لـِمَـاذا تُـسْـتَـعْـمَـلُ ٱلـمِـنْـشَـفـةُ لِـتـَـجـْفِـيـفِ ٱلـجِـسْـمِ بَعْدَ ٱإلسْـتـِحْـمَـامِ بـَدَالً مِـنْ قِـطـْعَـةٍ كَـبِـيـرَةٍ مِـنْ قِـمَـاشٍ أمْلــَس ؟ ريـــمـــون نـجـيـب شـــكــــُّوري أتركُ للقارئِ تصنيفَ املقال. أمّ BBا أن BBا ف BBأرى امل BBقالَ خ BBليطاً م BBتجان BBساً م BBن نُ BBتـفٍ م BBن وع BBن الـرياضيات والسيرة الذاتية مُتَـبَّالً بِقصةٍ يتمازج فيها الواقعُ مع اخليال. أودُّ إسBBترعBBاءَ إنBBتباهَ الBBقارئِ بBBاإلقBBرار ِبBBأنBBني ٱخBBترتُ الBBعنوانَ وأنBBا أعBلمُ أنBه لBيس احملBورَ الBرئيسBي لBلمقالِ .فBقد وضBعتُه بِBوعBيٍ وبِسBبقِ إصBرارٍ ألسBتفزَّ الBلـُعابَ الBفكريَ لِBلقارئ .فBألBتمسُ مBنه الBصبرَ لBيواصBلَ الـBقراءةَ الـى آخـرِ عشريـن سطـرٍ لِيجـدَ الـجوابَ عـن الــسؤالِ الـمُثـار.
لِـمَـاذا تُـسْـتَـعْـمَـلُ الـمِـنْـشَـفـةُ لِـتـَـجـْفِـيـفِ الـجِـسْـمِ بَعْدَ اإلسْـتـِحْـمَـامِ بـَدَالً مِـنْ قِـطـْعَـةٍ كَـبِـيـرةٍ مِـنْ قِـمَـاشٍ أمْلــَس ؟ رميون شكـّوري أتركُ للقارئِ تصنيفَ املقالَ .فهو إمّا قصةٌ متضمِنةٌ نتفاً من الرياضيات ،وإمّا محاضرةٌ عن وفي الرياضيات متبَّلةٌ بقصةٍ .أودُّ إسترعاءَ إنتباهَ القارئ باإلقرار ِأنني إخترتُ العنوانَ وأنا أعلمُ أنه ليس احملورَ الرئيسي للمقالِ .فقد وضعتُه بِوعيٍ وبِسبقِ إصرارٍ ألستفزَّ اللعابَ الفكريَ لِلقارئ .فألتمسُ منه الصبرَ ليواصلَ القراءةَ الى آخرِ عشرين سطـرٍ لِيجدَ اجلوابَ عن الـسؤالِ الـمُثار.
•• •• 0
دفOعتْني الOى كOتابOةِ هOذا املOقالِ عOبارةٌ كOتبَها الOصديOقُ طOلعت مOيشو تOعقيباً لOه عOلى مقالٍ سابقٍ لي عنوانُه » :يا تني ،يا توت ،يا رمّان « منشورٍ في شباطِ 2014 يقولُ طلعت في تعقيبِه عني: ” واحل Bقُ وبِBBدونِ أي Bةِ مBBجامBBلةٍ أقBBولُ لBBو لBBم تBBكنْ پBBروفBBسور فBBي عِBBلـْمِ الBريBاضBياتِ لـَBكنتَ الBيومَ واحBداً مBن أشهBرِ الBكـُتّابِ الBعراقBيني خBاصBةً لغتُكَ املضبوطةُ متاماً التي تساعدُكَ في تسطيرِ ما تريدُ كتابتَه “.
ال أجOدُ كOلماتٍ مOناسOبةٍ أُعOبِّرُ بِOها عOن مOقدارِ شOكريَ لِOصديOقي طOلعت عOلى مOديOحِه
وإ طOرائOه الOذي أرى فOيه بOعضَ الشOيءِ مOن احلOقيقةِ ومOن املOبالOغةِ الشOيء الOكثير .لOيس هOدفOي مOن هOذا املOقالِ وضْOعَ تOقديOرٍ لِلنسOبةِ املOئويOةِ لِOلمبالOغةِ الOى احلOقيقةِ فOي عOبارتِOه ،إمنOا أودُّ تOبيانَ أنOه إذا وَجَOدَ صOديOقي الOكرميُ فOي لOغتي ضOبطاً يOساعOدُنOي فOي السOيطرةِ عOلى مOا أُريOدُ كOتابOتَه، فَيعودُ الفضلُ بِالدرجةِ األُولى الى الرياضيات.
أودُّ إسOترعOاءَ إنOتباهَ الOقرّاءِ الOى أنOي أعOلمُ أن لOدى عOددٍ لOيس بِOقليلٍ مOن ذوي ثOقافOةٍ واسOعةٍ تOصوراً خOاطOئاً عOن طOبيعةِ الOريOاضOياتِ .إذ يOتصورونَOها مجOرَّدَ الOعملياتِ احلOسابOيةِ املOعهودةِ ومجOموعOةٍ مOن قOوانOنيَ حلِOسابِ املOساحOاتِ واحلOجومِ وحOلولٍ املOعادالتِ الOتي تُسOتثمرُ 3
فOي حOياتِOنا الOيومOيةِ فOي عOملياتِ الOبيعِ والشOراءِ وفOي املOعامOالتِ املOصرفOيةِ وقOياسِ األطOوالِ واألوزانِ وسُرعِ السياراتِ ودرجاتِ احلرارةِ وغيرِها من األُمورِ التكنولوجيةِ البسيطةِ. صOOحيحٌ ،إن تOOلك فOOوائ Oدُ ال ميOOكنُ نOOكـْرانَOOها ،لOOكن الOOتأكOOيدَ املOOبال Oغَ عOOلى تOOلك الOفوائOد يOنأى بOالOدارسِ عOن فOهمِ األبOعادِ الOثقافOيةِ والOتاريOخيةِ والOتطوريOةِ لOلريOاضOياتِ ويُOعتِّمَ عليها ويُقللُ من إحساسِه لِتذوّقِها لِذاتِها. ال تOقعُ مOسؤولOيةُ الOتصورِ اخلOاطOئ عOن طOبيعةِ الOريOاضOياتِ عOلى أولOئك املOثقفني، إمنOOا تOOقعُ ،فOOي أغOOلبِ احلOOاالتِ ،عOOلى مOOناه Oجِها وأسOOالOOيبِ تOOدري Oسِها .إذ لOOيس غOOريOOباً أن يتخOOرجَ مOOعظمُ الOOطلبةِ مOOن مOOراح Oلَ دراس Oتِهم قOOبلَ اجلOOامOOعيةِ مOOشوشOOي الOOذه Oنِ عOOن طOOبيعةِ الOريOاضOياتِ إن لOم يOكونOوا كOارهOينَها .مOثلـُهم مOثلُ الOتلميذِ الOذي تُOقدّمُ لOه املOوسOيقى فOي دراسO Oتِه اإلب OOتدائ OOيةِ وال OOثان OOويO Oةِ ع OOلى أن OOها مجO Oرّدُ أص OOواتِ ال OOضجيجِ ال OOصادرِ م OOن س OOوقِ الOصفافOير ،ولOم يOسمعْ الOتلميذُ مبOوسOيقى بOيثهوڤOن أو بOاخ أو شOوبOرت وغOيرهOم وال حOتّى بِأسمائهم. .
4
•• •• 1
عOند نOهايOاتِ خOمسينياتِ الOقرنِ املOاضOي ،حOني كOنتُ طOالOباً أدرسُ فOي جOامOعةِ واليOة آيOوا فOي مOديOنةِ آيOوا األمOريOكيةِ لِOلحصولِ عOلى شOهادةِ الOدكOتوراه ِ،غOالOباً مOا كOنتُ أُسْOأَلُ عOن أخبارِ األحداثِ الدمويةِ التي جرتْ في العراقِ آنذاك وراحَ ضحيتُها امللكُ فيصلَ الثاني. ثOم ينجOرُّ احلOديOثُ الOى اإلسOتفسارِ عOن مOوضOوعِ دراسOتي الOذي جOئتُ أمOريOكا مOن أجOلِ اإلخOتصاصِ بِOه .وكOانOت مOن عOاداتOي الOتمازحَ مOع مَOنْ يOسألـُOني خOاصOةً إذا كOان الOسائOلُ مOن اجلOنسِ الOلطيف .فOيدورُ حOوارٌ عOن الOريOاضOياتِ وطOبيعتِها وأهOميتِها ومOناهOجَ وطOرائOقَ تOOدري Oسِها .حOOدث Oتْ خOOاللَ سOOنواتِ دراسOOتي عشOOراتٌ مOOن تOOلك الOOنقاشOOات .تOOشابه Oتْ نتائجُها بل كادتْ أن تتطابق. قOOبلَ بOOضعةِ أشهـ Oرٍ مOOن شOOروعOOي بِOOكتاب Oةِ املOOقالِ إنOOقدح Oتْ فOOي ذهOOني فOOجأةً أثOOناءَ مOوقOفٍ ) سOأتOطرقُ الOيه الحOقاً ( ذكOريOاتُ واحOدٍ مOن تOلك الOنقاشOاتِ بِجOميعِ تOفاصOيلِها الOدقOيقة .ملOعتْ بOعد حOدوثِOها بِOإثOني وخOمسني عOامOاً جOاثOمةً أمOامOي وكOأمنOا أعOيشُها الOيوم. أودُّ عOرضَ احلOوارَ لِOطرافOةِ مOا صOاحOبَه ومOا تOاله مOن أحOداثُ ،آخOرُِهOا قOصةٌ فOرعOيةٌ عOن الOعنوانِ اإلستفزازيِ الذي أستَهِلُ بِه املقال. سOOأل Oتْني إحOOدى طOOالOOباتِ اجلOOامOOعةِ سOOنةَ )1962وبِOOالOOضبط فOOي 27آذار ( الOOسؤالَ املOOعتادَ ” :مOOا هOOو مOOوضOOوعُ دراس Oتِكَ فOOي أمOOريOOكا ؟ “ .أجOOبتُها بِOOسؤالٍ ” :أمي Oكِنكِ أن حتزريه؟ “ .فَدارَ احلوارُ كما يأتي: كال كال كال كال
الرياضةُ البدنيةُ؟ اإلدارةُ ؟ التمثيلُ ؟ الصحافةُ ؟
إذن ماذا عساه أن يكون؟ 5
الـريـاضيات يا آنستي. فإنتفضتْ بصرخةٍ مكبوتةٍ الـــــــريـــــاضـــــيـــــات !!!!! .
وٱستمرتْ تقول :
أُوه ،كOم أكOرهُOها .هOل حتَOمّلتَ عOناءَ سOفرِ مOسافOاتٍ طOويOلةٍ كOي تـOدْرُسَ الــOريــOاضــOيــات؟!!! أنـOا أكـOرهُOها .تOصوّرْ أن درجOتَيَ فOي الOديOنِ والعلوم البيولوجية كانتا Aلكنها في الرياضياتِ .D
فBهمتُ ،فBهمتُ .O.K .فBهمتُ أنBكِ تBكرهBنيَ الBريBاضBياتِ ،إالّ أني أمتنى أالّ ميتدَّ كرهُكِ أيضاً الى ذوي اإلختصاصِ بها. ال ،ال ،ال ،ع OOفواً ،أرج OOو امل OOعذرةَ ،ف OOي ال OOواق OOع إن OOي أح OOترمُ OOهم وأقOدّرُهOم أسOمى تOقديOرٍ ،ألن مسOتوى ذكOائِOهم فOوقَ مسOتوى بOاقOي البشOر. هOم عOباقـOرةٌ مOثل آينشOتايOن .1إذ يسOتطيعونَ تOطبيقَ هOذا الOعِلـْمَ فOي شOتَّى أن OOواعِ احل OOقولِ م OOن ال OOتكنول OOوج OOيا ال OOى إس OOتكشاف OOاتِ ال OOفضاءِ وال OOفلكِ وغOيـرِهOا ،وغOيـرِهOا مOن الOعلومِ .هOكذا تOعلـّمتُ مOن خOاللِ مOا يُنشOرُ فOي وسOO Oائ O Oلِ اإلعOO Oالم .إنOO Oي أكOO Oرهُ مOO OوضOO Oوعَ الOO OريOO OاضOO Oياتِ فOO Oقط ولOO Oيس الرياضياتيني.
أودُّ طBمأنBتَكِ أن الBريBاضBياتBيني لBيسوا أعBلى مسBتوىً فBي الBذكBاءِ من مستواكِ يا آنسة التي ال أزالُ أجهلُ إسمَها. إسOOمي آرلOOني مOOونOOهان مOOن والي Oةِ تOOكساس ،أنOOا فOOي الOOسنةِ الOOثالOOثةِ اجلOO OامOO Oعيةَ وأدرسُ لِOO Oلحصولِ عOO Oلى شOO Oهادةِ الOO OبكلوريOO Oوس فOO Oي الOO Oعلومِ البيولوجيةِ.
يُسعدُني التعرّفَ عليكِِ ” .آرلني “ إسمٌ له وقعٌ موسيقيٌ. شـكـراً لكَ
تBدّلُ لBهجتُكِ عBلى أنBكِ مBن اجلBنوب .أعBتقدُ أنBكِ تBعرفBنيَ إسBمي ” رميBون شBكـُّوري “ .أتBيتُ مBن بBغدادَ تBلك املBديBنةَ الBتي إرتBبطَ إسBمُها عندَ الغربِ بِقصصِ ” ألفِ ليلةٍ وليلة “. 1من األخطاءِ الشائعةِ أن آينشتاين من كبارِ عباقرةِ الرياضيات .لكنه ــ في الواقعِ ــ فيزيائيٌ يستعني ُبِِالرياضياتِ العاليةِ في بحوثِه. وكان يقولُ :ال تقلقْ حولَ صعوباتِك في الرياضياتِ .أُوكـِّدَّ أن صعوباتي أكبر. 6
أمّBا ضBعفُ درجBتِكِ فBي الBريBاضBياتِ فBأعBزوه عBلى األكBثر الBى ضBعفٍ في املناهج وسوءٍ في التدريس. لBن أسBألـَBكِ أن تBذكBري أسBماءَ ثBالثBةٍ مBن كBبارِ مBؤلBفي املBوسBيقى الBBكالسBBيكيِة ألنBBي مBBتأك Bدٌ أن بِBBاسBBتطاع Bتِكِ اإلتBBيانَ بِBBأكBBثرَ مBBن ثBBالثBBة. لBكن ،عBلى سBبيلِ اإلخBتبارِ والBتوضBيح ،مBاذا سBتردِِّيBن إذا قBلتُ إن إسBحق نيوتن من أكبرَ عمالقةِ الرياضيات؟ سأقولُ كال .إنه مكتشفُ قواننيَ اجلاذبية.
هBذا صBحيحٌ .لBكنه أيBضاً أحBدُ مBكتشفي املBوضBوعِ الBذي لBيس من بُدٍّ أنكِ درستيه في إحدى مراحلِ دراستِكِ .أتعلمنيَ ما هو ؟ كال ،أُقرّ أني ال أعرف .رمبّا يكونُ الهندسةَ اجملسَّمةَ.
إنBه حBسابُ الBتفاضBلِ والBتكامBلِ .بِBالBتأكBيدِ أنBتِ ومBعظمُ خBريBجي اجلBامBعاتِ غBافBلونَ عBن الBنزاعِ الBذي نBشأَ بBني نBيوتBن والBفيلسوفِ األملBانBيِ اليBBبنـتـز حBBولَ األسBBبقيةِ فBBي إكBBتشافِ حBBسابِ الBBتفاض Bلِ والBBتكامBBل .ال أودُّ الBدخBولَ فBي هBذه الBعجالBةِ بBنقاشِ األسBبقياتِ .إمنBا أُريBدُ فBقط الBقَولَ إن هBBذا مBBثالٌ واح Bدٌ مBBن عشBBراتِ األمBBثلةِ الBBتي لBBو عُBBرض Bتْ عBBلى الBBطلبةِ وأُضْBفِيتْ تBأكBيداتٌ عBليها بِBاألسBئلةِ اإلمBتحانBيةِ ،ألسْBبَغَتْ عBلى املBوضBوعِ حيويةً وأبرزتْ أن به ملساتٍ بشريةٍ في تطوّره. ليسBت الBريBاضBياتُ مBوضBوعBا ًمBغلقاً نBازالً مBن أعBالBي الBسماءِ لBم ميBسْه بشBرٌ .إمنBا تBوجBدُ فBيه مBعضالتٌ صBامBداتٌ عBاصBياتٌ عBن احلBلِّ أمBامَ عBBقولٍ جBBبارةٍ لِBBسننيَ طBBويBBلةٍ قBBد إمBBتدّتْ فBBي بBBعضِ احلBBاالتِ الBBى اآلالف وعَBبَرَتْ خBاللBها احلBضاراتِ والBقارات .وال يBزالُ بBعضُها عBاصBياً .أُقِBرُّ أن مBعظمَ تBلك املBعضالتِ حتBتاجُ جملBرّدِ فBهمِها الBى خBلفياتٍ فBي الBريBاضBياتِ أكBBبرَ ممِّBBا مBBتواف Bرٌ لBBدى الBBطلبةِ مBBن غBBيرِ ذوي اإلخBBتصاص .لBBكن يBBوج Bدُ ق BBليلٌ م BBنها ال ي BBحتاجُ ف BBهمُها ال BBى ت BBلك اخل BBلفياتِ ،فه BBي ف BBي م BBتناولِ قBابBلياتِ طـBلبةِ الـBمراحBلِ الBدراسBيةِ املBنـاسBبةِ لِBطبيعةِ املBشكلةِ .أذكـBرُ مBنهـا عBلى سBبيلِ املBثال ” مOسألOةُ األلOوان ِاألٍربOعةِ “ 2الBتي ظهBرتْ سBنةَ 1852 وال زالـ Bتْ عــBBاصBBيـةً عـBBلـى الـBBبتِّ فBBي صBBدقِBBهـا أو بُBBطالنِBBها .وهBBي تBBنصُّ
2كانت املسألةُ عاصيةً عن احللِّ في زمنِ ذلك احلديثِ أي سنة .1962لكن في سنة 1976برهنَ الرياضياتيان آپيل و هانكل عليها بِاستخدامِهما الكومبيوتر 1200ساعة!!!! ، 7
عBBلى ” أنOOنا ال نOOحتاجُ الOOى أكOOثرَ مOOن أربOOعةِ ألOOوانٍ لِOOتلوي Oنِ أيِّ خOOريOOطةٍ سياسية «.3 أعBتقدُ أنBكِ تBتفقنيَ مBعي أن تَـBفَـهُمَ وتَBذَوِّقَ هBذه املBشكلةِ لBيس فBقط ضBمنَ قBابBلياتِ تBلميذٍ فBي الBصفِ الBرابBعِ إبBتدائBي وإمنBا يخBلقُ عBرضُBها عBليه إحBساسBاً بِBأن الBريBاضBياتِ فBي تBطوّرٍ ومنBوٍ ،ورمبّBا يُBحفِّزُه عBلى الBتفكيرِ بِالتصدي لها. لBBكني أقBBرأُ مBBن مBBالحBBظةِ جت Bهُمِ قBBسماتِ وج Bهِكِ أن Bكِ تBBعترض Bنيَ مBدعBيةً أن ال عBالقBةَ لِBلتلويBن بِBالBريBاضBيات .كBال ،ــ يBا آنBسة ـــ إن عBددَ األلوانِ يعكسُ صفاتِ جتزيءِ السطوح أمّBB Bا تBB Bعلـُمُكِ أهBB Bميةَ املBB BوضBB Bوعِ الBB Bذي تBB BكرهBB Bينه مBB Bن خBB Bاللِ الBBتكنولBBوجBBياِ وإكBBتشافBBاتِ الBBفضاءِ والـBBفلكِ وغBBيـرِهBBا مBBن الBBعلوم ،ومBBن خBاللِ مBا يُنشَBرُ فBي وسBائBلِ اإلعBالمِ ،فَBاسBمحي أن أكBونَ صBريBحاً مBعكِ ألِقBولَ انBكِ تBنظريBنَ الBى األٌمBورِ بِBاملBقلـوب .إدعـBاؤكِ مBغالـBطـةٌ تـBتــوضـBحُ بِالـمثـالِ الـمشهورِ: ” إن اجلسرَ موجـودٌ كي مترّ من حتتِه مياهُ النهر “. أُريBدُ أن أقBولَ إن الBتطبيقاتِ الBتي تBعرّفBتِ عBليها مBن خBالل وسBائBلِ اإلعBBالمِ هBBي نBBتيجةٌ حBBتميّةٌ مBBن سBBمةِ التجBBري Bدِ الBBعالBBي الBBتي تتحBBلى بBBها الBBريBBاضBBيات ولBBيس ــ كBBما أوح Bتْ عBBبارتُBBك ــ عBBلى الBBرغ Bمِ مBBنها .ال أودُّ التحBدثَِ عBن مBفهومِ التجBريBدِ 4بBتعريBفٍ فBلسفيٍ دقBيقٍ خشBيةَ أن يBزيBدَكِ الBتعريBفُ تBشوشBاً .لBكن سBأُحBاولُ بBدالً مBن ذلBك شBرحَ املBفهومِ مBن خBاللِ أمBBثلةٍ مBBنتقاةٍ .وسBBأعBBملُ عBBلى مBBساعBBدتِ Bكِ فBBي الBBصعودِ عBBلى سُBBلـّمٍ مBBن التجريدات. 3إن املقصودَ في لغةِ الرياضياتِ بِالتعبير ” تلوينُ خريطةٍ سياسيةٍ “ جتزيءُ املستوي الى مناطقَ شبيهةٍ بِِالدوَّلِ والبحارِ وتلوّنُ املناطقَ املتجاورةُ بألوانٍ مختلفةٍ إالّ إذا تكوّنتْ الدولةُ من منطقتني تفصلُ بينهما دولةٌ أخرى فعندئذٍ تُلوّنُ املنطقتان بِلوننيُ مختلفنيِ على عكسِ ما هو متداولٌ جغرافياً. 4إن جتريدَ شيءٍ ملموسٍ هو عمليةٌ جتُرى على املستوى الذهنيِ ،يتمُّ خاللـَها إستبعادَ بعض صفاتِ ذلك الشيءِ كي يُشتقَ ممّا أُسْـتُبْقِيَ من صفاتِه مفاهيمٌ أو مدركاتٌ قد تُستغَلُ في فَهْمٍ أعمقَ عا ذلك الشيء .بِِعبارةٍ أدًّ قَ :جتريدُ شيءٍ ملموسٍ هو عملية ٌذهنيةٌ يتمّ بِها جتاهلَ بعضَ صفاتِ الشيءِ وِإبقاءَ من صفاتِه فقط على تلك التي لها شأنٌ في خدمةِ غايةٍ معينةٍ .وجتُرى في حياتِنا اليوميةِعملياتُ التجريدِ بِاستمرارٍ تقريباً دون إدراكٍ تامٍ ألهميتِه .لكن حني نُفكـِّرُ فلسفياً عندئذٍ ندركُ إستحالةَ إجراءِ التفكيرِ نفسِه إالّ على مستوٍ جتريديٍ. 8
فOي هOذه اللحOظةِ قOاطOعتْني قOائOلةً بِOانOزعOاجٍ واضOحٍ ،إنOها ال تOتفقُ مOعي بOلْ تOعتقدُ بِOأن اإلبOتعادَ بِOواسOطةِ التجOريOدِ عOمّا هOو مOلموسٌ ومOحسوسٌ يُOضببُ األفOكارَ فOيغدُو الOتفكيرُ مOضطربOاً بOعيداً عOن الOواقOع .ثOم أردفOتْ تOقولُ إنOها تOشمئزُّ مOن راقOصةٍ تتجOردُ مOن مOالبOسِِها لِOOيتمتعَ املOOتفرجOOون بِOOالOOنظرِ الOOى جس OدِهOOا الOOعاري .وواصOOلتْ تOOقولُ هOOكذا أرى التجOOري Oدَ بِصورةِ عامة. لOم أكOنْ أتOوقOعُ مOطلقاً أن يOربOطَ أيُّ إنOسانٍ عOلى الOكرةِ األرضOيةِ عOمليةَ التجOريOدِ الOتي تOتمُ عOلى املسOتوى الOذهOنيِ مOع تOعرِّي الOراقOصاتِ عOلى املOسارح ،ممِّOا جOعلـَني أعOي أن توضيحَ املفاهيمِ لِها يحتاجُ وقتاً أطولَ بِكثيرٍ ممِّا كنتُ أتوقعُه. فَاقترحتُ عليها إكمالَ نقاشِنا في محلِ الپيتزا اجلديدِ الواقعِ عبرَ الشارع. رَحَّبَتْ بِالفكرة. إنOتظرنOا زهOاءَ دقOيقتنيِ عOند مOدخOلِ احملOلِ.ثOم دُعOينا الOى املOقعدِ اخلOالOي الOوحOيدِ فOي املOطعمِ .وكOان يجOلسُ عOلى املOقعدِ املOقابOلِ رجOلٌ يُOدّخOنُ سOيگاراً مOن الOنوعِ الOكوبOيِ الOكبيرِ ويOنفثُ دخOانOاً كOثيفاً يOتلـَّوى كOاحلOيةِ حتOت مOروحOةٍ سOقفيةٍ الOتي بOدا أنOها شُOغِّلـَتْ خOصيصاً لِتبديدِ الدخان. كOان احملOلُ مOكتظاً بِOالOزبOائOنِ ،والOنادالتُ يOذهOنبَ رواحOاً ومOجيئاً مُحَOمّالتٍ بِOالOپيتزا على صوانٍ معدنيةٍ .فَطلبتُ قرصنيِ إثننيِ من الپيتزا ذاتَي عشرِ إجناتٍ قطراً. أثOOارَ كOOالمُOOها عOOن الOOتعرِّي ذكOOرى عOOن جتOOربOOتي الOOشخصيةِ الOOفريOOدةِ والOOوحOOيدةِ فOOي ملهىً لِلسترپتيز في لندن فبدأتُ أُلـَطـِّفُ اجلوَ املكهربَ بحكايةِ قصةِ جتربتي. كBBانBBت الBBراقBBصةُ تBBتعرى بBBتأنٍ .تخBBلعُ مBBالب Bسَها قBBطعةً قBBطعةً. ويتخBBللُ الBBفترةَ بBBني خBBلعِ قBBطعةٍ وأُخBBرى فBBاص Bلُ رق Bصٍ إغBBرائ Bيٍ وعBBزفٍ مBوسBيقيٍ مBثير .بBدأتْ بِخBلعِ قBبعتِها ثBم مBعطفِها الBطويBل وتُBبرزُ أثBناءَ رقBصِها عBن سBاقBها اجلBميل مBن شBقٍّ فBي اجلBهةِ اليسBرى مBن فسBتانِBها .وبBعد حBوالBي عشBريBنَ دقBيقةٍ ،وصBلتْ الBراقBصةُ فBي تBعرِّيBها الBى الBذروةِ إذ لBم تBبقَ عBBليها سBBوى الBBقطعةِ األخBBيرةِ مBBن مBBالب Bسِها فَBBإرتBBفعَ صBBخبُ وضBBجيجُ 9
ملBوسBيقى املBثير وطBالBتْ فBترةُ الBعزف .وعBلى حBني غBرةٍ خBلعتْ الBراقBصةُ بِحركةٍ مباغتةٍ القطعةَ األخيرةَ .وإذا بالراقصةِ رجلٌ!!!!
إنفجOرتْ آرلOني بِOضحكةٍ مOدويOةٍ مOزلOزلOةٍ )مOن الOقلبِ كOما يُOقالُ( هOزّتْ املOروحOةَ الOسقفيةَ بِOحيث خشOيتُ مOن سOقوطِOها فOوق رأسOينا وسOالOتْ دمOوعٌ مOن عOينيها مOدةَ عشOرِ دقائق. بOOعد هOOدوءِ عOOاصOOفةِ ضOOحكِ آرلOOني وجتOOفيفِ دمOOوعِOOها ،بOOدأتُ أتOOكلـّمُ إسOOتعداداً إلِسOتئنافِ نOقاشِOنا مOعبِّراً عOن عجOزي تOصوّرَ إنOسانٍ واحOدٍ يOربOطُ بOني التجOريOدِ فOي الOعلومِ والفنونِ من ناحيةٍ والتعرِّي العامِ على خشبةِ املسرحِ من الناحيةِ األُخرى .فقلتُ: كBBنتُ أنBBوي ـــ قBBبل إقBBحامِ Bكِ قBBضيةَ الBBتعرِّي ـــ شَ Bرْحَ املBBوضBBوع بِتسBلسلٍ تـBاريـBخـيٍ بBدءاً مBن مBساهBمـاتِ سBكنــةِ وادي الBرافBديBن .لBكن زجَّBكِ املBفـاجBئَ بِBاملBوضBوعِ اجلBانBبيِ إضBطـرَنBي أن أُعBدِّلَ نBهجي ،فBغدوتُ أُفB Bضِّلُ ال BBبدءَ م BBن ال BBتوج BBهاتِ احل BBدي BBثةِ نس BBبياً .وب BBعدئB Bذٍ أع BBودُ ال BBى مساهماتِ احلضاراتِ القدميةِ ووقـْعِها على التطوراتِ احلديثة. أُنBBظري حBBوالـَ Bيْكِ !! أُنBBظري عBBلى هBBذا الBBكوبِ وعBBلى الBBتمثالِ املBصغّرِ لِBبرجِ آيفىل املBوجBودِ فBوقَ الBطاولBةِ وأُنBظري عBلى املBروحBةِ الBسقفيةِ الBتي كBادتْ ضBحكتُكِ تُBسقطـُها ،وعBلى بBلوراتِ الBثلجِ الBتي تBشاهBديBنَها على زجاجِ النافذة.
10
هل جتدين صفةً مشتركةً بني هذا التنوعِ من األشياء ؟. كOال ،كOال ،إنOني مOتأكـِّOدةٌ مOن عOدمِ وجOودِ أيِّ شOيءٍ مشOتركٍ بOينها على اإلطالق
سOكتتْ بOرهOةً تُOفكـِّرُ مOليّاً وتOنظرُ حOوالـَOيها وعOلى اجلOدرانِ واملOقاعOدِ املOقابOلة .ثOم إستأنفتْ حديثَها: إنOOي آسOOفةٌ .رمبّOOا ٱسOOتعجلتُ فOOي إجOOابOOتي .إمهOOلـْني رجOOاءً دقOOيقةً أُخرى .دعْني أُعـيـدُ التفكير. اآلن أسOOتطيعُ أن أقOOولَ إن هOOذه األشOOياءَ تشOOتركُ جOOميعاً فOOي أنOOها جOOام Oدِةٌ وصOOلبةٌ فهOOي ال تتحOOركُ إالّ إذا أُخْ Oضِعَتْ الOOى قOOوةٍ خOOارجOOيةٍ وهOOي ليس Oتْ سOOوائ Oلَ أو غOOازاتٍ كOOالOOدخOOانِ املOOنبعثِ مOOن سOOيگارِ الOOرج Oلِ اجلOOال Oسِ مقابلِنا.
