Art´ıculo
´ ´ ´ SOBRE LA FORMULA DEL TERMINO K-ESIMO EN EL DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON 12 de julio de 2016
Mart´ınez, Rolando Ram´on Mayor Villafa˜ ne Formosa, Argentina rosomina@gmail.com
1.
El desarrollo del binomio de Newton
Para comenzar a hablar sobre la f´ormula del t´ermino k-´esimo, debemos recordar algunos hechos que ocurren al desarrollar el binomio de Newton de una potencia n. En primer lugar, recordemos que la f´ormula para desarrollar la potencia n del binomio a + b est´a dada por: n X n n−k k n (a + b) = a b k k=0
Desarrollando la f´ ormula anterior, tenemos que: n n 0 n n−1 1 n n−2 2 n n 0 n n 1 n−1 (a + b) = a b + a b + a b + ··· + a b + a b 0 1 2 n−1 n Luego de analizar el desarrollo anterior, se puede observar que: 1. Los n´ umeros combinatorios tienen siempre el numerador igual a la potencia, mientras que el denominador var´ıa comenzando desde el 0 hasta n. 2. Por el item anterior, se tiene que el desarrollo de la potencia n tiene n+1 t´erminos. 3. Los exponentes del t´ermino a decrecen desde n hasta 0. 4. Los exponenetes del t´ermino b crecen desde 0 hasta n y se corresponden con el denominador del n´ umero combinatorio. 5. En cualquier t´ermino del desarrollo, se tiene que la suma de los exponentes de a y de b es siempre igual a n. Estos hechos ser´an importantes tenerlos en cuenta para la deducci´on de la f´ormula del t´ermino k-´esimo.
2.
F´ ormula del t´ ermino k-´ esimo
En primer lugar, debemos preguntarnos por qu´e es importante estudiar una f´ormula para obtener un t´ermino del desarrollo. Para contestar esa pregunta, pensemos en la siguiente situaci´on: si queremos hallar el cuarto t´ermino del desarrollo de (a + b)5 solo tendremos que aplicar la f´ormula del binomio y ah´ı fijarnos el t´ermino deseado. Ahora, si nos preguntan cu´al es el octavo t´ermino del desarrollo de (a + b)12 , con un poco de trabajo, deberemos desarrollar los ocho primeros t´erminos para contestar la pregunta. Sin embargo, supongamos que nos preguntan a qu´e es igual el t´ermino n´ umero 124 del desarrollo 320 de (a + b) . Con mucho esfuerzo, deberemos desarrollar los 124 primeros t´erminos para contestar esa pregunta. Pues bien, es en situaciones como esta donde la f´ormula del t´ermino k-´esimo cobra importancia, pues nos permitir´ a saber a qu´e es igual el t´ermino k sin tener que hacer el desarrollo completo de la f´ ormula del binomio de Newton. 355 ¡¡Imag´ınense si nos piden hallar el t´ermino 304 de 13 h3 − 2m2 !!
2
2.1.
Deduciendo la f´ ormula
Para empezar a deducir la f´ormula del t´ermino k-´esimo, empezaremos a analizar el desarrollo de la potencia (a + b)5 aplicando la f´ ormula del binomio de Newton. Tenemos entonces que: 5−k k P5 5 (a + b)5 = ·b k=0 k · a =
5 0
· a5 · b0 +
5 1
· a4 · b1 +
5 2
· a3 · b2 +
5 3
· a2 · b3 +
5 4
· a1 · b4 +
5 5
· a0 · b5
Nos centraremos en el desarrollo anterior para a partir de su an´alisis, obtener la f´ormula buscada. Para ello vamos a hacer una tabla, en la cual podremos mirar algunos hechos importantes que nos ayudar´an a obtener la f´ ormula. T´ermino
Numerador
Denominador
Exponente de a
Exponente de b
T´ermino completo
1
5
0
5
0
5 0
· a5 · b0
2
5
1
4
1
5 1
· a4 · b1
3
5
2
3
2
5 2
· a3 · b2
4
5
3
2
3
5 3
· a2 · b3
5
5
4
1
4
5 4
· a1 · b4
6
5
5
0
5
5 5
· a0 · b5
Al mirar detenidamente la tabla, podemos observar que: El numerador del n´ umero combinatorio de cada t´ermino, siempre es el mismo. En este caso es 5. El denominador del n´ umero combinatorio de cada t´ermino, es uno menos. As´ı, por ejemplo, para el t´ermino 3, el denominador es 2, o para el t´ermino 5, el denominador es 4. Por lo tanto, si queremos generalizar, para el t´ermino k-´esimo, el denominador del n´ umero combinatorio es k − 1. Hasta ac´a la f´ ormula buscada del t´ermino k-´esimo es n T (k) = · a? · b? k−1 Todav´ıa nos falta averiguar los exponentes de a y de b. Para ello, analizamos de nuevo la tabla anterior. All´ı, podemos ver que: El exponente de a es la resta entre el numerador y el denominador del n´ umero combinatorio. As´ı, por ejemplo, en el t´ermino 2, el exponente de a es 5 − 1 = 4. O por ejemplo, en el t´ermino 6, el exponente de a es 5 − 5 = 0. Luego, generalizando tenemos que el exponente de a es n − (k − 1) 3
As´ı, la f´ormula del t´ermino k-´esimo es T (k) =
n · an−(k−1) · b? k−1
y sacando par´entesis en el exponente de a, obtenemos n T (k) = · an−k+1 · b? k−1 S´ olo nos queda hallar el exponente de b. Para ello analizamos por u ´ ltima vez la tabla y podemos observar que: El exponente de b es el mismo que el denominador del n´ umero combinatorio. Por ejemplo, en el t´ermino 3, el exponente de b es 3. En forma general, en el t´ermino k-´esimo el exponente de b es k − 1. Entonces, la f´ ormula del t´ermino k-´esimo es n T (k) = · an−k+1 · bk−1 k−1
2.2.
