Apuntes de Álgebra I Prof. Martínez, Rolando Ramón 2015
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Apunte realizado para la cátedra de Álgebra I del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática, año 2015, por el Profesor Martínez, Rolando Ramón.
Versión del documento: 290820152358
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ÍNDICE
Índice
1. Lógica simbólica
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1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3. Los conectores lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4. Operaciones Proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.1. Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.2. Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.3. Disyunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.4. Implicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.5. Doble implicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.6. Equivalencias proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.7. Condición necesaria y suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Leyes lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1. Algunas leyes lógicas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. Implicaciones asociadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Los números complejos.
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2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. El conjunto C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Operaciones con complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1. Propiedades de la adición y la multiplicación en C . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2. Producto de un número real por un número complejo . . . . . . . . . . . 27 2.3.3. Estructura algebraica de C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4. Forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1. Potencias de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2. Operaciones en forma binómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Orden en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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ÍNDICE
2.6. Raíces de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7. Complejo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.8. La división en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.9. Módulo de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.9.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.10. El Teorema Fundamental del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Polinomios
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3.1. Operaciones con Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.1. El cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Factorización de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2. La división de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4. Combinatoria
52
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2. Combinaciones, Permutaciones y Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Variación sin repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.1. Fórmula para obtener las variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4. Números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5. Sumatoria e Inducción
66
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2. Propiedades de la sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.3. Principio de Inducción Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3.1. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.4.1. El triángulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.4.2. El término k-ésimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ÍNDICE 6. Numerabilidad
5 82
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3. Numerabilidad de los conjuntos numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7. Logaritmación
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8. Ejercicios
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8.1. Lógica Simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.2. Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
SECCIÓN 1
Lógica simbólica Introducción Todo desarrollo matemático implica la necesidad de razonar adecuadamente sobre lo que se está estudiando. Para ello es necesario eliminar las ambigüedades del lenguaje común, introduciendo símbolos matemáticos que permitirán ser más precisos a la hora de definir objetos matemáticos y de trabajar con ellos. La lógica simbólica es una ciencia que estudia los procesos de razonamiento, indicándonos cuáles son valederos y cuales no.
Proposiciones Para empezar a trabajar en matemática y en lógica simbólica definiremos lo que es una proposición: Definición 1.1. Una proposición es toda oración de la cual se puede decir si es verdadera o falsa.
Es decir, oraciones tales como: El sol gira alrededor de la Tierra. El conjunto N está incluido en el conjunto Z. El 2 es un número par y primo. Mañana es martes o miércoles. son ejemplos de proposiciones, pues se puede determinar si son verdaderas o falsas. La primera oración es falsa, la segunda y la tercera son verdaderas. La cuarta será verdadera si lo digo un lunes o un martes, y será falsa en el resto de la semana. Oraciones tales como:
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1 LÓGICA SIMBÓLICA ¡Deténgase! ¿Qué colores conforman la bandera argentina? no son proposiciones puesto que no se puede determinar si son verdaderas o falsas.
Los conectores lógicos Si analizamos los ejemplos anteriores, vemos que las dos últimas proposiciones se pueden descomponer en proposiciones más simples. En efecto, la proposición El 2 es un número par y primo puede descomponerse en El 2 es un número par y El 2 es un número primo Y la proposición Mañana es martes o miércoles puede descomponerse en Mañana es martes o Mañana es miércoles Si digo El sol gira alrededor de la Tierra no hay forma de descomponer esa proposición en otras más simple. Cada una de estas proposiciones en las que quedan descompuestas las oraciones analizadas se llamarán proposiciones simples. Cuando una proposición está formada por dos o más proposiciones simples se denominará proposición compuesta. A cada proposición simple la denotaremos con letras minúsculas: p; q; r; etc. Para formar proposiciones compuestas necesitamos de ciertas palabras claves, los llamados conectivos lógicos. En lógica simbólica y en matemática se utilizan los siguientes conectivos lógicos:
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1 LÓGICA SIMBÓLICA Símbolo
Nombre
Uso
∼
Negación
no p o no es cierto p
∧
Conjunción
pyq
∨
Disyunción incluyente
p o q (en sentido incluyente)
⇒
Implicación
p implica q o si p, entonces q
⇔
Doble implicación
p si y solo si q
Y
Disyunción excluyente
p o q (en sentido excluyente)
Operaciones Proposicionales Dadas dos proposiciones, en muchas ocasiones queremos averiguar el valor de verdad de la proposición compuesta al utilizar los conectivos lógicos. A esto lo llamamos una operación proposicional. Las operaciones se resumen en tablas de verdad de la siguiente manera: Negación Su tabla de verdad es:
p
∼p
V
F
F
V
Por ejemplo, dada la proposición p Hoy es martes entonces tendremos que ∼ p es Hoy no es martes La negación es una proposición unitaria, en el sentido en que se necesita una proposición simple. Conjunción La conjunción tiene la siguiente tabla de verdad:
10
1 LÓGICA SIMBÓLICA p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
En otras palabras, para que la conjunción sea verdadera, es necesario que ambas proposiciones simples lo sean. Por ejemplo, si p es el 3 es un número impar y q es el 4 es un número impar, entonces la conjunción p ∧ q es el 3 y el 4 son números impares, lo cual es falso.
Disyunciones En el lenguaje habitual el conectivo lógico o es utilizado sin darnos cuenta que muchas veces podemos excluir o incluir posibilidades. En lógica, se debe hacer notar la diferencia. Si decimos Hoy es lunes o martes estamos utilizando un o en sentido excluyente, puesto que o es lunes o es martes, no pueden ocurrir ambas cosas. Sin embargo, si decimos Me pongo el zapato marrón o las medias negras. estamos utilizando un o en sentido incluyente, puesto que pueden ocurrir ambas posibilidades. La tabla de verdad de la disyunción incluyente es p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Es decir, la disyunción incluyente sólo es falsa cuando las proposiciones simples lo son. La tabla de verdad de la disyunción excluyente es
11
1 LÓGICA SIMBÓLICA p
q
pYq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Es decir, la disyunción excluyente es falsa cuando las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad.
Implicación La implicación es una de los conectivos lógicos que más se utilizará en matemática y muchas veces es confundida con el signo igual. La implicación es utilizada para operar con proposiciones. La igualdad es usada para definir una relación entre objetos matemáticos. La tabla de verdad de la implicación es la siguiente p
q
p⇒q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
En toda implicación a la proposición p se la denomina antecedente y a la proposición q se la denomina consecuente. Por lo tanto, la implicación sólo es falsa cuando el antecedente es V y el consecuente F. Por ejemplo, si decimos 1 = (−1) y elevamos al cuadrado ambos miembros llegaremos a que 12 = (−1)2 . Por lo tanto se tiene que 1 = (−1) entonces 12 = (−1)2 Si bien, partimos de una proposición falsa, razonando correctamente, llegamos a una proposición verdadera. Es decir, nuestra implicación es verdadera, hemos razonado correctamente. √ √ Si por ejemplo, tenemos que 64 + 36 = 100 y aplicamos la distributiva en el lado izquierdo √ √ de la igualdad y resolvemos el lado derecho de la igualdad, llegaremos a 64 + 36 = 10. Por lo tanto se tiene que
12
1 LÓGICA SIMBÓLICA √
64 + 36 =
√ √ √ 100 implica 64 + 36 = 10
Ahora bien, sabemos que la radicación no es distributiva con respecto a la adición de números naturales y por lo tanto, nuestro razonamiento es incorrecto. Es decir, la implicación es falsa.
Doble implicación La doble implicación es la proposición que se obtiene de operar dos implicaciones entre p y q: p ⇒ q y q ⇒ p. Su tabla de verdad es p
q
p⇔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Equivalencias proposicionales A continuación mostraremos que a partir de las tablas de verdad hechas y de los conectivos lógicos utilizados, podemos formar proposiciones equivalentes. La primera de ellas es que la doble implicación, es equivalente a una conjunción entre las proposiciones p ⇒ q y q ⇒ p. En efecto p
q
p⇒q
q⇒p
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Si comparamos con la tabla de verdad de la doble implicación, observaremos la equivalencia entre ambas proposiciones. Otra de las equivalencias que se estudiará es la existente entre la negación de la doble implicación y la disyunción excluyente. En efecto
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1 LÓGICA SIMBÓLICA p
q
p⇔q
∼ (p ⇔ q)
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
Si comparamos esta tabla con la tabla de verdad de la disyunción excluyente, observaremos la equivalencia. Más adelante, veremos que hay otras equivalencias importantes. Condición necesaria y suficiente Si tenemos la siguiente implicación Si soy formoseño, entonces soy argentino. podremos distinguir el antecedente soy formoseño y el consecuente soy argentino. Ahora bien, es necesario que yo sea argentino para decir que soy formoseño, puesto que si no fuera así, no podría llegar a nacer en Formosa. Por lo tanto, ser argentino es una condición necesaria para decir que soy formoseño. Por otro lado, es suficiente que yo diga que soy formoseño, para que se deduzca de ahí que soy argentino. Es decir, ser formoseño es una condición suficiente para que yo sea o diga que soy argentino. En una implicación, el antecedente es una condición suficiente para el consecuente. Y el consencuente, es una condición necesaria para el antecedente. Analicemos otro ejemplo Obtuve un 6 en el parcial, por lo tanto, aprobé el examen. Aquí podemos ver que la proposición compuesta está formada por dos proposiciones simples: p:Obtuve un 6 en el parcial q:Aprobé el examen Es claro que p ⇒ q puesto que si obtuve un 6, es suficiente para saber que aprobé el examen. Sin embargo, saber que aprobé el examen, no es suficiente para decir que obtuve un 6 en el parcial, puesto que podría obtener un 7, 8, 9 o 10.
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1 LÓGICA SIMBÓLICA
Leyes lógicas Las leyes lógicas nos permitirán obtener razonamientos valederos en muchas ocasiones. Definición 1.2. Una Ley Lógica o Tautología, es toda proposición compuesta que resulta verdadera, sin importar los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.
Si tenemos la siguiente proposición compuesta: Si llueve mucho, hay barro en las calles. Y hoy llueve mucho. Por lo tanto, hay barro en las calles. Vemos que la proposición anterior está compuesta por las proposiciones simples: p: Llueve mucho y q: Hay barro en las calles y se han utilizado los conectivos lógicos de la siguiente manera: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q Sin importar la veracidad de p o de q, nuestro razonamiento es verdadero, por lo tanto, es una ley lógica. Analicemos la tabla de verdad: p
q
p⇒q
(p ⇒ q) ∧ p
[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
Entonces vemos que sin importar los valores de verdad de p o de q se tiene que la proposición compuesta es verdadera. Es decir, es una ley lógica.
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1 LÓGICA SIMBÓLICA Algunas leyes lógicas importantes 1. Involución: ∼ (∼ p) ⇔ p 2. Idempotencia: De la Conjunción: (p ∧ p) ⇔ p De la Disyunción: (p ∨ p) ⇔ p 3. Conmutatividad: De la Conjunción: (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) De la Disyunción: (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) 4. Leyes de De Morgan: ∼ (p ∨ p) ⇔ (∼ p∧ ∼ q) ∼ (p ∧ p) ⇔ (∼ p∨ ∼ q)
La demostración de que son tautologías se reduce a confeccionar las tablas de verdad de cada una de ellas y por lo tanto quedan a cargo del lector.
Implicaciones asociadas Dada una implicación p ⇒ q a la que llamaremos implicación directa se le asocian otras tres implicaciones relacionadas a la primera: q ⇒ p, llamada implicación recíproca ∼ p ⇒∼ q, llamada implicación contraria ∼ q ⇒∼ p, llamada implicación contrarrecíproca Es fácil verificar que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, es decir, las siguientes proposiciones son tautologías: (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) (q ⇒ p) ⇔ (∼ p ⇒∼ q) Por ejemplo, si la implicación directa es
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1 LÓGICA SIMBÓLICA Llueve mucho, entonces hay barro en la calles La proposición contrarrecíproca es No hay barro en la calles, entonces no llueve mucho. Otro ejemplo a = b ⇒ a2 = b 2 La proposición contrarrecíproca es a2 6= b2 ⇒ a 6= b
Cuantificadores En muchas ocasiones, necesitamos extender una proposición a todos los objetos con los cuales se está trabajando. Para ello, existe un símbolo, llamado cuantificador universal que permite hablar de todos los elementos con los que se trabaja y hacer extensiva la proposición. Por ejemplo, si a ∈ R entonces a2 ≥ 0, y esto se cumple para todos los números reales a. El cuantificador universal se simboliza con ∀ y se utiliza de la siguiente manera: En el lenguaje cotidiano diríamos Para todo número real a, se verifica que a2 ≥ 0 En símbolos: ∀a ∈ R : a2 ≥ 0 Otro ejemplo, ∀a ∈ N0 ; a par : a2 es par lo que en un lenguaje coloquial sería, para todo número natural par, se verifica que su cuadrado es un número par. El lector, debe prestar especial atención a lo siguiente: luego de un cuantificador ∀ siempre deben colocarse los dos puntos : que significan, "se verifica que". Hay veces que una proposición sólo se cumple para determinados elementos, no para todos. Para ello, se utiliza el cuantificador existencial y cuyo símbolo es ∃. En general, el cuantificador existencial, va acompañado de un cuantificador universal. Por
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1 LÓGICA SIMBÓLICA
ejemplo, para cualquier número entero, se verifica que existe su opuesto, tal que ese número más su opuesto es igual a 0. Dicha proposición expresada en lenguaje simbólico sería: ∀n ∈ Z : ∃ − n/n + (−n) = 0 El lector, debe prestar nuevamente especial atención a que luego de un cuantificador existencial, se debe utilizar el símbolo /, que significa "tal que".
