Studiando SC O PRO
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Numeri e operazioni
La vertigine del fiocco di neve
Immagina di avere un microscopio capace di ingrandire all’infinito un fiocco di neve: a ogni ingrandimento vedresti sempre un fiocco di neve! È la straordinaria proprietà dei frattali.
I frattali sono oggetti matematici recenti: il nome è stato inventato nel 1975 dal matematico francese Benoît Mandelbrot e i primi studi risalgono alla fine del XIX secolo.
Si tratta più precisamente di oggetti geometrici. Per fartene un’idea osserva questi disegni.
1. Si parte da un segmento. Decidiamo, per convenzione, che la sua lunghezza sia 1.
2. Lo si divide in 3 e nel segmento in mezzo si “tira su” il centro in modo da formare i due lati di un triangolo equilatero. Il segmento ottenuto ha lunghezza 4 3 (4 segmenti con lunghezza pari a 1 3 del segmento di partenza).
3. Si ripete il procedimento per ognuno dei 4 segmenti ottenuti. Osserviamo che il segmento che risulta ha lunghezza 16 9
4. Si ripete il procedimento all’infinito...
Ciò che si ottiene ripetendo il procedimento all’infinito è un frattale. Se pensi alle lunghezze, puoi anche intuire che i frattali si chiamano così perché hanno un legame con le frazioni
La struttura del cavolo si ripete in ogni sua parte.
La composizione geometrica di questo fiore di camelia è quella di un frattale.
L’anno scorso, quando hai conosciuto la sequenza di Fibonacci, hai scoperto che essa si trova comunemente in natura
Lo stesso avviene per i frattali: non soltanto un fiocco di neve, ma anche un ramo d’abete, una foglia di platano, le felci, le piante grasse, i cavolfiori hanno una struttura che ha sorprendenti analogie con i frattali.
E ci sono esempi anche nel nostro corpo: dai neuroni agli alveoli polmonari; ogni parte, per quanto minuscola, riproduce la struttura dell’intero, in uno zoom infinito che dà le vertigini.
Ancora una volta, dunque, la Matematica offre utili strumenti di analisi a medici e biologi. E anche agli artisti e alle artiste: i frattali, infatti, generano forme belle e armoniose.
Composizione artistica realizzata con i frattali.
Una foglia di platano e il suo modello matematico realizzato con i frattali.
1 Rispondi.
• Che cosa ti ha colpito del testo che hai appena letto?
• Hai mai pensato che ci potevano essere delle relazioni tra la Matematica e la natura?
2 Confronta le tue opinioni con quelle dei compagni e delle compagne.
I problemi e la Matematica
Ogni giorno tutti noi risolviamo situazioni problematiche e rispondiamo a domande...
Quanto ho speso in tutto?
Quanti euro mi sono rimasti?
Riuscirò a raggiungere i miei amici al parco?
z Quali delle domande che hai letto qui sopra “nascondono” problemi aritmetici? Colora i fumetti.
z Ricordi quali sono i passaggi necessari per risolvere un problema aritmetico? Ripassiamoli facendoci guidare dal diagramma di flusso.
I 22 alunni e alunne di una classe quinta sono andati a visitare il Museo della Scienza e della Tecnica che si trova a 60 chilometri di distanza dalla loro città. Hanno speso 360 euro per il pullman, 110 euro per i biglietti del museo e 190 euro per il pranzo. Quanto è costata in tutto la gita? Quanto ha speso ciascun bambino e bambina?
Quanti saremo alla gita? C’è solo la metà della classe!
MATE utile
Quale strada devo prendere?
Leggi con attenzione il testo del problema, poi individua e sottolinea la/e domanda/e.
No Individua ed elenca i dati
Hai trovato tutti i dati che ti servono per rispondere alla domanda?
Sì
Individua l’operazione o le operazioni necessarie per risolvere il problema e calcola
Scrivi la risposta.
CODING
z Seguendo passo passo le fasi del diagramma di flusso, rispondi e completa.
A Leggere con attenzione il testo del problema.
Che cosa hanno fatto gli alunni di classe quinta?
Individuare la domanda o le domande (possono essere più di una).
Che cosa chiede il problema?
• ...................................................................................................................................
• ...................................................................................................................................
B Individuare ed elencare i dati che servono per rispondere alla/e domanda/e.
• 22 numero di alunni e alunne •
•
C’è un dato che non ti serve. Quale? ..................................................................................
C Individuare quali operazioni eseguire.
• Per sapere quanto è costata in tutto la gita devi eseguire una ...............................................
• Per sapere quanto ha speso ciascun bambino e bambina devi eseguire una .............................
Calcolare.
= • =
D Scrivere la/e risposta/e.
• In tutto la gita è costata .......... euro. • Ciascun bambino e bambina ha speso .......... euro.
PROBLEMI
z Risolvi questi problemi sul quaderno seguendo le fasi del diagramma di flusso.
a. Per la sua festa di compleanno Sara ha invitato 15 bambini e 12 bambine. Per comprare il regalo ciascun invitato ha messo 7 euro. Quanti bambini e quante bambine ha invitato in tutto Sara? Quanto è costato il regalo di compleanno?
b. Anna, Omar e Margherita partono per un weekend in campeggio. Spendono 54 euro per il posto tenda, 62 euro per i biglietti del treno e 97 euro per i pranzi e le cene. Quanto spendono in tutto? Se dividono la spesa in 3 parti uguali, quanto spende ciascuno?
c. Nel parcheggio di un supermercato ci sono 450 posti. Sono parcheggiati 12 furgoncini e 132 automobili. Quanti posti sono occupati? Quanti posti sono liberi?
d. Una bibliotecaria deve mettere in una libreria i libri contenuti in 4 scatoloni. Se in ogni scatolone ci sono 18 libri, quanti sono in tutto i libri? Suddivide i libri in parti uguali sui 6 ripiani della libreria. Quanti libri metterà su ciascun ripiano?
I problemi e la Matematica
Dati e domande
A volte i problemi possono presentare:
• domande nascoste, cioè domande a cui devi rispondere per poter avere tutti i dati necessari per risolvere il problema;
• dati inutili, cioè dati che non servono per risolvere il problema;
• dati nascosti, cioè dati espressi in parola che devi “trasformare” in un numero o in una operazione, per esempio una settimana 7 giorni, metà : 2...
• dati mancanti, cioè dati senza i quali non è possibile risolvere il problema.
z Leggi questi problemi e indica con una X se ci sono domande nascoste, dati inutili, nascosti o mancanti.
a. Giulia ha 52 anni. La figlia Sofia ha la metà dei suoi anni. Quanti anni ha Sofia?
domanda nascosta dato inutile dato nascosto dato mancante
b. Alla gita scolastica partecipano 22 alunni e alunne di terza, 36 di quarta e molti di quinta. Quanti partecipano alla gita?
domanda nascosta dato inutile dato nascosto dato mancante
PROBLEMI
c. Alessia ha 32 macchinine blu, 24 rosse, 18 gialle e 3 ruspe. Quante macchinine ha in tutto?
domanda nascosta dato inutile dato nascosto dato mancante
d. Samir spende 6,20 euro per acquistare i quaderni e 9,50 euro per i pennarelli. Paga con 20 euro. Quanti soldi gli restano?
domanda nascosta dato inutile
dato nascosto dato mancante
z Leggi i problemi e fai attenzione alle domande nascoste. Poi sottolinea di rosso i dati inutili e di verde i dati nascosti. Se mancano dei dati, inventali tu. Infine risolvi i problemi sul quaderno.
a. Per tutto il mese di aprile Giovanni si è allenato correndo per 360 chilometri in totale. Per quanti chilometri ha corso ogni giorno?
b. Anna, Amina e Riccardo vanno a vedere un film che dura 1 ora e 45 minuti. Pagano i biglietti con una banconota da 50 euro e ricevono 23 euro di resto. Quanto costa un biglietto?
c. Per addobbare la casa in occasione del compleanno di Enrico il papà ha comprato 28 palloncini rossi, 30 blu e 4 festoni colorati. Se ogni palloncino rosso costa 0,50 euro e ogni palloncino blu 0,48 euro, quanto ha speso in tutto il papà di Enrico?
d. I nonni sono in viaggio per le vacanze e hanno percorso 140 chilometri. Quanti chilometri devono ancora percorrere?
Risolvere i problemi con i diagrammi
Per risolvere un problema con più operazioni puoi utilizzare i diagrammi, che ti aiutano a schematizzare il percorso da seguire per arrivare alla soluzione.
z Leggi il problema e osserva il diagramma che rappresenta i passaggi e le operazioni necessarie a risolvere il problema. Poi scrivi la risposta.
Sara ha seminato nel suo campo 8 filari di pomodori, 6 filari di melanzane e 4 filari di zucchine.
Se in ogni filare ci sono 14 piantine, quante piantine ha seminato Sara?
Risposta:
z Ora leggi il problema e completa tu il diagramma. Poi calcola e scrivi la risposta.
Al reparto sport di un centro commerciale ci sono 22 palloni da pallavolo e 25 da basket. Nel pomeriggio ne hanno venduti 11 da pallavolo e 12 da basket. Quanti palloni sono rimasti?
Risposta:
18 × 252 8 6 4 14 +
z Avete risolto il problema tutti allo stesso modo? Confrontati in classe con i tuoi compagni e le tue compagne e discutetene insieme.
