Φως:Μηχανισμοί εκπομπής,μετάδοσης και ανίχνευσης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

«Φως: μηχανισμοί εκπομπής, διάδοση και ανίχνευση. Μεταφορά σύγχρονων αντιλήψεων στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση»

Πάνος Κωνσταντίνος Πάτρα 2011

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: Μεταπτυχιακή Εξειδίκευση Καθηγητών των Φυσικών Επιστημών ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Πάνου Κωνσταντίνου ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ «Φως: μηχανισμοί εκπομπής, διάδοση και ανίχνευση. Μεταφορά σύγχρονων αντιλήψεων στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση»

ΟΝΟΜΑ ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

ΣΩΤΗΡΙΟΣ ΒΕΣ ΠΑΤΡΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011

Η παρούσα διπλωματική εκπονήθηκε στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών του ΕΑΠ «Μεταπτυχιακή εξειδίκευση καθηγητών των Φυσικών Επιστημών» και ειδικότερα του θεματικού πεδίου ΚΦΕ 51 «Κίνηση, Δομική Συγκρότηση και Βασικές Αλληλεπιδράσεις της Ύλης».

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στον επιβλέποντα καθηγητή κύριο Σωτήριο Βε, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στην πραγμάτωση της παρούσης εργασίας.

Πίνακας περιεχομένων Περίληψη .......................................................................................................................... III Abstract ............................................................................................................................. IV 1. Ιστορία της οπτικής......................................................................................................1 2. Παραγωγή του φωτός ................................................................................................11 2.1 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα από επιταχυνόμενο φορτίο .....................................11 2.2 Εκπομπή ακτινοβολίας από ταλαντούμενο δίπολο .............................................14 2.3 Ακτινοβολία σύγχροτρον ....................................................................................18 2.4 Συμβολή από n δίπολα σε φάση – Κατευθυντικότητα........................................20 2.5 Εκπομπή φωτός από τα άτομα ............................................................................26 2.6 Χαοτικές πηγές φωτός και πηγές LASER...........................................................29 2.6.1 Ιδιότητες των φωτονίων – στατιστική συμπεριφορά...................................29 2.6.2 Χρονική και χωρική συμφωνία....................................................................31 2.6.3 Χαοτικές πηγές φωτός .................................................................................33 2.6.4 Σύμφωνες πηγές φωτός................................................................................34 2.7 LASER ................................................................................................................35 2.7.1 Πληθυσμός των ενεργειακών επιπέδων.......................................................35 2.7.2 Συντελεστές Einstein ...................................................................................36 2.7.3 Κύρια μέρη και είδη LASER .......................................................................43 2.7.4 Η διαδικασία της επιλεκτικότητας των φωτονικών καταστάσεων ..............44 2.7.5 LASER Ρουμπινίου (στερεάς κατάστασης).................................................45 2.7.6 Οπτικές κοιλότητες συντονισμού (οπτικά αντηχεία) - επιμήκεις και εγκάρσιοι τρόποι ταλάντωσης ...................................................................................47 2.7.7 Βασικοί τρόποι ταλάντωσης των Laser .......................................................51 2.7.8 Ιδιότητες του φωτός των Laser ....................................................................52 2.7.9 LASER ακτίνων Χ .......................................................................................57 2.8 Σύγκριση επιμέρους φωτεινών πηγών ...............................................................59 3. Διάδοση του φωτός ....................................................................................................63 3.1 Εξισώσεις Maxwell .............................................................................................63 3.2 Διάδοση Η/Μ κυμάτων στο  κενό ........................................................................63 3.2.1 Η καθετότητα των E και B .......................................................................66 3.2.2 Ταχύτητα φάσης...........................................................................................68 3.2.3 Το διάνυσμα Poynting .................................................................................70 3.3 Ελεύθερη διάδοση Η/Μ κυμάτων σε ένα μέσο διάδοσης ...................................72 3.3.1 Εκπεμπόμενη ισχύς από ταλαντούμενο δίπολο ...........................................72 3.3.2 Ενεργός διατομή σκέδασης σs (cross section for scattering) .......................74 3.3.3 Σκέδαση και συμβολή..................................................................................77 3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας ..............79 3.4.1 Ομαλός και ανώμαλος διασκεδασμός..........................................................87 3.4.2 Ταχύτητα ομάδας .........................................................................................89 3.4.3 Ο δείκτης διάθλασης για πυκνά μέσα. Εξίσωση των Clausius-Mossotti ....94 3.4.4 Νόμος του Beer............................................................................................99

II

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3.4.5 Μεταϋλικά....................................................................................................99 3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες) ..................105 3.5.1 Αρχή του Huygens .....................................................................................105 3.5.2 Η αρχή του ελαχίστου χρόνου (Αρχή του Fermat)....................................107 3.5.3 Ανάκλαση ..................................................................................................112 3.5.4 Διάθλαση....................................................................................................115 3.5.5 Εξισώσεις Fresnel ......................................................................................118 3.5.6 Ολική εσωτερική ανάκλαση ......................................................................131 3.5.7 Οπτικές ίνες................................................................................................135 3.6 Περίθλαση (Diffraction)....................................................................................142 4. Ανίχνευση του φωτός...............................................................................................147 4.1 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία της ανίχνευσης...............................................147 4.2 Το μάτι...............................................................................................................149 4.3 Ημιαγωγικοί ανιχνευτές ....................................................................................154 4.3.1 Ηλεκτρονικές ιδιότητες των στερεών ........................................................154 4.3.2 Φωτοβολταϊκό φαινόμενο..........................................................................159 4.3.3 Φωτοαγώγιμοι ανιχνευτές (φωτοαντιστάσεις)...........................................161 4.4 Φαινόμενο φωτοεκπομπής ................................................................................165 4.4.1 Φωτοκύτταρα (vacuum phototubes) ..........................................................169 4.4.2 Φωτοπολλαπλασιαστές ( photomultiplier tube – PMT ή PM ) .................171 4.5 Διατάξεις συζευγμένων φορτίων (Charge Coupled Devices C.C.D.)...............174 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ .....................................................................................................179 5.1 Βιβλία ................................................................................................................179 5.2 Πηγές από το διαδίκτυο.....................................................................................180

Περίληψη Συνοπτικά, η δομή της παρούσης εργασίας είναι ως εξής: Στο 1ο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια αναδρομή στην ιστορία της οπτικής από τα χρόνια της αρχαιότητας, έως τις αρχές του 20ου αιώνα. Εν συνεχεία στο 2ο κεφάλαιο, μελετάται ο τρόπος παραγωγής φωτός από τα άτομα της ύλης, στα πλαίσια της ταλάντωσης του ηλεκτρικού διπόλου. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στις εφαρμογές που αφορούν στους Lasers, στο οπτικό μέρος του φάσματος, καθώς και στους πρόσφατους Lasers ακτίνων Χ. Το 3ο κεφάλαιο διαπραγματεύεται τη διάδοση του φωτός στη βάση της επίλυσης των εξισώσεων του Maxwell, αφενός στο κενό κι αφετέρου εντός οπτικών μέσων. Μελετάται η επίδραση του δείκτη διάθλασης των υλικών στη διάδοση του φωτός και περιπτώσεις ενδιαφέροντος όπως οι υπερφωτεινές ακτίνες και η περίπτωση υλικών με αρνητικό δείκτη διάθλασης (μεταϋλικά). Ακόμη, τα φαινόμενα της ανάκλασης και της διάθλασης στα πλαίσια της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μέσω της αρχής του Fermat αλλά και του Huygens, καθώς και σε ανώτερο επίπεδο μέσω της εφαρμογής οριακών συνθηκών. Τέλος, η ολική εσωτερική ανάκλαση και η εφαρμογή της στις οπτικές ίνες. Στο 4ο κεφάλαιο εξετάζεται η ανίχνευση του φωτός ως διαδικασία αντίστροφη της εκπομπής του φωτός. Δίνεται μια σύντομη θεωρία των ενεργειακών ζωνών στα στερεά και εξετάζονται περιπτώσεις φωτοβολταϊκών και φωτοαγώγιμων ανιχνευτών αλλά και ανιχνευτών όπως τα φωτοκύτταρα και οι φωτοπολλαπλασιαστές που η λειτουργία τους στηρίζεται στο φαινόμενο της φωτοεκπομπής καθώς και το μάτι, αλλά και οι διατάξεις συζευγμένου φορτίου (C.C.D.).

IV

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Abstract The structure of this work is in brief as follows: In the 1st chapter a flashback to the history of optics is presented from ancient times to the early 20th century.

In the 2nd chapter, the way of producing light from atoms of matter in the context of the oscillation of electric dipole, is mentioned. Special emphasis is given on applications related to Lasers at the optical part of the spectrum, as well as the recent X-ray Lasers.

The 3rd chapter refers to propagation of light in terms of solving the equations of Maxwell, both in the vacuum and within an optical media. The effect of refractive index of materials in the propagation of light is also examined, as well as cases of interest such as the superluminal rays and the case of materials with negative index of refraction (metamaterials). Furthermore, the phenomena of reflection and refraction in secondary education, through the principle of Fermat and Huygens and at a higher level through the application of boundary conditions. Last, the total internal reflection and its application to optical fibres.

In the 4th chapter the detection of light as the inverse process of emission of light, is examined. A brief theory of energy bands in solids is also given as well as cases of photovoltaic and photoconductive detectors. Finally, the eye and photoemission detectors, such as vacuum phototubes and photomultiplier tubes and the Charge Coupled Devices (C.C.D.)

1.

Ιστορία της οπτικής Μέχρι τις αρχές του 17ου αιώνα η αντίληψή μας για τη φύση και τις ιδιότητες του φω-

τός εξελίχτηκε μάλλον αργά, μολονότι, σε αντίθεση με τα φαινόμενα του ηλεκτρισμού για παράδειγμα, τα οπτικά φαινόμενα είναι ευθέως παρατηρήσημα. Ήδη, από τα χρόνια της αρχαιότητας γνωρίζαμε για την ευθύγραμμη διάδοση του φωτός, η οποία είναι εμφανής στη δημιουργία της σκιάς, κατά την παρεμβολή αδιαφανούς εμποδίου, στη διάδοση του φωτός. Από την παρατήρηση αυτή οι αρχαίοι Έλληνες ανέπτυξαν τη θεωρία της διάδοσης των ευθύγραμμων φωτεινών ακτίνων. Η ιδέα αυτή όμως σε πολλές περιπτώσεις ήταν συνυφασμένη με τη θεωρία της «εκπομπής», αφού στηριζόταν στην υπόθεση ότι η ακτινοβολία προέρχεται από τον οφθαλμό. Γνωστή ήταν επίσης και η ισότητα των γωνιών πρόσπτωσης και ανάκλασης, καθώς ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς συνήγαγε το νόμο της ανάκλασης, θεωρώντας ότι το φως κινείται κατά μήκος της διαδρομής με το ελάχιστο μήκος. Κοινά χρησιμοποιούμενες οπτικές συσκευές ήδη από τότε, ήταν ο γνώμονας καθώς και οι επίπεδοι και κυρτοί φακοί και καθρέφτες. Τουλάχιστον από τους αρχαίους ρωμαϊκούς χρόνους τα μεγεθυντικά γυαλιά βρίσκονταν σε χρήση. Όσον αφορά στη φύση του φωτός, υπήρχαν διάφορες σκέψεις. Οι ατομικοί φιλόσοφοι Λεύκιππος (480-; π.χ.) και Δημόκριτος (περίπου 461-371 π.χ.) υποστήριζαν ότι όλα τα αντικείμενα αποτελούνται από άτομα που κινούνται στον κενό χώρο. Όλες οι αλλαγές μπορούσαν να εξηγηθούν στη βάση της κίνησης και της επαναδιευθέτησης των ατόμων. Με βάση τη θεωρία τους οι ακτίνες φωτός θεωρούνταν ως ροή σωματιδίων φωτός που ταξίδευαν ευθύγραμμα στον κενό χώρο και μπορούν να διεισδύσουν στα διαφανή σώματα. Τα διαφορετικά χρώματα μπορούσαν να εξηγηθούν από τα διαφορετικά μεγέθη και σχήματα των σωματιδίων του φωτός. Αργότερα, κατά τους Ρωμαϊκούς χρόνους ο Λουκρήτιος (περίπου 96-55 π.χ.) κατέγραψε τις απόψεις των ατομικών, στο ποίημά του “ De Rerum Natura”. Σε πλήρη αντίθεση ήταν οι ιδέες του Αριστοτέλη (384-322 π.χ.), ο οποίος ενδιαφέρθηκε σχεδόν αποκλειστικά για τη φύση του φωτός και για τους φυσικούς μηχανισμούς επαφής μεταξύ του παρατηρούμενου αντικειμένου και του οφθαλμού του παρατηρητή.

2

1 Ιστορία της οπτικής

Ούτε η μαθηματική ανάλυση, ούτε ζητήματα ανατομίας ή φυσιολογίας, έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην ανάλυσή του. Υποστήριξε ότι το ορατό αντικείμενο παράγει μια αλλοίωση του διαφανούς μέσου και το μέσο μεταδίδει στιγμιαία την αλλοίωση στον οφθαλμό του παρατηρητή, καθώς βρίσκεται σ’ επαφή μ’ αυτόν, με αποτέλεσμα τη δημιουργία της αίσθησης της όρασης. Ας μην ξεχνάμε ότι κατά τον Αριστοτέλη στη φύση δεν υπάρχει κενό. Η θεωρία που περιγράφεται ανήκει στην κατηγορία των θεωριών «πρόσληψης», όπου θεωρείται ότι ο παράγων, ο υπεύθυνος της όρασης, μεταδίδεται από το αντικείμενο προς τον οφθαλμό του παρατηρητή. Οπαδοί της θεωρίας της πρόσληψης, ήταν και οι ατομικοί φιλόσοφοι. Σε διαφορετικό μήκος κύματος κινήθηκαν οι απόψεις του Ευκλείδη. Ενδιαφερόμενος για τη μαθηματική σκοπιά του προβλήματος, επεξεργάστηκε μια γεωμετρική θεωρία της αισθητηριακής αντίληψης του χώρου, βασισμένη στην έννοια του οπτικού κώνου. Στο έργο του Οπτικά υποστήριξε ότι το φως πηγάζει από τον οφθαλμό με το σχήμα κώνου. Όταν οι ακτίνες παρεμποδίζονται από ένα αδιαφανές αντικείμενο, δημιουργείται η οπτική αντίληψη. Η θεωρία που διατύπωσε, συγκαταλέγεται στις θεωρίες «εκπομπής», διότι στηρίζεται στην υπόθεση ότι το φως πηγάζει από τον οφθαλμό. Συμπληρώνοντας στη θεωρία του Αριστοτέλη, η μοναδική περίπτωση όπου προσπάθησε μαθηματικά να μελετήσει ένα οπτικό φαινόμενο, αυτό του ουράνιου τόξου, χρησιμοποίησε τη θεωρία εκπομπής της όρασης. Το σπουδαιότερο ελληνιστικό κείμενο προέρχεται από τον Πτολεμαίο στα Οπτικά, στο οποίο δεν ακολούθησε τη στενά γεωμετρική προσέγγιση του Ευκλείδη. Προσπάθησε να δημιουργήσει μια περιεκτική θεωρία η οποία συνδύαζε τη γεωμετρική θεωρία της οπτικής του Ευκλείδη με μια πλήρη ανάλυση των φυσικών και ψυχολογικών χαρακτηριστικών της διαδικασίας της όρασης. Παρουσίασε τη θεωρία του οπτικού κώνου, αλλά τη συνδύασε με μια ανάλυση της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από το μάτι και της αλληλεπίδρασής της με τα ορατά αντικείμενα. Οι πιο εντυπωσιακές όψεις είναι οι θεωρίες της ανάκλασης και της διάθλασης. Στη μεγάλη περίοδο μέχρι την εποχή του μεσαίωνα, η επικρατούσα αντίληψη περί φωτός ήταν αυτή του Αριστοτέλη. Οι απόψεις των ατομικών φιλοσόφων ήταν ελάχιστα γνωστές, μέχρι τα 1417 όπου ο Poggio Bracciolini (1389-1459) ανακάλυψε μια χειρόγραφη παρουσίαση των ατομικών φιλοσόφων, από τον Λουκρήτιο.

Κεφ. 1 Ιστορία της οπτικής

3

Η συμβολή της μουσουλμανικής μέσης ανατολής βρίσκει τον εκπρόσωπό της στο πρόσωπο του εξέχοντος μαθηματικού και φυσικού φιλοσόφου Ibn al Haitham (9631039) ο οποίος είναι γνωστός στη δύση με το όνομα Alhazen. Το επίτευγμά του ήταν διπλό. Πρώτα απ’ όλα κατέρριψε τη θεωρία της εκπομπής του φωτός. Οικειοποιήθηκε όμως τους οπτικούς κώνους της αντίπαλης θεωρίας καθώς και τη μαθηματική ισχύ της προσπαθώντας να αναδείξει τη θεωρία της πρόσληψης. Επίσης, ανέλυσε τη φύση της ακτινοβολίας που σχετίζεται με το φως και το χρώμα, διακρίνοντας μεταξύ φυσικών φωτεινών αντικειμένων και αυτών που φωτίζουν με παράγωγο ή δευτερογενές φως. Μελέτησε ακόμη τη φυσική της ανάκλασης και της διάθλασης. Ο Roger Bacon (1215-1294) γνώριζε πολύ καλά τις ιδιότητες των φακών και των κυρτών κατόπτρων και θεωρείται ο εφευρέτης της camera obscura. Την ίδια εποχή (1299), ο Salvino degli Armati από τη Φλωρεντία, ανακάλυψε τα ματογυάλια. Το πέρασμα στο 17ο αιώνα ξεκίνησε με την ανακάλυψη του μικροσκοπίου. Το επινόησε στα 1600, ο Γερμανός κατασκευαστής γυαλιών, Zacharias Janssen από το Middelburg. Σε όλη τη διάρκεια του αιώνα το όργανο βελτιωνόταν επιτρέποντας στον άνθρωπο να ερευνήσει περιοχές που με γυμνό μάτι θα ήταν αδύνατο. Το ίδιο συνέβη και με το τηλεσκόπιο, το οποίο σύμφωνα με τις περισσότερες πηγές ανακαλύφτηκε από τον Ολλανδό Hans Lippershey περίπου στα 1608. Το νέο της ανακάλυψης ταξίδεψε σ’ όλη την Ευρώπη και έφτασε στο Γαλιλαίο (Galileo Galilei 1564-1642) στα 1609, ο οποίος κατασκεύασε το δικό του τηλεσκόπιο. Στα 1611 ο Johannes Kepler (1571-1630) παρουσίασε τα σχέδια του δικού του τηλεσκοπίου βασισμένου στη χρήση συγκλίνοντων φακών. Στα 1621, ο Willebrord Snell (1591-1626) ανακάλυψε το νόμο της διάθλασης επιλύοντας ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της γεωμετρικής οπτικής, μετά από 1500 χρόνια άκαρπων προσπαθειών. Ακόμη και ο Kepler είχε προσπαθήσει να τον ανακαλύψει, όμως απέτυχε. Με τη σημερινή μορφή του ο νόμος είναι γνωστός χάρις στον Καρτέσιο (Rene Descartes 1596-1626) ο οποίος τον συνήγαγε στα 1644. Βρήκε επίσης τη σωστή εξήγηση του σχηματισμού του ουράνιου τόξου. Στα 1657 ο Pierre de Fermat (16011665) εισήγαγε την αρχή του ελαχίστου χρόνου, βάσει της οποίας συνήγαγε το νόμο της διάθλασης όπου θεώρησε, την ταχύτητα του φωτός μικρότερη σε οπτικά πυκνότερα μέσα. Μετά την ανακάλυψη του εν λόγω νόμου, μαθηματικοί όπως ο Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ο William Rowan Hamilton (1805-1865) και ο Ernst Abbe (1840-1905)

4

1 Ιστορία της οπτικής

συνέχισαν και βελτίωσαν τη θεωρία της γεωμετρικής οπτικής. Ο Hamilton βάσισε τη θεωρία του στην αρχή του Fermat και έγινε διάσημος κατά τη διάρκεια της ζωής του λόγω της ανακάλυψης της κωνικής διάθλασης. Η επιστημονική επανάσταση του 17ου αιώνα είχε ως αποτέλεσμα την ανακάλυψη πολλών θεμελιωδών οπτικών φαινομένων , μεταξύ των οποίων ήταν η ανακάλυψη της περίθλασης από τον Francesco Maria Grimaldi (1618-1663) στα 1665, της διπλής διάθλασης από τον Erasmus Bartholinus (1625–1698) στα 1669 και του φαινομένου της πόλωσης από τον Christiaan Huygens (1629–1695) στα 1690, ο οποίος προσπάθησε, αλλά δεν κατάφερε να εξηγήσει τη διπλή διάθλαση. Όσο για την ταχύτητα του φωτός, την προσδιόρισε ο Olaus Romer (1644–1710) στα 1676 από την καθυστερημένη εμφάνιση της έκλειψης των φεγγαριών του Δία κατά τη διάρκεια της περιόδου αύξησης της απόστασης Γης – Δία. Όσον αφορά στην κατανόηση της φύσης του φωτός και των χρωμάτων, στη διάρκεια του 17ου αιώνα υπήρχαν τρεις αντιμαχόμενες θεωρίες. Από τη μια οι θεωρίες του Αριστοτέλη οι οποίες διδάσκονταν σε μεγάλο βαθμό στα πανεπιστήμια. Από την άλλη υπήρξε η αναβίωση των απόψεων των ατομικών φιλοσόφων με κύριο εκφραστή τους τον Robert Boyle (1627-1691), ο οποίος υποστήριξε τη σωματιδιακή φύση του φωτός και συσχέτισε τα χρώματα με διαφορετικές ταχύτητες των σωματιδίων του φωτός. Ο τρίτος πυλώνας έχει κύριο εκπρόσωπο τον Καρτέσιο, υπέρμαχο της μηχανοκρατίας που επικρατεί στο σύμπαν, οι απόψεις του οποίου επηρέασαν σε μεγάλο βαθμό τη σύγχρονη σκέψη. Αντιτάχτηκε στην ύπαρξη κενού χώρου μέσα στον οποίο κινούνται τα σωματίδια του φωτός. Γι’ αυτόν το φως κατά κάποιο ασαφή τρόπο σχετιζόταν με ροές, στροβίλους και κύματα. Υπέθεσε την ύπαρξη συνεχούς, χωρίς κενά μέσου, θεωρώντας τρεις τύπους ύλης. Μια πολύ λεπτή ύλη που θα μπορούσαμε να την παρομοιάσουμε με τον αιθέρα, την πυκνή ύλη από την οποία είναι φτιαγμένα τα μεγάλα σώματα και έναν ενδιάμεσο τύπο που αποτελείται από μικρά αδιαπέραστα σφαιρίδια. Οι τρεις αυτοί τύποι ύλης γεμίζουν πλήρως το χώρο και οποιαδήποτε δράση ανάμεσα στα σώματα έχει μηχανική προέλευση καθώς οφείλεται σε επαφή και κρούση. Έτσι, και η διάδοση του φωτός ήταν ένα καθαρά μηχανικό φαινόμενο. Οι ιδέες αυτές έβαλαν τα θεμέλια της κυματικής θεωρίας που αναπτύχθηκε και κυριάρχησε το 19ο αιώνα. Στο έργο του Διοπτρική (1637) θεώρησε το φως ως πίεση που μεταδίδεται ακαριαία περνώντας από διαφανή μέσα, έως

Κεφ. 1 Ιστορία της οπτικής

5

τον αμφιβληστροειδή χιτώνα όπου κινεί το οπτικό νεύρο, γεγονός που από τον εγκέφαλο γίνεται αντιληπτό ως φως. Μ’ ένα μηχανιστικό ανάλογο όπου μια μπάλα χτυπιέται από ένα ξύλο κι αλλάζει η ταχύτητά της, έτσι συμπεριφέρεται και το φως κατά την ανάκλαση, της οποίας το νόμο απέδειξε, με βάση την παραπάνω παραδοχή. Παρά τις ad hoc υποθέσεις που εισήγαγε, ο Καρτέσιος απέδειξε το νόμο της διάθλασης. Κατά την απόδειξη όμως ήρθε σε αντίφαση με την ακαριαία μετάδοση του φωτός μιας και θεώρησε ότι η ταχύτητά του αλλάζει στα δυο μέσα. Δεν προέβη όμως σε πειράματα, αν και δεν ήταν δύσκολο να το κάνει. Ο Καρτέσιος συνέδεσε τα χρωματικά φαινόμενα με την οπτική. Ως τότε φως και χρώμα θεωρούνταν διαφορετικά μεταξύ τους. Από τον Καρτέσιο και κατόπιν, καταργήθηκε η διαφορά ανάμεσα στα φαινόμενα και στα αληθινά χρώματα και τοποθετήθηκαν όλα στην ίδια κατηγορία. Θεώρησε ότι η πίεση που προκαλεί το φως μεταδίδεται με μέσα μικρά σφαιρίδια που μπορούν να περιστρέφονται γύρω από τον άξονά τους. Με την ανάκλαση και τη διάθλαση μεταβάλλεται ο ρυθμός περιστροφής οπότε δημιουργείται το αίσθημα των χρωμάτων. Μια άλλη του υπόθεση είναι ότι το φως από τη φύση του είναι λευκό και τα χρώματα εμφανίζονται μόνο όταν περνάει μέσα από κάποιο μέσο το οποίο μεταβάλλει το φως. Ο Καρτέσιος δεν εμπιστευόταν την αλήθεια που προέρχεται από τις αισθήσεις και ήταν πεπεισμένος ότι η σκέψη ήταν η μόνη πηγή αξιόπιστης γνώσης. Η επίδραση του προγράμματός του στη μαθηματικοποίηση των φυσικών επιστημών ήταν μεγάλη. Η έλλειψη όμως αποδείξεων που βασίζοντα στην εμπειρία, καθώς και η εισαγωγή αναπόδεικτων υποθέσεων, είχε ως αποτέλεσμα, άνθρωποι όπως ο Francis Bacon και o Isaac Newton, να αντιταχθούν στην απόκτηση γνώσης μέσω καθαρών θεωρητικών συλλογισμών. Σε πολλές περιπτώσεις ο Νεύτων αντιτάχθηκε στην εισαγωγή αστήριχτων υποθέσεων. Στο έργο του “Physicomathesis” ο Grimaldi πλησιάζει κοντύτερα στην κυματική θεώρηση της διάδοσης του φωτός, απ’ ότι ο Καρτέσιος. Δεν περιγράφει μόνο τα φαινόμενα της περίθλασης του φωτός από μικρά αντικείμενα, συμπεριλαμβανομένων και των έγχρωμων κροσσών καθώς και το λαμπρό κεντρικό σημείο της σκιάς, αλλά αναφέρει και το φαινόμενο της συμβολής (αν και δε χρησιμοποιεί αυτή τη λέξη), πίσω από δύο κοντινά ανοίγματα, καθώς και τα χρώματα που εμφανίζονται κατά την ανάκλαση του φωτός, από επιφάνειες που εμφανίζουν πολύ κοντινές χαραγές. Ο Grimaldi συγκρίνει τη διάδο-

6

1 Ιστορία της οπτικής

ση του φωτός με τη ροή ενός ιδανικού ρευστού. Στο έργο του όμως, συχνά η διάκριση μεταξύ της ροής, του σχηματισμού των στροβίλων και της πραγματικής διάδοσης των φωτεινών κυμάτων δεν είναι προφανής. Εξηγεί την ποικιλία των χρωμάτων από τις πτυχώσεις του ιδανικού ρευστού και τις συγκρίνει με τους διαφορετικούς γραφικούς χαρακτήρες των ανθρώπων. Ο περιφραστικός τρόπος γραφής του Grimaldi μείωσε σημαντικά την επίδραση του έργου του. Ήταν ο Robert Hooke (1635-1703) ο οποίος σχημάτισε μια πραγματική κυματική θεωρία του φωτός, το οποίο θεώρησε ότι διαδίδεται με τη μορφή διαμηκών κυμάτων στον αιθέρα. Στο έργο του “Micrografia” στα 1665, περιγράφει την εμφάνιση χρωμάτων από λεπτά υμένια την εξήγηση των οποίων αποδίδει στην ανάκλαση του φωτός τόσο από τη μπροστά όσο και από την πίσω όψη των υμενίων. Η εξήγηση όμως έμεινε ατελής, καθώς ο Hooke και οι σύγχρονοί του δεν γνώριζαν περί της συμβολής. Γενικά εξήγησε τα χρώματα ως τροποποιήσεις του λευκού φωτός. Ο Christiaan Huygens στο έργο του “Traité de la lumière”, ανέπτυξε τη γνωστή αρχή που ακούει στο όνομά του, σύμφωνα με την οποία κάθε σημείο ενός μετώπου κύματος, του μέσου διάδοσης, αποτελεί δευτερογενή σημειακή πηγή σφαιρικών κυμάτων (κυματιδίων-wavelets), η περιβάλλουσα των οποίων μας δίνει το νέο μέτωπο κύματος. Με βάση την παραπάνω αρχή ο Huygens συνήγαγε μια απλή και πειστική εξήγηση του νόμου της διάθλασης του Snell. Ο θρίαμβος όμως της θεωρίας του, προήλθε από την ποσοτική περιγραφή της διπλής διάθλασης που είχε παρατηρηθεί στον ασβεστίτη (calcite) μέσω της υπόθεσης σφαιρικών και ελλειπτικών κυματιδίων. Στο έργο του ο Huygens, δεν επεξεργάστηκε μια θεωρία χρωμάτων μολονότι τα σχόλιά του για τη χρωματική θεωρία του Newton υποδηλώνουν την προτίμησή του σε δύο ή τρία βασικά χρώματα. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τη συμβολή του Isaac Newton (1643–1724) στην επιστήμη της οπτικής. Ήδη από την εποχή των φοιτητικών του χρόνων, στο Καίημπριτζ, άρχισε να εκτελεί πειράματα με το φως, κατασκευάζοντας μόνος του τα όργανα που χρειαζόταν, με ιδιαίτερη επιδεξιότητα. Αντιμετωπίζοντας το χρωματικό σφάλμα των φακών και θεωρώντας το αξεπέραστο πρόβλημα, κατασκεύασε το πρώτο κατοπτρικό τηλεσκόπιο. Το πρώτο του επιστημονικό άρθρο δημοσιεύτηκε στα 1672 στο περιοδικό Philosophical Transactions of the Royal Society και αφορούσε στην οπτική. Σ’ αυτό συνέδεσε τη διαθλαστικότητα (ή όπως θα λέγαμε σήμερα, το δείκτη διάθλασης), με το χρώμα.

Κεφ. 1 Ιστορία της οπτικής

7

Στο άρθρο περιγράφεται το περίφημο πείραμα της ανάλυσης του λευκού φωτός, όπου διατυπώνει την άποψη ότι το λευκό φως αποτελείται από επιμέρους απλούστερα χρώματα, τα οποία δεν αναλύονται περαιτέρω, διαφορετικής διαθλαστικότητας το καθένα. Αν τα χρώματα αυτά ανασυντεθούν θα ξαναδώσουν λευκό φως. Το χρώμα των σωμάτων μπορούσε να εξηγηθεί στη βάση της διαφορετικής ανακλαστικότητας και διαθλαστικότητας κάθε χρώματος που περιέχονταν στο λευκό φως. Το άρθρο ξεσήκωσε πλήθος αντιδράσεων, κυρίως από τον Robert Hooke, μιας και δεν αντιμετώπιζε τα χρώματα ως τροποποιήσεις του λευκού φωτός, όπως ήταν μέχρι τότε η κυρίαρχη άποψη. Έκτοτε, η επιστημονική στάση του Νεύτωνα ήταν τέτοια ώστε να αποφεύγει τις συγκρούσεις για τις οποίες έτρεφε ιδιαίτερη απέχθεια. Προσπάθησε να αποφύγει αυθαίρετες υποθέσεις διαχωρίζοντας τα γεγονότα από τις εξηγήσεις τους. Το σημαντικότερο μέρος της θεωρίας του έγκειται σ’ αυτό που σήμερα ονομάζουμε δακτύλιους του Νεύτωνα. Πρόκειται για ομόκεντρους έγχρωμους δακτυλίους που σχηματίζονται όταν ένας κυρτός συγκλίνων φακός τοποθετείται πάνω σε επίπεδη γυάλινη επιφάνεια. Για τα επόμενα 130 χρόνια η ακρίβεια των παρατηρήσεών του ήταν αξεπέραστη, επιτρέποντας στους μεταγενέστερούς του να προσδιορίσουν με ακρίβεια τα μήκη κύματος διαφορετικών χρωμάτων. Από τις εξηγήσεις του Νεύτωνα γίνεται φανερό ότι την εποχή εκείνη επεξεργαζόταν μια κυματική θεωρία για τη διάδοση του φωτός μέσω του αιθέρα, του οποίου την ύπαρξη υπέθετε. Μολονότι όμως ο αιθέρας θα μπορούσε να διαδόσει δονήσεις, δε θα έπρεπε, σύμφωνα με τη γνώμη του Νεύτωνα, να τις σχετίσουμε με τη φύση του φωτός. Αυτό διότι, όπως υποστήριξε, η ευθύγραμμη διάδοση του φωτός δεν θα μπορούσε να είναι συμβατή με την κυματική θεώρηση. Το πρόβλημα έλυσε 150 περίπου χρόνια αργότερα ο Fresnel με την αρχή της επαλληλίας καθώς και οι μαθηματικές μέθοδοι ανάλυσης του Fourier. Ως εκ τούτου, ο Νεύτωνας κατευθύνθηκε προς τη σωματιδιακή φύση του φωτός, εξηγώντας τα φαινόμενα της διάθλασης και της ολικής ανάκλασης. Θεώρησε ότι η ταχύτητα των σωματιδίων του φωτός είναι μεγαλύτερη στα διαφανή μέσα, απ’ ότι στον αιθέρα που μεσολαβεί μεταξύ των σωμάτων. Επιπροσθέτως θεώρησε τα σωματίδια του ιώδους φωτός μικρότερα, μιας και μπορούν να αποκλίνουν ευκολότερα της πορείας τους και να διαθλώνται εντονότερα. Όταν τα σωματίδια του φωτός διασχίζουν τη διεπιφάνεια μεταξύ των σωμάτων ή περνούν κοντά απ’ αυτήν, μπορούν να προκαλέσουν κυματισμούς του αιθέρα, «όπως η ρίψη μιας πέτρας στο νερό» και αυτές οι αυξομοιώσεις της

8

1 Ιστορία της οπτικής

πυκνότητας του αιθέρα έπρεπε με κάποιο τρόπο να επιδρούν στην κίνηση των σωματιδίων του φωτός. Οι διαφορετικάς αλληλεπιδράσεις σωματιδίων του φωτός και αιθέρα, θα μπορούσαν να οδηγήσουν είτε σε ανάκλαση, είτε σε διάθλαση. Στις εργασίες του ο Νεύτωνας, σαφώς αναφέρει και τις εργασίες του Grimaldi περί περίθλασης και εξηγεί τα χρώματα και τους δακτυλίους όταν το φως περιθλάται από τις άκρες σωμάτων ή από μικρά αντικείμενα, στη βάση της αλληλεπίδρασης των σωματιδίων του φωτός με διεγερμένα κύματα αιθέρα. Στα 1704, περίπου 30 χρόνια μετά το θάνατο του Hooke ο Νεύτωνας εξέδωσε το έργο του στο βιβλίο με τίτλο “Opticks”. Σε σχέση με την εξέλιξη της οπτικής στη διάρκεια του 18ου αιώνα, λίγα μπορούν να λεχθούν. Μεταξύ αυτών, είναι η κατασκευή αχρωματικών φακών, κάτι που ο Νεύτωνας θεωρούσε αδύνατο, πρώτα από τον ερασιτέχνη Chester Moor Hall (1704-1770) στα 1733, καθώς και από John Dolland (1706-1761) στα 1757. Επίσης, ο James Bradley (16921762) στα 1725 ανακάλυψε την αποπλάνηση του φωτός, η οποία αναφέρεται στη φαινομενική αλλαγή της θέσης ενός αστεριού λόγω της κίνησης της Γης. Η αποπλάνηση του φωτός έδωσε τα μέσα στον Bradley ώστε να βελτιώσει την ακρίβεια στη μέτρηση της ταχύτητας του φωτός την οποία ήδη είχε πετύχει ο Ole Romer. Κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα παρουσιάζεται για δεύτερη φορά μια γρήγορη εξέλιξη της οπτικής, με αποτέλεσμα στο τέλος της περιόδου, το φως να αναγνωρίζεται πλέον ως ένα εγκάρσιο ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Στα 1801 ο ιδιοφυής Thomas Young (1773-1829) κατέληξε στην αρχή της επαλληλίας των κυμάτων, πραγματοποιώντας το πείραμα της διπλής σχισμής που φέρει το όνομά του. Εξήγησε επίσης την περίθλαση του φωτός, στη βάση της κυματικής συμβολής καθώς και τους δακτυλίους του Νεύτωνα με αποτέλεσμα τη μέτρηση του μήκους κύματος του φωτός βρίσκοντας 400nm για το ιώδες και 700nm για το κόκκινο. Στα 1809 ο Etienne Louis Malus (1775–1812) ανακάλυψε την πόλωση του φωτός κατά την κατοπτρική ανάκλαση, γεγονός που οδήγησε σε μια μικρή κρίση την κυματική άποψη. Οι παρατηρήσεις του οδήγησαν στο συμπέρασμα, ότι αν το φως είναι κυματικό φαινόμενο, τότε πρέπει να είναι εγκάρσιο, γεγονός που αντιτίθετο στην άποψη ότι εντός του αιθέρα μπορούν να διαδίδονται μόνο διαμήκεις διαταραχές. Το εύρημα του Malus αμφισβητήθηκε ακόμη και από τον ίδιο και θεωρήθηκε μια ακόμη άποψη που ενίσχυε τη σωματιδιακή φύση του φωτός. Χρειάστηκαν περίπου άλλα οχτώ χρόνια, ώσπου στα 1817 ο Young

Κεφ. 1 Ιστορία της οπτικής

9

ερμήνευσε το φως αποδίδοντάς του και μια εγκάρσια συνιστώσα διατηρώντας ταυτόχρονα και μια διαμήκη. Σημαντική ώθηση στην κυματική θεωρία του φωτός έδωσε ο Augustin Jean Fresnel (1788–1827), ο οποίος στα 1818 έδωσε λύση στο πρόβλημα της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, μέσω της θεωρίας των ζωνών Fresnel. Μαζί με τον François Jean Dominique Arago (1786–1853), στα 1819, έδειξε ότι για δύο ακτίνες φωτός με πολώσεις σε επίπεδα κάθετα μεταξύ τους, ο όρος της συμβολής μηδενίζεται. Θεωρώντας το φως αποκλειστικά εγκάρσιο κύμα, συνήγαγε τις εξισώσεις που φέρουν το όνομά του και υπολογίζουν τους συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης για το ανακλώμενο και το διερχόμενο κύμα, για όλες τις δυνατές πολώσεις. Συμπλήρωσε επίσης τη θεωρία της διάδοσης του φωτός εντός κρυστάλλων, με τη διάδοση εγκάρσιων κυμάτων σε ανισότροπους κρυστάλλους. Εξίσου μεγάλης σπουδαιότητας είναι οι εργασίες του πάνω στη θεωρία της περίθλασης με την οποία ασχολήθηκε και ο Joseph Fraunhofer (1787–1826) καθώς και ο Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887) ο οποίος την συμπλήρωσε. Πλέον, η πλάστιγγα είχε γείρει υπέρ της κυματικής θεωρίας. Μια τελευταία πεισματώδης προσπάθεια για την ανάδειξη της σωματιδιακής θεώρησης, έγινε από τον Jean Baptiste Biot (1774–1862), ο οποίος προσπάθησε, στα πλαίσια της θεωρίας του Νεύτωνα, να εξηγήσει μηχανιστικά τη διάθλαση και την ανάκλαση με τη βοήθεια περιστρεφόμενων σωματιδίων που από τη μια μεριά τους είναι πιο επίπεδα, ενώ από την άλλη πιο κοφτερά, με αποτέλεσμα, ανάλογα με το ποια πλευρά τους έρχεται σε επαφή με την επιφάνεια, να ανακλώνται ή να διεισδύουν στο δεύτερο μέσο. Ο Jean Bernard Léon Foucault (1819–1868), στα 1850 έδωσε τη χαριστική βολή στη σωματιδιακή θεώρηση, αποδεικνύοντας ότι η ταχύτητα του φωτός εντός ενός διαφανούς μέσου, είναι μικρότερη απ’ ότι στο κενό. Βασιζόμενος σε προηγούμενες εργασίες του Michael Faraday (1791–1867), ο James Clerk Maxwell (1831–1879) συνήγαγε τις θεμελιώδεις εξισώσεις της ηλεκτροδυναμικής, οι οποίες αποδεικνύουν την ύπαρξη εγκάρσιων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός. Η πειραματική επαλήθευση των παραπάνω κυμάτων από τον Heinrich Rudolf Hertz (1857–1894) στα 1888, κατέστησε την οπτική κλάδο της ηλεκτροδυναμικής. Η θεωρία των ηλεκτρονίων την οποία ανέπτυξε ο Hendrik Antoon Lorentz (1853– 1928), επέτρεψε την εξήγηση των οπτικών φαινομένων της ύλης με όρους του ηλεκτρο-

10

1 Ιστορία της οπτικής

μαγνητισμού. Συνήγαγε τις εξισώσεις του Fresnel ξεκινώντας από τις εξισώσεις της ηλεκτροδυναμικής. Σημαντική ήταν και η προσφορά του στην επίλυση του προβλήματος του αιθέρα. Το τελικό χτύπημα στην υπόθεση του αιθέρα όμως, προήλθε από τον Albert Einstein (1879–1955), όταν στα 1905 διατύπωσε την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Άλλωστε και το περίφημο πείραμα των Michelson και Morley, στα 1887 δεν είχε αποκαλύψει καμιά μετρήσιμη κίνηση της Γης σε σχέση με τον αιθέρα, όπως θα περίμενε κανείς, υιοθετώντας την εν λόγω υπόθεση. Ενώ η τελική νίκη της κυματικής θεώρησης φαινόταν πλήρης, στα 1900 ο Max Planck (1858–1947), στην προσπάθειά του να ερμηνεύσει τη φασματική κατανομή της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από ένα μέλαν σώμα, εισήγαγε τη θεωρία των κβάντων φωτός, την οποία ο Einstein οικειοποιήθηκε για να εξηγήσει το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Στη βάση της κβάντωσης της ενέργειας, ο Einstein θεώρησε ότι το φως αποτελείται από κβάντα ενέργειας τα οποία ονόμασε φωτόνια, αποδίδοντας στο φως και σωματιδιακές ιδιότητες. Η ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας από τις αρχές του 20ου αιώνα, οδήγησε τελικά σε μια βαθύτερη κατανόηση της φύσης και των ιδιοτήτων του φωτός. Η ανακάλυψη των Laser, η πρόοδος στην κατασκευή των υπολογιστών, η γρήγορη εξέλιξη της ολογραφίας και της οπτικής της περίθλασης, καθώς και η κατασκευή νέων υλικών με ιδιαίτερες ιδιότητες, οδήγησαν σε αλματώδη ανάπτυξη τον τομέα της οπτικής στη διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών. Επί του παρόντος, η οπτική θεωρείται ως ένας δυνατός και γοργά αναπτυσσόμενος τομέας της φυσικής.

2.

Παραγωγή του φωτός

2.1 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα από επιταχυνόμενο φορτίο Ο Maxwell είχε παρατηρήσει ότι οι νόμοι που είχαν διατυπωθεί μέχρι την εποχή του έκρυβαν μια ασυνέπεια σε σχέση με τα παρατηρούμενα φαινόμενα. Αυτό, διότι προέβλεπαν ότι οι ηλεκτρικές αλληλεπιδράσεις μεταβάλλονται αντιστρόφως ανάλογα του τετραγώνου της απόστασης, με συνέπεια φορτία σε μεγάλες αποστάσεις να αλληλεπιδρούν ελάχιστα. Ο Maxwell, με τις εξισώσεις του, διόρθωσε το πρόβλημα δείχνοντας ότι το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο σε μεγάλες αποστάσεις μειώνονται αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης. Αυτή, η πιο αργή μείωση, είναι που καθιστά δυνατή τη ραδιοφωνική μετάδοση σε μεγάλες αποστάσεις. Με βάση τις εξισώσεις του Maxwell, το ηλεκτρικό πεδίο ενός σημειακού φορτίου q, δίνεται από την εξίσωση:

 q E 4 

 eˆr΄ r΄ d  eˆr΄  1 d 2eˆr΄   r΄ 2  c dt  r΄ 2   c 2 dt 2     

(2.1)

Όπου στον παραπάνω τύπο, eˆr΄ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα από το σημείο παρατήρησης, προς το φορτίο. Ο τόνος έχει το νόημα ότι τα μεγέθη αναφέρονται σε καθυστερημένο χρόνο (retarded time). Δηλαδή η ένταση του πεδίου τη στιγμή t, σχετίζεται με στοιχεία της κίνησης του φορτίου την προηγούμενη χρονική στιγμή t΄  t  r΄ / c . Ο πρώτος όρος της (2.1) είναι ο γνωστός όρος του Coulomb, διορθωμένος από το δεύτερο όρο που είναι ο χρονικός ρυθμός του πεδίου Coulomb πολλαπλασιαζόμενος επί τη χρονική καθυστέρηση. Και οι δύο όροι μεταβάλλονται αντιστρόφως ανάλογα του τετραγώνου της απόστασης, οπότε μικρή σημασία έχουν για μεγάλες αποστάσεις. Το καινούριο το έφερε ο τρίτος όρος, ο οποίος μπορεί να δειχθεί ότι μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης. Είναι δε ο υπεύθυνος για τη διάδοση των Η/Μ κυμάτων σε μεγάλες αποστάσεις από τα φορτία που τα παράγουν. Το μαγνητικό πεδίο που διαδίδεται ταυτόχρονα με το ηλεκτρικό, προκύπτει από τη σχέση:

12

2.1 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα από επιταχυνόμενο φορτίο

  eˆr΄  E B c

(2.2)

Για αποστάσεις μακριά από το φορτίο, η εξίσωση που θα δίνει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου, είναι:

 E

 q d 2eˆr΄ 4  c 2 dt 2

(2.3)

Η επιτάχυνση του μοναδιαίου διανύσματος αναφέρεται στον παρελθοντικό χρόνο και μπορεί να αναλυθεί σε μια εγκάρσια και μια ακτινική συνιστώσα. Η δεύτερη, δε συμβάλλει ουσιαστικά στην ένταση του πεδίου, διότι μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα του τετραγώνου της απόστασης. Έτσι μόνο η επιτάχυνση η κάθετη στη γραμμή παρατήρησης είναι υπεύθυνη για τη διάδοση του πεδίου σε μεγάλες αποστάσεις. Πράγματι, τα παραπάνω αποδεικνύονται, αν εργαστούμε σε πολικές συντεταγμένες. Για τα μοναδιαία διανύσματα ισχύει:

eˆr  cos  iˆ  sin  ˆj eˆ   sin  iˆ  cos  ˆj Άρα,

deˆr deˆr d d d    sin  iˆ  cos  ˆj  eˆ και dt d dt dt dt





d 2eˆr deˆ d d 2  ˆ e     dt 2 dt dt dt 2  2 d 2  d 2eˆr  d  ˆ    2    er  2 eˆ dt dt dt   deˆ deˆ d d    eˆr dt d dt dt  Όμως

 d     , όπου ω η γωνιακή ταχύτητα και υφ η εφαπτομενική ταχύτητα. dt r

 d 2 Επίσης   , όπου αγων η γωνιακή επιτάχυνση και αφ η επιτρόχιος επιτάa  dt 2 r χυνση. Με βάση τα παραπάνω,

  d 2eˆr ˆ    e eˆ r dt 2 r2 r 2

(2.4)

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

13

Παρατηρούμε ότι η ακτινική συνιστώσα μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα του τετραγώνου της απόστασης, οπότε σε μεγάλες αποστάσεις ο όρος αυτός γίνεται αμελητέος. Έτσι απομένει ο εφαπτομενικός όρος που μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης. Έτσι, σε μεγάλες αποστάσεις προκύπτει,

 E

 q d 2eˆr΄  q    E eˆ 2 2 4  c dt 4  c 2 r

Στην παραπάνω σχέση τα μεγέθη r, αφ, eˆ αναφέρονται στον παρελθοντικό χρόνο

t΄  t  r / c . Αν το φορτίο επιταχυνθεί στη διεύθυνση του άξονα των x, τότε η ένταση του πεδίου στο σημείο παρατήρησης θα έχει τη διεύθυνση της καθυστερημένης επιτάχυνσης και αντίθετη φορά αν το φορτίο που επιταχύνεται είναι θετικό. Συγκεκριμένα,

Ex 

q ax (t΄ ) 4  c 2 r

(2.5)

Για την εξαγωγή της (2.5), θεωρήθηκε ότι η ταχύτητα του φορτίου δεν είναι τόσο μεγάλη, ώστε η χρονική καθυστέρηση, να μπορεί να θεωρείται σταθερή. Στην περίπτωση που η διεύθυνση παρατήρησης δεν είναι κάθετη στην επιτάχυνση του φορτίου, προβάλλουμε την επιτάχυνσή του κάθετα στη διεύθυνση παρατήρησης κι αυτήν την επιτάχυνση λαμβάνουμε στον τύπο (2.5). Τότε θα ισχύει:

E (t )  

qa(t r / c ) 4  c 2 r

sin 

(2.6)

Το διάνυσμα E είναι κάθετο στη διεύθυνση παρατήρησης και ανήκει στο επίπεδο που ορίζει η επιτάχυνση του φορτίου με τη διεύθυνση παρατήρησης.

Σχήμα 2.1 Το ηλεκτρικό πεδίο Ε που οφείλεται σε θετικό φορτίο του οποίου η επιτάχυνση στον παρελθοντικό χρόνο t΄=t-r/c, είναι α΄.

14

2.2 Εκπομπή ακτινοβολίας από ταλαντούμενο δίπολο

2.2 Εκπομπή ακτινοβολίας από ταλαντούμενο δίπολο Ηλεκτρικό δίπολο είναι ένα σύστημα δύο ίσων κατ’ απόλυτη τιμή, ετερόσημων ηλε-



κτρικών φορτίων. Αν r είναι το διάνυσμα από το αρνητικό προς το θετικό φορτίο, τότε





ορίζεται η ηλεκτρική διπολική ροπή του διπόλου από τη σχέση p  qr . Ένα από τα απλούστερα συστήματα παραγωγής Η/Μ κυμάτων είναι το αρμονικά παλλόμενο ηλεκτρικό δίπολο. Θα θεωρήσουμε ως ταλαντούμενο το αρνητικό φορτίο του ηλεκτρονικού νέφους που περιβάλλει το θετικό πυρήνα. Το θετικό φορτίο θα θεωρηθεί ακίνητο. Στην περίπτωση των αρμονικών ταλαντώσεων, θα είναι:

  p  qeˆ cos t  po cos t

(2.7)

Όπου eˆ το μοναδιαίο διάνυσμα με κατεύθυνση από το αρνητικό προς το θετικό φορτίο,

  η απόσταση μεταξύ των φορτίων και po το διάνυσμα της μέγιστης διπολικής ροπής.

