Escola de Sargento das Armas Solução gabarito da Prova da ESA 2011_2012

Prof. Anchieta e Prof. Bernardo

GABARITO COMENTADO DA PROVA DA EsSA/2011 REALIZADA EM 30 OUT 2011.

COMENTà RIOS PROF. ANCHIETA e PROF. BERNARDO ÀREA COMBATENTE E SAÚDE Observação: Das 8 (oito) questþes da prova da årea de saúde, 6 (seis) são idênticas as da prova da årea combatente e estão resolvidas na primeira parte. à REA COMBATENTE 1) Um quadrado ABCD estå contido no 1º quadrante do sistema cartesiano. Os pontos A(5, 1) e B(8, 3) são vÊrtices consecutivos desse quadrado. A distância entre o ponto A e o vÊrtice C oposto a ele, Ê (A) 26

(B) 2 13

(C) 13

(D) 13

(E)

26

Solução Se A e B são vÊrtices consecutivos do quadrado, então a distância de A atÊ B Ê o lado.

Lado = dA,B =

(8  5) 2  (3  1) 2 =

9  4 = 13

Sendo C o vÊrtice oposto a A, então a distância de A atÊ C Ê a diagonal do quadrado.

Diagonal do quadrado = lado. 2 = 13. 2 = 26

2) Um terreno de forma triangular tem frentes de 20 metros e 40 metros, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 60°. Admitindo-se √ , a medida do perĂ­metro do terreno, em metros, ĂŠ: (A) 90 (B) 94 (C) 92 (D) 91 (E) 93 Lei dos cossenos. đ?‘Ľ 2 202 + 402 − 2.20.40. cos 60° 1 đ?‘Ľ 2 400 + 1600 − 2.20.40.

2 đ?‘Ľ 2 2000 − 800 đ?‘Ľ 2 1200 đ?‘Ľ √1200 đ?‘Ľ 20√3 đ?‘Ľ 34 Logo o perĂ­metro ĂŠ 34 + 20 + 40 = 94 metros

20

x

60° 40

3) Em uma turma a mĂŠdia aritmĂŠtica das notas ĂŠ 7,5. Sabe-se que a mĂŠdia aritmĂŠtica das notas das mulheres ĂŠ 8 e das notas dos homens ĂŠ 6. Se o nĂşmero de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o nĂşmero total de alunos da turma ĂŠ (A) 8

(B) 12

(C) 20

(D) 4

(E) 16

Solução

Prova comentada pelos professores Anchieta e Bernardo - Santa Maria – RS

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Prof. Anchieta e Prof. Bernardo Considerando: M = número de mulheres e H = número de homens e, sabendo que 7,5 é a média ponderada entre as médias das mulheres e dos homens, temos:

8M  6H  7,5 MH 8.M + 6.H = 7,5.M + 7,5.H

 0,5.M=1,5.H

 M = 3.H

Do problema, temos ainda que, o número de mulheres excede o de homens em 8, então: M = H + 8 e substituindo M = 3.H em M = H + 8, encontramos: 3.H = H + 8  2.H = 8  H = 4 Como M = H + 8  M = 4 + 8  M = 12 Logo: Total de alunos: H + M = 4 + 12 = 16

4) Seja uma função f: R R definida por f(x) = 2.[cos(2x) + i.sen (2x)]. Qual o valor de f(π/6)?

3 i

(A)

3 i

(B)

(C)

3 i  2 2

(D) 1 i 3

(E)

3 i  2 2

Solução

        f    2  cos 2    i  sen 2   6  6    6       f    2  cos   i  sen  6  3   3  f    2  cos60º   i  sen 60º  6

1 3  f   2  i  2  6 2  f    1 i  3 6

5) Para que as retas de equações 2x – ky = 3 e 3x + 4y = 1 sejam perpendiculares, deve ter (A) K = 2 (B) k = -3/2 (C) k = 3/2 (D) k = 2/3 (E) k = -1/3 Reduzindo as equações temos: 2

- Ky = -2x + 3  a outra equação é 4

2

− 3 (coeficiente angular é igual a ) −3 + 1 

+ (coeficiente angular é igual a

)

Duas retas são perpendiculares quando o coeficiente angular de uma é inverso oposto da outra, então temos: 2



