R
RE©ITVE Rok se prviË preveri 1. a) D81 = {1, 3, 9, 27, 81} b) ©tevilo d je delitelj nekega naravnega πtevila, Ëe pri deljenju tega naravnega πtevila z d ni ostanka. c) V16 = {16, 32, 48, 64, 80 …} Ë) ©tevilo v je veËkratnik naravnega πtevila, Ëe je πtevilo v deljivo s tem naravnim πtevilom ali, Ëe je enako produktu tega naravnega πtevila z nekim drugim naravnim πtevilom. 2. a) S 3 so deljiva 210, 1728, 4002 in 523008. S 3 so deljiva vsa πtevila, katerih vsota πtevk tega πtevila je deljiva s 3. b) S 5 so deljiva 210, 215, 6050, 106. S 5 so deljiva vsa πtevila, ki imajo zadnjo πtevko 0 ali 5. 3. a) N,
b) P,
c) P,
Ë) N,
d) N,
e) N,
f) P
4. 12348
4. M =
5. m = 21, u = 3 , a = 2 , x = 5 , 2 8 = 5 20
6.
49 = 72
6 1 = 12 2
5 = 2,5 2
1 6 = 2 4
15 3 = 5 1
1
5 15 = 6 18
7.
2 14 = 3 21
6 3 = 8 4
10. a) 0,5 < c) 11.
2 5 5 < < 2,3 < 3 6 2
2 8 6 9 < < < a 2a a a
12. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10. a) Najmanjπi skupni veËkratnik dveh πtevil je enak produktu teh dveh πtevil, kadar sta si πtevili tuji. b) Najmanjπi skupni veËkratnik dveh πtevil je enak veËjemu od obeh πtevil, kadar je veËje od obeh πtevil veËkratnik manjπega.
14. a) P, b) P, c) N, Ë) P, d) N
13. Poiskati moramo najmanjπi skupni veËkratnik πtevil 70 in 75. To je πtevilo 1050. Da dobimo razdaljo do πole, ga moramo pomnoæiti z 10. Razdalja do πole je 10500 cm (105 m). ©pela napravi do πole 150 korakov, Ana pa 140. 14. ©tevila lahko preprosto seπtejemo po vrsti kot so zapisana in vsoto delimo s 5. Lahko jih zdruæujemo v dvojice, ki so deljive s 5 (1 + 9, 2 + 8, 3 + 7 …). IzraËunamo lahko 5 delnih vsot (1 + 10, 2 + 9, 3 + 8 ...) in jih seπtejemo. 15. Poiskati moramo veËkratnik πtevila 7, ki je hkrati za eno veËji od veËkratnika πtevila 3 in veËkratnika πtevila 4 ter manjπe od 50. Tem pogojem utreza le πtevilo 49. 16. Poiskati moramo najmanjπi skupni veËkratnik πtevil 10 in 18. To je πtevilo 90. NaslednjiË bosta potovali skupaj Ëez 89 dni. 17. Poiskati moramo skupni veËkratnik πtevila 3 in 10, ki ni veËji od 50. To je πtevilo 30. Kaja je kupila 10 bonbonov in zanje plaËala 30 evrov. 18. Praπtevilo ima natanko dva delitelja, 1 in samega sebe, torej dobimo praπtevilo le v primeru, ko je a = 1, v vseh ostalih primerih dobimo sestavljeno πtevilo.
Rok se drugiË preveri 1. a) 2.
4 9
3 a) 4
b)
b)
3 10 1 < < 3,4 < 3,49 < 3 4 3 2
Ë)
x x x x < < < 12 5 4 3
9 10 11 , , 48 48 48
13.
15. Ulomek, pri katerem je πtevec enak imenovalcu, nam predstavlja πtevilo 1 (Ëe celoto razdelimo na enake delËke in nato vzamemo toliko delËkov, kot jih imamo, smo vzeli natanko eno celoto). »e torej æelimo veË delËkov (veËji πtevec), moramo vzeti veË kot eno celoto.RA»UNANJE Z ULOMKI
Rok se tretjiË preveri 1. RHINDOV PAPIRUS b) 1
2 11
e) 10
7 20
f) 3
5 6
h)
3 2
k) 1
5 8
l) 5,25
p) 3
7 8
2. NEENA»BA 3. EGIP»ANSKI ULOMKI a) 4
7 12
b)
d) 5
e) 1
h) 24 l) 11
4 27
c) 8
11 15
1 1 = 24,1 i) 1 = 1,05 10 20
7 = 11,7 10
m) 5
7 = 5,35 20
4. a) Skupaj so prinesli 53
f) 9
1 = 9,1 10
Ë) 12
1 6
g) 12
2 45
j) 26
7 11
k) 9
1 = 9,5 2
n) 9
18 = 9,72 25
o) 5
1 6
1 kg papirja. 4
1 let. 3 3 c) Jure je opravil 97 delovnih ur. To je 5856 minut. 5 3 Ë) Rezultat je 6 . Rok je to koliËino papirja prinesel trikrat. 4
b) Ana je stara 20
Zrcaljenje Ëez premico drugiË
5 16
1 b) 2
1 6 = 2 12
5 3 6 7 3 5 5 , , , , , , 12 4 9 8 8 6 4
9. Poiskati moramo skupne veËkratnike πtevil 3, 4, 6 in 8, ki ne presegajo πtevila 30. Temu pogoju ustreza le πtevilo 24, zato je bilo na tekmovanju 24 uËencev.
