pelos pontos ABC, devemos calcular essa ĂĄrea assim:
Ă rea =
|đ?‘Ť| đ?&#x;?
Exemplos: 1) Calcule a årea do triângulo de vÊrtices A(1, 3), B(2, 5) e C(-2, 4). a) 7 b) 14 c) 3,5 d) 3 e) 10 2) Qual a årea do triângulo cujos vÊrtices são a origem do sistema cartesiano e os pontos de intersecção da reta de equação x + y – 2 = 0 com os eixos coordenados
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EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Equação reduzida Equação geral
Exercícios: 1) Determine a equação geral e reduzida da circunferência de centro C(2, -3) e raio igual a 4.
2) Determine a equação geral e reduzida da circunferência de centro C(2, -3) e passa pelo ponto P(2, 1).
3) Determine a equação geral e reduzida da circunferência de centro C(2, 1) e que passa pelo ponto P(1, 1).
4) Determine a equação reduzida da circunferência que tem diâmetro com extremidades (1, 3) e (5, 7). Essa circunferência passa pela origem.
5) A circunferência de centro (2, 1) e raio √ passa por (2, k), determine os valores de k.
6) Determine em cada caso, o centro e o raio da circunferência: a) (x + 1)2 + (y + 3)2 = 2 b) x2 + y2 – 10x – 23 = 0 c) (x + 5)2 + (y – 2)2 = 0 d) x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0 e) x2 + y2 + 6x – 8y + 26 = 0 A matemática é elementar meu caro! Prof. Bernardo
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