QUINTO AÑO
TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS CONCEPTO Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C ....... etc, o entre llaves { } y sus integrantes generales separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; ) Ejemplos: A = {1; 4; 6; 8; 10; 12} B = {a; e; i; o; u} C = (x/x3 – 3x2 + 2x – 1 =0) RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈) Un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte o es agregado de dicho conjunto. La pertenencia (∈) es un vinculo que va de elemento al conjunto al cual pertenece, más no así entre elementos o entre conjunto. (elemento) ∈ (conjunto) OBSERVACIÓN:
∉ “NO PERTENECE a”
Ejemplo: Sea A = {a; φ; {a; b}; {4; 5}} • a∈A∧b ∉A • {4} ∉ A • φ∈A • {φ} ∉ A • {a; b} ∈ A
Aritmética
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QUINTO AÑO
OJO: EN EL CASO DE QUE A = {a, b, {a}, {a, b}}, ENTONCES: LA PROPOSICIÓN a ∈ {a} ES UNA VERDAD ABSOLUTA INDEPENDIENTE DEL CONJUNTO A, SIN EMBARGO TENIENDO EN CUENTA AL CONJUNTO A, LA PROPOSICIÓN a ∈ {a} ES FALSO PUES “a” Y {a} SON ELEMENTOS DEL CONJUNTO A (DE MANERA SIMILAR OCURRE EN EL CASO b ∈ {a, b}. ESTAS SON PUES, LAS FAMOSAS “PARADOJAS ” O AMBIGÜEDADES CONJUNTISTAS.
DIAGRAMAS DE VENN Son regiones planas limitadas por curvas cerradas, que se usan generalmente para representar a un conjunto y visualizar que elementos están o no en él. Por ejemplo:
Conjunto Universal o Referencial
U = {1; 2; 3; 4; 5, 6; 7, 8; ), 10; 11; 12} A = {2; 3, 4; 5} B = {3; 4, 5; 6; 7; 8; 9} C = {8; 9; 10; 11; 12} NOTA: n(A) = # (A)
SE LEE “NÚMERO DE ELEMENTOS O CARDINALES DE
A, ASÍ
DE LOS EJEMPLOS ANTERIORES:
n(A) = 5; # (B) = 7; # (C) = 5; n(U) = 12
2
Aritmética
QUINTO AÑO
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Por Comprensión Resulta cuando se da a conocer una característica común a todos los elementos que forman un conjunto: Ejemplo: A = {3x ∈ N/ x < 2}
2
x −1 B = ∈ Z /x ∈ N, x < 9 2 Condi ciones Forma de los elementos
Por extensión Resulta cuando se nombre explícitamente a cada uno los elementos que forman un conjunto. De los ejemplos anteriores: Para A: x < 2 → 3x < 6 Como: 3x ∈ N: 3x = 1, 2, 3, 4, 5 A = {1; 2; 3, 4; 5} Para B: Aritmética
3 10
QUINTO AÑO
Tabulando x 2
x −1 2
1 0
2 2 3
3 4
4
15 2
5 12
6
35 2
7 2
8
63 2
⇒ B = {0; 4; 12; 24} RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión o Subconjunto El conjunto A está incluido en B, cuando todos, los elementos de A son también elementos de B; es decir: A⊂B⇔∀x∈A → x∈B Notas 1.
A ⊂ A, ∀ A
2.
φ ⊂ A φ = “Conjunto vacío o nulo”
3.
Si A = B y además A ≠ B entonces A es subconjunto propio de B.
4.
Si n(A) = ik entonces el número de subconjuntos de A: 2n(A) = 2k Ejemplo: Sea A = {2; 4; 6} Subconjuntos: φ: {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6} Se observa 23 = 8 elementos.
4
Aritmética
QUINTO AÑO
•
Para determinar la cantidad de subconjuntos “n” arios (binarios ternarios, etc) de un conjunto que tiene “k” elementos, se tiene:
. n
Subconjunto n − arios
= Cnk .
Propiedades: • Propiedades Reflexivas: A ⊂ A •
Propiedad Antisimétrica: Si: A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B
•
Propiedad Transitiva: Si: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Conjuntos Iguales Dos conjuntos A y B son iguales cuando tiene los mismos elementos, es decir: A=B⇔A⊂B∧B⊂A OBSERVACIÓN:
{2; 5} = {5; 2} ; {a; b} = {a; b; b}
Relaciones de Coordinabilidad de Conjuntos Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecer una correspondencia biunívoca. Cuando dos conjuntos son coordinales tienen el mismo número de elementos.
Aritmética
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QUINTO AÑO
A = {2; 4; 6; 8; 10} ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ Son coordinables B = {a; e; i; o; u} Graficando:
Conjunto Comparables Dos conjuntos A y B son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. A y B comparables ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A No Comparables
CONJUNTO ESPECIALES Conjunto Universal o Referencial U Dados dos o más conjuntos, se llama conjunto Universal o Referencial de ellos, a otro conjunto que contiene a los conjuntos dados:
6
Aritmética
QUINTO AÑO
El conjunto universal se puede elegir de acuerdo al estudio particular que se quiera analizar con algún conjunto. El conjunto universal se representa gráficamente por el rectángulo y simbólicamente por un U. Conjunto Vacío: Llamado también conjunto nulo, se le denota con ∅ o { } se le considera incluido en cualquier otro conjunto. ∅ ⊂A;∀ A Conjunto Unitario Llamado singletón, tiene un solo elemento: Ejemplo: A = {m} ; B = {{{a}}} ; C = {x ∈ N / 3 < x < 5} OJO: EN A
EL CASO DE
A = {∅},
DONDE
∅
ES EL CONJUNTO VACÍO, ENTONCES
REPRESENTA UNA FAMILIA DE CONJUNTOS UNITARIOS. CONVIENE
ACLARAR QUE ESTE CONJUNTO
(QUE
ES SU ELEMENTO) OSEA;
{∅}
{∅}
UNITARIOS
≠ ∅. SIN EMBARGO LA RIGUROSIDAD
MATEMÁTICA NO EXIGE ANALIZAR, PUES ES
∅ ⊂ A (PROPIEDAD),
∅
ES DIFERENTE DE
FÁCIL
DISTINGUIR QUE
∅
∈ A
Y
“∅”
NO PUEDE TENER EL DOBLE DE COMPORTAMIENTO, QUE VIENE PUES
DE DEFINIR
A = {∅},
ESTA CONCLUSIÓN ES “PARADÓJICA” PUES
ESTA ES UNA DE LAS TANTAS
“PARADOJAS
DE
RUSSELL”
Conjunto Potencia (P(A)):
Aritmética
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QUINTO AÑO
El conjunto formado por todos los subconjuntos que tiene A, se le denota con P(A) y tiene 2n elementos donde, “n” es el número de elementos de A. Ejemplo: Si A = {m, n} Entonces: P(A) = {∅}: {m}; {n}; {m; n} Nota 1.
Si A ⊂ B → P(A) ⊂ P (B)
2.
Si x ∈ P(A) → x ⊂ A
3.
Del ejemplo podemos deducir que el número de subconjunto propios de A es 2n(A) – 1. en conclusión A tienen tres subconjuntos propios.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Reunión ∪ La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que perteneces a A ó B ó a ambos. A ∪ B = {x/x ∈ A ó x ∈ B} Gráficamente:
A∪B
8
A∪B
A∪B
Aritmética
QUINTO AÑO
• • • •
A∪B=B∪A A∪A=A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A∪∅=A
Intersección ∩ Se define la intersección de dos elementos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. A ∩ B = {X/X ∈ A
YX
∈ B}
Gráficamente:
A∩B ∩B • • • •
A∩B=∅
A
A ∩ B = B ∩A A∩∅=∅ A ∩ (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A∩A=A
Diferencia Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero no pertenecen a B. Ola diferencia se denota por: A – B que se lee. A diferencia B ó A menos B. Se define a la diferencia de dos conjuntos también como: A – B = {x/x ∈ A y x ∉ B}
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QUINTO AÑO
Gráficamente:
A–B
A–B
A–B
Complemento de A Notación:
A – B = ∩ BC
CUA = A = AC = A´= U – A AC = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}
Gráficamente:
•
AC ∪ A = U
• •
AC ∩ A = ∅ (AC)C = A
•
(A B)C = AC BC Morgan (A B)C = AC BC
Diferencia Simétrica (∆) A ∆ B = (A – B) ∪ (B - A)
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Aritmética
QUINTO AÑO
NOTA: “A ∆ B” ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS A ∪ B QUE NO PERTENECEN AL CONJUNTO A ∩ B. EN OTRAS PALABRAS “A ∆ B” ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS “EXCLUSIVOS” DE A O DE B. PUEDE DECIRSE TAMBIÉN QUE ELEMENTOS DE
Gráficamente:
A∆B • •
A∆B
A∆B
A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) A ∆ B = A C ∆ BC
Aplicación: Sean los conjuntos: A = {7; 8; 2; 3} B = {2; 3; 9} U = {2; 3; 4; 7; 8; 9} Calcular: i. A ∪ B iv. B – A vii. B'
ii. A ∩ B v. A ∆ B viii. (A ∆ B)'
iii. A – B vi. A´
Resolución
Aritmética
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QUINTO AÑO
i.
