Compendio de Física General by Roberto Estévez Echanique

2019

COMPENDIO DE FÍSICA GENERAL

MEMORIAS DE CLASE – EJERCICIOS

ING. ROBERTO ESTÉVEZ ECHANIQUE

TÍTULO: COMPENDIO DE FÍSICA GENERAL

AUTOR: ING. ROBERTO ESTÉVEZ ECHANIQUE

DISEÑO DE PORTADA Y DIAGRAMACIÓN : ING. ROBERTO ESTÉVEZ ECHANIQUE PRIMERA EDICIÓN: ABRIL DE 2019

DERECHOS DE AUTOR:

DEDICATORIA A los profesionales de Radiología formados en Pregrado y Posgrado en nuestra gloriosa Facultad de Ciencias Médicas de la Universidad Central del Ecuador, aportantes en el desarrollo de este libro.

INTRODUCCIÓN Esta obra tiene el objetivo de ser un medio de consulta para los estudiantes de Pregrado y Posgrado de Radiología. Su contenido corresponde a la secuencia programada de la Cátedra de Física Radiológica I, que con una recopilación bibliográfica didácticamente estructurada y ejemplos ilustrativos, refuerzan el aprendizaje impartido en las aulas universitarias, constituyéndose en referente de teoría y solucionario de ejercicios de aplicación.

TABLA DE CONTENIDO ÍNDICE ............................................................................................................................................ 4 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO ............................................................................. 5 EJERCICIOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO ......................................................................... 9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ............................................................................................ 35 SUMA DE VECTORES .................................................................................................................... 50 EJERCICIOS DE SUMA DE VECTORES ........................................................................................... 52 CINEMÁTICA ................................................................................................................................ 62 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U) ......................................................................... 63 SISTEMA INTERNACIONAL ........................................................................................................... 64 GRÁFICAS M.R.U .......................................................................................................................... 65 EJERCICIOS DE M.R.U .................................................................................................................. 66 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (M.R.U.V) ...................................................... 74 GRÁFICAS M.R.U.V ...................................................................................................................... 75 EJERCICIOS DE M.R.U.V ............................................................................................................... 77 MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE .................................................................................................... 88 EJERCICIOS DE CAIDA LIBRE ........................................................................................................ 91 INTRODUCCIÓN DINÁMICA ....................................................................................................... 103 DINÁMICA.................................................................................................................................. 103 LEYES DE NEWTON .................................................................................................................... 103 APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON ............................................................................... 107 EJERCICIOS ................................................................................................................................ 109 ELECTROSTÁTICA ....................................................................................................................... 123 LEY DE COULOMB ...................................................................................................................... 124 EJERCICIOS ................................................................................................................................. 125 DILATACIÓN LINEAL ................................................................................................................... 126 EJERCICIOS ................................................................................................................................. 127 DILATACIÓN SUPERFICIAL ......................................................................................................... 128 EJERCICIOS ................................................................................................................................. 129 CALOR ESPECÍFICO .................................................................................................................... 131 EJERCICIOS ................................................................................................................................ 132 CALORIMETRÍA .......................................................................................................................... 137 EJERCICIOS ................................................................................................................................. 138 LONGITUD DE ONDA ................................................................................................................. 142 EJERCICIOS ................................................................................................................................. 143 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................... 150

1. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones o raíces. Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra (convirtiendo así un problema difícil en uno más fácil, ¿no?).

A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas. Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utilice un método (el de reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utilicé otro método (el de igualación, por ejemplo). Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas.

Rectas que se cruzan Hay una solución

Rectas paralelas No hay solución

Rectas que se cruzan Hay infinitas soluciones

Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados. El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado. 5

1.1. MÉTODO DE IGUALACIÓN El método de igualación consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones (son expresiones algebraicas). De las dos igualdades anteriores se deduce que:

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en en , entonces la ecuación no contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos . Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones. 1.2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma ∙

Entonces podemos despejar obtener la ecuación:

en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida. Aquí , , , , y

son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

1.3. MÉTODO DE SUMA Y RESTA Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro izquierdo es la suma de los miembros izquierdos de las ecuaciones y cuyo miembro derecho es la suma de los miembros derechos de las ecuaciones. 1.4 MÉTODO DE CRAMER Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que sea cuadrada, significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones coincide. Cuando el sistema de ecuaciones

Satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

En general Donde es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de por la matriz de los términos independientes,

1.5. MÉTODO GRÁFICO Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases: 1. Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones. 2. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes. 3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. En este último paso hay tres posibilidades: a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado. b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado. c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO a) Método de Igualación 1 2 2 Despejando

7 7

de la ecuación 1: 2 7 2 7 7 2

Despejando

de la ecuación 2: 3 7 7 3

Igualando las nuevas ecuaciones: 7

2 Despejando de la nueva ecuación: 7 2 7 3 7 14 6 6 14 7 7 7 7 7 1

Reemplazando

b) Método de Sustitución 1 2 2 Despejando

de la ecuación 2: 7

7 7

3 3

en la ecuación: 7 2 7 1 2 8 2 4

Reemplazando en la ecuación 2: 2 7 3 7 14 6 7 6 14 7 7 7 7 7 1

Reemplazando

en la ecuación 1: 7 3 7

3 1 7 3 4

c) Método de suma y resta 1 2 2

7 7

3 3

21 7

Multiplico la ecuación 1 por 3: 1 6 2 Sumando la ecuación 1 y 2: 6 3 21 3 7 7 0 28 Despejando

Reemplazando

de la nueva ecuación: 7 28 28 7 4

en la ecuación 2: 3 7 4 3 7 3 7 4 3 3 3 3 1

d) Método de Cramer: 1 2 2

7 7

Calculando el determinante del sistema: 2 1 2∙3 1∙ 1 1 3 Calculando el valor de : 7 1 7∙3 7∙ 1 7 3 7 7 Calculando el valor de : 2 7 1 7 7

7 7

2∙7

1∙7 7

28 7

7 7

7 10

e) Método Gráfico: 1 2 2

7 7

a) Método de Igualación 1 2 Despejando

de la ecuación 1: 2 2 2 2

2 2

Despejando

2 6 de la ecuación 2: 2 6 2 6 6 2

Igualando las nuevas ecuaciones: 2 Despejando

de la nueva ecuación: 2 2 2 6 4 4 6 4 6 4 3 10 10 3

Reemplazando

en la ecuación: 2 2 10 2 2 3 20 2 3 Multiplicando la ecuación por 3: 3 6 20 3 14 14 3

b) Método de Sustitución 1 2 Despejando

2 2

2 6

de la ecuación 1: 2

Reemplazando en la ecuación 2: 2 2 2 6 4 4 6 4 6 4 3 10 10 3

2 Reemplazando

en la ecuación 1: 2 2 10 2 2 3 20 2 3 Multiplicando la ecuación por 3: 3 20 6 3 6 20 3 14 14 3

c) Método de suma y resta 1 2

2 6

4 6

Multiplico la ecuación 1 por 2: 1 2 2 2

Sumando la ecuación 1 y 2: 2 4 4 2 6 0 3 10 Despejando

Reemplazando

en la ecuación 1: 2 2 10 2 2 3 20 2 3 Multiplicando la ecuación por 3: 3 20 6 3 6 20 3 14 14 3

de la nueva ecuación: 3 10 10 3

d) Método de Cramer: 1 2

2 2

Calculando el determinante del sistema: 1 2 1∙ 1 2∙2 2 1 Calculando el valor de : 2 2 2∙ 1 6 1 3 3

6∙2

Calculando el valor de : 1 2 1∙6 2 6 3 3

2∙2

12 3

2 6

4 3

14 ; 3

4 3

14 3

10 ; 3

10 3

e) Método Gráfico: 1 2

2 2

2 6

a) Método de Igualación 1 2 7 Despejando

de la ecuación 1: 6 27 27 6

6 3

27 9

Despejando

de la ecuación 2: 7 3 9 7 9 3 9 3 7

Igualando las nuevas ecuaciones: 27 Despejando de la nueva ecuación: 7 27 6 9 3 189 42 9 3 42 3 9 189

7 Reemplazando

en la ecuación: 27 6 27 6 4 27 24

180 180 45 4

b) Método de Sustitución 1 2 7 Despejando

6 3

27 9

de la ecuación 1: 27

Reemplazando en la ecuación 2: 7 27 6 3 9 189 42 3 9 42 3 9 189 45 180 180 45 4

6 Reemplazando

en la ecuación 1: 6 27 6 4 27 24 27 27 24 3

c) Método de suma y resta 1 2 7

6 3

27 9

Multiplico la ecuación 1 por -7: 1 2

42 7 3

Sumando la ecuación 1 y 2: 7 42 189 7 3 9 0 45 180 Despejando

189 9

Reemplazando

de la nueva ecuación: 45 180 180 45 4

d) Método de Cramer: 1 2 7

6 3 15

27 9

en la ecuación 1: 6 27 6 4 27 24 27 27 24 3

Calculando el determinante del sistema: 1 7

6 3

1∙ 3

7∙6

9∙6

45;

135 45

Calculando el valor de : 27 9

6 3 45

27 ∙ 3 45

54 45

Calculando el valor de : 1 27 7 9 45

1∙9

7 ∙ 27 45

189 45

180 45

e) Método Gráfico: 1 2 7

6 3

9 6

27 9

7 3

a) Método de Igualación 1 3 2 5 Despejando

2 8

de la ecuación 1: 3 2 2 3 2 2 2 2 3

2 60

Despejando

de la ecuación 2: 5 8 60 5 60 8 60 8 5

Igualando las nuevas ecuaciones: 2

60 8 5

2 3

Despejando de la nueva ecuación: 5 2 2 3 60 8 10 10 180 24 10 24 180 10 34 170 170 34 5

Reemplazando

b) Método de Sustitución 1 3 2 5

Despejando

2 8

2 60

de la ecuación 1: 2

2 3

en la ecuación: 60 8 5 60 8 5 5 60 40 5 20 5 4

Reemplazando 5 2 5 5

en la ecuación 2: 8 60 2 8 60 2

3 5 2 2 10 10 10 24 34

60 8 180 24 180 10 170 170 34 5

Reemplazando en la ecuación 1: 3 2 2 3 2 5 2 3 10 2 3 2 10 3 12 12 3 4

c) Método de suma y resta 1 3 2 5

2 8

2 60

Multiplico la ecuación 1 por 8 y la ecuación 2 por 2: 1 24 16 16 10 16 120 2 Sumando la ecuación 1 y 2: 24 16 16 10 16 120 34 0 136 Despejando

de la nueva ecuación: 34 136 136 34 4

Reemplazando en la ecuación 1: 3 2 2 3 4 2 2 12 2 2 2 2 12 2 10 10 2 5

d) Método de Cramer: 1 3 2 5 Calculando el determinante del sistema: 3 2 3∙8 5∙ 2 5 8

2 8

2 60

34;

Calculando el valor de : 2 2 2∙8 60 8 34

60 ∙ 2

16 120 34

Calculando el valor de : 3 2 3 ∙ 60 5∙ 2 5 60 34 34 5; 5

180

10 34

136 34

180 10 34

e) Método Gráfico: 1 3 2 5

2 8

2 60

a) Método de Igualación 1 3 2 2

7 4

170 34

Despejando

de la ecuación 1: 3 5 7 3 7 5 7 5 3

Despejando

de la ecuación 2: 2 4 2 4 4 2

Igualando las nuevas ecuaciones: 7

5 2

3 Despejando de la nueva ecuación: 2 7 5 3 4 14 10 3 12 10 3 12 14 13 26 26 13 2

Reemplazando

en la ecuación: 4 2 2 4 2 2 2 1

b) Método de Sustitución 1 3 2 2 Despejando

de la ecuación 1: 7

Reemplazando en la ecuación 2: 2 4 7 5 4 2 3 7 5 4 2 3 2 7 5 3 4 14 10 3 12 10 3 14 12 13 26 26 13 2

5 3 Reemplazando

en la ecuación 1: 3 5 7 3 5 2 7 3 10 7 3 7 10 3 3 3 3 1

7 4

c) Método de suma y resta 1 3 2 2

1 3 10 2

5 5

7 4

Multiplico la ecuación 2 por 5:

Sumando la ecuación 1 y 2: 3 5 7 10 5 20 13 0 13 Despejando

7 20

Reemplazando

en la ecuación 1: 3 5 7 3 1 5 7 3 5 7 5 7 3 5 10 10 5 2

de la nueva ecuación: 13 13 13 13 1

d) Método de Cramer: 1 3 2 2

7 4

Calculando el determinante del sistema: 3 2

5 1

3∙ 1

2∙5

13;