PROBLEMI
z Risolvi questi problemi sul quaderno con l’aiuto del diagramma.
a. Per partecipare alle Piccole Olimpiadi delle scuole primarie sono arrivati al campo sportivo 4 pullman con 60 bambini ciascuno e 5 pulmini con 35 bambini ciascuno. Quanti bambini partecipano alle Piccole Olimpiadi?
b. Mattia riceve uno stipendio di 1500 euro al mese. Ogni mese spende 450 euro per l’affitto, 110 euro per le bollette e 350 euro per la spesa. Quanto gli rimane alla fine dell’anno?
I problemi e la Matematica
Dal diagramma all’espressione aritmetica
Come i diagrammi, anche le espressioni aritmetiche aiutano a risolvere i problemi mettendo in ordine le operazioni da eseguire.
Partiamo proprio dallo schema del diagramma per arrivare all’espressione.
z Leggi i problemi, osserva gli esempi e completa. Infine scrivi la risposta.
Ai corsi di nuoto della piscina “Il delfino” ci sono 6 gruppi di 9 persone ciascuno nel corso principianti e 4 gruppi di 10 persone ciascuno nel corso avanzato. Quante persone frequentano i corsi della piscina? CON IL DIAGRAMMA
L’ESPRESSIONE
Risposta:
Tom compra 12 pacchetti di figurine. Ogni pacchetto contiene 5 figurine. Se Tom ne regala 18 a Marta e 11 a Nina, quante figurine restano a Tom?
CON IL DIAGRAMMA CON L’ESPRESSIONE 12 × 5 – (18 + 11) =
Un’espressione aritmetica è una sequenza di operazioni che va eseguita seguendo un ordine preciso.
Esegui prima le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui sono scritte, e poi le addizioni e le sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte.
Risposta:
Se ci sono parentesi, esegui prima le operazioni all’interno delle parentesi
Una famiglia consuma ogni giorno 2 litri di succo di frutta e 10 litri di acqua.
Il succo di frutta costa 1,50 euro al litro e l’acqua 0,50 euro al litro.
CON IL DIAGRAMMA
Quanto spende in tutto questa famiglia in una settimana? × 1,50 × 7
Risposta:
PROBLEMI 2 × +
z Risolvi questi problemi sul quaderno usando il diagramma e l’espressione.
a. Per lo spettacolo nella piazza centrale di un piccolo paese sono state messe 200 sedie. In ogni fila ci sono 9 sedie con i braccioli e 11 senza. Quante file di sedie ci sono?
b. Un maestro ha 24 pennarelli blu e 26 rossi da distribuire ai suoi 13 alunni e 12 alunne. Quanti pennarelli riceverà ciascuno?
c. Eva compra una bici che costa 620 euro. Paga 140 euro e il resto in 12 rate mensili. Quanto dovrà pagare ogni mese?
CON L’ESPRESSIONE
[(2 × 1,50) + (10 × 0,50)] × 7 = [ 3 + 5 ] × 7 = 8 × 7 = 56
Se ci sono diversi tipi di parentesi, esegui:
• prima le operazioni nelle parentesi tonde ( );
• poi le operazioni nelle parentesi quadre [ ];
• poi le operazioni nelle parentesi graffe { };
• infine le operazioni fuori dalle parentesi.
Osserva.
450 – {120 + [(21 + 8) × 10] : 2} =
= 450 – {120 + [29 × 10] : 2} =
= 450 – {120 + 290 : 2} =
= 450 – {120 + 145} =
= 450 – 265 = 185
Scrivilo sul quaderno. È LOGICO
z Osserva il diagramma e l’espressione e inventa tu il testo del problema.
(35 + 12 + 13) : 3 = 60 : 3 = 20
Risolvere i problemi con gli schemi a barre
In alcune situazioni un’altra strategia che aiuta a risolvere i problemi è quella di rappresentarli graficamente con delle barre o dei segmenti. Questo modo ci permette di visualizzare la situazione del problema e ci aiuta a trovare la soluzione.
z Leggi il problema e osserva l’esempio.
Nella classe di Yinuo ci sono 24 alunni e alunne. Gli alunni senza occhiali sono il doppio di quelli con gli occhiali. Quanti sono gli alunni senza occhiali? E quelli con gli occhiali?
con occhiali
senza occhiali (il doppio degli alunni con occhiali) con e senza occhiali
La barra che rappresenta il numero totale degli alunni, come vedi, è formata da 3 parti uguali. Perciò basterà dividere per 3 il numero totale degli alunni per scoprire quanti sono quelli con occhiali e di conseguenza gli alunni senza occhiali.
24 : 3 = 8 (numero alunni con occhiali) 8 × 2 = 16 (numero alunni senza occhiali)
z Applichiamo lo schema a barre a una situazione diversa.
La cuoca di una mensa ha preparato 48 polpette. Se le polpette di verdura sono 4 in più delle polpette di carne, quante sono le polpette di carne?
E quelle di verdura?
polpette di carne
polpette di verdura
carne e verdura totale
Se togliamo le polpette in più abbiamo lo stesso numero di polpette di carne e di verdura.
Perciò: 48 – 4 = 44
Dividiamo 44 per 2 e otteniamo il numero di polpette di carne. 44 : 2 = 22
Aggiungiamo 4 e otteniamo il numero di polpette di verdura. 22 + 4 = 26
PROBLEMI
z Risolvi questi problemi sul quaderno con l’aiuto degli schemi a barre.
a. Giovanna ha 7 anni. Sua sorella Eugenia ha il triplo degli anni di Giovanna. Quanti anni hanno in tutto le due sorelle?
b. Yosef e Matteo hanno realizzato 24 disegni per la mostra di fine anno. Se Matteo ne ha fatti 6 in più, quanti disegni ha realizzato? E quanti ne ha fatti Yosef?
Dati e domande
1 Scrivi quanto richiesto e risolvi i problemi sul quaderno.
a. Al cinema “Sirena” ci sono 40 file di poltroncine. Ciascuna fila ha 25 poltroncine, di cui 15 sono rosse. Quante poltroncine ci sono nel cinema?
Scrivi il dato inutile: ....................................
................................................................
b. Per fare delle torte un pasticciere ha comprato 10 dozzine di uova. Tornato in laboratorio, si accorge che 2 dozzine si sono rotte. Quante uova ha ora il pasticciere?
Scrivi il dato nascosto: ................................................................
c. Una libraia ha venduto 14 libri di avventura, 15 libri di fantascienza e alcuni libri horror. Se ogni libro venduto costa 9,20 euro, quanto ha incassato la libraia?
Inventa e scrivi il dato mancante: ..................
d. Un nonno vuole fare dei regali ai nipotini: compra un camion dei pompieri a 13,50 euro, un robot a 15 euro e una ruspa a 8,30 euro. Se paga con una banconota da 50 euro, quanti soldi gli rimangono?
Scrivi la domanda nascosta:
2 Risolvi i problemi sul quaderno utilizzando gli schemi a barre.
a. Sara e David insieme pesano 54 kg. Se David pesa il doppio di Sara, quanto pesa Sara?
b. Complessivamente Amina e Giacomo hanno 24 anni. Che età hanno se Giacomo ha 8 anni più di Amina?
Diagrammi ed espressioni
3 Risolvi i problemi sul quaderno utilizzando i diagrammi e le espressioni.
a. Maria sta leggendo un libro di 240 pagine. Ha letto 28 pagine ieri e 32 oggi. Per finirlo in 5 giorni, quante pagine al giorno deve leggere?
b. Una famiglia ha comprato un armadio al prezzo di 2800 euro. Paga una parte alla consegna del mobile e il resto in 12 rate mensili da 180 euro l’una. Quanto paga alla consegna?
c. In un negozio di abbigliamento ci sono 12 scaffali con 7 ripiani ciascuno. Su ogni ripiano sono sistemati 6 jeans scuri e 9 chiari. Quanti jeans ci sono nel negozio?
d. In una pizzeria ci sono 84 clienti, di cui 24 sono seduti all’interno e 32 in giardino. I rimanenti sono seduti in ugual numero intorno a 7 tavoli sulla terrazza. Quante persone sono sedute intorno a ogni tavolo?
e. In una biblioteca comunale ci sono 120 libri sugli animali su ognuno dei 4 scaffali della prima sala e 96 libri sulle piante su ognuno dei 7 scaffali della seconda sala. Quanti libri ci sono in tutto?
f. Nel mese di gennaio una funivia che porta gli sciatori in vetta ha trasportato 340 persone al giorno, a febbraio ne ha portate 364 al giorno, nel mese di marzo 328 al giorno. Quante persone ha trasportato nei tre mesi la funivia?
g. Un sarto ha acquistato 3,5 m di tessuto di cotone a 7 euro al metro, 2,5 m di seta a 24 euro al metro e 12 bottoni al prezzo totale di 8 euro. Se ha pagato con una banconota da 100 euro quanto ha ricevuto di resto?
Schemi a barre
Numeri e operazioni
Riprendiamo il nostro viaggio nel mondo dei numeri per scoprire che anche i numeri grandissimi, quelli con tanti zeri, fanno parte della nostra vita di tutti i giorni. Ci servono per esprimere grandezze e distanze enormi: per contare quanti siamo nel nostro
Paese e sul nostro pianeta, per indicare le distanze dei pianeti e delle stelle nell’Universo, per contare elementi minuscoli come le cellule del nostro corpo e per descrivere fenomeni a livello mondiale, come il numero degli utenti di Internet.
Come sai, esistono diverse “famiglie” di numeri. Ci sono i numeri naturali e i numeri decimali, che già conosci. Ma scoprirai che ci sono anche i numeri relativi, sono quelli che hanno il – e il + davanti (–4, +5): li usi quando parli di temperature molto basse o quando prendi l’ascensore per scendere ai piani che si trovano sotto terra.
Che freddo! Che cosa segna il termometro?