A ∪ B = {2, 3, 7, 8, 9}
ii. iii. iv. v. vi. vii. viii.
A ∩ B = {2, 3} A – B = {7, 8} B – A 0 {9} A ∆ B = {7, 8, 9} A' = {4, 9} B' = {4, 7, 8} (A ∆ B)´= {2, 3, 4}
RELACIONES CON CARDINALES 1. Para dos conjuntos cualesquiera A y B . n(A ∪B) = n(A) + (B) – n(A ∩ B) . . n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B) . . n(A - B) = n(A) – n(A ∩ B) . LEYES Y PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS I)
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Reflexiva: •A ∪ A = A •A ∩ A = A •A ∆ A = ∅
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QUINTO AÑO
II)
Asociativa: • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A • A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C
III)
Conmutativa: •A ∪ B = B ∪ A •A ∩ B = B ∩ A •A ∆ B = B ∆ A
IV) • • • • V)
VI)
Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A A ∩ (B ∪ C) = (A (A ∪ B) ∩ C = (A (A ∩ B) ∪ C = (A
∪ B) ∩ (A ∪ B) ∩ B ∪ (A ∩ C) ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ C) ∩ (B ∪ C)
De la Inclusión:
A B = B A B = A Si: A ⊂ B ⇒ A − B = ∅ A∆ B = B − A Elemento Neutro: •A ∪ ∅ = A •A ∩ ∅ = ∅ •A ∪ U = U •A ∩ U = A
VII)
De la Diferencia: • A – B = A ∩ B' • A – B = B'- A'
Aritmética
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QUINTO AÑO
VIII)
Del Conjunto Producto: • n(A x B) = n(A) x n(B) • A x (A ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) • A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
IX)
De la Exclusión:
Si A y B son disjuntos
X)
A B = ∅ A − B = A A ∆ B = A B
Del Complemento: • (A')'= A • A ∪ A' = U • A ∩ A´= ∅ • ∅' = u • U' = ∅
XI)
Leyes de Morgan: • (A ∪ B)'= A' ∩ B' • A ∩ (A ∪ B) = A • A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B • A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B
XII)
De Absorción: • A ∪ (A ∩ B) = A • A ∩ (A ∪ B) = A • A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B • A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B
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Aritmética
QUINTO AÑO
INTERPRETACIONES DE ALGUNAS REGIONALES SOMBREADAS
“Solo A”, “Exclusivamente A”, “únicamente A”, “A – B”
“A ∩ B”, “Ocurre A y B”, “Ocurre ambos sucesos a la vez”
“Ocurre exactamente dos de ellos”, “Sucede únicamente dos de ellos”
Aritmética
“Ocurre A o B”, “A ∪ B”, “al menos uno de ellos” o “por lo menos uno de ellos”
“Ocurre sólo uno de ellos”, “Únicamente uno de ellos, “Exactamente uno de ellos”
(B ∪ C) – A “Ocurre B o C pero no A”
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QUINTO AÑO
“Ocurre al menos dos de ellos”, “Ocurre por lo menos dos de ellos”
“Ocurre a lo más dos de ellos”
APLICACIÓN Se encuentra a cierto número de personas sobre la presencia de tres periodos A, B y C.
• • • • • • • • • •
16
¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas ¿Cuántas 5, 6}
personas leen sólo un periódico? {1; 2; 3} personas leen dos periódicos solamente? {4; 5; 6} personas leen los tres periodos? {7} personas leen el periódico A? {1, 4, 5, 7} personas leen sólo A? {1} personas leen A y B pero no C?{5} personas leen A o B pero no C? {1, 5, 2} personas no leen ninguno de los periódicos? {8} personas leen como mínimo dos periódicos? {4, 5, 6, 7} personas leen como máximo dos periódicos? {1, 2,3, 4,
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QUINTO AÑO
•
¿Cuántas personas leen B pero no A ó C? {2}
Aritmética
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QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si: A = {5, {2}, expresión falsa 1. {a} ∈ A 3. 9∈A 5. {5, {2}} ⊂ A
9}; señale la Rpta. 12 2. {12} ⊂ A 4. {5 ,9} ∈ A
4.
2. De las siguientes. notaciones determinar cuál de ellas es falsa: 1.
{2, 5, 3} = {3, 5, 2}
2. {{14}, 5} 3.
{4} ∈ {3} ⊂
{2, 3, 4} 4.
∅
∈
∅
⊂
{3, {4} 2} 5. {3. {4}, 2}
3.
18
Si U ={x/x ∈ z ∧ 0 ≤ x < 10} (A ∪ B)' = {0, 6, 9} ; A ∩ B = {1, 2, 7} A – B = {3, 5} ¿Cuál es la suma de los elementos de B – A?
Dado A ={∅; {∅}} . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? 1. 2. ∅∈A ∅⊂A 3. 4. {∅} ⊄ A {{∅}} ⊂ A 5. {{∅}} ∈ A
5. En una entrevista realizada en el aeropuerto se determino que 49 viajaban al Cuzco, 43 a Tacna, 39 a Arequipa, 19 sólo a Tacna y 21 sólo a Arequipa. Si 16 viajan a Tacna y Arequipa y 5 de ellos viajaban también al Cuzco, determinar cuántas personas viajaban sólo al Cuzco. Rpta. 34
Aritmética
QUINTO AÑO
6. Se selecciona al azar a 43 alumnos de la Academia. Luego se observa que: i. Son 5 las mujeres que estudian aritmética ii. El número de hombres es 28 iii. El número es el doble que no estudian aritmética es el doble del número de mujeres que no estudian aritmética. ¿Cuántos hombres estudian aritmética?
(A ∩
1. B) ∪ C
(C ∪
2. B) – (B – A)
(B ∪
3. C) – (A – B)
(A ∪
4. C) – (A ∩ B)
Rpta. 8 5.
7. Si el conjunto e es unitario
N.A.
hallar “a . b” e = {a + 2b; 3b – a + 2; 11} Rpta. 12
8. ¿Que representa el gráfico?
9.
A = {a, o, i}; B = {a, o, u} el número de su subconjunto propios tiene
Rpta.
A∪B
15
10. Si: A ={1, 2, 3,5} B ={2, 3, 4,5} Hallar: [(A ∩ B ) ∪ (A ∆ B)] - B Rpta. Aritmética
{1}
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QUINTO AÑO
42% postulan a San Marcos • 58% postulan a Católica • 8% postulan a las 3 Universidades • El 5% no postulan a ninguna de estas 3 Universidades Si 390 estudiantes postularon a por lo menos 2 universidades, diga ¿Cuántos postulantes hubieron en total? •
11. Para dos conjuntos A y B se cumple que n(A ∪B) = 6 n[P(A)] + n[P(B)] = 40 Hallar: n[P(A ∩ B)] Rpta. 4 16. De un grupo de 105 deportistas se observo que: a. 15 son atletas, que practican el fútbol y la natación b. 52 son atletas c. 55 son nadadores d. todos son futbolistas, son atletas y 12 son deportistas que sólo practican el atletismo e. 15 deportistas no practican ninguno de los deportes mencionados ¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores, pero no futbolistas? Rpta.