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2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. SECCIÓN 2
Los números complejos. Introducción El largo camino de ampliación de los conjuntos numéricos, comienza con la imposibilidad de resolver las operaciones que allí se definen. Este camino que comienza con los Números Naturales, culmina en una primera instancia con los números reales. Haremos un breve recorrido de cómo se fueron sucediendo los hechos desde los números naturales, hasta los números reales. En primer lugar, sabemos que hay ecuaciones en N0 que tienen solución y hay otras que no tienen solución. Por ejemplo, si consideramos la ecuación: x+8=3
(1)
rápidamente, nos damos cuenta que no existe x ∈ N0 que sea solución de la misma. Es ahí donde nos encontramos con el primer problema, al que lo solucionamos con la creación de los números enteros. Una vez que se cuentan con esos números, podemos ver que la solución a la ecuación anterior es x = −5. Allí no termina la historia, ahora que contamos con los números enteros, podemos sumar, restar y multiplicar sin problemas. Sin embargo, si intentamos resolver la ecuación: 2x + 1 = 2
(2)
nos encontramos con otro problema: no hay número entero x que sea solución de dicha ecuación. Este segundo problema numérico, se soluciona introduciendo el conjunto de los números racio1 nales, con los cuales la ecuación (2) tendrá la solución x = . 2 Con el conjunto de los números racionales, se pueden resolver todas las adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. Sin embargo aún nos quedan algunas operaciones sin poder resolverse. Si ahora tenemos una ecuación como la siguiente: x2 − 2 = 0
(3)
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2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. se puede demostrar que no existe ningún número racional que se pueda usar como solución.
Entonces, a partir de la imposibilidad de resolver la ecuación (3) se hace necesario crear otro conjunto numérico, el de los números reales, donde dicha ecuación tenga al menos una solución. En el conjunto de los números reales, es posible ahora, resolver las adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potenciaciones y algunas radicaciones. Con este conjunto numérico, utilizamos todos los puntos de la recta numérica y por ello se dice que este conjunto es un conjunto completo. Otra propiedad del conjunto R es que es un conjunto denso, puesto que dados dos números a; b ∈ R : ∃c ∈ R/a < c < b. En otras palabras, siempre voy a poder encontrar un número real entre otros dos cualesquiera. Por último, diremos que el conjunto de los números reales es un conjunto totalmente ordenado, queriendo significar que dados dos números reales cualesquiera a y b, se cumple que a < b o a > b o a = b. En otras palabras, dados dos números reales, se puede establecer con total seguridad, qué número es el menor o si son iguales. En párrafos anteriores dijimos que con los números reales, podemos resolver “casi”todas las operaciones. Sin embargo, aún quedan ecuaciones que no se pueden resolver, utilizando únicamente números reales. Tal es el caso de la siguiente ecuación: x2 + 1 = 0
(4)
En efecto, si x ∈ R, entonces se tiene que x2 ≥ 0 de donde se tiene que x2 + 1 > 0, por lo tanto, no podremos encontrar un número real que sea solución de la ecuación (4). Es por ello, que necesitamos de un conjunto numérico en el cual se puedan resolver ese tipo de ecuaciones, pero que además, incluya a los números reales como un subconjunto, tal como se vino haciendo desde los números naturales. Este nuevo conjunto es el de los números complejos.
El conjunto C Definiremos un número complejo z como todo par ordenado (a; b) de números reales. Es decir: Definición 2.1. C = {(a; b)/a; b ∈ R}
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
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Figura 1: Representación gráfica del complejo z = (a; b) En otras palabras, un número complejo lo podemos pensar como un punto del plano, de coordenadas (a; b). La notación usual de un número complejo z es z = (a; b), y diremos que ese complejo está en su forma de par ordenado. Geométricamente, podemos decir que el conjunto de los números complejos C es igual al plano R2 , aunque algebraicamente se verá que se comportan de una forma un poco distinta. En esta cátedra, no nos preocuparemos por diferenciar el plano complejo del plano real, sin embargo el lector debe tener en cuenta que desde el punto de vista algebraico, no son el mismo objeto matemático. Por otro lado, el complejo z también lo podremos pensar como el vector, es decir, como el segmento dirigido que va desde el punto (0; 0) hasta el punto (a; b). En otras palabras, para − esta cátedra será lo mismo trabajar con el punto z del plano que con el vector → z. Definiremos a continuación algunos elementos de un número complejo z.
Definición 2.2. Dado el complejo z = (a; b) llamaremos: Parte real de z al número real a, al cual lo denotaremos como Re(z) = a Parte imaginaria de z al número real b, al cual lo denotaremos como Im(z) = b.
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2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Ejemplo de números complejos son los siguientes: z = (1; 3); w =
√
1 3; − ; u = (0; −2); v = 2
(5, 5; 0). Se tiene entonces, por ejemplo que: Re(z) = 1 Im(w) = −
1 2
Re(u) = 0 Definición 2.3. Dado un número complejo z se tiene que: Un número complejo z se llamará complejo real, o simplemente real, si y solo si su parte imaginaria es 0. Un número complejo z se llamará complejo imaginario, sí y solo si su parte real es 0.
De esta manera, podremos identificar a un número real con un número complejo. Así, el complejo v es un número real, y el complejo u es un complejo imaginario. En otras palabras, z = (a; b) ∈ R ⇔ b = 0. Con ello, dado cualquier número real, lo podremos pensar como un número complejo. Por ejemplo, al número real 4 lo podremos pensar como el número complejo (4; 0). Se cumple entonces que R ⊂ C. Dados dos números complejos z = (a; b) y w = (c; d) diremos que son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Es decir: Definición 2.4. Si z = (a; b) y w = (c; d) entonces z = w ⇔ a = c ∧ b = d
Por lo tanto, para que dos números complejos sean iguales, es necesario que coincidan en su parte real e imaginaria. Geométricamente, dos números complejos son iguales si y solo si representan el mismo punto en el plano complejo.
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
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Operaciones con complejos Definiremos a continuación cómo sumar y multiplicar dos números complejos z y w, luego analizaremos qué propiedades cumplen dichas operaciones y demostraremos sólo algunas de ellas basándonos en lo que sabemos acerca de los números reales. También deberemos definir el opuesto y el inverso de un número complejo.
Definición 2.5. Dados dos números complejos z = (a; b) y w = (c; d) definimos las operaciones de adición y multiplicación de la siguiente manera: z + w = (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) zw = (a; b) · (c; d) = (ac − bd; ad + bc)
Estas definiciones pueden parecer arbitrarias, sin embargo, con el tiempo se verán que están bien definidas y nos ayudarán a solucionar los problemas operacionales que teníamos con los números reales. Notemos algunos hechos importantes: 1. Con la definición del producto entre dos números complejos, podemos ahora, hacer la diferencia algebraica entre el plano complejo y el plano real. Geométricamente dijimos que son iguales, pero algebraicamente no, puesto que en el plano complejo, podemos definir una multiplicación entre sus elementos, y el resultado será otro número complejo. Sin embargo, en el plano real, dados dos vectores, no se define ninguna multiplicación que arroje como resultado otro vector del plano. 2. Las operaciones están bien definidas puesto que si tomo dos números reales, los pienso como complejos y realizo la operación, es lo mismo que si hubiese realizado la operación con los números reales de la forma habitual. Por ejemplo, dados los números reales 3 y 4, multiplicando como números reales resulta que 3 · 4 = 12. Si ahora los pensamos como números complejos, entonces tendríamos que 3 = (3; 0);
23
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. 4 = (4; 0) y entonces 3 · 4 = (3; 0) · (4; 0) = (3 · 4 − 0 · 0; 3 · 0 + 0 · 4) = (12; 0) = 12 Propiedades de la adición y la multiplicación en C
Una vez que definimos la adición y la multiplicación de números complejos, podemos analizar cuáles son las propiedades que cumplen ambas operaciones. Dados, dos números complejos z y w se cumple que: Propiedades de la adición: 1. Cierre: ∀z; w ∈ C : z + w ∈ C 2. Conmutativa: ∀z; w ∈ C : z + w = w + z 3. Asociativa: ∀z; w; v ∈ C : (z + w) + v = z + (w + v) 4. Elemento Neutro: ∀z ∈ C : ∃0 = (0; 0)/z + 0 = 0 + z = z
1
5. Inverso aditivo: ∀z = (a; b) ∈ C : ∃ − z = (−a; −b)/z + (−z) = −z + z = 0 Propiedades de la multiplicación: 1. Cierre: ∀z; w ∈ C : zw ∈ C 2. Conmutativa: ∀z; w ∈ C : zw = wz 3. Asociativa: ∀z; w; v ∈ C : (zw)v = z(wv) 4. Elemento Neutro: ∀z ∈ C : ∃1 = (1; 0)/z · 1 = 1 · z = z 5. Elemento Absorbente: ∀z ∈ C : ∃0 = (01; 0)/z · 0 = 0 · z = 0 6. Inverso multiplicativo: ∀z 6= 0 ∈ C : ∃w/zw = wz = 1
2
Propiedad Distributiva 1. Distributiva de la multiplicación de números complejos con respecto a la adición de números complejos: ∀z; w; v ∈ C : (z + w)v = zv + wv 1
El complejo 0=(0;0) se denomina el complejo nulo y geométricamente es el punto que corresponde con el
origen del sistema de coordenadas. 2 Más adelante veremos qué forma tiene ese complejo w.
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
24
Demostración de las propiedades. Demostraremos sólo algunas de las propiedades, quedando el resto de las mismas como tarea para el lector.
Teorema 2.1. Propiedad conmutativa de la adición en C. ∀z; w ∈ C : z + w = w + z
Demostración 2.1. Sean z = (a; b) y w = (c; d) dos números complejos, se tiene entonces que:
z + w = (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) ahora bien, como a; b; c y d son números reales, sabemos que a + c = c + a y que b + d = d + b, por lo tanto tenemos que: z + w = (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) = (c + a; d + b) Por otro lado tenemos que: w + z = (c; d) + (a; b) = (c + a; d + b) En resumen, se tiene por un lado que z + w = (c + a; d + b) y por otro que w + z = (c + a; d + b), de donde por igualdad de números complejos resulta que z + w = w + z
§
Teorema 2.2. Inverso aditivo: ∀z = (a; b) ∈ C : ∃−z = (−a; −b)/z +(−z) = −z +z = 0
Demostración 2.2. Es claro que z+(−z) = (a; b)+(−a; −b) = (a+(−a); b+(−b)) = (0; 0) = 0 De la misma manera se tiene que −z + z = (0, 0) = 0.
Teorema 2.3. Elemento neutro para la multiplicación en C ∀z ∈ C : ∃1 = (1; 0)/z · 1 = 1 · z = z
§
25
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Demostración 2.3. En efecto, dado z = (a; b) se tiene que z · 1 = (a; b)(1; 0) = (a · 1 − b · 0; a · 0 + b · 1) = (a; b) = z Y de la misma manera se prueba que 1 · z = z
§
Teorema 2.4. Inverso multiplicativo: ∀z 6= 0 ∈ C : ∃w/zw = wz = 1
Demostración 2.4. Veamos que en el enunciado del teorema, afirmamos que existe el inverso multiplicativo para todo z ∈ C con z 6= 0. Lo que no afirmamos es, cómo es ese inverso multiplicativo. En esta demostración lo haremos. Si w = (c; d) es inverso multiplicativo de z = (a; b) entonces debe ocurrir que zw = 1, o en otras palabras (a; b)(c; d) = (1; 0) multiplicando los complejos z y w se tiene que (ac − bd; ad + bc) = (1 : 0) y por igualdad de números complejos, tenemos que: ac − bd = 1 y ad + bc = 0 Despejando c de ambas igualdades se tiene que: c=
1 + bd a
y c=
−ad b
Igualando, resulta que 1 + bd −ad = a b Multiplicando miembro a miembro por ab, resulta ab
1 + bd −ad = ab a b
26
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. b(1 + bd) = a(−ad) b + b2 d = −a2 d Sumando miembro a miembro a2 d, se tiene que: b + b2 d + a2 d = −a2 d + a2 d Utilizando la propiedad distributiva del producto para números reales, se tiene que b + (a2 + b2 )d = 0 de donde obtenemos que d=
−b + b2
a2
−b . a2 + b 2 −b Ahora bien, como sabemos que d = 2 , y sabiendo que ad+bc = 0, reemplazando se obtiene a + b2 que: −b a 2 + bc = 0 a + b2 de donde −ab + bc = 0 2 a + b2 ab bc = 2 a + b2 Dividiendo miembro a miembro por b y simplificando, tenemos que Tenemos entonces que Im(w) =
c=
a2
a + b2
Es decir, si z = (a; b) entonces su inverso multiplicativo w tiene la forma w=
a −b ; 2 2 2 a + b a + b2
!
§ Debemos destacar que, la exigencia de que z 6= 0 no es en vano, puesto que si z = (0; 0) su inverso no existiría. √ Por ejemplo: Si z = ( 2; −1) entonces su inverso multiplicativo es √ √ ! 2 2 1 −1 w = √ 2 ; − √ 2 ; = 3 3 2 + (−1)2 2 + (−1)2
27
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Producto de un número real por un número complejo
Antes de continuar, vamos a analizar el producto entre un número real α y un número complejo z = (a; b). Recordemos que al número real α lo podemos pensar como un número complejo con parte imaginaria igual a 0, entonces será α = (α; 0) y de esa manera se tendrá que el producto entre α y z es igual a: αz = (α; 0)(a; b) = (αa − 0 · b; αb + 0 · a) = (αa; αb) Con esto queremos mostrar que no hace falta aplicar la definición de producto entre complejos cuando es el producto entre un número real y un número complejo. El producto resultante se obtiene de multiplicar el número α a la !parte real e imaginaria del complejo z. √ 1 √ Por ejemplo: si α = 3 y z = 3; √ entonces se tiene que 2
αz = 3;
s
3 2
Estructura algebraica de C. Una estructura algebraica, es un conjunto en el que se ha definido una o más operaciones y donde las mismas cumplen ciertas propiedades. El conjunto C junto con las operaciones de adición y multiplicación tiene una estructura algebraica de campo
3
Este hecho de denota escribiendo que (C; +; ·) tiene estructura de campo.
4
Forma binómica Los números complejos pueden representarse de diferentes formas: como par ordenado, en su forma binómica, en su forma trigonométrica o polar y en su forma exponencial. Estas últimas no las veremos en esta cátedra. Veamos a continuación qué es la forma binómica de un complejo. El real 1=(1;0), es considerado como la unidad real de los números complejos. Así también 3 4
En otras bibliografías podrás encontrar que también se dice que tiene una estructura de cuerpo. El lector puede verificar que también los conjuntos R y Q con las mismas operaciones tienen estructura
algebraica de campo. Sin embargo, por ejemplo el conjunto Z no tiene esa estructura, porque no cumple con todas las propiedades de las operaciones mencionadas.
