http://www.devetletka.net/resources/files/doc/test/katalogi/katalog%20mat%20splet%206-9%20A4

DOSEDANJE IN POSODOBLJENE IZDAJE

Rokusova Rokusova

matematika matematika

LE V VV V I ŠI Š J IJHI HR R AA ZZ RR EE DD I HI HOO SS NN OO VV NN E EŠ ŠOOL E 10 š oš o l slks ok ol el teot o2 02 00 90 /91/ 0 ZNANJE NAS DELA VELIKE

www.rokus-klett.si www.praktik.org www.knjigarna.com www.devetletka.net

Matematika je čisto preprosta!

Ob tej izjavi bo večina ljudi gotovo zmajala z glavo, češ da to lahko reče le kakšen matematik. Skrivnosti matematičnega sveta se marsikomu zdijo precej strašljive, ne pa čudovite in vznemirljive, kakršne so v resnici. Pri tem pa se sploh ne zaveda, da pravzaprav matematiko obvlada, saj jo ves čas in to zelo uspešno uporablja v vsakdanjem življenju. Ali ni že povsem običajen nakup v trgovini ena sama matematika?

In natanko to je namen naših Skrivnosti − urediti in nadgraditi znanja, ki temeljijo na vsakdanji izkušnji, s čimer se bodo razblinili še zadnji matematični strahovi. Tako je gradivo zasnovano na vsakdanjih dogodkih, ki se dogajajo vsakomur od nas, in v katerih se skrivajo najrazličnejša števila in oblike.

Ni boljšega načina učenja, kot da se stvari dogodijo nam samim ali našim prijateljem.

Zato je razkrivanje skrivnosti števil in oblik prepuščeno stripovskima junakoma Špeli in Roku, ki se v vsakdanjih dogodivščinah zapletata v različne matematične probleme.

Matematična pravila odkrivata pri deljenju pice, merjenju velikosti nove preproge, razprodajah ter ob igranju kart, kuhanju kuharskih mojstrovin, vrtnarjenju in še bi lahko naštevali. Na tak način matematika naenkrat postane nekaj povsem običajnega, preprostega in povrhu vsega tudi zabavnega.

Pa naj še kdo reče, da je matematika težka.

Vasja Kožuh, urednik Založba Rokus Klett, d.o.o.

Posodobljene izdaje!

V Založbi Rokus Klett smo se odločili za posodobitev vseh učbeniških kompletov Skrivnosti števil in oblik.

Prvi posodobljeni komplet, Skrivnosti števil in oblik 7, bo na voljo že spomladi 2009. Drugi kompleti bodo posodobljeni v naslednjih šolskih letih.

Ekološko gradivo Gradivo bo natisnjeno na ekološkem papirju – posebnem papirju s certifikatom FSC. Certifikat zagotavlja, da za vsako drevo, posekano za predelavo v celulozo, posadijo novo.

Skrivnosti števil in oblik

6

7

8

9

učbenik (z rešitvami v ločenem snopiču)

9

9

9

9

delovni zvezek (z rešitvami)

9

9

9

9

pole z evri (priložene delovne zvezku)

9

9

9

9

zbirka nalog

9

9

9

9

9

zbirka zgledov

9

priročnik za učitelje*

9

9

9

9

letne priprave*

9

9

9

9

rešitve nalog iz učbenika in delovnega zvezka*

9

9

9

9

*Na voljo na spletni strani www.praktik.org v rubriki Primeri priprav, priročniki, gradiva. Spletno gradivo je brezplačno.

SESTAVNI DELI UÄŒBENIĹ KIH KOMPLETOV

Skrivnosti ĹĄtevil in oblik 6 ` Posodobljena izdaja bo na voljo spomladi 2011.

Skrivnosti πtevil in oblik πtevil Skrivnosti 6 Reťitve uËbeninik nika ka ka in oblik 6 Reťitve uËbenika za matematiko v 6. razredu osnovn osnovne vne ππole ol

U ZAP R Ĺ T. A 12

za matematiko v 6. razredu osnovne πole

JoĂŚe Berk

JoĂŚe Berk

VSEBINA

CILJI UýNE OBLIKE IN METODE

NIVO 3

x reĹĄevati naĂžrtovalne

KROG IN KROŽNICA

13

Marjana RobiË

Jana Draksler

naloge v povezavi s kroĹžnico

in krogom

x v dani razdalji od srediĹĄĂža kroga narisati premico in jo poimenovati (sekanta, tangenta, mimobeĹžnica) x uporabljati dejstvo, da je tangenta pravokotna na polmer kroĹžnice, narisati tangento v dani toĂžki kroĹžnice

KROŽNICA IN PREMICA

Jana Draksler

Marjana RobiË 14

15

KROŽNI LOK IN KROŽNI IZSEK, TETIVA

x pokazati in narisati kroĹžni izsek, kroĹžni lok, srediĹĄĂžni kot x narisati tetivo z dano dolĹžino ter razlikovati med tetivo in sekanto

NIVO 4

x utrjevati znanje o delih

DELI KROGA, KROŽNICA IN PREMICA

Marjana RobiĂż: Skrivnosti

ťtevil in oblik 6 – Priroÿnik

kroga, o kroĹžnici in premici

za uÿitelja, Š ZaloŞba Rokus,

DELA

UýNI PRIPOMOýKI

AKTIVNOST UýEN CEV, OPOMBE IN REALIZACIJA

frontalna; individualna; tandem; skupinsko delo; sodelovalno uĂženje; drugo: frontalna; individualna; tandem; skupinsko delo; sodelovalno uĂženje; drugo: frontalna; individualna; tandem; skupinsko delo; sodelovalno uĂženje; drugo: frontalna; individualna; tandem; skupinsko delo; sodelovalno uĂženje; enje; drugo: frontalna; individualna; tandem; skupinsko delo; sodelovalno u uĂženje; Ăženje; drugo:

Spreminjanje, razmnoŞevanje SKLOPOV in fotokopiranje je dovoljenoUýNIH OPREDELITEV 1. ýASOVNA le za lastno uporabo uÞ uÞiteljev, NAýRTA iteljev, ki uporabljajo gradiva SKLOP IZ UýNEGA

razgovor; uĂžbenik; razlaga; delovni zvezek; diskusija; prosojnice; raziskava; geometrijsko orodje; praktiĂžno delo; plakat; delo z besedilom; Ĺžepno raĂžunalo; drugo: pojasnjev. drugo: razgovor; uĂžbenik; razlaga; delovni zvezek; diskusija; prosojnice; raziskava; geometrijsko orodje; praktiĂžno delo; plakat; delo z besedilom; Ĺžepno raĂžunalo; drugo: pojasnjev. drugo: razgovor; uĂžbenik; razlaga; delovni zvezek; diskusija; prosojnice; raziskava; geometrijsko orodje; praktiĂžno delo; plakat; delo z besedilom; Ĺžepno raĂžunalo; drugo: pojasnjev. drugo: razgovor; uĂžbenik; razlaga; delovni zvezek; diskusija; prosojnice; raziskava; geometrijsko orodje; praktiĂžno delo; plakat; delo z besedilom; Ĺžepno raĂžunalo; drugo: pojasnjev. drugo: razgovor; uĂžbenik; razlaga; delovni zvezek; diskusija; prosojnice; raziskava; geometrijsko orodje; praktiĂžno prakti Ăžno delo; plakat; delo z besedilom; Ĺžepno raĂžunalo; drugo: pojasnjev. drugo:

2006

Številka NASLOV POGLAVJA V UýBENIKU poglavja v uÞbeniku

Zaporedna Mesec

Ĺ tevilo

Skrivn Skrivnosti nosti ĹĄtevil in oblik6. ur 33ĹĄtevilka uĂžnih

ure

NARAVNA ŠTEVILA RAýUNSKE OPERACIJE LASTNOSTI OPERACIJ IZRAZI ENAýBE IN NEENAýBE IZJAVE. ENAýBE IN NEENAýBE Preverjanje znanja Analiza preverjanja 1. pisni preizkus – _____________ (vpiťite datum) Analiza preizkusa znanja RACIONALNA ŠTEVILA ULOMKI

4.

DECIMALNA Ĺ TEVILA

5.

OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMI

6.

OBSEG, PLOŠýINA, POVRŠINA, PROSTORNINA

1 2–22

1 21

Uvodna ura

3.

33 9 9, 10

NARAVNA ŠTEVILA SEŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE MNOŽENJE IN DELJENJE

1.

2.

7 1 1 1 1 10

DESETIŠKI ALI DECIMALNI ULOMKI RAýUNSKE OPERACIJE Z DEC. ŠTEVILI ŠTEVILSKI IZRAZI Preverjanje znanja Analiza preverjanja 2. pisni preizkus – _____________ (vpiťite datum) Analiza preizkusa znanja GEOMETRIJSKE OBLIKE

20 1 1 1 1 8

MERJENJE: ENOTE ZA MERJENJE DOŽINE, OBSEG

za uÿitelja, Š ZaloŞba Rokus, 2006 ťtevil in oblik6. 2 Marjana Robiÿ: Skrivnosti ťtevil in oblik 6 – Priroÿnik le za lastno uporabo uÞiteljev, ki uporabljajo gradiva Skrivnosti Spreminjanje, razmnoŞevanje in fotokopiranje je dovoljeno

uÄ?benik

delovni zvezek

zbirka nalog

zbirka zgledov

priroÄ?nik za uÄ?itelje

reĹĄitve nalog

2

letna priprava

Skrivnosti ĹĄtevil in oblik 7 ` Posodobljena izdaja bo na voljo Ĺže spomladi 2009.

Posodobljena izdaja

Dosedanja izdaja Ĺ T. URE

URA VSEBINA

7

5

8

6

9

CILJI

PRAĹ TEVILA IN x ugotoviti, ali je ĹĄtevilo sestavljeno ali je praĹĄtevilo; SESTAVLJENA x vedeti, da imajo praĹĄtevila Ĺ TEVILA natanko dva delitelja: 1 in ĹĄtevilo samo; x vedeti, da imajo sestavljena ĹĄtevila tri ali veĂž deliteljev; x vedeti, da ĹĄtevilo 1 ni niti praĹĄtevilo niti sestavljeno ĹĄtevilo; RAZCEP Ĺ TEVILA NA PRAFAKTORJE

UýNE OBLIKE IN METODE

11

12

11

Ĺ T.

URA VSEBINA

PREVERJANJE ZNANJA

x preveriti znanje o deljivosti CILJI

UýNI PRIPOMOýKI

razgovor uÞbenik razlaga delovni zvezek diskusija zbirka nalog raziskava prosojnice praktiÞno delo plakat delo z besedilom Şepno raÞunalo drugo: drugo: razgovor uÞbenik razlaga delovni zvezek diskusija zbirka nalog raziskava prosojnice praktiÞno delo plakat delo z besedilom Şepno raÞunalo drugo: drugo: razgovor uÞbenik razlaga delovni zvezek diskusija zbirka nalog raziskava prosojnice praktiÞno delo plakat delo z besedilom Şepno raÞunalo drugo: drugo: frontalna razgovor uÞbenik individualna razlaga delovni zvezek tandem diskusija zbirka nalog skupinsko delo raziskava prosojnice sodelovalno uÞenje praktiÞno delo plakat drugo: delo z besedilom Şepno raÞunalo drugo: drugo: frontalna razgovor uÞbenik individualna razlaga zlaga delovni zvezek tandem diskusija zbirka nalog skupinsko delo raziskava prosojnice sodelovalno uÞenje Þ praktiÞno praktiÞÞno delo elo plakat drugo: delo z besedilom besedi dilom Şepno raÞunalo drugo: drugo: frontalna razgo razgovor uÞbenik individualna razlaga delovni zvezek tandem diskusija zbirka nalog skupinsko delo raziskava prosojnice sodelovalno uÞenje praktiÞno delo plakat drugo: UýNI delo z besedilom DELA Şepno raÞunalo UýNE OBLIKE IN METODE PRIPOMOýKI drugo: drugo: frontalna uÞbenik razgovor razgovor frontalna uÞbenik individualna delovni zvezek razlaga razlaga individualna delovni tandem nalog zbirka zvezek diskusija diskusija tandem zbirka nalog skupinsko delo prosojnice raziskava raziskava skupinsko delo prosojnice sodelovalno geometrijsko orodje uÞenje delo praktiÞno praktiÞno delo sodelovalno uÞenje plakat drugo: plakat z besedilom delo delo z besedilom drugo: Şepno raÞunalo raÞunalo Şepno drugo: drugo: drugo: drugo:

AKTIVNOST UýENCEV, O

frontalna individualna tandem skupinsko delo sodelovalno uĂženje drugo:

SKUPNI x na pamet doloÞiti skupne delitelje ťtevil; DELITELJI IN x na pamet doloÞiti najveÞji NAJVEýJI skupni delitelj ťtevil; x prepoznati tuji si ťtevili; SKUPNI x vedeti, kateri dve ťtevili DELITELJ sta si tuji; D(a, b) SKUPNI x na pamet doloÞiti skupne veÞkratnike ťtevil; VEýKRATNIKI x na pamet doloÞiti najmanjťi IN NAJMANJŠI skupni veÞkratnik ťtevil; SKUPNI VEýKRATNIK v(a, b) 9 2. nivojska ura x doloÞiti veÞkratnike in delitelje danih ťtevil; VEýKRATNIKI, x doloÞiti D(a,b), v(a,b); DELITELJI x doloÞiti D(a,b,c), ( ,b,c), v(a,b,c); DVEH ŠTEVIL, VEý ŠTEVIL, D(a, b), v(a, b) 10 3. nivojska ura x reťiti preprosto besedilno nalogo z uporabo D(a,b) BESEDILNE in v(a,b); NALOGE

frontalna individualna tandem skupinsko delo sodelovalno uĂženje drugo:

8

13

DELA

frontalna individualna tandem skupinsko delo sodelovalno uĂženje drugo:

x dano ĹĄtevilo razcepiti na prafaktorje; x zavedati se enoliĂžnosti razcepa na prafaktorje; x produkt enakih ĹĄtevil zapisati s potenco;

7

10

ĹĄtevil.

AKTIVNOST UýENCEV, OPOM

URE n n; 4 ULOMEK KOT 17 x ulomek z imenovalcem 1 zapisati kot naravno ĹĄtevilo 1 NARAVNO zapisati kot Ĺ TEVILO x ulomek, pri katerem je ĹĄtevec veĂžkratnik imenovalca k ˜a JoĹže Berk, Jana Draksler, k , Ăže a z 0; ĹĄtevilo Marjana RobiĂż:naravno Skrivnosti ĹĄtevil inaoblik 7 – PriroĂżnik kot ĹĄtevilo 1; zapisati za uĂżitelja, Š ZaloĹžba Rokus, 2003 Spreminjanje, x ulomek, pri katerem je ĹĄtevec enak imenovalcu, razmnoĹževanje in fotokopiranje za lastno uporabo je dovoljeno ----------------------- --------------------------------------------------------------------------------------x primerjati ulomek s ĹĄtevilom 1; ULOMEK IN x prepoznati ulomke, ki so veĂžji (manjĹĄi) od 1; Ĺ TEVILO 1 1; uĂžbenik x na pamet dopolniti do 1 ulomek, ki je manjĹĄi od razgovor frontalna delovni zvezek a razlaga individualna 5 ULOMEK KOT 18 zbirka nalog x zapisati ulomek kot koliĂžnik b a : b in obratno; diskusija tandem KOLIĂ˝NIK prosojnice raziskava skupinsko delo 0 geometrijsko orodje praktiĂžno delo sodelovalno uĂženje x zapisati ĹĄtevilo 0 kot ulomek n , n Â? N; drugo:

n , n Â? N nesmiseln; 0 0 n x razlikovati med zapisoma 0 in n , n Â? N;

x vedeti, da je zapis

----------------------RAZýLENITEV --------------------------------------------------------------------------------------a ULOMKA IN manjťi od 1 in x zapisati ulomek , a ! b, kot celi del in ulomek, OBRATNO b obratno; 19

6

RAZĹ IRJANJE ULOMKOV, RAZĹ IRJANJE ULOMKOV NA SKUPNI IMENOVALEC

x opredeliti in doloĂžiti enake ulomke; x razĹĄiriti dani ulomek z danim ĹĄtevilom; x razĹĄiriti dane ulomke na dani ĹĄtevec; x razĹĄiriti dane ulomke na dani imenovalec; in jih x danim ulomkom poiskati najmanjĹĄi skupni imenovalec razĹĄiriti na najmanjĹĄi skupni imenovalec;

20

7

KRAJĹ ANJE ULOMKOV, OKRAJĹ ANI ULOMEK

x krajĹĄati dani ulomek z danim ĹĄtevilom, x doloĂžiti (najveĂžji) skupni delitelj ĹĄtevca in imenovalca; x poznati pojem okrajĹĄanega ulomka; x okrajĹĄati ulomek;

JoĹže Berk, Jana Draksler, Marjana RobiĂż: Skrivnosti

delovni zvezek

uÄ?benik

delovni zvezek

uÄ?benik

zbirka nalog

zbirka zgledov

priroÄ?nik za uÄ?itelje

reĹĄitve nalog

ťtevil in oblik 7 – Priroÿnik za uÿitelja, Š ZaloŞba Rokus,

Dosedanja izdaja bo ĹĄe vedno na voljo.

Skrivnosti ĹĄtevil in oblik 8 ` Posodobljena izdaja bo na voljo spomladi 2010.