12. Poiskati moramo najmanjπi skupni veËkratnik πtevil 45 in 120. To je πtevilo 360. Vozili bosta naslednjiË skupaj prepeljali start Ëez 360 sekund (6 minut).
32 5
7 6 12 21 15 8 42 64 24 39 , , , , , , , , , 1 3 4 7 3 2 6 8 8 13
7. a) 99, b) 75, c) 90, Ë) 40, d) 84
11. ©tevilo, ki ga je imela v mislih Natalija je πtevilo 91 (13 · 7 = 91).
6,4 =
8. Ulomek razπirimo s 3 tako, da πtevec in imenovalec pomnoæimo s 3. Trikrat torej poveËamo πtevilo delËkov, na katere smo razdelili celoto, in nato vzamemo trikrat veË teh delËkov ().
6. a) 7, b) 13, c) 14, Ë) 1, d) 18 8. a = {3, 6, 12}; x = {2, 6, 10, 30}; b = {3, 15, 30}
6 3
2=
9.
5. a) 23, 29, 31 b) 48 = 24 · 3
1 1 1 3 , N= , O= , P= 4 8 4 8
1. a) 2 c) 3
3.
A´
p
A B´
B
C´
Moæne so tudi druge reπitve (pomembno je le, da je πtevilo nepobarvanih delov enako).
b)
r
C D´ D
63
R
RE©ITVE
c)
Ë)
t
5. c)
s
C
C´
A
A´ B´
d)
e)
B
t
r
6. a)
b) p
t
r
2. a)
b)
C
B
r
r
M´
M
C´ A B´
3. a)
t
B
c)
Ë)
d)
e)
P
P´
k
b)
O´
O A´
7. a) N´ N
b) Zt:
∠V
→ ∠V´
k
A
A V
h
B´ k´
V
t h
V´
8. A´
A´
M´ k´
h´ 4. a)
b) B
A
p
n
M
U
B´ U´
p
p
p
9. a)
b)
t
t A´
V
V´
5. a)
b)
B´
C
A
Zrcaljenje Ëez toËko drugiË
B
A´
p
C´ A´ C
r 1. a)
A
b)
B´
B
A
C C
B´
A
O
O
C´
C´
C´
64
B B
A´
B´ A´
R
RE©ITVE B
2. a)
b) M
A
Rok se ËetrtiË preveri
N K
1. a) Zp: ABCD → A´B´C´D´ D C p
M´
S A´
N´
b) Zp: ABCD → A´B´C´D´ D
C
p C´
D´
A
B
B´
A´
B´ 3. a)
b)
k B
V´
A´
K h
A
h´
k
k´
D´
B´
V
C´ B´
V V´
h
h´
B
A
A´
k´ 4. a) ZO: ABCD → A´B´C´D´ b) ZO: ABCDEFGH → A´B´C´D´E´F´G´H´ C E C D F D A´ B G B H O O H´ A A´ A B´ G´ F´ B´ C´ D´ E´ D´ C´ 5. a) b)
c) Zp: ABCD → A´B´C´D´
Ë) Zp: ABCD → A´B´C´D´ D A
C D A A´
A´
p
B B´
D´
B C´
D´
2. a)
C´
b) A´
t
C D´
A
B A´ A
t
B B´
B´ C´
S
S
p
D´
C
C´
C
B´
D D 3. a)
b)
c) r
r
B
B´ A
6. a) DA b) DA c) NE Ë) DA d) DA e) NE
B
C
M´
M
r
A A´
7. C C´
N N´ B´ A
B
Ë)
d) B
C´
8.
r
r
D C
C
A´ C
B´
A´
D´ B´
B´
A´
A´
K
A B B
A A´
C´ A 9.
e)
C´
C´ f)
B´ r
p M´
M
K
L L´
K´
L´´
K´´
M´´
r r
65
R
RE©ITVE
4. a)
9. a)
b) A
O´ M
b)
p
T
B´
N´
C 10.
S
M´
N
11.
S
C´
B C
B´
A´
B
O
B
m
N
M A
5. a)
b)
c)
B
C A´ A
A
T
A
B´
A´
C´
B´ B´
b)
-
C
T A´
12.
B
T1
N
C
E B´ B
B´ A
C´
T2
M
D
A´
C
C
E´
D´
C´
6. a)
B´
A
A´
B
T
C´
D
E
13. a)
sMN b)
t P
A´
B
sPR
S
A
R
t
E´
S
C´
P
R D´
7.
sPR
C
D
-
14. B A
B
C´
E B´
D´ D´´
A´ E´
A´´
B
sPR
C´
A´
M B´´
C´´
8. a)
s
E´´
b)
A
C
A
B´ 15.
s
AB
T
T s
A
D
B´
c
A´
16. C D E
b
AB
d
α
B Ë)
V
k2
C´
A
T2
sα
B
A
B c)
C T1
a D´
17.
18.
sα V
k1
V
66
k1
k2
sβ
β
B
sγ
γ T
A