Η ταλάντωση του διπόλου έχει ως αποτέλεσμα την εκπομπή Η/Μ κυμάτων ίδιας συχνότητας μ’ αυτήν της ταλάντωσης του διπόλου. Σ’ ένα σημείο Ρ με πολικές συντεταγμέ-

 

νες ( r , , ) αναπτύσσονται δύο συνιστώσες E , Er του ηλεκτρικού πεδίου, η μεσημ-



βρινή και η ακτινική αντίστοιχα, καθώς και η αζιμουθιακή συνιστώσα B της μαγνητικής επαγωγής. Τα προαναφερόμενα πεδία διαδίδονται κατά μήκος της ΟΡ, όπου Ο το κέντρο του διπόλου. Με τη βοήθεια του κλασσικού Ηλεκτρομαγνητισμού, προκύπτουν * οι μιγαδικές εκφράσεις των πεδίων:

k2 E  4

 1 2  1   po sin  i (t kr ) e    i    1  kr   r  kr 

(2.8)

k2 Er  4

  1 2  1   po cos i (t kr ) e  2    2i    kr kr r      

(2.9)

 po sin  i (t kr )  k 2   1  B  e i    1 4   kr   r 2

*

(2.10)

βλ. Ε.Δ.Βανίδης «ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ» Θεσσαλονίκη 2006

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

15

Σχήμα 2.2 (α) Ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο (β) Φαίνονται η ακτινική συνιστώσα Εr και η μεσημβρινή Εθ του ηλεκτρικού πεδίου, καθώς και η αζιμουθιακή Βφ του μαγνητικού πεδίου

Όπου

  k E  ,   k M o οι διαπερατότητες του μέσου διάδοσης, k το μέτρο του κυ-

ματοδιανύσματος με τιμή: k  2 /   k  2 n /  με

o το μήκος κύματος στο κε-

νό και n ο δείκτης διάθλασης του μέσου διάδοσης. Σε περιοχές μακριά από το δίπολο, όπου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι r   οι εξισώσεις (2.8), (2.9) και (2.10), παίρνουν τη μορφή:

k 2 po sin  i (t kr ) E   e r 4

(2.11)

 k 2 po sin  i (t kr ) B   e 4 r

(2.12)

Er  0

(2.13)

Η περιοχή αυτή, μακριά από το δίπολο, ονομάζεται ζώνη ακτινοβολίας (wave zone) και σ’ αυτήν, η ηλεκτρική συνιστώσα Εθ κείται επί του μεσημβρινού επιπέδου που περνάει από το σημείο παρατήρησης Ρ, ενώ η μαγνητική Βφ είναι εφαπτόμενη του ισημερινού επιπέδου (αζιμουθιακή). Οι δύο συνιστώσες είναι κάθετες μεταξύ τους και ταυτόχρονα κάθετες προς τη διεύθυνση διάδοσης της διαταραχής ΟΡ δηλαδή, κάθετες και στο κυμα-



τοδιάνυσμα k . Οι πραγματικές στιγμιαίες τιμές των πεδίων θα δίνονται από τα πραγματικά μέρη των (2.11) και (2.12) δηλαδή,

16

2.2 Εκπομπή ακτινοβολίας από ταλαντούμενο δίπολο

E  Eo (r , )cos(t  kr )

(2.14)

B  Bo (r , )cos(t  kr )

(2.15)

Όπου

 k 2  po sin  Eo (r , )      4  r



  k 2  po sin  B (r , )      4  r

(2.16)

Σχήμα 2.3 (α) Στη ζώνη ακτινοβολίας, η ακτινική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου έχει αμελητέα τιμή. Οι Εθ και Βφ είναι κάθετες μεταξύ τους και κάθετες στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. (β) Για r=σταθ., η γραφική παράσταση του Εο (ή Βο) σε πολικές συντεταγμένες.

Παρατηρούμε (Σχ.2.3α), ότι τα πλάτη είναι συναρτήσεις τόσο της απόστασης r από το κέντρο του διπόλου, όσο και της γωνίας θ. Τις μέγιστες τιμές τους τις παρουσιάζουν στο ισημερινό επίπεδο, όπου θ=90ο. Κατά τη διεύθυνση ταλάντωσης του διπόλου, όπου θ=0ο, τα πλάτη είναι μηδενικά, οπότε δεν έχουμε διάδοση της διαταραχής. Στο Σχ.2.3(β), φαίνεται η γραφική παράσταση των πλατών σε πολικές συντεταγμένες. Ουσιαστικά είναι το διάγραμμα της sinθ, για r   ., 0     , 0    2 , που έχει μορφή τοροειδούς. Η ακτινική απόσταση από το κέντρο του διπόλου μέχρι την επιφάνειά του είναι ανάλογη των πλατών Εο ή Βο. Για την περιοχή της ζώνης ακτινοβολίας, έχουμε τις εξής παρατηρήσεις:





a. Από τις σχέσεις (2.14) και (2.15), προκύπτει ότι τα πεδία E και B έχουν την ίδια φάση.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

17

b. Το πηλίκο των Ε, Β, δίνει: E  Eo  1 . Όμως, από τις εξισώσεις Maxwell, B Bo  για την ταχύτητα διάδοσης των διαταραχών, προκύπτει   1 . Έτσι,



E Eo    . Αν το κύμα διαδίδεται στο κενό, τότε B Bo

        , οπότε

  c , δηλαδή η ταχύτητα του φωτός στο κενό. c. Για τις πυκνότητες ενέργειας του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο κενό, ισχύει αντίστοιχα u E 

1 1 2   Eo2  uB  Bo . Τότε, 2 2 

Eo c

1 Eo2 1 u uB  B  uB      Eo2  uB  uE B 2 2 2 c 2 1

2 o

Bo 

Από τα παραπάνω και μακριά από το δίπολο και σε μια ορισμένη διεύθυνση διάδοσης, τα

 

διανύσματα E , B σχετίζονται με τον ίδιο τρόπο, όπως και στο επίπεδο κύμα. Η μόνη διαφορά τους είναι ότι ενώ στο επίπεδο κύμα, τα πλάτη των πεδίων παραμένουν σταθερά στο πεδίο του παλλόμενου διπόλου είναι συνάρτηση των r και θ. Από ενεργειακής σκοπιάς, για την εκπεμπόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης της διαταραχής, χρησιμοποιούμε το μέση χρονική τιμή του διανύσματος Poynting. Έτσι, έχουμε:

S



   c 2  Eo  Bo cos 2 (t  kr )

άρα S



όμως

cos 2 (t  kr ) 

1



t 

1

 cos (t  kr )dt  2 2

t

c  Eo2 . Η μέση εκπεμπόμενη ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας, ορίζεται ως η  2

ένταση της ακτινοβολίας (Irradiance), δηλαδή,

c  Eo2 (2.16) c  k 4 po2 sin 2  k  / c I  I   2 2 16 2 o2 r2 I

c  4 po2 sin 2  po2 4 sin 2    I (  ) 2 16 2 o2c 4 r2 32 2c3  r 2

(2.17)

18

2.3 Ακτινοβολία σύγχροτρον

Όπως παρατηρούμε από τη (2.17), η ένταση της ακτινοβολίας εμφανίζει εξάρτηση αντίστροφου τετραγώνου με την απόσταση και η γωνιακή κατανομή της στο χώρο είναι τοροειδής, με μέγιστο ακτινοβολίας σε διευθύνσεις κάθετες στη διεύθυνση της ταλάντωσης του διπόλου, ενώ στη διεύθυνση της ταλάντωσης έχουμε μηδενική εκπομπή. Πρέπει επίσης να επισημάνουμε την εξάρτηση από την τέταρτη δύναμη της γωνιακής συχνότητας, που σημαίνει, ότι όσο μεγαλύτερη η συχνότητα, τόσο μεγαλύτερη η ένταση της ακτινοβολίας. Η

 4 εξάρτηση, παίζει επίσης σημαντικό ρόλο στη σκέδαση του φωτός.

2.3 Ακτινοβολία σύγχροτρον Γνωρίζουμε ότι ένα φορτισμένο σωματίδιο που κινείται σε οποιαδήποτε καμπύλη τροχιά επιταχύνεται ή επιβραδύνεται και συνεπώς ακτινοβολεί. Έτσι έχουμε έναν ισχυρό μηχανισμό παραγωγής ακτινοβολίας, είτε με φυσικό τρόπο, είτε στο εργαστήριο. Πράγματι, η γεννήτρια ακτινοβολίας σύγχροτρον αναπτύχθηκε το 1970 και υλοποιεί την εν λόγω διαδικασία.

Σχήμα 2.4 Σε σχετικιστικές ταχύτητες η δέσμη σωματιδίων ακτινοβολεί σε σχήμα στενού κώνου διαμέτρου λίγων χιλιοστών, εφαπτομενικά στην τροχιά και κατά μήκος της στιγμιαίας ταχύτητας.

Έτσι, φορτισμένα σωματίδια, κυρίως ηλεκτρόνια ή ποζιτρόνια αλληλεπιδρούν μ’ ένα μαγνητικό πεδίο και περιστρέφονται σε κυκλικές τροχιές μεγάλης ακτίνας, με ελεγχόμενη ταχύτητα. Η συχνότητα περιστροφής η οποία συνεχώς μεταβάλλεται κατά το επιθυμη-

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

19

τό, καθορίζει τη θεμελιώδη συχνότητα εκπομπής η οποία περιλαμβάνει και υψηλότερες αρμονικές. Πρέπει να σημειωθεί ότι τα φορτία πρέπει να περιστρέφονται κατά ομάδες κι όχι ομοιόμορφα κατανεμημένα, καθώς κλειστά ρεύματα δεν ακτινοβολούν. Όπως έχουμε δει, για φορτία που επιταχύνονται σε μη σχετικιστικές ταχύτητες, η κατανομή της έντασης ακτινοβολίας έχει τη μορφή τοροειδούς, συμμετρικού γύρω από τον άξονα της επιτάχυνσης. Στην κυκλική κίνηση όμως, η επιτάχυνση είναι κεντρομόλος. Με δεδομένο ότι έχουμε ισχυρή εκπομπή κάθετα στην επιτάχυνση συμπεραίνουμε, ότι εκπομπή έχουμε κυρίως εφαπτομενικά στην τροχιά. Όσο υψηλότερη είναι η ταχύτητα του φορτίου, ένας ακίνητος παρατηρητής θα βλέπει τον πίσω λοβό να συρρικνώνεται και τον μπροστινό να επιμηκύνεται στην κατεύθυνση της κίνησης. Σε ταχύτητες που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός, η δέσμη των σωματιδίων θα ακτινοβολεί βασικά σε σχήμα στενού κώνου διαμέτρου λίγων χιλιοστών, εφαπτομενικά στην τροχιά κατά μήκος της στιγμιαίας ταχύτητάς τους. Επιπλέον όταν

  c η ακτινοβολία είναι γραμμικά πολωμένη

στο επίπεδο της κίνησης, ενώ είναι κυκλικά πολωμένη πάνω και κάτω από αυτό. Η ακτινοβολία σύγχροτρον που λαμβάνεται μ’ αυτόν τον τρόπο, εφαπτομενικά της τροχιάς, έχει πολύ μικρή χρονική διάρκεια με αποτέλεσμα να αποτελείται από ευρύ φάσμα συχνοτήτων, που κυμαίνεται από το υπέρυθρο, μέχρι τις ακτίνες Χ. Η ένταση και ειδικότερα η λαμπρότητα της ακτινοβολίας που παράγεται έτσι, μπορεί να είναι ασύγκριτα μεγάλη. Μολονότι η κατασκευή συγχρότρου ηλεκτρονίων είχε πραγματοποιηθεί από το 1947, χρειάστηκαν δεκαετίες ώστε αυτό που αρχικά θεωρήθηκε ως ενεργειακή απώλεια λόγω ακτινοβολίας φωτός, να γίνει ένα σημαντικό ερευνητικό εργαλείο. Πηγές ακτινοβολίας σύγχροτρον ανιχνεύονται και στο διάστημα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί το νεφέλωμα του Καρκίνου (Crab Nebula), το οποίο ακτινοβολεί από ραδιοκύματα, έως ακτίνες γ. Πιστεύεται ότι η πλειοψηφία των χαμηλής συχνότητας ραδιοκυμάτων που φτάνουν στη γη, οφείλονται σε ακτινοβολία σύγχροτρον. Στα 1960 με ραδιοκύματα χαμηλής συχνότητας ταυτοποιήθηκαν τα κβάσαρς. Νωρίτερα, στα 1955 παλμοί πολωμένων ραδιοκυμάτων ανιχνεύτηκαν από την περιοχή του Δία. Η προέλευσή τους αποδίδεται σε ηλεκτρόνια που παγιδεύονται από το ισχυρότατο μαγνητικό πεδίο του πλανήτη (περίπου 1600 φορές το αντίστοιχο της γης) και εκτελούν σπειροειδείς τροχιές.

20

2.4 Συμβολή από n δίπολα σε φάση – Κατευθυντικότητα

2.4 Συμβολή από n δίπολα σε φάση – Κατευθυντικότητα Έστω n ταλαντωτές ίδιου πλάτους και συχνότητας με ίδια διεύθυνση ταλάντωσης. Θεωρούμε ότι όλοι βρίσκονται στην ίδια ευθεία και ισαπέχουν κατά d ο ένας από τον άλλο. Έστω επίσης φ η διαφορά φάσης του καθενός από τον προηγούμενο, η οποία μπορεί να οφείλεται είτε στη χρονική διαφορά έναρξης της ταλάντωσης του καθενός, είτε σε διαφορά δρόμου. Έτσι θα είναι,

 a

2



d sin 

(2.18)

Ο πρώτος όρος είναι η αρχική διαφορά φάσης της ταλάντωση των πηγών και ο δεύτερος η διαφορά φάσης λόγω διαφοράς δρόμου, όπως προκύπτει από το σχήμα.

Σχήμα 2.5 Σε μεγάλες αποστάσεις από τις πηγές η διαφορά φάσης που οφείλεται σε διαφορά δρόμου, είναι 2πdsinθ/λ

Από την αρχή της επαλληλίας, το αποτέλεσμα της συμβολής των n ταλαντωτών, θα είναι: R  A cos t  cos(t   )  cos(t  2 )  .....  cos t (n  1)  (2.19)





Αντί των αλγεβρικών πράξεων, μπορούμε να προβούμε στη διανυσματική πρόσθεση πλατών, με δεδομένη τη γωνία φ που σχηματίζει κάθε πλάτος Α με το προηγούμενό του. Προς τούτο, θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο στο πολύγωνο που σχηματίζεται από

 



τα διανύσματα A1 , A2 ,..., An , τα οποία έχουν όλα το ίδιο μέτρο. Στο Σχ.2.6 απεικονίζεται



η άθροιση έξι πλατών ίσου μέτρου. Το συνολικό πλάτος AR , θα βρεθεί ως εξής:

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

21

Σχήμα 2.6 Διανυσματική άθροιση έξι πλατών με ίσα μέτρα και διαφορά φάσης φ το καθένα με το επόμενο.

Προσδιορίζουμε από τη γεωμετρία του προβλήματος την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, από το τρίγωνο QOS. Αυτή είναι,

A  2r sin

Από το τρίγωνο QOT,

 2

A

r

2sin



(2.20)

2

n sin n (2.20) 2 AR  2r sin   AR  A  2 sin 2

(2.21)

Η ένταση της ακτινοβολίας είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους, οπότε

I  Io

sin 2 sin

2

n 2



(2.22)

2

Όπου I o η ένταση που εκπέμπεται από έναν μόνο ταλαντωτή. Θα πρέπει να παρατηρήσουμε, ότι για μεγάλες τιμές του n, στην παραπάνω εξίσωση, έχουμε έναν γοργά μεταβαλλόμενο αριθμητή σε σχέση με τον παρονομαστή. Ας δούμε όμως τι άλλες πληροφορίες μας δίνει η εξίσωση (2.22). 

Για n  1 , προκύπτει I  I o

22

2.4 Συμβολή από n δίπολα σε φάση – Κατευθυντικότητα



Για n  2 ,

I  Io

sin  2

sin

2



 I  4Io

sin 2

2

sin

2

I  4 I o cos 2



cos 2 2



 2

2



(2.23)

2 2

   3 sin 2  4cos 2  1 sin 2 2  2 I I  Για n  3 I  I o  o 2 2 sin sin 2 2 2

   I  I o  4cos 2  1 2  

2

(2.24)

Στην κατεύθυνση προς την οποία παρατηρούμε τα μέγιστα, θα είναι cos

2

 2

 1 , ο-

πότε η (2.23) θα δώσει I max  4 I o , ενώ η (2.24), I max  9 I o . Γενικά, το κεντρικό μέγιστο για n ταλαντωτές δίνει μια ισχυρή εκπομπή με ένταση, I max  n I o .

2

Πράγματι, κεντρικά μέγιστα θα παρατηρούνται, όποτε ο παρονομαστής της (2.22), θα τείνει στο μηδέν. Αυτό θα συμβαίνει όταν

 2

 0 . Τότε η (2.22) συνεπάγεται,

2

 n / 2  I  Io   n 2 I o . Ότι συμβαίνει όμως για μια γωνία φ, θα συμβαίνει και για    /2  τις

  2 ,  4 και γενικά   2 m . Άρα κύρια μέγιστα θα παρατηρούνται,

όταν

 2

 m

ή

  2m

(2.25)

Συνθήκη κύριων μεγίστων

Δηλαδή όταν διαδοχικές πηγές βρίσκονται σε συμφωνία φάσης. Μηδενισμοί θα παρατηρούνται όταν sin

 

2 n

n n   0      ή n 2 2 2 (2.26)

Συνθήκη μηδενισμών

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

23

Δηλαδή η διαφορά φάσης μεταξύ πρώτης και τελευταίας πηγής είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π. Από τις τιμές του

 θα εξαιρούνται εκείνες που οδηγούν σε ακέραιο πολλα-

πλάσιο του 2π, οι οποίες σύμφωνα με την (2.25), δίνουν κύρια μέγιστα. Κεντρικό μέγιστο

Πρωτεύων μέγιστο

φ/2=0, π/n, 2π/n,..........,(n-1)π/ n, π , (n+1)π/ n,... (n-1) μηδενισμοί Δηλαδή, όποτε ο ακέραιος  πάρει τιμές ακέραια πολλαπλάσια του n, τότε ικανοποιείται η (2.25) και παίρνουμε κύριο μέγιστο. Παρατηρούμε ότι μεταξύ δύο κύριων μεγίστων αντιστοιχούν n-1 μηδενισμοί. Φυσικά μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών θα αντιστοιχεί ένα δευτερεύων μέγιστο. Συνεπώς θα έχουμε n-2 δευτερεύοντα μέγιστα μεταξύ δύο κύριων μεγίστων. Όσο για τα δευτερεύοντα μέγιστα, θα εμφανίζονται όταν μεγιστοποιείται ο αριθμητής της (2.22), δηλαδή όταν,

n

 2

  2  1

 2



   2  1 όπου

 2

 n

  2  1 (2.27)

 2n

,ή Δευτερεύοντα μέγιστα

  1, 2,.... .

Ας υπολογίσουμε όμως το πρώτο από τα δευτερεύοντα μέγιστα. Για της (2.22) θα δώσει sin

2

  1 ,ο αριθμητής

n 3  3  sin 2  1 , ενώ ο παρονομαστής sin 2  sin 2 .

2 2 2 2n

Αν θεωρήσουμε όμως το πλήθος των πηγών μεγάλο, τότε το ημίτονο ισούται σχεδόν με τη γωνία, άρα sin

I  Io

1

 3 / 2n 

2

2

 / 2   3 / 2n  . Άρα η ένταση που εκπέμπεται είναι,

 I  n2 Io

2

4 9

2

 I  0,045n 2 I o . Δηλαδή το πρώτο δευτερεύων

μέγιστο εκπέμπει λιγότερο από το 5% της έντασης που αντιστοιχεί στο κεντρικό.

24

2.4 Συμβολή από n δίπολα σε φάση – Κατευθυντικότητα

n=6 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

10

20

30

40

50

Σχήμα 2.7 Απεικονίζεται το αποτέλεσμα της συμβολής 6 ταλαντωτών. Μεταξύ δύο κύριων μεγίστων αντιστοιχούν 5 μηδενισμοί και 4 δευτερεύοντα μέγιστα.

Θα θεωρήσουμε ως παράδειγμα την περίπτωση της συμβολής έξι ταλαντωτών. Στον n sin 2 I κατακόρυφο άξονα του (Σχ. 2.7) απεικονίζεται η 2 σε συνάρτηση με τη γω n 2 I o sin 2  2

νία φ/2. εκφρασμένη σε ακτίνια. Παρατηρούμε πράγματι, ότι παρουσιάζονται 4 δευτερεύοντα μέγιστα μεταξύ δύο διαδοχικών κύριων μεγίστων. Ας δούμε τώρα τη σχέση της συμβολής με τη γωνία θ στην οποία βρίσκεται το σημείο παρατήρησης. Προς τούτο θα θεωρήσουμε ότι η διαφορά φάσης των πηγών, οφείλεται μόνο στη διαφορά δρόμου. Έτσι στην (2.18) θεωρούμε



2



d sin 

Από τη σχέση (2.25) για τα κύρια μέγιστα, προκύπτει: 2m 

d sin   m

a  0 , οπότε, (2.28)

2



d sin   (2.29)

Διαπιστώνουμε ότι για τα κύρια μέγιστα, διαδοχικές πηγές πρέπει να βρίσκονται σε συμφωνία φάσης, γεγονός που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η διαφορά δρόμου για αυτές

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

25

είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ. Για m=0, δηλαδή στο κεντρικό μέγιστο, από τη (2.29) προκύπτει ως αποδεκτή λύση η

  0 (ή 180 ) που αντιστοιχεί σε φ=0. Γεωμετρικά

αυτό σημαίνει ότι όλα τα πλάτη που προστίθενται έχουν την ίδια κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο (Σχ. 2.8)

Σχήμα 2.8 Η διαφορά φάσης μεταξύ των πηγών είναι μηδενική. Το συνιστάμενο πλάτος είναι το μέγιστο δυνατό.

Από τις (2.26) και (2.28), για τους μηδενισμούς προκύπτει:

nd sin   

2



d sin   

Μηδενισμοί

2  n

(2.30)

Το πρώτο μέλος της (2.30) είναι η διαφορά δρόμου πρώτης και τελευταίας πηγής. Όταν αυτή είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ, προκύπτει μηδενισμός. Αυτό προκύπτει γεωμετρικά, διότι το πολύγωνο των πλατών είναι κλειστό, όπως στο (Σχ. 2.9), όπου ως παράδειγμα έχει ληφθεί η πρόσθεση έξι ίσων πλατών με διαφορά φάσης παρατηρήσουμε ότι όταν το πηλίκο

  60 . Πρέπει να

 / n =ακέραιος, τότε η (2.30) μεταπίπτει στη (2.29),

οπότε μας δίνει κύριο μέγιστο.

Σχήμα 2.9 Πρόσθεση έξι ίσων πλατών με διαφορά φάσης φ=60ο το καθένα από το επόμενο. Το αποτέλεσμα είναι μηδενικό πλάτος.

Μια σημαντική παρατήρηση που αναφέρεται στη σχέση (2.29), η οποία μας δίνει τα κύρια μέγιστα, είναι ότι όταν η απόσταση d είναι μικρότερη του λ, η μοναδική λύση που

26

2.5 Εκπομπή φωτός από τα άτομα

θα μπορούσαμε να έχουμε είναι αυτή με m=0, δηλαδή θα είχαμε μόνο το κεντρικό μέγιστο το οποίο αν η εγγενής διαφορά φάσης μεταξύ των πηγών είναι α=0, αντιστοιχεί σε γωνία θ=0ο. Η παραπάνω παρατήρηση βρίσκει εφαρμογή στις ραδιοφωνικές εκπομπές, όπου θέλουμε ισχυρή κατευθυντικότητα. Αν συστοιχία από κεραίες τοποθετηθούν σε αποστάσεις μικρότερες του μήκους κύματος μπορούμε να προκαλέσουμε την εκπομπή σε συγκεκριμένη κατεύθυνση. Πράγματι, εισάγοντας μια διαφορά φάσης α μεταξύ των πηγών, και επιζητώντας τις κατευθύνσεις των κύριων μεγίστων, έχουμε:

  2m και   a 

2



d sin  , οπότε a 

2



d sin  m  2m 

d sin  m  m  a

 2

(2.31)

Για το κεντρικό μέγιστο, m=0. Έτσι με την κατάλληλη επιλογή της α μπορούμε να έχουμε εκπομπή σε οποιαδήποτε γωνία θm επιθυμούμε.

2.5

Εκπομπή φωτός από τα άτομα Ένα μικρό μέρος του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, είναι αυτό της ορατής περιοχής

με μήκη κύματος περίπου από 400nm, έως 800nm, όπως και της υπεριώδους με αντίστοιχα μήκη κύματος, από1nm έως 400nm. Ο σημαντικότερος μηχανισμός εκπομπής και απορρόφησης των παραπάνω ακτινοβολιών είναι τα άτομα, και μάλιστα οφείλεται στα δέσμια ηλεκτρόνια του ατόμου και συγκεκριμένα στα ηλεκτρόνια σθένους. Γνωρίζουμε ότι οι ενεργειακές καταστάσεις τις οποίες μπορούν να κατέχουν τα ηλεκτρόνια ενός ατόμου, είναι διακριτές (κβαντισμένες). Στις συνήθεις θερμοκρασίες τα περισσότερα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν τις χαμηλότερες ενεργειακές στάθμες και το άτομο έχει τη μικρότερη δυνατή ενέργεια. Λέμε ότι βρίσκεται στη θεμελιώδη ενεργειακή κατάσταση (ground state). Είναι δυνατόν όμως με την απορρόφηση ενέργειας ορισμένα ηλεκτρόνια να μεταβούν σε ανώτερες ενεργειακές στάθμες και το άτομο να βρεθεί σε διεγερμένη ενεργειακή κατάσταση (excited state). Λέμε τότε ότι το άτομο είναι διεγερμένο (excited). Οι συνηθέστεροι μηχανισμοί απορρόφησης ενέργειας είναι η κρούση του ατόμου με άλλα άτομα, η οποία ενισχύεται με την αύξηση της θερμοκρασίας, οι κρούσεις με ελεύθερα ηλεκτρόνια ή και η απορρόφηση φωτονίων.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

27

Έτσι, όταν προσφερθεί στο άτομο ένα ποσό ενέργειας ίσο με την ενεργειακή διαφορά μεταξύ δύο επιτρεπόμενων ενεργειακών σταθμών, το άτομο διεγείρεται. Αυτό σημαίνει, ότι ένα ηλεκτρόνιο τότε μεταπηδά σε ανώτερη ενεργειακή κατάσταση. Με άλλα λόγια έχουμε μια αναδιάρθρωση του ηλεκτρονικού νέφους με μεγαλύτερες πλέον μέσες αποστάσεις από τον πυρήνα. Η διεγερμένη κατάσταση όμως είναι ασταθής, με αποτέλεσμα το ηλεκτρόνιο να επιστρέφει στη θεμελιώδη μετά από χρονικό διάστημα περίπου 10-8s με ένα ή περισσότερα «κβαντικά άλματα», εκπέμποντας ισάριθμα φωτόνια, αποβάλλοντας με τον τρόπο αυτόν την απορροφηθείσα ενέργεια. Φωτόνιο ενέργειαςE=hv

ΔE=hv

E=hv

α) Το άτομο στη θεμελιώδη κατάσταση προσλαμβάνει ένα ποσό ενέργειας

β) Το άτομο σε διεγερμένη κατάσταση

γ) Αποδιέγερση με εκπομπή φωτονίου

δ) Θεμελιώδης κατάσταση -8 μετά από περίπου 10 s

Σχήμα 2.10

Στο Σχ. 2.10 φαίνονται τα στάδια της διέγερσης και της αποδιέγερσης ενός ατόμου. Είναι δυνατόν ενίοτε η πρόσθετη ενέργεια που απορρόφησε το άτομο, να διοχετευτεί σε γειτονικά άτομα, μέσω κρούσεων μετατρεπόμενη σε θερμική ενέργεια. Ο μηχανισμός της μετάπτωσης ηλεκτρονίων μεταξύ των επιμέρους σταθμών είναι υπεύθυνος για την απορρόφηση των συχνοτήτων του φωτός. που ταυτίζονται με τις συχνότητες συντονισμού του ατόμου. Οι συχνότητες που απομένουν, διερχόμενες από το υλικό ή ανακλώμενες, είναι υπεύθυνες για τον ιδιαίτερο χρωματισμό του. Στο παρακάτω διάγραμμα ενεργειακών σταθμών (Σχ. 2.11) φαίνονται, η θεμελιώδεις και τρεις ακόμη διεγερμένες ενεργειακές στάθμες. Με κατακόρυφα βέλη προς τα επάνω απεικονίζεται η διέγερση του ατόμου με απορρόφηση ενέργειας, ενώ αυτά με φορά προς τα κάτω, δείχνουν την αποδιέγερση, με εκπομπή ενέργειας. Παρατηρούμε ότι οι ενεργειακές στάθμες είναι κβαντισμένες ( διακριτές), με αποτέλεσμα να απορροφώνται και να εκπέμπονται συγκεκριμένα ποσά ενέργειας, που αντιστοιχούν σε ορισμένες συχνότητες, τις συχνότητες συντονισμού (resonance frequency).

28

2.5 Εκπομπή φωτός από τα άτομα Οι συχνότητες αυτές ικανοποιούν τη σχέση hv  Ei  E f , όπου h η σταθερά του

Planck, και Ei , E f η αρχική και η τελική ενέργεια του ατόμου κατά την αποδιέγερση.

E E3 E2 E1

Eo Σχήμα 2.11 Τα φωτόνια που εκπέμπονται κατά την αποδιέγερση, έχουν συχνότητες ανάλογες της ενεργειακής διαφοράς μεταξύ αρχικής και τελικής ενεργειακής κατάστασης.

Μολονότι αυτό που συμβαίνει στο εσωτερικό του ατόμου κατά τη διάρκεια των 10-8s δεν είναι ξεκάθαρα γνωστό, είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε την αποδιέγερση ως μια φθίνουσα αρμονική ταλάντωση του ηλεκτρονικού νέφους στα πλαίσια της ταλάντωσης του ηλεκτρικού διπόλου, στη συχνότητα συντονισμού νο. Κατά μια ημικλασσική προσέγγιση, το εκπεμπόμενο φως μπορεί να θεωρηθεί ως ένας κυματοσυρμός (wavetrain) χρονικής διάρκειας t  10 s , με πεπερασμένο μήκος στο χώρο, γεγονός που συμφωνεί με τα -8

πειραματικά δεδομένα. Αίρεται με αυτόν τον τρόπο μια αντινομία που υπάρχει, μεταξύ των εννοιών του εκπεμπόμενου φωτονίου και της αντίστοιχης εκπομπής της ηλεκτρομαγνητικής διαταραχής. Πράγματι, ο κυματοσυρμός, έχει αφενός σωματιδιακή υπόσταση, καθώς είναι χωρικά εντοπισμένος, αφετέρου έχει κυματικά χαρακτηριστικά καθώς χαρακτηρίζεται από τη συχνότητα νο. Ένας τέτοιος κυματοσυρμός, με τη βοήθεια της ανάλυσης Fourier αποδεικνύεται ότι αποτελείται από ένα μεγάλο πλήθος συχνοτήτων γύρω από τη νο. Αν το εύρος των συχνοτήτων είναι αρκετά στενό τότε μιλάμε για ψευδομονοχρωματική (quasimonochromatic) διαταραχή. Μονοχρωματικές (monochromatic) διαταραχές μπορούμε να έχουμε από πηγές, που πληρούν ορισμένες προδιαγραφές, δηλαδή είτε να εμπεριέχουν μόνο μία δυνατή συχνότητα συντονισμού, είτε η εκπομπή σε μια συχνότητα συντονισμού να υπερτερεί σημαντικά των υπολοίπων δυνατών συχνοτήτων, είτε, τέλος, να αποκόπτουμε όλες τις άλλες συ-

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

29

χνότητες και να διατηρούμε μόνο την επιθυμητή. Το είδος του μηχανισμού που εφαρμόζουμε κάθε φορά εξαρτάται από τη περιοχή συχνοτήτων, Για τις ραδιοφωνικές συχνότητες (MHz), αρκεί μια κεραία. Στην οπτική περιοχή η υλοποίηση του ιδίου μηχανισμού είναι εξαιρετικά δύσκολη. Μια παραλλαγή της ως άνω μεθόδου υλοποιείται στους Lasers.

2.6 Χαοτικές πηγές φωτός και πηγές LASER 2.6.1 Ιδιότητες των φωτονίων – στατιστική συμπεριφορά Θα εξετάσουμε εν συντομία τις ιδιότητες των φωτονίων. Ως κβαντικό σωματίδιο, το φωτόνιο έχει μηδενική μάζα ηρεμίας, μηδενικό ηλεκτρικό φορτίο, αντίθετα έχει ορμή,





ενέργεια και στροφορμή. Συγκεκριμένα, η ορμή του είναι p  k , όπου   h / 2 και



h η σταθερά του Planck ενώ k το κυματοδιάνυσμα με μέτρο k  2 /  και συνιστώσες

kx , k y ,k z ,

οπότε

k  k x2  k y2  k z2 .

Η

ενέργεια

του

φωτονίου

είναι,

E  hv  kc    pc , όπου ν η συχνότητα του φωτονίου και c   v η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η στροφορμή του είναι L   για δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο (RHC) φωτόνιο, ενώ είναι L    για αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο (LHC) φωτόνιο. Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι για το χαρακτηρισμό της πόλωσης, ο παρατηρητής βλέπει το φως να τον πλησιάζει. Γνωρίζουμε, ότι από στατιστικής άποψης τα σωματίδια του μικρόκοσμου κατατάσσονται σε Μποζόνια (Bosons) και Φερμιόνια (Fermions). Στα δεύτερα, ισχύει η Απαγορευτική Αρχή του Pauli ενώ στα πρώτα, όχι. Τα Μποζόνια είναι τα σωματίδια με spin ακέραιο αριθμό. Τα φωτόνια είναι Μποζόνια και το spin τους είναι ίσο με τη μονάδα, με αποτέλεσμα η στροφορμή τους με είναι ίση με   . Απόρροια του ότι τα φωτόνια δεν υπακούουν στην Απαγορευτική Αρχή, είναι ότι μπορούν πολλά φωτόνια να βρεθούν ακριβώς στην ίδια κβαντική κατάσταση. Όσο μάλιστα περισσότερα φωτόνια βρίσκονται στην ίδια κατάσταση, τόσο μεγαλύτερη η πιθανότητα να περιέλθουν ακόμη περισσότερα φωτόνια στην κατάσταση αυτή. Στην περίπτωση αυτή, μακροσκοπικά, υποβαθμίζεται ο διακριτός σωματιδιακός τους χαρακτήρας και η κίνησή τους προς κάποια κατεύθυνση

30

2.6 Χαοτικές πηγές φωτός και πηγές LASER

θεωρείται ως μια συνεχής ροή ενέργειας. Με τον τρόπο αυτό γίνεται εμφανής ο κυματικός χαρακτήρας των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, μιας και ένα σύνολο φωτονίων που βρίσκονται στην ίδια κατάσταση ( k x , k y , k z , L ), θεωρείται ως επίπεδο ηλεκτρομαγνητι-



κό κύμα που διαδίδεται στην κατεύθυνση του k . Με βάση τις στατιστικές ιδιότητες των φωτονίων, οι πηγές φωτός διακρίνονται σε δύο ακραίους τρόπους συμπεριφοράς, τις χαοτικές (chaotic) και τις σύμφωνες (coherent) με κυριότερους εκπροσώπους για τις δεύτερες τα Laser, χωρίς να αποκλείονται και ενδιάμεσες συμπεριφορές.

Σχήμα 2.12 Η κατανομή Poisson χαρακτηρίζει τις σύμφωνες πηγές, ενώ η κατανομή Bose-Einstein χαρακτηρίζει τις χαοτικές πηγές.

Αν έχουμε δύο δέσμες φωτός που προέρχονται από ένα Laser και από έναν απλό λαμπτήρα πυράκτωσης, έχοντας την ίδια σταθερή ένταση (irradiance) και την ίδια φασματική κατανομή συχνοτήτων, είναι δυνατόν να τις διακρίνουμε, γεγονός που υπερβαίνει την κλασσική θεώρηση. Οι στατιστικές ιδιότητες των δύο δεσμών είναι διαφορετικές. Μετρώντας το πλήθος των φωτονίων που φτάνουν σ’ έναν ανιχνευτή σε ένα πολύ μεγάλο αριθμό από ίσα χρονικά διαστήματα, πραγματοποιούμε το ιστόγραμμα, στον οριζόντιο άξονα του οποίου καταγράφεται το πλήθος Ν των παρατηρούμενων φωτονίων σε ένα χρονικό διάστημα, ενώ στον κατακόρυφο καταγράφεται ο αριθμός των χρονικών διαστημάτων στα οποία παρατηρήσαμε Ν φωτόνια. Παρατηρούμε τότε ότι η στατιστική κατανομή που προκύπτει, εξαρτάται από το είδος της πηγής που την εξέπεμψε. Για πολύ μεγάλο πλήθος μετρήσεων προκύπτουν οι κατανομές που απεικονίζονται στο Σχ. 212.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

31

Η κατανομή Poisson που προκύπτει παρατηρείται στην εκπομπή Laser και χαρακτηρίζει τις σύμφωνες πηγές, ενώ η κατανομή Bose-Einstein παρατηρείται από το λαμπτήρα και χαρακτηρίζει τις χαοτικές πηγές.

2.6.2 Χρονική και χωρική συμφωνία Γνωρίζουμε ότι στα πλαίσια της ημικλασσικής προσέγγισης, κατά την εκπομπή του φωτός από διεγερμένα άτομα, εκπέμπεται ψευδομονοχρωματικό φως. Πρόκειται για εκπομπή κυματοσυρμών μικρής χρονικής διάρκειας, οπότε σύμφωνα με την ανάλυση Fourier, μεγάλου φασματικού



εύρους

Δν,

βάσει

της

σχέσης

1 . Με βάση τα πειραματικά δεδομένα, αλλά και θεωρητικά, αποδεικνύεται ότι η v

περιβάλλουσα ενός κυματοσυρμού είναι Γκαουσιανή, όπως στο παραπάνω σχήμα. Κάθε ένας χρονικός κυματοσυρμός, αποτελείται από ένα πολύ μεγάλο πλήθος περιόδων. Το χρονικό διάστημα τ = τc ονομάζεται χρόνος συμφωνίας (coherence time) και είναι το κατά μέσο όρο χρονικό διάστημα στο οποίο η φάση του κύματος είναι σαφώς καθορισμένη. Με άλλα λόγια η διαφορά φάσης μεταξύ δύο χρονικών στιγμών που διαφέρουν λιγότερο από τc , είναι καθορισμένη. Αντίστοιχα, ορίζεται το μήκος συμφωνίας (coherence length), ως το μήκος του κυματοσυρμού που η εκπομπή του διήρκεσε τc. Από φυσικής σκοπιάς είναι η μέγιστη διαφορά δρόμου που μπορούν να έχουν δύο τμήματα του ίδιου μετώπου κύματος, προκειμένου όταν έρθουν σε επαλληλία να εμφανισθούν κροσσοί συμβολής ( = σταθερής έντασης για σχετικά μεγάλο χρόνο παρατήρησης). Είναι, lc   c ,όπου

  c / n η ταχύτητα

του φωτός στο μέσο διάδοσης. Το μήκος συμφωνίας μπορεί να προκύψει και από τη διαφόριση της v   /  (θεωρώντας ότι όλες οι συνιστώσες Fourier έχουν την ίδια σταθερή ταχύτητα):

32

2.6 Χαοτικές πηγές φωτός και πηγές LASER

v

   v   2   

Από την ανάλυση Fourier όμως, προκύπτει v 

 lc



(2.32)

1

c

. Άρα

1

c



   . 2

  . Αμελώντας το αρνητικό πρόσημο, 2 2 lc  

(2.33)

Όπου λ, η μέση τιμή του μήκους κύματος του εκπεμπόμενου κυματοσυρμού. Όσον αφορά στη φάση, το μήκος συμφωνίας είναι το χωρικό διάστημα μέσα στο οποίο η φάση του κύματος είναι σαφώς καθορισμένη, ή με άλλα λόγια, η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων είναι σταθερή, αν αυτά απέχουν λιγότερο από lc . Θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι η χρονική συμφωνία είναι εκδήλωση της φασματικής καθαρότητας της ακτινοβολίας. Αν αυτή ήταν μονοχρωματική, θα αντιστοιχούσε σε Δν=0 οπότε θα είχε άπειρο χρόνο συμφωνίας. Αποτέλεσμα θα ήταν μια καθαρή ημιτονοειδής διαταραχή. Αυτό όμως δε συμβαίνει με τις πραγματικές πηγές.

(α)

(β)

Σχήμα 2.13 (α) Μέτωπα κύματος σημειακής μονοχρωματικής πηγής σταθερής συχνότητας. (β) Όπως στο (α), με μεταβλητή συχνότητα

Ας δούμε τα παραπάνω, σχηματικά. Στο σχήμα 2.13(α), απεικονίζονται τα μέτωπα κύματος μιας σημειακής μονοχρωματικής πηγής. Ό,τι συμβαίνει σε κάποια χρονική στιγμή

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

33

'

'

'

στο P1 , λίγο αργότερα θα συμβεί στο P2 και κατόπιν στο P3 . Στην πράξη παρατηρώ'

'

ντας το P4 μπορούμε να γνωρίζουμε την προγενέστερη συμπεριφορά του P1 . Τα παραπάνω σημεία βρίσκονται σε πλήρη χρονική συμφωνία (temporal coherence). Αντίθετα, στο σχήμα 2.13(β) απεικονίζεται η εκπομπή μιας σημειακής πηγής, της ο'

'

ποίας η συχνότητα δεν είναι σταθερή. Τώρα σημεία όπως τα P1 και P4 δε συσχετίζονται, οπότε δεν μπορούμε να ισχυριστούμε την πλήρη χρονική συμφωνία της προηγούμενης '

'

περίπτωσης. Όμως σημεία όπως τα P2 και P3 σχετίζονται, οπότε υπάρχει μερική χρονική συμφωνία, αρκεί η απόστασή τους να είναι μικρότερη του μήκους lc . Θα παρατηρήσουμε ότι και στα δύο σχήματα τα σημεία P1 , P2 , P3 που βρίσκονται στο ίδιο μέτωπο κύματος έχουν διαρκώς την ίδια φάση. Τα εν λόγω σημεία βρίσκονται σε πλήρη χωρική συμφωνία (spatial coherence) και το κύμα θα είναι χωρικά σύμφωνο, αν αυτό συμβαίνει για δύο οποιαδήποτε σημεία του μετώπου κύματος. Τι θα συνέβαινε όμως για μια πραγματική εκτεταμένη πηγή; Θεωρώντας ότι αυτή αποτελείται από ένα μεγάλο πλήθος εκπομπών οι οποίοι εκπέμπουν κυματοσυρμούς περιορισμένης χρονικής διάρκειας (περίπου 10-8s) οι κυματικές '

'

'

διαταραχές στα σημεία P1 , P2 , P3 θα μπορούσαν να σχετίζονται χρονικά μόνο για το χρόνο συμφωνίας τc. Όσο για τη συμφωνία των P1 και P2 , αυτή εξαρτάται από τις διαστάσεις της πηγής.

2.6.3 Χαοτικές πηγές φωτός Τα δύο κύρια είδη χαοτικών πηγών, είναι οι θερμικές πηγές και οι πηγές ηλεκτρικής εκκένωσης αερίων ή ατμών υγρών και στερεών. Οι πρώτες εκπέμπουν στα πρότυπα του μέλανος σώματος και κυριότεροι εκπρόσωποί τους είναι οι λυχνίες πυράκτωσης, αλογόνου, οι πηγές καύσης κ.α., ενώ από τις δεύτερες κυριότεροι εκπρόσωποι είναι οι λυχνίες αίγλης, οι φασματικές λυχνίες, οι λυχνίες τόξου συνεχούς ρεύματος, κ.α. Σε μια χαοτική πηγή υπάρχει ένα πολύ μεγάλο πλήθος ατομικών εκπομπών που εκπέμπουν σαν ηλεκτρικά δίπολα.

34

2.6 Χαοτικές πηγές φωτός και πηγές LASER

Σχήμα 2.14 Χαοτική εκπομπή από εκτεταμένη πηγή. Τα σημεία Ρ1 και Ρ2 παρουσιάζουν διαφορά φάσης που μεταβάλλεται με το χρόνο, ενώ η μεταβολή της φάσης του Ρ σε ίσα χρονικά διαστήματα είναι διαφορετική.

Η ακτινοβολία αυτού του είδους παρουσιάζει τις εξής ιδιομορφίες. α) Οι άξονες των διπόλων έχουν τυχαίο προσανατολισμό. β) Κάθε άτομο εκπέμπει σε εντελώς τυχαίους χρόνους σε σχέση με τα άλλα άτομα, αλλά και σε σχέση με τους διαδοχικούς κυματοσυρμούς από το ίδιο το άτομο. γ) Η διάρκεια της ακτινοβολίας στην ορατή περιοχή είναι συνήθως, περίπου 10-8s με αποτέλεσμα την εκπομπή περιορισμένης χρονικά διαταραχής που αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό περιόδων.



Αποτέλεσμα των παραπάνω, είναι το ηλεκτρικό πεδίο E σε κάποια θέση Ρ, να αλλάζει ταχύτατα προσανατολισμό, ως αποτέλεσμα της επαλληλίας των διαταραχών στη θέση αυτή, αλλά και φάση λόγω της τυχαιότητας της εκπομπής των κυματοσυρμών από την πηγή. Έτσι, στο εν λόγω σημείο σε ίσα χρονικά διαστήματα θα έχουμε διαφορετικές μεταβολές φάσης, ενώ στα σημεία Ρ1 και Ρ2, η διαφορά φάσης θα μεταβάλλεται με το χρόνο. Τα παραπάνω είναι χαρακτηριστικά ασύμφωνης πηγής φωτός (incoherent light source).

2.6.4 Σύμφωνες πηγές φωτός Είναι δυνατόν, κατά την εκπομπή του φωτός να έχουμε μεγάλη χρονική συμφωνία. Πράγματι, αυτό επιτυγχάνεται σε πηγές που λειτουργούν με επαγόμενη εκπομπή ακτινοβολίας, όπως είναι τα Laser. Αυτά, ανήκουν στην κατηγορία των σύμφωνων πηγών φωτός (coherent light sources). Στο Σχ. 2.15 απεικονίζεται η εκπομπή ακτινοβολίας ενός Laser He-Ne.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

35

Σχήμα 2.15

Τα σημεία Ρ1 και Ρ2 τώρα παρουσιάζουν σταθερή διαφορά φάσης για μεγάλο χρονικό διάστημα, καθώς και το σημείο Ρ του οποίου η φάση παρουσιάζει σταθερή μεταβολή για ίσα χρονικά διαστήματα. Σημειώνεται ότι σταθερότητα φάσεως μεταξύ Ρ1 και Ρ2 οφείλεται στην "διάδοση" της χρονικής συμφωνίας κατά το πρότυπο lc   c , δηλαδή ουσιαστικά πρόκειται για τη απόσταση που διανύουν οι επιφάνειες σταθεράς χρονικής διαφοράς φάσεως. ( Οι ακτίνες ακολουθούν την ίδια πορεία ). Συνήθως είναι σταθερό το γινόμενο της χρονικής και χωρικής συμφωνίας. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, όταν αυξάνεται η μία να μειώνεται η άλλη.

2.7 LASER 2.7.1 Πληθυσμός των ενεργειακών επιπέδων Θεωρούμε ορισμένη ποσότητα αερίου σε θερμοδυναμική ισορροπία στη θερμοκρασία Τ. Αν η θερμοκρασία αυτή είναι αρκετά χαμηλή, τα περισσότερα από τα άτομα θα βρίσκονται στη θεμελιώδη ενεργειακή κατάσταση. Κάποια από αυτά όμως, λόγω αλληλεπίδρασης με τα άλλα άτομα, είναι δυνατόν απορροφώντας την απαραίτητη ενέργεια να μεταβούν σε ανώτερη ενεργειακή στάθμη. Από τη στατιστική Maxwell-Boltzmann τo πλήθος των ατόμων ανά μονάδας όγκου που βρίσκεται στη διεγερμένη στάθμη i, είναι:

Ni  N oe



Ei kBT

(2.34)

όπου N o είναι κάποια σταθερά που εξαρτάται από τη θερμοκρασία και k B η σταθερά του Boltzmann. Έτσι όσο μεγαλύτερη η τιμή της ενέργειας Ei , τόσο μικρότερος ο πληθυσμός

N i . Για μια ανώτερη ενεργειακή στάθμη j με E j  Ei θα ισχύει,

36

2.7 LASER

N j  Noe



Ej k BT

. Ο λόγος των δύο πληθυσμών θα είναι,

N j  Nie



Nj Ni



e e





Ej k BT Ei k BT



E j  Ei k BT

(2.35)

Όμως με τη βοήθεια της σχέσης του Planck, E j  Ei  hv ji , όπου v ji η συχνότητα του φωτονίου που εκπέμπεται κατά τη μετάβαση από την j στην i κατάσταση, προκύπτει,

N j  Ni e



hv ji k BT

(2.36)

2.7.2 Συντελεστές Einstein Ο Einstein διαπραγματεύτηκε θεωρητικά την κατάσταση δυναμικής ισορροπίας ενός υλικού που βρίσκεται μέσα σε Η/Μ πεδίο. Η δυναμική αλληλεπίδραση ύλης και πεδίου, έχει ως συνέπεια την απορρόφηση ακτινοβολίας από το υλικό, με ταυτόχρονη εκπομπή. Κατά την παραπάνω κατάσταση ισορροπίας, συντελούνται τρεις βασικές διεργασίες: Α) Επαγόμενη απορρόφηση (Stimulated absorption) B) Αυθόρμητη εκπομπή (spontaneous emission) Γ) Επαγόμενη εκπομπή (Stimulated emission) Α) Επαγόμενη απορρόφηση (Stimulated absorption) Ένα φωτόνιο κατάλληλης συχνότητας και ενέργειας hv ji απορροφάται από ένα άτομο του υλικού, το οποίο με τη σειρά του μεταβαίνει σε ανώτερη ενεργειακή κατάσταση.

Ei

Επαγόμενη απορρόφηση

Ej

hvji Αρχικά

Σχήμα 2.16

Τελικά

Επαγόμενη απορρόφηση

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

37

Αν το υλικό είναι πυκνό, τότε συνήθως η ενέργεια του διεγερμένου ατόμου μεταβιβάζεται σε γειτονικό άτομο μέσω δόνησης ή κρούσης, με αποτέλεσμα την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του υλικού. Στο Σχ. 2.16 φαίνεται η διαδικασία της επαγόμενης απορρόφησης ενός φωτονίου κατάλληλης ενέργειας. Θεωρούμε ότι αρχικά στο υλικό υπάρχουν N i άτομα ανά μονάδα όγκου, που βρίσκο-

 dN i   με τον οποίο τα άτομα απορροdt   ab

νται στην ενεργειακή κατάσταση i. Ο ρυθμός 

φώντας τα φωτόνια hv ji , μεταβαίνουν στην κατάσταση j,ονομάζεται λόγος μετάβασης (transition rate) και θα πρέπει να είναι: 

Ανάλογος του N i



Ανάλογος της φασματικής κατανομής ενεργειακής πυκνότητας uv



Ανάλογος μιας σταθεράς Bij

Δηλαδή

 dN i      Bij N iuv  dt  ab

(2.37)

Το μείον οφείλεται στο γεγονός της μείωσης του πλήθους των N i . Ο λόγος (αμελώντας το αρνητικό πρόσημο),

 dN i    dt ab  Pab   Bij uv Ni

(2.38)

μας δίνει την πιθανότητα να συμβεί ένα τέτοιο γεγονός. Εκφράζει επίσης το ποσοστό

dN i των ατόμων ανά μονάδα χρόνου, που διεγείρονται στην ενεργειακή στάθμη j από Ni την i.

B) Αυθόρμητη εκπομπή (spontaneous emission) Το διεγερμένο άτομο είναι δυνατόν, χωρίς καμιά εξωτερική παρέμβαση, να μεταβεί σε κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας, εκπέμποντας την επιπλέον ενέργεια υπό μορφή ενός φωτονίου. Έστω ότι η αποδιέγερση συμβαίνει από την j στην i στάθμη, όπως στο Σχ. 2.17.

38

2.7 LASER

Ej

Αυθόρμητη εκπομπη

Αρχικά

Ei

hvji

Τελικά

Σχήμα 2.17 Αυθόρμητη εκπομπή

Αν N j ο αριθμός των ατόμων ανά μονάδα όγκου, τότε ο εν λόγω αριθμός θα μεταβάλλεται με ρυθμό που θα είναι: 

Ανάλογος του N j



Ανάλογος μιας σταθεράς A ji ενώ θα είναι ανεξάρτητος της φασματικής κατανομής ενεργειακής πυκνότητας uv .

 dN j      Aji N j  dt  sp

Έτσι,

 dN j   dt    sp  Aji Ομοίως όπως και πριν η πιθανότητα Psp  Nj εκφράζει το ποσοστό

dN j Nj

(2.39)

(2.40)

των ατόμων ανά μονάδα χρόνου που υφίσταται αυθόρμητη

αποδιέγερση από τη j στην i κατάσταση. Το αντίστροφο της Psp θα εκφράζει το μέσο χρονικό διάστημα που παραμένει ένα άτομο στη j κατάσταση, πριν μεταβεί αυθόρμητα στην i και ονομάζεται μέσος χρόνος ζωής (mean life time) και είναι ίσος με

1 .

Aji

Γ) Επαγόμενη εκπομπή (Stimulated emission) Μέσα στο μέσο, σε κατάσταση δυναμικής ισορροπίας, υπάρχει μια πληθώρα φωτονίων με διαφορετικές συχνότητες. Είναι δυνατόν κάποιο από αυτά τα φωτόνια, να έχει ενέργεια hv ji και να προκαλέσει εξαναγκασμένη εκπομπή ενός ήδη διεγερμένου ατόμου.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

39

Το φωτόνιο που εκπέμπεται τότε, βρίσκεται στην ίδια φωτονική κατάσταση μ’ αυτό που προκάλεσε την εκπομπή. Δηλαδή θα έχει την ίδια ενέργεια, ορμή και στροφορμή.

