I.E. “NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO” Hermanas Dominicas de la Inmaculada Concepción Chiclayo- Perú
“CON LOS OJOS DE LA FE ENCONTRAMOS A JESÚS LUZ DEL MUNDO” AREA DE MATEMÁTICA
FACTORIZACIÓN CONCEPTOS PREVIOS:
Donde A, B y C son factores primos y “r, s y t” son los exponentes de los mismos, el número de factores algebraicos estará dado por:
1) MULTIPLICACIÓN INDICADA. Le llamamos así a la operación de multiplicación pero sin efectuar. Es decir, toda la expresión aparece en factores.
Nº de Factores Algebraicos = (r+1)(s+1)(t+1)-1 Ejemplos: ¿Cuántos factores algebraicos tienen las siguientes expresiones? • (x+7)(y-3)2 Nº F A = (1+1)(2+1) -1 = 5 • x3(x+1)2(x-3)4 Nº F A = (3+1)(2+1)(4+1) -1 = 59
Ejemplo: (x+7)(2y+3)(8-x) 2) POLINOMIO SOBRE UN CAMPO. Si un polinomio tiene coeficientes racionales, se dice que es un POLINOMIO SOBRE EL CAMPO RACIONAL (Q) o simplemente: POLINOMIO EN Q. Si un polinomio tiene coeficientes racionales y al menos un coeficiente irracional decimos que se trata de un POLINOMIO SOBRE EL CAMPO REAL (R) o simplemente: POLINOMIO EN R. Ejemplos: P(x)=2x3 + 0,5x – 7 POLINOMIO EN Q P(x)=3x4 + 2 x + 2 POLINOMIO EN R
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Existen muchos métodos para factorizar, pero estudiaremos lo siguientes: 1) A)
3) POLINOMIO PRIMO. Es un polinomio de grado diferente de cero divisible sólo entre sí mismo y cualquier constante.
Ejemplos:
Ejemplos: x-5 x2 + 8
Factorizar: 6x3 – 12x2=6x2(x-2) FCM 3x3y – 15x2y2=3x2y(x-5y) FCM
4) FACTORIZACIÓN. Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de factores primos sobre un determinado campo numérico. Ejemplos: Factorizar: • x2 – y2 = (x + y) (x - y) • xy - xz = x(y-z) 5) Cálculo del número de factores algebraicos. Si P es un polinomio que factorizado se escribe así: P=Ar.Bs.Ct
FACTOR COMÚN MONOMIO Y POLINOMIO FACTOR COMÚN MONOMIO (FCM). Es igual al MCD de los coeficientes seguido de las variables comunes con sus menores exponentes. Para factorizar se divide cada término del polinomio entre el FCM, obteniéndose el segundo factor.
B)
FACTOR COMÚN POLINOMIO (FCP) Es el polinomio repetido en todos los términos de otro polinomio, con su menor exponente. Ejemplos: Factorizar: 8x2(a - 1) – 6y2 (a-1) = 2(a - 1) (4x2 – 3y2) FCP x(a +b) – y (a +b) = (a +b) (x-y)
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FCP 2) FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. Este método es usado cuando no existe factor común consiste en agrupar convenientemente con la finalidad de conseguir factores comunes y el número de términos que se reúnen dependen del número de términos del polinomio dado. Ejemplos: Factorizar:
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18. 8abc3(x+3y)-7a2bc(x+3y) =) 19. (3x-2)(x-2)+(3x-2)(x+1) = 20. (x+2)2(x+5)+(x+5)(x+2) = 21. x3+xz+x2y2+y2z = 22. x2 -3xz+2xy-6yz 23. 3x3 -2x2y+2xy-6yz = 24. ax-2ay+3bx-6by = 25. 10ax +by -2ay-5bx = 26. 21x2y +3x – 14xy -2 =
= (ax + bx) + (by + ay) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y) ax3 + bz2 + bx3 + az2 = (ax3 + bx3) + (by2 + ay2) = x3(a + b) + y2(a + b) = (a + b) (x3 + y2)
Ejercicios de aplicación Factorizar: 1. 6a + 18b =
27. 12a2-10ab2+5b3-6ab = 28.
