I.E. “NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO” Hermanas Dominicas de la Inmaculada Concepción Chiclayo- Perú
“CON LOS OJOS DE LA FE ENCONTRAMOS A JESÚS LUZ DEL MUNDO” AREA DE MATEMÁTICA
PRODUCTOS NOTABLES = x2 – y 4 (x – x3) (x2 + x3) = (x2)2 – (x3)2 = x4 – x6
Son aquellos productos que se pueden determinar directamente sin necesidad de efectuar la operación de la multiplicación algebraica.
•
1. CUADRADO DE UN BINOMIO
3. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN
2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + a.b
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(ax + b) (cx +d) = acx2 + (ad + bc)x + bd Ejemplos: •
(an ± bn)2 = a2n ± 2anbn + b2n
•
“Elcuadrado cuadradode debinomio binomioesesigual iguala:a: “El cuadradodel delprimer primertérmino términomás más elelcuadrado menos) elel doble doble del del primer primer (o(o menos) término por por elel segundo, segundo, más más elel término cuadradode desegundo segundotérmino” término” cuadrado
•
(2x + 5)(3x – 3) = (2.3)x2+(-6+15)x+(5)(-3) = 6x2 + 9x - 15
4. CUBO DE UN BINOMIO
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ejemplos: •
(2x + 3)2 = (2x)2 + 2 (2x) (3) + (3)2 = 4x2 + 12x + 9 (4x- 7 )2 = (4x)2 –2(4x)( 7 )+ (
• ) •
(a - b)3 = a3 - 3a2b2 + 3ab2 - b3
= 16x2 - 8 7 x + 7 (x2 – y3)2 = (x2)2 – 2(x2)(y3) + (y3)2 4 = x – 2x2y3 + y6
2. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS MONOMIOS
(an + an) (an - bn) = a2n – b2n “Elproducto productode delalasuma sumapor porlala “El diferencia de dos monomios iguales diferencia de dos monomios iguales iguala:a:elelcuadrado cuadradodel delprimero primero esesigual menos el cuadrado del segundo” menos el cuadrado del segundo”
• •
(an ± bn)3 = a3n ± 3b2nbn + 3anb2n ± b3n
7
2
(a + b) (a - b) = a2 – b2
Ejemplo: (x + 2y) (x – 2y) = (x)2 – (2y)2 = x2 – 4y2 (x + y2) (x – y2) = (x)2 – (y2)2
(y + 12) (y - 5) = y2 + (12 + -5) y + (12) (-5) = y2 + 7y – 60 (m - 8) (m + 1) = m2 + (-8 + 1)m + (-8) (1) = m2 – 7m – 8
•
Ejemplos: (x + 4)3 = (x)3 + 3(x)2 (4) + 3(x) (4)2 + (4)3 = x + 12x2 + 48x + 64 (x2 - 4)3 = (x2)3 – 3(x2)2 (4) + 3(x2)(4)2 – 3
• (4)3 •
= x6 – 12x4 + 48x2 – 64 (xn – 2x2n)3 =(xn)3 – 3(xn)2(2x2n)+3(xn) 2n 2 2n 3 (2x ) - (2x ) = x3n – 6x4n + 12x5n – 8x6n IDENTIDADES DE GAUCHI (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)
5. PRODUCTO DE UN BINOMIO POR UN TRINOMIO (SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS)
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
Lic. Rolando Castro Balcazar
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(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
•
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•
2.
Ejemplos: (3x4 + 2) (9x8 – 6x4 + 4) = (3x4)3 + (2)3 = 27x12 + 8 4 8 (2x – 3y) (4x + 6x4y + 9y2) = (2x4)3 – (3y)3 = 8x12 – 27y3
•
ó
3.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ac) •
•
IDENTIDADES DE LAGRANGE
(a2 + b2 +c2)(x2 + y2 + z2) = (ax+by+cz)2+(ay-bx)2+(az-cx)2+(bz-cy)2 4.
