Skrivnosti πtevil PriroËnik in oblik 9
za 9. razred osnovne πole
Jože Berk
SSIO 9 PRIR.indd 1
Jana Draksler
Marjana RobiË
4/19/07 2:28:36 PM
Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik za 9. razred osnovne πole Avtorji: Jože Berk, Jana Draksler in Marjana RobiË Ilustracije: Iztok Sitar Jezikovni pregled: Martina VozliË
Izdala in založila: Založba Rokus Klett, d.o.o. Za založbo: Rok Kvaternik Direktor produkcije: Klemen Fedran
Oblikovanje in prelom: Mare Debeljak / Studio Rokus Tisk: Grafika SoËa d.d. 1. izdaja: 1. natis Naklada: 300
Ljubljana, maj 2007
© 2007 Založba Rokus Klett, d.o.o. Vse pravice pridržane.
Vse knjige založbe Rokus Klett in dodatna gradiva dobite tudi na naslovu www.knjigarna.com.
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 371.3:51
Založba Rokus Klett, d.o.o. Stegne 9b 1000 Ljubljana telefon: 01 513 46 00 telefaks: 01 513 46 99 e−pošta: rokus@rokus.com www.rokus−klett.com
BERK, Jože Skrivnosti števil in oblik 9. PriroËnik za 9. razred osnovne šole / Jože Berk, Jana Draksler, Marjana RobiË ; [ilustracije Iztok Sitar]. - 1. izd., 1. natis. - Ljubljana : Rokus Klett, 2007 ISBN 978-961-209-752-3 1. Draksler, Jana 2. RobiË, Marjana 231761408 DN070253
SSIO 9 PRIR.indd 2
4/19/07 2:28:43 PM
KAZALO Prosojnice Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Sorazmerje in podobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Linearna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Geometrijska telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Obdelava podatkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Ponovitev snovi Racionalna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Premo in obratno sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Pitagorov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Rešitve ponovitve snovi 8. razreda Racionalna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Premo in obratno sorazmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Krog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Pitagorov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
Špela se preizkusi Izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Sorazmerje in podobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Geometrijska telesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 Rešitve Špela se preizkusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
SSIO 9 PRIR.indd 3
4/19/07 2:28:43 PM
2
a
a−b
a2
a∙b
(a + b)
a
b
x − 4 −7c
IZRAZI
( 3a + 2b ) ⋅ ( 3a − 2b ) = 9 a 2 − 4 b 2
b
a
b
b2
a+
5x2 x3 − y
( x + 4 ) ⋅ ( x − 4 ) = x 2 − 16
(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b 2
b
PRODUKT VSOTE IN RAZLIKE DVEH ENAKIH ČLENOV
(a + b)
16 a 2 − 36b 2 = ( 4 a + 6b ) ⋅ ( 4 a − 6b )
x 2 − 25 = ( x + 5 ) ⋅ ( x − 5 )
2
a − b = (a + b ) ⋅ (a − b )
Razlika kvadratov
12 a 2b − 3a = 3a ⋅ ( 4 ab − 1)
15 a 2b + 20 ab 3 = 5 ab ⋅ ( 3a + 4 b 2 )
3x 2 + 3y = 3 ⋅ ( x 2 + y )
a ⋅ b a ⋅ c = a ⋅ (b c)
Izpostavljanje skupnega faktorja
RAZSTAVLJANJE IZRAZOV
(a + b)
SSIO 9 PRIR.indd 4
4/19/07 2:28:44 PM
b
a∙b
b2
3 ab; 0, 8 x 3; −5 x 4
(a b ) (a b ) a 2 2 ab b 2
(a + b )
2
p = a2 + a ⋅ b + a ⋅ b + b2
( x − 3)2 = x 2 − 6 x + 9
( x + 3)2 = x 2 + 6 x + 9
( a b )2
POZOR!
( a + b )2 ≠ a 2 + b 2
= 8 x 2 + 2 x − 15
(2 x + 3) ⋅ ( 4 x − 5 ) = 8 x 2 − 10 x + 12 x − 15 =
2 a ⋅ ( 3a 2 − 4 a + 5 ) = 6 a 3 − 8 a 2 + 10 a
3x ⋅ 7 x 3 y = 21x 4 y
3x + 5 x = 8 x 4 a + 3b + 5 a − 7b = 9 a − 4 b
KVADRAT DVOČLENIKA
množenje:
seštevanje:
2
• VEČČLENIKI: a + b; 3x − 2 y; 5 x − 3x + 7 so izrazi, ki imajo več kot en člen; enočleniki so povezani s + ali −.
imajo samo en člen; med števili in spremenljivkami so le operacije množenja, potenciranja ali deljenja. (enočlenika 3x in −5x sta si podobna)
2
• ENOČLENIKI: 3x; −2 a ;
IZRAZI S SPREMENLJIVKAMI
SSIO 9 PRIR.indd 5
4/19/07 2:28:47 PM
izračunamo vrednost neznanke
združimo podobne člene
enačbo uredimo
vse člene pomnožimo s skupnim imenovalcem krajšamo ulomke enačbo uredimo izračunamo vrednost neznanke
poiščemo skupni imenovalec
pozorno preberemo nalogo izberemo neznano količino po besedilu zapišemo enačbo rešimo enačbo izračunamo vse neznane količine preverimo, ali rešitev ustreza besedilu naloge (naredimo preizkus) zapišemo odgovor
Enačbi sta ekvivalentni, če imata isto množico rešitev.
2x + 3 − x = 5 + x − 2 2x − x − x = 5 − 2 − 3 0⋅x = 0 (vedno) (vsa realna števila) R= °
4x + 3 = 5x − 5 − x 4 x − 5 x + x = −5 − 3 0 ⋅ x = −8 (nikoli)
3x − 2 = x − 8 3x − x = −8 + 2 2 x = −6 R = {−3} x = −3
R ={ }
• ENAČBA IMA NEŠTETO REŠITEV − IDENTITETA
• ENAČBA NIMA REŠITVE
2x − 3 = x + 7
ENAČBE
x = −y x = 5
7.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
UPORABA LINERARNIH ENAČB PRI BESEDILNIH NALOGAH
• ENAČBA IMA ENO REŠITEV
REŠITVE LINEARNE ENAČBE
x 2x − = 15 / ⋅12 4 3 12 ⋅ x 12 ⋅ 2 x 12 ⋅ 15 − = 4 3 1 3x − 8 x = 180 −5 x = 180 x = −36
ENAČBE Z ULOMKI
6 x − 15 = 2 x − 4 x + 9 6 x − 2 x + 4 x = 9 + 15 8 x = 24 x=3
3 ⋅ (2 x − 5 ) = 2 x − ( 4 x − 9 ) najprej odpravimo oklepaje
ENAČBE Z OKLEPAJI
desna stran enačbe
x − neznanka
10 x − 5 = 6 x + 19 10 x − 6 x = 19 + 5 4 x = 24 x = 24 : 4 x=6
5x + 6 = 2x − 9 5x + 6 − 6 = 2x − 9 − 6 5 x = 2 x − 15 5 x − 2 x = 2 x − 2 x − 15 3x = −15 x = −15 : 3 x = −5
L=D ⇒x=6
D: 6 ⋅ 6 + 19 = 36 + 19 = 55
L: 10 ⋅ 6 − 5 = 60 − 5 = 55
Preizkus: rešitev enačbe vstavimo namesto neznanke in ugotovimo, ali je leva stran enaka desni.