Ejercicios resueltos
A continuaci´ on resolveremos algunos ejercicios aplicando la f´ormula obtenida. 1. Halle el cuarto t´ermino de (1 + x)7 . Pues bien, en primer lugar como nos piden el cuarto t´ermino, resulta entonces que k = 4, y como el exponente es 7, entonces se tiene que n = 7. El binomio es 1 + x por lo que se tiene que a = 1 y b = x. Aplicando la f´ ormula se obtiene que: n−k+1 k−1 n T (k) = k−1 ·a ·b T (4) = =
7 4−1 7 3
· 17−4+1 · x4−1
· 14 · x3
=
7! 3!·(7−3)!
=
7·6·5·4! 6·4!
· 1 · x3
· x3
= 35 · x3 5 2. Halle el tercer t´ermino del desarrollo de x2 − 12 x . Pues bien, en este ejercicio se tiene que k = 3, el exponente del binomio es n = 5 y el binomio es x2 − 12 x. Antes de aplicar la f´ormula, analizaremos detenidamente el binomio, para determinar quien es a y quien es b. En primer lugar, vemos que el binomio tiene una resta, por lo que vamos a reescribirlo de la siguiente manera: 1 1 2 2 x − x=x + − x 2 2 4
por lo que podemos ver que a = x2 y b = − 12 x. Ahora si, podemos aplicar la f´ ormula del t´ermino k-´esimo. n−k+1 k−1 n T (k) = k−1 ·a ·b 5 3−1
T (3) =
5 2
=
· x2
5−3+1
· − 12 x
3
· − 12 x
2
· x2
3−1
= 10 · x6 · 14 x2 =
5 2
· x8
5 3. ¿C´omo es el quinto t´ermino del desarrollo de − 23 x2 − x3 . Primero de todo veamos que k = 5 y n = 5. En segundo lugar, identifiquemos los t´erminos a y b. Si observamos bien, veremos que
2 x − x2 − 3 3
5
=
x 2 − x2 + − 3 3
5
de donde se deduce que a = − 23 x2 y b = − x3 . Ahora s´ı, aplicando la f´ ormula, obtenemos que n−k+1 k−1 n T (k) = k−1 ·a ·b T (5) = =
5 5−1 5 4
· − 23 x2
· − 23 x2
1
5−5+1 · − x3
· − x3
5−1
4
4 = 5 · − 32 x2 · + x81 = −5 · 23 x2 · 2
·x = − 10·x 3·81
x4 81
4
6
= − 10·x 241
10 6 = − 241 x
3 8 4. Halle el d´ecimo t´ermino de x2 − x3 . Pues bien, esta ejercicio no tiene soluci´on, puesto que como el exponente del binomio es 8, se tiene que el desarrollo tiene 9 t´erminos y por lo tanto no existe el d´ecimo t´ermino. 2 9 5. ¿En qu´e t´ermino del desarrollo de m − n2 , m tiene como exponente a 3? Para responder a esta pregunta tenemos dos caminos. El primero es desarrollar el binomio de 5
Newton y ver en qu´e n´ umero de t´ermino aparece m3 . El segundo camino es usar la f´ ormula del t´ermino k-´esimo. En efecto, lo que necesitamos hallar es el valor de k puesto que nos est´a preguntando en qu´e t´ermino del desarrollo se encuentra m3 . Pero sabemos que n = 9, que a = m y que el exponente de a se halla mediante n − k + 1. Por lo tanto, si sabemos que el exponente de m es 3, resulta que 3 = 9 − k + 1 de donde despejando k se tiene que k = 9 − 3 + 1 = 7. 2 9 Ello nos quiere decir que en el s´eptimo t´ermino del desarrollo de m − n2 , m tiene como exponente a 3.
2.3.
Ejercicios
1. Halle el tercero, quinto y sexto t´ermino del desarrollo de − 13 x −
x2 3
5
.
7 2. ¿En qu´e t´ermino del desarrollo de 1 − x2 se encuentra x8 ? 2 3 6 3. Halle el cuarto t´ermino del desarrollo de − x2 − y3 . 9 4. ¿Cu´al es el n´ umero combinatorio que aparece en el tercer t´ermino del desarrollo de m + n2 ? 5 5. Encuentre el d´ecimo t´ermino en el desarrollo de − 31 x2 − y5 . 9 6. Encuentre el d´ecimo t´ermino en el desarrollo de − 31 x2 − y5 .
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