Ej hvji

hvji Ei

Επαγόμενη εκπομπη

Αρχικά

hvji

Τελικά

Σχήμα 2.18 Επαγόμενη εκπομπή

Ο ρυθμός με τον οποίο το πλήθος το πλήθος των N j ατόμων ανά μονάδα όγκου εκπέμπουν με εξαναγκασμένη εκπομπή, θα είναι: 

Ανάλογος του N j



Ανάλογος της φασματικής κατανομής ενεργειακής πυκνότητας uv



Ανάλογος μιας σταθεράς B ji

 dN j      B ji N j uv dt   st

Δηλαδή,

(2.41)

Όπου πάλι το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στη μείωση του πλήθους των διεγερμένων ατόμων.

 dN j   dt   st  B u Pst   ji v Nj

Η πιθανότητα

μας δίνει το ποσοστό

dN j Nj

(2.42)

των ατόμων ανά μονάδα χρόνου που υφίσταται εξαναγκα-

σμένη αποδιέγερση από τη j στην i κατάσταση. Οι σταθερές αναλογίας Aji , Bij

 B ji , ονομάζονται συντελεστές του Einstein.

Σε κατάσταση δυναμικής ισορροπίας, θα πρέπει ο ρυθμός των μεταβάσεων από την i στη j κατάσταση να είναι ίσος με τον αντίστοιχο από τη j στην i. Έτσι,

Bij N iuv  A ji N j  B ji N j uv  Bij uv   A ji  B jiuv 

Nj Ni



Nj Ni



Bij uv A ji  B jiuv

40

2.7 LASER

Με τη βοήθεια της (2.36), η παραπάνω σχέση γράφεται:

e



hv ji k BT



Bij uv Aji  B jiuv

 Aji e



hv ji k BT

 Bij uv  B jiuv e

hv ji

Aji

Aji  Bij uv e kBT  B jiuv  uv 

hv ji



hv ji k BT





Bij e kBT  B ji

uv 

Aji B ji hv

Bij kBTji e 1 B ji

(2.43)

Στο σημείο αυτό ο Einstein έδειξε ότι όταν T   , η φασματική κατανομή ενεργειακής πυκνότητας uv   . Τότε από την (2.43), προκύπτει, ότι ο παρονομαστής θα τείνει στο μηδέν. Συμπεραίνουμε ότι, Bij  B ji  B . Οι σταθερές όμως είναι ανεξάρτητες της θερμοκρασίας, οπότε η ισότητα θα ισχύει για οποιαδήποτε θερμοκρασία. Τότε από τις (2.38) και (2.42) προκύπτει ότι η πιθανότητες επαγόμενης απορρόφησης και εκπομπής, είναι ίσες. Ένα άτομο στην κατάσταση i έχει την ίδια πιθανότητα να μεταβεί στη j με επαγόμενη απορρόφηση, με την πιθανότητα να μεταβεί από τη j στην i με επαγόμενη εκπομπή. Απλοποιώντας τη (2.43) θέτουμε Aji  A , οπότε,

uv 

A B

1 hv ji

(2.44)

e k BT  1

Από τη σχέση του Planck όμως

  2 hc 2  1  I   5   khcBT   1 e

(2.45)

Θα μετατρέψουμε την παραπάνω σχέση, σε σχέση με τη συχνότητα ν, με τη βοήθεια της, (2.32) και με την προϋπόθεση ότι,

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

I v dv  I  d   I v

41

c

2



c

d   I d   Iv  2 

 2 2 hc 2  Iv  c 5 

e

1 hc  k BT

(2.44) I   

  3    I  2 hv  1  v   c 2  khvBT  1  e  1

(2.46)

Τέλος πρέπει να συγκρίνουμε τη φασματική κατανομή ενεργειακής πυκνότητας

uv των φωτονίων στο εσωτερικό της κοιλότητας ενός μέλανος σώματος, με τη συνάρτηση κατανομής I v , που αναδύεται στο άνοιγμά του. Αποδεικνύεται όμως ότι I v 

c uv .

4

Πράγματι, η ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας (αφετική ικανότητα) δίνεται από το διάνυσμα Poynting και προκύπτει S  cuv  . Η μέση χρονική τιμή της είναι

S

T

 I  cuv

(2.47)

Αν θεωρήσουμε την επιφάνεια στο εσωτερικό της κοιλότητας, τα φωτόνια της uv δε συνεισφέρουν αποκλειστικά και μόνο προς τη διεύθυνση εξόδου της ακτινοβολίας από το άνοιγμα του μέλανος σώματος. Άρα, έχοντας την ίδια συνεισφορά των φωτονίων στην ένταση και προς τις δύο κατευθύνσεις, προς τη μια κατεύθυνση I΄ 

I cuv  . Με δε2 2

δομένο επίσης ότι μόνο οι κάθετες στην επιφάνεια συνιστώσες συνεισφέρουν και αυτές είναι μεταξύ τους ίσες,  cos 2 x 

1 2

I΄΄ 

I΄ cuv  2 4

(2.48)

Έτσι, από τις σχέσεις (2.44) και (2.48), προκύπτει:

    2 hv3  1  c A  1      4 B  khvTji c 2  khvBT  e  1  e B  1 

A 8 hv3  B c3 

βλ. § 3.2.3

(2.49)

42

2.7 LASER

Όπως παρατηρούμε, η πιθανότητα αυθόρμητης εκπομπής είναι ανάλογη της πιθανότητας της επαγόμενης εκπομπής. Τα Laser όμως στηρίζουν τη λειτουργία τους στην επαγόμενη εκπομπή. Έτσι προκύπτει ένα πρόβλημα, διότι ενισχύοντας το μηχανισμό αυτόν, ενισχύεται και αυτός της αυθόρμητης εκπομπής. Έτσι αύξηση του συντελεστή Β οδηγεί και σε αύξηση του Α που ενισχύει την αυθόρμητη εκπομπή γεγονός χαρακτηριστικό των χαοτικών πηγών. Μια δεύτερη παρατήρηση που προκύπτει, είναι ότι το πηλίκο Α/Β είναι ανάλογο της τρίτης δύναμης της συχνότητας. Αυτό σημαίνει ότι για μεγάλες συχνότητες, όπως π.χ. για τις ακτίνες Χ, καθίσταται δύσκολη η επικράτηση της επαγόμενης εκπομπής. Ένα Laser ακτίνων Χ είναι δύσκολο να πραγματοποιηθεί. Επιπροσθέτως, όπως προαναφέραμε, λόγω της ισότητας Bij  B ji  B , οι πιθανότητες επαγόμενης εκπομπής και απορρόφησης είναι ίσες, δηλαδή Pab  Pst . Σε κατάσταση θερμικής ισορροπίας όμως το πλήθος Νi των ατόμων στη χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη, θα είναι μεγαλύτερο του πλήθους Nj στην ανώτερη. Άρα,

 dN j   dN i  (2.38),(2.42) Pab N i  Pst N j       dt ab  dt  st

Αυτό σημαίνει ότι στη μονάδα του χρόνου περισσότερα φωτόνια θα εξαφανίζονται απορροφούμενα από τα άτομα, από όσα θα δημιουργούνται εκπεμπόμενα. Το αντίστροφο θα συμβεί, αν καταφέρουμε να δημιουργήσουμε μια αντιστροφή πληθυσμών (population inversion) όπου N i  N j . Τότε θα υπερισχύει η επαγόμενη εκπομπή, έναντι της

απορρόφησης. Τα φωτόνια που εκπέμπονται μ’ αυτόν τον τρόπο βρίσκονται στην ίδια φωτονική κατάσταση με τα προσπίπτοντα. Όσο ο παράγοντας πληθυσμού διατηρείται ώστε N i  N j η φωτονική ροή διαρκώς θα αυξάνεται δημιουργώντας μια ισχυρή σύμφωνη δέσμη γνωστή ως Laser η οποία προκύπτει από τα αρχικά των light amplification by stimulated emission of radiation (ενίσχυση του φωτός μέσω επαγόμενης εκπομπής ακτινοβολίας). Ο όρος Laser πρωτοχρησιμοποιήθηκε για την περίπτωση εκπομπής στο ορατό. Πλέον όμως χρησιμοποιείται και για κάθε συχνότητα που εμπίπτει στο μακρινό ή κοντινό υπέρυθρο, στο υπεριώδες και ακόμη στην περιοχή των ακτίνων Χ. Για την περίπτωση που η συχνότητα των φωτονίων εμπίπτει στην περιοχή των μικροκυμάτων, χρησιμοποιείται ο όρος Maser, όπου η λέξη light έχει αντικατασταθεί από τη λέξη microwave.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

43

2.7.3 .3 Κύρια μέρη και είδη LASER Στο διπλανό σχηματικό διάγραμμα, απεικονίζονται τα κύρια μέρη ενός Laser. Διακρίνουμε την κοιλότητα συντονισμού που περιλαμβάνει το ενεργό μέσο, τα άτομα του οποίου πρόκειται να εκπέμψουν την επιθυμητή ακτινοβολία, καθώς και το σύστημα διέγερσης που θα προκαλέσει την αντι-

Σχήμα 2.19

στροφή πληθυσμού στο ενεργό μέσο. Τα πρόσθετα στοιχεία μπορούν να αφορούν εξαρτήματα επιλογής των φωτονικών καταστάσεων. Τα κάτοπτρα, εκ των οποίων το ένα είναι ημιδιαπερατό, συμβάλλουν στην ενίσχυσή της ακτινοβολίας, μέσω πολλαπλών ανακλάσεων της δέσμης των φωτονίων. Η ακτινοβολία Laser εκπέμπεται τελικά, κάθετα στα κάτοπτρα.

H ταυτότητα κάθε Laser εξαρτάται από τους εξής παράγοντες: 1.

Από την περιοχή του φάσματος που εκπέμπει.

2.

Από το είδος του ενεργού μέσου που χρησιμοποιεί. Έτσι μπορούμε να έχουμε: a. Laser αερίων, που χρησιμοποιούν αέρια ή μίγματα αερίων b. Laser στερεάς κατάστασης όπου ως ενεργό μέσο έχουμε κρυστάλλους και γυαλιά

με προσμίξεις διαφόρων ιόντων, συμπεριλαμβανομένων και ημιαγωγών c. Laser υγρών d. Laser πλάσματος και e. Laser ελευθέρων ηλεκτρονίων.

3.

Από τον τρόπο με τον οποίο επιτυγχάνεται η αντιστροφή πληθυσμών (άντληση – pumping). Τα συστήματα άντλησης ποικίλουν ανάλογα με τον τύπο του χρησιμο-

ποιούμενου ενεργού μέσου. Έτσι, 

Για τα Laser αερίων η άντληση γίνεται με τη βοήθεια ηλεκτρικής εκκένωσης τόξου, όπου η ενέργεια της διέγερσης προσλαμβάνεται μέσω των κρούσεων των ατόμων στο πλάσμα του αερίου.

44

2.7 LASER



Για τα Laser στερεάς κατάστασης επιτυγχάνεται με κατάλληλο φωτισμό. Η ενέργεια διέγερσης προσλαμβάνεται από φωτόνια κατάλληλης συχνότητας που προέρχονται από την πηγή φωτισμού.



Στα Laser ημιαγωγών η αντιστροφή πληθυσμού επιτυγχάνεται μέσω της ενέργειας που απορροφούν τα ηλεκτρόνια και οι οπές του μέσου, όταν αυτό υφίσταται ηλεκτρική πόλωση.

2.7.4 Η διαδικασία της επιλεκτικότητας των φωτονικών καταστάσεων Κατά τη λειτουργία ενός Laser στόχος μας είναι να έχουμε μια ισχυρή δέσμη φωτονίων που βρίσκονται στην ίδια κβαντική κατάσταση. Για να το πετύχουμε αυτό, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η αντιστροφή πληθυσμών. Όμως και πάλι αν οι επαγόμενες εκπομπές δε σχετίζονται μεταξύ τους, ο βαθμός ασυμφωνίας θα είναι μεγάλος. Επιθυμούμε τότε μεταξύ διαφορετικών φωτονικών καταστάσεων, στην κοιλότητα συντονισμού, λίγες να είναι οι ευνοϊκές που θα διατηρηθούν και θα ενισχυθούν, ενώ οι υπόλοιπες να εξαφανιστούν. Όσο λιγότερες τελικά οι ευνοϊκές καταστάσεις, τόσο καλύτερη επιλεκτικότητα εκπομπής θα έχουμε και τόσο μεγαλύτερος θα είναι ο βαθμός συμφωνίας που θα πετύχουμε. Μπορούμε να πετύχουμε τριών ειδών επιλεκτικότητα φωτονικών καταστάσεων.

1.

Κατευθυντική επιλεκτικότητα (direction selectivity).

Το ενεργό μέσο έχει τη μορφή επιμήκους κυλίνδρου. Τα φωτόνια που προκαλούν επαγόμενη εκπομπή, μαζί με αυτά που παράγονται, προκαλούν νέες εκπομπές κ.ο.κ. Για τα φωτόνια που η ορμή τους έχει τη διεύθυνση του άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου, η πιθανότητα να παραμείνουν εντός του ενεργού μέσου μετά από πολλαπλές ανακλάσεις στα κάτοπτρα που το κλείνουν, είναι μεγαλύτερη έναντι αυτών που η ορμή τους σχηματίζει γωνία.

2.

Ενεργειακή επιλεκτικότητα (energy selectivity).

Στην πραγματικότητα, οι επιτρεπόμενες ενεργειακές στάθμες των ατόμων είναι πολλές, με αποτέλεσμα να μπορούμε να έχουμε πολλές διαφορετικές ενεργειακές μεταπτώσεις. Τα φωτόνια που παράγονται τότε έχουν διαφορετικές συχνότητες. Αν επιλέξουμε το υλικό των κατόπτρων ώστε να ανακλούν συγκεκριμένες απ’ αυτές ( οι

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

45

συντελεστές ανάκλασης είναι συνάρτηση της συχνότητας) και να απορροφούν τις υπόλοιπες, τελικά θα παραμείνουν τα φωτόνια συγκεκριμένης συχνότητας και ενέργειας.

3.

Πολωτική επιλεκτικότητα (polarization selectivity).

Γνωρίζουμε ότι τα φωτόνια ανάλογα με τη στροφορμή τους διακρίνονται σε δεξιόστροφα (RHC) και αριστερόστροφα (LHC). Ο στατιστικός έλεγχος της στροφορμής του συνόλου των φωτονίων της δέσμης, μπορεί να μας δώσει την επιθυμητή πόλωση σε επιλεγμένους άξονες. Πρακτικά, μπορούμε να το πετύχουμε μέσω της πόλωσης από διάθλαση.

2.7.5 LASER Ρουμπινίου (στερεάς κατάστασης) Για την επεξήγηση του τρόπου λειτουργίας του Laser, θα χρησιμοποιήσουμε ως παράδειγμα το πρώτο που προτάθηκε και ανήκει στην κατηγορία των Laser στερεάς κατάστασης. Είναι το Laser ρουμπινίου που προτάθηκε από τον T.H. Maiman στα 1960. Χρησιμοποίησε ως ενεργό μέσο ένα μικρό κυλινδρικό απαλού ροζ χρώματος ρουμπίνι δηλαδή έναν κρύσταλλο Al2O3 που περιείχε κατά περίπου 0,05%κ.β. Cr2O3. Το ρουμπίνι

Σχήμα 2.20 Το πρώτο Laser ρουμπινίου

είχε ήδη χρησιμοποιηθεί στην κατασκευή maser από τον Schawlow. Τα άκρα της ράβδου ήταν γυαλιστερά, παράλληλα επίπεδα, κάθετα στον άξονα του Laser. Είχαν λειανθεί τόσο καλά, ώστε οι μικροανωμαλίες να μην υπερέβαιναν το ένα εικοστό του μήκους κύματος της ακτινοβολίας που επρόκειτο να εκπεμφθεί. Ήταν επίσης επαργυρωμένα (το ένα μερικώς) σχηματίζοντας μια κοιλότητα συντονισμού.

46

2.7 LASER

Ο κύλινδρος περιβαλλόταν από μια ελικοειδή λυχνία εκκένωσης αερίου που προκαλούσε ευρεία οπτική άντληση. Ο κόκκινος χρωματισμός του ρουμπινίου, οφείλεται στην απορρόφηση, από μέρους του Cr3+ του μπλε και του πράσινου και εκπομπή στο κόκκινο (λ = 6928 και 6943 Å). Ενεργοποιώντας τη λυχνία εκκένωσης, παράγεται ένα ισχυρό φλας φωτός που διαρκεί λίγα ms. Η περισσότερη από αυτήν την ενέργεια χάνεται ως θερμότητα, αλλά ένα μέρος της διεγείρει τα ιόντα χρωμίου στις ζώνες απορρόφησης.

Σχήμα 2.21 Ενεργειακές στάθμες των ιόντων Cr3+ το Laser ρουμπινίου. Φαίνονται η θεμελιώδης ενεργειακή στάθμη, οι ζώνες απορρόφησης και οι μετασταθείς καταστάσεις (Laser τριών επιπέδων)

Τα διεγερμένα ιόντα σε περίπου 100ns με μη ακτινοβολούσα μετάβαση προσφέρουν ενέργεια στον κρύσταλλο, μεταπίπτοντας σε δύο πολύ κοντινές στάθμες μεγάλου χρόνου ζωής, που ονομάζονται μετασταθείς (metastable states). Σ’ αυτές, τα ιόντα Cr3+ μένουν περίπου 3ms (θερμοκρασία δωματίου) πριν τυχαία και τις περισσότερες φορές αυθόρμητα αποδιεγερθούν στη θεμελιώδη ενεργειακή στάθμη. Αυτό συνοδεύεται από την εκπομπή της χαρακτηριστικής κόκκινης ακτινοβολίας του ρουμπινιού. Η εν λόγω ακτινοβολία κυριαρχεί με μήκος κύματος 694,3nm, είναι ασύμφωνη και γίνεται προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Αν όμως αυξήσουμε το λόγο άντλησης των ιόντων, αυξάνοντας τη διάρκεια εκκένωσης της λυχνίας, επιτυγχάνεται ικανοποιητική αντιστροφή πληθυσμών. Τα πρώτα αυθόρμητα εκπεμπόμενα φωτόνια, προκαλούν αλυσιδωτές επαγόμενες εκπομπές φωτονίων της ίδιας κατάστασης, μεταξύ της μετασταθούς και της θεμελιώδους ενεργειακής στάθμης. Όσα απ’ αυτά κινούνται κατά μήκος του άξονα του κυλίνδρου, ανακλώμενα στα κάτοπτρα συνεχίζουν τις επαγόμενες εκπομπές με αποτέλεσμα την ισχυροποίηση της φωτει-

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

47

νής δέσμης, με δεδομένο ότι η παροχή ενέργειας από το μηχανισμό άντλησης εξισορροπεί τις ενεργειακές απώλειες από τις ανακλάσεις στα κάτοπτρα τη σκέδαση και την περίθλαση, ενώ όσα δεν κινούνται στην εν λόγω διεύθυνση διαφεύγουν από τα πλευρικά τοιχώματα. Το Laser ρουμπινίου είναι ένα Laser τριών σταθμών, που όσον αφορά στις ατομικές μεταπτώσεις, περιλαμβάνει τις ζώνες απορρόφησης, τις μεγάλου χρόνου ζωής μετασταθείς στάθμες και τη θεμελιώδη στάθμη.

Σχήμα 2.22 (α),(β) Παρατηρούμε την εκπομπή των πρώτων φωτονίων στην κοιλότητα συντονισμού. Αυτά, με τη σειρά τους προκαλούν νέες προτρεπόμενες εκπομπές φωτονίων στην ίδια κβαντική κατάσταση με τα πρώτα. Όσα από τα φωτόνια κινούνται κατά μήκος του άξονα συμμετρίας ανακλώνται από τα κάτοπτρα. Τα υπόλοιπα φωτόνια εγκαταλείπουν την οπτική κοιλότητα (κατευθυντική επιλεκτικότητα). (γ) Στο τρίτο σχήμα έχουμε την έξοδο ισχυρού φωτεινού σύμφωνου παλμού.

Τελικά από το ημιδιαφανές κάτοπτρο αναδύεται ένας σύμφωνος κυματικός παλμός μήκους κύματος λο=694,3nm και εύρους 0,01nm διάρκειας περίπου 0,5ms. Η ενέργεια του κάθε παλμού εξαρτάται από το μήκος της ράβδου και κυμαίνεται από 50J έως 100J. Η απόδοσή του είναι περίπου 1%, ενώ η διάμετρος της δέσμης από 1mm έως 25mm με γωνιακή απόκλιση μεταξύ 0,25mrad και 7mrad.

2.7.6 Οπτικές κοιλότητες συντονισμού (οπτικά αντηχεία) - επιμήκεις και εγκάρσιοι τρόποι ταλάντωσης Όπως προαναφέραμε, στο εσωτερικό της κοιλότητας συντονισμού τα φωτόνια που παραμένουν, είναι αυτά που κινούνται κατά μήκος του άξονα, ενώ τα υπόλοιπα διαφεύγουν. Η συνεχής ενίσχυση της παραγόμενης δέσμης με φωτόνια της ίδιας κατάστασης, καθιστά τη διάδοση, ως ένα σύμφωνο επίπεδο κύμα, το οποίο κινείται προς τα δεξιά, ανακλάται, κινείται προς τα αριστερά, ανακλάται κ.ο.κ. Το αποτέλεσμα είναι ότι στο εσωτερικό της κοιλότητας συντονισμού αναπτύσσεται ένα στάσιμο εγκάρσιο αρμονικό κύμα.

48

2.7 LASER

Όπως γνωρίζουμε απαραίτητη προϋπόθεση ώστε να συμβεί αυτό, είναι το μήκος L της κοιλότητας συντονισμού, να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του ημικύματος. Έτσι πρέπει

 c  L  m , με το m να είναι ακέραιος αριθμός. Όμως   , όπου   η ταχύτητα n vm 2 διάδοσης του φωτός εντός του οπτικού μέσου και n ο δείκτης διάθλασης για την εν λόγω συχνότητα. Αντικαθιστώντας προκύπτει,

vm  m



(2.50)

2L

Στο Σχ. 2.23 φαίνονται δύο δυνατοί τρόποι ταλάντωσης για m=3 και m=8.

Σχήμα 2.23 Διαμήκεις τρόποι ταλάντωσης

Επομένως, μπορούμε να έχουμε ένα πολύ μεγάλο πλήθος διαφορετικών συχνοτήτων που θα μας δίνουν στάσιμα κύματα εντός της κοιλότητας. Κάθε μία συχνότητα αντιστοιχεί σε έναν επιμήκη τρόπο ταλάντωσης (longitudinal modes) . Διαδοχικοί τρόποι θα έχουν συχνότητες που θα διαφέρουν κατά

v  vm1  vm 

 2L

(2.51)

Γνωρίζουμε ότι κατά την αποδιέγερση του ατόμου, εκπέμπεται ένας κυματοσυρμός χρο8

νικής διάρκειας t  10 s . Η ανάλυση Fourier μας λέει ότι για να συμβεί αυτό πρέπει να έχουμε μια υπέρθεση ταλαντώσεων με συχνότητες εύρους v  1/ t . Η ατομική εκπομπή λοιπόν δεν είναι μονοχρωματική, όπως φαίνεται και στο Σχ.2.24(α). Για την περίπτωση του ρουμπινίου π.χ., στην ατομική εκπομπή υπάρχει ένα εύρος περίπου 0,53nm, το οποίο αντιστοιχεί ( μέσω της σχέσης v 

c

2

 ) σε εύρος συχνότητας 330GHz.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

49

Σχήμα 2.24 (α) Φασματική κατανομή της ατομικής εκπομπής. (β) Επιμήκεις τρόποι ταλάντωσης στην κοιλότητα συντονισμού. (γ) Μόνο ορισμένοι από τους επιτρεπτούς τρόπους ταλάντωσης εκπέμπονται από το Laser.

Στο Σχ. 2.24(β) απεικονίζονται οι επιμήκεις τρόποι ταλάντωσης όπου το εύρος του καθενός είναι περίπου 0,00005nm ή 30ΜHz και η διαφορά στη συχνότητα διαδοχικών τρόπων, είναι υ/2L. Αποτέλεσμα είναι η καμπύλη (α) να διαμορφώνει τους τρόπους ταλάντωσης της (β), με αποτέλεσμα το διάγραμμα (γ). Μόνο οι τρόποι των οποίων οι συχνότητες εμπίπτουν εντός του εύρους της ατομικής εκπομπής ενισχύονται. Είναι δυνατό να πετύχουμε μόνο ένα τρόπο ταλάντωσης στην έξοδο του Laser, αν αυξήσουμε την ποσότητα υ/2L, μειώνοντας το μήκος L. Τότε μόνο ένας τρόπος θα εμπίπτει εντός του εύρους της ατομικής εκπομπής και αυτός θα ενισχυθεί. Γεννάται όμως το εξής πρόβλημα. Περιορίζοντας το μήκος του ενεργού μέσου, μειώνουμε την παροχή ενέργειας στη δέσμη από το ενεργό μέσο, με αποτέλεσμα τη μείωση της ισχύος εξόδου. Επιπρόσθετα με τους διαμήκεις τρόπους ταλάντωσης που παρατηρούνται στη διεύθυνση διάδοσης z, μπορούμε να έχουμε και εγκάρσια στάσιμα κύματα δηλαδή στο επίπεδο x,y. Οι εγκάρσιοι τρόποι (transverse modes) συμβολίζονται με το ακρωνύμιο ΤΕΜmn (Transverse Electric and Magnetic). Τα m,n είναι ακέραιοι αριθμοί και συμβολίζουν τις δεσμικές γραμμές στις διευθύνσεις x και y, δηλαδή κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης της δέσμης. Έτσι η δέσμη διαιρείται σε εγκάρσια τμήματα τα οποία επικρατούν σε όλο το εύρος της κοιλότητας συντονισμού, αλλά και εκτός του Laser, κατόπιν πολλαπλών ανακλάσεων στα κάτοπτρα. Η τελική τους μορφή εξαρτάται από τις διαδοχικές περιθλάσεις στα κάτοπτρα. Τα συνήθη σχήματα των κατόπτρων είναι ορθογώνια και κυκλικά, οπότε ανάλογα διαμορφώνεται και η μορφή των εγκάρσιων τρόπων ταλάντωσης.

50

2.7 LASER

Συγκεκριμένα αν τα κάτοπτρα είναι κυκλικά, η κατανομή της έντασης σε επίπεδα κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης συνίσταται από το συνδυασμό μιας δέσμης Γκαουσιανού προφίλ και ενός πολυωνύμου Laguerre. Για την περίπτωση ορθογώνιου κατόπτρου η Γκαουσιανή συνδυάζεται με ένα πολυώνυμο Hermite. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει ο ΤΕΜ00, που είναι ο θεμελιώδης τρόπος εγκάρσιας ταλάντωσης της κοιλότητας συντονισμού του Laser, η μορφή του οποίου είναι Γκαουσιανή. Ο ΤΕΜ00 είναι ο ευρύτερα χρησιμοποιούμενος, διότι: a. Η μορφολογία της δέσμης εξόδου του Laser είναι η πλέον ομογενής με Γκαουσι-

ανή κατανομή στην ένταση (κατά r και φ σε πολικές συντεταγμένες) Αυτό σημαίνει ότι με τα κατάλληλα οπτικά μέσα μπορούμε να τη συγκεντρώσουμε σε πολύ μικρή περιοχή. b. Δεν υπάρχει διαφορά φάσης στο επίπεδο (r,φ) το κάθετο στη διάδοση. Έτσι πα-

ρουσιάζει πλήρη χωρική συμφωνία (ισοφασική επιφάνεια). c. Ο τρόπος ΤΕΜ00 παρουσιάζει τη μικρότερη γωνιακή απόκλιση.

Ένας πλήρης προσδιορισμός των τρόπων ταλάντωσης περιλαμβάνεται στο συμβολισμό ΤΕΜmnq , όπου με το δείκτη q συμβολίζεται ο διαμήκης τρόπος ταλάντωσης. Επίσης, θα πρέπει να τονίσουμε ότι τα κάτοπτρα, μπορεί να είναι επίπεδα, κυρτά, ή κοίλα. Στο Σχ. 2.25 φαίνονται τρεις διαφορετικοί συνδυασμοί κατόπτρων που αναφέρονται ως ευσταθείς (steady), καθώς η δέσμη τείνει να διαγράψει την ίδια πορεία μετά την ανάκλασή της από το κάτοπτρο, μένοντας κοντά στον άξονα και συμβάλλοντας στην ενίσχυσή της.

Σχήμα 2.25 Ευσταθείς (steady) συνδυασμοί κατόπτρων σε κοιλότητα συντονισμού

Παρατηρούμε ότι στο Σχ. 2.25(δ), υπάρχει μια τάση εστίασης της δέσμης στη μέση της απόστασης των κατόπτρων. Η ελάχιστη ακτίνα wo της δέσμης στη θέση αυτή ονομάζεται

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

51

μέση (waist). Όσο για τη γωνιακή απόκλιση της δέσμης κατά την έξοδό της από το

Laser, υπολογίζεται ότι είναι περίπου:

  1,27

 D

1 2

 2b   και b η ακτίνα καμπυλότητας των κατόπτρων.   

Όπου D  2 wo  

2.7.7 Βασικοί τρόποι ταλάντωσης των Laser Υπάρχουν τρεις βασικοί τρόποι ταλάντωσης των Laser: a. Λειτουργία συνεχούς ταλάντωσης (continuous wave, c.w.)

Η άντληση του ενεργού μέσου είναι συνεχής στο χρόνο. Το αποτέλεσμα είναι η εκπομπή μιας δέσμης φωτός με συνεχή τρόπο και με σταθερή ένταση. b. Λειτουργία παλμικού τρόπου ελεύθερης ταλάντωσης (pulsed mode of free oscillation)

Τώρα η εκπομπή ακτινοβολίας γίνεται μέσω παλμών που μπορεί να εκπέμπονται άλλοτε περιοδικά κι άλλοτε όχι. Κάθε παλμός διαρκεί περίπου 10-6 – 10-3s και οι συχνότητες εκπομπής κυμαίνονται μεταξύ 10Hz – 10kHz. Ο τρόπος αυτός επιτυγχάνεται με την περιοδική λειτουργία των μηχανισμών άντλησης. Έτσι προκαλείται περιοδική αντιστροφή πληθυσμών των ενεργών κέντρων για μικρές χρονικές περιόδους. Το αποτέλεσμα, λόγω της μικρής διάρκειας των παλμών, είναι η επίτευξη μεγάλων τιμών ισχύος ανά παλμό εκπεμπόμενου φωτός. c. Λειτουργία

παλμικού

τρόπου

ελεγχόμενης

ταλάντωσης

(Q-switching)

Η ύπαρξη απωλειών στο εσωτερικό του ενεργού μέσου, είναι αιτία της μη ταλάντωσης και της μη εκπομπής ακτινοβολίας. Αν ελέγξουμε τις απώλειες, αυξάνοντάς τες τεχνητά (με μηχανικούς ή οπτικούς τρόπους) , ενώ παράλληλα λαμβάνει χώρα η οπτική άντληση, η αντιστροφή πληθυσμών μπορεί να γίνει πολύ μεγάλη. Αν ξαφνικά μειώσουμε τις απώλειες, επαγόμενη εκπομπή λαμβάνει χώρα σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα, με αποτέλεσμα την εκπομπή παλμού πολύ μεγάλης ισχύος (της τάξης των 109W).

52

2.7 LASER

2.7.8 Ιδιότητες του φωτός των Laser Οι βασικές ιδιότητες του φωτός που προέχεται από πηγές Laser, είναι οι εξής: Μονοχρωματικότητα ( monochromaticity)

Με τη στενή έννοια του όρου το μονοχρωματικό φως αποτελείται μόνο από μια συχνότητα. Όμως αυτό δε συμβαίνει στην πραγματικότητα. Αντίθετα οι συχνότητες που συνθέτουν έναν κυματοσυρμό ανήκουν σε ένα εύρος Δν συχνοτήτων, που όσο μικρότερο είναι, τόσο πιο μονοχρωματική θεωρείται η ακτινοβολία. Το αντίστοιχο εύρος Δλ στο οποίο ανήκουν τα μήκη κύματος, προκύπτει από τη γνωστή σχέση, v  

c

2



Αν σε ένα Laser καταφέρουμε να λάβουμε μόνο έναν από του επιμήκεις τρόπους ταλάντωσης (single-mode) τότε το φασματικό εύρος Δν και κατ’ επέκταση και το Δλ μειώνονται αισθητά, αυξάνοντας τη μονοχρωματικότητα. Τέλος μπορούμε να αναφέρουμε ότι σε ειδικής κατασκευής Laser He-Ne με μήκος κύματος εκπομπής λ=1152nm, μπορούμε να ελαττώσουμε το εύρος στην τιμή   8,9  10

11

nm αυξάνοντας έτσι το μήκος

συμφωνίας στην τιμή lc  15  10 m .

6

Συμφωνία (coherence)

Τα περί χωρικής και χρονικής συμφωνίας έχουν αναπτυχθεί σε προηγούμενη παράγραφο. Να τονίσουμε μόνο τη σχέση μεταξύ μονοχρωματικότητας και συμφωνίας. Όσο αυξάνεται η μονοχρωματικότητα με τη μείωση του Δλ, τόσο αυξάνεται και η χρονική συμφωνία. Οι στατιστικές ιδιότητες των φωτονίων όμως παραμένουν αμετάβλητες. Μπορούμε ως παράδειγμα, μονοχρωματικού φωτός, να χρησιμοποιήσουμε το φως που προέρχεται από θερμική πηγή αλλά το φασματικό του εύρος έχει περικοπεί αρκετά με τη χρήση κατάλληλων φίλτρων συμβολής. Τέτοια φίλτρα είναι γραμμικά στοιχεία μεταφοράς που οι ιδιότητές τους είναι ανεξάρτητες της έντασης του φωτός.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

53

Σχήμα 2.26 (α) Χαοτικό φως λυχνίας αλογόνου. (β) Αύξηση της μονοχρωματικότητας με παρεμβολή φίλτρου (γ) Σύμφωνο φως από πηγή Laser.

Όταν παρεμβάλλονται στην πορεία του φωτός αυξάνουν το χρόνο και το μήκος συμφωνίας, μεταβάλλοντας τις στατιστικές διακυμάνσεις του πλάτους της έντασης Ε του πεδίου, οπότε αυξάνουν και τη μονοχρωματικότητα, όμως δε μεταβάλλουν τη στατιστική των φωτονίων. Αυτά, εφόσον προέρχονται από χαοτική πηγή, συνεχίζουν να υπακούουν στη στατιστική Bose – Einstein. Τα παραπάνω φαίνονται στο Σχ. 2.26, όπου παρακολουθούμε τη στατιστική διακύμανση του πλάτους Ε για χαοτικό φως λυχνίας αλογόνου, (α) πριν την παρεμβολή του φίλτρου (  10 (  10

12

15

s ) και (β) μετά την παρεμβολή

s  108 s ). Στο (γ) παρατηρούμε τις στατιστικές διακυμάνσεις του πλάτους Ε

που παράγεται από σταθεροποιημένο Laser (μοναδικού τρόπου). Το εν λόγω φως ως σύμφωνο, ακολουθεί την κατανομή Poisson. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι το σύμφωνο φως είναι πάντα μονοχρωματικό, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει, λόγω διαφορετικών στατιστικών ιδιοτήτων. Οι Laser αποτελούν κατ’ εξοχήν πηγές παραγωγής σύμφωνου φωτός, με μήκος συμφωνίας που μπορεί να φτάσει πολλά χιλιόμετρα. Έτσι, χρησιμοποιούνται σε τομείς όπως αυτοί της συμβολομετρίας και της ολογραφίας όπου απαιτείται αυξημένη συμφωνία μεταξύ των δεσμών φωτός, ώστε να συμβάλλουν μεταξύ τους.

54

2.7 LASER

Κατευθυντικότητα (directionality)

Οι δέσμες Laser εμφανίζουν μεγάλη κατευθυντικότητα εξαιτίας του τρόπου σχηματισμού της δέσμης στο εσωτερικό της κοιλότητας συντονισμού. Ως αποτέλεσμα, είναι δυνατόν να διανύσουν πολύ μεγάλες αποστάσεις χωρίς σημαντική αύξηση στη διάμετρό τους. Σε μια κοιλότητα συντονισμού ενός Laser, ο τρόπος ταλάντωσης ΤΕΜ00 έχει Γκαουσιανό προφίλ. Έτσι το πλάτος Εο του πεδίου μειώνεται καθώς απομακρυνόμαστε σε εγκάρσια διεύθυνση από τον άξονα της κοιλότητας. Αν r η απόσταση από τον άξονα, τότε η καμπύλη Gauss έχει τη μορφή:

E  Eo e



r2 w2

(2.52)

Όταν r  w , το πλάτος αποκτά τιμή Eo / e με αποτέλεσμα και η ένταση της ακτινοβολίας, να 2

μειώνεται στην τιμή I o / e . Το w αναφέρεται ως

1/e2 - εύρος δέσμης. Η περισσότερη από

την εκπεμπόμενη ενέργεια βρίσκεται εντός του υποθετικού κυλίνδρου ακτίνας w. Η ένταση της ακτινοβολίας ακολουθεί κι αυτή Γκαουσιανή μορφή, καθώς το τετράγωνο μιας Γκαουσιανής είναι κι αυτή Γκαουσιανή. Έτσι,

I  I oe



2r 2 w2

(2.53)

Θα θεωρήσουμε την περίπτωση μιας ομοεστιακής κοιλότητας συντονισμού ενός Laser αερίου, μήκους L που αποτελείται από δύο κοίλα κάτοπτρα με ακτίνες R1  R2  b , οπότε η κοινή εστία βρίσκεται στο μέσο της μεταξύ τους απόστασης. Επίσης σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο κέντρο της και z τη διεύθυνση διάδοσης. Η w είναι κάθετη στη διεύθυνση z. Όπως παρατηρούμε και από το Σχ. 2.27, υπάρχει μια τάση εστίασης της δέσμης στην κεντρική περιοχή της κοιλότητας συντονισμού, με αποτέλεσμα μια ελάχιστη εγκάρσια διατομή ακτίνας wo, που ονομάζεται μέση (waist). Αποδεικνύεται * τότε ότι το μήκος w είναι συνάρτηση του z και δίνεται από τη σχέση:

*

Βλ. Σωτήριος Βες, Εισαγωγή στην Κβαντική οπτική & Laser, Β΄ έκδοση, Θεσ/νίκη 1999.σελ. 200

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

55 1

   z 2  2  w( z )  wo 1   2     wo  

(2.54)

Το σχήμα της δέσμης, όπως προσδιορίζεται από την παραπάνω, είναι υπερβολοειδές εκ περιστροφής. Η παραπάνω, ισχύει κι όταν βρισκόμαστε πλέον εκτός της κοιλότητας συντονισμού. Η μέση, wo έχει τιμή, 1

 b  2 wo     2 

(2.55)

Ένα πρακτικό μέτρο της απόκλισης της δέσμης είναι η απόσταση zR στην οποία το εμβαδό εγκάρσιας διατομής της δέσμης διπλασιάζεται, η με άλλα λόγια είναι η ακτίνα για την οποία w( z R )  wo 2 . r

wo

z=0

w( zR )  wo 2

w(z)

Θ

I

zR

Σχήμα 2.27 Ομοεστιακή κοιλότητα συντονισμού

Η απόσταση zR ονομάζεται Rayleigh range και από την παραπάνω σχέση προκύπτει:

 wo2 zR  

(2.56)

Παρατηρούμε, ότι όσο μικρότερη η μέση wo, τόσο μικρότερη η zR, οπότε τόσο περισσότερο αποκλίνει η δέσμη. Με τη βοήθεια της (2.56) η (2.54) 1

γράφεται,

  z 2  2 w( z )  wo 1     . Σε μεγάλες αποστάσεις από τη μέση, όπου z  z R , ο δεύ  z R   τερος όρος της αγκύλης, είναι πολύ μεγαλύτερος της μονάδας. Έτσι,

56

2.7 LASER

w( z )  wo

z zR

(2.57)

Και η w(z) αυξάνεται ανάλογα με την απόσταση z. Ορίζεται το γωνιακό εύρος Θ της δέσμης: tan   w( z ) 2 z Σε πολύ μεγάλες αποστάσεις από τη μέση,   2 w( z )  2 (rad ) , ή z  wo   0,637

 wo

(rad )

Παρατηρούμε πάλι, ότι όσο το wo μειώνεται, το γωνιακό εύρος αυξάνεται, μειώνοντας την κατευθυντικότητα της δέσμης. Αν θέσουμε Dο=2wo τη διάμετρο της δέσμης στη μέση, τελικά έχουμε   1,27

 Do

( rad )

(2.58)

Για σύγκριση, αν τα κάτοπτρα ήταν επίπεδα και κυκλικά διαμέτρου Do από τη θεωρία της περίθλασης θα προέκυπτε,   2,44

 Do

(2.59)

όπου Θ το γωνιακό εύρος μεταξύ των δύο ελαχίστων που περιλαμβάνουν το κεντρικό μέγιστο. Συμπεραίνουμε ότι η χρήση ομοεστιακού συστήματος κατόπτρων, αυξάνει την κατευθυντικότητα της δέσμης. Όσο για την καμπυλότητα των μετώπων του κύματος για την περίπτωση του ομοεστιακού συστήματος που εξετάζουμε, προκύπτει, ότι οι ισοφασικές επιφάνειες είναι σφαιρικές με ακτίνα:

  b 2  R( z )  z 1       2 z  

(2.60)

Ο τύπος ισχύει είτε για το εσωτερικό, είτε για το εξωτερικό της κοιλότητας. Έτσι π.χ. 

Αν z  

L b   , τότε R(b / 2)  b . Δηλαδή τα μέτωπα του κύματος συμπί2 2

πτουν με τις εσωτερικές επιφάνειες των σφαιρικών κατόπτρων.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός



57

Αν z  0 , τότε R   . Αυτό σημαίνει ότι στο κέντρο του συστήματος το μέτωπο του κύματος είναι επίπεδο.

Ένταση (irradiance)

Η ένταση ενός κοινού Laser συνεχούς λειτουργίας μπορεί να κυμαίνεται από 10-3W/cm2 έως και 104W/cm2 και είναι συγκρίσιμη μ’ αυτήν που εκπέμπεται από τον ήλιο (της τάξης των kW/cm2), υπό μορφή κώνων φωτός. Όμως το Laser εκπέμπει αυτή την ένταση σε μια πολύ στενή φασματική περιοχή, ακόμη μικρότερη κι απ’ αυτήν της ατομικής εκπομπής. Το αποτέλεσμα είναι ότι η ενέργεια που εκπέμπεται από το Laser μέσα στη ζώνη εκπομπής του μπορεί να είναι και δώδεκα τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από την αντίστοιχη εκπομπή του ήλιου, ανά τετραγωνικό εκατοστό της επιφάνειάς του και στην ίδια ζώνη συχνοτήτων. Τέτοιες εντάσεις (ανά διάστημα συχνότητας), μόνο σε συνθήκες μεγάλης έκρηξης μπορούν να πραγματοποιηθούν στη φύση.

2.7.9 LASER ακτίνων Χ Τα τελευταία χρόνια ένας γοργά αναπτυσσόμενος τομέας αφορά στην κατασκευή Laser με όλο και μικρότερα μήκη κύματος. Η κατασκευή τέτοιων Lasers είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Αυτό μπορούμε να το αντιληφθούμε, αν λάβουμε υπ’ όψη ότι για μήκη κύματος π.χ. λ=10nm, απαιτούνται ενέργειες Ε=124eV, οι οποίες δεν μπορούν να αποκτηθούν από μεταπτώσεις ηλεκτρονίων των εξωτερικών στιβάδων ούτε ατόμων, αλλά ούτε και ουδέτερων μορίων. Λύση στο πρόβλημα δίνουν οι Lasers ιονισμένου πλάσματος καθώς και οι Lasers ελευθέρων ηλεκτρονίων. Στους Lasers ιονισμένου πλάσματος, στόχος είναι η δημιουργία ισχυρά ιονισμένων ατόμων. Π.χ. Βομβαρδίζοντας λεπτά υμένια Se με δέσμες Lasers, πετυχαίνουμε τον ιονισμό τους και τη δημιουργίας ιονισμένου πλάσματος που αποτελείται από ιόντα Se24+. Τα 2

6

ιόντα αυτά έχουν τη δομή του Ne, δηλαδή 2 s 2 p . Μέσω κρούσεων με ηλεκτρόνια τα 2

5

1

2

6

ιόντα διεγείρονται στην 2 s 2 p 3s , από την οποία αποδιεγειρόμενα στην 2 s 2 p ,

58

2.7 LASER

εκπέμπουν ακτινοβολία με μήκος κύματος λ=21nm. Για σύγκριση η ίδια μετάπτωση στο Ne δίνει ακτινοβολία με λ=600nm. Μια άλλη περίπτωση είναι αυτή που στηρίζεται στην τεχνική της επανασυζεύξεως. Ίνες άνθρακα διαμέτρου μερικών μικρομέτρων και μήκους από 1 έως 2 cm ακτινοβολούνται με Lasers και εξαχνώνονται. Το δημιουργούμενο πλάσμα εκτονώνεται γρήγορα και οδηγεί σε επανασύζευξη. Κατά τη διάρκειά της όμως, σχηματίζονται υδρογονοειδή C5+, τα οποία είναι διεγερμένα στη n=3. Όταν βρεθούν στη n=2, πολύ γρήγορα ακτινοβολώντας ακτινοβολία με λ=18,2nm, επιστρέφουν στη n=1. Η αντιστροφή πληθυσμών λαμβάνει χώρα μεταξύ των καταστάσεων n=3 και n=2. Παρά το γεγονός όμως της θεωρητικής δυνατότητας παραγωγής Laser ακτίνων Χ, υπάρχουν αρκετά προβλήματα. Όπως είδαμε από τη σχέση (2.49), ο συντελεστής Α της αυθόρμητης εκπομπής, είναι ανάλογος της τρίτης δύναμης της συχνότητας. Με δεδομένη την πολύ μεγάλη συχνότητα των ακτίνων Χ, ο χρόνος ζωής της διηγερμένης κατάστασης είναι πολύ μικρός (περίπου 12ps), με αποτέλεσμα σε τόσο μικρό χρόνο, να μη μπορούν να προκληθούν επαγόμενες εκπομπές, ώστε να πάρουμε μια σύμφωνη και ισχυρή δέσμη ακτίνων Χ. Σημαντικό ρόλο στο παραπάνω παίζει το φαινόμενο Auger, όπου η κενή θέση που αφήνει ένα ηλεκτρόνιο εσωτερικής στιβάδας δεν καταλαμβάνεται αμέσως από ηλεκτρόνιο εξωτερικής στιβάδας, αλλά από ηλεκτρόνιο εσωτερικής στιβάδας. Η ακτινοβολούσα ενέργεια μεταφέρεται σε εξωτερικό ηλεκτρόνιο, το οποίο εκπέμπεται. Το φαινόμενο πραγματοποιείται σε χρόνο 10-14s. Ένα σημαντικό πρόβλημα που προστίθεται στα παραπάνω, είναι η απότομη μείωση της ανακλαστικότητας για τόσο μικρά μήκη κύματος. Το γεγονός αυτό δυσκολεύει την κατασκευή κατόπτρων, με αποτέλεσμα να δυσχεραίνεται η χρήση οπτικού αντηχείου για την ενίσχυση της δέσμης.

Η κινηματογράφηση χημικών αντιδράσεων σε μικροσκοπικό επίπεδο είναι πλέον γεγονός

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός

59

Τα παραπάνω προβλήματα ξεπερνιώνται στους Lasers ελευθέρων ηλεκτρονίων. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κατασκευή ενός τέτοιου Laser (2009) στο Stanford της California. Πρόκειται για το Laser LCLS (Linac Coherent Light Source). To LCLS παράγει σκληρές ακτίνες Χ ιδιαίτερα μικρού μήκους κύματος μικρότερου κι από τις διαστάσεις των ατόμων. Οι ακτίνες αυτές χρησιμοποιήθηκαν πρώτη φορά για την παραγωγή ταινιών που δείχνουν τη συμπεριφορά ατόμων και μορίων σε χρονικά διαστήματα της τάξης των 100fs. Συνοπτικά η διάταξη λειτουργεί όπως περιγράφουμε παρακάτω. Ένα Laser παράγει ακτινοβολία στην περιοχή του υπεριώδους, η οποία προσπίπτοντας σε χαλκό προκαλεί εξαγωγή ηλεκτρονίων. Αυτά, με τη σειρά τους επιταχύνονται από γραμμικό επιταχυντή, αποκτώντας ενέργειες της τάξης των 12  10 eV , κινούμενα 9

με ταχύτητες παραπλήσιες αυτής του φωτός. Κατά την κίνησή τους παρεμβάλλονται εγκάρσια ισχυροί μαγνήτες σε απόσταση λίγων χιλιοστών, αναγκάζοντας τα ηλεκτρόνια να κινούνται καμπυλόγραμμα, άλλοτε επιταχύνοντάς τα κι άλλοτε επιβραδύνοντάς τα. Για έναν ακίνητο παρατηρητή η τροχιά είναι ημιτονοειδής. Στη διάρκεια της αλληλεπίδρασης με το μαγνητικό πεδίο τα ηλεκτρόνια εκπέμπουν ακτίνες Χ που διαδίδονται κάθετα στην ταλάντωση των ηλεκτρονίων, όπως αυτή γίνεται αντιληπτή για παρατηρητή κινούμενο με τα ηλεκτρόνια. Οι ακτίνες Χ αλληλεπιδρούν με τα ηλεκτρόνια, με τελικό αποτέλεσμα να παράγονται ισχυρότατοι παλμοί σύμφωνων ακτίνων Χ. Στο τελικό στάδιο τα ηλεκτρόνια απομακρύνονται από την ευθύγραμμη τροχιά, όπου παραμένουν οι ακτίνες Χ, δίνοντας ισχυρούς παλμούς Laser με συχνότητες 120 παλμούς το δευτερόλεπτο.

2.8

Σύγκριση επιμέρους φωτεινών πηγών Τελειώνοντας την ενότητα που αναφέρεται στην παραγωγή του φωτός νομίζουμε πως

πρέπει να παραθέσουμε ορισμένα χαρακτηριστικά των πηγών του φωτός. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, από στατιστικής απόψεως, το φως διακρίνεται σε χαοτικό και σύμφωνο. Για τη δεύτερη κατηγορία έχουν αναφερθεί αρκετά, οπότε δεν θα επεκταθούμε. Πρότυπο παραγωγής χαοτικού φωτός αποτελεί το μέλαν σώμα, η ακτινοβολία του οποίου αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Τελική λύση

60

2.8 Σύγκριση επιμέρους φωτεινών πηγών

στη θεωρητική μελέτη του δόθηκε από τον Planck, τη θεωρία του οποίου ολοκλήρωσε ο Einstein, στις αρχές του 20ου αιώνα. Όπως αποδείχτηκε, η κατανομή της ακτινοβοληθείσας έντασης, είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας. Το μέλαν σώμα χρησιμοποιήθηκε ως πρότυπο για τις θερμικές πηγές του φωτός. Γνωρίζουμε ότι σε υψηλές θερμοκρασίες, άνω των 800οC, πυρακτωμένα αντικείμενα εκπέμπουν ακτινοβολίες στην ορατή, στην υπεριώδη, καθώς και στην υπέρυθρη περιοχή του φάσματος, με φάσματα που εξαρτώνται από τη θερμοκρασία. Εν συνεχεία παραθέτουμε ορισμένες από τις θερμικές πηγές: 

Λαμπτήρες πυράκτωσης. Εφευρέθηκαν από τον Τόμας Έντισον και αποτέλεσαν την κύρια πηγή φωτός στη διάρκεια του 20ου αιώνα. Το φωτοβολών υλικό είναι το βολφράμιο που βρίσκεται σε υψηλή θερμοκρασία (περίπου 2800οΚ).



Λυχνίες Αλογόνου ή λυχνίες Χαλαζία – Βολφραμίου – Αλογόνου. Το στοιχείο που φωτοβολεί είναι πάλι το βολφράμιο, με τη διαφορά ότι ο «κύκλος αλογόνου», αυξάνει σημαντικά το χρόνο ζωής του λαμπτήρα, την κατευθυντικότητα της δέσμης και τις φωτιστικές τους ικανότητες.



Πηγές καύσης, όπως είναι τα κεριά, οι λάμπες πετρελαίου, η φωτιά από αναμμένα ξύλα ή κάρβουνα καθώς και το φως που προέχεται από την καύση ορισμένων αερίων (υδρογόνο, ακετυλένιο, κ.α.). Στην κατηγορία, ανήκει αυτή του τόξου άνθρακα που χρησιμοποιούταν στο παρελθόν για επιστημονικούς σκοπούς, καθώς και οι λυχνίες αναλαμπής.

Μια άλλη κατηγορία χαοτικών πηγών των οποίων όμως η εκπομπή φωτός είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας, είναι οι πηγές ηλεκτρικής εκκένωσης. Σ’ αυτές, η διέγερση των ατόμων γίνεται με τη βοήθεια ηλεκτρικής εκκένωσης μέσω ενός αερίου. Η απαραίτητη ενέργεια δίνεται από ηλεκτρική πηγή. Γενικά οι πηγές αυτής της κατηγορίας λειτουργούν σε χαμηλές θερμοκρασίες, ακόμη και σε θερμοκρασία δωματίου. Χαρακτηριστικά παραδείγματα τέτοιων πηγών, είναι οι: 

Λαμπτήρες και σωλήνες αίγλης που χρησιμοποιούν ευγενές αέριο



Φασματικές λυχνίες που παράγουν ψευδομονοχρωματικό φως. Χρησιμοποιούν ευγενή αέρια, ή και ατμούς μετάλλων όπως Na, Hg, Zn, Te, Cd, Cs, K κ.α.