IDENTIDADES CONDICIONALES Si: a + b + c = 0 entonces: Se verifican:
7. TRINOMIO AL CUBO
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a+b) (b+c) (a+c) ó
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ac) -3abc Ejemplo: •
(a2n + anbn + b2n)(a2n - anbn + b2n) =a4n +a2n b2n +b4n
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax+by)2+(ay-bx)2
Ejemplos: (x+2y+3)2 2 2 = x +(2y) +(3)2 + 2(x)(2y) + 2(2y) (3) +2(x)(3) = x2 + 4y2 + 9 + 4xy + 12y + 6x (2x – y - 4)2 2 2 = (2x) + (-y) +(-4)2 + 2(2x)(-y) +26y(-4) +2(2x) (-4) = 4x2 + y2 + 16 – 4xy + 8y – 16x
IDENTIDADES DE ARGAN’D
(a2n + an + 1)(a2n - an + 1) =a4n +a2n + 1
6. TRINOMIO AL CUADRADO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
(2x + 3)2 – (2x - 3)2 = 4 (2x) (3) = 24x
(x + 2y + 1)3 3 =(x) +(2y)3+3(x+2y)(2y+1)(x+1) = x3 + 8y3 +1+3(x+2y)(2y+1)(x+1)
i)
a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ac)
ii)
a3 + b3 + c3 = 3abc
iii)(ab + bc +ac)2=(ab)2+(bc)2+(ac)2 TEOREMA
a2 + b2 + c2 = ab+bc+ac ⇔a=b=c
IDENTIDADES ESPECIALES 1.
IDENTIDADES DE LEGENDRE
(a + b)2 + (a - b)2 ≡ 2 (a2 + b2) (a + b)2 - (a - b)2 ≡ 4ab •
Ejemplos: (2x + 3) 2 + (2x - 3)2 = 2[(2x)2+32] = 2 (4x2 + 9)
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DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS DEL MÓDULO
Si: (x + 1)2 = (2 + Calcular: E = a) 1
2)
(
3 )x
)
b) 2
c) 3
d) 4
3
que:
a2 b2 + = 1; b a
entonces
a 9 + b 9 + 3a 4 b 4 es equivalente a:
10) Reducir: x2 – (3x + 1)(3x + 2) + 2(2x + 1)2 a) -2x b) –x c) 0 d) x
2
x 2 +1 x 4 +1
9) Sabiendo
a) 3(a + b) b) 3 a3 c) a3 + b3 d) ab e) 0
NIVEL BÁSICO 1)
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e) 5
Si: a + b = 7 y ab =2 Calcular: E = a + a2 + a3 + b + b2 + b3 a) 245 b) 124 c) 256 d) 353 e) 562
e) 2x
NIVEL INTERMEDIO 11) Hallar: E2; si: E = ( 3 + 2 )2 −( 3 − 2 )2 a) 48 b) 4 6 c) 2
6 d) 24
e)
96
3) Si: a + b + c = 0, hallar:
E=
a 9 + b9 + c9 + 3( a3 + b3 ) ( a 3 + c3 )( b3 + c3 ) 6( a 3 + b3 + c3 ) − 15abc
a) 9 abc c) 3 abc
2 2 2
b) 9 a b c d) 3 a2b2 c e) 3
4) Reducir: R = (x + 3)2 – (x + 2) 2 + (x + 4)2 – (x + 5)2 a) -4 b) -3 c) -2 d) -1 e) 0 5) Efectuar: M =(x+1)(x+2)–(x + 3)2+(x-3)2– (x-4)(x-5) a) -14 b) -16 c) -18 d) -20 e) -22 6) Hallar:
( x + y ) 2 − 4 xy ; x > y
a) x + y
b) y – x c)
d) x – y
e)
7) Si:
x +y
x + y − xy 2
b) 52
c) 2x
