ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА И ЛОГАРИТАМСКА ФУНКЦИЈА
n
a =a⋅a⋅a⋯⋯a ⏟ степен со основа a и експонент n n−пати
m
n
a ⋅a =a m n
(a ) =a n
m+n
m
(множење на степен со иста основа)
m⋅n
(степенување на степен)
n
a a = n ,b≠0 b b
()
Операции со степени
a m−n =a ,a≠0 n a
(a⋅b)n =an⋅bn m n
(степенување на количник)
1 a = n , a≠0 a −n
(делење на степен со иста основа)
(степенување на нпроизвод)
n
a =√ am , a>0; a >1
1
a =a n
Ako a >0 тогаш a >0 Ако
def 0 , a
=0;
a≠0
a2 k > 0 , k ∈¿ 2 k +1 a <0 ¿ N a< 0⇒ ¿ ¿
ЛОГАРИТМИ Definicija: Logaritam na pozitiven realen broj b, za osnova a (a>o, a �1), e realniot broj x, so koj treba da se stepenuva osnovata a, za da se dobie brojot b i zapi{uvame: x log a b=x ⇔a =b x- se vika logaritam a-se vika osnova(baza) na logaritmot b-se vika logaritmand ili numerus Ako vo ravenstvoto
x
a =b
, h go zamenime so
x=log a b
go dobivame ravenstvoto
log a b
a
i go vikame osnoven logaritamski identitet i toj va`i za
log a 1=0
b>0, a>0, a≠1
=b log n a=n
log a a=1
a
OSNOVNI PRAVILA NA LOGARITMIRAWETO Logaritam od proizvod
log a x⋅y=log a x +log a y
x log a x log a = y loga y Logaritam od koli~nik
VRSKI ME\U LOGARITMI ZA RAZLI^NI OSNOVI
log a b=
log c b log c a
,a,b,c∈R+ , a , c≠1
log 1 b=−loga b a
n n log ak b = ⋅log a b k
log a b=
1 ,a,b∈R+ ,a,b≠1 log b a
1 log ak b= log a b k log ak b k =log a b
n
Logaritam od stepen
log a x =n⋅log a x
Mno`estvoto od logaritmi na site pozitivni realni broevi so ista osnova a (a>0, aâ&#x2030; 1 ) se vika logaritamski sistem so osnova a Logaritamskiot sistem koj go so~inuvaat logaritmite so osnova 10 se narekuva dekaden ili Brigsov
log 10 x=lgx
Logaritamskiot sistem koj go so~inuvaat logaritmite so osnova e (e=2,71828182845...) se narekuva priroden ili Neperov
log e x=lnx
ТРИГОНОМЕТРИЈА ТРИГОНОМЕТРИСКА КРУЖНИЦА И ДЕФИНИЦИИ НА ТРИГОНОМЕТРИСКИТЕ ФУНКЦИИ
СВЕДУВАЊЕ НА ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ ОД ПРОИЗВОЛЕН АГОЛ НА ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ ОД ОСТАР АГОЛ
sin( 90 0 + a)= cos a
sin( 900 - a)= cos a
cos( 90 0 + a)= - sin a
cos( 900 - a)= sin a
tg( 900 + a)= -ctga
tg( 90 0 - a)= ctga
ctg( 90 0 + a)= -tga
ctg( 90 0 - a)= tga
