http://www.devetletka.net/resources/files/doc/test/OS_matematika/8.%20razred/Ucenci/Resitve/SSIO_8_U

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 1

Skrivnosti πtevil Reπitve uËbenika in oblik 8 za 8. razred osnovne πole

Joæe Berk

Jana Draksler

Marjana RobiË

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 2

Vse knjige in dodatna gradiva Zaloæbe Rokus Klett, d.o.o. dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.

Zaloæba Rokus Klett, d.o.o.

Stegne 9b 1000 Ljubljana telefon: (01) 513 46 00 telefaks: (01) 513 46 99 e-poπta: rokus@rokus-klett.si www.rokus-klett.si http://www.devetletka.net http://www.knjigarna.com

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 3

1. ©TEVILSKE MNOÆICE c) — 6, — 12, — 19, — 27, — 36,...

Mnoæica celih πtevil

za n + 1 levo, Ëe je n = 0, 1, 2, 3, ... za 13 enot levo

Ë) 3, — 10, — 23, — 36, — 49,...

1. a) 8 oC, b) 0 oC, c) — 7 oC Ë) 15 oC d) — 15 oC e) — 10 oC f) 21 oC 16. a) N 2. predhodnik — 8 — 12 — 25 — 151 — 400 — 1002 — 1 πtevilo — 7 — 11 — 24 — 150 — 399 — 1001 0 naslednik — 6 — 10 — 23 — 149 — 398 — 1000 1

30 698 31 699 32 700

3. a) — 34, — 32, — 30, — 28, — 26, — 24, — 22, — 20, — 18, — 16, — 14, — 12, — 10, — 8, — 6, — 4, — 2, 0, 2, 4, 6 b) 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, — 2, — 5, — 8, — 11, — 14, — 17, — 20 c) — 40, — 35, — 30, — 25, — 20, — 15, — 10, — 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 Ë) — 13, — 17, — 21, — 25, — 29, — 33, — 37 4. a)

—9

—8

—7

—6

—5

—4

—3

—2

—1

0

1

2

3

4

5

b) — 9, — 8, — 7, — 6, — 5, — 4, — 3, — 2, — 1 c) 1, 2, 3, 4, 5 Ë) 0

b) P

17. Ëe je x bo konËal πolanje Ëez

5. Temperatura je lahko 20 C, ali pa 14 C. »e je temperatura narasla, je znaπala 20 oC, Ëe pa je padla, je znaπala 14 oC.

E

D

—4

—3

7. a)

b)

—2

A

C

—1

0

B 1

3 4 9 —1 10

— 10 — 9 — 8 — 7 — 6 — 5 — 4 — 3 — 2 — 1 0

c)

1

3

2

3

4

4

10 4

11 3

12 2

13 14 1 letos

c) F(

), D(— 1 52 ), A(— 53 ), B(1 51 ), C(1 21 ), E(2 45 )

— 2,6 — 1,7

—2

— 0,5

—1

b)

0,9

0 —1

—5

—4

—3 —

3,5

1

2

—2

0

4

1 —

2 3

5

1 4

1 2

3

4

1 4

1 8

—

6

3

2

—1

1 3

5,8

2

—1

—2

2 3

3

3 4 1 ——1 2

9 4

—3

0

1 3

5 2

11 8

1

1 2 3 3

2

1 3

2 3

1 3

3

2 3

3. a) — 2, — 1 , — 1 , — 1, — , — , 0, , , 1, 1 , 1 , 2, 2 , 2 , 3 b) 5; 4,3; 3,6; 2,9; 2,2; 1,5; 0,8; 0,1; — 0,6; — 1,3; — 2, — 2,7; — 3,4

5

5

9 5

), F(— 1 41 ), E(— 21 ), A( 43 ), B(2), D(2 41 )

c)

F

2

8 6

b) C(— 2

—5

6. a) — 3 b) — 4 c) od leve proti desni — 10, 5 Ë) od leve proti desni — 500, — 400, — 300, — 200, — 100 d) od leve proti desni — 14, 19

7 7

d) P

1. a) C (— 0, 9), B(— 0, 2), D(0, 3), A(1, 5)

2. a)

o

6 8

Ë) P

Mnoæica racionalnih πtevil

—3 o

c) N

6

7

c) — 3,3; — 2,9; — 2,5; — 2,1; — 1,7; — 1,3; — 0,9; — 0,5; — 0,1; 0,3; 0,7; 1,1, 1,5; 1,9; 2,3; 2,7; 3,1; 3,5

8

— 29 — 28 — 27 — 26 — 25 — 24 — 23 — 22 — 21 — 20 — 19 — 18 — 17

2 2 2 2 2 2 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 , 11 11 11 11 11 11 9 9 9 9 —2 , —3 , —4 , —5 11 11 11 11

Ë) 8 Ë)

— 12 — 10

—8

—6

—4

—2

0

2

4

6

8

10

12

d) e)

— 11

—7

—5

—3

—1

0

1

3

5

7

9

11

— 400

—9

2 2 2 ,1 , , 11 11 11

—

9 , 11

9 11

—1 ,

13

4. F(— 4,9), B(— 2,8), A(2), G(3,8) — 320

— 240

— 300

— 160 — 200

280 — 100

0

100

200

300

410 400

8. a) — 3, b) — 9, c) 2, Ë) 9, d) — 4, e) 13, f) 5, g) — 8 h) — 25, i) — 3 9. a) 10, b) 4, c) — 1, Ë) — 6, d) 7, e) — 7, f) — 29, g) — 58 h) — 5, i) 45 10. a) +4, b) +2, c) — 4, Ë) — 3, d) +4, e) — 12, f) +18, g) — 54 h) +13, i) +24

b) N

c) P

13. a) N, npr.: 2 ∈ N 8 Ë) N, npr.: ∉ Z 3

14. a) — 28 m

Ë) P

5. da 6. a) 1,9 cm b) 1,1 cm c) 4,8 cm Ë) 4,1 cm 7. a) npr.: 3, 14, 45 7 b) — 3; — 1,7; — 8 c) ne

11. a) — 6, — 5, — 4, — 3, — 2, — 1 b) 1, 2, 3, 4, 5, ... c) 6, 5, 4, 3, 2, 1 12. a) N

2

d) P

e) N

b) N, npr.: — 3 ∈ Z— d) N, npr.: 7 ∈ Z+

f) N c) P

8. a) N

b)P 2 3

c)N

Ë)N

1 3

d)N 2 3

e)P 1 3

f)P

9. a) — 9 , — 10 , — 11, — 11 , — 12 , — 13, — 13

2 3

... za

2 3

v levo

b) — 16, — 32, — 64, — 128, — 256, — 512, — 1024, predhodno πtevilo pomnoæi z 2

b) — 57 m

c) — 42 m

15. a) — 16, — 23, — 30, — 37, — 44, ... b) — 2, +2, 6, 10, 14, ...

Ë) 42 m za 7 enot levo za 4 enote desno

3

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 4

R

©TEVILSKE MNOÆICE 8. a) 3

Urejanje racionalnih πtevil po velikosti a) — 2 < 5

b) — 13 > — 17

Ë) 3 > — 5

d) -

f) — 0,5 = —

1 2

1 5

11. — 6

2. a) — 6 < — 5 < — 3 < 0 < 2 < 4 < 7 b) — 20 < — 14< — 12 < — 8 < 8 < 15 < 27

12. a) 0

3. a) 73 > 42 > 23 > 16 > — 1 > — 23 > — 37 b) 102 > 93 > 75 > — 61 > — 89 > — 96 > — 103

Absolutna vrednost

4. NapaËne izjave so b, d, e; popravljene so 3 < 7, — 3 > 7, — 7 < 3

1. |— 5| = 5 |1| = 1

5. a) — 2,4 < — 1,6 < — 0, 3 < 0,1 < 0,5 < 1,3 b) — 13,8 < — 13,59 < — 6,27 < 6,21 < 12,23 < 12,3

2. πtevilo

c) — Ë) —

7 4 7 2

<— <—

1 2 7 3

<— <—

1 8 7 5

1 4

<

9 8

<

3 2

<—

7 11

<

7 8

<

<

7 6

6. a) R = {— 7, — 6, — 5 ... 0, 1, 2, 3 ...} b) R = {— 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3 ...} c) R = {— 6, — 7, — 8, — 9, ...} Ë) R = {— 7, — 6, — 5 ... 0, 1, 2, 3, 4, 5} d) R = {— 9, — 8, — 7, — 6, — 5 ... 0, 1, 2, 3}

4 5

nasprotno πtevilo

b) 6

c) 3

Ë) 5

41

0

— 145

230

— 11

37

77

29

— 41

0

145

— 230

5 8

in —

3,5 in — 3,5;

2

4

1 4

in — 5

—2

—1

0

1

2

3

4

5

1 4 5 2 — 3 a — b 5, — 5 7 9 5 2 1 3 a b 5 7 9

4 — 3 2,5 — 1,2 — 1 4 3 2,5 1,2

4;

1 2

3 ;

6,5;

5 5 ;— 1,8; — 1,8x, — x 6 6 5 6

3,7;

1,8

8

2 5

1 3 1 — 3

0 0

5 8

1 2 1 —2 2

2

n

—t

—n

t

13. a) x = 4, 3, 2, 1, 0, — 1, — 2, — 3, — 4 b) x = 3, 2, 1, 0, — 1, — 2, — 3 14. a) >

b) <

15. a) x = {8, — 8} 1 1 b) y = { , — } 5

b) pozitiven b) — n = 6

—3

12. 4 in — 4

16. e)

7. a) — c = — 9

3,5

11. npr.: — 11, — 10, — 9, — 8, — 7 ... 11

5. b, c, d 6. a) negativen

d) N

B

A

—4

230

10. npr.: — 6, — 7, — 8 ...

— 29

1,2

41

9. a) x = {14, — 14} b) R = { } c) z = {0}

— 77

—3

29

145

4. a) 9

absolutna vrednost

— 37

—2

0

Ë) P

7. πtevilo

11

— 1,2

77

c) P

6. 5

1. — (— 5) = 5; — (— 3) = 3; — (0) = 0; — (1) = — 1; — (4) = — 4; — (7) = — 7

3

37

b) N

8. 12;

3. npr.: 7 in — 7;

11 23

Iskani toËki sta dve: A in B.

Nasprotna vrednost πtevila

4. πtevilo

11 23 — 37 — 77 0 — 145 — 29, 29 — 41, 41 — 230, 230

3. a) P

—5

9. 1. moænost: a < 0 in b < 0, potem je a < b 2. moænost: a > 0 in b > 0, potem je a < b 3. moænost: a < 0 in b > 0, potem je a < b

nasprotno πtevilo

|0| = 0 |7| = 7

— 3,5

3 4

2. πtevilo

|— 3| = 3 |4| = 4

5.

