Комбинаторика-предавање

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________

Voved Kombinatorikata, kako oblast na matematikata se razvila od prakti~nite potrebi na ~ovekot, kako potrebite od rasporeduvawe na predmeti, aktivnosti, znaci, bukvi i dr. Nivnoto rasporeduvawe i grupirawe se pravi spored odredeni kriteriumi na momentni i trajni potrebi i interesi. Me|utoa, i vo ovoj slu~aj postojat pravila i zakonitosti. Oblasta na matematikata koja se zanimava so izu~uvawe na mo`nite rasporedi i grupirawa na elementite na kone~ni mno`estva se vika kombinatorika.

Kombinatorikata izu~uva podmno`estva

od dadeni mno`estva ili grupi od pove}e

elementri na dadeno mno`estvo. Od na~inot na nivnoto formirawe i od toa dali e biten ili ne, rasporedot na elementite vo niv, razlikuvame varijacii, permutacii i kombinacii.

Varijacii Neka e dadeno mno`estvoto M={e1,e2,‌‌‌en} ~ii elementi mo`at da bidat lica, predmeti, bukvi, broevi, znaci, nastani i drugo.

Sekoe rasporeduvawe(grupirawe) na daden broj elementi od mno`estvoto M vo grupi, takvi {to se razlikuvaat edni od drugi ili po sostavot na elementite ili vo nivniot raspored, se vika varirawe. Ovie grupi od elemeenti, podmno`estva od mno`estvoto M, koi se razlikuvaat edni od drugi po redosledot na elementite vo niv, se vikaat varijacii. Vo zavisnost od brojot na elementite na varijacijata, taa mo`e da bide od prva, vtora, treta kalasa itn. Elementite vo edna varijacija mo`ata da bidat razli~ni i nekoi ili site da bidat isti, zatoa }e go koristime terminot varijacija bez povtoruvawe ili varijacija so povtoruvawe.

Varijacii bez povtoruvawe Definicija: Varijacii bez povtoruvawe od klasa k od n elementi(k n) sepodredeni k-torki sostaveni od razli~ni elementi na mno`estvoto M. Brojot na varijacii bez povtoruvawe od n elementi od klasa k go bele`ime so Vnk Kako se formiraat varijaciite bez povtoruvawe i kako se opredeluva nivniot broj ke poka`eme na sledniov primer.

Primer 1: Da se formiraat site varijacii bez povtoruvawe od mno`estvoto M={1,2,3 } i da se opredeli nivniot broj.

Re{enie: Varijaciite od prva klasa se samite elementi 1,2,3 Varijaciite od vtora klasa se site podredeni parovi 12,13,21,23,31,32 Varijaciite od treta klasa se podredeni trojki: 123,132,213,231,312,321.

So dijagram ke go prika`eme na~iniot na formirame na varijacii bez povtoruvawe od vtora i treta klasa.

___________________________________________________________________________ 1

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________

Kako {to rekovme varijaciite od prva klasa se samite elementi vo mno`estvoto.

Varijaciite od vtora klasa se formiraat taka {to na elementite od prva klasa im se pridru`uvaat preostanatite elementi(na primer na 1 mu se pridru`uva 2 i potoa 3) . i zatoa vkupno ima 3 2=6 varijacii od vtorra klasa.

Varijaciite od treta klasa se formiraat taka {to na parovite koi pretstavuvaat varijacii od vtora klasa im se pridru`uvaat preostanatite elementi(tretiot) i nivniot broj e 6.

Kako se presmetuva brojot na varijacii bez povtoruvawe vo op{t slu~aj ke poka`eme na sledniov primer.

Primer 2: Da go najdeme brojot na varijaciite bez povtoruvawe od prva , vtora, treat i n-ta klasa od elementite na mno`estvotoM={1,2,3,…….n} Re{enie: Brojot na elementite od prva klasa bez povtoruvawe od n elementi go pretstavuva brojot na elementite na mno`estvoto.