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
28
se considera como unidad imaginaria al complejo (0;1). A esta unidad imaginaria la vamos a denotar con la letra i. Ahora bien, dado un número complejo z = (a; b), entonces, aplicando las propiedades de las operaciones en complejos, se tiene que: z = (a; b) = (a; 0) + (0; b) = a(1; 0) + b(0; 1) = a · 1 + bi = a + bi
Definición 2.6. Dado un número complejo en su forma de par ordenado, z = (a; b) entonces su forma binómica es z = a + bi
La forma binómica viene a facilitar la realización de los cálculos con números complejos, puesto que como se dará cuenta el lector, es un poco difícil acordarse de fórmulas para sumar y sobre todo para multiplicar dos números complejos. La forma binómica nos permite sumar y multiplicar basándonos en propiedades algebraicas sencillas. Antes de analizar la suma y el producto entre dos números complejos dados en forma binómica, vamos a resolver algunas potencias de la unidad imaginaria i con exponentes naturales.
Potencias de i Dada la unidad imaginaria i = (0; 1) se tiene que: i1 = (0; 1)1 = (0; 1) = i i2 = (0; 1)2 = (0; 1)(0; 1) = (0 − 1; 0 + 0) = (−1; 0) = −1 i3 = (0; 1)(0; 1)(0; 1) = i2 · i = −1 · i = −i i4 = (0; 1)(0; 1)(0; 1)(0; 1) = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1 A partir de allí, el lector puede ver que los resultados se repiten. Ahora bien, quisiéramos dos cosas a estas alturas: la primera es ver a qué es igual i0 y la otra es sabiendo que se repiten las potencias de i, anticipar el resultado dado un número natural n cualquiera. Primero veamos lo segundo.
29
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Sea n un número natural, se tiene entonces que al dividirlo por 4, resultará en un cociente y un resto, de manera tal que al número n lo podremos escribir como: n = 4 · q + r, donde q es el cociente de la división y r es el resto. Ahora bien, si bien no hemos definido la potenciación en C, por el momento, podemos considerar las propiedades de la potenciación para reales y aplicarlas a la potenciación para complejos. En realidad no va a haber problemas, puesto que sólo nos estamos dedicando a analizar la unidad imaginaria. Con base en lo anterior, podemos ver que dada la unidad imaginaria y el número natural n, se tiene que in = i4q+r = i4q · ir = (i4 )q · ir = 1q · ir = ir En otras palabras, para hallar la potencia de i que está elevada a un número natural n, sólo debo realizar el cociente entre n y 4 y elevar i al resto de esa división. Por ejemplo: si queremos hallar i35 , tenemos que dividir 35 : 4, eso da como cociente 8 y resto 3, por lo que al 35 se lo puede escribir como 35 = 4 · 8 + 3. Por ello i35 = i3 = −1. Veremos ahora a qué es igual i0 . Pues bien i0 = i4·0 = (i4 )0 = 10 = 1 Operaciones en forma binómica Las operaciones de adición y multiplicación que se definieron para los números complejos en su forma de par ordenado, ahora se redefinen para los números complejos en su forma binómica. Se tiene entonces que: Definición 2.7. Dados dos números complejos z = a + bi y w = c + di se tiene que: z + w = (a + c) + (b + d)i zw = (ac − bd) + (ad + bc)i
No hace falta recordar las fórmulas anteriores, solo debemos usar las propiedades algebraicas. Por ejemplo, para el producto se tiene que zw = (a + bi)(c + di)
30
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Usando la propiedad distributiva resulta zw = ac + adi + bci + bdi2 Sabiendo que i2 = −1 y aplicando nuevamente la propiedad distributiva, se tiene que zw = ac − bd + (ad + bc)i
Por ello, es importante que el lector no se aprenda de memoria las fórmulas para sumar y multiplicar dos números complejos, solo hay que usar la forma binómica y un poco de álgebra.
Orden en C Con anterioridad habíamos dicho, que tanto el conjunto Q como el conjunto R junto con las operaciones de adición y multiplicación tienen una estructura de campo. Además hicimos notar que el conjunto C con las operaciones de adición y multiplicación también tiene una estructura de campo. Sin embargo, cuando pasamos del conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos, no todo es ganancia, puesto que perdemos algo a lo que estamos muy habituados. Dados dos números reales a y b, dijimos que siendo a 6= b resulta que podemos determinar quién es el menor de los dos. En otras palabras, si los números son distintos, podemos ordenarlos. Esto no sucede en el conjunto C. Es decir, el conjunto de los números complejos no es un conjunto ordenado. Para demostrar que esto es cierto, probaremos con un ejemplo sencillo que el orden no se mantiene en complejos. Tomemos dos complejos, el complejo nulo 0 y la unidad imaginaria i. Evidentemente no son iguales esos números puesto que no tienen la misma parte imaginaria. Entonces, al ser distintos podemos suponer que 0 < i. Multiplicando miembro a miembro por i y operando resulta que 0 · i = i2 ⇒ 0 < −1 lo cual es absurdo. Supongamos ahora que i < 0, nuevamente multiplicando por i en ambos miembros y operando, se tiene que i · i > 0 · i ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0, lo que también es absurdo. Entonces, podemos ver que al tener los números complejos distintos i y 0, no podemos suponer
31
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. ni que 0 < i, ni que i < 0. Es decir, no hay un orden establecido en el conjunto C.
Raíces de números reales Antes de continuar con más definiciones en los números complejos, vamos a ver cómo este conjunto numérico viene a solucionar una imposibilidad operatoria de los números reales. Si tenemos la ecuación x2 + 1 = 0, habíamos dicho que no existe ningún número real que sea solución de la misma. Sin embargo ahora que tenemos a nuestra disposición a los números complejos, resulta que tanto i como −i son solución de la ecuación anterior. En efecto: i2 + 1 = −1 + 1 = 0 y además (−i)2 + 1 = i2 + 1 = −1 + 1 = 0 Es decir, las ecuaciones que en reales no tenían solución, ahora la tiene en el conjunto de los números complejos. Veamos otro ejemplo: Dada la siguiente ecuación x2 + 2 = 0 sólo hay dos números complejos que son solución de la √ √ misma: z1 = 2i y z2 = − 2i. En efecto: √ √ √ z1 2 + 2 = ( 2i)2 + 2 = 2 2 · i2 + 2 = 2(−1) + 2 = −2 + 2 = 0 De la misma manera se muestra que z2 es una solución a la ecuación presentada. Supongamos tener ahora, un ejercicio sencillo de números reales tal como el siguiente:
√
5 − 9.
Es tan sencillo como realizar la resta que hay en el radicando, y luego extraer la raíz cuadrada del resultado. Sin embargo se obtiene lo siguiente:
√ √ 5 − 9 = −4 que en el conjunto de los números reales
no tiene solución. Ahora bien, si nos trasladamos al conjunto de los números complejos, podemos ver que lo que estamos buscando es un número z que multiplicado dos veces por sí mismo, dé −4. √ Es decir: −4 = z ⇔ z 2 = −4
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
32
Figura 2: Representación gráfica del complejo z y su conjugado El lector puede comprobar que tanto z1 = 2i como z2 = −2i son resultados de dicha raíz.
Complejo conjugado Dado un número complejo z, llamaremos conjugado de z al complejo que tiene la misma parte real, pero como parte imaginaria tiene al opuesto de z.
Definición 2.8. Sea z = (a + bi) entonces se llamará conjugado de z y se lo denotará como z al número complejo z = (a − bi)
Geométricamente, podemos pensar a la conjugación en C como una simetría de eje x. En otras palabras, es como si pudiésemos rotar al plano complejo, dejando fijo el eje real.
33
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Propiedades
Enunciaremos algunas de las propiedades que se cumplen cuando hablamos de complejos conjugados. Las enunciaremos como un teorema, aunque no lo demostraremos completamente. Teorema 2.5. Dados dos números complejos z y w, se tiene que: 1. z = z 2. z + z = 2Re(z) 3. zz = a2 + b2 , siendo z = a + bi 4. zz ∈ R y además zz ≥ 0 5. z + w = z + w 6. zw = z w 7. z ∈ R ⇔ z = z
Demostración 2.5. Demostraremos sólo algunas de las propiedades de la conjugación de complejos. Las restantes quedarán como ejercicio. Demostraremos la propiedad 2: ∀z ∈ C : z + z = 2Re(z) Pues bien, si z = a + bi ⇒ z + z = (a + bi) + (a − bi) = (a + a) + (b − b)i = 2a = 2Re(z) Ahora demostraremos la propiedad 5: ∀z; w ∈ C : z + w = z + w En efecto, por un lado tenemos que z + w = (a + bi)(c + di) z + w = (a + c) + (b + d)i z + w = (a + c) − (b + d)i
a
Por otro lado tenemos que z + w = (a + bi) + (c + di) z + w = (a − bi) + (c − di) z + w = (a + c) − (b + d)i Entonces de a y b resulta que z+w =z+w
b
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2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Por último, demostraremos la propiedad 7: z ∈ R ⇔ z = z
Tengamos en cuenta que es una doble implicación, y por lo tanto debemos demostrar las dos implicaciones. ⇒)z ∈ R ⇒ z = z Como sabemos que z ∈ R entonces su parte imaginaria es 0, de donde z = a + 0i = a. Luego será z = a − 0i = a. En otras palabras z = z. ⇐)z = z ⇒ z ∈ R Como sabemos que z = z se tiene que a + bi = a − bi, de donde bi = −bi. Sumando miembro a miembro resulta que 2bi = 0 de donde b = 0. En otras palabras, el complejo z tiene su parte imaginaria igual a 0, y por lo tanto z ∈ R.
§
La división en C Estudiaremos a continuación, cómo se divide en el conjunto de los números complejos. Lo que necesitamos es encontrar una forma de dividir dos complejos z y w y que el resultado quede expresado como un número complejo, es decir, un número con su parte real y su parte imaginaria. Pues bien, sean entonces z = a + bi y w = c + di con w 6= 0, entonces tenemos que z a + bi = w c + di =
(a + bi)(c − di) (c + di)(c − di)
=
(ac + db) + (−ad + bc)i c2 + d 2
=
ac + bd −ad + bc + 2 i c2 + d 2 c + d2
Notemos que se debe exigir que w 6= 0, de lo contrario el denominador real c2 + d2 sería 0 y no se podría realizar la división. Por otro lado, no hace falta que el lector se aprenda de memoria esta fórmula, solo mostramos qué se debe hacer para dividir dos números complejos: multiplicar el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor, y luego se aplica álgebra.
35
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Figura 3: Representación gráfica del complejo z y obtención del triángulo rectángulo OP Q 1 i Entonces, si seguimos el procedimiento utilizado anteriormente, resulta que: Por ejemplo: Halle
1(−i) −i −i 1 = = 2 = = −i i i(−i) −i −(−1)
Módulo de un número complejo El módulo de un número complejo, nos indica qué tan alejado está ese número del centro de coordenadas del plano complejo. Geométricamente, mide la distancia del complejo nulo 0 = 0 + 0i al complejo z = a + bi. Para ello, usaremos un poco de geometría, más precisamente utilizaremos el Teorema de Pitágoras. Pues bien, si observamos el gráfico 3 podemos observar que a partir de la representación del complejo z, se puede construir un triángulo rectángulo utilizando los puntos O = (0; 0); P = (a; b) y Q = (a; 0). Si tenemos en cuenta que la medida del segmento OQ = a y que la medida del segmento P Q = b entonces utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que: 2
2
2
OP = OQ + P Q
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2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. de donde, reemplazando se tiene que: 2
OP = a2 + b2 y extrayendo raíz en ambos miembros, resulta que OP =
√ a2 + b 2
Podemos ahora definir entonces, el módulo de un número complejo: Definición 2.9. Sea z = a + bi ∈ C entonces el módulo de z se denota como |z| y se define de la siguiente manera: |z| =
√ a2 + b 2
Debemos considerar algunas cuestiones: El módulo de un número complejo es un número real, puesto que mide la distancia desde el complejo z al complejo nulo 0. El módulo de un número complejo siempre se puede calcular, sin importar de qué complejo z se trate, puesto el radicando de la raíz cuadrada de la definición del módulo, es la suma de números que son no negativos: a2 y b2 . Propiedades El módulo de un número complejo, cumple algunas propiedades que enunciaremos a continuación.
37
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Teorema 2.6. Propiedades del módulo de un número complejo.
1. |z| = 0 ⇔ z = 0
a
2. Si z = a + bi entonces a ≤ |z| y b ≤ |z| 3. |z| = |z| 4. zz = |z|2 5. |zw| = |z| · |w| 6. |z + w| ≤ |z| + |w| (Desigualdad triangular) 7. a
z
w
=
|z| |w|
¡Cuidado! Acá estamos usando el símbolo 0 para referirnos al número real 0 y al complejo nulo 0 + 0i
Como siempre demostraremos sólo algunas de propiedades, dejando el resto para el lector. Demostración 2.6. Demostraremos la primera propiedad.
|z| = 0 ⇔ z = 0 Si z = 0 entonces z = 0 + 0i de donde |z| =
√
02 + 02 = 0. Hemos demostrado una de las
implicaciones. Vamos ahora por la otra. Si z = a + bi y si sabemos que |z| = 0 esto quiere decir que
√
a2 + b2 = 0.