Mesec: Sklop: ŠTEVILSKE MNOŽICE Št. ur: 11

za 8. razred osnovne πole

MINIMALNI STANDARD

za 8. razred osnovne πole

JoĂŚe Berk

JoĂŚe Berk

Jana Draksler

Jana Draksler

Marjana RobiË

ZNANJA

TEMELJNI STANDARD

ZNANJA

ZAHTEVNEJĹ I STANDARD

ƒ pozna cela ĹĄtevila in jih upodobi na ĹĄtevilski premici, x racionalna ĹĄtevila uredi ƒ pozna racionalna ĹĄtevila po velikosti ter jih upodobi in jih upodobi na ĹĄtevilski na ĹĄtevilski premici, premici, x doloĂži nasprotno in absolutno ƒ cela ĹĄtevila uredi po velikosti vrednost racionalnega in jih upodobi na ĹĄtevila, ĹĄtevilski premici, ƒ ugotovi, ali ƒ doloĂži nasprotno in absolutno pripada dani ĹĄtevilski vrednost celega ĹĄtevila, mnoĹžici: neko+ ĹĄtevilo N, Z, Z , Z-, Q, Q+, Q– ƒ primerja po velikosti dve racionalni ĹĄtevili

Marjana RobiË

1. raven ťt.ure Vsebina Cilji 1 RAZLOGI ZA x spoznati in utemeljiti potrebo po RAZŠIRITEV razťiritvi mnoŞice naravnih ťtevil POJMA vsakdanje Şivljenje, izvedljivost ŠTEVILO odťtevanja, reťljivost enaÞb), x uporabljati Şepno raÞunalo v zvezi MNOŽICA z negativnimi ťtevili, CELIH x spoznati in uporabljati oznake ŠTEVIL Z, Z+ in Z -

2. raven ťt.ure Vsebina Cilji 1 RAZLOGI ZA x zaÞutiti in utemeljiti potrebo po RAZŠIRITEV razťiritvi mnoŞice naravnih ťtevil POJMA (vsakdanje Şivljenje, izvedljivost ŠTEVILO odťtevanja, reťljivost enaÞb), x uporabljati Şepno raÞunalo v zvezi MNOŽICA z negativnimi ťtevili, CELIH x spoznati in uporabljati j oznake ke ŠTEVIL Z, Z+ in Z - , x opredeliti mnoŞico celih ťtevil kot unijo Z Z ‰ ^0` ‰ Z

ZNANJA

x ugotavlja odnose med mnoĹžicami N, Z, Q, R, x oblikuje zaporedja celih ĹĄtevil

3. raven ťt.ure Vsebina Cilji 1 RAZLOGI ZA x zaÞutiti in utemeljiti potrebo po RAZŠIRITEV razťiritvi mnoŞice naravnih ťtevil POJMA (vsakdanje Şivljenje, izvedljivost ŠTEVILO odťtevanja, reťljivost enaÞb), x uporabljati Şepno raÞunalo v zvezi MNOŽICA z negativnimi ťtevili,, CELIH x spoznati in uporabljati oznake ŠTEVIL Z, Z+ in Z - , x opredeliti mnoŞico celih ťtevil kot unijo j Z Z ‰ ^0` ‰ Z

2 UPODABLJA- x celo ťtevilo prebrati, Þe je NJE CELIH 2 UPODABLJA- x celo ťtevilo upodobljeno na ťtevilski prebrati, Þe je premici, ŠTEVIL NA x celo NJE CELIH 2 UPODABLJA- x celo ťtevilo ťtevilo upodobiti na ťtevilski upodobljeno na ťtevilski prebrati, Þe je premici, ŠTEVILSKI ŠTEVIL NA x celo NJE CELIH premici ťtevilo upodobiti na ťtevilski upodobljeno OSI ŠTEVILSKI ŠTEVIL NA x celo3. raven na ťtevilski premici, 2. raven premici Cilji ťtevilo upodobiti na ťtevilski 1. raven OSI Vsebina ťt.ure ŠTEVILSKI xCilji ugotoviti, kateri mnoŞici premici ťt.ure Vsebina ťtevil N, Z, x izraÞunati koliÞnik dveh celih ťtevil, Cilji DELJENJE OSI 9 ťt.ure Vsebina + koliÞnik dveh celih ťtevil, xZizraÞunati x ugotoviti, kateri mnoŞici DELJENJE , Z - pripada dano ťtevilo, CELIH ťtevilu x izraÞunati koliÞnik dveh celih ťtevil, 9 N, Z, DELJENJE danemu celemuťtevil 9 x poiskati + CELIH celemu ťtevilu danemu x xpoznati poiskatiodnose Zobratno , Z - pripada ŠTEVIL med CELIH ťtevilskimi dano ťtevilo, vrednost x poiskati danemu celemu ťtevilu ŠTEVIL obratno vrednost + x poznati odnose med ťtevilskimi mnoŞicami ŠTEVIL N, Z, Z , Z obratno vrednost x poiskati danemu racionalnem DELJENJE 10 x poiskati danemu racionalnem mnoŞicami DELJENJE N, Z, vrednost, Z+, Z ťtevilu obratno RACIONALMarjana poiskati danemu racionalnem ťtevilu 10 DELJENJE 10 Robiÿ: Skrivnostix ťtevil ťtevilu obratno vrednost, RACIONALin vrednost, 8 – Priroÿnik za uÿitelja, Š NIH ŠTEVIL x deliti racionalni ťtevili obratnooblik RACIONALZaloŞba Rokus, 2004 Spreminjanje, NIH ŠTEVIL ťtevili x deliti racionalni razmnoŞevanje IN OBRATNA NIH ŠTEVIL x deliti racionalni ťtevili in fotokopiranje za las lastno stno uporabo je dovoljeno.

IN OBRATNA VREDNOST IN OBRATNA 4 VREDNOST RACIONALVREDNOST RACIONALNEGA RACIONALNEGA ŠTEVILA NEGA ŠTEVILA ŠTEVILA REŠEVANJE x izraÞunati vrednost izraza s celimi 11 REŠEVANJE x izraÞunati vrednost izraza s celimi 11 ťtevili, Þe izraz vsebuje vse ťtiri IZRAZOV S REŠEVANJE x izraÞunati vrednost izraza s celimi 11 ťtevili, Þe izraz vsebuje vse ťtiri IZRAZOV S ťtiri vse operacije vsebuje raÞunske izraz Þe CELIMI ťtevili, S IZRAZOV raÞunske operacije CELIMI ŠTEVILI, raÞunske operacije CELIMI x izraÞunati vrednost zahtevnejťega ŠTEVILI, x izraÞunati vrednost zahtevnejťega ýE IZRAZ ŠTEVILI, izraza s celimi ťtevili, Þe izraz ýE IZRAZ izraza s celimi ťtevili, Þe izraz VSEBUJE ýE IZRAZ vsebuje vse ťtiri raÞunske operacije VSEBUJE vsebuje vse ťtiri raÞunske operacije VSE ŠTIRI VSEBUJE VSE ŠTIRI RAýUNSKE VSE ŠTIRI RAýUNSKE OPERACIJE RAýUNSKE OPERACIJE REŠEVANJE x izraÞunati vrednost izraza z 12 OPERACIJE REŠEVANJE x izraÞunati vrednost izraza z 12 racionalnimi ťtevili, Þe izraz vsebuje IZRAZOV Z REŠEVANJE x izraÞunati vrednost izraza z 12 racionalnimi ťtevili, Þe izraz vsebuje IZRAZOV Z vse ťtiri raÞunske operacije RACIONALracionalnimi ťtevili, Þe izraz vsebuje IZRAZOV Z vse ťtiri raÞunske operacije RACIONALNIMI vse ťtiri raÞunske operacije RACIONALx izraÞunati vrednost zahtevnejťega NIMI zahtevnejťega vrednost izraÞunati x ŠTEVILI, NIMI izraza z racionalnimi ťtevili, Þe izraz ŠTEVILI, izraza z racionalnimi ťtevili, Þe izraz ýE IZRAZ ŠTEVILI, vsebuje vse ťtiri raÞunske operacije ýE IZRAZ vsebuje vse ťtiri raÞunske operacije VSEBUJE ýE IZRAZ VSEBUJE VSE ŠTIRI VSEBUJE VSE ŠTIRI RAýUNSKE VSE ŠTIRI RAýUNSKE OPERACIJE RAýUNSKE OPERACIJE OPERACIJE ZAPISOVA- x po besedilu zapisati izraz in 13 ZAPISOVA- x po besedilu zapisati izraz in 13 izraÞunati njegovo vrednost NJE IZRAZAPISOVA- x po besedilu zapisati izraz in izraÞunati 13 izraÞunati njegovo vrednost NJE IZRAZOV PO njegovo vrednost NJE IZRAZOV PO BESEDILU ZOV PO BESEDILU IN IZRAýUBESEDILU IN IZRAýUNAVANJE IN IZRAýUNAVANJE VREDNOSTI NAVANJE VREDNOSTI IZRAZA VREDNOSTI IZRAZA IZRAZA

Marjana Robiÿ: Skrivnosti ťtevil in oblik 8 – Priroÿnik

uÄ?benik

delovni zvezek

zbirka nalog

zbirka zgledov

priroÄ?nik za uÄ?itelje

za uÿitelja, Š ZaloŞba Rokus, 2004

Spreminjanje, razmnoĹževanje in fotokopiranje za lastno

uporabo je dovoljeno.

9

letna priprava

reĹĄitve nalog

Skrivnosti ĹĄtevil in oblik 9 ` Posodobljena izdaja bo na voljo spomladi 2011.

0/07

2:15 PM

Page 1

Skkri S rivvno nossti ti πtevil in oblik πtevil Skrivnosti iika ka 9 Reπitve uËbennika in oblik 9 Reπitve uËbenika

1. raven ťt.ure Vsebina Cilji 9 IZRAŽANJE x izraÞunati koliÞnik dveh celih ťtevil, 10 NEZNANIH x poiskati danemu celemu ťtevilu KOLIýIN IZ obratno vrednost, ENAýBE x poiskati danemu racionalnem (KI IMA OB ťtevilu obratno vrednost, NEZNANKi x deliti racionalni ťtevili ŠE DRUGE ýRKE) IN FORMUL

za matematik o v 9. razredu osno osnovne novn vne πole πo

za matematiko v 9. razredu osnovne πole

JoĂŚe Berk

Jana Draksler

11

JoĂŚe Berk

Jana Draksler

2. raven Cilji x razbrati iz dane besedilne naloge znane in neznane koliÞine in jim ENAýB PRI prirediti primerne oznake, REŠEVANJU x zapisati BESEDILNIH besedila enaÞbo, ki ustreza pogojem in enaÞbo reťiti, NALOG x izraÞunati vse koliÞine, ki jih zahteva naloga,

ĹĄt.ure Vsebina 9 UPORABA LINEARNIH

Marjana RobiË

UPORABA x razbrati iz dane besedilne naloge LINEARNIH znane in neznane koliÞine in jim ENAýB PRI prirediti primerne oznake, REŠEVANJU x zapisati BESEDILNIH besedila enaÞbo, ki ustreza pogojem in enaÞbo reťiti, NALOG x izraÞunati vse koliÞine, ki jih zahteva naloga,

ĹĄt.ure 9

x oceniti reĹĄitev naloge, x preizkusiti pravilnost reĹĄitve, x zapisati odgovor.

10

Marjana RobiË

11

BESEDILNE x uporabiti linearno enaĂžbo pri NALOGE O 10 reĹĄevanju besedilnih nalog o ĹĄtevilih, Ĺ TEVILIH x oceniti pravilnost reĹĄitev naloge.

BESEDILNE x pripraviti ustrezno tabelo po besedilu NALOGE O naloge, STAROSTI x uporabiti linearno enaĂžbo pri reĹĄevanju besedilnih nalog o starosti, x oceniti pravilnost reĹĄitev naloge.

11

3. raven Vsebina Cilji UPORABA x razbrati iz dane besedilne naloge LINEARNIH znane in neznane koliÞine in jim ENAýB PRI prirediti primerne oznake, REŠEVANJU x zapisati enaÞbo, ki ustreza pogojem BESEDILNIH besedila in enaÞbo reťiti, NALOG x izraÞunati vse koliÞine, ki jih zahteva naloga, x oceniti reťitev naloge, x preizkusiti pravilnost reťitve, x zapisati odgovor.

BESEDILNE NALOGE O Ĺ TEVILIH

x uporabiti linearno enaĂžbo pri reĹĄevanju besedilnih nalog o ĹĄtevilih, x oceniti pravilnost reĹĄitev naloge.

BESEDILNE NALOGE O STAROSTI

x pripraviti ustrezno tabelo po besedilu naloge, x uporabiti linearno enaĂžbo pri reĹĄevanju besedilnih nalog o starosti,

x oceniti reĹĄitev naloge, x preizkusiti pravilnost reĹĄitve, x zapisati odgovor.

12

BESEDILNE NALOGE O Ĺ TEVILIH

x oceniti pravilnost reĹĄitev naloge.

x uporabiti linearno enaĂžbo pri 12 reĹĄevanju preprostih besedilnih nalog o ĹĄtevilih, x oceniti pravilnost reĹĄitev naloge.

BESEDILNE x narisati ustrezno skico po besedilu NALOGE 12 BESEDILNE x narisati naloge, ustrezno skico po besedilu IZ GEONALOGE x uporabiti linearno enaĂžbo naloge, pri METRIJE IZ GEOreĹĄevanju besedilnih nalog x uporabiti linearno enaĂžbo iz pri METRIJE geometrije, reĹĄevanju besedilnih nalog iz 13 BESEDILNE x narisati x oceniti pravilnost reĹĄitev geometrije, ustrezno skico po besedilu naloge.

13 NALOGE BESEDILNE x uporabiti x oceniti pravilnost reĹĄitev naloge, linearno enaĂžbo pri naloge.

IZ GEONALOGE 13 BESEDILNE x uporabiti x uporabiti linearno enaĂžbo reĹĄevanju nalog iz vsakdanjika, 3. ravenlinearno pri METRIJE enaĂžbo pri 2. raven IZ VSAKNALOGE reĹĄevanju x oceniti preprostih besedilnih nalog Cilji reĹĄevanju nalog iz vsakdanjika, pravilnost reĹĄitev naloge.

1. raven ĹĄt.ure Vsebina Cilji IZ VSAKVsebina iz geometrije, ĹĄt.ure DANJIKA reĹĄiti naloge obratnega sklepanjem xx soceniti Cilji OBRATNO pravilnost ĹĄt.ure Vsebina reĹĄitev naloge.

DANJIKA x s sklepanjem reĹĄiti naloge obratnega 5 OBRATNO x oceniti pravilnost obratnega 5 naloge reĹĄiti sorazmerja, reĹĄitev SORAZx s sklepanjem 6 naloge.

OBRATNO 5 sorazmerja, SORAZ6 x odvisnost med obratno MERJE sorazmerja, SORAZ6 x odvisnost med obratno sorazmernima MERJE sorazmernima koliÞinama zapisati v x ugotoviti, ali je zapisano sorazmerje MERJE Marjana Robiÿ: koliÞinama zapisati v obliki Skrivnosti ťtevil obliki sorazmerja, in oblik 9 – Priroÿnik za uÿitelja, obratno. sorazmerja, Š ZaloŞba Rokus, 2005 x naloge obratnega sorazmerja reťiti s Spreminjanje, reťiti s razmnoŞevanje sorazmerja in fotokopiranje x naloge obratnega za las lastno stno uporabo je dovoljeno. sorazmerjem(z iskanjem neznanega sorazmerjem(z iskanjem neznanega 8 Þlena sorazmerja). Þlena sorazmerja).

7

BESEDILNE NALOGE IZ RAZMERJA IN SORAZMERJA

8

RAZMERJE DOLŽIN DALJIC

9

DELITEV DALJIC V DANEM RAZMERJU

10

PODOBNOST

7

BESEDILNE NALOGE IZ RAZMERJA IN SORAZMERJA

x opredeliti in zapisati razmerje dolĹžin 8 dveh daljic, x odmeriti grafiĂžno drugo daljico, Ăže poznamo dolĹžino ene daljice in razmerje dolĹžin daljic, x izraĂžunati dolĹžino druge daljice, Ăže je dana dolĹžina prve daljice in razmerje dolĹžin obeh daljic.

RAZMERJE DOLŽIN DALJIC

x grafiĂžno razdeliti daljico na n enakih 9 delov, x razdeliti daljico v danem razmerju.

10 x prepoznati podobne like, x doloĂžiti istoleĹžne stranice in istoleĹžne kote, x opredeliti podobnost dveh likov, x narisati poveĂžan kvadrat in pravokotnik, x narisati pomanjĹĄan kvadrat in pravokotnik.