Brojot na varijacii od vtora klasa bez povtoruvawe od n elementi go pretstavuva brojot na mo`nostite vo ist moment na prvo mesto da se stavi nekoj od elementite 1,2,3 …n, a na vtoro mesto nakoj od preostanatite n-1 elementi od dadenoto mno`estvo. Zna~i toj broj }e bide n (n-1) Brojot na varijacii od treta klasa bez povtoruvawe od n elementi go pretstavuva brojot na mo`nostite vo ist moment na prvo mesto da se stavi nekoj od elementite 1,2,3 …n, a na vtoro mesto nakoj od preostanatite n-1 elementi od dadenoto mno`estvoa na treto mesto nekoj od preostanatite n-2 elementi od dadenoto mno`estvo. Zna~i toj broj }e bide n (n-1) (n-2) Formiraweto na varijacii prodol`uva se dodeka ne se iscrpat site elementi, zatoa vkupniot broj na varijacii bez povtoruvawe od k-ta klasa od n elementi e Vnk  n  (n  1)  (n  2)  .........(n  k  1) kade n .

Primer 3: Vo paraleka od 30 u~enici treba da se izbere klasno rakovodsrtvo, koe se sostoi od pretsedatel, sekretar i blagajnik. Na kolku na~ini mo`e da se izvr{i izborot?

Re{enie:Ovde stanuva zbor za grupa od trojki u~eneici, pri {to biten e redosledot ( ne e seedno koj ke bide pretsedatel, koj sekretar, a koj blagajnik). Zna~i imame varijaciii, jasno bez povtoruvawe od treta klasa od 30 elementi. Zatoa izborot na klasnoto rakovodstvo mo`e da se formira na Vnk  n  (n  1)  (n  2)  24360 na~ini.

Primer 4:Ako od Debar do Skopje soobra}aat 12 avtobusi dnevno, na kolku na~ini mo`e da patuvame od Debar do Skopje i nazad, ako se patuva : a) So istiot avtobus b) Od Debar so eden , a nazad so drug avtobus ___________________________________________________________________________ 2

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ Re{enie:a) Ako se patuva samo so istiot avtobus od Debar do Skopje i nazad toga{ ima V121  12 na~ini. b)Ako se patuva od Debar do Skopje so eden avtobus, a se vra}ame so drug toga{ ima vkupno V122  12  11  132 mo`nosti.

Primer 5: Kolku petcifreni broevi mo`e da se napi{at od cifrite 0,1,3,5,7,9, taka {to nulata ne e ni na prvo ni na posledno mesto?

Re{enie: Ako treba da se napi{at petcifreni broevi od dadenite cifri i ako nulata ne treba da bide na prvo mesto(nema priroden broj koj po~nuva so 0) toga{ ostanuva da se formiraat varijacii od ostanatite 5 cifri od klsa 4, a nivniot broj e V54  5  4  3  2  120 . Istoto va`i ako 0 ne treba da bide na posledno mesto. Zatoa brojot na petcifreni broevi so vakvi uslovi e ednakov na vkupniot broj na petcifreni broevi formirani od site cifri minus dva pati vkupniot broj na petcifreni broevi formirani od ostanataite cifri t.e. V65  2V54  720  240  480 petcifreni broevi.

Varijacii so povtoruvawe Varijaciite vo koi eden ili pove}e elementi se povtoruvaat pove}e pati se vikaat varijacii so povtoruvawe. Brojot na varijacii so povtoruvawe od n elementi od klasa k k

se obele`uva V n  n k .

Primer 1: Da se formiraat site varijacii so povtoruvawe od mno`estvoto M={1,2,3 } i da se opredeli nivniot broj.

Re{enie: Varijaciite od prva klasa se samite elementi 1,2,3 Varijaciite so povtoruvawe od vtora klasa se dobivaat taka {to na desnata strana od varijaciite od prva klasa se dopi{uva sekoj element na mno`estvoto M pri {to se dobiva :11, 12,13,21,22,23,31,32,33. Vkupno gi ima 3 3=9 Varijaciite so povtoruvawe od od treta klasa se dobivaat taka {to na desnata strana od varijaciite so povtoruvawe od vtora klasa se dopi{uva sekoj od elementite na mno`estvoto M pri {to dobivame: 111,112,113, 121,122,123, 131,132,133 211,212,213, 221,222,223, 231,232,233 311,312,313, 321,322,323, 331,332,333 Vkupno ima 9 3=27.

