Digital arkitektur by Rasmus Holst

Et bachelorprojekt i Digital Arkitektur, fra et architectural engineering perspektiv. Bygningsdesign DTU - Efter책r 2009

S. 1 1. Resumé & Titelblad

Resumé I naturen findes en stor mængde geometrisk viden. Hvis denne viden udnyttes i forbindelse med design af bygninger, vil man kunne opnå mange forskellige fordele gennem hele designfasen. Man kan finde inspiration i de geometrisk veldefinerede former. Former man sandsynligvis ellers ikke ville konstruere. Benyttet korrekt, skaber det geometriske grundlag mulighed for gode og tidsbesparende løsninger i resten af projektet, blandt andet fordi komplekse former kan deles op i bygbare elementer. I en designproces vil man have behov for at ændre designet mange gange før projektet er afsluttet. Ændringerne foretages i forhold til arkitektonisk udtryk, analyser og beregninger. De forskellige ændringer, uanset størrelse og grad af disse, kan have betydning for hele byggeriets design. I forbindelse med disse ændringer er algoritmisk modellering et velegnet værktøj. Her kan man nemt ændre en parameter i modellen og resten af modellen vil følge med, alt efter hvordan man har opbygget sin model. I design af en bygning kan en kombination af geometrisk viden og parametrisk design være et fordelagtigt designværktøj. For at undersøge hvilke fordele og ulemper denne kombination reelt giver, har vi afprøvet metoden på en case. Casen tager udgangspunkt i en arkitektkonkurrence om opførelsen af en vertikal zoologisk have i Buenos Aires. Denne case er bl.a. valgt på grund af konkurrenceprogrammets klare funktions- og arealkrav, samtidig med at der søges innovative løsninger og et organisk udtryk. Ud fra denne case har vi opstillet designparametre, som har ført til et koncept der, med udgangspunkt i den geometriske viden, består af et tårn udformet ud fra et såkaldt Voronoi-diagram princip med en knude i bunden. Dette koncept udforskes og tilpasses i forhold til designparametrene og et forslag til en løsning af casen præsenteres. Modellerne for formerne opstilles parametrisk og disse ændres i retning mod en løsning af designparametrene. Gennem designprocessen opnås et indblik i fordele og ulemper ved at benytte geometrisk viden kombineret med parametrisk design som designværktøj. Vores forslag til en løsning og vores erfaringer gennem designprocessen har vist, at der ligger mange muligheder i at arbejde med geometrisk viden kombineret med algoritmisk modellering ud fra opstillede designparametre. Kombinationen giver et stærkt værktøj til at skabe realistiske, bygbare projekter med en gennemarbejdet, utraditionel og spændende form.

S. 2 1. ResumĂŠ & Titelblad

Titelblad DTU - Diplom Bygningsdesign Bachelor projektopgave E09 Afgangseksamen DiplomingeniĂ¸r uddannelse 20 pt. Emner: Digital Arkitektur Geometri Algoritme modellering Architectural engineering Vejleder: Anja Bache Projektperiode: Afgangs projektet afvikles med 20 point i 13-ugers perioden, fra d. 1. september - 22. december. Aflevering: d. 4. Januar 2010 Eksamen: d. 11. Januar 2010

Rapporten er udarbejdet af: Dato

Underskrift

Katrine From, s062473

Rasmus Holst, s061860

S. 3 2 INDLEDNING

Forord Emnet for denne rapport er digital arkitektur og geometri - to meget store emner, der har vist sig at indeholde materiale til mange års arbejde. Processen med at formulere essen af hvad vi vil med vores projekt har været relativ lang, taget projektperioden i betragtning. I forløbet har vores vejleder Anja Bache hjulpet os med at definere et realistisk og grundigt projekt. Emnet er stort og bredt og har krævet nye redskaber. I denne forbindelse har personerne bag og brugerne af Rhino + Grasshopper været en stor ressource, især igennem forummet Grasshopper3d.com. Tak til DTU Byg for at tildele os licenser til Rhino.

Rapporten opsætning Rapporten er opdelt i 13 afsnit. Først introduceres projektets problemstilling og den følgende arbejdsproces. For at føre læseren igennem projektet er rapportens indhold tilpasset kronologisk i forhold det egentlige arbejdsforløb. Således gives først i indledningen de overvejelser, der ligger til grund for projektet. Problemstilling og metode for løsning af denne præsenteres efterfølgende. På denne måde fungerer afsnit 1-3 som indføring i opgaven. Herefter præsenteres den integrerede designproces indeholdende 3 afsnit: Geometri, algoritme-modellering og en design case. Disse er opsat kronologisk for at skabe et enkelt flow i rapporten, selvom de er udført parallelt. I afsnit 4 føres læseren således igennem undersøgelser omkring geometri og definition af begrebet, der munder ud i et skema over geometrier. Dette skema betegner vi som et formkatalog. Herefter i afsnit 5 følger en præsentation af arbejdet med algoritmer og programmering indenfor modellering og arkitektur. Afsnit 6 præsenterer den valgte design case, med dertilhørende registrering og opstilling af designparametre. I de følgende afsnit smeltes afsnit 4-6 sammen og de udviklede redskaber benyttes. I afsnit 7 benyttes formkataloget til udvælgelse af koncepter og muligheder efter design parametrene. Afsnit 8 præsenterer det valgte koncept, der i afsnit 9 færdiggøres. Endelig præsenteres det endelige forslag i afsnit 10. Rapportens sidste 3 afsnit, 11-13 indeholder diskussion af den gennemgåede proces og i afsnit 12 konkludere vi på projektet, før vi perspektiverer på metoder og eventuelt videre forløb i afsnit 13.

S. 4 2 INDLEDNING

Indholdsfortegnelse 1

RESUMÉ 1 TITELBLAD 2

FORORD 3 RAPPORTEN OPSÆTNING 3 INDHOLDSFORTEGNELSE 4

BAGGRUND 6 PROBLEMFORMULERING 7

GEOMETRI 11 Indledning 11 Definition 12 Punkt, linje, plan, rum 15 Formkatalog 17 Polygon 18 Polyeder 19 Voronoi/Delaunay 20 To-dimensionelle spiraler 24 Tre-dimensionelle spiraler 25 Ellipse og cirkel 26 Trigonometri 27 Knuder 28

MODELLERING 32 Indledning 32 Programmering 32 Algoritme 33 Rhino og Grasshopper. 34 Grasshopper - Introduktion 36 Parametriske modeller 38 Struktureret tilfældighed 38 Matematiske funktioner 42 Transformation 44 Grasshopper og arkitekturen 46

S. 5 2 INDLEDNING

DESIGN CASE (C) 53 Indledning 53 Antagelser og forudsætninger 53 Registrering Buenos Aires 56 Kontekst 56 Bevægelser og trafik 58 Placeringer 58 Vind og klima 59 Registrering Københavns zoologiske have 60 Designprogram 62

VERTICAL Z00 66 Voronoi og den vertikale zoo 68 Plantespiral, helix og den vertikale zoo 74 Knuden og den vertikale zoo 76

KONCEPT 84 Bearbejdning af knude 86 Bearbejdning Voronoi-tårn 88 Facadestudie 96

IKKE-PARAMETRISK VIDEREBEARBEJDNING 98 Facadestudie, farver, materialer og funktion 99

PRÆSENTATION 100

DISKUSSION 114 KONKLUSION 116 PERSPEKTIVERING 118

11 12 13

HENVISNINGER 120 Afsnit 1-3 120 Afsnit 4 120 Afsnit 5 122 Afsnit 6 123 Afsnit 7 124

S. 6 3 BAGGRUND & PROBLEMFORMULERING

Baggrund

I mange sammenhænge taler man om at hente inspiration i naturen til sit design. Implicit i dette, ligger at vi er adskilt fra naturen, men virkeligheden er, at alt på jorden ligger under for de samme fysiske begreber og retningslinjer. Forskellen på mennesker og naturen, er at naturen har eksisteret meget længere tid end menneskene. I flere tusinde år har vi undersøgt naturen og dens kræfter. Vi har lært at jorden er rund og at der er en tyngdekraft der trækker alting mod sig. Vi har derfor lært at kræfter helst forløber i lige baner ned, så vi forsøger at placere ting ovenpå hinanden. Vi har fundet ud af at vind tværbelaster vores konstruktioner, så vi sørger for et ordentligt fundament og afstivning. Vand nedbryder vores konstruktioner så vi laver hældninger og benytter bestandige materialer. Vi har lært at mennesker, ligesom planter, har brug for lys, så vi sætter vinduer i vores huse. Vi forsøger at finde balancen imellem varme og kulde i forsøget på at undgå begge ekstremer. Planterne har været her længe og har udviklet sig. F.eks er blade på en plantestængel placeret i spiraler med forskelligt spring, således at de ikke skygger for hinanden. Vi har også lært at forskellige belastninger og spændinger giver forskellig forudsætninger og krav. Især har vi fundet ud af at der findes uendeligt mange scenarier og tilfældigheder. Vi har hentet meget af vores viden i naturen og har lært at opstille matematiske og geometriske beskrivelser af de mønstre, vi finder. Dette sker i stor og lille skala overalt omkring os. Der er meget inspiration at hente i naturen for arkitekter, ingeniører, designere og udviklere. I naturen ser vi de mest fantastiske former. Former der er opstået af flere tusinde års evolution og tilpasning. Fra de store klippeformationer og sandmønstre i ørkenen til celleopbygningen i blade, insekter og dyr. Inspiration kan hentes til mange forskellige områder - statik, energi, formgivning, materialer m.m. Naturen er opbygget af sammenhænge og forudsætninger. Der foreligger en logik efter forskellige parametre, der i mange tilfælde kan beskrives eller efterlignes i matematikken og formmæssigt i den gren af matematikken vi kender som geometri. De fleste kender til geometri og lidt til algoritmer. Men hvad er geometri egentlig? Hvordan defineres geometri? Og hvad kan det bruges til? Dette projekt handler grundlæggende om forståelse og orden. Mange ting, i naturen, vores handlinger og vores hverdag virker til at være parametriske og algoritmiske. Vi vælger og vælger fra, ud fra vores valg træffer vi nye valg. Af disse er mange ofte uventede. Dette må også kunne gælde for arkitekturen, hvis vi forsøger at benytte samme principper.

S. 7 3 BAGGRUND & PROBLEMFORMULERING

Problemformulering Denne opgave har til formål at undersøge muligheder inden for geometri og algoritmisk modellering. Projektet sigter efter at undersøge mulighederne ved at arbejde med avancerede former og have kendskab til disses geometri. Med computerteknikker er det i dag muligt for arkitekter at tegne meget avancerede former, men det kan være svært og tidskrævende at overføre ideen til virkelighed, og man kan som designer/arkitekt miste fornemmelsen for det man gør, og hvordan man kan styre ændringer i formen i sin computermodel. Det er vores hypotese, at arkitektoniske projekter kan tilføjes værdi, hvis man benytter geometri og algoritmisk modellering som værktøjer. Der er her tale om værdien i at benytte naturens æstetik og indbyggede viden som inspiration, at kunne styre sin computermodel i forhold til opstillede parametre samt at skabe et projekt, der fra første fase har indbygget en viden, der kan bruges til realisering af projektet. For at få overblik over forskellige kendte geometriske former og deres fordele gennemføres et grundigt studie af disse. Et udvalg af geometriske former kategoriseres og former udvælges på baggrund af opstillede parametre til grundigere undersøgelse og videre bearbejdning. Det er også nødvendigt at undersøge mulighederne inden for algoritmisk modellering og finde ud af, hvad begrebet dækker. Også her udvælges forskellige metoder på baggrund af opstillede parametre til videre bearbejdning. Til brug for udvælgelse af geometriske former og modelleringsmetoder formuleres designparametre ud fra en case. Med udgangspunkt i disse designparametre undersøges hvilke muligheder det giver at arbejde med en kendt geometri i algoritmisk modellering. Der udarbejdes et koncept, hvor udvalgte geometriske former og algoritmiske modelleringsværktøjer kombineres. Med de udviklede værktøjer (geometrisk viden, algoritmisk modellering og designparametre) kan et design nu analyseres, vurderes og udvikles for at opnå det bedste resultat. Denne proces kan gentages lige fra den tidlige idefase til den senere beregnings- og detaljeringsfase. I dette projekt lægges vægt på den tidlige designfase, da den er det grundlag man bygger videre på i det efterfølgende forløb. Ud fra erfaringer med arbejdet med casen kan metoden og værktøjerne diskuteres og sættes i perspektiv.

S. 8 3 BAGGRUND & PROBLEMFORMULERING

Metode Der arbejdes i en integreret tre-strenget design proces. Igennem projektet arbejdes der sideløbende i de 3 faser:

A: Geometrisk viden B: Algoritmisk modellering C: Case: Vertical Zoo

Som nævnt under rapportens opsætning vil de tre faser blive præsenteret i forlængelse af hinanden, selvom de altså forløber sideløbende og griber ind i hinanden. F.eks. benyttes designparametre, der opstilles i casen, til udvælgelse i de to foregående afsnit. I geometriundersøgelsen udarbejdes et formkatalog hvor geometriske former kategoriseres og herfra udvælges hvilke former, der arbejdes videre med på baggrund af designparametre, som opstilles ud fra casen. Den algoritmiske modellering foretages i Rhino 3D med Grasshopper plug-in, og dette programs muligheder udforskes, da vi kun har begrænset tidligere kendskab til dette. Her formuleres algoritmer i Grasshopper-definitioner, og modeller kan løbende ændres ud fra input-parametre. Design casen tager udgangspunkt i konkurrenceprogrammet Vertical Zoo, Buenos Aires 2009, udformet af ARQUITECTUM. Opgaven er at designe en vertikal og innovativ zoologisk have i et naturreservat i Buenos Aires, Argentina. I forbindelse med casen udføres en kort registrering, konceptudvikling og opstilling af designparametre. Da det er metoden og værktøjerne, der er i fokus i denne opgave er registrering og koncept behandlet overfladisk. De tre faser føres sammen og udmunder i et koncepteksempel hvor de tre værktøjer geometrisk viden, parametrisk design og designparametre benyttes. Designet af bygningen diskuteres, ændres og udvikles ud fra værktøjerne. Værdien i brugen af disse samt perspektiverne i brugen vurderes. Bygningen holdes på et abstrakt niveau, da det som nævnt ikke er løsningsforslaget til casen, der er i fokus, og der er tale om et konkurrenceprogram, der henvender sig til konceptfasen og ikke projektering.

S. 9 3 BAGGRUND & PROBLEMFORMULERING

ZOO

CASE fig. 1 - Metode. Der arbejdes integreret i 3 faser.

A Geometrisk viden

B Algoritmisk modellering

! C Design Case

fig. 2- Integreret design

Horisont Det overordnede perspektiv for projektet er at fremgangsmåden vil give mulighed for yderligere analyser og bearbejdning igennem hele processen. Eventuelle analyser vil kunne udføres i diverse simuleringsprogrammer, såsom Ecotect (indeklima og energi), Robot (statik) og evt. dagslys i andre programmer. Herefter kan den optimale model videreføres til projektering i f.eks. Revit. I det lange løb kan dette føre til 5D modellering, hvor de sidste to dimensioner er omkostninger og tid. Alt dette vil være med til at realisere mere komplekse projekter.

S. 10

GEOMETRI

- DEFINITION OG OVERBLIK

S. 11

Geometri Indledning

Emnet geometri er meget spændende og meget stort. De geometriske teorier har udviklet sig gennem tiden, og der findes utroligt mange forskellige geometriske former. Dette skaber en bred vifte af designmuligheder, og gennem forståelsen for matematikken bag formerne samt hvordan disse konstrueres, kan mulighederne udvikles og tilpasses, som man ønsker det. I design af bygninger kan det under hele processen være en stor fordel at kende geometrien. I idé- og skitsefasen kan man finde inspiration, mere eller mindre direkte i naturen og naturens former, da disse ofte er geometrisk definerede og kan have fordele i forbindelse med f.eks. statik (spindelvæv) eller belysning (plantespiral).

Fig 1 Spindelvæv Spindelvæv er en minimalkonstruktion i naturen

Ved brugen af en velkendt geometrisk form undgår man også at skulle definere en ny form fra bunden, hvilket ville koste meget tid i mange af byggeriets faser. Det tog eksempelvis tog tid at finde den geometriske form til operahuset i Sidney.1 Ligeledes bliver det nemmere at overføre tegningen til den egentlige fysiske udgave når geometrien er bestemt ved for eksempel at dele former op i elementer (f.eks. geodætisk kuppel). Når man har en viden om formerne og fra begyndelsen kender disse formers geometriske egenskaber, vil man også kunne ændre dem på en kontrolleret måde og udnytte det i forhold til forskellige parametre som f.eks. statik og lysindfald. Til at tegne definerede geometrier og ændre dem i forhold til forskellige parametre er Rhino med Grasshopper plug-in (se senere) et godt redskab, som er brugt i denne opgave.

Fig 2 Plantespiral Plantens blade følger en helix og bruger fibonaccis talrække

I det følgende gives et overblik over og en gennemgang af forskellige geometrier og geometriske former udvalgt med henblik på senere brug i casen Den vertikale zoo. De geometriske former er opstillet og kategoriseret i et formkatalog og herefter vurderet og undersøgt i forhold til casen.

Fig 3 Operaen i Sidney Det tog lang tid at finde den geometriske form der skulle benyttes til operahuset i Sidney

Fig 4 Geodætisk kuppel Den geodætiske kuppel er en kugle der består af plane trekantelementer

S. 12 4 GEOMETRI

Geometri I dag taler man om mange forskellige slags geometrier i forskellige sammenhænge, men i lang tid kendte man kun til den geometri, der blev dyrket i det antikke Grækenland. Følgende gennemgang giver et indblik i udviklingen af forskellige 2 geometri-teorier, og hvilke teorier, der benyttes i dette projekt.

Fig 5 Euklid (ca 325 f. kr - 265 f. kr)

Fig 6 Parallelle linjer, Euklid

Matematik er et ældgammelt fag, som kendes fra de gamle egyptere 2000 år f.kr. og i det 12. århundrede f. kr. kunne babylonerne løse matematiske opgaver indenfor både aritmetik (læren om tal) og geometri. Dog interesserede man sig ikke for at bevise gyldigheden af de velkendte regneregler. Det gjorde grækerne i ca. 500-300 f.kr til gengæld, og her udvikledes matematikken og geometrien i høj grad. Grækerne opfattede matematik som noget grundlæggende og uforanderligt. Dette hænger sammen med Platons idélære. Her er den verden, vi lever i, en ufuldkommen skyggeverden. Det betyder for eksempel, at det, der interesserede grækerne i matematikken, ikke så meget var de figurer de selv kunne tegne med deres redskaber i denne skyggeverden, men figurernes og geometriens idé. I dag anses matematikken for menneskeskabt og dermed også foranderlig.3 Måske er det på grund af denne tilgang til matematikken at grækernes geometri ikke byggede på tal, som kunne opfattes som upræcise, men på sammenhænge og beviser. De græske matematikeres tanker om geometrien er skrevet ned af Euklid, som samlede det hele i sit værk Elementerne (Euklids Elementer 1-13), som består af 13 bøger. Euklidisk geometri Euklid levede omkring år 300 f. kr, og hans værk er blevet brugt i undervisningen i over 2000 år. Bøgerne i Euklids Elementer er opbygget efter den deduktive metode, som han opfattes som grundlægger af, og som også i dag bruges overalt i matematikken. Først opstiller han en række definitioner og forudsætninger, som alle følgende beviser bygger på. 4 Som eksempel på definitionerne nævnes her de første fire: 1. Et punkt er det, som ikke kan deles. 2. En linje er længde uden bredde. 3. En linjes grænser er punkter. 4. En ret linje er en linje, som ligger lige mellem punkterne på den. Herefter opstiller Euklid 5 forudsætninger/aksiomer, som ikke kan bevises, men benyttes som grundlag i de følgende læresætninger og beviser. Han skriver: Lad det være forudsat: 1. At man kan trække en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt. 2. At man kan forlænge en begrænset ret linje i ret linje ud i ét. 3. At man kan tegne en cirkel med et hvilket som helst centrum og med en hvilken som helst radius. 4. At alle rette vinkler er lige store. 5. At, når en ret linje skærer to rette linjer, og de indvendige vinkler på

S. 13 4 GEOMETRI

samme side er mindre end de to rette, så mødes de to linjer, når de forlænges 5 ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette. Trods den store succes Euklids værk fik, har bøgerne mangler og er generelt blevet diskuteret meget. Især det femte aksiom har været diskuteret, da mange mente, at det måtte være muligt at bevise dette ud fra de fire første aksiomer, men omkring år 1830 blev det bevist, at det ikke kunne bevises. Den euklidiske geometri gør sig gældende, når der er tale om eb plan flade, hvor alt kan konstrueres med en passer og en lineal. Euklids geometri benyttes af arkitekter og ingeniører, der skal lave tegninger med præcise afbildninger og projektioner. Analytisk geometri (koordinatgeometri) I den analytiske geometri betragtes geometriske spørgsmål ud fra algebra. Den analytiske geometri nævnes første gang i 1637 i Descartes bog La géométrie. Der anvendes koordinatsystemer både i to dimensioner, svarende til det euklidiske plan, i tre dimensioner (det euklidiske rum) eller mere. I disse koordinatsystemer kan man beskrive geometriske objekter ud fra ligninger. Ikke-euklidisk geometri De ikke-euklidiske geometrier dukker først op i begyndelsen af 1800-tallet. Indtil da, er det den euklidiske geometri, der har været benyttet. Ikke-euklidiske geometrier tager i modsætning til euklidisk geometri ikke udgangspunkt i plane flader, og det femte aksiom gør sig ikke gældende her. Den sfæriske geometri, som også kaldes Riemannsk geometri tager udgangspunkt i en kugleflade. Dette betyder bl.a. at der aldrig vil forekomme to parallelle linjer, og at vinkelsummen i en trekant altid vil være større end 180 grader. Denne geometri er brugbar bl.a. af den simple grund at jorden er rund. I den hyperbolske geometri er udgangspunktet et saddelformet rum. I denne type geometri vil der altid være mindst to linjer gennem et punkt, der er parallelle med en linje udenfor punktet. Vinkelsummen i en trekant vil i den hyperbolske geometri altid være mindre end 180 grader. Einstein hævdede at rummet er krumt og brugte hyperbolsk geometri i relativitetsteorien. Differentialgeometri Differentialgeometrien som bliver introduceret i 1827 omhandler undersøgelse af hovedsageligt kurver og flader (fx deres krumning og vridning) og benytter sig af differential- og integralregning. Deskriptiv geometri (beskrivende geometri) Den deskriptive geometri grundlægges i 1795 af Gaspard Monge og beskriver, hvordan man kan afbilde rumlige figurer nøjagtigt i planen ved projektion og hvordan man på denne måde bl.a. kan bestemme skæringsforholdet mellem rumlige figurer. Den beskrivende geometri indeholder flere forskellige discipliner. Bl.a. dobbeltretvinklet projektion, som udnytter parallelprojektion og perspektivlæren som udnytter centralprojektion. Derudover indgår også aksonometri og koteringsmetoden i

Fig 7 Ret linje afbildet i koordinatsystem

Fig 8 Parallelle linjer, hyperbolsk geometri

Fig 9 Parallellle linjer, sfærisk geometri

Fig 10 Eksempel på kurve

Fig 11 Dobbelt retvinklet projektion af skrå linje

Fig 12 Eksempel på kotering

Fig 13 Eksempel på aksonometri med forskellig faktor på y-aksen

Fig 14 Perspektiv afbildning med to forsvindingspunkter

S. 14 4 GEOMETRI

den deskriptive geometri. Deskriptiv geometri er og har altid været et vigtigt redskab for arkitekter og ingeniører. Også i computerprogrammer benyttes disse teorier.