7. a) R = {0, — 1, — 2, — 3, — 4 ...}; x ≤ 0 b) R = {— 11, — 10, — 9, — 8 ... — 1}; — 11 ≤ x ≤ 1 c) R = {7, 8, 9, 10 ...}; x > 6 Ë) R = {— 13, — 14, — 15, — 16 ...} in tudi R = {1, 2, 3, 4}; x < — 12 in tudi x > 0 d) R = {4, 5, 6, 7 ...}; x > 3 e) x ≥ 1 in x < — 1 8. — , —

b) Trditev velja za dvojico πtevil 1,7 in — 1,7

absolutna vrednost

7 4

<

Ë) — 2,7

10. prvotno πtevilo

e)2,8 > 0 1 4

g) 0,25 > —

c) 5,3

9. glej pozor na strani 22.

c) — 8 < 8

<0

b) — 7

c) m = 3

c) ga nima Ë) t = — 5

5

c) <

Ë) >

d) <

e) =

x

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 5

R

©TEVILSKE MNOÆICE 6. a) 3 b) + 10 c) — 5

©pela se preizkusi 1. A —

1 2

M —2

P 1, 9

R 2,7

7. a) P

2. a) —3

— 2 — 1,6

b) — 3 < — 1,6 <

3 2

—1

0

1

2

2,75 3

b) N

5

8 3

Nasprotno πtevilo

13

—5

—

Absolutna vrednost

13

5

1 — 13

1 5

Obratna vrednost

4. — 2 > — 3

—4 < 2

— 1,7 > — 7,1

8 3 3 8

1,9 > — 2,1

d) P

e) P

f) P

8. a) npr.: — 8, — 9, — 10 ... b)

— 13

©tevilo

Ë) N

— 0,1

< 2,75

1,9

2 cm —2

3.

c) P

—1

0

1

2

3

2,4; — 2,4

c) R = {— 5, — 4, — 3, — 2, — 1}

8 3

2,4

5,6 < 6,3

9. 1. pravilna moænost: a = 0, b > 0, c < 0 2. pravilna moænost: a = 0, b < 0, c > 0 b ne more biti 0, ker potem ulomek ne bi bil definiran neenakost ni pravilna za c = 0, a > 0, b < 0 in za c = 0, a < 0, b > 0

5. — 6, — 5, — 4, — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3

5

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 6

2. RA»UNANJE Z RACIONALNIMI ©TEVILI Seπtevanje celih πtevil 1. a) 8 b) — 2 f) — 19 g) 77 l) — 1844 m) 7936

3. a)

c) 9 Ë) — 1 h) 0 i) — 89 n) — 11616 o) 26009

d) — 12 j) 91

e) — 62 k) 223

11 b) — 47 = — 1 36 36

4 c) — 15

Ë) 6 17 20

11 d) — 2 20

4. a) — 8

b) — 48

c) 2

Ë) — 143

d) — 181

5. a) — 23,5

b) — 25,6

c) — 10,78

Ë) — 88,945

d) — 18,2

Ë) — 12 29 30

d) — 33 29

2. a) 3

b) — 3

c) 0

Ë) — 8

11 6. a) — 24

b) — 43

c) — 3

3. a) +

b) —

c) —

Ë) +

7. a) 25

b) — 13

c) 25

Ë) — 392

d) — 592

c) — 1 + 7 + (— 7) = — 1

8. a) 14,4

b) 4,53

c) — 1,772

Ë) — 1005,7

d) 18,656

Zapis raËuna —3 + 8 = 5 — 7 + 20 = 13 2 + (— 5) = — 3 0 + (— 12) = — 12 15 + (— 6) = 9 — 6 + 18 = 12

9. a) — 1

4. a) — 3 + (+9) = 6

b) — 3 + (— 4) = — 7

5. 1.seπtevanec 2. seπtevanec —3 8 —7 20 2 —5 — 12 0 15 —6 —6 18 6. a) — 8 + 5 = — 3 Ë) 30 + (— 12) = 18 7. — 19369 8. a) —

vsota 5 13 —3 — 12 9 12

b) se ne da d) — 10 + 1 = — 9

c) — 15 + (— 9) = — 24

1 20

b) — 1

1 8

c) — 2

5 42

2 15

Ë) — 2

34 45

d) 6 41

10. a) — 35

b) — 25

c) — 18

Ë) — 34

d) 64

11. a) 18,1

b) 7,4

c) — 4,9

Ë) — 7,3

d) — 413,1

1 12. a) 3 12

7 b) 2 16

c)

13. a)

151 120

29 30

Ë)

1 3

11 d) 1114

b) — 7,8

14. 36

DA

7 15. — 120

b) +

9. a) (— 2, — 3); (10, — 15); (0, — 5) c) (12, 6); (18, 12); (20, 14)

b) (— 1, 1); (— 2, 2); (— 4, 4) Ë) (1, — 9); (2, — 8); (3, — 7)

Odπtevanje celih πtevil 1. a) — 4 e) — 2740

b) — 55 f) — 2000

c) 39 g) 9

Ë) 132 h) 38

d) — 52

Mnoæenje celih in racionalnih πtevil 1. a) 15 b) 27 c) — 21

10 18 — 14

5 9 —7

0 0 0

—5 —9 7

— 10 — 18 14

— 15 — 27 21

2. a) 0 1 2 3 4 5

10

15

20

b) — 10

2. 2899 m

—3 —2

—1

0

1

3. a) 24

b) — 24

c) — 24

Ë) 24

4. a) — 72

b) — 49

c) — 108

Ë) — 275

Seπtevanje in odπtevanje racionalnih πtevil

5. a) 24000

b) 24310

c) — 200625 Ë) 13815

1. a) — 2

b) — 19

c) 6

Ë) 26

d) 33

6. a) — 50,4

b) 119

c) — 7,29

Ë) 6

2. a) — 591

b) 300

c) — 33

Ë) 571

d) — 824

7. a) — 20,544

b) — 2782,5

c) 0,126

Ë) — 1652,4

3. a) — 9,6

b) — 4,2

c) — 4,97

Ë) — 9,537

d) 0

8. a) — 12

b) 21

c) — 33

Ë) — 350

4. a) — 1 52

b) — 31

c)

1 24

23 d) — 2 36

9. a) 10 21

b) — 74

c) 4

Ë) — 63

5. a) — 22

b) — 12,6

c) 2729

Ë) — 13 30

5 d) — 5 12

10. a) — 31

b) — 3

c) — 0,085

Ë) 2

6. a) — 5,1

b) 11,9

c) 6,7

Ë) 8,2

d) petek

11. a) — 240 b) 8100 e) — 600000

c) — 1200

Ë) — 1

12. a) — 0,000008 b) 0,24 e) 55,566

c) — 9

Ë) — 168480 d) 1350

c) 1300

1 Ë) — 15

3. 77

7 12

Ë)

©tevilski izrazi s seπtevanjem in odπtevanjem

6

17 40

1. a) 5

b) — 3

c) 8

Ë) — 23

d) — 107

2. a) — 0,02

b) — 1,533

c) — 7,66

Ë) 87,82

d) 9,074

1 13. a) + 24

e) — 1

b) — 31

d) 0

d) 4 45

2

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 7

R

RA»UNANJE Z RACIONALNIMI ©TEVILI 14. a) — 40 e) — 6138 j) 0,512 o) — 10

b) — 28 f) 500 k) — 7,14

c) 45 g) 0 l) 52

—8

2.faktor produkt — 63

d) 560 i) 19,6 n) — 75

—5

1 — 16

— 202,5 1 30

—6

delitelj koliËnik

— 91

— 30 — 52

9

25 — 72

3

16. 6 17.

48

21. deljenec

— 24 25 — 1 13 — 5 19 32 25

0,2

7 — 1 18

12

15. 1.faktor

Ë) — 168 h) — 4200 m) — 43

27 50

Deljenje celih in racionalnih πtevil

Povezava raËunskih operacij 1. a) 120

b) — 1024

c) 136

Ë) — 16

2. a) — 3,6

b) 2,43

c) — 1,8

Ë) 3

3. a) + 2 45

22 b) — 2 25

c) 4 52

Ë) — 4 21

b) — 20 f) — 1 k) — 55 p) 14 u) — 47

c) — 16 g) — 18 l) 48 r) 0

Ë) — 40 h) — 71 m) 4 s) — 70

d) — 101 i) 270 n) — 126 π) 48 31

1. a) 8

b) — 8

c) — 8

Ë) 8

2. a) — 8

b) — 7

c) 27

Ë) — 362

4. a) — 9 e) 8 j) — 154 o) — 1 t) 20

3. a) 25

b) — 900

c) 500

Ë) 0

5. a) >

b) =

4. a) — 28

b) 78

c) — 14

Ë) 126

b) — 14,4 f) 15,17

c) — 0,16 g) 0

Ë) — 12,2 h) — 22,5

d) 2 2/9 i) 40

5. a) — 0,0046

b) 0,004

c) — 4

Ë) 8

6. a) 14,8 e) — 5,64 j) — 37,7

6. a) — 19

b) — 9,24

c) — 22,803

Ë) 25

7. a)

19 30

5 b) — 1 24

11 c) — 12

9 Ë) — 20

d) — 1 78

7. a) — 0,625

b) — 0,72

c)

e) — 4 23

f) — 3 43

1 g) — 20

h)

Ë)

27 35

2 75

4 c) — 35

2 Ë) — 35

9. a) — 20

b) — 20 41

c) — 30

Ë) — 64

8 10. a) — 75

b)

1 8

3 c) 3 11

Ë) 6

11. a) — 14 15

b)

3 4

c)

12. a) 4 21

b)

4 27

13. a) — 52

8. a)

3 10

2 9

b)

8. a) 121

b) — 941

c) — 179

Ë) 2970

9. a) 57

b) — 8,64

c) — 14 15

37 Ë) — 180

b) — 77 81

c)

16. a) — 34

b) 21

c) 20

d) 400

17. a) — 380

b) 70,97

c) 69,7

d) — 1

Reπevanje enaËb in neenaËb

10. a)

3 13

3 2

Ë) — 43

11. 1512

c) — 14 75

Ë) — 1 51

12. 2528

b) — 5

c) 4

10 Ë) — 3267

13. — 3375

3 5

b) — 21

c) 1

Ë) 6

15. a) 4

b) 32

c) — 250

Ë) — 10000

f) 1 31

13 g) — 1 15

14. a)

e) 0,0005 16. a) 0,1 e) —

2 23

17. a) 144 e) 10850 18. 1574 19. — 1 73 20.