Λυχνίες τόξου συνεχούς ρεύματος. Έχουν τη μεγαλύτερη λαμπρότητα (εκτός των Lasers) από τις υπόλοιπες πηγές.



Λαμπτήρες φθορισμού.

Κεφ. 2 Παραγωγή του φωτός



61

Λυχνίες παραγωγής υπεριωδών (UV) και υπέρυθρων (IR) ακτινοβολιών συνεχούς φασματικής κατανομής.

Τέλος θα αναφέρουμε τις διόδους εκπομπής φωτός L.E.D. οι οποίες εκπέμπουν ασύμφωνο έως μερικά σύμφωνο φως από μια επαφή ημιαγωγών p-n και τα τελευταία χρόνια τείνουν να υποκαταστήσουν τους λαμπτήρες αίγλης.

3.

Διάδοση του φωτός

3.1

Εξισώσεις Maxwell Η διαφορική μορφή των εξισώσεων του Maxwell που περιγράφουν τη διάδοση την

ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σ’ ένα μέσο διάδοσης, είναι:

  E 

 B  0

(3.1)



   B  E   t

(3.2)

    E   B   E   t

(3.3)

(3.4)

Όπου ε και μ η ηλεκτρική και η μαγνητική διαπερατότητα του μέσου διάδοσης, σ η αγωγιμότητά του και ρ η πυκνότητα φορτίων. Ισχύει

  k E o

(3.5)

Στα παραπάνω,

  k M o

και

(3.6)

  ,  είναι αντίστοιχα, η ηλεκτρική και η μαγνητική διαπερατότητα του

κενού, ενώ k E , k M η ηλεκτρική και η μαγνητική σταθερά του μέσου διάδοσης.

3.2

Διάδοση Η/Μ κυμάτων στο κενό Για τη διάδοση στον κενό χώρο, έχουμε k E  1, k M  1καθώς και

  0 ,όπως και

  0 . Έτσι οι εξισώσεις Maxwell παίρνουν τη μορφή:

  E  0

   B  0

(3.7)

   B  E   t

   E   B     t

(3.9)

Ο στροβιλισμός της (3.9) δίνει,

(3.8) (3.10)

              E (3.10)  E     B       E       t  t t      2E     E      2 t

















64

3.2 Διάδοση Η/Μ κυμάτων στο κενό











 

 



Όμως,     E   E   E , οπότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται, 2

 2     E (3.7)  E   2 E      2  . t

 

 2  E   2 E     2  0 t

(3.11)

Με τον ίδιο τρόπο, ο στροβιλισμός της (3.10), θα δώσει:

           2 B (3.8) (3.9) 2     B       E   B   B      2   t t  2  B  (3.12)  2 B     2  0 t









 

Οι εξισώσεις (3.11) και (3.12), συσχετίζουν, η καθεμιά, τη χωρική με τη χρονική μετα-





βολή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E και της μαγνητικής επαγωγής B . Πρόκειται στην πράξη, για έξι διαφορικές εξισώσεις της μορφής  2  κυματική διαταραχή που διαδίδεται με ταχύτητα c 

1

  

1  2  0 που εκφράζουν c 2 t 2

 2,9979  108 m / s . Στη θέση

της  κάθε φορά αντικαθιστούμε τις συνιστώσες Ex , E y , Ez , Bx , By

 Bz .

Μια ειδική μορφή λύσεων των (3.11) και (3.12), είναι αυτή των επίπεδων αρμονικών κυμάτων που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, μιας και οποιοδήποτε περιοδική διαταραχή μπορεί να εκφραστεί μέσω αρμονικών συναρτήσεων με τη βοήθεια των τεχνικών του μετασχηματισμού Fourier. Σε μιγαδική μορφή, οι λύσεις που προκύπτουν είναι:    E  Eo ei (t kr )

(3.13)

   B  Bo ei (t kr )

Με πραγματικό μέρος

(3.14)

      E  Eo cos(t  kr ) (3.15) B  Bo cos(t  kr ) (3.16)    Τα Eo , Bo είναι τα πλάτη των κυμάτων, τα οποία θεωρούνται διανύσματα σταθερού μέτρου, ώστε να περιγράφουν μη αποσβεννύμενα κύματα.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός



65



Το k ονομάζεται κυματοδιάνυσμα (wave vector) και χαρακτηρίζει τη διεύθυνση διάδοσης, όντας κάθετο στις ισοφασικές επιφάνειες. Το μέτρο του σχετίζεται με



το μήκος κύματος, μέσω της σχέσης: k  k 

2



και εκφράζει την περιοδικό-

τητα της διαταραχής στο χώρο. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, γράφεται

 k  k cos axˆ  k cos  yˆ  k cos  zˆ . Τα α,β,γ είναι οι γωνίες μεταξύ του κυμα-

τοδιανύσματος και των αξόνων x,y,z . Τα αντίστοιχα συνημίτονα, ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης.



2 εκφράζει τη χρονική περιοδικότητα.

T



Η κυκλική (ή γωνιακή) συχνότητα



Το r  xxˆ  yyˆ  zzˆ είναι το διάνυσμα θέσης ως προς το σύστημα συντεταγμέ-



νων xyz.

Σχήμα 3.1 (α) Επίπεδα μέτωπα κύματος κάθετα στο κυματοδιάνυσμα. (β) Επίπεδα κύματα που διαδίδονται στη διεύθυνση z.

Η φάση των κυμάτων, είναι συνάρτηση τόσο της θέσης, όσο και του χρόνου. Αν θεωρήσουμε τα σημεία για τα οποία την ίδια στιγμή ο παράγοντας φάσης είναι σταθερός,



τότε kr   . Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν την παραπάνω



συνθήκη, είναι επίπεδο κάθετο στο k . Πρόκειται για επίπεδο μέτωπο κύματος (plane wave front). Στην περίπτωση διάδοσης κατά μήκος του άξονα των z, οι (3.15) και (3.16),

παίρνουν τη μορφή

  E  Eo cos(t  kz )

και

  B  Bo cos(t  kz )

66

3.2 Διάδοση Η/Μ κυμάτων στο κενό





3.2.1 Η καθετότητα των E και B Θεωρούμε τη διάδοση επίπεδου κύματος, κατά τη φορά του άξονα των z. Τότε, σε



κάθε επίπεδο κάθετο στον άξονα z, η ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου θα έχει την ίδια τιμή σε κάθε χρονική στιγμή. Αυτό έχει ως συνέπεια η ένταση να είναι της μορφής

  E  E ( z , t ) . Αν γράψουμε αναλυτικά σε καρτεσιανές συντεταγμένες την εξίσωση (3.7),

προκύπτει:

Ex E y Ez    0 , όμως οι συνιστώσες του πεδίου, είναι ανεξάρτητες των x και y, x y z άρα προκύπτει

Ez  0 . Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι κατά μήκος του άξονα z, η z

Ez   . , γεγονός όμως που δε συνιστά διάδοση διαταραχής, η ότι Ez  0 γεγονός που καθιστά το επίπεδο κύμα , εγκάρσιο. Ας υποθέσουμε ένα επίπεδο γραμμικά πολωμένο κύμα κατά τον άξονα των x. Οπότε

  ˆ x ( z, t ) E  xE

(3.17)

Η εξίσωση (3.9) σε καρτεσιανές συντεταγμένες γράφεται:

Ez E y B   x y z t

(3.18)

B Ex Ez   y z x t

(3.19)

E y x



Ex B  z y t

(3.20)

Με τη βοήθεια της (3.17), έχουμε: Από την (3.18),

Από την (3.19),

Bx  0  Bx   . t B Ex  y z t

(3.21)

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

67

Bz  0  Bz   . t

Από την (3.20),



Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μόνο μια συνιστώσα του πεδίου B , που



μπορεί να μεταβάλλεται χρονικά κι αυτή είναι κάθετη στην ένταση E του ηλεκτρικού πεδίου. Χωρίς να μειώνεται η γενικότητα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι Bx  Bz  0 . Τα παραπάνω συμπεράσματα είναι αρκετά γενικά κι εφαρμόζονται είτε για παλμούς είτε για συνεχόμενα κύματα. Για την περίπτωση των αρμονικών κυμάτων,

Ex ( z , t )  Eox cos t  kz 

(3.22)

Τότε από την (3.21), προκύπτει,

By t



E x (3.22) By E     ox sin t  kz  . Όπου θέσαμε, k   / c . Συνεz t c

χίζοντας, By  

 Eox c

 sin t  kz  dt B By 

y



Eox (3.22) cos t  kz    c

Ex c

(3.23)

Όπου η σταθερά ολοκλήρωσης έχει παραληφθεί, μιας και αντιστοιχεί σε πεδίο ανεξάρτητο του χρόνου, το οποίο δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον.





Από τα παραπάνω φαίνεται η ορθογωνιότητα μεταξύ των E και B καθώς και το γεγονός ότι πρόκειται για συμφασικά μεγέθη. Επίσης σε κάθε χρονική στιγμή

Ex  c  3  108 m / s By x

Εo

Βo



c f

c

z

y Σχήμα 3.2

Διάδοση γραμμικά πολωμένου επίπεδου Η/Μ κύματος

68

3.2 Διάδοση Η/Μ κυμάτων στο κενό

Τα παραπάνω αποδεικνύονται και λίγο διαφορετικά, με τη χρήση του διανυσματικού λογισμού. Θεωρώντας το αρμονικό επίπεδο κύμα

    i ( t  k x x  k y y  k z z ) E  Eo ei (t kr )  Eo e , υπολογί-

ζουμε τις παραγώγους:

E  i E , t

E  ik x E , x

E  ik z E z

E  ik y E , y



     , ,  , μπορεί να αντικατασταθεί από τους  x y z    πολλαπλασιαστές  ik x , ik y , ik z  , ή διαφορετικά,   ik . Αντίστοιχα ο τελεστής

Συμπεραίνουμε ότι ο τελεστής   

της χρονικής παραγώγου γράφεται:

  i . Με βάση τις παρατηρήσεις αυτές, η (3.9), t

      B  ik  E  i B  γράφεται:   E   t    k E B



(3.24)





Η παραπάνω εξίσωση αποδεικνύει την καθετότητα των E και B .

3.2.2 Ταχύτητα φάσης Στα παρακάτω θα θεωρήσουμε τη διάδοση γραμμικά πολωμένου κύματος στον άξονα των x, το οποίο διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα των z. Χάριν απλότητας θα παραλείψουμε του δείκτες. Από τη σχέση (3.22), η φάση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος παρουσιάζει τόσο χωρική, όσο και χρονική μεταβολή. Η σχέση, ισχύει με τη μορφή αυτή, όταν στη θέση z=0, τη στιγμή t=0, η ένταση του πεδίου έχει τιμή Ε=Eo. Σε κάθε άλλη περίπτωση, η εξίσωση που περιγράφει τη χωροχρονική μεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου, είναι

E  Eo cos(t  kz   )

(3.25)

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

69

Στο Σχ. 3.3 παρατηρούμε τρία στιγμιότυπα κατά τη διάδοση του ηλεκτρικού πεδίου. Αναζητούμε την ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται η φάση του. Με άλλα λόγια στα διαδοχικά στιγμιότυπα θέλουμε να βρούμε την ταχύτητα με την οποία μετατοπίζεται ένα σημείο με σταθερή τιμή του Ε, δηλαδή με σταθερή τιμή της φάσης

z

 k

  t  kz   ή

t   . , όπου τα ω ,k, φ και θ είναι σταθερές.

E(z,t)

(t1)

(t2) (t3) υ

z

Σχήμα 3.3

Τρία στιγμιότυπα του ηλεκτρικού πεδίου κατά τη διάδοση του Η/Μ κύματος.

Ορίζεται η φασική ταχύτητα, από τη σχέση:

 ph 

dz   dt   . k

(3.26)

Όταν το Η/Μ κύμα διαδίδεται στο κενό, η φασική ταχύτητα είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό, δηλαδή

 ph  c 

1

  

Όταν όμως το κύμα διαδίδεται σε ομογενές και ισότροπο μέσο, η παραπάνω ταχύτητα παίρνει την τιμή

 ph    1/  , όπου όπως έχει ήδη αναφερθεί,   k E  και

  kM  . Με βάση τη φασική ταχύτητα, ορίζεται ο απόλυτος δείκτης διάθλασης (absolute index of refraction) του μέσου, από τη σχέση:

70

3.2 Διάδοση Η/Μ κυμάτων στο κενό

n

c





  k E kM   

(3.27)

Με δεδομένο ότι τα διαφανή υλικά για τα οποία ενδιαφερόμαστε, στο οπτικό μέρος του Η/Μ φάσματος είναι μη μαγνητικά, θα έχουν σχετική μαγνητική διαπερατότητα k M  1 . Αποτέλεσμα είναι η (3.27) να μεταπίπτει στην

n  kE

(3.28)

3.2.3 Το διάνυσμα Poynting Γνωρίζουμε ότι κάθε ηλεκτρομαγνητικό κύμα μεταφέρει ενέργεια υπό μορφή ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Είναι λογικό λοιπόν να αποδώσουμε σε κάποια περιοχή του χώρου όπου διαδίδεται το κύμα, μια πυκνότητα ενέργειας u (energy density), η οποία εκφράζει την ενέργεια ανά μονάδα όγκου. Από την έκφραση που προκύπτει για την πυκνότητα ενέργειας στο χώρο μεταξύ των οπλισμών ενός επίπεδου πυκνωτή, έχουμε:

uE 

 2

E2

(3.29)

Ομοίως για την πυκνότητα της ενέργειας στο εσωτερικό σωληνοειδούς μεγάλου μήκους που διαρρέεται από σταθερό ρεύμα, προκύπτει:

uB 

1 2 

B2

(3.30)

Γνωρίζουμε ακόμη ότι E  cB . Η σχέση αυτή παρόλο που αποδείχτηκε για επίπεδα κύματα, εν τούτοις ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις. Με δεδομένη και τη σχέση c  1/    που μας δίνει την ταχύτητα του φωτός στο κενό, προκύπτει ότι:

uE  uB

(3.31)

Δηλαδή η πυκνότητα ενέργειας που αντιστοιχεί στο ηλεκτρομαγνητικό κύμα μοιράζεται εξίσου στο ηλεκτρικό και στο μαγνητικό πεδίο. Έτσι η συνολική πυκνότητα ενέργειας είναι :

u  uE  uB  u    E 2

(3.32)

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

71

ή

u

1

o

B 2   E 2

(3.33)

Εν συνεχεία θέλουμε να υπολογίσουμε την ενέργεια που μεταφέρεται από το ηλεκτρομαγνητικό κύμα ανά μονάδα επιφάνειας κάθετα στη διεύθυνση διάδοσής του και ανά μονάδα χρόνου. Το ζητούμενο μέγεθος συμβολίζεται με S και μετριέται στο S.I. σε W/m2. Στο Σχ. 3.4 απεικονίζεται η ροή της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας που μεταφέρει επίπεδο κύμα, μέσω της επιφάνειας ΔΑ. Σε χρονικό διάστημα Δt, από την επιφάνεια

ΔA

cΔt Σχήμα 3.4

Ροή ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας μέσω της επιφάνειας ΔΑ

διέρχεται ενέργεια W  uct A . Έτσι η διερχόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας, είναι :

S

W  S  uc t A

(3.34)

Με τη βοήθεια της (3.32), η παραπάνω γράφεται:

S    cE 2

(3.35)

S    c 2 EB

(3.36)

ή

Στο σημείο αυτό μπορούμε να μπορούμε να κάνουμε τη λογική υπόθεση ότι στα ισότροπα μέσα η ενεργειακή ροή συμβαίνει κατά την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος και ότι

72

3.3 Ελεύθερη διάδοση Η/Μ κυμάτων σε ένα μέσο διάδοσης

το S είναι διάνυσμα με την παραπάνω κατεύθυνση, που προκύπτει από το εξωτερικό γι-





νόμενο των E και B . Έτσι έχουμε:

   S   c2 E  B

(3.37)

Το εν λόγω διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα Poynting προς τιμήν του John Henry Poynting (1852-1914). Όπως είχε δειχθεί στην §2.2, η μέση τιμή του S, μας δίνει την ένταση Ι της ακτινοβολίας (irradiance). Αυτή είναι,

I S

3.3



c  Eo2  2

(3.38)

Ελεύθερη διάδοση Η/Μ κυμάτων σε ένα μέσο διάδοσης Θα θεωρήσουμε αρχικά τη διάδοση του φωτός μέσα από ένα μέσο διάδοσης, όπως ο

ατμοσφαιρικός αέρας που αποτελείται από οξυγόνο και άζωτο. Τότε με δεδομένο ότι οι συχνότητες συντονισμού βρίσκονται στο υπεριώδες, τα άτομα δεν απορροφούν κβάντα φωτός. Αυτό που συμβαίνει, είναι ότι το ηλεκτρικό πεδίο του κύματος αναγκάζει σε ταλάντωση τα άτομα, που συμπεριφέρονται ως στοιχειώδη ηλεκτρικά δίπολα. Ένα φωτόνιο απορροφάται από το άτομο και ευθύς αμέσως επανεκπέμπεται με την ίδια συχνότητα. Με τον τρόπο αυτό, το φως σκεδάζεται ελαστικά. Λόγω της τυχαίας θέσης και του προσανατολισμού τους, τα άτομα σκεδάζουν το φως σε όλες τις διευθύνσεις. Η διάδοση του φωτός λοιπόν συνίσταται από τη συνεχή απορρόφηση και την επανεκπομπή του φωτός. Σημαντικό ρόλο στα παραπάνω παίζει η συμβολή των σκεδαζόμενων κυμάτων.

3.3.1 Εκπεμπόμενη ισχύς από ταλαντούμενο δίπολο Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την μέση ενέργεια ανά μονάδα χρόνου που εκπέμπεται από ηλεκτρικό δίπολο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση καθόσον το δίπολο αποτελεί το βασικό στοιχείο του μηχανισμού απορρόφησης και επανεκπομπής ακτινοβολίας.. Προς τούτο θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση (2.17) που μας δίνει την ένταση της ακτινοβολίας, δηλαδή τη μέση εκπεμπόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονά-

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

73

δα επιφάνειας. Θα θεωρήσουμε την περίπτωση που το φορτίο που ταλαντώνεται είναι ίσο με αυτό του ηλεκτρονίου. Θεωρούμε μια σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r (Σχ.3.5), στο κέντρο της οποίας βρίσκεται το ταλαντούμενο δίπολο και τη στοιχειώδη επιφάνεια η οποία θα είναι dA  2 r sin  d . Από τη σχέση (2.17), η ένταση της ακτινοβολίας είναι, 2

po2 4 sin 2  I ( )  32 2c 3  r 2

Σχήμα 3.5

Η μέση εκπεμπόμενη ισχύς προκύπτει από την ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης σε όλο το εμβαδό της σφαιρικής επιφάνειας:

P   I ( )dA  A





po2 4 sin 2  po2 4 2 P 2 r sin  d  P  sin 3  d  2 3 2 3  32 c   r 16 c   0 0 P

po2 4 12 c3 

(3.39)

Αντικαθιστούμε το πλάτος της διπολικής ροπής po  qxo , όπου xo το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του φορτίου, εξαιτίας του ηλεκτρικού πεδίου που προσπίπτει σ’ αυτό. Έτσι,

q 2 4 2 xo P 12 c3 

(3.40)

74

3.3 Ελεύθερη διάδοση Η/Μ κυμάτων σε ένα μέσο διάδοσης

Θεωρούμε ότι στην περιοχή του ατόμου (διαστάσεις ατόμου << λ) το πεδίο περιγράφεται





από τη σχέση E  Eo e

it

. Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την ταλάντωση του

dx d 2x m 2 φορτίου είναι: qE  m x  b dt dt 2



d 2x dx q 2 ή     x  E , όπου  dt 2 dt m

b it . Θεωρούμε ως λύση την x  xˆo e , όπου με το σύμβολο xˆo εννοούμε το μιγαm

δικό πλάτος της ταλάντωσης, Μετά από πράξεις, προκύπτει:

xˆo 

qEo m(   2  i ) 2

(3.41)

Σε αραιά αέρια, για απλότητα θα αμελήσουμε τον παράγοντα πέδησης, οπότε προκύπτει

xˆo 

qEo m(2   2 )

(3.42)

Η (3.40) με τη βοήθεια της (3.42), δίνει:

P

  q 2 4 q 2 Eo2 q4 4 1 2   8   cE   o  3 2 2 2 2 2 2 4 2  2 2 2  12 c   m (   )  2   3 16 m c  o  (   ) 

q2 e2 και ro  η οποία ονομάζεται κλασσική ακτίνα του ηλεκτρονίΘέτουμε e  4  mc 2 2

ου. Η ισχύς που εκπέμπεται από το δίπολο σε όλο το χώρο, με βάση τις παραπάνω σχέσεις, είναι: 2  4 1   8 r P     cEo2   o 2 2 2 2   3 (   ) 

(3.43)

3.3.2 Ενεργός διατομή σκέδασης σs (cross section for scattering) Βάσει της (3.43), παρατηρούμε ότι η εκπεμπόμενη μέση ισχύς είναι ανάλογη της προσπίπτουσας μέσης ισχύος ανά μονάδα επιφάνειας. Η δεύτερη παρένθεση της (3.43),

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

75

έχει διαστάσεις επιφάνειας και είναι η ενεργός διατομή σκέδασης σs (cross section for scattering) που περιγράφει την αλληλεπίδραση του φωτός με την ύλη. Έτσι,

8 ro2 4 s  3 (2   2 ) 2

(3.44)

Η ενεργός διατομή σκέδασης δεν είναι η επιφάνεια που στην πραγματικότητα προβάλλει το άτομο στην πορεία διάδοσης του φωτός. Πρόκειται για την επιφάνεια που «βλέπει» το φωτόνιο, μέσα στα όρια της οποίας αν βρεθεί, θα αλληλεπιδράσει με το άτομο. Θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι το ηλεκτρόνιο κατά την ταλάντωσή του μπορεί να εμφανίζει πολλές συχνότητες συντονισμού τις οποίες δε λάβαμε υπ’ όψη, καθώς και ότι στο συντονισμό, όπου ω = ωο, η ενεργός διατομή τείνει στο άπειρο. Αυτό βέβαια δε συμβαίνει, μιας και παραλείψαμε τον όρο πέδησης. Εν τούτοις στο συντονισμό η σs λαμβάνει πολύ μεγαλύτερες τιμές από τις πραγματικές διαστάσεις του ατόμου. Για τη συνέχεια θα μελετήσουμε ορισμένες περιπτώσεις που αφορούν στην εξίσωση (3.44). 

Όταν πρόκειται για μη δέσμια ηλεκτρόνια, δηλαδή ηλεκτρόνια αγωγιμότητας, η δύναμη επαναφοράς σ’ αυτά είναι αμελητέα. Αυτό έχει ως συνέπεια η ωο=0. Η ενεργός διατομή σκέδασης τότε, παίρνει σταθερή τιμή ανεξάρτητη της συχνότητας, η οποία είναι:

 Th  Θέτοντας ro  2,82  10

15

8 ro2 3

(3.45)

m , προκύπτει  Th  1030 m 2 , μια πραγματικά πολύ μι-

κρή ενεργός διατομή, περίπου δέκα πέντε τάξεις μεγέθους μικρότερη από την πραγματική διατομή του ατόμου. Στο όριο των χαμηλών συχνοτήτων συντονισμού, η σκέδαση είναι αμελητέα και τα κύματα δεν εκτρέπονται από την ευθύγραμμη διάδοσή τους. Η παραπάνω περίπτωση είναι γνωστή ως σκέδαση Thomson. 

Στην περίπτωση του φωτός που διαδίδεται στον ατμοσφαιρικό αέρα, οι συχνότητες του φωτός είναι κατά πολύ μικρότερες των συχνοτήτων συντονισμού, οι οποίες βρίσκονται στην περιοχή του υπεριώδους. Εφόσον λοιπόν βοήθεια της (3.45), δίνει:

   , η (3.44), με τη

76

3.3 Ελεύθερη διάδοση Η/Μ κυμάτων σε ένα μέσο διάδοσης

4  s   Th 4 

(3.46)

Παρατηρούμε λοιπόν ότι η ενεργός διατομή σκέδασης είναι ανάλογη της τέταρτης δύναμης της συχνότητας, ή διαφορετικά ανάλογη του λ-4. Η περίπτωση αυτή είναι γνωστή ως σκέδαση Rayleigh και ισχύει στην περίπτωση που τα κέντρα σκέδασης είναι μικρότερα του μήκους κύματος της ακτινοβολίας, κάτι που ισχύει για τα άτομα και τα μόρια. Αν αναλογιστούμε ότι το μπλε χρώμα έχει χονδρικά διπλάσια συχνότητα από το κόκκινο, μπορούμε να εξηγήσουμε το μπλε χρώμα του ουρανού. Η σs για το μπλε προκύπτει περίπου δεκαεξαπλάσια από την αντίστοιχη του κόκκινου. Το μπλε λοιπόν σκεδάζεται πολύ εντονότερα προς όλες τις διευθύνσεις με το γνωστό οπτικό αποτέλεσμα. Έτσι κατά την πορεία του ηλιακού φωτός στην ατμόσφαιρα, αυτό γίνεται φτωχότερο σε μπλε, με αποτέλεσμα τις απογευματινές ή τις πρωινές ώρες, να υπερισχύει το πορτοκαλί- κόκκινο χρώμα. 

Στο σημείο αυτό εγείρεται το ερώτημα, γιατί ενώ υπάρχουν υδρατμοί στην ατμόσφαιρα, δεν τους βλέπουμε, ενώ όταν συμπυκνώνονται σε σύννεφα γίνονται ορατοί; Η απάντηση θα δοθεί με τη βοήθεια της θεωρίας που αναπτύχθηκε στην §2.4 (Συμβολή από n δίπολα σε φάση – Κατευθυντικότητα). Καθώς οι υδρατμοί συμπυκνώνονται, η συμβολή των επενεκπεμπόμενων κυμάτων δίνει ένα μόνο κεντρικό μέγιστο με ένταση n2 φορές την ένταση που προέρχεται από ένα μόριο. Όπου n το πλήθος των μορίων. Όταν όμως το μέγεθος του συσσωματώματος υδρατμών που προκύπτει είναι περίπου ίσο με το μήκος κύματος λ, τότε για το χρώμα αυτό προκύπτει αναιρετική συμβολή ( το πολύγωνο των διανυσμάτων πλάτους που συμβάλλουν είναι κλειστό), και το χρώμα αυτό εξαφανίζεται, παρόλο που από κάθε μόριο εξακολουθεί να σκεδάζεται. Αυτό θα συμβεί πρώτα για το ιώδες και το μπλε που έχουν τα μικρότερα μήκη κύματος και κατόπιν για τα υπόλοιπα χρώματα.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

77

3.3.3 Σκέδαση και συμβολή Όπως έχουμε ήδη αναφέρει η διάδοση του φωτός σ’ ένα μέσο, είναι μια ακολουθία συνεχών σκεδάσεων και επανεκπομπών από τα άτομα της ύλης, καθώς και συμβολής όλων των κυμάτων σε κάθε σημείο. Όπως είναι γνωστό από την επαλληλία δύο κυμάτων με την ίδια συχνότητα, σ’ ένα σημείο του μέσου για το συνολικό πλάτος προκύπτει η σχέση:

A2  A12  A22  2 A1 A2 cos 

(3.47)

Όπου δ η διαφορά φάσης των κυμάτων στο εν λόγω σημείο. Χάριν απλότητας θεωρήσαμε ότι οι διευθύνσεις ταλάντωσης ταυτίζονται. Εφόσον η ένταση των κυμάτων είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους, η (3.47) δίνει,

I  I1  I 2  2 I1I 2 cos 

(3.48)

Όπου ο όρος 2 I1I 2 cos  είναι ο όρος της συμβολής. Όταν η διαφορά φάσης είναι τέτοια ώστε cos   1 έχουμε ενισχυτική συμβολή (constructive interference) με το μέγιστο δυνατό αποτέλεσμα, ενώ αν cos   1 έχουμε αναιρετική συμβολή (destructive interference), με το ελάχιστο αποτέλεσμα.

Αν η συμβολή προκύπτει από την επαλληλία πολλών κυμάτων όπως τα παραπάνω, η συνολική ένταση σ’ ένα σημείο είναι το άθροισμα των επιμέρους εντάσεων, επαυξημένο/μειωμένο κατά τους όρους συμβολής των συνιστωσών κυμάτων, ανά δύο. Στην

περίπτωση

που

οι

ταλαντώσεις

εξελίσσονται

σε

κάθετες

διευθύνσεις

αποδεικνύεται † ότι ο όρος συμβολής μηδενίζεται και η συνολική ένταση είναι το άθροισμα των επιμέρους εντάσεων. Τα παραπάνω, περί συμβολής, βρίσκουν εφαρμογή στη διάδοση του φωτός μέσα από ένα μέσο διάδοσης.

3.3.3.1 Διάδοση σε αραιό μέσο

Αν το μέσο είναι αραιό, όπως ο ατμοσφαιρικός αέρας, τα μόρια που σκεδάζουν το φως βρίσκονται σε σχετικά μεγάλες αποστάσεις μεταξύ τους, μεγαλύτερες των μηκών κύματος που αποτελούν το φως. †

Βλ. Eugene Hecht, 4ed Optics,Adisson-Wesley 2002, σελ. 387

78

3.3 Ελεύθερη διάδοση Η/Μ κυμάτων σε ένα μέσο διάδοσης

Σχήμα 3.6 Τα δευτερογενή κύματα στο Ρ έχουν τυχαίες φάσεις με αποτέλεσμα το μηδενισμό των όρων συμβολής.

Το αποτέλεσμα είναι ότι σε διευθύνσεις πλάγιες σε σχέση με τη διεύθυνση διάδοσης του φωτός, οι διαφορές φάσης των δευτερογενών κυμάτων (wavelets) έχουν τυχαίες τιμές, ώστε οι όροι συμβολής να μηδενίζονται, καθώς  cos   0 . Αυτό συμβαίνει στο σημείο Ρ του Σχ. 3.6, όπου η συνολική ένταση είναι το άθροισμα των επιμέρους εντάσεων. Στο Σχ. 3.7 μπορούμε να δούμε την επαλληλία των δευτερογενών κυμάτων σ’ ένα σημείο Δ που βρίσκεται στην ευθεία διάδοσης του φωτός. Τα κύματα από σκέδαση που φτάνουν στο Δ εμφανίζουν μεγαλύτερο βαθμό συμφωνίας, καθώς οι διαφορές δρόμου μέχρι το Δ εμφανίζουν μικρότερη διασπορά τιμών. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη φορά διάδοσης του κύματος έχουμε εποικοδομητική συμβολή σε μεγαλύτερο βαθμό, κι αυτό συμβαίνει ανεξάρτητα από το πόσα μόρια σκεδάζουν την ακτινοβολία.

Σχήμα 3.7 Τα κύματα φτάνουν στο Δ με μικρές διαφορές φάσης και συμβάλλουν ενισχυτικά.

3.3.3.2 Διάδοση σε πυκνό μέσο

Όταν το μέσο διάδοσης είναι στερεό ή υγρό, ή ένα πυκνό αέριο, τα μόριά του είναι πλέον πολύ κοντά το ένα στο άλλο. Η απόσταση μεταξύ τους είναι πολύ μικρότερη από

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

79

τα μήκη κύματος του φωτός. Το αποτέλεσμα είναι τα κύματα που προέρχονται από σκέδαση σε ένα σημείο, να έχουν φάσεις που σχετίζονται μεταξύ τους. Ο όρος συμβολής τότε αποκτά ιδιαίτερη σημασία. Πάλι, όπως και στα αραιά μέσα η συμβολή είναι ενισχυτική προς την κατεύθυνση της διάδοσης. Σε κάθε άλλη κατεύθυνση όμως, η συμβολή είναι αναιρετική. Αυτό μπορεί να γίνει κατανοητό βάσει της §2.4 (Συμβολή από n δίπολα σε φάση – Κατευθυντικότητα), όπου οι εκπομποί των δευτερογενών κυμάτων απέχουν αποστάσεις μικρότερες του μήκους κύματος του προσπίπτοντος φωτός, με αποτέλεσμα την ενισχυτική συμβολή, μόνο προς την κατεύθυνση του προσπίπτοντος φωτός (κεντρικό μέγιστο). Σε κάθε άλλη κατεύθυνση τα κύματα από γειτονικά μόρια έχουν μικρές διαφορές φάσεις, με αποτέλεσμα τα διανύσματα που παριστούν τα πλάτη προστιθέμενα να σχηματίζουν κλειστό πολύγωνο που δίνει απόσβεση.

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας Έχουμε ήδη αναφερθεί στο μέγεθος της ηλεκτρικής διπολικής ροπής, ως το διανυσματικό μέγεθος που περιγράφει ένα σύστημα δύο ίσων κατ’ απόλυτη τιμή, ετερόσημων ηλεκτρικών φορτίων. Με βάση τον ορισμό της ηλεκτρικής διπολικής ροπής, τα μόρια της ύλης κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες, τα πολικά και τα μη πολικά μόρια. Π.χ. τα μόρια του Ο2 είναι μη πολικά ενώ τα μόρια της ΝΗ3 είναι πολικά έχοντας μια μόνιμη διπολική ροπή. Στα μη πολικά μόρια το "κέντρο μάζας" του θετικού και του αρνητικού φορτίου, ταυτίζονται, κάτι που δε συμβαίνει στα πολικά. Υπό την επίδραση ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, τα μη πολικά μόρια παραμορφώνονται καθώς τα κέντρα του θετικού και του αρνητικού φορτίου δέχονται αντίθετες δυνάμεις, με αποτέλεσμα επαγόμενη ηλεκτρική διπολική ροπή, ομόρροπη του εφαρμοζόμενου πεδίου. Στα πολικά μόρια η εφαρμογή του πεδίου έχει ως αποτέλεσμα κυρίως την περιστροφή τους, καθώς δέχονται από το πεδίο ροπή προσανατολίσει στη θέση ελάχιστης δυναμικής ενέργειας.







  p  E , που τείνει να τα

80

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

Θα μελετήσουμε την περίπτωση μονωτικού (διηλεκτρικού) υλικού υπό την επίδραση



εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου Eo . Θεωρούμε τότε το φυσικό μέγεθος που ορίζεται από τη συνολική ηλεκτρική διπολική ροπή ανά μονάδα όγκου και αναφέρεται σε κάθε σημείο



του διηλεκτρικού. Ονομάζεται δε, πόλωση P του διηλεκτρικού (polarization of dielectric) και προκύπτει από τη σχέση:

   pi P V

(3.49)

Όπου ΔV ο στοιχειώδης όγκος που περιβάλλει το θεωρούμενο σημείο. Θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι απουσία εξωτερικού πεδίου, η πόλωση είναι μηδενική είτε για μη πολικά, είτε για πολικά μόρια, καθώς στα δεύτερα η θερμική κίνηση των μορίων εμποδίζει οποιοδήποτε συνολικό προσανατολισμό. Με την εφαρμογή όμως του εξωτερικού πεδίου, έχουμε πόλωση του διηλεκτρικού και εμφάνιση επιφανειακών φορτίων πόλωσης. Το αποτέλεσμα είναι, στο εσωτερικό του διηλεκτρικού, η εμφάνιση δεύτερου ηλεκτρικού πεδίου οφειλόμενου στα επιφανειακά φορτία πόλωσης. Το συνολικό πεδίο στο εσωτερικό του διηλεκτρικού προκύπτει από την επαλληλία των δύο προαναφερόμενων πεδίων. Με βάση τα παραπάνω, η πόλωση διακρίνεται, ανάλογα με το δομικό στοιχείο που προκαλεί την πόλωση, σε ηλεκτρονική πόλωση (electronic polarization), και σε διπολική πόλωση (dipolar polarization). Επιπροσθέτως θα αναφέρουμε και την ιοντική πόλωση (ionic polarization) που συμβαίνει σε μετατόπιση αντίθετα φορτισμένων ιό-

ντων σ’ ένα κρύσταλλο (π.χ. στο NaCl) με την εφαρμογή ηλεκτρικού πεδίου. Στην περίπτωση που μελετάμε, σημαντικότερο ρόλο παίζει η ηλεκτρονική πόλωση. Αν εφαρμόσουμε χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο, σε υψηλές συχνότητες, π.χ. αυτές του ορατού φωτός, μόνο η εν λόγω πόλωση έχει σημαντική συνεισφορά, καθώς τα δίπολα (στην περίπτωση πολικών μορίων), εμφανίζοντας μεγαλύτερη αδράνεια δεν μπορούν να ακολουθήσουν τις τόσο γρήγορες εναλλαγές του πεδίου. Στα επόμενα, θεωρούμε ένα άτομο που εκτελεί εξαναγκασμένες ταλαντώσεις υπό την επίδραση χρονικά μεταβαλλόμενου ηλεκτρικού πεδίου. Για μικρές μετατοπίσεις του ηλεκτρονικού νέφους, θεωρούμε ότι του ασκείται δύναμη επαναφοράς της μορφής

F   me2 x , όπου ωο η γωνιακή ιδιοσυχνότητά του. Στην περίπτωση ισότροπου μέσου,

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

81

σε όλες τις διευθύνσεις το άτομο συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο. Αποδεικνύεται * ότι η πόλωση του διηλεκτρικού δίνεται από τη σχέση







  P  (    ) E

(3.50)

Όπου E  Eo  E pol το πεδίο που προέρχεται από την επαλληλία των δύο προαναφερθέντων πεδίων.

Σχήμα 3.8 (α) Το άτομο απουσία ηλεκτρικού πεδίου. Το κέντρο βάρους του θετικού φορτίου ταυτίζεται μ’ αυτό του αρνητικού. (β) Με την εφαρμογή ηλεκτρικού πεδίου, το ηλεκτρονιακό νέφος μετατοπίζεται. Για ισότροπο μέσο η μετατόπιση είναι ίδια σε όλες τις διευθύνσεις. Αν το πεδίο είναι χρονικά μεταβαλλόμενο, έχουμε εξαναγκασμένη ταλάντωση.

Αν Ν το πλήθος των ατόμων ανά μονάδα όγκου του υλικού, τότε η πόλωση θα είναι:

  P  N p  P  Nqe x

(3.51)

Όπου θεωρήσαμε ότι το πεδίο εφαρμόζεται κατά τη διεύθυνση του άξονα των x. Με τη

Nqe2 1 βοήθεια της σχέσης (3.41), η (3.51) γράφεται: P  E , η οποία σε m 2   2  i συνδυασμό με την (3.50), μας δίνει:

Nqe2 1 Nqe2 1 (    ) E  E k        E o m 2   2  i m 2   2  i *

βλ. Ε.Δ.Βανίδης «ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ» Θεσσαλονίκη 2006, σελ. 268

82

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

kE  1 

Nqe2 1 και με τη βοήθεια της (3.28), m  2   2  i n2  1 

Nqe2 1 m  2   2  i

(3.52)

Παρατηρούμε ότι ο δείκτης διάθλασης του υλικού, εξαρτάται από τη συχνότητα του προσπίπτοντος Η/Μ κύματος. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διασκεδασμός (dispersion) και η εξίσωση (3.52), εξίσωση διασκεδασμού (dispersion equation).

Μια τροποποίηση που χρειάζεται η εξίσωση (3.52), προέρχεται από το ότι τα άτομα, γενικά έχουν περισσότερες της μιας συχνότητες συντονισμού. Έτσι, η παραπάνω εξίσωση παίρνει τη μορφή,

n2  1 

fj Nqe2  m  j 2 j   2  i j

(3.53)

Όπου fj , η ισχύς ταλαντώσεως ( oscillation strength), η οποία παίρνει τιμές από 0 έως 1 και εκφράζει την πιθανότητα να συμβεί μια διέγερση στη συγκεκριμένη συχνότητα. Ο δείκτης διάθλασης αραιού αερίου

Στα παρακάτω, θα θεωρήσουμε την περίπτωση ενός αραιού αερίου το οποίο παρουσιάζει μια μόνο συχνότητα συντονισμού, στο οποίο η δύναμη απόσβεσης (= απώλειες, κατανάλωση ενέργειας) κατά την ταλάντωση του ηλεκτρονικού νέφους, είναι αμελητέα. Η (3.52) μεταπίπτει τότε στην εξίσωση, n  1  2

Nqe2 1 .

2 m     2

Μπορούμε να γράψουμε τη σχέση αυτή, με τη μορφή n 2  1   , όπου το ε<<1, καθώς το πλήθος Ν των μορίων ανά μονάδα όγκου είναι μικρό. Με ανάπτυξη σε σειρά, μέχρι το γραμμικό όρο, προκύπτει n  1   / 2 , οπότε,

n 1

Nqe2 1 2m  2   2

Ορισμένα ενδιαφέροντα φαινόμενα αναδεικνύονται με τη βοήθεια της (3.54).

(3.54)

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

83

Στα περισσότερα αέρια, όπως στον ατμοσφαιρικό αέρα, στο υδρογόνο, στο ήλιο κ.α., οι συχνότητες συντονισμού βρίσκονται πολύ πέρα στην περιοχή του υπεριώδους. Το αποτέλεσμα είναι ότι για τις ορατές ακτινοβολίες    . Έτσι, στο ορατό, ο δείκτης διάθλασης είναι σχεδόν σταθερός και μεγαλύτερος της μονάδας. Τα συμπεράσματα αυτά ισχύουν με τον ίδιο τρόπο και για τα περισσότερα διαφανή υλικά, όπως το γυαλί. Καθώς όμως η συχνότητα αυξάνεται, ο δείκτης διάθλασης αυξάνεται, αναδεικνύοντας έτσι το φαινόμενο του διασκεδασμού. Πράγματι, το μπλε έχει μεγαλύτερη συχνότητα από το κόκκινο, με αποτέλεσμα το φως να κάμπτεται περισσότερο όταν περνάει μέσα από ένα γυάλινο πρίσμα, με αποτέλεσμα την ανάλυση του λευκού φωτός στα χρώματα που το αποτελούν. Όταν, αυξάνοντας τη συχνότητα ταλάντωσης, αυτή φτάσει κοντά στη συχνότητα συντονισμού, ο δείκτης διάθλασης αυξάνεται απότομα. Αν ξεπεράσουμε την εν λόγω συχνότητα ο δείκτης διάθλασης γίνεται μικρότερος της μονάδας. Θεωρούμε ως παράδειγμα την περίπτωση του γραφίτη, που ενώ στο ορατό φως είναι αδιαφανής, στις ακτίνες Χ είναι διαφανής. Ανάλογη είναι και η περίπτωση της στρατόσφαιρας, όπου λόγω της υπεριώδους ακτινοβολίας που προέρχεται από τον ήλιο, τα περισσότερα άτομα είναι ιονισμένα. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που προκύπτουν εκτελούν εξαναγκασμένες ταλαντώσεις από τα προσπίπτοντα Η/Μ κύματα, με ωο=0 καθώς δε δέχονται δύναμη επαναφοράς. Στην περίπτωση αυτή Ν είναι το πλήθος των ελεύθερων ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου. Και πάλι η (3.54) μας δίνει n <1. Αυτό όμως σημαίνει ότι η διάδοση των εν λόγω κυμάτων, είτε των ακτίνων Χ σ’ ένα διαφανές υλικό, είτε ραδιοκυμάτων στη στρατόσφαιρα, γίνεται με ταχύτητες μεγαλύτερες από αυτές του φωτός στο κενό. Δεν αντίκειται όμως αυτό, στην ειδική θεωρία της σχετικότητας του Einstein; Πριν απαντήσουμε στο ερώτημα, θα δούμε ποια επίδραση έχει η παρεμβολή ενός υλικού στην πορεία διάδοσης του φωτός.

Επίδραση του δείκτη διάθλασης στη διάδοση του κύματος

Θεωρούμε τη διάδοση ενός επίπεδου αρμονικού κύματος κατά τη διεύθυνση του άξονα z, με εξίσωση,

84

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

Ei  Eo ei (t  kz )

(3.55)

Για να διανύσει απόσταση Δz στο κενό, το κύμα χρειάζεται χρόνο Δz/c. Αν όμως παρεμβάλλουμε ένα διαφανές υλικό πάχους Δz και δείκτη διάθλασης n, η ταχύτητα διάδοσής του εντός του υλικού είναι c/n, οπότε t   n  1

προκύπτει μια χρονική καθυστέρηση

z . Όταν το κύμα εξέλθει από το υλικό, θα συνεχίσει να κινείται με την ταc

χύτητα c. Έτσι, για το διαδιδόμενο κύμα που εξέρχεται από το υλικό, η εξίσωση που περιγράφει τη διάδοσή του, είναι

Et  Eo e

k   i  t t  z    

Et  Eo e

 Et  Eo e  i ( n 1)

z k   i  t  ( n 1)  z  c   



z i  t  k z       c

e

(3.56)

Θα πρέπει να τονίσουμε, ότι το εξερχόμενο από το υλικό κύμα, προέρχεται από την επαλληλία του αρχικά προσπίπτοντος το οποίο δε αλληλεπιδρά και εξέρχεται από το υλικό, με τα κύματα που επανεκπέμπονται κατόπιν σκεδάσεως από τα άτομα του υλικού. Και τα δύο κύματα στο κενό χώρο μεταξύ των ατόμων του υλικού, διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός c. Το διαθλώμενο όμως μπορεί να κινείται με ταχύτητα διαφορετική. Η φαινομενική αντίφαση οφείλεται στη μεταβολή της φάσης του προσπίπτοντος κύματος λόγω αλληλεπίδρασης με τα άτομα κατά τη διέλευσή του από το υλικό. Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (3.55) και (3.56), του αρχικά προσπίπτοντος και του τελικά εξερχόμενου κύματος, διαπιστώνουμε ότι η επίδραση του δείκτη διάθλασης έγκειται σε μια μεταβολή της φάσης του αρχικά προσπίπτοντος κύματος (απορρόφηση λόγω φανταστικού μέρους στο δείκτη διάθλασης θα μελετηθεί αργότερα). Έτσι, διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 

Όταν n>1 το διερχόμενο κύμα εμφανίζει μια υστέρηση φάσης έναντι του κύματος που θα διαδιδόταν αν δεν υπήρχε το υλικό, κατά την ποσότητα   n  1

z . Αυτό c

έχει ως συνέπεια, να εμφανίζεται βραδύτερη η διάδοση του κύματος εντός του μέσου διάδοσης, έναντι της ελεύθερης διάδοσης στο κενό.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός



Όταν n<1 το διερχόμενο κύμα προπορεύεται φασικά κατά  n  1

85

z , κάτι που c

ερμηνεύεται ως υph>c. Είναι λοιπόν η φασική ταχύτητα που εμφανίζεται μεγαλύτερη από αυτήν του φωτός στο κενό. Αυτό όμως δεν έρχεται σε αντιδιαστολή με τη θεωρία της σχετικότητας. Πράγματι, η διάδοση ενός αρμονικού κύματος που χαρακτηρίζεται από μια συχνότητα, δε συνιστά διάδοση πληροφορίας. Αντίθετα, για να συμβεί κάτι τέτοιο πρέπει να έχουμε επαλληλία κυμάτων με διαφορετικές συχνότητες. Στην περίπτωση αυτή θα αποδείξουμε ότι η διάδοση της πληροφορίας γίνεται με την ταχύτητα ομάδας (group velocity), η οποία δεν υπερβαίνει αυτήν του φωτός. Θα εξετάσουμε λίγο εκτενέστερα τα παραπάνω. Στο Σχ. 3.9(α), απεικονίζεται η διάδοση του κύματος απουσία υλικού, όπου φαίνεται η έναρξη μετάδοσης του σήματος. Το Σχ.3.9(β) αναφέρεται στην περίπτωση όπου ω<ωο . Η μετατόπιση του φορτίου τότε, από τη σχέση (3.42) είναι στην κατεύθυνση του εφαρμοζόμενου πεδίου. Παρατηρούμε ότι αρχικά έχουμε μια μεταβατική κατάσταση η οποία μετά από μερικές ταλαντώσεις μας δίνει μια σταθερή υστέρηση φάσης του διερχόμενου έναντι του προσπίπτοντος κύματος.

Σχήμα 3.9 (α) Διαδιδόμενο κύμα χωρίς την παρεμβολή υλικού (β) Διαδιδόμενο κύμα με ταχύτητα φάσης μικρότερη του c (γ) Η ταχύτητα φάσης είναι μεγαλύτερη του c.

86

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

Στο Σχ. 3.9(γ), φαίνεται η περίπτωση όπου ω>ωο. Η μετατόπιση του φορτίου είναι αντίθετη του εφαρμοζόμενου πεδίου. Αυτό βέβαια, συμβαίνει μετά τη μεταβατική κατάσταση που διαρκεί μερικές ταλαντώσεις, δίνοντας τώρα μια αύξηση φάσης που ισοδυναμεί με ταχύτητα φάσης μεγαλύτερη από αυτήν του φωτός. Εν τούτοις η μετάδοση της πληροφορίας που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή start του σχήματος, δε γίνεται γρηγορότερα στο τρίτο σχήμα. Ό μιγαδικός δείκτης διάθλασης

Από τη μέχρι τώρα μελέτη του δείκτη διάθλασης, συμπεραίνουμε ότι γενικά είναι μιγαδικός αριθμός. Έτσι μπορεί να γραφεί με τη μορφή,

n  nR  inI

(3.57)

Έχει επιλεγεί η παραπάνω μορφή, ώστε να προκύψει nI > 0, καθώς στα μη ενεργά υλικά που δεν είναι από μόνα τους φωτεινές πηγές, είναι γ >0 κι αυτό καθιστά το φανταστικό μέρος του n, αρνητικό. Ένα επίπεδο αρμονικό κύμα που διέρχεται από το μέσο, περιγράφεται από την εξίσωση

E  Eo e

i ( t  kz )

 E  Eo e

i ( t 

k



z)

Όμως γνωρίζουμε από τη (3.26) ότι το πηλίκο ω/k, είναι η φασική ταχύτητα υph, η οποία ισούται με c/n. Ως αποτέλεσμα, η παραπάνω γράφεται:

E  Eo e

n i ( t  z ) c

  E  Eo e (3.57)

E  Eo e Ο όρος

e

i ( t 

nR z) c



i ( t  i

nI n z R z) c c

nI n z i ( t  R z ) c c

e

 (3.58)

παριστάνει αρμονικό οδεύων κύμα με ταχύτητα φάσης  ph  c / nR ,

όπου το nR εκφράζει αυτό που κανονικά θεωρούμε ως δείκτη διάθλασης. Ο όρος

Eo e



nI z c

εκφράζει το πλάτος του κύματος, το οποίο όμως μειώνεται εκθετικά με την α-

πόσταση. Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι το φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης, εκφράζει την εξασθένηση του κύματος καθώς διαδίδεται στο μέσο διάδοσης, εξαιτίας των ε-

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

87

νεργειακών απωλειών στους ατομικούς ταλαντωτές. Αναφέρεται δε στη βιβλιογραφία, ως ο συντελεστής εξασθένησης (extinction coefficient).

Σχήμα 3.10 Εκθετική μείωση πλάτους του Η/Μ κύματος, κατά τη διέλευσή του μέσα από υλικό με μιγαδικό δείκτη διάθλασης.

3.4.1 Ομαλός και ανώμαλος διασκεδασμός Σ’ ένα αραιό αέριο, λαμβάνοντας υπ’ όψιν και τις απώλειες λόγω αλληλεπίδρασης με τα άτομα του υλικού, η εξίσωση διασκεδασμού δίνεται από τη σχέση,

Nqe2 1 n 1 2 2m     2  i

(3.59)

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου όρου, με τη συζυγή του παράσταση,

2   2  i και θεωρούμε την περίπτωση όπου το ω παίρνει τι-

μές κοντά στο ωο. Τότε

    2 . Μετά από πράξεις, προσδιορίζουμε το φαντα-

στικό και το πραγματικό μέρος του δείκτη διάθλασης, που δίνονται από τις εξισώσεις,

Nqe2    nR ( )  1   4 o meo    2    / 2 2

(3.60)

Nqe2  nI ( )   8 o meo    2    / 2 2

(3.61)

Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής εξασθένησης nI παίρνει τη μέγιστη τιμή του στο συντονισμό, όταν δηλαδή, ω=ωο. Τότε

nImax (o )  Nqe2 / 2 o meo . Όταν      / 2 ,

88

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

τότε nI ( )  nI max (o ) / 2 . Το εύρος της γωνιακής συχνότητας που αντιστοιχεί στο μισό του μεγίστου, είναι    και με το γεγονός ότι σε αραιό αέριο γ << ωο , θα ισχύει, Δω<< ωο. Όσο για τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του πραγματικού μέρους του δείκτη διάθλασης, θα είναι:

n( ) max

Nqe2   1  1       και 2 4  me  2

n( ) min

Nqe2      1  2    2 4  me  2

Στο Σχ. 3.11 δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των (3.60) και (3.61).

Σχήμα 3.11 (α) Το φανταστικό μέρος και (β) το πραγματικό μέρος του δείκτη διάθλασης συναρτήσει της συχνότητας.