sin(1800 + a)= - sina
sin(180 0 - a)= sina
cos(1800 + a)= - cos a
cos(180 0 - a)= - cos a
tg(1800 + a)= tga
tg(180 0 - a)= -tga
ctg(180 0 + a)= ctga
ctg(180 0 - a)= -ctga
sin(270 0 + a)= -cosa
sin(270 0 - a)= -cosa
cos(270 0 + a)= sina
cos(270 0 - a)= -sina
tg(270 0 + a)= -ctga
tg(270 0 - a)= ctga
ctg(270 0 + a)= -tga
ctg(270 0 - a)= tga
sin( 360 0 + a)= sina
sin( 3600 - a)= - sina
cos( 3600 + a)= cos a
cos( 3600 - a)= cos a
tg( 3600 + a)= tga
tg( 3600 - a)= -tga
ctg( 360 0 + a)= ctga
ctg( 360 0 - a)= -ctga
ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИСКИ ИДЕНТИТЕТИ
sin 2 α +cos 2 α=1
tg α=
sin α π ,α≠ +kπ ,k ∈Ζ cosα 2
tg α=
π tg α⋅ctg α=1,α ≠k⋅ ,k ∈Ζ 2
cosα π ,α≠ +kπ ,k ∈Ζ sinα 2
Presmetuvawe na ostanatite trigonometriski funкcii ako e poznata vrednosta na edna od niv cosα =± √ 1− sin 2 α sinα tg α = cosα 1 ctg α = tg α ¿ sin αalignl { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿
cosα sinα =± √ 1−cos 2 α sinα tg α = cosα 1 ctg α = tg α ¿ ¿ {¿ {¿ ¿ ¿
sinα =
ctg α
tg α ± √ 1+tg 2 α 1
sinα=
± √ 1+tg 2 α 1 ctg α = tg α ¿ tg αalignl { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿
cosα =
cosα =
1 ± √ 1+ctg 2 α ctg α
± √ 1+ctg 2 α 1 tg α = ctg α ¿ ¿ {¿ {¿ ¿ ¿
Adicioni teoremi
sin( a �b )= sina cosb �cosa sinb
cos( a ± b )= cosa cosb msina sinb
tg ( α±β )=
tg α±tg β 1∓tg α⋅tg β
ctg ( α±β ) =
ctg α⋅ctg β∓1 ctg β±ctg α
Transformirawe na algebarski zbir na trigonometriski funkcii vo proizvod i obratno
sinα +sinβ=2sin
α+β α−β ⋅cos 2 2
sinα −sinβ=2cos
1 sinα⋅cosβ= ( sin ( α + β ) +sin ( α −β ) ) 2
α +β α−β α+β α−β α+ β α−β cosα +cosβ=2cos ⋅cos cosα−cosβ =−2sin ⋅sin ⋅sin 2 2 2 2 2 2 1 1 1 cosα⋅sinβ= ( sin ( α+ β ) +sin ( α−β ) ) cosα⋅cosβ = ( cos ( α+ β ) +cos ( α− β ) ) sinα⋅sinβ=− ( cos ( α +β )−cos ( α−β ) ) 2 2 2 Trigonometriski funkcii od dvoen agol
sin2α =2sinαcosα 2tgα sin2α = 1+tg 2 α
2
2
cos2α=cos α−sin α 2
cos2α=
1−tg α 1+tg 2 α
tg 2α=
2tg α 1-tg 2 α
2
ctg α−1 ctg 2α= 2ctg α
Trigonometriski funkcii od polovina agol
√
α 1−cosα sin =± 2 2 Trigonometriski funkcii od negativni agli
sinα( � β ) =sinαcosβ � cosαsinβ
√
α 1+cosα cos 2 =± 2 2
cos(-a)= cos a
√
√
α 1+cosα ctg 2 =± 2 1−cosα
tg(-a)= -tga
ctg (-a)= -ctga
α 1−cosα tg 2 =± 2 1+cosα