Calculando el valor de : 7 4

5 1 13

7∙ 1

4∙5 13

20 13

13 13

1 Calculando el valor de : 3 2

7 4 13

3∙ 4

2∙7

26 13

e) Método Gráfico: 1 3 2 2

7 4

a) Método de Igualación 1 7 2 9 Despejando

de la ecuación 1: 7 4 5 7 5 4 5 4 7

4 8

5 13

Despejando

de la ecuación 2: 9 8 13 9 13 8 13 8 9

Igualando las nuevas ecuaciones: 5

13 9

7 Despejando de la nueva ecuación: 9 5 4 7 13 8 45 36 91 56 36 56 91 45

Reemplazando

en la ecuación: 13

8 9

46 46 92 1 2

4 9 9 9 1

b) Método de Sustitución 1 7 2 9 Despejando

4 8

5 13

de la ecuación 1: 5

4 7 Reemplazando

Reemplazando en la ecuación 2: 9 8 13 5 4 8 13 9 7 5 4 13 8 9 7 9 5 4 7 13 8 45 36 91 56 36 56 91 45 92 46 46 92 1 2

en la ecuación 1: 7 4 5 1 5 7 4 2 7 2 5 7 5 2 7 7 7 7 1

c) Método de suma y resta 1 7 2 9

4 8

5 13

1 14 2 9

8 8

10 13

Multiplico la ecuación 1 por 2:

Sumando la ecuación 1 y 2: 14 8 10 9 8 13 23 0 23 Despejando

Reemplazando

en la ecuación 1: 7 4 5 7 1 4 5 7 4 5 4 5 7 4 2 2 4

de la nueva ecuación: 23 23 23 23 23

1 2

d) Método de Cramer: 1 7 2 9

4 8

5 13

Calculando el determinante del sistema: 7 9

4 8

7∙8

9∙ 4

92;

Calculando el valor de : 5 13

4 8

5∙8

13 ∙ 4 92

52 92

92 92

Calculando el valor de : 7 9

5 13 92

7 ∙ 13

9∙5 92

45 92

46 92

1 ; 2

1 2

e) Método Gráfico: 1 7 2 9

4 8

13 8

5 13

a) Método de Igualación 1 9 3 2 Despejando

16 4

de la ecuación 1: 9 16 7 9 7 16 7 16 9

7 0

Despejando

de la ecuación 2: 3 4 0 3 4 3 4 4 3

Igualando las nuevas ecuaciones: 7

Despejando de la nueva ecuación: 3 7 16 9 4 21 48 36 48 36 21 84 21 21 84 1 4

16 9

4 3 Reemplazando

4 3 1 3

en la ecuación:

b) Método de Sustitución 1 9 3 2 Despejando

16 4

7 0

de la ecuación 2: 4 3 Reemplazando

Reemplazando en la ecuación 1: 9 16 7 4 9 16 7 3 3 4 16 7 12 16 7 28 7 7 28 1 4

en la ecuación 2: 3 4 0 1 0 3 4 4 3 1 0 3 1 3 1 1 3

c) Método de suma y resta 1 9 3 2

16 4

7 0

1 2

16 12

7 0

Multiplico la ecuación 2 por 3:

Sumando la ecuación 1 y 2: 9 16 7 9 12 0 0 28 7 Despejando

de la nueva ecuación: 28 7 7 28 1 4

9 9

Reemplazando en la ecuación 1: 9 16 7 1 7 9 16 4 9 4 7 9 7 4 9 3 3 9 1 3

d) Método de Cramer: 1 9 16 7 e) 3 4 0 2

Calculando el determinante del sistema: 9 16 9∙4 3 ∙ 16 3 4

1 ; 3

1 3

84;

Calculando el valor de : 7 0

16 4 84

7∙4

0 ∙ 16

28 0 84

28 84

9∙0

3∙7

Calculando el valor de : 9 7 3 0 84 e) Método Gráfico:

84 1 9 3 2

84 16 4

9 7 16

21 84

1 ; 4

7 0

3 4

1 4

a) Método de Igualación 1 2 2 Despejando

de la ecuación 1: 3 3

3 0 Despejando

de la ecuación 2: 2 0 2

Igualando las nuevas ecuaciones: 3

Despejando

de la nueva ecuación: 3

2 3 6 2 2 3

Reemplazando

en la ecuación: 3 3 2 1

6 6 6 3 2

b) Método de Sustitución 1 2 2 Despejando

3 0

de la ecuación 2:

Reemplazando

en la ecuación 1: 3

2 2

2 Reemplazando

3 2 3 6 2 2 6 3 6

en la ecuación 2: 0 2 0 2 2 2 2 1

6 3 2 c) Método de suma y resta 1 2 2

3 0

Sumando la ecuación 1 y 2: 3 2 0 3 0 3 Despejando

Reemplazando

en la ecuación 1: 3 1 3 3 1 2

de la nueva ecuación: 3 3 3 3 1

d) Método de Cramer: 1 2 2

3 0

Calculando el determinante del sistema: 1 2

1 1

1∙ 1

2∙1

0∙1

3 3

Calculando el valor de : 3 0

1 1 3

3∙ 1

Calculando el valor de : 1 2

3 0 3

1∙0

3∙2 3

3 3

e) Método Gráfico: 1 2 2

3 0

a) Método de Igualación 1 5 2 3 Despejando

de la ecuación 1: 5

2 10

2 2

Despejando

1 1 5

de la ecuación 2: 3 2 1 2 1 3

Igualando las nuevas ecuaciones:

10 Despejando

de la nueva ecuación: 1 2 2 3 10 3 2 10 2 1 3 6 20 10 3 20 10 6 17 16 16 17

1 5

2 3

Reemplazando

en la ecuación: 1 10 5 1 5 10 16 1 170 5 16 34 170

50 170 5 17

16 17

b) Método de Sustitución 1 5 2 3 Despejando

2 2

de la ecuación 2: 2

Reemplazando

2 3

2 2

en la ecuación 2: 2 1 16 1 3 2 17 32 3 1 17 32 17 3 17 1 17 51 32 17 51 17 32 51 15 15 51 5 17 3

2 1

10 6

3 Reemplazando

en la ecuación 1:

6 1 2 20 10 3 6 20 3 6 10 17 16 16 17 3

c) Método de suma y resta 1 5 2 3

2 2

Multiplico la ecuación 1 por -4: 1 2 Sumando la ecuación 1 y 2: 20 2 4 3 2 1 17 0 5 Despejando

20 3

2 2

Reemplazando

en la ecuación 1: 20 2 4 5 2 4 20 17 100 2 4 17 100 17 2 17 4 17

de la nueva ecuación: 17 5

4 1

5 17 5 17

100 34 68 34 68 100 34 32 32 34 16 17

d) Método de Cramer: 1 5 2 3

Calculando el determinante del sistema: 1 1 5 5∙ 2 3∙ 2 2 3 2 Calculando el valor de : 1 1

1∙ 2

2 2

1∙

3 2

20 3 2

17 ; 2

5 ; 17

5 17 Calculando el valor de : 5 1 5∙1 3∙ 1 3 1

16 ; 17

16 17

e) Método Gráfico: 1 5 2 3

2 2

1 1

1 2

17 2

a) Método de Igualación 1 2 2 3 Despejando

de la ecuación 1: 2 3 1 3 1 2

3 4

1 0

Despejando

de la ecuación 2: 3 4 0 4 3

Igualando las nuevas ecuaciones: 3

1 2

Despejando 3

de la nueva ecuación: 3 1 2 4 9 3 8 9 8 3 3 3

Reemplazando

4 3 en la ecuación: 3 1 2 3 3 1 2 9 1 2 8 2 4

b) Método de Sustitución 1 2 2 3 Despejando

3 4

1 0

de la ecuación 2: 4 3 Reemplazando

Reemplazando en la ecuación 1: 2 3 1 4 2 3 1 3 8 3 1 3 8 3 3 3 1 3 8 9 3 3

en la ecuación 2: 3 4 0 3 4 3 0 3 12 0 3 12 12 3 4

c) Método de suma y resta 1 2 3 1 3 4 0 2 Multiplico la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por -2: 1 6 9 3 6 8 0 2 Sumando la ecuación 1 y 2: 6 9 3 6 8 0 0 3 Despejando

de la nueva ecuación: 3

Reemplazando en la ecuación 1: 2 3 3 1 2 9 1 2 1 9 2 8 8 2 4

d) Método de Cramer: 1 2 2 3 Calculando el determinante del sistema: 2 3 2∙4 3∙3 8 9 3 4

3 4

1 0

Calculando el valor de : 1 3 1∙4 0∙3 0 4 1 1

0 1

Calculando el valor de : 2 1 2∙0 3∙ 1 3 0 1 1

4 1

3 4

1 0

3 1

e) Método Gráfico: 1 2 2 3

3 4

2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 2.1 Método utilizando la Fórmula General √ 2 2.2. Método mediante Factorización

2.3. Método Gráfico

Ejercicios a) Método utilizando la Fórmula General 7

√

0 1 7 12

2 Reemplazando en la fórmula general: 7

7 2 1 7

4 1 12

√49 2 7

Primera raíz: 7 1 2

Segunda raíz: 7 1 2

6 2

8 2

√1 2

7 1 2 b) Método mediante Factorización 7

12 3 4

0 3 4 7

Primera raíz:

Segunda raíz:

Factorizando: 7

0 3

0 4

c) Método Gráfico 7

Primera raíz:

Segunda raíz: 3

Graficando: 7

a) Método utilizando la Fórmula General 5

0 1 5 4

√

2 Reemplazando en la fórmula general: 5 2 1

4 1 4

√25 2 5

Primera raíz: 5 3 2

√9 2

3 2

Segunda raíz: 5 3 2

8 2

2 2

b) Método mediante Factorización 5

Primera raíz:

Segunda raíz:

Factorizando: 5

0 4 1 5

4 4 1

Primera raíz:

Segunda raíz:

c) Método Gráfico 5

Graficando: 5

a) Método utilizando la Fórmula General 6

1 6 9

√

2 Reemplazando en la fórmula general: 6 2 1

4 1 9

√36 2 6

Primera raíz: 6 0 2 6 2

5 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

√0 2

Segunda raíz: 6 0 2

0 2

b) Método mediante Factorización 6

Factorizando: 6

0 3 3 6

9 3 3

Primera raíz:

Segunda raíz:

c) Método Gráfico 6

Graficando: 6

a) Método utilizando la Fórmula General 3

0 1 3 4

√ 2

Reemplazando en la fórmula general: 3

3 4 1 2 1 3

√9 2 3

Primera raíz: 3 5 2

√25 2 3 5 2

Segunda raíz: 3 5 2

2 2

8 2

b) Método mediante Factorización 3

Primera raíz:

Segunda raíz:

Factorizando: 3

0 4 1 3

4 4 1

Primera raíz:

Segunda raíz:

c) Método Gráfico 3

Graficando: 3

a) Método utilizando la Fórmula General 5

6 √ 2

0 1 5 6

Reemplazando en la fórmula general: 5

5 2 1 5

4 1 6

√25 2 5

Primera raíz: 5 1 2 6 2

4 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

√1 2

Segunda raíz: 5 1 2

1 2

b) Método mediante Factorización 5

Factorizando: 5

0 6 1 5

6 3 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

c) Método Gráfico 5

Graficando: 5

a) Método utilizando la Fórmula General 2

0 1 2 8

√

2 Reemplazando en la fórmula general: 2 2 1

4 1

√4 2 2

Primera raíz: 2 6 2 8 2

4 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

√36 2 2

Segunda raíz: 2 6 2

6 2

b) Método mediante Factorización 2

Factorizando: 2

0 6 1 5

8 4 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

c) Método Gráfico 2

Graficando: 2

a) Método utilizando la Fórmula General 2

7 √

0 2 9 7

2 Reemplazando en la fórmula general: 9

9 2 2

4 2 7

Primera raíz: 9 5 4 44

Segunda raíz: 9 5 4

√81 4 9

14 4

4 4

7 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

√25 4 9

5 4

b) Método mediante Factorización 2

Factorizando: 2 9 2

0 7 2 9

7 7 1

7 2

0 7

0 1

7 2

c) Método Gráfico 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

7 2

Graficando: 2

a) Método utilizando la Fórmula General 4

0 3 4 7

√

2 Reemplazando en la fórmula general: 4

4 2 3 4

√16 6 4

4 3

Primera raíz: 4 10 6 14 6

6 6

7 3

Primera raíz:

