http://www.devetletka.net/resources/files/doc/test/OS_matematika/9.%20razred/Ucenci/Resitve/SSIO_9_R

Skrivnosti πtevil Reπitve uËbenika in oblik 9

za matematiko v 9. razredu osnovne πole

Joæe Berk

Jana Draksler

Marjana RobiË

1. IZRAZI Kvadrat dvoËlenika 1. a) x 2 + 2x + 1 c) b 2 + 14b + 49 d) d 2 + 16d + 64 f) m 2 — 8m + 16 h) 4 + 4x + x 2 j) 25 — 10t + t 2 l) a 2 — 2ab + b 2 n) v 2 — 4v + 4 p) x 2 + 2xy + y 2 2. a) 4x 2 + 4x + 1 c) 9a 2 — 12a + 4 d) 9x 2 + 12xy + 4y 2 f) 9m 2 — 36mn + 36n 2 h) 4z 2 + 28cz + 49c 2 j) a 4 — 2a 2b + b 2

b) a 2 + 10a + 25 Ë) d 2 + 12d + 36 e) c 2 — 4c + 4 g) k 2 — 18k + 81 i) 9 — 6n + n 2 k) o 2 + 2ov + v 2 m) 9 — 6s + s 2 o) z 2 + 8z + 16 r) 100 + 20a + a 2 b) 9x 2 + 24x + 16 Ë) 25d 2 — 40d + 16 e) 16a 2 — 48ab + 36b 2 g) 25k 2 — 60km + 36m 2 i) x 4 — 2x 2 + 1 k) x 2 + x +

l) 16y 2 — 2y + 3. a) a4, b1, c4, Ë1 4. a) a + 8 b) o = 4(a + 8) = 4a c) p = (a + 8)2 = a 2 + 16a + 64 5. d) 6. a) (a + 12)2 = a 2 + 24a + 144 c) (2b — 3)2 = 4b 2 — 12b + 9 d) (6 + c)2 = 36 + 12c + c 2 f) (1 + 7y)2 = 1 + 14y + 49y 2 7. a) x 2 + 2x — 4 c) — a 2 + 12a — 25 d) — 3x 2 — 6x — 1 f) 6b 2 — 5b 8. a) 2x 2 — 10x + 25 = 20 c) — 4y 2 + 13y — 11 = — 28 d) 10x 2 + 17xy + 3y 2 = — 55 9. a) 1,44a 2 + 0,72ab + 0,09b 2

m) 4a 4 — 12a 2b 2 + 9b 4

c)

x — 2

xy +

y

2

d) 9b 2 + 2b + 10.

11.

12.

13.

14.

+ 32

b) x 2 — 3x + 9 Ë) —a 2 + a + 2ab + b — b 2 e) 9a 2 — 19a + 18 g) 18x 2 — 17xy + y 2 b) — 2a 2 + 4a — 1 = — 1 Ë) 4b — 9 = — 21 b) 0,25x 2 — 1,6xy + 2,56y 2 Ë)

a2 — a + 4

e)

m2 —

mn +

n2

Produkt vsote in razlike dveh enakih Ëlenov x2 — 1 c 2 — 64 — n 2 + 16 4x 2 — 1 9x 2 — 64y 2 — 4z2 + 1

3. a,Ë,e

2

b) a 2 — 25 e) 81 — m 2 i) — 25 + t 2 b) 9a 2 — 4 e) 16a 2 — 36b 2 i) x4 — 1

l) o)

c) b 2 — 49 f) 100 — k 2 j) r 2 — p 2 c) 49t 2 — 9 f) 25m 2 — 81n 2 j) 9 — y4

Ë) d 2 — 36 g) — x 2 + 1 k) x 2 — z 2 Ë) 25d 2 — 16 g) 9k 2 — 100m 2 k) 4a4 — 9b4

x2 — m2 —

y2 n2

b) a 2 + 3a — 36 d) 12x + 8 g) — 3b + 3 j) — 32y 2 — 72xy

c) — y 2 + 2y + 49 e) 2z 2 + 9 h) — 25m2 + 10m + 12 k) 1,44a 2 — 0,09b 2

m)

a2 — 4

n)

p)

m2 —

— 9b 2

n2

b) — a2 + 1 = — 3

5. a) 2x 2 — 4 = — 3 c) 5y — 2y — 9 = — 8

Ë) 6m2 — 5m — 37 = — 26

2

d) — 3a 2 — 2ab + 5b 2 = 16

e) — 50x 2 — 90xy = — 13

6. a) (3x — 5)(3x + 5) + (5x) = 34x 2 — 25 b) 27 — (2a + 3b)(2a — 3b) = — 4a 2 + 9b 2 + 27 c) (2a + 5)2 + (— 6a — 4)(— 6a + 4) = 40a 2 + 20a + 9 Ë) (3 · (— y) — 5) — (y 2 + (—3)) (y 2 — (— 3)) = — y4 — 3y + 4 7. 3x + 7 8. o = 4x, p = x 2 — 25 9. p = x 2 — 64 10. o = 8a p = 4a 2 — 36 p = d 2 = 8a 2 + 72 11. ©tevec se zmanjπuje za zaporedna liha 4x2 - 36 (2x + 6)(2x - 6) = 2 2 πtevila, ki so enaka 2

in manjπa od — 3.

b) (x — y)2 = x 2 — 2xy + y 2 Ë) (4 + 2a)2 = 16 + 16a + 4a 2 e) (5x — y)2 = 25x 2 — 10xy + y 2

f) a 2 + ab + b 2 a) — 9x 2 — 42 xy — 49y 2 b) — 4a 2 + 16ab —16b 2 2 2 2 2 c) — x y + 2x y — x a) (3x — 5) + (2x + 3)2 = 4x 2 + 15x + 4 b) 42 — (2a — 4)2 = — 4a 2 + 16a c) (3y — 5)2 = 9y 2 — 30y + 25 a) 4(t — 12) = 4t — 48 b) (t — 12)2 = t 2 — 24t + 144 a) — 2x 2 + 10x — 10 b) 3a 3 — 3a 2 + 45a + 51 3 2 c) — 16b + 120b — 192b + 86 Ë) — 24xyz 3 a) 1992 = (200 — 1)2 = 40 000 — 400 + 1 = 39 601 b) 19992 = (2000 — 1)2 = 4 000 000 — 4 000 + 1 = 3 996 001 c) 2072 = (200 + 7)2 = 40 000 + 2 800 + 49 = 42 849 Ë) 20052 = (2000 + 5)2 = 4000 000 + 20 000 + 25 = 4 020 025

1. a) d) h) 2. a) d) h)

4. a) x 2 — 9 Ë) 19a 2 + 4a — 13 f) x 2 + 3x — 4 i) 2x — 19

4x2 - 49 (2x + 7)(2x - 7) = 2 2 4x2 - 64 (2x + 8)(2x - 8) = 2 2 4x2 - 81 (2x + 9)(2x - 9) = 2 2

Razstavljanje izrazov 1. a) (x — 1)(x + 1) c) (b — 4)(b + 4) d) (8 — x)(8 + x) f) (5m — 7n)(5m + 7n) h) (k 2 — 6)(k 2 + 6) j) (0,4x — 0,9y) (0,4x + 0,9y) m) ( a — b)( a + 2. Ë, d, f 3. (7x + 9)(7x — 9)

b)

4. a) (x — 2)

b)

d)

e) (x + 5y)

b) (a — 2 )(a + 2) Ë) (3 — d)(3 + d) e) (c — d)(c + d) g) (12s — 14r)(12s + 14r) i) ( x — 15)( x + 15) k) (0,2 — 0,3x) (0,2 + 0,3x)

c)

Ë)

f) (a — 3)(a 2 + 9)

5. a = x — 6; r = x + 6; in obratno 6. x 2 — 4 = (x — 2)(x + 2)

©pela se preizkusi 1. a) x 2 + 12x + 36 c) 9x 2 — 24xy + 16y 2 d) 36a 2 — 49b 2 2. a) 4a(b + 2) c) c 2(cd 2 — 5) 3.