Kako se presmetuva brojot na varijacii so povtoruvawe vo op{t slu~aj ke poka`eme na sledniov primer.

Primer 2: Da go najdeme brojot na varijaciite bez povtoruvawe od prva , vtora, treta, itn i k-ta klasa od elementite na mno`estvoto M={1,2,3,…….n} Re{enie: Brojot na elementite od prva klasa so povtoruvawe od n elementi go pretstavuva brojot na elemeentite na mno`estvoto.

Brojot na varijacii od vtora klasa so povtoruvawe se dobiva koga na sekoja varijacija so povtoruvawe od prva klasa , niv gi ima n na broj, }e se prisoedini sekoj od 2

elementite na mno`estvoto M koi se n na broj , zatoa V n  n  n  n 2 Brojot na varijacii od treta klasa so povtoruvawe se dobiva koga na sekoja varijacija so povtoruvawe od vtora klasa , niv gi ima n2 na broj, }e se prisoedini sekoj 3

od elementite na mno`estvoto M koi se n na broj , zatoa V n  n 2  n  n 3 .

Sli~no se dobiva brojot na varijacii od ~etvrta, petta,…. k-ta klasa. k Vn

 nk Brojot na varijacii so povtoruvawe od klasa k-ta }e bide; Primer 2: Kolku "Morzeovi" zborovi mo`at da se formiraat od osnovnite znaci " "i "-", ako se znae deka eden "zbor" se sostoi od najmnogu ~etiri osnovni znaci?

___________________________________________________________________________ 3

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ Re{enie: Ovde stanuva zbor za varijacii so povtoruvawe i pri toa imame "zborovi" so dol`ina eden, dva ,tri ili ~etiri osnovni znaci, zatoa vkupniot broj na 1

2

3

4

"zborovi" e: V 2  V 2  V 2  V 2 =2+22+23+24=30 Primer 3: Na kolku razli~ni na~ini mo`e{ da popolni{ liv~e za sportsak prognoza, ako se znae deka toa sodr`i 13 fudbalski ekipi~ij rezultat e od tip 0,1 i 2?

Re{enie:Ovde imame varijacii so povtoruvawe od tri elementi(0,1,2) od klsa 13, pa zatoa

3 V3

 313  1594337 na~ini.

Permutacii Sekoe rasporeduvawe(grupirawe) na daden broj na elementite od edno kone~no mno`estvo vo grupi, pri {to vo sekoja grupa se site dadeni elementi , no sekoga{ vo drug redosled se narekuva permutirawe. Grupite koi se sostojat od site elementi na dadenoto mno`estvo, a se razlikuvaat edna od druga samo po razli~niot redosled na elementite se vikaat permutacii.

Vo zavisnost od toa dali elementite vo permutacijata se povtoruvaat ili ne, razlikuvame permutacii bez i so povtoruvawe.

Permutacii bez povtoruivawe Sekoj raspored {to mo`e da se formira od n-te elementi na dadeno mno`estvo, taka {to vo nego se javuvaat site tie elementi samo po edna{, a eden old drug rasporedite se razlikuvaat samo po razli~niot redodsled na elementite, se vika permutacija bez povtoruvawe. taka {to nieden element ne se povtoruva se vika permutacija bez povtoruvawe na tie elelmenti. Toa zna~i deka permutaciite bez povtoruvawe se vsu{nost varijacii bez povtoruvawe od n-ta klasa na mno`estvoto so n elementi.

Definicija: Permutacii bez povtoruvawe od n elementi na mno`estvoto M={1,2,3,……n}, se podredeni n-torki na razli~ni elementi na mno`estvoto M. sepodredeni k-torki sostaveni od razli~ni elementi na mno`estvoto M. Brojot na permutaciite bez povtoruvawe od n razli~ni elementi na dadeno mno`estvo se ozna~uva so Pn. Formiraweto na permutaciite bez povtoruvawe , kako i odreduvaweto na nivniot broj }e go poka`eme na sledniov primer: Primer 1: Da se formiraat permutaciite bez povtoruvawe od elementite na mno`estvoto {1,2,3,4}.