Elevando miembro a miembro a la potencia 2, se tiene que: √
a2 + b 2
2
= 02
simplificando el exponente con la raíz y resolviendo se tiene que
2
a
+ b2 = 0
de donde resulta que a2 + b 2 = 0
38
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Ahora bien, si nos ponemos a pensar en la igualdad anterior, vemos que por ejemplo para a2 tenemos dos posibilidades: a2 = 0 o a2 > 0. Lo mismo ocurre para b2 . Sin embargo, no puede suceder que a2 > 0 puesto que ello exigiría que b2 < 0 para que la suma a2 + b2 sea 0. Entonces la única posibilidad es que a2 = 0, de donde se puede deducir que a = 0 y b = 0. En otras palabras, hemos probado que el complejo z tiene parte real e imaginaria igual a 0, y por lo tanto es el complejo nulo. Vamos ahora a probar la propiedad 3. Como b2 = (−b)2 entonces sumando miembro a miembro a2 y sacando raíz se tiene que a2 + b2 = a2 + (−b)2 √
a2 + b 2 =
q
a2 + (−b)2
Es decir |z| = |z|. Demostraremos ahora la Desigualdad Triangular. Sean los complejos z = a + bi y w = c + di, entonces utilizando la propiedad 4 de módulo, tenemos que |z + w|2 = (z + w)(z + w) Por propiedad del conjugado de la suma y distribuyendo se obtiene que |z + w|2 = (z + w) (z + w) |z + w|2 = zz + zw + wz + ww Nuevamente, utilizando la propiedad 4 de módulo resulta que |z + w|2 = |z|2 + zw + wz + |w|2 Si miramos los dos términos centrales, veremos que son conjugados entre sí. En efecto zw = z w = zw = wz Entonces reemplazando se tiene que: |z + w|2 = |z|2 + z w + z w + |w|2
39
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Luego, por suma de complejos conjugados se tiene que |z + w|2 = |z|2 + 2Re(z w) + |w|2 Dejemos por ahora esa igualdad y analicemos lo siguiente. Por propiedad de módulo de un complejo resulta que Re(z w) ≤ |z w| Multiplicando en ambos miembros por 2 y sumando en ambos miembros se tiene que |z|2 + 2Re(z w) + |w|2 ≤ |z|2 + 2|z w| + |w|2
Ahora bien, reemplazando el miembro izquierdo y aplicando propiedades de módulo de complejos en el lado derecho, se tiene que |z + w|2 ≤ |z|2 + 2|z| |w| + |w|2 |z + w|2 ≤ |z|2 + 2|z| |w| + |w|2 Ahora, utilizando el cuadrado de un binomio en el segundo miembro, resulta que: |z + w|2 ≤ (|z| + |w|)2 Y por último, extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros, se tiene la desigualdad triangular buscada: |z + w| ≤ |z| + |w| §
A continuación, mostraremos geométricamente, la interpretación de la Desigualdad Triangular. Dados los complejos z = a + bi y w = c + di, si los graficamos y además graficamos su suma, podemos ver que se forma un triángulo (Ver figura 4), el triángulo formado por los puntos 0, z y P. Ahora bien, la longitud del segmento OP es |z + w|, la longitud del segmento Oz es |z| y la del segmento zP es |w|. Para que un triángulo, pueda formarse es necesario que cada lado sea menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia.
40
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Figura 4: Representación gráfica del complejo z, w y de z + w Pues bien, como tenemos el triángulo OP z entonces se cumple que la longitud del lado OP es menor que la suma de las longitudes de los lados Oz y zP . En otras palabras, |z +w| < |z|+|w|. La diferencia con la geometría, es que si los puntos z y w están alineados, no se forma triángulo, y por ello, es que la desigualdad se transforma en una igualdad. De ahí que se escriba |z + w| ≤ |z| + |w|.
El Teorema Fundamental del Álgebra Vamos a repasar lo visto hasta acá. Si estamos trabajando en el conjunto de los números naturales, podemos ver que hay ciertas ecuaciones que tiene solución y hay otras que no tiene solución. Tal es el caso de la ecuación x+3=1 Si restamos miembro a miembro 1, se obtiene una ecuación equivalente. x+3−1=1−1 x+2=0
41
2 LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
El número que es solución de la ecuación no es un número natural, y por lo tanto tuvimos que crear un nuevo conjunto numérico donde ese tipo de ecuaciones tenga solución. Encontrar la solución a una ecuación del tipo P (x) = 0 en Matemática se dice que se ha hallado una raíz del polinomio P (x). Es decir, el polinomio P (x) = x + 2 no tiene una raíz natural, sino entera. Si trabajamos con números enteros, también hay polinomios que no tiene su raíz en ese conjunto. Tal es el caso del polinomio Q(x) = 3x − 1 por ejemplo. No existe ningún número entero que haga que 3x − 1 = 0. Por ello necesitamos crear un nuevo conjunto numérico que es el conjunto de los números racionales. Ahora bien, el polinomio R(x) = x2 − 2 no tiene raíces racionales, y por lo tanto tenemos la necesidad de crear nuevamente otro conjunto numérico, el de los números reales. Por último, vemos que polinomios como S(x) = x2 + 1 no tiene raíces reales y ello nos obliga a trabajar con números complejos. En definitiva, las sucesivas creaciones de los conjuntos numéricos respondieron a la imposibilidad de hallar raíces de polinomios. El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio con coeficientes complejos, tiene sus raíces en el conjunto de los números complejos. En otras palabras, ya no hay necesidad de seguir creando otros conjuntos numéricos
5
puesto
que con los complejos, todos los polinomios tienen raíces.
5
Los matemáticos han creado otros conjuntos numéricos, por ejemplo, los cuaternios pero eso ya es otra
historia...
42
3 POLINOMIOS SECCIÓN 3
Polinomios En la sección anterior, terminamos hablando del Teorema Fundamental del Álgebra, y dijimos que todo polinomio con coeficientes complejos tiene sus raíces en el mismo conjunto de números complejos. Estudiemos más de cerca este concepto de Polinomio. No haremos un estudio formal del tema, sino más bien, superficial de manera de instrumentar a lector en estas cuestiones. Dado un número natural n, un Polinomio con coeficientes en el conjunto numérico A es una expresión del tipo: P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an−1 xn−1 + an xn donde todos los números a0 ; a1 ; a2 ; · · · son números conocidos del conjunto numérico A, que pueden ser distintos o no, con la única condición de que an 6= 0 y x es un valor del mismo conjunto numérico A que se desconoce. El valor x, se llamará variable. P (x) es solo el nombre del polinomio y nos dice con qué variable se va a trabajar. Los números a0 ; a1 ; a2 ; · · · se denominarán coeficientes del polinomio. Hay polinomios de más de una variable, sin embargo, ese tema no lo tocaremos en esta cátedra.
Definición 3.1. Dado un polinomio P (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 +· · ·+an−1 xn−1 +an xn se denominará grado del polinomio al número n.
Ejemplo de polinomios son: P (x) = 2 + x2 Acá, la variable es x, el grado del polinomio es 2 y los coeficientes son a0 = 2; a1 = 0 y a2 = 1 por lo que el polinomio puede escribirse como P (x) = 2 + 0x + x2 La fórmula para hallar el área de una circunferencia es un polinomio: A = πr2 Aquí, la variable es r, el grado es 2 y los coeficientes son a0 = 0; a1 = 0 y a2 = π
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3 POLINOMIOS
x+1 no es un polinomio, puesto que si se distribuye el denominador, La expresión Q(x) = x x 1 obtenemos Q(x) = + . x x Si simplificamos y utilizamos las potencias con exponente negativo, resulta que Q(x) = 1 + x−1 . Sin embargo no se permiten exponentes negativos, solo exponentes naturales y 0. Definición 3.2. Un polinomio se llamará completo, o se dirá que está completo si y solo si tiene todos sus términos aj xj con j variando de 0 a n − 1.
Por ejemplo, la fórmula del área de un círculo A(r) = πr2 es un polinomio que está incompleto, puesto que le falta el término con coeficiente a0 y el término con coeficiente a1 .
Definición 3.3. Completar un polinomio es agregarle esos términos que le falta, siempre con coeficientes aj = 0
Si completamos el polinomio A(r) = πr2 se obtiene el polinomio completo A(r) = 0 + 0r + πr2
Definición 3.4. Un polinomio se dice que está ordenado si y solo si sus términos aparecen ordenados en forma creciente o decreciente de acuerdo a los exponentes de la variable.
Por ejemplo: P (x) = x3 −3x+2 está ordenado en forma decreciente, aunque no sea un polinomio completo. Otro ejemplo: el polinomio Q(x) = x + 2 − x3 no está ordenado. Si lo ordenamos y completamos tendremos Q(x) = −x3 + ox2 + x + 2 (Acá lo ordenamos en forma decreciente) o también lo podemos ordenar en forma creciente y tendremos que Q(x) = 2 + x + 0x − x3 . Completar y ordenar un polinomio nos servirá más adelante cuando hablemos de la Regla de Ruffinni.
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3 POLINOMIOS
Operaciones con Polinomios Vamos a estudiar a continuación las operaciones de adición y multiplicación de polinomios, pero siempre utilizando las propiedades algebraicas de las operaciones para fundamentar los pasos realizados. Para sumar dos polinomios lo haremos utilizando la propiedad distributiva del producto con respecto a la adición o la sustracción, de manera de operar con los coeficientes que tengan la variable elevada a la misma potencia. Por ejemplo, dados los polinomios P (x) = 3x + 2 − x3 y Q(x) = x − x4 + 2, si los sumamos tenemos que: P (x) + Q(x) = (3x + 2 − x3 ) + (x − x4 + 2) Suprimiendo paréntesis y aplicando la propiedad conmutativa resulta que P (x) + Q(x) = 3x + x + 2 + 2 − x3 − x4 Aplicando la propiedad distributiva y sumando los términos que se pueden sumar tenemos que P (x) + Q(x) = (3 + 1)x + 4 − x3 − x4 P (x) + Q(x) = 4x + 4 − x3 − x4 Como se puede apreciar, no hace falta ordenar ni completar los polinomios que se van a sumar. Para multiplicar utilizaremos también la propiedad distributiva, y algunas propiedades de la potencia. Por ejemplo: Dados los polinomios R(t) = t + 1 y S(t) = t2 − 1 entonces se tiene que R(t) · S(t) = (t + 1)(t2 − 1) Aplicando la propiedad distributiva resulta que R(t) · S(t) = t · t2 − t + t2 − 1 de donde R(t) · S(t) = t3 − t + t2 − 1 y ordenándolo de forma creciente, resulta R(t) · S(t) = −1 − t + t2 + t3
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3 POLINOMIOS El cuadrado de un binomio Un binomio es un polinomio que tiene sólo dos términos. Por ejemplo: P (x) = x + 3x2 . Si hacemos el producto del polinomio P consigo mismo, resulta que P (x)P (x) = (x + 3x2 )(x + 3x2 ) P (x)2 = (x + 3x2 )2
Sabemos que la potenciación no es distributiva con respecto a la adición, por lo que no podemos hacer x2 + (3x2 )2 . Por lo tanto debemos aplicar la propiedad distributiva nuevamente. Resolvamos el producto anterior P 2 (x) = (x + 3x2 )2 P 2 (x) = (x + 3x2 )(x + 3x2 ) P 2 (x) = x2 + 3 · x · x2 + 3 · x2 · x + (3x2 )2 Y resolviendo se tiene que P 2 (x) = x2 + 3x3 + 3x3 + (3x2 )2 Sumando los términos centrales resulta que P 2 (x) = x2 + 2 · 3x3 + (3x2 )2 Si bien no hemos terminado de desarrollar el ejercicio, nos detenemos aquí para observar algunas cuestiones importantes. El resultado tiene los siguientes términos: El cuadrado de los dos términos del binomio 2 multiplicado por el producto entre el primer término del binomio y el segundo término del binomio. Ahora, si se tiene un binomio cualquiera, digamos a+b y queremos hallar su cuadrado, entonces, operando tal como lo hicimos para el polinomio anterior, resulta que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Esta es la fórmula conocida como el Cuadrado de un Binomio.6 6
En las próximas secciones volveremos sobre el tema y generalizaremos dicha fórmula
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3 POLINOMIOS
Factorización de Polinomios Factorizar un polinomio significa expresarlo como producto entre otros dos polinomios. Si tengo el polinomio P (x) = x2 + 2x + 1 tengo una forma trivial de factorizarlo que es expresándolo como el siguiente producto P (x) = 1 · (x2 + 2x + 1). Esta factorización la denominaremos factorización trivial y será la que menos nos va a interesar. Si aplicamos el cuadrado de un binomio, podemos observar que el polinomio anterior se puede factorizar de otra manera P (x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 Es decir, podemos factorizar al polinomio P como P (x) = (x + 1)(x + 1) Esta factorización es mucho más interesante desde el punto de vista matemático.
Definición 3.5. Un polinomio P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + an xn se llamará irreducible si y solo si la única factorización que admite es la factorización trivial.
Así, el polinomio T (x) = x + 1 es un polinomio irreducible. Si un polinomio P es el resultado de un binomio Q que ha sido elevado al cuadrado, entonces a P se lo llama Trinomio Cuadrado Perfecto y es posible factorizarlo aplicando el cuadrado de un binomio. Por ejemplo, dado el polinomio P (x) = x2 + 36 + 12x veremos si es un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, primero trataremos de indentificar cuáles son los dos términos del binomio que están elevados al cuadrado. En un primer vistazo, tenemos que los términos x2 y 36 = 62 . Entonces podríamos considerar que el polinomio P es el resultado de (x + 6)2 . Solo nos falta ver que el término 12x es el doble producto entre el primer término x y el segundo término 6. Y efectivamente lo es, puesto que 2 · x · 6 = 12x. Entonces podemos decir que el polinomio P es un trinomio cuadrado perfecto y lo podemos factorizar como P (x) = (x + 6)(x + 6)
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3 POLINOMIOS Productos notables
Tal como lo dijimos anteriormente, es importante que el lector conozca algunos productos notables entre polinomios, que son los más utilizados a la hora de factorizar. Uno de ellos, el que vimos anteriormente es el cuadrado de un binomio. A continuación, resumimos los productos notables: 1. Cuadrado de un binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. Cubo de un binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 3. Diferencia de cuadrados: (a + b)(a − b) = a2 − b2 La demostración de las fórmulas anteriores se hacen utilizando la propiedad distributiva del producto con respecto a la adición y propiedades de potencia, por ello se las dejo al lector. Una vez que el lector domine estos productos notables, podrá factorizar de una manera más fácil, algunos polinomios. Por ejemplo, dado el polinomio R(t) = t4 − 3 podemos factorizarlo utilizando la diferencia de cuadrados. En efecto: R(t) = t4 − 3 √ R(t) = (t2 )2 − ( 3)2 de donde utilizando la deferencia de cuadrados, resulta que
R(t) = t2 +
√ 2 √ 3 t − 3
La división de polinomios Vamos a recordar algunas cuestiones sobre la división en N. Es claro que la división 35 : 5 es exacta puesto que su cociente es 7 y su resto es 0, pero la división 20 : 3 no puesto que el cociente es 6 pero el resto no es cero, sino 2. Es por ello que por ejemplo al 35 lo podemos escribir como 35 = 7 · 5 y al 20 como 20 = 6 · 3 + 2. La división de polinomio es más complicada que la adición y multiplicación y excede las pretenciones de este texto. Sin embargo veremos una clase especial de división, cuando el divisor es un binomio de la forma P (x) = x + b, con b ∈ R.