DELITEV DALJIC V DANEM RAZMERJU

x reĹĄiti preproste besedilne naloge z uvedbo nove spremenljivke

Marjana Robiÿ: Skrivnosti ťtevil in oblik 9 – Priroÿnik

uÄ?benik

delovni zvezek

zbirka nalog

zbirka zgledov

priroÄ?nik za uÄ?itelje

reĹĄitve nalog

PODOBNOST

7

BESEDILNE NALOGE IZ RAZMERJA IN SORAZMERJA

x reĹĄiti preproste besedilne naloge z uvedbo nove spremenljivke, x reĹĄiti zahtevnejĹĄe besedilne naloge z uvedbo nove spremenljivke.

x opredeliti in zapisati razmerje dolĹžin 8 dveh daljic, x odmeriti grafiĂžno drugo daljico, Ăže poznamo dolĹžino ene daljice in razmerje dolĹžin daljic, x izraĂžunati dolĹžino druge daljice, Ăže je dana dolĹžina prve daljice in razmerje dolĹžin obeh daljic.

x reĹĄiti preproste besedilne naloge z uvedbo nove spremenljivke, x reĹĄiti zahtevnejĹĄe besedilne naloge z uvedbo nove spremenljivke.

x grafiĂžno razdeliti daljico na n enakih delov, x razdeliti daljico v danem razmerju. x prepoznati podobne like, x doloĂžiti istoleĹžne stranice in istoleĹžne kote, x opredeliti podobnost dveh likov, x narisati poveĂžan kvadrat in pravokotnik, x narisati pomanjĹĄan kvadrat in pravokotnik.

za uÿitelja, Š ZaloŞba Rokus, 2005

plakat Ĺžepno raĂžunalo drugo:

frontalna individualna tandem skupinsko delo sodelovalno uĂženje drugo:

razgovor razlaga diskusija raziskava praktiĂžno delo delo z besedilom drugo:

uĂžbenik delovni zvezek zbirka nalog prosojnice geometrijsko orodje plakat Ĺžepno raĂžunalo drugo:

frontalna individualna tandem skupinsko delo sodelovalno uĂženje drugo:

razgovor razlaga diskusija raziskava praktiĂžno delo delo z besedilom drugo:

uĂžbenik delovni zvezek zbirka nalog prosojnice geometrijsko orodje plakat Ĺžepno raĂžunalo drugo:

2003

Spreminjanje, razmnoĹževanje in fotokopiranje za

letna priprava

Izdaja je posodobljena in hkrati usklajena s posodobljenim uÄ?nim naÄ?rtom. UÄ?benik in delovni zvezek bosta na voljo Ĺže spomladi 2009. ReĹĄitve nalog iz delovnega zvezka, posodobljeni priroÄ?nik za uÄ?itelje ter letne in dnevne priprave bodo brezplaÄ?no dostopni na www.praktik.org Ĺže avgusta 2009.

Skrivnosti πtevil in oblik πtevil Skrivnosti ikka 8 Reπitve uËbennika in oblik 8 Reπitve uËbenika

delo z besedilom drugo:

RAZMERJE DOLŽIN DALJIC

x opredeliti in zapisati razmerje dolĹžin dveh daljic, x odmeriti grafiĂžno drugo daljico, Ăže poznamo dolĹžino ene daljice in razmerje dolĹžin daljic, x izraĂžunati dolĹžino druge daljice, Ăže je dana dolĹžina prve daljice in razmerje dolĹžin obeh daljic.

9

DELITEV DALJIC V DANEM RAZMERJU

10

PODOBNOST

x grafiĂžno razdeliti daljico na n enakih delov, x razdeliti daljico v danem razmerju. x prepoznati podobne like, x doloĂžiti istoleĹžne stranice in istoleĹžne kote, x opredeliti podobnost dveh likov, x narisati poveĂžan kvadrat in pravokotnik, x narisati pomanjĹĄan kvadrat in pravokotnik.

Spreminjanje, razmnoĹževanje in fotokopiranje za lastno

uporabo je dovoljeno.

11

letna priprava

3

lastno uporabo je dovo

DIDAKTIČNA ZASNOVA GRADIVA Problemski pristop

NA BLJE ODO POS IZDAJA

Vsako poglavje se začne z domišljijskim stripom, vsaka tema pa z zgodbo, v kateri se skriva matematični problem, kar učenca spodbuja k samostojnemu iskanju pravil in odgovorov.

Življenjski primeri Celotna nova snov je predstavljena in pojasnjena na primerih iz vsakdanjega življenja, kar učencu omogoča lažje razumevanje matematičnih pravil in povezavo z lastnimi izkušnjami.

Uporabnost Vaje in fotografije so izbrane tako, da prikazujejo uporabnost matematike, s čimer opozarjajo učenca, da je matematika povsod okoli nas, in da je še kako uporabna v vsakdanjem življenju.

Pomoč pri učenju Osnovnemu besedilu so dodane različne tabele s pravili, dogovori, namigi in opozorili, kar učencu pomaga, da čim lažje usvoji vse cilje in standarde znanja.

Samoevalvacija Gradiva so opremljena z rešitvami in s številnimi preizkusi z ocenjevalnimi lestvicami, kar učencu omogoča sprotno spremljanje lastnega napredka in znanja.

Raznolikost Izbor nalog in aktivnosti je izjemno pester in obsega vse ravni zahtevnosti, kar omogoča učencu, da ubere pot pridobivanja znanja, ki najbolje ustreza njegovim sposobnostim.

Učbeniški kompleti Skrivnosti števil in oblik so zasnovani po željah in predlogih več kot 100 slovenskih učiteljev matematike, ki so sodelovali v obsežni raziskavi. Avtorji so zasnovo, ki je nastala kot rezultat raziskave, nadgradili še z opažanji številnih učiteljev praktikov, ki so gradiva preizkusili v praksi, in mnenji izbranih strokovnjakov.

Osnovni namen ustvarjalcev kompletov je prepričati učenca, da je matematika razumljiva, uporabna, zanimiva, zabavna in da je povsod okoli nas. Zato je bila glavna skrb avtorjev motivacija učencev.

Da bi bilo posredovanje in pridobivanje znanja čim bolj igrivo, neopazno in nevsiljivo, učenca skozi učbenike in delovne zvezke vodita simpatična stripovska junaka Špela in Rok, ki skupaj z učenci obiskujeta šesti, sedmi, osmi in deveti razred.

Glavne značilnosti gradiva: • strokovno • pregledno • preprosto • razumljivo • zanimivo • zabavno • sodobno • barvito

Jasna in pregledna zgradba Poglavja se med seboj ločijo po barvi, vsaka učna enota ima preprosto zgradbo z jasno ločenimi elementi, kar učencu omogoča lažjo navigacijo in pregled nad celotno vsebino.

!

Posodobljene izdaje!

V Založbi Rokus Klett smo se odločili za posodobitev vseh učbeniških kompletov Skrivnosti števil in oblik. Prvi posodobljeni komplet, Skrivnosti števil in oblik 7, bo na voljo že spomladi 2009.

Pri prenovi smo glede na posodobljeni učni načrt: • poenostavili in preoblikovali vsebino, tako da učenci lahko usvojijo učne vsebine, dosežejo cilje in pričakovane dosežke, ki jih predpisuje novi učni načrt, • v določenem zaporedju vključili v gradivo obvezne in izbirne vsebine, • aktualizirali zgodovinska spoznanja, saj s tem učence usposabljamo za aktivno in kritično dojemanje sodobnega sveta, • vključili v gradivo vprašanja in naloge za ponavljanje, s katerimi bodo učenci lahko pridobili vseživljenjsko znanje oziroma veščine ter imeli možnost (samo)preverjanja usvojenega znanja.

Hkrati je bila prenova priložnost za zmanjšanje obsega gradiva in izbiro lažjega papirja. S tem bomo prispevali k manjši teži šolskih torbic.

Preostali kompleti bodo posodobljeni v naslednjih šolskih letih.

Dosedanja izdaja Skrivnosti števil in oblik 7 bo še vedno na voljo.

4

22

23

ULOMKI

NES NEKO» IN DA Ulomki (angl. fractions) so dobili ime po latinski besedi fractus, ki pomeni zlomljen.

Takšno poimenovanje so začeli uporabljati šele v 12. stoletju, pred tem so za ulomke uporabljali različna imena: minuciae, rotto, rocto, roupt ...

Stari Egipčani so enostavne ulomke zapisovali tako, da so narisali simbol v obliki ust in pod njega zapisali imenovalec s številskimi simboli.

Staroegipčanski zapisi računanja so se ohranili na zidovih svetišč in papirusih. Eden najbolj znanih zapisov je Rhindov papirus, ki so ga dešifrirali šele 70 let po odkritju.

1 3

1 5

Za najbolj uporabljane ulomke so imeli posebne znake, ki smo jih že spoznali v 6. razredu.

1

PONAZORITEV ULOMKOV

2

ULOMKI NA ©TEVILSKEM POLTRAKU

3

ULOMKI KOT KOLI»NIKI

4

RAZ©IRJANJE ULOMKOV

5

KRAJ©ANJE ULOMKOV

6

DECIMALNA ©TEVILA

7

UREJANJE ULOMKOV

NA BLJE ODO AJA S O P IZD

©PELA SE PREIZKUSI

V nekaterih športih je igralni čas razdeljen na polovice (nogomet in rokomet), tretjine (hokej) ali četrine (košarka in vaterpolo).

Starogrški matematiki so se izogibali ulomkom, kolikor se je le dalo. Kadar vendarle ni šlo drugače, so enostavne ulomke zapisovali s črkami, ki so jim zgoraj dodali dve piki. Črka je ponazarjala imenovalec, dve piki, pa da gre za ulomek. .. ..

1 1 Δ Β 2 4

Z zapisi ulomkov se ves čas as srečujemo.

KOT IN KROG

Stari rimljani so pri trgovanju uporabljali poseben sistem oznak in imen za ulomke. Celota (denarius) je bila sestavljena iz 16 asov, unča ((uncia)) ppa jje bila 1/12 asa. ncia 1 sextans 2 quadrans 3 triens 4 uncia 12 12 12 12

A

DECIMALNA ©TEVIL

Iz recenzij Toliko pestrosti, izvirnosti, slikovnega materiala, didaktičnih iger, prilog, stripov in drugega gradiva, ki razbije šolski dolgčas, težko najdeš na enem mestu. Razlaga snovi je podana na izviren način, učitelj lahko črpa krasne motivacije pred obravnavo novih pojmov iz začetnih zgodb, ki jih lahko sam ali skupaj z otroki dopolni z dogajanjem iz domačega okolja.

Učne priprave Da bi učiteljem olajšali delo in pripravo na pouk, smo v sodelovanju z učitelji praktiki sestavili letne priprave za pouk po učbeniških kompletih Skrivnosti števil in oblik. Priprave so brezplačne in dostopne na spletni strani www.praktik.org v rubriki Primeri priprav, p priročniki, gradiva. g št.ure Vsebina 27 MREŽA, 28 POVRŠINA, PROSTORNINA PIRAMIDE

1. raven Cilji št.ure Vsebina 27 MREŽA, x narisati in izdelati mrežo piramide, POVRŠINA, x opredeliti površino piramide, PROSTORx spoznati splošni obrazec za raþunanje NINA površine piramide, PIRAMIDE x opredeliti prostornino piramide, x spoznati splošni obrazec za raþunanje prostornine piramide, x iz danih podatkov: O, pl, v izraþunati P in V posamezne piramide.

28

št.ure Vsebina 4 IZRAZI S SEŠTEVA-

NJEM IN ODŠTEVANJEM CELIH ŠTEVIL Z OKLEPAJI

1. raven Cilji x izraþunati vrednost izraza z oklepaji s celimi števili (seštevanje, odštevanje)

2. raven Cilji št.ure x izraþunati vrednost izraza z oklepaji 5 s celimi števili (seštevanje, NJEM IN odštevanje) ODŠTEVA- x izraþunati vrednost zahtevnejšega 29 30 NJEM CELIH izraza z oklepaji s celimi števili ŠTEVIL Z (seštevanje, odštevanje) OKLEPAJI

št.ure Vsebina 4 IZRAZI S SEŠTEVA-

3. raven Vsebina Cilji IZRAZI S x izraþunati vrednost izraza z oklepaji SEŠTEVAs celimi števili (seštevanje, NJEM IN odštevanje) 29 ODŠTEVA- x xopisati pravilno 4-strano piramido, izraþunati vrednost zahtevnejšega PRAVILN izraza mrežo z oklepaji s celimi števili pravilne 4-strane 4- CELIH x narisati ANJEM ŠTEVIL Z (seštevanje, odštevanje) piramide, STRANA OKLEPAJI x skicirati pravilno 4-strano piramido, PIRAMIDA x zapisati obrazec za raþunanje O, pl, P, SEŠTEVAxVseštevati odštevati racionalna pravilnein4-strane piramide, NJE IN števila O, pl, P, V pravilne 4x izraþunati ODŠTEVAstrane piramide (direktni podatki).

NJE RACIO- x uporabiti Pitagorov izrek pri pravilni NALNIH 4-strani piramidi. ŠTEVIL

2. raven Cilji št.ure Vsebina 27 MREŽA, x narisati in izdelati mrežo piramide, POVRŠINA, x opredeliti površino piramide, PROSTORx spoznati splošni obrazec za raþunanje NINA površine piramide, PIRAMIDE x opredeliti prostornino piramide, x spoznati splošni obrazec za raþunanje prostornine piramide, x iz danih podatkov: O, pl, v izraþunati P in V posamezne piramide.

3. raven Cilji x narisati in izdelati mrežo piramide, x opredeliti površino piramide, x spoznati splošni obrazec za raþunanje površine piramide, x opredeliti prostornino piramide, x spoznati splošni obrazec za raþunanje prostornine piramide,

PRAVILN PRAVILNA 4-STRAN 4-STRANA PIRAMID PIRAMIDA

x opisati pravilno 4-strano piramido, x narisati mrežo pravilne 4-strane piramide, x skicirati pravilno 4-strano piramido, x zapisati obrazec za raþunanje O, pl, P, V pravilne 4-strane piramide, x izraþunati O, pl, P, V pravilne 4strane piramide (direktni podatki). x uporabiti Pitagorov izrek pri pravilni 4-strani piramidi.

28

PRAVILNA 4-STRANA PIRAMIDA

x opisati pravilno 4-strano piramido, x narisati mrežo pravilne 4-strane piramide, x skicirati pravilno 4-strano piramido, x zapisati obrazec za raþunanje O, pl, P, V pravilne 4-strane piramide, x izraþunati O, pl, P, V pravilne 4strane piramide (direktni podatki). x uporabiti Pitagorov izrek pri pravilni 4-strani piramidi.

PRAVILNA PRAVILN 3-STRANA 3-STRAN PIRAMIDA PIRAMID

x opisati pravilno 3-strano piramido, x narisati mrežo pravilne 3-strane piramide, x skicirati pravilno 3-strano piramido, x zapisati obrazec za raþunanje O, pl, P, V pravilne 3-strane piramide, x izraþunati O, pl, P, V pravilne 3strane piramide (direktni podatki). x uporabiti Pitagorov izrek pri pravilni 3-strani piramidi.

29

PRAVILN x opisati pravilno 3-strano piramido, x narisati mrežo pravilne 3-strane A 3piramide, STRANA x skicirati pravilno 3-strano piramido, PIRAMIDA x zapisati obrazec za raþunanje O, pl,

5

SEŠTEVAx seštevati in odštevati racionalna NJE IN števila ODŠTEVANJE RACIONALNIH ŠTEVIL

5

SEŠTEVAx seštevati in odštevati racionalna NJE IN števila ODŠTEVANJE RACIONALNIH ŠTEVIL

6

IZRAZI S SEŠTEVANJEM IN ODŠTEVANJEM RACIONALNIH ŠTEVIL

x izraþunati vrednost preprostega izraza z racionalnimi števili (seštevanje, odštevanje)

6

IZRAZI S SEŠTEVANJEM IN ODŠTEVANJEM RACIONALNIH ŠTEVIL

7

MNOŽENJE x pomnožiti celo število z (–1), CELIH x pomnožiti dve celi števili ŠTEVIL Z (–1), MNOŽENJE DVEH CELIH ŠTEVIL

7

7 MNOŽENJE x pomnožiti celo število z (–1), MNOŽENJE x pomnožiti celo9 –število z (–1), Marjana Robiÿ: Skrivnosti števil in oblik Priroÿnik za uÿitelja, © Založba Rokus, 2005 CELIH CELIH x pomnožiti racionalno število z (–1), x pomnožiti racionalno število z (–1), ŠTEVIL ŠTEVIL x pomnožiti dve celi števili x pomnožiti dve celi števili Z (–1), Z (–1), MNOŽENJE x pomnožiti dve racionalni števili MNOŽENJE x pomnožiti dve racionalni števili DVEH DVEH RACIONAL RACIONAL NIH ŠTEVIL NIH ŠTEVIL

8

MNOŽENJE RACIONALNIH ŠTEVIL

8

PRODUKT x izraþunati produkt treh ali veþ celih TREH ALI števil, VEý x izraþunati produkt treh ali veþ FAKTORJEV racionalnih števil

x pomnožiti dve racionalni števili,

x izraþunati produkt treh ali veþ celih PRODUKT števil, TREH ALI VEý x izraþunati produkt treh racionalnih FAKTORJEV števil

Marjana Robiÿ: Skrivnosti števil in oblik 8 – Priroÿnik za uÿitelja, © Založba Rokus, 2004

x izraþunati vrednost preprostega izraza z racionalnimi števili (seštevanje, odštevanje)

5

6

x izraþunati vrednost zahtevnejšega izraza z racionalnimi števili (seštevanje, odštevanje)

x poznati dogovor o opušþanju znaka za množenje

8

IZRAZI S SEŠTEVANJEM IN ODŠTEVANJEM RACIONALNIH ŠTEVIL

Ema Maver, profesorica matematike na Osnovni šoli Fram, Fram

x iz danih podatkov: O, pl, v izraþunati P in V posamezne piramide.