Segunda raíz:

√100 6 4

Segunda raíz: 4 10 6

10 6

b) Método mediante Factorización 3

Factorizando: 4 3 3

0 7 3 4

7 7 1

7 3

0 1

7 3

c) Método Gráfico 4

Primera raíz:

Segunda raíz:

7 3

Graficando: 4

a) Método utilizando la Fórmula General 4

4 √ 2

0 1 4 4

Reemplazando en la fórmula general: 4

4 2 1

4 1 4

√16 2

Primera raíz: 4 0 2

Segunda raíz: 4 0 2

4 2

√0 2

4 0 2 b) Método mediante Factorización 4

Primera raíz:

Segunda raíz:

Factorizando: 4

0 3 3 6

4 2 2

0 2

c) Método Gráfico 4

Primera raíz:

Segunda raíz: 2

Graficando: 4

a) Método utilizando la Fórmula General 2

0 2 9 10

√

2 Reemplazando en la fórmula general: 9

9 2 2 9

4 2 10

√81 4 9

Primera raíz: 9 1 4 10 4

8 4

5 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

√1 4

Segunda raíz: 9 1 4

1 4

b) Método mediante Factorización 2

Factorizando: 2 9 2

0 5 4 9

10 5 2

5 2

0 2

5 2

c) Método Gráfico 2

Primera raíz:

Segunda raíz:

5 2

Graficando: 2

3. SUMA DE VECTORES 3.1. Método Analítico Cuantitativo Sumar: : 3 ; 20 : 5 ; 150 :3 cos 20

; 20 sin 20

:5 cos 30

3 50

; 150 sin 30

cos 20 3

sin 20 3

cos 30 3

sin 30 5

2,81

1,02

4,33

2,5

2,81

1,02

4,33

2,98

2,81 1,02 4,33 2,5 7,14 3,52

3,52

7,14 7,96

3.2. Método Gráfico 3.2.1. Método del Paralelogramo Sumar: : 3 ; 20 : 5 ; 150

2,5

tan

3,52 7,14 3,52 7,14

3.2.2. Método del Polígono Sumar: : 3 ; 20 : 5 ; 150

3.1. EJERCICIOS DE SUMA DE VECTORES: 1)

: :

; ;

a) Método analítico :5 :7

; 150 ; 315 :5

cos 30

; 150

sin 30

cos 45

sin 45

cos 30 5

sin 30 5

cos 45 7

sin 45 7

4,33

2,5

4,94

4,33

2,5

4,94

4,99

4,94 6,98

; 315

4,33 2,5 4,94 4,94 9,37 7,44

9,37

7,44

11,8864

7,44 9,37

tan

7,44 9,37

38,75 b) Método del Paralelogramo:

c)Método del Polígono:

: :

; ;

a) Método Analítico :3 :7

; 20 ; 210 :3

cos 20

; 20

sin 20

cos 30

sin 30

cos 20 3

sin 20 3

cos 30 7

sin 30 7

2,81

1,02

6,06

3,5

2,81

1,02

6,06

2,98

3,5 6,9

; 210

2,81 1,02 6,06 3,5 8,87 4,52

4,52

8,87 9,95

4,52 8,87

tan

4,52 8,87

62,99 b) Método del Paralelogramo:

c) Método del Polígono:

: :

; ;

a) Método Analítico :5 :7

; 180 ; 210 :5

cos 180

; 180

sin 180

cos 30

; 210 sin 30

cos 180 5

sin 180 5

cos 30 7

sin 30 7

6,06

3,5

6,06

5 4,33 0,67

0 2,5 2,5

3,5 6,9

0,67 3,65

2,5

2,5 0,67

tan

2,5 0,67

73,15

b) Método del Paralelogramo:

c) Método del Polígono:

: :

; ;

a) Método Analítico :3 :5

; 20 ; 180 :3

; 20

; 180

cos 20

sin 20

cos 20 3

sin 20 3

2,81

1,02

2,81

cos 180

cos 180 5

sin 180 5

1,02

4,33

2,98

2,81 1,02 5 0 2,19 1,02

sin 180

2,5 4,9

2,19 2,41

1,02

1,02 2,19

tan

1,02 2,19

155,026

b) MĂŠtodo del Paralelogramo:

58Â Â

c) Método del Polígono:

: :

; ;

a) Método Analítico :5 :6

; 150 ; 270 :5

cos 30

; 150

sin 30

cos 90

sin 90

cos 30 5

sin 30 5

cos 90 6

sin 90 6

4,33

2,5

4,33

2,5

4,99

6 6

4,33 2,5 0 6 59

; 270

4,33 8,5

4,33

2,5

tan

9,54 tan

2,5 4,33 2,5 4,33 26,99

b) Método del Paralelogramo:

c) Método del Polígono:

: :

; ;

a) Método Analítico :3 :7

; 20 ; 315 :3

cos 20

; 20

sin 20

cos 45

; 315 sin 45

cos 20 3

sin 20 3

cos 45 7

sin 45 7

2,81

1,02

4,95

2,81

1,02

4,95

2,98

2,81 4,95 7,76

1,02 4,95 3,93

4,95 7

3,93

7,76 8,698

3,93 7,76

tan

3,93 7,76

116.86

b) Método del Paralelogramo:

c) Método del Polígono:

4. CINEMÁTICA La cinemática (del griego κινέιν kinéin 'mover, desplazar') es la rama de la física que describe el movimiento de los objetos sólidos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita, principalmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Para ello utiliza velocidades y aceleraciones, que describen cómo cambia la posición en función del tiempo. La velocidad se determina como el cociente entre el desplazamiento y el tiempo utilizado, mientras que la aceleración es el cociente entre el cambio de velocidad y el tiempo utilizado. Estudia movimiento de partículas, el movimiento tiene trayectoria (e), velocidad (v), tiempo (t) y distancia (d).

Tiempo se clasifica por: Por su trayectoria:     

Rectilíneo Curvilíneo Parabólico Circular Ondulatorio

La aceleración puede ser positiva o negativa. La distancia y el tiempo siempre van a estar relacionados 5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) Un movimiento es rectilíneo cuando un objeto describe una trayectoria recta respecto a un observador, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula. M.R.U. = movimiento cuya trayectoria es rectilínea; que recorre distancias iguales en tiempos iguales.

Características del M.R.U.  Trayectoria recta.  Movimiento de la partícula = cambio de posición respecto al tiempo.  Movimiento uniforme.  Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.  La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.  Sin aceleración.

Unidades y dimensiones

El Movimiento Rectilíneo Uniforme es una trayectoria recta, su velocidad es constante y su aceleración es nula. ANÁLISIS DIMENSIONAL: Es un análisis cualitativo que utiliza las magnitudes fundamentales, parte de una ecuación matemática o física para llegar a una ecuación de dimensiones, se obtiene por producto o cociente de las dimensiones fundamentales. Ejemplo:

∗

SISTEMA INTERNACIONAL (S.I). DEFINICIÓN: Es un análisis cualitativo que inicia de una ecuación física o matemática para llegar a una ecuación dimensional utilizando el producto cociente de las dimensiones fundamentales. Longitud m L Masa k M Tiempo s T Temperatura termodinámica k Intensidad de corriente eléctrica A I (iota) Intensidad luminosa cd Y (psi) Cantidad de sustancia mol N (nu)

GRÁFICAS DEL MRU GRÁFICA (a-t)

GRÁFICA (e-t)

GRÁFICA (v-t)

Fórmulas del Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.) Distancia:

Tiempo:

Velocidad:

∙

5.1. EJERCICIOS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) 1)

Un móvil se desplaza 20 m en 5 segundos. ¿Cuánto se desplazara en escala numérica del 1 a 10 segundos, gráficamente y compruebe la respuesta?

Datos: 20 5

Gráfico:

Incógnitas: ? 1 10 ?

Solución: tan

;

20 5

;

tan

4 ; 1

40 36 ; 10 9

;

tan

4 ; 1 4;

Un corredor recorre con movimiento rectilíneo uniforme una pista recta de 100m en 10s. Calcular su velocidad en m/s, cm/s, pies/s. Datos: 100 10

Gráfico:

Incógnitas: ?

Solución: ⟹

; 100 10

;

100

1000

⟹

;

3,28

32,8

;

Un ciclista se mueve con m.r.u. a razón de 5m/s. ¿Qué distancia podrá recorrer en un cuarto de hora? Datos:

Gráfico:

5 15 900

;

Incógnitas: ?

Solución: ⟹ ; 15

∙ ; 5 ∙ 900;

;

4500 ; 900 ; 4,5 4)

;

El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340 m/s ¿Qué tiempo tardaría en escucharse el estampido de un cañón situado a 17km? Datos:

Gráfico:

340 17

Incógnitas: ?

Solución: ⟹ 17

;

1000

; ;

17000 ; 340

17000 ; 50

Un trueno se ha oído 50s, después de verse el relámpago ¿A qué distancia ha caído el rayo? Datos:

Gráfico:

340 50

;

Incógnitas: ?

Solución: El sonido se propaga en el aire a una velocidad de 340 m/s.

∙ ; 340 ∙ 50; 17000 ;

Para medir la d entre dos buques, uno de ellos lanza simultáneamente una señal por radio y un sonido mediante una campana sumergida. La señal de radio llega casi instantáneamente al otro buque, mientras que la sonora llega algo más tarde. Si el sonido se propaga en el agua a razón de 1,435m/s y el tiempo transcurrido entre las dos señales fue 125. Calcular la d entre ellos. Datos:

Gráfico:

1,435 125

Incógnitas: ?

Solución: ∙ ; 1,435 ∙ 125; 17,22

Una mesa de billar tiene 2,5m de largo. ¿Qué velocidad debe imprimirse a una bola en un extremo para que vaya hasta el otro extremo y regrese en 10s? Datos: 2,5 10

Gráfico:

Incógnitas: ?

Solución: ; 0,25

2,5 ; 10

0,25

0,5 0,25 8)

La velocidad de la luz es de 3000000 km/s. calcular el tiempo empleado por un rayo luminoso en recorreré el Ecuador terrestre, cuya longitud es de 40000000m. Datos:

Gráfico:

3000000 40000000

;

Incógnitas: ?

Solución: ; 40000000 ; 3000000 0,13 ;

Calcular el tiempo empleado por un cuerpo para recorrer una distancia de 4 varas con una velocidad de 3 pies/s. Datos: 4

Gráfico:

Incógnitas: ?

Solución: ; 12 3

;

4 ; 10) Un cuerpo se mueve con una velocidad de 12 km/min. Calcular la distancia que recorre en 4s. Datos:

Gráfico:

12 4

Incógnitas: ?

Solución: ⟹

∙ ;

;

200 ∙ 4; 12

1000

1 60

;

800 ;

;

200

Dos trenes parten de una misma estación, uno a 60 km/h y otro a 80km/h. ¿A 11) qué distancia se encontraran al cabo de 50min? a) Si marchan en el mismo sentido. b) Si marchan en sentido contrario. Datos:

Gráfico:

60 80 50

Incógnitas: ?

Transformando los datos: 1000 60 1

1 3600

16,6

;

1000 1

1 3600

22,2

;

60 1

3000 ;

Solución A: ∙

∙

16,6 ∙ 3000

22,2 ∙ 3000 66600

49800 Se encontraran a una distancia: 16800 ;

16,8

Solución B: ∙ 72

∙

16,6 ∙ 3000

22,2 ∙ 3000

49800 Se encontraran a una distancia: 116400 ;

66600

116,4

12) Dos trenes parten de dos ciudades A y B distantes entre sí 400km con velocidades de 70km/h y 100km/h, pero el de A sale dos horas antes. ¿Cuándo se encuentran, ya que distancia de A? a) Si ambos se mueven uno hacia el otro. Datos: 400

Gráfico:

70 100

Incógnitas: ? ?

Solución: ∙ ;

∙ ; ∙ ;

70 ∙ 2; 140

400

;

140

260

170

100

260 ; 170 1,52 ∙ ; ∙ 1,52 ; 100 ∙ 1,52 ; 152 ;

13) Una persona oye un trueno 5 sg. Después de ver el rayo, a qué distancia cayo dicho rayo. Datos: 5 340 ⁄ 300.000

Gráfico: GRÁFICO

Incógnitas: ?