3 POLINOMIOS Esta divisiรณn se resuelve utilizando la Regla de Ruffini.
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3 POLINOMIOS
Definición 3.6. Regla de Ruffini: Dado un polinomio P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an−1 xn−1 + an xn y el polinomio divisor S(x) = x + b , para resolver la división entre P y S y obtener los polinomios cociente Q(x) = q0 + q1 x + q2 x2 + · · · + qm xm y resto R(x) = r0 debemos seguir los siguientes pasos: 1. El polinomio dividendo P (x) debe estar completo y ordenado en forma decreciente. 2. El primer coeficiente del polinomio cociente es el mismo que del polinomio dividendo P (x). Es decir qm = an . 3. El segundo coeficiente del polinomio cociente, se obtiene de hacer el siguiente cálculo: qm−1 = an−1 − bqm 4. El tercer coeficiente del polinomio cociente, se obtiene al hacer el siguiente cálculo: qm−2 = an−2 − bqm−1 5. Los demás coeficientes del polinomio cociente se obtiene a partir de la fórmula qm−i = an−i − bqm−i+1 6. El resto de la división R(x) = r0 se obtiene de realizar r0 = a0 − bq0 7. Para dividir mediante la regla de Ruffini, se colocan los coeficientes en una tabla como la siguiente: an
−b
qm
an−1
an−2
···
a1
a0
−bqm
−bqm−1
···
−bq1
−bq0
qm−1
qm−2
···
q0
r0
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3 POLINOMIOS
Al observar la definición de la Regla de Ruffini, podemos ver que el polinomio cociente Q(x) tiene grado m = n − 1 y que el polinomio resto R(x) es solo un número: r0 . Además, se puede ver que el uso de la tabla facilita el proceso de división y solamente se trabaja con los coeficientes de los polinomios. Si r0 = 0 diremos que la división entre los polinomios P y S es exacta. Si la división es exacta, entonces podremos factorizar al polinomio P como P (x) = Q(x) · S(x). Por ejemplo, si queremos dividir el polinomio P (x) = x2 −1 por Q(x) = x−1 entonces aplicamos la regla de Ruffini. En primer lugar, completamos el polinomio dividendo: P (x) = x2 + 0x − 1 y utilizamos la tabla: 1
1
1
0
-1
1
1
1
0
Entonces se tiene que el cociente es S(x) = x + 1 y el resto es R(x) = 0. Es decir, que al polinomio P lo podemos factorizar como x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) y a ese resultado también se llegaría si aplicamos la Diferencia de Cuadrados. No siempre, la división es exacta. Por ejemplo, si queremos dividir T (x) = 2x3 − x2 por el polinomio U (x) = x + 2 tenemos que, aplicando la regla de Ruffini: 2
−2
2
-1
0
0
-4
10
-20
-5
10
-20
Se tiene entonces que: T (x) = 2x3 − x2 = (2x2 − 5x + 10)(x + 2) − 20
Algo que es de vital importancia para recordar es que el divisor, debe ser de la forma x + b.
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3 POLINOMIOS
Si fuera de la forma cx + b entonces deberemos dividir a todos los coeficientes del polinomio dividendo y divisor por c a fin de obtener un divisor de la forma buscada. Es decir: n
P (x) an x + an−1 x = S(x)
n−1
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 + · · · + a2 x + a1 x + a0 c = cx + b cx + b c 2
an n an−1 n−1 a2 a1 a0 x + x + · · · + x2 + x + P (x) c c c c = c b S(x) x+ c Aplicando la Regla de Ruffini al segundo miembro de la igualdad, resolvemos la división
P (x) . S(x)
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4 COMBINATORIA SECCIÓN 4
Combinatoria Introducción Uno de los problemas básicos de la matemática es contar la cantidad de elementos de un conjunto. Este proceso de contar, puede resultar tan fácil como tedioso, si no se tienen las herramientas necesarias para ello. Analicemos el siguiente ejemplo: Ana María tiene en su guardarropas, 3 blusas y 4 jeans para combinar cuando va a salir con sus amigas a pasear. ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir usando esas blusas y esos jeans? En principio, para cada jean, tiene tres posibilidades, de donde si tiene 4 jeans, entonces tendrá 12 formas distintas de vestirse. En un diagrama como el presentado en la figura 5 se puede ver mejor, la cuestión planteada y su análisis. Cada punto de la segunda columna representa a una blusa, cada punto de la última columna representa un jean. En total se pueden contar 12 terminaciones del diagrama, lo que representan las 12 combinaciones posibles que puede hacer Ana María. Esta situación nos permite enunciar el siguiente principio: Definición 4.1. Principio de Multiplicación Dado un conjunto A con m elementos y un conjunto B con n elementos, entonces la cantidad de combinaciones que se pueden formar con los elementos de A y de B es m · n.
Este principio nos dice que permite combinar elementos de dos conjuntos, entendiendo por combinar, la acción de tomar un elemento de un conjunto y otro elemento del otro conjunto. Otra forma de enunciar el Principio de Multiplicación es diciendo que la cantidad de formas de elegir un elemento de A y otro de B es m · n. Así, en el problema anterior, la cantidad de formas de elegir su vestimenta fue de 3 · 4 = 12. Analicemos otro ejemplo:
4 COMBINATORIA
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Con los cifras 3; 2 y 1, ¿cuántos números de 4 cifras se pueden hacer? Es importante, en principio entender el problema. Un número de cuatro cifras puede ser 4522, sin embargo este número utiliza la cifra 5 que no está permitida en este problema. El diagrama de árbol de la situación (figura 6 ), no nos ayuda en este momento, puesto que en vez de facilitar la resolución la complica. En efecto, si se observa la figura 6, puede verse que no se terminó de hacer todo el diagrama por lo laborioso que es. También se puede observar que con una línea roja, está marcado uno de los tantos números que se pueden hacer con las cifras dadas. Vamos a ver cómo utilizar el principio de multiplicación para solucionar esta situación. En primer lugar, pensemos que cada lugar que van a ocupar las cifras (es decir, la unidad, la decena, la centena y la unidad de mil) son los conjuntos A, B, C y D. Cada uno de ellos tiene 3 elementos: 1, 2 y 3. Como para cada lugar debemos elegir una sola cifra, entonces aplicando el principio de multiplicación, se obtiene que la cantidad de números de cuatro cifras que se pueden obtener al utilizar las cifras 1, 2 y 3 es 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Consideremos ahora las dos situaciones planteadas y marquemos una diferencia importante. Mientras que en la primera situación no importa el orden en que se elijan las ropas (es lo mismo el jean azul con la blusa roja, que la blusa roja con el jean azul) en la segunda situación es claro que sí importa el orden (no es lo mismo el número 1233 que el número 3123 a pesar de estar formado por las mismas cifras). Esto permitirá definir dos clases de combinaciones más adelante. Supongamos ahora que tenemos dos conjuntos A y B con m y n elementos respectivamente. Si queremos elegir un solo elemento, sin importar de qué conjunto lo hagamos, entonces tenemos m + n posibilidades. Este principio se enuncia de la siguiente manera: Definición 4.2. Principio de adición Dados dos conjuntos, A con m elementos y B con n elementos, entonces la cantidad de elegir un elemento de A o de B es m + n.
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4 COMBINATORIA
Figura 5: Diagrama de Árbol
Figura 6: Diagrama de Árbol del problema con las cifras
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4 COMBINATORIA
El principio de adición no suele utilizarse solo, en general se utiliza junto con el principio de multiplicación.
Combinaciones, Permutaciones y Variaciones Analicemos la siguiente situación: Si en una carrera sólo hay tres corredores, A, B y C, ¿cuántos son los resultados posibles de la misma? En otras palabras, si sale primero A, segundo C y tercero B es un resultado distinto a que si sale primero A, segundo B y tercero C. Debemos averiguar cuántos resultados distintos hay. Si vemos a cada posición (primero, segundo y tercero) como un conjunto, entonces podemos pensar de la siguiente manera. La posición primero tendrá tres posibilidades, puesto que cualquiera puede salir primero. La posición segundo, tendrá dos posibilidades, puesto que alguien que salió primero no puede salir segundo. (Acá no hay repetición de elementos) La posición tercero, tendrá solo una posibilidad, puesto que si salió primero o segundo, ya no puede salir tercero. Entonces hay 3 · 2 · 1 = 6 resultados distintos. Este tipo de situaciones, donde es necesario contar la cantidad de ordenamientos distintos de un conjunto de m elementos se denomina Permutación de m elementos.
Definición 4.3. La permutación de m elementos se obtiene multiplicando desde m hasta 1.
Esta manera de calcular el número de permutaciones se denomina factorial de un número natural. En otras palabras, el factorial del número m es el producto de los números naturales desde 1 hasta m.
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4 COMBINATORIA
Definición 4.4. Dado un número natural m, se denomina factorial de m y se lo simboliza con m! a m! = 1 · 2 · 3 · · · · · (m − 1) · m
Por ejemplo: 3! = 3 · 2 · 1 = 6 Luego, una permutación de m elementos se obtiene mediante el factorial de m. En otras palabras Pm = m!. Esta definición deja afuera al número 0, que en muchas ocasiones es necesario contar con su factorial. Por ello, es que se da la siguiente definición de factorial Definición 4.5. Función factorial Sea m ∈ N0 , se define la función factorial m! de la siguiente manera:
1
si
m=0
1
si
m=1
m(m − 1)!
si
m>1
f : N0 −→ N/m! = f (m) =
En primer lugar, veamos que la definición es consistente con nuestra primera definición. En efecto: m! = 1 · 2 · 3 · · · · · (m − 1) · m m! = (1 · 2 · 3 · · · · · (m − 1)) · m m! = (m − 1)! · m En segundo lugar, notemos que la definición de función factorial es más abarcativa, puesto que incluye la posibilidad de obtener el factorial de 0, lo que con nuestra definición anterior (la definición 4.4) no era posible.
Variación sin repetición Anteriormente hemos visto como calcular todos los ordenamientos posibles de m elementos mediante la función factorial m!.
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4 COMBINATORIA
Supongamos ahora que necesitamos saber cuántos ordenamientos es posible hacer de n elementos tomando de un conjunto de m elementos, siendo n ≤ m obviamente. Analicemos el siguiente problema: En un minitorneo de fútbol, clasificatorio para la etapa nacional, juegan 5 equipo. Sólo clasifican los dos primeros equipos. ¿Cuáles son todos los resultados posibles teniendo en cuenta el primer y segundo puesto? Esta situación, nos pide que hallemos todos los resultados posibles del minitorneo, pero sólo teniendo en cuenta el primer y segundo puesto. Es decir, nos interesará saber qué equipos ocupan el primer y segundo puesto y los demás puestos no tiene importancia. Pues bien, pensemos nuevamente a los puestos como conjuntos. Acá sólo necesitamos dos conjuntos: el de los primeros y el de los segundos. Es claro que cualquiera puede salir primero, por lo que el conjunto de los primeros tendrá 5 elementos. Ahora, si alguien salió primero, no podrá salir segundo, por lo tanto, el conjunto de los segundos tendrá 4 elementos. Luego, la cantidad de combinaciones de resultados será: 5 · 4 = 20. Situaciones como esta se denominan Variaciones de m elementos tomados de a n y se las simboliza como Vm;n En nuestro caso, es una variación de 5 elementos tomados de a 2. Las variaciones son entonces ordenamientos de n elementos, de un conjunto con m elementos o también podríamos pensar que una variación es una distribución de los m elementos en n casilleros. Para calcular variaciones podemos pensar de la siguiente manera: distribuir m elementos en n casilleros. Obviamente, como n ≤ m se tiene que quedarán m − n elementos sin ordenar. De esa manera, se tendrá que en el primer casillero, se podrá colocar cualquiera de los m elementos del conjunto. En el segundo casillero, habrá solo m − 1 elementos disponibles, puesto que ya se utilizó uno para el primer casillero. En el tercer casillero, tendremos m − 2 elementos para ordenar. Siguiendo así, en el último casillero, tendremos m − n + 1 elementos para colocar. Por ello, la cantidad total de formas de ordenar a m elementos en n casilleros distintos es V m; n = m(m − 1)(m − 2) · (m − n + 2)(m − n + 1)
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4 COMBINATORIA
Figura 7: Representación gráfica de la situación: número de 3 cifras Analicemos el siguiente ejemplo: ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con las cifras 4; 5; 6; 7 y 8, sin repetir? ¿Cuántos de esos números comienzan con 6? En primer lugar, es importante la condición de que no se pueden repetir los elementos7 . Entonces podemos pensar de la siguiente manera: queremos distribuir 5 elementos en 3 casilleros. (Véase figura 7) En el primer casillero, puede ir cualquiera de las 5 cifras En el segundo casillero, tengo 4 cifras para colocar, puesto que ya se colocó una en la primera casilla y no se pueden repetir las cifras. En el tercer casillero, tengo 3 cifras para colocar. Se tiene entonces que V5;3 = 5 · 4 · 3 = 60. Es decir, que son 60 números de 3 cifras los que se pueden formar. Vamos por la segunda pregunta. Queremos saber de esos 60 números, cuántos son los que co7
Esto es una característica de las Variaciones por lo que se las llama variaciones sin repetición. También hay
Variaciones con repetición, sin embargo no las estudiaremos en esta cátedra. De todas maneras, habrá ejercicios que resolveremos y que corresponden a variaciones con repetición.
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4 COMBINATORIA
Figura 8: Representación gráfica de la situación: número de 3 cifras que empiezan con 6. mienzan con 6. Por lo tanto, como el 6 queda descartado, ahora sólo tendré 4 cifras para colocar en dos casilleros, puesto que el primero está ocupado por el 6.(Véase figura 8)
Esto es V4;2 = 4 · 3 = 12. Es decir, 12 son los números de tres cifras que comienzan con el 6.
Fórmula para obtener las variaciones Hemos visto que para obtener una variación de m elementos tomados de a n, utilizamos Vm;n = m · (m − 1) · (m − 2) · · · (m − n + 1) Si multiplicamos y dividimos por (m − n)! resulta entonces que: Vm;n = m · (m − 1) · (m − 2) · · · (m − n + 1) ·
(m − n)! (m − n)!
De donde, desarrollando el factorial del numerador, se tiene que: Vm;n = m · (m − 1) · (m − 2) · · · (m − n + 1) ·
(m − n) · (m − n − 1) · (m − m − 2) · · · 2 · 1 (m − n)!