Από τη μορφή των καμπύλων που προκύπτουν, συνάγουμε τα ακόλουθα συμπεράσματα: 

Μεταξύ των συχνοτήτων ω1 και ω2 ο συντελεστής εξασθένησης κι επομένως και ο συντελεστής απορρόφησης β παίρνει μεγάλες τιμές, με αποτέλεσμα την απορ-

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

89

ρόφηση του Η/Μ κύματος από το υλικό. Η περιοχή αυτή ονομάζεται ζώνη απορρόφησης (absorption band) και στο δεύτερο διάγραμμα περιοχή ανώμαλου διασκεδασμού (anomalous (abnormal) dispersion).



Στο τμήμα α-β της καμπύλης (β), ο δείκτης διάθλασης αυξάνεται με την αύξηση της συχνότητας. Είναι η περιοχή του ομαλού διασκεδασμού. Στην περιοχή αυτή ανήκει και το τμήμα γ-δ για το οποίο θα γίνει ιδιαίτερη αναφορά στις παρακάτω ενότητες.

Nqe2 Nqe2  Αν 1      4  me  4  me

 nR ( )min  0 δηλαδή υφίσταται κα-

θορισμένη σχέση μεταξύ συχνότητας συντονισμού και απωλειών (   ) και ο δείκτης διάθλασης καθίσταται αρνητικός. Όμως η εν λόγω συνθήκη δεν υλοποιείται σε συνήθη αραιά υλικά και δη στις οπτικές περιοχές. Σε μέσα ορισμένης κατηγορίας, έχουν αναφερθεί αρνητικές τιμές του δείκτη διάθλασης ( μεταϋλικά). Επιπλέον η ως άνω θεώρηση χρήζει ουσιαστικής αναθεώρησης ( απαιτείται ε(ω) και μ(ω) < 0).

3.4.2 Ταχύτητα ομάδας Όπως γνωρίζουμε, η σχέση μεταξύ των ω και k, σ’ ένα μέσο διάδοσης, καθορίζει την ταχύτητα φάσης και ομάδας. Αν το μέσο δεν εμφανίζει διασπορά ή η σχέση διασποράς είναι γραμμική   k , τότε η ταχύτητα φάσης είναι σταθερή για οποιαδήποτε συχνότητα. Ένα τέτοιο μέσο όμως είναι μόνο το κενό και γενικά, μέσα με πολύ μικρή αλληλεπίδραση με το φως. Σε οποιοδήποτε άλλο μέσο, λόγω διασκεδασμού, κάθε συχνότητα θα παρουσιάζει διαφορετική ταχύτητα φάσης. Από την άλλη, στην περίπτωση μιας αρμονικής διαταραχής μεγάλου μήκους, που χαρακτηρίζεται από μια μοναδική συχνότητα, δεν έχουμε μετάδοση πληροφορίας, πλην ίσως τη στιγμή άφιξης ή πέρατος της διαταραχής. Για να συμβεί μια τέτοια μετάδοση, πρέπει σε κάποιο σημείο της διαταραχής να υπάρξει μια μεταβολή, π.χ. στο πλάτος, ή στη συχνότητα, ή στη φάση, ή στην πόλωση κ.τ.λ. Συναντήσαμε επίσης περιπτώσεις με ταχύτητες φάσης μεγαλύτερες της ταχύτητας του φωτός στο κενό.

90

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

Θα θεωρήσουμε την περίπτωση δύο αρμονικών διαταραχών που διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο μέσο, με παραπλήσιες συχνότητες. Η περίπτωση αυτή αποτελεί τον απλούστερο τρόπο μετάδοσης πληροφορίας. Χάριν απλότητας θεωρούμε ίδια πόλωση, ίδιο πλάτος και μηδενική αρχική φάση στο z=0. Έστω οι αρμονικές διαταραχές, E1 ( z , t )  Eo cos(1t  k1 z ) και E2 ( z , t )  Eo cos(2t  k2 z ) Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης, προκύπτει με τη βοήθεια της αρχής της επαλληλίας. Έτσι, E ( z , t )  E1 ( z , t )  E2 ( z , t )  E ( z , t )  Eo  cos(1t  k1 z )  cos(2t  k2 z )      2   k1  k2      2   k1  k2   E ( z , t )  2 Eo cos  1 t z  cos  1 t z  (3.62) 2 2 2 2    

Στην παραπάνω σχέση μπορούμε να κάνουμε, τις εξής αντικαταστάσεις:



1  2 2

, k 

k1  k2   2 k k , m  1 , km  1 2 και 2 2 2

Em  2 Eo cos(mt  km z ) Με τη βοήθεια των παραπάνω, η (3.62) μας δίνει,

E ( z, t )  Em cos( t  kz )

(3.63)

Παρατηρούμε, ότι η Em αποτελεί έναν παράγοντα διαμόρφωσης της διαταραχής cos( t  kz ) ,ο οποίος εμφανίζει μεν κυματική συμπεριφορά, αλλά με χωρική και χρονική εξάρτηση, ίσες με τις μέσες τιμές των συνιστώντων κυμάτων. Συνολικά η διαταραχή, θα έχει τη μορφή διακροτημάτων που διαδίδονται στη διεύθυνση z. Ποια είναι όμως η ταχύτητα με την οποία διαδίδονται τα διακροτήματα; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αναζητούμε τα σημεία σταθερού πλάτους. Σ’ αυτά, η φάση mt  km z   . Διαφορίζοντας,

m dt  km dz  0 

dz m   dt km

    dz  g     m  1 2 k1  k2  dt  g km

(3.64)

Η ταχύτητα διάδοσης των διακροτημάτων που προκύπτει με τον τρόπο αυτό, ονομάζεται ταχύτητα ομάδας (group velocity).

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

91

Σ’ ένα μέσο που παρουσιάζει διασπορά, οι γωνιακές συχνότητες είναι συναρτήσεις των κυματοδιανυσμάτων. Στην περίπτωση παραπλήσιων συχνοτήτων, μπορούμε από το ανάπτυγμα Taylor γύρω από την τιμή  , να κρατήσουμε μόνο τους όρους πρώτης τάξης, οπότε η (3.64), γράφεται,

 dz 

g      dt  g

 (k1 )   (k2 ) k1  k2

 d     dk 

(3.65)

Η ταχύτητα διάδοσης του σήματος υg μπορεί να προκύψει μεγαλύτερη, μικρότερη ή και ίση με την ταχύτητα φάσης υp. Αυτό θα φανεί από την παρακάτω μελέτη. Από τη σχέση της ταχύτητας φάσης,  p ( k )   ( k ) / k    k p . Η ταχύτητα ομάδας μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση,

g  Κάνοντας πράξεις, βρίσκουμε

d d  g   p  k p dk dk

d p dk



(3.66)

d p dn c dn  2 , οπότε αντικαθιστώντας στην dn dk n dk

παραπάνω,

g   p 

ck dn n 2 dk

(3.67)

Η (3.67), μπορεί να γραφεί σε σχέση με το μήκος κύματος και τη συχνότητα, με τη μορφή,

g   p 

c dn cv dn      g p n2 d  n 2 dv

(3.68)

Παρατηρούμε, ότι στην περιοχή του ομαλού διασκεδασμού, όπου dn / dv  0 , η (3.68) μας δίνει

 g   p . Έτσι παρόλο που η ταχύτητα φάσης μπορεί να υπερβαίνει την ταχύ-

τητα του φωτός στο κενό (Σχ. 3.11(β), τμήμα γ-δ), η μετάδοση της πληροφορίας, η οποία επιτυγχάνεται με την ταχύτητα ομάδας, είναι μικρότερη της c. Ως παράδειγμα θα μελετήσουμε τη διάδοση ακτίνων Χ στο εσωτερικό ενός υλικού όπως ο γραφίτης, όπου όπως είχαμε δει, η ταχύτητα φάσης είναι μεγαλύτερη του c. Στην περίπτωση των ακτίνων Χ, λόγω του ότι ω>>ωο η εξίσωση (3.54) που δίνει το δείκτη διάθλασης του υλικού, είναι:

92

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

Nqe2 n 1 2m  2 Όπως διαπιστώνουμε, n<1, oπότε,

(3.69)

 p  c . Κατόπιν θα υπολογίσουμε την ταχύτητα ο-

   Nqe2  (3.69) μάδας. Ισχύει k   k  n    k  1   p c c  2m  2  Nqe2  a , τότε προκύπτει: k   . Από τον ορισμό της ταχύτητας Αν θέσουμε a  2m  c c ομάδας,  g 

d 1 1 c οπότε,  g    c. dk 1 a a dk  1 2  d c c 2

Παρόλο λοιπόν που η ταχύτητα φάσης είναι μεγαλύτερη του c, η μετάδοση πληροφορίας που γίνεται με την ταχύτητα ομάδας, είναι μικρότερη του c, γεγονός συμβατό με την ειδική θεωρία της σχετικότητας. Τέλος, στην περίπτωση που το μέσο είναι το κενό,

g 

p 

 k

c

 k

   ck . Άρα

d  g   p  c dk

Στο κενό οι ταχύτητες φάσης και ομάδας, είναι ίσες. Δείκτης διάθλασης ομάδας-Υπερφωτεινές ακτίνες

Με βάση την παραπάνω μελέτη της ταχύτητας ομάδας, μπορούμε να ορίσουμε τον δείκτη διάθλασης ομάδας (group index of refraction) από το πηλίκο,

ng 

c

g

(3.70)

Σαφέστατα, δεν πρέπει να συγχέουμε τον παραπάνω δείκτη με τον απόλυτο δείκτη διάθλασης, όπου στον παρονομαστή της σχέσης υπάρχει η ταχύτητα φάσης. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει, υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο δείκτης διάθλασης, όντας πραγματικός αριθμός, παίρνει τιμές μικρότερες της μονάδας, με αποτέλεσμα η τα-

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

93

χύτητα φάσης να προκύπτει μεγαλύτερη του c. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις, διαπιστώσαμε ότι δεν παραβιάζεται η ειδική θεωρία της σχετικότητας, καθώς η ταχύτητα ομάδας με την οποία μεταφέρεται η πληροφορία, είναι μικρότερη από την ταχύτητα c. Όμως από τις αρχές της δεκαετίας του ’80 και κατόπιν μια σειρά πειραμάτων έγιναν προς την ανάδειξη της υπερφωτεινής μετάδοσης σήματος. Πώς μπορεί να συμβεί αυτό; Από τη σχέση, (3.66),

Επίσης,

d p d



g   p  k

d p d d   g   p  k g p d dk d

d p dn( ) c dn( )  . Έτσι, η παραπάνω εξίσωση γράφεdn( ) d n( ) 2 d

ται,

 g   p  k g c

g

 dn( ) kc dn( )  c      1 g  2 2 n( ) d  n( ) d  n( ) c

 n( ) 

kc dn( )  n( ) d ng  n( )  

dn( ) d

(3.71)

Στην περιοχή του ανώμαλου διασκεδασμού (Σχ. 3.11(β), τμήμα β-γ), η κλίση

dn( ) d

είναι αρνητική λαμβάνοντας μεγάλες τιμές. Τότε είναι δυνατόν για το δείκτη διάθλασης ομάδας, να προκύψει τιμή ng  1 , οπότε

 g  c . Το πρόβλημα που εγείρεται όμως τό-

τε, είναι ότι αυτό επιτυγχάνεται στην ταινία απορρόφησης, όπου λαμβάνει χώρα ισχυρή απορρόφηση του φωτός, κάνοντας τα αποτελέσματα ασαφή. Αν όμως το μέσο προκαλεί ενίσχυση του φωτός, το πρόβλημα μπορεί να ξεπεραστεί. Πράγματι, πειραματικά χρησιμοποιήθηκαν άτομα καισίου σε αέρια κατάσταση, όπου μέσω οπτικής άντλησης από δύο Laser διαφορετικών συχνοτήτων, πραγματοποιήθηκε η επιθυμητή κατάσταση ανώμαλου διασκεδασμού, χωρίς απώλειες. Ένα διοδικό Laser εξέπεμψε έναν γκαουσιανό παλμό μεγάλης διάρκειας, περίπου 3,7μs. Πριν καν η κορυφή του παλμού φτάσει στην περιοχή του αερίου, δημιουργήθηκε ένας ταυτόσημος παλμός στην άλλη πλευρά, προηγούμενος χρονικά κατά 62ns, δηλαδή κατά περίπου 20m έναντι του εισερχόμενου παλμού. Στο πείραμα που περιγράφουμε, η τιμή που προέκυψε για το ng = -310. Για να καταλάβουμε τι ση-

94

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

μαίνει αυτό, σκεφτόμαστε τη χρονική καθυστέρηση Δt που παρουσιάζει η διάδοση ενός κυματοσυρμού εντός ενός μέσου, μήκους L, έναντι της διάδοσης στο ίδιο μήκος στο κενό. Προκύπτει,

t  t g  tc 

L

g



L L L  ng  οπότε, c c c

t   ng  1

L c

Προκύπτει τότε, ότι όταν ng  1 , t  0 . Δεν υπάρχει όμως τέτοια χρονική καθυστέρηση. Ο παλμός έχει ταξιδέψει γρηγορότερα απ’ ότι στο κενό. Ας προσπαθήσουμε να ερμηνεύσουμε το αποτέλεσμα. Όπως γνωρίζουμε ένας παλμός είναι ένας κυματοσυρμός αποτελούμενος κατά Fourier, από ένα μεγάλο πλήθος αρμονικών κυμάτων με διαφορετικές συχνότητες και πλάτη. Στην κεντρική περιοχή του παλμού, τα επί μέρους κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά, με αποτέλεσμα να μας δίνουν τη μορφή του παλμού. Εκτός αυτής της περιοχής όμως, η συμβολή είναι αναιρετική. Όταν ο παλμός οδεύει προς το αέριο, φτάνουν πρώτα οι περιοχές όπου έχουμε αναιρετική συμβολή. Τα άτομα του καισίου απορροφούν και επανεκπέμπουν τις συνιστώσες γεγονός που συνοδεύεται από μεταβολή της φάσης εξαρτώμενη από τη συχνότητα. Το αποτέλεσμα είναι η δημιουργία ενός «κλώνου» του αρχικού κυματοπακέτου, το οποίο φαίνεται ως να έχει κινηθεί γρηγορότερα του c, καθώς ο αρχικός παλμός απορροφάται από το αέριο.

3.4.3 Ο δείκτης διάθλασης για πυκνά μέσα. Εξίσωση των Clausius-Mossotti 3.4.3.1 Διάδοση Η/Μ κυμάτων στα μέταλλα

Όπως είναι γνωστό, τα ηλεκτρόνια σθένους που αποτελούν τα άτομα των μετάλλων, είναι χαλαρά συνδεδεμένα με το άτομο, με αποτέλεσμα στις συνήθεις θερμοκρασίες, σχεδόν κάθε άτομο να μετατρέπεται σε θετικό ιόν καθώς κάποια από τα παραπάνω ηλεκτρόνια το εγκαταλείπουν. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που προκύπτουν με τον τρόπο αυτό, είναι υπεύθυνα για την αγωγιμότητα των μετάλλων.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

95

Όταν Η/Μ κύμα προσπέσει στο μέταλλο, τα ελεύθερα ηλεκτρόνια, καθώς και τα αντίστοιχα δέσμια εντός των ατόμων ηλεκτρόνια, εκτελούν εξαναγκασμένες ταλαντώσεις που ως γνωστόν έχουν ως αποτέλεσμα την επανεκπομπή των Η/Μ κυμάτων. Όσον αφορά τα ελεύθερα ηλεκτρόνια, δεν εμφανίζεται κάποια δύναμη επαναφοράς στην ταλάντωσή τους με αποτέλεσμα η γωνιακή ιδιοσυχνότητά τους, να θεωρείται μηδενική. Με βάση τα αναφερθέντα στις προηγούμενες ενότητες, ο δείκτης διάθλασης για έναν τέτοιο αγωγό, θα δίνεται από τη σχέση,

n2  1 

 fj Nqe2  fe  2  2  2 m     i e j  j    i j  

(3.72)

Όπου ο πρώτος όρος της αγκύλης εκφράζει τη συμβολή των ελεύθερων ηλεκτρονίων στο δείκτη διάθλασης, ενώ ο δεύτερος τη συμβολή των δέσμιων ηλεκτρονίων. Σ’ έναν αγωγό η κύρια πηγή στην παραγωγή του δείκτη διάθλασης, προέρχεται από τον πρώτο όρο τον οποίο θα κρατήσουμε, θεωρώντας τη συμβολή του δεύτερου αμελητέα. Έτσι για ένα μέταλλο,

Nqe2 1 n 1 2 m    i 2

(3.73)

Μια παρατήρηση είναι ότι για την εξαγωγή της (3.73), δεν έχει ληφθεί το τοπικό πεδίο

 El , όπως στα πυκνά διηλεκτρικά, αλλά το κατά μέσο όρο εξωτερικά εφαρμοζόμενο πε δίο, E καθώς αυτό το πεδίο θεωρούμε ότι «αισθάνονται» τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας κινούμενα εντός του όγκου του μετάλλου. Η τιμή του γ της (3.73), σχετίζεται με τους μηχανισμούς απώλειας ενέργειας. Για το θεωρούμενο πρότυπο (Drude), σημαντικό ρόλο παίζει ο μέσος χρόνος ελεύθερης διαδρο-

μής τ των ηλεκτρονίων μεταξύ δύο διαδοχικών σκεδάσεών τους στο εσωτερικό του μετάλλου. Πράγματι η μέση ταχύτητα διολίσθησης υdrift που αποκτούν τα ηλεκτρόνια, είναι,

drift 

qe E  . Εφόσον αυτή θεωρείται σταθερή, σε κάθε ηλεκτρόνιο πρέπει: m

F  F  qe E  mdrift  qe E  m



1



qe E  m (3.74)

96

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

Ο χρόνος τ θα προκύψει με τη βοήθεια της αγωγιμότητας σ του μετάλλου. Πράγματι,





γνωρίζουμε ότι η πυκνότητα ρεύματος στο μέταλλο δίνεται από τις σχέσεις, j   E και

      qe E  j  Nqedrift . Συμπεραίνουμε, ότι:  E  Nqedrift   E  Nqe m Nq2   m

(3.75)

Από την (3.75), μπορούμε να υπολογίσουμε το χρόνο τ γνωρίζοντας την αγωγιμότητα σ, οπότε από τη σχέση (3.74), μπορούμε να γνωρίζουμε το γ. Με τη βοήθεια των σχέσεων (3.74) και (3.75), η (3.73), γράφεται,

n2  1 

 /  i (1  i )

(3.76)

Προσέγγιση χαμηλών συχνοτήτων

Στις πολύ χαμηλές συχνότητες   1 και 1 

 / o , οπότε η σχέση (3.76), γράφε

ται,

n 2  i Όμως,

i 

   n  i    

1 i . Έτσι προκύπτει, 2 n

 1  i  2 

(3.77)

Όπου το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης είναι ίσα. Μια τόσο μεγάλη τιμή όμως του συντελεστή εξασθένησης, έχει ως συνέπεια τη γρήγορη εξασθένηση του κύματος εντός του υλικού. Από την (3.58), το πλάτος του κύματος μεταβάλλεται σε σχέση με την απόσταση σύμφωνα με τη,

(3.77), γράφεται:

Eo e







2 c

z

 Eo e



 2c 2

z

Eo e



nI z c

η οποία με τη βοήθεια της

2 . Θέτουμε   2c   το οποίο έχει δι

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

97

αστάσεις μήκους και ονομάζεται βάθος διείσδυσης (skin depth) , οπότε το πλάτος μεταβάλλεται με τη σχέση,

Eo e



z



.

Το βάθος διείσδυσης εκφράζει την απόσταση στην οποία το πλάτος μειώνεται στο

e 1 

1 της αρχικής του τιμής.

2,72

Το ερώτημα που τίθεται, είναι τι εννοούμε όταν λέμε χαμηλές συχνότητες. Για να προκύψει η (3.77), πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι σχέσεις:

  1 και

 

   1 , ή διαφορετικά,  1



  

 

(3.78)

Σ’ ένα μέταλλο όπως ο χαλκός, έχει υπολογιστεί ότι,

  5, 76 107  m 

1

και   2, 4 1014 s

Με βάση τις αναφερθείσες τιμές, οι ανισώσεις (3.78), συναληθεύουν, για συχνότητες μικρότερες των 1012 Hz , αντιστοιχώντας σε μήκη κύματος μεγαλύτερα των 0,3mm, δηλαδή στην περιοχή των ιδιαίτερα βραχέων κυμάτων. Αντίστοιχα, το βάθος διείσδυσης για το χαλκό προκύπτει,  

0, 028



(m) . Παρατηρούμε, ότι όσο μικρότερες είναι οι συχνό-

τητες, τόσο μεγαλύτερο το βάθος διείσδυσης. Εν τούτοις, το δ έχει μικρές τιμές. Έτσι, για μικροκύματα με συχνότητα περίπου 10GHz, προκύπτει   6, 7 105 cm , που επιβεβαιώνει τον ισχυρισμό μας. Μια εφαρμογή των παραπάνω, είναι η επικάλυψη κοιλοτήτων με λεπτό στρώμα μετάλλου, για την αποφυγή απωλειών.

Προσέγγιση υψηλών συχνοτήτων

Στις πολύ υψηλές συχνότητες, ισχύει   1 , με αποτέλεσμα η εξίσωση (3.76), να μεταπίπτει στην,

98

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

n2  1 

   2

(3.79)

Η (3.79) με τη βοήθεια της (3.75), παίρνει τη μορφή,

Nq2 2 Nq2 n 1 . Θέτουμε,  p  η οποία ονομάζεται συχνότητα πλάσματος 2 m  m   2

(plasma frequency), με αποτέλεσμα να προκύπτει,

  n 1  p   

2

2

(3.80)

Η συχνότητα πλάσματος, αναφέρεται στις ταλαντώσεις πυκνότητας πλάσματος και αποτελεί ένα είδος ιδιοσυχνότητας. Με βάση την εξίσωση (3.80), διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 

Αν ω<ωp τότε ο δείκτης διάθλασης έχει φανταστικό μέρος, με αποτέλεσμα το κύμα να εξασθενεί κατά τη διάδοσή του εντός του μετάλλου.



Αν ω>>ωp ο δείκτης διάθλασης είναι πραγματικός αριθμός και το μέταλλο γίνεται διαφανές. Το μέταλλο λοιπόν, είναι διαφανές στις ακτίνες Χ και ορισμένα μέταλλα είναι διαφανή και στις υπεριώδεις ακτίνες.

Τα παραπάνω βρίσκουν εφαρμογή και σε άλλες περιπτώσεις, πέραν των μετάλλων. Για παράδειγμα στα υψηλότερα στρώματα της ατμόσφαιρας, όπως ήδη έχει αναφερθεί, υπάρχει η ιονόσφαιρα. Για να επικοινωνήσουν λοιπόν δύο περιοχές της γης, χωρίς οπτική επαφή μεταξύ τους, με ραδιοφωνικά κύματα, θα χρησιμοποιήσουν μακρά κύματα (    p ), ώστε ανακλώμενα από την ατμόσφαιρα, να φτάσουν από τη μια περιοχή στην άλλη. Αντίθετα, για δορυφορικές επικοινωνίες, πρέπει να χρησιμοποιηθούν βραχέα κύματα, μεγαλύτερης συχνότητας, γεγονός που θα καταστήσει την ιονόσφαιρα διαφανή.

3.4.3.2 Διάδοση Η/Μ κυμάτων σε στερεά διηλεκτρικά

Η εξίσωση (3.53), ή η απλοποιημένη (3.52), περιγράφουν σε ικανοποιητικό βαθμό τη συμπεριφορά των αραιών αερίων . Για να εφαρμοστούν σε πυκνότερα υλικά θα πρέπει να ληφθεί υπ’ όψη, ότι σ’ ένα πυκνό διηλεκτρικό, κάθε άτομο εκτός του εφαρμοζόμενου πεδίου, δέχεται και τη δράση του πεδίου, του οφειλόμενου στα γειτονικά του άτομα. Α-

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

99

ποδεικνύεται ότι το τοπικό (local) πεδίο σε κάθε άτομο, είναι αυξημένο κατά P (t ) / 3  έναντι του εφαρμοζόμενου. Το αποτέλεσμα είναι το τοπικό πεδίο να έχει τιμή,

El  E (t ) 

P (t ) 3 o

(3.81)

Αποδεικνύεται τότε, ότι για πυκνά μη πολικά διηλεκτρικά, με μια συχνότητα συντονισμού, ο δείκτης διάθλασης του υλικού δίνεται από την εξίσωση των Clausius-Mossotti:

n2  1 Nqe2 1   2 2 n  2 3 o me    2  i

(3.82)

3.4.4 Νόμος του Beer Στις περισσότερες περιπτώσεις μας ενδιαφέρει η ένταση του κύματος κι όχι το πλάτος. Όπως γνωρίζουμε η ένταση είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους. Με τη βοήθεια της (3.58), η ένταση του κύματος θα είναι, Θέτοντας

  2

I  I oe

2

nI z c

nI ο οποίος ονομάζεται συντελεστής απορρόφησης (absorption coc

efficient) ,η παραπάνω εξίσωση γράφεται,

I  I oe  z

(3.83)

Ο συντελεστής απορρόφησης έχει διαστάσεις αντίστροφου μήκους και στα διαφανή υλικά η τιμή του 1/β, είναι μεγάλη συγκρινόμενη με το πάχος του υλικού.

3.4.5

Μεταϋλικά

Τα μεταϋλικά (metamaterials) , ή υλικά με αρνητικό δείκτη διάθλασης (Negative index materials NIMs) είναι τεχνητές δομές τις οποίες δε συναντάμε στη φύση και παρουσιάζουν αρνητικό δείκτη διάθλασης σ’ ένα εύρος συχνοτήτων. Συχνά αναφέρονται με την ονομασία αριστερόστροφα μέσα (left-handed media LHM), double negative (DNG), μέσα οπισθοδρομικών κυμάτων (backward wave media BW media) και άλλες τέτοιες ονομασίες.

100

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

Τα μεταϋλικά προτάθηκαν πρώτη φορά από το Ρώσο θεωρητικό Victor Veselago στα 1967. Τα προτεινόμενα αριστερόστροφα υλικά εμφάνιζαν οπτικές ιδιότητες πολύ διαφορετικές από τα συνηθισμένα οπτικά μέσα όπως το γυαλί ή ο αέρας. Στα συνηθισμένα υλικά, η διάδοση της ενέργειας γίνεται προς τη φορά διάδοσης των μετώπων κύματος, κάτι που δε συμβαίνει στα μεταϋλικά, στα οποία επίσης παρατηρείται διάθλαση του φωτός σε ασυνήθιστες διευθύνσεις. Τα τελευταία χρόνια η ανακάλυψη νέων τεχνικών συνθηκών σύνθεσης και κατασκευής καινούριων σύνθετων υλικών έχει δώσει μεγάλη ώθηση στην έρευνα γύρω από τα μεταϋλικά, τα οποία είναι ουσιαστικά περιοδικές δομές που αποτελούνται από θεμελιώδη συστατικά στοιχεία σε αντιστοιχία με τα μόρια των φυσικών υλικών, τοποθετημένα σε συγκεκριμένη απόσταση μεταξύ τους, τα οποία μπορούν να έχουν διάφορες γεωμετρικές μορφές αν και συνήθως είναι απλά μεταλλικά δίπολα ή βρόχοι. Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται κελιά και οι διαστάσεις τους πρέπει να είναι μικρότερες του μήκους κύματος της ακτινοβολίας με την οποία αλληλεπιδρούν, έτσι ώστε το ηλεκτρομαγνητικό κύμα να μην υφίσταται σημαντικές μεταβολές φάσης πάνω στο κελί. Έτσι, το υλικό εμφανίζεται ως ένα συμπαγές και ομογενές μέσο με έναν ενιαίο ενεργό δείκτη διάθλασης neff σε όλες τις διευθύνσεις.

Σχήμα 3.12 Αναλογία συμβατικών υλικών και μεταϋλικών

Όσον αφορά τις διαστάσεις των κελιών, για το ορατό φως πρέπει να είναι μικρότερα του 1μm, γεγονός που καθιστά δύσκολη την κατασκευή τους, ενώ για τη περιοχή των μικροκυμάτων, μικρότερα του 1mm, είναι ευκολότερα πραγματοποιήσιμες. Ωστόσο μόλις πρόσφατα ανακαλύφτηκε το πώς μπορούν να κατασκευαστούν υλικά αρνητικού δείκτη διαθλάσεως (NIMs). Η πρώτη υλοποίηση πραγματοποιήθηκε το 2001 στο University of California στο San Diego και περιλάμβανε ένα μεταϋλικό που αποτελού-

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

101

νταν από μια περιοδική διάταξη μεταλλικών αγωγών και διακοπτόμενων δακτυλιωτών συντονιστών (split-ring resonators) για την επίτευξη αρνητικής διηλεκτρικής σταθερά και μαγνητικής διαπερατότητας αντίστοιχα.

Σχήμα 3.13 Μεταϋλικό με αρνητικό δείκτη διάθλασης.

Όπως γνωρίζουμε η συμπεριφορά ενός υλικού στο οποίο προσπίπτει ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από την ηλεκτρική και τη μαγνητική διαπερατότητα, ε(ω) και μ(ω), του υλικού. Οι τιμές των ε και μ δεν είναι σταθερές, αλλά συναρτήσεις της συχνότητας. Στο Σχ. 3.14 γίνεται μια κατηγοριοποίηση των υλικών ανάλογα με τις τιμές των ε και μ.

Σχήμα 3.14 Κατηγοριοποίηση των υλικών ως προς τις τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς ε και της μαγνητικής διαπερατότητας μ.

Τα περισσότερα από τα υλικά που συναντάμε στη φύση έχουν ταυτόχρονα θετικές τιμές για τα ε και μ. Πρόκειται για τα DPM (double-positive media). Αν ε<0 και μ>0, μιλάμε για epsilon negative (ENG). Σε ορισμένες περιοχές του φάσματος, το πλάσμα εμφανίζει τέτοια συμπεριφορά. Επί παραδείγματι, ευγενή μέταλλα όπως ο χρυσός και ο άργυρος εμφανίζουν τέτοια χαρακτηριστικά στην υπέρυθρη περιοχή και σε περιοχές του ορατού

102

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

φάσματος. Υλικά με ε>0 και μ<0 αναφέρονται ως mu-negative (MNG). Τέτοια είναι τα γυροτροπικά (στροφικά) υλικά. Τέλος, υλικά στα οποία ταυτόχρονα ε<0 και μ<0, είναι τα μεταϋλικά (double negative DNG), τα οποία δεν απαντώνται στη φύση. Ο Veselago έδειξε ότι αν ένα μονοχρωματικό επίπεδο κύμα διαδοθεί σ’ ένα τέτοιο υλικό, εμφανίζει ορισμένες ασυνήθιστες ιδιότητες κυριότερες των οποίων είναι: 1. Αρνητική διάθλαση. Με βάση τις εξισώσεις Maxwell ο δείκτης διάθλασης σ’ ένα τέτοιο μέσο είναι αρνητικός (όσον αφορά στο πραγματικό του μέρος). Αυτό σημαίνει ότι κατά την εφαρμογή του νόμου Snell, η διαθλώμενη ακτίνα θα βρίσκεται προς την ίδια πλευρά ως προς την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια.

2. Αντιστροφή του φαινομένου Doppler. Για μια πηγή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που κατευθύνεται προς έναν παρατηρητή, η συχνότητα θα φαίνεται μικρότερη, σε αντίθεση με την περίπτωση που η πηγή κινείται εντός συμβατικού μέσου και πλησιάζει τον παρατηρητή.

3. Η φορά διάδοσης της ενέργειας που προσδιορίζεται από το διάνυσμα Poynting και η φορά της φασικής ταχύτητας, που προσδιορίζεται από τη φορά του κυμα-



τοδιανύσματος k , είναι αντίθετες. Πράγματι η επίλυση των εξισώσεων Maxwell για

ηλεκτρομαγνητικό

κύμα

στο

εσωτερικό

ενός

μεταϋλικού,

δίνει

    k  E   B   H , με μ<0. Το αποτέλεσμα δικαιώνει το χαρακτηρισμό του

μέσου ως αριστερόστροφου. Σ’ ένα τέτοιο μέσο η φασική ταχύτητα έχει αντίθετη φορά από αυτήν που θα είχε σ’ ένα συμβατικό μέσο. Όσο για το διάνυσμα Poyn-



ting όμως, S 

1     E  B  E  H , έχει φορά αντίθετη του κυματοδιανύσματος



 k . Η φασική ταχύτητα λοιπόν φαίνεται να κατευθύνεται αντίθετα της φοράς διάδοσης της ενέργειας, γεγονός που δικαιολογεί το χαρακτηρισμό του κύματος ως backward wave. Φυσικά, αυτό δεν αποτελεί πρόβλημα, μιας και η διάδοση της ενέργειας γίνεται με την ταχύτητα ομάδας η οποία έχει την κατεύθυνση του διανύσματος Poynting. Η αρνητική διάθλαση απεικονίζεται στο Σχ. 3.15(γ)

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

(α)

103

(β)

(γ)

Σχήμα 3.15 (α) Διάθλαση μέσα από άδειο ποτήρι. (β) Μέσα από συμβατικό υλικό με n>0. (γ) Διάθλαση από μεταϋλικό με n<0

Εφαρμογές των μεταϋλικών

Πρόσφατες ανακοινώσεις για τα αριστερόστροφα υλικά γεννούν ελπίδες εφαρμογής σε πολλά πεδία. Οι κεραίες των κινητών τηλεφώνων θα μπορούν να έχουν πολύ καλύτερη λήψη, ενώ θα εκπέμπουν πολύ χαμηλότερη ακτινοβολία στο χειριστή τους. Γνωρίζουμε ότι οι συμβατικές κεραίες πρέπει να έχουν μήκος τουλάχιστον ίσο με το μισό του εκπεμπόμενου σήματος. Για παράδειγμα μια κεραία που λαμβάνει στα 300MHz, πρέπει να έχει μήκος τουλάχιστον μισό μέτρο. Αντίθετα, με την κατασκευή νέων κεραιών, βασισμένων στα μεταϋλικά, το μήκος τους μπορεί να μειωθεί στο ένα πεντηκοστό του μήκους κύματος,. Επίσης βελτιώνουν κατά πολύ τα σφάλματα εστίασης των φακών ή διαθλάσεως ( τέλειες απεικονιστικές διατάξεις). Οι λεγόμενοι τέλειοι φακοί, κατασκευασμένοι από αριστερόστροφα υλικά δημιουργούν απεικονίσεις πέραν των ορίων περίθλασης που επιβάλλονται από τις διαστάσεις τους και το μήκος κύματος του φωτός. Οι πρώτοι υπερφακοί, στην περιοχή των μικροκυμάτων, παρείχαν τρεις φορές καλύτερη ανάλυση από το όριο περίθλασης. Το 2000, ο J.B.Pendry ανέπτυξε θεωρητικά την ιδέα ενός τέλειου φακού, που θα μπορούσε να εστιάσει πέραν του ορίου περίθλασης, αποτελούμενος από μια επίπεδη πλάκα κατασκευασμένη από αριστερόστροφο υλικό με n = -1. Η εστίαση γίνεται τόσο στο εσωτερικό, όσο και στο εξωτερικό του υλικού, επιτυγχάνοντας ανάλυση μεγαλύτερη αυτής που επιβάλλεται από το συμβατικό όριο.

104

3.4 Διασκεδασμός - Ο δείκτης διάθλασης ως συνάρτηση της συχνότητας

Σχήμα 3.16 (α) Φως προερχόμενο από το κενό, που προσπίπτει σε υλικό με n>0 (β) Ομοίως, από το κενό σε υλικό με n<0. (γ) Όταν αντικείμενο τοποθετείται μπροστά από υλικό με n = -1, το φως υφίσταται διάθλαση, με αποτέλεσμα μια εστίαση στο εσωτερικό και μια στο εξωτερικό του υλικού. Τέτοιες διαθλάσεις επιτρέπουν την απεικόνιση περιοχών μικρότερων του μήκους κύματος ( subwavelength ).

Η δυνατότητα εστίασης με πολύ μεγάλη ανάλυση και σε ελάχιστη απόσταση από επίπεδους φακούς, θα επιτρέψει στην οπτική βιομηχανία να κατασκευάσει μικροσκόπια που θα βλέπουν σε ατομική κλίμακα. Επίσης, οι οθόνες τηλεοράσεων και υπολογιστών θα αλλάξουν ριζικά, καθώς τα αριστερόστροφα υλικά δημιουργούν, κατά τους ερευνητές του Πανεπιστημίου της Γιούτα, ανακλάσεις που επιτρέπουν τρισδιάστατη θέαση. Οι μαγνητικοί τομογράφοι θα εστιάζουν καλύτερα και πιο ποικιλότροπα. Η φωτολιθογραφία που χρησιμοποιείται για την παραγωγή τυπωμένων κυκλωμάτων θα επιτρέψει πλέον τον σχεδιασμό ακόμη πιο πυκνών διατάξεων, άρα και κυκλωμάτων πολύ μικρών διαστάσεων.

(α)

(β)

Σχήμα 3.16 (α) Μεταϋλικό που συνθέτει το «μανδύα αφάνειας». (β) Η κάμψη των ακτίνων από το «μανδύα αφάνειας», καθιστά το αντικείμενο αόρατο.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

105

Μια άλλη εξαίρετη ιδιότητα των υλικών αυτών είναι ότι μπορούν να κατευθύνουν με ακρίβεια δέσμες ακτίνων σε πολύ μεγάλη απόσταση. Επίσης, υπάρχει και η ιδιαίτερη ιδιότητά τους να μην αντανακλούν τίποτε, οπότε είναι πραγματοποιήσιμη η εφαρμογή τους στο λεγόμενο «τύφλωμα των ραντάρ». Τέλος, υπάρχει η περίφημη εφαρμογή της κάλυψης ενός αντικειμένου (cloaking). Το 2006 μια ομάδα επιστημόνων του Πανεπιστημίου Duke παρουσίασε τον πρώτο «μανδύα αφάνειας» (invisibility cloak), ο οποίος λειτουργεί στην περιοχή των μικροκυμάτων (Σχ.

3.16(α)). Ο «μανδύας» αυτός εκτρέπει τις δέσμες μικροκυμάτων, έτσι ώστε να «ρέουν» γύρω από το αντικείμενο με την ελάχιστη δυνατή παραμόρφωση, όπως και το νερό ενός ποταμού ρέει γύρω από μια πέτρα. Έτσι αν ένα αντικείμενο καταλαμβάνει την περιοχή που εσωκλείεται από τη σφαίρα ακτίνας R του Σχ. 3.16(β) καθίσταται «αόρατο», καθώς φαίνεται σα να μην υπάρχει τίποτε στη θέση του αντικειμένου.

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες) 3.5.1 Αρχή του Huygens Θα εξετάσουμε την περίπτωση όπου κατά τη διάδοση του κύματος, το μέτωπο του κύματος συναντά ένα μη ομοιόμορφο μέσο, με αποτέλεσμα την παραμόρφωσή του. Είναι δυνατόν σ’ αυτήν την περίπτωση να ανακατασκευάσουμε το μέτωπο ώστε να γνωρίζουμε τη μορφή του σε μεταγενέστερη χρονική στιγμή; Το ερώτημα απάντησε πρώτος ο Ολλανδός φυσικός Christiaan Huygens στα 1619, διατυπώνοντας την αποκαλούμενη αρχή του Huygens, σύμφωνα με την οποία, κάθε σημείο μιας ισοφασικής επιφάνειας του διαδιδόμενου κύματος, λειτουργεί ως πηγή δευτερογενών σφαιρικών κυμάτων (waveletsκυματίδια) η περιβάλλουσα των οποίων σε κατοπινή χρονική στιγμή, σχηματίζει τη νέα ισοφασική επιφάνεια.

106

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Σχήμα 3.17 Σχεδιασμός ισοφασικής επιφάνειας για επίπεδο κύμα, με εφαρμογή της Αρχής Huygens.

Στο Σχ.3.17 απεικονίζεται μια εφαρμογή της αρχής του Huygens κατά τη διάδοση επίπεδου Η/Μ κύματος. Οι μαύρες βούλες απεικονίζουν σημειακούς ταλαντωτές στο μέτωπο του κύματος, που εκπέμπουν δευτερογενή σφαιρικά κύματα, τα οποία τη στιγμή t, έχουν διαδοθεί σε απόσταση ct. Η περιβάλλουσα των δευτερογενών κυμάτων τη στιγμή t, σχηματίζει το νέο μέτωπο κύματος. Παρατηρούμε επίσης την καθετότητα μεταξύ των ισοφασικών επιφανειών και της ακτίνας διάδοσης που παριστάνεται με το βέλος. Ένα επιπλέον σημαντικό σημείο της αρχής Huygens είναι ότι αν το κύμα έχει συχνότητα v και διαδίδεται με ταχύτητα υt εντός ενός μέσου διάδοσης, τότε και τα δευτερογενή κύματα διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα έχοντας την ίδια συχνότητα. Η Αρχή Huygens είναι αρκετά απλή στην εφαρμογή της, όμως δε λαμβάνει υπ’ όψη τα φαινόμενα συμβολής κατά τη διάδοση του φωτός, οπότε δε θα μπορούσε να εξηγήσει την πλευρική σκέδαση του φωτός. Ο ίδιος ο Huygens εμπνεύστηκε τη θεωρία του στα πλαίσια της μηχανοκρατικής αντίληψης του 17ου αιώνα περί αιθέρα που γεμίζει τον κενό χώρο, μεταδίδοντας το φως μέσω μηχανικών ταλαντώσεων. Η αρχή του Huygens τροποποιήθηκε στα 1800 από τον Fresnel ο οποίος συμπεριέλαβε τη μαθηματική επεξεργασία της συμβολής, διατυπώνοντας την άποψη ότι για την ανακατασκευή της ισοφασικής επιφάνειας πρέπει να εφαρμόζεται η υπέρθεση των δευτερογενών κυμάτων, λαμβάνοντας υπ’ όψη τα πλάτη και τις σχετικές φάσεις τους, ενώ ο Kirchhoff αργότερα έδειξε ότι η αρχή Huygens- Fresnel είναι άμεση συνέπεια της διαφορικής κυματικής εξίσωσης. Η επαναδιατύπωση της αρχής ήταν επιβεβλημένη, όπως φαίνεται κι από το Σχ. 3.17, όπου τα δευτερογενή σφαιρικά κύματα σχεδιάστηκαν να οδεύουν προς τα εμπρός κι όχι προς την πηγή, κάτι το οποίο η αρχή Huygens δεν εξηγούσε μη λαμβάνοντας υπ’ όψη το φαινόμενο της συμβολής.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

107

3.5.1.1 Ακτίνες φωτός

Σε πολλές περιπτώσεις είναι βολική η απεικόνιση της διάδοσης του κύματος με τη χρήση ακτίνων φωτός. Αυτού του είδους η διαπραγμάτευση, χρησιμοποιείται ιδιαίτερα κατά τη μελέτη της γεωμετρικής οπτικής. Σε ομογενή ισότροπα υλικά, δηλαδή σε υλικά που έχουν τις ίδιες ιδιότητες σε όλες τις διευθύνσεις τους, οι ακτίνες είναι ευθύγραμμες τέμνοντας κάθετα τις ισοφασικές επιφάνειες, με αποτέλεσμα να είναι παράλληλες στο



κυματοδιάνυσμα k . Το αποτέλεσμα είναι ότι σε ένα τέτοιο μέσο διάδοσης όπου η ταχύτητα του κύματος είναι ίδια σε όλες τις διευθύνσεις, η απόσταση δύο μετώπων κύματος κατά μήκος των ακτίνων που τα τέμνουν, είναι σταθερή για όλες τις ακτίνες. Αν το κύμα υποστεί διαδοχικές ανακλάσεις και διαθλάσεις σε ισότροπα μέσα, σύμφωνα με το θεώρημα των Malus και Dupin ( διατυπώθηκε το 1808 από τον Ε. Malus και το 1816 από τον C. Dupin), οι ακτίνες του φωτός θα παραμείνουν κάθετες στα σημεία τομής με τα μέτωπα κύματος, μετά από οποιοδήποτε πλήθος ανακλάσεων και διαθλάσεων.

3.5.2 Η αρχή του ελαχίστου χρόνου (Αρχή του Fermat) Η εν λόγω αρχή διατυπώθηκε από τον Fermat γύρω στα 1657-58 και απαντά στο εξής ερώτημα: Αν το φως μεταβαίνει από ένα σημείο Π σ’ ένα σημείο Σ ποια από τις εναλλακτικές διαδρομές από το Π στο Σ, είναι αυτή που ακολούθησε το κύμα; Η αρχή του ελαχίστου χρόνου απαντά ότι κατά τη διάδοση της κυματικής διαταραχής από το ένα σημείο στο άλλο, ακολουθείται η συντομότερη χρονική οδός. Η αρχή του Fermat, παρόλο που έχει συνδεθεί με τη διάδοση των Η/Μ κυμάτων, ισχύει για οποιοδήποτε κύμα. Η ιδέα περί ελαχίστου δεν ήταν κάτι καινούριο την εποχή που έζησε ο Fermat. Κατά τη διάρκεια του 1ου αιώνα π.χ., ο Ήρων από την Αλεξάνδρεια προσπαθώντας να εξηγήσει την ανάκλαση, διατύπωσε την αρχή του ελαχίστου δρόμου, υποστηρίζοντας ότι κατά τη μετάβαση του φωτός από το σημείο εκπομπής του στο σημείο παρατήρησης, ακολουθεί τη μικρότερη διαδρομή. Επιτυχώς, με απλή γεωμετρία απέδειξε το νόμο της ανάκλασης. Βέβαια, εφόσον κατά την ανάκλαση το φως δεν αλλάζει μέσο διάδοσης, η αρχή του ελα-

108

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

χίστου δρόμου καταλήγει στην αρχή του ελαχίστου χρόνου, γεγονός που καθιστά την επιτυχία της αρχής του Ήρωνα, συμπτωματική. Πράγματι, κατά τη διάθλαση όπου οι ακτίνες του φωτός κάμπτονται, η αρχή του Ήρωνα δεν μπορεί να δώσει την εξήγηση, η οποία προκύπτει από την αρχή του Fermat. Στη συνέχεια θα δώσουμε μια απόδειξη του νόμου Snell, στηριζόμενοι στην αρχή του Fermat. Προς τούτο, θεωρούμε τη φωτεινή ακτίνα του Σχ. 3.18 που διαδίδεται σε μέσο διάδοσης με δείκτη διάθλασης ni και προσπίπτει με γωνία πρόσπτωσης θi (σε σχέση με την κάθετο) στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου μέσου, με δείκτη διάθλασης nt , διερχόμενη στο δεύτερο μέσο.

Σχήμα 3.18 Εφαρμογή της αρχής του Fermat στη διάθλαση.

Θα υπολογίσουμε το χρόνο t που χρειάζεται μια ακτίνα φωτός ώστε να μεταβεί από το σημείο S στο Ρ, σε συνάρτηση με την απόσταση x. Στη συνέχεια θα βρούμε την ελάχιστη τιμή του χρόνου αυτού, μηδενίζοντας την πρώτη παράγωγο του χρόνου σε σχέση με το x. Η ελάχιστη τιμή του χρόνου, θα μας δώσει την επιθυμητή διαδρομή.

t  tS O  tO P  t 

( SO )

i



(OP )

t

t 

h2  x2

i



(a  x)2  b 2

t

Για την ελαχιστοποίηση του παραπάνω χρόνου ως προς τη θέση πρόσπτωσης, πρέπει,

dt x ax sin i sin t n sin i nt sin t 0  0   i   dx i t c c i h2  x 2 t (a  x)2  b2

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

109

ni sin i  nt sin t

(3.84)

Η σχέση που προέκυψε, δεν είναι παρά ο νόμος της διάθλασης, που διατυπώθηκε από το Snell. Για να εξασφαλίσουμε ότι ο μηδενισμός της παραγώγου μας οδηγεί σε ελάχιστο κι όχι σε μέγιστο χρόνο, υπολογίζουμε και τη δεύτερη παράγωγο. ΄

΄

1 1 d 2t 1  1 2 2 2  2 2 2    x  h  x     a  x   ( a  x )  b    dx 2 i   t   3 1 3 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2  2 2 2 2 2 2  h x x h x a x b a x a x b ( ) ( )                        i   t 

 1 1 x2  3 i  2 2 12 2 2 2 h  x   h  x 

  1   t 

  2 a  x 1      1 3   2 2 2 2 2 2   ( a  x)  b   (a  x)  b   3

1

i

h

h

2

2

x

3 2 2





1

b

t

 (a  x)

2

2

b

3 2 2





3

t h 2  (a  x) 2  b 2  2  b 2i  h 2  x 2  2 it  h  x 2

3 2 2

  (a  x)

2

b

3 2 2



0

Προέκυψε θετική δεύτερη παράγωγος, οπότε πρόκειται για ελάχιστο του χρόνου. Αν αντί δύο μέσων, έχουμε μια διαστρωμάτωση από m μέσα διάδοσης κατά τη μετάβαση από το S στο Ρ, ο απαιτούμενος χρόνος είναι:

t

s1



s2

1 2

    

sm

m

, ή διαφορετικά, t 

m

si

 i 1

i

Χρησιμοποιώντας τους δείκτες διάθλασης, ο χρόνος γράφεται,

1 m t   ni si c i 1

(3.85)

Όπου το παραπάνω άθροισμα ονομάζεται οπτικός δρόμος (Optical Path Length (OPL)).

Αν το μέσο είναι ανομοιογενές και παρουσιάζει δείκτη διάθλασης, η τιμή του οποίου είναι συνάρτηση του s, ο οπτικός δρόμος αντί του αθροίσματος, θα προκύπτει από το ολοκλήρωμα, P

OPL   n( s )ds S

(3.86)

110

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Ο οπτικός δρόμος αντιστοιχεί στην απόσταση που όταν διανύεται στο κενό, έχει το ίδιο πλήθος μηκών κύματος με το φως, όταν διανύει απόσταση s εντός του μέσου. Δηλαδή, OPL/λο=s/λ. Με βάση τα παραπάνω, η αρχή Fermat επαναδιατυπώνεται ως εξής: Κατά τη μετάβασή του το φως από ένα σημείο σ’ ένα άλλο, ακολουθεί τη διαδρομή με τον ελάχιστο οπτικό δρόμο.

3.5.2.1 Γενίκευση της αρχής του Fermat

Στα παραπάνω, αντιμετωπίσαμε την αρχή του ελαχίστου χρόνου, υπολογίζοντας τον οπτικό δρόμο κατά τη διαδρομή του φωτός από ένα σημείο σ’ ένα άλλο και απαιτώντας με το μηδενισμό της πρώτης παραγώγου, την ελαχιστοποίηση του εν λόγω δρόμου. Ο μηδενισμός της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης του OPL, μπορεί πράγματι να οδηγεί σε ελάχιστο

, αλλά μπορεί να οδηγεί σε μέγιστο

ζόντια εφαπτομένη

, ή και σε σημείο καμπής με ορι-

. Θα προσπαθήσουμε με βάση την παραπάνω παρατήρηση να δια-

τυπώσουμε μια γενικευμένη αρχή του Fermat που να καλύπτει όλες τις περιπτώσεις. Προς τούτο θα θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(x), που θα μας δίνει τον OPL σαν συνάρτηση του x. Μπορούμε να έχουμε ως σημείο αναφοράς το Σχ. 3.18. Με βάση τη σχέση (3.85), η συνάρτηση θα είναι:

f ( x)  ct ( x)

(3.87)

Το ποιοτικό διάγραμμα του Σχ. 3.19 μας δίνει τον οπτικό δρόμο σε σχέση με το x.

