M. C. Escher a Arte e a Matemática

FICHA TÉCNICA

TÍTULO: M. C. Escher a Arte e a Matemática

AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva IMAGENS E ALGUNS TEXTOS: Páginas web visitadas em Janeiro de 2018 

http://www.mcescher.com/

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https://www.escherinhetpaleis.nl/?lang=en

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http://mathstat.slu.edu/escher/index.php/Escher_Artwork_Gallery

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http://www.eschergranada.com/index.html

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http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm

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http://webpages.fc.ul.pt/~ommartins/seminario/escher/prosto.html

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https://www.spm.pt/escher

PRODUÇÃO: Agrupamento de Escolas Morgado de Mateus ALGUNS TEXTOS: José Santos Silva Exposição temática, articulada com grupo disciplinar (230) de Matemática e Ciências Naturais e a Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral

M. C. Escher a Arte e a Matemática Em 17 de junho de 1898, Maurits Cornelis Escher nasce em Leeuwarden na Holanda.

Era filho de um engenheiro civil, George Arnold Escher e de Sarah Gleichman.

Em 1903 a família muda-se para Arnhem, cidade holandesa mais a sul, onde Escher passou grande parte da sua infância e adolescência. Sempre mostrou grande aptidão para o desenho, mas na escola nunca foi muito bem sucedido .

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Entre 1912 e 1918 frequentou a secundária em Arnhem, mas não obteve grandes resultados.

Escher era canhoto e muito inteligente, mas não um aluno brilhante. Ele próprio o admitiu, mais tarde, quando entrevistado, que se aborrecia nas aulas e que o desenho era a única atividade de que gostava. Uma foto da sua escola, ↑↑ terá servido de inspiração para o seu trabalho “Relatividade” uma litografia de 1953 que parece  relembrá-la trinta anos depois.

“Maravilha, ou como o aborrecimento se torna uma ilusão de ótica”.

Citação do curador do Museu Escher in Het Paleis.

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Em 1916 Escher cria o seu primeiro trabalho gráfico; uma linoleogravura de seu pai G.A. Escher. É um processo em que a imagem é recortada em linóleo (tecido impermeável, feito de juta e untado com óleo de linhaça e cortiça) e colada em uma base de madeira.

Em 1917 a família muda-se para Oosterbeek. Em janeiro Escher desenha utilizando uma outra técnica; a águaforte (ácido nítrico diluído em água) em que a gravura é obtida usando uma matriz metálica. Desenha a ponte ferroviária que atravessa o rio Reno em Oosterbeek.

Ele procura aprimorar a sua técnica e conhecer novos materiais.

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Em 1918 inicia estudos de arquitetura na ‘Hogere Technische School’ em Delft. Não se dá bem e não consegue passar nos exames, em parte também devido a problemas de saúde.

Em 1919 vai para a Escola de Arquitetura e Artes Decorativas em Haarlem. Aí conhece Jessurun de Mesquita seu professor de artes gráficas de quem recebeu ensinamentos e influências muito importantes.

Escher aprende técnicas de Autorretrato, linóleo 1917. desenho que executa com grande perícia, fica fascinado pela arte da gravura e consegue convencer a sua família de que será muito melhor artista gráfico do que arquiteto.

Samuel Jessurun de Mesquita .

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Enquanto ainda estudava na Flor de Pascua Escola de Haarlem Escher foi convidado a colaborar numa pequena publicação (livreto) ilustrando alguns dos textos que um seu amigo, Van Stolk, escrevia. Esse pequeno livro, “Flor de Pascua”, viria a ser publicado mais tarde.

Nesta xilogravura, denominada “Bode expiatório”, Escher desenha baseando-se numa reflexão axial. Ele desenha a cabeça de duas cabras; a cabra branca é fundida com uma semelhança de Cristo e a cabra preta com uma semelhança de Satanás.

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A amizade de Escher com Van Stolk e a sua esposa Fiet, a colaboração em “Flor de Pascua” , e as viagens que fez com o casal, foram muito importantes porque lhe possibilitaram explorar temas e recolher “imagens” que mais tarde usaria na sua atividade profissional. É notável como Escher explorou muitos dos temas-chave de seu trabalho posterior, enquanto ainda estudante.

Para “A beleza”, ele usou um padrão de cristal. Mais tarde lendo os trabalhos académicos sobre cristalografia cedidos por seu irmão Berend começou a explorar a estrutura esquemática dos cristais, o que constituiu a base para centenas de estudos que faria para as pavimentações do plano.