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4 COMBINATORIA Multiplicando se obtiene que Vm;n =
m · (m − 1) · (m − 2) · · · (m − n + 1) · (m − n) · (m − n − 1) · (m − m − 2) · · · 2 · 1 (m − n)!
De donde resulta que m! (m − n)!
Vm;n =
Utilizando esta fórmula para los ejemplos analizados anteriormente, se tiene que: V5;3 =
5! 5 · 4 · 3 · 2! 5! = = = 60 (5 − 3)! 2! 2!
V4;2 =
4 · 3 · 2! 4! = = 12 (4 − 2)! 2!
Números combinatorios Definición 4.6. Dados dos números naturales m
combinatorio y se lo denota como
n
m
a
n
a
m y n, con n ≤ m se llama Número
al siguiente número
=
m! n!(m − n)!
Cuando digamos números naturales, nos estaremos refiriendo al conjunto N0 a no ser que digamos
lo contrario
Por ejemplo, el número combinatorio
5 2
=
5! 5 · 4 · 3! 20 = = = 10 2!(5 − 2)! 2! · 3! 2
Propiedades Los números combinatorios cumplen algunas propiedades interesantes, que se cimientan en la definición de función factorial.
1.
0 0
=1
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4 COMBINATORIA
n 2. = 1; ∀n ∈ N0 0 n 3. = n; ∀n ∈ N 1
4.
n n
= 1; ∀n ∈ N
n+1 5. = n + 1; ∀n ∈ N0 n La demostración de las igualdades anteriores, quedan a cargo del lector. Solo debe aplicar la definición de número combinatorio. Sin embargo, demostraremos la última igualdad. Se tiene entonces que
n+1 (n + 1)! (n + 1) · n! = =n+1 = n! · (n + 1 − n)! n! · 1! n
m p Definición 4.7. Dados dos números combinatorios y , se llamarán nún q meros combinatorios complementarios si y solo si m = p y n + q = m
En otras palabras, los números combinatorios complementarios, son aquellos que tiene el mismo numerador y la suma de sus denominadores es igual al numerador. Por ejemplo
5 5 y son números combinatorios complementarios. 2 3
7
y
7
no son números combinatorios complementarios puesto que la suma de 2 4 los denominadores no es igual al numerador.
Se puede demostrar las siguientes propiedades de los números combinatorios complementarios:
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4 COMBINATORIA 1. Dos números combinatorios complementarios son iguales.
2. La suma de dos números combinatorios complementarios que tengan denominadores consecutivos es otro número combinatorio y vale la siguiente igualdad
m m m+1 = + n+1 n+1 n
La demostración de la primera propiedad se la dejaremos para el lector que debe aplicar la definición en ambos números combinatorios para llegar a la igualdad. Demostraremos la segunda propiedad.
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4 COMBINATORIA Se tiene entonces que
m! m! m m + = + n! · (m − n)! (n + 1)! · (m − (n + 1))! n+1 n
=
m! m! + n! · (m − n)! (n + 1)! · (m − n − 1)!
=
m! m! + n! · (m − n) · (m − n − 1)! (n + 1) · n! · (m − n − 1)!
=
m! 1 m! 1 · + · n! · (m − n − 1)! m − n n! · (m − n − 1)! n + 1
m! 1 1 · + = n! · (m − n − 1)! m − n n + 1
=
m! (n + 1) + (m − n) · n! · (m − n − 1)! (m − n) · (n + 1)
=
m+1 m! · n! · (m − n − 1)! (m − n) · (n + 1)
=
m! · (m + 1) n! · (m − n − 1)! · (m − n) · (n + 1)
=
(m + 1) · m! (n + 1) · n! · (m − n) · (m − n − 1)!
=
(m + 1)! (n + 1)! · (m − n)!
=
(m + 1)! (n + 1)! · ((m + 1) − (n + 1))!
=
m+1 n+1
64
4 COMBINATORIA
Combinaciones Hasta ahora teníamos dos tipos de situaciones: las primeras, donde debíamos ordenar m elementos (las permutaciones) y las segunda, donde debíamos ordenar n elementos eligiendo de un conjunto con m elementos (las variaciones). Sin embargo, en muchas ocasiones, es importante analizar otro tipo de situaciones: elegir de un conjunto con m elementos, n elementos sin importar el orden en que se elijan. Este tipo de situaciones se denominarán combinaciones de m elementos tomados de a n y se simbolizan de la siguiente manera Cm;n . Supongamos tener, la siguiente situación: De un grupo de 5 alumnos, se quiere elegir 3, para integrar el consejo de alumnos. En esta situación, no interesa el orden en que se elijan a los alumnos. Este tipo de situaciones se puede pensar de la siguiente manera. Supongamos que los alumnos son: Juan, Pedro, María, Ana y Lucía. Entonces si la elección de los 3 alumnos es por ejemplo, Juan-Pedro-María, es lo mismo a que si se elige Pedro-Juan-María, o cualquiera de sus permutaciones ya que como dijimos anteriormente, no interesa el orden en el que son elegidos. V5;3 . P3 En otras palabras, pienso como que sí importara el orden (hallo una variación) y luego divido Esto nos dice entonces que la cantidad de posibles elecciones es
por el número de permutaciones (porque no importa el orden en el que son elegidos). 5! V5;3 5 · 4 · 3! 20 (5 − 3)! Se tiene entonces que = = = = 10 P3 3! 2! · 3! 2 En efecto, las posibles elecciones son: 1. Juan-Pedro-María 2. Juan-Pedro-Ana 3. Juan-Pedro-Lucía 4. Juan-María-Ana 5. Juan-María-Lucía 6. Juan-Ana-Lucía
65
4 COMBINATORIA 7. Pedro-María-Ana 8. Pedro-María-Lucía 9. Pedro-Ana-Lucía 10. María-Ana-Lucía
V5;3 = 10. Ahora, si recordamos las fórmulas que obtuvimos para las P3 variaciones y para las permutaciones, resulta que: Por lo tanto, C5;3 =
Cm;n =
Vm;n Pn
m! m m! m! (m − n)! = = = = n! (m − n)! · n! n! · (m − n)! n
Es decir, una combinación se obtiene a partir de un número combinatorio.
66
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN SECCIÓN 5
Sumatoria e Inducción Introducción En matemática es común, utilizar símbolos para economizar y para ser más precisos que cuando se utiliza el lenguaje común. Ya, el multiplicación, es una forma abreviada de escribir una suma de términos iguales. Así, 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Ahora bien, ¿qué ocurre si la suma no es de términos iguales pero siguen alguna ley de formación? Por ejemplo, en la suma 2 + 4 + 8 + 16 + 32, los términos no son iguales, pero siguen una ley de formación. Veamos de qué se trata. El primer término se puede obtener haciendo 21 . El segundo término se puede obtener haciendo 22 . El tercer término se obtiene de 23 . El cuarto de 24 y el quinto de 25 . En otras palabras, el término i − ésimo se obtiene al hacer 2i . Para resumir esta suma de términos que siguen una ley de formación, se utiliza la letra griega sigma mayúscula (Σ)
8
de la siguiente manera: 5 X
2i
i=1
Debemos entender este nuevo símbolo: El símbolo
P
indica que se debe realizar la suma
i es la variable que va a ir cambiando desde el límite inferior que en este caso es 1, hasta el límite superior que en este caso es 5. 2i es la ley con la cual formaremos cada término, donde la variable i es la que va a ir tomando los diferentes valores. 8
Es equivalente a nuestra S, de suma
67
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN Otro ejemplo, si tenemos
P3
j=0 (3
+ j) entonces debemos tener en cuenta que la variable es j
que varía desde el 0 al 3 y que cada término está formado por la suma (3 + j). Entonces se tiene que (3+j)
X
= (3 + 0) + (3 + 1) + (3 + 2) + (3 + 3) = 18
j=0
Como podemos ver, la variable no tiene por qué ser siempre i. También es necesario recalcar, que los términos no tienen por qué estar formados por números, pueden estar formados por letras, como el siguiente ejemplo 4 X
ak = a2 + a3 + a4
k=2
En la sumatoria anterior podemos ver que los términos son objetos matemáticos a los que hemos llamado a2 ; a3 y a4 . En algunas ocasiones, veremos que se pueden distinguir algunos elementos que pueden considerarse como constantes, en el sentido de que no dependen de la sumatoria, como ocurre en el siguiente ejemplo: 2 X
a · 2j = a · 20 + a · 21 + a · 22
j=0
Aquí, podemos ver que la letra a no se ve afectada por la variable de la sumatoria, por lo que puede considerarse como una constante para dicha sumatoria. Es más, hasta inclusive podría tener una variable distinta e igual considerarse como una constante, como ocurre en el siguiente ejemplo 4 X
aj · ai = aj · a1 + aj · a2 + aj · a3 + aj · a4
i=1
Podemos observar que aj tiene una variable distinta a la de la sumatoria y por ello se mantiene constante a medida que se desarrolla la sumatoria.
Propiedades de la sumatoria La sumatoria cumple las siguientes propiedades: 1.
n X
n X
i=1
i=1
(ai + bi ) =
ai +
n X
bi
i=1
En otras palabras, la sumatoria de una suma, es igual a la suma de las sumatorias. No es necesario que las sumatorias empiecen siempre en i = 1.
68
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN
2.
n X
n X
i=1
i=1
(a · ai ) = a ·
!
ai
Es decir, si dentro de la sumatoria hay una constante, ésta se puede sacar de la misma y el resultado no cambiará. 3.
n X
m X
i=1
aij =
j=1
m X
n X
j=1
i=1
!
aij
En otras palabras, se pueden intercambiar las sumatorias.
4.
n X
ai =
i=1
n X
aj =
j=1
n X
ak
k=1
Es decir, no importa la variable utilizada, las sumatorias son iguales. 5.
n X
ai =
i=1
n+k X
ai−k =
i=1+k
n−k X
ai+k
k=1−k
En otras palabras, se pueden aumentar o disminuir los límites inferior y superior y para que la sumatoria sea igual, debemos disminuir o aumentar la variable. Todas estas propiedades, se pueden aplicar inclusive si el límite inferior es otro número natural distinto de 1.
Demostración de las propiedades. No demostraremos todas las propiedades mencionadas anteriormente, las que no demostremos en este texto, quedan como ejercicio para el lector. Demostraremos la primera propiedad: n X i=1
(ai + bi ) =
n X i=1
ai +
n X
bi
i=1
En efecto, desarrollando el primer miembro de la sumatoria, tenemos que n X
(ai + bi ) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + · · · + (an−1 + bn−1 ) + (an + bn )
i=1
Suprimiendo paréntesis se tiene n X i=1
(ai + bi ) = a1 + b1 + a2 + b2 + · · · + an−1 + bn−1 + an + bn
69
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN Aplicando la propiedad conmutativa de la adición, tenemos que n X
(ai + bi ) = a1 + a2 + · · · + an−1 + an + b1 + b2 + · · · + bn−1 + bn
i=1
Asociando y expresando como sumatoria resulta que n X
(ai + bi ) =
i=1
n X
ai +
i=1
n X
bi
i=1
Demostraremos la tercera propiedad: n X
m X
i=1
aij
=
j=1
m X
n X
j=1
i=1
!
aij
Desarrollando la sumatoria que está dentro del paréntesis resulta que n X
m X
i=1
aij =
j=1
n X
ai1 + ai2 + · · · + ai(m−1) + aim
i=1
Desarrollando ahora, la sumatoria que nos quedó, tenemos que n X
m X
i=1
aij = (a11 + · · · + a1m ) + (a21 + · · · + a2m ) + · · · + (an1 + · · · + anm )
j=1
Si observamos, tenemos asociados términos donde el segundo subíndice es el que varía. Entonces, suprimiendo paréntesis, aplicando la propiedad conmutativa y asociando, ordenamos los términos en los cuales varía el primer subíndice. Es decir n X
m X
i=1
aij = (a11 + a21 · · · + an1 ) + (a12 + · · · + an2 ) + · · · + (a1m + · · · + anm )
j=1
Expresando como sumatoria tenemos que n X
m X
i=1
aij
=
j=1
m X
(a1j + a2j + · · · + anj )
j=1
De donde se obtiene que n X
m X
i=1
j=1
aij =
m X
n X
j=1
i=1
!
aij
Las demás propiedades quedan a cargo del lector.
Principio de Inducción Completa El Principio de Inducción Completa, (PIC) es un método de demostración de propiedades referidas solamente a números naturales y se basa en los Axiomas de Peano, matemático que sentó
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN
70
las bases para definir matemáticamente a tales números. El principio de inducción completa consta de tres pasos básicos. Sin embargo, antes de estudiar este método de demostración, analizaremos la siguiente situación: Supongamos que tenemos la siguiente fórmula, p(n) = n2 + n + 41 con n ∈ N. Si reemplazamos n = 1, obtenemos p(1) = 12 + 1 + 41 = 43 que es un número primo. Si reemplazamos por n = 2, volvemos a obtener otro número primo: p(2) = 22 + 2 + 41 = 47. Si reemplazamos por n = 3, volvemos a obtener otro número primo. Esto nos podría indicar que para cualquier n que tomemos, p(n) nos daría un número primo. Es decir, anticipar una propiedad en base al análisis de unos pocos casos particulares. Pues bien, esto es muy peligroso, sobre todo en matemática. ¿Cómo podemos asegurar que p(n) = n2 + n + 41 es un número primo para cualquier n natural? Es aquí, donde deberemos usar el Principio de Inducción Completa. La propiedad analizada anteriormente, es verdadera para todo n menor que 41, sin embargo, cuando n = 41 resulta que p(41) = 412 + 41 + 41 = 41 · 41 + 41 + 41 = 41 · (41 + 1 + 1) = 41 · 43 y este número ya no será un número primo. Surge entonces la siguiente pregunta: si tenemos una propiedad relativa a los números naturales y se ha encontrado que ésta se cumple para algunos casos particulares, ¿cómo puede determinarse si la proposición se cumple en general? Es en este contexto que el Principio de Inducción Completa nos ayudará a determinar la validez o no de las proposiciones. Una proposición referida a los números naturales, será válida si se satisfacen las siguientes condiciones: 1. La proposición se cumple para n = 1 2. La proposición es verdadera para n = k y eso implica que la proposición es verdadera para n = k + 1 Observaciones: debemos hacer notar que para que una demostración por el Principio de Inducción Completa, esté bien hecha es necesario que se cumplan las dos condiciones anteriores. La condición 1, proporciona una base sobre la cual se construye la demostración. La condición 2 nos proporciona la justificación para poder generalizar la proposición que estamos estudiando.