Wow! –5 gradi!
Domenica sono andata a fare una gita in montagna e c’erano –11 gradi.
Dai, andiamo a prendere una cioccolata calda, offro io! Ho 6,20 euro.
l’immagine SCOPRO con
Osserva il disegno, leggi i fumetti e il cartello e scopri quanti numeri ci sono in questa immagine e nei discorsi dei bambini e delle bambine!
• Cerchia il numero più grande: quanti zeri ha?
• Sottolinea in blu i numeri con il – davanti: sono i numeri relativi.
• C’è anche un numero decimale: sottolinealo in rosso.
• Conosci i numeri che vedi sull’orologio? Sai come si chiamano?
I numeri naturali grandissimi
Al planetario
La distanza tra il Sole e Saturno è di circa un miliardo e quattrocentoventisette milioni di chilometri...
Quanti chilometri sono?
MATE utile
Io non ho mai provato a scrivere un numero così grande!
L’anno scorso hai imparato a scrivere i numeri naturali fino a 6 cifre, dividendoli in classi: quella delle unità semplici e quella delle migliaia. Per scrivere numeri ancora più grandi devi aggiungere altre due classi: la classe dei milioni e la classe dei miliardi. z Osserva la tabella.
classe dei miliardi (G) classe dei milioni (M) classe delle migliaia (k) classe delle unità semplici (u) centinaia di miliardi decine di miliardi unità di miliardi centinaia di milioni decine di milioni unità di milioni centinaia di migliaia decine di migliaia unità di migliaia centinaia decine unità hG
z Ora completa con il numero in cifre.
La distanza tra il Sole e Saturno è di circa di chilometri.
ESERCIZI
z Scrivi i numeri nella tabella.
miliardi (G) milioni (M) migliaia (k) unità semplici (u) hG daG uG hM daM uM hk dak uk h da u
2 345 684
45 763 983
213 409 287
98 254 276 087
4 543 675 103
960 132 536 743
Leggere, scrivere e scomporre i numeri
Osserva come si scrive, si legge e si scompone un numero grandissimo.
+ 5 × 100 000 + 7 × 100 = 5 × 100 000 000 + 2 × 100 000 + 9 × 10 = in cifre in lettere scomposizione somma somma di prodotti
8 462 793 500 ottomiliardiquattrocentosessantaduemilionisettecentonovantatremilacinquecento
8 unità 4 centinaia 6 decine 2 unità 7 centinaia 9 decine 3 unità 5 centinaia 0 decine 0 unità di miliardi di milioni di milioni di milioni di migliaia di migliaia di migliaia
ESERCIZI
1 Riscrivi i numeri separandoli in classi, leggili a voce alta e poi scrivili in lettere sul quaderno. 7937452111 .......................................
2 Scomponi i numeri sul quaderno come hai imparato sopra.
4 Completa le uguaglianze scrivendo il numero corrispondente.
12 uG 6 dak = ..........................................................
9 hG 120 daM = ......................................................
LOGICO 1 580 436 1 580 430 3 427 689 3 427 700 3 Confronta le coppie di numeri e scrivi >, < oppure =
18 uG 23 uM = ........................................................
5 Sul quaderno ricomponi i numeri e scrivili in ordine dal minore al maggiore.
40
3 × 10 000
Vero o falso? Indica con una
2300 uM = 23 uG V
60 daG > 6000 daM V F
34 uM < 340 hk V F • 270 daM = 27000 hk V F
I numeri decimali
z Osserva la tabella, leggi e completa.
parte intera parte decimale hk dak uk h da u d c m 3 7 8 1 5 0 8 ,
• I numeri decimali sono composti da due parti, separate da una (,).
• A sinistra della virgola c’è la parte , che può essere composta da unità, decine, centinaia, unità di migliaia...
Confrontare i numeri decimali
• Prima confronta la parte intera: è maggiore il numero con la parte intera maggiore.
• Se la parte intera è uguale, confronta la parte decimale partendo da sinistra (prima i decimi, poi i centesimi e infine i millesimi): è maggiore il numero che ha la parte decimale maggiore.
• Se la parte decimale ha un numero diverso di cifre, puoi aggiungere degli zeri per pareggiare le cifre e rendere più semplice il confronto.
ESERCIZI
1 Inserisci i numeri decimali nella tabella come nell’esempio.
• A destra c’è la parte ......................................, che è formata da ............................ (d), ............................ (c) e ............................ (m). hk dak uk h da u d c m
564 966,23 5 6 4 9 6 6 2 3
24 006,9
961 356,012
897 251,009 ,
3 Riscrivi i numeri in ordine crescente.
4 Confronta le coppie di numeri e scrivi >, < oppure = .
2 Scomponi i numeri decimali come nell’esempio.
6,503 6 u 5 d 3 m 0,45 ............................................ 15,8 ............................................. 206,64 ......................................... 3,127 ............................................ 0,093 ........................................... 8,061
Approssimazione o arrotondamento
In classe
Con i suoi 60 milioni di abitanti, l’Italia è uno dei Paesi più popolosi dell’Europa...
60 milioni esatti?
Buona domanda! Hai ragione: 60 milioni è un numero approssimato.
In realtà gli Italiani sono 59 257 566, ma l’insegnante ha approssimato (arrotondato) il numero a 60 000 000, cioè lo ha trasformato in un numero molto vicino a quello di partenza, un po’ meno preciso ma più facile da ricordare.
z Osserva come si approssima un numero intero.
Per approssimare un numero procedi in uno di questi modi:
• se la cifra che vuoi arrotondare è minore di 5, sostituiscila con zero (arrotondamento per difetto);
• se la cifra è maggiore di 5, sostituiscila con zero e aumenta di 1 la cifra alla sua sinistra (arrotondamento per eccesso);
• se la cifra è uguale a 5, puoi scegliere di arrotondare per eccesso o per difetto.
z Puoi approssimare anche i numeri decimali. Osserva.
alle unità 3,124 3 (per difetto) 5,965 6 (per eccesso)
ai decimi 5,342 5,3 (per difetto) 0,169 0,2 (per eccesso) ai centesimi 3,842 3,84 (per difetto) 7,248 7,25 (per eccesso)
ESERCIZI
1 Approssima i numeri come preferisci e indica se hai arrotondato per eccesso E o per difetto D .
2 Arrotonda i numeri decimali come indicato.
Le potenze
Al negozio di fiori
Karim, aiutami ad allestire la vetrina:
ci sono 6 ripiani, su ciascuno mettiamo 6 vasi contenenti ognuno 6 tulipani.
MATE utile
6 ripiani × 6 vasi × 6 fiori... ci vorranno 216 tulipani.
Karim ha eseguito una moltiplicazione con i fattori uguali tra loro:
6 × 6 × 6
Possiamo scrivere la moltiplicazione in modo più semplice:
6 × 6 × 6 = 63
63 è una potenza e si legge “sei elevato alla terza” o “sei alla terza”. z Osserva.
Il fattore da moltiplicare si chiama base
1 e 0 nelle potenze
63
L’esponente indica quante volte moltiplicare la base per se stessa
In una potenza:
• la base si legge come numero cardinale;
• l’esponente si legge come numero ordinale e si scrive in piccolo, in alto a destra della base.
• Una potenza con base diversa da 0 ed esponente 1 è sempre uguale alla base. 61 = 6
• Una potenza con base 1 è sempre uguale a 1. 14 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1
• Una potenza con base diversa da 0 ed esponente 0 è sempre uguale a 1 40 = 1
• Una potenza con base 0 ed esponente diverso da 0 è sempre uguale a 0 05 = 0
ESERCIZI
1 Scrivi le moltiplicazioni sotto forma di potenza quando è possibile.
2 × 2 = .............
4 × 4 × 4 × 4 × 3 × 4 × 4 × 4 × 3 = .............
5 × 5 × 5 × 5 = .............
28 × 28 × 28 = .............
1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = .............
9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 8 = .............
2 Scrivi le potenze come moltiplicazioni.
3 Esegui i calcoli sul quaderno e scrivi qui i risultati. 43 = .......... 54 = ........... 112 = ...........
Le potenze di 10
Calcolare le potenze di 10 è semplice: basta scrivere la cifra 1 e aggiungere tanti zeri quanti ne indica l’esponente.
z Confronta l’esponente con il numero di zeri e completa le potenze di 10.
100 = 1
101 = 10
102 = 10 × 10 = 100
103 = 10 × 10 × 10 = 1 000
104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 =
106 = 10 × = 107 = .............................................................................. = ...............................
Le potenze di 10 sono molto utili per scomporre i grandi numeri.
z Osserva come scomporre il numero 3941376.
(3 × 1 000 000) + (9 × 100 000) + (4 × 10 000) + (1 × 1 000) + (3 × 100) + (7 × 10) + (6 × 1)
(3 × 106) + (9 × 105) + (4 × 104) + (1 × 103) + (3 × 102) + (7 × 101) + (6 × 100)
Un numero così scomposto forma un polinomio, cioè un’espressione numerica.
ESERCIZI
1 Completa la tabella con le potenze di 10.
miliardi (G) milioni (M) migliaia (k) unità semplici (u) hG daG uG hM daM uM hk dak uk h
2 Scomponi i numeri come nell’esempio.
50 728 = (5 × 104) + (7 × 102) + (2 × 101) + (8 × 100)
2 058 = .................................................................................................................................... 687 256 = ................................................................................................................................ 480 039 = ................................................................................................................................ 9 233 565 = ..............................................................................................................................