5x + 6 = 2x − 9 5 x − 2 x = −9 − 6 3x = −15 x = −15 : 3 x = −5
REŠEVANJE LINEARNE ENAČBE S PREOBLIKOVANJEM
Enačbe, pri katerih je eksponent neznanke 1 (x1 = x), so linearne enačbe. Rešitev enačbe je število, pri katerem imata leva in desna stran enako vrednost.
leva stran enačbe
4x + 2 = 2x + 8
enačaj
je enakost dveh matematičnih izrazov, kjer vsaj v enem nastopa neznanka.
ENAČBA
SSIO 9 PRIR.indd 6
4/19/07 2:28:49 PM
koefi cient podobnosti
o´ = k · o p´ = k2 · p
g:d=3:5
• a´ = k · a b´ = k · b c´ = k · c
a′ b′ c′ = = =k a b c
• imata skladna dva kota (ujemata se tudi v tretjem) • dolžine istoležnih stranic so v enakem razmerju a´ : a = b´ : b = c´ : c = k a´ = k · a; b´ = k · b; c´ = k · c
PODOBNA TRIKOTNIKA
je podoben
Lika sta si podobna, če imata enake kote in enako razmerje dolžin istoležnih stranic. Razmerje dolžin enakoležnih stranic imenujemo podobnostni koeficient. ABCD ~ A'B'C'D'
PODOBNOST
1
vsi
2 de li n a
po 3 ltra ku
T
so aki
en
4
M
5
B
6:3=y·4 3·y=6·4 3 · y = 24 y=8
3 stroji
6 strojev
8 : 40 = 4 · x 8 · x = 40 · 4 8 · x = 160 x = 20
?€
40 €
čim manj, tem več
stane
obratno x·y=k opravi delo
čim manj, tem manj
4 zvezki
8 zvezkov
premo y=k·x
PREMO IN OBRATNO SORAZMERJE
?h
4h
IAMI : IABI = 4 : 5 IAMI = 4t IABI = 5t
IATI : ITBI = 2 : 3 IATI = 2t ITBI = 3t
SORAZMERJE IN PODOBNOST
A
DELITEV DALJICE NA ENAKE DELE
; b≠0
2. člen
V sorazmerju je vrednost produkta zunanjih členov enaka vrednosti produkta notranjih členov. a:b=c:d 3:6=4:8 a·d=b·c 3·8=4·6 24 = 24
zunanja člena
notranja člena
a : b = c : d ; b≠0, d≠0
je enakost dveh razmerij.
SORAZMERJE
Poenostavljeno razmerje je zapisano z okrajšanim ulomkom.
a b
1. člen
a : b ; b≠0 (a proti b)
je količnik dveh števil.
RAZMERJE
1
Y
1
1
začetna vrednost (pove,
kje graf seka os y; N(0,n))
(pove, za koliko se spremeni vrednost funkcije, če x povečamo za 1)
M
1
N
Y
1
+1
+2
k
X
(y = k · x + n je enačba premice)
f(x) = 2x + 4 N(0,4) M(−2,0)
y
y
3
=
= x
x 2
X
X
−
M(2,0)
smerni koeficient
GRAF linearne funkcija je vedno premica.
vrednost funkcije
f(x) = k · x + n
+
N(0,−2)
=
je funkcija, pri kateri sta odvisna in neodvisna spremenljivka povezani s predisom f(x) = k ∙ x + n, če sta k in n poljubni realni števili.
LINEARNA FUNKCIJA
f(x) = 2x − 4 0 = 2x − 4 x=2
je točka, v kateri graf linearne funkcije seka abscisno os (os x). To je točka, v kateri je vrednost funkcije 0. M(x,0)
NIČLA FUNKCIJE
1
N(0,3)
y
x
4 x−
X
S(2,3)
y = 2x − 1 =2·2−1 y=3
LINEARNA FUNKCIJA
y S(2,3) = − x + 5 X
− 1≤ x < 2
1
x abscisna os
A(4,2)
ordinatna os koordinati točke A abscisa 4 ordinata 2
(točke x = 2 ne ustrezajo pogoju, zato jih označimo s črtkano črto)
−1 0
1
y
1
Y
0 1
y
x
X
∙ =k
0 1
1
Y
X
y = x2
0 1
1
Y
X
c y=— x
0 1
1
Y
X
y=n 0 1
1
Y
je predpis, ki vsaki vrednosti neodvisne spremenljivke (x) priredi točno določeno vrednost odvisne spremenljivke (y) x ➝ f(x) ali x ➝ y ali y = f(x) Graf funkcije je slika funkcije y = f(x) v koordinatnem sistemu. To je množica urejenih parov (x, f(x)) = (x, y)
FUNKCIJA
0
Y
1 0 1
Y
računsko y = 2x −1 in y = −x + 5 2x − 1 = − x + 5 2x + x = 5 + 1 x=2
je shema za prikazovanje lege točke v ravnini. Sestavljata jo dve osi, ki sta druga na drugo pravokotni (pravokotni koordinatni sistem).