1 31

b)

4 35

f)

11 74

7 10

c) — 12 g)

— 6 78

Ë) — 3,5 h)

1 2

14. — 118,5 d) — 5

15. 40

9 16

b) 160

c) — 400

Ë) 8000

f) 1 21

1 g) — 175

95 h) 1 256

1 3

1. a) 2 e)

7 — 7 18

2. a) 3 7 e) 7 18

3. a) 6 e) — 1 31

b) — 8

1 c) — 12

f) 1,3

g) — 7,7

b) 9,1

c)

f) — 0,24

g) 9,1

b) — 4 f) — 1,5

c) — 15 g) — 4

5 8

Ë) — 2 185 756

Ë) — 2 61

7 d) 5 20

Ë) 8 56

1 d) 7 10

Ë) 0,02

d) — 5,2

7

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 8

R 4. a) 8 e) 1

RA»UNANJE Z RACIONALNIMI ©TEVILI b) — 45 4 f) — 15

c) 6 g) 7 21

Ë) — 80

2 — 1 25

5. a) 8

b) — 13,4

c) 0,4

Ë)

6. a) 10 e) 17,43

b) 37 1 f) 1 12

c) 45 11 g) — 48

Ë) 6,3

7. 128 74 5 8. — 9 21

d) — 160

d) — 15,7

©pela se preizkusi 1. a) 30

b) — 4000

c) 130

Ë) — 1,6

2. a) — 26

b) — 3,6

c) 3

7 Ë) — 12

d) — 91737

3. a) 35

b) — 75,48

c) 78

Ë) — 21

d) — 210

4. a, Ë, d 5. a) 40

b) — 27000

6. a) — 2

b) — 19,5

7. 1,15 8. — 41 9. a) — 28 151 10. — 240

8

b) — 42,2

c)

2 3

Ë) 1002

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 9

3. POTENCE 1. a) 53 = 125

b) 75 = 16807

c) (— 4)4 = 256 4

3 8

m

81 4096

d) (— 1,2 )2 = 1,44

e) c

g) u6

h) (— a)4 = a4

2. a) 32 Ë) 144 f) 1

b) 343 d) 64 g) — 1

c) 81 e) — 27 h) — 25

3. a) 0,008 Ë) 1,21 f) 0,343

b) 0,0009 d) 0,0000000032 g) — 0,001

c) 0,00000001 e) 0,0144 h) 0,09

Ë) 0,063 = 0,000216

=

3

8 f) d - 29 n = — 729

4. a)

4 49

8 Ë) — 27

f) 5.

16 9

=

1 79

b)

27 125

c)

d)

1 16

e) — 79 = — 1 72

g) —

343 8

= — 42

1 16

12. a) R = {— 6, 6} Ë) R = {— 1,1}

b) R = { } d) R = {— 1}

c) R = {— 2} e) R = {3}

13. a) R = N Ë) R = {1, 3, 5, 7 ...}

b) R = { } d) R = {3}

c) R = {2, 4, 6, 8 ...}

14. a) a > 2

b) R = { }

c) c < 1

Mnoæenje in deljenje potenc z enakimi osnovami 1. a) 212 Ë) 414 f) 521

b) 316 d) 925 g) 828

2. a) 0,811

b) 1,210

c) (— 0,7)12

7

Ë) (— 3,7)14

7 8

potenca

potenËna osnova

potenËni eksponent

vrednost potence

3. a) 28 = 256 Ë) (— 5)4 = 625

24

2

4

16

(— 3)

—3

4

81

f) d 23 n =

— 72

7

2

— 49

3 4

3

27 64

d- 5 n

2

— 52

2

4 25

0,013

0,01

3

0,000001

(— 0,4)4

— 0,4

4

0,0256

5 7

3

— 125 343

— 49

4

2

— 16 = — 1 79 9

xa

x

a

xa

4

c) 1111 e) 717 h) 645

8

d) d 43 n

e) d - 75 n

b) 34 = 81 d) (— 2)7 = — 128

c) 45 = 1024 e) (— 6)3 = — 216

5

6

g) d 21 n =

32 243

i) 107 = 10 000 000

4

1 64

j) 1003 = 1000 000

h) d - 51 n =

1 625

k) 106 = 1000 000

4

3

d4n 2

3

— d 75 n 2

4. a) 95 · 92 Ë) 42 · 4

b) 33 · 38 c) (— 2)2 · (— 2)7 Moæne so tudi druge reπitve.

5. a) 86 Ë) 352 f) 94

b) 611 d) (— 3,7)4 g) (— 10)6

c) 3122 e) u8

6. a) 33 = 27

b) 26 = 64

c) 62 = 36

d) —(0,5)3 = — 0,125

e) d 52 n =

2

Ë) 42 = 16

4 25

3

53

5

3

125

72

7

2

49

(— 2)3

—2

3

—8

6. a) 1000 — tisoË c) 10 000 — desettisoË d) 1000 000 — milijon 7. a) =

b) =

c) <

f) (— 1,2 )2 = 1,44 i) 112 = 121

b) 100 000 — stotisoË Ë) 1000 000 — milijon e) 100 — sto Ë) <

d) >

e) <

f) >

g) <

h) <

8. a) x = 5 Ë) u = 2

b) a = 3 d) n = — 3

c) m = 4 e) t = 9

9. a) 6 Ë) 25

b) 7 d) 23

c) 5 e) 33

10. a) 59049 Ë) 0,0000001024 f) — 0,16807

b) 1331 d) 0,000729 g) 0,00000625

c) — 7776 e) 2,0736 h) 1,9487171

11. a) 2 f) 7

c) 9 h) 2

2

2

b) 6 g) 3

Ë) 3 i) 8

d) 4 j) 9

k) 0,33 = 0,027

b) a = 3 d) n = 6

c) u = 5 e) t = 1

8. a) x = 4 Ë) m = 5

b) a = 12 d) n = 7

c) u = 1 e) t = 5

9. a) 16 Ë) 1

b) 27 d) — 0,008 1 g) 16

c) 4 e) 216 h) 0,09

i) 16

e) 6 k) 1

j) (— 9)3 = — 729

7. a) x = 2 Ë) m = 7

f) 1

3

1 g) (— 0,2)5 = — 0,00032 h) d - 31 n = — 27

j) 9

k) — 5

10. a) x = — 5

b) m = 6

c) a = — 2

11. a) 27 = 128

b) 35 = 243

c) (— 2)7 = — 128

12. a) u 5 Ë) x 6 f) 4x 2

b) a 8 d) a — 9 g) 3a 4

c) x — 3 e) b 3 h) 4b — 5

13. a) 92 = 34

b) (— 2)3

c) 54 = 252

Ë) (— 2)7

9

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 10

R

POTENCE

Potenciranje produkta in koliËnika 1. a) 26 · a 6

Kvadratni koren racionalnega πtevila in delno korenjenje

b) 63 · x 3

c) 54 · x 4 · y 4

d) 0,25 · u5

e) d 23 n · m 2

2

Ë) (— 3)3 · a 3 3 2. a) a64

b)

a Ë) m na

2. 2,65; 3,32; 3,87; 6,86; 11,53; 16,4; 24,27; 41,4; 67,68

4 c) a 4

25

x2 8 $ x3 d) 27

b $ a2 e) 4 25

3. a) 63 = 216 b) 106 = 1000000 Ë) (—100)4 = 100000000 d) (— 2)7 = — 128

3. 0,7; 1,3; 1,6; 0,04

c) 205 = 3200000 e) 1003 = 1000000

5

3

3 f) d 10 n =

243 100000

h) d - 23 n = — 27 8

g) 34 = 81

Ë)

=—

1 8

5. a) 256 1 Ë) 256

6. a) 34 = 81

c) 26 = 64

d) 204 = 160000

e)0,23 = 0,008

7. a) 2,6 e) 5,7

b) 729

c) — 1

1 d) — 8192

e) 32

b) (— 2)12 = 4096

c) (— 1)35 = — 1

1 d) d 21 n = 64

Ë) 2 = 512

7. a) (53)12 Ë) (52)18

6 4 5 1 21 ; ; ; ; 7 9 12 10 27

b) 53 = 125

6

9

5.

6. a) 12; 10; 12; 12;

j) 5002 = 250000

3

1 d- 2 n

4. 110; 300; 90; 200

k) 105 = 100000

i) 83 = 512 4. a) 34 = 81

1. 3; 5; 11; 13; 15; 17; 20; 25; 43

e) (— 10) = 10000000000 c) (59)4

6 b) - a 6$ b

6 8. a) 9 $ x 2

4$y

9

b) 3,3 f) 7,8

c) 4,1 g) 9,2

8. 3 ·

3; 6 $

11; 4 $

2$

11; 4 $

3; 10 $

9.

6$

7

;

7

10

b) (56)6 d) ((53)6)2

b) 3,3; 0,6; 0,35

7;

7$

5 5

3a $

;

5; 2 $

2; 2 $

5; 1, 2 $

11 $

3

3

5$

;

Ë) 4,4 h) 9,8

5; 0, 2 $

10 2

6; 5 $

;

1, 3 $

3

3

d) 5,2 i) 10,9

2; 5 $

3; x $ 0, 1 $

;

3

11

11

3;

;

3$

5 5

;

2

2

RaËunanje s potencami in kvadratnimi koreni

c

20

c) 243 $ u 3 $ v

15

1. a) (— 2)3 < (— 1)5 < 0 < (— 2)2 < 23 < 32

6 12 Ë) 25a4b

b) — 9 < (— 2)3 < (— 1)6 < 42 < (— 5)2 < 33

c

x

c) (— 2)3 < — 25 < 0 < 16 <

49 < 23 < (— 3)2 =

81

Ë) — 2 < — 2 = (— 2) < 2 < (— 2)4 < 25 6

e) — 16 ·

1. a) 49; 121; 64; 289; 9; 81; 1 b) 0,25; 0,0004; 0,36; 0,0169; 0,000016; 2,25; 3,24; 0,01 c) 1600; 1210000; 49000000; 90000; 4000000; 10000 9 144 1 225 576 ; ; ; ; 25 361 9 49 256

2. a, Ë, e, f, g 3. a) 1024; 173889; 263169; 65536; 108241; 788544; 4225 b) 0,042849; 0,007056; 0,8836; 32,7184; 376,36; 57,76; 1108,89 c) 11696400; 56250000; 184960000; 790312000000; 240100; 756900; 2883690000 b) 2,56 d) 0,000196 g) — 361

2. a) < e) > 3. a) 41 d) 39

d) 9x 2; 49a 2; 1,69y 2; 0,81m 2; 144x 2y 2z 2

4. a) 810000 Ë) 2,89 f) 23,04

6. a) >

10

b) 1267,36 d) 0,0000126736 b) >

c) =

2

c) 16900 e) 11025 h) — 1,69 c) 1267360000 e) 126736000000 Ë) <

6 < —3 ·

5<

9<

b) > f) <

9 < 11 < 3 ·

4·

6<5·

c) > g) <

b) — 257 e) — 22

2

2 < 2 · 16 Ë) > h) <

c) — 240 f) 16

d) < i) < Ë) — 472 g) 52 k) 3

15 16

h) — 1

i) 1

j) — 357

l) 10 p) — 19

m) 14 r) — 1

n) — 29 s) 153664

o) 89 π) — 2,5

u) — 34

v) 109

z) — 68

b) 62 e) 0,138 i) 44

c) 108 f) 98 j) — 5

Ë) — 143 g) 18

b) 2

c)

t)

1 20

æ) 24 4. a) 2 d) — 7,5 h) 5 5. a)

5. a) 12,6736 Ë) 0,126736

3

d) — 36 < — 4 < 1 <

Kvadriranje racionalnih πtevil

Ë)

3

53 60

6. a) 8 7. a) <

b) — 3 3

17 19

b) >

8. To πtevilo je 160.

18 15

c) 1 c) >

=1

1 5

Ë) 1

Ë) —

1 8

d) — 7 Ë) <

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 11

R

POTENCE ©pela se preizkusi 16 81

1. a) 243

b) — 125

c)

2. a) 73 = 343

b) 62 = 36

c) (— 9)1 = — 9

3. a) x = 5

b) a = 2

c) u = 1

4. a) 81

b) 169

c) — 49

d) 0,0009

e)

Ë) 360000 5. a) 6 Ë) 0,3

9 16

b) 11

c) 20

d) 1,2

e)

2 5

6. a) 64

b) 64

7. a) 104 = 10000

b) 18 = 1

8. a) 20,5209

b) 2052,09

c) 0,205209

9. a) 9

b) 4

10. a) — 1

b) 125

11. a) 2 $ 12. a)

5

3$

5 5

c) 1

b) 3 $ b)

Ë) 2052090000

2

5$

8 2

=5$

2

11

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 12

4. IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI x x —5

12 7

4 —1

0 —5

—2 —7

—8 — 13

2. 3x, — 4x, 21 x, — x

b)

x 2·x+7

1 9

3 13

0 7

—3 1

— 10 — 13

3. enoËlenik a) 3b

c)

x x2

6 36

9 81

12 144

—7 49

— 11 121

1. a)

2. a) — 33

b) 25

c) 10

3. b; koliËino Rokovega denarja.