2
Rpta. 3000
12. En un salón de las clases 65 alumnos se observo 30 son hombre, 40 son de ciclo semianual, hay 10 señoritas que son del ciclo semianual. ¿Cuántos son hombres que no estudian en el ciclo semianual? Rpta. 0 15. ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor de la región achurada?
14. De un grupo de postulantes a universidades, se sabe que: • 16% postulan a la UNI
20
Aritmética
QUINTO AÑO
2.
(A
∆
A
∆
B) ∪ C 3. (B ∪ C) (A ∆
4. B) – (A ∩ B ∩ C) N.A.
(A ∪
1. B) ∆ C
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. La región sombreada diagrama
en el
Representa la operación: (A - B) ∩
i. (C ∪ B) ii.
(B - A)
iii.
∪(C ∪ B)-(C ∩ D) A y B son correctas
Aritmética
iv.
(B – A) ∪
v.
(C - D) ∪ (D – C) B y D son correctas
2. De un grupo de 100 universitarios, 49 no estudian Lengua y 53 no estudian Matemáticas. Si 27 no estudian ninguno de ninguno de los cursos mencionados, ¿Cuántos estudian sólo un curso? A) 28 D) 58
B) 38 E) 18
C) 48
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QUINTO AÑO
3. De 40 alumnos de una sección, 15 aprobaron física, 6 probaron física y química. ¿Cuántos alumnos desaprobaron los dos cursos mencionados, si los que aprobaron química fueron 7? A) 18 D) 10 6.
B) 15 E) 6
C) 12
B) 9 E) NA
(A - B) ∪ {A ∪ B} (A ∆ B) ∪ C {(A - C) ∩ (B - C)} ∪ C {(A ∩ B) – C } ∪ {C – (A ∪ B)} N. A
C) 10
7. Determine el conjunto “B”: B = {x/x2 – 5x + 6 = 0} A) {2; 1} B) {2, 5} C) 3} D) {1,4} E) {3,4}
{2,
9. Si: a = {3, {5}} ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
22
B) {5} ⊂ A D) {{5}} ⊂ A
10. Del gráfico: ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región sombreada achurada? A) B) C) D) E)
Si: n(A ∆ B) = 8 n(A ∩ B) =2 Hallar: n(A ∪ B)
A) 8 D) 11
A) {3, 5} ⊂ A C) 5 ∈ A E) {{{5}}} ⊂ A
11. Hallar ”x” si el conjunto es unitario: A = {2x – 3, x +2} A) 1 D) 7
B) 3 E) N.A
C) 5
12. ¿Cual es la alternativa que representa la región achurada?
Aritmética
QUINTO AÑO
A) (A ∩ B) – C B) (A ∩ C) - B C) (A ∩ B) ∩ C D) (A ∩ C) ∪ {B – (A ∪ C)} 13. Si A tiene 3 elementos. Hallar n[P(A)]
E) N.A
A) 2
B) 4
D) 16
E) N.A
C) 8
CLAVES
Aritmética
1. E
6. D
2. C
7. D
3. A
8. C
4. C
9. C
5. C
10. C
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QUINTO AÑO
24
Aritmética
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¿SABÍAS QUÉ...
INGENIERÍA INDUSTRIAL
El ingeniero industrial diseña, mejora y administra sistemas de producción que integran recursos humanos, materiales y financieros para generar bienes y servicios, de calidad y costos competitivos, consciente de preservar el medio ambiente en el cual desarrolla sus actividades. El ámbito de trabajo: En empresas del sector público o privado que diseñan, planean, operan y dan mantenimiento a sistemas productivos de bienes o de servicios.
Aritmética
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QUINTO AÑO
TEMA: NUMERACIÓN NUMERACIÓN Es la parte de la aritmética que estudia la formación, escritura y la lectura de los números. La numeración puede ser: Escritura o simbólica Es aquella que emplea símbolos llamados cifras, guarismo o caracteres. Oral o Hablada Es aquella que emplea VOCABLOS o PALABRAS
SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y lectura de los números, mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras. Base de un Sistema de Numeración Es aquel número que nos indica la cantidad de unidades de un orden cualquiera que se quieren para formar una unidad de orden superior. Ejemplos: 1. Sistema de Base 10: Diez unidades 1 decena (unidad de segundo orden) Diez decenas forman 1 centena (unidad de tercer orden), etc 2.
26
Sistema de Base 4: Cuatro unidades de primer orden forman 1 unidad de segundo orden. Cuatro unidades de segundo orden forman 1 unidad de tercer orden
Aritmética 30
QUINTO AÑO
Cuatro unidades de tercer orden forman 1 unidad de cuatro orden, etc. 3. Contar en Base 4:
Base 10: 14 4.
Base 4: 324 “Se lee: tres dos en base 4”
Contar en Base 3:
Base 10: 23
Base 3: 212(3) “ Se lee: dos en base tres”
Características de un Sistema de Numeración a) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor de base y con las combinaciones de ellas pueden formar todos los números posibles de dicho sistema. b) El Mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base. c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1. d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se usan en dicho sistema. Ejemplo: 4271(5) 314(7) Aritmética
: :
numeral mal escrito numeral bien escrito
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QUINTO AÑO
1358(6) : numeral mal escrito 64103(8) : numeral bien escrito Nomenclatura de los Sistema d Numeración Base
Nombre del Sistema
Cifras utilizadas
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . n
Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptaniario Octanario y octal Nonario o nonal Decimal Undecimal Duodecimal . . Enesimal
0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α,β . . 0,1,2,3,4, . . ., n – 2, n – 1
NOTA: PARA BASES MAYORES QUE DIEZ MAYORES SE USAN LOS SÍMBOLOS α, β, γ, ETC. QUE REPRESENTAN LAS CIFRAS DIEZ, ONCE, DOCE, ETC, RESPECTIVAMENTE, TAMBIÉN SE PUEDEN LAS LETRAS DEL ABECEDARIO CIFRAS DIEZ : α=a =A CIFRAS ONCE : β=b =B CIFRAS DOCE : γ=c =C CIFRAS TRECE : φ=d =D EJEMPLOS: • 34A5(DOCE) “SE LEE: TRES CUATRO A CINCO EN BASE DOCE” • 62B7C(QUINCE) “SE LEE: SEIS DOS B SIETE C EN BASE QUINCE”
VALORES DE UNA CIFRA:
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Aritmética
QUINTO AÑO
Valor Relativo o Posicional: (V. R) Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número. Valor Absoluto o por su Forma (V.A) Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene. Ejemplo:
Descomposición Polinómica En todo sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir como la suma los valores relativos a sus cifras.
Aritmética
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QUINTO AÑO
632 = 600 + 30 + 2
[BASE 10]
5479 = 5 . 10 + 4 . 10 + 7 . 10 + 9
[BASE 10]
235(7) = 2 . 7 3 .7 + 5
[BASE 7]
3
2
2
4523(8) = 4 . 8 + 5 . 8 + 2 . 8 + 3 [BASE 8] 3
2
Orden de una Cifra Es un lugar que ocupará una cifra empezando de derecha a izquierda. Ejemplo:
En cualquier Sistema de Numeración, la cifra de primer orden, es la de las unidades. Representación Literal de un Número Cada cifra de un número puede ser representado por una letra del abecedario y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlos de las expresiones algebraicas. ab
(n)
abc
ab37
ab 4 (6)
30
: Representa cualquier número de dos cifras de la base n. : Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede ser: {100, 101, 102, 103, ........, 998, 999} : Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10, que termina en 37, puede ser: {1037; 1137; 1237; .......; 9837; 9937} : Representa cualquier número de 3 cifras de la base seis; que termina en 4, puede ser
Aritmética
QUINTO AÑO
{104(6); 114(6); 124(6); ..........; 544(6); 554(6)} a(2a)b (5): Representa cualquier número de 3 cifras de la base cinco, donde la cifra de segundo orden es el doble de la cifra de tercer orden puede ser: {120(5); 121(5); 122(5); ..........; 244(5)} Número Capicúa Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda o de izquierda a derechas, también se dice es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. 414(7) 7557(9) 53235(8) abccba(7) Conversión de un Número de una Base a otra Se representa tres casos • Caso I: De base “n” a base 10: En este caso se calcula el número de unidades que posee dicho número, para esto es suficiente aplicar la “descomposición polinómica” del número y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo: Convertir 324(7) a la base 10 324(7) = 3 . 72+ 2 . 7 + 4 = 165 ⇒ 324(7) = 165 •
Caso II: De base 10 a base “n” Se efectúa empleando el método de “divisiones sucesivas”, para lo cual se divide el número dado “n” (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que “n” se divide este nuevamente entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que “n”. El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda. Ejemplo: Convertir 328 a la base 6
Aritmética
31
QUINTO AÑO
•
328 = 1304(6) Caso III.: De base “n” a base “m”(n, m ≠ 10) En este caso primero se convierte el número de base “n” a la base 10 y el resultado se convierta a la base “m” Ejemplo: Convertir 413(8) a la base 5 Primero: 413(8) a la base 10 413(8) = 4 . 82 + 1 . 8 + 3 = 267 Luego: 267 a la base 5
413(8) = 2032(5) Propiedad: Si un numero es expresado en dos sistemas de numeración se cumple que: “a mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa” Ejemplo: i.
ii.