je točka, v kateri se dve premici sekata. Točka S (x,y) leži na obeh premicah. grafično
KOORDINATNI SISTEM
PRESEČIŠČE DVEH PREMIC
1 x−
Y
y= 2
Vrednost n pove, kje graf seka os y (ordinatno os). To je vrednost funkcije pri x = 0. N(0,n)
4
x+
y= 2
y= 2
ZAČETNA VREDNOST (n)
y=
n +
X
k∙ x
SSIO 9 PRIR.indd 7
4/19/07 2:28:55 PM
3
a
2
av1 2
a ⋅v V= 3
v1
4 av1 pl = 2
a
v
P=
plašč
v
V=
a
a
v
6a
4
2
3
⋅v
pl = 6 av
6a2 3 + 6 ⋅ av 4
a a
P = 2⋅
a O a a
O
6a2 3 O= 4
v
O = r 2π pl = 2 π rv
V = r 2π v
P = 2 π r 2 + 2 π rv
plašč
O
r
Valj
V=
O= 4
3
a2 3 ⋅v 4
a
2
v
P = 2⋅
v
a2 3 + 3av 4
pl = 3av
a a O a
plašč
O
PRAVILNA TRISTRANA PRIZMA
a
O
plašč
V=
r 2π v 3
P = r 2 π + π rs
r
O = r 2π pl = π rs
Stožec
V=
4π r 3 3
P = 4π r 2
r
Krogla
b
a
c
pl = 2 ac + 2bc
V = a⋅b⋅c
b
b
a
O = a2
a
a
V = a3
pl = 4 a 2
a
a
prostornina
V =O⋅v
P = 2a2 + 4 a2 P = 6a2
V = a2 ⋅ a
a
O
plašč
O
KOCKA
površina
P = 2 ⋅O + p
O = a⋅b
P = 2 ⋅ ab + 2 ⋅ ac + 2 ⋅ bc
O a
plašč
O
a
c=v
KVADER
la
OGLATA
so oglata geometrijska telesa, ki imajo dve skladni osnovni ploskvi (sta n−kotnika), plašč pa tvori n pravokotnikov
PRIZME
lj va
kr og
OKROGLA
delimo jih na oglata in okrogla, pokončna (stranski robovi so enako dolgi) ali poševna
stožec
OKROGLA TELESA
GEOMETRIJSKA TELESA
tetraeder je enakoroba tristrana piramida
O
a
v
a2 3 av + 3⋅ 1 4 2
a2 3 4 3av1 pl = 2 2 a 3 v V= ⋅ 4 3
O=
Pravilna tristrana piramida
PRAVILNA ŠESTSTRANA PRIZMA
P = a2 + 4
O
O = a2
Pravilna štiristrana piramida
so oglata geometrijska telesa, ki imajo eno osnovno ploskev (n−kotnik), plašč pa tvori n O ⋅ v enokrakih trikotnikov P = O + pl V= e
PIRAMIDE
pr izm
SSIO 9 PRIR.indd 8
ide am r i p
4/19/07 2:28:56 PM
SSIO 9 PRIR.indd 9
4/19/07 2:28:57 PM
tabela
B 4 2 3 2 3 0
C 0 5 7 6 2 11
število možnih dogodkov
število ugodnih dogodkov
1 P(C) = 6
šest vseh možnosti
ena možnost
dogodek: na igralni kocki vržemo 6 pik
P(C) =
Dogodek je pojav, ki se pri poskusu lahko zgodi ali pa ne. Verjetnost dogodka P(A) - gotov dogodek (A) je dogodek, ki se zgodi vedno P(A) = 1 - nemogoč dogodek (B) se nikoli ne zgodi (ob nobeni ponovitvi) P(B) = 0 - slučajni dogodek (C) je dogodek, za katerega ne moremo predvideti, ali se bo zgodil ali ne.
VERJETNOST
m n p t r s
A 3 1 0 8 1 0
stolpčni diagram
(središčnica − Me) je sredinski podatek med vsemi podatki, urejenimi po velikosti (pri sodem številu podatkov je mediana povprečje sredinskih dveh podatkov).
MEDIANA
OBDELAVA PODATKOV
tortni diagram
y
PRIKAZOVANJE PODATKOV
x
n
x1 + x2 + ...+ xn
Me
30 40 60 60 80 80 100 100 100 130
(gostiščnica − MO) je podatek, ki se med vsemi podatki pojavi najpogosteje. Število ponovitev enega podatka je frekvenca. Mo
MODUS
x=
(povprečje − x) je količnik vsote vseh vrednosti podatkov in števila vseh podatkov.
ARIMETIČNA SREDINA
PONOVITEV SNOVI RACIONALNA ŠTEVILA 1. naloga:
Števila primerjaj po velikosti in zapiši ustrezni znak: <, =, >. 3,8
− 21,7
− 2,64
− 2,6
−
3 4
− 0,75
2
3 4
2
4 5
I2,7I
I−6,3I
2. naloga: Izračunaj: a) 24,7 − 19,83 =
b) − 13,7 + 6,9 =
c) 8,13 · (− 6,32) =
č) −3 ⋅ (−2 ) =
2 1 3 4 1 7 e) 6 : 1 = 4 8
d) − 149,8 : 1,4 =
3. naloga: Reši številske izraze. a) − 8 + 12 + 4 − 15 + 7 − 4 = b) 2,3 − 3,1 · (− 6) − 9,6 : 4 = c) ( 2,7 − 6,5) · ( 8,4 + 2,3 · 4,1) =
2 3
1 3
č) 1 + 3 ⋅ ( 7, 2 − 4 d) 3 e)
1 ⋅ 3, 2 ) = 2
3 3 1 1 1 2 3 : 3 − 2 ⋅ (4 − 2 ⋅ 5 ) − 6 = 2 4 5 3 4 6 4
12 + 3 ⋅ (−5 ) = 8 : 2 + 9 : (−3)
−32 45 f) 16 = −40 g) 7,4 · (−3) − (3,2 − 7,8) · (9,4 − (− 3,7) · (− 5,2) + 8,4 : (− 0,2) ) =
4. naloga: Izračunaj vrednost. a) 27 = d)
43 ⋅ 45 = 47
b) (− 6)3 = e)
54 ⋅ 5 = 52 ⋅ 53
c) 32 ∙ 33 =
č) 89 : 87 =
f) (24)3 : 28 =
g)
35 ⋅ 33 35 ⋅ = 36 32 ⋅ 33
10
SSIO 9 PRIR.indd 10
4/19/07 2:29:03 PM
PONOVITEV SNOVI RACIONALNA ŠTEVILA 5. naloga: Kvadriraj oziroma koreni. 2
a) 13 =
2
b) − 8 =
2
2
c) (− 11) =
⎛ 2⎞ č) ⎜1 ⎟ = ⎝ 3⎠ 2
2
d) 0,03 = h)
121 =
2
e) 1,6 = i)
225 =
2