71
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN Algunos ejemplos
Analicemos a continuación una proposición y veamos si es verdadera o falsa, utilizando el Principio de Inducción Completa.
Teorema 5.1. La suma de los primeros n números naturales, se puede calcular mediante n(n + 1) . 2 n(n + 1) Es decir: 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n = 2
Por ejemplo: la suma de los primeros 100 números naturales es
100 · 101 = 50 · 101 = 5050. 2
Demostración 5.1. Utilizaremos el Principio de Inducción Completa. En primer lugar, debemos demostrar la condición 1. Es decir, debemos probar que la proposición vale para n = 1. En efecto: la suma de los números hasta el 1 es 1. 1 · (1 + 1) Por otro lado: = 1. 2 Ahora, veamos que se cumple la condición 2. Para ello supongamos que la propiedad vale para n = k. O sea, supongamos que 1+2+3+·+k =
k(k + 1) 2
Ahora, si probamos que de esa hipótesis se cumple para n = k + 1 entonces habremos probado que vale para cualquier número natural. Lo que queremos probar es que 1 + 2 + 3 + · + k + (k + 1) =
(k + 1)((k + 1) + 1) (k + 1)(k + 2) = 2 2
Entonces, tomando el primer miembro de la igualdad, y asociando los primeros k términos, se tiene que 1 + 2 + 3 + · + k + (k + 1) = [1 + 2 + 3 + · + k] + (k + 1) Utilizando la hipótesis, resulta que 1 + 2 + 3 + · + k + (k + 1) =
k(k + 1) + (k + 1) 2
72
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN Sumando las expresiones fraccionarias, se tiene que 1 + 2 + 3 + · + k + (k + 1) =
k(k + 1) + 2(k + 1) 2
Sacando factor común k +1 en el numerador y aplicando la propiedad conmutativa del producto, se tiene que 1 + 2 + 3 + · + k + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2) 2
y esto era lo que queríamos demostrar. Como se cumplen las dos condiciones, podemos afirmar que la propiedad se cumple para todo número natural n.
§
A la condición 1, se la suele llamar Base Inductiva. La Base Inductiva es la demostración de que la propiedad es verdadera para n = 1. A la hipótesis de que la proposición es verdadera para n = k se la denomina Hipótesis Inductiva. La Hipótesis Inductiva se supone verdadera, no se demuestra. Tesis Inductiva se denomina a la proposición para n = k + 1. La Tesis Inductiva se debe demostrar a partir de la Base Inductiva.
Veamos otro ejemplo. Para números complejos vimos que se cumple que, dados los complejos z y w se tiene que |zw| = |z| · |w|. Ahora bien, ¿qué ocurre si z = w? Entonces |z 2 | = |z|2 De ahí, se nos ocurre la siguiente propiedad: Teorema 5.2. Sea z ∈ C, entonces |z n | = |z|n , para cualquier n ∈ N
Demostración 5.2. Demostrémosla usando el PIC. Base Inductiva: si n = 1 se tiene que |z 1 | = |z| Y por otro lado, |z 1 | = |z| Entonces se cumple que |z 1 | = |z|1
73
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN
Hipótesis inductiva: suponemos que la propiedad se cumple para n = k, es decir |z k | = |z|k Tesis Inductiva: demostraremos que la propiedad vale para n = k + 1. Es decir |z k+1 | = |z|k+1 En efecto: |z k+1 | = |z k · z| = |z k | · |z| = |z|k · |z| = |z|k+1 Así la tesis queda probada y por lo tanto, la propiedad vale para cualquier número natural n. §
Analicemos un último ejemplo.
Teorema 5.3.
n X
i2 =
i=1
n(n + 1)(2n + 1) 6
Este teorema afirma que la suma de los cuadrados de los números naturales desde 1 hasta n se puede obtener mediante dicha fórmula. Por ejemplo, si n = 4, entonces si sumamos los cuadrados tendremos que 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 y aplicando la fórmula dada, resulta 4 · (4 + 1) · (2 · 4 + 1) 4·5·9 180 = = = 30 6 6 6 Como es una propiedad que se refiere a los números naturales, entonces utilizaremos el Principio de Inducción Completa.
Demostración 5.3. La fórmula es cierta cuando n = 1. En efecto, por un lado se tiene que 1 X
i2 = 12 = 1
i=1
Por otro lado 1 · (1 + 1)(2 · 1 + 1) 6 = =1 6 6 Es decir, hemos probado la base inductiva. La hipótesis inductiva es k X i=1
i2 =
k(k + 1)(2k + 1) 6
74
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN La tesis inductiva (que es lo que debemos probar) es k+1 X
(k + 1)(k + 2)(2k + 3) 2k 3 + 9k 2 + 13k + 6 (k + 1) ((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1) = = i = 6 6 6 i=1 2
Demostremos entonces que partiendo de la veracidad de la hipótesis inductiva, se llega a la tesis inductiva. Tenemos entonces que k+1 X
i2 = 12 + 22 + 32 + · · · + (k − 1)2 + k 2 + (k + 1)2
i=1
Asociando los primeros k términos, se tiene que k+1 X
i2 = 12 + 22 + 32 + · · · + (k − 1)2 + k 2 + (k + 1)2
i=1
Expresando como sumatoria, resulta que k+1 X
2
i =
i=1
k X
i2 + (k + 1)2
i=1
Ahora, utilizando la hipótesis inductiva y reemplazando la sumatoria del segundo miembro se tiene que k+1 X
i2 =
i=1
k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 6
Operando con expresiones fraccionarias, resulta que k+1 X
i2 =
i=1
k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 6
Resolviendo en el numerador, llegamos a que k+1 X
i2 =
i=1 k+1 X
(k 2 + k)(2k + 1) + 6(k 2 + 2k + 1) 6
i2 =
i=1 k+1 X i=1
2k 3 + 3k 2 + k + 6k 2 + 12k + 6 6 i2 =
2k 3 + 9k 2 + 13k + 6 6
Por lo tanto, la tesis inductiva es verdadera. Luego la propiedad es verdadera.
§
75
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN
Binomio de Newton Recordemos los productos notables estudiados en la sección de Polinomios.
Cuadrado de un binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cubo de un binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Estos productos notables se producen a causa de que la potenciación no es distributiva con respecto a la adición. Lo que queremos en encontrar una fórmula para hallar la potencia n-ésima de un binomio. En otras palabras, queremos generalizar los productos notables anteriores. A esta formula generalizada, la llamaremos Binomio de Newton. Antes de demostrar la fórmula, analicemos una potencia más. (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 Podemos observar algunos hechos interesantes: 1. Si la potencia es n entonces el desarrollo tiene n + 1 términos. 2. Los exponentes de a y de b en cada término suman n. 3. Las potencias de a van disminuyendo desde n hasta 0. 4. Las potencias de b van aumentando desde 0 hasta n. Además podemos ver que el desarrollo la potencia de un binomio puede expresarse como una sumatoria. Entonces, tenemos que n
(a + b) =
n X
Ci · an−i · bi
i=0
Observemos que se cumplen los hechos mencionados anteriormente: 1. El desarrollo de la potencia del binomio tiene n + 1 términos, puesto que la sumatoria empieza con i = 0. 2. Los exponentes de a y de b suman n: (n − i) + i = n
76
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN
3. A medida que la variable va tomando los valores desde 0 hasta n, los exponentes de a van disminuyendo. 4. A medida que la variable va tomando los valores desde 0 hasta n, los exponentes de b van aumentando. Con todo ello, enunciamos el siguiente Teorema 5.4. Binomio de Newton Sea n ∈ N; a 6= 0 y b 6= 0, entonces (a + b)n =
n X i=0
n n−i i ·b ·a i
En otros términos, desarrollando la fórmula anterior se tiene que
(a + b)n =
n 0
a
n 0
b +
n 1
a
n−1 1
b +
n 2
a
n−2 2
b +···+
n
n−1
1 n−1 + a b
n n
a
0 n
b
Antes de demostrar que la fórmula del Binomio de Newton se cumple, debemos hacer notar las condiciones de que a 6= 0 y b 6= 0 puesto que sino la fórmula no tendría sentido al tener en algunos de sus términos la potencia 00 . Vamos entonces a demostrar esta fórmula, utilizando el Principio de Inducción Completa. Demostración 5.4. Base Inductiva: Si n = 1 entonces por un lado tenemos que (a + b)1 = (a + b) y por otro lado, desarrollando la sumatoria, resulta que 1 X i=0
1 1−i i 1 1 0 1 1−1 1 b =a+b a b = a b + a i 0 1
Luego, se cumple la Base Inductiva.
Hipótesis Inductiva: Si n = k entonces la fórmula es (a + b)k =
k X i=0
k k−i i a b i
77
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN Suponiendo la hipótesis verdadera, vayamos a demostrar la veracidad de la tesis inductiva.
Tesis Inductiva: Si n = k + 1 entonces la fórmula es (a + b)k+1 =
k+1 X
k+1
a
i
i=0
(k+1)−i i
b
En efecto:
(a + b)k+1 = (a + b)k (a + b) Aplicando la propiedad conmutativa del producto y utilizando la hipótesis inductiva, resulta que (a + b)k+1 =
k X (a + b) i=0
k k−i i a b i
Utilizando la propiedad distributiva del producto con respecto a la adición, se tiene que k X a
(a + b)k+1 =
i=0
k X k k−i i k k−i i a b a b + b i=0 i i
Por propiedad de sumatoria, tenemos que k X
(a + b)k+1 =
i=0
k X
k k−i i k k−i i ba b aa b + i=0 i i
Utilizando el producto de potencias de igual base, se tiene que (a + b)k+1 =
k X i=0
k k k−i+1 i X k k−i i+1 b + a b a i=0 i i
Ahora bien, utilizando la propiedad de sumatoria, vamos a aumentar en 1, los límites inferior y superior de la segunda sumatoria y por ello, deberemos disminuir la variable en 1, quedando lo siguiente: (a + b)k+1 =
k X i=0
Es decir (a + b)k+1 =
k i
a
k X i=0
k−i+1 i
b +
k+1 X i=1
k i
a
k−i+1 i
b +
k i−1
k+1 X i=1
k−(i−1) (i−1)+1 b a
k i−1
k−i+1 i b a
78
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN
Tomando el primer término de la primera sumatoria y el último término de la segunda sumatoria, resulta que:
(a+b)k+1 =
k X
k X
k k k−i+1 i k k−i+1 i k k+1 k−(k+1)+1 k+1 b b + b+ + a a a a i=1 i=1 k+1−1 i−1 i 0
Es decir
k X k+1 + a
k
(a + b)k+1 =
0
k X k−i+1 i b + a
i=1
i
i=1
i−1
k
k
k
k−i+1 i b a
+
k
b
k+1
Utilizando propiedad de sumatoria, resulta que
k X k+1 + a
k
(a + b)k+1 =
0
i=1
k i
k−i+1 i
b +
a
k
i−1
k
k−i+1 i b+ a
k
b
k+1
Sacando factor común ak−i+1 bi en los términos centrales, tenemos que
(a + b)k+1 =
k X
k k+1 k k k−i+1 i k k+1 + b + b a + a i=1 0 i i−1 k
De donde, por propiedad de números combinatorios, resulta que
(a + b)k+1 =
Teniendo en cuenta que
k 0
k+1
+
k+1
=
y
k+1 0
a
i
i=1
k 0
a
k X
k−i+1 i
b+
=
k k
k k
b
k+1
k+1 k+1
,
reemplazando obtenemos
que
(a + b)k+1 =
k+1 0
a
k+1
+
k X
i=1
k+1 i
a
k−i+1 i
b+
k+1 k+1
b
k+1
Ordenando convenientemente los exponentes resulta que
(a + b)k+1 =
k X
k + 1 k+1 k + 1 (k+1)−i i k + 1 k+1 + b+ a a b i=1 0 i k+1
Por último, expresando todo dentro de una sumatoria, resulta que (a + b)k+1 =
k+1 X i=0
k + 1 (k+1)−i i b a i
que es la tesis inductiva. Por lo tanto, la fórmula del Binomio de Newton es verdadera, ∀n ∈ N.
§
79
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN
√ 5 Por ejemplo, si tenemos que desarrollar la siguiente potencia ( x + 2x2 ) entonces usaremos la fórmula anteriormente demostrada. Entonces √
x + 2x2
5
=
5 X i=0
5 √ 5−i 2 i x 2x i
Desarrollando la sumatoria se tiene que
√ 5 0 1 2 5 √ 5−0 5 √ 5−1 5 √ 5−2 ( x + 2x2 ) = ( x) (2x2 ) + ( x) (2x2 ) + ( x) (2x2 ) + 0 1 2
3 4 5 5 √ 5−3 5 √ 5−4 5 √ 5−5 2x2 + x 2x2 + x 2x2 + x 3 4 5
Resolviendo los números combinatorios y los exponentes de cada término, se tiene que
√
x + 2x2
5
=
√ 5
x +5
√ 4
2x2 +10
x
√ 3
x
2
2x2 +10
√ 2
x
3 √ 4 5 2x2 +5 x 2x2 + 2x2
Resolviendo en cada término, resulta que √
x + 2x2
5
=
√ 5
x
+ 10x4 + 40
√ 3 x x4
√ 4 5 + 80x7 + 5 x 2x2 + 2x2
El triángulo de Pascal Una forma de recordar los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton, es a través del Triángulo de Pascal, que se presenta a continuación 1 1 1 1 1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
1
El triángulo de Pascal se forma colocando el número 1 en los dos extremos de cada fila, y los números que se encuentran entre esos unos, se obtiene de sumar los dos números de la final anterior. La primer fila, se corresponde con n = 0.
5 SUMATORIA E INDUCCIÓN
80
La segunda fila, se corresponde con n = 1. La tercera fila, se corresponde con n = 2. Y así sucesivamente. Por ejemplo, si tenemos la potencia (a + b)5 entonces, tendremos que el desarrollo de la misma será: (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 y para obtenerlo, hemos utilizado la sexta fila del triángulo de Pascal y el hecho de que las potencias de a van disminuyendo y de b van aumentando.