Fig 15 linje bestående af pixels

Diskret geometri Diskret geometri er en geometri, hvor man arbejder med adskilte punkter. Fx består en linje af et bestemt antal punkter, og ikke som hos Euklid af uendeligt mange punkter. Et eksempel på brugen af diskret geometri er i digital geometri. En streg tegnet på computeren består af et bestemt antal pixels, som er adskilte punkter. Derfor arbejder man i digital geometri med et koordinatsystem bestående af hele tal (et tal for hver pixel) modsat det euklidiske koordinatsystem som benytter de reelle tal. Computational geometry Computerens indflydelse på arkitekt- og ingeniørarbejde har stor betydning for udviklingen og undersøgelsen af forskellige geometrier og geometriske former. I computational geometry er en af de største opgaver at lave effektive algoritmer, så computerens udregninger går hurtigt.

I dette projekt tages udgangspunkt i den euklidiske geometri, hvor der arbejdes med plane flader, da dette er grundlaget for arkitekters og ingeniørers arbejde med tegninger og afbildninger. I den skala vi arbejder i, vil det ikke være nødvendigt at tage højde for rummets krumning eller at jorden er rund. I så fald ville man skulle benytte den ikke-euklidiske geometri. Den analytiske geometri benyttes også i høj grad, da dette er et redskab til at kunne beskrive geometriske former matematisk og dermed få en forståelse for formerne og kunne bearbejde dem. Også på grund af projektets fokus på algoritmisk modellering er den analytiske geometri vigtig. Den algoritmiske modellering i dette projekt bygger på computational geometry, hvor det er vigtigt, at de Grasshopper-definitioner, der skabes for at kunne ændre 3D-modellen parametrisk, laves så computerens udregninger går hurtigt, og man hurtigt kan se hvordan ændringerne påvirker formen.

S. 15 4 GEOMETRI

Punkt, linje, plan, rum For at forstå geometriske former, er det nødvendigt først at definere de simpleste elementer i geometrien. Punkt Som tidligere nævnt definerer Euklid et punkt som det, der ikke kan deles. Et punkt er et element som alle umiddelbart forstår, men der findes mindst fire 6 anvendte beskrivelser. Man siger, at et punkt er udefineret fordi der altså findes flere forskellige gældende definitioner: Prik: Denne type punkt har modsat de andre typer en størrelse, dvs. længde og bredde. En pixel er et eksempel på et punkt med en længde og en bredde, som optræder som et punkt i en matrix. Præcis beliggenhed: Punktet er nul-dimensionelt, dvs. det har ingen størrelse og bruges til at måle afstande, fordi man her skal have et præcist udgangspunkt. Denne type overlapper med den næste type, da man ofte vil angive en beliggenhed med et koordinatsæt. Koordinatsæt: Et punkt som beskrives vha. et koordinatsæt (se senere) ud fra et koordinatsystem. Koordinatsættet indføres med den analytiske geometri. Knude: Punket er nul-dimensionelt og defineres som en knude, der befinder sig i et net. Dvs. at knuden er der hvor to kurver skærer hinanden. Linje En linje er en-dimensionel hvilket betyder, at den har en længde, men ingen bredde eller højde. En linje består i princippet af uendeligt mange punkter, der ligger lige op ad hinanden. Uanset hvor meget man zoomer ind, vil der aldrig være mellemrum mellem to punkter. Kun i tilfælde hvor man betragter punkter som prikker, vil man kunne skelne punkterne fra hinanden. Det betyder, at man i computational geometry og diskret geometri arbejder med det man kalder en diskretiseret linje. Altså en linje der er klart opdelt i punkter. En linje fortsætter i det uendelige i begge retninger, forudsat at universet er uendeligt. Hvis linjen starter i et punkt A og fortsætter uendeligt i en retning kaldes det en stråle, mens en linje der består af punkterne A og B og linjen mellem disse punkter kaldes et linjestykke. En tallinje er en linje hvor alle punkter har et nummer/et koordinat. Dette bruges i koordinatsystemer, hvor man kan indsætte punkter ud fra disse koordinater.

punkt

linje

stråle

linjestykke

regulær plan flade

irregulær plan flade

overflade i rummet

Plan Planer er to-dimensionelle. Et plan har længde og bredde, men ingen højde. Planer består af en uendelig mængde linjer og strækker sig ud i det uendelige til alle sider. Figurer, der er to-dimensionelle, kaldes plane figurer. Rum Rum er tre-dimensionelle. Et rum har længde, bredde og højde og skabes af et uendeligt antal planer og består af alle punkter, der eksisterer. Figurer i rummet kaldes solider (lukkede, rumlige figurer) eller overflader (ikke-lukkede tredimensionelle figurer).

solid i rummet Fig 16 Punkt, linje, plan, rum

S. 16 4 GEOMETRI

Koordinater og koordinatsystem Det kartesiske koordinatsystem i planen består af to tallinjer, der står vinkelret på hinanden. Deres skæringspunkt kaldes origo og ud fra dette punkt, kan man bestemme alle punkters placering ved hjælp af koordinatsæt. Et koordinatsæt består af et x-koordinat, som beskriver hvor langt fra origo det ønskede punkt ligger i x-aksen, og et y-koordinatet, der beskriver hvor langt i y-aksens retning punktet ligger. På højre side er tallene positive og på venstre side negative. Over origo er de positive, mens de er negative under origo. Det kartesiske koordinatsystem kan også benyttes i tre dimensioner, hvor den lodrette z-akse indføres. Ud over det kartesiske koordinatsystem findes en række andre koordinatsystemer. F.eks. det polære og det cylindriske koordinatsystem, hvor man angiver punkter ved hjælp af vinklen i forhold til x-aksen og afstanden til origo, samt (i tre dimensioner) afstanden fra xy-planet.

Fig 17 Kartesisk koordinatsystem 2d

Parameterfremstilling En parameterfremstilling beskriver en kurve eller en flade ud fra et punkt og en eller flere retnings-vektorer. En ligning beskriver en linje eller en flade ud fra en hældning og koordinater på en xy- plan eller i et xyz-rum. Parameterfremstillingen bruges til rumlige figurer, hvor det ikke er muligt at opstille en ligning. Figurer kan beskrives både med en ligning eller en parameterfremstilling.

Fig 18 Kartesisk koordinatsystem 3d

Parameterrepræsentation Punkter, der danner en kurve kan som nævnt beskrives i et koordinatsystem, men punkterne kan også beskrives ved parameterrepræsentation. Dvs. at hvert punkt på en linje beskrives af et tal. Fx kan kurvens endepunkter være 0 og 1 og punkterne derimellem får så numre alt efter, hvor de ligger derimellem. Hvis punktet er halvvejs mellem de to endepunkter er tallet fx 0,5. På samme måde kan en flade deles op langs kanterne og punkterne angives med P(u,v). Dette er en fordel, når man arbejder med flader og gerne vil vælge specielle punkter ud. Se figur 21.

Fig 19 Polært koordinatsystem

Tangenter og normaler En tangent i et punkt på en kontinuert graf er den rette linje, der i punktet har samme hældning som kurven i dette punkt. Tangentens hældning findes ved at differentiere grafen i punktet. I en cirkel står tangenten vinkelret på radius. Det betyder at radius er en normal til tangenten. En normal er en linje, der står vinkelret på en anden linje eller ud fra et to-dimensionelt plan. På samme måde kan tangentplan og normalplan defineres som planer der hhv tangerer eller står vinkelret på en overflade i et punkt.

Fig 20 Cylindrisk koordinatsystem

v sv

(u0,v0)

Fig 21 Illustration af parameterrepræsentation

(u0,v0) su

S. 17 4 GEOMETRI

Formkatalog Disse grundlæggende geometriske elementer kan udvikles, sammensættes, transformeres og tilpasses i det uendelige. I vedlagte formkatalog ses et bredt udvalg af geometriske figurer og deres navne. Formkataloget i dets nuværende udformning er blot en begyndelse med udvalgte figurer af forskellig type, og en oversigt som denne vil kunne udvides, hvilket der er gjort plads til. På denne måde vil man kunne opnå en bred viden om geometrier, og have et bredt grundlag at blive inspireret ud fra. Hver kategori har et bogstav og hver figur i den enkelte kategori har et nummer. Man kan forestille sig, at der kan udarbejdes et hæfte til oversigten,, hvor man kan notere og finde mere detaljeret viden om en ønsket form. I det følgende gennemgås den information, der skulle stå på de sider, der ville høre til de former, der er valgt at arbejde 7 videre med i dette projekt. Inspirationen til formerne, der benyttes i dette projekt til casen zoo er fundet i formkataloget. De er udvalgt i forhold til designparametre, som er opstillet i forbindelse med casen, som omtales senere. De vigtigste designparametre på dette tidspunkt har været, at formerne skulle lægge op til en bygning, der ville skille sig ud fra de omkringliggende traditionelle højhuse, en bygning, der ville skabe en naturlig bevægelse og en bygning, der ville skabe luft og lys. Derudover har det også været et udvælgelses-parameter, at formerne skulle lægge op til parametriske modellering, med åbenlyse muligheder for bearbejdning i formen. En nærmere begrundelse for valg og udvikling af formerne vil følge efter gennemgang af casen. I det følgende gennemgås de udvalgte formers geometriske egenskaber, og senere undersøges de i forhold til casen og deres muligheder som bygningsformer. De udvalgte former er Voronoi-diagrammet, knuden og plantespiralen. Disse former er udviklet fra simplere former, som også undersøges, for at skabe forståelse for de mere komplekse former. I skemaet herunder ses formerne og de elementer, de er udsprunget fra i den rækkefølge de gennemgås i det følgende.

Voronoi

Knude

Plantespiral Fig 22 Udvikling af udvalgte former

a] POLYGON

S. 18 4 GEOMETRI

Polygon Polygoner er plane figurer, der består af sammenhængende linjestykker, der mødes i endepunkterne, som bliver polygonens hjørner. Både kurven og en figur med polygon som omkreds kaldes polygon. Regulære polygoner er n-kanter, der består af n lige lange linjestykker, hvor alle vinklerne er lige store. De regulære polygoner kan konstrueres ved at tegne en cirkel og tegne lige lange korder indeni. Dette betyder også, at jo flere kanter en regulær polygon har, desto mere nærmer den sig en cirkel. Fig 23 polygon

Polygonen er konveks, hvis man mellem ethvert par af hjørner, og dermed mellem ethvert par af punkter i polygonen, kan tegne en linje, der overalt holder sig inde i polygonen. Hvis en figur ikke er konveks, kaldes den konkav, og man vil kunne tegne mindst en streg mellem to hjørner eller punkter, der falder uden for figuren. Nogle af de mest kendte og mest benyttede polygoner er trekanten og firkanten, som har de græske benævnelser trigon og tetragon. Særlige varianter af disse typer polygoner tildeles specielle navne afhængigt af deres egenskaber, som det ses i geometriskemaet.

fig 24 regulær polygon

fig 25 konveks polygon

fig 27 trekant trigon

fig 26 konkav polygon

fig 28 firkant tetragon

f] POLYEDER

S. 19 4 GEOMETRI

Polyeder Et polyeder er en rumlig figur, hvis flader består af polygoner. Som med polygoner kan man tale om konvekse og konkave figurer. Nogle polyedre vil, hvis de sættes sammen udfylde hele rummet. Et simpelt polyeder med denne egenskab er kuben, men man vil for eksempel også se det i en mere kompleks udgave i svømmestadionet i Beijing, hvor Voronoi-diagrammet (se senere) er brugt til at skabe rum-udfyldende polyedre. Et regulært polyeder kaldes også et platonisk legeme og består udelukkende af kongruente regulære polygoner, hvor samme antal flader mødes i alle hjørner. Der findes fem typer platoniske legemer. Umiddelbart er det måske ikke klart, at der ikke er flere, men ved at gennemgå de fem figurer systematisk vil man se, at det er sandt. For de platoniske legemer gælder at alle hjørner ville røre en kugle. I hvert hjørne af polyederet skal mindst tre flader mødes. Hvis man som eksempel kigger på tilfældet med trekanten som flade, skabes et polyeder hvis tre, fire eller fem flader mødes i et hjørne, men hvis man sætter seks trekanter sammen bliver summen af vinklerne (vinklerne i en ensvinklet trekant er 60 grader) 360 grader, og der dannes en plan flade. Man kan betragte tilfælde med firkanter og femkanter på samme måde, men når man når til sekskanten danner tre af dem en flade, da vinklerne i en regulær sekskant er 120 grader.

fig 30 rum-udfyldende kuber

fig 31 de platoniske legemer

Tetrahedron

Der findes rigtig mange andre typer polyedre. Herunder er vist nogle af dem for at give et indtryk af variationerne, men de vil ikke blive beskrevet nærmere.

Hexahedron

Octahedron

Dodecahedron

fig 29 Forskellige polyedre

Icosahedron

i] VORONOI

S. 20 4 GEOMETRI

Voronoi/Delaunay Voronoi I matematikken er et Voronoi-diagram en speciel form for opdeling af et metrisk rum, bestemt af indbyrdes afstande mellem et specifikt sæt af punkter. Diagrammet er opkaldt efter Georgy Voronoi og kaldes også en Voronoi tessalation. En tessalation er det matematiske udtryk i geometrien for en mosaikbrik af hvilken som helst form, der blot dækker en flade totalt uden at der opstår gabende huller.

fig 32. Voronoi

Et Voronoi-diagram i planen inddeler et felt i konvekse polygoner ud fra et sæt af fastlagte referencepunkter. Ethvert punkt inde i polygonet vil befinde sig tættere på sit referencepunkt end på nogen af de andre referencepunkter. I et Voronoi-diagram i rummet skabes konvekse polyeder ud fra samme princip. Logikken i princippet er:

1. Sæt punkter (S) i planen. 2. Hvert punkt (Si) har en Voronoi-celle V(si) der indeholder alle punkter tættere på (Si) end på nogen andre (S) 3. Dvs. at alle cellevægge i et Voronoi-diagram er alle punkter med ens afstand til de 2 nærmeste punkter. 4. Voronoi knuderne er de punkter med samme afstand til 3 eller flere sider.

Delaunay

fig. 33 Delaunay med omskrevne cirkler

En Delaunay triangulering i planen opdeler et felt i trekanter ud fra sættet af fastlagte punkter (S), som udgør trekanternes hjørner. Punkterne til hver enkelt trekant udvælges, så der ikke ligger andre punkter inde i trekatens omskrevne cirkel. Hvis man benytter punkterne i et Voronoi-diagram, vil man se, at de punkter en Delauney-triangulering forbinder, er de to punkter, der har en Voronoi cellevæg tilfælles. Ved denne type triangulering forsøger man at undgå smalle trekanter. Den mindste vinkel bliver så stor som muligt. Delaunay er den duale graf til Voronoi. Dette ses ved at forbinde de omskrevne cirklers centrum, herved dannes Voronoi mønstret. I en Delaunay triangulering i rummet trianguleres den flade, der dannes mellem punkterne i rummet, efter samme princip. 10

fig. 34 Voronoi <> Delaunay

S. 21 4 GEOMETRI

Sommetider kan man finde mønstre og strukturer i naturen, der minder meget om Voronoi diagrammet. Logikken i Voronoi er meget klar og man kunne godt forestille sig, at der gælder det samme i mange naturlige tilfælde. F.eks på isflager, der sprækker, kan det hænge sammen med spændinger der mødes og i bladenes celleopbygning kan det være mineraler der samles. Den fascinerende geometri i et Voronoi-diagram begynder mere og mere at fange interessen hos arkitekter og designere. Dette ses bl.a. ved at tage foretage en hurtig google søgning. Et eksempel på brugen af Voronoi diagrammet i planen som facadestruktur ses i AirSpace Tokyo projektet af Thom Faulders Studio. Her har man renoveret facaden på en bygning i et urbant kvarter i Tokyo. Man har her placeret punkterne efter ønsket om lysindfald. Idéen ses på figur 36. Her har man benyttet to diagrammer, og man får derved en dobbeltfacade. Strukturen giver et meget luftigt meget spændende udtryk. Efter at have dannet cellerne genereres de indskevne kurver for hver celle. Dette gøres ved at benytte hjørner som kontrolpunkter for kurven. Princippet ses af figur 35.

fig. 36 AirSpace Tokyo - Faulders Studio

fig. 37 Voronoi struktur i naturen

fig 35. Delaunay med huller

S. 22 4 GEOMETRI

Voronoi/Delaunay i rummet Som nævnt er princippet for generering af disse diagrammer i rummet analogt med princippet i planen. Linjer mellem punkter står vinkelret på cellevæggen imellem de to. Et eksempel på en triangulering i rummet er som tidligere nævnt svømmestadionet i Beijing. Her har man benytte både det æstetiske udtryk og de konstruktive egenskaber, strukturen i rummet skaber.

fig 38 Delaunay-triangulering 3D

Fig 39. Beijing Svømmestadion

Stabilitet Voronoi diagrammet i rummet giver en stiv rumstruktur. Opdelingen minder om formationer af store kampesten og har derfor gode bære egenskaber i forhold til last. Dette beskrives bl.a. kort i a+u - Cecil Balmond. Princippet er også kendt indefor metoder til kuglepakning. Her benytter man også Voronoi dualen Delaunay for at opnå en stabil og tæt pakning af kugler. Man kan forestille sig at der i en kube indsættes skråstivere for at opnå større stivhed. Normalt ville disse indsættes i diagonalerne for at udligne kræfterne. Ved brug af Voronoi princip bliver kræfterne fordelt i hele gitteret.

S. 23 4 GEOMETRI

fig. 40 Voronoi diagram i rummet

fig 41 Voronoi diagram - Tilsyneladende tilfældigt rumgitter.

Tektonik Ligesom de indskrevne kurver i planen benyttes til at skabe et spændende og luftigt udtryk, kan disse også benyttes i rummet. De flader eller cellevægge, der udspændes af Voronoi diagrammets gitterstruktur, kan ligeledes fraskæres deres indskrevne kurver. Her giver det spændende rum og lysforhold, og bærende søjler og bjælker kan blive en spændende del af arkitekturen.

fig42 Voronoi 3D - Eksempler genereret vha. Grasshopper.

d] SPIRALER 2D

S. 24 4 GEOMETRI

To-dimensionelle spiraler

Interference ��

Arkimedisk spiral: �� s�� s��

Arkimedisk spiral: Involute of circle

ଵ

‫ ݎ‬ൌ ܽ ൈ ߠ ௡

�� cos�� s�� ଵ

�� spiral �s��‫�ݎ‬ൌ� � ܽ cos�� ൈ ߠ fig 43 arkimedes ��

Spherical spiral

�� cos�� s�� Interference �� s�� s�� cos�� s�� s�� Toroidal spiral �� s�� cos�� fig 44Involute of circle cirkelafvikler �� s�� s�� cos�� s�� cos�� s�� cos�� Trefoil knot �� cos�� cos�� Spherical spiral �� cos�� s�� cos�� s�� s�� s�� s�� cos�� Logaritmisk spiral fig 45 logaritmisk spiral �� cos�� Toroidal spiral �� s�� s�� cos�� s�� s��

Spiraler i planen er kurver i planen, der snor sig omkring et centrum og samtidig bevæger sig enten væk fra eller hen mod dette punkt. Hvis kurven holdt samme afstand til punket, ville der dannes en cirkel. ଵ Der findes mange forskellige typer spiraler. Her nævnes blot nogle få eksempler ‫ ݎ‬ൌ ܽ ൈ ߠ ௡ for at give en forståelse af, hvad en spiral er.