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Em 1922 Escher deixa a escola de arquitetura tendo adquirido várias técnicas usadas em desenho e gravura, em especial a xilogravura (gravura em madeira). À esquerda pode ver-se “A esfera” (Autorretrato), uma das mais emblemáticas xilogravuras que fez à época.

Ainda em 1921 inicia a primeira de uma série de viagens que viriam a ter grande repercussão na sua carreira. Com 15 anos (1913) havia recebido a sua primeira câmara fotográfica e isso foi também o início de um importante ‘hobby’ a fotografia, que frequentemente utilizou como inspiração para os seus trabalhos.

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Em 1922 viajou por Itália e Espanha. Visitou Florença, San Gimignano, Volterra, Siena e Ravello. No mesmo ano visitou Madrid, Toledo e Granada. Continuou a fazer belas gravuras em madeira e litografias em que os temas preferidos eram a natureza, os efeitos de perspetiva, criação de ilusões óticas e pavimentações do plano.

A xilogravura “Oito cabeças”, é uma das primeiras que revela já uma engenhosa divisão geométrica do plano.

Oito cabeças, xilogravura de 1922. Teve de ser impressa em vários blocos.

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Escher em Itália.

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Escher amava a Itália e sempre revelou muito interesse pelos países do sul da europa embora tanto quanto se saiba nunca tivesse vindo a Portugal.

Em junho de 1924 casou com Jetta Umiker em Itália.

Procissão na cripta 1927

Roma 1927

Autorretrato 1922

Retrato de Jetta 1925 AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18

Torre de Babel 1928 Castelo no ar 1928

Desenho de mosaico do Museu de Alhambra. M. C. Escher, 1922

Entre 27 de abril e 25 de junho de 1936, Escher fez uma viagem de barco ao longo da costa de Itália e França a caminho de Espanha. onde teve oportunidade de fazer um estudo aprofundado dos Mosaicos dos Mouros do Palácio de Alhambra (Granada) e da Mesquita em Córdoba. Escher já havia visitado Alhambra em 1922. É um ponto de viragem em seu trabalho; ele passa, segundo especialistas, das "paisagens" para as "imagens mentais".

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Pavimentações do plano Escher foi influenciado pelos trabalhos de cristalografia de seu irmão Berend, mas acabou por criar um sistema próprio para a divisão do plano. Sem conhecimento matemático prévio, ele descobriu e utilizou os 17 grupos de simetria de pavimentações que os matemáticos já haviam identificado.

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Pormenor do caderno de apontamentos de Escher; ele estudava a forma como conceitos abstratos poderiam tornar-se em figuras reconhecĂ­veis.

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Desenhos de Escher das formas primárias de pavimentação do plano.

Ele escreveu que “... um plano, que podemos imaginar estendendo-se sem fronteiras em todas as direções, pode ser preenchido ou dividido até ao infinito, de acordo com um número limitado de sistemas, em figuras geométricas similares, contíguas, sem deixar qualquer espaço livre”.

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Ele demonstra aqui como o plano pode ser preenchido adaptando formas e usando as três técnicas básicas de: rotação,

translação

e reflexão deslizante.

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Sol e Lua Xilogravura de 1948 Bloco de madeira de fibra em azul, vermelho, amarelo e preto, impresso a partir de duas placas.

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Preencher o plano I

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Preencher o plano II

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Anjos e demónios (1941) Esta gravura tem: reflexão axial; rotação; e translação.

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Ar e Água I e II (1938) Na linha média horizontal, as aves são água para os peixes e os peixes são ar para as aves.

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Dia e Noite (1938) Campos cinzentos retangulares evoluem para silhuetas de aves brancas e pretas. As pretas voam para a esquerda e as brancas para a direita. No lado esquerdo fundem-se as brancas e formam céu e paisagem de dia. Do lado direito, unem-se as pretas na noite. A paisagem do dia e da noite são imagens refletidas uma da outra, ligadas por campos cinzentos, dos quais aves evoluem novamente.

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Evolução I (1937) Quadrados cinzentos que mal se percebem na periferia tomam, em direção ao centro, um curso de desenvolvimento em relação à forma e ao contraste.

No centro, a sua configuração está completa.

AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18

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Uma evolução a partir do centro para fora.