∆

Solución: la c es de 300.000 km⁄s = 3.10^8 m⁄s , que es una velocidad casi instantánea, consideramos la velocidad del sonido, el mov. es M.R.U. ∙ ; 340

∙5 ;

1700 el rayo cayó a 1700 m. de la persona

6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME VARIADO (M.R.U.V.) Es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado. CARACTERÍSTICAS DEL M.R.U.V. 1. 2. 3. 4.

La trayectoria es rectilínea La aceleración sobre la partícula son constantes. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

VELOCIDAD INSTANTÁNEA: Es la velocidad del desplazamiento cuando el tiempo tiende a 0. lim

∆ →

∆ ∆

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA: La aceleración instantánea es el cambio en la velocidad de un objeto que se produce en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, es decir la derivada de la velocidad (instantánea) respecto al tiempo. lim

∆ →

∆ ∆

Ejemplo:

“TIENDE A”

Condición: en cada salto que da recorre la mitad de la distancia a la lechuga. Pregunta: ¿Cuántos saltos da? Conclusión: en cada salto que da, recorre la mitad de la distancia que la separa cuantos saltos llaga a la lechuga.

GRÁFICAS DEL MRU GRÁFICA (x-t)

GRÁFICA (v-t)

GRÁFICA (a-t)

FÓRMULAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME VARIADO (M.R.U.V.) 1 Distancia 2 Aceleración Tiempo Velocidad promedio; Velocidad media Velocidad final Velocidad inicial

2 2 2

6.1. EJERCICIOS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME VARIADO (M.R.U.V.) 1)

Un móvil que parte del reposo recorre una distancia de 40 m en 4 s. Determine: a) Aceleración b) Velocidad final Datos:

Gráfico:

0 40 4

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 0

2 40

0∙4

4 2 40 16

80 16 5 2)

Un móvil lleva una velocidad de 30m/s cuando se aplica los frenos provocando la reducción de la velocidad a la tercera parte, en un tiempo de 4s. Determine: a) Aceleración b) Distancia c) Velocidad media

Datos:

Gráfico:

30 10 4

Incógnitas: ? ? ?

Solución: 1 2 10

30 4

1 2

30 4

20 4

5 4 5 16 2

120 120

5 8

120

30 2 40 2

Un automóvil recorre 350 km en 7 horas. Calcular su velocidad media. Datos:

Gráfico:

350 7

Incógnitas: ?

Solución:

350 7 78

50 4)

A lo largo de una carretera se tiene tres ciudades A, B y C. Las distancias entre Ay B es 120km y entre B y C es 180 km. Un automóvil sale de A a las 7 am, pasa por B a las 9 am y llega a C a la 1 pm. Calcular: a) Su velocidad media entre A y B b) Su velocidad media entre B y C c) Su velocidad media entre A y C Datos:

Gráfico:

120 180 2 4

Incógnitas: ? ? ?

Solución:

120 2

180 4

300 6

Una pelota rueda con m.r.u.v. por un plano inclinado, si parte del reposo. a) ¿Cuál es su aceleración si al cabo de 10s ha adquirido una velocidad de 8 cm/s? b) ¿Qué distancia ha recorrido en este tiempo?

Datos: 0 10

Gráfico:

8 0,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 0,8 10

0∙

1 0,08 10 2 1 0,08 100 2

0,08

4 6)

Un automóvil arranca y en 3 min adquiere una velocidad de 65 km/h. Calcular: a) Su aceleración y b) El espacio recorrido. Datos: 0 3 180

Gráfico:

65 Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 18,05 180 0,10

0∙

1 0,10 180 2 1620

Un cuerpo parte del reposo y recorre 50m, con una aceleración de Calcular: a) La velocidad adquirida y b) El tiempo transcurrido. Datos: 0 5

/ .

Gráfico:

8 0,08 Incógnitas: ? ?

Solución: 2 0,08 35,35 2 2,828 2 5 0,08 35,35

¿Qué tiempo y distancia debe transcurrir para que un cuerpo que parte del reposo con una aceleración de 0,4 m/ adquiera una velocidad de 500 m/s. Datos: 0

Gráfico:

0,4 500

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 500 0 0,4

1 0,4 1250 2

1250

390625

Un móvil parte del reposo con m.r.u.v. y cuando ha recorrido 30m, tiene una velocidad de 6m/s. Calcular su aceleración y el tiempo transcurrido. Datos: 0 30

Gráfico:

Incógnitas: ? ?

Solución: 2 6 2 30 0,6

6 0 0,6 10

10) Un móvil parte del reposo con m.r.u.v. y cuando ha recorrido 30m, tiene una velocidad de 6m/s. Calcular su aceleración y el tiempo transcurrido. Datos: 0 30

Gráfico:

Incógnitas: ? ?

Solución: 2 6 2 30 0,6

6 0 0,6 10

11) Un relámpago para despegar recorre una pista de 600 m en 15s. ¿Con que velocidad despega en km/h y cuál es su aceleración en m/ ? Datos: 600 15 0

Gráfico:

Incógnitas: ? ?

Solución: 2

2 600 15

530 15 7950

530

12) Un automóvil parte del reposo y adquiere una velocidad de 60 km/h en 15 s. Calcular su aceleración en m/ y el espacio recorrido. Si la aceleración permanece constante, calcular el espacio recorrido cuando su velocidad es de 80km/h. Datos: 0

Gráfico:

60 15

Incógnitas: ? ?

Solución A:

0,001 0,25

530 15 7950

0,004

Datos:

Solución B: 1 2

80 1333,3 0,25

Incógnitas: ? ?

1 5333,3 0,25 2 666,6

5333,3

13) Un automóvil parte del reposo y adquiere una velocidad de 72 km⁄h en 12s. Calcular su aceleración. Datos: 0 72 20 12 .

Gráfico:

Incógnitas: ?

Solución:

20 0 12 1,7 14) Una particular con una aceleración de 0.65 m/s^2 recorre 60m y adquiere una velocidad de 735cm/s; calcula su velocidad de partida

Datos: 0,65 / ^2 60 . 735 / 7.35 /

Gráfico:

Incógnitas:

Solución:

F

 N1  m1 g  0

2 2

7,35

2 60

0.65

11,49

15) Un tren parte del reposo y después de cierto tiempo adquiere una velocidad de 16 km⁄h. cesa entonces la aceleración y se mueve durante 1 h en la cual aplica los frenos y se detiene en 5s. Calcular la distancia total recorrida. El tiempo total es de 1h,10min. Datos:

Gráfico:

4.4

2 1 3 5 1 , 10 4200 . 1 595 Incógnitas: ?

Solución: 1 intervalo es un M.R.U.V acelerado por que cambia de velocidad /2 . 4.4 / /2 .595 1309 . 2 intervalo, es un M.R.U. 2 85

. 2

4,4 / .3600 2 15840

3 intervalo es un M.R.U.V. retardado /2 . 4,4 / /2 .5 . 11

1 2 3 1309 . 15840 . 11 . 17160 .

16) Una partícula se mueve con la siguiente ecuación horaria , en donde r esta en m y t en segundos. a) Indicar que tipo de movimiento es. b) Encontrar la ecuación general de la velocidad y de la aceleración. c) Calcular la distancia, la velocidad y la aceleración para un tiempo de 6,2s Datos: 5 2 r en m t en s

Gráfico: 3

Incógnitas: Solución: Tipo de Utilizamos la solución por analogías. movimiento=? a) Movimiento MRUV Ecuación V=? ; a=? 2 3 ? ; 6,2 1 ? ; 6,2 ∆ ? ; 6,2 2 ∆ 2 3 86

; 1 2

2 ⁄ 6

b) 2

6 c)

3 5

2 6,2 3 6,2 132,72

Utilizamos la solución por derivadas. 5 2 3 ´ 5 0 2 1 3 2 ´ 0 2 6 ´ 2 6

2 6 2 0 6 " 0 6 " 6 6

→

Se aplica la misma operación en cada miembro. 5

→

La derivada de una suma algebraica es igual a la suma de la derivada de cada término. 0 →Derrivada de la constante →Derrivada de una constante = 0

17) De un ejemplo en el cual la velocidad del objeto sea cero, pero no su aceleración Una piedra arrojada arriba llega a la máxima altura con velocidad cero, pero no sólo en ese momento, también a lo largo de todo el movimiento, tiene aceleración igual a la de la gravedad. En la parte de mayor altura a=g y v=0.

18) Un conejo entra en el extremo de un tubo de drenaje de longitud L. En la figura se muestra su movimiento a partir de ese instante. Describa el movimiento en forma verbal.

El conejo inicia en el punto A y luego avanza hacia el punto B en un determinado tiempo, luego acelera hasta llegar al punto C, de ahí se regresa en su recorrido hasta el punto D, donde se queda hasta el tiempo E y de ahí avanza hasta F con una aceleración contante, y hasta G, permanece por un tiempo y luego avanza hasta H. 7. MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio

Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo, es frecuente también referirse coloquialmente a éstas como caídas libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables. El concepto es aplicable también a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la acción desaceleradora de la gravedad, como un disparo vertical; o 88

satélites no propulsados en órbita alrededor de la Tierra. Otros sucesos referidos también como caída libre lo constituyen las trayectorias geodésicas en el espacio-tiempo descritas en la teoría de la relatividad general. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE REFERENCIA UNIDIMENSIONAL

CARTESIANO

BIDIMENSIONAL

TRIDIMENSIONAL SISTEMA DE REFERENCIA COORDENADAS GEOGRÁFICAS

BIDIMENSIONAL

COORDENADAS POLARES

BIDIMENSIONAL

MOVIMIENTO VERTICAL Gravedad (g).- a = -g , a 45° de latitud al nivel del mar, la aceleración de la gravedad vale g = -9,8m⁄s^2 ,en la línea ecuatorial y en los polos vale g = -9,79m⁄s^2 g = 9,83m⁄s^2 TIPOS DE CAÍDA:

LANZAMIENTO HACIA ARRIBA

CARACTERÍSTICAS: 

Movimiento rectilíneo retardado. 1) ∆ 2) 3)

∆ ∆ 2

∆ 0 89

∆

⟹

Cuando g es variable: es variable porque mientras más se aleja de la superficie terrestre su valor tiende a disminuir hasta llegar al punto en el que el vale 0, y varia en modulo, dirección y sentido. Cuando g es constante: porque se encuentra a 450 de latitud al norte sobre el nivel del mar. Valor tomando científicamente (Francia)

2do caso 1er caso 1) ∆ ∆ 0 0, 1 2) ∆ , , x 3) y , ,

2 g

G es constante porque: 1. Como es una curvatura (un arco pequeño) el arco de circunferencia es una línea recta. 2. La altura no es muy considerable para 1km. 3. La densidad es constante 4. Vamos a trabajar en el vació. VACIO= no hay partículas, no hay aire. Cuando el objeto va a favor de la gravedad es positiva (+). Cuando el objeto va en contra de la gravedad es negativa (-). ∙ ∙ La aceleración y la gravedad se dan en

⁄

FÓRMULAS DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE Cambia:  Distancia (d) por altura (h)  Aceleración (a) por gravedad (g) 1 2

Altura

Gravedad 2

Tiempo Velocidad promedio; Velocidad media Velocidad final

2 2 1 2

Velocidad inicial

7.1. EJERCICIOS DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE 1)

Se deja caer un cuerpo desde una h de 20m determine las condiciones y características del movimiento. Datos: 0 20

Gráfico:

9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 2 2 2

19,79 9,8 2,02

2 9,8 20 √392 19,79 91

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 19,79 m/s determine características del movimiento. Datos:

Gráfico:

19,79 9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 19,79 9,8

19,79 2,02

1 2

39,97

2,02

9,8 2,02 19,9

20,07 3)

Desde un globo que lleva una velocidad de 30m/s se deja caer un cuerpo desde 30m de altura, determine el tiempo en que el objeto tardara en caer (llegar al suelo). Datos:

Gráfico:

30 30 9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 2 900

2 9,8 30

900

588

√1488

38,57 30 9,8 0,87

38,57

Desde un globo en reposo se deja caer un cuerpo. ¿Qué velocidad tendrá y que distancia habrá caído al cabo de 10s? Datos: 0 10

Gráfico:

9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 1 9,8 10 2 490

9,8 10 98

Resolver el problema anterior si el globo baja a razón de 12 m/s.