f) 1400 = j)
900 =
⎛4⎞ g) − ⎜ ⎟ = ⎝5⎠ k)
1, 44 =
6. naloga: Reši številske izraze. a) 2 3 ⋅ 16 − 32 =
2 b) ( 3 − 2 ⋅ 25 ) ⋅ ( 100 + 2 ⋅ 9 ) =
c) 7 ⋅ ( 3 ⋅ 121 − 2 ⋅ 144 ) =
č)
36 ⋅ (15 − 84 : 49 ) =
d) ( 0, 81 − 3 ⋅ 0, 09 ) + 2 ⋅ ( 3 ⋅ 1, 21 − 4 ⋅ 1, 96 ) = e)
2 3 + 2 ⋅ 16 3 ⋅ 4 2 + 32 − 7 ⋅ 4
=
11
SSIO 9 PRIR.indd 11
4/19/07 2:29:05 PM
PONOVITEV SNOVI IZRAZI 1. naloga:
Podčrtaj vse enočlenike, izpiši njihove koeficiente in obkroži podobne si enočlenike. 3 x, 7 x − y, −
3 3 a , − 2 x, a + b, − x, 0,6 a2, 8x − 3 u, x2 − 4 x, − 1,3a 4
2. naloga: Zmnoži enočlenike. a)
3x2y ∙ (− 5 x2 y3) =
b)
2,4 a3 ∙ 1,2 b6 =
c)
2 3 4 abc ⋅ (− a 2 ) ⋅ (− ab 3 ) = 3 8 5
3. naloga: Poenostavi izraze. a) x − 5y + 7x + 2y − 4x = b) 6a2 − (7a − 9) + (3a2 − 4a − 6) = c) − (8x3 − 2x2 + 4) + 3x2 + (4x3 + 5x2 − 7x − 5) = č) 2 ∙ (4u3 − 8u2 + 7u − 6) = d) − 4a ∙ (7a2 + 3a − 8) = e) (4x − 8) ∙ (9x + 5) = f) (− 2u + 5) ∙ (− 4u2 − 3u + 7) = g) 6 ∙ (3a2 + 2a − 3) + 5a ∙ (4a − 6) = h) 3x ∙ (5x − 6) − 7x ∙ (2x + 4) = i) (x + 4) (3x − 2) + (8x − 7) (5x − 3) = j) (4a − 9) (3a+7) − (6a − 3) (5a2 − 4a + 5) = k) (3x − 4) ∙ (2x − (4x + 5) (6x − 9) + 12x2) − 6x2 − 7x =
4. naloga: Poenostavi izraz in izračunaj njegovo vrednost. a) 3x − 2 ∙ (4x − 8) + 5 ∙ (x − 7) =
za x = 3
b) 4a ∙ (7a − 9) − 8 ∙ (3a2 + 2a − 6) =
za a = − 2
2
c) (2x + 5) ∙ (3x − 4) − 2x ∙ (4x − 6x + 9) =
za x = − 1
5. naloga: Izpostavi skupni faktor. a) 4a2 b3 − 12 a5 b = b) 7x4 y8 − 15 x3 y12 + 6x2 y10 = c) 20 a4 b3 + 30 a5 b2 − 10 a3 = č) 4,2 x3 − 7,2 x2 y + 0,6 x2 =
12
SSIO 9 PRIR.indd 12
4/19/07 2:29:06 PM
PONOVITEV SNOVI PREMO IN OBRATNO SORAZMERJE
1. naloga:
Izračunaj: a) 30% od 720 kg = b) 12% od 15 000 m =
2. naloga: V enem zavitku je 20 dag kave. Koliko kg kave je v 137 takšnih zavitkih?
3. naloga: Za 5 enakih zvezkov plačamo 2,50 evrov. Koliko plačamo za 16 takšnih zvezkov? Nariši graf.
4. naloga: Stroj izdela v treh urah 2400 vijakov. V kolikšnem času bo isti stroj izdelal 60 000 vijakov?
5. naloga: S šestimi stroji izkopljejo zemljišče v 12 urah. Koliko strojev bi morali uporabiti, da bi bilo zemljišče izkopano v 8 urah?
6. naloga: Skupina izletnikov se je prijavila na potovanje. Ker sta dva od prijavljenih zbolela, jih je na pot odšlo le 16. Vsak udeleženec je moral plačati 27 €. Koliko bi plačal vsak izletnik, če bi na pot odšli vsi prijavljeni?
7. naloga:
Dopolni preglednico, nariši graf in zapiši enačbo sorazmerja. a) premo sorazmerje x y 2 6
b) obratno sorazmerje x y 2
3
8 12
4
6 4
13
SSIO 9 PRIR.indd 13
4/19/07 2:29:08 PM
PONOVITEV SNOVI KROG 1. naloga:
Poimenuj na sliki označene elemente. V točki V nariši tangento. N
a) točka S V
b) premica l c) daljica ST č) daljica MN
S
M
d) daljica UV e) kot TSU U
l T
2. naloga: Izmeri potrebne podatke in izračunaj obseg in ploščino narisanega lika.
3. naloga: Nariši krog s premerom 4,6 cm ter izračunaj njegov obseg in ploščino.
4. naloga: Izračunaj ploščino kroga, če meri njegov obseg 18,84 cm.
5. naloga: V krogu s polmerom 8 cm smo odmerili središčni kot 1200. Izračunaj dolžino krožnega loka in ploščino krožnega izseka, ki pripadata temu središčnemu kotu.
6. naloga: Ploščina kroga meri 121 π cm2. Izračunaj njegov obseg.
14
SSIO 9 PRIR.indd 14
4/19/07 2:29:09 PM
PONOVITEV SNOVI KROG 7. naloga:
Izračunaj obseg in ploščino osenčenega lika. a)
a = 4 cm
b)
a = 6 cm
c)
a = 8 cm
15
SSIO 9 PRIR.indd 15
4/19/07 2:29:10 PM
PONOVITEV SNOVI PITAGOROV IZREK u
1. naloga:
Dopolni izjave. a) u2 =
v z
b) v = c) z = 2. naloga: Obkroži pravilne trditve. a) x2 = y2 + z2
y
b) x = y + z c) y = x2 − z2
z
2 2 č) z = x − y
d) y2 = x2 − y2
x
e) z2 = x2 + y2 3. naloga: V pravokotnem trikotniku merita kateti 5 dm in 12 dm. Izračunaj obseg in ploščino tega trikotnika.
4. naloga: K steni prislonimo 10 m dolgo lestev, tako da je na tleh od stene oddaljena 6 m. Kako visoko bo segala lestev?