Re{enie: So dijagram }e go ilustrirame na~inot na formirawe na permutaciite bez povtoruvawe.

1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 ___________________________________________________________________________ 4

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 Za prika`uvawe na na~inot na presmetuvawe na brojot na permutaciite bez povtoruvawe }e go iskoristime primerot. Pri formiraweto na permutaciite vo primerot se zabele`uva deka mo`at da se smestat vo 4 grupi, od koi edena po~nuva so 1, vtorata so 2, tretata so 3 i ~etvrtata so 4. Vo sekoja grupa vtorata pozicija mo`ata da ja zavzemat ostanatite tri elementi, ponatamu tretata pozicija mo`at da ja zavzemat ostanatite 2 elementi i na kraj ~etvrtata pozocija ja zavzema ostanatiot posleden element. Spored toa, imame vkupno =24 mo`nosti za rasporeduvawe na ~etirite elementi na na dadenoto mno`estvo.

Op{to broj na permutacii bez povtoruvawe od n elementi se presmetuva so formulata .

Proizvodot na n posledovatelni prirodni broevi simboli~ki se ozna~uva so ( se ~ita n faktoriel). .

Zabele{ka: Bidej}i definiravme n! , formulata za presmetuvawe na broj na varijacii bez povtoruvawe mo`e da dobie drug oblik koj naj~esto se koristi. Imeno ako formulata Vnk  n  (n  1)  (n  2)  .........(n  k  1) ja pro{irime so (n  k )! se dobiva Vnk 

n  (n  1)  (n  2)  .........(n  k  1)  (n  k )! n! n1  t.e. Vnk  . (n  k )! (n  k )! (n  k )!

Primer 2: Dadeni se elementite od mno`estvoto {1,2,3,4,5,6}. Vo kolku permutacii elementite 3,4,5 se eden do dru, i toa a) vo redosled 345 ; b) vo proizolen redosled Re{enie: a) Bidej}i elementite 3,4,5 se bara da se vo ovoj redosled, niv mo`eme da gi smetame za eden element i zaedno so preostanatite tri elementi mo`at da se permutiraat t.te da se rasporedat na 4! Na~ini, zna~i imame 24 permutacii. b) Vo ovoj slu[~aj redosledot na elementite 3,4,5 e proizvolen. Ovie tri elementi permutiraat na 3! Na~ini. No, vo koj bilo od ovie sliu~ai niv mo`eme da gi smetame za eden element bez razlika na nivniot redosled, i povtorno imame 4 elementi, zatoa brojot na permutsacii ovde iznesuva 3! .

Primer 3: Na kolku na~ini mo`at da se rasporedat 5 mom~iwa i 4 devoj~iwa vo red od 9 sedi{ta ako naizmeni~no sedat mom~e do devojka? ___________________________________________________________________________ 5

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ Re{enie: 5 mom~iwa mo`at da se rasporedat na 5! na~ini, a 4 devojki na 4! na~ini.Brojot na mo`nite rasporedi vo koi mom~iwata naizmeni~no sedat do devojkite e nivniot proizvod , t.e.

Permutacii so povtoruivawe Sekoi podreduvawa na elementite od edno kone~no mno`estvo, vo koe ima eden element ili pove}e elementi koi se povtoruvaat se vikaat permutacii so povtoruvawe na tie elelmenti.

Primer 1:Da se formiraat site razli~ni permutacii so povtoruvawe od elementite {a,a,b}?

Re{enie: Najnapred na ednakvite elementi da im pridru`ime indeksi i potoa da gi napi{ime site permutacii , da gi izbri{ime indeksite i na kraj da gi prebroime razli~nite permutacii.taka gi dobivame permutaciite : a1a2b; a1ba2; a2a1b; a2ba1; ba1a2; ba2a1 od kade so bri{eweto na indeksite dobivame aab; aba; aab; aba; baa; baa kade {to se zabele`uva deka tri permutacii se povtoruvaat i pri nivno otfrlawe ostanuvaat tri t.e dvojno pomalku od vkupniot broj na permutaciite bez povtoruvawe.