آرل BBني ،آرل BBني!! ك BBان ع BBليكِ أن ت BBخفضي ص BBوتَB Bكِ إذ ي BBبدو أن الرجلَ سمعَكِ فأطفأ سيگارَه. كBال ،لBيس هBذا اجلBوابُ الBذي أتBوقَّBعُه .لBعلَ السBببَ صBياغBتي الBBسؤالَ بBBشكلٍ غBBيرِ ِكBBام Bلٍ .عBBلى ك Bلِّ حBBالٍ تسBBتحقنيَ الBBتهنِئةَ فBBقد تBقدّمBتِ وخَBطـَوْتِ خBطوةً كBبيـرةً ،فَـBأدركـBتِ بِـBعـدمِ وجـBودِ أيّ عـBالقـBةٍ تـBربـBطُ الـتجـBريBدَِ الـBذي أتBكـلـّمُ عـBنه مـBع ِالBتعري املسBرحBي .صBحـيـحُ ،أن فـ BBي ك BBليهمـا عـ BBمليةَ خَـ BBلـْعٍ ل BBكـن الـخَ BBلـْـعَ فـ BBي التج BBريB Bدِ يُج BBرى ع BBلى مسBتوى الBفكرِ ،ال عBالقBةٌ لBه بِخَBلـْعِ مBالبBسٍ أو خلعِ أسنانٍ أوخلعِ مسمارٍ من حائط. دعBيـني أُعBيـدُِ صBيـاغBةَ ِسBؤالــــBي : ” ركـِّBزي تBفكيرَكِ مBرّةً أُخBرى عBلى الBكوبِ وبBرجِ آيBفل واملBروحBةِ وبBلورةِ الBثلجِ “ وكBي أُسBاعBدَكِ أُضBيفُ الBيها الBزخBرفَ عBلى سBتارةِ النافذةِ اجملاورةِ. فهBل جتBديBنَ صBفةً مشBتركBةً تBتمتعُ بِBBها هBBذه األشBBياءُ جBBميعاً وال تBBتمتعُ بBBها الصخBرةُ اجلBبليةُ الBتي تBشاهBديBنَ صBورتَBها في اللوحةِ على اجلدارِ املقابل؟ 11
إنOOي عOOاجOOزةٌ .فOOكـَّرتُ طOOوي OالًومOOلـِّياً .أج Oدُ نفسOOي غOOيرَ ذكOOيةٍ مبِOOا يكفي للِتوصلِ الى صفةٍ مشتركةٍ .أرجوكَ مساعدتي
إذا كBانBت هBذه رغBبتَكِ ،فــَ O.KسBأعBفيكِ مBن التحBزر وأقـBولُ إن جمـيعَ األشـياءِ الـمذكورةِ تـتّمتعُ بـِصفةِ الــــتــــنــــاظـِــــر. يBجب أالّ تتسBرعBي وتBتهمي نBفسَكِ بِBنقصٍ فBي الBذكBاءِ جملِBرّدِ عBدمِ تBBوص Bلِكِ الBBى الBBصفةِ املشBBترك Bةِ ،إذ أُرجِّBBح أن إخBBفاقَ Bكِ يBBعودُ الBBى أن التناظراتِ مألوفةٌ جداً بحيث مترُّ أمامَنا دونَ مالحظتِها. الBتناظBراتُ أنBواعٌ وأشBكال .إذا سBمحتِ اآلن الBى إلBقاءِ نBظرةٍ عBلى نBوعِ الBتناظBرِ لِBكلٍّ مBنها .الBكوبُ مBتناظBرٌ إنBعكاسBياً أي أنBه يBنطبقُ عBلى نBBفسِه إذا ِوُضِ Bعَتْ مBBرآةٌ مBBن وس Bطِ املBBكانِ الBBذي ميُBBسكُ بِBBه ،ويشBBبهُ الBBى حBدٍ كBبير ٍاملBنظرَ فBي تBلك الBلوحBةِ الBبعيدةِ الBذي يBبَُـيِّـنُ أشBجاراً مBنعكسةً عBBلى سBBطحِ املBBاء .أمّBBا املBBروح Bةُ وبBBرجُ آيBBفل والBBبلورةُ الBBثلجيةُ فBBتناظBBراتُBBها دوارانBيةٌ ،أي أن يBنحفظَ شBكلُ كBلٍّ مBنها بBعد تBدويBرِِه بِBزاويBةٍ مBعينةٍ 5الBتي هBي 120°ملِBروحBتِـنا و 90°لBبرجِ آيـBفل و 45°لِBلبلورة الBثلجية .أمّBا بِBالنسBبةِ الBى الBزخBرفٍ فَBيُسمى تBناظBرُه إنBعكاسBاً إنBزالقBياً أى أنBه تBركBيبُ إنBعكاسٍ حولَ مستقيمٍ مع إنزالقٍ على املستقيمِ نفسِه وميكنُ توضيحَه بِالشكلِ اآلتي:
لBقد أعBطيتُ أولBويBةً فBي شBرحِ مBفهومِ التجBريBدِ ألنBه أداةُ الBتفكيرِ ف BBي ج BBميع م BBناح BBي امل BBعرف BBة :ف BBي ال BBعلومِ وال BBفنونِ وامل BBوس BBيقى إال أن الرياضياتِ أفضلُ حقلٍ لِشرحِ مستوياتِه وأهميتِه لOOقد تOOوضّ Oحَ لOOي مOOفهومُ التجOOري Oدِ وأدرك Oتُ أنOOه سOOيرورةُ عOOملياتٍ جتُرى على املستوى اإلدراكي. 5على أن يكونَ قياسُ زاويةِ الدورانِ أصغرَ من 360درجة. 12
أش OOكرُكَ ج OOزيO Oلَ ال OOشكـْر .ل OOكنني ال أزالُ غ OOيرَ واع OOيةٍ لِ OOعالقO Oةِ موضوعِ التناظراتِ بِالرياضيات.
ال ـــ ي BBا آرل BBني ـــ أنB Bكِ ع BBلى خ BBطأٍ .ف BBي احل BBقيقة إن م BBوض BBوعَ الBتناظBراتِ مBن صُBلـْبِ الBريBاضBيات .ونBظريBةُ الBزمBر Group Theory 6إحBدى أهBمّ أدواتِ الBتعمقِ فBي دراسBةِ الBتناظBرات ،وتُBطبّقُ فBي داخBلِ الBريBاضBياتِ نBBفسِها وفBBي حBBقولِ الBBكيمياءِ خBBاص Bةً فBBي دراس Bةِ األطBBيافِ وفBBي مBBسائ Bلِ التشفيرِ ،وال ميكنُ تصورَ فيزياءِ اجلزيئاتِ من دونِ نظريةِ الزمرِ.
كOنتُ أنOظرُ مOلياً عOلى آرلOني كOي أسOتمرَّ بِOاحلOديOثِ عOن الOزمOرِ وتOطبيقاتِOها حOني جOOاءتْ الOOنادل Oةُ بِOOالOOپتزا وطOOالOOبتْ بِOOدف Oعِ احلOOسابِ .إنOOقطعَ تسOOلسلُ أفOOكاري .وسOOادَ صمتٌ لِدقيقةٍ أو دقيقتني كسرتْه آرلني بِتعليقٍ مفاجئٍ قائلةً: هل أنتَ معجبٌ بيّ ؟ نظراتُكَ الثاقبةُ تدُّلُ على اإلعجاب.
نBBعم ،أنBBا مBBعجبٌ بِتسBBريBBحةِ شBBعرِكِ وبBBابBBتسام Bتِكِ وبِBBضحكِتِكِ الBرنBانBة وأتBعجبُ ممَBنْ ورثBتِ عBينيكِ اخلBضراويBن .نBظراتBي يBا آرلBني ليسBت ثBاقBبةً إمنBا ” شBاطِBرةً “ أي تشBطـرُكِ الـBى شـBطـريـBن متBرُّ مBرآةٌ بBينهما مBن قِBمةِ رأسِ Bكِ الBBى أخBBمصَ قBBدمBBيكِ فBBيتبنيُ بِBBها تBBناظ Bرُكِ اإلنBBعكاس Bيُ بِBBوضBBوحٍ، وأُالحBظُ أيBضاً تBناظBراتٍ فBي فسBتانِBك إذ أُشBاهBدُ جBيباً عBلى ميBينِكِ مBنعكساً عBلى يBساركِ وأُشBاهBدُ جBيباً عBلى يBسارِكِ مBنعكساً عBلى ميBينِكِ ،كBما أرى عليه نقشةً متناظرةً إنزالقياً .كلُّ شيءٍ يثير اإلعجاب. تOدلُ إجOابOتُكَ عOلى إجOادتِOكَ املOراوغOةَ الOدبOلومOاسOيةَ .هOل تُOعَلـِّمُ الرياضياتُ املرواغة؟
الBريBاضBياتُ تBعلـِّمنا أُمBوراً كBثيرةً .مBن املBفيدِ أن تBعلمي أن هBناك مBوضBوعٌ فBي الBريBاضBيات يُBعلـِّمُكِ إيBجاد اإلسBتراتBيجُية الـBمُثلى لBلمراوغBة، يُسَّمى نظريةُ املباريات .Game Theory إنOOك تOOري Oدُ أن تOOقولَ ،بِOOتعبيرٍ صOOري Oحٍ لOOيس فOOيه ل Oفٌ وال دوران، أنك معجبٌ بِِالتناظراتِ في آرلني وليس بِآرلني. على كلِّ حالٍ أرجو اآلن أن تغمضَ عينيكَ للحظةٍ. 6ال تدُّلُ كلمةُ » زمرة « في الرياضياتِ على مجموعةٍ من البشر .يجب أن يُفْهمَ أن من عاداتِ أهلِ الرياضياتِ إطالقُ أسماءٍ عاديةٍ ى مفاهيمَ رياضياتيةٍِ معّقدةٍ مثلَ ” زمرة “« و” حقل “ و ” حلقة “ و ” عقدة “ و ” فوضى “ و ” كارثة “. وبسيطةٍ عل ' 13
O.Kأغمضتُ عينيّ.
كOنتُ أتOوقOعُ أنOها تOريOدُ إخOتبارَ قOوةَ مOالحOظتي بِOتغييرِ شOيءٍ مOا مOن مظهOرِهOا أو مOن مOواقOعِ األشOياءِ املOوجOوداتِ عOلى الOطاولOة.وحOني أبOلغتْني بِOإنOتهاءِ فOترةِ ” الOتغميض “ سOألOتْني عOمّا حOدثَ مOن تOبديOل .حOدَّقOتُ مَOلياً عOليها وجُOلـْتُ بِOبصري حOوالـَOيّ .لOم أسOتطعْ مُOالحOظةَ أيَّ تبديلٍ .فَاعترفتُ بِعدمِ متكـُّني من إكتشافِ تغيـيرٍ .عندئذٍ إبتسمتْ قائلة: ه OOذا م OOؤشO Oرٌ ج OOيدٌ ع OOن م OOصداق OOيتِكَ .إذ ل OOو مت OOكـَّنْتَ ألت OOهمتُكَ بِاستراقِ النظر. مOن املOؤكـّOدِ أنOكَ تOالحOظُ تOقطيعَ قOرصِ الOپـيتزا الOى شOرائOحَ عOلى شOOكلٍ شOOبيهٍ مبِOOثلثاثٍ مOOنتظمةٍ تOOقعُ رؤوسُOOها عOOلى مOOرك Oزِ الOOقرص .أدرتُ الOOقرصَ الOOذي أمOOامَ Oكَ بِOOزاوي Oةِ 120درج Oةٍ حOOول مOOرك Oزِه.مOOن املسOOتحيلِ مOOالحOOظةُ الOOتغييرالOOذي طOOرأ عOOليه ِبِOOفضلِ تOOناظـُOOره الOOدوران Oيِ مبِOOضاعOOفاتِ الستني درجةٍ إالّ إذا وُضِِـعَـتْ إشـارةٌ صغيرةٌ عليه.
عBظيم ،آرلBني ،عBظيم .لBم تBفهمي مBفهومَ الBتناظBرِ فحسBبْ بBل إسBتوعBبتِيه الBى الBدرجBةِ الBتي أخBذتِ تBكشفنيَ وسBائBلَ مBن احلBياةِ الBيومBيةِ لِBتوضBيحِه أوالً وإلِسBتخدامBه فBي الBكشفِ عBن الBغشِّ ثBانBياً .إضBافBةً الBى هBذا ،يُBشكـِّلُ قBولـُBكِ وضْBعَ إشBارةٍ ملِBعرفBةِ حBدوثِ تBدويBرٍ هBو أحBدَ املBفاهBيمِ احلديثةِ في الفيزياءِ املسمى » تناظرٌ منكسرٌ «. لBBن أقBBبلَ مسBBتقبالً كBBالمَ Bكِ عBBن إنBBخفاضِ ذكBBائ Bكِ .أمَّBBا اآلن لِنستثمرَ قرصَ الپيتزا الدائريَ ألِغراضٍ ٍأُخرى هل هنالك إستثمارٌ غيرُ تناولِه طعاماً ملِلءِ املعدة ؟.
طBبعاً تBوجBدُ إسBتثماراتٌ أُخBرى .مBثلما قBالَ مBوسBى عBن عBصاه، أقBولُ أنBا عBن الBقرصِ الBپبتزوي :أهBشُّ بBه أفBكاري وأتBوكBأُ عBليه مبِBفاهBيمي ولي فيِه مآربٌ أُخرى. أح Bدُ مBBآربBBي ” األُخBBرى “ الBBطلبُ مBBنكِ إيBBجا طBBريBBقةٍ حلِBBسابِ مBساحBةِ الBقرصِ الBدائـBريِ املBتمثـلِ بِBالBپيتـزا ) دونَ اإلعBتمـادِ عBلى صBيغـةٍ تعـرفيها سابـقاً ) أي من الـ ( scratch قOOلتُ قOOبلَ قOOليلٍ أن ك Oلَّ شOOريOOحةٍ تOOكادُ أن تOOكونَ مOOثلثاً مOOنتظماً. نOOعلمُ أن مOOساح Oةَ املOOثلثِ هOOي حOOاص Oلُ ضOOربِ طOOولِ قOOاعOOدتِOOه فOOي إرتOOفاعِOOه. 14
ع OOفواً ،ع OOفوا ً.ك OOدتُ أن أقO Oعَ ف OOي خ OOطأٍ جس OOيمٍ حت OOاسO Oبُني ع OOليه ح OOسابO Oاً عسOيراً .مOساحOةُ مOثلثٍ هOي نOصفُ طOولِ قOاعOدتِOه فOي إرتOفاعِOه .طOولُ قOاعOدةِ ك Oلِّ شOOريOOحةِ خOOمسة إجنOOاتٍ وميOOكنُنا حOOسابَ إرتOOفاعِOOها .إذن املOOساح Oةُ الOتقريOبيةُ لِOلقرصِ هOي سOتةُ أضOعافِ مOساحOةِ الشOريOحةِ املOثلثيةِ ألن الOقرصَ مـقسمٌ الى ستِ شرائحَ مثلثيةٍ متطابقةٍ.
ممBBتاز ،ممـBBتاز!!!! مBBن الBBواض Bحِ أن Bكِ واعBBيةٌ بِBBأن نBBتيجةَ حBBسابِ Bكِ سBBتكونُ تBBقريBBباً أولBBياً ملِBBساح Bةِ الBBقرص .مBBاذا تBBعملني لBBو طBBلبتُ مBBنكِ حسابَ مساحتِه بِدقةٍ أكثر؟
سOOكتتْ حلOOظةً .ث Oمّ طOOلبتْ بِOOإشOOاراتٍ ي Oدِوي Oةٍ مOOن الOOنادل Oةِ سOOكيناً .ولـ Oمّا جOOيءَ بOOالِOOسكني ،أخOOذتْ آرلOOني تُOOقطـِّعُ ك Oلّ شOOريOOحةٍ الOOى نOOصفنيِ بOOدءً مOOن املOOركOOز .ثOOم قOOال Oتْ بِغضبٍ: حOصلتُ عOلى شOرائOحَ أنOعمَ مOن سOابOقاتِOها .عOددُهOا إثOنا عشOر .إن املOضلـّعَ احلOاصOلَ أقOربُ الOى الOدائOرةِ مOن املOضلـّعِ السOداسOي .وأسOتطيعُ لOو تOوافOرَ عـOندي قـOلمٌ وورقـOةٌ إيOجادَ طOولِ الOقاعOدةِ واإلرتOفاع .وثOم أحسOبُ مOساحOةَ الشOريOحةِ الOناعOمةِ وأحOصلُ بِOضربِOها فOي 12عOلى تOقريOبٍ أفOضلَ مOOن األول .أمّOOا إذا طOOال Oبَ حOOضرتُ Oكَ بِOOدق Oةٍ أكOOثر فOOسوف أسOOتمرُ بِOOتكرارِ العملياتِ نفسَِها الى أن تصبحَ الشرائحُ أدقَ من اخليوط.
أودُّ أن أقBولَ لBكِ بِBصدقٍ إنBي أكـْBبِتُ بِBعمدٍ الBتعبيرَ الBصريBحَ عBن تBقديBري الBكبيرِ لِBقابBلياتِBكِ الBفذّةِ فBي الBريBاضBيات ،كBي أسBألـَBكِ ســBؤاالً أخBBيراً » :كBBيف تBBعلمني أن تBBقريBBباتِ Bكِ املBBتتابBBعةِ ال تBBكبرُ وتBBكبر بِBBاطBBرادٍ متجاوزةَ كلَّ احلدود ؟ «
نOادتْ آرلOني الOنادلOةَ وطOلبتْ أن تOأتOيَ لOها بِOورقOةٍ وقOلمِ .تOساءلOتْ الـOنادلـOةُ ” :ملOاذا ال تOأكOال الOپيتـزا قـOبـلَ أن تـOبـرد ؟ “ فOبدأنOا بِOتـناولِ الـشOرائOحَ” الOپتزاويOة “بِOصمتٍ .وحOني جOيءَ بِOالOورقOةِ والOقلمِ رسOمتْ آرلOني الOشكلَ الOتالOي وأخOذتْ تOنظرُ الOيه دونَ أن تOنبسَّ بِOأيِّ كلمةٍ الى أن إنتهى كالنا من ” إلتهامِ “ الپيتزا .حينئذٍ تكلمتْ بهدوءٍ وثقةٍ:
15
مOOن املOOعلومِ أن بِOOاألمOOكانِ ”.مOOحاصOOرةَ “ أيَّ قOOرصٍ دائOOريٍ داخ Oلَ مOربOعٍ كOما تOرى فOي الOشكل .إذن ال بOدّ أن تOكونَ جOميعُ تOقريOباتOي ملِOساحOةِ الOقرصِ أصOغرَ مOن مOساحOةِ املOربOعِ .إذن يسOتحيلُ عOليها جتOاوزَ تOربOيعَِ قOطرِ الOقرص .أعOتقدُ هOذا يـُOجيبُ عOن سOؤالOكَ .إضOافOةً الOى ذلOك إن الOفرقَ بOني تقريبٍ والتقريبِ الذي يليه يتناقصُ بِإطـِّراد. إسOOمحْ لOOي ب Oعَرضِ تOOصوري عOOن مسOOيرةِ املOOتتابOOعاتِ .أتOOصورُهOOا ك OOحباتٍ م OOن ال OOرزِّ جت OOري م OOع امل OOاءِ ف OOي ح OOوضِ مِغْس OOلةِ امل OOطبخِ ) سِO Oنْك ( Kitchen SinKذات الO O Oسِنك امل OO Oغلق .ال م OO Oفرّ أم OO Oام احل OO Oباتِ س OO Oوى التجOمهرِ إمّOا حOولَ قOشةٍ كOبيرةٍِ وإمّOا حOولَ الOسِنك املOغلق .كOذلOك تOسعى تقريباتي الى التجمهرِ نحو عددٍ ما.هذا العددُ هو مساحةُ القرص.
ضOOرب Oتُ الOOطاول Oةَ بِOOقبضتي بِOOكلِّ مOOا أمOOلكُ مOOن ق Oوّةٍ .فOOتطايOOرتْ األشOOياءُ الOOتي فOOوقOOها.وسOOقطتْ صOOينيتا الOOپيتزا املOOعدنOOيتان الOOفارغOOتان عOOلى األرضِ مُحْ Oدِث Oتَانِ ضOOجيجاً إسOOترعOOى إنOOتباهَ الOOزبOOائ Oنِ والOOنادالتِ الOOلواتOOي هOOرع Oنَ لِOOرف Oعِهما .إعOOتذرتُ مOOنهنّ عOOلى إزعـاجهن .أمّـا آرلني فكانتْ تنظـرُ اليّ شزراً وقالتّ مندهشةً: م OOا دهO Oاِكَ ـــ مس OOتر شكـُّوري ــ ه OOل أخ OOطأتُ خ OOطأً جس OOيماً ف OOي إجابتي؟
كBال ،كBال .أريBد أن تBخبريBني بِBإسBمِ ذلBك األُسBتاذِ الBذي أعBطاكِ درجةَ Dالسخيفة في الرياضيات؟ أُريدُ خنْقَه.
أرجOو ـــ مسOتر شOكـُّوري ـــ أن تهOدأ قOليالً ،قُOلْ مOا حOدثَ ؟ ال، ال ،ل OOن أُع OOطيكَ إسO Oمَها ،خش OOيةَ إرت OOكابِ ج OOرميO Oةً وتُ OOعدمُ بِس OOبـبي م OOن جرّائها.
ال ،ال ،إمنا قد أُعدمُ بِسببِ ما يجري في شراينيِ دمِكِ.
مسOOتر شOOكـُّوري ،أعOOتقدُ بِOOعدمِ جOOدوى حOOوارِنOOا وأن Oتَ فOOي هOOذه احلOالOة .أقOترحُ تOأجOيلَ املOزيOدِ مOن الOنقاش الOى الOغد فOي املOكتبةِ املOركOزيOةِ عOند الساعةِ الـسادسـةِ مـساءًً ،شرطَ أن تُعْلِمَني سببَ حالـتِكَ العصبية.
O.Kالى اللقاءِ بُكرى.
كOOانOOت الOOساعOOة حOOوالOOي الOOتاسOOعة مOOساءً .إجته Oتْ آرلOOني الOOى بOOناي Oةِ الOOداخOOلي لOOلطالOOباتِ .أمَّOOا أنOOا فمشOOيتُ بOOإجتOOاهٍ مOOعاك Oسٍ نOOحو ،Van Buren StreetحOOيث شOOقتي الصغيرة . 16
•• •• 2
فOOي الOOيومِ الOOتالOOي وعOOندَ متOOامِ الOOساع Oةِ اخلOOامOOسةِ مOOساءً دعOOانOOي أُسOOتاذي املشOOرفُ الOدكOتور هOيروشOي ويOهارا الOيابOانOيُ األصOلِ ملِOناقOشةِ بOعضَ جOوانOبَِ أُطOروحOتي .دامَ اإلجOتماعُ ساعةً كاملةً .كنا خاللِـَها نحلـِّقُ في أجواءِ عالـَمِ التپولوجيا اجلبرية بOعد دقOائOقَ مOن نOهايOةِ اإلجOتماعِ ،تOذكOرتُ فOجأةً مOوعOدي مOع آرلOني .فَOأسOرعOتُ الOى املOOكتبةِ املOOركOOزي Oةِ .ووصOOلتُها مOOتأخOOراً عOOن مOOوع OدِنOOا بِعشOOريOOن دقOOيقة .وجOOدتُ صOOاحOOبتي منهمكةً بقراءةِ برقيةٍٍ .إعتذرتُ منها عن تأخري ألسبابٍ خارجَ إرادتي. سOOلـّمَتْـني الـOOبرقـOOيةَ الOOتي وصOOلتْها مOOن مOOديOOنةِ أوسOOنت عOOاصOOمة واليOOة تOOكساس. تنصُّ البرقيةُ: Happy Birthday Arlene ،Today is the 28th of March Now You are twenty years old. You can do .whatever you want. BUT DONT DO IT. Love and kisses .Mom and Dad
إبBBتسمتُ إبBBتسام Bةً عBBريBBضةً ورنَّBBمتُ بBBصوتٍ مBBنخفضٍ يBBفرضُBBه وجودُنا في املكتبة: Happy Birthday, Happy Birthday to you Arlene
ثم تساءلـتُ: ?.The important thing is: Did you do IT or not
إحْمَرّتْ وجنتاها .وصمتتْ بُرهةً ثم قالت: إن األهOمّ ،أيOها اخلOبيثُ مسOتر شOكـّوري ،هOو .مOا سOببُ تفجOرُِكَ العصبيَ الـمفاجئَ البارحة؟.
فBي احلBقيقةِ لBقد أعBطيتُكِ السBببَ لBيلةَ أمBس .ال أُمBانBعُ مBن إعBادةِ ما قلتُه. 17
قBلتُ لBكِ :يBكمُن السBببُ فBي جBريBانِ الBريBاضBياتِ فBي شBرايBينِكِ يا .آرلني .أنتِ وأُستاذتُكِ غافلتان متاماً. دعيني اآلن أسترسلُ موضحاً باألمثلةِ. ي BBجبُ أن ت BBعلـمي أن جت BBزيءَ م BBنطقةٍ ال BBى ش BBرائB Bحَ ” أدَّقَ م BBن اخلBBيوطِ “ حسBBب تBBعبيرِكِ الBBرائBBع وإيBBجادِ مجBBموعِ مBBساحBBاتِBBها يُBBشكـِّلُ احلجرَ األساسَ ملفهومِ التكامل. قBBبل حBBوالBBي خBBمسةَ آالفِ سBBنةٍ إسBBتعملَ الـBBرافBBديَBBنيون 7نـBBفسَ الBBطـريBBقةَ الـBBتـي ٱتّBBبعتيها لBBغرضِ تخBBمنيِ الBBعددِ املBBسمى النسBBبةُ الBBثابBBتةُ، الBذي يُBرمBز الBيه عBادةً بBاحلBرف اإلغBريBقي πتخBميناً يBناسBبُ حBاجBاتِBهم. وإسBBتعملـَها املBBصريBBون الBBقدمBBاءُ فBBي إيBBجاد ِقBBاعBBدةٍ حلBBسابِ حج Bمِ الهBBرمِ وإليBجاد قBاعBدةٍ حلBسابِ حجBمِ الهBرمِ الBناقBص .وفBي حBوالBي ألBفِ سBنةٍ قBبل املBيالد إسBتعملها الBعالِBمُ اإلغBريBقيُ الBعظيم أرخBميدس حلBساب الBعددِ π الى درجةٍ أدَّق. حBBدثَ فBBي الBBقرنِ الBBساب Bعِ عشBBر ” إنBBفجارٌ مBBعرفBBي “ .إذ عَ Bمّم األُسBلوبَ كBلٌّ مBن نBيوتBن والBفيلسوف األملBانBي اليBبنـتـز ) بBصورةٍ مسBتقلةٍ عBBن بBBعضِهما ( لBBيكونَ طBBريBBقةً قBBابBBلةً لBBلتطبيق لBBيس فBBقط عBBلى مBBسائ Bلَ إنفراديةٍ إمنا على مختلفِ املواقفًِ واملشاكل. لBم أكBدْ أٌنهBي جBملتي حBني الحBظتُ عBالئBمَ الBدهBشةِ عBلى آرلBني، تBBغيرتْ قBBسماتُ وج Bهِها وتBBبدّلَ شBBكلُ عBBينيها وتBBدوّرتْ شBBفتاهBBا .ثBBم ٱنفجرتْ بنبرةٍ مكبوتةٍ تفرِضُها ضرورةُ ٱلكالمِ همساً في املكتبة. ريـــمـــون !!! أحـــقـــاً تـــتـــكـــلـــم ؟ اإلشــــارةُ ،اإلشارةُ:
رسOOمتْ بحOOرك Oةِ إصOOبعِها عOOالم Oةَ الOOتكام Oلِ فOOي الOOهواء ،وٱسOOتمرَّتْ بِنفس نبرتِها اإلنفجارية مشيرةً الى العالمةِ الهوائيةِ تقول: تُـــرْهِـــبُنـــي كــَـثــُـعـــبـــانٍ مـُــخـــيـــف.
األول.
هـOOذه هـOOي الـOOمـرةِ األولـOOى الOOتـي أسOOمعُ آرلOOني تُـ Oوّجِّـ Oهَ كـOOالمَـOOهـا الـ Oيَّ بـِOOإسـOOمـي
7إن املقصردَ في هذا املقالِ بــِ ” الرافديَنيني “ جميعُ مَنْ سكنَ وادي الرافديَن دجلةَ والفرات منذُ بدايةِ احلضارةِ الى سنةِ 539ق م من سومريني وبابليني وأكـَّديني وآشوريني وكلدانيني ،ذلك تفادياً من تأجيجِ شوڤينياتٍ مقيتة. 18
أرج BBوكِ ،ع BBزي BBزت BBي آرل BBني ،ال BBكـَفَّ واإلب BBتعاد ع BBن امل BBبال BBغات. صBدقBيني هBذه هBي احلBقيقة .األُسBلوبُ الBذي ٱتBبعتِيه هBو احلجBرُ األسBاس ملBفهومِ الBتكامBل .الBفرقُ الBوحBيدُ بBينه وبBني األُسBلوبِ اإلعBتياديِ ) الBذي يُBدرَّس فBي الBثانBويBةِ أو اجلBامBعة ( لBلتكامBل هBو أن الشBرائBحَ تُBؤخBذُ عBادةً مسBBتطيلةَ الBBشكل ،بBBينما شBBرائ Bحُكِ مBBثلثيةٌ وهBBو أم Bرٌ فBBرضَ Bتْه طBBبيعةُ مBBسأل Bتِكِ .هBBذا لBBيس بBBفرقٍ جBBوهBBري .فBBي احلBBقيقةِ ميBBكنُ أن تBBكونَ الشBرائBحُ أيَّ شBكلٍ مBناسBبٍ لBلمسألBةِ حتBت الBدراسBة فBمثالً إذا أُريBدَ حBسابُ حجBمِ مخBروطٍ فBمن األسهBلِ تBغطيةَ اخملBروطِ مبBتتالBيات ٍ مBن شBرائBحَ دائBريBةٍ يBBتناق Bصُ سBBمكــُها بBBإطـِّBBرادٍ الBBى أن يBBصبحَ أرف Bعَ مBBن اخلBBيط ) حس Bبَ تعبيرِكِ (. إن وصB Bفَكِ الB BرُعْB Bبَِ ال BBذي يُ BBصيبُكِ م BBن رمB Bزِ ال BBتكام BBل ) رغ BBم مBبالBغاتBكِ ( يُBعززُ رأيBي بBسوءِ مBناهBجِ تBدريBسِ الBريBاضBيات .فBبدالً مBن عَBرضِ مBوضBوع الBتكامBلِ مBن جBذورِه الBتاريBخيةِ كBتطورٍ لBلفكر البشBري، يُBعرضُ عBلى أنBه عBكسُ الBتفاضBل .بBاإلضBافBةِ الBى هBذا يُBبالBغُ فBي الBتركBيز عBلى مـجـBموعـBةِ قBوانBيـنَ وطBرائـBقَ تBتضمنُ وسBائBلَ وحىيَّـالً ” مـBعــلـَّبـةً “ إليBBجادِ تBBكامBBالتٍ ألنBBواعَ مBBتنوع Bةٍِ مBBن الBBدوال .وهBBي مجBBموع Bةٌ تُBBره Bقُ ) ورمبBا تُBرعِBبُ ( الBطلبةَ .وممBا يُBزيBدُ األُمBورَ سBوءاً يَBعطي بBعضُ املBدرسBني اجلBامBعيني لBطلبتِهم إنBطباعBاً بBشكلٍ ضBمنيٍ و صBريBحٍ فBي بBعض احلBاالتِ بBBكـفاي Bةِ تBBلك اجملBBموع Bةِ حلBBسابِ جBBميعِ الBBتكامBBالتِ املBBمكنة!!!! وهBBو خطأٌ جسيمٌ وفظيع. يBنبغي عBرضَ حBسابَBيْ الBتفاضBلِ والBتكامBلِ عBلى أنBهما مBوضBوعBان مستقالن يربطـُهما ” جسرٌ “ يُسمَّى املبرهنةُ األساسيةُ حلسابِ التفاضلِ والتكامل. واجلسBBر كBBكلِ اجلBBسور ،يBBساع Bدُ عBBلى اإلنBBتقالِ مBBن جBBهةٍ الBBى أخرى ،ومن موضوعٍ الى آخر .وال يجعلُ أحدَهما عكسَ اآلخر. إن اجلOOسورَ الOOتي تOOرب Oطُ الOOدولOOتني املسOOتقلتني ،الOOواليOOاتُ املتحOOدةُ وكندا ،ال جتعلُ األولى عكسَ الثانيةِ وال الثانيةَ عكسَ األُولى
تBعجبُني الBتوضBيحاتِ الBبلورِّيBة لBتعليقاتِBكِ .لBكن يBجب عBلى فBتاةٍ ذات العشBريBن عBامBاً أالّ تBرتBعبَ مBن إشBارةٍ حBتّى ولBو كBانBت فBعالً رمBزاً للىثعابني. 19
إن رمزَ التكاملِ الذي رَسَمَتْهُ هBو احلBرفُ األولُ مBن كBلمةِ Summation
أُصBبعُكِ فBي الBهواء، الBتي تBدُّلُ عBلى حBاصBلِ جBمعِ مجBموعBةِ ِأعBدادٍ ،أي أنBه احلBرفُ SالBكبير كما كان يُكـْتبُ في القرنِ السابعِ عشر. تBBذكـّBBرتُ اآلن زمBBيالً لBBي فBBي بBBغداد كBBان يBBرمBBي جBBانBBباً أيَّ كBBتابٍ يجدُ فيه احلرف .Σ من املريحِ أن أعرفَ أن هنالك من أمثالي.يخشون الرموز.
