Proyecto by Rebeca Egea Moreno

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sigma = 0,5P # 0'$ "8%($6$ 4& 3$"$[! .Z./ # +0&9! %& &Z36$& +$ 4)7&6&'()$ 4& +$% 4!% )"89&'&%X%3$% "&4)4$% %!'\

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

α α 1 X 1X



ˆ  (i, j) − C (i, j)

Mα = C k k k k=1 N 2 i,j=1

O.-,P

4!'4& α = 1 (!66&%5!'4& $ &+ &66!6 $1%!+03! O M1P/ # α = 2 (!66&%5!'4& $+ &66!6 (0$4683)(! OM2P/ 6&%5&(3)@$"&'3&-

!"#"$% "! +(,,!-$.#/& U$ 4)%3$'()$ 4& =&]$'!^%]) (!"5$6$ @&(3!6&% (!' (!"5!'&'3&% &%36)(3$"&'3& 5!V %)3)@!%\   PK ˆ N −1 2 min C (i, j) − C (i, j) X k k 1 k=1 1 −  O.-TP M3 = 2 PN ˆ N i,j=0

i,j=1

Ck (i, j) − Ck (i, j)

! "#$%&'(%')* +#, (&-.#%/-

!" #"$%"!&' (' )*$$'+")%,! -"."(* '! /'(%(". .*! +*. '.&"(0.&%)*. (' +*. 1!23+*. '!&$' +*. #')&*$'. (' 405'+. (' (*. %/12'!'.6 7*. )*+*$'. .%/%+"$'. .' &$"(3)%$1! '! #')&*$'. 83' "43!&"! '! +" /%./" (%$'))%,!9 /%'!&$". 83' +*. )*+*$'. /3: (%;'$'!&'. "43!&"$"! '! (%;'$'!&'. (%$'))%*!'. '! '+ '.4")%* (' )*+*$6 N ˆ 2 1 X −1 hCk (i, j) − Ck (i, j)i cos N 2 i,j=0 π ||Ck (i, j)||||Cˆk (i, j)||

M4 = 1 −

<=6=>

7" )+"3.3$" '!&$' (*. %/"2'!'. (%2%&"+'. 43'(' .'$ &"/-%?! )3"!&%@)"(" '! &?$/%!*. (' 3!" ;3!)%,! (' )*$$'+")%,!6 7" /'(%(" (' @('+%("( (' %/"2'! : +" !*$/"+%A"(" B$*..CB*$$'+")%,! .*! ('@!%(". $'.4')&%#"/'!&' 4*$D 

M5 = 1 −  

1 K

K X

k=1

2 ˆ i,j=0 Ck (i, j) − Ck (i, j)   PN −1 2 i,j=0 Ck (i, j)

i 

PN −1 h

K 1 X M6 = K k=1

<=6E>

PN −1

i,j=0 Ck (i, j)Ck (i, j) PN −1 2 i,j=0 Ck (i, j)

<=6F>

G'(%(". H.4')&$"+'. 7". &$"!.;*$/"(". (' I*3$%'$ (%.)$'&". <JIK> L M (' +" '!?.%/" -"!(" (' +" %/"2'! *$%2%!"+ : +" @+&$"("9 .' ('!*&" 4*$ Γk (u, v) : 4*$ Γˆ k (u, v) $'.4')&%#"/'!&'6 H+ '.4')&$* '.&1 ('@!%(* 4*$D Γk (u, v) =

N −1 X

m,n=0

Ck (m, n) exp −2πim

u v exp −2πim , k = 1...K N N

<=6N>

7" ;".' : +" /"2!%&3( '.4')&$"+ '.&"! ('@!%(". $'.4')&%#"/'!&' )*/*D ϕ(u, v) = arctan(Γ(u, v)) : M (u, v) = |Γ(u, v)|6 7" /'(%(" (' /"2!%&3( '.4')&$"+ (' (%.&*$.%,! '.&" ("(" 4*$D −1 3 N X 1 X ˆ v)|2 M7 = |Γk (u, v) − Γ(u, <=6O> KN 2 k=1 u,v=0

J'-%(* " +" !"&3$"+'A" +*)"+ (' +" (%.&*$.%,! :P* '.&")%*!"$%". ('+ )"/4* (' +" %/"2'!9 3! 4$*/'(%* G%!Q*R.Q: (' +". (%.&*$.%*!'. (' -+*83' '.4')&$"+ 43'(' .'$ /1. #'!&"S*.*6 T.09 3!" %/"2'! .' 43'(' (%#%(%$ '! L -+*83'. (' &"/"U*9 4*$ 'S'/4+* =V × =V9 : '+ -+*83' (' +". (%.&*$.%*!'. '.4')&$"+'. 43'(' .'$ )"+)3+"(*6 W'" +" JIK ('+ -+*83' +C'!?.%/* (' +" %/"2'! (' +" -"!(" '!?.%/" Ckl (m, n) )*/*

Γlk (u, v)

b−1 X

Γlk (u, v) =

m,n=0

(*!(' u, v = −

b 2

...

b 2

Ck (m, n) exp −2πim

u v exp −2πim b b

<=6X>

: l = 1, . . . , L * '! +" ;*$/" (' /"2!%&3(C;".' l

Γlk (u, v) = Γlk (u, v) expjφk (u,v)

<=6Y>

! ! "#$%&'(%')* +# ,-$ .-&#-$ - &#-,'/-&

!" "#$%#&'(&" )&*#*!" +%&*&' "&, *&-'#*!" &' &. */)#'#/ *& .!" (,!'"0/,)!*!" *&. l1&'2"#)/ 3./4%& l JM