P, V pravilne 3-strane piramide, x izraþunati O, pl, P, V pravilne 3strane piramide (direktni podatki). x uporabiti Pitagorov izrek pri pravilni 3-strani piramidi.

x izraþunati vrednost preprostega izraza z racionalnimi števili (seštevanje, odštevanje) x izraþunati vrednost zahtevnejšega izraza z racionalnimi števili (seštevanje, odštevanje)

PRODUKT x izraþunati produkt treh ali veþ celih TREH ALI števil, VEý x izraþunati produkt treh ali veþ FAKTORJEV racionalnih števil

Spreminjanje, razmnoževanje in fotokopiranje za lastno uporabo je dovoljeno.

Razumevanje vsebin pri učencih je podprto z dobro zastavljenimi vprašanji, izbranimi aktivnostmi in ustreznimi nalogami, smiselno je uporabljena tudi računska tehnologija.

Zastopane so naloge vseh taksonomskih ravni znanja. Zgledi so razumljivo in ustrezno rešeni, naloge jasno zastavljene, nasploh ustrezno zahtevne, vsebinsko in metodično dovolj razgibane in zanimivo predstavljene.

17

dr. Zlatan Magajna, Pedagoška fakulteta, Univerza v Ljubljani

x poznati dogovor o opušþanju znaka za množenje

Spreminjanje, razmnoževanje in fotokopiranje za lastno uporabo je dovoljeno.

8

5

UČBENIK

POSODOBLJENA IZDAJA

62

6 ELJI NARAVNIH ŠTEVIL DDEELITLJENJEZ NARAVNIM ŠTEVILOM ULOMKA lov.

vilo enakih de

1

poljubno šte Izvedel boš: ) razdelimo na lote (ulomek — kako del ce

©pelina babica je kot vsako leto tudi tokrat vrt razdelila na pet enakih delov, od tega je štiri dele prepustila ©peli. ©pela se je odloËila, da bo svoj del vrta razdelila na dva enaka dela in enega namenila za jagode, ki jih naravnost oboæuje.

RAZMISLI

2

Koliki del celotnega vrta je namenjenega jagodam?

4

Babica je štiri od skupno petih delov vrta ( 5 ) razdelila na dva enaka dela, kar lahko zapišemo kot koliËnik števil: 4 : 2 = 4: 2 = 2 5 5 5 2 5

To pomeni, da je z jagodami zasajenega

celotnega vrta.

2 vrta 5

okopani del vrta

1 del

Avtorji: Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič bič

Učbenik za posamezni razred ima 7−10 poglavij. Skozi poglavja vodita učence njihova vrstnika Špela in Rok, s katerima se učenci lahko poistovetijo. Na začetku vsakega poglavja je strip, kjer je prikazan del njune dogodivščine, katere bistvo je zanimiva matematična uganka, povezana z vsebino poglavja. Poglavje se nadaljuje z razdelkom Nekoč in danes, ki je kombinacija zgodovinskega pregleda in prikaza vsakdanje uporabe obravnavane teme.

Vsako poglavje je nato razdeljeno na 5−10 podpoglavij, ki praviloma predstavljajo eno učno temo. Podpoglavja so razdeljena na vsakdanjo zgodbo, nanjo vezano preprosto razlago, rešene primere in naloge za vajo.

Na koncu vsakega poglavja je preizkus znanja z motivacijskim točkovnikom.

Rešitve vseh nalog so v samostojnem snopiču, ki je priložen učbeniku.

3

2 del

©pela je imela v mislih povsem drugaËno razdelitev. Razmišljala je o manjših gredicah, ki bi jih dobila tako, da bi vrt vzdolæno razdelila na dva enaka dela, torej da bi vsako gredico razdelila še na dva manjša, enaka dela: 4 :2= 4 = 4 5 5 2 10 22 vrta 55 vrta

1 del

okopani del vrta 2 del

Po krajšanju dobljenega ulomka vidimo, da dobimo obakrat enak rezultat.

Ugotovimo, da je vseeno ali pri deljenju ulomka z naravnim številom s tem številom delimo πtevec ali pa množimo imenovalec ulomka.

Ulomek delimo z naravnim številom na dva naËina:

4

a:n 1. števec ulomka delimo z naravnim številom: a : n = b b a 2. imenovalec ulomka pomnoæimo z naravnim številom: a : n = b n b Drugi naËin je vedno mogoË, prvi pa le, Ëe je števec ulomka deljiv z danim naravnim številom.

DELJENJE ULOMKA Z NARAVNIM ŠTEVILOM

Dosedanja izdaja Skrivnosti števil in oblik 7 bo še vedno na voljo.

Zgradba poglavja: V stripu, ki odpira vsako poglavje, Špela in Rok potujeta skozi čas in rešujeta uganke – v podzemnem labirintu iščeta knjigo modrecev, z ladjo potujeta zvezdnemu ščitu naproti in se podata v vesolje na lov za izgubljeno civilizacijo ...

Nato sta v razdelku Nekoč in danes prikazana zgodovina in razvoj matematike od klinopisa do računalnikov, podani so primeri uporabe matematike v naravi, arhitekturi, umetnosti in vsakdanjem življenju. Temu motivacijskemu uvodu sledijo posamezna podpoglavja z razdelki zgodba, razmisli, razlaga, zgledi in vaje ter poglavje kratek zaključni preizkus.

6

STRIP

NEKOČ IN DANES 6

7

NARAVNA ©TEVILA

» IN DANES

NARAVNA ©TEVILA

NEKO

1 2 3

Na drugem koncu sveta so Maji vsa števila zapisovali s simboli , in

Ljudje so že zelo zgodaj začeli šteti in računati. Dokaz za to različni stari zapisi na glinenih ploščah, kamnih in svitkih s posebni simboli za števila.

3

4

5

6

7

8

9

.

1

2

11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

Hebrejci so podobno kot Stari Grki za zapisovanje števil uporabljali kar črke svoje abecede.

dr. Franc Močnik (1814–1892) Bil je avtor prvih slovenskih matematičnih učbenikov, ki so jih prevedli in uporabljali v več kot 10 evropskih državah.

4 5

DELJIVOST ©TEVIL PRA©TEVILA RAZCEP NA PRAFAKTORJE SKUPNI DELJITELJI SKUPNI VE»KRATNIKI ©PELA SE PREIZKUSI

10

Računalniško varnostno kodiranje večinoma temelji na množenju naključno izbranih velikih praštevil, katerih zmnožek je nemogoče ponovno razstaviti in na ta način vdreti v računalnik.

Nekoč so praštevila določali ročno, danes pa počnemo z računalniki. Največje ta trenutek znano praštevilo je

230402457-1 in ima več kot devet milijonov števk. Če bi število zapisali z običajno pisavo, bi bilo dolgo več kot 50 kilometrov.

Z naravnimi števili se srečujemo na vsakem koraku.

1

2

3

4

5

6

7

8

10

20

30

40

50

60

70

80

100 200 300 400 500 600 700 800

9

90

900

Znake so zapisovali od desne proti levi, tako kot še danes berejo in pišejo v arabskem svetu.

63

OM AVNIM Ĺ TEVIL R A N Z A K M O DELJENJE UL

5

REĹ ENI PRIMERI

í˘˛ Gospodinja ĂŚeli 2 35 kg mesa razdeliti na 4 enake dele. Kaj lahko izraĂ‹unaĹĄ?

ZapiĹĄi tudi odgovor na svoje vpraĹĄanje.

í˘ą IzraĂ‹unaj naslednje koliĂ‹nike. a) 8 : 4 15

b) 7 : 2 9

c) 5 5 : 7 6

ReĹĄitev: a) 8 : 4 = 8 : 4 = 2 ali 8 15 15 15 15 b) 7 : 2 = 7 = 7 9 9 ˜ 2 18 c) 5 5 : 7 = 35 : 7 = 35 : 7 = 6 6 6 Ă‹) 1,3 : 5 = 13 : 5 = 13 = 10 10 ˜ 5

Reťitev: IzraËunamo lahko, koliko kg bo tehtal vsak od ťtirih kosov mesa.

2 3 : 4 = 13 : 4 = 13 = 13 5 5 5 ˜ 4 20 13 ¡ 1000 = (1000 : 20) ¡ 13 = 50 ¡ 13 = 650 20

8˜2 = 2 15 ˜ 4 ˜ 1 15

5 6 13 50

Vsak od ĹĄtirih kosov mesa bo tehtal oziroma 650 gramov.

13 20

kg

6

NALOGE ZA VAJO í˘ą IzraĂ‹unaj koliĂ‹nike. b) 35 : 7 a) 8 : 4 11 48

:4=

Ă‹) 1,3 : 5

c) 48 : 3 55

Ă‹) 270 : 18 291

d) 4 : 3 5

e) 8 : 5 9

f) 18 : 27 25

g) 40 : 64 55

h) 1 3 : 2 5

i) 3 1 : 5 8

j) 7 1 : 8 9

k) 10 5 : 4 12

í˘ˇ V krogu s poljubnim polmerom prikaĂŚi deljenje 41 : 2. í˘¸ S katerim ĹĄtevilom moramo pomnoĂŚiti 1 ĹĄtevilo 9, da dobimo 8 10 ?

í˘˛ IzraĂ‹unaj koliĂ‹nike (s pomoĂ‹jo deljenja ulomka z naravnim ĹĄtevilom). a) 0,9 : 3 b) 1,75 : 8 c) 0,008 : 3 Ă‹) 14,4 : 12

1

Izvedel boĹĄ predstavlja uÄ?ne cilje.

2

Ilustrirana zgodba je problemsko zasnovana in je namenjena uvodni motivaciji. ZakljuÄ?uje jo preprosta naloga Razmisli.

3

Razlaga snovi je kratka, jasna in preprosta.

4

Pravila in odgovori so posebej oznaÄ?eni in ustrezno komentirani.

5

ReĹĄeni primeri so premiĹĄljeno izbrani in komentirani.

6

Naloge za vajo so vseh vrst in taksonomskih ravni.

ZMOREM TUDI TO í˘š Na 115 km dolgi poti porabi avto 12 85 litra bencina. Koliko bencina bi isti avto porabil na 80 km dolgi poti?

í˘ł Obseg kvadratnega vrta meri 15 43 m.

Koliko meri stranica tega kvadrata? í˘´ Trikratnik nekega ĹĄtevila je 25 83 .

Katero ĹĄtevilo je to? í˘ľ Za 50 km dolgo pot potrebuje avto 4 23 litra bencina. Koliko litrov bencina potrebuje za 1 km?

ě?… UĂ‹enec je pri skoku v daljino zaporedoma 3 2 dosegel dolĂŚine 3 41 m, 3 10 m in 3 5 m.

IzraËunaj povpreËno dolÌino njegovih skokov.

í˘ś PrikaĂŚi deljenje 35 : 4 v pravokotniku z dolĂŚino 10 cm in ĹĄirino 4 cm. Ali so mere pravokotnika pomembne za reĹĄitev naloge?

Pojasni.

Za izvedbo nivojskega pouka v razredih 7–9 so dodane tudi bolj zahtevne naloge Zmorem tudi to, ki so posebej oznaÄ?ene.

PODPOGLAVJE ZGODBA • RAZMISLI • RAZLAGA

ZGLEDI IN VAJE

PREIZKUS 0

10

11

2 PRAĹ TEVILA

deliteljev, glede na πtevilo Izvedel boť: naravna πtevila sestavljena πtevila. in — kako delimo naπ praπtevila — kako prepoz

Eratosten iz Kirene je naťel postopek, po katerem je doloËil vsa praťtevila do nekega vnaprej izbranega ťtevila. Njegov postopek imenujemo Eratostenovo reťeto.

Špela in Rok sta letoťnje poletje opravljala poËitniťko delo v papirnici, kjer sta iz velikih poťiljk pisarniťkega materiala polnila peresnice za prodajo.

Iz posamezne ťkatle sta morala porabiti vse elemente in jih razdeliti v peresnice z enakim πtevilom elementov. Vsaka velika πkatla je vsebovala

RAZMISLI

PraĹĄtevila do ĹĄtevila 500 2 31 73 127 179 233 283 353 419 467

Bistvo postopka je v tem, da zapored izloËamo vse veËkratnike posameznih praťtevil 2, 3, 5, 7‌, razen praťtevila samega. IzloËimo tudi ťtevilo 1, ki ni praťtevilo. Tako na situ ostanejo samo praťtevila.

12 svinËnikov, 13 nalivnikov, 17 radirk in 16 kemiËnih svinËnikov.

Nalivnike in radirke lahko delita le na dva naËina, svinËnike in kemiËne svinËnike pa na veË naËinov.

3 37 79 131 181 239 293 359 421 479

5 41 83 137 191 241 307 367 431 487

7 43 89 139 193 251 311 373 433 491

11 47 97 149 197 257 313 379 439 499

13 53 101 151 199 263 317 383 443

17 59 103 157 211 269 331 389 449

19 61 107 163 223 271 337 397 457

23 67 109 167 227 277 347 401 461

29 71 113 173 229 281 349 409 463

D16 = {1, 2, 4, 8, 16}

ě?ƒ ZapiĹĄi mnoĂŚice deliteljev za ĹĄtevila od 1 do 10 in doloĂ‹i, katera izmed njih so praĹĄtevila.

ReĹĄitev: D1 = {1} D6 = {1, 2, 3, 6}

D2 = {1, 2} D7 = {1, 7}

D3 = {1, 3} D8 = {1, 2, 4, 8}

D4 = {1, 2, 4} D9 = {1, 3, 9}

D5 = {1, 5} D10 = {1, 2, 5, 10}

PraĹĄtevila so 2, 3, 5 in 7, ker imajo natanko dva delitelja.

Radirke in nalivnike sta lahko razporedila le na dva naËina: eno ali vse radirke in enega ali vse nalivnike. Število 13 ima dva delitelja. Tudi ťtevilo 17 ima dva delitelja.

D17 = {1, 17}

Špela je razmiťljala ali bi imela veË moÌnosti, Ëe bi imela 11 radirk. Ugotovila je, da ne, saj ima tudi ťtevilo 11 le dva delitelja. Takťna ťtevila imenujemo praťtevila.

NALOGE ZA VAJO ě?ƒ PrepiĹĄi preglednico v zvezek in jo dopolni.

PRAĹ TEVILA IN SESTAVLJENA Ĺ TEVILA

ĹĄtevilo

Števila, ki imajo natanko dva delitelja: 1 in samo sebe, so praťtevila. Števila, ki imajo veË kot dva delitelja, so sestavljena ťtevila.

29

33

37

45

47

ĹĄtevilo deliteljev praĹĄtevilo (da/ne)

� e je izjava pravilna, ob njej zapiťi Ërko P, Ëe je napaËna pa N. Vsako odloËitev pojasni. a) Praťtevila so ťtevila, ki nimajo deliteljev. b) Sestavljenih ťtevil je neťteto. c) Sestavljeno ťtevilo je naravno ťtevilo, ki ima vsaj tri delitelje. Ë) Vsa praťtevila so liha. d) Vsa liha naravna ťtevila so praťtevila.

praĹĄtevila

sestavljena ĹĄtevila

1

2, 3, 5, 7, 11 ...

4, 6, 8, 9, 10 ...

Ima natanko enega delitelja, to je ĹĄtevilo 1.

Imajo natanko dva razliËna delitelja.

Imajo veË kot dva razliËna delitelja.

Na ta naËin smo poiskali najmanjťi skupni veËkratnik ťtevil 2, 3 in 7:

POMNI Število 1 ima en sam delitelj, zato ni niti praπtevilo, niti sestavljeno πtevilo. Število 2 je edino sodo praπtevilo.

O praťtevilih je pisal Ìe znameniti matematik Evklid. Zelo so jih cenili tudi pitagorejci — uËenci Pitagorove filozofske ťole.

ě?‹ Utemelji, zakaj ĹĄtevilo 60 ni praĹĄtevilo. ě?? a) Ali lahko zapiĹĄeĹĄ vsa soda praĹĄtevila?

Koliko jih je? b) Med katerima dvema praĹĄteviloma ni nobenega drugega naravnega ĹĄtevila? c) RaziĹĄĂ‹i, ali med prvimi stotimi naravnimi ĹĄtevili obstajajo ĹĄtevila, katerih predhodnik in naslednik sta praĹĄtevilo. Ă‹) ZapiĹĄi dve praĹĄtevili, ki se razlikujeta za 4 (za 6, za 8, za 10).

NAMIG e je veËje ťtevilo veËkratnik manjťega ťtevila, je njun najmanjťi skupni veËkratnik kar veËje ťtevilo.

Reťitev: VeËje izmed ťtevil je ťtevilo 12. Število 12 je deljivo s ťtevilom 6.

Ker je 12 : 6 = 2, je v(6,12) = 12.

í˘˛ Brez pisnega raĂ‹unanja poiĹĄĂ‹i najmanjĹĄi skupni veĂ‹kratnik ĹĄtevil 6 in 8.

Reťitev: VeËje izmed ťtevil je ťtevilo 8.

VeËkratnike veËjega ťtevila, to je ťtevila 8, po vrsti poskuťam deliti s 6.

8:6=/ 16 : 6 = / 24 : 6 = 4 Ker je 24 deljivo z 8, je v(6,8) = 24.

NAMIG e veËje ťtevilo ni veËkratnik manjťega ťtevila, je najmanjťi skupni veËkratnik prvi veËkratnik veËjega ťtevila, ki je deljiv z manjťim ťtevilom.