لBكن يBوجBدُ فَBرْقٌ فBي الBقابBلياتِ الBفكرِّيBة .عBندمBا سBمعتُكِ يBومَ أمBس تBصفني مسBيرةَ املBتتابBعاتِ حلBسابِ مBساحBةِ قBرصِ الBپيتزا الBدائBري، تقولِني: ”إن BBها ك BBحباتٍ م BBن ال BBرزِّ جت BBري م BBع امل BBاءِ ف BBي ح BBوضِ مِغْسBلةِ املBطبخِ املBغلقةِ الًBسِنًْك ) .( Kitchen SinKال مBفرّ أمBام احلBباتِ سBوى التجBمهرِ إمّBا حBولَ قBشةٍ كBبيرةٍِ وإمّا حولَ السِنْك املغلق“.
شعرتُ أنكِ متتلكني حدساً فطرياً للرياضيات. إذ ي BBتضمنُ ق BBولـُB Bكِ إح BBدى امل BBبره BBناتِ األس BBاس BBيةِ ف BBي التح BBليلِ احلBقيقي والBتوپBولBوجBيا .صBحيحٌ .،ليسBت الBكلماتُ الBتي إسBتعملتيها مBBصطلحاتٍ مBBتداولـَ Bةً عBBند الBBعامBBلني فBBي مBBواضBBيعِ الBBريBBاضىيات .مBBثالً: إن مـBا سBميَتِيها ” نBقطةَ جتBمهرٍ “ ،يBصطلحُ أهـBلُ الBريـBاضBياتِ تBسميتَـهـا ” نBBقطـةَ إكBBتـظـاظ “ أي .Accumulation pointأمّBBا ال Bسِنْك املBBغلق الBBتي متنعُ املتتالياتِ من ” الهروب “ فيُسمَّى ” قيداً أعلى أو قيداً أسفل “. ومBقولـBتُكِ حBولَ حBبَّات الBرز ،فBترقBى أن تBكونَ مBبرهBنةً مBعروفBةً مBBنذ الBBقرن الBBتاس Bعِ عشBBر .ويُBBطلِقُ عBBليها ،تBBيمناً ،أسBBمـاءُ كـBBبارِ مَ Bنْ ساهمَ فـي إكتشافِها وإثباتِهـا ” :مبرهنة بولزانو ـ وايرشتراوس “ .8 Bolzano _ Weierstrass Theorem
أخشOى ،مسOتر شOكـّوري ،أنOكَ تُOسْقِطُ أفOكارَكَ الOريOاضOياتOيةَ عOلى تOعابOيري البسOيطةِ فOيُخَيلُ لOكَ أنOها مOبرهOناتٌ عOميقةٌ .لOكـِّنها فOي الOواقOعِ ليست سوى مالحظاتٍ عابرة. 8تنص أبسطُ صيغةٍ لهذه املبرهنةُ :كلُ متتاليةٍ متزايدةِ على فترةٍ مغلقةٍ من األعلى في حقل األعدادِ احلقيقيةِ تكونُ متقاربةً. 20
كBال .إن روعBةًَ عBباراتِBكِ ،بBالBرغBم مBن أنBها مBالحBظاتٌ مBن صBورٍ ذهBنيةٍ بسBيطةٍ نBابBعةٍ مBن الBواقBعِ املBلـموس ،تBكمنُ فBي أنBها تُBنمْذِجُ مBفاهBيمَ عBBميقةً .إضBBافـ Bةً الBBى هBBذا ،لBBقد جـBBاءتْ بBBعد تBBفكيرٍ طBBويBBل مبBBا أثBBارَتْBBه أس BBئلتى .ول BBم ت BBأتِ ب BBعفوي BBة .إذن ال يس BBتقيمُ إدِّع BBاؤكِ ب BBأن BBي أُسْB Bقِطُ أفكاري على تعابيرِكِ البسيطةِ. مسOتر شOكـّوري ،ألOيس مOن الOواضOحِ أنOه إذا جِOيء بOألOفِ قOارئٍ الOى هOذه الOقاعOةِ الOصغيرةِ املOغلقةِ لOتوجOبَ أن تOتقلصَ املOسافOاتُ بOني الOقراءِ الOى درجةٍ يكتظَّ بعضُهم ببعضٍ بحيث تتالمسُ أكتافُهم؟ .وأن ….
قـاطعـتُـها قائالً : ن BBعم ،أت BBفقُ م BBعكِ أن ه BBذا واضB Bحُ ج BBداً ل BBيس لB Bكِ ف BBقط إمن BBا للج BBميع .ل BBكن ي BBنبغي أن ت BBعلمي أن ل BBيس ب BBإس BBتطاعB Bةِ كB Bلِّ إن BBسانٍ إسBتغاللَ هBذا الBوضBوحِ لBغرضِ منBذجBةِ وتسهBيلَ فBهمِ مBواقBفَ عBميقة مBن الBBريBBاضBBيات .وأن إلنBBسانَ الBBقادرَعBBلى ذلBBك ،ال بُ Bدَّ أن يBBكون متشBBرب Bاً بالرباضياتِ الى عمقِ نخاعِ عظامِه سواءً وعى الى ذلك أم لم يعِ. أعBBتقدُ أن إحBBدى نBBقاطِ الBBضعفِ فBBي مBBناه Bحِ وأسBBالBBيب تBBدري Bسِ الBريBاضBيات هBي إفBتقارُهBا الBى وسBائBلَ لBبناءِ احلBسِّ احلBدسBيِ لBلدارس .إذ أن مBن املBمكِنِ منBذجBةُ كBثيرٍ مBن املBفاهBيم واملBبرهBناتِ وحBتّى بBعضِ الBبراهBني مBن مواقفَ بسيطةٍ من الواقعِ امللموس .كما فعلتِ كOOنتُ ،قOOبل مOOقاط Oعَتِكَ لOOي ،أُري Oدُ أن أتOOساءلَ » :أال يOOبدو مOOن الOOواض Oحِ أيOOضاً ،أنOOه فOOي حOOال Oةِ مOOجيءِ أل Oفِ قOOارئٍ الOOى الOOقاع Oةِ وأُري Oدَ إبOOقاءُ املسافةِ بني قارئٍ وآخر معقولةً لتوجبَ تهدميُ بعض جدرانِها ؟ «
بBBراڤBBو آرلBBني .إنBBه واض Bحُ بBBكلِّ تBBأكBBيد .وقBBد عBBززتِ عBBبارتُ Bكِ مBBقولBBتي ورأيBBى ب Bكِ .إذ وضBBعتِ ن Bصَّ املBBبرهBBنةِ املBBذكBBورةِعBBلى طBBاول Bةِ التشBريBح .وبBينتِ أن اإلنBغالقَ شBرطٌ ضBروريٌ لBصحتِها.وأنBها تBنهارُ مBن دونه. عBBزيBBزتBBي آرلBBني مBBونBBهان ،أودُّ أن أكBBونَ واضBBحاً،وأُوكـّ Bدُ -أن Bكِ متBتلكنيَ حBساً حBدسBياً لBلموضBوعِ الBذي ،بسBببِ سBوءِ مBناهBجِه وأسBالBيب تدريسِه ،تتصورين أنكِ تكرهينه ألـم تشعرْ أني لم أعُدْ كارهةً له بفضلِ جهودٍك؟.
21
نBعم أشBعرُ أن كـُBرهَBكِ آخBذٌ بBالBتحولِ الBى تBذوقٍ .وأودُّ تBهنئتَكِ، متمنياً لكِ مزيداً من التقدم. أُه: ،كـُOدْتُ أنسOى .بOعد حOديOثي مOع زمOيلتي فOي قOسم الOداخOلي عOن لOقائOنا لOيلة أمOس ،طOلبتْ أن أسOألOك عOن السOبب فOي أن تُOوضOعَ حOامOلةُ الكاميرا دائماً على ثالث قوائم Tripodوليس أربع مثالً ؟.
ألم تستطـْعي اإلجابة عن السؤالِ بنفسِكِ ؟ !!! كال مع األسف.
يBBنبغي أن تBBعرفBBي مBBن مBBتطلباتِ ) أيِّ كBBورس (فBBي الBBهندس Bةِ اجملBB Bسمةِ أن أيَّ ثBB Bالثِ نBB Bقاطٍ ليسBB Bت عBB Bلى إسBB Bتقام B Bةٍ واحـBB Bدةٍ تBB Bعيِّنُ مسBتويBاًوحBيداً .بBناءً عBلى هBذه احلBقيقةِ الBهندسBيةِ ،ميُBكنُ فBتحَ الBقوائBمِ الBBثالث بBBحيث يBBنطبقُ املسBBتوي الBBذي يBBتعنيُ بBBنهايBBاتِBBها عBBلى أيِّ مسBBتوٍ على األرض ،ولهذا تُوضعَ حاملةُ الكاميرا دائماً على ثالثِ قوائم. أمَّBBا أرب Bعُ نBBقاطٍ فBBتعنيُ أربBBعةَ مسBBتويBBات ،وخBBمسٌ تBBعيِّنُ عشBBرةَ مستوياتٍ ،ممَّا.يجعلُ اجلسمَ احملمولَ غيرَ مستقر أش OOكركَ ع OOلى ال OOتوض OOيح .ف OOي احل OOقيقةِ ك OOنا ن OOحفظُ ن OOظري OOاتِ الOهندسOة عOن ظهOر الOقلب لOغرضِ إجOتيازِ اإلمOتحان .أمّOا اآلن فOبدأتُ أشOعرُ بلذةِ ومتعةِ الفهمِ الصحيح.
آمBلُ أن يBتنامBى تBذوقُBكِ لBلريBاضBياتِ بـBسفـرةٍ مBعي عـBبـرَ الـBزمBكـان عـ BBلى خ BBطوطِ ط BBيران » ب BBساطِ ال BBري BBح « امل BBشهورةِ ل BBتأخB Bذَن BBا ال BBى آالف ال BBسنوات ق BBبل امل BBيالد ولته BBبط ب BBنا ف BBي وادي راف BBديَ دج BBلة وال BBفرات لBBنتدارسَ مBBوروثَ البشBBري Bةِ ممBBا ق BدَّمَBBه أولBBئك األقBBوامُ الBBقدامBBى الBBى عBBالـَ Bمِ األعداد9 إنها سفرةٌ مريحةٌ .لكني أجدُ نفسي في املكتبة .ههههه. هل أولئك األقوامُ القدامى هُمْ األجداد؟
يBجبُ أن تBعرفBي أنBهم بُBناةُ مهBدِ احلBضارات ،يBا آرلBني .هBم مBن أوائل الذين علموكِ أن تكتبي » « 1962بدالً من » .« MCMLXII
9إن املقصودَ بكلمةِ » أعداد « في هذا املقال أنها األعداد الطبيعية إالّ إذا نُصَّ خالفُ ذلك صراحةً. 22
يBBأخ Bذُ الBBكثيرون مBBوضBBوعَ األعBBدادِ وتBBرمBBيزِهBBا بBBبساط Bةٍ مBBن دون مBBباالة .هBBل فBBكـَّرتِ حBBينما تBBكتبني مBBثالً » « 1962كBBيف ومBBتى ٱبBBتدعَ اإلنسانُ األعدادَ وطوَّرها وأعطاها أسماءً ورموزاً ؟ نعم ،فكـَّرتُ لكَن بشكلٍ سطحي فقط.
إنBه مBوضBوعٌ يBنبغي أن يBكونَ ضBمنَ مBناهBجِ الBريBاضBيات ،و يَBلـُمَّ بBه كلُّ مثقفٍ. أقBترحُ عBليكِ أن تُBتابBعي فBي وقBتٍ آخBر مBن املBوسBوعBاتِ واملBصادرِ األُخBBرى تBBاري Bجَ حBBقبِ مBBا قBBبلَ احلBBضارة مBBن تBBفاصBBيلَ الBBثورةِ الBBتي نBBقلتْ اإلنـBسانَ مـBن صBيَّادٍ مBتنقلٍ مُجَBمِّعٍ طBعامِBه ،الBى مBزارعٍِ مسBتقرٍِعBلى ضBفافِ األنهارِ الكبرى .أمثال دجلة والفرات والنيل والسند وغيرها. حBدثBتْ تBلك الBطفراتُ الBثوريBةُ حBوالBي األلBفِ الBعاشBرِ قBبلَ املBيالد فBي أمBاكBنَ جBغرافBيةٍ مBختلفةٍ لBكن فBي أزمBنةٍ مBتقاربBةٍ ) ،زائBد أو نBاقBص ألفِ سنة ( .لعل أقدمَها حدثَ في وادي نهري دجلة والفرات. خBBالل آالفِ الBBسنواتِ إنBBبثقتْ بBBعد الBBثورةِ الBBزراعBBيةِ احلBBضاراتُ األُوَلُ .مBن احملBتمِ أن يBصاحBبَها طBفرةٌ كـُBبرى فBى أسBالBيبِ اإلنBتاجِ فظهBرَتْ جBB Bملةٌ مBB Bن اإلخBB BتراعBB Bاتِ واملBB Bبتكرات .هBB Bل تBB Bعلمني مBB Bا هBB Bي أهBB Bم إختراعاتِهم؟ أذكO Oرُ م OOن دراس OOتي ال OOتاريO Oخَ ف OOي امل OOرح OOلةِ ال OOثان OOويO Oةِ أن م OOن ب OOني إخOتراعOاتِ الOسومOريOني :العجOلةُ وتOدجOنيُ احلOيوانOاتِ واحملOراثُ وصOناعOةُ الفخارِ والقواربِ .ومن املؤكًّدِ أن من أهمِها إختراعَ الكتابة.
بالضبط. تُشBيرُ الBدالئBلَ املBتوافBرةَ حBالBياً مBن األلBواحٍ الBطينيةٍ املBكتوبBةِ بBاخلBط املBسماري،أو الBلفائBفِ املBكتوبBةِ بBاخلBطِ الBغيلوغBروفBي الBى درجBةٍ مBعقولBةٍ مBن املBؤكـَّBديBة أن الBرافBديBنيني واملBصريBني القدمBاءَ هBم الBروّادُ األوائBلُ فBي هBذا املضمار. جئنا هنا كي نُركِزُ معظمَ إهتمامِنا على األعداد تBBبنيُ األلBBواحُ الBBطينيةُ األكBBثرَ قِ Bدَم Bاً أن االBBرافBBديBBنيني حBBني أرادوا كBتابBةَ مBثالً ” خBمسةَ خBراف “ أو ” خBمسَ تBفُّاحBات “ كBانBوا يBرسBمون عBBلى ألBBواحِBBهم صُBBورَ رأسِ خBBروفٍ خBBمسَ م Bرّاتٍ مBBتتالBBية ،ورم Bزَ الBBتفَّاح Bةِ 23
خــBمـسَ مــBرَّاتٍ الــBواحـBدةَ الـBى جـBنـبِ األُخـBرى .وإذا أرادوا الـBكتـابBةَ عـBن ” ثالثِ أشجارٍ “ يرسمون رمزَ شجرةٍ ثالث مرات. يBدَّلُ هBذا األُسBلوبُ أن مBفهومَ الBعددِ آنBذاك ال زالَ عBندهBم مBقفالً عBلى األشBياءِ املBادِّيBةِ املBلـموسBةِ .فBلم يBكنْ قُBدامBى الBرافBديBنيني قBادريBنَ عBلى إدراكِ عBددٍ إالّ مـBع شـBيءٍِ مBعـدودٍ .إذ يBبدو أنBهم لBم يBكنْ مـBدركBني بَBعْـدُ أن ” اخل BBمسان BBيةَ “ ص BBفةٌ مش BBتركB Bةٌ ب BBني مج BBموعB Bتَيْ اخل BBراف ِو ال BBتفَّاحِ وجBمـيعِ الـمجBموعBات الـBمكافBئـةِ لBهما .ولـBم يـُBمْسِكـُوا بَBعْدُ بـBمفهومِ ” الثالوثية “ الذي يربطُ جميعَ الـمجموعاتِ ” الثالثيةِ “ العناصر. لOو كOان مOن بOينهم مسOتر شOكـّوري ألعOطاهOم جOرعOةً مOن التجOريOدِ مOOثلما أعOOطانOOي لOOيلةَ أمOOس .ولـَOOتعلموا مOOفهومَ الOOعددِ اجمل Oرَّدِ وك Oفُّوا عOOن اإلطنابِ في رسوماتِهم.
مBن املBؤسBفِ ،أن لBم يBكنْ جBميعُهم مبسBتوى ذكBاءِ آرلBني مBونBهان ليتعلموا بسرعةٍ مثلما تعلـَمتْ .لهذا إستغرقَ تعلـُمُهم مئاتِ السنني. فBي حBوالBي األلBفِ الBثالBثِ قBبلَ املBيالدِ حBدِثَ تBطورٌ مBحسوسٌ.إذ ص BBارَ ل BBهم رم BBوزٌ ل BBبعضِ األع BBدادِ ” ال BBصغيرة “ .وأخ BBذوا ع BBلى س BBبيلِ املBBثالِ ،يBBرسBBمون رمBBزاً للخBBمسةِ الBBى جBBان Bبِ صBBورةِ خBBروف ،وهBBكذا للمواقف األُخرى. يBبدو أنBهم كسBروا إنBغالقَ األعBدادِ بBاملBعدودات.الBذي أعBاقَBهم عBن الBBتفكيرِ بBBاألعBBدادِ كBBكيانBBاتٍ مج Bرَّدةٍ مسBBتقلـَّةٍ ال تBBرتBBبطُ بBBالBBضرورةِ بBBأيِّ م BBعدودات .ع BBندئB Bذٍص BBارَ ل BBألع BBدادِ وج BBودٌ مس BBتقلٌ .ف BBغدا ب BBإم BBكانِ الBرافBديBنيني الBتعامBلَ مBع األعBدادِ نBفسِها .وصBاروا قBادريBن عBلى تBصنيفِ األعBدادِ أصBنافBاً وأبBوابBاً .فBعلى سBبيلِ املBثالِ صBار مBن املBمكن أن يBصِفوا عBددٍاً أنBه فBرديٌ.وعBن ثBانٍ أنBه زوجBيٌ وْعBن ثBالBثٍ أنBه مBربBعٌ كBامBلٌ و الBى آخBرِ ما هنالك من صفاتٍ عددية. ه BBكذا غ BBدتْ األع BBدادُ ك BBيان BBاتٍ مس BBتقلةً ط BBليقةً ت BBسكنُ ف BBي املستوى األدراكي لعقولِ البشر. عحبا كم تدفعُ األعدادُ إيجاراً لسكناها في العقول ؟.
هBهههههههه .نBكتةٌ فBي الBبالغBةِ الBلغويBة .هBل غBابَ عBنكِ أن اجملBرَّداتِ ال تBدفBعُ إيBجاراً لBلعقولِ كBي تBسكنَ فBيها ،إمنBا يBنبغي الBعكس أن يُBدفBعَ الBيها لتتشBرفَ الBعقولُ بBساكBنيها !!!؟ .إذ أن لBألعBدادِ الBفضلَ فBي 24
شَحْBذِ الBتفكيرِ بBإجتBاهBاتٍ مBختلفةٍ بBالBترمBيز والBتوسBيعِ ومبBزيBدٍ مBن التجBريBد، مما يؤدِّي عاجالً أم آجالً الى مزيدٍ من التطبيقِ في العالـَمِ اخلارجي. ليسBBت الBBعقولُ أبBBراج Bاً عBBاجBBيةً .والBBسكنُ فBBيها ال يBBعني جتBBاه Bلَ الBواقBعِ أو الBتعامBي عBنه .البBدَّ أن تBتناضBحَ اجملBرَّداتُ مBع الBواقBعِ املBلموس، وإالّ إضمحBBلـَّتْ هBBي مBBن جBBهةٍ وتBBيبسَ الBBواق Bعُ ظBBمأً مBBن جBBهةٍ أُخBBرى. بBBعبارةٍ أُخBBرىى يBBنبغي الBBواح Bدُ مBBنهما تBBغذي Bةَ اآلخBBر .تُ Bوَسِّ Bعُ الBBتغذي Bةُ املتبادلةُ املداركَ ،وبالتالي تؤولُ الى تقدمٍ علميٍ ورياضياتي. أجOدُ املOصطلحاتِ ” :الـOترمOيزِ والOتوسOيع واملOزيOدِ مOن التجOريOد “ مثيرةً إلهتمامي وفضولي .هل من املمكنِ إعطائي فكرةً مبسطـَّةً عنها؟
يBدُّلُ إهBتمامُBكِ بهBذه املBصطلحات عBلى الBتنامBي املBتسارعِ حلBسِّكِ الBفطريِ لBلريBاضBيات .البـBدَّ أن يBكـونَ لBألعBدادِ كـBأيِّ كBيـانـBاتٍ جBديBدةٍ رموزٌ تُكـْتَبُ وأسماءٌ تُعْرَفُ بها لتمْيـزِِ.بعضُها عن بعضِ.10 لBيس مBن الBغريBبِ ،بBل مBن املBؤكـَّBدِأن إنBسانَ مBا قBبل احلBضارةِ كBان يستعملُ أجزاءَ جسمِه ألغراضِ العدِّ والقياس. ال زلOنا نOسمعُِ صOدىً إسOتعماالتِ مOفرداتِ ذلOك األنOسان مOن أمOثال القَدَمِ والذراعِ والقامةِ والشبرِ وغيرِها.
هذا صحيحٌ .لكن إهتمامَنا مقصورٌ على األعداد. اإلنBسانُ كBان وال زالَ يسBتعنيُ بBأصBابBعِ يBديBه بBطريBقةٍ أو بBأُخBرى ) وربَّBما بBأصBابBعِ قBدمBيه أيBضاً فBي بBعضِ احلBضارات ( لBغرضِ عBدِّ عBناصBرَ مجBموعBةٍ تBتكوّنُ مBن عBددٍ صBغيرٍ مBن األشBياء .وال بBدَّ أنBه وضBعَ لBها أيBضاً ألBفاظBاً أو أصBواتBاً مBناسBبة .وحBني بBدأتْ شBمِسُ احلBضاراتِ بBالBبزوغِ ورثَ إنBسانُ احلBضارةِ مBن أجBدادِه الBقدمBاءِ األصBواتَ الBقليلةَ الBدالBةَ عBلى تBلك األعBداد .وبBعدئBذٍعBند إكBتشافِBه الBكتابBةَ وضBعَ لBها رمBوزاً عBلى الBوسBائBل التي يخطُّ عليها. سB Bأُطـْ BBلقُ ،ف BBي ح BBدي BBثي م BBعكِ ،ع BBلـى ت BBلك ال BBرمـ BBوزِ ال BBقليلـةِ مBصطـلحـاً غــBيــرَ مBتـداول هـBو ” الـOرمOوزَ املOدلـَOلـَـة “ وعBلى األعBدادِ الـBتـي تـرمـزُ اليهـا ” األعدادَ املدلـَلـَة “. يتكوَّنُ الترميزُ من األسماءِ والرموزِ التي تُخَطـُّ بشكّلٍ أو بآخر.
10حتّى للحيواناتِ املدللةِ أسماءٌ .احليواناتُ السائبةُ فقط ،ليس لها أسماء 25
مBBن األُمBBورِ املBBهمةِ الBBتمييزُ بBBني الBBعددِ ورم Bزِه .آرلBBني أرجBBو أن تقرئي السطر اآلتي: ۳و 3و IIIو ٥و 5و .V
هل تتصورُ ،أنى ال أُجيدُ القراءةَ ؟ عOلى كOلِّ حOالٍ سOأقOرؤهOا ألجOلِكَ :الOعددُ ثOالثOة كOما يُOكـْتبُ فOي كOOثيرٍ مOOن الOOدوَّلِ الOOعربOOيةِ ،الOOعددُ ثOOالثOOة كOOما يُOOكـْتبُ فOOي مOOعظمِ أنOOحاءِ الOOعالـَOOم ،الOOعددُ ثOOالثOOة كOOما كOOان يُOOكـْتبُ فOOي الOOعصرِ الOOرومOOانOOي،ومOOا زالَ يُسOOتعملُ فOOي بOOعضِ املOOواقOOف ،والOOقولُ نOOفسُه ميُOOكنُ أن يُOOقالَ عOOن الOOعددِ خمسة.
آرلـBBني ،لـBBم أقـBBصدْ مBBطـلقاً عBBدمَ إجBBادتِ Bكِ الBBقراءةَ .إن هـBBدفBBي ” شBBري Bفٌ “ولهBBذا أُوجِّ Bهُ الBBيكِ سBBؤاالً آخBBر .أهBBدفُ مBBنه تBBوضBBيحَ نBBقطةٍ مBهمةٍ .مـBاذا تَـBصفـيـن هـBذا ” الBقلبَ املBصابَ بBالBسهمِ “ إذا أُرْسِBلَ لBكِ
من
Your boy friend
أجابتّ ارلني بعصبيةٍ ظاهرة. ليس عندي هو رمزٌ للحُب.
.Boy friend
إنBBني آس Bفٌ إلزعBBاج Bكِ .أُعBBيدُ قBBولBBي ،إن قBBصدي ”شBBري Bفٌ “ لBم أهBدفْ وسBوف لBن أهBدفَ الBتدخBلَ فBي خBصوصBياتِBكِ ،إمنBا أردتُBكِ أن تBنطقي بBالBعبارةِ ” إنBه رمBزٌ لBلحُب “ .وفBعالً أدلBيتِ بـBما كBنـتُ أتBوقBع. إنه ليس احلُب ،إمنّا هو رمزٌ له. ك BBذل BBك ۳و 3و IIIو ٥و 5و .Vوغ BBيره BBا رم BBوزٌ ألعBBدادٍ .لBBكنها ليسBBت أعBBداداً .هBBي أشBBياءٌ مBBادي Bةٌ إمّBBا هBBي حBBبرٌ عBBلى ورقٍ وإمّBا طBباشBيرٌ عBلى سBبورةٍ وإمّBا نBقطٌ مBضيئةٌ عBلى كBومBپيوتBر .إذ لBو لBم يBكن لBألعBدادِ أسBماءٌ ورمBوزٌ فBكيف مBن املBمكن أن نُBصَِنفَها أصBنافBاً وأبواباً. لBكن إنBسانَ فجBرِ احلBضارةِ سBرعBان مBا وجBدَ أن األعBدادَ املBدلBلةَ غBيرُ كBافBيةٍ لسBدِّ حBاجBاتِBه املBتطورةِ واملBتوسBعةِ بBإطBرادٍ مBتسارع .فBاملBاشBيةُ مBثالً 26
واألش BBجارُ وال BBثمارُ وال BBنجومُ وال BBصخورُ وغ BBيرُه BBا م BBن ال BBكثرةِ ب BBحيث ال تكفيها األعدادُ املدللةُ لتعدادِها. يBBقول املBBثلُ املBBعروفُ ” إن احلBBاج Bةَ أُمُ اإلخBBتراع “ .تBBفتقَ ذهBBن إنBسانِ حBضارتَBيْ وادي الBرافBديBن والBنيل 11عBن فBكرةٍ بBارعBةٍ جBداً ،بBأن يكتسBبَ الBرمBزُ املBدلBلُ قBيمةً عBدديBةً مBن اخلBانBةِ املBوجBودِ فBيها .ال ميُBكنُنا املBBبالBBغةَ بBBبراع Bةِ هBBذا اإلخBBتراع إذا عBBلمنا أن األورپBBيني لBBم يBBكتشفوا هBBذا النظام ولم يعتمدوا عليه إالبعد آالف السنوات. ولBيس هBنالBك مَBنْ هBو أفBضلُ مBن الBريBاضBياتBي الBفرنسBي الBكبير پBيير سBيمون الپBالس ) 1749ـــ ( 1827فBي تBقببمِ هBذا اإلخBتراعِ الBبارعِ .إذ يقول: إن طBريBقةَ الBتعبيرِ عBن أيِّ عBددٍ بBإسBتعمالِ رمBوزٍ قBليلةٍ هBي فBي غBايBةِ الBبراعBةِ .الBفكرةُ تBبدو لBنا هBذه األيBام مBن الBبساطBةِ بBحيث لBم يَBعُدْ مBغزاهBا وأهBميتُها الBعميقةُ تBناال تBقديBرَنBا. تBكمنُ بBساطBتُها فBي أُسBلوبِ تسهBيلِها الBعملياتِ احلBسابBيةِ وفBي وضBعِها احلBسابَ فBي أولِ األوائBلِ مBن بBني اإلكBتشافBاتِ املBهمة .يBبرزُ محBطُّ الBتقديBرِ ألهBميةِ هBذا اإلكBتشافِ حBني ي BBنظرُ امل BBرءُ أن BBه ج BBاوزَ ق BBدراتِ أرخ BBميدس ع BBمالقِ ال BBفكر عصور القدمية12.