3 Ricomponi i numeri come nell’esempio.
(1 × 106) + (4 × 105) + (7 × 104) + (9 × 103) + (5 × 102) + (8 × 101) + (2 × 100) = 1 479 582 (2 × 105) + (4 × 104) + (5 × 103) + (2 × 102) + (1 × 101) + (8 × 100) = .......................................................... (1 × 108) + (5 × 107) + (7 × 106) + (3 × 105) + (4 × 104) + (6 × 102) =
I numeri relativi
In ascensore
Quale piano?
Io scendo al parcheggio sotterraneo, grazie.
Prego, scenda prima lei allora, io salgo al quinto.
Sui pulsanti dell’ascensore il piano terra è il piano 0, i piani sotterranei sono preceduti dal segno – e i piani superiori si intendono preceduti dal segno +
Lo 0, i numeri preceduti dal segno + e quelli preceduti dal segno – sono numeri relativi
Si utilizzano i numeri relativi per indicare:
• le temperature;
• l’altitudine e la profondità rispetto al livello del mare;
• guadagni e perdite di denaro.
L’insieme dei numeri relativi è composto da:
• numeri positivi maggiori di zero e preceduti dal segno +;
• numeri negativi minori di zero e preceduti dal segno –;
• numero zero separa i numeri positivi dai numeri negativi e non ha segno.
Per rappresentare i numeri relativi si prolunga la linea dei numeri a sinistra dello zero. z Osserva e leggi.
I numeri negativi sono minori di zero. Andando verso sinistra il loro valore diminuisce.
Confrontare i numeri relativi
I numeri positivi sono maggiori di zero. Andando verso destra il loro valore aumenta.
• Un numero positivo è sempre maggiore di un numero negativo e viceversa un numero negativo è sempre minore di un numero positivo.
• Tra due numeri negativi è maggiore quello più vicino allo zero sulla linea dei numeri.
Addizioni e sottrazioni con i numeri relativi
Puoi utilizzare la linea dei numeri anche per eseguire addizioni e sottrazioni con i numeri relativi.
z Osserva e completa.
• Se devi calcolare – 6 + 8, parti da –6 e spostati di 8 numeri verso destra: arrivi a
• Se devi calcolare + 7 – 10, parti da +7 e spostati di 10 numeri verso sinistra: arrivi a
Calcoli veloci con i numeri relativi
• Se due numeri hanno lo stesso segno, la somma avrà lo stesso segno.
+ 4 + 16 = + 20 – 10 – 9 = – 19
• Per sommare due numeri con segno diverso esegui la sottrazione tra il più grande e il più piccolo, poi scrivi al risultato il segno del più grande.
ESERCIZI
1 Esprimi le seguenti grandezze con un numero relativo.
• Elisa abita al ventesimo piano.
• Alex ha un debito di 30 euro.
• Che caldo! Ci sono 30 °C.
• Il monte Bianco è alto 4 810 m.
Con i numeri relativi puoi eseguire sottrazioni con il minuendo minore del sottraendo!
• Il punto più profondo del Mar Tirreno si trova a 3785 m sotto il livello del mare.
• Il reparto calzature si trova al secondo piano sotterraneo.
2 Confronta le coppie di numeri relativi e scrivi > oppure <.
3 Aiutati, se occorre, con la linea dei numeri e calcola.
4 + 8 =
7 – 7 =
z Qual è il numero di partenza se...
• tolgo 7 e ottengo –3?
• aggiungo 9 e ottengo –2?
• tolgo 10 e ottengo –5?
• aggiungo 6 e ottengo +2?
• tolgo 4 e ottengo –9?
1 Inserisci i numeri in tabella. Poi scrivili in lettere sul quaderno.
216 564
19 340 548 951
839 436 294 127
5 246 230 068
2 Scomponi i numeri decimali come nell’esempio.
157,603 1 h 5 da 7 u 6 d 3 m 27,41 ...................................................... 0,284 ..................................................... 8,394 .................................................... 2 304,7 ................................................... 0,019
3 Arrotonda i numeri decimali come indicato. alle unità
3,915 ai decimi
centesimi
4,168 per difetto per eccesso
1,374
4 Collega ogni potenza al suo risultato.
5 Confronta le coppie di numeri relativi e scrivi > oppure <. –4 –6
–9
–19
–24
6 Scomponi i numeri sul quaderno come nell’esempio. 975308 = (9 × 105) + (7 × 104) + (5 × 103) + (3 × 102) + (8 × 100) 732539 • 1239004 • 69002371 • 13000645
7 Ricomponi i numeri come nell’esempio. (3 × 1010) + (7 × 109) + (9 × 107) + (5 × 106) + (1 × 105) + (6 × 102) + (4 × 101) = 37095100640 (9 × 108) + (3 × 105) + (8 × 103) + (4 × 102) + (6 × 101) + (7 × 100) = (6 × 1011) + (5 × 1010) + (8 × 108) + (3 × 104) + (2 × 103) + (7 × 102) + (2 × 100) =
8 Esegui le operazioni aiutandoti, se occorre, con la linea dei numeri di pagina 20. + 7 – 9 = .......... – 6 – 3 =
– 10 + 5 = ......... – 2 – 8 =
I numeri romani
Per scrivere i numeri gli antichi Romani utilizzavano sette lettere dell’alfabeto.
Ogni altro valore risultava dalla combinazione delle sette lettere
scritte una di fianco all’altra, secondo regole precise. Gli antichi Romani non conoscevano lo zero.
z Leggi le regole per scrivere e leggere i numeri romani.
Puoi trovare i numeri romani su chiese, palazzi e monumenti antichi. Sono ancora usati per indicare i secoli (XV secolo), i capitoli dei libri (capitolo III), le ore sui quadranti di alcuni orologi.
1. I simboli I, X, C, M possono essere scritti di seguito per non più di tre volte.
2. I simboli V, L, D possono essere scritti nel numero solo una volta.
3. Se un simbolo è seguito da un altro di valore minore, i valori si sommano VI = 5 + 1 = 6 XV = 10 + 5 = 15 CLX = 100 + 50 + 10 = 160
4. Se un simbolo è seguito da un altro di valore maggiore, i valori si sottraggono. IV = 5 – 1 = 4 IX = 10 – 1 = 9 CM = 1000 – 100 = 900
5. Un trattino orizzontale sopra un simbolo significa “× 1000”. L = 50 × 1000 = 50000 C = 100 × 1000 = 100000
z Completa le tabelle.
z Scrivi in cifre il valore dei seguenti numeri romani.
LXXXIX = ...............
LXXVII = ................
CCCC non si può scrivere!
CON IL
RIASSUNTO
z Lavorate possibilmente in gruppi di tre per ripassare i principali argomenti.
Organizzatevi così: ognuno si incarica di completare un riquadro aiutandosi con il libro. Dopo aver scritto le parole sul suo libro, le legge ai compagni e se tutti sono d’accordo le detta al gruppo. Usate questi brevi riassunti per studiare, ripassare e completare la mappa della pagina a fianco.
NUMERI NATURALI GRANDISSIMI
classe dei miliardi (G)
classe dei milioni (M)
classe delle migliaia (k)
classe delle unità semplici (u)
hG daG uG hM daM uM hk dak uk h da u
1 4 2 7 0 0 0 0 0 0
Il numero in tabella si scrive
I numeri grandissimi, oltre alle classi delle unità semplici e delle migliaia, hanno le classi dei e dei
Ogni classe comprende unità, ................................ e centinaia.
I NUMERI DECIMALI
I numeri decimali sono composti da due parti, separate da una ................................ (,).
A sinistra della virgola c’è la parte ................................, che può essere composta da unità, decine, centinaia, unità di migliaia...; a destra c’è la parte che è formata da decimi (d), ................................ (c) e millesimi (.......). parte intera parte decimale hk dak uk h da u d c m
3 7 8 1 5 0 8 ,
I NUMERI RELATIVI
I numeri relativi sono preceduti dal segno + oppure dal segno .........
Lo zero separa i numeri positivi da quelli e non ha segno.
Si utilizzano per indicare le temperature, l’altitudine e la profondità rispetto al livello del mare; guadagni e perdite di denaro. numeri negativi numeri positivi
z Questa è la prima mappa del percorso di Matematica di quest’anno. In coppia leggete a voce alta, una volta per uno, come utilizzarla.
Ogni riquadro contiene in breve un’informazione importante sugli argomenti che avete affrontato nelle pagine precedenti.
Nei riquadri mancano alcune parole: cercatele nella pagina a fianco e scrivetele per completare l’informazione.
