QUINTO AÑO
TEMA: SEGMENTOS GEOMETRÍA Es una parte de la matemática que tiene por objeto el estudio de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas.
División A.
Geometría Plana o Planimetría Que se ocupa de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos se hallan en un mismo plano. Ejemplo:, el ángulo, los triángulos, al circunferencia, etc.
B.
Geometría del Espacio o Estereometría Que se ocupa del estudio de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos, no se hallan en un mismo plano. Ejemplo: el prisma, el cono, la esfera, etc.
Figuras Planas:
Figuras Sólidas:
Línea Recta
Geometria
18
QUINTO AÑO
Concepto matemático no definible. Se considera como un conjunto de puntos ubicados en una misma dirección; ilimitada en ambos sentidos.
: se lee, recta AB : se lee, recta L
SEGMENTO Porción de línea recta limitada por dos puntos llamados extremos del segmento.
: se lee, segmento AB Medida del Segmento Número de veces de una unidad de longitud.
m
ó AB: se leen, medida del segmento AB
Ejemplo:
AB = 8 Punto Medio de un Segmento Punto del segmento que equidista de los extremos.
Si “M” es punto medio del , entonces AM = MB = a. Operaciones de Longitudes de Segmentos
2
Geometría
QUINTO AÑO
Para el gráfico Suma: AB +BC + CD = AD Resta: AB = AD – BD Multiplicación: AC = 5CD División:
AB =
BD 2
SATÉLITE AMBIENTAL
El satélite Nimbus rodea la Tierra en una órbita que pasa por los polos norte y sur varias veces al día, fotografiando la superficie a su paso. Como la Tierra gira, cada paso produce una nueva serie de imágenes y puede reflejar el planeta entero todos los días. La información gráfica sobre la atmósfera terrestre y los océanos se transmite a la superficie, donde se utiliza para controlar los cambios en el medio ambiente.
PROBLEMAS PARA LA CLASE Geometria
3
QUINTO AÑO
1.
P, Q, R, y S son puntos consecutivos de una recta, tal que PR = 16, QS = 18 y PS = 25. Calcular “QR”.
5.
colineales
BD =
3.
Rpta. 6.
A, B, C, y D, son puntos colineales y consecutivos tal que: AB + CD = 40 y AD = 6BC Calcular: “AD”
AB BC
Rpta.
Rpta. 7.
Se tienen los puntos A, B,
4.
Sean los puntos A, B, C, y D colineales y consecutivos tal que “C” es punto medio de y BD – AB = 12 Calcular: “BC” Rpta.
4
3AE Y AC+BD+CE = 5
Calcular: “AE”
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, y C, de modo que: 4 AC + BC = BC 3 Calcular:
consecutivos,
40
Se tienen los puntos colineales y consecutivos. A, B, C, y D; tales que: AB = 2CD y 3AC–BC=20, calcular “AD” Rpta.
y
tales que:
Rpta. 2.
A, B, C, D, y E son puntos
C,
y
D
colineales
consecutivos tal que: AB = 8 y AB – BD = AC . CD Calcular: “CD” Rpta.
Geometría
y
QUINTO AÑO
8.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, O, M, y B; de modo que AO = OB. Calcular el valor de la siguiente expresión:
E =
12.
AM − MB OM
Rpta. 9.
Rpta.
Se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C, y D tal que “B” es punto medio de y AD = 5BC Si: CD = 12; calcular: “AB”
13.
Rpta. 10.
En una recta se ubican los puntos A, B, y C; tal que M es el punto medio de Calcular AM, si AB + AC = 12.
Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, y C; tales que AC = 6 y 2 2 AC . AB = 2(AB –BC ) Calcular: “AB” Rpta.
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que: 4CD = 3AB y 4AD + 3BC = 70 Calcular: “AC” Rpta.
14.
Rpta. 11.
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, y D tal que: AC + BD = 5(AB + CD) AD Calcular: “ ” BC
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y F; tal que AB = DE; BC = EF y AD + CF = 148 Calcular: “BE” Rpta.
15.
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, y E; tal que: AB = 3BE ; AC = 80 Calcular BD, si BC + 3DE = 20 Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA Geometria
5
QUINTO AÑO
1.
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F; tal que: AC = BD; CE = DF; AB+EF = 96 Calcular: “CD” A) D)
9 6
6
B) E)
4 2.
2 4
C)
AC + BD + CE + DF = 50 A) 4,5 D) 10,5 4. 6
8
AB AC = CD BD Calcular “CD”; si AB = 2
AB BC CD DE = = = 3 5 7 8 Calcular: “BC”
3.
6
B) 12 E) 28
C) 18
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, y F de modo que: 3AF = 7BE = 10CD
En una recta se toman
C, y D; de manera que.
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, y E; tal que: AD+BE = 70;
A) 6 D) 10
C) 12,5
los puntos consecutivos A, B,
8
4
B) 9,5 E) 7,5
5.
A)
B)
C)
1 D)
2 E)
3
4
5 En una recta se ubican
los puntos consecutivos A, B, O y C de modo que: “O” sea punto medio de
. Calcular:
AO2 – BO2
Geometría
QUINTO AÑO
A)
B)
AC2 – AB2 C)
2AB . AC D)
AB . AC
6.
2
− AB 2 2
A) 5 D) 20
1 AB . AC 2
E)
AC
Siendo “E” y “F” puntos medios de y , calcular EF, si AC + BD = 20
8.