4. a) P 5. a) 3x + 6 Ë) 7 + b3

b) N; — 5

c) N; — 44

—2 3

Ë) 43 a 3b 3

3 4

d) 6a

6

b) (a + b) · (— 7) d) (19 — y) · (x + 34)

Ë)

c) (a — 4) + 15

1 klm 30

p=

+ 3n ;

c)

p = m·n s=

i +$ jj 2

b) 452 d) 804

a

a

a

1 2a

9. a) N e) N

b) P f) N

c) P

10. a) o = m + p + r ; triËlenik c) o = 4 · h ; enoËlenik

Ë) N

d) N

b) p = k · l ; enoËlenik Ë) o = 2t + 2p ; dvoËlenik

Mnoæenje enoËlenikov

c) 9641 e) 6029

»e so Ëleni zapisani po zaporednih padajoËih potencah x-sa, so zaporedne πtevke πtevila zaporedni koeficienti.

Na mestu, kjer manjka zaporedna potenca x-sa, je πtevka 0.

11. a) 1. moænost: πtevilo ab pomeni 10 · a + b 2. moænost: πtevilo ba pomeni 10 · b + a

1. a) 63a e) 52f

b) 60b f) g 2

c) 54c g) i 3

Ë) — 12d h) t 4

d )— 77e

2. a) 12xy e) a 3b 3 j) 6a 3b 2x 3

b) 128z f) — 10a 2b 3

c) 56s 2 g) 25ab

Ë) — 6x 7 h) 2xy

d) 24a 2 i) 0,03z 2

· 3x 7y — 2z

3.

b) veË moænosti npr. za πtevilo def je 100d + 10 e + f.

Ostale moænosti: dfe edf efd fde fed c) 104m + 103n + 102o + 10p + r — 10 — 9 — 8 — 7 — 6 — 5 — 4

—3 —2

—1

0

1

2

3

4

5

22 nn — 20 — 18 — 16 — 14 — 12 — 10 — 8

—6 —4

—2

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20

2n+1 — 19 — 17 — 15 — 13 — 11 — 9 — 7

—5 —3

—1

1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21

6

7

8

9

10

EnoËleniki in veËËleniki 2+x

x

8xy

— 2x

1 a 4

20

a

3+b -c

NE

DA

DA

DA

DA

DA

DA

NE

1

8

—2

1 4

20

1

7x 21x 2 49xy — 14xz

— 3y — 9xy — 21y 2 6yz

6z 18xz 42yz — 12z 2

4. a) 6a 2

b) P

c) 20x 6

Ë) 8a 3

5. a) 2e 8

b) — 8n 4

c) — 52 b 4

Ë) — 21 mno 2

d) 9a 3b 4c 4

koeficient

d) — 2n 2, 7n 2, 43 n 2

Ë) Ne.

9. a) Dvakratniku πtevila x priπtej 3. b) Trikratnik razlike πtevil a in 5. c) Od vsote kvadrata πtevila b in sedemkratnika istega πtevila odπtej 43 . Ë) Produkt vsote πtevil x in 3 ter razlike πtevil y in 5.

12

dva; dvoËlenik

a

b)

f) o = p + r + s

enoËlenik DA/NE

dva; dvoËlenik

7. a) 2b 4 — 5b 3 + b 2 — 3b — 1 b) — u 4 + 3,7u 2 + 1 c) — 15e 4 — 13f + 7g — 2h 7 8. a)

e) o = i + j + g + h

1. izraz

tri; triËlenik

6. d, e

g$h 2

d) o = 2m + 2n

nn

1 ; 2

5. VeË moænosti. Naprimer: a) 6ab 3, — 2ab 3, 21 ab 3 b) 2d, — 5d, 0,3d

8. a) o = 3c b) o = 4z p = z 2 c) o = p + 2r

12.

3

c) — 8g +

7. a) — 3 b) 10 c) 19 Ë) 18,5 Ë) 48 »e je x poljubno pozitivno in y poljubno negativno πtevilo, ali pa, Ëe sta x in y negativni πtevili in je |x | < |y |.

10. a) 37 Ë) 21395

b) — 2a c) 3x 2y

4. a) tri; triËlenik b) — x 5 — 3x + 5 ;

6. Ë

Ë) o = 4t

koeficient 3

6. a) 5

e) — 52 x 5 y 4 b) 2a

7. x, 5x; 30o, 150o

f) — 42 u 10v 6

c) — 8

Ë) y

8. o = 4 · 3c

d)

1 4y

o = 12c

e)

1 6xy 5

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 13

R

IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI Seπtevanje in odπtevanje enoËlenikov 1. a) 2a e) 3f

b) 3b f) 2g

c) 4c g) 4h

Ë) 11d h) 17i

d) 8e i) 2x — 3y

2. a) 11a e) — 39g

b) 30b f) 13ab

c) 5c g) 18a 2

Ë) 3x h) — 5xy

d) — 3m i) 12x 2y

3. a) 7a + 3b Ë) — 2m — 3n f) 22x + 5 i) 25

b) 9a + 14b d) — m + 8n g) — 25x + 99

b) 8a — 7b d) 2x 3 + 6x 2 + 7x

4. a) 8y Ë) 12a 2

c) 4a + 4b e) — 13m — 10n h) 74x — 25

c) — 6ab — 5a + 7

5. a) 5xy

b) — 5m 3

c) 0

Ë) 0,6a 5

d) 81 a 2

6. a) 9x

b) 16y

c) 14e

Ë) — 1t

d) 27r

7. a) 7a b) / c) / Ë) / d) 6a e) / f) — 9a g) / »e Ëleni niso podobni, jih ne moremo seπteti (odπteti).

8. a) 11x + 3y — 4z c) — 0,1b 3+ 0,3b 2 — b + 0,2

b) a 3 + 4a + 4 Ë) 2,2 a 3x + 0,2ax — 4 ax 3

d) — 43 a 2b — 83 ab 2

10. 12a 2 — 4ab + 2b 2 11. osnovnica a — 2, krak a; o = 3a — 2 12. a) b

b) 5x — 5y

c) — 5

d) 1

Mnoæenje enoËlenika z veËËlenikom 1. a) 2x + 2y Ë) 3x + 6y f) 3x — 6 i) — 2s — 2t l) xy + 3x o) — a 2 + a b — 2a c

b) 6a — 6b d) 5x — 5 g) 2a + 6 j) — 9g + 9h m) y 2 — 2y p) 4a — 6b — 8c

c) 8m — 8n + 8p e) 7n — 35 h) mn — 2n k) — 4c + 4d n) 6x + 3y — 15 r) — 2m + 3n — 5o

2. a) 5a 2 + 5a b Ë) — 4b 2 + 12b f) 6a 2 — 2a i) x 4 — x 3 + x 2

b) 3xy — 3x d) — 2x + 3y g) — m 2 — m

c) 6m 2 + 4mn e) 6e + 18 h) 4x 2 — 12 xy + 8xz

3. a) 2

b) 3

c) e

4. a) — 2a 2b + 2a b 2 c) b 3c — 2b 2c 2

b) 3x 3 — 9x 2 Ë) 2a 3b 3 + 3a 2b 4

d) 52 x 5 — 23 x 5y

e) a 2b 2c + a 2bc 2 + a b 2c 2

f) 4s + 4s t — 4s t — 16s 5

e) x 2y — xy 2

Ë) x 2 — x — 2

4

5

4

g) — 6mn 2 + 9m 2n + 3m 2n 2 — 3mn

h) — x + x — x + x — x 5

4

3

2

9. (8a + 15a) + 2a = 25a 5. a) Enaki kot pri Ëlenih veËËlenika A. b) Nasprotni kot pri Ëlenih veËËlenika A.

10. — 5a, — 4a, — 3a, — 2a, — 1a, 0a, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a 11.

39a 4

= 9 43 a

12. α = 45o

β = 60o

13. a) o = 14s

b) a =12 cm, b = 16 cm

6. a) 5x — 3y Ë) — 2n 2 + 2n f) — 6a 2 — 14a + 14

γ = 75o

7. a) 13a — 6 = — 32 c) 11x — 10y = — 31 d) — 30y + 30 = 120

Seπtevanje in odπtevanje veËËlenikov 1. a) 5x — y

b) — 4a + 5b c) 2a — 1 2

2. a) x — 1 = 2

b) — 3x + 4y = — 22

3. a) b + 5 Ë) x — 3

b) b — 5 d) — x — 3

c) — x + 3 e) x + 3

4. a) 4a — 5b e) 2a j) 3y + 2

b) x + 1 f) — 2n + 3

c) — b g) 3z — 2

5. a) 8x — 5y

b) 11a — 2

c) 8x + 8

Ë) 8x + 4

d) 2a — 1

c) c + d = — 8

8. a) — 2x + 6 c) — 24b + 106 9. 15 m in 5 m

b) 7a — 5 d) — x + y g) — 5b + 12

c) m + 4 e) 6x 2 — 20x + 5

b) — 2u 2 + 3u + 2 = — 7 Ë) 14b — 18 = — 11 e) 6y 2 — 5yz — 20y + 3z 2 = 109 b) — 3a 2 + 5a + 9 Ë) 21x 3yz 2 — 34x 2y 2z 3 — 33 xy 3z 4+ 48 xy 3z 5

ter

15 m in 7 m

10. 30 cm, 28 cm 11. 14

6. a) 4a — 8b = 0

b) — 2x 2 = — 50

Ë) 2x — 2y h) — 2a — 9

d) — 2m — 2 i) x — 13

c) — 14b 2 = — 686

Izpostavljanje skupnega faktorja 1. a) 3(x + y) Ë) a(b + c) f) a(1 — 3b) i) x(x 2 +1)

b) 7(a — b) d) c(2 + 3d) g) x(x + 1) j) y 2(y 2 — 1)

c) 5(x — y + z) e) 2(a — 1) h) y(1 — y)

2. a) 3(2a — b) Ë) 4(3z + 2)

b) 4(3x + 4y) d) 8a(b — 3c)

c) 5(5a — 4) e) 4x(x 2 — 1)

7. 2x 2 + 2x + 8 8. b = 2a, c = 2a — 5, o = 5a — 5 9. 1. πt.: 13 — 8x, 2. πt.: 13 + 6x, vsota: — 2x + 26

13

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 14

R

IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI

3. a) 57(4 + 6) = 570 c) 68(42 + 58) = 6800

b) 23(22 — 12) = 230 Ë) 35(23 — 28) = — 175

8. a) 2a 2 + a + 3ab + 9b — 15 b) 2x 4 — 5x 3 + 7x 2 — 6x c) 2x 2 — 2xy — 5xz + 3yz + 3z 2 Ë) 6m 2 + 7mn + mu — 3n 2 + 7nu — 2u 2 d) 6a 2 — 0,21ab — 0,09b 2

4. c, d, e; 3x(2a + 3y) 5. a) 5(4a + 5b — 6c) Ë) 4a(b 2+ 2) f) 2y (3x + 2z) i) 3ab(— 3 + 7a)

b) 4(4x — 3y + 5z) d) 9m 2(n + 1) g) 3a(a + 2b + 4) j) x (x 2 + x + 1)

c) u 2 (v + 3) e) 4x 2y (x + 3y) h) 2x 2(5y — 1) k) 6a 3b 3(5b — 7a 2c)

6. a) — 1(x + 5) b) — 1(3 + y 2) c) — 1 (— z + 5) Ë) — 1(2a — 3b) d) — 1(— 5m — 7n) e) — 1(2c — 3d + 5e) f) — 1(— x 2 + 4x — 5xy) g)— 1(— 4a — 3b + 5c) Predznaki se spremenijo.