Σχήμα 3.19 Ο οπτικός δρόμος από το S στο P συναρτήσει του x.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

111

Όπως υπολογίσαμε, ο OPL όταν η ακτίνα διέρχεται από το Ο, είναι ο ελάχιστος. Αυτό όμως συμβαίνει για προσέγγιση πρώτης τάξης. Πράγματι αν αναλύσουμε τη συνάρτηση f(x) σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο xo στο οποίο έχουμε το ελάχιστο (σημείο Ο)

1  d 2 f ( x)  2  df ( x)  έχουμε, f ( x)  f ( xo )     x     , ή θέτο  x    2 2  dx  x  x  dx  x  xo o ντας

 f ( x)  f ( x)  f ( xo ) τη μεταβολή της συνάρτησης, 1  d 2 f ( x)  2  df ( x)       x x        2 dx 2 dx   x xo   x xo

 f ( x)  

Παρατηρούμε ότι στο ελάχιστο του οπτικού δρόμου, όπου έχουμε μηδενισμό της πρώτης παραγώγου, μια μικρή μεταβολή κατά δx γύρω από το σημείο Ο, επιφέρει στη συνάρτηση μεταβολές δεύτερης και ανώτερης τάξης, οι οποίες είναι αμελητέες. Αντίθετα, αν θεωρήσουμε μια εναλλακτική διαδρομή γύρω από το σημείο Ο΄, μια μικρή μεταβολή δx γύρω από το σημείο αυτό, επιφέρει σημαντική μεταβολή στην f(x). Η διαδρομή λοιπόν SOP του Σχ. 3.18 και οι παρακείμενες σ’ αυτήν, δίνουν σχεδόν τον ίδιο οπτικό δρόμο ο οποίος χαρακτηρίζεται ως στάσιμος οπτικός δρόμος. Γιατί όμως το φως ακολουθεί τον στάσιμο OPL κι όχι οποιοδήποτε άλλο; Φυσικά δεν μπορούμε να δεχτούμε ότι το φως έχει κάποιου είδους αντίληψη, ώστε να καταλαβαίνει ποιος είναι ο συντομότερος χρονικά δρόμος. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα δεν αποκλείουμε καμιά από τις εναλλακτικές διαδρομές που μπορούν να οδηγήσουν από το S στο Ρ. Το αποτέλεσμα όμως στο Ρ, προέρχεται από την επαλληλία των κυμάτων που φτάνουν εκεί από το S, μέσω οποιασδήποτε διαδρομής. Όταν φτάνουν όμως από την περιοχή του μικρότερου OPL, τα κύματα φτάνουν σχεδόν σε φάση, με αποτέλεσμα ενίσχυση. Τα κύματα από τις υπόλοιπες διαδρομές παρουσιάζουν μεγαλύτερες διαφορές φάσης, με αποτέλεσμα να προκύπτει ένα κατά μέσο όρο τελικό αναιρετικό αποτέλεσμα (μηδενική συνεισφορά). Με βάση τα παραπάνω, κατά τη μετάβαση του φωτός από ένα σημείο σ’ ένα άλλο, π.χ. κατά την ανάκλασή του, αναζητούμε διαδρομές ίδιου οπτικού μήκους που διανύονται στον ίδιο χρόνο. Αναζητούμε δηλ. τον στάσιμο οπτικό δρόμο. Αυτό για παράδειγμα αξιοποιούμε και στα συστήματα εστίασης του φωτός.

112

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Επαναδιατυπώνουμε λοιπόν τη γενικευμένη αρχή του Fermat: Η πραγματική διαδρομή που ακολουθεί μια οπτική ακτίνα από ένα σημείο S σ’ ένα άλλο Ρ είναι εκείνη για την οποία ο οπτικός δρόμος είναι «στάσιμος» ως προς τις μεταβολές της διαδρομής. Πρέπει να επισημάνουμε ότι η αρχή του Fermat δεν κάνει διάκριση μεταξύ των σημείων S και Ρ. Εμπεριέχει έτσι την αρχή της αντιστρεπτής πορείας του φωτός, η οποία εκφράζει το γεγονός ότι αν αντιστρέψουμε την πορεία από το Ρ στο S, το φως θα ακολουθήσει ακριβώς την αντίστροφη πορεία και θα έχει τον ίδιο οπτικό δρόμο.

3.5.3 Ανάκλαση Έστω μια δέσμη φωτός η οποία διαδίδεται εντός ενός διαφανούς μέσου με δείκτη διάθλασης ni η οποία προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια με ένα δεύτερο οπτικό μέσο με δείκτη διάθλασης nt. Το αποτέλεσμα είναι, ένα ποσοστό της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, αλλάζοντας διεύθυνση διάδοσης να συνεχίσει να κινείται στο πρώτο μέσο διάδοσης, οπότε το φαινόμενο ονομάζεται ανάκλαση. Το υπόλοιπο, διέρχεται στο δεύτερο μέσο αλλάζοντας διεύθυνση διάδοσης, φαινόμενο που ονομάζεται διάθλαση. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι το φαινόμενο της ανάκλασης παρατηρείται όταν έχουμε απότομη μεταβολή του δείκτη διάθλασης μεταξύ των δύο μέσων και περιλαμβάνει όλη την έκταση της προσπίπτουσας δέσμης.. Με μια βαθμιαία μεταβολή του δείκτη διάθλασης πολύ λίγο φως ανακλάται. Όταν το φως πρόκειται να μεταβεί από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο, η ανάκλαση ονομάζεται εσωτερική (internal), ενώ στην αντίθετη περίπτωση, εξωτερική (external).

Σχήμα 3.20

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

113

Θα θεωρήσουμε την περίπτωση μιας λείας διαχωριστικής επιφάνειας, χωρίς ανωμαλίες και θα εξετάσουμε την ανάκλαση με απλά γεωμετρικά σχήματα, όπως στο Σχ. 3.20. Για το σχεδιασμό θεωρήσαμε τη μετάβαση μιας μονοχρωματικής ακτίνας, από τον αέρα στο γυαλί. Τόσο πειραματικά όσο και θεωρητικά, αποδεικνύονται οι νόμοι της ανάκλασης, οι οποίοι είναι: Α) Η προσπίπτουσα στη διαχωριστική επιφάνεια, η κάθετος και η ανακλώμενη, ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, που ονομάζεται επίπεδο πρόσπτωσης. Β) Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. Στην περίπτωση της λείας επίπεδης επιφάνειας, μια προσπίπτουσα δέσμη παράλληλων ακτίνων θα μας δώσει μια ανακλώμενη δέσμη παράλληλων ακτίνων. Η ανάκλαση τότε ονομάζεται κατοπτρική. Αν η επιφάνεια παρουσιάζει μικροανωμαλίες, τότε παρόλο που για κάθε ακτίνα ισχύει ο νόμος της ανάκλασης, η δέσμη που προκύπτει διαχέεται σε όλες τις διευθύνσεις. Ο όρος που περιγράφει την εν λόγω ανάκλαση, είναι διάχυση. Χάρις στη διάχυση, μπορούμε και βλέπουμε τα αντικείμενα γύρω μας.

Σχήμα 3.21

Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να ερμηνεύσουμε την ανάκλαση, στη βάση της σκέδασης του φωτός από τους ατομικούς ταλαντωτές του υλικού. Αν το φως έρχεται από μακρινή απόσταση, τα άτομα της διαχωριστικής επιφάνειας εξαναγκάζονται σε ταλάντωση από το ηλεκτρικό πεδίο του Η/Μ κύματος, με αποτέλεσμα την επανεκπομπή του φωτός. Κάθε άτομο που εξαναγκάζεται σε ταλάντωση εκπέμπει σφαιρικά κύματα προς όλες τις διευθύνσεις. Η συμβολή των κυμάτων αυτών μας δίνει το ανακλώμενο κύμα.

114

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Σχήμα 3.22 Δύο φωτεινές ακτίνες που προσπίπτουν σε άτομα που απέχουν απόσταση d.

Στο Σχ. 3.22, η φωτεινή ακτίνα στα αριστερά, προσπίπτει με γωνία πρόσπτωσης θin και θέτει πρώτη σε ταλάντωση ένα άτομο. Έτσι το δεύτερο άτομο υστερεί σε φάση κατά 2



d sin in . Θεωρούμε τις ανακλώμενες στη διεύθυνση που σχηματίζει γωνία θout.

Το

ανακλώμενο κύμα προς αυτή τη διεύθυνση από το άτομο στα δεξιά, προηγείται σε φάση κατά 2 d sin  out . Το αποτέλεσμα είναι το δεύτερο άτομο να εμφανίζει αυξημένη φάση  έναντι του πρώτου, κατά   2 d sin  out  2 d sin in . Η συμβολή των ανακλώμενων   κυμάτων θα δώσει μέγιστο, όταν

  2m .

Για τις ορατές ακτινοβολίες, η ενδοατομική απόσταση d, είναι κατά πολύ μικρότερη του μήκους κύματος, με αποτέλεσμα να παρατηρούμε ένα μόνο κεντρικό μέγιστο ( m = 0). Πράγματι, για τη διαφορά φάσης φ μεταξύ των γειτονικών ατόμων έχουμε:



2 d



 sin out  sin in  

2 d

2sin(

  out  in

 out  in 2

) cos(

in   out 2

)

  sin( 2 )  0 in   out     out    in    2 m(m  0)  0   cos(in   out )  0 in   out   in     out   r  2

Η πρώτη λύση αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου το φως μετά τη σκέδαση συνεχίζει την πορεία του στην ίδια διεύθυνση με την οποία προσπίπτει, δηλαδή δεν έχουμε περίθλαση με τη γνωστή έννοια, αλλά το φως "διαδίδεται" ως να μην υπήρχε το "εμπόδιο". Δεν πρόκειται όμως για το ίδιο φως. Αυτό το νέο φως έχει διαφορετικές ιδιότητες. Έχει μεγαλύτερο βαθμό συμφωνίας. Κινούμενο στην αρχική διεύθυνση συμβάλλει με το αρχικό

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

115

φως το οποίο διέρχεται εντός του υλικού χωρίς να σκεδαστεί, δίνοντας το διαθλώμενο φως . Η δεύτερη λύση αντιστοιχεί στην περίπτωση της ανάκλασης. Προκύπτει ότι η ακτίνες ανακλώνται σε γωνία ίση με τη γωνία πρόπτωσης. Συμπερασματικά, η σταθερή διαφορά φάσης μεταξύ των γειτονικών ελεγχόμενων εκπομπών (ατόμων) προκαλεί μετατόπιση του κεντρικού λοβού κατά μια γωνία.

2 m   

2sin(

2 d



 out  in 2

 sin out  sin in   a

) cos(

in   out 2

)  (2 m  a)

a    (m  ) 2 d 2 d

a  a d ) | 2 | ) 0  m  (| 2 |  2 d 2 d      a   |1| sin( out in ) cos( in out )    1 2 2 4 d 2d (m 

Όμως το πρώτο μέλος είναι μικρότερο ή ίσο της μονάδος, ενώ το δεύτερο πολύ μεγαλύτερο της μονάδος, οπότε δεν μπορούν να είναι ίσα. Οπότε αν έχουμε d << λ, δεν μπορούμε να έχουμε πεπερασμένη διαφορά φάσεως μεταξύ γειτονικών σημείων της επιφάνειας. Επίσης με την ίδια συλλογιστική προκύπτει γιατί τα υλικά ανακλούν σε μια ορισμένη γωνία( = νόμος ανακλάσεως) στην ορατή περιοχή αλλά δίδουν φάσματα περιθλάσεως στις ακτίνες Χ. Αυτό συνάγεται από το γεγονός, ότι στα υλικά τα άτομα απέχουν μεταξύ τους μερικά Å. Στη περιοχή της ορατής ακτινοβολίας ισχύει λ >> d, οπότε αν ένα κύμα προσπίπτει με μια γωνία i  0, διεγείρει τα επιφανειακά άτομα το ένα μετά το άλλο με τέτοιο τρόπο που να έχουν μεταξύ τους σταθερή διαφορά φάσεως.

3.5.4 Διάθλαση Η κλασσική ερμηνεία της διάθλασης ήδη έχει αναφερθεί στην προηγούμενη ενότητα. Επίσης έχουμε εξετάσει τι συμβαίνει στο Η/Μ κύμα κατά την είσοδο και διάδοση εντός του υλικού. Το πραγματικό μέρος του δείκτη διάθλασης είναι υπεύθυνο για τη μεταβολή

116

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

της φάσης, γεγονός που εντός του υλικού, αντιστοιχεί σε ταχύτητα φάσης διαφορετική του c. Θα μελετήσουμε ορισμένα ακόμη φαινόμενα που παρατηρούνται κατά τη διάθλαση καθώς και τους νόμους που τη διέπουν. Νόμοι της διάθλασης: α) Η προσπίπτουσα φωτεινή ακτίνα, η διαθλώμενη και η κάθετος στη διαχωριστική ε-

πιφάνεια, ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, το επίπεδο πρόσπτωσης. β) Αν θi και θt οι γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης αντίστοιχα και ni, nt οι δείκτες διά-

θλασης των δύο μέσων, από το νόμο Snell, έχουμε:

ni sin i  nt sin t

(3.88)

Διερεύνηση στο νόμο Snell: (Στα παρακάτω σχήματα λαμβάνεται υπ’ όψη μόνο η διάθλαση).

1. Αν μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός μετα-

βαίνει από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο

μέσο,

δηλαδή

ni  nt ,

τότε,

sin i  sin t δηλαδή,  i   t . Τότε η διαθλώμενη πλησιάζει προς την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια. Επίσης για τις ταχύτητες

διάδοσης

ni  nt 

c

i



του

c

t

Η/Μ

κύματος

στα

δύο

οπτικά

μέσα

ισχύει:

 i  t Η γωνιακή εκτροπή, όπως προκύπτει από το σχήμα, εί-

ναι:   i   t 2. Αν μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός

μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, δηλαδή τότε, sin i  sin t

ni  nt ,

, δηλαδή  i   t .

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

117

Τότε η διαθλώμενη απομακρύνεται από την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια. Επίσης για τις ταχύτητες στα δύο οπτικά μέσα ισχύει: ni  nt  Η γωνιακή εκτροπή, όπως προκύπτει από το σχήμα, είναι:

3. Αν

c

i



c

t

 i  t

  b   a

i  0o , τότε t  0o . Δηλαδή, όταν η φω-

τεινή ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια, απομακρύνεται κάθετα από αυτήν, καθώς κινείται στο δεύτερο μέσο διάδοσης. Για τη συνέχεια θα θεωρήσουμε την πρόσπτωση του φωτός από τον αέρα σε γυαλί. Εκτός από την κάμψη των φωτεινών ακτίνων και την αλλαγή της ταχύτητας διάδοσης, θα παρατηρήσουμε μεταβολή και στο μήκος κύματος. Πράγματι, εντός του γυαλιού,



 v



c , δηλαδή, nv



 n

(3.89)

Όπου το μήκος κύματος λο, αναφέρεται στη διάδοση στο κενό. Η αλλαγή του μήκους κύματος όμως ουδόλως σημαίνει αλλαγή του χρώματος. Το χρώμα εξαρτάται από τη συχνότητα, η οποία παραμένει αμετάβλητη. Μια πρόσθετη παρατήρηση, αναφέρεται στη μεταβολή του πάχους μιας φωτεινής δέσμης, κατά τη διάθλαση. Στο Σχ. 3.23 παρατηρούμε την πρόσπτωση μιας

Σχήμα 3.23 Η διάθλαση φωτεινής δέσμης οδηγεί σε αύξηση της διατομής της, όταν μεταβαίνει από το κενό στο γυαλί.

118

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

ισοφασικής επιφάνειας ΑΒ που μεταβαίνει από το κενό σε γυαλί. Μετά τη διάθλασή της και τη διέλευση στο γυαλί, η αντίστοιχη ισοφασική επιφάνεια που προκύπτει, είναι η DC. Ο χρόνος που χρειάζεται η ακτίνα εντός του γυαλιού να διανύσει την απόσταση ΑD, είναι ο ίδιος με το χρόνο στον οποίο το φως διανύει τη BC στο κενό. Εφόσον στο γυαλί όμως κινείται βραδύτερα, η δέσμη κάμπτεται καθώς περνάει στο γυαλί. Ισχύει,

i  t  cosi  cost  ( AC )cosi  ( AC )cost  ( AB)  ( DC )

3.5.5 Εξισώσεις Fresnel Στα επόμενα, με τη βοήθεια της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας του Maxwell, θα μελετήσουμε την περίπτωση όπου ένα Η/Μ κύμα προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο οπτικών μέσων, εφαρμόζοντας οριακές συνθήκες στο όριο της επιφάνειας. Θα ασχοληθούμε με μη μαγνητικά υλικά όπως είναι τα περισσότερα, εκτός των σιδηρομαγνητικών. Θεωρούμε Η/Μ αρμονικό κύμα που διαδίδεται στο επίπεδο xy και η επιφάνεια που διαχωρίζει τα μέσα ταυτίζεται με το επίπεδο yz (Σχ. 3.24)

Σχήμα 3.24 Η/Μ κύμα προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο οπτικών μέσων.

Οι οριακές συνθήκες που πρέπει να ισχύουν στις δύο όψεις της διαχωριστικής επιφάνειας (1 και 2) είναι:

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

119







 E  P    E o

1

1

o

x

  E1 y  E2 y   E1z  E2 z   B1  B2

 

  P 2 2



x

(3.90)

Όπου P1 , P2 οι πολώσεις των διηλεκτρικών αριστερά και δεξιά της επιφάνειας yz. Έστω k, k΄, k΄΄ τα κυματοδιανύσματα του προσπίπτοντος, του ανακλώμενου και του διερχόμενου κύματος, αντίστοιχα. Θεωρούμε επίσης ότι οι γωνιακές συχνότητες είναι αντίστοιχα ω, ω΄, ω΄΄. Έστω ότι το προσπίπτων αρμονικό επίπεδο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση,

Ei  Eoi e

 i (t  kr )

(3.91)



Θεωρούμε ότι το κυματοδιάνυσμα k δεν έχει συνιστώσα στον άξονα z, οπότε

 kr  k x x  k y y

(3.92)

Για το ανακλώμενο και το διαθλώμενο κύμα θα ισχύουν οι εξισώσεις

Er  Eor e

 i (΄t  k΄r )

(3.93)

 

Et  Eot ei (΄΄t k΄΄r )

(3.94)

Για τα μέτρα των κυματοδιανυσμάτων ισχύει:

k k k  2

2 x

2 y

 2 ni2 c2

(3.95)

Για το ανακλώμενο,

k΄ 

΄ 2 ni2

k΄΄ 

΄΄ 2 nt2

2

c2

(3.96)

Ενώ για το διερχόμενο, 2

c2

(3.97)



Θα θεωρήσουμε την περίπτωση γραμμικά πολωμένου κύματος του οποίου η ένταση E είναι κάθετη στο επίπεδο πρόσπτωσης δηλαδή είναι παράλληλη στον άξονα z, όπως φαίνεται στο Σχ. 3.25

120

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Σχήμα 3.25

Γραμμικά πολωμένο Η/Μ κύμα στον άξονα z.

Απόδειξη των νόμων ανάκλασης και διάθλασης

Εφαρμόζουμε την τρίτη από τις οριακές συνθήκες της (3.90), για x=0, δηλαδή στην επιφάνεια yz. Προκύπτει,

E1z  E2 z  Ei  Er  Et 

Eoi e

i (t  k y y )

 Eor e

i (΄t  k΄y y  k΄z z )

 Eot e

i (΄΄t  k΄΄y y  k΄΄z z )

(3.98)

Στην (3.98), θεωρήσαμε τη γενική περίπτωση όπου το ανακλώμενο και το διερχόμενο, είναι δυνατόν να μην ανήκουν στο επίπεδο πρόσπτωσης. Για να ισχύει η (3.98) σε κάθε χρονική στιγμή και σε κάθε θέση της επιφάνειας yz, πρέπει οι παράγοντες φάσης των κυμάτων να είναι ίσοι, δηλαδή,

t  k y y  ΄t  k΄y y  k΄z z  ΄΄t  k΄΄y y  k΄z΄ z

(3.99)

Έτσι, για t=0 και στη θέση y=0 η (3.99) ισχύει, μόνο αν k z  k z  0 . Δηλαδή επιβε΄

΄΄

βαιώνεται αυτό που είχαμε υποθέσει στην ανάκλαση και τη διάθλαση, ότι δηλαδή η ανακλώμενη και η διαθλώμενη ακτίνα ανήκουν στο επίπεδο πρόσπτωσης. Θέτοντας επιπλέον y=0, συμπεραίνουμε ότι ω=ω΄=ω΄΄. Το ανακλώμενο και το διαθλώμενο κύμα έχουν την ίδια συχνότητα με το προσπίπτων. Εν τέλει η (3.99), μεταπίπτει στην

t  k y y  t  k΄y y  t  k΄y΄ y από την οποία συμπεραίνουμε ότι,

(3.100)

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

121

k y  k΄y  k΄΄y

(3.101)

Με τη βοήθεια των (3.95),(3.96) και (3.97), επιπλέον, προκύπτει

k 2 k ΄ 2 k ΄΄ 2   2 ni2 ni2 nt

(3.102)

Από την πρώτη ισότητα έχουμε (3.101) k 2  k΄ 2  k x2  k y2  k΄x2  k΄y2   k x2  k΄x2  k x   k΄x

Το θετικό πρόσημο δεν έχει νόημα, μιας και δίνει την πληροφορία ότι δεν έχει συμβεί ανάκλαση. Επομένως,

k x  k΄x

(3.103)

Από τα παραπάνω και με βάση το Σχ. 3.24, έχουμε sin  i 

ky k



k΄y k΄

 sin  r . Συμπε-

ραίνουμε ότι i   r , που είναι ο νόμος της ανάκλασης. Το ανακλώμενο κύμα γράφεται

Er  Eor e

i ( t  k x x  k y y )

(3.104)

Από το Σχ. 3.24 προκύπτει ακόμη,

sin i 

ky k

k

ky

sin i

και sin t 

k΄΄y k΄΄

 k΄΄ 

k΄΄y sin t

Η (3.102) τότε δίνει,

k y2 k΄΄y 2 k 2 k΄΄ 2 (3.101)  2  2 2  2 2   ni sin  i  nt sin t 2 ni nt ni sin i nt sin t Όπως διαπιστώνουμε η σχέση που προέκυψε, είναι ο νόμος της διάθλασης του Snell. Μια χρήσιμη σχέση που προκύπτει για την περαιτέρω μελέτη, είναι η

k

΄΄ 2 x

k

΄΄ 2

k

΄΄ 2 y

 k (3.102) (3.101)

΄΄ 2 x

nt2 2  2 k  k y2 ni

(3.105)

122

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Σχέσεις μεταξύ των πλατών

Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των συνοριακών συνθηκών, θα προσδιορίσουμε τη σχέση μεταξύ των πλατών του προσπίπτοντος, του ανακλώμενου και του διαθλώμενου κύματος, όπου θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:



α) E κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης.

Αρχικά αναφερόμαστε στο Σχ. 3.25 όπου η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθετη στο επίπεδο πρόσπτωσης. Εφαρμόζοντας την τρίτη από τις οριακές συνθήκες (3.90), προέκυψε η σχέση (3.98) η οποία πρέπει να ισχύει σε κάθε θέση της επιφάνειας (x=0), όπως και για κάθε τιμή του y, έστω για y=0, και σε κάθε χρονική στιγμή, έστω για t=0 (επίσης όπως δείξαμε,

k΄z  k΄΄z  0 ) . Προκύπτει τότε η σχέση μεταξύ των πλατών,

Eoi  Eor  Eot

(3.106)

Η εξίσωση (3.106) είναι μια εξίσωση με δύο αγνώστους, τα πλάτη του ανακλώμενου και του διερχόμενου κύματος. Αναζητούμε άλλη μια εξίσωση με τους ίδιους αγνώστους. Η τέταρτη των οριακών συνθηκών, μας λέει ότι το μαγνητικό πεδίο παρουσιάζει συνέχεια στις δύο όψεις της επιφάνειας. Αυτό σημαίνει ότι και οι συνιστώσες του στους άξονες θα παρουσιάζουν συνέχεια. Όμως Βz=0, οπότε απομένουν οι Βx και Βy. Για τον προσδιορισμό των συνιστωσών, εργαζόμαστε πάνω στη σχέση (3.24),

  xˆ  k E  1  Bi  k x Bi    0

yˆ ky 0

zˆ  k E kE 0  Bi  y i xˆ  x i yˆ   Ei

Παρομοίως προκύπτουν οι τιμές για το ανακλώμενο και το διαθλώμενο κύμα. Η απαίτηση της συνέχειας της y συνιστώσας, δίνει,

By1  By 2  Byi  Byr  Byt  

k x Ei





k΄x Er





k΄΄x Et





(3.103)  k x Ei  k x Er  k΄΄x Et  k x Ei  k΄x Er  k΄΄x Et 

k x Eoi  k x Eor  k΄΄x Eot

(3.107)

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

123

Οι εξισώσεις (3.106) και (3.107) αποτελούν σύστημα πρωτοβάθμιων εξισώσεων, με την επίλυση των οποίων προκύπτουν οι εξισώσεις,

k x  k΄΄x Eoi Eor  k x  k΄΄x

(3.108)

2k x Eoi k x  k΄΄x

(3.109)

Eot 

Με βάση το Σχ. 3.24 προκύπτει:

k x  k cosi 

 ni c

cosi και k΄΄x  k΄΄ cost 

 nt c

cost .

 Eor   Eot   και t    το συντελεστή ανάκλασης πλάτους  Eoi    Eoi  

Επίσης θέτουμε r  

(amplitude reflection coefficient) και το συντελεστή διέλευσης πλάτους (amplitude transmission coefficient), αντίστοιχα. Από τις σχέσεις (3.108) και (3.109), προκύπτει,

r 

ni cosi  nt cost ni cosi  nt cost

(3.110)

t 

2ni cosi ni cosi  nt cost

(3.111)

Με τη βοήθεια του νόμου Snell, οι παραπάνω συντελεστές μπορούν να εκφραστούν σε σχέση μόνο με τις γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης. Θέτοντας nt  ni sin i , προκύsin t πτουν οι,

r 

sin t  i  sin t  i 

(3.112)

t 

2sin t cos i sin(i   t )

(3.113)

Οι παραπάνω εξισώσεις (3.110) έως (3.113), αποτελούν τις επονομαζόμενες εξισώσεις Fresnel.

124

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)



β) E παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης.

Στο Σχ. 3.26 απεικονίζεται η περίπτωση όπου το αρμονικό προσπίπτων κύμα είναι πολωμένο, ώστε το ηλεκτρικό του πεδίο να βρίσκεται επί του επιπέδου πρόσπτωσης,

Σχήμα 3.26 Το ηλεκτρικό πεδίο είναι παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης.

ενώ το μαγνητικό πεδίο έχει τη διεύθυνση του άξονα z. Με παρόμοιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση, εφαρμόζοντας τη συνέχεια των εφαπτομενικών συνιστωσών Εy και Βz, προκύπτουν οι συντελεστές πλάτους ανάκλασης και διάθλασης. Το σύμβολο





αναφέρεται στην παραλληλία του E με το επίπεδο πρόσπτωσης. Μετά από πράξεις

προκύπτουν οι εξισώσεις,

 E  n cosi  ni cost r   or   t  Eoi  nt cosi  ni cost

(3.114)

E  2ni cosi t   ot    Eoi  ni cost  nt cosi

(3.115)

Με τη βοήθεια του νόμου Snell, οι παραπάνω συντελεστές μπορούν να εκφραστούν σε σχέση μόνο με τις γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης. Θέτοντας nt  ni sin i , προκύsin t πτουν οι, tan(i  t ) tan(i  t )

(3.116)

2sin t cosi sin(i  t )cos(i  t )

(3.117)

r  t 

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

125

Παρατηρήσεις στις σχέσεις (3.110) έως (3.117)



Στην περίπτωση της εξωτερικής ανάκλασης, όπου ni  nt , από το νόμο Snell, προκύπτει ότι

i  t . Τότε έχουμε r  0 και t  0 . Συμπεραίνουμε ότι κατά τη με-

τάβαση από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο, το ανακλώμενο κύμα εμφανίζει ένα άλμα φάσης κατά π rad, ενώ το διαθλώμενο είναι συμφασικό με το προσπίπτων (στο όριο). Για i  0 , οπότε t  0 προκύπτουν οι τιμές r  o

t 

o

ni  nt και ni  nt

2ni . Π.χ. για κάθετη πρόσπτωση από το κενό ni  1 σε γυαλί nt  1,5 , ni  nt

προκύπτουν οι τιμές r  0,2 και t  0,8 . Επίσης όσο

i  ο συντελεστής r  , ενώ t  . Δηλαδή για μεγάλες γωνίες πρό-

σπτωσης ενισχύεται η ανάκλαση, έναντι της διάθλασης. Καθώς η γωνία

i  90o ,

r  1 και t  0 . Τα παραπάνω φαίνονται στο διάγραμμα του Σχ. 3.27, όπου έχουμε τη γραφική παράσταση των συντελεστών πλάτους για την ανάκλαση και τη διάθλαση, για τις δύο περιπτώσεις πόλωσης που μελετήσαμε.

Σχήμα 3.27 Οι συντελεστές πλάτους, ανάκλασης και διάθλασης για τις δύο δυνατές πολώσεις, σε συνάρτηση με τη γωνία πρόσπτωσης θi, για την περίπτωση όπου ni=1 και nt=1,5 (γυαλί).

126

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Συνεχίζοντας τη μελέτη για τη συμπεριφορά των συντελεστών στην περίπτωση της μετάβασης από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο, διαπιστώνουμε για το συντελεστή r ότι ξεκινάει από θετικές τιμές και καθώς

i  , r  . Για i  0o ,

προκύπτει r  nt  ni   r  o Δηλαδή οι δύο συντελεστές ανάκλασης είναι ίσοι, i  0 nt  ni μιας και δεν μπορούμε να αποφανθούμε για το ποιο είναι το επίπεδο πρόσπτωσης. Για την περίπτωση του γυαλιού, r  0,2 . Καθώς η

i  , προκύπτει r  0 , όταν

i  t  90o , οπότε ο παρονομαστής της (3.116), τείνει στο άπειρο. Η γωνία πρόσπτωσης για την οποία συμβαίνει αυτό, συμβολίζεται με θp και ονομάζεται γωνία Brewster. Είναι η γωνία για την οποία δεν υπάρχει ανακλώμενο κύμα. Στην περί-

πτωση αυτή το προσπίπτων κύμα αναγκάζει σε ταλάντωση τα άτομα του υλικού κατά μήκος της διεύθυνσης παρατήρησης (αυτής που αντιστοιχεί σε γωνία ανάκλασης θr), οπότε δεν υπάρχει συνιστώσα της επιτάχυνσης των φορτίων σε διεύθυνση κάθετη στην ευθεία παρατήρησης (βλ. εξίσωση (2.6)). Σε γωνίες μεγαλύτερες της θp, ο r  και για

i  90o , r  1 . Όσο για το συντελεστή t , για κάθετη πρόσπτωση έχει 2n

i . Καθώς η ίδια τιμή με τον αντίστοιχο t , δηλαδή, t  o  t  o   0  0 ni  nt

i  ,

ο συντελεστής t  κι όταν i  90 , τότε t  0 . o



Στην περίπτωση της εσωτερικής ανάκλασης ni  nt , οπότε

i  t . Ο συντελεστής

r είναι θετικός για όλες τις τιμές της θi, παίρνοντας την τιμή +1 για γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες της κρίσιμης γωνίας θc (για τη γωνία θc θα γίνει λόγος στην επόμενη ενότητα). Όσο για το συντελεστή r , για μικρές γωνίες της θi, έχει αρνητικές τιμές. Καθώς i  , ο r αυξάνεται αλγεβρικά και μηδενίζεται στη γωνία Brewster θp. Για μεγαλύτερες γωνίες έχει θετικές τιμές, ενώ στην κρίσιμη γωνία, παίρνει τιμή +1.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

127

Σχήμα 3.28 Συντελεστές ανάκλασης για τη μετάβαση από το γυαλί ni=1,5 στον αέρα nt=1. Διακρίνεται η γωνία πόλωσης θp και η κρίσιμη γωνία θc.

Συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης

Θεωρούμε μια κυκλική δέσμη φωτός που προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια και σε εμβαδό Α, όπως στο Σχ. 3.29. Όπως γνωρίζουμε το διάνυσμα Poynting εκφράζει την



ισχύ ανά μονάδα επιφάνειας στην οποία η κάθετος είναι παράλληλη στο S . Τότε στο κενό,

   S  c 2 o E  B

Σχήμα 3.29 Προσπίπτουσα, ανακλώμενη και διαθλώμενη κυκλική δέσμη φωτός

(3.118)

128

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Επί πλέον, η μέση χρονική τιμή της έντασης της ακτινοβολίας, (Irradiance) είναι,

I S

T



c o 2 Eo 2

(3.119)

Αυτή, είναι η μέση τιμή της ενέργειας ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας,



κάθετα στο S . Έστω Ii, Ir, It οι εντάσεις για το προσπίπτων , το ανακλώμενο και το διερχόμενο κύμα. Επίσης οι εγκάρσιες διατομές είναι αντίστοιχα, Acosθi, Acosθr και Acosθt. Τότε η διερχόμενη ισχύς είναι σε κάθε περίπτωση, IAcosθ. Ορίζεται ο συντελεστής ανάκλασης R (Reflectance), ως το κλάσμα της προσπίπτουσας ισχύος, η οποία ανακλάται, δηλαδή

R

I r A cos r I r  I i A cosi I i

(3.120)

Όπου θεωρήσαμε την ισότητα της γωνίας πρόσπτωσης με τη γωνία ανάκλασης. Ορίζεται επίσης ο συντελεστής διέλευσης T (transmittance) από τη σχέση,

T

I t cost I i cosi

(3.121)



r r Eor2 I Με τη βοήθεια της (3.119), η (3.120), γράφεται, R  r  2  I i  i i E 2 oi 2

2

E  R   or   r 2  Eoi  όπου λάβαμε υπ’ όψη ότι i  r 

1

 r 

,

 i   r και kM  1 .

Ομοίως, η σχέση (3.121)με τη βοήθεια της (3.119), γράφεται,

t  t T 2

i i 2

Όμως,

i2 

Eot2 cost Eoi2 cosi

1

 o i

T 

ni t Eot2 cost t t Eot2 cost T   nt i Eoi2 cosi i i Eoi2 cosi

 o ii 

1

i

 o ii 

ni n και ομοίως, o tt  t c c

(3.122)

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

129

t t Eot2 cost nt Eot2 cos t T T   i i Eoi2 cosi ni Eoi2 cosi

Άρα

T

nt cost 2 t ni cosi

(3.123)

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση όπου

t  i  0 . Τότε τα R και T είναι

τα πηλίκα των κατάλληλων εντάσεων Ι. Επίσης, εφόσον R  r δε χρειάζεται να ανησυχούμε για το πρόσημο του r.

2

Όμως το Τ δεν είναι ίσο με t2. Αυτό συμβαίνει για δύο λόγους. Πρώτον, το πηλίκο των δεικτών διάθλασης πρέπει να εμφανίζεται, μιας και οι εντάσεις είναι ανάλογες των ταχυτήτων, στα μέσα διάδοσης

 I  

E2





και δεύτερον οι εγκάρσιες διατομές

των επιφανειών πρόσπτωσης και διάθλασης, είναι διαφορετικές. Για το Σχ. 3.29, η διατήρηση της ενέργειας, δίνει,

I i A cosi  I r A cos r  I t A cost 

 ii

Eoi2 cosi 

2

 ii

Eor2 cosi 

 tt

Eot2 cost 

2 2 2 c ii E cosi  c ii Eor cosi  c tt Eot2 cost  2 oi

ni ii2 Eoi2 cosi  ni ii2 Eor2 cosi  nt tt2 Eot2 cost  ni i

1

 i i

Eoi2 cosi  ni i

1

 i i

Eor2 cosi  nt t

1

 t t

i  t  o Eot2 cost  

ni Eoi2 cosi  ni Eor2 cosi  nt Eot2 cost Άρα,

1

Eor2 nt cost Eot2   Eoi2 ni cosi Eoi2

R  T 1 Με τη μορφή των συνιστωσών, R  r

2

T 

 R  r2 και

nt cost 2 n cost 2 t  T  t t ni cosi ni cosi

Μπορεί επίσης να αποδειχθεί, ότι: R  T  1

 R  T  1.

(3.124)

130

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Στην περίπτωση της κάθετης πρόσπτωσης,  t   i  0 , οπότε προκύπτουν,

 n  ni  R  R  R   t   nt  ni  T  T  T 

2

4ni nt

 ni  nt 

2

(3.125)

(3.126)

Αν πάρουμε ως παράδειγμα την κάθετη πρόσπτωση στη διαχωριστική επιφάνεια γυαλιού (ng=1,5) – αέρα, τo 4% της ακτινοβολίας ανακλάται και αυτό συμβαίνει είτε σε εσωτερική είτε σε εξωτερική ανάκλαση. Ανάκλαση από τα μέταλλα

Για τη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε τα παραπάνω πορίσματα, ώστε να εξηγήσουμε την ανάκλαση του φωτός από τα μέταλλα. Χάριν ευκολίας, θα θεωρήσουμε κάθετη πρόσπτωση του φωτός από τον αέρα σε μια μεταλλική επιφάνεια, οπότε

i  t  0o και ni=1 . Στη γενική περίπτωση ο δείκτης διάθλασης του υλικού είναι μιγαδικός αριθμός, δηλαδή n  nR  inI . Ο συντελεστής ανάκλασης, από τη σχέση 2

*

n 1  n  1  n  1  (3.125), προκύπτει, R     . Μετά από πράξεις, n 1  n  1  n  1  nR  1  nI2  R 2  nR  1  nI2 2

(3.127)

Στην περίπτωση ενός διηλεκτρικού, η αγωγιμότητα τείνει στο μηδέν, οπότε στις περισσότερες περιπτώσεις, ο συντελεστής εξασθένησης nI είναι μηδενικός και ο δείκτης διάθλασης πραγματικός αριθμός. Στην περίπτωση όμως που το φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης είναι μεγάλο σε σχέση με το πραγματικό, όπως στα μέταλλα, τα πράγματα είναι διαφορετικά. Αν θεωρήσουμε την περίπτωση ενός καθαρά φανταστικού δείκτη διάθλασης, όπου n  inI , από τη σχέση (3.127), προκύπτει R  1 . Δηλαδή η μεταλλική επιφάνεια ανακλά το 100% της προσπίπτουσας φωτεινής ενέργειας. Αυτό είναι μια ακραία περίπτωση που δεν ισχύει για όλα τα μέταλλα, καθώς ο δείκτης διάθλασης, δεν είναι καθαρά φανταστικός. Ως παράδειγμα, παραθέτουμε την περίπτωση ανάκλασης μο-

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

131

νοχρωματικού φωτός με λ ο =589,3nm από κρύσταλλο νατρίου, όπου nR  0,04 ,

nI  2,4 και R  0,9 . Για την ίδια ακτινοβολία όταν προσπίπτει σε κασσίτερο, nR  1,5 , nI  5,3 και R  0,8 . Παρατηρούμε, ότι ο συντελεστής ανάκλασης για το νάτριο είναι μεγαλύτερος σε σχέση με τον κασσίτερο, παρόλο που ο συντελεστής εξασθένησης nI του νατρίου, είναι μικρότερος. Από την άλλη, έχουμε δει ότι όταν έχουμε μεγάλο φανταστικό μέρος, ο συντελεστής απορρόφησης β (βλ. §3.4.4) παίρνει μεγάλες τιμές, γεγονός που οδηγεί σε γρήγορη εξασθένηση του διαθλώμενου κύματος. Από τα παραπάνω, απορρέει ένας γενικός κανόνας ότι, αν οποιοδήποτε υλικό απορροφά πολύ καλά σε οποιαδήποτε συχνότητα, τα κύματα ανακλώνται ισχυρά από την επιφάνειά του και πολύ μικρό μέρος εισέρχεται εντός του υλικού, ώστε να απορροφηθεί.

3.5.6 Ολική εσωτερική ανάκλαση Θεωρούμε την περίπτωση όπου το φως πρόκειται να μεταβεί από ένα οπτικά πυκνότερο προς ένα οπτικά αραιότερο μέσο, δηλαδή ni  nt . Από το νόμο του Snell, η γωνία διάθλασης προκύπτει μεγαλύτερη της γωνίας πρόσπτωσης. Αν αυξήσουμε προοδευτικά τη γωνία θi, τότε για κάποια τιμή της, θc, η γωνία διάθλασης γίνεται

t  90o , δηλαδή η

διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια.

Σχήμα 3.30 Αν ni>nt και θi=θc, η διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια.

Η γωνία πρόσπτωσης θc για την οποία συμβαίνει αυτό, ονομάζεται κρίσιμη ή ορική γωνία (critical angle). Από το νόμο του Snell προκύπτει, sin  c  nt sin 90o ni

ή

132

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

sin  c 

nt ni

(3.128)

Από τη σχέση (3.128), προκύπτει ότι τέτοια γωνία υπάρχει, μόνο όταν το φως πρόκειται να μεταβεί από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο. Στην περίπτωση που το δεύτερο μέσο είναι το κενό ή ο αέρας ( n έ   1 ) η σχέση μεταπίπτει στην, sin  c 

1 n

(3.129)

Όπου n ο δείκτης διάθλασης του πρώτου μέσου διάδοσης. Για γωνίες μεγαλύτερες της κρίσιμης γωνίας, δεν υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα, οπότε όλη η προσπίπτουσα ισχύς ανακλάται. Το φαινόμενο ονομάζεται, ολική εσωτερική ανάκλαση (total internal reflection). Πράγματι, από τα λεχθέντα στην § 3.5.5, όταν

i  c , οι συντελεστές ανάκλασης

πλάτους, r  r  1, οπότε από τη σχέση (3.122), προκύπτει R  1 και από τη (3.124),

T  0 . Για γωνίες μεγαλύτερες της θc, οι εν λόγω συντελεστές γίνονται μιγαδικοί αριθμοί, όπως θα δειχθεί αργότερα. Πλήθος εφαρμογών στηρίζονται στο παραπάνω φαινόμενο. Μέσω των οπτικών ινών μεταφέρονται Η/Μ κύματα σε μεγάλες αποστάσεις, χωρίς σημαντική εξασθένηση. Περισκόπια υποβρυχίων λειτουργούν χάρις στην ολική εσωτερική ανάκλαση. Το γυαλί με δείκτη διάθλασης n  1,5 , έχει κρίσιμη γωνία

 c  42o . Με βάση τις

τιμές αυτές κατασκευάζονται τα πρίσματα ολικής ανάκλασης (Σχ. 3.31), που μπορούν να εκτρέψουν τις φωτεινές ακτίνες σε επιθυμητές διευθύνσεις.

Σχήμα 3.31 Πρίσματα ολικής ανάκλασης.

Για τη συνέχεια θα μελετήσουμε το φαινόμενο από τη σκοπιά των συνοριακών συνθηκών.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

133

Από τη σχέση (3.105), για το διερχόμενο κύμα το κυματοδιάνυσμα στη διεύθυνση x, δίνεται από τη k

k

΄΄ 2 x

k

΄΄ 2 x

΄΄ 2 x

nt2 2 n  2 k  k y2 , όπου k y  k sin i , με k  i . Άρα, ni c

2  nt2 2 ΄΄ 2 2 2 2  nt  2 k  k sin i  k x  k  2  sin 2 i   ni  ni 



 2 ni2  nt2

  2 nt2  ni2 2  ΄΄ 2  2  sin i   k x  2 1  2 sin i  c  nt  ni  

c2

Για γωνίες πρόσπτωσης

2

i   c , προκύπτει ότι

ni sin i  1 . Άρα ο k΄΄x είναι μιγαδικός nt

αριθμός, που μέσω των σχέσεων (3.108) και (3.109), μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι και οι συντελεστές ανάκλασης πλάτους r και r , είναι μιγαδικοί αριθμοί. Με βάση τα παραπάνω, έστω ότι k x  ik I , δηλαδή πρόκειται για έναν καθαρά φανταστικό αριθμό. Το ΄΄

ηλεκτρικό πεδίο του διερχόμενου κύματος τότε, γράφεται,

Et  Eot e

i (t  ik I x  k y y )

 Et  e  kI x Eot e

i (t  k y y )

Δηλαδή το πλάτος του κύματος, καθώς κινούμαστε προς το εσωτερικό του δεύτερου μέσου διάδοσης, είτε θα μεγαλώνει ( λύση που αντιστοιχεί σε θετικό εκθετικό όρο), είτε θα μικραίνει. Προφανώς η πρώτη περίπτωση δεν έχει φυσική σημασία. Το αποτέλεσμα που παίρνουμε είναι ένα κύμα που διαδίδεται κατά μήκος της διαχωριστικής επιφάνειας, στη διεύθυνση των y, με πλάτος που μειώνεται εκθετικά προς το εσωτερικό του δεύτερου μέσου, δηλαδή προς τη διεύθυνση των x. Το κύμα αυτό ονομάζεται εξαφανιζόμενο κύμα (evanescent wave). Όπως μπορεί να αποδειχθεί ένα τέτοιο κύμα δε μεταφέρει κατά μέσο

όρο ενέργεια στο δεύτερο μέσο σε αποστάσεις μεγαλύτερες από 1/kI. Όσο για την ενέργεια που μεταφέρει το εξαφανιζόμενο κύμα κατά μήκος της διαχωριστικής επιφάνειας, κάτω από πραγματικές πειραματικές συνθήκες, μπορούμε να πούμε ότι η προσέγγιση του επίπεδου κύματος δεν είναι σωστή, καθώς διαπιστώνουμε μια πεπερασμένη διατομή της ακτινοβολίας με αποτέλεσμα της διάδοση ενέργειας μέσω της εξαφανιζόμενου κύματος, λόγω περίθλασης. Επιπροσθέτως για γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες της κρίσιμης γωνίας, οι συντελεστές ανάκλασης πλάτους είναι μιγαδικοί και δίνουν μια διαφορά φάσης μεταξύ προσπίπτοντος και ανακλώμενου κύματος, που δεν είναι π (εκτός αν θi=90ο). Το

134

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

αποτέλεσμα είναι να μην ικανοποιείται η συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου, εκτός αν δεχτούμε την ύπαρξη του εξαφανιζόμενου κύματος.

Σχήμα 3.32 Κατά την ολική εσωτερική ανάκλαση, κύμα διαδίδεται δεξιά του ορίου, σε απόσταση περίπου ίση με ένα μήκος κύματος.

Ας θεωρήσουμε ότι το δεύτερο μέσο είναι ο αέρας, οπότε nt  1 . Η τιμή του k I τότε είναι της τάξης του ω/c, δηλαδή 1/ k I  o . Δηλαδή, κατά την ολική εσωτερική ανάκλαση στη διαχωριστική επιφάνεια με τον αέρα, υπάρχει πεδίο στον αέρα, που εκτείνεται σε απόσταση περίπου μέχρι ένα μήκος κύματος.

Frustrated total internal reflection (FTIR) ("Εξασθενημένη Ολική Ανάκλαση")

Ας υποθέσουμε ότι μια δέσμη φωτός διαδίδεται στο γυαλί και υφίσταται ολική εσωτερική ανάκλαση στη διαχωριστική επιφάνεια με τον αέρα. Αν φέρουμε σε επαφή με την επιφάνεια μια άλλη όμοια γυάλινη επιφάνεια, θα περάσουμε από την ολική ανάκλαση στην ανεμπόδιστη διάδοση στο δεύτερο μέσο. Δηλαδή, μειώνοντας το κενό, περιμένουμε μια βαθμιαία μετάβαση από την ολική ανάκλαση, στη διέλευση του φωτός. Συμπερασματικά, καθώς το εξαφανιζόμενο κύμα διαδίδεται, αν φέρουμε κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια ένα άλλο διαφανές υλικό μειώνοντας το κενό, είναι δυνατόν να έχουμε ροή ενέργειας σ’ αυτό, μέσω του κενού. Τα ηλεκτρόνια του υλικού αυτού τότε, τίθενται σε ταλάντωση οπότε έχουμε διερχόμενο κύμα. Η διαδικασία είναι γνωστή ως "εξασθενημένη ολική ανάκλαση" ( Frustrated total internal reflection) και απεικονίζεται στο Σχ. 3.33. Εφαρμογές της FTIR μπορούμε να δούμε στους διαχωριστές δέσμης αλλά και σε οθόνες αφής.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

135

Σχήμα 3.33 Αν το κενό μεταξύ των υλικών είναι μικρό, σε σχέση με το μήκος κύματος, η εσωτερική ανάκλαση δεν είναι ολική. Μετά το κενό, παρατηρείται διερχόμενο κύμα εντός του δεύτερου υλικού.

3.5.7 Οπτικές ίνες Μια οπτική ίνα είναι μια γυάλινη ή πλαστική ίνα, μέσα από την οποία μπορεί να διαδοθεί το φως. Η διαδικασία στηρίζεται στο φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης. Η ιδέα χρονολογείται από το 1870 όταν ο John Tyndall έδειξε ότι το φως μπορεί να διαδίδεται μέσα από μια φλέβα νερού, ακολουθώντας την πορεία της. Όμως μέχρι το 1950 καμιά σοβαρή μελέτη δεν έγινε πάνω στη μεταφορά εικόνων διαμέσου δέσμης οπτικών ινών. Η δημιουργία των Laser στη δεκαετία 1960 έδωσε ώθηση στην έρευνα για τη μετάδοση πληροφορίας μέσω των οπτικών ινών. Στα 1970 ερευνητές στο Corning Glass Works παρήγαγαν οπτική ίνα από διοξείδιο του πυριτίου με ισχύ σήματος διάδοσης καλύτερης από 1% σε απόσταση μεγαλύτερη του 1Km που αντιστοιχεί σε εξασθένηση 20dΒ/Km. Εξασθένιση, συγκρίσιμη με αυτή του χαλκού στα ηλεκτρικά συστήματα. Στις δύο επόμενες δεκαετίες η διάδοση ανήλθε στο 96% ανά Km, δηλαδή σε εξασθένηση μόνο 0,16dΒ/Km. Εξαιτίας της χαμηλής απώλειας διάδοσης, της υψηλής ικανότητας μετάδοσης πληροφορίας, του μικρού βάρους και μεγέθους, απρόσβλητης στην ηλεκτρομαγνητική επαλληλία και στην απαράμιλλη ασφάλεια σήματος καθώς και στην αφθονία διάθεσης των απαιτούμενων υλικών (απλή άμμος), οι οπτικές ίνες έχουν γίνει το πρωταρχικό μέσο των επικοινωνιών, αλλά και πληθώρας άλ-

136

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

λων εφαρμογών, όπως της κατασκευής ενδοσκοπίων που χρησιμοποιούνται για την άμεση εξέταση στο εσωτερικό του οργανισμού, κ.α. Η διάδοση του φωτός εντός της οπτικής ίνας, υπακούει στους νόμους της γεωμετρικής οπτικής, όσο η διάμετρός της είναι κατά πολύ μεγαλύτερη των μηκών κύματος που διαδίδονται. Αν όμως η ακτινοβολία έχει μήκη κύματος της τάξης της διαμέτρου της ίνας, όπως συμβαίνει με τη διάδοση μικροκυμάτων, εγείρονται κυματικά φαινόμενα που πρέπει να συνυπολογιστούν.

Σχήμα 3.34 Γυάλινος κύλινδρος με δείκτη διάθλασης nf που περιβάλλεται από αέρα με δείκτη διάθλασης ni=na. Η φωτεινή ακτίνα διαδίδεται παραμένοντας στο εσωτερικό του, λόγω ολικής εσωτερικής ανάκλασης.

Θεωρούμε τον γυάλινο κύλινδρο του Σχ.3.34 με δείκτη διάθλασης n f , που περιβάλλεται από αέρα με δείκτη διάθλασης ni  na . Οι φωτεινές ακτίνες που προσπίπτουν στα εσωτερικά τοιχώματα του κυλίνδρου, υφίστανται ολική εσωτερική ανάκλαση, εφόσον η γωνία πρόπτωσης είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία για την οποία ισχύει:

sin  c 

na n   c  sin 1 a nf nf

Όπως θα δείξουμε μια μεσημβρινή ακτίνα (ομοεπίπεδη με τον κεντρικό άξονα), θα υποστεί πολλές χιλιάδες ολικές ανακλάσεις ανά μέτρο διαδρομής πριν εξέλθει από το άλλο άκρο της ίνας. Αν L το μήκος της ίνας και D η διάμετρος βάσης της, τότε το μήκος διαδρομής της δέσμης είναι :

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

137

 sin 2 i  L L Nό Snell      L 1   2  cost n 1  sin 2 t f  

  n f L  n  sin i  2 f

2



1 2



1 2



(3.130)

όπου θεωρήσαμε ότι ni  na  1 . Η μεταξύ δύο διαδοχικών συγκρούσεων διανυόμενη απόσταση, είναι

D . Συμπεsin  t

ραίνουμε ότι το πλήθος των ολικών ανακλάσεων είναι:

N

  sin t 1 N  1 N  D D sin t N

1

n f L  n 2f  sin 2 i  2 sin t 

D L sin i

D  n 2f  sin 2 i 

1 2

Nό Snell  1 

1

(3.131)

το οποίο στρογγυλοποιείται στον πλησιέστερο ακέραιο. Ο όρος 1 εξαρτάται από το σημείο πρόσπτωσης κατά την έξοδο της ακτίνας. Είναι όμως άνευ σημασίας, διότι το Ν πρακτικά είναι πολύ μεγάλο. Πράγματι, αν D  50  m , i  30o  n f  1,6 , τότε προκύπτουν περίπου 6600 ανακλάσεις ανά μέτρο διαδρομής κατά μήκος του άξονα της ίνας. Για την αποφυγή της διαρροής του φωτός εκτός της ίνας, μέσω “εξασθενημένης ολικής ανακλάσεως” ("frustrated total internal reflection "), πρέπει η επιφάνειά της να διατηρείται καθαρή. Επίσης, αν οπτικές ίνες βρίσκονται πολύ κοντά ( d  1/ k I   ), είναι δυνατόν να μεταβαίνει το φως από τη μια στην άλλη (cross-talk). Γι’ αυτό είναι σύνηθες οι ίνες να επικαλύπτονται με διαφανές περίβλημα χαμηλότερου δείκτη διάθλασης (cladding). Το πάχος του περιβλήματος καταλαμβάνει συνήθως το ένα δέκατο της εγκάρσιας

διατομής, επιτυγχάνοντας έτσι την επιθυμητή απομόνωση της ίνας. Για την επίτευξη της ολικής ανάκλασης στο εσωτερικό της ίνας, η γωνία πρόσπτωσης πρέπει να υπερβαίνει την κρίσιμη γωνία. Αυτό επιβάλλει μια μέγιστη γωνία πρόσπτωσης

 max .