En una misma recta se ubican los puntos consecutivos: A, B, C, y D; si:
AB CD + = 1 ; AB = a; CD = AC BD
b Calcular: “BC”
A)
a +b 2
C) (2a–b) E)
a +b 3
D)
ab
2b − a 2
7.
Se tiene los puntos colineales: A, B, C, y D.
Geometria
9.
C) 15
Se tiene los puntos colineales A, B, C, y D, dispuestos de modo que: AD = 10; CD = AB + BC. BC 2 = CD 5 Calcular “BD” A) 3 D) 9
B)
B) 10 E) 30
B) 5 E) 8
C) 7
Se tiene los puntos colineales A, B, C, D, y E; situados de tal forma que AC + BD + CE = 45;
AE 3 = BD 2
Calcular “AE” A) 21
B) 23
C) 25
7
QUINTO AÑO
D) 27
10.
E) 29
D) 4
E) 6
En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, y E de manera que: AB = BC; CD = 2DE Calcular: AD; si: AB + AE = 6 A) 1
B) 2
C) 3
CLAVES
8
1.
E
6.
D
2.
D
7.
B
3.
D
8.
C
4.
B
9.
D
5.
C
10.
D
Geometría
QUINTO AÑO
TEMA: ÁNGULOS ÁNGULO Definición Reunión de dos rayos con un mismo origen. Dicho origen se llama vértice y los rayos denominados lados.
. m ∢ A0B = α .
CLASES DE ÁNGULOS Según su Medida 1.
Ángulos Convexos ∢ Agudo
∢ Recto
∢ Obtuso
. 0 < α < 90º .
. α = 90º .
. 90º < α < 180º .
2.
Geometria
Ángulos No Convexos
9
QUINTO AÑO
. 180º < α < 360º .
Según su característica 1.
Ángulos Adyacentes
2.
Ángulos Consecutivos
3.
Ángulos Complementarios Dos ángulos son complementarios, si sus medidas suman 90º.
. α + β = 90º . También:
10
Geometría
QUINTO AÑO
4.
Cα : Complemento de α
. Cα = 90 – α .
C : Complemento de
. C = 90 –
.
Ángulos Suplementarios Dos ángulos son suplementarios, si su medidas suman 180º.
. α + β = 180º .
5.
También: Sα : Complemento de α
. Sα = 180 – α .
S : Complemento de
. S = 90 –
.
Ángulos Opuestos por el vértice
Bisectriz Es el rayo que parte del vértice y biseca al ángulo Geometria
11
QUINTO AÑO
.
: Bisectriz del ∢A0B .
Propiedad:
. m ∢ x 0 y = 90º . Demuéstralo:
12
Geometría
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Calcular el complemento de la medida de un ángulo si dicho ángulo es igual al suplemento de 160.
5. El complemento de la medida de un ángulo es igual al quíntuplo de la medida del ángulo. Calcular dicha medida. Rpta.
Rpta. 2. Calcular el suplemento del complemento de 70
6. Calcular la medida de un ángulo sabiendo que ésta es igual a un octavo de su suplemento.
Rpta.
3. El suplemento del complemento de la medida de un ángulo es igual a 100. calcular dicha medida
Rpta.
7. La diferencia entre el suplemento y el complemento de α es igual a 6α. Calcular α. Rpta.
Rpta. 8. 4. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es igual a 40. calcular la medida del ángulo mayor.
: recta; m∢A0D = 160º m∢BOD
=
170º,
calcular:
m∢B0C
Rpta. Rpta. Geometria
13
QUINTO AÑO
9.
:
bisectriz
del
∢B0D;
m∢A0B = 20º; m∢AOD = 80º;
11. m∢AOC = 100º; m∢BOD = 90º. Calcular: m∢X0Y
calcular: m∢A0C.
Rpta.
Rpta.
12. m∢C0D 10.
:
bisectriz
del
∢A0D;
m∢A0B = 20º; m∢BOD = 60º;
14
=
28;
calcular
m∢A0B, si: (m∢A0B)(m∢A0C) =
calcular: m∢BOC.
(m∢A0C) (m∢COD)
Rpta.
Rpta.
Geometría
QUINTO AÑO
13. Se tienen los ángulos consecutivos A0B, BOC, y COD, m∢A0B + m∢C0D = 70º. Calcular:
m∢X0Y;
,
bisectriz del ∢A0C y bisectriz de m∢B0D. Rpta.
14. Se tienen
5 ángulos cuyas
medidas suman y forman una progresión aritmética.. si la medida del menor ángulo es
“TE
igual a la raíz cuadrada de la medida del mayor. Cuanto mide el menor ángulo. Rpta. 15. Se tienen dos ángulos adyacentes cuyas medidas se diferencian en 40. calcular la medida del ángulo formado por el lado común y la bisectriz del ángulo formado por la bisectriz de los ángulos dados Rpta.
SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD
DE AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SÓLO ESCUCHAR LO QUE TIENE PARA DECIRTE, AUNQUE NO ESTÉS DE ACUERDO. SABER ESCUCHAR ES UNA DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER GENEROSO”
MÓNICA BUONFIGLIO
Geometria
15
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1.
En la figura, calcular “θ”
60º D)
90º E)
45º
140º
3.
120º
Calcular el suplemento de “θ”
A)
B)
C)
10º D)
20º E)
35º
30º
25º
2.