Datos:

Gráfico:

12 10 9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 12 10

1 9,8 10 2

9,8 10 110

610 6)

Si el globo del problema 4, se encuentra a una altura de 4900m. ¿Qué tiempo tardará el cuerpo en llegar al suelo y con qué velocidad llegará? Datos: 0 4900

Gráfico:

9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 2 0

2 9,8 4900 √96040

309,90 9,8 31,62

309,90 7)

Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo con una velocidad de 24,4 m/s. Determinar: a) El tiempo empleado en caer y b) La altura del punto de partida. Datos: 0

Gráfico:

24,4 9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2

29,4 9,8

1 9,8 3 2

44,1

Si un cuerpo cae en 4s partiendo del reposo, Calcular: a) La velocidad con que llega al suelo y b) La altura del punto de partida.

Datos: 0 4

Gráfico:

9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 1 9,8 4 2

9,8 4 39,2

78,4 9)

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. ¿En qué instante su velocidad será de 6 m/s y a qué altura se encontrará? Datos:

Gráfico:

20 6 9,8

Incógnitas: Solución: 1 2

? ? 6

20 9,8

20 1,42

1 2 28,4

1,42

9,8 1,42 9,84

18,56

10 ¿Qué velocidad inicial debe dársele a un cuerpo para que caiga 980m en 10s? ¿Cuál será su velocidad al cabo de los 10s? Datos: 980 10

Gráfico:

9,8

Incógnitas: ? ?

Solución: 1 2 980 10

1 9,8 10 2 147

147

9,8 10 245

⁄ , hacia arriba desde un 11 Se lanza verticalmente un cuerpo con una edificio de 30m de altura. Calcular el tiempo que se demora en llegar al suelo y su velocidad en ese instante. Datos: 6 / 30

Gráfico:

Incógnitas: ? ; ?

Solución: 2 2 9,8 / 554 / 23,51 /

6 /

9,8 /

24,98 / 0 / 9,8 / ,

0 /

6 / 9,8 /

2,55

0,61

B. 2 2 0 /

2 ,

9,8 / /

30 6 / 9,8 /

1 2 1 6 / 9,8 / 2 30 6 4,9 6 30 0 4,9 6

4 4,9 30 2 4,9

99Â

24,98 9,8 ,

31,83

12 Se suelta una piedra en el fondo de un pozo y 5s después se escucha el sonido de la piedra contra el fondo. Calcular la profundidad del pozo. Datos: 0

Gráfico:

5 340 /

Incógnitas: ?; ? ; ?

Solución: Cuando la piedra cae hasta el fondo del pozo tiene MRUVA, pero cuando se escucha el sonido tiende a ir hacia arriba con MRU. Cuando baje va a tener un tiempo . Cuando sube. ①

5 5

1) Caída libre: ,

, , 1 2 1 2

2) Sonido: ,

100

②

1 2

③

1 2

4,9 25

122,5

4,9

14161000

16660

4,9

132260

14161000

132260 4 4,9 14161000 2 4,9 132260

131207,0282 9,8

Otro 4,9 340

4,9

340 4,9 340 4,9 5 340

122,5

340 ,

101

122,5

49 340

4,9

4,9 ,

13 Se lanza una piedra verticalmente. Se eleva a una altura h y regresa al lanzador. Elabore las siguientes gráficas para el tiempo que la piedra permanece en el aire: y contra t. Solución: y contra t

14 La aceleración en la luna debida a la gravedad es aproximadamente una sexta parte de la que existe en la Tierra. Estime la relación entre la altura a la que podría lanzar una pelota en la luna y la altura correspondiente en la Tierra. La velocidad inicial es la misma pero las atracciones gravitacionales (gravedad) diferentes. Como se sabe que alcanzan el reposo en el punto más alto, tenemos de la conocida ecuación: 2

Que nos queda: 2

Ahora para el caso de la tierra y la luna, simplemente se hace el cociente entre estas dos expresiones respectivamente, obteniendo en este caso que la relación sea de 6 a 1. El objeto lanzado en la luna alcanzará una altura máxima 6 veces mayor a la que alcanzaría en la tierra. 15 Los fanáticos de la aviación compiten para mostrar sus habilidades. Una de las competencias consiste en dejar caer un saco de arena en el centro de un círculo marcando en el suelo, mientras vuelan a una altura y una velocidad determinadas. ¿Qué es lo difícil de la competencia? ¿No sueltan el saco cuando están directamente encima del círculo? Lo difícil seria saber en qué instante se debería de soltar el saco, si segundos antes de pasar por el círculo marcado en el suelo, o en el instante en que se encuentran encima del círculo marcado.

8. DINÁMICA

102

INTRODUCCIÓN El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que corren, las hojas que caen. Prácticamente todos los procesos inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes tales como los de momentos, fuerza y energía. Si el momento, la fuerza, y la energía se conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes. La mecánica, es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momentos, la fuerza y la energía; de ella se derivan: la cinemática, que estudia el movimiento sin tomar en consideración las fuerzas que lo producen, y la dinámica, que a diferencia de la cinemática, fundamenta el estudio del movimiento en las leyes del movimiento propuestas por Newton. DINÁMICA Estudia el movimiento analizando las causas que producen el movimiento y las leyes que lo rigen. Fuerza.-toda acción que aplicado a un cuerpo este cambia su velocidad en módulo, sentido o dirección, que pueden producir deformaciones en el cuerpo. 9. LEYES DE NEWTON 1. PRIMERA LEY DE NEWTON O LEY DE INERCIA Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él. Si un objeto se encuentra en reposo, no hay una fuerza que provoque su movimiento.

103

F → m; m = cte. f = k.a f = m.a Σf = m.a 1N= (kg m)/s^2 1N= (1000g.100cm)/s^2 1N=10^5 g cm/s^2 1N= 10^5 dina ΣF=0

ΣFX=0

ΣFY=0

ΣFZ=0

ΣT=0

El peso es la fuerza que ejerce el planeta o satélite natural sobre los cuerpos que están en su campo. Peso= fuerza de la gravedad Física clásica – masa constante Física relativista – masa variable Todo cuerpo que está en reposo tiende a seguir en reposo si se ejerce una fuerza ser el y todo cuerpo que está en movimiento tiende a seguir en movimiento cuando se ejerce una acción sobre el 2. SEGUNDA LEY DE NEWTON O LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA El cambio de movimiento es directamente proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. Esta es proporcional, ejerce el movimiento. ∙ Fαm cuando la masa es constante y se transforma en igualdad al ser la constante de proporcionalidad. F= k a F= m a » Ecuación de la ley ΣF= m a

104

m g kg

a cm/s2 m/s2

F 1 dina= gcm/s2 1N= Kgm/s2 Kp=kg*

Newton. (De I. Newton, 1642-1727, científico inglés). m. Fís. Unidad de fuerza del Sistema Internacional, equivalente a la fuerza que, aplicada a un cuerpo cuya masa es de un kilogramo, le comunica una aceleración de un metro por segundo cada segundo. (Símb. N). Kilopondio. (De kilo- y el lat. pondus, -ĕris, peso). m. Fís. Unidad de fuerza del Sistema Métrico Decimal, equivalente a la que actúa sobre la masa de un kilogramo sometido a la gravedad normal. (Símb. kp). Dina. (Del gr. δύναμις, fuerza). f. Fís. Unidad de fuerza en el Sistema Cegesimal. Equivale a la fuerza necesaria para mover la masa de un gramo a razón de un centímetro por segundo cada segundo. La masa puede ser constante o variable dependiendo de la física que se esté tratando. m=

Segunda ley de Newton 1.- Fαa ; m=cte ΣFx=max 2.- mαa ; F=cte F=ma ΣFy=may 3.- Fαm ; a=cte ΣFz=maz Tercera ley de Newton.- fuerzas en sentido contrario que están en la misma línea de acción. Principales

Secundarias

Módulo Dirección Ө Sentido Línea de acción Punto de aplicación 105

Sistemas ΣFx=max ΣFy=0

1.- Equilibrio 2.- Acelerado

Partículas ΣF=0 Cuerpos ΣFx=max ΣFy=may

ΣFx=0ΣFx=max ΣFy=mayΣFy=may

3. TERCERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

Ejemplos: Ejemplo 1 Materiales. 1) Papel bond 2) Borrador de pizarra 3) Regla de 30 cm 4) Una silla Desarrollo. Coloque el papel sobre la silla y el borrador encima de este, intente retirar el papel sin mover la silla, para hacerlo con una mano sostenga un extremo del papel y con la otra la regla y en un movimiento vertical con la regla, se podrá retirar el papel. Ejemplo 2 Una mosca al ser golpeada por el matamoscas cae por la gravedad hacia abajo, pero quiere seguir con un M.R.U.

106

Ejemplo 3 Lo sucedido en el viaje espacial del Apolo 12+1 cuando al fallar los instrumentos quedaron a la deriva, y de no ser por la fuerza gravitatoria de la luna hubieran seguido con un movimiento rectilíneo uniforme en el espacio APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON Cuando aplicamos las leyes de Newton a un cuerpo, sólo estamos interesados en aquellas fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.

Cuando una caja está en reposo sobre una mesa, las fuerzas que actúan sobre el aparato son la fuerza normal, n, y la fuerza de gravedad, w, como se ilustran. La reacción a n es la fuerza ejercida por la caja sobre la mesa, n'. La reacción a w es la fuerza ejercida por la caja sobre la Tierra, w'. En otro ejemplo se tiene una caja que se jala hacia la derecha sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la figura de la izquierda.

107

En la figura de la derecha se tiene el diagrama de cuerpo libre que representa a las fuerzas externas que actúan sobre la caja. Cuando un objeto empuja hacia abajo sobre otro objeto con una fuerza F, la fuerza normal n es mayor que la fuerza de la gravedad. Esto es, n = w + F.

En otro ejemplo se tiene un peso w suspendido del techo por una cuerda de masa despreciable. Las fuerzas que actúan sobre el peso son la gravedad, w, y la fuerza ejercida por la cadena, T. Las fuerzas que actúan sobre la cuerda son la fuerza ejercida por el peso, T', y la fuerza ejercida por el techo, T''.

108

9.1. EJERCICIOS DE LAS LEYES DE NEWTON 1)

Dos bloques de masas m1 = 6 kg y m2 = 4 kg están sobre una mesa lisa, ligados por una cuerda. El cuerpo de masa m2 es empujado por una fuerza de 20 N. Calcular la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda que une los bloques. Para m1: Fx  T  m1a (1)

 F

 N1  m1g  0

(2)

Para m2:

F  F  T  m a F  N  m g  0 x

(3)

(4)

De la ecuación (3) se despeja T y se iguala con la ecuación (1): – – : –

a

F 20 N  m1  m2 6 kg  4 kg a = 2 m/s2

Este valor se reemplaza en la ecuación (1): T  m 1a  6 kg  2 m 2  s   T = 12 N

Un bloque se desliza sobre un plano inclinado liso con aceleración de 6,4 m/s2. ¿Qué ángulo forma el plano con la horizontal?

F

 mg sen   ma

(1)

F

 N  mgcos   0

(2) Se despeja de la ecuación (1) el ángulo: mg sen   ma m a a sen    m g g

109

sen  

6,4 m 9,8 m

s 2  0,6531... s2

  sen10,6531...   40,77 º

De una cuerda que pasa a través de una polea penden dos cuerpos de 60 kg y 100 kg de masa. Calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión de la cuerda. m1 = 100 kg m2 = 60 kg a=? T=?

Para m1:

F

 T  m1g  m1a

(1)

Para m2:

F

 T  m2g  m2a

(2)

Se despeja T de ambas ecuaciones y se resuelve el sistema por igualación: T = m1g – m1a T = m2a + m2g

(3) (4) – – –

a

gm1  m2  9,8100  60  m1  m2 100  60 a  2,45

m s2

Este valor se reemplaza en la ecuación (3):

– – 100 9,8 – 2,45 T = 735 N

110

Dos masas de 8 kg, están ligadas por una cuerda como lo indica la figura. La mesa está pulida y la polea no presenta rozamiento. Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. Para el cuerpo 1:

 F  T  ma F  N  mg  0 x

(1) (2)

Para el cuerpo 2:

F

 T  mg  ma

(3)

Se despeja T de las ecuaciones (1) y (3) y se soluciones el sistema por igualación:

–

a

–

g 9,8  2 2

a  4,9

m s2

Este valor se reemplaza en la ecuación (1):

m  T = ma = 8 kg 4,9 2  s   T= 39,2 N

111

Encontrar la aceleración y la tensión del sistema representado en la figura. Se desprecia el rozamiento. Datos 1 3

Gráfico

Incógnita T1=? T2=? a=¿ Σ ∙ 1.