4.

5.

6.

7.

8.

b) 4b 2 — 20b + 25 Ë) c 2 — d 2 e) a 4 — b4 b) 3y(x — 1) Ë) (x — 9)(x + 9)

d) (6a — 12b)(6a + 12b) e) (b — )(b + ) d, f, g a) y 2 — 11y — 25 b) — 14a 2 — 11a + 58 2 2x — 8x + 10 = 52 a) pozitiven ali nima predznaka (2t) b) 6 (1t) a) o = 4c b) p = c 2 — d 2 a) A = (x — 13)2 (2t) b) B = 26 x — x 2 (2t) 2 2 c) 180 — ((x — 13) + (26 x — x )) = 11 (4t)

- 13 - 15 - 19

2. ENA»BE Linearne enaËbe 1. a) 3 kg b) 0,5 kg 2. a) Da. EnaËba je linearna, ker ima spremenljivka, ki nastopa a) v njej, potenËno stopnjo 1. b) ©tevilo 4 je reπitev enaËbe, ker imata pri tej vrednosti b) spremenljivke obe strani enaËbe enaki vrednosti. c) ©tevilo 0 ni reπitev enaËbe, ker imata pri tej vrednosti b) spremenljivke obe strani enaËbe razliËni vrednosti. Ë) Vrednost leve strani enaËbe je - 11, desne pa 1.

3. Nalogo je smiselno reπiti z vstavljanjem zaporednih naravnih πtevil za vrednost spremenljivke, zaËenπi z niË. Seveda je mogoËe nalogo reπiti tudi s povsem drugaËno izbiro zaporedja vrednosti spremenljivke. a) x = 4 b) x = 5 c) x = 2 Ë) x = 1 4. a) EnaËbi sta ekvivalentni, kadar imata enaki reπitvi. b) EnaËbi sta ekvivalentni, ker je reπitev obeh enaËb πtevilo 4.

5. a) x = 8 b) x = 12 c) x = 5 Ë) x = 36 d) x = 4 e) x = 3 f) x = 9 g) x = 12 h) x = 2 i) x = 24 j) x = 5 k) x = 3 l) x = 10 m) x = 0 n) x = 14 o) x = 6 π) x = 1 91 p) x = 2 r) x = 3 s) x = — 1 6. a) x = 3 b) x = 3 c) x = — 73 Ë) x = 3 EnaËba c ni ekvivalentna ostalim.

7. a = 1

6. a) R = {3, — 5} Ë) R = {— 6, 6} f) x1,2 = 5 7. x = 8. x = 2 9. a) R = {— 2, 2} Ë) R = { , — }

1. a) x = 21 Ë) x = 2 f) x = 4 i) x = 72 l) x = 320 2. a) x = — 8 b) x = 8 d) x = 18 g) x = 10 j) x = 3. a) x = 4 Ë) x = — 1 f) x = 4

1. a) x = 2 d) x = — 3 h) x = 4 2. a) x = 16 d) x = 8 h) x = 12 l) x = 8 3. a) x = 6 4. a) x = 1 c) x = 5. a) x = 6

b) x = — 4 e) x = 2

c) x = 10 f) x = — 8

Ë) x = — 11 g) x = 4 k) x = — 40

c) x = 3

Ë) x = 0 d) x =

b) x = — 20 d) x = 4 g) x = 7 j) x = 7 m) x = 39

c) x = 8 e) x = 12 h) x = 10 k) x = 4

c) x = 11 e) x = 4 h) x = 13 k) x = 20 b) x =

Ë) x ∈ { } f) x = 9 i) x = 13 l) x = 3 c) x = — 3

d) x = g) x = 20

e) x = 11

;s=

b) b = o — a — c; c = o — a — b

d) O =

Ë) O = P — pl ; pl = P — O ; pl = P — 2O

f) m =

j) R1 =

;r=

k) v =

; T2 =

m) r1 =

; F2 =

2. a) r = 9 cm

b) r =

3. a) c = 3,75 cm

b) c =

4. a) x = — 3c; c ∈ R 5. a) x =

;f=

i) r =

; R2 =

l) m =

e) e = g) α =

;v=

h) v1 = v 2 — at ; t =

Ë) x ∈ { } g) x = — 6

c) x = 4 f) x = 23 j) x = — 2

c) R = {2, 1}

c) U = PI; I = U P

b) x = — 16m + 1; m ∈ R c) x = 12z; z ∈ R

; a ≠ 0, a ∈ R

b) x =

;a∈R ; a ≠ 5; a ∈ R

c) x =

; a ≠ 4; a ∈ R

Ë) x =

d) x =

;a∈R

e) x =

; a ≠ 0; a ∈ R

f) x = 3 — a; a ∈ R 6.

b) x = 7 e) x = 4 i) x = 1 m) x = 13 b) x = — 2 b) x = — 12 Ë) x = b) x = — 4

b) R = {— 5, 5}

Izraæanje neznanih koliËin 1. a) F =

EnaËbe z oklepaji

c) R = {— 5, 5} e) R = {— 6, 6}

EnaËbe z ulomki

Reπitve linearne enaËbe 1. a) x = 3 b) x = — 1; v U nima reπitve c) x ∈ { } Ë) x = — 2,5; v U nima reπitve b) x = 4; v U nima reπitve 2. a) x = — 1 3. b; mnoæica reπitev R je podmnoæica osnovne mnoæice 4. a) x = 10 b) x = 4 c) x = — 4; v N ni reπljiva Ë) x = ; v N ni reπljiva d) x = 10 e) x = — 7; v N ni reπljiva 5. a) N, Z b) N c) N, Z, Q 6. a) x = — 4 b) x ∈ R c) x = — 4 Ë) x ∈ { } d) x ∈ R e) x ∈ { } f) x = 5 g) x = — 3 ekvivalentne so: a in c; b in d ter Ë in e 7. a 8. a) linearna enaËba lahko ima eno reπitev, lahko ima neskonËno mnogo reπitev (identiteta) ali pa nima reπitve b) ne 9. a = — 3 10. a = 5; b = — 1

b) R = {— , 0,7} d) R = {— 9, 9}

x=

3p — 2 m · n m

o=2m+2n 7. a) x = 4a; a ∈ R; a ≠ 0 c) x =

;a≠3

b) x =

; c ≠ —2

Ë) x = 1; a ∈ R; a ≠ — 4

d) x = 2 · (a + 3); a ∈ R; a ≠ 3

3

R

ENA»BE

Naloge o πtevilih 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

16.

18.

20.

22.

To πtevilo je 18.

To πtevilo je 53. ©tevilo 15. ©tevilo 48.

To πtevilo je 44. a) S πtevilom 8.

(9 + 15) · x = 192 b) To je πtevilo 11.

3 · x + 18 = 51 c) To πtevilo je 36. Ë) To so πtevila 33, 34 in 35. x + (x + 1) + (x + 2) = 102 To πtevilo je 43. Prav je imela ©pela.

S πtevilom 9. a) To πtevilo je 13. x + 5 x = 78 b) To πtevilo je 12.

3 x + 17 = 5 x — 7 c) Priπteti moraπ πtevilo 21.

2 · 17 + x = 3 x — 8 Ë) To πtevilo je 8.

To so πtevila 13, 14 in 15.

To so πtevila 7, 8, 9 in 10.

To so πtevila 20, 22 in 24.

To so πtevila 24, 26, 28 in 30.

To sta πtevili 55 in 57.

15. To so πtevila 19, 21 in 23. ©tevilo 15.

17. To πtevilo je 9.

Pri πtevilu 24.

19. Pri πtevilu 3.

Pri πtevilu 72.

21. To πtevilo je 11.

Za πtevilo 4.

23. To πtevilo je 13.

Naloge o starosti 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Marko je star 4 leta.

Mati je stara 35 let, hËi pa 5 let.