تُBBسمى الBBطريBBقةُ الBBتي تBBكلـّم عBBنها الپBBالس ” الOOترقOOيم املOOكانOOي لألعداد “ حيث كلُّ رمزٍ من الرموزُ املدللةُ ميثِّلُ عدداً حسبَ موقعِه أرجOOو الOOسماحَ لOOي مبOOقاطOOعتِك ألقOOولَ إن ال حOOاج Oةَ الOOى مOOزي Oدٍ مOOن الشOرح ألن اجلOميعَ يOعرفOون الOطريOقةَ مOن دراسOتِهم فOي الOسنوات األُوَلِ مOن املOرحOلةِ اإلبOتدائOية .لOكني أسOتطيعُ اجلOزمَ أن 99بOاملOئةِ مOن الOناس ) مOن ض OOمنِهم أن OOا ش OOخصياً ( يجه OOلون أه OOميتَها ك OOما ال ي OOهمُ أغ OOلبُهم م OOصدرَ نشأتِها.
أال تBتفقني مBعي أن مBن بBني الBعيوبِ املBتعددةِ فBي مBناهBجِ تBدريBسِ الرياضيات هو اجلهلُ والتجهيلُ بتاريخِ وتطـَورِ مفاهيمِها ؟ 11على األغلب بصورةٍ مستقلةِ عن بعضِهما لكن في أوقاتٍ متقاربة. 12يقتضي التنويهُ الى أن الپالس كان يتكلمُ عن نظامِ الترقيمِ املصري ألن األلواحَ الطينيةَ الرافدينية لم تكنْ مكتشفةً في زمنِ الپالس. 27
إنOي أتOفقُ مOعكَ بOكلِّ تOأكOيد .وهOي الOتي جتOعلُ الOريOاضOيات تOبدو منسلخةً عن الواقع وصعبةً على الدارس.
يBBبنيُ الBBشكلُ اآلتBBي صBBورةَ الBBرمBBوزِ املBBدلBBلةِ السBBتني الBBتي تBBبناهBBا الرافدينيون كأساسًٍ لنظامِهم الترقيمي
ال أرى سوى تسعةِ وخمسـني.
أن BBا م BBثلـُكِ ال أرى س BBوى ت BBسعةِ وخ BBمسني .إن ال BBرمB Bزَ امل BBفقودَ مسBتَـتِرٌ تBقديBرُه صBفر ) أعBلمُ أن هBذا الBتعبيرَغBريBبٌ عBنكِ لBكنه مBتداولٌ فBي اإلعراب باللغةِ العربية (. صOحيحٌ ،إنOه غOريOبٌ ،لOكني أفOهمُ املOقصودَ بOه ،بOأن الOرافOديOنيني كانوا يجهلون الصفر ،ولهذا هو مستَـتِـرٌ.
كBال ،كBال ،يBا آرلBني ،كBال ،إنBي ال أعBتقدُ أنBهم كBانBوا يجهBلونَ الBصفرَ .إمنBا جتBاهBلوا وضـْBعَ رمـBزٍ صBريـBحٍ لـBه مBكـتفنيَ بـBوضBعِ فـBراغٍ فBي كBلِّ مBكانٍ نBضعُ نBحن رمBزاً لBلصفر .فBمـثـالً حـBيـن يـBريـBدون كBتـابـBةَ 75302 يBكــتبون .753 2وحBيـن يBريBدون كBتـابBة 753002يBتـركـBون فـBراغـBاً
28
أكBبر .753 2أي بBعبارةٍ مBختصرة :رمBزُ الBصفرٍ فBي نBظامِ الBترمBيزِ الرافديني مستَـتِرٌ في الفراغات. جBعلَ هBذا األسBلوبُ بBعضَ األوسBاطِ تBتوهBمُ بBأن الBرافBديBنيني كانوا يجهلون مفهومَ الصفر. أتOساءلُ مOتعجبةً وأتOعجبُ مOتسائOلةً عOن السOببَ الOذي دعOى أولOئك الOقدمOاءِ الOى هOذا ” اإلسOتِـتـَارِ أو التَسَOتٍر “ هOل كOان يْOعتبرْ أْنتى كي يْحجَّب ؟ هههههههههههههه تُعجبُني نكاتَكِ اجلانبية.
سيزولُ العجبُ إذا علمتِ السبب. ال يُBخفى عBليكِ أن الBكتابBةَ املBسماريBةَ قBد تBطورتْ بBاألصBلِ مBن كBBتاب Bةٍ صBBوريBBة .فBBرمBBوزُ األعBBداد أُقتُبَس Bتْ مBBن جBBسم اإلنBBسان .أمَّBBا بBالنسBبةِ الBى الBصفرِ فBاألمBرُ مBختلفٌ إذ ال يBوجBدُ صBفرٌ مBن األصBابBعِ وال صBفرٌ مBن األشBجار والً صBفرٌ مBن الBنعاج .فBكيف تBتوقBعنيَ أن يBضعَ الBرافديBني رمزاً لشيءٍ ال ميلكُ صورةً يُقْتَبَسُ منها ؟. لBكن الBصفرَ ” تسBللَ “ الBى عBالـَBم الBرافBديBنيني مBن بBابٍ خBلفيٍ، هو بابُ البيعِ والشراءِ والتجارة فأثبتَ وجودَه. كBانBت الBتجارةُ فBي ذلBك الBعصر عBامBالًمBحفِّزاً عBلى إيBجادِ طBريBقةٍ لBBتعدادِ السBBلعِ املBBتبادل Bةِ ،وهBBي الBBطريBBقةُ الBBتي تBBولـَّ Bدَ مBBنها نBBظامُ الBBترمBBيزِ الستيني املكاني. كBي نBرى كBيف ٱتَّBضحَ الBصفرُ لBلرافBديBنيني ،لBنتصوِّرَ تBاجBراً مBن بBالدِ الBرافBديBن يBعملُ عBلى تBصديBرِ الBتفّاحِ الBى الBقرى اجملBاورةٍ .ولBيكنْ إسمُه سرگون. الBتاجBرُ سBرگBون حBريBصٌ جBداً عBلى ضBبطِ أعBدادِ صBادراتِBه بBحيث يسجِّلـُها على لـوحٍ طينيٍ يحتفظُ به. لBنسمحَ ألنBفسِنا إسBتراقَ الBنظرِ الBيه وهBو مBنهمكٌ فBي واحBدةٍ مBن عملياتِه في عدِّ التفَّاحِ. نBBشاه Bدُه جBBالBBساً بBBالBBقربِ مBBن جBBحشٍ )الBBذي س Bيُحمَّلُ بBBال Bتُفَّاح لBنقلِه الBى الBقريBةِ اجملBاورة (.وهBو يBعدُّ تBفَّاحBةً تBفَّاحBةً ،الBى أن يBصلَ بBالBعدِّ الBى .60عBندئBذٍ يسBتبدلُ الBتفَّاحَ املBعدودَ بBحصوةٍ صBغيرةِ ويBنقلُ السBتنيَ تBفَّاحBةٍ الBى كBيسٍ عBلى ظهBرِ اجلBحش .ثBمّ يُجBري الBعمليةَ نBفسَها عBلى مBا
29
تBبقّى مBن تBفاحٍ مسBتعيضاً عBن كBلِّ سBتني مBنها بBحصوةٍ صBغيرةٍ ،الBى أن يتبقَّى أقلُّ من 60تفَّاحة. إذن صOار عOند سOرگOون تOفَّاحOاتٌ عOددُهOا أقOلَّ مOن 60ومجOموعOةٌ مOن احلصى .بعبارةٍ أُخرى: ) عددُ التفَّاح ( تقسيم 60يُساوي
)عددَ مجموعةِ احلصى ( زائداً )عدد التفَّاحِ املتبقي (.
إسBBتنتاجُ Bكِ وإن كBBان صBBحيحاً لBBكن سBBرگBBون لBBم يBBكنْ يهBBدفُ بBعمليتِه الBى إجBراءِ قBسمةِ عBددٍ عBلى عBدد ،13بBل كBان يهBدفُ الBى إيBجادِ عBددِ الBتفاحِ الBذي يBنوي تBصديBرَه .ولهBذا إسBتمرَّ فBي مBرحBلةٍ ثBانBيةٍ بِBعَدِّ مجBموعBةِ احلBصى بBالBطريBقةِ نBفسِها مسBتعيضاً عBن كBلِّ 60حBصوةٍ بBحصوةٍ أكBبرَ الBى أن غBدا عBددُهBا أقBلَّ مBن ِ .60ثBم إسBتمرَّ بBإجBراءِ الBعمليةِ نBفسِها عBلى مجBموعBةِ احلBصى الBكبيرةِ .ولBم يBتوقBفْ إال بBعد أن أصBبحَ عBددُِ كBلٍّ مBBن مجBBموعBBاتِ الBBتفَّاحBBاتِ واحلBBصى الBBصغير والBBكبير واألكBBبر أق Bلّ مBBن ستني.
مOن عOاداتِ سOرگOون فOي كOلِّ صOفقاتِOه الOتجاريOة أن يُسجِّOلَ بOعد اإلنOتهاءِ مOن عOمليةِ الOعدِّ عOلى فOي لOوحِOه الOطيني عOددَ الOتفاحOاتِ املOتبقيةَِ فOي اخلOانOةِ األُولOى وأعOداد احلOصواتِ الOصغيرةِ واملOتوسOطةِ فOي اخلOانOتني األُخOريOني .لOكن فOي املOرةِ الOتي نOحن بOصددِهOا وقOفَ ،عOلى غيرِ عادتِه حائراً متأمالً الوضع .ال بُدَّ من وجودِ سببٍ لترددِه. لOOنسمحَ ألنOOفسِنا إسOOتغاللَ فOOترةِ تOOفكيرِه لOOلنظرِ الOOى إحOOدى تOOدويOOناتِOOه لOOصفقةٍ سOOابOOقة .فOOوجOOدنOOا الOOعددَ }) 1 4 {73بOOالOOنظام السOOتيني ( الOOذي ي Oدُّل أن مُOOحصِّلةَ قOOراءتِOOه كOانOت 73تOفَّاحOةً وأربOعَ حOصواتٍ صOغيراتٍ وحOصوةً كOبيرةًواحOدة .أي أنOه صOدَّرَ حسOبَ نظامِنا العشري 1*(60*60) + 4*60 + 73تفَّاحةً ) أي .( 3913 اجملاورة.
اآلن يOOبدو أن صOOاح Oبَنا قOOد ح Oلَّ املOOشكلةَ ،إذ نOOراه متهOOيأً لOOإلنOOطالقِ الOOى الOOقري Oةِ
13تُشيرُ األلواحُ الطينيةُ أن الرافدينيون لم يجروا عمليةَ القسمة بالطريقةِ املعروفةِ عندنا املسماةِ ” طريقةَ القسمةِ الطويلة “ .إذ وضعوا جداولَ متعددةَ ملقلوبِ األعداد .فكانوا يجرونَ عمليةَ القسمةِ بالضربِ مبقلوبِ العدد 30
مOشكلةُ سOرگOون هOي أنOه يُOواجOهُ حOالOةً لOم يOألOفْها قOبالً فOي أيٍّ مOن صOفقاتِOه املOتعددةِ الOسابOقةِ الOتي جOاوزَ عOددُهOا الـسOبعني .فـOقد وجـOدَ الـOوضOعَ الOتعـدادي ” سOبعَ عشOرةَ تOفَّاحOةٍ وحOصوةً كOبيرة فOقط ولOيس هOنالOك أيُّ حOصوةٍ صOغيرةٍ “ .وضْـOعٌ غOيـرُ إعOتيـاديٍ بOالنسOبةِ اليه .وضْعٌ أربـكَ أفكـارَه التي تواردتْ كاآلتى: ” مـاذا عـسى علـيَّ أن أُسجِّـلَ؟
هل } 1{17؟ كال .ليس هذا هو العدد الصحيح “.
وأخيراً قرَّرَ تسجيلَ الوضْعَ كما يراه :سبعة عشر ثم فراغٌ ثم واحدُ. أي أنه سجّلَ ” } ) .“1.…{17بالنظام العشري ( 3617تُفاحةً. إسOOمح لOOي أن أُع Oبِّرَ عOOن إسOOتيائOOي وغOOضبي مOOن هOOذا الOOتاج Oرِ الOOذي يُحَOمِّلُ احلOيوانَ املOسكنيَ بOقرابOةِ طOنٍ مOن الOتفَّاحِ ،ويOسوقُOه عشOراتِ األمOيالِ الى القريةِ اجملاورة. آرلBني !!! أنBتِ مBرهBفةُ احلBسِّ .وسBأُرشBحُكِ لBتترأسBي جBمعيةَِ الBرفBقِ بBاحلBيوان !! .لBكن أرجBو أن ال تBغضبي عBلى سBرگBون وال تBذرفBي دمBعةً عBلى احلBيوانِ املBسكني ألنBهما ” شBخصيتان “إفBتراضBيتان فBي حBكايBةٍ أهBدفُ مBنها منBBذج Bةَ كBBيف بBBانَ الBBصفرُ لBBلرافBBديBBنيني .يBBجبُ أالّ يBBغيبَ عBBنكِ أن بBBطلَ حكايتِنا ميثِّلُ التفكيرَ اجلَماعيَ لسكنةِ وادي الرافدين. من هذا املنطلقِ دعيني أستمر إن جBوهBرَ مBشكلةِ الBصفرِ هBي أنBه ميBثِّلُ الBالشBيءَ أو الBفراغَ أو الـخُBلـُو. ويBكادِ تBرمBيزُ الشBيءٍ بBرمBزٍ أن يBكون مBناقBضاً ملBنطقِ مجBرى احلBياة وأن يسBتنبتَ عند اإلنسانِ ــ خاصةً عند إنسانِ فجرِ احلضارة ــ عقدةً نفسيةً وفلسفية. الرمزُ مهما كان فهو شيءٌ ملموسٌ كما ذكرتَ سابقاً.
صوَرية.
بالضبط. خBاصBةً إذا تBذكــَّBرنBا أن الBكتابBةَ املBسماريBةَ قBدتBطوَّرتْ بBاألصBلِ مBن كBتابBةٍ لكن الفراغَ ال ميثِّلُ الصفر.إنه مجرّدُ ما يُسمِّى ”شاغلُ مكان “.
31
نBعم كBالمُBكِ صBائBبٌ ،إذا أُقBتُصِرَ عBلى تBدويBنِ األرقBام فBقط .لBكن تُشBيرُ األلBواحُ الBطينيةُ الBى أن الBرافBديBنيني أجْBرَوا جBميعَ الBعملياتِ احلBسابBيةِ، من ضمنِها إيجاد اجلذورِ التربيعيةِ والتكعيبيةِ بدقة. ممOا يOدلُ أن الOصفرَ كOان يُOعامOلُ ” كOمواطOنٍ مOحترمٍ “ فOي جOمهوريOةِ األعداد الدميقراطية. شكراً آرلني على الوصفِ التعبيرِي الرائع لكن ،هنالك سؤالٌ ما إنفكَّ ينقدحُ في ذهني: ألOOم يOOشعرْ الOOرافOOديOOنيون .،طOOوالَ آالفِ الOOسنني خOOاللً بOOنائOOهم احلOضارة ،أن الOفراغOاتِ بOني اإلرقOام تOؤدي الOى إلOتباسٍ.وغOموضٍ وبOالOتالOي الOOى أخOOطاءٍ عOOند إجOOرائOOهم الOOعملياتِ احلOOسابOOية .مOOن الOOواض Oحِ أن الOOتمييزَ صعبٌ جداً بني هذا 753 2وهذا 753 2على سبيل املثال.14 صBحيحٌ ،الBفراغBاتُ قBد تBؤدي الBى بBعضِ اإللBتباسِ .لBكني أُرجِّBحُ أنBه لBم يBكن الBرافBديBنييون بBغافBلني عBن إمBكانBيةِ حBدوثِBه .وأظBنُ أنBهم كBانBوا يBBعتبرونBBه ثBBمناً عBBليهم دف Bعُه كBBي يBBتجنبوا ممBBارس Bةَ مح BرَّمBBاتِ تBBرمBBيزِ الBBالشBBيء بشBBيء .كBBما ال أظ Bنُ أن كBBان لBBلفراغBBاتِ أثــَّ Bرٌ سBBلبيٌ عBBلى دق Bةِ حBBسابBBاتِBBهم الBعمليةِ والBنظريBة .إذ أنBهم شBيَّدوا املBعابBدَ الBعالBيةَ ورصBدوا احلBركBاتِ املBعقَّدةَ لBلكواكBبِ وتBنبأوا بحBدوثِ اخلBسوفBاتِ والBكسوفBاتِ ووضBعوا الBتقاوميَ وطBوَّروا الBتجارةَ وأسBتعملوا الBنقودَ ووضBعوا عBديBداً مBن اجلBداول الBريBاضBياتBية وأُمBوراً كBثيرةً غBيرَهBا .مBن الBواضBحِ أن كBالً مBن هBذه املنجBزاتِ واألنشBطةِ يBحتاجُ الBى حBسابBاتٍ دقBيقة .فBليس هBنالBك أيُّ دلBيلٍ عBلى أن الBفراغBاتِ أدَّتْ الBى أخBطاء في حساباتِهم. وملا الحظتْ آرلني إلتفاتةً مني الى ساعتي سارعتْ قائلةً: األسئلة
أمتOOنى أن ال يOOكونَ لOOدي Oكَ إرتOOباطOOاتٌ أُخOOرى .إذ عOOندي مOOزي Oدٌ مOOن
كBBال لBBيس ل Bدَيَّ إلBBتزامBBاتٌ .وأمتBBنى ،أن تBBسألBBي مBBزيBBداًٍ مBBن األسBBئلةِ التي تثيرُها أجوبتي شرط أن أعرفَ اإلجابةَ عنها وأن أبوابُ املكتبةِ مفتوحةً ما هي أسئلتُكِ؟. 14من اجلديرِ بالتنويهِ الى حقيقةٍ مهمةٍ في النظامِ الستيني ،هي أن إحتماليةَ وجودِ عددٍ ذي خانةٍخاليةٍ ال تسبقُها وال تليها خانةٌ خاليةٌ ) في مجموعةٍ عشوائيةٍ من األعداد ( هي ،1/60وأن إحتمالية وجودِ عددٍ ذي خانتني متتاليتني هي أقلّ من 1/3600مما يجعلُ حدوثَ إلتباسَ أقلَّ بكثيرٍ مما يحدثُ في النظام العشري. 32
فOهمتُ اآلن أن أجOدادَكَ الOرافOديOنني كOانOوا يOعرفOون الOصفرَ ولOكنهم كOOانOOوا يسOOتحرمOOون تOOرمOOيزَه بOOرم Oزٍ واض Oحٍ صOOريOOح .لOOكني ال أزالُ أجه Oلُ األسبابَ التي دعتْهم الى تبني النظامَ الستيني هBذا سBؤالٌ صBعبٌ .ويBختلفُ اآلثBاريBونَ واملBؤرخBونَ حBولBه .هBنالBك آراءٌ مBتعددةٌ لBتعليلِ تBبني الBنظام السBتيني .إذا كBان لBديBنا مBتسعٌ مBن الBوقBتِ لBطرحBتُ ممBا أنBا مُBلُمٌ بBها عBلى بBساطِ املBناقBشة .لBكني سBأشBرحُ لBكِ فBقط مBا أُرجِّBحُ .إنBي أعBتقدُ بBأن تBبني قBومٌ نBظامBاً لBلترقBيمِ يBعتمدُ بBالBدرجBة األُولBى عBلى أُسBBلوبِ إسBBتعمالِ أجBBزاءِ اجلBBسم فBBي عBBمليةِ الBBعدِّ.لBBنطـَبِّقَ اآلن عBBلى الBBواقBBع أُسلوباً من احملتملِ أن إستعملـَه الرافدينييون. إبس BBطي ي BBديB Bكِ اإلث BBنتني ع BBلى ال BBطاول BBة .OK .اآلن عِB Bدِّي ع BBلى املفاصلِ الثالثةِ لألصابِعِ األربعةِ ) بإستثناءِ اإلبّهام ( في يدِكِ اليسرى. ما هو العدد؟ ثالث مفاصل في كلٍ من األصابع األِربع .أي إثنا عشر. .OKاآلن ،إطــْ Bوِيْ أح Bدَ أصBBابِ Bعِكِ فBBي ي Bدِكِ الBBيمنى .إسBBتمرِّي العدَّ بتكرارِ العمليةِ نفسها الى أن تُطـْوى األصابعَ.اخلمسة في يدِكِ اليمنى. أرى إنطواء أصابعك اخلمسة في يدكِ اليمنى .كم وصلتِ بالعدِّ؟ سOتُّون .اآلن فOهمتُ .هOكذا إسOتغلَّ الOرافOديOنييون أصOابOعَ الOيديOن بأسلوبٍ بديعٍ في عملية العدِّ .سأعرِّفُ صديقاتي عليه. يتضح من هذا أُسلوبٌ محتملٌ لتبني النظام الستيني. أرجBBو حBBني تBBتكلمني مBBع صBBديBBقاتِ Bكِ أن تBBذكBBري لBBهن أن لBBلنظام السBتيني رغBمَ صBعوبِBته مBزايBا بBفضل تBعددِ عBوامBله ،إذ أنBه يBقبلُ الBقسمةَ عBلى 30،20،15،12،10،6،5،4،3،2ممَّ BBا يُسَهِّ BBل ع BBمليات ال BBتوزي BBع ).م BBثل توزيعًِ الطعام على اجلنود ،أو ما شابه ذلك (. إنBني واثBق أنBكِ سBتُنعشني ذاكBرتBهن بBاحلBقائBق أن هBناك 12شهBراً فBي الBBسنة و 12سBBاعBBة فBBي الBBنهار وفـBBي الـBBليل و 60دقـBBيقــة فـBBي الـBBساعـBBة و60 ثـBBانBBيـة فـBBي الـBBدقBBيقـة و 360درجـBBة لBBقيـاسِ الBBدائـBBرةِ و 12بBBرج Bاً فBBي دائBBرةِ األبBراجِ الBسماريBة ،وبBأن جBميعَها مBن الBتراث الBذي ورِثَBه الBعالـَBمُ أجBمع مBن الBرافBديBنيني .ربَّBما ) ،أقBول رُبَّBما ( إن كBلمةَ ” درزن “ DozenالBتي تBدُّل على .12قطعة هي رافدينية األصل باملناسبةِ ،تُباع البيرة بأنصاف الدرازن. هل نسيتَ أن البيضَ يُباعُ بالدرازن.؟ وأن القَدَمَ 12إنچ ؟. 33
عOOلى كOOل حOOال ،أال تOOتفق مOOعي ،رغOOم تOOلك املOOزايOOا ،أن الOOنظام العشري أسهل التعامل معه ؟ نBBعم أتBBفق مBBعكِ .خBBاص Bةً إذا حBBاول Bتِ حBBفظَ جBBدولِ الBBضربِ فBBي الBBنظام السBBتيني ذي 3600مBBن املBBداخBBل الBBعدديBBة .لBBكن األيBBام خ Bبَّأتْ
تطوراً جديداً.
فBي سBنة 331قBبل املBيالد غBزا إسBكندر املBقودنBي بBالد الBرافBديBن. وكBان شBديBد اإلعBجاب بBحضارة وادي الBرافBديBن .وصBل فBي غBزوتBه شBبه القارة الهندية وأفغانستان. مBن اجلBديBر بBالBتذكBير الBى إفBتقار اإلغBريBق واملBقدونBيني آنBذاك الBى نBظام عBدٍّ مBكانBي مBثلما كBان مBتوافBراً لBدى الBرافBديBنيني .مBن الBطبيعي أن تBBنقلَ عBBساك Bرُ اإلسBBكندر نBBظامَ الBBترقBBيمِ السBBتيني الBBرافBBديBBنيِ الBBى الBBهند. ويجب أن ال ننسى أن العسكرَ نقلةٌ جيدون لألفكارِ ) واألمراض (. لBم يBعانِ الBهنودٌ مBن نBفسِ الBعوائBقِ الBفكريBةِ والنفسBيةِ الBتي عBانBى مBBنها الBBرافBBديBBنيون ) ربَّBBما عBBانBBى الBBهنودُ مBBن عBBوائ Bقَ أُخBBرى ( .ولهBBذا إستطاعوا تطويرَ النظامِ الرافديني. فBي بBعضِ مBناطBقِ الBهندِ الBشاسBعةِ وضBعَ الBهنودُ رمBزاً صBريBحاً لBلصفرِ عBلى شBكلٍ يشBبهّ ” “ 0ووضBعَ هBنود مBن سBكنةِ مBناطBقَ أُخBرى رمBزاً لBه على شكل نقطة” .“ ۰ بBBعد أن صُ Bقِلَ الBBنظامُ الBBرافBBديBBني فBBي الBBهند لBBعدةِ قBBرونٍ ظَهَ Bرَ فBBي حBقبةِ احلBضارةِ الBعربBيةِ اإلسBالمBيةِ نBظامُ تBرقBيم ٍمBكانBيٍ بBصيغةٍ ذي عشBرة أرقـBام مBدلBلة ) :مBن 0و 1الBى ،( 9أو ) مBن الBنقطة ” “ ۰و ۱الBى ( ۹بBدالً مBن سBتني )مBع الBفراغ املBمثلِ لBلصفرِ ( .ممBا جBعلـَه مBتوائBماً مBع احلBاجBاتِ اإلعBتياديBة .ولهBذا ٱنتشBرتْ الBصيغةُ اجلBديBدةُ فBي كBلِّ أرجBاءِ العالــَمِ بعد أن القتْ قليالً من املقاومة. أُالح Oظُ أن Oكَ تOOصفُ األنOOظمةَ اخملOOتلفةَ أنOOها صOOيغٌ .أال تOOعتقدُ أنOOها مختلفةٌ متاماً ؟
ك BBال .إن ج BBميعَ ال BBنظمِ امل BBكان BBيةِ م BBتكاف BBئةٌ م BBنطقياً .ال BBنظامُ العشBريُ لBيس أفBضلَ مBن الBنظامِ الBرافBديBني مBن الBناحBيةِ املBنطقيةِ الBبحتةِ. لBكن األولَ أفBضلُ مBن الBثانBي مBن نBاحBيةِ اإلسBتعمالِ الBيومBيِ اإلعBتيادي.
34
وهBنالBك جBمعياتٌ تBدعBو الBى تBبني نBظامٍ إثBني عشBري يBتمتعُ مبBزايBا الBنظامِ الستيني التي تكلمنا عنها قبلَ قليل. إن أبسBطَ األنBظمةِ عBلى اإلطBالقِ هBو الBنظامُ الBثنائBي الBذي يBعتمدُ عBBلى رمBBزيBBن فBBقط هBBما 0و .1يُسBBتعْملُ فBBي تBBصميمِ الBBلغةِ الBBداخBBليةِ لBBلكومBBپيوتBBر .ال ميBBكن أن يBBوج Bدَ نBBظامٌ أسه Bلُ مBBن جBBدولِ اجلBBمعِ فBBيه 1ِ+1=10وجBدولِ الBضرب .1*1=1إال أن الBنطامَ الBثنائBي ال ينسجBمُ مBع حBاجBاتِ اإلسBتعماالتِ اإلعBتياديBة .أودُّ ،عBلى سBبيلِ الBتوضBيحِ أن أسألـَكِ هل يعني 11110010110شيئاً لكِ ؟ كال ،ال أعتقدُ أنه يعني شيئاً خاصاً بي.
ال يBB Bا آرلBB Bني يBB Bنبغي أن يBB Bعنيَ ل B Bكِ شBB Bيئاً .إذ أنBB Bه يBB Bخصُكِ بBالBصميم !!! دعBيني أُسBاعBدُكِ .ربَّBما سBيتبنيُ أنBه يBعنيكِ إذا حBولBتُه مBن النظامِ الثنائي الى العشري .إنه.
^ +2^9+2^8+2^7+0*2^6+0*2^5+2^4+0*2^3+2^2+2^1+0*2^0
2 10
وهذا بدورِه مساوٍ الى:
.1942 = 1024+512+256+128+16+4+2آرل BB Bني إن BB Bه ع BBام م BBيالدِكِ إن BBي ق BBويٌّ ب BBعمليةِ ال BBطرح !!! 20 - 1962ي BBساوي .1942إنني لم أنسَ برقيةَ والديكِ ال أعOرفُ كOيف أشOكرُكَ مسOتر شOكـُّوري .أتOسمحُ لOي بOأن أدعOوَكَ من اآلن وصاعداً بإسمِك األول ؟
أجبتُها مازحاً بذلك النفي الذي يعني العكس. فOOتحتْ مOOحفظتَها وسجَّOOلتْ فOOي دفOOترِ مOOذكـِّOOراتِOOها عOOامَ مOOيالدِهOOا بOOالOOنظامِ الOOثنائOOي وإستطردتْ قائلةً: ” سOأكOتبُ هOذا الOرقOم كOلمَّا سُOئلـْتُ عOن عOامِ مOيالدي وسOأُحOاولُ توعيةَ وتثقيفَ مَنْ يسألـُني بنظمِ الترقيم.“ .
ثم نظرتْ اليَّ قائلةَ :
أرجOوكَ ،رميOون ،أن تُOعطيَني رقOمَ تOلفونِOكَ كOي أُسجِّOلَه فOي دفOتر تلفوناتي :
35
طOبعاً قOالOتَها بOالOلغةِ اإلنOكليزيOة .Your phone number :أمَّOا أنOا فOإسOتغليتُ كلمةَ ” .“ Numberوعلـَّقتُ ما يأتي: كم تدفعني كي تأوى األعدادُ في دفترِكِ ؟ ال أفهمُ قصدَكَ.
أقBBصدُ أن إسBBتعمالَ كBBلمةَِ NumberاملBBلحقةَ بBBعد Phoneأو Credit cardأو ،Social securityأو كBBثير غBBيرهBBا خBBطأُ مBBنطقي. إذ أن الBرمBوز مBن 0الBى 9حBني تُسBتعملُ فBي السBياقBاتِ املBذكBورةِ مجBرَّدَ إمBتدادٍ للحBروفِ اإلبجBديBة وتُBعتمدُ ملBثلِ تBلك األغBراضَ ألنBها سهBلةُ الBقراءةِ في جميعِ اللغاتِ تقريباً .لكنها ليست .Numbers
األعBدادُ جتُBمعُ وتُBضرب مBع بBعضِها وتُBربَّBعُ وجتُBذَّر والBى آخBر مBن عBBملياتٍ .لBBكـن ال مBBعـنى لBBلكـالمِ عـBBن جBBمـعِ ” عـBBددِ “ضBBمـانِ Bكِ اإلجتمـاعيِ مـع ” عددِ “تلفونكِ إال لغرضِ النكتةِ واملزاح 15 لBBكن ال يBBقعُ مBBتكلمو الBBلغةِ الBBعربBBيةِ مبBBثلِ هBBذا اخلBBطأ الBBلغوي املBنطقي .إذ يBقولBون ” رقBمَ الBتلفون “ و ” رقBمَ السBيارةِ “ و ” رقBمَ بطاقةِ اإلئتمان “ والى آخره. إذن أنOك تهOدفُ الOى ضOرورةِ تOعلـُمِ الOلغةِ الOعربOيةِ لOتجنبِ اإلنOزالقِ في مطباتٍ المنطقية.