2

 resposta letra (C)

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Prof. Anchieta e Prof. Bernardo 6) Se f ( x)  log (A)

5

x 2 , com x real e maior que zero, qual o valor de f  f 5 ?

log 2 log 2  2

5 log 2 log 2  1

(B)

(C)

2 log 2 1  log 2

8 log 2 1  log 2

(D)

(E)

5 log 2 1  log 2

Solução Primeiramente, vamos calcular f 5

f (5)  log

5

52

f (5)  2 log 1 5



Calculando f (4)  log





f (5)  2.2. log 5 5 = 4

52

f (4) 

5

8. log 2 10 log 2

4

2





f (4) 

f (4) 

2. log 4



log 5

8. log 2 log 10  log 2

f (4) 

2. log 2 2 log 5



f (4) 

1 2



f (4) 

4. log 2 1  log 5 2

8. log 2 1  log 2

7) A reta y = mx + 2 é tangente à circunferência de equação (x – 4)2 + y2 = 4. A soma dos possíveis valores de m é (A) 0

(B) -4/3

(C) 2

(D) 4/3

(E) -3/4

Comentários iniciais A circunferência (x – 4)2 + y2 = 4 tem centro (4, 0) e raio 2.

A reta y = mx + 2, tangente à circunferência, dista do centro da mesma de 2 u.c., então: d centro,reta 

2

mx  y  2 m 2   1

2

m.4  0  2 m2  1

2 m 2  1  4.m  2 Solução 1: 2  2 m  1  4.m  2 (I)  2   2 m  1  4.m  2 (II)

Resolvendo a equação (I): Prova comentada pelos professores Anchieta e Bernardo - Santa Maria – RS

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2

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

m 2  1  4.m  2 2



2



4. m 2  1  16m 2  16m  4

m 2  1  4m 2  4m  1

3m 2  4m  0

m1  0 e m2 

4 3

Levando m1  0 e m2 

4 na equação (I), verificamos que: 3

m1  0 é solução da equação

m2 

4 não é solução da equação 3

Resolvendo a equação (II):

 2 



m2  1  4.m  2 2

2



4. m 2  1  16m 2  16m  4

m 2  1  4m 2  4m  1 3m 2  4m  0

m1  0 e m2 

4 3

Levando m1  0 e m2 

4 na equação (II), verificamos que: 3

m1  0 não é solução da equação

m2 

4 é solução da equação 3

4  4 Logo, a soma das raízes é 0     , igual a  .

3  3 Solução 2:

2 m 2  1  4.m  2





4 m2  1  4.m  2

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Como 4m  1 e 4.m  2 tem imagens sempre positivas então m pode assumir qualquer valor real, logo: 2

 4m  1   4.m  2  2

2

ď ›4.m

2

2

ď ?



 1  16m2  16m  4  (4)

m 2  1  4m 2  4m  1

3m 2  4m  0 Como a soma das raízes Ê dada por 

b 4 , então  . a 3

8) Quantos anagramas da palavra CONSOANTES podem ser formados com as vogais juntas e em ordem alfabĂŠtica?

(A)

7!

2!.2!.2!

(B)

10!

2!.2!.2!

(C)

7!

2!.2!

(D)

10!

7!.3!

(E)

10!

2!.2!

Solução Vogais juntas e em ordem alfabÊtica: apenas 1 possibilidade Vogais juntas e demais consoantes: A E O O __ __ __ __ __ __    7!

Como temos 2 consoantes N e 2 consoantes S, então: P72, 2 

7!

2!.2!

9) Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido. Esse tanque estå completamente cheio com 8dm3 de ågua e 56dm3 de petróleo. Petróleo e ågua não se misturam, ficando o petróleo na parte superior do tanque e a ågua na parte inferior. Sabendo que o tanque tem 12m de profundidade, a altura da cama de petróleo Ê (A) 10m (B) 7m (C) 8m (D) 6m (E) 9m

Geometria Espacial ďƒ 12m = 120dm đ?‘Ľ 20 đ?‘Ľ 20

8 56+8 3

8

ďƒ

đ?‘Ľ 20

ďƒ đ?‘Ľ 20

2

ďƒ đ?‘Ľ

8 6

ďƒ 60 đ?‘‘đ?‘š

đ?‘Ľ 20

8

6đ?‘š

A altura do petróleo Ê 12 – x = 12 – 6 = 6 metros

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Prof. Anchieta e Prof. Bernardo 10) Um par de coturnos custa na loja “SĂł Fardasâ€? R$ 21,00 mais barato que na loja “Selva Brasilâ€?. O gerente da loja “Selva Brasilâ€?, observando essa diferença, oferece um desconto de 15% para que o seu preço iguale de seu concorrente. O preço do par de coturnos, em reais, na loja “SĂł Fardasâ€? ĂŠ um nĂşmero cuja soma dos algarismos ĂŠ (A) 13 (B) 9 (C) 11 (D) 12 (E) 10 Porcentagem X = preço na loja “Selva Brasilâ€?

5đ?‘Ľ đ?‘Ľ 15% de x 21 ďƒ 00 21 ďƒ 20

21 ďƒ 3đ?‘Ľ

420 ďƒ đ?‘Ľ

140

Na loja “SĂł Fardasâ€? custa: R$ 140 – R$ 21 = R$ 119 Somando dos algarismos temos 1 + 1 + 9 = 11

11) TrĂŞs amigos, Abel, Bruno e Carlos, juntos possuem um total de 555 figurinhas. Sabe-se que Abel possui o triplo de Bruno menos 25 figurinhas, e que Bruno possui o dobro de Carlos mais 10 figurinhas.

Desses amigos, o que possui mais tem (A) 325 figurinhas (B) 275 figurinhas (C) 250 figurinhas (D) 300 figurinhas (E) 365 figurinhas Carlos = x Bruno = 2x + 10 Abel = 3(2x + 10) – 25

Equação do 1Âş grau đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ + 10 + 3 2đ?‘Ľ + 10 − 25 3đ?‘Ľ + 10 + 6đ?‘Ľ + 30 − 25 555 đ?‘Ľ + 15 555 đ?‘Ľ 540 540 đ?‘Ľ 60 đ??´đ?‘?đ?‘’đ?‘™

555

3 2.60 + 10 − 25 3 130 − 25 365 đ?‘“đ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘›â„Žđ?‘Žđ?‘

12) A mĂŠdia aritmĂŠtica de n nĂşmeros ĂŠ 29. Retirando-se o nĂşmero 12 a mĂŠdia aumenta para 30. Podemos afirmar que o valor de n serĂĄ (A) 42 (B) 41 (C) 17 (D) 18 (E) 11 2 2

2 30

− 12

30 − 30

ďƒ

− 12

30 − 30 ďƒ 2

− 12

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30 − 30 ďƒ

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Prof. Anchieta e Prof. Bernardo Ă REA DE SAĂšDE

13) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros composto a uma taxa de 44% a.a.. Se o prazo de capitalização foi de 180 dias, o montante gerado serå de (A) R$ 1.440,00 (B) R$ 1.480,00 (C) R$ 1.240,00 (D) R$ 1.200,00 (E) R$ 1.680,00 Juros composto Obs.: O período de 180 dias equivale a 2 (meio) ano. Aplicando a fórmula do montante temos: �

đ??ś. 1 + đ?‘–

đ?‘€

1000.

đ?‘›

144 100

ďƒ đ?‘€ 1000.

1000. 1 + 0 44 12 10

1 2

ďƒ đ?‘€

1000. 1 44

1 2

1200

O montante serĂĄ de R$ 1.200,00

14) Seja ̅̅̅̅ um dos catetos de um triângulo retângulo e isósceles ABC, retângulo em A, com A(1, 1) e B(5, 1). Quais as coordenadas cartesianas do vÊrtice C, sabendo que este vÊrtice pertence ao primeiro quadrante?

(A) (4, 4) (B) (1, 5) (C) (1, 4) (D) (5, 5) (E) (4, 5)

MĂŠtodo geomĂŠtrico Observando os pontos no grĂĄfico temos o seguinte: Se o triângulo ĂŠ isĂłsceles, entĂŁo Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ

Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś

4

Logo o ponto C tem coordenadas cartesianas (1, 5)

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