Mati je stara 36 let, oËe pa 40 let. »ez dve leti. »ez 18 let.

Sin je star 6 let, mati pa 30 let.

Peter je star 12 let, Ana pa 4 leta.

Pred 8 leti. »ez 7 let.

Metka je stara 2 leti, Janko pa 26. »ez 6 let.

Jaka je star 4 leta, Tina pa 16 let.

Kaja je stara 30 let.

Simon je star 8 let, Peter 14 let, mati pa 40 let.

Ne, ker se bosta oba postarala za 2 leti, torej bo imel Jure 14 let, mati pa 38 let (14 . 3 38).

Naloge iz geometrije 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

4

a = 12 cm, b = 8 cm in c = 18 cm. a = 11 cm, b = 14 cm in c = 17 cm. a = 20 cm, b = 13 cm, p = 260 cm2. a) a = 16 cm, b = 20 cm, c = 13 cm. b) a = 10 cm, b = 15 cm, c = 24 cm. p = 48 m2. a) a = 15 cm, b = 13 cm, p = 195 cm2. b) a = 16 cm, b = 12 cm, p = 192 cm2.

Kota ob osnovnici merita po 750.

Koti πtirikotnika merijo: α = 110˚, β = 80˚, γ = 40˚, δ = 130˚.

Ne. Koti merijo α = 58˚, β = 36˚, γ = 86˚.

Koti merijo 30˚, 60˚ in 90˚.

Koti merijo 78˚, 39˚ in 63˚.

Stranica kvadrata meri 12 cm, stranici pravokotnika pa 16 cm in 9 cm.

13. Stranica kvadrata meri 6 cm, njegov obseg pa 24 cm. Stranici pravokotnika merita 9 cm in 4 cm, njegov obseg pa 26 cm.

14. Viπina prvega pravokotnika meri 9 cm, viπina drugega pa 12 cm.

Obseg prvega pravokotnika meri 82 cm, obseg drugega pa 72 cm.

15. Stranici merita 11 cm in 8 cm. Obsega se razlikujeta za 12 cm.

16. Viπini merita 9 cm in 12 cm, obsega pa 50 cm in 48 cm.

17. Stranici prvega pravokotnika merita 17,8 cm in 8,8 cm, stranici drugega pravokotnika pa merita 22,8 cm in 8,8 cm.

18. Druga kateta meri 7 cm, hipotenuza 25 cm, obseg 56 cm, ploπËina pa 84 cm2.

19. Druga kateta meri 8 cm, hipotenuza 17 cm, obseg 40 cm, ploπËina pa 60 cm2.

Naloge iz vsakdanjika 1. Otrok je bilo 112, odraslih pa 296.

2. Pri likovnem kroæku je bilo 38 otrok, pri literarnem pa 21.

3. Za uËni uspeh je bilo nagrajenih 26 uËencev, za πportne doseæke 8, za uspeh na nateËajih pa 19 uËencev.

4. Prvi deËek je dobil 26 A, drugi 8 A, tretji pa 16 A. 5. Najstarejπi je dobil 11,50 A, drugi 9,50 A, tretji 5 A, najmlajπi pa 4 A. 6. Na izlet je odπlo 30 uËencev.

7. Nova cena vrtnice je bila 280 SIT. 8. Knjiga ima 300 strani.

9. Travnik meri 48 ha.

10. Posestvo meri 120 ha.

11. ©pela je imela 25 A. 12. Dræava je na olimpiadi imela 200 udeleæencev.

13. Pridelal je 6400 kg krompirja.

14. V albumu je 240 sliËic.

15. V oddelku a so zbrali 380 kg, v oddelku b pa 460 kg papirja.

16. Kaja je zapravila 10,90 A, Jure pa 9,10 A. 17. ©pela ima 55 sliËic, Rok pa 155.

18. V prvem prostoru je 26 ljudi, v drugem pa 34.

19. V æivali je bilo maskiranih 45 uËencev.

Naloge o gibanju 1.

2.

3.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Razdalja med krajema je 48 km. Kolesar vozi s hitrostjo 12 km/h.

Prevozil bi 18 km s hitrostjo 24 km/h.

S hitrostjo 18 km/h.

4. S hitrostjo 60 km/h. »ez 3 ure, ko bo prvi prehodil 15 km, drugi pa 18 km.

SreËala se bosta ob 9.30, peπec je 15 km, kolesar pa 45 km od doma.

Ne. Dohitel ga bo ob 12. uri, po 30 km poti.

SreËala se bosta ob 12. uri, ko bo ©pela prevozila 42 km.

Dohitel ga bo ob 11. uri, ko opravita 60 km.

Po dveh urah.

12. »ez 3,5 ure.

©pela se preizkusi 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

a) x = 4 b) x = — 10 c) x = 3 Ë) x = — 6 d) x = 3 Pravilne so trditve a, c in Ë. x=8 To πtevilo je 15.

Mati je stara 30 let, hËi pa 6 let.

Koti merijo: α = 88˚, β = 44˚, γ = 48˚. x=4 Metka mora reπiti 45 nalog.

SreËala se bosta Ëez 3 ure, ko prvi kolesar prevozi 54 km.

3. SORAZMERJE IN PODOBNOST Razmerje koliËin 1. a) 3 : 4 b) 4 : 5 c) 1 : 2 Ë) 4 : 7 d) 3 : 2 e) 3 : 4 f) 1 : 2 g) 1 : 4 h) 15 : 1 i) 1 : 16 j) 2 : 3 k) 4 : 3 l) 1 : 2 2. a) 20 : 12 = 5 : 3 b) 20 : 32 = 5 : 8 c) 12 : 32 = 3 : 8 1 3. a) 1 : 5 b) 5 c) 20 % Ë) 0,2 4. a) 1 : 10 b) 60 : 1 c) 100 : 1 Ë) 1000 : 1 d) 24 : 1 5. a, c, d, f 6. starost sina (let) 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 starost oËeta (let) 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 7. a) 2 : 7 b) 5 : 7 c) 2 : 5 8. 24 : 120 = 1 : 5 9. 128 : 112 = 8 : 7 128 : 240 = 8 : 15 112 : 240 = 7 : 15 10. a) 3 : 6 = 1 : 2 b) 15 : 30 =1 : 2 c) 1 : 2

Sorazmerje 1. a) x = 6

b) a = 21

d) b = 3

c) x = 2

Ë) y = 9

f) x =

g) x = 3

e) c =

h) a = 12 i) u = — 6 2. a) 3 : 4 = 4,5 : 6 ; enakost velja, ker sta produkta enaka: 18 = 18. b) 3 : 4 = 18 : 28; enakost ne velja, ker sta produkta razliËna: 84 ≠ 72.

3. a) a = 37,8 b) b = 1,25 c) x = 117,5 Ë) y = d) z = —

e) x = 13

f) m =

g) x =

h) a =

†.

5. a) 3,5 : 80,50 = 1 : x; En dolæinski meter blaga stane 23 A b) 80% od 23 = 18,40 b) 1 : x = 18,40 : 80,50 b) ©ivilja je kupila 4,375 metra blaga.

6. Prema sorazmerja so a, b,e, f. a) y = 4x, k = 4 b) y = x, k = 1 e) y = 4x, k = 4 f) y = x, k = 7. x : 1,7 = 4,8 : 1,2 ©olski dimnik je visok 6,8 metra.

Obratno sorazmerje 1. Obratno sorazmerje je b, Ë, d, e 2. Obratna sorazmerja so: c, Ë, d, e, f c) x · y = 180 Ë) x · y = d) x · y = e) x · y =

f) x · y = ab

3. Na pot je odπlo 12 pomorπËakov.

Zaloga hrane bo zadoπËala za 40 dni.

4. raziskovalna naloga ima 120 strani.

5. Potrebno bo 32-krat v levo in 32-krat v desno.

6. Posadili so 32 vrst smrek.

7. Napolnila je 20 steklenic po 2 dl.

Napolnila je 8 steklenic po pol litra.