1 2 1 x y − yz − xy 2 + xz 4 4
29. 2ax+3a+x+3/2 = 30. x2 –y-y2 –x = 31. 9a2 -25b2 -3a -5b = 32. a2 -3a – b2 +3b = 33. x2 -2xy+y2 –x+y =
34. 3x 2 +
2 1 + 6x + x 5 5
35. x3+3x2 –x -3 =
2. 12x +8bx = 3. ab2 + a3b = 4. x3 – x2 =
3) FACTORIZACIÓN POR IDENTIDADES. Consiste en factorizar un polinomio aplicando Productos.
5. b4 – b3x = 6. 36xy – 18xz =
A)
7. 6x2y2 -24xy = 8. 8x3 – 16x2y =
Diferencia de Cuadrados: Recordemos: (a + b) (a - b) = a2 – b2 Ejemplos:
9. 20ax2 +36abx = 10. a3bx + 3a2b2y – 5a4b3z = 11. 3x(5a-2b)+2y(5a-2b) =
Factorizar: 4x2 – 9 = (2x + 3) (2x - 3)
12. 12a(x2 – y2)+5(x2-y2)=
16x4 – 25y10 = (4x2 + 5y5)(4x2 – 5y5)
13. 4x2(y-1)-9(y-1)= 14. 7x(8m+3)+8m+3 = 15. x+2y-3z(x+2y) = 16. xy2(2-a)+x2y(2-a) =
B)
Suma de Cubos: Recordemos: a3 +b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
17. (x-3)(x+2)+(x-3)(x-1) =
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9.
Ejemplos: Factorizar:
(
)
27x + 1= ( 3x + 1) 9x − 3x + 1 3
2
16 2 x − 36 = 9
10. 81 −
1 2 z = 9
11. 144 –a2n=
C)
64 3 4 2n 2n 4 16 x + y 9 = x + y 3 x 2 − xy 3 + y 6 12. 49x –y = 125 5 5 25 13. x2 -9=
Diferencia de Cubos: Recordemos:
14. x4-81=
a3 – b3= (a - b) (a2 +ab + b2)
15.
Ejemplos:
16. 8x3 +1= 17. x3 +64=
Factorizar:
(
)(
3 6 3 a9 – 8 = a − 2 a + 2 a + 4
)
(125 a12 -1) = (5 a4 -1)(25a8 + 5a4+1) D)
1 4 1 6 x − y = 25 9
Trinomio Cuadrado Perfecto: Recordemos:
18. 125x3 +27y3= 19. 8 +1000x3= 20. 1+27x6= 21. 343x9+1= 22. x3 + x-3 = 23. 729x3 +y6=
2
2
2
a +2ab+b = (a + b) a2 -2ab+b2 = (a – b )2
24. 64 +27x3= 25. x3 -1=
Ejemplos:
26. 8 –x3=
Factorizar: 9x2 + 30xy + 25y2= (3x + 5y)2
27. 64x3 –y3=
16 a2 – 8a + 1
= (4a -1)2
Ejercicios de aplicación
28. x3- a3b3= 29. x6 -27y9= 30. a6 -64y9= 31. x9-y6= 32. 64x12 -1=
Factorizar: 1. x2 -121= 2. 64 –x2= 3. 36x2 -1= 4. 49 -16x2= 5. 25x2 -4y2= 6. 2x2 -200= 7. 6a2-6b2= 8. x4y2-1=
33. 216x3 -125y6= 34. 1331x9 –y3= 35. x2 +18x +81= 36. x2 +24x +144= 37. x2 +20x +100= 38. x2 +16x +64= 39. x2 +30x +225= 40. 4x2 +12x +9= 41. 9x2 +30x +25=
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42. 25x2+10x+1= 43. 49x2+42x+9= 44. 121x2 +132x +36=
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S ig n o d e la sum a del p ro d u c to en aspa
45. 4x2+y2+4xy= 46. x2-8x+16=
lo s fa c to r e s te n d rá n s ig n o s d ife re n te s
x x
2
- x - 6 - 3
x
47. x2 -14x +49= 48. x2 -26x +169=
-3 x
+ 2
2x - x
x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)