Solución:

∙

1. 2. 3.

Σ 2.

∙

∙ ∙ ∙ ∙ +

∙

Σ 0 3.

∙

∙ ∙

∙

112

∙

∙ ∙

∙

Encontrar la ecuación de la aceleración, de la tensión y luego aplicar al caso de los datos. Datos m1= 1.8kg m2= 1.0kg α = 37° β= 45°

Gráfico

Incógnita T=? a=?

Solución:

Σ 1.

∙

Σ 2.

∙

0 3.

Σ 0 4.

∙

0 sin

∙ ∙ ∙

sin

∙ sin

sin

2,35

sin

113

⁄

∙

sin

8.25 7)

En el sistema de la figura se aplica una fuerza de 25N. ¿Qué masa es necesaria que el cuerpo en el plano inclinado tenga? El sistema partiendo del reposo recorre 3m y adquiere una velocidad final de 1.2 m/s. Datos x= 3m α = 53° F= 25N Vf=1.2m/s Vo=0m/s

Grafico

Incógnita T=? a=?

Solución:

Σ 1.

∙ ∙

Σ 2.

Σ 0 3.

0 ∙ ∙

∙

∙ sin sin

sin 2 2 114

∙

Σ 0 ∙ 4.

1.2 / 2 3 0.24 / 25 .

0.24 9.8 /

sin 53°

3 8)

¿A qué rapidez tendría que moverse un corredor de 72kg para tener la misma energía cinética que un automóvil de 1200 kg que viaja a 2.0 km/h? Datos = 72 kg = 1200 kg = 2 km/h

Gráfico

Incógnita ?

Solución: =

= = 1200

/ 2

= 8,16 km/h 9)

¿Cuánto trabajo se requiere para aumentar la magnitud de la velocidad de un sedán de 800 kg de 15 a 20 m/s? Compare esto con el trabajo requerido para aumentar la magnitud de la velocidad en la misma cantidad, pero ahora de 20 a 25 m/s. Ignore las fuerzas de fricción. Datos = 800 kg = 15 m/s a 20 m/s = 20 m/s a 25 m/s

Gráfico

115

Incógnita W =?

Solución: = =

=W+ = (800) (25 = 250 000 J W= W = 160 000 J - 9000 J J W = 70 000 J 10)

(800 kg ) 15 / = 90 000 J

(800 kg ) 200 = 160 000 J

) W = 250 000 J - 160 000 W = 90 000 J

¿Cuánta fuerza se requiere para acelerar un protón (m =1,67 x kg) m/s en 2.0 cm? (Un protón es un átomo de hidrógeno del reposo a 3 x que ha perdido su electrón). Datos = 1,67 . 10 = 0 m/s d = 0,02 m = 3. 10 m/s Incógnita F=?

Gráfico kg

Solución: PROCESO DINÁMICO

+ 2 ad

F = 1,67 . 10

. ,

F = m .a

F = 3,76 . 10

2, 25 . 10

9 . 10 0,04

116

kg (2 ,25 . 10 N

11)

Un jarrón de 2,0 kg está en una repisa a 0,5 m sobre una mesa, a cual está 0,8 m sobre el suelo. ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del jarrón a) con respecto a la mesa, b) con respecto al suelo?

Datos = 2 kg = 0,5 m sobre la mesa = 0,8 m sobre el suelo

Gráfico

Incógnita mesa suelo Solución: = mgd

= mgd =2 kg (9,8 m/ ) ( 1,3 m) = 25, 48 J

= 2 kg (9,8 m/ ) ( 0,5m) = 9,8 J

12)

Una caja de comestibles se desliza desde el reposo sin fricción, por una rampa inclinada que forma un ángulo de 30° con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja después de deslizarse 2,0m por la rampa? Datos: = 0 m/s = 30˚ μ 0

Gráfico:

Incógnitas: ?

Solución:

= m

sen 30˚ = = 1m

= m = 2g =

2 9,8

= 4,43 m/s

117

13)

Una masa de 3,2 kg parte del reposo en la parte más alta de una rampa de 30° y 6,0 m de longitud. Su velocidad al llegar a la parte más baja es de 3,0 m/s. Use el método de la energía para calcular la fuerza de fricción media que retarda el movimiento de la mesa sobre a rampa. Datos: m = 3,2 kg = 0 m/s = 30˚ d=6m = 3 m/s

Gráfico:

Incógnitas: ? = +

Solución:

= m

14)

.d .d

(3,2) (9,8) (3) = (3,2) (9) + 6 94,1 = 14,4 + 6 , = = 13,3 N El carro de una montaña rusa tiene una masa m. Inicia del reposo en el punto A y viaja por la vía ilustrada en la figura P5.1. Calcule la velocidad del carro en los puntos B y C, suponiendo que la vía no tiene fricción. Datos:

Gráfico:

0 / 8 3 5

Incógnitas:

Solución: =

? =?

= m

= 2 = 2 =

2 9,8

= 9,9 m/s = 118

= m

= 2 = 2 =

2 9,8

= 7,7 m/s 15)

Un bloque se desliza sin rozamiento en el plano horizontal con una fuera de 40N formando un ángulo de 37° por sobre la horizontal. Si la masa del cuerpo es de 5kg. Calcular: la aceleración del sistema y la fuerza normal.

Datos: θ=37° F=40N M=5kg

Gráfico:

Incógnitas: a=? y N=?

Solución: 1.-Como la fuerza tiene un ángulo la descomponemos en sus componentes rectangulares ƩFy=0 N= P- Fy N= (5kg)(9,8m/s2) – 40sen37° N= 24,93 N

ƩFx=ma a= a= a= 6,39 m/s2 16)

Encontrar la aceleración del sistema representado en la figura. Se desprecia el rozamiento y aplíquese al caso de que la masa 1es 2,3kg y la masa 2 1,7kg. Datos: m1= 2,3kg m2=1,7kg

Gráfico:

Incógnitas: a=? T=?

Solución: 1) ƩFx=ma 3) ƩFy=ma T=m1a -T+P2=m2a

2) ƩFy=0 N-P1=0

119

T=m1a -T+P2=m2a P2 = m1a+ m2a P2 m1a m2a 2,3

1,7kg 2,3

1,7

4,17

9,59

4,17 /

17)

Encontrar la aceleración del sistema y la tensión. Datos: m1= 2,3kg m2=1,7kg α=30° µ= Incógnitas: a=? y T=?

Gráfico:

Solución: 1) ƩFx=ma 3) ƩFy=ma T-P1X=m1a

2) ƩFy=0 N-P1y=0

-T+P2=m2a

T-P1X=m1a -T+P2=m2a P2 –P1x = m1a+ m2a P2 m1a 1,7kg

P1x m2a ,

2,3 2,3

1,7

a= 1,35 m/s2 T=m1a +P1x T= (2,3kg)( 1,35 m/s2 ) + 11,27N T=14,38 N

120

30°

18)

Dos bloques, con masas de 1 y 2 kg, están en contacto sobre una mesa horizontal como se indica en la figura. La fricción entre los bloques y la mesa es despreciable se aplica una fuerza horizontal F a m1 haciendo que los bloques se aceleren hacia la derecha a= 3m/s2 a) ¿Cuál es la magnitud de F? b) ¿Cuáles son las fuerzas de comprensión entre los bloques? Datos: m1= 1kg m2=2kg a=3m/s2

Gráfico:

Incógnitas: a=? T=?

Solución:

1.-La aceleración es constante en todo el sistema 1) ƩFx=ma 2) ƩFy=0 3) ƩFy=ma N1-P1=0 Fc=m2a F-Fc=m1a

F=(1kg+2kg)3m/s2

F-Fc=m1a Fc=m2a F = m1a+ m2a

4) ƩFy=0 N2-P2=0

F-Fc=m1a Fc=9N – 3N

F= 9N

Fc =6 N 19)

¿Por qué un pasajero tiende a deslizarse por el asiento cuando un automóvil da vuelta con rapidez a una esquina? Porque el pasajero y el automóvil se encuentran con movimiento recto y el pasajero tiende a seguir en movimiento recto, aunque el vehículo cambie de dirección en un movimiento curvo.

20)

¿Por qué se cae una caja de huevos del asiento si el vehículo frena con demasiada rapidez? Porque el vehículo y la caja se encuentran con movimiento y la caja tiende a seguir en movimiento aunque el vehículo frene

121

21)

Identifique las fuerzas de acción y reacción en el siguiente caso: Un niño patea una lata. La Fuerza de acción en este caso es la fuerza que le aplica el niño a la lata y la de reacción es la que la lata aplica sobre el niño.

22)

Suponga que deja caer un ladrillo desde una altura de varios centímetros, sobre su mano que está apoyada contra su mesa. ¿Por qué es casi seguro que se lastimaría la mano en esta situación, cuando no tendría problemas para atrapar el ladrillo si la mano estuviera libre? Porque el ladrillo aplastaría con todo su peso la mano contra la mesa, y si la mano estuviera libre no tendría problemas para atrapar el ladrillo debido a que podría frenar su caída.

23)

Considere los grandes trapeadores que usan para limpiar los pasillos de las escuelas. Es más fácil deslizar el trapeador por el piso si el magno forma una ángulo pequeño con respecto al piso. Por otra parte, si el ángulo entre el mango y el piso es demasiado grande, no puede mover el trapeador, sin importar con cuanta fuerza empuje. Explique porque. ¿Puede hallar una relación entre el ángulo crítico para el deslizamiento y el coeficiente de fricción entre el piso y el trapeador? Porque se le dificultaría al usuario deslizar el trapeador y así limpiar el piso si el ángulo entre el mango y el piso es demasiado grande; la relación entre el ángulo crítico para el deslizamiento y el coeficiente de fricción entre el piso y el trapeador es que es más fácil deslizar el trapeador por el piso si el magno forma una ángulo pequeño con respecto al piso, en cambio si el ángulo entre el mango y el piso es demasiado grande, no se podrá mover el trapeador, sin importar con cuanta fuerza empuje, debido a el coeficiente de fricción entre el piso y el trapeador.

24)

Un automóvil golpea a otro por la parte trasera. Las lesiones de los conductores son de naturaleza distinta. Explique lo que sucede a cada conductor. El conductor del auto que golpea tiende a irse con el cuerpo hacia adelante, mientras que el conductor del auto que es golpeado en la parte trasera tiende a irse con el cuerpo hacia atrás; debido a la naturaleza del golpe.

25)

Cuando un saltador de altura deja el suelo, ¿de dónde viene la fuerza que lo acelere hacia arriba? La fuerza que lo acelera hacia arriba viene de que primero: el saltador se proyecta así mismo en el aire moviendo sus miembros de forma que haga contra el suelo una fuerza mayor a la de su peso; además, la reacción a ese excedente de fuerza lo acelera hacia arriba.

122

10. ELECTROSTÁTICA La electrostática es la rama de la Física que analiza los efectos mutuos que se producen entre los cuerpos como consecuencia de su carga eléctrica Es decir, el estudio de las cargas eléctricas en equilibrio. La carga eléctrica es la propiedad de la materia responsable de los fenómenos electrostáticos, cuyos efectos aparecen en forma de atracciones y repulsiones entre los cuerpos que la poseen.

11. CAMPO ELÉCTRICO Dos cargas positivas se repelen entre sí, al igual que dos cargas negativas. Una carga positiva y una negativa se atraen.

Frotamiento

Contacto

123

Inducción

La suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema cerrado es constante. 12. LEY DE COULOMB La magnitud de la fuerza de atracción o repulsión que experimentan dos cargas eléctricas, es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Es una ley física que nos describe la fuerza entre dos cargas puntuales en reposo. Nos dice que si tenemos dos cargas puntuales q1 y q2 situadas a una distancia d12, aparece una fuerza eléctrica entre ellas tal que: Módulo

Dirección Sentido

Es proporcional al producto de las cargas. Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas. Es la de la recta que pasa por las dos cargas Depende del signo de las cargas  Cargas del mismo signo se repelen  Cargas de distinto signo se atraen

Matemáticamente esto se expresa como que la fuerza que produce la carga 1 sobre la 2 es:

Dónde: = Cargas eléctricas [Coulomb] = Fuerza [Newton] = Distancia [Metros] = Constante de Coulomb

Las cargas con el mismo signo se repelen Las cargas con signos diferentes se atraen

124

12.1 EJERCICIOS DE LEY DE COULOMB 1) Una carga de 3×10^-6 C se encuentra 2 m de una carga de -8×10^-6 C, ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de atracción entre las cargas?