Vseh napolnjenih steklenic je 28.

8. Sorazmerja so: 3b) 15 : 12 = x : 32 4) 60 : 50 = x : 100 5) 48 : x = 60 : 80, x = 64, zato 32-krat v levo, 32-krat v desno 6) 40 : x = 25 : 20

4. Enakost velja. Verjetno je preverila enakost produkta zunanjih in produkta notranjih Ëlenov: 21 · 5. a) 3 : 4 = 9 : x; 12 deklic 6. a) 350 km b) 17 cm 7. 8 cm 8. a) x = Ë) x = 5

Besedilne naloge iz razmerja in sorazmerja

= 7 · 1,5 b) 21 deËkov c) 1 : 300 000

b) y1 = 6, y2 = — 6,

1. VeË moænosti: a) (2, 9), ( 4, 18), (6, 27), (8, 36), (10, 45) b) (1, 2), (2, 4), (3, 6), (5, 10), (15, 30)

d) y =

9. a) a1 : a2 b) o1 : o2 c) Razmerje Ë) p1 : p2 d)

c) (1,

c) x1 = 27, x2 = — 27

2:3 1:5 2:3 1:5 je enako. Da. 4:9 1 : 25

3:5 3:5

4:7 4:7

9 : 25

16 : 49

kvadrat

kvadrat

kvadrat

kvadrat

2 3

4 9

1 1 5 25

3 9 5 25

4 16 7 49

kvadrat

kvadrat

kvadrat

kvadrat

Drugi ulomek (pod Ë) je kvadrat prvega ulomka.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

), (2,

), (3,

), (4, 3), (5,

)

©pela je dobila 12 bonbonov, Rok pa 20 bonbonov.

Daljπi kos meri 15 metrov.

Iskani πtevili sta 2 in 8.

Iskani πtevili sta 66 in 24.

Koti trikotnika merijo 48 , 60 , 72 . Ë Stranici pravokotnika merita 15 cm in 20 cm, ploπËina pa 300 cm2.

SrediπËni koti merijo: 90 , 120 , 150 B o

o

o

o

o

o

A C

Premo sorazmerje 1. Premo sorazmerje je a, c, e 2. a) Eno korito ima maso 3kg. b) Dvajset korit ima maso 60 kg. c) Trgovina je nabavila 200 korit.

3. a) Za 13 jopic potrebujemo b) Spletemo lahko 20 jopic.

4. Sorazmerja so: 2a) 4 : 1 = 12 : x 2b) 4 : 20 = 12 : x 2c) 4 : x = 12 : 600 3a) 6 : 13 = 3 : x 3b) 6 : x = 3 : 10

kg preje.

10. ©pela mora pripraviti 160 gramov prvega in 140 gramov drugega elementa.

11. Iskani πtevili sta 6 in 13,5.

12. Iskani πtevili sta 9 in 15.

13. a) Iskana πtevila so 13, 26, 52. b) Iskana πtevila so 15, 9, 12. c) Iskana πtevila so 12, 18, 6.

14. Stranici pravokotnika merita 18 cm in 12 cm.

15. Kateti merita 12 cm in 16 cm, obseg meri 48 cm, ploπËina pa 96 cm2.

16. c = 28 cm, vc = 35 cm

5

R

SORAZMERJE IN PODOBNOST

Razmerje dolæin daljic

Podobni trikotniki

1. a) |AB| : |CD| = 2 : 3 c) |GH| : |CD| = 3 : 1 d) |CD| : |EF| = 3 : 4 2. a) 1 : 3 b) 1 : 2 3. a) |AB| : |AD| = 4 : 3 c) |AC| : |CD| = 5 : 4 d) |CB| : |AC| = 7 : 5 4. a) |AB| = 12 cm Ë) |KL| = 7,5 cm 5. a = 6 cm, o = 20 cm, p = 6. a = 4 cm

1.

b) |AB| : |EF| = 1 : 2 Ë) |EF| : |GH| = 4 : 9 e) |GH| : |AB| = 9 : 2 c) 8 : 5 Ë) 5 : 6 b) |CD| : |AB| = 1 : 3 Ë) |BD| : |AD| = 1 : 3 e) |AB| : |CB| = 12 : 7 b) |CD| = 3 cm c) |EF| = 9 cm d) |PR| = 2,4 cm 24 cm2.

D

A

B

1

B 1 2

4

A

1

3

5

B

2

3

C

4

5

6

A

B

1

2

C

1

B

C

7. o = 18 dm, p = 20,25 dm2.

8. a) r 2 = 2,8 cm; kroænici se sekata.

9. Kraja sta oddaljena 2,15 km (2150 m).

1 2

3

3 4

b) npr.: 5 : 3

4

D

1

5

3

T

5

6

1

2

C

1

F 4

; o : o' = 3 : 1; p : p' = 9 : 1

3

b) da; m = 10; n = 12

4

5

6

c) ne

E

F

T 1

3

D

2

7

T

E

1. Podobna sta si pravokotnika pri a, c in Ë.

2. Podobna sta si πtirikotnika ABCD in EFGH. 3. a) b' = 18 cm; k = 3; o : o' = 1 : 3; p : p' = 1 : 9

6

2

D

3. a) da; x = 6; y = 9 1 cm 4.

Podobnost

5

T C

D

2

4

7

T

1 cm

3

T

a

b) a' = 4 cm; k =

A

2 3

2.

A

1 cm

2 3

5

4

6

5

7

c) a = 6 cm; k = 2; o : o' = 1 : 2; p : p' = 1 : 4 Ë) b = 2,5 cm; k = 4; o : o' = 1 : 4; p : p' = 1 : 16 4. Prometni znak mora biti visok 6 dm.

5. »aπa je πiroka 10,5 cm.

6.

D´

F

T

E

2

C´

2

3

T

F

1

C

3

5. a) x = 8,5; y = 7,5 b) x = 15; y = 5 c) x = 3; y = 6 6. Podobni so trikotniki pri 1, 3, 4 in 5.

7.

1 cm C´

B´

1 2 7.

D

C

C C´´

α

D´

A

C´

B´´

1

1

B

2

2

3

3 4 5

B´

A

6

8. Dolæini sta enaki.

B

1 2

F

2 4

B

T

E 1

2 3

A

F

1

1

E D

T

E

B´

R

SORAZMERJE IN PODOBNOST 8.

1 cm

©pela se preizkusi

C

1. 120 : 80 = 3 : 2 2. a) x = 6 b) y = 3,6 c) a = 1 3. Nista enaki.

4. a) Na dan zaostane 3 minute. b) V 30 dneh zaostane 90 minut, to je 1 ura in 30 minut.

5. a) 125 dni b) 2730 l kurilnega olja.

6. a) Stranice merijo 12 cm, 16 cm in 20 cm. b) Da. 7. 1 cm

C´

α A = A´

β B

B´

9.

1 cm

C´

C

A

T

B

1 2 3

β A = A´ 10.

B

4

B´

5 1 cm

C = C´

8. a) |CD| : |EF| = 4 : 1 b) |AB| : |CD| = 2 : 3 c) |EF| : |AB| = 3 : 8 9. x = 4,8 y = 7,5 10.

C

B

A

B´

A´ 11.

C´

1 cm

β

α

C = C´

A

A´

B = B´

11. b' = 7,5 cm, a' = 6 cm, c' = 9 cm, o' = 22,5 cm.

A´

B´

α A

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

B

b' = 33 cm, c' = 45 cm, o' = 102 cm. a' = 2,4 cm, b' = 3,1 cm, o' = 9,7 cm. a' = 15 cm, b' = 22,5 cm, c' = 27,5 cm. o' = 128 cm.

Stolpnica je visoka 32,4 m.

Rok ima 2,43 m polic.

Gora je visoka 1700 m.

Zaliv je πirok 168 m.