32
Si: UNMSM (x) = UNFV Como: UNMSM > UNFV Se cumple: x < y Sea:
Aritmética
QUINTO AÑO
(k −1)(k − 1)......... ...( k−1)(k −1) (k) = kn – 1 "n " cifras
iii. “k” veces
Aritmética
=n+a.k
33
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar el valor de “n”: si 401(n) = 203(n + 2) Rpta. 5
6. Hallar “m + n” sabiendo que es lo menor posible y que: 66(m) = 88(n) Rpta. 26
2. Hallar el valor de “n”, si: 102(n) = 234(7) Rpta. 11
7. Hallar: “a + b” si:
ab (8) + ba ( 9) = 1ba ( 7 ) Rpta. 7
3. Hallar el valor de “a + b”, si
abb ( 9) = bba ( 6) Rpta. 7
8. Calcular: “x xy ( 9) = xy ( 7 ) Rpta.
4. Si: “a” es menor que 3, cómo se expresa a33 (9) en el sistema de base 3. Dar como respuesta la suma de sus cifras Rpta.
a+2
5. Hallar: “a + x + y”; si: aaaa (5) = xy8 Rpta. 13
34
+
y”
si;
7
9. Calcular: “a + n”; si
aaa (12) = (n 2 )n10( a ) Rpta. 8
10. Escribir el sistema de base 9 el número: x(x − 3( x + 2) (6) Rpta. 135(9) 10. Sabiendo que los numerales: Aritmética
QUINTO AÑO
10m ( 4 ) ; 2np ( m)
y nn ( p )
Están bien escritos. Hallar “m+n+p” Rpta.
6
Rpta.
11 – n
13. Si: ( a − 4)a( a − 4) ( 6) = xyyz ( 4)
11. Si: abbb ( 6) − 5ba (8) .
Hallar: x + y + z
Hallar (a + b) Rpta.
dígitos resulta la suma de sus cifras multiplicando por:
Rpta.
4
12. Un numeral de dos dígitos es “n” veces la suma de sus cifras. El numeral que se obtiene al intercambiar los
4
12. ¿Cuántas cifras tiene 128200 al ser expresado en base 8? Rpta.
467
“LA PACIENCIA ES LA PARTE MÁS DELICADA, DIGNA DE LA GRANDEZA DEL ALMA, Y TAMBIÉN LA MÁS ESCASA. LA PACIENCIA ESTÁ EN LA RAÍZ DE TODO. LA MISMA ESPERANZA DEJA DE SER FELICIDAD CUANDO VA ACOMPAÑADA DE LA IMPACIENCIA...”
RUSKIN
Aritmética
35
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Expresar
aaaa 2 en base
10: A) 16a D) 16
B) 31a E) 30
C) 15
2. Si: 1122(3) = abcdef (x) Hallar: a + b + c + d + e + f + x A) 3 D) 6
B) 2 E) 4
B) 13 E) 16
A) -6 D) –7
B) 6 E) 4
6. Calcular
“a
A) 4 D) 3
B) 5 E) 8
C) 7
+
aaa0 ( 9) = ab0ab ( 5)
C) 5
3. Determinar: (a + b + c) en: abab 5 = bcb A) 12 D) 18
D) 5 E) 6 62 n = 47 m ( 8) . Hallar: (x) 6. Si: “n - m”
b”;
si:
C) 6
7. Si: abab (n ) = 221. Hallar el valor de: (3a + b + 2n) A) 17 D) 15
C) 14
B) 13 E) 21
C) 18
8. Hallar “n”, si: 1331(n) = 260(9) 4. Hallar E = aab - 110a – b A) a D) 0
B) b E) 1
A) 4 D) 9
C) 10a
B) 5 E) 10
C) 8
9. Dar “n” en: 5. Hallar “a”, si 25a = a75 ( 8) A) 2
36
B) 3
(n − 1)(n − 1)(n − 1)n =
511
C) 4
Aritmética
QUINTO AÑO
A) 6 D) 7
Aritmética
B) 5 E) 9
C) 8
37
QUINTO AÑO
CLAVES
38
1. C
6. E
2. C
7. B
3. E
8. C
4. D
9. B
5. B
10. C
Aritmética
QUINTO AÑO
¿SABÍAS QUÉ...
INGENIERÍA METALÚRGICA
El ingeniero metalúrgico se desempeña profesionalmente en la creación, diseño y dirección de operaciones y procesos relacionados con la obtención de metales a partir de minerales y en la adaptación de estos últimos a usos industriales. El ingeniero metalúrgico requiere especiales habilidades para relacionar conocimientos de matemática, física y química con los principios de ingeniería de procesos, orientadas a la obtención de bienes primarios y manufacturados. Estudia, elabora, proyecta, diseña y supervisa la transformación de los minerales metálicos y no metálicos, equipos y plantas metalúrgicas; analiza las propiedades y tecnología de metales y aleaciones.
Aritmética
39
QUINTO AÑO
TEMA: CUATRO OPERACIONES
ADICIÓN Operación binaria, cuyo objeto es reunir varias cantidades homogéneas (de una misma especie), en una sola llamada suma total. Adición en Otros Sistemas de Numeración Ejemplo: Calcular: 123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5) Resolución: Colocando verticalmente los sumandos, considerando el orden(como el sistema decimal eran las unidades, decenas, ........... etc)
123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)
40
42 Aritmética 41
QUINTO AÑO Otro Ejemplo: 4 7
(9)
8 0
(9)
1 0
(9)
5 1
(9)
20 8
(9)
+
1ra columna 7+1=8
2da. Columna 4 + 8 + 1 + 5 = 18 = 2(9) + 0 Se lleva Queda
Ejemplo: Calcular: “n” ; en:
a325 (8) + 432n (8) = 7650( 8 ) Resolución colocando verticalmente n 3 2 5(8) + 4 3 2 n(8) 7 6 5 0(8) •
De la 1era Columna, se tendrá que: 5
•
(8)
+n
(8)
= 10 (8)
Llevando a base decimal, se tiene: 5+n =8
→ n=3
SUSTRACCIÓN Operación inversa a la adición, consiste en que dada 2 cantidades llamadas minuendo y sustraendo, hallar una cantidad llamada sustraendo. Ejemplo:
Aritmética
41
QUINTO AÑO
Ejemplo: Calcular: 237 – 128 Resolución: OJO: EN BASE 10, “1
UNIDADES DE UNA ORDEN CUALQUIERA ES
ORDEN CUALQUIERA ES
10 UNIDADES
10
UNIDADES
DEL ORDEN INMEDIATO INFERIOR”
Sustracción en Otras Bases Ejemplo ilustraciones: Calcular: 432(5) – 143 (5) Resolución Recordando que en base 5, “1” unidades de orden cualquiera es 5 unidades del orden del orden inmediato inferior.
Explicación • 1ra Columna: Como a “2” no se lee puede ser restar 3, entonces lo que se hace es prestar una base a “2”, es decir:
42
Aritmética
QUINTO AÑO
5+2=7 →7–3=4 queda. •
2da Columna: Como se presto una base del 3, ahora será: luego le prestaremos al 2 una base, es decir: 5+2=7 →7–4=3 Queda.