آرلBني ،إذا شBئتِ تBعلـُمَ الBعربBيةَ فBأنBا ال أُعBارض .لBكني أُعBارضُ بشدةٍ أن تضعي كلماتٍ على لساني. آسOفة .لOقد أسOأتُ الOتعبير .كOنتُ أتOكلمُ بOصيغةٍ تOهكميةٍ عOن تناقضاتِ اللغةِ اإلنكليزية. O.K.
لنعودَ الى موضوعِنا الرئيسي.
األعBدادُ الBتي تBكلمنا عBنها الBى اآلن هBي األعOدادُ الOطبيعيةُ الBتي نBعدُّ بBواسBطتِها األشBياءَ مBضافBاً الBيها الBصفر .لBكن واقBعَ احلBياةِ والBعلوم والBريBاضBيات والBتكنولBوجBيا يBتطلبُ أُمBوراً أكBثرَ تBعقيداً مBن مجBرَّدِ الBعدِّ 15يُوصَفُ رامانوجان ) 1887ــ (1920الرياضياتي الهندي بأنه عاشقُ األعدادَ واملسلسالتِ العددية. قامَ الرياضياتي اإلنكليزي املعروف G.H.Hardyبزيارةِ رامانوجان حنيَ كان األخيرُ راقداً للعالجِ في مستشفىً في إنكلترا وأبلـَغَه أنه جاءَ بتاكسي ذي رقم ِ 1729الذي اليظهرُ أنه متمتعٌ بأهميةٍ خاصة .إنتفضَ رامانوجان في اللحظةِ قائالً ” :كال إنه عددٌ رائعٌ ،إذ أنه أصغرُ عددٍ ميكنُ كتابتَه كحاصلِ جمعِ تكعيبِ عددين بطريقتني مختلفتني ،هما ) 1تكعيب 12 +تكعيب ( و ) 9تكعيب + .10تكعيب ( “. 36
والBتعداد .مBن الBواضBحِ أن مBتطلباتِ تBوزيBع )الBطعامِ واألراضBي وغBيرِهBا ( دفBعتْ إنBسانَ احلBضاراتِ الBقدميBةِ الBى تBوسBيعِ األعBدادِ الBطبيعية لBتشملَ الBBكسور .فBBحصلَ عBBلى مBBا نBBسميه اآلن ” حOOقل األعOOدادَ النسOOبية “. وبغيةَ اإلختصارِ يَرمزُ الرياضياتيون اليه عادةً باحلرفِ .Q كBنتُ أودُّ أن أتBناولَ مBوضBوعَ إنBبثاقِ األعBدادِ الBسالBبةِ وأتBكلمُ عBن املBBقاوم Bةِ الBBتي واجه Bتْها فBBي الBBبدايBBة .لBBكن مBBن املBBؤس Bفِ أن الBBوق Bتَ قBBد إنBصرمَ بسBرعBةٍ وحBانَ مBوعBدُ إغBالقِ املBكتبة .ولBذا سBأتBناولُ فBقط حOقلَ األعOOدادِ احلOOقيقيةِ )يُBBرم Bزُ الBBيه عBBادةَ فBBي أدبBBياتِ الBBريBBاضBBياتِ لBBإلخBBتصارِ باحلرفِ .(R أذكـُ Oرُ أن قOOيلَ لOOنا فOOي املOOدرس Oةِ الOOثانOOوي Oةِ إن األعOOدادَ احلOOقيقيةَ هOOي إحتOادُ مجOموعOتَي األعOدادِ الOصحيحةِ والكسOريOةِ املOوجOبةِ والOسالOبةِ مOضافOاً اليهما الصفرِ.
هBBذا خBBطأٌ .لBBكنني ،حBBائ Bرٌ فBBي تBBصنيفِ اخلBBطأ أهBBو صBBغيرٍ أم كBBبير .مBBن املBBؤكـَّBBد أن Bكِ سBBتطالBBبينني بBBالBBتوضBBيحٍ .ولBBذلBBك أعBBرضُ احلقائقَ التاليةَ إستباقاً ملطالبتِكِ املتوقَّعة: أوالً .يBصطلحُ الBريBاضBياتBيون تBسميةَ اإلحتBادَ الBذي تBكلمتِ عBنه. بــِ ” حقلِ األعدادِ النسبية “ الذي قلنا إن رمزه.Q
ثانياً Q .حقلٌ جزئيٌ كثيف ٌمن
.R
ثBBالBBثاً Q .حBBقلٌ كBBثيرُ ” الBBثقوب “ .أمّBBا RفBBبالBBعكس هBBو حقلٌ كاملٌ أي خالٍ من الثقوب. رابBBعاً .ال مي Bكِنُ الBBتعبيرُ الBBدقBBيقُ بBBشكلٍ مBBطلقٍ عBBلى األعBBدادِ احلBBقيقيةِ ) أي عBBناص Bرُ ( RبBBإسBBتثناءِ ” قBBليلٍ “مBBنها .لBBكن مي Bكِنُ إيBجاد لBكلِّ عBددٍ حBقيقيٍ تBقريBباتٍ مبBتتالBياتٍ مBن عBناصBرَ QمBقربBةً الBى أيِّ دقةٍ نشاء. خBامBساً .إعBتماداً عBلى ” رابBعاً “ ،تBتمُ جBميعُ الBقياسBاتِ فBي أّمBBورِ الBBواق Bعِ املBBلموسِ واحلBBسابBBاتِ الBBيدوي Bةِ أو احلBBاسBBوبBBيةِ بBBالBBتعوي Bلِ عBBلى .QأمّBا اإلسBتنتاجBات واحلسBبانBات الBنظـريBة فBيُرتBكـزُ بBصورةٍ رئيسBيةٍ على .R 37
ك OOنتُ أُالحO Oظُ ط OOوالَ ف OOترةِ إس OOترس OOال OOي ف OOي ال OOكالمِ م OOحاوالتِ OOه آرل OOني امل OOتكررةَِ ملقاطعتي .واآلن أشرتُ لها بالتحدث فهمتُ سببَ حيرتِكَ. إن Qو RوجOOهانِ لOOعملةٍ واحOOدة .وج Oهُ RيُOOزوِّدُنOOا بOOأعOOدادٍ مOن املOتعذَّرِ الOوصOولِ الOى مOعظمِها ,فOيُعَوَّلُ نOتيجةً لOذلOك ،ألغOراضِ الOتعامOلِ بها في احلساباتِ الفعليةِ على تقريباتٍ لها من الوجهِ الثاني . Q
ش BBكراً لB Bكِ ع BBلى ه BBذا ال BBتلخيصِ ال BBبليغ .أُض BBيفُ زي BBادةً ف BBي الBتوضBيحِ مBثاالً :مBحيطُ الBدائBرةِ يBساوي طBولُ قBطرهBا مBضروبBاً فBي عBددٍ حBقيقي ثBابBتِ يُBرمBزُ الBيه بBاحلBرفِ اإلغBريBقي πالBذي يBتعذرُ الBوصBولَ الBيه. لBكن عBندمBا نBحتاجُ فBعالً فBي أعBمالBنا الBواقBعية نBلجأُ الBى تBقريBبٍ الBى π مثل 3 .1459او الى مليون مرتبة عشرية إذا شئنا. لكن ال زالت مسألةُ الثقوبِ غامضةً عندي.
بسيط.
ي BBجب أن ال ت BBكونَ غ BBام BBضةً .وس BBوف ل BBن ت BBكونَ ب BBعدشَB Bرّحٍ
لBيس مBن بُBدٍ أنBكِ تBعلِمني أن مBربBعَ طBولِ وتBرِ مBثلثٍ قBائBمٍ ،طBولُ كلٍ من ضلعيه املتعامدين واحد يكونُ مساوٍ الى .2أليس كذلك ؟
نOOعم ،أعOOلمُ ذلOOك كOOما أذكـُ Oرُ الOOبرهOOانَ عOOلى عOOدمِ وجOOودِ عOOدديOOن صOOحيحني pو ) qطOOبعاً qلOOيس صOOفراً ( بOOحيث أن يساوي 2
مربع ) ( p/q بِعبارةٍ أُخرى ال ينتمي الى Qعنصرٌ مربعُه يساوي . 2
هذا ممتازٌ وأكثر ممّا كنتُ أتوقع. ك BBي أُوضٍّB Bحَ م BBفهومَB Bيْ ال BBكمالَ وال BBتثقب جمل BBموعB Bةِ األع BBداد، لBنـتصوَّرهBا مـBفـروشBةً عBلى خBيطٍ طBويBلِ ،وفBي مBتناولِ يBديBنا مBقصٌ .عBند وضBعِ احلBافBتَني احلBادتBني لBلمقَصِّ عBلى أيِّ نBقطةٍ فBي اخلBيط ،تBتوزعُ األعBدادُ إمَّBا الBى ميBنيِ املBقصِّ وإمّBا الBى يBسارِه .مBن الBواضBحِ أن كBلَّ عBددٍ ” ميBينيٍ “ أكBبرُ مBن أيِّ عBددٍ ” يBساري “ .هBنا يBكمنُ مBا ميُBيَزُ احلBقلَ الBكامBلَ عBن احلِقلِ غيرِ الكامل.
38
إن املBقصودَ بBكمال حBقلِ األعBداد احلBقيقيةِ هBو أن مBوضBعَ املBقصِّ عBلى اخلBيط يBقابBلُ عOدداً وحOيداً أصOغرَ مOن أيِّ عOددٍ عOلى الOيمنيِ وأكOبرُ من أيِّ عددٍ على اليسار. أمَّBا بBالنسBبةِ الBى احلBقل QفBال يBحوي بBالBضرورةِ مBثل هBذا الBعدد لBBكل وضْ Bعٍ لBBلمقص.عBBلى سBBبيلِ املBBثال ،لBBنتصورَ أنBBنا وض Bعَنا حBBافBBتي املBBقصِّ عBBلى مBBكانٍ بBBحيث تBBقعُ الBBى ميBBينِه جBBميعُ األعBBدادِ املBBوجBBبةِ الBBتي تBربBيعاتُBها أكBبرُ مBن 2والBى يBسارِه مجBموعBةُ كBلِّ األعBدادِ غBيرِ املBوجBبةِ مBع األعBدادِ املBوجBبةِ الBتي تBربBيعاتُBها أصBغــرُ مـBن .2إذا تBأمBلنا مBوقBعَ حBافBتي الـBBمقصِّ ،لBBوجBBدنBBاهBBما تBBقعان عBBلى فBBراغ .إذ لـBBو إفBBترضBBنا الBBعكس أي وقBBوعِBBهما عBBلـى عBBددٍ xفBBي ،QلBBكان xأصBBغـرَ مBBن أيٍّ مBBن األعBBدادِ ”الBيمينية “ وأكBبرَ مBن األعBدادِ ”الBيساريBة “ .وميBكنُ الBبرهBنةُ عBلى أن مBربBعَ هBذا الBعددِ XيBساوي .2ممّـBا يBنـاقBضُ حـBقيقةَ خBلـوِ QمـBن هـBذا الـعدد. ولهذا نقول إن ” Qمثـقَّبٌ “وبتعبيرٍمتداولٍ أنه غيرُ كامل.
كOOنتُ أُالح Oظُ أثOOناءَ شOOرحOOي أن آرلOOني تOOصوِّبُ ال Oيَّ نOOظراتٍ غOOريOOبةٍ مOOع إبOOتسام Oةٍ خفيفة .فسألتُها عندَ إنتهائي من الكالم عن نظراتِها الغامضة: كOيف ال تOكونُ نOظراتOي غOامOضةً وقOد جOعلتَ مOن األعOدادِ أحOزابOاً سOياسOيةً ميOينيةً ويOساريOةً .وقOد وضOعَني أُسOلوبُOكَ فOي الOتعبيرِ وفOي حتOريOكِ يOOدي Oكَ فOOي طOOورٍ مOOن تOOنوميٍ مOOغناطيسOOي فOOصيرتَOOني قOOادرةً عOOلى رؤي Oةِ اخلOOيطِ الOوهOميَِ كOأنOه خOيطٌ حOقيقيٍ جOاثOمٍ ومُجسOدٍ أمOامOي وأرى ذراعOيك ممOتدتOني ميOيناً وشOماالً ممOسكتني بOه مOن طOرفOيه وأُشOاهOدُ إصOبعيك وقOد إسOتحالOتا الOى احلافتني احلادتني ملقصٍّ تعصرانِ اخليطَ املسكنيَ عصراً؟ وم OOع ذل OOك ،إس OOترع OOى إن OOتباه OOي إس OOتعمالـُO Oكَ ك OOلمةَ ” ح OOقل “ أصOOابَ تOOفكيري بشOOيءٍ مOOن اإلربOOاك .فهOOل تOOعني أن األعOOدادَ احلOOقيقيةَ والنسOOبيةَ مOOن احلOOقولِ الOOزراعOOيةِ ،أم مOOن احلOOقولِ الكهOOرومOOغناطيسOOيةِ ،أم ماذا ؟
هههههههههه إنكِ خبيرةٌ بالنكاتِ اجلِناسي.
39
آخٌ مBBنكِ يBBا آرلBBني مBBونBBهان .آخ ،كBBنتُ أنBBوي تهBBري Bبَ مBBفهومِ احلBBقل دون أن أُجه Bدَكِ وأُجه Bدَ نفسBBي بBBتعري Bفِه .لBBكنكِ وجBBدتBBيني متلبساً بتهريبِه ،ممّا يستدعي مني تفسيراً. لم أكنْ أعلمُ أنكَ تعملُ بالتهريب !!!!!
أعتقدُ أن من حقي الدفاعَ عن نفسي!!!. إعBBتـادَ الBBعامBBلونَ فBBي مBBجالِ الBBريBBاضBBياتِ مBBنذُ الBBقرنِ الBBتاس Bعِ عشBBر عBلى إسBتـعمالِ كBلماتٍ بـسBيطةٍ ومBتداولBةٍ مBثـل ” ،زمـBرة “ و ” حBلـقة “ و ” حBقل “ و ” كBارثBة “ و ” فBوضBى “ وغBيرهBا ،إسBتعماالً مBختلفاً عBن مBعانBيها املBعتادة لBلداللBة عBلى مBفاهBيمَ مBعقدةٍ ،عBلى عBكسِ الBعلوم األُخBرى الBتي تَسBتعمِلُ مBصطلحاتٍ مBعقَّدةً ملBفاهBيمَ مBألBوفBةَ ،مBثالً :اإلسBمُ العلمي للقطِ ،Felis Silvestrisوللبرتقال .Citrus Sinersis بBعد هBذه املBقدمBةِ أبBدأُ ” بِBدفBاعBي “ مBوضBحاً مBحاولBتي تهBريBب مفهوم احلقل. كBBلمةُ ” مجBBموعBBة “ مبBBفردِهBBا ،أي مBBن دونِ نBBعتٍ يسBBبقُها أو يBليها ،تـBدلُّ عBلـى مجBرُّدِكBومBةِ أشBياءٍ ال يBربBطُ عBناصBرهBا أيُّ عBالقBةٍ سBوى اإلنتماء ،ال ترتيبٌ يُنظـِّمُها وال عملياتٌ جتُرى بينها، مـBن جBهةٍ أُخـBرى ،كBلماتٌ مBن أمBثالِ ” زمـBرة “ أو” حBلـقة “ أو ” حقل “ أو” بُنية ترتيب “ هي مصطلحاتٌ حُبْلى بالبُنى واخلواص. إذا تBBصوَّرنBBا اجملBBموعBBة مBBثل كBBوم Bةٍِ مBBن الBBطابBBوق ،فBBيمكنُ تBBصوّر الBزمBرةَ واحلBلقةَ واحلBقلَ كBأبBنيةٍ مBختلفةٍ نBوعBاً وطBرازاً وسBعةً شُBيِّدَ كBلٌّ مBنها من الطابوقِ بترتيبٍ خاص. س BأُحBBاولُ فBBيما يBBلي أن أشBBرحَ بBBإخBBتصارٍ مBBوضBBحاً الBBبناءَ املBBقصودَ مبفهومِ احلقل الذي نحن بصددِه احلBقلُ بBناءٌ فBكري يBتضمنُ عBمليتنيِ ثُBنائBيتنيِ ،تBربBطُ كBلٌّ مBنهما بBBطريBBقةٍ أو ب BأُخBBرى عBBنصـراً مـBBع كـ Bلِّ زوجٍ مBBن الBBعـناصBBر شBBرطِ أن حتBBقـقا نBفسَ املُسَBلـَماتِ اإلعBتياديBةِ لBعمليتَي اجلBمعِ والBضربِ املBألBوفBتني .ولهBذا تُBBسميا مOOجازاً ” جBBمع “ و ” ضBBرب “ .ويBBجبُ الBBتأكBBيدُ عBBلى أن عناصرَ اجملموعةِ قد تكونُ أعداداً وقد ال تكون . هBBنالBBك حBBقولٌ كBBثيرةٌ .لBBكن احلBBقلني Qو Rأه Bمُّها إذ تُنَمْذَجُ على صفاتِهما احلقولُ األُخرى. 40
إنBBني لس Bتُ غBBيرَ واعٍ أن مBBن الBBصعوبِBBة مبBBكان إسBBتيعابَ وتBBذوقَ املBفهومِ دون أمBثلةٍ تBوضBيحيةً تBختلفُ عBن املBثالBنيِ الBقياسBيني Qو .R فBBي احلBBقيقةِ كBBنتُ أطBBمحُ الBBى إعBBطائ Bكِ أمBBثلةً عBBلى غBBيرِهBBما ،لBBكن مBBن املBؤسBفِ أنBه ال يBوجBدُ مBتسعٌ كBافٍ مBن الBوقBتِ لBلتطرقِ الBيها واملBكتبةُ عBلى وشك أن تُغلق.
ت OOفهمتُ األس OOبابَ ال OOداع OOيةَ حمل OOاولO Oتِكَ الش OOري OOفةِ ” ته OOريO Oبَ “ مOOفهومِ احلOOقلِ .أودُّ أن أُقِ Oرَّ بOOعدمِ إسOOتطاعOOتي اإلدعOOاءَ إسOOتيعابOOي املOOفهومَ بOOصورةٍ كOOامOOلة .ومOOع ذلOOك فOOزوَّدَتْOOني تOOوضOOيحاتُ Oكَ ،رغ Oمَ إقOOتضابِOOها، بOفكرةٍ ضOبابOيةٍ عOن املOفهومِ .وأمتOنى أن تOتكرمَ بOإتOاحOةِ فOرصOةٍ الOى لOقاءٍ آخOر إلسترسالٍ أوسع.
لم أُجِبْ على إقتراحِها. سكتتْ آرلني متأملةً بعمق. طالَ صمتـُها ثالثِ أو ربَّما أربعِ دقائق.ثم قطعتُ عليها سكوتَها بالسؤال : ماذا عساكِ تفكـِّرينَ به .يا آرلني ؟ الOالنOهايOة إسOتحوذتْ عOلى أفOكاري ،خOاصOةً النOهايOات مجOموعOاتِ األع OOدادِ :ال OOطبيعيةِ والنس OOبـيةِ واحل OOقيقية .واضO Oحٌ أن كO Oالً م OOنها غ OOيرُ منتهOية ،األُولOى جOزءٌ مOن الOثانOيةِ وهOذه بِOدَورِهOا جـOزءٌ مOن الOثالOثةِ .لOكن الOOتأم Oلَ الOOعميق بOOالتسOOلسلِ الهOOرمOOي ،يOOدف Oعُني الOOى أن يOOتراءى لOOي وجOOودُ تباينٍ في منزلةِ أو كِِـبَرِ الـ ” “Infinitudeبينها.
لBBقد عهBBدتُ ،بBBفضلِ خBBبرتBBي الBBقصيرةِ مBBعكِ ،أن أج Bدَ رؤيBBاكِ عميقةً فهل ميكنُكِ الكشفَ عمَّا إستجدَّ منها ؟ ي OOتراءى ل OOي أن الـ” “Infinitudeللمج OOموعO Oةِ ال OOثال OOثةِ أق OOوى م OOن الثانيةِ والثانيةُ أقوى من األُولى
رغمَ مصطلحُِكِ Infinitudeغيرُ املألوف ،فقد فهمتُ قصدَكِ. على كلِّ حال ،درجتُكِ !!.50/100 فBي احلBقيقةِ ،إن املBواضBيعَ الBتي تBراءتْ لBكِ جBديBرةٌ بBاإلهBتمام سBواءً صَـ Bدُقـ Bتْ أم لـBBم تَ Bصْدُقْ .لBBكن الBBريBBاضBBياتBBي األملBBانBBي جBBورج كBBانBBتر ) ( 1918-1845قBد سBبقَكِ ،مBنذ تBسعينات الBقرن الBتاسBع عشBر ،فBي دراسBتهـا بBإمBعـانٍ وعBمـق فـBبرهBنَ عBلى تBقادرِ مجBموعBتَي األعBدادِ الBطبيعةِ 41
و النسBبية وعBلى أن مجBموعBةَ األعBدادِ احلBقيقيةِ أعBلى قBدرةً مBن مجBموعBةِ األعدادِ النسبية. ما هو التقادرُ.؟ .أراكَ حتاولُ ” تهريبَ “مفهومٍ آخر!!!.
ال تBتهمينني بسBرعBةٍ .إذ سBأُشْBبِعُ مBفهومَ الBتقادرِ تBعريBفاً ،بBعد دقائقَ قليلة. فBي احلBقيقة أودُّ أوالً أن أُبْBدي إعBجابBي بBأصBالBةِ وأنBاقBةِ بBراهBني كBانBتر الBتي إطـَّBلـَعتُ عBليها لBلمرةِ األُولBى حBني كBنتُ لBم أزلْ طBالBباً فBي مBرحBلةِ الثانويةِ من خالل قراءتي كتابَ Men of Mathematicsتأليفِ .E.T. Bell إنOOي مشOOتاق Oةٌ الOOى الOOتعرٍّفِ عOOلى تOOلك الOOبراهOOني .فOOأرجOOوكَ الOOعملَ على تلبيةِ طلبي.
بكلِّ سرور. مBن املBعلومِ أن بBاإلمBكانُ مBقارنBةَ مجBموعBتني ” صBغيرتBني “ بBإجBراءِ عBدٍّ عBناصBرَ كBلٍّ مBنهما ) .إن املBقصودَ مبBقارنBةِ مجBموعBتني هBو الBبتُّ فBي مساواةِ أو عدمِ مساواةِ أعدادِ عناصرِهما (. لBBكن ،لBBيس مBBن بُ Bدٍّ أن Bكِ تBBعلمني أنBBنا غBBال Bبِاً مBBا جن Bدُ فBBي حBBياتِBBنا اإلعBBتيادي Bةِ مجBBموعBBاتٍ ” كBBبيرةٍ الBBى ح Bدٍّ مBBا “ الBBتي ال نBBحتاجُ لBBغرضِ مقارنةِ زوجٍ منها الى إجراءِ عَدٍّهما عدّاً فعلياً. ألضBBربَ ل Bكِ مBBثالً :إذا وجBBدتِ ،عBBند دخBBولِ Bكِ قBBاع Bةً للسBBينما أنBها مBآلى .املBشاهBدونَ يُBشْغِلونَ جBميعَ املBقاعBدِ ،ولBيس مBن مBشاهBدٍ يBقفُ بBاحBثاً عBن مBقعد .أسBتطيعُ أن أتَBبَصَرَ مBن إبBتسامBتِكِ اخلBفيفةِ أنBكِ ال تسBتبقنيَ فBقط سBؤالBي عBن تBساوي عBددَيْ عBناصBر ِتBينك اجملBموعBتني بBل أنBكِ قBد جَهَّBزتِ جBوابَBكِ مسBبقاً بBأنَ املBوقBفَ واضBحٌ متBامBاً ،بBتساوي عBددُ مجBBموع Bةِ املBBتفرجBBني مBBع عBBددِ مجBBموع Bةِ املBBقاعBBد .أعBBلمُ ك Bلَّ ذلBBك. لBكنني أطBلـُبُ مBنكِ املBزيBدَ مBن الBتأمBلِ كBي تBضعي أصBبعَكِ لBيس عBلى مBا هو واضحٌ إمنا على سببِ ذلك الوضوحِ نفسِه لكنها أجابتْ بعد مجرَّد نصفِ دقيقةٍ تقريباً. ي OOكادُ أن ي OOكونَ الس OOببُ بO Oيِّناً .إذ أن امل OOوقO Oفَ ي OOفرضُ ع OOلينا أن ” نOOرب Oطَ “ ك Oلَّ مOOشاه Oدٍ مOOع املOOقعدِ الOOذي يجOOلسُ عOOليه ،ومOOع ك Oلِّ مOOقعدٍ املشاهدَ الذي يقعدُ عليه.ال من سببٍ سوى هذا.
42
شBكراً لBكِ .هBذا مBا كBنتُ أتBوقBعُه مBنكِ .يُBسمى الBربBطُ الBذي تكلــَّمتِ عنه ” التقابلَ واحدٍ-لِواحدٍ “. مBن الBواضBحِ أنBه يOشكـِّلُاألداةَ الBفكريBةَ الـBمحوريَBةَ الBتي تُBغْنينا عBن الBتعكـُّزِ عBلى األعBدادِ لBغرضِ مBقارنBةِ اجملBموعBاتِ املنتهBيةِ ” الBكبيرة “ مBن أمBثالِ مBجوعBتَيْ املBشاهBديBن واملBقاعBد فBي أيِّ قBاعBةٍ ،أو مجBموعBتَي شَBعْرِكِ وشَعْرِ تلك الفتاةِ الشقراءِ اجلالسةِ قُربَ الشباك. الفتاة الشقراء ؟ !!!! الرجالُ يفضلـِّون الشقراوات.
لBكن فBيلماً آخBرَ لBلممثلةِ مBارلBني مBونBرو ،يBدَّعBي ،أنBهم يBتزوجBون السمراوات.!!!. آرلBني ،إن حشBرَكِ أُمBورٌ ال شBأنَ لBنا بBها ،قBد بBترَ سBلسلةَ أفBكاري. دعـBيني اآلن أُحـBاولُ إسBتعـادتَBها .كـBنتُ أتBكـلمُ عـBن اجملBموعBاتِ املنتهBيةِ ” ال BBكبيرة “ ،م BBبيناً أن م BBن ال BBصعبِ ج BBداً ل BBكن ل BBيس م BBن املس BBتحيلِ إحBصاءَ عBددِ مجBموعBةِ شBعرِكِ وشBعرِ الBفتاةِ الBشقراء ألنBهما مجBموعBتان، رغم كِبَرِهما ،منتهيتان. لBكن مBن املسBتحيلِ عBدَّ عBناصBرَ مجBموعBةٍ غBيرِ منتهBيةٍ .إن أقBصى مBBا ميBBكنُ الBBتوصُ Bلَ الBBيه هBBو مBBقارنBBتها مBBع مجBBموع Bةٍ أُخBBرى إعBBتماداً عBBلى التقابلِ واحدٍ-لِواحدٍ. كBي يBكونَ ذهBنُكِ مسBتعداً لBتقبلِ مBنحىً جBديBداً ،عBليكِ حتBويBرَ عبارتَكِ عن تساوي عددَيْ مجموعتَيْ املشاهدين واملقاعد ال أفـهـم ،لـمـاذا أُحـَوِّرُهـا ؟ .هـل أخـطـأتُ فـي تـعـبـيـري .؟
كBال ،إطـْBمَئني .لBيس تBعبيرُكِ خBطأً .لBكن يBنبغي أن تَBدركBي أن الBعددَ احلBقيقي لBكلٍّ مBن اجملBموعBتني ال زال خBافBياً عَBنكِ .إذ لBم يBكنْ إجBراؤكِ عBدَّاً فBعلياً ،أي أنBكِ تBعامBلتِ مBع اجملBموعBتني املنتهBيتنيِ وكBأنBهما غBيرُ منتهBيتني .فBال يBكونُ الBكالمُ عBن مBساواةِ أعBدادِهBما مBناسBباً عBلى املستوى املنطقيِ. أت OOساءلُ م OOتعجبةً ،م OOاذا ي OOنبغي ع OOليًَّّ أن أق OOولَ ك OOي أُسْO Oبِغَ ع OOلى كالمي مكانةً الئقةً على املستوى املنطقي ؟ !!.
لBBيس هBBنالBBك مBBا يBBدعBBو الBBى الBBتعجب .تBBعلمني جBBيداً أن Bكِ لBBم تBقومBي بBإجBراءِ عBدٍّ فBعليٍ عBلى اجملBموعBتني بBل أجBريBتِ عBليهما ” تBقابBالً واحدٍ ـ لواحدٍ “ فمن املفضّلِ وصفُهُما ” متقادرتني “. 43
لBكن عBندمBا تBتعامBلني مBع مجBموعBاتًٍ غBيرًِ منتهBبةٍ فBعندئBذٍ يOجبُ عَلـَيكِ إستخدامَ مصطلحِ التقادرِ وإشتقاقاتًِه اللغوية. يلي :
إسOتطعتُ أخOيراً بOعد مOعانOاةٍ أن ألـُOمَّ بِOفَهْمِ جOوانOبَ املOوضOوعِ كOما • يُOOقالُ عOOن مجOOموعOOتني إنOOهما مOOتقادرتOOان إذا أُمOOكنَ رَبOOطـُهما بِتقابلٍ واحدٍ ـ لواحد. • إن مOO Oفهومَ الOO Oتقادرِ جOO OوهOO Oريٌ فOO Oي الOO OدراسOO Oاتِ املOO Oتعلقة باجملموعاتِ غيرِ املنتهية. • إذا أُسOتُنتجَتْ مOساواةُ عOددَيْ عOناصOرِ مجOموعOتني منتهOيتني بOO OإجOO Oراءِ ” تOO Oقاب O Oلٍ واح O Oدٍ -لOO Oواحد “ ،ف O Oيُفضَّلُ إسOO Oتخدام َاملسمياتِ املشتقة لغوياً من كلمة ” تقادر”.
نِعْمَ التلخيص أرسBى كBانBتر دعBائBمَ الBبحوثِ فBي مBيدانِ اجملBموعBاتِ غBيرِ املنتهBية وفتحَ فيه آفاقـاَ جديدةً لم يحلمْ بها إال قلةٌ من الرياضياتيني أودًُ اإلعOOترافَ بOOأنOOي ض Oقْتُ ذرع Oاً۰بِOOكثرةِ مOOا سOOمعتًُ مOOنكَ عOOن اجمل OOموع OOاتِ غ OOيرِ املنته OOيةِ .إال أنO Oكَ ركـَّ OOزتَ م OOعظمَ إه OOتمامِO Oكَ ع OOلى مج OOموع OOاتٍ منته OOيةٍ ل OOكنها ” ك OOبيرةٍ “ م OOثل مح OOموعO Oةِ ش OOعر ال OOفتاة الشقراء .ولم تُسْعِفْ متذوقةً للرياضياتِ بتعريفٍ دقيقٍ يشفي غليلِها
أطـْمئني سيارةُ اإلسعاف في طريقِها اليكِ !!!! ظه Bرَ أولُ تBBعري Bفٍ دقBBيقٍ ملBBفهومِ مجBBموع BةٍغBBيرِ منتهBBيةٍ فBBي الBBقرنِ الBسابBعِ عشBر فBي كBتابِ غBالBيليو املBعنونُ ” :عِBلـْمانِ جBديBدان “.إذ يBقولُ حسبَ مصطلحاتِنا احلالية : تكونُ مجموعةٌ غيرُ منتهيةٍ إذا وُجِدَ جزءٌ فعليٌ منها متقادَراً معها.