49. x2 -12x +36= Factorizar: 10x2 + 23x 5x 2x
50. x4n -2x2n +1= 4) MÉTODO DEL ASPA A)
ASPA SIMPLE: Se usa para factorizar trinomios que no son cuadrados perfectos y que tiene la forma: ax2+bx+c. Para aplicar el método del aspa simple, para la cual se siguen los siguientes pasos: Descomponemos el 1er término en dos factores que multiplicados resulte el mismo. Descomponemos el 3er término en dos factores que multiplicados nos permita volver a obtener el mismo número. Enseguida hallamos la suma de los productos en aspa de los cuatro términos hallados. Ejemplos:
x2 + 5xy + 6y2 = (x + 3y) (x + 2y)
+ 12 +4 +3
8x 15x 23x
Luego: 10x2 + 23x + 12 = (5x + 4)(2x + 3) 3x2 + 19x 3x x
– 14 -2 +7
- 2x +21x 19x
Luego: 3x2 + 9x – 14 = (3x - 2) (x + 7)
Ejercicios de aplicación Factorizar: 1. x2
+11x
+24
2. x2
+13x
+22
3. x2
+9x
+20
4. x2
+14x
+13
5. x2
+15x
+54
6. x2
+16x
+28
7. x2
+2x
-8
8. x2
+5x
-24
9. x2
+8x
-48
10. x2
+15x
-16
11. x2
+6x
-72
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12. x2
+5x
-36
39. 10x2
+17x
13. x2
+13x
-48
40. 4x2
+8x
14. x2
+6x
-40
15. x2
-14x
-32
16. x2
-7x
-44
17. x2
-16x
-132
B)
-15x
+56
20. x2
-13x
+40
21. x2
+5x
-36
22. x2
+9x
-22
23. x2
+13x
-68
24. x2
-12x
-45
25. x2
+9x
+18
26. 2x2
+x
-10
2
+13x
-24
28. 3x2
+14x
+8
29. 3x2
+35x
-12
30. 4x2
-5x
-21
27. 2x
31. x2+13x+22 32. 5x2
-28x
-12
33. 4x2
+25x
+6
34. 3x2
+2x
-1
35. 2x2
-x
-15
36. 5x2
+31x
+6
37. 5x2-11x+6 38. 6x2
+7x
-3
-21
ASPA DOBLE: Se emplea para factorizar algunos polinomios que tienen la siguiente forma general: Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx +Ey +F El procedimiento es el siguiente: 1º) Se trazan 2 aspas simples entre los términos Ax2 ∧Cy2 y Cy2∧F. 2º) Se traza un aspa mayor entre los extremos Ax2∧F. 3º) Se verifican las aspas simples y el aspa mayor. 4º) Se forman factores como en el caso anterior (horizontalmente)
18. x2-12x-64 19. x2
+6
Ejemplo: Factorizar:
x2 + 5xy + 4y2 + 2x + 5y + 1 x +4y +1 x +y +1 1º Aspa: xy + 4xy =5xy 2º Aspa: 4y + y = 5y 3º Aspa (mayor): x + x =2x x2 + 5xy + 4y2 + 2x + 5y + 1 = (x + 4y + 1) (x + y + 1) C)
Aspa Doble Especial: Se utiliza para factorizar polinomios de 4º grado de la forma general: Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E El procedimiento es el siguiente: 1º) Se aplica un aspa simple en los términos extremos Ax4 y E 2º) El resultado se resta del término central Cx2.