(8 — x) : x = x : (12 — x), x = 4,8. Dolæina kvadrata meri 4,8 cm, o' = 19,2 cm, p' = 23,04 cm2; obsega pa sta v razmerju 43 : 24.

7

4. GEOMETRIJSKA TELESA Odnosi med geometrijskimi elementi v prostoru 1. Moænih je veË reπitev. Njihovo pravilnost lahko presodiπ s pomoËjo naslednjega primera: toËka = kamenËek na cesti, premica = neprekinjena ravna Ërta na cestiπËu, ravnina = cesta, vzporedni premici = neprekinjeni ravni Ërti na levem in desnem robu cestiπËa, vzporedni ravnini = cesti v dveh nivojih.

2. toËka = obroËek, premica = polica, ravnina = zavesa.

Velikostna razmerja so napaËna (toËka je prevelika), premica in ravnina nista neomejeni (imata zaËetek in konec oz. robove).

3. Skozi eno toËko Skozi dve toËki Skozi tri toËke ne lahko nariπemo lahko nariπemo moremo narisati neπteto premic. eno premico. premice (razen, Ëe so kolinearne).

T2 T2 T1

T1

T1

4. a)

p

R

11. a)

b)

c)

R

p

p

D Ë)

R I

12. a)

H

G F

E

D

C

A

B O

13.

17 c m

N

p⊥s

b) |AC| = 26 cm c) |AG| = =· 36,8 cm Ë) p = |AC|·|CG| = 676 cm2

a) |OM| = 15 cm b) |OK| = =5 c) p = 60 cm2

=· 18 cm

a) |BD| = 10 cm b) |CD| = =5 c) p = 51 cm2

=· 18 cm

M

cm

s

p

C

8

R

B

S

T Ë)

A

p

r

T3

b) T ∉ p c) eno pravokotnico

R

A

6 cm

K T p1 p2

B

6 cm

Premici se ujemata v vseh toËkah. Pravimo, da sta premici identiËni.

A

B

8 cm 15

A

D

cm

5.

14.

L

C 6.

R=I A

B

Ravnini sta identiËni, Ëe se ujemata vsaj v treh kolinearnih toËkah.

E

15. a)

b) |AE| =

C

7. Skozi eno toËko lahko nariπemo neπteto ravnin.

Skozi dve toËki lahko prav tako nariπemo neπteto ravnin.

Skozi tri toËke lahko nariπemo neπteto ravnin, Ëe so toËke kolinearne. Sicer pa le eno, Ëe so toËke nekolinearne.

8. a) ToËka C ne leæi na premici AE. H b) ToËka G ne leæi na ravnini ABE. F E c) Premici AB in DH sta mimobeænici.

c) p =

3a D a

G

Ë) Premici BD in FH sta vzporednici. d) Premici AC in EC se sekata v toËki C. D C e) Premica AB je vzporedna ravnini FGH. f) Premica CE seka ravnino ABG. A B g) Ravnini ABF in CDH sta vzporedni.

9. a) F b) ACD c) DE Ë) BF d) BCG e) DCG f) AH g) DCG 10. a) sta vzporednici b) je vzporedna c) ne leæi Ë) imata skupno premico CG d) sta vzporednici e) so nekolinearne f) se sekata g) je pravokotnica h) je kateta i) je enakostraniËen j) je pravokotnik

C

a a

S a

A

B

H

16.

a) |AC| = 2 x b) |AG| = 2 x c) p = 2 x 2 Ë) p = 4 x 2 d) x = 9 cm

G F

E D

2x

C 2x

A

2x

B

17. a) |AF| = 3a

b) p

ΔAEF

=

= 2,16a 2

F D

2,4a

D

C 3a

E

3a

x

x

8

|AE| = 1,8a

C

A

4a

B

A

E 4a

B

R

GEOMETRIJSKA TELESA Prizma 1. b) 3 c) 3-strana, 4-strana, 5-strana 2. a) pravilna 3-strana prizma b) enakorobna 6-strana prizma c) 3-strana prizma d) pravilna 4-strana prizma, kvader 3. a) 96 cm b) 128 cm c) 192 cm 4.

3-strana prizma 5-strana prizma 6-strana prizma πtevilo ogliπË

6

10

12

πtevilo robov

9

15

18

πtevilo ploskev

5

7

8

5. a) N b) P c) P Ë) N d) P e) N 6. a) enakostraniËni trikotnik, kvadrat b) pravokotniki c) Razdalja med ravninama osnovnih ploskev. d) pl = ov e) P — povrπina (m2, dm2...); V — prostornina (m3, dm3...) f) Da, Ëe je prizma pokonËna. g) Ne, ker je osnovna ploskev pravokotnik. h) Da, ker ima 2 skladni osnovni ploskvi, plaπË pa je sestavljen iz pravokotnikov.

7. a) Pravilna 3-strana prizma.; pl = 240 cm2; P = 300 cm2 b) 4-strana prizma; pl = 320 cm2; P = 416 cm2; V = 480 cm3 c) Pravilna 4-strana prizma; O = 64 cm2; P = 736 cm2; V = 1216 cm3 8. pl = 180 cm2 9. pl = 340 cm2.

10. P = 224 cm2; V = 192 cm3 = 0,192 l 11. a = 2 cm; v = 5 cm a) b)

12. b) P = 24 cm2; V = 8 cm3

13.

14.

15.

16.

c) kocka

1 cm

a) V = 300 cm3 P = 200 cm2 Ë a) P = 4860 cm2; V = 9000 cm3

b) NE 1 cm

40 41

40

9

50

41 80

b) P = 74550 cm2; V = 1305000 cm3

17. a) a) b) a) 18. a) 19.

P P V P V

90 90

100 120

100

80 145

= 18 · + 324 cm2 =· 355,14 cm2 = 162 cm3 =· 280,3 cm3 = 2880 cm3 6

9

40

90

100 80

6

1 cm

4 8

7 6

c)

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

7 6

P = 5 dm2 a) V = 450 cm3 b) P = 352,5 cm3 3 V = 1000 cm a) O = 80000 m2 = 8 ha b) V = 2000 m3 O=6· cm2 =· 10,38 cm2; V = 30 · cm3 =· 51,9 cm3 2 2 P = (8 + 108) cm =· 121,8 cm ; V = 36 · cm3 =· 62,3 cm3 2 2 a = 12 cm; P = (72 + 432) cm =· 556,6 cm ; V = 432 · cm3 =· 747,4 cm3 a = 16; O = 384 cm2; P = (768 + 1536) cm2 =· 2865 cm2 a = 8 cm; P = 192 cm2 =· 332,2 cm2 a) P = ;V= b) P = 24x 2; V = 8x 3 c) P = ;V= P = 1152 cm2; V = 2592 cm3 a = 54 b = 15 c = 30 c vt = 9 cm v = l = 1845 =· 42,95 cm e O = 378 cm2 b b pl = 4853 cm2 vt P = O + pl = 5609 cm2 x a 2 V = O · v = 16235 cm V3 : V4 = :4

9

R

GEOMETRIJSKA TELESA

33. 312 dm2 = (6 + 10) x; x = 24 dm2; O = 72 dm2; pl = 240 dm2 a = 0 = 6 · 2 dm pl 10 v= = = 5 · 2 dm 4a 2 V = O · v = 360 2 dm3 =· 507,6 dm3 34. Ë 35. a = 6 cm; b = 12 cm; c = 15 cm; P = 684 cm3 36. a) V = 31500 l; b) 44 m2 37. V = 13600 cm3 38. P = 23,78 m2, Ëe s(streha) = 1,86 m 39. V = 8856 dm3 = 8,856 m3 40. m = 139 kg

14. osnovna ploskev

plaπË

viπina

povrπina

valj A

25π cm2

80π cm2

8 cm

130π cm2

200π cm3

valj B

100π cm

15 cm

500π cm

1500π cm3

12 cm

320π cm

17 cm

1056π cm

300π cm

2

valj C

64π cm

2

192π cm

2

valj D

256π cm

544π cm

2

15.

16.

