5 derivadas

SECalMet

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DERIVADAS

René Chanchay

1

SECalMet

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Referencias  Granville, Cálculo diferencial e integral

René Chanchay

2

SECalMet

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Contenido  Definición de derivada  Derivadas de funciones conocidas  Operaciones con derivadas – – – –

Derivada de la suma de funciones Derivada del producto de funciones Derivada de la división de funciones Derivada de una función compuesta

 Funciones de varias variables  Derivadas parciales

René Chanchay

3

SECalMet

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Derivadas Pendiente

René Chanchay

4

SECalMet

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Derivadas

Derivada

y  f x 

f x  h   f x  y   Lim h 0 h dy df x  y   f x    dx dx

René Chanchay

5

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Ejercicios Utilizando la definición hallar las derivadas de las siguientes funciones:

f x   C f x   x

f x   x

f x   e

René Chanchay

2

x

6

Soluciones Especializadas en Calidad y Metrología

SECalMet

Calidad y Metrología para el desarrollo del país

Derivadas de funciones conocidas

y  x  y'  n  x n

n1

Hallar la derivada de las siguientes funciones: 3 2

yx yx

yx

yx

7

y  3x

5

yx

3

yx René Chanchay

4

yx

1 2 1 3

yx

1 4 7

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Derivadas de funciones conocidas

1 n y  n  y'  n1 x x 1 y 2 x 3 y 2 x 7 y 3 x

1 y 2 3x 2 y 4 5x 6 y  54 x René Chanchay

8

SECalMet

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Derivadas de funciones conocidas

y  x  y' 

1

n

n x n

y x y3 x y  73 x

n 1

y3 x 23 y x 5 y  635 x

René Chanchay

9

Soluciones Especializadas en Calidad y Metrología

SECalMet

Calidad y Metrología para el desarrollo del país

Derivadas de funciones conocidas

y  e  y'  e x

ye

x

ye

2x

y  5e

x

ye

x2

ye

3x2

y  2e

2x

René Chanchay

5x2

10

SECalMet

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Derivadas de funciones conocidas 1 y  ln x  y '  x y  ln 2 x y  ln x 2 x y  ln 2

y  ln e x 1 y  ln x 1 y  ln 2x

René Chanchay

11

SECalMet

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Derivadas de funciones conocidas y  sen x  y ' cos x y  sen2 x 

 

y  sen x

2

 x y  sen  3

y  cos x  y '   sen x

 

y  cos e x

1 y  cos   x  1  y  cos   2x 

René Chanchay

12

SECalMet

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Operaciones con Derivadas DERIVADA DE LA SUMA DE FUNCIONES

y  f x   g x   y   f x  g x

y  2  x  x2

y  senx   cosx 

y  3  5x  2 x 2

y  x 4  e 2x

y  x  senx 

y  sen2 x   3e x

René Chanchay

13

SECalMet

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Operaciones con Derivadas DERIVADA DEL PRODUCTO DE FUNCIONES

y  f x   g x   y   g x   f x   f x   g x  y  x x  2 

y  x  3 e x 2

y  x  1x  2 y  x  senx 

3

y  cosx  e x y  senx  cosx 

René Chanchay

14

SECalMet

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Operaciones con Derivadas DERIVADA DE LA DIVISIÓN DE FUNCIONES f x  g x   f x   f x   g x  y  y x   g x  g x 2 2  x  3 y

x y x  2  x  1 y x  23 x y senx 

ex cosx  y ex senx  y cosx  René Chanchay

15

SECalMet

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Operaciones con Derivadas DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

df g x  y  f g x   y    g x  dgx  y  x  1 y ye

 

2

 x  2

y  sen e x 3

y  sencosx 



y  ln x  3

x2

René Chanchay

4



16

SECalMet

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Funciones de varias variables

y  f x1 , x2 ,..., x N 

nrT p V 1 2 Ec  mv 2 E p  mgh V f2  Vo2  2  a  d

mx  m p  Vx  V p   a  m René Chanchay

17

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Derivadas Parciales y  f x1 , x2 ,..., xN   dy 

f x1 , x2 ,..., xN  f x1 , x2 ,..., xN  f x1 , x2 ,..., xN  dx1  dx2      dxN x1 x2 xN

y  xzw y  2 x  5z  w y  3x  z 2  2w 3

René Chanchay

18