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3º)
Expresar la diferencia en 2 factores y colocarlos debajo del término central. 4º) Luego se aplican 2 aspas simples y se toman horizontalmente los factores. Ejemplo: Factorizar:
6x4 – 13x3 +7x2 + 6x – 8 3x2 +4 → 8x2 2x2 -2 →-6x2 2x2 → 7x2 - 2x2 = 5x2 6x4 – 13x3 +7x2 + 6x – 8 (5x2) 3x2 -5x +4 2 2x -x -2 2 2 (3x – 5x +4) (2x –x - 2) Factorizar:
6x4 + 5x3 - 14x2 + x + 2 3x2 +2 → 4x2 2x2 +1→ 3x2 7x2 →-14x2 - 7x2 = -21x2 6x4 + 5x3 - 14x2 + x + 2 (-21x2) 3x2 +7x +2 2 2x -3x +1 2 2 (3x + 7x + 2) (2x –3x + 1) 3x +1 2x -1 x +2 x -1 (3x+1)(x+2)(2x-1)(x-1) 5) EVALUACIÓN BINÓMICA
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Se denomina también Divisores Binomios.
Método
de
los
Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado. Procedimientos a seguir: 1º) Se determinan los ceros del polinomio. 2º) Se deduce el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica: 3º) “Si un polinomio P(x) se anula para x =a ó P(a) =0, entonces dicho polinomio tendrá una factor (xa)” 4º) El otro factor se determina utilizando el Método de Ruffini, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado para poder aplicar aspa doble especial o de segundo grado que es más sencillo de factorizar). Ejemplo: Factorizar: 2x3-5x2+x+2 x = 1 →2(1)3-5(1)2+1+2 2 – 5 + 1 + 2 =0 1º factor (x - 1)
2
-5
1
2
2
2 -3
-3 -2
-2 0
1
(x - 1)(2x2 - 3x - 2) 2x +1 x -2 (x - 1)(2x+1)(x-2) 6) SUMA Y RESTA(QUITA Y PON)
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Se basa en el siguiente principio matemático: “Si a una expresión se le suma y se le resta una misma expresión, la expresión inicial no varía” Ejemplo:
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18. 4x3 -4x2 -x +1 19. x4 -5x2 +4 20. x3 -7x2 +15x -9 21. 4x4+y4
Factorizar: x4 + 4y4 x4 +4x2y2 + 4y4- 4x2y2
22. 4a4 +81
T.C.P (x2 + 2y2)2 – (2xy)2 (x2 + 2y2 +2xy) (x2 + 2y2 -2xy)
24. 4m4+3m2+9
Ejercicios de aplicación Factorizar: 1. 6x2 + 7xy -3y2 +11x-11y -10
23. a4+a2b2 +b4
25. 16x4+4x2+1 26. 4x4+3x2+1 27. 36m4+15m2n2+4n4 28. 9x4+2x2+1
2. 2x2 - 3xy -2y2 – xz +7yz -3z2
29. 9x4+8x2y2+4y4
3. 2x2 - xy -3y2 - 11x + 7y -2
30. x4+x2+1
4. 3x2 + 5xy +2y2 - 2x - 3y -5 5. 5m2 + 26mn +5n2 -14m-22n +8 6. 12x2 - 11xy +2y2 +11x - 4y +2 7. 2x2 + xy - y2 + 3yz – 2z2 8. 3x2 + 2xy -y2 + xz -3yz - 2z2 9. 15x2 - 8xy +y2 +31xz-7yz +10z2 10. 3x2 - 5xy -2y2 –xz+2yz +0z2 11. x3 +6x2 +11x +6 12. x3 -3x2 -x +3 13. x3 +8x2 +5x -50 14. x3 +10x2 +23x +14 15. 2x3 +13x2 +8x -48
EJERCICIOS NIVEL BÁSICO 1) Indicar el factor común que tienen siguientes trinomios: I) x2 + 5x – 14 II) x2 – x – 2 III) x2 + 3x – 10 a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3 d) x – 1 e) x – 2
los