138

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

Σχήμα 3.35 Οπτική ίνα με επίστρωση υλικού με δείκτη διάθλασης nc. Φαίνεται η πορεία μιας φωτεινής ακτίνας με τη μέγιστη επιτρεπόμενη γωνία εισόδου.

Η γωνία αυτή είναι το ήμισυ της γωνίας του κώνου υποδοχής των ακτίνων, για τον οποίο έχουμε μετάδοση εντός της ίνας. Η εν λόγω γωνία υπολογίζεται:

sin  c 

nc n n n  sin  90o  t   c  cos t  c  1  sin 2 t  c  nf nf nf nf ni2 nc ni2 nc2 2 2 1  2 sin  max   1  2 sin  max  2  nf nf nf nf

sin  max 

n

2 f

1 2 2 c

n



ni

(3.132)

Τυπικές τιμές για τον πυρήνα της ίνας και για το περίβλημα αντίστοιχα, είναι

n f  1,62  nc  1,52 . Αν θεωρήσουμε ότι η είσοδος του φωτός γίνεται από τον αέρα,

ni  1 , η εξίσωση (3.132), μας δίνει μέγιστη γωνία εισόδου,  max  34o . Τεχνολογία επικοινωνιών μέσω οπτικών ινών

Κατά τη διάδοση του φωτός μέσω της οπτικής ίνας, παρατηρείται εξασθένηση. Για την περιγραφή της, χρησιμοποιείται η εξασθένηση σε dB ανά Km. Το dΒ ορίζεται:

dB  10log

po . Όπου Pi και Po η ισχύς εισόδου και εξόδου αντίστοιχα. Αν L το μήPi

κος της ίνας σε Km και α η εξασθένηση σε dB/Km, τότε

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

139 aL  po 10  10 Pi

(3.133)

Η απώλεια ισχύος λόγω της εξασθένησης καθορίζει την απόσταση μεταξύ των αναμεταδοτών. Συνήθως, ο κανόνας λέει ότι η ενίσχυση του σήματος, είναι απαραίτητη όταν το πηλίκο των ισχύων πάρει την τιμή 10

5

που σημαίνει εξασθένηση a  50dB / Km .

Στις αρχές της δεκαετίας του 1960 η εξασθένηση για τις τότε ίνες έφτανε τα 1000dB/Km, γεγονός που σημαίνει ότι θα χρειάζονταν αναμεταδότες κάθε 50m. Σήμερα, με τεχνικές απομάκρυνσης προσμίξεων από το γυαλί (κυρίως ιόντων σιδήρου νικελίου και χαλκού), η εξασθένηση έχει μειωθεί περίπου στα 0,16dB / km . Ενίσχυση σήματος

Στη Σχ. 3.36 απεικονίζονται οι τρεις κύριοι τύποι οπτικών ινών που χρησιμοποιούνται στις επικοινωνίες σήμερα.

Σχήμα 3.36 Οι τρεις κύριοι τύποι οπτικών ινών και οι αντίστοιχες μεταβολές των δεικτών διάθλασης. (α) Πολυτροπική ίνας απότομης μεταβολής του δείκτη διάθλασης. (β) Πολυτροπική ίνα βαθμιαίας μεταβολής του δείκτη διάθλασης. (γ) Μονοτροπική ίνα απότομης μεταβολής του δείκτη διάθλασης

(α) Ο πυρήνας είναι σχετικά ευρύς και οι δείκτες διάθλασης πυρήνα και περιβλήματος

έχουν σταθερές τιμές παντού. Πρόκειται για πολυτροπική ίνας απότομης μεταβολής του δείκτη διάθλασης (stepped-index fiber) με ομογενή πυρήνα από 50 έως 200μm και

περίβλημα πάχους 20μm. Είναι ο παλαιότερος τύπος που έχει χρησιμοποιηθεί. Ο συ-

140

3.5 Διάδοση Η/Μ κυμάτων παρουσία εμποδίων ( Οριακές συνθήκες)

γκριτικά μεγάλος κεντρικός πυρήνας του το καθιστά στιβαρό με εύκολη μετάδοση του φωτός και εύκολο τερματισμό, καθώς και σύζευξη. Είναι το φθηνότερο αλλά και το λιγότερο αποτελεσματικό απ’ όλα, παρουσιάζοντας σοβαρά μειονεκτήματα για μετάδοση μακράς εμβέλειας. Αναλόγως της γωνίας εισόδου στην ίνα, μπορούμε να παρατηρήσουμε εκατοντάδες, ή και χιλιάδες διαφορετικές διαδρομές των ακτίνων, εντός του υλικού. Ο κάθε τρόπος αντιστοιχεί σε ελαφρά διαφορετικό χρόνο μετάβασης. Έτσι, μεγαλύτερης γωνίας ακτίνες καθυστερούν σε σχέση μ’ αυτές που κινούνται κοντύτερα στον άξονα. Πρόκειται για διασπορά των τρόπων, που δεν έχει σχέση με διασκεδασμό λόγω εξάρτησης του δείκτη διάθλασης από τη συχνότητα. Η πληροφορία που πρόκειται να μεταδοθεί συνήθως ψηφιοποιείται με κάποιο τρόπο κωδικοποίησης και στέλνεται κατά μήκος της ίνας με τη μορφή ροής εκατομμυρίων παλμών (bits) το δευτερόλεπτο.. Η διαφορά όμως στους χρόνους μετάβασης, αλλοιώνει το σχήμα των παλμών του φωτός που αντιπροσωπεύουν το σήμα, αλλοιώνοντας την πληροφορία. Έστω tmin ο ελάχιστος χρόνος που αναφέρεται σε αξονική ακτίνα και tmax ο χρόνος που αντιστοιχεί στη μακρύτερη διαδρομή. Τότε

tmin 

L

f



Ln L  f c / nf c

Η μακρύτερη μη αξονική διαδρομή είναι αυτή για την οποία ισχύει cost 

tmax

nc οπότε, nf

nf L n 2f L     tmax  c nc cnc f cost c nf nf



L

Η χρονική διαφορά προκύπτει,

t  tmax  tmin 

n 2f L cnc



nf L c

 t 

nf L  nf    1 c  nc 

Παρατηρούμε, ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα από αυτόν του περιβλήματος, τόσο μεγαλύτερη η χρονική διασπορά των παλμών. Ως παράδειγμα , αν

n f  1,5 και nc  1,489 προκύπτει

t  37 ns / Km . Έτσι ένας παλμός που κινείται L

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

με ταχύτητα

f 

141

c 3  108 m / s   2  108 m / s , υφίσταται χωρική διασπορά 1,5 nf

7,4m / Km . Για να είμαστε βέβαιοι για τη σωστή διάκριση των παλμών, η χωρική τους απόσταση πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια, δηλαδή 14,8m. Χρονικά πρέπει να απέχουν 74ns, γεγονός που καθιστά μέγιστο ρυθμό μετάδοσης 13,5Mbit/s. Έτσι, ο συγκεκριμένος τύπος οπτικών ινών χρησιμοποιείται για χαμηλής ταχύτητας μετάδοση πληροφορίας, σε κοντινές αποστάσεις. (b) Το πρόβλημα της χρονικής καθυστέρησης της πολυτροπικής ίνας, μειώνεται με βαθ-

μιαία μείωση του δείκτη διάθλασης του πυρήνα (graded- index fibers), καθώς απομακρυνόμαστε ακτινικά από τον άξονα της ίνας. Έτσι αντί των απότομων ζιγκ- ζάγκ του προηγούμενου τύπου (stepped-index fiber) οι ακτίνες κάμπτονται ομαλά. Οι ακτίνες που κινούνται κοντύτερα στον άξονα κάνουν αφενός μικρότερη διαδρομή, αλλά χάνουν χρόνο λόγω μεγαλύτερου δείκτη διάθλασης. Όμως και οι ακτίνες που κάνουν μεγαλύτερη διαδρομή καθυστερούν λόγω δρόμου, όμως κερδίζουν χρόνο λόγω μικρότερου δείκτη διάθλασης. Το τελικό αποτέλεσμα είναι ότι όλες οι ακτίνες έχουν την τάση να μείνουν μαζί, μειώνοντας τη χρονική διασπορά. Για τα graded- index fibers τυπικές τιμές διαστάσεων, είναι πυρήνας 20μm έως 90μm και πολυτροπική διασπορά περί τα 2ns/Km. Έχουν μέσες τιμές κόστους και ευρύτατη χρήση για μέσες υπεραστικές αποστάσεις. (c) Το τελευταίο είδος οπτικών ινών είναι οι μονοτροπικές ίνες (single-mode fibers) .

Σ’ αυτές ο πυρήνας είναι στενός, γύρω στα 10μm, γεγονός που αναδεικνύει μόνο τον τρόπο με τις ακτίνες παράλληλες στον κεντρικό άξονα. Οπτικές ίνες του παραπάνω είδους, μπορεί να είναι είτε βαθμιαίας είτε απότομης μεταβολής του δείκτη διάθλασης. Τυπικές τιμές διαμέτρων είναι από 2μm έως 9μm δηλαδή περίπου 10 μήκη κύματος. Το αποτέλεσμα είναι η εξάλειψη των πολλών τρόπων. Λειτουργούν με μήκη κύματος στα 1,55μm όπου η εξασθένηση είναι περίπου 0,2dΒ/Km. Μια ακόμη εφαρμογή των οπτικών

ινών είναι τα MOEMS (Micro-

OptoElectroMechanical Systems). Τα άκρα εκατοντάδων εισερχόμενων και εξερχόμενων οπτικών ινών συνδέονται με λεπτούς φακούς στο επάνω μέρος της διάταξης. Ένας κατερχόμενος παλμός φωτονίων, εξέρχεται, προσπίπτει στους μικροκαθρέφτες, οι οποίοι είναι ηλεκτρονικά ρυθμιζόμενοι, στη συνέχεια αναπηδούν σ’ έναν ανακλαστήρα καταλήγοντας πάλι σε έναν μικροκαθρέφτη από όπου διαδίδονται σε καθορισμένες οπτικές ίνες.

142

3.6 Περίθλαση (Diffraction)

Όλα αυτά, σε διάρκεια χιλιοστών του δευτερολέπτου. Οι διακόπτες MOEMS χρησιμοποιούνται στα δίκτυα για τον έλεγχο της κυκλοφορίας των δεδομένων.

Capillary optics

Οι οπτικές ίνες στηρίζουν τη λειτουργία τους στο φαινόμενο της ολικής ανάκλασης (ακτινοβολιών σχετικά χαμηλής συχνότητας, κυρίως στο ορατό και στο υπέρυθρο) στη διαχωριστική επιφάνεια από υψηλότερο προς χαμηλότερο δείκτη διάθλασης. Ομοίως υψίσυχνες ακτινοβολίες, κυρίως ακτίνες Χ, μπορούν να διαδοθούν με παρόμοιο τρόπο κατά την ολική ανάκλαση στην επιφάνεια από αέρα σε γυαλί. (αντί της μετάβασης από γυαλί σε αέρα). Στο παρακάτω σχήμα, η κρίσιμη γωνία μετρούμενη από την επιφάνεια o

είναι 0, 2 για ακτίνες των 10keV (δηλ. 0,12nm) Στον κούφιο τριχοειδή σωλήνα του σχήματος, διαδίδονται ακτίνες Χ μετά από διαδοχικές ολικές ανακλάσεις στην επιφάνεια αέρα - γυαλιού. Η πορεία τους κάμπτεται, γεγονός που διαφορετικά θα ήταν δύσκολο να επιτευχθεί. Με τη χρήση πολλών τέτοιων τριχοειδών οπτικών ινών, μπορούμε να εστιάσουμε ακτίνες Χ, ή και να πάρουμε παράλληλες ακτίνες Χ.

3.6 Περίθλαση (Diffraction) Περίθλαση είναι το φαινόμενο που παρατηρείται, όταν ένα μέρος του μετώπου κύματος εμποδίζεται από την παρεμβολή ενός διαφανούς ή αδιαφανούς εμποδίου, με αποτέλεσμα την απόκλιση του φωτός από την ευθύγραμμη πορεία του, πάνω στην οποία στηρίζεται η γεωμετρική οπτική. Πρώτη λεπτομερής μελέτη του φαινομένου, έγινε από τον Francesco Grimaldi περίπου στα 1600. Ο όρος που χρησιμοποίησε ήταν “diffractio”.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

143

Σχήμα 3.37 Μπορούμε να διακρίνουμε την περίθλαση από ένα νόμισμα και από μια ξυριστική λεπίδα. Τα ασαφή περιγράμματα των αντικειμένων οφείλονται σε φαινόμενα περίθλασης.

Το αποτέλεσμα είναι το περιθλώμενο μέρος να μεταβάλλει γενικά τη φάση και το πλάτος του. Το σχήμα που προκύπτει από την περίθλαση στο εμπόδιο, είναι αποτέλεσμα της συμβολής των δευτερογενών κυμάτων που προέρχονται μετά την πρόσπτωση στο εμπόδιο. Αναπόφευκτα όμως, λόγω της περίθλασης, έχει απωλεσθεί ένα μέρος της πληροφορίας που φέρει το αρχικό κύμα. Το φαινόμενο παρατηρείται είτε πρόκειται για ηχητικά κύματα, είτε για φως αλλά και για υλικά κύματα. Επί παραδείγματι έχουμε περίθλαση ηλεκτρονίων. Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ της συμβολής και της περίθλασης. Συνηθίζουμε όμως να χρησιμοποιούμε τον όρο συμβολή όταν έχουμε την επαλληλία λίγων πηγών, ενώ χρησιμοποιούμε τον όρο περίθλαση κατά την επαλληλία κυμάτων από πολλές πηγές. Το φαινόμενο της περίθλασης γίνεται εντονότερο όταν οι διαστάσεις του εμποδίου είναι της τάξης του μήκους κύματος του κύματος. Έτσι για να παρατηρήσουμε περίθλαση του φωτός από μια οπή, η διάμετρός της πρέπει να είναι της τάξης των 0,1μm.

(α)

(β)

Σχήμα 3.38 (α) Ευθύγραμμη διάδοση μέσα από σχισμή πλάτους d, όπως θα περιμέναμε με βάση τη γεωμετρική οπτική όταν λ<<d. (β) Περίθλαση από σχισμή πλάτους d, όταν λd.

144

3.6 Περίθλαση (Diffraction)

Αντίθετα, για την περίθλαση υδάτινων κυμάτων σε μια δεξαμενή, εξαιτίας μιας σχισμής, το άνοιγμα της σχισμής μπορεί να είναι της τάξης των cm. Ως παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε την περίθλαση των ηχητικών κυμάτων από ένα δέντρο, με αποτέλεσμα να ακούμε ήχο ευρισκόμενοι πίσω από αυτό. Αντίθετα, λόγω του δέντρου, δε συμβαίνει αντιληπτή περίθλαση του φωτός, καθώς διαπιστώνουμε γεωμετρική σκιά όταν αυτό παρεμβάλλεται στη διάδοση του φωτός. Όσον αφορά στην περίθλαση του φωτός, ανάλογα με τις αποστάσεις από τη σχισμή τόσο της πηγής όσο και του πετάσματος όπου παρατηρούμε την περίθλαση, διακρίνουμε δύο κατηγορίες. Την περίθλαση Fraunhofer όπου οι ακτίνες που προσπίπτουν στη σχισμή είναι παράλληλες δηλαδή έχουμε επίπεδα μέτωπα κύματος και το πέτασμα μακριά από τη σχισμή, με αποτέλεσμα οι ακτίνες που φτάνουν στο πέτασμα να είναι κι αυτές παράλληλες. Η άλλη κατηγορία αφορά στην περίθλαση Fresnel, όπου οι προσπίπτουσες στη σχισμή ακτίνες και οι περιθλώμενες που φτάνουν στο πέτασμα, δεν είναι παράλληλες. Η βασική φιλοσοφία και στις δύο κατηγορίες είναι η ίδια, εν τούτοις η περίθλαση Fraunhofer είναι σαφώς πιο εύκολη και αντιμετωπίζεται με τη βοήθεια της αρχής Huygens-Fresnel. Διακριτική ικανότητα οπτικών οργάνων

Το φαινόμενο της περίθλασης επηρεάζει σημαντικά την ικανότητα διάκρισης των αντικειμένων από ορισμένα οπτικά συστήματα, όπως π.χ. τα τηλεσκόπια, ή τα μικροσκόπια. Στο Σχ.3.39 διακρίνουμε την εικόνα περίθλασης Fraunhofer από μια πηγή που βρίσκεται στο άπειρο. Διακρίνεται η κατανομή της έντασης της ακτινοβολίας, την οποία ανιχνεύουμε στο πέτασμα, δεξιά του ανοίγματος.

Σχήμα 3.39 Εικόνα περίθλασης Fraunhofer. Δεξιά απεικονίζεται η ένταση της περιθλώμενης ακτινοβολίας, πάνω στο πέτασμα.

Κεφ. 3 Διάδοση του φωτός

145

Αν πρόκειται για λεπτή ορθογώνια σχισμή πλάτους α, το πρώτο ελάχιστο προκύπτει σε γωνία θ, τέτοια ώστε,

sin    

 

(3.134)

Αν πρόκειται για οπή διαμέτρου D, το πρώτο ελάχιστο παρατηρείται σε γωνία θ, τέτοια ώστε,

sin     1, 22

 D

(3.135)

Αν υποθέσουμε ότι το φως δεν προέρχεται μόνο από μια πηγή, αλλά από δύο, τίθεται το ερώτημα: Ποια η ελάχιστη γωνιακή απόσταση των πηγών, ώστε να μπορούμε να τις διακρίνουμε; Απάντηση στο ερώτημα δίνει το κριτήριο Rayleigh σύμφωνα με το οποίο η μικρότερη γωνιακή απόσταση θα είναι εκείνη για την οποία το κεντρικό μέγιστο της εικόνας περίθλασης από τη μία πηγή θα συμπίπτει με το πρώτο ελάχιστο της εικόνας περίθλασης από τη δεύτερη πηγή. Με εφαρμογή του κριτηρίου για την περίπτωση περίθλασης από κυκλική οπή, διαπιστώνουμε ότι η ελάχιστη γωνιακή απόσταση μεταξύ των πηγών, όπως προκύπτει από τη σχέση (3.135), είναι

 min  1, 22

 D

(3.136)

Σχήμα 3.40 Διακρίνουμε την εικόνα περίθλασης από δύο πηγές που βρίσκονται στο άπειρο, με γωνιακή απόσταση θ. Η συνολική ένταση είναι το άθροισμα των δύο επί μέρους εντάσεων. Στο (α) όπου έχουμε μεγαλύτερη γωνιακή απόσταση, τα μέγιστα από τις δύο πηγές είναι ευδιάκριτα, σε αντίθεση με το (β), όπου μόλις που διακρίνονται.

146

3.6 Περίθλαση (Diffraction)

Η παρακάτω εικόνα σχετίζεται με το Σχ. 3.40. όπου από το (α) προς το (γ) έχουμε μείωση της γωνιακής απόστασης των πηγών. Το (β) αντιστοιχεί στο όριο θmin και οι πηγές μόλις που διαχωρίζονται. Στο (γ) έχουμε ταύτιση των εικόνων περίθλασης και δεν μπορούμε να διακρίνουμε τα αντικείμενα.

Ορίζεται η διακριτική ικανότητα ενός οπτικού συστήματος, ως το αντίστροφο της ελάχιστης γωνιακής απόστασης μεταξύ δύο πηγών, δηλαδή



1

 min



D 1,22

(3.137)

Όπου θεωρήσαμε περίθλαση από κυκλική οπή. Παρατηρούμε ότι για συγκεκριμένη διάμετρο, η διακριτική ικανότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη του μήκους κύματος. Για τα όργανα όμως που λειτουργούν με ορατό φως, όπως τα οπτικά μικροσκόπια, δεν μπορούμε να έχουμε ελάττωση πέραν του ιώδους, δηλαδή περίπου των 400nm. Η αύξηση επίσης της διαμέτρου συμβάλλει στην αύξηση του δ, όμως μειώνει τη μεγέθυνση, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Απεικονίζονται οι εικόνες περίθλασης από τρεις σημειακές πηγές, για διαδοχικά μεγαλύτερα ανοίγματα D της οπής. Παρατηρούμε, ότι για μεγαλύτερες τιμές του D, οι τρεις εικόνες διαχωρίζονται. Η διακριτική ικανότητα αυξάνεται, όμως ελαττώνεται η μεγέθυνση.

4.

Ανίχνευση του φωτός Η ανίχνευση του φωτός στηρίζεται στη μεταβολή της ενεργειακής κατάστασης ενός

ατόμου, μορίου ή γενικότερα ενός συστήματος, που επιφέρει η πρόσπτωση ενός φωτονίου πάνω του. Το αποτέλεσμα βέβαια, είναι συνάρτηση της ενέργειας του προσπίπτοντος φωτονίου (συχνότητα) και των ενεργειακών καταστάσεων του απορροφούντος υλικού. Έτσι, φωτόνια που ανήκουν στο υπέρυθρο έχουν ενέργεια συγκρίσιμη με αυτήν της τυχαίας θερμικής κίνησης, των ατόμων ή των μορίων του υλικού, με αποτέλεσμα η απορρόφησή τους να προκαλεί θερμικά αποτελέσματα στο υλικό. Ανιχνευτές που ανιχνεύουν την αύξηση της θερμοκρασίας είναι οι θερμικοί ανιχνευτές ( thermal detectors ), όπως είναι τα βολόμετρα, τα θερμοζεύγη και οι θερμοπύλες, αλλά και οι ανιχνευτές που στηρίζονται στο πυροηλεκτρικό φαινόμενο. Από την άλλη, ενεργειακά πλούσια φωτόνια, όπως αυτά από το εγγύς υπεριώδες έως το εγγύς υπέρυθρο, μπορούν να προκαλέσουν εκπομπή ηλεκτρονίων (φωτοηλεκτρόνια ) από την επιφάνεια μιας φωτοκαθόδου (φαινόμενο φωτοεκπομπής) και κατά συνέπεια, να ανιχνευτούν στη συνέχεια φωτοηλεκτρικά, ή μπορούν να διεγείρουν ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας του υλικού, με αποτέλεσμα τη μεταβολή της αγωγιμότητας (φωτοαγωγιμότητα) ή και την εμφάνιση τάσης (φωτοβολταϊκό φαινόμενο). Ανιχνευτές που λειτουργούν με βάση τα παραπάνω φαινόμενα, είναι οι κβαντικοί ανιχνευτές (quantum or photon detectors), όπως οι φωτοπολλαπλασιαστές, τα φωτοκύτταρα, αλλά και το μάτι.

Η ανίχνευση της οπτικής ακτινοβολίας συντελείται κατά κύριο λόγο από τους κβαντικούς ανιχνευτές και σ’ αυτούς θα στραφεί το ενδιαφέρον μας.

4.1 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία της ανίχνευσης Αν θεωρήσουμε ότι Φ είναι η ακτινοβόλος ροή (ισχύς/ επιφάνεια) που προσπίπτει σ’ έναν ανιχνευτή και S η τιμή του σήματος (απόκριση) που μας δίνει, ορίζεται η αποκρισιμότητα (responsitivity) ή ευαισθησία (sensitivity), R ως το πηλίκο S/Φ. Αν το πηλί-

κο είναι σταθερό, ο ανιχνευτής ονομάζεται γραμμικός, οπότε,

S  R

(4.1)

148

4.1 Βασικά στοιχεία από τη θεωρία της ανίχνευσης

Αν γνωρίζουμε την αποκρισιμότητα του ανιχνευτή, μετρώντας το σήμα S, μπορούμε να γνωρίζουμε την ακτινοβόλο ροή Φ. Αυτή η κατάσταση όμως είναι η ιδανική, μιας και οι αποκρίσεις των ανιχνευτών συνήθως είναι μη γραμμικές. Η αποκρισιμότητα τότε είναι συνάρτηση αρκετών παραγόντων όπως, το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, λ, η τιμή της ακτινοβόλου ροής Φλ, αλλά και της θερμοκρασίας, Τ. Με βάση τα παραπάνω η εξίσωση (4.1), μεταπίπτει στην ορθότερη έκφρασή της,

S  R( ,   , )     So

(4.2)

όπου το So, ονομάζεται έξοδος σκότους (dark output) και αναφέρεται στο σήμα του ανιχνευτή, απουσία προσπίπτουσας ακτινοβολία. Αν για παράδειγμα η απόκριση του ανιχνευτή είναι ρεύμα, τότε μιλάμε για ρεύμα σκότους. Στα επόμενα, παρατίθενται συνοπτικά ορισμένες βασικές παράμετροι αξιολόγησης της επίδοσης των ανιχνευτών: 1. Κβαντική απόδοση απόκρισης (responsive quantum efficiency) ή απλά κβαντική απόδοση n. Είναι το ποσοστό των προσπιπτόντων φωτονίων στον ανιχνευτή που μετατρέπονται σε μετρήσιμα γεγονότα (φωτοηλεκτρόνια, αμαυρισμένοι κόκκοι σε φωτογραφικό γαλάκτωμα κ.λ.π.). Εκφράζει την πιθανότητα ανίχνευσης ενός φωτονίου.

2. Θόρυβος δέκτη (receiver noise) θόρυβος που προέρχεται βασικά από το σύστημα ανίχνευσης κι όχι από την προσπίπτουσα ακτινοβολία. Παράδειγμα αποτελεί το ρεύμα σκότους.

3. Κβαντική απόδοση ανίχνευσης QD, (detective quantum efficiency). Αν S είναι το σήμα που μεταφέρει την πληροφορία και Ν ο θόρυβος που συνοδεύει το σήμα, ο λόγος S/N (signal to noise ratio) αποτελεί χαρακτηριστικό μέτρο της ανεπιθύμητης πρόσμιξης σήματος – θορύβου. Ο λόγος των τετραγώνων των πηλίκων S/N στην έξοδο προς τον αντίστοιχο στην είσοδο του ανιχνευτή, ορίζεται ως κβαντική απόδοση ανίχνευσης, του ανιχνευτή. Αναφέρεται δε, σε όλη την ανιχνευτική διάταξη, σε αντίθεση με την κβαντική απόδοση που αναφέρεται στην αρχική φωτοευαίσθητη επιφάνεια του ανιχνευτή.

4. Γραμμικότητα αποκρίσεως (linearity of response). Έχει ήδη γίνει λόγος. Εκφράζεται από τη σχέση,(4.1). Ανιχνευτές με υψηλή γραμμικότητα είναι τα φωτοκύτ-

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

149

ταρα και οι φωτοπολλαπλασιαστές, ενώ αντίθετα ανιχνευτές όπως ο ανθρώπινος οφθαλμός, παρουσιάζουν μη γραμμική συμπεριφορά.

5. Πολλαπλασιμότητα (multiplicity). Αναφέρεται σε ανιχνευτές που λειτουργούν ως διατάξεις, αποτελούνται δηλαδή από πλέγματα από πολλούς μικρούς διάκριτους ανιχνευτές, όπως στα C.C.D. 6. Χωρητικότητα αποθήκευσης πληροφορίας (information storing capacity). Εκφράζει την ικανότητα διατήρησης της ανιχνευόμενης πληροφορίας καθώς και το ποσό πληροφορίας που μπορεί να αποθηκευτεί. Σημαντικό ρόλο παίζει και ο χρόνος διατήρησης της αποθηκευμένης πληροφορίας.

7. Δυναμική περιοχή (dynamic range). Είναι η περιοχή εντάσεως της ακτινοβολίας που μπορεί να ανιχνεύσει ικανοποιητικά.

8. Γραμμική διακριτική ικανότητα (linear resolution). Είναι το ελάχιστο μέγεθος ενός στοιχείου (pixel) μιας ανιχνευτικής διάταξης, στο οποίο ανιχνεύονται γεγονότα διακρίσιμα από τα γεγονότα που ανιχνεύονται από άλλα στοιχεία της διάταξης.

9. Χρόνος απόκρισης (time response). Είναι ο χρόνος που χρειάζεται ο ανιχνευτής ώστε να ανταποκριθεί στις μεταβολές της έντασης της ακτινοβολίας.

10. Λειτουργικότητα της ανιχνευτικής διάταξης, όπου λαμβάνονται υπ’ όψη πρακτικοί παράγοντες όπως η πολύπλοκη κατασκευή, ο τρόπος λειτουργίας του συστήματος, η αξιοπιστία του, αλλά και η αντοχή του στη συνεχή χρήση.

4.2 Το μάτι Σύμφωνα με τον Kepler, το ανθρώπινο μάτι θεωρείται θετικός διπλός φακός που προβάλλει ένα είδωλο σε μια φωτοευαίσθητη περιοχή. Πειραματικά αυτό, αποδείχθηκε από τον Jesuit Christopher Scheiner στα 1625, όταν αφαιρώντας το πίσω μέρος από το μάτι ενός ζώου και κοιτάζοντας από το σχεδόν διαφανή αμφιβληστροειδή χιτώνα, κατάφερε να δει αυτό που υπήρχε μπροστά από το μάτι, αντεστραμμένο και σε σμίκρυνση. Το μάτι είναι σχεδόν σφαιρικό, με διαστάσεις περίπου, 24mm μήκος και 22mm πλάτος. Περιβάλλεται από το σκληρό χιτώνα (sclera) που είναι χρώματος άσπρου και αδιαφανής. Η είσοδος του φωτός γίνεται από τον κερατοειδή χιτώνα (cornea) και διέρχεται

150

4.2 Το μάτι

από το υδατοειδές (υαλώδες) υγρό (aqueous humor). Η μεγαλύτερη κάμψη μιας δέσμης ακτίνων φωτός γίνεται κατά τη μετάβαση από τον αέρα στον κερατοειδή χιτώνα που έχει δείκτη διάθλασης ncor=1,376.

Σχήμα 4.1

Το ανθρώπινο μάτι

Αυτός είναι ο λόγος που δε βλέπουμε καθαρά κάτω από το νερό, καθώς για το νερό, nw=1,33, οπότε δεν υπάρχει επαρκής διάθλαση για την κάμψη των ακτίνων. Εν συνεχεία το φως διέρχεται μέσα από ένα διάφραγμα που ονομάζεται ίρις (iris) που ελέγχει το ποσό του φωτός που περνάει μέσω μιας οπής (κόρη - pupil). Η ίρις μπορεί να μεταβάλλει την κόρη από 8mm στο σκοτάδι, στα 2mm σε έντονο λαμπρό φως. Επιπλέον, συνδέεται με το σύστημα εστίασης και συμβάλλει στην αύξηση της ευκρίνειας του ειδώλου. Ακριβώς πίσω από την ίριδα βρίσκεται ο κρυσταλλοειδής φακός ο οποίος είναι εύκαμπτος, γεγονός που μειώνεται με την ηλικία. Η αλλαγή του σχήματός του αλλάζει την εστιακή απόσταση. Ο δείκτης διάθλασής του κυμαίνεται από 1,406 στην κεντρική περιοχή μέχρι 1,386 στον λιγότερο πυκνό φλοιό. Πίσω από τον φακό υπάρχει ένας θάλαμος με ένα διαφανές ζελατινώδες υγρό, το υαλώδες υγρό ( vitreous humor) με δείκτη διάθλασης 1,337. Στο εσωτερικό του σκληρού χιτώνα υπάρχει ένα εσωτερικό κέλυφος, ο χοριοειδής χιτώνας (choroid) που απορροφά το εκτρεπόμενο φως. Στο εσωτερικό του χοριοειδούς υπάρχει μια λεπτή φωτοευαίσθητη μεμβράνη πάχους από 0,5mm έως 0,1mm, που ονομάζεται

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

151

αμφιβληστροειδής χιτώνας (retina). Η εστιασθείσα δέσμη του φωτός που προσπίπτει στον αμφιβληστροειδή απορροφάται από αυτόν, μέσω ηλεκτροχημικών αντιδράσεων. Ο αμφιβληστροειδής, που από βιολογικής σκοπιάς μπορεί να θεωρηθεί σαν προέκταση ενός τμήματος του εγκεφάλου, είναι ένα μωσαϊκό αποτελούμενα από νευρικά κύτταρα μεταξύ των οποίων συγκαταλέγονται και δύο κατηγορίες φωτοευαίσθητων κυττάρωνανιχνευτών. Είναι οι κώνοι (cones) και τα ραβδία (rods). Στο σύνολό τους, το πλήθος τους κυμαίνεται γύρω στα 125  106 χωρίς όμως να κατανέμονται ομοιόμορφα. Το σύνολο των ραβδίων (διαμέτρου 0,002mm το καθένα) έχει τα χαρακτηριστικά ενός ταχύτατου ασπρόμαυρου φιλμ. Είναι υπερβολικά ευαίσθητα σε ασθενές φως στο οποίο δεν ανταποκρίνονται τα κωνία. Όμως, δε διακρίνουν χρώμα και τα είδωλα που σχηματίζουν δεν είναι επαρκώς προσδιορίσιμα. Αντίθετα, το σύνολο των κωνίων (διαμέτρου 0,006mm το καθένα), μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ξεχωριστό, επικαλύπτον, χαμηλής ταχύτητας έγχρωμο φιλμ, το οποίο λειτουργεί σε συνθήκες έντονου φωτισμού δίνοντας λεπτομερείς έγχρωμες εικόνες, αλλά δεν είναι ευαίσθητο σε χαμηλές εντάσεις. Το εύρος της ανθρώπινης όρασης, κυμαίνεται από περίπου 390nm έως 780nm. Νεότερες μελέτες αναφέρουν περιπτώσεις ανίχνευσης από τα 310nm έως τα 1050nm. Ο περιορισμός στην ανίχνευση της υπεριώδους ακτινοβολίας, οφείλεται στην απορρόφησή της από τον κρυσταλλοειδή φακό Όσο για την επιφανειακή κατανομή των φωτοϋποδοχέων, η μεγαλύτερη επιφανειακή πυκνότητα κωνίων απαντάται στην κεντρική περιοχή του αμφιβληστροειδούς, διαμέτρου 2,5-3mm, την ωχρά κηλίδα (yellow spot ή macula). Εκεί, υπάρχουν διπλάσια κωνία απ’ ότι ραβδία. Στην κεντρική περιοχή αυτής, βρίσκεται το βοθρίο της ωχράς κηλίδας (fovea centralis) διαμέτρου περίπου 0,3mm, όπου υπάρχει έλλειψη ραβδίων. Εδώ, τα κωνία

είναι λεπτότερα (διάμετρος 0,0015-0,0030mm) και πιο πυκνά σε διάταξη απ’ οπουδήποτε αλλού στον αμφιβληστροειδή. Το αποτέλεσμα είναι, ότι με συνεχείς κινήσεις, ο βολβός του ματιού να επιδιώκει το σχηματισμό του ειδώλου της κεντρικής περιοχής του αντικειμένου, στο βοθρίο της ωχράς κηλίδας. Αν τέτοιες κινήσεις δε συνέβαιναν, και το είδωλο έμενε στατικό σε μια ομάδα φωτοϋποδοχέων, τότε θα εξαφανιζόταν βαθμιαία. Χωρίς το βοθρίο, το μάτι θα έχανε το 90-95% της ικανότητάς του, διατηρώντας μόνο την περιφερειακή όραση. Η εν λόγω όραση, εξυπηρετείται από τους υπόλοιπους κώνους και τα ραβδία που κατανέμονται στην περιφέρεια του αμφιβληστροειδούς. Τέλος, η περιοχή εξό-

152

4.2 Το μάτι

δου του οπτικού νεύρου, στο εσωτερικό του βολβού, δεν περιέχει φωτοϋποδοχείς και δεν παρουσιάζει φωτοευαισθησία. Είναι γνωστή, ως το τυφλό σημείο (blind spot). Η μεγάλη επιφανειακή πυκνότητα των κωνίων στην περιοχή του βοθρίου, το καθιστά τη περισσότερο φωτοευαίσθητη επιφάνεια, όπου η οξύτητα της όρασης είναι η μέγιστη. Η ικανότητα επίσης αυξομείωσης της κόρης από την ίριδα, αυξάνει τη διακριτική ικανότητα του οφθαλμού που προκύπτει από τους περιορισμούς της περίθλασης. Για διάμετρο D = 2mm και μήκος κύματος λ = 555nm, από τη σχέση (3.136) προκύπτει διακριτική ικανότητα περίπου ένα λεπτό της μοίρας. Ένα γεγονός που αναδεικνύει την πολυπλοκότητα του οπτικού συστήματος, είναι ότι τα ραβδία είναι πολλαπλά συνδεδεμένα σε νευρικές ίνες και καθένα από αυτά τα νεύρα μπορεί να ενεργοποιηθεί από οποιοδήποτε από περίπου εκατό ραβδία, με αποτέλεσμα αφενός την αυξημένη ευσθησία των ραβδίων στο αμυδρό φως, αφετέρου, τη μειωμένη διακριτική τους ικανότητα, έναντι των κωνίων, καθώς στην περιοχή του βοθρίου, κάθε κωνίο είναι συνδεδεμένο μ’ ένα νεύρο. Ο μηχανισμός ανίχνευσης των προσπιπτόντων φωτονίων είναι κβαντικός, δηλαδή κάθε φωτόνιο απορροφάται από ένα κατάλληλο μόριο που βρίσκεται πάντα μέσα σε κάθε ανιχνευτή ( κωνίο ή ραβδίο) και προκαλεί τη χημική μεταβολή του τελευταίου. Το μόριο που απορροφά το φωτόνιο είναι ένα μακρομόριο πρωτεΐνης, η οψίνη, στην οποία είναι προσκολλημένη μια χημική δομή, η χρωμοφόρος η οποία απορροφά την ακτινοβολία. Στην περίπτωση των ραβδίων το μόριο αυτό είναι η ροδοψίνη της οποίας η χρωμοφόρος είναι η 11-cis retinal. Η απορρόφηση ενός φωτονίου με λ=500nm, έχει ως αποτέλεσμα τη μετατροπή της στη σταθερότερη ισομερή της, 11-trans retinal, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.2.

Σχήμα 4.2 Η απορρόφηση ενός φωτονίου μήκους κύματος περίπου λ=500nm, από τη ροδοψίνη, μετατρέπει τη χρωμοφόρο της 11-cis-retinal (A) στην ισομερή της 11-trans-retinal (B).

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

153

Το αποτέλεσμα είναι η δημιουργία ηλεκτρικού παλμού, που μέσω του οπτικού νεύρου διαβιβάζεται στην κατάλληλη για θέματα οράσεως περιοχή του εγκεφάλου. Για την καταγραφή ενός φωτεινού ερεθίσματος από τον εγκέφαλο, σαν γεγονότος, απαιτείται η σύγχρονη πρόσπτωση ενός αριθμού φωτονίων σε μια μικρή περιοχή του αμφιβληστροειδούς. Όσο για τα κωνία, υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τύποι αναλόγως της χρωμοφόρου ομάδος που είναι προσκολλημένη στην οψίνη. Το αποτέλεσμα είναι να παρουσιάζουν ευαισθησία σε τρεις διαφορετικές φασματικές περιοχές, την ερυθρή, την πράσινη και την κυανή. Έτσι υπό συνθήκες έντονου φωτισμού, όπως στο φως της ημέρας, οι κώνοι, εκτός από την πληροφορία σχετικά με την ένταση της ακτινοβολίας, μεταφέρουν στον εγκέφαλο και τρία διαφορετικά σετ πληροφοριών, που σχετίζονται με τη φασματική κατανομή της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, βάσει των οποίων ο εγκέφαλος συνθέτει τα χρώματα που αντιλαμβανόμαστε. Το συνολικό αποτέλεσμα απεικονίζεται με τη φωτοπική καμπύλη του Σχ. 4.3, η οποία αναφέρεται στην φωτοανίχνευση εξαιτίας των κωνίων.

Σχήμα 4.3

Φασματική ευαισθησία του οφθαλμού (καμπύλες νορμαλισμένες)

Όπως παρατηρούμε το μέγιστο της φωτοπικής καμπύλης παρατηρείται περίπου σε μήκος κύματος

  555nm , που αντιστοιχεί στο μέγιστο της κατανομής της καμπύλης του

μέλανος σώματος θερμοκρασίας T  5800 K , που χαρακτηρίζει τη θερμοκρασία της επιφάνειας του ήλιου ως πηγής ορατού φωτός. Σε αντίθεση με τα κωνία, τα ραβδία δεν παρέχουν επιπρόσθετες πληροφορίες πέραν της εντάσεως, χωρίς σ’ αυτήν να επισυνάπτεται χρωματικό περιεχόμενο. Η σκοτοπική

154

4.3 Ημιαγωγικοί ανιχνευτές

καμπύλη του Σχ. 4.3 είναι απόρροια της φασματικής ευαισθησίας των ραβδίων σε συνθήκες αμυδρού φωτισμού. Πρέπει να προσθέσουμε ότι καθώς απομακρυνόμαστε από την περιοχή του βοθρίου προς την περιφέρεια του αμφιβληστροειδούς, η φωτοευαίσθητη επιφάνεια ανιχνεύει εύκολα, κινούμενες σκιές αποτελώντας έναν προειδοποιητικό ανιχνευτή που αναγκάζει τον οφθαλμό να περιστραφεί και να ατενίσει το ερέθισμα, ώστε να αναγνωρίσει τη μορφή του, από το είδωλο που σχηματίζεται στην κεντρική περιοχή του βοθρίου της ωχράς κηλίδας. Η καταγραφή ενός φωτεινού ερεθίσματος από τον εγκέφαλο, απαιτεί ταυτόχρονη πρόσπτωση περίπου 50 φωτονίων στον αμφιβληστροειδή, γεγονός που σημαίνει, λαμβάνοντας υπ’ όψη τις απώλειες, περίπου 100 φωτονίων στον κερατοειδή. Κάτω από τις καλύτερες συνθήκες, με την προϋπόθεση ότι δεν εισάγεται θόρυβος από το νευρικό σύστημα (γεγονός που δεν είναι αληθές), η ιδεατή κβαντική απόδοση ανίχνευσης QD του ματιού, είναι περίπου 10-2, ενώ ρεαλιστικά υπολογίζεται περίπου 10-3 και μάλιστα επιτυγχάνεται σε μια περιοχή εντάσεων φωτός, κλίμακας 108:1. Αυτό αφενός οφείλεται στη δυνατότητα αυξομείωσης του ανοίγματος της κόρης και αφετέρου στην ύπαρξη των δύο ειδών φωτοϋποδοχέων.

4.3 Ημιαγωγικοί ανιχνευτές Διακρίνουμε κυρίως δύο είδη ημιαγωγικών ανιχνευτών: τους φωτοβολταϊκούς και τους φωτοαγώγιμους. Για την καλύτερη κατανόηση της λειτουργίας των εν λόγω ανιχνευτών, θα δώσουμε μια σύντομη περιγραφή των ηλεκτρονικών ιδιοτήτων των ημιαγωγών, των ημιαγωγών με προσμίξεις, καθώς και των ημιαγωγικών διόδων p-n.

4.3.1 Ηλεκτρονικές ιδιότητες των στερεών Γνωρίζουμε, ότι τα ηλεκτρόνια είτε είναι δεσμευμένα στα άτομα, είτε κινούνται στο εσωτερικό ενός στερεού, υπακούουν στην απαγορευτική αρχή του Pauli. Αποτέλεσμα είναι κάθε κβαντική κατάσταση να καταλαμβάνεται από ένα μόνο ηλεκτρόνιο. Δεδομέ-

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

155

νου ότι τα ηλεκτρόνια είναι φερμιόνια, υπακούουν στη στατιστική Fermi – Dirac. Έτσι, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που περιγράφει την κατανομή των ηλεκτρονίων σε σχέση με την ενέργειά τους, είναι:

f (E) 

1 1 e

E  EF k BT

(4.3)

Όπου EF είναι η ενέργεια του επιπέδου Fermi, Ε η ενέργεια μιας κατάστασης, Τ η θερμοκρασία και kB η σταθερά Boltzmann. Η παραπάνω κατανομή, μας δίνει το ποσοστό των ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου και ανά μονάδα ενέργειας, για τα οποία οι στάθμες που καταλαμβάνουν εντός του στερεού, έχουν ενέργειες στο διάστημα από Ε έως Ε+dE. Η σχέση (4.3) μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι όταν T  0 K , η f ( E )  1 αν E  EF , ενώ είναι f ( E )  0 , αν E  EF . Δηλαδή καθώς η θερμοκρασία τείνει στο απόλυτο μηδέν, δεν υπάρχουν ηλεκτρόνια με ενέργειες μεγαλύτερες της EF καθώς είναι βέβαιο ότι καταλαμβάνουν ενεργειακές στάθμες με μικρότερες ενέργειες. Για υψηλότερες θερμοκρασίες, αν E  EF , f ( EF )  1 / 2 . Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι η ενέργεια Fermi είναι αυτή για την οποία η πιθανότητα κατάληψής της από ένα ηλεκτρόνιο, είναι 50%. Σε ένα στερεό, λόγω γειτνίασης των ατόμων, οι ενεργειακές στάθμες βρίσκονται πολύ κοντά, με αποτέλεσμα να μεταπίπτουν σε ενεργειακές ζώνες (energy bands). Μεταξύ των ζωνών υφίστανται ενεργειακά χάσματα (energy gaps) που αποτελούν απαγορευμένες περιοχές για τα ηλεκτρόνια. Η ζώνη που είναι πλήρως κατειλημμένη από ενεργειακές στάθμες ηλεκτρονίων στους 0 Κ, είναι η ζώνη σθένους (valence band), ενώ η ζώνη που είναι κενή στους 0 Κ, είναι η ζώνη αγωγιμότητας (conductivity band). Οι ζώνες σθένους και αγωγιμότητας, χωρίζονται ενεργειακά από την ενέργεια Eg (ενεργειακό χάσμα – energy gap). Σε θερμοκρασίες υψηλότερες του απολύτου μηδενός, η ζώνη

σθένους δεν είναι πλήρης, καθώς κάποια ηλεκτρόνια, ιδίως αν το ενεργειακό χάσμα είναι σχετικά συγκρίσιμο με την θερμική ενέργεια kBT, αποκτούν την απαραίτητη ενέργεια και μεταπηδούν στη ζώνη αγωγιμότητας. Ανάλογα με την τιμή του ενεργειακού χάσματος, τα υλικά διακρίνονται σε μονωτές (insulators), σε ημιαγωγούς (semiconductors) και σε μέταλλα (metals).

156

4.3 Ημιαγωγικοί ανιχνευτές

Σχήμα 4.4

Οι ενεργειακές ζώνες στα στερεά.

Στα μέταλλα, η ζώνη σθένους επικαλύπτεται μερικώς ή και ολικώς από τη ζώνη αγωγιμότητας. Με την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου τα ηλεκτρόνια είναι ελεύθερα να κινούνται καθώς τους διατίθενται ενεργειακές στάθμες πολύ κοντά σ’ αυτές που ήδη κατέχουν. Έτσι εμφανίζουν μεγάλη αγωγιμότητα. Αντίθετα στους μονωτές το ενεργειακό χάσμα είναι πολύ μεγαλύτερο της ενέργειας θερμικής διέγερσης ( Eg  k BT ), με αποτέλεσμα τα ηλεκτρόνια να μην μπορούν να μετακινηθούν από τη ζώνη σθένους στη ζώνη αγωγιμότητας. Έτσι, η αγωγιμότητα των μονωτών είναι αμελητέα. Στους ημιαγωγούς ισχύει Eg  k BT με αποτέλεσμα κάποια ηλεκτρόνια της ζώνης σθένους να μεταπηδούν στη ζώνη αγωγιμότητας. Στη θέση τους τότε αφήνουν μια μη πληρούμενη ενεργειακή στάθμη, που ονομάζεται οπή (hole). Στις οπές αποδίδεται θετικό φορτίο ίσο κατ’ απόλυτη τιμή μ’ αυτό του ηλεκτρονίου. Με την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου οι οπές κινούνται με μικρότερη ευκινησία από τα ηλεκτρόνια, συμβάλλοντας στην αγωγιμότητα του υλικού. Αύξηση της θερμοκρασίας δε, αυξάνει τους φορείς αγωγιμότητας κι επομένως την αγωγιμότητα, σε αντίθεση με τα μέταλλα, όπου αύξηση της θερμοκρασίας οδηγεί σε μείωση της αγωγιμότητας. Όσον αφορά στους ημιαγωγούς χωρίς προσμίξεις, αυτοί χαρακτηρίζονται ως ενδογενείς και έχουν ίσο αριθμό ηλεκτρονίων και οπών. Στους ενδογενείς ημιαγωγούς η ενέργεια της στάθμης Fermi κείται περίπου στο μέσο του ενεργειακού χάσματος.

Ημιαγωγοί με προσμίξεις (εξωγενείς)

Η αγωγιμότητα ενός ενδογενούς ημιαγωγού μπορεί να αυξηθεί σημαντικά, με τις κατάλληλες προσμίξεις. Ως παράδειγμα θεωρούμε την περίπτωση του τετρασθενούς πυριτί-

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

157

ου, όπου κάθε άτομο επισυνάπτει τέσσερεις ομοιοπολικούς δεσμούς με τα γειτονικά του άτομα. Αν άτομα πυριτίου αντικατασταθούν με πεντασθενή άτομα, π.χ. φωσφόρου, τότε ένα ηλεκτρόνιο σθένους του Ρ, είναι χαλαρά συνδεδεμένο καθώς δε συμμετέχει σε ομοιοπολικό δεσμό. Με ελάχιστη ενέργεια, μπορεί να μεταβεί στη ζώνη αγωγιμότητας όπου συμπεριφέρεται ως ελεύθερο, αφήνοντας στη θέση του μη ευκίνητη οπή. Στον ημιαγωγό τότε τα ηλεκτρόνια υπερτερούν των ευκίνητων οπών και χαρακτηρίζεται ως τύπου – n, ενώ τα άτομα της πρόσμιξης, καλούνται δότες( donors).

Σχήμα 4.5

(α) Ημιαγωγός τύπου – n. (β) Ημιαγωγός τύπου – p.

Αν ως άτομα πρόσμιξης χρησιμοποιήσουμε τρισθενή άτομα, π.χ. αργιλίου, τότε δημιουργείται ένα κενό σ’ έναν από τους ομοιοπολικούς δεσμούς. Το κενό αυτό αποτελεί μια ευκίνητη οπή θετικού φορτίου. Αποτέλεσμα να υπερτερούν οι οπές των ηλεκτρονίων ως φορείς αγωγιμότητας και ο ημιαγωγός να χαρακτηρίζεται τύπου – p. Τα άτομα των προσμίξεων καλούνται αποδέκτες (acceptors). Ως αποτέλεσμα των παραπάνω, είναι η μετατόπιση της στάθμης Fermi, στους μεν ημιαγωγούς τύπου- n, προς τη ζώνη αγωγιμότητας ενώ στους ημιαγωγούς τύπου – p, προς τη ζώνη σθένους. Αυτό, διότι οι στάθμες των δοτών είναι πλησίον της ζώνης αγωγιμότητας, καθώς ακόμη και θερμικές διεγέρσεις οδηγούν τα ηλεκτρόνια των δοτών στην εν λόγω ζώνη. Στους τύπου – p, οι στάθμες των αποδεκτών είναι πλησίον της ζώνης σθένους. Ηλεκτρόνια της ζώνης αυτής, με θερμικές διεγέρσεις καταλαμβάνουν τις ενεργειακές στάθμες των αποδεκτών και καθίστανται δέσμια, αφήνοντας ευκίνητες οπές στη ζώνη σθένους.

158

4.3 Ημιαγωγικοί ανιχνευτές

Η επαφή pn

Αν φέρουμε σε επαφή τους δύο ημιαγωγούς του Σχ.4.5 θα παρατηρήσουμε ότι οι φορείς πλειονότητας από κάθε περιοχή, διαχέονται στην άλλη. Έτσι ηλεκτρόνια από τον ημιαγωγό τύπου – n, διαχέονται προς τον τύπου-p, ενώ οπές από τον p στο n. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνει χώρα επανασύνδεση ηλεκτρονίων-οπών, δημιουργώντας στην περιοχή της επαφής μια περιοχή κενή ευκίνητων φορέων, που ονομάζεται περιοχή κένωσης (depletion layer).

Σχήμα 4.6

Η επαφή pn χωρίς πόλωση

Η περιοχή αυτή στην πραγματικότητα περιέχει φορτία και συγκεκριμένα, τους δυσκίνητους ιονισμένους δότες και αποδέκτες. Λόγω μεγαλύτερης ευκινησίας των ηλεκτρονίων έναντι των οπών, η περιοχή δεν είναι συμμετρική προς την επαφή. Τα φορτία χώρου που προέρχονται από την επανασύνδεση, δημιουργούν ηλεκτρικό πεδίο που εμποδίζει την περαιτέρω διάχυση των φορέων και την επανασύνδεσή τους. Δημιουργείται τότε ένα φράγμα δυναμικού Vo μεταξύ των περιοχών p και n που προκαλεί την κάμψη των ενεργειακών ζωνών. Η επαφή pn αποτελεί την επονομαζόμενη δίοδο η οποία έχει πλήθος εφαρμογών. Η δίοδος λέμε ότι πολώνεται ορθά όταν η επαφή p πολώνεται θετικά έναντι της n, ενώ διαφορετικά λέμε ότι έχουμε ανάστροφη πόλωση. Κατά την ορθή πόλωση, το φράγμα δυναμικού μειώνεται με αποτέλεσμα να είναι δυνατή η κίνηση φορτίων μέσω της περιοχής κένωσης φορτίων. Έτσι, ρεύμα διαρρέει την επαφή με συμβατική φορά από την επαφή p προς την n. Κατά την ανάστροφη πόλωση, το φράγμα δυναμικού αυξάνεται, με αποτέλεσμα οι φορείς αγωγιμότητας (ηλεκτρόνια και οπές) να μη μπορούν να το διαπεράσουν.

