LOGIKA MATEMATIKA •
Standar Kompetensi Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
o
• •
Kompetensi Dasar 1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor 2. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan 3. Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah
A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA • Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah . Lambang pernyataan dinyatakan dengan menggunakan huruf kecil seperti p,q,r dan sebagainya. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan dilambangkan dengan “ ߬ “. Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan dengan memakai Dasar Empiris dan Dasar tak Empiris. • Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat pe-ubah/variabel sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. • Ingkaran atau Negasi o Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambing : “ ∿ p “ o Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka ∿ p bernilai salah o Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ∿ p bernilai benar • Pernyataan berkuantor o Kuantor universal (umum), Kuantor universal dilambangkan dengan “ ∀ x “ dibaca “ untuk semua x “ atau “ untuk setiap x” o Kuantor eksistensial, dilambangkan dengan “ ∃ x “ dibaca “ Ada x “ atau “ beberapa x “ o Kalimat terbuka bisa diubah menjadi sebuah pernyataan dengan
membubuhkan kuantor universal atau kuantor eksistensial didepan kalimat terbuka.
Ingkaran pernyataan berkuantor o Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor ekstensial o Ingkaran dari pernyataan berkuantor ekstensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal
LATIHAN 1 a. Diantara kalimat berikut, manakah yang merupakan pernyataan, kemudian tentukan nilai kebenarannya jika kalimat itu merupakan pernyataan. 1. 111 habis dibagi 3 2. Badu berbadan tegap 3. Tutuplah pintu itu 4. Udara adalah benda cair ଵ 5. Jika x = makan x2 = 4 ଶ 6. Untuk x = -1, berapakah nilai 2x – 1 ? 7. Carilah nilai x pada persamaan 2x – 3 = 1 8. Jika x < 1, maka x < 4 b. Manakah diantara kalimat berikut yang merupakan kalimat terbuka, jika kalimat terbuka, tentukan himpunan penyelesaiannya ! 1. Terdapat bilangan asli n sehingga 3n – 2 = 7 2. 3x – 2 = 4x + 7 3. 2x + 4 adalah bilangan genap untuk setiap x ∊ cacah 4. Suatu kubus mempunyai p buah rusuk 5. 4x2 – 2 = 2 6. 4 – 6 = 7 – 5 7. Jumlah dua bilangan asli adalah bilangan asli genap 8. Ada bilangan asli n sehingga 3n – 1 = 5 9. Satu tahun sama dengan 400 hari 10. x2 – x – 2 = 0 LATIHAN 2 1. Nyatakan ingkaran atau negasi dan nilai kebenaran dari pernyataan berikut : a. 254 habis dibagi 3
b. Madonna adalah seorang penyanyi c. 4 bukan anggota himpunan penyelesaian dari 3x + 1 < 15 , x ∊ A 2. Tentukan negasi dari pernyataan berikut serta nilai kebenarannya ! a. Semua bilangan prima adalah bilangan asli b. ∀ x ∊ R , x + 3 = 4 c. Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap d. ∃ x ∊ R , x + 4 =1 3. Diberikan kalimat terbuka 3 – 4x = – 9 dengan x pe-ubah pada bilangan real. Carilah nilai pengganti x sehingga kalimat terbuka itu menjadi pernyataan yang bernilai a. Benar b. Salah B. PERNYATAAN MAJEMUK Dua pernyataan atau lebih dapat dikomposisikan dengan kata hubung logika akan membentuk pernyataan baru yang disebut Pernyataan Majemuk atau Pernyataan Komposisi. Jenis pernyataan majemuk o Konjungsi : “∧“ p ∧ q dibaca “ p dan q “ Tabel kebenaran p q p∧q B B B B S S S B S S S S o Disjungsi : “ ∨ “p ∨ q dibaca “ p atau q “ Tabel kebenaran p Q p∨q B B B B S B S B B S S S Implikasi : “ → “ atau “ ⇒ “ p → q dibaca “ Jika p maka q Tabel kebenaran p Q p→q B B B B S S S B B S S B
o
o
Bi-implikasi : “ ↔ “ atau “ ⇔ “p ↔ q dibaca “ Jika p maka q “
Tabel kebenaran p q B B B S S B S S
p↔q B S S B