2) Una carga de -5×10^-7 C ejerce una fuerza a otra carga de 0.237 N a una distancia de 3.5 metro, ¿cuál es el valor de la segunda carga?

? Ahora vamos a sustituir nuestros datos:

125

3) Dos cargas con 2.8×10^-6 C y 7.5×10^-6 C respectivamente se atraen con una fuerza de 10N, ¿A qué distancia se encuentran separadas?

13. DILATACIÓN LINEAL La dilatación lineal es aquella en la cual predomina la variación en una única dimensión, o sea, en el ancho, largo o altura del cuerpo. Para estudiar este tipo de dilatación, imaginemos una barra metálica de longitud inicial L y temperatura θ.

Si calentamos esa barra hasta que la misma sufra una variación de temperatura Δθ, notaremos que su longitud cambia.

Dónde: ΔL Lo ΔT ∝

= Dilatación lineal o longitud Final = Longitud Inicial = Variación de la temperatura = Coeficiente de dilatación lineal. 126

COEFICIENTE DE DILATACIÓN LINEAL

13.1. EJERCICIOS DE DILATACIÓN LINEAL 1)

A una temperatura 15°C una varilla de hierro tiene una longitud de 5 M. ¿Cuál será la longitud al aumentar la temperatura a 25°C? 11.7 10^ 5 15° 25° ?

6° ^

1 5 1 .0000117° ^ 1 25° 15° 5.000585 5.000585 5 .000585

Un elevador usa una cinta metálica de acero que tiene exactamente 50000 m de longitud a 20ºC ¿Qué longitud tiene en un día de verano caluroso en que la temperatura es de 35ºC? Se trata de un problema de expansión lineal donde: la incógnita es la nueva longitud L = ∆L + Lo y conocemos Lo= 50000m, To= 20ºC, Tf= 35ºC y el coeficiente de expansión lineal para el acero α=1.2 x 10-5 K-1, luego ∆ ∆ ∆

∆ 1.2 10 9

1 35º

20º

127

50000

∆ 9 50000 50009 .

Los rieles de una vía de tren de acero, tienen 1500 m de longitud. ¿Qué longitud tendrá cuando la temperatura aumente de 24°C a 45°C?

4) En un experimento en laboratorio los ingenieros quieren saber la temperatura en la que un cuerpo de plomo alcanza los 25.43 m de longitud, cuando inicialmente se mantiene 25.34 m a una temperatura de 26°C. ;

;

14. DILATACIÓN SUPERFICIAL Es aquella en que predomina la variación en dos dimensiones, o sea, la variación del área del cuerpo debido a la intervención de un cambio de temperatura. Para estudiar este tipo de dilatación, podemos imaginar una placa metálica de área inicial A0 y temperatura inicial θ0. Si la calentáramos hasta la temperatura final θ, su área pasará a tener un valor final igual a A.

128

Los lados de una placa sufren dilataciones lineales, provocando una dilatación superficial cuando aumenta su temperatura. Esto se observa en aquellos cuerpos en los que una de sus dimensiones es mucho menores que las otras dos, por ejemplo en chapas, láminas y espejos, etc. Este fenómeno se representa con la siguiente fórmula:

Dónde: = Dilatación superficial o Área Final = Área inicial = Variación en la temperatura = Coeficiente de dilatación superficial. El coeficiente de dilatación superficial de una lámina, que se dilata en la misma proporción a lo largo y lo ancho, se puede obtener multiplicando el coeficiente de dilatación lineal por dos: β = 2α Y se define al coeficiente de dilatación superficial como: la variación de la superficie de una placa, por unidad de área, cuando hay un aumento en la temperatura de 1 ºC. 14.1 EJERCICIOS DE DILATACIÓN SUPERFICIAL: 1) Un amplio rango de temperaturas, que el cambio de longitudes Δl , es proporcional al cambio de temperatura Δt y a la longitud l, de tal manera que podemos escribir: Δl =α lΔt , donde α es el coeficiente de expansión lineal. Este coeficiente tiene diferentes valores para los diferentes materiales y tiene por unidad l/grado. O bien, Δt/l=a Δ t 129

Para encontrar la longitud final después de un cambio de temperatura Δt , escribimos dl /l=α dt, e integraremos considerando la longitud l para t=t1 y l' para t=t2, siendo t_2-ti=Δt 2) ¿Cuál será la longitud de una cinta de aluminio que a 30°c mide 78 cm, si su temperatura se eleva a 80°c? Datos: 78 30° ? 80°

Fórmula: Sustitución: 78 / 1 78 /1

24 10 6 80° 30° 24 6 8 30

3) Dos postes están separados a 25m y los alambres eléctricos de cobre están tensos en un día de verano, cuando la temperatura es de 0°c. ¿Cuál será la longitud de cada alambre en un día de verano con una temperatura de 30°c? Datos: 25 0° ? 30°

1| 25

1 17 10 6° 1 30° 0° 25.00.1245 25 0.01245

4) A una temperatura de 17°C una ventana de vidrio tiene un área de 1.6m^2. ¿Cuál será su área final al aumentar su temperatura a 32°C? 14.6 10 ° 1.6 17° 32°

1.6 ^2 1

14.6 10^ 6° 17° 1.6003504 ^2

1 32°

Af=?

5) Una barra de acero (α = 11 X 10-61/°C) con longitud de 230cm y una temperatura de 50° C se introduce en un horno en donde su temperatura aumenta hasta los 360 ° C. ¿Cuál será la nueva longitud de la barra?

∗ 1 130

∗

230

∗ 1

11. 10 1/° ∗ 360° 230,78

50°

15. CALOR ESPECÍFICO La capacidad calorífica específica, calor específico o capacidad térmica específica es una magnitud física que se define como: Cantidad de calor que necesita un gramo de una sustancia para elevar su temperatura un grado centígrado. ∆ ∆ Dónde: ∆ ∆

= = = =

Calor especifico de una sustancia en / ° o / Cambio de calor en calorías o . Cantidad de masa de la sustancia en g o . Cambio de temperatura igual a

Despejando ΔQ se tiene: ∆

∆

131

15.1 EJERCICIOS DE CALOR ESPECÍFICO 1)

Presa de la gripe, un hombre de 80 kg tuvo 2ºC de fiebre, es decir, tuvo una temperatura corporal de de 39ºC en lugar de la normal de 37ºC. Suponiendo que el cuerpo humano es en su mayor parte agua, ¿Cuánto calor se requirió para elevar la temperatura esa cantidad? Solución: Este problema usa la relación entre: calor (la incógnita), la masa, calor específico y cambio de temperatura. 80 ∆ 4190 / ∗ 4190 ∆ 39º 37º 2º 80 ∗ 2

6.7 105

¿Qué cantidad de calor se debe aplicar a una barra de plata de 12 kg para que eleve su temperatura de 22°C a 90°C? Datos: . 0.056 / ° 12 000 0.056 / ° 90° – 22° 22° 90° 12 000 0.056 / ° 68° 12 12 000 . 45 696 . ?

600 g de hierro se encuentran a una temperatura de 20°C. ¿Cuál será su temperatura final si le suministran 8000 calorías? Datos: 0.113 20° 600 . 8000

/ °

∆

800 600 ∙ 0,113 132

1377,99 4)

Determina la capacidad calorífica de un cuerpo sabiendo que cuando desprende 5 KJ de calor, su temperatura disminuye 1.85 K. Sabiendo que el cuerpo tiene una masa de 3 kg. Datos: ∆ 5 5 10 ∆ ∆ 1.85 3 5 ∙ 10 1,85 2702,7

Calcular la cantidad de calor necesario para elevar la temperatura a 10 Kg. De cobre de 25 ºC a 125 ºC Datos: 10 . 10000 1 25 º 2 125 º 0.09 / . º

∗ 2 – 1 10000 .∗ 0.09 / . º ∗ 125 º 25 º 900 ∗ 100 90000 í

∗

90.000

Se mezclaron 5 Kg. de agua hirviendo con 20 Kg. de agua a 25 ºC en un recipiente. La temperatura de la mezcla es de 40 ºC. Si no se considera el calor absorbido por el recipiente. Calcular el calor entregado por el agua hirviendo y el recibido por el agua fría. Agua hirviendo: El cuerpo más caliente cede calor, el agua hirviendo ha disminuido su temperatura desde 100 ºC hasta 40 ºC Datos: 5 . 50000 1 100 º 1 / . º 40 º

. 1

1 133

1 ∗

∗

– 1

.∗ 1 / . º ∗ 100 º 40 º 5000 ∗ 60 300000 í

5000

300.000 1 300

í í

Agua fría: el cuerpo más frío absorbe calor, el agua fría aumento su temperatura desde 25 ºC hasta 40 ºC Datos: 20 . 20000 2 25 º 1 / . º 40 º

2 2

.∗ 1 / . º ∗ 40 º 25 º 20000 ∗ 15 300000 í 1 300.000 í 1 300 í

1 ∗

∗

2 – 1

200

.∗ 0.09

.º

∗ 100 º

.º 1

1.620

10º í

Un recipiente de aluminio de 2,5 Kg. contiene 5 Kg. de agua a la temperatura de 28ºC. Qué cantidad de calor se requiere para elevarles la temperatura hasta 80 ºC. Datos: Aluminio 1 2,5 . 2500 . 1 28 º 80 º 0.21 /

1 1

.º

1 ∗

∗

2500 .∗ 0.21 / 28 º 1 525 ∗ 52 134

– 1

Se tienen 200 gr. de cobre a 10 ºC. Qué cantidad de calor se necesita para elevarlos hasta 100 ºC. Datos: Cobre: 1 200 . 1 10 º 2 100 º 0.09 /

∗

20000

2 ∗

– 1 . º ∗ 80 º

1 Datos: Agua: 2 5 . 5000 . 1 28 º 80 º 1 /

27.300

2 ∗

∗

– 1

.º

5000

.∗ 1 / . º ∗ 80 º 28 º 5000 ∗ 52 260.000 í

En este caso absorben calor el recipiente de aluminio como el agua. Por lo tanto es necesario calcular el calor absorbido por cada uno y luego sumarlos.

1 2 27.300 260.000 287.300 í

En un recipiente que contiene 5000 gr, de agua a 20 ºC se coloca a 100 ºC un bloque de hierro de 500 gr. Cuál debe ser la temperatura de equilibrio, si se supone que el recipiente no recibe ni cede calor. Datos: Agua: Al estar a menor temperatura que el hierro absorbe calor. 1 5 . 5000 . 1 20 º ? 1 / . º

Datos: Hierro: Al estar a mayor temperatura cede calor 2 500 . 1 100 º ? 0,43 / . º

1 1

1 ∗

2 ∗

500

2 2

135

– 1

5000 .∗ 1 / . º ∗ 20 º 1 5000 ∗ 20 1 5000 – 100.000

2 2

∗

– 1

.∗ 0,43 / . º ∗ 100 º 215 ∗ 100 21500

215

Como la cantidad de calor absorbido por agua = al calor cedido por el hierro 1

5000

– 100.000

21.500

215

5000

215

21.500

100.000

5215

121.500

121.500/5.215 23,29 º

10) Calcular las cantidades de calor para elevar la temperatura desde 18 ºC hasta 80 ºC de 12 Kg. de plomo. Datos: Plomo: 1 12 12000 1 18 º 80 º 0,03

. .

.º

1 ∗

∗ – 1 12000 .∗ 0,03 / . º ∗ 80 º 18º 360 ∗ 62 28.320 í

11) Calcular las cantidades de calor para elevar la temperatura desde 18 ºC hasta 80 ºC de 12 Kg. de aluminio. Datos: Aluminio: 2 12 12000 1 18 º 80 º 0,21

. .

.º

∗

– 1

12000 .∗ 0,21 / . º ∗ 80 º 18º 2520 ∗ 62 156.240 í

136

1 ∗

12) Qué cantidad de calor se libera cuando 50 gr. de agua contenida en un vaso de aluminio de 40 gr. se enfría en 60 ºC. Datos: Agua:

1 1 50 . 1 60 º 1 / . º

1 ∗

∗

– 1

50 1

Datos: Aluminio: 2 40 . 1 60 º 0,21 / . º

.∗ 1

. º ∗ 60 º

3.000

2 ∗

∗

– 1

.∗ 0,21 2

504

. º ∗ 60 º í

En este caso absorben calor el recipiente de aluminio como el agua. Por lo tanto es necesario calcular el calor absorbido por cada uno y luego sumarlos.