En la figura, calcular la m∢P0Q
A)
16
B)
A)
B)
C)
100º D)
120º E)
140º
160º
150º
C)
Geometría
QUINTO AÑO
SC (50 º ) − SS (139º ) CCC (89º ) 4.
Si: m∢A0C + m∢BOD =
A) 1 D) 4
140. Calcular “x”
7.
B) 2 E) 5
C) 3
Calcular la m∢P0Q; si la m∢A0C = 60º y m∢B0D = 80º. C: Complemento
5.
A)
B)
C)
40º D)
20º E)
50º
60º
30º
S: Suplemento C: Complemento Calcular: SC(40º) A) 100º D) 150º
6.
B) 80º E) 110º
C) 130º
A) 65º D) 75º
B) 70º E) 90º
C) 68º
S: Suplemento: C: Complemento
Geometria
17
QUINTO AÑO
8.
Si.
es bisectriz del
∢A0C y m∢A0B - m∢B0C = 40.
9.
En la figura mostrada calcular θ, si: m∢BON = 22º;
Calcular “x”
es bisectriz del ∢A0X y es bisectriz del ∢A0X.
A)
B)
C)
10º D)
15º E)
20º
25º
40º 10.
A)
B)
C)
54º D)
56º E)
55º
53º
52º Se tienen los ángulos
consecutivos ∢A0B, ∢B0C y ∢COD, tal que: m∢A0C – m∢BOD = 10º m∢MON = 100º Siendo y
y
bisectrices
de los ángulos ∢A0B y ∢COD respectivamente. Calcular: m∢A0C A) 105º
18
B) 104º
C) 103º
Geometría
QUINTO AÑO
D)
E)
102º
101º
CLAVES
Geometria
1.
E
6.
A
2.
B
7.
B
3.
D
8.
C
4.
C
9.
B
5.
C
10.
A
19
QUINTO AÑO
TEMA: ÁNGULOS ENTRE PARALELAS ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Ángulos Correspondientes Un interno y el otro externo, a un mismo lado.
.α=θ.
Ángulos Alternos Internos Ambos internos uno en cada lado.
.α=θ.
Ángulos Conjugados Internos Ambos internos y en un mismo lado
. α + θ = 180 .
Propiedades:
20
Geometría
QUINTO AÑO
1. .x=α+θ.
2. . x = 90 .
3. .α+θ=a+b+c.
4. . α + β + + θ + φ = 180º .
Geometria
21
QUINTO AÑO
5. . α + β + γ + φ + θ = 180º . n . n = Nº de Segmentos
6.
Ángulos Paralelos .α=θ.
. α + θ = 180 .
22
Geometría
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.
//
. Calcular “x”
4.
//
, calcular “y”
5.
//
Rpta.
Geometria
//
. Calcular “x”
//
. Calcular “x”
Rpta.
Rpta.
3.
, calcular “x”
Rpta.
Rpta.
2.
//
, calcular “x”
6.
Rpta.
23
QUINTO AÑO
7.
//
. Calcular “x”
10.
//
, calcular “x”
11.
//
Rpta.
24
En gráfico, si: // , además: φ - θ = 75; calcular: “x”
Rpta.
Rpta.
9.
;
Rpta.
Rpta.
8.
En la figura // α+β=220º. Calcular “x”
, calcular “x”
12.
En el gráfico Calcular “θ”
//
Rpta.
Geometría
.
QUINTO AÑO
13.
En el gráfico, calcular “x”
Rpta. 15.
Rpta.
14.
En el calcular θ.
gráfico
//
,
En la figura // y se tienen “n” ángulos de medidas θ. Calcular “θ” Rpta.
“EL
MAYOR PELIGRO EN LA VIDA ES NO
ARRIESGAR NADA. Y EL HOMBRE Y LA MUJER QUE NO ARRIESGAN, NO HACEN NADA, NO TIENEN NADA Y NO SON NADA”
BACH
Geometria
25
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1.
Si:
A) 10º D) 40º
//
; calcular “θ”
B) 20º E) 50º
A) 15º D) 30º
C) 30º
4. 2.
//
A) 7º D) 10º
3.
26
; calcular “x”
B) 8º E) 11º
C) 9º
Calcular “x”; α - θ = 20
5.
B) 20º E) 35º
C) 25º
Calcular el ángulo “x”, siendo:
//
A) 60º D) 37º
B) 53º E) 30º
.
C) 45º
En la figura: calcular “x”.
//
Geometría
,
QUINTO AÑO
A) 20º D) 35º A) 110º D) 150º 6.
B) 130º E) 155º
En la figura: calcular “α”
C) 140º
8.
B) 25º E) 40º
Del gráfico, hallar “x”, si //
//
7.
Geometria
B) 85º E) 45º //
C) 75º
.
,
A) 60º D) 37º A) 95º D) 65º
C) 30º
9.
B) 53º E) 30º Si:
//
C) 45º
y α + β = 66º.
Calcular el valor de “y”
; calcular “x”
27
QUINTO AÑO
A)
B)
C)
133º D)
114º E)
166º
111º
100º
10.
En la figura mostrada //
; AM = MB y AN = NC.
Calcular el valor de “x”
A)
B)
C)
95º D)
85º E)
75º
65º
45º
CLAVES
28
1.
C
6.
B
2.
C
7.
C
3.
E
8.
B
4.
C
9.
B
5.
D
10.