Arkimedes spiral er en såkaldt arkimedisk spiral. Dvs. at den har formen ଵ ‫ ݎ‬ൌ ܽ ൈ ߠ ௡ . I tilfælde på figur 43 er n=1. I Arkimedes spiral er afstanden mellem snoningerne den samme hele tiden, fordi der er et lineært forhold mellem ‫ ݎ‬ൌ ܽ ൈ ߠଵvinkel radius r og .

Cirkelafvikleren fremkommer, hvis man lader en linje køre langs med en cirkel ଵ fig 46. Man kan forestille sig det som et reb, der ligger rullet samsom ‫ ݎ‬ൌ ܽ vist ൈ ߠpå men til en cirkel og så vikles ud, mens det hele tiden holdes strakt som den rette linje. Kurver, der fremkommer på denne måde ved at lade en cirkel rulle og lade kurven tegnes af et punkt, der er forbundet med cirklen, kaldes cykliske kurver. Den logaritmiske spiral kaldes også en vækstspiral og kendes fra naturen, hvor man ser den for eksempel i sneglehuse, og i hvordan solsikkefrøene er arrangeret i solsikken. Spiralens sammenhæng med Fibonaccitalrækken ses på flere områder. Hvis man i solsikken tæller antallet af spiraler i de ene retning og antallet i den anden retning, vil man få to på hinanden følgende Fibonaccital. Som det ses på fig 47 går spiralen gennem alle skæringer i det gyldne rektangel. Det gyldne rektangel er et rektangel som er proportioneret efter det gyldne snit, som fremkommer, hvis man dividerer to tal i Fibonaccirækken med hinanden, og herefter delt op i kvadrater.

�� cos��

Trefoil knot �� cos�� cos��

�� cos�� s��

�� s��

fig 46 konstruktion af cirkelafvikler Logaritmisk spiral �� cos�� s��

��

fig 47 sneglehus med logaritmisk spiral og det gyldne rektangel

fig 48 solsikke

Cosinus kurve

e] SPIRALER 3D

��

S. 25

��

�� 0 4 GEOMETRI

Sinus kurve ��

��

Tre-dimensionelle spiraler

�� 0

Der findes mange forskellige spiraler i rummet. Spiralens kurve snor sig opad om en linje og afstanden til linjen kan variere. Den korteste vej mellem to punkter rundt om en cylinder findes ved at følge et stykke af den tredinmensionelle spiral helix. I naturen ses dette når egern jager hinanden op ad en træstamme. En helix kan både være venstrehånds- eller højrehåndsdrejet. Som det også gælder for spiralerne i planen kan disse ikke deformeres over i hinanden uden spejling. Man vil kunne se, at bladene på en plantestængel også følger en helix. Hvis man følger spiralen opad vil man efter en eller flere omgange støde på et blad lige over det blad, man startede med. I den samme plante kan der være en helix der snor sig den anden vej, og hvor bladene sidder over hinanden med et andet antal omgange imellem sig. Hvis man tæller antallet af snoninger og antallet af blade vil man se at disse to tal vil være repræsenteret i Fibonacci-talrækken. Dette er illustreret på figur 49. Efter to snoninger i spiralen er der et blad over et nedenstående.

Cirkel ��

�� 0

Helix

fig 50 helix �� Interference

��

�� 8

�� s�� s��

��

Progressiv helix ��

Involute of circle

��

�� cos�� s��

�

�� s�� 200 � � � cos��

��

Spherical spiral fig 51 sfærisk spiral

�� cos�� s�� s�� s�� cos��

Toroidal spiral �� s�� cos�� s�� s��

�� cos��

Trefoil knot �� cos�� cos��

Slinky fig 52�slinky �� cos�� s�� ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሺ‫ ݎ‬൅ ܽ ൈ ሺ‫ݐݓ‬ሻሻ ൈ ሺ‫ݐ‬ሻ

�� s��

‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሺ‫ ݎ‬൅ ܽ ൈ ሺ‫ݐݓ‬ሻሻ ൈ ሺ‫ݐ‬ሻ

fig 49 plantespiral. Bladene vil være placeret hvor der er bokse.

‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ݐ‬ൈ ݄ ൅ ܽ ൈ ሺ‫ݐݓ‬ሻ

Logaritmisk spiral

(Her a=30, r=500, h=3, w=60)

�� cos�� s�� Konisk spiral

�� ‫�ݐ‬ ൈ ‫ ݎ‬ൈ ሺܽ ൈ ‫ݐ‬ሻ ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ

‫ݕ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ݐ‬ൈ ‫ ݎ‬ൈ ሺܽ ൈ ‫ݐ‬ሻ ‫ݖ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ ݐ‬ൈ ݄

(Her a=5, r=1/2, h=1/2)

b1 & b2

S. 26 4 GEOMETRI

Ellipse og cirkel Ellipsen er et keglesnit ligesom cirklen, parablen og hyperblen. Ellipsen fremkommer, hvis man skærer en plan flade skråt gennem en kegle som vist på fig 54. En ellipse har to symmetriakser som kaldes storaksen og lilleaksen. Man kan forestille sig, at ellipsen tegnes ud fra to fokuspunkter. I disser punkter sættes enderne af en snor, og man tegner den kurve, der frekommer, når snoren holdes strakt hele vejen rundt om de to fokuspunkter som illustreret på fig 55. Cirklen kan betragtes som et særtilfælde af en ellipse. En cirkel er en kurve, der består af en uendelig mængde punkter, der ligger med samme afstand (radius) fra et bestemt punkt (centrum). Som keglesnit fremkommer cirklen, hvis man foretager et plant vandret snit i keglen.

fig 53 ellipse

I forbindelse med design og arkitektur er superellipsen blevet udbredt af Piet 8 Hein. Superellipsen fremkommer, når eksponenten i ellipsens ligning er andet end 2, se fig. 53. Superellipsen skaber en figur, der lægger sig mellem det runde og det kantede. Altså en figur, der ligger mellem en ellipse og et rektangel. Dette gælder også inverst. Piet Hein brugte bl.a superellipsen til det berømte superellipsebord og til Sergels torv for at opnå en plads, der henvendte sig til de lige gader, den ligger imellem samt den trafikmæssige fordel i en rund plads. Superellipsen bliver også kaldt Lamékurver, da Gabriel Lamé (1795-1870) undersøgte dem langt tidligere end Piet Hein.

fig 54 ellipsen er et keglesnit

Cosinus kurve �� fig 55 ellipse med fokuspunkter

��

�� 0

Sinus kurve ��

��

�� 0

Cirkel

fig 56 cirkel

��

fig 58 superellipsebordet

�� 0

Helix ��

� �� 8

fig 57 cirklen er et keglesnit

Progressiv helix ��

��

�� 200

fig 59 Sergels torv

c] TRIGONOMETRI

S. 27

Cosinus kurve

4 GEOMETRI

��

Trigonometri De trigonometriske funktioner og deres indbyrdes sammenhænge benyttes især til beregning af vinkler og sidelængder i trekanter. Man kan aflæse sinus og cosinus til en vinkel ud fra enhedscirklen, som er en cirkel med centrum i origo og radius 1. Cosinus aflæses på x-aksen og sinus på y-aksen. Indtegnes værdierne i en graf fås to kurver som nedenstående. På x-aksen afsættes radiantallet, som er længden af cirkelstykket fra x-aksen til der hvor vinklen rammer cirklen. En hel cirkel er i radianer 2 x Pi.

�� 0

Sinus kurve Sinus kurve ��

��

�� 0 Cosinus kurve Cosinus kurve

��

Cirkel ��

�� 0 ��

�� 0 Sinus kurve sin(v)

fig 60 cosinus og sinus Den sorte kurve er sinus-kurven og den orange er cosinuskurven. Illustrationen viser en periode på 2 x Pi. Kurverne svinger mellem -1 og 1.

��

cos(v) Helix ��

�� 0

�� fig 61 enhedscirklen. � Cirkel �� 8 Variationen og sammenhængen i trigonometrien kan benyttes til at skabe meget komplekse geometrier efter matematiske parameterfremstillinger. �� Progressiv helix �� 0 ��

Helix � � �� 200 ��

� �� 8

Progressiv helix ��

��

�� 200

g] KNUDER

S. 28 4 GEOMETRI

Knuder En knude defineres i matematikken som en lukket kurve i rummet uden selvgennemskæringer. Derudover må figuren ikke kunne foldes ud til en løkke. Hvis den kan dette, kaldes den en ikke-knude eller en triviel knude. Set fra et matematisk synspunkt svarer en knude til, at man binder en knude på et stykke snor og sæt9 ter enderner sammen. Sættes flere knuder sammen i hinanden dannes en kæde. Overordnet omhandler knudeteori, hvordan man kan skelne forkellige knuder fra hinanden, om de forskellige knuder er ækvivalente (dvs. om de kan deformeres over i hinanden), navngivning, kategorisering og deres egenskaber generelt. Knudeteori kan bl.a. benyttes i forbindelse med undersøgelse af virus, da forskellige typer virus binder forskellige typer knuder på DNA-molekylerne, når de angriber. fig 62 Kløverbladsknude med 3 skæringer

fig 63 Ottetalsknude m 4 skæringer

Der er mange typer af knuder og en nærmere gennemgang af knudeteori vil ikke finde sted her, da dette er for omfattende. I stedet beskrives to udvalgte knuder. De to knuder, vi har valgt, er en kløverbladsknude, som er den man kender som en almindelig knude og en ottetalsknude. Det er de to knuder, der i en tegning i planen kan tegnes med færrest skæringer. Der findes over 1,7 mio forskellige knuder med 16 eller færre overskæringer. De to udvalgte knuder er primære knuder. Hvis en knude ikke er en primær knude, kaldes den er komposit knude. En komposit knude kan opdeles i primære knuder, som ikke kan deles yderligere op. Alle primære knuder med syv eller færre skæringer er alternerende, hvilket betyder, at hvis man følger kurven er den skiftesvis over og under den anden del af kurven i skæringerne (se fig 62 og fig 63).

fig 64 Kløverbladsknude lavet af et rør

fig 65 Kløverbladsknude lavet ved at sammensætte tre forskellige kurver. Hvis to kurver sættes sammen dannes en flade, der danner en knude

g1 & g2

S. 29 4 GEOMETRI

En periode er på 720

x y max

fig 66 Kløverbladesknude med tilhørende graf min En periode er på 360 x y

max

fig 67 Ottetalsknude med tilhørende graf

min

På fig 68 ses to former for kløverbladsknuder. Typisk vil en venstrehåndet person binde en venstrehånds kløverbladsknude og en højrehåndet person binde en højrehåndskløverblads knude. Det er en helt almindelig knude, hvor snorens ender bindes sammen når knuden er bundet. Lige som spiraler, der snor sig hver sin vej, kan en højrehånds og en venstrehånds knude ikke deformeres over i hinanden uden spejling. Indenfor knudeteori kaldes det, at en kløverbladsknude udviser håndethed eller er kiral. Knudernes ligninger for hver koordinatretning kan indtegnes i et koordinatsystem hver for sig, og her ses det hvornår knuden når et toppunkt og minimumspunkt. Ligeledes kan perioden aflæses, hvilket giver os et billede af hvornår (ved hvilket gradtal) man har tegnet fx en halv knude. Dette kan være et vigtigt redskab i en designproces. På graferne for kløverbladsknuden og ottetalsknuden ses det at kløverbladsknudens periode er på 720 grader mens ottetalsknudens er på 360 grader. På grafen for z-aksen aflæses, hvornår knuden når et maximum eller minimum. I designprocessen er det er stor fordel at arbejde med computergenerede 3Dmodeller, som nemt kan ændres, da det kan være svært at aflæse knudens form i en 2D-afbildning. Nu efter endt gennemgang af definitioner og teori, kan disse, vha. algoritmisk modellering bearbejdes. Den algoritmiske modellering introduceres i det følgende.

fig 68 højre og venstrehånds kløverbladsknude

S. 30

MODELLE

- INTRODUKT

ERING

TION. CAD OG ALGORITMISK MODELLERING

S. 31

S. 32 5 MODELLERING

Modellering Indledning Siden CAD værktøjet, Computer Aided Design, blev introduceret som arkitektonisk redskab for alvor i midten af 1980’erne1 er udviklingen på området gået utroligt hurtigt. Denne hurtige udvikling har bl.a. betydet mange nye muligheder og brudt med nogle af de grænser, der tidligere har eksisteret. Arkitekter og designere begyndte at benytte såkaldte ”free form” kurver og flader til at undersøge og designe rum, der lå uden for begrænsningerne for den konventionelle Euklidiske geometri.

fig. 1 fra Euklid - Elementer

Det er med moderne digitale redskaber muligt at skabe næsten alle tænkelige former uden at kende noget til den grundlæggende geometri og udvikling der har ført til disse former. Undervejs i udviklingen, grundet det høje tempo, er den grundlæggende viden om måden hvorpå man er kommet frem til de muligheder der er i dag, for mange gået tabt. At designe og modellere ”free form” kurver og flader som bygningselementer med forskellige komponenter og mønstre, er ikke en nem affære med traditionelle metoder. Mere eller mindre tilfældige flader kan modelleres digitalt ved at trække i almindelig kendte former, som f.eks. kuber, kugler, planer osv. Det kan herefter være svært at behandle, analysere og konstruere sådanne former.

fig. 2 3D Voronoi - Grasshopper test

Derfor er der brug for systematik og overblik. Her kommer parametriske algoritmer og programmering ind i billedet. Denne arbejdsmetode indeholder et stort potentiale i forhold til design med adskillige hierakier og høj kompleksitet. Kreativitet og ambition sætter grænsen. Videre i denne retning virker muligheden for at implementere og undersøge potentialet af materiale egenskaber og statik i disse algoritmer oplagt. Den underliggende logik i den parametriske model kan her benyttes til at integrere produktionsbegrænsinger og logiske samlinger i udviklingen af simple komponenter der forholder sig til den stringente geometri. Det kan bl.a. betyde, at endepunktet for en kurve kan være centrum for en cirkel, og enhver ændring af kurven vil ligeledes medføre ændringer af cirklen. Denne metode har derfor med en stor mængde data og beregninger at gøre. Her er programmering et meget stærkt værktøj.

Programmering Det der gør programmering til et ekstremt værdifuldt værktøj er muligheden for at udføre en masse udregninger og iterationer på ingen tid. Generelt benyttes programmering til at formulere og løse en problemstilling gennem en algoritme. Dette kan være inden for mange forskellige områder, fra at simulere køtider i butikker og kortspil, til spændingsundersøgelse af elementer og varmestrøm

S. 33 5 MODELLERING

igennem konstruktioner. I forhold til formgivning og modellering af geometrier har dette en stor betydning. Alle objekter - kurver, flader og solider indeholder et sæt parametre. Disse parametre kan være meget omfattende, og det er dette programmeringsværktøjet kan holde styr på. Alle geometriske objekter har et uendeligt antal positioner, eller punkter om man vil, data som kan benyttes som udgangspunkt for nye skridt og give nye muligheder for at udvikle designet. Processen kaldes undertiden algoritmisk.

Algoritme

” En algoritme er en opskrift til at løse et problem af en bestemt type, som leverer en løsning uanset den konkrete problemsituations udseende.” 2

Et meget anvendt eksempel på en algoritme kunne være en præcis beskrivelse af, hvordan man sorterer et spil kort, uanset hvordan de enkelte kort ligger fra udgangspunktet. Denne algoritme vil kunne formuleres på forskellige måder og med forskellige funktioner alt efter programmeringssoftware. Et spil kort vil programmeringsmæssigt formuleres som en masse tal f.eks. i en matrice, der herefter flyttes og behandles matematisk. Ligeledes vil man ved modellering have en mængde data, der kan behandles af algoritmen. Den helt store fordel er at geometrien i designet, efter udførelse, er nem at justere og designeren har nem adgang til de forskellige elementer i hele processen. Ved mere konventionelle metoder til 3D-modellering, plejer man at ændre skitsemodeller og design på papir eller lign. og herefter modellere det færdige resultat digitalt, da det er meget tidskrævende foretage ændringer i den færdige model. Hver ændring i design eller koncept, der medfører ændringer i geometrien kan være meget besværlige at ændre og ligeledes de følgeændringer, der vil være af forbundne elementer, om-skalering, om-rotation, om-rokering osv.

MODELLERING

Fra Wikipedia:

S. 34 5 MODELLERING

Rhino og Grasshopper.

MODELLERING

Rhino er et 3D-modelleringsprogram og Grasshopper et plug-in til Rhino, der arbejder med den før beskrevne parametriske algoritme modellering. Programmet gør det muligt at kombinere geometriske emner og algoritmer. Til forskel fra traditionel programmering arbejder man med en meget mere intuitiv brugerflade. I stedet for at skrive programkoder, benytter man i Grasshopper komponentbokse hvor input og output forbindes simpelt. Hvor man i traditionel programmering taler om programkoder som løsning på algoritmer, taler man i Grasshopper om en definition. En definition beskriver de indgående komponenter og løsninger. Disse komponentbokse kan f.eks. være geometrier, lister, programkoder, operationer, matematiske funktioner, vektorer, planer og meget mere. Definitionen af geometrier - punkter, kurver, flader osv., kan enten ske ved at hente eksterne geometrier fra Rhino arbejdsområdet dvs. udtrække parametrene for et objekt modelleret i arbejdsområdet eller parametrene kan defineres direkte i Grasshopper dvs. ved f.eks. at indtaste koordinaterne til en række punkter. Begge måder er meget relevante alt efter opgaven der ønskes løst. Figur 3 og 4 viser den elementære forskel på en Grasshopper definition og en mere klassisk programkode. Hvis man kender til programmering ved man at forskellige programmeringsmiljøer indeholder forskellige funktioner. Disse funktioner kan f.eks. være betingelsessætninger: Hvis tal i en liste (1) er mindre end x: --> opret værdi falsk i ny liste (2) ellers: --> opret værdi sand i liste (2) slut

Fjern værdier i liste (1) med værdi falsk via mønster fra liste (2)

En sådan kode ville i Grasshopper f.eks. være samlet i en komponent, der udfører den første del, dvs. opretter sand/falsk liste. En anden komponent vil fjerne værdier efter sand/falsk mønstret. (figur 5) Der findes rigtigt mange gode ressourcer til viden omkring Grasshopper på internettet. Disse især i form af private blog’s og diskussionsforum.

S. 35 5 MODELLERING

fig. 3 Rhino + Grasshopper

fig. 3.1 Grasshopper definition. De batteri-lignende kasser kaldes komponenter. Disse udfører diverse funktioner Her udføres en forbindelses logik der tegner trekanter i et grid af punkter.

fig. 4 MATLAB programkode. Eksempel på konventionelt programmerings sprog. Alt foregår vha. tekstkombinationer. Kombinationer kalder diverse funktioner.

fig. 5 eksempel.

S. 36 5 MODELLERING

GRASSH Grasshopper - Introduktion Som nævnt i forrige afsnit, arbejder man i Grasshopper med en meget intuitiv brugerflade. Denne vil kort blive præsenteret, men kun benyttede elementer vil blive forklaret nærmere i brugstilfælde.

KOMPONENT MENU

fig 6 - Grasshopper brugerflade. De vigtigste dele at have kendskab til for at forstå definitioner. F er lærredet hvor man skaber sin definition. C er komponent panelet og indeholder faner med forskellige grupper af komponenter.

LÆRRED (ARBEJDSOMRÅDE)

Ovenstående figur viser en tom definitions fil. Fra komponent menuen vælges elementer der skal bruges for at løse en opstillet algoritme. Omtalte [komponenter] vil blive markeret med [ ]. Fanebladene i komponent menuen er: Params, Logic, Scalar, Vector, Curve, Surface, Mesh, Intersect, XForm. Grasshopper plug-in arbejder direkte sammen med Rhino arbejdsområdet. Som det ses på figur 7 har man direkte feedback fra Rhino arbejdsområdet når man arbejder med Grasshopper. Dette gør det muligt at undersøge og følge med i enhver udvikling af geometrien genereret af definitionen. Et helt simpelt eksempel på hvordan integrationen fungerer, kan ses på figur 7. Hvis man f.eks. ønsker at lave en trekant, kan man benytte en simpel [punkt] komponent. I denne komponent kan man enten indtaste et koordinat direkte eller vælge det ved at klikke i Rhino arbejdsområdet. En sådan simpel komponent kan indeholde en geometri eller en hel liste. I forbindelse med liste arbejdet skal man have lidt kendskab til den datastruktur, man arbejder med. En [linie] komponent forbinder to punkter med en linie ud fra de input det modtager. Figur 8.1 viser at der tegnes linjer fra punkt A til B, fra B til C og fra A til C. Figur 8.2 viser et eksempel på en transformation hvor trekantens sider følger med når man ændrer noget. Ved hjælp af [Move] flyttes B efter X [Vector], denne har standard størrelse 1. Derfor benyttes [Multiply] komponent til at gange vektoren med en faktor, der vælges på en [Slider] komponent. Dette indeholder en let variable værdi. Som før nævnt, ville man ligeledes kunne vælge nye punkter eller flytte de eksisterende vha. integrationen med Rhino arbejdsområdet.

S. 37 5 MODELLERING

HOPPER

fig 7 - direkte feedback fra Rhino arbejdsområdet. Oppe: Rhino arbejdsområde. - Blå geometri farve betyder at man er igang med at vælge med musen. - Grøn geometri tilhører den komponent der er valgt i GH. - Rød geometri tilhører en komponent der ikke er valgt i GH. - Punkt geometri tegnes som krydser.