í˘ł Na pamet poiĹĄĂ‹i najmanjĹĄi skupni veĂ‹kratnik ĹĄtevil 6 in 7.

POMNI Najmanjťi skupni veËkratnik dveh tujih si ťtevil je kar njun produkt.

ReĹĄitev: Števili 6 in 7 sta tuji si ĹĄtevili, zato je njun najmanjĹĄi skupni veĂ‹kratnik njun produkt v(6,7) = 42. í˘´ Z razcepom na prafaktorje doloĂ‹i najmanjĹĄi skupni veĂ‹kratnik ĹĄtevil: a) 24 in 36 b) 54 in 90

� a) Zapiťi najveËje dvomestno praťtevilo. b) Zapiťi najmanjťe trimestno praťtevilo.

NARAVNA ŠTEVILA ťtevilo 1

Za Špelo in Kajo Şe vemo, da se bosta pri babici sreËevali vsak 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ... dan.

Dnevi, ko bo babico obiskovala Ana, so veËkratniki ťtevila 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, .... Vidimo, da se prviË sreËajo ťele Ëez 42 dni.

REĹ ENI PRIMERI

REŠENI PRIMERI D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Tudi za ťtevilo kemiËnih svinËnikov v peresnicah je bilo veË moÌnosti: 1, 2, 4, 8 ali vseh 16 kemiËnih svinËnikov. Število 16 ima pet deliteljev.

ZMOREM TUDI TO

ě?‚ RaziĹĄĂ‹i: a) vsote ĹĄtevk posameznih dvomestnih praĹĄtevil. Kaj opaziĹĄ? b) vse primere, za katere drĂŚi trditev: "Âťe seĹĄtejeĹĄ dve praĹĄtevili, dobiĹĄ praĹĄtevilo."

(Izbiraj praťtevila med 1 in 100.) � e je n praťtevilo in n > 3, potem sta njegov predhodnik (n — 1) in njegov naslednik (n + 1) sestavljeni ťtevili. DokaÌi trditev.

Ali velja trditev tudi za n = 2 in n = 3?

EIZKUSI ŠPELA SE PR

Špelin in Kajin dogovor o obiskovanju babice je sliťala tudi Ana, ki konËuje ťtudij in prihaja domov vsak vikend. OdloËila se je, da bo tudi ona od danaťnjega dne vsake sedem dni obiskala babico. Kdaj se bodo pri babici prviË sreËale vse tri?

í˘ą Brez pisnega raĂ‹unanja poiĹĄĂ‹i najmanjĹĄi skupni veĂ‹kratnik ĹĄtevil 6 in 12.

Peresnice so vsebovale po 1, 2, 3, 4, 6 ali vseh 12 svinËnikov. Število 12 ima ťest deliteljev.

in

19

TNIKI SKUPNI VEÂťKRA

v (2, 3, 7) = 42.

PoiĹĄĂ‹i praĹĄtevila do 110.

DZ − naloga 1.2

Zakaj lahko nalivnike in radirke delita le na dva naËina?

D13 = {1, 13}

18

TNIKI SKUPNI VEÂťKRA

PRAĹ TEVILA

Reťitev: a) Števila razcepimo na prafaktorje: 24 = 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 = 23 ¡ 3 36 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 3 = 22 ¡ 32 Ker je najmanjťi skupni veËkratnik ťtevil 24 in 36 deljiv s ťteviloma 24 in 36, zapiťemo produkt vseh tistih prafaktorjev, ki se pojavijo v razcepu prvega ali drugega ťtevila. Izmed prafaktorjev z enako osnovo in razliËno stopnjo uporabimo prafaktorje z najveËjo stopnjo. v(24,36) = 23 ¡ 32 = 8 ¡ 9 = 72

b) 54 = 2 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 3 = 2 ¡ 33 90 = 2 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 5 = 2 ¡ 32 ¡ 5 v(54,90) = 2 ¡ 33 ¡ 5 = 2 ¡ 27 ¡ 5 = 270

POMNI Najmanjťi skupni veËkratnik doloËimo tako, da pomnoÌimo vse razliËne prafaktorje iz obeh razcepov. e imajo prafaktorji enake osnove, izberemo tistega z najveËjim eksponentom.

MoĂŚnih je 50

NALOGE ZA VAJO

ZMOREM TUDI TO

í˘ą DoloĂ‹i skupne veĂ‹kratnike in najmanjĹĄi skupni veĂ‹kratnik ĹĄtevil tako, da najprej zapiĹĄeĹĄ mnoĂŚico veĂ‹kratnikov vsakega ĹĄtevila. a) 8 in 9 b) 6 in 18 c) 12 in 15 Ă‹) 18, 36 in 24

� Število strani knjige, ki jo mora Špela prebrati za domaËe branje, je veËkratnik ťtevila 16 in je veËje od 195 in manjťe od 215. Koliko strani mora Špela prebrati za domaËe branje?

í˘˛ PrepiĹĄi v zvezek in na pamet izraĂ‹unaj. a) v(6,4) b) v(10,8) c) v(7,5) Ă‹) v(3,21) d) v(19,30) e) v(4,6,8) f) v(5,8,20) g) v(13,9) h) v(80,60)

ě?ˆ Na trdnjavo vodi 450 stopnic. Špela se odloĂ‹i, da bo poĂ‹ivala na vsaki trideseti stopnici, Rok pa na vsaki petinsedemdeseti stopnici. Rok bo Špeli na vsaki stopnici, kjer bosta poĂ‹ivala oba, pustil bonbon.

Koliko bonbonov na poti do trdnjave Ëaka Špelo?

í˘ł Izberi po tri take dvojice ĹĄtevil, da je: a) v(a,b) = 18 b) v(x,y) = 42 í˘´ DoloĂ‹i najmanjĹĄi skupni veĂ‹kratnik ĹĄtevil (lahko tudi z razcepom na prafaktorje). a) 45 in 60 b) 9, 16 in 48 c) 250 in 300 Ă‹) 15 in 70 í˘ľ Katero ĹĄtevilo je najmanjĹĄi skupni veĂ‹kratnik dveh tujih si ĹĄtevil? Zakaj? í˘ś V ĹĄkatli je veĂ‹ kot 38 in manj kot 51 Ă‹okoladnih bonbonov. Vemo, da jih je moĂŚno razdeliti na enake dele trem ali petim ljudem. Koliko bonbonov je v ĹĄkatli? í˘ˇ Otroci so izdelovali peĹĄĂ‹ene ure. Rokova se izteĂ‹e po 21 sekundah, Špelina pa po 35 sekundah. Kdaj se izteĂ‹eta obe hkrati, Ă‹e ju prviĂ‹ obrnemo soĂ‹asno, potem pa vsako takoj, ko se izteĂ‹e? Kolikokrat se v tem Ă‹asu izteĂ‹e Rokova ura in kolikokrat Špelina? í˘¸ V motorju sta dve zobati kolesi. Prvo ima 56 zob, drugo pa 42 zob. Kolikokrat se mora zavrteti vsako kolo, da se sreĂ‹ajo isti zobje? í˘š Ob cesti so na eni strani posajena drevesa v razdaljah po 12 m, na drugi strani pa stojijo stebriĂ‹ki v razmikih po 10 m. Na zaĂ‹etku sta prvo drevo in prvi kamen poravnana.

GrafiËno doloËi, kdaj se obe znamenji ob cesti ujemata (1 m v naravi = 1 mm na sliki).

ě?‰ PoiĹĄĂ‹i naravno ĹĄtevilo n, za katero velja D(n,24) = n, in naravno ĹĄtevilo m, za katero velja v(14,m) = 84. ZapiĹĄi vse korake sklepanja. ě”ˆ V cvetliĂ‹arni imajo na zalogi 370 gerber, 148 nageljnov in 222 vejic zelenja. Iz vsega cvetja in zelenja ĂŚelijo narediti najveĂ‹je moĂŚno ĹĄtevilo ĹĄopkov, ki bodo vsebovali enako ĹĄtevilo gerber, enako ĹĄtevilo nageljnov in enako ĹĄtevilo vejic zelenja.

Kako je sestavljen ĹĄopek?

2T

3T 8T 6T

4T

6T

toËk.

í˘ą Dana so ĹĄtevila 17, 12, 1, 18, 5, 24, 53, 8, 61 in 68. a) PoiĹĄĂ‹i najveĂ‹je praĹĄtevilo. b) PoiĹĄĂ‹i najmanjĹĄe sestavljeno ĹĄtevilo. í˘˛ Razcepi na prafaktorje ĹĄtevilo 266. í˘ł ZapiĹĄi D40, D48, D40 ĺ‚˝ D48 in D(40, 48). í˘´ DoloĂ‹i na pamet. a) v(3,7) b) D(60,75)

c) v(5,10)

Ă‹) v(8,12)

d) D(56,63)

e) D(6,11)

í˘ľ OznaĂ‹i pravilne izjave. a) Število, ki ima veĂ‹ kot dva delitelja, je praĹĄtevilo. b) Med prvimi devetimi naravnimi ĹĄtevili je ĹĄtevilo praĹĄtevil enako ĹĄtevilu sestavljenih ĹĄtevil. c) Vsako praĹĄtevilo je deljivo z 1. Ă‹) Nobeno praĹĄtevilo ni veĂ‹kratnik ĹĄtevila 5. í˘ś ZapiĹĄi. a) PraĹĄtevila med 1 in 10. b) Sestavljena ĹĄtevila med 1 in 10. c) Dvojice tujih si ĹĄtevil med 1 in 10.

4T

í˘ˇ a) Pojasni, kateri Ď€tevili sta si tuji. b) Dopolni. NajmanjĎ€e Ď€tevilo, ki je hkrati deljivo z dvema danima Ď€teviloma je _______.

6T

í˘¸ OznaĂ‹i pravilne razcepe na prafaktorje. Nepravilne popravi. a) 24 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 3 b) 60 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 c) 1000 = 23 ¡ 53 Ă‹) 176 = 24 ¡ 13

6T

í˘š Štiri kose blaga z dolĂŚinami 35 m, 42 m, 14 m, 56 m Ĺželimo razrezati na Ă‹im daljĹĄe enako dolge kose. Koliko kosov blaga bomo dobili in kolikĹĄna je dolĂŚina enega kosa?

5T

ě?… Tri dekleta prihajajo brat revije v isto knjiĂŚnico. Prva prihaja vsak Ă‹etrti dan, druga vsak osmi dan, tretja vsak deseti dan. 29. avgusta so brale revije v knjiĂŚnici vse tri hkrati.

Katerega dne se bodo naslednjiË vse v knjiÌnici isti dan?

Špela blesti 45—50

Špela je na poti k vrhu 40—44

Špela je na dobri poti 32—39

Špela dodatno trenira 25—31

Špela iťËe pomoË (manj kot 25 toËk)

7

POSODOBLJENA IZDAJA

DELOVNI ZVEZEK

20

VANJE JE IN ODŠTEIM N A V E VALCI T Š E S .1 I 3 AKIM ENO N E Z V O K M O UL í˘ą Z risanjem poskuĹĄaj poiskati pravilo za seĹĄtevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

V zadnjem kvadratu pobarvaj toliko polj, kot jih je skupaj pobarvanih v prvem in drugem kvadratu.

+

1 4

=

1 4

2 4

+

=

2 4

Pod zadnji kvadrat zapiĹĄi ustrezen ulomek in na desni ĹĄe vsoto ulomkov. Kaj opaziĹĄ?

í˘˛ Na podoben naĂ‹in reĹĄi spodnja raĂ‹una. Pravilnost rezultata preveri ĹĄe z risanjem.

1 + 9 = 12 12

+

=

15 + 1 = 8 8

+

=

Avtorji: JoĹže Berk, Jana Draksler in Marijana arijana RobiÄ?

Delovni zvezek postavlja v ospredje predvsem problemska znanja. UÄ?ence spodbuja in vodi, da sistematiÄ?no iĹĄÄ?ejo potrebne podatke, jih analizirajo in kritiÄ?no ocenjujejo. Hkrati pa jih navaja na samostojno in kreativno delo, spodbuja njihovo inovativnost, jih uÄ?i uporabljati nauÄ?eno znanje v novih in konkretnih situacijah. Pogosto ponuja in spodbuja nevsakdanje poti do reĹĄitve – od lepljenja, izrezovanja, do risanja, pregibanja ipd. UÄ?enci se uÄ?ijo postavljanja hipotez, pravilnost svojih zakljuÄ?kov pa lahko preverijo v uÄ?beniku ali reĹĄitvah, ki so na koncu delovnega zvezka.

í˘ł PoskuĹĄaj poiskati ĹĄe pravilo za odĹĄtevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

V kvadratu z navadnim svinËnikom pobarvaj tri polja, nato pa eno od pobarvanih polj zradiraj.

To kar si pravkar naredil z risanjem zapiťi ťe z raËunom odťtevanja.

3 4

1 4

−

= Preveri ugotovitve!

UBENIK — str. 48

ZapiĹĄi pravilo za seĹĄtevanje in odĹĄtevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Ulomke z enakimi imenovalci seĹĄtevamo tako, da ___________________

UGOTOVITEV

___________________________________________________________ .

Ulomke z enakimi imenovalci odĹĄtevamo tako, da ___________________

Naloge so razvrĹĄÄ?ene po teĹžavnosti od laĹžjih k teĹžjim, tako da lahko uÄ?enci nova znanja vseskozi nadgrajujejo.

Dodane so tudi naloge za matematiÄ?no zahtevnejĹĄe uÄ?ence, tako da je omogoÄ?eno vsem, da svoje sposobnosti kar najbolj razvijajo. Na koncu vsakega poglavja je ĹĄe kratko preverjanje znanja, ki je opremljeno s toÄ?kovnikom.

___________________________________________________________ .

SStrani v delovnem zvezku so pe perforirane, zato jih je mogoÄ?e up uporabiti tudi kot delovne liste.

Dosedanja izdaja Skrivnosti ĹĄtevil in oblik 7 bo ĹĄe vedno na voljo.

V skrbi za teĹžo ĹĄolskih torbic je delovni zvezek izdan v dveh delih.

110

7.8 KROŽNICA IN PREMICA 1. Ugotovi, ali so narisane premice sekante, tangente ali mimobeŞnice.

6.3 PROSTORNINA

KROŽNICA IN PREMICA 4. V toËkah A in B nariťi tangenti na kroŞnico. Izmeri velikost kota, ki ga oklepata tangenti.

1. Ugotovi, koliko gradnikov moraĹĄ dodati telesoma, da bosta enaka kvadru na levi.

h

a)

k

ROK SE SEDMIÂť

PROSTORNINA 3. Zapisane enote pravilno vpiĹĄi v preglednico in jih izrazi ĹĄe z decimalnim ĹĄtevilom z zahtevano enoto na skrajni desni.

b)

h: p

A

B

v:

m3 m3

7 dm3 82 cm3

dm3

45 m3 15 cm3

dm3

í˘¸ Alja je v reviji naĎ€la sliko novoletnih okraskov.

5. Nariťi kroŞnico s srediťËem v toËki T in polmerom 1,5 cm tako, da bo premica t njena tangenta. RazloŞi, kje mora biti srediťËe kroŞnice.

a) Koliko cm2 meri ploπËina takπnega okraska?

4. KoliËinam iz prvega stolpca poiťËi ustrezne pretvorbe iz drugega stolpca.

t

2. Koliko gradnikov moraĹĄ ĹĄe dodati, da bo nastala kocka? a)

3,5 l

b) Koliko cm2 papirja odpade, Ă‹e vsak okrasek izreĂŚemo iz kvadrata s stranico 8 cm?

350 cl

b)

Pojasnilo:

°

m3

512 dm3 Velikost kota:

u:

2. Nariťi kroŞnico s srediťËem v toËki A in polmerom 2 cm ter na njej izberi toËko M. V toËki M nariťi tangento na kroŞnico. Nariťi sekanto, ki poteka skozi toËko M.

m3

3 m3 2 dm3

S

r:

l

cm3

3 m3 12 dm3

p: v

dm3

3 m3 512 dm3

l:

u

S

m3

k:

r

PREVERI

í˘ˇ Kuharjevi imajo mizo v obliki romba. Pri Ď€ivilji so naroĂ‹ili prt v obliki romba z diagonalama 12 dm in 3 m. Koliko metrov obrobnega traku potrebuje Ď€ivilja, da prt obrobi, Ă‹e meri razdalja med nasprotnima stranicama 9 dm?

A

3,5 m3

35 dl

3,5 dl

3500 l

c) Koliko takπnih okraskov lahko izdela iz barvastega papirja formata A4, Ëe iz celega lista najprej izreÌe kvadratke?

8 cm 3,5 dm

3

0,35 l

3,5 hl

3. Nariťi kroŞnico s srediťËem v toËki S tako, da bo premica r njena tangenta.

í˘š Neurje je poĎ€kodovalo steno hiĎ€e, zato so jo obnovili in prebarvali z zeleno barvo.

350 l

2m

6. Nariťi kroŞnico s srediťËem v toËki M in polmerom 2 cm tako, da bo premica m njena mimobeŞnica. RazloŞi, kje mora biti srediťËe kroŞnice.