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

159

Αν Vq η τάση πόλωσης της επαφής, αποδεικνύεται ότι το ρεύμα που διαρρέει τη δίοδο συναρτήσει της τάσης Vq, είναι,

 qkTeVq  i  isat  e  1    

(4.4)

Το ρεύμα isat ονομάζεται ρεύμα κόρου (saturation current). Τυπική τιμή του για φωτοδίοδο πυριτίου είναι 10-7-10-9Α. Η γραφική παράσταση της παραπάνω σχέσης, απεικονίζεται στο Σχ. 4.7

Σχήμα 4.7

Ρεύμα σκότους συναρτήσει της τάσης πόλωσης.

Το ρεύμα της σχέσης (4.4) ονομάζεται ρεύμα σκότους (dark current), καθώς προκύπτει για μη φωτιζόμενη επαφή.

4.3.2 Φωτοβολταϊκό φαινόμενο Στην περίπτωση που η επαφή pn φωτιστεί, η συνάρτηση ρεύματος – τάσης πόλωσης της επαφής, τροποποιείται. Αυτό συμβαίνει λόγω της απορρόφησης των φωτονίων με αποτέλεσμα τη δημιουργία ζευγών ηλεκτρονίων-οπών. Οι μεταβολές του ρεύματος αποτελούν την αρχή λειτουργίας της διόδου, ως φωτοανιχνευτή. Αν θεωρήσουμε ότι η ενέργεια hv ενός προσπίπτοντος φωτονίου, είναι μεγαλύτερη του ενεργειακού χάσματος Eg, το φωτόνιο μπορεί να απορροφηθεί με αποτέλεσμα τη δημιουργία μιας οπής κι ενός ηλεκτρονίου, τα οποία επιταχύνονται από το πεδίο στην περιοχή έλλειψης φορέων. Το ηλεκτρόνιο κινείται προς την περιοχή n, ενώ η οπή προς την p. Έτσι προκαλείται ρεύμα με συμβατική φορά από την n προς την p περιοχή. Αν Α το εμ-

160

4.3 Ημιαγωγικοί ανιχνευτές

βαδό της φωτιζόμενης επαφής, και Ee (σε Watt/m2) η ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, τότε η προσπίπτουσα ακτινοβόλος ροή είναι  e  Ee  A .

Σχήμα 4.8 (α) Η απορρόφηση ενός φωτονίου κατάλληλης ενέργειας δημιουργεί ένα ζεύγος οπής-ηλεκτρονίου. Υπό την επίδραση του φορτίου χώρου η οπή κατευθύνεται προς την περιοχή p, ενώ το ηλεκτρόνιο, προς την περιοχή n. Αυτό ισοδυναμεί με ρεύμα συμβατικής φοράς από την n προς την p περιοχή. (β) Οι χαρακτηριστικές της διόδου. Διακρίνεται το ρεύμα σκότους, καθώς και το ρεύμα υπό συνθήκες φωτισμού για δύο τιμές φωτεινής ισχύος, όπου Φ2>Φ1.

Το προκαλούμενο φωτορεύμα θα έχει τιμή, i p  nqe p . Όπου ΦP η φωτονική ροή (φωτόνια /s) και n η κβαντική απόδοση της επαφής. Θέτοντας  p 

e   p  e  , hv hc

για το φωτορεύμα, προκύπτει:

i p  nqe

e  hc

(4.5)

Αν η επαφή δεν είναι πολωμένη, (Vq=0) το παραγόμενο φωτορεύμα ονομάζεται ρεύμα βραχυκύκλωσης και είναι ανάλογο της ακτινοβόλου ροής. Υπό συνθήκες πόλωσης της επαφής, το συνολικό ρεύμα διαμορφώνεται βάσει των εξισώσεων (4.4) και (4.5). Έτσι προκύπτει,

 qkTeVq   i  isat  e  1  nqe e    hc  

(4.6)

Στο Σχ.4.8(β) διακρίνονται οι χαρακτηριστικές της διόδου υπό συνθήκες σκότους, αλλά και υπό συνθήκες φωτισμού για δύο τιμές φωτεινής ισχύος, όπου Φ2>Φ1. Παρατηρούμε ότι σε συνθήκες φωτισμού η χαρακτηριστική μετατοπίζεται προς τα κάτω. Αν το κύκλωμα είναι ανοιχτό το φωτορεύμα θα δημιουργήσει διαφορά δυναμικού Vo που

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

161

αποτρέπει την περαιτέρω κίνηση φορέων αγωγιμότητας. Η εμφάνιση της τάσης αυτής αποτελεί το φωτοβολταϊκό φαινόμενο. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι σύνδεσης της φωτοδιόδου κατά τη διαδικασία της φωτοανίχνευσης. Είναι δυνατόν χωρίς πόλωση της επαφής pn, να λειτουργήσει σε βραχυκυκλωμένη μορφή, οπότε μετριέται άμεσα το φωτορεύμα κι επομένως μέσω της (4.5), η φωτοβόλος ροή. Διαφορετικά, σε ανοιχτό κύκλωμα, μετριέται η τάση Vo οπότε από τη σχέση (4.6) για i=0 και τάση ανοιχτού κυκλώματος Vo , προκύπτει η σχέση τάσης και φωτοβόλου ισχύος, η οποία δεν είναι γραμμική. Μπορούμε επίσης να εφαρμόσουμε στη φωτοδίοδο ανάστροφη τάση και με αμπερόμετρο να μετράμε το ρεύμα. Προφανώς μετράμε το ρεύμα κόρου. Υπό συνθήκες φωτισμού, αυτό μεταβάλλεται κι από αυτές τις μεταβολές προσδιορίζουμε το φωτορεύμα και την ακτινοβόλο ροή.

4.3.3 Φωτοαγώγιμοι ανιχνευτές (φωτοαντιστάσεις) Η λειτουργία των φωτοαγώγιμων ανιχνευτών στηρίζεται στο φαινόμενο της φωτοαγωγής (photoconduction). Πρόκειται για φαινόμενο που παρατηρείται όταν υπό συνθή-

κες φωτισμού ένα ημιαγωγό υλικό απορροφήσει ενέργεια με αποτέλεσμα τη δημιουργία νέων φορέων που μεταβάλλουν την αγωγιμότητα του υλικού. Το ρεύμα που περνάει από το υλικό τότε, με την κατάλληλη πόλωση, διαμορφώνεται από το ρεύμα λόγω φωτοαγωγής. Η όλη διαδικασία στηρίζεται στη θεωρία των ενεργειακών ζωνών στα στερεά, καθώς και στην αλληλεπίδραση των φωτονίων με τα άτομα του υλικού. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, μεταξύ της ζώνης σθένους και της ζώνης αγωγιμότητας μεσολαβεί ενεργειακό χάσμα Eg. Αναφερόμενοι πρώτα σε ενδογενή ημιαγωγό, αν η ενέργεια ενός φωτονίου είναι τουλάχιστον ίση με Eg, είναι δυνατόν η απορρόφηση του φωτονίου από ένα άτομο του υλικού, να οδηγήσει ένα ηλεκτρόνιο στη ζώνη αγωγιμότητας, ενώ στη θέση του ατόμου να προκύψει μια ευκίνητη οπή. Το αποτέλεσμα είναι η αύξηση της αγωγιμότητας του υλικού. Ένα πρόβλημα που προκύπτει σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι η ύπαρξη θερμικού θορύβου. Αν το ενεργειακό χάσμα είναι μικρότερο ή συγκρίσιμο της ενέργειας kT των θερμικών διεγέρσεων, είναι δυνατή η αύξηση της αγωγιμότητας λόγω αύξησης της θερμοκρασίας. Για την αποφυγή του προβλήματος, απαιτείται η ψύξη των ανιχνευτών, ώστε

162

4.3 Ημιαγωγικοί ανιχνευτές

Eg  kT . Όσο για την ενέργεια των φωτονίων, η ελάχιστη τιμή τους πρέπει να είναι ίση με Eg, τιμή που καθορίζει το μέγιστο μήκος κύματος λc (μήκος κύματος αποκοπής). Είναι Eg  hv  E g  h

c

c

 c 

hc . Με αριθμητική αντικατάσταση, προκύπτει, Eg

c 

1, 24 Eg

(4.7)

Όπου το μήκος κύματος μετριέται σε μm και η Eg, σε eV. Στον πίνακα 4-1 παρατίθενται οι τιμές του ενεργειακού χάσματος και του μήκους κύματος αποκοπής, για ορισμένους ενδογενείς ημιαγωγούς που χρησιμοποιούνται σαν φωτοαγωγοί, σε θερμοκρασία περιβάλλοντος. Πίνακας 4-1 Ενεργειακό χάσμα και μήκος κύματος αποκοπής για διάφορους ενδογενείς ημιαγωγούς

α/α

Ημιαγωγός

Εg(eV)

λc(μm)

1

AgAl

3,20

0,39

2

CdS

2,42

0,51

3

CdSe

1,74

0,85

4

CdTe

1,45

0,71

5

GaAs

1,40

0,88

6

GaP

2,25

0,55

7

Ge

0,67

1,8

8

InAs

0,33

3,7

9

InSb

0,23

5,4

10

Si

1,14

1,1

11

PbS

0,35

3,5

12

PbSe

0,27

4,6

13

PbTe

0,30

4,1

Στην περίπτωση που το προς ανίχνευση μήκος κύματος είναι μεγαλύτερο, χρειαζόμαστε ημιαγωγούς με μικρότερο ενεργειακό χάσμα. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε με χρήση ημιαγωγών με προσμίξεις. Όπως ήδη έχουμε δει, στους ημιαγωγούς τύπου-n οι στάθμες

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

163

των δοτών είναι πλησιέστερα στη ζώνη αγωγιμότητας, με αποτέλεσμα μικρότερης ενέργειας φωτόνια να μπορούν να διεγείρουν τα ηλεκτρόνια στη στάθμη αγωγιμότητας, αυξάνοντας τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων. Οι οπές που δημιουργούνται τότε είναι «δυσκίνητες», λόγω του εντοπισμού των στους εντοπισμένους δότες και δε συμβάλλουν στην αύξηση των φορέων αγωγιμότητας. Αντίθετα στους ημιαγωγούς τύπου-p, οι στάθμες των αποδεκτών κείνται κοντά στη ζώνη σθένους, οπότε φωτόνια μικρής ενέργειας, μεγάλου μήκους κύματος, προκαλούν διεγέρσεις ηλεκτρονίων από τη ζώνη σθένους, με αποτέλεσμα τη δημιουργία ευκίνητων οπών στην εν λόγω ζώνη. Σε αυτή τη περίπτωση, είναι δυσκίνητα τα αρνητικά ιόντα που προκύπτουν και δε συμβάλλουν στην αύξηση της αγωγιμότητας. Στην περίπτωση χρήσης εξωγενών ημιαγωγών, επειδή το ενεργειακό χάσμα είναι μικρό, είναι δυνατόν να προκύψουν προβλήματα θερμικού θορύβου, οπότε πρέπει να μειώνεται η θερμοκρασία του ημιαγωγού. Στον πίνακα 4-2, παρατίθενται τα ενεργειακά χάσματα και τα μήκη κύματος αποκοπής για ορισμένους εξωγενείς ημιαγωγούς. Πίνακας 4-2 Ενεργειακό χάσμα και μήκος κύματος αποκοπής για διάφορους εξωγενείς ημιαγωγούς

α/α

Ημιαγωγός

1

Ge:Hg

2

Eg(eV)

λc(μm)

Τύπος ημιαγωγού

0,09

13,8

P

Ge:Cu

0,041

30,2

P

3

Ge:Cd

0,06

20,7

p

4

Si:As

0,0537

23,1

n

5

Si:Bi

0,0706

17,6

p

6

Si:P

0,045

27,6

n

7

Si:In

0,165

7,5

p

8

Si:Mg

0,087

14,3

p

Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε την περίπτωση ενδογενούς ημιαγωγού, στον οποίο προσπίπτει φωτοβόλος ροή, με αποτέλεσμα τη μεταβολή στη συγκέντρωση των φορέων αγωγιμότητάς του. Στο Σχ. 4.9 μπορούμε να δούμε την αρχή λειτουργίας μιας τέτοιας ανιχνευτικής διάταξης.

164

4.3 Ημιαγωγικοί ανιχνευτές

Σχήμα 4.9 (α) Η απορρόφηση φωτεινής ακτινοβολίας, μεταβάλλει την αγωγιμότητα του υλικού. (β) Η μεταβολή της αντίστασης Rd μεταβάλλει το ρεύμα και την τιμή της τάσης υο.

Αποδεικνύεται ότι η αποκρισιμότητα RU της διάταξης ως προς την τάση, δηλαδή το πηλίκο της μεταβολής της τάσης υο προς τις μεταβολές της φωτοβόλου ροής, δίνεται από τη σχέση:

RU 

d Iqe  n L ( e  h ) RL Rd   de RL  Rd  hcAw

V      W 

(4.8)

Όπου στα παραπάνω,  n η κβαντική απόδοση στον ημιαγωγό, δηλαδή το πλήθος των παραγόμενων ηλεκτρονίων ανά προσπίπτων φωτόνιο 

I το ρεύμα που διαρρέει τη διάταξη



τL ο χρόνος ζωής των παραγόμενων φωτοηλεκτρονίων μέχρι την επανασύνδεσή τους



μe και μh οι ευκινησίες των ηλεκτρονίων και των οπών αντίστοιχα



σ η αγωγιμότητα του ημιαγωγού



h η σταθερά του Planck



c η ταχύτητα του φωτός στο κενό



A  l  t το εμβαδό της επιφάνειας στην οποία προσπίπτει φωτεινή ροή



w το πάχος του υλικού και



λ το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας.

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

165

Από τη σχέση (4.8) προκύπτει ότι η αποκρισιμότητα RU είναι γραμμική συνάρτηση του μήκους κύματος, στη περιοχή του λ που ο δείκτης διαθλάσεως παρουσιάζει σχεδόν μηδενική εξάρτηση από το λ, όπως φαίνεται από τη συνεχή γραμμή του Σχ. 4.10, μέχρι το μήκος κύματος αποκοπής.

Σχήμα 4.10 Φαίνεται η γραφική παράσταση της αποκρισιμότητας σε συνάρτηση με το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας.

Η πραγματική όμως εξάρτηση παριστάνεται από την εστιγμένη μπλε γραμμή. Ένας από τους λόγους που υπάρχει η απόκλιση πραγματικής και θεωρητικής καμπύλης, όσον αφορά στα μικρότερα μήκη κύματος, είναι η ανάκλαση από την επιφάνεια του φωτοανιχνευτή. Στον ομαλό διασκεδασμό, ελάττωση του μήκους κύματος οδηγεί σε αύξηση του δείκτη διάθλασης. Όπως γνωρίζουμε από τη σχέση (3.125), ο συντελεστής ανάκλασης για 2

 n 1 κάθετη πρόσπτωση από τον αέρα σε υλικό με δείκτη διάθλασης n, είναι R    .  n 1 Η αύξηση του δείκτη διάθλασης οδηγεί σε αύξηση της ανακλαστικότητας, με αποτέλεσμα τη μείωση της αποκρισιμότητας.

4.4 Φαινόμενο φωτοεκπομπής Κατά τη φωτοεκπομπή, ένα ηλεκτρόνιο του υλικού, πρέπει να είναι σε θέση (επιτρεπτό) να απορροφήσει ένα ποσό ενέργειας τουλάχιστον ίσο με τη διαφορά της ενέργειάς του από την ενέργεια του κενού. Στις συνηθισμένες θερμοκρασίες οι ενέργειες των ηλεκτρονίων, δεν μπορούν να υπερβούν αρκετά την ενέργεια της στάθμης Fermi, με αποτέ-

166

4.4 Φαινόμενο φωτοεκπομπής

λεσμα η εν λόγω ενεργειακή διαφορά να είναι ίση με τη διαφορά της ενέργειας Fermi από τη στάθμη του κενού. Η διαφορά αυτή καλείται συνάρτηση έργου ( work function) Εw. Αν τα προσπίπτοντα φωτόνια δεν διαθέτουν την παραπάνω ενέργεια, δεν πρόκειται να συμβεί φωτοεκπομπή ανεξάρτητα από την προσπίπτουσα φωτεινή ροή (όσο αυτή δεν παίρνει πολύ μεγάλες τιμές). Επομένως η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να έχει το φωτόνιο, θα μας δώσει το κατώφλι στο μήκος κύματος. Αυτό είναι,

Emin  Ew  hvo  Ew  h

o 

hc Ew

c

o

 Ew  (4.9)

Αν η ενέργεια του φωτονίου υπερβαίνει τη συνάρτηση έργου, η επιπλέον ενέργεια θα παραμείνει στο εγκαταλείπον το υλικό ηλεκτρόνιο, ως κινητική ενέργεια , εκτός αν χάσει μέρος της, κατά τη διαδρομή του από το εσωτερικό του υλικού προς την επιφάνεια ( εσωτερική σκέδαση). Στις συσκευές ανίχνευσης η επιπλέον ενέργεια δεν παίζει ιδιαίτερο ρόλο, μιας και τα ηλεκτρόνια που εγκαταλείπουν τη φωτοκάθοδο, επιταχύνονται από εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο δίνοντας ηλεκτρικό ρεύμα, η τιμή του οποίου εξαρτάται από την προσπίπτουσα φωτεινή ροή. Αναλυτικότερα, στην πρώτη φάση της φωτοεκπομπής, το ηλεκτρόνιο έχοντας απορροφήσει το προσπίπτων φωτόνιο, μεταφέρεται στη ζώνη αγωγιμότητας και εν συνεχεία διαχέεται προς την επιφάνεια του στερεού (βλ. Σχ. 4.11). Αν φτάνοντας εκεί, έχει κινητική ενέργεια τουλάχιστον ίση με την ηλεκτρονική συγγένεια  , μπορεί να ξεπεράσει το φράγμα δυναμικού και να διαφύγει στο χώρο εκτός του υλικού. Έχει βρεθεί ότι η επίστρωση της φωτοκαθόδου με υλικά όπως Cs και Cs2O προκαλεί κάμψη των ενεργειακών ζωνών, προς χαμηλότερες τιμές (Σχ. 4.11β), γεγονός που επιτρέπει την εκπομπή ηλεκτρονίων από φωτόνια μικρότερης συχνότητας. Αν μεταβάλλουμε το μήκος κύματος του φωτός που προσπίπτει στη φωτοκάθοδο, ξεκινώντας από μεγάλες τιμές και μειώνοντάς το, παρατηρούμε φωτοεκπομπή όταν αυτό λαμβάνει την τιμή κατωφλίου της εξίσωσης (4.9).



Ως ηλεκτρονική συγγένεια ορίζεται η ενεργειακή διαφορά μεταξύ του πυθμένος της ζώνης αγωγιμότητας και του ενεργειακού φράγματος το οποίο παρουσιάζει η οριακή επιφάνεια ημιαγωγού-κενού.

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

167

Σχήμα 4.11 Φωτοεκπομπή και ενεργειακές ζώνες. α) Ενεργειακές ζώνες σε ενδογενή ημιαγωγό. Διακρίνεται, το ενεργειακό χάσμα Eg που αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενεργειακή διαφορά μεταξύ της ζώνης σθένους και της ζώνης αγωγιμότητας, η Eα που είναι η ηλεκτρονική συγγένεια και αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενέργεια του ηλεκτρονίου που καταλαμβάνει τη χαμηλότερη ενέργεια της ζώνης αγωγιμότητας, ώστε να υπερπηδήσει το φράγμα δυναμικού και να εξέλθει εκτός του υλικού, καθώς και η συνάρτηση έργου Ew. β) Η επικάλυψη του υλικού με Cs και Cs2O, κάμπτει τις ενεργειακές ζώνες προς χαμηλότερες ενέργειες. Αποτέλεσμα, η μείωση της απαιτούμενης ενέργειας φωτονίου που προκαλεί φωτοεκπομπή.

Για μικρότερες τιμές μηκών κύματος, η κβαντική απόδοση της διάταξης αυξάνεται γρήγορα. Με τον όρο κβαντική απόδοση (quantum efficiency) n,εννοούμε το λόγο των εξαγόμενων ηλεκτρονίων προς τον αριθμό των προσπιπτόντων φωτονίων. Καθώς όμως η διαφορά μεταξύ της ενέργειας του φωτονίου και της συνάρτησης έργου αυξάνεται, η κβαντική απόδοση μειώνεται, διότι με μεγαλύτερες ενέργειες φωτονίων, είναι δυνατή η απορρόφησή τους από ηλεκτρόνια που βρίσκονται βαθύτερα στο εσωτερικό του υλικού, με αποτέλεσμα αυτά να χάνουν την ενέργειά τους στη διαδρομή προς την επιφάνεια. Τέλος, η εφαρμογή ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια του υλικού τροποποιεί το φράγμα δυναμικού γεγονός που μπορεί να ενισχύσει σημαντικά τη φωτοεκπομπή (φαινόμενο Schottky). Στο Σχ. 4.12 απεικονίζεται μια διάταξη ανίχνευσης της φωτοεκπομπής. Διακρίνεται η φωτοκάθοδος, στην οποία προσπίπτει φωτεινή ακτινοβολία. Αν η συχνότητα της ακτινοβολίας είναι μεγαλύτερη της συχνότητας κατωφλίου, από τη φωτοκάθοδο εκπέμπονται ηλεκτρόνια τα οποία επιταχύνονται από το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο, προσπίπτοντας στην άνοδο. Το αποτέλεσμα είναι, στο κύκλωμα να έχουμε μετρήσιμο ηλεκτρικό ρεύμα. Αν ΦP η φωτονική ροή, δηλαδή ο αριθμός των φωτονίων που προσπίπτουν στην κάθοδο

168

4.4 Φαινόμενο φωτοεκπομπής

Σχήμα 4.12 Διάταξη ανίχνευσης φωτοεκπομπής.

ανά δευτερόλεπτο και n η κβαντική απόδοση, τότε το μετρούμενο ρεύμα, είναι,

i  nqe p

(4.10)

Στην περίπτωση που η κάθοδος δε φωτίζεται, το ρεύμα μηδενίζεται, εκτός αν μεταξύ ανόδου και καθόδου, εφαρμοστεί πολύ υψηλή τάση. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται εκπομπή πεδίου (field emission). Ανάλογα με την φασματική περιοχή που θέλουμε να ανιχνεύσουμε, χρησιμοποιούμε διαφορετικούς τύπους φωτοκαθόδων. Μεταλλικές φωτοκάθοδοι, όπως W,ή K-Br, ή CsTe έχουν μήκος κύματος κατωφλίου μικρότερο των 0,3μm. Έτσι χρησιμοποιούνται για ανίχνευση του υπεριώδους. Αντίθετα σε ημιαγωγικές φωτοκαθόδους με μικρότερη συνάρτηση έργου, μπορούν να ανιχνευτούν ακτινοβολίες με μεγαλύτερα μήκη κύματος. Για παράδειγμα, η S-20 (Na2KSb-Cs) ανιχνεύει μέχρι την περιοχή του υπερύθρου στα 0,9μm, παρόλο που παρουσιάζει το μέγιστο της κβαντικής της απόδοσης στα 0,3μm. Από τις γνωστότερες φωτοκαθόδους, είναι η Ag-O-Cs και η Sb-Cs. Συγκριτικά, η πρώτη έχει το χαμηλότερο έργο εξόδου από τις φωτοκαθόδους που κυκλοφορούν στο εμπόριο. Ως συνέπεια, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ανίχνευση ακόμη και του υπερύθρου με μήκη κύματος μεγαλύτερα των 1100nm (με ειδική επεξεργασία μπορεί να φτάσει και τα 1700nm). Η μέγιστη ευαισθησία της όμως, μπορεί να φτάσει μόνο το ένα δέκατο τη SbCs. Από την άλλη, λόγω του χαμηλού έργου εξαγωγής, η εκπομπή σκότους (εκπομπή ηλεκτρονίων απουσία φωτισμού) είναι μερικές χιλιάδες φορές μεγαλύτερη από την αντίστοιχη της καθόδου Sb-Cs. Οι δύο παραπάνω παράγοντες, περιορίζουν τη χρησιμότητα της καθόδου Ag-O-Cs σε συνθήκες χαμηλού φωτισμού. Η κάθοδος Sb-Cs έχει την υψηλότερη ευαισθησία μεταξύ των φωτοκαθόδων που κυκλοφορούν στο εμπόριο. Χρησιμοποιείται για ανίχνευση από το υπεριώδες (όσο αυτό δεν απορροφάται από το περίβλημα

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

169

του σωλήνα, γεγονός που εξαρτάται από το πάχος και τη διαπερατότητά του ), έως την ορατή περιοχή περίπου στα 700nm. Κατασκευαστικά οι φωτοκάθοδοι μπορούν να είναι αδιαφανείς, ή εν μέρει διαφανείς. Οι δεύτερες χρησιμοποιούνται στην περίπτωση που το φως προσπίπτει από τη μια πλευρά τους και τα ηλεκτρόνια εκπέμπονται από την άλλη. Το πάχος τότε της φωτοκαθόδου γίνεται σημαντικός παράγοντας, καθώς λεπτή φωτοκάθοδος δεν εμφανίζει ικανοποιητική απορροφητικότητα. Από την άλλη, αν το πάχος αυξηθεί πολύ, είναι δυνατόν τα φωτοηλεκτρόνια να μην εξέρχονται από το υλικό, ώστε να ανιχνευτούν από την άνοδο. Μειονέκτημα της λεπτής φωτοκαθόδου αποτελεί και το ότι δεν επιτυγχάνεται η απαραίτητη αγωγιμότητα που θα συμβάλλει στην ουδετερότητα του φορτίου της, λόγω της απώλειας των αρνητικών φορτίων(ηλεκτρονίων). Αν συμβεί αυτό παρατηρείται μείωση στην απόδοσή της. Οι ανιχνευτές ακτινοβολίας που στηρίζονται στη φωτοεκπομπή έχουν πολύ μικρούς χρόνους απόκρισης. Πράγματι, από τη στιγμή που ένα φωτόνιο της ακτινοβολίας προσπίπτει στην κάθοδο έως τη στιγμή που το φωτοηλεκτρόνιο φτάνει στην άνοδο, περνάει χρονικό διάστημα μικρότερο των 10-10s. Οι εν λόγω ανιχνευτές κατηγοριοποιούνται συνήθως σε φωτοκύτταρα και φωτοπολλαπλασιαστές.

4.4.1 Φωτοκύτταρα (vacuum phototubes) Στο Σχ. 4.13(α) απεικονίζεται η τομή ενός φωτοκυττάρου. Η φωτοκάθοδος είναι κυλινδρικού σχήματος ορισμένου μήκους, γενικά μεγάλων διαστάσεων, για την καλύτερη συλλογή της φωτεινής ακτινοβολίας. Η άνοδος είναι διαμήκες σύρμα που ταυτίζεται με τον άξονα του κυλίνδρου. Στην περίπτωση αδιαφανούς φωτοκαθόδου, η εκπομπή των ηλεκτρονίων γίνεται προς την ίδια πλευρά που προσπίπτει η φωτεινή ροή. Μεταξύ ανόδου και καθόδου εφαρμόζεται διαφορά δυναμικού V, μέσω αντιστάτη R. Το όλο σύστημα βρίσκεται μέσα σε γυάλινο αερόκενο σωλήνα. Αν φωτίσουμε την κάθοδο, εκπέμπονται ηλεκτρόνια που λόγω της τάσης V, επιταχύνονται προς την άνοδο. Μέσω του αμπερομέτρου μπορούμε να μετρήσουμε το ρεύμα, το οποίο όπως προκύπτει από τη σχέση (4.10) είναι ευθέως ανάλογο της φωτονικής ροής ΦP. Μετρώντας τη φωτονική ροή και

170

4.4 Φαινόμενο φωτοεκπομπής

γνωρίζοντας τη φασματική κατανομή των προσπιπτόντων φωτονίων μπορούμε να γνωρίζουμε την ακτινοβόλο ροή, δηλαδή την προσπίπτουσα ενέργεια ανά μονάδα χρόνου.

Σχήμα 4.13 (α) Η προσπίπτουσα στην κάθοδο φωτεινή ροή προκαλεί την εκπομπή ηλεκτρονίων που επιταχύνονται προς την άνοδο. (β) Μετρούμενο από το αμπερόμετρο ρεύμα, για διάφορες τιμές της ανοδικής τάσης και σταθερή φωτεινή ροή (χαρακτηριστική i – V). Φαίνεται επίσης η χαρακτηριστική στην περίπτωση που στο σωλήνα έχει εισαχθεί αέριο.

Στο Σχ. 4.13(β), φαίνεται η χαρακτηριστική καμπύλη i – V της διάταξης, όπου η φωτονική ροή διατηρείται σταθερή. Στην περίπτωση του αερόκενου σωλήνα, παρατηρούμε ότι αρχικά, αύξηση της τάσης V οδηγεί σε αύξηση του φωτορεύματος. Όμως από μια τάση και πάνω οδηγούμαστε σε κόρο, δηλαδή σε σταθεροποίηση του i. Το ρεύμα κόρου, αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου όλα τα φωτοηλεκτρόνια φτάνουν στην άνοδο, οπότε περαιτέρω αύξηση της τάσης δεν έχει επίδραση στο ρεύμα. Όσον αφορά στη χρονική απόκριση της διάταξης, αυτή καθορίζεται κυρίως από το χρόνο μετάβασης των φωτοηλεκτρονίων από την κάθοδο στην άνοδο. Ο χρόνος αυτός είναι ανάλογος της απόστασης και αντιστρόφως ανάλογος της τετραγωνικής ρίζας της εφαρμοζόμενης τάσης και είναι της τάξης των ns, σε αντίθεση με τον πολύ μικρότερο χρόνο του φαινομένου της φωτοεκπομπής που είναι της τάξης των ps. Σημαντικό ρόλο στις μετρήσεις παίζουν οι μεταβολές της χρονικής καθυστέρησης κατά τη μετάβαση των φωτοηλεκτρονίων στην άνοδο, διότι μπορούν να περιορίσουν τη συχνότητα με την οποία μπορούμε να ανιχνεύσουμε μεταβολές στη φωτονική ροή. Ως παράδειγμα, εφαρμόζοντας υψηλή τάση για την επιτάχυνση των ηλεκτρονίων, οι αρχικές ταχύτητες κατά την έξοδό τους από την κάθοδο, δεν επηρεάζουν το χρόνο μετάβασης στην άνοδο. Αντίθετα, η εκ-

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

171

πομπή από διαφορετικά σημεία της καθόδου, έχει ως αποτέλεσμα διακυμάνσεις στο χρόνο μετάβασης, με συνέπεια τον περιορισμό της συχνότητας ανίχνευσης μεταβολών της ακτινοβολίας. Περιορισμοί στη συχνότητα των παρατηρούμενων διακυμάνσεων μπορούν να συμβούν και λόγω φαινομένων χωρητικότητας των αγωγών σύνδεσης. Στην περίπτωση αυτή θα ήταν καλό η αντίσταση του κυκλώματος να είναι μικρή, όμως από την άλλη αυτό θα άφηνε τη συσκευή απροστάτευτη σε μεγάλες τιμές ρεύματος. Μπορούμε να αυξήσουμε την ευαισθησία του οργάνου, με την εισαγωγή ορισμένης ποσότητας κατάλληλου αερίου. Όπως παρατηρούμε από το Σχ. 4.13(β), αύξηση της τάσης V οδηγεί συνεχώς σε αύξηση του φωτορεύματος. Αυτό οφείλεται στον ιονισμό των μορίων του αερίου από τα φωτοηλεκτρόνια, μέσω κρούσης μ’ αυτά. Τα δευτερογενή ηλεκτρόνια που προκύπτουν προκαλούν νέους ιονισμούς, κ.ο.κ., ώστε να συμβάλλουν στην αύξηση του φωτορεύματος. Αν έχουμε αύξηση της διαφοράς δυναμικού πέραν κάποιας τάσης, είναι δυνατόν να προκληθεί εκκένωση με μεγάλες τιμές του i που μπορούν να καταστρέψουν το φωτοκύτταρο. Για το λόγο αυτό στο κύκλωμα προστίθεται η αντίσταση R, ώστε να εμποδίσει ανεξέλεγκτα υψηλές τιμές του ρεύματος.

4.4.2 Φωτοπολλαπλασιαστές ( photomultiplier tube – PMT ή PM ) Συχνά, το σήμα που προκύπτει στην έξοδο ενός φωτοκυττάρου χρειάζεται ενίσχυση ώστε να ανιχνευτεί και να μετρηθεί, γεγονός όμως που προσθέτει θόρυβο στο αρχικό σήμα. Μια μέθοδος ενίσχυσης του σήματος με προσθήκη χαμηλού θορύβου, επιτυγχάνεται μέσω του πολλαπλασιασμού των ηλεκτρονίων που τελικά φτάνουν στην άνοδο. Διατάξεις που λειτουργούν με αυτόν τον τρόπο, ονομάζονται φωτοπολλαπλασιαστές. Στο Σχ.

4.14 απεικονίζεται η λειτουργία ενός φωτοπολλαπλασιαστή. Παρατηρούμε ότι η άνοδος πλέον δεν είναι μοναδική, αλλά έχει συμπληρωθεί από ένα πλήθος ανόδων με συγκεκριμένο προσανατολισμό και γεωμετρικά χαρακτηριστικά. Οι άνοδοι στην παραπάνω διάταξη ονομάζονται δύνοδοι και πολώνονται με αυξανόμενο δυναμικό, καθώς οδεύουμε προς τα δεξιά. Όσον αφορά στη λειτουργία της διάταξης, ένα φωτοηλεκτρόνιο που προκύπτει κατά την απορρόφηση ενός φωτονίου, επιταχύνεται μέσω της διαφοράς δυναμικού και προσπίπτει στην πρώτη δύνοδο. Έχοντας την απαραίτη-

172

4.4 Φαινόμενο φωτοεκπομπής

τη ενέργεια μπορεί να προκαλέσει δευτερογενή εκπομπή ηλεκτρονίων, τα οποία μαζί με το αρχικό επιταχύνονται και προσπίπτουν στην τρίτη δύνοδο προκαλώντας τριτογενή εκπομπή, κ.ο.κ. Το αποτέλεσμα είναι να φτάνει στην άνοδο ένα μεγάλο πλήθος ηλεκτρονίων που μπορεί να είναι αυξημένο κατά έναν παράγοντα της τάξης του 106, έναντι της μιας ανόδου, με αποτέλεσμα την ενίσχυση ενός αρχικά ασθενικού σήματος.

Σχήμα 4.14 Αρχή λειτουργίας φωτοπολλαπλασιαστή.

Περαιτέρω μελέτη του φαινομένου  δείχνει ότι η ενεργειακή κατανομή των δευτερογενών ηλεκτρονίων παρουσιάζει μέγιστο στα 2eV περίπου και δεν αλλάζει αισθητά με την αύξηση της ενέργειας των φωτοηλεκτρονίων. Η αύξηση όμως της ενέργειας των φωτοηλεκτρονίων (με την αύξηση της τάσης) έχει ως συνέπεια την αύξηση του πλήθους των εκπεμπόμενων δευτερογενών ηλεκτρονίων. Αυτό, δε συμβαίνει απεριόριστα, καθώς η αύξηση της ενέργειας έχει ως αποτέλεσμα της αύξησης του βάθους διείσδυσης των ηλεκτρονίων στο υλικό. Παρόλο που το πλήθος των διεγερμένων ηλεκτρονίων αυξάνεται, αυτά μέσω κρούσεων χάνουν την ενέργειά τους στη διαδρομή προς την επιφάνεια, με αποτέλεσμα να μη διαφεύγουν, οπότε τελικά ανακόπτεται η αύξηση των δευτερογενών ηλεκτρονίων. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να ξεπεραστεί αν για μεγάλες ενέργειες των φωτοηλεκτρονίων αυξήσουμε τη γωνία πρόσπτωσης, με αποτέλεσμα να μειώσουμε το βάθος διείσδυσης. Όσο για το υλικό των δυνόδων, κατά κανόνα, υλικά που είναι καλές φωτοκάθοδοι, είναι και καλοί πολλαπλασιαστές ηλεκτρονίων. Επί παραδείγματι, η φωτοκάθοδος Sb-Cs



βλ. “Applied Optics: A Guide to Optical System Design/Volume 2” Leo Levi, σελ. 472 Έτος, 1980

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

173

είναι ένας από τους καλύτερους πολλαπλασιαστές που αυξάνει τα ηλεκτρόνια κατά έναν παράγοντα 10. ΕΚΠΟΜΠΗ ∆ΕΥΤΕΡΟΓΕΝΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ (SECONDARY ELECTRON EMISSION)

Σχήμα 4.15

Φωτοπολλαπλασιαστής

Στο Σχ. 4.15 απεικονίζεται ένας φωτοπολλαπλασιαστής που αποτελείται από έναν αερόκενο γυάλινο σωλήνα στο εσωτερικό του οποίου βρίσκονται η άνοδος, η κάθοδος και το σύστημα των δυνόδων. Το υλικό της καθόδου έχει εναποτεθεί με εξάχνωση πάνω σε επίπεδη επιφάνεια η οποία αποτελεί την είσοδο του προς ανίχνευση φωτός. Το όλο σύστημα του σωλήνα λόγω της μεταλλικής του σύνθεσης, λειτουργεί ως μαγνητική θωράκιση για τα εκπεμπόμενα ηλεκτρόνια εμποδίζοντας τη διαφυγή τους προς άλλες διευθύνσεις πέραν αυτών, των δυνόδων. Μέσω του τροφοδοτικού εφαρμόζεται η κατάλληλη τάση μεταξύ των δυνόδων. Η ποιότητα του τροφοδοτικού πρέπει να είναι καλή ώστε να μην εμφανίζει διακυμάνσεις τάσης διότι τότε μεταβάλλεται το σήμα, λόγω μεταβολής του πλήθους των δευτερογενών ηλεκτρονίων, χωρίς μεταβολή της φωτονικής ροής. Όσο για τη χρονική απόκριση του PM όπως και στην περίπτωση του φωτοκυττάρου, οι χρόνοι εξαρτώνται από την τάση ανόδου καθόδου. Πιο συγκεκριμένα είναι αντιστρόφως ανάλογοι της τετραγωνικής ρίζας της τάσης, που σημαίνει ότι για μεγάλες τάσεις γίνονται πολύ μικροί. Σημαντικό πρόβλημα όμως αποτελεί η χρονική διαφορά μεταξύ των δευτερογενών ηλεκτρονίων που προέρχονται από το ίδιο φωτόνιο αλλά από διαφορετικά σημεία των δυνόδων. Ως αποτέλεσμα, για παράδειγμα, δύο χωρικά κοντινοί παλμοί φωτός είναι δυνατόν στην έξοδο να μη διακρίνονται.

174

4.5 Διατάξεις συζευγμένων φορτίων (Charge Coupled Devices C.C.D.)

4.5 Διατάξεις συζευγμένων φορτίων (Charge Coupled Devices C.C.D.) Οι διατάξεις συζευγμένου φορτίου C.C.D. είναι ανιχνευτές φωτονίων που εφευρέθηκαν στα 1969 από τους Willard Boyle και George E. Smith στους οποίους απονεμήθηκε το βραβείο Nobel φυσικής του έτους 2009. Στην απλούστερη μορφή τους τα C.C.D. αποτελούνται από μια πολύ πυκνή διαδοχή, σε μια ή δύο διαστάσεις, πυκνωτών, μετάλλου - μονωτή – ημιαγωγού (Metal-InsulatorSemiconductor, ή MIS). Στην εφαρμογή, η περισσότερο χρησιμοποιούμενη μορφή είναι οι πυκνωτές, μετάλλου- οξειδίου-ημιαγωγού (MOS). Ως μέταλλο συνήθως χρησιμοποιείται το αργίλιο (Al), οξείδιο το SiO2 (οξείδιο του πυριτίου) και ημιαγωγός το πυρίτιο το οποίο εμπλουτίζεται με προσμίξεις Βορίου, οπότε οι φορείς πλειονότητας είναι οι οπές.

Σχήμα 4.16 Η κατασκευή ενός γραμμικού C.C.D. Με κίτρινο χρώμα φαίνεται η περιοχή κένωσης που αποτελεί φρέαρ δυναμικού (potential well), στο οποίο συλλέγονται τα φωτοηλεκτρόνια.

Όπως φαίνεται στο Σχ. 4.15, πάνω στο υπόβαθρο που αποτελείται από έναν γειωμένο ημιαγωγό τύπου-p, τοποθετείται λεπτό υμένιο μονωτικού SiO2. Πάνω σ’ αυτό εξαχνώνονται οι μεταλλικές νησίδες αλουμινίου, όπου εφαρμόζεται θετικό δυναμικό. Με τον τρόπο αυτό προκαλούμε κάμψεις των ενεργειακών ζωνών του ημιαγωγού (βλ. Σχ. 4.10). Το αποτέλεσμα είναι οι θετικοί φορείς αγωγιμότητας, δηλαδή οι οπές, απωθούμενες να διαφεύγουν μέσω της γείωσης, αφήνοντας έτσι περιοχές κένωσης θετικού φορτίου. Οι περιοχές κένωσης έχουν τόσο μεγαλύτερο βάθος, όσο μεγαλύτερο το εφαρμοζόμενο δυναμικό. Οι αισθητήρες αξιοποιώντας τη φωτοευαισθησία του πυριτίου, ανιχνεύουν από τα 400nm έως τα 1100nm, δηλαδή από το υπεριώδες στο εγγύς υπέρυθρο. Όταν μέσω φακού, το σύστημα εκτεθεί σε φως, αυτό διαπερνά τη λεπτή μεταλλική επίστρωση, καθώς και το διαφανές SiO2 και απορροφάται από τον p-ημιαγωγό. Αν η ενέργεια των φωτονίων υπερβαίνει το ενεργειακό χάσμα Eg, δημιουργούνται ζεύγη ηλε-

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

175

κτρονίων οπών στην περιοχή κένωσης. Οι οπές απωθούνται λόγω του θετικού δυναμικού, προς τη γείωση, ενώ τα ηλεκτρόνια έλκονται κάτω από την περιοχή του μετάλλου, στην περιοχή κένωσης, όπου περιορίζονται, λόγω της μόνωσης που επιτυγχάνεται με το διοξείδιο του πυριτίου. Η συγκέντρωση δε των φωτοηλεκτρονίων εξαρτάται από το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, είναι ανάλογη της έντασης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας καθώς και του χρόνου έκθεσης. Η αποθήκευση του φορτίου στην περιοχή κάτω από τις νησίδες μπορεί να γίνεται χωρίς σημαντικές απώλειες, για μεγάλα χρονικά διαστήματα της τάξης λίγων ωρών. Έτσι τα C.C.D. μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανίχνευση και φωτογράφηση του φωτός αμυδρών αντικειμένων, όπως το προερχόμενο από πολύ χαμηλής έντασης ουράνια αντικείμενα. Ένα πρόβλημα που εμφανίζεται όμως κατά την πολύωρη έκθεση, είναι η διάχυση φορτίων μειονότητας του ημιαγωγού προς την περιοχή κένωσης. Η ανάκτηση της πληροφορίας, γίνεται μέσω της μεταφοράς του ηλεκτρονικού φορτίου της περιοχής κένωσης. Αν χρησιμοποιήσουμε μια σειρά από πυκνωτές MOS, όπως αυτούς του Σχ. 4.15, μπορούμε εφαρμόζοντας διαδοχικά θετικό δυναμικό στα μεταλλικά ηλεκτρόδια, και κρατώντας μηδενικό το δυναμικό των υπολοίπων, να μεταφέρουμε τα ηλεκτρόνια μέσω του ημιαγωγικού υποβάθρου στην επιθυμητή διεύθυνση. Η λειτουργία του συστήματος τότε είναι παρόμοια μ’ αυτήν του καταχωρητή ολίσθησης. Μια σημαντική ιδιότητα των C.C.D. είναι η ικανότητα μεταφοράς (transfer efficiency) σχεδόν όλου του φορτίου από ένα πηγάδι δυναμικού στο άλλο. Δεν είναι ασυνήθιστες τιμές μεταφοράς 99,9%. Έτσι μετά από 100 καταχωρήσεις, χάνεται μόνο το 10% του φορτίου. Σ’ ένα σύστημα ανίχνευσης, υπάρχει ένας πολύ μεγάλος αριθμός πυκνωτών που ο καθένας αποτελεί μια θέση καταγραφής (pixel). Τα pixels μπορούν να διατάσσονται γραμμικά είτε επιφανειακά. Μέσω συστήματος ανίχνευσης το φορτίο των περιοχών κένωσης κάθε πυκνωτή μπορεί να ανιχνεύεται αλλά και να αναγνωρίζεται η χωρική του προέλευση από τη διάταξη των pixels. Το αποτέλεσμα είναι κατά την έξοδό του το φορτίο από κάθε pixel, να αντιστοιχεί σε ένα αναλογικό σήμα (τάση), που το πλάτος του από θέση σε θέση εξαρτάται από την τιμή του φορτίου της κάθε θέσης, δηλαδή από την προσπίπτουσα ακτινοβολία. Πρόκειται για σήμα video, η ανασύνθεση του οποίου από κάθε σειρά pixel και η προβολή του στην οθόνη μιας τηλεόρασης εμφανίζουν την εικόνα που ήταν καταχωρημένη στο διδιάστατο πλαίσιο των πυκνωτών. Το παραπάνω σύστημα μαζί με τα

176

4.5 Διατάξεις συζευγμένων φορτίων (Charge Coupled Devices C.C.D.)

ηλεκτρονικά συστήματα ανίχνευσης και οδήγησης αποτελούν τον τρόπο λειτουργίας της C.C.D. –camera. Στο Σχ.4.16 φαίνεται η σύζευξη των φορτίων που παράγονται σε κάθε

(α)

(β)

Σχήμα 4.17 (α) Μέθοδος σύζευξης φορτίου. Τα pixels του συστήματος ανίχνευσης βρίσκονται σε σύζευξη με αντίστοιχα pixels αποθήκευσης. Το φορτίο που προκύπτει από την ανίχνευση μεταφέρεται στο σύστημα αποθήκευσης αναλογικά. Κατόπιν ψηφιοποιείται και προβάλλεται στο σύστημα απεικόνισης (β).

pixel κατά την έκθεση του C.C.D. σε φως, με αντίστοιχα pixel του συστήματος αποθήκευσης. Στη συνέχεια το αναλογικό σήμα μετατρέπεται σε ψηφιακό και προβάλλεται στην οθόνη απεικόνισης.

Σχήμα 4.18 Αριστερά απεικονίζεται C.C.D. που χρησιμοποιείται για ανίχνευση στο υπεριώδες. Πάνω γραμμικό C.C.D. μηχανήματος fax.

Τυπικές διαστάσεις «νησίδας» (pixel) είναι τα 10μm με προοπτική ελάττωσης. Η απόσταση γειτονικών pixel καθορίζει τη διακριτική ικανότητα του ανιχνευτή. Όσο για την πυκνότητα των pixels, ως παράδειγμα σ’ ένα C.C.D. διαστάσεων 25,4x6,35mm με από-

Κεφ. 4 Ανίχνευση του φωτός

177

σταση των κέντρων γειτονικών pixel 24,8μm, υπάρχει ένα πλήθος 1024x256=262.144 πυκνωτών. Πλεονεκτήματα του C.C.D. σε σχέση με τους άλλους ανιχνευτές φωτός, είναι η μεγάλη αποκριτική κβαντική απόδοση που είναι της τάξης του 70% καθώς και η ευρεία φασματική ευαισθησία. Πλεονέκτημα ακόμη αποτελεί η γραμμική του απόκριση και η μεγάλη δυναμική περιοχή λειτουργίας του (κατά 50 φορές μεγαλύτερη σε σχέση με τη φωτογραφική πλάκα). Στα μειονεκτήματά του συγκαταλέγεται κυρίως ο θερμικός θόρυβος. Πολλά pixels ακόμη και σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες είναι κορεσμένα με θερμικά ηλεκτρόνια με αποτέλεσμα το σχηματιζόμενο είδωλο να περιέχει πλασματικά «θερμά σημεία» που κατά την επεξεργασία των δεδομένων, πρέπει να αφαιρεθούν. Άλλο σοβαρό πρόβλημα αποτελούν τα ελαττωματικά pixels, τα οποία αφενός δεν παρουσιάζουν ικανότητα ανίχνευσης, αφετέρου δε, προκαλούν ανωμαλίες στη μεταφορά των φορτίων μέσω του ημιαγωγικού υποβάθρου. Η χρήση των C.C.D. είναι ευρύτατη κι επεκτείνεται από την καθημερινή χρήση σε φωτογραφικές μηχανές και συστήματα fax, ως την αστρονομία και την ιατρική. Αξίζει να αναφέρουμε μια πρόσφατη εφαρμογή τους με την κατασκευή τεχνητού αμφιβληστροειδή (artificial retina), που έχει δώσει την ελπίδα ανάκτησης μέρους της χαμένης όρασης πολλών ανθρώπων.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

5.

5.1 Βιβλία 1. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. I,

II και III, Adisson-Wesley, 1977 2. D. Halliday – R. Resnick, Φυσική Μέρος Β, Γ. Α. Πνευματικός, Αθήνα 3. Eugene Hecht, 4ed Optics , Adisson-Wesley 2002 4. Leo Levi, Applied Optics, John Wiley & Sons, 1980 5. David C. Lindberg, Οι Απαρχές της Δυτικής Επιστήμης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις

Ε.Μ.Π. 1997 6. Hartmann Römer, Theoretical Optics, 2005 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA,

Weinheim 7. Emilio Segrè, Από την Πτώση των Σωμάτων έως τα Ραδιοκύματα, Δίαυλος, Αθή-

να 1997 8. O. Svelto, Αρχές των Lasers, Ο.Ε.Δ.Β., Αθήνα 1988 9. Richard S. Westfall, Η Συγκρότηση της Σύγχρονης Επιστήμης, Π.Ε.Κ., Ηράκλειο

1995 10. http://users.auth.gr/~vanidhis συγγραφική δραστηριότητα. Εργαστηριακή οπτική: Επαλληλία κυμάτων συμφωνία και συμβολή του φωτός 11. http://users.auth.gr/~vanidhis συγγραφική δραστηριότητα. Εργαστηριακή οπτική: Παραγωγή, Ανάλυση και Ανίχνευση του Φωτός, Θες/νίκη 2006 12. http://users.auth.gr/~vanidhis συγγραφική δραστηριότητα. Εργαστηριακή οπτική: Πόλωση του Φωτός στο Κενό και την Ύλη, Θες/νίκη 2008 13. Σωτήριος Βες, Εισαγωγή στην Κβαντική οπτική & Laser, Β΄ έκδοση, Θεσ/νίκη

1999.

14. Χρίστος Δ. Γούδης, Εφαρμοσμένη Οπτική: Ι. Τεχνητές Πηγές και Ανίχνευση του Φωτός, Πάτρα 1985 15. Αριστείδης Ζδέτσης, Ταλαντώσεις και Κύματα Τόμος Β΄, Μέρος Β΄, Ε.Α.Π., Πάτρα

2005 16. Στέφανος Τραχανάς, Κβαντομηχανική Ι, Π.Ε.Κ., Ηράκλειο 2007

180

5.2 Πηγές από το διαδίκτυο

17. Μαθήματα Φυσικής του Παν/μίου του Berkeley, τόμος 3, Κυματική, μετάφραση του

Ε.Μ.Π., Αθήνα 1986 18. Στέργιος Στότας, Υπολογιστική ανάλυση και χαρακτηρισμός μεταϋλικών (metamaterials), Διπλωματική εργασία, επιβλέπων καθηγητής Τραϊανός Γιούλτσης,

ΑΠΘ Πολυτεχνική Σχολή, Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Τομέας Τηλεπικοινωνιών, Θεσ/νίκη 2008

5.2 Πηγές από το διαδίκτυο      

http://www.youtube.com/watch?v=tNL7yXIEias Βιντεοπαρουσίαση του Laser ακτίνων Χ http://en.wikipedia.org/wiki/Charge-coupled_device Διατάξεις συζευγμένων φορτίων (Charge Coupled Devices C.C.D.) http://www.tmth.edu.gr/aet/thematic_areas/p349.html Οπτικά Ευκλείδη και Πτολεμαίου http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/atmos/blusky.html Σκέδαση και χρώμα του ουρανού http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_index_metamaterials Μεταϋλικά http://en.wikipedia.org/wiki/Eye Το ανθρώπινο μάτι