Højre: Grasshopper arbejdsområde. En kurve komponent indeholder en kurve langs en overflade. En [Divide] komponent opdeler kurven i et givet antal punkter med samme afstand. En linie komponent lader os vælge en linie mellem to punkter fra Rhino arbejdsområde.

B A

fig 8.1 Simpelt trekant eksempel

A fig 8.2 Simpelt trekant eksempel

S. 38 5 MODELLERING

GRASSHOPPE Parametriske modeller Fremgangsmåden fra forrige eksempel, kan så udbygges på utallige måder og med utallige sammenhænge. Hele tiden tilføjes flere lag til designet, der for hvert lag vil stige i kompleksitet. På denne måde kan man opnå et fantastisk og indviklet designudtryk, der bygger på helt simple grundprincipper. 1

END

fig. 9 - Iterations proces

Den parametriske opbygning er et værdifuldt redskab i hele designprocessen. I skitseringen hvor man f.eks. undersøger forskellige forhold, størrelser, arealer, udtryk osv., kan man nemt ændre parametre, især ved hjælp af [Slider] komponenterne. Til disse hører også en såkaldt fjernbetjening der samler alle [Sliders] i et panel, så man nemt kan variere en masse parametre i forhold til hinanden og sammenligne. Denne ser vi på senere i rapporten. Senere i design processen, hvor ens design er blevet udbygget med mange lag og har opnået høj kompleksitet, bliver det meget værdifuldt at kunne vende tilbage til tidlige beslutninger og ændre disse. Ved undersøgelse og analyse af design bliver det ofte nødvendigt at ændre parametre, der måske er blevet besluttet tidligere i processen. Med en fornuftig parametrisk opbygning af definitionen, er det ikke længere nødvendigt at fastlåse parametre igennem designprocessen, som traditionelt. Derimod kan man først danne sig et overblik over det samlede design og de mange sammenhænge, herefter kan man så skrue på alle parametrene alt efter analyser, registrering, funktioner osv.

fig. 10 - Sommerfugleeffekten. En vingeslag et sted giver kraftig blæst et andet.

Den iterative proces hjælpes godt på vej. Det bliver nemmere at gå tilbage i spiralen og lave ændringer. Selvom sommerfugle-effekten som oftest vil være aktiv, foretages iterationerne af computeren i definitionsfilen. Jf. figur 9 er vi ikke tvunget til selv at modellere alle de ændringer der opstår, hele vejen fra 1 til 3. I denne forbindelse kan der selvfølgelig være konsekvenser af de valg vi træffer, der gør tidligere løsninger ned gennem spiralen umulige.

Struktureret tilfældighed En anden fordel, der bygger på en anden metode end de stringente sammenhænge, er muligheden for at generere tilfældige datasæt. I stedet for at opbygge en væg af 20 ens elementer med samme retning og rotation, dannes en væg af 20 ens elementer, med tilfældig og derved forskellig retning og rotation. Strukturen er placeringen af elementernes tyngdepunkt så de kommer til at udgøre en væg, tilfældigheden er i udformningen. Man ser det overalt i naturen. Eksempelvis er strukturen i et træ ligetil, rødder, stamme, grene og blade. Rødderne vokser ned i jorden fra stammen, grenene sidder på stammen og bladene på grenene. Det virker i midlertidig helt tilfældigt hvordan rødderne vokser, hvor på stammen grenene sidder og i hvilken retning de vokser, hvor på grenen bladene vokser og med hvilken størrelse. Disse ting

S. 39 5 MODELLERING

ER er selvfølgelig ikke helt tilfældige, men der er forskellige faktorer som ændrer sig undervejs, såsom lysforhold, mineraler i jorden osv. Naturen som bygherre har tiden som en ekstra faktor i forhold til os. Elementer udvikler sig efter forhold over tiden. Ved at udnytte matematisk generede ”tilfældige” tal kan man forsøge at efterligne denne evne fra naturen. Paradoksalt nok kan man ikke generere tilfældige tal, så tilfældigheden ligger i definitionen eller logikken der genereres efter. Dvs. at der skal benyttes en logik der udvælger og sammensæt de ”tilfældige” tal. En sådan tilfældigheds-funktion findes i de fleste programmeringssprog og således også i Grasshopper. Figur 11 viser et eksempel på generering af tilfældige tal i Grasshopper. Det ses af definitionsfilen at man her benytter en ”tilfældig” generering. Her er først benyttet en [Random] komponent der danner en række tilfældige tal inden for et angivet interval. [Slider] bestemmer antallet af tal i rækken. Herefter benyttes en lignende komponent [Jitter] der blander tallene i rækken, altså sætter dem i en anden rækkefølge. Dette gøres to gange, så man har tre talrækker med samme tal, men i forskellig rækkefølge.

fig. 11 - Tilfældige punkter. Definition. Den røde kasse er kun en illustration af domænet punkterne befinder sig i.

Den tilfældige generering af punkter kan benyttes i designsammenhænge. Punkterne kan forbindes med kurver eller linjer og profileres. Tilfældigheden kan sættes i system. I det følgende eksempel vises det, hvordan man med en klar idé om strukturen kan udnytte tilfældigheden, hvor man ønsker det og stadig have kontrol over sit design.

”’NATURE-LIKE’ HAS SOMETHING TO DO WITH ’STRUCTURED RANDOMNESS’ I THINK”

- Chris Mealing

S. 40

STRUKTUR/TILFÆLDE

5 MODELLERING

Det tilfældige træ Der opstilles en problemstilling og algoritme for det det ønskede design. Der skal generes et træ efter tilfældige punkter efter en bestemt struktur, således at træet grene vokser opad. Figur 12 viser en skitserende algoritme for designet.

fig. 12 - Skitserende algoritme.

Der skal genereres samme antal punkter med forskellig placering, opdelt i forskellige planer. Disse lader vi være XY planer og kalder dem baser. Disse baser skal have stigende Z-koordinat. Samtidig med at Z-koordinaten stiger skal også domænet stige. Domænet skal kunne justeres nemt, for at undersøge træets udseende. Det generende punkt felt kan enten f.eks. være cirkulært eller rektangulært. Definitions filen opstilles. Denne ses på figur 13. Det ses at der opstilles 5 baser. Dette gøres ved at [Sliders] forbindes til en [Funktion] fx=(x*-1) for hver base. Dette gør at basens domæne defineres omkring X-aksen. Dvs. at intervallet kommer til at hedde f.eks. [-5;5]. [Item] komponent udvælger data til de forskellige baser. Disse forbindes til [Random] der generer værdier i hvert domæne. Disse forbindes til [Jitter] der som før nævnt bytter om på tallenes rækkefølge. [Slider] styrer antallet af punkter, der skal være det samme for hver base. [Punkter] komponent indstilles med stigende Z-værdier. I dette tilfælde, Z=[0, 5, 10, 15, 20], springet imellem baserne er 5. Herefter forbindes et punkt fra hver base med en linie og profileres med et [Pipe] komponent, der ekstrudere et cirkel profil langs linierne.

S. 41 5 MODELLERING

fig. 13 - Tilfældigt træ: Grasshopper definition

fig. 13.1.1- Grasshopper definition: Domænet stiger med højden.

fig. 13.1.2 - Grasshopper definition: Domænet varieres nemt vha. [Sliders] til venstre på figur 13.

fig. 13.2 - Rendering - Struktureret tilfældighed

S. 42 5 MODELLERING

Matematiske funktioner Geometri og arkitektur er nært forbundet og eftersom geometri er en del af matematikken, kan man høste mange fordele ved brugen af matematiske funktioner i sit design. Det er ikke altid at standard geometrier og komponenter kan opfylde dine design ønsker. I denne forbindelse kan man forestille sig parameterfremstillinger for cirkler, spiraler, kurver, flader osv., udvider mulighederne. De matematiske udviklinger - eksponentielle, logaritmiske osv. kan benyttes til at skabe inspiration og designs, der kan være svære at forestille sig uden matematikken. Ligeledes med de periodiske funktioner - cosinus, sinus osv., som der i det følgende vil vises eksempler på. I matematikken findes der mange inspirerende former, der i mange tilfælde opnår et stærkt organisk udtryk. Man har længe kunnet danne disse flader ud fra parameterfremstillinger i matematiske udregningsprogrammer. Ved hjælp af Grasshopper har man nu mulighed for at undersøge, variere og inddele disse former i elementer, og betragte disse visuelt. Lad os starte med at se på et simpelt eksempel med definitionen af en cirkel:

fig. 14 Grasshopper definition - Cirkel

Man benytter [Slider] til at bestemme antal tal imellem [0;1], [Funktion] ganger tallene mellem 0 og 1 med 2Pi. Dvs. at man her har 42 stigende tal i interval [0;2Pi]. Punkternes X-koordinater bestemmes som Sinus(x) og Y-koordinater som Cosinus(x). At tegne en cirkel er selvfølgelig en simpel opgave både i hånden og i et tegneprogram. Derfor vil vi nu se på et mere avanceret eksempel, der udnytter matematikken. Enneper flade Alfred Enneper introducerede denne overflade i forbindelse med sine undersøgelser af minimalflade teorien i 1860’erne. Denne er et eksempel på geometrier indenfor algebraisk- og differential geometri.4

S. 43 5 MODELLERING

fig. 15 Grasshopper definition - Enneper flade

Parameterfremstilling:

fig. 15.1 Grasshopper funktionseditor

I en Enneper flade er X som det ses til højre en funktion af cosinus og Y en funktion af sinus. I definitionsfilen defineres først de 3 funktioner for X, Y og Z. Dette gøres vha. et [Funktion3] komponent. Dette betyder funktion med 3 variable.

Analogt med dette kan man danne hvilken som helst matematisk overflade, når blot man kender parameterfremstilling, intervaller og variable. Forstår man de variables betydning kan man nemt justere sin overflade.

fig. 16 Grasshopper definition - Enneper flade

MATEMEATIK

Funktionerne skrives ind og (u,v) intervaller opsættes. v = [-Pi;Pi] og u = [0;u], u vælges vha. [Slider]. Variable a bestemmer antallet af omgange i enhedscirklen, dvs antallet af symmetriske buer i den geometriske form. I dette eksempel a=3. 5 Til sidst benyttes en [SrfGrid] komponent, der danner en NURBS overflade ud fra et grid af punkter. Nederst i venstre hjørne er antallet af punkter valgt.

S. 44 5 MODELLERING

Transformation Transformationer er en grundlæggende del af computermodelleringen. Man roterer, kopierer, skalerer mm., for at sammensætte præcis den model man leder efter. Dette kan være i form af ønske om æstetik, rum, lys osv. En gentagelse af geometrier med dertilhørende rotation, skalering eller lign. kan føre til komplekse sammenhænge. Igen er naturen en stor inspirationskilde, her ser man ofte hvordan transformation af individuelle former kan føre til komplekse udtryk.

fig. 17

Vi kan skalere lineært i 2D og rumligt i 3D samtidig med at vi kan ændre på orienteringen og f.eks skaleringsaksen. For at gøre dette har brug vi for at benytte vektorer og planer som udgangspunkt for vores matematiske/geometriske transformationer. Transformationer i Grasshopper forefindes i alle de afskygninger man kender fra CAD programmerne. Den helt store fordel er selvfølgelig at man kan sætte det hele i system. I stedet for at kopiere og rotere 100 punkter 100 gange, opsættes definitionen til at udføre dette. Følgende er et eksempel på at designe med flytninger:

fig. 18

Idéen er at man konstruerer en udvikling af geometrier - en udvikling efter to konstruktionsgitre. Som det ses af figur 19 opsættes først de to gitre, disse tilsluttes [Slider] for at kunne justere afstanden mellem punkterne i gitrene og derved den samlede størrelse af disse. Det ene gitter placeres i Z=0, det andet i en justerbar placering på Z-aksen. [Gitter] komponentet giver centrum af hvert hver kvadrat som output M. Dette output forbindes for begge gitre til et [Vektor2pt] komponent der danner vektoren mellem de sammenhørende midtpunkter. Der skrives en linie ved [SDL] komponent (start direction length) efter vektorerne. Længden af disse linjer kan også justeres for at kunne lege med udtrykket. Endelig findes start og slut punkterne for alle linjer og der indsættes et profil her en cirkel - i ende punkterne. Disse ekstruderes mod punkterne i det nederste gitter.

S. 45 5 MODELLERING

fig. 19 Transformationer i nautren

fig. 20. Efterligning af transformationer.

Eksemplet her var meget simpelt og ville ligesom foregående eksempler kunne udbygges så meget kreativiteten tillader det. Transformation af geometrier kan både føre til uigennemskuelige og komplekse konstruktioner, der kan være meget spændende og dragende æstetisk, men det kan også føre til utrolig simple gentagelse af mønstre, der vil være letgennemskuelige for brugeren. Hvor nogle brugere vil føle sig godt tilpas ved et genkendeligt og gennemskueligt mønster i designet, f.eks. i hjemmet, vil andre finde det kedeligt. I disse sammenhænge kan de mere komplekse transformationer føre til nærmest udtømmelig æstetik. Dette er lykkedes når brugeren gang på gang finder nye vinkler, detaljer, sigtelinje osv. i designet. Det er her naturen har en af sine helt store fordel - transformationer i tiden. Det er det der gør at man vil gå i den samme skov igennem et helt liv og altid finde nye ting. Ved en tilstrækkelig gennemtænkt og intelligent konstruktion vil man kunne forsøge at efter ligne denne evne fra naturen. Dette kunne være ved lys, mekanik, kompleksitet osv.

TRANSFORMATION

S. 46 5 MODELLERING

ARKITEKTUR Grasshopper og arkitekturen Indtil nu har vi set på nogle temmelig konceptuelle eksempler, hvor bearbejdelsen i Grasshopper er blevet gennemgået med forklaringer af komponenter, sammenhænge osv. I det følgende gennemgås nogle muligheder og eksempler, som forklares overordnet, men der vil ikke blive fokuseret på opbygningen af definitionsfilen. Se bilag for definitioner. Norman Foster - Swiss Re London I denne definition forsøger man at efterligne Swiss Re bygningen i London. Helt overordnet danner man et antal cirkulære planer som kopieres opad. Disse skaleres om deres eget centrum med forskellig størrelses orden. Man vælger at have 4 planer i midten med den samme konstante skala. Herefter danner man en overflade over planerne og tilsidst dannes de konstruktive elementer.

fig. 21

Disse elementer dannes ved at placere et trekant profil på hvert cirkelplan. For hvert plan roteres profilet 5 grader (fig. 19). Disse roterede profiler benyttes til at lave et element og kopieres i rotation omkring centeraksen. Til sidst reflekteres disse, så de kører krydser hinanden og danner konstruktionen.

fig. 22 Swiss Re London eksempel.

Figur 22 viser hvordan man ved hjælp af kontrolpanelet nemt kan justere bygningens udtryk. Organiske former Bearbejdelse og analyse af organiske former kan være meget besværlig og tidskrævende. Tidligere så vi hvordan matematisk genererede flader kunne være med til at opnå meget organiske udtryk. Disse kræver dog en del bearbejdelse for at blive til realistiske projekter. I Grasshopper findes der flere værktøjer der gør det muligt at arbejde med organiske former på en meget intuitiv måde. Dette kunne f.eks. være at inddele en overflade i paneler og/eller elementer for at opnå en realistisk konstruktion. I det følgende vil vi se på sådanne muligheder.

S. 47 5 MODELLERING

R For at kunne realisere og opføre en skulptureret form, er det ofte nødvendigt at opdele den i elementer. Enten ved at beholde den oprindelige form fuldstændigt og kun opdele i elementer af specielstøbte dele af passende størrelse. Dette vil i mange tilfælde være en dyr løsning, og derfor vil man ofte forsøge at efterligne formen med ens, lineære elementer. Desto flere og mindre elementer desto bedre efterligning. Man kan i disse tilfælde også bevidst prøve at komme væk fra de organiske former og skabe mere kant i sit design, men samtidig beholde nogle formmæssige kvaliteter. I det næste eksempel modelleres en sinus - cosinus flade. Dette vil sige at parameterfremstillingen i Z(u,v) er cos(u) * sin(v). Her opdeler man fladen i valgte intervaller langs u- og v-retningerne. I disse intervaller placeres kasser der er oversat til fladens geometri og man bestemmer højden af disse. Her skal det forklares, at der for alle geometrier gælder præcis én afgrænsende boks eller kasse. Kasserne på fladen udgør nu en afgrænsende boks for geometrien af en ønsket komponent. Denne komponent oversættes så til hver eneste kasse på fladen. Disse komponenter kan udgøres af hvilke som helst geometrier. På visualiseringen på figur 24 er den valgte komponent en ellipsoide (jf. Form katalog). Her er ellipsoidens afgrænsende boks næsten kubisk, dette betyder at ellipsoiden bliver transformeret til noget der minder om en kugle. Eksemplet viser blot at man kan oversætte hvilke som helst komponenter til en veldefineret flade. Især i installationer er dette en ønsket funktion. Benytter man kasse elementer som komponenter, kan udtrykket nemt udgøres af f.eks. papkasser. 6 Dette så man bl.a på CPH SHOWHOW 2009 på en udstilling af WEM3.

fig. 24 sinus - cosinus koncept eksempel

3 fig. 23 SinusCosinus. 1. Oprindelig flade 2. Special elementer 3. Lineære elementer

S. 48 5 MODELLERING

fig. 25 CoSinus Pavillon

CoSinus Pavillon Illustreret på figur 25 er et andet eksempel på brugen af forskellige komponenter. Det ses ovenfor hvordan brugen af forskellige elementer ændrer udtrykket af fladen. Denne gang kunne man forestille sig den benyttet som tag eller pavillon, konstrueret af nogenlunde ens og lineære pladeelementer. Pladeelementerne udgøres af kasseelementer af typen som vist på figur 26. Denne opbygning vil så betyde, at fladerne på elementet vil være det samme som den tilsvarende flade på de omkringliggende elementer. Derfor ville det være fordelagtigt at bygge videre på definitionen og komponenten for at mindske materialeforbruget.

fig. 26 kasseelement. Element benyttet til opbygning af CoSinus pavillon.

Især arbejdet med forbindelser mellem to komponenter er interessant. F.eks. i forhold til hvordan flader i samme plan hænger sammen. Disse kunne forbindes med bl.a. nemme fer og not forbindelser. Dvs. at man ville kunne ende med så få elementer som muligt, der ville være nemme at sætte sammen og opføre. Det er især den fremgangsmåde og opdeling i enkle og lineære elementer der kan gøre et projekt til virkelighed, da det vil betyde billigere produktionsomkostninger. Er samlingsløsninger tilsvarende intelligente kan der spares på opførelse. Den videre bearbejdning ligger i optimering, så man opnår en løsning med minimalt materialeforbrug. En af de store udfordring i denne forbindelse er ikke at miste den æstetiske værdi og den historie der ligger til grund for designet. Ved at have en parametrisk opbygget model, er det nemmere for arkitekten at undersøge hvilke påvirkninger forskellige udformninger af komponenter vil have på æstetik, lys, rum osv.

S. 49 5 MODELLERING

fig. 27 Social space

Parametric place = Public place. Ideen om at danne særprægede installationer i byrum eller lign. til sociale rum, er inspireret af tanken om at pirre nysgerrigheden. Som bekendt kræver det mennesker at opnå et godt byrum eller socialt rum. Derfor er det nødvendigt at en konstruktion kan give folk lyst til at opholde sig i den. For at opnå dette kan man se på om konstruktionen er spændende, altså vil lokke folk til, er det et behageligt sted at opholde sig, er den socialt bæredygtig osv. Mennesker skal have lyst til at opholde sig her og ikke ødelægge det.

fig. 28 Social space - Skitse af algoritme

Her forsøges det, med henblik på at skabe et spændende rum hvor gulv og loft smelter sammen. Forestillingen om at gulvet er det plane og loftet udgør noget over os gentænkes. Loft og vægge er blevet fortolket mange gange, men sjældent gulvet da det er praktisk at have et plant gulv. I naturen har vi ofte ikkeplane flader, hvilket giver spændende forløb og bevægelsesmuligheder. Klipper og væltede træer giver sidde pladser og forhøjninger giver forskellige naturlige niveauer. I eksemplet her indeles de to flader i lige mange u og v intervaller. For hver skæring indsættes en vektor mellem fladerne. Disse vektore skal udgøre bærende søjler. For at udvælge disse søjlers placering kan der opstilles mange kriterier. Her vælges at hvis længden af vektoren er længere end en given indstilling skal der indsættes en søjle, hvis vektoren er kortere indsættes der ingen søjler.