17.

18.

2

2

prostornina

2 2 2

768π cm3 4352π cm3

12246 kg Odpade 21,5 % lesa.

157 cm2 P = 4239 cm2; V = 21195 cm3 (P = 1350π cm2; V = 6750π cm3)

19. P =

π; V =

π

Valj 2. a, c, Ë, e 3. V =· 12717 l (V = 4,05π m3 =· 12717 l) 4. a) P = 90π cm2 b) V = 24π dm3 2 · (P = 90π cm = 282,6 cm2; V = 24π dm3 =· 75,36 dm3) 5. P = 565,2 cm2; V = 1017,4 cm3 (P = 180π cm2 =· 565,2 cm2; V = 324π cm3 =· 1017,4 cm3) 6. a) P = 452,2 cm2 b) V = 678,2 cm3 2 · (P = 144π cm = 452,2 cm2 r = 6 cm; v = 6 cm; V = 216π cm3 =· 678,2 cm3) 7. P = 26,25π dm2 (P = 26,25π dm2 =· 82,4 dm2) 8. V = 2,43π m3 =· 7,63 m3 9.

1 cm

10. P = 648π cm2 (v = 15 cm; P = 648π cm2 =· 2035 cm2) 11. P = 1008π cm2 (r = 12 cm; P = 1008π cm2 =· 3165 cm2) 12. a) Ne; stranica plaπËa je predolga. d = 0,6

b) Ne; osnovni ploskvi bi morali biti na drugih stranicah plaπËa.

4,4 d = 1,4

Piramida 1. a) 6, 8 b) 4, 5 c) enakostraniËni trikotnik, kvadrat Ë) 3, enakokraki trikotniki; 4, enakokraki trikotniki 2. a) Piramida ima eno, prizma pa dve osnovni ploskvi. b) Piramida je pravilna, Ëe je osnovna ploskev pravilni veËkotnik. c) PlaπË piramide je sestavljen iz n enakokrakih trikotnikov. Ë) Viπina piramide je pravokotna razdalja med vrhom in ravnino osnovne ploskve. d) Da, Ëe gre za pokonËno piramido. e) Da; viπina piramide je najkrajπa razdalja med vrhom in osnovno ploskvijo. f) Enakoroba tristrana piramida (tetraeder). g) Ne; stranske ploskve ravno pokrijejo osnovno ploskev (O je iz πestih enakostraniËnih trikotnikov, ki so enaki stranski ploskvi).

3. P = 80 cm2 4. a) Da, saj je osnovna ploskev kvadrat. b) viπina piramide c) viπina stranske ploskve Ë) diagonala osnovne ploskve d) ne; je stranski rob (povezuje ogliπËe z vrhom) e) osnovno ploskev f) stransko ploskev g) |SV|2 = |EV|2 — |ES|2 5. a) pravilna 4-strana piramida; kvadrata in enakokrakih trikotnikov b) 96 cm2 c) 6 cm Ë) v = 4 cm; V = 48 cm3 6. a) pravilna πtiristrana piramida, P = 108 cm2 b) πtiristrana piramida, P = 160 cm2 c) pravilna πeststrana piramida, P = 95,4 cm2 Ë) pravilna tristrana piramida, P = 123,2 cm2 7. Posodi imata enaki osnovni ploskvi in enaki dolæini viπin.

8. a) P = 864 cm2 b) v = 12 cm Ë) s = 17,5 cm c) V = 1296 cm3 9. Potrebujemo 10,4 m2 opeke; v1 = 2,6 m 10. a) P = 180 cm2, V = 160 cm3 b) v = 6 cm, P = 576 cm2 c) pl = 2640 cm2, V = 2581 cm3 (a = 6 cm; v = 9,53 cm) 11. a) V = 114,5 cm3 b) 65,6 cm 12. pl = 38,7 m2 13. P = 62,3 cm2 14. P = a 2(5 +

); V =

15. v = 6,5 cm (a = 8 cm; v = a

13. d = 4,6m

10

2 ) 3

R

GEOMETRIJSKA TELESA Stoæec

Vrtenine

1. a, b, d, e 2. a) P = 300 cm2, V = 340 cm3 b) O = 81π cm2, V = 324π cm3 c) pl = 175π cm2, v = 11,76 cm Ë) v = 40 cm, P = 1413π cm2 3. a) P = 34π cm2 b) V = 96π cm3 2 4. pl = 1760 cm 5. a) P = 75,4 cm2 (P = 24π) b) P = 180,6 cm2 (P = 57,5π) c) P = 82,4 cm2 (P = 26,5π) Ë) P = 80,1 cm2 (P = 25,5π) 6. a) V = 201 dm3 (P = 196π) b) V = 339,1 dm3 (P = 108π) 3 c) V = 392,5 dm (P = 125π) 7. a) P = 681,4 cm2 (P = 217π) b) V = 1179,6 cm3 (P = 375π) 8. a) P = 675π cm2 b) s = 30 cm 9. V = 2 dl (V = 64π cm3 =· 200 cm3 = 2 dl) 10. P = 52 cm2 (s = 6,32 cm) 11. s = 20 cm 12. a) O = 900π cm2 b) r = 30 cm c) s = 120 cm Ë) P = 4500π cm2 3 d) V = 34860π cm (v = 116,2 cm) 13. v = 240 cm

1. a)

14. sv : ss =

:

=1:2

15. pl = 380,1 cm2 (s = 18,8 cm; r = 8 cm; pl = 472 cm2) 16. P = 560 cm2 (r = 9 cm; v = 6 cm; s = 10,8 cm; P = 178,3π cm2 = 560 cm2) 17. a) 5-krat b) 25-krat 18. V = 96π cm3 (s = 10 cm; v = 8 cm; V = 96π cm3 =· 301 cm3) 19. V = 144π cm3 20. b; 6 : 21. pla — plb = 525π — 333π = 603 cm3 (Merilo: 1:15) 22. p = 75 cm2; r = 5 cm

Krogla 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

P = 1600π cm2 P = 36π cm2 V = 972π cm3 a) P = 1200π cm2 P = 77 m2 P = 4096π km2 (P = 164π · 106 km) b) V = 43690,6 km3 (V = 350π · 109 d = 24 cm (V = 2304π cm3) 1 v = 1 r; Pk : Pv = 6 : 7 3 a) 47,7% P = 129,6 cm2 (P = 41,28π =· 129,6 cm3)

b) V = 5333π cm3

km3)

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

b)

c)

Moænih je veË reπitev, saj je izbira lika poljubna.

P = 78π cm2; V = 90π cm3 P = 216π cm2; s = 15 cm; V = 324π cm3 a) P1 = 24π cm2; P2 = 36π cm2 b) P1 : P2 = 2 : 3 V = 128π cm3 V = 3πa 3 P = 6πx 2; V = 2πx 3 P = 51π cm2 P = 7πr2; V =

©pela se preizkusi 1. a) BC, EH, FG b) ne c) premica prebada ravnino v toËki F Ë) premico (A, B) d) AB, CD, EF, GH e) d1 = 10 cm; d2 = 12,8 cm; d3 = 11,7 cm; d = 14,1 cm f) p BDH = 50 cm2 g) p BCH = 46,8 cm2 2. a) pravilna 4-strana prizma b) 64 cm2 c) 640 cm2 Ë) 768 cm2 d) V = 1280 cm3 = 1,28 l 3. a) 3-strana prizma b) pravokotni trikotnik c) O = 30 e2 Ë) P = 960 e2 d) V = 900 e2 4. a) v = 15 cm b) 186 cm c) 240 cm2 3 2 5. a) V = 1280 cm b) P = 800 cm v1 = 17 cm c) 60 cm2 Ë) p = 169,7 cm2 6. a) a = 18 cm b) P = 756 cm2 c) s = 15 cm 7. V = 0,4 m3 8. V = 1280π cm3 9. a) P = 224π cm2 b) V = 392π cm3 v = 24 cm 3 b) 47,7% 10. a) V = 523,3 cm c) m = 314 g Ë) 235,5 cm2 2 11. P = 384π cm =· 1206 cm2; r = 12 cm; s = 20 cm

b) da b) V = 78,5 cm3 (25π cm3)