Spored prethodniot primer, mo`e da se zaklu~i deka ako vo dadeno mno`estvo ima k ednakvi elementi toga{ brojot na permutacii so povtoruvawe e ednakov na vkupniot broj na permutacii bez povtoruvawe podelen so k!(k elemnti permutiraat na k! na~ini) t.e.

So analogna postapka go odreduvame i brojot na permutacii so povtoruvawe od n elementi me|u koi ima r razli~ni (r  n), od koi prviot se povtoruva k1 pati , vtoriot k2 pati, tretiot k3 pati , ... r-tiot kr pati, pri {to brojot e ednakov na n!

Pn (k1 , k 2 ,......k r ) , k1  k 2  ...... k r  n k1!k 2 !.......k r !

Primer 2: Kolku permutacii mo`e da se formiraat od bukvite na zborot MATEMATIKA? Re{enie: Vo zborot MATEMATIKA bukvata M se povtoruva 2 pati, A se povtoruva 3 pati i T se povtoruva 2 pati, zatoa brojot na pemutacii so povtoruvawe }e bide 10!

P10 (2,3,2)  151200 2!3!2! .

Primer 3: Kolku desetcifreni broevi mo`at da se formiraa od cifrite 1,2,2,2,2,3,3,4,4,4 koi po~nuvaat so 1234?

Re{enie: Od 10-te cifri 4 imaat opredelen redosled, pa zatoa ostanuvaat u{te 6 koi treba da permutiraat, od koi 2-ta se povtoruva 3 pati i 3-ta se povtoruva 2 pati, pa 6!  60 zatoa brojot na baranite desetcifreni borevi e P6 (3,2) 2!3!2!

Primer 4: Pravoagolnikot ABCD so dimenzii 7m i 4m e podelen so horizontalni i vertikalni linii na kvadrati so plo{tina 1 m2. Na kolku razli~ni na~ini mo`eme da stigneme od temeto A do temeto C, ako e dozvoleno dvi`ewe samo na desno i nagore?

Re{enie: Sekoe dvi`ewe od temeto A do temeto S sodr`i 4 pati{ta od po 1 m gore (G) i 7 pati{ta od po 1 m desno(D). Toga{ izbraniot pat }e pretstavuva permutacija od ___________________________________________________________________________ 6

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ 11 elementi (11m pat) so povtoruvawe. Na primer izbraniot pat na crte` 1, ja pretstavuva permutacijata GDGDGDDDDGD. Vkupniot broj na permutacii }e 11!  330 bide P11(4,7) 4!ďƒ—7! .

D

C

A

B

Crt.1

Kombinacii Rasporeduvaweto (grupiraweto) na k elementi od edno mno`estvo od n elementi(k≤n) vo grupi, pri {to sekoja grupa se razlikuva od druga samo po razli~nite elementi vo nivniot sostav se narekuva kombinirawe. Grupite od elementi, podmno`estva od dadeno mno`estvo, koi se razlikuvaat edno od drugo samo po razli~nite elmenti vo nivniot sostav, a ne po rasporedot se narekuvaat kombinacii.

Zna~i kombinaciite se podmno`estvo od varijaciite. Sli~no kako kaj varijaciite i kombinaciite mo`at da bidat od prva klasa ako imaat eden element , od vtora klasa ako imaat dva elementi itn. Isto taka, ima kombinacii so i bez povtoruvawe vo zavisnost od toa dali eden ist element vo edna grupa se povtoruva pove}e pati ili ne.

Kombinacii bez povtoruvawe Definicija: Sekoj izbor na k-elementi (sekoe podmno`estvo) od edno kone~no mno`estvo od n razli~ni elementi, bez ogled na nivniot redosled se vika kombinacija bez povtoruvawe od klasa k od n elementi i se obele`uva C k . n Broj na kombinacii bez povtoruvawe: Formirawetona kombinaciite bez povtoruvawe od n elementi od k-ta klasa , kako i opredeluvaweto na nivniot broj ke go prika`eme na sledniov Primer 1 : Da se formiraat site

kombinacii od elementite na mno`estvoto

{a;b;c;d} od prva, vtora, treta i ~etvrta klasa i da se opredeli nivniot broj.

