Tere tulemast matemaatika ponevasse maailma! Matemaatika kodutöö taga istudes oled ehk endalt küsinud: no mismoodi see kõik pärisellu puutub? Need ülesanded on rohkem nagu tüütu mäng, mille õpetaja on lihtsalt sinu kiusamiseks välja mõelnud. See raamat näitab sulle, et nii tundub vaid esmapilgul. Tegelikult mää rab matemaatika tänapäeval väga paljusid eluvaldkondi ja arvude maailm võib osutuda ääretult põnevaks, kui sellega lähemat tutvust teha. Kui maailmas poleks matemaatikat, siis ei õnnestuks sul näiteks küpse tada tõeliselt maitsvaid kooke, sest poleks kaalu, millega mõõta taina koostisosi. Maja, milles sa elad, kukuks matemaatiliste teadmisteta kokku. Rääkimata sinu arvutist, mille arendasid samuti välja matemaatikud. Neid ja teisi elualasid, milles peitub rohkem matemaatikat kui oskad arvata, tutvus tatakse sulle järgnevatel lehekülgedel. Sa saad arvude maailma kohta teada üllatavaid asju. Miks meeldivad meile kuldlõike põhimõttel loodud kujundid ja pildid? Kuidas seletada seda, et t eatud numbrid korduvad looduses ikka ja jälle? Kuidas lahutada meelt maagiliste ruutudega? Muidugi ka seda, millal ja mis asjaoludel inimesed üldse numbrid ja arvud välja mõtlesid ja millistesse süsteemi desse need paigutasid. Küll näed: matemaatika suudab pakkuda lõputult palju põnevat! Luba arvude maailmal end lummata ja hakka ka ise nooreks matemaatikuks, tehes k aasa teaduskatseid.
3
sisukord
Matemaatika algused 6
Kas leidub teisigi arvusüsteeme?
Elu ilma numbriteta Babüloonlaste numbrid Egiptlaste numbrid Hiinlaste numbrid Maiade numbrid Kreeklaste numbrid Roomlaste matemaatika Arvud jõuavad Kesk-Euroopasse Null astub lavale Plussi ja miinuse leiutamine Korrutus- ja jagamismärgid Võrdusmärgi ajalugu
6 8 10 12 16 20 22 24 26 28 32 34
Mis on õieti arvusüsteem? Kümnendsüsteem Kahendsüsteem Kaheksandsüsteem Kuueteistkümnendsüsteem Kaheteistkümnendsüsteem Kuidas arvusüsteeme ümber arvutada?
Mis on üldse naturaalarv? Nii kirjutatakse naturaalarve Järgarvud ja põhiarvud Naturaalarvudega arvutamine Ruutarvud Algarvud Astmed Kui suur on õigupoolest lõpmatus?
36 38 40 44 48 50 52 54
Kas leidub ka mitte-naturaalarve? 58
Negatiivsed arvud Täisarvud Ratsionaalarvud Irratsionaalarvud Reaalarvud Kompleksarvud
4
100 102 104 108 110 112 114 116 120 122 126
128
Pügalpulk Abakus ja teised vanad arvutusmasinad Z3 – esimene arvuti tuleb Saksamaalt Tänapäeva arvuti Taskuarvuti Nimed ja mõisted
128 130 136 138 140 142
Tuntud matemaatikud
Erilised arvud ja arvuread 74 Pii Maagilised ruudud Fibonacci arvud Kuldlõige
100
Loendamine Mõõtmine Vanad mõõdud Teiste maade mõõtühikud Kaalumine Ümardamine ja ligikaudne arvutamine Jagamine Navigeerimine Kalender ja aastaajad Võrrandite ja mõistatuste lahendamine Andmete kogumine ja esitamine
Abakusest superarvutini
58 62 64 66 68 70
82 84 86 88 90 92 96
Igapäevane matemaatika
Naturaalarvud ja meie arvusüsteem 36
82
74 76 78 80
Archimedes Pythagoras Thales Eukleides Pierre de Fermat
18 30 42 56 60
Blaise Pascal Leonhard Euler David Hilbert Emmy Noether Alan Turing
72 94 106 118 134
5
matemaatika algused
Elu ilma numbriteta Kogu elu ümbritsevad sind numbrid. Sul on nendega tegemist kohe, kui hommikul ärkad. Sest äratuskell heliseb ju mingil kellaajal. Kui mõtled oma päevale, leiad kindlasti veel teisigi näiteid selle kohta, kuidas numbrid su elu määravad.