2m

2m 5. Pretvori v zahtevane koliËine.

m

a) 0,45 m3 =

dm3 =

cm3

b) 800 000 cm3 =

dm3 =

m3

c) 15 dm3 =

cm3 =

mm3

Ă‹) 50 hl =

l=

dl

3m r °S

Pojasnilo:

11m a) Koliko kvadratnih metrov so prebarvali, Ëe za okna in vrata odπtejemo 5,4 m2? b) Koliko kg barve potrebujejo, Ëe 1 kg zadostuje za 3 m2 ? c) Barvo lahko kupimo samo v posodah po 1kg ali 5 kg. Koliko kg barve moramo kupiti?

148

149

126

127 Ali je ostalo kaj barve?

6. razred 6 8

SSIO 6 DZ 2 del 03.indd 126

3/19/07 1:13:40 PM

SSIO 6 DZ 2 del 03.indd 127

6. razred 6

3/19/07 1:13:41 PM

Priloge PRILOGE PRILOGE

PRILOGA 13

PRILOGE

PRILOGA 14

PRILOGA 8

PRILOGA 9

PRILOGA 10

4

21

PRILOGA 7

25 2

PRILOGA 4 48 6

PRILOGA 3

PRILOGA 15 a

b

a

b

a

42 8

b

11 3

JE ULOMKOV 3.2 SEŠTEVAN

63 7

c

b

6

12 21

23 4

4 28

b

1 4

= ?

a

b

c

a

c

+

=

133

37 9

7 53

3 23

PRILOGA 12

5 43

PRILOGA 11 8

+

a

c

10

c

í˘ą PoskuĹĄaj ugotoviti, kako seĹĄtevamo poljubne ulomke.

Preden seπtevamo ulomke z razliËimi umenovalci, jih razťirimo na skupni imenovalec. Naredi to za spodnji primer in preveri z risanjem.

1 2

c

131

Delovni zvezki vsebujejo razliÄ?ne priloge za izrezovanje in lepljenje, ki omogoÄ?ajo laĹžje razumevanje in reĹĄevanje posameznih nalog ter predstavljajo dodatno zabavo za uÄ?ence.

?

PriloĹžene so tudi kartonske pole z evri, uporabne pri nalogah, povezanih z denarjem. +

=

+

=

Iz recenzij

Preveri ugotovitve!

ZapiĹĄi kratko navodilo, kako seĹĄtevati pojubne ulomke.

UBENIK — str. 48

1. korak:

UÄ?encem je delovni zvezek blizu, ker buri njihovo ustvarjalnost. Naloge so zelo raznolike, veliko je naÄ?rtovanja, barvanja, izrezovanja, skratka takega dela, ki omogoÄ?a otrokom, da uporabijo vse svoje spretnosti. Prav s pomoÄ?jo tega delovnega zvezka lahko otroci ugotovijo, da matematika ni samo raÄ?unanje, ampak je lahko zelo pestra, celo zabavna, metode in oblike dela pa zelo raznolike.

Ema Maver, profesorica matematike na Osnovni ĹĄoli Fram, Fram

2. korak:

í˘˛ Na podoben naĂ‹in reĹĄi spodnje naloge. Rezultat preveri raĂ‹unsko oziroma z risanjem.

3+1= 6 4

+

=

+

=

1

3+

=

+ =

+ =

+ =

+

+ =

Delovni zvezek res dopolnjuje uÄ?benik. UÄ?enci bodo lahko uspeĹĄni pri reĹĄevanju nalog in bodo s samostojnim uÄ?enjem pridobili marsikaj koristnega. Je tako bogat z nalogami, da bo vsak uÄ?enec lahko reĹĄil kopico njemu primernih nalog. Za uÄ?ence so primerne zlasti naloge za preverjanje razumevanja in urjenje pri reĹĄevanju ĹĄtevilskih izrazov.

UÄ?itelj ima na razpolago dovolj razliÄ?nih tipov nalog, da si z njimi pomaga pri izpeljavi ure.

Karmen Ĺ turm, profesorica matematike na Osnovni ĹĄoli Majde Vrhovnik, Ljubljana

=

7. razred 7

111

ROK SE SEDMIÂť

PREVERI

S

KROGI IN DELI KROGA

� NaËrtaj enakokraki trikotnik, Ëe merita osnovnica c = 3 cm in krak a = 7 cm. Ali ga lahko razcepiπ v πtiri skladne enakokrake trikotnike? (Nariπi, Ëe je mogoËe.)

Dopolni in oznaËi risbo, tako da boπ prikazal vse pojme, ki so zapisani v desnem stolpcu z rdeËo barvo.

MatematiËna risba

Definicije in pojmi KroÌnica (k) je mnoÌica vseh toËk ravnine, ki so od izbrane toËke S te ravnine oddaljene za toËno doloËeno razdaljo r.

Polmer kroÌnice (r — radij) imenujemo razdaljo r.

Obseg kroga je dolĂŚina kroĂŚnice.

4.8 PROSTORNINA PIRAMIDE

OBSEG KROGA 1. im bolj natanËno izmeri premer in obseg kroga ter ugotovi morebitno medsebojno odvisnost.

Kaj ugotoviπ?

a) Pripravi dve posodi, prvo oblike pravilne 4-strane piramide in drugo oblike pravilne 4-strane prizme, in sicer tako, da imata obe enako veliko osnovno ploskev in sta enako visoki. Posodi lahko izdelaπ tudi sam iz plastificiranega papirja, ki ga po robovih zalepiπ z lepilnim trakom. Še bolj preprosto je, Ëe vzameπ lepenko in jo z notranje strani prelepiπ z lepilnim trakom.

a) Doma poiπËi tri predmete okrogle oblike. S pomoËjo ravnila izmeri premer kroga na teh predmetih in s pomoËjo nitke in ravnila πe obseg istih krogov. Meritve zapisuj v preglednico in izraËunaj koliËnik med obsegom in premerom kroga. Pri izraËunavanju si lahko pomagaπ s kalkulatorjem in rezultat zaokroÌiπ na tri decimalna mesta. b) V preglednici so Ìe napisani trije primeri, kjer ti ni treba izvajati meritev, izraËunati moraπ le πe koliËnik v Ëetrtem stolpcu.

Krog (K) je mnoÌica vseh toËk ravnine, ki so od izbrane toËke S te ravnine oddaljene kveËjemu za neko doloËeno razdaljo r.

SrediπËe kroga imenujemo izbrano toËko S.

1. Špela je izdelala valjasti del AljaÌevega stolpa, Rokova naloga pa je bila izdelati koniËasto streho stolpa, ki jo bosta pritrdila na spodnji del. a) Iz lista papirja formata A4 izdelaj valjasto cev in jo zapri s pokrovoma podobno kot pri vaji 4.3.

v v a a

a a

b) Preden izvedeπ eksperiment, oceni, kolikokrat moraπ vodo iz piramidne posode preliti v prizmo, da jo napolniπ do roba.

RaËuni: predmet

premer 2r

konzerva MimobeÌnica (m) je premica, ki s kroÌnico nima nobene skupne toËke.

4.9 ALJAÆEV STOLP DRUGI

1. Naredi poskus, pri katerem primerjaπ prostornino piramide s prostornino ustrezne prizme.

7 cm

obseg o

koliËnik o : 2r

c) Posodo, ki ima obliko piramide, napolni z vodo do vrha in jo prelij v prizmo. Postopek ponavljaj, dokler prizme na napolniπ.

b) Na drug list papirja nariπi krog, ki je enako velik kot osnovna ploskev valja.

To bo osnovna ploskev stoÌca, ki predstavlja streho AljaÌevega stolpa. c) IzraËunaj polmer narisanega kroga in preveri rezultat z merjenjem.

Podatki: o = 29,7 cm π = 3,14

RaËun:

r=?

22 cm

kroĂŚnik

10,5 cm

33 cm

pokrov

16,8 cm

52,8 cm

2. Na zgornji fotografiji izmeri dimenzije AljaĂŚevega stolpa.

2. Svoje ugotovitve primerjaj s tem, kar Ìe veπ o prostorninah oglatih teles.

premer stolpa

viπina stolpa

razmerje med premerom in viπino

a) Za koliko se tvoja napoved razlikuje od meritve?

Tangenta (t) je premica, ki se kroÌnice dotika in ima torej s krogom eno skupno toËko. Tangenta je pravokotna na polmer, ki ima eno krajiπËe v dotikaliπËu tangente.

b) Zapiπi ustrezni obrazec za prostornino prizme, ki ima osnovno ploskev O in viπino v.

Ugotovitev

ě?ˆ Kateri izmed obarvanih likov ima veĂ‹jo ploπËino?

Odgovor utemelji.

D

� Ali sta narisana lika ploπËinsko enaka?

Poskusi prvi lik ploπËinsko preoblikovati v drugega.

H

C

G

B

Sekanta (s) je premica, ki ima s kroÌnico dve skupni toËki.

Tetiva je daljica, ki povezuje dve toËki kroÌnice — toËki, ki sta preseËiπËe sekante s kroÌnico.

3. StoÌec za streho stolpa mora imeti takπne mere, da se bo prilegal spodnjemu delu in bo hkrati njegova viπina v pravem razmerju z drugimi merami stolpa (viπino spodnjega dela in premerom). a) S pomoËjo sorazmerja in podatkov s fotografije izraËunaj, kolikπna bi morala biti viπina Rokovega stoÌca za streho stolpa, da bo izdelana maketa ustrezala pravemu stolpu.

b) Na skici oznaËi pravkar izraËunane mere makete AljaÌevega stolpa.

c) Prostornino prizme oznaËi z Vpr, prostornino piramide pa z Vpi. Zapiπi razmerje med obema prostorninama, Ëe imata telesi enako osnovno ploskev in viπino.

Svojo ugotovitev primerjaj s tisto, ki jo najdeπ v uËbeniku na strani 191. e je potrebno, svoj zapis ustrezno dopolni oziroma popravi.

2. Razmisli, kako bi doloËil obseg kroga, Ëe bi poznal njegov premer?

T

E

A

KroÌni lok (l) je del kroÌnice med dvema toËkama kroÌnice.

SrediπËni kot (F) je kot, ki ima vrh v srediπËu kroga, kraka pa sta poltraka, ki potekata iz srediπËa skozi poljubni toËki na kroÌnici.

F

KroÌni izsek je del kroga, ki ga doloËa srediπËni kot. Pravimo tudi, da je izsek del mnoÌice toËk kroga omejenih s polmeroma in pripadajoËim lokom.

Ë) Na podlagi obrazcev v nalogi b in c zapiπi obrazec za prostornino piramide.

4. Za izdelavo strehe moraπ poznati dolÌino stranskega roba stoÌca. IzraËunaj ga s Pitagorovim izrekom.

Zapiπi obrazec, s katerim bi raËunal. v

Utemeljitev:

s r

112

7. razred 7

Svojo ugotovitev primerjaj s tisto, ki jo najdeπ v uËbeniku na strani 191. e je potrebno, svoj zapis ustrezno dopolni oziroma popravi.

8. razred 8

Preveri svoje ugotovitve in zapisani obrazec za prostornino piramide po potrebi popravi oziroma dopolni.

113

102

UB — pog. 4.5

103

9. razred 9 9

DODATNO GRADIVO

Zbirka nalog Avtorice: Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan

Zbirke, razen za 6. razred, so zasnovane posebej za nivojski pouk, zato so vse naloge v njih razvrščene na tri zahtevnostne ravni. Vsako poglavje se začne z zgledi, ki so skupni vsem ravnem, zatem se gradivo razdeli na tri ravni. Znotraj vsake ravni so naloge razvrščene po tipu v sklope vaje, vprašanja in pari. Izbor nalog je na vsaki ravni drugačen, da bi količina nalog in stopnjevanje težavnosti čim bolj ustrezala zahtevnosti posamezne ravni.

Za prehodnost med nivoji je poskrbljeno s kratkimi preverjanji Koliko znam?, ki napotijo učenca na raven, primerno njegovemu znanju in sposobnostim. Na koncu vsake ravni so rešitve vseh nalog.

Zasnov posebe ano j nivojsk za i pouk

Naloge, ki ne zahtevajo le minimalnega standarda znanja, imajo tudi namige za pot do rešitve, zahtevnejše naloge pa imajo celotno rešitev, kar omogoča učencem samostojno uporabo zbirke vaj.

Zbirka zgledov Avtorice: Tanja Končan, Vilma Moderc in Rozalija Strojan

Razredi 6–7 (1. del) in 8–9 (2. del) Zbirka rešenih nalog je namenjena učencem, ne glede na to, kateri učbeniški komplet uporabljajo pri pouku. Pripravljena je zlasti kot pomoč pri pripravi na nacionalno preverjanje znanja, saj zajema vso najpomembnejšo snov iz programa osnovnošolske matematike.

Skozi rešene naloge se učencem predstavijo vsi učni cilji matematike od šestega do devetega razreda. Na ta način se bodo srečali z matematičnimi zakonitostmi in se seznanili z najpomembnejšimi pravili in postopki.

138

7. RAZRED PRESLIKAVE 5.

50

8. RAZRED KOORDINATNI SISTEM, ODSTOTKI IN SORAZMERJA

Dana je premica p in na njej toËka A. Na premici p nariši toËki, ki sta od dane toËke A oddaljeni 1,4 cm in usmeri premico.

B p A A usmerjena premica

Pojasnilo: ©estilo postavimo v toËko A in odmerimo 1,4 cm. Dobimo toËki T1 in T2, ki ležita na razliËnih straneh toËke A. Premico p lahko usmerimo na dva naËina.

T2 1. ToËka T1 leži pred toËko A, toËka T2 pa leži za toËko A. A T1 V tem primeru narišemo pušËico tako, da je premica p usmerjena od toËke T1 proti A. T2 2. ToËka T1 leži za toËko A, toËka T2 pa leži pred toËko A. A V tem primeru narišemo pušËico tako, da je T1 premica p usmerjena od toËke T2 proti toËki A. 6.

S

A

P

R

7.

P'

R' R'

S

ϕ

ϕ

P'

P R

R

Pojasnilo: a) To je vzporedni premik trikotnika PRS za dolžino daljice AB v dani smeri. Vidimo, da je vsaka toËka trikotnika premaknjena za dolæino daljice v smeri puπËice. b) To je zasuk trikotnika PRS okoli toËke S za kot ϕ v dani smeri. Vidimo, da je vsaka toËka trikotnika zasukana za kot ϕ okrog toËke S v dani smeri.

1. del – 6. in 7. razred

10

3

4

5

6

πtevilo pik na spodnji ploskvi (y)

6

5

4

3

2

1

zapis odnosa med spremenljivkama z enaËbo x+y=7

Odnos med spremenljivkama x in y lahko opiπemo z razpredelnico, z enaËbo ali grafiËno.

118

9. RAZRED ENA»BE 16. Kolesarja se istoËasno napotita drug proti drugemu iz 63 km oddaljenih krajev. Prvi kolesar vozi s povpreËno hitrostjo 15 km/h, drugi pa vozi s povpreËno hitrostjo 20 km/h. »ez koliko Ëasa in kje se bosta sreËala?

Pojasnilo: 1. Pozorno preberemo besedilo.

15 km/h 20 km/h Naredimo skico.

Ura v enem dnevu zaostane za 1 minuto 30 sekund. Koliko bi ura zaostala v treh dneh, enem tednu in enem mesecu (30 dni), Ëe bi tekla ves Ëas enakomerno?

Pojasnilo: V nalogi nastopata dve koliËini: πtevilo dni, v katerih opazujemo zaostanke, in zaostanek ure na dan, izraæen v minutah. Sklepamo, da sta ti dve koliËini odvisni med seboj, kajti veË dni ko opazujemo, veËji zaostanek bo imela ura. V treh dneh bo zaostanek trikrat veËji, v sedmih dneh sedemkrat veËji in v enem mesecu 30-krat veËji kot v enem dnevu. ©tevilo dni in Ëas zaostanka ure sta odvisni spremenljivki.

Odvisnost med πtevilom dni opazovanja zaostanka in Ëasom zaostanka lahko prikaæemo na veË naËinov:

63 km

Na skici oznaËimo smeri gibanja obeh kolesarjev in razdaljo, ki jo prevozita.

2. Za neznanko izberemo najprimernejπo koliËino.

3. Neznanko in znane koliËine poveæemo v πtevilske izraze, kot zahteva besedilo naloge, in naredimo razpredelnico.

B

R

b) S

P

2

Zvezo med spremenljivkama opiπemo z besedami: Ëe se spremenljivka x veËa, se spremenljivka y manjπa, kajti le tako lahko ostane njuna vsota nespremenjena. Z izbiro spremenljivke x je doloËena vrednost spremenljivke y, zato pravimo spremenljivki x neodvisna spremenljivka, spremenljivki y pa odvisna spremenljivka.

S'

a)

P

1

Ker se πtevilo pik na zgornji in spodnji ploskvi spreminja, govorimo o dveh spremenljivkah. »e πtevilo pik na zgornji ploskvi oznaËimo z x in πtevilo pik na spodnji ploskvi z y, zvezo med spremenljivkama zapiπemo z enaËbo x + y = 7.

Oglej si spodnji sliki in povej katero preslikavo prikazujeta.