•
3ra Columna: Como se prestó una base de 4, entonces ahora será: 4 – 3 , y a este “3” si le puede restar 1, con lo que necesario prestarle una base. →3–1=2 Queda. ∴ 432(5) – 143(5) = 234(5)
Otros Ejemplos: 5 1 3 (8) 3 1 5 (8) 176 Propiedades: a.
Dado:
a b c (c) − c b a (n ) x y z (n ) b.
Aritmética
6 2 3 1 (7) – 3 6 5 4 (7) 2 2 4 4 (7)
Si a > c, entonces 1) y = n − 1 2) x + z = n − 1
En Base 10:
43
QUINTO AÑO
a b c− c b a x y z
Si a > c, entonces 1) y = 9 2) x + z = 9
Ejemplo: Si:
a b c −c b a = m n 7
Calcular:
m 2 + n2
Resolución: Aplicando directamente la propiedad, se tendrá que: a. n=9 b. m+7=9→m=2 Piden 22 + 92 = 85 Complemento Aritmético CA(N) Es lo que falta a u número “N”, para ser igual a la unidad de orden inmediato superior, es decir lo que le falta para ser igual a un número formado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene “N” Ejemplo: • CA (7) = 101 – 7 = 10 - 7 = 3 • CA (341) = 103 – 341 = 1000 – 341 = 659 En general: Sea “N” número de “k” cifras, luego: C A (N) = 10K – N Forma Práctica: A la primera cifra (diferente de cero) o menor orden se le resta de 10 y a todas las restantes se restan de 9. si hay ceros en las menores ordenes estos permanecen en el complemento, es decir:
(
)
C A = abcd = (9 − a)(9 − b)(9 − c)(10 − d) Ejemplos:
44
Aritmética
QUINTO AÑO
•
•
• Complementos Aritméticos en Otras Bases • C A(34(7)) = 72 – 34(7) • C A (429(11)) = 113 – 429(11) • C A (7251(8)) = 84 – 7251(8) Método Práctico:
En General: K
C A (N(B)) = 10(B) − N( B) K: números de cifras de “N” Forma Practica para Calcular el CA en Otras Bases A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cuál va a disminuir a la base y las demás cifras disminuyen a la base menos 1. Ejemplos:
•
Aritmética
45
QUINTO AÑO
•
• MULTIPLICACIÓN Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto. Origen:
M + M+ M + ......... + M = P m veces
. M.m=P . Donde:
M : multiplicando factor m : multiplicador P: producto Notas: 1.
Si se multiplica: 2 43 x 65 1215 → 1er producto parcial 1458 → 2do producto parcial 15795 → Producto Total
2.
Si: abc . 7 = .......... 6 → c = 8
3.
Si: abc . 4 = .......... 2 → c =
4.
Se cumple:
3 8
46
Aritmética
QUINTO AÑO
(# impar) (.... 5) = ..... 5 (# par) (... 5) = .......0 5. n(n + 1) =
Se cumple: ........ 0 ....... 2 ........ 6
DIVISIÓN Es una operación binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente. . D÷d=q .
D=d.q
D : dividendo d : divisor; d ≠ 0 q : cociente División Entera: Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son número enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo. D d r : residuo r q puede ser: 1. Exacta (residuo = 0) Ejemplo: 0 5 En general D d 0 q 2. a)
45 9
→ = 9(5)
→ D = dq
Inexacta (residuo > 0) Por defecto Ejemplo: 67 9 → 67 = 9(7) + 4
Aritmética
47
QUINTO AÑO
4 7 En general D d
→ D = dq + r d ∈ Z r q
Donde: 0 < r < d q : cociente por defecto r : residuo por defecto b) Por exceso Ejemplo: 67 9 5 8
→ 67 = 9(8) – 5
D d → D = dqe – re d∈Z+ Re qe Donde: 0 < re < d qe : cociente por exceso re : residuo por exceso En general:
Propiedades de la división inexacta 1. qe = q + 1 2.
rmin = d – 1
3.
r +re = d
Alteración de la división por multiplicación Ejemplo: Dx3 67 9 dx3 201 27 4 7 12 7
x3 En general Si: D d r q
48
→ Dn rn
dn q
Aritmética
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Dar (a – b + c), si: ab + bc = 89 ∧ (a + b + c)2 = 144 Rpta.
2
5. Sabiendo que: CA [CA aabc = 174] = 25. Hallar a + b + c Rpta.
16
2. Dar (a + b) en:
6. Hallar la suma de cifras del a3b + a 4b + a5b + ......... + a9b = aabb
Rpta. 6
producto:
P
=
2003
(99 ....... 99 ) 70 cifras
3. Dar (a + b + c) en: 3246 + 3546 + 5356 = abcd 6 Rpta.
3
4. La suma de los 3 términos de una sustracción es 1440. hallar el sustraendo si es 1/3 del minuendo. Rpta.
240
abc − 2nm = cba . 5. Si: Calcular (a – c + n + m)
Rpta. Aritmética
19
Rpta.
630
7. Hallar la suma de cifras del abc producto . 27, sabiendo que los productos parciales suman 2862. Rpta. 27
8. En una multiplicación la suma de sus 3 términos es 149, si al multiplicando se le multiplica por 3. La suma de sus 3 nuevos términos es 429. hallar el multiplicador Rpta.
9
49
QUINTO AÑO
8. En una división entera, la suma del dividendo, divisor y cociente es 984. Hallar el cociente si el residuo por defecto es 31 y el residuo por exceso es 21. Rpta.
17
9. ¿Cuántos numerales de la forma 5ab5 son tales que al ser dividido entre otro entero positivo, se obtiene otro cociente 17 y por residuo el máximo posible? Rpta.
E = 3 + 33 + 333 + 3333 +...... +
33 ...... 3 "n cifras "
Rpta.
982
10 n +1 − 9n − 10 27
12. Hallar “E” si :
33...3 E = 3 + 33 + 333 +...+
"n " cifras
Rpta.
11
10. Al dividir abc entre bc se obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Hallar abc Rpta.
11. Hallar “E” si
10 n +1 − 9n − 10 27
13. Si: 43. N = (a + 2)72b 6 ; 28 . N = a 72(b + 2)6 Calcular la suma de cifras de “N” Rpta. 12
50
Aritmética 52
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Si: abc . cb 3 = .... 262. Hallar “a” A) 1 D) 6
5. Hallar la suma de las cifras del producto:
B) 2 E) 9
C) 4
9999........99 P = 438 . 40 CIFRAS
A) 360 D) 90
B) 270 E) 450
C) 180
2. El dividendo es 5 veces el divisor
en
una
división
exacta. Si la suma de sus términos es 185. el dividendo
6. Si: a + b + c = 14. hallar: abc + bca + cab
es: A) 150 D) 120
B) 200 E) 140
C) 180
3. Hallar el número a (a −1)
A) 1554 B) 1545 C) 1525 D) 1555 E) N.A
6. Hallar: cdu ; si c + d + u =
si si CA es (5 − b )(b + 3)
13 y cd + du = 97
A) 43 D) 76
A) 436 D) 543
B) 54 E) 87
4. Hallar: A +
C) 65
B + C + D si
ABCD . 7 =JCDDD
A) 20 D) 16
Aritmética
B) 23 E) 14
C) 15
B) 634 E) 765
C) 546
abc −cba = xy 2 .
7. Si:
Hallar: x + y2 2
A) 110 D) 140
B) 120 E) 150
C) 130
51
QUINTO AÑO
8. El producto de 2 números es 588 y el cociente entre ellos es 4 dando como residuo 1. ¿cuál es el menor número? A) 14 D) 12
B) 21 E) 7
10. Si: aa . bb = 3388. Hallar “ a + b” A) 9 D) 13
C) 28
B) 10 E) 13
C) 11
CLAVES
1. D
6. A
2. A
7. B
3. C
8. C
4. D
9. D
5. A
10. B
PRACTICA DEPORTE
52
Aritmética
QUINTO AÑO
TEMA: DIVISIBILIDAD Son reglas que al aplicarlos a los números naturales, nos permiten determinar si son divisibles por ciertos divisores. Si no fueran divisibles, con dichas reglas se podrían determinar los residuos. Múltiplo Un número A es múltiplo de otro B cuando A contiene a B cierto número entero y exacto de veces. Divisores Se dice que un número B es divisor o divide a A, cuando está contenido un número entero y exacto de veces. Si:
A o
B k
Donde k ∈ Z. Se dice que A es múltiplo de B. º
⇒ A = BK: A = B Operaciones con los Múltiplos º
º
º
º
1.
a+ a+ a = a
2.
a - a = a
3.
a . a = a
4.
a .K= a
5.