يُ BBبني ال BBشكلُ اآلت BBي ت BBقادرَ مج BBموعB Bةِ األع BBدادِ ال BBطبيعية م BBع مجBموعBةٍ جBزئBيةٍ مBنها .الBتقادرُ الـBمشارُ الBيه نBاتـBجٌ مBن الBتقـابـBلِ الBذي يـربـطُ كلَّ عددٍ طبيعيٍ مع تربيعِه ،كما مبنيٌ في الشكلِ.
44
إسBتثمرَ كBانBتر فBكرةَ الBتقابBلِ الBواحBد ـ الBواحBد فBي بBحوثِBه أفBضلَ إسBBتثمارٍ متــَّخBBذاً مجBBموع Bةَ األعBBدادِ الBBطبيعيةِ كBBوحBBدةِ قBBياسٍ تُBBقاسُ عBليها درجBةَُ الBقدرةِ الBالنBهائBيةِ للمجBموعBات األُخBرى ،مBثلما يُتَّخBذُ املBترَ وحدةً لقياسِ األطوال. كBBانBBت أفBBكارُ كBBانBBتر أصBBيلةً فBBي روع Bتِها ورائBBعةً فBBي أصBBال Bتِها. ومتBخضتْ مBنها مBدارسٌ فBلسفيةٌ فBي الBريBاضBيات .وتBركBتْ مBشاكBلَ بBقتْ لعقودٍ عديدةٍ صامـدةً عـاصيةً على اجلَزَّمِ في صدقِها أو بُطالنِها. N
لBعلَ أولَ مBا فBكـَّرَ بBه كBانBتر هBو الBبَتُّ فBي الBرأيِ ،املBبنِّيَ عBلى احلBسِّ الBفطري ،بBأن مجBموعBةَ األعBدادِ النسBبيةِ أكBثرُ قBدرةً مBن مجBموعBةِ األعBدادِ الطبـيعيةِ ألن األخيرةَ جـزءٌ من األُولى. بBإتBخاذِه اجملBموعBةَ كBوحBدةِ قBياس ،صBارتْ اجملBموعBاتُ املBتِقادرة مBB Bع تُBB Bوص B Bفُ أنBB Bها تَ B Bنْرَقِ B Bمُ أو أنBB Bها تَ B Bنْعَدُّ 16أي Countableأو N
N
.Denumerable
تBعلـَّمتُ مBنكِ أن أضBعَ الBبراهBني بBصوَّرٍ مBقتبسةٍ مBن الBواقBع .أنBخيَّلَ صBاحBبَنا كBانBتر قBائBداً عBسكريBاً و األعBدادَ النسBبيةَ املBوجBبةَ جBنوداً يBأمتBرونَ بBأوامBرِه .وهBويهBدفُ الBى أن يضعَ رقماً لكلٌّ منهم .لنرى هل سينجح في مسعاه. مبBا أن اجلBنودَ أعBدادٌ نسBبيةٌ فBلكلٍّ مBنهم مBقامٌ وبسBط .أوعBزَ الBقائBد الBى اجلBنود م أن يBBكونBBوا بBBأبس Bطِ رم Bزٍ ممBBكنٍ .مBBن الـBBمعلوم أنـBBه يُـBBرمـ Bزَ كـ Bلُّ عـBBددٍ بـBBمـا اليـنـتـهBBي مBBن الرموز .مثالً :كلٌّ مما يأتي … ،9700/13580… ,20/28 ,25/35 30/42 ،15/21 ،10/14 5/7 الى آخرِه رمزٌ مختلفٌ لنفسِ العدد .و يُريدُه القائدَُ أن يظهر بأبسطِ رمزٍ له أي .5/7 بBBعد إمBBتثالِ اجلBBميع الBBى اإليBBعاز ،أصBBدرَ الBBقائ Bدُ أمBBراً آخBBر بBBإجBBالس اجلBBنود عBBلى كراسٍ على النحوِ اآلتى : يجلس ذوو مقام 1على كراسٍ في الصف األول، يجلس ذوو مقام 2على كراسٍ في الصف الثاني، ب BBصورةٍ ع BBامB Bةٍ ،يج BBلس ذوو م BBقام pع BBلى ك BBراسٍ ف BBي الصف .p
وملَّ BBا إنته BBى الـ BBجنودُمـ BBن ت BBنـفيذِ األوامـ BBر ،جن BBد أن 1/1و 1/2و … … 1/1962م BBن اجل BBالس BBني ف BBي ال BBصف األول، 16إنني أُفضِّلُ هذه املصطلحات رغم قلة تداولها. من املصطلحاتِ األكثرُ تداوالً ” :قابلة للترقيم “ أو ” قابلةٌ للعدِّ “. 45
22/7
ونBشاهBدُ 2/1و 2/3و 2/5و … … 2/1935فBي الBصف الBثانBي و فBي الBثانBي والعشBريBن ،و …11/1931فBي الBصف احلBادي عشBر ،والBى آخBر مBا هنالك من أعدادٍ نسبية. اآلن نرى القائد بدأ يُرَقِّمُ جنودَه. فBأعBطى الBرقBم 1لBلجالBس األول فBي الBصف األول ،والBرقBم 2لBلجالBس الBثانBي فBي نBفس الBصف .إالَّ أنBه أدرَكَ إسBتحالBةَ إمتBامِ عBمليةِ تBرقBيمِ جBميعِ جBنودِه ،إذا إسBتمرَّ بBالتحBركِ عBلى الBصفِ األول .ولهBذا نBراه قBد إنتقلَ الى اإلجتاهِ اآلخر فBرقَّBمَ اجلBالBسَ األولَ فBي الBصفِ الBثانBي بBالBرقBمِ 3واجلBالBسَ األولَ فBي الBصفِ الBثالBثِ بـِ .4لBكنه سBرعBان مBا شَBعَرَ مBرةً ثBانBيةً إسBتحالBةَ إكBمالِ الBترقBيم .فBقررَ الBعودةَ الBى الBصفِ األولِ .وفBي طBريBقِ عBودتِBه وقBفَ عBند الBصفِ الBثانBي ورسBمَ الBرقBم 5عBلى اجلBالBس الBثانBي ،ثBم أعBطى الBرقBم 6 الى اجلالس الثالث في الصفاألول أدركَ أخBيراً بBعدم إمBكانBه إجBراءَ الBترقBيمَ الBشامBلَ الBذي يBسعى الBيه إالّ إذا ٱتَّBBبعَ األسBBلوبَ املBBتعرِّج َ ZigzagمBBثل ذلBBك املBBبنيَ بBBاألسBBهمِ فBBي الBBشكلِ املBBرفBBق .فBBإسBBتطاعَ بBBاإلسBBتراتBBيجيةِ الBBزيBBگزاگيةِ تBBرقBBيمَ جBBميع جنودِه. بهBذا األُسBلوبِ املBتَّسِمِ بBاألصBالBةِ وفBي الBوقBتِ نBفسِه بBالBبساطBةِ بBرهBنَ كBانBتر عBلى بُBطالنِ الBرأيِ الBفطري بBأن مجBموعBةَ األعBدادِ النسBبيةِ أكBثرُ قBدرةً من مجموعةِ األعدادِ الطبيعة. ح %%قا ً ب %%ره %%ا ٌن رائ% %عٌ ي %%تميزُ ب %%إس %%ترات %%يجيتَيْ ” إج ِ % %الس “ %داد ع %% %لى ش %% %ك ِل م %% %صفوف %ٍ % %ة الان %% %هائ ٍ % % األع ِ % % %ية وت %% %تبُعِ األع %% %دا َد ” زگزاگيا ً “. ٍ ٍ مجموعة ال تَن ْ َر ِقم. بمثال على آن األوان بأن أُطالبَ َك
ألBBيس مBBن األجBBدرَ ب Bكِ الBBتساؤلُ ه Bلَ تَ Bنْرَقِ Bمُ مجBBموع Bةُ األعBBدادِ احلقيقيةِ أم ال ؟. لOكَ احلOق .أُرجِّOحُ مOتوقOعةً أنOها ال تَOنْرَقِOمُ.بسOببِ كOثرةِ الOثقوبِ فOي حقلِ األعدادِ النسبية.
صحَّ توقعُكَ .لكن املهمَ ،يا آرلني ،هو البرهان.
46
لBBغرضِ ال Bبَتِّ فBBي املBBوضBBوع إفBBترضَ كBBانBBتر أن مجBBموع Bةَ األعBBدادِ احلBقيقيةِ تَBنْرَقٍBمُ أي تBوجBدُ قBائBمةٌ تشBتملُ عBلى جOميعِ األعBدادِ احلBقيقة. فنسBتطيع أن نBقولَ إن هBذا أولُ عBددٍ وهBذا الBثانBي وهBذا الBثالBث….والBى آخ Bرِه .لهBBذه الBBقائBBمةُ كBBما مBBبنيٌ فBBي الBBشكل بBBداي Bةٌ دون أن يBBكون لBBها نهاية) ،فهي ليست كالقائمة التي حتضِّرينها عادةً لغرضِ التسوق (. عBBلـَّمنا كBBانBBتر بBBاسBBتعمالِ أيِّ قBBائBBمةٍ يُBBفترضُ إحBBتوائBBها ع BBلى ج OOميعِ األع BBدادِ احل BBقيقية ك BBيف أن ” ن BBطبخَ “ع BBدداً حBBقيقياً ال مBBكان لBBه فBBي الBBقائBBمة ،مBBثل الBBعددَ xاملBBعروضُ فBBي أسفلِ الشكل. هBذا يBتناقBضُ تBناقBضاً صBارخBاً مBع اإلفBتراضِ بBوجBودِ مBثلَ هذه القائمة. إذن ال تَنْرَقمُ مجموعةُ األعدادِ احلقيقية. لBم يBبقَ إلكBمال ِ الBبرهBانِ سBوى ال ” “ RecipeلBطبخِ ما تشائني من أعدادٍ كـُثرٍ أمثال .x ال بُدَّ أن.تكونَ عمليةُ الطبخِ صعبة.
كBال ،كBال ،بBل بBالBعكس إنBها سهBلةٌ بBحيث ال حتBتاجُ الى مهارةٍ أكثرَ مما حتتاجُه عمليةُ سلـْقِ البيض!!.
فOOي هOOذه اللحOOظةِ ،عOOند متOOامِ الOOساع Oةِ الOOواحOOدةِ وخOOمسٍ وخOOمسني دقOOيقةٍ صOOباح Oاً أعOOلنتْ مOOس هOOنتون ،املOOسؤول Oةُ عOOن قOOاع Oةِ املكتبةِ ،أن أبوابَ املكتبةِ ستُغلقُ عندَ الساعة الثانية. أصOOابOOني اإلعOOالنُ بشOOيءٍ مOOن اإلحOOباط .إذ كOOنتُ أنOOوي تOOزوي Oدَ آرلOOني بOOالOOوصOOفة، لOلطبخِ .فOإعOتذرتُ قOائOالً :سOأُحOاولُ إعOطاءَكِ ” وصOفةَ الOطبخِ“ ونOحن منشOي فOي طOريOقِ عودتِنا. لم تـقُـلْ شيئاً .لكن بدا لي أن فكرتي لم تنلْ رضاها.
47
•• •• 3
فُوحِئنا عند خروجِنا من املكتبةِ بعاصفةٍ ثلجيةٍ تضربُ املدينة. أحOالَ الOثلجُ املOتساقOطُ الOطريOقَ لOزجOاً وصOار التسOلقُ الOى أعOلى املنحOدرِ الOذي تOقعُ املOكتبةُ فOي أسOفلِه فOي غOايOةِ الOصعوبOة .لOكنني لOم أَتخOذْ مOا يOجبُ إتِّOخاذُه مOن حOذرٍ لOلصعودِ الOصعب ،بOل بOالOعكس كOنتُ مOنهمكاً حOماسOةً مبOحاولOةِ إعOطاءِ آرلOني ” وصOفةَ الOطبخِ “ الOتي بOدأتُ الOتكلـُمِ عOنها قOبل خOروجِOنا مOوضOحاً شOرحOي بحOركOاتِ يOديّ وذراعOيَّ .الOى أن تزحلقتْ آرلني وكادتْ تسقطُ لو ال أن أسرعَتْ باإلمساكِ بذراعي .ثمّ قالتْ مؤنِّبةً: يOنبغي عOليكَ ،يOا رميOون أن.ال تOكونَ ذراعOاكَ مOنشغلتنيِ فOي أُمOور مOبرهOنةِ كOانOتر .بOل تOكونOا ممOدودتOني كOي تسOتندَ الOيهما الOفتاةُ الOتي متشOي معكَ وأن تكون َانتَ مالكـَها احلارس.
شOعرتُ بOاخلجOلِ مOن تOصرفOي املOتسمِ بOالOالمOباالةِ .فOلم أنOبسْ بOأيِّ كOلمةٍ وصOرتُ أُركـِّOزُ كOلَّ إهOتمامOي عOلى الOتأنOي احلOذرِ مOع كOلِّ خOطوةٍ نخOطوَهOا ،خOاصOةً أن آرلOني كOانOت متُOOسكُ بOOذراعOOي بشOOدةِ .وحOOني وصOOلـْنا قOOمةَ املنحOOدرِ وإجتOOهنا يOOساراً نOOحو مOOبنى الOOداخOOلي للطالبات ،وآرلني ما إنفكـَّتْ تستندُ بذراعي بقوّةٍ ،حينئذٍ أستطعتُ التعقيبَ قائالً: إنBي آسBفٌ ,إذ لBم أكBنْ مBالكBاً بBل شBيطانBاً .لBكن أخBبريBني كBيف تستطيعني التمييزَ بني مالكٍ وشيطان ؟. سOواءً إسOتطعتُ أم لOم أسOتطعْ ،إن الOذي أشOعرُ بOه أنOكَ اآلن مOالكOي احلارس.
آرلBB Bني ،هBB Bل تBB Bعلمني أن الBB Bقدِّي B Bسَ أُوغسBB Bطني كBB Bان كBB Bاره B Bاً للرياضيات .قال ” :قد شكـَّلَ الرياضياتيون رهبنةً مع الشيطان “ ؟. مOن املOؤكـَّOدِ أنOكَ لOم تOقرأْ مOا وَرَدَ فOي هOامOشِ الOكتاب ،حOيثُ يOقولُ بإستثناء ” رميون شكـّوري “ !!!!«.
أغلقتْ موضوعَ القديسَ أوغسطني وسكتتْ دقيقةً ربَّما دقيقتنيِ .ثم قالتْ :
48
بOدأتُ أشOعرُ أنOكَ سOاحOرٌ بOابOلي .سOاحOرٌ إسOتطاعَ خOاللَ مجOرَّد أقOلَّ مOن عشOرِ سـOاعOاتٍ نOقلي مOن طـOورِ كـُOرهِ الOريOاضOياتِ الOى طOورِ تَOذَوقٍ لOها كتذوقِ الناسِ للموسيقى واألدبَ والفن وتطلب مزيداً منها
املبنى.
آرلBBني ،أرجBBوكِ أن تBBكـُفي عBBن كـَ Bيْلِ مBBبالBBغاتِ املBBدي Bحِ واإلطBBراء عBBليَّ وعBBن إسBBباغِ مBBا ال أمBBلكُ مBBن مBBؤهBBالت .أخشBBى أن أُص Bدِّقَ مBBا ت BدَّعBBني .ال تنسBBي أنBBي لس Bتُ مBBالك Bاَ غBBيرَ مBBعصومٍ بBBل بشBBراً قBBد يُ Bفْقِدُهُ املديحُ املبالغُ تواضعَه ويأخذُ باإلستكبار إنOOقطعَ الOOكالمُ عOOن املOOالئOOكةِ والشOOياطOOني والOOرهOOبنةِ والOOريOOاضOOيات عOOند وصOOولِOOنا
شOاهOدتُ عOند واجهOتِه تـَجَOمْهُرَ عشOراتِ الOطالOباتِ فOي عOناقٍ حOميمٍ مOع أصOدقOائOهِّنَ غيرَ مكترثنيَ وال مكترثاتٍ الى الثلجِ املتساقطِ والبردِ الشديد. حOني شOعرتْ ارلOني بِOنيتى مOغادرةَ املOكانِ مOباشOرةً وجَّهَOتْ لOي سOؤاالً كOان ــ كOما بOدا لي أنه في ذهنِها منذ خروجِنا من املكتبةِ: رميون ،أال نُرتِّبُ لقاءً آخر؟
عBزيBزتBي آرلBني ،لBيس فBي الBقريBبِ الBعاجBل .أُفBضِّلُ أن تBضعي الBنُتفَ الBقليلةَ مBن الBريBاضBياتِ الBتي تBعرَّضْBتِ الBيها خBاللَ هBذيBن الBيومBني عBلى نBارٍ هBادئBةٍ وتBفكـِّري بBها مBليِّاً.وتBعرفBي مBدى أَثBرِهBا عBليكِ .عBندئBذٍ سيسعدُني جداً تلبيةَ طلبَكِ.
قبل أن أُغادرَ املكانَ طبعتُ قبلةً على جبينِها وهمستُ في أُذنِها: عBزيBزتBي آرلBني ،يBجبُ أن تBعلمي أن مBالكـَBكِ احلBارس يُBنبِئُوكِ أنBكِ 17 A Diamond in the Rough
17املعنى احلرفيُ للعبارةِ هو ” ماسةُ مستخرجةٌ من منجمٍ ِولم تُصقلْ بعدُ “.العبارةُ مثلٌ إنكليزي معرزفٌ يقالُ عن شخصٍ له قابلياتٌ فذةٌ لكنها حتتاجُ الى قليلٍ من الصقل. 49
•••• 4
لOOم أُخ Oطِطْ أن يOOكونَ ذاك آخ Oرَ لِOOقائOOي مOOع آرلOOني .لOOكنه كOOان .ال أعOOرفُ سOOبباً لِإلنقطاع .رمبّا كان إنشغالي بِكتابةِ وطـَبْعِ أُطروحتي والتحضير لِلدفاعِ عنها. وبOعد تخOرجOي رجOعتُ مOباشOرةً الOى الOوطOنِ خلِOدمOتِه .نـسOيتُ مOوضOوعَOهـا نسOيـاً تـامـاً ،ولـم تـخـطـرْ على بالي مطلقاً طوالَ اإلثني واخلمسني عاماً. فOOي اخلOOام Oسِ عشOOر مOOن أوكOOتوبOOر سOOنة 2013إسOOتلمتُ الOOعددَ األول َالOOصادرَ مـOOن مجلةٍ جديدةٍ إسمُها. The Social Impact of the New Sciences
الOتي تُOعنى ــ كOما يظهOرُ واضOحا مOن عOنوانِOها ــ بِOوَقْOعِ الOعلومِ احلOديOثةِ عOلى حOياتِOنا اإلجـتمـاعية .ألـقيتُ نظـرةً خـاطفةً وعاجلةً عـلى صفحةِ احملتويات. فOي اللحOظةِ الOتي كOنتُ أُقOلـَّبُ الOصفحةَ شOعرتُ كOأن إسOمَ أحOدِ مOؤلOفـي مOقـاالتِ الـمجOلـة ” يOصرخُ “ يOدعOونOي الOى إعOادةِ الOنظرِ عOلى الOصفحة .فOإمOتثلتُ الOى ”صOراخِOه “ فوجدتُ أن اإلسمَ ” “ Arlene Monahanكاتبةَ مقالٍ في اجمللةِ عنوانُه: .Stability Problems in Biological Dynamical Systems.
فOي تOلك اللحOظةِ ملOعتْ بِOذهOني آرلOني الOطالOبةَ فOي جOامOعةِ آيOوا .فOتـوالOتْ ذكOريOاتOي بOالOتفصيل عOن حِOوارَيْOنا الOلذيOن أجOريOانOهما فOي محOلِ الOپيتزا وفOي املOكتبةِ املOركOزيOةِ سOنة .1962 أسOOرع Oتُ ح Oتَّى قOOبل قOOراءتOOي املOOقالَ الOOى كOOتاب Oةِ رسOOال Oةٍ بOOعثـتُها الOOى املOOؤلOOفةِ عOOلى العنوانِ اإللكتروني الـذي يُذَيِّـلُ مقالـَها .وفيما يأتي نصُّ ترجمتِها:
50
األُستاذةُ الدكتورة آرلني مونهان أرجBBو املBBعذرةَ إذا كBBنتُ مقتحBBماً خBBصوصBBيتَك .يBBجبُ أوالً أن أُعBرِّفَ نفسBي .أنBا د .رميBون شBكـّوري أسBتاذُ الBريBاضBياتِ فBي جBامBعةِ بBغداد .حBصلتُ عBلى الBدكBتوراه مBن جBامBعةِ آيBوا فBي شBباط .1963وأنBا اآلن متقاعدٌ أسكنُ في ناشفيلد في واليةِ تنسي األمريكية. علمتُ بِإسمِكِ من مقالِكِ املوسوم: Stability Problems in Biological Dynamical Systems. تBBعرّف Bتُ لِBBفترةٍ قBBصيرةٍ جBBداً قBBبل حBBوالBBي سBBنةٍ مBBن تخBBرجBBي عBBلى طBالBبةٍ جBامBعيةِ حتBملُ نBفسَ إسBمِكِ األولَ والBعائBلي .وكBانBت تBدْرِسُ الBعلومَ الBبيولBوجBيةِ .أتBساءلُ مBتعجباً وأتBعجبُ مBتسائBالً هBل أنBكِ تBلك الBطالBبةُ أم أن املBBوضBBوعَ بِBBأجBBمعِه مBBصادف Bةٌ مBBن املBBصادفBBاتِ الBBشاردة ؟ .أرجBBو اإلجBابBةَ عBن تBساؤلBي فBي احلBالBتني بBأقBرب وقBتِ يBناسBبُكِ .ولBكِ تBقديBرى وشكـْري ريـــمـــون
لOOم أتOOوق Oعْ إسOOتالمَ جOOوابٍ مOOنها إالّ بOOعد يOOوم Oنيِ أو ثOOالثOOة ،فOOبدأتُ أقOOرأُ مOOقالـَOOها بِإمعانٍ .وجدتُه ممتعاً ومفيداً جداً ويتقاطعُ جزئياً مع إهتماماتي الراهنة. بOعد دقOائOقَ مOن إنOتهائOي قOراءِة مOقالِOها إسOتلمتُ رسOالOةً جOوابOيةً مOن الOكاتOبةِ هOذه ترجمتُمها: األُستاذ الدكتور رميون شكـّوري سُعِدْتُ جداً بِاستالمي رسالتَكَ ال أن OOا لسO Oتُ ه OOي .ه OOي آرل OOني ،۱وأن OOا آرل OOني ،۲آرلـ OOني ۱ت OOكـرهُ الـOOريـOOاضـOOيـات ،أمّـOOا آرلـOOني ۲فOOتحـبُ الـOOريـOOاضـOOيـات ،آرلـOOني ۱تـجـهـ Oلُ م OOفـهـومَ الـتج OOري OOد ،أمّـ OOا آرلـ OOني ۲ف OOتفهمُه ج OOيداً ،آرلـO Oنيَ ۱جتهO Oلُ مَO Oنْ إكـّOتشفَ حOسابَ الOتفاضOلِ والOتكامOل ،أمّــOا آرلـOني ۲فOتعلمُ مَOنْ إكOتشفَه، آرلـOني ۱تخشOى إشOارةَ الOتكامOلِ ،أمّــOا آرلـOني ۲فOتُحبُها وتOعتمدُ عOليها فOي بحوثِها كيف ميكنُ أن أكونَ أنا هي أو أن تكونَ هي أنا!!!!!. الشيءُ الوحيدُ الذي أعرفُ أنه يجمعُنا اآلن هو أن: 51
رقمَ الضمانِ اإلجتماعيِ آلرلني = ۱رقمَ الضمانِ اإلجتماعي آلرلني۲
وبِOدوري أسOألُ هOل أُتOيحتْ لOكَ فOرصOةٌ لِOزيOارةِ ملهOى السOترپOتيز فOي لOنـدن أو فOي مـOديـOنةٍ أُخـOرى ؟ .لOم تُOضحكـْني حOكايOةٌ طOوالَ حOياتOي مOثلما أضحكتـَني لتلك احلكايةِ في آيوا. تـــحـــيـــاتـــي آرلـــيـــن مــــونـــهـــان
الدكتورة آرلني ملقالكِ.
غمرتْني السعادةُ بِالتعرفِ على آرلني.۲ أُق Bرُّ أنBBه مBBا ٱنBBفكـّتْ صBBورةُ آرلBBني ۱مBBن مBBخيلتي.بBBعد قBBراءتBBي
عBزيBزتBايَ آرلBني،۱وآرلBني ِ ۲أرجBو أن تBفهما أنBي لسBتُ مBن روّاد املBالهBي سBواءَ كBان للسBترپBتيز أم لBغيرِهBا .إن جتBربBتي الBتي حBدثBتُكِ عBنها كانت جتربتي الوحيدة وستبقى وحيدة. إنBي مBتلهفٌ شBوقBاً الBى مBعرفBةِ كBيف تBطوّرتْ آرلBني ۱الBى آرلBني۲؟ وهـل تعتبرينَ تغيرَها إرتقاءً أم إرتداداً ؟. تــحـــيـــاتـــي ريـــمـــون
بعد حوالي ساعةٍ وصلـَني ردُّها املُطـَمْئن. الدكتور رميون إسOOتعجلـْتُ بِOOالOOردِّ خشOOيةَ أن اإلنOOتظارَ قOOد يسOOببُ ل Oكَ نOOوب Oةً قOOلبيةِ أودُّ طOOمأن Oتَكَ أنOOي أعOOتبرُ تOOطور آرلOOني إيOOجابOOياً إرتOOقائOOياً ،يOOعودُ الOOفضلُ فOOي ت OOفعيلِ ال OOتطورِ ال OOى ش OOخصٍ دع OOان OOي ال OOى محO Oلٍ لِ OOلپيتزا وح OOني إك OOتشفَ إمOتالكOي حOسَّـاً ريOاضOياتOياً ،لOم أكـOنْ واعOيةً بOتوافOرِه فOيَّ ،كOادَ مOن شـOدةِ إنOOفعـالِOOه أن يOOرتOOكـبَ حـOOماقـ Oةً قOOد تOOؤدي بِOOه الOOى اإلعOOدام .إسOOتطاعَ عOOند لOقائOي الOثانOي واألخOير مOعه فOي املOكتبةِ املOركOزيOة ِغسOلَ دمOاغOي مOن شـOوائOبَ كانت جتعـلُ الرياضياتِ عبأً ثقيالً. 52
وأنOا مOلتزمOةٌ مبOا وعOدتُOه ،كOلما أُسOألُ عOن سOنةِ مOيالدي،بOأن أكOتبَ ” “ 11110010110وثم أُوَعِّـي سائلي مبحاضرةٍ عن نُظـُمِ الترقيم لOم أنOسَ وسOوف لOن أنسOى الOعبارةَ الOتوديOعيةَ الOرائOعةَ الOتي هOمسَ بها في أُذُني،وكان لها أثرٌ بالغٌ في حياتي. بOعد أسOابOيعَ قOليلةٍ مOن لOقائOي بِOه لِOلمرةِ الOثانOيةِ واألخOيرةِ فOي املOكتبةِ املOركOزيOةِ غOادرتُ مOديOنة آيOوا وعOدتُ الOى مOديOنتي أوسOنت فOي تOكساس بسOببٍ مOرضِ والOدي .مOضى إثOنا وخOمسون عOامOاً ولOم تOنفكْ مOخيلتي خOاللـَOها مOن تOOصوّرِه أمOOامOOي وهOOو كOOما كOOان يOOفعلُ بِ Oعَقْدِ ذراعOOيه ويOOديOOه بِOOشكـلٍّ مOOا كOOي يOOوضِّ Oحِ الOOفضاءاتِ املOOعقـّّدةِ ويOOقصّ مسOOتقيمَ األعOOداد بِOOأص Oبِعيه كOOأنOOهما مقصٍ. ال أُخ OOفي ع OOليكَ أن OOي ك OOنتُ أش OOعرُ بِ OOال OOغيرةِ حO Oتّى م OOن امل OOفاه OOيمِ ال OOري OOاض OOيات OOية اجملO Oرّدةِ ال OOتي ك OOان يش OOرحُ OOها وك OOأن OOها حبـيـبتُه ي OOحتضنُها ويقبّلـُها. شOكـّلَ لOقائOيّ بهOذا الOشخصِ حلOظةَ ٱنOعطافٍ فOي حOياتOي .كOنتُ قOبلـَها أكOرهُ الOريOاضOياتِ وغOدوتُ بOعدهOا أسOتذوقـُOها وأطـOلـبُ املOزيOدَ مOنها بِOOحيث عOOند ٱنOOتقالOOي الOOى جOOامOOعةِ أوسOOنت أخOOذتُ خOOاللَ ثOOالثِ سOOنواتٍ دراسOOتي األولOOيةِ ـــ بِOOاإلضOOاف Oةِ الOOى كOOورسOOاتٍ فOOي الOOبايOOولOOوجOOيا ـــ عشOOرةَ كOورسOاتٍ فOي الOريOاضOياتِ مOن التحOليلِ احلOقيقيِ الOى الOتوپOولOوجOيا الOعامOةِ ومOن الOزمOرِ الOتي حOدثـَOني عOنها فOي مOطعمِ الOپيتزا الOى احلOلقات وٱجOتُزتُ اإلم OOتحان OOات بِ OOإم OOتياز .وف OOي ال OOدراس OOاتِ ال OOعليا أض OOفتُ م OOوض OOوعَO Oيْ الOتوپOولOوجOيا اجلOبريOةِ والOعُقـَد وهOو أولُ مَOنْ عOرّفOني عOلى وجOودِ هOذا الOفرعِ في الرياضيات وعلي بعض تطبيقاته في علوم احلياة. وجOدتُ لOنظريOةِ الOعُقـَدِ تOطبيقاتٍ فOكانOت أُطOروحOتي لOلدكOتوراه بعنوان: Knot-Theoretic Structures and Their Differences in DNA
التالية:
وثــّOقْـتُ فOيها الOشكرَ واإلمOتنانَ الOى مَOنْ أنOا مُOديOنةٌ لOه بOالOعباراتِ I would like to express my gratitude and appreciation for Dr.