S

πtevilo pik na zgornji ploskvi (x)

4. Sestavimo enaËbo.

5. EnaËbo reπimo.

Ker ne vemo, koliko Ëasa vozita do sreËanja, oznaËimo ta Ëas z neznanko x v urah. hitrost (km/h)

prevoæena pot v x urah (km)

1. kolesar

15

15x

2. kolesar

20

20x

V trenutku, ko se sreËata, sta skupaj prevozila celotno pot, to je 63 km. Prvi kolesar naredi vsako uro 15 km, v x urah naredi (15 · x) km. Drugi pa na uro prevozi 20 km in v Ëasu x naredi (20 · x) km. Ker sta na pot krenila istoËasno, sta do sreËanja oba vozila enako dolgo. Skupna prevoæena pot je 63 km. Iz tega sestavimo enaËbo: 15x + 20x = 63 35x = 63 / : 35 63 9 4 x = = = 1 35 5 5 48 ure = 1 ura 48 minut x = 1

60 SreËala se bosta Ëez 1 uro in 48 minut.

6. Naredimo preizkus, da preverimo, ali reπitev ustreza besedilu.

Sedaj izraËunamo, koliko kilometrov je naredil vsak od njiju.

4 4 Prvi kolesar je prevozil 1 · 15 = 27 km, drugi pa 1 · 20 = 36 km.

5 5 PrepriËamo se, da je vsota 27 km + 36 km enaka 63 km, kolikor znaπa oddaljenost med krajema.

7. Zapiπemo odgovor.

Kolesarja se bosta sreËala Ëez 1 uro in 48 min. V tem Ëasu je prvi kolesar prevozil 27 km, drugi pa 36 km.

2. del – 8. in 9. razred

ZNANJE NAS DELA VELIKE Založba Rokus Klett, d.o.o.

Stegne 9 b, 1000 Ljubljana Telefon: 01 513 46 00 Telefaks: 01 513 46 99 Brezplačni telefon: 080 1990 www.rokus-klett.si www.devetletka.net www.praktik.org www.knjigarna.com

Zastopniki Založbe Rokus Klett

Ljubljana z okolico, Gorenjska in Notranjska

Naročila in informacije Telefon: 01 513 46 45, 01 513 46 46, 01 513 46 47 Brezplačni telefon za naročila: 080 19 22 Telefaks: 01 513 46 79 E-pošta: narocila@rokus-klett.si

Marinka Velikanje GSM: 031/725 534 E-pošta: marinka.velikanje@rokus-klett.si

Prodaja vodja prodaje Matic Karlovšek, tel.: 01 513 46 71, matic.karlovsek@rokus-klett.si Prekmurje in Maribor koordinatorka za prodajo Nika Mikyška, tel.: 01 513 46 73, nika.mikyska@rokus-klett.si

Slavica Bela GSM: 031/622 751 E-pošta: slavica.bela@rokus-klett.si

referentka za podporo kupcem Renata Odlazek, tel.: 01 513 46 46, renata.odlazek@rokus-klett.si

Skladišče vodja skladišča Tomaž Vagaja, tel.: 01 513 46 91, tomaz.vagaja@rokus-klett.si

Celje z okolico, Koroška in Zasavje Marko Hanuš GSM: 041/426 627 E-pošta: marko.hanus@rokus-klett.si

Uredništvo Telefon: 01 513 46 10 Telefaks: 01 513 46 99

Raziskave in razvoj Telefon: 01 513 46 31 Telefaks: 01 513 46 99

Bela krajina in Dolenjska Ksenija Šimnovec GSM: 031/649 783 E-pošta: ksenija.simnovec@rokus-klett.si

Promocije Telefon: 01 513 46 40 Telefaks: 01 513 46 99

Primorska Miran Domajnko GSM: 041/734 603 E-pošta: miran.domajnko@rokus-klett.si

Založba Rokus Klett

www.devetletka.net/katalogi

Ta katalog je objavljen na spletni strani www.devetletka.net/katalogi.

DN090112

Če želite tiskano različico kataloga, nam to sporočite na telefonsko števiko 01 513 46 40 (ga. Teja Jesenko) ali nam pišite na naslov seminarji@rokus-klett.si.

PRIPOROÄŒAMO ÄŒAMO ZBIRKA

NALOG

ZA ZA

MMAATTEE MMAATTIK IKAA

KLJUÄŒN

O PREV

ERJANJ Jana

MATEMATIKA Tanja KonÄ?an, Vilma Moderc, Rozalija Strojan

RRAZLAGE IN

JĹ E OCENE

9+

janje znanja

IN VAJE ZA

RAZLAGE

9

RAZREDU

Vilma Moderc,

Rozalija Strojan

ovan i preas

ZZV6_

9PLU S.indd

Tanja

V DEVETEM

Tanja KonÄ?an,

strani

ala spro bolje ti prie znan ja ole.

6

U RED RAZ Strojan TEM Rozalija Ĺ ESVilma Moderc in NE VKonÄ?an,

BOLJĹ E OCE

EUR

izboljljĹĄ ĹĄaajj uuÄ? ni uspe h ppri rippr pra ravvii se nna pre izkus uÄ?i see e l je laĹž in hit h rej e utrdi naauuuÄ?Ä?e ennoo prido pri dobi no ovva va zna nja nnauÄ? u i se breeezz br inĹĄtru kcij

SAMO

6,85 6 ,85 5 EUR

MATEMATIK6,85 A

u se laĹžj uÄ?i laĹžjee in hitreje

SAMO

RAZLAG AGE IN

uÄ?e Ä?eeno Ä?eno utrdi nauÄ?eno

# $

ovva znanja zn pridobi nova

6,8 05 0C4<0C8:

<

14

094 I0 # 8

ç=4 E <0C4<0C8

EUR3

= $ A0IA4

h

uÄ?ni uspe

izboljĹĄaj

pripravi se IKA 6 ocene v ĹĄestem

sov

Ĺ E OCENE V

EUR

7

jĹĄaj uÄ?ni uspe SEDMEMizbol RAZREDU h Vilma Moderc, Rozalija

Tanja KonÄ?an,

Razlage in vaje za boljĹĄe ocene v osnovni ĹĄoli Ra Zb Zbirka Znam za veÄ? je narejena po uÄ?nem naÄ?rtu in je namenjena izboljĹĄanju uÄ?nega uspeha, pripravi na preizkuse, utrjevanju znanja ter laĹžjemu in hitrejĹĄemu uÄ?enju.

5/22/0

8 2

8 PM

Strojan pripravi se na preizkuse

uÄ?i se laĹžje

in hitreje

utrdi nauÄ?

eno

na preizkuse

pridobi nova

in hitreje

nauÄ?i se brez

uÄ?i se laĹžje

razredu

og â&#x20AC;˘ 10 preizku

VAJE ZA BOLJ

X] nauÄ?i se brezez inĹĄtrukc inĹĄtrukcij nĹĄtrukcijij

SAMO

S.indd

N NOVO! Znam za veÄ? â&#x20AC;&#x201C; Matematika Z

6,85

15

p pripravi see na preizkuse i k see izkuse

VSE ZZV6_9PLU

9+

JA

ana Robi

SAMO

i ljĹĄaj uÄ?ni izboljĹĄaj uÄ? uspeh us

ndd 13

Marj

MATEMATIK A

VAJ KA E ZA BOL kusi!

VSE

E ZNAN

Ä?

og â&#x20AC;˘ 64

KA MATEMATI

Drak

sler in

8

RAZLAGE IN VAJE ZA BOLJĹ E OCENE V OSMEM RAZREDU

znanja inĹĄtrukcij

eno

utrdi nauÄ?

JU:

ja bi nova znan

o n naÄ?in prikaĹžejnalog. ajbolj pogostih

nauÄ?i se

Zgradba posameznih poglavij temelji na preizkuĹĄenem pristopu k samostojnemu uÄ?enju: novo snov predstavljajo zgledi in nazorne razlage z napotki za hitro uÄ?enje, sledijo vaje z reĹĄitvami, ki omogoÄ?ajo uÄ?inkovito utrjevanje, ter toÄ?kovan preizkus na koncu poglavja, ki pokaĹže doseĹženi napredek.

5/22

prido je

laĹžje reĹĄevan potki za naÄ?eni.

ukcij

brez inĹĄtr

so izjemno uÄ?ne cilje, zahtevnosti. nih stopenj si znanja, s preizku o preveriĹĄ nih nalog. ĹĄitve posamez

PM

2:35:44

5/22/08

SAMO

6,85 EUR

izboljĹĄaj uÄ?ni pripravi se

B0<>

% '$

uÄ?i se laĹžje

4DA

utrdi nauÄ?e

VSE ZZV6_9PLU

S.indd

uspeh

na preizkuse

in hitreje

no

12

pridobi nova nauÄ?i se brez

znanja inĹĄtrukcij

'$ 4DA

5/22/08

2:35:47

Izdaja Matematika 9+ je zbirka nalog za zakljuÄ?no preverjanje znanja.

PM

V vsakem poglavju: VII. Ĺ TIRIKOTNIKI

VII. Ĺ TIRIKOTNIKI Preizkus

Ĺ tirikotnik in trapez ZGLED 1: IzraÄ?unaj velikosti oznaÄ?enih kotov ĹĄtirikotnika ABDE, ki je prikazan na sliki.

80° D δ 150°

VII. Ĺ TIRIKOTNIKI

1. Iz slike vidiť, da je kot δ sovrťen kotu 80°, zato meri 80°.

2. Kot β je sokot kotu 110°, zato meri 180° â&#x2C6;&#x2019; 110° = 70°.

3. Vsota notranjih kotov ĹĄtirikotnika je 360°, zato kot Îą dobiĹĄ tako, da od 360°odĹĄtejeĹĄ vsoto ostalih treh kotov. Îą = 360° â&#x2C6;&#x2019; (70° + 150° + 80°) Îą = 60°

C

Paralelogram ZGLED 1: KakĹĄen ĹĄtirikotnik je paralelogram in kako ga naÄ?rtaĹĄ, Ä?e merita stranici a = 3 cm in b = 1,5 cm, kot β pa je 120°?

Vsota notranjih kotov ťtirikotnika meri 360°.

paralelogram a = 3 cm b = 1,5 cm β = 120°

ZGLED 2: Kako naÄ?rtaĹĄ nepravilni ĹĄtirikotnik, Ä?e merijo stranice a = 2,5 cm, b = 2 cm, c = 3 cm, d = 1,5 cm in kot Îą = 120°? ĹĄtirikotnik a = 2,5 cm b = 2 cm c = 3 cm d = 1,5 cm Îą = 120°

SKICA

C

C

c

D

C

c

b

Îą

d a

d

Îą

B

a

A

Îą a

A

B

SKICA

D

c

D

C

c

d

C

C b

d B

a

A

A

B

a

A

B

D

D d A

D b

v

a

D

C

e B

a

a

B

b

a

a

b

A

7. NaÄ?rtaj pravokotnik ABCD s podatkoma: a = 4 cm, f = 6 cm.

8. NaÄ?rtaj romb ABCD s podatkoma: e = 5 cm, f = 4 cm.

4

9. NaÄ?rtaj enakokraki trapez ABCD s podatki: v = 3 cm, f = 6 cm in Îł = 120°.

10. NaÄ?rtaj deltoid ABCD s podatki: e = 4 cm, f = 5 cm in c = 3 cm.

4

toÄ?ke

g) Kvadrat je osno in srediĹĄÄ?no someren lik. h) Kvadrat ni paralelogram.

VAJA 2: NaÄ?rtaj paralelogram ABCD:

VAJA 3: NaÄ?rtaj paralelogram ABCD: a = 3 cm va = 3 cm β = 75°

4

toÄ?ke

3. NaÄ?rtaj deltoid ABCD s podatki: a = 6 cm, Îą = 120°, d = 2,5 cm.

4. NaÄ?rtaj paralelogram ABCD s podatki: a = 6 cm, e = 9 cm, b = 4 cm.

5. NaÄ?rtaj enakokraki trapez ABCD s podatki: c = 3 cm, v = 4 cm, e = 6 cm.

6. NaÄ?rtaj kvadrat ABCD z diagonalo d = 6 cm.

4

toÄ?ke

toÄ?ke

VAJA 4: NaÄ?rtaj romb ABCD:

a = 5 cm b = 4 cm f = 8 cm

a = 5 cm e = 7 cm

4

toÄ?ke

VAJA 5: NaÄ?rtaj romb ABCD:

11. IzraÄ?unaj velikosti oznaÄ?enih kotov.

a = 4 cm v = 3 cm

toÄ?ke

60°

'

PARALELOGRAM

ROMB D

D

C

a

B

a

C

a

B

a

ZNAM ZA VEC MATEMATIKA 7.indd 77

ZNAM ZA VEC MATEMATIKA 7.indd 78

7/25/07 9:59:33 AM

115°

125° 70°

β= γ=

Îł

Ä?)

Îł

95°

110° 60°

Îą=

Srednjica trapeza povezuje razpoloviĹĄÄ?i obeh krakov.

a

78

85°

c) Îą

130°

Ď&#x2022;=

'

KVADRAT

A

b) 65° Ď&#x2022;

b

A

D

76

a)

a

b

a B

(

VAJA 6: NaÄ?rtaj pravokotnik ABCD:

δ 135°

β

b = 3 cm e = 4 cm

β 75°

Vaje

d = 4 cm

77

25°

β B

c)

A ξ 45° D C

Îą= Îľ=

D d 105° ι A

δ

Ä?)

c C 125°

D

b

35° ξ

45° a

B

ι= δ=

A

δ

C 25° Ď&#x2022; b B

Îľ= β= Ď&#x2022;=

2

___________ ___________ ___________ ___________ ___________

toÄ?ki

13. Kateri od naĹĄtetih likov ima vsaj dve stranici vzporedni? a) deltoid e) enakokraki trapez

82

Paralelogram je srediĹĄÄ?no someren lik.

Diagonali se medsebojno razpolavljata.

ZNAM ZA VEC MATEMATIKA 7.indd 79

Zgledi

4

Îą

60°

12. Ugotovi, katere trditve so pravilne. Pravilne oznaÄ?i s P, nepravilne z N. a) Somernica deltoida razpolavlja dva njegova notranja kota. b) V enakokrakem trapezu se diagonali razpolavljata. c) Ĺ tirikotnik z enim parom vzporednih stranic je trapez. Ä?) Rombu lahko vÄ?rtamo in oÄ?rtamo kroĹžnico. d) Paralelogram ima dva para skladnih stranic.

VAJA 7: NaÄ?rtaj kvadrat ABCD:

β= γ= δ=

7/25/07 9:59:33 AM

b)

C

δ

B ι 45°

ι= β= δ=

VAJA 7: Koliko merijo oznaÄ?eni koti?

(

PRAVOKOTNIK C

a

a

A

40°

3

toÄ?ke

B

a

toÄ?ke

D

a)

4

b f

A

a

7/25/07 9:59:31 AM

Preizkus

3

toÄ?ke

f) Pravokotnik ima dve somernostni osi.

Ä?) Romb ima diagonali, ki sta druga na drugo pravokotni.

a = 3 cm e = 7 cm β = 120°

VAJA 6: NaÄ?rtaj enakokraki trapez ABCD:

a = 5 cm β = 60° v = 2 cm

C

e

a

Pravokotnik ima vse kote prave.

ZNAM ZA VEC MATEMATIKA 7.indd 76

c = 4 cm d = 3 cm γ = 120° δ = 90°

VAJA 5: NaÄ?rtaj enakokraki trapez ABCD: a

D

b

B

f

B

B

V enakokrakem trapezu sta stranici b in d (kraka) enaki, stranici a in c (osnovnici) pa vzporedni.

4

toÄ?ke

Romb ima vse stranice skladne.

b

b

a

e) Pravokotnik je paralelogram.

B

C

a f

d) Romb je enakostraniÄ?ni paralelogram.

b) V paralelogramu se diagonali medsebojno razpolavljata.

a

A

D D

VAJA 4: NaÄ?rtaj trapez ABCD:

a = 6 cm c = 3 cm d = 4 cm ι = 75°

2. NaÄ?rtaj trapez ABCD s podatki: a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, β = 60°.

Îą a

POTEK NAÄ&#x152;RTOVANJA: 1. NariĹĄeĹĄ stranico a in v obeh krajiĹĄÄ?ih pravokotnici na stranico.

2. Od ogliĹĄÄ?a B do ogliĹĄÄ?a D s ĹĄestilom odmeriĹĄ diagonalo f.

3. Ker sta diagonali skladni, enako narediĹĄ tudi iz ogliĹĄÄ?a B. 4. PoveĹžeĹĄ ogliĹĄÄ?a.

C f

v

A

B

VAJA 3: NaÄ?rtaj trapez ABCD:

C

a

a

Îą

B

SKICA

b

c

d e

f

v a

A

D

a

a) Paralelogram ima dva para skladnih stranic.

c) Paralelogram je srediĹĄÄ?no someren lik.

B

Paralelogram je ĹĄtirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic.

a

A

C

c e

d) Za naÄ?rtovanje trapeza potrebujeĹĄ ĹĄtiri podatke.

C

Îą

A

SKICA

a

A

1. NaÄ?rtaj ĹĄtirikotnik ABCD s podatki: a = 5 cm, b = 5 cm, c = 3 cm, d = 4 cm in Îą = 90°.

VAJA 1: ObkroĹži pravilne trditve.

e) Enakokraki trapez ima skladni dve stranici.

D

SKICA

pravokotnik a = 2 cm f = 3 cm

ZGLED 4: NariĹĄi enakokraki trapez ABCD, Ä?e je a = 3 cm, diagonala e = 2,5 cm in viĹĄina v = 1 cm. enakokraki trapez a = 3 cm e = 2,5 cm v = 1 cm

b β

ZGLED 3: NaÄ?rtaj pravokotni paralelogram, to je pravokotnik, s podatkoma: a = 2 cm, diagonala f = 3 cm.