( a )k = a
6.
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
Si 5a = 7 , como 5 no tiene ningún factor común que 7 aparte de la unidad, entonces “a” tiene que ser múltiplo de 7.
Aritmética
53
QUINTO AÑO
7.
Todo número es múltiplo de la base en la cual está escrito, más la última cifra abcde n =
8.
0
0
n +e
0
( a + b)k = a + bk 0
También: (a - b)k =
k a + b (k es par)
0
k a - b (k es impar)
Criterios Divisibilidad Son las condiciones que debe reunir un número para asegurar que es divisible por otro, sin que sea necesario efectuar la división y también para encontrar los residuos. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. abcd =
0
2 ⇒ d = 0, 2, 4, 6, 8
Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco 0
abcd = 5 ⇒ d = 0, 5
Divisibilidad por 3 ó 9 Un número es divisible por 3 ó 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 ó 9. 0
0
abcd = 3 ⇒ a + b + c + d = 3 0
0
abcd = 9 ⇒ a +b c + d = 9
Divisibilidad por 11
54
Aritmética
QUINTO AÑO
Si:
a bc d ef −+−+−+
=
0
11
Entonces: (f + d + b) – (e + c + a) = Divisibilidad por 7
0
11
0
a b cdefghk = 7 3 1 2 31 231 + − + 0
Entonces: 3a + b – 2c – 3d – e + 2f + 3g+ h = 7 Divisibilidad por 13 0
a b c d e fgh k =13 43 1 4 3 143 1 − + − + 0
Entonces: –4a – 3b + c + 4d + 3e – f + 4g – 3 h + k = 13 OBSERVACIONES: SI AUN NÚMERO SE LE
APLICA EL CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR
“a”
Y
ESTA APLICACIÓN NO RESULTA EXACTA, ENTONCES SE OBTENDRÁ UNA CANTIDAD QUE SERÁ EL RESIDUO DE DIVIDIR
N ENTRE “a”
Divisibilidad por 2n ó 5n Un número es divisible por 2n o 5n si sus últimas “n” cifras son ceros o forman un número que sea divisible por 2n o 5n respectivamente.
Aritmética
55
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar de “a + b”, si: 30 ab60 =
Rpta.
6. En un barco iban 100 personas ocurrió un naufragio un se sabe que los 2/7 de los sobrevivientes son peruanos y los 5/9 de los sobrevivientes son casados. ¿Cuántas personas murieron?
0
99
9
0
2. Hallar “b” si: 89152b = 91 Rpta.
Rpta.
37
7. Hallar: “a . b”, si:
7
0
aba + a = 7 0
abb + b = 11 3.
0
Si: abba = 63 (b ≠ 0)
Rpta.
Hallar: “a + b” Rpta.
8. Hallar “a” sabiendo que: 366
9
42a 43 8 = 0
4. Hallar “a - b” ab 1ba = 44 Rpta.
18
Rpta.
0
7+2
3
9. Hallar “a” si:
5
0
5. Si: abba = 72 . Hallar “a . b” Rpta.
56
18 Aritmética
QUINTO AÑO
0 4+ 3 0 abbc = 9+ 4 0 25+ 1
10. Simplificar: 0
0
0
( 9 +1)2 +( 9 +2)2 + ( 9 + 3)2 0
Rpta.
+ . . . . . . +( 9 +51)2
2 0
8. Hallar “x” si: 2x78 = 17 Rpta.
Aritmética
9 -1
2
9. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 13 más 8? Rpta.
0
Rpta.
69
11. ¿Qué numero natural 1019 debemos quietar a 2 para 0
que el resultado sea 15 ? Rpta.
8
57
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Hallar “a”, si a 486 =
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
0
11
2ab 532 = 99 A) 42 D) 23
0
B) 3 C) 5 E) Hay 2 res puestas
3. ¿Cuántas cifras como mínimo debe tener el número 222........222 para ser 0
99 ? A) 6 D) 24
si:
0
C) 3
2. Hallar “a”, si 5a 4 = 4
A) 0 D) 7
ab
4. Hallar
B) 24 E) N. A
C) 32
6. ¿Cuántos números de 4 cifras consecutivas, sin importar el orden de ellas, son divisibles por 9?
A) 6 D) 24
B) 12 E) 256
C) 18
7. Hallar el residuo de dividir
777 ....... 7 por 9 77 cifras
B) 12 E) 9
C) 18
A) 8 D) 5
B) 7 E) 4
C) 6
0
5. Hallar “a” si 2a 3a 5 = 7 + 6
A) 2 D) 6
58
B) 5 E) 6
C) 4
0
8. Hallar “a”si: 7a 3a 7 = 9 A) 1 D) 6
B) 3 E) 7
C) 5
Aritmética
QUINTO AÑO
9. ¿Cuántos números 777aaa forma divisibles por 4? A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
de
la son
10. Si
0
157aa 4 = 6 , Dar la
suma de valores que forma “a”
C) 3
A) 3 D) 10
B) 5 E) 15
C) 7
CLAVES
Aritmética
1. B
6. D
2. E
7. A
3. C
8. C
4. C
9. C
5. B
10. E
59
QUINTO AÑO
TEMA: NÚMEROS PRIMOS
Estudia los posibles divisores de un número (N). Esta división debe ser por lo general exacta. Un número es PRIMO ABSOLUTO, cuando tiene sólo dos divisores que son el mismo número y la unidad Ejemplo:
1 2
1 ;
2
3
1 ;
5
3
1 ;
5
7
1 ; 23
; etc.
7
23
Un NUMERO COMPUESTO, cuando tiene más de dos divisores Ejemplo: 6 sus divisores son: 1, 2, 3, 6 15 sus divisores son: 1, 3, 5, 15 20 sus divisores son:1, 2, 4, 5, 10, 20 Los Números Primos Entre Sí (PESI) Llamado también relativos, se denomina así al conjunto de números que tiene como único divisor común a la unidad. Métodos para Reconocer si un número es o no Primo • Se tiene la raíz cuadrada por exceso del número • Se divide el número entre todos los números primos. Menores o iguales que su raíz cuadrada por exceso y sin ninguna de las divisiones resulta exacta, el número es primo Aplicación – Determine si 97 es o no número primo – Determinar si 173 es o no número primo Formulas Usuales
60
Aritmética
QUINTO AÑO
•
Número de Divisiones: (N°D) Sea N = aα . bβ . cλ ........ Entonces . N°DN = (α + 1)(β + 1)(λ + 1) ......... . Ejemplos: 1. 2.
•
¿Cuántos divisores tiene 540? Hallar el número de divisores de 588 000
Suma de Divisiones de un número: (SD) Sea N = aα . bβ . cλ ........ Entonces:
a α +1 − 1 b β +1 − 1 c λ +1 − 1 ...... . b − 1 c − 1
. SDN = a −1
Ejemplos: 1. Hallar la suma de divisores de 540 2. La suma de todos los divisores de 2160 es: •
Producto de los divisores de un número: SeaN = aα . bβ . cλ ........ Entonces:
PD(N) =
N
(α+1 )( β+1)( λ+1 ).....
O También: PD(N) = N N °D(N ) .
PD( N ) = N
N ºD( N ) 2
.
Ejemplos: 1. Hallar el producto de los divisores 2. Hallar el producto de todos los divisores de 36. •
Suma de las inversas de los divisores de un número “N”: (SIN)
Aritmética
61
QUINTO AÑO
. SI(N) =
SDN N
.
Ejemplos: Determinar la Suma de las Inversas de los divisores de 540 El indicador de un número “N”(ϕ(N)); son indica la cantidad de números
•
menores enteros que N que son primos con N. Sea N = aα . bβ . cλ ........ Entonces: . ϕ(N) = aα - 1 . bβ - 1 .cλ - 1 ...............(a – 1)(b - 1)(c - 1) .
Ejemplos: 1.
Sea el número 180 ¿Cuántos números con primos con el y son también menores que él?