Ao longo da periferia, mais espaço para

figuras completamente desenvolvidas.

A palavra central Verbum lembra a história bíblica da Criação.

Verbum (1942) Do cinzento nublado arquétipos trianque,

emergem -gulares nos

lados do hexá gono regular, crescem em forma de aves, peixes e encontram - -se nos seus respetivos elementos: ar, água e terra. Cada espécie animal mostra-se uma vez dia e uma vez na noite, funde-se uma na outra e move-se no sentido dos ponteiros do relógio, ao longo contornos do hexágono.

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Metamorfoses

Em agosto de 1937 muda-se para Ukkel, cidade belga perto de Bruxelas. Cria sua primeira “Metamorfose”.

Metamorfose I - xilogravura 1937

Nela Escher representa a pequena cidade de Atrani que se transforma em padrões geométricos e estes numa figura oriental independente. Esta xilogravura é apenas a primeira de outras metamorfoses que haveria de realizar.

Todo o seu trabalho é marcado pela subtileza com que estrutura e combina o espaço no plano.

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Em outubro de 1939, Escher começou a trabalhar em sua grande ' Metamorphosis II ' (19,5 x 400cm).

4m

1

4

2

5

3

6

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Enquanto a Europa estava à beira da II Guerra Mundial, Escher, que havia voltado para a Holanda, trabalhou continuamente por quase seis meses nesta 2ª metamorfose.

Mais tarde, em 1967, haveria de realizar a sua 3ª versão para decorar as paredes da estação dos correios de Haia.

O projeto, que inicialmente teria 7m, acaba por ficar com 48m.

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Metamorfose III

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Metamorfose III (cont.)

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Metamorfose III (final)

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Mundos impossíveis

Belveder (1958)

Escher também explorou em profundidade as leis da perspetiva.

Algumas das suas obras mais conhecidas são os “Mundos impossíveis”. Ele desenhou figuras aparentemente tridimensionais, mas que não se podiam construir. Misturou cenários aparentemente reais com cenários impossíveis. Tudo parece estar em harmonia, mas no fundo pretende provocar o observador estimulando a imaginação matemática.

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Queda de água (1961)

O rapaz sentado na parte inferior esquerda da gravura anterior (Belvedere) tem nas mãos

um destes cubos.

Cubo impossível

Em “Queda de água”

Escher liga três tribares, constituídos pelo canal da água e pelos pilares que o sustentam. O movimento da água parece estar continuamente a descer ao

longo de um canal cujo fim coincide com o

ponto mais alto e com o início de uma nova descida.

O que, para todos os efeitos, é impossível.

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Escadas que vão para cima e para baixo ao mesmo tempo, independentemente da direção em que são percorridas.

Escher explicou seu significado. “Os monges na escada continuamente fazem o mesmo; caminhar como parte de uma tarefa sem fim de meditação e autoconhecimento. (...) Apenas dois rebeldes, rompem (...) e escapam da rotina e talvez refletissem sobre o erro que fizeram.”

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Acima e abaixo, litografia de 1947

No centro da imagem, o ponto central também é visível na metade superior e na metade inferior da gravura.

De modo que se colocarmos cópias continuamente na parte de cima ou na parte de baixo da impressão a parte superior e a parte inferior ligam sempre perfeitamente tornando a gravura num ciclo infinito.

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Relatividade Litografia de 1953

16 “pessoas” em três grupos, cada grupo no seu próprio mundo.

O que para uns é teto, para outros é parede; o que para uns é porta para outros é buraco no chão. É impossível ter como referência apenas um ponto de vista.

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"Se dividimos a imagem verticalmente em três tiras, as duas partes extremas são aceitáveis como realidades, mas, em outros aspetos, a inversão do outro. Na faixa central, as coisas são incertas e podem ser vistas de duas maneiras diferentes: um piso tamCôncavo e convexo (1955) bém é um teto; um interior também é um exterior; convexo é côncava ao mesmo tempo. Há dois meninos de flauta; A esquerda olha para baixo na cova cruzada da capela; ele vê o seu lado de fora. Ele podia atravessar a janela, caminhar sobre o telhado e pular no chão escuro em frente à casa. Mas o menino de flauta da direita, inclinado para fora da janela, está dentro da casa; ele vê o mesmo teto que o teto sobre a cabeça, e abaixo dele não há piso, mas um abismo profundo ".