S. 50 5 MODELLERING

Denne logik kan udbygges i langt højere grad og være særdeles værdifuld i for hold til statik. F.eks: hvis en vandret afstand over en flade med kendte materiale egenskaber er mere end x indsæt søjle midt på afstandsvektoren. Eller i samme eksempel, indsæt bjælke til bæring. For hver afstand kan man også vælge at udregne maksimal nedbøjning og spænding. Hvis en af disse overstiges, indsættes et ekstra element eller materialeprofilet øges. Dvs. at man ved opsætning af en mere eller mindre kompliceret definitionslogik, kan optimere en konstruktion, således at der ikke benyttes unødigt materiale. Samtidig kan der justeres på former og ses hvilke tilfælde der giver det bedste resultat. Dette kunne med fordel kombineres med et statisk analyse program. Intelligent facade. Det samme princip med udformning efter statik, gør sig gældende indenfor energi-rigtigt design. Igen kan der hele tiden tilføjes flere lag for at øge kompleksiteten og præcisionen af et design. Her arbejder man med solindfald på facader. Vi sammenligner vinkler mellem en givet vektor der udtrykker solens stråler. Analogt med tidligere eksempler opdeles fladen i delflader. For hver delflade findes normalvektoren. Denne vil udspænde et plan med sol-vektoren, og vinklen mellem vektorene i dette plan findes. Herefter sammenlignes denne med en given, justerbar vinkel. Er vinklen lille, står solen meget direkte ind på fladen og omvendt hvis den er stor. Den givne vinkel kunne f.eks. være 45 grader. Hvis den aflæste vinkel er større end 45 grader, indsættes en komponent med stort hul, hvis mindre end 45 grader indsættes komponent med lille hul.

fig. 29 Intelligent facade - Skitse af algoritme

S. 51 5 MODELLERING

Dette er selvfølgelig ikke en præcis optimering af facaden. Denne kunne udbygges til at indeholde mange flere forskellige komponenter. Ligeledes generes facaden her ud fra en enkelt vektor for solen, men som bekendt bevæger solen sig hele tiden. I denne forbindelse kunne man benytte et eksternt energi analyse program, til at udregne det gennemsnitlige solindfald på hver delflade over et år. Disse data kan så importeres til Grasshopper, f.eks. via. Excel og benyttes til at bestemme størrelsen af huller, længde af udhæng med mere.

fig. 30 Intelligent facade

S. 52

DESIGN CASE - VERTICAL ZOO IN PUERTO MADERO

S. 53 6 DESIGN CASE

Indledning I det foregående er to værktøjer, som kan benyttes i forbindelse med bygningsdesign blevet udforsket. De to værktøjer er geometrisk viden og algoritmisk modellering. Vi har udforsket potentialerne i de to værktøjer overordnet, men med løsningen af en case som retningslinje for hvor fokus for undersøgelsen skulle lægges. I det følgende forsøger vi ud fra en konkrete case at benytte disse udviklede værktøjer til at designe en bygning, der opfylder nogle konkrete designparametre. Vi ønsker at finde ud af om kombinationen af disse to værktøjer giver os nogle fordele i forhold til design af en bygning med definerede designparametre. Casen er Vertical Zoo, som er en international arkitektkonkurrence formuleret af ARQUITECTUM. Sidste frist for aflevering af projektet var d. 2.11.09. Opgaven er at lave en vertikal zoologisk have, min 100 m høj i Buenos Aires. Konkurrence programmet er vedlagt som bilag 2 og alle detaljer omkring konkurrencen kan ses heri. Kun de væsentligste detaljer vil blive fremlagt her. Vi tager udgangspunkt i konkurrenceprogrammet, og foretager en overordnet registrering ud fra de givne oplysninger. Registreringen er ikke dybdegående, da fokus i denne opgave ikke er udformningen af en zoologisk have, men blot benytter denne som case i forbindelse med en undersøgelse af en metode. Der opstilles et program for designet indeholdene konkurrenceprogrammets krav til arealer og funktioner samt designparametre, som vi udvikler ud fra registreringen. Designprogrammet benyttes til udvikling af konceptet for den vertikale zoo og ud fra dette vælges de geometriske former, som er gennemgået i geometriafsnittet. Generelt gælder det at registrering, opstilling af designparametre og koncept ikke er så fyldestgørende, som det skulle have været hvis opgavens fokus var designet af den vertikale zoo.

Antagelser og forudsætninger

Konkurrenceprogrammet lægger mere vægt på den skulpturelle formgivning og overordnede ide end det lægger op til grundige undersøgelser i forhold til brand, lugt, klima, transport, energi, tekniske detaljer osv. Dette vil have stor betydning for den endelig udformning af bygningen, men da Vertical zoo i forbindelse med denne opgave fungerer som design case for at udforske værktøjer og metode medtages disse ikke i overvejelserne. Som beskrevet i afsnit 5 - Algoritmisk modellering kunne man sagtens forestille sig at eksempelvis energihensynet kunne implementeres i en given Grasshopperdefinition. Dette ville dog kræve analyser og simuleringer der ligger udenfor dette projekt. Da modellen opbygges parametrisk ligger der dog rigtig gode muligheder i at bearbejde denne i forbindelse med en videreudvikling ved analyser eller projektet.

S. 54 6 DESIGN CASE

ring. Konkurrenceprogrammets oplæg til rumarealer betragtes som vejledende og rumopdelingen modelleres overordnet uden toiletter og lignende små rum. Ligeledes er det den overordnede bevægelseslogik der opføres. Præcis planlægning af trapper, elevatore osv. medtages ikke. Konkurrencen er en oplagt case til brug for udforskningen af vores værktøjer og til afprøvning af hypotesen. Der søges innovative løsninger til et anderledes projekt. Kravene i programmet er veldefinerede, men i tilpas udstrækning til det koncept der ønskes afprøvet. Samtidig ønskes der en organisk udformning, der lægger op til udnyttelse af geometriske efterligninger af naturens egenskaber. Derudover ser man gerne fra konkurrence udbyderens side at reglerne brydes hvis idéerne giver grund til det.

S. 55 6 DESIGN CASE

Design case VERTICAL ZOO in Puerto Madero - Buenos Aires

fig. 1 Costanera Sur - Puerto Madero

VERTICAL ZOO er en international arkitektkonkurrence formuleret af ARQUITECTUM. Konkurrence programmet er vedlagt som bilag 2 og alle detaljer omkring konkurrencen kan ses heri. Kun de væsentligste detaljer vil blive fremlagt her. Buenos Aires er hovedstaden i Argentina og er, med sine 2,8 millioner indbyggere den største. Buenos Aires er en af Sydamerikas mest attraktive kulturbyer og tangoens fødeby. Puerto Madero er et forholdsvis nyt område i Buenos Aires, der gennemgår en stor udvikling. Øst for Puerto Madero, mod kysten ligger det naturlige reservat Costanera Sur. Området lå til at skulle bebygges, men i mens byen diskuterede hvad der skulle ske med stedet, udviklede der sig et økosystem i området, med græslandskaber, søer og træer. I 1986 blev området endelig et fredet natur reservat. Idéen med VERTICAL ZOO er, at skabe ny mening i forhold til den endelige brug af området. Projektet skal henvende sig til de naturlige omgivelser, samt bidrage til de rekreative udfoldelser og fritids muligheder, området i forvejen giver. Formmæssigt skal denne innovative zoo markere sig som et vertikalt element der søger at fungere som et landmærke i forhold til det horisontale plan, på samme måde som skylinen vest for Costanera Sur. Projektet skal dog, pga. den specielle beliggenhed og funktion, henvende sig til sin kontekst på en naturlig og organisk måde. Projektet skal indeholde specifikke funktioner, være mindst 100 meter højt og ikke overskride 200 m2 i grundplan.

Buenos Aires

S. 56 6 DESIGN CASE

Registrering Kontekst Costanera Sur er et meget fladt landskab i forhold til den høje bebyggelse vest for området. VERTICAL ZOO skal være minimum 100 meter højt og ser man på de mange bygninger øst for de anlagte bassiner, tættest på området er mange af dem oppe på ca. 160 meter. Se figur 2. Der skal findes en måde at integrere og sammensmelte det horisontale og vertikale plan, uden at udviske den klare forskel. Den herskende natur i området er ikke anlagt, udover nogle stier langs bredden og nogle enkle på tværs af området. VERTICAL ZOO skal henvende sig til de tre meget forskellige zoner: selve grunden er som sagt det flade naturlandskab, mod øst er det Rio dé La Plata der ender ud i det sydatlantiske ocean og endelig mod vest er det den pulserende storby og tæt bebyggelse. Projektets placering kan være overalt på området. Der kan dog være problemer med de 2 laguner som det ses på kortet figur 4.

200 m

175 m 160 m 150 m

125 m

100 m

75 m

50 m

25 m

0m Mulieres Puerto Madero

fig. 2 Bygningshøjder

fig. 3 Landskabssnit

Torres El Faro

Opera Bay

Torre Repsol YPF

Torres del Yacht

S. 57 6 DESIGN CASE

fig. 4 Kort over Puerto Madero. Costanera Sur er det hvide område til øst.

S. 58 6 DESIGN CASE

fig. 5 Bevægelser og trafik

fig. 6 Placering

Bevægelser og trafik Der er gode trafikforbindelser til området omkring Costanera Sur, med seks broforbindelser over bassinerne samt togstationer i både syd- og nordvest for området. Der er muligheder for parkering ved området, men denne henvender sig især til de private erhvervs- og boligbyggerier. Af figur 5 (grønt) ses det, at der er etableret et parkanlæg imellem de store bygninger og det store anlagte bassin. Midterste billede i billedkarusselen i bunden af denne side viser, hvordan bassinet adskiller det bebyggede og ikke-bebyggede Costanera Sur. De eneste forbindelser over bassinet er nord og øst for dette.

Placeringer Placeringen af VERTICAL ZOO skal som tidligere nævnt henvende sig til flere sider. I forhold til stisystemerne og bevægelsesmønstre har vi undersøgt placeringer vist på figur 6. I konkurrencen står beskrevet, at man ønsker 3600 view fra bygningen. I forlængelse af dette ønsker vi at opnå udsigt over havet, det naturlige landskab samt skylinen. Det er samtidig af stor betydning hvordan bygningen modtager brugere, når de bevæger sig til eller forbi bygningen. Transport muligheder i forhold til kørsel af fødevare, dyr, materialer osv. skal anlægges på en naturlige måde for ikke at ødelægge omgivelserne. Dette kunne f.eks. gøres vha. græsarmering i forbindels med stierne.

fig. 8. Buenos Aires

S. 59 6 DESIGN CASE Årlig gennemsnitlig dominerende vindretning Dominerende vindretning April - Juni

WIND DIRECTION DISTRIBUTION (%)

NNW NW WNW

7 3 3

W WSW

SW SSW fig. 7 Vind WIND DIRECTION DISTRIBUTION (%)

Disse overvejelser har været med til at vælge placering i den Årlig gennemsnitlig dominerende vindretning nordøstlige del af Costanera Sur - markeret på figur 6. Dominerende vindretning April - Juni

Vind og klima Områdets placering ved kysten gør at det er udsat for en del vind ind fra det sydatlantiske ocean. Det befinder sig dog inde i Rio dé Plata og ligger derfor lidt i læ af Uruguays kyst. Den dominerende vindretning over årsgennemsnitte er øst-sydøst. Se figur 7.1. Vindretningen skifter dog en del over året som det ses af figur 7. Gennemsnitstemperaturen varierer fra 350 C i januar til 100 C i juli og mange indbyggere søger væk fra Buenos Aires i de varme måneder fra december til februar . Der forekommer 1 kraftige regnskyld i løbet af forår og efterår.

NNE

NE 8

WNW

3 3

WSW

ENE

fig. 7.1 Vindrose

2 17

ESE

For at opnå viden om en zoologisk have og de krav der stilles, udføres registrering i Kbh Zoo på de følgende sider.

Dominerende vindretning April - Juni

NNW

Der tages ikke særligt hensyn til vejr og klima i dette projekt. Årlig gennemsnitlig dominerende vindretning

BUENOS AIRES

SE SSW

SSE Copyright www.windfinder.com

S. 60

EN DAG I ZOO

6 DESIGN CASE

Registrering Københavns zoologiske have Registrering af den mere traditionelle ”horisontale” zoologiske have i Valby, København. Det skal undersøges hvad der fungerer i en zoologisk have og hvad der kan forbedres. Derudover skal problemstillinger ved transformationen til en vertikal zoo registreres og undersøges, så alternative løsningsmuligheder kan udarbejdes. Samtidig registreres hvilke mønstre der er synlige i en zoo - bevægelser, mennesker, materialer, efterligningen af dyrenes naturlige habitat, afgrænsning mellem mennesker og dyr, events, information osv. Registrering førte til mange oplysninger, hvoraf kun få nævnes her. De vigtigste iagttagelser har vist at der skal være opmærksomhed på følgende:

- Forsøge at opnå den åbenhed og udsigt til himmel der kendes fra udeområder i en traditionel zoo.

- Minimal afskærmning. Det giver den bedste fornemmelse at være tæt på/sammen med dyrene. Kan evt. være naturlig, f.eks. vand, træer osv. Kan også være skulpturel.

- Adgang for barnevogne, rullestole, trækvogne etc.

- Opnå flydende bevægelse igennem zoo - derved prøve at bevæge sig væk fra den almindelig etagetænkning.

fig. 9. Fra horisontal til vertikal

S. 61 6 DESIGN CASE

fig. 9.1

S. 62 6 DESIGN CASE

Designprogram Ud fra registreringen og konkurrenceoplægget opstilles følgende designparametre: Bygningens ydre Krav Bygningens grundplan må som udgangspunkt ikke overstige 200 m2 og skal være 100 m høj. Pejlemærke Set fra havet vil den vertikale zoologiske have virke som et pejlemærke med sin højde på 100 m over det flade reservat. Bygningens særlige funktion og beliggenhed lægger op til, at der skabes en utraditionelt udseende bygning. Vertikalt vs. horisontalt Mødet mellem den høje, vertikale bygning og det flade, horisontale reservat kræver en overgang, der imødekommer de besøgende på stedet. Samtidig skal de to volumener forholde sig konsekvent til hinanden, når de betragtes på afstand.

Bygningens indre Bevægelser I den zoologiske have er man enten i bevægelse eller stoppet op i områder, hvor der er udsigt til dyrene. Samtidig giver dyrenes oprindelige omgivelser inspiration til at bryde med den traditionelle etageopdeling og skabe flydende overgange, hvilket også gør det muligt at appellere til de besøgendes nysgerrighed. Personerne der færdes i den zoologiske have vil være meget forskellige, hvilket der tages hensyn til. Det skal være muligt at komme rundt med klapvogne og kørestole, bygningen skal være overskuelig og logisk bygget op så alle kan finde rundt (zoner).

75 m

Staff service

Udsigt Det er vigtigt at der er gode udsigtsområder, da man som gæst kommer for at kigge. Både på dyrene og ud over reservatet. Dyr Elementer fra dyrenes oprindelige omgivelser arbejdes ind i bygningen, som en del af dennes helhed. Menneske vs. dyr Følelsen af at være tæt på dyrene og i samme rum som dem forstærkes af at afskærmninger og hegn minimeres og indarbejdes i bygningen som en del af en helhed. Lys

50 m2 50 m2

360

S. 63 6 DESIGN CASE

Himlen over mennesker og dyr, og luft omkring dem bliver i den vertikale zoologiske have skabt gennem dagslysindfald, åbenhed og bygningsformen. Dagslyset trækkes ind, så det afspejler naturen stemninger og mindsker brugen af elektrisk lys. Funktion Der tages overordnet hensyn til oplæggets forslag til rumarealer og funktioner. Se figur 10. Diagrammet viser kravnene til funktion og arealer fra konkurrenceprogrammet. De væsentligste desginparametre har været med til at skabe en ide om en bygning med en anderledes form, en bygning som forholder sig til det flade område og de mennesker der skal benytte bygningen. En bygning der skaber en bevægelse og en bygning der giver luft omkring brugerne som ude i naturen.

hyena

leopard

dm.

ring-tailed lemur

hall 50 m2

Vizcahca

small

squirrel monkey

crocodile restrooms

200 m2

South american tapir

orangutan

medium

panda

40 m

20 m2

entrance & administration

large

80 m

lion

anteater

area obse

rvat

ion

eagle

3000

al Zoo verti0c0 m

max 2

internal

owl

macaw wood pecker

thrushes cardinals

cafeteria 150 m2

30 m2 30 m2 fig 10 Arealer

bengal tiger

cockatoo

external

koala

meerkat

Armadillo

auditorium 200 m2

hummingbirds

souvenir shop 40 m2

MUS

multi use salon

200 m2

S. 64

PLAN

6 DESIGN CASE

VERTICAL ZOO skal fortælle historien om landskabet. Om sumpen, savannen, junglen, bjergene og himlen. Det skal være fortællinger om krokodillerne i sumpen, løven og tigeren på savannen, aben og koalaen i junglen, leoparden på bjergskråningen og himlens fugle. Placeringer og funktioner placeres for at fortælle denne historie på vertikal form. Der skal være mulighed for pauser igennem fortællingen hvor tilskueren kan hvile sine fødder og udnytte tiden samtidig.

11.

HIMMEL - 3600 observationsdæk

10.

BJERG/HIMMEl - Fugle, Observatorium øst/vest

Cafeteria, Souvenir butik

Observationsdæk

MUS - Multi Use Salon. Observationsdæk

7. 6.

BJERG/JUNGLE - Leopard, Panda JUNGLE - Myresluger, Orangutang, Abe, Koala

Auditorium

Administration og medarbejder lokaler

SAVANNE - Lemur, Surikat, Løve

SAVANNE - Hyene, Bæltedyr, Tiger

SUMP - Krokodille, Tapir, Opbevaring

Stue

Indgang 50 m2. Toilet 10-20 m2 fig 11 Den lodrette historie

fig 12 - Den vandrette historie

SUMP

SAVANNE

S. 65

NER

6 DESIGN CASE

fig 11 Etage planer - 200 m2 hver.

JUNGLE

BJERG

HIMMEL

S. 66

VERTICAL ZOO A

fig. 1 - Diagram. Sammensmeltning af de 3 faser - Vertical Zoo

S. 67 7 VERTICAL ZOO

Vertical Zoo Vertical Zoo er produktiet af sammensmeltningen af de tre faser. Design-casen udarbejdes ved at benytte de udviklede redskaber fra A, B og C. Fra A har vi formkatalog, samt grundlæggende viden om geometrier. Fra B har vi redskabet til at bearbejde diverse geometrier ud fra algoritmer. Fra C har vi designparametre der definerer den case, hvortil værktøjer fra A og B benyttes. De tre gennemgåede undersøgelser (geometri, parametrisk design og designparametre) benyttes til udvikling af design af den vertikale zoo. Først udvælges hvilke geometrier vi ønsker at arbejde videre med. Disse udvælges og vurderes ud fra formkataloget i forhold til designparametrene. Som allerede nævnt i geometriafsnittet er det Voronoi, knuden og spiralen, der nu undersøges i forhold til deres muligheder som bygningsformer eller bygningsdele. Udvælgelsen er sket ud fra en umiddelbar opfattelse af de muligheder den enkelte form rummer. Disse muligheder skal nu undersøges nærmere og ud fra undersøgelserne udformes et koncept. Voronoi-diagrammet giver umiddelbart indtryk af en mulighed for at skabe noget, der virker tilfældigt, men har en bagvedliggende orden og med de indbyggede huller skabes lys og luft. Knuden har en naturlig, organisk form og skaber en glidende bevægelse. Plantespiralen skaber en bevægelse opad, og sørger for meget lys, da elementerne der svarer til blade ikke skygger for hinanden. Alle tre former lægger op til, at bygningen vil blive en bygning, der skiller sig ud fra de fleste andre bygninger. I det følgende gennemgås hvordan formerne virker i forhold til at blive benyttet i en bygning og vi udvikler og opbygger definitionerne til hver enkelt form, for at kunne bruge princippet for det parametriske design.

S. 68 7 VERTICAL ZOO

Voronoi og Den Vertikale Zoo Koncept Voronoi-diagrammer kan i forhold til et tårn enten benyttes i 2D som en facade eller i 3D som hele bygningen. Som facade giver Voronoi-diagrammet et åbent udtryk med en spændende struktur. Hvis der åbnes med huller ud fra indskrevne kurver skabes der gode muligheder for udsigt og lys. Disse huller kan i dette projekt stå i sig selv som åbninger i kraft at der er tale om en zoologisk have. Det bliver muligt at styre hvor man ønsker en tæt struktur, og hvor der ønskes åbenhed. Det bliver en bygning, som skiller sig ud, da opbygningen af det ydre såvel som det indre udtryk og struktur ikke tager udgangspunkt i et traditionelt rektangulært grid. Som nævnt kan Voronoi-diagram-princippet udbygges i 3D, så det ikke blot er facaden der er Voronoi-opdelt, men selve bygningen. Punkterne i punktsættet (S) placeres efter den ønskede rumplacering, og herefter kan den opbyggede Voronoi-definitionen skabe celler, der hver især bliver til rum. Rummenes højde og beliggenhed styres altså ikke af et grid, men der skabes en bevægelse og et flow der øger brugerens nysgerrighed. Et rum kan bestå af en eller flere celler, alt efter ønsket om udtryk, krav og funktion. F.eks. en flade der knækker. Det er en særlig bygning der skal designes, og derfor må indretningen og udseendet være særligt. Der ønskes et innovativt projekt der antager en organisk form. For undersøge princippet forsøger vi at opdele forskellige bygningskroppe efter tilfældige punkter i volumenet. Den grundlæggende definition ses på figur 1 nedenunder.

fig 2 Voronoi definition

Voronoi opdelingen er ikke en simpel komponent og kan udføres på flere forskellige måder. Derfor findes der ikke en komponent der simpelt kan udføre denne procedure som standard. Det er nødvendigt med en programkode eller et såkaldt script. Her benytter man Visual Basic programmeringssproget (VB script). Dette forklares senere. [Punkter] komponentet indeholder udvalgte punkter til sæt (S). [Volumen] indeholder en valgt geometri, der danner rammen for Voronoi-inddelingen . Disse

S. 69 7 VERTICAL ZOO

er input til [VB script], output bliver Voronoicellerne som individuelle volumener. Herefter benyttes [Explode] for at kunne udvælge flader, kanter og knuder. Disse kan så bearbejdes videre. De ligger i sammenhængende datasæt - det vil f.eks. sige at alle flader fra celle 1 ligger i datagruppe 1.

fig 2.1 VB Script - programkode

VB Script Programkoden er baseret på et projekt lavet af Gave Smedresman, og udføre kort fortalt følgende: - Danner en omgrænsende box (bbox) omkring volumenet (bvol). - Finder størrelsen af denne. - I en for-løkke1 dannes kasser for hvert punkt - Finder skæringer mellem kasser indbyrdes og det valgte volumen. - Disse bliver til cellerne. Koden ses i figur 2.1. Som volumen udvælges bygningskroppe udvælges efter designparametrene og undersøges.