Conceptos Adicionales: •
Divisor propio: Son todos aquellos divisores menores que él mismo Ejemplo: 12, divisores propios {1; 2; 3; 4; 6}
•
Números perfectos: Son aquellos números cuya suma de sus divisores es igual a él mismo Ejemplo:: 6 ∧ 28
62
Aritmética
QUINTO AÑO
•
Número defectuoso: Son aquellos números que cumplen con la condición que las sumas de sus divisores son propios son menores que él mismo. Ejemplo: 35
•
Números abundantes: Llamados también, son aquellos cuya suma de divisores propios es mayor que él mismo. Ejemplo: 20
•
Número amigos: Sea N1 ∧ N2 los números. Serán amigos si la suma de divisores propios de N1 es igual a N2 y viceversa. Ejemplo: 220 ∧ 284
Aritmética
63
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si: ab es un número primo ¿Cuántos divisores tiene el número ababab ? Rpta.
32
2. Al dividir el mayor número de la forma bbb que tiene 12 divisores entre 5, se obtiene de residuo: Rpta.
4
3. ¿Cuántos divisores 15 tiene 453? Rpta. 18
7. Hallar el número de 3 cifras, cuyos factores primos son sus 3 cifras. Dar el valor de la cifra de las centenas. Rpta. 3
8. Si: mm m tiene 16 divisores, “m” vale lo menos “” Rpta. 3
9. Hallar a + b, si ab tiene 12 divisores y ( ab )2 tiene 33. Rpta. 15
4. Hallar la suma de las cifras del menor número impar de 20 divisores Rpta.
18
10. Si 6n tiene 30 divisores más que 7n. ¿Cuantos tendrá 8n? Rpta. 16
6. ¿Cuál es el menor número por el cual hay que multiplicar a 120, para que el producto tenga 30 divisores? Rpta.
64
6
11. ¿Por cuánto números compuestos es divisible el número 8200? Rpta.
20
Aritmética
QUINTO AÑO
12. Si: N = 10α .15β tiene 385 divisores. Hallar α + β
Rpta.
10
13. ¿Cuántos divisores tiene la suma de todos los números de 3 cifras?
14. Si: aaa tiene 8 divisores dar la suma de todos los valores de “a” Rpta.
15. Si: 4a 3b tiene aa divisores. ¿Cuántos divisores tiene abba ? Rpta.
Rpta.
23
18
72 16. Si: P = 4n + 1 + 4n + 4n, tienen 36 divisores, hallar el valor de “n” Rpta.
Aritmética
8
65
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. ¿Cuántas
veces
hay
que
A) 20
B) 21
C) 22
multiplicar a 40 por 50 para que tenga 64 divisores más?
A) 1 D) 4
B) 2 E) 6
2. Si: N = 13n +
2
C) 3
– 13n tiene 75
divisores compuestos, hallar el valor de n A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C) 5
3. Indicar la suma de cifras del número de divisores de 600
A) 6 D) 12
4. ¿Cuántos
B) 3 E) 15
C) 9
divisores
compuestos tienen el número 360?
66
Aritmética
QUINTO AÑO
D) 18
E) 19
5. Determinar el número de divisores pares del numeral 360 A) 45 D) 65 6. Calcular
B) 40 E) 70 la
divisores
C) 18
cantidad impares
de del
numeral 54000 A) 12 D) 16
B) 9 E) 18
C) 15
7. Si el numeral 4a es PESI con 30; calcular la suma de valores de a: A) 19 D) 30
B) 20 E) N.A
C) 25
8. Si: A = 9 . 10n; tiene 27 divisores,
hallar
cifras tiene A A) 9 D) 12
Aritmética
cuantas
3
B) 7 E) 13
C) 10
67
QUINTO AÑO
9. ¿Cuál es el valor de “a” si el número 24 . 49ª tiene 68 divisores compuestos? A) 2 D) 5
B) 8 E) 9
10. 2k + 2k + 2 + 2k + 2 tiene 9 divisores. Determinar el valor de K
C) 4
A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
CLAVES
68
1. B
6. D
2. B
7. B
3. A
8. A
4. A
9. C
5. C
10. A
Aritmética
QUINTO AÑO
TEMA: MCD, MCM Mínimo y Múltiplo (MCM) El MCM de varios enteros es el menor número entero positivo que sea divisible entera cada uno de ellos. Máximo Común Divisor (MCD) El MCD de varios enteros positivos, el menor entero que sea divisor de cada uno de ellos. Ejemplo: Divisores 1; 2; 4 ; 8 1; 2;
4 ; 6; 12 MCD(8; 12)
Números 8
Múltiplos a; 16; 24; 32; ....
12
12; 24; 36 ........ MCM(8, 12)
Métodos par hallar el MCD y MCM a. Por Descomposición Canónica • El MCM es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente • El MCD es igual al producto de los factores comunes extraídos de menor exponente Ejemplo: Dados los números A = 25 . 34 . 72 B = 24 . 3 6 . 7 6 . 5 MCM(A, B) = 25 . 36 . 76 . 5 MCD(A, B) = 24 . 34 . 72
Aritmética
69
QUINTO AÑO
b.
Por Descomposición Simultanea •
El MCD es igual al producto de los factores comunes
•
El MCM es igual al producto de los factores comunes y no comunes extraídos Ejemplo: Hallar el MC-------m, Y MCD de 45; 150 y 120 45 – 120 – 150 15 – 40 – 50 3 – 8 – 10 3 – 4– 5 3– 1– 5 1– 1– 5 1– 1– 5 1– 1– 1 .. .. .
3 5 2 2 2 3 5
MCD = 3 . 5 = 15 MCM = 23
. 32 . 5 2
= 1800
.. .. .
c.
Métodos
de
Divisiones
Sucesivas
o
Algoritmo
de
Euclides No permite calcular el MCD de dos números Sean los números A y b (A > B)
70
Aritmética
QUINTO AÑO
Ejemplo: Hallar el MCD de 125 y 13
Propiedades: 1.
Si: A =
0
B
MCD (A, B) = Número Menor MCM (A, B) = Número Mayor 2.
Si: A y B son PESI MCD (A, B) = 1 MCM (A, B) = A . B
3.
Si MCM (a, b, c) = M Entonces: MCM(ak; bk; ck) = Mk MCM(a/k; b/k; c/k) = M/k
4.
Si: MCD (a, b, c) = N Entonces: MCD(ak; bk; ck) = Nk MCD(a/k; b/k; c/k) = N/k
5.
Si: MCD (A, B) = d A/d = q1 ∧ B/d = q2 Donde: q1 ∧ q2 son PESI
Aritmética
71
QUINTO AÑO
6.
Entonces: A = d91 B = dq2 Para dos números A y B MCM (A, B), MCD (A, B) = A . B
7.
Para dos números A y B MCM(A, B) = MCD (A, B) . q1 . q2
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) Condiciones: 1° Es divisor común a los números dados 2° Es el mayor posible •
Ejemplos: 1. Sean los números: 30 y 45 30 → , 3, 5, 6, 10, 15, 30 45 → 1, 3, 5, 9, 15, 45 1° Divisores comunes: 1; 3; 5; 15 2° El mayor es 15 ⇒ MCD (30, 45) = 15 2. Sean los números: 24 y 40 24 → 1, 2,3, 4, 6, 8, 12, 24 40 →1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 1° Divisores comunes: 1, 2, 4, 8 2° El mayor es 8 ⇒ MCD (24, 40) = 8
Propiedad “Todos los divisores comunes de los números dados son también divisores del M.C.D de estos números” Determinación de MCD 1° Por Factorización Individual
72
Aritmética
QUINTO AÑO
De cada número dado a realizar su descomposición canónica y tomar únicamente los factores comunes con su MENOR EXPONENTE Ejemplo: Sean A, B y c descompuestos en sus factores primos. A = 23 . 3 2 . 5 3 . 7 B = 24 . 52 . 73 . 11 ⇒ MCD = 23 . 52 . 78 C = 25. 54 . 72 . 132 2º Por Factorización Simultanea Ejemplo: Hallar MCD de 2100, 2520 y 840. 3º Por Divisiones Sucesivas: (Algoritmo de Euclides) Ejemplo: Calcule el MCD de 611 y 182 1° Se divide el mayor entre el menor y se colocan en el gráfico siguiente:
Se sigue con este proceso hasta que la división sea exacta (r = 0) OBSERVACIÓN: LOS DIVISORES SE P PEDEN REALIZAR
POR DEFECTO O EXCESO.