NUMERI
NATURALI
Sono organizzati in ............................:
• unità semplici
• Nei numeri grandissimi si aggiungono altre due classi:
• milioni
• Esempio: 1 427 000 000
RELATIVI
• ............................, minori di zero, preceduti dal segno –
• , maggiori di zero, preceduti dal segno + Esempi
• Si scrive –3 e si legge
• Si scrive +3 e si legge
DECIMALI
• Sono numeri con la
• Hanno una parte intera a sinistra della virgola e una parte ............................................... a destra della virgola, composta da decimi, centesimi e
Esempio: 3781,508
le competenze
1 Riscrivi i numeri in cifre. centoventinovemilioniottocentoquarantaseimilatrentadue
tremiliardiventiseimilionisettecentotrentanove
diciottomiliardiseicentotrentasettemilionitredicimilacinquantacinque
duecentoquarantasettemiliardiseicentotrentaduemilaotto
2 Scomponi i numeri sul quaderno come nell’esempio.
2 870 009 750 = 2
6 845 956 • 1 934 005 490 •
3 Cerchia il numero minore di ogni riquadro. ottomiliardi 8 000 000 80 uM 800 000 8 000 hk 15 daM quindicimilioni 150 000 150 uG quindicimila
70 000 000 7 uG settecentomiliardi 7 uM 70 000 000 000
4 Indica il valore delle cifre evidenziate come nell’esempio.
4 d
5 Colora allo stesso modo ogni numero decimale e la sua scomposizione.
l’INVALSI VERSO
1 Quale numero corrisponde a 18 uM 137 uk?
A. 181 370 000
B. 18 137 000
C. 1 813 700
D. 1 813 700 000
6 Riscrivi i numeri decimali in ordine decrescente. 3,45 • 34,5 • 3,54 • 3,045 • 3,005
7 Riscrivi i numeri decimali in ordine crescente.
2 Quale di queste relazioni non è corretta?
A. 9,45 < 9,456
B. 0,73 = 0,730
C. 23,8 > 23,78
D. 0,067 > 0,607
3 Arrotondando per eccesso alle centinaia il numero 4 973, ottieni:
A. 5 000
B. 4 900
C. 4 970
D. 5 900
8 Arrotonda ai decimi come nell’esempio. arrotondamento per eccesso per difetto 15,685 15,7 21,34 3,921
9 Scrivi le moltiplicazioni sotto forma di potenza quando è possibile.
10 Completa la tabella come nell’esempio.
si legge... potenza valore tre alla settima
quattro alla seconda
otto alla quarta
12 Completa la linea con i numeri mancanti.
11 Scomponi i numeri sul quaderno come nell’esempio.
3 500 648 = (3 × 106) + (5 × 105) + (6 × 102) + (4 × 101) + (8 × 100)
746 345 • 937 400 379
1 830 238 000 • 732 840 359 230
38 240 038 456 • 93 846 576
83 545 830 002 • 123 734 800
584 745 000 374 • 4 832 030 965
13 Ordina le temperature di alcune città italiane dalla più fredda alla meno fredda: numera da 1 a 10.
Aosta –12
Catania +9
Genova +3
Milano –5
Sassari +6
Firenze +4
Venezia –8
Roma 0
Bologna –6
Napoli +7
4 A quale numero corrisponde (6 × 104) + (5 × 102)?
A. 605 000
B. 65 000
C. 60 500
D. 6 050
5 Un edificio ha 10 piani verso l’alto e 3 sotto terra. L’ascensore è al sesto piano: se scende di 8 piani a quale piano arriva? A. +1
–2
Vai a pagina 51 del fascicolo FOCUS VALUTAZIONE e controlla se hai risposto in modo corretto a tutte le domande.
autonomia!
L’addizione
Al negozio di sport
Devo comprare gli sci, la tuta e il casco per Chiara. Spenderò in tutto...
z Leggi e completa l’addizione, poi verifica il risultato con la prova.
• Incolonna rispettando il valore posizionale delle cifre; se ci sono decimali, aggiungi gli 0 necessari per pareggiare le cifre.
• Inizia a sommare partendo da destra.
• Se un risultato è maggiore di 9, esegui il cambio.
z Completa applicando le proprietà dell’addizione.
Proprietà commutativa
Se cambi l’ordine degli addendi, il risultato non cambia: usa questa proprietà per eseguire la prova.
ESERCIZI e PROBLEMI
2,8 + 3,1 = ........
3,1 + 2,8 = ........
MATE utile
Per sapere quanto spende il papà di Chiara bisogna eseguire un’addizione.
L’addizione è l’operazione che permette di unire, aggiungere, mettere insieme due o più quantità per trovare la quantità totale.
5 5 5 + 1 4 0 0 = , , , , addendo addendo addendo somma o totale prova
2 9 9 9 +
Proprietà associativa
Se sostituisci a due o più addendi la loro somma, il risultato non cambia.
56 + 44 + 15 = ...... ....... + ....... = ......
1 Scrivi se è stata applicata la proprietà associativa (A) o la proprietà commutativa (C). 245 + 14,35 + 15,65 = 245 + 30 = 275 342 + 200 + 38 = 342 + 38 + 200 = 580
2 Esegui in colonna sul quaderno.
16 547 + 52 324 = 75,62 + 201,74 = 0,971 + 6,382 = 974 + 129 + 475 = 873 615 + 423 916 = 43 218 + 29 463 = 648 + 133,08 = 4,6 + 13,28 + 32,39 =
3 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. Anna ha 8,35 €, Xia ha 9,30 € e Sara ha 7,15 €. Quanti euro hanno in tutto?
Quaderno operativo pagg. 164-165
b. Al mercato Andrea spende 12,45 € per le pere, 6,50 € per i kiwi e 4,60 € per le mele. Quanto spende in tutto?
La sottrazione
Al negozio di giocattoli
Ho 54 euro. Se compro quel puzzle, quanti soldi mi resteranno nel portafogli?
z Leggi e completa la sottrazione, poi verifica il risultato con la prova.
• Incolonna rispettando il valore posizionale delle cifre; se ci sono decimali, aggiungi gli 0 necessari per pareggiare le cifre.
• Inizia a sottrarre partendo da destra.
• Se la cifra del minuendo è minore della cifra del sottraendo, esegui il cambio
3 5 5 0 = , 1 minuendo sottraendo resto o differenza , 1 prova MATE
Per sapere quanti soldi rimangono alla mamma di José bisogna eseguire una sottrazione.
La sottrazione è l’operazione che permette di togliere e di calcolare quanto manca, quanto resta o la differenza tra due quantità.
5 4 0 0
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione. Per eseguire la prova somma il resto al sottraendo: devi ottenere il minuendo.
z Completa applicando la proprietà della sottrazione.
Proprietà invariantiva
Se aggiungi o togli lo stesso numero al minuendo e al sottraendo, il risultato non cambia.
ESERCIZI e PROBLEMI
1 Applica la proprietà invariantiva e calcola sul quaderno.
2 Esegui in colonna sul quaderno. 824 – 217 = 483,45 – 31,39 = 654,72 – 568,25 = 363,76 – 171,84 = 2454,6 – 29 = 6925 – 4368 = 2488,8 – 279,39 = 46973 – 2455,31 =
3 Risolvi il problema sul quaderno. Yamir compra una felpa, paga con una banconota da 100 € e riceve 55,50 € di resto. Quanto ha speso?
Quaderno operativo pagg. 166-167
La moltiplicazione
In libreria
Devo sistemare 15 scatoloni e in ognuno ci sono 45 libri. Quanti libri dovrò sistemare in tutto?
Per sapere quanti libri sono arrivati in tutto alla libreria bisogna eseguire una moltiplicazione.
La moltiplicazione è l’operazione che serve a ripetere più volte la stessa quantità La moltiplicazione è quindi un’addizione ripetuta.
z Leggi e completa la moltiplicazione, poi verifica il risultato con la prova
• Incolonna rispettando il valore posizionale delle cifre.
• Moltiplica le unità del 2° fattore per tutte le cifre del 1° fattore; ottieni il 1° prodotto parziale.
• Scrivi 0 nella colonna delle unità, poi moltiplica le decine del 2° fattore per tutte le cifre del primo fattore; ottieni il 2° prodotto parziale.
• Somma i prodotti parziali: ottieni il prodotto totale.
moltiplicando 1° fattore moltiplicatore 2° fattore
1° prodotto parziale 2° prodotto parziale prodotto totale prova 4 5 × 1 5 = 2 2 5 + 4 5 0 =
z Leggi ed esegui la moltiplicazione con i numeri decimali.
• Incolonna senza tenere conto del valore posizionale delle cifre, come se non ci fossero le virgole.
• Esegui la moltiplicazione come sai fare.
• Parti da destra e scrivi la virgola nel risultato dopo tante cifre quante sono in tutto le cifre decimali presenti nei due fattori.
ESERCIZI
z Esegui in colonna sul quaderno.
a. 38 × 24 = 29 × 16 = 43 × 26 = 54 × 18 =
b. 235 × 15 = 378 × 23 = 516 × 48 = 370 × 34 =
c. 158 × 106 =
250 × 234 =
398 × 410 = 526 × 237 =
3 1 4 × 2 3 = + = 2 cifre decimali 3 cifre decimali 1 cifra decimale , , ,
d. 44 × 2,5 = 3,7 × 15 = 2,7 × 84 = 19 × 0,8 =
e. 1,38 × 4,5 = 23,6 × 0,9 = 25,7 × 0,07 = 16,8 × 3,58 =
Proprietà commutativa
Proprietà associativa
Se sostituisci a due o più fattori il loro prodotto, il risultato non cambia. z Completa applicando le proprietà della moltiplicazione.
Se cambi l’ordine dei fattori, il risultato non cambia: usa questa proprietà per eseguire la prova.
5 × 8 =
8 × 5 =
Proprietà distributiva
Se scomponi un fattore in una somma di numeri, moltiplichi ciascun addendo per l’altro fattore e poi sommi i prodotti ottenuti, il risultato non cambia.
6,3 × 5 =
(6 + 0,3) × 5 =
(6 × 5) + (0,3 × 5) =
4 × 5 × 9 = × 9 =
Lo zero e l’uno nella moltiplicazione
Se uno dei fattori è uguale a 1, il prodotto è uguale all’altro fattore.
38 × 1 = 38
Se uno dei fattori è uguale a 0, il prodotto è 0.
38 × 0 = 0
ESERCIZI e PROBLEMI
1 Applica le proprietà commutativa e associativa e calcola in riga come nell’esempio.
5 × 5 × 2 × 1,2 = 5 × 2 × 1,2 × 5 = 10 × 6 = 60
2 × 1,4 × 4 × 5 = ........................................................................................................................