Logisk løkke der gentager kommando så længe udsagn er sandt.

S. 70 7 VERTICAL ZOO

Bygningskroppe Cylinder Cylinder udvælges pga. de åbenlyse fordele i forhold til 3600 view og mest muligt lysindfald. Her har man mulighed for at placere evt. udkragninger eller terasser roteret i forhold til hinanden for at undgå skygge over hele cirkelbuen. Der opstår dog også en del problemer med den krumme overflade af de yderste cellevægge. Bl.a. vil man her ikke kunne benytte sig af den lethed mere regulære cellevægge opnår ved at udskære de indskrevne kurver. Man ville kunne lave en oversættelse af et plant Voronoi - diagram, altså en foldet flade, men dette ville aldrig passe helt til cellerne fra den oprindelig opdeling. Derudover ønsker vi at fastholde en kant i vores design. Vi ønsker at genere det organiske udtryk, men der skal stadig være en kontrast, der hentyder til konturen af skylinen og de bygninger der udgør denne. Her er definition udbygget for at genere de tilfældige placeringer inde i volumenet: fig 3. Cylinder

fig 4. Definition

Jf. afsnit 5 - struktureret tilfældighed benyttes [Random] og [Jitter] komponenter til at skabe tilfældige punkter i justerbart antal og interval. Der laves en [BBox] og højden af denne findes ved at måle afstand mellem punkter A=(min(y), min(x), min(z)) og E=(min(y), min(x), max(z)). Det betyder at man får fordelt punkterne i volumenets højde.

S. 71 7 VERTICAL ZOO

Rektangulær form Som det mere kantede modsvar til cylinderen udvælges den rektangulære grundform som en ekstrudering. Her mister formen det organiske udtryk og det er alene cellerne der skal udgøre denne forestilling. Definition ændres såldes at volumenet udgøres af en hvilken som helst grundplan der ekstruderes i en valgt højde.

fig 4. Definition

Grundplan tegnes i Rhino arbejdsområde og vælges i GH definitionen. Denne ekstrudres efter [Z vektor]. Højden, dvs. længden af vektoren, bestemmes ved at gange denne med faktor F [Mul]. [Cap] benyttes til at lukke den ekstruderede grundform, så vi har et lukket volumen. Herefter er definitionen den samme som før. Punktsæt (S) kan vælges eller generes tilfældigt ligesom tidligere.

fig 5. Rektangel

Med de regulære flader har vi mulighed for at danne de kurver, der skal skæres ud af cellevæggene for at danne huller, og vi kan derefter bedømme udtrykket.

fig 6. Definition

Det er cellernes flader der skal bearbejdes. Disse opdeles ved [Explode], som giver fladen, kurverne og punkterne for hver flade. For hver flade skal der laves en kurve ud fra hjørne punkterne. Her er rækkefølgen af de valgte punkter dog altafgørende. Derfor forbindes alle sider ved [Join]. Dette danner en samlet polyline, og når denne opdeles igen, er det i en sammenhængede rækkefølge. Dvs. 1-2-3-4. For hver flade er det første hjørne angivet først og tilsidst, altså 1-2-3-41, derfor dannes liste med den sidste fjernet vha.[Cull]. Herefter findes det plan, der er forskellen på de to regioner udspændt af kurverne. Se figur 7.

fig 7. Indskrevne kurver

S. 72 7 VERTICAL ZOO

De indskrevne kurver giver et klart mere dynamisk udtryk, men formen virker stadig lidt tung og der mangler dynamik. Derfor forsøges det at transformere formen på to måder. Dette gøres ved at lade hver etageplan rotere et justerbart antal grader i forhold til den forrige. På denne måde skabes der mere dynamik og udtrykket bliver mere organisk, men uden at det mister kanten. Cellernes ydre flader vil dog her, ligesom med cylinderen, blive kurvede.

fig 8. Indskrevne kurver

fig 9. Definition - Roteret plan

Roteret plan Den samme grundplan som tidligere benyttes. Denne forbindes nu til en [Move] komponent. En [Series] komponent laver en række med C tal i, hvor C bestemmes af [Planer] slider. N bestemmer hvor stort spring der er i mellem planerne, altså etagehøjden. Hvert plan, der nu er flyttet med spring på N (10) i Z-retning, roteres. Her skal hvert plans eget centrum benyttes, for at der ikke roteres i rummet. Dette gøres ved hjælp af [Area] - output C er centrum. En ny [Series] er også forbundet til [Planer], for at finde det antal planer der skal roteres, [Slider] til N bestemmer den indbyrdes rotation imellem planerne. Her er den sat til 5. [Rotate] komponent regner i radianer, derfor benyttes [F(x)] til at omregne grader til radianer. Herefter benyttes [Loft] til at skabe volumenet udspændt af de roterede planer. Denne roterede form kan nu forbindes til [Cap] og derefter opdeles i Voronoi celler.

fig 10. Roteret plan Volumen

S. 73 7 VERTICAL ZOO

fig 11.1 Krumme flader

fig 11. Roteret Voronoi

Det ses af figur 11 og 11.1 at de ydre flader som nævnt bliver krumme. Det betyder at hvis man benytter sammen definition som på figur 6, vil dette ikke blive korrekt. De indskrevne kurver vil ligge i et plan udspændt mellem de punkter, der definerer kurven. Derfor vil kurve og flade ikke følge hinanden. Sagt på en anden måde vil kurven ikke klistre til fladen. Indtil videre benytter vi dog denne, og får et lidt forkert udtryk, da de krumme flader nu vil efterligne det plan, de indskrevne kurver befinder sig i. Man kan dog danne sig et indtryk af konceptet. Se figur 12. Her kan man også se at den krumme flade ikke dannes, derimod en masse mere eller mindre plane delflader. Hvis man vælger at arbejde videre med dette design, vil definitionen skulle ændres. Der skal således findes en algoritme, der får kurverne til at klistre til de krumme flader og en måde at trække dem fra facaden på. På trods af hullerne i Voronoi-tårnets facade virker det en smule tungt og stillestående og møder jorden hårdt uden tilpasning.

fig 12. Roteret Voronoi med kurver. Ukorrekte flader

S. 74 7 VERTICAL ZOO

Plantespiral, helix og Den vertikale zoo Det næste princip som undersøges er spiralgeometrien med fokus på helix og plantespiralen. Plantespiralen skaber ikke i sig selv et volumen der ville kunne danne en bygning, men den har nogle elementer, der gør den interessant at kigge nærmere på. Det ene er helix-figuren, der skaber en sammenhængende bevægelse opad, som kunne være interessant i forhold til at følge personer gennem en bygning. Et andet interessant element er hvordan bladene er placeret, så de ikke skygger for hinanden. Dette kunne i en bygning udnyttes så man kan placere terasser eller andre udkragninger, så de ikke skygger for hinanden. På figur 13 er det vist hvordan man kan forestille sig en helix som et bygningselement til ophold og bevægelse. Hvis plantespiralen skal benyttes til at skabe terasser vil definitionen skulle udbygges i forhold til terassernes udformning.

fig 13. Helix tårn

Grasshopper-definition af plantespiral. Plantespiralen består af en helix med punkter fordelt opad. Punkterne sidder over hinanden med for eksempel en snonings mellemrum. I definitionen kan man ændre helix radius og højde, antallet af snoninger og hvor mange punkter, der skal være på en snoning.

Først laves helix-kurven ud fra en række punkter. Intervallet for t i x- og y-koordinaterne sættes til at gå fra 0 til længden af spiralen mens t i z-aksen går mellem 0 og helix højden. Intervallet består af 700 punkter, for at gøre spiralen glat.

fig 15. Grasshopper definition.

fig 14. Plantespiral

S. 75 7 VERTICAL ZOO

Rheotomiske flader Fra Rheotomic - det engelske navn stammer fra græsk. Rheo = flow Tomos = cut Herunder vises princippet for en rheotomisk flade. Dette udnytter den flydende bevægelsen spiralflade giver, på en måde så der kan dannes mere regulære flader og rum. Nedenfor er vist en meget simpel konstruktion af princippet. De rheotomiske flader kan beskrives matematisk for at opnå en mere præcis og kontrollerbare geometri. Princippet kan undersøges mere i dybden og genereres vha.Grasshopper. Den rheotomiske flade skaber rum med bevægelse og definitionen af hvad der er gulv og loft flyder ud, og det bliver samtidig en meget symmetrisk form, med mange gentagelser.

fig 16. Rheotomiske flader - Simpelt princip

Herefter afsættes punkterne som på en plante svarer til bladene. For bedre visuel forståelse sættes en boks, som kan varieres i størrelsen, på punkterne. Først sættes en boks på helix-kurvens startpunkt.

Denne boks skal nu roteres lige så mange gange som der skal være bokse og i en vinkel der svarer til antallet af bokse i en snoning. Da der i dette eksempel skal være to snoninger mellem hver boks divideres produktet af antallet af snoninger og antallet af bokse i en plan med to. Af samme grund ganges vinklen mellem boksene med to.

Kurven mellem punkterne kan kan gøres til et rør med en tykkelse ved at tilføje en ”pipe”.

Til sidst flyttes boksene opad. Hver boks skal flyttes lige meget så helix højden deles med antallet af punkter i alt.

S. 76 7 VERTICAL ZOO

Knuden og den vertikale zoo Knuden skaber en bevægelse og definerer et rum, på en måde så man ikke er sikker på om rummet omkring knuden er en del af knuden. Er man inde i knuden eller ej? Den tynde og åbne knude virker lidt mere skrøbelig og gennemskuelig end den tættere og tykkere knude, som er mere mystisk. Knuderne ser forskelligt ud fra forskellige vinkler, og fra nogle vinkler er symmetrien mere tydelig end fra andre. Hvis knuderne sættes sammen til et tårn skabes en interessant overflade, men der dannes ikke rum, så der kræves en indre kerne der ikke umiddelbart hænger sammen med knuderne. Knuderne vil kunne fungere som facade, hvor der kan arbejdes med lys og variationer. Åbningerne i knuden, der vil lade lyset slippe ind i bygningen vil i jordniveau invitere de besøgende ind. Hvis man benytter dele af en knude i stedet for at benytte hele knuden kan man skabe elementer der, hvis man ikke ser den oprindelige knude, virker som tilfældige organiske former der er klippet i stykker. En flad knude har en del tilfælles med Möbius-båndet. Man vil kunne opnå en situation hvor den samme flade udgør både gulv og loft. Fortsætter man med at gå rundt langs knuden ender man med at gå med hovedet nedad. Nogle steder i knudeforløbet mødes kurverne og her lukker knuden af. Dvs. at en korrekt rotation og placering skal undersøges.

Forslagene her på siden er udarbejdet i samme Grasshopper-definition. Kun de forskellige parametre er ændret.

fig 18.Knuder

S. 77 7 VERTICAL ZOO

Nedenfor ses undersĂ¸gelser af hvordan knuden kan benyttes som bygningselement.

fig 17. KnudeĂĽrn

S. 78 7 VERTICAL ZOO

��

Arkimedes spiral ��

��

Fermats/parabolsk spiral Grasshopper-definition til knuden. I Grasshopper-definitionen kan de tre kurver som knuden består af ændres. Når �� √� � �� der ændres på værdierne i x,y og z-retningen vil knuderne ændre udseende i hhv. bredden eller højden. Derudover kan antallet af knuder, graden de ��længden, � √� � �� roteres og afstanden mellem dem ændres. � � definitioner til både kløverbladsknuden og ottetalsknuden, men da vi Vi�� har lavet ender ud med at benytte ottetalsknuden, er det den der beskrives i det følgende. Først laves definitionen, der kan tegne ottetalsknudens kurve. ParameterfremstilFigure‐eight knot lingen (i radianer) er givet: �� Intervallet for t sættes til [0;360], da dette er en periode og giver os mulighed for enten at lave hele knuden eller dele af knuden. Antallet af punkter, som kurven skal gennemløbe, sættes til 700 for at opnå at knuden bliver glat. Hermed fås 700 t-værdier mellem 0 og 360.

fig 19.Definition

Parameterfremstillinge riable t og a. a-værdier ligninger, for at kunne æ y og z.

S. 79 7 VERTICAL ZOO

fig 20. Knude som punkter, kurve og solid.

en skrives ind i tre funktioner med to varne ganges på parameterfremstillingens ændre kurvens form i de tre retninger x,

Koordinaterne til punkterne trækkes ud af funktionerne og der tegnes en kurve mellem dem. Ved indsættelse af en ”pipe” føres et rør uden om kurven, og denne får en tykkelse som er lige stor overalt.

S. 80 7 VERTICAL ZOO

Med henblik på at skabe en knude hvor tykkelsen kan variere over knuden for at få mulighed for at ændre så meget i formen som muligt, skabes to andre kurver, med andre a-værdier, og der benyttes [loft] til at lave en lukket flade. Som det ses er den ene knude i dette tilfælde aflang mens de to andre har samme værdi i x- og y-retningen.

fig 21. Definition

S. 81 7 VERTICAL ZOO

Knuden kan flyttes opad og roteres og derved tilpasses det ønskede udtryk. Hvis man vil lave et tårn indsættes en serie i stedet for en [slider].

S. 82 7 VERTICAL ZOO

Det kan være fordelagtigt, som før nævnt, at kunne opdele i elementer. Denne mulighed udforskes i det følgende. Knuden deles op i elementer, som gør udtrykket lettere, og samtidig giver indtryk af hvordan man evt. kunne bygge knuderne op. Når der tegnes en kurve mellem et sæt punkter tegnes den mellem hver gren i listen, som lige nu er en gren. Derfor deles hver liste nu op så hvert punkt bliver sin egen gren. Der dannes nu kurver mellem først de tre grene der er først i hver liste, dernæst den næste gren i listen osv. Der laves en tilsvarende kurve indeni ved at skalere kurven og begge kurver ekstruderes i normalvektorens retning. Den inderste solid trækkes fra den yderste,

så der skabes ringe.

fig 22. Definition

S. 83 7 VERTICAL ZOO

fig 23. Knude opdelt i elementer.

S. 84 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

Koncept Konceptet udarbejdes ud fra de gennemgåede afsnit. Der arbejdes videre med et forslag, hvor der skabes et Vornoitårn som står i en knude. Tårnet vil på afstand skille sig ud fra de resterende bygninger i området pga. den særlige opdeling i facaden. De store huller i facaden vil give lys og man vil kunne fornemme hvordan vejret er og se himlen. På denne måde trækker man naturen ind. Når man står udenfor og kigger ind, vil man på de nederste etager kunne se ind på dyrene og blive lokket indenfor. Samtidig vil der inde i bygningen skabes skæve rum, som er velegnede til en bygning med en anderledes funktion. En zoologisk have kræver områder, der minder om forskellige naturområder i verden, og som skaber en oplevelse, der leder folk på vej, ikke rektangulære rum uden variation. De skrå flader vil give gode udsyns-muligheder for publikum. Op gennem tårnet vil der være forskellige landområder, som det ses på illustrationen i afsnit 6. De forskellige landområder vil give hvert område karakter og hjælpe besøgende til at få en fornemmelse af hvor de befinder sig. Voronoi-diagram opdelingen vælges bl.a. også på grund af den konstruktive stabilitet. Knuden i bunden skaber, i sin form, et fundament og er med til at stabilisere tårnet. Samtidig vælges Voronoi princippet pga. egenskaberne i forhold til den glidende bevægelse op igennem tårnet. De skrå flader virker som grundlag for eventuelle trapper, sæder i auditorium osv. Gennem placeringen af punkterne i Voronoi-diagrammet er det muligt at styre f.eks om sumpområdet skal have lavt til loftet eller om bjergområdet skal have mange skrå, knækkede kanter. Knuden i bunden skaber en sammenhæng mellem det høje vertikale tårn og det flade naturreservat, så overgangen bliver mere flydende. Som nævnt er det ottetalsknuden der vælges, da den er mest indviklet og spændende. Knuden tager imod gæsterne når de ankommer og lokker dem til at komme nærmere og undersøge hvad der sker og samtidig bliver indgangen et element, der holder sig i en skala mennesker kan forholde sig til. Knuden vil også kunne benyttes til udendørs ophold og på den måde give noget til omgivelserne.

fig 1. Skitse over koncept

Forslaget fortæller historien om det organiske tårn der snor sig op af sine rødder. Tårnet er vokset op af knuden og forbliver i en dynamisk tilstand.

S. 85 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

fig 2. Visualisering af koncept

I den videre bearbejdning af designet foretages forskellige undersøgelser, stadig med fokus på designparametrene. Det skal bl.a. med hensyn til tårnet undersøges, hvor store hullerne i facaden skal laves, hvor punkterne til rummene skal afsættes, hvilke materialer, der benyttes og hvordan terasserne skal laves. Derudover undersøges hvor stor knuden skal være, om den skal vippes, om symmetrien skal brydes, og om den skal deles op i elementer. Konceptet viderebearbejdes i det følgende.

S. 86 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

Bearbejdning Bearbejdning af knude

fig. 3. Ottetalsknuden ser fra nogle vinkler meget symmetrisk ud.

Som nævnt er den knude, der bindes om tårnets bund en ottetalsknude, da denne type knude har flere krydsninger end kløverbladsknuden, og danner et mere uigennemskueligt og spændende rum, som tager godt imod besøgende ved indgangen. Knuden laves tyk og tæt, så der dannes nogle flader man kan bruge til ophold, og for at skabe kontrast til det mere lette og åbne Voronoi-tårn. Samtidig er der en sammenhæng mellem de to elementer, idet hullerne i facaden harmonerer med knudens tværsnit. Ud fra Grasshopper-definitionen undersøges mulighederne for at sætte en hel knude eller dele af en knude på tårnet. Det undersøges om de kan benyttes som terasser. Som det ses på illustrationen er der mange varianter, som giver forskellige udtryk. Dog er det ikke muligt at lade knuderne sno sig gennem hullerne, da hullerne er assymmetrisk placeret og da man hvis knuderne skal bruges som terasser skal kunne gå ud gennem hullerne. Knuderne er forsøgt placeret både regelmæssigt og uregelmæssigt op gennem tårnet, men i det endelige design er der kun en knude i bunden, da knudedelene ikke fungerede som terasser, og dermed ikke havde en funktion og samtidig ville de overskygge Voronoi-diagrammets udtryk, som i sig selv opfylder mange krav til designet (se senere).

fig. 4. Forsøg med knuden som terasse.

fig. 5. Forsøg med knuden.

S. 87 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

Knuden i bunden af tårnet skal virke som om den slynger sig omkring tårnet og på den måde forholder sig til tårnet i stedet for bare at være et fremmed element, der ligger på jorden, hvor tårnet står. Denne illusion ødelægges dog fra visse vinkler af, at knuden virker afsluttet og symmestrisk. Knuden gøres derfor mere rodet og tilfældig ved at påsætte en knudedel lidt over den hele knude. Knudedelen kan kontrolleres ud fra samme Grasshopper-definition som hele knuden. Knudedelen virker som om den hænger sammen med den nederste knude og går ind gennem bygningen. Knuden virker nu mere assymmestrisk og hele tårnet har forskellige udtryk fra forskellige vinkler, hvilket gør bygningen interessant hele vejen rundt om den. Knuden kan som tidligere vist deles op i elementer, hvilket gør den lettere i udtrykket. Vi har dog valgt at beholde knuden som en samlet figur, for at give den tyngde i forhold til tårnets lethed.

fig. 6

Knudens endelige udformning ses på nedenstående illustration. Størrelse og form er udviklet ved at ændre parametre i Grasshopperdefinitionen. Knuden har en størrelse som en person kan forholde sig til, gæster kan gå ind gennem den og opholde sig på den. Knuden forholder sig til tårnet og virker assymmetrisk og uigennemskuelig

fig. 7

fig. 8. Knuden til adgang og ophold.

fig. 9

S. 88 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

Bearbejdning Voronoi-tårn Den videre bearbejdning af Voronoi-tårnet kræver en ændring af definitionen efter en anden algoritme end hidtil. Først og fremmest skal det forsøges at få kurverne til at følge de krumme flader. Den første skitserende algoritme ses på nedenstående figur.

fig. 1

Idéen går ud på at oversætte en plan figur med Voronoi inddelingen til den roterede flade. På denne måde opnås en ensartet flade hvor kurver følger de krumme flader. Samtidig kan kurverne skæres ud fra starten i den plane figur, derved har man allerede løst dette. Vi lavede en definition der udførte dette og den virker gnidningsløst. Som det ses på skitsen dannes det plane kurve mønster af den rektangulære form og kan herefter oversættes. Det åbenlyse problem er de punkter der udgør cellerne i de to former. Disse har ikke samme relative placering i de to volumener. Dvs. at en bearbejdet placeringsplan i forhold til det roterede legeme giver en celle fordeling der er forskellig fra den i det regulære legeme. Vi forsøgte herefter at rotere punkter relativt med de roterede planer, fra den regulære form til den roterede for at opnå en facade opdeling der svarede til celleinddelingen i det roterede legeme, men forgæves. Denne definition åbner dog og for nogle spændende muligheder i forhold til genereringen af facader til andre formål. Ethvert plant mønster kan vha. af denne omsættes til en kurvet flade eller solid. Definitionen kan ses i bilag 1.