Kombinaciite od prva klasa bez povtoruvawe se samite elementi na mno`estvoto i nivniot broj e 4.

___________________________________________________________________________ 7

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ Kombinaciite od vtora klasa bez povtoruvawe }e gi dobieme ako gi formirame site varijacii i potoa gi otfrlime onie so ednakvi elementi: ab;

ac;

ad;

ba;

bc;

bd;

ca;

c b;

cd;

d a;

d b;

dc;

Kombinaciite od vtora klasa bez povtoruvawe se: ab; ac; ad; bc; bd; cd. Vkupno 6.

Od prethodno ka`anoto da iznajdeme formula za presmetuvawe na kombinaciite vo primerov. Brojot na varijacii bez povtoruvawe od vtora klasa e V42 

4!

24   12 .

(4  2)! 2

Spored na~inot na dobivawe na kombinaciite bez povtoruvawe od vtora klasa, gledame deka ovde pokraj sekoja kombinacija se javuvaat i site nejzini permutacii, toj broj e P2=2! =2. Zna~i

V42



P2  C 42

.Od kade C 42 

V 42 . Zatoa brojot na kombinaciite e 6.

P2

Kombinaciite od treta klasa bez povtoruvawe }e gi dobieme ako gi formirame site varijacii i potoa gi otfrlime onie so ednakvi elementi: abc; abd; acb; acd; adb; adc; bac; bad; bca; bcd; bda; bdc; cab; cad; cba; cbd cda; cdb; dab; dac; dba dbc; dca; dcb.

Kombinaciite od treta klasa bez povtoruvawe se: abc; abd; acd;; bcd. Vkupno 4.

Brojot na kombinacii bez povtoruvawe od treta klasa }e go opredelime kako pogore: Brojot na varijacii bez povtoruvawe od treta klasa e V43 

4!

24   24 . Spored (4  3)! 1

na~inot na dobivawe na kombinaciite bez povtoruvawe od treta klasa, gledame deka i ovde pokraj sekoja kombinacija se javuvaat i site nejzini permutacii, toj broj e P3=3! =6.

Zna~i V43  P3  C 43 .Od kade C 43 

V43 24   4 . Zatoa brojot na kombinaciite e 4.

P3 6

Kombinacijata bez povtoruvawe od ~etvrta klasa e abcd .

Na sli~en na~in se formiraat i se doa|a do brojot na kombinacii bez povtoruvawe od n elementi od k klasa t.e. vo op{t slu~aj C nk 

V nk .

Pk

n(n  1)( n  2)........(n  (k  1)) k (k  1)k  2)  ......... 3  2  1 So pro{iruvawe na dropkata so (n  k )! se doa|a do slednava formula za presmetuvawe na kombinacii bez povtoruvawe od n elementi od k klasa n(n  1)( n  2)........(n  (k  1))  (n  k )( n  (k  1))( n  (k  2))  ......... 3  2  1 n!

Cnk   k (k  1)( k  2)  ......... 3  2  1  (n  k )( n  (k  1)( n  (k  2)  .....3  2  1 k!(n  k )! t.e. n!

C nk  k!(n  k )!

Primer 2: Ako eden klas ima 10 predmeti i 5 razli~ni ~asovi dnevno, na kolku na~ini mo`eme da gi raspredelelime ~asovite za eden den?

Re{enie: Bidej}i vo zada~ata ne se bara redosledot na ~asovite po predmeti vo denot, tuku samo brojot na na~ini za rasporeduvawe na razli~nite predmeti vo eden den.

C nk 

___________________________________________________________________________ 8

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ }e imame kombinacii bez povtoruvawe i toa mo`eme da go napravime na 10!

10!

5  C10   252 na~ini.

5!(10  5)! 5!5!

Primer 3: Od 12 ispitni pra{awa u~enikot treba da izbere 5 pra{awa. Na kolku na~ini mo`e da go napravi izborot?