13 xy + y 2 6 1 + 12 a — 6b 2 — 3 mn — n 2

e) x 2 — f)

3 ab 4

g) m 2

—

2 3

9. a) (3x — 5) + (2x + 3)(3x — 5) = 6x 2 + 2x — 20 b) (2a)2 — (— 6a)(a + 4) = 10a 2 + 24a c) (— 3y — 5)(y 2 — 3) = — 3y 3 — 5y 2 + 9y + 15 10. (a — 5)(a + 4) = a 2 — a — 20

7. a) 3

b) 3x

c) y — 3

8. a) 0,8a(3b + 2a — b)

11. a) — 4x 2 + 6x + 6 c) 5b 2 + 8b — 42

b) 0,2ab(a — b)

c) 21 x (1 + 3x — 5x 2) 9. a) 4; a

Ë) 7a + 2b — 5

Ë) 61 ac (4 — 3b + 5de)

b) 6b 2; 4

c) 150; 3c

Ë) 15xy; 3y; 3xy

12. a)

12m 2 - 39mn + 30n 2 2

b) 15

10. a) xv + xk + xz b) x(v + k + z) Razlike ni. Povezava zakona o razËlenjevanju in izpostavljanja skupnega faktorja.

13. ©tevili sta 325 in 523.

Mnoæenje veËËlenika z veËËlenikom

1. a) 15a 7 Ë) — 2b

b) 8 x 7 d) 6m — 3

c) 27 a 15b 3 e) — 7a2 + 10a

2. a) 8a — 2b

b) — 12x + 15

c) — 6z + 6

3. a) 5(4a — 5)

b) 7b(2ac + 7)

c) 4x(3x + 2)

4. a) 10a — 4b c) x 4 — x 3 + x 2 d) 2x 2 — 7xy + 3y 2 f) u 2 — 9

b) — 15 c 2 — 18cd + 21c Ë) 2ac + 2ad + bc + bd e) 4a 2 + 19ab — 30b 2 9 2 g) 16 a + 3a + 4

1. a) x 2 + 3x + 2 Ë) d 2 + 14d + 48 f) m 2 — 4m — 12 i) n 2 + 4n — 32 l) x 2 — 3x + 2 o) z 2 — 13z + 36 s) y 2 — 9y + 20

b) a 2 + 8a + 15 d) x 2 — x — 2 g) k 2 + 7k + 10 j) t 2 — t — 20 m) s 2 — 12s + 27 p) ax — ay + bx — by

2. a) 6x 2 + 11x + 4 c) 35t 2 + 46 st — 16s 2 d) 6x 2 + 19xy + 10y 2 f) 20m 2 + 2 mn — 6n 2 h) — 6cz + 3c + 2z —1 j) — y 3 — 5y 2 + 3y + 15

c) b 2 + 11b + 28 e) c 2 — 2c —15 h) x 2 + x — 2 k) o 2 + 3o — 10 n) v 2 — 10v + 16 r) — a 2 — 2a + 8

b) 6a 2 — 5a — 6 Ë) 15d 2 — 22d + 8 e) 8a 2 — 18b 2 g) 15k 2 — 36km + 12m 2 i) x 3 — 2x 2 — x + 2 k) 2a 4 — 5a 2b + 3b 2

©pela se preizkusi

5. a) a 2 — a 2 + 5a + 2a — 10 = 7a — 10 b) 12x — 3 — 20x 2 + 8x = — 20x 2 + 20x — 3 6. — 13 7. x 2 — 9 — x 2 + 2x — 1 = 2x — 10 = — 9

3. a) a + 2 b) b + 5 c) (a + 2) (b + 5) = 5a + 2b + ab + 10

1 2

8. (a 2 + a — 2 — a 2 + 3)(a — 1)= (4a — 2)(a — 1) = 4a 2 — 6a + 2 = 30 (3t) (1t) (1t)

4. a) x — 9 Ë) 4a 2 — 36

b) a — 25 d) 9x 2 — 4y 2

c) 49 — y

5. a) x + 6x + 9 Ë) 4a 2 — 24a + 36

b) a — 10a + 25 d) 9x 2 + 12xy + 4y 2

c) y + 14y + 49

9. (2x + 4)2 — (2x — 4)(2x + 4) = 16x + 32 (3t) (1t)

6. a) x 2 — x — 7 Ë) 4z 2 + 5z + 3 f) — 5m 2 + 4m + 4

b) a 2 — 7a + 24 d) 2x 2 + 2x — 6 g) x — 23

c) — y 2 + 6y + 21 e) — 2b + 2

10. a) 4(4x + 3) = 16x + 12 b) (4x + 3)2 = 16x 2 + 24x + 9 c) o = 60, p = 225

2

2

2

2

7. a) — x — 6 = — 3 c) 3y 2 — y — 6 = — 5 43 d) — a 2 — 5ab — 2b 2 = 8

14

b) — 3a 2 + 12 a + 15 Ë) 15x 2yz3 — 15xy 2z 4 + 12x 2yz 2 — — 8xy 2z 3 — 8xy 3z 4 + 30xy 2z 5 + 48 xy 3z 5

2

2

b) a 2 — 5a + 3 = — 3 Ë) 4m 2 — 3m — 12 = —5 1 e) — 4x 2 — 7xy = — 1 36

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 15

5. PREMO SORAZMERJE 5.

Koordinatni sistem 1. a)

y 2 1

y

4 B

x

—1 0 1 2 3 —2 N

5 D

C(4, — 3)

3

6.

2 A

1

D

F

—4 —3 —2 —1 0 1 —1

3

2

4

y

4 3 2 1

x

5

x 0 1 2 3 4 B

A

E

—2

C1

D1

C

Dve reπitvi: 1. C (1, 2); D (— 2, 2) 2. C1(1, — 4); D1(— 2, — 4)

C

—3

7. b)

x = —2 4 3 2 1

y C

3 D

—2

2

x=0 y

y=4

x y=0

—1 0 1 2 3 4 5 —2 —3

y = —3

x=5

1

8. a)

b)

x 0

-1

-2

1

2

y

3

c) y

y

y ≥ —2

y≤5 x

1

-1

—2

—4

x

1

0 1

0 1

≤x≤3 x

1 —4

5

0 1

3

B -2

A

Ë)

d)

e)

y

2.

3 2 1

y G (— 5,2)

y

y

y=3 y<3

x

0 1

—1

1

—2

y > —1

2 1

x 0 1

y = —1

y = —2

1

0

9.

y

3. F(2, 5), G(4, 1), H(— 1, 3), I(— 4, 2), J(— 3, — 2), K(4, — 5), L(0, 4), M(3, 0), N(0, — 3), P(— 4, 0)

B

1 —1 0 1

4.

0 1

—2

x —5

x

1 —1

y=3 ≤y≤3

y

x

D

C A

H

G

E

F

a) C(0, — 3)

K

P

A

P

O

1 0 M

N U

B

x 1

T

10. a) 1. kvadrant: B, G 2. kvadrant: F, H 3. kvadrant: C, E 4. kvadrant: A, D b) uËbenik na str. 122 11. a) D(— 3, — 1)

I

b) D(3, 0)

C

D

R

S J

P(3, 1)

M(3, — 1)

15

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 16

R

PREMO SORAZMERJE b) T1(— 3, — 9), T2(— 2, — 7), T3(— 1, — 5),

Medsebojno odvisne koliËine

T4(0, — 3), T5(1, — 1), T6(2, 1)

1. Konstantne koliËine so v primerih a, Ë, e, f.

y

2. Medsebojno odvisni sta koliËini v primerih a, c, Ë, d.

T6

1

3. Povezave a) in 2

b) in 3

c) in 7

Ë) in 1

4. a), b) in c) dolæine stranice a Ë) dolæin stranic a, b, in c d) dolæine osnovnice c in kraka a e) dolæine roba kocke a f) dolæin robov kvadra a, b in c g) velikosti osnovnice o in pripadajoËe viπine vo.

x —3

—2

—1

0

—1

c) a =

T5

—3 T 4

—4

b) a = b + 2

b 2

2

—2

Ponazarjanje odvisnih koliËin 1. a) a = 2b

1

—5

T3

Ë) a = b — 2 —6

2. b 3. a) 2

b) 2

c) 1

Ë) 0

d) 3

—7

T2

e) ne

—8

4. a)

x y

—2 —1 —6 —3

0 0

1 3

2 6

3 9

—9

T1

b) T1(— 2, — 6), T2(— 1, — 3), T3(0, 0), T4(2, 6), T5(3, 9)

c) b = 2 · a — 3

y

6. c 9

T5

7. c x

9. a)

8

y

7 6

—2 —1 5

2

1

2

1

2

5

1 2

1 41 1 41

T6( 21 , 1 41 ), T7(— 21 , 1 41 )

3

y

2 1

x

T3 0

1

2

T1

3

T5

5

—1 —2 T2

4

—3 —4

3

—5 T1

—6

2

T2 T7

1

T4 T6 T3

x —2

c) y = 3 · x 5. a)

a b

—3 —2 —1 0 1 —9 —7 —5 —3 —1

2 1

—1

0

1

c) y = x 2 + 1 10. o = 10x

16

— 21

b) T1(— 2, 5), T2(— 1, 2), T3(0, 1), T4(1, 2), T5(2, 5),

4

—1

0

T4

5

—2

8. c

11. b

p = 6x 2

2

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 17

R

PREMO SORAZMERJE 2. c) t (h) s (km)

Premo sorazmerje 1. a, b, e, f

3 18

1 6

5 30

7 42

2 12

4 24

8 48

s=6·t s (km)

2. ©portnik Alen prehodi v 1 uri 7 km, v 5. urah pa 35 km.