D
Geometría
QUINTO AÑO
TEMA: TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS Definición Reunión de tres segmentos formados al unir tres puntos no colineales. P = punto interior Q = punto exterior
Notación ∆ABC → se lee: triángulo ABC Elementos Vértices: Lados:
A, B, y C. ,
y
.
Longitud de sus lados: a, b, y c m∢ internos:
α, β y φ
m∢ externos: θ1 . θ2 y θ3 Perímetro:
2p = a + b + c
Semiperímetro: p =
Geometria
a +b +c 2
29
QUINTO AÑO
Clasificación I.
II.
Por la Medida de sus Lados Equilátero
Isósceles
Escaleno
3 lados ≡
2 lados ≡
3 lado ≠
Por la Medida de sus Ángulos
Acutángulo
Obtusángulo
Es aquel que tiene
Es aquel que tiene
sus
un ángulo interno
3
ángulos
internos agudos. (0 < αn < 90)
obtuso. (90 < α < 180) Rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo interno recto a y b : catetos c: hipotenusa
PROPIEDADES BÁSICAS
30
Geometría
QUINTO AÑO
Existencia del Triángulo 1. . b-c <a <b + c .
2. . aº + bº + cº = 180º .
3. . xº + yº + zº = 360º .
4. x º =bº +cº
. y º = a º +cº . z º = a º +bº
5.
A mayor ángulo se opone . Si: α > β > φ ⇔ a > b > c .
Geometria
31
QUINTO AÑO
mayor lado y viceversa
Propiedades Particulares 6.
. aº + bº = xº + yº .
7.
. aº + bº = xº + yº .
8.
. xº = aº + bº + cº .
9.
32
. aº + bº = xº + yº .
Geometría
QUINTO AÑO
10.
Si: AB = BC → El triángulo ABC es equilátero
11. . x = 180º – (αº + βº) .
12.
. x = 90º - αº .
13.
Si.
Geometria
33
QUINTO AÑO
Teorema de Arquímedes
. AD + CD < AB + BC .
Demuéstralo:
“EL SILENCIO ES ELEMENTO EN EL CUAL SE FORMAN LAS MÁS GRANDES COSAS Y DEBE SER
EL
PRINCIPIO
Y
EL
FIN
DE
TODA
REALIZACIÓN”
JORGE ADOUM
34
Geometría
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.
En
un
triángulo
ABC;
4.
AB = 9 – x; BC = 2x – 12;
Si: α + θ = 40º; AB = BF; m∢EBC = 90º. Calcular “x”
además: m∢A > m∢C, calcular “x”. Si se sabe que es un número entero. Rpta. Rpta. 2.
Si
los
lados
de
un
triángulo miden: 12; (x+4); (x+5). Calcular
5.
el menor
valor entero de “x”, para que dicho triángulo exista. Rpta.
Dos lados de un triángulo escaleno miden 5 y 7. Calcular la suma de los valores enteros impares que puede tomar la medida del tercer lado. Rpta.
3.
De la figura: BC = EC.
6.
En la figura, AB = BD y
Calcular “x”
AD = DC, si: m∢BAC = 69º, calcular “x”.
Rpta.
Rpta.
Geometria
35
QUINTO AÑO
7.
En el gráfico: BC = 9; BE = 4; calcular FC
Rpta. Rpta. 8.
De la figura AB = BD.
11.
En la figura, calcular “x”
Calcular m∢C.
Rpta. Rpta. 9.
SI AB = AD = DC; calcular “x”
12.
En la figura, calcular “x”.
Rpta. Rpta. 10.
36
Calcular “a+b+c+d+e+”
13.
En la figura. calcular “α”
Geometría
QUINTO AÑO
El triángulo ABC es: Rpta. 15.
Rpta.
14.
En la figura el triángulo ABC es escaleno. ¿Cuántos triángulos existen, si la medida del lado es entero?
Según el gráfico
Rpta.
EL HOMBRE ES UNA MIRADA; EL RESTO ES SÓLO CARNE. PERO AL VERDADERA MIRADA ES LA QUE VE AL AMIGO. FUNDE TU CUERPO ENTERO EN TU MIRADA, VETE HACIA LA VISIÓN, VETE HACIA LA VISIÓN....
DYALAY–AL–DIN–RUMI
Geometria
37
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1.
De la figura, calcular “x”
D)
E)
125º
140º
3.
De la figura AB = BE; BD = DC; el triángulo ABD es:
A)
B)
C)
15º D)
20º E)
30º
35º
32º
2.
Calcular “θ + β”
4.
A)
B)
Isósceles C)
Equilátero D)
Acutángulo E)
Rectángulo Obtusángulo
De la figura: ED = DC; m∢BED = m∢BDE. Si: AE = 7; calcular “BD”
38
A)
B)
C)
120º
110º
130º Geometría
QUINTO AÑO
A)
B)
C)
10,5 D)
7 E)
9
7,5
14
5.
De la figura: AB = AE; AF = FE; FD = DC; EC = FC
A)
3 B) x = 2θ
Calcular: m∢BAC.
x = 2θ
C)
Si: m∢FDC=40º
E)
5
7 D) x = 3θ
7
4 x=θ
x = 2θ 7.
Si θ - β = 110º. Calcular: α.
6.
A)
B)
C)
45º D)
75º E)
65º
55º
85º Del
determina
gráfico la
A) 30º D) 12º
adjunto relación
B) 8º E) 15º
C) 10º
correcta (PQ= PR). 8.