100 × 2,5 × 2 × 8 = 2,3 × 5 × 3 × 20 =
2 Calcola in riga applicando la proprietà distributiva come nell’esempio.
16,5 × 6 = (16 + 0,5) × 6 = (16 × 6) + (0,5 × 6) = 96 + 3 = 99
27 × 4 = ..................................................................................................................................
3,25 × 3 = 68 × 5 =
3 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. Un fruttivendolo vende le arance a 2,30 € al chilogrammo. Anna ne compra 12,5 kg. Quanto deve pagare?
b. Nella mensa di una scuola ci sono 6 file da 15 tavoli ciascuna. Ogni tavolo ha 8 posti. Quanti bambini possono sedersi in mensa?
La divisione
In classe
Devo distribuire questi 515 fogli in parti uguali.
MATE utile
Noi siamo 23. Quanti fogli a testa? Quanti fogli restano?
z Leggi e osserva la divisione, poi verifica il risultato con la prova.
• Considera le prime due cifre del dividendo: il 2 nel 5 sta 2 volte con resto 1. Scrivi 1 in piccolo vicino all’1 del dividendo. Il 3 nell’11 sta almeno 2 volte?
Sì: scrivi 2 al quoziente. Ora moltiplica 2 × 23, esegui la sottrazione e scrivi il resto (51 – 46 = 5).
• Trascrivi accanto al resto il 5 delle unità del dividendo (55).
• Il 2 nel 5 sta 2 volte con resto 1. Scrivi 1 in piccolo vicino al 5. Il 3 nel 15 sta almeno 2 volte? Sì: scrivi 2 al quoziente. Ora moltiplica 2 × 23, esegui la sottrazione e scrivi il resto (55 – 46 = 9).
z Completa applicando la proprietà della divisione.
Proprietà invariantiva
Se moltiplichi o dividi per lo stesso numero diverso da zero il dividendo e il divisore, il risultato non cambia.
Lo zero e l’uno nella divisione 1 1
Se il divisore è 0, la divisione è impossibile. 56 : 0 non si può fare!
Se dividendo e divisore sono uguali, e diversi da 0, il quoziente è 1. 56 : 56 = 1
Per sapere quanti fogli riceverà ciascun alunno e alunna e quanti fogli restano bisogna eseguire una divisione.
La divisione è l’operazione che permette di distribuire o raggruppare una quantità in parti uguali.
prova
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Per eseguire la prova, moltiplica il quoziente per il divisore e aggiungi l’eventuale resto: devi ottenere il dividendo.
: 2 =
Se il dividendo è 0, il quoziente è 0. 0 : 56 = 0
Se il divisore è 1, il quoziente è uguale al dividendo. 56 : 1 = 56
La divisione con i numeri decimali
Con il dividendo decimale
2 0 8 1 6 1 6 1 3 4 8 4 8 0 , ,
• Esegui la divisione come sai già fare.
• Quando trascrivi la prima cifra decimale, metti la virgola al quoziente e procedi normalmente.
Divisioni che continuano
2 5 4 2 4 6 2 5 1 0 8 2 0 2 0 0 ,
Con il divisore decimale 4 5
Con il dividendo e il divisore decimali
Procedi come nel caso del divisore decimale applicando la proprietà invariantiva per rendere il divisore intero
Se il dividendo resta decimale, ricordati di riportare la virgola al quoziente quando la incontri.
• Rendi il divisore intero applicando la proprietà invariantiva: moltiplica entrambi i termini per 10, 100 o 1000.
• Poi esegui la divisione come sai già fare.
Se la divisione ha un resto diverso da zero, puoi continuare il calcolo.
• Aggiungi uno 0 per trasformare in decimi le unità del resto e metti la virgola al quoziente perché operi con i decimali.
• Aggiungi un altro 0 e trasforma il resto in centesimi.
ESERCIZI e PROBLEMI
1 Applica la proprietà invariantiva e calcola sul quaderno.
208 : 2 = 315 : 9 =
288 : 18 = 495 : 55 = 153 : 3 = 684 : 36 = 240 : 4 = 750 : 5 =
Con il dividendo minore del divisore 3 5 0 0 6 3 0 3 0 0
• Il 5 nel 3 ci sta 0 volte con resto 3. Scrivi 0 al quoziente e metti la virgola.
• Aggiungi uno 0 per trasformare in decimi le unità del resto e continua la divisione. ,
2 Esegui in colonna sul quaderno.
Con i numeri interi
234 : 18 = 6568 : 25 = 7165 : 32 = 9273 : 39 =
Divisioni che continuano 48 : 5 = 363 : 15 = 125 : 4 = 468 : 24 =
3 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. Un cuoco sistema su un vassoio 216 polpette divise in 12 file. Quante polpette mette in ogni fila?
Con dividendo/divisore decimali 37,4 : 21 = 379 : 1,6 = 39,6 : 0,15 = 87,9 : 24 = 284 : 5,6 = 8,45 : 3,7 =
Con il dividendo minore del divisore 3 : 8 = 6 : 24 = 4 : 5 = 8 : 20 =
b. Su un viale lungo 3015 m i lampioni distano fra loro 33,5 m. Quanti sono i lampioni?
Moltiplicare
e
dividere per 10, 100, 1000
Moltiplicare per 10, 100, 1000
Un numero moltiplicato per 10, 100 o 1000 diventa 10, 100 o 1000 volte più grande.
z Leggi, osserva e completa.
uk h da u d c m
5 2 3
5 2 3
5 2 3
5 2 3 0
• Se il moltiplicando è un numero intero aggiungi 1, 2 o 3 zeri a destra.
5,23 × 10 = 5,23 × 100 = ...................
5,23 × 1000 = ................. , , ,
Dividere per 10, 100, 1000
• Se il moltiplicando è un numero decimale: – sposta la virgola verso destra di tanti posti quanti sono gli zeri del moltiplicatore; – se mancano delle cifre, aggiungi un numero adeguato di zeri a destra.
Un numero diviso per 10, 100 o 1000 diventa 10, 100 o 1000 volte più piccolo.
z Leggi, osserva e completa.
6 9
1 6 9 1 6 9 1 6 9
ESERCIZI
1690 : 10 = ..............
1690 : 100 =
1690 : 1000 = ........ , ,
• Se il dividendo è un numero intero con degli zeri finali togline quanti ne ha il divisore.
• Se il dividendo è un numero decimale:
– sposta la virgola verso sinistra di tanti posti quanti sono gli zeri del divisore; – se mancano delle cifre, aggiungi un numero adeguato di zeri a sinistra.
1 Esegui in riga. Fai attenzione agli zeri da togliere o da aggiungere!
6,4 × 1000 = ............
2 Completa le tabelle.
Calcoli veloci
Per rendere più semplici e veloci i calcoli, soprattutto quelli a mente, puoi applicare alcune strategie di calcolo. z Leggi e completa.
Addizioni
Devi aggiungere 0,9, 0,99, 0,999?
Prima aggiungi 1 e poi togli rispettivamente 0,1, 0,01, 0,001
Sottrazioni
Devi togliere 0,9, 0,99, 0,999?
15,6 + 0,9 = 15,6 + 1 – 0,1 = 16,6 – 0,1
–
Prima togli 1 e poi aggiungi rispettivamente 0,1, 0,01, 0,001. 15,6 – 0,9 = 15,6 – 1 + 0,1 = 14,6 + 0,1 = 14,7
Moltiplicazioni
• Devi moltiplicare per 0,1, 0,01, 0,001?
Dividi rispettivamente per 10, 100, 1000.
4,5 × 0,1 = 4,5 : 10 = 0,45
125 × 0,01 = 125 : 100 = ............
8 × 0,001 = 8 : ............ = ............
• Devi moltiplicare per 0,5? Dividi per 2.
18 × 0,5 = 18 : 2 = ............
6,4 × 0,5 = 6,4 : ............ = ............
• Devi moltiplicare per 0,2? Dividi per 5.
30 × 0,2 = 30 : 5 = ............
150 × 0,2 = 150 : ............ = ............
ESERCIZI
z Esegui in riga.
7,85 + 0,99 = ...............................................
6,4 + 0,9 = ..................................................
8,456 + 0,999 = ...........................................
6,737 – 0,999 = ............................................
3,548 – 0,99 = .............................................
9,32 – 0,9 = .................................................
Divisioni
• Devi dividere per 0,1, 0,01, 0,001?
Moltiplica rispettivamente per 10, 100, 1000.
4,5 : 0,1 = 4,5 × 10 = 45
125 : 0,01 = 125 × 100 = ............
8 : 0,001 = 8 × =
• Devi dividere per 0,5? Moltiplica per 2.
18 : 0,5 = 18 × 2 = ............
6,4 : 0,5 = 6,4 × ............ = ............
• Devi dividere per 0,2? Moltiplica per 5.
30 : 0,2 = 30 × 5 = ............
150 : 0,2 = 150 × ............ = ............
160 × 0,01 = .................................................
148 × 0,5 = ..................................................
55 × 0,2 = .................................................... 0,09 : 0,1 = ..................................................
36 : 0,5 = .................................................... 0,8 : 0,2 = ...................................................
PROBLEMI
1 Scrivi quale o quali proprietà sono state applicate. Segui l’esempio.
250 + 38 + 12 = 250 + 50 = 300 associativa dell’addizione
150 : 25 = (150 : 5) : (25 : 5) = 30 : 5 = 6
15 × 8 = (10 + 5) × 8 = (10 × 8) + (5 × 8) = 80 + 40 = 120
4 × 3 × 5 = 4 × 5 × 3 = 20 × 3 = 60 .....................................................