5. naloga: Dolžina pravokotnika je 2,1 dm, dolžina njegove diagonale pa 29 cm. Izračunaj obseg in ploščino tega pravokotnika ter ploščino kroga, ki mu je očrtan.
6. naloga: V rombu z obsegom 100 cm meri diagonala f 14 cm. Izračunaj ploščino tega romba in dolžino njegove višine.
7. naloga:
V enakokrakem trikotniku meri osnovnica c 60 cm, krak a pa 34 cm. Izračunaj obseg in ploščino tega trikotnika.
8. naloga: V enakokrakem trapezu z osnovnicama 12 cm in 6 cm meri višina 4 cm. Izračunaj obseg in ploščino tega trapeza.
9. naloga: Obseg enakostraničnega trikotnika meri 1,2 dm. Izračunaj ploščino tega trikotnika in njegovo višino.
16
SSIO 9 PRIR.indd 16
4/19/07 2:29:11 PM
REŠITVE PONOVITVE SNOVI 8. RAZREDA 1.
RACIONALNA ŠTEVILA
>, <, =, <, <
5.
a) 169 b) − 64
2.
a) 4,87
c) 121
b) − 6,8 č) c) − 51,3816
25 7 =2 9 9
d) 0,0009
1 č) 8 4
e) 2,56
d) − 107 f) 1960000
1 e) 3 3
g) −
16 25
h) 11 3.
a) − 4 i) 15 b) 18,5 j) 30 c) − 67,754 1 č) −22 3 11 d) 13 24
k) 1,2
6.
a) 23
e) − 3 f) 1
7 9
b) 784 c) 63
g) − 260,664 č) 18 d) − 4,6 4.
a) 128 e) 4 b) − 216 c) 35 = 243 č) 82 = 64 d) 41 = 4 e) 50 = 1 f) 24 = 16 g) 32 = 9
SSIO 9 PRIR.indd 17
17
4/19/07 2:29:12 PM
REŠITVE PONOVITVE SNOVI 8. RAZREDA
IZRAZI 1.
enočleniki so: koeficient: podobni si enočleniki so:
2.
3 3 a , − 2x, − x, 0·6 a2, −1·3 a 4 3 3, − , −2, −1, 0·6, − 1·3 4 3x, −
3x, −2x in − x
a) − 15 x4y4 b) 2,88 a3b6 1 c) a4b4c 5
3.
a) 4x − 3y b) 9a2 − 11a + 3 c) − 4x3 + 10x2 − 7x − 9 č) 8u3 − 16u2 + 14u − 12 d) − 28a3 − 12a2 + 32a e) 36x2 − 52x − 40 f) 8u3 − 14u2 − 29u + 35 g) 38a2 − 18a − 18 h) 1x2 − 46x i) 43x2 − 49x + 13 j) − 30a3 + 51a2 − 41a − 48 k) − 36x3 + 66x2 + 96x − 180
4.
a) 0 · x − 19 = − 19 b) 4a2 − 52a + 48 = 168 c) − 8x3 + 18x2 − 11x − 20 = 17
5.
a) 4a2b · (b2 − 3a3) b) x2y8 · (7x2 − 15xy4 + 6y2) c) 10a3 · (2ab3 + 3a2b2 − 1) č) 0,6x2 · (7x − 12y + 1)
18
SSIO 9 PRIR.indd 18
4/19/07 2:29:14 PM
REŠITVE PONOVITVE SNOVI 8. RAZREDA 1.
PREMO IN OBRATNO SORAZMERJE
a) 216 kg b) 1800 m V 137 zavitkih je 27,4 kg kave.
3.
Za 16 zvezkov plačamo 8 €. znesek (€)
2.
y 4 3 2 1 0
1
2
3
4
x
št. zvezkov
4.
60000 vijakov bi izdelali v 75 urah.
5.
Uporabiti bi morali 9 strojev.
6.
Če bi odšli vsi prijavljeni, bi vsak plačal 24 €.
7. a) premo sorazmerje x y
y
b) obratno sorazmerje x y
2 6
2 12
3 9
3
8
4 12
4
6
6
4
y
y=3∙x
8 7 6 5 4 3 2 1 0
SSIO 9 PRIR.indd 19
x ∙ y = 24
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
0
1 2 3 4 5 6 7 8 x
19
4/19/07 2:29:15 PM
REŠITVE PONOVITVE SNOVI 8. RAZREDA
KROG 1.
a) središče b) mimobežnica N
c) polmer č) tetiva
V
d) premer e) središčni kot
S
M
t U l T
2.
r = 2 cm o = 12,56 cm p = 12,56 cm2
3.
o = 14,444 cm = 14,4 cm k
p = 16,6106 cm2 = 16,6 cm2 S
4.
r = 3 cm p = 28,26 cm2
5.
l = 16,746 cm pi = 66,986 cm2
6.
r = 11 cm o = 22 ∙ π cm = 138,16 cm
7.
a) o = 3a + l o = 18,28 cm b) o = 2a + l o = 21,42 cm
c) o = a +
20
SSIO 9 PRIR.indd 20
a a + +l +l 2 2 1 2
o = 34,84 cm
p = a2 + pi p = 22,28 cm2 p = a2 − pi p = 7,74 cm2
p = a2 − pi1 − pi2 p = 26,32 cm2
4/19/07 2:29:16 PM
REŠITVE PONOVITVE SNOVI 8. RAZREDA 1.
PITAGOROV IZREK
a) u2 = z2 − v2 b) v = z 2 − u 2 c) z = u 2 + v 2
2.
a, č in d
3.
h = 13 cm o = 30 cm p = 30 cm2
4.
Lestev sega 8 m visoko.
5.
b = 20 cm o = 82 cm p = 420 cm2 po = 660,185 cm2
6.
a = 25 cm e = 48 cm p = 336 cm2 va = 13,44 cmt
7.
v = 16 cm o = 128 cm p = 480 cm2
8.
b = 5 cm o = 28 cm p = 36 cm2
9.
a = 4 cm p = 6,92 cm2 = 4 · v = 3,46 cm = 2 ·
3 cm2 3 cm
21
SSIO 9 PRIR.indd 21
4/19/07 2:29:17 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI IZRAZI možnih je 60 TOČK
Špela blesti (54 točk in več)
Špela na poti k vrhu (od 48 − 53 točk)
Špela dodatno trenira (od 31 − 38 točk)
6t
1.