S. 89 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

I forhold til dette projekt skal det ydre og indre dog smelte fuldstændig sammen. Vi måtte derfor udarbejde en anden algoritme til løsningen af dette. De kurver der genereres fra den oprindelige definition følger altså ikke de krumme flader. Jf. afsnit 7 fig. 5. Den nye fremgangsmåde bliver derfor at forsøge at ekstrudere disse kurver og derefter trække det indeni fra, vha. en Boolean1 forskel operation. Først skal de Voronoi-flader, der udgør facaden udvælges. Der er rigtig mange komponenter og små data-struktur-mæssige omsætninger i den færdige definition. Derfor vil den her blive forklaret overordnet skridt for skridt.

fig. 2 - udsnit definition - mønster til udvælgelse af flader.

For at finde flader i facaden findes centrum af alle flader i tårnet. Fra dette centrum tegnes en linje efter normalvektoren. Denne vektor flyttes bagud i halvdelen af dens længde. Dvs. at der nu er en linje vinkelret på alle flader der går igennem centrum og 0.5 ud på begge sider. På figur 2 ses det at [Nord roteret] er den krumme nord facade, og vha. [SCX], Surface Curve Intersection, findes alle de normal linjer der skærer facaden.

Boolean algebra. Logik der operere efter sand eller falsk logik.

S. 90 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

fig. 2.1 Sortering af flader.

Efter at have fundet løsningen på skæringen mellem facade og fladers normal linje, benyttes funktion [F(x)] til at se hvor i listen fra output P der findes skæringspunkter.[Null] viser sand hvor der er ”tomme” værdier. [F(x)] bytter om på sand/falsk værdier (F(x)=x <> true, forskellig fra). Nu er der dannet et sand/falsk mønster der benyttes til at lave en liste indeholdende kun de flader der udgør nordfacaden.

fig. 2.2 Generering og ekstrudering af kurver.

Samme del-definition som tidligere benyttes som grundlag til at generere kurverne på fladerne. Denne udvides ved at sætte et par [sliders] for at kunne styre graden af og derved formen på kurven, og for at kunne skalere kurven. Altså kan vi nu nemt justere kurverne. Til sidst ekstruderes kurverne så de skærer facaden. De skal nu benyttes til at skære de del af facaden der er indeni kurverne fra.

S. 91 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

fig. 2.3 Boolean difference.

Nu findes forskellen mellem facaden og kurvefladernes indre ved Boolean Difference [Dif]. Der er flere komponenter i definition, bl.a. [Shift] og [Flatten] der udføre operationer der er blevet nødvendige pga. de valg vi har truffet. Som nævnt i afsnit 5 i forbindelse med figur 9. Disse forklares ikke her da de ikke har en større betydning for den overordnede mening. To [Dif] komponenter benyttes. Det ene trækker kurvernes indre fra facaden. Det andet gør det modsatte - trækker den del af facaden udenfor kurverne fra, dvs. at dette udgør fladen i vinduer og benyttes til at lave ruder, træpaneler osv.

fig. 2.4 Materialisering

Midt på figur 2.4 ses det at man nu har glasfladerne ([Glas(N)]) og kan give disse en tykkelse ved ekstrudering - [Ext]. Dette ville dog give en krum glasfacade, og da vi ønsker høj grad af bygbarhed modellerer vi vindues elementer på næste side. Nederst materialiseres facaden. Der dannes en ydre og indre skal ([N.indre/ ydre]), der kan beklæde konstruktionen. Dette beskrives mere detaljeret senere i præsentationsafsnittet.

S. 92 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

fig. 2.5. Elementer til glas og paneler.

Samme fremgangsmåde som beskrevet i afsnit 5 - Organiske former, benyttes her. Hele den oprindlige facade, dvs. uden huller, deles op efter eget valg i u og v retningerne. På disse placeres kasser der oversætter en given geometri til facaden. Kasserne dannes ved [S Box] og af disse bestemmes ved slider, her [Glas tykkelse]. Endelig omsætter [Morph] geometrien [Geo] til facaden. Inddeling af facaden og højden af transformationskasserne styrer elementernes størrelser. Figur 3 viser de benyttede elementer. fig. 3. Glas elementer.

Nu har man altså elementer over hele facaden der følger og efterligner krumningen. Disse skal så tilpasses så de dækker de ønskede dele af facaden. Som udgangspunkt skal disse benyttes for diverse huller. Dette gøres i den videre ikke-parametriske bearbejdning. Det samme sker for alle facader. Figur 2.6 viser hvordan de indre flader udvælges så disse kan materialiseres. For at kunne udvælge de indre flader benytter man sand/ falsk mønsteret fra tidligere, men bytter nu om på det således at det er de indre og ikke de ydre der vælges. Mønstret sættes sammen ved at samle alle mønstre fra alle facader. Herefter har man et mønster der beskriver sand for alle indvendige flader.

fig. 3.1 Træpaneler.

fig. 2.6. Udvælgelse af indre flader.

S. 93 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

Efter at de indre flader er udvalgt kan disse behandles. Samme fremgangsmåde som ved generering af kurver på facaderne benyttes. Alle de indre flader er som bekendt plane, så det er nemt at trække kurver fra flader. Her kan man også styre størrelse og udseende af kurver. Tilsidst danner man en øvre og nedre del af hver flade, analogt med fremgangsmåde ved facade. På denne måde har man et dæk med justerbar tykkelse.

fig. 2.7. Behandling af indre flader - udskæring af kurver

Man kan altså vælge at generere indre flader med eller uden huller i. Analogt med glas og træ elementerne, sker udvælgelsen i den senere ikke-parametriske behandling. På næste side ses den komplette definition.

S. 94 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

fig. 4. Den samlede definition.

Når definitionen nu er sat op kan man stille på parametre og undersøge sit design. Som det ses af figur 5 til højre kan man efter opstilling af definition benytte en Grasshopper fjernbetjening til justere de forskellige parametre. Alle steder hvor [Slider] komponent er benyttet vises i fjernbetjening og resultatet vises direkte i Rhino. Når man har nået det ønskede design vælger man at ”bage” geometrien, dvs. at den reelle model genereres i Rhino og ikke længere kun består i Grasshopper definitionen. På de følgende sidder er dette benyttet til facade studie. Der undersøges forskellige kurvegrader og størrelser på huller. Resultater er vist for nord facade.

S. 95 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

fig. 5. GH Fjernbetjening - Juster og se resultat

S. 96 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

Facadestudie I arbejdet med Voronoi som facade overvejes hvilken stĂ¸rrelse hullerne skal have. Der ses pĂĽ tre forskellige kurvegrader med hver tre skaleringer.

3 fig. 6 Facade studie

Kiurve grad 3. (Polynomie grad)

85 % Kurve scale 85 %

10 Kiurve grad 10

Kurve scale 70 %

85 %

Kurve scale 85 %

70 %

Kurve scale 50 %

70 %

Kurve scale 70 %

Kurve scale 50 %

S. 97 8 VERTICAL ZOO - KONCEPT

50 %

Kiurve grad 5.

længde - kurve 1

85 % Kurve scale 85 %

længde - kurve 2

50 %

fig. 7 Materialisering - sammensmeltning

70 %

Kurve scale 70 %

50 %

Kurve scale 50 %

S. 98 9 VERTICAL ZOO - BEARBEJDNING

Ikke-parametrisk viderebearbejdning Af facade studiet vælges i forhold til lys og æstetik en kurve grad 5 og en skala på 95 % af den oprindelige kurve. Kurve graden vælges ud fra æstetikken. Kurvegraden giver det mest organiske udtryk med tilpas afrundede kurver. Skaleringen vælges ligeledes ud fra det æstetiske, men også lige meget for at opnå det størst mulige lysindfald uden at miste for meget materiel styrke. Som nævnt tidligere kan man forestille sig at facaden skal konstrueres af en ydre og indre skal udenpå f.eks. en stålkonstruktion. Dette projekt går ikke i dybden med dette, men kommer med et bud hvad man evt. kunne arbejde videre med. Dvs. at man nu ved videre bearbejdning kunne bestemme størrelse og kurvegrad på baggrund af bl.a. statiske og energimæssige analyser. Dette gøres muligt at ændre nemt pga. af den parametriske opbygning. Herefter fortsætter designprocessen uden at der ændres i parametrene. De sidste detaljer og undersøgelser i forhold til designet foretages ”manuelt”. Til den videre bearbejdelse hører bl.a. sammensmeltning af ydre og indre facader og modellering af terasser. Derudover kommer udvælgelsen af i hvilke huller der er træpaneler, glaselementer eller åbning. Udvælgelseskriterierne er forholdsvis simple. Hvor der er terasse skal der være åbent. Der skal hovedesageligt være paneler, hvor der er dyr og hvor der er kontorer eller andre opholdsrum skal der være glas, så der kan dannes en klimaskærm.

fig. 8 Mateiale undersøgelse.

S. 99 9 VERTICAL ZOO - BEARBEJDNING

Facadestudie, farver, materialer og funktion Efter formgivningen af facaderne undersøges det hvilke farver og materialer der virker bedst. I forhold til desginparametrene er det vigtigt at materialerne virker naturlige og at bygningen passer ind i naturen den ligger placeret i. Derudover vurderes hvilke facadeåbninger der skal have glas i og hvilke der skal være lameller i. Glasset giver udsigt og i enkelte rum mulighed for opvarmning og mulighed for at gå ud på terasserne, mens lamellerne trækker luften og naturen ind i bygningen, giver facaden karakter og samtidig bliver bygningen mere lukket og samlet. Terrasserne er påsat manuelt med placeringen vurderet ud fra funktionen.

S. 100

VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION AF DESIGN FORSLAG.

S. 101

Det endelig design forslag prĂŚsenteres. Det er produktet af det koncept der udvikles ved sammensmeltningen af geometri undersĂ¸gelser, algoritmisk modellering og design casen.

S. 102 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

12. LEVEL 11

11. LEVEL 10

10. LEVEL 9

09. LEVEL 8

08. LEVEL 7

07. LEVEL 6

06. LEVEL 5

05. LEVEL 4

04. LEVEL 3

03. LEVEL 2

02. LEVEL 1

01. LEVEL 0.1 0. STUE fig. 1 Snit 1:500

115.000 mm

105.000 mm

95.000 mm

85.000 mm

75.000 mm

65.000 mm

55.000 mm

45.000 mm

35.000 mm

25.000 mm

15.000 mm

5.000 mm 0

S. 103 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

S. 104 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

terasse & ophold

Indgang

LEVEL 0

tiger lemur

hyene

LEVEL 2 bæltedyr

S. 105 10 VERTICAL ZOO - PRĂ&#x2020;SENTATION

terasse & ophold

tapir

Opbevaring

EVEL 0.1

EVEL 3

krokodille

LEVEL 1

surikat

LEVEL 4

Administration & medarbejder lokaler

fig. 2 Planer 1:500

S. 106 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

observation

auditorium

myresluger

LEVEL 5

LEV abe

café multi use salon

LEVEL 8

360 view terasse

LEVEL 11

LEV

S. 107 10 VERTICAL ZOO - PRĂ&#x2020;SENTATION

orangutan

observation

VEL 6

VEL 9

leopard

koala

LEVEL 7

panda

fugle

souvenir

LEVEL 10

fig. 3 Planer 1:500

S. 108 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

S. S. 109 109 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

fig. 4 - Vertical Zoo - Adgang fra stisystemtet i området.

S. 110 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

S. S. 111 111 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

fig. 5 - Vertical Zoo - Øst view ved solnedgang.

S. 112 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

S. S. 113 113 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

fig. 6 - Vertical Zoo - Syd-Øst view.

S. 114 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

S. S. 115 115 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

fig. 7 - Vertical Zoo - Indgang

S. 116 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

S. S. 117 117 10 VERTICAL ZOO - PRÆSENTATION

fig. 8 - Vertical Zoo - Level 7.

S. 118 11 DISKUSSION

Diskussion At kende geometrien Den vertikale zoo er bygget op af to geometrisk veldefinerede elementer, Voronoi-diagrammet og knuden. Her har geometrien været en inspirationskilde til former, der måske ellers ikke var opstået. På baggrund af forståelsen af de to elementer kunne definitionerne opstilles i Grasshopper og herefter tilpasses i forhold til de opstillede designparametre. Dvs. at det både har været en fordel at kende geometrien i forhold til at kunne tegne den ønskede form og i forhold til designprocessen hvor vi har haft kontrol over formerne. Det har været muligt at ændre formerne uden at ændre den grundlæggende geometri som ligger i Grasshopper-definitionen, og det har været muligt at dele knuden som er en meget organisk form op i elementer. Disse faktorer giver gode muligheder for at man med denne fremgangsmåde vil kunne lave bygbare projekter med avancerede former. Samtidig kunne man forestille sig geometrien brugt i højere grad. F. eks. kunne det udnyttes at man vidste hvornår kurven havde sit toppunkt eller man kunne måske bruge en delaunay-triangulering i facaden for at skabe plane elementer der nemmere kunne bygges. Man kunne også i forhold til casen have brugt Voronoipunkterne til i endnu højere grad at tilpasse de enkelte rum til de forskellige dyr ved at indsætte flere punkter. Det giver nogle fordele at arbejde med en kendt geometri, også i forhold til senere beregninger af f. eks. statik og det giver inspiration til former man måske ellers ikke ville have fundet på, men der kan også være begrænsninger i det. Begrænsningen kan være, at man ikke opnår præcis det udtryk man gerne vil og at man hvis man gerne vil ændre en detalje et enkelt sted risikerer at ødelægge den definerede geometri. At designe parametrisk I designprocessen kan Grasshopper benyttes som redskab for at kunne modellere parametrisk. Der er andre programmer, der også giver mulighed for at modellere parametrisk. F. eks. Pro-engineer og programmering i auto-CAD, men Grasshopper er meget velegnet til dette formål, da det har vist sig brugervenligt og grafisk godt. Computermodellering er nødvendig for den parametriske modellering. Her har man mulighed for at ændre i modellen, se den i 3D og dele den med andre. Dette gør computermodellering til et godt formgivningsværktøj, men samtidig kan man miste den rumlige fornemmelse i forhold til hvis man fx arbejdede med en papmodel, og man kan miste fornemmelsen for materialernes struktur. Det parametriske design giver mulighed for at ændre i modellen undervejs i projektet. I designfasen er det en stor hjælp, forholdsvis hurtigt at kunne se hvordan forskellige forslag tager sig ud. Det giver et bredere grundlag at træffe beslutninger ud fra og man kan prøve nogle vildere forslag af som man måske ikke ville have brugt tid på ellers. Senere i processen kan man forestille sig at der vil være en fordel i nemt at kunne ændre modellen i forhold til beregninger. Det giver mange muligheder, og det kræver at man tager stilling undervejs og ikke lader sig forblænde af mulighederne. Man skal kunne vælge den bedste løsning, og man skal kunne vurdere hvornår man går væk fra den parametriske opbygning og

S. 119 11 DISKUSSION

begynde at ændre modellen manuelt. Der kan være tidspunkter hvor det er bedst at undgå at bruge tid på at sidde og lave definitioner i skitseringsfasen, hvis det bare gælder om at smide hurtige ideer på bordet. Når man har en parametrisk model må man på et tidspunkt stoppe og lave resten af tegningen manuelt fordi det ikke giver mening at lave definitioner og fordi det kan være enkelte detaljer der kun optræder en gang og man ikke vil ændre andet. Desto mere detaljeret definitionen bliver, desto mindre generel bliver den, og den vil ikke kunne bruges i andre sammenhænge. Ligesom en programkode næsten altid kan forbedres og gøres mere præcise, kan være en definition ligeledes altid forbedres. En god programkode er skrevet på en måde så udregninger og iterationer sker så hurtigt som muligt. Dvs. en god programkode er en kode uden for mange omveje og lignende. Det samme gælder for en definition. Der kan være skridt og delvise løsninger der skal sættes i en anden rækkefølge for at opnå hurtigere udregninger. Dette er en vigtig del af en hele ideen med Grasshopper og Rhino, der er at genereringen af geometrier skal foregå i ”real-time”. Der skal ikke være for meget ventetid. Derfor er det meget vigtigt at man overvejer nøje hvor meget hver definition skal indeholde og hvor man evt. skal dele den op. Det kommer selvfølgelig an på hvor høj grad af parametrisk sammenhæng de forskellige projekter kræver. Jo mere opdeling, desto mindre parametrisk bliver modellen. Ved parametrisk modellering kan skabes flader og elementer, der ikke ville kunne genereres ved konventionelle metoder. Dette ville i hvert fald tage meget lang tid og man ville sandsynligvis miste overblikket undervejs. Her henvises bl.a. til generering af elementer til f.eks. træpaneler og glas. At kende geometrien og arbejde parametrisk Som nævnt har Rhino med Grasshopper været en god måde at skabe parametrisk design. Og det parametriske design har gjort det muligt at ændre på formerne uden at ændre på de geometriske egenskaber, da geometrien ligger i definitionen. Samtidig ligger der en stor portion geometri indbygget i programmet hvilket også er en stor hjælp. De mange muligheder gør både at projektet kan blive mere bygbart, men der er også mulighed for at lave meget skulpturelle former, som ikke nødvendigvis er bygbare eller realistiske at bruge i byggeri. Derudover er det en fordel hurtigt at kunne se sine tanker og ideer i 3D. Dette kræver dog at man ikke laver en for detaljeret Grasshopper-definition, som det tager computeren meget lang tid at udregne. Her skal man vurdere hvor meget man skal have med i definitionen, og om man skal dele definitionen op i flere definitioner. Case Den vertikale zoo er designet ud fra opstillede designparametre. Designparametrene har hjulpet med til at holde fokus og kunne udvælge ideer til

S. 120 11 DISKUSSION

videre bearbejdning. De udvalgte geometrier er udvalgt i forhold hertil og derefter er der ændret på disses parametre for at opfylde designparametrene. Det er naturligvis begrænset hvor mange og hvilke parametre man kan ændre i sin definition, men alligevel er der store muligheder for nemt at se om ændringerne gør, at man nærmer sig designparametrene eller fjerner sig fra dem, og på den måde bevæger sig i den rigtige retning. Det har været en fordel at kunne afprøve mange muligheder på vejen mod det endelige design og fordi man afprøver muligheder man ellers ikke ville afprøve opstår nye resultater og inspiration. F. eks. kunne vi nemt se hvordan tårnet ville se ud hvis det var drejet, eller se hvordan knuden ville se ud hvis den var opdelt i elementer. De væsentligste designparametre har været at skabe en bygning med en anderledes form, en bygning som forholder sig til det flade område og de mennesker der skal benytte bygningen og en bygning der giver luft omkring brugerne som ude i naturen. Den anderledes form opnås ved at lade sig inspirere af naturen og de geometriske former, som ikke nødvendigvis tager højde for bygbarhed og byggetekniske traditioner. Samtidig skiller formen sig ikke så meget ud at den bliver fremmed og funktionsløs. Der er skabt rum, som ikke er traditionelle rum med vandrette og lodrette flader, men de er brugbare og passer til funktionen. Rummene er skabt ud fra Voronoi-diagrammet og den parametriske modellering har gjort det muligt at ændre rummene ved at flytte punkterne. Udfordringen i at skabe en 100 m høj bygning som samtidig er behagelig at opholde sig tæt på og som giver noget tilbage til det område den befinder sig i er løst ved at kombinere to veldefinerede former. Det høje, snoede Voronoi-tårn, som virker som et pejlemærke og med sin dynamiske form og store åbninger virker lettere end et traditionelt højhus er kombineret med en organisk form som en knude der bruges til ophold og trækker folk til. Det bedste forhold mellem de to former og de to formers bedste udtryk hver især er fundet ved at holde forskellige forslag op mod designparametrene. De forskellige former er lavet i Grasshopper-definitioner, hvilket har gjort det nemt at lave ændringer i forhold til vores ønsker. I en traditionel zoologisk have og i dyrenes oprindelige omgivelser er luften omkring dem og himlen over dem et vigtigt element. Dette forsøges indarbejdet i den vertikale zoo ved at skabe høje rum, med store åbninger, der skaber lys, samt semi-transperante dæk, der trækker lys ned fra oven. For en nærmere undersøgelse af dette kan forskellige forslag til åbningernes størrelser trækkes ind i f.eks. Sketch-up for at undersøge lysforholdene. Med henblik på at udforske knudens udtryk og bygbarhed delte vi den op i ele-

S. 121 11 DISKUSSION

menter i definitionen. Dette medførte at computeren brugte lang tid på beregningerne, hvilket ikke er optimalt. Derfor undersøgtes knudens form som en massiv knude i forhold til tårnet og elementernes udformning undersøgtes i en simpel knude. Derefter kunne den massive knude med den endelige form deles op i elementer. Dette er en måde at håndtere den lange beregningstid, men modellen bliver mindre parametrisk. Vi har også arbejdet med designet uden for den parametriske formgivning. Terrasserne er sat på efterfølgende, da deres placering ikke er systematisk og vi ikke har haft fokus på dem i formgivningsprocessen. Også materialestudiet er foretaget efter den parametriske modellering, da modellen her er trukket ind i et andet program, da Rhino ikke er et stærkt visualiseringsprogram. Det har generelt været en stor fordel at have redskaberne geometrisk viden, algoritmisk modellering og designparametre til design af casen.