Geometria
Calcular x, si AB = BC y TC = TD
39
QUINTO AÑO
16º D) 19º 10. A) 10º D) 30º
9.
B) 15º E) 40º
Si
17º E) 36º
18º
Del gráfico, calcular: x.
AB = BC y m∢ABC = 40.
C) 20º
Calcular x, si: α - θ = 18
A)
B)
A) 45 D) 55
C)
B) 75 E) 85
C) 65
CLAVES
40
1.
D
6.
E
2.
C
7.
A
Geometría
QUINTO AÑO
3.
D
8.
E
4.
B
9.
C
5.
C
10.
E
TEMA: TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES
ALTURA Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
Ortocentro (H) Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. H: Ortocentro.
Geometria
41
QUINTO AÑO
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO
ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.
MEDIANA Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
Baricentro (G) Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G: Baricentro
TEOREMA BG = 2GM
AG = 2GN CG = 2GS
42
Geometría
QUINTO AÑO
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO. DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A 2. EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR. ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD REGIÓN TRIANGULAR.
DE LA
BISECTRIZ Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida.
Incentro (I) Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO. EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO. EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.
Excentro (E) Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita Geometria
43
QUINTO AÑO
E: Encentro relativo de PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS. LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL
TRIÁNGULO.
MEDIATRIZ Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular.
: Mediatriz de Circuncentro (O) Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo. C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita
44
Geometría
QUINTO AÑO
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO. EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.
Propiedad: Si: “0” es circuncentro
Geometria
45
QUINTO AÑO
⇒
. x = 2α .
CEVIANA Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.
Cevacentro (C) Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.
PARA RECORDAR: TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.
46
Geometría
QUINTO AÑO
OBSERVACIONES: - PARA UBICAR UN PUNTO
NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR DOS
LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE.
-
EN
TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS
CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.
-
EN
TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL
ORTOCENTRO,
BARICENTRO,
INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.
-
EN
TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO,
INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.
Geometria
47
QUINTO AÑO
PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES 1. Ángulo
formado
por
dos
bisectrices interiores.
2. Ángulo
formado
por
. x = 90 +
a . 2
. x = 90 −
a . 2
dos
bisectrices exteriores.
3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior. . x =
4.
48
a . 2
. x = 45 −
a . 2 Geometría
QUINTO AÑO
5.
. x =
a +b . 2
. x =
a +b . 2
6.
7.
Geometria
. x =
α−β . 2
49
QUINTO AÑO
50
Geometría
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.
En un triángulo ABC se trazan
las
bisectrices
interiores de los ángulos A y B que se intersectan en P, si la:
Rpta.
m∢APB=2m∢C Hallar m∢C
4.
En
un
triángulo
ABC,
calcular la medida del menor ángulo
Rpta.
que
forman
las
bisectrices exteriores de A 2.
y C si se cumple que:
En un triángulo PQR las
m∢A + 2m∢B + m∢C = 236º
bisectrices exteriores de P y R se intersectan en el
Rpta.
punto A, tal que m∢Q = 2m∢PAR. Calcular la m∢Q Rpta.
5.
Se tiene un triángulo MNP tal que las bisectrices exteriores de M y P se intersectan en E. Calcular la m∢N,
3.
Si y son bisectrices de los ángulos BAC y BHC respectivamente, calcular “x”
Geometria
si
2m∢N + m∢MEP = 117º. Rpta.
51
QUINTO AÑO
6.
En un triángulo ABC la mediana
y la bisectriz se
intersectan
perpendicularmente. Calcular:
E =
AB BC AB + + BM AB CH
Rpta.
Rpta. 7.
Calcular “x”:
10.
Si
es bisectriz del
∢ABC
es bisectriz del
m∢ACE m∢BAC
y =
50;
calcular
la
m∢BDC.
Rpta.
8.
Calcular “x”
Rpta.
11. Rpta.
9.
52
Calcular “x”
En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , en la prolongación de se toma un punto “H” y luego se traza perpendicular a .
Geometría
QUINTO AÑO
Calcular m∢DHG, si m∢A – m∢C = 40º.
14.
Rpta.
12.
En un triángulo ABC las bisectrices exteriores de B y C se intersecan en un punto E, tal
Rpta.
que BE = BC. Si la m∢ABC = 80 Calcular m∢A
Rpta. 13.
En un triángulo ABC las bisectrices interiores A y C se intersecan en I. Por I se traza una paralela a que interseca en P a y Q en . Calcular PQ, si AP+ QC = 8 3.
15.
En la figura // , AM = 4 y NC =7. Calcular: MN
En un triángulo ABC la bisectriz interior de A y la bisectriz exterior de C forman un ángulo que mide 36, si la: m∢A - m∢C = 20º Calcular m∢A0B Rpta.
Geometria
Rpta.
53
QUINTO AÑO
TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE,
INTERPRETA
GENEROSIDAD
COMO
APROVECHARÁ
LA
LA
DEBILIDAD ,
SITUACIÓN
Y
PARA
INVERTIRLA.
PABLO MACERA
54
Geometría
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1.
En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , tal que m∢BDA = 72º y m∢BDC = 35º. Calcular la m∢BAD. A) 56º D) 71º
2.
“x”
B) 63º E) 77º
C) 70º
Si: m + n = 80º; calcular
A) 20º D) 45º 4. 80º
B) 55º E) 70º
C) 65º
En la figura, m∢BAC = y
m∢BCA = 40º. Calcular la m∢DEC.