11

5. FUNKCIJA ©tevilske premice in koordinatni sistem 1. a)

-3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

Ë)

y

8 4

b) -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

3

8

2 c) -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

1

8

—4 —3 —2 —1 0 —1

Ë) -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

x

—2 2. a)

—3

y

—4 4 3 2 1

d)

—4 —3 —2 —1 0 —1

1

2

3

4

y

x 4

—2

3

—3

2

—4

1 —4 —3 —2 —1 0 —1

b)

y

—2 —3

4

—4

3 2 1 —4 —3 —2 —1 0 —1

1

2

3

4

x e)

y

—2 —3

4

—4

3 2 1

c)

—4 —3 —2 —1 0 —1

y

—2

4

—3

3

—4

2 1 —4 —3 —2 —1 0 —1 —2 —3 —4

12

1

2

3

4

x

R

FUNKCIJA 3. a)

Ë)

y

y

4

4

3

3

2

2

1

1

—4 —3 —2 —1 0 —1

1

2

3

4

x

—4 —3 —2 —1 0 —1

—2

—2

—3

—3

—4

—4

b)

d)

y

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3

4

x

—4 —3 —2 —1 0 —1

—2

—2

—3

—3

—4

—4

c)

e)

y 4

4 3

2

2

1

1 1

2

3

4

x

3

4

x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

x

y

3

—4 —3 —2 —1 0 —1

2

y

4

—4 —3 —2 —1 0 —1

1

—4 —3 —2 —1 0 —1

—2

—2

—3

—3

—4

—4

4. a) x = 2 b) y = 3 Ë) 2 ≤ x ≤ 6 in y>1 d) x ≥ 2 in y=5 e) 1 < x < 6 in —4 ≤ y < 3

c) — 1 ≤ y ≤ 2

13

R

FUNKCIJA

Odvisnost dveh koliËin; funkcija

Graf linearne funkcije

1.

1. a) M ( , 0) N (0, — 1) b) M ( , 0) N (0, 2) —1 0 1 2 3 4 5 —8 —5 —2 1 4 7 10 2 3 4 5 6 7 8 8 6 4 2 0 —2 —4 —1 —2 —3 —4 —5 —6 —7 —1 —3 —1 5 15 29 47 —1 0 1 8 27 64 125

f(x) = x — 1

—3 —

—2 —

—1

f(x) = 2x —

—

—

—

2. a) f(— 2) = — 9 b) f(— 1) = 5 c) f(— 3) = 6 Ë) f(— 3) = — 3

—

f(0) f(4) f(0) f(0)

— = = = =

—

—5 — 10 —3 —2

0

f(2) = f(4) = 8

f) f(— 1) = 2

f(1) = 4

f(2) =

b) f(x) = 2x — 9

c) f(x) = 3x

+5

d) f(x) = 3 +

e) f(x) = — x + 8

f) f(x) =

+6

g) f(x) = x 2

h) f(x) = |x| + 3

j) f(x) =

4. a) f(x) je za 5 veËja od dvakratnika πtevila x. b) f(x) je za 1 veËja od nasprotne vrednosti πtevila x. c) f(x) je enaka kvadratu πtevila x. Ë) f(x) je za 3 veËja od polovice πtevila x. d) f(x) je za 5 manjπa od absolutne vrednosti πtevila x. e) f(x) je enaka polovici razlike trikratnika πtevila x in πtevila 4.

b) k = — 3; n = 1 ; n = —4

d) k =

c) k = — 1; n = — 4 e) k =

;n=—

b) f(x) = — 3x + 4

c) f(x) = — 2x — 1

Ë) f(x) = x

d) f(x) =

e) f(x) = 5 x —

f) f(x) = — x —

g) f(x) = 0,5 x — 1,5

d) f(— 1) =

f(3) f(2) f(3) f(0)

2

—4 —3 —2 —1 0 —1

= = = =

f(0) =

x —4 0 — 10 0 1

f(— 3) = — 12 f( ) = — 4 f(5) = — 2 f(3) = 2 f(1) =

4. a) f(3) = 11 f(— 2) = — 14 b) f(— 2) = 14 f(0) = 8 c) f(3) = — 2 f(1) = 2 Ë) f(8) = 10 f(— 6) = 3 d) f(3) = 0 f(— 2) = — 5 5. f(x) = 5 x + 2500; f(132) = 3160 6. f(x) = 1200 x — 210 000; prodati mora najmanj 175 izdelkov.

2

3

x

4 f

—2 c

—3

b) f(x) = — x — 2 Ë) f(x) = — 2 x + 2

2. a) f(x) = 2 x + 1 c) f(x) = 3 x d) f(x) =

x+3

e) f(x) =

x —2

3. NaraπËajoËe so: a) N (0, — 3); Ë) N (0, 5); d) N (0, 0); e) N (0, — 4) in f) N (0, 3) 4. Najbolj strma je funkcija 1 cm y f(x) = 3 x + 1, ker ima najveËji smerni koeficient; 4 najmanj strma pa je funkcija f(x) = x — 5, ker ima 3 najmanjπo absolutno 2 vrednost smernega 1 koeficienta.

5. a) A in D b) A, B in c) A, C in Ë) B, C in d) B in D e) A, B in

1

2

4

3

x

—2

D D D

—3 —4 —5

C

y=

— x —5

6. f(x) = 150x + 15 1 kg f(x) = 150x + 15 165 SIT

2 kg 315 SIT

y (SIT) 700 600 500 400 300 200 100 0

14

1

—4 —3 —2 —1 0 —1

Linearna funkcija

3. a) f(2) = — 2 b) f(— 3) = 10 c) f(— 2) = 5 Ë) f(— 3) = 0

Ë

g

Ë) f(x) =

2. a) f(x) = 4x + 2

e

3

f(3) = 6 f(6) = 0

f(0) = 4

Ë) k = 2; n =

a 4

f(3) = 1

f(0) =

1. a) k = 5; n = — 6

y

1

d) f(— 4) = —

i) f(x) =

Ë) M (2, 0) N (0, — 2) e) M (— 4, 0) N (0, 2) g) M ( , 0) N (0, — 1) b

d

1 cm

1

e) f(— 4) = 8 3. a) f(x) = x + 4

c) M (3, 0) N (0, 3) d) M (0, 0) N (0, 0) f) M (3, 0) N (0, 1)

1

—2 — 11 1 10 0 5 —8

3x +

—3 — 14 0 12 1 15 — 27

y=

f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)

—4 = 3x — 5 — 17 =x+3 —1 = — 2x + 6 14 =—x—2 2 = 2x 2 — 3 29 = x3 — 64

1

2

3

4

x (kg)

3 kg 465 SIT

4 kg 615 SIT

R

FUNKCIJA

y=

4 3

5

2x +

3

y

12. a) M( 3, 0); N(0, — 6); o = (9 + )e; p = 9 e2 b) M( 2, 0 ); N(0, 8); o = (10 + )e; p = 8 e2 c) M(— 3, 0); N(0, — 9); o = (12 + )e; p = 13,5 e2 Ë) M(— 7, 0); N(0, 7); o = (14 + )e; p = 24,5 e2 13. a) S(2, — 1) y 1 cm 5

2x —

7. f(x) = 2x + 3; koeficient je koliËina vode, ki priteËe v eni minuti, zaËetna vrednost pa so 3l vode, ki so æe v vedru.

y=

4

2

x

—

3

3

1 1

2

y

x

4

3

=

2 —4 —3 —2 —1 0 —1

1

—2

—4 —3 —2 —1 0 —1

—3

1

2

3

4

x

5

S (2, — 1)