Ejemplo: Hallar el MCD de 1534 y 403
Aritmética
73
QUINTO AÑO
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) Condiciones 72 1° Es el múltiplo común a los números dados 2° Es el menor posible •
Ejemplos: 1. Sean los números 9 y 6 9 → 9, 18, 27, 36, 45, 54, ..................... 6 → 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...................... 1° Múltiplo comunes: 18, 36, .................... 2° El menor es 18 ⇒ MCM (9 y 6) = 18
2. Sean los números 6, 12 y 18 6 → 6, 12, 18, 24, 36, 42, .................. 12 → 12, 24, 48, 60, 72, 84, ................ 18 → 18, 36, 54, 72, 90, 108, ................ 1° Múltiplos comunes: 36, 72, 108 ................ 2° el menor es 36 ⇒ MCM (6, 12, 18) = 36
Propiedades “Todos los múltiplos comunes de los números dados son también múltiplos del mcm de esos números”
74
Aritmética
QUINTO AÑO
Determinación de MCM 1° Por Factorización Individual Luego de realizar la descomposición
canónica, se toman todos los
factores pero con su MAYOR EXPONENTE. Ejemplo : Sean los números A, B y y C descompuestos en sus factores primos. A = 23 . 3 5 . 5 4 B = 22 . 33 . 55 . 72 ⇒ MCD (A, B Y C )= 24 . 35 . 55 . 72 . 113 C = 24. 53 . 113 2° Por Descomposición Simultanea Ejemplo: Hallar el MCM de 2100, 2520 y 420
PROPIEDADES GENERALES Si: A =
1.
0
B ⇒ MCD (A, B) = B MCD (A, B) = A
Ejemplo: 0
24 = 6 ⇒MCD (24, 6) = 6 MCM (24, 6) = 24 2. f. g.
Si A y B son números PESI MCD (A, B) = 1 MCM(A,B) = A . B OBSERVACIÓN: [MCM (A, B) = A . B . C]↔ [A, B, C son PESI 2 a2]
Aritmética
75
QUINTO AÑO
Ejemplo: Calcule “a + b” si el MCM de ab y a (b + 1) es 992 Resolución ab y a (b + 1) por ser números consecutivos son PESI luego:
(
) (
)
MCM ab ; a (b + 1) = ab . a (b + 1) = 992 ⇓ (31 . 32) 3.
Si en varios números se les divide a cada uno entre su MCM, los cocientes que se obtienen son números PESI. MCD(A, B, C) = d
A B C = p; =q ; =r d d d son PESI
OBSERVACIÓN: SI
SE DIVIDE MCM DE VARIOS NÚMEROS ENTRE CADA UNO DE ELLOS,
LOS COCIENTES OBTENIDOS SON NÚMEROS
4.
PESI
Dados 2 números A y B se cumple que: . MCD (A, B) . MCM (A .B) = A . B .
76
Aritmética
QUINTO AÑO
5.
Si a varios números se les multiplica o divide por una misma cantidad, entonces el MCD y MCM de dichos números quedad multiplicado o dividido por dicha cantidad.
h.
MCD (Ak , Bk , CK ) = dk MCD(A, B, C) = d A B C d MCD , , = k k k k
i.
MCD (Ak , Bk , CK ) = mk MCM(A, B, C) = m A B C m MCD , , = k k k k
Aritmética
77
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. La suma de los residuos que se obtienen al calcular el MCD de 924 y 548 por método de las divisiones sucesivas es: Rpta.
604
2. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son 16, 14 y 12cm. ¿Cuántos de éstos ladrillos serán necesarios para formar el cubo compacto mas pequeño posible?: Rpta.
14112
3. Se tiene un terreno de forma rectangular cuyas dimensiones son 360m y 280m, se debe parcelarlo en terrenos cuadrados e iguales de tal manera que no sobre ni falte terreno. El número de parcelas que se obtendrán como mínimo es: Rpta.
78
63
4. Hallar 2 números cuyo MCD es 18 y que tienen 21 y 10 divisores respectivamente. Dar como respuesta la suma de dichos números. Rpta. 738
5. Si el MCD de A y B es 74 y MCD de 7A y 5B es 2590, calcule B si la suma de A y B es 888. Rpta. 518
6. Hallar el valor de dos números sabiendo que están en la relación de 5/16 y que su MCD es 21. Rpta. 105 y 336
7. En la determinación del MCD de un par de números por el método de Algoritmo de Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos: 1; 3; 2 y 4. Si el MCD es 7; el número mayor es: Aritmética
QUINTO AÑO
Rpta. 280 8. Si: MCD de 1ab7 y 1cb3 es 99. Hallar (a + b + c) Rpta.
16
9. A = 4n . 5n . y B = 12n . 15n y MCD (A, B) tiene 15 divisores, calcular “n” Rpta.
2
12. El producto y el cociente de MCM y el MCD de dos números son 1620 y 45 respectivamente. El mayor de dichos números será: Rpta.
13. Determinar el MCM de dos números, cuya diferencia es mínima y tiene por MCD a 55. siendo su suma 990. Rpta.
10. Determinar el MCD de 227 y 2125 por el método de Algoritmo de Euclides e indicar la suma de los residuos obtenidos. Rpta.
37
11. El valor de MCM de 20n y 152n es: Rpta.
Aritmética
900n
54
4235
14. Hallar el menor de dos números tales que su MCD sea 36 y su MCD sea 5148 Rpta.
36
15. El MCD de los números 36k; 54k y 92k es 1620. hallar el menor de los números: Rpta.
3240
79 78
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Determinar el MCD es 1240 y 980 por el método de Algoritmo de Euclides. La suma de los cocientes que se obtienen en el proceso A) 9 D) 12
B) 10 E) 13
C) 11
2. Se tiene tres cajas de galletas y granel y se desea empaquetarlas en bolsas plásticas de manera que no sobren de las 270, 390 y 450 galletas que respectivamente hay en las cajas. ¿Cuántas bolsas plásticas como mínimo se necesitan? A) 74 D) 37
B) 38 E) 84
C) 66
80
B) 58 E) 52
¿Cuál es su MCM, si el producto de dichos números es 1620? A) 180 D) 58 5. N
B) 190 E) 135
representa
C) 45
un
número
entre 50 y 60. el MCD de N y 16 es 8. ¿Cuál es el valor de N? A) 52 D) 58
B) 54 E) 59
C) 56
6. El MCD de 2 números es 8 y los
cocientes
divisiones
de
sucesivas
las para
obtener dicho MCD son 2, 2,
3. El MCD de dos números es 18 y su MCM es 108. si un o de los números es 36. ¿Cuál es el otro número? A) 60 D) 54
4. El MCD de dos números es 9.
C) 56
1, 1 y 7. Hallar los números A) 136 y 184 B) 248 y 326 C) 296 y 736 D) 304 y E)
312
y
728
744
Aritmética
QUINTO AÑO
7. El MCM de dos números es 630 si su producto es 3780. ¿Cuál es su MCD? A) 15 D) 10
B) 12 E) 9
C) 6
A) A . B; A - B B) A + B, A – B C) AB; 1 D) 1; A . B E) No se puede determinar
8. Hallar el MCD de 168; 248 y 360 A) 4 D) 12
B) 8 E) 24
9. Sean A y B dos números primos entre sí, ¿cuál será su MCD y cuál su MCM?
C) 16
10. Hallar el valor de “k” si: MCD (5A; 5B) = 20K MCD(A, B) ) 5K - 10 A) 6 D) 12
B) 8 E) 16
C) 10
CLAVES
Aritmética
1. A
6. D
2. D
7. C
3. D
8. B
4. A
9. D
5. C
10.C
81
QUINTO AÑO
ÍNDICE PÁG.
TEORÍA
DE
CONJUNTOS
7
NUMERACIÓN
29
CUATRO OPERACIONES
41
DIVISIBILIDAD
54
NÚMEROS PRIMOS
61
M.C.D.
82
M.C.M. 68
Y
Aritmética