LATIHAN 1. Tentukan komponen-komponen dari setiap pernyataan majemuk berikut : a. 2 dan 5 adalah pembagi dari 10 b. Seseorang yang sudah berumur 17 tahun keatas atau sudah menikah wajib memiliki KTP c. Jika hujan terus menerus maka sungai banjir d. x + a = y + a jika dan hanya jika x = y 2. Diketahui p : hari ini hujan deras, dan q : hari ini aliran listrik terputus. Tulis setiap pernyataan berikut menggunakan lambing logika . a. Hari ini hujau deras dan aliran listrik tidak terputus b. Hari ini hujan tidak deras atau aliran listrik terputus c. Jika hari ini tidak hujan deras maka aliran listrik tidak terputus d. Tidak benar bahwa hari ini aliran listrik terputus jika dan hanya jika hujan deras 3. Diketahui
p : Dia pria tampan q : Dia pria pandai Tulislah dengan kata-kata : a. ∿ p ∧ q c. ∿ p ⇒ ∿ q b. ∿ p ∨ ∿ q d. ∿ (q ↔ p)
4. Tentukan nilai x agar kalimat “ x2 – 5x + 4 = 0 dan 2 + 2 = 4 “ menjadi konjungsi yang salah 5. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan majemuk berikut : a. Dua adalah bilangan prima walaupun genap b. 5 x 4 = 20 dan 20 adalah bilangan genap c. 13 atau 17 habis dibagi 2 d. Jika log 3 + log 5 = log 8, maka 103 + 103 = 108 e. x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real
6. Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah dan q adalah pernyataan yang bernilai benar, maka tentukan nilai kebenaran berikut : a. p ∧ ∿ q g. ∿ p → ∿ q b. ∿ p ∧ ∿ q h. ∿ (p → ∿ q) c. ∿ p ∨ q i. ∿ (∿ p → q) d. ∿ p ∨ ∿ q j. ∿ p ⇔ q e. p → ∿ q k. p ↔ ∿ q f. ∿ p → q l. ∿(∿ p ↔ q) 7. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut : a. ∿ (p ∨ ∿ q) b. (∿ p ∧ q) ⇒ p c. q ⇔ (p ∨ ∿ q) d. ∿ p ∧ ((p ⇒ q)) e. ∿ p ∨ ((q ⇒ p)) o
Ingkaran dari disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi • ∿ (p ∨ q) ≡ (∿ p ∧ ∿ q) • ∿ (p ∨ q) ≡ (∿ p ∨ ∿ q) • ∿ (p → q) ≡ (p ∧ ∿ q) • ∿ (p ↔ q) ≡ (p ∧ ∿ q) atau (q ∧ ∿ p) Contoh : Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut : a. Surabaya adalah ibu kota Jawa Timur atau kota pahlawan b. Asam didarat dan ikan di laut c. Jika Badu seorang actor maka ia seniman d. Segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang
o
Sifat-sifat yang berlaku pada Disjungsi dan Konjungsi 1. Sifat Komutatif a. p ∨ q ≡ q ∨ p b. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. Sifat Asosiatif a. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) b. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 3. Sifat Distributif a. Distributif terhadap konjungsi p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) b. Distributif terhadap Disjungsi p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
C. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI Jika “ p → q” adalah sebuah implikasi, maka :
o o o
q → p disebut Konvers dari implikasi p→q ∿ p → ∿ q disebut Invers dari implikasi p→q ∿ q → ∿ p disebut Kontraposisi dari implikasi p → q
Hubungan nilai kebenaran dari q → p, ∿ p → ∿ q, ∿ q → ∿ p p
q
∿p
∿q
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
S
S
B
B
Implikasi p→q
Konvers q→p
Invers ∿p→∿ q
Kontraposisi ∿q→∿p
Kesimpulan : ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
Contoh Soal : 1. Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi dari setiap pernyataan implikasi berikut : a. Jika harga naik, maka permintaan turun b. Jika n adalah kelipatan 4, maka n adalah kelipatan 2 c. Jika x = 5, maka x2 = 25 2. Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi dari setiap implikasi berikut : a. ∿ p → q b. ∿ p → ∿ q c. q → p d. q → ∿ p e. (p ∨ q) → r f. (p ∧ r) → r g. (∿ p ∨ q) ⇒ r h. p → (q ∨ r) i. p → (q ∧ r) D. PENARIKAN KESIMPULAN Argumen adalah penarikan kesimpulan dari serangkaian premis. Argumen dikatakan sah jika bentuk argumennya merupakan Tautologi (semua nilai kebenarannya adalah benar). Ada tiga aturan dalam penarikan kesimpulan (Argumen), yaitu : o Modus Ponenns Adalah suatu argument yang sah dengan bentuk :
Premis (1) Premis (2) Konklusi
: : :
p→q p ∴q
o
Modus Tollens Adalah argument yang sah dengan bentuk : Premis (1) : p→q Premis (2) : ∿q Konklusi : ∴∿p
o
Silogisme ada dua yaitu : a. Silogisme hipotetik, yaitu : Premis (1) : p→q Premis (2) : q→r Konklusi : p→r b. Silogisme Disjungsi, yaitu : Premis (1) : p ∨ q atau p ∨ q Premis (2) : ∿ p ∿q Konklusi : ∴ q ∴p