B

Trapez je ĹĄtirikotnik, ki ima dve stranici vzporedni.

POTEK NAÄ&#x152;RTOVANJA: 1. NariĹĄeĹĄ dve vzporedni premici v razdalji 1 cm.

2. Na eni od premic odmeriĹĄ stranico a.

3. Iz ogliĹĄÄ? A in B odmeriĹĄ kroĹžna loka s polmeroma e.

4. V preseÄ?iĹĄÄ?u kroĹžnih lokov in druge vzporednice sta ogliĹĄÄ?i C in D.

b

4

toÄ?ke

a = 4 cm b = 3 cm c = 5 cm d = 6 cm β = 120°

Ä?) Srednjica trapeza je enaka polovici vsote obeh osnovnic.

C

a

D

b

β

POTEK NAÄ&#x152;RTOVANJA: 1. NariĹĄeĹĄ stranico a in kot Îą.

2. Skozi ogliĹĄÄ?i A in B nariĹĄeĹĄ vzporednici.

3. OdmeriĹĄ stranico a na obeh vzporednicah, da dobiĹĄ toÄ?ki C in D. 4. PoveĹžeĹĄ ogliĹĄÄ?a.

β

a

A

b

A

β

B

a

A

c

D b

b β a

A

C

C β

romb a = 2 cm ι = 60°

ZGLED 3: Kateri ĹĄtirikotnik je trapez in kako ga naÄ?rtaĹĄ, Ä?e merijo stranice a = 3 cm, b = 1,5 cm, c = 2 cm in kot β = 60°? trapez a = 3 cm b = 1,5 cm c = 2 cm β = 60°

D

ZGLED 2: NaÄ?rtaj enakostraniÄ?ni paralelogram, to je romb, s podatkoma: a = 2 cm, Îą = 60°.

B

POTEK NAÄ&#x152;RTOVANJA: 1. NariĹĄeĹĄ trikotnik ABD (stranici a in d ter kot Îą, ki leĹži med njima). Kot nariĹĄeĹĄ s ĹĄestilom.

2. NariĹĄeĹĄ kroĹžni lok s srediĹĄÄ?em v D in polmerom c.

3. NariĹĄeĹĄ kroĹžni lok s srediĹĄÄ?em v B in polmerom b. Ĺ tirikotnik na skici razdeliĹĄ 4. PreseÄ?iĹĄÄ?e obeh kroĹžnic je iskano ogliĹĄÄ?e C. na dva trikotnika.

5. PoveĹžeĹĄ vsa ogliĹĄÄ?a.

POTEK NAÄ&#x152;RTOVANJA: 1. NariĹĄeĹĄ trikotnik ABC (stranici a in b ter kot β, ki leĹži med njima).

Kot nariĹĄeĹĄ s ĹĄestilom.

2. Skozi ogliĹĄÄ?e C nariĹĄeĹĄ vzporednico nosilki stranice a in na njej odmeriĹĄ dolĹžino stranice c 3. Dobljeno ogljiĹĄÄ?e D poveĹžeĹĄ z ogliĹĄÄ?em A.

SKICA

POTEK NAÄ&#x152;RTOVANJA: 1. NariĹĄeĹĄ trikotnik ABC (stranica a, kot β in stranica b).

2. Skozi ogliĹĄÄ?e C nariĹĄeĹĄ vzporednico stranici a.

3. Skozi ogliĹĄÄ?e A nariĹĄeĹĄ vzporednico stranici b.

4. PreseÄ?iĹĄÄ?e obeh vzporednic je ogliĹĄÄ?e D.

D

D b

d A

VAJA 2: NaÄ?rtaj ĹĄtirikotnik ABCD:

b) Enakokraki trapez je osno someren. c) Trapez ima en par vzporednih stranic.

β 110° B

Îą A

VAJA 1: ObkroĹži pravilne trditve. a) Trapez ima skladni diagonali.

ZNAM ZA VEC MATEMATIKA 7.indd 82

7/25/07 9:59:36 AM

b) pravokotnik

f) trapez

c) paralelogram

g) romb

7/25/07 9:59:38 AM

1

toÄ?ka

83

ZNAM ZA VEC MATEMATIKA 7.indd 83

7/25/07 9:59:38 AM

Preizkus www.znamzavec.si

ot niÄ?

koti < 90°

GEOMETRIJSKI kot °

Trikotniki

GEOMETRIJA

LIKI trikotnik je j geometrijski lik, ki je doloÄ?en s tremi toÄ?kami, toÄ? ki ne leĹžijo na isti premici

C Îł

ALGEBR A, B, C â&#x20AC;&#x201D; ogliĹĄÄ?a

oznaÄ?ene a, b, c â&#x20AC;&#x201D; stranice a to nimajo

b

_, `, a â&#x20AC;&#x201D; notranji

vc

80° ι A

c

delitev: glede na velikost kotov

ALGEBRA C

Îł

25 kg krompirja

x x2

16 256

15 225

14 196

13 169

12 144

17 289

9 81

8 64 18 324

19 361

11 10 100 121

KVADRATNI KOREN x=y

Kvadratni koren Lastnosti

vne

ĹĄtevila x je ĹĄtevilo

20 400

( )2

Kvadratni koren

koliÄ?nika

a a = b b

Îą

¡n

A

β

c

ostrokotni (vsi notranji

2

â&#x20AC;&#x201D;1

x

â&#x20AC;&#x201D;2 â&#x20AC;&#x201D;3 â&#x20AC;&#x201D;4

Obratno sorazmerje 6 stanovalcev

s pribliĹžkom,

6Ă&#x20AC;

¡6

36 Ă&#x20AC;

:4

b 1. koliÄ?ina va ¡n

jabolk Îł

:6 1 stanovalec

Îą A

¡4

1. koliÄ?ina :n

vc

a

: vnb

2. koliÄ?ina ¡n c

viĹĄina (v vc ) je najkrajĹĄa

9Ă&#x20AC;

b

oĹžimo.

3

3Â&#x2DC; 3

4

proti b).

tb

T

a : b = ak : bk ;

Razmerje je vedno Sorazmerje je

zapisano samo

enakost dveh

bk

zunanja Ä?lena

1

razmerij a : b

B( 2 ,2)

2

C(1,1) 1 D(2, 2 ) E(3, 13 )

1

= a:b

â&#x20AC;&#x201D;3

s ĹĄtevili, brez enot.

â&#x20AC;&#x201D;2

B

o = 3Â&#x2DC; a a Â&#x2DC; v a a2 3 p= = 2 4 a . v= Â&#x2DC; 3 3= 1,73 2 a2 = v a2 + ( a ) 2 2

a

va

â&#x20AC;&#x201D;1

A

C

a

a 2

B

Îł

C Îł

ta

a

b

A

c

B

A

ena a

Sv

ro

Îą

β

- im - sre raz

a So

Îą B

Za matematiko v osnovni ĹĄoli sta na voljo dve preglednici: - d

c

β B

Îą

rv

A β rO â&#x20AC;&#x201D; polmer trikotniku c oÄ?rtane B kroĹžnice rV â&#x20AC;&#x201D; polmer trikotniku vÄ?rtane kroĹžnice SO â&#x20AC;&#x201D; srediĹĄÄ?e trikotniku oÄ?rtane kroĹžnice (toÄ?ka, v kateri se sekajo SV â&#x20AC;&#x201D; srediĹĄÄ?e trikotniku vÄ?rtavse tri simetrale stranic trikotnika) ne kroĹžnice (toÄ?ka, v kateri se sekajo vse tri simetrale njih kotov trikotnika) notra-

0 â&#x20AC;&#x201D;1 â&#x20AC;&#x201D;2

1

2

3

x

6 : 5 = x : 27 5 ¡ x = 6 ¡ 27 5 ¡ x = 162 x = 162 : 5 x = 32,4 5 strojev izdela ure. lonÄ?kov v 32,4

iskano ĹĄtevilo

sorazmerja â&#x20AC;&#x201D;3

=c:d

notranja Ä?lena

Matematika â&#x20AC;&#x201C; geometrija, ki obravnava teme: osnovni geometrijski pojmi, geometrijski liki, trikotniki, ĹĄtirikotniki, krog, geometrijska telesa, prizme, piramide, valj, stoĹžec, krogla, linearna funkcija;

- kraka - diago - kota

4

3

ERJE : b (beremo a ali ga zapiĹĄemo a RAZMERJE, SORAZM dveh ĹĄtevil in smemo mnoĹžiti Ä?lena Razmerje je koliÄ?nik z ulomkom: oba raÄ?unamo kot Z razmerjem deliti z istim ĹĄtevilom ak

c 2

b β

razdalja

...

2

t c C

a

tc

katerih je vsaj faktorjev, izmed Delno korenjenje pustikot produkt dveh drugi faktor pa Korenjenec zapiĹĄemo Popolni kvadrat korenimo, kvadrat. eden popolni znakom. mo pod korenskim

c Â&#x2DC; vc

a2 = vc2 + ( c ) 2 2

a

vc

A

C

B

o = 2a + c p=

a

Îł 2. koliÄ?ina

β

2

13 25 17 41

C

a=b=c _ = ` = a = 60°

a

c 4 stanovalci med ogliĹĄÄ?em teĹžiĹĄÄ?nica (tta) je je stalen in nosilko y = . Produkt daljica med d nasÂ&#x2DC; y = c ali x ogliĹĄÄ?em in razpo sorazmerja x protne stranice razpoloviĹĄÄ?em (vvc Â&#x152; c) c EnaÄ?ba obratnega x Â&#x2DC; y . nasprotne stranic stranice ) c= V â&#x20AC;&#x201D; viĹĄinska toÄ?ka (c = konstanta (toÄ?ka, v kateri sorazmerja je se sekajo vse tri viĹĄine trikotnika) T â&#x20AC;&#x201D; teĹžiĹĄÄ?e (toÄ?ka (toÄ?ka, v kateri Graf obratnega se pribliĹžuje se sekajo vse tri teĹžiĹĄÄ?nice) te hiperbola: krivulja neko koliÄ?ino osema, a se 6 strojev izdela koordinatnima V kolikĹĄnem Kadar lonÄ?kov v 27 urah.ista koliÄ?ina ju nikoli ne dotakne. iz 9 Â&#x2DC; 2 = 3Â&#x2DC; 2 Ä?asu bo izdelana prikazujemo koliÄ?ine je graf le 18 = 9 Â&#x2DC; 2 = en stroj pokvaril? je se Ä?e Ĺživljenja, a lonÄ?kov, o s tem korenom vsakdanjeg imenovalca : x Â&#x2DC; y =1 da ulomek pomnoĹžim Racionalizacija krivulja v 1. kvadrantu odpravimo tako, Koren v imenovalcu 27 ur y 6 strojevâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś. x ur 4Â&#x2DC; 3 = 4Â&#x2DC; 3 4 = 1 5 strojevâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś...

3 A( ,4) 2 = 1, 414213562

12 24 15 40

a

C

Za 7 kg enakih plaÄ?amo 7 â&#x201A;Ź.

2

kvadrati, zapiĹĄemo ĹĄtevil, ki niso popolni Kvadratne korene ĹĄtevilo neperiodiÄ?nih decimalk. ¡ 1,73 saj imajo neskonÄ?no 3= ¡ 1, 41 3 = 1,732050808 2=

zitivna. nost po-

C Îł

â&#x20AC;&#x201D;5

Îą

V

( a) = a

5 7 8 9

S β 6 : 7A = 6 : x b + (c > a c Îą 6¡x=7¡6 2 B β (en notranji kot ¡ x = 42 A 6topokotni a je topi kot) S B x = 42 : 6 ena enakostraniÄ?ni (vse stranice so x = 7 â&#x201A;Ź. ena enako dolge)

3

2

1

0 â&#x20AC;&#x201D;1

1

β

c

velja: M O _ + ` + a = 180° 180 bo vso vsota sota a notranjih ko kotov 2a ttrikotnika riko kotnika je 180 180° O a +Sb > c a+c>b

C 6â&#x201A;Ź 6 kg jabolk â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś.... Îł xâ&#x201A;Ź b â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś......

7 kg jabolk a

T(1,2)

1

â&#x20AC;&#x201D;2

Îą A c (h) c 2 = a2 + b 2 ali h2 = k 2 + k 2

a=b _=`

a

A

a(k1)

(ploĹĄÄ?ina kvadrata nad hipotenuzo je enaka vsoti ploĹĄÄ?in kvadratov nad katetama)

B e enakokrak i (dve stranici â&#x20AC;&#x201D; kraka ssta enako dolgi)

â&#x20AC;&#x201D;16 Ure

6 â&#x201A;Ź. Koliko 6kg jabolk stane kg enakih jabolk? plaÄ?amo za 7

A(2,4)

3

â&#x20AC;&#x201D;3

a Îą

Koe

Zbirka OsnovnoĹĄolski plonk je namenjena utrjevanju znanja in hitremu iskanju najbolj pomembnih informacij â&#x20AC;&#x201C; formul, pravil, konstant, definicij, pojmov itd.

a, b â&#x20AC;&#x201D; kateti (k , 1 k ) c â&#x20AC;&#x201D; hipotenuza (h)2

vc

Pitagorejske trojice ki pomenijo dolĹžineso trojice naravnih ĹĄtevil, trikotnika in zanje stranic pravokotnega velja Pitagorov izrek.

3 4 5

C Îł

veÄ?Ä?

β

C Îł b(k2)

razliÄ?no dolge)

enoÄ?

B

koti so ostri)

B me pravokotni (en notranji kot je pravi kot) Po

4

â&#x2C6;&#x161; x2

2 y, Ä?e je y = x.

aÂ&#x2DC; b = a Â&#x2DC; b

2. koliÄ?ina ¡n

1. koliÄ?ina

y

ĹĄtevil. kvakorene pozitivnih pozitivno vrednost RaÄ?unamo kvadratne vedno upoĹĄtevamo samo izrazov Pri reĹĄevanju razpolovi. celo ĹĄtevilo, se dratnega korena. katerimi se konÄ?uje Ĺ tevilo niÄ?el, s ĹĄtevila se razpolovi. racionalnega Ĺ tevilo decimalk produkta

a

:n

:n

= k Â&#x2DC; x + n. sorazmerja y EnaÄ?ba premega y ), . (k = konstanta sorazmerja k = x C KoliÄ?nik je stalen koeficient premega imenujemo ga 0) in Îł O(0, poteka skozi toÄ?ki je grafale premica, t iz ki b sorazmerja je vsakdanjega Ĺživljenja, Graf premega T(1, k). prikazujemo koliÄ?ine poteka skozi toÄ?ko T(1, k). Kadar toÄ?ko O(0, 0) in Îą poltrak z zaÄ?etno A y=2¡x c

â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś

0 =0

Kvadratni koren

¡ 30

9Ă&#x20AC;

30 kg krompirja

x

kvadratni koren korenjenec (osnova)

korenski znak

: 25

0,3 Ă&#x20AC;

1 kg krompirja ¡ 30

Lastnosti so pozitivni. vseh ostalih ĹĄtevil 02 = 0, kvadrati ĹĄtevil sta enaka. podvoji.

Kvadrata nasprotnih se konÄ?uje celo ĹĄtevilo, se katerimi Ĺ tevilo niÄ?el, s ĹĄtevila se podvoji. racionalnega u. Ĺ tevilo decimalk obratna kvadriranj je raÄ?unska operacija,

in

7,5 Ă&#x20AC;

: 25

ĹĄtevil. so kvadrati naravnih Popolni kvadrati 7 6 5 4 3 2 1 49 x 36 25 16 9 4 1 x2

2. koliÄ?ina b

1. koliÄ?ina

Premo sorazmerje

KVADRIRANJE

Pitagorov izrek je pravilo, ki ugotavlja med dolĹžinami stranic odnose v pravokotnem trikotniku.

o â&#x20AC;&#x201D; obseg o=a+b+c

koti

znak za va, vb, vc â&#x20AC;&#x201D; viĹĄine p â&#x20AC;&#x201D; ploĹĄÄ?ina lahko iz a Â&#x2DC; va b Â&#x2DC; v med ĹĄte c Â&#x2DC; vc p= b = = spreme β 2 2 2 B med dv spreme med ĹĄt glede na dolĹžino oklepa stranic med s oklep C med d Îł b a oklep Izraz p Îą β vsoto, A c EnoÄ?l B raznostraniÄ?ni (vse zajem stranice so

â&#x20AC;&#x201D;4 sorazmerja

produkta notraje enaka vrednosti zunanjih Ä?lenov Vrednost produkta c d=b¡ njih Ä?lenov a ¡

Vsaka preglednica je zloĹžljiva na format A4. Sestavlja jo 6 plasiticiranih strani, ki se lahko vpnejo v registrator.

Matematika â&#x20AC;&#x201C; algebra, ki obravnava teme: ĹĄtevilske mnoĹžice, naravna ĹĄtevila, cela ĹĄtevila, racionalna ĹĄtevila, ulomki, odstotki, decimalna ĹĄtevila, raÄ?unske operacije in zakoni, reĹĄevanje izrazov, potence, algebrski izrazi, enaÄ?be in neenaÄ?be. www.knjigarna.com

ZaloĹžba Rokus Klett, d.o.o.

Stegne 9 b, 1000 Ljubljana Tel.: 01 513 46 00, faks: 01 513 46 99 E-poĹĄta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si ZaloĹžba Rokus Klett je Ä?lan Evropskega zdruĹženja ĹĄolskih zaloĹžnikov (EEPG).