S. 122 12 KONKLUSION

Konklusion At designe parametrisk med en grundlæggende viden om geometrien giver mange muligheder. Det giver mulighed for inspiration til formgivningen i et projekt samt mulighed for at udvikle formen på en kontrolleret måde. Det giver mulighed for at gøre projekter med organiske former bygbare på en forholdsvis enkel måde ved at dele formen op i elementer, og det giver mulighed for løbende med et forholdvist lille tidsforbrug at foretage ændringer i 3D-modellen ud fra analyser, beregninger og det ønskede arkitektoniske udtryk. For at opnå disse muligheder og være i stand til at udnytte dem kræves der en stor viden inden for både geometri og parametrisk design. Desto mere grundlæggende viden og desto mere øvelse, desto flere muligheder får man og desto bedre bliver man til at udnytte mulighederne i at designe på denne måde. For at undgå at miste overblikket pga. alle mulighederne og undgå at fortsætte for langt ud af et forkert spor er det vigtigt at holde fokus på sine designparametre. Man skal også være opmærksom på, hvornår man skal stoppe den parametriske formgivning og gå over til at lave den sidste detaljering manuelt. Geometrien skal i mange andre sammenhænge ikke være et krav, men inspiration. En mere traditionel form kunne give et andet godt resultat som ikke havde krævet samme parametriske opbygning. F.eks. i Revit hvor der er parametre, men med begrænsede form-muligheder. Definitioner kan tage lang tid at opbygge, men eftersom man får større erfaringer vil man have kendskab til tidligere løsningsmuligheder hvor dele evt. kan benyttes. Definitionerne skal være udformet så beregningerne går hurtigst muligt og man undgår ventetid. Dette er vigtigt i parametrisk design, da man ønsker hurtigt at kunne se hvilke ændringer i formen en parameterændring giver. En mulighed for hurtigere beregninger er at forsimple modellen, eller dele den op i flere del-definitioner. Hermed bliver modellen mindre parametrisk, hvilket man skal overveje om er acceptabelt. Den vertikale zoologiske have er et resultat af en proces med brug af geometrisk viden, algoritmisk modellering og designparametre. Formerne bygger på klart definerede geometriske former, som er udvalgt efter et sæt af designparametre, og tegnet og udviklet som parametrisk design. Det er lykkedes at skabe et design hvor inspirationen er kommet fra geometriske former og modellen undervejs i designprocessen er ændret på en kontrolleret måde, så den bagvedliggende viden ikke er gået tabt. Dermed er også skabt en model som gør det videre arbejde med analyser, beregninger, konstruktion og detaljering nemmere.

S. 123 12 KONKLUSION

S. 124 13 PERSPEKTIVERING

Perspektivering At kende geometrien Med en stor viden inden for geometri vil man kunne se sammenhænge og lade sig inspirere til formgivningen på en måde, der gavner projektet. Med udgangspunkt i geometrien fra de første faser i projektet får man i de senere faser et godt grundlag for fx at lave statiske beregninger, lave byggeelementer eller lave byggetekniske tegninger. Ønsket om geometriske former i forhold til beregninger og bygbarhed behøver ikke være en begrænsning for arkitektens formgivning, men kan være en inspirationskilde og ligefrem være en hjælp i forhold til at få projekter realiseret. At designe parametrisk Det giver som nævnt mange muligheder at designe parametrisk. Både i skitseringsfasen, hvor man kan blive inspireret og hurtigt kan afprøve ideer, men også i senere faser, hvor man nemt kan ændre modellen i forhold til beregninger og lignende. Samtidig kan man forestille sig at man, hvis man benyttede denne metode til alle projekter, ville kunne udnytte definitioner eller dele af definitioner fra tidligere projekter i nye projekter og på den måde spare tid og samtidig benytte fordelene i at designe parametrisk. At kende geometrien og arbejde parametrisk Der er gode muligheder for at formgive parametrisk med geometri, og der er som nævnt mange fordele ved det. Dog skal man være i stand til også at tænke i helheder og træffe de rigtige beslutninger ud af de mange muligheder der opstår. Man opstiller sine designparametre for at kunne udvælge hvilke ideer man skal afprøve og arbejde videre med. Man skal kunne se hvor computeren har sine begrænsninger. F.eks. materialeforståelse og afbildningsform. Case Som designværktøj Det vil være muligt at videreudvikle på definitionen til den vertikale zoo, så der bliver flere parametre, man kan ændre, og dermed vil der blive flere muligheder som skal undersøges. Det vil også være muligt fx at inkludere terasser og andre detaljer, så det hele bliver parametrisk. Dog vil computeren arbejde langsommere, hvilket ikke er fordelagtigt. Med henblik på videre projektering Videreudviklingen af den vertikale zoologiske have ville i første omgang indebære en yderligere detaljering i forhold til for eksempel de enkelte rums opbygning, bevægelserne rundt i bygningen og adskillelsen mellem dyr, gæster og personale. Denne detaljering kan udføres ved at tilføje punkter og måske flytte nogle punkteri Voronoi-diagrammet. Senere vil diverse udregninger også skulle foretages og her vil det være en fordel at kende geometrien. Modellen kan nu nemt tilpasses i forhold til beregninger, og fx kan man i definitionen indlægge faktorer for hvornår der skal indsættes en søjle eller hvornår facaden skal være lukket eller åben i forhold til lysindfald. Forskellige udgaver af modellen kan i forbindelse med sollys, ventilation og statik overføres til andre programmer. Også i forhold til bygbarhed er det en fordel at kende geometrien og man kunne dele facaden op i plane elementer og knudens elementer vil også være nemme at overføre til bygbare elementer.

S. 125 13 PERSPEKTIVERING

På grund af det parametriske design er der gode muligheder for at arbejde videre med designet og projektet generelt. Og en anden gang vil dele af definitionerne, og erfaringen med denne tankegang hjælpe til at man hurtigere kommer længere i processen og hurtigere kan afprøve ideerne. Det samme gælder for den geometriske viden der er opnået. Med et grundlag som dette og et formkatalog i hånden, vil vi kunne arbejde videre med den vertikale zoo eller benytte samme fremgangsmåde i andre projekter, hvor vi ønsker at skabe en 3d-model, der bygger på geometrisk viden, kan ændres kontrolleret og nemt og som er brugbar i alle faser af projektet. Formkataloget kan udvides i høj grad fremover med den parametriske opbygning i tankerne og bliver dermed et endnu stærkere værktøj. Konventionel modellering kan give upræcise størrelser, placeringer m.m. Ligesom grækerne arbejder man med disse værktøjer med sammenhænge, der bygger på matematik og beviser, der giver helt præcise modeller.

S. 126

Henvisninger Alle figurer hvor der er angivet R+K er produceret rapportens forfattere. Rasmus Holst og Katrine From.

Afsnit 1-3 Figurer

HENVISNINGER

fig. 1 - Metode. R+K 9 fig. 2- Integreret design. R+K 9

Noter

Afsnit 4 Figurer Fig 1 Spindelvæv. 11 http://gregrichblog.com/wordpress/wp-content/uploads/2008/12/spider_web.jpg Fig 2 Plantespiral. www.gooogle.com/images 11 Fig 3 Operaen i Sidney http://www.liveindia.com/news/Sydney_Opera_House.jpg 11 Fig 4 Geodætisk kuppel 11 http://www.arch.mcgill.ca/prof/sijpkes/arch304/D+C2004website/Website-2/fuller-dome.jpeg Fig 5 Euklid (ca 325 f. kr - 265 f. kr) 12 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Euklid-von-Alexandria_1.jpg Fig 6 Parallelle linjer, Euklid 12 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Geometriflader.jpg Fig 7 Ret linje afbildet i koordinatsystem. R+K 13 Fig 8 Parallelle linjer, hyperbolsk geometri 13 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Geometriflader.jpg Fig 9 Parallellle linjer, sfærisk geometri 13 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Geometriflader.jpg Fig 10 Eksempel på kurve. R+K 13 Fig 11 Dobbelt retvinklet projektion af skrå linje 13 http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/ Element%C3%A6r_rumgeometri_og_projektionstegning/deskriptiv_geometri?highlight=deskriptiv%20 geometri Fig 12 Eksempel på kotering. http://www.baerhaven.dk/baerhavenkort.htmm%3D1 13 Fig 13 Eksempel på aksonometri med forskellig faktor på y-aksen 13 http://www.denstoredanske.dk/@api/deki/files/380/=246720.801.png Fig 14 Perspektiv afbildning med to forsvindingspunkter 13 http://www.emu.dk/gsk/fag/mat/ren/perspektiv.html Fig 15 linje bestående af pixels. R+K 14 Fig 16 Punkt, linje, plan, rum. R+K 15 Fig 17 Kartesisk koordinatsystem 2d. 16 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Cartesian-coordinate-system. svg/300px-Cartesian-coordinate-system.svg.png Fig 18 Kartesisk koordinatsystem 3d 16 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/Cartesian_coordinates_3D. svg/300px-Cartesian_coordinates_3D.svg.png

S. 127

Fig 19 Polært koordinatsystem. 16 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/CircularCoordinates.png Fig 20 Cylindrisk koordinatsystem. 16 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Coordonnees_cylindriques.png Fig 21 Illustration af parameterrepræsentation. R+K 16 Fig 22 Udvikling af udvalgte former. R+K 17 Fig 23 Polygon. R+K 18 fig 24 regulær polygon. R+K 18 fig 25 konveks polygon. R+K 18 fig 26 konkav polygon. R+K 18 fig 27 trekant trigon. R+K 18 fig 28 firkant tetragon. R+K 18 fig 29 Forskellige polyedre. R+K 19 fig 30 rum-udfyldende kuber. R+K 19 fig 31 de platoniske legemer. R+K 19 fig 32. Voronoi. R+K 20 fig. 33 Delaunay med omskrevne cirkler. R+K 20 fig. 34 Voronoi <> Delaunay. R+K 20 fig 35. Delaunay med huller. R+K 21 fig. 36 AirSpace Tokyo - Faulders Studio. http://www.faulders-studio.com/ 21 fig. 37 Voronoi struktur i naturen. 21 fig 38 Delaunay-triangulering 3D . R+K 22 Fig 39. Beijing Svømmestadion. [AG] 22 fig. 40 Voronoi diagram i rummet. R+K 23 fig. 42 Voronoi 3D. R+K 23 fig 41 Voronoi diagram. R+K 23 fig 43 arkimedes spiral. R+K 24 fig 44 cirkelafvikler. R+K 24 fig 45 logaritmisk spiral. R+K 24 fig 46 konstruktion af cirkelafvikler. R+K 24 fig 47 Sneglehus. http://www.denstoredanske.dk/@api/deki/files/11439/=350329.801.png 24 fig 48 solsikke. http://fys.dk/perspektiv/per/ma/05ma/haefte/images/02_01.jpg 24 fig 49 Plantespiral. R+K 25 fig 50 helix. R+K 25 fig 51 sfærisk spiral. R+K 25 fig 52 slinky. R+K 25 fig 53 ellipse. R+K 26 fig 54 ellipsen er et keglesnit. R+K 26 fig 55 ellipse med fokuspunkter . R+K 26 fig 56 cirkel. R+K 26 fig 57 cirklen er et keglesnit. R+K 26 fig 58 superellipsebordet. 26 http://www.svanekjaer-moebler.dk/images/Spisestue/borde/superellipsebord.jpg fig 59 Sergels torv 26 http://www.matematiksider.dk/piethein.html fig 60 cosinus og sinus. R+K 27 fig 61 enhedscirklen. R+K 27 fig 62 Kløverbladsknude med 3 skæringer. R+K 28 fig 63 Ottetalsknude m 4 skæringer. R+K 28 fig 64 Kløverbladsknude lavet af et rør. R+K 28 fig 65 Kløverbladsknude. R+K 28 fig 66 Kløverbladesknude med tilhørende graf. R+K 29 fig 67 Ottetalsknude med tilhørende graf. R+K 29 fig 68 højre og venstrehånds kløverbladsknude. 29 http://www.emis.de/misc/cdrom/WMY2000/dk/zbl/Zentralblatt/Vagn%20Lundsgaard%20Hansen/ knuder.pdf

S. 128

Noter 1 ”The saga of Sydney opera house” Peter Murray. Taylor & Francis 2004. 12 2 www.wikipedia.org, www.denstoredanske.dk, http://mathworld.wolfram.com/ 12 topics/Geometry.html samt ”Geometri uden tal” ligger til grund for gennemgang. 3 ”Geometri uden tal” s. 15 12 4 Euklids Elementer. Oversættelse 12 http://www.archive.org/stream/euklidselemente00euclgoog/ euklidselemente00euclgoog_djvu.txt 5 Enklere formulering fra ”Geometri uden tal”: Gennem et punkt uden for en 13 ret linje går der højst én linje parallel med den givne linje. 6 http://library.thinkquest.org/2647/geometry/intro/point.htm 15 7 Litteraturstudie i følgende er grundlag for den følgende gennemgang. 17 http://mathworld.wolfram.com/topics/Geometry.html www.2dcurves.com www.denstoredanske.dk [AG] http://www.mathleague.com/help/geometry/polygons.htm 8 http://www.matematiksider.dk/piethein.html 26 9 http://www.emis.de/misc/cdrom/WMY2000/dk/zbl/Zentralblatt/ 28 Vagn%20Lundsgaard%20Hansen/knuder.pdf 10 Litteratur bl.a: Wikipedia på Voronoi og Delaunay, [AG] og a+u. 20

Afsnit 5 Figurer

fig. 1 fra Euklid - Elementer. http://www.flickr.com/photos/kiad/427247026/ 32 fig. 2 3D Voronoi - Grasshopper test 32 http://nmillerarch.blogspot.com/2009/04/3d-voronoi-porn-in-grasshopper.html fig. 3 Rhino + Grasshopper www.rhino3d.com + www.grasshopper3d.com 35 fig. 3.1 Grasshopper definition. R+K 35 fig. 4 MATLAB programkode. R+K 35 fig. 5 Definitions eksempel R+K 35 fig 6 - Grasshopper brugerflade. R+K 36 fig 7 - direkte feedback fra Rhino arbejdsområdet. R+K 37 fig 8.1 Simpelt trekant eksempel R+K 37 fig 8.2 Simpelt trekant eksempel R+K 37 fig. 9 - Iterations proces R+K 38 fig. 10 - Sommerfugleeffekten. R+K 38 fig. 11 - Tilfældige punkter. R+K 39 fig. 12 - Skitserende algoritme. R+K 40 fig. 13 - Tilfældigt træ: Grasshopper definition R+K 41 fig. 13.2 - Rendering - Struktureret tilfældighed R+K 41 fig. 13.1.1- Grasshopper definition: Domænet stiger med højden. R+K 41 fig. 13.1.2 - Grasshopper definition. R+K 41 fig. 14 Grasshopper definition - Cirkel R+K 42 fig. 15 Grasshopper definition - Enneper flade R+K 43 fig. 15.1 Grasshopper funktionseditor R+K 43 fig. 16 Grasshopper definition - Enneper flade R+K 43 fig. 17 R+K 44 fig. 18 R+K 44 fig. 19 www.flickr.com/search 45 fig. 20 R+K 45 fig. 21 R+K 46 fig. 22 Swiss Re London eksempel. R+K 46 fig. 23 SinusCosinus. R+K 47 fig. 24 sinus - cosinus koncept eksempel R+K 47

S. 129

fig. 25 CoSinus Pavillon R+K 48 fig. 26 kasseelement. R+K 48 fig. 27 Social space. R+K 49 fig. 28 Social space - Skitse af algoritme. R+K 49 fig. 29 Intelligent facade - Skitse af algoritme. R+K 50 fig. 30 Intelligent facade. R+K 51 Noter 1 http://en.wikipedia.org/wiki/Computer-aided_design 32 2 http://da.wikipedia.org/wiki/Algoritme 33 3 http://www.grasshopper3d.com Forum 39 4 http://en.wikipedia.org/wiki/Enneper_surface (07.12.09) 42 5 NURBS - Non-uniform rational B-spline - tilnærmede kurver. Se mere på http://en.wikipedia.org/wiki/Non-uniform_rational_B-spline 43 6 VEM3 - www.wem3.dk/#/showhow. 47

Afsnit 6 Figurer Bearbejdet kort fra Google Earth fig. 1 Costanera Sur - Puerto Madero. R+K 55 fig. 2 Bygningshøjder . R+K 56 fig. 3 Landskabssnit. R+K 56 fig. 4 Kort over Puerto Madero. R+K 57 fig. 5 Bevægelser og trafik. R+K 58 fig. 6 Placering. R+K 58 fig. 7 Vind R+K 59 fig. 7.1 Vindrose R+K fra opr. fra www.windfinder.com 59 fig. 8. Buenos Aires. R+K 58 1 http://c0170351.cdn.cloudfiles.rackspacecloud.com/28829_7987_m.jpg 2 http://c0170351.cdn.cloudfiles.rackspacecloud.com/28829_7987_m.jpg 3 http://www.flickr.com/photos/bucaorg/2203348101/ 4 Arquitectum Konkurrence program 5 Arquitectum Konkurrence program 6 http://www.aboutbuenosaires.org/abBuenosAires/images/excursions2_grande.jpg 7 http://www.stayinbuenosaires.com/blog/wordpress/wp-content/uploads/2006/12/res- ecologica.jpg fig. 9. Fra horisontal til vertikal. R+K 60 fig. 9.1. R+K 61 fig 10 Arealer R+K 63 fig 12 - Den vandrette historie R+K 64 fig 11 Etage udnyttelse. R+K 64 fig 11 Etage planer - 200 m2 hver. R+K 65

Noter 1

http://www.wordtravels.com/Cities/Argentina/Buenos+Aires/Climate

S. 130

Afsnit 7 Figurer fig. 1 - Diagram. Sammensmeltning af de 3 faser - Vertical Zoo R+K 66 fig 2 Voronoi definition. R+K 68 fig 2.1 VB Script - programkode R+K 69 fig 3. Cylinder R+K 70 fig 4. Definition R+K 70 fig 4. Definition R+K 71 fig 6. Definition R+K 71 fig 5. Rektangel. R+K 71 fig 7. Indskrevne kurver. R+K 71 fig 8. Indskrevne kurver. R+K 72 fig 9. Definition - Roteret plan. R+K 72 fig 10. Roteret plan Volumen. R+K 72 fig 11.1 Krumme flader. R+K 73 fig 11. Roteret Voronoi. R+K 73 fig 12. Roteret Voronoi med kurver. R+K 73 fig 13. Helix tårn. R+K 74 fig 14. Plantespiral. R+K 74 fig 15. Grasshopper definition. R+K 74 fig 16. Rheotomiske flader - Simpelt princip. R+K 75 fig 18. Knuder. R+K 76 fig 17. Knudeårn. R+K 77 fig 19. Definition. R+K 78 fig 20. Knude som punkter, kurve og solid. R+K 79 fig 21. Definition. R+K 80 fig 22. Definition. R+K 82 fig 23. Knude opdelt i elementer. R+K 83 Noter 1. Rheotomiske flader. 75 www.spacesymmetrystructure.wordpress.com/2009/02/06/rheotomic- surfaces 110 113

Afsnit 8 fig 1. Skitse over koncept. R+K 84 fig 2. Visualisering af koncept. R+K 85 fig. 3. Ottetalsknuden ser fra nogle vinkler meget symmetrisk ud. R+K 86 fig. 4. Forsøg med knuden som terasse. R+K 86 fig. 5. Forsøg med knuden. R+K 86 fig. 6. R+K 87 fig. 7. R+K 87 fig. 8. Knuden til adgang og ophold. R+K 87 fig. 9. R+K 87 Noter

S. 131

Afsnit 9 Figurer fig. 1. R+K 88 fig. 2 - udsnit definition - mønster til udvælgelse af flader. R+K 89 fig. 2.1 Sortering af flader. R+K 90 fig. 2.2 Generering og ekstrudering af kurver. R+K 90 fig. 2.3 Boolean difference. R+K 91 fig. 2.4 Materialisering. R+K 91 fig. 3. Glas elementer. R+K 92 fig. 3.1 Træpaneler. R+K 92 fig. 2.5. Elementer til glas og paneler. R+K 92 fig. 2.6. Udvælgelse af indre flader. R+K 92 fig. 2.7. Behandling af indre flader - udskæring af kurver. R+K 93 fig. 4. Den samlede definition. R+K 94 fig. 5. GH Fjernbetjening - Juster og se resultat. R+K 95 fig. 6 Facade studie. R+K 96 fig. 7 Materialisering - sammensmeltning R+K 97 fig. 8 Mateiale undersøgelse. R+K 98 Noter

Afsnit 10 Figurer fig. 1 Snit 1:500. R+K 102 fig. 2 Planer 1:500. R+K 105 fig. 3 Planer 1:500. R+K 107 fig. 4 - Vertical Zoo - Adgang fra stisystemtet i området. R+K 109 fig. 5 - Vertical Zoo - Øst view ved solnedgang. R+K 111 fig. 6 - Vertical Zoo - Syd-Øst view. R+K 113 fig. 7 - Vertical Zoo - Indgang R+K 115 fig. 8 - Vertical Zoo - Level 7. R+K 117

Noter

S. 132

Bøger: Architectural Geometry Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian Bentley Institute Press, 2007 a+u Architecture and Urbanism Special issue nov 2006,Cecil Balmond A+U Publishing Co, 2006

LITTERATUR

Den gyldne femkant Anker Tiedemann Høst og søn, 2002 Geometri uden tal Hans Fich Gyldendal, 1992 Hjemmesider: Geometri: www.2dcurves.com http://mathworld.wolfram.com/topics/Geometry.html http://www.mathleague.com/help/geometry/polygons.htm http://www.emis.de/misc/cdrom/WMY2000/dk/zbl/Zentralblatt/ Vagn%20Lundsgaard%20Hansen/knuder.pdf www.denstoredanske.dk Grasshopper: Grasshopper Primer: www.liftarchitects.com/journal/2009/3/25/the-grasshopper-primersecond-edition Algorithmic Modelling with Grasshopper: www.grasshopper3d.com/page/tutorials-1

S. 133