Sinusna teorema Stranite vo triagolnik se odnesuvaat kako sinusite od sprotivnite agli, t.e
a : b : c = sin a : sinb : sin Osdnosot na stranite i sinusite od sprotivnite agli e ednakov na dijametarot na опишаната кружница okolu triagolnikot
a b c = = =2R sinα sinβ sinγ Kosinusna teorema Квадратот на која било страна на триаголникот е еднаков на збирот од квадратите на другите две страни минус двојниот производ на тие страни и косинусот од аголот меѓу нив т.е. 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a =b +c −2 bc cos α
b =a +c −2 ac cos β
c =a +b −2 ab cos γ
Formuli za presmetuvawe na plo{tina na triagolnik
P=
ah a 2
=
bh b 2
=
ch c 2
1 P= bcsinα 2 a 2 sinβsinγ P= 2sinα
α β γ P=s2 tg tg tg 2 2 2
P=√ s( s−a )( s−b )(s−c ), s=
1 P= acsinβ 2 b 2 sina sinγ P= 2sinb s P= 1 1 1 + ha hb h c
a+b+c 2
P=sr, s=
a+ b+c 2
1 P= ab sin γ 2 c 2 sina sinb P= 2sin
P=
1 √ 2ha hb hc R 2
α β γ P=r 2 ctg ctg ctg 2 2 2
P = 2R 2 sinαsinβsinγ P=
abc 4R
a
sina
cosa
tga
ctga +
0
0
0
1
0
/6
30
1 2
√3
√3
2
3
√3
/4
45
√2
√2
2
2
1
1
/3
60
√3
√3
√3
2
1 2
/2
90
1
0
+ ∞
0
2/3
120
√3
1 - 2
√3
√3 - 3
3/4
135
-1
-1
5/6
2
√2
√2
-
∞
3
2
- 2
150
1 2
√3
√3
- 2
- 3
180
0
-1
0
- ∞
3/2
270
-1
0
- ∞
0
2
360
0
1
0
+ ∞
-
√3
ГРАФИЦИ НА ТРИГОНОМЕТРИСКИТЕ ФУНКЦИИ
КОМБИНАТОРИКА Binomna (Wutnova formula)
() ()
()
()
( )
()
n
()
( a+b ) = n an + n an−1 b+ n a n−2 b 2 +.. . .. .. . .. .. . n an−k bk . . .. .. . .. .. .+ n abn−1 + n b n= ∑ n an−k b k 0 1 2 k n−1 n k=0 k n
kade {to
n! n = k k !(n−k )!
()
gi narekuvame binomen koeficient,
КОМБИНАЦИИ БЕЗ ПОВТОРУВАЊЕ
C kn=
n! ( n−k )!k !
НЕ СЕ КОРИСТАТ СИТЕ ЕЛЕМЕНТИ
1≤k ≤n
n !=1⋅2⋅3⋅¿⋅n
T k +1 =
def
i
0! = 1
k-tiot ~len vo razvojot na binomot e
ПЕРМУТАЦИИ БЕЗ ПОВТОРУВАЊЕ
Pn =n!
СЕ КОРИСТАТ СИТЕ ЕЛЕМЕНТИ
()
n n−k k a b k
ВАРИЈАЦИИ БЕЗ ПОВТОРУВАЊЕ
V kn =n⋅(n−1)⋅(n−2 )⋅.. .. . .. .. (n−k +1)
V kn = или
n! (n−k)!
РЕДОСЛЕДОТ НА РАСПОРЕДУВАЊЕТО Е ВАЖЕН НЕ СЕ КОРИСТАТ СИТЕ ЕЛЕМЕНТИ
РЕДОСЛЕДОТ НА
1≤k ≤n
РАСПОРЕДУВАЊЕТО НЕ Е ВАЖЕН
РЕДОСЛЕДОТ НА РАСПОРЕДУВАЊЕТО Е ВАЖЕН
КОМБИНАЦИИ СО ПОВТОРУВАЊЕ
−
k ( n+k−1)! C n= (n−1)! k!
ПЕРМУТАЦИИ СО ПОВТОРУВАЊЕ
− n! Pn ( k 1 ,k 2 ,......k r ) ,k 1 ,k 2 ,......k r ≤n V k =n k n k 1 !k 2 !.......k r !