Špela na dobri poti (od 39 − 47 točk)
Špela išče pomoč (manj kot 30 točk)
Izračunaj. 2
⎛2 ⎞ a) ⎜ x − 3⎟ = ⎝3 ⎠
b) (3x3 + 2y)2 =
c) (2a + 15)(2a − 15) =
č) (0,2 x + 1,7y) (0,2 x − 1,7y) =
2. Izračunaj. 2t
a) 5x ∙ 4x − 2x + 3 =
3t
b) 3m2 − (m + 2)(m − 3) =
3t
c) 5 + a − (2a − 3 )2 =
4t
3. Izpostavi skupni faktor. a) 12xy2 − 6xy =
4t
b) 26 x3y5 + 65x2y6 =
4. Razstavi izraze v produkte. a) a2b2 − 9 =
b) 4a4 − 324 =
22
SSIO 9 PRIR.indd 22
4/19/07 2:29:19 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI IZRAZI 9t
5. Dopolni. a) (a − 0,3)2 =_______ b) (3x −
_______
4 4 )(3x + ) =_______ 5 5
_______
_______
c) (u − 5)(u + ___ ) = u2 − 25 č) (y − ___)2 = y2 − _______ +
4 9
d) y2 − 4y − 5 = (___ + 1 )(___
5)
10 t 6. Poenostavi izraze a) 3(m −1)2 + 2(m − 3) − 28 = b) (2a − 1)2 + 2(a −1) − (2a +1)(2a − 3) = 2t
7.
a) Poenostavi izraz (2a + b)2 − 7a(b − a)(b + a). b) Izračunaj vrednost poenostavljenega izraza za za a = − 2 in b = 10.
6t
8. V trikotniku meri prva stranica (5x − 2y) cm, druga je za x + 3y krajša od prve, tretja pa za 2x + y daljša od prve. Določi obseg trikotnika.
6t
9. Najprej razstavi izraze v števcu ali imenovalcu, nato pa ulomke okrajšaj. a)
6x 2 − 6 = 9x − 9
b)
3x 3 − 6 x 2 = x 2 − 4x + 4
23
SSIO 9 PRIR.indd 23
4/19/07 2:29:23 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI ENA»BE možnih je 70 TOČK
Špela blesti (63 točk in več)
Špela na poti k vrhu (od 56 − 62 točk)
Špela dodatno trenira (od 35 − 45 točk)
25 t 1.
Špela išče pomoč (manj kot 35 točk)
Reši enačbe in napravi preizkus: a) 3 x + 15 = 9
b) 4 x + 8 − 5 = 2 x + 15
c) 2 x − (5 x + 7) = 6 − (6 x − 2)
č) 2 (3 x − 6) = 2 x − 4 (x − 8)
d)
5t
Špela na dobri poti (od 46 − 55 točk)
x 2x x −5 = + 2 3 4
2. Reši enačbo:
x −4 2x 2 − x +6 = − 2 5 3
24
SSIO 9 PRIR.indd 24
4/19/07 2:29:25 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI ENA»BE 5t
3. Če šestkratnik nekega števila zmanjšaš za 7, dobiš isto število, kot če njegov štirikratnik povečaš za 17. Katero število je to?
5t
4. Dopolni izjave, tako da bodo pravilne: a) Linearna enačba, ki ima neskončno mnogo rešitev, se imenuje __________________ . c) Enačbi 3 x = 6 in 6 − x = 4 sta ________________ enačbi. d) Enačba 0 ∙ x = 5 _____________ rešitve. č) Linearna enačba 2 x − 4 = 5 x + 2 je linearna enačba z eno _____________ . d) Rešitev enačbe je tisto število, pri katerem sta vrednosti leve in desne strani enačbe ______.
6t
5. Osnovnica pravokotnika je za 3 cm daljša od višine, obseg pravokotnika pa meri 30 cm. Izračunaj ploščino tega pravokotnika.
6t
6. Oče je trikrat starejši od Špele, ki je stara 14 let. Čez koliko let bo le še dvakrat starejši od Špele?
25
SSIO 9 PRIR.indd 25
4/19/07 2:29:28 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI ENA»BE 6t
7.
Izrazi neznane količine: a) o = c + 2 a
b) V = a b c
c) V =
a 2v 3
2 celotne poti, drugo uro 30% ostanka, tretjo uro pa je 5 prehodil 5040 m in prišel do cilja. Koliko km je prehodil?
6t
8. Rok je prvo uro prehodil
6t
9. Reši enačbo (4 x + 5) (2 x − 7) − (3 x − 4)2 + (x − 5) ( x + 5) = − 16
26
SSIO 9 PRIR.indd 26
4/19/07 2:29:31 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI SORAZMERJE IN PODOBNOST možnih je 40 TOČK
Špela blesti (36 točk in več)
Špela na poti k vrhu (od 32 − 35 točk)
Špela dodatno trenira (od 20 − 25 točk)
1t
1.
Špela na dobri poti (od 26 − 31 točk)
Špela išče pomoč (manj kot 20 točk)
Obkroži črko pred izrazom, ki prikazuje razmerje med številom pobarvanih krožcev in številom vseh krožcev.
a) 3 : 2
b) 2 : 3
c) 2 : 5
č) 5 : 3
d) 3 : 5
2. Dan je pravokotnik z dolžino 16 cm in širino 12 cm. 2t
a)
Zapiši razmerje med dolžino in širino pravokotnika in ga poenostavi.
3t
b)
Izračunaj diagonalo in obseg ter nato zapiši razmerje med dolžino diagonale in dolžino obsega.
6t
3. Izračunaj neznani člen sorazmerja a) 4,8 : 3,6 = x : 2,1
b) x :
1 =2:3 4
c)
2 = 15 x
27
SSIO 9 PRIR.indd 27
4/19/07 2:29:33 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI SORAZMERJE IN PODOBNOST 2t
4. Oče in sin skupaj tehtata 96 kg. Njuni masi sta v razmerju 5 : 3. Izračunaj maso očeta in maso sina. Za koliko kg je oče težji od sina?
4t
5. Avtomobil porabi za 128 km dolgo pot osem litrov bencina. a) Koliko litrov bencina bi porabil na 100 km dolgi poti? b) Koliko km bi prevozil s 25 litri bencina?
2t
6. Zemljevid je narisan v merilu 1 : 500 000. Koliko km meri razdalja med krajema A in B, če sta na zemljevidu oddaljena 165 mm?
28
SSIO 9 PRIR.indd 28
4/19/07 2:29:35 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI SORAZMERJE IN PODOBNOST 4t
7.
Stranice trikotnika merijo 9 m, 7m in 6 m. Najkrajša stranica podobnega trikotnika meri 24 m. Izračunaj neznani stranici in obseg podobnega trikotnika.