Teadlastel on veel tänapäevalgi võimalik jälgida, kuidas toimib elu ilma arvudeta, sest üks Brasiilia troopilises vihmametsas elav väikerahvas saab nendeta praegugi hakkama. See rahvas nimetab end pirahadeks. Nad elatuvad küttimisest ja korilusest. Neid on vaid kolmesaja ringis ja nad tõepoolest elavad nii, et ei tea numbritest mitte midagi. Nad kasutavad ainult mõisteid „mõni“ ja „palju“ ning nendega ei saa nad loomulikult arvutada. Sellel väikesel maatükil on pirahad säilitanud oma arvudeta eluviisi.
Juba hommikul äratavad sind numbrid.
Kuid inimesed pole alati numbreid tundnud. Keegi ei tea täpselt, millal inimesed arvudega jändamist alustasid. Tuhandeid aastaid tagasi saadi igatahes hakkama ilma numbriteta.
Selle väikese katsega võid kindlaks teha, kui olulised on numbrid sinu elus. Hoia päev läbi käepärast pliiats ja paber ning tõmba kriips iga kord, kui puutud kokku mõne numbriga. Õhtul kriipse kokku lugedes hämmastud kindlasti, kui palju neid on. Sa üllatud, nähes, kui palju sa päevast päeva numbritega kokku puutud.
6
Rahvas, kes ei tunne numbreid
Pirahad ei mõista arvude tähendust Teadased on nüüd üritanud pirahadele arvutamist õpetada. Kuigi nad muidu suudavad õppida küllaltki keerulisi asju, ei saanud nad ka pärast kuudepikkust õppetööd hakkama numbrite loendamisega ühest kümneni. Põhjus on selles, et pirahade silmis pole arvudel mitte mingit tähtsust. Miks pirahad erinevalt teistest rahvastest ei tulnud selle peale, et numbreid välja mõelda, jääb igavesti nende saladuseks. Igatahes saavad teadlased nüüd nende abiga välja uurida, kuidas oli inimestel võimalik elada enne numbrite kasutuselevõttu.
Pirahade asuala väljaspool tänapäeva tsivilisatsiooni Amazonase jõe lähistel Brasiilia vihmametsas.
Pirahade keelel on teisigi iseärasusi. Neile on tähtis ainult olevik, seetõttu pole nende tegusõnadel ajavorme. Neil puuduvad sõnad värvuste nimetamiseks. Samuti ei kasuta nad kõrvallauseid. Pirahad ei ütle näiteks: „Kui ma olen söönud, siis tulen sulle külla.“ Selle asemel ütlevad nad: „Ma söön. Ma tulen sulle külla.“
tasub teada!
7
matemaatika algused
Babüloonlaste numbrid Tuhandeid aastaid tagasi elasid tänapäeva Iraani ja Iraagi aladel babüloonlased. Nende asuala nimetatakse Mesopotaamiaks. See iidne rahvas hindas teadust väga kõrgelt. Pole siis ime, et paljud tolle aja suurepärased teadlased olid just babüloonlased. Umbes 3000 aastat enne meie ajaarvamist hakkasid babüloonlased tegelema ka matemaatikaga.
Loendamine ja ehitamine Kuidas tuldi ammustel aegadel mõttele „leiutada” midagi niisugust nagu matemaatika? Väga lihtsalt: babüloonlased elatusid muuhulgas k arjakasvatusest ja kui keegi kasvatab karja, tahab ta loomulikult teada, kui palju tal loomi kokku on. Selle teadasaamiseks tuleb loendada. Babüloonlased tegelesid ka geomeetriaga. Selleks, et ehitada elumaju või muid hooneid, mis kohe kokku ei kukuks, pidi enne tegema teatud arvutusi. Rikkad karjakasvatajad tahtsid tingimata oma karja üle arvet pidada.
8
Piltkirjast kiilkirjani Babüloonlased ei kasutanud kirjutamiseks paberit ja pastapliiatsit, vaid savitahvlit ja terava otsaga pulka. Pulgaga vajutati märgid pehmesse savisse. Esialgsest piltkirjast arenes umbes tuhande aasta jooksul välja kiilkiri. Pildil näed, kuidas kujutati kiilkirjas numbreid ühest kümneni. Nagu näed, on kiilkirjas kindel numbrisüsteem.
Tasub teada!
Kollasega tähistatud aladelt pärineb palju olulisi teadlasi.