50

3. Za 1 kg kruha potrebujemo 900 gramov moke.

40 30

4. V enem avtobusu se je peljalo 52 otrok.

20 15 10

5. 4 kvadratne metre stane 981,6 €.

t (h) 0

6. Janja je ta mesec zasluæila 500 €.

8. Ne. KoliËnik med zneskom in πtevilom svinËnikov se spreminja — ni stalen.

KoliËniki so: 2; 1,8 ; 1,8; 1,75; 1,72 1 12

3 36

5 60

9 27 108 324

2 24

2 2,5 3

4

5

6

7

8

Kolesar prevozi 15 km v 2,5 ure.

7. a) Za 350 km porabi avto 24,5 litrov bencina. b) Avto prevozi z 42 litri bencina 600 km.

9. πt. zabojev πt. steklenic

1

4 48

7 84

3. a (cm) o (cm)

1

2

3

3.5 4

4

8

12

14

3

4

1 2

5.25

18

21

o (cm) 21 20 18

8 96

14 10 8

10. a) 8,1 €

b) 9 kg

11. a) 0,9 kg; 2,7 kg

b) 11,1 kg

4

a (cm) 0

12. VeË vpraπanj: Koliko stane ena Ëokolada v Bonbonku? (1,28 €) Koliko stane ena Ëokolada v »oku? (1,32 €) Kje je Ëokolada cenejπa? (v Bonbonku) Koliko bi stale πtiri Ëokolade v bonbonku? (5,12 €) Koliko bi stalo πest Ëokolad v »oku? (7,92 €)

druæina druæina druæina druæina

2

5 4

3,5

o=4·a

6

5

4. V (l) 1 5 8,5 12 m (kg) 0,9 4,5 7,65 10,8

m = 0,9 · V

m (kg) 11 10,8

13. Medsebojno odvisne koliËine so v primerih: b, c, d, f, g, h, i; Premo sorazmerne koliËine so v primerih: b, f, h, i Druga koliËina se dvakrat poveËa: b, f, h, i Druga koliËina se dvakrat zmanjπa: c, g 14. 4-Ëlanska 3-Ëlanska 5-Ëlanska 2-Ëlanska

1

10 9 8 7,65 7

22 € 16,5 € 27,5 € 11 €

6 5 4,5 4 3

15. Za kvadratni meter je cena 50 €; 225 €

2 1 0,9

Grafi in enaËbe premo sorazmernih koliËin

V (l) 0

1. b) t (min) 1 V (l ) 0,5 V=

1 2

2 1

3 1,5

4 2

5 2,5

6 3

5.

1

x y

·t

V (l ) 4 3,5 3 2 1

t (min) 0

1

2

3

4

5

V je 3,5 litrov po 7 minutah.

6

7

y=4·x

2 2,5 3

2 8

5 20

4

7 28

5

6

7

1 2

1 4

2

1

8 8,5 9

10

11

12

y 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

x 1

2

3

4

5

6

7

17

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 18

R

PREMO SORAZMERJE

6. a) Za 12 SIT dobiπ 6 g popra, za 5 SIT pa 2,5 gramov popra. b) 10 gramov popra stane 20 SIT.

3. Rok mora odgovoriti na 35 vpraπanj.

4. a) Æana je prebrala 15, 45, 75 strani knjige. b) Knjiga ima 150 strani.

znesek (SIT) 20

5. a) 50 % je 180o b) 33,3 % je 120o c) 75 % je 270o Ë) 16,7 % je 60o

12 10 8 6 5 4 2

m (g)

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2,5

7. t (h) 8 πt. lonËkov l 4000

1 500

2 3 1000 1500

1,5 750

l = 1500 · t a) V petih urah stroj izdela 2500 lonËkov. b) Stroj izdela 3000 lonËkov v 6. urah.

8. b, d 9.

6. a) 6 uËencev b) 120 uËencev c) 30 uËencev Ë) 102 uËenca d) 600 uËencev 7. ©pela je prodala voπËilnice za 1100 €.

8. 20 % 9. a) 120o 240o

cena (€) 300

10.

200

s

100

108o

72o

36o

s

s

180o

216o

s

s

dolæina (m) 0

10. a)

1

2

3

4

5

6

a

3

2

1 2

4

b

45

30

7,5

60

7

144o

s

b = 15 · a

Procentni raËun kot premo sorazmerje 1. Ne. NapaËno je doloËil deleæe, ker ni upoπteval, da so % in pripadajoËi deleæi premo sorazmrni % 5 10 15 20 25 30

2.

18

deleæ 50 100 150 200 250 300

252o

288o

s

s

11. Trgovinska cena fotoaparata je 1086 €.

12. Knjiga ima 400 strani; prebrati mora πe 130 strani.

13. Cena je bila niæja kot pred podraæitvijo.

% 1 8 10 35 5 10 13

deleæ 12 96 120 420 60 120 156

Celota je vedno 100 %, v tem primeru ji pripada deleæ 1200.

14. a) 12,5 % b) 25 % c) 37,5 % Ë) 50 % d) 62,5 % e) 75 % f) 87,5 % g) 100 %

α = 45o β = 90o γ = 135o δ = 180o ε = 225o ω = 270o π = 315o ν = 360o

324o

s

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 19

R

PREMO SORAZMERJE 2. a) C x · y = 36

Obratno sorazmerje 1. Produkt x · y = 12 je stalen; obratno sorazmerni. a 6 3 18 9

2.

b 15 30 5 10

3. a) a (cm) 1 b (cm) 10

a·b 90 90 90 90

2 5

2,5 4 4 2,5

5 2

10 1

b (cm) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3. a) 3 b) 4 4. a) 30 ur

b) da

b) 10 ur

c) 30 obiralcev

0

5. 25 dni

a (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a · b = 10 6. 18. tovornjaki 7. 3 goldinarje

4. b, c

8. 2 delavca — 8 ur 1 delavec — 4 ure 16 delavcev — 1 ura

5. Ëas t (h) 4 24 12 8 4 πt. lonËkov n 6 1 2 3 6

9. a) 7,5 ure c) 55 000 steklenic

3 2 1 1 2 3 8 12 24 24 12 8

6 4

8 12 24 3 2 1

πtevilo lonËkov 24

b) 10 strojev Ë) 105 600 steklenic

22 20

10. 1 ura 20 minut 11. a) 24 ur

18

b) 16 ur

16

c) 3 cevi

14

12. celotna pot 225 km; Ëas 2,5 ure

12 10

13. 2 dl

8

14. a) 15 stopnic

b) 20 cm

6 4 3 2 1

15. 14,4 € 16. 30. dneh

Ëas (h) 0 1 2 3 4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

17. πe za 48 dni, skupaj torej za 51 dni.

t · n = 24

18. 22 strani

Ë) pet strojev v 4 h 48 min, 9 strojev v 2 h 40 min.

Grafi in enaËbe obratno sorazmernih koliËin 1. dolæina kosa (cm) 1 2 4 5 8 10 25 40 50 200 100 50 40 25 20 8 5 4 πtevilo kosov 200 200 200 200 200 200 200 200 200 l·n

6. a) x 1 2 3 y 18 9 6 x · y 18 18 18

6 9 18 -1 -2 -3 -6 -9 -18 3 2 1 -18 -9 -6 -3 -2 -1 18 18 18 18 18 18 18 18 18

l · n = 200 dolæina kosa (cm) 200

100 60 50 40 25 10 20 0

πtevilo kosov 2 45

8 10

20

25

30

40

50

19

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 20

R

PREMO SORAZMERJE b) obratnem sorazmerju c)

y y 4

18

3

2

9

6

1

-18

-9

3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3

-6

x

x 6

9

—4

18

—3

—2

—1 —

0

1

2

3

4

—1

-6

—2 -9

—3

—4 -18

Ë) ne, npr.: ker med celima πteviloma 1 in 2 ni nobenega drugega celega πtevila. d) x · y = 18

b) Hiperbola je v 1. in 3. kvadrantu, Ëe je produkt pozitiven.

Hiperbola je v 2. in 4. kvadrantu, Ëe je produkt negativen.

©pela se preizkusi

7. πtevilo koscev Ëas (h)

1 16

2 8

4 4

8 2

16 1

1.

y 4

8. b a · b = 20

3

b 2

20

D

A

1

x

E —4

—3

—2

—1

0

1

2

3

4

—1

B

—2 —3

10

C

5 4 3 2 1 0

2. a) A(2, 2), B(— 1, 2˙5), C(— 2˙5, 0), D(— 1˙5, — 1), E(2˙5, — 1), F(2,0), G(0, — 3) a 1 2 3 4 5

10

b) A(40), B(70), C(120)

20

3. premo: a, Ë, f; 9.

x

—1

—2

—4

— 21

— 41

1

2

4

1 2

1 4

y

1

1 2

1 4

2

4

—1

— 21

— 41

—2

—4

—1

—1

—1

—1

—1

—1

—1

—1

—1

x · y —1

—4

obratno: b, d

4. Npr.: a) ©tevilo kepic sladoleda in znesek plaËila zanj, Ëe pri nakupu veË kepic ni popusta b) ©tevilo oseb, ki si delijo pico in pripadajoËi del pice, Ëe dobi vsak enako velik kos 5. a) 24

b) 625

6. 204 7. 138 € 8. a) 0,45 kg

20

9. 1950 SIT

b) 0.36 kg

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 21

PREMO SORAZMERJE 1 5 5

10. x y k

6 30 5

9 20 1000 45 100 5000 5 5 5

y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 x 5 0 1 2 4 6 8 10 13 14 16 18 20 22

y=5·x 11. x y c

2 12 24

R

3 5 0,5 100 8 4,8 48 0,24 24 24 24 24 y 50 48 40 30 24 20 12 8 10 4,8

—5

—4

—3

—2

—1

x

0 — 4,8 1 —8 — 10 — 12

2

3

4

5

— 20 — 24 — 30 — 40 — 48 — 50

x · y = 24 12. 8 % 13. 120 strani

21

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 22

6. VE»KOTNIKI VeËkotniki

Diagonale veËkotnika

1. b in Ë

1. πtevilo stranic πtevilo diagonal iz enega ogliπËa πtevilo vseh diagonal

2. a) neenostavna in nesklenjena, 3 b) neenostavna in sklenjena, 6 c) enostavna in sklenjena, 6 Ë) enostavna in nesklenjena, 5 d) enostavna in sklenjena, 7 3.

C

E

petkotnik

4 1

5 2

osemkotnik desetkotnik petnajstkotnik

8 5

10 7

15 12

/

2

5

20

35

90

3. a) 5

b) 9

c) 21

Ë) 35

4. a) 77

b) 54

c) 135

Ë) 27

5. a) 135

b) 665

c) 4752

Ë) 64260

B

A

4. a)

πtirikotnik

3 /

2. ©estkotnik ima 9 diagonal, sedemkotnik pa 14.

stranice: AB, BC, CD, DE, AE diagonale: AC, AD, BD, BE, CE

D

trikotnik

b)

c)

Ë)

6. Imamo dvajsetkotnik.

7. ©tirinajstkotnik.

8. Odigranih je bilo 21 partij.

9. Æupan je roko stisnil 16-krat, vseh rokovanj pa je bilo 136.

d)

10. Odigranih je 132 tekem.

e)

11. Imamo petkotnik in osemkotnik.

Koti veËkotnika 1.

n πtevilo stranic πtevilo diagonal

Moæne so tudi druge reπitve.