Extrato escrito por Escher em Escher em “Escher Explorando o infinito”.

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Circulação (1938)

Ciclos Durante 1937, 1938 e 1939 Escher fica cada vez mais fascinado pela pavimentações, ciclos e transformações.

Aqui, um pequeno homem emerge de um portão, aparentemente feliz. Desce as escadas, sem saber que vai desaparecer na parte inferior, sendo dissolvido em um padrão geométrico irregular. Mas esta metamorfose não é o fim. Para o canto superior esquerdo o padrão muda em formas mais simples, em cubos, que se transformam em terraço.

Em algum lugar escondido eles são transformados novamente para o pequeno homem, e o ciclo recomeça. A paisagem montanhosa no topo destina-se a criar o maior contraste possível entre a realidade tridimensional e as restrições no padrão do mundo bidimensional na parte inferior.

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Encontro (1944)

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Conflito plano espaço 3D

Lagartos (1943)

As construções de Escher sucessivamente resultam em um jogo inevitável entre realidade e ilusão, uma vez que a própria representação gráfica já se apresenta como uma ilusão ao sugerir três dimensões, embora lá estejam somente duas.

A ilusão surge como princípio de uma situação espacial sobre uma superfície plana, na qual ele pretendia investigar, a partir das regularidades, das estruturas matemáticas, da ideia de continuidade e infinito e outras.

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Mãos (1948) Mãos... que ganham autonomia à medida que elas mesmas se relacionam e se constroem.

Escher deixa canetas sob o poder das...

Mãos.

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Espelho Mágico (1946)

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Cavaleiros (1946)

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Predestinação (1951)

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Cisnes (1956)

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Natureza morta no espelho (1934) Aqui Escher usa um espelho para introduzir um elemento enganador . A imagem refletida no espelho é realmente fisicamente impossível. O espelho, que está ligeiramente inclinado, está claramente numa sala. Podemos dizer isso por causa dos objetos quotidianos colocados ao redor do espelho: um copo com uma escova de dentes e um tubo de pasta de dente, uma escova e um pente, um castiçal de bronze, a pequena cesta pendurada no lado do espelho e assim por diante. Alguns desses itens são refletidos no espelho. Tudo isso inicialmente atinge o espectador como completamente normal, mas nada poderia estar mais longe da verdade.

Como a escova de dentes no vidro é refletida no primeiro plano da cena retratada no espelho, não é imediatamente óbvio que a cena da rua, que é supostamente fora da sala, não pode coincidir com o interior que rodeia o espelho! É como se este fosse um portal entre dois mundos.

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Tiras de Moebius

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Limites eo

Peixes em escalas (1959)

Infinito

M.C. Escher estava obcecado com a ideia de padrões de superfície interligados dispostos para sugerir profundidade infinita sobre uma superfície plana.

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Menor e menor (1956) Pelas próprias palavras de M. C. Escher:

"A área de cada um dos elementos em forma de répteis deste padrão é cortada de forma regular e contínua na direção do centro, onde, teoricamente, tanto a infinita quanto a pequena dimensão e infinita grandeza do número são alcançadas. No entanto, na prática, o gravurista logo chega ao fim de sua capacidade de continuar. Ele depende de quatro fatores: a qualidade de seu bloco de madeira, a eficácia de seu instrumento, a firmeza de sua mão e sua habilidade ótica (boa visão, muita luz e uma poderosa lente de aumento). Neste caso particular, a redução da metade das figuras é realizada até ser possível. O animal mais pequeno que ainda possui uma cabeça, uma cauda e quatro pernas tem cerca de 2 milímetros de comprimento ".

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Limite quadrado (1964) Cada vez mais pequeno, agora de dentro para fora

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Geometria Hiperbólica Graças a Escher podemos ver como "seres" (que são de facto objetos 2-D mais complicados) resultam no plano hiperbólico.

Embora o peixe pareça menor quanto mais perto se chega ao limite do disco, eles são do mesmo tamanho na geometria do plano hiperbólico. Da mesma forma, todos os segmentos brancos que vão das caudas dos peixes para o nariz são do mesmo comprimento (e eles são, de fato, linhas retas). Isso nos diz que, de certa forma, podemos imaginar esse plano como uma espécie de esfera, que tem um ponto no infinito.