Babüloonlastel polnud alguses kirjamärki nulli kohta. Kui nad tahtsid kirjutada null, siis jätsid nad lihtsalt tühiku, nagu me täna päeval ütleksime. Küllap nad arutlesid niimoodi, et null ei tähenda mitte midagi ja mitte millegi tähis tamiseks ei ole ju eraldi märki vaja.
kas teadsid?
Meil pole sugugi savi nendest savi tahvlitest, millesse babüloonlased ammusel ajal oma kirjamärke täksisid.
Võib-olla arutled endamisi, kuidas me üldse teame, mismoodi babüloonlaste matemaatika välja nägi. Kirjutajad vajutasid tookord märgid pehmesse savisse. Aja jooksul muutus aga savi kõvaks ja kirjutatu säilis. Kuna savi on väga vastupidav, on neid iidseid tahvleid leitud ning kiilkiri nendel on ikka veel loetav.
Babüloonlaste arvutused Babüloonlased oskasid juba väga ammu arvutada pindade suurust ja teadsid kehade mahu arvutamise valemeid. Nad tundsid tehteid, mida me tänapäeval nimetame aritmeetika põhiteheteks (liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine) ja kasutasid keerulisemate ülesannete lahendamisel eriliste tabelite abi. See on teada tänu sellele, et teadlased on leidnud nn korrutustabeleid, mis pärinevad aastast 2600 e.m.a.
Tänapäevalgi kasutatakse korrutustabeleid selleks, et arvutada oleks lihtsam. Tabelid aitavad korrutamist õppida.
9
kas leidub teisigi arvusüsteeme?
Kahendsüsteem
Keel arvutitega suhtlemiseks
Binaarsüsteemi kasutatakse arvutitega töötades. Seal tähendab 1 „vool on olemas” ja 0 „voolu pole”. Kõiki m eile tuntud arve ja märke saab esitada ühtede ja nullide jadana. Sel viisil saavutatakse see, et arvutid „mõistavad”, mida me nendelt tahame.
Meie arvusüsteemi aluseks on kümme numbrit, 0 kuni 9. Meile tundub väga praktiline selles süsteemis arvutada (eriti seetõttu, et meil on kümme sõrme). Kuid loomulikult saab ka teisiti. Üks arvusüsteeme, mis alles paarkümmend aastat tagasi seoses arvutitehnikaga väga tähtsaks muutus, on kahendsüsteem. Kahendsüsteem matemaatiku ja filosoofi Gottfried Wilhelm Leibnitzi mustandil.
Ainult kaks numbrit Kahendsüsteemi ja kümnendsüsteemi suur vahe on selles, et kahendsüsteemis kasutatakse ainult kahte numbrit, need on 0 ja 1. Arve 0 ja 1 on niimoodi lihtne kirjutada, aga selleks, et esitada arvu 2, tuleb lisada uus koht. Kahend- ehk binaarsüsteemis kujutatakse arvu 2 numbriga 10. 3 on 11, aga 4 nõuab taas uut kohta ning seda kirjutatakse 100. Terve arvusüsteem saab hakkama ainult kahe numbriga, 1 ja 0. Seetõttu ütleme, et selle süsteemi alus on 2.
86
tasub teada!
Binaarsüsteemiga loodi seega keel arvutitele. Seda, et nad omavahel suhtlevad, juhtub siiski ainult koomiksites.
Väikese 2 trikk Millest sa ära tunned, et kui kirjas on number 100, siis mõeldakse arvu 4 kahendsüsteemis, mitte arvu 100 kümnendsüsteemis? Et erinevaid süsteeme omavahel sassi ei aetaks, selleks mõeldi välja väike trikk. Kahendarvu märgib väike number 2 arvust paremal all. See näeb välja selline: 1002. Kui näed niiviisi kirjutatud arvu, võid sa eeldada, et tegemist on kahendsüsteemi arvuga.
Kohaväärtuse tabel Mingi kahendarvu väärtust – näiteks 11011001 – saad kiiresti määrata kohaväärtuse tabeli abil. Ülemisele reale kirjutatakse üksikute kohtade väärtused (see rida on ette antud), alumisele reale kirjutad kahendarvu. Kohtade väärtused on kümnendsüsteemis 10 korrutised, kahendsüsteemis aga 2 korrutised. Näidisarvuga on kohaväärtuse tabel selline:
128 64 1 1
32 0
16 1
8 1
4 0
2 0
1 1
Nüüd pead lihtsalt kokku liitma: 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 217
87