Raymond Shekoury who kindled in me. in a mere couple of hours through his Babylonian Magic, the love of the Magnificent World of Mathematics
أشعرُ أني أطلـْتُ عليكَ فَينبغي عليّ التوقف. 53
تـــحـــيــــاتـــي آرلـــيـــن ۲
الدكتورة موناهان إن Bكِ تBBبالBBغني بِBBدوري فBBي جنBBاحBBاتِ Bكِ الBBعلميةِ .عBBلى ك Bلِّ حBBالٍ، جنBاحBاتُBكِ تُBذكـِّBرُنBي مبBقولBةٍ رائBعةٍ لBيسوعَ الBناصBري عBن الـBمُزارع الBذي نBثرَ بBذوراً فBي مBختلف األمBكنةِ وقBعَ بBعضٌ مBنها عBلى األشBواكِ .ولـBمّا ظـَهَBرَ الBنباتُ خBنقَه الBشوكُ احملBيطُ بBه .ووقَBعَ بBعضُها عBلى تBربBةٍ صBاحلBةٍ لِBلزراعBة ف BBأث BBمرتْ ث BBمراً ج BBيداً وك BBثيراً.أراكِ أنB Bتِ أي BBضاً ب BBذرةً ن BBادرةً رمB Bتْها ب BBني األشBواكِ تBلك األسBتاذةُ الBتي قBيّمتْكِ بِBدرجBةِ DفBي الBريBاضBيات وكـBادتْ تBخنق قBابBلياتِBكِ فَBحَقَ لBي الBدعBوةَ الBى خBنقِها!!!! .إال أن اإلقBدارَ شBاءتْ فبعثتْ ريحاً نقلـَتْ البذرةَ الى تربةٍ صاحلةٍ فأثمرتْ بِثمارٍ جيدةٍ ووفيرة. تـــحـــيـــاتـــي ريــــمــــون
54
•• ••5
بOدأنOا ــ بOعدَ ” لOقائِOنا “اجلOديOد ــ بِOالOتواصOلِ عOبرَ اإلنOترنOت بOشكلٍ يOومOيٍ تOقريOباً، ت OOناول OOنا ف OOي م OOراس OOالتِ OOنا شO Oتَّى األُم OOورِ ال OOتي ح OOدثO Oتْ خ OOاللَ اإلث OOننيِ واخل OOمسنيَ ع OOامO Oاً املنصرمة:.منها حريقُ مبنى األولد كاپيتول هِيل Old Capitol HillذلOOك املOOبنى الOOعزيOOز عOليَّ حOيث جOرى فOيه دفOاعOي عOن أُطOروحOتي لOلدكOتوراه ،ومOنها أيOضاً إغOتيال الOرئOيس جOون كندي في واليةِ تكساس. وكOانOت آرلOني تOؤكـِّOدُ دائOماً عOلى مOشاركOاتِOها الOعديOدةِ فOي املOظاهOراتِ املOناهOضةِ لإلحتاللِ األمريكي للعراقِ وأفغانسان. أودُّ ،بOطبيعةِ احلOالِ أن أُشOاركَ الOقراءَ مبOكاتOباتِOنا حOولَ نOشاطOاتِOنا املOتعلقة مبOواضOيع إهتماماتنا وحول مشاركاتِنا في املؤمتراتِ الـثقافيةِ والـعلمية. تـOوخOياً لOإلخOتـصارِ وجتOنباً لOلتكرارِ املOمل ،سـOوف لـOن أعـOرضَ لOلقراء مOكاتOباتِOنا بOOاألُسOOلوبِ ” الOOرسOOائOOلي الـ Oمُتَّبعِ إعOOتيادي Oاً الOOذي يُسOOتهلُّ بOOاخملOOاطOOبةِ الOOشخصيةِ املOOشفوع Oةِ بOاأللOقابِ الOعلميةِ ويُOذيَّOلُ بِOالOتحياتِ “ .إمنOا سOأعOرضُOه بِOأُسOلوبِ كOالمٍ إعOتياديٍ بOيننا وكOأنOه وجهاً لوجه. أعOOرضُ فOOي الOOفقراتِ اآلتOOيةِ أه Oمَّ لOOقاءاتِOOنا الOOرسOOائOOليةِ املOOتعلقةِ مبOOوضOOوعِ الOOهندس Oةِ الكـُسيرية.
55
••••6 سOمعتُ مOؤخOراً عOن مOوضOوع ٍجOديOدٍ ظهOرَ فOي الOربOعِ األخOيرِ مOن القرنِ املاضي يُسمى .Fractal Geometryهل لديكَ معرفةً به؟
كBيف تBسألBنيَ هBذا الBسؤالَ ،يBا آرلBني ؟ .أال تBعلمنيَ أن رميBون يBقفزُ الBى كBلِّ مBوضBوعٍ جBديBد ؟ .فBي الـBواقBع درّسBتُ هBذا املBوضBوعَ لBطلبةِ الBدراسBاتِ الBعليا فBي قBسمِ الBريBاضBياتِ فBي جBامBعةِ بBغداد .وقBد أشBرفBتُ عBلى رسBائBلَ املBاجسBتير والBدكBتوراه لBعددٍ مBنهم.فBيه .وال أُخBفي عBليكِ أنBني فBخورٌ بBإشBرافBي عBلى رسBالBةِ الBدكBتوراه لBطالBبةٍ ،مBوضBوعُBها فBرعٌ مBن تBفرعBات الBهندسBةِ الكـُسBيريBة .عBملتْ ،بBعد حBصولِBها عBلى الBدكBتوراه فBي مBؤسBسةِ JPLاملBرتBبطةِ مBع NASAحBيث طBبَّقتْ إخBتصاصَBها فBي بBحوثٍ تهمُ املؤسسةَ عن القمرِ تيتان التابعِ الى كوكبِ املشتري أرجOو ،أن تُOخبرَنOي عOن الOفروقOاتِ بOني الOهندسOةِ اجلOديOدةِ والOهندسOةِ املستويةِ واجملسَّمة؟
ليسBت كBلمةُ » « FractalقBامBوسBيةً بBل مBنحوتBةً مBن وضBعِ رائBدِ هBذه الBهندسBةَ الBريBاضBياتBي الBپولBنديُ األصBلِ بBوتBوا مBانBدلBبرو ) 1924ــ ( 2010 لِBلداللBةِ عBلى األشBكالِ الBتي تBتناولـُBها .و فBي الBلغةِ الBعربBيةِ نُBحِتَتْ كBلمةُ »كـَُسَ OOير«ك BBمصطلحٍ يُ BBقابB Bلُ امل BBصطلحَ اإلن BBكليزي.وع BBليه تُ BBسمى الـ Fractal Geometryبالعربية ” الهندسة الكـُسيرية “. ه OOل ل OOك م OOتسعٌ م OOن ال OOوقO Oتِ إلع OOطائ OOي ن OOبذةً ع OOن ال OOهندس OOة الكـُسيرية؟
بكلِّ سرور. ليس BBت ال BBهندسB Bةُ الكس BBيريB Bةُ م BBن صُB Bنْعِ البشB Bرِ م BBثل ال BBهندسB Bةَ املسBBتويBBة واجملّBBسمة الBBتي نBBعرفُBBهامBBن خBBاللِ دراسBBاتِBBنا األولBBيةِ الBBتي تBBتناولُ مBBفاهBBيمَ الBBنقطِ واملسBBتقيماتِ واملسBBتويBBاتِ والBBزوايBBا والBBدوائ Bرِ والBBكــراتِ واخملروطاتِ واإلسطواناتِ واألهرامِ وحسابِ املساحاتِ واحلجوم. أُسBتُثْمرتْ الBهندسBةُ املسBتويBةُ واجملBسّمةُ والزالBتْ تُسBتثمرُ فBي بBناءِ املساكنِ والعماراتِ واجلسورِ وإنشاءِ الطرقِ والسدودِ وغيرها.
56
أمَّBBا إذا ذهBBبتِ الBBى غBBاب Bةٍ كBBي تسBBتنشقي هBBواءً خBالBياً مBن الBتلـَوثِ فBلن جتBدي شجBرةً أُسBطوانBيةً وال نهBراً مس BBتقيماً وال صخ BBرةً مخ BBروط BBيةً .وحB Bنيَ ت BBوجِّه BBني نBظرَكِ الBى األعBلى لBن تُBشاهBدي سBحابBةً كBرويBةً وال بBرقBاً مستقيماً،إمنا تُشاهدين البرقَ مثل الشكلِ املرفق. وإذا ذهBبتِ الBى سBاحBلِ البحBرِ لBلتمتعِ مبBنظرِه، ف BBلن جت BBدي س BBاحB Bالً ع BBلى ش BBكلِ مس BBتقيمٍ أو ق BBوسٍ دائري. لكني رأيتٌُ بحيرةً مستديرة.
نBعم ،إمّBا فBي أحBالمِBكِ الBليليةِ وإمّBا أنBها بBحيرةٌ من صنعِ البشر.
هل صادفَ وشاهدتَ في اليقظةِ دجاجةً تضعُ بيضةً مكـّعبةً؟
نBعم ،بBالBتأكBيد شBاهBدتُ دجBاجBةً تBضعُ بBيضاً مBكعباً .وكBانBت تسBBتغيثُ مُ BقَوقBBئةً » :آخٍ ،آخ ،آخ « .وكBBان ديBBكـُها يــBBديـ Bرُ بBBعصبيةٍ الرقم 911علـى التلفون طالباً النجدةَ والطوارئ!!! لنعودَ اآلن الى موضوعنا الرئيسي. الBهندسBةُ الكـُسBيريBةُ مBن صُBنعِ الBطبيعةِِ .فهBي تBتناولُ مBن بBنيِ مBا تBBتناول :خBBطوطَ مBBساراتِ صBBواع Bقِ الBBبرقِ و تBBعرجBBاتِ سBBواح Bلِ البحBBر وأشBكالَ الBغيومِ واجلBبالَ واألشBجارَ والBنباتBاتِ وبBلوراتِ الBثلجِ ،وعBلى مBا فBي داخBلِنا مBن أجهBزةِ الBتنفسِ والBهضمِ وشBبكةِ الBدورةِ الBدمBويBةِ وشBبكة اإلعصاب .إضافةً الى أشكالٍ مبرمجةٍ حاسوبياً. إسOمحْ لOي بOسؤالٍ :.ملOاذا لOم يOكـْتشفْ املOيسوپOوتOامOيون الOهندسOةَ الكـُس OOيريO Oةَ وه OOم ال OOروّادُ األوائO Oلُ لِ OOلري OOاض OOياتِ وك OOان OOوا أك OOثرَ مت OOاسO Oاً بالطبيعة ؟.
سBBؤالٌ جBBيد .لBBم أُفBBكـِّرْ بBBه سBBابBBقاً .لBBعلَ السBBببَ هBBو أولBBياتِ إه BBتمام BBاتِ BBهم ال BBى م BBا ك BBان BBوا ي BBحتاج BBون :م BBثلَ ب BBناءِ م BBساكB Bنِهم ودورِ عBBباداتِBBهم .ويBBجب عBBلينا أن ال يBBغيبَ عBBن بBBالِBBنا أنBBهم كBBانBBوا فBBي أش Bدِّ احلBاجBةِ فBي تشBييد مBنشآتِBهم الBى ” اإلسBتقامBةِ “ .يBحبٍُ أن ال ننسBى أن ” اإلسBتقامBةَ “ نBفسها ليسBت غBريBبةً عBن الBطبيعةِ بBل بBالBعكس مـBتأتBيةً مBنها أيBضاً .أي مBن مBسار ِالBضوءِ فBي الBفراغِ وفBي وسBطٍِ هـBوائBي .ألBم يسBترعِ 57
الـBنجَّارُ إنـBتـباهَBكِ حBني يـBضـعُ لـBوحـBةً خشBبـيةً أمـBامَ عBينيـه كـBي يBتأكـَّBدَ مBن ” عدالتِها “ ؟. بOOعبارةٍ أُخOOرى :إن مِ Oحَكّ اإلسOOتقام Oةِ فOOي وس Oطٍ مOOعنيٍ هOOو مOOسار الـOضوء فOيه .أال جتOعلُ هOذه احلOقيقةُ الOهندسOةَ اإلعOتياديOةَ مOن صُOنْعِ الOطبيعةِ أيضاً ؟.
نعم ،نحن جزءٌ من الطبيعةِ .ال مفرُّ منها.
أُقّ Bتُصُرَتْ بBBحوثُ الBBعلميني ح Bتَّى مBBنتصفِ الBBقرن العشBBريBBن عBBلى الBBظواه Bرِ املBBنتظمةِ فBBي الBBطبيعةِ واجملBBتمعِ وأُهBBملِتْ ظBBواه Bرٌ أُخBBرى ذات اجل BBوانB Bبِ ال BBشاذةِ ال BBشاردة ــــ أم BBثالُ :ت BBدفB Bقُِ األن BBهارِ وح BBرك BBاتُِ ال BBغيومِ وتBذبBذبُ اإلقBتصادِ والBعواصBفُ وحBركBةُِ الBتجارة فBي الBسوقِ وٱضBطرابُ الBبحارِ وأجهBزتِBنا احلBيويBةِ وغBيرُهBا وغBيرُهBا بِBاعBتبارِهBا ظBواهBرٌ لِBقضايBا جBانBبيةٍ هBBامشBBيةٍ غBBيرِ قBBابBBلةٍ لِBBلتنبؤ ،وغBBيرُ ذات أهBBميةٌ .فهBBي إذن ال تسBBتحقُ التفكيرَ أو التأملَ وال البحثَ فيها. أعتقدُ أنك نسيتَ ظاهرةً مهمةً ذات وقعٌ علينا.نحن اإلثنني
لBم تَBكـُنْ األمBثلةُ املBطروحBةُ سBوى عBددٍ قBليلٍ مBنها .مBن الBواضBحِ عBدم إمBكانBي أ ن أُغBطيها جBميعاً .لBكنكِ تBدَّعBني بBوجBودِ مBثالٍ لـBظـاهـBرةٍ مـBهمةٍ ذات وقـBع ٌعBلينا بBحيث يBتوجBبُ عBليَّ أن أذكـُBرَهBا ويBنبغي أن ال نBنها.أجBدُ صBعوبBةً فBي تBركBيزِ ذهBني عBند هBذه الBساعBةِ املBتأخBرةِ مBن الBليلِ. أرجBو أن تBسمحي لـBي بBالBتفـكيرِ فBي املBوضBوعِ غBداً صBباحBاً وسBوف أُجBيبُكِ برسالةٍ قادمة. قOOضيتُِ عOOدةَ سOOاعOOاتٍ فOOي الOOليلِ وفOOي صOOباحِ الOOيومِ الOOتالOOي أُفOOكـِّرُ مOOاذا عسOOى أن يكون ذلك املثال الذي يتوجبُ عليّ أن ال أنساه .فأرسلتُ لها رسالةً تتضمنُ ما يأتي: حBاولBتُ جBاهBداً تَBذَكـُّBرَ مBثالٍ يBفي مبBواصBفاتِBكِ .لBكني أُقِBرُّ مBعترفBاً مع أسفي الشديد أني لم أتوصلْ الى املثالِ الذي تبتغينه.
عOOند قOOراءتOOي األمOOثلةَ الOOتي طOOرح Oتَها فOOي رسOOال Oتِكَ عOOن ظOOواه Oرَ وحOOركOOاتٍ شOOاذةٍ وغOOيرَ قOOابOOلةٍ لOOلتنبوء ،ملOOعتْ فOOي ذهOOني صOOورةُ الOOدخOOانِ الOOكثيفِ املOOتلوي كOOاحلOOيةِ الOOذي كOOان يOOنـفِـثُـه ذلOOك الOOرج Oلُ مOOن سOOيگارِه الOOكوبOOي فOOي مOOطعمِ الOOپتزا فOOي مOOدينةِ آيOOوا .كOOنتُ أتOOوق Oعُ أن يOOكونَ أح Oدَُ أمثلتِكَ.
58
صBBدق Bتِ …… آس Bفٌ ألنBBي خَـ Bيّـبْتُ ظ Bنَّكِ .إن احلBBرك Bةُ املBBلتوي Bةُ لBلدخBانِ مBثالٌ منBوذجBيٌ لBلنقلةِ الBتي حBدثBتْ فBي سBتينياتِ الBقرنِ املBاضBي فBي قBوالBبِ أُطBرِ املBعرفBةِ الBعلميةِ فBحوّلـَBتْ وجBهاتِ نBظرِ الBوسBطِ الBعلمي عBمّا هBو مBهمُ يسBتحقُ الBبحثَ وعBمّا هBو هBامشBي .فَBأخBدتْ الBظواهBرُ الBتيِ بBدتْ عـBBشوائBBيةً وغBBيرَ مBBنتظمةٍ نَ Bيَلَ اإلهBBتمامِ والBBعنايBBةث مBBن األوسBBاطِ الBBعلميةِ وصارت تُدْرسُ وتُخْضَعُ الى إختباراتٍ وقياساتٍ وتبويبٍ وتصنيف. تBB BضافBB Bرتْ ،خBB Bاللَ الBB Bعقودِ اخلBB Bمسةِ األخBB Bيرة ،جBB Bهودُ ذوي إخBتصاصBاتٍ مBتنوعBةٍ مBتمحورةً حBول تBلك الBظواهBرِ فBأثBمرتْ مBا لBم يBكنْ فBي احلسBبانِ الBى ٱكBتشافِ تَـBمَتُـعِها ـــ رغBمَ تBعقيداتِBها ــــ بِBبساطBةٍ وتBنظيمٍ وبِBBنوعٍ مBBن أنBBواعِ احلBBتميةِ ،كBBما ظه Bرَ عBBلى الBBعكسِ مBBن هBBذا أن الBBظواه Bرَ البسBيطةَ واملBتسمةَ بِBاحلBتميةِ ــــ الBتي كBانBت مBن صُBلـْبِ إهBتمامَBاتِ الBباحBثني ــــ ميBكنُ فBي بBعضِ احلBاالتِ أن تُظـْهِBرَ سBلوكBاً مBدهBشاً فBي الBتعقيدِ وعBدمِ الBقابBليةِ لِBلتنبؤ بBها .مBن أهBمَّ الBعوامBلِ املBؤديBةِ الBى هBذا اإلنBقالبِ ظBهورُ احلواسيبِ الشخصيةِ وٱننتشارُ ٱستعمالِِها على نطاقٍ واسعٍ. لBقد حBدثَ فBي تBاريBخِ الBعلومِ كBثيرٌ مBن أمBثالِ هBذه الBنقالتِ فBي ق BBوالـّB Bبَ أُطB Bرِ امل BBعرفB Bةِ ال BBعلميةِ ،ويَ BBطلِقُ ع BBليها ت BBوم BBاس كـُB Bوْن م BBؤرخُ وفيلسوفُ العلومِ مصطلحَ » .« Paradigm Shift ب OOال OOضبط…….تـُ OOماثO Oلُ ت OOلك ال OOنقالتُ ال OOى حO Oدٍ م OOا ال OOثوراتِ السOياسOيةَ الOتي تOزيOحُ طOبقةً إجOتماعOيةً وتOأتOي بOأُخOرى.لOكن ال بُOدّ مOن وجOودِ صOفةٍ مشOتركOةٍ بOني األمOثلةِ الOتي أتOيتَ بOها .مOن املOؤكـَّOد أنOها ليسOت أحOد أنواعِ التناظرات.التي حدَّثـتـَني عنها في آيوا.
صBحيح ،هBنالBك صBفةٌ مشBتركBةٌ تBتسمُ بِBها جBميعُ الكـُسBيراتِ هBي الـBتشابـBهُ الBذاتBي .Self SimilarityيBكونُ الBشكلُ كـُسBيراً إذا إحBتوى أيُّ جBزءٍ مBنه ــــ مBهما بBلغَ مBن الBصِغرِ ــــ عBلى شBكلٍ يشBبهُ األصBلَ إمّBا متBامBاً وإمّBا الBى حBدٍ كBبير.كBلُّ جBزءٍ مBن اجلBبلِ يشBبهُ اجلBبلَ بِBكامBلِه ،وكBلُّ فBرعٍ مBن الشجرةِ يشبهُ الشجرة.
59
ولBBعلَ نBBباتُ الBBبروكBBلي الBBذي كBBل جBBزء صBBغيرٍ مBBنه يشBBبهُ الBBنباتَ الكامل أفضلَ مثالٍ توضيحيٍ ملفهومِ التشابهِ الذاتيِ.
وكBذلBك أيُّ جBزءِ مBن الBشكلِ املBرفBقِ املBبرمBجِ حBاسBوبBياً واملBسمى مثلثُ سيـپـرنسكي يشابهُ الشكلَ الكامل.
60
وكBBذلBBك الBBشكلُِ املBBرف Bقُ املBBبرم Bجُ حBBاسBBوبBBياً واملBBسمى مOOنحني هلبرت يشابه الشكلَ الكامل.
بBدأ الBعلميون ـــ بBعد إدراكِBهم ثBمارَ مBناحBي الBهندسBة ِالكـُسBيريBةِ يBتلمسون دروبَBهم فBي مBجاالتِ املBعرفBةِ فBيعثرون عBلى بُBنى كـُسBيريBةٍِ فBي كثيرٍ من األمناطِ املعقدّةِ ويتناولـونها دراسةً وبحثـاً ومتحيصاً. أال تOتفق مOعي أن مOن غOرائOبِ األمOورِ أن الOريOاضOياتOيني لOم يOكتشفوا الكـُسيرياتِ قبل أواسط القرن املاضي.
مBBالحBBظتُكِ جBBديBBرةٌ بBBاإلهBBتمام .فBBي احلBBقيقةِ .الBBريBBاضBBياتBBيون مBثلـُهم مBثلَ كBريسBتوفBرِ كBولBومBبس الBذي لBم يBدرِ أنBه إكBتشفَ قBارةً جBديBدةً بBل إعBتقدَ أنBه وصBلَ الBهند الBغربBيةِ .كBذلBك الBريBاضBياتBيون فBقد أوجBدِوا عBBدداً مBBن الكـُسBBيريBBاتِ مBBنذ 1872لBBكنها م Bرّتْ مBBن بBBني أصBBاب Bعِهم دون إدراكِBهم ألِهBميتِها فBي الBطبيعة .إذ أوجBدوهBا كBأمBثلةٍ عBلى مBواقBفَ فBي الBريBاضBياتِ الBتي تBصدمُ الBبداهBةَ واحلBدسَ الBفِطريَ فBأطBلقوا عBليها نBعوتBاً إنBBتقاصBBيةً بِBBأنBBها أمOOثلةٌ پOOاثOOولOOوجOOيةٌِ .مBBنها عBBلى سBBبيل املBBثال ،مBBثلتُ سيـپرنسكي ومنحني هلبرت اللذان ذكرتُهما سابقاً. لBكن ظهBرَ بBعدئBذٍ أن األمBثلةَ الBپاثBولBوجBية ليسBتْ سBوى كــُسBيراتٍ متمتعاتٍ بِكاملِ الصحة!!!!. كBي تBشعري مبBدى الBصدمBةِ الـمُحْبِىطةِ الBتي أصBابBتْ ريBاضBياتBيّ مBا قBBبل السBBتينياتِ ــ أُق Bدِّمُ فBBيما يBBلي مBBثال Bنيِ فBBقط مBBن بBBني عشBBراتِ األمBBثلةِ املمكنة: هBل كBنتِ تBتمكننيَ ــ لBو لBم تBدرسBي الBريBاضBيات ــ تَBصَوُرَ مُBنْحَنِ مسBتمرٍ ذي مBحيطٍ المBنتهٍ طBوالً لBكنه مBحتوىً بِBكامBلِه داخـBل مـBربBعٍ ولBيس له مماسٌ عند أيِّ نقطةٍ من نقاطِـه؟ «. 61
جOداً صOعب .لOكني اآلن بOناءً عOلى دراسOتي الOعالOية لOلريOاضOيات أع OOرفُ أن ال OOري OOاض OOيات OOي ال OOسوي OOدي ڤ OOان كـَ OOوخ أن OOشأ م OOثاالً ع OOلى ذل OOك سنة.1904
بالضبط.
يوضِّحُ الشكلُ اآلتي املراحلَ األوليةِ إلنشائه. وأنــBشـأ الـBريـBاضBياتـBي جـBورج كـBانـBتــر سBنــةَ 1883شBكــالً سُBمِّي بBعدئBذٍ ”غOبارُ كOانOتر “ وهBو فBعالًِ شBبيهٌ بِBالBغبار .ميBكنُ إنBشاؤه بِحBذفِ اجلBزءِ الBوسBطي مBن قBطعةِ مسBتقيمٍ ثBم حBذفِ الBثلثِ الBوسBطي مBن كBلٍ مBن اجلBزئBني املBتبقيني ثBم حBذفِ الBثلثِ الBوسBطيِ مBن كBلٍّ مBن األجBزاءِ األربBعة وهكذا نستمرُ الى ما ال نهاية .كما مبنيٌ في الشكلِ املرفق.
62
لBعـلَ أشـBدَّ مـBا يBصعــقُ احلـBدسَ الBفطـريَ .أن عBلى الBرغBم مBن أنBه ” غBBبارٌ “ لBBكنه مBBتقادرٌ مBBع مجBBموع Bةِ نBBقاطِ نBBفسِ قBBطعةِ املسBBتقيمِ الBBتي أُنشئ منها بحذفِ ماالنهايةٍمن أجزائها!!. بBBاملBBناسBBبةِ هBBل تBBتذكBBري Bنَ آخ Bرَ مBBبرهBBنةٍ نBBاقBBشناهBBا ) جBBزئBBياً ( فBBي املكتبةِ ؟.
نOOعم كOOيف ال أتOOذك Oرُ مOOبرهOOنةَ كOOانOOتر الOOتي ب Oيَّن فOOيها أن مجOOموع Oةَ األعOدادِ الـنسOبـية ،رغOم أنOها النOهائOيةِ لOكنها ليسOت سOوى قOطـرة مOاءٍ فOي ” بَحْOرِ “ األعOدادِ احلOقيقية.؟ .و إسOتحوذ َبOرهOانُOها األنOيقُ َعOليكَ وأنOساكَ الOOثلجَ املOOتساق Oطَ وجOOعلـَك َتُOOهملُ الOOفتاةَ الOOتي كOOانOOت تOOراف Oقُكَ فOOتزحOOلقتْ وكادتْ تسقطُ على الثلج .كيف ال أتذكرُ كانتر ومبرهنته؟
كلُّ ذلك بسببِ جورج كـانـتر .تُبّاًَ له!!!!! ذكBرتُ فBي رسBالBةٍ سBابBقةٍ أن الBريBاضBياتيىن فBي السBتينياتِ أعBادوا اإلعBBتبارَ ألمBBثلتِهم الBBپاثBBولBBوجBBية فَBBوجBBدوا أن الBBطبيعةَِ مBBآلى مبِBBا ميُBBاثBBلـُها باألشكالِ واجلمال والتعقيد. أيBنما وجّBهنا إنBظارَنBا تBنكشفُ ظBواهBرَُ الBكونِ املBعـقـّدةُ واجلBميلةُ م BBثل أش BBكال اجملB Bرّات وأش BBكال ال BBغيومِ وت BBعرّج BBاتِ ال BBسواحB Bلِ البح BBريB Bةِ والBتَفَرّعِBاتِ املBتتالBيةِ لِBألشBجارِ وشBبكاتِ اإلنBهار ،ومBن أهBمِّها جBميعاً مBا فBي داخBلِِنا مBن أجهBزةٍ حBيويBةٍ وفBي الBضربBاتِ الBالدوريBة لِBقلوبِBنا وفBي بBناءِ نظامِ الدورةِ الدموية وتشعباتِ رئاتِنا وتالفيفِ أدمغتِنا ،والى آخرِه. وجنBدُ الـBهندسBةَ الـكـُسـBيريBةَ تَBصِفُ كBالً مBنهاِ ـــ رُغBمَ تBنوعBاتِBها وتعقيداتِها ـــ بِقواعد تدعو الى اإلستغرابِ من بساطتِها. لBيس مBن الBصعبِ الBتوصBلَ الBى أن كBالً مBن األمBثلةِ املBذكBورةِ يBتمتعُ بِBBالBBتشابBBه الBBذاتBBي .تBBنعكسُ صBBفةُ الBBتشاب Bهِ الBBذات Bيِ بBBالBBتفرع ِالBBى فBBروعٍ مBBشابBBهةٍ األص Bلَ والBBفروعُ بِBBدورِهBBا تBBتفرعُ الBBى فBBروعٍ أصBBغرَ وهBBذه تBBتفرعُ وهكذا دواليك .أي أن جميعَها كـُسيرات يOبدو أن الOطبيعةَ ” حتOبُ “ الOتفرعَ .لOكن ال بُOدَّ مOن طOرحِ سOؤالOني: لـــمـــاذا ؟ وكـــيـــف ؟.
دعBيني كBي أُجBيبَ عBنهما الBبدءَ أوالً بBتدارسِ أمBثلةٍ مBن كBيانBاتٍ جندُها في خارجِ أجسامِنا وثم ننظرُ بعذئذٍ الى ما في داخلِنا. 63
لِــنــتــنــاولَ اآلن الــنــهــر. يBتصوّرُ مBعظمُ الBناسِ أن األنBهارَ كBيانBاتٌ مBائBيةٌ جتBري مBن مBكانٍ الBى آخر ،من منبعٍ الى مَصَبٍ .وتسبحُ فيها األسماك. تهBتمُ أدبBياتُ اجلBغرافBية بِBاملBقارنBة بBني أطBوالِBها وتBقولُ مBثالً إن الBنيلَ أطBBولُ نه Bرٍ فBBي الBBعالـَ Bمِ ويBBليه نه Bرُ األمBBزون .لBBكن فBBي الBBواقBBع ِال يBBنطوي الBكالمُ عBن طBولِ النهBرِ ـــ أيّ نهBرٍ مBهمـا كـBان ــــ عBلى مBعـنى عـBميق ،وال يBبدو أن اجلBغرافBينيَ مهBتمون كBثيراً بِBشكلِ جBريBانِBه .هBل هBو أقBربُ الBى اإلستقامةٍ أم أنه متعرِّجٌ وملتوٍ؟ كـBلّ نهـBرٍِ يحBمـلُ إسBمــاً ذائBعَ الBصيتِ ـــ مBثلَ دجBلةَ أو الBفراتَ أو الBBنيلِ أو املسBBيسپي أو األمBBزون ــــ ال ب Bدّ مBBن وجBBودِ أنBBهارٍ أُخBBرى تBBرف Bدُه وتBؤثــّBرُ عBلى مBسارِه ويBؤثــّBرُ عBليها .رمبّBا يBتصوّرُ اجلBغرافBيونَ أن الBروافBدَ منفصلةٌ أو مستقلةٌ عنه لكنها في احلقيقةِ ليست كذلك. ال أقBصدُ بِBكلمةِ ” نهBر “ فBي مBراسBالتBنا ذلBك الBشكلَ الBذى جنBدُ مُخBططاً لBه عBلى اخلBرائBط .إمنBا أقBصدُ أنBه الBكيانُ اجلBيولBوجBيُ الBكامBلُ الBذي يـBؤدي ” وظBيفـةَ “تـBفريـBغِ مBياهٍ مBن جBزءٍ مBن سBطحِ الBكرةِ األرضBية يُBسّمى ” حوضُ النهر “. كBي يBقومَ هBذا الBكيان الـBمائBي بِBوظBيفـتِِه عـBليه إمBتـالكَُ ” أصBابBعَ “ تخترقُ أطرافُها احلوضَ .ولِكلٍ أصبعٍ حوضٌ جزئيٌ من احلوضِ األكبر. أمّBBا الBBكيانُ الBBذي يُBBطلقُ عBBليه أس Bمٌ مBBا وجن Bدُ مخBBططاً ل Bهٍ عBBلى اخلرائطِ كخـطٍ مـتعرّجٍ فَـأصِفُه في مراسالتنا أنه ” الوريدُ الرئيسي “. إذن يBتكـَوّنُ النهBرُ مBن أوردةٍِ دقBيقةٍ وكBثيرةٍ ،هBي فBي الBبدايBةِ مBن الBصِغَرِ بBحيث ال تُBسمَّى ومBن الBكثرةِ ال تُBعَدَّ وال حتُBصى .تBلتقي األوردةُ بBBعضُها بِBBبعضِ مBBكـَوّن Bةً أوردةً أكBBبرَ ،وهBBذه بِBBدورِهBBا تBBلتقي مBBع غBBيرِهBBا مBBكـَوِّن Bةً أوردةً أكBBثرَ كِـBBبـراً وهBBكذا دوالBBيك الBBى أن يBBصلَ الBBى الBBوري Bدِ الرئيسي الذي يصبُّ في البحر هكذا يُشَكـِّلُ النهرُ شكالً كـُسيرياً.