Limite circular III (1959)

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Profundidade (1955)

Divisão cúbica do espaço (1952) A representação do infinito sempre fascinou Escher. No fundo, tal como nos ciclos, é a ideia de que não há princípio nem fim. Tudo é movimento e continuidade.

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Varandas (1945) "O nosso espaço tridimensional é a única realidade que conhecemos. A bidimensionalidade é tão fictícia como a tetra dimensionalidade, porque nada é plano, nem mesmo o espelho mais polido. Mas mesmo que partamos do princípio de que uma parede ou uma folha de papel é plana, não deixa de ser estranho que nós, como se desde sempre fosse a coisa mais normal do mundo, representemos ilusões de espaço sobre uma tal superfície. Não é muitas vezes absurdo desenhar meia dúzia de linhas e depois afirmar: Isto é uma casa?"

Citação de Escher em: ‘The graphic work of M.C. Escher’(1959) AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18

Três esferas I (1945)

"No topo desta gravura, a natureza espacial de um globo aparece-nos o mais forte possível. No entanto, não é um globo, apenas a projeção de um em um pedaço de papel que pode ser cortado como um disco. No meio, apenas um disco de papel é ilustrado, mas dobrado em duas metades, uma parte vertical e a outra horizontal, com a esfera superior apoiada nessa última. Na parte inferior, outro disco desse tipo é mostrado, mas desta vez, é visto em perspetiva como uma mesa circular.”

Citação de Escher em: ‘The graphic work of M.C. Escher’(1959) AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18

Serpentes (1969)

Galeria de Arte (1956) Como é possível que o observador do quadro faça parte do mesmo? O quadro mostra, ao mesmo tempo, o interior e o exterior da galeria.

AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18

Espiral esférica (1958) “Uma esfera representada com uma rede de círculos longitudinais e latitudinais. Quatro espirais aproximam-se da superfície esférica, infinitamente pequenos nos polos e mais largos no equador. A metade do seu exterior amarelo é visível.

Através de pistas abertas de lado, o interior vermelho pode ser seguido para o polo oposto ".

Citação de Escher em:

‘The graphic work of M.C. Escher’(1959) AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18

Casca (1955)

“Casca” em forma de espiral de uma fruta e como uma escultura vazia e fragmentada, a imagem de uma mulher flutua no espaço. A sensação de profundidade é reforçada por um banco de nuvens que se inclina para o horizonte.

Em “Vínculo da União”, que ele fez um ano depois, resolveu um problema que o incomodava em “Casca” onde as extremidades soltas da atadura podem ser vistas. Em “Vínculo da União” a tira é infinita, como um ciclo eterno.

Vínculo da União (1956)

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"Curl-up" ou "Wentelteefje" (título original

holandês) - novembro de 1951.

Este é o único trabalho de Escher, que consiste em grande parte de texto. O texto, que está escrito em holandês, descreve uma espécie imaginária chamada:

Pedalternorotandomovens centroculatus articulosus, também conhecida como "wentelteefje" ou "rolpens".

“Escadaria“ litografia de 1951

Quase toda a metade superior da impressão é a imagem espelhada da metade inferior. A escadaria mais baixa, que um “curl-up” desce da esquerda para a direita, é mesmo refletida duas vezes: no meio e depois mais uma vez na parte inferior. O contraste entre "ascendente" e "descendente" é dispensado na escada no canto superior direito: duas filas de criaturas funcionam em paralelo, embora uma esteja subindo e a outra descendo.

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Mão com esfera refletora (1935) Nesta litografia Escher ilustra uma mão segurando uma esfera, na qual é observada uma imagem refletida.

A imagem é de um típico escritório onde se encontra um homem sentado, o qual vislumbra sua própria imagem refletida na esfera. A mão real toca na mão refletida.

Podemos dizer que a litografia elucida o encontro do investigador com seu próprio objeto de investigação, isto é, consigo mesmo?

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“Nós“ litografia em três cores de 1965

Escher cria a ilusão ótica de formas tridimensionais sobre uma superfície plana.

O movimento, outro exemplo de movimento perpétuo, ocorre na mente do observador enquanto tenta seguir as superfícies das formas.

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Olho (1946) M.C. Escher mostra o seu próprio olho, que foi grandemente ampliado por um espelho de barbear convexo. O centro de sua pupila reflete uma caveira.

Ele provoca o observador com aquele que cuida de todos nós, o nosso destino, isto é, a morte.