6t
8. Na premici p ležijo točke A, B, C, D, tako da je.
IABI = 6 cm, IBCI = 4 cm, IADI = 18 cm p A
B
C
D Merilo 1 : 2
Določi razmerja in vsako razmerje poenostavi: a) IABI : IBCI = b) IBCI : ICDI = c) IADI : IACI = 5t
9. Trikotniku s podatki c = 5 cm, b = 60 0 in b = 4,5 cm nariši podoben trikotnik, če meri v'c= 2,5 cm.
29
SSIO 9 PRIR.indd 29
4/19/07 2:29:38 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI SORAZMERJE IN PODOBNOST 5t
10. Stranice trikotnika merijo a = 7 cm, b = 6 cm in c = 11 cm. Najkrajša stranica podobnega trikotnika pa je enaka polovici obsega danega trikotnika. Izračunaj dolžine stranic podobnega trikotnika in njegov obseg.
30
SSIO 9 PRIR.indd 30
4/19/07 2:29:40 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI GEOMETRIJSKA TELESA možnih je 50 TOČK
Špela blesti (45 točk in več)
Špela na poti k vrhu (od 40 − 44 točk)
Špela dodatno trenira (od 25 − 31 točk)
1.
Špela na dobri poti (od 32 − 39 točk)
Špela išče pomoč (manj kot 25 točk)
Dan je kvader ABCDEFGH z robovi IABI = 3 cm, IBCI = 4 cm in IDHI = 12 cm. a) Zapiši vse robove, ki so vzporedni robu EF.
6t
b) V kakšni medsebojni legi sta robova AB in FG?
H E
G F
c) Določi presečišče ravnin ABC in BFH. 4t
č) Kateri robovi kvadra so vzporedni ravnini ADH? d) Izračunaj dolžino telesne diagonale. e) Izračunaj ploščino trikotnika CGH. f)
Izračunaj ploščino diagonalnega preseka z osnovnico AC.
C
A
2.
a) Poimenuj geometrijsko telo na sliki.
5t
b) Izračunaj ploščino osnovne ploskve.
B
c) Izračunaj ploščino plašča. 1t
č) Izračunaj prostornino telesa. d) Koliko l tekočine lahko nalijemo v posodo, ki ima takšno obliko? e) Izračunaj dolžino telesne diagonale.
9 cm
31
SSIO 9 PRIR.indd 31
4/19/07 2:29:42 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI GEOMETRIJSKA TELESA 3.
a) Kako imenujemo geometrijsko telo, katerega mreža je na sliki? b) Kateri lik predstavlja osnovno ploskev?
5t
c) Izračunaj ploščino osnovne ploskve. č) Izračunaj površino telesa. d) Izračunaj prostornino telesa.
4.
V pravilni tristrani prizmi meri osnovni rob 12 cm, plašč pa 720 cm2. a) Izračunaj višino te prizme.
4t
b) Koliko meri skupna dolžina vseh robov te prizme? d) Izračunaj površino te prizme. č) Izračunaj prostornino te prizme.
5.
Prostornina pravilne štiristrane prizme z osnovnim robom 8 dm je 960 dm3. a) Izračunaj ploščino osnovne ploskve te prizme. b) Izračunaj površino te prizme. c) Izračunaj, koliko dm2 kartona potrebujemo za izdelavo škatle, če le-ta nima pokrova.
32
SSIO 9 PRIR.indd 32
4/19/07 2:29:47 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI GEOMETRIJSKA TELESA 6.
Osnovna ploskev pravilne štiristrane piramide, ki je visoka 3 cm, meri 64 cm2.
1t
a) Izračunaj prostornino piramide.
3t
b) Izračunaj površino piramide. c) Izračunaj ploščino trikotnika BDV.
7.
Stožec s polmerom 6 cm je visok 8 cm.
1t
a) Izračunaj njegovo prostornino.
2t
b) Izračunaj njegovo površino.
8.
Plašč enakorobe tristrane piramide meri 12 3 cm2. a) Izračunaj osnovni rob te piramide.
4t
b) Izračunaj površino piramide. c) Izračunaj, koliko je vsota dolžin vseh robov te piramide.
33
SSIO 9 PRIR.indd 33
4/19/07 2:29:49 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI GEOMETRIJSKA TELESA 9.
Iz lesenega kvadra z dolžino 6 dm, širino 6 dm in višino 1,2 m izstružimo največji
5t
možni valj. Koliko % lesa odpade?
10.
Pravokotnik z dolžino 5 cm in širino 3 cm zavrtimo okrog daljše stranice.
5t
Izračunaj površino in prostornino nastale vrtenine.
34
SSIO 9 PRIR.indd 34
4/19/07 2:29:51 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI FUNKCIJA možnih je 50 TOČK
Špela blesti (45 točk in več)
Špela na poti k vrhu (od 40 − 44 točk)
Špela dodatno trenira (od 25 − 31 točk)
6t
1.
2.
3.
b) y = − 4 x + 7
c) y = x − 5
Zapiši linearno funkcijo, če poznaš smerni koeficient in začetno vrednost. a) k = 5 n = − 4
6t
Špela išče pomoč (manj kot 25 točk)
Pri danih linearnih funkcijah izpiši smerni koeficient in začetno vrednost. a) y = 2 x + 3
6t
Špela na dobri poti (od 32 − 39 točk)
b) k = −
1 n=6 2
c) k = 2 n = 0
Izračunaj vrednost linearne funkcije f(x) = 3 x − 5 pri x = 0, pri x = 3 in pri x = − 2.
35
SSIO 9 PRIR.indd 35
4/19/07 2:29:53 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI FUNKCIJA 4. 6t
Dane funkcijske predpise zapiši z matematičnim izrazom: a) vrednost y je za 2 večja od petkratnika števila x, b) vrednost y je za 3 manjša od četrtine števila x, 3 c) vrednost y je za večja od nasprotne vrednosti števila x, 4 č) vrednost f(x) je enaka trikratniku števila x, d) vrednost f(x) je kvadrat števila x, zmanjšan za 5.
2t
5.
Pri kateri vrednosti spremenljivke x je vrednost linearne funkcije y = − 2 x + 6 enaka 12?
6. 4t
a) Nariši premico y = 3 x − 6.
2t
b) Odčitaj koordinati presečišč z obema osema.
2t
c) Koordinati točke M preveri še z računom.
4t
č) Ugotovi, ali točki A( − 3, 3) in B( 4, 6) ležita na tej premici.
2t
d) Zapiši enačbo ene premice, ki je tej premici vzporedna.