بBالBضبط كBما تBقولBني .إن إسBتعمالBي ملِBصطلحاتٍ كBارديBولBوجBية لِBBوص Bفِ ال Bسِمةِ الكـُسBBيري Bةِ لِلنه Bرِ يُBBغنيني تـBBقـريBBباً عBBن وص Bفِ ال Bسِمةِ الكـُسيريةِ لِلدورةِ الـدمويةِ الـكـُـبرى في اجلسم. 64
إذن النهBرُ والBدورةُ الBدمBويBةُ الBكـُبرى كـُسBيران مBتشابBهان الBى حBدٍّ مBا ومBختلفان أيBضاً .لِBكلٍّ مBنهما وظBيفةٌ خBاصBةًِ بBه يBنبغي عBليه تBأديBتَها. لكنهما يؤديانها بِطريقتني متعاكستني. على األولِ تفريغُ املياهِ من احلوضِ الى البحر بِفعلِ اجلاذبية. وعBBلى الBBثانBBي ض Bخّ الBBدمِ بِBBفعلِ مBBضخّةِ الBBعضلةِ الBBقلبية حBBام Bالً األوكBBسجنيَ والBBغذاءَ الBBى ك Bلِّ خBBليةٍ فBBي اجلBBسم .تBBلتقي أوردةُ النهBBر مBكـَوّنBةً أوردةً تBتزايBدُ كِBبراً .أمّBا شBرايBنيُ الBدورةِ الBدمBويBةِ فBتتفرعُ الBى أدقّ وأدق. إسOمحْ لOي أن أٍعOبِّرَ عOن أن صOبري قOد أخOذَ يOنفذ .ألنOي ـــ كOما تOعلمُ ـــ مOختصةٌ فOي الOبايOولOوجOيا الOريOاضOياتOية ،فOأنOا مشOتاقOةٌ أن تOتطرقَ الى ما في داخلِنا من أجهزةٍ حيوية.
نعم ،أتفق معكِ بأنه قد آنَ األوانُ للنظرِ الى ما في داخلِنا. مBن املBمكنِ أن تBكونَ فسBلجةُ أجBسامِBنا مBن أهBمَّ احلBقولِ لِBدراسBةِ الBهندسBةَ الكـُسBيريBة .يBقول گBولBدبBرگBر ” ال ميBكنُ أن يجBدَ املBرءُ فBي سBنة 1986كBتابBاً عBن الفسBلجةِ يBحوي كBلمةَ كـُسBير ،أمّBا فBي سBنة 1996فBال ميكنُه أن يجد كتاباً عن الفسجلةِ خالِ منها “. نBحن نBتكـَوّنُ مBن جBملةِ كـُسBيراتٍ مBتعاونBةٍ فBيما بBينها :رئBاتُBنا وأجهBBزتُBBنـا الBBعصبـية وأدمBBغتُـنا وفـBBي جـBBدرانِ األمBBعـاءِ تBBكـرارٌِ مـBBن طBBيـاتٍِ فـ BBي داخB Bلِ ط BBياتٍ ف BBي داخB Bلِ ط BBيات .ي BBجبُ ع BBلى كB Bلِّ م BBن ال BBنظـُمِ الكـُسBيريBةِ الBقيامَ بِBوظBيفةٍ مBعينة .فBتحتاجُ الBى تBكبيرِ املBساحBةِ السBطحيةِ فBBي داخ Bلِ ح Bيِّزٍ محBBدودِ احلجBBم ،ممِّBBا يBBضطرُّهBBا الBBى اإلسBBتعان Bةِ ” بسحBBر “تكبير بُعدِها الكـُسيري الذي سأشرحُ مفهومَه بعد قليل.
تBعلمنيَ أكBثرَ ممّBا أعBلمُ أنBا ،أن الBدمَ سBائBلٌ ” نBفيسٌ “ بِBكلِّ مBا لِBBلكلمةِ مBBن مBBعانBBي ،نBBفيسٌ فBBي حج Bمِه ،إذ ال يُBBكـَوّنُ سBBوى ثBBالثBBة ِأو أربBعةِ بِBاملBئةِ مBن احلجBم الBكلي لِBلجسمِ .ونBفيسٌ بِحBملِه إكسBيرَ احلBياةِ الBى ك Bلٍّ مBBن السBBبعِ وثBBالث Bنيَ تBBرلBBيون خBBليةٍ فBBي اجلBBسمِ .فBBينبغي نBBقلـُه الBBيها دون تBBفري Bطٍ بِBBه .مBBن الBBواض Bحِ عBBدمُ إمBBكانBBيةِ ذلBBك إالّ بِـBBتشعُبِ األوعBBيةِ الBناقBلةَِ الBدم الBى أوعBيةٍ فBرعِBيةٍ تBتشعبُ وتBتشعبُ تBكراريBاً الBى أن تBغدو أوعBةً شBعيريBةٍ .هBكذا تBنشأُ الشBبكةُ الكـُسBيريBةُ جلِBهازِ الBدورةِ الBدمBويBةِ الكبرى املوضحةُ جزئياً في الشكلِ املرفق. 65
تBقولُ املBصادرُ الفسBيولBوجBيةُ إن مجBموعَ أطBوالِ األوعBيةِ الBدمBويBةِ فBي جBسمِ اإلنBسانِ يBبلغُ مBئةَ ألBفِ كBيلومBتر أي ميBكنُ أن تBدورَ حBولَ الBكرةِ األرضيةِ مرتني ونصف. دعBيني أعBودُ مBؤقBتاً الBى مBوضBوعِ النهBر كBي أشBرحَ مBفهومَ ” الOبُعدَ الكـُسيري “ الذي نوّهتُ عنه في رسالتي السابقة.
مBن املBرجّBحِ أن كBثيراً مBن اجلBغرافBينيَ لBم يسBتوعBبوا متBامَ اإلسBتيعابِ الBوقBعَ الكـُسBيري ملِBفهومِ النهBر .فBما ٱنBفكـُّوا يBتكلـَّمونَ عBن طBولِ النهBرِ وكBأن النهBرَ كBيانٌ أُحBادي الBبُعدِ ،مBتجاهBلنيَ وظBيفتَه الBتفريBغية .لBيس صBBحيحاً أن تُس Bلَخَ أوردةُ النه Bرِ بBBعضُها عBBن بBBعضٍ وأن يُBBقاسُ طBBولُ ك Bلٌ منها على حدة. الـنهـBرُ لـBيـس كـBيـانـBاً أُحـBاديَ الـBبُعـدِ وال هBو ثBنائBيَ الBبُعد .إمنBا هBو ” مـا بني ـــ وبني “. إذن إذا كBان لِBلكالمِ عBن بُBعدٍ للنهBرِ مBعنىً فBيكونُ بُBعدُه أعBلى مBن الواحدِ وأوطأ من أثنني.
66
هOOذا يOOعني أن بُ Oعْدَ النه Oرِ يOOنبغيَ أن ال يOOكونَ عOOدداً صOOحيحاً بOOل كسOراً .إنOي أعOتبرُ الOكالمَ عOن بُOعْدِ شOيءٍ مOا عOدداً غOيرَِ صOحيح ،مجOرَّدَ هذيان. Et tu BruteدكBBتورة آرلBBني مBBونBBهان !!!ح Bتّى أن Bتِ تBBقولBBني هBBذا الكالم!! .يبدو أنكِ لم تأخدي كورس في نظرية األبعاد في جامعة أوسنت.
ال أذكرُ أن عُرضَ مثلُ هذا املتطلبُ الدراسي في اجلامعة.
إن مج Bرّد لBBفظَ بُBBعدٍ بِBBأعBBدادٍ غBBيرِ صBBحيحةٍ يBBعتبرُه مBBعظمُ ال Bنَّاسِ تـــBابــُـBو محBرَّم .فBقد تَBثبتتْ األُطBرُ الBفكريBةُ عBلى أن تBكونَ األبBعـادُ أعBداداً صBBحيحةً ،مBBن الBBصفرِ الBBى الBBثالث Bةِ فBBقط ورمبّBBا تُBBقبلُ األربBBعة فBBي بBBعض األحBيان .لBكن اإلدعBاءَ أن يBكون الBبُعدُ كسBراً ،فBهو حBرامٌ يBتجاوزُ كBلّ احلBBدود .لBBكن الBBريBBاضBBياتBBيني ) بِBBناءً عBBلى حBBلفِِهم مBBع الشBBيطان ،كBBما إدّعBى الBقديBس أوغسBطني !!!( أفBتوا بِBرفBعِ التحBرمي مBنذ بBدايBة الBقرن املBاضBي بBعد دراسBتِهم لِBلكائBناتِ الBريBاضBياتBية الBتي نBعتوهBا سBابBقاً أنBها پBاثBولBوجBية. فBBتمكنوا مب Bطٍّ تBBعري Bفِ مBBفهومِ ال Bبُعد اإلعBBتياديِ احلBBدس Bيِ مBBطــاً بسBBيطاً لِيغدوَ حاوياً حتت مظلتِه مفهومَ األبعادِ غيرِ األعدادِ الصحيحة. ال أرغ Bبُ فBBي زجِّ تBBعري Bفِ مBBفهوم ال Bبُِعد فBBي صُBBلـّب ِرسBBالBBتي بBBل أكBتفي بِBنفيه الBى املBلحقِ عBند الBنهايBة ،لBيس بِسBببِ صBعوبBتِه إمنBا ِلِBعدمِ رغBBبتي فBBي إثBBقالِ Bكِ وأن Bتِ لس Bتِ مBBلمَّةً بِBBالBBتعري Bفِ الBBدقBBيق احلBBدس Bيِ الBBكالسBBيكي بBBثقلِ تBBعري Bفٍ مBBحوّرٍ مBBنه .إن املBBهمَ أن تBBعلمَي احلBBقائ Bقَ اآلتيةَ عنه: أوالً:
تBتساوي نBتائBجُ الBتعريBفِ اجلBديBدِ مBع نBتائBجِ الBتعريBفِ
احلBدسBيِ عBلى األشBكالِ املBألBوفBةِ كBالBنقطِ واملBنحنياتِ والسBطوحِ واألجسام. ث BBان BBياً:
مي BBكنُ ح BBسابُ الB Bبُعدِ الكـُس BBيري بِ BBال BBضبط ع BBلى
الكـُس BBيراتِ امل BBولـّ BBدةِ ح BBاس BBوب BBياً إع BBتماداً ع BBلى اخل BBوارزم BBيات املبرمِجة. ثBالBثاً:
يBتطلبُ حBسابُ الBبُعدِ الكـُسBيريِ لِBكيانBاتٍ كـُسBيريBةٍ
مBBن الBBطببيعةِ كBBاجلBBبالِ والBBسواح Bلِ الBBى إجـBBراءِ قBBياسBBاتٍ عBBمليةٍ كBمسحٍ هBندسBيٍ جBغرافBي ،ويBنطلبُ لBألجهBزةِ احلBيويBةِ إجBراء قياساتٍ مختبريةٍ.
67
سBأُحBاولُ اآلن اإلجBابBةَ عBن الBسؤالِ الBثانBي املBطروح ” :مBاذا يBعكس ال Bبُعدُ الكسBBيرىُِ ؟ “.أعBBتقدُ أن إعBBطاءَ أمBBثلةٍ تBBوضBBيحيةٍ أفBBضلُ السBBبلِ لإلجابة يBB Bكوِّنُ مBB Bنحنٍ ذو بُBB Bعدٍ كـُسBB Bيري 1.1شBB Bكالً قBB Bليلَ الBB Bتعـرُّجِ وي BBتصرفُ ك BBأن BBه مس BBتقيمٌ أُح BBاديُ الB Bبُعد ،ل BBكـن مـ BBنـحـنٍ ذي بُـ BBعـدٍ كـُسيـريٍ 1.9يكوِّنُ شكالً كثيرَ التعرُّجِ واإللتواءِ. مBBثالٌ ثBBانٍ يسBBلكُ سBBطحٌ ذو بُBBعدٍ كـُسBBيريٍ 2.1كسBBطحٍ إعBBتياديٍ يBBعيش فBBي الBBفضاء الBBثالثBBي األبBBعادِ لBBكنه قBBري Bبُ الBBشكلِ مBBن املسBBتوي. بBينمـا يـBدّلُ شBكـلٌ ذو بُBعدٍ كـُسBيريُ 2.9عBلى أنBه سBطحٌ مBنطوٍ ومBتجعدٌ ويجري كأنه جسمٌ في الفضاءِ الثالثيِ األبعاد. مBثالٌ عBمليٌ بسBيط :إمBسكْي ورقBةً إعBتياديBةً .مBن املBعروفِ أن بُBعدَهBا يBساوي .2ثBم جَBعِّدْيBها قBليالً فBيصبحُ بBعدُهBاٍ الكـُسBيريُ . 2.05 وكBلما زدتBيها جتBعيداً يBكبر بُBعدُهBا الكـُسBيريُ وعBندمBا تBصبحُ شBبهَ كBرةٍ تكون ذات بُعدٍ كـُسيريٍ .2.8..يوضِّحُ الفكرةَ الشكالن املرفقان.
حBصلـْتُ مBن مBصادر فBي اإلنBترنBيت عBلى' أن الBبُعدَ الكـُسBيري لِنهBرِ املسBيسپي بBساوي .1.25مBن املBؤسBف أن ال تBتوافBرَ لBديّ مBعلومBاتٌ عBن األبعادِ الكـُسيريةِ لِألنهارِ الكـُبرى األُخرى'. بِOصورةٍ عOامOةٍ كOلـّما وُجِOدتْ حOاجOةٌ الOى تOكبيرِ سOطحٍ الOى أقOصى مOOا ميOOكنُ مOOع ِوجOOودِ قOOيودٍ عOOليا عOOلى احلجOOم أو عOOلى الOOوزنِ مOOن احملOOالِ جتOOاوزهOOا فOOإن سOOيرورةَ الOOتطور تـOOختارُ أن يOOكونَ اجلOOسم كسOOيراً ذا بُOOعدِ كـُسيريٍ عالٍ كأفضلَ حلٍ.
68
لعل اإلسفنجيات خيرُ مثالٍ ِتوضيحِيٍ. اإلسBفنجيات كBائBناتٌ بحBريBةٌ تBتغذى بِBالBترشBيحِ .أذ متBتصُ املBاءَ الBى جBوفِBها وتسBتخلصُ مBنه دقBائBقَ طBعامِBها ،ويBلزمُBها إمBتصاصُ طBنٍ مBن املBاءِ لِBلحصولِ عBلى مجBرّدِ مBليغرام واحBدٍ مBن الBعُضيات لBتلتهمَها طBعامBاً . فBعليها تBكبيرُ مBساحBةَ سBطحِها املBعرّضِ لِBلماءِ بِBالBفراغBاتِ والBفجواتِ فBي داخلِها لِيكونَ بُعدُها الكـُسيري 2.72 لBننظرَ اآلن الBى الBعضوِ الBرئيسBيِ فBي جBهازِ الBتنفسِ كBما مBبنيٌ فBي الشكلِ املرفق.
69
نBBعلمُ أن وظBBيفةَ الBBرئ Bةِ سBBحبُ األوكBBسجني الBBضروريَ لBBلجسم. وأن الBBقابBBليةَ عBBلى ِإمBBتصاصِ األوكBBسجني تBBتناس Bبُ تBBقريBBباً مBBع املBBساح Bةِ السBطحيةِ جلِBهازِ الBتنفسِ .فBيجبُ عBلى الBرئBةِ ،كBي تBقومَ بِBوظBيفتِها وهBي فBBي حBBيزٍ محBBدودِ احلج Bمِ فBBي داخ Bلِ الBBقفصِ الBBصدري الBBذي ال ميBBكنُها جتاوزَه ،إمتالكُ أكبرَ مساحةٍ ممكنة إسBBتطاعَ Bتّ سBBيرورةُ الBBتطورِ الفسBBيولBBوجBBي الBBعملَ عBBلى تBBوسBBيعِ املBساحBةِ السBطحيةِ لBرئBاتِBنا الBى أقBصى حBدٍّ ممBكنٍ .فحشBرتْ فBي الBقفصِ الBBصدريِ ،الBBذي ال يـBBتسعُ سـBBوى بBBضع كـُBBراتِ تَ Bنِـسْ ،سBBطحاً يBBغطـِّي مـBنطقةً أكBبرَ مBن سBاحBةِ مBلعبِ لBلتنس ،وذلBك بِBتشعبِ الBقصبةِ الBهوائBيةِ واألكBBياسِ الBBهوائBBيةِ املBBسماةِ حBBويBBصالت الBBى حBBويBBصالتٍ أصBBغرَ ثBBم الBBى أصغرَ وأصغرَ وهكذا تستمر صِغراً وتعدُداً .كما مبني بِالشكلِ اآلن تBBصوّرْي ،لBBو لBBم تBBكنْ الBBرئ Bةُ كـُسBBيراً حلَ Bمَلَ ك Bلٌ مBBنا صBBدراً أكبرَ من ساحةِ تنس!!!! بِـBعبارةٍ أُخBرى :تسBتطيعُ الBرئBةُ تBأديBةَ واجBبِها ألنBها كـُسBيراً بُBعدُه يُBBقارب الBBثالثBBة ) .إن ال Bبُعدَ الكـُسBBيريَ لِBBلرئ Bةِ هBBو 2.97إعBBتماداً عBBلى املعلوماتِ املُزَوّدةِ في موسوعةِ الويكيپديا (. بOإخOتصار :حتَُOتِّم وظOائOفُ األجهOزةِ الOبيولOوجOيةِ عOلى أن تOكونَ األجهزةُ كـُسيراتٍ عاليةَ األبعاد .
70
•••• 7 ي OOبدو أن س OOباحO Oتَكَ ف OOي م OOحيطاتٍ ع OOال OOيةِ األب OOعادِ الكـُس OOيريO Oةِ خفـّضتْ من روحِ الدعابة التي عَهِدتْها بكَ آرلني.۱ لOكن آرلOني ۲ظOمآنOةٌ الOى سOماعِ دعOابOةٍ تهOزُّهOا مOن األعOماقِ ضOحكاً. فهل سيستجيبُ رميون شكـّوري الى آرلني ۲؟.
سأُحاولُ بكل سرورٍ إرواءَ ضمأ آرلني.۲ أحBكي لBكِ عBن حBادثBةٍ ال تBزلBزلـُBكِ مBن األعBماق ضBحكاً ،فحسBب بBل تهBزَّ املBروحBةَ الBسقفيةِ فBي الBغرفBةِ الBتي أنBتِ فBيها مBثلما إهBتزتْ املBروحBةُ السقفيةُ في محلِ الپيتزا. ف BBي س BBنةِ 1999دعB Bتْني إح BBدى ج BBام BBعاتِ واليB Bةِ ميس BBيسپي ) أفBضِّلُ عBدمَ الBبوحَ بِBإسBمِها حBفاظBاً عBلى سBمعتِها( لِBلمشاركBةِ فBي حBلقةٍ دراسيةٍ عُقدتْ فيهاحولَ وقْعِ الكـُسيراتِ على العلومِ الطبيعية. إسBBتضاف Bتْني اجلBBامBBعةُ فBBي فBBندقٍ ذي خBBمسِ جنBBومٍ ) لBBكنها مBBع األسفِ كانت جنوماً سوداء !!(. وجBBدتُ بBBعد اإلسBBتحمامِ ــ كBBي أجBBففَ جBBسمي ـــ أن املBBنشفةَ، الـB Bمُعَدّةَ ف BBي غ BBرفB Bةُ ال BBفندقِ ،ال ت BBرق BBى أن ت BBكونَ ممِ BBسحةً لِ BBبالطِ BBها. فخBرجBتُ مBن احلBمّامِ وقBطراتُ املBاءِ تBتساقBطُ مBني .إضBطررتُ أن أُجBففَ جـBBسمي بِـشBBرش Bفِ الBBفراش .لBBم يBBكـْفِ الشBBرش Bفُ فBBأخBBذتُ اآلخ Bرَ مBBن الفراشِ الثاني ولم يكـْفِ هذا أيضاً ثم إستعنتُ بِأغطيةِ اخملاديدِ األربع. أال يه Bزُكِ مBBنظري وأنBBا مBBلفوفٌٍ بBBالشBBراش Bفِ وبBBأغBBطيةِ اخملBBاديBBد وقطراتُ املاءِ تتساقطُ مني ،هزَّاً من الضحك. نOعم ،وصOفُكَ ملOنظرِكَ مOضحكٌ جOداً وقOد هOزّنOي وأضOحكني وأنOا على بُعْدِ آالفِ الكيلومترات. كم كنتُ أمتنى أن أكونَ هناك ألنفجرَ كـَبركانٍ من الضحك.
71
أال يروي هذا ظمأكِ؟ أثارتْ جتربتي املضحكةُ فضوالً فكرياً. أنB Bكِ ت BBعلمنيَ أن م BBثلَ ه BBذه امل BBواقB Bفِ ت BBدفB Bعُ امل BBرءَ ال BBى ال BBتفكيرِ والتأملِ. شBرعBتُ ،وأنBا ال أزالُ قBابBعاً فBي غBرفBتي ،بِBدراسBةِ تBلك الBظاهBرةِ الBتي جتBعلُ املBنشفةَ اجلBيدةَ تBعادلُ جتBفيفياً ثBالثBةَ أضBعافِ مBساحBتِها مBن قBماشٍ الشراشفِ األملس. ذكBرتُ فBي رسBالBةٍ سBابBقةٍ أن وظBائBفَ األجهBزةِ الBبيولBوجBية تـُBحَتِّمُ عليها أن تكونَ كـُسيراتٍ عاليةِ األبعادِ الكسيرية. مBثلما لِBألجهBزةِ الBبايBولBوجBية وظBائBفٌ ،كBذلBك لِBلمنشفةِ وظBيفةٌ هBي جتOفــيفٌ سOريOعٌ لِسOطحِ اجلOسمِ املOبلل .وكBي تBؤديَ وظBيفتَها عBلى أحBسنَ وجBهٍ يBجبُ أن تBكونَ مBساحBةُ سBطحِِها املBالمBسِ لِBلجسم أوسBعَ مBا ميكن. ال يُBB Bخفى عىليكِ أن الBB BطريBB Bقةَ الBB BوحBB Bيدةَ لِBB BذلBB Bك أن تـُ O Oجْعَلَ املOOنششفةُ ” تَ Oقْتَدِيَ “ بOOالOOرئOOة .أي أن يBBتواف Bرَ عBBلى وجهَ Bيْ قBBماش Bةِ املBنشفةِ ِعُBقدٌ ونBتوءاتٌ حBاويBةً عُBقداً ونBتؤاتٍ أصBغرَ وأصBغرَ بBالBتكـَرار الBذي تBBسمحُ بBBه تBBكنولBBوجBBيا احلBBياكBBة ،بBBحيث لBBو وُضِBBعتّ جBBنباً ال Bى' جـBBنبٍ لـَغـطــّتْ ثالثةَ شراشف. بِBBعبارةٍ أُخBBرى ،كBBي تBBؤديَ املBBنشفةُ وظBBيفتَها ،يBBنبغي أن تBBكونَ كـُسBيراً بُBعدُه الكـُسBيري يBجبُ أن يBتراوحَ ـــ حسBبَ تخBميني الBشخصي ـــ مBBا بBBني 2.2و 2.5وكBBلمّا إرتBBفعَ ال Bبُعدُ الكـُسBBيريُ لِBBلمنشفةِ إرتBBفعتْ كفاءتُها التجفيفية ) .ضمنَ احلدودِ التكنولوجيةِ املتوافرةِ حلِياكتِها (. سؤالٌ يـُثـارُ:
” هOOل فOOكـَّرَ صOOانOOعو املOOناش Oفِ أنOOهم يOOقتدون بOOالOOرئ Oةِ حOOني صمموا املناشفَ ؟ “.
ال أظOنُ ،أن صOانOعي املOناشOفِ قOد منOذجOوا تOصامOيمَهم عOلى الOرئOة. لOOكني أُرجِّ Oحُ أن كـُسOOيريOOاتِ تOOالفOOيفِ أدم Oغَتِهم هOOي الOOتي أمْOOلــَتْ عOOليهم الOتصميم .سOأعOملُ عOلى الOتلميحِ الOى الOنتيجةِ ” الOعميقة “ فOي دراسOتِكَ الرياضياتيةِ الكـُسيريةِ لِلظاهرةِ ” املنشفية “ في مجلةِ: The Social Impact of the New Science
72
أُكررُ ما كتبتُه في رسالتي السابقة. نOعم ،وصOفُكَ ملOنظرِكَ مOضحكٌ جOداً وقOد زلOزلOني ضOحكاً وأنOا عOلى بُعُد آالفِ الكيلومترات. ل OOكن ملِ OOاذا ل OOم تُ OOفكـِّرْ بِ OOأن تُ OOؤخO Oذَ ص OOورةٌ لO Oكَ م OOدلO Oالً وم OOلفوفO Oاً بالشراشفِ وأغطيةِ اخملاديد؟. وكOان مOن املOمكنِ أن يOكونَ مOوقOفُِكَ أكOثرَ إضOحاكOاً وٱسOتضحاكOاً لOOو إقOOتدي Oتَ مبِOOثلِكَ األعOOلى أرخOOميدس ،وخOOرج Oتَ مOOثلـَه عOOاري Oاً ومOOبلالً تصرخُ صرخته املشهورة: ” يوريكا ،يوريكا ،يوريكا وجدتُها ،وجدتُها “. ” عاشتْ الكـُسيرياتُ ،عاشتْ الرياضيات “!!!. آرلـــيـــن مـــونـــهـــان
73
•• •• 8 الــــمــــلــــحــــق
لOديOنا شOكلٌ مOتشابOهٌ ذاتOياً .يـOرتـOبـطُ الـOشكلُ ـــ بِOفضلِ تOشابOهِه الOذاتOي ـــ مOع كOلِّ عOددٍ صOحيحٍ س عOددٌ صOحيحٌ ص بِOحيث إذا قـُOلـِّصَ الOشكلُ بِنسOبةِ )\۱س( فَOنحتاجُ الOى ص مOن األشكالِ املُقَلـّصةِ لِتغطيةِ الشكل
نعرِّف:البُعد الكـُسيريُ لِلشكل = لو )ص( /لو ) س (
بالنسبة الى املستقيم) :عدد األشكال املُقَلـّصة بِنسبة\۱)۰صً( لِتغطيةِ ملستقيم( بالنسبة الى الـمـربّـع:
س۱
)عدد األشكال املُقَلـّصة بِنسبة ) \ ۱س ( لِلتغطيةِ الـمـربّـع( =
بالنسبة الى املكـّعب) :عدد األشكال املُقَلـّصة بِنسبة ) \ ۱س ( لتِغطيةِ املكـّعب إذن البُعد الكـُسيري لِلمستقيم = البُعد الكالسيكي لِلمستقيم = 1 إذن البُعد الكـُسيري لِلمربّع
= البُعد الكالسيكي لِلمربّع
= 2
أذن البُعد الكـُسيري لِلمكـّعب
= البُعد الكالسيكي لِلمكعّبِ = 3
البُعد الكـُسيري لِغبارِ كانتور
= log(2)/ log(3 ) = 0.6309
البُعد الكـُسيري ملِثلثِ سيپرنسكي = log(3)/ log(2 ) = 1.5849 البُعدُ الكـُسيري ملُِنْحَني ڤان كــَوخ = (log (4) /log(3 = 1.2619 البُعدُ الكـُسيري ملُِنْحَني هلبرت
=2
وفيما يأتي بعضُ األبعادِ الكسيريةإعتعاداً على': Wikipedia, the free encyclopedia البُعد الكــُسيري لِنباتِ البروكلي
= ) 2.66بِالقياسِ اخملتبري(
البُعد الكـُسيري لِإلسفنجياتِ
= ) 2.72بِالقياسِ اخملتبري(
البُعد الكـُسيري لِلدماغِ البشري البُعد الكـُـسيري لِلرئةِ البشرية
= 2.79
)بِالقياسِ اخملتبري(
= ) 2.97بالقياسِ اخملتبري(
البُعد الكـُسيري لِلساحلِ البريطاني = 1.25
)بِالقياسِ واملسحِ الهندسي(
البُعد الكـُسيري لِلساحلِ األيرلندي = ) 1.22بِالقياسِ واملسحِ الهندسي(
74
س۲
•• •• 9 شــُـكـْــرٌ و تـَــقـْــدِيـــرٌ أشOكرُ مOن أعOماقِ قOلبي أُسOتاذيَ الOكبيرَ الOدكOتور محOمد واصOل الOظاهOر عOلى عOOطائOOه الOOعلميِ املسOOتدميِ ،وعOOلى دَفْ Oعِي بOOزخ Oمٍ تOOشجيعيِ كOOي أُجنِْ Oزَ مOOقالOOي الOOقصصي، وعلى توعيتي الى ” شطحاتٍ “ لغويةٍ فيه. يOOسعـدُنOOي أن أُق Oدِّمَ شOOكريَ اجلOOزي Oلَ لOOلدكـOOتور ثـOOائOOر الOOبـياتOOي إلثOOرائOOه مOOقالOOي الOقصصي بOعديOدٍ مOن آرائOه السOديOدةِ الOتي حOسَّنَتْ األُسOلوبَ لOغةً وبOالغOةً وأزالOتْ الOغموضَ واإللتباس. يـOOتـوجـ Oبُ عOOليَّ تOOسجيلَ شOOكري وٱمOOتنانOOي الOOى شOOريOOكةِ حOOياتOOي نOOوريOOة أواكOOيم ألّمـOOورٍ ال تُ Oعَدُّ وال حتُOOصى .،مOOنها قOOراءتُOOها مOOقالOOي الOOقصصي فOOعززتْOOه مبOOالحOOظاتِOOها الOOقيِّمة وأصOلحتْ أخOطاءَه املOطبعيةَ واإلمOالئOيةَ والOنحويOة .ويOنبغي أن يُOعزى مOا تOبقَّى مOن أخOطاءٍ فيه الى عنادي في اإلبقاءِ عليها.
75
76