OBJETIVOS:
Magnitudes Auxiliares:
1. Expresar las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales. 2. Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad dimensional. 3. Determinar fórmulas físicas empíricas a partir de datos experimentales en el laboratorio.
Magnitudes físicas y el sistema internacional
L
as propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenómenos naturales y que se pueden medir reciben el nombre de Magnitudes Físicas. Así por ejemplo tenemos la longitud, la masa, la velocidad, la temperatura, etc. Mientras que otras propiedades como el color, el sabor, la bondad, la belleza no son magnitudes físicas, ya que no se pueden medir.
Nombre
Unidad Básica
Símbolo
Angulo plano
Radián
rad
Angulo sólido
Estereoradián
sr
Principio de Homogeneidad Dimensional En toda igualdad matemática o fórmula física que expresa la relación entre las diferentes magnitudes físicas, las dimensiones en el primer miembro y segundo miembro, deben ser iguales. Sea la fórmula física:
A B
2
2
[A] [B ]
2
Entre las magnitudes físicas hay algunas que son independientes de las demás y se denominan "Magnitudes fundamentales" como la masa, la longitud, el tiempo, etc. Así como también existen magnitudes físicas, que dependen de las fundamentales para ser expresadas, las cuales se denominan "Magnitudes derivadas”, este es el caso de la velocidad, que se define mediante una relación entre la longitud y el tiempo. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) es un conjunto de unidades de magnitudes fundamentales a partir del cual se debe expresar cualquier unidad de una magnitud derivada. Este fue un acuerdo común tomado por la mayor parte del mundo el 14 de octubre de 1960 en Francia.
Magnitudes Fundamentales:
A B C [A] [B 2 ] [C] Ejemplo: Analicemos la fórmula para determinar el espacio recorrido por un móvil, en la línea recta, con velocidad constante. d v.t d: distancia en metros. v: velocidad constante en m/s. t: tiempo empleado en segundos. [d] = [v.t] = [longitud] = L
REGLAS DIMENSIONALES 1. Si el valor numérico de la magnitud X es igual al producto (cociente) de los valores numéricos de las magnitudes A y B, entonces la dimensión de X será igual al producto (cociente) de las dimensiones A y B Si: X =A.B [X] = [A] . [B]
Nombre
Dimensión
Unidad Básica
Símbolo
Longitud
L
Metro
M
Masa
M
Kilogramo
Kg
Tiempo
T
Segundo
s
Temperatura termodinámica Intensidad de corriente eléctrica
Kelvin
K
I
Ampere
A
Intensidad luminosa
J
Candela
Cd
Cantidad de sustancia
N
mol
mol
Lic. Reymundo Salcedo Valencia
Si: X
A B
[X] [A].[B]
1
2. Si el valor numérico de la magnitud X es igual a la potencia “m” del valor numérico de la magnitud A, entonces la dimensión de X es igual a la potencia n/m de la dimensión de A. Si: X A
n/m
Si: X A
n 1/m
[X] [A]
n/m
n
[X] [A] ; 1/m
Si: X A [X] [A] 3. Si el valor numérico de la magnitud X es un coeficiente constante (número; ángulo en radianes; función trigonométrica, función logarítmica;......etc) que es independiente de la dimensión de las magnitudes (unidades) fundamentales, entonces la dimensión de X es nula, y X es denominada “adimensional”. Si: X = número [X] = 1 Si: X = Sen [X] = 1 Si: X = LogN [X] = 1
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Si: X = constante numérica (a dimensional)
CONTINÚA:
Recuerda que: “Si una formula física es correcta, todos los términos de la fórmula son dimensionalmente iguales”. 1 2
Si: d = V t + 0
Ecuación
Cantidad de Movimiento
Masa x Velocidad
M.L.T
Trabajo
Fuerza x Desplazamiento
M.L .T
Energía
Masa x (Velocidad)2
M.L .T
Potencia
trabajo tiempo
M.L .T
Presión
fuerza área
M.L .T
Velocidad Angular
ángulo tiempo
T
Aceleración angular
velocidad angular tiempo
Capacidad calorífica
calor temperatura
Calor específico
capacidad calorifica masa
at
1
2
Entonces se cumple que: 1 2
Fórmula Adicional
Magnitud
2
2
2
2
2
3
1
2
[d] = [V t] = [ at ] 0
2
Magnitud
Ecuación
Fórmula Adicional
Área
Largo x Ancho
L2
L3
Volumen
Área x Altura
Densidad
masa volumen
M.L
Caudal
volumen tiempo
L T
dis tancia tiempo
Velocidad Lineal
3
L.T
3
Aceleración Lineal
Ecuación
velocidad tiempo
Fuerza
Masa x Aceleración
Impulso
Fuerza x Tiempo
Lic. Reymundo Salcedo Valencia
L.T 2
L2 .T 2 . 1
1
1. Desplazamiento lineal
L
2. Desplazamiento Angular
1
3. Frecuencia
T
4. Energía Cinética
M.L .T
5. E. Potencial gravitatoria
M.L .T
6. Cte. Universal de Gases
P.V .T
7. Carga Eléctrica
I.T
8. Peso específico
M.L .T
1
MÁS FÓRMULAS: Magnitud
1
Fórmula Adicional
L.T 2
1 2
2
2
2
2
2
M.L.T 2
M.L.T
1
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BLOQUE I: UTILIDAD DEL ANÁLISIS DEMENSIONAL PROBLEMA 01: Complete la siguiente tabla en el Sistema Internacional (SI): [A] [A] [B] [A B] [B] 3
2
3
2
L M
L T 4
2
3
3
2
L M
L T 3
L M T
L M T
2 T
T3
3
2
T I3
3 L2
2 L
T I
4
3
N J T
PROBLEMA 04: La frecuencia de un péndulo esta dado por:
F
1 2
2mgh A
Donde: m: masa h: altura g: aceleración 2
Determinar las dimensiones de “A” A) B) C) D) E)
ML ML4 2 ML 2 MLT ML3
2
N J T PROBLEMA 05: Si se cumple que:
PROBLEMA 02: Sabiendo que la siguiente expresión es dimensional mente correcta.