A) 20º D) 45º
3.
B) 30º E) 60º
Calcular “x”; si
Geometria
C) 40º
//
.
A)
B)
C)
105º D)
115º E)
100º
95º
85º
55
QUINTO AÑO
5.
bisectriz interior . Calcular AD, si AB = 6 y BC = 10.
Calcular “θ”
A) 2 D) 8 8.
B) 4 E) 10
En un triángulo ABC: I es incentro,
6.
B)
C)
10º D)
12º E)
15º
18º
20º
En un triángulo ABC por E excentro relativo a , se traza una paralela a que interseca a en M y a en N. Calcular MN, si AM = 9 y NC = 6.
7.
B) 1,5 E) 3
En
un
triángulo
si
la
m∢AIC
C) 2
A) 24º D) 45º 9.
B) 36º E) 30º
C) 54º
Por el vértice “B” de un triángulo ABC, cuyo perímetro es 16, se trazan paralelas a las bisectrices interiores de A y C las que intersecan a AC en P y Q. Calcular PQ. A) 8 D) 18
B) 16 E) 32
C) 24
ABC,
m∢A = 2m∢C. Se traza la
56
=
3m∢B. calcular la m∢B.
A)
A) 1 D) 2,5
C) 6
Geometría
QUINTO AÑO
10.
En un triángulo dos de sus lados suman 28. calcular el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado
Geometria
A) 12 D) 15
B) 13 E) 16
C) 14
57
QUINTO AÑO
CLAVES
58
1.
D
6.
E
2.
C
7.
B
3.
B
8.
B
4.
A
9.
B
5.
E
10.
C
Geometría
QUINTO AÑO
TEMA: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente.
⇒
∆ABC = ∆PQR
OBSERVACIÓN: EN
UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON
CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.
CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS 1.
Caso (L.A.L.)
Geometria
59
QUINTO AÑO
2.
Caso (A.L.A.)
3.
CASO (L.L.L.)
4.
Caso (L.L.A.)
α : Opuesto al mayor lado
PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. De la Bisectriz Todo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.
60
Geometría
QUINTO AÑO
.
PA = PB . 0A = 0B
2. De la Mediatriz Todo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.
. PA = PB .
3. De la Base Media de un Triángulo El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado. Si:
Si: M y N son puntos medios
//
. BN = NC . 4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa
Geometria
. MN =
AC . 2
61
QUINTO AÑO
La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.
. BM =
AC . 2
CÓMO DEMOSTRAR CUALQUIER COSA
Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa, todo. Un filósofo escéptico le preguntó: - ¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa? Russell contestó afirmativamente y dio la divertida "prueba" que sigue: - Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3. Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1. De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el Papa.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
62
Geometría
QUINTO AÑO
1.
Del gráfico, calcular AB, si PQ=4
Rpta.
Rpta. 2.
5.
En
un
triángulo
ABC:
AB+BC=14 y “M” es punto
En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior y luego se traza la mediatriz que interseca a la prolongación de en
medio de
. Si se traza
perpendicular a la bisectriz exterior de B, calcular MH Rpta.
“E”. Si la m∢A = 40º; calcular la m∢EBC. Rpta.
6.
En
Calcular PQ.
triángulo
rectángulo ABC (recto en B), AB
3.
un =
4
y
AC = 10. si la bisectriz interior del ángulo A y la mediatriz
de
se
intersecan en el punto “P”, calcular la distancia de P a . Rpta. 4.
Rpta.
Calcular AC, si BD = 10
Geometria
63
QUINTO AÑO
7.
Si en un triángulo ABC en se ubica el punto “D”, de modo que la mediatriz de interseca a BD en su
perpendiculares bisectrices.
estas
Calcular
la
medida el segmento que une los
punto medio. Si la m∢A=60 y AB=12. Calcular DC.
pies
de
las
perpendiculares. Rpta.
Rpta.
8.
a
Dos lados de un triángulo miden 2 y 10. calcular la medida de la mediana referente al tercer lado, si toma un valor entero
11.
Calcular “x”
Rpta.
9.
En
un
triángulo
ABC
(recto en B) m∢C=36º, en se ubica el punto “Q” tal que m∢ABQ = 18º. calcular BQ si AC = 2. Rpta. 10.
Se tiene un triángulo cuyo perímetro es 36. se trazan
dos
bisectrices
exteriores y desde el tercer vértice
64
se
trazan
Rpta.
12.
En un triángulo rectángulo ABC, m∢B=90º, la mediatriz relativa a la hipotenusa interseca a e P y a la prolongación de en Q. Si la m∢APB=70º. Calcular la m∢AQP. Rpta. Geometría
QUINTO AÑO
13.
En un triángulo rectángulo ABC, la mediatriz de la hipotenusa interseca a en “N”. Si NC = 2 BN, calcular la
Rpta.
m∢C. 15. Rpta. 14.
En el gráfico es mediana y BC = 12. Calcular BM.
En la figura AB = 7, AC = 15 y “M” es punto medio de . Calcular PM.
Rpta
PESA MUCHO MÁS EL ODIO QUE EL AMOR DE LOS HOMBRES, YA QUE TODO AQUEL QUE SE DEJA LLEVAR POR EL ODIO TRABAJA PARA SÍ, MIENTRAS QUE EL QUE SE GUÍA POR EL AMOR ACTÚA PARA EL PRÓXIMO; NADIE LLEGA A EXALTARSE HASTA EL PUNTO DE SERVIR A LOS DEMÁS POR ENCIMA DE SÍ MISMO.