Re{enie: Bidej}i ne e va`en redosledot na izbor na pra{awata, stanuva zbor za kombinacii bez povtoruvawe od 12 elementi od 5-ta klasa. Zatoa izborot na ispitna 5  kombinacija mo`e da se napravi na C12

12!

12!   792 na~ini.

5!(12  5)! 5!7!

Kombinacii so povtoruvawe Neka e dadeno mno`estvoto M={e1,e2,………en} od n elementi. Ako pri formiraweto na kombinaciite od k-ta klasa od n elementi postoi mo`nost sekoj element vo sekoja kombinacija da se pojavi 1,2,3 ... ili k pati, toga{ takvite kombinacii se narekuvaat kombinacii so povtoruvawe. Klasata k mo`e da bide pomala , ednakva ili pogolema od brojot na elementite n . k

Brojot na kombinacii so povtoruvawe od n elementi od klasa k go bele`ime so C n Postapkata za dobivawe na kombinacii so povtoruvawe od n elementi od k-ta klasa ke ja poka`eme vo sledniov primer.

Primer 1: Da se formiraat kombinaciite so povtoruvawe od vtora i treta klasa od elementite na mno`estvoto {1,2,3,4}.

Re{enie: Kombinaciite so povtoruvawe od vtora klasa od dadenoto mno`estvo se: 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44 Dodeka brojot na kombinaciite od treta klasa od dadednoto mno`estvo se: 111 112 113 114 122 123 124 133 144 222 223 224 233 234 244 333 334 344 444 Brojot na kombinacii so povtoruvawe od n elementi od k-ta klasase presmetuva spored formulata: k

Cn 

(n  k  1)! ovde mo`e k>n k! (n  1)!

Primer 2: Kolku triagolnici mo`eme da formirame ako stranite na triagolnikot imaat za dol`ina edna od vrednostite 4,5,6,7?

Re{enie: Tuka stanuva zbor za kombinacii od 3-ta klasa, bidej}i seedno e koja strana koja dol`ina }e ja ima, a bidej}i mo`e dve ili tri strani da imaat ista dol`ina 3

}e imame kombinacii so povtoruvawe i toa C 4 

(4  3  1)!

6!   20 triagolnici.

3! (4  1)! 3!3!

Primer 3: Avtobus so 12 patnici zastanuva na 4 stanici. Na kolku na~ini mo`at da izlezat patnicite na stanicite, vo zavisnost samo od brojot na patnicite koi izleguvaat na oddelni stanici?

Re{enie:Neka so brojot n (n=1,2,3,4) go ozna~ime sekoj izlezen patnik na n-tata stanica. Pritoa se dobivaa grupi od po 12 elementi. Na primer, grupata elementi 111223333344 zna~i deka na prvata stanica izlegle 3, na vtorata 2, na tretata 5 i na ~etvrtata stanica izlegle 2 patnika. Bidej}i elementite vo grupata mo`at da se povtoruvaat (na edna stanica mo`e da slezat pove}e patnici) , a redosledot na ___________________________________________________________________________ 9

KOMBINATORIKA

___________________________________________________________________________ sleguvawe na patnicite ne e va`en, zaklu~uvame deka imame kombinacii so povtoruvawe od 4 elementi od 12 klasa.  12

Nivniot broj e C 4 

(4  12  1)! 15!   455 .

12!(4  1)! 12!3!

Ova zna~i deka 12 patnici na 4 stanici mo`at da izlezat na 455 na~ini.

Primer 4: Vo cve}arnica ima 8 vidovi cve}iwa. Na kolku na~ini mo`e{ da napravi{ izbor ako vo buketoto saka{ da ima 5 cveta?

Re{enie: Pri formiraweto na buketot cvetovite mo`e da bidat od ist vid, {to zna~i }e imame kombinacii so povtoruvawe od 5-ta klasa od 8 elementi(cvetovi). Toa se kombinacii bidej}i ne e va`en redosledot vo praveweto na buketot . Zatoa mo`at da se 5 napravat C 8



(8  5  1)! 12!   792 razli~ni buketi.

5! (8  1)! 5!7!

___________________________________________________________________________ 10