2) Factorizar: nx– 2ny – mx + 2my a) (x – 2y) (n - m) b) (x + 2y) (m - n) c) (x - y) (n – 2m) d) (x + 2y) (m – 2n) e) (x – 2y) (m - n) 3) Factorizar: a4 + a3 – a2 - a; indicar un factor obtenido: a) a3 – 1 b) a2 + a + 1 c) a2 + 1 2 d) a – 1 e) a –a – 1
16. 15x3 +31x2 -4 17. 9x3 +45x2 -x -5
4) Factorizar:a2b2c2 + ab2c + abc2 + bc señalar un factor primo binomio
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a) bc + 1 d) ac + 1
b) a2 + 1 e) c + 1
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c) b2 + 1
Un factor primo es: a) 2x2 – 1 b) 4x2 – 1 d) x + 1 e) 2x + 2
5) Dar la suma de los factores primos de: x2 + 4abx – (a2 – b2)2 a) x + ab b) x + 2ab c) 2x + 4ab d) 2x e) 2x + a + b 6) ¿Cuántos factores primos se obtiene factorizar x3 y2 – x3 – y2 + 1? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13) Al factorizar el polinomio E = x16 – 17x8 + 16 se obtiene como uno de sus factores a: a) x8 + 16 b) x8 + 1 c) x6 + 16 6 d) x – 16 e) x – 1 al
7) Hallar la suma de los factores primos en: a2 – b2 – c2 + d2 – 2(ad - bc) a) a – d b) 2a – d c) a + d d) a – 2d e) 2a -2d 8) Cuántos factores primos lineales admite: a5 – 4a3 + a2 -4 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 9) En el esquema de aspa doble que se muestra a continuación: Ax2 + Cxy + 6y2 + 18x + Dy + F 3x 2y 3 2x By E Calcular: A – B + C + D + F – E a) 41 b) 38 c) 60 d) 59
c) 2x – 1
e) 61
10) Luego de factorizar el polinomio: P = xn+4 + xn y m + x4 y4 + ym+4 Se obtiene un factor primo equivalente a: (x4 + y5) Si m+ n = 8, hallar M = n m +n a) 3 b) 8 c) 4 d) 6 e) 2 NIVEL INTERMEDIO 11) Determinar los valores de A que hacen factorizable el polinomio x2 + Ax + 18 y dar como respuesta su suma. a) 39 b) 30 c) 28 d) 20 e) 10 12) Al factorizar el polinomio mediante el método del aspa simple se realiza lo siguiente: 8xa + bx2 – (2 + d) cx2 1 4x2 d
14) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar 10x3+13x2- 3x? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15) Uno de los factores que se obtiene al factorizar (3x2 + 5x) – 2 (x2 + 3) es: a) x + 1 b) x – 1 c) x – 6 d) x + 3 e) x – 2 16) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar 6x2 + 5xy – 6y2? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 17) Al factorizar 6x2 – 11x – 35 se obtiene como uno de sus factores: a) 3x - 5 b) 2x + 7 c) 3x + 5 d) 3x + 7 e) 5x + 7 18) Al factorizar 3x6 – 11x3 + 8 se obtiene: a) (x3 - 1) (3x3 + 8) b) (x - 1) (x2 + x + 1) (3x3 - 8) c) (x3 + 1) (3x2 + 8) d) (x + 1) (x2 – x + 1) (3x3 – 8) e) (x3 - 1)) (x2 + x + 1) 19) Simplificar:
x −3 x −4 x +3 d) x +4 a)
x2 − 9 x 2 − x − 12
b)
x +3 x −4
c)
x −3 x +4
e) 1
20) Factorizar: 6 a2b3 – 6b3 + 5ab3 a) b3 (a + 3) (a - 2) b) b3 (2a -3) (3a -2) c) b3 (2a + 1) (3a -2) d) b3 (2a + 3) (3a - 2)
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e) b3 (2a + 2) (3a -1)
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