ВАРИЈАЦИИ СО ПОВТОРУВАЊЕ
ANANALITI~KA GEOMETRIJA
Vo
pravoagolen
kordinaten
sistem
rastojanieto
me|u
dve
to~ki
M 1(h1,u1)
i
M2(h2,u2)
e
dadeno
so
formulata
:
M 1 M 2 =d ( M 1 ,M 2 )=√( x 2 −x1 )2 +( y 2 − y 1 )2 . M1 M Koordinatite na to~kata M(h,u) koja {to ja deli otse~kata me|u to~kite M 1(h1,u1) i M2(h2,u2) po odnos formulate:
MM 2
=λ se izrazeni so
x 1 + λx 2 y 1 + λy 2 x 1 + x2 y 1+ y 2 x= , y= x= , y= 1+ λ 1+ λ 2 2 , vo slu~aj to~kata M da ja polovi otse~kata M1M2 nejzinite kordinati se od oblik: .
Plo{tinata na triagolnikot {to e zadaden so koordinatite na negovite temiwa A(h 1,u1), V(h2,u2), S(h3,u3) se presmetuva so formulata:
1 P= ⋅|x 1 ( y 2 − y 3 )+ x2 ( y 3 − y 1 )+x 3 ( y 1− y 2 )| 2
VIDOVI RAVENKI NA PRAVA Kanoni~en (ekspliciten) vid ravenka na prava: y=kx+n , kade {to k e koeficient na pravec na pravata, a n e otse~kata {to ja otsekuva pravata na ordinatnata oska .
Ravenka na prava {to minuva niz dve to~ki A(h1,u1), V(h2,u2) :
y− y 1 =
Snop pravi niz to~ka M1(h1,u1):
y− y 1 =k ( x− x1 )
Segmenten vid ravenka na prava: soodvetno.
y 2− y1 x 2−x 1
( x−x 1 )
kade {to k e poznat koeficient na pravec .
x y + =1 m n , kade {to m i n se otse~kite {to gi otsekuva pravata na koordinatnite oski Oh i Ou
Op{t vid ravenka na prava: Ah+Vu+S=0 Normalen vid ravenka na prava: xcosď Ş+ysinď Ş-p=0 , kade {to ď Ş e agolot {to go zafa}a normalata na pravata povle~ena niz koordinatniot po~etok so pozitivnata nasoka na h-oskata i r e rasojanie od koordinatniot po~etok do pravata.
So pomo{ na normalniot vid ravenka na prava mo`e da se presmeta rastojanieto od to~ka do prava so slednava formula
d=
|Ax1 +By 1 +C|
â&#x2C6;&#x161; A 2 + B2
Presekot na pravite (koordinatite na prese~nata to~ka) A 1h+V1u+S1=0 i A2h+V2u+S2=0 se odreduvaat so re{avawe na sistemot
{
A 1 x+ B1 y +C 1 =0 A 2 x + B2 y +C 2=0
tg ϕ= Agolot me|u dve pravi se presmetuva so formulata
Dve pravi se paralelni ako k1 = k2 , a normalni koga
Simetralite na aglite me|u dve pravi go imaat sledniov vid:
k 2 −k 1 1+k 1 k 2 kade {to k i k se koeficienti na pravcite na pravite. 1 2
k 2 =−
1 k1 .