36
SSIO 9 PRIR.indd 36
4/19/07 2:29:57 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI FUNKCIJA 3t
7.
Zapiši enačbo premice, ki je vzporedna premici y = 3 x + 2 in poteka skozi točko T ( 2, − 1).
4t
8.
Grafično določi presečišče premic y = 2 x − 4 in y = − x + 5. Rezultat preveri računsko.
4t
9.
Z grafa odčitaj enačbo premice. y a b
0
1
x
37
SSIO 9 PRIR.indd 37
4/19/07 2:29:59 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI REŠITVE I. IZRAZI 1.
a)
4 2 x − 4x + 9 9
6 3 2 b) 9x − 12x y + 4 y
c) 4a 2 − 225 2 2 č) 0, 04x − 2, 89 y
2.
a) 20x 2 − 2x + 3 b) 2m 2 + m + 6 c) −4a 2 + 13a − 4
3.
a) 6xy ⋅ (2x − 1) 2 5 b) 13x y ⋅ (2x + 5 y )
4.
a) (ab + 3) ⋅ (ab − 3) 2 2 b) (2a + 18) ⋅ (2a − 18)
5.
2 2 a) (a − 0, 3) = a − 0, 6a + 0, 09
4 4 16 2 b) (3x − ) ⋅ (3x + ) = 9x − 5 5 25 2 c) (u − 5) ⋅ (u + 5) = u − 25
2 2 4 4 2 č) ( y − ) = y − y + 3 3 9 2 d) y − 4 y − 5 = ( y + 1) ⋅ ( y − 5)
6.
a) 3m 2 − 4m − 25 b) 2a + 2
38
SSIO 9 PRIR.indd 38
4/19/07 2:30:01 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI REŠITVE 7.
a) 7a 3 + 4a 2 + 4ab − 7ab 2 + b 2 b) 1380
8.
a = 5x − 2 y b = 4x − 5 y c = 7x + y o = 16x − 8 y
9.
a)
6 ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) 2(x + 1) = 9(x − 1) 3
b)
3 x 2 ⋅ ( x − 2) 3x 2 = ( x − 2) ⋅ ( x − 2) x − 2
II. ENAČBE 1.
a) x = − 2
;
L : 9, D : 9
b) x = 6
;
L : 27, D : 27
c) x = 5
;
L : − 22, D : − 22
č) x = 5,5
;
L : 21, D : 21
d) x = − 12 ;
2.
x = 20
3.
To število je 12.
L : − 11, D : − 11
39
SSIO 9 PRIR.indd 39
4/19/07 2:30:02 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI REŠITVE 4.
a) identiteta b) ekvivalentni c) nima č) neznanko d) enaki
5.
a = 9 cm b = 6 cm p = 54 cm2
6.
Čez 14 let bo oče le še dvakrat starejši od Špele.
7.
a) a =
o −c 2
b) b =
V ab
c) a =
3V v
8.
Prehodil je 12 km.
9.
x = 10
40
SSIO 9 PRIR.indd 40
4/19/07 2:30:03 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI REŠITVE III. SORAZMERJE IN PODOBNOST 1. 2.
d a) 16 : 12 = 4 : 3 b) d : o = 20 : 56 = 5 : 14
3.
a) x = 2,8
1 6 2 c) x = 15 b) x =
4.
Oče tehta 60 kg, sin pa 36 kg. Oče je za 24 kg težji od sina.
5.
a) Na 100 km dolgi poti porabi 6,25 l bencina b) S 25 litri bencina prevozi 400 km.
6.
82,5 km
7.
Drugi dve stranici merita 36 cm in 28 cm, obseg pa 88 cm.
8.
a) IABI : IBCI = 6 : 4 = 3 : 2 b) IBCI : ICDI = 4 : 8 = 1 : 2 c) IADI : IACI = 18 : 10 = 9 : 5
9. C’
C
vc’ A’ A
10.
B’ c
B
b' = 12 cm a' = 14 cm c' = 22 cm o' = 48 cm
41
SSIO 9 PRIR.indd 41
4/19/07 2:30:04 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI REŠITVE IV. GEOMETRIJSKA TELESA 1.
a) AB, CD in GH b) mimobežnica c) BC č) BC, FG, BF in CG d) 13 cm e) 18 cm2 f) 60 cm2
2.
a) kocka b) 81 cm2 c) 324 cm2 č) 729 cm3 d) 0,729 l e) 15,57 cm
3.
a) valj b) krog c) 0,785 cm2 č) 6,28 cm2 d) 1,1775 cm3
4.
a) 20 cm b) 132 cm c) 72 · 3 +720 cm2 = 844,56 cm2 č) 720 · 3 cm3 = 1245,6 cm3
5.
a) 64 dm2 b) 608 dm2 c) 544 dm2
6.
a) 64 cm3 b) 144 cm2 c) 12 ·
2 2 = 16,92 cm
42
SSIO 9 PRIR.indd 42
4/19/07 2:30:05 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI REŠITVE 7.
a) 96 · π = 301,44 cm2 b) 96 · π = 301,44 cm2
8.
a) a = 4 cm b) 16 · 3 = 27,68 cm2 c) 24 cm
9.
V = 432 cm3 V = 339,12 cm3 Odpade 21,5 % lesa.
10.
P = 48 · π = 150,72 cm2 V = 45 · π = 141,3 cm3
V. LINEARNA FUNKCIJA 1.
a) k = 2 , n = 3 b) k = − 4 , n = 7 c) k = 1 , n = − 5
2.
a) y = 5x − 4 1 b) y = − x + 6 2 c) y = 2x
3.
f(0) = − 5 f(3) = 4 f(−2) = − 11
4.
a) y = 5x + 2 x b) y = − 3 4 3 c) y = −x + 4 č) f(x) = 3x d) f(x) = x2 − 5
5.
pri x = − 3
43
SSIO 9 PRIR.indd 43
4/19/07 2:30:06 PM
ŠPELA SE PREIZKUSI REŠITVE a)
b) M(2,0) ; N(0,−6)
y
c) M(2,0)
3x −
6
6.
y=
č) A ne leži B leži M(2,0)
0
1
x
d) vse, ki imajo smerni koeficient 3 npr.: y = 3x + 2
N(0,6)
7.
y = 3x − 7
8.
računsko: P(3,2) y
2x
−4
y
−x +
y=
= 5
P(3,2) 0
9.
1
x
a) y = −1x + 3 b) y = 2x + 2
44
SSIO 9 PRIR.indd 44
4/19/07 2:30:08 PM