135 – 18 = (135 + 2) – (18 + 2) = 137 – 20 = 117
2 Applica la proprietà associativa dell’addizione e calcola in riga. Sottolinea gli addendi che associ come nell’esempio.
15 + 21 + 39 = 15 + 60 = 75
75 + 125 + 180 =
74 + 36 + 25 = 43 + 130 + 170 =
3 Applica la proprietà invariantiva della sottrazione e calcola come nell’esempio.
265 – 29 = (265 + 1) – (29 + 1) = 266 – 30 = 236
348 – 52 = ............................................................................................................................
263 – 148 = ........................................................................................................................... 574 – 233 = ...........................................................................................................................
4 Trova le regole e completa le sequenze.
187 178 169
35,4 46,4 79,4
La regola è:
La regola è: 10048 5024 628
La regola è: 28 84 252
La regola è:
5 Applica la proprietà invariantiva della divisione e calcola come nell’esempio.
864 : 2 = (864 × 2) : (2 × 2) = 1728 : 4 = 432
216 : 12 = 126 : 3 = 510 : 15 = ..............................................................................................................................
6 Applica la proprietà distributiva della moltiplicazione e calcola come nell’esempio.
27 × 4 = (20 + 7) × 4 = (20 × 4) + (7 × 4) = 80 + 28 = 108
38 × 7 = ................................................................................................................................
19 × 5 = ................................................................................................................................ 46 × 3 = ...............................................................................................................................
7 Metti la virgola nel prodotto di queste moltiplicazioni.
12,7 × 15 = 1905
0,9 × 8,38 = 7542
327 × 0,05 = 1635 7,35 × 8,7 = 63945
2,14 × 46 = 98 44
250,38 × 9,1 = 2278458
ESERCIZI E PROBLEMI
8 Completa le tabelle. + 1 d + 2 c – 1 m 0,569 3,74 12,6 345 – 2 d + 5 c – 3 m 4,6 135 0,946 32,9
9 Completa le moltiplicazioni e le divisioni.
5,12 × ........... = 51,2 0,019 × .......... = 19
6,8 × ........ = 6800 9,1 × 0,1 = ............... 15 × 0,001 = ........... 25,6 × 0,01 = .......... ............. × 10 = 7,64 .............. × 100 = 16 12,6 × 0,5 = ............ 65 × 0,2 = .............. 63,2 : ......... = 6,32 5 : .............. = 0,05 3,459 : 0,01 = ......... 0,8 : 0,1 = .............. 0,076 : 0,001 = ....... .............. : 10 = 1,74 ........... : 100 = 8,43 ........ : 1000 = 0,68 0,4 : 0,2 = .............. 31,6 : 0,5 = ............
10 Esegui in colonna sul quaderno.
a. 1 565 398 + 627 428 = 285 352 + 432 + 58 532 = 732,85 + 53,643 + 390,053 = 1 326 + 435,209 + 42 384,32 = 86,467 + 343,212 + 7 438,2 = b. 6 324 348 – 834 509 = 1 634 859 000 – 534 739 = 734 574,798 – 1 253,48 = 173 453,26 – 5 324,723 = 6 328 464 – 73 434,173 = c. 1 674 × 38 = 2 340 × 165 = 38,5 × 45 = 23,76 × 3,6 = 143,7 × 1,58 = d. 1 745 : 38 = 54,7 : 12 = 845 : 3,6 = 3,258 : 4,2 = 15 : 25 =
11 Risolvi i problemi sul quaderno.
a. Nadir parte per un viaggio di lavoro. Percorre 135,8 km e si ferma per fare una sosta. Se il tragitto è lungo 208,5 km, quanti chilometri deve ancora percorrere?
b. In una scuola primaria ci sono 145 alunni di classe prima, 140 di seconda, 138 di terza, 142 di quarta e 135 di quinta. Quanti sono gli alunni in tutto? Se le femmine sono 430, quanti sono i maschi?
c. Un nonno distribuisce 130,80 € in parti uguali tra i suoi 4 nipoti. Quanto riceve ciascun nipote?
d. In un negozio di abbigliamento ci sono 13 scaffali. In ogni scaffale ci sono 15 sciarpe e 9 cappelli. Quante sciarpe e cappelli ci sono in tutto?
e. Un agricoltore distribuisce 900 mele in parti uguali in 18 cassette. Rivende ogni cassetta a 12,99 € l’una. Quanto guadagna in tutto?
f. Un gruppo di 12 amici va a teatro a vedere uno spettacolo e spende 270 €. Quanto costa ogni biglietto?
g. Al supermercato il papà di Marika ha comprato 3 kg di mele a 1,20 € al chilogrammo, 4 scatole di biscotti a 0,79 € l’una, 2 confezioni di prosciutto a 2,38 € l’una. Se paga con una banconota da 50 €, quanto riceve di resto?
h. Per arredare la sala, Abdul spende 259,90 € per il divano, 145,20 € per il mobile TV e 320,90 € per due poltroncine. Paga il tutto in 12 rate. Qual è l’importo di ogni rata?
Multipli e divisori
24 è multiplo di 3: infatti lo contiene esattamente 8 volte.
I multipli di un numero si ottengono moltiplicando il numero stesso per qualsiasi numero naturale.
I multipli di un numero, quindi, sono infiniti.
Multipli e divisori sono in relazione: se un numero è multiplo di un altro, questo, a sua volta, è un suo divisore.
Un numero può essere multiplo di più numeri.
3 e 8 sono divisori di 24 perché lo dividono in modo esatto.
Un numero è divisore di un altro quando lo divide esattamente in parti uguali, cioè senza resto.
I divisori di un numero sono finiti e sono compresi tra 1 e il numero stesso.
× 7 : 7
21 è multiplo di è divisore di 3
z Scrivi i multipli di 2 e 3 fino a 24 e cerchia i numeri uguali.
Multipli di 2: ............................................................................................................
Multipli di 3:
Quindi , , , e sono multipli sia di 2 sia di 3.
ESERCIZI
1 Scrivi sul quaderno i multipli di 5 fino a 100 e i multipli di 9 fino a 81.
2 Scrivi tutti i divisori di questi numeri.
È LOGICO
z Completa le frasi con le parole date. relazione • 0 • tutti • multiplo • divisori • 1 • infiniti • stesso
• I multipli di un numero sono
• Ogni numero ha come multiplo se
• L’1 ha come multipli i numeri.
• Lo 0 è di qualsiasi numero.
Quaderno
• I di un numero sono finiti.
• L’ è divisore di tutti i numeri.
• Lo non è divisore di alcun numero.
• Tra multipli e divisori c’è una
Numeri primi e numeri composti
Ricordi il metodo per rintracciare i numeri primi nella tabella dei primi 100 numeri?
z Ripassiamo insieme il “Crivello di Eratostene”: segui le istruzioni.
• Cancella con una X l’1
• Cerchia il 2 e cancella con una X tutti i suoi multipli.
• Cerchia il 3 e cancella con una X tutti i suoi multipli.
• Cerchia il 5 e cancella con una X tutti i suoi multipli.
• Cerchia il 7 e cancella con una X tutti i suoi multipli.
• Ora cerchia i numeri rimasti.
I numeri che hai cerchiato sono numeri primi.
L’1 non è un numero primo perché ha solo un divisore: se stesso. Tutti gli altri numeri sono detti numeri composti, perché è possibile dividerli anche per altri numeri oltre che per 1 e per se stessi.
z Ogni numero composto è formato da numeri primi. Osserva, quindi, come possiamo scomporre un numero composto in fattori primi.
ESERCIZI
z Scomponi i numeri composti in fattori primi e scrivili utilizzando le potenze.
I criteri di divisibilità
Puoi capire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione, ma applicando alcune semplici regole: i criteri di divisibilità
z Leggi e applica i criteri di divisibilità.
Un numero è divisibile per...
se è pari, cioè se termina per 0, 2, 4, 6 o 8: 430 862 98
• Cerchia solo i numeri divisibili per 2: 894 35
se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3: 627 6 + 2 + 7 = 15 15 : 3 =
se le ultime due cifre sono 00 oppure sono un multiplo di 4: 7 900 2 8
i
se termina con 0 oppure con 5: 5 890 26 505
• Cerchia solo i numeri divisibili per 5: 574 93
5 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9: 3 717 3 +
Cerchia solo i numeri divisibili per 9: 75 801 7
se termina con 0: 73 320 • Cerchia solo i numeri divisibili per 10: 1 002 890 4
È LOGICO
z Quando un numero è divisibile per 100? E per 1000? Discutine con i compagni e le compagne.
z Applica i criteri di divisibilità ai seguenti numeri e scrivi i divisori come nell’esempio.
1 Completa la tabella con i multipli mancanti, poi completa le frasi.
• Il 12 ha divisori: 1, 2, 3,
• L’........ ha 4 divisori: 1, 2, 4 e 8.
• Il 18 ha 6 divisori:
• Il 20 ha divisori: 1, , 20
• Il 24 ha ........ divisori: ...........................................................
• Il 36 ha ........ divisori:
2 Scrivi tutti i divisori di questi numeri.
3 Cerchia i numeri primi.
4 Scrivi sui puntini una cifra in modo da ottenere un numero...
divisibile per 3 52..... divisibile per 4 18..... divisibile per 9 237..... divisibile per 5 37..... divisibile per 5 e per 2 348..... divisibile per 3 e per 5 105.....
5 Scomponi i numeri composti in fattori primi e scrivili utilizzando le potenze.
6 Ora prova a scomporre questi numeri in fattori primi senza utilizzare lo schema.
z Lavorate possibilmente in gruppi di quattro per ripassare i principali argomenti.