A 1 x+ B1 y +C 1 ±√ A21 + B 21
A 2 x+ B2 y +C 2 =
±
±√ A22 +B 22
KRUЖNICA Ravenka na kru`nica so centar vo to~kata C(p,q) i radius r:
2
2
( x− p) +( y−q) =r
Ravenka na kru`nica so centar vo koordinatniot po~etok i radius r:
2
2
2
x + y =r
2
(centralna ravenka na kru`nica)
2
2
2
2
Ravenkata Ax +Ay +Bx+Cy +D=0 ,pri uslov A≠0 i B +C −4AD>0 B 2 +C 2−4AD √ r= 2A . Pravata y = kx+n e tangenta na kru`nicata ispolnet uslovot
2
2
( x− p) +( y−q) =r
r 2 ( k 2 +1 )=n2
2
2
Ravenkata na tangentata na kru`nicata ( x− p) +( y−q) =r
2
2
, e ravenka na kru`nica so centar vo to~kata
2
2
2
vo to~kata M(x1,y1) od taa kru`nica e
2
x 2 + y 2 =r 2
2
y− y 1 =
y 1−q
x1 − p
( x−x 1 )
vo to~kata M(x1,y1) od taa kru`nica e
x 1 x + y 1 y =r , a ravenkata na normalata vo taa to~ka e
2
B C ,− 2A 2A
2
ako va`i, r ( k +1 )=( kp−q+n ) ,a na kru`nicata x + y =r
( x1 − p )(x −p )+( y 1 −q )( y−q )=r ,a ravenkata na normalata vo taa to~ka e Ravenkata na tangentata na kru`nicata
(
−
y− y 1 =
y1
x1
(x −x1 )
2
)
i radius
, ako e
ELIPSA Definicija: Elipsa e mno`estvo (geometrisko mesto) to~ki vo ramninata so svojstvo,zbirot na rastojanijata od koja bilo to~ka do dve fiksni to~ki od ramninata da e konstantna t.e.
MF1 +MF2 =2a
F1, F2 se fokusi i pritoa F1(-c,0), F2(c,0),2s e fokusno rastojanie, OA 1=OA2 =a e golema poluoska, OB1 =OB2 =b e mala poluoska.
x2 y2 + =1 a2 b2
Centralna (kanoni~na ravenka) na elipsata
Linearen ekscentricitet
c 2 = a2 - b2
, numeri~ki ekscentricitet 2
Pravata y=kx+n e e tangenta na elipsata
c Îľ = <1 a
2
x y + =1 a2 b2
ako e ispolnet uslovot
a2 k 2 +b 2=n2
2
Tangentata na elipsata 2
p=
b a
2
x y + 2 =1 2 a b
x0 x vo to~kata M(h0,u0) e dadena so ravenkata
e poluparametar na elipsata .
a2
+
y0 y b2
=1
HIPERBOLA Definicija:Hiperbola e mno`estvo (geometrisko mesto) to~ki vo ramninata so svojstvo, razlikata na rastojanijata od koja bilo to~ka do dve fiksni to~ki od ramninata da e konstantna t.e.
MF1 −MF 2 =2a
F1, F2 se fokusi i pritoa F1(-c,0), F2(c,0). OA 1=OA2 =a e realna poluoska, OB1 =OB2 =b e imaginarna poluoska.
Centralna (kanoni~na ravenka) na hiperbola
Linearen ekscentricitet
2
2
c =a +b
2
x2 y2 − 2 =1 2 a b
, numeri~ki ekscentricitet
c ε= >1 a
2
Pravata y=kx+n e e tangenta na hiperbolata
Tangentata na hiperbolata
b y= x, a Pravite
2
x y − =1 a2 b2 ako e ispolnet uslovot
2 2
2
a k −b =n
2
2 2 x0 x y0 y x y − 2 =1 − 2 =1 2 2 b a b vo to~kata M(h0,u0) e dadena so ravenkata a
b y=− x a se asimptoti na hiperbolata
x2 y2 − =1 a2 b 2 ,a
2
b p= a
e poluparametar na hiperbolata .
ПАРАBOLA Parabola e mno`estvo od site M (x,y) vo ramninata koi se na ednakvo rastojanie od dadena prava d i od dadena to~ka
F
, takva {to
F∉d .
Zna~i, parabolata e mno`estvoto P= { M ( x , y )|MF =MP } Pravata d se vika direktrisa, to~kata F se vika fokus na parabolata. Rastojanieto r od fokusot do direktrisata d se vika parametar na parabolata. 2
y =2px
темена равенка на парабола
p=2kn
pretstаvuva uslov za dopir na prava i parabola
yy 1 =p ( x+x 1 ) Равенка на тангента на парабола во Т(х1 ,у1)
y− y 1 =−
y1 p
( x−x 1 )
Равенка на нормала на парабола во точката Т(х1 ,у1)