πtevilo notranjih kotov

5. a)

vsota notranjih kotov

b)

velikost enega notranjega kota, Ëe so vsi med seboj enaki vsota zunanjih kotov

4 4 2 4 360o 90o

6 6 9 6 720o 120o

10 10 35 10 1440o 144o

12 12 54 12 1800o 150o

18 18 135 18 2880o 160o

20 20 170 20 3240o 162o

100 100 4850 100 17640o 176,4o

360o

360o

360o

360o

360o

360o

360o

2. a) 540o b) 1080o o Ë) 1980 d) 2340o Zunanji koti so vedno 360o. c)

Ë)

c) 1260o e) 3600o

3. ε = 139o; α1 = 98o; β1 = 60o; γ1 = 77o; δ1 = 84o; ε1 = 41o 4. a) δ = 91o

b) γ = 122o

c) β = 118o

Ë) ε = 142o

5. Vsak meri 160o.

6. Vsak po 75o.

7. Sedmi kot meri 154o 12′.

Moæne so tudi druge reπitve.

22

8. ε1 meri 82o.

6. b in c, ker lahko nariπemo daljico, ki povezuje dve toËki iz notranjosti veËkotnika tako, da ne leæi v celoti v notranjosti veËkotnika

9. a) dvajsetkotnik

7. Pri b se ne da.

10. Enajstkotnik; vsota notranjih kotov je 1620 o, vsota zunanjih kotov pa 360o.

b) πtirinajstkotnik

c) devetindvajsetkotnik

11. Vsak notranji kot meri 108o, vsak zunanji pa 72o.

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 23

R

VE»KOTNIKI 12. ϕ = 119o.

D

6. a)

b)

D

13. NajveË 3.

E

D

1 cm

C s

s

F

C

14. To je dvanajstkotnik in ima 54 diagonal.

B

A

Pravilni veËkotniki

F

c)

1. a) 120

b) 144

o

D

2. a)

C

c) 150

o

Ë) 156

o

D

b)

C

F

J

E s

s G

1 cm

G

I

D

o

E

F

c)

E

d) 160

o

H

Ë)

G

B

A

E

L

C

D C

M

G

D

H

C

B

A

A

B

B

A

B

A

Ë)

C1

C

D

1 cm

B F

A G

d)

F

7.

E

G

E

H

s

D1

B1

D

H

G G

D

C I

C

B

A

A

D

E

3. a)

D

E

b)

1 cm

F F

A1

B

A

B

8.

1 cm

C

C B

A

s

B

A

4. a) 72o

b) 45o

c) 36o

Ë) 20o

C

5. a)

d) 18o D

b)

1 cm

9.

E

1 cm

C

120o s A

72o

B A

c)

F

B

Ë)

E

F G

E

D

G

H

D

Obseg in ploπËina veËkotnika H

C

45o

A G

d)

B

G

A

C B

1. a) 17,7 cm b) 16,1 cm (moæna so odstopanja do 2 mm)

c) 17,1 cm

F

2. a) 17,7 cm2 b) 15,5 cm2 (moæna so odstopanja do 2 mm2)

E

H

G

D 36o C

I A

40o

B

3. a) p = 23,2 cm2 b) p = 19,6 cm2 (moæna so odstopanja do 2 mm2 ) o = 19,5 cm b) o = 17 cm

23

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 24

R

VE»KOTNIKI

4. a) o = 15 cm p = 15,7 cm2

b) o = 22,5 cm p = 39,4 cm2

5. Sedemkotnik.

6. ©esti notranji kot meri 127o.

5. a) o = 44 m p = 61 m2

b) o = 40 m p = 79 m2

7.

6. Poloæili so 289,6 m2 (290 m2) asfaltne prevleke.

©pela se preizkusi 1. a) enostavna in sklenjena; 5 daljic b) neenostavna in sklenjena; 7 daljic c) neenostavna in nesklenjena; 4 daljice 2. a)

b)

Moæne so tudi druge reπitve.

8. o = 36 m p = 52 m2

3. Diagonal je 20.

9. To je osemkotnik. Vsota notranjih kotov je 1080o.

4. Vsota notranjih kotov je 1080 . o

10. VeËkotnik je devetkotnik. Vsak notranji kot meri 140o, vsak zunanji pa 40o.

24

24

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 25

7. KROG IN DELI KROGA 1. a — mimobeænica b — tangenta c — polmer Ë — premer d — seËnica,sekanta e — tetiva f — kroæni lok g — kroæni izsek

8.

1 cm

γ r b a

s

β

2. a) mnoæica vseh toËk ravnine, ki so od izbrane toËke oddaljene kveËejmu za r b) mnoæica vseh toËk, ki so od S oddaljene natanko r c) daljica, ki povezuje dve toËki na kroænici Ë) del kroænice med dvema toËkama kroænice d) kot, ki ima vrh v srediπËu kroga, kraka pa sta veznici med srediπËem in toËko. e) premica, ki ima s kroænico dve skupni toËki f) premica, ki s kroænico nima skupne toËke g) premica, ki ima s krogom natanko eno skupno toËko h) je razdalja med S in toËko na kroænici i) je daljica, ki poteka skozi S in povezuje dve toËki na kroæ.

3. a) v notranjsoti kroga

b) na kroænici

c) izven kroga

k

4.

C

A

c

9.

B

C

b

1 cm

a

rv

rv = 1,6 cm

s

A

B

c

10. a) se sekata Ë) se sekata

b) se dotikata d) se dotikata

c) se sekata

Nima reπitve.

11.

A

A

b) 30o

12. a) 90o 13. a)

c) 150o b)

s

5. s

t1

c)

Ë)

t2

α

6.

s α

α

1 cm

B s

Ë) 60o 1 cm

t

A

1 cm

s

1 cm

s

r0 = 4,7 cm

s

α

s

P c

b

a

C

14.

1 cm

k

p

β = 60o

β A

7.

B

1 cm

15.

s

1 cm

A a

24

Vse so mimobeænice.

b

c

p To sta poltraka.

25

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 26

R

KROG IN DELI KROGA To sta premera.

16.

1 cm

s

p

P

Dolæina kroænega loka 1. a) 15 cm Ë) 5 cm

b) 22,5 cm d) 50 cm

c) 30 cm e) 75 cm

2. a) 26,17 cm

b) 31,4 cm

c) 22,61 cm

3. a) 9,42 cm

b) 6,28 cm

40o

17.

C B

1 cm

b

4. 22,6 cm 5. 111,3 km

a

6. 30,35 cm c

A

B

7. a) 37,68 cm A

c) 75,36 cm

Ë) 56,52 cm

8. 21,6 cm 9. 165,6 cm

Obseg kroga 1. a) 25,12 cm Ë) 26,4 cm

b) 113,04 cm

b) 314 cm d) 15,7 dm

c) 22 m e) 4 dm

10. 2 23 ·

π·a

11. 5 cm

2. Ë 3. 10,676 cm

PloπËina kroga

4. 5,652 m 5. b, Ë 6. 29,26 dm 7.

POLMER 6m 100 cm 9,25m 4,5 m

PREMER

OBSEG

10 cm

31,4 cm 37,68 m

200 cm 9,6 cm 9m

cm 1 13 22 10,5 cm

58,09 mm 30,144 cm 10 cm

21 cm

8. 282,6 cm 9. r = 4 cm

1. a) 6358,5 m2

b) 171,9464 dm2

c) 6,1544 cm2

2. a) 12265,625 cm2

b) 5,722 m2

21 c) 7 22 m2

3. a) 1600π cm2

b) 0,56π dm2

4. 5,3 cm2 5. 30,96 cm2 6. 310,86 cm2 7. 35,325 kg 8.

POLMER 12 cm 7,5 mm 20 dm

10. 1,43 m

9. 200,96 m2

11. obseg enega 15,7 cm obseg vseh 141,3 cm

10. a) 28,26 cm2 11. 34,4 cm2

12. 545,95 krat 12. 19,625 cm2 13. 31,4 m 13. 15,07 cm 14. 45 m 14. 55,7 % 0 56 %

26

15. 40 m 15. 128 %

PREMER

OBSEG

PLO©»INA

16 cm 24 cm

50,24 cm

200,96 cm2 452,16 m2 176,625 mm2

40 dm

47,1 mm 125,6 dm

b) 803,84 cm2

c) 38,465 cm2

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 27

R

KROG IN DELI KROGA 16. 1218 cm2

3. o = 20,1 cm p = 32,15 cm2 α = 107o

17. 117,56 m

2

18. a)157 cm2

k

b) 292,5 cm2

PloπËina kroænega izseka

s

1. a) 10 cm2

b) 20 cm2

c) 10,125 cm2

2. a) 0,88 cm2

b) 6,28 cm2

c) 17,6625 cm2

3. a) 2,79 cm Ë) 7,85 dm2

b) 226,08 cm d) 33,5 cm

α

B 2

2

c) 190,76 cm

2

A

4. 22,71 m2 5. a) 196,83 cm2

b) 69,66 cm2

6. a) 21,5 cm

b) 21,5 cm

7. a) 113,04 cm2

b) 89,49 cm2

5. pizs = 3,3 cm2

8. a) 4,56 cm2

b) 3,27 cm2

6. o = 15,42 cm p = 14,13 cm2

2

2

c) 257 cm

2

9. a2(2+ π2 )

4. 201 m2 ploπËic 50,24 m ograje

7. l = 7,85 dm 8. 1990 krat

©pela se preizkusi 1. a) sekanta Ë) premer f) srediπËni kot

b) tetiva d) kroæni lok g) kroæni izsek

9. o = 75,36 cm c) tangenta e) mimobeænica

10. o = 107,1 cm p = 635,5 cm2

2. o = 75,36 cm p = 452,16 cm2

27

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 28

8. PITAGOROV IZREK 1. a) x 2 = y 2 + z 2 b) r 2 = p 2 + s 2 y2 = x2 — z2 p2 = r2 — s2 z2 = x2 — y2 s2 = r2 — p2 2. a) y = 5 cm

b) x = 12 cm

3. a) h = 10 cm o = 24 cm p = 24 cm2

b) h = 25 dm o = 56 dm p = 84 dm2

c) o 2 = m 2 + n 2 Ë) e 2 = c 2 + d 2 m2 = o2 — n2 c2 = e2 — d2 n2 = o2 — m2 d2 = e2 — c2

c) h = 34 cm o = 80 cm p = 240 cm2

Ë) h = 29 cm o = 70 cm p = 210 cm2

k1 k2 h

6 8 10

d) o = 24 cm p = 35 cm2

3. Ograja mora biti dolga 29 m.

4. o = 28 cm; p = 48 cm2.

6. d = 2,9 dm.

b) k = 20 cm o = 220 cm p = 990 cm2

c) k = 35 dm o = 84 dm p = 210 dm2

Ë) k = 4,8 m o = 17,6 m p = 13,2 m2

e) l = 2 m 10) m o = (3 2 + 10 p = 2 m2

9 12 15

24,1 24 34

20 21 29

24 7 25

4 5 3

b) o = 32 p = 24

7. Razpoka je dolga 17 dm.

8. o = 157 cm; p = 1962,5 cm2; ploπËina pravokotnika predstavlja 34,2 % ploπËine kroga.