Organizzatevi seguendo le indicazioni dell’unità precedente. Usate questi brevi riassunti per studiare, ripassare e completare la mappa di pagina 43.
ADDIZIONE
1 1 1 1
2 1 9 5 4 , , addendo addendo addendo somma o totale , ,
1 2 9 9 9 +
7 5 5 5 +
1 4 0 0 =
da u d c
4 3
1 8 5 0 , , minuendo sottraendo resto o differenza , 1 1
5 4 0 0 –
3 5 5 0 =
È l’operazione che permette di ...................., aggiungere, mettere insieme due o più quantità.
I termini si chiamano ............................ e il risultato si chiama ......................... o totale. Il segno aritmetico è
Ha le proprietà commutativa (che serve anche per fare la prova)
e ..........................................
5 1 5 2 3
4 6 2 2
5 5 4 6 9 dividendo resto divisore quoziente , , h da u d c
SOTTRAZIONE
È l’operazione che permette di togliere e di calcolare quanto manca, quanto ...................... o la ............................................ tra due quantità.
I termini si chiamano e sottraendo, il risultato si chiama .................... o differenza. Il segno aritmetico è ......
Ha la proprietà ................................................
MOLTIPLICAZIONE
È l’operazione che serve a .................................. più volte la stessa quantità.
I termini si chiamano ......................................... e moltiplicatore (fattori), il risultato si chiama prodotto. Il segno aritmetico è
Ha tre proprietà: ................................................, associativa e distributiva.
Se i numeri sono decimali, scrivi la ......................... nel risultato dopo tante cifre quante sono in tutto le cifre decimali dei due fattori. moltiplicando moltiplicatore prodotto 3 1 4 × 2 3 = 9 4 2 + 6 2 8 0 = 7 2 2 2 , , ,
DIVISIONE
È l’operazione che permette di .................................. o raggruppare una certa quantità in parti .........................
I termini si chiamano dividendo e , il risultato si chiama .......................................... Il segno aritmetico è ......
Ha la proprietà ................................................
Se il dividendo è un numero decimale, quando trascrivi la prima cifra decimale, metti la ......................... al quoziente e procedi normalmente.
z A coppie completate la mappa con le parole mancanti e utilizzatela per esporre gli argomenti studiati.
LE OPERAZIONI
ADDIZIONE
• 129,99 + 75,55 + 14 = 219,54
• Permette di unire, , mettere insieme
• Termini: ...........................................
• Risultato: somma o
• Segno: ............
• Proprietà: ........................................ e associativa
MOLTIPLICAZIONE
• 3,14 × 2,3 = 7,222
• Serve a ripetere più volte la stessa ................................................
• Termini: moltiplicando e (fattori)
• Risultato: .....................................................
• Segno: ............
• Proprietà: commutativa, ..................................... e
SOTTRAZIONE
• 54 – 35,50 = 18,50
• Permette di togliere e di calcolare quanto , quanto resta o la differenza
• Termini: minuendo e ...........................................................
• Risultato: o differenza
• Segno: ............
• Proprietà: ........................................
DIVISIONE
• 51,5 : 23 = 2,2 resto 9
• Permette di distribuire o una certa quantità in ............................................ uguali
• Termini: dividendo e
• Risultato: ......................................
• Segno: ............
• Proprietà: ........................................
1 Collega con una freccia ogni operazione alla sua o alle sue proprietà. addizione sottrazione moltiplicazione divisione
associativa commutativa distributiva invariantiva
2 Applica la proprietà commutativa e associativa e calcola in riga sul quaderno come nell’esempio.
7,5 + 12,3 + 9,5 + 0,7 = 7,5 + 9,5 + 12,3 + 0,7 = 17 + 13 = 30
1 540 + 990 + 2 460 + 10 = • 0,58 + 3,65 + 2,35 + 4,42 = •
3 Calcola sul quaderno applicando la proprietà invariantiva della sottrazione.
– 13 =
25,6 – 0,9 =
4 Calcola sul quaderno applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione. 3,8 × 9 =
5 Calcola sul quaderno applicando la proprietà invariantiva della divisione.
: 5 = • 1 560 : 12 =
6 Completa le operazioni con i numeri mancanti.
1 1 1 1 1
7 2 8 3 5 0 6 9 + 1 6 5 0 ... 7 4 2 + 3 1 3 8 =
VERSO , ,
1 Quale di queste operazioni è corretta?
A. 437,8 + 243,56 = 68,136
B. 750 – 374,38 = 375,6
C. 47,3 × 3,5 = 165,55
D. 45,36 : 3,6 = 1,26
2 Qual è la strategia corretta per calcolare 48 × 0,1?
A. 48 × 10
B. 48 : 10
C. 48 × 100
D. 48 : 100
3 Qual è il sottraendo? 34,67 – ? = 33,68
A. 0,9
B. 0,19
C. 0,999
D. 0,99
7 Esegui in colonna sul quaderno.
a. 74 354 920 + 173 424 322 = 3 472 359 + 2 934 + 903 447 =
1 834,567 + 0,454 + 234,53 = 4 934 + 934,193 + 4 823,56 = 174,495 + 1 329,5 + 32,945 =
b. 47 350 834 – 18 834 945 = 293 459 320 – 9 348 349 = 394 568,56 – 84 353,54 = 8 734,21 – 5 758,174 = 5 932 596 – 37 459,465 = c. 548 × 24 = 4 620 × 83 = 74,046 × 12 = 23,45 × 3,6 = 372,5 × 6,9 =
8 Completa con il segno di operazione mancante. 0,07 1 000 = 70
9 Completa il diagramma con i divisori indicati.
d. 48 300 : 75 = 773,8 : 42 = 3,069 : 0,12 = 343,6 : 5,7 = 46 : 80 =
di 30 divisori di 48
divisori di 30 e di 48
10 Calcola e scrivi il numero composto come nell’esempio.
32 × 24 × 5 = 9 × 16 × 5 = 720 52 × 32 = 23 × 14 = 25 × 33 × 7 =
11 Scomponi sul quaderno i seguenti numeri composti in fattori primi.
12 Sottolinea in rosso i numeri divisibili per 2 e in giallo i numeri divisibili per 3. Poi cerchia i numeri divisibili sia per 2 sia per 3.
2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15 • 16 • 17 • 18 • 19 • 20
4 Qual è il divisore?
54,3 : ? = 0,543
A. 10
B. 1000
C. 100
D. 10000
5 A un numero aggiungo 6,3, poi lo moltiplico per 3 e ottengo 27. Qual è il numero di partenza?
A. 2,1 C. 2,5 B. 2,3 D. 2,7
6 Quale di queste affermazioni non è corretta?
A. 128 è divisibile per 4.
B. 128 è un numero primo.
C. 128 è un multiplo di 8.
D. 128 è un multiplo di 32.
Le frazioni
Frazionare vuol dire dividere un intero in parti uguali
Una frazione indica in quante parti è stato diviso un intero e quante di queste parti vengono considerate.
Le frazioni sono sempre composte da tre elementi.
2
frazionata NON frazionata
Il numeratore indica il numero delle parti considerate. La linea di frazione indica che l’intero è stato frazionato.
Il denominatore indica in quante parti è stato diviso l’intero.
• Ciascuna delle parti uguali si chiama unità frazionaria: 1 5 .
• Per leggere le frazioni si usano:
– i numeri cardinali per il numeratore (uno, due, tre...);
– i numeri ordinali per il denominatore (terzo, quarto, quinto...).
Fai attenzione: 2 al denominatore si legge “mezzo”.
ESERCIZI
1 Colora di rosso il numeratore e di verde il denominatore. Poi scrivi l’unità frazionaria e la frazione in lettere. Segui l’esempio.
due noni
2 Scrivi le frazioni corrispondenti alle parti colorate. 3 Colora le parti espresse dalle frazioni.
Il progetto SIAMO PARI del Gruppo Editoriale Raffaello sostiene e promuove il codice POLITE (Pari Opportunità nei LIbri di TEsto) per la formazione di una cultura delle pari opportunità e del rispetto di tutte le differenze.
Progetto ECO: Emozioni e COmpetenze al centro di una didattica che punta alla partecipazione e all’autonomia di ogni bambina e bambino. Il gruppo del progetto è composto da: Monica Floreale (Storia), Luciano Piattella (Geografia), Silvio Ferraris (Matematica), Antonella Meiani (Scienze).
Coordinamento didattico: Antonella Meiani
Verifiche facilitate a cura di: Dr.ssa Patrizia Marletta e dei suoi collaboratori e collaboratrici Irene Latella, Alessia Serra, Ilaria Giachi, Mario Rolando Cortez Toledo
Coding: i percorsi Coding sono stati ideati e realizzati da Gianni Monti.
Scratch è un progetto della Scratch foundation, in collaborazione con il Lifelong Kindergarten Group al MIT Media Lab È disponibile gratuitamente su https://scratch.mit.edu
Coordinamento: Emilia Agostini
Coordinamento di redazione: Corrado Cartuccia
Realizzazione editoriale: Aurion Servizi Editoriali S.r.l. - Milano
Redazione Raffaello: Corrado Cartuccia
Progetto grafico: Mauro Aquilanti
Illustrazioni: Giulia Bracesco, Anna Cola
Copertina: Mauro Aquilanti
Illustrazione di copertina: Elisa Bellotti
Referenze fotografiche: Alamy, Adobe Stock, iStock, Scala - Firenze, Shutterstock
Coordinamento digitale: Paolo Giuliani
Supervisione contenuti digitali: Katia Buccelli
Redazione digitale: Giulio Pieraccini
Stampa: Gruppo Editoriale Raffaello
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