c
k 2x P V cos Donde: P: presión V: volumen
PX 2 . Hallar [X] Dd
=
Datos: c: velocidad; P: presión D: densidad d: diámetro
x 3
Determinar las dimensiones de A
A) B) C) D) E)
A) L 1/2 B) M 1 C) L 1 D) M 1/2 E) L
2 2
ML T 2 3 ML T 2 3 M LT 2 MLT ML1T 2
PROBLEMA 06: Encontrar la fórmula dimensional de "F": PROBLEMA 03: Para determinar la energía cinética de una molécula de gas monoatómico ideal se usa: Donde: Ec
3 KT 2
F
(masa)(aceleración)(tiempo) (trabajo mecánico)
A) B) C) D) E)
LT 1 L2 T LT 2 L1T L 2 T
T: temperatura K: constante de boltzman. Hallar [ K] A) 1
B) MLT 2
D) MLT
Lic. Reymundo Salcedo Valencia
2 1
C) MLT 2
2
E) L MT
2
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BLOQUE II: UTILIDAD DEL ANÁLISIS DEMENSIONAL PROBLEMA 01: Calcular la fórmula dimensional de “J”
J 86.F.t
PROBLEMA 04: Hallar [ ]:
2
Donde: F: fuerza t: tiempo
A V
A: aceleración; V: velocidad
1
A) ML B) ML C) ML2 1 D) M L 1 2 E) M L
A) B) C) D) E)
T L 1 T L 1 LT
PROBLEMA 02: En la ecuación obtener: [ ]
P
sen(wt) 4D
Donde: P: presión D: densidad t: tiempo
A) B) C) D) E)
2 4
1
M L T 4 1 ML T 2 4 2 M L T 2 4 1 M L T NA
PROBLEMA 05: Encontrar las dimensiones de "B" en la ecuación:
B
(Pr esión)(Área) [Velocidad] 2
A) ML 1 B) M L 1 C) ML 1 D) MLT E) MLT
PROBLEMA 06: Si la ecuación es dimensionalmente correcta, hallar los valores de “x” e “y”. PROBLEMA 03: Calcular la fórmula dimensional de “a”:
a
4v 2 5R
V: velocidad; R: radio
A) B) C) D) E)
LT 1 LT LT 2 L1T L 2 T
Lic. Reymundo Salcedo Valencia
TanA(h1 h2 ) Log(P1 P2 ) x h3 y Donde: h1 , h 2 , h 3 = alturas
P1 , P2 = presiones A) B) C) D) E)
0y1 -1 y 1 0y0 -2y2 1/2 y -1/2
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BLOQUE III: UTILIDAD DEL ANÁLISIS DEMENSIONAL
PROBLEMA 01: Cuál debe ser las dimensiones de “A” para que la expresión sea dimensionalmente correcta, si:
PROBLEMA 03: Dada la expresión:
I: impulso F: fuerza t: tiempo g: aceleración Vo: velocidad
F (Tan30) Ln PA
I A v o 2 2gx 2,5Ft A) B) C) D) E)
MT 2 M M MT 1 N.A.
Sen60
Xva 2
A W
3
Es dimensionalmente correcta, donde: F: fuerza A: superficie a: aceleración w: velocidad angular p: presión v: velocidad Hallar la dimensión de “x” A) B) C) D) E)
L2 3 LT 2 3 L T T 3 LT 2
PROBLEMA 02: Dada la expresión:
PROBLEMA 04: En la siguiente expresión:
Fx 2mb (Tan30)Rt 2 Ln(cZ)
d A f B
Dimensionalmente correcta, Donde: x: longitud m: masa F: fuerza c: velocidad t: tiempo
A) L y MLT 1/2 1/2
2 3
L T y L2 1/2 1/2 C) M L T yL 1/2 1/2 1 D) M L T y L 1/2 1/2 1/2 E) M L T y L B) M
Hallar las dimensiones del producto [b.R.z]
A) B) C) D) E)
Donde “d” es el diámetro del núcleo de los tornillos usados en calderas de vapor, “f” es fuerza. Hallar las dimensiones de “A” y “B”
1
M L T M2LT 1 3 2 ML T 2 2 ML T ML3 T 1
Lic. Reymundo Salcedo Valencia
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