1 2 3.000 504 3.504 í

16. CALORIMETRÍA La calorimetría es la parte de la física que se encarga de la medición del calor en una reacción química o un cambio de estado usando un instrumento llamado calorímetro. Pero también se puede emplear un modo indirecto calculando el calor que los organismos vivos producen a partir de la producción de dióxido de carbono y de nitrógeno (área en organismos terrestres), y del consumo de oxígeno.

137

ΔU = cambio de energía interna Como la presión no se mantiene constante, el calor medido no representa el cambio de entalpía. CALORIMETRÍA A PRESIÓN CONSTANTE El calor medido es igual al cambio en la energía interna del sistema menos el trabajo realizado: ∆ Como la presión se mantiene constante, el calor medido representa el cambio de entalpía. ∆ 16.1. EJERCICIOS DE CALORIMETRÍA 1) La figura representa la temperatura T en función del calor absorbido Q por 10 gramos de un líquido inicialmente a 0 ºC. Calcular la temperatura de ebullición del líquido (en ºC) y el calor de vaporización (en cal/g)

Para que el líquido se pueda vaporizar, debe alcanzar la temperatura de ebullición. Mientras el líquido se convierte en vapor, su temperatura se mantiene constante. En la figura podemos observa que la temperatura es constante a 80 ºC. Luego la temperatura es de 80 ºC. Para que todo el líquido se convierta en vapor, necesita ganar: Datos: 3 000 – 1 000

2 000

138

200

10 /

2) Sobre un cubo de hielo a 0 ºC se coloca una moneda de plata de 1,5 cm de diámetro, de 15 g, que se encuentra a 85 ºC. Cuando la moneda está a 0 ºC ha descendido en el hielo “h” cm. manteniéndose horizontal. Sin considerar las pérdidas de calor al medio ambiente, calcule la distancia “h” en cm.

Datos: / º ó

0,92 / 3 5,59 10 2 80

15 5,59 10

La masa de hielo que se derrite:

0,89 0,89

0,92

0,89

0,92 3)

0,89

0,54

En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable contiene agua a 40 ºC. Si se vierten 100 g de hielo a -80 ºC al cabo de cierto tiempo se observa que no todo el hielo se derrite. ¿Cuántos gramos de agua había originalmente? Suponiendo que se derrite exactamente todo el hielo, la temperatura final es 0 ºC: Datos: 0 → 0 ó 0 1 0 – 40 100 0,5 0 139

100 80

4 000 8 000 300

Pero, no todo el hielo se derrite, entonces había menos de 300 g de agua 5 Se vierte 150 g de café caliente a 85 ºC dentro de un vaso con tapa de vidrio de 210 g incluyendo la tapa a 22 ºC. Calcular el calor específico del vidrio en cal/g ºC, si la temperatura de equilibrio es 70,68 ºC. Considere que no se intercambia calor con el ambiente. Cecafé = 4 000 J/kg ºC Datos: é

4 000

0,96

é é

0,15 0,96 70,68

0,21 0,2

70,68

/ º

Un calorímetro cuyo equivalente en agua es de 50 g contiene 300 g de agua a la temperatura de 28 ºC. Si se introducen 20 g de hielo a 0 ºC. ¿Cuál será aproximadamente la temperatura final de equilibrio?

Datos:

0 → 1

3 3

20 80

20 1 1 600

300 1 20

350

T=22,16 ºC

140

0 0

Un bloque de hielo de masa 4 777 g a 0 ºC cae desde una altura de 14 m a un lago congelado a 0 ºC. Calcular la masa (en gramos) del hielo que se funde. (g= 10 m/s2 LFusión = 80 cal/g) Datos: 1 0,24

La energía potencial (Ep) se convierte en energía calorífica : 80 4,777 10 14 80 4,777 10 14 0,24

Un vaso de vidrio con una masa de 30 g contiene 300 ml de agua a 30 ºC, si se coloca un cubo de hielo a 0 ºC de masa 50 g en el vaso. Calcule aproximadamente la temperatura final de equilibrio. Datos: LFusión del hielo = 80 cal/g; CeVidrio = 0,15 cal/g ºC

0 → 1

50 80

50 1

300 1

30 30 0,15 4 000 50 300 9 000 4,5 135 354,5 5 135 → 14,48 º

141

30 0

Un bloque de cobre de 5 kg que está a 300 ºC se introduce en un recipiente con paredes aislantes que contiene una mezcla de hielo y agua a 0 ºC. Luego de un tiempo se alcanza el equilibrio y el bloque de cobre queda con una temperatura de 0 ºC. Calcular la cantidad de hielo, en kg, que se fundió.

Datos: CeCu = 0,094 cal/g ºC; LFusión= 80 cal/g

0 →

0 0 5 000 0,094 0 300 80 0 1 762,5 1,76

Una caja llena de perdigones de plomo se lanza verticalmente hasta una altura de 4m sobre el piso, luego cae al suelo quedando en reposo. Suponiendo que las paredes de la caja son aislantes térmicos ideales y la temperatura inicial de los perdigones era de 20 ºC. Calcule la temperatura final de los perdigones después de efectuar cinco lanzamientos. En cada lanzamiento la energía potencial gravitatoria (Ep=mgh) se convierte en calor (Q). En cinco lanzamientos se cumplirá: Datos: CePb= 0,128 kJ/kg K; 5 g= 9,8 m/s2 5 128 20 5 9,8 4 21,53 º

17. LONGITUD DE ONDA Es la distancia que existe entre dos puntos sucesivos que se encuentran en el mismo estado de vibración (misma elongación, velocidad, aceleración…). Se simboliza mediante la letra griega λ (lambda) y se expresa en unidades de longitud (m).

142

Tipos de ondas TIPOS DE ONDAS Transversales Longitudinales Mecánicas Electromagnéticas Ondas sísmicas P Ondas sísmicas S Ondas en una cuerda Ondas de rayos X Ondas del sonido Ondas en el agua Ondas de la luz Ondas en un muelle Ondas de radio y TV Microondas

17.1. EJERCICIOS DE LONGITUD DE ONDA 1)

La onda de la figura se propaga a una velocidad de 20 m/s.

Datos: La elongación en los puntos A y B. 0,5 0

La longitud de onda.

La amplitud. 1 143

El periodo.

0,2 La frecuencia. 1 1 0,2 2)

Responde: ¿Cómo variará la frecuencia cuando aumente la longitud de una onda? > ⇒< ¿Cuántas oscilaciones por segundo dan una onda con una frecuencia de 10 Hz? 10 ⇒ 10

Calcula la frecuencia de una onda cuyo periodo es 0,025 s. Datos: 1 0,025

1 0,025 40 40 4)

Calcula el periodo de una onda cuya frecuencia es 20 Hz. Datos: 1 20

144

1 20

0,05

El periodo de una onda es 3 s y su longitud 9 m. Calcula su velocidad de propagación. Datos: 3 9 ¿ ? 9 3 3 /

Una onda de 12 m de longitud se propaga con una velocidad de 6 m/s. Calcula su periodo y su frecuencia. Datos: 12 12 ⇒ 2 6 / 6 / ¿ ? ¿ ? 1 1 0,5 0,5 2

Una onda se propaga a 2,5 m/s con un periodo de 0,4 s. Calcula su longitud. Datos: 2,5 / ⇒ 2,5 / 0,4 1 0,4 ¿ ?

Calcula la velocidad de propagación de una onda sabiendo que su longitud de onda es 0,05 m y su frecuencia 20.000 Hz. Datos: ¿ ? 0,05 0,05 20.000 20.000 0,05 20.000 1.000 /

Una onda se propaga con una velocidad de 3.000 m/s y tiene 15.000 Hz de frecuencia. Calcula la longitud de onda. Datos: 3.000 / ⇒ 15.000 . ¿ ? 15.000 .

15.000 145

0,2 10) La velocidad de propagación de una onda es 750 m/s y la longitud de onda es 0,025 m. Calcula su frecuencia y su periodo. Datos: 1 250 / 0,075 ¿ ? 1 T ¿ ? 30.00 0,025

1 30.000

30.000 30.000

0,00003̄

11) Un vibrador genera, en la superficie del agua, ondas de 8 cm de longitud y 16 cm/s de velocidad de propagación. Calcula el periodo y la frecuencia de las ondas. Datos: 1 8 ⇒ 16

? ?

1 0,5 2

0,5

18. TÉRMINOS BÁSICOS ACELERACIÓN UNIFORME  Rapidez constante Un objeto se mueve con rapidez constante cuando recorre las mismas distancias en cada unidad sucesiva de tiempo.  Rapidez media La rapidez media es la distancia recorrida en cada intervalo de tiempo transcurrido.

146

 Rapidez instantánea Es una cantidad escalar que representa la rapidez en el instante en que un cuerpo está en un punto arbitrario. Es la razón de cambio de la distancia respecto al tiempo.  Velocidad instantánea Es una cantidad vectorial que representa la velocidad en cualquier punto. Es en consecuencia la razón de cambio de desplazamiento respecto al tiempo.  Aceleración La aceleración es el movimiento en el que la magnitud o la dirección cambian respecto al tiempo.

 Aceleración uniforme (aceleración constante) El tipo de aceleración más sencillo es el movimiento rectilíneo, en el que la rapidez cambia a razón constante.  Inercia Es una propiedad de los cuerpos, es una resistencia al cambio de movimiento  Aceleración gravitacional Es una aceleración constante la cual corresponde a un movimiento uniformemente acelerado.  Desplazamiento Es la ubicación o posición del objeto en relación con su posición.  Proyectil Es un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia.  Alcance Cuando la velocidad horizontal es constante el alcance queda determinado tan solo por el tiempo en el aire. 147

EQUILIBRIO TRASLACIONAL Y FRICCIÓN  Equilibrio Las fuerzas pueden actuar de tal forma que causen el movimiento o que lo eviten. Las fuerzas resultantes que actúan en cualquier punto deben estar equilibradas para mantenerse en equilibrio.  Primera ley de Newton Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos de que una fuerza no equilibrada actúe sobre él.  Segunda ley de Newton La aceleración a de un objeto en la dirección de una fuerza resultante (F) es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa (m). .  Tercera ley de Newton Para cada fuerza de acción debe haber una fuerza de reacción igual y opuesta.  Fricción Es la interacción horizontal entre superficies que se encuentran en contacto.  Fuerza de fricción Las fuerzas de fricción son paralelas a las superficies y se opone al movimiento relativo cuando un cuerpo se mueve estando en contacto con otro objeto.  Inercia Newton llamó inercia a la propiedad de una partícula que le permite mantenerse en un constante estado de movimiento o de reposo.  Fuerza de reacción Es la fuerza ejercida por el segundo cuerpo sobre el primero, siempre que dos cuerpos interactúan entre sí.  Equilibrante Se denomina equilibrante cuando en un sistema de fuerzas que no esté en equilibrio puede equilibrarse si se sustituye la fuerza resultante por una fuerza igual pero opuesta. 148

 Equilibrio traslacional Un cuerpo se halla en estado de equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.  Diagrama de cuerpo libre Son diagramas donde se gráfica y se representa como un vector las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.  Peso Es la atracción gravitacional de un cuerpo por parte de la Tierra, no obstante, ejerce una fuerza real y debe considerarse un factor importante en cualquier problema de fuerzas, la dirección del vector peso debe considerarse siempre hacia abajo.  Fricción estática Es la acción de una fuerza cuando un cuerpo no se mueve.  Fricción cinética Al aplicar una fuerza y al aumentarla llegara el momento en que el cuerpo se moverá. La fricción cinética es la fuerza de fricción ejercida por la superficie horizontal mientras se mueve un cuerpo.  Coeficiente de fricción estática Es una constante de proporcionalidad, se trata de una cantidad sin dimensiones, para esta constante es necesario un nuevo valor de una fuerza para así poder superar la fuerza de fricción estática.  Coeficiente de fricción cinética Es una constante de proporcionalidad, se trata de una cantidad sin dimensiones, para este coeficiente se requiere de más fuerza para mantenerlo en movimiento a rapidez constante.  Fuerza normal Es la fuerza perpendicular con la superficie de contacto, pero jamás debe darse por hecho que la fuerza normal es igual al peso debe realizarse la sumatoria de fuerzas en su eje normal.  Ángulo de reposo Cuando un bloque independientemente de su peso, permanecerá en reposo sobre un plano inclinado a menos que la tan θ sea igual o exceda a .

149

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