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Superfície ondulada (1950) A reflexão é um tema recorrente no trabalho de Escher.

As reflexões apresentadas nas obras de Escher até 1950 podem ser divididas em duas categorias principais: objetos refletidos em superfícies reflexivas planas ou esféricas e cenas refletidas por superfícies na natureza. A “Superfície Ondulada” enquadra-se na segunda categoria.

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Três mundos (1955) O plano na imagem pertence na realidade a três mundos diferentes: o subaquático, onde vive o peixe, a superfície da água, onde flutuam as folhas caídas das árvores, e ainda as imagens refletidas das árvores que vivem no ar.

Em “Poça de Água”, apresenta os 4 elementos, a Terra, a Água, o Ar (materializado pelas árvores) e mesmo o Fogo, através de uma imagem do Sol enfraquecido pelas nuvens da sua Holanda natal. A paisagem tranquila tem ainda as marcas dos viajantes que passaram a pé, de bicicleta e de automóvel.

Poça de água (1952)

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Dragão (1952) Mais uma brincadeira de Escher.

Este dragão finge ser espacial, mas é plano.

Fazendo-se dois cortes, pode-se dobrar para fazer dois orifícios onde se mete a cabeça e a cauda.

Para parecer tridimensional, ele enfia sua cabeça por uma das aberturas e seu rabo por outro.

Quando examinamos o estômago e as pernas, podemos ver claramente que truques ele implementa para este propósito: a perna traseira é maior que a perna da frente. Ele aplica sombra na parte de trás das pernas, que corre todo o caminho da perna da frente na coxa. Este escamoso dragão tem uma espécie de estrutura esférica de cobras, que Escher trabalha de acordo com as regras da perspetiva de um ponto.

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Galeria (1946) Numa entrevista em 1947 com o periódico mensal Phoenix , Escher fala sobre uma série de temas, incluindo o pequeno espaço apresentada em Outro Mundo (gravura seguinte).

Ele explica que as gravuras exploram a possibilidade de ver em volta como se fosse um pássaro, porque permite ver tudo de todos os pontos de vista imagináveis. Como diz Escher, "num relance" o pássaro olha "em frente, para a esquerda e para a direita, para cima e para baixo".

No tempo em que Escher viveu, o desejo e a capacidade de criar perspetivas múltiplas estava bem à frente do seu tempo!

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Outro Mundo (1947) Imagina que olhas através de um teto de vidro de uma pequena sala cúbica feita de tijolo. No topo parece que estás na lua. Em frente e à esquerda vê-se uma paisagem lunar. Mas, de facto, estás olhando simultaneamente na parte de baixo através da janela para além da lua - no espaço.

Esta construção é enganosa e espacialmente impossível. Escher cria esse efeito esculpindo meticulosamente pequenos padrões de xadrez que evocam a ilusão de tijolos. Reforça o nosso senso de realidade, adicionando colunas em ambos os lados. No entanto, essas colunas suportam as arcadas em todas as direções, consistentes com a perspetiva das janelas e seus respetivos espaços.

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Gravidade (1952) Foi primeiro impresso como uma litografia em preto e branco e depois colorido à mão em aguarela.

Retrata um poliedro regular não convencional conhecido como o dodecaedro estrelado pequeno. Cada face da figura tem uma entrada trapezoidal. Fora dessas portas, as cabeças e as pernas de doze tartarugas sem conchas, usam o objeto como casca comum. As tartarugas estão em seis pares coloridos (vermelho, laranja, amarelo, magenta, verde e índigo) com cada tartaruga diretamente em frente.

AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18

Planetoide tetraédrico (1954) Escher criou mundos muito pequenos (cristais) e muito grandes (estrelas e planetas). Um dos planetas mais bonitos é o planetoide tetraédrico. Esta gravura imensamente detalhada retrata um tetraedro no espaço. Os habitantes ocuparam cada centímetro deste planeta. Em suas próprias palavras: "Todas as linhas verticais, as paredes das casas, as árvores, as pessoas, apontam na direção do núcleo do corpo - seu centro de gravidade. Todas as superfícies horizontais, os jardins, estradas e trechos de água em lagos e canais são parte de uma crosta esférica ".

AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18

Estrelas (1948)

Quatro sólidos regulares (1961) (figura estereométrica)

AUTOR: Biblioteca da Escola Monsenhor Jerónimo Amaral / José Santos Silva 2017-18