1

56789:



1

56788:

γ K b−1 X 1 X ˆ lk (u, v) γ   = |Γlk (u, v)| − Γ K k=1 u,v=0

K b−1 γ γ X 1 X l l l ˆ  |Φk (u, v)| − Φk (u, v)  Jϕ = K k=1 u,v=0

5678;: */'*& &" &. 0!<(/, *& +/'*&,!<#=' ,&.!(#>! *& ./" &"+&<(,/" *& )!$'#(%* ? 0!"&7 @"(& +!,A)&(,/ *& +/'*&,!<#=' "& &.#$& *& )!'&,! 4%& B!$! 4%& .!" </'(,#3%<#/'&" *& ./" (2,)#'/" *& )!$'#(%* ? 0!"& "&! +,/+/,<#/'!.7 ! )&*#!'! *& .! 0!"& *& 3./4%&" *&. &"+&<(,/ ? .! )&*#!'! *& .!" )&*#*!" *& *#"(/,"#=' *&. &"+&<(,/ +/'*&,!*/ 3./4%& "& *&-'&'C ,&"+&<(#>!)&'(& </)/D M8 = medianl=1...L Jϕl 56786: M9 = medianl=1...L J l 5678E: @. (/(!. *& )&*#*!" FGH %(#.#I!*!" &' &"(& +,/?&<(/ "&,A' .!" J !'(&,#/,&"C M1 , M2 , M3 , M4 , M5 , M6 , M7 , M8 yM9 7 l J l = JM + (1−)Jϕl

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.! xr = 0 6 xs = 0 .! xr = 0 6 xs = 1 .! xr = 1 6 xs = 0 .! xr = 1 6 xs = 1

1 2 = 3    4     

D&'OPJ

Q/+%-8/ ,2 4!<,2 xi 5/+/ αij = Kk=1 δ(Xi,k , j), j = 1, ..., 4, K = 43 8/-8, δ(m, n) ,. 2% M#-5!N- E$/-,5R,$ =Q$%A3 8,L-!8% 5/+/) P

δ(m, n) =

(

1 m=n 0 m= 6 n

)

D&'OSJ

T%. %5#+#2%5!/-,. 8, ,.1% M#-5!N- αij ./- 8,L-!8%. 5/+/) 1 X 1 1 X 2 αi b = α MN i MN i i 1 X 4 1 X 3 c= αi d = α MN i MN i i

D&'O@J

;.1%. 5#%1$/ C%$!%92,. {a, b, c, d} 4#,8,- .,$ !-1,$4$,1%8%. 5/+/ C%2/$,. 8, 5/-5#$$,-5!% 8, #-% !+%",- 9!-%$!% =BUVW?PA' X/- ,.1%. C%$!%92,.3 ., 4#,8, 8,L-!$ ,2 4$!+,$ "$#4/ 8, 2%. +,8!8%. 8, .!+!2!2%$!8%8 9!-%$!% DYBWJ' ;- 2% 1%92% &'G ,-5/-1$%+/.3 5/+/ ,Z,+42/3 2%. ,5#%5!/-,. 4%$% 2/. 42%-/. 8, 9!1. .,41!+/ 6 /51%C/' ;2 .,"#-8/ "$#4/ 8, +,8!8%. 5/-.!.1, ,- 5%$%51,$[.1!5%. 8, \!.1/"$%+%. 6 ,-1$/4!%' T/. \!.1/"$%+%. ,.17- -/$+%2!]%8/. .,"^- 2% .!"#!,-1, MN$+#2%3 8/-8, ,2 .#4,$[-8!5, b !-8!5% ,2 42%-/ 8, 9!1 5/$$,.4/-8!,-1, pbj

αij = P P j , b = 7, 8 i j αi P

;2 1,$5,$ 5/-Z#-1/ 8, 5%$%51,$[.1!5%. ,.1%- 9%.%8%. ,- ,2 +_1/8/ T/5%2 Y!-%$6 `%11,$DTY`J 6 ,- 2% 5/-.1$#55!N- 8, 2/. \!.1/"$%+%. >Z%2% =>`WA' T/5%2 Y!-%$6 `%11,$- DTY`J ,. #- .!+42, 6 ,L5!,-1, /4,$%8/$ 8, 1,<1#$%. ,-1$, 2/. 8!.1!-1/. 4!<,2,. 8, #-% !+%",-' aS

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)!%*(#+*#,-

2(a + d) 2(a + d) + b + c 8th bsm1 = m7th 1 − m1 a m2 = a + 2(b + c) 8th bsm2 = m7th 2 − m2 a m3 = b+c 8th bsm3 = m7th 3 − m3 a+d m4 = b+c 8th bsm4 = m7th 4 − m4 a + a + d + m5 = a+b a+c b+d 48th bsm5 = m7th − m 5 5 m1 =

d c+d

m6 = √

ad (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) bsm6 = m7th − m8th 6 s 6

a a m7 = a+b a+c 8th bsm7 = m7th − m 7 7 b+c m8 = 2a + b + c 8th bsm8 = m7th 8 − m8 bc m9 = (a + b + c + d)2 8th bsm9 = m7th 9 − m9 b+c m10 = 4(a + b + c + d) 8th bsm10 = m7th 10 − m10

! "#$%&'(%')* +#, (&-.#%/-

!"#! $%&%' ()*+*!, *) ,+-+#!.+*!* "+/!.+!0 ,)12/*3 1.243

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)!%*(#+*#,bsm11 = bsm12 = bsm13 = bsm14 =

4 X

n=1 4

X n=1 4 X n=1 4 X n=1

min p7n , p8n )

− p8n |

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