13) Al reducir: 2 3 − 13 3 − 13 − 3 −1 2 2 El resultado es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
14) Si: A = (z + 1)3 ∧ B = (z - 1)3, entonces: B – A, es igual a: a) 0 b) -3z2 – 1 c) -2 2 d)-6z – 2 e) 3z2 + 1
2
1 1 +x =4 . Hallar:E= x 3 + 3 x x
a) 49
12) Reducir: (x - 1)3 – x3 + 1 a) x b) x + 1 d) 3x(1 - x) e) 0
c) 61
d) 60
8) Si: a = b + 1 Reducir: E = (a + b) (a2 + b2) + b4 a) 2b4 b) 2a4 c) a4 d) 0
a( a + b ) 2 ( a − b ) a 2 − b2 a+b a) a(a - b) b) ( a − b) 2 ( a + b) c) d) (a + b)2 e) a2 + ab −b
15) Simplificar:
e) 54
e) 4 a4
16) De las siguientes expresiones. ¿Cuál no es igual a (x+2) (3x-3)? a) 3 (x+2) (x-1) b) (2 + x) (3x - 3) c) – (2 + x) (3 – 3x)
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d) (2 + x) (3 - 3x) e) 3x2 + 3x – 6 17) Calcular el valor numérico de: (a2 – b2)2 – 4ab Para: a = 27 y b = 26 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
19) Si: x = 6 2 Calcular: (x + 1) (x - 1) (x2 – x + 1) (x2 + x + 1)(x12 + x6 +1) a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) 9 20) Efectuar:
e) 4
1 + ( x +1) ( x −1) (x 2 +1) (x 4 +1)
a) 1
18) ¿Cuál es el resultado de efectuar: (3+ 2 ) (3- 2 )( 2 +1) ( 2 -1)? a) 7 b) 14 c) 21 d) 10 e) 1
b) x2
c) x4
d) x8
e) x6
Juega aplicando lo aprendido ¡Anda resuelve y diviértete!
Escribe el equivalente de los siguientes productos y potencias haciendo uso de los productos notables. 1.(x + 1)2 = 2.(x + 2)2= 3.(x + 3)2= 4.(x + 4)2= 5.(x - 1)2= 6.(x - 2)2= 7.(x - 3)2= 8.(x2 + y)2= 9.(x2 - 2y)2= 10. (x + 2y)2= 11. (2x + 3)2= 12. (x - 6)2= 13. (2x - 1)2= 14. (3x - 2)2= 15. (x - 3y)2= 16. (x + 4)(x + 7)= 17. (x + 5)(x - 8) = 18. (x + 3)(x + 4) = 19. (x - 3)(x + 9) = 20. (x + 6)(x - 5) = 21. (8x + 4) (2x - 5) = 22. (2x - 2) (3x - 3) = 23. (3x - 5) (2x - 4) = 24. (x + 7)(x - 7) =
25. (x + 5)(x - 5) = 26. (x - 6)(x + 6) = 27. (x + 8)(x - 8) = 28. (x + 2) (x - 2) = 29. (x + 4) (x - 4) = 30. (x + 7) (7 - x) = 31. (2x + 1) (2x - 1) = 32. (4x + 3) (4x - 3) = 33. (x3 - 5) (x3 + 5) = 34. (x + 1)3= 35. (x + 4)3= 36. (2x + 1)3= 37. (x2 + 5)3= 38. (x - 1)3= 39. (x3 + 1)3= 40. (x - 8)3= 41. (3x - 10)3= 42. (x + 3) (x2 + 9 - 3x) = 43. (x + 4) (x2 - 4x + 16) = 44. (2x + 1) (4x2 - 2x + 1) = 45.x3 + 8 = 46. (x - 1) (x2 + x + 1) = 47. (x - 6) (x2 + 6x + 36) = 48.x3 – 125 = 49.x3 - 8y3= 50.8x3 – 27 =
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