EPICLETO
Geometria
65
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1.
En un triángulo ABC la medida del ángulo exterior en el
3.
vértice A es el triple de la
En la figura AB = 12 y AM = 7, calcular PQ
medida del ángulo C, además la mediatriz en
P.
interseca a Calcular
BP,
si
BC – AB = 9. A) 3 D) 4 2.
B) 6 E) 5 Él
A) 4 D) 5
C) 9 4.
triángulo
ABC
Si
la
suma
de
,
A) 3 D) 6
las
distancias de P a los lados congruentes. A) 5 D) 10
66
B) 6 E) 15
C) 8
un
la
triángulo
mediatriz
interseca a PC.
trazada desde C mide 10. si P es
calcular
En
C) 6
ABC,
m∢A=105º, m∢C=25º y AB = 9.
es
isósceles, AB=BC y la altura
un punto cualquiera del lado
B) 2 E) 3
5.
B) 4 E) 7
de
en P, calcular
C) 5
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se sabe que AC=10 y
Geometría
QUINTO AÑO
m∢C=26,5º. calcular medida de la altura BH. A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
A)
la
C) 5
B)
3 D)
E)
3 2
4
8.
6
En
un
C) 6
triángulo
ABC,
AB=6 y AC=9. Por B se traza 6.
A) 75º D) 45º 7.
perpendicular
En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo agudo mayor a la mediatriz de la hipotenusa se intersecan en un punto sobre el cateto mayor. Calcular la medida de uno de los ángulos agudos. B) 60º E) 37º
C) 53º
medida del ángulo exterior en A es el triple de la mediatriz de en
C. La
interseca a Q
tal
que:
QC = 3 2 , calcular AB.
Geometria
la
. Si N
es el punto medio de
,
calcular PN.
9.
En un triángulo ABC, la
medida del ángulo
bisectriz interior
a
A)
B)
C)
2,5 D)
1 E)
3,5
2
1,5
En un triángulo ABC se traza la mediana tal que la m∢ABM=50º y m∢MBC=65º. Si AB=18, calcular BM. A) 6 D) 12
B) 8 E)
C) 9
6 3
67
QUINTO AÑO
10.
Si AE = EF, DE = 4 y es bisectriz calcular AC.
del
A) 4 D)
∢ACB,
8 2
B) 6 E) 12
C) 8
CLAVES
68
1.
C
6.
B
2.
D
7.
D
3.
D
8.
E
4.
D
9.
C
5.
B
10.
C
Geometría
QUINTO AÑO
TEMA: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS POLÍGONO Definición Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el extremo del último; ningún par de segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos consecutivos nos sean colineales.
Elementos Vértices Lados
: :
A, B, C, D,... , , , ,...
m ∢ internos
:
α, β, φ,...
m ∢ externos Diagonales Diagonales medias
: : :
x, y, z,... , , , ,
,... ,...
Polígono Convexo Es cuando tienen todos sus ángulos internos convexos, es decir, mayores que cero y menores que 180º.
Geometria
69
QUINTO AÑO
Clasificación de los Polígonos Convexos 1. Polígono Equiángulo Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes
2. Polígono Equilátero Cuando tienen todos su lados congruentes
3. Polígono Regular Cuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados congruentes
Polígonos No Convexos Cuando tienen uno más ángulos internos no convexos es decir mayores que 180º y menores que 360º.
Denominación de los Polígonos
70
Geometría
QUINTO AÑO
Triángulo.............................................................3 lados Cuadrilátero.......................................................4 lados Pentágono............................................................5 lados Hexágono............................................................6 lados Heptágono...........................................................7 lados Octógono.............................................................8 lados Nonágono o eneágono.......................................9 lados Decágono...........................................................10 lados Endecágono o Undecágono.............................11 lados Dodecágono.......................................................12 lados Pentadecágono.................................................15 lados Icoságono.........................................................20 lados Enégono................................................................n lados Propiedad para todo Polígono Convexo Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que: 1. Suma de las medidas de sus ángulos internos: . Sm∢i = 180 (n – 2) . 2. Suma de las medidas de sus ángulos externos: . Sm∢i = 360 . 3. Diagonales trazadas desde un solo vértice: . Di = (n – 3) . 4. Número total de diagonales: . DT =
n ( n − 3) . 2
5. Número total de diagonales medias: . Dm =
n (n − 1 ) . 2
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos
Geometria
71
QUINTO AÑO
. Dv = vn −
(v + 1)(v + 2) 2
.
En Polígonos Regulares y Equiángulos 7. Medida de un ángulo interno: . i =
180( n − 2) . n
8. Medida de un ángulo exterior: . e =
360 . n
CUADRILÁTERO Definición Es un polígono de 4 lados.
. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 . Clasificación General
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos 1. Trapezoide 69
72
Geometría
QUINTO AÑO
Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos
2. Trapecios Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos
Propiedad del Trapecio - Mediana de un trapecio
. x = -
a +b . 2
Segmento que une los puntos medios de las diagonales
Geometria
73
QUINTO AÑO
. x =
b −a . 2
3. Paralelogramos Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.
Propiedades Generales 1.
2.
74
. x =
θ +φ . 2
. x =
θ −φ . 2
Geometría
QUINTO AÑO
3. // PQ = RS
4.