KVADRAT 1. a) d = 4,23 cm Ë) d = 4 cm 12 2 4

b) d = 3,384 dm d) d = 10 cm

2. a) o = 40 cm b) d = 56 cm p = 100 cm2 p = 196 cm2

c) d = 0,56 m

c) o = 28 cm p = 49 cm2

Ë) o = 20 cm p = 25 cm2

3. p = 64 cm2; d = 8 · 2 cm

6. Pravokotni so 1., 3., 5. in 6. trikotnik.

7. a) o = 90 p = 360

c) o = 92 cm p = 480 cm2

5. Da.

d) k = 3 cm 13) cm o = (5 + 13 p = 3 cm2 5.

b) o = 68 cm p = 240 cm2

Ë) o = 94 cm p = 420 cm2

d) h = 6 cm o = (11 + 11) cm p = 8,29 cm2 4. a) b = 15 cm o = 40 cm p = 60 cm2

2. a) o = 14 cm p = 12 cm2

c) o = 50 p = 160

4. o = 44 cm; d = 11 · 2 cm 5. p = 24,97 cm2

8. Æica je dolga 25,3 m.

6. Odpadka je 36 %.

9. Vrhova sta 17 cm narazen.

7. PloπËina kolobarja meri 56,34 cm2 10. Vrv mora biti dolga 26 m.

ENAKOKRAKI TRIKOTNIK 11. Drevo je visoko 40 m.

1. a) o = 36 cm p = 48 cm2

b) o = 36 dm p = 60 dm2

c) o = 100 m p = 360 m2

Ë) o = 24,2 m

d) o = 144 dm

e) o = 24,2 dm = 24

12. Preplaval je 17 m dolgo pot.

13. ©pela si je skrajπala pot za 42 m.

p = 6,6 m

2

dm 18 25

p = 27,72 dm = 27 2

dm2

14. Deska mora biti dolga 116 cm.

2. Lestev sega 2,4 m visoko.

15. Vrh se je dotaknil tal 7 m od vznoæja drevesa.

3. o = 72 cm

16. p = 78,5 cm

4. Potrebujejo 120 m2 zaπËite.

17. Potrebuje dve letvi po 3,7 m.

5. Imamo dve moænosti: o1 = 98 cm; o2 = 94,4 cm. Razlikujeta se za 3,6 cm.

2

Uporaba Pitagorovega izreka v geometrijskih likih

ENAKOSTRANI»NI TRIKOTNIK 1. a) v = 4 · 3 cm

PRAVOKOTNIK 1. a) d = 15 cm Ë) d = 8,9 dm

b) d = 17 cm d) d = 5 · 5 cm

c) d = 6,1 dm

b) v = 2,7 · 3 cm

c) v =

4$

3 3

o = 24 cm

o = 16,2 cm

o=8m

p = 16 · 3 cm2

p = 7,29 · 3 cm2

p=

Ë) v = 1,5 cm o = 3 · 3 cm

28

p = 420 dm

2

1 5

p=

3$

3 4

cm2

d) v = 6 m o = 6 · 12 m p = 12 · 3 m2

m

16 $ 3 9

m2

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 29

R

PITAGOROV IZREK 2. p = 21,2 cm2 3. a) o = 20,8 cm p = 20,8 cm2

KROG b) o = 54 dm p = 140,13 dm2

c) o = 12 m p = 6,92 m2

4. Obseg kvadrata meri 276,8 cm, ploπËina kroga pa 7478 cm2.

ROMB 1. a) o = 52 cm b) o = 11,6 m p = 120 cm2 p = 8,4 m2

c) o = 38,8 dm Ë) o = 20 cm p = 93,6 dm2 p = 22,4 cm2

1. a) r = 34 cm

b) d = 10 cm

2. a) o = 42,84 e p = 110,52 e 2

b) o = 31,98 e p = 63,25 e 2

c) t = 96 cm

Razdalja med dvema toËkama 1. a) |CD | = 5 enot Ë) |KL| = 26 enot

b) |PR | = 17 enot c) |AB| = 29 enot d) |EF | = 6 · 2 enot

2. |AB | = 13 enot

|CD| =17 enot

2. o = 244 cm, v = 21,6 cm 3. p = 1536 cm2; v = 38,4 cm

3. a) o = 26,2 e p = 12 e 2

4. p1 = 110,7 cm2; p2 = 124,56 cm2; za 12%

ENAKOKRAKI TRAPEZ 1. a) o = 50 cm p = 144 cm2 Ë) o = 42 m p = 88 m2

b) o = 26,2 e p = 25 e 2

|EF | = 10 enot

c) o = 27,1 e p = 16 e 2

Ë) o = 40,7 e p = 94,5 e 2

4. B (3, 25) b) o = 70 cm p = 270 cm2

c) o = 60 dm p = 108 dm2

d) o = 50 cm p = 120 cm2

5. 2r = 17 enot; o = 53,38 enot; p = 226,9 e 2 6. o = 54 enot; p = 168 e 2

©pela se preizkusi

2. Nasip je visok 1,25 m.

3. a) e = 17 cm o = 50 cm p = 120 cm2

b) e = 39 m o = 106 m p = 540 m2

4. a) o = 48 cm p = 138 cm2

b) o = 62 m p = 225 m2

c) o = 48 cm p = 108 cm2

2. o = 40 cm p = 60 cm2

5. a) o = 52 cm

b) o = 11 dm

c) p = 120 cm2

3. d = 5,3 cm

1. m 2 = k 2 + l 2 l = m2- k 2 k2 = m2 — l 2

4. Vrh se dotakne tal 5 m od vznoæja drevesa.

DELTOID 1. a) o = 66 cm p = 252 cm2 2. o = 198 cm 3. p = 468 cm2

b) o = 112 cm p = 660 cm2

c) o = 198 cm p = 1848 cm2

5. o = 20 cm p = 25 cm2 6. o = 80 cm p = 384 cm2 v = 19,2 cm 7. |PR | = 5 enot 8. o = 32 cm 9. o = 84 cm p 0 414 cm2

29

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 30

9. KOCKA IN KVADER 1. a,c,e 2. a,c 3. a) 294 m2 343 m3 d) 170,67 dm 151,7 dm3

2

b) 3174 m2 12167 m3

c) 922,56 m2 1906,624 m3

e) 30 cm 11,18 cm3

f) 264 cm 291,86 cm3

2

4. a) 148 cm2 120 cm3

2

b) 654 dm2 1080 dm3

5. a) KVADER 146 dm2 84 dm3

c) 519,56 m2 789,6 m3

b) KOCKA 121,5 dm2 91,125 dm3

c) KVADER 5832 cm2 23328 cm3

17. a) 376 cm2 480 cm3 Ë) 10cm 11,7 cm 12,8 cm

b) 48 cm2

c) 280 cm2

d) 14,1 cm

e) 100 cm2

18. a) 96 dm2 64 dm3 Ë) 5,6 dm

b) 16 dm2

c) 64 dm2

d) 6,9 dm

e) 22,62 dm2

19. 1,464 kg 20. 3456 cm2 13824 cm3 21. a) 7 92 cm2 1 440 cm3

b) 1660 cm2 4200 cm3

6. 60000 m3 7. a) 127,5 m

b) 123,5 m

3

c) 11,36 €

2

8. 9 l

22. a) 1080 cm2 1440 cm2 19,2 cm 23,2 cm 27,7 cm

b) 60 cm3 5 cm 5,8 cm 6,4 cm 7 cm

c) 30,4 cm2 43,6 cm2 6,7 cm 6,9 cm 13,2 cm3

Ë) 840 cm2 1056 cm2 21,9 cm 23,3 cm 25 cm

23. a) 8 cm 256 cm2 384 cm2 11,28 cm 13,84 cm

b) 6 cm 144 cm2 216 cm2 216 cm3 10,39 cm

c) 5,8 cm Ë) 35 cm 134,56 cm2 1225 cm2 201,84 cm2 7350 cm2 3 195,112 cm 42875 cm3 8,178 cm 49,35 cm 60,55 cm

9. 1728 dm3 =1,728 m3 = 1728000 cm3 10. a) 52 cm2 24 cm3

b) 40 cm2 12,5 cm3

11. a) 54 cm2 27 cm3

b) 34,56 cm2 13,824 cm3

12. a)

b)

24. 1,5 m 25. a) 27,68 cm

c)

d)

b) 4,096 l

26. 5,832 l 27. 41,25 % 28. 21,6 kg

13.

29. a) 1 m2 6 m3

b) 22a 2 6a 3

30. Da

a

14.

P 486

6 10 15

V 729 216

600 1350

D 15,57 10,38 17,3

33. 6x 2 — 8 x 3 — 4x

15. 28 cm 8 cm3

a

b

c 0,19

5 22,1

30

32. 12150 cm2 91125 cm3

3375

2

16.

31. a) 486 cm2 b) 1458 cm2

P 344 463 860

V 420

34. 29600 cm2 315000 cm3 35. a) 93,6 m3

1326

b) 98,4 m3

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 31

R

KOCKA IN KVADER 36. 101568 cm3

3. 27 cm2 9 cm3 4,5 cm2

37. 0,45 m3 38. Da

4. 1.500.000 l 600 m2

39. 4,7 kg 5. 10,8 cm 22,7 cm 240 cm2

40. 124,416 l 41. 32,4 cm

6. 1056 cm2 2160 cm3

42. 2250 cm 6300 cm3 2

7. 10 cm 400 cm2

©pela se preizkusi 1. a) kocka c) E,F,G d) osnovni rob e) diagonala osnovne ploskve f) telesna diagonala g) FG, BC, FE, HG h) a 2

b) osnovna ploskev Ë) H G

D A

9. a) 45,25 cm2

F

E

8. 2200 cm2 5000 cm3

C

b) 90,5 cm2

10. 3840 cm3

B

2. 19,44 dm2 5,832 dm3

31

Resitve 09

3/19/07

8:13 AM

Page 32

©PELA NA CILJU 1. a) — 35 b) 13,7 c) — 1208 Ë) — 10 d) — 5 21 e) 1 2. a) 64 b) 27 c) 5 Ë) 20 3. a) 6,5536 b) 655,36 c) 0,065536 Ë) 655360000

10. o = 37,68 cm p = 113,04 cm2 11. pizs = 12,56 cm2 12. o = 16,56 cm p = 6,58 cm2 13. x = z 2 + y 2 z2 = x2 — y2 y = x 2- z2 14. Lestev je segala pribliæno 10 m visoko.

15. o = 40 cm p = 96 cm2 v = 9,6 cm

4. Trije vozniki bi drva razvozili v 4 urah.

5. Dobimo 12 kg orehovih jedrc.

6. V 3,5 ure.

7. a) 2x b) 5a 2 — 2a — 11 c) 21u 2 — 12u Ë) 3x 2 — 20x + 8 8. 2a 2 + 5a — 13 = — 15 9. b) 27 diagonal c) 1260o

16. o = 12 e p = 6 e2 17. P = 111,6 cm2 V = 75,6 cm3 18. P = 216 cm2 V = 216 cm3 19. a = 12 cm b = 5 cm P = 426 cm2 V = 540 cm3 ppreseka = 117 cm2

net

letka

VeË o devetletni osnovni πoli najdete na naslovu www.devetletka.net.

32

32