—2

—4

—3

—5

—4 b) S( 1, 2) 1 cm

1 x

+

5

=

T

11

—5 y

1 cm

4

y

8. k = 1; y = x — 4 9. k = 3; y = 3x + 2

y

3 2

S (1, 2)

1 —5 —4 —3 —2 —1 0 —1

1

2

3

4

5

x

—2

y=

—3

— 3x

3

—4

+5

2

—5

1 cm

y

1 5 —1 0

1

2

3

4

x

4 c) S(— 2, — 1)

b) y = x — 5 d) y = — x + 1 y

Ë) S(4, 0)

A

4

d

3 C

5

x

5

3

4

—

—3

3

—5

4 x

—x

2

4 D

—2 e

6

E 1

—4

3

8

—4 —3 —2 —1 0 —1

7

2

=

1

—3

1

y

b

y 8 x+ —2

G

1 cm

y=

2

—6 —5 —4 —3 —2 —1 0 —1 S (— 2, — 1) —2

a

5

5

Ë

1 cm

1

3x +

c

2

c) y = — 3x + 5 e) y = x — 2

y=

10. a) y = 2x — 2 Ë) y = — 2x — 3

3

B

—4

3 2 1

y

S (4, 0)

=

x

—

4

—5 11. a) u = — 3x + 4 v = 2x — 3 z=

x—1

b) n = 2x o=—x+2 p = — 4x — 3

—3 —2 —1 0 —1

1

2

3

4

5

x

—2 —3 —4 —5

15

R

FUNKCIJA y

y b) f(x) = — x + 5

5 4

4 2 1

2

3

4 x

—4 —3 —2 —1 0 —1 —2

—3

—3

—4

—4

—5

—5

2x

—2

3. f(4) = 2 4. a) y = 3x — 5

y=

y 5 4 3

y=2

2

S (1, 2)

1 —4 —3 —2 —1 0 —1

1

2

3

1

2

3

4

5 x

f(- 2) = — 10 b) y = + 3

c) f(x) = — x + Ë) f(x) = 2x2 5. f(4) = 5 6. ToËka A leæi na premici.

7. a) y 1 cm 5

—3

1

2x

—4 —3 —2 —1 0 —1

e)

5

4

1

+

— 1 2 x+

—x

1x y= 2

2

3

=

y=

y

S (2, 3)

3 +2

5

4

4 x

y=

d)

3

—2

2

—3

1

S (2, 1)

—4 —3 —2 —1 0 —1

—5

2

1

2

3

4

x

5 y

1

= —

—2

x

14. y = — 2x + 5

+

—3

3

—4 —5

©pela se preizkusi b) k = — 3; n = 6 b) M(2, 0); N(0, — 4) 8. y = — 3x + 9 9. S(2, 1)

2 3x —

4

3

3

2

2

1 —4 —3 —2 —1 0 —1 —2 —3 —4 —5

16

—4

5

y=

4

y

1 cm

2x

y 5

y=

1. a) k = 4; n = — 8 2. a) f(x) = 3x — 2

1 1

2

3

4 x

—3 —2 —1 0 —1

M (2, 0)

—2 —3 —4 —5

N(0, — 4)

3

4

5 x

6. OBDELAVA PODATKOV Srednje vrednosti

2. M — modro Z — zelena

1. a) 10,5 b) 3

B — belo k — krilo m — majica

Mk

RDm

2. Masa Jureta(kg) 72 71 73 70 74 69 75 68 76 67 77 66 78 65 79 64 80

Zm

Masa Roka(kg) 72 73 71 74 70 75 69 76 68 77 67 78 66 79 65 80 64

•

Masa Jureta(kg) 63 81 62 82 61 83 60 84 Masa Roka(kg) 81 63 82 62 83 61 84 60

RUm Bk

RDm

4. Ne, ker podatek niË ne pomeni.

5. a) (ponedeljek, torek, sreda, Ëetrtek, petek) (1, 4, 3, 2, 5) (3, 3, 3, 3, 3) … veliko moænosti.

6. V avtomobilu je najpogosteje sedel 1 potnik. DoloËamo modus.

Mediana je 2 — v polovici avtomobilov se vozi 1 potnik, v drugi polovici pa 3, 4, ali 5 potnikov .

AritmetiËna sredina je 2 — povpreËno se v avtu vozita 2 potnika.

V tem primeru je aritmetiËna sredina zavajujoË podatek, ker se v najveË avtomobilih vozi 1 potnik (modus). o

7. PovpreËna temperatura 24,5 C, Mo = 26 — najveËkrat izmerjena temperatura. Me = 25 — polovica izmerjenih temperatur je niæjih, druga polovica pa viπjih od 25 . o

9. a) = 5,66 Mo = 6,25 in 7,3 Me = 5,8 b) 1. kvartil:4,45 3. kvartil:6,8 medËetrtinski razmik:2,35 c) = 5,76 Mo = 4,20 in 7,5 Me = 5,75 Ë) 1. kvartil:4,8 3. kvartil: 7 medËetrtinski razmik: 2,2 d) Podatki so bolj razprπeni pri deklicah. deklice 2,75 7,9 5,8 6,8 4,45

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

3. a) nemogoË b) sluËajen c) gotov Ë) sluËajen 4. b, c 5. a) Rok je pri pouku, Rok ni pri pouku. b) UËenec je vpraπan in dobi oceno 1, …UËenec dobi oceno 5, uËenec ni vpraπan c) izbrana oseba je…

6. a) kombinatoriËno drevo, 6 moænosti b) 1. moænost kruh posebna 2. moænost kruh posebna 3. moænost kruh πunka 4. moænost kruh πunka 5. moænost kruh milanska 6. moænost kruh milanska

3,25

3

5,75

4,8

3,5

4

4,5

5

5,5

6

Verjetnost 1.

1

•

2

3

2

3

3 1

2 3

3 1

1 2

2

1

7,9

7

123 132 213 231 312 321

6,5

7

7,5

8

je vpraπan in

gauda edamec gauda edamec gauda edamec

7. vsak dobi svojo reπitev b) 2 36

8. a)

c) 10 36

9.

7

7 8

7 8

• 7 8

deËki

MkRUm MkRDm MkZm BKRUm BKRDm BbZm

Zm

3. Ne, ker so podatki opisni.

2,5

RD — rdeËa

RUm

c)

2,5

RU — rumena

8

7 8 7 8

777 778 787 788 877 878 887 888

7 8

10.

11. a) 0,3 b) 0,15 12. b) 0,125 13. Jaka: 0,4; Nejc: 0,64; Uspeπnejπi je Nejc.

14. vsak dobi svojo reπitev 15. prva delavnica: 0,66, druga delavnica:0,47; SreËko je bolje kupiti v prvi delavnici, ker imaπ veË moænosti da zadeneπ uporaben predpasnik.

17

©PELA NA CILJU 8. a) Vvalja = 36π cm3 = 113,04 cm3 Vstoæca = 12π cm3 = 37,68 cm3 b) r = 3 cm; P = 42π cm2 = 131,9 cm2 c) s = 5 cm; P = 24π cm2 = 75,36 cm2 9. a) k = 3; n = — 6; naraπËajoËa

1. a) x = 5 b) x = — 1 c) x = 162 Ë) x = 4 2. Knjiga je imela 260 strani.

3. a) a = 2 b) x = c) x = 4,06 4. a = 25,5 cm; b = 17 cm; p = 433,5 cm2 5.

A T

5 4 3 2 1

—4 —3 —2 —1 0 —1

B

1 cm

y

b) M(2, 0); N(0, — 6)

1 2

M (2, 0) 1

2

—2 —3

3

—4

4 5

6. o' = 75 cm 7. a) pravilna πtiristrana piramida b) 5 ogliπË; 8 robov; 1 osnovna ploskev; 4 stranske ploskve c) 120 cm2

—5 —6 10. y = — 2x + 5

net

letka

VeË o devetletni osnovni πoli najdete na naslovu www.devetletka.net.

,!7IJ6B2-ajdjah!

N (0, — 6)

3

4

5

x