El término k-ésimo En muchas ocasiones nos interesará saber, cómo es un solo término del desarrollo del binomio de Newton. Para ello hay dos caminos: uno es desarrollar todo el binomio y allí buscar el término que nos interesa. La otra manera es encontrar una fórmula que nos indique cómo va a ser ese término, sin tener que desarrollar toda la potencia del binomio. Supongamos que queremos saber, cuál será el decimonoveno término del desarrollo de (x + 1)23 . Para ello deberemos desarrollar la sumatoria antes vista hasta el término decimonoveno o utilizar alguna otra estrategia. Pues bien, comencemos a recordar cuáles eran las particularidades que cumplía el desarrollo de la potencia de un binomio.
1. El desarrollo de la potencia del binomio tiene n + 1 términos, puesto que la sumatoria empieza con i = 0. 2. Los exponentes de a y de b suman n: (n − i) + i = n 3. A medida que la variable va tomando los valores desde 0 hasta n, los exponentes de a van disminuyendo. 4. A medida que la variable va tomando los valores desde 0 hasta n, los exponentes de b van aumentando.
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5 SUMATORIA E INDUCCIÓN El término k-ésimo del desarrollo, deberá tener la forma
a
n
p
q r
b
donde p; q y r son expresiones que dependerán del lugar k elegido. Determinemos primeramente p. Si analizamos la sumatoria que corresponde al desarrollo de la potencia n de (a + b), vemos que el denominador del número combinatorio varía desde 0 hasta n. Por lo tanto el primer término será 0, el segundo término será 1 y así sucesivamente. Luego, el término k-ésimo tendrá un número combinatorio con denominador p = k − 1. Si se observa con detenimiento, el exponente de b también varía desde 0 hasta n y por lo tanto, cumplirá lo mismo que se cumple para el denominador del número combinatorio. En otras palabras, para el término k-ésimo, se tendrá que r = k − 1. Por último, como la suma de los exponentes de a y de b debe ser n, se tiene que q + r = n, de donde se tiene que q + k − 1 = n y por lo tanto q = n − k + 1, que es el exponente de a. Es decir, el término k-ésimo, al que llamaremos Tk tendrá la forma
Tk =
n
k−1
n−k+1 k−1 b a
Con esa fórmula, ya no necesitaremos desarrollar toda la sumatoria. Por ejemplo, si queremos hallar el quinto término de (1 + x)8 entonces tendremos que:
Tk =
n
k−1
T5 =
8
5−1
n−k+1 k−1 b a
8−5+1 5−1 x 1
De donde, resolviendo el número combinatorio y los exponentes tenemos que: T5 =
8·7·6·5 4 x 4·3·2
De donde se obtiene que el término buscado es T5 = 70x4
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6 NUMERABILIDAD SECCIÓN 6
Numerabilidad Introducción Contar objetos es una de las acciones básicas que el hombre ha hecho a lo largo de su historia. De esa acción surgen los Números Naturales. Ahora bien, ¿cómo definimos matemáticamente la acción de contar objetos? Para ello necesitaremos recordar algunas cuestiones relacionadas a las funciones. Recordemos que una función es inyectiva si y solo si ∀x; y : x 6= y → f (x) 6= f (y). En otras palabras, la función f será inyectiva si a elementos distintos del dominio, le correspoden imágenes distintas. Por ejemplo, la función f (x) = x2 no es inyectiva puesto que al −2 y al 2 le corresponden la misma imagen, el 4. Una función es sobreyectiva, o suryectiva o suprayectiva si y solo si ∀b ∈ B : ∃a ∈ A/f (a) = b. En otras palabras, si todos los elementos del conjunto de llegada tienen una preimagen en el conjunto de salida. Por ejemplo, la función f : R −→ R/f (x) = x2 no es suprayectiva, puesto que si tomo b = −2 se verifica que no existe a ∈ R tal que a2 = −2. Si una función es inyectiva y suprayectiva, entonces se dirá que la función es biyectiva. Por ejemplo, la función g : R −→ R/g(x) = x3 es una función biyectiva. Ahora, detengámosnos a pensar qué información nos ofrece una función biyectiva cuando es aplicada a conjuntos con una determinada cantidad de elementos. Supongamos tener el conjunto A = {a; b; c} y un conjunto B que por ahora no tenemos sus elementos. Si queremos que haya una función biyectiva entre los conjuntos A y B, entonces es claro que B no debería tener más de tres elementos. De lo contrario, sobrarían elementos en B que no tendrían una preimagen en A. Por otro lado, B tampoco podría tener menos de tres elementos, puesto que si tuviera menos elementos, entonces la función no sería inyectiva. Es decir, habría dos elementos distintos en A con la misma imagen.
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6 NUMERABILIDAD
En conclusión, se puede decir que para que haya una función biyectiva entre A y B, entonces B debería tener exactamente tres elementos. En otras palabras, B debería tener la misma cantidad de elementos que A.
Conjuntos finitos e infinitos En primer lugar definiremos a qué llamaremos conjuntos coordinables para luego ir sumando definiciones y ejemplos que nos lleven a comprender el concepto central de esta sección: la numerabilidad de conjuntos. Comenzamos entonces con la siguiente definición:
Definición 6.1. Dados dos conjuntos A y B se dirán que son coordinables entre sí, si y solo si existe una función biyectiva entre ambos. En otras palabras: A y B son coordinables ⇔ ∃f : A −→ B/f es biyectiva
Analicemos el siguiente ejemplo: Sean A = {1; 3; 4} y B = {a; b; c; d}, claramente no existe una función biyectiva que se pueda definir entre ellos, puesto que si f es una función de A en B, no podría ser suprayectiva, dado que siempre habría un elmento en B que no es imagen de ningún elemento en A. Ahora bien, supongamos que tenemos el conjunto C = {a; b; c}, entonces podríamos tener la función g biyectiva de la siguiente manera: g(1) = a g(3) = c g(4) = b Por lo tanto, los conjuntos A y C son coordinables entre sí, puesto que hemos podido encontrar una función g que es biyectiva. Esto es lo que analizamos en la introducción de esta sección. Decir que dos conjuntos son coordinables es lo mismo que decir que los conjuntos tienen la misma cantidad de elementos. Para simbolizar que dos conjuntos son coordinables, lo haremos del siguiente modo: A ∼ B.
6 NUMERABILIDAD
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Definición 6.2. Un intervalo natural inicial In es el conjunto In = {1; 2; 3; 4; · · · ; n}
Es decir, un intervalo natural inicial es el conjunto de los n primeros números naturales. Así se tiene entonces que por ejemplo I3 = {1; 2; 3} o también I10 = {1; 2; 3; · · · ; 9; 10}
Definición 6.3. Un conjunto A se dirá que es finito si y solo si A = ∅ o A es coordinable con algún intervalo natural inicial.
La definición anterior también se puede enunciar así
Definición 6.4. A es finito ⇔ A = ∅ ∨ ∃n ∈ N/A ∼ In .
Por ejemplo, es claro que el conjunto A = {1; 3; 4} es coordinable con el conjunto I3 y por lo tanto A es un conjunto finito. En cambio, el conjunto B de las fracciones de numerador 1, no es un conjunto finito, puesto que no existe el natural n tal que B ∼ In . El último ejemplo nos lleva a la siguiente definición de conjunto infinito. Definición 6.5. Un conjunto A es infinito si y solo si no es finito.
Es decir, un conjunto infinito es la negación de un conjunto finito y por lo tanto su definición también puede ser escrita de la siguiente manera 9 : Definición 6.6. A es infinito ⇔ A 6= ∅ ∧ @n ∈ N/A ∼ In
Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, el de los números racionales, el de lo números reales son conjuntos infinitos.
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Recuérdese las leyes de De Morgan
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6 NUMERABILIDAD
Numerabilidad de los conjuntos numéricos. Vamos a ver ahora el tema central de esta unidad: la numerabilidad de los conjuntos numéricos. Esto nos permitirá arribar a conclusiones que parecerán absurdas si las miramos con los ojos de los conjuntos finitos. En primer lugar, veamos que dados dos conjuntos finitos, A y B, de manera tal que A 6= B y A ⊂ B, se tiene que es imposible establecer una función biyectiva entre los mismos. Esto resultará obvio al lector, puesto que si A es un subconjunto de B, entonces A tiene menos elementos que B. Sin embargo, para conjuntos infinitos, esto no es tan así. Antes de analizar la situación para conjuntos infinitos definiremos la numerabilidad de conjuntos.
Definición 6.7. Un conjunto A se dirá numerable si y solo si es coordinable con el conjunto N.
Es decir, A no debe ser finito, además debe poder establecerse entre A y N una función biyectiva. Así, cualquier intervalo natural inicial no es numerable, puesto que si f : In −→ N resulta claro que f no es suprayectiva. Por ejemplo, tomemos el conjunto de los números naturales pares. P = {n ∈ N/n es un número par} Si establecemos entre el conjunto P y N la siguiente función f : P −→ N/f (p) =
p 2
podremos ver que f es una función biyectiva. Luego, el conjunto de los números pares es coordinable con el conjunto de los números naturales y por lo tanto es un conjunto numerable. Veamos otro ejemplo. Tomaremos el conjunto N0 y la función g : N0 −→ N/g(n) = n + 1. El lector puede comprobar que la función g es biyectiva y por lo tanto el conjunto N0 es un conjunto numerable.
6 NUMERABILIDAD
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Ahora bien, pensemos en lo siguiente: si coordinable significa tener la misma cantidad de elementos, eso quiere decir que el conjunto P de los números pares tiene la misma cantidad de elementos que los números naturales, a pesar de que P ⊂ N. Es que para conjuntos infinitos no valen muchas de las propiedades que sí valen para conjuntos finitos. Acá podemos ver que siendo P un subconjunto de N tienen la misma cantidad de elementos. Lo mismo ocurre con el conjunto N0 , al mostrar que es numerable, entonces tiene la misma cantidad de elementos que N a pesar que le agregamos un elemento más: el 0. En otras palabras ](N) = ](N0 ) = ](P ) = ∞ y a este infinito lo llamaremos infinito numerable. Podemos encontrar otros conjuntos que sean infinitos numerable. Por ejemplo el conjunto de los números enteros.
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7 LOGARITMACIÓN SECCIÓN 7
Logaritmación
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8 EJERCICIOS SECCIÓN 8
Ejercicios Lógica Simbólica 1. Dadas las proposiciones p: El número 4 es un número par q: El 4 es un número divisible por 2 r: El 2 es divisor de un número par a) Construir en lenguaje coloquial las siguientes proposiciones: 1) p ∧ q 2) r ⇒ p 3) (r ∧ q) ⇒ p b) Obtenga la negación de cada una de las proposiciones simples p, q y r. c) Escriba en lenguaje coloquial la siguiente proposición: ∼ p ⇒∼ q. Analice además la veracidad de la misma. 2. Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones: a) (p ∧ q) ⇒ q b) ∼ (∼ p ∨ q) c) p Y (q ∧ p) d) p ∧ (q ∨ r) e) p ⇔ (q ∨ p) 3. Demuestre si las siguientes proposiciones son tautologías: a) ((p ⇒ q)∧ ∼ p) ⇒∼ q b) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) c) (p ∨ q) ⇔ (p∧ ∼ q)
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8 EJERCICIOS
4. Dados los siguientes pares de proposiciones p y q, indique cuál de ellos es condición suficiente y condición necesaria. a) p: soy argentino y q: nací en Villafañe b) p: a es un número natural y q: a es un número entero c) p: no escucho la música y q: no anda el reproductor de mp3 d) p: es un triángulo equilátero y q: todos sus ángulos son iguales e) p: 8 es divisible por 2 y q: 8 es un número par f ) p: f es una relación y q: f es una función 5. Demuestre las leyes lógicas de De Morgan 6. Dada la proposición compuesta a2 + b2 = 0 ⇒ (a = 0 ∧ b = 0) construya las implicaciones asociadas: la contraria, la recíproca y la contrarrecíproca. Analice el valor de verdad de cada una de ellas. 7. Dada la proposición compuesta a2 > 0 ⇒ a > 0 escriba las implicaciones asociadas y analice la veracidad de cada una de ellas. 8. Dadas las siguientes proposiciones, explique si son verdaderas o falsas. a) ∀x ∈ R : x2 > 0 b) ∃a ∈ Z/b · a = 0 c) ∀m ∈ Q : ∃n/m · n = 1
Números Complejos 1. Grafique cada uno de los siguientes números complejos: a) z = (1; 3) 1 b) w = −2; 4
c) u = (0; −2) √ 3 d) v = 2; 4
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8 EJERCICIOS 2. Con los complejos del ítem anterior, realice las siguientes operaciones: a) z − w b) 3u + v c) u · u v+w z u−v e) u+v
d)
f ) (u − w)(u + w) g) z 2 + (3 + i)z − (2 − i) 3. Con los complejos del ítem 1, realice las siguientes operaciones: a) Re(z − w) b) Im(u · v) c) Re(z 2 ) − Im(z 2 ) d) u + Re(w) − Im(v) w e) Re v
4. Halle el inverso multiplicativo de cada uno de los números complejos del ítem 1. 5. Determine las siguientes potencias de la unidad imaginaria: a) i34 b) i44 c) i106 d) i3456 6. Escribir en forma binómica los números complejos del ítem 1. 7. Resolver en forma binómica las siguientes operaciones con los números complejos del item 1. a) z + z − w
8 EJERCICIOS b)
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u v
c) v · w − u d) v · (w − u) e) w3 f ) (2 + i)z − 3w − iu 8. Halle el complejo conjugado de cada uno de los resultados del ítem anterior. 9. Halle el módulo de cada uno de los complejos del ítem 1 y del item anterior. 10. Grafique cada uno de los conjuntos de números complejos que se indican a continuación: a) A = {z ∈ C/Re(z) = 1} b) B = {z ∈ C/Im(z) = −1} c) C = {z ∈ C/|z| = 1} d) D = {z ∈ C/z + (3 − i) = 2} e) E = {z ∈ C/Re(z) > 2} f ) F = {z ∈ C/Im(z) > 1 ∧ Re(z) ≤ −2} g) G = {z ∈ C/|z| < 2} 11. Resolver las siguientes ecuaciones con números complejos: a) z + 2 = i b) (1 − 2i) · z = (3 − 2i) c) 3z + 2i = 1 + i 2+i =i z √ e) z + 1 = i
d)