5.
En trapecios isósceles
6.
En triángulos
7.
En trapecios
Geometria
. x =
a +b . 2
. x =
b −a . 2
. y =
b +a . 2
75
QUINTO AÑO
8.
Segmento que une los puntos medios de las bases
Si: α + β = 90º 9.
:. x =
b −a . 2
En paralelogramos . x=b–a .
10.
En paralelogramos
a +d b +c a +b +c +d = = . 2 2 4 PROBLEMAS PARA LA CLASE . x =
76
Geometría
QUINTO AÑO
1.
Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo donde el cociente de su total de diagonales y su número de lados es “0” Rpta.
2.
5.
¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo si al quitarle un lado su total de diagonales disminuye en 7? Rpta.
6.
¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo número de diagonales es igual al triple de su número de vértices?
En un cuadrado ABCD, se construye interiormente el triángulo equilátero AED, calcular m∢AEB. Rpta.
Rpta. 3.
Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular si:
7.
Rpta.
Rpta.
¿Cuántos lados tiene aquel polígono regular, si la suma de las medidas de sus ángulos internos es 15/2 de la medida de un ángulo externo? Rpta.
Geometria
En un rombo ABCD, AB =
m∢A = 53º. ¿Cuánto mide la altura relativa a ?
9m∢ext=5DT.
4.
5;
8.
Calcular “x”, si
//
Rpta.
77
QUINTO AÑO
9.
En la figura calcular AD, si
//
Rpta. Rpta.
10.
Si ABCD es un romboide
13.
¿Cuánto mide el ángulo que forman las diagonales de
y AB=18. Calcular “x”
un trapecio isósceles, si una diagonal mide la suma de las medidas de las bases? Rpta.
Rpta. 11.
Si ABCD es un romboide.
14.
En la figura, calcular AC.
Calcular “x”
Rpta. 12.
78
Rpta.
En la figura, calcular AE. Geometría
QUINTO AÑO
15.
Calcular la distancia entre los puntos medios de y , si // .
Rpta.
SATÉLITE DE COMUNICACIONES SYNCOM
El satélite de comunicaciones Syncom 4 fue lanzado desde la lanzadera espacial Discovery. Los satélites de comunicaciones modernos reciben señales de la Tierra, las amplifican y las retransmiten, suministrando datos por redes de televisión, telefax, teléfono, radio y redes digitales por todo el mundo. El Syncom 4 sigue una órbita geoestacionaria (es decir, gira al mismo tiempo que la Tierra, manteniendo una posición aproximadamente constante sobre la superficie). Este tipo de órbita permite la comunicación ininterrumpida entre estaciones terrestres.
Geometria
79
QUINTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA 1.
Si la medida del ángulo externo regular
de es
un “k”
es igual a 1/3 de la diferencia entre su perímetro y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos internos. Calcular dicho perímetro.
polígono veces
el
interior. Calcular “k” (k ∈ Z). A) 1 y 3 D) 2 y 3 2.
B) 1 y 2 E) 2 y 4
¿Cuántos
lados
C) 1 y 4
A) 70 D) 73
B) 71 E) 74
C) 72
tiene
aquel polígono equiángulo, si la suma de las medidas de 7
5.
En el gráfico, calcular “x”
ángulos internos es 1134? A) 20 D) 35
B) 25 E) 40
C) 30 A) 75º D) 60º
3.
¿Cuántas diagonales medias tiene? A) 100 D) 170
80
C) 90º
Es un polígono regular ABCDE.... la m∢ACE = 144.
4.
B) 72º E) 54º
B) 150 E) 190
C) 160
Si el número total de diagonales de un polígono regular
6.
En
un
trapecio
ABCD;
m∢A=m∢B=90; las bisectrices interiores de los ángulos C y D se intersecan en P. Calcular AB, si la distancia desde el punto P a es 4. A) 6 D) 12
B) 8 E) 16
C) 10
Geometría
QUINTO AÑO
7.
En un rombo ABCD, se traza ⊥
los puntos medios de .
, tal que AH = HD,
A) 2 D) 5
calcular m∢C. A) 30º D) 60º
8.
B) 45º E) 75º
C) 40º
10.
C) 4
En la figura el lado del cuadrado ABCD es 2, calcular PB.
En un trapecio ABCD se sabe que: mB = 2mD; BC = 4; AB = 5. calcular la medida de la base mayor . A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
C) 8 A) 3 −1
9.
B) 3 E) 2 3
y
En un romboide ABCD se traza la bisectriz (M en ). Si AB = 6, calcular la medida del segmento que une
Geometria
C) 3 +1
B) 4 −2 3
D) 2 3 −2
E) 2− 2
81
QUINTO AÑO
CLAVES
82
1.
A
6.
A
2.
A
7.
D
3.
A
8.
D
4.
A
9.
B
5.
A
10.
B
Geometría
QUINTO AÑO
ÍNDICE PÁG.
SEGMENTOS.................................................................................................................. ..................................................................................................................................... 7
ÁNGULOS....................................................................................................................... ................................................................................................................................... 14
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS....................................................................................... ................................................................................................................................... 24
TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS.................................................................... ................................................................................................................................... 33
TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES...................................................... ................................................................................................................................... 45
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.................................................................................. ................................................................................................................................... 58
Geometria
83 80
QUINTO AÑO
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS................................................................................... ................................................................................................................................... 67
80
84
Geometría